Zastosowanie Dwuwymiarowego Rozkładu Prawdopodobieństwa Inicjacji Pęknięć W Obliczeniach Trwałości Zmęczeniowej
Total Page：16
File Type：pdf, Size：1020Kb
acta mechanica et automatica, vol.2 no.4 (2008) ZASTOSOWANIE DWUWYMIAROWEGO ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA INICJACJI PĘKNIĘĆ W OBLICZENIACH TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ Aleksander KAROLCZUK*, Jacek SŁOWIK** * Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Wydział Mechaniczny, Politechnika Opolska, ul. Mikołajczyka 5, 45-271 Opole ** Instytut Lotnictwa, Aleja Krakowska 110/114, 02-256 Warszawa [email protected], [email protected] Streszczenie: W pracy przedstawiono metodę obliczania trwałości zmęczeniowej elementów o niejednorodnych rozkładach naprężeń zmiennych bazującą na dwuwymiarowym rozkładzie prawdopodobieństwa zniszczenia elementu. Zaproponowany dwuwymiarowy rozkład inicjacji pęknięcia zmęczeniowego wykorzystuje standardowe charakterystyki zmęczeniowe i pozwala na obliczenia trwałości zmęczeniowej dla dowolnego poziomu prawdopodobieństwa. Metoda została przeana- lizowana przy wykorzystaniu badań zmęczeniowy próbek wykonanych z trzech stali konstrukcyjnych o różnej geometrii. 1. WPROWADZENIE 2. OPIS METODY Złożone kształty elementów maszyn i konstrukcji oraz Koncepcja najsłabszego ogniwa, która leży u podstaw często sposób obciążenia, generuje powstawanie obszarów proponowanej metody oraz teorii Weibulla została sformu- w materiale o niejednorodnym stopniu uszkodzenia zmę- łowana już w latach dwudziestych XX wieku. Podstawowe czeniowego. Badania doświadczalne wykazują, że trwało- założenia koncepcji najsłabszego ogniwa to: (i) dany ści takich elementów wyznaczone na podstawie maksymal- element konstrukcyjny zawiera statystycznie rozmieszczo- nych naprężeń lokalnych są zawyżone w stosunku do trwa- ne różnego rodzaju mikro defekty; (ii) inicjacja pęknięcia łości eksperymentalnych (Papadopoulos i Panaskaltsis, nastąpi w pewnym elementarnym obszarze (ogniwie) 1996; Morel i Palin-Luc, 2002). elementu, który zawiera „najbardziej niebezpieczny de- Z przeglądu literatury specjalistycznej można wyróżnić fekt”; (iii) wystąpienia inicjacji pęknięć zmęczeniowych w dwie grupy metod, które uwzględniają wpływ gradientu poszczególnych ogniwach elementu są od siebie niezależ- naprężeń na trwałość zmęczeniową. Pierwsza, bardziej ne. rozpowszechniona grupa to metody deterministyczne, Dla kolejnych elementów o tej samej geometrii w których trwałość zmęczeniową wyznacza się ściśle i obciążeniu „najbardziej niebezpieczny defekt” charakte- bez uwzględnienia probabilistycznego charakteru zmęcze- ryzuje się innymi cechami, co prowadzi do inicjacji pęknię- nia materiału. Dominują tutaj metody polegające na zredu- cia przy innej liczbie cykli N. W przypadku niejednorodne- kowaniu pola naprężeń do naprężeń lokalnych poprzez go pola naprężeń dany element jest dzielony na podobsza- proces uśredniania (Morel i Palin-Luc, 2002). Druga grupa ry. Prawdopodobieństwo, że w całym elemencie nie pojawi to metody probabilistyczne bazujące na koncepcji najsłab- się pęknięcie w przedziale [0, N] oznacza, że inicjacja pęk- szego ogniwa, w której zakłada się, że wielkość obszaru nięcia nie nastąpi w żadnym elementarnym podobszarze. (i) narażonego na zmienne naprężenia o różnych poziomach Oznaczając przez Ptr prawdopodobieństwo, że podobszar wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia pęknięcia. (i) nie zainicjuje pęknięcia w pewnym przedziale liczby W pracy zaprezentowano probabilistyczną metodę sza- cykli [0, N] to prawdopodobieństwo Ptr dla całego elementu (i) cowania trwałości zmęczeniowej elementów konstrukcyj- jest iloczynem prawdopodobieństw Ptr : nych bazującą na koncepcji najsłabszego ogniwa (the i=k weakest link concept, (Weibull, 1939, 1949; Bomas i inni, (i) , (1) Ptr = ∏ Ptr 1999; Delahay i Palin-Luc, 2006). W przeciwieństwie do i=1 klasycznego w tej koncepcji podejścia polegającego na wyznaczeniu rozkładu prawdopodobieństwa wytrzyma- gdzie k jest liczbą wszystkich podobszarów (ogniw). (i) − f (σ (i ) ) łości zmęczeniowej Pz-σa, przy danej trwałości zmęcze- Przyjęcie wykładniczej postaci rozkładu Ptr = e niowej N (liczby cykli do zniszczenia), przedstawiona prowadzi do zastąpienie iloczynu Π we wzorze (1) operacją w pracy metoda uwzględnia wzrost prawdopodobieństwa sumowania (całkowania) wykładnika liczby e: ( i ) (i+1) (i ) ( i+1) wystąpienia pęknięcia ze wzrostem zrealizowanej liczby P = P(i) ⋅ P(i+1) ... = e− f (σ ) ⋅e− f (σ ) ... = e− f (σ )− f (σ )... cykli obciążenia. W obliczeniach przyjęto rozkłady typu tr tr tr Taką postać rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej Weibulla, których parametry uzależniono od lokalnych losowej zaproponował Weibull w 1939 roku, uzależniając wartości naprężeń/odkształceń ekwiwalentnych i standar- rozkład P (i) od poziomu naprężenia σ(i). Klasyczna dowych charakterystyk zmęczeniowych. tr 29 Aleksander Karolczuk, Jacek Słowik Zastosowanie dwuwymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa inicjacji pęknięć w obliczeniach trwałości zmęczeniowej (Weibullowska) postać rozkładu prawdopodobieństwa że współczynnik skali μ jest cechą materiałową, trwałość Nf Pz = 1-Ptr zniszczenia elementu jest następująca: można wyznaczyć ze standardowej charakterystyki zmę- 1 czeniowej typu σa-Nf. Dla stałego współczynnika skali − ∫ g(σ )dω m m Ω0 ⎛ σ ⎞ ⎛ σ −σ ⎞ P = 1− e ω , , 0 , (2a,2b,2c) log(Nf) współczynnik m odpowiada za kształt rozkładu, z g(σ ) = ⎜ ⎟ g(σ ) = ⎜ ⎟ ⎝ σ u ⎠ ⎝ σ u ⎠ czyli za szerokość pasma rozrzutu trwałości N. A zatem, współ- gdzie Ω0 jest objętością lub powierzchnią referencyjną czynnik m jest cechą jakościową wykonania danego elementu charakteryzującego się rozkładem (2). Natomiast elementu, ale nie tylko. Przy dużych obciążeniach, czyli g(σ) jest funkcją tzw. „ryzyka zniszczenia”, której postać małej trwałości Nf rozrzuty są mniejsze niż przy obciąże- zależy od własności materiału. Weibull zaproponował dwu niach mniejszych. Przy obciążeniu równym statycznej (2b) i trzy (2c) parametrową postać funkcji g(σ), gdzie σ , 0 granicy wytrzymałości trwałość Nf w sensie zmęczeniowym σ , m są odpowiednio naprężeniowymi parametrami: prze- u nie wykazuje praktycznie żadnego rozrzutu (Nf→1 cykl sunięcia, skali i kształtu rozkładu (2a). Z uwagi na różne obciążenia). Z drugiej strony przy obciążeniach na pozio- własności materiału na jego powierzchni oraz w objętości, mie granicy zmęczenia jedne próbki ulegają zniszczeniu a Weibull rozważał wyznaczenie rozkładu prawdopodobień- inne maja trwałość nieograniczoną, co prowadzi do znacz- stwa zniszczenia osobno w objętości V materiału (ω = V) nych rozrzutów trwałości. Symulacje przeprowadzone dla jak i na powierzchni swobodnej A elementu (ω = A). równania (4) wykazują, że przy stałej funkcji skalującej W przypadku procesów zmęczeniowych rozkład prawdo- log(Nf) rozrzutu maleją dla wzrastającej wartości funkcji m. podobieństwa zniszczenia elementu jest dwuwymiarową Prostą funkcją spełniającą takie wymagania jest funkcja w funkcją amplitudy naprężenia σa i liczby cykli N do znisz- postaci: czenia elementu P =f(σ , N). Postać takiej funkcji nie zosta- z a p ła m(σ ) = m(N ) = , (5) f log(N ) jednak zaproponowana przez Weibulla. Inni badacze f (Bomas i inni, 1999; Delahay i Palin-Luc, 2006) rozwijali gdzie p jest wyodrębnioną cechą jakościową wykonania tą koncepcję, ale ich badania skoncentrowały się na wyzna- danego elementu. Ostatecznie rozkład prawdopodobień- czeniu funkcji typu Pz = f(σa, N = poziom granicy zmęcze- stwa (4) zniszczenia elementu przyjmuje postać nia), czyli na zagadnieniu czy element ulegnie zniszczeniu p lub nie, bez względu na liczbę cykli. 1 ⎛ log(N ) ⎞ log( N f ) − ⎜ ⎟ dω Ω ∫ ⎜ log(N ) ⎟ W niniejszej pracy przedstawiono koncepcję obliczania 0 ω ⎝ f ⎠ Pz (N) =1− e . (6) trwałości zmęczeniowej elementów na podstawie dwuwy- miarowego rozkładu prawdopodobieństwa Pz=f(D, N), W przypadku równomiernego rozkładu naprężeń gdzie D jest uogólnioną zmienną zależną od poziomu na- o powierzchni swobodnej (referencyjnej) równej A0, prężenia/odkształcenia. Ogólna postać takiego rozkładu jest wzór (6) redukuje się do następującej formy analogiczna do klasycznego rozkładu Weibulla (2a), czyli: p ⎛ log(N ) ⎞ log( N f ) −⎜ ⎟ 1 ⎜ log(N ) ⎟ − h( N ,D)dω ⎝ f ⎠ Ω ∫ Pz (N ) = 1− e . (7) 0 ω Pz = 1− e , (3) gdzie funkcja „ryzyka zniszczenia” h zależy od dwóch zmiennych: D i N. 1 Przeprowadzając testy zmęczeniowe na danym pozio- 0.8 0.6 mie amplitudy naprężenia σa (D=σa) otrzymane trwałości 0.4 zmęczeniowe N wykazuję pewne rozproszenie. Część ba- z 0.2 P daczy (Schijve, 1993 ) skłania się do poglądu, że rozkład 0 Weibulla dobrze opisuje rozrzut trwałości zmęczeniowej Pz=0,63 w skali logarytmicznej, co wyraża się zależnością: 350 m 300 ⎛ log(N ) ⎞ −⎜ ⎟ P = 1− e ⎝ μ ⎠ , (4) 250 σ =σ* z Pz=0,05 a af 200 σ , MPa 8 gdzie μ jest współczynnikiem skali, m jest współczynni- a 150 7 10 6 10 100 5 10 kiem kształtu. Kształt rozkład trwałości zmęczeniowej N 4 10 10 N , cykli jest wyrażony wartościami parametrów μ i m, które zależą f od poziomu amplitudy naprężenia σa. Prawidłowo uzależ- Rys. 1. Symulowany dwuwymiarowy rozkład prawdopodobień- niony współczynnik skali μ od poziomu naprężenia σa stwa pęknięcia elementu wykonanego ze stali 18G2A powinien umożliwić porównanie rozrzutów trwałości zmę- dla p=580 czeniowej uzyskanych dla różnych poziomów σa. W związ- ku z tym współczynnik skali μ przyjmuje formę Na rysunku 1 przedstawiono przykładowy dwuwymia- rowy rozkład prawdopodobieństwa zniszczenia otrzymany μ = log(Nf), gdzie Nf jest charakterystyczną (referencyjną) na podstawie zależności (7) przy wykorzystaniu charakte- dla danego poziomu σa trwałością zmęczeniową. Przy zało- żeniu, rystyki zmęczeniowej σa-Nf stali 18G2A (Tab. 1) oraz przy- jęciu wartości parametru p = 580. Natomiast rysunek 2 30 acta mechanica et automatica,