o ( ACTA PHYSICA POLONICA Α No. ό
E O M O E E GY GA A C I ICA EM E A U E O SU E CO UC O IM IE Y UC UA IO S O E SI Y O S A ES
M GŁA YSIEWIC GONcZAREK A M MULAK
I s i u e o ysics W oc aw U i e si y o ec o ogy Wy eże Wys iai iskiego 7 5 -37 W oc aw o a
(Received Ocfober 21' 1999; revised version February 8' 2000)
e s- ai e CS su e co uc o wi e e ec o e si y o s a es e e i g o e e gy i e ici i y o e mi e e is co si e e e e is- e ce o suc uc ua io s o e ec o e si y o s a es may e e e e o a o e si gu a i ies wi e y iscusse i e i e a u e I e a e ee y es o sma uc ua io s o e e ec o e si y o s a es i o uce a ou
i s a e age ackg ou s a ue a e a a yse o e ia ia g e a oga- i mic o es I o e o ca cu a e ume ica y e e e gy ga a c i ica em e a u e e o ma ism o a ame ic CS ga equa io s is a ie e osi i e uc ua io s ( eaks co es o o e i c ease i occu ie s a es um e i uci g a ig e c i ica em e a u e O e o e a ega i e uc ua io s w ic ec ease e um e o occu ie s a es ea o a owe c i ica em e a u e Suc ec ease i c i ica em e a u e ca ea a a s eci ic c oice o a ame e s o e ecease i su e co uc i i y e es- e ce o uc ua io s i s e ec io i e s a e o e e gy ga as a u c io o em e a u e I e ici i y o Τ = a a u ec ease o i c ease i e e e gy ga o e o igi a CS a ue acco i g o e sig o e uc- ua io is o se e I u e uc ua io s o o c a ge e e a iou o e e e gy ga ea 1 ACS um e s 7 —
. Intr d t n Si gu a i ies o e e ec o e si y o s a es (EDOS) a ei i ue ce o su e co uc i g o e ies a e ee ece y wi e y iscusse i e i e a u e wi i e a o e sce a io e g [1 3 ] e easo o e e is e ce a mec a isms o ig - em e a u e su e co uc i i y is o c ea u o ay a i
(1 39 1040 M Glαd z G n zαr M ΜέΙα seems to be possible that fluctuations of E OS may turn to be crucial in its explanation. Within the Van Hove scenario we try to answer a profound question, how the physics of interacting electron liquid is modified by presence of Van Hove singularities near the Ferini level, which were originally classified in two and three diinensions by Leon Van Hove [5]. From the point of view of cu a es physics the two-diinensional singular- ity, i.e. a saddle point, which is associated with a crossover from electron-like to hole-like conduction, might be extremely important. In the paper [3] the density of states with a superposition of one-dimensional e emum and two-dimensional saddle point (connected with a logarithmic divergence) has been studied and an analytical approximation for the CS gap equation within the weak coupling the- ory was proposed. As a result the values of between 40 Κ and 140 Κ as well as the isotope parameter between 0.18 and 0.28 were established. In turn, in the pa- per [4] the logarithmic E OS with Coulomb repulsion was investigated when the electronic interaction was e o ma ise to obtain the effective repulsive seu o o- e ia In this case a high critical temperature was also achieved. In the review [1] many theoretical and experimental approaches associated with Van Hove scenario are discussed. According to them a reasonable comprehension of the high teinper- ature superconductivity phenomenon could be related to some unusual properties of cu a es with singularities in E OS Before the discovery of cu a es an einpirical rule was stated that the best way to find out a high temperature superconductor was to look for a material with a peak in E OS Recently, Mi o ic and Ca o e have proposed some in- teresting models of E OS with peaks close to E for Α15 compounds in order to explain the anomalous behaviour of their normal and superconducting states, respectively [6, 7]. They have considered fluctuations of E OS in the o e ia and triangle shapes analysing the problem within the isotropic approxiination. Band structure calculations have confirmed the possibility of such sharp peaks in E OS for materials with the Α15 crystal structure [8], as well as some recent angular resolved o oemissio spectroscopy (A ES experiments have shown that many high temperature superconductors possess a sharp peak in E OS near Fermi energy [1]. In this paper we model such simple fluctuations and the numerically calcu- lated critical temperature together with the energy gap dependence vs. tempera- ture. The starting point of further calculations is the CS gap equation. e mo e Let us consider an s-paired CS superconductor with a sinall fluctuation added to constant background's E OS Ν ( The modified E OS has the f r
Below, we focus our interests on three particular types of fluctuations: • o e ia type:
e o m o E e gy Ga a Critical Temperature ... 1041
e a o e equa io e ese s a su e osi io o Lorentzian eaks o EDOS, o igi a y iscusse i [ 7] e us em asise a e i e es i g e mo y- amic o e ies o e sys em wi suc Lorentzian EDOS we e ca cu a e i e a e [9] • ia g e y e
e e EDOS as ia g e eaks ea e e mi e e • oga i mic y e
w e e e uc ua io is e ese e y e oga i i ic i e ge ces oca ise o co s a EDOS. is y e o uc ua io may e o e ou i ig ei e a u e su e co uc o s [1 ] I e os u a e o ms o EDOS is e e e gy e e e o e e mi e e i e eig o e uc ua io Eqs. ( a (3 o e g ow a e o e si -
gu a i y (Eq ( Β — i s a -wi — e e e gy is a ce (s i o e uc ua io om e e mi e e a is e um e o eaks o si gu a i ies un- der consideration. Since only small fluctuations are taken into account the average um e o quasiparticles Ν is ese e a co s a
w e e a e o e - ime sio a ec o s o Β a χ , es ec i e y We begin with more general form of the BCS e e gy ga equa io aki g EDOS as o -symme ic wi es ec o e e mi e e
w e e λ = Ν( ρ is e ai i g a ame e I o uci g e sym o s (c [1 -13]
a i eg a i g Eq ( y a s wi wo i e e i eg a u c io s e ga equa io ca e w i e i e o owi g o m
a co seque y 1 M G a ysiewic Go c α ek M Mu ak
I a ou ca cu a io s e o owi g co i io s a e assume i u e s o e imi o e i eg a io i e a (│→w ic uω / Τ is o e e ace y i i i y e a o e oce u e is u y co sis e wi e assum io gi e y Eq (5 o e a i Eqs ( a (9 a ew a ame e Τ/Δ(Ο as ee i o uce ow e imi s Τ = Ο (τ = οο a Τ = Τ (τ = a e i es iga e a a e some a ge aic a s o ma io s o e may o ai es ec i e y a
I is co e ie o i o uce e o owi g su s i u io s w ic a e use u o ume ica ca cu a io s e us em asise a e a ame e τ akes a ues om e o o i i i y
. r ntz n E OS e ow Eq (11 wi (1 is so e ume ica y y e e u a io a me o o e uc ua io gi e y ( ea i g wi Eqs ( a (1 we em oy e e icie ume ica a go i m
w e e
Equa io s (13 (1 u o e e y co e ie o ca cu a e e e e gy ga e- e e ce s em e a u e I u o e i e e ew c i ica em e a u e ase o Eqs (9 a ( we a y e a go i m as o ows e o m o Ε ε gy Ga a C i ica Τemρe aυ e 1043
w e e
i s y e us co si e e case o a si g e o e ia eak e e e gy ga em- e a u e e e e ce is o e i igs 1 a 3 ea Τ → o e may o se e i s a i c a ge ese esu s emai i ag eeme wi e u ame a CS e a io Δ( /Τ
ig 1 e e em a y o ms o e e e gy ga ca cu a e o e o e ia E OS s e uce em e a u e o a ew c ose a ues o b. a ame e s x a r a e i e a χ = 1 r = a ame e b akes e a ues 5 3 1 e o igi a CS cu e is e ese e y e o e i e (b
ig e e em a y o ms o e e e gy ga ca cu a e o e o e ia E OS s e uce em e a u e o a ew c ose a ues o x. a ame e s b a r a e i e a b = 5 = a ame e x akes e a ues 5 3 1 - 3 - 5 e o e i e e ese s e case o x = Ο ( e CS cu e 1 M Głα ysiewic Gonczarek' M Mulak
ig 3 e e em a y o ms o e e e gy ga ca cu a e o e o e ia E OS s e uce em e a u e o a ew c ose a ues o a ame e s a x a e i e a = 5 o e u e ee cu es = 1 a ame e akes e o owi g a ues 3 e e i e co es o s o e o igi a CS cu e = i a y e owe ee cu es co es o o = — 1 a ame e is equa o 3 es ec i e y
ig e uce c i ica em e a u e ca cu a e o e o e ia E OS s a a- me e a ame e = Ο a x akes e a ues 3 1 - 1 - - 3
ig 5 e uce c i ica em e a u e ca cu a e o e o e ia E OS s a a- me e a ame e s 1 a akes e a ues 5 1 3 e o m o E e gy Gα a C iicαΙ Τemρe αυτe 1045
e us em asise a e a ea a ce o e a eau o e e e gy ga i e e y sma egio c ose o Τ w ic o e ca o se e i e i se s o igs 1 3 is ue o e e a io e wee e e e gy ga a ea ca aci y As i is s ow i [1 ] e ea ca aci y C Δ/9Τ so i e o ai e esu s C — Ο a Τ —+ a e i aw o e mo y amics is a so u i e e cu es co es o i g o i e e b a ame e s a i e x a a e e ic e i ig 1 I u e cu es o i e e x a ame e s u ow a i e b a = a e gi e i ig w e e ey a e is i u e symme ica y wi es ec o e c assica CS cu e I e a ame e is o equa o Ο e e e e gy ga s em e a u e as a e emum a ma imum o osi i e x a a mi imum o ega i e x, es ec i e y (see ig 3 I is c ea y see a e asic a ame e s o uc ua io n a a e a s o g a s aig o wa i ue ce o e a ue o c i ica em e a u e w ic is s ow i a i ec ma e i ig e c i ica em e a u e g ows u a osi i e x a a ge b, a goes ow a ega i e x, w e e e sma Τ cou e o ai e w e b is e oug a ge I e e ow Su sec io 3 1 some i igui g a a y ica esu s co es o i g us o is case a e ie y ese e O e o e a e i ue ce o e a ame e o Τ is summa ise i ig 5
3.1. Decay of s ρe cο ιιciνi y I is su sec io e a a y ica ca cu a io o o e a e c i ica em- e a u e may go o e o i e mo e wi ega i e uc ua io is ske c e Usi g e o owi g o mu a a e i eg a io we i
w e e = Τ /Δ( = πe Equa io (1 i e imi s o c — t → akes e o owi g o m
om w ic o e ca i a y ge
Equa io ( s ows a o some s eci ic ega i e i a ame e s a i w ic a e a ways osi i e e c i ica ei e a u e Τ = Δ( may a ai e y sma a ues o i g o e o i a icu a cases w ic c ea y co es o s o es uc io o 1 M Gladysiewicz, Gonczarek' M Miilak
su e co uc i i y is co c usio emai s e i e y i ag eeme wi ou e ious ume ica esu s I i ica es a e uc ua io o EDOS ca a so ec ease e a si io em e a u e oug is e ec is o s eci ica y i es iga e
4. r n l E OS ow a a ogous y o Sec io 3 e ia g e o m o EDOS (see Eq (3 ca e u i o Eq ( a a e a ame e i a io acco i g o (7 o e may o ai a ume ica a go i m o i e e e gy ga e e e ce s em e a u e i e o m
e o mu a o e c i ica em e a u e ca e w i e as w e e
I igs ό a 7 e em e a u e e e e ces o e e gy ga o ia g e EDOS i o uce a o e a e ese e e a icu a case w e e ma imum
ig e e em a y o ms o e e e gy ga s e uce em e a u e o e ia g e E OS a ame e = Ο a ame e is equa o 3 a = 5 3 e o e i e co es o s o e CS cu e e o m o E e gy Ga a C iicα1 em e a u e 1047
ig 7 e e em a y o ms o e e e gy ga s e uce em e a u e o e ia g e EDOS. a ame e = a ame e is equa o 5 a = 5 3 1 e o e i e co es o s o e BCS cu e
ig e uce c i ica em e a u e s a ame e o e ia g e EDOS. a ame e akes e a ues 5 3 1 a o a uc ua io is oca ise i ec y o e e mi e e (w ic co es o s o = as ee co si e e ecise y e ca cu a io s ea o e c assica CS a io Δ( /ΤC a e s a e o e cu es is simi a o e o e co es o i g o e o e ia E OS O e may o ice a e e e gy ga c a ges mo e a i y a is s ig y mo e "e gi y" ea Τ = Ο a i e o e ia case e e e ess i e e y a ow egio w e Τ —* e Δ(Τ cu e as s i a a eau e ce acco i g o ou e ious iscussio C —+ a Τ —+ C ea y e o m o a uc ua io is e ec e i e e a iou o 1( cu e i e ici i y o Τ = e c i ica em e a u es co es o i g o e ia g e E OS o a ious se s o e a ame e s a e ese e i ig e s a e o e cu es is sii i a o e o e ia case e e e ega i e uc ua io s a e ee o s u ie
5 oga i mic E OS
i a y em oyi g e oga i mic E OS Eq ( i Eq ( a e a a- me e i a io (7 o e ca o ai equa io s co e ie o ume ica ca cu a io o e e gy ga e e e ce s em e a u e i e o m 1 Μ Gα ysiewic Go c α ek M Mtilak
Co seque y i o e o o ai e c i ica em e a u e we e i e e o mu a
w e e
I ig 9 e em e a u e e e i e ces o e e gy ga o e oga i mic E OS a e o e As a o e e a icu a case w e e uc ua io ( i e - ge ce occu s e ac y o e e mi e e (w ic co es o s o = as ee i es iga e We a so u =1, so i is case we ea o y wi o e a ame e w ic is oug y 1 ii es sma e a a co si e e o o e ia a ia - g e E OS Agai e ca cu a io s ea o e c assica CS a io Δ( /ΤC a e s a e o e cu es is ese e Mo eo e i e e y a ow egio w e
Τ — Δ( cu e as a a eau
ig 9 e e em a y o ms o e e e gy ga s e uce em e a u e o e oga i - mic EDOS. a ame e akes e a ues 11 9 7 5 3 a x 1 = e o e i e e ese s e BCS cu e e o m o E e gy Ga a Critical Temperature ... 1049
6. En r p b h v r n r
e us o ice a Eq ( ca e symmetrised si ce we assume a e cou i g i e ac io is symme ic wi es ec o e e mi e e e ce Eq ( may e w i e as
w e e
is e EDOS symme ic wi es ec o e e mi e e o Τ — Τ a Τ = Τ Eq ( 7) e uces o e o m
a so
w e e o a ge ξ we a e Ι( = 1 a Ι( / = as i is assume o Ν1( E imi a i g λ a e e o i g I(u i a owe se ies
a e some a ge aic a s o ma io s o e may o ai e e essio o e e e gy ga at Τ —Τ i e o m
a aki g i o accou a Ι(υΤ = 1 we ge
w ic is us e we -k ow BCS o mu a Equa io (31 o es a a y fiuctu- ation oes o c a ge e BCS s a e o e Δ(Τ e e e ce ea Τ Ou ume ica esu s o e BCS s a e o e e e gy ga e e e ce i e Τ — Τ imi E e ime a cu es ese e i e a e [1 ] emai i ag eeme wi ou co c usio s esi es e ca cu a io s ca ie ou y Pashitski a Pentegov [15] ea o e same esu s 1 5 Μ G d z G n z r M M /
O e o e a e ca cu a io s e i e o Τ — ea o e o owi g ge e a o mu a w ic co i ms e ese ce o a a eau o e e e gy ga i e egio c ose o Τ = wi o es ec o a y e o e uc ua io
. C n l n I e a e we a e s u ie e sys em wi uc ua io o E OS i e ici i y o e e mi su ace Mo e ecise y e uc ua io o o e ia ia - g e a oga i mic y es as ee iscusse I is o ma ism e o a ui e o quasi a ic es emai s co s a esu s o some e ese a i e ume ica ca - cu a io s a e com a e wi e e ime a a a o i s a ce i e a e s [1 15] e e e gy ga ou e e ime a y ca e i e wi e ee postulated E OS o ms I as ee s ow a e a ia io o e c i ica em e a u e e e s o e uc ua io si e e s a e o e uc ua io is e ec e i e o m o e e e gy ga s em e a u e e e e ce Sma uc ua io s cause a isi e c a ge o o e c i ica em e a u e a e o m o e e e gy ga s em e a u e o s W e e uc ua io is osi i e a ise o e c i ica ei e a u e is o se e I u ega i e uc ua io s ec ease Τ esu i g i e o a es uc io o su- e co uc i i y s a e i e ema cases w ic seems o e a i e es i g o e y a may e o a swe e ques io — w y some ma e ia s o o e ea su e - co uc i i y? is esu ca e iscusse i e ici i y o T = w e e a c ucia i c ease o ec ease i Δ(Τ is o ice is a e s a ge e a iou as o ee o se e e e ime a y u o ow ei g esuma y o su e o e measu e I cou e ai w y o ΠΤSCs ma e ia s e asic a io Δ( /Τ is o equa o 1 7 a y mo e O e o e a i e egio Τ —+ Τ e e e ime a esu s a e i sa is ac o y ag eeme wi e CS o es I e i e me ia e a ge o em- e a u es a esse ia isc e a cy wi e CS cu e is o se e owe e is isc e a cy ca e e imi a e y a o ia e i i g wi wo Lorentzian eaks I a cases o e uc ua io s u e co si e a io we a e ake into accou ee g ou s o a ame e s Β a x, a a a yse ei i ue ce o a s a e o e e e gy ga a a ue o e c i ica em e a u e owe e com a i g ou a oac o some o e o es iscusse i e e iew [1 ] we ca easi y i e e ime a e a a io o e a ame e s em oye A so e a ame e xi , w ic e i es e eig o e uc ua io o e g ow a e o e si gu a i y e esses e o i g co ce a io e a ame e Β w ic is a a -wi o a eak o si gu a i y co es o s o 1/ o e width o e si gu a i y o se e i e e e ime s Mo eo e w a e o e au o s ca a seu oga is e ac y i.e. e is a ce om e e mi e e o e eak o si gu a i y i EDOS. So i ica es e si gu a i y e e gy e e i a i ec ma e e ese e o ma ism a i s co ec io s wi e e ime a esu s co - i m e esse ia im ac o uc ua io s o E OS o some ama i g o e ies o e ew ge e a io o su e co uc o s We a so os u a e e mi o i ue ce o uc ua io o e i a esu s i e mo e s s u ie The Form of Energy Gap and C iicαΙ em e u e 1051
e e e ces
[1] S Ma kiewic J. ys Chem. Solids 8, 1179 (1997 [ ] ou ie ok i The Gap Symme y and Fluctuations in High Τ Supercon- ductors, E s ok G eu sc e a u a S Wo e um ess ew Yo k 199 37 [3] G assme Sei e J. Supercond. , 19 (199 [ ] o ce ok Solid State Commu 8 , 975 (1993 [5] a o e ys Rev. 89, 11 9 (1953 [ ] Mi o ic J.P. Ca o e Can. J. ys 6 , 75 (19 3 [7] E Sc ac i ge Mi o ic Ca o e J. ys F, Met. ys 2, 1771 (19 [ ] K M o M Co e W E icke ys Rev. Lett. 4 , 15 (197 [9] Go c a ek M Mu ak ys Lett. Α 2 , (1999 [ΙΟ] Go c a ek M Mu ak Phys. Status Solidi Β 208, 57 (199 [ii] M Mu ak Go c a ek Acta ys Ρo1 Α 9 9 (199 [1 ] Go c a ek M Mu ak W Kuma a Ac a ys Ρo1 Α , 31 (1999 [13] Go c a ek M Mu ak Ac a ys Ρo1 Α 1 7 (199 [1 ] E omo o Koka o I Ma su a a Mo i O aki Czechoslovak J. ys Part SS 46, 1331 (199 [15] E A as i skii Ι e ego Czechoslouak J. ys Part S2 46, 1 1 (199