Universidade Federal Do Rio Grande Do Norte Centro De Ciências Exatas E Da Terra Departamento De Física Teórica E Experimental Programa De Pós-Graduação Em Física

universidade federal do rio grande do norte centro de ciências exatas e da terra departamento de física teórica e experimental programa de pós-graduação em física

ESTUDO DA TOPOLOGIA DE MICROLENTES GRAVITACIONAIS E A DESCOBERTA DE EXOPLANETAS DO TIPO TERRA NA ZONA HABITÁVEL

Leandro de Almeida

natal-rn 2017 Leandro de Almeida

ESTUDO DA TOPOLOGIA DE MICROLENTES GRAVITACIONAIS E A DESCOBERTA DE EXOPLANETAS DO TIPO TERRA NA ZONA HABITÁVEL

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teó- rica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de mestre em Física.

Orientador: Prof. Dr. José Dias do Nascimento Jr.

natal-rn 2017

Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Sistema de Bibliotecas – SISBI Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede

Almeida, Leandro de. Estudo da topologia de microlentes gravitacionais e a descoberta de exoplanetas do tipo Terra na zona habitável / Leandro de Almeida. - 2017. 101f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Física Teórica e Experimental, Programa de Pós- Graduação em Física. Natal, RN, 2017. Orientador: José Dias do Nascimento Júnior.

1. Microlentes gravitacionais - Dissertação. 2. Exoplanetas - Dissertação. 3. Detecção - Dissertação. I. Nascimento Júnior, José Dias do. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 524.3:520.3 À minha família i Agradecimentos

• Agradeço em primeiro lugar à minha querida mãe Lúcia, por todo o suporte emoci- onal e físico nesses 5 anos longe de casa que me trouxeram até aqui.

• Ao meu orientador, Dr. José Dias do Nascimento Jr. pelos aconselhamentos e por me guiar durante essa jornada que foi escrever essa dissertação.

• Ao Professor e bom amigo João Leão, pelas críticas construtivas e pelo apoio que vem desde a graduação.

• Aos meus colegas da pós-graduação de física da UFRN e aos muitos cafés que to- mamos. E também à todos os meus companheiros e companheiros do Grupo de Estrutua e Evolução Estelar (GE3).

• Ao meu querido irmão Martin Cruisk por todas as discussões cientíﬁcas e momentos de ping = 10ms . E também ao outro irmão Juninho por mais 1 ano de café e arroz (com cebola dessa vez).

• À linda Alexia Thamy pelo companheirismo e principalmente pelos ótimos debates (e os muitos jantares gourmet que inventamos).

• À minha amiga Mariana e ao meu amigo Apollo por esses mais de 10 anos de muitos papos e aventuras.

• À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio ﬁnanceiro.

i Eu não quero acreditar, eu quero conhecer.

Carl Sagan Resumo

Na última década, o número de exoplanetas descobertos cresceu exponencialmente, principalmente devido as observações realizadas pela missão Kepler e K2, que no ano de 2016, anunciou 1284 planetas confirmados de uma só vez. Estas descobertas foram feitas utilizando o método de trânsito planetário, que não possui sensibilidade para planetas de baixa massa muito distantes de suas estrelas. A maioria destas descobertas apresentam planetas gigantes com órbitas próximas às suas estrelas. Por outro lado, a técnica de detecção através de microlentes gravitacionais é sensível à planetas de baixa massa em órbitas de 0.5 AU até 10 AU. Esta técnica pode detectar planetas em estrelas de baixa luminosidade pois, depende apenas do campo gravitacional combinado da estrela-planeta, o que seria difícil para as outras técnicas que dependem da luz emitida pela estrela. Até o momento, foram descobertos 47 planetas através desta técnica, que é uma quantidade relativamente pequena comparada com os outros métodos. Nesta dissertação mostramos de maneira detalhada as equações por detrás da teoria de microlentes gravitacionais e suas aplicações na detecção de planetas de baixa massa. Nos focamos na caracterização e análise de sistemas com topologia fechada, em que o planeta tem entre 10−5 e 10−6 da massa da estrela e com seu semi-eixo maior em torno de 1 AU, que são sistemas com carac- terísticas de massa e distância parecidos com o sistema Sol-Terra. Também apresentamos uma sugestão de parametrização para o parâmetro de impacto µ0 e o ângulo de impacto α de forma a reduzir o tempo de busca em curvas de luz geradas a partir de sistemas com topologia fechada. Apresentamos ainda os principais passos para o desenvolvimento de dois códigos que utilizam o método semi-analítico de resolução da equação da lente e o método de simulação por força bruta "Inverse Ray Shooting"(IRS) respectivamente. Esses códigos simulam a topologia e curva de luz de eventos de microlentes gravitacionais, e foram usados para produzir todas as figuras e gráficos apresentados nesta dissertação. Ao final, demonstramos a capacidade do modelo semi-analítico na simulação de curvas teóricas e comparamos essas curvas com eventos reais de microlentes gravitacionais. Palavras-chave: Microlentes Gravitacionais, Exoplanetas, detecção.

iii Abstract

In the last decade, the number of exoplanets discovered has grown exponentially, mainly due to Kepler observations which, along with observations of the K2 mission, announced the discovery of 1284 planets at once in 2016. These discoveries were done using the planetary transit method, which has low sensitivity for low-mass planets far away from their stars. Thus most of the discoveries of giant planets was of orbits close to their stars. In contrast, the gravitational microlensing technique is sensitive to low-mass planets orbiting between 0.5 AU and 10 AU. Because it depends only on the combi- ned gravitational ﬁeld of the star-planet, this technique can detect planets around low brightness stars, which would be diﬃcult for other techniques that depend on star emitted light. Until now, astronomers have discovered 47 planets through this technique, which is relatively low number, when compared to the other methods like transit and radial velocity. In this dissertation we show in detail the equations behind the gravitational microlensing theory and its applications to detect distant low-mass planets. We focus on the characterization of systems with closed topology, where the planet has between 10−5 and 10−6 of the mass of the star and with a semi-major axis about 1 AU (planet with Earth-like mass around 1AU of a star with Sun-like mass). We also present a sugges- tion of parameterization for the impact parameter µ0 and the impact angle α in order to reduce the search time consuming for light curves generated from systems with close topology. We present the main steps for the development of two algorithms that use the semi-analytical method of solution of the lens equation and the brute force of simula- tion method Inverse Ray Shooting (IRS) respectively. These codes simulate the topology and light curve of microlensing events, and were used to simulate our systems presen- ted in this dissertation. As a main result, we demonstrate the hability of the model to generate theoretical curves and compared these light curves with real microlensing events.

Keywords: Gravitational Microlensing, Exoplanets, Detection

iv Lista de Figuras

1.1 Planetas descobertos por método por ano...... 3

2.1 Diagrama do caminho da luz...... 9 2.2 Diagrama da luz Detalhe...... 9 2.3 Anel de Einstein...... 10 2.4 Diagrama Luz Offset...... 11 2.5 Diagrama da luz Offset detalhe...... 12 2.6 Projeção das imagens...... 13 2.7 Projeção das imagens 2...... 14 2.8 Diagrama de Magnificação Single Lens...... 15

2.9 Magniﬁcação de M± ...... 15 2.10 Trajeto da fonte para lente singular...... 18 2.11 OGLE-2012-BLG-0371...... 20 2.12 Parametrização do trajeto da fonte para n lentes...... 24

3.1 Distribuição de pontos randômicos...... 35 3.2 Tipos de Distribuição...... 36 3.3 Mapa de Magnificação Randômico...... 37 3.4 Mapa de Magnificação de Vogel...... 37 3.5 Mapa de Magnificação para várias Curvas de Luz...... 38

4.1 Imagens formadas para n = 1 ...... 40 4.2 Trajetória das imagens para n = 1 ...... 41 4.3 Topologia de sistema binário...... 42 4.4 Trajeto das Imagens para n = 2...... 42 4.5 Paridade das imagens ao cruzar a linha da caustica...... 43 4.6 Topologia geral de sistemas binários A...... 44 4.7 Topologia geral de sistemas binários B...... 45 4.8 Topologias aberta, ressonante e fechada...... 45

v LISTA DE FIGURAS

4.9 Topologia de um sistema aberta...... 46 4.10 Topologia de um sistema aberta com q < 1 ...... 47 4.11 Topologia fechada de um sistema...... 48 4.12 Topologia de um sistema fechada (s << 1) ...... 49 4.13 Topologia de um sistema ressonante A...... 50 4.14 Topologia de um sistema ressonante B...... 50 4.15 Degenerescência do trajeto...... 51 4.16 Curva de luz com detecção de planeta...... 52 4.17 Topologia e Região de Interesse para q << 1 ...... 53 4.18 Evolução da área de inﬂuência com s ...... 56

4.19 Diagrama µ0 x α ...... 57 4.20 Curvas de Luz de um sistema de topologia fechada...... 58

5.1 Curva de Luz OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53...... 63 5.2 Modelo OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53...... 63 5.3 Mapa de Magniﬁcação OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53.... 64 5.4 Curva de Luz OGLE-2011-BLG-0265Lb...... 65 5.5 Modelo OGLE-2011-BLG-0265Lb...... 65

D.1 Distribuição de Vogel...... 82

vi Lista de Tabelas

E.1 Planetas Descobertos a Partir de Microlentes Gravitacionais...... 84

vii Conteúdo

Agradecimentosi

Resumo iii

Abstract iv

Lista de Figuras vi

Lista de Tabelas vii

Conteúdo ix

1 Introdução1 1.1 Métodos de detecção de planetas...... 2 1.1.1 Velocidade radial...... 3 1.1.2 Astrometria...... 4 1.1.3 Trânsito...... 4 1.2 O princípio das lentes gravitacionais...... 5

2 Microlentes Gravitacionais7 2.1 O ângulo de deflexão da Luz...... 7 2.2 Raio de Einstein...... 8 2.3 A equação da lente (singular)...... 10 2.4 Magnificação pontual e dependência temporal...... 14 2.5 Múltiplas lentes (notação complexa)...... 20 2.6 Magnificação para sistemas múltiplos...... 21 2.7 Trajeto da fonte para múltiplas lentes...... 23

3 Soluções da Equação da lente 25 3.1 Resolução semi-analítica...... 25 3.1.1 A equação da lente para o caso n = 2 ...... 29

viii CONTEÚDO

3.1.2 Curvas críticas e causticas...... 31 3.2 Inverse ray shooting ...... 34 3.2.1 Tipos de Distribuição...... 34

4 Topologia e Região de Interesse 39 4.1 Fonte ﬁnita para o caso de n = 1 ...... 39 4.2 Imagens e causticas para o caso de n = 2 ...... 41 4.3 Curvas críticas e causticas...... 44 4.3.1 Sistemas abertos ou (wide)...... 46 4.3.2 Sistemas fechados ou (close)...... 47 4.3.3 Sistemas ressonantes...... 49 4.4 Regiões de interesse...... 51

4.4.1 Parametrização de α e µ0 ...... 53 4.4.2 Curvas de luz de sistemas com topologia fechada...... 57

5 Modelização de Sistemas Reais 59 5.1 Modelização...... 59 5.1.1 O algoritmo TedLens...... 60 5.2 Simulação de sistemas reais...... 62 5.2.1 OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53...... 62 5.2.2 OGLE-2011-BLG-0265Lb...... 64

6 Conclusões e Perspectivas 66

Referências bibliográﬁcas 68

A Jacobiano 72

B Deﬂexão da Luz (Relatividade) 75

C Polinômio da Lente 77

D Método de Vogel 81

E Exoplanetas Descobertos com Microlentes Gravitacionais 83

F Estrutura e Utilização do Código TedLensAn 85

ix Cap´ıtulo 1 Introdução

"O maior inimigo do conhecimento não é a ignorância, mas sim a ilusão do conhecimento."

Stephen Hawking

Há 50 anos, a possibilidade da existência planetas em outras estrelas, que não o Sol, era assunto de ﬁcção cientíﬁca para a maioria das pessoas. A descoberta dos primeiros planetas nos anos 90, mudou o nosso entendimento sobre o tema e sepultou o pensamento de que somos especialmente privilegiados, apesar dos poucos planetas descobertos apre- sentarem pouca semelhança com o nosso sistema (orbitas muito próximas de suas estrelas, curto período e massas da ordem da massa de Júpiter). Temos hoje um catálogo de mais de 3.000 planetas1 orbitando os mais variados tipos de estrelas e com órbitas e caracterís- ticas bem diferentes do nosso sistema Solar. Sabemos hoje que, planetas gigantes podem migrar para mais próximo da estrela e podem apresentar órbitas variadas assim como suas massas (Michtchenko et al., 2013). Saímos de uma era do pensamento de Giordano Bruno que defendia: "deve haver outros planetas por ai... certo?"para um novo paradigma "é provável que haja mais planetas do que estrelas no nosso universo"(Muirhead et al., 2012).

Imaginando um universo recheado de planetas, das mais diversas massas, composições, órbitas e períodos, esperamos que, pelo menos uma parcela desses, seja de planetas do tipo terrestre, ou seja, estejam em torno de 1 AU de uma estrela com características parecidas com a do Sol, tenham a mesma massa, tamanho e composição da terra. Atualmente existe uma série de características que precisam ser checadas para classiﬁcarmos um exoplaneta como sendo do tipo "terrestre". Como proposto por Schulze-Makuch et al.(2011), pri-

1http://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/

1 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO meiro teríamos que considerar o índice de similaridade terrestre ESI 2, que nos permite filtrar características tais como massa, raio e temperatura, além da distância do exoplaneta até sua estrela. Depois precisaríamos classificar os exoplanetas segundo o índice de habitabilidade PHI 3 que classifica os exoplanetas segundo a energia disponível, a química e composição do planeta e a capacidade de manter certas substâncias líquidas. Todas essas características dependem do primeiro parâmetro, ESI, que classifica um primeiro grande grupo de exoplanetas similares à terra. As técnicas de detecção utilizadas hoje, trabalham em conjunto para fornecer dados tais como massa, raio e período necessários para a classificação ESI, e nesse contexto, cada técnica possui especializações e limitações, que juntas estabelecem o conjunto estatístico de planetas que temos hoje.

1.1 Métodos de detecção de planetas

Atualmente, temos seis principais técnicas de detecção de exoplanetas que podem ser divididas em 2 categorias, são elas detecção direta e detecção indireta. Sem dúvida, a maneira mais difícil de detectar um planeta fora do sistema solar é diretamente, pois a luz da estrela é milhares de vezes mais brilhante do que a maior porção de luz que um planeta pode refletir. É como tentar enxergar um vagalume ao lado de um farol de sinalização de barcos. A grande maioria dos exoplanetas detectados até hoje, foram descobertos por técnicas indiretas como velocidade radial, transito planetário, pulsar timing, microlentes gravitacionais e astrometria. No dia 10 de maio de 2016, a NASA publicou, de uma só vez, a descoberta de 1284 exoplanetas que haviam sido colocados em status de candidatos no ano de 2015 (Morton et al., 2016). A figura 1.1 mostra a quantidade de exoplanetas descobertos por método em função do ano. No primeiro quadro da figura 1.1 aparece a quantidade de exoplanetas descobertos por ano das principais técnicas de detecção. O quadro da direita mostra em detalhe apenas os métodos de microlente gravitacional, imagem direta, pulsar e astrometria.

Como o objetivo desta dissertação é o estudo da técnica de microlentes gravitacionais, falaremos resumidamente sobre alguns dos métodos indiretos, e maiores informações podem ser encontradas nas referências no ﬁnal do manuscrito.

2ESI do inglês: Earth Similarity Index 3PHI do inglês: Planetary Habitability Index

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

1400 25

Transito 1200 MicrolensingMicrolentes Velocidade Radial 20 1000 MicrolensingMicrolentes Imagiação Imagiação 15 Pulsar 800 Pulsar Astrometria Astrometria 600 10 400 5 200

0 0 1988 1995 2002 2009 2016 1988 1995 2002 2009 2016

Figura 1.1: Distribuição de descobertas de exoplanetas por ano por cada técnica de detecção. Dados retirados de: http://exoplanetarchive.ipac.caltech.edu/

1.1.1 Velocidade radial

A técnica de velocidade radial depende, em sua essência, do efeito Doppler da luz. Se observarmos uma estrela que não esteja conectada gravitacionalmente com nenhum outro corpo, o espectro da sua luz será sempre4 o mesmo. Mas se a estrela for uma binária ou tiver um planeta, ambos orbitarão o centro de massa do sistema, ou seja, a estrela também sofre um movimento orbital. Podemos inferir esse movimento da estrela analisando o efeito Doppler sofrido por sua luz. Analisando radialmente, quando o espectro se desloca para o vermelho a estrela está se afastando e quando se desloca para o azul, está se aproximando de nós. Analisando cuidadosamente essa variação no espectro, sabendo a inclinação do sistema em relação a nossa linha de visada, podemos determinar o tamanho da órbita estelar e assim determinar a massa relativa do planeta e a sua distância até a estrela. Como a interação entre a estrela e o planeta acontece gravitacionalmente, é mais fácil detectar planetas com grande massa que resultam maiores amplitudes na variação da velocidade radial da estrela. Quanto mais curta for a órbita do planeta, mais fácil ele será detectado, já que o período será menor e podemos detectar várias órbitas em menos tempo. O primeiro planeta a ser descoberto com essa técnica foi detectado em 1988 por Campbell et al.(1988) que identiﬁcou variações na velocidade residual de um sistema binário, mas atribuiu essas variações à atividade estelar. A descoberta do planeta veio a ser conﬁrmada 15 anos depois por Hatzes et al.(2003). O primeiro planeta descoberto em torno de uma estrela do tipo Solar foi detectado utilizando esta técnica por Mayor & Queloz(1995). Este planeta, nomeado de 51 Peg b, orbita uma estrela análoga Solar na sequência principal chamada de 51 Pegasi (abreviada como 51 Peg) localizada à 50 anos luz de nosso Sol na constelação de Pegasus.

4Se a estrela está se distanciando ou aproximando de nós, por seu movimento orbital em torno da galáxia, apresentará também efeito Doppler, porém não irá variar. O espectro de uma estrela pode variar por outros motivos que não sejam o efeito Doppler

3 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

1.1.2 Astrometria

Uma outra maneira de tirar vantagem do fato de que planetas afetam o movimento de suas estrelas é utilizando o método da Astrometria. Este método consiste em analisar a variação da posição da estrela em relação à outras estrelas. A ideia então é a mesma da velocidade radial, relacionar o movimento da estrela com um proposto planeta que causa esse movimento por interação gravitacional. Este método não é muito eﬁciente pois depende de instrumentos extremamente precisos e até o presente momento apenas 1 planeta foi detectado usando esta técnica (Muterspaugh et al., 2010).

1.1.3 Trânsito

Imaginando uma situação parecida com o caso de velocidade radial, mas que o plano do sistema estelar esteja quase que perfeitamente alinhado com a nossa linha de visada. Quando o planeta passar em frente à estrela, o brilho aparente irá diminuir de uma quantidade relativa ao tamanho do planeta. Esse é o método do Transito, em que o que é analisado é a variação do brilho da estrela. Este método foi descrito detalhadamente pela primeira vez por Rosenblatt(1971) com uma visão um tanto otimista para as possíveis detecções. Posteriormente Borucki & Summers(1984) descreveram taxas de detecções mais realistas. Podemos ilustrar este método lembrando do transito de mercúrio que aconteceu no dia 9 de maio de 2016 em que o primeiro planeta do nosso sistema solar passou entre a Terra e o Sol, causando uma pequena diminuição no brilho solar. Se ﬁzermos um gráﬁco da curva de luz de um transito planetário, veremos uma pequena queda na magnitude aparente da estrela observada. Analisando a profundidade e a extensão dessa curva, podemos inferir propriedades do corpo que está causando essa variação. Grandes planetas bloqueiam uma maior parcela da luz da estrela, então eles criam quedas mais profundas na curva de luz da estrela. Quanto mais longe estiver o planeta, mais tempo ele demorará para eclipsar a estrela e então maior será a extensão da variação na curva. Está técnica detecta mais facilmente planetas gigantes com órbitas próximas de suas estrelas pois, quanto maior o planeta, maior será a profundidade da variação na curva de luz, e quanto menor for a distância, menor será o período, possibilitando o registro de várias órbitas em pouco tempo. Uma das principais desvantagens desse método é que o planeta tem que estar alinhado com a nossa linha de visada no momento do trânsito e quanto maior for a órbita desse planeta, menor será a probabilidade de haver esse alinhamento. Para um planeta do tamanho de Júpiter em uma órbita 20 vezes menor do que a órbita da terra ou seja, com período orbital de 4 dias, a probabilidade de um alinhamento com nossa linha de visada seria de 10%, já para o caso de um planeta do tamanho da Terra, na distancia em que estamos, a probabilidade seria de 0.5% (Horne, 2002).

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1.2 O princípio das lentes gravitacionais

O fenômeno de lentes Gravitacionais foi descrito corretamente pela primeira vez por Einstein(1936) em seu artigo intitulado "Lens-like action of a star by the deviation of light in the gravitational field" (A ação do tipo lente de uma estrela pelo desvio da luz em seu campo gravitacional) que descrevia algumas consequências devido ao desvio da luz ao passar por objetos de muita massa (desvio esse teorizado em sua teoria da relatividade geral) como: múltiplas imagens de um mesmo objeto astronômico localizado atrás de outro de muita massa; e se os dois objetos estivessem perfeitamente alinhados na linha de visada, veríamos a formação de um anel. Mas o próprio Einstein deixou claro que esse tipo de fenômeno nunca poderia ser observado diretamente. Historicamente, essa não foi a primeira vez que algo havia sido escrito sobre esse fenômeno. O primeiro registro que se tem para a deflexão da luz devido à gravidade data de 1804 em um artigo de Soldner (1804) intitulado “On The Deflection Of Light Ray From Its Straight Motion Due To The Attraction Of A World Body Which It Passes Closely” (Sobre a deflexão do movimento retilíneo de um raio de luz devido à atração sofrida ao passar próximo de um corpo). Uti- lizando mecânica clássica Soldner chega em um valor de 0.84 segundos de arco de deflexão para um raio de luz que passasse próximo ao Sol. Em 1911 Einstein, sem saber dos valores encontrados por Soldner, escreveu uma concisa descrição de uma das mais importantes consequências da deflexão da luz, a possibilidade da existência de lentes gravitacionais (Einstein, 1911). Einstein chegou independentemente ao mesmo valor que Soldner para a deflexão da luz passando perto do Sol.

A primeira tentativa observacional de testar a previsão de Einstein para a deflexão de um raio de luz passando perto do Sol seria em 1914 durante um eclipse solar. Mas essa observação nunca aconteceu. Após completar sua teoria Geral da Relatividade, Einstein refez seus cálculos e chegou no valor correto para a deflexão que é discutido no capítulo 2 deste manuscrito. Essa deflexão da luz é a base do que foi denominado "teoria de lentes gravitacionais"(Blandford & Kochanek, 1987) e hoje, astrônomos utilizam as ideias de lentes gravitacionais no chamado método de microlentes gravitacionais para detectar planetas orbitando estrelas distantes, que não são possíveis de detectar com as outras técnicas mencionadas anteriormente.

Em suma, podemos dizer que das diversas técnicas existentes, a técnica de microlentes gravitacionais é a mais sensível em relação a massa do planeta. É também a única técnica que permite a detecção em sistemas distantes de nós (20 mil anos luz) e como todas as outras técnicas, também tem suas desvantagens e limitações. Eventos de microlente gravitacional, por si só, já haviam sido detectados diversas vezes e o potencial na detecção de exoplanetas já era conhecido, porém foi somente no ano de 2003 que os grupos Optical

5 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Gravitational Lensing Experiment (OGLE) e Microlensing Observations in Astrophysics (MOA) (Bond et al., 2004) conﬁrmaram pela primeira vez a presença de um planeta gi- gante com semi-eixo maior de 4.3 AU em torno de uma estrela do tipo espectral K no evento OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53 utilizando esta técnica. Apresentamos no ApêndiceE todos os exoplanetas descobertos até julho de 2016 utilizando esta técnica.

Nesta dissertação exploramos a teoria de microlentes gravitacionais e sua utilização na detecção de planetas e especiﬁcamente na detecção de planetas de baixa massa orbitando estrelas de massa Solar. Algumas técnicas de análise e modelos foram desenvolvidos no processo desta dissertação e são produto ﬁnal do trabalho realizado durante o mestrado. Aplicando a teoria e equações demonstradas nesta dissertação, produzimos dois códigos que simulam os sistemas de microlentes gravitacionais por completo, e analisamos a topologia dos sistemas simulados em comparação com dados reais.

6 Cap´ıtulo 2 Microlentes Gravitacionais

"Tudo que sabemos sobre física é apenas uma boa aproximação de como o universo realmente funciona"

Anônimo

Como já mencionado anteriormente, a técnica de microlentes gravitacionais relaciona a ampliﬁcação aparente da luz de uma estrela com o efeito de lente criado pela passagem de um outro objeto massivo entre a linha de visada do observador e a estrela. Este efeito é causado pela deﬂexão da luz ao passar por objetos de muita massa. Analisando cuidadosamente as curvas de luz geradas por esses eventos, podemos detectar a presença de exoplanetas orbitando tais objetos. Neste capítulo faremos uma revisão dos fundamentos da teoria de microlentes gravitacionais.

2.1 O ângulo de deﬂexão da Luz

Com sua publicação da Teoria da Relatividade Geral em 1915, Einstein derivou cor- rentamente a deflexão de um raio de luz que passa por um objeto de massa M à uma distância r, chegando a conclusão que a deflexão da luz que passasse próxima ao Sol seria de 1.74 segundos de arco. Em 1919, o astrônomo Eddington confirmou esse valor durante a observação de um eclipse total solar registrado no sul da África (Eddington, 1919). Apesar da simplicidade da eq. 2.1, sua derivação não é trivial e exige entendimento da teoria da relatividade geral que é apresentado no ApêndiceB, onde temos que a deflexão da luz é dada por:

4GM ∆φ = (2.1) c2R 7 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

Onde, M é a massa do Sol expressa em gramas e R é o raio do Sol expresso em 33 10 centímetros. Sabendo que M = 1.99 × 10 gramas (Williams, 2013) e R = 6.96 × 10 centímetros (Haberreiter et al., 2008), podemos calcular a deﬂexão que um raio de luz sofreria passando rente ao Sol. Este valor seria de 1.75 segundos de arco.

2.2 Raio de Einstein

Na relatividade geral de Einstein, o campo gravitacional em volta de um objeto massivo pode ser descrito em termos do raio de Schwarzschild RS. Este valor deﬁne o tamanho do "horizonte de eventos"de um buraco negro de massa M. O raio de Schwarzschild é diretamente proporcional à massa do objeto e não depende de nenhum outro valor variável e, basicamente é a distância a partir do centro de massa do objeto em que nem mesmo a luz conseguiria escapar. A equação que descreve esse raio é:

2GM R = , (2.2) S c2

onde G é a constante Gravitacional e c é a velocidade da luz. Qualquer objeto físico observável deve ter o RS menor do que seu tamanho pois, se não, todo o seu conteúdo estaria dentro do RS e nada conseguiria sair, ou seja, um buraco negro. Por exemplo, o

Sol possui um RS de apenas 3 km. Podemos usar a eq. 2.1 vista na última seção para mostrar que, um raio de luz de uma estrela distante (fonte) que passa próxima à linha de visada entre o observador e outra estrela (lente) no meio do caminho, terá seu caminho deﬂetido por um ângulo α dado por:

2R α = S , (2.3) rE

valor este que é igual ao da eq. 2.1.

Como vimos na seção anterior, os ângulos trabalhados em eventos de microlentes gravitacionais são muito pequenos, então podemos usar a aproximação da forma tan θ ' θ. Assim, a partir da ﬁgura 2.1 podemos concluir que:

r r tan θ = E ⇒ θ ' E (2.4) DL DL

8 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

Figura 2.1: Os raios de luz são emitidos a partir da fonte deﬁnida como S e passam pela lente (L) fazendo um ângulo θ com o observador à esquerda. DL é a distância do observador até a lente L, DS é a distância do observador até a fonte S e (DS − DL) é a distância entre a lente L e a fonte S. α é a deﬂexão sofrida pela luz ao passar à uma distância rE da lente L.

Analisando a ﬁgura 2.2, vemos que α = θ + ϕ e que ϕ = rE/(DS − DL). Usando esses dois valores, podemos encontrar outra expressão para α na eq. 2.3:

r r α = E + E (2.5) DL DS − DL

r D α = E S (2.6) D (D − D ) Figura 2.2: Diagrama da proje- L S L ção do caminho da luz provinda Se igualarmos as equações 2.6e 2.3, teremos: da fonte S fazendo um ângulo ϕ com rE

2R r D S = E S , (2.7) rE DL(DS − DL)

e encontrando a solução para rE, temos,

2 rEDS 2 DL 2RS(DS − DL) = ⇒ rE = 2RS (DS − DL) (2.8) DL DS

9 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

Figura 2.3: Formação do anel de Einstein devido a lente e a fonte estarem perfeitamente alinhadas. O painel da esquerda mostra a formação do anel vetorizado enquanto que o painel da direita mostra uma simulação da formação do anel com um mapa de magniﬁcação de grade igual à 500 pixels quadrados.

r DL rE = 2RS (DS − DL) (2.9) DS

onde rE é o raio do anel que se formaria se a fonte e a lente estivessem perfeitamente alinhadas. Desta forma veríamos a formação de um anel como na ﬁgura 2.3.

Podemos substituir a eq. 2.9 em θ = rE/DL para chegar no ângulo de Einstein:

r 2RS θE = (DS − DL) (2.10) DLDS

2.3 A equação da lente (singular)

Para que a técnica de microlentes gravitacionais possa ser aplicada de maneira geral, temos que analisar o caso em que a fonte e a lente estão desalinhadas, pois como as estrelas em nossa galáxia estão em constante movimento, o alinhamento perfeito entre fonte, lente e observador é um evento relativamente raro. A seção anterior tratou da geometria de um sistema em que a fonte e a lente estavam perfeitamente alinhadas com o observador, gerando assim um anel de Einstein com raio dado pela eq. 2.9. Agora vamos analisar

10 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS o caso de um sistema em que a fonte e a lente estão desalinhadas com o observador por uma distância aparente s com ângulo aparente relativo β.

Figura 2.4: Diagrama do caminho da luz se a lente e a fonte têm uma separação aparente s com ângulo aparente relativo β.

A figura 2.4 mostra os angulos de deflexão α+ e α− que possuem valores diferentes relativos ao ângulo β que é relativo à distância de separação aparente s entre a lente e a fonte. Quando o sistema se encontra fora de alinhamento, teremos a formação de duas imagens I+ e I− que são as estrelas superior e inferior respectivamente na figura 2.4.

Analisando a ﬁgura 2.5 vemos que podemos reescrever α = θ + ϕ com θ = r/DL.

Assim chegamos aos valores β = s/DS, s = βDS, h = r − s e ϕ = h/(DS − DL), ou seja:

r − βD ϕ = S . (2.11) DS − DL

Sabendo que α = θ + ϕ e substituindo θ por r/DL, chegamos em:

r r − βD α = + S . (2.12) DL DS − DL

Igualando as equações 2.12e 2.3 e voltando que r = θDL, isolando β, chegamos em:

11 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

Figura 2.5: Diagrama do caminho da luz se a lente e a fonte têm uma separação aparente s com ângulo aparente relativo β. Decomposição de r em h e s

2 θ DSDL θDSDLβ 2RS = − (2.13) DS − DL DS − DL

2RS 1 β = θ − (DS − DL) . (2.14) DSDL θ

2 Utilizando a eq. 2.10, vemos que 2RS(DS − DL)/(DLDS) na eq. 2.14 é igual à θE , portanto,

θ2 β = θ − E , (2.15) θ

esta equação é conhecida como a equação da lente.

A equação da lente pode ser usada para determinar a posição da fonte uma vez que se saiba as posições das imagens porém, em geral estamos interessados em resolver o problema contrário, que consiste em encontrar as posições das imagens quando se sabe a posição da fonte. Podemos rearanjar a eq. 2.15 na forma de um polinômio de segundo grau e encontrar duas soluções para os valores de θ+ e θ−.

12 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

2 2 θ − βθ − θE = 0, (2.16)

r β β2 θ = ± + θ2 . (2.17) ± 2 4 E

onde θ± é o ângulo que as imagens I± fazem com a origem do sistema dependente de β. Analisando a ﬁgura 2.6 em relação à ﬁgura 2.4, podemos substituir s = β/θE e r = θ/θE e chegar em uma equação reduzida da lente singular, da forma

1 s = r − ., (2.18) r

que, por sua vez, terá soluções: Figura 2.6: Projeção das imagens I± se a lente e a fonte estão r s s2 desalinhadas por um fator s. r = ± + 1, (2.19) ± 2 4

onde essas duas soluções retornam a distância entre as duas imagens I± até a origem do sistema.

Para encontrarmos as reais posições de I± em coordenadas cartesianas, precisamos parametrizar a posição da fonte em relação à s. A partir da ﬁgura 2.7, podemos ver que:

2 2 2 s = xS + yS, (2.20)

q 2 2 s = xS + yS. (2.21)

Substituindo a eq. 2.21 na eq. 2.19, chegamos em uma expressão para as imagens em coordenadas cartesianas, onde

r px2 + y2 x2 + y2 r (x , y ) = S S ± S S + 1. (2.22) ± S S 2 4

13 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

Figura 2.7: Projeção das imagens I± se a lente e a fonte estão desalinhadas por um fator s. r± são as distâncias das imagens até a lente. A ﬁgura na direita mostra uma parametrização em coordenadas cartesianas

2.4 Magniﬁcação pontual e dependência temporal

As duas imagens encontradas na eq. 2.19 contribuem com a luz total recebida pelo observador, e essa contribuição é diretamente proporcional às suas áreas. A deflexão sofrida pela luz provinda da fonte não altera as propriedades do brilho da mesma. Se considerarmos a fonte como um disco aparente de brilho uniforme, a magnificação causada pela lente será a razão entre a área total das imagens e a área da fonte. Para calcularmos as áreas das imagens, podemos analisar a figura 2.8. Em coordenadas polares, podemos calcular uma área infinitesimal da imagem na po- sição r definindo seu comprimento infinitesimal como dr e seu arco infinitesimal como rdθ. Sua área então será dA = rdrdθ. Então a área da I± será dAI± = r±dr±dθ. Da mesma maneira, a área infinitesimal da fonte será dAS = sdsdθ. A magnificação de cada elemento é então:

r dr dθ r dr M = ± ± = ± ± (2.23) ± sdsdθ sds

Para encontrarmos a razão dr±/ds a partir eq. 2.23, temos que diferenciar a eq. 2.19

14 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

Figura 2.8: Diagrama de magniﬁcação: O arco azul representa uma fração da área da fonte, os arcos vermelhos representam a fração da área das imagens à distância r± em relação à variável s e substituirmos o valor de volta na eq. 2.23, a derivada das soluções em relação a s é:

√ dr s ± s2 + 4 ± = √ , (2.24) ds 2 s2 + 4

de forma que se substituirmos os valores da eq. 2.24 de volta na eq. 2.23, teremos as magniﬁcações relativas das imagens positiva e negativa.

1 s2 + 2 M+ = + √ , (2.25) 2 2s s2 + 4

Figura 2.9: O primeiro quadro mostra a evolução 1 s2 + 2 de M+ delimitado pelo limite inferior 1 no eixo x. M− = − √ . (2.26) 2 2s s2 + 4 O segundo quadro mostra a evolução da equação de M− (A curva em vermelho representa o módulo para O primeiro quadro da ﬁgura s > 0).

15 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

2.9 mostra o comportamento da eq. 2.25. Se avaliarmos somente as soluções em que s > 0, teremos a solução da curva que compreende somente o primeiro quadrante da figura. Fazendo um limite da eq. 2.25 com s tendendo ao infinito, teremos uma conver- gência para o valor 1, ou seja, se a fonte encontra-se suficientemente distante da lente, a razão entre a área da imagem I+ e a área da fonte será 1 e como só é detectado a imagem, não haverá magnificação real. Por outro lado, se s se aproxima de 0, a função diverge para magnificação infinita. O segundo quadro da figura 2.9 mostra o comportamento da eq. 2.26, com a linha azul representando os valores da magnificação para −∞ < s < +∞. Como estamos interessados nos valores absolutos de magnificação, devemos multiplicar a eq. 2.26 por (−1) e calcular a curva somente para s > 0, o que nos gera uma curva que vem do infinito em s com zero magnificação, e vai até 0 também em s com magnificação infinita (curva vermelha no segundo quadro da figura 2.9). Ou seja, quando se trata da imagem de paridade negativa I−, a razão entre sua área e a área da fonte será zero se a fonte estiver muito longe da lente, e será infinita se s = 0. Para calcularmos a mag- nificação total devido a soma das razões entre as áreas das imagens e a fonte, devemos considerar apenas o módulo de M+ e M−. Como M+ sempre será positivo para s > 0, precisamos multiplicar por (−1) a magnificação de paridade negativa relativa a I− antes de somar M±.

1 s2 + 2 1 s2 + 2 MT = |M+| + |M−| = + √ + (− ) + √ , (2.27) 2 2s s2 + 4 2 2s s2 + 4

s2 + 2 MT = |M+| + |M−| = √ , (2.28) s s2 + 4

onde MT é a magnificação total causada pelas soma das áreas das duas componentes infinitesimais das imagens. Se a fonte pode ser tratada como uma fonte pontual de luz, en- tão a eq. 2.28 também descreve a magnificação total da fonte. Vemos que a magnificação total da fonte depende somente da distância s de separação aparente entre a lente e a fonte.

A eq. 2.18 nos fornece a relação entre a posição de um ponto no plano da imagem e o seu ponto gerador no plano da fonte. Do cálculo vetorial, sabemos que se uma área infinitesimal dsdθ for mapeada no plano da fonte, sua área projetada drdθ pode ser calculada através do determinante Jacobiano. O Jacobiano especifica a mudança em uma área infinitesimal quando passa por uma dada transformação. A sua derivação para o nosso caso pode ser encontrada no apêndice A. O Jacobiano retorna a razão entre um elemento de área infinitesimal no plano da fonte dividido por sua área correspondente no plano da imagem, desta forma, para encontrar a magnificação, que é a razão entre a área

16 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS inﬁnitesimal da imagem e a seu elemento gerador fonte, fazemos o inverso do Jacobiano,

X 1 1 1 MT = = + . (2.29) |Ji| |J+| |J−| I

Mas como, no caso de uma única lente, podemos ter duas imagens, a magniﬁcação total será a soma do inverso dos Jacobianos relativos à cada imagem. A paridade da imagem é dada pelo sinal na raiz da eq. 2.19 e utilizamos o valor absoluto do Jacobiano para chegar ao valor correto positivo da magniﬁcação. Como visto no apêndice A, calculamos o Jacobiano através das derivadas parciais da equação da lente, onde

∂s ∂s ∂s ∂s J = x y − x y (2.30) ∂x ∂y ∂y ∂x

Onde sx e sy representam a equação da lente decomposta em x e y respectivamente. Para podermos proceder com as derivadas parciais, precisamos então decompor a eq. 2.18, logo

x y s = x − , s = y − (2.31) x |~r|2 y |~r|2

Agora podemos realizar as derivadas parciais necessárias para calcular o Jacobiano.

∂s 2x2 1 x = − + 1 ∂x |~r|4 |~r|4 ∂s 2y2 1 y = − + 1 ∂y |~r|4 |~r|2 ∂s 2xy x = ∂y |~r|4 ∂s 2xy y = ∂x |~r|4 Agora, inserindo os valores das derivadas na eq. 2.30, teremos:

2 2(x2 + y2) 2(x2 + y2) J = 1 − + − (2.32) |~r|2 |~r|4 |~r|6

Como (x2 + y2 = |~r|2), podemos simpliﬁcar a eq. 2.32 em:

17 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

Figura 2.10: O círculo azul representa a fonte em uma posição especíﬁca de seu trajeto representado pela linha vermelha pontilhada e a uma distancia s da fonte. Os círculos brancos são posições da fonte no decorrer do trajeto

1 J = 1 − (2.33) |~r|4

Onde ~r é a solução da equação da lente encontrada na eq. 2.19. Então, inserindo a eq. 2.19 no somatório do Jacobiano e somando as paridades + e −, MT = 1/|J+| + 1/|J+| encontramos:

1 1 M = + (2.34) T −4 −4 s q s2 s q s2 1 − 2 + 4 + 1 1 − 2 − 4 + 1

Fazendo uma análise mais cuidadosa da eq. 2.34, chegamos a conclusão que ela tem o mesmo valor da eq. 2.28 que chegava no valor da magniﬁcação a partir do cálculo vetorial. Esta igualdade é necessária pois, para o caso de uma única lente, é possível usar o método do calculo vetorial para chegar na razão entre a área das imagens e a área da fonte porém, no caso de múltiplas lentes precisamos de uma análise mais simpliﬁcada. Na próxima seção trataremos novamente do caso das razões das áreas utilizando o método do Jacobiano, mas para o caso geral de múltiplas lentes.

18 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

Considerando que os componentes do nosso sistema (fonte, lente e observador) estão todos em movimento em relação uns aos outros, seu alinhamento é temporal. O tempo de um evento de lente gravitacional em que a fonte é magniﬁcada depende do tempo em que a fonte demora para atravessar o raio angular de Einstein θE. Este tempo é conhecido como tE e depende da velocidade relativa entre os objetos e do raio angular de Einstein.

θE rE tE = = (2.35) µrel vrel

Onde µrel é a velocidade relativa entre a fonte e a lente, e vrel é a velocidade transversal aparente da fonte em relação a lente fixa na origem. O trajeto que a fonte faz no plano da lente pode ser parametrizado de acordo com a figura 2.10. O momento t0, quando a magnificação é máxima, será quando a fonte estiver na distância µ0 conhecida como

"parâmetro de impacto". A posição em que a fonte atravessa a distância rE é u(t0 + tE) e u(t0 − tE). A variação do caminho ∆u em relação ao tempo será u(t) − u(t0), e sabendo que vrel = rE/tE, teremos:

∆u = u(t) − u(t0) vrel vrel = t − t0 rE rE 1 1 = t − t0, tE tE

t − t ∆u = 0 . (2.36) tE

Usamos então o teorema de Pitágoras para encontrar a variação da distância s em relação à t, t0, tE e µ0, da forma

s 2 2 t − t0 s(t) = µ0 + . (2.37) tE

Agora, podemos então reescrever a eq. 2.28 em termos de s(t), da formma

s(t)2 + 2 MT (s) = , (2.38) s(t)ps(t)2 + 4

19 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

Figura 2.11: Exemplo da curva de luz do evento de microlente gravitacional OGLE-2012-BLG-0371. Os dados foram obtidos pelo observatório OGLE no ano de 2012 e o ajuste dos dados foram feitos usando o modelo de Paczynski(1986) nos pipelines próprios do observatório. (Graﬁco gerado automaticamente no link http://ogle.astrouw.edu.pl/ogle4/ews/2012/blg-0371.html)

2 µ2 + t−t0 + 2 tE MT (t) = . (2.39) r 2r 2 µ2 + t−t0 µ2 + t−t0 + 4 0 tE tE

Este modelo de curva de luz padrão foi deﬁnido por Paczynski(1986) e modela a maioria dos eventos de microlentes gravitacionais singulares observados. A ﬁgura 2.11 ilustra um exemplo da aplicação deste modelo.

2.5 Múltiplas lentes (notação complexa)

Na seção anterior, chegamos na equação da lente singular analisando a geometria da deﬂexão da luz ao passar por uma objeto massivo e chegamos na eq. 2.18 que é a equação da lente singular. Podemos escrever agora as mesmas equações em notação complexa para facilitar a generalização em múltiplas lentes. Se olharmos novamente para as ﬁguras 2.4

20 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

e 2.6, fazendo w = (xS, yS) correspondente à posição da fonte e z = (x, y) correspondente

às posições das imagens, temos que w = β/θE e z± = θ±/θE. Aplicando isso na eq. 2.15:

z 1 w = = z − (2.40) |z|2 z¯

Essas posições podem ser expressadas em termos de suas componentes complexas w = xS + iyS e z = x + iy, como sugerido por Witt(1990). Podemos analisar ainda, a situação de escolhemos a origem de forma que a lente se encontre agora em uma posição r da origem. Dessa forma podemos transformar as posições de w e z para w − r e z − r respectivamente. Então, sob essas transformações, a eq. 2.40 se torna:

1 w = z − (2.41) z¯ − r¯

Onde r¯ é o complexo conjugado da posição complexa da lente. Se generalizarmos então a eq. 2.41 para n lentes, temos:

n X j w = z − (2.42) z¯ − r¯ j=1 j

Onde rj é a posição da enésima lente em relação à origem, e j é a fração de massa da enésima lente de forma que a soma de todas as massas seja a massa total do sistema e igual a 1. Assim, podemos chegar na equação da lente para um sistema com duas lentes (um sistema binário ou uma estrela com um planeta):

w = z − 1 − 2 , (2.43) z¯ − r¯1 z¯ − r¯2

onde 1 e 2 são as frações de massa das duas lentes e r¯1 e r¯2 são o complexo conjugado das posições complexas das duas lentes. Schneider & Weiss(1986) foi o primeiro a considerar esta generalização para a equação binária da lente.

2.6 Magniﬁcação para sistemas múltiplos

A magniﬁcação da luz da estrela que passa por um sistema múltiplo de lentes pode ser encontrada utilizando a mesma ideia discutida no ﬁnal da seção 2.4. Lembrando que

21 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS o Jacobiano especiﬁca a variação em uma unidade de área inﬁnitesimal gerada por uma transformação. Como precisamos das derivadas parciais da equação da lente para utilizar o Jacobiano da eq. 2.30, decompomos a equação da lente geral eq 2.42 em coordenadas cartesianas sx e sy, da forma

n X x − xj s = x − , (2.44) x j |~r − ~r |2 j=1 j

n X y − yj s = y − , (2.45) y j |~r − ~r |2 j=1 j

onde, semelhante ao caso geral para uma única lente, |~r − ~rj| é a distância entre a enésima lente j e a fonte dada por:

q 2 2 |~r − ~rj| = (x − xj) + (y − yj)

Precisamos encontrar então as derivadas parciais relativas ao Jacobiano dessas equa- ções generalizadas. Fazendo as derivadas, encontramos:

n 2 ∂sx X j 2(x − xj) = − 1 + 1 ∂x |~r − ~r |2 |~r − ~r |2 j=1 j j

n 2 ∂sy X j 2(y − yj) = − 1 + 1 ∂y |~r − ~r |2 |~r − ~r |2 j=1 j j

n ∂sx X 2j(x − xj)(y − yj) ∂sy = = ∂y |~r − ~r |4 ∂x j=1 j Esta é a forma geral das derivadas parciais do Jacobiano para n lentes. Se consideramos um sistema com apenas duas lentes e voltarmos à notação complexa, podemos simpliﬁcar o Jacobiano para a forma

2 ∂w ∂w¯ ∂w ∂w¯ 1 2 J = − = 1 − 2 + 2 . (2.46) ∂z ∂z¯ ∂z¯ ∂z (z − r1) (z − r2)

Uma maneira de avaliarmos a validade deste Jacobiano, é imaginarmos um sistema em que 2 = 0, dessa forma o segundo componente da equação desaparece e então 1 = 1, colocando a lente na origem r1 = 0, o que teremos é:

22 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

1 J = 1 − (2.47) |z|4

Que é a eq. 2.33 para uma única lente na forma complexa.

Assim como no caso de uma única lente discutido na seção 2.4, para encontrarmos a magniﬁcação, precisamos inserir a solução da equação da lente no Jacobiano e fazer o seu inverso. Porém, para o caso de múltiplas lentes, a resolução da eq. 2.42 não é trivial como no caso de uma única lente. A diﬁculdade na inversão da equação é que ela se rearranja em um polinômio de n2 + 1 graus. Então, para o caso de duas lentes n2 +1 = 5, precisamos encontrar a solução de um polinômio de quinto grau, que não pode ser resolvido analiticamente. A técnica de resolução numérica das raízes desse polinômio é apresentada no capítulo3.

2.7 Trajeto da fonte para múltiplas lentes

Vimos anteriormente que para o caso de uma única lente, quando vamos definir o trajeto da fonte, precisamos apenas da distância mínima (parâmetro de impacto µ0) entre o trajeto e a lente primária (que se encontra na origem do sistema). Para o caso de múltiplas lentes, precisamos definir uma inclinação do trajeto α (ângulo de impacto). Imaginando um sistema cuja lente principal se encontra na origem (figura 2.12), a fonte fará um trajeto retilíneo com inclinação α e que deverá passar a uma distância mínima

µ0 da lente principal (na origem). Encontramos que o ponto onde o caminho cruza o eixo y é então:

23 CAPÍTULO 2. MICROLENTES GRAVITACIONAIS

푢(푡 + 푡 ) 0 퐸 푌푖

푢(푡0)

푢(푡) 휇0 휇0 훼 푠 푥푖

푢(푡0 − 푡퐸)

Figura 2.12: Parametrização do trajeto da fonte dependente de α e µ0. O quadro da direita mostra uma visão mais clara para análise trigonométrica. A reta tracejada em vermelho mostra o caminho da fonte, α é o ângulo de impacto e µ0 é a menor distância aparente entre a fonte e a lente.

µ0 µ0 cos α = ⇒ Yi = Yi cos α

A equação da reta diz que y = mx + b, onde m é tan α e b = Yi. Então podemos escrever a equação da reta parametrizada com os parâmetros α e µ0, onde

µ y = x tan α + 0 . (2.48) cos α

Podemos agora variar a eq. 2.48 em relação ao tempo característico do evento ∆u que depende de t. Assim, x(t) = cos α∆u, logo o caminho feito pela fonte parametrizado em

α, µ0, t0, tE e t será da forma

t − t µ y(t) = tan α cos α 0 + 0 . (2.49) tE cos α

Como visto anteriormente, tE é o tempo que a fonte demora para atravessar o raio angular de Einstein θE e t0 é o momento em que o caminho chega mais perto da origem e sua distância é µ0. Tendo todas essas equações em mãos, basta "simplesmente"resolver a equação da lente para n lentes e utilizar a eq. 2.49 para deﬁnir o caminho da fonte dependendo de α, µ0, t0, tE e t. No próximo capítulo, veremos como resolver a equação da lente para n lentes e particularmente a resolução para 2 lentes.

24 Cap´ıtulo 3 Soluções da Equação da lente

"A Física está se tornando muito difícil para os Físicos"

David Hilbert

O capítulo anterior apresentou a teoria geral por detrás da equação que rege o comportamento da luz ao passar por um sistemas de lentes. Vimos que para o caso de uma única lente posta na origem e uma fonte passando à uma distância s, a inversão da equação, bem como as soluções para as imagens e magniﬁcações da fonte são, de certa forma, tri- viais. Já para o caso de múltiplas lentes, precisamos de outros métodos mais soﬁsticados. Este capítulo visa discutir e apresentar os diferentes métodos de resolução da equação da lente para n lentes e particularmente a resolução para duas lentes, que seria o caso de um sistema binário com duas estrelas ou um sistema com uma estrela e um planeta.

3.1 Resolução semi-analítica

A técnica de resolução semi-analítica lida com inversão da equação da lente em um polinômio complexo, cujas soluções retornam diretamente a posição das imagens dada uma determinada conﬁguração das massas, posições das lentes e da posição da fonte. Como visto anteriormente, a inversão da eq. 2.42 gera um polinômio de grau (n2 + 1). Não existe uma solução geral analítica para a resolução das raízes de polinômios de grau maior que quatro, dessa forma um sistema de múltiplas lentes deve ser resolvido numericamente. Este método de rearranjar a equação da lente em um polinômio complexo foi demonstrado pela primeira vez para 2 lentes por Witt(1990). Em seguida Rhie(2002) desenvolveu um método para demonstrar as expressões e coeﬁcientes para o caso de três

25 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE lentes, que gera um polinômio de décimo grau. Este método pode ser generalizado para a encontrar os coeﬁcientes para quaisquer número de lentes. A seguir demonstramos tam- bém um resumo do método para n lentes baseado no método demonstrado por Chote (2011) e Miller(2013). A demonstração detalhada se encontra no ApêndiceC.

Para que seja possível escrevermos o polinômio da equação de n lentes, precisamos primeiramente escrever a eq. 2.42 sem o complexo conjugado das posições das imagens z¯. Podemos simplesmente fazer o complexo conjugado desta mesma equação e rearranjar o z¯. Reescrevendo a equação 2.42 e evidenciando o termo w − z e então fazendo o seu complexo conjugado teremos

n X j w − z = − , (3.1) z¯ − r¯ j=1 j

n X j w¯ − z¯ = − . (3.2) z − r j=1 j

Podemos então deﬁnir zj = z −rj e simpliﬁcar o somatório na eq. 3.2. Se imaginarmos um sistema com 3 lentes da forma

w¯ − z¯ = − 1 − 2 − 3 , (3.3) z1 z2 z3

em que z1, z2 e z3 são z − r1, z − r2 e z − r3 respectivamente. Podemos reescrever esta equação da forma:

z z z z z z w¯ − z¯ = − 1 2 3 − 2 1 3 − 3 1 2 , (3.4) z1z2z3 z2z1z3 z3z1z2

e simpliﬁcar em somatórios e produtórios da forma

P3 Q j zi w¯ − z¯ = − j=1 i6=j . (3.5) Q3 j=1 zj

Podemos deﬁnir então 2 polinômios auxiliares denominados G e H, da forma

n n n n X k X Y X k Y Gkz = G = j zi, Hkz = H = zj, (3.6) k=0 j=1 i6=j k=0 j=1

26 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE

que são combinações lineares dos termos do somatório da eq 3.2. Vemos que o polinô- mio H possui grau n, enquanto que o polinômio G possui grau n − 1. Então, podemos reescrever a eq. 3.2 utilizando esses polinômios auxiliares G e H:

G z¯ =w ¯ + . (3.7) H

Para simpliﬁcar em relação ao termo z¯, substituímos a eq. 3.7 de volta na equação complexa eq. 3.1 e multiplicamos por (−1), temos assim que

n X j z − w = . (3.8) G +w ¯ − r¯ j=1 H j

Deﬁnindo um auxiliar variável w¯i =r ¯i − w¯, podemos rearranjar a eq. 3.8 como

n n Y X Y (z − w) (G − w¯iH) − Hj (G − w¯iH) = 0. (3.9) i=1 j=1 i6=j

Similarmente ao que foi feito para os polinômios G e H, podemos compor 2 outros polinômios auxiliares X e V para representar o primeiro e segundo termo da eq. 3.9 de forma que:

n n X Y Y V = j (z − w¯i),X = (z − w¯j) (3.10) j=1 i6=j j=1

Escrevendo 0 = (z − w)X − V , e deﬁnindo um novo polinômio W como W = wX − V , podemos expandir a eq. 3.9 e reescreve-la da forma:

n n X i (n−i) X i (n−i) z G H Xi − w G H Wi = 0 (3.11) i=0 i=0

Para que possamos encontrar os coeﬁcientes desse novo polinômio, basta expandirmos

G e H e então os termos ηi,l são deﬁnidos como o enésimo coeﬁciente do produto polinomial GiH(n−i). Substituindo isso de volta na eq. 3.11, e após algum trabalho algébrico podemos representar esse polinômio de forma reduzida como:

n2+1 X l clz = 0. (3.12) l=0

27 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE

Esta é a forma polinomial da equação da lente para o caso de n lentes. Os coeﬁcientes deste polinômio geral são dados pela expressão:

n X cl = (ηi,l−1Xi − ηi,lWi) (3.13) i=0

Em que o l varia de 0 até (n2 + 1). As equações 3.12e 3.13 são a base por detrás da implementação e solução da equação da lente desenvolvida nesta dissertação. Sua resolu- ção para o caso de n = 2 encontra-se em detalhes no apêndiceC.

Podemos conﬁrmar a validade dessa forma polinomial para a equação da lente veriﬁ- cando o caso de n = 1. Nesse caso, o polinômio terá grau 2 assim como visto no capítulo anterior e então a eq. 3.12 tomará a forma:

2 X l 2 clz = 0 ⇒ c0 + c1z + c2z = 0. (3.14) l=0

Para descobrirmos quais são os coeficientes desse polinômio de segundo grau, basta utilizarmos a eq. 3.13 com i variando de 0 até 1 para cada coeficiente c0, c1 e c2.A equação dos coeficientes toma a seguinte forma:

cl = η0,l−1X0 − η1,l−1X1 − [η0,lW0 − η1,lW1] (3.15)

Neste ponto, precisamos determinar os valores de η0,l−1, η0,l, η1,l−1 e η1,l para l = 0, 1, 2. Precisamos expandir o produto polinomial GiH(n−1) para encontrarmos os três valores de i (n−i) i Pn l l. Como n = 1, G H = G para i = 1, e lembrando que G = l=0 Glz , temos que produto expandido para i = 0, 1 se simpliﬁca em:

G0H1 = z, i = 0

G1H0 = , i = 1

De forma que G0 = , G1 = 0, H0 = 0 e H1 = 1 ou seja, η0,0 = 0, η1,0 = com i = 0 e

η0,1 = 1, η1,1 = 0 com i = 1. Os coeﬁcientes do polinômio então são:

c0 = [W1]

c1 = X1 + [W0]

c2 = −X0

28 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE

Para chegar nos valores de W0 e W1, expandimos os polinômios X e V na forma

1 Y X = (z − w¯j) = z − w¯1, j=1

1 X Y V = j (z − w¯i) = . j=1 i6=j

Podemos concluir então que X0 = −w¯1, X1 = 1, V0 = 1 e V1 = 0. Sabendo que

W = wX + V , chegamos em W0 = −ww¯1 + 1 e W1 = w. Assim, os coeﬁcientes ﬁcam da forma

c0 = −w,

c1 =w ¯1w,

c2 =w ¯1.

Substituindo os coeﬁcientes encontrados de volta na eq. 3.14 e simpliﬁcando, lembrando que w¯1 =z ¯1 − w¯ em que z¯1 é a posição da lente que se encontra na origem (para o caso de uma única lente) de forma que w¯1 = −w¯, chegamos na exata solução encontrada na eq. 2.40 do capítulo anterior onde

z2 − wz¯ − 1 = 0. (3.16)

3.1.1 A equação da lente para o caso n = 2

Podemos agora usar a forma polinomial da equação da lente vista na equação 3.12 para o caso de um sistema de duas lentes. Nesse caso, o polinômio é de quinto grau (5 = n2 + 1) e a equação da lente ﬁca na forma

5 X l 1 2 3 4 5 clz = 0 ⇒ c0 + c1z + c2z + c3z + c4z + c5z = 0. (3.17) l=0

Em que seus coeﬁcientes serão dados de acordo com a eq. 3.13:

cl = η0,l−1X0 − η1,l−1X1 + η2,l−1X2 − [η0,lW0 − η1,lW1 + η2,lW2] (3.18)

29 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE

Tratando-se de um sistema com duas lentes, não é tarefa fácil encontrar todos os termos

ηi,l, constituídos pelos polinômios auxiliares Gi, Hi, assim como os Wi, constituídos por

Xi e Vi. Os passos detalhados e todos os termos e polinômios encontram-se no Apêndice C. Utilizando as equações 3.17e 3.18 chegamos nos coeﬁcientes do polinômio de quinto grau da equação da lente para n = 2.

2 2 2 c0 = −w(−z21 − 2z1) + (w(−w¯2 − w¯1) + 1)z1z2(z21 + 2z1) − z1z2(−w¯21

+ ww¯1w¯2 − 2w¯1)

2 c1 = (−z21 − 2z1) + (w(−w¯2 − w¯1) + 1)((−z2 − z1)(z21 + 2z1) − z1z2)+

(−w¯2 − w¯1)z1z2(−z21 − 2z1) − 2w(−z21 − 2z1) − 2z1(−z2 − z1)z2(−w¯2+ 2 2 ww¯1w¯2 − 2w¯1) +w ¯1w¯2z1z2

c2 = (w(−w¯2 − w¯1) + 1)((z21 + 2z1) − (−z2 − z1)) + (−w¯2 − w¯1)

((−z2 − z1)(−z21 − 2z1) + z1z2) + 2(−z21 − 2z1) + (−2z1z2− 2 (−z2 − z1) )(−w¯21 + ww¯1w¯2 − 2w¯1) + 2w ¯1w¯2z1(−z2 − z1)z2 − w

c3 = (−w¯2 − w¯1)((−z21 − 2z1) + (−z2 − z1)) − 2(−z2 − z1)(−w¯21 + ww¯1w¯2 2 − 2w¯1) +w ¯1w¯2(2z1z2 + (−z2 − z1) ) − (w(−w¯2 − w¯1) + 1) + 1

c4 = −(−w¯21 + ww¯1w¯2 − 2w¯1) + 2w ¯1w¯2(−z2 − z1) + (−w¯2 − w¯1)

c5 =w ¯1w¯2

Assim como no caso anterior, os coeficientes do polinômio dependem exclusivamente da variável w que é a posição da fonte. Respectivamente z1 e z2 são as posições das lentes em relação a origem do sistema. Uma vez definidos todos os coeficientes para o polinômio de grau 5, foi possível implementar a resolução de suas raízes de forma numérica em nosso programa que será discutido no capítulo de resultados. A eq. 3.17 sempre irá retornar 5 soluções, mas isso não significa que todas as raízes refletem situações físicas reais. A quantidade de soluções válidas (3 ou 5) não é conhecida inicialmente, sendo preciso retornar os valores das raízes na equação da lente para verificar sua validade.

Agora que sabemos as possíveis soluções z da equação da lente, podemos calcular então a magniﬁcação, como visto no capítulo anterior. A magniﬁcação depende da posição da fonte em relação à lente, que irá gerar as imagens relativas às raízes do polinômio de (n2+1)

30 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE graus. Vimos que para o caso de duas lentes, o polinômio tem grau 5, e retorna cinco raízes que serão as cinco soluções para uma única posição da fonte. Se desejamos a magnificação da fonte para uma dada posição w = x + iy, precisamos também definir q como a fração 2 2 1 entre a massa das lentes de maneira que 1 +2 = 1 e d = ((x1 −x2) +(y1 −y2) ) 2 que é a distância entre as duas lentes. Podemos simplificar essa distância simplesmente colocando a primeira lente na origem do sistema. Cada posição w da fonte retornará 5 soluções na equação da lente, e essas soluções precisam ser somadas no inverso do Jacobiano para dar origem a magnificação total para essas coordenadas. Nem todas as raízes serão válidas, apenas 3 ou 5, por isso em cada passo é preciso verificar a validade das soluções aplicando- as de volta na equação da lente. Para cada posição da fonte, calculamos a soma do inverso da a eq. 2.46 para as 3 ou 5 soluções da equação da lente e chegamos na magnificação total.

1 1 1 M = + + + T 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 − 2 + 2 1 − 2 + 2 1 − 2 + 2 (z0−r1) (z0−r2) (z1−r1) (z1−r2) (z2−r1) (z2−r2) 1 1 + (3.19) 2 2 1 2 1 2 1 − 2 + 2 1 − 2 + 2 (z3−r1) (z3−r2) (z4−r1) (z4−r2)

Nesta equação, z0, z1, z2, z3 e z4 são as cinco possíveis soluções da equação da lente. No caso de uma única lente, a equação depende explicitamente da posição w da fonte, como visto na eq. 2.39 que pode ser parametrizada com relação ao tempo. No caso de duas lentes, o jacobiano varia com as cinco soluções de z que dependem implicitamente da posição de w que também pode ser parametrizado com relação ao tempo e assim, também podemos calcular uma curva de luz que relaciona magniﬁcação da fonte com o tempo decorrido.

3.1.2 Curvas críticas e causticas

Analisando novamente a equação da lente para n = 1, vemos que existe uma dege- nerescência entre z e 1/z na eq. 2.40 que basicamente divide o plano da lente em duas regiões. Todos os pontos que se encontram à uma distância |z| maior que o raio de Einstein possuem pontos relativos dentro de |1/z| e menores que o raio de Einstein. Se considerarmos novamente o Jacobiano da eq. 2.33, vemos que se |~r| > 1, necessariamente J > 0, enquanto que se 0 < |~r| < 1, J < 0. Dessa forma, soluções do jacobiano com J > 0 retornam imagens fora do anel de Einstein e são de paridade positiva, e soluções com J < 0 retornam imagens dentro do anel de Einstein e são de paridade negativa. Como rE = 1, concluímos que o anel de Einstein é deﬁnido em todos os pontos que possuem paridade zero, ou seja, J = 0. Se avaliarmos então o inverso do Jacobiano nesses pontos,

31 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE concluímos que a magnificação é infinita. Então, os pontos da curva crítica são dados pelos pontos no plano da imagem onde a magnificação pontual é infinita. As curvas das causticas são dadas então pelas posições correspondentes da curva crítica no plano da fonte . Para avaliarmos essas posições, precisamos reescrever a equação geral do Jacobiano 2.33 na seguinte forma:

∂w ∂w¯ ∂w ∂w¯ ∂w ∂w¯ J = − = 1 − ∂z ∂z¯ ∂z¯ ∂z ∂z¯ ∂z

2 ∂w¯ J = 1 − (3.20) ∂z

Fazendo J = 0, podemos tirar a raiz dos dois lados e forçar 1 = eiφ com φ variando de 0 até 2π, temos assim

n ∂w¯ X j eiφ = = . (3.21) ∂z z2 j=1 j

Lembrando que zj = z − rj, vemos que ∂w/∂z¯ difere da segunda componente do complexo conjugado da equação da lente eq. 3.2 por um fator quadrático na divisão. Podemos expressar a expressão 3.21 utilizando então derivadas parciais dos polinômios auxiliares G e H da eq. 3.6 que descrevem a segunda componente do complexo conjugado da equação da lente de forma que:

n ∂ G X j ∂w¯ = = (3.22) ∂z H z2 ∂z j=1 j

Esses coeficientes G e H são os mesmos coeficientes utilizados para a confecção dos coeficientes da equação da lente na forma polinomial. A derivada em z da razão desses polinômios é equivalente a:

∂ G G0H − H0G eiφ = ⇒ = eiφ ∂z H H2

eiφH2 − G0H + H0G = 0 (3.23)

Precisamos então fazer a derivada da representação desses polinômios auxiliares e substituir de volta na eq. 3.23.

32 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE

n 0 X (k−1) G (z) = kGkz (3.24) k=0

n 0 X (k−1) H (z) = kHkz (3.25) k=0

Para facilitar futuras simpliﬁcações, podemos fazer o somatório k = 0 até k = n − 1 e k (k+1) adicionar 1 no índice k fazendo Gk ⇒ G(k+1) e z ⇒ z e o mesmo para os índices de H(z), assim, as derivadas podem ser reescritas da forma

n−1 0 X k G (z) = (k + 1)G(k+1)z , (3.26) k=0

n−1 0 X k H (z) = (k + 1)H(k+1)z . (3.27) k=0

Se substituirmos isso de volta na eq. 3.23, podemos representar o polinômio das causticas como sendo

2n X k ckz = 0, (3.28) k=0

e os coeﬁcientes ck serão dados por

k X iφ ck = (j + 1)G(j+1) − (j + 1)H(j+1) − H(k−j)Hje . (3.29) j=0

Para o caso de uma única lente, com a mesma posicionada na origem, o problema todo se simpliﬁca e concluímos que os pontos da curva crítica são dados pela relação z = eiφ que é, em sua essência, um círculo já deﬁnido anteriormente como o raio de Einstein. Para o caso de múltiplas lentes, uma vez que se tenha encontrado a solução do polinômio da eq. 3.28 para cada ponto na forma z = x + iy, esses valores podem ser substituídos na equação da lente para que sejam calculados os pontos correspondentes à caustica no plano da fonte .

33 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE

3.2 Inverse ray shooting

Uma outra maneira de resolver o problema das microlentes gravitacionais e encontrar as soluções para a topologia das causticas e magnificação da luz, é simulando a trajetória da luz vinda do observador e indo em direção a lente, e verificar se a luz chega até o ponto da fonte, assim não resolvendo a equação da lente explicitamente. Por depender da simulação do caminho inverso da luz, esta técnica se chama disparo de raios invertido, do inglês "Inverse Ray Shooting"(IRS) (Schneider & Weiss, 1987). A equação a seguir é uma generalização da eq. 2.3 que nos permite aplicar a deflexão da luz para n lentes.

n X j ~z = ~z − (~z − ~r ) (3.30) f i |~z − ~r |2 i j j=1 i j

Onde ~zi é a posição inicial do ponto, j e ~rj são a fração de massa e posições das lentes respectivamente e ~zf é a posição final do ponto após sofrer a deflexão. Aplicando diretamente a eq. 3.30 à bilhões de pontos (fótons simulados) distribuídos no plano do observador, simulamos o envelope de luz que discutimos nos capítulos anteriores chamados de causticas. A utilidade desta técnica só é válida se pudermos extrair a variação da magnitude da estrela fonte em função do tempo. Este processo é estabelecido através da criação de mapas de magnificação. Após a aplicação da equação de deflexão na distri- buição de pontos (fótons), definimos uma grade de pixeis que mapeará a quantidade de fótons em cada local (mapa de magnificação). Uma vez simulado o mapa de magnificação, definimos a trajetória da fonte através do mapa, e então calculamos a magnificação em forma de curva de luz deste trajeto.

3.2.1 Tipos de Distribuição

A maneira mais básica de simular a deflexão dos fótons é distribuir randomicamente bilhões de pontos em um plano bidimensional e aplicar a deflexão devido às lentes em cada um dos pontos. A figura 3.1 exemplifica uma distribuição randômica de pontos em uma 2 área de 5rE com 50 mil pontos na qual é calculada a deflexão de cada um dos pontos em relação à uma única lente, gerando o padrão visto no quadro superior direito. O quadro inferior direito mostra o padrão formado para duas lentes de massas iguais, de forma que

1 + 2 = 1, com posições ~r1 = 0.75ˆx e ~r2 = −0.75ˆx. Este exemplo foi feito com poucos

34 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE

Figura 3.1: O quadro da esquerda mostra uma distribuição randômica de 50 mil pontos 2 2 dispostos em uma área de 5 rE, sendo visto em detalhe uma região de 3rE. O quadro superior da direita mostra a mesma distribuição após aplicada a deﬂexão da lente singular em todos os pontos. E o quadro inferior mostra o caso para duas lentes de mesma massa à uma distância de 1.5rE uma da outra. pontos com o intuito de melhor visualizarmos a distribuição considerada. Inicialmente, quando se tenta modelar um evento de microlente gravitacional via IRS, precisamos imaginar uma fonte isotrópica, de forma que toda a luz que atinga o plano do observador seja homogênea. Estando suﬁcientemente longe, seu raio se tornará despre- zível e o plano de interesse do observador terá uma densidade de energia constante por toda a área de interesse. Para atingirmos essa homogeneidade utilizando uma distribui- ção randômica, precisamos aumentar a quantidade de pontos (fótons), assim asseguramos que todos os espaços do plano serão ocupados por pontos. Porém, mesmo se simularmos bilhões de fótons, ainda existe uma probabilidade de alguns espaços do plano não serem preenchidos. Isso é resolvido aumentando a quantidade de fótons simulados, o que aumenta absurdamente o tempo computacional gasto, pois a equação da lente deverá ser aplicada a cada um dos fótons simulados.

A homogeneidade da distribuição dependerá do método utilizado na randomicidade dos pontos, porém, se analisarmos qualquer função de distribuição randômica, sempre haverá a probabilidade de não existirem pontos em uma determinada coordenada espa- cial. Poderíamos então realizar uma distribuição igualmente espaçada, distribuindo os ponto em distâncias iguais em um plano cartesiano bidimensional. Esse método gera um mapa com densidade constante de pontos, pois todos esses estão igualmente espaçados. O problema aparece quando calculamos a equação da deﬂexão pois, estaremos fazendo uma transformação curvilínea em uma distribuição cartesiana plana. Isso gera padrões de

35 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE interferência conhecidos como padrões de Moiré (Bryngdahl, 1974). O aparecimento desses padrões somente é problemático próximo das causticas pois, nessas regiões buscamos uma maior precisão, e essa interferência esconde o sinal real na curva de luz. Para dimi- nuirmos o aparecimento desses padrões, podemos fazer uma distribuição já curvilínea no plano do observador, assim, ao passar os pontos pela equação de deﬂexão, os padrões serão reduzidos. Abaixo, na ﬁgura 3.2, segue uma ilustração das três distribuições mencionadas.

I II III

IV V VI

Figura 3.2: Os quadros I, II e III mostram três distribuições de 50 mil pontos arranjados 2 em um plano de área 5rE com método randômico, cartesiano e semi-regular respectivamente. Os quadros inferiores mostram o resultado da passagem da equação de deﬂexão para 2 lentes pontuais de mesma massa.

O quadro V da ﬁgura 3.2 mostra os padrões criados ao aplicarmos a equação de de- ﬂexão para duas lentes em uma distribuição cartesiana de pontos igualmente espaçados. Podemos ver ainda a criação dos padrões de interferência criados pela aparente superposi- ção dos pontos. No quadro VI, percebemos os padrões criados no caso de uma distribuição quase regular de pontos. Neste último caso, o método de distribuição de pontos utilizado foi o método de Vogel(1979) detalhado no ApêndiceD.

Quando criamos o mapa de magnificações para essas distribuições, podemos traçar um trajeto por uma reta e plotar uma curva de luz que representa a magnificação da fonte em cada ponto do gráfico. A figura 3.3 mostra mapa de magnificação e a curva de luz para um sistema com duas lentes simulado a partir de uma distribuição randômica de 150 milhões de pontos. Podemos perceber que, a curva de luz possui um grande ruído nas regiões afastadas da caustica porém, é bem definida nos picos de magnificação. Para melhorarmos o sinal desta curva, uma solução seria aumentar a quantidade de fótons simulados, o que aumentaria em muito o tempo computacional.

36 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE

I II

III

Figura 3.3: O quadro II mostra o mapa de magnificação para um sistema com duas lentes de igual massa à distância de 1rE uma da outra gerado a partir de uma distribuição randômica (quadro I). A curva de luz mostra a magnificação em relação ao tempo da fonte que passa pelo trajeto em branco no mapa de magnificação.

Por outro lado, se fizermos uma distribuição utilizando o método de Vogel, podemos distribuir a mesma quantidade de pontos da distribuição randômica e obter um melhor resultado e uma curva de luz mais suave, como podemos perceber comparando a figura 3.3 com a figura 3.4.

I II

III

Figura 3.4: O quadro II mostra o mapa de magnificação para um sistema com duas lentes de igual massa à distância de 1rE uma da outra gerado a partir de uma distribuição de Vogel. A curva de luz no quadro III mostra a magnificação em relação ao tempo da fonte que passa pelo trajeto em branco no mapa de magnificação.

37 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DA LENTE

O método IRS supera a resolução semi-analítica quando se trata da velocidade na computação das curvas de luz para cada mapa de magnificação. A resolução semi-analítica precisa ser re-calculada para cada curva de luz, o que consome bastante tempo. No IRS, uma vez que já tenhamos criado o mapa de magnificação para a fração entre as massas das lentes e a distância entre elas, a computação das curvas de luz é praticamente instantânea. Então, mesmo que a simulação de cada mapa de magnificação dependa do poder computacional e da quantidade de fótons simulados, ganha-se muito tempo na criação das curvas de luz. A figura 3.5 mostra 5 curvas de luz diferentes para cada caminho traçado no mapa de magnificação. Essas curvas são facilmente produzidas e podemos computar milhares de curvas de luz para cada mapa de magnificação em menos de 1 segundo utilizando uma máquina simples com processador de 2.2GHz com 4 núcleos.

Figura 3.5: Mapa de magniﬁcação com 5 caminhos da fonte com suas respectivas curvas de luz.

38 Cap´ıtulo 4 Topologia e Região de Interesse

"Nós não conseguimos deﬁnir nada pre- cisamente. Se o tentamos, encaramos uma paralisia cerebral que os ﬁlósofos encaram ao sentar um em frente ao outro e dizer: - Você não sabe do que você está falando! E ou outro diz: - O que você quer dizer com "sabe"? o que você quer dizer com "falando"? o que vc quer dizer com "você"?"

Richard Feynman

No capítulo anterior, demonstramos as equações que caracterizam um evento de microlente gravitacional e a metodologia para resolver essas equações de forma semi-analítica e por simulação individual de cada fóton para n lentes. Neste capítulo vamos analisar as características das imagens, curvas críticas, causticas e curvas de luz, para diferentes conﬁgurações de massa e separação entre as lentes.

4.1 Fonte ﬁnita para o caso de n = 1

Vimos no Capítulo 2 eq. 2.34 a magniﬁcação para uma fonte pontual e uma única lente de massa 1 posicionada na origem do sistema. Vimos ainda que se o parâmetro de impacto µ0 for maior que zero, temos duas soluções que são as imagens da fonte. Porém se a fonte cruza a origem do sistema passando por cima da lente, teremos a situação

39 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

Figura 4.1: O primeiro quadro mostra as imagens (vermelho e verde) formadas a partir da fonte (azul) com ρ? = 0.5rE e o círculo preto é a curva crítica (raio de Einstein). O segundo quadro mostra a interpolação feita nos pontos da primeira imagem para calcular a área. em que o Jacobiano será zero, então a magnificação será infinita. Para contornarmos esse problema, podemos imaginar a fonte como sendo um disco com brilho superficial uniforme com tamanho ρ?. Assim, podemos calcular a magnificação como sendo de fato a razão entre a área das imagens com a área do disco da fonte. Uma maneira direta de realizar 1 esse cálculo, é dispor a fonte como uma circunferência de raio ρ? com n pontos formando seu perímetro e então calcular a solução das imagens para cada ponto desta circunfe- rência. Como visto nos capítulos anteriores, a solução retorna duas imagens para cada ponto. Basta então calcularmos as áreas dessas imagens formadas por esses pontos. A figura 4.1 mostra as duas imagens produzidas a partir da fonte com o parâmetro ρ? = 0.5rE.

Para avaliarmos a área das imagens, utilizamos o método numérico Alpha-Shape (Arias- Castro & Rodríguez Casal, 2015). Este método aproxima o perímetro deﬁnido pelos pontos de quaisquer distribuições. Tendo o perímetro, podemos resolver numericamente o valor da área de cada imagem e então calcular a magniﬁcação em cada posição da fonte.

A ﬁgura 4.2 mostra a trajetória das imagens geradas a partir da fonte com ρ? = 0.5rE e

µ0 = 0.1.

1Não confundir com o n do número de lentes do sistema

40 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

Figura 4.2: Trajetória das imagens + e − vermelha e verde respectivamente a partir da transformação da fonte pela lente (azul).

Revisitando a eq. 3.29, lembramos que a curva crítica é essencialmente o raio de Einstein e que as curvas das causticas se encontram na origem.

4.2 Imagens e causticas para o caso de n = 2

Para modelizarmos um sistema com duas lentes, deﬁnimos a variável q = 2/1 que é a fração entre a massa do planeta e a massa da estrela. Como visto antes, a condição

1 + 2 = 1 deve ser satisfeita, então concluímos que 1 = 1/(1 + q) e 2 = q1. Para o caso de uma única lente, a trajetória da fonte só depende do parâmetro de impacto µ0 pois, ajustando o sistema de coordenadas para a lente ﬁcar na origem, não era preciso se preocupar com a inclinação do trajeto discutida no capitulo anterior. Para o caso de duas lentes, a inclinação do trajeto importa e foi discutida na seção 2.7. Utilizando as equações da curva crítica e causticas vistas no capítulo3 podemos analisar a topologia dos sistemas com duas lentes, que podem ser duas estrelas ou uma estrela e um planeta.

A ﬁgura 4.3 mostra duas curvas críticas relativas à dois corpos com q = 0.5 e s = 2.0 com a lente principal posicionada na origem. Na ﬁgura podemos ver a formação de 3 imagens características formadas pelas 5 soluções já discutidas da equação da lente, sendo elas, uma vermelha do lado esquerdo, uma superior do lado direito (verde, azul claro, amarela e azul escuro) e uma inferior também do lado direito (azul claro, verde e amarela). Neste caso, também é utilizado o método Alpha-Shape para calcular a área das 3 imagens.

41 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

Figura 4.3: Curvas críticas (preto), causticas (vermelho) e imagens formadas (azul claro azul escuro, verde, amarelo e vermelho) devido a uma fonte de raio ρ? = 0.05 posicionada em −0.1ˆx − 0.1ˆy

Figura 4.4: Trajeto das imagens para o trajeto de uma fonte com ρ? = 0.05

Imaginando um trajeto em linha reta da fonte com raio ρ? = 0.05 passando em paralelo com o eixo x e com parâmetro de impacto µ0 = 0.1 e q = 0.6 teremos o trajeto das imagens conforme a ﬁgura 4.4. Quando resolvemos a equação da lente para n = 2, teremos 3 ou 5 possíveis soluções válidas porém o método sempre retorna as 5 soluções. Para avaliarmos a veracidade das raízes, devolvemos as soluções para a equação da lente e veriﬁcamos se retorna um valor nulo. Dependendo do método utilizado para resolver as raízes do polinômio de quinto grau, o erro estará relacionado com o método de aproximação e truncamentos utilizados

42 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE na resolução dentro do algoritmo. Podemos escolher então validar as raízes que retornem valor menor que uma precisão pré-estabelecida. Assim, quando calcularmos as cinco raízes, dependendo da posição da fonte, 3 ou 5 serão válidas de forma que sempre teremos três ou cinco soluções válidas. Isso não significa que não poderemos ter apenas uma ou duas imagens. A figura 4.3 mostra justamente um caso em que temos 3 imagens reais compostas por 5 soluções da equação da lente. Esta situação acontece quando a fonte cruza a linha da caustica pois, como visto no capítulo anterior, a linha da caustica divide a paridade das imagens no plano em que temos as curvas críticas. A figura 4.5 exemplifica essa passagem.

II III Figura 4.5: O quadro I mostra a visão geral de um sistema com a conﬁguração: q = 0.6, s = 2.0 e fonte em −0.6ˆx + 0.58ˆy. O quadro III mostra a fonte atravessando a caustica direita do sistema.

Analisando a figura 4.5, vemos que antes de atravessar a caustica, a fonte gera 3 imagens claras com 3 soluções (vermelha, verde e amarela). Em seguida vemos que, quando a fonte toca a caustica (quadro III da figura), temos 4 imagens formadas por 5 soluções (vermelho, verde, azul claro, azul escuro e amarelo). Para resolvermos a área dessas imagens, é necessário interpolar os pontos de diferentes soluções para uma única imagem. Na figura 4.3 por exemplo, precisamos calcular a área de três imagens porém, duas dessas imagens são compostas por mais de uma solução. Essa interpolação é feita de maneira numérica concatenando pontos com proximidade definida.

43 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

4.3 Curvas críticas e causticas

As linhas das causticas podem tomar várias formas dependendo da conﬁguração de q e s. As ﬁguras 4.6e 4.7 mostram a variação das curvas críticas e causticas para um sistema de q = 0.1 com s variando de 0.6 até 2.0 em comparação com um sistema com q = 0.01 variando a distância entre as lentes na mesma quantidade.

Figura 4.6: Evolução das causticas de um sistema com q = 0.1 (quadro superior) em comparação com outro sistema com q = 0.01 (quadro inferior) com s = 0.6, 0.8, 1.0, 1.2.

44 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

Figura 4.7: Evolução das causticas de um sistema com q = 0.1 (quadro superior) em comparação com outro sistema com q = 0.01 (quadro inferior) com s = 1.4, 1.6, 1.8, 2.0.

As ﬁguras 4.6e 4.7 apresentam uma variedade que depende exclusivamente dos parâ- metros q e s do sistema, que são característicos do conjunto de n = 2 lentes. Podemos classiﬁcar a topologia das causticas formados como sistemas wide, close e ressonant, que representam formação aberta, fechada e ressonante respectivamente (Erdl & Schneider, 1993).

aberta

ressonante

fechada

Figura 4.8: Diagrama dos limites de q e s para as topologias aberta, ressonante e fechada.

A ﬁgura 4.8 mostra um diagrama com os limites das conﬁgurações de q e s para cada uma das topologias. Podemos concluir que, sistemas binários de massa relativa parecida entre as lentes, poderão ter as três topologias, enquanto que quando nos aproximamos de

45 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE sistemas com q << 1, diﬁcilmente encontraremos um sistema ressonante. Também vemos −5 que, sistemas com um planeta (q ' 10 ) à uma distância menor do que 1rE apresentará necessariamente uma topologia fechada. As características e deﬁnições dessas topologias são debatidas nas subseções a seguir.

4.3.1 Sistemas abertos ou (wide)

Um sistema com topologia aberta existe quando a caustica é dividida em 2 causticas menores e a curva crítica também é dividida e duas curvas separadas que englobam as duas lentes. Quando as massas das duas lentes são iguais (q = 1) as 2 causticas serão idênticas e suas distâncias dependerão de s. Quando as massas são diferentes, a caustica próxima a lente de menor massa é chamada de caustica planetária, e a caustica próxima a lente de maior massa é chamada de caustica central. Nesse caso, a caustica planetária é maior que a central, e sua forma vai se aproximando de um losango como na ﬁgura 4.10.

Figura 4.9: Caustica de um sistema com q = 1.0 e s = 2.2 (vermelho) e curvas críticas (preto).

A ﬁgura 4.9 mostra um exemplo de topologia aberta com duas lentes de igual massa

1 = 2 = 0.5 com separação s = 2.2. Nesta ﬁgura podemos veriﬁcar a formação de duas causticas iguais e invertidas com 4 pontas.

Em um sistema com lentes de massas diferentes, a caustica planetária se distancia da central conforme a distância s aumenta e as curvas críticas vão se aproximando de duas

46 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE circunferências. Se s for muito grande, as curvas críticas serão basicamente o anel de Einstein em volta de cada lente, e as causticas serão pontos localizados no centro de cada lente, levando ao caso de duas lentes separadas para s tendendo ao inﬁnito.

Figura 4.10: Causticas e curvas críticas para sistemas com topologia aberta com s = 1.8, q = 0.1 e q = 0.01 respectivamente

A ﬁgura 4.10 mostra a morfologia das causticas em topologia aberta quando a massa é reduzida em dez vezes (primeiro e segundo quadro respectivamente). Segundo Erdl & Schneider(1993) podemos deﬁnir a topologia de um sistema como aberta quando:

s 1 (1 + q 3 )3 s > (4.1) 1 + q

Para o caso da ﬁgura 4.9, o termo da direita da relação da eq. 4.1é 2 que é menor do que o valor de s = 2.2, satisfazendo a condição para apresentar uma topologia aberta.

4.3.2 Sistemas fechados ou (close)

Na topologia fechada o sistema tem três causticas. Uma caustica central perto da lente principal e duas causticas idênticas no eixo do sistema mas do outro lado da linha do sistema de lentes conhecidas como caustica planetária.

47 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

Figura 4.11: Causticas e curvas críticas para sistemas com topologia fechada com s = 0.75, q = 0.05 e q = 0.01 respectivamente

Vemos na figura 4.11 que, conforme q decresce, as causticas planetárias ficam menores e se aproximam um do outro, além de se moverem ligeiramente para longe da caustica central. É importante notar que as causticas planetárias para um sistema com topologia fechada se formam do lado oposto da real posição da segunda lente. Neste último exemplo, as causticas formadas são englobadas pela curva crítica porém, eles não se formam exclusivamente dentro desta curva. A figura 4.12 mostra o caso em que as causticas pla- netárias se formam fora da região englobada pela curva crítica. Quanto menor o valor de s, mais distante se formarão as causticas planetárias.

48 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

Figura 4.12: Causticas e curvas críticas para sistemas com topologia fechada com s = 0.6, q = 0.05 e q = 0.01 respectivamente

Novamente, seguindo o trabalho de Erdl & Schneider(1993), entendemos que o sistema tem topologia fechada quando a condição abaixo for satisfeita.

q 1 − s4 3 < s−8 (4.2) (1 + q)2 3

Se conferirmos os valores para o sistema do primeiro quadro da figura 4.11, o termo da esquerda da relação da eq. 4.2 é igual a 0.045 enquanto que o termo da direita é 0.12, confirmando assim a relação que diz que é uma topologia fechada. Esta topologia é particularmente interessante no caso específico de sistemas com q na ordem de 10−5 e 10−6 (ver seção 4.4).

4.3.3 Sistemas ressonantes

Quando a topologia do sistema não é nem aberta e nem fechada, ela é ressonante, que é a interseção entre as topologias anteriores. A topologia ressonante apresenta uma única caustica localizada próximo à lente principal e sempre terá seis pontas.

49 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

Figura 4.13: Caustica de um sistema com q = 1.0 e s = 1.5 (vermelho) e curvas críticas (preto).

A ﬁgura 4.13 apresenta um sistema com topologia ressonante e a caustica tem esse formato simétrico pois o sistema apresenta duas lentes de mesma massa com q = 1.A ﬁgura 4.14 apresenta dois sistemas com topologia ressonante. Se a lente de menor massa se aproxima da lente principal a caustica vai abrindo dois braços que se separam com conforme s diminui, gerando a topologia fechada.

Figura 4.14: Dois exemplos de sistemas com topologia ressoante. O primeiro quadro apresenta um sistema com q = 0.1 e s = 0.9 e o segundo quadro apresenta um sistema com q = 0.1 e s = 1.5

50 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE 4.4 Regiões de interesse

Um dos principais objetivos do estudo de microlentes gravitacionais (e um dos objetivos deste trabalho) é a busca por exoplanetas de baixa massa e é neste contexto que se insere este trabalho. Para agilizar o processo de busca por esse tipo de planeta, precisamos refinar o método geral para as condições em que seria possível detectar um planeta de baixa massa. Sabemos das seções anteriores que, se a segunda lente (planeta) possui a fração de massa muito pequena (q << 1), então a topologia provavelmente será fechada ou aberta. Neste ponto, nosso objetivo é de parametrizar as variáveis independentes, que caracterizam e definem a curva de luz final, em relação ao melhor caminho da fonte que geraria uma curva de luz em que seria possível a detecção de um planeta com as condi- ções estabelecidas acima. No capítulo2 definimos a equação que parametriza o trajeto da fonte em função do parâmetro de impacto µ0 e ângulo de impacto α (eq. 2.49). Quando simulamos as curvas de luz devido a um sistema de lentes, dependendo da configuração q e s, haverá caminhos em que não é possível detectar a componente planetária na curva de luz.

I II

III

Figura 4.15: O quadro I mostra o trajeto de uma fonte com α = 0.2 e µ0 = 0.2 e a segunda lente junto da primeira. O quadro II mostra o mesmo trajeto porém, a segunda lente está em s = −0.8. O quadro III mostra a curva de luz dos dois sistemas (vermelho para o primeiro quadro e preto para o segundo)

A ﬁgura 4.15 mostra duas situações em que a curva de luz é aproximadamente a mesma, porém a conﬁguração do sistema é diferente. Neste caso, temos um sistema em

51 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE que o planeta está atrás da estrela, e a fonte passa por um caminho parametrizado da forma α = 0.2 e µ0 = 0.2 (quadro da esquerda), então sua curva de luz refletirá um evento de microlente gravitacional como o de apenas uma lente. Porém, mesmo que o planeta agora se encontre à uma distância s = −0.8 da origem (quadro da direita), se mantivermos o mesmo trajeto da fonte, a curva de luz será muito parecida com a anterior, e não conseguiremos detectar a presença do planeta. Na maior parte do plano da fonte, a curva de Luz mostrará a magnificação somente da lente primária, e isto é acentuado conforme q diminui. No mesmo exemplo da figura anterior, podemos trabalhar com os valores de α (mantendo µ0 fixo) para que o trajeto da fonte passe por uma região em que será possível detectar o planeta.

I II

III

Figura 4.16: Os quadros I e II mostram a mesma topologia com trajetos diferentes. A curva de luz no quadro III mostra a sobreposição das magniﬁcações para os dois casos (preto do primeiro quadro e vermelho do segundo

A figura 4.16 mostra uma situação em que as topologias dos sistemas são iguais, com s = 0.8 e q = 0.01 porém, o primeiro trajeto da fonte (quadro I) compreende apenas a magnificação devido a estrela, enquanto que o segundo trajeto passa por uma região em que é possível a detecção do planeta. Essa região (ou regiões) em que a curva de luz apresenta anomalias na magnificação de uma única lente justamente por estar passando próximo as causticas planetárias é conhecida como região de interesse ou CROIN 2 (Penny, 2014). Definir essa região para as variadas topologias é essencial para diminuir o tempo de busca para planetas de baixa massa. De acordo com Penny(2014) a utilização de uma parametrização CROIN pode acelerar bastante as simulações de curvas de luz na

2do inglês Caustic Region Of INﬂuence)

52 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE busca por planetas de baixa massa porém, ao custo de sacriﬁcar possíveis detecções porém ignoradas em topologias pouco prováveis.

4.4.1 Parametrização de α e µ0

Tendo em vista a detecção de planetas de baixa massa em órbitas menores do que

1rE nós já limitamos nosso campo de busca para sistemas com topologia fechada pois, de acordo com o que foi discutido na seção 4.3, um sistema com q << 1 e s < 1 será necessariamente fechada. Nesta subseção afunilamos a parametrização proposta por Penny (2014) para a topologia fechada e aplicaremos diretamente na busca por sistemas com relação massa-distância semelhantes ao sistema Sol-Terra.

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Figura 4.17: O primeiro quadro mostra a topologia de um sistema com q = 10−5 e s = 0.9. O segundo quadro mostra uma ampliação na região das causticas planetárias. A linha verde engloba a área de interesse e as linhas vermelhas são as causticas planetárias.

A ﬁgura 4.17 mostra em seu primeiro quadro a topologia de um sistema com q = 10−5 e s = 0.9, o que constitui uma topologia fechada. Mesmo que não seja possível visualizar no primeiro quadro, tendo os valore de q e s podemos aﬁrmar a topologia do sistema. O quadro da direita mostra uma ampliação da região da caustica planetária. A posição da caustica planetária no eixo x pode ser determinada através de uma aproximação analítica como apresentado por Han(2006) da forma

53 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

1 1 − q X = s − , (4.3) pc 1 + q s

onde Xpc é a distância entre a estrela e o centro da caustica planetária. Analisando a eq. 4.3 ﬁca claro que quanto menor for o valor de s maior vai ser a distância Xpc. Utilizando esta localização podemos parametrizar algumas propriedades geométricas do sistema e também o trajeto da fonte. Tendo em vista que, nesta topologia as causticas são formadas do lado oposto do planeta porém, na mesma linha do plano estrela-planeta.

Podemos parametrizar µ0 (parâmetro de impacto) em função da variável livre α de forma a forçar a fonte sempre a atravessar a região em que se encontra a caustica planetária. Temos assim que

|s2 + q − 1| · |tan (α)| µ0 = q . (4.4) |q + 1| · |s| · tan (α)2 + 1

Analisando a ﬁgura 4.16 e trabalhando na geometria das duas causticas planetárias, conseguimos encontrar expressões para determinar os valores de P∆x, P∆y. Seguindo o trabalho de Han(2006), chegamos em

3 √ √ P = s3 3 q, (4.5) ∆x 2 √ q P∆y = 2 √ . (4.6) s s2 + 1 O tamanho da área de influência (que contém a caustica planetária) será a área da me- nor figura geométrica simétrica que contenha as duas causticas. Podemos então aproximar a área por uma elípse com A = πab onde a = P∆x/2 e b = P∆y. Dessa forma, conseguimos chegar em uma expressão que calcule o valor da área de influência do sistema.

P A = π ∆x P (4.7) 2 ∆y

√ γ2πs2 3q A = √ (4.8) s2 + 1 Onde γ é um fator de proporção da área real de interesse. Fazendo γ = 1 calcularemos a menor área que contenha as duas causticas. Podemos então aumentar o valor de γ para abranger uma área maior do que a região de influência das causticas. Definimos essa área de influência como uma elipse que engloba as causticas planetárias. Chegamos então nas expressões em coordenadas cartesianas da posição que passa por qualquer ponto desejado

54 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE em cima da alinha dessa elipse, ou seja

Xin = γP∆xcos(θi) + Xpc, (4.9)

Yin = γP∆ysin(θi). (4.10)

A variável θi nos permite escolher um ponto em cima da elipse e variando de 0 à 2π. Definimos então um sistema que mapeia qualquer ponto dentro da região de influência. Se quisermos um ponto exatamente no meio das duas causticas fazemos γ = 0 e se quisermos explorar regiões próximas à região de influência podemos variar γ com valores maiores do que 1. Sendo assim é possível agora parametrizar µ0 em termos da região de influência utilizando a posição Xin e Yin.

|tan(α)Xin − Yin| µi = q (4.11) tan (α)2 + 1

Utilizando a eq. 4.11, conseguimos calcular um valor para µ0 escolhendo um valor de α. Assim, pelo menos quanto à topologia fechada, conseguimos eliminar uma das variáveis independentes parametrizando a região de inﬂuência em relação ao valor da inclinação α do caminho da fonte. Então, variando os valores de θi, γ e α, podemos simular todas as curvas de luz em que seja possível a detecção do planeta para a topologia fechada.

55 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

Figura 4.18: Posição em x do centro da caustica planetária em função do log(s) de um sistema com q = 3 × 10−6 e 1.0 > s > 0.1. A área em cinza mostra duas vezes o valor de P∆y e em vermelho mostra P∆x (ambos multiplicados por um fator de 20 para possibilitar a visualização no gráﬁco)

Analisando a ﬁgura 4.18 concluímos que, para sistemas com topologia fechada, Xpc aumenta conforme s diminui e que, de acordo com as equações 4.5e 4.6, a largura P∆x diminui drasticamente quando s diminui porém, P∆y aumenta. Analisando a eq. 4.8 vemos que a área total da caustica planetária diminui conforme s se aproxima de zero.

Então, mesmo que a separação 2P∆y entre as causticas aumente, sua largura será tão pequena que não poderá ser detectada. Vemos também que quando s se aproxima de 1, a razão entre 2P∆y e P∆x se aproxima de 1, ou seja, 2P∆y e P∆x se aproximam do mesmo valor que depende da conﬁguração do sistema. Então, a área da região de inﬂuência converge para a área de uma circunferência de raio P∆y = P∆x/2.

56 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

o o Figura 4.19: Variação de µ0 em função de α variando de 90 até 180 para vários valores de s

A partir da ﬁgura 4.19 e da eq. 4.4, vemos que, conforme a inclinação do caminho torna-se mais perpendicular ao eixo da lente, maior é o valor de µ0. Se o caminho que a fonte faz tiver uma inclinação de 90o, α = π/2, dessa forma, para que o trajeto passe por cima da região de interesse, µ0 assumirá o valor de Xpc. E para o caso em que a fonte faz um caminho com inclinação nula, para que passe sobre a região de interesse, µ0 deverá ser nulo.

4.4.2 Curvas de luz de sistemas com topologia fechada

Utilizamos as soluções da equação da lente, discutidas no capítulo3, para simular eventos de microlente gravitacional com o caminho da fonte parametrizado na região de inﬂuência da caustica planetária conforme as equações desenvolvidas na última seção.

57 CAPÍTULO 4. TOPOLOGIA E REGIÃO DE INTERESSE

Figura 4.20: O quadro superior mostra quatro curvas de luz sobrepostas para quatro −6 conﬁgurações para α e θi de um sistema com s = 0.9597 e q = 3.00367 × 10 . Os quadros de baixo mostram a topologia desse sistema com os quatro caminhos da fonte.

A ﬁgura 4.20 mostra quatro curvas de luz sobrepostas que foram geradas a partir de quatro caminhos realizados pela fonte. Os caminhos foram parametrizados com a eq.

4.11 deduzida na seção anterior e que encontra o melhor valor de µ0 para um determinado valor de α.O θi é a variável informa em que ponto da elipse a fonte irá cruzar. As figuras inferiores mostram a topologia do sistema bem como os quatro respectivos trajetos. No quadro superior podemos ver em detalhe a parte da curva de luz que corresponde à área de influência da caustica planetária. Concluímos que, para a maior parte dos casos de sistemas de topologia fechada com q << 1, a curva de luz terá o formato de um sistema de apenas uma lente com uma pequena variação quando a fonte passa pela região de influência.

58 Cap´ıtulo 5 Modelização de Sistemas Reais

"Eu não entendo. Vocês estão pro- curando por planetas que não conse- guem ver, em estrelas que não conse- guem ver."

Debra Fischer

As soluções da equação da lente para suas raízes, imagens, curvas críticas, causticas e magnificação foram demonstradas nos capítulos anteriores e vimos que, para o caso de uma única lente, todo o trabalho algébrico se simplifica a poucas equações. A simulação de eventos de microlentes gravitacionais devido à apenas uma lente é, de certa forma, simples mas, estas simulações somente são válidas se pudermos aplicar à sistemas reais. Gerar curvas de luz sintéticas e depois compará-las com curvas de luz de sistemas reais não é tarefa fácil, e mesmo para o caso de uma única lente, temos muitas variáveis que precisam ser configuradas se quisermos extrair alguma informação da curva de luz. Em um primeiro tempo, precisamos definir um conjunto de variáveis, simular um sistema e comparar com os dados reais. Se a curva de luz sintética não representar os dados reais, essas variáveis pre-definidas são descartadas e novas variáveis são implementadas. Este capítulo tem como objetivo demonstrar os passos para a modelização de sistemas reais utilizando as equações demonstradas nos capítulos3e4.

5.1 Modelização

O processo de comparação entre curvas sintéticas e reais, para uma única lente, já consome um grande tempo pois para uma certa curva de luz real devemos variar os parâ-

59 CAPÍTULO 5. MODELIZAÇÃO DE SISTEMAS REAIS metros de massa e parâmetro de impacto diversas vezes para produzir várias curvas de luz que são posteriormente comparadas com os dados da curva de luz real. Para sistemas bi- nários, o trabalho é bem mais pesado pois, teremos no mínimo as variáveis independentes

µ0, α, q e s. Então se formos tentar simular um sistema qualquer sem quaisquer pistas, precisamos explorar todas as curvas de luz que podem ser geradas pela a variação de cada um desses parâmetros. Por exemplo, para um catálogo completo das curvas de luz de um sistema binário com 0.1 < q < 1.0, e 0.1 < s < 2.0, sob o qual não temos mais nenhuma informação sobre o sistema, deve ser tratado variando q e s independentemente para criar (dependendo do passo escolhido) milhares de sistemas diferentes. E após simulados as conﬁgurações de massa e distância de cada sistema, precisamos variar o caminho da fonte em torno de 0 < α < 3.14 e 0.1 < µ0 < 1.0, por exemplo. Se escolhermos um passo p para 4 cada variável, precisaremos simular então Qcl = (1/p) . Ou seja, o número de curvas de luz será igual ao inverso do passo elevado à quantidade de variáveis independentes. Cada vez que uma curva de luz é simulada, ela é comparada com os dados reais, se for próximo, é guardada, caso contrário, é descartada.

A semelhança entre a curva de luz sintética e os dados reais é medida a partir do valor de χ2 na forma

N 2 X pi − Pi χ2 = , (5.1) σ i=1 i

onde pi é o valor da magniﬁcação no ponto i dos dados reais, Pi é o valor da magniﬁ- cação da curva de luz do modelo e σi é a incerteza no ponto i dos dados reais. E i varia de 1 até a quantidade de pontos N da curva de luz.

5.1.1 O algoritmo TedLens

Para a simulação dos sistemas de microlentes gravitacionais e curvas de luz, foram desenvolvidos dois algoritmos em Python chamados TedLensIRS e TedlensAn que têm como produto ﬁnal o mapa de magniﬁcações e a curva de luz, a partir das equações e conceitos vistos nos capítulos3e4.

O TedLensIRS foi o primeiro a ser desenvolvido, utilizando o método IRS discutido da seção 3.2. Este algoritmo funciona em 4 etapas: cria a distribuição; passa os pontos pela equação da lente; cria o mapa de magniﬁcações; cria as curvas de luz. Na criação da distribuição dos pontos, podemos faze-la de maneira randômica, igualmente espaçada ou pelo método de Vogel, escolhendo a opção dentro do próprio código, que criará uma matriz com a localização de cada ponto e salvará em um arquivo .ﬁt. Esse arquivo contém

60 CAPÍTULO 5. MODELIZAÇÃO DE SISTEMAS REAIS duas coordenadas para cada ponto é feita com cerca de 300 milhões de pontos. Como o armazenamento desses pontos é feito à priori na memória RAM, a quantidade de pontos que podemos criar é limitada pelo poder computacional. A equação da lente é então aplicada em cada ponto dessa distribuição, chamada de background, utilizando os parâmetros q e s, e as novas posições são novamente salvas em .fit. O mapa de magnificações é feito aplicando-se uma grade com resolução p × p e quantificando a quantidade de pontos que se encontram em cada espaço da grade. Então um novo arquivo .fits é criado com o mapa de magnificação do sistema. A última etapa é a criação das curvas de luz a partir do mapa de magnificação. Essas curvas de luz são parametrizadas pelos valores de α e µ0. Uma vez que tenhamos os sistemas modelizados, podemos gerar várias curvas de luz para cada conjunto de parâmetros e comparar com os dados observacionais.

O TedLensAn é um código que usa o método de solução semi-analítica da equação da lente discutido no capítulo4 deste manuscrito. O nosso código foi feito para sistemas de até 3 lentes mas, não nos aprofundamos nas simulações para sistemas triplos. O desenvolvimento do código dependeu primariamente da resolução dos coeﬁcientes do polinômio de quinto grau como demonstrado na seção 3.1.1. As etapas para o desenvolvimento do código foram:

• parametrização dos valores de 1 e 2 dependentes de q;

• atribuições das posições das lentes em notação complexa z1 e z2 dependentes de s;

• simplificação das variáveis auxiliáres, polinômios auxiliares e somatórios de coeficientes em expressões diretas para os 6 coeficientes do polinômio de quinto grau da lente;

• resolução numérica das raízes do polinômio;

• veriﬁcação da validade das raízes;

• determinação das posições das imagens utilizando as soluções da equação;

• determinação da magniﬁcação em um local especíﬁco utilizando o inverso do Jaco- biano aplicado nas soluções do polinômio da lente;

• encontrar as curvas críticas e as causticas do sistema utilizando os polinômios auxiliares secundários provindos da transformação da solução do Jacobiano;

• aplicar todo o código em cada ponto do caminho estabelecido da fonte pelas variáveis

α e µ0.

Todas as ﬁguras apresentadas nesta dissertação que apresentam mapa de magniﬁca- ção, topologia das causticas, curvas críticas e curvas de luz foram feitas com a utilização

61 CAPÍTULO 5. MODELIZAÇÃO DE SISTEMAS REAIS desses códigos.

Como dito anteriormente, para que possamos desenvolver uma ferramenta que detecte o planeta e tenha a habilidade de comparar os melhores parâmetros para α, µ0, q e s, precisamos trabalhar com a simulação de milhares de sistemas que geram milhões de curvas de luz que precisam ser comparadas com dados reais. Tal tarefa é resumida com o valor de χ2. Para esta dissertação, não foi objetivo a criação de uma ferramenta eficiente para a busca em curvas de luz. O objetivo da criação do código foi, inicialmente, o de desenvolver uma ferramenta para análise da topologia de sistemas com q << 1 uma vez inseridos os valores de α, µ0, q e s. Ao final do seu desenvolvimento conseguimos finalizar um código que também depende do tamanho da fonte ρ? e apresenta a solução das imagens para um sistema binário de qualquer proporção. A busca e comparação de parâmetros para sistemas reais foi um objetivo adicionado ao final deste trabalho, com o objetivo de testar as capacidades do código criado. A estrutura central do nosso código se encontra no apêndice F e uma página na web sob o endereço http://astro.dfte.ufrn.br/TedLens com acesso ao código está em processo de construção.

5.2 Simulação de sistemas reais

Nesta seção iremos aplicar os parâmetros de eventos de microlentes gravitacionais reais no código TedLensAn para simular as curvas de luz de exoplanetas encontrados com essa técnica. Também apresentaremos o mapa de magniﬁcações de cada sistema utilizando o código TedLensIRS.

5.2.1 OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53

O OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53 foi o primeiro evento de microlente gravitacional em que se foi detectado um planeta. Este sistema foi caracterizado com a colaboração dos grupos OGLE e MOA. O registro da curva de luz foi realizado por esses dois observatórios em 2003, mas a publicação dos resultados aconteceu somente em 2004 (Bond et al., 2004). Este foi um evento de curta duração, onde encontraram que a curva de luz poderia ser replicada com uma curva de luz sintética de um sistema de lentes binários com q = 0.0039. Este exoplaneta foi caracterizado com uma massa de 2.5 vezes

62 CAPÍTULO 5. MODELIZAÇÃO DE SISTEMAS REAIS a massa de Júpiter com seu semi-eixo maior aparente de 5.1 AU. No artigo original de Bond et al.(2004), não é apresentado as curvas críticas e causticas do sistema, somente a curva de luz.

Figura 5.1: Curva de luz original retirada de OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53

A ﬁgura 5.1 mostra a curva de luz real de autoria de Bond et al.(2004). A ﬁgura 5.2 mostra a curva de luz calculada utilizando o nosso código com os parâmetros iguais aos do artigo. Chegamos na mesma precisão em comparação com os resultados do artigo pois utilizamos os parâmetros fornecidos q = 0.0039, s = 1.120, µ0 = 0.133 e α = 3.9060.

I II

III

Figura 5.2: O primeiro quadro mostra a visão geral da curva crítica e caustica modeli- zadas com o nosso código e o segundo quadro mostra em detalhe a caustica do sistema. O quadro de baixo mostra a curva de luz modelizada a partir do caminho parametrizado em µ0 = 0.133 e α = 3.9060.

63 CAPÍTULO 5. MODELIZAÇÃO DE SISTEMAS REAIS

A ﬁgura 5.3 mostra o mapa de magniﬁcação criado a partir do TedLensIRS do evento OGLE 2003–BLG–235/MOA 2003–BLG–53.

Planeta Lente

휇0 훼

푠

Figura 5.3: A linha pontilhada azul mostra o caminho realizado pela fonte da direita para a esquerda. s é a separação entre a estrela e o planeta e µ0 é o parâmetro de impacto.

5.2.2 OGLE-2011-BLG-0265Lb

O OGLE-2011-BLG-0265Lb é um planeta de massa M = 0.9Mj que orbita uma estrela do tipo espectral M detectado no evento OGLE-2011-BLG-0265. Esse sistema foi detectado por um conjunto de observatórios ao redor do mundo e publicado por Skowron et al.(2015). Na descrição do evento, os autores da descoberta levaram em consideração a paralaxe aparente gerada pela órbita da terra em torno do sol durante o evento (Gould,

1992) que incluem 2 parâmetros adicionais, πE,N e πE,E que representam os dois componentes do vetor da paralaxe da lente πE projetados no céu nas coordenadas equatoriais norte e leste respectivamente. A direção desse vetor paralaxe corresponde ao movimento relativo entre a lente e a fonte no campo da órbita terrestre em torno do Sol.

A ﬁgura 5.4 mostra a curva de luz do evento OGLE-2011-BLG-0265 registrada pelos observatórios OGLE, MOA, Wise, SAAO, Pico dos Dias, CTIO, Danish e FTS, e a ﬁtagem −5 pelo modelo com q = 3.954 × 10 , α = −0.4712, µ0 = 0.1296, s = 1.039.

64 CAPÍTULO 5. MODELIZAÇÃO DE SISTEMAS REAIS

Figura 5.4: Curva de luz original retirada do próprio artigo de Skowron et al

Em nossas simulações, não levamos em consideração a paralaxe discutida e implemen- tada no artigo de Skowron pois, como o objetivo era apenas de testar a ﬁdelidade da criação de nossos modelos, utilizamos apenas os parâmetros µ0, α, s e q fornecidos no artigo original.

푠

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I II

III

Figura 5.5: Modelo calculado utilizando TedLensAn. O primeiro quadro mostra a topologia do sistema com caustica e curva crítica. O segundo mostra o mapa de magniﬁcação e o trajeto da fonte. O quadro inferior mostra a curva de luz gerada por nosso modelo e os detalhes nos dois pontos (azul e verde respectivamente) do mapa de magniﬁcação.

65 Cap´ıtulo 6 Conclusões e Perspectivas

"O tempo é uma ilusão produzida pelos nossos estados de consciência à medida em que caminhamos através da duração eterna"

Sir Isaac Newton

Esta dissertação apresentou o desenvolvimento das equações por detrás da teoria de microlentes gravitacionais e a implementação do método semi-analítico para a resolução da equação da lente, bem como o uso do método IRS na construção de simulações das topologias dos sistemas e suas curvas de luz. Propomos a parametrização de µ0 e α em respeito da área em torno das causticas planetárias e a variação de um ângulo θi em uma elipse de semi-eixo maior γ. Apresentamos as curvas de luz teóricas para sistemas com características de massa e órbita similares ao sistemas Sol-Terra e simulamos diver- sos sistemas com topologia aberta, ressonante e fechada. Ainda não existe detecção de um sistema com as características de massa da estrela-planeta e semi-eixo maior como o proposto nesta dissertação, de forma que nossos testes de parametrização dependeram apenas das curvas sintéticas geradas com o TedLensAn, mas com o lançamento da mis- são WFIRST, teremos acesso a curvas de luz com a precisão e cadência necessárias para aplicar nosso modelo de maneira real.

O desenvolvimento do código TedLens foi o maior desafio deste trabalho e pode ser visto como o produto final do mesmo. A implementação das soluções da equação da lente em Python se revelou bastante trabalhosa devido à todos os coeficientes auxiliares que precisaram ser elaborados nas rotinas auxiliares do código. O objetivo inicial do algoritmo era o de gerar as figuras das topologias com as causticas e curvas críticas para sistemas de lente binários, que dependeria apenas dos parâmetros q e s. A simulação das curvas de

66 CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS luz, dependentes do trajeto realizado pela fonte, foi algo implementado após os primeiros testes e inicialmente não contava com o tamanho da fonte. Ao final, conseguimos produzir um código que simula as curvas de luz dependentes de q, s, α, µ0, tE, t0 e ρ?, o que é um bom resultado. O TedLensAn tem o potencial para lidar com n = 3 lentes, mas o tempo computacional é sacrificado quando aumentamos o número de lentes. Já o TedLensIRS, não depende teoricamente do número de lentes, e pode ser usado para simular padrões mais complexos nas curvas de luz de sistemas com muitas lentes, mas sua eficiência depende diretamente do poder computacional. Conseguimos simular um máximo de 300 milhões de pontos em um notebook com 16 GB de RAM e 2.2 GHz de processamento. O propósito da criação dos dois códigos não foi o de criar uma ferramenta de análise e busca de exoplanetas em curvas de luz reais, então as curvas de luz simuladas dos eventos se- lecionados utilizaram os parâmetros disponibilizados nas próprias publicações dos eventos.

Como perspectiva, pretendemos implementar parâmetros de paralaxe da lente e da órbita da terra em volta do Sol para caracterizações mais precisas de eventos mais de- morados. Vamos continuar a evoluir o código TedLensAn para a análise e busca de exoplanetas em sistemas reais, para isso precisamos melhorar a eficiência do algoritmo para que possamos criar milhares de curvas de luz sintéticas em menos tempo, e comparar com dados reais utilizando métodos estatísticos. O método aplicado no código TedLensIRS ainda precisa passar por uma melhor estruturação para conseguir simular mais pontos em menos tempo. Vamos aplicar os ruídos dos instrumentos da missão WFIRST em nosso modelo para simular curvas de luz sintéticas com assinatura planetária e testar a possibilidade de detecções através do método desenvolvido nesta dissertação. Os detalhes de como utilizar o código, afim de reproduzir os resultados apresentados nesta disser- tação encontram-se no apêndice F, juntamente com a estrutura central do algorítimo TedLensAn. O código, instruções e figuras aqui apresentadas estarão disponíveis no site http://astro.dfte.ufrn.br/TedLens (em construção).

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71 Apendiceˆ A Jacobiano

A matriz Jacobiana (nesta dissertação chamada apenas de Jacobiano) generaliza o conceito de operador gradiente ∇ e é formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função qualquer vetorial. É particularmente util no caso de microlentes gravitacionais pois o jacobiano pode ser relacionado à mudança no tamanho da área de um elemento devido à equação da lente, o que pode nos dar uma valor aproximado da magniﬁcação. A derivação a seguir segue o apêndice de (Miller, 2013). Se w(z) é uma função que passa de um espaço euclidiano com n dimensões para um espaço euclidiano com m dimensões, então esta função pode ser expressa pelas componentes de valores reais das funções w1(z1, ..., zn), ...wm(z1, ..., zn). Então, o jacobiano JM desta função é dado por,

  ∂w1 ... ∂w1 ∂1 ∂n ∂(w1, ..., wm)  . . .  JM = =  . . .  (A.1) ∂(z1, ..., zn)   ∂wm ... ∂wm ∂1 ∂n

No método semi-analítico discutido na seção3, os pontos da fonte são representados por w = u + vi enquanto que os pontos no plano das imagens são representados por z = x + yi.A equação da lente e seu complexo conjugado são dados por:

n X j w − z = − (A.2) z¯ − r¯ j=1 j

n X j w¯ − z¯ = − (A.3) z − r j=1 j

O jacobiano da equação da lente, descreve então a razão entre uma área inﬁnitesimal no plano da fonte e a área inﬁnitesimal no plano das imagens.

72 APÊNDICE A. JACOBIANO

∂u ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v J = ∂x ∂y = − (A.4) ∂v ∂v ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y

Então, a magniﬁcação pode ser descrita como o inverso do Jacobiano da equação da Lente. Como a equação da Lente é descrita aqui em termos de w e z, em que seus complexos conjugados são w¯ = u−vi e z¯ = x−yi, podemos escrever tudo em termos de w, w¯, z e z¯. Para isso, começamos por expressar u e v em termos de w e w¯.

w +w ¯ u = (A.5) 2 w − w¯ v = (A.6) 2i

Agora obtemos as derivadas parciais de primeira ordem para z, z¯, u e v.

∂z ∂z ∂z¯ ∂z¯ = 1, = i, = 1, = −i (A.7) ∂x ∂y ∂x ∂y

∂u 1 ∂z¯ −1 = , ∂u = 1 , ∂v = 1 , = (A.8) ∂w 2 ∂w¯ 2i ∂w 2 ∂y 2i

Das expressões acima, o jacobiano pode ser expresso em termos de w, w¯, z e z¯ aplicando a regra da cadeia na equação A.12:

∂u ∂u ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂w ∂u ∂w¯ ∂v ∂w ∂v ∂w¯ ∂x ∂y = − = + + ∂v ∂v ∂x ∂y ∂y ∂x ∂w ∂x ∂w¯ ∂x ∂w ∂y ∂w¯ ∂y ∂x ∂y ∂v ∂w ∂v ∂w¯ ∂u ∂w ∂u ∂w¯ − + + ∂w ∂x ∂w¯ ∂x ∂w ∂y ∂w¯ ∂y 1 ∂w 1 ∂w¯ 1 ∂w 1 ∂w¯ 1 ∂w 1 ∂w¯ 1 ∂w 1 ∂w¯ = + − − − + 2 ∂x 2i ∂x 2 ∂y 2i ∂y 2 ∂x 2i ∂x 2 ∂y 2i ∂y 1 ∂w¯ ∂w ∂w ∂w¯ = − 2i ∂x ∂y ∂x ∂y 1 ∂w¯ ∂z ∂w¯ ∂z¯ ∂w ∂z ∂w ∂z¯ ∂w ∂z ∂w ∂z¯ ∂w¯ ∂z ∂w¯ ∂z¯ = + + + + + 2i ∂z ∂x ∂z¯ ∂x ∂z ∂y ∂z¯ ∂y ∂z ∂x ∂z¯ ∂x ∂z ∂y ∂z¯ ∂y 1 ∂w¯ ∂w¯ ∂w ∂w ∂w ∂w ∂w¯ ∂w¯ = + i − i − + i − i 2i ∂z ∂z¯ ∂z ∂z¯ ∂z ∂z¯ ∂z ∂z¯ ∂w ∂w¯ ∂w ∂w¯ = − ∂z ∂z¯ ∂z¯ ∂z

∂w ∂w = ∂z ∂z¯ (A.9) ∂w¯ ∂w¯ ∂z ∂z¯

73 APÊNDICE A. JACOBIANO

Fazendo as derivadas parciais respectivas em A.9 concluimos que:

∂w = 1 (A.10) ∂z ∂w¯ = 1 (A.11) ∂z¯

Dessa forma, podemos expressar o Jacobiano como:

1 ∂w ∂w ∂w¯ J = ∂z = 1 − (A.12) ∂w¯ ∂z¯ ∂z ∂z 1

74 Apendiceˆ B Deﬂexão da Luz (Relatividade)

Para caracterizar o espaço-tempo próximo ao campo gravitacional de um objeto massivo de massa M utilizamos a métrica de Schwarzschild, escrita da forma:

2M 2M d dr2 = 1 − dt2 − 1 − t2 − r2dφ2 (B.1) r r

Em que M aqui é medido em segundos e a fórmula que nos permite passar de gramas para segundos é: M (em segundos) = (G/c3)M(em gramas)((G/c3) = 2.5 × 10−39s/g). Após algum trabalho algébrico, chegamos na energia de uma partícula de massa m na forma:

E 2M dt = 1 − (B.2) m r dτ

E no seu respectivo momento angular L é da forma:

L dφ = r2 (B.3) m dτ

Podemos então calcular a órbita de uma partícula em coordenadas polares através da expres- são:

1 dr 2 E 2 2M m2 1 = − 1 − + (B.4) r2 dφ L r r r2

Para o caso em que a massa m da partícula tende a zero (caso do fóton) e fazendo então m = 0 na equação B.4, chegamos em:

1 dr 2 E 2 2M 1 = − 1 − (B.5) r2 dφ L r r2

75 APÊNDICE B. DEFLEXÃO DA LUZ (RELATIVIDADE)

Para uma partícula se movendo do inﬁnito, o seu momento angular é, por deﬁnição igual ao produto de seu momento linear p pelo chamado "parâmetro de impacto"b, que representa a distância entre a partícula e o centro de atração. Então, como L = pb, isso resulta em L/E = b e a equação B.5 pode ser escrita da forma:

1 dr 2 1 2M 1 = − 1 − (B.6) r2 dφ b2 r r2

A equação B.6 nos permite determinar a variação na direção da luz causada pelo campo gravitacional do sol. Pra chegar nessa variação. precisamos integrar (dφ/dr)dr quando r varia de uma distancia mínima com relação ao raio do Sol (R).Assim, chegamos na equação que descreve a deﬂexão ∆φ sofrida por um feixe de luz que passa à uma distância R do centro de um objeto de massa M:

4GM ∆φ = (B.7) c2R

76 Apendiceˆ C Polinômio da Lente

No capítulo 3, chegamos nas relações dos polinômios auxiliares G e H dados por:

n n n n X k X Y X k Y Gkz = G = j zi, Hkz = H = zj (C.1) k=0 j=1 i6=j k=0 j=1

E também nos polinômios X e V dados por:

n n X Y Y V = j (z − w¯i),X = (z − w¯j) (C.2) j=1 i6=j j=1

Conseguimos então deﬁnir o Auxiliar W = wX − V e chegamos na forma polinomial para a equação da lente como:

n2+1 X l clz = 0. (C.3) l=0

Para o caso de n lentes. Os coeﬁcientes deste polinômio geral são dados pela expressão:

n X cl = (ηi,l−1Xi − ηi,lWi) (C.4) i=0

Em que o l vai de 0 até (n2+1). As equações C.3e C.4 são a base por detrás da implementação e solução da equação da lente feita nesta dissertação, e neste Apêndice abriremos todos os coeﬁcientes auxiliares para o caso de 2 lentes. Para o caso de n = 2, podemos expressar os polinômios G, H, X e V como:

2 G = G2z + G1z + G0 = (1 + 2)z − 1r2 − 2r1 (C.5)

77 APÊNDICE C. POLINÔMIO DA LENTE

G0 = −(1r2 + 2r1)

G1 = 1 + 2 = 1

G2 = 0

2 2 H = H2z + H1z + H0 = z + (−r2 − r1)z + r1r2 (C.6)

H0 = r1r2

H1 = −(r2 + r1)

H2 = 1

2 2 X = X2z + X1z + X0 = z − (w ¯2 +w ¯1)z +w ¯1w¯2 (C.7)

X0 =w ¯1w¯2

X1 = −(w ¯2 +w ¯1)

X2 = 1

2 V = V2z + V1z + V0 = (2 + 1)z − 1w¯2 − w¯12 (C.8)

V0 = −(1w¯2 + 2w¯1)

V1 = 1 + 2 = 1

V2 = 0

Uma vez que temos os valores explicitados para G, H, X e V, podemos computar os valores de W.

2 2 W = W2z + W1z + W0 = wz + (−(w ¯2 +w ¯1)w + 2 + 1)z +w ¯1w¯2w − 1w¯2 − w¯12 (C.9)

W0 = wX0 + V0 = ww¯1w¯2 − 1w¯2 − w¯12

W1 = wX1 + V1 = −(w ¯2 +w ¯1)w + 2 + 1

W2 = wX2 + V2 = w

Agora podemos então abrir o polinômio da lente da equação C.3 para n = 2 e a equação C.4 que representa os coeﬁcientes do polinômio da lente. Sabendo que o polinômio tem grau (n2 + 1 = 5), a equação da lente ﬁca na forma:

78 APÊNDICE C. POLINÔMIO DA LENTE

5 X l 1 2 3 4 5 clz = 0 ⇒ c0 + c1z + c2z + c3z + c4z + c5z = 0. (C.10) l=0

Em seus coeﬁcientes serão dados de acordo com a equação C.4:

cl = η0,l−1X0 − η1,l−1X1 + η2,l−1X2 − [η0,lW0 − η1,lW1 + η2,lW2] (C.11)

Resolvo então a equação C.11 para l variando de 0 até 5, assim:

c0 = −η2,0W2 − η1,0W1 − η0,0W0

c1 = −η2,1W2 + η2,0X2 − η1,1W1 + η1,0X1 − η0,1W0 + η0,0X0

c2 = −η2,2W2 + η2,1X2 − η1,2W1 + η1,1X1 − η0,2W0 + η0,1X0

c3 = −η2,3W2 + η2,2X2 − η1,3W1 + η1,2X1 − η0,3W0 + η0,2X0

c4 = −η2,4W2 + η2,3X2 − η1,4W1 + η1,3X1 − η0,4W0 + η0,3X0

c5 = η2,4X2 + η1,4X1 + η0,4X0

Esses são os 6 coeﬁcientes do polinômio característico de quinto grau da equação da lente com n = 2. Como já temos os valores para W e X, basta apenas computar os valores de ηi,l, com i variando de 0 até 2 e l variando de 0 à 4. Para isso, devemos avaliar os valores de:

n2 4 i (n−i) X l X l G H = ηi,lz = ηi,lz (C.12) i=0 i=0

2 η0,0 = H0

η0,1 = 2H0H1

2 η0,2 = 2H0H2 + H1

η0,3 = 2H1H2

2 η0,4 = H2

η1,0 = G0H0

η1,1 = G0H1 + H0G1

η1,2 = G0H2 + H0G2 + G1H1

79 APÊNDICE C. POLINÔMIO DA LENTE

η1,3 = G1H2 + H1G2]

η1,4 = G2H2

2 η2,0 = G0

η2,1 = 2G0G1

2 η2,2 = 2G0G2 + G1

η2,3 = 2G1G2

2 η2,4 = G2

Com o auxílio dos η, W e X, podemos então construir os coeﬁcientes do polinômio da lente para n = 2 como mostrado na seção 3.1.1. E resolvemos as raízes do polinômio de maneira numérica.

80 Apendiceˆ D Método de Vogel

Visando a distribuição quase igualmente espaçada entre os pontos simulados para gerar o mapa de magniﬁcação, utilizamos distribuições randômicas, igualmente espaçadas e quase igualmente espaçadas. Esta última foi gerada utilizando o método de Vogel. Este método possibilita uma distribuição baseada em espiral que, ao passar pela transformação da lente, não apresenta padrões de Moiré tão acentuados quanto os gerados na transformação feita em distribuições igualmente espaçadas. Este apêndice apresenta a origem e teorização deste método.

Quando tentamos distribuir pontos igualmente espaçados na superfície de um disco de raio R utilizando equações algébricas, a primeira ideia é tentar aplicar um algoritmo que o faça de maneira espiral. As espirais de Arquimedes são uma família de espirais apresentadas em coordenadas polares da forma:

ρ = a + bθ1/c (D.1)

Vogel utiliza a Arquimedes para o caso de c = 2. Para distribuirmos pontos em um disco, deﬁnimos:

φ = θi (D.2)

q N r = i (D.3)

Em que φ são todos os ângulos de cada ponto i e r são todos os valores do raio para os pontos i. O ângulo que cada ponto varia é dado pela equação D.2. Dependendo do valor do ângulo, a distribuição será uma espiral com braços mais abertos ou fechados. Para que os pontos ﬁquem distribuídos de maneira quase regular, utilizamos o "Angulo de Ouro", que é dado pelo valor:

√ θg = 3(π − 5) (D.4)

81 APÊNDICE D. MÉTODO DE VOGEL

Podemos então passar as equações D.2e D.3 para coordenadas cartesianas a ﬁm de plotar os pontos de 1 à N.

r i √ p = cos (3(π − 5)) (D.5) x N

r i √ p = sin (3(π − 5)) (D.6) y N

Figura D.1: A primeira ﬁgura apresenta a distribuição de Vogel para 1000 pontos. A ﬁgura da direita mostra a distribuição de Vogel para 50 mil pontos já parametrizados em unidades de Einstein

A ﬁgura D.1 mostra uma distribuição de pontos p feita utilizando as equações D.5e D.6 com 1000 e 50 mil pontos simulados.

82 Apendiceˆ E Exoplanetas Descobertos com Microlentes Gravitacionais

A tabela E.1 mostra as características dos 47 exoplanetas descobertos até o julho de 2016 utilizando a técnica de microlentes gravitacionais. Os dados dessa tabela foram retirados do exoplanet.eu.

83 APÊNDICE E. EXOPLANETAS DESCOBERTOS COM MICROLENTES GRAVITACIONAIS Tipo Espectral M M K M M M Brown Dwarf M K M K M K5 M Massa da Estrela (Gy) 0.29 0.19 0.51 0.37 0.58 0.18 0.82 0.18 0.75 0.19 0.211 0.34 0.38 0.05 0.6 0.37 0.097 0.1127 0.71 0.66 0.11 0.12 0.31 0.018 0.025 0.022 0.44 0.67 0.86 0.75 0.47 0.82 0.82 0.19 0.56 0.38 0.67 0.06 0.35 0.51 0.51 0.64 0.46 0.69 0.22 0.63 Distância (pc) 6700.0 1250.0 6060.0 600.0 5000.0 8200.0 4170.0 6430.0 7380.0 3600.0 4380.0 1300.0 2900.0 800.0 2000.0 7000.0 6800.0 3020.0 911.0 4100.0 3600.0 810.0 7350.0 7740.0 390.0 1990.0 1760.0 4970.0 2300.0 7700.0 5100.0 4090.0 4080.0 4080.0 5700.0 3040.0 6100.0 6000.0 700.0 6000.0 1510.0 1510.0 5900.0 3300.0 4100.0 6500.0 5200.0 DEC -29818611129 -28261944459 -28963055585 -28660833355 -32472222236 -28031666679 -31946388918 -27293333347 -29213333348 -29398333353 -27394444461 -277120000236 -29047222234 -2891638892 -28455277758 -347265555778 -292405277552 -316905833528 -29846111138 -28396388907 -29803055541 -307153 -30754722208 -272208 -290558 -29825 -242611 -304711 -314544444 -284769444 -297938889 -271361388938 -271428 -271428 -339902778 -350052778 -268197222 -347780556 -27.15 -292241667 -300877778 -300877778 -322375 -346730556 -307325 -303772222 -28895 RA 268966666684 270450000016 269408333346 270183333348 269441666682 269662500013 271770833335 271304166671 270858333342 269679166681 269450000016 271490500019 268754166667 268675000014 270987500019 266872583343 269786708336 268029500002 268029166669 270620833343 269704166683 2694958 270095833341 271225 2685917 2677333 2656958 268325 2715291667 2689125 2677916667 264559083338 2635792 2635792 2684625 267025 2717416667 2685583333 2720166667 272425 2681458333 2681458333 2691083333 2675375 2715208333 2685791667 2713166667 Nome da Estrela OGLE-2012-BLG-0724L OGLE-2014-BLG-0257L OGLE-2014:BLG-1760L OGLE-2015-BLG-0954L OGLE-2015-BLG-1319 L KMT-2015-1 MOA-2007-BLG-197L MOA-2010-BLG-353L MOA-2011-BLGL-028L MOA-2013-BLG-605L OGLE-2011-BLG-0265L OGLE-2012-BLG-0563L OGLE-2015-BLG-0966L MOA-2011-BLG-274 MOA-2013-BLG-220L OGLE-2008-BLG-092L OGLE-2008-BLG-355L OGLE-2013-BLG-0102L OGLE-2013-BLG-0341L OGLE-2014-BLG-0124L MOA-2008-BLG-379L MOA-2010-BLG-328L MOA-2011-BLG-262L MOA-2011-BLG-322 OGLE-2009-BLG-151L OGLE-2011-BLG-0420L OGLE-2012-BLG-0358L OGLE-2012-BLG-0406L MOA-2010-BLG-477L MOA-2011-BLG-293L MOA-bin-1 OGLE-2011-BLG-0251L OGLE-2012-BLG-0026L OGLE-2012-BLG-0026L MOA-2009-BLG-387L MOA-2009-BLG-266L MOA-2009-BLG-319 MOA-2008-BLG-310-L MOA-2007-BLG-192-L MOA-2007-BLG-400-L OGLE-2006-109L OGLE-2006-109L OGLE-2007-BLG-368L OGLE-2005-071L OGLE-2005-169L OGLE-2005-390L OGLE-2003-BLG-235L updated 42480 42446 42450 42431 42530 42206 42235 42293 42349 42340 42212 42228 42426 41982 41709 41878 42382 41879 41824 41941 41782 41549 41781 41786 42426 42426 41500 41558 41782 41562 40990 42426 41304 41303 41785 40708 40463 40035 40450 40518 42426 42426 40155 42426 42426 42426 42426 Descoberta 2016 2016 2016 2016 2016 2015 2015 2015 2015 2015 2015 2015 2015 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2011 2010 2010 2009 2008 2008 2008 2008 2008 2005 2005 2005 2004 Planetas Descobertos a Partir de Microlentes Gravitacionais Semi Eixo Maior (AU) 1.6 0.61 1.75 1.2 0.245 0.76 4.29 1.72 7.14 4.2 1.89 0.74 2.4 40.0 0.7 0.8 0.702 3.1 3.3 0.92 0.84 3.6 0.31 0.19 0.87 3.45 2.0 1.1 8.3 3.86 3.82 4.63 1.8 3.2 2.0 1.25 0.66 0.85 2.3 4.5 3.3 3.6 4.0 2.1 5.1 Tabela E.1: Periodo Orbital (dias) 1970.0 2780.0 1790.0 4931.0 3600.0 3500.0 massa (Júpiter) 0.47 36.0 0.573 4.4 45.0 2.2 41.0 0.27 0.094 0.066 0.88 0.39 0.066 0.8 0.188780 0.137 4.6 13.6 0.005223 0.5 4.1 0.029 0.056634 7.8 7.5 9.4 1.85 2.73 1.5 4.8 3.7 0.96 0.11 0.68 2.6 0.0327 0.157 0.23 0.01 0.9 0.727 0.271 0.0694 3.5 0.0444 0.017 2.6 #Objeto OGLE-2012-BLG-0724L b OGLE-2014-BLG-0257L b OGLE-2014:BLG-1760L b OGLE-2015-BLG-0954L b OGLE-2015-BLG-1319 L KMT-2015-1 b MOA-2007-BLG-197L b MOA-2010-BLG-353L b MOA-2011-BLG-028L b MOA-2013-BLG-605L b OGLE-2011-BLG-0265L b OGLE-2012-BLG-0563L b OGLE-2015-BLG-0966L b MOA-2011-BLG-274 b MOA-2013-BLG-220L b OGLE-2008-BLG-092L b OGLE-2008-BLG-355L b OGLE-2013-BLG-0102L b OGLE-2013-BLG-0341L b OGLE-2014-BLG-0124L b MOA-2008-BLG-379L b MOA-2010-BLG-328L b MOA-2011-BLG-262L b MOA-2011-BLG-322L b OGLE-2009-BLG-151L b OGLE-2011-BLG-0420L b OGLE-2012-BLG-0358L b OGLE-2012-BLG-0406L b MOA-2010-BLG-477L b MOA-2011-BLG-293L b MOA-bin-1 b OGLE-2011-BLG-0251L b OGLE-2012-BLG-0026L b OGLE-2012-BLG-0026L c MOA-2009-BLG-387L b MOA-2009-BLG-266L b MOA-2009-BLG-319 b MOA-2008-BLG-310-L b MOA-2007-BLG-192-L b MOA-2007-BLG-400-L b OGLE-2006-109L b OGLE-2006-109L c OGLE-2007-BLG-368L b OGLE-2005-071L b OGLE-2005-169L b OGLE-2005-390L b OGLE-2003-BLG-235L b

84 Apendiceˆ F Estrutura e Utilização do Código TedLensAn

O código TedLensAn foi desenvolvido em Python 3.5 e depende de duas bibliotecas externas à instalação padrão do Python, são elas a numpy e matplotlib. O código depende de uma rotina auxiliar que carrega todos os polinômios auxiliares e coeficientes necessários (TedAux) e outra que possui os métodos de resolução semi-analítica da equação da lente descrito nesta dissertação (TedMagnification). Essas duas rotinas são extremamente grandes e compreendem um tamanho de 29 páginas na sua forma mais simples. Disponibilizaremos uma versão do código no endereço http://astro.dfte.ufrn.br/TedLens (em construção) com os exemplos e figuras apresentados neste manuscrito. Neste endereço poderá ser simulado sistemas com duas lentes utilizando as mais variadas configurações de q e s e testar a precisão da parametrização do trajeto da fonte que foi proposto neste trabalho. O usuário poderá conferir também as atualizações de novas versões conforme evoluímos o código. Neste apêndice, apresentamos a estrutura central do TedLensAn comentada passo a passo.

O código começa por importar as bibliotecas e rotinas necessárias e deﬁnir alguns valores básicos relativos à resolução e qualidade da curva de luz desejada.

1 # TedLensAn − Leandro de Almeida@ UFRN ago 2016

2 # comeco por importar as bibliotecas que precisarei

3 import numpy as np

4 import matplotlib.pyplot as plt

5 import numpy.polynomial.polynomial as ply

6 import TedAux# rotinas auxiliares para enxugaro codigo central

7 import TedMagnification# rotina que calcula as magnificacoes pontoa ponto

9 # Aqui entram algumas configuracoes basicas quantoa resolucao da CL

10 precisao = 1.0e−4# valor maximo para avaliar como zero as raizes

11 pontosLC = 500# quantidade de pontos quea curva de luz tera

12 lincaustics = 1000# quantidade de pontos que para caustice curva critica

13 magnificacao = np.zeros(pontosLC)# criaa matriz que ira conter os dados f i n a i s

14 condicao = 0.1# distancia minima do caustic para calcular por fonte finita

85 APÊNDICE F. ESTRUTURA E UTILIZAÇÃO DO CÓDIGO TEDLENSAN

15 DISTMIN = 0.01# distancia minima que considera dois pontos parte da mesma imagem

16 SR = 100# quantidade de pontos iniciais que formaraoa Fonte

O próximo passo é deﬁnir os parâmetros relativos ao trajeto da fonte, como α, µ0, tE e t0.O código utiliza esses parâmetros dentro da rotina TedAux.path para retornar o caminho completo

da fonte em coordenadas cartesianas Xp e Yp.

1 #

2 """ Parametros do trajeto da Fonte em relacao ao centro do sistema"""

3 # Aqui entram as parametrizacoes do trajeto da Fonte

4 gamma = 1# Limb Darkening

5 rho = 0.05# tamanho da fonte em unidades de Einstein

6 mu = −0.3# parametro de impacto

7 alpha = 0.95# angulo de impacto

8 tE = 53# tempo em dias para cruzaro anel de Einstein

9 t0 = tE ∗ ( 0 . 5 )# tempo em que acontecea maior aproximacao da Fonte coma Lente

10 tEx=np. arange(−tE/2,tE/2,(tE/pontosLC))# Dias corridos do evento(dentro do Anel)

11 area = 2# quanto quero multiplicaro tamanho do trajeto

12 Xp, Yp = TedAux.path(mu,alpha ,tE,t0 ,area ,pontosLC)# chama meu codigoe computao

13 # trajeto da fonte de acordo com os parametros fornecidos

Em seguida, podemos editar os valores para as frações de massa e para as posições das lentes em unidades de Einstein. O algoritmo armazena essas informações em uma matriz chamada lentes para facilitar a importação dos valores nas rotinas.

1 """ Parametros das fracoes de massa das3 lentes.(e1+e2+e3=1)"""

3 # configuracoes de massa

5 e2 = 0.001# fracao de massa do planeta1

6 e3 = 0 . 0# fracao de massa do planeta2

7 e1 = 1 − e2 − e3# fracao de massa da estrela(e1+e2+e3+e4=1)

9 # configuracoes de posicao

11 xe1=0.0; ye1=0.0#a estrela se encontra na origem

12 xe2 = −0.8; ye2=0.0# posicaoxey do planeta1

13 xe3=0.0; ye3=0.0# posicaoxey do planeta2

15 # armazena essas informacoes em uma funcao que pode ser chamada para f a c i l i t a r

16 lentes = TedAux.lentes(e1,e2,e3,xe1,xe2,xe3,ye1,ye2,ye3)

Se optarmos pela parametrização do trajeto da fonte utilizando a eq. 4.3 para Xpc e eq.

86 APÊNDICE F. ESTRUTURA E UTILIZAÇÃO DO CÓDIGO TEDLENSAN

4.11 para µi dependente de Xin e Yin, o valor de µ0 dependerá do valor inicial escolhido para α ou vice-versa. Como esta parametrização foi feita para o caso de apenas um planeta, a posição

(xe1,ye1) corresponderá à posição da lente central enquanto que (xe2,ye2) corresponderá à posi- ção do planeta (no caso de sistema com topologia fechada e q << 1). Então a variável d será a distância entre a lente e o planeta.

1 xcaustic = (1/(1+q)) ∗(−d + ((1−q ) /d) )

2 i f bestfit == ("y"):

3 #mu= −abs(np.tan(alpha) ∗ x c a u s t i c)/np.sqrt((np.tan(alpha)) ∗∗2+1)

4 pcDY = 2∗np.sqrt(q)/(d∗np. sqrt(1+d∗∗2) )

5 pcDX = (3∗ np.sqrt(3)/2) ∗(np.sqrt(q)) ∗d∗∗3

7 gama = 2

8 ximpact = np.zeros(pontos2)

9 yimpact = np.zeros(pontos2)

10 thetai = np.arange(−np.pi ,np.pi,(2 ∗ np.pi/pontos2))

11 f o ri in range (pontos2):

12 ximpact[i] = gama∗pcDX∗np.cos(thetai[i ])+xcaustic

13 yimpact[i] = gama∗pcDY∗np.sin(thetai[i])

15 mu = −abs(np.tan(alpha) ∗ ximpact[95] − yimpact[95])/np. sqrt((np.tan(alpha) ) ∗∗2+1)

A partir deste ponto, o código trabalha com as informações iniciais informadas e todos os passos estão comentados. Maiores informações sobre como baixar e instalar as bibliotecas necessárias e como utilizar o código estarão disponíveis no endereço informado anteriormente.

1 #

2 """ Posicoes complexase complexo conjugado das4 Lentes"""

3 # Alguns parametros do polinomios auxiliares sao fixose dependem somente das

4 # posicoes complexas das lentese de suas fracoes de massa:

5 z1 = complex(xe1,ye1)# forma complexa da posicao da lente1

6 z2 = complex(xe2,ye2)# forma complexa da posicao da lente2

7 z3 = complex(xe3,ye3)# forma complexa da posicao da lente3

8 #

9 """ Coeficientes dos Polinomios auxiliaresGeH"""

10 # agora posso ja declarar os polinomios auxiliaresGeH

11 G, H = TedAux.GeH(lentes)

12 """ Funcoes auxiliares Etas qeu dependem deGeH"""

13 # Declaro entao os etas. lembrando que sao:(eta=G^j ∗ H^(n−j))

14 eta = np. array(TedAux.ETA(G,H))

15 """ CAUSTICSE CURVAS CRITICAS"""

16 # As curvas criticase caustics dependem somente deG,He parametros das Lentes

17 causticLocation , criticLocation = TedAux.caustic(G,H,lincaustics ,lentes)

18 # aqui serao armazenados os pontos do trajeto que utilizam da fonte FINITA

87 APÊNDICE F. ESTRUTURA E UTILIZAÇÃO DO CÓDIGO TEDLENSAN

por poligono

19 XP = np.array([])

20 YP = np.array([])

21 # aqui serao armazenados os pontos do trajeto que utilizam da fonte FINITA Hexagonal

22 XPe = np.array([])

23 YPe = np.array([])

24 #

25 """A partir de agora,o codigo ira computar parametros que variame precisam ser recalculadosa cada loop pois, sao relativosa posicao da f o n t e"""

26 # esse loop fazo calculo da magnificacao do evento em cada ponto do t r a j e t o

27 f o ri in range (pontosLC):# calculaa magnificacao para cada ponto do t r a j e t o

29 # verificaa distancia entreo centro da fonteeo caustic mais proximo

30 distfromcaustic = np.sqrt((Xp[i] − np. real(causticLocation)) ∗∗2 + (Yp[ i ] − np.imag(causticLocation)) ∗∗2)

32 # se essa distancia for grande, podemos utiliara solucao da fonte pontual

33 i f min(distfromcaustic) >= (rho+condicao):

34 """ calculo da fonte pontual"""

35 # chamoa funcao que calculaa magnificacao pontual(pelo jacobiano ) do TedMagnification

36 MagTotal = TedMagnification.Jacobian(Xp[ i ] ,Yp[ i ] ,e1,e2,e3,e4,z1,z2, z3,z4,eta ,G,H,precisao)

37 magnificacao[i] = MagTotal# Insiro esse valor na curva de luz

39 #sea distancia nao for tao grande, preciso calculara magnificacao de outra maneira

40 e l s e:

42 """ calculo da fonte finita por polygone Alpha Shape"""

43 # chamoa funcao que calculaa magnificacao de uma fonte finita de r a i o rho

44 MagTotal = TedMagnification.polygon(SR,rho,Xp[ i ] ,Yp[ i ] ,lentes , causticLocation ,eta , precisao ,DISTMIN)

45 magnificacao[i] = (MagTotal)

46 # separo aquio caminho da fonte que utilizaa resolucao de fonte F i n i t a

47 XP = np.append(XP, Xp[i ])

48 YP = np.append(YP, Yp[i ])

50 # agora entraa criacao dos graficos

51 # Insiro no grafico as curvas criticase caustics lembrando quea

88 APÊNDICE F. ESTRUTURA E UTILIZAÇÃO DO CÓDIGO TEDLENSAN

coordenadax eha parte real

52 # dos valores complexos encontrados,eoy eha parte imaginaria

53 plt.plot(np.real(causticLocation), np.imag(causticLocation),’.r’, markersize = 3)

54 plt.plot(np.real(criticLocation), np.imag(criticLocation),’.k’ ,markersize = 3)

56 p l t . a x i s (’equal’)#mantema area do grafico na mesma proporcao

57 # labels, tamanhose formatos

58 plt.xlabel(r’$x/R_E$’,{’color’:’k’,’fontsize’: 30})

59 plt.ylabel(r’$y/R_E$’,{’color’:’k’,’fontsize’: 30})

60 plt.xticks(size=22)

61 plt.yticks(size=22)

62 plt.tight_layout()

63 p l t . xlim ( −1.5 ,1.5)# limite emx do grafico da topologia

65 # Insere as lentes nas posicoes inseridas

66 plt.plot(np.real(z1),np.imag(z1),"ok", markersize = 6)

67 plt.plot(np.real(z2),np.imag(z2),"ok", markersize = 6)

68 plt.plot(np.real(z3),np.imag(z3),"ok", markersize = 6)

70 # Insereo trajeto da Fonte

71 plt . plot(Xp,Yp,’ −b’, lw = 2.2)

72 plt . plot(XPe,YPe,’ −g’, lw = 2.5)

73 plt . plot(XP,YP,’ −r’, lw = 2.5)

74 p l t . show ( )# mostrao grafico da topologia completo

75 p l t . c l f ( )# limpaa area do grafico

77 # gerao grafico da curva de luz final

78 plt.plot((magnificacao),"−k", lw=3.2)

79 p l t . show ( )