Thesis
Résonances et multipériodicité des céphéides et des hypergéantes
KIENZLE, Francesco
Abstract
L'étude des oscillations stellaires fournit des tests observationnels importants dans des domaines très divers de l'astrophysique. Les oscillations d'étoiles de type solaire permettent de connaître en détail la structure interne de ces objets, alors que les fortes pulsations des étoiles de type céphéide fournissent un outil pour mesurer les distances cosmologiques. Cette thèse aborde divers aspects concernant la pulsation des céphéides. Nous montrerons à l'aide de modèles comment la composition chimique, variable d'une galaxie à l'autre, influence la pulsation de ces étoiles et quel en est l'effet sur les grandeurs observées. Les résonances entre les modes propres d'oscillations de l'étoile sont primordiales dans les céphéides. Nous montrerons comment les utiliser pour obtenir de nouvelles contraintes sur les paramètres stellaires. Enfin, nous aborderons le problème des oscillations multipériodiques dans les céphéides à l'aide de modèles hydrodynamiques et nous étudierons en détail l'instabilité quasipériodique d'une hypergéante galactique.
Reference
KIENZLE, Francesco. Résonances et multipériodicité des céphéides et des hypergéantes. Thèse de doctorat : Univ. Genève, 2000, no. Sc. 3180
DOI : 10.13097/archive-ouverte/unige:87826
Available at: http://archive-ouverte.unige.ch/unige:87826
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UNIVERSITE DE GENEVE FACULTE DES SCIENCES
D epartement d astronomie Professeur G Burki
R esonances et multip eriodicit e
des c eph eides et des hyperg eantes
THESE
pr esent ee a la Facult e des sciences de l Universit e de Gen eve
p our obtenir le grade de Do cteur es sciences
mention astronomie et astrophysique
par
Francesco KIENZLE
de la
R epublique F ed erale d Allemagne
o
Th ese N
GENEVE
Atelier de repro duction de la Section de Physique
Cette th ese a fait l ob jet des publications suivantes
Kienzle F Moskalik P Bersier D Pont F Structural properties of s Cepheid
velocity curves Constraining the location of the re sonance A A
Kienzle F Burki G Burnet M Meynet G The pulsating yel low supergiant
V Centauri A A
Fokin A Kienzle F Burki G Nonlinear Radiative Double Mode Cepheid Models
soumis a A A
Kienzle F Pont F Moskalik P Bersier D Structural Properties of s Cepheid
Velocity Curves Constraining the Location of the Resonance dans The Impact
of Large Scale Surveys on Pulsating Star Research IAU Coll ASP Conf Series Vol
Ed L Szabados et D Kurtz p
Burki G Kienzle F Long Term High Precision Monitoring from the Geneva Pho
tometric Database dans The Impact of Large Scale Surveys on Pulsating Star Research
IAU Coll ASP Conf Series Vol Ed L Szabados et D Kurtz p
Fokin A Kienzle F Burki G Nonlinear Radiative Double Mode Cepheid Models
dans The Impact of Large Scale Surveys on Pulsating Star Research IAU Coll
ASP Conf Series Vol Ed L Szabados et D Kurtz p
Kienzle F Pont F Bersier D Moskalik P Do Overtone Cepheids Exhibit a
Resonance E ect at Days in Their Radial Velocity Curve dans A Half Century of
Stellar Pulsation Interpretation A Tribute to Arthur N Cox ASP Conf Series Vol
Ed P A Bradley et J A Guzik p
Burki G Kienzle F On the Variability of Supergiant Stars dans Astrophysical
applications of stellar pulsation IAU Coll ASP Conf Series Vol Ed R S Stobie
et P A Whitelo ck p
Remerciements
La th ese est un travail de longue haleine qui n ecessite un milieu scienti que et humain
stimulant p our ab outir
Je tiens a remercier toutes les p ersonnes qui par leurs conseils et leurs discussions ont
entretenu en moi la curiosit e scienti que et tout particuli erement
Mon directeur de th ese G Burki p our sa grande disp onibilit e et sa patience
A Fokin p our m avoir initi e aux mo d eles hydrodynamiques et aux calculs num eriques
P Moskalik avec qui j ai eu un immense plaisir a collab orer et qui m a enorm ement apris
sur les C eph eides
M Mayor p our m avoir g en ereusement attribu e du temps d observation sur CORAVEL
et CORALIE et D Pfenniger p our m avoir fournit l acc es a sa ferme de PC
F Pont et D Bersier p our m avoir asso ci e a leur recherche sur les C eph eides d es le d ebut
de ma th ese
La th ese se nourrit aussi des exp eriences humaines v ecues au cours de ces ann ees A
cet egard je remercie tous les dip omants assistants et p ost do c que j ai c otoy es et en
particulier
Mes compagnons de th ese M Freitag C Melo L Jolissaint N Santos F Carrier
Y Deb ernardi D Erspamer M Pindao D Hub ert R Behrend
L equipe de fo ot du mercredi
Toute l equipe des secr etaires administrateurs et le p ersonnel technique de l observatoire
Un tr es grand merci a mes pro ches Maria Novella Werner Marco Maria Rosa et
Bernard
Mais avant tout merci Marcella merci Saskia
Table des mati eres
Introduction
I Pulsation stellaire
Pulsation stellaire
Introduction
Caract eristiques observationnelles des Cephei
D eveloppements th eoriques
II R esonances
C eph eides et r esonances
Progression de Hertzsprung
Param etres de Fourier
Progression de Hertzsprung contrainte sur les mo d eles
Position de la r esonance
P
4
R esonance a P jours dans
P
1
les c eph eides de type S
P
4
Mo d eles et p osition de la r esonance
P
1
Autres r esonances
C eph eides a double mo de r esonance et echelle des distances
III C eph eides et mo d eles hydrodynamiques
Simulations hydrodynamiques
Introduction
Observations
Mo d eles hydrodynamiques
Comparaison des mo d eles galactiques aux observations
C eph eides a double mo des
Annexes
IV Variabilit e des Sup erg eantes
Variabilit e des Sup erg eantes
Variabilit e des etoiles massives
S eries temp orelles
Transform ee de Fourier discr ete echantillonnage r egulier
Bruit et test statistique
Echantillonnage irr egulier
Analyse multi fr equence CLEAN et CLEANEST
Ondelettes
Conclusions et p ersp ectives Introduction
Ce qui nous rend ces solutions p erio
diques si pr ecieuses c est qu el les sont
pour ainsi dire la seule br eche par o u
nous puissions essayer de p en etrer dans
une place jusqu ici r eput ee inabordable
Henri Poincarr e
Notre compr ehension de l univers rep ose en grande partie sur la connaisance de la struc
ture interne et de l evolution des etoiles Que l on veuille mesurer l age de l univers par
l interm ediaire des naines blanches ou estimer l enrichissement chimique des galaxies par la
nucl eosynth ese des etoiles massives il faut p ouvoir tester les mo d eles stellaires th eoriques
Pour confronter les mo d eles aux observations nous ne disp osons essentiellement que
des photons qui s echappent des couches externes de l etoile L analyse du sp ectre elec
tromagn etique photom etrie ou sp ectroscopie nous p ermet de conna tre les conditions
physiques r egnant a la surface de l etoile telles que la gravit e ou la temp erature A partir
de ces grandeurs et gr ace aux equations d ecrivant la structure stellaire on p eut d eduire
les conditions physiques r egnant a l int erieur des etoiles
La mesure des param etres stellaires a partir du sp ectre electromagn etique se heurte a
plusieurs di cult es D ab ord d un p oint de vue pratique la sp ectroscopie en di ractant la
lumi ere n ecessite b eaucoup de photons elle se limite donc aux etoiles les plus lumineuses
La photom etrie quand a elle si elle p ermet d observer des ob jets extr emement faibles est
soumise a l extinction interstellaire qui rougit les couleurs observ ees Il faut alors p ouvoir
quanti er cet e et p our remonter aux couleurs originales Mais avant tout ces appro ches
rep osent sur notre capacit e a mo d eliser le transfert du rayonnement a travers les couches
externes de l etoile La contrainte sur les mo d eles de structure interne se fait donc par
l interm ediaire des mo d eles d atmosph ere stellaire
On p eut contourner la plupart de ces probl emes en observant les oscillations d une
etoile autour de son etat d equilibre L etude de la stabilit e des mo d eles stellaires hydro
statiques montre que des ondes de pression ou des ondes de gravit e vagues p euvent
parcourir les etoiles Les fr equences d oscillation qui se propagent a travers l etoile et leurs
longueurs d onde sont tr es sensibles aux conditions physiques pression temp erature com
p osition chimique des milieux travers es Ces ondes font osciller la surface stellaire et p er
turb ent les observables ce qui rend l etoile variable Les courb es de lumi ere ou de vitesse
radiale contiennent les fr equences propres d oscillation de l etoile elles re etent donc la
structure interne L autre avantage tr es imp ortant de l astrosismologie est que le contenu
en fr equence du signal photom etrique n est pas alt er e par l extinction interstellaire ce qui
rend la mesure tr es robuste
les neutrinos les rayons cosmiques ou les ondes gravitationnelles sont d autres vecteurs d informa
tion mais jusqu a pr esent l immense ma jorit e des observations concernent le rayonnement electromagn e tique
Les r esultats les plus impressionnants de la sismologie stellaire sont issus des mesures
des oscillations solaires Les mouvements observ es sur l ensemble du disque solaire ont
p ermis de sonder sa rotation interne ou son gradient de comp osition chimique Shou et
al Cep endant les variations observ ees sont faibles quelques millimagnitudes ou
des vitesses de quelques cm s et les limites technologiques actuelles restreignent l ap
plication de l astrosismologie aux etoiles les plus brillantes En revanche des oscillations
de plus fortes amplitudes induisent des variations photom etriques d une magnitude ou
plus et des variations de vitesse de plusieurs dizaines de km s sont observables p our de
nombreuses etoiles
Ces fortes variations photom etriques etant facilement d etectables elles sont les pre
mi eres a avoir et e d ecouvertes et etudi ees C est aussi p our ces pulsations qu a et e etablie
la premi ere relation entre le sp ectre d oscillation et la structure stellaire En e et au d ebut
e
du si ecle Henrietta S Leavitt observa que la p eriode de la variation photom etrique
est etroitement corr el ee a la luminosit e des etoiles variables de type Cephei situ ees
dans le p etit Nuage de Magellan Une fois calibr ee de mani ere absolue cette relation
p ermet d estimer pr ecis ement les distances des c eph eides extra galactiques en comparant
la luminosit e d eduite de la p eriode d oscillation a la magnitude apparente La robustesse
de la m ethode la luminosit e elev ee de ces etoiles et leurs p eriodes relativement courtes
quelques dizaines de jours ont fait des c eph eides l un des cha nons fondamentaux dans
l estimation des distances cosmologiques Ces etoiles ont et e largement utilis ees de Hubble
jusqu au r ecent H Key Pro ject qui a l aide de la tr es ne r esolution angulaire du
T elescope Spatial Hubble a identi e des c eph eides au del a de Mp c Mould et al
Cette th ese se concentre sur les etoiles variables de type Cephei et leurs homologues
plus lumineuses les hyperg eantes jaunes La compr ehension de leurs m ecanismes d os
cillations ont des retomb ees sur les mo d eles de structure interne et ouvrent de nouvelles
p ersp ectives dans l estimation des distances et des param etres stellaires
Contrairement a l heliosismologie qui utilise des milliers de fr equences p our contraindre
la structure interne les c eph eides n oscillent que selon une ou plus rarement deux fr e
quences Bien que le sp ectre de pulsation d une c eph eide soit plus riche la ma jorit e des
mo des sont amortis rapidement et sont donc inobservables Le nombre de fr equences etant
limit e il faut faire app el aux mesures photom etriques p our exploiter pleinement la rela
tion p eriode luminosit e qui devient alors la relation p eriode luminosit e couleur
Nous montrerons au chapitre que sous certaines conditions une fr equence amortie p eut
etre excit ee en entrant en r esonance avec l oscillation dominante Cette r esonance se tra
duit par une d eformation des courb es de vitesse radiale ou de lumi ere La mesure de cette
d eformation p ermet d estimer avec pr ecision une seconde fr equence qui une fois conjugu ee
aux donn ees photom etriques p ermet de mesurer la distance d un ensemble de c eph eides
extra galactiques ainsi que leurs param etres stellaires
On montrera aussi que les c eph eides multi p eriodiques sont soumises a ces r esonances ce
qui p ermet de mesurer non plus deux mais trois fr equences Ceci p ermet de contraindre
tr es fortement la structure interne de ces ob jets
L une des grandes questions d actualit e dans le domaine de la pulsation stellaire est
l e et de la comp osition chimique sur le m ecanisme d oscillation Ce p oint est fondamental
p our l echelle des distances cosmologiques les galaxies observ ees ayant des ab ondances
chimiques tr es diverses
Dans la seconde partie du travail nous examinerons l e et de la m etallicit e sur la forme
des courb es de lumi ere Du p oint de vue observationnel nous utiliserons les milliers de
donn ees concernant les c eph eides des Nuages de Magellan publi ees r ecemment par la col
lab oration OGLE II Udalski a b Nous comparerons ces donn ees aux mesures
disp onibles p our les c eph eides galactiques et aux simulations hydrodynamiques Seuls les
mo d eles non lin eaires etant a m eme de pro duire des courb es de lumi eres nous avons cal
cul e en collab oration et avec le co de d evelopp e par A Fokin trois ensembles de mo d eles
hydrodynamiques p our repro duire le comp ortement observ e des c eph eides dans la Galaxie
et les deux Nuages de Magellan Ces r esultats seront discut es au chapitre
L un des probl emes rencontr e par les mo d eles hydrodynamiques purement radiatifs de
puis de nombreuses ann ees est l imp ossibilit e de simuler facilement des c eph eides double
mo des Lors de nos calculs non lin eaires un grand nombre de mo d eles p oss edent un com
p ortement multi p eriodique Ces r esultats inattendus sont compar es aux observations et
discut es a la n du chapitre
A mesure que la masse et la luminosit e des etoiles augmente l instabilit e stellaire cro t
Au chapitre nous ab orderons la variabilit e complexe d une cat egorie de ces etoiles mas
sives les hyperg eantes Le comp ortement photom etrique de l une d entre elles V Centauri
sera explor ee en d etail p our en extraire le sp ectre des fr equences et le comparer aux divers
mo d eles existants Nous pr esenterons egalement les premiers r esultats du suivi sp ectro
scopique entrepris depuis avec le nouveau t elescope suisse install e au Chili
R ef erences
Hubble E P ApJ
Mould J R Hughes S M G Stetson P B et al ApJ
Udalski A Soszynski I Szymanski M et al a Acta Astron
Udalski A Soszynski I Szymanski M et al b Acta Astron
Schou J Antia H M Basu S et al ApJ
Premi ere partie
Pulsation stellaire
Chapitre
Chapitre
Pulsation stellaire
Les di erentes appro ches th eoriques sont esquiss ees dans ce chapitre En premier lieu
nous ab orderons la lin earisation des equations di erentielles d ecrivant la structure stel
laire Leurs solutions nous renseignent sur la stabilit e vibrationelle de l etoile et son sp ectre
d oscillation ainsi que sur les m ecanismes qui sont a l origine de la pulsation stellaire
Cep endant les courb es de lumi ere ou de vitesse radiale tr es asym etriques des c eph eides
nous indiquent que le ph enom ene ne p eut etre pleinement d ecrit par une appro che lin eaire
L ecart a la lin earit e etant su samment faible P il est p ossible d utiliser les
equations aux amplitudes p our etudier le m ecanisme de saturation et le r ole des r eso
nances
L int egration num erique des equations di erentielles sera le dernier p oint trait e Elle p er
met d etudier en d etail la pulsation stellaire et de tenir compte de ph enom enes physiques
tels que le transfert radiatif a travers l atmosph ere ou la convection
Introduction
e
La premi ere etoile pulsante r epertori ee remonte a la n du si ecle avec la d ecouverte
e
de o Ceti par Fabricius Mais il faudra attendre la n du si ecle et l interpr etation des
observations en termes de lois physiques p our que les observations accumul ees jusqu alors
prennent un sens
Le succ es de la th eorie des orbites p our expliquer la diversit e des eclipses observ ees sera
e
jusqu au d ebut du si ecle un obstacle au d eveloppement de la th eorie de la pulsation
Toutefois elle ne r esistera pas a l accumulation et la pr ecision grandissante des obser
vations telles que l asym etrie et la pr esence de b osses sur les courb es de lumi ere ou le
changement de couleur avec la phase La pulsation radiale de l enveloppe stellaire semble
alors a Plummer puis a Shapley une alternative p our r esoudre les nombreux pro
bl emes observationnels rencontr es
Les etudes th eoriques concernant les fr equences d oscillations d une sph ere gazeuse
sont ant erieures aux probl emes observationnels mentionn es ci dessus August Ritter eta
blit la relation p eriode densit e d es p our une sph ere homog ene mais sa di usion dans
le milieu astronomique se fera qu a partir de gr ace a Eddington L une des principales
di cult es de cette th eorie est le maintient de l oscillation qui est rapidement amortie par
Partie I A0 M0 K0 B0 F0 O3 G0
1 R 10 100 1000
Les divers types
Fig 6
pulsantes dans le dia
d etoiles LBV
WR
HR extrait de Gautschy gramme 5 30
1/10 Saio A basse lumi
Cep M,Sr
la variabilit e se concentre nosit e 4
10
long de la s equence princi le PNNV
3
pale SPB et Cephei et se
1/100 DOV 5 SPB
lon la bande d instabilit e al
2
des Scuti log L L
lant sdBV 3
aux Cephei A haute lumino
log L/L 1 2
log L L les etoiles sit e 1/1000 0.63
1.5
se r epartissent a travers variables 0
1
tout le diagramme -1 DBV 0.5 M
-2 DAV -3 5.0 4.5 4.0 3.5
log Teff
la viscosit e du gaz C est Eddington qui en prop ose deux m ecanismes p our entrete
nir la pulsation Le premier utilise la variation de l opacit e dans les zones de ionisation
de l hydrog ene et de l h elium situ ees dans l enveloppe stellaire Ces r egions p ermettent
de soustraire au ux radiatif l energie n ecessaire au maintient de la pulsation c est le
m ecanisme Le m ecanisme est bas e sur la forte d ependance du taux des r eactions
m n
nucl eaires vis a vis de la temp erature T et de la densit e T Une faible
instabilit e en temp erature entraine un accroissement du taux des r eactions nucl eaires et
si n su samment grand toute l etoile oscille autour de son etat d equilibre
Jusque dans les ann ees Eddington consid ere que seul le m ecanisme est assez e
cace p our servir de moteur a la pulsation alors que la zone de ionisation de l hydrog ene
ne sert qu a diminuer l e et amortissant dans l enveloppe
En J P Cox tente de faire osciller des mo d eles num eriques non adiabatiques
a l aide du m ecanisme sans succ es L amplitude au centre de l etoile est trop faible
et l amortissement radiatif de l enveloppe trop imp ortant Zhevakin arrive in
d ependamment a la m eme conclusion et sugg ere que la zone de ionisation de l h elium
H e H e est la source d excitation p our la pulsation En comparant la relation PL
observ ee aux mo d eles Cox Whitney concluent egalement que seule la zone de
ionisation de l h elium p eut fournir un accord qualitatif Les mo d eles num eriques de Baker
Kipp enhahn consacrent nalement cette zone comme le moteur de la pulsation
dans la bande d instabilit e
Chapitre
Les etoiles pulsantes recouvrent aujourd hui la plupart des r egions du diagramme HR
Ceci est d u d ab ord au nombre croissant de mesures photom etriques accumul ees ces der
ni eres ann ees les exp eriences de micro lentilles MACHO Alco ck ayant d ecel e des
milliers de nouvelles etoiles variables en direction du bulb e galactique dans les Nuages
de Magellan et dans M Ensuite la pr ecision grandissante des observations notam
ment avec la technique de photom etrie di erentielle qui p eut atteindre des pr ecisions de
depuis le sol ont p ermi d identi er de nouvelles classes d ob jets les Dor
mag
par exemple
Les etoiles variables ne se distribuent pas al eatoirement dans le plan log T log L L
ef f
cf gure mais d elimitent diverses r egions dont chacune est caract eris ee par un m eca
nisme de pulsation Cette r epartition se fait essentiellement suivant deux zones le long de
la s equence principale on trouve les etoiles chaudes telles que les Cephei ou les Slowly
Pulsating B stars alors que les c eph eides classiques les RR Lyrae ou les Scuti se r epar
tissent dans la bande d instabilit e Ces r egions se confondent a haute luminosit e o u les
etoiles pulsantes p euplent tout le diagramme HR alors qu a basse temp erature on trouve
les etoiles de type Mira qui o ccup ent la branche des g eantes
Ces r egions sont asso ci ees a des m ecanismes de pulsation distincts que l on p eu di e
rencier selon plusieurs crit eres
le mouvement de l enveloppe p eut etre radial Cephei RR Lyrae non radial SPB
Cephei ou un m elange des deux Scuti
la force de rapp el agissant sur un el ement de masse est soit la gravit e soit la pression
Selon que la premi ere ou la seconde domine on parle de mo des g p our gravit e ou de
mo des p p our pression
on distingue les types de pulsations selon le m ecanisme qui les entretient m ecanisme
ou et l el ement chimique pr epond erant p our ce m ecanisme H e dans la bande d in
stabilit e F e p our les etoiles B
Nous ab ordons ci dessous les observations relatives aux c eph eides classiques et la th eo
rie de la pulsation stellaire radiale entretenue par le m ecanisme
Caract eristiques observationnelles des Cephei
Le catalogue des etoiles variables de Durlevich et al d e nit les c eph eides comme
etant des sup erg eantes classe de luminosit e I I I soumises a des pulsations radiales Les
b
courb es de lumi ere ont une amplitude allant de quelques centi emes a deux magnitudes
bande V p our des p eriodes comprises entre et jours La couleur de l etoile change
egalement le type sp ectral passant de F a G K entre le maximum et le minimum de
luminosit e
Dans un diagramme HR ces ob jets p euplent la bande d instabilit e BI une ne
r egion centr ee en B V log T et de largeur B V
ef f
log T La p eriode augmente avec la luminosit e et les isop eriodes sont qua ef f
Partie I
siment horizontales Cette propri et e combin ee a la nesse de la BI p ermet d obtenir une
relation p eriode luminosit e PL et une relation p eriode luminosit e couleur PLC tr es
bien d e nies la disp ersion autour de la relation PL est de l ordre de mag dans la
bande V La relation PL est l une des m ethodes fondamentales sur lesquelles rep ose la
mesure des distances cosmologiques
Les c eph eides classiques sont di ciles a distinguer observationnellement des c eph eides
de type II W Virginis sur la base des courb es de vitesses ou de luminosit e Ces derni eres
sont des ob jets plus vieux et moins lumineux a magnitudes plus faibles lo calis es
dans le vieux disque ou le halo galactique ainsi que dans certains amas globulaires ag es
La confusion entre ces deux classes d etoiles variables p eut introduire des biais dans la
mesure des distances
12
LMC_SC3 and 13 OGLE II CEPHEIDS
14
15
Fig Diagramme de
16
Hertsprung Russel pour un echan
til lon du LMC donn ees OGLE II
extrait de Udalski et al On
magnitude 17 0
I
distingue clairement la s equence
a haute temp erature
principale 18
et la branche des g eantes a basse
temp erature Les c eph eides ont un
19
indice V I au milieu du
diagramme Ce sont des g eantes ou
20
des superg eantes
21
-1 -.5 0 .5 1 1.5 2
(V-I)0
Les mo d eles evolutifs montrent que les c eph eides sont issues d etoiles de la s equence
principale de type B B M Apr es epuisement de l hydrog ene central la combus
tion se p oursuit dans une co quille b ordant le co eur d h elium l expansion de l enveloppe
causant une chute de la temp erature e ective et un d eplacement vers le rouge dans le
diagramme HR La bande d instabilit e est travers ee une premi ere fois avant que l etoile
n atteigne le stade de g eante rouge o u une profonde enveloppe convective appara t Puis
Chapitre
elle est retravers ee a deux reprises lors de la fusion de l h elium et apr es son epuisement
b oucle bleue Les trac es evolutifs sont illustr es sur la gure o u les traits repr esentent
l evolution de cinq ob jets Alib ert et al avec des masses comprises entre et
M Les phase d instabilit e sont symbolis ees en gras sur les trac es evolutifs La bande
d instabilit e th eorique est d elimit ee par les traits verticaux
Le premier passage est tr es rapide et se fait sur une echelle de temps d a justement
thermique de l etoile echelle de temps de Kelvin Helmholtz de l ordre de a
ans Les mo d eles sugg erent que la plupart des c eph eides se trouvent dans une phase b eau
coup plus lente de l evolution corresp ondant a la branche inf erieure de la b oucle bleue
L enrichissement observ e en azote et la d e cience en carb one Luck Lambert
tant p our les c eph eides galactiques que dans les Nuages de Magellan con rme qu il y a
eu m elange entre le co eur enrichi en N par le cycle CN et l enveloppe Ces ob jets sont
donc pass es par la phase de g eante rouge o u l enveloppe convective a amen e en surface
les pro duits du cycle CN et ils sont sur l une des branches de la b oucle bleue le temps
evolutif favorisant la branche inf erieure fusion de l h elium dans le co eur
Le temps d evolution lors du premier passage ou sur une branche de la b oucle bleue
change de mani ere signi cative avec la masse la p eriode ou la luminosit e des ob jets
Si p our M M le second passage est b eaucoup plus long que les deux autres p our
M celui ci n est que trois fois plus long que le troisi eme et que fois plus long que le
premier Pour les faibles masses la b oucle bleue n est plus su samment etendue p our que
le second et le troisi eme passage ait lieu il existe donc une masse minimale en dessous de
laquelle aucune c eph eide n est observ ee Cette p eriode minimale p ermet de contraindre les
mo d eles evolutifs et en particulier la relation masse luminosit e cf Alib ert et al
Le nombre de passages dans la BI d epend des mo d eles evolutifs consid er es Si la plupart
des mo d eles subissent au maximum trois passages Alib ert et al en ont jusqu a cinq p our
les etoiles les plus massives M M
L age des c eph eides temps ecoul e entre la fusion de l hydrog ene sur la s equence princi
pale et l entr ee dans la BI par la b oucle bleue se situe entre et ans p our des etoiles
de M et M resp ectivement C est donc une p opulation jeune du disque mince que
l on trouve parfois asso ci ee a des amas ouverts ce qui p ermet de calibrer le p oint z ero
de la relation PL en a justant la s equence principale avec des mo d eles evolutifs dont on
conna t la luminosit e absolue L appartenance au disque et la pr ecision de la relation PLC
p ermet en outre de sonder la courb e de rotation galactique dans sa partie externe l a o u
l hydrog ene neutre n est plus utilisable Par cette m ethode Pont et al observent
que la courb e de rotation galactique reste plate jusqu a kp c
Les c eph eides galactiques ne p euplent pas uniform ement la bande d instabilit e mais
se concentrent dans une diagonale qui s etend des hautes temp eratures et basses lumino
sit es aux basses temp eratures et hautes luminosit es contrairement a ce qu on p ourrait
attendre au vu des trac es evolutifs Bien que Chiosi repro duise les limites de la
bande d instabilit e avec des mo d eles l eg erement d e cients Y et Z les biais
observationnels mal ma tris es notamment en ce qui concerne la compl etude de l echan
tillon galactique rendent la mo d elisation de cette distribution di cile Cette r epartition
particuli ere a travers la BI se rep orte naturellement sur les relation PL et PLC obser
Partie I
Fig Position th eorique de la
bande d instabilit e dans le diagramme
HR d apr es Alibert et al La
bande d instabilit e est travers ee une a
cinq fois selon la masse de l etoile au
cours de son evolution L age des c e
ph eides varie entre et ans
v ees en les rendant moins p entues que celles calcul ees Pour palier a cela Sandage et al
introduisent une BI e ective en augmentant arti ciellement la p ente des mo d eles
th eoriques
La p eriode est une grandeur facile a mesurer une photom etrie visuelle su t et in
d ependante de l extinction ou de la distance sa distribution fournit donc une contrainte
imp ortante Les distributions th eoriques d ecoulent des mo d eles evolutifs des mo d eles de
pulsation lin eaires de la fonction initiale des masses et du taux de formation stellaire La
distribution des p eriodes p our les ob jets galactiques pr esente deux maxima cf gure
l un autour de P jours et l autre autour de P jours Morgan repro duit les
observations en utilisant une gamme de m etallicit e allant de Z a de mani ere
a elargir la distribution calcul ee
La d e cience d ob jets entre P jours est due a l instabilit e du mo de fondamental
lorsque P jours Une r esonance avec le mo de P le rend instable ce qui favorise une
pulsation dans le premier mo de propre d oscillation P Ces ob jets ont alors une courte
p eriode et p euplement l ext emit e gauche de la distribution Buchler et al La r eso
nance ne se pro duit que si Z ce qui explique qu il existe des ob jets dans
l intervalle P jours une certaine disp ersion de m etallicit e existant parmi les
c eph eides galactiques Le m eme ph enom ene est observ e dans M qui a une m etallicit e
semblable a la Galaxie mais pas dans le LMC ou le SMC qui sont d e cients Z et
resp ectivement
Les observations sp ectroscopiques ont montr e qu en moyenne la m etallicit e des c e
ph eides est similaire au Soleil F e H avec une disp ersion de dex Luck
et al Giridhar a mis en evidence un gradient de m etallicit e a travers le
Chapitre
Fig Distribution des p eriodes
des c eph eides galactiques classiques
echantillon de Fernie et al
On distingue clairement la d e cience
en etoiles entre et jours Une r eso
nance entre le mode fondamental P et
le second mode propre d oscil lation P
pourrait etre a l origine de cette d epres
sion El le ferait pulser ces objets dans
le premier mode propre P avec une p e
riode d environ jours Buchler et al
disque galactique de dex kp c qui se retrouve dans la distribution des p eriodes une
faible m etallicit e favorisant la p opulation des courtes p eriodes dans la partie externe du
disque galactique Fernie L e et de la m etallicit e sur les c eph eides est discut ee au
chapitre
Le taux de binarit e est de l ordre de Gieren Szabados Pont ce
qui est semblable a ce que l on observe p our les sup erg eantes F a M a Burki
Mayor Les p eriodes orbitales sont sup erieures a jours Les couples plus serr es
auront une evolution p erturb ee par le contact des enveloppes lors de la phase de g eante
rouge et n atteindront jamais la bande d instabilit e
La circularisation agit jusqu a environ jours l echange de masse en etant vraisembla
blement la cause principale Burki Mayor
Evans et al combinent pulsation et binarit e p our contraindre la relation masse
luminosit e ML entre et M Signalons le cas exceptionnel de Y Car une c eph eide
avec deux mo des de pulsation et accompagn ee d une etoile de type B V Ce syst eme
p ermet de confronter les masses issues de la binarit e et de la sp ectroscopie aux masses
provenant de la pulsation multi p eriodique
Les exp eriences de micro lentilles gravitationnelles ont identi e une dizaine de cas de
c eph eides dans des syst emes binaires a eclipse cf par exemple Udalski et al Ces
ob jets sont imp ortants puisque l orbite et la pulsation p ermettent de mesurer ind epen
damment les param etres stellaires et de tester ainsi les mo d eles de pulsation
Partie I
D eveloppements th eoriques
Nous donnons ci dessous un bref ap er cu de la th eorie de la pulsation stellaire tir e des
ouvrages de Cox Giuli et de Cox Nous adoptons la notation de ce dernier
La th eorie de la pulsation stellaire radiale est bas ee sur les equations hydrodynamiques
et de transp ort d energie p our un uide autogravitant a sym etrie sph erique Si on y a joute
l equation d ecrivant le changement de la comp osition chimique issu de la fusion nucl eaire
on obtient les cinq equations usuelles de la structure interne stellaire
Dans la ma jorit e des etoiles ce sont les mo des p qui sont a l origine de la pulsation
Ces derniers induisent des changements de structure signi catifs uniquement dans l enve
lopp e jusqu a T K Le co eur est alors consid er e comme statique
Par ailleurs l echelle de temps de la pulsation etant b eaucoup plus courte que le temps
evolutif la comp osition de l enveloppe reste xe et on p eut ignorer les equations d ecrivant
l evolution des ab ondances chimiques
La structure de l etoile est donc d ecrite en co ordonn ees lagrangiennes par le syst eme
d equations di erentielles partielles suivant
Conservation de la masse
r
m r
Conservation de l impulsion
Gm P dv
r
dt m r
Conservation de l energie
P L E
t t m
dq
L
o u est le gain d energie p our un el ement de masse
dt m
Si seul le transfert radiatif est consid er e L L et dans l approximation de di usion
r
la luminosit e radiative est donn ee par
dB T T
r L r F
r
dT r
Il faut compl eter ces equations par des relations de fermeture p our la pression totale
P equation d etat l opacit e l energie interne E et le taux de r eaction nucl eaires qui
s expriment en fonction de la temp erature T de la densit e et de la comp osition chimique
Les equations a forment un syst eme d equations di erentielles partielles
non lin eaires qu il faut r esoudre p our m t r m t T m t et L m t une fois les
r
nous ne consid erons pas les mo des de gravit e mo des g dont la propagation est limit ee dans la
plupart des cas aux r egions centrales
Chapitre
conditions initiales m t r m t T m t L m t et les conditions aux b ords en
r
m et m M x ees
Une solution analytique p our une structure stellaire r ealiste n existant pas seules des
solutions num eriques fournissent des valeurs directement comparables aux observations
On pro c ede soit par une appro che p erturbative de la solution a l equilibre soit en r esol
vant l ensemble des equations p our des conditions initiales donn ees et en suivant pas a
pas l evolution d une p erturbation initiale
C est l appro che lin eaire adiabatique et non adiabatique que nous allons d ecrire main
tenant
Lin earisation
On supp ose que l on conna t une solution a l equilibre r m m P m et L m
r
des equations hydrostatiques et on cherche comment se comp orte le syst eme vis a vis de
p etites p erturbations r P L
r
En ins erant P P P etc dans a en utilisant les pro
pri et es de sym etrie sph erique et en n egligeant les termes du deuxi eme ordre on ab outit
au syst eme d equations suivant
r
m
Gm
r P r
r m
P L
r
t P t P m
L T T
r
dl nT
0
L T r T
r
dr
0
r
o u
r
0
Ondes stationnaires
r
i t
Pour des ondes stationnaires du type m t m e les equations ci dessus
r
0
deviennent on p ose
m r
Partie I
P Gm
r
m r r
L P P
r
i i
m P
T dl nT T L
r
m T dm L T
r
On a ramen e le syst eme d equations di erentielles partielles a un syst eme d equations
di erentielles ordinaires
Propri et es des mo d eles lin eaires adiabatiques
Dans l hypoth ese adiabatique aucun echange de chaleur n a lieu entre les di erents
dq
P
d o u el ements de masse au cours de la pulsation
dt P
0 0
Les deux equations d ecrivant la partie m ecanique de l etoile eq et sont
alors d ecoupl ees de la partie thermique et et on p eut r esoudre le premier
couple p our et
0
Ces equations p euvent se combiner p our donner
d
P P r r r
dm r m m
r
i t
Pour des ondes stationnaires m t m e l equation ci dessus devient
r
0
d d d
P r r r P
dr dr dr
que l on doit r esoudre p our r connaissant une solution a l equilibre d ecrite par P
etc
Cette derni ere relation p eut aussi etre mise sous la forme
L
o u L est un op erateur lin eaire
Les solutions cherch ees sont les valeurs propres et les fonctions propres de L
k k
satisfaisant les conditions aux b ords imp os ees au mo d ele
dy
1 1 d d
4
L y P r P gy f
4
1 0 3 0 0
0
dr dr dr
r
0
0 0
Chapitre
L op erateur L avec deux conditions aux b ords forment un probl eme de type Sturm
Liouville p our lequel on a les propri et es suivantes
i t
k
les vecteurs propres sont r eels et p ositifs Donc m t m e d ecrit
k k k
des pulsations d amplitude constante aucune information n est disp onible sur la
croissance ou la d ecroissance i e la stabilit e des mo des de pulsation
les fonctions propres forment une base orthogonale et compl ete de fonc
k
tions Toute solution r de l equation d onde adiabatique non adiabatique ou
non lin eaire p eut etre exprim ee dans cette base
Les valeurs propres p euvent etre ordonn es de mani ere a ce que
k
L appro che lin eaires adiabatiques fournit deux relations imp ortantes
v
s
h i
k
k
R
La p eriode est prop ortionnelle au temps n ecessaire a une onde de pression p our par
q
2
R
courir le rayon stellaire
2
v
s
r
G i h
k
k
R
P f dV
m r
V
R
et hf i C est la relation p eriode densit e moyenne la r avec
3
r
P dV
V
p eriode de pulsation diminue a mesure que la densit e moyenne de l etoile augmente Ce
r esultat p eut etre etabli plus directement en egalant la p eriode de pulsation et le temps
n ecessaire a une onde de pression p our parcourir l etoile du centre au b ord cf Cox
chapitre
Cette relation est a l origine de la relation p eriode luminosit e satisfaite par diverses
classes d etoiles pulsantes
Mo d eles lin eaires non adiabatiques
Dans le cas non adiabatique l energie gagn ee au cours d une p eriode de pulsation par
une co quille de masse dm nous renseigne sur son r ole moteur ou amortissant vis a vis de
l instabilit e vibrationnelle La somme du travail e ectu e par chaque couche dm d etermine
alors la stabilit e de l oscillation c est a dire si la pulsation va cro tre ou d ecro tre avec le
temps
Le syst eme d equations lin eaires non adiabatiques avec ses conditions aux b ords se ra
m ene a un probl eme aux valeurs propres mais contrairement au cas adiabatique celles ci
r
i t
sont complexes i ainsi que les fonctions propres m t m e
r
0
mais ce n est plus un probl eme de type Sturm Liouville
Partie I
i m
r
m m e
sp
La partie imaginaire des valeurs propres d ecrivent alors des pulsations stables
i t
m t e e dont l amplitude d ecro t exp onentiellement avec le temps ou instables
avec une croissance exp onentielle de la p erturbation Le co e cient de stabilit e
est reli e au taux de croissance de l instabilit e par
d
d
Le travail e ectu e par le gradient de pression et la force de gravitation sur l ensemble
de l etoile au cours d une p eriode de pulsation variation d energie cin etique est
donn ee par
Z Z
d
P dt dm
dt
M
R
d
dt est p ositive resp n egatif P Si la contribution d une co quille de masse dm
dt
celle ci est motrice resp amortissante Une couche ayant un maximum de pression apr es
son maximum de contraction ou maximum de densit e sera motrice et favori
sera l instabilit e La conservation d energie lin earis ee montre que ceci ne se pro duit
3 0
L
r
que si on a un app ort d energie au maximum de densit e i e si
P m
0
p our
t
0
La puissance moyenne lib er ee par p eriode est donn ee par
Z Z
L d dW
r
dt dm
dt dt m
M
On d e nit alors le taux de croissance de la pulsation comme etant le rapp ort entre
d
dW
i et l energie totale cin etique et p otentielle de la pulsation le gain moyen d energie h
dt
h i
dW
h i
dt
h i
d
i t
En introduisant les fonctions propres p ex j e dans l expression p our
sp
la puissance moyenne fournie par la pulsation on p eut int egrer sur une p eriode p our
ab outir a
Z
L dW
r
dm L
r
dt m L
M
r
sp sp
o u on a p os e
Si on xe le minimum de rayon a t on a un j et la relation ci dessus
sp
0
dW
nous montre que les zones motrices sont celles p our lesquelles la variation de
dt
L
r
a travers l enveloppe ce qui revient a absorb er une luminosit e diminue
m L
r 0
certaine quantit e de chaleur au maximum de densit e comme indiqu e plus haut
Chapitre
r
Fig Fonctions propres
r
0
en fonction du rayon a l equilibre r
pour les trois premiers modes propres
de pulsation pour une etoile de
M Le gradient s accentue a mesure
que la fr equence augmente ce qui aug
mente l e cacit e de l amortissement
d o u une stabilit e accrue des courtes
p eriodes Ces fonctions sont calcu
l ees dans l approximation lin eaire non
adiabatique avec le code LNA de A Fo
kin
M ecanisme d excitation
Pour identi er les m ecanismes qui sont a l origine de la variation lo cale de luminosit e
i e couches motrices et amortissantes il faut consid erer les di erents termes contribuant
a la variation de luminosit e dans l equation de transfert d energie
Dans l approximation quasi adiabatique on supp ose que la variation de temp erature se
T
comp orte adiabatiquement et devient
T
0 0
L T
r
s n
dl nT
z
0
z
L r T
r dr
➀ ➁ 0
n s
o u on a exprim e l opacit e par T
Dans les conditions typiques d une enveloppe stellaire n s c est
le second terme du membre de droite qui domine la variation de luminosit e Ce terme est
p ositif et donc au minimum de rayon la luminosit e est plus forte qu a l equilibre Ceci
la diminution de avec l augmentation de et l augmentation des termes
provient ➀ ➁
du ux radiatif avec la hausse de temp erature Ces deux facteurs favorisent la p erte de
chaleur au maximum de densit e et donc l amortissement de la pulsation
Notons encore que l augmentation de du centre au b ord i e favorise
m
0 0
la stabilit e d o u si on consid ere des fr equences elev ees le gradient de densit e et de
temp erature augmente ce qui favorise l amortissement radiatif Les hautes fr equences qui
ont des fonctions propres plus p entues sont donc plus stables que les basses fr equences
ce qui explique que l on observe uniquement des c eph eides pulsant dans les trois premiers
mo des propres d oscillation les etoiles fortement concentr ees g eantes sup erg eantes
Partie I
pr esentent des variations de densit e imp ortantes et sont donc particuli erement stables Il
faut une forte source de d estabilisation p our que la pulsation puisse se d evelopper
n s et non constants
3
L exp osant adiabatique varie dans les zones de ionisations ZI H H H e
H e H e H e et p our les couches sont motrices Le travail issu
m
de la compression est alors utilis e p our ioniser l el ement consid er e et la temp erature reste
inchang ee La variation de ux L T est plus faible que dans les r egions avoisinantes
et la zone gagne de la chaleur L e et de la variation lo cale de temp erature sur la lumi
nosit e est app el e m ecanisme
La diminution de lors de la compression est due a sa forte d ependance en tem
T
n s
p erature T Si lo calement est su samment faible l opacit e augmente au
T
maximum de densit e Ce m ecanisme vient renforcer la chute lo cale du ux
Mentionnons en n que la forte diminution de s dans la zone de ionisation de l hydrog ene
et de l h elium ampli e le m ecanisme
Les m emes arguments s appliquent dans la r egion o u augmente partie externe
des zones de ionisation ce qui pro duit un amortissement qui annule les e ets moteurs des
m ecanismes et La zone de ionisation seule ne su t donc pas a exciter la pulsation il
faut aussi emp echer l amortissement de se pro duire
Zone de transition
L
r
L approximation quasi adiabatique p our n est valable qu en dessous de la zone
L
r 0
L
r
de transition ZT au del a reste constant jusqu a la surface cf Cox Giuli p
L
r 0
XXX La gure montre la p osition relative de ZI et ZT p our diverses valeurs du rayon
stellaire ou de mani ere equivalente diverses T Si la ZI est sous la ZT l amortissement
ef f
cas b De m eme si ZI est au dessus comp ense l excitation de la zone o u
m
L
r
de la ZT aucune diminution de n aura lieu cas a Dans ces deux cas la pulsation
L
r 0
est amortie C est seulement dans le cas o u ZT chevauche la partie ext erieure de ZI que
l excitation de la pulsation aura lieu cas c
Le p ositionnement particulier de ZT et ZI p our que la pulsation soit observable explique
la nesse de la bande d instabilit e dans le diagramme HR en partie
Equations aux amplitudes
Les analyses lin eaires d ecrivent la stabilit e de l etoile vis a vis des faibles p erturba
tions mais ne donnent aucune information sur son evolution temp orelle mis a part une
croissance exp onentielle avec un taux de croissance et le cycle limite de celle ci
d
L instabilit e vibrationnelle a l origine de la pulsation fait app el a deux echelles de
temps le temps dynamique qui caract erise la p eriode de la pulsation le temps ther
mique b eaucoup plus lent que le pr ec edent et qui d ecrit l evolution de l amplitude vers
la convection joue aussi un r ole imp ortant dans la p osition du b ord froid de la bande d instabilit e
Chapitre
a b
c
Fig M ecanisme d excitation de la pulsation selon Cox Trait plein variation
L
r
du ux H selon la profondeur dans l enveloppe pour di erents rayons stel laires
L
r 0
ou T Les zones sombres d e nissent les zones de ionisation ZI et de transition ZT
ef f
Leur position relative et la profondeur de la zone de ionisation indiquent si le m ecanisme
d excitation sera su sant pour entretenir la pulsation a La ZI etant au dessus de ZT
le ux reste constant et le m ecanisme est inop erant b Le m ecanisme est actif mais
l augmentation de dans la partie externe de la ZI annule son e et et la pulsation
L
r
ne peut etre excit ee c La superposition de ZT a ZI emp eche la remont ee de et permet
L
r 0
d exciter l instabilit e vibrationnelle
Partie I
le cycle limite de la pulsation En tenant compte de ces echelles de temps di erentes on
p eut appliquer un d eveloppement distinct p our chacun d eux selon que l on veut d ecrire
la p eriode de pulsation ou l evolution de son amplitude En egalant les termes ayant les
m emes temps caract eristiques on d escrit l evolution des amplitudes de pulsation C est
le formalisme a deux temps two time formalism que nous allons d ecrire bri evement
ainsi que quelques r esultats qui en d ecoulent On se r ef erera a Buchler Goupil et
les travaux qui y sont cit es p our plus de d etails Notons que nous adoptons d es a pr esent
la convention de ces derniers p our ce qui est du signe de qui est opp os ee a celle de Cox
un mo de instable est caract eris e par
Les quatre equations a d ecrivant l evolution de la structure interne stellaire
p euvent se ramener a
d
y g y s
dt
d
s h y s
dt
s r
et s sont resp ectivement les ecarts relatifs de la p osition et de l en o u y
r s
0 0
dy
tropie sp eci que par rapp ort a l equilibre En p osant v et z y v s on se ram ene
dt
a un syst eme de trois equations di erentielles du premier ordre par rapp ort au temps
dz
N
v g y s h y s Rapp elons que y v et s sont des vecteurs de R d ecrivant la
dt
variation de p osition de vitesse et d entropie sp eci que par rapp ort a l equilibre p our les
N couches de masse constituant l etoile
En d eveloppant g et h dans le voisinage de l equilibre z le syst eme ci
eq
dessus devient
d
z Az N
NL
dt
o u la matrice A contient les premi eres d eriv ees de g et h par rapp ort a y et s alors que
N contient les d eriv ees d ordres sup erieures
NL
L approximation lin eaire non adiabatique introduite ci dessus ne consid ere que le premier
i t
k
terme du d eveloppement On cherche alors les fonctions propres du type z e e qui
k k
satisfont Az z
k k k
Le pas suivant prend en compte les termes d ordres sup erieurs contenus dans N et
NL
utilise le fait que z est caract eris e par deux echelles de temps ind ependantes fr equence
de pulsation et taux de croissance Il faut cep endant distinguer divers cas
Un seul mo de est excit e les autres etant stables et aucune r esonance n intervient
L amplitude du mo de excit e sera alors limit ee par les termes non lin eaires d ordre
La fr equence excit ee est pro che d une r esonance avec un mo de stable Ce dernier est
excit e via une r esonance et les amplitudes seront limit ees par les amplitudes non lin eaires
d ordre
Si deux mo des se combinent de mani ere a avoir une r esonance du type
on ab outit a une g en eralisation du cas pr ec edent
Chapitre
Selon le cas de gure les amplitudes de pulsation vont cro tre di eremment et seront
d ecrites par les equations aux amplitudes introduites ci dessous
Un mo de lin eairement instable
Dans le cas ou un unique mo de est excit e la fonction propre devient
i t
z ae e cc
o u e et sont les fonctions propres et les valeurs propres du cas LNA et a est l ampli
tude complexe qui varie lentement par rapp ort a la fr equence de pulsation La notation
cc se r ef ere au complexe conjugu e du premier terme entre cro chets
Apr es le d eveloppement de h et g aux ordres sup erieurs l amplitude complexe a doit
satisfaire l equation aux amplitudes
da
a Q ajaj
dt
i
En p osant a Ae on obtient deux equations r eelles l une p our l amplitude et l autre
p our la phase
dA
A Q A
dt
d
Q A
dt
avec taux de croissance LNA du mo de et Q constante complexe d ependant de
la structure de l enveloppe
En princip e tous les param etres p euvent etre calcul es a partir de la structure des
mo d eles statiques en r esolvant et on conna t l evolution de l amplitude A t
et de la fr equence t t Si celle ci converge vers une pulsation stable cycle limite
dA
et la correction non lin eaire a la son amplitude est donn ee par en p osant
dt
fr equence LNA s obtient en int egrant jusqu au cycle limite
Deux mo des lin eairement instables hors r esonance
Dans le cas o u deux mo des non r esonants sont excit es la fonction propre est donn ee
par
i t i t
z ae e cc be e cc
et le d eveloppement en s erie de fournit une equation p our chacune des ampli
tudes complexes a et b
Partie I
da
a Q ajaj T ajbj
dt
db
b Q bjbj T bjaj
dt
et
i i
En p osant a Ae et b B e on obtient Buchler Kovacs
dA
A Q A T AB
dt
dB
B Q B T BA
dt
d
Q A T B
dt
d
Q B T A
dt
o u les constantes T et Q d ependent de la structure interne de l etoile les et
sont les taux de croissance et les fr equences LNA A B et sont les amplitudes
et les corrections non lin eaires aux fr equences LNA
Deux mo des r esonants
Dans le cas o u le mo de excit e est pro che de la r esonance avec un mo de stable la
fonction propre devient Klapp et al
i t i t
ae e cc be e cc z
o u et l equation aux amplitudes devient
dA
A R cos I sin AB
dt
dB
B R cos I sin A
dt
d
I cos R sin A B I cos R sin B
dt
o u les R et I d ependent de la structure interne de l etoile est le
d ephasage entre et et mesure l ecart a la r esonance
La di erence imp ortante entre le cas r esonant et non r esonant est la rapidit e de
saturation des l amplitudes A et B Dans le cas r esonant les amplitudes A et B sont
d ej a limit ees par les termes quadratiques en amplitude alors que ce n etait que les termes
d ordre trois qui interviennent dans et Notons aussi l apparition du couplage
entre les fr equences alors que dans le cas lin eaire celles ci evoluent ind ependamment les
unes des autres
Chapitre
Points xes et stabilit e
Les equations aux amplitudes eq ou d ecrivent l evolution
de la pulsation dans le plan A B et p ermettent d identi er les p oints xes p our lesquels
dA
la pulsation conserve une amplitude constante en r esolvant les equations p our et
dt
dB
dt
Ces p oints xes p euvent etre stables attracteurs ou instables sources ou p oints selle
selon qu une tra jectoire avec des conditions initiales dans un voisinage de ceux ci s en
eloigne ou s en rappro che au cours de la pulsation Les premiers d ecrivent une pulsation
mono ou multi p eriodique d amplitude constante et stable alors que dans le second cas
de gure la pulsation sera sensible aux in mes p erturbations et evoluera vers un p oint
xe ou un cycle limite stable L existence la valeur des p oints xes A B et leur stabilit e
s expriment a l aide des co e cients des equations et Buchler Kovacs
En g en eral on ne calcule pas les co e cients T Q et a partir des mo d eles sta
tiques mais on les estime via les r esultats des mo d eles hydrodynamiques On int egre
le mo d ele non lin eaire a partir de conditions initiales A B puis les courb es de
variation de rayon ou de vitesse radiale sont d ecoup ees en intervalles t sur lesquels
k
les amplitudes A B et les phases sont estim ees par a justement de s eries de
k k k k
Fourier Les fonctions a sont a just ees sur l ensemble des p oints A B
k k
p our estimer les param etres Q et T Ces derniers d e nissent dans tout le plan A B
dA dB
le champ de vecteurs et p ermettent d identi er les p oints xes et leur stabilit e
dt dt
et donc de pr evoir l evolution du mo d ele non lin eaire selon les conditions initiales choisies
Un exemple d application des equations aux amplitudes au cas d une RR Lyrae est
donn e sur la gure Deux mo d eles non lin eaires radiatifs sont calcul es p our les m emes
param etres stellaires mais avec des conditions initales di erentes symbolis ees par des
r
croix Les courb es de variation de rayon t sont d ecoup ees en intervalles t sur lesquels
r
0
r
on a juste des s eries de Fourier du type t A cos t B cos t On
r
0
obtient ainsi p our chaque intervalle t les amplitudes A B et les phases
k k k k k
L ensemble des p oints A B d ecrivent l evolution des amplitudes dans le plan A B
k k
ce qui est repr esent e par les deux courb es en traits pleins chacune corresp ondant a une
condition initiale En a justant sur ces p oints les equations et on obtient
les co e cients de stabilit e non lin eaires et ainsi que les constantes Q Q etc
dB dA
et de A partir de ces valeurs il est p ossible de dessiner le champs de vecteurs
dt dt
dA dB
lo caliser les p oints xes dans l ensemble du plan A B Dans l exemple
dt dt
de la gure un p oint selle p oint et un attracteur cercle ont et e identi es Le premier
attire les mo d eles le long de l axe A avant de les rejeter vers l attracteurs selon l axe B
Ce dernier d ecrit le cycle limite vers lequel toutes les conditions initiales convergeront Ce
cycle limite corresp ond a une pulsation mono p eriodique selon le mo de et d amplitude
r
r 0
Partie I
Fig Evolution d un mod ele
hydrodynamique de RR Lyrae traits
pleins dans le plan A B pour deux
conditions initiales di erentes croix
d apr es Buchler Kovacs Les
amplitudes concernent les variations
r
de la couche ex relatives de rayon
r
0
terne du mod ele Les param etres T
Q et sont d eduits de ces courbes
en y ajustant les equations aux am
plitudes et Une fois d e
termin es ces param etres permettent de
tracer le champ de vecteur dans l en
semble du plan A B et d identi er les
points sel le point et les attracteurs
cercle Le point sel le en at
tire l amplitude le long de l axe A avant
de le repousser selon B dans la direc
tion de l attracteur en
Mo d eles non lin eaires
L etude du comp ortement non lin eaire de la pulsation s est d ab ord faite par des
mo d eles num eriques dans la mesure o u les equations ne sont pas int egrables p our des
structures stellaires r ealistes Les equations di erentielles sont transform ees en syst emes
d equations aux di erences nies p our N co quilles de masse dm et on int egre les equations
pas a pas a partir de conditions initiales donn ees On suit ainsi l evolution de l instabilit e
et la convergence vers un cycle limite
Si cette m ethode p ermet de mieux contraindre les param etres des etoiles variables
par exemple la masse issue de la p osition de la b osse sur les courb es de lumi ere ou
bump mass elle ne donne pas n ecessairement de r eponse quand a l origine physique
des ph enom enes observ es Par exemple les premi eres courb es de lumi ere synth etiques
repro duisaient la progression de Hertzsprung observ ee mais son origine n a et e comprise
que avec les mo d eles LNA et les equations aux amplitudes
La souplesse de cette m ethode p ermet d introduire des ph enom enes physiques tels
qu une convection d ependante du temps ou une description d etaill ee du transfert radiatif
dans l atmosph ere Toutefois son impl ementation est lab orieuse et le temps de calcul
imp ortant rend l appro che lin eaire encore tr es attractive si on p eut se contenter du sp ectre
de pulsation et de la stabilit e lin eaire des mo des
M ethode de relaxation
Pour economiser du temps de calcul Stellingwerf a introduit une m ethode de
relaxation qui utilise la p eriodicit e de la solution cherch ee
On part d une solution arbitraire p our les grandeurs physiques rayon vitesse temp e
Chapitre
rature dans chaque couche et la p eriode P puis on int egre le mo d ele hydrodynamique
sur une p eriode La solution cherch ee devant etre p eriodique on compare les grandeurs
physiques apr es int egration aux valeurs initiales et on corrige ces derni eres ainsi que P
selon l ecart trouv e
Cette m ethode qui converge dix fois plus rapidement que l int egration usuelle fournit des
courb es de vitesse et de lumi ere et donne des informations quand a la stabilit e du mo de
de pulsation
D eveloppements r ecents
Nous mentionnons ci dessous quelques domaines qui sont activement d evelopp es dans
la th eorie de la pulsation stellaire
Convection
Les zones de ionisation de l hydrog ene ou de l h elium sont instables vis a vis de la
convection car la ionisation diminue r et rend le transp ort radiatif insu sant p our
ad
transf erer l energie vers l ext erieur de l etoile dont une partie est alors transp ort ee par la
convection
Lo calis ee dans les zones motrices de la pulsation la convection a un e et amortissant
sur celle ci il faut alors tenir compte de la luminosit e convective L dans la conserva
conv
tion de l energie et fournir des relations qui d ecrivent son comp ortement sur une
echelle de temps dynamique
Notons que a mesure que la temp erature de l enveloppe diminue le r ole de la convection
s accentue le transp ort radiatif devenant moins e cace ce qui en pratique rend im
p ossible la lo calisation du b ord rouge de la bande d instabilit e par les mo d eles purement
radiatifs
Une th eorie d ecrivant l e et moyen dans le temps de la convection telle que la th eorie
de la longueur de m elange n est pas adapt ee au traitement des etoiles variables l echelle
de temps convective etant du m eme ordre que la p eriode de pulsation Une description
d ependante du temps et a une dimension est n ecessaire
Diverses appro ches ont et e adopt ees p our inclure la convection dans les mo d eles
d etoiles pulsantes quand elle n est pas simplement n eglig ee comme c est souvent le cas
L appro che la plus simple consiste a introduire la convection dans la description de la
structure interne statique de l etoile th eorie de la longueur de m elange mais de calculer
les mo d eles LNA sans convection d ependante du temps c est la m ethode de la convection
gel ee
Usuellement les mo d eles radiatifs fournissent le b ord rouge p our la bande d instabilit e de mani ere ad
ho c Pour une luminosit e x ee on mesure la distance entre la b ords bleu T et la temp erature
BE
ou est maximum T et on xe de mani ere arbitraire la limite rouge de la bande d instabilit e a
max
T T T T
RE BE BE max
Partie I
On p eut aussi introduire une description compl ete et d ependante du temps Plusieurs
tentatives a une dimension ont et e publi ees B ohm Vitense Canuto Mazzitelli
L utilisation de la convection dans les mo d eles hydrodynamiques des RR Lyraes
ou des c eph eides est r ecente Bono Stellingwerf Yecko et al Feuchtinger
Elle n ecessite de contraindre par les observations de nombreux param etres libres
les mo d eles convectifs de Yecko et al contiennent param etres
Malgr e des r esultats int eressants et tr es attendus concernant notamment la largeur de
la bande d instabilit e et la pulsation a double mo des Kollath at al la validit e
de cette appro che reste sujette a caution lorsqu on les compare aux mo d eles hydrodyna
miques D Nordlund Stein
Couplage mo d ele evolutif mod ele LNA
Les mo d eles d evolution stellaire s int eressent aux changements de la structure interne
de l etoile du centre a l enveloppe sur une echelle de temps nucl eaire temps n ecessaire
p our mo di er signi cativement la comp osition de l etoile par les r eactions nucl eaires
Cette echelle de temps etant sup erieure au temps dynamique ou thermique on consid ere
donc des mo d eles a l equilibre hydrodynamique et thermique Les mo d eles evolutifs sont
contr ol es par deux param etres la masse M et la comp osition chimique X Y Z initiale
sur la s equence principale La temp erature e ective et la luminosit e etant x ees par les
equations de structure interne
Les mo d eles de pulsation s int eressent aux changements rapides de structure de l etoile
sur une echelle de temps dynamique et thermique De plus on consid ere uniquement l en
veloppe si on ne s int eresse qu aux mo des de pression et au m ecanisme Ces mo d eles
n ecessitent quatre param etres la masse M la temp erature e ective T la luminosit e
ef f
L et la comp osition chimique du gaz X Y Z
Le calcul LNA sur des enveloppes dont la structure est issues directement de mo d eles
evolutifs et non pas a partir de mo d eles d enveloppe dont la structure d epend de quatre
param etres p ermet de tester la coh erence entre l evolution et la pulsation et de replacer
les etoiles pulsantes dans le cadre evolutif nombre et dur ee du passage dans la bande
d instabilit e distribution des p eriodes etc Cela p ermet aussi de prendre en compte
les changement de comp osition chimique dans l enveloppe et son e et sur la pulsation
Ces types de mo d eles sont apparus r ecemment en relation avec le d ebat li e a l e et de
m etallicit e sur la pulsation des c eph eides Saio Gautschy Alib ert et al
Bien que les trac es evolutifs d ependant de la m etallicit e ou des param etres hydrodyna
L
miques longueur de m elange semi convection la relation log P log y est tr es p eu
L
sensible De m eme la p osition du b ord bleu de la bande d instabilit e dans le diagramme
L
log log T est tr es stable
ef f
L
Notons que Bono et al ab outissent a la conclusion opp os ee en utilisant des mo
d eles non lin eaires convectifs l evolution etant incluse via une relation masse luminosit e
En g en eral on introduit les r esultats des calculs evolutifs en imp osant une relation masse luminosit e
ce qui ram ene le nombre de param etres a trois
Sa p osition d epend fortement de Y et Z mais avec des signes contraires La croissance de Y s accom
Y
les deux e ets annulent le d eplacement de la bande d instabilit e pagnant d une hausse de Z
Z
Chapitre
m etallicit e et que diverses observations ab outissent a un e et de m etallicit e sur la relation
PL cf par exemple Sasselov et al
La variabilit e des etoiles massives M M a egalement et e explor ee a l aide de
mo d eles evolutifs coupl es a des calculs LNA par Lovy et al et Schaller
Ce dernier montre que les relations PLC observ ees p our les sup erg eantes dans la b oucle
bleue sont en b on accord avec la relation th eorique p our le mo de fondamental Les mo d eles
evolutifs sont n ecessaires p our p ond erer chaque p oint de la relation PLC th eorique par
son temps evolutif La variabilit e des etoiles massives Luminous Blue Variables et
hyperg eantes est ab ord ee au chapitre
Couplage mo d eles hydrodynamiques mo d eles d atmosph ere
Le troisi eme domaine de la physique stellaire qui s est d evelopp e parall element a l evo
lution et a la pulsation est l etude du transfert radiatif a travers les couches optiquement
minces de l atmosph ere Les mo d eles d atmosph eres p ermettent de calculer en d etail le
sp ectre emergeant et de le comparer aux observations sp ectroscopiques ou photom etriques
Peu de mo d eles hydrodynamiques incorp orent une description d etaill ee du transfert ra
diatif dans les couches externes mobiles de l etoile sur un grand domaine de longueurs
d ondes En g en eral la luminosit e b olom etrique et la temp erature sont transform ees en
magnitudes et couleurs via des mo d eles d atmosph eres statiques La vitesse radiale est
quand a elle donn ee par la vitesse instantan ee d une couche pro che de la zone de ionisation
de l hydrog ene photosph ere p ond er ee par un co e cient d assombrissement centre bord
et moyenn ee sur le disque stellaire
Ces approximations a ectent les r esultats obtenus par la m ethode de Baade Wesselink o u
un indice de couleur et une magnitude sont utilis es p our mesurer la temp erature e ective
et la luminosit e instantan ee En e et l indice B V utilis e usuellement comme indicateur
de temp erature est biais e par le changement de gravit e et de microturbulence au cours de
la pulsation ce qui limite la pr ecision sur les rayons moyens Gautschy Par contre
les indices et les couleurs infrarouges bandes JHK sont moins sensibles a ces e ets La
ney Stobie voir aussi le chapitre
L approximation sur les vitesses est moins critique p our cette application elle n in
duit qu une erreur de l ordre de sur les rayons Albrow Cottrell Notons
de a km s selon les toutefois la pr esence d un gradient de vitesse atmosph erique
raies consid er ees Butler d un assombrissement centre bord variable avec la
phase Sabb ey et al et d une microturbulence variable comprise entre et
t
km s Bersier Burki qui provoquent la d eformation et l asym etrie observ ee
des raies sp ectrales cf paragraphe
On trouve divers degr es de ra nement dans le traitement du transfert radiatif dans la
photosph ere des etoiles pulsantes Selon le probl eme consid er e photom etrie ou sp ectro
scopie on est amen e a simpli er une partie du probl eme pulsation ou transfert radiatif
p our se concentrer sur le p oint crucial Ainsi la plus grande partie des mo d eles hydro
la diminution de temp erature dans l atmosph ere en extension provoque un d eplacement des raies
vers les couches de masse inf erieures et diminue l estimation du gradient de vitesse
Partie I
dynamiques ne traitent pas l atmosph ere mais r esolvent les equations hydrodynamiques
uniquement dans l enveloppe On a donc des luminosit e b olom etrique mais pas les d etails
du sp ectre emergeant de l etoile Sasselov Lester s int eressent a la d eformation
des raies et a l echau ement de la chromosph ere par les ondes de pressions formation de
la raie chromosph erique de l h elium a A Ils utilisent un mo d ele d atmosph ere
excit e par un piston de p eriode x ee et traitent le transfert radiatif en d etail
Les mo d eles de A Fokin Fokin traitent l hydrodynamique de l enveloppe avec
l approximation de di usion p our la radiation dans l enveloppe et la r esolution d etaill ee
des equations de transfert radiatif dans l atmosph ere Ce traitement p ermet de calculer
le pro l de quelques raies choisies et de suivre leurs d eformations dues a la pulsation et a
la propagation des ondes de choc Jeannin Fokin et al
R ef erences
Albrow M D Cottrell P L MNRAS
Alib ert Y A Bara e I Hauschildt P et al A A
Baker N H Kipp enhahn R Zeitschr F Astrophys
Bersier D Burki G A A
Bono G Stellingwerf R F Memorie della So cieta Astronomica Italiana vol
no p
Bono G Caputo F Castelani V Marconi M ApJ
Buchler J R Goupil M J ApJ
Buchler J R Goupil M J Piciullo R ApJL L
Buchler J R Kovacs G ApJ
Buchler J R Kovacs G ApJ
Burki G Mayor M A A
Butler R S ApJ
Butler R S Bell R A Hindsley R B ApJ
Canuto V M Mazzitelli I ApJ
Cox J P Theory of stellar pulsation Princeton series in astrophysics
Cox J P Giuli R T Principle of stellar structure Gordon and Breach Science
Publishers
Cox J P Whitney C ApJ
Chiosi C dans Confrontation b etween stellar pulsation and evolution ASP Conf
Ser
Durlevich O V Kazarovets E V Kholop ov P N et al dans General Catalogue
of Variable Stars Ed N N Samus Astronomical Council of the USSR Academy of
Sciences and Sternberg State Astronomical Institute of the Moscow State University
Evans N R B ohm vintense E Carp enter K et al ApJ
Fernie J D Beattie B Evans N R and Seager S IBVS No voir aussi
http ddo astro utoronto ca cepheids html
Feuchtinger M U A A
Fokin A Ap SS
Fokin A Gillet D Chadid M A A
Gautschy A Vistas in Astronomy
Gautschy A Saio H Ann Rev A A
Gieren W ApJ Sup
Chapitre
Giridhar S J Astophys Astr
Jeannin L Pulsation des etoiles lumineuses Th ese sp ecialit e physique Ecole
normale sup erieur de Lyon
Klapp J Goupil M J Buchler J R ApJ
Kollath Z Beaulieu J P Buchler J R Yecko P ApJL L
Laney C D Stobie R S MNRAS
Luck R E Lambert D L ApJ
Luck R E Mo ett T J Barnes T G et al ApJ
Nordlund A Stein R F IAU Collo quia The impact of large scale surveys on
pulsating star research Ed L Szabados D Kurtz ASP Conf Ser sous presse
Voir aussi http www astro ku dk aake index html
Pont F Queloz D Bratschi P Mayor M A A
Sabb ey C N Sasselov D D Fieldus M S et al ApJ
Saio H Gautschy A ApJ
Sandage A Bell R A Tripicco M J ApJ
Sasselov D D Beaulieu J P Renault C et al collab oration EROS A A
Sasselov D D Lester J B ApJ
Shapley H ApJ
Szabados L Pont F A AS
Udalski A Soszynski I Szymanski M et al Acta Astron
Yecko P A Kollath Z Buchler J R A A
Deuxi eme partie R esonances
Chapitre
Chapitre
C eph eides et r esonances
Progression de Hertzsprung
En comparant les courb es de lumi ere de c eph eides galactiques de diverses p eriodes
Hertzsprung note l apparition d une b osse sur leur partie descendante qui se d e
place sur la partie ascendante a mesure que la p eriode cro t La m eme progression est
visible sur les courb es de vitesse radiale
Bien que la progression de la b osse soit repro duite par les premiers mo d eles hydro
dynamiques Christy Stobie son origine reste obscure jusqu a ce que Simon
Schmidt etablissent sur la base des mo d eles hydrodynamiques de Stobie et de
a b
c d
Fig Echantil lon des courbes photom etriques compil ees par Hertzsprung Les
p eriodes sont indiqu ees en haut a gauche pour chaque objet chaque graduation correspond
a mag visuel le La bosse se d eplace de la partie descendante de la courbe vers la partie
ascendante a mesure que la p eriode augmente c est la progression de Hertzsprung
Partie II
calculs LNA une relation entre la p osition de la b osse et le rapp ort des p eriodes P P
entre le mo de propre fondamental et le second mo de propre d oscillation Ils notent que
les mo d eles ayant une b osse sur la partie descendante de la courb e de lumi ere satisfont
P P
2 2
alors que si la b osse est sur la partie ascendante de
P P
0 0
la courb e Ils sugg erent alors que la progression de Hertzsprung est intimement li ee a la
r esonance P P Le mo de P lin eairement stable est alors excit e par le mo de P
instable lorsque leur rapp ort est pro che de
La relation entre la r esonance et la progression de la b osse appara t naturellement
dans le cadre des equations aux amplitudes dont nous citons quelques r esultats Klapp
et al
si on consid ere une courb e de lumi ere du type V A cos t A cos t
les courb es deviennent sym etriques non pas a la r esonance exacte mais l eg erement hors
r esonance i e mo d a Cet e et d epend du degr e d adiabaticit e
de la pulsation qui p our les c eph eides est une b onne approximation donc le d ecalage
est n egligeable
Le d ephasage a un comp ortement typique en arccotangeante quand la p eriode
P s appro che de la r esonance
Le rapp ort d amplitude se comp orte de mani ere lin eaire dans le voisinage de la
r esonance R
La condition de r esonance P P ne su t pas p our provoquer l apparition
d une b osse Il faut encore que les equations aux amplitudes a admettent un
p oint xe stable et que les amplitudes A et B soient su santes p our qu une b osse soit
observable
les solutions r esonantes stables n existent que dans une r egion du diagramme HR
entre la limite d existence des p oints xes FPB le b ords bleu de la bande d instabilit e
et la r egion de bifurcation de Hopf voir gure Au del a du FPB i e a plus basse
luminosit e et plus haute temp erature il n y a plus de solution r esonante et l etoile oscille
selon une fr equence non r esonante cf paragraphe
Param etres de Fourier
Pour d ecrire quantitativement la forme des courb es et la progression de Hertzsprung
Simon Lee introduirent les param etres de Fourier Ceux ci p ermettent de compa
rer quantitativement les observations et les mo d eles Par ailleurs ces grandeurs d ependent
uniquement de la forme des courb es observ ees et sont donc ind ependantes de l extinction
ou de la distance des etoiles variables
Chapitre
Fig E et de la r esonance sur
une c eph eide de M dans diverses r e
gions du diagramme HR d apr es Klapp
et al Les lieux d egal rapport
P P et P P limitent
la zone en luminosit e alors qu el le est
limit ee en temp erature par la bande
d instabilit e Pour les basses temp e
ratures l absence de point xe pour
le syst eme d equations a
joue en r ole important cette limite pro
voque la chute brutale du a P
jours En dessous de log L L
les mod eles subissent une bifurca
tion de Hopf avec doublement de p e
riode
Les courb es de lumi ere sont d ab ord d ecompos ees en s erie de Fourier
X
V t A A cos j t T
j j
j
puis ont d e nit le d ephasage et le rapp ort d amplitudes
k
k k
A
k
R
k
A
Avec cette d e nition le d ephasage est ind ependant du choix de l origine du temps T
R d ecrit l asym etrie de la courb e on s eloigne d une sinuso de a mesure que sa valeur
k
augmente alors que d ecrit la largeur du maximum plus les courb es sont piqu ees plus
k
ce terme est p etit
Les diagrammes R P et P servent a lo caliser les r esonances et a les comparer
k k
P
2
appara t aux courb es th eoriques comme le montre la gure la r esonance
P
0
comme une discontinuit e dans le plan P p our P jours Ceci s accompagne
d une chute du rapp ort d amplitude R dans le plan R P cf gure
Pour analyser de mani ere similaire les signaux multi p eriodiques Antonello a
introduit des param etres de Fourier g en eralis es L equation devient dans le cas multi
p eriodique
P
A sin j t T les courb es de vitesse seront d ecompos ees selon V r A
j 0 j 0 j
Partie II
Fig D ephasage en fonction
de la p eriode pour les c eph eides ga
lactiques classiques vitesses radiales
d apr es Krzyt et al La s equence
observ ee est caus ee par progression de
Hertzsprung La discontinuit e a P
jours est probablement due a la li
mite des points xes FPB voir texte
Les deux points hors s equences a P
jours sont des c eph eides de type S faus
sement assimil ees a des c eph eides fon
damentales
X
V t A A cos t
k k k
k
Les fr equences de base d ecrivent les mo des excit es les courb es observ ees contenant les
k
P
a A chaque fr equence de harmoniques et les combinaisons de ces fr equences
k i i k
i
base est asso ci ee une phase et les d ephasages g en eralis es sont alors donn es par
k k
X
a
g i i i k k
k
Pour des c eph eides a double mo des oscillants avec les fr equences et les d epha
sages sont donn es par G i j L equivalent du d ephasage p our les
i j i j
mo des et est sont resp ectivement G et G
Progression de Hertzsprung contrainte sur les
mo d eles
La comparaison entre th eorie et observation se fait via des diagrammes param etre de
Fourier p eriode Si les equations aux amplitudes p ermettent une etude qualitative ce sont
les mo d eles hydrodynamiques qui p ermettent d a juster quantitativement les observations
Comme indiqu e au premier chapitre les mo d eles LNA ou hydrodynamiques ne tiennent
compte que de l enveloppe stellaire et n ecessitent donc que l on se donne quatre para
m etres M L T et la comp osition chimique p our laquelle les rapp orts d ab ondances ef f
Chapitre
sont supp os es constants ce qui ne laisse qu un param etre libre M H
Usuellement on emploie deux relations suppl ementaires
une relation masse luminosit e ML issue des mo d eles evolutifs d etoiles dans la b oucle
bleue combustion de l h elium On introduit ainsi l e et de l evolution
les mo d eles sont r epartis sur une s equence se trouvant a une distance constante du
L
b ords bleu de la bande d instabilit e Ceci fournit une relation log log T qui
ef f
L
d ecrit la p osition moyenne des c eph eides dans la bande d instabilit e Parfois la s equence
est x ee a luminosit e constante elle d ecrit alors l evolution d une etoile a travers la bande
d instabilit e
Pour un p oint de la s equence et une relation ML donn ee tous les param etres sont
d etermin es la comp osition etant x ee p our un echantillon donn e Pour la Galaxie la
comp osition solaire est adopt ee les variations de comp osition etant ignor ees cep endant
Fry Carney ont montr e que le rapp ort F e H des c eph eides galactiques est
compris entre et dex Pour chaque s equence on calcule alors le sp ectre LNA
et les mo d eles hydrodynamiques p our lesquels on obtient les courb es de lumi ere et de
vitesse radiale d o u on d eduit les param etres de Fourier cf chapitre p our plus de
d etails
Position de la r esonance
Nous introduisons ici la m ethode adopt ee p our comparer les mo d eles hydrodynamiques
aux observations La notation concernant la r esonance P P est utilis ee mais elle
s applique de la m eme mani ere a la r esonance P P discut ee dans la partie
Le d ephasage P d epend fortement de la s equence ici a luminosit e constante et
P
2
de la relation ML adopt ee alors que la relation y est moins sensible On notera
P
0
P
2
f la relation moyenne entre diverses s eries de mo d eles Le rapp ort des p eriodes
P
0
P d epend lin eairement de P dans le plan log P l og P
P CP
o u le param etre C d epend de la relation ML et de la s equence adopt ee L exp osant reste
quasiment inchang e selon les mo d eles adopt es cf gure
P
2
En a justant f f CP sur les valeurs de et P observ ees on p eut d eter
P
0
miner C et La relation P P CP nous donne alors P la p osition de la
r es r es
r es
r esonance
Finalement si on se donne une s equence resp ectivement une relation ML la condition
P
2
a P P fournit une contrainte sur la relation ML resp ectivement sur la
r es
P
0
s equence a adopter
La comparaison des mo d eles avec la progression de Hertzsprung en photom etrie et en
vitesse radiale Kovacs Buchler Buchler et al montre que
P
2
a P jours repro duit la variation de observ ee La r esonance
P
0
P
2
P
20
P 0
Partie II
Les param etres issus des vitesses sont mieux a just es que ceux issus de la photom etrie
Ceci vient p eut etre d une approximation trop grossi ere du transfert radiatif dans les
couches externes de l etoile
P
2
d epend p eu de la relation ML et de la s equence utilis ee
P
0
Notons en n que la discontinuit e en V r aux alentours de P jours est
probablement li ee a la limite d existence des p oints xes Les ob jets a plus longue p eriode
n ont pas de p oints stables dans le cas r esonnant
P
R esonance = 0 5 a P ' 4 5 jours dans
P
les c eph eides de type S
Les c eph eides de type S et l existence eventuelle d une r esonance P P p our
ces ob jets ont et e etudi es en collab oration avec P Moskalik D Bersier et F Pont Les
r esultats ont et e publi es dans Kienzle et al not e KMBP ci dessous Nous introdui
sons bri evement la probl ematique et les r esultats obtenus ci dessous ainsi que quelques
compl ements sur les s equences de mo d eles utilis ees On se r ef erera a l article ci joint p our
plus de d etails
Notons que les r esultats ci dessous incluent trois nouveaux ob jets mesur es en janvier
avec le sp ectrographe CORALIE install e sur le nouveau t elescope Suisse de m a La Silla
Les c eph eides de type S se distinguent de leurs homologues classiques par des courb es
de lumi ere et de vitesses radiales de faible amplitude A k m s pro che d une sinu
so de d o u le quali catif de S et des p eriodes courtes comprises entre et jours cf
gure
Ces ob jets sont des c eph eides classiques oscillant dans le premier mo de propre de pul
sation radiale P comme les exp eriences de micro lentille gravitationnelles l ont montr e
Beaulieu et al en distinguant clairement deux s equences parall eles dans les dia
grammes m log P des c eph eides du LMC cf gure
V
Mentionnons que l hypoth ese alternative sugg erait que ces ob jets soient des c eph eides
classiques observ ees durant le premier passage a travers la bande d instabilit e BI Les
analyses d ab ondances de Kovtyukh et al sur un echantillon de c eph eides S ont
d etect e une d e cience en carb one et un exc es en azote par rapp ort aux ab ondances solaires
p our la plupart d entre elles ce qui montre qu elles ont subi la mo di cation de comp osi
tion attendue lors du m elange de l enveloppe convective et du co eur dredge up Ce
m elange se pro duisant sur la branche des g eantes le premier passage a travers la bande
d instabilit e a donc eu lieu
L analyse des courb es de lumi ere des c eph eides S galactiques montre une discontinuit e
autour de P jours dans le diagramme P Antonello Poretti Antonello
et al gure de KMBP Par analogie avec la structure observ ee a P jours
Les c eph eides sont su samment massives M M p our que le cycle CNO soit la principale
source de combustion de l hydrog ene durant la phase de s equence principale Le cycle CN change les
14 12
rapp orts d ab ondances en augmentant la quantit e de N et diminuant celle de C
Chapitre
Fig Courbes de vitesses radiales pour une c eph eide
classique AP Pup P jours et une c eph eide de
type S V Pup P jours La premi ere oscil le
dans le mode fondamental et est caract eris ee par une
courbe asym etrique et de grande amplitude alors que la
c eph eide S oscil le dans le premier mode propre d oscil la
tion et a une courbe de faible amplitude et proche d une
sinuso de
Fig Diagramme p eriode
luminosit e pour les c eph eides du LMC
donn ees de OGLE II Udalski et
al Les c eph eides S points
avec des courbes de faible ampli
tude et particuli erement sym etriques
dessinent une s equence parall ele et
au dessus de celle des c eph eides clas
siques croix A luminosit e egale
les c eph eides S ont une p eriode plus
courte P P
C eph S C eph cl assiq ues
et en accord avec le rapport P P des
mod eles el les oscil lent donc dans le
premier mode de pulsation
p our les c eph eides classiques Antonello Poretti ont sugg er e que la discontinuit e est due
a la r esonance P P a P jours
Si en a justant convenablement la relation masse luminosit e ML et la s equence des
mo d eles une telle r esonance est p ossible les courb es de lumi ere des mo d eles hydrody
Partie II
namiques sont incapables de repro duire convenablement la discontinuit e observ ee An
tonello Aikawa Schaller Buchler mettant en doute l existence
d une r esonance De plus des c eph eides tr es lumineuses seraient n ecessaires p our amener
la r esonance a P jours ce qui se traduit par une relation ML incompatible avec les
r
observations des c eph eides r esonantes classiques ou membres d amas La relation adopt ee
par Antonello Aikawa est log L L log M M ce qui corresp ond aux
mo d eles evolutifs de Chiosi avec un overshoot elev e Ceci est en con it avec les c e
ph eides galactiques classiques et les a justements d iso chrones sur les amas qui favorisent
un p oint z ero de p our la relation ML
Pour contraindre l existence et la p osition de la r esonance une campagne de mesures
de vitesses radiales d un echantillon de c eph eides S a et e organis ee en collab oration avec
F Pont et D Bersier La ma jeur partie des mesures ont et e obtenues avec CORAVEL
nord OHP France et sud La Silla Chili et avec CORALIE sur le nouveau t elescope
Suisse a La Silla
Les courb es de vitesses de nos ob jets ont et e compl et ees par c eph eides S issues de
la compilation de Krzyt et al
R esultats
Les c eph eides S d e nissent des s equences distinctes des c eph eides classiques dans les
diagrammes P R P ou A P KMBP g et Le premier diagramme est
un outil e cace p our s eparer les deux classes de variables alors que l amplitude A n est
pas un crit ere su sant
Aucune discontinuit e n est observ ee a P jours dans le diagramme V r P
contrairement a ce qui est observ e dans le diagramme photomtr ie P KMBP g
Ce d ecrochement photom etrique n est donc pas d u a la r esonance
La progression r eguli ere de est tr es semblable a la s equence th eorique attendue
Schaller Buchler ou Antonello Aikawa KMBP g Seuls la p osition et la largeur
de la s equence doivent etre a just es La r esonance est bien pr esente mais a plus longue
p eriode
P
Mo d eles et p osition de la r esonance = 0 5
P
A n de lo caliser quantitativement la r esonance la pro c edure suivante similaire au cas
des c eph eides fondamentales a et e adopt ee
Les mo d eles de Schaller Buchler montrent que est essentiellement une
fonction de P P
P
f
P
avec p eu de variation selon la s equence adopt ee cf gure c
Ici nous utilisons les deux s equences A et B d e nies par Schaller Buchler La premi ere
Chapitre
a S equence A b S equence B
c V r P P d P P P
21 4 1 4 1 1
Fig a et b Diagramme log L L l og T il lustrant les deux s equences poin
ef f
til l es de mod eles adopt ees pour deux relation ML di erentes en a Chiosi et al en b
Becker et al et deux distances K en a et K en b du bords bleu de la bande d in
stabilit e du premier harmonique Le bord bleu de la bande d instabilit e du mode fondamen
tal limite la zone d instabilit e pour les c eph eides S Le lieu de la r esonance P P
est port e en traitill es c Relation entre le d ephasage V r et le rapport de p eriodes
P P pour les deux s equences ci contre El le d epend de la s equence et de la relation ML
adopt ees d Relation P P P pour les s equences A et B La position de la r esonance
P est indiqu ee par les eches Cette relation est approxim ee par la relation r es
Partie II
utilise la relation ML de Chiosi et al et une s equence a K du b ord bleu de la
bande d instabilit e p our le premier harmonique gures a la seconde utilise la rela
tion ML de Becker et al et se situe a K du b ords bleu de la bande d instabilit e
gures b
La d ependance de P P vis a vis de P p eut etre approxim ee par
P P
P P
r
o u P et d ependent de la relation ML et de la s equence de mo d eles adopt ee ici des
r
s equences parall eles au b ord bleu de la bande d instabilit e p our le premier harmonique
sont utilis ees
En combinant ces deux relations on obtient
P
f
P
r
qui une fois a just ee sur les valeurs de et P observ ees fournit la p osition de la r eso
nance P et le param etre
r
Selon la s equence utilis ee la p osition de la r esonance est P jours s equence
r
A ou P jours s equence B Seule l erreur statistique est donn ee
r
Finalement si on supp ose que la s equence B K du b ords bleu est repr esenta
tive des c eph eides S galactiques la p osition de la r esonance contraint la relation ML En
adoptant une relation de la forme log L L log M M b alors b
Cette relation est en meilleur accord avec les contraintes issues des amas ouverts et des
c eph eides classiques Buchler et al que la valeur utilis ee par Antonello Aikawa
n ecessaire p our a juster qualitativement la p osition photom etrique du d ephasage
Autres r esonances
A l aide de mo d eles LNA Antonello a lo calis e deux autres r esonances p our les
c eph eides p our P jours et a P jours la seconde etant
attendue p our des c eph eides a double mo des
Les signatures observationnelles dans les param etres de Fourier photom etriques sont tr es
faibles et aucune simulation hydrodynamique n a et e faite rapp elons que P P
i j
n est pas une condition su sante p our avoir une r esonance et p our qu elle soit obser
vable De m eme Antonello a signal e la pr esence d une r esonance P P a
longue p eriode P jours qui est di cile a mettre en evidence etant donn e la raret e
des c eph eides galactiques dans cette gamme de p eriodes connues
Aucune de ces r esonances n a fait l ob jet d une etude quantitative en vitesses par manque
de mesures
Chapitre
Tous les couplages consid er es jusqu a pr esent ne mettent en jeux que des mo des pure
ment radiaux Or le m eme ph enom ene p eut s appliquer au sp ectre de pulsation non radial
Van Ho olst et al L excitation d un mo de non radial stable par un mo de radial
instable cause un transfert d energie p eriodique entre les mo des et une mo dulation de l am
plitude de la pulsation radiale C est l une des alternatives p our expliquer l e et Blazcko
mo dulation d amplitude p eriodique d environ jours observ ee dans un tiers des RR
Lyrae de type a et b pulsateurs radiaux dans le mo de fondamental cf Van Ho olst et
al
C eph eides a double mo de r esonance et echelle
des distances
Ci dessous nous pr esentons les sujets qui font l ob jet de programmes de recherche en
cours dont les donn ees ne sont que partiellement acquises
C eph eides a double mo de
Les c eph eides galactiques a double mo de oscillent g en eralement dans le mo de fonda
mental P et le premier mo de propre P du sp ectre d oscillation Ces deux observables
sont utilis ees p our contraindre la masse des mo d eles stellaires b eat mass mais des
contraintes suppl ementaires p euvent etres extraites des r esonances
La p eriode P des c eph eides double mo des a des valeurs typiques des c eph eides S r eso
nantes compris entre et jours et les param etres de Fourier photom etriques Pardo
Poretti indiquent que le d ephasage li e a P ou P suit la m eme s equence que
les d ephasages issus des c eph eides mono mo des En utilisant la r esonance P P
on p eut estimer P a partir du param etre P et avec trois observables P P et P
ind ependantes de l extinction on p eut contraindre trois des quatre param etres d ecrivant
la structure de l enveloppe Toutefois nous avons vu que seul le d ephasage en vitesse
est quantitativement exploitable p our estimer P
En collab oration avec P Moskalik et A Krasinski Cop ernicus Institude Varsovie
nous avons entrepris d obtenir les param etres de Fourier p our les c eph eides double mo des
galactiques
La premi ere s erie de mesures obtenues de d ecembre a janvier sur CORALIE a
l ESO au Chili est compl et ee par la mission de janvier sur le m eme instrument et
deux missions sur le sp ectrographe GIRAFFE du South African Astronomical Observa
la masse d une c eph eide p eut etre d eriv ee de quatre mani eres par les iso chrones quand l ob jet
est membre d un amas ouvert par la m ethode de Baade Wesselink BW par les p eriodes des
c eph eides a double mo des masse pulsationelle par la p osition de la b osse dans les c eph eides classiques
r esonantes bump mass Ces m ethodes donnaient des r esultats discordants Cox jusqu a ce que
a l am elioration de la m ethode BW et une calibration plus soigneuse des corrections b olom etriques et des
indices de couleurs r econcilient les trois premi eres m ethodes b l augmentation de l opacit e des el ements
lourds rende compatible aussi la bump mass et la b eat mass
Partie II
tory au printemps et a l et e
L a justement simultan e de deux fr equences mo de fondamental et premier mo de
propre de pulsation n ecessite une b onne pr ecision sur les mesures individuelles
V r
m s ainsi qu une centaine de p oints par etoile p our contraindre les diverses combi
naisons de fr equences pr esentes dans le signal
Par exemple p our UZ Cen gure le signal est d ecrit par une s erie en sinus compre
nant les fr equences et soit
au total param etres libres amplitudes et phases p our chaque combinaison qui sont
a just es sur les mesures La pr ecision sur est de l ordre de rad avec un RMS
sur l a justement de m s
Les d ephasages p our chacun des mo des propres P et P sont compar es aux va
leurs p our les c eph eides galactiques mono mo des c eph eides classiques et c eph eides S
gure La s equence issue des mo d eles hydrodynamiques a et e rep ort ee en trait plein
sur chaque graphique Pour les c eph eides classiques la s equence B de Buchler et al
et la relation P CP avec C et ont et e utilis es Pour les c e
ph eides S c est la relation a just ee au chapitre qui est indiqu ee
Le d ephasage du mo de fondamental prolonge la s equence des c eph eides classiques
aux courtes p eriodes Pour le premier mo de propre P la s equence des c eph eides double
mo des se sup erp ose a celles des c eph eides S Les s equences des c eph eides a doubles
mo des corresp ond donc a celle des c eph eides mono mo des mais les erreurs syst ematiques
dues au nombre de mesures encore insu sant ne p ermet pas encore d utiliser la relation
f P P p our estimer P avec une pr ecision utile
Fig D ephasage photo
m etrique photom selon la
p eriode de pulsation pour les
c eph eides classiques cercles les
c eph eides S triangles vides
et les c eph eides double mode
p oints d ephasage du mode
fondamental triangle plein d e
phasage du premier harmonique
Les d ephasages photom etriques
des c eph eides mono modes
suivent les m emes s equences
Pardo Poretti
R esonances et echelle des distances
L utilisation des etoiles variables dans la mesure des distances extra galactiques a d e
but ee avec la d ecouverte par E Leavitt de la relation p eriode luminosit e p our les c eph eides
du Petit Nuage de Magellan Cette m ethode relie une caract eristique de la courb e de lu
Chapitre
Fig Vitesses radiale en fonction de la
phase pour UZ Cen et ajustements pour di
verses combinaisons des fr equences propres
et Les mesures ont et e obtenues avec
CORALIE et GIRAFFE au printemps
et en janvier Les points sont ajus
t ees avec les param etres correspondant a
diverses combinaisons de et
mi ere la p eriode a l un des quatre param etres d e nissant la structure de l enveloppe de
l etoile la luminosit e Des trois param etres restants T M M H seul l e et de la
ef f
masse et de la temp erature sont vraiment ma tris es le premier est inclus dans la relation
PL via la relation ML le second appara t comme un terme de couleur dans la relation
p eriode luminosit e couleur L e et de m etallicit e est mal connu actuellement tant sur le
plan observationnel o u il se confond avec l e et de temp erature et le rougissement que
sur le plan th eorique o u des r esultats contradictoires s a rontent Alib ert et al
Bono et al
Si la p eriode est une mesure facile une photom etrie visuelle su t et robuste non
a ect ee par l extinction et la m etallicit e de l etoile ce n est pas le cas des indices de
couleurs Ce probl eme p eut etre contourn e en exploitant pleinement les param etres de
Fourier d ecrivant la courb e de lumi ere ou de vitesse radiale qui sont des mesures ind e
p endantes des e ets de rougissement mais qui caract erisent l etoile pulsante Les relations
entre F e H M indices de couleur et les param etres de Fourier et les p eriodes ont et e
v
etablies et calibr ees par Kovacs Jurcsik Kovacs Jurcsik Jurcsik Ko
vacs Jurcsik p our des RR Lyrae pulsant dans le mo de fondamental RRab
Ces relations ont et e calibr ees sur des RRab du champ et d amas globulaires Elles p er
mettent de d eterminer les param etres fondamentaux des etoiles a partir uniquement de
la morphologie de leurs courb es de lumi ere Combin es a la magnitude apparente moyenne
et aux indices de couleurs on p eut en d eduire la distance et le rougissement
Une appro che similaire n est pas encore applicable aux c eph eides car le nombre d ob
Partie II
a Mo de fondamental P b Premier mo de propre P
0 1
Fig D ephasage en vitesse radiale V selon la p eriode de pulsation pour a les
r
c eph eides classiques cercles b les c eph eides S p oints Galactiques Les c eph eides a
double mode triangles ouverts pour le mode P et triangles pleins pour le mode P sont
repr esent es sur chacune des gures Comme pour la photom etrie gure le d ephasage
V du mode fondamental P prolonge la s equence des c eph eides classiques aux courtes
r
p eriodes et le d ephasage du mode P suit la s equence obtenue des c eph eides S Les ecarts
aux s equences sont dus a un echantillonnage encore insu sant des courbes de vitesse radiale
Chapitre
jets situ es a la m eme distance membre d un m eme amas ou d une m eme galaxie et ayant
une extinction semblable n est pas su sant p our assurer une calibration able Notons
toutefois que Woo d et al ont extrait M L et T la m etallicit e etant x ee p our
ef f
quatre c eph eides du LMC en a justant les courb es de lumi ere V et de couleur V I
observ ees a celles issues des mo d eles hydrodynamiques
L alternative qui est appliqu ee sur une dizaine d ob jets du LMC avec des mesures
en Vr obtenues sur FEROS et CORALIE extrait des courb es de vitesse radiales et
en d eduit P P Cette m ethode est semblable a celle utilis ee par Kovacs Walker
Les mo d eles LNA fournissent
P f M L T M H
ef f
P
f M L T M H
ef f
P
qui p eut etre mis sous la forme
P L
l l log P l log log
L P
P M
m m log P m log log
M P
o u l et m d ependent de T et M H
j j ef f
Les mo d eles d atmosph ere donnent
BC f T M H g
ef f
log T a a V I a log g a M H
ef f
En choisissant des indices de couleurs dans les bandes infrarouges on p eut minimiser
l e et de gravit e et de m etallicit e de sorte que log T a a V I
ef f
En n en choisissant des c eph eides ayant des mesures photom etriques et des exc es de
couleurs publi ees on a
V I V I E V I
L
V log E V I BC
k
L
On pro c ede alors comme suit p our chaque etoile
les publications fournissent P V V I et E V I
les mesures de vitesse radiale donnent que l on converti en P P avec une calibra
tion issue des mo d eles hydrodynamiques cf gure c
la m etallicit e M H est supp os ee commune et connue p our toutes les etoiles
L indice de couleur et l exc es de couleur p our chaque ob jet nous donnent une esti
mation de la temp erature et de la correction b olom etrique BC avec T P et P P
ef f
Partie II
on obtient M et L d apr es les calibrations et En n nous donne une
estimation de p our l etoile k
k
Les param etres M L T et M H concernent l etoile a l equilibre La magnitude
ef f
apparente V et l indice V I sont donc des valeurs moyennes alors que dans la m ethode
BW on utilise leur variation temp orelle ce qui rend d elicat le passage des couleurs obser
v ees au grandeurs physiques T via des mo d eles d atmosph ere statiques
ef f
Par ailleurs M et L etant des r esultats ind ependants on p eut en d eduire la relation
ML dans le LMC Cette derni ere relation est int eressante Alib ert et al ayant
montr es qu un overshoot elev e semble n ecessaire p our expliquer la distribution des p e
rio des des c eph eides de LMC alors que les mo d eles evolutifs sans overshoot repro duisent
la distribution observations du SMC et de la Galaxie La p eriode minimale observ ee dans
le LMC favorise egalement une valeur de l ordre de d H
ov P
Fig Vitesses radiale pour
l echantillon du LMC Points
mesures FEROS cercles me
sures CORALIE Le nom et la
p eriode en jours de la c eph eide
sont indiqu es ci contre
R esultats pr eliminaires
Les courb es de vitesse radiales obtenues en janvier sur FEROS et sur CORALIE
missions de et sont rep ort es sur la gure Les p oints sont les mesures
FEROS alors que les cercles sont les mesures CORALIE La plupart des courb es ne sont
pas su samment echantillonn ees p our que des param etres de Fourier ables puissent etre
estim es toutefois nous rep ortons sur la gure le d ephasage en fonction de la p e
rio de p our ces ob jets Les observations Galactiques sont donn ees par les croix la courb e
Chapitre
Fig D ephasage des
c eph eides classiques du LMC
cercles et points compar e aux
c eph eides galactiques croix La
s equence th eorique d apr es Bu
chler et al est indiqu ee en
trait plein
th eorique issue des mo d eles hydrodynamiques de Buchler et al etant indiqu ee par
le trait continu
La s equence du LMC se place sous la s equence galactique ce qui indique soit un rap
p ort M L plus faible dans le LMC que dans la Galaxie soit une r esonance a plus longue
p eriode On note aussi la grande disp ersion des observations Un meilleur echantillonnage
des courb es de vitesse est n ecessaire avant de faire une analyse d etaill ee de la progression
P du LMC
Partie II Tab de HV HV HV HV HV HV HV HV HV HV Etoile mesures Param etres N P erio de nombre j de d harmoniques M Fourier N des c eph eides ajust ees A du ecart LMC A quadratique mesur ees R avec moyen FEROS sur R les et r esidus CORALIE R en janvier R et M nombre
Chapitre HV HV HV HV HV HV HV HV HV HV Etoile P erio de j Tab V B Photom etrie J disponible H pour l echantil lon K B de V c eph eides V I du LMC V R E B V YN
Partie II
Fig Pic de corr elation pour la
c eph eide du LMC HV apr es
min de pause sur CORALIE d ecembre
Le masque R F a et e utilis e
ici
Fig Position des c eph eides dans
le LMC Croix c eph eides du catalogue
de Payne Gaposchkin Cercles
c eph eides de OGLE dans la barre du
LMC Rectangle Objets mesur es avec
FEROS
R ef erences
Alib ert Y A Bara e I Hauschildt P et al A A
Antonello E A A
Antonello E A A L
Antonello E Aikawa T A A
Antonello E Aikawa T A A
Antonello E Poretti E Reduzzi L A A
Becker S A Ib en I Tuggle R S ApJ
Chapitre
Beaulieu J P Grison P Tobin W et al A A
Buchler J R Moskalik P Kovacs G ApJ
Buchler J R Kollath Z Beaulieu J P Goupil M J ApJ L
Bono G Caputo F Castellani V et al ApJ
Christy R F Q J R Astron So c
Chiosi C dans IAU Coll The Use of Pulsating Stars in Fundamental Pro
blems of Astronomy Ed E G Schmidt Cambridge University Press p
Cox J P Ann Review A A
Fry A M Carney B W AJ
Hertzsprung E Bull Astr Inst Netherland
Jurcsik J A A
Jurcsik J Kovacs G dans stellar evolution in real time pro c XXI I I general
asembly JD Ed E F Guinan to b e published in New Astronomy Review
Kienzle F Moskalik Bersier D P Pont F A A
Klapp J Goupil M J Buchler J R ApJ
Kovacs G Buchler J R ApJ
Kovacs G Jurcsik J ApJ L
Kovacs G Jurcsik J A A
Kovacs G Walker A R ApJ
Kovtyukh V V Andrievsky S M Usenko I A et al A A
Krzyt T Moskalik P Gorynya N et al en pr eparation
Moskalik P Buchler J R Ariel M ApJ
Pardo I Poretti E A A
Payne Gaposchkin C H Smithsonian contributions to astrophysics Number
Schaller G Buchler J R non publi e
Simon R S Schmidt E G ApJ
Stobie R S a MNRAS
Stobie R S b MNRAS
Stobie R S c MNRAS
Van Ho olst T A A
Van Ho olst T Dziembowski W A Kawaler S D MNRAS
Woo d P R Mem S A It vol p Astron. Astrophys. 341, 818–826 (1999) ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS Structural properties of s-Cepheid velocity curves⋆
Constraining the location of the ω4 = 2ω1 resonance
F. Kienzle1, P. Moskalik2, D. Bersier3, and F. Pont1 1 Observatoire de Geneve, Ch. des Maillettes 51, CH-1290 Sauverny, Switzerland 2 Copernicus Astronomical Center, ul. Bartycka 18, PL-00-716 Warsaw, Poland 3 Mt. Stromlo and Siding Spring Observatories, Weston Creek, ACT 2611, Australia
Received 21 July 1998 / Accepted 21 October 1998
Abstract. The light curves of the first overtone Pop. I Cepheids The physical nature of the s-Cepheids has been a matter of (s-Cepheids) show a discontinuity in their φ21 vs. P diagram, debate. It has been suggested in the General Catalog of Vari- near P = 3.2 day. This feature, commonly attributed to the able Stars that these stars are either fundamental-mode pulsators 2:1 resonance between the first and the fourth overtones (ω4 ≈ during the first crossing of the instability strip or, alternatively, 2ω1), is not reproduced by the hydrodynamical models. With the first overtone pulsators. The latter view has been adopted by goal of reexamining the resonance hypothesis, we have obtained Antonello et al. (1990). A different interpretation has been pro- new CORAVELradial velocity curves for 14 overtone Cepheids. posed by Gieren et al. (1990), who has argued that the short Together with 10 objects of Krzyt et al. (1999), the combined period s-Cepheids pulsate in the first overtone, but that the long sample covers the whole range of overtone Cepheid periods. period ones (P > 3.2 day) are in fact fundamental-mode vari- The velocity Fourier parameters display a strong characteristic ables. The controversy has finally been settled with the massive resonant behavior. In striking contrast to photometric ones, they photometry of the MACHO and EROS, which has unambigu- vary smoothly with the pulsation period and show no jump at ously shown that all s-Cepheids pulsate in the overtone (Welch 3.2 day. The existing radiative hydrodynamical models match et al. 1995; Beaulieu et al. 1995). Independently, the first cross- the velocity parameters very well. The center of the ω4 = 2ω1 ing hypothesis has been ruled out by the new spectroscopic resonance is estimated to occur at Pr = 4.58±0.04 day, i.e. at a abundance analysis (Kovtyukh et al. 1996). period considerably longer than previously assumed (3.2 day). The debate between Antonello et al. and Gieren et al. has We identify two new members of the s-Cepheid group: MY Pup been sparked off by the curious behavior of the s-Cepheid and V440 Per. Fourier parameters. The light curve Fourier phase φ21 (cf. Si- mon & Lee 1981), when plotted vs. pulsation period, shows a Key words: techniques: radial velocities – stars: oscillations – very deep and very abrupt drop in the vicinity of P = 3.2 day. stars: variables: Cepheids At the same period the amplitude ratios R21 and R31 display a pronounced minimum. This behavior is reminiscent of what is observed for the fundamental-mode Cepheids at P ≈ 10 day (Simon & Moffett 1985). In the latter case the characteristic 1. Introduction variation of the Fourier parameters has its origin in the 2:1 reso- The sinusoidal or s-Cepheids constitute about 30% of all Galac- nance between the fundamental mode and the second overtone tic Cepheids with periods below 5 days. Originally, they have (Simon & Schmidt 1976; Buchler et al. 1990; Kovacs´ & Buchler been discriminated from other Cepheids by qualitative criteria 1989). – their small amplitudes and almost sinusoidal light, color and By analogy, Antonello & Poretti (1986) and Petersen (1989) radial velocity curves. A more precise, quantitative definition, have proposed that the variations observed for the s-Cepheid based on the Fourier decomposition of the light curves, has been light curves are also caused by a resonance, namely the 2:1 introduced by Antonello et al.(1990). Armed with this new clas- coupling between the first and the fourth overtones. Also by sification tool, the Italian group has identified 33 s-Cepheids, analogy, it has been assumed that the resonance center coincides plus several likely suspects (Antonello & Poretti 1986; An- with the drop of the photometric φ21 and therefore occurs at tonello et al. 1990; Mantegazza & Poretti 1992; Poretti 1994). P = 3.2 day. The resonance hypothesis, although very attractive, has en- Send offprint requests to: F. Kienzle countered serious difficulties, when confronted with hydrody- ⋆ Based on observations collected at the European Southern Obser- namical calculations. Three sets of overtone cepheid models vatory (La Silla, Chile) and at the Observatoire de Haute-Provence have been specifically computed to study the presumed res- (France) onance (Antonello & Aikawa 1993, 1995; Schaller & Buchler Correspondence to: [email protected] F. Kienzle et al.: Structural properties of s-Cepheid velocity curves 819
1994). To great disappointment, they have all failed to reproduce eters of their pulsation velocity curves. Their sample, over 100 the properties of the s-Cepheid light curves. The theoretical φ21 objects in total, contains, however, only 10 overtone Cepheids. and R21 display some features in the vicinity of P = 3.2 day but This number is not sufficient to adequately cover the Fourier they are very far from reproducing what is actually observed. progression for this group of stars. Therefore, we have taken The discrepancy is even more embarrassing, when compared new data for 13 other known overtone Cepheids, in order to en- with the very good agreement obtained with the same codes for large the sample of Krzyt et al. The number of selected targets is the fundamental-mode pulsators (e.g. Moskalik et al. 1992). particularly large close to the photometric φ21 drop (i.e. close to Another potential problem has been pointed out by Buchler P = 3.2 day), where the resonance has been expected, accord- et al. (1996), who have considered the constraints imposed by ing to the previous results. In addition, 3 other Cepheids have resonances on the evolutionary Mass-Luminosity relation. Their been observed (AP Pup, MY Pup and IT Car), in an attempt to linear calculations show that the proposed s-Cepheid resonance identify new long period overtone pulsators. Overtone Cepheids centered at 3.2 day and the well established f-mode Cepheid with P > 5 day have recently been found in the LMC (Alcock resonance at 10 day cannot be reconciled simultaneously with et al. 1995, Fig. 5), their existence in the Galaxy has also been the same M − L relation. For consistent picture, the s-Cepheid predicted on theoretical grounds (Buchler et al. 1997). resonance has to occur at P = 4.3 day. The Vr observations have been obtained with the northern So far, the analysis of the s-Cepheid pulsations has been and southern CORAVEL cross-correlation spectrophotometer performed almost exclusively in the photometry domain. This (Baranne et al. 1979) at the 1-m Swiss telescope at the Haute choice has been dictated by the lack of high quality Vr data for Provence Observatory (France) and at the 1.54-m Danish tele- these low amplitude stars. The only attempt to compare the s- scope at the European Southern Observatory, La Silla (Chile). Cepheid velocity curves with the hydrodynamical models has The cross-correlation function has been fitted with a gaussian been largely inconclusive (Antonello & Aikawa 1995). Ana- profile in a standard way (Burki et al. 1982) in order to extract lyzing overtone Cepheid velocity data is particularly desirable the radial velocities. Radial velocity standards have also been in light of the modeling difficulties discussed above. Velocity observed to check the instrumental drift. The majority of the Fourier parameters can provide additional information on the data has been collected during four runs; in December 1996 (by overtone Cepheid pulsation dynamics and, thus, can shed new FP), February 1997 (by FK), June 1997 (by DB) and during light on the resonance puzzle. The radial velocity, being a dy- the last southern CORAVEL run at La Silla, in December 1997 namical quantity, should display the effects of resonances in a (by FK). For all program Cepheids a very good phase coverage more visible way. The models of BL Her-type stars give a good has been achieved, with more than 30 points per star (except example of such a behavior (Moskalik & Buchler 1993, Buchler V379 Cas – 27 points). The measurement errors range from & Buchler 1994). The use of the velocity data is also preferred 0.3 km/s to 0.8 km/s in most cases. for comparison with the hydrodynamical computations, which The data and Table 1 hereafter are available at the CDS1. are known to reproduce the observed velocity curves very well (e.g. Moskalik et al. 1992). As for the light curves, the models 3. Fourier decomposition show small but persistent discrepancies of the Fourier phases, φn1, for every type of radial pulsators studied (Simon & Aikawa The radial velocity data are fitted with 1986, Simon 1990, Moskalik et al. 1992, Moskalik & Buch- N ler 1993). The problem is most likely caused by an inadequate Vr(t) = A0 + Ak sin[kω(t − t0) + φk] (1) treatment of the radiative transfer in outer stellar layers, which k=1 however, has very little effect on the computed velocity curves X (Feuchtinger & Dorfi 1996). where ω = 2π/P, P is the pulsation period of the star and N With the above reasoning in mind, we have collected new is the order of the fit. The parameters A0, Ak, φk, P and their errors are estimated with a standard unweighted least-squares CORAVEL radial velocity data for several known overtone 2 cepheids. Several others have recently been analyzed by Krzyt method. The variance of the residuals, σ , for M data points is et al. (1999). The combined sample for the first time gives a com- estimated as: plete and accurate description of the entire s-Cepheid velocity χ2 σ2 = min (2) Fourier progression. The preliminary results of this project have M − 2N − 2 been presented by Kienzle et al. (1998). In this paper, we present 2 the final results and discuss their astrophysical implications. In where χmin is the sum of squared residuals. The order of the fit, particular, we discuss the constraint imposed by the velocity N, is increased until adding another harmonic does not decrease data on the location of the s-Cepheid resonance. σ significantly. The points which are more than 2.5σ away from the fit (these are assumed to be poor quality data) are eliminated, and the fitting procedure is repeated. As the last step, the Fourier 2. Observations phases φk1 ≡ φk − kφ1 and amplitude ratios Rk1 ≡ Ak/A1 are calculated. Their errors are computed with the formulae of Krzyt et al. (1999) have made an extensive compilation of pub- lished radial velocity measurements for classical Cepheids and 1 anonymous ftp to cdsarc.u.strasbg.fr (130.79.128.5); subsequently used these data to derive accurate Fourier param- http://cdsweb.u-strasbg.fr/Abstract.html 820 F. Kienzle et al.: Structural properties of s-Cepheid velocity curves
Fig. 1. Radial velocity curves for our program Cepheids. Overtone pulsators are sorted by increasing period, from top to bottom. Two Fig. 2. A1 (in km/s), φ21 and R21 vs. period for Cepheid radial veloc- fundamental-mode Cepheids, AP Pup and IT Car are shown at the ity curves (top, middle and bottom, respectively). Fundamental-mode bottom of the plot. Cepheids are marked with asterisks and overtone Cepheids with filled circles. Filled triangles represent AP Pup and IT Car (see text for these two stars). Error bars are shown only when larger than the symbol size. Petersen (1986). In Fig. 1 we display the phased velocity curves for the program stars, together with their Fourier fits. The Fourier parameters and their formal errors are given in Table 1. plotted vs. period in Fig. 2 (filled circles). In the same plot we also display Krzyt’s et al. fundamental-mode Cepheids (aster- 3.1. Comments on individual stars isks). In this case we have limited the sample to stars with the most secure Fourier solutions, namely those with 25 or more For 4 stars the phase coverage has been improved by supple- datapoints and with an error of σ(φ21) < 0.15. The third or- menting our CORAVELmeasurements with the published data: der parameters φ31 and R31 are displayed for completeness in BD Cas – 18 points from Gorynya et al. (1992, 1996) Fig. 3. FZ Car – 5 points from Pont et al. (1994) Before we begin the general discussion of Figs. 2 and 3 pre- UY Mon – 18 points from Imbert (1981). The archival data have liminary clarifications for several stars are in order: been re-reduced. A vertical shift of −1.1 km/s has been applied, AP Pup and IT Car – These stars are displayed in the plots which reduces the variance of the fit, σ2, by 48%. as filled triangles. All the Fourier parameters place AP Pup se- QZ Nor – 5 points from Metzger et al. (1992). A vertical shift curely among the fundamental pulsators. The high values of of −0.9 km/s has been applied, which reduced the variance of A1, R21 and R31 are incompatible with it being an overtone the fit by 25%. Cepheids. For IT Car, A1 and R21 are somewhat low (and R31 very low), but φ21 and φ31 fall on the fundamental mode se- quence. We classify both stars as fundamental-mode Cepheids 4. Properties of Fourier parameters and will not discuss them any further here. The set of s-Cepheids observed for this paper has been sup- MY Pup (P = 5.69 day) – The values of A1, R21, R31 plemented with 10 overtone pulsators analyzed by Krzyt et al. and φ21 for this object are well below those derived for the (1999): SU Cas, EU Tau, IR Cep, DT Cyg, V351 Cep, EV Sct, fundamental-mode Cepheids. On these grounds, we classify SZ Tau, V532 Cyg, FF Aql and V440 Per. The lowest order this star as a new overtone Cepheid. This conclusion will be Fourier parameters A1, φ21 and R21 for the entire sample are strengthened by comparison with the hydrodynamical models F. Kienzle et al.: Structural properties of s-Cepheid velocity curves 821
Table 1. Fourier parameters for Cepheids measured with CORAVEL. M, N and σ are, respectively, the number of datapoints, the order of the fit and the standard deviation of residuals.
Star Period [d] M N σ A0 A1 R21 φ21 R31 φ31 R41 φ41 R51 φ51 UY Mon 2.398240 36 3 0.611 33.750 9.136 0.276 2.968 0.043 6.088 – – – – 0.000005 0.116 0.147 0.020 0.069 0.017 0.415 – – – – AV Cir 3.065006 35 3 0.435 4.787 7.128 0.203 3.116 0.037 5.525 – – – – 0.000158 0.079 0.110 0.017 0.086 0.016 0.401 – – – – VZ CMa 3.126326 56 5 0.488 39.421 9.692 0.256 3.194 0.080 6.079 0.038 2.821 0.021 5.484 0.000139 0.067 0.090 0.011 0.045 0.010 0.130 0.010 0.272 0.009 0.480 AZ Cen 3.211752 46 3 0.462 -10.343 7.585 0.198 3.153 0.061 5.967 – – – – 0.000126 0.073 0.111 0.015 0.072 0.014 0.207 – – – – BG Cru 3.342503 67 2 0.465 -19.708 5.178 0.108 3.171 – – – – – – 0.000056 0.057 0.084 0.017 0.152 – – – – – – V950 Sco 3.382519 34 3 0.340 13.687 7.962 0.214 3.266 0.051 6.352 – – – – 0.000012 0.071 0.101 0.012 0.057 0.013 0.216 – – – – FZ Car 3.577946 47 3 0.799 -0.960 8.110 0.211 3.492 0.056 6.417 – – – – 0.000023 0.121 0.175 0.024 0.101 0.020 0.394 – – – – BD Cas 3.650765 43 2 1.331 -49.084 8.996 0.153 2.834 – – – – – – 0.000063 0.221 0.306 0.033 0.268 – – – – – – QZ Nor 3.786553 43 3 0.536 -39.549 7.383 0.158 3.695 0.044 7.615 – – – – 0.000031 0.084 0.147 0.018 0.150 0.022 0.435 – – – – AH Vel 4.226777 50 4 0.410 25.801 8.368 0.157 3.590 0.042 5.873 0.023 3.304 – – 0.000053 0.070 0.085 0.009 0.086 0.011 0.233 0.010 0.468 – – V379 Cas 4.305816 27 3 0.669 -38.652 8.428 0.111 3.427 0.055 5.533 – – – – 0.000453 0.131 0.186 0.024 0.197 0.023 0.438 – – – – GI Car 4.431035 50 4 0.448 -20.204 7.819 0.119 3.458 0.037 6.644 0.019 2.222 – – 0.000287 0.066 0.093 0.013 0.095 0.012 0.318 0.012 0.644 – – V335 Pup 4.860555 70 2 0.466 40.041 5.249 0.062 3.036 – – – – – – 0.000354 0.056 0.082 0.015 0.254 – – – – – – MY Pup 5.694670 72 3 0.429 15.168 4.714 0.080 2.641 0.043 6.108 – – – – 0.000317 0.052 0.070 0.016 0.195 0.018 0.335 – – – – AP Pup 5.084534 45 5 0.521 15.393 14.016 0.369 3.115 0.183 6.384 0.090 3.325 0.030 0.327 0.000090 0.098 0.125 0.009 0.031 0.009 0.055 0.010 0.089 0.008 0.360 IT Car 7.539680 40 3 0.402 -11.801 8.004 0.343 3.871 0.033 7.016 – – – – 0.002797 0.068 0.098 0.013 0.042 0.011 0.366 – – – –
(Sect. 5). The light curve of MY Pup has been Fourier analyzed with very large errors (σ(φ2) = 0.72). The values of A1 and by Antonello & Poretti (1986). Antonello et al. (1990) have R21 derived from the velocity curve place the star among the described it as a suspected s-Cepheid. overtone Cepheids, but φ21 = 2.834 ± 0.268 does not, being V440 Per (P = 7.57 day) – This very low amplitude vari- instead similar to those of the fundamental pulsators. Clearly, able (A1 = 2.7 ± 0.1 km/s) has been analyzed by Krzyt et al. more observations are needed to confirm the s-Cepheid status (1999). It is similar to MY Pup and, for the same reasons, we of this variable. classify this star as a new overtone Cepheid. Its light curve has X Lac, V495 Cyg and V636 Cas – these 3 variables have been been Fourier analyzed by Antonello & Poretti (1986). The clas- analyzed by Krzyt et al. (1999). For X Lac (P = 5.45 day) and sification scheme of Antonello et al. (1990), based on photo- V495 Cyg (P = 6.72 day) the values of φ21, R21 and R31 fall metric φ21, does not discriminate between the pulsation modes well below the fundamental mode sequence and close to those for P > 5.5 day (see also Welch et al. 1995, Fig. 2). Therefore, of MY Pup and V440 Per. This behavior strongly suggests the the overtone nature of V440 Per has not been recognized in their s-Cepheid classification, but the amplitude of both stars is rather paper. high and typical of fundamental pulsators (10.88 ± 0.16 km/s BD Cas – This star has originally been classified as Pop. II and 12.95 ± 0.24 km/s, respectively). In the case of V636 Cas Cepheid, according to its photometric and spectroscopic char- (P = 8.38 day), the values of A1 = 4.66 ± 0.08 km/s and acteristics (Petit 1960), although its low galactic latitude (b = R21 = 0.214±0.019 point towards the s-Cepheid classification, −0.96) is also compatible with Pop. I. With new CCD pho- but the very high value of φ21 = 4.554 ± 0.087 is in conflict tometry, Schmidt (1991) and Poretti (1994) have reclassified with such an interpretation. Although all 3 stars differ from the BD Cas as a Pop. I s-Cepheid. However, their photometric data majority of the fundamental-mode Cepheids, at this point the are scarce (16 points) and the Fourier parameters are plagued evidence is not sufficient to consider them overtone pulsators. 822 F. Kienzle et al.: Structural properties of s-Cepheid velocity curves
Fig. 3. φ31 and R31 vs. period for Cepheid radial velocity curves (top and bottom, respectively). Same symbols as in Fig. 2.
Our sample of 24 s-Cepheids covers the range of periods from 1.95 to 7.57 day. Except for BD Cas which deviates from the trend, the remaining stars display a remarkably tight progres- sion of φ21, R21 and to a lesser degree of A1 with the pulsation period. As the period increases, φ21 rises, reaches a maximum at about P = 4 day and then falls down to ∼ 2.5 rad. This variation Fig. 4. s-Cepheid φ21 vs. period for light curves (top) and for radial velocity curves (bottom). For 2 stars photometric φ21 is not available: is accompanied by a decrease of R21 at periods of 3.5−5.0 day, BG Cru (first harmonic not detectable) and V351 Cep (no published followed by a very slow increase. The amplitude 1 decreases A light curve Fourier decomposition). BD Cas is omitted in both plots. uniformly throughout the whole range of periods. In contrast to the low order parameters, the behavior of the higher order terms φ31 and R31 shows essentially no features, perhaps because of 3.2 day nor at any other period. The same is true for all the re- their low accuracy. maining velocity Fourier parameters. In other words, there is The velocity Fourier parameters of the overtone Cepheids no spectacular change of velocity curve morphology at 3.2 day. are distinctively different from those of the fundamental-mode This surprising and unexpected result contradicts the assump- pulsators. In particular, A1, R21 and R31 are much lower, which tion of a resonance occurring at this particular period. The res- is a testimony to the “sinusoidal” shape of the s-Cepheid ve- onance does not have to cause discontinuous variations of the locity curves. The two groups are also clearly separated in Fourier parameters. When it does, however, it happens for both the φ21 − P plane, except a narrow range of periods around the velocity curves and the light curves (e.g. Buchler & Kovacs´ 5 day. These properties allow to distinguish overtone from 1986). Because for the s-Cepheids this is not the case, we must fundamental-mode Cepheids in the entire range of periods, in- conclude that the 3.2 day feature in their light curves is not re- cluding P > 5.5 day, where Antonello’s et al. (1990) criterion lated to the resonance. We will show in the next section that the based on the light curve φ21 no longer works. resonance is nevertheless present in these stars, but its center is In Fig. 4 we compare the s-Cepheid φ21 progression for located at a very different period. light curves and for velocity curves. The light curve data are taken from Antonello & Poretti (1986), Antonello et. al. (1990), 5. Comparison with hydrodynamical models Mantegazza & Poretti (1992) and Poretti (1994). The two φ21 plots are remarkably different. For the light curves, φ21 under- Two extended surveys of nonlinear first overtone Cepheid mod- goes a dramatic, essentially discontinuous drop at a period of els have been performed in recent years, by Schaller & Buchler ∼ 3.2 day. It is this behavior, accompanied by a local minimum (1994) and by Antonello & Aikawa (1995). Those surveys have of R21, which led to the hypothesis that the 2:1 resonance be- been aimed at investigating the effects of the ω4 ≈ 2ω1 reso- tween the first overtone and the fourth overtone occurs at this nance. In order to study these effects in a systematic fashion, the place (Antonello & Poretti 1986; Petersen 1989). In case of the models have been grouped in one parameter sequences, running velocity curves, φ21 varies smoothly and displays no jump at either at constant luminosity (Antonello & Aikawa) or parallel to F. Kienzle et al.: Structural properties of s-Cepheid velocity curves 823
that the displacement depends on the position of the ω4 = 2ω1 resonance within the sequence. Thus, a good match between the models and the radial velocity data should be possible, provided that the resonance period in the models is chosen properly.
5.1. Position of the resonance
We now use the radial velocity φ21 data to constrain the position of the s-Cepheid 2:1 resonance. Fig. 5 (bottom) already shows that it must be located somewhere between 4.02 and 5.40 day (i.e. between values for sequences A and B). We want to pinpoint the resonance center more precisely, though. To that aim we will try to “construct” the model sequence that matches the velocity data as closely as possible. The hydrodynamical computations of Schaller & Buchler (1994) show that the velocity φ21 for the overtone Cepheid models is very tightly correlated with the resonant period ra- tio, P4/P1. In other words, to a very good approximation we can write:
φ21 = f(P4/P1) (3)
where function f is the same for every model sequence. Anal- ogous property has also been found for the fundamental-mode Cepheids, where the ω2 ≈ 2ω0 resonance plays an important role (Buchler et al. 1990). For any sequence of models, the re- lation between the period ratio and the period can be described by an approximate formulae
−α Fig. 5. Same as Fig. 4, but compared with two sequences of hydrody- P1 namical models of Schaller & Buchler (1994). See text for details. P4/P1 = 0.5 (4) Pr where Pr is the period at the resonance center. The parameters r and are different for every sequence. Our goal is to find the theoretical first overtone Blue Edge (Schaller & Buchler). P α the values of these parameters, for which a sequence reproduces Both sets of calculations are performed with purely radiative the observations best. Substituting Eq. (4) into Eq. (3) we get hydrocodes and almost the same input physics (e.g. opacity ta- bles). Consequently, they both give very similar results. In the −α P1 following discussion we will use models of Schaller & Buchler, φ21(P1) = f 0.5 (5) Pr primarily because their sequences cover a wider range of period " # ratios, P4/P1. Pr and α can now be determined by fitting the above expression In Fig. 5 we plot the observational data together with the the- 2 to the observed values of velocity φ21. This is done with a χ oretical values of φ21 for two sequences of models. Sequence method, minimizing A (solid line) obeys the Mass-Luminosity relation of Chiosi Obs 2 (1989) and runs on the H–R diagram parallel to, but 100K cooler 2 φ21 (P1) − φ21(P1) of the first overtone Blue Edge. Sequence B (dashed line) fol- χ (Pr, α) = (6) σ(φ21) lows the classical M − L relation of Becker et al. (1977) and X Obs is 300K cooler than the Blue Edge. The resonance with the where φ21 (P1) and φ21(P1) are the observed and estimated fourth overtone occurs in sequences A and B at, respectively, values, respectively, and σ(φ21) is the error of the observed P1 = 4.02 day and P1 = 5.40 day. As already discussed, the φ21. For the function f(P4/P1) we adopt the φ21 progression calculations fail to reproduce the jump of the photometric φ21. of sequence A. It is the longest and most densely sampled of The variations displayed by the models are never as large or as all sequences of Schaller & Buchler (1994). BD Cas, which sharp as actually observed. The situation is, however, entirely deviates from the trend is omitted from the fit. Another star, different in case of velocity curves. For both sequences shown, V440 Per, turns out to be outside the range of P4/P1 covered the progression of velocity φ21 has a shape remarkably similar by the models. The minimization leads to an excellent fit with 2 2 to the observed one. The theoretical curves do not agree with χmin = 18.97, for χ of 20 degrees of freedom (22 stars, 2 2 the observations, though – they are displaced either to shorter parameters). The low value of χmin shows that Eq. (5) indeed or to longer periods in respect to the data. It is easy to notice provides a good representation of physical reality. The values of F. Kienzle et al.: Structural properties of s-Cepheid velocity curves 825
Z = 0.02. The LNA calculations show that the first overtone an approach. First, the velocity φ21 is predicted by the existing Blue Edge and the fundamental Blue Edge are about 250 K hydrocodes more robustly than any Fourier parameter of the apart. In the region between the two lines the models can pul- light curve. It shows little sensitivity to the the adopted artifi- sate in the first overtone only. We assume, somewhat arbitrarily, cial viscosity (as discussed above) or to the choice of particular that the sample of Galactic s-Cepheids is represented best by the numerical scheme (e.g. Buchler, Kollath & Marom 1997). In sequence of models running on the H–R diagram parallel the contrast to the light curve Fourier phases, it also shows little two Blue Edges, half-way between them. For a sequence con- sensitivity to the treatment of radiative transfer in the optically structed in such a way, the resonance condition (P4/P1 = 0.5 thin outer layers of the star (Feuchtinger & Dorfi 1996). This last at P1 = 4.58 ± 0.04 day) is satisfied for b = 0.73 ± 0.01. property is particularly important, since most hydrocodes do a The derived value of b is not very far from the zero point of rather poor job in this respect. When velocity data are available b = 0.65, inferred from the fundamental mode 2:1 resonance at for comparison, the agreement between the models and obser- P0 = 10 day (Moskalik & Krzyt 1998, 1999). The difference of vations is always very good, much better than ever achieved for ∆b = 0.08 corresponds to 4.9% difference of mass at a given the light curves. This is clearly the case for the fundamental- luminosity. Although not in full agreement, the two values of b mode Cepheids (Moskalik et al. 1992). A very good match be- are close enough that with better models it might be possible to tween computed and observed overtone Cepheid velocity curves match both resonances with the same M − L relation. For the strengthens our confidence in the above reasoning. The second s-Cepheid resonance located at 3.2 day, as suggested in earlier argument comes from the fact that the resonant interaction of literature, a simultaneous match is hardly possible. Such a low pulsation modes is a dynamical phenomenon. Since Vr is a dy- value of Pr would require a zero point of b = 1.05, which is namical quantity, studying its variations is, in our opinion, the incompatible with the fundamental mode constraint. most direct and perhaps more basic way of probing resonance effects in pulsating stars. 6. Conclusions We want to end this paper with a word of caution. The hy- drodynamical models (Schaller & Buchler 1994; Antonello & We have collected new CORAVELradial velocity data and have Aikawa 1995) which can match the velocity data so successfully, then derived the Fourier parameters of the pulsation velocity at the same time fail to reproduce the observed light curves. At curves for 14 overtone Cepheids. Our sample, combined with this point we can offer no explanation for this discrepancy. A 10 variables of Krzyt et al. (1999), covers the entire range of new modeling effort with better input physics is needed to ad- s-Cepheid periods. As such, it is perfectly suited to discuss the dress this problem and to confirm our conclusions. Such an group properties of this class of stars. The main results of our effort, based on adaptive mesh hydrocode with time-dependent work can be summarized as follows: convection is already underway and its first results are very promising (Buchler, private communication). 1. The progressions of the s-Cepheid Fourier parameters for velocity curves and for light curves are very different. Ve- Acknowledgements. We are grateful to G. Schaller and J.-R. Buch- locity parameters vary smoothly with the period and do not ler for providing us with their unpublished s-Cepheid models. This undergo any rapid changes or jumps. The jump of the pho- research has been supported in part by KBN (Poland) Grant No. 2- tometric φ21 at P = 3.2 day is not related to the resonance, P30D-014-14. DB and FK gratefully acknowledge support from the but must be caused by some other, as yet unidentified effect. Swiss National Fund for Scientific Research. 2. Velocity Fourier parameters φ21 and R21 can be reproduced remarkably well by the resonant (radiative) hydrodynamical References models. This clearly shows that the 2:1 resonance with the fourth overtone is instrumental in shaping the s-Cepheid Alcock C., Allsman R.A., Axelrod T.S., et al., 1995, AJ 109, 1653 pulsations. The fit of the models to the velocity data yields a Antonello E., Aikawa T., 1993, A&A 279, 119 Antonello E., Aikawa T., 1995, A&A 302, 105 new estimate of the resonance period, which is Pr = 4.58± 0.04 day. This period implies the M − L relation zero point Antonello E., Poretti E. 1986, A&A 169, 149 Antonello E., Poretti E., Reduzzi L., 1990, A&A 236, 138 of b = 0.73 ± 0.01, not very different from value inferred Baranne A., Mayor M., Poncet J.-L., 1979, Vistas Astron. 23, 279 from ω2 = 2ω0 resonance. Beaulieu J.-P., Grison P., Tobin W., et al., 1995, A&A 303, 137 3. Velocity Fourier parameters can discriminate between the Becker S.A., Iben I., Tuggle R.S., 1977, ApJ 218, 633 overtone and the fundamental-mode pulsators at all periods, Buchler J.R., Buchler N.E.G., 1994, A&A 285, 213 including P > 5.5 day. This property allows identification Buchler J.R., Goupil M.J., Piciullo R., 1997, ApJ 491, L99 of two new overtone Cepheids: MY Pup (P = 5.69 day) and Buchler J.R., Kollath Z., Beaulieu J.P., et al., 1996, ApJ 462, L83 V440 Per (P = 7.57 day). The comparison with the hydro- Buchler J.R., Kollath Z., Marom A., 1997, Ap&SS 253, 139 dynamical models (cf. Fig. 6) supports this identification. Buchler J.R., Kovacs´ G., 1986, ApJ 303, 749 Buchler J.R., Moskalik P., Kovacs´ G., 1990, ApJ 351, 617 The derived resonant period is based solely on the analysis Burki G., Mayor M., Benz W., 1982, A&A 109, 258 of the s-Cepheid radial velocity curves, in particular of the ve- Chiosi, C., 1989, In: Schmidt E.G. (ed.) The Use of Pulsating Stars in locity Fourier phase φ21, while the light curve information has Fundamental Problems of Astronomy. IAU Coll. 111, Cambridge been entirely ignored. There are two arguments in favor of such University Press, p. 19 826 F. Kienzle et al.: Structural properties of s-Cepheid velocity curves
Dziembowski W., 1977, Acta Astronomica 27, 95 Metzger M.R., Caldwell J.A.R., Schechter P.L., 1992, AJ 103, 529 Feuchtinger M.U., Dorfi E.A., 1996, A&A 306, 837 Moskalik P., Buchler J.R., 1993, ApJ 406, 190 Gieren W.P., Moffett T.J., Barnes T.G., et al., 1990, AJ 99, 1196 Moskalik P., Buchler J.R., Marom A., 1992, ApJ 385, 685 Gorynya N.A., Irsmambetova T.R., Rostorgouev, et al., 1992, Pis’ma. Moskalik P., Krzyt T., 1998, In: Bradley P.A., Guzik J.A. (eds.) A Half Astron. Zh. 18, 777 Century of Stellar Pulsation Interpretations: a Tribute to Arthur N. Gorynya N.A., Samus N.N., Rostorgouev, et al., 1996, Pis’ma Astron. Cox. ASP Conference Series Vol. 135, p. 29 Zh. 22, 198 Moskalik P., Krzyt T., 1999, in preparation Iglesias C.A., Rogers F.J., 1996, ApJ 464, 943 Petersen J.O. 1986, A&A 170, 59 Imbert M., 1981, IBVS 1983, 1 Petersen J.O. 1989, A&A 226, 151 Kienzle F., Pont F., Bersier, et al., 1998, In: Bradley P.A., Guzik J.A. Petit M., 1960, An Ap 23, 681 (eds.) A Half Century of Stellar Pulsation Interpretations: a Tribute Pont F., Burki G., Mayor M., 1994, A&AS 105, 165 to Arthur N. Cox. ASP Conference Series Vol. 135, p. 241 Poretti E., 1994, A&A 285, 524 Kovacs´ G., 1990, In: Buchler J.R. (ed.) The Numerical Modelling of Schaller G., Buchler J.R., 1994, unpublished Nonlinear Stellar Pulsations. Problems and Prospects. NATO ASI Schmidt E.G., 1991, AJ 102, 1766 Series Vol. 302,p. 73 Simon N.R., 1990, MNRAS 246, 70 Kovacs´ G., Buchler J.R., 1989, ApJ 346, 898 Simon N.R., Aikawa T., 1986, ApJ 304, 249 Kovacs´ G., Buchler J.R., 1993, ApJ 404, 765 Simon N.R., Lee A.S., 1981, ApJ 248, 291 Kovacs´ G., Kanbur S.M., 1998, MNRAS 295, 834 Simon N.R., Moffett T.J., 1985, PASP 97, 1078 Kovtyukh V.V.,Andrievsky S.M., Usenko V.G.,et al., 1996, A&A 316, Simon N.R., Schmidt E.G., 1976, ApJ 205, 162 155 Welch D.L., Alcock C., Bennett D.P., et al., 1995, In: Stobie R.S., Krzyt T., Moskalik P., Gorynya, et al., 1999, in preparation Whitelock P.A. (eds.) Astrophysical Applications of Stellar Pulsa- Mantegazza L., Poretti E., 1992, A&A 261, 137 tion. IAU Coll. 155, ASP Conference Series Vol. 83, p. 232
Troisi eme partie
C eph eides et mo d eles hydrodynamiques
Chapitre
Chapitre
Simulations hydrodynamiques
Introduction
Les exp eriences de recherche de mati ere obscure par e et de micro lentille gravita
tionnelle MACHO Welch et al EROS Beaulieu et al ont montr e qu il
etait p ossible de suivre photom etriquement des milliers d etoiles avec p our corollaire la
d ecouverte d un nombre imp ortant d ob jets variables dans les Nuages de Magellan et en
direction du centre galactique Ces exp eriences sont con cues p our d etecter des variations
achromatiques a travers deux ltres sur une echelle de temps de plusieurs jours Si la
pr ecision photom etrique et l echantillonnage temp orel sont adapt es a l identi cation des
etoiles variables de type RR Lyrae c eph eides etc le choix des bandes passantes non stan
dards et une photom etrie approximative ont limit e l exploitation des mesures
Au vu des retomb ees imp ortantes dans de nombreux domaines de l astrophysique
stellaire la nouvelle g en eration d exp eriences de micro lentilles par exemple OGLE I I
Udalski et al a ou EROS Bauer ont et e mo di ees p our am eliorer la d etec
tion d etoiles variables Pour ces exp eriences bas ees sur le m eme concept d acquisition
massive de donn ees les auteurs ont soigneusement calibr e leur syst eme photom etrique
et ont rattach e leurs mesures au syst eme standard de Johnson ltres B V et I De
plus l echantillonnage temp orel a et e optimis e p our la d etection de la variabilit e stellaire
mesures par nuit p our EROS par exemple Certains pro jets vont m eme jusqu a se
concentrer uniquement sur les etoiles variables DIRECT Mo chejska et al
A n d acc el erer l interpr etation de l imp ortante masse de donn ees photom etriques les me
sures de la collab oration OGLE II sont rapidement mise a disp osition de la communaut e
scienti que apr es une analyse sommaire des r esultats
Les exp eriences pionni eres telles que MACHO ont augment e consid erablement les
echantillons d etoiles variables dans les Nuages de Magellan c eph eides ont et e d etec
t ees par la collab oration MACHO dans le LMC ce qui a p ermis entre autre de r epertorier
plusieurs dizaines de c eph eides pulsants simultan ement dans deux mo des d oscillations
de mettre en evidence des c eph eides pulsants dans le mo de P Alco ck et al a ou
encore d etudier la distribution des p eriodes sous l angle de la synth ese de p opulation et
de contraindre ainsi les sc enarios de formation stellaire Alco ck et al b Avec les
nouvelles exp eriences de type OGLE on p eut non seulement etudier les p eriodes mais
Partie III
l utilisation de ltres standards p ermet de comparer directement les courb es de lumi eres
a d autres echantillons et aux r esultats hydrodynamiques
Nous pr esentons ci dessous une etude comparative entre les caract eristiques des courb es
de lumi eres et de vitesses radiales p our les c eph eides galactiques et celles des Nuages de
Magellan A l aide de mo d eles radiatifs non lin eaires nous essaierons de repro duire les am
plitudes les rapp orts d amplitudes et les d ephasages observ es en fonction de la p eriode
Cela p ermettra d etudier l e et de la m etallicit e sur la forme des courb es de lumi ere dans
les trois galaxies Une analyse non lin eaire syst ematique et simultan ee de la Galaxie et
des Nuages de Magellan n a jamais et e entreprise jusqu a pr esent a notre connaissance
Cette etude est bas ee en partie sur les donn ee publi ees derni erement par la collab oration
OGLE II Udalski et al b
Observations
Les contraintes observationnelles sur les c eph eides proviennent essentiellement de la
photom etrie et des vitesses radiales Les d etecteurs CCD et l apparition des cam eras a
grands champs p ermettent l acquisition simultan ee d un grand nombre de donn ees les
observations au sol etant limit ees par le seeing En revanche les mesures de vitesse radiale
sont b eaucoup plus di ciles a obtenir car elles monop olisent l ensemble de l instrumenta
tion p our une seule mesure et sont limit ees en magnitude
Du p oint de vue th eorique les courb es des vitesses sont plus contraignantes que les courb es
photom etriques car leur confrontation avec les mo d eles hydrodynamiques est plus directe
Le lien entre les observables et les grandeurs stellaires est introduit ci dessous Nous
ab ordons egalement quelques r esultats obtenus par les exp eriences de micro lentilles gra
vitationnelles concernant les c eph eides
Photom etrie
La magnitude m observ ee a travers le ltre i d epend du rayon stellaire R et de la
i
brillance de surface S via la relation
i
m S log R cst
i i
La brillance de surface d epend de la temp erature e ective mais aussi de la gravit e ef
fective de la microturbulence et de l ab ondance des divers el ements La variation de ces
param etres au cours de la pulsation in uence l amplitude photom etrique observ ee
Le param etre dominant est la temp erature e ective qui varie d environ K p our
une temp erature moyenne de a K au cours de la pulsation Si le sp ectre
emergent est approxim e par celui d un corps noir a K la variation de ux dans le
B T
visible approximation de Wien sera dix fois plus imp ortante que dans
2
B T
Chapitre
B T
l infrarouge approximation de Rayleigh Jean La variation de S s amenuise
i
B T
donc avec la longueur d onde et on observe une diminution de l amplitude photom etrique
d un facteur trois dans les bandes infrarouges JHK par rapp ort aux bandes visibles
UBVRI comme l illustre la gure Freedman observe les rapp orts d ampli
tude suivants B V R I avec une disp ersion de et p our
V R R B I B et ceci p our un echantillon de c eph eides galactiques Ainsi les magni
tudes infrarouges re etent la variation de rayon plut ot que la variation de temp erature
contrairement aux bandes visibles p our lesquelles cette derni ere domine
Fig Courbes photom etriques pour
HV dans les bandes visibles B V
R et I Mo ett et al et
C ousins C ousins
dans les bandes infrarouges proches J H et
K Laney Stobie Ces derni eres ont
et e d eplac ees de en phase et ma
gnitudes ont et e soustraites a la bande K
La variation de temp erature au cours de la
pulsation domine la variation photom etrique
dans les bandes visibles contrairement aux
magnitudes infrarouges dont la variation est
due essentiel lement a la variation de rayon
Notons en passant que la brillance de surface p eut etre estim ee par un indice de cou
leur usuellement on choisit l indice B V Cep endant cette couleur d epend aussi de
l acc el eration gravitationnelle qui agit sur le pro l de pression et donc sur la largeur des
raies ce qui le rend p eu pr ecis comme indicateur de S p our les c eph eides dont la gra
i
vit e e ective change continuellement au cours de la pulsation Laney Stobie et
Fouqu e Gieren ont montr e que les indices de couleurs form es a partir des ltres
infrarouge bandes J H ou K sont de meilleurs estimateurs de la brillance de surface car
ils sont p eu sensibles a la gravit e la microturbulence ou la m etallicit e et par cons equent
la m ethode de Barnes Evans variante IR de la m ethode de Baade Wesselink donne des
r esultats plus pr ecis sur les rayons moyens et les distances des c eph eides par rapp ort a la
m ethode de Baade Wesselink classique
La gure illustre la sensibilit e de l indice B V a la gravit e gure de droite L utilisa
tion de la bande infrarouge K fait dispara tre cet e et et rend l estimation de la brillance
de surface S plus robuste
V
Base de donn ees photom etrique
Nous reprenons ci dessous quelques caract eristiques g en erales des c eph eides issues des
mesures photom etriques dans la Galaxie le LMC et le SMC
Partie III
Fig Bril lance de surface S en fonction de l indice de couleur V K a gauche et
V
B V a droite La variation de gravit e au cours de la pulsation ne permet pas d avoir une
relation S B V unique contrairement a la relation S V K Il est donc pr ef erable
V V
d appliquer la m ethode de Barnes Evans avec des indices de couleurs infrarouges
Les mod eles d atmosph ere utilis es sont de Houdashelt et al S est donn e a une
V
constante additive pr es
Les echantillons de c eph eides provenant de diverses galaxies pr esentent des di erences
syst ematiques dans les distributions des p eriodes et la forme des courb es de lumi ere Ces
observations contraignent aussi bien l histoire de la formation stellaire dans ces galaxies
si on cherche a repro duire la distribution des p eriodes que la pulsation et l evolution
stellaire en fournissant des echantillons de m etallicit es vari ees
La distribution des amplitudes est illustr ee sur la gure o u est p ort e l amplitude
photom etrique bande V en fonction de la p eriode p our les c eph eides classiques de la
Galaxie du LMC et du SMC Les diagrammes similaires p our les c eph eides de type S
sont donn es sur la gure
En observant des echantillons situ es a la m eme distance les exp eriences de micro lentilles
gravitationnelles ont etablis clairement que les c eph eides de type S suivent une s equence
a plus haute luminosit e que leurs homologues classiques dans un diagramme p eriode
luminosit e cf Beaulieu et al Cette observation a mis un p oint nal a la contro
verse concernant la nature des S c eph eides en montrant qu elles pulsent dans le premier
mo de propre d oscillation P cf chapitre
La fraction de c eph eides a courtes p eriodes augmente quand on passe de la Galaxie au
LMC et au SMC ainsi que la fraction de c eph eides pulsant dans le premier mo de propre
d oscillation Ceci s explique par l allongement de la b oucle bleue des trac es evolutifs a
mesure que l on diminue la m etallicit e ce qui p ermet aux etoiles de faible masse d at
teindre la bande d instabilit e du mo de fondamental et aux etoiles plus massives d osciller
dans le premier mo de propre situ ee a plus haute temp erature Cet e et est ampli e par
Chapitre
une fonction initiale des masses en loi de puissance qui favorise la fraction de pulsateurs
rapides
L a justement de la distribution des p eriodes par des mo d eles evolutifs et de pulsation
LNA p ermet de contraindre les sc enarios de formation stellaire Pour repro duire la largeur
de la distribution des p eriodes avec un taux de formation stellaire constant une disp ersion
de m etallicit e Z de l ordre de a est n ecessaire ou si une m etallicit e constante
est adopt ee il faut alors un sursaut de formation stellaire
Toutefois ces mo d eles n expliquent pas l exc es de pulsateurs a courte p eriode l og P
observ e par l exp erience MACHO dans le LMC Alco ck et al b ont sugg er e
que ces ob jets n etaient pas des c eph eides classiques mais une contamination par des
c eph eides anormales Anomalous Cepheids
Pour a juster la distribution des p eriodes il faut faire app el a des trac es evolutifs et a des
mo d eles lin eaires non adiabatiques provenant de sources souvent h et erog enes ce qui p eut
introduire une incoh erence dans les param etres utilis es entre divers auteurs Alib ert et al
avec des mo d eles evolutifs et LNA coh erents i e l evolution et la pulsation sont
calcul ees avec le m eme co de de structure interne ne rencontrent pas de probl emes p our
repro duire la distribution des p eriodes du LMC Dans ces simulations tous les passages a
travers la bande d instabilit e sont trait es ind ependamment alors que la plupart des autres
etudes Becker et al par exemple consid erent une unique relation ML Il leur faut
toutefois adopter de mani ere ad ho c un param etre d overshooting plus elev e p our le LMC
par rapp ort a celui utilis e dans le cas de la Galaxie et du SMC p our expliquer la p eriode
minimale observ ee
Il faut noter que les mo d eles lin eaires n indiquent pas quel mo de de pulsation sera
excit e lorsque plusieurs mo des sont simultan ement instables ou soumis a une r esonance
La s election du mo de de pulsation devient critique sur le b ord bleu de la BI o u P et
P sont instables ou encore dans les zones pro ches d une r esonance Par exemple Bu
chler et al ont expliqu e la d e cience de c eph eides galactiques avec des p eriodes
pro ches de jours en tenant compte de l e et de la r esonance P P cf gure
Une autre caract eristique qui ressort des gures et est l augmentation de l en
veloppe de l amplitude photom etrique p our un log P compris entre et alors que
l amplitude minimale reste sensiblement la m eme dans les trois galaxies La m eme ten
dance est observ ee dans d autres galaxies d e cientes tels que NGC Van Genderen
ou IC Stetson cf gure alors que p our M qui a une m etallicit e
comparable a la Galaxie la distribution des amplitudes et des p eriodes est similaire
a celle ci Eichendorf Reinhardt Ces di erences ont et e asso ci ees a un e et de
m etallicit e cf Van Genderen sans que a notre connaissance une etude d etaill ee de
l e et de la m etallicit e sur les propri et es pulsationelles n ait jamais et e faite p our ces trois
galaxies Les mo d eles hydrodynamiques p ermettront de fournir des el ements de r eponse
sur ce sujet
Dans ce chapitre les grilles de mo d eles hydrodynamiques seront compar ees aux obser
vations photom etriques p our la Galaxie et les Nuages de Magellan Les donn ees concernant
le Galaxie sont issues de la compilation de Krzyt et al p our les ob jets a courte
Partie III
Tab Abondance d oxyg ene par rapport au
galaxie O H O H
LM C
LMC pour les galaxies utilis ees ci dessous Les va
Galaxie
leurs proviennent de Kochanek sauf pour
LMC
NGC Skil lmann et al
SMC
IC
NGC
Fig Amplitude photom etrique A en fonction de la p eriode pour les c eph eides ga
lactiques et celles des Nuages de Magel lan Le trait horizontal est x e arbitrairement a
A mag On notera les di erences importantes dans la distribution des p eriodes
ainsi que l accroissement de l amplitude photom etrique a courtes p eriodes
p eriode P jours compl et ees par l echantillon de Antonello Morelli p our
les plus longues p eriodes
Pour les Nuages de Magellan seuls les param etres de Fourier R et ont et e pu
bli es A n d obtenir l amplitude A des s eries de Fourier cf eq ont et e a just ees
sur les donn ees photom etriques de OGLE II Udalski et al a et b dans la
Fig Comme pr ec edemment pour
IC une galaxie naine irr eguli ere
de m etallicit e comparable au SMC On
retrouve ici aussi une importante po
pulation de c eph eides a courtes p e
riodes et d amplitudes elev ees Les don
n ees HST ont et e analys ees par Stetson
Chapitre
Fig Amplitude de pulsation A pour les c eph eides pulsant dans le premier mode
propre c eph eides de type S La d e cience en m etaux augmente le nombre de c eph eides
de ce type en permettant aux etoiles peu massives d atteindre la bande d instabilit e du
premier mode propre de pulsation ce qui diminue la p eriode minimale observ ee Le trait
horizontal est x e arbitrairement a A mag L accroissement d amplitude vers les
courtes p eriodes est aussi observ e pour ces objets
bande V de Johnson Cela concerne et c eph eides dans la barre du LMC et dans
le SMC resp ectivement Seules les c eph eides classiques ont et e consid er ees en photom etrie
Vitesses radiales
La vitesse radiale des c eph eides est reli ee a la variation de rayon de mani ere b eaucoup
plus directe que ne l est la photom etrie car cette premi ere est moins sensible a la variation
d autres param etres stellaires tels que la temp erature ou la gravit e
La variation de rayon s obtient via une simple int egration de la vitesse de pulsation
elle m eme issue de la vitesse radiale observ ee
V t p V t
pul s r
Z
t
R R t R t V t dt
pul s
t
La vitesse radiale est d eduite du d eplacement Doppler d un ensemble de raies dans le
sp ectre int egr e sur la surface du disque stellaire Le facteur p tient compte de l e et de
pro jection et de l assombrissement centre bord p our CORAVEL Burki et al ont
obtenus une valeur de p Le param etre est la vitesse syst emique de l etoile
L int egration se fait sur une p eriode
En adoptant la d ecomposition de la courb e de vitesse radiale en s erie de Fourier eq
on adopte arbitrairement une s erie en sinus p our les vitesses radiales
Partie III
on relie la variation de rayon aux param etres A et
k k
X
A
k
R p cos k t cos k t
k k
k
k
A
1
Si l amplitude A domine la s erie alors R p
L approximation lin eaire entre la vitesse de pulsation de la photosph ere et la vitesse
radiale observ ee n est plus valable si la pr ecision d esir ee sur la vitesse de pulsation est
inf erieure a Il faut alors tenir compte des e ets suivants
variation de l assombrissement centre bord avec la phase de pulsation
gradient de vitesse dans l atmosph ere qui rend les raies sp ectrales asym etriques
variation des conditions atmosph eriques durant la pulsation qui in uence le lieu de
formation et le pro l des raies
En couplant des calculs hydrodynamiques a un mo d ele d atmosph ere hors ETL Sab
b ey et al montrent que le facteur de pro jection p eut varier jusqu a au cours
de la phase de pulsation Ils expliquent egalement la variation observ ee de l asym etrie
des raies sur une p eriode durant la phase d expansion la temp erature est elev ee et l at
mosph ere vient de subir une forte compression qui augmente la microturbulence Ceci
provoque un elargissement des raies qui lisse la gradient de vitesse et les raies sont sym e
triques Durant la phase de contraction l atmosph ere s est refroidie et la microturbulence
a chut e les raies sont plus nes et l e et de lissage du gradient de vitesse atmosph erique
dispara t d o u l asym etrie des raies sp ectrales
La variation du pro l des raies est illustr ee ci dessus gure p our une c eph eide ga
lactique classique TZ Mon La fonction de corr elation masque R F est donn ee p our
cinq phases de pulsation On notera l evolution d un pro l large et sym etrique lors de
l expansion vers un pro l mince et asym etrique a la compression
Les mo d eles de pulsation hydrodynamiques n utilisant pas des mo d eles d atmosph ere
tr es elabor es il est pr ef erable de comparer leurs r esultats aux vitesses radiales plut ot
qu aux observations photom etriques Cep endant ces derni eres sont b eaucoup plus nom
breuses car elles s obtiennent rapidement et simultan ement p our un grand nombre d ob
jets alors que des mesures de vitesses de b onne qualit e k m s n ecessitent un
V r
investissement imp ortant et ne sont actuellement p ossibles que p our des ob jets galactiques
ou plus rarement p our des c eph eides des Nuages de Magellan
Il n existe actuellement pas d echantillon de vitesses radiales imp ortant et de qualit e suf
sante p our les Nuages de Magellan Seules les courb es de vitesses de la grille galactique
p ourront etre confront ees aux observations
Mo d eles hydrodynamiques
Les mo d eles de pulsations non lin eaires sont bas es sur le co de hydrodynamique d e
velopp e par A Fokin dont nous donnons un bref ap er cu ci dessous Nous renvoyons a
Ceci induit une erreur du m eme ordre sur la d etermination des rayons moyens et des distances par
la m ethode de Baade Wesselink
Chapitre
Fig Courbe de vitesse ra
diale et variation du pro l de la
fonction de corr elation crois ee au
cours de la pulsation pour la c e
ph eide classique TZ Mon P
jours Lors de l expansion la
haute temp erature et la microtur
bulence elev ee elargissent les raies
alors que durant la contraction la
faible temp erature donne des raies
plus nes
Jeannin p our de plus amples d etails
Le syst eme d equations d ecrivant le gaz est semblable a celui introduit au premier
chapitre Cep endant le couplage entre le gaz et le rayonnement n est plus trait e dans l ap
proximation de di usion mais en r esolvant l equation de transfert radiatif Les equations
d ecrivant la pulsation deviennent alors
pour le gaz
r
V
M
r
Z
du V p GM
r
r H d
r
dt M r c
r
Z
dV de
p V J d
dt dt
pour le rayonnement
Z
dV JV J UV d
f f r H V J B d
dt c dt r c M
r
Z
r dH
f q J H d
c dt q V M
r
K
f
J
Z
r
f
dr q exp
f r
r 0
Partie III
L equation de transfert radiatif est introduite via les moments de l intensit e sp eci que
J H et K qui sont reli es a la densit e d energie le ux et la pression radiative L equa
tion de transfert p our ces moments eq a est r esolue de mani ere it erative Les
facteurs de f et q de Eddington initiaux sont estim es dans l approximation du cas gris
puis ils sont recalcul es a chaque pas de temps par la m ethode de Feautrier cf Jeannin
et les r ef erences qui y sont mentionn ees
Le syst eme d equations est r esolu par un sch ema aux di erences nies explicite p our les
equations dynamiques et implicite p our la conservation d energie
Le traitement des chocs utilise le formalisme de la viscosit e arti cielle qui etale les
discontinuit es sur plusieurs el ements de r esolution en a joutant un terme suppl ementaire
de pression
u u u u
i i 1 i i 1
p p
C p p our
q i
p v p v
g az g az
i i
P
q
sinon
o u d etermine la di erence de vitesse u u entre deux couches successives au del a
i i
de laquelle on applique la viscosit e arti cielle alors que C d e nit l elargissement spatial
q
du choc sur plusieurs pas de la grille discr ete
Les courb es de vitesse et de lumi ere sont sensibles a la valeur de p our un nombre de
couches inf erieur a Kovacs Pour une valeur de comprise entre et ces
courb es deviennent asym etriques et l amplitude augmente de En revanche la valeur
de C n a quasiment aucun e et
q
Des tests e ectu es par A Fokin ont con rm e ces r esultats p our les mo d eles a couches
Par contre si les mo d eles ont couches ou plus le choix de ces param etres n a qu une
imp ortance marginale l amplitude de l oscillation restant la m eme p our des valeurs de C
q
comprises entre et et allant de a Pour tous les mo d eles pr esent es ci dessous
les valeurs adopt ees sont et C
q
Les mo d eles sont d ecrits par une centaine de couches une trentaine p our l atmo
sph ere le reste d ecrivant l enveloppe jusqu a T K Les mo d eles statiques initiaux
s obtiennent par int egration de l equation hydrostatique du transfert d energie et de la
conservation de la masse Tous les mo d eles utilis es statiques ou dynamiques sont pure
ment radiatifs
Construction des grilles de mo d eles
La structure hydrostatique initiale etant un mo d ele d enveloppe et non pas un mo
d ele de structure interne qui tient compte des r eactions nucl eaires centrales elle n ecessite
quatre param etres masse M luminosit e L temp erature e ective T et comp osition chi
mique repr esentatifs des c eph eides du syst eme etudi e Le nombre de param etres libres
est r eduit en choisissant une relation masse luminosit e M L issue des mo d eles d evolu
tion stellaire et des s equences de mo d eles parall eles au b ord bleu de la bande d instabilit e
Blue Edge BE par la suite ce qui lie la luminosit e a la temp erature
Chapitre
La comp osition est x ee par des observations sp ectroscopiques
Relation masse luminosit e
Les relations M L dans la phase de combustion de l h elium ont et e calcul ees r ecem
ment p our etudier l e et de la m etallicit e sur l instabilit e des c eph eides
Saio Gautschy et Alib ert et al utilisent des mo d eles evolutifs coupl es
a un traitement lin eaire non adiabatique de la pulsation mais seuls les premiers publient
des relations M L p our leurs grilles de mo d eles Ces relations sont magnitudes en
log L L en dessous des relations ant erieures de Becker et al Chiosi et al
ou Schaller et al p our l echantillon galactique Par ailleurs elles ne sont
pas param etris ees en terme de Y et Z et n ecessitent donc que l on choisisse les m eme
ab ondances que ces auteurs Face a ces contraintes nous avons adopt e une appro che
conservatrice en choisissant la relation M L de Chiosi et al qui a l avantage d etre para
m etris ee en terme de m etallicit e Y et Z et d overshoot f
ov
log L L Y Z log M M f
ov
Le param etre d overshoot f a et e x e a mild overshoot comme le sugg ere
ov
l a justement d iso chrones sur les diagrammes couleur magnitude des amas ouverts galac
tiques Chiosi et al
Remarquons que les mo d eles evolutifs sont plus sensibles a l overshooting qu aux chan
gements des tables d opacit es Chiosi et al qui utilisent les anciennes tables de Los Ala
mos et Schaller et al avec les nouvelles opacit es OPAL ont des relations masse luminosit e
semblables si f est x e a Par contre des param etres d overshooting di erents aug
ov
mentent sensiblement la luminosit e des trac es evolutifs
Inversement si f in uence la relation M L sa r epercution sur la relation P L est n egli
ov
geable alors qu un changement des opacit es aura un e et ma jeur sur la stabilit e vibra
tionnelle de l etoile
Comp osition chimique et opacit e
Pour comparer les mo d eles aux observations des m etallicit es comprises entre celle de
la Galaxie et celle du SMC ont et e choisies Les valeurs de Z disp onibles dans les tables
d opacit es radiatives OP ont guid e le choix des ab ondances p our le mo d ele riche et
d e cient les valeurs adopt ees sont X Y Z et X Y
Z resp ectivement Le mo d ele interm ediaire a et e choisi avec X Y
Z
Le m elange asso ci e au gaz utilis e p our l equation d etat par exemple est l eg erement dif
f erent Ce dernier satisfait la contrainte li ee a l enrichissement du milieu interstellaire par
les etoiles massives et qui imp ose Y Z Schaller et al Avec cette relation
Partie III
combin ee a la condition X Y Z on ab outit aux valeurs adopt ee p our le gaz et
indiqu ees dans la table
Les mesures sp ectroscopiques de l ab ondance en fer F e H par Luck et al p our
les c eph eides de la Galaxie du LMC et du SMC sont aussi rep ort ees dans cette table
Les mo d eles extr emes Z et Z sont tr es pro ches de la Galaxie et du
SMC alors que le mo d ele interm ediaire est l eg erement plus d e cient que le grand Nuage
de Magellan Par la suite nous parlerons de grille galactique du LMC ou du SMC p our
d esigner les grilles ou
galaxie X Y Z F e H
F e H
op a
gaz
Galaxie
gaz
oplmc
LMC
gaz
op b
SMC
Tab Abondances en hydrog ene h elium et m etaux adopt ees pour les trois gril les de
mod eles Dans chaque cas l abondance choisie pour le gaz et celle disponible pour la table
d opacit e lignes op a oplmc et op b sont indiqu ees La cinqui eme colonne donne
l abondance spectroscopique de fer F e H mesur ee par Luck et al pour les c e
ph eides de la Galaxie et des Nuages de Magel lan La dispersion au sein de chaque echan
til lon est indiqu ee dans la derni ere colonne A partir de ces mesures et de Y Z
les valeurs observationnel les de X et Y sont estim ees pour chaque gril le lignes Galaxie
LMC et SMC
La m etallicit e d ecro t de la Galaxie au SMC avec une disp ersion qui reste similaire
Les valeurs p our les c eph eides sont comparables a celles des sup erg eantes non variables
de ces m emes galaxies
Relevons au passage deux r esultats int eressants de Luck et al
les c eph eides des trois galaxies sont d e cientes en oxyg ene avec O F e ind e
p endamment de la m etallicit e de la Galaxie
le rapp ort C O est de p our la Galaxie p our le LMC et p our le SMC La
comparaison avec un C O de l ordre de p our les etoiles B indique qu on observe la
diminution du carb one due a sa combustion dans le cycle CN et a son m elange lors de la
phase convective des g eantes rouges Remarquons toutefois que le manque d observations
sp ectroscopiques des prog eniteurs des c eph eides ne contraint que faiblement le rapp ort
C O initial
Les opacit es radiatives sont un ingr edient essentiel p our la pulsation stellaire etant
donn e le r ole du m ecanisme dans la stabilit e vibrationnelle
Les incompatibilit es rencontr ees dans les ann ees entre les mo d eles et les observations
des c eph eides ainsi que l imp ossibilit e de d estabiliser les etoiles B p our rendre compte
Chapitre
Fig Opacit es de Rosseland pour les
gril les de mod eles a pour lesquels on a
x e log R La ionisation de
3
T
6
l hydrog ene et de l h elium est a l origine des
deux premiers pics alors que les m etaux sont
a l origine du Z bump La diminution de
l abondance en Y et Z entre les trois galaxies
diminue l amplitude de ces pics Les opacit es
OP ont et e utilis ees
des variables de type SPB et Cephei n ecessitaient une r evision des opacit es Les nou
velles grilles pro jet OPAL Roger Iglesias ou OP Seaton et al font un
traitement plus d etaill e de certaines transitions atomiques et de la structure ne par rap
p ort aux anciens calculs de Los Alamos ce qui augmente l opacit e due aux m etaux d un
facteur et provoque l apparition du Z bump Avec ces nouvelles opacit es les calculs
LNA expliquent l instabilit e des etoiles chaudes et r esolvent les di erences entre la masse
evolutive et la masse pulsationnelle cf Moskalik et al
Pour les calculs hydrodynamiques les tables publi ees par le group e OP Seaton et
al avec les m elanges indiqu es dans la table ont et e utilis es Le comp ortement
de avec la temp erature est illustr e sur la gure p our les trois m elanges
Rossel and
log R a et e x e a On reconna t les trois pics dus a la ionisation de l hydrog ene
3
T
6
et de l h elium neutre puis celui de l h elium ionis e et en n celui d u aux transitions du fer
et a la structure hyper ne du Mg Cr et Ni
Les s equences
Pour chacune des galaxies trois s equences se situant a et K de la limite
bleue de la bande d instabilit e p our le mo de fondamental de Chiosi et al ont et e
s electionn ees Cette limite sera not ee BE Blue Edge par la suite
Le b ord bleu de la bande d instabilit e donne la limite au del a de laquelle des mo d eles
plus froids sont lin eairement instables dans le mo de P Toutefois cette limite n a pas de
sens p our nos mo d eles dans la mesure o u on utilise les tables d opacit es OP plus r ecentes
que les tables de Los Alamos utilis ees par Chiosi et al Les b ords bleus calcul es
avec ces nouvelles tables mo d eles LNA sont p ort es en traits pleins sur la gure Avec
les opacit es OP la s equence la plus chaude de la Galaxie et du SMC se trouvent a la limite
de la stabilit e et les deux autres se trouvent a et K du b ord bleu Pour le SMC
Partie III
une s equence interm ediaire a K du b ord bleu a et e a jout ee
Les s equences du LMC se trouvent a et K du b ord de la bande d instabilit e
Sur chaque s equence huit mo d eles ont et e calcul es p our des p eriodes corresp ondant a
et jours Ces valeurs parcourent la gamme des p eriodes p our lesquelles
on disp ose de su samment d observations photom etriques et de vitesses radiales p our la
Galaxie
Les trois grilles de mo d eles sont pr esent ees dans les diagrammes HR de la gure
Le trait plein epais a haute temp erature d elimite le b ord bleu de la bande d instabilit e
BE les p oints et les cercles repr esentent les mo d eles calcul es La bande d instabilit e et
les isop eriodes de Chiosi et al sont repr esent ees en p ointill es
Les opacit es OP d eplacent la bande d instabilit e de K vers les basses temp eratures
par rapp ort a la p osition de Chiosi et al En revanche la p osition du BE reste inchang ee
dans les trois grilles elle est donc p eu d ependante de la m etallicit e adopt ee
Les p eriodes des mo d eles est pro che de celle calcul ee par Chiosi Ces derni eres varient
p eu entre la grille galactique et celle du SMC ce qui montre l ind ependance de la relation
p eriode luminosit e bolom etrique vis a vis de la m etallicit e
L echelle des masses est indiqu ee parall element a celle des luminosit es On notera que la
relation ML reste identique selon la m etallicit e Ceci provient de la valeur de Y Z
qui annule l e et de la variation d ab ondance sur la relation masse luminosit e cf equa
tion
L ensemble de param etres etant x es on calcule la structure d un mo d ele statique
d atmosph ere et d enveloppe Un exemple de pro l de temp erature et de densit e ainsi que
l opacit e et sa d eriv ee sont montr es sur la gure p our une etoile de M et
T
L mo d ele pa L atmosph ere est d ecrite par les couches externes et l enveloppe est
int egr ee jusqu a T K Cette r egion ne contient que de la masse totale et s etend
sur du rayon stellaire mais elle d ecrit les r egions jouant un r ole clef dans la pulsation
entretenue par le m ecanisme On retrouve les maxima d opacit e mentionn es ci dessus
et les zones motrices asso ci ees r egions p our lesquelles le gradient de est p ositif
T
La structure hydrostatique sert de p oint de d epart aux mo d eles hydrodynamiques
qui sont int egr es jusqu a ce qu ils ab outissent a une solution oscillante mono ou multi
p eriodique ou a une solution stable Il faut typiquement un millier de p eriodes de pulsation
p our atteindre le cycle limite Plut ot que de laisser cro tre des instabilit es num eriques un
pro l de vitesse initial est imp os e ce qui acc el ere la convergence Ce pro l est exp onentiel
avec une forme pro che de la fonction propre r r non adiabatique du mo de fondamental
r R
U r R cte e
o u la constante amplitude initiale vaut typiquement a km s Le rapp ort r R est
la fraction du rayon total
Les gures illustrent le comp ortement du rayon de la vitesse et de la magnitude
b olom etrique apr es que le mo d ele pa ait atteint son cycle limite Le rayon et la vitesse
Chapitre
a Grille Galaxie b Grille LMC
c Grille SMC
Fig Gril les des mod eles pour la Galaxie le LMC et le SMC La limite de la bande
d instabilit e selon Chiosi et al est montr ee en traitill e ainsi que les isop eriodes
Les p eriodes correspondantes sont aussi indiqu ees sur le bord rouge de la BI Les points
et les cercles donnent la position des mod eles Les traits continus indiquent la position de
la limite bleue de la bande d instabilit e calcul es avec les mod eles LNA de A Fokin et avec
les nouvel les opacit es OP Chiosi utilisait les anciennes opacit es LAOL Les
mod eles sont plac es sur des s equences traits verticaux pleins en traitill es et en pointill es
sont d ecal es de et K du bord bleu de Chiosi Les mod eles du LMC sont d ecal es
de et K du bords bleu de AF
Partie III
Fig Structure initiale de
l enveloppe pour un mod ele de c e
ph eide galactique de M et
K mod ele pa L atmo
sph ere contient une vingtaine de
couches et l enveloppe est calcu
l ee jusqu a T K On re
trouve les maxima d opacit es et
les zones motrices associ ees dans
les r egions pour lesquel les le gra
dient de T est posi
T
tif Les param etres sont port es en
fonction du num ero de la couche
sont donn es p our la premi ere p ointill es et la vingti eme couche trait plein sous la sur
face de l etoile Cette derni ere corresp ond a la couche photosph erique La croissance de
l amplitude des p erturbations vers l ext erieur de l enveloppe est illustr e par la gure
Une analyse LNA a et e e ectu ee sur les mo d eles hydrostatiques p our d eterminer le
sp ectre des oscillations ainsi que la stabilit e des divers mo des Les r esultats de ces analyses
sont rep ort ees en annexe dans les tables a o u sont aussi donn es les param etres des
divers mo d eles
Les courb es de vitesse et de luminosit e sont a just ees de la m eme mani ere que les
p oints observationnels l ordre de la s erie etant plus dense gr ace a l echantillonnage elev e
des courb es hydrodynamiques qui est typiquement de trente p oints par p eriode
La gure montre les a justements obtenus sur les courb es de vitesse de onze mo d eles
de la grille galactique cf annexe p our les param etres stellaires Les mo d eles sont ordon
n es selon leur p osition dans la bande d instabilit e les mo d eles lumineux et chauds sont en
haut a gauche et les mo d eles froids et p eu lumineux se trouvent en bas a droite chaque
ligne corresp ondant a une p eriode
L amplitude et l asym etrie augmentent vers les faibles temp eratures et les basses luminosi
t es De plus la b osse appara t plus clairement sur la partie descendante des mo d eles froids
Ces caract eristiques sont r esum ees dans les diagrammes param etre de Fourier amplitude
Chapitre
Fig S erie temporelle du
mod ele pa pour le rayon la
vitesse U et la magnitude bo
lom etrique M Les deux pre
B ol
mi eres grandeurs sont donn ees
pour la premi ere et vingti eme
couche sous la surface en pointill e
et en trait plein respectivement
La couche N correspond a peu
pr es a la transition enveloppe
atmosph ere d o u emerge le ux
observ e On suppose par la suite
que la vitesse observ ee correspond
egalement a cette couche
Comparaison des mo d eles galactiques aux obser
vations
S election du mo de de pulsation
Certains mo d eles pro ches de la limite de stabilit e du mo de fondamental BE p euvent
etre lin eairement instables dans plusieurs mo des simultan ement en g en eral P et P La
fr equence qui survivra d epend de l amplitude de la p erturbation initiale En g en eral si
cette derni ere est faible typiquement km s le mo d ele converge vers le premier mo de
propre d oscillation P alors qu avec une valeur plus elev ee a km s on ab outit a
une pulsation dans le mo de fondamental P D autres mo d eles se sont r ev el es tr es robustes
vis a vis de la pulsation dans P quelle que soit la p erturbation initiale
Les mo d eles pulsants dans le mo de fondamental sont signal es par des p oints sur la grille
des mo d eles alors que les mo d eles pulsant dans le mo de P sont repr esent es par des cercles
cf gure Ces derniers se situent plut ot a haute temp erature et faible luminosit e
Ceci s explique par la p osition relative de la zone motrice et du maximum du mo de propre
a basse temp erature les zones motrices se situent en profondeur l a o u le mo de fondamen
tal a une forte amplitude il est donc facile a exciter Si on augmente la temp erature les
zones de ionisation se d eplacent vers l ext erieur de l enveloppe et co ncident eventuelle
ment avec un maximum des fonctions propres de P ou P ce qui favorise leur instabilit e
Les mo d eles de pulsateurs P seront compar es aux observations des c eph eides de type S
galactiques et fourniront une contrainte suppl ementaire sur les mo d eles
Un grand nombre de mo d eles se sont r ev el es etre des pulsateurs a double mo de Ils
sont indiqu es par des p oints entour es d un cercle sur les grilles de mo d eles Ces cas seront
Partie III
Fig Evolution temporelle des rayons vitesses et luminosit es pour des couches du
mod eles de c eph eide galactique pa P j our s Les vitesses U et les luminosit es
ont et e d ecal ees arbitrairement selon le num ero de la couche concern e ces num eros sont
indiqu es pour certaines d entre elles
Chapitre
Fig Courbes de vitesses pour un sous ensemble des mod eles de la gril le galactique
Les mod eles de gauche sont sur le BE et la s equence de droite est d ecal ee de K La
luminosit e est croissante vers le haut chaque ligne de mod ele ayant la m eme p eriode
L amplitude et de l asym etrie des courbes augmente si diminue la temp erature ou la lumi
nosit e Les s eries de Fourier ajust ees sont repr esent ees par le trait continu Les mod eles
pa et pa on une dispersion elev ee autour de la courbe ajust ee c est le signe qu un
second mode de pulsation est pr esent mod eles double modes
Partie III
a vitesses radiales b A vitesses radiales c R vitesses radiales
21 1 21
Fig Param etres de Fourier pour la gril le de mod eles galactiques gril le Les
observations pour les les c eph eides fondamentales proviennent de la compilation de Krzyt
et al Les amplitudes th eoriques ont et e divis ees par un facteur de projection de
etudi es en d etail a la n du chapitre
Mo d eles galactiques et observations des vitesses radiales
Les param etres de Fourier issus des vitesses radiales sont facilement comparables aux
mo d eles etant donn e qu ils ne n ecessitent pas en premi ere approximation un mo d ele
d atmosph ere elabor e
Les courb es de vitesses radiales existantes p our les c eph eides galactiques classiques ont
et e compil ees et d ecompos ees en s eries de Fourier par Krzyt et al Les mesures ont
et e compl et ees par les observations de Kienzle et al p our les c eph eides de type S
Les valeurs observ ees sont compar ees au d ephasage au rapp ort d amplitudes R et
l amplitude du premier mo de propre d oscillation A extraits des a justements de Fourier
sur les courb es de vitesses hydrodynamiques La vitesse de la derni ere couche a et e utilis ee
p our extraire les param etres de Fourier th eoriques L amplitude A th eorique est divis ee
par un facteur de pro jection de Burki et al avant d etre compar ee aux ob
servations
Sur la gure les mo d eles sont repr esent es par des p oints ou des triangles sur la
gure p our les c eph eides oscillant dans le mo de P Les mo d eles appartenant a une
m eme s equence sont reli es par des traits le type de symbol utilis e plein traitill e ou en
p ointill e corresp ond a la notation adopt ee p our la gure
La progression observ ee du d ephasage P entre et rad p our des p eriodes
comprises entre et jours est remarquablement repro duite par les trois s equences de
mo d eles La forme et la p osition du maximum sont correctement mo d elis es La p osition du
Chapitre
a vitesses radiales b A vitesses radiales c R vitesses radiales
21 1 21
Fig Comme sur la gure mais pour les c eph eides de type S Les observations
sont tir ees de Kienzle et al
maximum de est tr es sensible a la relation ML adopt ee ce qui montre que la relation
utilis ee est satisfaisante p our la Galaxie
La gure b montre que l amplitude A est comprise entre et km s entre
P et jours alors que le rapp ort R d e nit une s equence qui cro t entre et
dans cette gamme de p eriodes Les mo d eles p our A et R augmentent progressivement
quand on passe de la s equence chaude sur le BE aux s equences plus froides a K du
BE La dynamique observ ee est bien repro duite Notons touefois que la s equence sur le
BE trait continu sous estime A et R alors que la s equence a K surestime l eg ere
ment l amplitude a courte p eriode
Il est p ossible que l echantillon de Krzyt et al soit biais e vis a vis des faibles
amplitudes les auteurs ayant s electionn e les ob jets avec une grande pr ecision dans les
param etres de Fourier ce qui favorise les fortes amplitudes ou les ob jets lumineux A cet
egard on p eut noter que la c eph eide de plus faible amplitude connue Polaris est aussi
un ob jet tr es lumineux m
V
Les c eph eides oscillant dans le premier mo de propre de pulsation sont compar ees aux
observations a la gure l accord est moins b on que p our leurs homologues classiques
La progression observ ee du d ephasage introduite au chapitre une croissance de avec
un maximum aux alentours de jours n est pas bien repro duite Parall element A P et
R P diminuent
Si la s equence P th eorique a la b onne forme elle est cep endant d eplac ee vers les
courtes p eriodes par rapp ort aux valeurs observ ees Comme p our les c eph eides classiques
la p osition du maximum de la courb e P d epend de deux param etres la relation
ML et la p osition de la s equence par rapp ort au BE Le premier param etre ne p eut etre
mo di e sans d egrader l a justement obtenu pr ec edemment p our les c eph eides classiques
les deux p opulations devant satisfaire la m eme relation En revanche en choisissant une
Partie III
a Galaxie b LMC c SMC
Fig Amplitudes photom etriques premier terme de la s erie de Fourier pour la
Galaxie et les Nuages de Magel lan Les amplitudes photom etriques proviennent de Krzyt
et al pour la Galaxie alors que les donn ees photom etriques des Nuages de Magel lan
provenant de Udalski et al a et b ont et e ajust ees avec des s eries de Fourier
Les param etres issus des mod eles sont repr esent es par les points noirs chaque s equence
etant reli ee par un trait dont le type est celui adopt e a la gure trait plein proche de
la BE discontinu a K du BE et en traitill es a K du BE
s equence de mo d eles plus chauds le maximum de sera d eplac e a plus longue p eriode
comme l exige les observations de la gure a Ceci est en accord avec les observations
OGLE II p our les nuages Udalski et al qui montrent que les c eph eides S sont en
moyenne plus bleues que leur contrepartie classique
En r esum e les courb es de vitesses des mo d eles hydrodynamiques galactiques sont en
tr es b on accord avec les param etres de Fourier observ es p our un choix standard des
param etres stellaires relation ML et m etallicit e et sans aucun a justement particulier des
param etres num eriques viscosit e arti cielle L amplitude et la p osition du d ephasage
sont correctement repro duites et toute la gamme des amplitudes est atteignable
Les mo d eles montrent que l amplitude cro t progressivement de a km s entre le BE
et la s equence froide K du BE comme on p eut le constater directement sur les
courb es de vitesse cf gure
La p osition de calcul ee p our les c eph eides de type S indique que la s equence adop
t ee est trop froide par rapp ort aux observations en accord avec les observations OGLE I I
Amplitudes photom etriques A
Les amplitudes photom etriques A premier terme de la s erie de Fourier p our la Ga
laxie et les deux Nuages de Magellan sont compar ees aux mo d eles sur la gure
On retrouve la progression d ej a observ ee p our les vitesses l augmentation de A a
Chapitre
mesure que l on s eloigne du BE Pour la Galaxie la ma jeure partie des amplitudes est
couverte alors que p our le LMC seule la partie sup erieure est bien d ecrite Notons tou
tefois que dans le cas du grand Nuage de Magellan la raret e des p oints th eoriques rend
la comparaison di cile Dans cette grille un grand nombre de mo d eles oscillent selon le
mo de P et ne sont donc pas comparables aux observations
Comme p our la Galaxie les mo d eles de c eph eides S sont trop froids p our etre confront es
aux donn ees des Nuages de Magellan Pour analyser ces observations il faut calculer une
s equence sp eci que plus chaude que le BE
Contrairement au LMC et a la Galaxie les simulations du SMC atteignent un seuil
d amplitude d es la s equence a K puis cette derni ere reste inchang ee p our les mo
d eles a ou K du BE Si ces mo d eles suivent bien l enveloppe des observations ils
n expliquent pas la dynamique observ ee avec des amplitudes comprises entre et
magnitudes
La variation de m etallicit e entre la Galaxie et le SMC in uence donc le gradient de
l amplitude dA dT le maximum atteint par les mo d eles etant tr es semblable dans les
trois cas Pour toutes les grilles on constate aussi une faible d ecroissance de l amplitude
de mag p our des p eriodes comprises entre et jours
Les di erences entre les maxima des amplitudes photom etriques relev ees par di erents
auteurs entre des galaxies de m etallicit e di erentes est avant tout un e et evolutif L al
longement de la b oucle bleue des trac es evolutifs vers les haute temp eratures p our les
etoiles d e cientes en m etaux p ermet aux ob jets de faible masse d atteindre la bande d in
stabilit e et donc d osciller avec des amplitudes elev ees Inversement a m etallicit e solaire
seules les etoiles massives atteignent la bande d instabilit e et ces derni eres oscillent avec
une faible amplitude
Il manque visiblement un m ecanisme p ermettant d amortir la pulsation dans les mo
d eles du SMC a mesure que l on s eloigne du BE Le traitement de la convection dans
les calculs hydrodynamiques devrait r esoudre ce probl eme en transp ortant une partie
de l energie accumul ee par le m ecanisme dans les couches avoisinantes elle p ermet de
diminuer l amplitude de pulsation Par ailleurs son e cacit e augmente vers les basses
temp eratures le gradient thermique n etant plus su sant p our transp orter l energie du
centre au b ord de l etoile de mani ere radiative Ceci est est en accord avec le comp or
tement observ e p our les amplitudes photom etriques a travers la bande d instabilit e du
LMC cf ci dessous
Pour etudier la distribution des amplitudes photom etrique A en fonction de la tem
p erature e ective on p eut utiliser l indice de couleur V I des donn ees de OGLE I I
Sur la gure est p ort e en bas a gauche A en fonction de l indice V I p our
l echantillon des c eph eides classiques du LMC Pour faire ressortir le comp ortement de
l amplitude a travers la BI on sub divise le diagramme HR en haut a gauche en tranches
de mag de large en V Pour chacun des six sous echantillons on p orte l amplitude
en fonction de la couleur V I sur les gures de droite Le rougissement est estim e
a partir des etoiles du red clump r eparties a travers toute la galaxie Udalski et al a
Partie III
Fig Observations photom etrique bande V de Johnson de OGLE II Udalski et al
a pour les c eph eides du LMC En haut a gauche Diagramme couleur magnitude
En bas a gauche Diagramme amplitude A couleur A droite Diagrammes amplitude
V couleur pour diverses tranches de luminosit e Le domaine de magnitude V utilis e dans
chaque cas est indiqu e a gauche de chaque gure ainsi que dans le diagramme HR par des
traits verticaux Ces diagrammes sont corrig es de l extinction a l aide des etoiles du red
clump Les gures A V I de droite montrent que l amplitude est elev ee proche du
BE puis d ecro t r eguli erement vers le rouge avec un taux de mag pour V I
mag La croissance rapide de l amplitude proche du BE est observ ee egalement parmi les
mod eles du SMC
Chapitre
Les gures de droite montrent que
L amplitude maximale A mag reste la m eme quel que soit la gamme de lumi
nosit e consid er ee
Pour les echantillons les plus fournis l amplitude est maximale au BE puis d ecro t
vers le b ord rouge avec un taux de mag p our V I mag La disp ersion a
V I constant est d environ de mag dont une partie doit provenir de l erreur sur
le d erougissement l erreur typique sur A etant faible de l ordre de millimagnitudes
Les mo d eles du SMC repro duisent en partie ce comp ortement en atteignant un maxi
mum d amplitude d es la premi ere s equence Mais comme indiqu e plus haut l absence de
convection ne p ermet pas de repro duire la d ecroissance vers le b ord rouge de la BI
Rapp ort des amplitudes photom etriques R et d ephasage
Ces param etres sont discut es simultan ement etant donn e qu ils sont tous deux tr es
sensibles a la r esonance P P
Pour les param etres de Fourier galactiques on retrouve la signature de la r esonance
P P avec la progression P et la d ecroissance de R P cf gures
et Cette derni ere est plus marqu ee que p our les vitesses gure en partie
gr ace au nombre grand d ob jets observ es photom etriquement
Les mo d eles galactiques repro duisent de mani ere satisfaisante la croissance de et la
chute du rapp ort d amplitude R Cet accord va de paire avec celui constat e p our les pa
ram etres de Fourier issus des courb es de vitesses radiales Il montre aussi que le traitement
radiatif bien qu approximatif est su sant p our repro duire les progressions observ ees
Les c eph eides des Nuages de Magellan suivent le m eme comp ortement d ecroissance
de R et croissance de avec des extr ema aux alentours de jours Par contre les
mo d eles p our ces galaxies sont b eaucoup moins satisfaisants Les valeurs calcul ees de
sont pro ches de celles observ ees comprises entre et rad mais elles ne repro duisent
pas le maximum observ e pro che de P jours
Si la d ecroissance de R avec la p eriode a la b onne p ente sa valeur est unit es au
dessus des observations De plus comme p our l amplitude A la gamme de R n est pas
couverte par les mo d eles hydrodynamiques les s equences th eoriques se situant ici aussi
au dessus des observations
Du p oint de vue de la morphologie des courb es de lumi ere cela signi e que d une part
l amplitude du bump est trop marqu ee dans les mo d eles et que par ailleurs son d epla
cement vis a vis du maximum de luminosit e n est pas repro duit
Deux raisons p euvent etre avanc ees p our expliquer ces ecarts
Le comp ortement du d ephasage est contr ol e par la distance a la r esonance P P
Les mo d eles utilis es p our les Nuages de Magellan sont eloign es de cette condition
comme le montre la gure o u est p ort e le rapp ort des p eriodes P P en fonction de
P p our les grilles galactique et du SMC A mesure que la temp erature de la s equence
diminue on se rappro che de la condition P P ce qui indique qu il su rait de
Partie III
a Galaxie b SMC
Fig Rapport des p eriodes lin eaires P P pour la gril le galactique et du SMC Si la
r esonance P P a bien lieu proche de P jours pour les mod eles galactiques
cette condition est satisfaite a plus longue p eriode pour le SMC C est l une des raisons
pour laquel le on ne reproduit pas la s equence observ ee dans le plan P
choisir une s equence a plus basse temp erature p our avoir la r esonance a P jours
Toutefois cette solution va a l encontre des observations de Laney Stobie qui
montrent que les c eph eides du SMC sont en moyenne plus chaudes que leurs homologues
galactiques
Le second param etre qui p eut etre mo di e est la relation ML en diminuant le rap
p ort M L on d eplace la r esonance a plus courte p eriode Cette alternative est en accord
avec l analyse de Alib ert et al qui utilisent un rapp ort masse luminosit e plus faible que
le notre p our le SMC et repro duisent correctement la distribution des p eriodes
Notons cep endant qu un rapp ort P P de ne garanti pas que la r esonance soit obser
vable cf chapitre
Une autre alternative concerne la p osition de la r esonance Si le choix des param etres
stellaires n est par remis en cause la gure montre que la r esonance a lieu a longue
p eriode aux alentours de jours dans le SMC et la progression photom etrique observ ee
doit trouver une autre origine dans le traitement du transfert radiatif par exemple Le
ph enom ene serait alors similaire a celui observ e p our les c eph eides galactiques de type S
cf chapitre p our lesquelles Kienzle et al ont montr e que la progression photo
m etrique n est pas due a une r esonance
Pour con rmer cette hypoth ese il faudrait obtenir des vitesses radiales de b onne qualit e
k m s p our une dizaine de c eph eides du SMC avec des p eriodes comprises
V r
Ces auteurs ab outissent a la relation log L L log M M a partir de leur trac es
evolutifs Nous utilisons log L L log M M p our le SMC
Chapitre
a Galaxie b LMC c SMC
Fig Rapport d amplitude photom etrique R observ e losanges et simul es points
Les symboles sont les m emes que ceux adopt es a la gure Si la gril le galactique
reproduit bien les observations les mod eles pour les Nuages de Magel lan donnent trop
d importance au premier harmonique
a Galaxie b LMC c SMC
Fig Comme pr ec edemment pour le d ephasage La progression photom etrique
observ ee n est pas reproduite pour le LMC et le SMC
entre et jours Si la r esonance est pr esente une progression dans les param etres de
Fourier d ecoulant des vitesses radiales devrait etre visible Non seulement de telles me
sures p ermettraient de con rmer la pr esence de la r esonance mais elles ab outiraient a
une evaluation quantitative de sa p osition
Une demande de temps p our observer des c eph eides dans les Nuages de Magellan avec le
sp ectrographe FEROS a et e d epos ee a l ESO p our l automne Ces mesures devraient
fournir les premiers el ements de r eponse a cette question
Partie III
Conclusion et p ersp ectives
Les mo d eles hydrodynamiques radiatifs de A Fokin repro duisent de mani ere satis
faisante les courb es de vitesse radiale des c eph eides galactiques La progression P
contr ol ee par la r esonance P P est parfaitement a just ee ce qui montre que la
relation ML choisie est ad equate p our la Galaxie La gamme d amplitude A et le rapp ort
R sont accessibles par des mo d eles hydrodynamiques purement radiatifs
Pour les c eph eides de type S la r esonance P P se pro duit a trop courte p eriode
P jours par rapp ort aux observations car la s equence adopt ee a trop faible temp e
rature n est pas repr esentative de la p opulation galactique p our ces ob jets Ceci p eut se
r esoudre en choisissant une s equence de mo d eles se situant a plus haute temp erature que
le BE en accord avec les observation OGLE I I
Les param etres photom etriques sont satisfaisants p our la Galaxie mais ne suivent pas
les progressions observ ees dans les Nuages de Magellan donn ees OGLE I I Udalski et al
a Le comp ortement de P calcul e varie p eu sur l intervalle des p eriodes etudi e
ce qui indique que la r esonance a lieu a trop longue p eriode dans les mo d eles Ceci p eut se
r esoudre en augmentant le rapp ort M L ce qui est en accord avec la relation ML adopt ee
par Alib ert et al
Les mo d eles nous apprennent que l amplitude A augmente a mesure que l on s eloigne
du BE avec un gradient dA dT b eaucoup plus marqu e p our le SMC que p our la Ga
ef f
laxie
La dynamique de l amplitude photom etrique A et du rapp ort R n est pas repro duite
p our les Nuages de Magellan les s equences calcul ees ne d ecrivant que l enveloppe sup e
rieure des observations Pour le SMC l amplitude atteint son maximum d es la premi ere
s equence et ne diminue quasiment pas lorsqu on s eloigne du BE Un m ecanisme dissipatif
est n ecessaire p our amortir la pulsation a basse temp erature La convection p ermettrait
de diminuer l amplitude des mo d eles a basse temp erature on d ecrirait alors la gamme
d amplitude observ ee dans le LMC et le SMC
Le diagramme couleur amplitude p our les c eph eides du LMC montre que A mV atteint
son maximum pro che du BE en accord avec les r esultats de la grille du SMC Le d e
p ouillement des donn ees OGLE II p our le SMC doit encore etre fait
Le maximum d amplitude est similaire dans les trois galaxies La di erence d amplitude
photom etrique relev ee par divers auteurs entre la Galaxie par exemple van Genderen
et les Nuages de Magellan est bien un e et de m etallicit e mais qui concerne princi
palement les trac es evolutifs et non la pulsation En amenant des etoiles de faible masse
dans la bande d instabilit e les mo d eles evolutifs d e cients favorisent la pulsation de forte
amplitude par rapp ort aux etoiles massives qui oscillent avec une amplitude photom e
trique moindre
Au vu des di cult ees rencontr ees par les mo d eles p our repro duire la progression P
photom etrique dans les Nuages de Magellan il est n ecessaire de s assurer que la s equence
Chapitre
observ ee p our le d ephasage est bien le r esultat de la r esonance P P comme il
est commun ement admis Seules des mesures de vitesses radiales dans le LMC et plus
particuli erement p our les c eph eides fortement d e cientes du SMC p euvent fournir une
r eponse quantitative a ce probl eme
C eph eides a double mo des
Au cours des diverses simulations cinq a six mo d eles par grille ont atteint un cycle
limite pr esentant deux mo des d oscillation simultan es
Ce comp ortement est inattendu p our des mo d eles hydrodynamiques purement radiatifs
toute les tentatives de pro duire de telles oscillations avec cette m ethode ayant echou e cf
Kollath et al jusqu a pr esent Les r esultats obtenus p our ce type d oscillations sont
repris ci dessous apr es une br eve introduction observationnelle
Nous tenons a pr eciser que ces mo d eles sont en cours d analyse et que des tests compl e
mentaires doivent venir con rmer les r esultats pr esent es ci dessous
Introduction
La pr esence simultan ee de plusieurs mo des d oscillation est tr es r epandue parmi les
etoiles p eu massives Scuti par exemple qui oscillent g en eralement dans des mo des
non radiaux Ce ph enom ene est b eaucoup plus rare p our les pulsateurs radiaux de type
RR Lyrae ou Cephei Pour ces derniers P et P n ont et e d etect es simultan ements
que p our ob jets galactiques et seule CO Aur oscille avec les p eriodes P et P C est
g en eralement le mo de P qui a la plus forte amplitude photom etrique Balona avec
un rapp ort entre les amplitudes allant de a La c eph eide AX Vel se distingue avec
un mo de P dominant A A
Dans les Nuages de Magellan on trouve une p opulation de c eph eides a double mo de
DBM plus imp ortante avec une ma jorit e d oscillateurs dans les mo des P et P dans
le SMC dans le LMC par rapp ort aux mo des P et P dans le SMC dans le
LMC Welch et al Udalski et al c Ces ob jets restent toutefois extr emement
rares par rapp ort a l ensemble de la p opulation des c eph eides Contrairement aux ob jets
galactiques c est P qui domine dans les courb es de lumi ere aussi bien p our les DBM de
type P P que dans les types P P Les rapp orts d amplitudes sont compris entre
et Beaulieu et al
Dans le diagramme HR les c eph eides DBM se situent entre les c eph eides classiques
qui p euplent la bande d instabilit e a basse temp erature et les c eph eides de type S a haute
temp erature les oscillateurs P P etant plus chauds que les oscillateurs P P
La p eriode etant une observable connue avec une grande pr ecision et robuste vis a vis
de l extinction et de la distance ces ob jets fournissent une contrainte particuli erement
forte sur les mo d eles stellaires Les comparaisons entre le sp ectre de fr equence th eorique
et les observations se fait par l interm ediaire d un diagramme de Petersen o u on p orte
P P resp ectivement P P en fonction de P ou P resp ectivement cf gure Ce
Partie III
.85
) FU/FO
FO FO/SO /P SO .8 or P FU /P FO
.75 Period Ratio (P
.7 -.4 -.2 0 .2 .4
log PFU or log PFO
Fig Rapport des p eriodes P P cercles et P P points en fonction de log P
et log P respectivement diagramme de Petersen pour les c eph eides a double modes du
SMC d etect ees par OGLE II Udalski et al c Une tr es bonne pr ecision en p eriode
de P permet d obtenir une d e nition ne des s equences
type de graphique est illustr e a la gure p our l echantillon OGLE II du SMC Les
c eph eides DBM d e nissent alors des s equences tr es nes que seuls les mo d eles utilisants
les nouvelles opacit es OP ou OPAL sont capables de repro duire cf Moskalik et al
ou Christensen Dalsgaard Petersen
Les exp eriences de micro lentilles gravitationnelles ont montr e que la relation P P P
d epend de la m etallicit e avec un rapp ort P P qui augmente de jusqu a
a mesure que l on passe de la Galaxie au SMC Udalski et al c
Pour une discussion des param etres de Fourier et de l e et des r esonances dans ces ob jets
nous renvoyons le lecteur au chapitre
Mo d eles de c eph eides a double mo des
Les mo d eles lin eaires non adiabatiques montrent que les bandes d instabilit e des mo des
P a P se r epartissent des hautes vers les basses temp eratures avec des chevauchements
o u l on trouve deux fr equences lin eairement instables Cette r epartition a travers le dia
gramme HR est en accord avec les couleurs moyennes observ ees dans le SMC Udalski et
al c Comme indiqu e plus haut le rapp ort des p eriodes est aussi repro duit par ce
type de mo d eles
Cep endant les mo d eles lin eaires ne donnent que les taux de croissance des divers mo des
sans contraindre les amplitudes ou les autres param etres de Fourier Il faut alors faire
app el aux mo d eles non lin eaires
Jusqu a maintenant les calculs hydrodynamiques radiatifs ne pro duisaient des mo
d eles oscillant simultan ement dans deux mo des que p our des choix tr es particuliers des
Chapitre
param etres de viscosit e arti cielle cf Takeuti et al Cela p oussait a croire que
seuls des calculs tenant compte de la convection sont a m eme de pro duire une pulsation
multi p eriodique Kollath et al En e et des mo d eles non lin eaire r ecents incor
p orant une description d ependante du temps de la convection ont pro duit des pulsations
dans P et P p our des RR Lyraes et des c eph eides Feuchtinger Kollath et al
Au cours de notre etude des oscillations multi p eriodiques dans les mo des P et P
ont et e observ ees avec le co de hydrodynamique radiatif d evelopp e par A Fokin sans que
les param etres stellaires ou de viscosit e arti cielle n aient et e particuli erement choisis a
cette n Ce type d instabilit e est pr esente dans aussi bien a haute qu a basse m etallicit e
p oints entour es d un cercle sur la gure et p ersistent sur plus de cycles
Une etude pr eliminaire des c eph eides DBM de la grille galactique est pr esent ee dans
l article ci joint Fokin Kienzle Burki Des tests compl ementaires sont exp os es
ci dessous
Quelques tests compl ementaires
L oscillation dans deux mo des simultan es n etant pas attendue dans les co des num e
riques radiatifs des simulations compl ementaires ont et e e ectu ees p our s assurer de la
robustesse du ph enom ene
Toutes les analyses p ortent sur le mo d ele pa log L L M M
T K ou des mo d eles pro ches pp p d
ef f
L int egration du syst eme d equations di erentielles ne donne aucune information sur
la stabilit e du mo de vibrationnel trouv e Il se p eut que celui ci saute brutalement dans
un autre etat corresp ondant a une oscillation mono mo dale ou s att enue assez lentement
p our que l oscillation semble stable sur le temps d int egration num erique
Le test entrepris ici consiste simplement a int egrer un mo d ele le plus longtemps p ossible
Alors que la plupart des simulation sont suivies sur un millier de cycles le mo d ele pa a
et e suivi sur p eriodes ce qui repr esente un p eu plus de ann ees Le comp orte
ment multi p eriodique p erdure sur tout l intervalle de temps avec une tr es faible variation
de l amplitude des mo des P et P comme l illustre la gure Le ph enom ene n est
donc pas transitoire Notons toutefois que ce temps ne repr esente que du temps de
travers ee de la bande d instabilit e Pour M M le temps dans le premier le second
et le troisi eme passage de la bande d instabilit e sont resp ectivement de et
ann ees d apr es Alib ert et al
La stabilit e de l oscillation multi p eriodique p eut aussi etre etudi ee via les equations
aux amplitudes introduites au premier chapitre En int egrant les equations et
on obtient
Z
t
A t A t B t dt A A t R e Q A t R e T
Z
t
B t B t R e Q B t R e T B t A t dt B
Partie III
Fig Evolution des amplitudes de pulsation A et A photom etriques des modes P
et P pour le mod ele pa Les deux fr equences sont pr esentes sur l ensemble des
cycles avec une variation des amplitudes inf erieure a mag
Les amplitudes A et B sont issues des mo d eles hydrodynamiques en d ecomposant les
courb es de lumi ere ou de vitesse en s eries de Fourier a plusieurs temps t En a justant
les deux equations ci dessus sur les courb es A t B t les co e cients R e Q etc
sont estim es Une fois ces co e cients connus on p eut analyser le champs de vecteurs
dA dt dB dt p our lo caliser les p oints xes les p oints selle dans plan A B cf gure
Cette pro c edure n a pas encore et e appliqu ee ici
Pour s assurer que l oscillation multi p eriodique ne provient pas d un choix particulier
des conditions initiales le m eme mo d ele a et e calcul e avec des vitesses initiales allant de
a km s Apr es un millier de cycles tous les mo d eles conservent P et P dans leur
sp ectre sauf p our le mo d ele a faible amplitude qui converge vers le premier mo de propre
P Ceci montre qu il existe au moins deux attracteurs dans le plan A B le premier
d ecrit la pulsation DBM alors que le second d ecrit l oscillation dans P uniquement
Des r esultats similaires sont d ecrits par Kollath Buchler p our des mo d eles convec
tifs Ils constatent que le mode de pulsation d epend des conditions initiales choisies
Notons encore que les amplitudes di erent quelque p eu selon les conditions initiales Ceci
montre que la convergence vers un m eme cycle limite nal p eut etre tr es lente cf Kollath
Buchler
Le co de utilis e ne faisant pas app el a une grille adaptative qui contr ole l echan
tillonnage a travers l enveloppe notamment dans les zones de ionisations le nombre de
couches a et e p ort e a et p our v eri er que le ph enom ene n est pas d u a un sous
echantillonnage de la structure stellaire
La gure montre le sp ectre de puissance des courb es de vitesses de ces mo d eles Les
temps d int egrations sont de et cycles p our les mo d eles pp couches et
Chapitre
Fig Spectre de puissance des courbes de vitesses radiales en fonction de la fr equence
en j pour le mod ele pa avec diverses vitesses initiales valeurs indiqu ees sur les
gures Le spectre converge vers des solutions similaires apr es un mil lier de p eriodes
d oscil lations quel le que soit la vitesse initiale sauf pour U k m s Dans ce dernier cas
l etoiles oscil le selon P uniquement L identi cation des pics fondamental F premi ere
harmonique F ou premier mode propre d oscil lation H est indiqu e dans la gure
en bas a gauche
Partie III
Fig Spectre de puissance pour le mod ele pa dont on a augment e le nombre de
couches et couches L importance du mode fondamental diminue au pro t
du premier mode propre P a mesure que l on a ne la discr etisation du mod ele Les temps
d int egration sont de et cycles pour les mod eles a et couches
p d couches resp ectivement
Les deux fr equences sont encore visibles dans les mo d eles a et couches mais
l amplitude du mo de fondamental P diminue a mesure que l on a ne la discr etisation
Il faut etre prudent quand a l interpr etation de la gure En augmentant l echantillon
nage on calcule des mo d eles dont la structure interne di ere l eg erement Le comp ortement
DBM etant tr es d elicat a la structure du mo d ele et la variation d amplitude observ ee p eut
etre due au changement de structure plut ot qu a l echantillonnage Ce dernier test montre
l e et imp ortant de l echantillonnage mais des mo d eles a couches avec des param etres
stellaires similaires a ceux de pa doivent d ab ord etre etudi es avant de p ouvoir conclure
sur l e et de la discr etisation
Recherche de candidats
Une cinquantaine de c eph eides ont et e analys ees a n de d etecter un eventuel second
mo de de pulsation de faible amplitude Les ob jets ont et e s electionn es dans la base de
donn ees de la mission Hipparcos Grenon et dans celle de D L Welch qui
collecte toutes les mesures de photom etrie et de vitesses radiales sur les c eph eides Les
mesures collect ees a Gen eve Bersier et al a b ont et e toutes investigu ees
Les crit eres p our s electionner dans ces bases de donn ees les etoiles a analyser ont et e
Chapitre
au moins cent mesures une pr ecision des mesures meilleure que magnitude ou
km sec dans le cas de mesures faites par di erents auteurs une homog en eisation
p ossible des divers group es de mesures une tr es b onne distribution des mesures en
phase
La m ethode d analyse appliqu ee est la transform ee de Fourier TF discr ete de Dee
ming particuli erement e cace en raison de l echantillonage souvent tr es complexe
des mesures Une m ethode it erative de type CLEAN cf chapitre p our nettoyer les
sp ectres de Fourier discrets a et e utilis ee A chaque pas de l analyse la fr equence s elec
tionn ee sur la base de la TF est am elior ee par l a justement d une s erie de Fourier avec n
harmoniques Dans le cas d un deuxi eme mo de susp ect e l a justement est fait avec deux
s eries de Fourier et les meilleures fr equences sont obtenues par un a justement it eratif par
moindres carr es
Des simulations ont montr e que dans certains cas selon le rapp ort signal sur bruit et
selon l echantillonage un second mo de de tr es faible amplitude p eut apparaitre dans la
TF non pas directement a sa fr equence propre mais a l une des fr equences comp osites
ou Cette propri et e a evidemment et e utilis ee p our tenter de d ecouvrir des
seconds mo des de pulsation
Pour l instant la recherche de ces seconds mo des de faible amplitude n a pas et e
tr es fructueuse La raison est p eut etre qu ils n existent pas ou extr emement rarement
Mais les simulations sur des echantillons synth etiques de mesures photom etriques ainsi
que l analyse des donn ees th eoriques r esultants des simulations non lin eaires montrent
que actuellement tr es p eu de c eph eides ont un nombre de mesures de haute qualit e en
nombre su sant et bien r eparties en phase Seules des campagnes intensives de mesures
tr es pr ecises avec une pr ecision de quelques millimagnitudes p ermettront de savoir quel
est la prop ortion exacte de c eph eides qui pr esentent eventuellement un deuxi eme mo de
de pulsation de faible amplitude
Dans la suite les cas de la c eph eide S Sagittae S Sge de p eriode principale jours
est pr esent e
La c eph eide S Sge
Les mesures analys ees de cet ob jet proviennent de Mo ett Barnes L Berd
nikov in Welch et Kiss Au total mesures ont et e regroup ees et sont
r eparties en trois group es comme le montre la gure De faibles corrections de p oint
z ero ont et e appliqu ees aux echantillons a n de supprimer les pics qui apparaissaient aux
tr es basses fr equences dans la TF
La gure a montre le sp ectre de puissances P de la TF Le pic principal est a la
fr equence corresp ondant a la p eriode jours Les pics secondaires au
voisinage de proviennent essentiellement de l echantillonage Rapp elons que le pro l
d un pic r eel dans la TF est le r esultat de la convolution entre un pic in niment mince
a la b onne fr equence avec le pro l de la fen etre sp ectrale
Partie III
Fig Mesures photom e
triques de S Sge par Mo ett
Barnes L Berdni
kov dans Welch et Kiss
Tab Ordre n fr equence en j et amplitude en magnitude des harmoniques de la
s erie de Fourier ajust ee sur la courbe lumi ere de S Sge
n fr equence amplitude
Apr es soustraction d une s erie de Fourier avec la fr equence et n un seul harmo
nique la nouvelle TF met en evidence les harmoniques n et n
Pour d ecrire correctement la courb e lumi ere du mo de fondamental
une s erie de Fourier avec n est su sante Les amplitudes de ces six harmoniques
sont donn ees dans la Table et on voit que ces amplitudes d ecroissent avec l ordre qui
augmente l amplitude du terme n n etant que de magnitude
La gure b montre la TF apr es soustraction de la s erie de Fourier avec har
moniques telle que d e nie par les param etres de la Table Il reste essentiellement deux
zones avec une puissance sp ectrale signi cative La r egion entre les fr equences et
j est vraissemblablement due a la soustraction imparfaite de l e et de la fr equence fon
damentale Pour justi er cette hypoth ese il faut mentionner ici que S Sge est connue
p our avoir une fr equence l eg erement et continuement variable le taux d accroissement
etant de jour par p eriode selon Szabados Il en r esulte un l eger glissement
de la courb e lumi ere qui a ecte la soustraction des comp osantes de la s erie de Fourier
avec un e et plus marqu e a la fr equence fondamentale en raison de sa grande amplitude
La deuxi eme zone avec une puissance sp ectrale signi cative se trouve entre les fr e
quences et j avec un maximum a la fr equence j corresp ondant
Chapitre
a la p eriode jours C est cette p eriode qui p ourrait etre attribu ee a un
deuxi eme mo de de pulsation L amplitude est faible environ fois en puissance
inf erieure a celle du pic principal p our n a mais elle se distingue du bruit
comme le montre la gure b Il est a noter que ce pic reste inchang e si on consid ere
des echantillons partiels par exemple les mesures de L Berdnikov dans l intervalle tem
p orel partiel a en HJD
Les courb es lumi ere corresp ondant a ces deux mo des sont donn ees sur les gures c
et d La d eviation standard des p oints autour des courb es a just ees est de magni
tude On voit sur la gure c que le mo de fondamental est extr emement bien d ecrit
avec une r epartition parfaite des p oints en phase C est une des conditions imp eratives
p our esp erer p ouvoir d etecter un second mo de de faible amplitude La gure d montre
le deuxi eme mo de de pulsation L amplitude p ointe a pointe de la courb e lumi ere de ce
mo de n est que de millimagnitudes
Il est tr es imp ortant de remarquer que le rapp ort des p eriodes est de P P en
tr es b on accord avec la valeur attendue p our une c eph eide galactique pulsant dans le mo de
fondamental et le er mo de La valeur du rapp ort des p eriodes obtenu ici p our S Sge est
evidemment un argument tr es fort p our p enser que la deuxi eme p eriode trouv ee est r eelle
Est ce l a la premi ere mise en evidence d un second mo de de pulsation de tr es faible am
plitude dans une c eph eide tels que ceux trouv es dans de nombreux mo d eles non lin eaires
Avant de p ouvoir l a rmer il faudra pro c eder a une con rmation de ce r esultat en or
ganisant une campagne de mesures sur S Sge et sur d autres candidats en veillant a la
grande pr ecision et a l homog en eit e des mesures ainsi qu a leur b onne distribution en
phase
Conclusion et p ersp ectives
Au cours des simulations num eriques un grand nombre de mo d eles oscillent simula
tan ement dans les mo des P et P L analyse des mo d eles double mo des galactiques nous
montre que
les rapp orts des p eriodes P P sont en accord avec les valeurs observ ees
tous les mo d eles on un mo de P d amplitude dominante mais seul un mo d ele a un
rapp ort d amplitude similaire aux observations Pour les autres cas le mo de P est tr es
faible A A
Le comp ortement DBM n etant pas attendu dans des mo d eles radiatifs des tests
compl ementaires ont et e entrepris Ces trois tests montrent que le comp ortement multi
p eriodique du mo d ele pa se maintient si
le temps d int egration est prolong e jusqu a cycles
les conditions initiales sont vari ees entre et km s
Le dernier test concerne le nombre de couches utilis ees dans les mo d eles a double mo de Le
comp ortement DBM p ersiste dans les simulations avec et couches mais l ampli
tude du mo de fondamental diminue Si ce dernier p oint est imp ortant il faut etre prudent
Partie III
a Mo de P b Mo de P
0 1
c Mo de P d Mo de P
0 1
Fig En haut Spectres de puissance sur l ensemble des observations en a et
apr es soustraction du mode P en b pour l une des candidates double modes la c eph eide
S Sge en bas Courbes de lumi ere pour le mode P ajust e avec harmoniques en c
et pour la fr equence r esiduelle P en d L amplitude du second mode est fois plus
faible que le mode principal P
Chapitre
quand a son interpr etation l e et p ouvant provenir d un changement de structure interne
du mo d ele
Deux axes sont a d evelopper d ab ord il faut etendre la derni ere analyse mentionn ee en
etudiant le comp ortement des mo d eles a couches avec des param etres stellaires dans
le voisinage du mo d ele p d Si tous ces mo d eles ont un mo de P d aussi faible amplitude
que p d alors le comp ortement a double mo de des mo d eles radiatifs sera s erieusement
remis en cause
Si au contraire le comp ortement DBM p ersiste une etude plus d etaill ee dans le plan A
A a l aide des equations est n ecessaire p our mieux identi er les attracteurs et leur
stabilit e D apr es la gure on s attend a trouver deux attracteurs d ecrivant le premier
mo de propre d oscillation P et la solution DBM
Les caract eristiques observationnelles de ces mo d eles sont surprenantes et ne corres
p ondent pas a ce que l on conna t des c eph eides DBM Les mo d eles multi p eriodiques se
r epartissent a travers tout le diagramme HR au lieu de se concentrer a haute temp erature
a la jonction entre la BI des mo des P et P
Ces mo d eles pr edisent des oscillateurs DBM avec des p eriodes fondamentales p ouvant
aller jusqu a jours Cep endant la plus longue p eriode P connue p our une c eph eide
DBM galactique est de jours Il se p eut que l on assiste a un e et evolutif les trac es
galactiques ne p ermettant pas aux mo d eles de rester su samment longtemps dans les
zones plus lumineuses que celle corresp ondant a P jours
Les mo d eles p ourraient d ecrire un nouveau type de pulsation DBM avec une faible
amplitude du mo de P et qui n a pas et e d etect e jusqu a pr esent Les bases de donn ees
photom etriques de Hipparcos et de Gen eve compl et ees par les donn ees de Welch
ont et e analys ees p our y chercher une oscillation parmi les r esidus des c eph eides clas
siques Plusieurs candidats tels que S Sge ont et e identi es mais la faiblesse du signal mis
en evidence dans le mo de P une dizaine de millimagnitudes d amplitude n ecessite des
mesures compl ementaires La faiblesse de l amplitude A dans la ma jorit e des mo d eles
rend cette recherche particuli erement d elicate Plus d une centaine de mesures par etoile
et un syst eme photom etrique homog ene et stable sont n ecessaires Le nouveau photom etre
CCD qui sera install e au telescop e Suisse a l automne sera un instrument id eal p our
identi er ces mo des de faibles amplitudes
En n si c est bien P qui domine la pulsation DBM conform ement a ce que l on
observe dans les DBM galactiques l amplitude A des mo d eles est b eaucoup plus faible
avec des rapp ort A A inf erieurs a dans la ma jeur partie des cas et certains d entre
eux sortent du domaine P P observ e cf gure de l article ci joint
Le comp ortement DBM etant aussi r epandu parmi les grilles des Nuages de Magellan
il serait int eressant de chercher parmi les milliers de c eph eides de la base OGLE II des
candidats eventuels
Partie III
Lettre A A
R ef erences
Afonso C Alb ert J N Alard C A A
Alco ck C Allsman R A Alves D R et al a ApJ
Alco ck C Allsman R A Alves D R et al b AJ
Alib ert Y Bara e I Hauschildt P et al A A
Arp H C Kraft R P ApJ
Antonello E Morelli P L A A
Balona L A dans Cepheids Theory and observations Pro ceeding du collo que
IAU Ed B F Madore
Bauer F Th ese de do ctorat de l universit e Paris D eveloppement et mise au
p oint du d etercteur EROS p our l etude de microlentilles gravitationnelles Etude
comparative des c eph eides dans les Nuages de Magellan
Beaulieu J P Grison P Tobin W et al A A
Beaulieu J P Kro ckenberger M Sasselov D D et al A AL L
Becker S A Ib en IJR Tuggle R S ApJ
Bersier D Burki G Burnet M a A AS
Bersier D Burki G Mayor M Duquennoy A b A AS
Buchler J R Goupil M J Piciullo R ApJL L
Burki G Mayor M Benz W A A
Chiosi C Woo d P R Capitanio N ApJ Suppl
Chiosi C Woo d P R Bertelli G Bressan A et al ApJ
Christensen Dalsgaard J Petersen J O A AL
Deeming T J Astrophysics and Space Science
Eichendorf W Reinhardt M A A
Fouqu e P Gieren W P A A
Fouqu e P Gieren W P A A
Freedmann W L ApJ
Feuchtinger M U A A
Gautschy A Vistas in Astronomy
Grenon M Hipparcos Variability Annex Light Curves The Hipparcos and Tycho
Catalogues vol ESA SP
van Genderen A M A A
Houdashelt M L Bell R A Sweigart A V AJ
Jeannin L Pulsation des etoiles lumineuses Th ese sp ecialit e physique Ecole
normale sup erieur de Lyon
Kienzle F Moskalik P Bersier D Pont F A A
Kiss L L MNRAS
Ko chanek C S ApJ
Kovacs G dans Pro ceedings of the NATO Advanced Research Workshop on The
Numerical Mo delling of Nonlinear Stellar Pulsations Problems and Prosp ects Ed J
Rob ert Buchler Kluwer Academic Publishers p
Krzyt T Moskalik P Gorynya N A Samus N N en preparation
Laney D C Stobie R S MNRAS
Kollath Z Beaulieu J P Buchler J R Yecko P ApJL L
Chapitre
A A manuscript no
will b e inserted by hand later
ASTRONOMY
AND
Your thesaurus co des are
ASTROPHYSICS
Nonlinear radiative double mo de Cepheid mo dels
1 2 2 2
A B Fokin F Kienzle G Burki
1
Institute for Astronomy of the Russia Academy of Sciences Pjatnitskaja Str Moscow Russia fokin inasan rssi ru
2
Observatoire de Gen eve CH Sauverny Switzerland
Received date accepted date
mo dels calculated in the course of an extensive hydrody Abstract In the course of an extensive hydrodynami
namical review of these stars cal review of radiative Cepheid mo dels we found mo d
els with p erio ds b etween d and d showing robust
limit cycles with a discrete p ower sp ectrum which con
tains only F and H frequencies and their linear combina
Numerical co de and initial mo dels
tions The p erio d ratio P P varies from to and
1 0
the photometric amplitude ratio A A from to
1 0
The nonlinear Lagrangian co de has b een developped by
This result quite unusual for radiative mo dels shows that
Fokin on the basis of the formalism describ ed by
the b eat phenomenon probably can b e explained within
Mihalas Mihalas A grey time dep endent radia
purely radiative pulsation theory
tion eld is included into the gas energy equation and is
determined from the intensity moment equations by using
Key words Hydro dynamics Stars oscillations Stars
the variable Eddington factors
variables Cepheids
The numerical metho d is similar to this initially de
velopped by Hillendahl and used by Christy
and Fadeyev and Tutukov The dynamic equations
are explicit with the velocity centered in time The gas
Introduction
parameters like T P or are centered in the mass zone
The energy equations b oth for the gas and for the radi
Numerous unsuccessful attempts to obtain the nonlinear
ation are fully implicit The gas state equation includes
b eat Cepheid mo dels i e pulsating simultaneously in
the Saha ionizations of H and He The radiative ux is cal
di erent mo des resulted in an almost general b elief that
culated according to the Mihalas formula which
at least radiative mo dels cannot repro duce double mo de
p ermits to limit the ux near the surface and provides
pulsation A review of this problem can b e found e g in
a stable solution The main calculation pro cess is a di
Kovacs A recent nonlinear mo delling of the double
rect time integration from the initial conditions i e the
mo de Cepheid Y Car by Takeuti et al who used an
Cauchy initial problem
increased arti cial viscosity seems to reveal the double
At the inner b oundary we use the approximation of an
mo de b ehavior of their mo del However the integration
inert core R const and L const with R usually
time was short ab out fundamental cycles and the
0 0 0
b eing from to of the photospheric radius At the
stability analysis has shown that this mo del yet slowly
outer b oundary we supp ose the absence of the incident ra
converges toward a single p erio dic pulsation
diation and use a dynamic condition const
N
Most recently Kollath et al rep orted ab out the
N 1 2
where and are the mass densities at the sur
N b eat phenomenon observed in a set of their convective
N 1 2
face and in the middle of the outer mass zone resp ectively
Cepheid mo dels For these calculations they introduced a
This last condition means that in the outer part of the at
parameters lo cal D convective theory The relevant pa
mosphere not included in the mo del the mass derivative
rameters were adjusted from the theory observation com
of is supp osed linear although the slop e varies with time
parison They found that the double mo de b ehavior is ro
This condition b eing physicaly consistent also provides a
bust and do esn t dep end on the initialization of the non
weak sho ck re ection at the surface
linear mo dels The authors also suggest that no radiative
mo del can pulsate in a double mo de regime
The M L relation of Chiosi et al with an over
sho ot parameter of has b een used to construct our In this letter we rep ort ab out our discovery of stable
Cepheid mo dels double mo de pulsation in radiative nonlinear Cepheid
Partie III
A B Fokin F Kienzle G Burki Nonlinear radiative double mo de Cepheid mo dels
name mo de P days L L M M T K
ef f
pa DM
pa F
pa F
pa F
pa DM
pa F
pa H
pa DM
pa DM
pa F
pa F
pa DM
pa F
pa F
pa DM
pa F
pa F
pa F
pa F
pa F
pa F
pa H
pa H
Fig Positions of the nonlinear mo dels within the fundamen
pa F
tal instability strip according to Chiosi et al Dots refer
pa H
to fundamental mo de pulsators op en cercles to rst overtone
pa H
pulsators and circles with dots to double mo de mo dels LNA
pa DM
p erio ds are indicated b eside the red edge with the corresp ond
Table Physical parameters for the non linear mo dels shown
ing isop erio d lines
in Fig F H and DM refer to fundamental rst overtone and
double mo de pulsation resp ectively The p erio ds come from
the nonlinear calculations The p erio ds of the DM mo dels cor
l g L L Y Z
resp ond to the F mo de except for the mo del pa for which
the dominant mo de is H
l g M M
Eight sets of nonlinear mo dels have b een calculated
ab oundance have b een used in the OP notation table
the mo dels in each set having the same linear non
1
S
adiabatic LNA fundamental p erio ds Their p ositions
The initial velocity corresp onded to the LNA F mo de
within the fundamental instability strip FIS according
eigenfunction with an amplitude at the surface normally of
to Chiosi et al are presented in Fig In each set the ef
km s However in several mo dels near the blue edge
fective temp erature of the mo dels were chosen to b e co oler
calculated with this amplitude a pulsation in the rst
by resp ectively K K and K than this of the
overtone pulsation was found When the initial velocity is
blue edge So our mo dels are lo cated mostly in the blue
increased to km s in almost all such cases but one a
half of the FIS in order to diminish p ossible in uence of
robust F mo de limit cycle was obtained Since in this part
the convection The basic parameters of the mo dels are
of the HR diagram b oth the F mo de and the rst overtone
summarised in Table
are linearly unstable we suggest that these mo dels are in
All initial mo dels consist of ab out mass zones with
a bifurcation region and that their pulsational regime is
ab out zones b eing optically thin The sho cks are treated
controlled by the initial amplitude The second overtone
with the usual von Neumann Richtmyer Stellingwerf ar
was always found linearly stable
ti cial viscosity with the parameters C
q
Note that our calculations show no signi cant variation
of the amplitude of pulsation when varies from to
Numerical results
if the number of the mass zones is hight enough i e
roughly or more However with the light curves
Fig shows the F mo de Fourier parameters diagrams of
are more a ected by unrealistic high frequency p erturba
the nonlinear mo dels compared to the relevant observa
tions
tional diagrams obtained from the radial velocity curves
The chemical abundances X Z typical for
Krzyt et al
the Galactic Cepheids has b een adopted for all the mo d
1
see http vizier u strasbg fr cgi bin OP S els The OP opacities Seaton corresp onding to this
Chapitre
A B Fokin F Kienzle G Burki Nonlinear radiative double mo de Cepheid mo dels
Fig Fourier parameters for the theoretical dots and ob Fig Top light curve for the mo del pa after cycles
servational op en diamonds from Krzyt et al velocity Middle velocity curve of the th mass zone from the surface
curve for the F mo de Top phase shift Middle amplitude for the same time interval Bottom the Fourier sp ectrum of the
21
ratio R Bottom amplitude A in km s The solid dashed velocity curve obtained with a sequence of ab out p erio ds
21 1
and dotted lines corresp ont to the mo del sequences at with ab out p oints p er p erio d The most imp ortant p eaks
and K from the blue edge Note that the mo dels t fairly are identi ed No p erceptible variation in the sp ectrum was
well the observed Hertzsprung progression found during the last cycles
Fig shows the theoretical and observational Pardo
As seen theory and observations are in reasonable
Poretti relations b etween the amplitude rst term
agreement for short p erio ds P d except for R
21
of the Fourier series and p erio d ratios of the H and F
around P d For the longer p erio ds only set of
mo des It is esp ecially noteworthy that the theoretical p e
mo dels has b een analysed for the moment
rio d ratios are in p erfect agreement with the observational
As we mentioned ab ove the double mo de phenomenon
values
was never observed b efore in radiative nonlinear mo dels
Most of our double mo de mo dels show a low H ampli
Quite unexp ectedly we found the presence of b oth F and
tude i e A A is smaller than for of them However
H pulsation in mo dels see Table and Fig In
1 0
note that this is not a general characteristics of these mo d
of them a comparison b etween the consecutive Fourier
els since a large value A A was obtained in the
sp ectra during sometimes ab out fundamental cycles
1 0
case of the mo del pa see Fig
revealed a robust double mo de pulsation without signif
The known Galactic b eat Cepheids with F and H icant trends of the Fourier amplitudes cycles in
the case of pa The pulsation of the mo del pa on the
mo des have the fundamental p erio d roughly in the range
contrary is very noisy showing a non systematic variation
from to days Mo dels pa and pa have their p eri
o ds in this range but mo dels pa pa pa pa and of the Fourier sp ectrum over ab out fundamental cy
cles In this last mo del the average H amplitude is ab out
pa reveal longer p erio ds This is an interesting observa
tional challenge to try to detect long p erio d double mo de times higher than this of the F mo de in fair contrast
Cepheids in the Galaxy having most probably a small H with the other double mo de mo dels
amplitude
Figs and show two examples of the light curves
The double mo de mo dels pa pa and pa are velocity curves and Fourier sp ectra of the radial velocity
co oler than fundamental mo de pulsators having the same for mo dels pa and pa These cases represent di erent
p erio ds This is not the exp ected situation in the instabil relative strengths of the Fourier amplitudes of the F and
ity strip where at a given luminosity double mo de pul H mo des The Fourier sp ectra of the mo dels were found
sators ought to b e found b etween F pulsators and H pul stable over thousands of cycles Test calculations with ini
sators The mo dels of set however are in agreement tial velocity amplitudes of and km s show that the
with this prediction and they corresp ond precisely to the double mo de limit cycle do es not dep end on the initial
vast ma jority of the Galactic double mo de Cepheids i e amplitude
Partie III
A B Fokin F Kienzle G Burki Nonlinear radiative double mo de Cepheid mo dels
Discussion
Some questions arise in the context of the results obtained
here
Are the discovered double mo de limit cycles really
stable
Due to the metho d used direct integration the strict
answer can b e given only if the monitoring of the pulsa
tional mo dels continues long enough compared to the evo
lutionary time of a Cepheid Unfortunately in the present
study it was to o much CPU time consuming to continue
the calculations further than ab out cycles
for the mo del pa Although a comparative analysis of
the successive Fourier sp ectra showed their high stability
over several thousands of cycles we realise that it is not
an absolute stability pro of We however b elieve that the
p ossible trend if it exists should b e extremely small
Can the b eat mo dels found b etween and days
corresp ond to reality
We are currently lo oking in the databases for such
Cepheids with small b eat amplitudes Unfortunately the
observational sets are frequently incomplete and the obser
Fig Same as Fig but for the mo del pa after cy
vational errors are to o large for the purp ose This question
cles No signi cant variation in the Fourier sp ectrum was found
seems imp ortant and the answer could bring more infor
during the following p erio d cycles
mation ab out these stars A work is now in progress to
nd out whether such a small b eat phenomenon can b e
detected from the existing observational data
Why couldn t other authors repro duce the b eat phe
nomenon up to now in their radiative mo dels
We have no clear answer to this question although
we can sp eculate on the basis of di erences in the co des
and mo dels Mainly we use a more advanced treatment of
the radiation eld which is imp ortant for a description of
the gas dynamics not only in the atmosphere sho cks but
also under the photosphere moving H ionization front
Also the atmospheres of our mo dels are more extended in
the density range and have more mass zones The outer
b oundary condition is also di erent reducing the sho ck
re ection at the surface It seems imp ortant to p erform a
comparison b etween the same mo dels calculated by di er
ent hydroco des
To conclude we b elieve that in view of the present
results and despite some remaining uncertain p oints the
b eat phenomenon can b e explained by a radiative pulsa
tion theory
Acknowledgements We thank gratefully P Moskalik for send
Fig Theoretical dots and observed op en diamonds di
ing us up to date observational Fourier parameters prior to
agrams of the ratios of the Fourier light amplitudes of the F
publication and for his remarks on the pap er and D Pfen
and H mo des versus the corresp onding p erio d ratio The ob
niger for the allo cation of CPU time on Gravitor the cluster
servational data are taken from Pardo Poretti
of PCs at the Geneva Observatory This work has b een sup
p orted by the Swiss National Science Foundation FNS AF
aknowledges the hospitality of the Geneva Observatory and the
nancial supp ort of the FNS during his stay in Geneva
P is b etween and days Is this fact an indication that
0
the situation is more complex for the Cepheids with longer
References
p erio ds
Christy R F ApJ
Chapitre
A B Fokin F Kienzle G Burki Nonlinear radiative double mo de Cepheid mo dels
Fadeyev Yu A Tutukov A V MNRAS
Fokin A B ApSS
Hillendahl R W PASP
Koll ath Z Beaulieu J Ph Buchler J R Yecko Ph
ApJ L
Kovacs G in The Numerical Mo delling of Nonlinear Stellar
Pulsations Problems and Prosp ects Pro c of the Nato
ARW ed J R Buchler
Krzyt T Moskalik P Gorynya N A Samus N N in prepa
ration
Mihalas D Mihalas B W Foundations of radiation hydrody
namics N Y Oxford University Press
Pardo I Poretti E A A
Seaton M J J Phys B At Mol Opt Phys
Takeuti M Tanaka Y Ishida T in Pulsating Stars Recent
Developments in Theory and Observation Ed M Takeuti
and D D Sasselov
Partie III
Kollath Z Buchler J R dans Nonlinear Stellar Pulsation Astrophysics and Space
Science Library Ed M Takeuti D Sasselov
Laney D C Stobie R S MNRAS
Laney D C Stobie R S SAAOC
Luck R E Mo ett T J Barnes I I I G T et al AJ
Mo chejska B J Kaluzny J Stanek K Z et al AJ
Mo ett T J Barb es T G I I I ApJS
Mo ett T J Gieren W P Barnes T G Gomez M ApJS
Moskalik P Buchler J R Marom A ApJ
Saio H Gautschy A ApJ
Schaller G Schaerer D Meynet G Maeder A A AS
Seaton M J Yan Y Mihalas D et al MNRAS
Simon N R Lee A S ApJ
Skillman et al ApJ
Stetson P B PASP
Szabados L Comm Konkoly Obs
Udalski A Soszynski I Szymanski M et al a Acta Astron
Udalski A Soszynski I Szymanski M et al b Acta Astron
Udalski A Soszynski I Szymanski M et al c Acta Astron
Walker A R MNRAS
Welch D L Alco ck C Allsman R A et al dans Variable stars and the astro
physical returns of the microlensing surveys eme Collo que astrophysique de l IAP
Ed R Ferlet J P Maillard B Raban
Welch D L http www physics mcmaster ca Cepheids HomePage html
Annexes
Param etres des grilles de mo d eles
Chapitre signe Tab mod eles mode mod ele avec abviations pa pa pa pa pa pa pa pa pa pa pa pa pa pa pa pa pa pa d elemo a pour lin eairement du Le est hydrodynamiques coe cient mode Hdbm rayon suivantes donn e Param etres Fdbm Fdbm Fdbm Fdbm Fdbm ode mo H dominant F F F F F F F F F F F photosph erique dans instable p erio de de F la stabilit e tllaires stel mode premi ere sont P La ou p erio de fondamental donn es p eriode P est p eriodes se colonne respectivement donn e trouvent non lin eire dans selon et La les dans H les stabilit e dans luminosit e colonnes isop eriodes premier la L L les derni ere lin eaire colonnes mode et la M M de masse colonne des propre L identi cation Chiosi mod eles T la a ff ef si lation d oscil et Les temp erature al Un p eriodes de Y la du grille signi e mode P et Z lin eaires et la Fdbm la est composition que p eriode P Galaxie donn e ou pour est Hdbm non lin eaire dans les positif P sont voir mode le si lation oscil donn es seconde gure ce P qui obstenue P a a dans colonne correspond P a double mode ainsi les Le d apr es R colonnes hts que iq photosr nom avec que a les les un du le R
Partie III pa pa pa pa pa pa pa pa pa d elemo Fdbm ode mo H H H H F F F F p erio de p erio de non lin eire Tab L L M M Suite de T ff ef la table Y Z P P P R hts que iq photosr R
Chapitre signe mod eles mode mod ele avec abviations Tab c p c p c p c p c p c p c p c p c p c p c p c p d elemo a pour lin eairement du Le est hydrodynamiques coe cient mode Fdbm Fdbm Fdbm Fdbm Fdbm rayon suivantes donn e ode mo Param etres F F F F F F F dominant photosph erique dans p erio de instable de F la stabilit e mode tllaires stel premi ere sont P La p erio de ou fondamental donn es p eriode P est se colonne p eriodes respectivement non lin eire donn e trouvent dans selon La les dans et H les dans luminosit e stabilit e colonnes isop eriodes premier L L la les derni ere lin eaire colonnes mode M M et la de masse colonne propre L identi cation Chiosi des T mod eles ff ef la a si lation d oscil et Les temp erature al Un p eriodes Y de du la signi e mode P grille et Z lin eaires et la Fdbm la est composition que p eriode P donn e LMC ou pour est Hdbm non lin eaire dans les positif P sont voir mode le si lation oscil donn es seconde gure ce P qui P obstenue a b dans colonne correspond P a double mode ainsi les R Le d apr es hts que iq photosr colonnes nom avec que a les les un du le R
Partie III c p c p c p c p c p c p c p c p c p c p c p c p d elemo Hdbm ode mo H H H H H F F F F F F p erio de p erio de non lin eire Tab L L M M Suite de T la ff ef table Y Z P P P R hts que iq photosr R
Chapitre signe mod eles mode mod ele avec abviations Tab pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb d elemo a pour lin eairement du Le est hydrodynamiques coe cient mode Hdbm Hdbm rayon suivantes donn e Fdbm Fdbm Fdbm Fdbm Fdbm Fdbm Param etres ode mo H H dominant F F F F F F F F F F photosph erique dans instable p erio de de F la stabilit e mode tllaires stel premi ere sont P La ou p erio de fondamental donn es p eriode P est se colonne p eriodes respectivement donn e trouvent non lin eire dans selon La les dans et H les dans luminosit e stabilit e colonnes isop eriodes premier la L L les derni ere lin eaire colonnes mode et la M M de masse colonne propre L identi cation Chiosi des mod eles T la a ff ef si lation d oscil et Les temp erature al Un p eriodes de Y du la signi e mode P grille et lin eaires et Z la Fdbm la est composition que p eriode donn e P ou SMC pour est Hdbm non lin eaire dans les positif sont voir P mode le si lation oscil donn es seconde gure ce P qui obstenue P a c dans colonne correspond P a double mode ainsi les Le d apr es R colonnes hts que iq photosr nom avec que a les les un du le R
Partie III pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb pb d elemo Hdbm ode mo H H F F F F F F F F p erio de p erio de non lin eire Tab L L M M Suite de T la ff ef table Y Z P P P R hts que iq photosr R
Quatri eme partie
Variabilit e des Sup erg eantes
Chapitre
Chapitre
Variabilit e des Sup erg eantes
Variabilit e des etoiles massives
Observations
Dans la partie sup erieure du diagramme HR log L L la variabilit e photom e
trique ne se limite plus aux bandes etroites d instabilit es d e nies par les Cephei pro ches
de la s equence principale ou par les Cephei a plus basses temp eratures mais se retrouve
a tous les types sp ectraux Maeder Rufener Grenon On p eut distinguer
deux classes d ob jets les Luminous Blue Variables LBV et les hyperg eantes jaunes
gure
Les LBV sont chaudes T K et massives M M Leurs variations
photom etriques sont caract eris ees par plusieurs echelles de temps Bohannan sur
quelques semaines la magnitude oscille avec une faible amplitude de l ordre de mag
de mani ere semi p eriodique c est a dire que la p eriode ou l amplitude ne sont pas stricte
ment constantes Sur des dur ees de quelques ann ees on observe des eruptions aux cours
desquelles la luminosit e augmente de plusieurs magnitudes dans la bande V Ces eruptions
sont accompagn ees d un changement du type sp ectral celui ci passant de O B a A F
La variation de magnitude V est donc due a un changement de correction b olom etrique
et non a une variation de luminosit e
La phase eruptive est aussi caract eris ee par des raies d emission intenses et larges qui
sont asso ci ees a une forte p erte de masse dans les parties externes de l enveloppe Wolf
Kaufer Cette masse se retrouve dans les structures n ebulaires qui p euvent at
teindre jusqu a M et qui sont r esolues spatialement autour de certaines LBV Nota
Clampin
Deux classes de LBV ont et e identi ees selon leur luminosit es les LBV lumineuses
log L L sont des etoiles massives qui evoluent vers le rouge alors que leurs
homologues moins brillantes ont d ej a subi une forte p erte de masse et evoluent vers le
bleu
Les hyperg eantes sont en g en eral plus froides que les LBV cf de Jager p our
une synth ese des observations concernant ces ob jets Par d e nition Keenan ce
sont des sup erg eantes avec des raies H en emissions et des raies de Fraunhofer tr es
Partie IV
Fig Les di erentes
classes d etoiles variables dans
la partie sup erieure du dia
gramme HR losanges Lu
minous Blue Variables LBV
et leur parcours a travers
le diagramme HR durant les
eruptions traitill es horizon
taux cercles Hyperg eantes et
leur parcours durant la va
riabilit e photom etrique traits
pleins horizontaux carr es
Echantil lon de superg eantes B
et A pr esentant des raies
d emission H variables dans
leurs spectres Kaufer at al
traitill es verticaux
partie sup erieure de la bande
d instabilit e de Chiosi et al
p oints position de
V Cen et de son compa
gnon chaud de type spectral B
III
larges Ces caract eristiques sont la signature d une p erte de masse et de la pr esence d une
enveloppe etendue Ces etoiles sont plus lumineuses que les sup erg eantes classiques de
m eme type sp ectral mais cette particularit e ne su t pas a les classer comme hyper
g eantes type Ia ou Ia On trouve une grande ma jorit e d etoiles de masses interm e
diaires M M ayant d ej a p erdu une partie de l enveloppe comme en atteste
l exc es IR ou les raies de CO et SiO observ ees p our quelques unes d entre elles mais on
trouve aussi quelques d ob jets massifs M M La masse les ab ondances de surface
ou l exc es infrarouge montrent que la plupart des hyperg eantes ont pass e par le stade de
sup erg eante rouge et reviennent vers les hautes temp eratures
A chacune des deux classes de variables on p eut asso cier une r egion vide d etoiles dans
le diagramme HR La premi ere se situe a haute luminosit e log L L c est la
limite de Humphrey Davidson Le seconde r egion est plus ne et est asso ci ee aux hyper
g eantes Elle se situe aux allentours de log L L et log T
ef f
Nous reviendrons sur ces deux r egions au chapitre suivant
Sur la gure sont rep ort ees les deux classes de variables dans le diagramme HR
Lors des eruptions les LBV losanges comme les hyperg eantes cercles voient leur tem
p erature chuter et elles parcourent le diagramme HR a luminosit e quasi constante comme
l illustre les traits horizontaux reliant ces deux phases p our certains des ob jets Les carr es
noirs repr esentent l echantillon de sup erg eantes B tardives et A de Kaufer et al
Chapitre
auquel on se r ef erera par la suite
Mo d eles
La grande vari et e de ph enom enes physiques impliqu es dans la variabilit e des etoiles
massives convection rotation p erte de masse et les instabilit es qui leur sont asso ci ees
est un d e p our les mo d eles num eriques La variabilit e photom etrique de faible amplitude
et les eruptions sont ab ord ees ci dessous
Les etoiles massives sont caract eris ees par un ux radiatif imp ortant et une luminosit e
GM
pro che de la limite de Eddington L avec c vitesse de la lumi ere opa
E dd
cit e radiative M masse de l etoile en dessous du niveau consid er e au del a de laquelle
l acc el eration radiative l emp orte sur l attraction gravitationnelle brisant ainsi l equilibre
hydrostatique et rendant l etoile instable Ce m ecanisme a et e invoqu e p our expliquer la
limite de Humphreys Davidson mais cela est remis en cause par de Jager Nieuwen
huijzen Ces derniers montrent qu en tenant compte de l acc el eration turbulente
et du vent stellaire l acc el eration e ective g g g g g
ef f N ew ton r adiatif tur bul ent v ent
est pro che de z ero mais ne s annule jamais l etoile augmentant sont rayon de mani ere a
diminuer jusqu a ce que sa luminosit e soit inf erieure a L En revanche g prend des
E dd ef f
valeurs pro ches de z ero dans la r egion du Yellow Voigt Les hyperg eantes jaune lors de
leur evolution vers le bleu se heurtent a cette zone d instabilit e Alors la faible gravit e
conjug ee a une pulsation induit la forte p erte de masse observ ee dans les hyperg eantes
jaunes
En ce qui concerne les LBV des calculs lin eaires non adiabatiques ont et e entrepris
par Glatzel Kiriakidis et Kiriakidis et al Ces auteurs combinent des
mo d eles evolutifs dans la phase de combustion de l hydrog ene avec des mo d eles LNA et
ils montrent que plusieurs zones du diagramme HR sont instables vis a vis de la pulsation
radiale cf Glazel Mehren p our les oscillations non radiales Si ce sont bien
des ondes de pression qui sont observ ees le m ecanisme d excitation n est pas classiques
m ecanismes ou Ces mo des trouvent leur origine dans les zones de ionisation partielle
de l hydrog ene de l h elium ou du fer qui sont des barri eres acoustiques p our les mo des p
Celles ci s eparent l enveloppe en deux r egions chacune d elles p oss edant son sp ectre de
valeurs propres C est l interaction entre ces deux sp ectres qui g en ere les p eriodes instables
observ ees On parle alors de mo des etranges strange mo de
Ces instabilit es ont des taux de croissance tr es elev es si on les compare a ceux obtenus
p our les pulsations quasi adiabatiques des c eph eides Cette caract eristique conduit a des
pulsations violentes qui p ourraient provoquer une forte p erte de masse et les eruptions
observ ees parmi les LBV
Ces mo d eles n ont pas et e calcul es p our les ob jets froids de type F G car il faudrait
tenir compte de la convection On ne sait pas actuellement si les mo des etranges p euvent
expliquer en partie le comp ortement semi p eriodique des hyperg eantes jaunes
p our ces ob jets L M etant tr es grand le temps thermique est faible et on est tr es loin du r egime adiabatique
Partie IV
A l aide d une appro che semi quantitative de Jager et al ont montr e que le
sp ectre des p eriodes observ e dans les hyperg eantes p eut s expliquer par la combinaison de
mo des p similaires a ceux trouv es dans les c eph eides et de mo des de gravit e non radiaux
Ces derniers expliqueraient les plus longues p eriodes observ ees
La pr esence de mo des de gravit e semble con rm ee par les campagnes d observations de
Kaufer et al Ce suivi sp ectroscopique de sup erg eantes B tardives et A sur une
dur ee de cinq ans montre que les fr equences typiques d eduites des raies sp ectrales sont
trop basses p our etre dues a des mo des p De plus le pro l des raies sp ectrales p orte la
signature de mo des non radiaux Des mo des de gravit e d ordre l p euvent satisfaire
ces contraintes observationnelles
Sup erg eantes et photom etrie de Gen eve
Les di erentes echelles de temps pr esentes dans les etoiles massives n ecessitent un
suivi photom etrique de longue dur ee avec un echantillonnage heb domadaire Seul une ins
trumentation g er ee par un unique institut et un programme sp eci que d observation des
sup erg eantes garanti la continuit e des observations
A Maeder et G Burki ont entrepris depuis la n des ann ees un suivi photom etrique
r egulier de sup erg eantes de type A a G avec les photom etres de l Observatoire de Gen eve
En particulier le photom etre photo electrique P install e sur le t elescope Suisse de cm
situ e a La Silla au Chili et a p ermis de suivre p endant pr es de ans la variabilit e des
sup erg eantes
L analyse et les r esultats issus de cet ensemble de donn ees tr es homog ene et de haute
pr ecision sont rep ort es dans les articles ci joints
mV
La contribution au collo que IAU etudie la relation entre l amplitude photom e
trique V et le temps caract eristique T qui lui est asso ci ee On observe que le rapp ort
V T est constant p our une etoile donn ee et qu il augmente a mesure que l on consid ere
des etoiles plus chaudes
Le second article concerne V Centauri l une des sup erg eantes les mieux suivies
parmi l ensemble des ob jets observ es en photom etrie de Gen eve On y pr esente l analyse
d etaill ees des param etres stellaires obtenus par les contraintes sp ectroscopiques En outre
l analyse des courb es de lumi eres met en evidence le comp ortement multi p eriodique de
l etoile La comparaison entre le sp ectre des fr equences observ e et celui calcul e a partir
des mo d eles LNA de Schaller montre que cette etoile oscille probablement avec des
mo des g
Le comp ortement photom etrique de V Cen et sa luminosit e elev ee sont des indices
en faveur de sa classi cation parmi les hyperg eantes Mais au sens de Keenan seul
un sp ectre avec des raies de Fraunhofer larges et des raies H en emission p ermettent
une classi cation d e nitive
Chapitre
Fig Variation du pro
l H de juil let a jan
vier observ ee sur CO
RALIE La Sil la Chili Le
spectre est normalis e par rap
port au continu sans correc
tion en longueur d onde pour
le shift Doppler ou de sous
traction de la raie d absorption
H La longueur d onde de la
raie H a est indiqu ee
par le trait en pointill e vertical
Le pro l montre un double pic
en emission et une variation de
l intensit e avec le temps
Sp ectre H de V Centauri
Les mesures sp ectroscopiques publi ees par Sowel obtenues en f evrier
montrent que le sp ectre de V Cen p oss ede une raie d absorption H compl etement
remplie et un pro l P Cygni invers e
La mise en service du sp ectrographe CORALIE a La Silla Chili en juillet a
p ermis d obtenir un sp ectre de cet ob jet d es la n de cette m eme ann ee La particularit e
Partie IV
du pro l H et la variabilit e photom etrique de l ob jet nous ont incit e a commencer un
suivi sp ectroscopique
Les sp ectres H obtenus depuis novembre sont rep ort es sur la gure Un
agrandissement cette r egion est donn e sur la gure Un pro l syth etique de la raie d ab
sorption H p our des param etres stellaires T K log g F e H
ef f
pro ches de ceux de V Cen est sup erp os e a titre indicatif D Erspamer comm priv ee
Toutes les mesures obtenues depuis la mise en service de CORALIE montrent deux
voir trois pics en emissions pro che de A Les maxima observ es dans la nuit du
mars sont d eplac es par rapp ort a la p osition de la raie H en lab oratoire de
km s km s et km s p our les pics dominants bleu et rouge et le pic rouge le
plus faible Le pic bleu est large et asym etrique avec une aile etendue a courte longueur
d onde alors que le pic rouge est tr es sym etrique La p osition du maximum bleu est b eau
coup plus stable que celui du pic rouge Ce dernier est aussi plus variable en intensit e
Le rapp ort des maxima observ es F F est rep ort e sur la gure Si on admet
bl eu r oug e
que la variation observ ee corresp ond environ a une demie p eriode alors l echelle de temps
observ ee environ jours est pro che de la p eriode photom etrique la plus longue
jours
Deux sc enarios p euvent etre esquiss es p our expliquer le sp ectre H observ e Un pro l
avec deux pics d emissions asym etriques est typique des disques circum stellaires inhomo
g enes en rotation L eclipse d une zone de densit e plus elev ee que la moyenne provoque
des variations d intensit e entre les pics cf Telting
La seconde alternative tient compte de l observations de Sowel o u le pro l P Cygni invers e
indique une accr etion de gaz par V Cen L emission rouge dans les sp ectres CORALIE
p ourrait indiquer une p erte de masse variable qui par la suite est accr et ee et donne lieu
au pro l bleu asym etrique La p eriodicit e photom etrique de jours serait alors reli ee a
la p erte de masse variable de l etoile
Notons que les deux ph enom enes p euvent co exister dans un sc enario de type variable ca
taclysmique la masse eject ee est accr et ee d ab ord dans un disque puis la mati ere s ecoule
en direction de l etoile
Cette br eve analyse pr eliminaire doit etre compl et ee par une exploitation quantitative
de l ensemble du domaine sp ectral p our etablir le m ecanisme a l origine de la variabilit e
sp ectroscopique et sa relation avec les courb es de lumi eres
Conclusion et p ersp ective
V Centauri pr esente une variabilit e photom etrique semi p eriodique d amplitude
variable certains mo des disparaissant totalement au cours des ann ees de suivi photo
m etrique dans le syst eme de Gen eve
Au vu des param etres stellaires le sp ectre de p eriodes n ecessite l existence simultan ee de
modes de pression et de gravit e ces derniers devant etre n ecessairement non radiaux
Chapitre
Fig Pro l H mesur e le mars
L echelle des vitesses est indiqu ee
en haut On distingue clairement les trois
pics en emission a et
A ce qui correspond a des vi
tesses de et km s res
pectivement La position de la raie H
a A est indiqu ee par le trait ho
rizontal en pointill es Un spectre synth e
tique avec les param etres T K
ef f
log g F e H est donn e en
pointill es a titre de comparaison D Ers
pamer communication priv ee L emis
sion remplit compl etement la raie d ab
sorption photosph erique L asym etrie du
pic le plus bleu est tr es marqu ee avec
un prolongement etendu a courte longueur
d onde
Fig Variation du rapport d intensit e
des deux maxima principaux observ es dans
la r egion H L echelle de temps d une
centaine de jours est du m eme ordre que
les p eriodes observ ees photom etriquement
a jours
La luminosit e elev ee de V Cen et l observation des raies d emission dans la r egion
H du sp ectre p ermet de classer d e nitivement V Cen parmi les hyperg eantes selon
la d e nition de Keenan
Deux a trois pics d emission H sont visibles Leur intensit e et leur p osition sont va
riables dans le temps Le rapp ort des ux entre le pic bleu et le pic rouge est caract eris e
par une echelle de temps semblable a la plus longue p eriode photom etrique observ ee
Deux sc enarios sont p ossibles p our expliquer la structure observ ee et sa variabilit e Le
Partie IV
premier consid ere un disque circum stellaire inhomog ene en rotation le second asso cie le
pic rouge a une p erte de masse variable et le pic bleu a une accr etion
La relation entre la variabilit e sp ectroscopique et la les p eriodes photom etriques doit
etre clari ee retrouve t on les m eme p eriodes entre le sp ectre H et la photom etrie
Comment varient les di erentes raies
L analyse rapide montre que seul H pr esente des raies imp ortantes en emission Il est
toutefois n ecessaire d a juster le pro l des autres raies avec un mo d ele p our ecarter d e
nitivement la pr esence d une faible emission
La variabilit e des raies doit etre prolong es par une analyse d ab ondance notamment des
raies C N et O qui p ermettra de pr eciser le statu evolutif de l ob jet
Par ailleurs il est souhaitable d elargir l echantillon de sup erg eantes p our comprendre
les m ecanismes impliqu es dans la variabilit e de ces ob jets La base de donn ees photo
m etriques du syst eme de Gen eve contient sept autres ob jets similaires p our lesquels on
disp ose d un suivi photom etrique unique en terme d homog en eit e de dur ee et de pr eci
sion L etude de la variabilit e photom etrique combin ee a des observations spectroscopiques
p ermettrait de r epondre en partie aux questions p os ee ci dessus et d elucider les m eca
nismes a l origine de ces instabilit es
R ef erences
Bohannan B dans Luminous Blue Variables Massive stars transition Ed A
Nota H J G L Lamers PASP Conf Series Vol p
Grenon M dans ITS p
de Jager C Nieuwenhuijzen H MNRAS L
de Jager G A A Review
de Jager C de Koter A Carpay J et al A A
Kaufer A Stahl O Wolf B et al A A
Keenan P C Contr Kitt Peak Natl Obs
Maeder A Rufener F A A
Schaller G dans Confrontation b etween stellar pulsation and evolution ASP
Conf Series vol p
Schaller G dans Analyse de la stabilit e au cours de l evolution stellaire Th ese
de do ctorat n de la facult e des Sciences de l Universit e de Gen eve
Telting J H Heemskerk M H M Hendrichs H F et al A A
Wolf B Kaufer A dans Luminous Blue Variables Massive stars transition Ed
A Nota H J G L Lamers PASP Conf Series Vol p
Nota A Clampin M dans Luminous Blue Variables Massive stars transition
Ed A Nota H J G L Lamers PASP Conf Series Vol p
Chapitre
R ef erence Burki G Kienzle F Publi e dans Astrophysical applications of stellar
pulsation IAU Coll Ed R S Stobie P A Whitelo ck PASP
On the variability of sup ergiant stars
Burki G and Kienzle F
Geneva Observatory Sauverny Switzerland
Introduction
The Ia type sup ergiants of sp ectral type B to G are probably all variable in
radial velocity and luminosity in addition on the average the amplitude of the
variations increases with increasing intrinsic luminosity and are larger for the
earliest and latest sp ectral types Abt Maeder Rufener Burki
et al Grenon The variations are not strictly p erio dic but can
b e frequently describ ed by a characteristic time T i e some kind of most
c
probable p erio d e g Sterken Rufener et al Percy et al
van Genderen et al
It is p ossible to de ne a T luminosity colour relation for the sup ergiant
c
stars Maeder Rufener Burki However this relation exhibits a
large disp ersion due to the unprecise luminosity and colour determinations for
these stars and essentially to the fact that each sup ergiant can show very dif
ferent T values Go o d determinations of T require very long term continuous
c c
photometric monitorings
A new description of the sup ergiant variability
A small group of bright circump olar southern sup ergiant stars has b een selected
for a continuous monitoring from the Geneva station at the E S O La Silla Ob
servatory A rst result on this monitoring was the discovery that V Centauri
G Ia is a double mo de cepheid like pulsator in addition to its sup ergiant b e
haviour Burki We present here the results of the preliminary analysis
on HD A Ia ab HD A Ia and HD F Ia ab It is
clearly apparent in Figure that taking into account the high precision b etter
than millimag and the very go o d temp oral coverage of the data very faint
variations can b e describ ed These data allow to adopt a new description of the
sup ergiant variability on the light curve each increasing or decreasing p ortion
is characterized by V the luminosity variation and by T the duration of
this variation Note that this metho d was already used by Burki et al to
1
describ e the variability of the extreme sup ergiant Sco In Figure are plot
ted the data V vs T On the basis of this small sample we can tentatively
p ostulate that the slop e V T decreases from B to G sp ectral type
In addition at a given sp ectral type the maximum value of V and thus
also of T increases with increasing intrinsic luminosity
A more complete analysis based on a larger sample of sup ergiants ob
served by us in the Geneva photometric system or by various other authors is
in progress
Partie IV
6.2 HD 100198 6.3 6.4 6.5 7850 7900 7950 8000 8050 8100
HJD-2440000
Figure A p ortion of the photometric observations on HD
0.3
0.2
0.1
0
0 50 100 150
Figure Relation b etween the luminosity variations V and the
corresp onding time intervals T for three sup ergiants
Chapitre
References
Abt H A ApJ
Burki G A A
Burki G in The Impact of Long Term Monitoring on Variable Star Re
search Eds C Sterken M de Gro ot Kluwer Dordrecht
Burki G Maeder A Rufener F A A
Grenon M in Inside the Stars Eds W W Weiss A Baglin ASP Conf
Maeder A Rufener F A A
Percy J R Barkerville I Trevorrow W PASP
Rufener F Maeder A Burki G A AS
Sterken C A A
van Genderen A M Th e P S de Winter D Hollander A de Jong P J van
den Bosch F C Kolkman O M Verheijen M A W A A
Partie IV
Astron. Astrophys. 337, 779–789 (1998) ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS
The pulsating yellow supergiant V810 Centauri⋆,⋆⋆
F. Kienzle1, G. Burki1, M. Burnet1, and G. Meynet1 Observatoire de Geneve,` Ch. des Maillettes 51, CH-1290 Sauverny, Switzerland
Received 25 May 1998 / Accepted 22 June 1998
Abstract. The F8 Ia supergiant V810 Centauri is part of a long- 1. Introduction term high-precision photometric monitoring program on long period variables started twenty years ago. Time series analysis of V810 Centauri (=HD 101947 =HR 4511, hereafter V810 Cen) is this unique set of 500 data points, spanning almost fifteen years a yellow supergiant at low galactic latitude (l=295.18, b=-0.64) in the homogeneous Geneva photometric system, is presented. in the direction of Carina spiral arm. Cluster membership, physical parameters and evolutionary sta- The light variability was discovered by Fernie (1976) as a tus of the star are reinvestigated. Radial velocity data do not result of cepheid-like supergiants photometric survey. Eichen- support the cluster membership to Stock 14. Ultraviolet and op- dorf & Reipurth (1979) found a low amplitude variation (0.12 tical spectrophotometry is combined with optical and infrared mag in V ) with a “period” of 125 days (but only two successive photometry to evaluate the physical parameters of the yellow minima were observed). Dean (1980) confirmed the variability supergiant (Teff = 5970 K, Mbol = -8.5, R = 420 R⊙) and of its of V810 Cen, but not the 125 d period. In a preliminary analy- B0 III companion. From theoretical stellar evolutionary tracks, sis of Geneva long-term photometric monitoring, Burki (1994) ∼ an initial mass of 25 M⊙ is estimated for V810 Cen, which is obtained two radial modes at 153 and 104 days with low am- actually at the end of its first redward evolution. plitudes (0.07 and 0.04 mag respectively). However, the high V810 Cen is a multi-periodic small amplitude variable star, residuals suggested that the amplitudes were variable and/or whose amplitudes are variable with time. The period of the main that additional frequencies may be present. mode, ∼156 d, is in agreement with the Period–Luminosity– Colour relation for supergiants. This mode is most probably The pulsation interpretation of the variability was contro- the fundamental radial one. According to the theoretical pul- versial. Indeed, Bidelman et al. (1963) suspected the star to be sation periods for the radial modes, calculated from a linear a spectroscopic binary and this was confirmed by van Genderen non-adiabatic analysis, the period of the observed second mode, (1980) who proposed a B spectral type companion to account ∼107 d, is much too long to correspond to the first radial over- for the UV excess of the G0 Ia star. Therefore, the light varia- tone . Thus, this second mode could be a non-radial p-mode. tion may come from the companion variability rather than the Other transient periods are observed, in particular at ∼187 d. G0 star. This issue was settled with IUE spectra from Parsons The length of this period suggests a non-radial g-mode. Then, (1981). From continuum flux fitting and photometric data he the complex variability of V810 Cen could be due to a mixing found that the G supergiant should be 3.2 mag brighter (in the of unstable radial and non-radial p- and g-modes. V band) than its B companion, thus comforting the cepheid-like pulsation hypothesis for V810 Cen. However, the spectral type of the B companion was still ambiguous: C IV and Si IV ab- Key words: stars: individual: V 810 Centauri – stars: super- sorption lines lead to a B0-B1 Iab-Ib star while continuum flux giants – stars: oscillations – stars: evolution – open clusters and fitting requires a B0.5-B1 III star (see Sect. 3). Since the G star associations: individual: Stock 14 luminosity relies on its companion bolometric magnitude and their magnitude difference, the variable star luminosity is also ambiguous. The perspective of using V810 Cen as a prime candidate Send offprint requests to: F. Kienzle to understand the variability of the massive stars was strength- ⋆ Based on observations collected at the Swiss 40 cm and 70 cm and at the Danish 1.54 m telescopes, at the European Southern Observatory ened by the open cluster membership. Moffat & Vogt (1975) (La Silla, Chile) suggested that V810 Cen is a member of the open cluster ⋆⋆ The photometric data are only available in electronic form at the Stock 14 for which Peterson & FitzGerald (1988) derived CDS via anonymous ftp to cdsarc.u.strasbg.fr (130.79.128.5) or via < EB−V >= 0.26 and V0 − MV = 12.14. But the intrinsic http://cdsweb.u-strasbg.fr/Abstract.html luminosity, derived from the cluster distance, is 0.5 mag fainter Correspondence to: [email protected] when compared to the spectroscopic estimates from IUE data.
Chapitre
780 F. Kienzle et al.: The pulsating yellow supergiant V810 Centauri
In the present paper we re-investigate various aspects of this For further calculation, the annual means of the velocity will be long-period variable star. Sect. 2 is devoted to the discussion used. The values of 13 annual means range from -13.2 km/s to of the membership to the open cluster Stock 14 based on the -20.8 km/s, with standard deviations between 0.5 and 3.5 km/s. cluster members radial velocity. IUE final archive and visual Older measurements of the radial velocity of V810 Cen are: spectrophotometry are used in Sect. 4 to constrain the luminosity +11.7 km/s in 1908 (2 measurements) and +6.9 km/s in 1911 (1 and effective temperature of the G0 supergiant. The variability measurement) from Campbell & Moore (1928), and -17.4 km/s of V810 Cen is discussed thoroughly on the basis of the Geneva in 1946 (10 measurements), -14.4 km/s (3 measurements) in photometric data, collected over 15 years (Sects. 5 to 8). Finally, 1947 and -10.8 km/s (2 measurements) in 1959 from Bidelman a discussion of the pulsation modes is given in Sect. 9. et al. (1963). If all the radial velocity data are taken into ac- 2. V810 Cen and Stock 14 count, the possible orbits with a γ velocity correspond- ing to the velocity of the cluster members (γ = −6 Moffat & Vogt (1975) postulated that V810 Cen is a member km/s, see Fig. 1) give values for the mass function 3 2 3 2 of the open cluster Stock 14 (C 1141-622). This would strongly f(m) = (a2 sin(i)) /P = (m1 sin(i)) /(m1 + m2) constrain the physical parameters of the supergiant. Unfortu- which are far too large: the values for m1 (B-type component) nately, as we shall see hereafter, this is probably not the case. are larger than 60 M⊙, if we assume an m2 of about 25 M⊙. With the UBV photometry from Moffat & Vogt (1975), If the data obtained in 1908 and 1911 are excluded (these Turner (1982) and Peterson & FitzGerald (1988), collected by are 20.3 A˚ /mm spectra taken on photographic plates), the Mermilliod (1997) in his Cluster Database, and using the stellar remaining velocities are compatible with a constant velocity evolutionary tracks from Schaller et al. (1992), the following (taking into account the pulsation), or with a small amplitude parameters can be derived for Stock 14 : E(B − V ) = 0.26, orbit. But the γ velocity would be close to -16 km/s instead of 7 distance= 2.63 kpc, age= 1.4·10 yr. These values are consistent -6 km/s (cluster velocity). Furthermore, it is noteworthy that with those found by Moffat & Vogt (1975), FitzGerald & Miller our recent data have a mean value (−16.7 ± 2.6 km/s) in good (1983), Lynga (1987) and Peterson & FitzGerald (1988). agreement with the mean value of the data obtained in 1946 Assuming cluster membership, the absolute magnitude of and 1947 (−15.8 ± 4.2 km/s), suggesting that the systematic V810 Cen (both components together) would be MV = −7.88, velocity of the system is indeed 10 km/s lower than the mean with an UBV intrinsic color of (B−V )0 = 0.526. According to velocity of the cluster. the analysis of van Genderen (1981), the blue component has an − absolute magnitude of MV = 4.25 and an intrinsic color index In conclusion, our radial velocity analysis allows to exclude − − of (B V )0 = 0.28 (O9-B0 type star), thus the red supergiant the membership of V810 Cen to the cluster Stock 14. would have MV = −7.84 and (B −V )0 = 0.56, corresponding to a G0Ia type star. With these values, the blue component would be close to the cluster turnoff of the main sequence, whereas 3. The blue companion the red supergiant remains close to the original position of the double system, i.e. close to the blue loop of the evolutionary The existence of a blue companion was suggested by Parsons & track, in the core helium burning phase. Peytremann (1973) and van Genderen (1980) from photometric As we shall see from the analysis of the radial velocity data, data and conclusively proved by Eichendorf et al. (1981) and it is probable that V810 Cen is not a member of Stock 14. The Parsons (1981) on the basis of IUE spectra. radial velocities of 4 bright B-type members of this cluster are From Si IV and C IV line profiles and intensity analy- known: -8 km/s (1 measurement with an uncertainty of at least 5 sis, these authors conclude that the spectral type of this blue km/s) for HD 101994 (Buscombe & Kennedy, 1969), −6.4±1.9 companion is B0-B1 Iab-Ib, i.e. a star of absolute magnitude km/s for the eclipsing SB2 system V346 Cen, HD 101897 (Her- MV ≃ −6. Furthermore, Parsons (1981) fitted synthetic spec- nandez & Sahade (1978), −3 ± 12 km/s (4 measurements) for trum on IUE data and UBVRIJKL photometry and determined HD 101964 (Feast et al., 1957) and −10 ± 21 km/s (5 measure- a V magnitude difference between the two components of ments, the velocity could be variable) for HD 101838 (Feast ∆V ≃ 3.2 (the blue component being fainter). As noted by & Thackeray, 1963). A mean velocity of −6 ± 2 km/s can Parsons, there is an inconsistency between V810 Cen mem- be adopted for the cluster in agreement with the estimation of bership to the cluster Stock 14 and the luminosity class of the Lynga (1987). This value relies strongly on the γ velocity of the companion. Indeed, the absolute magnitude of the two compo- SB2 system V346 Cen from 44 Vr measurements. nents would be -7.8 (V810 Cen) and -4.6 (blue companion) if V810 Cen has 90 radial velocity data points between HJD the membership is accepted and the value ∆V = 3.2 taken into 2 444 621 and 2 449 915 from Coravel spectrophotometer at- account. In that case, the luminosity of the blue companion cor- tached to the 1.54 m Danish telescope in La Silla. The uncer- responds to a giant and not to a supergiant (as it is indicated by tainty on each measurement is about 0.4 km/s, whereas the dis- Si IV and C IV lines). In order to reconcile spectral and cluster persion of the data is much larger, due to the complex pulsation luminosity, Turner (1982) suggested that the B star stellar wind of V810 Cen, which is the only component of the system mea- could be abnormally strong for its luminosity, as it is the case sured with Coravel. The mean velocity is −16.7 ± 2.6 (s.d.). for τ Sco (B0 V) and ξ Oph (O9 V). If the same phenomenon
Partie IV
F. Kienzle et al.: The pulsating yellow supergiant V810 Centauri 781
Fig. 1. Radial velocities from 1908 to 1995 collected from various Fig. 2. Reddened and scaled Kurucz models (dashed lines) assuming a sources. Only mean values are shown. The important scatter in the last B0 III hot companion. The full line is the sum of the B0 III and F8 Ia set of data is due to V810 Cen pulsation. The fitted orbit (full curve) Kurucz model. IUE and Kiehling’s data (crosses), the flux derived would agree with the 1908-1928 data but is physically unlikely (see from Geneva photometry (filled squares) and IRAS flux (open squares text). in the insert) are also given. The error bars are the upper and lower flux observed in Geneva photometry whereas for IRAS data they represent the estimated error. The arrows indicate upper limits for the flux. applies here, this star could be a giant, with MV ≃ −4.6, in agreement with the membership to Stock 14. However, as noted in the previous section, the radial velocity analysis do not support the membership to Stock 14. Thus, it accessible through the Strasbourg Stellar Data Center. Points appears to us that the most logical solution is to accept : i) the flaged as uncertain by the author have not been used. In the IR luminosity class of the blue companion, probably a giant B0 star domain, the photometric data from IRAS satellite (IRAS Points Source Catalog, 1988) are reliable only at 12 , whereas the (see Sect. 4), and its absolute magnitude MV ≃ −5.1 (Schmidt- µm Kaler, 1981); ii) the V magnitude difference between the two fluxes at 25, 60 and 100 µm are only upper limits. In addition, components, ∆V ≃ 3.3 (see next section). With these values, the photometric measurements in the 7 colors Geneva system have been used to estimate the effect of the variability. the absolute magnitude of V810 Cen is MV ≃ −8.4 and the star is located behind the cluster Stock 14. No detailed study of the interstellar extinction in the UV domain is available towards V810 Cen. Assuming that the star is not too far away from the open cluster Stock 14, which is at 4. Physical parameters of the two components a distance of 2.7 ± 0.2 kpc according to Peterson & FitzGerald Theoretical energy distributions for each of the two compo- (1988), the mean Galactic extinction law of Krel´owski & Papaj nents, taken from the grid of stellar atmosphere models of Ku- (1992) was adopted. This law is suited for stars at 2 to 6 kpc rucz (1994), have been fitted to the observed UV, optical and from the sun. IR spectrophotometric data of V810 Cen (both components to- For each absolutely calibrated flux of the extracted IUE gether). spectra an internal error estimate is given in the MXLO files In the UV domain, three low dispersion, large aperture, (Nichols et al., 1993). The spectra have been corrected for the spectra obtained with IUE satellite and reduced with NEWSIPS systematic deviations described by Bohlin (1996). From his (Nichols & Linsky, 1996) are available in the IUE Final Archive Fig. 1, the following values for the IUE external error have (obtained from NASA Data Archive and Distribution Service), been adopted: 3 %, 5 %, 2 %, and 7 % respectively in the ranges namely lwp6460, lwp28437 and swp26455. The two lwp spec- 1100-1900 A,˚ 1900-2400 A,˚ 2400-3100 A˚ and 3100-3300 A.˚ tra have been averaged in the 2122-3348 A˚ range and the strong For the optical spectrum, Kiehling’s external and internal error chromospheric Si IV and C IV lines in the swp spectrum have estimates have been adopted. not been used since they cannot be well described by the stan- To reproduce the observed composite spectrum, with two dard Kurucz model atmosphere. model atmospheres and the mean interstellar extinction law, In the optical domain, a 10 A˚ resolution spectrum is available seven parameters should be estimated: the effective tempera- in the range 3250 to 8600 A˚ (Kiehling, 1987). These data are ture, gravity and angular diameter for each star and the color
Chapitre
782 F. Kienzle et al.: The pulsating yellow supergiant V810 Centauri
Table 1. Temperature estimates for 3 standard supergiants compared to the values derived by Evans & Teays (1996). Our temperatures are, in average, 100 K higher than Evans & Teays estimates.
Star Sp. type E(B − V ) Teff Teff ∆ log Teff Evans & Teays This paper α Per F5Iab 0.04 6 270 6 430 0.011 β Aqr G0Ib 0.03 5 560 5 660 0.008 9 Peg G5Ib 0.13 5 110 5 170 0.005
Table 2. Parameters for various fits to IUE and visible spectra. The microturbulence is set to 4 km/s and solar metallicity is assumed. The color excess is fixed to E(B − V ) = 0.26. Fixed parameters are quoted with an f. The best fit is achieved for a B0 III and F8 Ia couple.
2 Sp Teff,1 f log g1 f C1 Teff,2 log g2 C2 χ O9 V 33 000 4.0 20.286 6 070 1.2 17.204 2983 B0 V 30 000 4.0 20.160 6 040 1.0 17.198 3087 B1 V 25 400 4.0 19.893 5 960 0.4 17.182 3654 O9 III 32 000 4.0 20.249 6 060 1.1 17.202 2975 B0 III 29 000 3.5 20.119 6 010 0.7 17.190 2539 B1 III 24 000 3.5 19.812 5 905 0.0 17.171 4236 O9 Iab 32 600 4.0 20.271 6 060 1.1 17.203 2979 B0 Iab 25 000 3.0 19.898 5 910 0.0 17.171 4015 B1 Iab 20 800 3.0 19.587 5 810 0.0 17.151 9278 B2 Iab 18 500 3.0 19.387 5 760 0.0 17.143 12405
0 th where Fi and Fi are the unreddened observed and theoret- ical fluxes at the wavelength λi, and σi is the error estimates obs obs on log(Fi ), where Fi is the observed, reddened, flux. To compare the observed and theoretical fluxes the former has been resampled at the model frequencies. The theoretical flux is given by:
th mod −C1 mod −C2 Fi = Fi (T1, g1) 10 + Fi (T2, g2) 10
mod where Fi (T, g) is the flux from Kurucz’s atmosphere models at λi for given values of Teff and log g. The indices 1 and 2 refer respectively to the blue and red (V810 Cen) components. The Kurucz’s models used are those with the solar abundance and a microturbulence of 4 km/s, well suited for supergiants. The parameter C is related to the stellar angular diameter θ through:
θ = 2 · 2.06 108 10−0.5 C milliarcsec (2)
The unreddened observed flux is given by: Fig. 3. V810 Cen position in the HR diagram assuming a B0 III hot ◦ 0 obs companion. The “error bars” corresponds to 250 K and 0.5 mag. log(Fi ) = log(Fi ) + 0.4 Ai (3) Evolutionary tracks are from Meynet et al. (1994) and the instability strip (dashed lines) is from Chiosi et al. (1993). Linear non-adiabatic where Ai is the interstellar extinction in magnitude, calculated stability analysis has been performed on nine models (diamonds) on from the extinction law of Krel´owski & Papaj (1992), assuming the 25 M⊙ track (see also Table 7). Dotted lines are the iso-periods R = AV /E(B − V ) = 3.1. in the 50 to 200 days range (25 days step) for the fundamental mode To estimate the accuracy of the present method, we used calculated from Schaller (1990). the spectrophotometric data from Glushneva et al. (1992) for 3 supergiant stars: α Per, β Aqr and 9 Peg. Their parameters have excess. The estimate has been performed through a standard been derived by Evans & Teays (1996) on the basis of ultravi- least squares procedure minimizing the following quantity: olet measurements (IUE data), optical and infrared photometry [log(F 0) − log(F th)]2 (BVRIJHK bands). We have adopted the same values for the χ2 = i i (1) σ2 i i X
Partie IV
F. Kienzle et al.: The pulsating yellow supergiant V810 Centauri 783 gravity and the microturbulence as Evans et al. (log g = 1.5 and Table 3. Variation of the χ2 with respect to E(B − V ) if a B0 III ξ =4 km/s for the 3 stars). Table 1 shows that our tempera- companion is assumed (see Table 2). The microturbulence is set to 4 tures are slightly larger than Evans et al. values by 100 K on the km/s and solar metallicity is assumed. average. However, the mean difference is small, less than 0.01 2 in log Teff , i.e. less than one spectral subclass. We adopt that E(B-V) χ C1 Teff,2 log(g2) C2 value of 100 K for the typical uncertainty of our temperature 0.20 2795 20.314 5 890 1.1 17.216 determinations of V810 Cen. 0.22 2581 20.249 5 930 1.0 17.207 According to Eichendorf & Reipurth (1979) and Turner 0.24 2495 20.184 5 970 0.9 17.199 (1982) the blue component of V810 Cen is in the ranges B0-B1 0.26 2639 20.119 6 010 0.7 17.190 in spectral type and V-Iab in luminosity class. The parameters 0.28 2721 20.054 6 040 0.6 17.181 0.30 3069 19.988 6 070 0.5 17.171 Teff,1 and log g1 of the blue component were fixed, and the mini- mization of the χ2 value was performed with the free parameters C1, Teff,2, log g2 and C2. The computed ranges in spectral type components can then be placed in the log L vs. log Teff diagram and luminosity class for the blue component were O9-B2 and (see Fig. 3) together with the evolutionary tracks from Meynet V-Iab. In a first step, the color excess was fixed to 0.26, the et al. (1994). Initial masses of 25 ± 5 M⊙ can be derived for mean value for the cluster Stock 14. Table 2 shows that the best both components. fit is achieved for a blue component of type B0 III. The corre- As already noted by Eichendorf & Reipurth (1979), sponding values for the red component are Teff,2 = 6 010K and V810 Cen is located near the blue edge of the instability strip (in log g2 = 0.7, corresponding to an F8 supergiant. Fig. 3 the limits of the strip for the fundamental mode, dashed In a second step, the color excess was varied from 0.20 to lines, are from Chiosi et al. (1993)). 0.30, for the same parameters of the blue component, i.e. those With the values of the absolute magnitude of both compo- 2 of a B0 III star. As shown by the χ values in Table 3, the fitting nents and of the mean visual apparent magnitude (V = 5.021), procedure is weakly dependent on the color excess value : any we derive for V810 Cen a distance of 3.3 to 3.5 kpc (for E(B- value of E(B−V ) between about 0.20 and 0.28 can be accepted. V) in the range 0.28 to 0.24). Thus V810 Cen is located 0.6 to From the relation : 0.8 kpc behind the stellar cluster Stock 14. Is this location in contradiction with the color excess values (0.26 for Stock 14, log(R2/R1) = 0.5(C1 − C2) (4) 0.20-0.28 for V810 Cen) ? The answer is no, because Stock 14 we derive the radius ratio R2/R1 = 31.1 which clearly is non-uniformly reddened. For the member stars of the clus- indicates that the luminosity class of the red component is Ia. ter, Peterson & FitzGerald (1988) found a standard deviation Thus, the best solution for the two components of V810 Cen of 0.021 on the individual values of E(B − V ). This value is : corresponds to a 3σ interval in E(B − V ) of 0.19-0.32. More- over, the two stars of Stock 14 which have the lowest reddening, Blue component : B0 III, Teff = 29 000 ± 1 000 K E(B −V )=0.18 (star 26) and 0.21 (star 27) according to Turner Red component : F8 Ia, Teff = 5 970 ± 100 K (1982), are located in the sky very close to V810 Cen (stars 33, 34 and 35, are also close, but cannot be used because of their This solution is plotted in Fig. 2 where reddened model unreliable photometric data). fluxes (dashed lines) and their sum (full line) are compared to the fluxes in the 7 Geneva passbands (full boxes, computed ac- 5. The photometric data cording to Rufener & Nicolet, 1988). Furthermore, IRAS pho- tometry is available for the point source 11410-6212 associated V810 Cen was measured 512 times in the seven filters of the to V810 Cen and it is compared to the model in the insert. The er- Geneva Photometric system (Golay, 1980; Rufener, 1988) from ror bars, associated with Geneva photometry, are the maximum JD 2 444 544 (Nov. 1980) to 2 450 051 (Dec. 1995) with a lack and minimum observed fluxes, while those plotted at 12 µm are of observations from 2 446 638 to 2 447 861 (see Fig. 4a and b). the 16 % uncertainties quoted in the IRAS point source cata- These data come from the successive Swiss telescopes (40 cm logue. Those data marked by an arrow are upper limits fluxes. and 70 cm) at ESO La Silla Observatory (Chile), equipped with The absolute and bolometric magnitudes have been derived the P7 photoelectric photometer (Burnet & Rufener, 1979). The from the spectral type (Lang, 1992) for the blue component data reduction has been made according to the method described and using ∆V = 3.3 for the red component (V810 Cen). The by Rufener (1988). Only the 499 measurements having weights values of the stellar radii have been calculated from Teff and in magnitude (Q) and in colors (P) larger than 0 have been used. Mbol. Thus we have : The photometric data are available in electronic format at the CDS via anonymous ftp to cdsarc.u.strasbg.fr (130.79.128.5) or Blue comp. : MV = −5.1,Mbol = −8.0,R = 14 R⊙ via http://cdsweb.u-strasbg.fr/Abstract.html Red comp. : MV = −8.4,Mbol = −8.5,R = 420 R⊙ Table 4 displays the mean magnitude values and rms for the 7 filters for V810 Cen and 3 standard stars. The corrected 2 2 Note that the ratio R2/R1 is 29.8, very close to the value rms value σ0 for V810 Cen is given by σ0 = σ −[(1/3)(σs1 + 2 derived above from the values of the parameter C. The two σs2 + σs3)] , where σ is the rms of V810 Cen (σ0 differ from
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784 F. Kienzle et al.: The pulsating yellow supergiant V810 Centauri
6. The photometric variability
Three methods have been used to analyze the variability of V810 Cen :
– The Date Compensated Discrete Fourier Transform DCDFT described by Ferraz-Mello (1981). This method avoids the missmeasurement of the amplitudes and mean magnitude encountered when the classical Discrete Fourier Transform (Deeming, 1975) is applied to unevenly spaced data (see Foster, 1995, 1996a).
– The CLEANEST method of Foster (1995). The spurious peaks in the Fourier analysis induced by the data sampling are eliminated by an iterative deconvolution process. The iteration has been stopped when the residual peaks in DCDFT were below the 1% confidence level limit according to Foster (1996a).
– The Weighted Wavelet Z-transform method (WWZ) of Foster (1996b). Schematically, the data are weightened with Fig. 4a and b. Geneva photometric data for V and [B-V]. The dashed a gaussian function (with σ ≃ 200 d to 300 d in our present line in a shows the long-term brightening of 0.0091 mag/y. case) centered at a given time τ. The Fourier Transform is then performed for successive τ values and the WWZ maximum (WWZmax) indicates the dominating frequency ν(WWZmax) σ by less than 0.001). At this stage, the essential characteristics (noted hereafter νmax). The amplitude of νmax is estimated of the variability of V810 Cen is : i) an increase of σ0, thus by the means of the Weighted Wavelet Amplitude statistics of the global amplitude from G to B1 filters; ii) an amplitude (WWAmax). The WWZ method allows to analyze the changes in U smaller than in B1, B and B2. This apparent decrease of in amplitude or/and frequency of the light curve. the amplitude in U is due to the constant flux from the B-type component, which contribute significantly to the total flux only In order to check the period and amplitude variabilities, the in this filter. data have been splited into two samples: sets 1 and 2 span the Our monitoring of V810 Cen can be characterized as fol- ranges in HJD 2 444 544–2 446 639 and 2 447 860–2 450 051 re- lows : spectively (see Fig. 4a and b). A careful examination of the data – Three measurements have been obtained in February and shows that the observed variations cannot be simply described March 1976, and in February 1977 (HJD from 2 442 817 to as a stable, multiperiodic function. The main characteristics of 2 443 182). the variability of V810 Cen during our survey are the following : – From October 1980 to July 1986 (HJD from 2 444 544 to 2 446 639), the air mass of the measurements was restricted – Long-term variation : the mean luminosity of the to values smaller than about 1.7. Thus the star was measured star increased regularly from February 1976 to July 1986 each year, only between November and July. On the average, (see Fig. 4a and b). The rate of brightening was roughly 25 measurements per year were obtained. 0.009 mag/year. Since November 1991, the mean luminosity – From December 1989 to October 1991 (HJD from remained constant. 2 447 860 to 2 448 559), a peculiar observational effort was done in order to have a monitoring as continuous as possible (the star – Modes at ∼156 and ∼107 days : Figs. 5a and b is observable during the whole year from La Silla). On the av- present the DCDFT for both sets. We note two main peaks at erage, 9 measurements per month were obtained. These data frequencies 0.0064 and 0.0093 d−1. The frequency difference are shown in Fig. 6a. Variations with a characteristic time in is close the 1 y−1 alias (≃ 0.00274 d−1), suggesting that one of the 100-150 days range are clearly exhibited. In addition, the these may be an alias. However both of them are real because amplitude is variable. they are kept by the CLEANEST iterative method. – From November 1991 to December 1996 (HJD from 2 448 590 to 2 450 051), the monitoring was less intensive. Due – Other modes : the CLEANEST spectra (Figs. 5c and d) to several periods without data, the average number of measure- reveal a third period at 115 d for set 1, and five new periods at ments per month is 3. 89, 129, 167, 185 and 234 days for set 2. These peaks appear thanks to the better time sampling of the second set.
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F. Kienzle et al.: The pulsating yellow supergiant V810 Centauri 785
Table 4. Weighted mean value and rms of the 499 measurements of the 7 magnitudes of V810 Cen in the Geneva Photometric System. The rms is also given for 3 standard stars measured during the same nights than V810 Cen.
Filter UB1 BB2 V 1 VG λ0 [A˚ ] 3464 4015 4227 4476 5395 5488 5807 V810 Cen Mean mag. 6.797 6.155 5.035 6.323 5.785 5.021 6.005 V810 Cen corrected rms (σ0) 0.055 0.081 0.070 0.062 0.046 0.044 0.040
HD 93540 rms (σs1) 0.0070 0.0061 0.0057 0.0058 0.0050 0.0043 0.0048 HD 94510 rms (σs2) 0.0083 0.0065 0.0060 0.0058 0.0048 0.0040 0.0048 HD 102350 rms (σs3) 0.0068 0.0056 0.0047 0.0049 0.0044 0.0035 0.0046
Table 5. Frequency, period and amplitude estimate from CLEANEST for set 1 (HJD 2 444 544–2 446 639) and 2 (HJD 2 447 860–2 450 051).
Frequency [c/d] Period [d] Amplitude [mag.] Set 1 0.00641±2e-05 156.0±0.5 0.028±0.002 0.00964±2e-05 103.7±0.2 0.028±0.002 0.00873±3e-05 114.6±0.4 0.019±0.002 Set 2 0.00668±2e-05 149.8±0.2 0.036±0.002 0.00912±3e-05 109.6±0.2 0.024±0.002 0.01119±3e-05 89.4±0.2 0.020±0.002 0.00541±3e-05 184.8±0.5 0.024±0.002 0.00597±2e-05 167.4±0.4 0.025±0.002 0.00428±4e-05 233.5±1.3 0.015±0.002 0.00777±5e-05 128.7±0.5 0.013±0.002
A curve of the form :
n f(t) = Ai cos[2πνi(t − t0) + φi] (5) i=1 X has been fitted to the observations in sets 1 and 2 and the Fig. 5. a,b resulting amplitudes are given in Table 5. The residual Date-compensated discrete Fourier transform (DCDFT) am- plitudes for sets 1 and 2. c,d CLEANEST for sets 1 and 2, it is a standard deviation is 0.019 mag for both sets, a quite large combination of the subtracted periods and amplitudes (vertical bars value compared to the accuracy of our measurements (0.004 each labeled with their period) and the DCDFT of the residuals (full mag, see Table 4). As we shall see in the following, this is due line). CLEANEST has been applied until all the peaks of the DCDFT to amplitude or/and period variation. power are below the 1 % confidence level limits (computed according to Foster, 1996a).
7. Analysis of the mode variations amplitude WWAmax are shown as solid lines in Figs. 6b and c.
The data density is large enough in set 2 (see Fig. 6a) to The main points revealed by this analysis are : allow an analysis of the variations of the frequencies and/or amplitudes of the dominant modes. Two kinds of analysis have 1. The mode at ∼107 d (∼ 0.0093 d−1) is the most important been done : one before HJD 2 448 400, while the mode at ∼156 d (∼ 0.0064 d−1) dominates afterwards (with short exceptions – DCDFT method is performed in five successive intervals. around HJD 2 449 500, 2 449 580 and 2 449 950). At the end In each of them (see Fig. 6a), the three most important modes of our survey, it appeared that the mode at ∼107 d was again have been identified and their frequencies and amplitudes are the most significant one (see Fig. 6b). plotted as full symbols in Figs. 6b and c (the decreasing am- 2. The amplitude of the most important mode varies almost plitude are symbolized with triangles, squares and dots respec- continuously. However, a stable amplitude at ∼0.06 mag tively). was observed in the HJD interval 2 448 700–2 449 100, for – WWZ method described previously is applied to the the mode at ∼156 d (see Fig. 6c). entire interval. In our case, the WWZ method gives reliable 3. The DCDFT analysis (Fig. 6b) shows that a mode at ∼ −1 results only for the mode with the largest power (WWZmax). 0.0045 − 0.0055 d (period between 225 and 180 d) is The variations of the dominating frequency νmax and its always present, but is never the most important one.
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Fig. 6. a,b V-band photometry for data set 2, with subset division (ver- Fig. 7a–d. Light and color curves of the two main modes at 107.4 d tical dotted lines). c,d dominating frequencies (WWZ maximum) for (time interval: HJD 2 447 850-2 448 400) and 156.4 d (time interval: a given “mean time” τ and its corresponding amplitude WWA (full HJD 2 448 400-2 449 400). lines). Triangle, square and dot symbols (sorted according to decreas- ing amplitude) are the tree main frequencies found with DCFT analysis for each subset shown in a. with odd (∆φ = 0) or even (∆φ > 0) values of the spherical harmonic order l. The third mode, at ∼187 days, shows a clearly positive value In conclusion, V810 Cen is a multi-periodic small ampli- of ∆φ. This might indicate a non-radial quadrupole mode (l = tude variable star, whose periods and amplitudes are vari- 2). However, due to the amplitude and period changes in the able with time. The periods of the two dominant modes are modes of V810 Cen, the mode identification must not be made ∼ ∼ 156 and 107 d. The 7 years intensive survey (1989-1996) on the basis of ∆φ values only (see next section). also reveals a third mode, with a period in the range 180-225 d. When the time interval is short enough and the monitoring sufficiently dense, very good fitted light and color curves can 8. The light and color curve parameters be achieved. This is illustrated in Fig. 8a and b, for the interval in HJD 2 447 850–2 448 150 (the first interval in Fig. 6a). The The amplitude ratios and the differences in phase between the solid curve in Fig. 8a and b represents a fit with 3 modes, the − light V and color [B V ] curves are interesting for the variability most important one being at ∼ 107 d. The residual standard description, in particular for the mode identification. Because of deviation of the observed values around the fitted curves are the multiperiodic character of the light curve and of the ampli- 0.0050 mag in V and 0.0046 mag in [B −V ]. Thus, in that case, tude variation described in the previous sections, the amplitude the three modes describe completely the variability of V810 Cen and phase of the principal modes have been fitted in various time (see Table 4). intervals through Eq. (5), setting the number of frequencies (n) to 3. According to Fig. 6, the parameters of the mode at ∼107, 9. The origin of the variability ∼156 and ∼187 d have been calculated respectively in the time 9.1. Comparison with supergiants and cepheids calibrations intervals in HJD 2 447 850–2 448 400, 2 448 400–2 449 400 and 2 447 850–2 450 100. The results are given in Table 6. The light – The Period–Luminosity–Colour PLC relations. The and color curves for the two principal modes at ∼107 and ∼156 largest amplitude period (∼156 d) is in very good agreement days are shown in Fig. 7a–d. As we see, the light and color with the empirical PLC relations for yellow supergiants. variations are clearly in phase, i.e. the star is bluer when brighter. Taking the parameters derived in Sect. 4, Mbol = −8.5 and This is an indication of cepheid-like pulsation nature. However, Teff = 5970 K, the relation from Maeder & Rufener (1972), it must be noted that, taken into account the uncertainties on log P = −0.346Mbol−3 log Teff +10.60, gives P = 163 d. ∆φ in Table 6, the values of the phase difference φV − φB−V Furthermore, assuming an evolutionary mass of ∼20 M⊙ can be slightly negative, zero or slightly positive. According (see the end of this section), the relation from Burki (1978), to Balona & Stobie (1979, 1980), this indicates that these two log P = −0.38Mbol −3 log Teff −0.5 log M +10.93, gives modes can be radial (∆φ < 0), but could also be non-radial, P = 152 d.
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F. Kienzle et al.: The pulsating yellow supergiant V810 Centauri 787
Table 6. Parameters of the highest amplitude variability modes according to Eq. (5) in various time intervals.
Period [d] Frequency [c/d] HJD interval V Amp. AV [B − V ] Amp. AB−V AV /AB−V ∆φ = φV − φB−V 107.4 0.00931 2 447 850-2 448 400 0.034 ±0.001 0.017±0.001 2.01 -0.003 ±0.014 156.4 0.00639 2 448 400-2 449 400 0.059 ±0.003 0.044±0.003 1.34 -0.014 ±0.018 186.7 0.00536 2 447 850-2 450 100 0.022 ±0.002 0.014±0.002 1.52 0.071 ±0.038
9.2. Theoretical periods of the the radial modes – Stellar models with “standard” mass loss rate. Lovy et al. (1984) and Schaller (1990) have calculated the pul- sation periods for the fundamental radial mode and the first two overtones, from a linear non-adiabatic analysis. Schaller’s analysis is based on the massive supergiant mod- els from the grid of evolutionary tracks of massive stars by Schaller et al. (1992). In these models, the dependence of the mass loss rate on L and Teff is that given by de Jager et al. (1988), called hereafter the “standard” mass loss rate. Schaller (1990) derived a theoretical PLC rela- tion, log P = −0.38Mbol − 3 log Teff + 10.60, for the fun- damental radial mode which predicts a period P0 = 140 d for V810 Cen. This value is valid for models cooler than log Teff = 4.1 and in the phase of helium burning. – Stellar models with “high” mass loss rate. Meynet et al. (1994) have calculated a new grid of evolutionary stellar models, by adopting a “high” mass loss rate, i.e. a rate en- hanced by a factor of two with respect to the “standard” mass loss rate. Various comparisons with observations of Fig. 8a and b. Three-frequency fit (0.00942 c/d, 0.00488 c/d and high-mass stars support the high-mass loss grid of stellar − 0.01232 c/d) for V and [B V ] (a and b respectively). Data are re- models (see Maeder & Meynet, 1994). The linear non- sampled in 3 days wide bin to homogenize the sampling. adiabatic pulsation code of Schaller (1992) has been applied to various 25 M⊙ models, at the edge of the first redward evolution, close to V810 Cen position. The result of these The agreement is not so good with the Period–Luminosity calculations is presented in Table 7 for the lower (redward relation for galactic cepheid stars (Gieren et al., 1993) : evolution) and upper (blueward evolution) tracks. A funda- MV = −1.371 − 2.986 log P (scatter : 0.26). Using the mental mode period of 157 d is obtained for the blueward MV value obtained in Sect. 4, the predicted period is 226 d. evolution at log Teff = 3.750 and log L/L⊙ = 5.342, that is This discrepancy with the observed period (∼156 d) is quite 0.004 dex away from values derived in Sect. 4 for V810 Cen normal since V810 Cen is not located in the center of the (log Teff = 3.78, log L/L⊙ = 5.3). Due to a strong mass loss cepheid instability strip, but rather in its blue border. For at the beginning of the blueward evolution, the mass has that reason, a color term is necessary in the PLC relation for decreased to 20 M⊙. supergiants (see Burki, 1978). Thus, the observed main mode is in agreement with the observations concerning 9.3. Interpretation of the main modes pulsating supergiants. – The Period–Radius relation for cepheids. Gieren et al. – The observed main period at ∼156 d. This observed pe- (1989) have established such a relation on the basis of riod is in good agreement with the theoretical prediction 101 classical cepheids in the period range 3–45 d, stud- for models with “high” mass loss rate (157.2 d). Thus, the ied from the visual brightness technique : log R = 1.108 + main observed period of V810 Cen (∼156 d) can be ex- 0.743 log P (scatter σ = 0.071). It is noteworthy that, despite plained by a pulsation in the radial fundamental mode ∼ the very large value of its main period ( 156 d), which is of a supergiant with an initial mass close to ∼ 25 M⊙ . well outside the period range covered by the classical Galac- The evolutionary mass of V810 Cen must be ∼ 20 M⊙. tic cepheids, the radius of V810 Cen found in Sect. 4 (log R – The observed second period at ∼107 d. The predicted = 2.62) is in agreement with this global relation for cepheids periods of the first two radial overtones (P1 = 82.0 d, P2 = (log R = 2.74), the difference being only 1.6 σ. This agree- 56.3 d, see Table 7) are much too small to explain this period. ment is a strong support for a cepheid–like pulsation of The period ratio of the observed two dominant modes is this main mode, i.e. a fundamental radial mode. 0.69, while the predicted ratios are P1/P0 = 0.52, P2/P0
Chapitre
788 F. Kienzle et al.: The pulsating yellow supergiant V810 Centauri
= 0.36, P2/P1 = 0.69. This last value could suggest that Stock 14 membership hypothesis of V810 Cen. To be consis- V810 Cen pulsates in the first and second radial overtones. tent with the spectrophotometric data, the star has to be beyond However, in that case, the fundamental radial period would Stock 14, at 3.3 to 3.5 kpc from the sun. be ∼350 d. This period would require a very high luminosity, IUE and visible spectrophotometry together with Kurucz Mbol ≃ −9.5, which is difficult to postulate for a F8 Ia star. atmosphere models have been used to estimate the physical Since, in addition, this very large period is not observed, we parameters of the red supergiant : Teff = 5 970 ± 100 K, conclude that the observed second main period cannot be MV = −8.4,Mbol = −8.5,R = 420 R⊙, spectral type F8 Ia. a radial mode and, thus, a non-radial p-mode is the most This star is about 3.3 mag brighter than its B0 III companion. natural explanation. Thus, the observed variability is due to the red supergiant. – The observed third period at ∼187 d. This period is larger The derived temperature and luminosity place the star at the than the main mode at ∼156 d. With the hypothesis that the blue edge of the classical cepheids instability strip. The initial main mode is the radial fundamental pulsation, we have to mass was ∼ 25 M⊙ while the evolutionary mass ought to be conclude that the observed third period cannot either be a close to ∼ 20 M⊙. radial mode and, thus, a non-radial g-mode is to be pos- The high-precision long-term photometric monitoring in the tulated. Non-radial g-modes have already been suggested Geneva system reveals various types of variability : in supergiants by Maeder (1980) or de Jager et al. (1991), and are probably present in the case of yellow hypergiants – A long-term increase of the luminosity from February 1976 like ρ Cas (Lobel et al., 1994). to July 1986. – A multimode pulsation behavior, with periods and ampli- As noted above, the period ratio of the observed two domi- tudes variable with time (in the range 0.02 to 0.06 mag). nant modes is 0.69, thus very close to the values of the double- The main modes are : mode cepheids pulsating in the radial fundamental mode and – A dominant ∼156 d period, identified as the fundamental first overtone with P1/P0 in the 0.696–0.711 range (Balona, radial mode. Its period value is in good agreement with 1985). However, V810 Cen has a high mass, and therefore its the fundamental radial period derived from theoretical P1/P0 value is lower than the ratio observed for “low mass” non-adiabatic linear pulsation analysis. double-modes cepheids (see Table 7). The similarity between – The second mode with a period of ∼107 d, which is the observed value of 0.69 and the 0.696–0.711 range for double- most probably a non-radial mode, may be a p-mode. modes cepheids is at the origin of a wrong conclusion, i.e. – The third mode with a period of ∼185 d, which could V810 Cen is a double-mode cepheid in addition to its super- be a non-radial g-mode. giant characteristics (Burki, 1994). – Various other secondary modes have been detected during a ∼ An alternative interpretation associating the 187 d period time interval of high density measurements, at 89, 129, 167, to the radial fundamental has also been considered; then the 185 and 234 d. other modes would be non-radial p-modes. However, this alter- native is unlikely because, if the fundamental mode is excited, it Are radial and non-radial p- and g-modes simultaneously should have the highest amplitude and this is not the case for the present in V810 Cen ? This is a quite fundamental question be- ∼187 d period (the highest amplitude mode is the ∼156 d pe- cause this supergiant would then be the first known star exhibit- riod). Furthermore, the (marginally significant) positive phase ing such a pulsational behavior. In our opinion, to answer this shift does not support that hypothesis neither and there are strong question, new hard and long-term work has to be done in the four evidences for the radial nature of the ∼156 d period. following directions : i) New linear and non-linear non-adiabatic Our present conclusion, based on a very long-term pho- stability calculations have to be done, based on well-adapted tometric monitoring, is that V810 Cen could be a supergiant supergiant models; ii) High resolution (R≃40 000) long-term star exhibiting the three types of pulsation modes : radial fun- spectroscopic monitoring must be organized in order to follow damental mode (main mode at ∼156 d), non-radial p-mode the line profile variations; iii) A long-term radial velocity mon- (second mode at ∼107 d) and non-radial g-mode (third mode itoring would help to determine the parameters of the orbit and at ∼187 d). If this conclusion is correct, V810 Cen would be the of the components; iv) The photometric long-term monitoring first known case of a star showing such a diversity of pulsational must be continued in parallel to the spectroscopic survey. characteristics. Acknowledgements. We would like to express our warm thanks to all the observers at the Swiss 70 cm in La Silla during the past 20 years. 10. Conclusion This very long-term monitoring has been successful, thanks to their assiduity, maintained even with an air mass larger than 3.5 ! We also Radial velocities, spectrophotometry and Geneva photometry thank our colleagues for the radial velocity measurements at the Dan- data have been used to discuss the evolutionary status and pul- ish 1.54 m in La Silla. We are grateful to Gerard´ Schaller for pro- sation modes of the yellow variable supergiant V810 Cen and viding us with its non-adiabatic instability code. We would like to its B-type companion. thank T. Aikawa, W. Glatzel and A. Gautschy for fruitful discussions Radial velocities have been collected from the Coravel about supergiants pulsations as well as J. Matthews and G. Foster for database as well as from the literature. They do not support the their comments on the time serie analysis. The Centre de Donnees´
Partie IV
F. Kienzle et al.: The pulsating yellow supergiant V810 Centauri 789
Table 7. Periods and growth rates (η) from linear non-adiabatic stability analysis of stellar model with “high” mass loss rate. Positive η indicate unstable modes.
L M log(Teff ) log( ) P0 [d] η0 P1 [d] η1 P2 [d] η2 P1/P0 L⊙ M⊙ Redward 3.783 5.293 22.3 107.88 -0.213 50.92 0.134 33.29 -0.346 0.47 evolution 3.769 5.302 22.2 112.51 -0.018 56.93 0.141 39.92 -0.176 0.51 3.759 5.309 22.2 123.04 0.008 64.54 0.146 44.67 -0.159 0.52 3.752 5.320 22.1 129.62 0.040 69.98 0.148 47.77 -0.177 0.54 3.748 5.321 21.7 132.03 0.068 72.66 0.143 49.37 -0.192 0.55 Blueward 3.744 5.330 20.6 137.43 0.095 76.51 0.130 52.11 -0.224 0.56 evolution 3.750 5.342 16.6 157.17 0.127 81.99 0.090 56.25 -0.489 0.52 3.761 5.345 14.9 165.45 0.246 79.22 0.052 53.16 -0.829 0.48 3.776 5.346 13.7 179.70 0.041 79.33 0.230 52.18 -1.900 0.44
Astronomiques de Strasbourg (CDS) and NASA Data Archive and Kiehling, R., 1987,A&AS 69, 465 Distribution Service (NDADS) database are greatly acknowledged for Krel´owski, J., Papaj, J., 1992, Acta Astronomica, 42, 233 providing us with V810 Cen spectra. This work has been partly sup- Kurucz, R.L., 1994, CD-ROM 19 (Solar abundance atmosphere models ported by the Swiss National Science Foundation. for 0,1,2,4,8 km s−1) Lang, K.R., 1992, Astrophysical Data, Springer-Verlag Lobel, A., de Jager, C., Nieuwenhuijzen, H. et al., 1994, A&A 291,226 References Lovy, D., Maeder, A., Moels¨ A., Gabriel M., 1984, A&A 133, 307 Balona, L.A., Stobie R.S., 1979, MNRAS 189, 649 Lynga, G., 1987, Catalogue of Open Cluster Data, fifth edition, Lund Balona, L.A., Stobie R.S., 1980, MNRAS 190, 931 Observatory Balona, L.A., 1985, The Double-Mode Cepheids, in “Cepheids : theory Maeder, A., Rufener, F., 1972, A&A 20, 437 and observations”, IAU Coll. 82, Ed. B.F. Madore, Cambridge Maeder, A., 1980, A&A 90, 311 Univ. Press, Cambridge, p. 17 Maeder, A., Meynet, G., 1994, A&A 287, 803 Bidelman, W. P., Sahade, J., Frieboms-Conde, H., 1963, PASP 75, 524 Mermillod, J-C., 1997, private comunication Bohlin, R.C., 1996, AJ 111, 1743 Meynet, G., Maeder, A., Schaller, G., et al., 1994, A&AS 103, 97 Burki, G., 1978, A&A 65, 357 Moffat, A.F.J., Vogt, N., 1975, A&AS 20, 125 Burki, G., 1994, NATO ASI Series, vol. 436, 247 Nichols, J., Garhart, M.P., De La Pena,˜ M.D., et al., 1993, IUE New Burnet, M., Rufener, F., 1979, A&A 74, 54 Spectral Image Processing System. Information Manual: low- Buscombe, W., Kennedy P. M., 1969, MNRAS 143, 1 dispersion data, version 1.0, Goddard Space Flight Center Campbell, W.W., Moore, J.H., 1928, Pub. Lick Obs. 16, 174 Nichols, J., Linsky, J., 1996, AJ 111, 517 Chiosi,C., Wood, P.R., Capitanio, N., 1993, ApJS 86, 541 Parsons, S.B., Peytremann, E., 1973, ApJ 180, 71 Dean, J.F., 1980, I.B.V.S. 1892 Parsons, S.B., 1981, ApJ 245, 201 Deeming, T.J., 1975, Astrophys. Space Sci. 36, 137 Peterson, C.J., FitzGerald, M.P., 1988, MNRAS 235, 1439 Eichendorf, W., Reipurth, B., 1979, A&A 77, 227 Rufener, F., 1988, Catalogue of stars measured in the Geneva Obser- Eichendorf, W., Heck, A., Isserstedt, J. et al., 1981, A&A 93, L5 vatory photometric system, Observatoire de Geneve. Evans, N.R., Teays, T.J., 1996, AJ 112, 761 Rufener, F., Nicolet, B., 1988, A&A 206, 357 Feast, M.W., Thackeray, A.D, Wesselink, A.J., 1957, Mem. RAS 68,1 Schaller, G., 1990, Pulsation of supergiant stars, in “Confrontation Feast, M.W., Thackeray, A.D., 1963, Mem. RAS 68,173 between stellar pulsation and evolution”, A.S.P conf. series vol. Ferraz-Mello, S., 1981, AJ, 86, 619 11, Ed. C. Cacciari & G. Clementini, p. 300 Fernie, J.D., 1976, PASP, 88, 116 Schaller, G., Schaerer, D., Meynet, G., Maeder, A., 1992, A&AS 96, Fitzgerald, M.P., Miller, M.L., 1983, PASP 95, 361 269 Foster, G., 1995, AJ 109,1889 Schaller, G., 1992, PhD thesis, Analyse de stabilite au cours de Foster, G., 1996a, AJ 111, 541 l’evolution stellaire, Observatoire de Geneve Foster, G., 1996b, AJ 112, 1709 Schmidt-Kaler, TH., 1981, Landolt-Bornstein,¨ vol. 2: Astronomy and van Genderen, A.M., 1980, A&A 88, 77 Astrophysics, subvolumne b: stars and stars clusters, Ed. K. van Genderen, A.M., 1981, A&A 100, 175 Schaifers & H.H. Voigt Gieren, W.P., Barnes, T.G.III, Moffett, T.J., 1989, ApJ 342, 467 Turner, D.G., 1982, PASP 94, 655 Gieren, W.P., Barnes, T.G.III, Moffett, T.J., 1993, ApJ 418, 135 Glushneva, I.N., Kharitonov, A.V., Knyazeva, L.N., Shenavrin, V.I., 1992, A&AS 92, 1 Golay, M., 1980, Vistas in Astron. 24, 141 Hernandez, C.A., Sahade, J., 1978, PASP 90, 728 IRAS Point Source Catalog, 1988, NASA reference publication 1190 de Jager, C., Nieuwenhuijzen, H., van der Hucht, K.A., 1988, A&AS 72, 259 de Jager, C., de Koter, A., Carpay, J., Nieuwenhuijzen, H., 1991, A&A 244,131
Chapitre
Chapitre
S eries temp orelles
L analyse de s eries temp orelles d etoiles variables applique diverses variantes de l ana
lyse de Fourier a l echantillonnage irr egulier des observations astronomiques Si les s eries
de Fourier sont optimales p our analyser un signal echantillonn e r eguli erement ce n est
plus n ecessairement le cas p our un signal irr egulier Des variantes a l analyse usuelle re
cherchent les fonctions optimales p our d ecrire une s erie temp orelle irr eguli ere
Nous mentionnons ici quelques unes de ces variantes qui ont et e utilis ees dans l etude de
V Centauri
Le p oint de vue de Foster qui consid ere ces m ethode dans le formalisme des
pro jections a et e adopt e Nous renvoyons a ce dernier p our plus de d etails
Transform ee de Fourier discr ete echantillonnage
r egulier
Consid erons N observations x t espac ees r eguli erement en temps sur une dur ee totale
i
T Notons jx fx t x t g le vecteur des observations La transform ee de Fourier
N
TF discr ete pro j ete les observations jx sur la base de fonctions j sin j cos
k k
N
o u k k
k
T
En terme d a justement on cherche un vecteur mo d eles qui a juste au mieux le vecteur des
observations La r egularit e de l echantillonnage et le choix des fr equences assure que
k
la base de fonctions est orthonormale et compl ete
sin j cos
j k
cos j cos
j k j k
sin j sin
j k j k
Partie IV
P
y j o u j sont les fonctions de base choisies ici j sin et on aura jy
a a a k
a
et j cos et jy y j sin y j cos
k k k
On d e nit la puissance de la TF a la fr equence comme
k
N
P jx cos t jx sin t jx
k k k
s
o u s est la variance estim ee sur les donn ees Le signal p eriodique de fr equence a jus
k
tant le mieux les observations est donn e par le maximum de la puissance La recherche de
p eriode se fait via des p eriodogrammes P en identi ant la fr equence ayant le maximum
de puissance
L othonormalit e de la base et l orthogonalit e des vecteurs de base avec le vecteur constant
j p ermettent d ecrire
N
y jy y y A P jx
s
o u y jy est la variation du vecteur mo d ele jy qui est reli e a l amplitude A du
signal sinuso dal a just e
Bruit et test statistique
La puissance etant issue d observations soumises au bruit de mesure la connaissance de
ses propri et es statistiques est essentiel p our identi er les faux pics dans le p eriodogrammes
et xer un niveau de con ance
Si le signal constant est a ect e par un bruit de moyenne nulle de variance et que
les mesures sont ind ependantes alors l orthonormalit e de la base et l orthogonalit e par
rapp ort au vecteur j assure que les comp osantes de jy suivent une distribution
gaussienne de moyenne nulle et p our variance N La puissance etant la somme du
carr e de deux variables gaussiennes elle suit donc une distribution de avec degr es de
lib ert e et de moyenne On p eut facilement calculer la probabilit e qu un signal al eatoire
pro duise une puissance donn ee a la fr equence
k
Echantillonnage irr egulier
Les observations astronomiques sont rarement r eguli eres Elles sont entrecoup ees de
trous caus es par la visibilit e de l ob jet alternance jour nuit visibilit e annuelle ce qui
complique passablement l interpr etation du sp ectre de puissance
P
N
1
f t g t il d epend donc le pro duit scalaire entre jf et jg etant d e nit par f jg
i i
i=1
N
de l echantillonnage
l orthogonalit e de la base j et par rapp ort au vecteur constant j qui p eut etre inclus dans
a
la base assure l ind ependance des comp osantes de jy qui sont les co e cients des termes j cos
k
et j sin dans le cas pr esent Si la base est normalis ee alors la valeur moyenne de ces comp osantes
k
est nulle
Chapitre
L utilisation de la d e nition p our calculer la puissance malgr e l echantillonnage ir
r egulier n est plus p ertinente car
p our une fr equence donn ee les fonctions j cos et j sin ne sont plus
k k k
orthogonales Le pro duit d ependant de l echantillonnage une base orthogonale p our un
ensemble de mesures aux temps t t ne l est plus n ecessairement p our un autre echan
N
tillon Les propri et es statistiques simples distribution de et moyenne a de la puis
sance P d ecoulent directement de l orthogonalit e de la base Ce dernier p oint n etant
plus v eri e les comp osante du vecteur mo d ele jy deviennent d ependantes et P ne
suit plus une distribution de
La puissance n est plus reli ee simplement a l amplitude puisque le passage de a
n ecessite l orthogonalit e de la base
Les trous r eguliers induisent des fr equences d aliasing qui font appara tre des fr e
g
quences fant omes dans le sp ectre de puissance a j k j o u est la fr equence du
s g s
signal et k un entier Deeming montre que la TF discr ete est la convolution de la
TF et de la fen etre sp ectrale W Cette derni ere contient les fr equences contenues
g
dans l echantillonnage
Les propri et es statistiques esp erance et variance du sp ectre de puissance p euvent
etres calcul ees cf Foster a eq et mais ces expressions sont compliqu ees
et font intervenir la fen etre sp ectrale i e la corr elation de la puissance entre diverses
fr equences Il est plus simple de d e nir la puissance de mani ere a ce qu elle conserve
des propri et e statistiques simples Ceci se fait en choisissant une base orthonormale p our
pro jeter les donn ees
P eriodogrammes mo di es et Date Comp ensated Discrete
Fourier Transform DCDFT
Scargle red e nit la puissance comme
P P
x t sin t x t cos t
j j j j
j j
P
P
P
x
cos t
sin t
j
j
j
j
P
sin t
P
o u satisfait tan Ceci revient a utiliser j sin t et j cos t
sin t
comme base L orthogonalit e de cette base assure l ind ependance de y et y donc
si le signal x t est al eatoire Toutefois ces vecteurs ne P suit une distribution de
x
sont pas orthogonaux a j et la valeur moyenne de P ainsi que sa variance sont encore
x
d ependants de la fen etre sp ectrale
C est Ferraz Melo qui utilise p our la premi ere fois les fonctions de base j
j sin t et j cos t p our pro jeter les donn ees jx La puissance est alors d e nie
V o u V est la variation du mo d ele a just e jy V y jy jy seule par P
y y y
la variation de la comp osante normale au vecteur de base j est consid er ee
La puissance ainsi d e nie p oss ede des propri et es statistiques simples
Le co e cient de corr elation entre P et P est egal a W Lomb
1 2 1 2
Partie IV
Pour un signal comp os e d une constante et d un bruit al eatoire de moyenne nulle et
non corr el e P suit une distribution de a deux degr es de lib ert e
Si les donn ees sont comp os ees d un signal et d un bruit alors l esp erance de la puissance
2 2 4
est donn ee par P P et sa variance est V ar P P o u P est la
F F F
2
N N N
puissance du signal et le bruit sur chacune des N mesures
Remarques
L utilisation de j dans la base revient a a juster une constante di erente p our chaque
fr equence du signal Cette m ethode est b eaucoup plus robuste que celle appliqu ee usuel
lement et qui consiste a soustraire la valeur moyenne au signal avant de faire l analyse
par TF De la sorte on supp ose implicitement que la moyenne est une b onne mesure de
la constante du signal ce qui est rarement le cas p our des echantillons irr eguliers La
soustraction ad ho c de la moyenne a p our e et de biaiser les amplitudes
Aucun m ethode ne s a ranchi des pics parasites dus a l echantillonnage Seules les m e
tho des de type CLEAN les prennent en compte
Niveaux de con ance
Dans la transform ee de Fourier discr ete a echantillonnage r egulier on recherche de
p eriode du signal en identi ant le maximum de puissance en N p oints de fr equence
k
distincts La distribution de la puissance en un p oint etant un a deux degr es de
k
lib ert e la probabilit e de trouver un pic d epassant un niveau de con ance x e sur
tout l intervalle de fr equence sera donn ee par N test de ind ependants
L echantillonnage irr egulier d etruit l ind ependance des puissances a deux fr equences quel
conques Foster prop ose de xer un seuil en approximant le nombre de fr equences
ind ependantes par le nombre de maxima mesur es dans l intervalle consid er e Dans le cas
d une analyse par DCDFT on p eut xer un seuil en utilisant M tests de ind ependants
o u M est le nombre de maxima lo caux
Notons en n qu un test d hypoth ese n egatif i e on trouve un pic d epassant le niveau de
con ance consid er e ne veut pas n ecessairement dire que le signal est p eriodique Il signi e
que l une des hypoth eses du test n est pas satisfaite donc soit le signal n est pas constant
soit les mesures ne sont pas ind ependantes On p eut construire un test p our v eri er cette
derni ere hypoth ese cf partie de Foster
Analyse multi fr equence CLEAN et CLEANEST
Une grande gamme de signaux etudi es sont multi p eriodiques de nombreux pics sont
alors pr esents dans la TF L analyse consiste a distinguer les fr equences r eelles provenant
du signal des fr equences fant omes d u a le fen etres sp ectrale alors que p our des echan
tillonnages particuli erement mauvais ces dernier p euvent avoir une puissance d epassant
les vrais pics
La m ethode CLEAN s electionne une fr equence en g en eral le pic principal et la convo
lue avec la fen etre sp ectrale p our la soustraire a la TF et obtenir ainsi un sp ectre nettoy e
des alias Puis on reprend la pro c edure en identi ant une nouvelle fr equence sur le signal
restant jusqu a ce qu aucun pic signi catif ne survive
Chapitre
En terme de pro jection ceci revient a utiliser la base j cos j sin j cos
j sin etc ou les sont les fr equences soustraites p our mo d eliser les mesures Mais
i
comme les fr equences et ne sont pas ind ependantes une fr equence soustraite pr ec e
i j
demment p eut r eappara tre par la suite
Deux m ethodes alternatives CLEANEST et SLICK Foster pro c edent
comme CLEAN mais sont bas ees sur la DCDFT alors que CLEAN utilise un TF clas
sique avec les probl emes de d e nition des niveaux de con ance que cela induit et evaluent
a chaque it eration les fr equences et les amplitudes optimales p our a juster les observations
ce qui evite de biaiser le r esultat par un choix inad equat de la fr equence initiale Malheu
reusement cette m ethode n assure pas que les r esidus seront orthogonaux aux fonctions
choisies i e il se p eut que du signal aux fr equences soustraites soit pr esent dans les r esidus
ce qui p eut fausser les amplitudes estim ees SLICK p ermet de s a ranchir de ce probl eme
en calculant le sp ectre r esiduel de mani ere a ce qu il soit orthogonal aux vecteurs a just es
Ondelettes
L analyse de s eries temp orelles se trouve parfois confront ee a des signaux dont l am
plitude ou la fr equence sont variables L analyse de Fourier ne p eut rendre compte de
ces caract eristiques etant donn e que les fonction de base sont strictement p eriodiques ou
multi p eriodiques sur tout l intervalle de mesure
Deux m ethodes sont alors applicables La premi ere consiste simplement a d ecouper l echan
tillon en morceaux et a appliquer une analyse classique par DCDFT La seconde fait app el
aux ondelettes qui p ermettent une analyse lo cale du signal en adaptant l echantillon des
mesures a la fr equence consid er ee
P
N
i t
De mani ere analogue a la TF discr ete D x t e on d e nit la trans
N
form ee en ondelette discr ete p our un temps et une fr equence
X
p
W x t x t f t
o u on choisit p our l ondelette m ere f z une variante de l ondelette de Morlet
2
cz iz
f z e e
Le premier terme fournit une exp onentielle d ecroissante et le second contient la partie
p eriodique
On a alors
X
p
2 2
c t
R e W x t e cos t
X
p
2 2
c t
x t e sin t I m W
Partie IV
Fig Largeur de la fonction de pon
d eration pour deux fr equences ajust ees Un
echantillon des vitesses radiales de V
Lyr croix est compar e aux largeurs des
2 2
c t
fonctions de pond eration e pour
les fr equences j trait plein et
j traitill e La valeur du param etre
c est x ee a
L analyse en ondelettes sur une s erie temp orelle irr eguli ere p eut etre vue comme une
pro jection des donn ees jx sur la base j j cos t j sin t pond er ee
2 2
c t
par w e Cette p ond eration gaussienne centr ee sur p ermet de se d eplacer a
p
d ependante de assure que l intervalle travers la s erie temp orelle et sa largeur
c
de temps consid er e s a juste avec la fr equence
La puissance jW j ou ses variantes est un indicateur biais e de la fr equence qui de
plus est tr es sensible a la densit e des mesures Foster b d e nit alors l ondelette p on
N V
y
ef f
d er ee weighted wavelet Z transform WWZ comme etant la statistique Z
V V
x y
P
2
w
P
est le nombre de p oints e ectifs utilis es p our estimer lo calement jy o u N
ef f
2
w
V et V sont les variations de la fonction a just ee jy y j y j cos t
y x
y j sin t et du signal x t
P P
w y t w y t
V
P P
y
w w
P P
w x t w x t
V
P P
x
w w
Le maximum de Z p ermet alors de lo caliser p our chaque temps la fr equence
repro duisant au mieux les observations
Cep endant WWZ est un mauvais indicateur de l amplitude une meilleur estimation est
q
y weighted wavelet amplitude a la fr equence simplement donn ee par WWA y
on p eut aussi la consid erer comme une pro jection non p ond er ee sur la base j
2 2 2 2
c (t ) c (t )
je cos t et je sin t mais cela supp ose que le signal sous jacent
est d ecroissant exp onentiellement L appro che p ond er ee supp ose que le signal est strictement p eriodique
2 2
c (t )
sur l intervalle d e nit par la fonction de p ond eration e
Chapitre
a b
et du Fig a Isocontours de la puissance WWZ en fonction de la fr equence
temps de mesure La fr equence principale contenue dans le signal appara t clairement
a j et les fr equences d aliasing sont visibles de part et d autre de j
La p eriodicit e du signal ne change quasiment pas sur tout l interval le de mesure de dix
ans b Mesures des vitesses radiales en haut pour V Lyr fr equence du signal au
milieu et amplitude du signal en bas L amplitude WWA et la fr equence sont celles qui
correspondent au maximum de la puissance pour une epoque donn ee Si la fr equence
du signal reste stable son amplitude varie r eguli erement avec une p eriode d environ jours
et au temps consid er e
On pro c ede alors comme suit on calcul WWZ p our une grille de fr equences et de temps
Pour chaque le maximum de WWZ nous indique la fr equence du signal L am
k max
plitude en ce p oint est alors donn ee par WWA
max
R ef erences
Deeming T J Ap Space Sci erratum Ap Space Sci
Foster G AJ
Foster G a AJ
Foster G b AJ
Lomb N R Ap Space Sci
Scargle J D ApJ
Conclusions et p ersp ectives
Nous reprenons ici les diverses conclusions auxquelles nous sommes arriv es au travers
de cette th ese
A partir des mesures de vitesses radiales obtenues a La Silla sur un echantillon de
c eph eides de type S ainsi que des mesures disp onibles dans diverses publications nous
avons montr e que ces ob jets sont bien soumis a une r esonance entre les mo des P et P
Contrairement aux courb es de lumi eres les courb es de vitesse radiale p ermettent de me
surer quantitativement l e et de la r esonance Ces mesures montrent que la condition de
r esonance P P est atteinte p our P jours
L accord entre les mesures et les mo d eles hydrodynamiques radiatifs est remarquable
En revanche ces derniers sont incapables de repro duire les d etails des courb es photom e
triques ce qui restreint p our l instant l utilisation de la photom etrie a des etudes quanti
tatives en ce qui concerne les r esonances
Cet accord entre la th eorie et les mesures de vitesses radiales est su samment b on
p our qu on puisse prolonger l etude des r esonances selon deux directions En premier lieu
nous avons montr e que les c eph eides double mo des oscillant dans les mo des P et P
sont soumises a une r esonance similaire a celle observ ee p our les c eph eides de type S En
exploitant la forme de leurs courb es de vitesses radiales on p ourra d eduire en plus des
mo des P et P la valeur de P Connaissant ces trois fr equences propres d oscillation
les param etres stellaires fondamentaux tels que la masse la luminosit e et la temp erature
p ourront etre estim es sans recourir a la photom etrie Les mesures concernant les c eph eides
double mo des galactiques sont en cours d acquisition
La seconde application des r esonances concerne les c eph eides classiques et la mesure
des distances extra galactiques Des courb es de vitesses radiales ont et e obtenues p our un
echantillon de c eph eides situ e dans le grand Nuage de Magellan A partir des formes de
ces courb es on p ourra mesurer P et en le combinant a la valeur de P et aux mesures
photom etriques il sera p ossible d estimer les param etres stellaires de ces ob jets et d en
d eduire la distance du LMC Contrairement a la m ethode de Baade Wesselink seules les
valeurs photom etriques moyennes sont n ecessaires
Au chapitre nous avons etudi e l in uence de la m etallicit e sur les mo d eles de c e
ph eides ceci p our des s equences de mo d eles a di erentes distances du b ord bleu de la
bande d instabilit e Blue Edge BE
L accord entre nos mo d eles et les courb es de vitesse radiale p our les c eph eides ga
lactiques est tr es satisfaisant aussi bien p our l amplitude A V r que p our le rapp ort
d amplitude R V r ou le d ephasage V r De m eme les courb es de lumi ere th eo
riques corresp ondent aux courb es observ ees p our la Galaxie
La comparaison de l amplitude des courbes de lumi ere p our chaque ensemble de mo
d eles montre que l amplitude maximale atteinte est similaire p our la Galaxie ou le p etit
Nuage de Magellan En revanche la temp erature e ective a laquelle l amplitude photo
m etrique maximale est atteinte change avec la m etallicit e Pour les mo d eles galactiques
on passe progressivement des faibles aux fortes amplitudes a mesure qu on diminue la
temp erature des mo d eles alors que p our le SMC on atteint le maximum d amplitude d es
la premi ere s equence pro che du BE
Par ailleurs on observe une l eg ere diminution de l amplitude avec la p eriode
Nos mo d eles ainsi que notre analyse des observations de la collab oration OGLE I I
montrent que la m etallicit e n intervient pas dans l amplitude de la pulsation Par contre
les trac es evolutifs a faible m etallicit e favorisent les c eph eides de courtes p eriodes et donc
les amplitudes elev ees Les di erences d amplitude entre les p opulations de c eph eides de
diverses galaxies sont donc un e et evolutif et non pulsationnel
Pour les mo d eles d e cients en m etaux deux probl emes ont et e rencontr es En premier
lieu le d ephasage calcul e ne suit pas la s equence observ ee dans le plan vs p eriode
P Cette s equence etant li ee a la r esonance entre les mo des P et P cela montre que nos
mo d eles ont un rapp ort P P trop eloign e de la condition r esonante P P Pour
obtenir cette condition a P jours il faudrait diminuer la rapp ort M L utilis e dans
les mo d eles pauvres en m etaux
D autre part les amplitudes photom etriques A mV calcul ees ne repro duisent que l en
veloppe sup erieure des observations dans les diagrammes A mV vs P cf gure
Ceci montre qu il manque dans les mo d eles les plus froids un m ecanisme p ermettant
d amortir la pulsation Un traitement d ependant du temps de la convection devrait r e
soudre ce probl eme
Nos simulations num eriques ont pro duit une grande quantit e de mo d eles oscillant si
multan ement dans deux mo des Ce comp ortement n etant pas attendu p our des mo d eles
convectifs des tests compl ementaires ont et e entrepris Ceux ci montrent que le comp orte
ment multi p eriodique subsiste malgr e le changement des conditions initiales et un temps
d int egration prolong e jusqu a cycles de pulsation L amplitude des mo des d epend
de l echantillonnage adopt e p our d ecrire la structure stellaire
Ces analyses pr eliminaires doivent etre compl et ees par une grille de mo d eles plus dense
dans les environs des mo d eles multip eriodiques et une etude via les equations aux ampli
tudes avant de p ouvoir conclure d e nitivement sur ces oscillations multip eriodiques
Ces mo d eles d ecrivent un nouveau type de comp ortement multip eriodique Le second
mo de excit e a une amplitude tr es faible alors que les c eph eides double mo des connues
ont un rapp ort d amplitudes photom etriques compris entre et
Nous avons analys e diverses bases de donn ees p our y identi er ce genre de comp ortement
Etant donn e la faible amplitude du second mo de seuls des candidats ont et e mis a jour
des mesures suppl ementaires dans un syst eme photom etrique homog ene seront n ecessaires
p our con rmer d e nitivement l existence de tels ob jets
Dans les deux dernier chapitres nous avons ab ord e la variabilit e des etoiles massives
et les m ethodes d analyse des s eries temp orelles Le sp ectre des fr equences de l une des
hyperg eantes jaunes a et e analys e en d etails Les fr equences identi ees indiquent qu un
m elange de mo des de pression et de gravit e doit etre pr esent
Les sp ectres obtenus depuis novembre sur cet ob jet montrent une structure avec
plusieurs pics en emission dans la r egion H Leurs intensit es varient avec des echelles de
temps comparables aux fr equences photom etriques identi ees
Ce pro l p eut etre d u a un disque circum stellaire ou a une p erte de masse et une accr etion
simultan ee Pour trancher entre ces deux mo d eles qualitatifs il faudra disp oser de mo d eles
p ermettant d a juster les pro ls sp ectraux observ es De plus V Centauri doit etre
suivie plus r eguli erement avec une fr equence de l ordre de un sp ectre par semaine p our
identi er les fr equences de variation des pro ls sp ectraux et faire le lien avec la variabilit e
photom etrique
Liste des Publications
Publications dans Astronomy and Astrophysics
Kienzle F Moskalik P Bersier D Pont F Structural properties of s Cepheid
velocity curves Constraining the location of the resonance A A
Kienzle F Burki G Burnet M Meynet G The pulsating yel low supergiant
V Centauri A A
Fokin A Kienzle F Burki G Nonlinear Radiative Double Mode Cepheid
Models soumis a A A
Contributions aux divers collo ques
Kienzle F Pont F Moskalik P Bersier D Structural Properties of s Cepheid
Velocity Curves Constraining the Location of the Resonance dans The Impact
of Large Scale Surveys on Pulsating Star Research IAU Coll ASP Conf Series Vol
Ed L Szabados et D Kurtz p
Burki G Kienzle F Long Term High Precision Monitoring from the Geneva
Photometric Database dans The Impact of Large Scale Surveys on Pulsating Star Re
search IAU Coll ASP Conf Series Vol Ed L Szabados et D Kurtz p
Fokin A Kienzle F Burki G Nonlinear Radiative Double Mode Cepheid
Models dans The Impact of Large Scale Surveys on Pulsating Star Research IAU Coll
ASP Conf Series Vol Ed L Szabados et D Kurtz p
Kienzle F Pont F Bersier D Moskalik P Do Overtone Cepheids Exhibit
a Resonance E ect at Days in Their Radial Velocity Curve dans A Half Century
of Stellar Pulsation Interpretation A Tribute to Arthur N Cox ASP Conf Series Vol
Ed P A Bradley et J A Guzik p
Burki G Kienzle F On the Variability of Supergiant Stars dans Astrophysical
applications of stellar pulsation IAU Coll ASP Conf Series Vol Ed R S Stobie
et P A Whitelo ck p