Regularity of generalized stochastic processes Brice Hannebicque To cite this version: Brice Hannebicque. Regularity of generalized stochastic processes. Probability [math.PR]. Université Paris-Saclay, 2021. English. NNT : 2021UPASM007. tel-03260689 HAL Id: tel-03260689 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03260689 Submitted on 15 Jun 2021 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. Regularity of generalized stochastic processes Régularité de processus stochastiques généralisés Thèse de doctorat de l’Université Paris-Saclay École doctorale n◦574, Mathématiques Hadamard (EDMH) Spécialité de doctorat : mathématiques fondamentales Unité de recherche : Fédération de Mathématiques de CentraleSupélec (CNRS FR-3487), 91192, Gif-sur-Yvette, France Référent : CentraleSupélec Thèse présentée et soutenue à Paris-Saclay le 23 mars 2021 par Brice HANNEBICQUE Composition du jury : Pauline LAFITTE Présidente Professeur, Université Paris-Saclay Robert J. ADLER Rapporteur et examinateur Professeur émérite, Technion (Israel Institute of Technol- ogy) Antoine AYACHE Rapporteur et examinateur Professeur, Université de Lille Nicolas CURIEN Examinateur Professeur, Université Paris-Saclay Yimin XIAO Examinateur Professeur, Michigan State University Érick HERBIN Directeur Professeur, Université Paris-Saclay Ely MERZBACH Invité NNT : 2021UPASM007 Professeur émérite, Bar-Ilan University Thèse de doctorat de Thèse i Nous sommes comme des nains juchés sur les épaules de géants. Bernard de Chartres, d’après Jean de Salisbury, Metalogicon (Livre III). Figure 1: Les ancêtres mathématiques1de l’auteur sur 16 générations. 1Chaque parent dans l’arbre a été directeur de thèse de son enfant (source : www.mathgenealogy.org). Remerciements Certain·e·s seront remercié·e·s plusieurs fois, c’est parce qu’ils·elles le méritent. Certain·e·s ont le même nom, c’est comme ça. Certain·e·s ne seront même pas mentionné·e·s, c’est parce que ma gratitude est tellement immense qu’elle ne peut pas tenir sur ces quelques pages2. Lorsqu’ils sont appelés par leurs prénoms, les gens sont listés par ordre alphabétique, n’y voyez qu’une convention et non une préférence hiérarchisée dénuée de sens. Commençons par les personnes impliquées au plus proche du processus de la thèse et de sa soutenance. À Érick Herbin, pour m’avoir pris sous votre aile depuis ma plus tendre enfance mathématique, j’ai beaucoup appris de vous et grandement apprécié notre dynamique durant toutes ces années. À Pauline Lafitte, pour avoir été disponible et à l’écoute tout du long, ton encre a coulé bien plus d’une fois pour moi, que ce soit pour d’innombrables lettres de recom- mandation ou pour le rapport final de mon jury où tu m’as fait l’honneur d’en être la Présidente. À Robert J. Adler, pour m’avoir fait l’honneur de rapporter ma thèse, vos écrits et votre humour m’accompagneront encore longtemps. À Antoine Ayache, pour m’avoir fait l’honneur de rap- porter ma thèse, pour nos échanges et ta grande bienveillance. À Nicolas Curien, pour m’avoir fait l’honneur d’être examinateur, j’ai beaucoup appris du temps où j’étais parmi vos élèves. À Yimin Xiao, pour m’avoir fait l’honneur d’être examinateur, votre intérêt envers mes travaux m’a beaucoup touché. À Ely Merzbach, pour m’avoir fait l’honneur d’être invité, votre théorie a été mon plus fidèle compagnon tout au long de cette thèse. À Pierre, pour avoir streamé ma soutenance sur Twitch avec brio. À Christophe, Emma, Érick et Mahmoud, pour avoir relu sans rechigner un manuscrit mal dégrossi (ou au moins une portion), vos retours m’ont été fort précieux. Grande a été ma chance d’être doctorant à l’EDMH et d’avoir un bureau au sein du labora- toire MICS où le cadre était idéal pour ma thèse, un idéal qui ne l’aurait pas autant été sans la contribution des personnes à venir. À Paul-Henry, pour ton accueil au sein du labo, du temps du parcours recherche, du stage de master et enfin pour la thèse. À Sylvie, notre fée aux pulls anachroniques et à la bécane jaune (dans ses rêves), qui me voyait bien en petit Schwarzie. À Fabienne, pour ta gentillesse et ta disponibilité. À Suzanne Thuron, pour votre serviabilité, votre efficacité et votre bonne humeur. À Farid, avec qui j’ai fini nombre de mes soirées au labo, pipelette intarissable et grand bonhomme jovial. À un autre agent d’entretien dont je n’ai jamais su le nom, j’espère que votre projet de vie se réalisera. Aux innombrables autres petites mains qui facilitent notre quotidien et avec qui mes échanges ont été plus brefs, mais je l’espère non moins agréablement reçus. 2et éventuellement aussi parce que je suis étourdi... mais non moins reconnaissant ! iii iv Plus largement, un bon nombre de personnes ont plus ou moins directement contribué à cette thèse, les voici. À Adrien, Alexandre G., Alexandre R., Antonin, Arthur, Aymeric, Christophe, Emma, Emmanuel, Emmanuelle, Érick, Fragkiskos, Gurvan, Houda, Léo, Léopold, Ludovic, Mahmoud, Pauline, Quentin, Romain, Sarah, Stéphane et Yoann pour au moins une3 discus- sion mathématique, impromptue ou non, qui m’aura marqué. À Mathilde, pour la Figure1 de ce manuscrit. À Rémi et Guillaume, dont le bureau est bizarrement situé sur une étonnante singularité où le temps se déforme au fil des discussions rôlistes. À Gautier, Rémi, Stefania et Sylvain pour nos échanges musicaux. À la Franc-Pâtisserie, Mathilde, Myriam — sans oublier ta vorace moitié Manu m’ayant dépêtré de la jungle qu’est LATEX— et Jun, pour nos confections culinaires en tous genres. À Andreas, Fan, Laura, Ruiwen, Sophie et Xueyan, pour nos échanges gastronomiques extra-confrérie. À Gautier et Yoann pour les roustes au babyfoot4. Au chocolat aux noisettes de Gautier, dont la rareté ne faisait qu’accroître le plaisir de mettre la main (et la dent) dessus. Aux membres du groupe Magis pour avoir attisé ma flamme. À mes camarades du laboratoire que je n’ai pas encore remerciés, pour l’excellente et saine ambiance qui y règne : Agathe, Blandine, Chloé, Dimitri, Erwan, Elvrire, Enzo, Julie, Léo, Maria P.,Maria V.,Mihir, Oth- mane, Théo et Wallid. À Damien et Irène, dont la présence rayonnante a éclairé nombre de mes journées ces derniers temps. À mes élèves, vous êtes la source de mes exaspérations, mais aussi de mes joies les plus grandes. À Vincent, pour ton amitié depuis la nuit des temps, ou au moins du nôtre. À mes amis plus généralement, qui m’ont épaulé par leur présence et envers qui j’ai une dette de gratitude : Ambroise, la smala Bonnet, Edwige, Gaétan, Guillemette, Jérôme, Louis-Marie, Mallory, Marie, Matthieu, Nathalie, Romain, Shuhui, Yuguang et 5. Comme tout chercheur en herbe, j’eus l’occasion de participer à des rallyes entre chercheurs. Je chéris ces épisodes comme des points particulièrement heureux et productifs de ma thèse. Je tiens donc à remercier tout particulièrement les organisateurs et les participants des Journées de Probabilités et de l’école d’été de probabilités de Saint-Flour de l’année 2019. Une thèse, c’est également une "traversée du désert" comme le dit si justement Érick6. Cette traversée est heureusement ponctuée de quelques oasis, à la manière du célèbre épisode du marche-pied [81] que je veux brièvement rapporter ici. Cette sieste dans le canapé à Bordeaux après une journée de calculs infructueux et avant un dîner entre amis qui n’allait pas me permettre de rallonger mes efforts outre mesure, réveillé d’une semi-torpeur à dix minutes de leur arrivée par une soudaine inspiration, je griffonne fréné- tiquement les détails du calcul qui s’avéra le plus délicat de ma thèse juste avant que mes convives ne sonnent à la porte. Au Pérou en compagnie de Renaud, ce mail anodin sur l’abstract d’un prochain séminaire à l’autre bout du monde, qui m’expliquait que j’avais déjà effleuré la solution à mon problème il y a quelques mois déjà alors que je l’avais abandonné, il fallait juste que je reprenne mes notes, les mette au clair, relise une paire de références et la solution allait m’apparaître, ce que je fis dans les mois qui suivirent. Cette journée de co-travail en compagnie de Zénon où les dernières pièces de la dernière preuve de ce manuscrit7 se sont agencées avant le grand saut dans la rédaction. 3et pour certain·e·s, beaucoup plus ! 4Bien qu’on sache très bien qui est le meilleur de vous deux... 5Ceux·elles non cité·e·s ailleurs, si vous n’apparaissez pas dans cette liste et que vous sentez devoir en faire partie, c’est que vous avez certainement raison : imprimez une version de ce manuscrit et ajoutez votre nom après le "et " laissé à cet effet. 6D’autres personnes ont déjà employé cette terminologie il y a une paire de millénaires, mais les lois sur le plagia étaient encore un peu floues à l’époque. 7techniquement située au beau milieu de celui-ci v Merci donc à mon canapé, mes mails, Renaud et Zénon pour avoir été mes "marche-pieds" hors du "désert". À ma famille pour son support affectueux et inébranlable, mes parents en particulier, sans qui je ne serai tout bonnement pas là. Mot de bienvenue Cher·ère lecteur·rice, voici quelques mots pour adoucir votre entrée dans ce manuscrit.