2.2 Finite Element Method

Stochastic crack growth simulation in reinforced concrete structures by means of coupled finite element and meshless methods (Stochastische Rissfortschrittsberechnung in bewehrten Betonstrukturen unter Kopplung der Finiten Elemente Methode mit netzfreien Verfahren) DISSERTATION Zur Erlangung des akademischen Grades Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.) an der Fakultät Bauingenieurwesen der Bauhaus-Universität Weimar vorgelegt von Dipl.-Ing. Thomas Most geb. am 15. Juni 1975 in Bad Salzungen Weimar, Juni 2005 Gutachter: 1. Prof. Dr. techn. Christian Bucher, Bauhaus-Universität Weimar 2. Prof. Dr. techn. Günter Hofstetter, Universität Innsbruck 3. Prof. Dr. habil. Ulrich Häussler-Combe, Techn. Universität Dresden Disputation am 28. November 2005 Für Yvonne, Olivia, Magnus und meine Eltern Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitar- beiter am Institut für Strukturmechanik innerhalb des Sonderforschungsbereiches 524 “Werkstoffe und Konstruktionen für die Revitalisierung von Bauwerken” an der Bauhaus- Universität Weimar. Mein besonderer Dank gilt Herrn Professor Christian Bucher für die Anregung und Förderung dieser Arbeit sowie für die hervorragende Betreuung. Besonders wertvoll waren dabei die Vielzahl fachlicher Diskussionen, sein Vertrauen und seine Offenheit, welche den idealen Rahmen für diese Arbeit bildeten. Herr Professor Günter Hofstetter und Herr Professor Ulrich Häussler-Combe danke ich für die Übernahme der Gutachten und für die Gespräche innerhalb verschiedener wissenschaftlicher Veranstaltungen. Weiterhin möchte ich mich bei allen Mitarbeitern des Instituts für Strukturmechanik für die Unterstützung und die angenehme Arbeitsatmosphäre bedanken. Besonders her- vorheben möchte ich dabei Herr Jörg F. Unger und Herr Dr. Michael Macke. Einen wichtigen Beitrag zum Gelingen dieser Arbeit leisteten weiterhin die fachlichen Diskus- sionen mit Herrn Professor Carsten Könke, mit Herrn Stefan Eckardt und mit Herrn Kai Schrader. Ganz besonders möchte ich mich bei meiner lieben Yvonne und unseren Kindern für ihre Motivation und auch für ihr Verständnis in schwierigen Phasen bedanken. Dieser Rückhalt ist zur Realisierung dieser Arbeit eine unverzichtbare Basis gewesen. Abschließend danke ich meinen Eltern für die Unterstützung in den vergangenen Jahren insbesondere jedoch für die frühe Förderung meiner Interessen an den Naturwis- senschaften, die die wesentlichtliche Grundlage dieser Arbeit darstellen. Abstract The complex failure process of concrete structures can not be described in detail by stan- dard engineering design formulas. The numerical analysis of crack development in concrete is essential for several problems. In the last decades a large number of research groups have dealt with this topic and several models and algorithms were developed. However, most of these methods show some difficulties and are limited to special cases. The goal of this study was to develop an automatic algorithm for the efficient simulation of multiple cracking in plain and reinforced concrete structures of medium size. For this purpose meshless methods were used to describe the growth of crack surfaces. Two meshless interpolation schemes were improved for a simple application. The cracking process of concrete has been modeled using a stable criterion for crack growth in combination with an improved cohesive crack model which can represent the failure process under combined crack opening and crack sliding very well. This crack growth algorithm was extended in order to represent the fluctuations of the concrete properties by enlarging the single-parameter random field concept for multiple correlated material parameters. Kurzfassung Das komplexe Versagensverhalten von Betonstrukturen kann in der Regel nicht mit Stan- dardbemessungsformeln beschrieben werden. Eine detaillierte numerische Analyse der Rissentwicklung in Beton ist für einige Problemstellungen unverzichtbar. In den letz- ten Jahrzehnten haben sich eine Vielzahl von Forschergruppen mit dieser Thematik aus- einandergesetzt. Dabei wurden verschiedene Modelle und Algorithmen entwickelt. Die meisten dieser Verfahren weisen jedoch verschiedene Probleme auf oder sind nur für Spezialfälle anwendbar. Das Ziel dieser Arbeit war die Entwicklung eines automatischen Algorithmus zur effizienten Simulation von mehrfacher Rissentwicklung in Beton- und Stahlbetonstrukturen mittlerer Größe. Dabei wurden netzfreie Verfahren angewendet, um die Änderung der Rissoberflächen abzubilden. Zwei netzfreie Interpolationstypen wurden im Hinblick auf eine unkomplizierte Anwendung angepaßt. Der Versagensprozess des Betons wurde mit Hilfe eines stabilen Risskriteriums in Kombination mit einem erwei- terten kohäsiven Rissmodell abgebildet. Dieses erweiterte Modell kann die Zusammen- hänge bei kombinierter Rissöffnung und -gleitung sehr gut wiedergeben. Der entwickelte Algorithmus zur Risssimulation wurde in Hinblick auf eine stochastische Modellierung erweitert. Zu diesem Zweck wurde das Zufallsfeldkonzept für die Abbildung mehrerer untereinander korrelierter Materialparameter ergänzt. Contents Symbols and abbreviations v 1 Introduction 1 1.1 Motivation .................................. 1 1.2 Aims of the present work .......................... 3 1.3 Outline ................................... 4 2 Mechanical fundamentals 5 2.1 Continuum formulation ........................... 5 2.1.1 Kinematics ............................. 5 2.1.2 Equilibrium ............................. 7 2.1.3 Constitutive law .......................... 8 2.2 Finite Element Method ........................... 11 2.2.1 Method of Galerkin ......................... 11 2.2.2 Variational formulation ....................... 12 2.2.3 Discretization by finite elements .................. 13 2.2.4 Numerical integration ....................... 15 2.2.5 Material nonlinearity ........................ 16 2.3 Solution strategies .............................. 18 2.3.1 Linear analysis ........................... 18 2.3.2 Load controlled nonlinear analysis ................. 20 2.3.3 Displacement control ........................ 22 2.3.4 Arc-length method ......................... 23 2.3.5 Acceleration of convergence using the line search method .... 26 2.4 Examples .................................. 28 2.4.1 Performance of direct sparse matrix solvers ............ 28 2.4.2 Simulation of a snap-back problem using the arc-length method . 30 3 Meshless methods 33 3.1 Element-free Galerkin Method ....................... 38 3.1.1 Moving Least Squares interpolation ................ 38 3.1.2 Weighting functions ........................ 42 ii 3.1.3 Representation of non-convex domains .............. 47 3.1.4 Fulfillment of geometrical boundary conditions .......... 48 3.1.5 Application of boundary forces .................. 50 3.2 Natural Neighbor Galerkin Method ..................... 54 3.2.1 Voronoi diagram and Delaunay tesselation ............. 54 3.2.2 Natural Neighbor Interpolation ................... 55 3.2.3 Shape function computation .................... 58 3.2.4 Adaptation for non-convex domains ................ 60 3.3 Numerical integration ............................ 64 3.3.1 Gauss integration .......................... 64 3.3.2 Support decomposition of the domain ............... 65 3.3.3 Stabilized conforming nodal integration .............. 65 3.3.4 Adaptive integration ........................ 67 3.4 Examples .................................. 69 3.4.1 MLS-shape functions for regular and irregular sets of nodes ... 69 3.4.2 Patch test with irregular node distribution ............. 70 3.4.3 Interpolation along a non-convex boundary ............ 72 3.4.4 Cantilever with increasing distortion ................ 73 4 Discrete crack modeling 77 4.1 Introduction to Linear Elastic Fracture Mechanics ............. 80 4.1.1 The concept of stress intensity factors ............... 80 4.1.2 Virtual Crack Extension ...................... 85 4.1.3 Crack direction criteria ....................... 89 4.2 Cohesive Crack Model ........................... 92 4.2.1 Mode-I cohesive crack model ................... 92 4.2.2 Improved mixed-mode cohesive crack model ........... 95 4.2.3 Stress-based crack criterion .................... 102 4.2.4 Energy-based criterion using Virtual Crack Extension ....... 103 4.2.5 Crack direction criteria ....................... 105 4.3 Crack growth algorithm ........................... 108 4.3.1 Representation of moving discontinuities ............. 108 4.3.2 Adaptive coupling with finite elements .............. 111 4.4 Modeling of the bond behavior in reinforced concrete ........... 113 4.5 Examples .................................. 115 4.5.1 Application of VCE technique for Mode-I cracking ........ 115 4.5.2 Verification of coplanar VCE method for mixed-mode cracking . 118 4.5.3 Verification of improved mixed-mode cohesive crack model ... 120 4.5.4 Mode-I problem: Three-point bending beam with initial crack .. 122 4.5.5 Mode-I problem: Wedge splitting tests on dam concrete ..... 128 iii 4.5.6 Investigation of L-shaped panel .................. 130 4.5.7 Four-point single edge-notched shear beam ............ 133 4.5.8 Reinforced four-point bending beam ................ 135 5 Modeling of uncertainties 137 5.1 Introduction to random variables ...................... 139 5.1.1 Random variables .......................... 139 5.1.2 Random vectors .......................... 141 5.2 Random fields ................................ 143 5.2.1 Properties .............................. 143 5.2.2 Discretization ...........................

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