1 1
Arjeh Cohen Een korte geschiedenis van de computeralgebra in Nederland NAW 5/11 nr. 2 juni 2010 111
Arjeh Cohen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Postbus 513 5600 MB Eindhoven [email protected]
Overzichtsartikel Een korte geschiedenis van de computeralgebra in Nederland
Computeralgebra is het rekenen aan wiskundige expressies volgens algebraïsche regels. Deze Wolfram. Het werd in 1981 commercieel ver- tak van sport wordt sinds de jaren zestig beoefend en kent vele toepassingen, variërend van het spreid, en is feitelijk de voorloper van het automatisch primitiveren van reële functies tot het berekenen van het bereik van een robotarm. overbekende systeem Mathematica [21]. In dit artikel geeft Arjeh Cohen een persoonlijke impressie van wat zich de afgelopen decennia Minder bekend is misschien dat Jos Verma- op het gebied van de computeralgebra in Nederland heeft afgespeeld. seren (Nikhef, Amsterdam) een direct vervolg op Schoonschip gemaakt heeft: een program- De allereerste computers rekenden tot op ze- ook dit gerealiseerd. Zo is op verschillende ma dat uiterst efficiënt met veeltermen en in- kere hoogte exact: ze konden vrijwel uitslui- plaatsen in de wereld symbolisch rekenen tegralen om kan gaan. De motivatie lag voor tend overweg met gehele getallen die niet ontstaan. een groot deel in Feynmans diagramcalculus. boven een door de machine bepaalde groot- Het is bekend dat daarin evaluatie van de som te uitkwamen. Al gauw werden numerici de Veltman en Vermaseren van een stel bepaalde integralen over alle toe- grootste gebruikers en was het zwevende- De behoefte om exact te rekenen was al vroeg standen in een gegeven configuratie tot een komma-getal (floating-point number) het ob- gesignaleerd door fysici die allerlei exacte, zinvol resultaat leidt, terwijl evaluatie van in- ject waarmee het meest gerekend werd. Pas dat wil zeggen precies in wiskundige formules dividuele summanden in die som plus of min in de jaren zestig, toen er voldoende vertrou- gevatte, uitdrukkingen wilden manipuleren. oneindig kan opleveren. Die som kan echter wen ontstond in de groei van geheugens en Een prominent voorbeeld is de Nederlandse alleen met grote exacte rekenkracht bepaald de kracht van computers, kwam de exactheid Nobelprijswinnaar Martinus Veltman. Hij had worden. Het programma van Jos Vermaseren weer terug. Om te beginnen kwamen er pak- behoefte aan software om met veeltermen en heet FORM en wordt nog steeds (voornamelijk ketten uit waarin gehele getallen als objecten integralen te werken zonder op benaderin- door fysici) gebruikt om spectaculaire bereke- behandeld werden zoals wiskundigen dat ge- gen over te gaan. In 1963 begon hij aan zijn ningen uit te voeren. Zie bijvoorbeeld het arti- wend zijn: ofwel het geheugen van de machi- symbolische rekenprogramma Schoonschip, ne liep over, ofwel het getal werd fatsoenlijk vooral gedreven door berekeningen die no- behandeld, zonder afkappingen en zonder dig waren bij een neutrino-experiment. Vol- modulair rekenwerk. Het werd mogelijk om gens zijn eigen woorden leidde de benodig- te rekenen met gehele getallen zoals wij dat de algebra voor de vector-boson-productie tot zelf ook zouden doen als we onvermoeid kon- een frustrerende hoeveelheid rekenwerk die den blijven werken. Dan moest het ook moge- moeilijk foutloos te krijgen was. Zijn program- lijk zijn om andere wiskundige uitdrukkingen ma Schoonschip heeft model gestaan voor als veeltermen, integralen, differentiaalverge- Symbolic Manipulation Program, of kortweg lijkingen en logische formules te manipuleren SMP. Dat was een computer-algebrasysteem volgens bekende algebraïsche regels, zonder dat rond 1979 voornamelijk ontwikkeld werd toevlucht tot benaderingen. Inderdaad werd door de op Caltech werkende fysicus Stephen Martinus Veltman (l) en Jos Vermaseren
1 1 2 2
112 NAW 5/11 nr. 2 juni 2010 Een korte geschiedenis van de computeralgebra in Nederland Arjeh Cohen
dat ook wel computerwiskunde gedoopt is en veel interessante software heeft opgeleverd. Maar het is niet het onderwerp van dit artikel, want dat richt zich op de eigenlijke computer- algebra.
De eerste computeralgebra pakketten Aan het eind van de jaren zestig was er dus software voor exacte berekeningen in de fysi- ca; na Schoonschip kwam al snel het commer- ciële pakket REDUCE [30]. In de jaren zeventig verschenen er ook exacte pakketten voor zeer specifieke onderwerpen als groepentheorie. Op dat laatste gebied waren er twee concur- renten: GAP uit Aken (van Joachim Neubüser) en Cayley uit Sydney (van John Cannon). Dit soort software maakte het bijvoorbeeld mo- gelijk om een groep bestaande uit permuta- ties van een gegeven verzameling (in den be- ginne altijd weergegeven als {1, . . . , n} voor een niet al te grote n) door te rekenen. De groep zelf wordt hierbij vastgelegd door en- kele permutaties die de groep voortbrengen. Voorbeelden van vragen die dan redelijk ef- ficiënt (maar niet polynomiaal) beantwoord kunnen worden zijn: hoeveel elementen heeft de groep? En: geef een stel voortbrengers voor de ondergroep van alle elementen van de ge- geven groep die het element 1 behouden.
Illustratie: Jack van Wijk GAP [8] bestaat, groeit en bloeit nog steeds Gebruik van groepentheorische computeralgebra voor het genereren van de gekleurde driehoeken in een uitvouwing van een Riemannoppervlak van geslacht 14. R14.3’ {7, 3}: orde 2184, 156 septagons, 546 takken, 346 knopen als gratis beschikbare software; Cayley is uit- gegroeid tot het zeer krachtige en zeer veel kel [31], waarin veel complexe invarianten van wiskunde omvattende, commerciële pakket Liegroepvoorstellingen worden uitgerekend. MAGMA [19]. We komen hier later op terug. Buchberger algoritme In de jaren tachtig kwamen algemene soft- Het Buchberger algoritme is in de ja- Intermezzo: Formele bewijsvoering warepakketten als Maple [20] en Mathema- ren tachtig sterk onder de aandacht ge- Soms wordt symbolisch rekenen op één tica op de markt. Eerst (1968–1982) was er komen. Dit komt doordat het algoritme hoop gegooid met computeralgebra, dan nog Macsyma, een experiment op MIT, waar- voor veel problemen met betrekking tot weer wordt computeralgebra gezien als een van een nazaat tegenwoordig gratis beschik- veeltermen een effectieve oplosmetho- deel maar niet het totaal van deze activi- baar is onder de naam Maxima [24]. Dit pak- de levert, en het op het juiste moment teiten. Enerzijds is het uitvoeren van ope- ket is gebaseerd op de programmeertaal Lisp. ter beschikking kwam voor de computer- raties op symbolen een definitie van alge- Maple en Mathematica daarentegen zijn ge- algebrapakketten in opkomst. bra, en ligt het dus voor de hand de wiskun- schreven in C. Oorspronkelijk was Maple min- Veel wiskundige problemen zijn te dig georiënteerde algoritmische handelingen der commercieel van opzet dan Mathematica. vertalen in zoektochten naar oplossingen als algebra te betitelen—zelfs als ze een vak Het kwam voort uit de symbolic computation van stelsels veeltermvergelijkingen. Het als analyse of statistiek betreffen. Anderzijds group in Waterloo die geleid werd door Keith Buchberger algoritme helpt exacte oplos- wordt een formeel beschreven stelling en/of Geddes en Gaston Gonnet. singen te vinden, onder andere door een bewijs niet vaak als computeralgebra gezien, In Nederland was de informaticus Hans systematische eliminatie van variabelen maar wel als invoer voor symbool-manipula- van Hulzen (UT) er vroeg bij. Hij hield zich mogelijk te maken. tie, wat als synoniem voor symbolisch reke- bezig met code-optimalisatie en was als een Hoewel de methode effectief is, loopt nen gebruikt wordt. van de eerste Nederlanders actief betrokken het Buchberger algoritme al gauw vast als De formele bewijsvoering en automatische bij ISSAC, de grote jaarlijkse conferentie op het aantal variabelen of de graad van de verificatie van een formeel bewijs heeft een het vakgebied. Hij droeg bij aan het pak- veeltermen groot wordt. grootse Nederlandse geschiedenis, die be- ket REDUCE, dat destijds redelijk wijd ver- De beste implementatie voor prak- gint met het Automath project van Dick de spreid was, maar in de commerciële strijd met tische problemen is van Faugère; zie Bruijn in Eindhoven en doorloopt tot werk van Maple, MATLAB [23] (een minder exact maar zijn website www-calfor.lip6.fr/˜jcf, waar Henk Barendregt en zijn groep in Nijmegen. veel gebruikt pakket) en Mathematica ten on- mooie voorbeelden staan. De geïnteresseerde lezer raadplege het arti- der is gegaan. REDUCE is tegenwoordig gratis kel [35] van Freek Wiedijk over dit onderwerp, verkrijgbaar.
2 2 3 3
Arjeh Cohen Een korte geschiedenis van de computeralgebra in Nederland NAW 5/11 nr. 2 juni 2010 113
Specialistische software en algoritmen den uit de kast gehaald en bewerkt tot metho- software. Het werd in de jaren tachtig ook erg In het kielzog van de opkomst van de al- den waarmee ofwel een gesloten formule voor aantrekkelijk om wiskundige software te ont- gemene computeralgebra-programma’s zijn een primitieve van een functie gevonden kan wikkelen. Twee belangrijke beweegredenen in de jaren tachtig en negentig twee exact- worden, ofwel vastgesteld kan worden dat waren het uitvoeren van experimenten waar wiskundige activiteiten te onderscheiden. er, binnen een gegeven klasse functies, geen de theorievorming stokt en het vullen van ga- Enerzijds de opkomst van meer specialisti- primitieve bestaat. De meeste primitiveerop- ten in bewijzen waarvan de basis van de in- sche software, anderzijds de aandacht voor drachten op het niveau van de eerste jaren in ductie niet met de hand lukt. Naast de groe- algoritmen. Om een indruk te krijgen van het universitair onderwijs konden door deze pentheorie liep de getaltheorie voorop. Henri de hoeveelheid specialistische softwaresys- algoritmen aangepakt worden, met als gevolg Cohen bracht rond 1985 in Parijs de eerste temen, is het goed de Oberwolfachse website dat de leerstof anders, meer algoritmisch, on- versie van het inmiddels klassiek geworden [29] te raadplegen. derwezen werd. Primitiveren van de functie f pakket PARI [26] op dit gebied uit. Interessant Een prominent voorbeeld van de aandacht kan gezien worden als het oplossen van de genoeg gebruikte het (onder meer) zwevende- voor wiskundige algoritmen is de vooruitgang differentiaalvergelijking y0 = f . Aan de alge- komma-getallen om exacte objecten uit de al- in het exact oplossen van stelsels veelterm- mene vraag naar het oplossen van differen- gebraïsche getaltheorie te berekenen. In Ne- vergelijkingen. Er ontstonden veel varianten tiaalvergelijkingen, in de zin van het vinden derland had Hendrik Lenstra toen al contact van wat uiteindelijk bekend is geworden als van oplossingen binnen een bepaalde klas- met Henri Cohen; hij hield zich vooral met de het Buchberger-algoritme (voor de aanmaak se van functies, heeft onder anderen Marius algoritmische vragen bezig. Eén van zijn pro- van een Gröbner-basis). Een bescheiden Ne- van der Put (Rijksuniversiteit Groningen) met movendi, René Schoof, ontwierp in die tijd derlandse bijdrage in dit verband is het pak- succes gewerkt; zie bijvoorbeeld [27]. Andere een beroemd geworden algoritme om het aan- ket voor een niet-commutatief analogon van bijdragen kwamen uit Nijmegen; hier gaan we tal punten van een elliptische kromme over het Buchberger-algoritme (wezenlijk anders later op in. een eindig lichaam uit te rekenen in polyno- omdat de theorie hier niet garandeert dat het miale tijd [34]. Sindsdien speelt Nederland algoritme eindigt), het in GAP geschreven pak- Algebraïsche getaltheorie, LLL (vooral vanuit Leiden, maar ook vanuit Gro- ket GBNP [9]. Hoewel er een duidelijk onderscheid te ma- ningen, Nijmegen, en Utrecht) een vooraan- Maar ook het primitiveren, het vinden ken valt tussen de bouw van een computer- staande rol in de algoritmische algebraïsche van een gesloten formule voor een onbe- algebrapakket en het ontwerp van een algo- getaltheorie en de daarmee verbonden effec- paalde integraal, kreeg veel aandacht. Ou- ritme, zagen veel nieuwe algoritmen het dag- tieve aspecten van aritmetische algebraïsche de ideeën van mensen als Robert Risch wer- licht bij de opkomst van meer specialistische meetkunde.
Kostants vermoeden Complexe Liegroepen zijn boeiende wis- tijds ter beschikking stonden, waren niet mers op computerberekeningen steunde. kundige objecten. Het zijn zowel complexe voldoende krachtig om een oplossing te We verdedigden ons door te wijzen op variëteiten als groepen. De enkelvoudige vinden. Toen ik Jos Vermaseren om een het feit dat het resultaat onafhankelijk Liegroepen (feitelijk de kleinste bouwste- oplossing vroeg, heeft hij modulaire arit- van onze berekeningen te testen was door nen) zijn ruim een eeuw geleden geclassi- metiek in FORM gezet, en vele gegenera- een overzichtelijk aantal elementaire re- ficeerd. De grootste die niet in een onein- liseerde resultantenregels uitgevonden en kenkundige operaties (maar teveel voor dige serie past heeft dimensie 248 en heet geïmplementeerd om het stelsel op te los- een normaal mens om met de hand uit te
E8 in de door Cartan gegeven codering. sen. Als er niet wat onduidelijkheden (ver- voeren). Moreel was ik hier zekerder van De bepaling van eindige ondergroe- dachte asymmetrieën) in mijn data hadden dan van vele lange klassieke bewijzen: het pen van een complexe Liegroep, die niet gezeten, had hij het karwei waarschijnlijk kon geen toeval zijn dat het overbepaalde in een Lie-ondergroep van positieve di- helemaal geklaard. In die tijd koos ik een systeem vergelijkingen ineens een oplos- mensie passen, kreeg een grote stimulus andere benadering: vervang 240 mono- sing blootgaf (orde in de chaos!) en elke toen Kostant het vermoeden uitsprak dat men in de acht onbekenden door nieuwe test die ik met mijn resultaten deed, goed
E8 een bepaalde enkelvoudige eindige on- onbekenden om zo een stelsel van vele li- uitkwam. dergroep van orde 113460 (de fractionele neaire vergelijkingen in 240 onbekenden Nadien is het stelsel veeltermvergelij- lineaire groep over het lichaam van 61 ele- te verkrijgen. Dit stelsel was makkelijk op kingen door zowel Singular als Macaulay menten) zou hebben. te lossen. Door de monomen weer terug te opgelost. Nog later gaf Serre een bewijs Dit vermoeden konden Robert Griess zetten kon ik gauw een oplossing in termen voor dit resultaat dat geen computer ge- en ik vertalen naar het probleem een oplos- van de 8 onbekenden vinden. bruikte, maar wel een met veel technisch sing te vinden van een stelsel van veel veel- Bert Lisser hielp me met de program- rekenwerk gevonden 3-dimensionale alge- termvergelijkingen in acht onbekenden mering van het probleem in Maple, en zo braïsche ondergroep van de algebraïsche
over de gehele getallen modulo 1831. Van is de vondst bekendgemaakt in een arti- groep van type E8 over het lichaam met 61 dit stelsel was één veelterm van graad 2, kel van Griess, Lisser en mezelf. Er was elementen. Het vermoeden van Kostant is één van graad 3, één van graad 4, et cetera. enige controverse over de geloofwaardig- overigens door deze en volgende bereke- De Gröbner basis algoritmen die me des- heid van het antwoord, omdat het im- ningen juist gebleken.
3 3 4 4
114 NAW 5/11 nr. 2 juni 2010 Een korte geschiedenis van de computeralgebra in Nederland Arjeh Cohen
gegevens wilden dan waar wiskundigen om centrum waren het snel toegankelijk maken vroegen. Het pakket, dat heden ten dage nog van computeralgebra-software in Nederland gebruikt wordt, was onder andere behulp- en de toepassingen ervan in industrie en on- zaam in het werk van Nguyen en Van der Put derwijs bevorderen. [25]. Een integrale (maar minder snelle) versie De doelstellingen van het expertisecen- van het pakket is opgenomen in MAGMA. Dit trum zijn grotendeels bereikt. Een hoogte- systeem bevat trouwens meer specialistische punt was het verschijnen van de eerste goe- pakketten, zoals KANT [16], voor algebraïsche de handleiding voor Maple door André Heck, getaltheorie. de leider van het expertisecentrum. Een an- André Heck (l) en Leendert van Gastel der hoogtepunt was de serie studies naar het Levelt gebruik van computeralgebra voor industrieel In Nijmegen was Ton Levelt zeer actief in onderzoek. De resultaten van het werk SCAFI In het begin van de jaren tachtig was com- de computeralgebra. Enkele algoritmen van (Studies in Computer Algebra for Industry) zijn puteralgebra ook onder de aandacht van het zijn hand (in samenwerking met Thom Mul- in twee boeken [4–5] verwerkt. Maar ook de CWI gekomen. Vooral bij informatica, waar Ar- ders), zoals een fraaie methode om de rati- levering van software-pakketten als Maple en jen Lenstra zich bezig hield met algoritmen onale Jordan-normaalvorm van een vierkan- Mathematica aan universiteiten werd onder- voor het ontbinden van veeltermen met gehe- te matrix te vinden, zijn geïmplementeerd in gebracht in een contract met SURF. le coëfficiënten in irreducibele factoren. Zijn Maple. Nijmegen was ook zeer actief in het Het expertisecentrum werd in 1993 uitge- broer Hendrik en diens regelmatige en graag Europese project CATHODE (’92–’95), een van breid met het instituut RIACA (Research Insti- geziene gast László Lovász bogen zich mede de eerste pogingen om differentiaalvergelij- tute for Applications in Computer Algebra) en over het complexiteitsprobleem. De uitdaging kingen met computeralgebra aan te pakken. is in 1996 geïntegreerd in het Amstel Instituut was te bewijzen dat er een polynomiaal algo- Twee Nijmeegse studenten hebben het zeer van de Universiteit van Amsterdam. De com- ritme is. De gebruikelijke methode van factori- ver gebracht in de algoritmische wiskunde: merciële poot is op dat moment zelfstandig satie komt daar dicht bij maar is exponentieel Harm Derksen (Ann Arbor) en Mark van Hoeij geworden onder de naam CAN Diensten bv, op één onderdeel. Die methode begint met de (Tallahassee). Derksen heeft algoritmen ont- en de onderzoekspoot RIACA is verhuisd naar factorisatie van de veelterm modulo een ge- wikkeld voor algebraïsche groepen, bijvoor- de Technische Universiteit Eindhoven. De ex- schikt priemgetal p en probeert vervolgens beeld voor het bepalen van de kleinste al- perts André Heck en Leendert van Gastel van het resultaat te liften naar een resultaat over gebraïsche groep om een stel inverteerbare het expertisecentrum CAN hebben zich in het de gehele getallen. Daarbij wordt eerst een matrices [6–7]. Van Hoeij heeft zeer krachti- Amstel Instituut gestort op innovatie van on- oplossing modulo p2 gezocht, en steeds ver- ge factorisatiealgoritmen geschreven, zowel derwijs in exacte wetenschappen. CAN Dien- der modulo hogere machten van p totdat er voor veeltermen als voor differentiaaloperato- sten bv distribueert, naast financiële en sta- zekerheid is dat de gevonden oplossing ook ren [13–14]. Levelts computeralgebrawerk in tistische software, nog steeds veel computer- over de gehele getallen werkt. Het eigenaardi- Nijmegen is overgenomen door Wieb Bosma, algebrasoftware in Nederland. ge aan de complexiteit is dat het theoretisch wiens aandacht vooral naar algoritmische al- Het instituut RIACA heeft zich na de ver- tijdrovend is uit te zoeken welke irreducibele gebraïsche getaltheorie en het systeem MAG- huizing naar Eindhoven voornamelijk gericht modulaire factoren fuseren tot een irreduci- MA gaat. Daarvoor had hij al enige jaren in op interactieve wiskundige documenten; hoe- bele factor over de gehele getallen. Zonder Sydney aan de totstandkoming van MAGMA wel enkele activiteiten voort bleven bestaan, verder inzicht zou dit neerkomen op het af- meegewerkt (zie [2]). Ook droeg de in Nijme- is de naam langzamerhand op de achtergrond lopen van een aantal gevallen dat exponen- gen werkzame Bernd Souvignier bij aan MAG- geraakt. Er zijn bijdragen geleverd aan Open- tieel groeit met het aantal irreducibele mo- MA met algoritmen voor roosters. Math [28], een manier om wiskunde seman- dulaire factoren. Dat was het grote theoreti- tisch veel preciezer en rijker dan in LATEX weer sche obstakel voor een polynomiaal algorit- Expertisecentrum CAN, RIACA te geven, zo rijk dat twee systemen via deze me. De drie vonden een uitweg met behulp Eind jaren tachtig zag het CWI, in het bijzon- taal met elkaar kunnen spreken (dat wil zeg- van een zeer algemeen toepasbaar algoritme der wetenschappelijk directeur Cor Baaijen, gen, op een bepaalde manier elkaars uitvoer voor roosters. Zo ontstond het waarschijnlijk kans om met behulp van een expertisecen- als invoer kunnen lezen). OpenMath is op zijn beroemdste algoritme voor computeralgebra trum de introductie van computeralgebra in beurt weer grotendeels terecht gekomen in van Nederlandse bodem: het LLL-algoritme Nederland te bevorderen. Zo’n expertisecen- MathML3 [22], de nieuwe XML-standaard voor [17]. Trouwens, een van de beste praktische trum, zo was de gedachte, zou zich zodanig de representatie van wiskunde op het web. methoden om veeltermen te factoriseren [13] commercieel ontwikkelen dat het zichzelf in Verder is in Eindhoven vooral gewerkt aan is ook van Nederlandse bodem; zie hieronder. leven zou kunnen houden. In Nederland be- algoritmen voor het exact werken met alge- stond wel een ruime belangstelling voor de braïsche groepen en de bijbehorende Liealge- LiE nieuwe ontwikkelingen, maar waren weinig bra’s. De resulterende algoritmen zijn opge- Naast FORM van Jos Vermaseren ontstond nog computeralgebra-specialisten te vinden. Een nomen in de pakketten GAP en MAGMA. Van een Nederlands pakket, en wel op het CWI: LiE vijftal onderzoekers met die inslag vormde de betrokkenen is Willem de Graaf een actief [18], bedoeld voor berekeningen aan matrix- het bestuur van de nieuwe Stichting Com- onderzoeker in de computeralgebra gewor- voorstellingen van Liegroepen, zoals tensor- puter Algebra Nederland, die als voornaam- den (zie [10–11]), is Erik Postma bij MapleSoft, decomposities en restricties van voorstellin- ste praktisch doel had het in 1989 opgerichte de producent van Maple, gaan werken, en gen tot ondergroepen. Het beantwoordde veel expertisecentrum CAN te begeleiden. Ande- gaat Dan Roozemond binnenkort bij de Mag- vragen van fysici, die telkens meer expliciete re doelen van de stichting en het expertise- magroep in Sydney werken.
4 4 5 5
Arjeh Cohen Een korte geschiedenis van de computeralgebra in Nederland NAW 5/11 nr. 2 juni 2010 115
Primitiveren via OpenMath in Mathematica en Maxima De volgende code illustreert hoe OpenMath code in een webpa- Dezelfde code kan, na vervanging van een enkele verwijzing naar gina gebruikt wordt om een primitieve van de functie x 7→ x2ex Mathematica door Maxima, gebruikt worden om met Maxima te berekenen in Mathematica. in plaats van Mathematica te rekenen. Maar Maxima vindt de De OpenMath code voor de primitieve wordt vertaald in een com- primitieve niet en spuit een kleine variatie op de oorspronkelijke mando in Mathematica taal en ingevoerd in Mathematica. De beschrijving terug. Mathematica respons wordt afgevangen, weer terugvertaald in OpenMath en tenslotte weer in leesbare vorm gepresenteerd. Maxima R De terugvertaling vanuit Mathematica in OpenMath wordt verge- The input is x2 · exdx . makkelijkt door gebruik van het Mathematica commando Full- The corresponding OpenMath is Form dat de wiskundige expressieboom uitschrijft.
Mathematica
Ten slotte beeld vanuit GAP een groepenberekening in steeds meer tot de wiskundige discipline ge- In de laatste jaren komt het einde van de MAGMA te laten verrichten en een Gröbner- rekend worden waarvoor ze zijn ontwikkeld. periode in zicht waarin de wet van Moore basisberekening in Maple. Een ander voor- De computationele aspecten worden steeds voor processoren geldt. De snelheid wordt beeld van het bijeenbrengen van verschillen- meer door het oorspronkelijke vakgebied om- meer en meer gezocht in het combineren de kleinere systemen is het van oorsprong armd. Zo kan het gebeuren dat de computa- van meerdere processoren. In de compute- Amerikaanse project SAGE [32], dat overigens tionele groepentheorie eerder een onderdeel ralgebra wordt daarom veel aandacht be- gebaseerd is op Python, een taal die ooit van de groepentheorie dan van de computer- steed aan de steeds betere communica- op het CWI door Guido van Rossum is ont- algebra is, en dat algoritmische getaltheorie tiemogelijkheden tussen softwaresystemen worpen. Ook de interactie tussen de eerder tot de getaltheorie en niet tot de computer- onderling. Een bijkomend voordeel is dat genoemde formele wiskunde-software en de algebra gerekend wordt. Maar ook discipli- specialistische pakketten veel toegankelij- computer-algebrasystemen is begonnen (zie nes als topologie en polytopentheorie heb- ker worden. De Europese projecten Inter- bijvoorbeeld [1, 3]) en heeft een grote toe- ben computeralgebra omarmd. Hierdoor be- geo [15] en SCIEnce [33], waar Nederland komst. perkt de reikwijdte van het vak computer- bij betrokken is, zijn twee voorbeelden hier- Een andere tendens in de computeralge- algebra zich meer en meer tot software- van. SCIEnce maakt het mogelijk om bijvoor- bra, of eigenlijk daarbuiten, is dat algoritmen systemen. En daarvan zijn er maar weinig
5 5 6 6
116 NAW 5/11 nr. 2 juni 2010 Een korte geschiedenis van de computeralgebra in Nederland Arjeh Cohen
van Nederlandse oorsprong. Hier staat tegen- waar bekend is dat ze bestaan, maar waar- Algebra & Number Theory), dat vijf jaar ge- over dat veel systemen wel Nederlandse bij- van niemand er een heeft aangewezen. Als leden tot stand is gekomen. In deze samen- dragen kennen. er eenmaal zo’n algoritme is, verschuift de werking, maar ook in vele andere verbanden, Anders gezegd, de computeralgebra heeft aandacht naar het zoeken van een efficiënte wordt dankbaar gebruik gemaakt van de aan voor een algoritmische inslag van de wis- versie. Derksens algoritme voor de bepaling de computeralgebra te danken verworvenhe- kunde gezorgd. Veel vermoedens kunnen en van de kleinste algebraïsche groep om een den. k moeten tegenwoordig zelfs getest worden op stel inverteerbare matrices is een voorbeeld een groot bereik van de parameters, voordat van effectiviteit voor een probleem waarvan ze serieus genomen worden. Dit wijst er op bekend was dat er een oplossing voor be- dat computeralgebra standaardgereedschap stond maar waarvoor nog niet eerder een al- van de wiskundige geworden is. Verder is er goritme was gevonden—het algoritme is ook meer erkenning gekomen voor de ontwikke- niet efficiënt. Van Hoeij schreef een van de laars van algoritmen, zoals blijkt uit woorden meest efficiënte algoritmen voor veeltermfac- als ‘Experimental’ of ‘Computational’ in tijd- torisatie, waarvan de effectiviteit altijd al bui- schrifttitels. ten kijf stond. Dankwoord De computeralgebra heeft ook geleid tot De algoritmische inslag klinkt door in het Met dank aan Wieb Bosma, Ton Levelt en Hans Sterk voor verbeteringen van eerdere versies, en aan Jan grotere aandacht voor effectiviteit, het daad- Nederlandse wiskunde-cluster DIAMANT (Dis- Willem Knopper voor de hulp bij aanmaak van de werkelijk vinden van objecten waarvan welis- crete, Interactive & Algorithmic Mathematics, OpenMath voorbeelden.
Referenties 1 H. Barendregt en A.M. Cohen, ‘Electronic com- 12 A. Heck, Introduction to Maple, 1st edition, 25 K.A. Nguyen, M. van der Put, ‘Solving linear dif- munication of mathematics and the interac- Springer, 1993; 3rd edition Springer, 2003. ferential equations’, Pure and Applied Mathe- tion of computer algebra systems and proof as- matics Quarterly 6 (2010), pp. 173–208. 13 M. van Hoeij, ‘Factoring polynomials and the sistants’, J. Symbolic Computation 32 (2001), knapsack problem’, Journal of Number Theory 26 PARI, pari.math.u-bordeaux pp. 3–22. 95 (2002), pp. 167–189. 27 M. van der Put, M. Singer, Galois theory of linear 2 W. Bosma, J. Cannon, C. Playoust, ‘The Magma 14 M. van Hoeij, ‘Factorization of differential op- differential equations, Grundlehren der math- algebra system. I. The user language’, Journal of erators with rational functions coefficients’, ematischen Wissenschatfen 328, Springer, Symbolic Computation 24 (1997), pp. 235–265. Journal of Symbolic Computation 24 (1997), 2003. 3 O. Caprotti, M. Oostdijk, ‘Formal and efficient pp. 537–561. 28 OpenMath, An extensible standard for the se- primality proofs by means of computer algebra 15 Intergeo, Interoperable Interactive Geometry for mantics of mathematical objects, www.open- oracles’, Journal of Symbolic Computation 32 Europe, i2geo.net math.org (2001), pp. 55–70. 16 KANT, www.math.tu-berlin.de/˜kant 29 ORMS, Oberwolfach References on Mathemati- 4 A.M. Cohen (ed.), Computer Algebra in Industry, cal Software, orms.mfo.de Problem Solving in Practice, Wiley, 1993. 17 A.K. Lenstra, H.W. Lenstra, L. Lovász, ‘Factoring polynomials with rational coefficients’, Mathe- 30 REDUCE, reduce-algebra.com 5 A.M. Cohen, L. van Gastel, S. Verduyn Lunel matische Annalen 261 (1982), pp. 515–534. (eds.), Computer Algebra in Industry 2, Problem 31 T. van Ritbergen, B. Schellekens, J. Vermaseren, Solving in Practice, Wiley, 1995. 18 M.A.A. van Leeuwen, A.M. Cohen, B. Lisser, ‘Group theory factors for Feynman diagrams’, LiE Manual, manual for the software pack- Int. J. Mod. Phys. A14 (1999), pp. 41–96. 6 H. Derksen, E. Jeandel, P. Koiran, ‘Quantum au- age LiE for Lie group theoretical computations, tomata and algebraic groups’, Journal of Sym- 32 SAGE, A Computer System for Algebra and Ge- CWI/CAN, 1992. Zie www-math.univ-poitiers.fr/ bolic Computation 39 (2004), pp. 357–371. ometry Experimentation, www.sagemath.org ˜maavl/LiE 7 H. Derksen, G. Kemper, Computational Invariant 33 SCIEnce, Symbolic Computation Infrastructure 19 MAGMA, Computational Algebra System, mag- Theory, Springer, 2002. for Europe, www.symbolic-computation.org ma.maths.usyd.edu.au/magma 8 GAP, Groups, Algorithms and Programming, 34 R. Schoof, ‘Elliptic curves over finite fields and 20 Maple, www.maplesoft.com/products/Maple Aachen, St Andrews, available at www-gap.dcs. the computation of square roots mod p’, Math- st-and.ac.uk/gap 21 Mathematica, www.wolfram.com/products/math- ematics of Computation 44 (1985), pp. 482– ematica 494. 9 GBNP, www.mathdox.org. 22 MathML, Mathematical Markup Language, ver- 35 F. Wiedijk, ‘Formal proof – getting started’, No- 10 W. de Graaf, Lie algebras: theory and algo- sion 3, www.w3.org/Math tices of the AMS, 55 (2008), pp. 1408–1414. rithms, Elsevier, 2000. 23 MATLAB, www.mathworks.com/products/mat- 11 W. de Graaf, A. Pavan, ‘Constructing arithmetic lab subgroups of unipotent groups’, J. Algebra 322 (2009), pp. 3950-3970. 24 Maxima, http://maxima.sourceforge.net
6 6