Pitchfork Bifurcations of Invariant Manifolds
Copyright Warning & Restrictions
The copyright law of the United States (Title 17, United States Code) governs the making of photocopies or other reproductions of copyrighted material.
Under certain conditions specified in the law, libraries and archives are authorized to furnish a photocopy or other reproduction. One of these specified conditions is that the photocopy or reproduction is not to be “used for any purpose other than private study, scholarship, or research.” If a, user makes a request for, or later uses, a photocopy or reproduction for purposes in excess of “fair use” that user may be liable for copyright infringement,
This institution reserves the right to refuse to accept a copying order if, in its judgment, fulfillment of the order would involve violation of copyright law.
Please Note: The author retains the copyright while the New Jersey Institute of Technology reserves the right to distribute this thesis or dissertation
Printing note: If you do not wish to print this page, then select “Pages from: first page # to: last page #” on the print dialog screen
The Van Houten library has removed some of the personal information and all signatures from the approval page and biographical sketches of theses and dissertations in order to protect the identity of NJIT graduates and faculty. A S AC
I C O K I U CA IO S O I A IA MA I O S
b t Ch p n r r
I a a ame e e e e y amica sys em w e e qua i a i e s uc u e o e so u io s c a ges ue o a sma c a ge i e a ame e e sys em is sai o
a e u e go e a i u ca io i u ca io s a e ee c assi ie o e asis o e
o o ogica o e ies o i e oi s a i a ia ma i o s o y amica sys ems A
i c o k i u ca io i is sai o a e occu e w e a s a e i e oi ecomes u s a e a wo ew s a e i e oi s se a a e y e u s a e i e oi come i o e is e ce
I is esis a i c o k i u ca io o a (m-1 - ime sio a i a ia su ma i
- o o a y amica sys em i m is e i e a a ogous o a i Su icie co i io s o suc a i u ca io o occu a e s a e a e is e ce o e i u ca e ma i o s is s ow u e e s a e y o eses e y amica sys em is assume o
e a c ass C1 i eomo ism o ec o ie i m e e is e ce o oca y a ac i g i a ia ma i o s M+ a M_ a e e i u ca io as ake ace is o e
y co s uc i g a i eomo ism o e u s a e ma i o M ec iques use o
o i g e a o e me io e esu i o e i e e ia o o ogy a a a ysis a a e a a e om a ma [1 ] a i sc [19]
e mai eo em o e esis is i us a e y mea s o a ca o ica e am e a a ie o a - ime sio a isc e e e sio o e o ka- o e a mo e esc i i g
y amics o a e a o - ey o u a io e o ka- o e a mo e is s ig y mo i ie
o e e o a co i uous y a yi g a ame e Sig i ica ce o a i c o k i u ca io i e o ka- o e a mo e is iscusse wi es ec o o u a io y amics as y im ica io s o e eo em a e iscusse om a ma ema ica oi o iew I C O K I U CA IO S O I A IA MA I O S
b t Ch p n r r
A rt t n S b tt d t th lt f r In t t t f hn l nd t r , h St t Un v r t f r — r n rt l lf ll nt f th r nt f r th r f t r f h l ph n M th t l S n
p rt nt f M th t l S n , I p rt nt f M th t nd C p t r S n , t r r
A t 2004 Co y ig © y yo i C am a e ka
A IG S ESE E A O A AGE
I C O K I U CA IO S O I A IA MA I O S
t Ch p n r r
e is ackmo e isse a io A iso a e o esso e a me o Ma ema ica Scie ces I
o e Miu a Commi ee Mem e a e o esso e a me o Ma ema ica Scie ces I
wee Mos e Commi ee Mem e a e o esso e a me o Ma ema ics a Com u e Scie ce u ge s
eme iusageo giou Commi ee Mem e a e o esso e a me o Ma ema ica Scie ces I
Ami a a ose Commi ee Mem e a e Associa e o esso e a me o Ma ema ica Scie ces I IOG A ICA SKE C
A th r: yo i C am a e ka
r : oc o o i oso y
Und r r d t nd Gr d t Ed t n:
• oc o o i oso y i Ma ema ica Scie ces ew e sey I s i u e o ec o ogy ewa k
• Mas e o Scie ce i A ie Ma ema ics ew e sey I s i u e o ec o ogy ewa k
• Mas e o Scie ce i Ma ema ics U i e si y o om ay om ay I ia 199
M j r: Ma ema ica Scie ces l v n h b nd Abh j t f r n p r n
v ACK OW E GME S
I am indebted to my advisor Professor Denis Blackmore for his untiring guidance and patience. I thank him for his support and encouragement and for being a wonderful teacher. I greatly appreciate his generosity with time and his kindness.
Special thanks are due to Professor Daijit Ahiuwalia for his guidance, support and advice all through my stay at NJIT and for having confidence in me when things were bleak. I am grateful to Professor Robert Miura for agreeing to be on my committee, for carefully reading the thesis and for his corrections and suggestions. I am extremly grateful to him for his encouragement and support during my most trying times. I am very thankful to Professor Lee Mosher for being on my committee, reading the technical parts of my thesis thoroughly and rendering his valuable mathematical advice and also for his J. suggestions.
Sincere thanks to Professor Demetrius Papageorgiou for being on my committee, for his advisement throughout the graduate program and for his encouragement during my graduating semester. I would also like to thank Professor Amitabha Bose for agreeing to be on my committee and for teaching me during my initial semesters at NJIT.
I take this opportunity to express my deep gratitude to Professor S. Kumaresan,
University of Bombay for teaching me during my masters and showing me the beauty of Mathematics. I thank him for being a marvelous teacher, for setting an example of himself and for inspiring me to pursue Mathematics. I thank Professor G. Kriegsmann, Professor D. Papageorgiou, Professor R.
Miura, Professor M. Siegel, Professor J. Luke, Professor N. Farzan, Professor John Loftin (Rutgers), Professor Sharad Sane (University of Bombay), Professor Nirmala
v Limaye (University of Bombay) and Professor Anjana Prasad (University of Bombay) who have taught me and encouraged me during my student years. My gratitude to the office staff - Ms. Padma Gulati, Ms. Susan Sutton, Ms. Liliana Boland and Ms. Sherri Brown for their enthusiastic and warm support and for making lives easier for us graduate students. I also take this opportunity to thank everyone at the Graduate Students Office, the Office for International Students &
Faculty for helping with all the administrative complexities. I am much grateful to the Library staff at NJIT and at Columbia University for their help and for working on weekends.
Thanks to my seniors Eliana Antoniou, Lyudmyla Barannyk, Urmi Gosh-Dastidar, Adrienne James, Stephen Kunec, Said Kas-Danouche, Knograt Savettaseranee, Tetyana
Segin and Hoa Tran for sharing their experiences and their suggestions. I am very grateful to my friends Lin Zhou, Muhammad I. Hameed, Arnaud Goullet and Yuriy
Mileyko for their lengthy discussions, support and for sharing their knowledge. I thank them and Christina Ambrosio, Oleksander Barannyk, Madhushree Biswas, Soumi
Lahiri, and Tsezar Seman, for giving me the pleasure of their company.
I thank my father Mr. Harbhajan Anand and my mother Dr. Shashi Anand for being my first teachers, for nurturing me and showering me with their love and encouragement. Thanks also to my affectionate brothers Ravi and Harsh for their love and support. Many thanks to my in-laws, the entire Champanerkar family for their constant support and understanding. Special thanks to Anagha for her trust, love and affection for so many years. Lastly, I thank my beloved husband Abhijit Champanerkar for his support, encouragement and infinite patience all through my graduate school. I also thank him deeply for teaching me perseverance when I most needed it.
vii A E O CO E S
Ch pt r 1 INTRODUCTION 1 1.1 Bifurcations 1 1.2 Pitchfork Bifurcation 4 1.3 About the Lotka-Volterra Model 9 1.4 Organization of the Thesis 10 2 MATHEMATICAL PRELIMINARIES 11 2.1 Basic Definitions 11 2.2 Theorems 13 2.3 New Definitions 14 3 PITCHFORK BIFURCATIONS - DISCRETE CASE 17 3.1 Notation 17 3.2 Pitchfork Bifurcations of Invariant Manifolds 19 4 ILLUSTRATION AND APPLICATION OF THE PITCHFORK BIFURCATION THEOREM 37 4.1 A Canonical Example 37 4.2 An application - Discrete Lotka-Volterra Model 42 5 PITCHFORK BIFURCATIONS - CONTINUOUS CASE 45 5.1 Pitchfork Bifurcations of Invariant Manifolds 45 6 CONCLUSIONS 53 REFERENCES 57
v IS O IGU ES
r
1.1 Bifurcation diagram for a pitchfork bifurcation in 4
1.2 Dynamics near a fixed point in RA before a bifurcation 6
1.3 Dynamics near fixed points in IR A after a pitchfork bifurcation. 6 2.1 Pitchfork bifurcation in R. 13
2.2 Locally attracting SA in Ice before a pitchfork bifurcation 15
2.3 Three diffeomorphic copies of S A in Il83 after a pitchfork bifurcation . . 15 2.4 Bifurcation through non-manifold structures. 16 3.1 Illustration of F , = (fm , gm) 18 3.2 Regions Kip) and A. 20 4.1 Plot of r vs for the canonical example. 39 4.2 Plot of p. vs for the canonical example 40 4.3 Plot of r vs i for the canonical example (with grid) 40
4.4 Si is locally attracting 41
4.5 Any trajectory outside converges to Si 41
4.6 Any trajectory inside converges to S i 41
4.7 Si is locally repelling 41 41 4.8 Any trajectory outside converges to Si+ -
4.9 Any trajectory inside converges to S i _, 41
6.1 Pitchfork bifurcation in as an intersection of two smooth curves . . . 54
6.2 Pitchfork bifurcation in R A as an intersection of two smooth surfaces . 55
x C A E
I O UC IO
. f r t n
A y amica sys em ca e oug o as a ow o oi s i a s ace o a ecu si e
u c io om a s ace o i se A y amica sys em c a ges wi ime a e s a e o e sys em a a y gi e ime e e s o i s e ious s a e Mos ma ema ica mo e s esc i i g e s a e o a a u a sys em e e o se e a a ame e s A
y amica sys em e e i g o a a ame e is sai o u e go a i u ca io w e
e o o ogica a u e o e so u io o e sys em c a ges qua i a i e y ue o a c a ge i e a ame e a is e ase o ai s o e y amica sys em e o e a a e e i u ca io a e o o o ogica y equi a e e a ue o e a ame e a w ic suc a qua i a i e c a ge occu s is k ow as a i u ca io a ue
e i ea o a c i g o so u io s was k ow o Ca aco i (1 3 u e
e m i u ca io was i s use y e i oi ca e (1 5 i is essay "Su equi i e
u e masse ui e a imée u mou eme e o a io " [3 ] oi ca é e o e
e e a io s i e wee s a i i y a i u ca io Geo ge i k o e e e
e esu s o i u ca io s i 19 7 [ ] e use ec iques om o o ogy o s u y
y amica sys ems I e 193 s A eksa A o o a is co a o a o s wo ke o i u ca io s i ei og am - o i ea osci a io s eo y E e a o a
Ku O o ie ic s wo ke i i u ca io eo y i e 19 s I e 19 s So omo
e sc e a s a e A o o s wo k ma e i a ai a e o e E g is -s eaki g wo a e esea c a o g simi a i es e e om i e e imi a y c assi ica io o
i u ca io s i o se e y es usi g i e e ia o o ogy i 195 [ 1] is came o
e k ow as is amous is o "e eme a y ca as o es" e i es iga e ysica sys ems o see i e cou i a ica io s o is eo em [3]a use is o io o
2 ca as o es o s u y io ogica sys ems [ ] om 1959 o 197 S e e Sma e wo ke o y amica sys ems a e o u io i e esea c i is ie y i o uci g
ew o o ogica oo s a me o s e e e way a es a is e ma y mi es o es
Mea w i e E wa o e i e 19 s use ume ica simu a io s o i e e ia equa io s o s u y a mos e ic e ome a e c a ge e use o com u e s as gia ca cu a o s o a o a e e ime a oo o i i g eu is ic a gume s a ume ica me o s o s u y i u ca io s a s a i i y [3] e ese ay a oac o w i i g a ysica sys em e e e o a a ame e as = w e e is e a ame e ( o a y eg ec i g e sys em a ocussi g o e a s ac ma ema ica o e ies a o e may e a i u e o a i ue e a o is ake s
[3] [37] I 1971 ey esc i e a ocess i ui y amics i w ic e key
a ame e p, is e ey o s um e w e e y a o i u ca io ( i u ca io o a i e oi i o a e io ic o i o owe y a o e i u ca io as i c eases mig ea o a u u e ow ey emo s a e is usi g o o ogica me o s wi ou e ici y e e mi i g e a ue o e i u ca io a ame e p, a w ic e
i u ca io occu s Ma y ma ema icia s a e ma e i a ua e co i u io s o e
eo y a a ica io s o i u ca io s si ce a ma y co i ue o o so o ay
A ica io o i u ca io eo y o a a ie y o o ems i ysics a a ie ma ema ics as e o a mo e com e e u e s a i g o ow com ica e o - i ea
e a io s a ise i ese sys ems [1 ] Suc a a oac as ee success u y use i ysica sys ems e g [ ] a i io ogica sys ems e g [35] a [11] I [ ] e au o s s u y e e ec s o e ec ic a mag e ic ie s a ie o a omoge ous y a ig e ema ic iqui c ys a yi g e wee wo a a e a es ey i usi g
i u ca io eo y a ume ica i u ca io eo y ec iques a a a c i ica ie s e g e ema ic is o s u e goi g a i c o k i u ca io o a Yee e icks
a si io I [11] e au o s use i u ca io a a ysis o i es iga e a se o wo o i a y i e e ia equa io s w ic esc i e a ey- e a o o u a io y amics a e ac ic e o u io a y y amics a i e es i g io ogica o se a io s om co es o i g i u ca io iag ams i u ca io s a e o e soug o e ai a si io a ey a e oca e y acki g e s a i i y o so u io a c es
i u ca io s a e some imes c assi ie o e asis o co ime sio ( a is e mi imum um e o a ame e s equi e o e i u ca io o occu as oca o g o a a u e su c assi ie as su -c i ica a su e -c i ica
Ma y i u ca io s a e ee i e i ie ; amo g w ic some o e mos commo y occu i g o es a e e sa e- o e i u ca io e a sc i ica i u ca io e
i c o k i u ca io a e o i u ca io [15] [ ] e sim es e am e o a sa e- o e i u ca io i o e- ime sio is gi e y e y amica sys em = A
[33] o is sys em as o c i ica oi s o = e e is o y o e c i ica
oi x = a e ec o ie fax) = — A is s uc u a y u s a e o > e c i ica oi x = ic is s a e w i e e c i ica oi x = — / is u s a e A
a sc i ica i u ca io i 1- ime sio occu s w e e c i ica oi s o e sys em u e go c a ge o s a i i y A sim e e am e o suc a sys em is ± = — A wi c i ica oi s x = a x = A. o < e oi x = is s a e a e oi x = p is u s a e o = e e is o y o e c i ica oi x = a o p, >
e e a e wo c i ica oi s x = a x = p, agai u x = is u s a e a x = p, is s a e i is esis o y ge e a i a io s o i c o k i u ca io s a e iscusse i e ai (i Sec io 1 A wo- ime sio a y amica sys em u e goes a o
i u ca io w e a c i ica oi c a ges s a i i y a a e io ic o i comes i o e is e ce
Mos e is i g esu s o i u ca io o i a ia se s o y amica sys ems i c u i g i c o k i u ca io s a e imi e o oi s o i us a ew cases i a ia cu es Ou mai esu is o o i e su icie co i io s o a i c o k i u ca io o i a ia com ac y e su aces o a y ime sio We o ai ea i y e i ia e c i e ia o i e i yi g suc g o a i c o k i u ca io s a we i us a e e use 4
o ese c i e ia i a e am e a a a ica io o a isc e e y amica mo e o com e i g s ecies A ie i o uc io o i c o k i u ca io s w ic a e e ocus o is esis is o i e i e o owi g sec io e i i io s a a a ogous i o ma io a ou o e i u ca io s ca e ou i [33] a i [ 7]
1 i c o k i u ca io i c o k i u ca io s ea e ame ue o e ac a e i u ca io iag am o a o e- a ame e ami y o y amica sys ems i y ica y ooks ike a i c o k as s ow i igu e 1 1
I igu e 1 1 e o i o a a is e o es e a ame e a e e ica a is e o es e a ia e x. e e ica a ows i ica e e ow o a i e u i c o k i u ca io s o i e oi s o isc e e a co i uous y amica sys ems i a e ee wi e y s u ie e o owi g eo em i o a e i e e mi a e o igi gi es su icie co i io s o a i c o k i u ca io o occu
[9] Y e e is a i Y a (—a a i g a si g Y s a Y i Y oi a a i e a
( a a i g ee i e oi s ( wo o w ic a e s a e a se a a e y Y i w ic is u s a e is y e o i u ca io is ca e a i c o k i u ca io
Co i io (1 ca e e a e s ig y A ge e a i a io o e eo ems a o e gi i g co i io s o a i c o k i u ca io o a i e oi o occu i [33] is as
o ows
h r .2. (S t r . Su ose a f (xo , = 0, a a Y ma i
A = ( o A as a sim e Yige a ue = wi Yige ec o a a A as a Yige ec o w co es o i g o eige a ue = u Y mo Y su osY a A as k eige a uYs wi ega i e ea a ( — k — 1 YigY a ues wi osi i Y ea a a a Y o owi g co i io s a e sa is iY ema k 1 o e a So omayo s eo em oes o o i e case w e YA =
u im si ce a i g a o e- ime sio a ce e ma i o a is a key i g e ie o e oo
A o e ge e a i a io o i c o k i u ca io s is a o a i c o k i u ca io o a e io ic o i e o owi g eo em gi es co i io s o e e mi e a i c o k i u ca io o a e io ic o i [33] has a periodic orbit b C E and that P(s, pt) denotYs the Poincare map for o defined in a nYighborhood Arj(0,A ). If the following conditions hold
then a pitchfork bifurcation occurs at the non-hyperbolic periodic orbit o at the bifurcation value p, = p,o.
I e a o e eo em DP e o es a ia e i a i es o P(s, wi es ec o e s a ia a ia e s.
e isc e e e sio o eo em 1 1 is as o ows [ 7]
h r .2. . Consider thY differencY equation
As a ge e a i a io i a y i a ia o ec i u ca i g i o co ies o i se a c a gi g s a i i y is sai o u e go a i c o k i u ca io [13] o a i c o k-
y e i u ca io [ ] [3 ] Ou e i i io i Sec io 3 is s ig y mo e ge e a
i c o k i u ca io s a e ee o se e i ysica sys ems as i [ ] w e e e au o s i es iga e e e ec s o a yi g e ec ic a mag e ic ie s o a omoge ous 8
- ye a ig e ema ic iqui c ys a w ic ies e wee a a e a es; i [ 7] w e e e au o s co si e e a s e se i a io s o a s i i g isc; a io ogica sys ems as i [1 ] w e e e au o e ami es a e ay- i e e ia equa io mo e i g a e wo k o wo eu o s wi memo y
So omayo s eo em 1 3 ge e a i es e i c o k i u ca io o a oi i o a o a oi i 1 1 11 eo em 1 gi es co i io s o e e mi e a
i c o k i u ca io o a imi cyc e i A oug a y i a ia o ec i A c a gi g s a i i y a ge e a i g wo i u ca e co ies o i se is ecog i e as a i c o k i u ca io o eo e ica esu s a o i e su icie co i io s o i s occu e ce a e ou i e i e a u e A a y ica iscussio s o i c o k (o
i c o k y e i u ca io s ca e ou o a icu a c asses o y amica sys ems e g [13] w e e e au o iscusses a quasi- e io ica y o ce ma ume ica
esu s a ou i c o k i u ca io s ca e ou i [3 ] a [ ] A a go i m o com u e i a ia ma i o s o equi i ium oi s a e io ic o i s ca e ou i [ 3] So wa e ackages suc as Au o a e O -me o o ame a ew ca e ou o www y amica sys ems o g/sw/sw ( as o u e w ic ea wi a ious ki s o i u ca io s a i a ia ma i o s I is im o a o s u y i a ia ma i o s i o e o k ow e g o a y amics o a sys em e c assica
i c o k i u ca io co ce s a i e oi (i a ia co ime sio -1 su ma i o o
e ea i e om a ma ema ica iew oi i is e e o e a u a a im o a o i es iga e ig e ime sio a e e sio s o is eo em o i a ia co ime sio -1 su ma i o s o a Euc i ea m-s ace Acco i g y we ask u e w a co i io s a i a ia ma i o o a ( isc e e o co i uous y amica sys em u e goes a i c o k i u ca io ? We o i e a ai y com e e a swe o is ques io i
is esis We gi e su icie co i io s o a com ac co ec e ou a y ess co ime sio -1 i a ia su ma i o o Am o u e go a i c o k i u ca io e
oo o e eo em i o es em oyi g oo s om i e e ia o o ogy a i i g
ecise es ima es o o ms o a ia e i a i es o ma s a ec o ie s e a e
esu s ou i e i e a u e a e s a e i eo ems 1 1 1 3 1 a 1 5
As me io e ea ie i e eo e ica wo k as ee o e o ig e ime sio a
i u ca io s
We wi i us a e e i c o k i u ca io eo em i a ca o ica e am e a i e isc e e e sio o e o ka- o e a mo e I e o owi g sec io e
o ka- o e a mo e a i s sig i ica ce is esc i e ie y
. Ab t th t lt rr M d l
i o o e a e e o e a se ies o ma ema ica mo e s o e i e ac io o wo o mo e s ecies i 19 [ 5] e was a ea y a e i e ma ema icia a a ime a came u wi e mo e s i o e o e ai e s a is ica s u y o is o u a io s
o e y e io ogis um e o A co a A e o ka i e e e y o mu a e ma y o e same mo e s as o e a i 19 5 [ 5] o s u y e a o - ey sys ems w e e e ey was a a o u a io a e e a o was a e i o ous a ima
[7] e o ka- o e a mo e was o e o e ea ies ma ema ica y ase e a o -
ey mo e s A oug i is e icie i esc i i g some e a o - ey sys ems e
o ka- o e a mo e as ecome e asis o ma y success u mo e s i o u a io
y amics e co i uous o ka- o e a e a o - ey mo e s a ei ge e a i a i
-o s a e si ce ee s u ie e e si e y Some o e e ious wo k o e i c u es a ge e a i a io o e o igi a mo e o i c u e su o u a io s [1] ee i e e mo e s eac wi i s s ecies e owe wi i e e o ima e a io o o ai i g
oo [ ] a a a a ysis o a ee- ime sio a o ka- o e a sys em co sis i g o
wo e a o s a o e ey [39]
e isc e e e sio o e o ka- o e a sys em is co si e e o i s a ce i
[ 3] [ ] w e e e au o s iscuss e o e ia co e ge ce o so u io s o e isc e e 0
o ka- o e a sys em a i [5] w e e e au o s a a y e i u ca io s o ai a e
om a isc e e o ka- o e a mo e i some a ges o a ame e s
O um [31] s owe a e io ic so u io s ca occu i ce ai wo- o u a io co i uous o ka- o e a y amica mo e s We wi s ow i C a e Sec io
a wo- o u a io isc e e o ka- o e a mo e s a a e i a ia c ose cu es ca i u ca e i o a ai o s a e i a ia c ose cu es i acco a ce wi ou
i u ca io eo em
.4 Or n z t n f th h
is esis is o ga i e as o ows I Sec io 1 we s a e e e i i io s o e ms use i C a e s 3 a Sec io co ai s e s a eme s o eo ems use i e
oo i C a e 3 is is o owe y ou e i i io s i Sec io 3 I C a e 3 we
o e e i c o k i u ca io eo em o i a ia ma i o s o isc e e y amica sys ems i Sec io 3 C a e co ai s i us a io s o e i c o k i u ca io
eo em o e i C a e 3 I Sec io 1 e eo em is i us a e o a ca o ica e am e I Sec io e eo em is a ie o a isc e e o ka- o e a mo e
I C a e 5 we o e e i c o k i u ca io eo em o co i uous y amica sys ems i a y we iscuss e esu s o ai e a u u e i ec io s i C a e C A E 2
MA EMA ICA E IMI A IES
I is c a e we s a e e asic e i i io s a eo ems a we wi use i
C a e s 3 a e i i io s a eo ems a o g wi some e e e ces a e s a e i
Sec io 1 a Sec io e ew e i i io s gi e i 3 a e gi e o s a e ou
esu s co cise y
2. f n t n
f n t n 2. . . A t n d r t d n l t e e i g o a a ame e is a seque ce i o = 1 suc a eac e eme a e e i s o e is e a e o e ious e eme s y a e a io o e y e -1 = ( ii w e e
f n t n 2. .2. A u c io 1/ A - w e e A a a e su se s o a Euc i ea s ace is sai o e a p h tz u c io i e e e is s a co s a c sa is yi g C e i sc i co s a ( o a i sc i u c io 7/ is e i e as e mi imum o a co s a s
a sa is y e i sc i co i io o 7/ [ ]
We e o e e se o a i sc i u c io s om A o y e sym o i (A
f n t n 2. . . A C 1 ma -+ Y o su se s o wo Euc i ea s aces is a d ff rph i i is o e o o e a o o a i e i e se ma -1 Y - is a so C 1 I suc a ma e is s a Y a e sai o e C 1 d ff rph . [ 9]
f n t n 2. .4. A su se M o m is sai o e a d n n l n f ld i M is oca y i eomo ism o k is mea s a E M 3 a eig o oo o i
M a is i eomo ic o a o e su se U o k [ 9]
[1 ] So a (m — - ime sio a ma i o MC im is o co ime sio - A ma i o o co ime sio -1 i Am is sai o e a y e su ace
W e e so u io o o i s uc u e o a y amica sys em c a ges qua i a i e y u e e i ue ce o a c a gi g a ame e we say a a b f r t n as occu e
a is e o i s uc u e o e y amica sys em e o e e i u ca io is o
o o ogica y equi a e o e o i s uc u e a e e i u ca io e a ue o e
a ame e a w ic e c a ge occu s is sai o e a i u ca io a ue [33] y ica y
i u ca io s a e u e s oo y awi g ase o ai s a i u ca io iag ams
f n t n 2. . . Co si e a isc e e y amica sys em i gi e y +i = Fijx ).
I o is a i u ca io a ue suc a e i e oi s a e gi e y a U-s a e cu e i e p, — x a e o e i g o e e o o e ig wi a o e cu e c ossi g
e e e o e U e is i u ca io is ca e a p t hf r b f r t n. is is i us a e i igu e 1 [3 ] 13
I igu e 1 o < x = is a s a e i e oi o ,u, x = is a u s a e i e oi a +01, a e s a e i e oi s
eo ems
eo em 1 ( o a - ouwe se a a io eo em Let M be a compact, connected hypersurface in Wm. Then R\M = D o U D 1 where each Do and D 1 is an open connected set, D1 is a compact manifold with boundary OA = M. [16]
is mea s a e com eme o M i i es i o a "ou e " u ou e
egio o a a "i e " ou e egio D1 suc a e ou a y o e c osu e o e i e egio is e y e su ace M. 4
I a icu a w e M is a y e su ace i I e e eig o oo eo em im ies a M(e) is omeomo ic o M x (-1,1) suc a M is ma e o o
M x {O o e a i is a su me sio i i is a su me sio a e e y oi x E M(f).
a is e e i a i e o i a e oi x, thr : T (M(f)) —> T,( )(M), om e
a ge s ace a x o e a ge s ace a i ( is a su ec io I e €- eig o oo
eo em i es ic e o M is a i e i y o M, Ri m = id.
2. f n t n
e M e a co ime sio -1 com ac ou a y ess ma i o i m e y e
o a - ouwe se a a io eo em ( eo em 1 M i i es R\M i o a ou e u ou e egio a i a i e ou e egio
f n t n 2. . . Wi M as a o e a Fm , a i eomo ism i a eig o oo
M(c) o M w ic ea es M i a ia we say a F , is d pr rv n i o e e y x i e i e ou e egio F, (x) a so ies i e i e egio a o e e y x i
e ou e u ou e egio F(x) a so ies i e ou e egio
f n t n 2. .2. Wi M a as a o e we say a F is d r v r n i o e e y x i e i e ou e egio F ,(x) ies i e ou e egio a o e e y x i e ou e u ou e egio F, (x) ies i e i e egio
A a ogous o e e i i io o a i c o k i u ca io i we e i e a i c o k
i u ca io o i a ia ma i o s i Am as o ows
a M is oca y a ac i g ( e e i g o a M is oca y e e i g (a ac i g o g o a i a i io wo oca y a ac i g ( e e i g m-i a ia i eomo ic co ies o M i M_ a M+ e is o a o e we say a M as u e go e a p t hf r b f r t n a o
A i c o k i u ca io o a s e e i 11 is i us a e i igu es a 3
I e e i i io a o e i oes o ma e w a a e s i e i e a ( go
I is y ica y assume a e i e a ( o is sma I I coi ci es wi io si ce e ma i o u e co si e a io is us a oi u o ig e ime sio s
o a oi s o e ma i o may u e go a i c o k i u ca io a e same ime
W e oa a e oi s o e ma i o a e i u ca e a we a e wo ew
i eomo ic co ies o e o igi a ma i o 1
o e am e i a oi s o a ci c e a e i e is ca a a y e usi g e 1- ime sio a i c o k i u ca io eo em u i o e i gs ca e muc mo e com ica e S i u ca es EoIB- as i us a e i o i Si igu e a [
igu e As u i c eases eyo M s a s o i u ca e e i e me ia e s uc u es a e o ma i o s O ce u i c eases eyo u o e ma i o i u ca es i o M_ a M
A a icu a e am e i us a i g igu e a o e ca e co s uc e om e ca o ica e am e gi e i C a e Sec io 1 y e aci g wi e i e me ia e s uc u es i us a e a o e a e sim e I e ma i g ea es a oi s o e i a ia ma i o i e i u ca io o e a o e is e s a es ca e ea i y o e usi g e o e- ime sio a i c o k i u ca io eo em owe e i e y amics o e i a ia ma i o a e mo e com ica e e a a ysis o ossi e i u ca io s wou equi e ec iques a a e o a ai a e i e i e a u e o i is esis e e o e we s a o we o is ques io i e seque C A E
I C O K I U CA IO S ISC E E CASE
I is c a e we s eci y e o a io a asic assum io s i Sec io 3 1 e i
Sec io 3 we s a e a o e ou i c o k i u ca io eo em
. t t n
oug ou is c a e we co si e e isc e e y amica sys em gi e y
e M e a com ac co ec e ou a y ess co ime sio 1 C su ma i o o ai w ic is -i a ia ic E [—a a] e o e a u u a eig o oo o M as
Assume a a is su icie y sma so a
e E eig o oo eo em ( eo em ca e a ie is mea s a e e y e eme E (a ca e u ique y e ese e as = ( y w e e y = ( E M is e oi o M c oses o a E [—a a] is e sig e is a ce i e ou wa
o ma i ec io e wee a M We a so assume a ( (a C (a is e a es us o w i e 1 i co]
e sig e is a ce e wee
is is i us a e i igu e 3 1 8
•
r . FAN, = (fµ , gm.) w e e gm = i o FLU, a i is o ai e om e (- eig o oo eo em
F = ( f , g) o F (r , y) = ( f ( y) , g (r , y)) im ies a
O f (r,y) of (r,y) of (r,y) Oar Obi Obi- 1 Ogi(r,y) Magi (r,y) agi(r,y) D F(r, y) = Or Dy1 Obis 1
Ogi _1(r,y) O gm _ ( y Obi _1 ( y Or • Oyi-1 _
is e m m aco ia ma i o F. We some imes use Dr f(r,y) o e o e a Y
Dye (r, y) e o es (r, y) of a y ay •
a i ea ma om m-1 - e sym o Drg(r, y e o es e co um ec o
Magi ( Y) agm-i (r, Y)1 Or Or
We e o e y 1 1 e s a a Euc i ea o m i a a o ia e Euc i ea s ace im ie y e co e i w ic we a e wo ki g I — y is use as e is a ce e wee a y a su ac io is o ec o s i Am e sym o MI e o es e su o m w e e e su emum is ake o e a a o ia e se
.2 t hf r f r t n f Inv r nt M n f ld
I e a e o c a ge (wi es ec o i e o ma com o e i e a ia
i ec io is s ic y ess a 1 i a so u e a ue e ma i o M wi e oca y a ac i g is is s a e ma ema ica y i y o esis o eo em 3 1 Simi a y
o a e M oca y e e i g we equi e a e c a ge e ou e e ow y 1 as i y o esis 3 y o eses a 5 esc i e oca y a ac i g o e ies i a eig o oo away om M w ic is w e e ou ew i u ca e ma i o s M_ a M+ wi esi e y o eses a 7 a e o ai e a a y ica y a a e ee e i o e o es a is e e is e ce o ma i o s M_ a M+ as g a s o a i e
oi ( i sc i u c io i a a ac s ace e as y o esis es a is es a
i eomo ism e wee M a M+ y gua a eei g equico i ui y a ou e ess o e e i a i es o co s uc e u c io s a ikewise e wee M a M_ ese 20 i eas s a ecome c ea as e oo u o s a a e e ema ks o owi g e
oo
h r .2. . With F1, and M as in Section 3.1, supposY that the following statYmYnts hold.
r .2 A is e a k s a e egio a is co ai e i si e K(1). 2
e o eac E ( * a 3 co ime sio -1 ma i o s Wm a M_( suc
a o M+ a M_( a Y -i a ia oca y a ac i g a C i eomo ic
o M M is oca y Y e i g a o a = ( y E M a o a
= ( y E M_
i com o e o m w e e a A( i is (c e sig e --+y is a ce e wee g FA( y a g A (c -- M is e o ec io i o (y o ( F y o M e ma i is as e i e i e € eig o oo eo em ( eo em
C aim M is oca y a ac i g o a E [-a,
oo o C aim Co si e a oi ( o Yo E (c We e i e ( y o e e oi o ai e y a yi g e - o com osi io o wi i se o ( o yo e 22
y e mea a ue eo em W e ce
w ic im ies a
a is o a y i i ia oi ( o yo i e eig o oo (c o M ( o Yo co e ges o M I o ows a M is oca y a ac i g o a e [—a
C aim M is oca y e e i g o i E ( a] oo o C aim o owi g e same s e s as a o e we i a
w e e e 17-7 1 is su icie y sma owi g o y o esis 3 Acco i g y e i e a es
{ „} mus e e ua y ea e a y su icie y i u u a eig o oo o M o i E ( a] w ic mea s a M is oca y e e i g
We ow i a ii E ( a] a su ess i e o a io o sim ici y o egi wi we s a o e e e is e ce o M+ as a -i a ia ma i o omeomo ic o 2
M I su ices o o e e e is e ce o M+ as e e is e ce o M_ ca e es a is e i e same way O se e a M+ is i a ia i (M+ C M+ We s a seek M+ i e o m o e g a o a co i uous u c io o e M e i e as
w e e M+ C Ki 71 M " a (y y E M
e o a y E M, we a e a ( (y y E M+ iff ( (y y = (0(z), E M+ , w ic is equi a e o
is a i eomo ism e ce F-1 (0(z), = ( (y y w ic im ies a
w e e -1 = ( " Com i i g equa io s (3 1 a (3 we i a M + is i a ia i sa is ies e u c io a equa io
e i (A e o e e se o a i sc i u c io s (as i e i i io 1
om A o e L(0) e o e e i sc i co s a o a i sc i u c io 0, a r, = {( (y y y e M} e o e e g a o 0. ow e i e e se 24
M is com ac a ± U { } is c ose e se o a co i uous u c io s om M o
1 + U { } wi su o m o ms a a ac s ace Mo eo e i 7 „ — as oo i is c ea a is a so i sc i wi i sc i co s a o g ea e a o e o see
Si ce E > is a i a i y sma i o ows a
Si ce K(µ is c ose K(µ co ai s a i s imi oi s e e o e o E K(µ o a
im ies a
e ce is a com e e o me i ea s ace
I iew o (3 3 we e i e a o e a o 7 o as o ows ( is co i uous si ce i is a com osi io o co i uous u c io s ow i
o ows om e mea a ue eo em a e e i i io o X a
w e e = su { ( y E Kip)}. e a o e i equa i y o ows ecause is a
fl nt n xxr th . n rh tv nnf t nt < M n
e wo i equa i ies o ai e a o e oge e wi y o esis 7 im y a 26
We s a ow s ow a is a co ac io ma i g Usi g y o esis a
e mea a ue eo em we com u e a ow co si e I/) E X. y e i i io we a e
si ce F is a i eomo ism a
N(c). e o e y a rob C K im ies a (1b(z), z) E K o e e y a e eme o M. W e ce
is im ies a C aim M± e is s a is oca y a ac i g
oo o C aim We ow e i e M+ as e g a o as o ows
w e e is as a o e is o es e e is e ce o M+ S a i i y o M+ o ows i ec y
om i s e i i io as e g a o a i e oi ( u c io o a co ac io ma i g
o owi g e a gume s use o o e s a i i y o M a usi g y o esis 5 we
ea i y e i y a M+ is oca y a ac i g
C aim M± is omeomo ic o M
oo o C aim Let M — M± be defined as H(y) := (4)(y), y). Then is i ec i e su ec i e a co i uous -1 e is s a is a so i ec i e a su ec i e
( i ec i e Si ce M+ is com ac -1 is a so co i uous [ ] e ce e ma i o M+ is omeomo ic o M
C aim e u c io is a c ass C 1 ma
oo o C aim eca a is e so u io o e u c io a equa io (3 3 so we
We a so k ow a E i (M R+ U
O a a E,(0) 1 We wi ow co s uc a seque ce o C 1 u c io s 7 w ic co e ges o e usi g e A e a-Asco i eo em ( eo em 3 we wi o e
a is C 1 e e ai s a e as o ows
We co s uc e seque ce {o } i uc i e y e oa i w e e is a co s a
(si ce we a e i e as e i e i y o esis 5 y co s uc io 1 is C 1 a
C( 1 = ow su ose O is e i e a a o is C wi 7 1 We e i e 2
e ie M Ai m e o e e u c io (o I w e e I e o es e i e i y ma o
e seco coo i a e a is ( --= (a0 ( e i is C 1 y e i uc io
y o esis a e ac a i is e com osi io o C ma s a
e e we a e use e ac a o a - a e C I- si ce a -1 a e c ass C
i eomo isms
e seque ce o u c io s O +i(z } co e ges o ( oi wise si ce sa is ies
e u c io a equa io (3 3 e aco ia o on e a ua e a is e 1 (m-1
ma i o e g a ie ec o o o gi e as
owi g o e c ai u e Mo eo e
y co s uc io e ce C(O +i 1 Si ce +i is i e e ia e is im ies a
ii O - i( ii 1 o a E M y i uc io {a n ( } is a seque ce o co i uous
u c io s u i o m y ou e y 1
We wi ow o e e equico i ui y o {I O ( } e ec iques use e ow
a e ac ua y g o a e sio s o e me o s em oye y a ma o oca i a ia
ma i o s [1 ] a e o e o e i sc i o e y o ows a a oac use y
i sc [19] o s u y y e o ic i a ia ma i o s o a y u c io 13 we e i e 0
for all n, where depends only on (5 and is such that ( --- 0 as 5 —p 0. The desired result will be proved by induction as follows.
For any 6 > 0. we define auantities n(6) and r(6) as
Eac o e ou e ms a e a o e is a 1 (m — 1 ec o We wi ow es ima e
e qua i y 11 I T ± 1( 11 Usi g e e i i io s we i a e a s aig o wa ca cu a io a A i g a su ac i g a o ia e e ms yie s l... Yma k 3 1 I e u c io is c ass C A e y o esis is o esse ia I is case equico i ui y o e seque ce o u c io s „ o ows om e mea a ue
eo em Co seque y e A e a-Asco i eo em im ies a e so u io is c ass
C w ic i u im ies a ma i o s A a A+ a e i eomo ic
Yma k 3 I e y amics is com e e y e e mi e y e a u e o e i e
oi s o i g ca e sai o e o i s e wee A a K(i o E (1 ey may e sim y co e gi g o A+ o A_ o may a e a mo e com e s uc u e I
a se se e i c o k i u ca io im ie y eo em 3 1 is a weak o e
Yma k 3 3 A a icu a y use u ea u e o ou oo o e mai esu s eo em
3 1 a eo em 3 is a i is co s uc i e O e ca e e mi e e i u ca e ma i o s o a y esi e accu acy y successi e a o ima io s o e am e o a o ima e M+ ( i e si e- ese i g case o e sim y s a s wi 1 equa
o a sma e oug osi i e co s a a com u es successi e a o ima io s usi g
e u c io a equa io (3 3 e i e a e O o su icie y a ge yie s a a o ima io A a ca e c ose o e a i a i y C1 c ose o Wi a e e o ca e es ima e om e e i i io o e i e a es
Yma k 3 e esu o ai e i Sec io 3 ca e e e e o co i uous
y amica sys ems i e o owi g way Co si e a au o omous y amica sys em
e e e o a a ame e i We e o e e a ec o y s a i g a a i i ia oi
y ( o e ime ma is e i e as 6
y maki g e ig assum io s o e ec o ie F(x, a usi g e g ou
o e ies o { E } a a a ogous esu ca e o e o co i uous y amica sys ems is is o e i Sec io 5 1 C A E 4
I US A IO A A ICA IO O E I C O K I U CA IO EO EM
I is c a e we i us a e eo em 3 1 o e i C a e 3 I Sec io 1 we i us a e i wi a ca o ica e am e I Sec io we i us a e e eo em wi a e am e om o u a io y amics ame y a isc e e e sio o e o ka- o e a sys em o equa io s
4. A C n n l Ex pl
e A E SO ( e s ecia o ogo a g ou o ea ma ices com ise o o ogo a ma ices wi e e mi a 1 e i e a i ea ma LA : n — An as
e ma LA is a a a y ic ( i ea i eomo ism E e y ( —s e e S ac o a ius c is A-i a ia a is
as SA c 3 e su sc i e o es e a ius o e s e e a e ime sio o e s e e is o e ess a e am ie s ace 8
I e o a io o Sec io 3 1 A = S 1 ue o e symme y o e s e e S1 e e y oi i Ai { } ca e u ique y esc i e as ei g a a ia o ec io o S 1
e eig o oo (c is o es ic e y e €- eig o oo eo em owe e
ue o e a u e o um we e c = 5 a co si e e eig o oo (5 = { E
i 1 E [ ]} We ow c eck a a e y o eses s a e i eo em 3 1 a e sa is ie
1 O se e a is si e- ese i g o ii E [ ] si ce A ese es o ie a io
a c i is osi i e a ue
o is e am e
is im ies a a e a c a ge o a ia es
e o e y a A ese es e g is use i o ai i g e a o e e essio
o i a agai i i i g a a gi e ow
is im ies a 40
3 o is e am e = a i I a ; ) 1 1 o a E (0, -A-}. e i imum is a ai e a p, = as i us a e i igu e
.0
.02 , A
6 ` .02 r
.0
0.00 0.0 0.0 0.02 0.02 0.0 0.0 0.04
Figure 4.2 o o s o e ca o ica e am e o = a E [0, -AD].
o is case c ca e c ose o e 15 As i us a e i igu e 3 su 1 w e e A = {( y 15 } A
A
0. 0. 0.0 0 •0.0 0.1 0. 0.2 r
r 4. o o s a o e ca o ica e am e o E [-0.2, 0.2]. 4 w e e 1 m a e osi i e co s a s e ese i g e i a es o e s ecies
Om, es ec i e y a a e ea co s a s e ec i g i ue ces o e i
a es o e a ious s ecies w e i e ac i g wi o e a o e [17] e e is a so a
isc e e e sio o e o ka- o e a mo e a i g e o m 4
a e i i s a muc ic e a mo e com ica e a ge o y amics a oes e co i uous sys em [5] I e isc e e sys em i(n+1) e o es e o u a io o e s ecies O i cou e a ime ( +1 a e co s a s i a aid a e e same mea i g as i e co i uous sys em We co si e e isc e e o ka- o e a y e mo e gi e as
w e e O e, e ese s e ey o u a io a y e e ese s e e a o o u a io a isc e e imes = 1 I is assume a e e is a u imi e amou o oo a ai a e o e ey so a e ey (O) g ows u ou e y i a se ce o e e a o (y I a se ce o e ey i is assume a e e a o ca o sus ai i se a wi e e ua y ie ou o i e a ame e s
e oi (1 1 is a i e oi o F.
ow i o uce a c a ge o a ia es as e = O — 1 = y — 1 Wi is
a s a io e ew sys em o equa io s ecomes
Wi a ame e s c a a b, as e i e a o e ( is a i e oi o e sys em
I ea i y e i ue ce o o e s ecies o e o u a io o a o e s ecies is o
a co s a e ce e coe icie s c i3 a a b may e mo e e as u c io s i s ea o co s a s A i s s e owa s suc a mo e i g wou e o a ow e coe icie s
o e e o a a ame e i a co i uous ma e a is c = chi) a so o w e e e a ame e ca e a ie e i e
a a b a e a ie smoo y so a a = 44
a is a oi s o Si a e i e a is e e i e i y o e ci c e o a ius 1 1 S i is i a ia o id E e i a ia ma i o S is oca y a ac i g I e coe icie s a e a owe o a y suc a i a sma egio E s e coe icie s a a e e e e smoo y e e yw e e e se e
us as i i e ca o ica case a i c o k i u ca io occu s a u = S i o is oca y
e e i g o a i u ca es i o wo s a e 1 -i a ia sim e c ose cu es
C_ a C+ , o e i si e a o e ou si e o S . a is a isc e e o ka- o e a io y e mo e ca e mo i ie i suc a way a i sa is ies e y o esis o eo em
3 1 e e y e i i i g a i c o k i u ca io C A E
I C O K I U CA IO S CO I UOUS CASE
I is c a e we s a e co i io s o a ec o ie so a a i a ia ma i o A wi o e ies e same as i e isc e e case u e goes a i c o k i u ca io
e i ea o e oo is o iew e ow o e sys em as a ma a use e eo em
o e i Sec io 3 We s a e e eo em a gi e e oo i e o owi g sec io
. t hf r f r t n f Inv r nt M n f ld
Co si e a co i uous y amica sys em gi e y
w e e is e sig e is a ce e wee O a e ma i o A a y is e u ique
oi o A c oses o O. eca a is osi i e i O ies i e ou e u ou e egio
4 46 o I m A a is ega i e i O ies i e i e ou e egio o m A Agai as i Sec io 3 1 e o io o i e a ou e egio s is o ai e as a a ica io o
e o a - ouwe se a a io eo em ( eo em 1 o e a = w e
ies o A
We s a assume a e ec o ie N oi s i o (a o a (c o e e y ii i e se [—a a] w ic mea s a osi i e semi-o i s o (5 1 1 a egi i (c ca e e e i is u u a eig o oo o e a = ( i gµ i y-com o e
o m A a ogous o Sec io 3 1 i o ows a i ea es (c i a ia o a
( E [0, oo) x [—a, a] ow we ca w i e 4
w ic is a i ea ma om 1 7 -1 o WI As usua I 1 e o es e s a a Euc i ea o m i a a o ia e Euc i ea s ace a 11 11 e o es e su o m ake o e a a o ia e se e i s y o esis i eo em 3 1 was use o es a is e
oca y a ac i g a oca y e e i g o e ies o i a ia ma i o s We e ace
ose y o eses y a o ia e co i io s o co i uous y amica sys ems e a a y ic es ima es i eo em 3 1 a e e ace y es ima es o ec o ie s so a
e ow o e sys em 0(t, ( y sa is ies e a a y ic es ima es o eo em 3 1
o e e y i e ime t i e i e a [1 ] We wi e use g ou o e ies o ows a es a is e i c o k i u ca io 48
w e e we a e use e o e y f ((O y ii,) = a o ows om e i a ia ce o
A. is im ies a 7 y y o esis a ( is a ec easi g u c io mea s
a e a ec o y mo es c ose o A. e ce A is oca y a ac i g o a i i e i e a [—a A I 0
We i a i e i e a (p,,, a] a o e su i i o e es o e oo y
e i c o k i u ca io eo em o e isc e e case eo em 3 1 o e e y i e t E [1 T as a u ique co ac i e ma i o W+ i e egio Alp) ou si e A si ce T sa is ies a e y o eses We s a ow o e a a i a e e same usi g g ou o e ies o e ow 2
w ic y e a i i i y o e y o e g ou ecomes C A E 6
CO C USIO S
I a ia ma i o s ay a im o a o e i o ga i i g e y amics o a sys em
Em e i g o a i a ia ma i o i e am ie s ace o i es g o a i o ma io a ou e sys em [ 3 ] Muc as ee o e o ume ica y e e mi e i a ia ma i o s o ge e a u c io s a o s eci ic mo e s e mai eo em i C a e
3 eo em 3 1 oes o e y o ume ica me o s I is ge e a i a u e a
o s o a y - ime sio a isc e e y amica sys em a sa is ies e y o eses o e eo em a i a se se e eo em is a sig i ica e e sio o e is i g o e- ime sio a i u ca io esu s
We a e o e a co ime sio 1 com ac i a ia ma i o s i isc e e
y amica sys ems u e go i c o k i u ca io s w e e sys em sa is ies sui a e co i io s y o eses o e eo em a e easi y e i ia e es ima es o e o m o a ia e i a i es o e u c io e e mi i g e isc e e y amica sys em w ic makes is esu we sui e o a a ie y o a ica io s W e e i u ca io
a ame e is e wee a some o io s o A may e oca y e e i g a some oca y a ac i g (i e o ma i ec io so e oo o ou eo em wou
ee o e mo i ie o a e is case w ic is a i e es i g su ec o u u e i es iga io
e case w e e w o e ma i o A i u ca es i o A_ a A+ as i c eases
oug e o co es o s o ic = e ac a ca e g ea e a a ows
o A o e e ua y i u ca e a oes o im ose e es ic io a A i u ca e a a o ce e eo em is s ig y weake a e eo em i o e- ime sio si ce
e eo em oes o e e mi e e y amics o e sys em i e egio e wee a
eig o oo o A a e eig o oo A o A_ a A+
5
e i c o k i u ca io i is assume o e o e s a e i e oi i u ca i g i o wo s a e i e oi s se a a e y a u s a e i e oi We ge e a i e is esu as a com ac co ec e ou a y ess co ime sio -1 oca y a ac i g i a ia su ma i o o W ecomi g oca y e e i g a i u ca i g i o wo oca y a ac i g i eomo ic co ies o i se se a a e y e oca y e e i g ma i o A o e way o o se e a i c o k i u ca io i I is as a a s e sa i e sec io o wo smoo cu es i wo ime sio s (1 s ace ime sio a i 1 a ame e ime sio as s ow i igu e 1 I e ,u — x a e a i c o k i u ca io is e i e sec io o e i e x = a e smoo cu e i = O A a e ac y o e oi ( e cu e ies o o e si e o u = a is a ge o = a ( [ 7] O
is ca e ge e a i e o I + 1 (m s ace ime sio s a 1 a ame e ime sio as a a s e sa i e sec io o a - ime sio a smoo ma i o wi a o e - ime sio a ma i o wi ce ai o e ies a i u e o eac ma i o a 55
the intersection. For instance, if x +i = F(x, p,) is considered in R , then the
phase/parameter space is three-dimensional: 2-space dimensions and 1-parameter
dimension. A pitchfork bifurcation of 5 1 can be easily seen as the intersection of
a cylinder with the surface described by an angel food cake pan. This is shown in
Figure 6.2. The intersection is exactly a circle in the plane ,u = 0. The cylinder
(constructed as the union of S 1 in every plane parallel to /1 = 0) is locally attracting for /I < 0 and locally repelling for > 0. The other surface (constructed as a union of all bifurcated orbits) lies entirely on one side of the plane p, = 0 and is tangent to the plane at exactly the circle of intersection with the cylinder.
igu e Pitchfork bifurcation i as an intersection of two smooth surfaces with appropriate properties.
Estimates required to prove such a theorem can then be compared to our theorem in the case when = 0. Which of the two approaches is more useful remains to be seen.
In the future, more natural applications ought to be found. One of the likely applications may be the three-dimensional larvae-pupa-adults (LPA) model describing 6
e y amics o a ou ee e o u a io e i i ia s A co es o o e ee
i e s ages o a ou ee e is mo e is k ow o e i i e io ic so u io s [1 ] a may e i es iga e o ossi e i u ca io s o wo- ime sio a i a ia ma i o s
e o i u ca io w ic is e i u ca io o a i e oi i o a e io ic o i a c a ge o s a i i y o e i e oi ca e ge e a i e o a co ime sio ma i o A i Am i u ca i g i o a i eomo ism o A Simi a ec iques may e use o o e e is e ce o a o i u ca io wi sui a e assum io s e
o i u ca io is mo e i e es i g a occu s mo e eque y a e i c o k
i u ca io Se e a a ica io s o suc a ge e a i a io a e o esee We wou ike
o e e e ec iques use i is esis o o e o i u ca io s o i a ia ma i o s a i es iga e ei a ica io s
Ou i es iga io as a so aise a um e o i e sec i g ques io s a s ou
e s u ie i u u e esea c amo g w ic a e e o owi g Ca ou ec iques
e use o o ai a ig e ime sio a ge e a i a io o a a sc i ica o o e y e o i u ca io ? I a ea s a ou me o s ca e use o o e e e is e ce o ge e a i e a sc i ica i u ca io s u w e e i a ia ma i o as co ime sio g ea e a o e a i io a y o eses a o e me o s may e equi e o o ai sa is ac o y esu s is i ossi e o o e some use u esu s co ce i g a ia
( is e i u ca io s o e y e iscusse i Sec io 1 1? As we oi e ou ea ie
is may e a e y i icu o em o eso e a may equi e e e e o me o
ew me o s o a a ysis ow ca o e e icie y a y ou mai eo ems i ysica
o em? e a swe e e o ious y e e s o e associa e y amica mo e s
o i s a ce i e sys em as a i s i eg a e e e ma i o s =co s a a e a i a ia a e y o eses o e mai eo em ca e easi y c ecke owe e i suc a i eg a is o a ai a e i is c ea a a mo e e ai e oca y geome ic a a ysis wou e ecessa y ese a e a o ems a we wou ike o s u y i
e u u e E E E CES
[1] ACK E A S MA S A A EA E Y . E E i c io i a ge e a i e o ka- o e a e a o - ey mo e A Ma S oc as ic A a 13 3 ( 7- 97
[ ] A OS E M Ma ema ica A a ysis seco e A iso -Wes ey u is i g Co ea i g Mass - o o - o Mi s O 197
[3] AU I A A ME ICO A W i i g e is o y o y amica sys ems a c aos o gue u ée a e o u io isci i es a cu u es is o ia Ma 9 3 ( 73-339
[ ] I K O G y amica Sys Yms Wi a a e um y u ge Mose Ame ica Ma ema ica Socie y Co oquium u ica io s o I Ame ica Ma ema ica Socie y o i e ce I 19
[5] ACKMO E C E E E A SA ESCU M y amica o e ies o isc e e o ka- o e a equa io s C aos So i o s ac a s 1 13 ( 1 553- 5
[ ] AKE G I MU I T., A A E E S e ee e icks a si io as a i u ca io o em y am S a i i y Sys ems 1 3 (1999 99-331 UK y amics ays Co e e ce (E i u g 199
[7] O E I A CO EMA C S i Y Y ia Equa io s o Wi ey & So s I c ew Yo k 199
[ ] OUKA S A K I A ya u o u c io s o o ka- o e a e a o - ey mo e s wi o ima o agi g e a io Ma io 39 (1999 93-517
[9] C ICO E C O i a y i e e ia Equa io s wi A ica io s o 3 o Y s i A ie Ma ema ics S i ge - e ag ew Yo k 1999
[1 ] CUS I G J. M Cyc e c ai s a e A mo e i e e cY Equ A 9 7 ( 3 55- 7
[11] E CO E F., ISSO - A I A I S i u ca io a a ysis o a ey- e a o coe o u io mo e SIAM A a Ma 3 ( 3 137 -1391 (e ec o ic
[1 ] A IA O a a a sys em mo e i g a eu o e wo k wi memo y i e e ia Equa io s 1 1 ( 1 9-1 9 S ecia issue i ce e a io o ack K a e s 7 i ay a 1 (A a a GA/ is o 199
[13] G E I I G P. o -smoo i c o k i u ca io s isc Y Y Co i y Sys SY ( 57-
57 5
[1 ] GO U I SKY M A SC AE E G Si gu a i ies a G ou s i i u ca io Yo y o I o 51 o A iY Ma ema ica SciY cYs S i ge - e ag ew Yo k 19 5
[15] GUCKE EIME A O MES o i Ya Osci a io s y amica Sys ems a i u ca io s o ec o ie s o o A ie Ma ema ica Scie ces S i ge - e ag ew Yo k 19 3
[1 ] GUI EMI A O ACK A i e e ia o o ogy e ice- a I c E g ewoo C i s 197
[17] A E MA Ma ema ica Mo e s o 1 o C assics i A iY Ma ema ics Socie y o I us ia a A ie Ma ema ics (SIAM i a e ia A 199 Mec a ica i a io s o u a io y amics a a ic ow A i o uc io o a ie ma ema ics e i o e 1977 o igi a
[1 ] A MA O i a y i e e ia Equa io s o 3 o C assics i A iY Ma ema ics Socie y o I us ia a A ie Ma ema ics (SIAM i a e ia A Co ec e e i o e seco (19 e i io [ i k ause os o MA; M 3e 3 ] Wi a o ewo y e e a es
[19] I SC M W UG C C A S U M I a ia Ma i o s S i ge - e ag e i 1977 ec u e o es i Ma ema ics o 5 3
[ ] U A A WES i e e ia Equa io s A y amica Sys ems A oac o 1 o Y s i A iY Ma Yma ics S i ge - e ag ew Yo k 1995 ig e - ime sio a sys ems
[ 1] U A A WES i e e ia Equa io s A y amica Sys ems A oac o 5 o e s i A ie Ma ema ics S i ge - e ag ew Yo k 1995 O i a y i e e ia equa io s Co ec e e i o e 1991 e i io
[ ] IWASAKI M A AKAMU A Y O e co e ge ce o a so u io o e isc e e o ka- o e a sys em I e se o ems 1 ( 15 9-157
[ 3] K AUSKO A SI GA Com u i g geo esic e e se s o g o a (u s a e ma i o s o ec o ie s SIAM A ie y amica Sys ems ( 3 5 -5 9
[ ] A G O W A IOOSS G I e ac io s o o a i c o k i u ca io s I i u ca io o Yms a ei umY ica So u io ( oc Wo ks o U i o mu o mu 19 o 5 o I e a Se ume Ma i k ause ase 19 1 3-13
[ 5] O KA A E emY s o Ma ema ica io ogy ( o mY y u is e u e e i e E eme s o ysica io ogy o e u ica io s I c ew Yo k Y 195
[ ] UG Y e aSa e i a ia se o a si - ime sio a o ka- o e a e a o - ey c ai sys em Sic ua a ue uY ao 5 (19 1 5-15 59
[ 7] MA O A A S I AMAC C I AYA oca i u ca io s i e mo io o s i i g iscs Chaos Solitons Practals 14, ( 3- o i ea y amics a s oc as ic mec a ics
[ ] MA S E E A MCC ACKE M e o i u ca io a i s A ica io s S i ge - e ag ew Yo k 197 Wi co i u io s y C ecko G C i s S C ow o o Gucke eime owa Ko e a o Ma e - a e G Os e ui S Sc ec e Sc mi a S Sma e A ie Ma ema ica Scie ces o 19
[ 9] MI O W Topology Prom the Differentiable Viewpoint. i ce o a ma ks i Ma ema ics i ce o U i e si y ess i ce o 1997 ase o o es y a i W Wea e e ise e i o e 19 5 o igi a
[3 ] MOO E G e ume ica uck i g o a iscoe as ic o I ume ica Me o s o i u ca io o ems ( o mu 19 3 o 7 o I e a Sc i e ei e ume Ma i k ause ase 19 335-3 3
[31] UM E u ame a s o Eco ogy W Sau e s i a e ia 1953
[3 ] SI GA WIE SIG G E I I G A EU E U Mu is a i i y a o smoo i u ca io s i e quasi e io ica y o ce ci c e ma I e a i u C aos A a Sci E g g 11, 1 ( 1 3 5-31 5
[33] E KO i e e ia Equa io s a y amica Sys ems i e o 7 o e s i A ie Ma ema ics S i ge - e ag ew Yo k 1
[3 ] OI CA E Su équi i e u e masse ui e a imee u mou eme e o a io Ac a Ma ema ica 7 (1 5 159-3
[35] A U A YAYA S K COOKE A S O I W o i u ca io i a s oma a osci a o J. Math. Biol. 12, 1 (19 1 1-11
[3 ] AS A S Chaotic Dynamics of Nonlinear Systems. A Wi ey-I e scie ce u ica io o Wi ey & So s I c ew Yo k 199
[37] UE E A AKE S O e a u e o u u e ce Comm Ma ys (1971 1 7-19
[3 ] SA E U isc e e y amica Sys ems e C a e o ess O o U i e si y ess ew Yo k 199 eo y a a ica io s
[39] SEI E G A o ka- o e a e a o - ey sys em i o i g wo e a o s Me o s A A a (1995 - 55
[ ] S U MA Sca i g o i e mi e e a iou o a s a ge o c ao ic a ac o ys e A 59 5 (1999 355-3 5
[ 1] OM es si gu a i es es a ica io s i é e ia es A I s ou ie G e o e (1955-195 3- 7
[ ] OM S uc u a S a i i y a Mo oge Ysis A a ce ook C assics A iso - Wes ey u is i g Com a y A a ce ook og am e woo Ci y CA 19 9 A ou i e o a ge e a eo y o mo e s a s a e om e e c y ow e Wi a o ewo y C Wa i g o
[ 3] SU IMO O S AKAMU A Y A IWASAKI M e isc e e o ka- o e a sys em com u es si gu a a ues I e se o Yms 17 1 ( 1 53-5
[ ] I YASAGA M o i ea Sys ems A a ysis o o C assics i A ie Ma ema ics Socie y o I us ia a A ie Ma ema ics (SIAM i a e ia A e i o e seco (1993 e i io
[ 5] O E A O e e ma ema ic e Memo ie e o e o 19 -19 u ica e a cu a e Acca emia a io a e ei i cei co co co so e Co sig io a io a e e e ice c e Acca emia a io a e ei i cei ome 19
[ ] WIGGI S S G o a i u ca io s a C aos o 73 o A ie Ma Yma ica Scie ces S i ge - e ag ew Yo k 19 A a y ica me o s
[ 7] WIGGI S S I o uc io o A ie o i ea y amica Sys ems a C aos o o e s i A ie Ma Yma ics S i ge - e ag ew Yo k 199
[ ] WIGGI S S o ma y y e o ic I a ia Ma i o s i y amica Sys ems o 1 5 o A ie Ma Yma ica SciY ces S i ge - e ag ew Yo k 199 Wi e assis a ce o Gyo gy a e a Igo Me ic