Wprowadzenie Do Fal Grawitacyjnych

Wprowadzenie do fal grawitacyjnych

Jacek Jurkowski

Instytut Fizyki

2016

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 1(126) 1 Wprowadzenie i trochę historii 2 Podstawowe pojęcia i formalizm Ogólnej Teorii Względności 3 Podstawy opisu falowego 4 Równanie falowe w przybliżeniu słabego pola grawitacyjnego 5 Moc promieniowania grawitacyjnego. Przykłady źródeł 6 Promieniowanie grawitacyjne od układu podwójnego 7 Detekcja promieniowania grawitacyjnego

Plan wykładu

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 2(126) Plan wykładu

1 Wprowadzenie i trochę historii 2 Podstawowe pojęcia i formalizm Ogólnej Teorii Względności 3 Podstawy opisu falowego 4 Równanie falowe w przybliżeniu słabego pola grawitacyjnego 5 Moc promieniowania grawitacyjnego. Przykłady źródeł 6 Promieniowanie grawitacyjne od układu podwójnego 7 Detekcja promieniowania grawitacyjnego

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 2(126) 14.09.2015: pierwszy raz w historii zarejestrowano falę grawitacyjną 11.02.2016 r. oﬁcjalnie to ogłoszono artykuł z Am. J. Phys. 75, 597 (2007)

Motywacja

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 3(126) artykuł z Am. J. Phys. 75, 597 (2007)

Motywacja

14.09.2015: pierwszy raz w historii zarejestrowano falę grawitacyjną 11.02.2016 r. oﬁcjalnie to ogłoszono

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 3(126) Motywacja

14.09.2015: pierwszy raz w historii zarejestrowano falę grawitacyjną 11.02.2016 r. oﬁcjalnie to ogłoszono artykuł z Am. J. Phys. 75, 597 (2007)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 3(126) Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ. Press. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson, Gravitational-Wave Physics and Astronomy. An Introduction to Theory, Experiment and Data Analysis, Wiley. Michele Maggiore, Gravitational Waves. Theory and Experiments, Oxford Univ. Press. B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. L. D. Landau, J. M. Lifszic, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN. M. Demiański, Astroﬁzyka relatywistyczna, Biblioteka Fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN

Literatura

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126) Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson, Gravitational-Wave Physics and Astronomy. An Introduction to Theory, Experiment and Data Analysis, Wiley. Michele Maggiore, Gravitational Waves. Theory and Experiments, Oxford Univ. Press. B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. L. D. Landau, J. M. Lifszic, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN. M. Demiański, Astroﬁzyka relatywistyczna, Biblioteka Fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN

Literatura

Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ. Press. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons.

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126) B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. L. D. Landau, J. M. Lifszic, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN. M. Demiański, Astroﬁzyka relatywistyczna, Biblioteka Fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN

Literatura

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126) Literatura

Jayant Narlikar, An Introduction to Relativity, Cambridge Univ. Press. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Wiley & Sons. Jolien D. E. Creighton and Warren G. Anderson, Gravitational-Wave Physics and Astronomy. An Introduction to Theory, Experiment and Data Analysis, Wiley. Michele Maggiore, Gravitational Waves. Theory and Experiments, Oxford Univ. Press. B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności, Wydawnictwo Naukowe PWN. L. D. Landau, J. M. Lifszic, Teoria pola, Wydawnictwo Naukowe PWN. M. Demiański, Astroﬁzyka relatywistyczna, Biblioteka Fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 4(126) od teorii do detekcji fal grawitacyjnych.

Cele wykładu

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126) Cele wykładu

od teorii do detekcji fal grawitacyjnych.

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126) Cele wykładu

od teorii do detekcji fal grawitacyjnych.

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126) Cele wykładu

od teorii do detekcji fal grawitacyjnych.

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 5(126) formalizm matematyczny fal grawitacyjnych

Cele wykładu

jakie informacje niesie sygnał grawitacyjny

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 6(126) formalizm matematyczny fal grawitacyjnych

Cele wykładu

jakie informacje niesie sygnał grawitacyjny

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 6(126) Cele wykładu

jakie informacje niesie sygnał grawitacyjny

formalizm matematyczny fal grawitacyjnych

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 6(126) Cele wykładu

modelowanie prostych źródeł fal grawitacyjnych

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 7(126) Cele wykładu

modelowanie prostych źródeł fal grawitacyjnych

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 7(126) 1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t) 2 Rozwiązania równania falowego

1 ∂2ψ(~r, t) = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0 c2 ∂t2

fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r − ωt) fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r − ct) ogólnie: ψ(~r, t) = f (r − ct) zasada superpozycji! Fale grawitacyjne W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falowego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji

Fale

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126) 2 Rozwiązania równania falowego

1 ∂2ψ(~r, t) = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0 c2 ∂t2

Fale

1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126) fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r − ωt) fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r − ct) ogólnie: ψ(~r, t) = f (r − ct) zasada superpozycji! Fale grawitacyjne W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falowego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji

Fale

1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t) 2 Rozwiązania równania falowego

1 ∂2ψ(~r, t) = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0 c2 ∂t2

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126) zasada superpozycji! Fale grawitacyjne W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falowego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji

Fale

1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t) 2 Rozwiązania równania falowego

1 ∂2ψ(~r, t) = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0 c2 ∂t2

fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r − ωt) fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r − ct) ogólnie: ψ(~r, t) = f (r − ct)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126) Fale grawitacyjne W ogólności fale grawitacyjne nie spełniają (liniowego) równania falowego ⇐⇒ nie obowiązuje dla nich zasada superpozycji

Fale

1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t) 2 Rozwiązania równania falowego

1 ∂2ψ(~r, t) = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0 c2 ∂t2

fale płaskie: ψ(~r, t) = A sin(k~r − ωt) fale kuliste: ψ(~r, t) = A/r sin(r − ct) ogólnie: ψ(~r, t) = f (r − ct) zasada superpozycji!

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126) Fale

1 Zmienne w czasie i przestrzeni zaburzenia ośrodka: ψ(x, y, z, t) = ψ(~r, t) 2 Rozwiązania równania falowego

1 ∂2ψ(~r, t) = ∇2ψ(~r, t) ⇐⇒ ψ(~r, t) = 0 c2 ∂t2

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 8(126) Fale grawitacyjne — historia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 9(126) 11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity, 02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listów pomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem, 06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej Akademii Nauk z wyprowadzeniem równania falowego kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czy przenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych, uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R. Feynmann) lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji (Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowych walców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland 1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J. Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSR B1913+16

Fale grawitacyjne — historia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126) 02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listów pomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem, 06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej Akademii Nauk z wyprowadzeniem równania falowego kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czy przenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych, uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R. Feynmann) lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji (Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowych walców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland 1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J. Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSR B1913+16

Fale grawitacyjne — historia

11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity,

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126) 06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej Akademii Nauk z wyprowadzeniem równania falowego kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czy przenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych, uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R. Feynmann) lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji (Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowych walców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland 1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J. Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSR B1913+16

Fale grawitacyjne — historia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126) kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czy przenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych, uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R. Feynmann) lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji (Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowych walców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland 1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J. Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSR B1913+16

Fale grawitacyjne — historia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126) uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R. Feynmann) lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji (Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowych walców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland 1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J. Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSR B1913+16

Fale grawitacyjne — historia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126) lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji (Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowych walców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland 1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J. Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSR B1913+16

Fale grawitacyjne — historia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126) 1974: pośrednie potwierdzenie istnienia fal grawitacyjnych (J. Taylor, R. Hulse) — układ podwójny dwóch pulsarów PSR B1913+16

Fale grawitacyjne — historia

11.1915: A. Einstein publikuje pracę The Formal Foundation of the General Theory of Relativity, 02.1916: idea fal grawitacyjnych zrodziła się po wymianie listów pomiędzy A. Einsteinem a K. Schwarzschildem, 06.1916: artykuł A. Einsteina Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation skierowany do Pruskiej Akademii Nauk z wyprowadzeniem równania falowego kontrowersje wokół istnienia fal grawitacyjnych i problemu, czy przenoszą one energię trwały do połowy lat 50-tych, uznanie istnienia fal grawitacyjnych (A. Trautman, H. Bondi, R. Feynmann) lata 60-te: pierwsze (uznane jako nieudane) próby detekcji (Joseph Weber) w oparciu o drgania dwóch jednotonowych walców aluminiowych na Uniwersytecie Maryland

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 10(126) Fale grawitacyjne — historia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 11(126) niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22, h(t) = A(t) cos Φ(t)

Fale grawitacyjne — źródła

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126) niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II), jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby do względnego przesunięcia 10−18 obracające się, niesymetryczne masywne obiekty układy podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazd neutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisji fal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz) zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (do kHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem 2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wyniki numerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykli ewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacji pozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur o takich samych masach, na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałów grawitacyjnych (waveform)

Fale grawitacyjne — źródła

niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22, h(t) = A(t) cos Φ(t)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126) obracające się, niesymetryczne masywne obiekty układy podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazd neutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisji fal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz) zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (do kHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem 2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wyniki numerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykli ewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacji pozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur o takich samych masach, na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałów grawitacyjnych (waveform)

Fale grawitacyjne — źródła

niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22, h(t) = A(t) cos Φ(t)

niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II), jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby do względnego przesunięcia 10−18

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126) układy podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazd neutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisji fal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz) zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (do kHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem 2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wyniki numerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykli ewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacji pozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur o takich samych masach, na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałów grawitacyjnych (waveform)

Fale grawitacyjne — źródła

niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22, h(t) = A(t) cos Φ(t)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126) zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (do kHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem 2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wyniki numerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykli ewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacji pozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur o takich samych masach, na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałów grawitacyjnych (waveform)

Fale grawitacyjne — źródła

niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22, h(t) = A(t) cos Φ(t)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126) 2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wyniki numerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykli ewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacji pozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur o takich samych masach, na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałów grawitacyjnych (waveform)

Fale grawitacyjne — źródła

niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22, h(t) = A(t) cos Φ(t)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126) Fale grawitacyjne — źródła

niezwykle słabe: względne przesunięcia 10−20–10−22, h(t) = A(t) cos Φ(t)

niesymetryczny kolaps grawitacyjny gwiazd (supernowe typu II), jeśli miałby miejsce w naszej Galaktyce prowadziłby do względnego przesunięcia 10−18 obracające się, niesymetryczne masywne obiekty układy podwójne zwartych obiektów (czarnych dziur, gwiazd neutronowych, białych karłów): utrata energii na skutek emisji fal grawitacyjnych (fale o częstotliwości 10−4–1 Hz) zderzenia zwartych obiektów: nagły wzrost częstotliwości fal (do kHz) i amplitudy w ostatnich chwilach przed połączeniem 2005: trzy grupy teoretyków z USA opublikowały pierwsze wyniki numerycznych obliczeń (numerical relativity) ostatnich cykli ewolucji oraz procesu zderzenia (merger) i relaksacji pozderzeniowej (ring down) układu dwóch czarnych dziur o takich samych masach, na bazie tych obliczeń można było uzyskać postaci sygnałów grawitacyjnych (waveform) Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 12(126) detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe (Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.) interferometry: LIGO (koordynowany przez Caltech) w Hanford w stanie Washington (pn-zach USA) i w Livingstone w stanie Luizjana (pd-wsch USA), VIRGO w Pizie (Włochy) interferometria kosmiczna: LISA

Fale grawitacyjne — detekcja

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126) interferometry: LIGO (koordynowany przez Caltech) w Hanford w stanie Washington (pn-zach USA) i w Livingstone w stanie Luizjana (pd-wsch USA), VIRGO w Pizie (Włochy) interferometria kosmiczna: LISA

Fale grawitacyjne — detekcja

detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe (Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126) interferometria kosmiczna: LISA

Fale grawitacyjne — detekcja

detektory rezonansowe: cylindryczne detektory rezonasowe (Uniwersytety W Rzymie, Stanu Luizjana, Perth, Legarno, itd.) interferometry: LIGO (koordynowany przez Caltech) w Hanford w stanie Washington (pn-zach USA) i w Livingstone w stanie Luizjana (pd-wsch USA), VIRGO w Pizie (Włochy)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126) Fale grawitacyjne — detekcja

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 13(126) Zasada względności (STW) Prawa ﬁzyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odnie- sienia

Słaba zasada równoważności w OTW W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnym jest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do- statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ruchu swobodnie poru- szających się cząstek mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzędnych w nieobecności sił grawitacji

Silna zasada równoważności w OTW W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnym jest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do- statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ﬁzyki mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzęd- nych w nieobecności sił grawitacji

Zasady względności i równoważności

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126) Słaba zasada równoważności w OTW W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnym jest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do- statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ruchu swobodnie poru- szających się cząstek mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzędnych w nieobecności sił grawitacji

Zasady względności i równoważności

Zasada względności (STW) Prawa ﬁzyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odnie- sienia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126) Silna zasada równoważności w OTW W każdym punkcie czasoprzestrzeni, w dowolnym polu grawitacyjnym jest możliwe wskazanie lokalnego układu inercjalnego, takiego że w do- statecznie małym otoczeniu tego punktu, prawa ﬁzyki mają postać taką samą jak w nieprzyspieszającym, kartezjańskim układzie współrzęd- nych w nieobecności sił grawitacji

Zasady względności i równoważności

Zasada względności (STW) Prawa ﬁzyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odnie- sienia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126) Zasady względności i równoważności

Zasada względności (STW) Prawa ﬁzyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach odnie- sienia

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 14(126) Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzy zdarzeniami (x0 = ct, x1, x2, x3) oraz (c(t + dt), x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) wynosi dl2 = ±(c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2) dl jest niezmiennikiem transformacji Lorentza Czasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia (rozmaitość różniczkowa) Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)

3 2 α β α β dl = ∑ gαβ(x)dx dx ≡ gαβ(x)dx dx α,β=0

Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące w przestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się w zadany sposób przy zmianach układu współrzędnych wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych) wektory kowariantne (np. gradient funkcji) α α kontrakcja i obniżanie indeksu: v ωα, gαβv = vβ

Geometria czasoprzestrzeni

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126) Czasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia (rozmaitość różniczkowa) Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)

3 2 α β α β dl = ∑ gαβ(x)dx dx ≡ gαβ(x)dx dx α,β=0

Geometria czasoprzestrzeni

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126) Mierzenie odległości i pól — metryka (pseudo-riemannowska)

3 2 α β α β dl = ∑ gαβ(x)dx dx ≡ gαβ(x)dx dx α,β=0

Geometria czasoprzestrzeni

Czasoprzestrzeń Minkowskiego: kwadrat odległości pomiędzy zdarzeniami (x0 = ct, x1, x2, x3) oraz (c(t + dt), x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) wynosi dl2 = ±(c2dt2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2) dl jest niezmiennikiem transformacji Lorentza Czasoprzestrzeń OTW — czterowymiarowa powierzchnia (rozmaitość różniczkowa)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126) Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące w przestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się w zadany sposób przy zmianach układu współrzędnych wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych) wektory kowariantne (np. gradient funkcji) α α kontrakcja i obniżanie indeksu: v ωα, gαβv = vβ

Geometria czasoprzestrzeni

3 2 α β α β dl = ∑ gαβ(x)dx dx ≡ gαβ(x)dx dx α,β=0

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126) wektory kontrawariantne (np. wektory styczne do krzywych) wektory kowariantne (np. gradient funkcji) α α kontrakcja i obniżanie indeksu: v ωα, gαβv = vβ

Geometria czasoprzestrzeni

3 2 α β α β dl = ∑ gαβ(x)dx dx ≡ gαβ(x)dx dx α,β=0

Pola tensorowe — przekształcenia wieloliniowe żyjące w przestrzeniach stycznych czasoprzestrzeni transformujące się w zadany sposób przy zmianach układu współrzędnych

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126) α α kontrakcja i obniżanie indeksu: v ωα, gαβv = vβ

Geometria czasoprzestrzeni

3 2 α β α β dl = ∑ gαβ(x)dx dx ≡ gαβ(x)dx dx α,β=0

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126) Geometria czasoprzestrzeni

3 2 α β α β dl = ∑ gαβ(x)dx dx ≡ gαβ(x)dx dx α,β=0

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 15(126) α α α α µ α ν ~v = v ~eα =⇒ d~v = dv ~eα + v d~eα = (dv + v Γνµdx )~eα .

α 1 αδ 1 αδ Γ = g (∂γ gδβ + ∂βgγδ − ∂δ gβγ) ≡ g (gδβ γ + gγδ β − gβγ δ) βγ 2 2 , , ,

cząstkowa pochodna kowariantna

α α α γ v ;β = v ,β + Γγβv γ ωα;β = ωα,β − Γαβωγ β β Tµν;α = Tµν,α − Γµα Tβν − Γαν Tµβ µν µν µ βν ν µβ B ;α = B ,α + ΓαβB + Γβα B

α α Geometria pseudoriemannowska — Γβγ = Γγβ, gµν;α = 0

Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja aﬁniczna

Przesuwanie obiektów — koneksja aﬁniczna wyznaczona przez symbole Christoﬀela

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126) α 1 αδ 1 αδ Γ = g (∂γ gδβ + ∂βgγδ − ∂δ gβγ) ≡ g (gδβ γ + gγδ β − gβγ δ) βγ 2 2 , , ,

cząstkowa pochodna kowariantna

α α α γ v ;β = v ,β + Γγβv γ ωα;β = ωα,β − Γαβωγ β β Tµν;α = Tµν,α − Γµα Tβν − Γαν Tµβ µν µν µ βν ν µβ B ;α = B ,α + ΓαβB + Γβα B

α α Geometria pseudoriemannowska — Γβγ = Γγβ, gµν;α = 0

Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja aﬁniczna

Przesuwanie obiektów — koneksja aﬁniczna wyznaczona przez symbole Christoﬀela

α α α α µ α ν ~v = v ~eα =⇒ d~v = dv ~eα + v d~eα = (dv + v Γνµdx )~eα .

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126) cząstkowa pochodna kowariantna

α α α γ v ;β = v ,β + Γγβv γ ωα;β = ωα,β − Γαβωγ β β Tµν;α = Tµν,α − Γµα Tβν − Γαν Tµβ µν µν µ βν ν µβ B ;α = B ,α + ΓαβB + Γβα B

α α Geometria pseudoriemannowska — Γβγ = Γγβ, gµν;α = 0

Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja aﬁniczna

Przesuwanie obiektów — koneksja aﬁniczna wyznaczona przez symbole Christoﬀela

α α α α µ α ν ~v = v ~eα =⇒ d~v = dv ~eα + v d~eα = (dv + v Γνµdx )~eα .

α 1 αδ 1 αδ Γ = g (∂γ gδβ + ∂βgγδ − ∂δ gβγ) ≡ g (gδβ γ + gγδ β − gβγ δ) βγ 2 2 , , ,

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126) α α Geometria pseudoriemannowska — Γβγ = Γγβ, gµν;α = 0

Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja aﬁniczna

Przesuwanie obiektów — koneksja aﬁniczna wyznaczona przez symbole Christoﬀela

α α α α µ α ν ~v = v ~eα =⇒ d~v = dv ~eα + v d~eα = (dv + v Γνµdx )~eα .

α 1 αδ 1 αδ Γ = g (∂γ gδβ + ∂βgγδ − ∂δ gβγ) ≡ g (gδβ γ + gγδ β − gβγ δ) βγ 2 2 , , ,

cząstkowa pochodna kowariantna

α α α γ v ;β = v ,β + Γγβv γ ωα;β = ωα,β − Γαβωγ β β Tµν;α = Tµν,α − Γµα Tβν − Γαν Tµβ µν µν µ βν ν µβ B ;α = B ,α + ΓαβB + Γβα B

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126) Geometria czasoprzestrzeni. Koneksja aﬁniczna

Przesuwanie obiektów — koneksja aﬁniczna wyznaczona przez symbole Christoﬀela

α α α α µ α ν ~v = v ~eα =⇒ d~v = dv ~eα + v d~eα = (dv + v Γνµdx )~eα .

α 1 αδ 1 αδ Γ = g (∂γ gδβ + ∂βgγδ − ∂δ gβγ) ≡ g (gδβ γ + gγδ β − gβγ δ) βγ 2 2 , , ,

cząstkowa pochodna kowariantna

α α α γ v ;β = v ,β + Γγβv γ ωα;β = ωα,β − Γαβωγ β β Tµν;α = Tµν,α − Γµα Tβν − Γαν Tµβ µν µν µ βν ν µβ B ;α = B ,α + ΓαβB + Γβα B

α α Geometria pseudoriemannowska — Γβγ = Γγβ, gµν;α = 0

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 16(126) τ — parametr geodezyjnej xµ(τ)

d2xµ dxν dxα + Γ µ = 0 dτ2 να dτ dτ Równanie geodezyjnej

Geometria czasoprzestrzeni. Geodezyjna

Jaką postać ma najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty w czasoprzestrzeni? (krzywa geodezyjna)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 17(126) Równanie geodezyjnej

Geometria czasoprzestrzeni. Geodezyjna

Jaką postać ma najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty w czasoprzestrzeni? (krzywa geodezyjna) τ — parametr geodezyjnej xµ(τ)

d2xµ dxν dxα + Γ µ = 0 dτ2 να dτ dτ

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 17(126) Geometria czasoprzestrzeni. Geodezyjna

Jaką postać ma najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty w czasoprzestrzeni? (krzywa geodezyjna) τ — parametr geodezyjnej xµ(τ)

d2xµ dxν dxα + Γ µ = 0 dτ2 να dτ dτ Równanie geodezyjnej

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 17(126) δ δ δ δ µ δ µ R αβγ := Γαβ,γ − Γαγ,β + ΓµγΓαβ − ΓµβΓαγ

µ 1 Rδαβγ = gµδ R = (gαβ δγ + gδγ αβ − gαγ δβ − gδβ αγ) αβγ 2 , , , ,

Podstawowe twierdzenie sięgające jeszcze czasów Gaussa orzeka, że

Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy gdy znikają wszystkie skła- dowe tensora krzywizny Rδαβγ w każdym punkcie przestrzeni.

Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Krzywizna — tensor (krzywizny) Riemanna

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126) µ 1 Rδαβγ = gµδ R = (gαβ δγ + gδγ αβ − gαγ δβ − gδβ αγ) αβγ 2 , , , ,

Podstawowe twierdzenie sięgające jeszcze czasów Gaussa orzeka, że

Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy gdy znikają wszystkie skła- dowe tensora krzywizny Rδαβγ w każdym punkcie przestrzeni.

Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Krzywizna — tensor (krzywizny) Riemanna

δ δ δ δ µ δ µ R αβγ := Γαβ,γ − Γαγ,β + ΓµγΓαβ − ΓµβΓαγ

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126) Podstawowe twierdzenie sięgające jeszcze czasów Gaussa orzeka, że

Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy gdy znikają wszystkie skła- dowe tensora krzywizny Rδαβγ w każdym punkcie przestrzeni.

Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Krzywizna — tensor (krzywizny) Riemanna

δ δ δ δ µ δ µ R αβγ := Γαβ,γ − Γαγ,β + ΓµγΓαβ − ΓµβΓαγ

µ 1 Rδαβγ = gµδ R = (gαβ δγ + gδγ αβ − gαγ δβ − gδβ αγ) αβγ 2 , , , ,

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126) Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Krzywizna — tensor (krzywizny) Riemanna

δ δ δ δ µ δ µ R αβγ := Γαβ,γ − Γαγ,β + ΓµγΓαβ − ΓµβΓαγ

µ 1 Rδαβγ = gµδ R = (gαβ δγ + gδγ αβ − gαγ δβ − gδβ αγ) αβγ 2 , , , ,

Podstawowe twierdzenie sięgające jeszcze czasów Gaussa orzeka, że

Przestrzeń jest płaska wtedy i tylko wtedy gdy znikają wszystkie skła- dowe tensora krzywizny Rδαβγ w każdym punkcie przestrzeni.

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 18(126) 1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ, 2 antysymetria indeksów:

Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,

3 cykliczność: Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .

4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12 niezależnych składowych tensora krzywizny. 5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymi pochodne. Tensor Ricciego

µν ν Rαβ := g Rµανβ = R ανβ

µν skalar krzywizny R = g Rµν

Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126) 4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12 niezależnych składowych tensora krzywizny. 5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymi pochodne. Tensor Ricciego

µν ν Rαβ := g Rµανβ = R ανβ

µν skalar krzywizny R = g Rµν

Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii

1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ, 2 antysymetria indeksów:

Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,

3 cykliczność: Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126) 5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymi pochodne. Tensor Ricciego

µν ν Rαβ := g Rµανβ = R ανβ

µν skalar krzywizny R = g Rµν

Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii

1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ, 2 antysymetria indeksów:

Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,

3 cykliczność: Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .

4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12 niezależnych składowych tensora krzywizny.

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126) Tensor Ricciego

µν ν Rαβ := g Rµανβ = R ανβ

µν skalar krzywizny R = g Rµν

Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii

1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ, 2 antysymetria indeksów:

Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,

3 cykliczność: Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .

4 W ogólności, w przestrzeni N-wymiarowej jest N2(N2 − 1)/12 niezależnych składowych tensora krzywizny. 5 Tożsamości Bianchi są dodatkowymi związkami zawierającymi pochodne.

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126) µν skalar krzywizny R = g Rµν

Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii

1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ, 2 antysymetria indeksów:

Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,

3 cykliczność: Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .

µν ν Rαβ := g Rµανβ = R ανβ

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126) Geometria czasoprzestrzeni. Krzywizna

Tensor krzywizny ma następujące algebraiczne własności symetrii

1 symetria par: Rαβµν = Rµναβ, 2 antysymetria indeksów:

Rαβµν = −Rβαµν = −Rαβνµ = Rβανµ ,

3 cykliczność: Rαβµν + Rανβµ + Rαµνβ = 0 .

µν ν Rαβ := g Rµανβ = R ανβ

µν skalar krzywizny R = g Rµν

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 19(126) Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariację tensora metrycznego

gαβ −→ gαβ + δgαβ

Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii

 gęstość 1/c × strumień energii przez   energii powierzchnię prostopadłą do ek                  αβ   T =    tensor napięć = stru-     mienie składowych     wektora pędu           gęstość wektora pędu  × c dpα dpα Tα0 = c , Tαk = dV dtdSk

Tensor energii-pędu

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126) Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii

Tensor energii-pędu

Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariację tensora metrycznego

gαβ −→ gαβ + δgαβ

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126) dpα dpα Tα0 = c , Tαk = dV dtdSk

Tensor energii-pędu

Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariację tensora metrycznego

gαβ −→ gαβ + δgαβ

Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126) Tensor energii-pędu

Tensor energii pędu informuje jak odpowiada układ na wariację tensora metrycznego

gαβ −→ gαβ + δgαβ

Jego konkretna postać zależy od opisywanej postaci materii

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 20(126) dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń z niewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata), uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]

αβ α β T = ρ0u u ,

ρ0 — gęstość (masy) pyłu, relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszające się w danym obszarze

Tαβ = diag[,/3,/3,/3]

— gęstość energii płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)

Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ

p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci) dla pola elektromagnetycznego i innych pól

Tensor energii-pędu

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126) relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszające się w danym obszarze

Tαβ = diag[,/3,/3,/3]

— gęstość energii płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)

Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ

p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci) dla pola elektromagnetycznego i innych pól

Tensor energii-pędu

dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń z niewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata), uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]

αβ α β T = ρ0u u ,

ρ0 — gęstość (masy) pyłu,

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126) płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)

Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ

p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci) dla pola elektromagnetycznego i innych pól

Tensor energii-pędu

dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń z niewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata), uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]

αβ α β T = ρ0u u ,

ρ0 — gęstość (masy) pyłu, relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszające się w danym obszarze

Tαβ = diag[,/3,/3,/3]

— gęstość energii

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126) dla pola elektromagnetycznego i innych pól

Tensor energii-pędu

dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń z niewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata), uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]

αβ α β T = ρ0u u ,

ρ0 — gęstość (masy) pyłu, relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszające się w danym obszarze

Tαβ = diag[,/3,/3,/3]

— gęstość energii płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)

Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ

p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126) Tensor energii-pędu

dla pyłu: cząstki poruszające przez dany obszar bez zderzeń z niewielkimi prędkościami względnymi (równoległe linie świata), uα = [c,~v], pα = [E/c,~p]

αβ α β T = ρ0u u ,

ρ0 — gęstość (masy) pyłu, relatywistyczny gaz doskonały: cząstki chaotycznie poruszające się w danym obszarze

Tαβ = diag[,/3,/3,/3]

— gęstość energii płyn — nierelatywistyczna ciecz (może być ściśliwa)

Tαβ = (p + ρ)uαuβ − pgαβ

p — ciśnienie, ρ — gęstość energii (wszystkich postaci) dla pola elektromagnetycznego i innych pól

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 21(126) Symetria Tαβ = Tβα Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na (inﬁnitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni

xµ −→ xµ + ξµ

to znika czterodywergencja tensora energii pędu

µν T ;ν = 0

Są to prawa zachowania, które są przejawem twierdzenia Noether dla pola grawitacyjnego.

Własności tensora energii-pędu

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126) Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na (inﬁnitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni

xµ −→ xµ + ξµ

to znika czterodywergencja tensora energii pędu

µν T ;ν = 0

Są to prawa zachowania, które są przejawem twierdzenia Noether dla pola grawitacyjnego.

Własności tensora energii-pędu

Symetria Tαβ = Tβα

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126) Są to prawa zachowania, które są przejawem twierdzenia Noether dla pola grawitacyjnego.

Własności tensora energii-pędu

Symetria Tαβ = Tβα Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na (inﬁnitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni

xµ −→ xµ + ξµ

to znika czterodywergencja tensora energii pędu

µν T ;ν = 0

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126) Własności tensora energii-pędu

Symetria Tαβ = Tβα Jeśli teoria (Lagrangian) jest niezmiennicza z uwagi na (inﬁnitezymalne) przesunięcia w czasoprzestrzeni

xµ −→ xµ + ξµ

to znika czterodywergencja tensora energii pędu

µν T ;ν = 0

Są to prawa zachowania, które są przejawem twierdzenia Noether dla pola grawitacyjnego.

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 22(126) α0 α α ∂ρ T = c(ρ αu + ρu ) =⇒ c + ∇(ρ~v) ;α , ;α ∂t Równanie ciągłości

αβ α β α β ∂~v T = (ρu u ) α = ρu u =⇒ ρ + (~v · ∇)~v ;α ; ;α ∂t Równanie Eulera

Tensor energii-pędu

Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126) Równanie ciągłości

αβ α β α β ∂~v T = (ρu u ) α = ρu u =⇒ ρ + (~v · ∇)~v ;α ; ;α ∂t Równanie Eulera

Tensor energii-pędu

Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ

α0 α α ∂ρ T = c(ρ αu + ρu ) =⇒ c + ∇(ρ~v) ;α , ;α ∂t

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126) αβ α β α β ∂~v T = (ρu u ) α = ρu u =⇒ ρ + (~v · ∇)~v ;α ; ;α ∂t Równanie Eulera

Tensor energii-pędu

Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ

α0 α α ∂ρ T = c(ρ αu + ρu ) =⇒ c + ∇(ρ~v) ;α , ;α ∂t Równanie ciągłości

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126) Równanie Eulera

Tensor energii-pędu

Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ

α0 α α ∂ρ T = c(ρ αu + ρu ) =⇒ c + ∇(ρ~v) ;α , ;α ∂t Równanie ciągłości

αβ α β α β ∂~v T = (ρu u ) α = ρu u =⇒ ρ + (~v · ∇)~v ;α ; ;α ∂t

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126) Tensor energii-pędu

Przykład: Niech Tαβ = ρuαuβ

α0 α α ∂ρ T = c(ρ αu + ρu ) =⇒ c + ∇(ρ~v) ;α , ;α ∂t Równanie ciągłości

αβ α β α β ∂~v T = (ρu u ) α = ρu u =⇒ ρ + (~v · ∇)~v ;α ; ;α ∂t Równanie Eulera

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 23(126) Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii

1 Rµν − Rgµν = κTµν 2 lub 1 αβ Rµν = κ Tµν − gµν T , T = gαβT . 2

Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć 8πG κ = c4

Ogólniej dopuszczalna jest postać 1 Rµν − Rgµν + Λgµν = κTµν 2 gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejaw ciemnej energii (?)

Równanie Einsteina

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126) 1 Rµν − Rgµν = κTµν 2 lub 1 αβ Rµν = κ Tµν − gµν T , T = gαβT . 2

Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć 8πG κ = c4

Ogólniej dopuszczalna jest postać 1 Rµν − Rgµν + Λgµν = κTµν 2 gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejaw ciemnej energii (?)

Równanie Einsteina

Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126) lub 1 αβ Rµν = κ Tµν − gµν T , T = gαβT . 2

Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć 8πG κ = c4

Ogólniej dopuszczalna jest postać 1 Rµν − Rgµν + Λgµν = κTµν 2 gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejaw ciemnej energii (?)

Równanie Einsteina

Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii

1 Rµν − Rgµν = κTµν 2

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126) Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć 8πG κ = c4

Ogólniej dopuszczalna jest postać 1 Rµν − Rgµν + Λgµν = κTµν 2 gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejaw ciemnej energii (?)

Równanie Einsteina

Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii

1 Rµν − Rgµν = κTµν 2 lub 1 αβ Rµν = κ Tµν − gµν T , T = gαβT . 2

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126) Ogólniej dopuszczalna jest postać 1 Rµν − Rgµν + Λgµν = κTµν 2 gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejaw ciemnej energii (?)

Równanie Einsteina

Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii

1 Rµν − Rgµν = κTµν 2 lub 1 αβ Rµν = κ Tµν − gµν T , T = gαβT . 2

Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć 8πG κ = c4

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126) Równanie Einsteina

Geometria czasoprzestrzeni ∼ rozkład i ruch materii oraz energii

1 Rµν − Rgµν = κTµν 2 lub 1 αβ Rµν = κ Tµν − gµν T , T = gαβT . 2

Granica newtonowska pozwoli wyznaczyć 8πG κ = c4

Ogólniej dopuszczalna jest postać 1 Rµν − Rgµν + Λgµν = κTµν 2 gdzie Λ — stała kosmologiczna (tradycyjnie = 0), przejaw ciemnej energii (?)

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 24(126) Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.

gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|

gαβ = ηαβ − hαβ ,

3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu ηαβ oraz ηαβ. 4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ich pochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych. Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla fal grawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastowe oddziaływanie pola grawitacyjnego.

Granica newtonowska

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126) 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.

gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|

gαβ = ηαβ − hαβ ,

Granica newtonowska

Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126) 3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu ηαβ oraz ηαβ. 4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ich pochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych. Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla fal grawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastowe oddziaływanie pola grawitacyjnego.

Granica newtonowska

Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.

gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|

gαβ = ηαβ − hαβ ,

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126) 4 Pola są wolnozmienne w czasie, tzn. można zaniedbać ich pochodne czasowe w stosunku do pochodnych przestrzennych. Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla fal grawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastowe oddziaływanie pola grawitacyjnego.

Granica newtonowska

Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.

gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|

gαβ = ηαβ − hαβ ,

3 Podnoszenie i obniżanie indeksów odbywa się przy użyciu ηαβ oraz ηαβ.

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126) Z założenia (4) zrezygnujemy przy granicy newtonowskiej dla fal grawitacyjnych, gdyż pociąga ono za sobą natychmiastowe oddziaływanie pola grawitacyjnego.

Granica newtonowska

Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.

gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|

gαβ = ηαβ − hαβ ,

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126) Granica newtonowska

Założenia 1 Ruch obiektów jest powolny, tzn. |~v| c 2 Pole grawitacyjne jest słabe, tzn.

gαβ = ηαβ + hαβ , |hαβ| 1 , |hi j| |h00|

gαβ = ηαβ − hαβ ,

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 25(126) Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej

2 µ 0 0 d x µ dx dx + Γ + ... = 0 dτ2 00 dτ dτ

µ 1 νµ 1 νµ Γ = g (g ν + g ν − g ν) ' − g g ν 00 2 0 ,0 0, ,0 00, 2 00,

składowa 0 równania geodezyjnej

d2t 1 ∂(η + h ) dt 2 d2t c − (ηk0 + hk0) 00 00 c2 + ... = 0 =⇒ = 0 dτ2 2 ∂xk dτ dτ2

składowa j równania geodezyjnej

d2x j 1 ∂(η + h ) dt 2 − (ηk j + hk j) 00 00 c2 + ... = 0 dτ2 2 ∂xk dτ

Granica newtonowska równania linii geodezyjnej

Jaki jest sens ﬁzyczny wielkości hαβ?

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126) µ 1 νµ 1 νµ Γ = g (g ν + g ν − g ν) ' − g g ν 00 2 0 ,0 0, ,0 00, 2 00,

składowa 0 równania geodezyjnej

d2t 1 ∂(η + h ) dt 2 d2t c − (ηk0 + hk0) 00 00 c2 + ... = 0 =⇒ = 0 dτ2 2 ∂xk dτ dτ2

składowa j równania geodezyjnej

d2x j 1 ∂(η + h ) dt 2 − (ηk j + hk j) 00 00 c2 + ... = 0 dτ2 2 ∂xk dτ

Granica newtonowska równania linii geodezyjnej

Jaki jest sens ﬁzyczny wielkości hαβ? Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej

2 µ 0 0 d x µ dx dx + Γ + ... = 0 dτ2 00 dτ dτ

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126) składowa 0 równania geodezyjnej

d2t 1 ∂(η + h ) dt 2 d2t c − (ηk0 + hk0) 00 00 c2 + ... = 0 =⇒ = 0 dτ2 2 ∂xk dτ dτ2

składowa j równania geodezyjnej

d2x j 1 ∂(η + h ) dt 2 − (ηk j + hk j) 00 00 c2 + ... = 0 dτ2 2 ∂xk dτ

Granica newtonowska równania linii geodezyjnej

Jaki jest sens ﬁzyczny wielkości hαβ? Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej

2 µ 0 0 d x µ dx dx + Γ + ... = 0 dτ2 00 dτ dτ

µ 1 νµ 1 νµ Γ = g (g ν + g ν − g ν) ' − g g ν 00 2 0 ,0 0, ,0 00, 2 00,

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126) składowa j równania geodezyjnej

d2x j 1 ∂(η + h ) dt 2 − (ηk j + hk j) 00 00 c2 + ... = 0 dτ2 2 ∂xk dτ

Granica newtonowska równania linii geodezyjnej

Jaki jest sens ﬁzyczny wielkości hαβ? Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej

2 µ 0 0 d x µ dx dx + Γ + ... = 0 dτ2 00 dτ dτ

µ 1 νµ 1 νµ Γ = g (g ν + g ν − g ν) ' − g g ν 00 2 0 ,0 0, ,0 00, 2 00,

składowa 0 równania geodezyjnej

d2t 1 ∂(η + h ) dt 2 d2t c − (ηk0 + hk0) 00 00 c2 + ... = 0 =⇒ = 0 dτ2 2 ∂xk dτ dτ2

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126) Granica newtonowska równania linii geodezyjnej

Jaki jest sens ﬁzyczny wielkości hαβ? Przykład: Równanie geodezyjnej w granicy newtonowskiej

2 µ 0 0 d x µ dx dx + Γ + ... = 0 dτ2 00 dτ dτ

µ 1 νµ 1 νµ Γ = g (g ν + g ν − g ν) ' − g g ν 00 2 0 ,0 0, ,0 00, 2 00,

składowa 0 równania geodezyjnej

d2t 1 ∂(η + h ) dt 2 d2t c − (ηk0 + hk0) 00 00 c2 + ... = 0 =⇒ = 0 dτ2 2 ∂xk dτ dτ2

składowa j równania geodezyjnej

d2x j 1 ∂(η + h ) dt 2 − (ηk j + hk j) 00 00 c2 + ... = 0 dτ2 2 ∂xk dτ

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 26(126) ostatecznie d2~r c2 + ∇h + ... = 0 dt2 2 00 2V h = + const 00 c2 gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym oraz const = 0 2V g = 1 + 00 c2

Granica newtonowska równania linii geodezyjnej

dla ηαβ = [1, −1, −1, −1] mamy

∂h η jk 00 = −∇h , j = 1, 2, 3 . ∂xk 00

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126) 2V h = + const 00 c2 gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym oraz const = 0 2V g = 1 + 00 c2

Granica newtonowska równania linii geodezyjnej

dla ηαβ = [1, −1, −1, −1] mamy

∂h η jk 00 = −∇h , j = 1, 2, 3 . ∂xk 00

ostatecznie d2~r c2 + ∇h + ... = 0 dt2 2 00

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126) 2V g = 1 + 00 c2

Granica newtonowska równania linii geodezyjnej

dla ηαβ = [1, −1, −1, −1] mamy

∂h η jk 00 = −∇h , j = 1, 2, 3 . ∂xk 00

ostatecznie d2~r c2 + ∇h + ... = 0 dt2 2 00 2V h = + const 00 c2 gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym oraz const = 0

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126) Granica newtonowska równania linii geodezyjnej

dla ηαβ = [1, −1, −1, −1] mamy

∂h η jk 00 = −∇h , j = 1, 2, 3 . ∂xk 00

ostatecznie d2~r c2 + ∇h + ... = 0 dt2 2 00 2V h = + const 00 c2 gdzie V jest newtonowskim potencjałem grawitacyjnym oraz const = 0 2V g = 1 + 00 c2

Jacek Jurkowski, Instytut Fizyki UMK Fale grawitacyjne 27(126) Mamy dla tensora krzywizny i tensora Ricciego 1 Rδαβγ = (gαβ δγ + gδγ αβ − gαγ δβ − gδβ αγ) 2 , , , ,

1 δ β Rαγ ' h + h − hαγ − h αγ 2 α,δγ γ,αβ , 2 1 1 R ' hδ + hβ − h − h ' ∇2h 00 2 0,0γ 0,0β 00 ,00 2 00 2 Mamy dla tensora energii–pędu Tµν = ρuµuν 2 µ µ 2h v i 2 T = T = ρu uµ = ρc 1 − ' ρc µ c2 1 1 κ T − η T = κρc2 00 2 00 2

Ostatecznie po porównaniu z równaniem Poissona ∇2V = 4πGρ 8πG ∇2h = κρc2 =⇒ κ = 00 c4