PENYELESAIAN KUBUS LATIN MENGGUNAKAN TEOR! KUMPULAN KUBUS RUBIK TEO JIN PENG Pt ' )l ; ~ J l) I. "'it.... \.... u • jC SI1 1.1 \UX' !A . ~. DISERTASI INI DIKEMUKAKAN UNTUK MEMENUHI SEBAHAGIAN DARIPADA SY ARAT MEMPEROLEHI IJAZAH SARJANA MUDA SAINS DENGAN KEPUJIAN PROGRAM MATEMA TIK DENGAN KOMPUTER GRAFIK SEKOLAH SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITI MALAYSIA SABAH April 2007 UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH 11 PENGAKUAN Saya akui karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkasan yang setiap satunya telah dijelaskan sumbemya. 12 MAC 2007 TEO JIN PENG HS2004-4519 ,UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH "" - "_ ~ . ~ ~ _~ ". 1• • - .-r( (<( Sayn to 11..1-{ r' EN. "\ --------------------~--------------------.--------------------------- (mj~JUlF BESAR) tncngaku merniJ.eDlarkan resis (ILPSlSaaja.ru!lDolrtor Falsafah)¢ grai"d.i.samp~n di Pe~$1!rlkaan U!1li.\{~'"Sili Malaysia Sabah den~n syara~-sy'"2lrn~ kegulilaan s....-perti be.-i..1-.-ut ! . Tesis adalab bakmilik Ur-&ivctlDiti Mala~i..a Saban. ~ . ~erpustakaan Universiti Maii!ysia Sabah d1ibenarkoo membuat salinan untuk tujwm pengajiM sahaja. :3 P crpus~an dibcrtarkan memoost S2llilwl testS ini scbagai bahan pcrtukanm aRl!1il!dl institusi peogajian tinggi. ~. *"'Sila tandakan ( / ) (Mengandungi maklum.at yang berdaxjah kesdamatan atau ] SULIT kepeoti!lgan Malaysia scperti yang tetmaktub di chIaro AKTA:RAl-ISIA RASMI L972.) TERHAD (Mcngandungi maklumat TERHAD yang tclth ditentukan oleh organisasilbadan di maca penyclidikan dijalankan) / TIDAK TERHAD (TANDA TANGAN PENUUS) '\ lamat TClap: ~D I J LI'\ £.k. PtE... ~A-/ ~---------------------------- q boo Cl ~ttlu ( 5 A-(2 ftwttk. '-- "------------'---- l'arjkh: yo [ '+ [\)?r Tari..ldt:_1..___ 0 ....... 1_tt-:.-.:....! 0_1:.1-- ____ ~---------------------------.--------------------------------------------~ ::::: A TAT AN: ¢ Potong yang lidak bcrkcnaan. • 0 Iika tcsis ini SULIT atZilU TERHAD. sila lampirkan sura! daripada pihak berl~ua..<;a/organisasl herkcn~ dengan menYBtIilkan seltali !Cbab dan tcmpoh Icsis ini peril.! dikcttl5!rnn scbagai SULlT dan TRRHAD. @ Tcsis dimakS\ldkBn scbag:li (csis bagi Ij~-:.ah Doktor Falsafah dan Sarjana StCtara pmyelidikan, a!:lU disertasi bagi pcncajian secara ketja kufS\.j§ dan pcnyelidika.n, atOlu Laporan Projek Sarjane Mudll (LPSM). UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH 111 DIPERAKUKAN OLEH Tandatangan 1. PENYELIA (Encik Tiong Kung Ming) 2. PEMERIKSA 1 (Encik Rajasegeran all Ramasamy) 3. DEKAN ~~ /frJI~~7- (SUPTIKS Prof. Madya Dr. Shariff Ak Omang) __<:'. _:~- _____ UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH IV PENGHARGAAN Saya bersyukur kepada Tuhan kerana dengan rahmat-Nya, Projek Tabun Akhir ini dapat disiapkan tepat pada masanya. Tanpa keizinan dan berkat Tuhan, projek ini tidak dapat berjalan dengan lancar dan tidak akan disiapkan. Saya ingin mengambil kesempatan ini mengucapkan jutaan penghargaan dan ucapan terima kasih terutamanya kepada penyelia, Encik Tiong Kung Ming yang selalu memberi tunjuk ajar dan nasihat sepanjang saya menyiapkan projek ini. Bantuan dan sokongan serta galakan yang diberikan, sememangnya banyak membantu saya. Tanpa seliaan beliau, projek ini tidak akan berjalan dengan lancar dan mungkin tidak mengikut jadual yang telab dirancangkan sebelum ini. Seterusnya, terima kasih juga diucapkan kepada ibu bapa yang selalu memberi sokongan, galakan serta menemani saya ke lokasi kajian di samping menberi bantuan kewangan untuk menyempurnakan projek ini dan akhimya saya dapat menjalankan projek ini dengan lancar. Akhirnya, saya ingin sekali mengucapkan jutaan terima kasih kepada mereka yang telah banyak memberi sokongan, bantuan dan dorongan kepada saya. Sekian, terima kasih. UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH v ABSTRAK Kubus Rubik adalah sebuah teka-teki mekanik dicipta Erno Rubik. Corak Kubus Rubik adalah tetap dengan enam warna berlainan. Dalarn kajian ini, Kubus Rubik diubahsuaikan dengan setiap permukaan digantikan dengan segiempat Latin. Objektif kajian adalah mengkaji bilangan corak penyelesaian Kubus Latin. Hasil keputusan kajian adalah Kubus Latin tidak mengabaikan sifat-sifat yang ada pada Kubus Rubik, tetapi menghadapi masalah yang sarna dalam teori kumpulan iaitu tiada pergerakan urutan yang dapat menukar satu pasangan tunggal atau menukar satu penjuru tunggal atau tepi kubus. Dalam Iaqian ini, didapati bahawa langkah-langkah penyelesaian Kubus Rubik dapat digunakan untuk menyelesaikan Kubus Latin. Kubus Latin mempunyai satu penyelesaian unik sahaja. UMS UNIVERSITI MAlJ\YSIA SABAH VI THE SOLUTION OF LATIN CUBE, USING RUBIK'S CUBE'S GROUP THEORY ABSTRACT Rubik's Cube is a mechanical puzzle invented by Erna Rubik. Rubik's Cube has six different colour with the same cube pattern. In this study, Rubik's cube is modifying to Latin Cube with each face change to Latin Square. The objective of the research is to study the number of pattern solution for the Latin Cube. The result obtain from the research is Latin Cube following the properties get from the Rubik's cube. However, there is same problems that happen that is the group theory. There is no specific movement which can change the only couple or the only corner or the side cube. The solution used in solving Rubik Cube can be used in Latin Cube. Latin Cube has only one unique solution. UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH V11 KANDUNGAN Muka Surat PENGAKUAN 11 PENGESAHAN III PENGHARGAAN IV ABSTRAK V ABSTRACT vi SENARAI KANDUNGAN Vll SENARAI JADUAL IX SENARAI RAJAH X BABl PENDAHULUAN 1 1.1 KUBUS RUBIK (RURIK'S CUBE) 1 1.2 SEGIEMPAT LATIN (LATIN SQUARE) 3 1.3 MOTIV ASI KAJIAN 4 1.4 OBJEKTIF KAJIAN 4 1.5 SKOPKAJIAN 5 BAB2 ULASAN LITERA TUR 6 2.1 PENGENALAN 6 2.2 TEOR! KUMPULAN DALAM KUBUS RUBIK 7 2.3 KAEDAH-KAEDAH PENYELESAIAN KUBUS RUBIK 8 2.3.1 Kaedah Jasmine 10 2.3.2 Lapisan Atas 10 2.3.3 Bentuk Corak Silang 10 2.3.4 Pepenjuru Lapisan Pertama 11 2.3.5 Lapisan Tengah 13 2.3.6 Lapisan Bawah 14 2.3.7 Penyelesaian Tepi 15 2.3.8 Penyelesaian Pepenjuru 17 UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH Vlll 2.3.9 Kaedah Fridrich 18 2.3.10 Penyelesaian 2 Lapisan Atas 19 2.3.11 Penyelesaian Lapisan Akhir 23 2.4 PILIHATUR 28 2.5 PENGIRAAN PILIHATUR KUBUS RUBIK 29 BAB3 METODOLOGI 31 3.1 PENGENALAN 31 3.2 PEMBINAAN KUBUS LATIN 31 3.3 KAEDAH PENYELESAIAN KUBUS RUBIK 34 3.3.1 KaedahJp 34 3.3.2 Penyelesaian Kubus dengan 3 Langkah Utama 34 3.4 PENGIRAAN TATARAJAH KUBUS LATIN 38 3.5 MENGKAJI PENYELESAIAN KUBUS LATIN 38 3.5.1 Kubus Latin Dikaji Dengan Dua Peringkat 42 BAB4 KEPUTUSAN DAN PERBINCANGAN 44 4.1 KEISTIMEWAAN KUBUS LATIN 44 4.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN KUBUS LATIN 45 4.2.1 Lapisan Atas 46 4.2.2 Lapisan Tengah 47 4.2.3 Lapisan Bawah 47 4.3 KEPUTUSAN 49 BABS KESIMPULAN DAN CADANGAN 60 5.1 HASIL DALAM KEPUTUSAN 60 5.2 CADANGAN 61 LAMPIRANA 63 LAMPIRANB 65 LAMPIRANC 68 RUJUKAN 70 UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH IX SENARAJ JADUAL No.Jadual Muka Surat 2.16 Kepingan berada di kedudukan yang hetul, tetapi warna tidak sepadan 19 2.17 Pepenjuru digerakkan dan tepi dikekalkan 20 2.18 Pepenjuru digerakkan dan tepi diputar secara tidak bersandar 20 2.19 Tepi digerakkan dan pepenjuru dikekalkan 21 2.20 Tepi digerakkan dan pepenjuru dipusingkan 21 2.21 Lapisan bawah dihubungkan 21 2.22 Tepi dan pepenjuru yang berselerak dalarn lapisan bawah 22 2.23 Algoritma-algoritma penyelesaian bagi setiap corak yang herbeza 23 4.7 Kubus Latin 1 dalarn kajian peringkat pertarna dan peringkat kedua 49 4.8 Kubus Latin 2 dalam kajian peringkat pertarna dan peringkat kedua 51 4.9 Kubus Latin 3 dalarn kajian peringkat pertama dan peringkat kedua 53 4.10 Kubus Latin 4 dalam kajian peringkat pertama dan peringkat kedua 54 4.11 Kubus Latin 5 dalam kajian peringkat pertama dan peringkat kedua 56 4.12 Kubus Latin 6 dalarn kajian peringkat pertama dan peringkat kedua 57 ' UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH x SENARAI RAJAH No.Rajah Muka Surat 1.1 Pencipta kubus rubik Erno Rubik 1 1.2 Kubus Rubik 3x3x3 2 2.1 Corak silang pada permukaan lapisan atas 11 2.2 Corak silang dengan warna tepi yang betul (kiri) dan salah (kanan) 11 2.3 Corak kubus dalam langkah 1 12 2.4 Corak kubus dalam langkah 2 12 2.5 Corak kubus dalam langkah 3 12 2.6 Corak kubus dalam langkah 4 l3 2.7 Corak Kubus setelah pepenjuru lapisan pertama diselesaikan 13 2.8 Tepi yang berada di lapisan bawah adalah tepi yang berwarna biru/merah 14 2.9 Tepi yang berwarna biru/merah dalam kedudukan yang salah 14 2.10 Empat jenis kemungkinan corak permukaan pada lapisan bawah 15 2.11 Corak 1 15 2.12 Corak2 16 2.13 Corak3 16 2.14 Corak4 16 2.15 Tujuh kemungkinan corak pepenjuru 17 3.1 lenis-jenis susunan segiempat Latin 32 3.2 Contoh Kubus Latin 1 dengan warna 33 3.3 Contoh Kubus Latin yang berlainan corak dengan Kubus Latin 1 tanpa warna 33 3.4 Pergerakan tiga tepi lawan arab jam dan pertukaran warna 35 3.5 Pergerakan tiga tepi ikut arab jam dan pertukaran warna 35 3.6 Pergerakan 4 penjuru kubus dan *pertukaran kedudukan warna 1 36 3.7 Pergerakan 4 penjuru kubus dan *pertukaran kedudukan warna 2 36 3.8 Contoh keadaan khas 1 bagi kedudukan 4 penjuru tidak betul 37 UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH xi 3.9 Contoh keadaan khas 2 37 3.10 Kubus Latin 1 39 3.11 Kubus Latin 2 39 3.12 Kubus Latin 3 40 3.13 Kubus Latin 4 40 3.14 Kubus Latin 5 41 3.15 Kubus Latin 6 41 3.16 Contoh Kajian Peringkat Pertama 42 3.17 Contoh Kajian Peringkat Kedua 43 4.1 Keistimewaan Kubus Latin Pada Pepenjuru 44 4.2 Kubus Latin 1 45 4.3 Pennukaan lapisan atas dan muka sisi serta pusat muka empat sisi 46 4.4 Corak empat sisi Kubus Latin untuk lapisan tengah 47 4.5 Permukaan lapisan bawah dan empat sisi 48 4.6 Permukaan lapisan bawah dan empat sisi 48 UMS UNIVERSITI MALAYSIA SABAH 2 dibuat dan dijual di kedai permainan Budapest.