Technische Universität München Lehrstuhl für Theoretische Informationstechnik Computation of Real-Valued Functions Over the Channel in Wireless Sensor Networks Mario Goldenbaum Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Elektrotechnik und Informations- technik der Technischen Universität München zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr. -Ing.) genehmigten Dissertation. Vorsitzender: Univ. -Prof. Dr. -Ing. habil. Dirk Wollherr Prüfer der Dissertation: 1. Univ. -Prof. Dr. -Ing. Dr. rer. nat. Holger Boche 2. Priv. -Doz. Dr. -Ing. habil. Sławomir Stańczak, Technische Universität Berlin Die Dissertation wurde am 11. 06. 2014 bei der Technischen Universität München eingereicht und durch die Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik am 28. 10. 2014 angenommen. Zusammenfassung In einer Vielzahl von Sensornetzanwendungen steht nicht die Übertragung individu- eller Messwerte im Vordergrund, sondern die zuverlässige und effiziente Berechnung von Funktionen. Dabei kann es sich im Einzelnen um die Berechnung der maximalen Kohlenmonoxid-Konzentration innerhalb von Gebäuden aus Gründen der Brandschutz- überwachung handeln, um den mittleren Druck in einem Dampfkessel oder die min- imale Feuchtigkeit in einem Gewächshaus. Der klassische Ansatz zur Lösung dieser Probleme sieht vor, dass zunächst die gesamte Messwertinformation zu einem Aggrega- tionspunkt übertragen wird, der anschließend den gewünschten Funktionswert ermittelt. Um Kanalkollisionen während der Übertragung der Daten zu vermeiden, wird der Me- dienzugriff von Sensorknoten üblicherweise in der Zeit oder der Frequenz koordiniert. In der jüngeren Vergangenheit wurde gezeigt, dass diese Vorgehensweise in höchstem Maße ineffizient sein kann, da sie vollständig ignoriert, dass die primäre Aufgabe des Netzes eben nicht in der Übertragung einzelner Messwerte besteht. Insbesondere gilt, dass für die Berechnung linearer Funktionen die Ausnutzung der Interferenz anstelle deren Unterdrückung sogar zu erheblichen Performanzgewinnen führen kann. Die obi- gen Beispiele deuten jedoch bereits darauf hin, dass einige der vielversprechendsten Sensornetzanwendungen die effiziente Berechnung nichtlinearer Funktionen erfordern. Dementsprechend widmet sich die vorliegende Arbeit linearen und nichtlinearen Be- rechnungsproblemen in Sensornetzen. Der erste Teil behandelt zunächst einige grundle- gende Fragestellungen, wie etwa der welche Funktionen prinzipiell durch das Ausnutzen von Interferenz berechnet werden können und wie viele Kanalbenutzungen dafür not- wendig sind. Um diesbezüglich eine systematische Untersuchung zu ermöglichen werden Funkübertragungen als rauschfrei angenommen. Dabei stellt sich heraus, dass diese Überlegungen in enger Beziehung zu dem berühmten 13ten Hilbert-Problem stehen. Der zweite Teil der Arbeit schließt Empfängerrauschen in die Betrachtungen mit ein und stellt diesbezüglich ein Übertragungsverfahren vor, das eine neuartige Datenvor- und nachverarbeitung mit nested lattice codes kombiniert. Es wird gezeigt, dass diese Kombination die zuverlässige Berechnung einer Vielzahl linearer und nichtlinearer Funk- tionen erlaubt mit Raten die für klassische Verfahren weitgehend unerreichbar sind. Das gezielte Ausnutzen von Interferenz erfordert naturgemäß eine präzise Synchro- nisation. Dies zu gewährleisten kann in der Praxis einen unverhältnismäßig hohen Aufwand bedeuten, weshalb im letzten Teil der Arbeit ein einfaches analoges Übertra- gungsverfahren vorgeschlagen wird, das bereits mit einer groben Rahmensynchronisa- tion auskommt. Die Performanz des Verfahrens wird analysiert und es wird erörtert wie viel Kanalinformation für akkurate Funktionswertberechnungen notwendig ist. Abstract A major challenge in many wireless sensor network applications consists in the reliable and efficient computation of some pre-defined function of the measurements taken by a set of spatially distributed sensor nodes. The function of interest can be, for instance, the maximum carbon-monoxide concentration in a building for fire detection, the av- erage pressure inside a steam boiler, or the minimum humidity in a greenhouse. The standard approach for solving such problems, the so-called separation-based approach, is to transmit all the sensor readings to a nearby fusion center that computes the de- sired function value afterwards. As a matter of fact, however, the wireless channel is a shared broadcast medium so that a concurrent access to the common frequency spectrum by distinct nodes results in interference. Since interference makes the reliable reconstruction of individual transmit signals difficult, the channel access of sensor nodes is typically coordinated in time or frequency in order to avoid channel collisions. It was recently shown that this approach can be highly inefficient as it ignores that the fusion center is not interested in individual sensor readings but rather in a function thereof. In particular, if the fusion center wishes to compute a linear function, exploiting interference rather than avoiding it can lead to huge performance gains. As the above mentioned examples indicate, however, many promising sensor network applications require the efficient computation of nonlinear functions. Therefore, this thesis is devoted to linear and nonlinear computation problems over sensor networks. The first part deals with some fundamental questions such as, for in- stance, which functions are essentially computable over a wireless channel by harnessing interference and how many channel uses are needed. In order to allow for a systematic and in-depth treatment of these issues, we assume transmissions between sensor nodes and fusion centers to be noise-free. It turns out that the considerations are closely related to the famous 13th Hilbert problem. In the second part of the thesis, we turn our attention to noisy networks and pro- pose a corresponding computation scheme that combines a novel signal pre- and post- processing strategy with nested lattice coding. We show that this particular combi- nation allows for the computation of a variety of linear and nonlinear functions at computation rates that are not achievable with separation-based methods. Harnessing interference typically requires the precise synchronization of sensor nodes. In practical networks, however, it may be unreasonably costly to ensure this. Therefore, we propose in the last part a simple analog computation scheme that requires only coarse frame synchronization. We then analyze its performance and determine how much channel state information is needed in order to obtain accurate function values. Acknowledgments Aber Motivation hat mit Wollen keine Berührung; sie läßt sich nicht “ nach dem Gegensatz von Zwang und Freiheit einteilen, sie ist tiefster Zwang und höchste Freiheit. ” Robert Musil, Der Mann ohne Eigenschaften (Aus dem Nachlass), 1930–1943 Throughout the course of my Ph.D. studies, I had the opportunity to meet many extraor- dinary people. First and foremost, I thank my advisors Prof. Dr. -Ing. Dr. rer. nat. Hol- ger Boche and PD Dr. -Ing. habil. Sławomir Stańczak for their guidance and invaluable support. Both are fascinating individuals and their energy, passion for research, vast knowledge, and enthusiasm were constant sources of inspiration and motivation, which will have a lasting effect on me. Furthermore, I would like to thank all my colleagues at Technische Universität Berlin, Fraunhofer Institute for Telecommunications Heinrich Hertz Institute, and Technische Universität München for providing a friendly and stimulating research environment. Especially, I thank Jörg Bühler (a.k.a. Fokker), Michał Kaliszan, and Rafael F. Schaefer for the countless conversations about science and life in general. It was always a great pleasure and they have become more to me than just colleagues. A special thanks goes to Prof. Dr. -Ing. Dieter Kraus from the Bremen University of Applied Sciences, who is mainly responsible for my path to academia as he piqued my interest in communication theory, signal theory, and mathematics already at a very early stage of my undergraduate studies. Without those who are closest to me, I would not be where I am today. Therefore, I would like to express my sincere gratitude to my family and friends for their steady encouragement and unquestioning support. My deepest gratitude, however, goes to Sabine. This thesis would have never been possible without her endless patience and love. Contents 1 Introduction 1 1.1 Motivation .................................. 1 1.2 Contribution and Outline of the Thesis . .... 3 2 Communication Versus Computation 7 2.1 The Wireless Multiple-Access Channel . .... 7 2.2 TheCommunicationProblem . 10 2.3 TheComputationProblem . .. .. .. .. .. .. .. 13 2.4 TwoInsightfulExamples. 14 3 Computation Over the Wireless Channel – Fundamental Limits 19 3.1 ComputationOverIdealWMACs. 21 3.1.1 Computation With a Single Channel Use . 22 3.1.2 Approximation With a Single Channel Use . 29 3.1.3 Computation With Multiple Channel Uses . 31 3.2 Computation Over Clustered Networks . 35 3.2.1 Continuous Pre- and Post-Processing Functions . ..... 37 3.2.2 Arbitrary Pre- and Post-Processing Functions . ..... 40 3.2.3 PerformanceComparison . 40 3.2.4 A Short Note About Additional Interference . 42 3.3 Robustness Against Changes in Topology . 43 3.3.1 DroppedOutNodes ......................... 44 3.3.2 AdditionalNodes........................... 44 3.4 SummaryandConclusions.. .. .. .. .. .. .. .. 45 3.A Proofs ..................................... 47 4 Reliable