Jednou Z Používaných Variant Väčšinového Systému Je Absolútny

koch Ľ995 a Ľ999 sa vyžadovalo získanie mi- nimálne 45 % platných hlasov alebo 40 % platných hlasov v prípade, že by víťazný kandidát mal o Ľ0 % platných hlasov viac ako druhý v poradí.

Pozri aj:

Alternatívne hlasovanie, Relatívny väčšinový systém

LITERATÚRA:

LAKEMAN, E.: How Democracies Vote: A Study of Majority and Proportional Electoral Systems. London, Faber and Faber 1970. ABSOLÚTNY VÄČŠINOVÝ SYSTÉM LIJPHART, A.: Electoral Systems and Party Systems. A Study of Twenty–Seven Democracies 1945 – 1990. Oxford, Oxford Uni- versity Press 1994. NAGEL, J. H.: Populism, Heresthetics and Political Stability: Richard Seddon and the Art of Majority Rule. British Journal of Jednou z používaných variant väčšinového Political Science, roč. 23, č. 2 (Apr., 1993), s. 139 – 174. systému je absolútny väčšinový systém, ktorý NURMI, H.: Comparing Voting Systems. Dordrecht, D. Reidel Publishing Company 1987. je založený na potrebe získať absolútnu väč- šinu hlasov (50 % + 1 hlas) v prvom kole.

V prípade, že ani jedna z alternatív nezíska absolútnu väčšinu hlasov, do druhého kola ADAMSOVA METÓDA postupujú dve alternatívy s najväčším poč- tom hlasov z prvého kola. Celkovým víťazom sa stane alternatíva, ktorá získa v druhom ko- Metódu prerozdeĢovania mandátov, ktorá le viac hlasov. však v praxi nebola nikdy využitá, navrhol V Slovenskej republike sa využívajú dve americký politik a prezident Spojených štátov verzie absolútneho väčšinového systému. Pri John Quincy Adams. Adamsova metóda je voĢbe prezidenta je v prvom kole potrebné jedna z variácií metód volebného deliteĢa. získať absolútnu väčšinu hlasov (50 % + Ľ Adams navrhol, aby sa pri prepočítavaní hla- hlas) všetkých oprávnených voličov a pri sov na mandáty bral do úvahy každý zosta- voĢbe predsedov vyšších územných celkov tok, ktorý strana vykáže. Hraničnú úroveň postačuje získať absolútnu väčšinu hlasov určil na čísle nula, z čoho vyplýva to, že ak je voličov, ktorí prišli voliť. Pri voĢbe preziden- kvóta strany celé číslo, strana získava o jeden ta je prakticky vylúčené, aby niektorý z kan- mandát viac, ako je jej kvóta. Metóda prizná- didátov vyhral voĢby už v prvom kole. va mandát aj strane, ktorá vo voĢbách nezíska Iným variantom väčšinového systému je ani jeden hlas. Metóda je známa ako „metóda použitie kvalifikovanej väčšiny potrebnej na najmenšieho deliteĢa“ (method of smallest divi- zisk mandátu. Kvalifikovaná väčšina môže sor). Uvedené pomenovanie vychádza z toho, byť určená rozlične. Napr. víťazný kandidát že metóda hĢadá najmenší volebný deliteĢ, musí získať minimálne 40 % všetkých hlasov ktorým je možné prerozdeliť všetky mandáty (Libanon v Ľ95Ľ), resp. minimálne ľ5 % hla- (samozrejme s tým, že kvóty strán sa zväčšu- sov vo volebnom obvode, aby sa vyhli druhé- jú na najbližšie celé číslo). O zlomok väčší vo- mu kolu (Mongolsko v rokoch 1996 a 2000). lebný deliteĢ by prerozdelil menej mandátov, V prezidentských voĢbách v Argentíne v ro- ako sa má prerozdeliť. Matematicky exaktne

7 môžeme dôjsť k Adamsovmu deliteĢovi vy- Illinois a Texas bola 7,646, Ľ8,640 a 9,640, čo počítaním najväčších priemerov podĢa vzorca by znamenalo, že mandáty by sa pri veĢkosti pi = hi/xi (t. j. využitím radu deliteĢov 0, Ľ, ľ, Komory reprezentantov 299 rozdelili pre 3, 4 atė.) a ich zoradením od najväčšieho po uvedené štáty takto: 8, 18 a 9. Na druhej stra- najmenšie až do počtu priemerov rovnajúcich ne pri veĢkosti Komory reprezentantov 300 sa prerozdeĢovanému počtu mandátov. Po- by uvedené štáty mali kvóty 7,67Ľ, 18,702 sledný priemer, za ktorý sa ešte pridelí man- a 9,67ľ, čím by sa alokovalo len sedem kresiel dát, je Adamsov volebný deliteĢ. Za Adam- pre Alabamu a 19 a 10 kresiel pre Illinois, sovho deliteĢa môžeme považovať aj akékoĢ- resp. Texas z dôvodu vyššieho absolútneho vek volebné číslo, ktoré je väčšie ako najväčší zostatku. Ch. W. Seaton na základe uvedené- priemer vypočítaný podĢa vyššie uvedeného ho paradoxu žiadal zrušenie Hamiltonovej vzorca, za ktorý sa nepridelil mandát. metódy, ktorá používa metódu najväčšieho zostatku pri prerozdelení mandátov (Balin- Pozri aj: ski, Young, Ľ98ľ, s. 39). Alabamský paradox

Deanova metóda, Űuntingtonova metóda, Jeffersonova metóda, sa objavuje len v prípade, že nie je fixne daný Metódy volebného deliteľa, Websterova metóda počet kresiel v parlamente a na prerozdeĢo-

vanie mandátov sa používa metóda najväč- LITERATÚRA: šieho zostatku. Problém Alabamského paradoxu môžeme BALINSKI, M. L. – YOUNG, H. P.: Fair Representation. Meeting the Ideal of One Man, One Vote. Washington, D. C., Brookings ilustrovať na viacerých príkladoch. Naprí- 2001. klad na prípade, v ktorom o desať mandátov BALINSKI, M. L. – YOUNG, H. P.: On Huntington Methods of Apportionment. SIAM Journal of Applied Mathematics, roč. 33, bojujú tri strany, ktorých volebný zisk je č. 4 (Dec., 1977), s. 607 – 618. 1 380, ľ 340, resp. 6 ľ80. Použitím Hamilto- DANČIŠIN, V.: Metódy prerozdeľovania mandátov v pomernom novej metódy v prvom skrutíniu získa strana volebnom systéme. Prešov, Filozofická fakulta PU v Prešove 2013. A – jeden, B – dva a C – šesť mandátov. Po- HUNTINGTON, E. V.: Discussion: The Report of the National sledný, desiaty mandát, získa strana A v dru- Academy of Sciences on Reapportionment. Science, roč. 69 (May 3, 1929), s. 471 – 473. hom skrutíniu, pretože má najväčší (absolút- HUNTINGTON, E. V.: The Mathematical Theory of the Appor- ny) zostatok: tionment of Representatives. Proceedings of the National Aca- demy of Science of the USA, roč. 7, č. 4 (1921), s. 123 – 127. Strana hi Kvóta 1. skrut. 2. skrut. mi A 1 380 1,38 1 1 2 B 2 340 2,34 2 0 2 C 6 280 6,28 6 0 6 ALABAMSKÝ PARADOX Spolu 10 000 Q = 1 000 9 1 10

Teraz predpokladajme, že ešte počas proce- Na Alabamský paradox upozornil v roku su prerozdeĢovania mandátov sa celkový po- Ľ88Ľ Charles William Seaton zo Štatistického čet mandátov, ktorý je potrebné rozdeliť me- úradu USA. Seaton prišiel na to, že v prípade, dzi kandidujúce strany zvýši o jeden mandát. ak by Komora reprezentantov mala 299 kre- Pri rovnakých volebných ziskoch sa tak bude siel, štát Alabama by získal osem mandátov, rozdeĢovať jedenásť mandátov. Je prirodzené pričom pri zvýšení celkového počtu kresiel predpokladať, že v takomto prípade každá na 300 by sa počet mandátov pre štát Alaba- z troch strán získa minimálne taký počet ma znížil na sedem. Uvedený problém vzni- mandátov ako v prípade, keė sa rozdeĢovalo kol z dôvodu, že kvóta pre štáty Alabama, len desať mandátov.

Paradoxne, pri prepočte Hamiltonovou me- ALTERNATÍVNE HLASOVANIE tódou zistíme, že strana A získa len jeden mandát: Alternatívne hlasovanie patrí medzi väčši- Strana hi Kvóta 1. skrut. 2. skrut. mi A 1 380 1,518 1 0 1 nové volebné systémy. V jednomandátových B 2 340 2,574 2 1 3 volebných obvodoch majú možnosť voliči na C 6 280 6,908 6 1 7 hlasovacom lístku odstupňovať všetkých Spolu 10 000 Q = 909,09 9 2 11 kandidátov od najobĢúbenejšieho po najme-

nej obĢúbeného. Voliči na hlasovacom lístku Jednoduchý príklad Alabamského parado- priraėujú číslo Ľ pre najobĢúbenejšieho kan- xu objavíme napríklad v prípade, ak rozde- didáta, číslo 2 pre druhého najobĢúbenejšieho líme štyri, resp. päť mandátov medzi tri stra- kandidáta atė. V Austrálii musí volič povin- ny, ktoré získali päť, tri a jeden hlas. ne odstupňovať všetkých kandidátov od naj- Alabamský paradox je možné nájsť aj vo obĢúbenejšej po najmenej obĢúbenú. Zvolený výsledkoch volieb do NR SR, ktoré sa konali je kandidát, ktorý získa absolútnu väčšinu v roku ľ00ľ. V uvedenom roku získala strana prvých miest. PokiaĢ žiadny kandidát nezí- KSS jedenásť mandátov, avšak ak by sa pre- ska absolútnu väčšinu prvých miest (hlasov), rozdeĢovalo len Ľ48 mandátov (namiesto vezmú sa hlasy kandidáta, ktorý skončil na 150), tak by si – paradoxne – polepšila o jeden poslednom mieste a jeho hlasy (druhé prefe- mandát. Získala by celkovo dvanásť mandá- rencie) sa rozdelia ostatným kandidátom. tov. Tento postup sa opakuje až pokiaĢ jeden Pozri aj: z kandidátov nezíska potrebnú väčšinu. Systém alternatívneho hlasovania je vhod- Hamiltonova metóda, Kritérium monotónnosti hlasov, Kritérium monotónnosti mandátov, Metódy volebnej kvóty, Paradox nového ný pre diferencovanú spoločnosť, keėže núti štátu, Reprezentačné paradoxy, Populačný paradox, Volebná kvóta politické strany myslieť na voličov ostatných

strán kvôli možnosti získania ich druhých LITERATÚRA: hlasov. Kandidáti sú nútení stavať svoj pro- gram na čo najširšej voličskej báze. BALINSKI, M. L. – YOUNG, H. P.: Apportionment Schemes and the Quota Method. American Mathematical Monthly, roč. 84, Pozri aj: č. 6 (Jun. – Jul., 1977), s. 450 – 455.

BALINSKI, M. L. – YOUNG, H. P.: Fair Representation. Meeting o , the Ideal of One Man, One Vote. Washington, D. C., Brookings Absolútny väčšinová systém, Eliminačné v lebné metódy 2001. Űlasovací lístok, Systém jedného prenosného hlasu, Systém jedného neprenosného hlasu DANČIŠIN, V.: Metódy prerozdeľovania mandátov v pomernom

volebnom systéme. Prešov, Filozofická fakulta PU v Prešove

2013.

GALLAGHER, M.: Comparing Proportional Representation Elec- LITERATÚRA: toral Systems: Quotas, Tresholds, Paradoxes and Majorities. Bri- tish Journal of Political Science, roč. 22, č. 4 (1992), s. 469 – 496. LAKEMAN, E.: How Democracies Vote: A Study of Majority and NURMI, H.: Voting Paradoxes and How to Deal with Them. Proportional Electoral Systems. London, Faber and Faber 1970. Berlin, Springer 1999. LIJPHART, A. – GROFMAN, B. (eds.): Choosing an Electoral Sys- tem. Issue and Alternatives. New York, Praeger Publishers 1984. NURMI, H.: Comparing Voting Systems. Dordrecht, D. Reidel Publishing Company 1987. NURMI, H.: Voting Paradoxes and How to Deal with Them. Berlin, Springer 1999.

A USTRÁLSKY HLASOVACÍ LÍSTOK v Kanade v roku 1874, Belgicku v roku 1877 a od roku Ľ888 vo väčšine štátov USA.

Pozri aj: Termín austrálsky hlasovací lístok sa spája s prechodom od verejného k tajnému hlaso- Űlasovací lístok, Kandidátna listina, Listinný pomerný volebný systém, Tajnosť volebného práva vaniu, ktoré bolo po prvýkrát zavedené v Austrálii v roku Ľ856. Vo voĢbách pred ro- kom Ľ856 nemali hlasovacie lístky oficiálnu LITERATÚRA: podobu. Úlohou voliča bolo pripraviť si na EVANS, E.: A History of the Australian Ballot System in the Uni- kúsku papiera mená kandidátov, ktorých ted States. Chicago, The University of Chicago Press 1917. WIGMORE, J. H.: The Australian Ballot System as Embodied in chce podporiť vo voĢbách. Politické strany the Legislation of Various Countries. Boston, C. C. Soule 1889. a ich kandidáti uĢahčovali úlohu voličom tak, že pred volebnými miestnosťami odovzdáva- li hlasovacie lístky s vopred vyplnenými me- nami. Strany a kandidáti zvyčajne vytvárali hlasovacie lístky na papieri v žiarivých far- bách, aby aj z diaĢky mohli pozorovať, či vo- lič volí práve ich stranu/kandidáta. To samozrejme ponúkalo rôzne možnosti na podplá- cania voličov. Základnou charakteristikou austrálskeho hlasovacieho lístka bola skutočnosť, že jeho dizajn bol uniformný pre celý štát, pripravo- vaný bol štátnymi úradníkmi a distribuovaný voličom až vo volebný deň členmi volebnej komisie vo volebnej miestnosti. Hlasovacie lístky boli vytlačené písmom toho istého B YOUNGOVA druhu a rovnakej veĢkosti, na papieri rovna- ALINSKÉHO A kej farby a akosti, a tých istých rozmerov. TEORÉMA NEMOŽNOSTÍ V Austrálii sa dohliadalo aj na to, aby odo- vzdané hlasovacie lístky boli uskladnené tak, aby ich nikto nemohol vidieť až do skončenia Matematici Michel Balinski a Peyton Young hlasovania (Evans, Ľ9Ľ7, s. 70). Z dnešného vydali v roku Ľ98ľ unikátnu prácu, v ktorej pohĢadu išlo o samozrejmé skutočnosti, na svojich prepočtoch uviedli dodnes nespo- avšak v danom čase išlo o prevratný spôsob chybnené výsledky. V stručnosti ich môžeme implementovania tajnosti hlasovania v demo- zhrnúť takto: neexistuje, a ani nemôže existo- kracii. vať dokonalá metóda prerozdeĢovania man- Tajné hlasovanie bolo po prvýkrát zavede- dátov. Metódy volebného deliteĢa a metódy né v kolónii Viktória v Austrálii v marci 1856. najväčších priemerov nespôsobujú Alabam- Iniciátorom bol Henry S. Chapman, ktorý na- ský a populačný paradox (dodržujú charakte- vrhol, aby hlasovací lístok pred voĢbami pri- ristiky monotónnosti hlasov a monotónnosti pravila vláda. Idea tajnosti hlasovania sa ne- mandátov); rovnako nemôžu spôsobiť ani skôr implementovala aj v iných štátoch. Vo paradox nového štátu; na druhej strane žiad- VeĢkej Británii v roku 1872 (Ballot Act 1872), na metóda volebného deliteĢa (a ani metóda

10 najväčších priemerov) nemôže garantovať horšila o jeden hlas. Kvóta by bola 757,143 dodržiavanie štandardnej kvóty vypočítanej (Q = 5300/7): na základe vzorca qi = hiM/H, zaokrúhlenej nadol alebo nahor. Strana hi q i = hiM/H Na základe uvedených záverov Balinski A 3 004 3,968 a Young vytvorili teorému nemožností, v kto- B 1 503 1,985 C 396 0,523 rej zdôraznili, že neexistuje, a ani nemôže D 397 0,524 existovať metóda používaná na prerozdeĢo- Spolu 5 300 Q = 787,143 vanie mandátov, ktorá by zároveň spĺňala tri základné podmienky: dodržanie kvóty; mo- Dodržaním kritéria neprekračovania kvóty notónnosť mandátov a monotónnosť hlasov. je možné rozdeliť mandáty troma spôsobmi: Metódy, ktoré dodržujú kvótu, sa nevyhýba- jú paradoxom a na druhej strane metódy, 1) 4, 2, 0, 1 ktoré sa vyhýbajú paradoxom, nedodržujú 2) 4, 1, 1, 1 kvótu. 3) 3, 2, 1, 1 Alan D. Taylor a Allison M. Pacelli (2010, s. 158 – Ľ59) vysvetlili teorému nemožností Na základe ponúkaných možností preroz- Balinského a Younga v zjednodušenej podo- delenia je možné konštatovať, že strana A si be na príklade, v ktorom nie je možné nájsť polepšila o jeden hlas a pohoršila o jeden metódu prerozdelenia, ktorá by spĺňala krité- mandát a strana D si pohoršila o jeden hlas rium monotónnosti hlasov a dodržovania a polepšila o jeden mandát. Uvedeným kon- kvóty. Ich príklad by bolo možné interpreto- štatovaním sa vylučuje možnosť, aby sa našla vať týmto spôsobom: medzi štyri strany metóda, ktorou by bolo možné rozdeliť man- (A, B, C, D) je potrebné rozdeliť sedem man- dáty medzi jednotlivé strany neporušením dátov. V tabuĢke sú uvedené počty hlasov minimálne jedného z uvedených kritérií. jednotlivých strán a aj to, koĢkokrát dokázali jednotlivé strany obsiahnuť štandardnú kvó- Pozri aj: tu (Q = 4200/7 = 600): Metóda najväčších absolútnych zostatkov, Metódy volebnej kvóty, Metódy volebného deliteľa, Kritérium dodržiavania kvóty, Strana hi q i = hiM/H Kritérium monotónnosti hlasov, Kritérium monotónnosti mandátov, A 3 003 5,005 Teoréma nemožností B 400 0,667

C 399 0,665 LITERATÚRA: D 398 0,663 Spolu 4 200 Q = 600 BALINSKI, M. L. – YOUNG, H. P.: Fair Representation. Meeting the Ideal of One Man, One Vote. New Haven–London, Yale Uni- versity Press 1982. Na základe uvedených výsledkov je možné BALINSKI, M. L. – YOUNG, H. P.: Fair Representation. Meeting – ak chceme dodržať kritérium neprekročenia the Ideal of One Man, One Vote. Washington, D. C., Brookings 2001. kvóty – rozdeliť sedem mandátov dvoma SAARI, D.: The Geometry of Voting. New York, Springer-Verlag spôsobmi: 5, 1, 1, 0 alebo 6, 1, 0, 0. Teraz 1994. SZPIRO, G.: Number Rule. The Vexing Mathematics of Democra- predpokladajme, že by celkovo strany získali cy, from Plato to the Present. Princeton, Princeton University o 1 100 hlasov viac. Strana A by si polepšila Press 2010. o jeden hlas, strana B o 1 103 hlasov, strana C TAYLOR, A. D. – PACELLI, A. M.: Mathematics and Politics: Strategy, Voting, Power, and Proof. New York, Springer 2010. by si po 3 hlasy a strana D by si po- horšila o

BENÁTSKY VOLEBNÝ SYSTÉM vanosti volebnej procedúry je možné usúdiť, že bolo prakticky nemožné pre jednotlivca, alebo určitú skupinu presadiť svojho kandi- Benátsky politický systém sa preslávil prav- dáta, popr. lobingom zvýhodniť u voličov depodobne najkomplikovanejšou volebnou jedného kandidáta pred inými. procedúrou, ktorá bola vôbec použitá. Voleb- Pozri aj: ná procedúra, ktorá sa používala pri voĢbe vojvodu v Benátkach pozostával z Ľ0 kôl. Limitované hlasovanie, Relatívny väčšinový systém Gordon Tullock v práci On Voting, odvoláva- júc sa na prácu Roberta Finlaya, ju opísal tak- LITERATÚRA: to: TULLOCK, G.: On Voting. A Public Choice Approach. Cheltenham VoĢby trvali päť dní, každý deň sa konali – Norhampton, Edward Egar Publishing 1998. dve kolá volieb. Najprv bolo vyžrebovaných okov, tridsať patricijov mladších ako tridsať r ktorí vytvorili VeĢký koncil. Potom odišli do separátnej miestnosti, kde bol ich celkový po- BINOMICKÝ VOLEBNÝ SYSTÉM čet žrebovaním znížený na deväť. Títo deviati potom zvolili štyridsiatich 7/9 väčšinou hlasov. Zvolení štyridsiati sa zhromaždili v sepa- Binomický volebný systém patrí medzi vo- rátnej miestnosti a žrebom zredukovali svoj lebné systémy, ktoré kombinujú prvky väčši- počet na dvanásť, títo zvolili dvadsaťpäť člen- nového a pomerného systému. Systém vyu- nú skupinu 7/Ľľ väčšinou hlasov. Uvedení žíva dvojmandátové volebné obvody. Politic- dvanásti nemohli voliť samých seba, ale mohli ké strany alebo koalície môžu navrhnúť voliť ostatných členov z predchádzajúcej šty- dvoch kandidátov. Voliči odovzdávajú svoj ridsaťčlennej skupiny. Dvadsaťpäť zvolených hlas jednému kandidátovi. Mandáty sa pre- opäť žrebom zredukovali na počet deväť. Po- rozdeĢujú D´Hondtovou metódou. PrideĢo- tom zvolili štyridsaťpäťčlennú skupinu 7/Ľľ vanie mandátov jednotlivým stranám alebo väčšinou hlasov. Štyridsiatipiati žrebom zre- koalíciám prostredníctvom D’Hondtovej me- dukovali svoj počet na jedenásť, a jedenásti tódy garantuje, že strana získa obidva man- (Undici) zvolili štyridsaťjedenčlennú skupinu dáty len v prípade, že získa vo volebnom ob- (Quarantuno), ktorá zvolila vojvodu. Spôsob vode viac ako dvojnásobný počet hlasov ako voĢby vojvodu bol takýto: každý zo štyridsať- druhá najobĢúbenejšia strana alebo koalícia. jedenčlennej skupiny napísal meno svojho ob- V prípade, že žiadna zo strán nezíska takýto Ģúbenca a vhodil lístok do urny. Z urny sa vy- počet hlasov, mandát získajú dve najúspeš- tiahol jeden lístok s menom potenciálneho nejšie strany. V praxi si vo väčšine prípadov vojvodu. Ten predstúpil pred štyridsaťjeden- mandáty rozdelia dve najúspešnejšie strany člennú skupinu a musel získať najmenej ľ5 alebo koalície. Nastavenie volebného systé- hlasov. V prípade, že nezískal potrebný počet mu napomáha vytvoreniu dvoch multistra- hlasov, bol z urny vyžrebovaný ėalší kandi- níckych koalícií. Malé strany prakticky nema- dát. V prípade, že by ani jeden kandidát ne- jú možnosť na zastúpenie v zákonodarnom získal potrebnú väčšinu hlasov, celá procedú- zbore. Binomický volebný systém sa využíva ra by sa zopakovala znova. v Čile. Uvedená volebná procedúra bola v Benát- kach kodifikovaná v roku 1268. Z kompliko-

Pozri aj: notlivé strany tak, aby celkový počet mandá-

D’Űondtova metóda tov pridelených stranám korešpondoval s pomerom hlasov odovzdaných strane na ce- loštátnej úrovni. Zároveň biproporčná metó- LITERATÚRA: da zaručuje, že kraje budú zastupovať v par- MAGAR, E. – ROSENBLUM, M. R. – SAMUELS, D. J.: On the lamente poslanci v pomere k počtu odov- Absence of Centripetal Incentives in Double–member Districts: The Case of Chile. Comparative Political Studies, roč. 36, č. 6 zdaných hlasov v jednotlivých krajoch. Pri (1998), s. 714 – 739. biproporčnej metóde môžeme využiť akú- koĢvek metódu volebného deliteĢa. Nevýhodou biproporčnej metódy je kom- BIPROPORČNÉ METÓDY plikovaný prepočet hlasov na mandáty. Zvy- čajne je potrebných viacero skrutínií na zís- kanie finálnych výsledkov volieb. Nevýho-

dou biproporčnej metódy, ako na to upozor- Biproporčná metóda prerozdeĢovania man- ňuje napríklad Demangeova (ľ0ĽĽb, s. 23) je navrhnu L. Balinskim dátov bola tá Michelom aj to, že menej populárny kandidát strany sa a Gabrielle Demangeovou v roku Ľ989 v štú- môže dostať do parlamentu na úkor úspeš- An Axiomatic Approach to Proportionality diách nejšieho kandidáta strany len z dôvodu, aby between Matrices a Algorithms for Proportional sa zachoval celkový počet mandátov v jedno- Matrices in Reals and Integers. Uvedený kon- tlivých krajoch. Friedrichom cept bol následne rozpracovaný Pukelsheimom a Christianom Schuhmache- Pozri aj: rom v roku 2004 a aplikovaný vo voĢbách do mestského zastupiteĢstva v Zűrichu, resp. Listinný pomerný volebný systém, Metóda uniformnej kvóty, Metódy volebných deliteľov v kantóne Schaffhausen od roku 2008. Hlavnou ideou smerujúcou k vytvoreniu LITERATÚRA: biproporčných metód bolo eliminovaniu ne- rovnakého prístupu k váhe hlasu jedno- BALINSKI, M. L. – DEMANGE, G.: Algorithms for Proportional tlivých voličov. Pri štandardných metódach Matrices in Reals and Integers. Mathematical Programming, roč. 45, č. 1 – 3 (1989), s. 193 – 210. v rámci viacmandátových volebných obvo- BALINSKI, M. L. – DEMANGE, G.: An Axiomatic Approach to dov sa niektorí voliči mohli cítiť ukrivdení, že Proportionality between Matrices. Mathematics of Operations Research, roč. 14, č. 4 (Nov., 1989), s. 700 – 719. ich hlas – na rozdiel od voličov tej istej strany DEMANGE, G.: On Allocating Seats to Parties and Districts: v inom volebnom obvode – nebol braný do Apportionments. Paris-Jourdan Sciences Economiques. Working úvahy, t. j. nemal rovnaký vplyv na výsledky Paper č. 2011 – 36, 2011a, s. 1 – 13. DEMANGE, G.: On Party-proportional Representation under volieb. Pri využití biproporčných metód ide District Distortions. Paris-Jourdan Sciences Economiques. Wor- o centralistický prístup k prerozdeleniu man- king Paper č. 2011 – 32, 2011b, s. 1 – 25. SIMEONE, B. – PUKELSHEIM, F.: Mathematics and Democracy: dátov, ktorý zohĢadňuje aj výsledky v jed- Recent Advances in Voting Systems and Collective Choice. notlivých volebných obvodoch. Pri jednom Berlin – Heidelberg, Springer 2006. viacmandátovom volebnom obvode ide o centralistický prístup, ktorý personálne a ani proporčne nezohĢadňuje podporu voli- čov v jednotlivých regiónoch.

Biproporčná metóda vníma problém pre- rozdeĢovania mandátov dvojdimenzionálne. Metóda prerozdeĢuje mandáty medzi jed-

BLACKOVA METÓDA ka konkrétna alternatíva od voličov. Víťazom sa stane alternatíva s najväčším počtom bodov (s najväčším skóre). Aj napriek tomu, že Bordovo bodovanie sa Jednou z metód výberu víťaza volieb je aj v súčasnosti nepoužíva vo voĢbách do verej- metóda navrhnutá Duncanom Blackom. Pro- ných úradov nikde na svete, táto metóda sa cedúra výberu je založená na kombinácii stále považuje za najznámejšiu a najjedno- Condorcetovej metódy a Bordovej metódy. duchšiu metódu založenú na bodovom prin- Použitím Condorcetovej metódy sa hĢadá cípe pri posudzovaní jednotlivých alternatív. Condorcetov víťaz, teda alternatíva, ktorá vo Problematickosť Bordovej metódy okrem to- vzájomnom postupnom porovnávaní dvoch ho, že porušuje za určitých okolností pod- alternatív je preferovanejšia, ako ktorákoĢvek mienku nezávislosti na irelevantných alterna- iná alternatíva. V prípade, že neexistuje Con- tívach a podmienku určenia Condorcetovho dorcetov víťaz, použije sa Bordovo bodova- víťaza, je aj v tom, že prideĢovanie bodov je nie a alternatíva, ktorá získa najviac bodov sa konštantné, teda rozdiely medzi počtom pri- stáva víťazom volieb. deĢovaných bodov sú rovnaké pre všetky al-

Pozri aj: ternatívy. De Borda predpokladal, že intenzi- ta preferencií je rovnaká medzi všetkými Bordova metóda, Condorcetov víťaz, Condorcetova metóda alternatívami. Inými slovami, predpokladal, že rozdiel medzi alternatívami x a y je u kaž- LITERATÚRA: dého voliča rovnaký ako rozdiel medzi y a z. Vo všeobecnosti je veĢmi málo pravdepo- BLACK, D.: The Theory of Committees and Elections. Cambridge, dobné, že takéto rovnocenné rozdiely medzi Cambridge University Press 1958. NURMI, H.: Comparing Voting Systems. Dordrecht, D. Reidel jednotlivými kandidátmi kopírujú skutočné Publishing Company 1987. preferencie voličov. NURMI, H.: Voting Paradoxes and How to Deal with Them. Berlin, Springer 1999. Iain McLean a John London (Ľ990) uvádza- VANDERCRUYSSEN, D.: Analysis of Voting Procedures in One- jú, že uvedenú metódu navrhol Nicolas Seat Elections: Condorcet Efficiency and Borda Efficiency. Center Cusanus (1401 – Ľ464) ešte pred Bordom for Economic Studies Discussions Paper Series (DPS) 99.11 1999. v práci De Concordantia Catholica (1434). Uve- dení autori poukazujú na to, že základné princípy Cusanusovej metódy sú identické s Bordovými, ale na druhej strane priznávajú BORDOVA METÓDA právo na autorstvo práve de Bordovi, pretože

bol to až on, kto poskytol vo svojej práci lo- gicko-matematické zdôvodnenie uvedenej Jean Charles de Borda navrhol volebnú me- metódy. tódu, ktorá je známa aj ako Bordovo bodova- Bordova metóda sa dostala pod paĢbu kri- nie. Metóda využíva jednomandátové voleb- tiky aj Markíza de (Pierre-Simona) Laplaca. né obvody, v ktorých voliči na hlasovacom Ten zistil, že Bordovo bodovanie umožňuje lístku musia odstupňovať všetkých kandidá- voličom umiestniť najväčšieho protikandidá- tov od najobĢúbenejšieho po najmenej obĢú- ta k svojmu preferovanému kandidátovi na beného. Metóda pripisuje každej alternatíve posledné miesto, čím získajú výhodu stredne na prvom mieste m bodov, na druhom mieste uprednostňovaní kandidáti, pretože nezíska- m–1 bodov, ..., a poslednému miestu jeden jú síce najviac prvých, ale ani posledných bod. Bordovo skóre je počet bodov, ktoré zís-

14 miest. PodĢa Duncana Blacka (Ľ958, s. Ľ8ľ) si skutočnosť navrhli, aby sa použil rad čísel Ľ, tejto skutočnosti bol vedomý aj samotný de ľ, 3, 4 atė., kde by sa mandáty jednotlivým Borda, ktorý, keė bol upozornený na strate- stranám prideĢovali postupne podĢa podielu gickú zraniteĢnosť jeho volebnej metódy, len pripadajúceho na práve prideĢovaný mandát. lakonicky poznamenal, že jeho metóda je Z uvedeného je zrejmé, že Burnitz a Varren- „určená len pre čestných Ģudí“. trapp vo svojom pamflete prideĢovali man- dáty jednotlivým stranám metódou, ktorá je Pozri aj: v súčasnosti známa ako D’Hondtova metóda.

Blackova metóda, Condorcetova metóda Aj preto napr. Clarence G. Hoag a George H. Hallett (Ľ9ľ6, s. 4Ľ9) pripisujú prvenstvo objavu D’Hondtovej metódy Burnitzovi LITERATÚRA: a Varrentrappovi. BLACK, D.: The Theory of Committees and Elections. Cambridge, Burnitz a Varrentrapp svoju metódu odô- Cambridge University Press 1958. DAUNOU, P. C. F.: Mémoire sur les élections au scrutin. Paris – vodili tým, že brali do úvahy nielen počet Buadoin, Imprimeur de l’institut National 1803. In: STEFAN- hlasov udelených strane, ale aj poradie na SSON, B. S.: Borda’s Method Applied – The Right to Make ktorom sa jednotli a Proposal. In: Quality & quantity, roč. 25, 1991, s. 389 – 392. ví kandidáti strany nachá- MCLEAN, I. – LONDON, J.: The Borda and Condorcet Principles: dzali. Vychádzali z predpokladu, že kandidát Three Medieval Applications. Social Choice and Welfare, roč. 7, na prvom mieste má nárok na plný počet hla- č. 1 (1990), s. 99 – 108. NURMI, H.: Comparing Voting Systems. Dordrecht, D. Reidel sov udelených strane, kandidát na druhom Publishing Company 1987. mieste však už len Ľ/ľ hlasov udelených stra- NURMI, H.: Voting Paradoxes and How to Deal with Them. ne, kandi Berlin, Springer 1999. dát na treťom mieste len Ľ/3 hlasov VANDERCRUYSSEN, D.: Analysis of Voting Procedures in One- udelených strane atė. Mandáty získali tí kan- Seat Elections: Condorcet Efficiency and Borda Efficiency. Center didáti, ktorí získali najväčší priemer/podiel for Economic Studies Discussions Paper Series (DPS) 99.11 1999. hlasov na práve prideĢovaný mandát (pozri príklady v práci Forney, Ľ894, s. Ľ64 – 167). Výsledkom je metóda Burnitza a Varrentrap- pa identická s D’Hondtovou metódou. BURNITZ-VARRENTRAPPOVA MET DA Ó Pozri aj:

D’Hondtova metóda, Metódy volebných deliteľov, Pravdepodobne za pioniersku metódu naj- Struyerova metóda väčších priemerov využívanú na prerozdeĢo- vanie mandátov v listinných pomerných sys- LITERATÚRA: témoch je možné považovať metódu opísanú BURNITZ, G. – VARRENTRAPP, G.: Methode, bei jeder Art von Gustavom Burnitzom a Georgom Varrentrap- Wahlen so wohl der Mehrheit als den Minderheiten die ihrer pom v pamflete z roku 1863 Methode, bei jeder Stärke entsprechende Zahl von Vertretern zu sichern. Frankfurt Art von Wahlen so wohl der Mehrheit als den 1863. FORNEY, M. N.: Political Reform by the Representation of Minori- Minderheiten die ihrer Stärke entsprechende Zahl ties. New York (Published by the Author at 47 Cedar St.) 1894. von Vertretern zu sichern. Burnitz a Varren- HOAG, C. G. – HALLETT, G. H.: Proportional Representation. trapp porovnávali dva spôsoby prideĢovania New York, The Macmillan Company 1926. mandátov. Vo väčšinovom spôsobe, využíva- júcom rad deliteĢov Ľ, Ľ, Ľ, Ľ atė. by strana, ktorá získala najviac hlasov, získala všetky mandáty (na uvedenom princípe funguje Struyerova metóda). VzhĢadom na uvedenú

natíva y. Použitím relatívneho volebného sys- tému však alternatíva y skončí na poslednom mieste. Víťazom výberu sa stane alternatíva x so šiestimi hlasmi. Alternatíva q získa 5, alternatívy z a w po tri hlasy a na poslednom mieste by skončila alternatíva y s dvoma hlasmi. Je to spôsobené tým, že relatívny väč- šinový systém berie do úvahy len prvé preferencie voličov, t. j. po vstupe do volebnej miestnosti si volič vyberá len jednu alternatí- vu a neuvádza na hlasovacom lístku svoje ėalšie preferencie. CONDORCETOV VÍŤAZ Medzi metódy, ktoré nemôžu zaručiť, že víťazom výberu sa stane Condorcetov víťaz patrí aj absolútny väčšinový systém, schva- Condorcetov víťaz je alternatíva, ktorá je vo Ģovacia metóda, systém jedného prenosného vzájomnom porovnávaní preferovanejšia ako hlasu, resp. systém jedného neprenosného ktorákoĢvek iná alternatíva. Intuitívne je hlasu. Na druhej strane metódy ako Blacko- možné konštatovať, že v prípade, že je alter- va, Coombsova, Nansonova, resp. Condorce- natíva Condorcetovým víťazom musí sa stať tova metóda vždy garantujú, že v prípade, ak aj víťazom volieb. Existujú však aj volebné existuje Condorcetov víťaz, stane sa aj víťa- systémy, ktoré nezaručujú, že víťazom sa zom volieb. stane práve alternatíva, ktorá by vo vzájom- nom porovnávaní porazila všetky ostatné al- Pozri aj: ternatívy. Absolútny väčšinový systém, Blackova metóda, Condorcetov Na poukázanie spomenutých nedostatkov porazený, Condorcetova metóda, Coombsova metóda, Relatívny je možné uviesť príklad, v ktorom si 19 voli- väčšinový systém, Schvaľovacia metóda, Systém jedného neprenos- ného hlasu, Systém jedného prenosného hlasu, Nansonova metóda čov vyberá medzi piatimi alternatívami a ich preferencie sú znázornené v tabuĢke z hora LITERATÚRA: nadol od najobĢúbenejšej po najmenej obĢú- BAKER, K. M. (ed.): Condorcet. Selected Writings. Indianapolis, benú: The Bobbs–Merrill Company, Inc. 1976. CONDORCET: Essay on the Application of Mathematics to the Theory of Decision Making. In: BAKER, K. M. (ed.): Condorcet: 6 2 3 3 5 Selected Writings. Indianapolis, The Bobbs-Merrill Company, Inc. 1976. x y z w q ESTLUND, D. M. – WALDRON, J. – GROFMAN, B. – FELD, S. y z y y w L.: Democratic Theory and the Public Interest: Condorcet and Rousseau Revisited. The American Political Science Review, z w w q z roč. 83, č. 4 (Dec., 1989), s. 1317 – 1340. w q q z y JONES, B. – RADCLIFF, B. – TABER, CH. – TIMPONE, R.: Condorcet Winners and the Paradox of Voting: Probability Cal- q x x x x culations for Weak Preference Orders. The American Political Science Review, roč. 89, č. 1 (Mar., 1995), s. 137 – 144. KURRILD-KLITGAARD, P.: An Empirical Example of the Con- V uvedenom príklade je Condorcetov víťaz dorcet Paradox of Voting in a Large Electorate. Public Choice, alternatíva y (vo vzájomnom porovnávaní by roč. 107, č. 1 – 2 (Apr., 2001), s. 135 – 145. porazila x 13 : 6, z 11 : 8, w 11 : 8 a q 14 : 5), čo MCLEAN, I. – LONDON, J.: The Borda and Condorcet Principles: Three Medieval Applications. Social Choice and Welfare, roč. 7, znamená, že keby boli predsúvané vždy len č. 1 (1990), s. 99 – 108. dve alternatívy, tak by sa víťazom stala alter-

NURMI, H.: Comparing Voting Systems. Dordrecht, D. Reidel kového hĢadiska najmenej obĢúbená v po- Publishing Company 1987. NURMI, H.: Voting Paradoxes and How to Deal with Them. rovnaní s ostatnými alternatívami (alternatí- Berlin, Springer 1999. va x by vo vzájomnom porovnávaní s inými TRUCHON, M.: An Extension of the Condorcet Criterion and Kemeny Orders. Québec, CREFA 1998. alternatívami získala vždy len šesť hlasov z devätnástich). V uvedenom príklade je alternatíva x Condorcetov porazený, ale aj

napriek tomu sa stala víťazom. CONDORCETOV PORAZENÝ Medzi volebné systémy, ktoré nemôžu za- ručiť, že za akýchkoĢvek okolností sa Con- dorcetov porazený nikdy nestane víťazom Condorcetov porazený je alternatíva, ktorá volieb patrí aj systém jedného neprenosného je vo vzájomnom porovnávaní s inými alter- hlasu, schvaĢovacia metóda, resp. limitované natívami vždy menej preferovaná (prehrá hlasovanie. Na druhej strane metódy ako vzájomný súboj). Je celkom prirodzené oča- Coombsova, Nansonova, Hareho, systém jed- kávať, že v prípade existencie Condorcetovho ného prenosného hlasu, resp. absolútny väč- porazeného, volebný systém nemôže určiť za šinový systém vždy garantujú, že víťazom sa víťaza volieb práve danú alternatívu. Aj na- nestane Condorcetov porazený. priek tomuto konštatovaniu je možné nájsť volebné systémy, ktoré môžu vyhlásiť za Pozri aj: víťaza volieb alternatívu (kandidáta), ktorá a- Absolútny väčšinový systém, Condorcetova metóda, Condorcetov vo vzájomnom porovnávaní s inými altern víťaz, Coombsova metóda, Limitované hlasovanie, Nansonova tívami prehrá každé porovnávanie. Inými metóda, Schvaľovacia metóda, Systém jedného neprenosného hlasu slovami, je možné, aby sa víťazom stala medzi voličmi najmenej obĢúbená alternatíva LITERATÚRA: (kandidát). Medzi takéto volebné systémy s- BAKER, K. M. (ed.): Condorcet. Selected Writings. Indianapolis, patrí napríklad najpoužívanejší volebný sy The Bobbs–Merrill Company, Inc. 1976. tém vo svete – relatívny väčšinový systém. CONDORCET: Essay on the Application of Mathematics to the Na poukázanie spomenutého je možné uviesť Theory of Decision Making. In: BAKER, K. M. (ed.): Condorcet: Selected Writings. Indianapolis, The Bobbs-Merrill Company, príklad, v ktorom si Ľ9 voličov vyberá medzi Inc. 1976. piatimi alternatívami a ich preferencie sú: ESTLUND, D. M. – WALDRON, J. – GROFMAN, B. – FELD, S. L.: Democratic Theory and the Public Interest: Condorcet and Rousseau Revisited. The American Political Science Review, roč. 6 2 3 3 5 83, č. 4 (Dec., 1989), s. 1317 – 1340. JONES, B. – RADCLIFF, B. – TABER, CH. – TIMPONE, R.: x y z w q Condorcet Winners and the Paradox of Voting: Probability Cal- y z y y w culations for Weak Preference Orders. The American Political Science Review, roč. 89, č. 1 (Mar., 1995), s. 137 – 144. z w w q z KURRILD-KLITGAARD, P.: An Empirical Example of the Con- dorcet Paradox of Voting in a Large Electorate. Public Choice, w q q z y roč. 107, č. 1 – 2 (Apr., 2001), s. 135 – 145. q x x x x MCLEAN, I. – LONDON, J.: The Borda and Condorcet Principles: Three Medieval Applications. Social Choice and Welfare, roč. 7, č. 1 (1990), s. 99 – 108. Víťazom výberu sa stane alternatíva x so NURMI, H.: Comparing Voting Systems. Dordrecht, D. Reidel šiestimi hlasmi. Alternatíva q získa 5, alterna- Publishing Company 1987. NURMI, H.: Voting Paradoxes and How to Deal with Them. tívy z a w po tri hlasy a na poslednom mieste Berlin, Springer 1999. by skončila alternatíva y s dvoma hlasmi. Ak TRUCHON, M.: An Extension of the Condorcet Criterion and by sme vzájomne porovnali všetky dvojice, Kemeny Orders. Québec, CREFA 1998. potom by sme zistili, že alternatíva x je z cel-

C LITERATÚRA: ONDORCETOVA METÓDA BAKER, K. M. (ed.): Condorcet. Selected Writings. Indianapolis, The Bobbs–Merrill Company, Inc. 1976. CONDORCET: Essay on the Application of Mathematics to the Condorcetova metóda je považovaná za Theory of Decision Making. In: BAKER, K. M. (ed.): Condorcet: Selected Writings. Indianapolis, The Bobbs-Merrill Company, „jednoduché väčšinové pravidlo“ (Nurmi, Inc. 1976. Ľ999, s. 40) poprípade za „sekvenčné hlaso- JONES, B. – RADCLIFF, B. – TABER, CH. – TIMPONE, R.: vanie“. Metóda je založená na postupnom Condorcet Winners and the Paradox of Voting: Probability Cal- culations for Weak Preference Orders. The American Political porovnávaní dvoch alternatív, a to tak, že po Science Review, roč. 89, č. 1 (Mar., 1995), s. 137 – 144. prvom porovnaní bude víťaz porovnávaný MCLEAN, I. – LONDON, J.: The Borda and Condorcet Principles: s a Three Medieval Applications. Social Choice and Welfare, roč. 7, inou alternatívou, až kým každá altern tíva č. 1 (1990), s. 99 – 108. nie je porovnaná minimálne s nejakou ėalšou NURMI, H.: Voting Paradoxes and How to Deal with Them. alternatívou. Celkovým víťazom sa stáva al- Berlin, Springer 1999. TRUCHON, M.: An Extension of the Condorcet Criterion and ternatíva, ktorá je víťazom posledného po- Kemeny Orders. Québec, CREFA 1998. rovnávania. Hlavným nedostatkom uvedenej procedúry je extrémna Ģahkosť manipulácie s volebným výsledkom podĢa určenej voleb- CONDORCETOVO KRITÉRIUM nej agendy. Condorcet priznáva, že spôsob, akým budú predsúvané alternatívy na vzá- jomné porovnávanie, môže výraznou mierou ovplyvniť výsledok volieb. Konštatuje, že Condoretovo kritérium je založené na prin- „...spôsob, akým sa bude hlasovať, je veĢmi cípe stanovujúcom, aby sa víťazom výberu dôležitý; spôsob výberu volebnej procedúry stala alternatíva, ktorá je preferovanejšia vo je jedným z najchúlostivejších a najťažšia po- vzájomnom porovnávaní s každou inou z po- vinnosť, o ktorej rozhodovací orgán rozhodu- núkaných alternatív. Víťazná alternatíva sa je“ (Condorcet, Ľ976, s. 56), čím poukázal na nazýva Condorcetov víťaz. S uvedeným kri- vplyv výberu volebnej agendy na výsledok tériom prišiel Markíz de Condorcet, ktorý volieb. navrhol, aby sa víťazom volebného výberu Metóda využíva väčšinový princíp výberu stala tá alternatíva, ktorá porazí každú ėalšiu z dvoch alternatív na výber z viacerých alter- alternatívu pri vzájomnom porovnávaní. natív. Na podobnom princípe funguje aj tzv. Condorcetov víťaz je všeobecne považovaný tenisový pavúk počas turnajov, kde sú po- za toho, kto má všeobecnú podporu voličov. stupne nasadzovaní hráči, ktorí sa stretávajú Pozri aj: vo vzájomných súbojoch. Víťazom turnaja sa stáva víťaz finále. Nedokonalosť tenisového Condorcetov víťaz, Condorcetova metóda pavúka, rovnako aj Condorcetovej metódy je hlavne skutočnosť, že víťazstvo (resp. postup LITERATÚRA: do ėalšieho kola v turnaji) veĢmi často závisí od spôsobu nasadzovania hráčov pred za- BAKER, K. M. (ed.): Condorcet. Selected Writings. Indianapolis, čiatkom turnaja. The Bobbs–Merrill Company, Inc. 1976. NURMI, H.: Comparing Voting Systems. Dordrecht, D. Reidel Publishing Company 1987. Pozri aj: NURMI, H.: Voting Paradoxes and How to Deal with Them. Berlin, Springer 1999. Bordova metóda, Condorcetov porazený, Condorcetov víťaz

strana má prvý, druhý, tretí atė. najväčší priemer. Počet mandátov pre jednotlivé strany sa určí vydelím celkového počtu hlasov jednotlivých strán volebným deliteĢom a kaž- dá strana získa toĢko mandátov, koĢkokrát celým číslom obsiahne volebného deliteĢa.

Pozri aj:

Idea pomerného zastúpenia, Listinný pomerný volebný systém, Metódy volebných deliteľov

D´HONDTOVA METÓDA LITERATÚRA:

BURNITZ, G. – VARRENTRAPP, G.: Methode, bei jeder Art von Najznámejšou a najvyužívanejšou metódou Wahlen so wohl der Mehrheit als den Minderheiten die ihrer Stärke entsprechende Zahl von Vertretern zu sichern. Frankfurt prerozdeĢovania mandátov je D´Hondtova 1863. metóda. Pomenovaná je po belgickom mate- D’HONDT, V.: Exposé du système pratique de représentation proportionnelle. Gante, Imprimerie Eug. Van der Haeghen 1885. matikovi Victorovi D´Hondtovi (Ľ84Ľ – 1901), D’HONDT, V.: Système pratique et raisonné de représentation ktorý ju vymyslel v roku Ľ885. Vo svojej práci proportionelle. Bruxelles, Muquardt 1882. Exposé du système pratique de représentation D’HONDT, V.: Tables de division des nombres 1 à 400 par 1 à 31 et 401 à 1000 par 1 à 13 pour la répartition proportionnelle des proportionnelle zadefinoval spôsob akým sa sièges en matière électorale avec exposé de la méthode. Gante, dostaneme k volebnému číslu, ktorým sa pre- A. Siffer 1900. rozdelia všetky mandáty jednotlivým stra- nám v jednom skrutíniu bez potreby doda- točného prideĢovania nepridelených mandá- DEANOVA METÓDA tov. D´Hondt si uvedomoval, že je možné ná- e s- jsť volebného deliteĢa (vol bnú kvótu) sy témom omyl – pokus, ale uvedený postup sa James Dean vyučoval matematiku a astro- mu javil matematicky nekorektný. nómiu na Vermontskej Univerzite. V roku D´Hondtova metodika matematicky exakt- 1832 vytvoril komplikovaný spôsob, akým sa ného výpočtu volebného deliteĢa (fr. diviseur môžu prerozdeĢovať mandáty. Svoju metódu électoral, v ang. electoral divisor) je založená na založil na výpočte medzného desatinného postupnom vydelení hlasov jednotlivých čísla využitím harmonického priemeru. Dean strán radom čísel 1, 2, 3, 4... Výsledkom uve- vysvetlil svoju metódu takto: hlasy strán sa deného delenia sú priemery (kvocienty vydelia určeným volebným číslom. Výsled- strán), ktoré sa zoradia od najväčšieho po kom budú volebné kvocienty jednotlivých najmenšie až do počtu, ktorý je zhodný s poč- strán. Strany získajú toĢko mandátov, koĢko tom mandátov, ktoré je potrebné rozdeliť. je ich kvocient zaokrúhlený dole (dolná kvó- Posledný kvocient prislúchajúci celkovému ta) alebo hore (horná kvóta). Hlasy strán sa počtu mandátov je volebný deliteĢ (t. j. napr. následne vydelia dolnou a hornou kvótou. v prípade, že je potrebné rozdeliť sto mandá- Výsledkom delenia bude dvojica čísiel, ktorá tov, vytvorí sa rebríček sto najväčších prie- sa porovná s volebným číslom. Strany získajú merov a práve stý priemer je volebný deliteĢ). mandáty rovnajúce sa dolnej kvóte v prípade, Pre D´Hondta nebolo dôležité zisťovať, ktorá že číslo vzišlé vydelením počtu hlasov strán

19 dolnou kvótou je bližšie k volebnému číslu BELL, M.: Relative Difference and the Dean Method: A Comment on „ůetting the Math Right“. Vanderbilt Law Review En Banc, ako je číslo vzišlé vydelením počtu hlasov roč. 69, č. 1 (Mar., 2009), s. 1 – 11. strán hornou kvótou. V opačnom prípade zís- HUNTINGTON, E. V.: A New Method of Apportionment of Re- r- presentatives. Quarterly Publications of the American Statistical kajú strany počet mandátov rovnajúci sa ho Association, roč. 17, č. 135 (Sep., 1921a), s. 859 – 870. nej kvóte. HUNTINGTON, E. V.: Discussion: The Report of the National Výsledky volieb podĢa Deanovej metódy Academy of Sciences on Reapportionment. Science, roč. 69 (May 3, 1929), s. 471 – 473. zistíme aj tak, že určíme volebné číslo a pre HUNTINGTON, E. V.: The Apportionment of Representatives in každú stranu vypočítame kvocient (qi) vyde- Congress. Transactions of the American Mathematical Society, i roč. 30, č. 1 (Jan., 1928), s. 85 – 110. lením hlasov strany volebným číslom. Vý- HUNTINGTON, E. V.: The Mathematical Theory of the Appor- sledný kvocient zaokrúhlime na celé číslo tionment of Representatives. Proceedings of the National Aca- demy of Science of the USA, roč. 7, č. 4 (1921b), s. 123 – 127. podĢa toho, či je kvocient qi vyšší, resp. nižší HUNTINGTON, E. V.: The Role of Mathematics in Congressional ako harmonický priemer dvoch po sebe idú- Apportionment. Sociometry, roč. 4, č. 3 (Aug., 1941), s. 278 – cich čísel (dolnej a hornej kvóty). Napríklad, 282. ak vzíde výsledný kvocient qi = 4,66, tak ho zaokrúhlime smerom hore, pretože harmo- nický priemer čísel 4 (dolná kvóta) a 5 (horná DROOPOVA KVÓTA kvóta) je 4,44 (vypočítané podĢa vzorca 2xy/(x + y) = 2x4x5/(4 + 5) = 4,44).

Z uvedeného je zrejmé, že pri Deanovej me- Droopova kvóta je pomenovaná podĢa ang- tóde sa bod zaokrúhĢovania určuje pre každú lického matematika Henryho Richmonda stranu osobitne podĢa veĢkosti kvocientu qi. Droopa (1832 – 1884), ktorý ju vytvoril ako al- Identické výsledky by sme dostali aj v prí- ternatívu Hareho kvóty pre potreby volebné- pade, že by sme využili postup využívaný ho systému jedného prenosného hlasu v roku metódami volebných deliteĢov a použili by 1881. H. R. Droop navrhol vzorec Q = mV/(n sme rad čísel vypočítaný na základe vzorca + 1) + i (Droop, 1881, s. 172), kde m – je počet 2(xi)(xi + 1)/(xi + xi + Ľ), pričom za xi sú po- hlasov, V – počet voličov, n – počet mandátov stupne dosadzované čísla 0, Ľ, ľ, 3, 4 atė. a i – označovalo akékoĢvek číslo, ktoré je po- Komplikovaný spôsob výpočtu však na trebné do najbližšieho väčšieho celého čísla. druhej strane zabezpečil Deanovi jedinečnosť V krajnom prípade je to číslo Ľ, väčšinou však v tom, že okrem názvu „metóda harmonic- ide o desatinné číslo (t. j. i ≤ 1) (Droop, 1881, kého priemeru“ – čo je len popis Deanovej s. Ľ7ľ). H. R. Droop uvažoval o vzorci vo vo- metódy – sa v politologickej literatúre nestre- lebnom systéme, v ktorom mal jeden volič távame s iným pomenovaním tejto metódy. viac hlasov. V prípade, že by H. R. Droop Pozri aj: uvažoval o kvóte (volebnom čísle) v prípade, že volič má len jeden hlas, jeho vzorec by vy- Idea pomerného zastúpenia, Listinný pomerný volebný systém, Metódy volebných deliteľov zeral takto: Q = H/(M + 1) + i. Takto vypočí- taná kvóta matematicky vylučuje možnosť, aby sa prerozdelilo viac mandátov, ako sa má LITERATÚRA: prerozdeliť. H. R. Droopom propagovaný

BALINSKI, M. L. – YOUNG, H. P.: Fair Representation. Meeting vzorec je možné matematicky elegantnejšie the Ideal of One Man, One Vote. New Haven–London, Yale Uni- vyjadriť dvoma vzorcami Q = [H/(M + 1) + versity Press 1982. 1] alebo Q = [H/(M + 1)] + 1, z čoho vyplýva, BALINSKI, M. L. – YOUNG, H. P.: Fair Representation. Meeting the Ideal of One Man, One Vote. Washington, D. C., Brookings že Droopova kvóta a Hagenbach-Bischoffova 2001. sú identické.

hlasy, ktoré sú potrebné na víťazstvo vo voĢ- Pozri aj: bách (Johnston, a Pattie, 2006). Napríklad

Hagenbach-Bischoffova metóda, Talianske kvóty, Volebná kvóta v prípade, že kandidujú dvaja kandidáti a kandidát A získa 300 hlasov a kandidát B 100 hlasov, 100 hlasov kandidáta B sú pre- LITERATÚRA: padnuté hlasy, Ľ0Ľ hlasov kandidáta A sú DROOP, H. R.: On Methods of Electing Representatives. Journal of efektívne hlasy a 199 hlasov kandidáta A sú the Statistical Society of London, roč. 44, č. 2 (Jun., 1881), s. 141 nadbytočné hlasy. – 202. t- DROOP, H. R.: On Methods of Electing Representatives. London, Vo voĢbách do NR SR sú prepadnuté vše Mcmillan 1868. ky hlasy, ktoré získali strany, ktoré neprekro- HAGENBACH-BISCHOFF, E.: Die Verteilungsrechnung beim čili volebné kvórum (5 %). Obrazne poveda- Basler ůesetz nach dem ůrundsatz der Verhältniswahl. Basel, Buchdruckevei zum Basler Berichthaus 1905. né, ide o hlasy, ktoré sa po voĢbách hodia do LUNDELL, J. – HILL, I. D.: Notes on the Droop Quota. Voting koša. Malou útechou pre voliča týchto strán matters, Issue 24 (Oct., 2007), s. 3 – 6. je vyjadrenie podpory neúspešným kandidu-

júcim stranám a povzbudenie do ėalšej prá-

ce.

Pozri aj:

Listinný pomerný volebný systém

LITERATÚRA:

DANČIŠIN, V.: Metódy prerozdeľovania mandátov v pomernom volebnom systéme. Prešov, Filozofická fakulta PU v Prešove 2013. JOHNSTON, R. – PATTIE, Ch.: Putting Voters in their Place. Geography and Elections in Great Britain. Oxford, Oxford Uni- versity Press 2006.

EFEKTÍVNE A PREPADNUTÉ ELIMINAČNÉ VOLEBNÉ METÓDY HLASY VOLIČOV

Eliminačné volebné metódy sú založené na postupnej eliminácii alternatív až do doby, Politologická literatúra rozlišuje medzi kedy sa jedna z alternatív nestane volebným troma typmi hlasov: a) prepadnuté hlasy víťazom (t. j. nezíska nadpolovičnú podporu (wasted votes), t. j. hlasy, ktoré nemajú žiadny voličov). Medzi eliminačné metódy patrí vplyv na výsledok volieb; b) nadbytočné hla- napr. Hareho eliminačná metóda, Coombso- sy (surplus votes), t. j. hlasy, ktoré v princípe va metóda, resp. Nansonova metóda. taktiež nemajú výrazný vplyv na volebný vý- Hareho eliminačná metóda je pomenovaná sledok. Kandidát (strana) by získal(a) man- podĢa Thomasa Hareho. Metóda je založená dát, aj keby tieto hlasy nezískala. Ide o všetky na eliminácii tých alternatív, ktoré získali hlasy, ktoré sú nad rámec hlasov, ktoré sú po- najmenší počet prvých miest až do momentu, trebné na víťazstvo vo voĢbách (na zisk man- kým jedna alternatíva nezíska absolútnu väč- dátov); c) efektívne hlasy (effective votes), t. j.

šinu prvých miest. Hareho eliminačná metó- dosiahli čo najmenšie rozdiely medzi najväč- da sa označuje za Instant Run-off Voting, čo by šími pozitívnymi deviáciami (nadreprezen- bolo možné preložiť ako hlasovanie postup- táciou) a najväčšími negatívnymi deviáciami ným vyraėovaním. Clyde Coombs navrhol (podreprezentáciou). Equerova metóda nie je metódu založenú na opačnom predpoklade vyjadriteĢná štandardným algoritmom. Pre ako je Hareho metóda, t. j. pri Coombsovej každé prerozdeĢovanie je potrebné vytvárať metóde je potrebné eliminovať nie alternatí- modely pridelenia mandátov a nájsť opti- vu, ktorá má najmenší počet prvých miest, málne prerozdelenie, pri ktorom rozdiel me- ale alternatívu, ktorá má najväčší počet po- dzi najväčšou pozitívnou deviáciou a najväč- sledných miest. Výber je ukončený, ak jedna šou negatívnou deviáciou bude čo najmenší. alternatíva získa nadpolovičnú podporu pr- vých miest. Ėalšou variantou eliminačných Pozri aj: metód je aj modifikovaná Bordova metóda, Indexy merania (dis)proporčnosti, Sainte-Laguëho metóda nazývaná aj modifikovaná Nansonova metó- da (popr. Baldwinova metóda). Tá je založe- LITERATÚRA: ná na tom, že alternatíva s najnižším bodo- vým ziskom je eliminovaná a volebný proces DANČIŠIN, V.: Metódy prerozdeľovania mandátov v pomernom pokračuje až do momentu, keė zostane len volebnom systéme. Prešov, Filozofická fakulta PU v Prešove jedna alternatíva. 2013. EQUER, M.: Arithmétique et représentation proporionnelle. Paris 1910. Pozri aj: SAINTE-LAGUË, A.: La représentation proportionnelle et la mét- hode des moindres carrés. Annales scientifiques de l’É.N.S., Alternatívne hlasovanie, Bordova metóda, Coombsova metóda, roč. 3, č. 27 (1910a), s. 529 – 542. Űareho metóda, Nansonova metóda SAINTE-LAGUË, A.: La représentation proportionnelle et les Mat- hématiques. Revue ůenérale des Sciences pures et appliquées, roč. 21 (1910b), s. 846 – 852. LITERATÚRA:

DANČIŠIN, V.: O nedokonalosti volebných procedúr. Prešov, Reproma 2005. NURMI, H.: Comparing Voting Systems. Dordrecht, D. Reidel Publishing Company 1987. NURMI, H.: Voting Paradoxes and How to Deal with Them. Berlin, Springer 1999.

EQUEROVA METÓDA

Maurice Equer vo svojej štúdii Arithmétique et représentation proporionnelle (1910) navrhol metódu prerozdeĢovania mandátov v pomernom volebnom systéme, ktorou sa usiloval nájsť také rozdelenie mandátov, aby rozdiel medzi nadreprezentovanými a podreprezen- tovanými voličmi bol čo najmenší. Optimálne prerozdeĢovanie by sa uskutočnilo tak, aby sa