As Fórmulas Na Arquitectura

Home , Manuel Teixeira Gomes, Nikos Salingaros

Universidades Lusíada

Seminário Internacional de Arquitectura e Matemática, 4.º, Lisboa, 2019 As fórmulas na arquitectura http://hdl.handle.net/11067/5729 https://doi.org/10.34628/2e7f-jg07

Metadados Data de Publicação 2020 Resumo A Arquitectura junta o belo e o tectónico, tornando-os habitáveis à escala humana. Em Novembro de 2019, o IV Seminário Internacional de Arquitectura e Matemática focou as relações entre estas duas disciplinas, uma de puro pensamento abstracto, a outra de síntese construída sobre a Forma, o Espaço e a Ordem. A partir das palestras do Professor Nikos Salingaros, do Professor Renato Saleri e do Professor António Araújo, três domínios temáticos enquadraram as apresentações dos participantes- o pensam... Architecture brings together the beautiful and the tectonic, making it inhabitable on a human scale. The 4th International Seminar on Mathematics and Architecture, held in November 2019, focused on relations between these two matters, one of pure abstract thought and the other of constructed synthesis on Form, Space and Order. From the keynote addresses by Professor Nikos Salingaros, Professor Renato Saleri and Professor Ant6nio Araujo, three main comprehensive themes relating mathematics and ar... Editor Universidade Lusíada Palavras Chave Arquitectura - Matemática Tipo book Revisão de Pares Não Coleções [ILID-CITAD] Livros

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Fátima Silva | Elsa Negas | Rui Seco

AS FÓRMULAS NA ARQUITECTURA: actas do iv seminário internacional de arquitectura e matemática

Universidade Lusíada Editora Lisboa • 2020 BIBLIOTECA NACIONAL DE PORTUGAL – CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO

SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE AQUITECTURA E MATEMÁTICA, 4, Lisboa, 2019

As fórmulas na arquitectura : atas / do 4º Seminário Internacional de Arquitectura e Matemática ; coord. Fátima Silva, Elsa Inês Silva do Rosário Negas, Rui Seco ISBN 978-989-640-236-5

I – SILVA, Fátima, 1963- II – NEGAS, Elsa, 1968- III – SECO, Rui, 1971-

CDU 72

Ficha Técnica

Coordenação editorial Maria de Fátima Silva Elsa Inês Silva do Rosário Negas Rui Jorge Alves Felício Seco da Costa

Título As fórmulas na Arquitectura

Comissão Científica Prof. PhD Arch. Alberto Cruz Reaes Pinto (CITAD, Universidade Lusíada); Prof. PhD Arch. António Luís Ampliato Briones (Universidad de Sevilla); Prof. PhD Arch. Paulo Brito da Silva (CITAD, Universidade Lusíada); Prof. PhD Arch. Carlos Santos (Universidade Lusíada); Prof. PhD Arch. Clara Germana Gonçalves (CITAD, Instituto Superior Manuel Teixeira Gomes (ISMAT)); Prof. PhD Francisco Alonso Ortega Riejos (Universidad de Sevilla); Prof. PhD Horácio Manuel Pereira Bonifácio (Universidade Lusíada); Prof. PhD Arch. Joaquim Marcelino dos Santos (Universidade Lusíada); Prof. PhD Arch. Loai Dabbour (Alzaytoonah University of Jordan); Prof. PhD Luís Borda de Água (CIBIO/InBio); Prof. PhD Luís Câncio Martins (Universidade de Lisboa); Prof. PhD Luís Marques Pinto (Universidade Lusíada); Prof. PhD Maria Adelaide Carreira (Universidade Lusíada); Prof. PhD Arch. Fátima Silva (CITAD, Universidade Lusíada); Prof. PhD Arch. Maria João Soares (CITAD, Universidade Lusíada); Prof. PhD Pedro J. Freitas (Universidade de Lisboa); Prof. PhD Arch. Rogério Amoeda (CITAD, Universidade Lusíada); Prof. PhD Suzana Metello de Nápoles (Universidade de Lisboa); Prof. PhD Arch. Sylvie Duvernoy (Politecnico di Milano); Prof. PhD Teresa Malheiro (Universidade do Minho).

Depósito Legal 478484/20

ISBN 978-989-640-236-5

Local Lisboa

Ano 2020

Editora Universidade Lusíada Editora Rua da Junqueira, 188-198 1349-001 Lisboa Tel.: +351 213 611 560 Fax: +351 213 638 307 URL: http://editora.lis.ulusiada.pt E-mail: [email protected]

Fotocomposição João Paulo Fidalgo

Concepção da capa Projecto ESTEJO

Execução da capa Ana Laranjeira

Impressão e Acabamentos Rainho & Neves – Artes Gráficas Delegação Lisboa | António Silva Branco | Gestor Comercial Telm.: +351 913 012 747 | Tel./fax: +351 214 943 380 E-mail: [email protected]

Tiragem 100

Solicita-se permuta – On prie l’échange – Exchange wanted - Pídese canje – Sollicitiamo scambio – Wir bitten um Austausch Mediateca da Universidade Lusíada Rua da Junqueira, 188-198 – 1349-001 Lisboa Tel.: +351 213 611 560 • Fax: +351 213 638 307 E-mail: [email protected]

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Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnolo- gia, I.P., no âmbito do projecto «UIDB/04026/2020». ÍNDICE

Overture Alberto Reaes Pinto ...... 5

Introduction Fátima Silva, Elsa Negas, Rui Seco...... 7

Keynote Articles

How Mathematics creates meaning in Architecture Nikos Salingaros ...... 11

Computer aided tools for Architectural and Urban automatic generation Renato Saleri Lunazzi ...... 31

Acerca dos métodos de perspectiva esférica no desenho imersivo de Arquitectura AntónioAraújo ...... 45

Peer Reviewed Papers

Aplicaciones de la Perspectiva Cúbica en la Arquitectura, la Ingeniería y el Diseño de Productos Lucas Olivero, António Araújo, Adriana Rossi ...... 63

A revisão do Moderno e a revisitação do Vernáculo: Uma leitura sobre as Geometrias da Pousada de Oliveira do Hospital, de Manuel Tainha Teresa Belo Rodeia, João Miguel Duarte ...... 87

Reality and Metaphor at the Core of Architecture Joaquim Marcelino ...... 111

A Geometrização do Espaço na Cinematografia de Yasujiro Ozu Maria João Soares ...... 127

Fórmulas Temporais: no despertar do pensamento arquitetónico ocidental Emanuel Tareco Ferreira ...... 149

From Classicism to Modernity: Architecture, Mathematics and Beauty Sylvie Duvernoy ...... 175

As fórmulas na arquitectura 3 Teatro Comunale, Ferrara: Geometry and Layout - Debate over the Curve Giampiero Mele, Susanna Clemente ...... 189

Reconhecimento de Padrões em Fachadas Miguel Brito ...... 203

Cidade, Território, Urbanidade: Parametrização da Infraestruturação Urbana Elsa Negas, Rui Seco ...... 225

Simetria: A Medida e o Belo Clara Germana Gonçalves ...... 247

Project Presentation and Guided Tour

Obra de Remate do Palácio Nacional da Ajuda João Carlos dos Santos ...... 265

Exhibition

Interpretação Projectual do Templo de Salomão Alunos do 1º Ano do Curso de Arquitectura da Universidade Lusíada – Lisboa ...... 269

O Número e A Forma: A Matemática Arquitetada Mário Chaves ...... 273

Film Presentation

Geometry of Architecture Suzana M. Nápoles ...... 289

Posters

Bairro dos CTT: Luanda - Angola Jeanne Seixas ...... 293

Editors

Closing Remarks Fátima Silva, Elsa Negas, Rui Seco ...... 303

4 As fórmulas na arquitectura OVERTURE

Hoping that this event will constitute a contribution to those interested in these matters, we thank the organizers, the participants and especially the keynote speakers, the lecturers and the Scientific Commitee, and greet the Director of the Faculty of Architecture and Arts Professor Horácio Bonifácio and all the attendance. I would like to briefly mention that the 4th Seminar on Architecture and Mathematics is part of the scientific work conducted by the Research Group ‘Architecture and Urbanism’, in the Research Centre in Territory, Architecture and Design (CITAD), of the Lusíada University, in Lisbon. These seminars were created and have always been organized by Professors Maria de Fátima Silva and Elsa Negas, members of this Research Center, to whom I thank all the effort and dedication, as I also thank the committed and effective collaboration of the Research Fellow Architect Rui Seco, also part of this team. The wide range of themes of this Seminar is very interesting in the context of Art and Science related subjects. There is a drive towards greater connection between these two fields of knowledge and development and, at the research sphere, technological innovations are often the result of this multidisciplinarity between different areas. There has always existed a very strong connection between Architecture and Mathematics, in the conception and construction of buildings. We easily remember the pyramids of Egypt or the Mayan-Toltec civilization, the Greek and Roman architecture or the construction of buildings until our days, but this relationship comes from the days when man first built his shelters for living, for example, in the shape of a prism cone, with a structure of inclined branches, tied at the top, covered with small branches and leaves, thatched, as, previously, he probably built stone walls at the entrance of the caverns he inhabited, to defend from wild animals, and from the observation of these walls he found out that its stability improved significantly as he staggered the joints of the stones of the different layers that he piled up, thus discovering, over time, the rules of bricklaying and locking, elemental to the construction of walls. In this Seminar, the promotion of multidisciplinary and collaborative initiatives by its organizers should be highlighted.

Alberto Reaes Pinto Coordinator of CITAD Lisbon, 21 November 2019

As fórmulas na arquitectura 5

INTRODUCTION

Fátima Silva, Elsa Negas, Rui Seco CITAD | Lusiada University, Lisbon, Portugal

Architecture brings together the beautiful and the tectonic, making it inhabitable at a human scale. Once again, in this seminar are gathered thoughts on the indispensable correspondence between these two matters, one a pure abstract thought, the other concrete synthesis on Form, Space and Order (Ching, 1989). The Estejo Research Group, from the Research Center in Territory, Architec- ture and Design [CITAD], in association with the School of Architecture and Arts of the Lusíada University, held in Lisbon in November 2019 the 4th International Seminar on Architecture and Mathematics - “Formulas in Architecture”. This year the conference panel featured the special participation of three internationally acknowledged figures, namely:

- Professor Nikos Salingaros of the University of Texas San Antonio, known as one of today’s leading urban planning theorists, which has contributed to the development of concepts such as Fractal City and Biophilia. Professor of Mathematics, he worked with the visionary architect and urbanist Christopher Alexander for twenty years, and has applied science-based techniques to confirm the essential importance of traditional building approaches for human health and wellbeing; - Professor Renato Saleri of the École Nationale Supérieure d’Architecture de Lyon, Head of the Research Unit’s UAV (Unmaned Aerial Vehicles) platform and Director of Architecture Research (including the top 5 “prix de la jeune architecture” in Lyon). His research interests mainly refer to the 3D modeling of heritage artifacts; - Professor António Araújo of the Universidade Aberta, MSc in mathematics in the specialty of Geometry and Topology, and member of the Center for Applied and Fundamental Mathematics of the Lisbon Uni- versity since 2015. He was awarded with the Gulbenkian Prize for Re- search Encouragement in 2000. Considering the interest of the matters that these seminars have been

As fórmulas na arquitectura 7 addressing, the organization opened the participation to a wider spectrum of presentations, within the Lusíada University and throughout the academic community with interest in the field. For this purpose, it was organized a Call for Papers within subjects that relate mathematical thinking and architectural matters, and was undertaken a process of Peer Review with the Scientific Committee, ensuring the interest and quality of the presentations and the scientific standard of the articles of the now published Book of Proceedings. This year’s seminar once again integrated an architecture field visit, to the construction site of the Ajuda National Palace, the completion of the unfinished early 19th century building meant at the time to become the Portuguese royal palace. The new design of the work today in progress was presented by its author, architect João Carlos dos Santos - currently Subdirector of the Cultural Heritage Governmental Department -, who also guided a tour through the building site. Along with the seminar’s works, an exhibition on the thematic of the current interpretation of the Temple of Solomon was also held, by the students of the architecture program of the Faculty of Architecture and Arts, under the guidance of Professor Mário Chaves. It was also exhibited a film about the Geometry of Architecture, presented by Professor Suzana de Nápoles.

8 As fórmulas na arquitectura Keynote Articles

HOW MATHEMATICS CREATES MEANING IN ARCHITECTURE

Nikos A. Salingaros University of Texas at San Antonio

Abstract: Mathematics is about relationships, repeatabil- ity, and nested structures. Regular ordering affects us viscerally because human perception relies upon information reduction through symmetries. Random (disorga- Nikos A. Salingaros nized) information becomes too much for us to process, Architectural theorist and urban- which generates anxiety. Architectural elements are vis- ist, PhD in Physics and Professor ible shapes, and they need to be combined, compared, of Mathematics, Nikos Salingaros counted, grouped, and juxtaposed. This is what our brains worked with visionary architect do automatically. We subconsciously analyze and pro- and urbanist Christopher Alex- cess the information presented in any composition using ander for twenty years in helping mathematical relations. We perceive our world by group- to edit Alexander’s four-volume ing adjoining geometrical elements, via symmetries, into book ‘The Nature of Order’. He has applied science-based techniques larger wholes. We make our way in the world thanks to to confirm the essential importance a mathematical process for making sense of our environ- of traditional building approaches ment. Basic symmetries have a profound effect on compo- for human health and wellbeing. sition and design. Some elements have the same size and He and Michael Mehaffy shared shape (oriented in the same way, or reflected, or rotated), the 2018 Clem Labine Award for and are aligned horizontally or vertically. Their repetitions Traditional Architecture. They have are regularly spaced; otherwise there is no symmetry. Scal- collaborated on many articles and ing symmetry is something entirely distinct, and links books, jointly developing inno- components visually when we see magnified or reduced vative design tools that combine New Urbanist principles with Al- versions of the same thing. This self-similarity at different exandrian design methods. magnifications is a basic feature of a ‘fractal’. Scaling sym- Salingaros is ranked as 11th in the metry is a dominant feature in traditional and vernacular Planetizen survey of the ‘100 most architectures, and is one reason those quite different form important urban thinkers of all time’ languages have meaning for us. Mathematics also relates (https://www.planetizen.com/ components of a whole via their relative number and size. topthinkers/salingaros). The universal distribution law says: “In a complex system, Professor in the University of Tex- there are few large objects, more intermediate-size objects, as San Antonio and guest profes- and many smaller objects, roughly in an inverse-power re- sor in several international universities, he is known for his original lationship”. The number of elements of different sizes we contributions that helped to estab- perceive at the same time should be inversely proportional lish new disciplines such as Bio- to their size. These requirements influence architectural philia, Design Patterns, Complex- composition to have an “ordered” appearance that echoes ity, Neurogeometric design, the traditional and vernacular styles. Fractal City, and the Network City. One of his main books, ‘Unified Ar- Keywords: Architecture; Mathematics; Meaning; Order; chitectural Theory’, initiated a new Symmetries. Theory divulgation line on the archdaily.com platform.

As fórmulas na arquitectura 11 Nikos Salingaros

1. Introduction

Mathematics has historically been tied to architecture as one of its most important tools. In many eras that produced great architecture, an architect combined the professions of architect/mathematician. Architects and structural engineers need mathematical knowledge to make a building stand up. Another side of mathematics relates aesthetic expression to overall form and tectonics. For example, proportional ratios were used to determine relative dimensions of architectural components. Yet in contrast to the down-to-earth applications of mathematics to the engineering of buildings, the aesthetic part is full of mystery and romanticism — unlike what mathematics is actually about. These questions surpass architecture per se and immediately broaden to mathematical definitions of beauty. Can we define formulas for beauty? It is very difficult to do so, although this has not stopped many authors from trying. The results are mixed: at best confusing and of doubtful practical value. Yet there are positive examples, and how do we explain those? What appears to be the case is that the neurological intuition of the designer underlies whatever mathematical method is being used. One case is the much-discussed “Golden Ratio” or “Golden Mean”, which I’m sorry to say does not endow any magical or special meaning to rectangles (Salingaros, 2018). The key to understanding the role of mathematics in design is to discover how mathematical patterns in nature became embedded into our neurological systems. “Beauty” then represents those hard-wired patterns we respond to for reasons that guaranteed survival during our evolution. By investigating those original natural patterns, we come up with a set of basic mathematical tools (Salingaros, 2010; 2019). Notions of entropy, fractals, information compression, simple transformations in a plane, and vector spaces arise as the most relevant tools for assessing architectural compositions. Intuitive beauty summarizes our evolved computational algorithms for survival in an informational environment. Beauty attracts us because we subconsciously interpret it as nourishing; it’s the special type of mathematically-ordered complexity that heals us. “Alien” shapes in our immediate surroundings are the opposite of beautiful. Because they do not remind us of natural shapes that our evolution has programmed us to interpret, they disturb us. Alarm and the “fight or flight” response take over our body until we either have enough information to judge that some object is harmless, or decide to flee. There is more to beauty than utilitarianism: complex recurring patterns are found in inanimate physical structures in the universe; hence some of our key notions of beauty originate with the structure of matter itself (Alexander, 2001). This is physics, not biology. It cannot possibly have anything to do with evolutionary adaptation, because it goes far deeper and was defined before life

12 As fórmulas na arquitectura How mathematics creates meaning in architecture evolved. A geometrical necessity for structural coherence is built into our body, and co-exists with separate aesthetic instincts arising from what is biologically “useful”. A visceral kind of beauty is independent of anybody’s opinion.

2. The Golden Mean and the Fibonacci sequence.

What is called the Golden Mean (or Golden Ratio) is an irrational number approximately equal to 1.618 and usually denoted ϕ (the Greek letter Phi). This number arises as the solution to the problem of subdividing a rectangle into a square x2 and a remaining, smaller rectangle that is similar to (i.e. has the same aspect ratio as) the original large rectangle (Figure 1).

Figure 1. A Golden Mean rectangle in which the piece “left over” after defining a square has the same aspect ratio as the original rectangle.

The geometrical problem is described by the relation ( x + 1 )/x = x , leading to the equation:

x2 = x + 1 (1)

Equation (1) has the positive exact solution x = ϕ = (1 + √5)/2, which is the Golden Mean. The Golden Mean is linked to the Fibonacci sequence. Consider the sequence of positive integers { an } defined by the recursion relation an+2 = an+1

+ an , with a1 = a2 = 1, giving:

{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... } (2)

Starting from 1 and 1 generates the entire sequence, and is the simplest way to describe growth by adding two numbers to obtain the next one.

As fórmulas na arquitectura 13 Nikos Salingaros

One can obtain rational approximations of the Golden Mean ϕ with ever increasing accuracy from the ratios of consecutive numbers in the Fibonacci sequence Equation (2). This result is due to the great astronomer Johannes Kepler (1619). Listing some of these ratios gives the following approximations:

{ … 8/5 = 1.60, 13/8 = 1.625, 21/13 ≈ 1.615 … }

Therefore, the ratio of successive terms in the Fibonacci sequence Equation (2) tends to the Golden Mean ϕ in the limit:

an+1 / an → ϕ = 1.618...

3. Hierarchical subdivisions and scaling.

Any serious theory of architectural design ought to describe hierarchical subdivisions, scaling, and the relationship among distinct scales. I propose that a building should have well-defined subdivisions at dimensions that correspond to powers of e , equal to 2.718… (Salingaros, 1998; 2010). The design method uses the largest dimension L of the structure, making sure that substructures exist very roughly at L/e , L/e2 , L/e3 , etc. all the way down to the size of the granula- tion in the materials themselves (see Figure 2, below). The dimension (size) of components at each of these levels of scale is approximate; what is crucial is that no level of the hierarchy should be missing. Design is linked mathematically with natural growth through hierarchical subdivisions at distinct scales, which is found in a majority of natural structures. There is furthermore a regular geometrical relation among different scales of sub- structure, and in many cases, the scales are related by a single scaling factor. This theory is based on systematic observations and measurements by Christopher Alexander (2001), who found that scaling factors of around 3 (with an extended range roughly between 2 and 5) tend both to predominate in nature, and to be preferred by human observers. The scales in a natural hierarchy are skewed towards the smallest sizes. Growth begins at the infinitesimal scale and develops through an ordered hierarchy up to the largest size. The spacing of different scales is therefore not uniform. There are proportionately more small levels of scale than large scales (Alexander, 2001; Salingaros, 1998; 2010), something that is not obvious from discussions about the size of the scales themselves. I will explain this later. If one wants to recast this scaling theory as a sequence of integer factors so as to compare it to the Fibonacci sequence Equation (2), then successive powers of e can be rounded out to:

14 As fórmulas na arquitectura How mathematics creates meaning in architecture

{ 1, 3, 7, 20, 55, 148, 403, 1097, ... } (3)

This sequence makes more accurate an old prescription sometimes used in traditional design: “subdivide everything by three” (Figure 2). Of course, all that a designer needs is to repeatedly divide by e ≈ 2.718, and most pocket calculators have e built in. The numbers in the sequence (3) have no intrinsic importance: they simply approximate an exponential sequence of scales by integers for the purpose of comparing with Equation (4), below.

Figure 2. Components of a complex structure have, for example, 4 pieces of size 1, 2 pieces of size 3, and 1 piece of size 7.

To clarify the point about scales being distributed more towards the smaller end of the spectrum, let’s generate a set of measures as a guide for some design project, beginning from the smallest perceivable detail at, say, 0.5 mm. Multiplying repeatedly by the scaling factor e gives the following example sizes, where the numbers are rounded off: { 0.5 mm, 1 mm, 4 mm, 10 mm, 3 cm, 7 cm, 20 cm, 55 cm, 1.5 m, 4 m, 11 m } In actual design, the brief and human dimensions fix the larger scales, then the smaller scales are computed from those: here we worked in the opposite direction — from small to large — in order to illustrate the theory. These measurements may be useful or not depending upon whether the larger sizes correspond closely to what a particular design requires. Note that in a structure of 11 m size, there are eight scales smaller than, and only three scales larger than 1 m. The smaller scales are much “tighter”. This is a key to understanding the enor- mous discrepancy between traditional and modernist design (Alexander, 2001; Salingaros, 1998; 2010). The sequence of integer approximations to the powers of e in Equation (3) compares very roughly to alternate terms of the Fibonacci sequence Equation (2). That means that the even terms of the Fibonacci sequence Equation (2) could, if desired, be used for the theory of design based upon a scaling hierarchy:

{ 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987, ... } (4)

As fórmulas na arquitectura 15 Nikos Salingaros

The numbers in Equation (4) can be generated as a sequence { bn } with re-

currence relation bn+2 = 3bn+1 – bn , b1 = 1, b2 = 3. In the limit, ratios of consecutive terms of Equation (4) tend to a number ψ = 2.618… (the Greek letter Psi), which is the positive solution of the equation x2 = 3x – 1. This number ψ is related to the Golden Mean as ψ = ϕ2 = ϕ + 1 ≈ 2.618, and notice that ψ is within 4% of the value of e . All of this discussion attempts to make more useful Alexander’s original findings of scaling by a factor anywhere from 2 to 5 (Alexander, 2001). Design can thus be guided by knowing a sequence of sizes that should be defined very approximately by the tectonics of the structure itself. Where structural members don’t provide a required scale, the architect creates ornament. This is a key point. To the best of my knowledge, architects have never con- sciously implemented this tool (other than sometimes applying the “rule of 3”), yet we universally find built examples with such subdivisions. What probably happened is that builders throughout history simply created subdivisions that “felt right” because those mimicked natural forms. The nested rectangles shown in Figure 3 generate a hierarchy of scales — not ratios of sides — that can then be used to approximately regulate a structure’s subdivisions. A second point is to recognize fractal scaling, where similar components (four “golden” rectangles in this simplified case, but in practice any shape at all) repeat at different magnifications. Scaling similarity is the main characteristic of all fractals, and can be found in many of the world’s most be- loved historical buildings (Alexander, 2001; Salingaros, 1998; 2010).

Figure 3. One could equally well use nested Golden Mean rectangles to generate the alternate Fibonacci numbers, which then define the sizes in a natural scaling hierarchy.

The relative lengths at the top of Figure 3 correspond to the numbers in the sequence Equation (4). Why do we want to use only every other term of the Fibonacci sequence? The reason is that we wish to measure and compare the size of design components using a scaling ratio, and not compare sides of a rectangle that define an aspect ratio.

16 As fórmulas na arquitectura How mathematics creates meaning in architecture

To summarize: the Golden Mean ϕ is useful in human creations in the same way it is found to occur in nature, where it related to the hierarchical scaling that is a consequence of organic growth. A natural hierarchy of scales can be generated by either an exponential or a Fibonacci sequence, which provide a checklist of component sizes. The design method just described assumes that built structures will be approximate, and thus allows for a wide tolerance and considerable deviations from the numbers given above. Thus, in real-world design, one creates an approximate hierarchy of different scales in trying to mimic natural growth as best as possible: not through precision, but through hierarchical complexity. The sim- plistic application of Golden Mean rectangles can lead to minimalist rectangles, which represent the opposite effect to what I am presenting here.

4. Universal (fractal) distribution of sizes

Mathematics relates components of a whole via their relative number and size. The universal distribution law (Salingaros and West, 1999) says: “In a complex system, there are few large objects, more intermediate-size objects, and many smaller objects, roughly in an inverse-power relationship”. This means that the number of elements of different sizes we perceive at the same time should be inversely proportional to their size (see Figure 2, above). More-refined versions of this law follow a scaling index that corresponds to the fractal dimension, and is not simply equal to –1. The components of a fractal are all self-similar through scaling (an additional relationship), which gives it its geometrical coherence.

Let pi be the number of design elements of a certain size xi . Then, the number of elements of each size is inversely proportional to their size, where the constant C is fixed by the largest size, and the power m corresponds to the fractal dimension.

m pi = C/(xi) (5)

In a frequency distribution, sizes xi are measured as lengths, whereas mul- tiplicities pi are integers. Mathematical fractals are generated as an infinite series of scaled-down copies of a single element, and illustrate ideal cases of this law. For the Sierpinski gasket, where the area of a triangle gets progressively subdivided into smaller and smaller triangles, the scaling factor is 2 and the scaling index equals the fractal dimension m = D = ln3/ln2 ≈ 1.58. For the von Koch snowflake, where the sides of a triangle get progressively subdivided into smaller and smaller triangles, the scaling factor is 3 and m = D = ln4/ln3 ≈ 1.26 (Salingaros and West, 1999). The easiest and most practical choice in architectural applications is m = 1.

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The inverse-power law Equation (5) is derived from proportionally distrib- uting entropy among all the available scales in a complex structure (Salingaros and West, 1999). It is also related to the allometric growth law satisfied by many natural and especially biological systems. A fundamental mathematical requirement governs subdivisions of a design or structure, and a scaling law checks those different scales. In addition, we have derived a numerical distribution of objects or components on each scale. This measure applies to fractals. The universal distribution is independent of simple geometric shapes and leads to the coherent structures found in the plant world, where nothing is truly straight. Artificial complex systems also evolve toward such a distribution as they acquire “emergent properties”. Examples include electrical power grids, ecosystems, Internet links, and the structure of languages (Zipf’s Law). The universal (fractal) distribution lies at the basis of human perception. Details on the smaller scale establish the meaning of what we see. Contours, sharp details, and edge features (high spatial frequency) are more important than larger shapes (low spatial frequency) for interpreting visual information of a complex scene. Clinical fMRI studies of brain responses reveal that “representations of scene content are also more strongly conveyed by high than low spatial frequencies” (Berman et al., 2017). This is true even though the global forms are processed first. Coincidentally, linking high spatial frequencies to an image’s meaning explains why a line drawing can capture the character and expression of a person in a portrait. The opposite — minimalist design — eliminates all but the largest shapes, which is the cognitive equivalent to blurring an image (loss of all higher spatial frequencies). There is a very different concept of addition as spatial grouping to generate a larger element that consists of repeated units (spatial periodicity). Copies of the same element along an axis generate a sequence with repeating elements; but without intermediate grouping it becomes difficult to relate the whole to its numerous smaller components. Such a structure disturbs our cognitive experience because of the gap in scales. Monotonous repetition is perceived as unnatu- ral, and makes us uncomfortable because it breaks the fractal distribution law (Salingaros, 2011).

Figure 4. Monotonous repetition violates the fractal distribution law by eliminating intermediate scales.

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Our neurophysiology interprets spatial data by performing something akin to Fourier or wavelet decomposition. Individual brain cells in the visual cortex perceive different spatial frequencies and orientations, which are then combined (DeValois and DeValois, 1988). There are two lessons here for perception. (i) A single spatial frequency depends upon regularity, i.e. translational symmetry. Departures such as irregular spacings are felt as visually dissonant because their encoding requires more neural processing. We instantly notice a spacing that is off, because it creates disjoint regular sequences. (ii) Scenes with one predomi- nant spatial frequency are trivial. Since the brain is designed to analyze complex information having the full range of spatial frequencies it evolved to handle in natural environments, we perceive that something is missing.

5. Counting and grouping reduce informational overload

Even the simplest mathematical notions turn out to be very important for how we perceive our environment. In a virtual operation, the observer compares one geometrical component with another to check whether they match or not. Design elements could be counted when they have more or less the same size, shape, and orientation. Redundancy and similarity of shape reduce information overload. The brain then treats them as copies of the same element. If, on the other hand, dissimilar elements appear in a composition, they need to be accounted for individually, which takes up information processing in our brains that is needed for other life tasks. This is not the end of the story, however. The mere presence of several copies of the same element can still lead to information overload, if their positions are unrelated. Symmetries in position reduce this extra information needed to fix the location of elements distributed in space into a more manageable amount. Visual techniques for doing this use multiple symmetries to form each group, and also define a wide border to contain a group (Alexander, 2001).

Figure 5. Arches group three columns into one repeating unit.

As fórmulas na arquitectura 19 Nikos Salingaros

Information coming from numerous unaligned copies of the same repeating element is difficult to grasp, since our sensory system doesn’t actually count, but perceives numbers visually as patterns (except for some autistic persons who can instantly count a large number of randomly-distributed objects). Psychologically, this effect is known as the “cognitive limit of 7”, which is the maximum number of easily remembered digits, such as a phone number. A large number of elements can be better handled cognitively by grouping them, so that we count the groups instead of the smallest individual elements. Cognition includes the mechanism of “perceptual invariance”, which matches a pattern after displacement, rotation, or scaling of the original. A similarity distance between two visual elements is the number of transformations needed to get from one to the other. The shortest measure equals 1 in the case where an exact copy is displaced by some physical distance. Scaling of concentric figures again equals 1, whereas scaled-up or scaled-down copies at some separa- tion count as 2 (displacement plus the scaling transformation). Our cognitive/ physiological system is not as general as the mathematics, however, since it privi- leges the vertical axis. For repeating design or structural elements to be aligned, they need to have at least one common dimension, with possible variations. Either the repeating elements are regularly spaced, or they are grouped into a more complex unit, which then repeats regularly. Grouping components into a larger perceptual whole fixes the next scale up in the hierarchy. A tilted copy, however, is not subject to the same simple grouping as are those elements with strict translational symmetry. The increased similarity distance of tilted figures counts as a weaker correlation. Scaling symmetry is something entirely distinct from the other types of positioning symmetry, and links components visually when we see magnified or reduced versions of the same thing. This is the basic feature of a fractal (think of a cauliflower), which contains a large number of substructures, all of which are self-similar at different magnifications. Scaling symmetry is a dominant feature in traditional and vernacular architectures, and is one reason those quite different form languages appeal to our innate mathematical sense.

6. Reflectional, rotational, and translational symmetries

Architectural elements as visible shapes need to be combined, compared, counted, and juxtaposed. Very generally, combinatorics and relations are derived from adding, aligning, counting, grouping, and repeating the elements in a composition. These design operations, usually performed subconsciously, trigger our aesthetic response.

20 As fórmulas na arquitectura How mathematics creates meaning in architecture

A general mathematical-visual mechanism by which we interpret our world is to group adjoining geometrical elements via symmetries into larger wholes. For example: (i) two juxtaposed mirror images are joined to make a symmetric whole; (ii) aligned repetitions of the same element are joined to make a larger whole having translational symmetry; (iii) juxtaposed elements that are related via rotation can be grouped into a larger round whole. Symmetric relations order our environment; they also work at a distance, although their strength decreases. We can combine elementary symmetries: for example, translation with reflection into what is known as a ‘glide symmetry’.

Figure 6. Rotational symmetry with repeating elements focuses on an entrance.

To implement translational symmetry in composition, design elements need to have the same size and shape (either oriented in the same way, reflected, or rotated), and be aligned horizontally or vertically. Their repetitions should be regularly spaced: otherwise there is no positioning symmetry. These minimal requirements influence architectural composition to have a certain “ordered” appearance, one that echoes traditional and vernacular styles. Yet this comes from mathematics — supplemented by neuroscience working with physics, which privilege the horizontal and vertical symmetry axes because of gravity — and determines architectural “style”.

7. Privileging the vertical axis

Mathematical notions of “beauty” correspond to what is favored by our sensory system. We are constantly processing information in our immediate environment, comparing and looking for groupings, a task that consumes a lot of metabolic energy. We are often overloaded with environmental information, and

As fórmulas na arquitectura 21 Nikos Salingaros

rely on built-in algorithms to reduce and organize it. If we cannot instantly classify and categorize forms and shapes surrounding us, we continue to process the information indefinitely, which tires us. This is known as “cognitive fatigue”. Of the two means to handle an overwhelming amount of information by actively shaping our surroundings — (i) eliminate it, or (ii) organize it — only the second option endows meaning to the environment. Unfortunately, dominant architectural culture adopted the first option universally ever since the 1920s. It failed to consider human interface requirements. As a result, minimalist environments have no mathematical meaning, and their creators have had to invent intellectual constructs to take its place. But the human body reacts consistently and perceives such places as meaningless (Mehaffy and Salingaros, 2011; 2013). Neurophysiology supports this line of reasoning because specific brain cells are designed to recognize shapes and symmetries. Individual neurons respond to specific colors, simple geometric shapes, distinct orientations (angles), and some rather complex shapes essential to our evolutionary survival. Among the latter are “face-recognition” cells, which respond to bilateral symmetry about a vertical axis, and to a generic facial structure of “mouth” with two “eyes” above (Sussman and Hollander, 2015). Our brain is wired to recognize symmetric com- binations of simpler elements into more complex wholes. Adding a strict neurological constraint, our inner-ear mechanism controlling balance prefers a vertical axis. Consequently, diagonals could and do trigger nausea in the observer. This is the reason why, during millennia, symmetry axes never departed from the vertical, and if they did so by accident (such as in the leaning Campanile of the Cathedral of Pisa, Italy), the result became notorious.

Figure 7. Bilateral symmetry in a building that is reminiscent of a “face”.

Violating the vertical axis, and neglecting reflectional symmetry about a vertical axis, creates anxiety in the viewer. Building façades that lack such bilat-

22 As fórmulas na arquitectura How mathematics creates meaning in architecture eral symmetries either repel us or simply do not register, even as we look directly at them (Sussman and Ward, 2017). Furthermore, if a building’s entrance is not marked using our innate preference for a symmetrical, face-like design, it’s easy to miss. In general, a composition must employ scaling and bilateral symmetries to focus on the entrance to the building. Deliberately avoiding this cognitive rule compromises so many buildings built since the end of World War II, where the design style conspires to hide the entrance.

8. Vector spaces and closure

Through the process of ordering our environment cognitively, the human brain created Mathematics (Lakoff and Nuñez, 2001). Seeking patterns of coherence and consistency, classification simplifies informational disorder and leads to a logic of classes. It is reassuring and satisfying to know what belongs inside a class — defined according to relational rules — and what remains outside. Experiencing an environment where its elements obey a closure property rather than random elements randomly distributed endows it with meaning. Closure in this sense satisfies the brain’s informational need for regularity relations among elements of mathematical classes that we confront in our daily lives. A Vector Space is a collection of objects that can be added and have scaling (i.e. one can magnify each element proportionally). Notions related to a Vector Space correspond in a deep way with our perceptive apparatus. We like to relate the components of what we see in two ways: (i) compare them visually at a distance to determine whether two or more components could be grouped by similarity; and (ii) link components by scaling, where we see magnified or reduced versions of the same thing. Design that incorporates advanced cognitive capabilities is related to a more specialized mathematical framework than a vector space. Since what is presented here is an intuitive investigation, it necessarily mixes mathematical notions with mechanisms of human perception. The treatment of architectural elements relies to a large extent on techniques used in computer graphics. It is useful to identify the visible components of a building or space with vectors in an abstract sense. Two operations, vector addition and multiplication by a scalar, are used here by analogy. Recall the four main axioms for a vector space:

1. The zero (null) vector is in the space. 2. Closure under addition. 3. Closure under reflection. 4. Closure under scaling.

As fórmulas na arquitectura 23 Nikos Salingaros

The zero vector must be something that is perceived as nothing at all. Candidates for the architectural “zero vector” are flat white or gray walls, plate glass, curtain walls, or purely reflective surfaces. Perfectly smooth white, transparent, or totally reflective surfaces do not offer the human eye anything to focus on, and therefore the brain interprets that there is nothing there. Already there is a problem of how to handle the possibility of three tectonically distinct types of zero vector: colorless flat, transparent, or reflective. I do not attempt to answer this question here, but note with alarm that those are the preferred architectural surfaces since the 1920s. A first interpretation of the “negative” of a vector is its spatial reflection in the 2-dimensional visual plane. A design element can be reflected across any axis in that plane. Closure under reflection then corresponds to the inclusion of all elements plus their reflections together in a structure. Design that satisfies this rule will show a collection of compound elements that possess bilateral symmetry. In practice, to do this for every possible element and its reflection would be overwhelming and redundant. Additionally, we have to choose specific axes of reflection rather than include every possible axis in each design. An architectural “vector” grouped together with its spatial reflection creates a coupled symmetric pair, but they do not cancel each other. This is the opposite of the mathematical situation, where the summation of a vector with its negative gives the zero vector. The material situation is more complicated, since addition in the visual plane corresponds with “assembly”, as smaller architectural units (vectors) are assembled into larger ones.

Figure 8. Self-similar arches on different scales.

There is a second type of “opposite” of a tectonic element that takes place in the third dimension, which is along the line of sight. It is a reflection orthogonal to the visual plane. One may define a same-size element with opposite characteristics in the depth dimension. Imagine a bas-relief compared with its negative mould. If we virtually superimpose an architectural element and its opposite in

24 As fórmulas na arquitectura How mathematics creates meaning in architecture depth, normally those should cancel out to leave nothing, i.e. a smooth flat surface. Something here is analogous to the mathematical case. The vector space properties tell us to always have pairs of opposite elements present, and this applies in this second interpretation according to depth. If we have, say, concave and convex moldings somewhere, then, when virtually superimposed, they would cancel out to zero (flat). This application provides a working rule: moldings should be present in equal numbers so that concave and convex parts are balanced visually. Again, this is certainly the case with moldings in traditional and vernacular architectures, and is one reason those appeal to our innate mathematical sense.

9. Scaling similarity

Multiplication by a scalar either magnifies or reduces an architectural element without changing its internal relationships. This operation scales a figure up or down. In an architectural sense, this is a key feature in traditional architectures that include scaled-up or scaled-down copies of elements such as rectangles (door and window openings), and the curves defined in domes and arches. Those shapes are sometimes repeated further in a much scaled-down version employed in the ornamentation. As with the case of including all reflections of every architectural element, which is impossible, we cannot include all possible magnifications of elements. Actually, it is found that scaling only occurs in a discrete hierarchy, so that the architect determines larger and smaller sizes by using a fixed scaling factor. This means that the mathematics describes not a Vector Space but a Module over the Geometric Sequence of powers of e ≈ 2.7, { en }. (The sequence is not quite an Abelian Cyclic Multiplicative Group, since there is a maximum power determined by the size of the building. Exponentials are preferable to Fibonacci numbers, which do not close under multiplication because of Carmichael’s Theorem). The Module defined here requires all copies of an element scaled by the factors en to be present. In practice, this process selects a discrete set of scaled copies from all possible scaled copies to include in a design. Creating a whole that is an assembly of self-similar copies defined by some scaling factor is a central feature of fractals. The architectural vectors are spatially quantized by the necessity for fractal scaling, to make them compatible with hierarchical systems. The scaling ratio of e was proposed at the beginning of this paper, which seems to satisfy a large number of traditional buildings in the architecture of many cultures around the world (Salingaros, 1998).

As fórmulas na arquitectura 25 Nikos Salingaros

Figure 9. Fractal scaling constrains magnifications to obey a discrete scaling factor.

10. Vector addition generates coherence

Elements that we use to define an architectural vector space must be additive. Note that there are distinct types of addition: (i) alignment and assembly, and (ii) virtual superposition through comparison. Intuitively, creating our environment involves adding tectonic elements physically to each other, and also grouping them visually. We can perceive whether two components, either adjoining, or situated at some distance from each other, add to create a harmonious larger whole. This is the concept of addition in systems theory, where components combine to create a larger system, and is very different from the usual vector space addition. Addition is impossible when two components clash, so that putting them together (either physically or virtually) creates a fragmented or otherwise in- harmonious juxtaposition. In that case, the two elements are not additive; hence do not belong inside the same architectural space. Addition depends upon the simplest geometrical relationships: alignment, complementary fit, similar size, etc. The addition operation creates wholeness in the sense of Alexander (2001). Alexander has already detailed 15 operations that bring matter together in a way that generates more complex yet coherent larger-scale structure (Alexander, 2001; Salingaros, 2010). One characteristic of coherent groupings created by addition through alignment and assembly is the presence of multiple symmetries. This implies that the addition operation of design vectors acts together and depends upon a process for creating symmetries. For example, addition as the assembly of complementary pairs leads to alternating repetition, a universal property documented by Alexander (Alexander, 2001; Salingaros, 2010). The corollary holds true: vectors that are not related by some type of symmetry do not add. This underlies an important connection between addition in the systemic sense and symmetry.

26 As fórmulas na arquitectura How mathematics creates meaning in architecture

Addition also presupposes some measure of affinity among the constituent elements, whether they are simple or compound. Tectonic and design elements could share the same material, shape, texture, etc. Commonality makes it possible to “add” spatially-separated vectors, whereas too great a dissimilarity marks them as incompatible. If they cannot otherwise be related by another mechanism such as symmetry, then the addition operation cannot be performed, and they do not belong in the same architectural space.

Figure 10. Building deliberately misaligns elements to violate the architectural space.

To summarize the addition operation, vectors add or don’t add at a distance according to their symmetric relationship to each other. If they do add, they do so in a way to generate a larger element on a much larger scale as themselves. Local addition is also a process that seems to create larger wholes, as for example adding an element to its local reflection. This does not lead to cancellation, but to a coupled symmetric pair.

11. Conclusion: is beauty linked to meaning in architecture?

The brain as an information processor searches for meaning in the environment. Our evolution has prepared us to interpret patterns and classify information. Meaning thus has a biological origin directly linked to our survival and has little to do with ideology, philosophy, or politics. This is the reason why the human body reacts positively in a visceral sense to “beauty” that has healing properties, and why children respond spontaneously to such beauty. By some accident of history that is too involved to go into here, the teaching of design has become focused on doing the opposite of the mathematical tools outlined above. Architects hold a mental model that does not seek to optimize the human-environment relationship. Fashionable design has over several decades eschewed symmetries of all types, violated gravity, and eliminated the smaller

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elements that could define a fractal distribution on a structure’s façade or interior (Mehaffy and Salingaros, 2013). Yet neuroscience identifies those characteristics as healing, and suggests that our body identifies them as elements of “beauty”. This conscious reversal began with an attempt at innovation through breaking from traditional practices that included mechanisms for mathematical coherence. By now this contrary approach to design has been internalized and is no longer questioned (Mehaffy and Salingaros, 2011). Attempts by architects to include design elements I mention as necessary for our sensory well-being are interpreted by the mainstream profession as violating some absolute ethical code. Theoretical explanations within architecture avoid discussing human physiol- ogy and rely instead upon a design exegesis that is reminiscent of cult beliefs (Salingaros, 2014). Traditional and vernacular buildings aside, why is biologically-based beauty reversed in the “approved” architecture of our times? Practitioners who design the form first, as an abstraction, might feel accused and will deny that they are rejecting beauty. The same denial comes from an intellectual community that praises new and older buildings that deliberately reject the necessary mathematical constructs presented here, as well as from an educational system that has been teaching our young architects to exclusively create abstractions (Salingaros, 2017). One reads claims that architecture is all about shaping space for habita- tion and movement, and is not primarily concerned with aesthetics. This statement is misleading and self-justifying, because the majority of buildings that we perceive as psychologically hostile were designed by following a very definite anti-aesthetic. Mathematical rules indeed determine what are the most comfort- able volumes for each function and situation. A solid research basis for adaptive design exists, providing guidelines congruent with the mathematical rules for beauty discussed here. Countless self-builders have relied for millennia on these timeless principles for their projects. Dominant architectural culture shows no interest in this body of work, and pointedly ignores it.

Acknowledgment: Some material is taken from (Salingaros, 2018; 2019). Many thanks to Dr. Dmitry Gokhman for helpful advice.

28 As fórmulas na arquitectura How mathematics creates meaning in architecture

References

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As fórmulas na arquitectura 29 Nikos Salingaros

version of an earlier article published in Meandering Through Mathematics, online 21 February 2012. Salingaros, Nikos A. (2019). “How Mathematics Will Save the Built World!”, Common Edge, 28 January 2019. https://commonedge.org/how-mathematics- will-save-the-built-world/ Salingaros, Nikos A. and West, Bruce J. (1999). “A universal rule for the distribution of sizes”, Environment and Planning B: Planning and Design, Volume 26, pages 909-923. Condensed version (without equations) is Chapter 3 of Principles of Urban Structure, (2005) Amsterdam, Holland: Techne Press. 2nd ed. (2014) Portland, Oregon: Sustasis Press, and Kathmandu, Nepal: Vajra Books. Sussman, Ann and Hollander, Justin B. (2015). Cognitive Architecture, New York: Routledge. Sussman, Ann and Ward, Janice M. (2017). “Game-Changing Eye-Tracking Studies Reveal How We Actually See Architecture”, In: Common Edge, 27 November 2017. http://commonedge.org/game-changing-eye-tracking- studies-reveal-how-we-actually-see-architecture/

30 As fórmulas na arquitectura COMPUTER AIDED TOOLS FOR ARCHITECTURAL AND URBAN AUTOMATIC GENERATION

Renato Saleria Lunazzi UMR CNRS/MC 3495 MAP, Lyon France

Abstract: Computer-aided design tools have been used in Renato Saleri Lunazzi architecture and design offices for more than 30 years. It From the MAP-Aria team, holds must be said that, from the beginning, they have behaved a diploma of Architecture from more like over-equipped drawing tools than as true sup- the Architecture School of Lyon, ports for the creative process. In recent years, additional a Master in Industrial Design modules (plug-ins or dedicated libraries) make it possible from the Domus Academy Milano (Italy), and a Master in computer to enrich the software environments already implemented science and production engi- in creative agencies: whether in the field of design, urban neering, from Aix-Marseille 2 planning or architecture, these tools can generate and op- University. He is Director of re- timize on demand an infinite number of formal or concep- search in architecture (including 5 tual solutions whose feasibility or effectiveness in terms major “prix de la jeune architecture“ of input constraints can be evaluated, for example, by bio- of the city of Lyon), permanent inspired processes. reviewer for the Italian National It is in this context that we put to test some generative tools Agency for the Evaluation able to quickly process hypothetical architectural or urban of Universities and Research Institutes and permanent cor- digital simulacra for a given historical period. respondent and reviewer within Whether for the restoration of the ancient city of Vienna the IUAV University of Venice (France), to show the inhabited slopes of the Fourvière hill in the department “Architettura, during the time of Lugdunum, to illustrate the historic ur- Città e Design”. Co-initiator of the ban fabric of the “Vieux Lyon” district or more recently as “Défi interdisciplinaire Imag’in TAG part of the exhibition “Claude, un empereur au destin sin- 3D project“, he has been work- gulier”, these generative tools are based on current knowl- ing at Ecole Nationale Supérieure edge of the architectural, constructive or stylistic constants d’Architecture de Lyon’s MAP- over time: they thus make it possible to quickly produce Aria laboratory since April 1995 and is currently head of the re- plausible 3D images of squares, streets or buildings during search unit’s UAV platform. the period of interest. His research interests mainly con- Former experiments raised the question of the discontinu- cern 3D modelling of heritage ar- ity of the generative models used, which will have to be tifacts. applied differently not only according to the scale (bay, facade, building, block, district...) but also according to the nature of the objects to be represented (vernacular islets, residential or monumental buildings etc.) or the knowledge available about them (knowledge consistency, diver- gent historical conjectures etc.). The MAP laboratory has developed over time some simple software tools that made it possible to question in depth the structure of generative methods involved in the production of plausible architectural and urban digital reconstructions.

Keywords: Generative tools; Formal grammars; 3D modeling; Architectural heritage.

As fórmulas na arquitectura 31 Renato Saleri

Machines to enhance creativity.

Over the past twenty years, the considerable growth of digital tools has enabled the emergence of technologies capable of imitating and reproducing human behaviour in an increasingly autonomous way. Initially conceived as artifacts capable of repeating tedious tasks over and over again in order to give humans complete freedom to focus on more interesting activities, our contemporary so- cieties are seeing the emergence of a large number of tools capable of assisting us in our daily actions. They are now equipped with behavioural autonomy and are increasingly able to make decisions for us. What a long way has been covered between the first automatons, designed to autonomously reproduce a sequence of predetermined actions, and the devices capable today of potentially replac- ing humans cognitive faculties. But although the idea of “artificial intelligence” already emerged in the early 1950s in Alan Turing’s now famous paper “Com- puting Machinery and Intelligence” (Turing, 1950), it is certain that - even today - one wonders whether a machine is really capable of “thinking”. The MAP laboratory is regularly involved in numerous survey campaigns at many remarkable historic sites. Of course, heritage experts and researchers did not wait for the rise of digital tools to build scientifically plausible restitutions of past Oekumens. During the 2002 and 2003 campaigns in North Africa in particular, we had the opportunity to meet Jean Claude Golvin, who was very involved in the enhancement of ancient heritage through the meticulous and precise drawing of urban spread outs and buildings during antiquity; at that time, the question of the digital formalisation of the artistic and scientific process implemented became obvious to us. In view of J. C. Golvin’s magnificent watercolours, it is legitimate to question the origin of such a formal variety resulting jointly from a scientific rigour and a unique creative intelligence. Certainly, the computer tool lends itself very well to the creation of all different forms from recursive or random formalisms. Nevertheless, it is difficult for them to be able to deviate from the rules introduced at the outset if a creative spark - in the true sense of the term - does not interfere somewhere in the decision-making loop and the generative process put in place has the capacity to free itself from the normative digital pitfalls anticipated by Schön (Schön, 1992) and Chupin (Chupin, 2000) some twenty years ago.

What are computers used for?

In architectural design, creativity is both a myth and a taboo. For a long time, many researchers have been interested in the inadequacy of design assistance tools in terms of creativity and autonomy. To quote J. P. Chupin who himself invokes the work of D. Shön:

32 As fórmulas na arquitectura Computer aided tools for architectural and urban automatic generation

“...architects are far from paying equal attention to process and product. If the introduction of information technology does not certainly increase the architect’s creativity in his mission, most CAD software behaves like over- -equipped drawing assistants: they presuppose both the maturity of the designer and that of the object of his design. To make full use of the potential of digital tools it is not enough to increase their ability to simulate materiality, but at the same time it is important to take over the relationship with the body they anaesthetize“

The essence of the black box at the origin of the creative process cannot thus be altered other than by the mobilization of “situations to think”, the only ones capable of stimulating the creative process by “successive jumps of intuition”. Again according to D. Shön:

“This does not mean that computers are of no use, no assistance in design. Instead, we suggest that research should focus on computer environments that increase the designer’s ability to capture, store, manipulate, organize and reflect on what they see.”

Beyond cognitive faculties, a question that arises today concerns precisely the ability of an artificial system to assist us in “creative” disciplines. Without wishing to supplant inspiration, we are now seeing the emergence of many tools capable of accompanying conceptual exploration, a fragile phase if ever there was one, because it comes from a set of cognitive processes that would be able to understand and produce an indefinite number of new processes. Serendipity, which is frequently used in the creative context to designate a form of intellectual availability, fortuitously brings rich teachings from unexpected discoveries or errors. Moravec’s paradox establishes that often what is difficult in robotics is easier for man (and inversely, what is difficult for humans seems quite easy to computers…): we enter here into the dark space of a black box in which even the most optimistic predictions do not foresee an artificial intelligence supremacy before many decades. Let us consider instead the phenomena that are still poorly understood concerning the interpretation of intelligible data by the human brain, and in particular those with which, in our field, it is interesting to play.

Malevitch’s arkhitectons.

From 1923 to the early 1930s, Kasimir Malevich produced several three-dimensional models, assemblages of abstract forms which appear similar to models of skyscrapers, called “arkhitektons“. The drawings accompanying the construc-

As fórmulas na arquitectura 33 Renato Saleri

tion of the models are called “planits“. The arkhitektons are mostly white plaster models made up by several rectangular blocks added one to another. Usually a central bigger block is the main compositional element and smaller parallelepi- peds are progressively added to it. No function is shown or translated into form, the final shape being the pure result of assembling abstract masses vertically or horizontally. With their spatialization of abstraction and their formal non-objectivity, the arkhitektons embody Malevich effort to translate the suprematist principles of composition to three-dimensional forms and architecture.

“In a series of prismatic, quasi architectural sculptures (which he called ‘Arkhitektons’) [he] sought to demonstrate the timeless laws of architecture underlying the ever changing demands of function. (…) Malevich’s Arkhitek- tons resemble early De Stijl compositions in which ornament is non-figural and ‘form’ and ‘ornament’ are differentiated only by scale. These studies are purely experimental and the buildings have no function and no internal organization.“

Alan Colquhoun: Modern Architecture (Oxford University Press – 2002).

Figure 1. Comparing Malevich Arkhitektons with early generative experiments (1930 / 2002).

Responding to the issues stated by Malevitch in his supremacist manifesto, these formal games not only appeal to interpretative shifts due to their plastic ambiguity but also herald - perhaps unintentionally - the rise of those recursive formalisms that today are called “fractals“.

34 As fórmulas na arquitectura Computer aided tools for architectural and urban automatic generation

The game of ambiguity.

From a perceptual point of view, it is impossible to dissociate the object from its interpretation, neuroscience shows that there are mental processes that lead the individual to over-interpret external stimuli by establishing unmotivat- ed relationships between phenomena: an apophenia is an alteration of perception that leads us to see significant figures in our environment: clouds, vegetation, mineral elements like coatings, stones... Malevich’s architectonics are particularly interesting in this respect because they succeed in unambiguously orienting the observer’s interpretation. We can refer here to one of the most reproduced Magritte’s paintings, “La trahison des images”, with the well known “Ceci n’est pas une pipe“ label, which sows doubt by denying the identity of a subject represented on a painted support just as Malevitch’s arkhitektons do not represent architecture. Playing on this ambiguity most of the objects shown will be able to blur the line between what is shown to be seen and what is expected to be seen.

Figure 2. Our SETI (Search for Extra-intentional creaTIvity) project (2017).

To illustrate the points made above, we will focus on some researches carried out in the laboratory over the past twenty years. Some of these studies come from topics that question the relevance of generative heuristics in project or con-

As fórmulas na arquitectura 35 Renato Saleri

ceptual exploration situations, others illustrate the application of tools capable of validating the hypothesis of guided creativity - like Borges’ literature - by the mere application of combinatorial rules. The parametric construction of architectural objects does not necessarily follow a constructive logic, at least not in its operational expression. In some case it could follow a preliminary decomposition of semantically identifiable architectural entities - naturally responding to the lexical scope of the expressed term - and classifiable by constructive presets: these presets group together homoge- neous elements from a descriptive point of view and can integrate topological descriptors that will make it possible to modify their nature.

The inflexion point of descriptive profitability

What then could be the “smallest morphological polytope“ in architecture? A theoretical but also a physical object which can be transformed and recombined in order to generate the wider variety of architectural forms? Within a top-down strategy, much has been done to point out the best mechanisms able to simplify a given polygonal geometry taking advantage from most recent research in the field of mathematics and topology. Reasoning bottom-up we have highlighted (and experimented) the fact that most of the existing architectures could be decomposed, factorized and then recombined with simple geometric transformations (duplication, translation, scale or rotation) and this at different levels. This could also be useful for real-time rendering pipelines which need incremental representations of a given object to provide fast contextual representations of complex 3D-geometries depending on the distance of the observer. To contextualize the transformation an initial decomposition is made according to the three projection planes: the façade, the section and the plane.

Figure 3. The non-expert mode of the building generator and some of its 3D formalizations (2007).

36 As fórmulas na arquitectura Computer aided tools for architectural and urban automatic generation

Based on rules, these generative assets aim to approximate as closely as possible the external aspect of the models they generate; taking advantage of contextual similarities due to historical and/or geographical proximity the studied subjects, the descriptive model could be even simplified; the underlying description model will so include a reasonably limited set of descriptors, sufficient to distinguish the most formal disparities for a given family of subjects. Thus, faced with a historically coherent fabric, it is relatively easy to produce a cred- ible disparity through a limited set of parameters: the experience shows that to describe banal architecture, the representation of an overwhelming majority of the existing architectural corpus needs no more than ten to twelve simple rules. On the other hand, historical political or religious buildings are often made of a wider expressive disparity whose geometric depiction would probably exceed the descriptive capacities of the conceptual model defined above: it would then be necessary to multiply the descriptive rules to describe an object whose architectural singularity would require a “personal“ set of rules, which would obvi- ously be counterproductive and completely useless in this case.

“. . . In that Empire, the Art of Cartography attained such Perfection that the map of a single Province occupied the entirety of a City, and the map of the Empire, the entirety of a Province. In time, those Unconscionable Maps no longer satisfied, and the Cartographers Guilds struck a Map of the Empire whose size was that of the Empire, and which coincided point for point with it. The following Generations, who were not so fond of the Study of Cartogra- phy as their Forebears had been, saw that that vast map was Useless, and not without some Pitilessness was it, that they delivered it up to the Inclemencies of Sun and Winters. In the Deserts of the West, still today, there are Tattered Ruins of that Map, inhabited by Animals and Beggars; in all the Land there is no other Relic of the Disciplines of Geography.

Suárez Miranda, Viajes de varones prudentes, Libro IV, Cap. XLV, Lérida, 1658”

The cube presents the interest - beyond being one of the least demanding primitives in display resources - to be a very interesting analogon for the low- -level description of architectural forms: the deformation of the cube by its ver- tices, edges or faces constitutes an extremely versatile matter as for the possible ergodicity of its formal possibilities; not only its geometric base can be stretched according to x, y and z but the installation of deformation operators capable of stretching its horizontal (roof) or vertical (ground development) edges make the cube an extremely interesting geometric base. The repetition by juxtaposition or tangle of similar forms at different scales makes it possible to multiply infinitely

As fórmulas na arquitectura 37 Renato Saleri

the possible formal solutions that will make it possible to mime - experience has shown - most of the formal solutions populating our cities. If we add to this a spatially synchronous and quantified placement of plausible textures respecting a certain number of composition rules, we very quickly arrive at a combinatorial variety allowing large built surfaces to be populated without unsightly repetitions. Despite this, however, we very quickly come up against structural repetitions that can lead to formal dystopias reminiscent of certain illustrations by Quino in particular, whose inventiveness has always de- nounced the shortcomings of uniformity and standardization; in this case, we are only able to produce formal outcomes that are certainly all different but essentially all similar, what we call a “disparate uniformity”.

Figure 4. Left alone, the generator can produce an infinity of uniformly disparate shapes… (2007).

Infinite nonsense.

This formal distopia resonates with the issues related to the use of combinatorial formalisms that have interested our research since the beginning. Fol- lowing the chimera described by Borges in his famous account “The Library of Babel”, it is tempting to imagine a device capable - in the field of architecture - of sweeping away, according to a combinatorial logic, all past, present and future architectural production of mankind. Of course, we are not at all in the same gen-

38 As fórmulas na arquitectura Computer aided tools for architectural and urban automatic generation erative paradigm and it is highly likely that the vocabulary elements involved in such a generator would exceed the 24 characters used to populate the Borges library. A very modest attempt was made on the occasion of the first Lyon Archi- tecture Biennale in 2017, during which we left a machine running for only 5 days during the event and which was responsible for randomly producing a mapped projection on the two pillars surrounding the reception area. During the exhibition, nearly 300,000 digital arkhitektons were produced in pairs, most of which went unnoticed, either because of the inattention of the spectators or because the projection took place at night during the closing of the venue. We like the idea of these machines working tirelessly to produce images that no one will be able to see. A little in this logic, we have reproduced an artistic installation on Line that already dates back about ten years: a matrix of pixels turned on or off according to a binary logic; when a pixel has finished its cycle (turned on and off) the adjacent pixel changes state. For practical reasons all pixels are disposed in a square matrix, the logic remaining the same for the “line” pixel as for the adjacent pixel. According to this very simple rule, the occurrence of the state change for each pixel of the matrix will depend on its position in the row and will follow an exponential temporality. Nevertheless, left alone, this system will sweep away all existing binary possibilities and will eventually produce some few happier solutions beyond a universe of meaningless configurations.

Figure 5. The arkhitektones generator Biennale de l’architecture de Lyon (2017).

As fórmulas na arquitectura 39 Renato Saleri

Bio-mimetic processes and optimization of generative strategies.

We have seen that combinatorial strategies, although capable of sweeping away an infinity of formal solutions, are not able to produce interesting solutions in a temporality compatible with human existence. According to this point, current research focuses on those mechanisms that have regulated the generative processes of our biosphere for billions of years. Some of them were theoretically described several decades ago and still constitute today a solid exploratory basis for the ongoing investigations in this very field. For example, L-systems - described during the early 60’ by an hungarian biologist, Aristide Lindenmayer - make it possible to model in space and time some growth phenomena that mimic the growth dynamics involved e.g. in plants evolution. The recursive and auto-similar properties of their structure will allow them to be displayed with incremental levels of detail able to produce evolutionary shapes that model, for example, the transformation of an architectural ensemble built over time. L-systems are based on axioms and rule mechanisms whose formal expression is easily applicable to constructed elements with redundant and self-mimetic characteristics that actually imitates evolutionary process with a recursive regeneration of auto-similar patterns. Experience shows that the structured use of shape variables with a proper set of geometric transformations make it a very efficient 2D and 3D generator. Applied to topological germs specific to architecture, an infinite number of formal varieties can be obtained. Ongoing experiments aim to demonstrate the formal versatility of this model in generating the most disparate morpho stylistic varieties. As seen, recalling Nature with efficient generative paradigms seems to be relevant to discriminate the exponential spread-out of possible solutions of un- controlled growth approaches. However, the drawback of such processes consists in its unpredictability or its poor response to domains where it is hard or impossible to define a computational fitness function. Interactive Genetic Algorithms (IGA) or Aesthetic Selection uses human evaluation for the fitness function, typi- cally when the form of fitness function is not known, such as visual appearance or aesthetics evaluation. It is so possible to use well-established mechanisms that have been experimented by nature for billions of years and that have produced - needless to say - workable results in many areas. Well implemented in today’s 3D tools, some inspired organic formalisms are now used in many fields: although they certainly do not deploy the same functional complexity as their living counterparts, they are extremely gifted at optimizing multi-criteria problems, supervising monitoring operations or assisting in operational decision-making. As said before, it is no longer necessary to go through the tree of possibilities in its entirety, we will be able to make drastic shortcuts in the production of optimal solutions considering set of constraints placed at the beginning and this according to a time span more compatible with the duration of our own existence.

40 As fórmulas na arquitectura Computer aided tools for architectural and urban automatic generation

Figure 6. Some formal results rising from the IGA solver (2009).

An interesting formal experiment led us to implement a set of rectangular figures to be placed on any surface by imposing the following constraints on them: the arrangement of the figures should be as compact as possible without them overlapping. These two constraints - clearly antagonistic - do not have an absolute optimum, there are an infinite number of possible distributions that cor- rectly respond to the constraints imposed and there is no formalism able to point out computationally the optimal configuration. One could test, according to a combinatorial logic that would find its place in the Babel library, all the possible solutions from a discrete distribution of the figures within a given perimeter but this with little chance of extracting - once again - optimal configurations within a reasonable time period. As mentioned, only the use of a bio-inspired algorithm, such as a genetic algorithm, would be able to quickly guide all solutions towards acceptable optimums with regard to the problem initially posed. In this example, we also wanted to involve a human user in the generation process in order to influence it with some subjective preferences. We know that the human user will not necessarily choose among the optimal formal solutions but among those that seem to best meet his subjectively formulated expectations. Experience shows that this action often positively rebuilds the genetic potential of existing popula- tions by introducing - fortuitously - innovative solutions to the problem at hand. We must say that, at the end of this first generative step, the system hybridizes the process by introducing formal rules related to the implementation of architectural environments such as the layout of windows or the shape and slope of roofs.

As fórmulas na arquitectura 41 Renato Saleri

“Interactive Evolutionary Computing methods include Interactive Evolution Strategy (Herdy 1997), Interactive genetic algorithm (Caldwell, Johnston 1991), Interactive Genetic Programming (Sims, 1991) and Human- based genetic algorithm (Kosorukoff, 2001).The application areas of IEC have been spread widely. IEC is a technology that joins human and evolutionary computation in order to optimize target systems based on a cooperative interaction between feature parameters and psychological spaces. Conventional approaches for these human evaluation-based systems have frequently modeled the human evaluation characteristics and embedded the substitute evaluation model in optimization systems. The analytical approach is a common approach in AI research, but it is difficult to lead a model, for example, to resemble a personal preference model.” (Takagi 2001)

Conclusion

Still today the use of computers needs to be improved when invoking creative processes. Natural behaviors wonderfully act as imagination enhancers often within the perceptive boundaries of visual or auditory perception. In this sense we still believe that most of the software is located in the user’s head. Tak- en separately, design assistance tools are still cruelly lacking in decision-making maturity and are still forced to imitate the complex paradigms of human intentionality through formalisms that are certainly sophisticated but still far from “the unknown border, reachable through disruption of all senses.“ (Lettre d’Arthur Rimbaud à Paul Demeny, 15 mai 1871). Besides the impossibility to solve with a single formalism the exhaustive shaping of existing architectural forms across history and cultures, we believe that an artificial creative process cannot be separated - so far - from conscious intentionality to get it out of the trap of “disparate uniformity”.

42 As fórmulas na arquitectura Computer aided tools for architectural and urban automatic generation

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As fórmulas na arquitectura 43 Renato Saleri

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44 As fórmulas na arquitectura SPHERICAL PERSPECTIVE METHODS FOR IMMERSIVE ARCHITECTURAL SKETCHES

António Araújo Universidade Aberta, Lisboa, Portugal

António Araújo Abstract: In this talk we will discuss how to draw spheri- Holds a degree in Physics and a cal perspectives by hand – or with elementary instruments Master in Mathematics, in the spe- such as ruler and compass – that can then be visualized cialty of Geometry and Topology. interactively as virtual reality panoramas. His PhD thesis, with the theme We will consider the cases of equirectangular and fisheye “Legendrian Varieties and Quasi- perspectives, and compare their relative merits as applied Ordinary Hypersurfaces”, was to the practical task of sketching urban landscapes on loca- supervised by Orlando Neto. tion (“urban sketching”) and to drawing from architectural He is Assistant Professor at plans of real or imagined places. Universidade Aberta, having coor- Further we will use this practical task as a prompt to dis- dinated the Degree in Mathematics and Applications and vice-coor- cuss what is, after all, a perspective – as an object of art and dinated the Master in Statistics, as a geometrical entity. We propose a definition that puts Mathematics and Computing. He an ancient concept – anamorphosis – at the center of the received the Gulbenkian Prize study of perspective, both classical and spherical. In this for Research Encouragement in way we stress that immersive visualizations, far from be- 2000, and is researcher at CIAD ing an invention of the digital age, are a storied discipline (Research Center in Arts and in the process of one more periodical revival. Communication) since 2015 and member of the Centre for Applied Keywords: Spherical perspective; Immersive anamorpho- and Fundamental Mathematics of the Lisbon University. He lec- sis; Rational design; Architectural sketches; Virtual reality. tured in Portugal, Austria, Spain, Belgium, France, Germany and England. His main Scientific fields of interest are Lagrangean/ Contact Geometry and Geometry applied to visual arts and computer graphics. He also works as an illustrator, for books and journals, having presented his work in exhibitions and teached in drawing courses and workshops.

As fórmulas na arquitectura 45 António Araújo

ACERCA DOS MÉTODOS DE PERSPECTIVA ESFÉRICA NO DESENHO IMERSIVO DE ARQUITECTURA

Introdução

Este artigo é escrito por um matemático e ilustrador e dirigido a arquitectos. O autor pretende apresentar uma ferramenta que tem desenvolvido – a perspectiva esférica - dizendo o que esta é para si enquanto matemático e ilustrador, esperando que os arquitectos digam para o que ela lhes poderá servir. Sendo ignorante face ao campo da arquitectura, o autor tem uma ferramenta em comum com este - o desenho – que servirá de fio de Ariadne para que não se perca irre- mediavelmente na exposição que se segue.

A perspectiva esférica e as visualizações imersivas

Definiremos muito rapidamente aqui o que é uma perspectiva esférica e a sua relação com as visualizações em realidade virtual. Os detalhes técnicos po- derão ser encontrados em (A. B. Araújo 2018b). A conexão com a perspectiva clássica é longamente discutida em (A. B. Araújo 2016). Se projectarmos conicamente um ambiente 3D sobre uma esfera centrada no olho do observador obtemos uma imagem 2D (um desenho) sobre a esfera. Por exemplo, na figura 1, uma cena envolvendo um corredor e um pátio interior foi projectada sobre a esfera que se pode ver no canto superior esquerdo da figura. Quando vista a partir do centro da esfera, esta imagem seria indistinguível do ce- nário 3D original. Trata-se de uma anamorfose imersiva. Este tipo de anamorfose foi muito explorado no trabalho artístico de Dick Termes (Termes 1998).

Figura 1. A projecção cónica de um cenário 3D sobre uma esfera (canto superior esquerdo) resulta numa anamorfose esférica. Projectando-a sobre um plano obtém-se um desenho em perspectiva esférica. Desenho do autor. Agradecimentos ao meu estudante de Ph.D. Lucas Olivero pela reconstrução da esfera a partir do meu desenho original.

46 As fórmulas na arquitectura Acerca dos métodos de perspectiva esférica no desenho imersivo de arquitectura

Projectando a esfera sobre um plano, usando uma projecção cartográfica compacta, isto é, que projecte toda a esfera sobre um subconjunto limitado do plano, obtemos um desenho. É a esse desenho no plano que chamamos uma perspectiva esférica. Por exemplo, na figura 1, vemos por baixo da esfera um desenho obtido desta por via da projecção cartográfica equirectangular. Esta projecção – e portanto a perspectiva - apresentará deformações angulares e já não causará o trompe l’oeil da anamorfose original sobre a esfera, mas continuará a conter toda a informação visual desta, pelo que seria possível inverter a projecção e recuperar a anamorfose esférica. É precisamente isso que fazem as visualizações em VR: permitem ao desenhador partir de um desenho no plano e projectá-lo para uma esfera virtual que ele observa do seu centro com a ajuda de um monitor ou de óculos 3D. Notemos que o processo prático é o inverso do teórico: O desenho plano foi feito à mão pelo autor (em grafite sobre papel, formato A4) a partir de observação directa no local, e seguindo as regras da perspectiva esférica, e a anamorfose esférica foi obtida depois por colagem sobre uma esfera de esferovite de uma transformação cartográfica feita por computador e impressa em papel. É de notar que este processo não é novo. Foi explorado espectacularmente nos tectos de igreja ilusionísticos do Barroco (Kemp 1990), nos panoramas do sec. XIX (Huhtamo 2013), e hoje em dia em planetários e projecções em fulldomes (Luciani e Lundberg 2016). O VR apenas permite realizar a experiência de forma barata e em pequena escala, tornando o desenho imersivo acessível a todos. Além disso permite uma imersão a 360 graus, que seria muito difícil e dispendio- sa de obter por via de imersão física, já que seria necessário colocar o observador dentre de uma estrutura esférica de grandes dimensões. Finalmente, a inovação teórica consiste na possibilidade de desenhar toda a perspectiva manualmente e sistematicamente.

O desenho manual de perspectivas esféricas

Estas projecções e visualizações podem ser feitas por computador com relativa facilidade. Há software que permite fazer e visualizar fotografia de 360 graus, plugins de Photoshop que permitem desenhar directamente sobre a anamorfose imersiva, e software sofisticado que permite visualizar arquitectura não só nas perspectivas esféricas mais comuns mas em perspectivas paramétricas muito gerais (Correia e Romão 2007). Mas até recentemente era difícil construir desenhos manuais em perspectiva esférica. O meu trabalho neste campo consistiu em resolver três perspectivas esféricas – e por resolver quero dizer estabelecer regras sistemáticas para as desenhar com ferramentas simples, por exemplo régua e compasso – e produzir um esquema geral para definir, compreender e resolver perspectivas esféricas arbitrárias,” à mão”.

As fórmulas na arquitectura 47 António Araújo

Este trabalho de investigação, entre a matemática e o desenho, surgiu da prática do último. Durante muito anos desenhei com um grupo chamado Urban Sketchers (Urban Sketchers s.d.), que se dedica ao desenho de observação de pai- sagens urbanas. É um grupo muito frequentado por arquitectos, que encontram nele um estímulo à continuada prática do desenho (há tantos arquitectos a pra- ticar urban sketching que este poderá ser descrito como um grupo de refugiados do CAD). Foi nesse contexto que senti a necessidade de explorar o desenho em perspectivas imersivas. As opções clássicas para realizar tais desenhos à mão estavam limitadas ao desenho em perspectiva cilíndrica, em perspectiva olho- -de-peixe, e ao desenho de reflexão esférica. Todos estes tinham limitações. A perspectiva cilíndrica captura 360 graus em redor do eixo vertical mas está limitada em elevação angular; o desenho de reflexões esféricas é fácil de fazer à vista, mas não permite grande rigor pois é muito difícil de calcular sem computadores (Glaeser 1999) já que não resulta numa projecção cónica. A perspectiva olho-de- -peixe, que foi resolvida por Barre e Flocon (Barre and Flocon 1964) nos anos 60 para construções por régua e compasso, apesar de habitualmente nomeada esfé- rica é na verdade apenas hemi-esférica, projectando apenas 180 graus em torno de um eixo.

Figura 2. Duas perspectivas esféricas desenhadas pelo autor com régua e compasso por observação de uma mesma cena (as escadas de um prédio). À esquerda, uma perspectiva azimutal equidistante (olho-de-peixe de 360 graus); à direita uma equirectangular.

O meu primeiro trabalho neste campo consistiu em generalizar as constru- ções de Barre e Flocon à esfera completa, dando um método rigoroso para construir uma perspectiva esférica total em régua e compasso. Esta solução já tinha sido tentada por vários autores, mas apenas com resultados parciais ou métodos baseados em grelhas fixas (Casas 1983, Moose 1986), dos quais se deve destacar o trabalho do arquitecto belga Gérard Michel, pela beleza dos seus desenhos elaborados e pela precisão do seu processo (Michel 2013), que no entanto não constitui uma perspectiva formal no sentido de Barre e Flocon. Foi precisamente uma generalização formal dessa perspectiva de Barre e Flocon que apresentei num preprint depositado no ArXiv em 2015, em que, além de resolver a ques-

48 As fórmulas na arquitectura Acerca dos métodos de perspectiva esférica no desenho imersivo de arquitectura tão concreta da construção da perspectiva olho-de-peixe (mais correctamente, da perspectiva azimutal equidistante), generalizando-a à esfera completa, reformu- lei a definição de anamorfose e de perspectiva de forma a sistematizar uma es- tratégia para resolver perspectivas esféricas gerais. Seguindo essa estratégia, e quando o caso azimutal equidistante foi finalmente publicado em 2018 no journal of mathematics and the arts (A. B. Araújo 2018b), publiquei também no journal of science and technology of the arts uma solução de outra perspectiva esférica total: a perspectiva equirectangular (A. B. Araújo 2018a), que é a perspectiva implícita nas fotografias de 360 graus (figura 2). A estratégia geral pode ser vista desta forma: primeiro, olhar para a perspectiva esférica como uma composição de dois passos: a anamorfose esférica, vista como uma relação de equivalência cónica entre objectos 3D (A. Araújo 2017a) seguida de um achatamento (flatenning) ou planificação, que é essencialmente trabalho de cartografia. O essencial é que no primeiro passo os actores naturais não são linhas mas sim geodésicas, e todas as linhas são vistas como metades (meridianos) dessas geodésicas, terminando em exactamente dois pontos de fuga diametralmente opostos entre si (pontos antípo- das). O segundo passo, o achatamento, é essencialmente trabalho de cartografia, e preocupa-se com fazer o traçado da projecção dos objectos anteriores de uma forma adequada aos instrumentos do desenho – o que implica uma classifica- ção das geodésicas em classes adaptadas à projecção utilizada, e um processo de aproximação e interpolação que será específico a cada uma dessas classes, e portanto dependente da perspectiva esférica específica em estudo. Foi esta definição geral de perspectiva que me permitiu obter uma solução sistemática das duas perspectivas esféricas acima referidas.

Figura 3. Construção por régua e compasso, em perspectiva esférica azimutal equidistante, de um quadrado situado atrás e à esquerda do observador, a partir da sua projecção ortográfica (retirado de (A. B. Araújo 2018b)).

As fórmulas na arquitectura 49 António Araújo

Mais recentemente, e agora num trabalho de colaboração com L. Olivero e A. Rossi, resolvemos uma terceira perspectiva, a cúbica (Araújo, Olivero e Rossi 2019). Já existiam trabalhos preliminares nesta perspectiva (Olivero, Barba e Rossi 2018, L. Olivero 2019) mas a solução tornou-se geral e eficiente ao olhar para a perspectiva cúbica não como um conjunto de perspectivas lineares mas como uma única perspectiva esférica (um exemplo curioso de uma perspectiva que é esférica mas não curvilínea) em que portanto os principais objectos a resolver são geodésicas, pontos antípodas, etc.. Todas estas soluções de perspectivas esféricas, apesar de serem construtí- veis à mão, requerem um trabalho de desenho técnico relativamente meticuloso (ver por exemplo a construção da figura 3). É um desenho de estúdio, pouco adequado ao trabalho de campo. A alternativa habitual às construções de régua e compasso era o sistema de grelhas fixas, que peca por incompleto. Para resolver este problema desenvolvi um método de grelhas móveis que implementa me- canicamente os grupos de simetria de cada perspectiva para resolvê-la completamente: é um sistema translacional no caso da perspectiva equirectangular (A. Araújo 2018c) e rotacional no caso da olho-de-peixe (A. B. Araújo 2019a). Neste momento não existe um sistema semelhante para a cúbica.

A perspectiva esférica e o desenho de arquitectura

Qual a conexão de tudo isto com o desenho de arquitectura? Deixarei que sejam os arquitectos a proferir a sentença; partilho apenas algumas observações: o desenho imersivo adapta-se naturalmente a um processo de desenho de levan- tamento (survey) de arquitectura, tanto informal (como no urban sketching) ou formal, até porque as suas variáveis naturais são angulares, que correspondem às que se podem medir a partir de um ponto fixo (com um teodolito, por exemplo, e a partir destas as métricas podem ser obtidas por triangulação uma vez obtidas algumas medidas métricas de referência). Estas perspectivas têm lugar no desenho de registo arquitectónico, especialmente no que se destine ao registo de herança patrimonial, em que não só o plano mas o aspecto presente da estructura deve ser registado. Nesse aspecto o desenho de ilustração em perspectiva clássica continua a ter o seu papel pelo mesmo motivo que nem o 3D nem a fotografia substituíram até hoje a ilustração científica (Salgado, et al. 2015): porque este desenho é instrumento de pensamento, de selecção, de exaltação do essencial por exclusão do acessório. Ao contrário da fotografia, que tudo captura indiferente- mente, o desenho é a expressão do pensamento do especialista, das suas selec- ções, raciocínios, interpretações e conclusões. Se isto é verdade para o desenho em perspectiva clássica, também o será para o desenho em perspectiva imersiva, quando a estrutura a representar tiver ela própria uma natureza imersiva, como

50 As fórmulas na arquitectura Acerca dos métodos de perspectiva esférica no desenho imersivo de arquitectura

é o caso em qualquer cena de interiores (mas não só). Evidentemente que para além do survey mais técnico, este tipo de desenho poderá ser muito útil para a divulgação do património, especialmente pela relação com a visualização em VR. Também no product design estas perspectivas têm lugar – muitos produtos são naturalmente imersivos, por exemplo o interior de um veículo, e onde quer que o desenho de esboço for útil no desenho do produto, será também útil o es- boço imersivo. No concept design, na animação e no cinema, o desenho de arquitecturas puramente ou parcialmente virtuais é uma constante, e o desenho manual partilha espaço com o 3D. É preciso lembrar que o futuro foi desenhado em gouache! Recodemos o trabalho de design de equipamentos para o clássico Blade Runner, em particular o trabalho do ilustrador Syney J. Mead (Mead, Hodgetts e Villeneuve 2017), que tem uma solidez particular que decorre do seu background em desenho industrial. Muitos dos ambientes deste filme poderiam ter beneficia- do de desenho imersivo manual na fase de ideação. Poder-se-á pensar que tudo isto pertenceria ao passado. O futuro, se calhar, já não se desenha em gouache, mas directamente em 3D. Mas será assim? Da veraci- dade dessa asserção depende a utilidade destes processos de desenho. Em termos puramente técnicos parece-me que o desenho imersivo 2D ainda pode ser eficiente. Isto será sempre dependente da cena em causa; claro que cada ferramenta tem o seu nicho. Por exemplo, em cenas de grandes dimensões e com muitos elementos – o interior detalhado e amplo de uma catedral, ou um panorama exterior – é mais fácil, rápido e barato esboçar grandes alterações com largos gestos em 2D do que modelar e voltar a modelar repetidamente um grande número de objectos 3D que tais cenas podem envolver, desde estruturas a equipamentos a elementos decorativos. Umas cinco ou seis pinceladas fazem o mesmo efeito impressionista que muitas horas de modelação 3D, bastando para testar e recusar más ideias em pouco tempo. O desenho imersivo 2D fará sentido face ao 3D mais ou menos nas mesmas situações em que no passado a pintura matte vencia a modelação sólida. Mas penso que o problema em causa merece mais do que uma mera análise de eficiências. Julgo que pelo contrário é uma oportunidade para considerarmos a situação do desenho propriamente dita nas nossas disciplinas. Tanto na arte como na arquitectura o desenho – o desenho manual – tem tido pronúncios recor- rentes de morte ou pelo menos de irrelevância. Penso que isso é trágico e decorre de uma má interpretação da sua função mais profunda. O que se segue tem a forma de uma polémica. Poderá parecer um ataque às ferramentas digitais por parte de um saudosista. Nada estará mais longe da verdade. O autor cresceu com o digital, desenha em digital, programa computadores desde criança. E é por reconhecer a importância destas ferramentas – até mesmo a sua inevitabilidade – que considera crucial que os seus aspectos negati- vos sejam compreendidos e acautelados por uma consciência vigilante.

As fórmulas na arquitectura 51 António Araújo

Uma polémica: o desenho no tempo do BIM

Poucas ferramentas são tão variáveis na sua natureza como o desenho. O desenho tem uma face dionisíaca e outra apolínea; pode ser a expressão plástica mais livre, física, desregrada, ou pode ser um instrumento do pensamento racional. Nesta última forma, o Desenho Racional, é o território de Brunelleschi, Alberti, e Monge. Esse desenho racional sempre teve duas funções complementares, relativamente à arquitectura: por um lado permite o planeamento do que se pretende que venha a existir. Por outro, permite a visualização mimética e ilusionística do objecto planeado. A primeira função é servida pelo plano arquitectónico – é o território de Monge, onde a leitura métrica é primordial. A segunda é o território de Brunelleschi, da perspectiva e acima de tudo da anamorfose. Estas duas funções são ilustradas em simultâneo na cúpula falsa que cobre o cruzeiro da igreja de Santo Inácio de Loyola em Roma, pintada por Andrea Pozzo. Pozzo desenhou a cúpula em planta e alçado (figura 4), como que para construí- -la; a partir desses planos pintou uma anamorfose sobre o cruzeiro, que permite a visualização ilusionística da cúpula planeada ( (Pozzo 1693), figuras 90-94 e (Pozzo 1700), figuras 49-53, e ver também a análise de (Fasolo e Mancini 2019)).

Figura 4. Construção da anamorfose da cúpula de Santo Inácio a partir de planta e elevação. Figura 52 do segundo volume do tratado de Andrea Pozzo (Pozzo 1700).

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Tendo em conta que a anamorfose foi usada como substituto de uma cúpu- la que originalmente se pretendia real mas que não pôde ser construída, pelas objecções dos seus vizinhos Dominicanos e acima de tudo por falta de fundos (Clossey 2008, 85), o conjunto dos desenhos ortográficos e anamórficos pode ser visto como um caso extremo de architectonic deliverable para um projecto arquitec- tónico que se ficou pelo virtual. A tensão entre o trabalho de puro ilusionismo e a arquitectura enquanto tal é humoristicamente ilustrada por um episódio relatado por Pozzo no seu tratado de perspectiva ( (Pozzo 1693), comentário à figura 91): levantada a objecção de que as colunas que desenhara suportadas sobre mísulas não dariam uma estrutura sólida à cúpula (figura 4), um pintor amigo de Pozzo sanou a divergência com a garantia de que se as mísulas caíssem sob o peso das colunas ele pagaria o estrago do seu próprio bolso. Hoje em dia esta tensão entre as duas funções do desenho racional está algo esbatida. O desenho técnico tem tendência a ser substituído pela modelação em 3D, e a visualização é deixada a cargo de caixas pretas opacas para o utilizador. Parece-me que as perspectivas esféricas que descrevi atrás têm um interesse fundamental para o momento presente precisamente por estabelecerem uma cone- xão entre o desenho livre (“analógico”) e a visualização digital, por nos manterem cientes do ilusionismo da visualização, por nos manterem acordados para as múltiplas possibilidades de visualização e dos seus significados, precisamente num momento em que o digital é por vezes pensado como algo que torna o desenho obsoleto e a visualização trivial. São necessárias ferramentas de pensamento que levem o digital a estimular – em vez de substituir – o desenho racional. E não só esse. Algures entre o desenho dionisíaco e o apolíneo - está o esboço. O esboço é a forma por excelência de pensamento visual. Permite que o pensamento corra em direcção a um conceito que existe ainda apenas em sombra. Pode dar-lhe forma parcial, permitindo que passagens vagas coexistam com as rigorosas. Este é o território próprio da ideação. Ora este território de fronteira é dificilmente acessível às ferramentas infor- máticas e processos sofisticados que cada vez mais tomam o lugar do desenho tradicional na prática do design e da arquitectura. Os meios digitais incentivam um processo rígido que restringe a fluidez do pensamento característica do es- boço. Num artigo sobre as limitações do BIM (Building Informational Modelling), Coates et al. afirmam que “BIM focuses thought on objects, but the aim of architecture is to create spaces defined by objects” (Coates, et al. 2010) e “BIM currently represents digital Lego, not the digital clay” (ibid.). Referindo-se ao BIM, Calisti diz:

it forces us to produce our designs counterintuitive to how we’ve been trained and how we think as architects. It wants precision and information too early in the design process. I still draw and sketch with pencils and fat markers on

As fórmulas na arquitectura 53 António Araújo

yellow trace. There is fluidity to that process. Drafting by hand is still free because it doesn’t require the exactness that a computer demands. (Calisti 2011).

Note-se que estas são posições minoritárias. O contra-argumento é que não há nada no processo BIM que obrigue o arquitecto a usar o Revit ou o ArchiCAD quando devia estar ainda a segurar num lápis; que se trata de uma má compreen- são do processo BIM e má utilização do software, análoga à do estudante que desenha directamente no SketchUp ou no AutoCAD em vez de pensar primeiro no que pretende. Na verdade parece ser mais consensual a opinião de que que os automatismo do BIM poupam tempo que se pode gastar no design. Segundo (Wakita, et al. 2017) “the profession of architecture has changed from 20% design and 80% working drawings to 80% constructing a three‐dimensional (3D) model and 20% working drawings. With Revit, when the design development phase of a project is complete, the working drawings are all but complete as well.” Portanto o que se apaga não é a posição do designer mas a do draughtsman. Este aspecto ecoa outras áreas como o desenho de animação, em que o software moderno tende a eliminar o desenho em prol da modelação 3D. Mas note-se que ainda assim Wakita et al. frisam a continuada importância do desenho manual para o arquitecto, enquanto instrumento de pensamento (tal como os animadores 3D ainda precisam de fazer desenhos preliminares). O desenho livre viveria em pleno no design ainda que o desenho técnico perdesse a sua posição, de qualquer forma já antes reduzida a tecnicismos de CAD. Serão portanto as críticas anteriores apenas equívocos grosseiros? As posições não me parecem incompatíveis. Afinal, se a “utilização indevida” do software é um erro, mas um erro comum – e parece sê-lo entre estudantes quando não estritamente proibidos a usar o software na fase inicial de design – temos que considerar o que o motiva. O autor confessa de novo ser ignorante na arquitectura, mas reconhece aqui ecos de problemas transversais, presentes no seu próprio campo. Há bons motivos para estes “erros” de estudantes e mesmo de profissionais: primeiro, as ferramentas digitais partilham da natureza das sereias. Seduzem-nos com as suas facilidades, fazendo-nos es- quecer as suas limitações, e induzem uma preguiça mental - recentemente um arquitecto comentava que notara uma proliferação de construções que pareciam presets do SketchUp “right down to the color scheme”. Mas além da cenoura, há o chicote: o desenhador sabe que a sua ideia será filtrada mais à frente no processo de criação por aquilo que o software lhe permitirá implementar. Por isso o desenho, ainda que comece livre no lápis, terá tendência a acabar “BIMesco” se destinado a passar por um processo BIM, porque será filtrado mais à frente pelas ferramentas do processo. E o BIM é apenas o exemplo mais recente, isto é verdade das outras ferramentas digitais (lido num fórum de arquitectos: “It’s just CAD all over again”). Sendo assim é natural começar a desenhar no software o mais

54 As fórmulas na arquitectura Acerca dos métodos de perspectiva esférica no desenho imersivo de arquitectura cedo possível, sendo esta a forma mais básica de desenhar para o software. Não vale a pena planear em barro o que será contruído em Lego. Não é que o designer perca criatividade – apenas, e rapidamente, se habitua a ser criativo dentro dos parâmetros criados pelo software. Ora esses parâmetros podem não ser os mais desejáveis, mas pior, a habituação torna a limitação invisível. O designer passa a imaginar dentro do mundo criado pelo engenheiro de software. Mas não é isto verdade de qualquer meio ou ferramenta de produção, digital ou não? O desenhador que desenha para gravura tem que filtrar o desenho para o processo da gravura. Sim. O que é novo é que o software parece fazê-lo de forma mais insidiosa, de alguma forma mais próxima ao centro do nosso pensamento. Escrevi sobre este mesmo assunto de uma perspectiva mais geral em outra parte (A. Araújo 2017b), e as críticas às ferramentas de modelação associadas ao BIM (ou à sua má utilização) parecem-me espelhar o que encontrei no contex- to da utilização da computação noutros campos aplicativos do desenho, como a ilustração ou a animação (mas mesmo na própria programação!): há um fenóme- no que denomino de blackboxing, uma tendência das ferramentas digitais a torna- rem opacos os conhecimentos fundamentais por detrás de interfaces que definem o âmbito não só do realizável, mas do imaginável, e a limitar impercetivelmente a extensão do pensamento e da criatividade. Os interfaces não são neutros. E não é apenas o interface visível (gráfico) mas o próprio paradigma de abstracção e encapsulamento, muito associado à corrente tendência da programação orien- tada por objectos (OOP) que impõe vícios de pensamento compartimentalizado (sobre o efeito burocratizante e limitador do paradigma OOP ver por exemplo (Papert and Turkle 1991) e (Graham 2017)). Há uma tendência para o artista (ou o arquitecto) adaptar o seu pensamento ao interface em vez do oposto (Norman 1990). Isto é natural. Em geral ele não terá acesso ao programador, a não ser como consumidor, e, portanto, a sua influência é limitada. E mesmo quando tem esse acesso, as modificações fundamentais ao software são demoradas; antes que sejam feitas já o arquitecto, seduzido pelos avanços correntes, e pressionado pelos seus projectos, se habituou a pensar no esquema existente. Há que considerar ainda a competição por um recurso fundamental - o tempo – entre as actividades fundamentais do pensamento de uma determinada pro- fissão (o pensamento sobre a arquitectura em si) e as actividades de mera gestão das ferramentas, que no caso da informática toma proporções preocupantes se considerarmos as infindáveis considerações sobre comparação de software e hardware, em relação a opções de aquisição, treino, manutenção, adaptação a bugs e insuficiências do software e equipamento. Ver por exemplo os problemas com a qualidade dos desenhos 2D derivados de software BIM (Kim e Chin 2019), que poe em causa a alegada simplicidade dos novos métodos, pedindo tempo e trabalho essencialmente ad-hoc para corrigir as insuficiências do software. Isto não é caso único à arquitectura. Frequentemente o autor destas páginas fez trabalho

As fórmulas na arquitectura 55 António Araújo

de ilustração digital para poupar tempo, verificando depois que todo o tempo ganho tinha sido gasto a investigar bugs do software que impediam a finaliza- ção do trabalho. Esse mesmo tempo poderia ter sido gasto a desenhar à mão e corresponderia assim a tempo de treino numa prática fundamental – o desenho em si – em vez de ser gasto num problema acessório e de valor efémero (a caça ao bug de um programa que não será relevante dentro de seis meses). Muitas vezes é apenas em trabalhos de larga escala que o ROI (return on investment) nas ferramentas digitais mais sofisticadas se torna realmente positivo quando tudo é considerado. Isto ecoa as considerações de Graham acerca do OOP:

Object-oriented programming is popular in big companies, because it suits the way they write software. At big companies, software tends to be written by large (and frequently changing) teams of mediocre programmers. Object- oriented programming imposes a discipline on these programmers that pre- vents any one of them from doing too much damage. The price is that the resulting code is bloated with protocols and full of duplication. This is not too high a price for big companies, because their software is probably going to be bloated and full of duplication anyway. (Graham 2017)

A filosofia OOP de encapsulamento e abstracção leva à compartimentaliza- ção dos saberes, e a tendência é a de esconder precisamente os pontos de maior interesse em caixas negras. Dizer isto implica evidentemente uma hierarquização dos saberes por parte de quem o afirma, mas não me parece temerário afirmar que saber construir uma grelha uniforme em perspectiva é um saber mais elevado – e demonstravelmente menos efémero – do que saber onde se encontra o item de drop-down menu que desenha por mim essa grelha na iteração corrente do Photoshop (ou o método do objecto na library – vai dar ao mesmo). E no entanto é a este último conhecimento que as pressões competitivas tendem a dar priori- dade. As ferramentas digitais tornam os saberes fundamentais aparentemente desnecessários, e o que é desnecessário não é aprendido porque a curto prazo não é competitivo fazê-lo. Mas isto é a armadilha de optimizar para um extremo local. No longo termo são os saberes mais profundos os mais produtivos, e o resultado de não os ter é uma produção de âmbito limitado e medíocre, ainda que eficiente; e isto não será um problema competitivo se todos os profissionais esti- verem igualmente limitados (portanto não há sequer um providencial “canário na mina” que dê o alarme), mas será um problema para a qualidade absoluta do output: para a cultura emergente das escolhas feitas. Trazendo esta divagação para o assunto que nos interessa aqui, o estudo das perspectivas esféricas, consideremos que em (Luciani e Lundberg 2016) são referidos diversos métodos – utilizando interfaces informáticos – para ajudar designers a construir apresentações para full domes. Todos os métodos esbarraram

56 As fórmulas na arquitectura Acerca dos métodos de perspectiva esférica no desenho imersivo de arquitectura com um problema fundamental: os designers não tinham intuição geométrica para as deformações decorrentes da perspectiva esférica. Não descurando de forma alguma o valor e interesse desta procura de interfaces para facilitar este tipo de desenho, está aqui implicitamente assumido que o propósito é encontrar o interface que evite a aprendizagem da perspectiva esférica. Eu penso que o oposto é necessário. O que pensaríamos se alguém dissesse isto da perspectiva clássica? Mas não nos admiremos, porque se isso não é dito explicitamente (por pudor re- sidual) é no entanto praticado sempre que o ensino confunde a perspectiva com um conjunto de regras ad-hoc, implementáveis por grelhas ou pelo carregar de um botão. Tomo aqui a posição inversa: penso que pelo contrário o maior interesse da visualização de panoramas VR é que nos dá a desculpa não apenas para comprar novos gadgets e aprender as peculiaridades de novos interfaces transitó- rios mas para estimular o desenho, que é como quem diz, o nosso cérebro visual, e para aprender a pensar de forma diferente, criando novos problemas e novas estéticas, resolvendo problemas que não são meras dificuldades transitórias mas enigmas interessantes cujas respostas perdurarão no tempo. O desenho em perspectiva esférica não é justificado pela sua aplicabilidade à construção de ilusões visuais em realidade virtual (as belas ou as úteis) mas pelo contrário, a produção dessas ilusões (as belas ou as úteis) é justificada, amplamente, por nos dar uma desculpa para pensar e desenhar.

Agradecimentos: O autor foi financiado por fundos nacionais pela FCT - Fundação para a Ciência e a Tecnologia, no âmbito dos projectos FCT UID/ Multi/04019/2013 e UID/MAT/04561/2013.

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60 As fórmulas na arquitectura Peer Reviewed Papers

APPLICATIONS OF CUBICAL PERSPECTIVE IN ARCHITECTURE, ENGINEERING AND PRODUCT DESIGN

Lucas Fabian Olivero* Università degli Studi della Campania ‘Luigi Vanvitelli’, Aversa, Italy Universidade Aberta, Lisbon, Portugal Lucas Fabian Olivero Architect and Engineer, is presently António Bandeira Araújo* at work on a double PhD program in Design and Innovation and in Universidade Aberta, Lisboa, Portugal Digital Media Arts, with a thesis is about advanced techniques for handmade VR artworks. Adriana Rossi* Università degli Studi della Campania ‘Luigi Vanvitelli’, Aversa, Italy Universidade Aberta, Lisbon, Portugal

Abstract: Cubical perspective is maybe the youngest alternative among the options for immersive drawing. Its theoretical definition, as every immersive perspective, has its pros and cons. Furthermore, its utility has not been fully explored, e.g. for early conceptual design. In fact, while its theory António Bandeira Araújo is on its way to being solved with different methods, there BSc in Physics and PhD in Math- is still a doubtful judgement about the practice: is cubical ematics, specializing in applica- perspective a way to think? A tool? Can we do something tions of geometry to the visual arts, different with it, or are we just playing with technology? Let having published new methods us try to give some answers to these questions by presen- for drawing spherical perspectives and immersive anamorphoses. His ting some experiences held in university classrooms. We are research in geometry is informed presenting the experience of architecture, engineering and by his work as an illustrator. product design students that have applied cubical perspective to the creation of immersive panoramas subsequently assembled into a virtual tour. This article, more than closing a discussion, aims at opening the debate about the real applications and utility of cubical perspective and push for experimentation.

Keywords: Cubical perspective; Spherical perspective; Thinking architecture; Design; Planning process.

Adriana Rossi Architect, PhD, currently Full Pro- fessor in‘Advanced Representation Techniques’ at the Engineering De- partment of University of Campa- nia. Member Professor of the PhD international program in Design for Innovation Unicampania.

As fórmulas na arquitectura 63 Lucas Fabian Olivero, António Bandeira Araújo e Adriana Rossi

Aplicaciones de la perspectiva cúbica en la arquitectura, la ingeniería y el diseño de productos

El siguiente artículo tiene por objeto promover el uso y aplicación prácti- ca de modelos híbridos inmersivos (o HIM: ‘Hybrid Immersive Models’) realizados con perspectiva cúbica. Estas representaciones responden a la inmersividad como resultado de un proceso cognitivo y emocional (navegación en pantalla), como así también a la inmersividad con interactividad física (navegación con tecnología VR) lo que implica en este último caso una influencia sobre los tres sistemas perceptivos: el visual, el vestibular y la propiocepción (Rossi 2019, p. 979). Un HIM tiene, además de las potencialidades comunes de los modelos gráfi- cos (Migliari 2004, pp. 8–9), la particularidad de definir en una única operación un modelos gráfico (explícito) y uno informático (implícito, legible informáticamente). Ayuda además a fusionar técnicas analógicas y digitales, entretejiendo un lazo de común acuerdo en un instrumento que explora y define el espacio y la arquitectura o el objeto en su contexto (y no ya como órgano aislado). Por otra parte, un HIM logra aprovechar las ventajas de los modelos inmersivos, por ejemplo, en las aplicaciones para valorización remota del Patrimonio Cultural (Rossi et al. 2016). En particular, el uso de la tecnología digital promueve la conservación y promoción de los Bienes Culturales en su contexto histórico, poniendo a disposición, gracias al uso de internet, una doble apertura para su lectura ya sea a sujetos especializados como a simples aficionados a la cultura general (Rossi 2017b, pp. 254–256). Estructuraremos el trabajo en: perspectiva cúbica, con algunas reflexiones entorno a su definición; prototipo experimental, con una serie de lecciones de complejidad creciente, y consideraciones finales.

1. Reflexiones sobre la perspectiva cúbica

Entre las modalidades de representación fijas pero interactivas, la perspectiva cúbica es un método relativamente reciente que se basa en los criterios de las proyecciones centrales y los principios de la perspectiva linear. Tangencialmente utilizada en video juegos, entra entre las tipologías navegables con técnicas diná- micas e interactivas, accesible incluso a quien posee pocas habilidades informáti- cas (Rossi 2017a, pp. 7–19). Entender esta perspectiva puede resultar una cuestión (aparentemente) simple, ya que se parte de la perspectiva cónica tradicional. Para poder enten- derla partiremos de analogías que la abundante literatura con los conceptos de base de la perspectiva clásica nos trae a colación (Sgrosso 1969; Migliari 2004). Ambas perspectivas, coinciden en el utilizo de proyecciones cónicas centradas en un observador 0. Difieren en que la perspectiva clásica considera (normalmente)

64 As fórmulas na arquitectura Applications of cubical peerspective in architecture, engineering and product design las proyecciones inscritas en un cono visual de 90º, mientras que la cúbica las considera desde todos los objetos y/o edificios alrededor del observador. Para poder capturar dicha información será necesario alterar uno de los elementos fundamentales de la perspectiva clásica: la superficie de proyección (S). En efec- to, el conocido plano de cuadro 2D utilizado como S, se sustituye por una superficie 3D, de forma cúbica y centrada en O. Esta ilusoria simplicidad detrás de la sustitución de S podría llevarnos a creer equívocamente que también lo es su resolución teórica. Dicha creencia se es- fumará en el momento en que el medio digital entra en juego, que utilizamos para el montaje y navegación final. En efecto, la máxima1 fruición del resultado se realiza exclusivamente con medios digitales. Allí, la mínima incoherencia en el dibujo de base se evidencia de forma perceptible, anulando el efecto de inmersividad. Gracias a que S es un cubo2, se conserva el principio de linealidad de la perspectiva clásica, característica que ayudará a suavizar el salto hasta la perspectiva cúbica ya que podríamos ‘reciclar’ métodos existentes. Por ejemplo, si considerá- ramos cada cara del cubo como un plano de dibujo diferente, podríamos pensar la perspectiva cúbica como una composición de seis perspectivas centrales. En esta óptica, si el caso más simple de perspectiva cónica clásica es con un punto de fuga central, el caso más simple de perspectiva cúbica sería con seis puntos de fuga. Podría conjeturarse entonces que la perspectiva cúbica no tiene razón de existencia por sí misma, sin embargo, una diferencia clave que tiene respecto a la perspectiva clásica es que un fragmento linear no siempre proyecta en un solo fragmento, sino que proyecta como una serie de fragmentos lineares inter- conectados. Esta característica genera una serie de problemas no resueltos por la perspectiva clásica, siendo necesario reinterpretar sus métodos: como señalado en (Araújo et al. 2019b, pp. 33–34), los métodos conocidos para la perspectiva clásica pueden resolver parcialmente la cúbica, pero fallarán en la eficiencia de la construcción y en su visualización digital. Todo esto abre un campo científico autónomo para métodos que garanticen la coherencia contenido / visualización y la compactación del contenido, es decir, un método de dibujo codificado en el que todos los puntos de fuga de la escena estén dentro de la representación.

1 Hablamos de ‘máxima’ puesto que la fruición puede realizarse también con otros medios no nece- sariamente digitales (Araújo et al. 2019a). 2 Otras perspectivas que permiten la reconstrucción inmersiva de un ambiente son las perspectivas esféricas que utilizan como superficie de proyección, tal como su nombre lo indica, una esfera. En ese caso el principio de linealidad no siempre se conserva. Por ejemplo, en la perspectiva equirectangular solamente las líneas verticales espaciales o la proyección de la línea del horizonte proyectan como líneas rectas en el plano, cualquier otra línea proyectará como una curva (Araújo 2018a). En el caso de la perspectiva azimutal equidistante serán solamente las líneas contenidas en los planos con eje en el radio a través del punto central de proyección (Araújo 2018b).

As fórmulas na arquitectura 65 Lucas Fabian Olivero, António Bandeira Araújo e Adriana Rossi

Figura 1. Mapa cúbico abierto en el plano. Definición completa de perspectiva cúbica en (Araújo et al. 2019b, p. 33).

1.1. Acerca de la dialéctica entre teoría y práctica

En un sano y equilibrado enfoque, definir un sistema de representación de- bería conllevar una exhaustiva resolución conceptual espacial (teoría) y una larga casuística aplicativa (práctica). Si así no fuere, el sistema arriesgaría a quedar como modelo ideal no verificado en la práctica, o como mera acumulación de experiencias empíricas sin desarrollo teórico de definición matemática. De un análisis histórico (Olivero, Sucurado 2019; Barba et al. 2018) emerge que la perspectiva cúbica como sistema matemático presenta hoy en día un corto desarrollo ya sea en la teoría como en la práctica. Un desbalance ‘favorece’ la parte teórica con dos métodos en desarrollo: con plantas y secciones (Olivero et al. 2019, pp. 59–61) y considerándola como caso particular de perspectiva esférica (Araújo et al. 2019b, pp. 34–40). Para la práctica, las referencias son aún mucho menores (Olivero, Sucurado 2019, p. 16), con lo que se resalta que la necesaria dialéctica entre teoría y práctica todavía cuenta con un vasto terreno por allanar y experimentar, sea en el campo de las perspectivas inmersivas como en particular de la perspectiva cúbica. Incluso si se consideraran algunas versiones de las Perspective Box (Spencer 2018; Verweij 2010; Gay, Cazzaro 2018) o las peeping karakuri japonesas (Spencer 2018, p. 14; Fukuoka 2005) del Siglo XVII, como precursores de la perspectiva cú- bica, no es sino hasta hoy que contamos con los recursos para superar las limita- ciones de los sistemas inmersivos predecesores (Gay, Cazzaro 2018, p. 2), gracias a la presencia y desarrollo actual de los medios digitales. Nótese, por ejemplo, que aquellos artilugios buscaban recrear la inmersividad presentando desafíos a la geometría, la anamorfosis, la iluminación, la óptica, ‘un pensiero scientifico rigoroso che indagava i temi più complessi dell’ottica geometrica (…), le scienze che spie- gavano i fenomeni visivi (…)’ (Mazzoccoli 2010, p. 46). Tal era el motivo por lo que su elaboración se limitaba a unos pocos virtuosos (Cabezos Bernal et al. 2014, p. 149). Los desarrollos teóricos y prácticos aquí presentados buscarán señalar como esta exclusividad se quebranta, promocionando un conocimiento abierto

66 As fórmulas na arquitectura Applications of cubical peerspective in architecture, engineering and product design y compartido. Por otra parte, enfatizamos además el importante rol que cumple la publi- cación y debate de las teorías, y las prácticas para propagar el conocimiento y la creatividad. La carencia de comunicación sobre la importancia del uso de las perspectivas inmersivas inicia quizás en la academia misma, donde su enseñanza es prácticamente inexistente: ‘However, the spherical perspective (as the curvilinear perspective par excellance) has not been widely introduced into design education; literature on applied perspective construction is often confined to straight linear perspective’ (Kulcke 2019, p. 3). A este fin, además de los ejercicios prácticos que se presentan, los estudiantes recibieron lecciones y seminarios sobre perspectiva inmersiva cú- bica3 y esférica4. Exponemos entonces algunas aplicaciones prácticas realizadas en el aula y los principales desafíos enfrentados a la hora de transferir la teoría, en la visión que la experimentación práctica de estos primeros albores teóricos pueda enri- quecer sectores disciplinares tales como la geometría descriptiva, la arquitectura, el arte, la ingeniería y el diseño. Nuestro objetivo será compensar el presente desbalance, estimular a la creación de nuevos métodos teóricos y exponer la po- tencialidad de la herramienta.

2. El prototipo experimental

Presentamos a continuación un posible workflow como método para la en- señanza y transmisión de los HIM realizados con perspectiva cúbica, estructura- do en las siguientes unidades: anamorfosis y anamorfosis immersiva, el principio básico de la perspectiva cúbica y ejercicios de aplicación.

2.1. Principio básico de la perspectiva cúbica

Entender la perspectiva cúbica en la práctica requiere sobretodo asimilar que la imagen l’ de una línea recta en el espacio l no siempre estará compuesta de un solo segmento continuo, sino que puede resultar en varios segmentos in- terconectados. Esto sucede porque las seis caras del cubo se diferencian en su orientación espacial, por lo que la línea misma cambia su condición respecto al plano de

3 Presentadas por Lucas Fabian Olivero. 4 Presentadas por Bruno Sucurado para el a.a. 2016-17 (Università di Salerno) y por António Araújo para el a.a. 2018-19 (Università degli Studi della Campania) durante la conferencia ‘Immersive and interactive architectural representation’ de los seminarios ‘I Giovedì del Dottorato’ del programa de doctorado en Design, Ambiente e Innovación).

As fórmulas na arquitectura 67 Lucas Fabian Olivero, António Bandeira Araújo e Adriana Rossi

dibujo que cada cara representa. Por ejemplo, si l resulta paralela a una cara, supongamos l F, B, al mismo tiempo resulta que l puede intersecar L, R, U, D. Para comprender mejor la segmentación realicemos una representación bá- sica siguiendo ∥una proyección cónica clásica (Figura 2): sean A y B dos puntos pertenecientes a la línea l. Entre l y el observador 0 está el plano ß como superficie de proyección S. Sea A’B’ la imagen del segmento AB en S. Para construir A’B’unimos 0 con A y B, los rayos 0A y 0B intersecan a S en dos puntos A’, B’ ß tales que, uniéndolos, determinan A’B’. Decíamos previamente que para elaborar la perspectiva cúbica hemos ∈de sustituir la superficie de dibujo S cambiando el plano ß por una superficie cúbica Cubo. Supongamos ahora que: l H, F (lo que implica que l R, L), que l pertenece al semiespacio enfrente del observador cuando éste observa hacia F, y que tiene una elevación ∥ (o sea, l H). Sean A’, B’⊥ las proyecciones en S de A, B respectivamente. Existen dosφ =posibilidades: ±45º ∧ φ≠0º que A’B’ ∉ F, o bien que uno de los dos puntos pertenezca a R o L. En el primer caso, la resolución se limita al caso clásico reso- lución se reduce al caso clásico. ∈

Figura 2. Representación de un segmento AB con S = plano ß.

En el segundo caso (Figura 3), A’B’ proyecta en más de una cara. Esto implica que existe un punto C entre A y B, tal que C’ proyecta sobre alguno uno de los bordes verticales de F. Supongamos sin pérdida de generalidad que B’ R y que C’ FR. La imagen de AB estará entonces compuesta por los segmentos A’C’ F y C’B’ R. Encontramos A’C’ como en el caso clásico. Para C’B’ en cambio,∈ ∈ ∈ ∈

68 As fórmulas na arquitectura Applications of cubical peerspective in architecture, engineering and product design debemos considerar que el cuadro de dibujo R tiene una rotación de 90º respecto al primer cuadro utilizado F. Sea l0 la recta paralela a l pasante por 0. Vemos que l0 interseca a S en 0R, 0L, dichos puntos serán los dos puntos de fuga de l en R, L respectivamente (Araújo 2018a, p. 20). Por lo tanto, C’B’ será un segmento que 5 continúa A’C’ pero que fuga hacia 0R . Como corolario, si la representación A’B’ resulta en diferentes caras, cada uno de los segmentos que la componen seguirá una fuga diferente. Si analizamos la situación espacial, todos los puntos en cuestión (0, A, B, C, A’, B’, C’) pertenecen a un mismo plano π que pasa por el origen. Si la superficie de proyección S fuera una esfera igualmente centrada en 0, entonces π la inter- secta en una geodésica. Este principio está a la base de los métodos para perspectivas esféricas publicados en (Araújo 2018a; 2018b), y es además utilizado por el método que considera la perspectiva cúbica como caso especial de la perspectiva esférica (Araújo et al. 2019b, p. 36). En la sección siguiente estudiaremos dicho plano y algunos ejemplos prácticos de su utilidad. Comprender el principio apenas expuesto se basa en comprender el desarrollo de π en el mapa cúbico.

Figura 3. Representación del segmento AB con S = Cubo.

5 Esta fragmentación puede llegar hasta cuatro segmentos y si procediéramos como en los métodos clásicos, necesitaríamos cinco puntos para encontrar AB (A,B y los tres puntos coincidentes con los bordes). Dicho método no resulta eficiente para la perspectiva cúbica (Araújo et al. 2019b, p. 34). Eventuales nuevos métodos, deberían plantear una construcción lógica para encontrar las intersecciones a partir de dos puntos dados: si dos puntos definen una línea en el espacio, dos puntos deberían ser suficientes para encontrar su proyección.

As fórmulas na arquitectura 69 Lucas Fabian Olivero, António Bandeira Araújo e Adriana Rossi

Además de este principio básico, deberán tenerse en cuenta otras condi- ciones como la posición del plano del horizonte H y las discontinuidades en los bordes (Olivero, Sucurado 2019, p. 52).

2.2. Ejercicios de aplicación

La aplicación de la teoría hasta aquí desarrollada fue puesta práctica en los cursos: ‘Rilievo dell’Architettura’ de la Università di Salerno para estudiantes de arquitectura e ingeniería edilicia-arquitectónica del año académico 2016- 176, coordinado por el profesor Salvatore Barba, tutores Lucas Fabian Olivero y Bruno Sucurado; ‘Tecniche Avanzate della Rappresentazione’ de la Università degli Studi della Campania para estudiantes de diseño de productos, diseño de moda y diseño de comunicación del a.a. 2017-18, curso coordinado por la profesora Adriana Rossi, tutores Fausta Fiorillo y Lucas Fabian Olivero; y para estudiantes de diseño de productos durante el a.a. 2018-19, coordinado por la profesora Adriana Rossi, visiting professor António Araújo y tutor Lucas Fabian Olivero. Los ejemplos presentados son de la última experiencia. El trabajo se focalizó en composiciones hechas solamente de líneas horizontales y verticales. En este caso, si alguna línea resulta segmentada, entonces el principio básico se reduce a: si un segmento no fuga en una cara, al cambiar de cara, el segmento sucesivo si lo hace y, por cuanto demostrado, el punto de fuga coindice con el centro geométrico de la cara a la que pertenece. Fundamentamos la elección de este tipo de composición en diferentes razo- nes: primero, si bien podría haberse presentado un método completo7, hubiese resultado demasiado complejo de asimilar8 en las pocas horas disponibles, y más aún quizás por estudiantes sin formación de base en perspectiva clásica (diseño de moda y comunicación). Segundo, que ya contamos con literatura publicada y un algoritmo de referencia para este caso (Olivero et al. 2019; Barba et al. 2018; Olivero, Sucurado 2019). Tercero, que detrás de cualquier composición comple- ja en perspectiva clásica existe una grilla de líneas horizontales y verticales. En efecto, no es casualidad que de allí tome nombre la “corriente pictórica destinada a representar arquitecturas fingidas (…) denominada quadraturismo (...) en alusión a la cuadrícula tomada de referencia para transferir las perspectivas” (Cabezos Bernal et al. 2014, p. 149). Además de esto se suman las múltiples posibilidades que brinda

6 Algunos resultados de esta experiencia pueden consultarse en (Olivero, Sucurado 2019). 7 Sobretodo en el curso 2018-19 ya que anteriormente la teoría estaba en desarrollo (2017-18) o apenas descubierta (2016-17). La teoría completa fue apenas publicada en el número 6 de la revista diségno (2020). 8 Ambos cursos son exámenes a elección de duración cuatrimestral y no son enteramente dedicados a perspectivas inmersivas, sino que compartieron horas con otros contenidos de programa.

70 As fórmulas na arquitectura Applications of cubical peerspective in architecture, engineering and product design una matriz cuadrada, útil para la elaboración teórica de la forma a través de composiciones estáticas, dinámicas e interactivas con reglas que, basándose sobre el saber y la lógica, resaltan el rol descriptivo y proyectual de dicha matriz (Rossi 1991).

2.2.1. Introducción a la anamorfosis

Luego de un compendio de definiciones (Olivero et al. 2019, p. 55; Cabezos Bernal et al. 2014, p. 149; Araújo 2018b, p. 148; Oxford 2019; RAE 2019), resumi- mos que para producir (y leer) ‘correctamente’ el contenido ‘deformado’ de una anamorfosis es necesario conocer la forma de la superficie de proyección S y el punto específico de observación. Esta operación gráfica que representa un entorno 3D en una superficie 2D es una reducción R3 R2. Una anamorfosis inmersiva será entonces una representación plana, com- pacta9 y normalizada10 del entero ambiente alrededor⟶ del observador, donde S es un cubo o una esfera. Cuando conocemos S, podemos reconstruirla digitalmente (R2 R3), proyectar la representación como textura y tener la ilusión11 de estar viendo el ambiente original. Los HIM son entonces anamorfosis inmersivas con- vertidas⟶ en modelos informáticos que permiten navegar un ambiente en toda su extensión a los 360 grados desde el punto de vista del observador 0. Dicho punto es el único que da sentido a la visualización mimética del contenido y coincide con el centro espacial de la superficie utilizada.

2.2.2. Anamorfosis de líneas fragmentadas

Para asimilar estos conceptos de forma práctica, se representan líneas fragmentadas en dos caras siguiendo el principio fundamental y se utiliza un dispositivo físico para la ‘visualización inmersiva’ y verificación de la coherencia del dibujo (Figura 4).

9 Lo que implica que todos los puntos de fuga resultan dentro de la representación (Araújo 2018b, p. 148). 10 La normalización dependerá de la perspectiva inmersiva elegida. 11 El término ilusión se entiende en los términos definidos para la perspectiva cónica tradicional: ‘an accessible way of understanding how to successfully render the illusion of a three-dimensional space on a two- dimensional surface’ (Da Vinci et al. 2008, p. XV Introduction), ‘It is, in its broadest aspect, an illusion, employing any sublety of artifice that may be available to obtain the effect desired’ (Macnair 1957, p. 763).

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Figura 4. Anamorfosis de líneas fragmentadas (a). Dispositivo físico (b). Visión inmersiva (c). T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

2.2.3. Ambiente cúbico con dos aberturas

Se representan dos ejemplos: en el primero las proyecciones de las aberturas resultan enteramente en R y L (Figura 5); en el segundo las proyecciones superan R y L, por lo que una resulta definida entre R y U mientras la otra entre L y U (Figura 6). Se introducen los conceptos de planos pasantes por el origen (o geo- désicas) y, en el segundo caso, el método de los fragmentos (2.2.5) para encontrar el segmento faltante en U.

72 As fórmulas na arquitectura Applications of cubical peerspective in architecture, engineering and product design

Figura 5. Situación espacial del ejercicio (a). Vista en el mapa cúbico incluidos los cuatro planos que pasan por A’B’, B’D’, D’C’, C’A’ (b). T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

Figura 6. Situación espacial del ejercicio (a), vista en el mapa cúbico (b) e introducción al método de los fragmentos (c). T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

2.2.4. Diferencia ambiente / cubo

El ejercicio busca aclarar la diferencia entre la forma de S (cubo) y la del ambiente ya que la situación tiende a generar confusión (Olivero, Sucurado 2019, p. 55). En el primer caso se representa un ambiente paralelepípedo de base cuadrada y altura menor que el cubo (Figura 7). En el segundo un ambiente para- lelepípedo de base rectangular y altura mayor que el cubo (Figura 8). En ambos casos se inician a utilizar, para la construcción en (b), fragmentos a colores que evidencian la intersección con S (a).

As fórmulas na arquitectura 73 Lucas Fabian Olivero, António Bandeira Araújo e Adriana Rossi

Figura 7. Planta y vista lateral (a). Vista en el mapa cúbico (b). T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

Figura 8. Planta y vista lateral (a). Vista en el mapa cúbico (b). T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

2.2.5. Columna proyectada en cuatro caras: el método de los fragmentos

Durante el curso los estudiantes experimentaron proponiendo diferentes configuraciones espaciales. De allí surgieron problemáticas de representación tales como: columnas con proyecciones en varias caras; columnas de sección variable, escaleras; líneas no horizontales o verticales. Ilustraremos solamente el primer problema, pero la solución nos dejará un corolario para resolver los restantes. Tenemos un ambiente con ocho columnas dispuestas en cuatro pares, con el observador en el centro de ellas y con el cubo en contacto con las aristas internas de las columnas según Figura 9 y Figura 10. Debido a su geometría y a posición, las cuatro columnas centrales resultan tener proyecciones en cuatro caras diferentes del cubo. Para poder reconstruir las columnas, proyectamos los vértices de cada arista en planta y en vista lateral, determinando una serie de intersecciones en S que podemos marcar con colores alternados para facilitar la lectura. Así como

74 As fórmulas na arquitectura Applications of cubical peerspective in architecture, engineering and product design dispuestos, trasladamos los fragmentos12 desde la vista en planta hacia D; y desde la vista lateral a las aristas correspondientes (en el ejemplo de Figura 11, FR, UR, DR) teniendo en cuenta la disposición de las vistas superior e inferior en el mapa cúbico. Con los segmentos ubicados, se unen las dos coordenadas de un mismo punto reconstruyendo cada arista y con ello la forma geométrica (Figura 11).

Figura 9. Vista en planta. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

Figura 10. Vista lateral. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

12 Si el mapa cúbico no fuere de la misma medida que la planta y la vista lateral, la transferencia de los segmentos tendría que ser sujeta al respectivo factor de escala, ver ejemplo de Figura 16.

As fórmulas na arquitectura 75 Lucas Fabian Olivero, António Bandeira Araújo e Adriana Rossi

Figura 11. Anamorfosis de las columnas en proyección cúbica. Nótese que las columnas centrales proyectan en cuatro caras mientras que las más distantes en dos. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

Figura 12. Composición completa de la escena (a) y visualización inmersiva (b). T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

En el caso de las columnas más alejadas, es posible reconstruirlas repitiendo la operación, aunque con menos referencias, por ejemplo, utilizando la geometría de la primera y los puntos de fuga de las líneas a 45º 13. Como la composición es simétrica, dibujando los planos por el origen de cada arista se encuentran las restantes columnas (Figura 12).

13 Las líneas a 45º y sus respectivos puntos de fuga están a la base del método presentado en (Olivero et al. 2019, p. 55).

76 As fórmulas na arquitectura Applications of cubical peerspective in architecture, engineering and product design

2.2.6. Estudio vectorial de un ambiente urbano existente

Partimos de una fotografía equirectangular y realizamos una lectura personal de los elementos conformantes del espacio utilizando el formato cúbico. Para ello, utilizando aplicaciones free-source, tomamos una fotografía panorámica en formato equirectangular de un espacio urbano y que luego se convirtió a un cubemap14. Siguiendo este mapa cúbico, se recalcó el contenido en programas de dibujo vectorial, resaltando aspectos estructurales de la geometría del espacio y la relación arquitectura-objeto / representación cúbica.

Figura 13. Fotografia panorámica de Piazza San Domenico en Aversa, Italia. Serena Saggese. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

14 No debe confundirse perspectiva cúbica con el uso del cubo como superficie de proyección para el desarrollo del llamado ‘environmental mapping’. Este concepto fue introducido en el año 1986 por Ned Greene y propone la utilización de un cubo para reflejar el contenido original de una esfera. La alternativa brinda notables mejoras en la calidad y performance de la renderización (Greene 1986). Un poco más adelante, proyectos como CAVE (Cruz-Neira et al. 1992) o ‘Sketching in Space’ (Israel et al. 2009; 2010; Boddien et al. 2017) harán uso del cubo para la exploración creativa en el diseño conceptual. En ninguno de estos casos se habla de una perspectiva entendida como clasificación de líneas, usos de puntos de fuga o construcciones geométricas, sino que se trata de una operación netamente informática de reflejos entre superficies.

As fórmulas na arquitectura 77 Lucas Fabian Olivero, António Bandeira Araújo e Adriana Rossi

Figura 14. Delineación vectorial. Giuseppina Rao. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

2.2.7. Exploración proyectual

Las siguientes composiciones son el modelo híbrido inmersivo en su máxi- ma expresión: se parte de una búsqueda proyectual con bocetos exploratorios a mano alzada y realizados con instrumentos simples (regla). El objetivo es poner en práctica lo aprendido durante las primeras lecciones, es decir, el funciona- miento del principio de fuga/no-fuga de los segmentos y los planos pasantes por el origen.

Figura 15. Dibujo a mano en perspectiva cúbica del Ambiente 1. Serena Saggese. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

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Figura 16. Bocetos exploratorios para la columna y la ‘Sala Escher’. Giuseppina Rao. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

Figura 17. Navegación inmersiva del ambiente en Figura 15. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

Una vez definido un ambiente, se trabaja en posproducción sobre el medio digital enriqueciendo el lenguaje híbrido de presentación. El paso final es la re- construcción del panorama equirectangular15. En el ejemplo de Figura 18, el lenguaje formal debía responder a una orien- tación específica, reflejando las inspiraciones de los estudiantes durante la visita a la muestra dedicada a M.C. Escher hospedada en el museo PAN de Nápoles16.

15 Puede seguirse a tal fin la sección ‘Setting the immersive model’ de (Barba et al. 2018, p. 34). 16 PAN, Palazzo delle Arti Di Napoli, 2019. Exhibition in Naples, Italy extended till 22nd of April 2019. M.C. Escher – The Official Website [online]. 2019. [Accessed 10 November 2019]. Available from: https://mcescher.com/exhibition-in-naples/

As fórmulas na arquitectura 79 Lucas Fabian Olivero, António Bandeira Araújo e Adriana Rossi

En Figura 18 y Figura 19 la estudiante utilizó las columnas y las escaleras previamente mencionadas en 2.2.5, les agregó texturas y sombras y creó una visita virtual con tres cuadros de su elección.

Figura 18. ‘Sala Escher’ final con texturas. Nótese que fue también necesario el estudio de la anamorfosis de las texturas en el suelo. Giuseppina Rao. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

Figura 19. ‘Sala Escher’ en formato equirectangular (arriba). Vistas inmersivas (abajo). Giuseppina Rao. T.A.R. Unicampania a.a. 2018-19

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3. Consideraciones finales

El uso de sistemas inmersivos permite más que una simple forma de ver la arquitectura ampliada, ya que la representación no se focaliza en el simple edificio ignorando el contexto, sino en su relación y definición mutua con otros edificios y/o con el paisaje (uso externo); como así también del propio edificio en relación con los objetos de equipamiento (uso interno). El modelo inmersivo, por lo tanto, extiende el conocimiento de la arquitectura sobrepasando el concepto de encuadre o enfoque del edificio de la perspectiva clásica al convertirlo en un posicionamiento espacial respecto al edificio y su entorno. La representación centrada en el observador permite una evaluación de las proporciones de la arquitectura y la percepción del conjunto que la rodea desde el punto de vista del usuario. Esta forma de percepción, promocionada por la actual tecnología, se va convirtiendo poco a poco en la normalidad. Precisamente por ello es menester que todo lo que está detrás de dicha representación (la geo- metría, la matemática, la arquitectura, el arte…), se adapten a los nuevos tiem- pos, pero sin dejar de promover los valores ya verificados en la historia, sabiendo además, como ya ampliamente desarrollado (Rossi 2017c), que el método no es indiferente del medio:

“Percezione e rappresentazione sono quindi strettamente legate nello stesso processo espressivo; ma la ricerca di una rappresentazione spaziale coincide con la ricerca dei mezzi per realizzarla. Questi, offerti in maniera rigorosa, o talvolta empirica, dalla geometria, costituiscono delle scelte operate in una determinata direzione secondo le tendenze dominanti di ogni epoca storica.” (Sgrosso 1969)

El uso de la perspectiva cúbica representa una ventaja instrumental y teó- rica ya que con los mismos métodos e instrumentos con los cuales definimos ‘de forma cotidiana’ la arquitectura u objetos, podemos crear una visualización inmersiva definida científicamente y, gracias al principio de linealidad, la perspectiva es exacta, cuantitativa y mesurable. Las experiencias demuestran una dis- tribución más equitativa y accesible a la inmersividad, y ya no al solo virtuoso como antaño. Resaltamos la importancia que la enseñanza de los HIM debería tener en la currícula formativa de las carreras de diseño, incluyéndolos como las perspectivas que son y no como ‘rarezas’ ‘if spherical perspective is mentioned, then it is usually presented as an “outside the box” model (…) rather than as what it should be viewed as: A meta-class model of perspective representation’ (Kulcke 2019, p. 345). Alentamos además la continuidad de los métodos clásicos y analógicos, ya que, como se parte de un dibujo autógrafo, el resultado del proceso de diseño es personal e

As fórmulas na arquitectura 81 Lucas Fabian Olivero, António Bandeira Araújo e Adriana Rossi

irrepetible, favoreciendo a la diversidad creativa y la identidad proyectual. Gracias al uso de los HIM con perspectiva cúbica, el diseñador queda en contacto con una potente herramienta que le permite cambiar de escala desde los primeros bocetos, dando la posibilidad al comitente y a él mismo de previsua- lizar y navegar el proyecto a nivel observador. Su uso promulga una apertura multidisciplinar, permitiendo entender el espacio a quienes tienen una visión del objeto (como los estudiantes de diseño de productos) y entender como los objetos / equipamiento / edificios se relacionan en el espacio a quienes sólo tienen la visión del edificio aislado.

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Cuadro teórico y actualidad del método de la perspectiva

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Authors

* Lucas Fabian Olivero. Architect (University of Cordoba, Argentina) and Engineer (University of Salerno, Italy) is presently at work on a double PhD program in Design and Innovation (University of Campania, Italy) and in Digital Media Arts (Universidade Aberta, Portugal). His thesis is about advanced techniques for handmade VR artworks, such as immersive drawings composed in cubical perspective. He has lectured on the topic, and presented immersive art exhibitions in Italy, Portugal and Belgium. Homepages: https://iris.unicampania.it/browse?type=author&authority=rp10724 and https://www.lufo.art/

* António Bandeira Araújo has a BSc. in Physics and a PhD in Mathematics and specializes in the applications of geometry to the visual arts, having published new methods for drawing spherical perspectives and immersive anamorphoses, that connect traditional drawing with VR visualization. His research in geometry is informed by his work as an illustrator. He lectures at Universidade Aberta, where he teaches immersive perspectives at Aberta’s doctorate in digital media arts, pushing for technology that enhances rather than replaces traditional drawing. He is a member of the Centre for Research in Arts and Communication. Homepage: http://univ-ab. pt/~aaraujo

* Adriana Rossi. Summa cum laude degree in Architecture (1984), PhD, currently Full Professor in ‘Advanced Representation Techniques’ at the Engineering Department of University of Campania. Formerly Associate Professor at the Faculty of Architecture at University of Rome La Sapienza. Member Professor of the PhD international program in Design for Innovation Unicampania. Selected by the Chancellor to set up the photogrammetry laboratory. During the last five years she was visiting Professor at Universitat Politecnica de Valencia and Visiting Researcher at Nany Yung University in Singapore (School of Art, Design and Media). Homepage: https://iris.unicampania.it/browse?type=author&authority=rp00886

86 As fórmulas na arquitectura REVISION OF THE MODERN AND REVISITATION OF THE VERNACULAR A reading of the geometric concepts of the national inn (Pousada) in Oliveira do Hospital by Manuel Tainha

Teresa Belo Rodeia CITAD | Lusíada University, Lisbon, Portugal

Teresa Belo Rodeia João Miguel Couto Duarte CITAD | Lusíada University, Lisbon, Portugal (Santarém, Portugal, 1964) Lec- tures at the Faculty of Architecture and Arts at Lusíada University of Lisbon [FAA/ULL] since 1988 and Abstract: The Pousada de Oliveira do Hospital, a luxury inn at ISCTE-University Institute of designed between 1954 and 1960 and built between 1968 Lisbon since 2017. Teresa is a re- and 1971, remains a reference in the work of the architect search fellow at the CITAD/ULL Manuel Tainha (1922-2012)and Portuguese architecture of and also a practicing freelance the latter half of the 20th century. It emphasises the particu- architect and considers the experi- lar bond with the location; the revision of the Modern Move- ence gathered in that work as the ment experience based on the revisitation of the vernacular cornerstone of her teaching work. She holds a degree in architecture culture; the permanent rediscovery of the landscape made from Faculty of Architecture, Tech- available by its spaces, which was at the same time the first nical University of Lisbon (1987) challenge and the ultimate goal of the design project. In the and a PhD in Architecture from pousada one perceives the singular relationship Tainha had FAA/ULL (2017). with drawing, through observing the game of deliberate complexity that only experience of the work enables one to confirm as correct. Acknowledgment of this game is the grounds for assessment of the importance of geometry in the definition of the pousada’s design. Geometry emerges as a relational guarantee for the various elements that make up the building, manifesting itself as a structuring scheme for the space and for the configurations that make up the space, as a plani- metric modular system, or as an archetypal configuration, at all times intimately linked with the expectation of its realisation as a built form; for this reason, the definition of João M. Couto Duarte the concrete geometries is tied to the construction systems used – continuous granite stone work and schist columns, (Lisbon, 1966) Is a Portuguese architect, practicing since 1990, an on the one hand; and reinforced concrete pillars, beams and assistant professor at the Faculty of slabs, on the other. The affirmation of the rule in the form Architecture and Arts at Lusíada of a reinforced concrete structure – an obvious nod to the University of Lisbon, where he Modern, even if it was undergoing revision – is offset by teaches since 1991, and a research the subversion of the rule through the massive use of local fellow at CITAD/ULL. Also a granite, which is a testament to the vernacular that was then film producer, João holds a degree beginning to be revisited. in Architecture from Faculty of This essay sets out to assess the importance of geometry in Architecture, Technical Univer- the design project for the Pousada de Oliveira do Hospital, sity of Lisbon (1990), a MSc in Art Theories from Faculty of Fine Arts, constituting an examination that goes beyond the mere in- University of Lisbon (2005) and a strumental scope. PhD in Architecture from Faculty of Architecture, University of Lis- Keywords: Manuel Tainha; Pousada de Oliveira do Hospi- bon (2016). tal; Geometry; Design; Drawing.

As fórmulas na arquitectura 87 Teresa Belo Rodeia e João Miguel Couto Duarte

A REVISÃO DO MODERNO E A REVISITAÇÃO DO VERNÁCULO: UMA LEITURA DAS GEOMETRIAS DA POUSADA DE OLIVEIRA DO HOSPITAL, DE MANUEL TAINHA

Arquitectura; Geometria; Projecto

Numa reflexão sobre o desenho feita numa entrevista em 2001, o arquitecto Manuel Tainha (1922-2012) identificou como sendo “domínio soberano da geometria” (Bagulho, 2002, p. 250) o processo de configuração do objecto arquitectónico. A arquitectura encontra na geometria uma das bases para a sua constituição. Enquanto estudo de figuras no espaço (Weisstein, s.d.) – esta é uma definição necessariamente genérica –, a geometria viabiliza a definição das configurações dos objectos que materializam a humanização do território e dos volumes espaciais interiores que esses objectos activam, condição necessária para a concretização da arquitectura. A arquitectura está imbricada com a geometria. Justifica-se por isso considerar a definição da arquitectura como o exercício da geometria, como o faz o Álvaro Siza Vieira ao afirmar: “[a]rquitecura é geometrizar” (Siza, 2000, p. 27). Enquanto criação humana – ultrapassa o âmbito desta reflexão a ponderação das razões pelas quais se crê poderem ser intrínsecas à natureza, isto é, serem não humanas, algumas formulações geométricas –, a geometria surge impregnada dos valores culturais do colectivo que a define e a utiliza. A geometria garante a ligação da arquitectura com as sucessivas conceptualizações do universo e do Homem ao defini-la à sua semelhança. Para a arquitectura, a geometria revela- se assim, como propõe Quaroni, “um sistema de formas reais que resultam dos espaços e das restantes configurações comunicantes e significantes do edifício construído; formas dotadas de particulares significados simbólicos e psicológicos”1 (Quaroni, 1995, p. 122). A adopção de figuras geométricas consideradas ideais, concretizando assim a arquitectura, por exemplo, o desejo de emular a perfeição divina, confirma a existência desses significados – seria essa, ainda, a convicção de Le Corbusier (1887-1965) expressa na “Advertência” feita no início de Urbanisme2 (Le Corbusier, 2000, p. VII), de 1925, corroborando uma tradição de entendimento da geometria –, como confirma também a existência desses significados o questionamento, senão mesmo a ruptura, dessas figuras

1 Tradução dos autores. No original: “un sistema di forme reali, risultanti dagli spazi e dalle altre configurazioni comunicanti e significanti dell’edificio construito; forme dotate di particolari significati simbolici e psicologici” (Quaroni, 1995, p. 122). 2 “A geometria é a base. / É também o suporte material dos símbolos que significam a perfeição, o divino” (Le Corbusier, 2000, p. VII).

88 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular geométricas como reflexo de uma certa compreensão da condição pós-moderna – é esse o entendimento da geometria que Wigley (1988) considera estar subjacente à experiência desconstructivista, conforme observa a propósito da exposição “Deconstructivist Architecture”3 (Wigley, 1988, p. 16), que teve lugar no Museum of Modern Art, em Nova Iorque, em 1988. A geometria codifica a arquitectura, ao proporcionar-lhe uma estrutura para a sua significação. “Se a arquitetura é a arte da articulação dos espaços […], então a codificação da articulação dos espaços poderia ser a que Euclides expõe na sua Geometria” (Eco, 1997, p. 218). A observação de Eco deverá ser estendida a outras geometrias que não já apenas a euclidiana. E deverá ser estendida também aos objectos que configuram o espaço arquitectónico, por ser este espaço inextricável desses objectos, havendo por isso que reconhecer que também as suas articulações encontram uma codificação na geometria. É, afinal, uma ordem aquilo que a geometria proporciona aos objectos que humanizam o território e às sucessivas interioridades que esses objectos definem, significando isso proporcionar-lhes inteligibilidade, condição necessária para a existência no mundo de qualquer objecto (Janeiro, 2010), e, portanto, para a possibilidade de esse objecto se constituir como suporte existencial do Homem, isto é, de se constituir como arquitectura. E é sempre mais do que apenas um conjunto de geometrias concretizado num contínuo de espaço e de tempo aquilo que constitui a arquitectura, mesmo que se radique também aí a sua constituição. “A arquitectura completa para o Homem o desejo de conquista de um espaço, já que tornando-o habitável o humaniza” (Rodrigues, 2002, p. 32). A imbricação da arquitectura com a geometria surge desde logo no projecto, quando o pensamento é desafiado a divisar os objectos arquitectónicos. A geometria permeia o trabalho do arquitecto, surgindo “através da forma, da medida, das proporções e do ritmo”4 (Muñoz Cosme, 2008, p. 75). Para compreender aí o seu valor, à anterior observação de Quaroni sobre o significado da geometria (Quaroni, 1995, p. 122), há que acrescer uma outra, reconhecendo para isso, como bem precisa também Quaroni, comportar a palavra projecto “o duplo significado de invenção-projectação e de operação gráfica para a construção- comunicação da própria invenção”5 (Quaroni, 1995, p. 119). Para o arquitecto, a

3 “Irregular geometry is […] understood as a structural condition rather than as a dynamic formal aesthetic. It is no longer produced simply by the conflict between pure forms. It is now produced within those forms. The forms themselves are infiltrated with the characteristic skewed geometry, and distorted. In this way, the traditional condition of the architectural object is radically disturbed” (Wigley, 1988, p. 16). A exposição Deconstructivist Architecture foi comissariada por Philip Johnson (1906-2005), em associação com Mark Wigley (1956- ) e com a coordenação de Frederieke Taylor (1940-2018). 4 Tradução dos autores. No original: “a través de la forma, la medida, las proporções y lo ritmo” (Muñoz Cosme, 2008, p. 75). 5 Tradução dos autores. No original: “il doppio significato di invenzione-progettazione e di operazione

As fórmulas na arquitectura 89 Teresa Belo Rodeia e João Miguel Couto Duarte

geometría é igualmente, observa Quaroni, “o complexo sistema gráfico-matemático que foi utilizado para construir sobre o papel a própria geometria dos espaços e das restantes configurações do edifício, em particular para a autocomunicação de controlo contínuo do projectista”6 (Quaroni, 1995, p. 122). A observação de Quaroni estende-se necessariamente a outros sistemas de representação, em particular a maqueta, mesmo que aí pareçam ser menos evidentes as operações de transformação geométrica que sempre são implicadas na transcrição da realidade para os códigos da representação7 – “[d]e um modo simples, a semelhança em qualquer grau não é condição suficiente para a representação”8, observa Goodman (1976, p. 4). A prática projectual compreendeu desde sempre as vantagens desta relação entre a representação e a geometria. Por isso, a representação arquitectónica surge imbricada com a geometria. A manipulação das geometrias configuradoras do espaço arquitectónico é engendrada e controlada na manipulação das geometrias da representação, surgindo a geometria como instrumento do pensamento projectual. Só o hábito colectivo de há muito assim proceder justificará a convicção numa natural correspondência entre ambas as geometrias, tomando-se assim as geometrias fixadas na representação como as precisas geometrias do objecto arquitectónico que o pensamento procura definir. A geometria viabiliza o pensamento projectual; confere-lhe praticabilidade. É, pois, afinal, também uma ordem aquilo que a geometria proporciona ao pensamento do arquitecto, significando isso, tal como ocorre com os objectos arquitectónicos, proporcionar-lhe inteligibilidade. A pertinência da geometria enquanto ordem do pensamento torna-se ainda mais evidente ao se considerar que, ao longo de um processo de projecto, o objecto desse pensamento é não apenas inexistente como, também, senão mesmo sobretudo, indefinido. Defini-lo é afinal o propósito do projecto. A geometria resgata o objecto do pensamento da sua indefinição, sem o que esse objecto não poderia ser compreendido, isto é, e convocando o duplo significado de ‘compreender’, não poderia ser cabalmente discernido e delimitado. A geometria codifica-o; confere-lhe uma possibilidade de significação. Ainda assim, é apenas uma sugestão de ordenação aquilo que a geometria proporciona ao objecto do pensamento, já que, só sendo construído, poderá a ordem desse objecto alcançar um pleno significado. E é mais do que apenas praticabilidade aquilo que a geometria confere ao trabalho do arquitecto,

gráfica per la costruzione-comunicazione dell’invenzione stessa” (Quaroni, 1995, p. 119). 6 Tradução dos autores. No original: “il complesso sistema gráfico-matematico che è stato usato per construire sulla carta la geometria stessa degli spazi e delle configurazioni dell’edificio, in particolare per l’autocomunicazione di controllo continuo del progettista” (Quaroni, 1995, p. 122). 7 Sobre a dimensão codificada da maqueta, consultar Duarte (2016, pp. 108-128). 8 Tradução dos autores. No original: “Plainly, resemblance in any degree is no sufficient condition for representation” (Goodman, 1976, p. 4).

90 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular mesmo que esse trabalho assente em larga medida no exercício da geometria. Ao proporcionar a codificação das articulações quer do espaço, quer dos objectos arquitectónicos, a natureza geométrica da representação arquitectónica reflecte uma certa concepção da arquitectura, do seu projecto e também da representação. E será talvez no desenho que esse reflexo é mais evidente, ou, melhor, terá sido mais amplamente teorizado – “[d]as Ideai [de Vitrúvio] ao Desenho [de Vasari], passando pelas Lineamenta [de Alberti], a configuração das ideias arquitectónicas escolheu o óbvio percurso da relação estreita com a Geometria. Esta não seria visível sem o Desenho, e o Desenho não seria inequívoco sem Geometria. A evidência do plano ideal da arquitectura só poderia daí advir”9 (Côrte-Real, 2001, p. 60).

Uma leitura sobre as geometrias da pousada de Oliveira do Hospital. Manuel Tainha – o encontro com a arquitectura

Manuel Tainha nasceu em Paço de Arcos, próximo de Lisboa. O mar que daí se alcançava no fim do Tejo proporcionou-lhe a linha do horizonte, para lá da qual tudo então acontecia, assim fantasiava. O seu encontro com a arquitectura, que classificou como “assombroso” (Tainha, 2002a, p. 6), embora não tivesse decorrido de um chamamento, veio por via do desenho, “esse sim, o apelo de ver a vida por imagens e gostar de jogar com elas, criando mundos imaginários,

9 Vitrúvio (século I a.C.) refere-se às ideae – o termo grego que lhes equivale – ao clarificar as espécies da disposição [dispositio], em De Architectura Libri Decem (Vitrúvio, 2006, p. 37), apontado como tendo sido elaborado entre 32-22 a.C.. A disposição, que corresponderá hoje ao projecto, quer enquanto intenção, quer enquanto conjunto de documentos que fixa e determina a concretização dessa intenção, comportava a icnografia [ichnorgraphia], a ortografia [ortografia] e a cenografia [scenographia]. Os dois primeiros termos têm sido comummente identificados como correspondendo, respectivamente, aos actuais planta e alçado; o terceiro tem sido interpretado, sobretudo, como uma vista onde se sugere a profundidade, uma espécie de perspectiva, ainda que o seu efectivo significado permaneça até hoje intraduzível (Bartoli, 1978, p. 200, nota 7). Leon Battista Alberti (1404-1472) apresenta a noção de delineamento [lineamenta] em De Re Aedificatoria, concluído em 1452, sendo essa noção fundamental para a afirmação da dimensão intelectual do trabalho do arquitecto. O delineamento é definido como “um traçado exacto e uniforme, mentalmente concebido, constituído por linhas e ângulos, levado a cabo por uma imaginação e intelecto cultos” (Alberti, 2011, p. 146). O delineamento transpareceria na mensurabilidade do desenho (Alberti, 2011, p. 189) – a planta e o alçado; a perpectiva deveria ser rejeitada pelo arquitecto precisamente por deturpar a correcta medição dos objectos arquitectónicos –, e também na da maqueta (Alberti, 2011, pp. 188-190). Giorgio Vasari (1511-1574), em Le vite de’ più eccellenti pittori, scultori, e architettori da Cimabue insino a’ tempi nostri, de 1568, atribui ao desenho a paternidade da pintura, da escultura e da arquitectura (Vasari, 1568, vol. I, p. 43), fixando-o como expressão do conceito constituído na mente do artista.

As fórmulas na arquitectura 91 Teresa Belo Rodeia e João Miguel Couto Duarte

que é outra maneira de aproximação ao real. E daí retirar grande satisfação” (Tainha, 2002a, p. 6). Ingressou na Escola de Belas-Artes de Lisboa (EBAL) em 1939, para só terminar o curso em 1950. O ingresso na escola determinaria o abandono do estudo e da prática do violoncelo, aos quais se dedicara desde os seis anos. Em 1948, participaria no I Congresso Nacional de Arquitectura, assistindo à vontade de acerto de rumo que os arquitectos então formulariam 10. Aproximar-se-ia de Carlos Ramos (1897-1969), com quem trabalharia e cuja biblioteca muito apreciaria, e de Francisco Keil do Amaral (1910-1975), que então se tornava numa figura tutelar para a classe dos arquitectos. A passagem pela EBAL seria atribulada, em larga medida devido à relação crispada que manteria com o mestre Luís Cristino da Silva (1896-1976), de quem foi aluno do 2.º ao 5.º ano da cadeira Arquitectura 11. Promovia-se então, na cadeira, “um ensino Beaux- Arts, quer nos temas propostos, quer no método de ensino, vinculando sempre o esboceto ao projecto definitivo” (Moniz, 2011, vol. 1, p. 129). Manuel Tainha faria várias viagens ao estrangeiro durante o tempo do curso – Itália, Alemanha e Dinamarca –, um gosto que manteria ao longo da vida. Tornar-se-ia um cultor do espírito, um pensador inquieto e atento, de tempos longos, reservado e sempre independente, apreciador de cinema, de música, de literatura, de conversação. E continuaria a ceder ao prazer de se entregar ao desenho, ao labirinto do desenho, até ao fim. Manuel Tainha abriria atelier em 1949 12, ainda que só em 1954 concluísse

10 O I Congresso Nacional de Arquitectura foi organizado pelo Sindicato Nacional dos Arquitectos, sob o patrocínio do Governo, devendo acompanhar a ‘Exposição das Obras Públicas’, realizada em 1948 no Instituto Superior Técnico, em Lisboa. O congresso seria contudo marcado pela emergência de “uma nova geração [de arquitectos] e em paralelo uma vontade colectiva de mudança, de recusa consciente e mais teoricamente alicerçada, da ‘arquitectura do estado novo‘” (Tostões, 1997, p. 33). 11 Manuel Tainha recordaria as suas divergências com o antigo professor no texto “Depoimento sobre Luís Cristino da Silva”, de 1989 (Tainha, 2000c), traçando dele um retrato demolidor, que se torna mais ainda contundente ao ter Tainha a grandeza de afirmar: “[c]omo eu hoje o estimo” (Tainha, 2000c, p. 63). Sobre a EBAL, no texto “Da estimada e nunca desmentida diferença”, também de 1989 (Tainha, 2000b), diria estar então marcada pelo “regresso ao virtuosismo Grande-Composição e ao classicismo de sebenta” (Tainha, 2000b, p. 56), regresso esse ocorrido depois de uma certa exposição ao modernismo, pese embora o declarado academismo da instituição. Manuel Tainha teria como colegas de curso Manuel Alzina de Menezes (1920-2001), Nuno Teotónio Pereira (1922-2016), Carlos Manuel Ramos (1922-2012), Luís Nobre Guedes (1923-2001), João Garizo do Carmo (1917-1974), Manuel Costa Martins (1922-1996), Victor Palla (1922-2006), Manolo Gonzalez Potier (1922-2015), Manuel Coutinho Raposo (1916-1999) e Francisco Blasco Gonçalves (1920-2012). 12 O atelier seria partilhado com Raul Chorão Ramalho (1914-2002), Teotónio Pereira e Alzina de Menezes, e com os engenheiros Ernesto Borges (1924-1998) e José de Lucena (1921-1991). Em 1953, passaria também a ser partilhado com o engenheiro José Menezes Corrêa de Sá (1912-1998) (Rodeia, T., 2017, vol. 1, p. 81). Ernesto Borges e José Lucena tinham entretanto deixado o atelier.

92 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular o estágio na Câmara Municipal de Lisboa que havia iniciado logo a seguir à conclusão do curso, estágio esse desenvolvido sob a orientação de Guilherme Faria da Costa (1906-1971). Pouco seria construído daquilo que projectaria nesse período. Em 1954, ganharia o concurso para as ‘Piscinas do Tamariz’, no Estoril, que, concluídas em 1956, se tornariam na sua primeira obra de raiz a ser construída 13. O seu desenho é exaustivo. “Em termos expressivos, reconhece-se a sua pertença a uma arquitectura moderna de meados dos anos 50” (Toussaint, 2002, p. 18). A par da prática projectual, a actividade de Manuel Tainha foi desde o início, também, consubstanciada na reflexão teórica e crítica, que viria posteriormente a ter muitas vezes um intuito didático, cumprindo uma dimensão ética do exercício da profissão, e que constituiria uma das marcas distintivas da sua presença no panorama cultural português. Em 1953, e na sequência de uma colaboração no ano anterior na organização de um seu número em conjunto com Rafael Botelho (1923- ) e com Francisco Keil do Amaral, Manuel Tainha publicaria dois textos na revista Arquitectura (Tainha, 1953a; Tainha, 1953b), sublinhando, logo no primeiro, a necessidade de se rever “o caminho já percorrido pelos arquitectos modernos” (Tainha, 1953a, p. 9) face à distância que as suas obras se encontravam dos objectivos maiores – sociais e colectivos – da arquitectura. No mesmo número da revista onde foi publicado esse primeiro texto, seria também publicada a tradução que fez do texto de Alvar Aalto (1898-1976), de 1947, ao qual deu o nome “O ovo de peixe e o Salmão” 14 (Aalto, 1953), confirmando o seu conhecimento e interesse pela produção teórica estrangeira. A revista Arquitectura constituía então uma plataforma referencial para a reflexão sobre a aquitectura, assumindo como preocupações “a divulgação das conquistas da arquitectura moderna em Portugal, e a divulgação da actualidade do debate internacional que tinha também a arquitectura moderna como tema principal” (Correia, 2015, p. 50). Em conformidade com o desejo de reflexão, Manuel Tainha viria depois a fundar, já em 1958, com Jovito Tainha (1918-1995), seu irmão e engenheiro civil, a revista Binário15. Manuel Tainha participaria também na organização e na promoção do ‘Inquérito à Arquitectura Regional Portuguesa’, idealizado por Keil do Amaral

13 Em 1956, seria também concluída a construção do projecto de transformação e de ampliação da Fábrica de Estamparia de Tecidos Telhado Alves, em Lisboa, hoje abandonada e em ruína. Tratava- se contudo de uma intervenção numa estrutura existente. O inventário de obras e de projectos de Manuel Tainha está disponível em Rodeia, T. (2017, vol. 1, p. 81). 14 O texto de Aalto foi inicialmente publicado em 1947 na revista Domus numa versão bilingue – italiano e inglês – com os títulos “Architettura e Arte Concreta” e “Architecture and Concrete Art”, respectivamente (Aalto, 1947). Seria publicado logo em 1948 em finlandês com o título “Taimen já tunturipuro” [A truta e a corrente da montanha] na revista Arkkitehti (Aalto, 1948). Manuel Tainha traduziria o texto de Aalto a partir de uma versão francesa publicada na revista suíça Das Werk em 1949, que adoptou o título “L’œuf de poisson et le saumon” (Aalto, 1949). 15 Manuel Tainha manteve-se como responsável da revista apenas durante os 10 primeiros números.

As fórmulas na arquitectura 93 Teresa Belo Rodeia e João Miguel Couto Duarte

no texto “Uma Iniciativa Necessária” (Amaral, 1947) publicado em 1947, também na revista Arquitectura, e que seria desenvolvido entre 1955 e 1960, culminando na publicação, em 1961, da obra “Arquitectura Popular em Portugal” (SNA, 1961). “Realizado num momento de viragem histórica, quando alguns dos princípios do Movimento Moderno estavam a ser criticamente revistos, tanto a nível nacional como internacional, o Inquérito encorajou os arquitectos modernos na retoma da história e da tradição” (Maia e Cardoso, 2012, p. 382). O início da actividade profissional de Manuel Tainha coincide assim com o arranque da década de 1950, um tempo ao longo do qual se operaria uma redefinição da arquitectura portuguesa. A um “primeiro modo”, marcado pela “racionalidade construtiva” e pelo “valor da imagem”, Tostões contrapõe um outro marcado pelo “realismo construtivo” e pelo “valor de vivência”, que se afirmaria com mais intensidade sobretudo na segunda metade da década.

Designamos por segundo modo ou maneira, o processo de análise e crítica em relação aos pressupostos mais ortodoxos do Movimento Moderno, que se adensa por volta dos meados da década de 1950. Este momento de charneira é apreensível entre nós, não só através da concepção arquitectónica, mas também a partir de diversos sinais de âmbito disciplinar e colectivo de que se destacam pelo menos dois factos: a nova revista Arquitectura e o trabalho de campo do ‘Inquérito à Arquitectura Regional Portuguesa’, que se inicia justamente em 1955. (Tostões, 2014, p. 439)

É neste contexto que Manuel Tainha receberá, em 1954, o convite para elaborar o projecto para uma pousada a construir em Oliveira do Hospital.

A pousada de Oliveira do Hospital – a revisão do moderno e a revisitação do vernáculo

No início da década de 1950, e após a experiência de um primeiro plano, o Governo Português, por intermédio do Ministério das Obras Públicas (MOP) e com a colaboração do Secretariado Nacional de Informação (SNI), decide definir e implementar um novo plano de âmbito nacional destinado à construção de um novo conjunto de pousadas 16. A concretização desse plano começará com a eleição, entre outras, de sete pousadas a serem construídas de origem, sendo os respectivos projectos atribuídos a jovens arquitectos convidados para o

16 Para uma compreensão alargada da definição e da concretização a rede de pousadas em Portugal, consultar S. Lobo (2006).

94 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular efeito em 1954. Surgem assim as pousadas para Valença do Minho, que seria projectada por João Andresen (1920-1967); para Bragança, projectada por José Carlos Loureiro (1925- ) e por Luís Pádua Ramos (1930-2005); para a Portela da Gardunha, projectada por Francisco Blasco Gonçalves; para Vilar Formoso, projectada por Nuno Teotónio Pereira e por António Pinto de Freitas (1925-2014); para Aveiro, projectada por Alberto Cruz (1920-1990); para a Nazaré, projectada por Ruy Jervis d’Athouguia (1917-2006); e para Oliveira do Hospital, projectada por Manuel Tainha 17. Apenas seriam concretizadas as pousadas de Bragança, inaugurada em 1959, a de Aveiro, inaugurada em 1960, a de Valença do Minho, inaugurada em 1962, e a de Oliveira do Hospital, inaugurada em 1971. O processo de projecto da pousada de Oliveira do Hospital seria marcado por algumas vicissitudes, resultantes, numa primeira fase, de uma relutância na aceitação da proposta inicial apresentada por Manuel Tainha, em 1954 18, e, mais tarde, por dificuldades em assegurar algumas condições locais, nomeadamente o abastecimento de água. O primeiro ante projecto da pousada seria entregue em Dezembro de 1954, seguindo-se a entrega de um segundo ante projecto em Janeiro de 1956. Nesse segundo ante projecto, encontram-se já formalizados, em larga medida, os princípios projectuais fundamentais da obra, nomeadamente as colunas de xisto que marcam o alçado Sudeste. O projecto seria entregue em Novembro desse ano. Só em 1958 seria entregue o projecto final, que viria anos mais tarde a informar o concurso para a construção da pousada. A construção decorreria entre 1968 e 1971. Entre 1968 e 1969, Manuel Tainha desenvolveria ainda o projecto de equipamento e de mobiliário para a pousada, que teria como co-autor Fernando Bagulho (1947- ). Com a inauguração, a 13 de Junho de 1971, a pousada definida pelo MOP para Oliveira do Hospital passaria a designar-se Pousada de Santa Bárbara.

17 A atribuição do projecto da pousada de Oliveira do Hospital a Manuel Tainha, que à data não tinha ainda obra construída, embora se distinguisse já pela presença na discussão da arquitectura e integrasse o panorama cultural lisboeta, terá sido sustentada, desde logo, no mérito do seu percurso académico, confirmado pela obtenção da classificação de 19 valores no Concurso para a Obtenção de Diploma de Arquitecto (CODA), mas, também, na proximidade que mantinha com figuras polarizadoras e tutelares do panorama arquitectónico nacional, como então eram Carlos Ramos e Francisco Keil do Amaral. Terão sido igualmente essas as razões que justificaram a integração de Manuel Tainha no corpo docente definido na proposta de ‘Reforma do Ensino Artístico, Projecto de Estruturação dos Cursos e Reorganização do Corpo Docente’, de 1956. Manuel Tainha deveria leccionar, na EBAL, a cadeira Arquitectura (Moniz, 2011, vol. 1, p. 383, nota 1029). A proposta de reforma seria recusada. 18 Embora seja comummente assumido como datando de 1957, desde logo pelo próprio Manuel Tainha (Tainha, 2002b, p. 45), o projecto da Pousada de Oliveira do Hospital começou a ser elaborado a partir de Setembro de 1954, altura em que foi assinado o contrato de prestação de serviços que formalizava a encomenda do projecto. Para uma compreensão da cronologia do processo de projecto e de construção da pousada de Oliveira do Hospital, consultar Rodeia, T. (2017, vol. 1, p. 113).

As fórmulas na arquitectura 95 Teresa Belo Rodeia e João Miguel Couto Duarte

A pousada surge implantada entre os pinheiros existentes, num local da encosta onde o declive se acentua, permitindo a visão próxima sobre o vale, por onde corre o Rio Alva, e a visão distante sobre a paisagem constituída pela Cordilheira Central e pelos contrafortes da Serra da Estrela. Acompanham-se as curvas de nível. A aproximação à pousada é feita em curva, definindo uma compreensão progressiva.

Figura 1. Pousada de Oliveira do Hospital, vista a partir do acesso (Rodeia, T., 2012). Arquivo pessoal Teresa Rodeia.

Para quem chega, a pousada surge quase doméstica, composta por volumes de limites bem definidos construídos em aparelho de granito pontualmente perfurado (Figura 1); para a paisagem, afirma-se pela imponência das singulares colunas de xisto, que são estruturais, numa citação quase literal do Abrigo Pirovano, em Cervinia, Itália, de Franco Albini (1905-1977) com Luigi (Gino) Colombini (1915-2011)19, e do volume de betão das varandas dos quartos que

19 O Abrigo Pirovano foi projectado e construído entre 1948 e 1952 (Fondazione Franco Albini, s.d.a., p. 18). Lobo (2006, p. 86, nota 95) vê na origem desta aproximação ao abrigo a colaboração de José Pacheco (1936-1997) no projecto da pousada. Pacheco teria conhecido Franco Albini na altura em que este integrou a equipa de consultores internacionais permanentes convidados em finais de 1958 para preparar o concurso para os edifícios da sede e do museu da Fundação Calouste Gulbenkian, em Lisboa, lançado em 1959, chegando depois a estagiar com Albini, em Itália, no início da década de 1960. Seria depois desse estágio que Pacheco passaria a colaborar com Manuel Tainha. Contudo, como foi referido, as colunas da pousada surgem já definidas no ante projecto entregue em Janeiro de 1956, antes, portanto, do início dessa colaboração, que seria afinal posterior à própria conclusão

96 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular assenta sobre essas colunas (Figura 2).

Figura 2. Pousada de Oliveira do Hospital, vista da fachada Sudeste (Rodeia, J., 1995). Arquivo pessoal João Belo Rodeia.

Os volumes espaciais da entrada, das zonas de estar e de refeições, e das áreas de serviços organizam-se confirmando a presença de um claustro. É manifesto o vínculo entre a definição das configurações da pousada e os sistemas construtivos empregados – alvenaria contínua de granito e colunas de xisto, por um lado; pilares, vigas e lajes em betão armado, por outro (Figuras 3, 4, 5 e 6). Singulariza a pousada a particular vinculação ao local; a revisão da experiência do Movimento Moderno a partir da revisitação da cultura vernácula, num ensaio, talvez, de um vernáculo erudito; a permanente redescoberta da paisagem proporcionada pelos seus espaços, em simultâneo o desafio primeiro e o propósito último do projecto. Intui-se na pousada a singular relação que Manuel Tainha sempre teceu com o desenho, ao se observar o jogo de deliberada complexidade que só a experiência da obra permite confirmar como acertado.

do projecto da pousada. O projecto de Albini seria publicado no n.º 47 da revista Edilizia Moderna, de Dezembro de 1951 (Fondazione Franco Albini, s.d.b.), do qual a revista Arquitectura receberia um exemplar logo no início de 1952 (Lobo, J. 1952, s.p.). Manuel Tainha terá muito provavelmente tido conhecimento do projecto de Albini a partir desse exemplar. O projecto seria ainda publicado na revista Domus, em 1952 (Albini in città, Albini in montagna, 1952), e na revista L’Architecture d’aujourd’hui, em 1953 (Auberge pour jeunes a Cervinia, 1953).

As fórmulas na arquitectura 97 Teresa Belo Rodeia e João Miguel Couto Duarte

Figura 3. Pousada de Oliveira do Hospital, planta do piso de entrada (Tainha, 1967). SIPA/IHRU.

Figura 4. Pousada de Oliveira do Hospital, corte transversal pela zona de entrada (Tainha, 1958).

Figura 5. Pousada de Oliveira do Hospital, alçado Sudeste (Tainha, 1958).

98 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular

Figura 6. Pousada de Oliveira do Hospital, alçado Nordeste (Tainha, 1958).

O projecto da pousada de Oliveira do Hospital constituiria um momento definidor do particular modo de Manuel Tainha exercer o seu trabalho, como as suas subsequentes obras viriam a confirmar – um trabalho assente na convicção de que a arquitectura deve construir lugares, assente no desejo de elaborar universos espaciais complexos e de tecer relações com a sua envolvente, assente, ainda, no cuidado posto na manipulação dos materiais e no desenho dos pormenores; e um trabalho assente sempre, também, numa reflexão alongada sobre a arquitectura, desde logo a do seu tempo, mas, igualmente, a de tempos passados, a vernácula, a conventual. É essa alteração no modo de Manuel Tainha compreender e projectar a arquitectura que Toussaint (2002) reconhece na pousada de Oliveira do Hospital, e cuja definição torna clara ao observá-la no quadro de influências recíprocas que essa mesma definição comporta com o panorama arquitectónico seu contemporâneo. A oportunidade das observações de Toussaint mantém-se mesmo que sejam afinal muito mais próximos no tempo os projectos da pousada e das piscinas.

Se é possível constatar uma grande diferença de expressão da piscina do Tamariz para a pousada de Santa Bárbara, separadas na sua génese projectual por três anos, valerá a pena recordar que o ‘Inquérito’ decorreu a partir de 1955, que Fernando Távora [1923-2005] tinha em projecto ou construção o mercado de Vila da Feira (1955/59), o pavilhão de ténis da Quinta da Conceição (1957/58) e a casa de Ofir (1957/58), que Nuno Teotónio Pereira tinha construído a igreja das Águas (1949/57) e iniciava o processo da casa de Vila Viçosa com Nuno Portas [1934- ] (1958/62), Álvaro Siza [1933- ] desenvolvia o projecto da casa de chá da Boa Nova (p. 1956/58, c. 1960/63) e Conceição Silva [1922-1982] abordava o projecto do hotel do Mar

As fórmulas na arquitectura 99 Teresa Belo Rodeia e João Miguel Couto Duarte

em Sesimbra (1958/64), enquanto o grupo CIAM do Porto assistia à contestação dos mestres do Movimento Moderno pelos arquitectos mais jovens nesses congressos internacionais e, como se percebeu, a leitura de Aalto tinha chegado há muito pela própria mão de Manuel Tainha, estando já amplamente divulgada a obra de Wright [1867- 1959] ou os vários caminhos do ‘realismo’ na constatação da falência das posições radicais das vanguardas do Movimento Moderno entre as duas guerras mundiais. (Toussaint, 2002, p. 20)

Uma leitura sobre as geometrias da pousada de Oliveira do Hospital

A presença da geometria na pousada de Oliveira do Hospital será primeiro lida no plano da constituição do pensamento, observando, a partir dos desenhos de projecto, o valor ordenador que a geometria aí comporta, prosseguindo depois essa leitura no plano das opções de projecto, onde a articulação da revisão do moderno com a revisitação do vernáculo se concretiza. O lugar da geometria na constituição do pensamento projectual de Manuel Tainha será indissociável do lugar que aí detinha o desenho, por ser o desenho determinante no modo como Manuel Tainha compreendia o mundo e, portanto, sustentava a invenção dos objectos arquitectónicos. Na origem desse lugar, é necessário discernir o ensino Beaux-Arts que a EBAL e Cristino da Silva praticavam, mau grado as duras críticas que Manuel Tainha lhes teceria (Tainha, 2000b; Tainha, 2000c), já que, à “aristocracia do lápis que somos por tradição” (Tainha, 2000c, p. 62), correspondia, por exigência curricular, um não menos apurado manuseio da geometria. Mas o valor da geometria encontra-se além do domínio estrito das operações implicadas na representação arquitectónica, mesmo que esse domínio seja fulcral para a proficiência do projecto – e Manuel Tainha manifestamente detinha esse domínio. A geometria será sobretudo a base a partir da qual Manuel Tainha lança o seu pensamento e à qual o faz regressar, sempre que o desenho o extravia, o que sucedia com frequência, já que “[é] no acto da representação que a ideia se clarifica… ou se perde, posto que representar o que se pensa e pensar o que se representa, são na ocorrência, uma e a mesma coisa” (Tainha, 2000a, p. 43), como observaria ao abordar o acto criativo. Na sua sequência cronológica, a sucessão dos múltiplos desenhos, sobretudo esquissos, formulados ao longo do processo de projecto da pousada – os cerca de duzentos e sessenta desenhos conhecidos fazem crer ter sido largamente superior o montante total produzido (Rodeia, T., 2017, vol. 1, p. 53) – revela que, sob um percurso pleno de avanços, de recuos, de descontinuidades, de acasos, de hesitações, de alterações, de contradições, um percurso feito de observações fragmentadas e incompletas, elaboradas a diversas escalas, onde tudo parece

100 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular estar sempre em questionamento, mesmo quando parece surgir já estabilizado, onde o descontrolo parece por vezes iminente e muitas vezes se atinge o limiar da irrazoabilidade (Figura 7); sob esse percurso – afirmávamos –, verifica-se a permanência da geometria como escora do pensamento, como modo de o engendrar, manifesto contraponto à obsessiva experimentação que o desenho induzia (Figura 8), reflexo, afinal, essa experimentação obsessiva, do modo como Manuel Tainha divisava aquilo que procurava definir – “Estou sempre a ver, é um ver constante. […] Com o desenho, sem o desenho, é um ver constante.

Figura 7. Pousada de Oliveira do Hospital, desenho de trabalho da fase de ante projecto (Tainha, 1955a). Espólio Manuel Tainha – FCG-Biblioteca de Arte e Arquivos.

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Figura 8. Pousada de Oliveira do Hospital, desenho de trabalho da fase de ante projecto (Tainha, 1955b). Espólio Manuel Tainha – FCG-Biblioteca de Arte e Arquivos.

E obsidiante, maluco…”, confessaria numa conversa, em 2011 (Duarte e Rodeia, 2016, p. 12). A geometria surge como garante relacional dos diversos elementos constituintes da pousada, como agente da sua coesão; viabiliza-os enquanto tal, ao conferir-lhe essa possibilidade de significação. Confirma-se constituir-se a geometria uma ordem do pensamento projectual. Na definição dos sistemas de formas reais – isto retomando a já referida observação de Quaroni (1995, p. 122), e dando continuidade no plano das opções de projecto à observação agora efectuada no plano da constituição do pensamento –, a geometria manifesta-se ora como esquema estruturador do espaço e das configurações que o compreendem, ora como sistema modular planimétrico, ora, por vezes também, como configuração arquetipal. E surge imbricada sempre com a expectativa da sua concretização como forma construída. Este alcance da geometria – que foi em parte já referido logo no início desta reflexão – fica clarificado com as observações de Manuel Tainha, numa entrevista dada em 2001 a Fernando Bagulho (2002), ao objectivar o significado de uma das versões que entende que o desenho assume ao longo de um percurso de um projecto:

102 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular

É o desenho como guião de trabalho para a formação de uma totalidade: o objecto arquitectónico. Compor e decompor, separar e reunir com o auxílio da imagem são os seus principais ingredientes. Como representação de uma totalidade é também o guião privilegiado para o trabalho disciplinar. É a forma à procura de geometria, o domínio soberano da geometria; e portanto, da intuição construtiva. (Bagulho, 2002, p. 250)

Enquanto esquema estruturador, a geometria está presente na definição da relação que a pousada estabelece com o sítio. Manifesta-se no modo como o edifício se ancora na encosta, assumindo a linha onde se prenuncia a acentuação do declive como o limite a partir do qual o edifício se debruça sobre a paisagem, a próxima e a distante. Decorre daí o desenvolvimento do edifício acompanhando as curvas de nível. Sintomaticamente, os cortes transversais, aqueles que revelariam o declive da encosta, seriam para Manuel Tainha determinantes na formulação e na compreensão da proposta arquitectónica. Enquanto sistema modular planimétrico, a geometria está presente na definição da estrutura, em simultâneo espacial e construtiva, que subjazerá à definição da pousada. Manifesta-se na imposição de uma regra, decorrência natural do programa funcional em causa, que será tomada por Manuel Tainha quer observando-a, quer subvertendo-a. Esta regra terá a sua orientação determinada pela linha geradora da implantação do edifício. Por último, enquanto configuração arquetipal, a geometria está presente no claustro, que, significativamente, se constitui como o elemento organizador dos volumes espaciais fundamentais da pousada. É na coexistência destas três distintas manifestações da geometria que se radica e concretiza também a articulação da revisão do moderno com a revisitação do vernáculo que marca a pousada de Oliveira do Hospital, articulação essa presente, desde logo, na “intuição construtiva” de sincronizar o uso do betão armado com o uso do aparelho de granito, com a qual, e desde o início, Manuel Tainha guiaria o seu trabalho. À afirmação da regra por meio da estrutura de betão armado – expressão manifesta do moderno, mesmo que em processo de revisão –, corresponde a sua subversão por meio do aparelho de granito – testemunho do vernáculo que começava a ser revisitado –, num jogo de alinhamentos e de desvios que está afinal na base do já referido jogo de deliberada complexidade que perpassa a pousada e que só a experiência da obra permite confirmar como acertado. Significativamente, enquanto elemento organizador que é, o claustro é configurado tanto na observância, quanto na subversão da regra que estrutura a definição do edifício. Tostões (1997) encontra denunciado na pousada, justamente, “um compromisso delicadamente conciliado entre uma expressão estrutural de sentido purista e uma articulação volumétrica e espacial que remete já para os princípios organicistas” (Tostões, 1997, p. 119). Mas há uma excepção, quase imperceptível: a adopção do Modulor, o sistema de proporções

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codificado por Le Corbusier que foi publicado em 1950 (Le Corbusier, 2010), na definição da proporção dos vãos que seriam abertos no aparelho de granito. Esta é uma excepção tanto mais significativa quanto Manuel Tainha afirmara, na memória descritiva que acompanharia o projecto entregue em Novembro de 1956, ser o pequeno vão obtido por perfuração nesse aparelho “governado pelo poder de tracção dos granitos” (Tainha, 1956, p.3). E uma execepção interpelante, também, já que Le Corbusier não parece ter pertencido ao núcleo preferencial de afinidades arquitectónicas de Manuel Tainha. As colunas da fachada Sudeste (Figura 9), ao conjugarem em si o capitel prismático de betão armado e o corpo troncocónico de alvenaria solta de xisto configurados na exacta dimensão das exigências estruturais dos respectivos sistemas construtivos, constituirão porventura o elemento onde melhor se evidencia o desejo de articulação da revisão do moderno com a revisitação do vernáculo formulado por Manuel Tainha, a opção projectual fundadora da pousada.

Figura 9. Pousada de Oliveira do Hospital, colunas da fachada Sudeste (Bagulho, 1970). Arquivo pessoal Fernando Bagulho.

104 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular

Mas será afinal como reflexo do universo das sensibilidades e dos afectos intelectuais de Manuel Tainha, como reflexo das suas afinidades, que melhor poderá ser discernido o significado que a geometria assume na sua prática projectual. A convocação da geometria surge como desejo de harmonia e como exigência e urgência de rigor, de um rigor que é do domínio da matemática, e que, por isso, está para além da representação – um aparente paradoxo, se se atender à centralidade que o desenho tinha na sua vida. Sintomaticamente, e como reacção à tão vincada imposição do desenho na EBAL, Manuel Tainha confirmou, na já referida conversa ocorrida em 2011 (Duarte e Rodeia, 2016), ter chegado a admitir “que o conteúdo de um projecto pod[er]ia ser transmitido, como uma anotação musical, por via da matemática” (Duarte e Rodeia, 2016, p. 12). É essa condição intrínseca da geometria que importa aqui considerar. Procedendo da matemática, a geometria ecoa a abstracção, a precisa qualidade que reciprocamente vincula música e arquitectura, nas quais, por sua vez, Manuel Tainha encontra espelhada a vida. Questionado por Fernando Bagulho (2002, p. 244) sobre se a paixão que tinha pela música estava ligada com a relação que estabelecia entre música e arquitectua, Manuel Tainha responderia:

Julgo que sim. E não por acaso, pois ambas são artes abstractas. Não dizem nada a ninguém. As suas obras despertam emoções. E são estas, as emoções, que por sua vez nos levam para mundos vividos ou efabulados, intelectualmente. […] Mas nunca deixo de assinalar os limites naturais da analogia entre a música e a arquitectura. Duração e distância. São dois conceitos-chave que alimentam a sensibilidade, a prática e a poética de ambas. São propriedades cuja percepção está presente em todos os actos da nossa vida, nos nossos gestos, nos nossos passos; são noções que se adquirem no mesmo exercício de viver. E é com elas que poderemos construir aquela versão elementar, primitiva mas consciente, dos factos arquitectónicos ou sonoros. Desempenham funções idênticas e seguem as mesmas leis na composição do seu discurso. Discurso e percurso.

Vale a pena recuperar aquilo que Manuel Tainha havia afirmado antes de formular esta resposta: “[q]uando um dia eu descobrir porque rompi com o violoncelo terei descoberto o segredo da minha vida (Bagulho, 2002, p. 243). Como reflexão síntese acerca do lugar que a geometria detém no seu pensamento projectual, talvez se possa assim propor que a geometria permite a Manuel Tainha determinar as distâncias e, portanto, imaginar as durações que se materializarão depois como arquitectura; que a geometria permite, enfim, proporcionar a emoção que a arquitectura deve conseguir despertar. E sempre no necessário domínio do desenho. Afinal, “[s]aber desenhar quer dizer

As fórmulas na arquitectura 105 Teresa Belo Rodeia e João Miguel Couto Duarte

precisamente o saber ver e representar as coisas nas suas relações de posição no espaço, nessa espécie de geometria da qualidade que é própria da arquitectura.” (Tainha, 2002a, p. 6).

Agradecimentos

Este trabalho é financiado por Fundos Nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologia, I.P., no âmbito do Projecto UID/AUR/04026/2019. Os autores agradecem ao arquitecto Fernando Bagulho e ao arquitecto João Belo Rodeia a utilização de fotografias da Pousada de Oliveira do Hospital.

106 As fórmulas na arquitectura Revision of the modern and revisitation of the vernacular

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110 As fórmulas na arquitectura REALITY AND METAPHOR AT THE CORE OF ARCHITECTURE

Joaquim Marcelino CITAD | Lusíada University, Lisbon, Portugal

Abstract: Architecture has crossed with mathematics via a doubled-faced and intricate manifold, where reality and myth have met continuously. We may regard as metaphors Joaquim Marcelino ideas such as the canons of antiquity and their relationship to the cosmos and human body, but the geometrico-math- Architect, holds a PhD from the ematical framework was intended to be a precise descrip- Tampere University of Technol- ogy, Faculty of Architecture, Tam- tion rather than metaphor. pere, Finland. He is Professor at In the search for a cosmologic order, metaphor appears as the Lusíada University, Faculty a path to fallacy rather than a way to apodictic knowledge of Architecture and Arts, Lisbon, that a mathematical order can provide. This way of think- where he lectures History of Art ing has proved to be remarkably influential through the and Theory of Architecture. He is whole of history since Greek philosophers questioned the a research fellow at the CITAD, geometric-mathematical order of the universe. where he incorporates the research From that time on two different questions arose. Is there an group on Architecture and Design actual geometric order, or rather, are we simply construct- and the Colour Laboratory. He published or presented papers ing a rational framework to understand reality as it is. to international meetings such as Pythagoreans took the first idea to an extreme as they be- “Apeiron – ᾄπειρον – and Havoc: lieved that everything is number. Others seemed to rely on Beauty in Aalto’s tiles” (2018); the idea of a framework that establishes relations between ”Colour Free Colourlessness” numbers, where the numbers represent things. Therefore, (2018); “Lookouts and outlooks: it is a constructed thing that, nonetheless must match our Lisbon, tiles and topography” experience of the visual world and cosmos as ‘It Is’. (2018); “Euclid and the Illusion of At the core of ambiguity, architecture, or rather, architec- the Rainbow” (2014); “Unificando tural theoreticians and architects, play a double game when o Conhecimento Humano: ad as- tra per áspera” (2014); “Serpentine looking for some rational framework in which to ground Gallery Pavilion: Essays on Col- architecture. However, mathematics cannot be confined to our Environment” (2013); “Alvar a visual display that architects may feel is attractive and Aalto and Kazimir Malevich: Sec- Architecture cannot be confined to Mathematics. ond Thoughts on Colour Environ- Mathematics uses symbols but metaphor is not its realm. ment” (2013); “Realm Art-Science: Mathematics does not need metaphors to describe things By Colour We Think” (2013), “Me- as they are. Furthermore, Mathematics must not need met- tagrass or a Tail of a Green Future aphor. But Mathematics has shown to be extremely effec- Environment” (2013); “Euclides e tive in describing immutable geometric properties of two- a Ilusão do Arco-Irís” (2013); “The Colourlessness of the Zener diode” and three-dimensional spaces which are accessible visually (2011), “The Image of Lisbon” a to some extent. criticism on Wim Wenders’s Lis- Metaphor, however, is not a free chaotic entity to provide bon Story, 1994 (2007). meaning for it also needs some rational reference and thus can metaphor actually meet mathematics at the core of Architecture?

Keywords: Geometrico-mathematization; Phenomenology; Structuralism; Zero; Infinity; Fujimoto; Descartes.

As fórmulas na arquitectura 111 Joaquim Marcelino

“I have argued that experience cannot be the sole object of acquaintance since it is not the case that in every perceptual situation we are aware of it. If this argument is accepted it can be reinforced – if not replaced – by considering what is meant by saying that experience alone is the object of acquaintance. I shall first consider the view that this is so because only of experience can we have certain knowledge.” (NAGEL-BRANDT 1965: 461). Anthony M. Quinton: The Problem of Perception

Dawn of humankind moved civilization into a never-ending process by which man has transformed himself and his environment to live in. A journey to understand himself and the cosmos started then. And yet individuals have not been acquainted with zero nor with infinity by sense experience and for millennia humans simply felt no need for such abstract entities. However, moving on, somewhere there between zero and infinity man and civilization have lived and felt alive (SEIFE 2000: 12-53). What a simple complexity! The problem of recording mathematical experience might be that we need visualization of processes, an engraving, a drawing, or an object that displays some regularity or rule that a geometric or algebraic formula can read and thus give us a better image from that gathered from direct perception. Otherwise, we may always claim from the outset that we live in a mathematical world since it has existed as such because basic laws such as the laws of two-dimensional and three-dimensional space are unbreakable, and they determine motion among individuals and the place of things. There is certainly a regularity in the Great Pyramid of Giza that we may not find in the primitive mammoth-bone dwellings on the Russian plain built 15,000 years ago that, nonetheless, already display a strong sense of recognizing regularity in the three-dimensional space of objects and the ability to recreate them into a shelter (GLADKIH-KORNIETZ-SOFFER 1984). However, regularity in the Great Pyramid seems closer to that of the Parthenon and other Greek or Roman temples than to that which Borromini uses in San Carlo alle Quatro Fontane because he created his “arbitrary” order to pursue the plastic effect he was looking for. At the age of Pascal and Newton (GIDEON 1995: 107-109), architecture seems to have gone through a process of releasing itself from a clear Euclidean space and yet a curious mark of Newton’s laws is the fact that they are based in straight lines along which gravity acts and geometry makes that process clearer. Nonetheless, Borromini encounters the key point of all architectural discourse which is the order as metaphor for the human body and thus he simply invents his outrageous orders (SUMMERSON 1998: 13).Thus, metaphor and mathematical formulae challenge each other when looking for architectural description that should embody a true understanding of cosmos. The problem seems to be that mathematics is

112 As fórmulas na arquitectura Reality and metaphor at the core of architecture broader than architecture and, vice versa, architecture seems to be broader than mathematics. Thus, we may not confine one to the other, otherwise, we would assume strong restrictions on both in a way that even mathematics and physics do not confine to each other. The feeling of having an advanced human development implies a representation of the world-outside-the-world-outside-us and an answer by which that representation returns to that world and to us. That representation is as advanced as an abstract character is displayed. Nonetheless, there are many representations of an abstract character to be found through life of civilization. A simple stone left buried next to a body implies that the object-stone became more than a stone in the wild to be found in nature because someone has given it a symbolism even if it would be impossible to find what it was. A basic thing as a word, a sound-image, is a representation but it also is much more than a representation of its own due to its potentialities (SAUSSURE 1998). But by assuming that there are potentialities we are entering the realm of creation and imagination. We can imagine and therefore we can create things – we may say! But, if one asserts that representation of world-outside-the-world- outside-us is a valid statement, then, the invention of zero and infinity makes mathematics a foundation stone of civilization to be found, not only in architecture, but anywhere in human life and certainly at different stages of development and need. Perhaps ‘foundation’ is too radical since mathematical thought cannot be reduced to zero and infinity alone and we should accept that human civilizations have prospered long before zero or infinity met them. Thus, we may better think about landmarks in history of civilization rather as the birth of civilization. Furthermore, the sense of zero and infinity already presuppose a former advanced acquaintance with the world we experience, into a large rational extent where we can see things and combine things. Besides, it is arguable that zero came first and infinity later. Since Greeks had representations of the world that assumed the cosmos to be a bounded thing of solid and void. Discussion on the 23rd definition of Euclid’s Elements (parallel straight lines) could lead us to assume that there was not much of infinity there but simply, the huge. To link that definition to infinity requires another level of abstraction even by asserting that Euclid’s contribution to infinity was great in that way. Phenomenologists would probably say that a world-outside-the-world- outside-us has to be, at least, a world-outside-the-world-to-us-inside-us otherwise it would seem hard to give representation any meaning. However, to allow the whole process of acquaintance to work properly, it seems helpful to have some type of “neutral” code where representation can be simultaneously free, rational, and prepared to embody meaning of some kind and, perhaps, not of any kind. Regarding the history of man and civilization, mathematics appears to be that perfect code to work upon secure knowledge. As Salomon Bochner

As fórmulas na arquitectura 113 Joaquim Marcelino

puts it, “What makes mathematics so effective when it enters science is a mystery of mysteries” (BOCHNER 1981: v). Probably, Dufrenne-Husserl-Merleau-Ponty would have preferred to say that the eidetic reduction is far deeper than a geometrico-mathematical framework as it brings together intricately, subject and object in a way that I and the thing- outside-me is a thing-inside-me, too. Otherwise, I could not be acquainted with its ontological authenticity as a thing-in-the-world that, nonetheless, was there before me and at that former time did not exist for me till the moment in which it became a thing-in-the-world-to-myself (DUFRENNE 1973, HUSSERL 1999, MERLEAU-PONTY 1996). 1 Furthermore, from its outset it is assumed that a geometrico-mathematical framework is opaque to what an object really is and therefore to what I really am because of the reciprocal infusion subject-object. And I cannot displace that partial construction embodied by the geometric- mathematization that loosens both myself and the object in a way that cannot ever be overcome by myself. Describing things such as they are given by perception came to be the central background of the eidetic exploration of things as they actually are in the deepest ontological sense we can imagine. In fact, things as such certainly have an existence beyond myself and my imagination. And in this way, we should look comfortably at moving away from the standing rituals of epistemology where we control an environment inside an environment such as where the steel sphere and the feather fall at the same speed in a vacuum. Curiously, this experiment seems to work properly in both epistemological and phenomenological grounds because I can experience and understand both sphere-feather either at the experimental basis of a laboratory or at the outer world where both fall at different speeds. That is, in both cases we have acquaintance through the mind-body-world phenomenon. Thus, I ground the scientific experiment as such and I also ground the phenomenon of perception as assumed by phenomenologists. Yet, I may not claim that I found the pathway that takes me from perception to reflection because I simply have two different realities put together where the mind-body-world relationship seems to work properly. However, there should be, in fact, a connection between perception and reflection because I became acquainted with a phenomenon in nature and, then, I took it to a laboratory which seems to be non-natural, say artificial. But, in cosmological terms this artificiality of a non-natural world appears to be just as a piece of a natural world taken from a place beyond Earth’s atmosphere and

1 This is an ambitious cross reference through Husserl’s Krisis (The Crisis of European Sciences and Transcendental Phenomenology), Merleau-Ponty’s Phenomenology of Perception and Mikel Dufrene’s Phenomenology of the Aesthetic Experience. It includes mutandis mutatis the ontological nature of the art object versus aesthetic object that is generalised into the world of any thing.

114 As fórmulas na arquitectura Reality and metaphor at the core of architecture bringing it into a small room. In fact, what is natural and artificial is questionable because inside the universe all that happens necessarily obeys according to its order and to its basic and fundamental laws. Sphere-feather is a play out-side- us-to-us whose validity is given by the large-scale of the cosmos that we live in. The sense of artificiality is an abstract creation of individuals and at its core this basically means that man acted in a given environment, recognized its order, its working forces and could take them out to preform another role that, apparently, they would not. Artificial object is the man-made thing, a man-controlled phenomenon. Thus, the creation of a world-out-of-the-world and a return to it, is more basic and fundamental than it seems a priori. And by accepting this idea, we can also think of the invention of zero and infinity do not share such sense of artificiality to some extent. If we assert that zero and infinity are artificial creations whose access is given by a system of tools that we have created, and that have not arisen directly by perception, then, we may not avoid a certain artificial character that embodies them as man-made things. Furthermore, we can even ask to what extent we are actually acquainted with them. Logical compatibility and the problem of a visual notation had major importance on the appearance of zero in Babylonia (SEIFE 2000: 12-19). But visual notation is already a man-made thing. Merleau-Ponty and Moore would disagree on human metaphysical infinity and thus, probably the former would have accepted a full engagement with infinity and thus acceptance of the eidetic reduction regarding infinity (MERLEAU-PONTY 1960: 179-187; MOORE 1990: 218-233). However, by refusing metaphysical infinity Moore centres the argument on finitude of human life. Thus, using a Moore based argument we can question how far infinity is actually understood, or has been acquainted with. Say, that by enlarging the Hubble telescope eye, we may be finding galaxy after galaxy, but Hubble only records objects at finite distances, no matter the huge distance they are from Earth. In this context, infinity and the unknown mix intricately and both share incommensurability and yet the latter is not necessarily synonymous of infinity. By giving an image-out-of-an-image-with-no-image, mathematical formulae seem to be able to live, that is, to exist beyond human perception and yet to be able to return a meaning to perception when perception seems exhausted by its own means. If, by one hand, boundaries of mathematical formulae are easily settled at the core of a scientific explanation of a given phenomenon, by another hand, mathematics seems to display other capabilities whose boundaries are not known. Creation of the artificial can be a way of inquiring into the problematics of description and of language. A Saussurean based argument might introduce a sense of artificiality insofar as a sign would represent a sound and an object. Regarding sound production as biologic evolution alone, at least, we would have

As fórmulas na arquitectura 115 Joaquim Marcelino

the imagistic sign as a creation in the world-outside-us-to-us. Language has also to comprise a combined awareness of self and of the other, communication would be apart from both. And yet we may leave open an argument by which sound- language is an invention and thus, successive production of new sounds led to language development and thus communication was systematically improved. And thus, we could read languages through a sense of artificiality, too. As the acquisition of a language could allow humankind to communicate beyond the realm of a single individual, from its outset, mathematics could perform logic operations concerning human understanding just as any other tool could and thus mathematics proceeded through its own evolution. The fact seems to be that mathematics not only can describe phenomena to some extent but also in particular, makes clear phenomena of creation though human nature and civilization. Then, mathematics seems to be the realm of reflection, not of perception, because it is based on a system of pure codification that is not given directly through perception. And when I enter the outer material world under any kind of formulae, I immediately find that those formulae are not alone because they have become a built thing into the material world of the objects. This is not a fact as such because it is what the real world exists besides as the mathematical world is, but also because there is a cultural construction that makes this phenomenon work like this. Since the Greeks mathematical formulae are the territory and they inquire of the hidden world of origo rerum and therefore, only geometrico- mathematizable things are liable. Natura naturata is confined to this characteristic (TATARKIEWICZ 1989: 293). There seems to be a problem in the crossroads of perception and reflection which is description itself. Falling apart from a geometrico-mathematical description may not solve the problem of the thing as it is granted by the eidetic reduction. Working from a phenomenological basis, I must not accept any kind of geometric-mathematical framework otherwise I would feel myself falling into the whole problematic informed by Husserl’s Krisis. I must avoid mathematics whatever the shape that mathematics can provide to rational frameworks. Nonetheless, we can then argue that, as far as perception is the starting point of reflection, perception must not deny mathematics of the pathway towards reflection to inform in whole, the possible stages of acquaintance. The problem, then, is to put forward a way in which phenomenological environment seems to be able to bring everything in. It seems hard to accept that such environment has given a flexible and comprehensive framework to take us out through the whole variety of phenomena that we are able to be acquainted with from perception to reflection and, also, to locate our awareness of the thing as it is given by a unique eidetic reduction that sets both a unique fact in the world of phenomena and an intrinsically interconnected phenomenon.

116 As fórmulas na arquitectura Reality and metaphor at the core of architecture

To state that perception and reflection do not oppose seems to create a particularly serious problem that Anthony M. Quinton has certainly identified as a working problem in the realm of science. And an interesting way of formulating the problem is to assert that in perception we are only acquainted with “certain” knowledge and thus we are not limited to the realm of experience. Bertrand Russel seems to have found a way of understanding this phenomenon too (RUSSEL 1998: 154). According to this approach, knowledge has to start on knowing something but proceeds to reflection into a realm where I can create entities of a more abstract character that are not given by perception nor do they exist in the world I perceive. However, what we can extract from that process is that there is some “exclusive” type of knowledge in those abstractions and as such they will combine with other kinds of knowledge including that knowledge that is given directly by perception. We may say that we have invented those abstractions in the process of acquaintance because we found them useful. But, are they so rooted in perception or are they product of a fertile imagination? But this seems not to be enough. What is a description of an object given by experience? Can language clarify perception or, rather, undermine it at the core of the eidetic reduction to some extent? Description implies a tool of some kind, it can be verbal, a written language, a drawing, or any other means. But by accepting such bias, we come to a point where we may accept that eidetic reduction must be free of any description otherwise it would need some kind of geometrico-mathematization, a tool beyond the object, that which would by necessity be biased, too. To be acquainted with the world does not mean to mirror it and reflect its image back to its source. But, then, by a certain language as a means of description it does not seem a good idea to leave aside mathematical forms of knowledge that can display access to objects that other means cannot. The problem seems to arise from the fact that any language and therefore any description can bias a described object and, thus, there is some degree of opacity when I get so close to an object by means of description. However, it is most likely that Merleau-Ponty would not agree with this argument because description must always ground perception-of-something as a fact, as a real phenomenon that engages subject and object. Considering such bias problem to be true, then, what Husserl’s Krisis means is weakened even when we agree of the characteristic abstraction given by a geometrico-mathematized image in opposition to many perceived things that I cannot geometrico-mathematize. That is, either any eidetic reduction can never be achieved or, rather, can never be acquainted with. In the end, both mean that they can never happen because I am always away of such acme of acquaintance. Yet, the general problematics of crises in sciences seem to be valid in Krisis and thus there seems to be other kinds of knowledge. Where knowledge can be apodictic and entirely reified into a complete and bold unity that may not

As fórmulas na arquitectura 117 Joaquim Marcelino

necessarily emanate from the eidetic reduction otherwise apodictic knowledge would be declared to be impossible. There is a particular importance of mathematics to be found here. Mathematical formulae may be clearer because, at least, I can bind them in their explanation and meaning and thus they would better ground the way to any apodictic knowledge. And I certainly have in mind mathematics as a code or a system of codes either geometric, or algebraic, or both, such as in the idea of the variable and function. Thus, regarding Husserl’s Krisis, a crucial aspect seems to be that I can be aware of my own acquaintance and to construct it in a more effective way when I know what formulae are, and what they embody and what I can be acquainted with beyond and former to those formulae. Eidetic reduction as both a basic and final statement to apodictic knowledge seems not to be a solved problem. As an object is given to perception, I will be acquainted with it and a far more complex knowledge operation is started. What can life of an object be in-me-to-myself? Only my imagination can actually extend life, or content, of an object and thus to find some kind of transcendence in that object due to my active interference. But, if we accept this to be so, suddenly, we seem to enter a universe where there was no object before I became acquainted with it, that is to say, a zero to my perception and thus to my existence. Then, by perceiving that object, it seems reliable to take it as a basic material unit from where all else emanates. Yet, concerning potential meanings we seem to enter the realm of the unknown infinity. I may see Eta Carinae by the Southern Cross as a wonderful double flower of the universe and Australian Aboriginal people as a dot among dots of the magnificent celestial emu territory of a great dreamtime story. In this sense, material objects are not confined to themselves as material things but, then, we can also ask if the roots of nothingness and infinity – the most weird logical constructions of mathematics and thus of human kind – are simply symbols of that human stream of time that is able to construct knowledge beyond itself. We may call this phenomenon imagination, but it seems more like an overwhelming phenomenon where perception, rationality, experimentation and imagination are one. Somewhere there certainly are levels of subjectivity, but, somehow, knowledge seems to need some stabilization, some common agreement. Relativity and subjectivity work somewhere there but it is arguable that we only accept them because there is some permanence in them and thus, they are repeatable as a cycling phenomenon. Besides and probably much more important, we must be able to work with knowledge that is not stabilised yet, that has not been brought to a common universal agreement. In this context, when we have a description of an object given by a language whose boundaries of meaning are not so clear as those embodied by mathematics, we seem to face a double manifold of mathematics as a strong apodictic structure

118 As fórmulas na arquitectura Reality and metaphor at the core of architecture that architecture could not let fall apart. Nonetheless, we may not forget that formulae can only give partial descriptions when they seek a universal explanation. Mathematical formulae play a weird rule in architecture when they are reduced to scientific bases. There seems to be something critical. A basic outline of Anthony M. Quinton’s views takes us into the formulation of proper questions to scientific enquiry and to the patterns of scientific explanation and this seems to have an echo in Marguerite Neveux’s approach to the golden section as being simply a myth (NEVEAUX 1995: 137-138/140). As she puts it, science poses the question and myth gives the answer. Yet, algorithms in contemporary architecture may be understood as strong myths, too. That is, strong myths when and if architecture looks for a scientific background apart from being construction, within the realm of physics and materiality. This problem seems to be particularly critical when we approach architecture. We know and we are able to identify proportion systems in architecture as well as forms and shapes given by algorithms. And this fact means that we have strongly crashed into the mathematical realm. Thus, how can we accept an eidetic reduction in which geometrico-mathematization does not play a major role? The case seems to be serious because algorithms and similar approaches have become so attractive that we can never find an eidetic reduction substantive if at the act of perception, we have not found some intuitive way of dealing with the way to mathematical formulae. Much of the problem starts and ends with the role of the visual in acquaintance and architecture gives material-image to things. Yet, Gombrich has put forward the problem of the visual image in the most problematic way in his famous article first published in Scientific American, in 1972. It would be interesting to think that what we may be sure about the girl dancing (in the cartoon) is simply that her body must obey those laws of physics and biology. And, at least, the laws of physics have a mathematical framework to validate them. At this stage, we may say that mathematics does not give meaning to things, but, at least, it is able to organize knowledge with regard to our knowledge of things. Thus, mathematics seems to be a working tool to be used in science and, perhaps, in every field I would like to have it. Checkers and chess are mathematical games ruled by the properties of two-dimensional space in which I define a set of rules of my own. But the properties of the two-dimensional space are unbreakable and actually make both games possible. In this sense, there was an understanding of the world as it is, but also of the world as representation based in basic properties that I could work out separately of that world and thus I created something distinct as games that did not exist in that former world. Then, the problem seems to be what can a “neutral” code be and, secondly, if we are actually able to critique it. Nonetheless, we may agree that such a code

As fórmulas na arquitectura 119 Joaquim Marcelino

has to be a creation, a human creation and thus imagination has to partake that experience of creation to some extent. Geometry is certainly one of those codes, but those codes must not be confined to geometry. As far as a code is created to provide some support to organise something else, we may admit that many, perhaps, even an infinity of codes is possible. However, such positive statements may only be accepted if one pays attention to the degree of abstraction that is involved. Since the dawn of geometry, it seemed reliable because it could be seen as an accurate world image making, a perfect representation of what is actually seen and felt. ‘Perfect’ geometry may be found in crystals and shells, but also in living beings. There are, at least, two basic ideas of this basic geometry that ground much of our knowledge. The first one is related to two-dimensional and three-dimensional regularity and the second is related to resemblance and repletion and both are important to rational frameworks. The first idea comes straight from the properties of the two-dimensional and three-dimensional worlds when they are challenged to be filled in by a single regular form. And physical properties of these spaces only allow an impressively small number of shapes even when we combine two, or three regular forms. The second idea represents a capability to see and to organize the world. Same species of animals or plants have similar features, or an evolution of similar features from a base. We can recognize a little lion as a future lion and distinguish it from a zebra or a crocodile. Thus, we organise forms in a way that is rational and effective. Architecture has crossed with mathematics via a doubled-faced and intricate manifold, where reality and myth have met continuously. Mathematics is magic. It is a code – or a system of codes – whose compounded entities, constants or variables, can support a large spectrum of applications that describe phenomena. This characteristic makes mathematics a fully versatile tool in numerous scientific areas and, in general, when we look for certainty, we look for a mathematical framework that gives us a characteristic description. Thinking that our consciousness of mathematics already is directed to some form of mathematic expression should not mean that we have already entered the visual world of shapes and forms except to the fact that function has a geometrico-mathematical framework. This became a mathematical fact after Descartes. We may stress how Enlightenment produced a united form of mathematics that overtook former regional mathematics that had developed separately in different cultures and time. And, how the visual representation of functions and of the imaginary unity ‘i’ gave strength to further developments of mathematics and for our contemporary perception of what mathematics is and how it can be used. It might be difficult to evaluate what came first, arithmetic or geometry. The latter might be understood as an obvious invention after the two- and three-

120 As fórmulas na arquitectura Reality and metaphor at the core of architecture dimensional spaces. Ancient inscriptions such as single circles, or multiple concentric circles, are work made in two-dimensional spaces. But the fact that we assume that they are countable might not be consensus. We may regard as metaphors ideas such as the canons of antiquity and their relationship to the cosmos and human body, but the geometrico-mathematical framework was intended to be a precise description rather than metaphor. In the search for a cosmologic order, metaphor appears as a path to fallacy rather than a way to apodictic knowledge that a mathematical order can provide. This way of thinking has proved to be remarkably influential through the whole of history since Greek philosophers questioned the geometrico-mathematical order of the universe.

Figure 1. Sou Fujimoto. Serpentine Gallery Pavilion, 2013.

Metaphor, however, is not a free chaotic entity to provide meaning for it also needs some rational reference and thus, can metaphor actually meet mathematics at the core of Architecture? Metaphor uses a double manifold of apodictic knowledge and subjective knowledge appreciation. Metaphor is a representation that combines representations, but at least one of those representations has to have a stable meaning given by a consensus. Then, if power seems to be to create

As fórmulas na arquitectura 121 Joaquim Marcelino

images beyond images, it is the territory of imagination par excellence. What is somehow surprising is that it then describes a given object, or phenomenon, in a way that other rational frameworks do. However, by its structure, metaphor is particularly rational to a large extent because it extends like former given meanings to an extreme. Perhaps, metaphor meets infinity somewhere on the way to give ground to poetry. Mathematics is not the realm of metaphor and yet we may think about something equivalent to what metaphor is to language and this is the realm of applied mathematics. Applied mathematics implies two different aspects, or the coincidence of two different approaches. The first concerns mathematical body to the extent that is a whole coherent set of proper codifications, a game with its own unbreakable rules. The second concerns the way how this body of knowledge is transformed into a significant adherence beyond what mathematics is in terms of the abstract. We may claim that this is an artificial account insofar as basic systems such as counting seem to be an intrinsic connection to the real world of phenomena from its outset. The problem seems to be that objective description of the thing such as it is can be a standing point of mathematical formulae, but not necessarily its only end. Applied mathematics would make us work in a sprightful way regarding an end. But mathematical conception may accept collage especially when it would be as clear as a code, or, at least, when it behaves like that. A grid might be one of those codes, perhaps a very simple one but its consequences may not be simple in terms of complexity and especially of a given symbolic value.

Figures 2-3. Sou Fujimoto. Serpentine Gallery Pavilion, 2013.

An architectural example may make this problem clear. Sou Fujimoto at the Serpentine Gallery Pavilion entered both the realm of nature, the close distance to be reached by walking and touch, but also nature where land and sky is immense, or can be immense. His computer visualization prior to construction

122 As fórmulas na arquitectura Reality and metaphor at the core of architecture appeals to these poetics and they came to be true experiences after being built. Yet, there was much more there, that was carefully planned. There were different spaces, main spaces to stay and sit, places to climb. And the key structural point was a three-dimensional grid that became entirely plastic by controlling voids and transparencies, and the way in which light passed through and so on.

Figures 4-9. Sou Fujimoto. Serpentine Gallery Pavilion, 2013.

In many senses, by living the grid, mathematical formulae were strongly there as a living thing. And for a common person and due to the simplicity of the

As fórmulas na arquitectura 123 Joaquim Marcelino

object, such formulae were more evident there than those to be found in the Great Pyramid or in the Parthenon. We may argue that those ancient formulae had even more complexity than those of the Pavilion because a cube-based argument can be a metaphor for anything but perhaps it would be stronger by being a metaphor for a cube insofar as it becomes a material-materialessness thing. Thus, the object combines in an intricate way, a representation of a world-outside- the-world-to-the-world-to-us. And at this moment we have what mathematical formulae can tell to architecture at an acme of its existence and in this sense they challenge both phenomenology and structuralism. Last but not least, there seems to be an intuitive notion of metamorphosis as an active process in creation and the latter is particularly broad to our existence. What takes us from reality to mathematics is a deep comprehensive process of metamorphosis that we can stabilize at the end and use it as support to many purposes. The creation of the art object is also a process of metamorphosis from a given reality where it does not exist yet to a new world where it is brought in, unique, exceptional, beautiful. Thus, the sense of reality and metaphor at the core of architecture seems to be an intricate and deep embodiment of myself with all my body-mind tools that act extensively on my adherence to my self and to the world. This might be the reason why mathematical formulae look so attractive in the realm of architecture. They seem to have come to life at the dawn of civilization and that they can live forever, beyond myself, to infinity, and thus we might even think about a metaphysical link to a mathematical order of the world that we can create anew.

Figures 10. Sou Fujimoto. Serpentine Gallery Pavilion, 2013.

124 As fórmulas na arquitectura Reality and metaphor at the core of architecture

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As fórmulas na arquitectura 125

THE GEOMETRIZATION OF SPACE IN YASUJIRO OZU’S CINEMATOGRAPHY

Maria João Soares CITAD | Lusíada University, Lisbon, Portugal

Abstract: Yasujiro Ozu was born in Tokyo on December 12, 1903. His life spanned exactly six decades. During those six Maria João Soares decades, Ozu would come to affirm himself as one of the (Lisbon, 1964) is a Portuguese ar- most important filmmakers in the brief history of cinema, chitect practicing since 1988, an his work representing an imbrication of life and cinema. assistant professor at Faculty of Ozu died on December 12, 1963, also in Tokyo. At his own Architecture and Arts, Lusíada insistencel, the headstone on his grave makes no reference University of Lisbon [FAA/ULL], to any name or date. On it is inscribed a single kanji charac- where she teaches since 1989, and a research fellow at Design, Ar- ter that represents the term mu (無). chitecture and Territory Research Mu can be translated as “nothing” or “void”. A denial Centre [CITAD], ULL. She is a of existence that can also be seen as the space which, for member of CITAD’s Board of Di- example, a body occupied. Ozu’s cinematography, recog- rectors, coordinator of Architec- nized for its ability to capture scenes from real life, thrives ture and Urban Planning Research on a particular emptiness, in which space, in the cinemato- Group and research coordinator graphic approach to it, functions as a field of geometries. of RPs “Architecture and Trans- This article seeks to establish a relationship between Ozu’s disciplinarity” [ArT] and “Meta- cinematographic options, centered on the capturing space Baroque: Architecture’s Aesthetics and Future’s Materiality” [metA] in general and architectural space in particular and a uni- at CITAD. She is also a member verse organized under the direction of a particular geo- of the Athens Institute for Educa- metry, that is eminently Eastern in character. In the article tion & Research [ATINER]. Aires “Yasujiro Ozu: The Syntax of His Films” (1964), Donald Mateus: Matter in Reverse (2017), Richie compares Ozu to a craftsman, to a carpenter who directed by Henrique Pina, is her builds a house. A house where neither paint nor wallpa- debut in film producing. Body- per is used; natural wood is used. Just as in traditional Buildings (2020), also directed by Japanese architecture, in his films we can see all the sup- Henrique Pina and produced by porting elements of a structure that works only as a whole. Maria João, is a new film now completed. Maria João holds a degree In the introduction to Hokusai Manga (1814) by Katsushika in Architecture from Faculdade Hokusai (1760-1849) one reads: “The great workman can tea- de Arquitectura da Universidade ch people how to use compasses and squares, but he cannot im- Técnica de Lisboa [FA/UTL], 1987, part skill to them… It is something the heart must grasp and the and a PhD in Architecture from hand respond to, though the heart and the hand are not conscious Universidade Lusíada de Lisboa of it…” [ULL], 2004. Keywords: Yasujiro Ozu; Void; Space-time interval; Traditional Japanese architecture; Geometry.

As fórmulas na arquitectura 127 Maria João soares

A GEOMETRIZAÇÃO DO ESPAÇO NA CINEMATOGRAFIA DE YASUJIRO OZU

rebento de bambu — uma gota de orvalho desce pelos nós1

Matsuo Bashō

Zero (〇)

No artigo “Yasujiro Ozu: The Syntax of His Films” (1964), Donald Richie compara o cineasta a um artesão, a um carpinteiro que constrói uma casa. Uma casa onde não se usa nem tinta, nem papel de parede, usa-se madeira natural. Tal como na arquitectura tradicional japonesa, nos seus filmes, podemos ver todos os elementos de suporte de uma estrutura que funciona unicamente como um todo:

Ozu is not an intuitive film artist, he is a master craftsman; for him, film is not expression but function. In an Ozu film, as in Japanese architecture, you can see all the supports, and each support is as necessary as any other. […]. He makes a film as a carpenter makes a house. (Richie, 1964, p. 11)

Mestre artesão. Cineasta do dia-a-dia. Yasujiro Ozu (1903-1963) construiu filmes como quem constrói uma casa para o quotidiano. Nos seus filmes, transcendentes, segundo uma expressão do crítico e cineasta Paul Schrader (2018), revemos essencialmente um Japão desnudado de artifício. Este Japão é-nos apresentado através de relações familiares que, no limite, transcendem tempos e geografias. Mas ao transcender somos também confrontados com questões inerentes ao ser japonês. Uma implacável informal exactidão. Refere o cineasta You Hsiao-Hisen a propósito de Ozu: “He knew the lives of Japanese people very well and depicted them in his work. It’s as if he analized them in a detached way. That’s why I called him a mathematician.” (Hsiao-Hisen, 2019, The Cinematheque)

1 A escolha da utilização de um haiku de Bashō para epígrafe deste artigo revela-se paradoxal. Os haiku têm a potencialidade de evocar o fenómeno, sobretudo o natural, o que no contexto da obra de Ozu é de menor relevância. No entanto, ajudam-nos a estabelecer, quase de imediato uma relação com o universo cultural japonês, ao mesmo tempo que nos remetem para a questão da métrica. Questiona- se Tadao Ando em entrevista: “Prenons par exemple les haïku de Matsu Basho. En trois vers de cinq, sept et cinq syllabes, ils forment un vaste monde qui, tout en vous éloignant, vous enveloppe. L’architecture peut- elle faire la même chose?” (Migayrou, 2018, p. 47)

128 As fórmulas na arquitectura The geometrization of space in Yasujiro Ozu’s cinematrography

Ozu o matemático. Ozu o geómetra. “He makes a film as a carpenter makes a house.” Que casa é esta?

Kikagaku (幾何学)

Geometria. Kikagaku (幾何学). A universalidade dos temas, e a geometria não é excepção, é na realidade bastante relativa. A questão da geometria – no modo como é apreendida e na sua aplicabilidade – diferencia-se drasticamente, na sua tradição, do Ocidente para o extremo do Oriente, para o Japão. A separação física, traduzida em milhares de quilómetros, não é a única resposta para uma não universalidade de determinados conceitos. Determinados conceitos são fruto de um isolacionismo autoimposto por uma cultura secular de interioridade. Provavelmente a insularidade terá tido um papel preponderante neste sentido de “si para si” de uma cultura. Da China, através da Coreia, muitas questões culturais – e religiosas – basilares foram ao longo de séculos assimiladas e devolvidas num “estado” próprio ao ser-se japonês. Tão próprio que nos é difícil não as considerarmos intrínsecas a esse mesmo ser. Em 1990, Tadao Ando (n. 1941) refere em entrevista, de um modo brutal, que a arquitectura tradicional japonesa é composta por espaço não- geometrizado. Refere que o mesmo é irregular. É sem forma. (Ando, 1990, p. 5) A declaração assume especificamente a sua condição de quase incredibilidade na expressão “não-geometrizado.” Sabemos que em oposição à arquitectura ocidental, a arquitectura tradicional japonesa é predominantemente horizontal. Desenvolve-se em camadas de espaço numa progressão feita em horizontalidade. Uma progressão de dentro para fora para apanhar o fenómeno natural. De algum modo, entendemos também que, neste desenrolar em camadas, a forma, como elemento de reconhecimento de um determinado objecto, se vai desaguando perdendo-se na sua delimitação. Sabemos que para além desta tanto efémera como perene horizontalidade, a arquitectura tradicional japonesa articula-se, na sua espacialidade e na sua fisicidade, segundo questões do módulo. Mas deveremos também entender que qualquer tentativa de definição do que é, na sua essência, kenchiku (建築, arquitectura), se perderá na imensidão de conceitos e preceitos que constroem uma arquitectura que nos parece tanto familiar como totalmente desconhecida. É nesse intervalo entre o familiar e o desconhecido que poderemos estabilizar uma tentativa de identificação de uma arquitectura do vazio. Da não forma. Um ano antes da afirmação brutal em entrevista, Tadao Ando escreveu:

As fórmulas na arquitectura 129 Maria João soares

D’après moi, l’assemblage des formes géométriques du Panthéon ainsi que l’orientation verticale des espaces piranésiens offrent un contraste éclatant avec l’architecture japonaise traditionnelle. L’orientation horizontale de celle- -ci est incontestable et son caractère “a-géométrique” engendre des espaces non coordonnés. C’est une architecture informelle, si j’ose dire. Une telle architecture génère des espaces qui se fondent dans la nature, faisant corps avec elle. (Ando, 1999, p. 219)

Nesta versão, Ando parece ser mais claro ao oferecer-nos uma “a-geometria” em vez de uma “não-geometria.” Uma a-geometria que engendra espaços aparentemente não coordenados e, por isso mesmo, informais. Esta informalidade decorre de um processo de organização do espaço estabelecido através da utilização de um dispositivo: o hashira (柱)2. Hasihra, ou pilar, é o elemento de ignição do sistema espacial inerente à arquitectura tradicional japonesa. É fundamental reconhecermos aqui o papel de referência da linha, e não do plano, como princípio organizador de uma volumetria. Esta linearidade vai abrir espaço para o valor do vazio, e vai estabelecer a ossatura base – ossatura essa, em madeira, organizada através de um sistema de pilar e viga, hashira-hari (梁) – que se liberta entre o plano da terra e o peso da cobertura, obrigando-o à extensão horizontal. O intervalo entre postes, ou pilares, é um ken (間). A estandardização aparente deste sistema vive essencialmente da valoração deste intervalo e da multiplicação dos entre-espaços. Para que todo este sistema funcione, desde as obras construídas mais complexas às habitações mais humildes, as unidades de medida – como shaku (尺), sun (寸), jō (丈) e o já referido ken3 – estabelecem-se como referentes incontornáveis. Outro elemento de medida, que se associa aos anteriores, é o tatami (畳). Um tatami, um rectângulo de palha de arroz recoberto por uma esteira de junco, equivale, em média, a 1

2 A propósito de uma questão relativa à relação entre arquitectura e arte Ryue Nishizawa afirma o seguinte: “In the history of architecture, when one looks back at the collaboration between architecture and the fine arts, it seems to me this was something that was unified right from the beginning. For example, when one looks at ancient Japanese buildings like Hōryū-ji, a single pillar, it’s already a work of art. It can serve as a container for a statue of Buddha, but at the same time there extremely precise decorations on the building.” (Obrist, 2012, p. 36). A construção do templo Hōryū-ji, e do seu pilar (hashira) ornamentado, terá terminado por volta de 711 – um templo original deverá ter sido construído no início do século VII tendo sido depois destruído, provavelmente, através de fogo. As palavras de Nishizawa ajudam a salientar o valor do hashira, que no século VIII, no Japão, apresenta-se como um elemento vertical singular, onde se aloja a divindade (Sendai, 2014, p.168). 3 Os valores das unidades de medida alteraram-se ao longo dos diferentes períodos da história do Japão e podem alterar-se de região para região. Em 1909, no entanto, estes valores foram estabilizados: 1 sun = 30.30 mm; 1 shaku = 303mm; 1 ken = 1818mm (a unidade de medida jō caiu, entretanto, em desuso).

130 As fórmulas na arquitectura The geometrization of space in Yasujiro Ozu’s cinematrography ken por 0,5 ken, ou 6 shaku por 3 shaku (1800mm por 900mm). Durante o período Muromachi (c. 1336 a c. 1573), os tatami passam a ser usados como elementos associados directamente ao plano horizontal inferior, ocupando a totalidade do espaço de algumas divisões num arranjo geométrico em estreita articulação com a ossatura de madeira base; com a generalização dos espaços organizados por número de tatami, nasce a casa tradicional japonesa tal como a conhecemos. Nesta breve descrição de uma lógica aparentemente geométrica, está omitido todo um universo relativo a outras questões e a outros conceitos que contribuem para o valor de uma paisagem arquitectónica tão particular. No entanto, para se acentuar a sua particularidade e para irmos de encontro à geometria a-geométrica referida por Tadao Ando, é necessário entender que a paisagem arquitectónica japonesa construída até tão recentemente deriva de procedimentos associados aos daiku (大工), mestres construtores, ou carpinteiros. O kiwari (木割) – estereotomia, ou sistema de proporções, da ossatura de madeira – era transmitido oralmente entre carpinteiros até à época medieval. No início do século XVII o kiwari passa a ter representação escrita nos kiwarisho (木割書) – manuais para o kiwari (Sendai, 2014, p. 61). A utilização deste sistema não fica somente circunscrita às questões físicas de uma estereotomia, este termo, kiwari, é também utilizado para aferir a valia estética associada à construção arquitectónica (Bonnin e Nishida, 2014a, p. 257). Há, então, uma ambivalência na utilização dos termos e a exactidão, para sua boa aferição, necessita de uma ponderação, a priori, não exacta. O mestre de chá Sen no Rikyū (1522–1591) declara, em relação aos preceitos associados ao tatami, que “il faut prendre garde à ne pas s’atacher à ces règles et ces principes sans une certaine réserve [...].” (Sendai, 2014, p. 61) Reforçando as reservas de Rikyū, para além da medida do tatami se diferenciar ligeiramente de região em região, não há um tatami exactamente igual a outro: “[c]haque tatami est unique, dans um pays pourtant champion de l’industrialisation!” (Satō-Cruz, 2014, p. 479) E ken é na realidade mais um conceito do que uma unidade de medida: é intervalo, e é sol que se levanta entre dois postes. Estaremos perante um universo geométrico que se desvia de um rigor absoluto para relevar o inefável? Ou estaremos perante uma cultura do rigor que abre lugar ao improviso, como um segredo do particular, para privilegiar a emoção estética? Os telhados, elementos determinantes na arquitectura tradicional japonesa, caracterizam-se, sobretudo em construções notáveis, através de uma ligeira curvatura. O desenho destas curvas, apesar de seguirem tendências próprias associadas aos diversos períodos históricos, são formalmente decididos e afinados pelos daiku através do kiku jutsu (規矩術) – arte do traçado pela qual os daiku determinam os detalhes da estereotomia da construção (Bonnin e Nishida, 2014b, p. 255). O kiku jutsu abre caminho para uma procura própria – associada a questões de cariz histórico, regional e pessoal – que se fixa em pontos de vista da

As fórmulas na arquitectura 131 Maria João soares

estética (Yamahata et al, 2008, p. 1). No entanto, o daiku e matemático Heinouchi Masaomi (1799-1856) publica em 1848 o manual Shōka-kujutsu-shinsho (sobre a arte de utilização do esquadro). Com este manual, Masaomi procura oferecer um procedimento sistemático, simplificado devido aos seus conhecimentos de matemática, de desenho para as curvaturas de coberturas com vigamentos dispostos em leque, procedimentos estes que necessitavam de extrema perícia. A a-geometria não é uma negação do acto preciso. Há uma precisão, sim. Há uma precisão extrema. Há toda uma montagem extremamente complexa velada pela aparente imperfeição do que é manufacturado – questão fundamental para a nossa empatia para com elementos espaciais inanimados que procuram avidamente o entrecruzamento com os elementos vivos de uma natureza, muitas vezes, reproposta. Velar, ou esconder, com o intuito de sublimar parece ser um caminho:

Derrière une simple question d’outillage, on commence à comprendre que la complexité et la précision japonaises dans l’exécution des assemblages des bois n’est certes pas le fait du hasard, mais d’une grande maîtrise du calcul, partagée par un grand nombre d’artisans dans toute l’entendue du pays, et non dans la seule capitale. […]. De là également, une certaine manière de penser l’architecture kenchiku: on est capable de réaliser des assemblages tellement précis que l’on peut en cacher toute la complexité, et montrer une architecture à l’apparence très simple, très “vraie”, piège dans lequel tombe facilement le regard naïf. (Bonnin e Nishida, 2014b, p. 256)

Figura 2. Casa de Chá, Vila Imperial Katsura (c. 1645). (Maria João Soares, 2016)

132 As fórmulas na arquitectura The geometrization of space in Yasujiro Ozu’s cinematrography

Na introdução de Hokusai Manga (斎漫画, 1814), uma colecção de desenhos de Katsushika Hokusai (1760-1849), pode ler-se: “‘The great workman can teach people how to use compasses and squares, but he cannot impart skill to them…. It is something the heart must grasp and the hand respond to, though the heart and the hand are not conscious of it….’” 4 (Guth, 2008, p. 123) Estamos mais no domínio do coração do que no domínio da mão.

Mu (無)

Vazio. Mu (無). No dia 12 de Dezembro de 1903, em Tóquio, nasce Yasujiro Ozu. A sua vida decorreu exactamente durante seis décadas. Durante estas seis décadas, Ozu viria a afirmar-se como um dos mais importantes cineastas da breve história do cinema, imbrincando vida e cinema. No dia 12 de Dezembro de 1963, também, em Tóquio, morre Ozu. Por sua vontade, a lápide da sua campa no templo Zen Engakuji, em Kita-Kamakura, não faz referência a qualquer nome ou data. Nela está inscrito um único caracter kanji que representa o termo mu (無)5. Mu é um conceito que pode ser traduzido como “nada” ou “vazio”. Uma negação de existência que pode, também, ser vista como o espaço que, por exemplo, um corpo ocupou. Ozu ocupou, fisicamente, espaço; ao fim de sessenta anos desapareceu. Ficou um vazio, o seu vazio. Nos seus filmes personagens também desaparecem. O filme continua. Ozu tinha quarenta e um anos quando as cidades de Hiroshima e de Nagasaki foram bombardeadas, uma bomba para cada cidade. Corpos pulverizados. Corpos que estavam ali para, numa questão de fracção de segundo, não estarem mais em qualquer lugar. Sombras e vazio. A vida continua. Vários críticos têm exaltado Ozu como o mais japonês de todos os cineastas japoneses de uma determinada geração – mais japonês do que Kenji Mizoguchi (1898-1956), do que Akira Kurosawa (1910-1998) –, o que tem sido refutado, por exemplo, pelo crítico Hasumi Shigehiko. Shigehiko (1997) afirma que Ozu é um cineasta do céu azul. Do céu claro. Um cineasta que não se prende no fenómeno natural, nas estações do ano, nas monções. Nos filmes de Ozu há sempre calor, mas não há chuva. Refere o crítico: “[s]till, nothing could be more un-Japanese than Nature without cold and rain.” (Shigehiko, 1997, p. 121) Ozu afasta-se de uma retórica associada às épocas sazonais – retórica essa imersa na ideia, sobretudo Ocidental, do que é “a” poética japonesa. No entanto,

4 Introdução de Kawakita Michiaki. A passagem em citação foi traduzida por Osvald Siren, The Chinese on the Art of Painting: Translations and Coments. New York: Schoken Books, 1969, p. 152. 5 “Mu is an aesthetic term meaning ‘void,’ an emptiness that is nevertheless full of possibilities, such as the empty spaces in a traditional ink-brush painting or the spaces between the branches and flowers in an ikebana arrangement.” (Geist, 1997, pp.101-102)

As fórmulas na arquitectura 133 Maria João soares

este afastamento não leva consigo uma sensibilidade poética inerente à obra do cineasta. Ozu sabe evocar o sensível e o poético através da sua obra; fá-lo de um modo cru. Segundo as palavras de Shigehiko (1997, p. 121), de um modo arrojado e brutal. E fá-lo de um modo mudo, japonês também ele. Fá-lo, por exemplo, nas transições de cenas através de uma câmara que fixa, em modo still life: uma paisagem atravessada por um comboio em movimento; os telhados de várias construções e um porto; uma fábrica e as suas chaminés em produção; uma rua e a sua “vida”; uma rua despida de vida; um muro, o mar e quem olha para ele; o mar; o céu. Imagens que nos colocam nos lugares do filme, é certo, mas também são imagens do vazio – estão vivas não estando, são de algum modo contemplativas não sendo mais nada do que elas próprias. Em A viagem a Tóquio (Tōkyō Monogatari, 東京物語, 1953), filme sobre uma dinâmica familiar, no pós--guerra, centrada no envelhecimento de um casal, Shukichi Hirayama e Tomi Hirayama, e na relação deste com filhos e nora, Tomi, a mulher, fica gravemente doente. O still life que precede a cena em que Shukichi tenta confortar Tomi nos momentos finais da sua vida é uma imagem serena de um templo budista, numa colina, junto ao mar. O still life é acompanhado pelo som de cigarras. Este som mantém-se enquanto Shukichi abana lentamente, com um leque, Tomi, que está deitada. Os dois estão enquadrados por três sucessões de planos, dois deles são painéis shōji (障子), que se vão abrindo até ao exterior. A câmara está colocada pouco acima do plano formado pelos tatami – é esta a posição de câmara de Ozu. Câmara essencialmente fixa, a centímetros do chão. O cantar das cigarras evidencia o silêncio e o vazio. O momento preciso da morte de Tomi é mostrado através de um encadeamento de imagens que reflectem o início de um dia, este dia. O cais do porto, uma lanterna de pedra6, um barco que passa por esse mesmo cais – agora noutra perspectiva –, três barcos ancorados com a montanha em fundo, uma rua e dois edifícios, linhas de comboio, telhados e barcos que cruzam o mar. Imagens desprovidas do humano – nenhum corpo povoa estas imagens. Vazio. Mu. Quando voltamos a ver Shukichi, após a morte, este está no exterior; Kyōko, a filha mais nova dirige-se a Shukichi que olha o mar. Shigehiko escreve a este propósito:

Looking down at the sea, having just lost his wife, Ryu Chishu7 has not a thought in his mind. In this respect, Ryu is not unique among Ozu’s characters; in his films, state of mind, as a rule, does not exist. At the moment, Ryu suddenly mechanically mentions the heat and the appropriately sunny skies, just as anyone might have done. No deep meaning is intended. (Shigehiko, 1997, p. 125)

6 As lanternas de pedra são símbolos de transitoriedade e passagem, associadas às almas dos mortos, na religião Budista. (Geist, 1997, p. 101) 7 Actor que interpreta a personagem Shukichi Hirayama.

134 As fórmulas na arquitectura The geometrization of space in Yasujiro Ozu’s cinematrography

A vida continua, e o céu é límpido. Claro, como um não-céu.

Figura 2. Fotogramas de A Viagem a Tóquio, de Yosujiro Ozu (1953). Encadeamento de algumas imagens referente à morte da personagem Tami Hirayama. Imagens desprovidas do humano. Mu.

Kathe Geist refere:

Early attempts to link Ozu’s films with Zen Buddhist aesthetics have been joined by later efforts to link his work with traditional Japanese art forms, many of which were inspired by Zen. (Geist, 1997, p. 101)

Independentemente de haver conexões, ou não, entre a obra de Ozu e artes tradicionais japonesas, como Nō (能) e Haiku (俳句), a inerência de certos pensamentos e filosofias budistas, que sobrevivem muito para além das instituições religiosas, na cultura japonesa parece ser uma realidade. Muitos valores estéticos Zen, como o estado de “não-ser” (muga, 無我), (Geist, 1997, pp. 101, 109) residem profundamente no “ser” japonês. Ozu não terá sido indiferente a este estado8. Ser “não-ser.”

Ser-não-ser. A noção de ciclo, ou de circunferência, é invocada de vários modos no pensamento budista (Geist, 1997, p. 106). No budismo obtemos a iluminação (satori, 悟り) à custa de um ciclo, nascer-morrer-renascer. Um ciclo sem fim. Na realidade, a circunferência é uma figura geométrica extremamente importante na cinematografia de Ozu. Em A viagem a Tóquio o filme começa em Onomichi, lugar de residência dos Hirayama, e termina em Onomichi. Este tipo de ciclo que se fecha, é comum a quase todos os seus filmes. Há a procura de uma redenção, através da compaixão, na utilização da linearidade da circunferência. Durante a viagem em curva, certas personagens aproximam-se dessa redenção, é assim, por exemplo, em A viagem a Tóquio. Talvez ainda mais do que redenção, pode estar implícita, à utilização da circunferência, a noção de iluminação, ou elevação, que na sua viagem em ciclo poderá, muito raramente, culminar numa

8 That the mu and ma of Zen aesthetics permeated Ozu’s work there seems no question, though his interest in Buddhism as such was undoubtedly confined to aesthetics. (Geist, 1997, p. 115)

As fórmulas na arquitectura 135 Maria João soares

iluminação extrema, que será, somente ao olho, semelhante à não-iluminação9.

“Retornar,” no cinema de Ozu, nunca é um efeito formal. “Retornar” é uma atitude estética. (Richie, 1964, p. 13)

Se por um lado, Kathe Geist refere que a “ordem” que Onomichi representa é mais cósmica do que assente em questões da família ou em questões da tradição (Geist, 1997, p. 107), Woojeong Joo (2018, p. 209), por outro lado, defende a ideia de que a visão generalizada sobre a obra de Ozu, na sua relação com o quotidiano, fica aquém do que entendemos, exactamente, por este quotidiano. Ou seja, para Joo a essência do mistério da obra do cineasta japonês reside numa complexidade não explorada, pelos críticos, inerente ao dia-a-dia:

Ozu’s everyday may seem to be a void; one may choose to point to the silently flowing cloud shots that are frequently seen in his films in order to assert the “emptiness” of the present, which essentially constructs the everyday. However, arguments such as this often miss out on the more significant point that such shots hardly stand alone in the narrative; the cloud implies the “gaze” of a subject of the everyday (even if absent or elided), and, moreover, a “drama” that has been building to necessitate the gaze. Ultimately, we do not merely respond to the beauty of the scenery Ozu presents us with; we also respond to the feeling it evokes, or a meaning that saturates Ozu’s everyday. (Joo, 2018, p. 209)

Voltamos a uma certa ambivalência que perpassa a cinematografia de Ozu. Se existe um pendor quase cosmogónico na ordem cíclica – em forma e em conteúdo – no cinema de Ozu, existe, também, neste mesmo cinema, um olhar cirúrgico e implacável que devolve o dia-a-dia de um Japão que, numa modernidade, se olha a um espelho. Existe um vazio, sim, mas esse vazio nem é cego nem dispensa o nosso olhar. De algum modo, somos convidados a olhar um espelho que se espelha num abismo. Toda esta ambivalência, no entanto, constrói-se para ser somente cinema. É por si e por si só, cinema. Ozu: “‘I’m a tofu seller so I only make tofu.’” (Ozu citado em Joo, 2018, p. 215) Refere ainda Ozu: “‘It [o seu cinema] may look all the same to you, but I begin each work with a new

9 O tratadista de Nō Zeami Motokiyo (c.1363 - c.1443), refere que para um actor obter o estádio mais elevado da sua arte deverá ultrapassar nove níveis, ou patamares de aprendizagem. Para tal o actor deverá começar pelos três níveis intermédios, deverá passar, em seguida, para os três últimos níveis, e só depois destes poderá aprender os três primeiros níveis. Os três primeiros níveis, são os níveis das “águas turbulentas” onde actor se pode afundar ou alcançar a iluminação extrema, que parecerá uma não-iluminação. (Keene e Rimer, 2001, p. 375)

136 As fórmulas na arquitectura The geometrization of space in Yasujiro Ozu’s cinematrography interest, trying to express new things.’” (Ozu citado em Joo, 2018, pp.214-215) Joo (2018, p.215) remata: “Concluding in his own rhetoric, Ozu actually made various kinds of tofu, each with different ingredients and tastes, but tofu is still tofu, always retaining intact its distinctively plain flavor of the everyday.”

Ma (間)

Intervalo no espaço-tempo. Ma (間). Ma pode ser entendido como uma consequência de mu ao ser introduzido movimento, tempo. O esvaziamento do espaço nos filmes de Ozu pode corresponder, com efeito, a ma (Geist, 1997, p. 109). O conceito Ma – conceito exclusivamente japonês10 – tem sido usado em toda a carreira de Tadao Ando enquanto arquitecto:

Dans l’architecture, il y a ce qu’on appelle le ma, et il y a l’espace de l’individu. Le ma est un lien où les hommes dialoguent et réfléchissent à de nouveaux développements, c’est cela qui est important. […]. Le ma permet de dialoguer avec les hommes, avec la nature, de réfléchir aux choses. Il y a le ma et les chambres. Mais je considère que le ma est l’espace le plus important. (Migayrou, 2018, p. 46)

Em 1970, Roland Barthes publica O império dos signos (L’Empire des signes). O livro de Barthes vai ser significativo num renovado fascínio e interesse, em França, pela cultura japonesa, durante os anos 1970. Este interesse também foi impulsionado pela literatura, através de escritores como Yukio Mishima (1925- 1970)11 e Yasunari Kawabata (1899-1972), pelo cinema, através de cineastas com Misoguchi e Ozu, e até mesmo pela dança, através de figuras como Tatsumi Hijikata (1928-1986), figura fundadora da dança Butō (舞踏) (Baird e Candelário, 2019). A apresentação da exposição, imaginada por Arata Isozaki (n. 1931), Ma: Espace-Temps du Japon, no Musée des Arts Décoratifs, integrada no Festival d’Automne à Paris de 1978, não terá sido coincidência neste contexto.12 13

10 Ma é uma palavra puramente japonesa, sendo desse modo anterior ao uso dos sinogramas (Berque, 2014, p. 295). 11 A morte de Mishima, dramática e mediática, terá ajudado também a captar a atenção na altura. 12 É de sublinhar que após quarenta anos, o Japão e a França cooperaram na organização conjunta de uma extensa época cultural que pretendia mostrar a essência da cultura japonesa em França, sobretudo em Paris. O impacto de Japonismes 2018: les âmes en resonance fez-se sentir em diversas áreas, sobretudo, na arquitectura. 13 A casa Azuma de Tadao Ando foi construída em 1976, em Osaka. A meio um intervalo.

As fórmulas na arquitectura 137 Maria João soares

Isozaki (1978, p.6), a propósito de ma, escreveu o seguinte para o catálogo da exposição:

In Japan both time and space were conceptualized with the word MA, meaning “natural distance between two or more things that exist in a continuity,” or “space or vacancy between things.” MA came to mean a space surrounded by poles and screens, i.e. “rooms,” and in relation to time it was “the natural pause or interval between two or more phenomena occurring continuously” (Iwanami Dictionary of Ancient Terms). There was to be observed no serial System like that of the West for the recognition of time and space, and both of them were conceived in terms of intervals. […].

The fact that time and space have not been distinguished from each other and have been conceptualized as one entity is very important among the unique characteristics of Japanese artistic expression in comparison with that of the West. […]. The fundamental key for the perception of space was the interpretation of visible nature, and the manner in which this was done depended greatly on the View of nature and cosmos in each period of history. […].

Space was basically void, and even objects were supposed to have a vacuum within. KAMI [ser divino no Xintoísmo] was considered to descend there and to fill the space instantly with its chi or spiritual force. It became immensely decisive for all artistic endeavor to perceive that very instant.

Space was also perceived as identical with an event or phenomenon that occurred within it, i.e. space was perceived only in relation to time flow. The Western concept of space is three-dimensional, and when time is added it becomes four-dimensional, whereas in Japan space is strictly two- dimensional, or is a combination of two-dimensional facets. So the depth of space was expressed by combining plural two-dimensional facets, which means that through them existed a number of continuous time scales. MA was used to describe both time and space, and this fact correlates with the mode of cognition in which space was perceived within the structure of a facet with time scales. […]. MA was used to describe both time and space, and this fact correlates with the mode of cognition in which space was perceived within the structure of a facet with time scales.

A informalidade da estrutura arquitectónica organizada através de um sistema de pilar e viga – hashira-hari –, abre caminho para as camadas de espaço- tempo que se organizam segundo o conceito ma, e libertam caminho para o corpo

138 As fórmulas na arquitectura The geometrization of space in Yasujiro Ozu’s cinematrography no fluir do tempo. A percepção do espaço através do fluir do tempo é algo a que Ozu não é indiferente. O tempo para o cineasta é como um continuum (Richie, 1964, p. 14). A edição de imagem nos filmes de Ozu parte de uma estrutura a-b-a. O corte ocorre algum tempo antes da acção fulcral da história, naquele momento, e, também, sucede depois desta acção ocorrer (Richie, 1964, p. 14). Este desfasamento da montagem, como um escoar de tempo e de espaço, remete para o intervalo e para a ponte entre intervalos, ou seja, para o uso de ma como conceito. Geist (1997, p.112) emprega mesmo um aspecto particular utilizado no contexto do mesmo conceito: hashi (橋), a ponte sobre o vazio. A utilização de elementos em movimento – como, por exemplo, meios de transporte – que servem como elementos de ligação numa geografia espácio-temporal, funcionam como dispositivos de transição, ou como pontes, usados por Ozu. Ma estabelece-se, assim, como uma espécie de mu em movimento: “a void in which time and space interact and define themselves through an action. The frequently empty rooms that characters go in and out of in Ozu’s films suggest ma.” (Geist, 1997, p. 112) Poderemos pensar num carácter mesológico de uma trajectividade: o ser no seu meio. E o meio como sendo um entre coisas – ou entre espaços – onde esse ser actua, interrelacionando-se em continuidade, com esse meio e com todos os agentes que operam no mesmo, num kanjin (姦), ou contexto. Ao contrário da cultura Ocidental, a cultura japonesa é qualificada pelo awai no bunka (間の文化), cultura da entre-ligação.

[…] le ma qui existe entre les choses est ainsi chargé d’un sens qu’imprègne et anime une existence concrète, d’abord l’échelle du bamen [場面, scène] en question, et en dernière instance, chargé du sens général du fūdo [風土] (le milieu nippon) qui englobe toutes ces interrelations. (Berque, 2014, p. 295)

Para Ozu o momento de todas estas entre-ligações é o presente. O passado não é relevante. O padrão de uma sequência não é o padrão da história. Há uma dissociação e nessa dissociação o padrão temporal – por relação com o padrão visual a-b-a – é devagar-rápido-devagar (Richie, 1964, p.15). O presente é o presente das personagens, só estas interessam a Ozu. São as personagens que o preocupam, não a acção. O sentido da porção do quotidiano – para além da trajectividade que lhe está inerente – é-nos mostrado pelo diálogo entre personagens. O padrão visual e o padrão temporal funcionam no “interesse” das personagens e a câmara, basicamente estática e estrategicamente colocada no espaço, capta o movimento assertivo ou errante dos corpos que progridem no mesmo. Estes corpos cruzando-se, afastando, vão substituindo-se uns aos

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outros. Os corpos das personagens que interessam a Ozu, por vezes, perdem-se por entre outros corpos. Diluem-se e tornam-se anónimos, porque na realidade eles pertencem a todo um universo onde o anonimato é norma – este vazio evidencia o quotidiano, tal como o cantar das cigarras evidencia o silêncio.

Figura 3. Fotogramas de A Viagem a Tóquio, de Yosujiro Ozu (1953). Corpos em progressão no espaço doméstico. Ma.

É neste vai e vem, entrelaçado nos espaços, essencialmente interiores, que Ozu se revela no tal artesão. Construtor como um mestre carpinteiro, um daiku. Ozu constrói a ossatura dos seus filmes, decidida e afinada através de algo semelhante ao kiwari. Ozu faz um filme como um carpinteiro faz uma casa. Cada plano é essencial e o corte é a base da estrutura. É a sua pontuação (Richie, 1964, p. 16). Nada é supérfluo. Tudo é “não-sendo.” A casa como lugar de cena14, por exemplo, funciona como a unidade do dia-a-dia, o que é evidente na cinematografia de Ozu. O espaço da casa, como sabemos, estende-se para o exterior. Interior-exterior-interior são comunicantes num tempo único – pontes entre o entre em constante acção, awai no bunka. A câmara baixa, à altura dos olhos de quem se ajoelha num tatami, ou até mais baixa, revela o chão, e os tatami, que são módulo. Estão lá em concordância com a ossatura. Os corpos levantam-se, caminham, mas voltam sempre ao plano inferior horizontal, voltam à câmara. Os corpos também desaparecem deixando a câmara e o espaço sós. O enquadramento do espaço é feito em camadas; é uma inerência, é-lhe inerente – no Japão para se dividir dois espaços constrói-se um terceiro, um vazio, um intervalo, ma. Os corpos aparecem para voltarem a

14 “[…] the household […] is the traditional and fundamental social units of Buddhism.” (Geist, 1997, p. 104)

140 As fórmulas na arquitectura The geometrization of space in Yasujiro Ozu’s cinematrography desaperecer: “Izosaki completed his refinements of the concept of Ma, with Utsushimi, the spaces in which people live, Sabi, which is often paired with Wabi, as the passage or movement of time, Susabi, as the place or space where things appear and disappear, […].” (Steel, 2017, p. 268)

Figura 4. Fotogramas de A Viagem a Tóquio, de Yosujiro Ozu (1953). Exemplo do cruzamento da linha de 180-graus.

David Desser refere que a construção cénica e a segmentação do espaço do ecrã são das características mais notáveis da cinematografia de Ozu (Desser, 1997, p.12). Uma destas características remete-se para o cruzamento da linha dos 180-graus: personagens que conversam entre si podem “alterar” posições no espaço em que são filmadas; personagens que saem de um espaço numa determinada direcção podem aparecer, em outro espaço, numa direcção literalmente oposta15. Estas discrepâncias representam um princípio cinemático de construção espacial (Desser, 1997, p. 13). Alguns críticos afirmam que Ozu usa, de facto, um princípio de 360-graus em vez de o de 180-graus. Escreve Desser:

For instance, in one of the most moving scenes of the film [A viagem a Tóquio], in which the old mother [Tomi] tells her widowed daughter-in-law [Noriko] how much she enjoys her visit, the daughter-in-law is initially screen right. Noriko gently massages Tomi’s shoulders as they talk. Noriko then

15 O cruzamento da linha dos 180-graus pode ser visto, sobretudo no cinema mainstream, como uma discrepância ou um erro.

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stands to move across the room. In the midst of her standing, Ozu cuts. In a typical American film this would be a cut on action, the action in some sense “disguising” the actual cut. Ozu cuts her in motion, too, but at the same time shifts the camera across the 180-degree line. Thus, when the cut on Noriko’s motion is completed, she is now screen left. (Desser, 1997, p. 15)

Figura 4. Fotogramas de A Viagem a Tóquio, de Yosujiro Ozu (1953). Exemplo da utilização do princípio de 360-graus.

O movimento inerente a um princípio de 360-graus, oferece-nos uma aparente discrepância que pode, na realidade, ser um processo complexo de apreensão espacial, através do corpo, entre o que é visto, não visto, e visto novamente. Este princípio implica a atenção do espectador e implica a formulação de um modelo espacial na mente de esse mesmo espectador. Desser vai mais longe quando refere que este princípio é usado com mais frequência em espaços interiores, na casa. Para o autor, a aparente discrepância pode estar enraizada na modularidade da casa tradicional japonesa: “the space of the home itself can shift.” (Desser, 1997, p. 19) A abordagem cinematográfica de Ozu funciona como um campo onde a actua a geometria – Kikagaku. Já referimos a circunferência como uma figura fundamental na organização do cinema de Ozu. Donald Richie (1964, p.16) escreve que o método de Ozu é oblíquo, como todo o método poético, não é directo. Aqui entendemos que uma poética associada a Ozu funciona de um modo mudo. Ao imaginarmos uma linha obliqua, que atravesse a obra de Ozu, imaginamo-la a trespassar o quotidiano e as suas personagens. Uma linha padrão que se inclina perante uma espécie de imponderável que deriva do ser, ou do

142 As fórmulas na arquitectura The geometrization of space in Yasujiro Ozu’s cinematrography

“não-ser.” Imaginamo-la a ser extraída da posição de câmara de Ozu e a lançar-se sobre o espaço; sobre o espaço da casa – o utsushimi de Isozaki16. A objectividade de uma geometria clara na cinematografia de Ozu dilui-se na qualidade do vazio. Temos a circunferência, que passa a círculo perante a regra dos 180-graus que é dobrada para os 360-graus por Ozu. A espacialidade, associada aos 360-graus, que é sempre sugerida, vive num plano temporal. A bi-dimensionalidade dobrada, japonesa, torna-se volume. Do círculo passamos agora para uma esfera. O cinema de Ozu resolve-se numa esfera, preenchida por pontes entre pontos no espaço e no tempo, atravessada pela linha oblíqua de uma poética. É esta a sua casa – não é zero em sino-japonês 〇?

O elogio do tédio

Tadao Ando: “Plutôt qu’une méthode, la géométrie ne serait-elle pas l’aboutissement d’une réflexion?” (Migayrou, 2018, p.44)

O elogio do tédio 1 (一)

Na arquitectura tradicional japonesa apesar de haver sistemas modulares e tendências específicas para determinadas tipologias, regiões e períodos, parece que tudo dependeria do “refinamento” do carpinteiro construtor, do mestre, do daiku. É como se houvesse um espaço aberto para o individual num sistema tipificado. Como se a “iluminação” de um mestre precisasse precisamente de uma espécie de contra-argumento, derivando de uma base, que apesar de informe, é modular, logo geometrizada, mas que no “desvio” da sua mestria, esse mesmo mestre, construísse uma singularidade. Essa singularidade revela-se então sem forma e a-geométrica (mais do que não-geométrica), porque dentro do padrão desvia-se do mesmo nem que seja do modo mais imperceptível. A imperceptibilidade – que no fundo deriva de uma subtileza – e o seu valor serão talvez questões centrais na posição diametralmente oposta onde as culturas ocidental e japonesa residem. Uma reside no facto construído geometricamente assumido, outra reside num não-facto construído geometricamente não assumido. Por ser não-facto, ou quase a negação de coisa para se fundamentar como conceito, desagua na natureza numa parceria muito particular. O cinema de Ozu torna-se de algum modo emblemático deste processo de des-objectivação. Se é certo que o seu cinema é por norma puro na sua forma

16 Utsushimi é uma palavra associada ao Japão antigo, sendo difícil encontrar agora uma definição concreta. Utsusomi é uma derivação de Utsushimi. Utsusomi “means ‘this mortal world’ or ‘the presente reality.’” (Inouye, 2008, p. 23)

As fórmulas na arquitectura 143 Maria João soares

– é cinema construído a partir de uma linguagem estrita em que o artifício é completamente ignorado em detrimento uma imagem de fundo quase asséptica –, é na natureza das suas personagens e na “geografia” do espaço que elas ocupam – tal como na posição estratégica da câmara – que o desvio ao padrão se sustenta. As personagens, que aparecem como que subtraídas ao anonimato do dia-a-dia, fazendo por isso parte de um vazio – na morte elas são obliteradas porque o que resta delas é exactamente esse vazio –, são o meio de condução ao estabelecimento de um ciclo que se vai encerrando desde o início até ao desfecho de um filme. Pode-se dizer que os filmes de Ozu, na sua maioria, apresentam- se alinhavados no desenho de uma circunferência. Mas dessa circunferência vão derivando sucessivas camadas de tempo e espaço que vão funcionando em intervalos, como cortes e pontes em simultaneidade, entre o vazio e o movimento como duração, que espreitando o quotidiano elevam as personagens à sua redenção. É nesta redenção que a “imperceptibilidade”, agora trabalhada pelo mestre cineasta, que o filme assume a sua condição de não-objecto. Uma esfera que se abre pelo entrecruzamento de uma diagonal que desfaz a sua objectivação.

O elogio do tédio 2 (二)

Escreve Kengo Kuma:

We Japanese are already sick and tired of new technologies. Of course new technologies will emerge in the future in different products and in different guises, and people are approaching a condition that transcends such enthusiasms. Enthusiasm over technology is unimportant. What is important is using a technology until it has nothing to show us, reaching a stage where that technology can fill us with boredom, and patiently repairing the damage inflicted on the world by the violence of that technology. An elegant ennui gave birth to Japanese architecture; boredom produced and nurtured diverse techniques. We must not be afraid of boredom. Boredom is the mother of invention; boredom is the mother of an inventive architecture. (Kuma, 2010, p. 17)

Diz Paul Schrader17: The big challenge of working on the slow side is using boredom as an aesthetic tool. To give an example from Bresson, one of the first people to do this: a man

17 “Although transcendental style, like all transcendental art, strives toward the ineffable and invisible – trying to bring us close to the ineffable and the invisible as words and images takes us – it is neither ineffable nor invisible itself. […]. The transcendental style in film is seen at its purest in the films of Yasujiro Ozu in the East and Bresson in the West, […].” (Schrader, 1972, p. 2)

144 As fórmulas na arquitectura The geometrization of space in Yasujiro Ozu’s cinematrography

exits a room, closes the door. Normally in a regular film, you lay the splice as the door closes. Bresson waits one, two, three seconds on the closed door. What’s happening then? Something is happening. It’s not nothing. You’re watching a closed door. In real life you don’t watch a closed door when someone leaves. Your eye moves somewhere else. But in a movie, he holds it on that door. Now what if he holds it ten seconds on the door? What happens? What if he holds it 30 seconds? What happens then? Now you are involved with what Henri Bergson called duration. La durée. What happens in the duration? What is your mind doing? The filmmaker is now putting your mind to work. What thoughts are you having in the duration? To what degree can the filmmaker determine what thoughts you will have in the duration? And so the delicate dance of slow cinema is to activate the viewer during the duration to use boredom as an aesthetic tool, but not drive the viewer out of the theatre. What happens when you’re bored? Well, you either engage or you exit. And the trick is to engage the bored viewer. How do you do that? Every slow filmmaker has a different little formula to do that. It’s a contract not unlike church attendance. No one walks out of church because they’re bored. They go to church knowing they will be bored: to experience that quietness. So you go to certain movies and know you’re going to be bored to some degree. And the filmmaker can use that to take you some place else. But if he abuses that, you will leave and you probably won’t ever come back to that church again. (Perry, 2017)

Daiku e cineasta – cineasta como daiku. A construção destas estruturas, arquitectónicas e cinematográficas, são morosas. Mais do que elas serem morosas em si e por si, elas exigem. Exigem a atenção do fruidor. Temos que nos comprometer com o que estas oferecem. O que exige tempo. As geometrias que as constroem, tal como Ando refere, são resultado de uma reflexão. Derivam de um alongar do tempo, de uma assimilação quase visceral. Derivam de um alongar do tempo até ao ponto de um certo aborrecimento, de um certo tédio, se assim poderemos dizer. Tal como o quotidiano.

Agradecimentos

Este trabalho é financiado por Fundos Nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologia, I.P., no âmbito do Projecto UID/AUR/04026/2019.

As fórmulas na arquitectura 145 Maria João soares

Referências

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As fórmulas na arquitectura 147

TEMPORAL FORMULAS in the awakening of the western architectural thinking

Emanuel Tareco Ferreira Lusíada University, Lisbon

Abstract: “Formulas in architecture” since ancestry made an invariable slide to the “mathematic”, Vitruvius posited Emanuel Ferreira a specific “proportion” underlying the “abstract proce- Former student of Physics engi- dure” present in the acquisition of tectonic integrity. And neer in Instituto Superior Téc- yet, prior to the Vitruvian “disembodied formulations” nico of Lisbon between 2002-2004, in “The Architecture”, both Plato and more capriciously master degree in architecture by Aristotle addressed the interconnexion between the math- Lisbon Lusíada University with the dissertation intitle; “Ut archi- ematical and the artefactual, and with it the “harmonic” tectura poesis: como mereologia and the “scalar” within the architectonic mainly through arquitectónica”/ “Ut architectura their considerations into the proper rhetoric and poetic. poesis: as architectonic mereology” Connection possible due to the inherent mathematical and a study on the complex temporal architectonic qualities of the literary work. It is in this sense nature operating in the western that the specific “abstract constructions” and, within these, conception of architectonic unity, the calibrations present in Hellenic conception in differ- finished in 2019. Participated in entiation with the Egyptian naturally come to be derived the architecture design atelier in from literary precepts. 3D modeling and rendering, between 2011-2013. Currently, he col- Firstly, with the assistance of the neo-Platonic Proclus, laborates in the planning office of Plato’s consideration into the intricate mimetic nature of Barreiro Municipality for the eco- the Egyptian temple opens the way to the clarification of logical corridor of the Coina River. the multiple layers in which “the mathematical” is operative in the architectonic, as in addition, will crystalize a deeper understanding of the “calibrative” and “harmonic” that drives the tectonic beyond rigidity of the “symmetrical”. The dodge from the monoliticity of “spatiality” will be further reinforced by Plato’s rhetorical constitution on the Sophist and Pindar poetic institution. After this initial ground, Aristotle insights on literary constitution will lead into a specific scrutinization on the harmonic and scalar nature of architectonic institution, not mainly define by spatial relations, but order, symmetry and scale as determined fundamentally by “temporal calibrations”. Escalations that within determined restrictions allow the tectonic to express itself has a totality, or pass into colossally and positively determining the space define by architecture. In this context, “scale” comes to be a space structuralizer. Under this light, the “temporal scalations” determined by restrictions and polarized by conceptions have to be see has “temporal formulas”.

Keywords: Time; Propoction; Scale; Aristotle; Plato.

As fórmulas na arquitectura 149 Emanuel Tareco Ferreira

FÓRMULAS TEMPORAIS: no despertar do pensamento arquitetónico ocidental

“Fórmulas na arquitetura” desde a ancestralidade invariavelmente desliza- ram para o “matemático” e com ele o “relacional” e o “escalar”, por via do orgâ- nico. As contingências compositivas do erigido transmitidas por Vitrúvio no De Architectura, de resto caudatárias de uma ‘jurisprudência’ para a boa aquisição edificacional, advieram de modo concomitante com noções de filosofia ancestral onde o biológico e o matemático se encontravam invariavelmente enleados. O romano no início do capítulo III do seu tratado evoca a compleição orgânica como arrima para a regrada instanciação construtiva, depondo os fundamentos enformadores nos seguintes termos:

“A composição dos templos assenta na comensurabilidade (symmetria), a cujo princípio os arquitetos deverão submeter-se com muita diligência. A comensurabilidade nasce da proporção (proportione), que em grego se diz analogia (ἀναλογία). A proporção consiste na relação modular de uma determinada parte dos membros tomados em cada secção ou na totalidade da obra, a partir da qual se define o sistema das comensurabilidades. Pois nenhum templo po- derá ter esse sistema sem conveniente equilíbrio e proporção se não tiver uma rigorosa disposição como os membros de um homem bem configurado.” (III, 1, 1) (Vitrúvio, 2006, p. 109)

Figura 1. Relações harmónicas da escultura de Policleto (à esquerda) (Doczi, 2005). Figura 2. Relações harmónicas no Partenon clássico (à direita) (Doczi, 2005).

150 As fórmulas na arquitectura Temporal Formulas

Ainda que desde logo se destaque a não coincidência da ‘simetria’ ou ‘comensurabilidade’ em relação à ‘analogia’, deteriorando de modo irreparável a amplitude que uma vinculação assente nesta possibilitava (D’Agostino, 2012, p. 96-101), de resto com consequências para subsequentes entendimentos do ar- quitetónico (Vesely, 2002, p. 33). Permanece que no escalpelo desta formulação expõe uma série de relações proporcionais dos constituintes da compleição humana com as suas partes e membros, a ser transferidos para a construção, acres- centado ainda que à semelhança do ‘Homo bene figuratus’, a edificação deveria ter os seus liames constitutivos de igual modo harmonizados tendo em conta a sua ‘magnitude total’1, isto é, o talhe compositivo teria um papel determinando nos liames endógenos da edificação em si.

Figura 3. Homem vitruviano por Leonardo da Vinci (Da Vinci, 1492).

1 “De modo semelhante [...] os membros dos edifícios sagrados (sacrarum aedium) devem ter em cada uma das partes uma correspondência de medida (commensus responsus) muito conformemente, na globalidade, ao conjunto da magnitude total (totius magnitudinis summam).” (III, 1, 2) (Vitrúvio, 2006, p. 109)

As fórmulas na arquitectura 151 Emanuel Tareco Ferreira

As relações de ‘ordem’ e ‘simetria’ da compleição humana dentro de um todo, sem dúvida, deveriam instigar a aquisição da integridade da erigição, em particular a litúrgica (Vitrúvio, 2006, p. 110). A ausência de “preocupações anató- micas efetivas, tornava o ‘homo bene figuratus’ num constructo prioritariamente matemático” (Lima, 2015, p. 83). Fosse esta ‘construção matemática’ assente no zoológico, uma relação numérica, fosse uma progressão geométrica (Lima, 2015, p. 81). Permanece o reconhecimento de uma ‘procedura’ assente na eutaxia do corpo humano desprovido de carne com um talhe propício, como critério para a aquisição da suposta integridade da edificação, isto é, numa ‘construção mate- mática’ inserida numa circunscrição. Três seculos anteriormente a Vitrúvio, já Aristóteles postulava na sua consi- deração mais geral sobre belo (Kraut, 2006, p. 118; Gage, 2011, p.45-46) presente na Metafísica o vínculo entre o ’matemático’ e o ‘composicional’, quando expressa:

“Não são as principais formas de beleza a ordem, a simetria e a [confinidade]2 Isto é o que mostram primeiramente as ciências matemáticas. E dato que estes princípios, isto é, a ordem e a [confinidade], são evidentemente, sob um certo ponto de vista, causas de uma multiplicidade de coisas, as matemáticas deveriam considerar-se como causa do que falamos: numa palavra, do belo. Mas sobre isso falaremos em outro lugar de modo mais claro.” (Aristóteles apud Kruger, 2014, p. 265)

A ‘ordem’ vincula-se à magnitude e forma das partes individuais no todo composicional, a ‘simetria’ ou ‘proporção’ anexa-se de forma mais imediata à composição geral das partes de modo a criar um todo ‘unificado’ sem rácios irra- cionais, já a ‘confinidade’ assentava nesta conjuntura possuir uma fronteira clara e definida, isto é, “reconhecível da forma global como uma entidade completa” (Gage, 2011, p.45-46, tradução nossa)3. A supressão da simetria não se posiciona- va como acidental, dada a ordem, se constituir como uma distribuição metódica, já a simetria, como uma harmónica, a “ordem era mesmo o fundamento da simetria”

2 Foi alterado de delimitação para confinidade tal como na tradução de Humboldt (Aristoteles apud Humboldt, 1963, p. 14) 3 Citação original: “[…] Aristotle’s formal criteria for beauty primarily appear in his treatise Metaphysics but are reinforced in Politics. In the former he dismantles the Platonic concept of the universal form of […] The primary components are: “order,” the size and shape of individual parts; “symmetry,” or what a contemporary voice might call “proportion”; the overall composition of parts to create a unified whole using no irrational ratios; and “definite-ness,” having a clear recognizable boundary of the overall form as a complete entity. In Poetics, he adds to these formal criteria the concept of “magnitude,” which we may define in more con-temporary parlance as “scale.” (Gage, 2011, pp. 45-46)

152 As fórmulas na arquitectura Temporal Formulas

(Cabral, 1970, p.66), a sua supressão explicava de igual modo circularidade obs- cura presente entre os dois preceitos no ‘De Architectura’ (D’Agostino, 2012, p. 66).4 De modo a complementar os critérios formais estabelecidos já na Metafisica, e dado não nos ter chegado um tratado específico sobre a beleza, esta considera- ção irredutivelmente propela-nos para a conceção orgânica da arte presente na poética (Kruger, 2014, p. 265). Onde a respeito da construção apropriada, o belo:

“[...] seja um animal seja o que se compõe de partes, precisará não somente de as ter ordenadas, mas também de ter uma dimensão [magnitude] que não seja ao acaso“[...] a beleza reside na dimensão [magnitude] e na ordem e, por isso, um animal belo não poderá ser nem demasiado pequeno [...] nem demasiado grande [...] (a visão não abrange tudo, e assim, escapa à observação de quem vê a unidade e a totalidade).” (Aristóteles 2004, p. 51-52, negrito nosso)

‘Magnitude’ no contexto aqui descrito, deve ser ideada como aquilo que se anexa à noção contemporânea de ‘escala’, uma vez que a composição poética para que fosse bela, à semelhança de um animal deveria possuir uma ordem própria, assim como um talhe não arbitrário. A ‘magnitude’ ou ‘talhe’ desem- penhava assim um papel ótico na negociação entre estes critérios constitutivos e o sujeito humano, um objeto exíguo não se permitia a uma visualização precisa, um excessivamente grande não assentia a contemplação da sua totalidade num único lance (Gage, 2011, p. 46). Isto é, tanto num caso, como no outro não proporcionavam a integibilização da comodulação, e com isto a aferição da hi- potética unidade orgânica, aquilo que em certo sentido está no cerne na beleza (D’Agostinho, 2012, p. 106). ’Escala’ aqui relacionava-se com a ‘harmonização’ do que instigava uma perceção totalizante. É por isso que Cockerell nas suas lições de Arquitetura se atreve a dizer:

“[…] a magnitude é o grande objeto e resultado do design, esta qualidade só se é alcançada pelo ajuste de proporções relativas em magnitude e ordem. A arquitetura (diz Aristóteles) consiste em magnitude e ordem. […] É somente depois de se instituir comparações e aferições que se torna cônscio da grandiosidade destes empenhos humanos.” (Cockerell, 1843, p. 310, tradução nossa)5

4 Esta circularidade que por exemplo em Vitrúvio tornava a sua diferenciação entre ordem e simetria “confusa e redundante” (D’Agostino, 2012, p. 66). 5 Citação original: “Magnitude is the great object and result of design, and this quality is only to be attained by the adjustment of relative proportions in magnitude and order. Architecture (says Aristotle) consists in magnitude and order. The works of man, compared with those of Nature, display our insignificance. The

As fórmulas na arquitectura 153 Emanuel Tareco Ferreira

Ainda que “a noção orgânica da arte apareça de modo ‘explícito e positivo’ na Poética” (Muniz, 2008, p. 29), antecedendo como fora referido aquela de Vitrú- vio, “ela já tinha sido enunciada, em traços gerais, no Fedro de Platão” (Muniz, 2008, p. 29). Assim Platão6, através da voz de Sócrates deliberou a necessidade:

“[…] todo o discurso [fosse] composto como um animal, dotado de corpo próprio, de maneira a que não lhe [falta-se] nem a cabeça, nem os pés, e de modo a que tanto os órgãos internos como os externos se encontrem ajusta- dos uns aos outros, em harmonia com o todo.” (apud Brisson, 2003, p. 262)

Implícita nesta formulação orgânica estava pois aquilo que se poderia referir como uma ‘construção matemática’. Ao posicionar a adequada construção Retórica a um ser vivo, ao ‘logos’ como que possuindo um ‘corpo’ harmonica- mente engendrado (Derrida, 2005, p. 25). Diga-se da ‘compleição’ compositiva, como que definida por disposições harmónicas e por isso passível de ser definida tanto na sua constituição, como assaz relevante na afloração7, por rela- ções de simetria e por isso ordem8. Neste sentido mais que mera ‘construção matemática’, sublinhava-se aquisição da mesma, a saber da implícita presença de uma ‘procedura’. De uma ‘morfogénese imaterial’, ponderadora da regrada instanciação. Não postergando a deixa Platónica, assim como a Aristotélica a respeito da expressão coerentemente composta, com a sua implícita geração e presença de estrutura, invariavelmente trilha-nos no caminho do escrutínio do arquitetónico helénico e da ‘procedura’ para a sua consecução integra, particularmente em diferenciação a grande parte do monumental Egípcio9. Assente numa ‘Ut Ar- chitectura Poesis’, isto é derivada das preceptísticas de Aristóteles e de Platão.

Pyramids, seen in the clear sky of Egypt, or St Peter’s at Rome, are proverbially disappointing to the first gaze of the beholder: it is only after he has instituted comparisons and admeasurements that he becomes sensible of the greatness of these human efforts,-and his memory will supply him with many instances in which objects of very inferior dimensions have surpassed them in impression of magnitude upon his mind.” (Cockerell, 1843, p. 310) 6 Platão foi o grande filósofo Ateniense do século V e IV a.C, em conjunto com Sócrates e Aristóteles, considerado um dos pilares do pensamento especulativo ocidental. 7 A alusão do animal por um lado, da mera presença de um ‘corpo’ coerentemente constituído por outro, implicava já a distinção entre a presença efetiva dos liames constitutivos do organismo, da coerente emergência ou morfogénese do mesmo, aludindo assim para o sentido da ‘procedura’, das regras para a composição apropriada. 8 Aqui ‘ordem’ e ‘simetria’ como condições especificas, para a aquisição de uma unidade orgânica. 9 As edificações monumentais Egípcias como as Colossais Pirâmides de Gizé ou os templos Romanos em Balbek, afastam-se daquela ‘serenidade Helénica’ provinda da regrada delimitação e escalação substanciadora do Parthenon (Cockerell, 1843, p. 310; Hegel, 1892, p. 153)

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A expressão ‘Ut architectura poesis’ derivada, daquela ‘Ut pictura poesis’ proferida por Horácio, que significava “como a pintura, é a poesia” (Horácio, 2005, p. 65), mais do que anexar o Poético ao pictórico, vinculava-o ao arquitetónico (Jones, 2008; Purves, 2010). De facto, os poetas latinos antecedentes e contempo- râneos de Vitrúvio, mais do que se estearem no pictórico, recorriam ao arquitetó- nico e ao monumental para assegurarem estrutura coerente nas suas poesias (Jo- nes, 2008). Não era assim acidental que Vitrúvio pensa-se o seu fazer construtivo em termos de uma Ut Architectura Poesis, a isto os seus preceitos para o encanto, assim como as taxonomias importados da retórica nos interpelavam (Patterson, 2006, p. 341-354) (D’Agostinho, 2012, p. 107-124) (Lima, 2015, p. 23-49), como de igual modo ideava a sua ortografia como possuindo um corpo, assim como era na compleição do ‘homo bene configuratus’, conforme já referido que as edifica- ções obtinham as suas relações modelares (Lima, 2015). Antes de Horácio, ou mesmo Virgílio arrimarem os seus poemas no monumental romano com a sua condição arquitetónica própria, ou mesmo Vit- rúvio compilar um corpo disciplinar do construtivo íntegro (Mcewen, 2003), já Platão tecia relevantes considerações ao arquitetónico, enleando-o de forma persuasiva à linguagem. Assim no Timeu refere:

“[…] desde tempos remotos que, de tudo quanto se passa na vossa terra, aqui ou em qualquer outro local, de que nós tomemos conhecimento pelo que ou- vimos dizer, se porventura se tratar de qualquer coisa de belo, grandioso ou de qualquer outra natureza, isso fica gravado nos nossos templos e mantém- -se conservado. Por outro lado, acontece que em relação ao que se passa entre vós e entre outros, mal acaba de se ordenar o sistema de escrita e tudo o resto que faz falta a uma cidade, recai novamente sobre vós, durante o habitual número de anos, uma torrente vinda do céu, semelhante a uma doença, e apenas deixa entre vós os analfabetos e os que são estranhos às Musas; de tal forma que nasceis de novo, do princípio, tal como crianças, sem saber nada do que aconteceu em tempos remotos, quer aqui, quer entre vós.” (Platão, 2011, p. 84, negrito nosso)

Com esta consideração do Timeu, o ateniense anexou de modo fulcral o arquitetónico Egípcio à escrita, e estas duas subsequentemente à preservação, habilitando de modo velado o entendimento às múltiplas camadas inter-articu- ladas onde “o matemático” via o “mimético” estava em operação no arquite- tónico (apud Dodds e Tavernor, 2002, p. 41). Presença que a seu termo inferia um determinado nível de coerência compositiva ao todo constitutivo, trilho que subsequentemente cristalizava uma assaz compreensão ao “calibrativo” e o “har- mónico” que o impulsionava para lá da rigidez do “simétrico”.

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Figura 4. Teto astronómico do salão Hipóstilo do Templo de Hátor, em Dendera. (Mikael, 2011)

Num primeiro momento com a ajuda da cristalização a esta passagem Pla- tónica por parte de Proclo10, compreendeu-se, que quer o erigir da edificação, quer o ‘ortografar’, a primeira por meio da adequada estereotomia, a segunda através do grafar no bloco, opunham-se ao decaimento, e por isso à destruição. Como refere Proclo:

“o mais sagrado dos templos é o universo, no qual os princípios formais que conservam o todo estão eternamente fixados, a inscrição de acções ances- trais nos seus templos envolveria a representação de uma imagem da sub- sistência do universo” Proclo, Comentário ao Timeu (Proclus, 2007, p. 219, tradução nossa e negrito nosso)11

10 Proclo foi um filósofo neoplatónico do século V d.C, tem um extenso corpos filosófico direcionado a comentários meticulosos das obras Platónicas. 11 Citação original: “If then the most sacred of temples is the cosmos, in which the formal principles that conserve the All are eternally fixed, the recording of ancient deeds in their temples would involve an image of the conservation of this world.” (Proclus, 2007, p. 219)

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Figura 5. Esculturas e pinturas hieroglíficas nas paredes interiores do Templo de Hátor em Dendera. (Kokhanchikov, cop. 2018)

Era por ambas firmemente resistirem e de reiterarem o que nelas tinha sido imbricado, que continuamente combatiam o oblívio provocado pelo tempo. A interrogação que se assomou foi precisamente, a natureza daquilo que fora nelas imbricado, e com isto habilitado a repetir? Proclo refere, precisamente a “representação de uma imagem a subsistência do universo” (Proclus, 2007, p. 219, tradução nossa). Tendo em mente o conceito Aristotélico de Poesia, como representação de uma estrutura de cadências e nexos causais de necessidade e verossimilhança, quando no seu tratado poético expressa:

“[manifesta-se] que não é ofício do poeta narrar o que aconteceu; é sim, o de representar o que poderia acontecer, quer dizer: o que é possível segundo a veros- similhança e a necessidade” Aristóteles, Poética (Aristóteles, 1979, p. 408)

Com o esclarecimento aprovisionado por Proclo conjugado precisamente com a ideação Aristotélica de poesia, agora referida, compreende-se de forma proemia, que o que ficara imbricado no arquitetónico era nada se não poesia. Era esta natureza poética se constituía como fundamental para o todo compositivo, pois como poética, de modo imperativo, se deveria constituir de forma regrada. Adicionalmente o comentador neoplatónico, a respeito da consideração Platónica, cristaliza-nos que esta dimensão poética, não assentava meramente na corporificação possuir encravações literárias, ou nas mesmas se constituí- rem como poéticas em sentido pleno, por representarem as estruturas e os nexos causais, quer do cosmos, quer da ação humana (Hendrix, 2013, pp. 26-27).

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Figura 6. Sobreposição da fisionomia humana (esquerda) (Lubicz, 1998, p. 661) e do cavername (direita) na estrutura do Templo de Luxor, em Karnak. (Rossi, 2004, p. 200)

De facto, esta também não se esteava meramente na constituição da edi- ficação acolher de modo simbólico tanto a economia supra lunar, assim como organicidade do corpo (Gadalla, 2000, 2016), através da translação dos liames constitutivos dos mesmos na sua morfologia (Hendrix, 2013, p. 21), ou mesmo de igual modo se fundamentar em progressões matemáticas e neste sentido se aproximar da conceção de ‘analogia’ acolhida por Vitrúvio (Lima, 2015; D’Agostinho, 2012; Vesely, 2002). Antes tanto corpo delimitador do espaço arquitetónico, como as ortografias poéticas da superfície da compleição, constituam-se como poéticos num sentido especial, por fornecerem o lugar e estruturarem o espaço onde a liturgia era acolhida (Kirby, 2008, p. 64; McEwen, 1993), ela mesma uma urdidura mimética dos ciclos e nexos causais do universo, e por isso, constituindo-se como poética em plenitude. Liturgia ela mesma, ao qual as inscrições superficiais, quer como poesia, quer como decoro se encontravam calibradas (Hendrix, 2013)12.

12 Este sentido poético nunca desconexo dos próprios detalhes e entalhes poéticos, pois como encravações superficiais no corpo delimitador, habilitam por meio do convir das suas diferencialidades o assomar do espaço arquitetónico, espacialidade em si capaz por meio da sua ambiência ser expressão, já estas inscrições como expressão poética calibram-se nos detalhes e decoro à atividade humana (Cockerell, 1843).

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Tendo agora ainda que de modo sucinto e parcial a conceção Platónica do arquitetónico, entende-se com maior segurança porque Dilador Vesely refere:

“A arquitetura representa o modo de corporificação mais elementar que permite que os níveis mais articulados da cultura, incluindo números e ideias, se situem na realidade como um todo. A forma na qual a estrutura primária da arquitetura determina a estrutura da escultura, pintura, linguagem e, eventualmente, a estrutura das ideias não pode ser aqui discutida com o detalhe adequado. Mas bastará referir, o que livro é para a literacia, é a arquitetura para a cultura como um todo.” (Vesely, p. 41, negrito e tradução nossa)13

Figura 7. Inscrições hieróglificas de um Templo egípcio em Luxor (Kuoni, cop. 2018).

Era, pois, o poético do arquitetónico que o assentia como belo, e como belo integro (D’Agostinho, 2012, p. 106). Assim, como era o arquitetónico do poético que o habilitava como expressão digna. Como referia Aristóteles, “Não há outra via além da verossimilhança para produzir o maravilhoso” (Poética, 1979). Era em prol deste intento poético com a sua integridade particular que todos os constituintes por meio ‘proceduras’ e ‘harmonizações’ teriam de se polarizar (Hansen, 2006).

13 Citação original: “If we accept that the hierarchy of reality is articulated in a precise proportional manner as a world, then we may be able to describe the process as the architectonics of embodiment in which architecture itself plays a very important role. Architecture represents the most elementary mode of embodiment that enables the more articulated levels of culture, including numbers and ideas, to be situated in reality as a whole. The way in which the primary structure of architecture (architectonics) determines the structure of sculpture, painting, language, and eventually the structure of ideas cannot be discussed here in further detail. Suffice it to say that what a book is to literacy, architecture is to culture as a whole.” (Vesely, 2002, p. 40, negrito nosso)

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Figura 8. Pilone do templo de Medinet Habu com as suas encarnações calibradamente desorganizadas https://www.padfield.com/egypt/habu-temple/index.html

Também Píndaro, almejando a essência da sua própria expressão lírica no preâmbulo da Olímpica VI, enleia a sua urdidura poética ao arquitetónico, ao comparar uma fachada à sua poesia, quando declamou:

“Firmemos as colunas douradas do edifício no átrio de paredes fortes, como se de esplêndido palácio se tratara. No começo da obra, deve erigir-se uma fachada, que de longe fulgure”

Píndaro, Olímpica VI (Píndaro apud Pereira, 1963, p. 157)

Aqui, como em muitas outras composições, o lírico tebano tivera aludido para a imperatividade de tanto a arquitetura como a poesia se constituírem de modo conspícuo na sua expressividade (Porter, 2013, p. 12). Implícito estava, de igual modo, a delimitação da composição nos seus liames constitutivos a uma determinada circunstância. No labor poético, tal como no fazer arquitetónico, era da maior conveniência um zelo para com as partes constituintes e detalhes de modo que a composição se assomasse como inequívoco num contexto14.

14 Aqui contexto, refere-se, claro está à implícita relação subjacente que implica priorizações

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É aqui que o Sufista de Platão nos fornece elementos adicionais. Nele, assim como em outros, o filósofo ateniense infere a destintos modos linguísticos, diferentes e latentes conceções da arquitetura com a sua constituição própria. Ao discurso filosófico, palestrante, detalhado, sem um cometimento submisso ao especular, foi hermeticamente associado pelo Ateniense à generalidade da arte Egípcia, estática e monolítica (Oliveira, 2014).

Figura 9. Maison Carré, em Nîme (Lima, 2015, p. 174), à esquerda. Figura 10. Maison Carré, em Nîme (Lima, 2015, p. 174), à direita.

Já a retórica do sufista, dirigida a grandes plateias, era comparada a obras magnânimas, por exemplo como Parthenon, deformadas e harmonizadas quer na sua constituição, diga-se ordem e simetria, assim como em talhe, a quem o contempla-se a uma certa distância, de modo a emergir restituída, clara e distinta (Platão, 1972; Cockerell, 1843). Como Platão enquadra a questão:

“[…] não é o que se verifica com os que modelam ou pintam obras monumentais. Pois se quiserem reproduzir as verdadeiras proporções do belo, sabes mui- to bem que as partes superiores parecerão menores do que o natural, e maiores as de baixo, por contemplarmos umas de longe e outras de perto.” Platão, Sufista (Platão, 1972, p.102, negrito nosso)

e polarizações próprias de uma composição calibrada à expressividade conspícua. Destas privilegiações destaca-se por exemplo a inter-relação entre contemplador com a suas determinações próprias e a composição de contemplação.

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Assim, de modo a que a restituição tivesse consecução, as relações internas da composição tinham de ser calibradas, quer por meio de cuidadas deforma- ções, quer por meio do adequado entalhe, harmonizações tais que assentiam à obra na sua abrangência e diferencialidades fosse tomada como um todo coerente, o detalhe excessivo passaria despercebido, o parco arruinava no sentido inverso à perceção da totalidade da composição (Hansen, 2006). Neste contexto, tanto as deformações, como o décor deveriam harmonizar a cada circunstância, de modo a produzir o efeito pretendido. Esta harmonização estrutural e expres- siva, tinha assim de ser antecipada por meio do engenho ponderador da calibra- ção, a fim de produzir a restituição adequada conjuntura especifica. Este sentido de arquitetura, como estabelecimento de uma anamorfose situacional, constitui- -se sem dúvida como intento régio15 do labor arquitetónico já desde os tempos de Vitrúvio, Geminus, Filão de Bizâncio ou mesmo Platão (Lima, 2015, pp. 136-146; Cockerell, 1843, pp. 267-268).

Figura 11. ‘Icanos’ enquadrado pelo Propileu (Nelly, 1930), à esquerda. Figura 12. Ponto ‘eusinóptico’ da construção da anamorfose (Jori, 2014, p. 22), à direita.

Presente aqui estava pois, que esta contemplação integra não implicava uma qualquer distância, mas a correta distância. A harmonizada claro está as

15 Filão de Bizâncio três séculos antes Vitrúvio, sintetiza o intento por parte do arquitetónico em prol do simulacro, ou das construções de anamorfoses quando refere: “algumas das partes individuais de uma construção, embora fossem de fato de mesma espessura e alinhamento, parecem não possuir nem mesma espessura, nem mesmo alinhamento, porque nossa visão é enganada nessas questões por diferenças de distância. Então, por tentativa e erro, adicionando e subtraindo dos tamanhos, por estreitamentos, e por toda sorte de experimento, eles as fazem [as partes] em concordância com a visão (euruthma phenomena) e bem modeladas em sua aparência; pois este é o objetivo naquela arte.” (apud Lima, 2015, p. 141, grifo e negrito nossos)

162 As fórmulas na arquitectura Temporal Formulas circunstâncias. À posição de onde a composição adquira congruência, Platão designava de ‘icanos’ (Hansen, 2006). Já Aristóteles iria designar de ponto de conformação ‘eusinóptica’ (Cockerell, 1843, p. 267). Como posições privilegiadas, de onde as obras no seu desvelar rítmico das inequalidades se relevavam como integras, habilitando assim uma contemplação totalitária, polarizavam o espaço apartando-se de meras monoliticidades, devendo antes ser ideadas como instau- radoras de uma dimensão arquitetónica em si (Cockerell, 1843). De resto, sentido arquitetónico este atinente a todas as composições artísticas possuidoras de um determinado intento expressivo.

Figura 13. Conformação e inscrições do Templo Mortuário de Ramsés III, Medinet Habu, a um ponto de anamorfose (BADAWY, 1969, p. 22) Figura 14. Inscrições e encravações superficiais do Templo Mortuário de Ramsés III, em Medinet Habu, calibradas à perceção. (TravelPlusStyle, 2016)

Similarmente as enformações helénicas calibradas, também certas edifica- ções monumentais egípcias do novo império o faziam, quer o templo de Luxor em Karnak, quer o templo Mortuário de Ramsés III em Medinet, tanto através da sua estrutura, assim como das suas ortografias poéticas inscritas na superfí- cie (Badawy, 1969, p. 22), instigavam priorizações localizacionais, por meio do recurso à ‘arte ilusionista’, vicária daquela ‘fantástica’ Helénica (Badawy, 1968, 1969). Polarizações, claro está, possíveis pela cuidada escolha de entalhes e di- ferenciações, quer por meio de desarmonizações ponderadas quer mesmo por inversão de harmonizações.

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Figura 15. Construção da anamorfose do templo de Luxor em Karnak a partir do precinto de Amun Rá (Badawy, 1969, p. 20)

Tal como o poético com o seu arquitetónico, assim como arquitetónico com o seu poético, no seu assomar próprio e harmonização a privilegiações espaciais, mais do que terem de abarcar considerações constitutivas introversas, teriam de contemplar na sua constituição e desvelar expressivo, ‘relações’ espaciais que num primeiro momento poderiam não parecer mais do exogeneidades, mas que antes se consti- tuíam como parte integrante da sua integridade (Hansen, 2006; Cockrell, 1843). A poesia tal como a arquitetura, assim como a sua inter-articulação (Hahn, 2012, pp. 121-122), mais do que se apresentarem como constituições, assomam-se como ‘ins- tituições’. É agora, depois de se ter assomado todo este fundamento inicial, que se deve regressar a preceptística Aristotélica a fim de providenciar precisamente por meio da construção poética acrescidos esclarecimentos ao seu correlato ar- quitetónico, cristalização que acresce detalhe à natureza ‘harmónica’ e ‘escalar’ da instituição arquitetónica. De facto, o arquitetónico, particularmente o templar Períptero, poderia ser ideado como poesia helénica corporificada (Hahn, 2012, pp. 121-122; Jones, 2008; Eckerman, 2014, p. 21, p. 62). Mais uma vez, agora numa formulação mais completa, Aristóteles evoca a metáfora orgânica compositiva, nestes termos:

“Além disso, uma coisa bela — seja um animal seja o que se compõe de partes, precisará não somente de as ter ordenadas, mas também de ter uma dimensão que não seja ao acaso: a beleza reside na dimensão e na ordem e, por isso, um animal belo não poderá ser nem demasiado pequeno (pois a visão confunde-se quando dura um espaço impercetível de tempo), nem demasiado grande (a vista não abrange tudo e, assim, escapa à observação de quem vê a unidade

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e a totalidade), como no caso de um animal que tivesse milhares de estádios de comprimento. E assim, tal como em relação aos corpos e aos animais é ne- cessário que tenham uma dimensão que possa ser abrangida por um só olhar (eusinopton) […]” Aristóteles, Poética (Aristóteles, 2008, pp. 151-152, negrito nosso)

Desta evocação zoológica, um termo assomou-se balizar para toda a conceção ocidental de arte, nada se não o ‘eusinóptico’ (Cockrell, 1843). Tradicionalmente traduzido de forma pouco elegante como “visão de conjunto”, ou “o que se deixa abarcar com um olhar”. Locução imbricada numa complexa conjuntura, de resto irredutível quer à visualidade, quer a espacialidade (Cockerell, 1843, p. 267)16. Foi precisamente esta referência zoológica compositiva por parte de Aristóteles que nos interpelou no trilho da sua preceptística literária como meio para o escrutínio das ‘regras compositivas’, de clara maior instanciação prática, fruto das expressas vinculações arquitetónicas (Purves, 2010, p. 24-64).

Figura 16. Fresco em Pompeia da cidade de Estábias enquadrado numa cena de forma ‘eusinóptica’ (Coarelli, 2002)

16 A Irredutibilidade assenta na dimensão temporal imbricada nesta passagem Aristotélica na qual o ‘eusinóptica’, é pois neste sentido, que este termo deveria antes ser ideado, diga-se, como ‘o que se desvela e se deixa abarcar na totalidade constitutiva num único momento’. Locução claro está imbricada numa complexa conjuntura, espaço-relacional, e acima de tudo temporal apartada de qualquer simplicidade (Cockerell, 1843, p. 267).

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As vinculações espaciais, bem como composicionais, e por isso, de igual modo arquitetónicas, presentes nesta passagem, como em muitas outras conside- rações aos preceitos literários, habilitavam a compreensão ao análogo arquitetó- nico do poético apropriado (Hahn, 2012). Não só Aristóteles vinculou o arquite- tónico ao poético, como de facto o coligou com a Ilíada, fazer paradigmático para a conceção artística ocidental. Construção poética urdida axipetamente a um princípio uno, e completo, bem como escalada em detalhe e amplitude a deter- minações. O filosofo, conceptualizava as construções literárias, como possuindo características físicas, enleava a apropriada construção literária, a cidades, está- dios, pinturas, e claro está a animais com uma determinada compleição, perce- cionados na sua totalidade constitutiva, isto é, ‘eusinópticamente’ de uma certa distância. Neste sentido tal como Platão, imbricou toda uma enleada conjuntura de relações a ter de estar contempladas de modo integrante na estrutura poética e por inferência no arquitetónico (Purves, 2010, p. 24-64). Das relações próprias da condição ‘eusinóptica’, derivou-se num primeiro extrato aquilo que se poderia idear como uma ‘teoria geral da estética Helénica’. A polarização em relação a percetibilidade em detrimento das propriedades formais a isto nos solicitava. Pois, por mais que o estagirita intenta-se uma descrição objetiva da totalidade e unidade formal da obra de arte, desde logo, tornava-se claro que o seu interesse não residia completude inteireza estrutural em si, mas como estas se apresentavam à visão (Porter, 2008, p. 294). Com tal priorização derivavam-se ‘relações escalares’ (Cockerell, 1843), em particular entre obra e contemplador (Gage, 2011, pp. 45-46), de onde, três modos de julgamentos es- téticos se assomaram, entre eles, o belo e o sublime17 (Puls, 2006, p. 143), o belo em relação à edificação Helénica harmonizada à perceção, já o ‘sublime’18, à arquitetura colossal Egípcia (Hegel, 1892, p. 153), descalibrada na sua magnitude á percepção totalitária, isto é, ao ‘eusinóptismo’ (Cockerell, 1843, p. 268). Relativamente ao ‘gracioso’, a compleições com um talhe parco, ainda que possuindo coerência harmónica – e por isso simetria - não habilitavam a perceção da sua unidade orgânica de modo imediato. Como refere na ética; “a magnanimidade implica

17 “Quando a construção é menor que o mundo do contemplador (que Aristóteles identifica com o proprietário), nos defrontamos com o gracioso” (Puls, 2006, p. 143). Mauricio Puls, de modo pertinente, identifica três modos de julgamentos estéticos em Aristóteles. Quando o objeto de contemplação, por exemplo uma edificação, é menor que o mundo do contemplador, ou dito de outro modo, o campo visual do perscrutador, o estagirita identifica como ‘gracioso’. Quando a edificação é enquadrada de modo coextensivo ou equivalente com o mundo do contemplador, tem-se o ‘belo’. Já no extremo oposto, quando o espectador se depara com uma edificação que ultrapassa o mundo particular do contemplador, diga-se, o seu campo visual, por exemplo como os grandiosos templos de Luxor e Karnak, Aristóteles qualifica de sublime, ou melhor, de colossal (Puls, 2006, pp. 142-143). 18 Já o ‘sublime’, aqui não no sentido original dado por Pseudo-Longino, mas no sentido da experiência da colossalidade.

166 As fórmulas na arquitectura Temporal Formulas grandeza do mesmo modo que a beleza implica uma boa estatura, e as pessoas pequenas podem ser graciosas e bem proporcionadas, porém não belas” (Aristóteles apud Puls, 2006, pp. 142-143). Compreende-se de modo latente a exclusão por parte do estagirita da ‘simetria’ como critério suficiente para a obtenção do belo. Foi aqui que emergiu uma consideração assaz basilar do parâmetro constitutivo do ‘eusinóptico’, vinculado com uma dimensão temporal, ou melhor, daquilo que poderia ser entendido como uma ‘estética da temporalidade’. De um desvelar expressivo harmonizado19. Assomar que assentia precisamente a posi- ções privilegiadas a contemplação da composição de modo íntegro, em que qualquer desvio desta ‘harmonização temporal’ deteriorava a consecução do belo e por isso da unidade de acordo com a ideação Helénica (Cockerell, 1843, p. 268; Porter, 2008, p. 294). A diferença por exemplo em Aristóteles relativamente ao já referenciado em Platão, é a expressa exaltação do tempo como critério para a consecução da apropriada composição. Algo que só de modo obliquo poderia ser inferido tanto em Platão, ou mesmo Vitrúvio (Pérez-Gomez, 2006, p. 72; Pérez- -Gomez e Pelletier, 2000, p. 98-103). Também era uma ‘temporalidade escalar particular’ que assentia a estruturas colossais o seu carácter expressivo, tanto o ‘templo de Luxor’, ou a colunata de Palmira jugavam e manipulavam de modo cuidado o seu desvelamento numa temporalidade não calibrada a fim de convergir a sua supinidade de modo regrado, apartando-as de ‘colossalidades monolíticas’. Isto é, como colossalidades definidas como meras ‘temporalidades desproporcionais’ (Cockerell, 1843, p. 268). Este tipo de ‘temporalidades’, asseverava espaços com liames espaciais implexos, e por isso mais próximos da conceção Helénica de espaço (Jori, 2014).

19 O Desvelar expressivo harmonizado é o que Geminus de Rodes, um contemporâneo de Vitrúvio infere ao labor arquitetónico quando expressa; “A cenografia, enquanto parte da ótica, busca traçar com pertinência as figuras (τὰς εἰκόνας) dos edifícios. Pois, uma vez que as coisas não são tal como se mostram (φαίνεται), não se vê os ritmos próprios e intrínsecos (ὑποκειμένους ῥυθμοὺς), mas tal como exteriormente se afiguram ao desempenharem seu papel. A finalidade do arquiteto é fazer a obra mostrar-se (τὸ πρὸς φαντασίαν) eurrítmica (εὔρυθμον) e a sua tarefa permite, o quanto é possível, descobrir remédios para os enganos dos olhos, não com vistas às eurritmias correspondentes às verdadeiras, mas aos olhos. (ἀλήθειαν ἰσότητος ἢ εὐρυθμίας) Assim, faz mais largas as colunas cilíndricas, porque pareceriam cortadas na região média, estreitando-se aos olhos. Vê-se que há um círculo, quando não se traçou um círculo, mas um tronco de cone elíptico, e se vê um quadrado quando se traçou um paralelogramo, e colunas de diferentes grandezas em outras relações proporcionais, quanto ao número e magnitude. Tal é o princípio segundo o qual o escultor de colossos confere simetria aparente (τὴν φανησομένην συμμετρίαν) à compleição final [da obra] eurrítmica aos olhos, sem trabalhar em vão pela simetria essencial (κατὰ τὴν οὐσίαν σύμμετρος). Pois a obra não é assim, ao se mostrar, (φαίνεται) disposta em grande altura.” (apud Lima, 2015, p. 136)

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Figura 17. Flexões espaciais do templo de Luxor em Karnak e o seu contexto com o precinto de Amun Rá. (Badawy, 1969, p. 20), à esquerda. Figura 18. Eixos polarizadores ‘eusinópticos’ do ritual e da organização do santuário. (Urmǎ, 2008-2009, p. 7), à direita.

Compreende-se agora com maior sagacidade, porque mais do que se ter de idear as fórmulas e o ‘deformo’20 vitruviano (Madge, 2006) – diga-se as restitui- ções - em termos constituições regradas e harmonizadas, quer em prol da ordem representativa da ‘unidade orgânica’, quer da apropriada integridade arquite- tónica em termos espaciais. Antes, de modo intrínseco às relações próprias da constituição arquitetónica, estava a complexa questão do ‘tempo’ como fulcral na sua instituição. O ‘tempo’, e em particular o ‘tempo harmonizado’ por meio de uma ‘esca- lação temporal’ constituía-se assim, como critério ou elemento assegurador - na conceção Helénica - não só da boa unidade orgânica compositiva, mas assaz relevante das privilegiações espaciais e por isso da dimensão arquitetónica instau- rada, tanto pela poesia, como pela edificação. Compreendia-se, pois, com maior sagacidade que o tempo coma sua “escala”, estruturava o espaço. “Escala”, neste contexto assomava-se como estruturadora da espacialidade. Ordem, simetria e ‘escala’ da composição eram fundamentadas em ‘escalas temporais’. ‘Escalas’ estas determinadas por restrições e polarizadas por conceções, que deveriam ser ideadas como “fórmulas temporais”.

20 Aqui deformo naquele sentido presente no ‘De Architectura’ onde as conformações seriam ordenadas pelo juízo ponderador da deformação restituidora, a ser contemplada de um “ponto de vista calculado como construção de uma anamorfose” (Hansen, 2006, p. 122), isto é, deformo, deformação como “desproporção proporcionada” (Hansen, 2006), calibrada claro está conforme referido a um situação onde a edificação se assomasse como integra, diga-se restituída com a ideia da mesma.

168 As fórmulas na arquitectura Temporal Formulas

Muito mais atinente ao “escalar” no sentido temporal estava em jogo, mas tal cometimento não pode ser aqui perseguido. Bastará dizer, que o tempo que o estagirita estava a adereçar, não se engajava primeiramente com o tempo vinculado à expressão, ou no caso do arquitetónico à precintação, mas antes com o enredo, ou a estrutura dinâmica a volta do qual toda a composição tem atinência e se constitui como a ‘alma’ da composição (Purves, 2010).

Figura 19. (Urmǎ, 2008-2009, p. 7), à direita. Declinações e desvelamentos rítmicos do Templo de Luxor em Karnak. (Adulyatham, cop. 2003-2018)

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FROM CLASSICISM TO MODERNITY ARCHITECTURE, MATHEMATICS AND BEAUTY

Sylvie Duvernoy Politecnico di Milano – Dipartimento DASTU, Milano, Italia

Abstract: This paper attempts at inquiring the evolving nature of the relationships between architecture and mathematics. Indeed, the ancient classical link has few in common with Sylvie Duvernoy what we experience today. But this evolution cannot be attri- Is a French architect, graduated at buted only to the progress in knowledge along the ages, whe- Paris University in 1982. ther in philosophy, art, sciences, or technology. It stems from She was admitted to the Ph. D. program of the Architecture the changing and evolving commitment and meaning that School of Florence University and both mathematicians and architects, each on their own side, was awarded the Italian degree of have put into their work, and also to the intellectual approach “Dottore di Ricerca” in 1998. She actually teaches architectural at the base of their professional researches and challenges. drawing at the Politecnico di In addition, the ancient relationship between mathematics Milano, and architecture was built on a common sense of a certain and at Kent State University (for the Florence Program). beauty that evolved in time, and we can wonder what kind of The researches brought along since inheritance is left today. the beginning of the post-graduate studies, mainly focus on the reciprocal influences between graphic Keywords: Geometry; Arithmetic; René Descartes; Gaspard mathematics and architecture. Monge; Mathematical beauty; Architectural beauty. She is actually contributing editor (for book reviews) of the Nexus Network Journal: a peer-reviewed journal about relationships between mathematics and architecture, and co-organizer of the Nex- us biennial conferences. After having worked for a few years in the Parisian office of an international Swiss architecture firm, she has been partner of an associate office in Florence for 30 years.

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Introduction

In Classical antiquity, together with astronomy and music, geometry and arithmetic were two of the four liberal arts (the noble disciplines that only free men could study) and the two main branches of mathematics. Both were disciplines that relied on visual representation for problem solving and didactic demonstration [Duvernoy 2018]. In Pythagorean arithmetic, numbers were shapers 1. They were linear, planar (square, polygonal) or solid (cubic, pyramidal). We still today speak of “figurate quantities” when we speak of ancient Greek geometry. Irrational quantities, drawn as linear magnitudes, were made visible and could be precisely quantified by comparing them respect to a known length, drawn in the same scale of representation. The most famous example of irrationality and incommensurability is the question of the diagonal of the square and the irrational magnitude of √2. Plato’s Meno dialog is the best explanation of the approach to mathematics through visual observation. In this dialogue, Socrates teaches mathematics to an unlearned slave, and in so doing he demonstrates the potential of graphic representation in the development of knowledge and science. The figure illustrating the graphic solution to the duplication of the square, a visual image or sensible object, allows anyone to become aware of the intelligible relationships between opposing quantities, and to figure out his or her own conclusions regarding the obvious evidence. Senses and sensorial perception are common to mankind. The capacity to observe and understand is innate and latent in anyone and does not come from a cultural privilege or a high level of education. In order to learn and progress in conscious knowledge, it is sufficient to exercise one’s natural skills. The education of the neophyte or the methodology of the scientist need only concentrate on how to observe.

Socrates, in showing the figure, does not give the conclusion, because to see the figure, as a mathematical figure, actually means knowing how to look at it, how to read it, in short how to think it. [Caveing, 1996]

It is notable that most of the propositions that Euclid includes in the thirteen books of the Elements are demonstrated through graphics, whose interpretation requires the visual comparison of figurate quantities. The accompanying text to each diagram guides the learner in the sensitive reading of the scheme, in the tangible evaluation of the entities, and in the appraisal of their perceptible equalities, complementarities or differences.

1 In the sense that Lionel March applies to the expression in his essay «Architectonics of Humanism: Essay on number in architecture».

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Visual perception, as a research methodology was developed independent- ly from the ability and capacity to draw the exact shape of the mathematical objects. Greek mathematicians were unable to draw volumes in 3D. The three last books of the Elements by Euclid which deal about solid geometry and, in particular, inquire the properties of the five platonic solids, are illustrated by 2D graphics and a few very awkward 3D figures. The images illustrate in a very simplified way what the problem was and especially what was its solution. However the achievements made in classical antiquity and the progress accomplished need not corroboration by modern calculation techniques. The results coming from ancient Greece have proven to be of a high degree of precision. One of the tricky problems of solid geometry in classical antiquity was the duplication of the cube. Many solutions were worked out by the most famous mathematicians of the time. Some of them involved the construction of new drafting tools, thanks to which the drawing of special curves was made possible. For example, the solution by Nicomedes makes use of the conchoid: a curve that he invented and whose properties he described. Nicomedes also designed the instrument that would make it possible to draw the curve. Same thing for the cissoid curve invented by Diocles, for the same purpose. The most astonishing (beautiful?) solution to the problem is the one by Archytas of Tarantum who envisioned the intersection of three solids: a torus, a right cone and a cylinder. The intersection of the three surfaces of revolution determines a point which is the sought-after mean proportional between two given lines. None of these three solids could easily be drawn on paper, let alone their intersection. So we may assume that Archytas used models while studying, and he later devised a simplified graphic image to explain his calculation to posterity. Many posthumous scholars have tried to improve the graphic image, to increase its communicative efficacy, but the computation itself did not need any improvement in accuracy, because it was exact.

Figure 1. Solution to the duplication of the cube by Archytas of Tarantum. [Heath 1981]. Note that the three solids: torus, cone and cylinder do not show.

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Beauty in ancient mathematics

In ancient mathematics, some special numbers and geometric shapes are considered to be beautiful. The concept of beauty is connected to the concepts of order and symmetry.

…they are in error who assert that the mathematical sciences tell us nothing about beauty or goodness; for they describe and manifest these qualities in the highest degree, since it does not follow, because they manifest the effects and principles of beauty and goodness without naming them, that they do not treat of these qualities. The main species of beauty are orderly arrangement, proportion, and definiteness; and these are especially manifested by the mathematical sciences (Aristotle - Metaphysica, 13-1078a.)

Order is obtained when shapes are regular. Equilateral, equiangular shapes are regular shapes, and therefore beautiful. In modern terms we would say “simple”. The square is the paradigm of order in planar geometry. The squaring of an irregular shape is a recurrent procedure in Greek geometry, and Euclid shows in the Elements how to transform any triangle and any quadrangle in perfect squares without altering the dimension of their areas. The squaring of many figures makes it possible to compare them, and to appreciate visually (in addition to calculate) their different sizes and numerical properties. Symmetry is not only a graphic concept linked to reflection in respect to an axis, but it is an arithmetical concept of commensurability and/ or similarity of proportions and proportional ratios. The beautiful shapes are those whose various dimensions, expressed in natural integers, are all commensurable between them, because they share a common divisor, i.e. a common unit. Mathematical utmost beauty is achieved when arithmetic and geometry combine to describe special shapes. The paradigm of order and symmetry is the so-called “Pythagorean” triangle. The Pythagorean triangle is defined both by its geometrical shape which is a rectangle triangle, and by the dimensions of its sides which are natural integers and the squares built on its sides are also commensurable between them because the sum of the two lesser ones gives the square on the hypotenuse. We thus have a double commensurability of the sides and of the squares on the sides. Only some triplets of natural integers can produce this double commensurability and triangles drawn and built with these numbers as- signed to their sides are all going to be rectangle triangles. Plato speaks of mathematical beauty in absolute terms. Both geometrical shapes and proportional systems may be beautiful. In the Timaeus he states that the rectangle triangle which comes from halving the equilateral triangle is the most beautiful of all triangles, the regular polyhedra are the fairest of all bodies, and the geometrical proportion is the most beautiful of all.

178 As fórmulas na arquitectura From classicism to modernity

Figure 2. Conic curves and Roman architecture: the ellipses of Pompeii’s amphitheatre geometrical diagram. Unknown designer. Built in 80 B.C. [Duvernoy 2006] (drawing by author)]

Architecture and mathematics in Italian Renaissance

The concept of beauty in mathematics has been transmitted from classical antiquity to Renaissance architects mainly through Vitruvius treatise De Architectura Libri Decem. Built monuments and architecture treatises that have been produced from the Fifteenth century on, show how this concept was applied to design. Referring to Pythagoras’s musical theory Leon Battista Alberti (1404 –1472) states that the same numbers that are able to produce delightful music can also produce beautiful architecture and pleasure to the eyes [Alberti 1988]. Also, by stating that the favourite shape of nature is the circle, he suggested that temples should be designed on polygonal diagrams and therefore set off the typology of centrally planned churches. Renaissance humanists also included in the many mathematically beautiful items the peculiar proportion that Euclid used to name the “extreme and mean ratio”. Euclid gives the definition of “extreme and mean ratio” at the beginning of Book 6 of the Elements (definition number 3) and he gives the rule of how to divide a line in extreme and mean ratio in Book 6, proposition XXX. In Euclid’s

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day, this proportion was only a necessary calculation tool to define the ratios between the various sides of the five regular polyhedra inscribed in a sphere, which are linked by different kinds of incommensurable relationships. Around 1509, the mathematician Luca Pacioli (1445–1517) wrote a full treatise dedicated to the “extreme and mean ratio” entitled De Divina Proportione. In this book he explained at length the thirteen properties of this special proportion, each being highlighted by an epithet such as “bizarre”, “wonderful”, “supreme”, “superb”, “incomprehensible”, “magnificent”, etc… No word was enough for him to describe this marvel of mathematics. Today the “divine proportion” is commonly named “the golden section” and its arithmetical value is the “golden number”, which is an irrational magnitude [Pacioli 1982]. It is surprising to note that no architectural treatise of the Renaissance lists the golden section among the beautiful proportions. However, there is evidence of its use in architectural design, showing that interactions between mathematics and architecture did exist beyond what is reported in the contemporary architectural literature. In fact, more than the literary sources, the extent and value of the relationship between architecture and mathematics in the Fifteenth and Sixteenth centuries have to be found in the analysis of built monuments. During the Renaissance many architectural treatises were written by the most prominent architects of the time, however the mathematical notions that they include in their texts are not many, and they do not inform us on how learned in mathematics the authors were. Most of the treatises start with some pages showing drawing tricks, standard calculation rules inspired from Euclidean geometry, and the list of the beautiful musical proportions. Those pages appear more as a selection of some “tricks of the trade” rather than a true theoretical scientific knowledge. Sebastiano Serlio himself (1475–1554 ca.) made a mistake while reporting how to draw an accurate perspective construction [Xavier 1997]. Even Leonardo da Vinci (1452 –1519), after having studied Euclid’s Elements under the guidance of Luca Pacioli claimed to have solved the problem of the squaring of the circle while instead, he did not. Many mathematical notions are included in the book by Alberti De Ludi Mathematicarum, a short booklet written at the request of the Duke Meliaduse d’Este, but those are, once again, only known tricks to calculate various quantities: distances, lengths, depths, speeds, etc… [Williams 2010]. The scientific theory between the compu- tations is not addressed. In the introduction to his book entitled Lives of the Most Excellent Painters, Sculptors, and Architects, Giorgio Vasari (1511-1574) explains that architecture is one of the “three arts of drawing” together with painting and sculpture [Vasari 1991]. The reading of the book indeed shows that most architects were also tal- ented painters or sculptors. Just like Vasari himself, many of them started their careers as painters before switching to architectural design: Donato Bramante (1444 –1514), Michelangelo Buonarroti (1475 –1564), Giulio Romano (1499 – 1546), etc…

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Figure 3. The Divine Proportion and Palazzo Uguccioni in Florence-Italy. Unknown designer. Built in the mid Sixteenth century. (drawing by author)

Piero della Francesca (1415-1492) was a Renaissance polymath. Equally trained in both disciplines, he is remembered both as painter and as a mathematician. Besides two books in mathematics (Trattato d’Abaco and Libellus de Quinque Corporibus Regularibus) he wrote the seminal book: De Prospectiva Pingendi, published in 1482 which is the very first scientific treatise where art and mathematical science meet to produce the theorization of perspective drawing.

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Architecture and mathematics in the Seventeenth century

A new approach to the relationship between architecture and mathematics appears in the mid XVIIth century with Guarino Guarini (1624-1683), the first scholar to write both a full treatise on mathematics and a treatise on architecture. His treatise entitled Euclides Adauctus et Methodicus Mathematicaque Universalis (published in Turin in 1671) of more than 700 pages written in Latin, is not only a commentary of Euclid’s Elements but a compendium of all the knowledge coming down from the Greek and Roman mathematicians, and the later researches by scientists of the following centuries, up to his day. In his book Guarini quotes and refers to a number of recent publications on specific mathematical topics. This treatise alone testifies to the extent of his knowledge in theoretical mathematics which goes much beyond the knowledge of any other Italian architect of the Renaissance and Baroque period. Two of his other writings deal with architecture, both written in Italian. The first is Modo di Misurare le Fabriche, published in 1674. The second, Architettura Civile, was left unfinished and published posthumously fifty years after his death, by Bernardo Vittone (1704 –1770). However, while Guarini is still studying Euclid, the French philosopher René Descartes (1596-1650) is opening the way to a modern mathematical science. Descartes marks a turning point in mathematical history. He would claim himself a philosopher, but his worldwide fame comes from mathematics. In 1637 he publishes in Leiden (Holland) the seminal treatise: Discourse on the Method of Rightly Conducting One’s Reason and of Seeking Truth in the Sciences, written in French. The “discourse” is completed by three appendixes entitled Dioptrics, Meteores, and Geometry, which are three case studies of the method for seeking truth in science. The one with which we are concerned is Geometry. It had to have a fundamental impact on the science of geometry. Today we all speak of “Cartesian space” “Cartesian axes” and “Cartesian planes” but this impact was far from being immediate. The new method for problem solving invented by Descartes was not fully understood by contemporary mathematicians and was fiercely criticized. In the booklet Geometry, Descartes takes Pappus problem as his first case study. This problem, also named “the four lines problem”, originated in the time in which Greek geometers were looking for a general solution to the trisection of any angle. The goal is to find point C so that the product of the distances from C to two of the given lines is equal to the product of the distances from C to the two other lines. The lines extending from C on which the distances are taken must cross the given four lines at constant angle. When only three lines are concerned, the product of the distances from C to two of the lines must be equal to the square of the distance from C to the third line.

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Figure 4. From Descartes, La Géométrie. Solution to Pappus problem. Original drawing and figure with superimposition of the “cartesian axes”. [Descartes 1996].

Descartes’ figure only shows the problem but does not give the solution. The solution is not drawn on the figure. So the modern reader in search for the very first drawing in which cartesian axes would actually be represented is going to be disappointed. No such thing happens here. The solution to the geometric problem will come from the carefully manipulated set of algebraic equations that are handed to the reader. Probably this explains why Descartes was severely rebuked by some colleagues such as Etienne Pascal (1588-1651), Pierre de Fermat (?-1665) and Roberval (1602-1675). The strength of the method and its capacity of problem solving was not understood immediately by all, and some historians of mathematics even suggest that it was not fully envisioned by Descartes himself. What is worth noticing however, is the switch from visual and graphic geometry to analytic geometry. Of course, algebra and analysis had started to be developed much before Descartes, but he was the one who made them universal. Descartes is not a “visual” person and asserts it by written. He is not afraid to say that the ancient Greek problem solving method through graphics is “tiring”.

The analysis of the ancients … is always so bound to observation of figures that it cannot exercise understanding without exhausting imagination [Descartes 1996] 2

2 In the original text: “L’analyse des anciens… est toujours si astreinte à la considération des figures qu’elle ne peut exercer l’entendement sans fatiguer beaucoup l’imagination.”

As fórmulas na arquitectura 183 Sylvie Duvernoy

With Descartes, mathematics becomes abstract. Being published in French the “Discours de la Méthode” could not be read by an international readership, so it was republished in Latin in Amsterdam in 1644 but this edition did not include the text on geometry. The first Latin translation of “La Géométrie” was released in Leiden in 1649, only one year before his author’s death. Who was the first to figure out that this method was based on the postula- tion of two coordinate axes (X and Y) having origin at point O… we don’t really know. Surely enough, the full theorization of Descartes’ geometric method came after his death. The modern notion of coordinate system as a starting point for geometric problem solving appears by written for the first time in the book Introductio in Analysin Infinitorum by Leonhard Euler (1707-1783), published in 1748. Leonhard Euler is also credited for having extended the method from 2D to 3D, adding the Z axis. Descartes cannot be credited for having invented algebra and analysis, that were inquired long before him, nevertheless mathematics changed from then on. Visual geometry was “discarded” in favour of analysis and abstraction. Sensorial perception was no longer the main tool for mathematical research.

Modern times

What sense of beauty such an approach to mathematical research will generate? And can this sense of beauty be shared with other scholars or researchers? In the seventeenth century architects and designers like Guarino Guarini were still referring to Euclidean geometry, the one that had always been a support of architectural design so far; both being visual disciplines. But gradually, modern mathematics would replace traditional geometry. Modern mathematicians still have a certain sense for beauty and elegance. Certain equations are considered “beautiful”, or some demonstrations are more “elegant” than others. Can those feelings continue to reflect in architectural design? In addition, the switch to abstraction and analysis unfortunately created a sort of hierarchical relation between mathematics and architecture, where architecture became an application field of mathematics. This new kind of relationship had already started to be claimed by some mathematicians. The French Jesuit Claude-François Milliet Dechales (1621–1678) wrote a textbook entitled Cursus seu Mundus Mathematicus which became quite influential. His textbook is a sort of encyclopaedia in four volumes in which the architecture topic is covered in 23 pages and reduced mainly to a list of the classical orders. Architecture and construction together cover 140 pages if we include the chapters on timber structures and stone cutting. This approach to architectural design indeed introduces a new approach to the relationship between architecture and mathematics. It suggests

184 As fórmulas na arquitectura From classicism to modernity that being learned in mathematics is a sufficient education to be able to design. This approach is indeed going to develop rapidly, especially outside Italy. The change is noticeable in Northern Europe where the men who became the most famous architects were actually trained in mathematical sciences, starting their careers as engineers, astronomers, geometers, etc… As such, they were considered to be able to solve any kind of problem including those related to architectural design. They were therefore appointed by the kings to design and build monuments. This was the case in France for François Blondel (1618–1686), or Claude Perrault (1613–1688). The former, who was an engineer and a diplomat, became a professor of mathematics, and a professor of architecture, at the French “Académie Royale d’Architecture” that he directed for some years. The latter was first and foremost a physician and anatomist, and was nevertheless asked to write a French translation of Vitruvius treatise. In the same years in England, the king asked Christopher Wren (1632–1723) - an acclaimed mathematician – to take care of the reconstruction of London after the Great Fire of 1666. His colleague Robert Hooke (1635–1703) was part of the task force. It was not before the turn to the Nineteenth century that a branch of mathematics returned to visual procedures, thanks to Gaspard Monge (1746–1818). Monge, born in France in the mid Eighteenth century, was a brilliant mathematician equally skilled in algebra, analytic geometry, and differential geometry. He had both an abstract and a visual intelligence. Unlike Descartes he could think in “numbers” as well as in “images”. Indeed he is credited for having theorized descriptive geometry: the science of graphic representation of 3D objects and 3D space through a system of multi-views. With some fellow French revolutionaries, he co-founded the famous Parisian engineering school, “Ecole Polytechnique”, in 1794. In the preface of the textbook that he wrote for his students, entitled Géométrie Descriptive, first published in 1799, he says:

… any analytic demonstration can be seen as the script of a show in descriptive geometry. [Monge, 1989] 3

The word “show” (“spectacle” in the French text) is particularly pleasing because it brings back the sense of awe and beauty that an image - more than a set of equations - can inspire to the scholar.

3 In the original text: … chaque opération analytique peut être regardée comme l’écriture d’un spectacle en géométrie.

As fórmulas na arquitectura 185 Sylvie Duvernoy

Figure 5. Two solutions to the same problem: draw a plane tangent to a given sphere passing through a given line. Monge says that the second solution is “much more elegant”, because more concise. [Monge 1989]

Conclusion

In the very abstract world of contemporary mathematics, the concept of mathematical beauty is not stated by scientists as clearly as it was in classical culture, and is therefore less easily shared. Today, when we, architects, use digital technology, computer aided drafting, visual programming language and other

186 As fórmulas na arquitectura From classicism to modernity contemporary mathematical design tools, how do we address the concept of beauty? Is there a mathematical beauty in the software that we use that we are aware of? Is there an architectural beauty in the products that software made possible? Is there still a common sense of beauty shared by mathematicians and designers or artists?

As fórmulas na arquitectura 187 Sylvie Duvernoy

Bibliographic references:

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Web reference:

Aristotle, 350 B.C.: Metaphysics: http://classics.mit.edu/Aristotle/metaphysics. html

188 As fórmulas na arquitectura TEATRO COMUNALE, FERRARA Geometry and layout: debate over the curve

Giampiero Mele Università degli Studi eCampus, Milano, Italia

Susanna Clemente Università degli Studi La Sapienza, Roma, Italia Giampiero Mele Architect, received his Ph.D. in Abstract: The Teatro Comunale was built in Ferrara at the “Survey and Representation of ar- end of the 18th century, at a time when modern theatre was chitecture and the environment” at gradually leaving the space of the Duke Court and Academy the University of Florence in 2000, and a Ph.D. in “Architectural and to become part of the urban fabric, shifting from representing Urban Design” from the Universitè the elite to turn towards wider communities. The models of di Paris 8 in 2004. Since 2014, he has Court theatre and public theatre with several levels of boxes been a Associate Professor at the Università degli studi eCampus, coexisted for a long time, until the complete codification of the and professor of descriptive geom- “teatro all’italiana”, of which the Comunale represents one of etry at the University of Florence, the clearest examples. Over time there have been several re- at the Politecnico di Milano and University of Ferrara. His fields of novations. However, the plan has never been strongly altered research are the relationships be- and has come almost intact to this day. This makes compari- tween geometry and arithmetic in son between measured survey, and available historical sour- historic architecture, and drawing in architecture and design. He has ces particularly significant and interesting. given talks at various conferences The construction of the Teatro Comunale, which lasted over in these fields, and is the author of a decade, started under the papal domination and ended at numerous papers. Faunder and President of IAMAI the time of the Cispadan Republic. Around 1786, at night, the (Intenational Association of Math- dwellings on the so-called Isola del Cervo were demolished, to ematics and Art –Italy). start the construction of a first project by Giuseppe Campana. However the built theatre follows the design by Cosimo Mo- Susanna Clemente relli, which includes several oval curves for the shape of other Architect and Engineer, is PhD in spaces such as the courtyard for carriages and the hall. His Architecture and Construction at La Sapienza University of Rome. design also recalls the neighboring oval church of San Carlo She participated with Brocchetta designed by Aleotti. in “Objects”, section of the 13th From the written sources we can see that the question over the Prague Quadrennial curated by Tomáš Svoboda. She recently won shape that the curve of the theatre cavea should have followed the call “Inhabited Landscapes”, has been intensely debated, in parallel with the measured sur- Italian Pavilion, 14th Architecture vey of the Ferrara Theatre and the analysis of the actual geo- Biennale, Venice, and the first edition of “Terme di Chianciano metrical layout. Garden Festival”with UnderWa- The comparison between the documents found at the Bibliote- terGarden. She collaborated with ca Ariostea archive in Ferrara and the data obtained from the Teatro dell’Opera di Roma for several scenic projects. She par- metric analysis allow us to state with absolute certainty that ticipated in World Stage Design the solution of the oval adopted in the construction of the Fer- 2013, Cardiff, and, as a member of rara Theatre is neither the one called AA nor the one called BB. the jury, in the second edition of the Rome Film Festival and for the prize David Giovani. Keywords: Theatre; Curve; Space.

As fórmulas na arquitectura 189 Giampiero Mele e Susanna Clemente

Geometry and Layout: debate over the curve.

The Teatro Comunale was built in Ferrara at the end of the 18th century (1773-1797) (Fig.1), at a time when modern theatre was gradually abandoning the space of the court and the academy to become part of the urban fabric, passing from representing an elite to turning towards wider communities. The models of court theatre and public theatre with overlapping boxes coexisted for a long time, until the complete codification of the “teatro all’italiana”, of which the Comunale represents one of the clearest examples (Fabbri, Beriteri, 2002). Over time there have been several renovations that have affected the decorative apparatus by Migliari, technological systems and structures. However, the plan has never been strongly altered, and has come almost intact to this day. This characteristic makes the activities of survey, verification and comparison of theatre spaces with descriptive and figurative historical sources particularly significant (Fabbri, Beriteri, 2004). The construction site of the Teatro Comunale, which lasted over a decade, was started under the papal domination and ended at the time of the Cispadan Republic. At night, at the behest of the Pope, the dwellings on the so-called Isola del Cervo were demolished, to create a first project by Giuseppe Campana. As shown in Fig. 4A, this project involved a horseshoe-shaped curve on which 19 boxes were grafted, including the royal box, which was never built (see Fig. 5B), as well as the two further proscenium boxes. The building respects the creation by Cosimo Morelli, the author of an interesting correspondence between the two parallel axes of the oval courtyard for carriages and the hall, as well as the neighboring oval church of San Carlo designed by Aleotti. The building, inserted harmoniously into the consolidated urban fabric, determines a strong interpenetration between the inside and the outside, being the oval courtyard facing along Via Giovecca, on which there is the largest, in terms of size, of the two longitudinal elevations (Dalla Negra, Ippoliti, 2014). Even the treatment of the facades, in smooth ashlar work on the basement, such as the Archbishop’s Palace, and in “cotto”, a typical material from Ferrara, avoids its perception as an autonomous element in the city. The interior is charac- terized by the absence of the royal box, as well as the absence of the proscenium boxes, although all the four orders of 23 boxes each (Fig. 4B), and the gallery, are directly joined to the semielliptical arch of the proscenium. A lowered vault covers the room. The orchestra space could accommodate up to 60 elements, the total capacity was 1500 spectators, a number currently reduced to 946. These characteristics were modified several times during the construction, which began parallel to that of the Teatro alla Scala, with the same protagonists. In particular, the integration in the urban context also determines the formation of accessory spaces that can be used both by staff and by the spectators, who

190 As fórmulas na arquitectura Teatro Comunale, Ferrara served as a model, also taken up by the Teatro alla Scala itself. Consider in this regard the projects that foresaw, in Milan, the use of the rooms of the former Casino Ricordi. The presence of numerous service spaces has led over time, at Teatro alla Scala, to the need for a general rethinking, for Botta’s unifying project. In Ferrara Theatre, on the other hand, the system, structured around the aforementioned skillfully designed geometric patterns, has remained almost intact, marking the success of the integrated model. The curve of the cavea, designed to guarantee the best acoustics and visibility, was the subject of subsequent surveys, starting from the early nineteenth century, to build further theatres in different European cities such as Vienna.

Figure 1. Plan of the Teatro Comunale, Ferrara, 19th century with the metric scale in the historical unit of measure (feet of Ferrara). [Biblioteca Comunale Ariostea, Fondo Antolini, busta n. 70]

A long debate has remained unresolved, related to the shape that the curve of the theatre should have taken and to the definitive authorship of the building. To complete the work on the Campana construction site, soon interrupted, Antonio Foschini, whose role in the design of the theatre was claimed over time, and Cosimo Morelli anonymously submitted their own solution to the opinions of Piermarini and Stratico. The paternity of the tables marked with the letters AA and BB (Fig. 2), was never identified because they have been lost. Retracing Piermarini’s opinion, in favor of the BB solution, we obtain important observations of geometry, of the study of visuals and acoustics. Piermarini emphasizes that the design of the plafond of the BB project is certainly preferable as it describes a regular whole figure, elliptical, and that the view is better, since

As fórmulas na arquitectura 191 Giampiero Mele e Susanna Clemente

it is not impeded, as in the solution AA, by the first three boxes, too advanced compared to the proscenium. In terms of acoustics, Piermarini underlines the importance of the proscenium, and of the impediments represented by the scenic backdrops in the propagation of sound. Finally, Piermarini states that the BB design curve is ‘la medesima che si è posta in uso in uno dei grandi Teatri d’Italia’1, at Teatro alla Scala, and since it worked ‘a meraviglia’2, he sees no reason to attempt new configurations. The opinion by Simone Stratico, Professor of the University of Padua, is dated May 25, 1791. From the text, the main measures of what was hitherto constructed and the geometric, spatial, functional and acoustic characteristics of the two design solutions presented can be deduced. First of all, compared to the Campana’s work with 19 boxes for order, in addition to the two at the proscenium, the solution is affirmed, and then realized, with 23 boxes per order, the absence of the proscenium, and the greater breadth of the Prince’s stage, today absent. Stratico suggests that the aforementioned conditions have been respected in both designs, and that they differ exclusively ‘nel modo di descrivere la curva che deve servire al contorno della Sala Teatrale, o Uditorio e nella disparità di alcune dimen- sioni’3. You can also read in the opinion:

‘trovo che nel disegno AA gli archi circolari CI, EH, i quali uniscono gli al- tri archi BC, LI e BE, HK, non sono descritti da centri posti nelle rette, che passino per i punti C, A : I, F : E, A : H, F, nelle quali sono i centri A, F de’ due cerchi BEDC, SIGH. Quindi invece di continuarsi la curva in una flessione regolare BCIL, BEHK risultano necessariamente quattro angoli d’intersezione degli archi ai punti I, C, E, H, i quali comunque nel lavoro possono essere con industria occultati, formeranno non pertanto una centina irregolare, e d’effetto spiacevole alla vista, che nella figura in piccolo non si può per avventura discernere, ma nella figura reale ed in grande verrà sen- tito, ancorché a colpo d’occhio da tutti non sia per apprendersene la ragione’4. (Stratico, 1791)

1 the same one that was used in one of the great Italian theatres (translation by the autors) 2 wonderfully 3 in the way of describing the curve that must serve the outline of the Theater Room, or Auditorium and in the disparity of some dimensions (translation by the autors) 4 I find that in drawing AA the circular arcs CI, EH, which join the other arcs BC, LI and BE, HK, are not listed by the centres placed in the straight lines, which pass through the points C, A: I, F: E , A: H, F, in which are the centres A, F of the two circles BEDC, SIGH. So instead of continuing the curve in a regular bending BCIL, BEHK we have four angles of intersection of the arches at points I, C, E, H, which however can be hidden in the work, will form not an irregular centring, and it is unpleasant effect to the view, which in the small figure cannot be seen, but in the real and large figure it will be seen (translation by the autors)

192 As fórmulas na arquitectura Teatro Comunale, Ferrara

Instead in the BB drawing the arcs constituting the curve present the same tangent in the point of their union, determining a continuous theatrical curve, not disturbed by the angles of intersection of the arcs. The AA curve is comparable to a ‘poligono di lati curvi’5. Stratico, with regard to dimensional disparities, describes two types of problems. In fact, there are measures that should be the same in both designs, as they relate to the pre-existing buildings and others that differ precisely because of the different thinking of the designers.

‘Rispetto alle prime: parmi di rilevare che le muraglie principali che chiu- dono l’arco del Teatro siano già costruite. Ciò posto: nel disegno AA trovo la larghezza totale di quest’area misurata nella linea MN, comprendendo la grossezza delle muraglie, di piedi 64 : e la lunghezza totale misurata nella linea GB compresa la grossezza delle muraglie di piedi 63. Nel disegno BB trovo la prima di queste misure di piedi 63: la seconda di piedi 62 e ½. Non m’arresterei a questa osservazione, se non mi guidasse a dell’altro. Un palchetto corrispondente nel disegno AA di diametro UT ha piedi 3 e ½ di sfondato, e così anche il palchetto del Principe. Nel disegno BB il palchetto corrispondente al diametro KK ha piedi 4 e ½ di sfondato e quello del Principe ha piedi 5 di sfondato’6. (Stratico, 1791)

These differences make it difficult to understand the real dimensions of the future boxes, especially in the depth, and should therefore be eliminated. As regards to the differences dictated by the designers’ intuitions, there are in Ferrara Theatre: Distance of the maximum width of the Room from the parapet of the Prince’s box: AA: 47 and ½ feet; BB: 47 and ½ feet; Maximum width of the theatre room: AA: 38 feet; BB: 39 feet; Opening of the scene: AA: 38 feet; BB: 33 feet; Distance of the maximum width of the Hall from the Curtain: AA: 20 feet; BB: 25 feet; Distance of the maximum width of the Room from the parapet of the Prince’s box: AA: 27 and ½ feet; BB: 22 and ½ feet. In summary, the curve of the AA solution is excessively elongated, as well as significantly narrower, with more oblique views than those guaranteed by the

5 Polygon with curved sides 6 Compared to the first: it seems to me to note that the main walls that close the arch of the Theatre are already built. In drawing AA I find the total width of this area measured in the MN line, including the width of the walls, of feet 64: and the total length measured in the line GB including the width of the walls of feet 63. In the drawing BB I find the first of these measures of feet 63: the second of feet 62 and ½. I would not stop at this observation .. A corresponding platform in the AA design with a diameter of UT has 3 and ½ feet of a hole, and so is the Prince’s platform. In the BB drawing, the platform corresponding to the diameter KK has 4 and ½ feet in the depth and that of the Prince has 5 feet in the breakthrough (translation by the autors)

As fórmulas na arquitectura 193 Giampiero Mele e Susanna Clemente

BB curve instead (Fig. 3).

Figure 2. Geometric schemes of the data of the AA (top) and BB (bottom) solutions

‘Se poi si riguardi il tratto dal diametro di massima larghezza all’apertura di scena sarà facile dall’addotte misure di computare, quanto più rapidamente convergano i lati della Curva nel disegno AA di quello che nel BB. Una retta condotta per l’estremità del diametro di massima larghezza, e per l’estremità dell’apertura di Scena dalla stessa parte, va ad incontrare il diametro di lung-

194 As fórmulas na arquitectura Teatro Comunale, Ferrara

hezza della Sala teatrale alla distanza dal diametro di larghezza, di piedi 88 nel disegno AA, e di piedi 138 nel disegno BB’7. (Stratico, 1791)

In the field of acoustic Stratico represents that not enough theories have been developed to favour one curve over the other. They are therefore considered similar, given that the halls have small dimensions compared to the limits identified for the propagation of the human voice, and that the construction materials and ornaments are chosen to favour the diffusion of sounds. Finally, Cardinal Spinelli opted for a realization that would put together the best elements of the two alternatives, that is to say, without the proscenium boxes and at the same time not too long.

Figure 3. Comparison and overlap of the AA (red) and BB (black) schemes

In the figures 4 and 5, partly unpublished, taken from the Fondo Antolini

7 If you then we observe the section from the maximum width diameter to the scene opening, it will be easy to calculate how much the sides of the curve converge in the AA design compared to those in the BB. A straight line from the end of the maximum width diameter, and from the end of the opening of the scene, meets the length diameter of the theatre room at the distance from the diameter of width, of feet 88 in the drawing AA, and of feet 138 in the BB design (translation by the autors)

As fórmulas na arquitectura 195 Giampiero Mele e Susanna Clemente

at the Biblioteca Comunale Ariostea, through the diagrams showing the properties of the boxes of the first order, this final configuration can be deduced, which, although summarized, can help the reconstruction of the curve and further confirm its dimensions and proportions. These images are in fact certainly subsequent to the expression of the aforementioned opinions, since neither the royal box nor the proscenium boxes are present in them. At the same time, the curve is not too long. As regards the verification of the project measurements with respect to what was actually carried out, the image, much better known, shown in Fig. 1, a representation of the theatrical performances of both the theatre and the annexed rooms is of particular importance.

Geometrical layout of the Ferrara Theatre

Figure 4. A) Distribution of the Boxes of the first Order that was in this old Theatre. B) Distribution of the Boxes of the first Order in this Theatre according to the new reform; preserved the same distance from the Scene to those who have the right ownership of the first System. [Biblioteca Comunale Ariostea, Fondo Antolini, busta n. 77]

196 As fórmulas na arquitectura Teatro Comunale, Ferrara

The survey was done with two different methods: the manual one and the 3D. The manual survey, the one with 3D Laser Scanner and that with a 3D laser EDM were integrated to produce a model, a two-dimensional database, which had the metric quality to fulfil the scientific requirements. A database that can process more themes and analysis, useful not only to the project, including the restoration, but also to the management of the monument. An informative document of this kind, accurate and detailed, produces knowledge and can give answers and set many questions as well to all scholars who wish to investigate it. The metric analysis of the survey, based on the historical unit of measure, the “piede ferrarese” (0.403854 m), made it possible to relate number and measure, to identify the geometric scheme that generated the so much discussed oval by historians.

Figure 5. A) Sketch on the back of the sheet in Figure 3. B) Distribution of the Boxes of the first Order in this Theatre according to the new reform preserved the same distance from the scene. [Biblioteca Comunale Ariostea, Fondo Antolini, busta n. 77]

The result, obtained through the indirect survey carried out by laser distance meter 3D, was very helpful. By this instrument, the profile that faces in the audience, at the first order of boxes, where the oval had to have the intact measures - net of the mouldings - has been detected (Fig. 8). The resulting dxf

As fórmulas na arquitectura 197 Giampiero Mele e Susanna Clemente

file has been analysed in a CAD environment to find the oval centres and their metrics relations. We have a very precise scheme that shows an oval whose the measure of major axis A,B is 80+9/10 feet (32.67 m). The minor axis C, D amounts 61+1/4 feet and is parallel to the proscenium (Fig. 6), and the distance Q, S, from the royal stage to the proscenium, is 44 + 19/20 feet. The maximum width O, P is 39 + 3/20 feet. The depth of the boxes is another concentric oval with a radius greater than 65 feet (Fig. 6, 7). The width of the corridor, leading to the various entrances of the boxes, is still a concentric oval that is 5 feet from the last and has a radius greater than 75 feet. The measurement of the perimeter of the oval is essential to divide it, and identify the rhythm of the boxes. The problem is solved as the sum of the perimeters of the respective arches of circumference. The formula that puts in relation the measure of the arch l with that of the circumference C and the one of the central angle of the radius, that delimits the arch φ with that of the round angle, is l/C=φ/(360°) from which it results that l=φ/360 x 2 r . The perimeter of the portion of the oval to be divided is 113 + 1/2 (33.5 x 2 = 67; 67 + 46.5 = 113.5). The central stage box is 5 + 1/2 feet and the other 22 minor boxesπ (11+11) are 4 + 9/10 feet (113.5 – 5.5 = 108; 108 : 22 = 4.9).

Figure 6. Geometric patterns obtained from the metric analysis of the survey: solution CC

198 As fórmulas na arquitectura Teatro Comunale, Ferrara

Figure 7. Geometric patterns obtained from the metric analysis of the survey: solution C

Figure 8. Geometrical schemes of the oval describing the hall of the Teatro Comunale

Conclusions

The comparison between the documents found at the Biblioteca Ariostea archive in Ferrara and the data obtained from the metric analysis allow us to state with absolute certainty that the solution of the oval adopted in the construction of the Ferrara Theatre is neither the one called AA nor the one called BB (Fig. 2). The third solution proposed by Cardinal Spinelli that we will call CC (Fig.7), adopted in the construction, is remarkably different in size from those commented and

As fórmulas na arquitectura 199 Giampiero Mele e Susanna Clemente

analysed by Piermarini and Stratico. The dimensions of the solutions AA, BB and that found thanks to the CC metric analysis are reported below. Distance of the maximum width of the Room from the parapet of the Prince’s box is in AA: 47 and ½ feet; in BB: 47 and ½ feet; while in CC is feet 44+1/2, that is almost 17.97m. Maximum width of the theatre room is in AA: 38 feet; in BB: 39 feet; in CC solution is 38 feet (15.34m). Opening of the scene is in AA: 38 feet; in BB: 33 feet; in CC: 33+9/10 feet. Distance of the maximum width of the Hall from the Curtain is in AA: 20 feet; in BB: 25 feet; in CC: 18 feet (7,26m). Distance of the maximum width of the Room from the parapet of the Prince’s box is in AA: 27 and ½ feet; in BB: 22 and ½ feet; in CC: 30+2/3 feet. In summary, the oval of the solution AA has the major axis of 88 feet and the minor axis of 64, that of the solution BB has the semi major axis of 38 feet and the minor axis of 64, that of the solution realized CC has the major axis 80 + 9/10 feet and the minor of 61 + 1/4 feet. From the few notes above, it is clear that the final solution adopted as the shape of the oval does not correspond to those described by Piermarini and Stratico. It is clear that a third solution was studied and implemented. At this stage and on the basis of these two documents it is not possible to establish the authorship of the CC solution, however it is possible to see that the architect’s goal is to build a well- proportioned portion of an oval to have good acoustics, and that it had the same surface of the stage (30+30 = 60 square poles), following the requirements for the type of “teatro all’italiana” (Fig. 8 scheme 3).

Acknowledgments

We thank the Biblioteca Comunale Ariostea and the Archivio Storico Comunale di Ferrara for having allowed the consultation and the study of the rich documentation and the iconographic apparatuses, without which the relief and the reconstruction of the original spaces and of the subsequent evolutions would have been much more difficult.

200 As fórmulas na arquitectura Teatro Comunale, Ferrara

References

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As fórmulas na arquitectura 201 Giampiero Mele e Susanna Clemente

Mappe del Catasto Teresiano [Archivio di Stato di Mantova, Catasto Teresiano, 1771 – 1888] Fabbri, P., Beriteri, M.C. (2002). I teatri di Ferrara. Lucca. LIM Editrice. Fabbri, P., Beriteri, M.C. (2004). I teatri di Ferrara. Il Comunale. Lucca. LIM Editrice. Dalla Negra, R., Ippoliti, A. (2014). La città di Ferrara, architettura e restauro. Città di Castello. Ginevra Bentivoglio Editoria.

202 As fórmulas na arquitectura RECOGNITION OF PATTERNS ON FACADES Contribution to an interpretative methodology

Miguel Brito CITAD - Universidade Lusíada, Lisboa, Portugal

Abstract: In terms of the construction of buildings, mathematics is generally acknowledged and referred to the engineering areas, the structural interior mathematics of the physical components understood here as the forces of compression Miguel Brito and traction, the laws of Newton applied to plasticity and so- Architect by FAUTL (1991), Master lidity, by static engineering, the mathematical calculation that by Univ. Lusíada Lisboa (1997). guarantees the stability of the elements in the building. Was teacher at EUAC (University School of Arts of Coimbra) in Ar- In contrast to this necessary structural reality, without which chitecture and Design, as well as the construction would be at risk, the organization of visual at FRESS (Ricardo Espirito Santo conceptualization is often discarded, ignoring the importance Silva Foundation), at Univ. Mod- erna, and at Univ. Lusíada Lisbon. of results from statement of patterns through the visible ele- In liberal practice since 1991, he is ments of the building, its sequences, the notion of order and also researcher at CITAD (Centro proportion, scale and shapes, in order to embody a coherent de Investigação em Território, Ar- quitectura e Design da Universi- intentional message, inserted in a readable system of formal dade Lusíada de Lisboa) geometry. The visual communication that the building allows is essential for the success of the collective appropriation of its meaning and consequent value. The formation of patterns, predicted, resulting or unforeseen or occasional, is the way in which visual information can be described and understood, in order to form a relevant part of our visual appropriation of the built surrounding space, which is translated by cultural and identity consequences, either by the normalization of the collective, or by the sublimation of individualisms. This analysis implies the recognition of patterns, elements, succession and repetition, variation in norm, identification of series, and combined and dissonant group elements. The world that surrounds us is formed by more or less perceptible patterns. Perceiving the abstraction and absorbing the conceptualization of the patterns that surround us, it is thus to understand the limits of reality, the soft veil that covers the world around us.

Keywords: Patterns; Repetition; Meaning; Symbolism; Con- text.

As fórmulas na arquitectura 203 Miguel Brito

RECONHECIMENTO DE PADRÕES EM FACHADAS contributo para uma metodologia interpretativa

O que é a Ordem? o que é o Caos? O caos é o nome dado à ordem desconhecida.

“O que eu aqui proponho é que investiguemos a ordem que há no caos. O que, no tempo de hoje, que em muitos aspectos nos apresenta como caótico, eu creio que pode ser encontrado” (José Saramago, 2002) “Somos, enfim, o que fazemos para transformar o que somos. A identidade não é uma peça de museu quietinha na vitrine, mas a sempre assombrosa síntese das contradições nossas de cada dia.” (Eduardo Galeano, 1991)

A estruturação das formas, elementos, proporções e efeitos complementares é sobretudo uma estruturação adquirida pela matemática, pelo seu corpo teórico que declina nas múltiplas variações e expressões da sua realidade, não apenas como matemática pura especulativa, mas como aplicação formal de geometria, de modo operativo por lógica e por aspectos mensuráveis de escala e proporção. A interacção de elementos tem assim um diálogo matemático subjacente, mais ou menos aparente, mas inevitavelmente presente, esteja ou não o seu autor consciente dessa realidade.

Introdução

Pretende-se, com esta chamada de atenção para uma componente interpretativa da arquitectura, padrões de combinação de vãos em fachada, um parâ- metro entre tantos outros que se podem considerar, visar contribuir para uma prática com teoria, e simultaneamente para uma teoria com aplicação prática, numa dualidade consubstanciada em adição de valor para a realidade construída que nos envolve. Há uma ordem matemática subjacente ao que nos rodeia. Por ordem mate- mática entende-se aqui a estruturação abstracta por regras que tornam compreen- sível a integração da diversidade factual que nos rodeia. Há componentes mate- máticos na constituição do que nos envolve. Lemos os signos como elementos isolados, ou fazemos uma leitura visual como componentes de um conjunto mais alargado. Essa interpretação varia pelos indivíduos e grupos que dele disfrutam, mas a intencionalidade de sobreposição de “layers” e de modelos aplicados será sempre determinante para um conteúdo mais profundo e rico de possibilidades interpretativas. A mensagem poderá ser entendida de forma diversa pelo recep- tor, mas o autor de obra construída tem um papel de gerador de conteúdos, do

204 As fórmulas na arquitectura Recognition of patterns on facades qual não deve abstrair-se, no interesse de querer propor uma realidade mais rica de conteúdos do que o mero acaso poderá providenciar. Significa isto que se identifica uma combinação e significação tripartida: entre o modelo conceptual formado pela acção do autor, mais ou menos complexo, organizado, de intencionalidade; outra pela capacidade interpretativa do utilizador dessa realidade construída, dos seus códigos de leitura assimilados; de onde se deduz por fim a eventual fluidez ou dificuldade de interpretação, na relação bidirecional que suporta os significados entre o autor e o utilizador. O antropomorfismo, bem como o zoomorfismo, como área de estudo deli- mitada e identificada, contém em si mesmo as características de reconhecimento facial ou animal que dão nome a esta capacidade de transmitir a ideia de identi- ficação animal, de rosto ou figura humana, a uma estrutura inanimada construí- da, que em nada se objectivava a esse desígnio. Significa isto que a identificação facial de um rosto a partir de uma estrutura variável de elementos presentes, configura a possibilidade de criar conceitos mentais a partir de objectos físicos, confirma o facto de que há paradigmas que resultam da identificação conjugada de elementos que pelo seu diálogo, na sua inter-relação formam conjuntos significantes que provocam mensagens no sujeito, que os identifica e os reconhece, numa referenciação alternativa, buscando significação em outro contexto.1 Assim sendo, deduz-se que outra qualquer combinatória de elementos visí- veis de fachada configura resultados díspares, mas susceptíveis de ser interpre- tados, porque agrupados entre eles num certo sentido, que apenas o observador, pelos seus códigos visuais, estruturados pela sua cultura, ideias e sobretudo, pela base matemática (numeral abstracta) e geométrica (gráfica abstracta), sempre subjacente a qualquer formulação física, que contém inevitavelmente, forma, proporção, escala, valores que extravasam para outros atributos, como simetria, ritmo, repetição, dimensão, etc. São estas formas, estes conjuntos agrupados de elementos visíveis em pre- sença, que formam e configuram significados mais ou menos intencionais, que vão constituir atributos de valor adicionados como mensagem visível sobre a envolvente. O diálogo que se estabelece com a envolvente imediatamente próxima é va- riável na concretização, mas certo na sua existência. Poderá ser de harmonia, re- petição, sintonia e adequação, como de modo diverso pode ser de rotura, antítese e contraste. Entre oposição de conceitos ou total integração, todos os cambiantes intermédios são possíveis.

1 Trabalhos nesta área podem encontrar-se em Jencks (1979), bem como Moore (1977), sendo que aqui no contexto de padrões em fachadas optou-se por descartar os exemplos mais dissonantes de arquitectura singular, por não ser ponto de partida para um reconhecimento geral, ainda que o modelo de interpretação e análise seja passível de aplicação em casos anómalos.

As fórmulas na arquitectura 205 Miguel Brito

O facto de não se reflectir sobre a possível leitura de uma mensagem não invalida que ela se forme de modo autónomo na realidade da sua visibilidade. Como disse Charles Jencks (1979) “ce qui est évidemment impossible, c’est de ne pas classifier, nous considerons les choses a travers des catégories et non pas avec des yeux innocents. Et ces catégories du voir sont dábord historiques et, en même temps, personelles”, afirmando-o a partir de Ernst Gombrich (1960), num interminável reencontro dos pensadores com os factos de seu tempo, sendo que esta ilação reflecte preocupação comum, sendo sempre uma recomposição necessária para o reescrever da compreensão em cada momento histórico. A abstracção dos símbolos permite-nos passar da superfície da imagem para a absorção do conteúdo, ler a estrutura em vez de ver a superfície, e assim clarificar o sistema construído. A essência matemática que é o substrato conceptual, revela-se, o substrato intencional, ou não intencional, é posto em destaque, e esta análise, critica e reflexiva sobre o construído, pode constituir um processo relevante de atribuição de modos de filiação, e agrupamento de modos de fazer, que constitui justificação e entendimento de soluções, compreensão de autores, estilos, regiões, épocas e modelos arquitectónicos. A busca de entender a dissonância ou concordância com a envolvente, com o período histórico, com o contexto cultural, são paradigmas que se salientam e destacam com a realidade matemática numeral conceptual, que resume o visível à sua expressão mais elementar, como se a busca desta matriz pudesse condensar o tudo numa origem numérica, e nesse sentido, numa génese prévia à sua extra- polação geométrica. Encontramos assim uma cadeia sucessiva de acontecimen- tos percorrendo origem – matemática – geometria – forma/tridimensionalidade – textura/detalhe – multiplicidade. Do ideal ao concreto, da ideia ao construído, mas formulação que contém em si a dualidade de caminho, pois a análise inversa é possível, buscando-se entender a estruturação subjacente do construído que nos rodeia. Perceber este fluxo bidirecional entre o mental e o construído, habilita-nos a uma consciência critica e interpretativa não só do que nos rodeia, como auxilia o processo criativo inverso, ao permitir bases de apoio, justificação e clarificação. Ter um maior controle sobre o processo criativo e do modo como ele se processa, permite uma melhor qualificação teórica e adição de valor ao produto final construído. E esse aspecto teórico final é relevante na medida em que hoje apreciamos e valorizamos obras do passado, muitos deles edifícios que perderam a sua função inicial mas nos quais reconhecemos ainda valores que impe- dem ser descartados, valores muito relevantes de estética, forma, proporção e diversidade de elementos, que lidos à luz do entendimento geométrico e fundamentalmente matemático, se descobrem muito coerentes, lógicos e estruturados, sendo esse “fazer pensar” que nos permite aprender num processo contínuo que não se esgota na mera visualização, mas sim na importância que o seu conteúdo

206 As fórmulas na arquitectura Recognition of patterns on facades mental nos faz participar do conhecimento dos limites da percepção, alcançar a proximidade do infinito.

Propósito

Porquê o reconhecimento de padrões em fachadas? Num tempo em que se salientam as formas orgânicas na arquitectura, que se dissolvem as janelas e portas em vãos e coberturas, em que na tridimensionalidade criada, ângulos e planos avulsos imperam, a mera lógica de abertura de portas e janelas em alçados con- sistentes, parece carecer de sentido e oportunidade. Mas é precisamente por isso, pela perca de referenciais clássicos que se justifica procurar métodos e meios de entendimento da nova realidade. Na busca de invariantes que sejam subjacen- tes ao visível é que encontramos justificação para novos modos de fazer, sejam eles tradicionais ou vanguardistas, mais ou menos repetição ou invenção, mas a necessidade de um reconhecimento de um corpo teórico existe, que forme um paradigma consistente, e que reúna condições de carácter, de conjugar valores organizando uma dimensão teórica, que contribua para validar as escolhas feitas. O sentido de ordem é atingido pela repetição de elementos formando assim um texto no contexto, criando uma nova unidade complementar, feita pelos múltiplos da unidade original. Esta adição, sucessão ou série pode ou não ser complexa pela diversidade de elementos, ou pela repetição unitária. Nesta con- sideração a sequência tem proximidade à música e à geração de ritmos impostos pelo uso de notas que se compõem em harmonias ou dissonâncias. Mas enquanto na música encontramos uma mesma base de notas musicais, no desenho de elementos arquitectónicos encontramos uma proliferação infinda de possibilidades que geram cambiantes múltiplos. A busca de interpretação é constante ao longo da história da teoria de arquitectura, veja-se como refere Claire e Michel Duplay (1982):

“Qu’est-ce que l’architecture de systems d’éléments combinatoires? C’est une architecture utilisant, d’une part, un nombre limité de signes binaires com- binables de façons multiples, mais selon des réglesd’organisation en nombre limité – unites don’t les signifiants sont des éléments matériels, outils néces- saires à la construction -, d’autre part, des unites de composition réalisées à partir des éléments et qui sont à la base de l’infinité des plans possible tradui- sant une infinié des modes d’occupation.” (pág. 65)

Importa notar que a dificuldade de gerar cânones definitivos é uma constante ao longo de toda a história de produção arquitectónica, validando-se apenas soluções localizadas, seja localmente, seja em termos temporais. Já o referia

As fórmulas na arquitectura 207 Miguel Brito

Hassan Fathy (ed. 2009) no seu livro Arquitectura para os pobres:

“Na ausência de qualquer cânone de composição, o arquitecto tem de confiar na sua própria sensibilidade para fazer o projecto de uma cidade onde a modu- lação visual assegure variedade e beleza constantes numa unidade de concep- ção. Estas projectos criam – ou pelo menos demonstram – as regras ainda por escrever da harmonia visual.” (pág.81)

As novas tecnologias permitem-nos sinalizar os novos locais de novos modos. O acesso à informação via internet permite-nos quantidades impensáveis de dados, mas nunca tivemos tanta descontextualização. Temos mais informação, mas menos contexto. Vemos mais, mas sabemos menos. O processamento de todo o manancial informativo fica por acontecer. Mais informação não é garantia de melhor cultura. O novo passo que os tempos exigem é o de criar metodologia interpretativa, novo modelo capaz de assimilar a multitude de dados. O resultado desejado é a capacidade interpretativa para se chegar à capacidade operativa informada.

Contributo

A análise de vãos que propomos vai além da mera descrição de “mapa de vãos” pelo facto de incorporarmos os elementos de moldura ou sua ausência, como integrantes do vão em sentido lato. Assim, para um mesmo sistema de elementos de abertura, podemos identificar diferenças no vão pelos elementos complementares que o constituem, sendo eles parte simultânea de limites da su- perfície de parede e de mecanismos de vão, ou seja a moldura do vão como parte integrante da sua identificação e caracterização. A transposição dos vãos para sequências matemáticas de séries simples au- menta o grau de abstracção e distanciamento da visualidade, permitindo nova reconfiguração e entendimento do desenhado, pelo que a análise atenta do resultado pode fornecer novas pistas interpretativas e de reconhecimento de valor contido no construído, como resultado de adição de níveis de compreensão. Uma obra com mais integração coerente de sistemas coordenados de sequências matemáticas, séries ordenadas de numerais, será mais valorizada porque mais consistente e justificável. Não estamos aqui numa reprodução e valorização de um novo Modulor (Le Corbusier, ed. 2004), porque não se propõe um modo “certo” por contraponto a um “errado”, mas sim a pôr em destaque uma possibilidade com recurso à área conceptual da matemática, da sua capacidade ao longo dos tempos de propor a conceptualização e explicação da diversidade, de “arrumar” o “caos” em frontei-

208 As fórmulas na arquitectura Recognition of patterns on facades ras inteligíveis cada vez mais expandíveis, e ajudando assim a entender a proposta de cada autor, num processo de descodificar a realidade construída, que vá para além de um número de regras restritas geométricas, ou de uma filosofia estética, porque para além da materialidade construída, pretende-se ir em busca de um entendimento conceptual de base ordenada matemática: a síntese após a análise traz o conhecimento. Não é de reconhecimento por descrição de vãos em fachadas que estamos a tratar, mas do passo seguinte a essa recolha de informação. O actual momento de grande desenvolvimento de processamento de dados virtuais em realidade aumentada é um facto, cuja evolução tecnológica está a garantir aumento exponen- cial de dados2. O que está em causa é a falta de métodos adaptados para proceder a um tratamento interpretativo dessa informação, de modo operativo para um melhor entendimento e formulação de resultados a nível cultural sobre o valor dos nossos contextos edificados, que sendo uma preocupação cultural tem reper- cussões económicas e definidas em marketing de cidades, turismo e política. A valoração dos povos, cidades e países passa pelo valor inerente ao urbanismo, cidades e arquitectura que forma o contexto físico, palco da vida humana, num mundo cada vez mais exigente de qualificação a todos os níveis. A Arquitectura tem um contributo fundamental para essa concretização. (Carta de princípios arquitectura para todos). A expressão de singularidades permite pôr em destaque a coerência, ou não, do uso e atribuição de funcionalidades em causa para um melhor e optimizado uso do edifício e seu entendimento global, do ponto de vista do observador/ utilizador. A leitura que o utilizador faz, ainda que subconsciente, é entender atributos valorativos ou não da realidade construída. Muitos dos processos actuais de modo de fazer, ou de vanguardas passadas, são disruptivos de entendimento, apostam na quebra de formulações intencionais, ou precisamente no contrariar das possibilidades de formação de padrões facilmente reconhecíveis. Ainda assim, acabam por encontrar um novo “conjun- to” que se pauta por ser não sequencial, mas agrupando-se de modos diversos, formando muitas vezes um padrão indistinto mas de contornos contrastantes com opções da envolvente próxima. Em cada caso a referenciação de cada elemento/vão (seja janela ou porta) exige em si mesma a delimitação e reconhecimento do seu elemento singular. Se inclui vão mais ou menos trabalhado, ornamentado ou minimalista, acessórios complementares ou não, num trabalho de escolha que é também uma selecção. Sabendo que inúmeros sistemas de reconhecimento de vãos em fachada se encontram ac-

2 Um trabalho relevante nesta área é o caso de investigadores do Porto (Martins, Silva, Sousa) cujo estudo de restituição perspéctica com recursos a sistemas virtuais apresenta potenciais de crescimento de aplicação em RA – Realidade Aumentada.

As fórmulas na arquitectura 209 Miguel Brito

tualmente em pleno desenvolvimento, é relevante o alerta deste trabalho que aqui se apresenta, no sentido de informar da pertinência de incluir definição teórica que permita uma visão holística dos dados, que cada vez sendo mais, assumem um papel avassalador em termos de informação por gerir, porque informação não é conhecimento, mas é a base de trabalho para esse patamar consequente de interven- ção teórica sobre o manancial de dados, cada vez mais disponíveis para partilha na chamada RA – Realidade Aumentada3, com múltiplas aplicações pragmáticas, lúdicas (jogos virtuais), de trabalho, e de segurança rodoviária, com aplicação na detecção e prevenção de riscos viários, mas carente ainda de aplicação como utilidade teórica no campo da apreciação arquitectural e cultural.

Aplicação

Um exemplo prático: Bruno Zevi (1978) fala da representação da arquitectura, e nomeadamente da representação do espaço, e dos seus constituintes em desenho arquitectural, como modo de plasmar na bidimensionalidade do desenho a realidade múltipla que uma obra tridimensional comporta. Subdividindo um capítulo do seu livro “Saber ver a arquitecura” em três partes: plantas, fachadas e fotografias, tece considerações sobre um modo mais correcto de transmitir a imagem do alçado principal do Palazzo Farnese. A sua preocupação é fundamentalmente descritiva e não interpretativa, o que é naturalmente necessário, mas configura um processo de base que não se pode esgotar em si mesmo, pois descrever não é entender. O passo seguinte exige algum método, a adição de um paradigma de interpretação, algo que nos traga um valor acrescido sobre a realidade física, que nos permita alcançar uma coordenação virtual sobre conceitos, organizar uma teoria que dê sentido à visualidade. O que proponho é apenas mais um contributo a esse “edifício cultural” que devemos construir na nossa mente, através da compreensão para além do visível. É a metafisica que dá corpo ao sonho do entendimento, e nos reconcilia enquanto seres interpretativos e sen- sitivos da realidade que nos rodeia, porque o mundo é um lugar dual de sínteses, entre o concreto e o espiritual. Assim sendo, propõe-se uma transposição dos elementos visuais dos vãos para uma grelha simplificada, que forma a base de trabalho de interpretação. Após delimitar-se a área de observação, que deverá corresponder a uma área significativa da fachada em causa, busca-se a identificação dos tipos unitários repetidos, atribuindo-se um numeral a cada situação. No caso de muita seme-

3 De um modo simplificado a Realidade Aumentada (RA) é um termo que resume em si a integração de dados virtuais, informação ou imagens, com a visualização do mundo em redor por via de dispositivos tecnológicos de visualização.

210 As fórmulas na arquitectura Recognition of patterns on facades lhança o numeral declina em adição de uma letra sequencial, indicando a sua filiação e similitude. Optou-se por não distinguir “porta” de “janela”, por existem inúmeros exemplos em que a dimensão, forma e aparência geral, é praticamente idêntica, e interessa verificar a conjugação de ambas as realidades, sendo que ambos são vãos de abertura em perímetro de parede de edifícios em estudo. Claro que numa análise especifica de um edifício isolado, a importância de complementar a análise com as restantes fachadas será relevante, situação que neste tipo de interpretação pode ser diferente em fachadas adjacentes em rua canal, onde a imagem de determinado edifício é fundamentalmente uma única fachada visível ao público passante. Aplicando esta análise ao mesmo exemplo de Bruno Zevi, a fachada do Pa- lácio Farnese, temos por conseguinte:

Figura 1 - Palazzo Farnese e diagrama de numerais.

Janela com topo curvo, (2) Janela de topo curvo, (2ª) Janela de topo triangu- lar, diferindo de (2) apenas pelo topo, (3) janela central profusamente decorada, (4) porta central. Da mera observação desta transposição salientam-se os efeitos de simetria conseguidos pelo efeito espelho repetindo janelas do tipo (2A) ladeando imediatamente a porta (4) e janela (3) centrais. Adquirimos assim o conceito de simetria pela mera análise do quadro simplificado de vãos, mas podemos ir mais longe, tentando perceber que outros agrupamentos se salientam deste modo:

Figura 2 - Diagrama com agrupamentos tipológicos.

As fórmulas na arquitectura 211 Miguel Brito

Assim, notamos uma linha contínua de vãos similares (1) que remata a totalidade do conjunto, e agrupamentos a quatro vãos na restante fachada. É pos- sível também incluir elementos superiores (1) formando novos subconjuntos agrupados três a três em ambos os lados da simetria central (figura seguinte), o que referencia diversos modelos tipológicos de apropriação e de combinações possíveis. É esta adição de layers que cria signos múltiplos feitos a partir de uma aparente simplicidade, mas que permite reconhecimentos vários de possibilidades, e consequentemente, um valor acrescido, em que a visão do observador não cessa de procurar e encontrar organizações tipológicas de múltiplos e submúltiplos, sendo esta essência conceptual da matemática com que assim conseguimos transpor da abstracção mental para a concretização visual, com o auxilio deste modo de referenciação. “Ver as ideias” é poder recorrer a um padrão gráfico de referenciação, que através da geometria e da matemática nos mostra o que se pensa, e que é suportado pelos signos presentes.

Figura 3- Diagrama com grupos e subgrupos.

Este processo que nos ajuda a pensar, também nos permite observar com mais detalhe, e o facto é que existem mais vãos do que aqueles que se salienta- ram até agora à nossa vista. Afinando a visão para a base do alçado, podemos observar pequenas frestas de janelas relativas à cave. Comparando uma gravura antiga com uma fotografia recente, observamos que o pavimento da praça defronte do palácio subiu, absorvendo os degraus de acesso, agora substituídos por uma superfície rampeada. Os vãos persistem, e mesmo adicionados ao sistema de transposição numeral, continuam a providenciar reforço do principal efeito de simetria que constitui esta frente de fachada.

212 As fórmulas na arquitectura Recognition of patterns on facades

Figura 4 - Comparativo passado/presente Palazzo Farnese.

Figura 5- Diagrama vãos aparentes da cave.

Procuremos então um outro exemplo, escolhemos o Chateux de Ussé, no Vale do Loire, um edifício em que em determinada época foi aberta uma ala permitindo abrir ao exterior uma fachada até aí encerrada em pátio, e podendo ter novas e amplas vistas sobre a nova organização espacial dos jardins delineados por Le Nôtre. Esta modificação do pátio gerou novas entradas, e a concretização de janelas que captam a luz de forma mais completa após a renovação. Assim sendo, as novas entradas acontecem aos dois extremos da fachada que seguidamente se apresenta:

Figura 6- Chateau d’Ussé e diagrama de numerais.

As fórmulas na arquitectura 213 Miguel Brito

A transposição matemática, processo conceptual de passar dos vãos (forma geométrica) para numerais (conceito abstracto), põe em destaque as similitudes e diferenças, que são menos visíveis na fotografia pela harmonia geral da cor clara do calcário local, caixilhos de múltiplos pequenos vidros, e poucas notas de cor presentes. (1) são as mansardas, (2) uma fila completa de janelas ao piso superior, (3) uma janela singular, (4) e (4A) apenas diferem pelo topo circular ou trian- gular, (5) vãos semelhantes excepto (6) por via dos degraus que impossibilitam tocar o solo identicamente a (5).

Figura 7- Diagrama com acessos, Chateau d’Ussé.

As entradas aos extremos, por (5) e junto a (6) respeitam a simetria geral do conjunto, a fila de (2) formando um conjunto linear contínuo, e o “recheio” central contém dentro de si a mesma simetria possível. Podemos obviamente tentar e conseguir outras combinações a partir de agrupamentos unitários, como por exemplo:

Figura 8- Diagrama complementar, Chateu d’Ussé.

É esta multiplicidade de agrupamentos possíveis que contribuem para o interesse da composição, ultrapassando o mero olhar e encontrando níveis perceptivos que nos cativam e conseguem o objectivo: valorizar o construído, porque duplamente efectivo: no plano físico pragmático, e no plano mental de abstracção geométrica de cariz matemático de padrão ordenado. Mas a validade desta proposta de entendimento de reconhecimento de pa- drões de fundamento matemático e geométrico não se esgota em obras clássicas passadas, mas deverá fazer então também sentido quando aplicado a obras recentes. Assim, podemos ensaiar esta mesma aplicação sobre um edifício mais recente, por exemplo, a Escola Superior de Comunicação Social, pelo Arq. Car- rilho da Graça.

214 As fórmulas na arquitectura Recognition of patterns on facades

O lado menos conhecido é a fachada interior, pela qual se entra, estando o lado oposto virado à via rápida, com reduzido número de vãos, quase todos isolados e “perdidos” num plano opaco. Quanto a este lado do edifico podemos considerar para análise as zonas que seguidamente se referenciam, e cuja suces- são de numerais põe em destaque o sentido organizado subjacente à imagem desta arquitectura de carácter contemporâneo.

Figura 9 - Escola Superior de Comunicação Social, Arq. Carrilho da Graça.

Ainda assim, encontramos por este modelo um padrão com remate superior diferenciado que podemos compor como metáfora de um entablamento a nível conceptual mas não ornamentalmente construído. Na proximidade deste edifício escolar moderno encontramos outro muito mais antigo, obra do Arq. Adães bermudes no séc. XIX, a Escola de Magistério Primário, ao qual também podemos aplicar o mesmo modelo interpretativo:

Figura 10 - Escola do Magistério Primário, Arq. Adães Bermudes.

As fórmulas na arquitectura 215 Miguel Brito

O aumento de quantidade de vãos não significa inevitavelmente um aumento de complexidade, mas facilita uma análise liberta de detalhes ornamen- tais que podem alterar a compreensão da ordem subjacente. Ainda um terceiro edifício de uso educativo na mesma zona, a escola de música (Escola Superior de Música do Instituto Politécnico de Lisboa, Arq. Carrilho da Graça), tem um registo de imagem muito assente num minimalismo, e importa referir que uma fácil definição de minimalismo poderá ser “o efeito máximo perceptivo com os recursos mínimos visuais”. Este edifico que se abre sobretudo para o pátio interior, para protecção do ruído envolvente da cidade, tem uma fachada interior de poucas aberturas, que podemos descrever do seguinte modo:

Figura 11- Escola Superior de Música do Instituto Politécnico de Lisboa, Arq. Carrilho da Graça.

Em que (1) agrupa uma janela maior que a porta que contem adossada, e em que (1A) é a mesma janela, mas sem porta incluída. A repetição do mesmo elemento unitário confere simplicidade e limpeza visual, permitindo o impacto elementar de uma singeleza que apenas ao segundo olhar permite entender as di- ferenças entre (1) e (1ª). Outro exemplo recente é o Centro médico de Carnaxide, onde é intencional a não padronização dos vãos na fachada.

216 As fórmulas na arquitectura Recognition of patterns on facades

Figura 12- Centro de Saúde de Carnaxide, e diagrama de numerais.

A sequência deliberadamente não combinada de elementos unitários, e dos espaçamentos avulsos entre eles, contribui para uma reforçada ideia de “acaso” pretendido, permitindo uma sensação de vibração e ritmo variado sobre uma fachada de outro modo demasiado maçadora e com risco de desinteressante. O desafio mental de encontrar a ordem onde está negada traz o cativar do olhar, a diferenciação a uma envolvente demasiado padronizada onde enormes prédios copiam exaustivamente padrões de repetição. Padrões de repetição que podemos encontrar em múltiplos bairros do crescimento de Lisboa, como neste exemplo:

Figura 13- Edificio no bairro Amoreiras, Lisboa, e diagrama interpretativo.

As fórmulas na arquitectura 217 Miguel Brito

Neste caso, a verticalidade que encontramos na tabela acima ordenada é contrariada na obra pela introdução de linhas brancas horizontais bastante acen- tuadas, que contrariam a verticalidade da sequência dos vãos, garantindo assim um equilíbrio visual possível. (Note-se, apenas por curiosidade, que também os veículos presentes que parecem iguais, possuem particularidades, a nível das suas janelas, que também os diferenciam, e também a cor branca da parte superior os harmoniza e lhes dá sentido à organização das partes no todo). Naturalmente que em obras de menos prestígio, e mais modestas, seja em qualidade, seja em dimensão, podemos aplicar os mesmos conceitos interpretativos. Vejamos alguns exemplos:

Figura 14- Dois edificios em rua da Amadora e diagramas de numerais.

Figura 15- Prédio em Alcântara, e diagrama.

218 As fórmulas na arquitectura Recognition of patterns on facades

Figura 16- Prédio urbano em Alcântara, e diagrama.

Nestes casos modestos, encontramos refletida essa realidade na curta va- lorização de possibilidades interpretativas, onde a realidade do signo é apenas passível de uma única componente interpretativa, de pouca interacção e onde é manifestamente simplificada a sua complexidade.

Consideração final

Não é uma conclusão. Este trabalho é um contributo, e mais que isso, é um alerta e uma chamada de atenção para a importância necessária de definir uma prática de teoria operativa da arquitectura e não meramente uma teoria descritiva de arquitectura. Os contributos de outras áreas do conhecimento, como é o presente caso da matemática, devem fornecer ferramentas de apoio a uma estrutura interpretativa do âmbito da arquitectura, abrangente e de sínteses, não dispersiva, mas coerente e organizadora do saber e fonte de cultura. A integração da interdisciplinaridade é o passo seguinte de conseguirmos evoluir em cada área especializada, que poderá ter um salto qualitativo na sua evolução pelos contributos integrados externos. Todos estes exemplos avulsos apresentados configuram apenas ensaios de aplicação do modelo interpretativo, mas naturalmente a aplicação exaustiva a um bairro, ou uma localidade, permitirá destacar invariantes e padrões de outro modo encobertos, em que o recurso a uma conceptualização de cariz matemático, nas suas sequências, ordens, séries, repetições e padrões, permitirá avaliar e descorti- nar, contribuindo pela sua aplicação para um entendimento e esclarecimento, em suma, para o significado de valor daquilo que nos rodeia. Este ensaio contém uma visão parcelar da amostra de possibilidade de desenvolver uma análise combinatória de elementos de fachadas, nomeadamente vãos, janelas e portas, propondo uma análise geométrica destes conjuntos e transpondo da geometria visual aparente para abstracção de suporte matemático, no sentido de detectar reconhecimento de padrões de simetria, ritmos, ordens, séries, recor-

As fórmulas na arquitectura 219 Miguel Brito

rendo a exemplos de aplicação em várias fachadas de edifícios, alguns notáveis outros comuns, de várias épocas históricas. Encontrar padrões onde de outro modo apenas se encontra diversidade, é um desejo de visão compreensiva que pretende um processo holístico de entendimento do real construído que nos envolve. É uma chamada de atenção para uma necessidade premente de se criarem mecanismos interpretativos a nível teórico de arquitectura, que sejam contributo cultural para uma qualificação do património. Este processo é aquele que em último desígnio nos permite um desejo comum a tantos, perceber a matemática dos padrões que nos rodeiam, em suma: buscar entender a fimbria da realidade, o suave véu que cobre o mundo que nos rodeia.

Agradecimentos

Quero agradecer à minha orientadora de Doutoramento, Professora Dou- tora Arq. Fátima Silva, pelo seu empenhamento e constante incentivo, que me permitiu concretizar esta iniciativa. Quero também salientar o papel fundamental do CITAD e seus intervenientes, para o sucesso desta iniciativa, e por todo o apoio que têm desempenhado de forma constante. E deixar um agradecimento especial aos alunos que me acompanham ao longo destes anos, sendo estímulo de aprendizagem mútua.

220 As fórmulas na arquitectura Recognition of patterns on facades

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As fórmulas na arquitectura 223

CITY, TERRITORY, URBANIZATION urban infrastructure parameterization

Elsa Negas Rui Seco CITAD - Centro de Investigação em Território, Arquitectura e Design da Universidade Lusíada, Lisboa, Portugal

Abstract: The city, a human creation dating back thousands Elsa Negas of years, has been over the last three centuries deeply trans- College teacher of applied mathe- formed and widely spread. As a word and as a concept, the matics since 1993. Master’s degree city has been substituted, firstly by urbanization and then by in Applied Mathematics by the urbanized territory, suburbanization, urban sprawl, x-urba- Faculty of Sciences of the Universi- ty of Lisbon (FCUL). Researcher at nism and other terms, varying according to the language and CITAD. Co-founder and co-coordi- the perspective. This imprecision and comprehensiveness of nator of the Seminars of Architec- terms and concepts hinders perception and reasoning and ture and Mathematics - Formulas in Architecture. Published, in 2019, hampers urban management and planning. the book “Estatística: Explicação This study aims to contribute towards a more accurate Teórica, Casos de Aplicações – knowledge on the territory and the city, from the analysis of Resolução de Exercícios” Edições Sílabo. data about infrastructure and basic urban services. For that purpose, it proposes the creation of an indicator for evalua- ting urban infrastructure. As part of a broader research project dedicated to the estuary of the Tagus River and its territory, it analyses the heteroge- neity of the estuarine area identifying and studying the differences in its urbanization levels. At this stage the main focus is to establish a methodology and to apply and test it in a parcelled basis. Key factors such as mobility – transports, connections, roads - access to media and information - data networks and digital communication - as well as traditional city infrastructures Rui Seco – water supply, electricity, sanitation - and urban services – Architect, urban planner, teacher, administration, commerce, public services - are considered editor and researcher on architecture and urbanism, with the main in this analysis as inputs which infrastructure the territory interest field in the city and the and potentially foster its development. From their surveying evolution of urban concepts from will be sought a precise tool of assessing their relative weight the second half of the 20th century. He is currently research fellow at in the territory, either by means of a mathematically based CITAD. evaluation, such as a formula, or by representation through diagrams, cartography and other graphic displays.

Keywords: Level assessment; City; Infrastructure; Paramete- rization; Territory; Urbanization.

As fórmulas na arquitectura 225 Elsa Negas e Rui Seco

CIDADE, TERRITÓRIO, URBANIDADE parametrização da infraestruturação urbana

Introdução

A ocupação do espaço territorial evoluiu com o próprio desenvolvimento do homem e dos seus modos de vida. À medida que deixou o nomadismo e se fixou, o homem iniciou a transfor- mação do meio, através da agricultura e da construção de abrigos e estruturas, que se desenvolveram e tiveram um papel na própria evolução humana. A cidade, estrutura que ordena construções de âmbito diverso numa or- ganização comum, constitui um progresso determinante na História, proporcionando o desenvolvimento da economia, da sociabilização, do governo e adminis- tração, da organização social, e da segurança e defesa. Ao longo do tempo, a cidade foi evoluindo, adaptando-se às diferentes con- dições e necessidades, conforme as próprias sociedades a que se destinava, e das quais constituía espelho. Nos últimos três séculos, desde a revolução industrial1, a cidade foi objecto de um profundo desenvolvimento e transformação, crescendo, expandindo-se e de- sempenhando novas funções, enquanto ganhava uma importância e um dinamismo crescentes e ocupava igualmente uma superfície cada vez maior do território. Desde que Lewis Mumford, em 1938, descreveu a cidade como o “ponto de máxima concentração para o poder e cultura de uma comunidade”2, a sua transforma- ção foi maior ainda do que nos dois séculos anteriores. O desenvolvimento dos transportes individuais e da rede viária, a criação e utilização constante e intensi- va de novas tecnologias de informação e a rápida evolução económica dos países de áreas do globo menos desenvolvidas transformaram a ocupação do território e as características da cidade de modo vasto e célere. Como palavra e como conceito, a cidade foi substituída, primeiro por urbani- zação e posteriormente por território urbanizado, suburbanização, urban sprawl, x-urbanism, entre outros termos, variando conforme a língua e a perspectiva de

1 A revolução industrial, com início em Inglaterra no final do século XVIII, constituiu um momento de transformação urbana a um ritmo sem precedentes. A concentração de fábricas nas cidades mais desenvolvidas causou grandes migrações populacionais, de mão de obra operária que abandonava o campo e a economia rural, alterando toda a distribuição demográfica e pressionando as cidades para um rápido crescimento e alterações de função com reflexo directo na sua forma. 2 Lewis Mumford, um dos grandes historiadores do século XX sobre a cidade, refere-se a uma tipologia de cidade pós-industrial já sedimentada, que na época era ainda claramente identificável e referenciável.

226 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization abordagem. No terreno, esta alteração foi efectiva. Os núcleos urbanos tradicionais, baseados numa estrutura e morfologia milenares, perderam a importância central a que se referia Mumford, e as funções económicas e administrativas que desempenhavam espalharam-se de um modo mais vasto e alargado pelo territó- rio, de acordo com novas tipologias de organização espacial e de ligações. De acordo com perspectivas recentes, como a interpretação de Alain Bourdin sobre a evolução da cidade depois da crise de desenvolvimento ‘fordis- ta’, a imprecisão e abrangência de termos e de conceitos no que se refere à cidade e ao espaço urbanizado dificulta a percepção sobre a realidade e o raciocínio disciplinar, impedindo mesmo o planeamento e o desenvolvimento de propostas3. O “triunfo dos conceitos vagos”, em que se deu um “enfraquecimento da referência científica”, é um problema que Bourdin identifica na cidade actual, resultando em interpretações diversas sobre as questões e em dificuldades de compreensão entre os crescentemente numerosos actores que intervêm nos processos de planeamento e decisão. Este estudo pretende (ainda que moderadamente) contribuir para uma maior objectividade do conhecimento e do discurso sobre o território e a cidade, concorrendo para o entendimento da sua evolução e das suas perspectivas fu- turas. Tendo em vista estes objectivos, procura sistematizar de modo operativo dados sobre a sua infraestruturação e desenvolvimento. Aspectos como a mobilidade, os transportes e ligações, o acesso às tecnologias, redes e mundo da comunicação digital, bem como as infraestruturas de urbanização clássicas (água, electricidade, saneamento) e os serviços e equipamentos urbanos são considerados nesta análise como factores criadores ou indu- tores de urbanidade, que infraestruturam o território e lhe atribuem potencial de desenvolvimento económico e social. A partir deste reconhecimento, procura alcançar-se um modo operativo de avaliar e comunicar o peso relativo destas valências no território através de uma avaliação de base matemática, para o que se propõe uma sistematização sob ex- pressão de uma fórmula que incorpora e pondera os diversos factores considerados. A partir do desenvolvimento deste instrumento de aferição, pretende realizar-se, numa segunda fase da investigação, a sua aplicação de um modo siste- mático ao território que se pretende analisar – a envolvente do estuário do Tejo, no litoral atlântico de Portugal – de modo a alcançar uma representação das assimetrias verificadas, através de cartografia, diagramas ou outros registos gráficos, proporcionando uma leitura mais clara e comunicativa dos resultados.

3 Para Alain Bourdin, todo o desenvolvimento do urbanismo liberal das últimas três a quatro décadas se baseia em perspectivas parcelares sobre a cidade, seguindo um modelo de intervenção, em torno da ideia de competitividade, que se propagou globalmente.

As fórmulas na arquitectura 227 Elsa Negas e Rui Seco

Enquadramento

As últimas décadas têm sido prolíficas em estudos sobre o espaço urbano, tanto nas vertentes físicas como nas histórica, social ou económica. Desde a década de 1960 os estudos analíticos têm sido dominantes no campo científico respeitante à cidade4, com o desenvolvimento de um vasto corpo de conhecimento em domínios alargados, desde a história à percepção do espaço, à estrutura física e organização, aos processos de planeamento, à participação dos cidadãos e às tomadas de decisão, ao desenvolvimento económico, à competitividade e às dinâmicas territoriais, entre outros5. Os contributos mais recentes sobre a cidade focam a transformação em curso, visível no território, de substituição da cidade ‘tradicional’ pela urbanização difusa, ou dispersa, processo a que François Ascher chama a terceira revolução urbana moderna6. “Não seria então tempo de admitir, sem culpas, o desaparecimento da cidade tradicional e de se interrogar sobre aquilo que a substituiu, em poucas palavras, sobre a natureza da urbanização e sobre a não-cidade que parece ter se tornado o destino das sociedades ocidentais avançadas?”7 Esta interrogação de Françoise Choay traduz todo este processo de transfor- mação urbana e a ruptura que o mesmo demonstra face à ideia da cidade clássica e à sua morfologia, e reforça a necessidade de aprofundamento do conhecimento específico sobre estes territórios. Alain Bourdin reforça as diferenças entre aquilo que usualmente é conhecido por crescimento urbano em extensão: “O universo de pequenas vilas e aldeias inscritas numa mesma região urbana que se encontra

4 “Las ciências sociales, cuando se ocupan de la ciudad, tienden a centrarse en la dimensión analítica, la descripción, la interpretación, a veces la crítica de realidad”, referia em 2004 Jordi Borja relativamente ao carácter analítico da dedicação das ciências sociais à cidade; mas também no campo da arquitectura e urbanismo se pode entender um enfoque na análise, excepto no caso de propostas concretas de intervenção (planos ou projectos localizados). 5 Faz já meio século sobre a publicação por Aldo Rossi de ‘L’Architettura della Città’, por Jane Jacobs de ‘The Death and Life of Great American Cities’, por Christopher Alexander de ‘A City is Not a Tree’, por Kevin Lynch de ‘A Imagem da Cidade’ ou por Robert Venturi e Denise Scott Brown de ‘Learning from Las Vegas’, obras que reorientaram o campo teórico da arquitectura para a compreensão da realidade, em lugar do desenvolvimento de novas propostas e modelos. 6 Para Ascher, sociólogo urbano e um dos mais importantes pensadores sobre a cidade na transição para o século XXI, esta nova fase da cidade, que sucede à revolução da cidade clássica e à revolução da cidade industrial, corresponde a uma nova etapa da modernidade das sociedades ocidentais, e está ainda no seu início (2001). 7 Françoise Choay, em tradução de Eveline Bouteiller Kavakama para a Revista ‘Projecto História’, do Programa de Estudos Pós-Graduados de História da Universidade Pontifícia de São Paulo (1999).

228 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization na Bélgica não tem nada que ver com as periferias uniformes de moradias do Texas”8. O crescimento urbano global sobre áreas crescentes de solo encerra realidades muito diversas, e as percepções sobre o seu desenvolvimento nem sempre são exactas e fundamentadas, o que acompanha um planeamento orientado para a acção paradigmática, em casos modelo, com o “grande evento como motor de desenvolvimento (…)” o que “(…) não basta para criar um ‘círculo virtuoso’ ou uma dinâmi- ca económica sustentável”9. Para o entendimento desta vasta transformação urbana, o contributo de François Ascher tem sido decisivo no campo disciplinar. A sua obra ‘Metapolis: acerca do futuro da cidade’ constitui uma referên- cia no urbanismo contemporâneo, desenvolvendo uma leitura das dinâmicas de transformação e das relações entre espaço e tempo no território, sem deixar de reflectir e de desenvolver propostas de acção sobre a cidade10. Para Ascher, a cidade é um reflexo directo da sociedade, sendo necessário, para entender os terri- tórios da urbanização dispersa, perceber e estudar o seu dinamismo económico e social, a complexidade própria dos diferentes locais e as suas relações e ligações. A relação entre a metropolização e o desenvolvimento das telecomunica- ções é um dos aspectos fundamentais da análise de François Ascher. A influência destas novas tecnologias como estímulo para a dispersão, ou, pelo contrário, para recuperar a concentração urbana, os efeitos dos transportes rápidos no território e o efeito destes desenvolvimentos na criação de maior democracia e igualdade ou, ao invés, no acentuar de injustiças sociais, são pontos estudados pelo autor, que tenta perceber as inter-relações entre os diversos motores de desenvolvimen- to urbano que influem sobre o território, nem sempre coordenados, e em muta- ção tão acelerada quanto a velocidade dos desenvolvimentos tecnológicos que se sucedem, e que conduzem à revisão das concepções urbanas e metapolitanas. É ainda de destacar a importância atribuída por Ascher à mobilidade nesta nova realidade urbana, considerando o direito à mobilidade uma componente fundamental da cidadania, como parte do direito à cidade. A compreensão das múltiplas especificidades de cada território constitui

8 Em ‘L’urbanisme d’après crise’ (‘O urbanismo depois da crise’), Bourdin questiona não só o conceito de urbanização difusa como também a ideia de densidade e os métodos utilizados para a sua medição (2010). 9 Alain Bourdin, ainda na mesma obra, critica o urbanismo liberal e a sua metodologia de intervenção baseada numa visão de concorrência entre cidades. 10 ‘Metapolis: acerca do futuro da cidade’, publicado originalmente em 1995, reflecte sobre a relação entre metropolização e o desenvolvimento de telecomunicações e transportes, modos de vida, cidadania e gestão metropolitana. Com vasta repercussão, esta obra teve sucessão, pelo mesmo autor, em ‘Les nouveaux príncipes de l’urbanisme: la fin des villes n’est pas à l’ordre du jour’ em 2001, em Les Sens du mouvement. Modernité et mobilités, em 2005, e em ‘L’âge des métapoles’, em 2009, entre outros.

As fórmulas na arquitectura 229 Elsa Negas e Rui Seco

uma questão basilar na sua leitura e entendimento, para além das questões mais objectivas e legíveis. Nas palavras de André Corboz, “Não há território sem território imaginário. O território pode ser expresso em termos estatísticos (extensão, altitude, temperatura média, produção bruta, etc.), mas não pode ser reduzido a termos quantitativos. Sendo um projeto, o território é semantizado. É ‘discursável’. Tem um nome. Projecções de toda espécie se ligam a ele, o que o transforma em sujeito”11. No respeitante ao território português, e mais especificamente à área em estudo, o território envolvente ao estuário do Tejo, são de relevar alguns contributos significativos. É o caso do trabalho de Vítor Matias Ferreira sobre a área metropolitana de Lisboa, resultado de um projecto de pesquisa sociológica realizado entre 1995 e 1997, que procura avaliar a competitividade na transforma- ção urbana, comparando territórios com diferentes características e recursos12. A partir da realização de inquéritos e entrevistas específicos a interlocutores sociais diferenciados, o estudo trabalha uma base “opinativa”13, com particular enfoque na condição urbana e no potencial natural e patrimonial existente, e na renovação das frentes de água, em destaque nas vésperas da reabilitação urbana da área oriental da cidade através Exposição Internacional de Lisboa de 1998 (Expo 98). Outros autores têm desenvolvido trabalhos de análise das características do território português de urbanização difusa, com destaque para Nuno Portas e Álvaro Domingues. Desde a década de 1980, Portas estuda a urbanização do norte litoral de Portugal, com destaque para a área metropolitana do Porto e o ‘médio Ave’, procurando diferenciar as características de um território polariza- do e ‘rur-urbanizado’: “Começamos a aperceber-nos da singularidade do processo e formas de povoamento do Litoral-Norte do País (…)”14. O autor reflecte sobre a condição “(…) desta explosão urbana multiforme” de modo informado e mais alargado: “(…) a diversidade da sua composição veio para ficar, e não só no Noroeste” sendo “o que mais

11 André Corboz em ‘Le territoire comme palimpseste’, ensaio publicado em 1983. Neste texto o autor que desenvolve uma perspectiva antropológica sobre o território, entendido como o resultado de processos dinâmicos diversos, naturais e antrópicos, estratificados ao longo do tempo em camadas carregadas de significados. (tradução livre) 12 Vítor Matias Ferreira desenvolve este estudo conjuntamente com Walter Rodrigues, José Luís Casanova, Alexandra Castro, Luís Wemans e Teresa Amor. 13 Conforme explicitado “a temática da competitividade urbana não deixa de ser, em última análise uma temática dominantemente ‘opinativa‘“ (p. 197); o processo de realização de Inquéritos é descrito na Nota Metodológica do trabalho (anexo p. 277). 14 Portas em Novembro de 1986, na revista Sociedade e Território, onde alertava para as diferenças entre a Área Metropolitana do Porto e uma “(…) rede clássica de centros urbanos” perdendo a leitura de “(…) uma verdadeira ‘conurbação’ que inclui, mas não se esgota em, os seus centros tradicionais (antes pelo contrário, a sua maior dinâmica ocorre ’entre’ esses centros).”

230 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization importa (…) a requalificação das condições de urbanidade que a democratizam”15. Álvaro Domingues, conjuntamente com Portas e com outros autores, tem desenvolvido esta visão específica sobre o território português a partir da análise das suas dinâmicas e da compreensão das suas especificidades em obras como ‘Cidade e Democracia: 30 anos de transformação urbana em Portugal’ e ‘Território: Casa Comum’, e contribuído ainda para a divulgação na sociedade de novas leituras sobre o território, em livros como ‘A Rua da Estrada’ e ‘Volta a Portugal’16. Destaca-se neste âmbito a obra conjunta de Nuno Portas, Álvaro Domingues e João Cabral, ‘Políticas Urbanas’, em que são estudados os padrões de urbaniza- ção do contexto urbano português e a sua relação com as opções estratégicas, as políticas urbanas adoptadas, a governança e regulação, numa perspectiva crítica sobre os sistemas de planeamento. Este estudo procura identificar a relação entre as formas de planeamento e as novas dinâmicas territoriais diferenciadas entre as áreas metropolitanas, conurbações e cidades médias, de modo a melhorar a adequabilidade da organização institucional responsável pelo planeamento ao território diverso sobre o qual operam, a adaptabilidade dos instrumentos e mé- todos utilizados e a sua monitorização. Numa abordagem de maior aproximação à quantificação da informa- ção sobre o espaço urbano, é ainda de referir o trabalho coordenado por Jorge Carvalho sobre a ocupação dispersa, aplicado, à escala local, aos territórios de Aveiro, Ílhavo e de Évora17, com o objectivo de, através do cálculo dos custos de factores como a infra-estruturação, a edificação e a mobilidade, fundamentar recomendações para as políticas de ordenamento da urbanização dispersa e das suas dinâmicas.

Metodologia e desenvolvimento do estudo

O presente estudo tem por objectivo desenvolver uma proposta de quan- tificação do nível de infraestruturas urbanas no território, de modo a criar um modo prático e operativo de identificar a sua qualificação urbanística. Pretende- se que este indicador possa vir a constituir uma ferramenta indicadora do poten-

15 ‘As formas da cidade extensiva’, reflexão de Nuno Portas publicada em 2009 na revista Sociedade e Território, abordando conceitos de cidade, densidades, crescimento, centralidades, escalas e gestão urbanística, incluindo sobre os Planos Directores Municipais, de que foi impulsionador. 16 Álvaro Domingues participou activamente também na divulgação da obra de François Ascher em Portugal, tendo traduzido ‘Métapolis ou l’avenir des villes’ para a sua edição portuguesa. 17 Trabalho de investigação realizado conjuntamente pelas Universidades de Aveiro e de Évora em parceria com a Direcção Geral de Ordenamento do Território, com edição pela Direcção Geral do Território em 2013.

As fórmulas na arquitectura 231 Elsa Negas e Rui Seco

cial de desenvolvimento dos diferentes territórios, a partir da disponibilidade de infraestruturas e de serviços urbanos básicos. O desenvolvimento de uma parametrização da infraestruturação urbana de forma quantificada tem correspondência, noutras áreas disciplinares do conhecimento, como a Climatologia, a Saúde ou a Responsabilidade Social, a título de exemplo com a criação de indicadores que medem situações complexas, de re- lações compostas, integrando e ponderando diferentes componentes, com pesos relativos variáveis18. O nível de infraestruturação urbana é para este feito entendido num sentido lato, integrando não só as valências urbanas no sentido comum – arruamentos, passeios, electricidade, abastecimento de água e saneamento, etc. - mas também um conjunto de serviços urbanos e equipamentos tradicionalmente proporcionados pelo espaço da cidade – administrativos, culturais, de saúde, ensino ou representa- ção, entre outros – e também as condições diagnosticadas pela leitura bibliográfica como significativas na caracterização da tendência evolutiva actual da urbanidade estendida sobre o território, como a mobilidade – integrando quer o automóvel, quer as redes de transportes públicas, quer ainda os dispositivos e infraestruturas da mobilidade ‘soft’ – e o acesso e integração nas tecnologias da comunicação e informação – redes de comunicação e redes de dados, fixas e móveis. O índice que se pretende obter pondera este conjunto de condições, con- templando os seus diferentes pesos relativos, para obtenção de uma avaliação do nível de infra-estruturação aplicável a qualquer ponto do território. A sua obten- ção baseia-se na avaliação da oferta presente no terreno, com base na verificação da sua disponibilidade. Tendo por base o índice, o objectivo seguinte será a sua aplicação à área envolvente ao estuário do Tejo, de forma a identificar objectivamente as assimetrias existentes, tanto para verificação das percepções correntes sobre o tema, como para diagnosticar tendências de evolução, ou mesmo para fundamentar opções de planeamento e gestão territorial, em conjunto com outros conhecimentos sobre a realidade dos lugares. Encontrando-se este estudo numa fase ainda inicial de desenvolvimento, é procurado sobretudo o desenvolvimento de uma metodologia de abordagem, com aplicação ainda de modo parcelar, com vista à sua prossecução no futuro de modo mais alargado e sistematizado.

18 ‘Measuring corporate social responsability: A scale development study’, por Duygu Turker, no domínio da responsabilidade social, ‘Mental adjustment to cancer: its measurement and prognostic importance’, por Steven Greer e Maggie Watson, no domínio da saúde, e ‘HIAPER Pole-to-Pole Observations (HIPPO): fine-grained, global-scale measurements of climatically importante atmospheric gases and aerosols’, por S.C. Wofsy, no domínio da climatologia, são exemplos mensuráveis, a título de exemplo.

232 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization

Nesta primeira fase de desenvolvimento, definem-se as categorias fundamentais consideradas para o cálculo do índice, a partir da leitura bibliográfica realizada e do próprio conhecimento do território em estudo19. Desenvolvem-se ainda as propostas de avaliação e ponderação das componentes relativas a parte dessas categorias, sendo na próxima fase completada a restante parametrização e definida uma fórmula global de cálculo do índice. Foram identificadas 5 categorias fundamentais para o nível de infra-estru- turação:

- infraestruturas urbanas ‘tradicionais’ (ruas, passeios, electricidade, água , saneamento, iluminação); - serviços urbanos (comércio, cultura, administração, saúde, ensino); - redes de transporte (metro, comboio, autocarro, mobilidade ‘soft’); - acessibilidades viárias (rodovias, tráfego, estacionamento); - redes de telecomunicações (voz, dados, radiodifusão).

Estas categorias, com pesos relativos no cálculo, são elas próprias compostas por diversos factores que contribuem para a sua valoração (de que são apresentados alguns exemplos). Na seguinte tabela (Fig. 1), encontra-se sintetizada a metodologia geral do trabalho:

Figura 1. Esquema metodológico do estudo.

19 O território estuarino do Tejo tem vindo desde 2005 a ser objecto de estudo pelo Centro de Investigação em Território Arquitectura e Design (CITAD) no âmbito do Projecto de Investigação Estejo – O Estuário do Tejo e as suas áreas ribeirinhas: estratégias para a sua sustentabilidade e desenvolvimento.

As fórmulas na arquitectura 233 Elsa Negas e Rui Seco

Na primeira fase desenvolvem-se as componentes da fórmula relativas às categorias: redes de transportes e serviços urbanos, para as quais são elencados os factores que contribuem para a sua qualidade relativa. O nível de infraestruturação obtido deve ser aplicado a um ponto ou zona tão pequena quanto se consiga pois, na sua génese, são inseridos tempos de des- locação a pé que permitem classificar o acesso a serviços, escolas, transportes públicos, entre outros. O foco de estudo é a zona estuarina, mas o objetivo geral é a criação de um índice que classifique a infraestruturação e o facto de poder ser aplicado a qualquer zona do globo. Com a aplicação do índice numa zona será possível:

- Classificar a infraestruturação; - Classificar a atratividade para comércio, indústria e habitação; - Identificar debilidades/ pontos fortes e assimetrias; - Verificar a evolução ao longo do tempo e cruzar com outros indicadores.

Com o índice, numa análise multivariada ou a partir do cruzamento de informação, será possível relacionar a infraestruturação com outras variáveis, tais como grau de desenvolvimento, empregabilidade ou taxa de natalidade. É seguidamente apresentada de forma pormenorizada a criação do índice de infraestruturação, o qual resulta da conjugação de um elevado número de variáveis e do grau de acessibilidades das mesmas. Desenvolve-se ainda parcialmente este estudo, em duas das suas componentes fundamentais, com vista à sua prossecução.

Índice de infraestruturação

Todos os factores, ou variáveis, identificados como influenciadores da in- fraestruturação serão denominados itens e foram organizados em cinco categorias consideradas preponderantes e em seguida cada um dos itens foi analisado individualmente permitindo medir o seu impacto no todo. Esta análise baseia-se na apreciação da oferta disponibilizada, do ponto de vista do utilizador - efectivo ou potencial - das infraestruturas e serviços, com base na sua distribuição territorial. Como indicado anteriormente, as cinco categorias são: 1 – redes de transportes, 2 - serviços urbanos, 3 - infraestruturas urbanas “tradicionais”, 4 – acessibilidades viárias e 5 – redes de telecomunicações.

Para cada categoria é calculado um Índice legendado Ii, i = 1, 2, ... 5. Por fim, o Índice de Infraestruturação (Inf) é calculado com base nos índices

234 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization por categoria de forma ponderada, tal como mostra a fórmula:

A ponderação de cada categoria transmite o peso relativo que a mesma tem na infraestruturação. A soma das ponderações é igual à unidade. O índice será aplicado a diferentes locais os quais são designados por k, k = 1, 2, ..., a classificação da infraestruturação para um local é obtida em função do peso relativo e do índice de cada categoria i, i = ... 5, ou seja:

Infk = f(fki, Iki)

Transportes

Na categoria 1, rede de transportes, foram considerados importantes os seguintes itens:

- Existência de um dos transportes públicos (camioneta, autocarro, elétrico, barco); - Existência de um segundo transporte público – não podendo ser considerado o anterior (camioneta, autocarro, elétrico, barco); - Existência de um dos transportes intercidades (comboio, camioneta, avioneta, barco); - Existência de um segundo transporte intercidades – não podendo ser considerado o anterior (comboio, camioneta, avioneta, barco); - Existência de um bom conjunto de transportes públicos como ramo; - Existência de um bom conjunto de transportes públicos em forma radial; - Existência de todos os transportes como ramo; - Existência de todos os transportes em rede.

Tratando-se a rede de transportes públicos de um sistema hierarquizado, em que os diversos modos de transporte funcionam conjuntamente, de modo colaborativo, procura aferir-se o acesso à rede a partir de uma determinada loca- lização, incorporando também o modo de transporte, de forma ponderada, rela-

As fórmulas na arquitectura 235 Elsa Negas e Rui Seco

tivamente às suas diferentes áreas de influência20. A designação de rede de transportes em radial significa que o local em análise é cumulativamente ponto de partida e ponto de chegada para uma diversidade de outros destinos permitindo o acesso a diferentes locais. A designação de rede de transportes em ramo significa que o local em análise tem transportes públicos com destino a um único local, onde existe uma rede de transportes em radial.

Figura 2. Esquema de relação dos itens da categoria Transportes.

A noção de proximidade ou acessibilidade pode ser subjetiva, havendo a necessidade de sistematizar e uniformizar para o cálculo do índice de infraestru- turação21. Assim, considera-se que o peso relativo da distância é simultaneamen-

20 Sobre este tema, ver, por exemplo o estudo de Paulo Brito da Silva (‘A Mobilidade nas Cidades: Infraestruturas de Transportes Públicos Urbanos’): a área de influência das estações e paragens de transportes públicos (definida de acordo com o percurso que as pessoas estão dispostas a percorrer, em média, a pé, ou eventualmente de outro modo) varia consoante a caracterização do transporte e o contexto urbano (centro/periferia) – 100 metros para autocarro, eléctrico ou metro ligeiro (para o último até 250 m nas periferias), 400 metros para metro pesado (1000 nas periferias), 1000 metros para o comboio suburbano (2000 nas periferias). Estas diferentes áreas de influência relacionam-se também com o distanciamento entre estações ou paragens. 21 A título de exemplo, podem apontar-se algumas formas de avaliação do fornecimento de transportes públicos a partir da disponibilidade, proximidade e frequência, como os de Graham Currie (‘Quantifying spatial gaps in public transport supply based on social needs’, 2010), de John Preston e Fiona Rajé (‘Accessibility, mobility and transport-related social exclusion’, 2007) ou de Eric Boschmann e Mei-Po Kwan (‘Toward Socially Sustainable Urban Transportation: Progress and Potentials’, 2008). No primeiro destes estudos, Currie integra a quantificação do serviço de transportes através da fórmula sendo SI o índice de fornecimento, CCD uma determinada área de recenseamento, N o número de pontos de acesso (paragens ou estações) a

transporte acessíveis a pé (‘walking distance’), Bn o número de paragens na área e SL o nível de serviço de transporte (contabilizado em número de paragens por semana). Sobre a acessibilidade em ‘walking distance’ ver, por exemplo, o estudo de Lucas J. Carr, Shira I. Dunsiger e Besse H.

236 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization te função das diferentes áreas de influência dos modos de transporte e do alcance relativo de uma caminhada (‘walking distance’)22. A sintetização destes critérios de padronização do nível de acessibilidade em função da distância e do modo de transporte é inserido no cálculo do índice da categoria como factor de impacto (fac), refletindo o impacto positivo ou nega- tivo na rede de transportes do local em estudo. Refletindo toda a informação recolhida e tendo como objectivo uma avalia- ção o mais rigorosa possível os factores de impacto (fac) considerados são apresentados nas tabelas seguintes.

Factor de Àrea de influencia Tempo de Modo de transporte impacto (fac) da paragem percurso23

1 autocarro; eléctrico; metro ligeiro dist ≤ 200 m 2,4 minutos

0,5 metro pesado 200 < dist ≤ 400 m 5 minutos

0,2 comboio suburbano dist ≤ 1000 m 12 minutos

0,1 comboio interurbano dist ≤ 2000 m 25 minutos Figura 3. Factores de impacto na classificação da proximidade / acessibilidade dos transportes (fac)

É de salientar que se atribui o valor 1 ao factor de impacto quando a deslo- cação é inferior ou igual a 200 m no caso dos transportes e de 30 km no caso do aeroporto.

Factor de impacto (fac2) Distância ao aeroporto 1 dist ≤ 30 km 0,5 30 km < dist ≤ 50 km 0,2 50 km < dist ≤ 75 km 0,1 75 km < dist ≤ 100 km 0 Caso contrário

Figura 4. Factores de impacto na classificação da proximidade / acessibilidade ao aeroporto (fac2)

Marcus, ‘Walk Score as a global estimate of neighbourhood walkability’. 22 Para este efeito considera-se percorrível a distância de 5 quilómetros numa hora, ou seja, consideram-se muito bons todos os acessos a uma distância até 200m, ou seja, ao alcance de uma caminhada de 2,4 minutos. Sobre a possível quantificação da acessibilidade em ‘walking distance’ ver, por exemplo, o estudo de Lucas J. Carr, Shira I. Dunsiger e Besse H. Marcus, ‘Walk Score as a global estimate of neighbourhood walkability’. 23 A duração das caminhadas foi calculada de acordo com a seguinte base numa hora são percorridos 5 quilómetros. Considerando-se muito bom todos os acessos a uma distância de 200m, ou menos, correspondendo a uma caminhada de 2,4 minutos.

As fórmulas na arquitectura 237 Elsa Negas e Rui Seco

A existência de transportes públicos associada à distância /acessibilidade não é suficiente quando se pretende classificar a infraestruturação, considerámos importante englobar a classificação da rede de transportes públicos no local a avaliar (também nesta situação foi considerado o transporte público mais próxi- mo e a primeira alternativa), assim como a existência de transportes nocturnos numa distância máxima de 300m (neste caso, não foi avaliada a periodicidade nem a existência de alternativa). A forma encontrada de classificar a rede de transportes públicos num conceito de objetividade e facilidade na recolha de informação é dando relevância ao intervalo de tempo entre transportes públicos consecutivos, nesse sentido recor- re-se a uma escala de Likert24 com 7 níveis, os quais têm como objectivo distinguir a frequência com que a localização é servida de transportes públicos, quer o mais próximo quer a alternativa. Apresentam-se agora os 7 níveis da Escala de Likert que devem ser consul- tados para a classificação de um bom conjunto de transportes públicos, a qual se baseia no intervalo de tempo entre transportes públicos consecutivos nos dias úteis no horário 7h00-22h00:

. 7 - o intervalo de tempo entre transportes consecutivos é no máximo de 5 minutos . 6 - o intervalo de tempo entre transportes consecutivos é no máximo de 10 minutos . 5 - o intervalo de tempo entre transportes consecutivos é no máximo de 20 minutos . 4 - o intervalo de tempo entre transportes consecutivos é no máximo de 30 minutos . 3 - o intervalo de tempo entre transportes consecutivos é no máximo de 50 minutos . 2 - o intervalo de tempo entre transportes consecutivos é no máximo de 2 horas . 1 - caso contrário

De forma sumária considera-se que o índice deve realçar:

− Os tempos necessários para deslocação até aos transportes públicos, exigindo pelo menos duas alternativas; − Os tempos necessários para deslocação até aos transportes intercidades, exi-

24 Sobre este tema, ver, por exemplo o livro de Elsa Negas, com a colaboração de Adelaide Carreira, Estatística Descritiva - Explicação Teórica, Casos de Aplicações e Exercícios Resolvidos. Lisboa, Portugal: Sílabo. 2019.

238 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization

gindo pelo menos duas alternativas; − Valorizar a proximidade a aeroporto; − Valorizar os transportes em radial.

O índice criado para a classificação da categoria rede de transportes é:

Legenda:

I1 - índice da categoria rede de transportes que será incluído no índice de infraestruturação Inf

pi - ponderação atribuída ao factor i fac - factor de impacto dos transportes

fac2 - factor de impacto do aeroporto

Itens: i=1 transporte público mais próximo; i=2 primeira alternativa de transporte público mais próximo; i=3 transporte intercidades mais próximo; i=4 primeira alternativa de transporte intercidades mais pró- ximo; i=5 aeroporto; i=6 existência de um bom conjunto de transportes públicos quer o mais próximo quer a alternativa; i=7 existência de transportes noturnos.

No gráfico (Fig. 5) são apresentadas as ponderações dos itens que compõem o critério transportes:

Figura 5. Gráfico com a valorização relativa dos itens na categoria transportes.

As fórmulas na arquitectura 239 Elsa Negas e Rui Seco

Os pesos relativos podem ser alterados salientando o grau de importância de cada item para o objetivo em estudo da zona k, garantindo que a sua soma é igual à unidade:

A ponderação, apresentada na figura 3 realça que para uma boa infraes- truturação é necessário uma boa rede de transportes, a existência de transportes nocturnos e proximidade ao aeroporto.

Serviços Urbanos

Na categoria 2, Serviços Urbanos, foi considerado importante o acesso aos seguintes itens:

- Finanças; - Correios; - Serviços Bancários; - Cinema; - Teatro; - Centro de Congressos; - Centro de Exposições; - Sector Terciário dos níveis I, II, III e IV; - Escolas dos níveis I, II, III e IV; - Escolas de Ensino Superior.

É de salientar terem sido criados 10 itens, dois dos quais serão classificados de acordo com uma escala de Likert de 4 níveis:

1 – Sector Terciário:

− Nível I - café e mercearia; − Nível II – multibanco, farmácia, pronto-a-vestir, cabeleireiro; − Nível III - serviços diversificados, inclusive mediadora de seguros, ope- radores de telecomunicações; − Nível IV - verifica o nível anterior e acumula comércio diversificado e grandes superfícies.

240 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization

2 – Escolas:

− Nível I – escola primária; − Nível II – escola do ensino básico (podendo ser pré-escolar e escola primá- ria, ou escola primária e ciclo); − Nível III – escolas até ao ensino secundário (pelo menos uma escola de cada nível, desde o berçário); − Nível IV – verifica o nível anterior e acumula ensino profissional.

Neste critério a distância a que os serviços se encontram é relevante e deve ser discriminatório, nesse sentido todos os serviços que se afastem mais do que dois quilómetros e meio (correspondendo a uma caminhada de 30 minutos, de acordo com o anteriormente considerado)25 deve ser classificado como ausente. De forma sumária considera-se que o índice deve realçar:

− A existência de serviços, de comércio e de cultura e lazer; − O nível de ensino que a localidade oferece.

O seguinte diagrama (Fig. 6) apresenta a relação entre os itens da categoria Serviços Urbanos:

Figura 6. Esquema relação dos itens da categoria Serviços Urbanos.

25 A duração das caminhadas foi calculada de acordo com a seguinte base numa hora são percorridos 5 quilómetros. Considerando-se muitos bom todos os acessos a uma distância de 200m, ou menos, correspondendo a uma caminhada de 2,4 minutos.

As fórmulas na arquitectura 241 Elsa Negas e Rui Seco

O índice criado para a classificação da categoria Serviços Urbanos é:

Legenda:

I2 – índice da categoria serviços urbanos que será incluído no índice de infraestruturação Inf

pi - ponderação atribuída ao factor i

ti - tempo de deslocação até ao factor i, se e só se superior a 30 minutos, caso contrário, deve ser atribuído o valor 1

Itens: i=1 finanças; i=2 correios; i=3 serviços bancários; i=4 cinema; i=5 teatro; i=6 centro de congressos; i=7 centro de exposições; i=8 sector terciário; i=9 escolas; i=10 ensino superior.

No gráfico (Fig. 7) são apresentadas as ponderações dos itens em estudo:

Figura 7. Gráfico com a valorização relativa dos itens na categoria Serviços Urbanos.

242 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization

Os pesos relativos podem ser alterados salientando o grau de importância de cada item para o objetivo em estudo da zona k, garantindo que a sua soma é igual à unidade:

A ponderação, apresentada na figura 5 realça que para uma boa infraes- truturação é necessário proximidade ao ensino superior, centro de exposições, centro de congressos e sector terciário. Para além das categorias rede de transportes e serviços urbanos, o índice de infraestruturação integrará ainda a ponderação das três categorias remanes- centes: infraestruturas urbanas, acessibilidades viárias e telecomunicações. Esta integração será efectuada na fase seguinte de desenvolvimento deste trabalho.

Conclusões

O trabalho apresentado é o início de um estudo que tem como objectivo contribuir para um conhecimento mais objectivo sobre o território e a cidade, desenvolvendo um índice de parametrização que permita uma leitura de maior objectividade na classificação da sua urbanidade, no que concretamente se refere às infraestruturas e serviços urbanos, em correspondência com as leituras con- temporâneas sobre a sua importância nas tendências de evolução da cidade e do território urbanizado. Tendo este objectivo em vista, sistematizou-se um conjunto de informação identificada como relevante, a partir da leitura bibliográfica e do conhecimento específico sobre o território sobre o qual se pretende testar o índice em desenvolvimento. Sendo analisados aspectos tão distintos como a mobilidade, o acesso aos transportes, a sua diversidade e periodicidade, a qualidade das ligações viárias, o acesso às tecnologias, em diversas formas, as infraestruturas básicas, como o saneamento, o comércio e os serviços públicos, assim como a cultura e o lazer, entre muitos outros, esta avaliação pretende aferir a situação actual, assim como analisar a sua evolução e contribuir para aperceber o potencial de desenvolvimento económico e social. A consideração de um tão elevado número de factores obriga ao tratamento quantificável de cada um deles e à sua ponderação na totalidade. Dada a diversidade e a complexidade dos aspectos em consideração, estruturaram-se categorias de itens para a composição do índice, de modo a ser objecto de uma ponderação relativa para a formulação do índice: transportes, serviços, rede viária, teleco-

As fórmulas na arquitectura 243 Elsa Negas e Rui Seco

municações e infraestruturas urbanas, considerando-se de grande importância o reconhecimento da ponderação de cada item na categoria a que está afecta e o seu peso relativo. Nesta fase, foi apresentado o estudo das componentes relativas às categorias rede de transportes e serviços urbanos, que será complementado na próxima fase de desenvolvimento do trabalho com as restantes categorias, completando a formulação do índice. Dado este faseamento, e encontrando-se o trabalho ainda em desenvolvimento, não se podem retirar ainda conclusões sobre a sua aplicabilidade ou eficá- cia, o que se prevê procurar aferir futuramente, através de testes da aplicação do índice no território, e do cruzamento com dados de outras proveniências. O índice pretende ser um contributo operativo para aferir qualidades es- pecíficas de infraestruturação, mas tendo em atenção que outras características e factores, para além de estatísticas e quantificações, são também indispensáveis para um conhecimento fundamentado do território, que se baseia também em factores naturais, sociais e culturais. Recuperando as ideias de André Corboz, o território como ‘sujeito’, semantizado, ‘discursável’26.

Agradecimentos

Este trabalho é financiado pelo Governo português, pelo Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior, através da FCT – Fundação para a Ciência e a Tecnologia, no âmbito do Projecto UID/AUR/04026/2019, e pela Fundação Minerva – Cultura, Ensino e Investigação Científica, no Centro de Investigação em Território Arquitectura e Design (CITAD), tendo sido desenvolvido no âmbi- to do projecto de investigação Estejo – Estuário do Tejo e suas áreas ribeirinhas: estratégias para a sua sustentabilidade e desenvolvimento, coordenado pela Professora Doutora Arquitecta Fátima Silva.

26 Conforme referido anteriormente na nota 11.

244 As fórmulas na arquitectura City, territoty, urbanization

Referências

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246 As fórmulas na arquitectura SIMETRIA A medida e o belo

Clara Germana Gonçalves CITAD, Universidade Lusíada, Portugal ISMAT, Portimão, Portugal

Abstract: If today it covers a wide spectrum of definitions, the concept of symmetry has, in its origin (summetria in Greek Clara Gonçalves and later symmetria in Latin), a more unitary meaning: that |b. 1969 | PhD in Architecture, of proportionality. In a mathematical context it will refer to ETSA/University of Sevilla, 2008 | Master in Architecture, Faculty of a measure common to two quantities (commensurability), Architecture, University of Lisbon, in an evaluative context it will refer to the correct proportion 1998 | Degree in Architecture, FA/ (evaluation of the beauty). Giora Hon and Bernard R. Golds- UL, 1993 | Associate Professor at ISMAT, Portimão | Research fel- tein thus consider two fundamental trajectories in the use of low at CITAD, Universidade Lu- the concept of symmetry: a mathematics and an aesthetics; to síada de Lisboa | Head of Archi- which two different meanings correspond – the relationship tecture Unit of Athens Institute for Education and Research (ATINER) between two entities and the property of a single whole. And, | PI of Project A Transdiciplinar despite the respective changes in each of these meanings – Dictionary for Architecture at while the first remained static for centuries, the second un- CITAD | Member of project Archi- tecture and Trandisciplinarity at derwent various changes from the 15th century onwards – the CITAD | Member of project Meta- distinction remains until the beginning of the 19th century. barroque: architecture’s aesthetics It is this first meaning of proportionality that will take on and future’s materiality at CITAD | Co-editor of Athens Journal of great prominence in Vitruvius. And it is between these two Architecture | Member of Scientif- worlds – mathematical and aesthetic – that architecture has ic Committee of International and always existed. Multidisciplinary Congress PHI | Copydesk of Jornal Arquitectos, This paper aims to be a contribution to an analysis of the rela- 2002/2005 and 2009/2011 | Prac- tionship between the concept of symmetry and the theory and ticing architect, since 1994 | practice of architecture and of how these two realities have simultaneously influenced each other. A second analysis is also proposed as a contribution: how, over time, the concept of symmetry, which is transversal to the various disciplines, can be presented with a leading thread that facilitates the understanding of both the different influences between architecture and other disciplines and the approach, or distance, from architecture to the various views of the world.

Keywords: Symmetry; Mathematics; Aesthetics; Symmetry in architecture.

As fórmulas na arquitectura 247 Clara Germana Gonçalves

Introdução

Começamos por ler, em dicionários e enciclopédias generalistas, algumas definições de simetria. No Dicionário Priberam da Língua Portuguesa (2008-2013): ‘Relação de tamanho ou de disposição que entre si devem ter as coisas ou as partes de um todo em relação a um ponto, eixo ou plano.’ No Cambridge Dictionary: ‘the quality of having parts that match each other, especially in a way that is attractive, or similarity of shape or contents.’ A esta definição geral segue-se uma especilizada: ‘in mathematics, the quality of having two parts that match exactly, either when one half is like an image of the other half in a mirror, or when one part can take the place of another if it is turned 90° or 180°.’ No Dictionaire Larousse mostra-se a etimologia: ‘symétrie (latin symmetria, du grec summetria, de sun, avec, et metron, mesure).’ E a definição de symétrie é a seguinte: ‘Correspondance de position de deux ou de plusieurs éléments par rapport à un point, à un plan médian.’ ‘Aspect harmonieux résultant de la disposition régulière, équilibrée des éléments d’un ensemble.’1 Na Encyclopedie (também Larousse) surge uma definição no âmbito da matemática (que remete para a definição matemática do Dictionaire (v. nota 1), uma no âmbito da biologia e, ainda, uma outra no âmbito da física. É de salientar que o dicionário dá como sinónimos de simetria, equilíbrio e harmonia. Esta breve análise mostra não só a maior presença que tem o conceito no âmbito científico como a multiplicidade de interpretações que lhe são atribuídas. Mostra, ainda, como, por exemplo na língua inglesa, o termo estará mais próxi- mo do seu significado original do que na língua portuguesa, já que na linguagem comum, quando é referida na escola, por exemplo, a simetria reporta sempre para uma ideia geométrica de simetria e, em particular, para a simetria bilateral2.3

1 Há ainda outras duas definições, mais especializadas: ‘Transformation affine qui, à un point M, associe un point M′, tel que le milieu de [MM′] est soit un point fixe (symétrie centrale), soit un point d’une droite ou d’un plan H1, (MM′) étant alors parallèle à une droite ou à un plan H2 sécant avec H1.’ E ‘Invariance d’une figure par une symétrie orthogonale. (On dit aussi autosymétrie).’ 2 A simetria bilateral refere-se a duas imagens – esquerda e direita – espelhadas segundo um, e único, eixo. Este tipo de simetria é muito comum no reino animal, por exemplo. É a esta forma de simetria que nos referimos quando usamos o termo ‘simetria’ na linguagem corrente. A sua forte, e facilmente observável, presença na natureza foi, desde sempre, e de acordo com os princípios que presidiram às suas formulações teóricas, determinante na arquitectura (e vastamente discutida na tratadística). Apesar de esta ser a forma de simetria mais facilmente identificável na arquitectura, existem outras que, no seu eloquente artigo (e frequentemente citado), Kim Williams (1999) explica, simples e eficazmente. 3 É com a descrição do contraste entre esse sentido mais originário e menos preciso e esse outro mais moderno e mais preciso que Hermann Weyl (2017, pp.11-12) inicia o texto do seu clássico e inaugural Simetria (or. Symmetry, Princeton University Press, 1952): ‘Num sentido, simétrico significa

248 As fórmulas na arquitectura Simetria

E seguimos com definições mais especializadas. No Dicionário breve de Física (Isaacs, 1990, p. 387) a simetria é assim definida: ‘um conjunto de invariâncias de um sistema. Um sistema não varia quando nele é aplica- da uma operação de simetria.’ É, portanto, uma operação que se repete. No Wolfram MathWorld (Weisstein): ‘An intrinsic property of a mathematical object which causes it to remain invariant under certain classes of transformations (such as rotation, reflection, inversion, or more abstract operations). The mathematical study of symmetry is systematized and formalized in the extremely powerful and beautiful area of mathematics called group theory.’ A definição que se encontra, por exemplo, na Stanford Encyclopedia of Philosophy é a de um conceito científico. A entrada denomina-se ‘Symmetry and Symmetry Breaking’ (Brading, Castellani, Teh, 2017) e refere-se exclusivamente à ciência. O texto começa por referir que as considerações de simetria dominam a física fundamental moderna, tanto na teoria quântica como na relatividade. Estas questões estão, ainda, directamente relacionadas com os problemas tradicionais da filosofia da ciência, que incluem o estatuto das leis da natureza, as relações entre a matemática, a teoria da física e o mundo, e em que medida a matemática informa a nova física. A arte não é referida. O mesmo acontece com a arquitectura. No Dicionário de Estética, Gianni Carchia (2009, p. 322) define simetria, ‘numa acepção muito geral’: ‘relação proporcionada e equilibrada entre as diferentes partes de um todo.’ Mas adianta que seria este o sentido vigente no mundo clássico e que equivaleria a beleza ou harmonia. Também Weyl (2017, p. 12) já tinha dado, em Simetria (1952) harmonia como sinónimo de simetria sendo este último mais aplicado no contexto acústico e musical. A entrada ‘Symmetry’ no The Dictionary of Art (Summers, 1996, p. 171) des- creve assim o termo: ‘Term used since the 17th century to describe the reflecting correspondence of points in a plane, or parts of a boby, with respect to a common axis.’ E, logo de seguida, ressalva: ‘In Classical antiquity, however, the word symmetria, which literally means something like “commensurability”, referred to the definition of forms in terms of a single unit of measure.’ Remetendo, portanto, para a ideia de comensurabilidade, da organização de um todo a partir de uma unidade, única e comum. A simetria implicará, assim, quer a correcta descrição da medida, quer a correcção

algo bem proporcionado, equilibrado, indicando a simetria um tipo de concordância em que várias partes integram um todo.’ E segue, explicando o segundo sentido da palavra simetria: a simetria bilateral: ‘A imagem do equilíbrio oferece uma ligação natural ao segundo sentido em que a palavra “simetria” é usada nos tempos modernos: a simetria bilateral, a simetria entre esquerda e direita, tão visível na estrutura dos animais superiores, em especial no corpo humano. Essa simetria bilateral é estritamente geométrica e, em contraste com o conceito vago de simetria [anterior], é um conceito absolutamente preciso.’ Note-se ainda o que refere Weyl (2017, p.11) sobre o uso da palavra simetria: ‘a palavra simetria é utilizada na linguagem quotidiana com [esses] dois sentidos.’ Ora, tal não sucede na língua portuguesa.

As fórmulas na arquitectura 249 Clara Germana Gonçalves

construção baseada nessa medida. Implica também a existência da proporção; ou seja, de relações independentes da unidade de medida eleita. A simetria contém assim, aspectos descriptivos e normativos. Tais aspectos eram evidentes no homo bene figuratus, de onde se deveriam aferir as proporções da arquitectura. Paradoxalmente, no [The] Penguin Dictionary of Architecture (Fleming, Honour, Pevsner, 1987), por exemplo, não existe a entrada. Será sintomático e quase paradoxal uma vez que a simetria está tão presente desde sempre na arquitectura. A entrada ‘harmonia’, por exemplo, não existe, mas existe ‘harmonic proportions’. Denotando talvez o facto de a simetria não ser um assunto especificamente arquitectónico. Já no Vocabulário técnico e crítico de arquitectura (Rodrigues, Sousa, Bonifácio, 1996, p. 243) são atribuídos três significados: ‘1. Harmonia resultante de certas combinações e proporções regulares. 2. Disposição de partes semelhantes ou não, mas distribuídas com equilíbrio. 3. Equilíbrio de objectos relativamente a um eixo real ou imaginário’; mostrando que não é um conceito isento de ambiguidade.

O conceito de simetria na sua origem: a medida e o belo

O termo ‘symmetry’ deriva das palavras gregas sun – com ou junto – e metron – medida. Indica, no seu uso original uma relação de comensurabilidade (tal como descrito por Euclides (act.c. 300 a.C) nos Elementos, por exemplo). Mais tarde é que terá vindo a significar uma relação de proporção, baseada nos números naturais, cujo objectivo era a harmonização de diferentes elementos num todo unitário. O que significa que a simetria era um conceito estreitamente ligado aos de harmonia, beleza e unidade, o que o tornou um conceito fundamental na formulação de diversas teorias sobre a Natureza. Os poliedros regulares são centrais, por exemplo, na doutrina dos Elementos Naturais exposta por Platão (428/427-348/347 a.C.) no Timeu (o Fogo tem a forma do tetraedro, a Terra do cubo, o Ar do octaedro, a Água do icosaedro e o Universo a do dodecaedro). (Brading, Castellani, Teh, 2017) Em traços largos, para os antigos Gregos, o termo simetria significava a medida comum a diferentes coisas. (Darvas, 2007, p. 2) Em From Summetria to Symmetry: The Making of a Revolutionary Scientific Concept, Hon e Goldstein (2008, p. 2), logo na Introdução, são assertivos: na Antiguidade, simetria – summetria, em grego –, teria um significado básico: o de proporcionalidade. No seu uso, dois contextos são fundamentais: o matemático e o valorativo. Os respectivos significados específicos serão, respectivamente, medida comum (comensurabilidade) e bem proporcionado (correspondendo à apreciação da beleza). A coerência destas duas trajectórias corresponderá a dois diferentes entendimentos do conceito de simetria: por um lado a simetria entendida como a relação entre duas entidades,

250 As fórmulas na arquitectura Simetria por outro, a simetria entendida como uma propriedade de um todo unificado. E apesar das alterações sofridas em cada um dos casos, esta distinção manteve- se desde a Antiguidade até ao século XIX. Os seus respectivos representantes são, na Antiguidade, Euclides e Vitrúvio (act. séc. I a.C.) e, na Época Moderna, Adrien-Marie Legendre (1752-1833) e Sylvestre François Lacroix (1765-1843).

O conceito de simetria, hoje: continuidade

Para György Darvas (2007, p. 2), o Homem tem necessidade de princípios organizadores e a simetria faz parte de um conjunto de conceitos que correspondem a princípios organizadores. São, também, exemplos deste tipo de conceitos: regularidade, hierarquia, sistema. Apesar da dimensão matemática ser aquela que parece dominar o contexto da simetria, é enorme o espectro de situações em que esta surge. Hoje, é um conceito abrangente que surge no dia-a-dia, nas ciências, nas artes. Apresenta-se em física, cristalografia, astronomia, química, biologia, psicologia, música, literatura, artes plásticas, ética, lógica, filosofia, economia. Quando explica como em cada um destes contextos disciplinares é a simetria discutida, Darvas (2007, pp. 2, 33- 34), refere-se, em relação à arquitectura, às proporções e à forma. Partindo deste pressuposto, poderemos pensar outras realidades. Ou seja, será possível pensar uma arquitectura em que a ideia de simetria não seja afectada por contigências próprias da arquitectura (como a gravidade, a escala humana, etc.). Juntamente com o conceito de simetria e com características comuns surgem, desde logo, os de belo, proporção, ritmo. O mesmo se aplica à perfeição (lógica e estética), à analogia ou à invariância na mudança (muito semelhante ao de simetria). (Darvas, 2007, p. 2) É interessante reparar que todos estes conceitos são discutidos desde sempre na arquitectura, e de modo interligado. E são, na opinião de Darvas (2007, p. 3), muito úteis para entender uma visão interdisciplinar do mundo. O que também mostra a qualidade holística da arquitectura. Ainda hoje.

O conceito de simetria em Vitrúvio

Segundo Vitrúvio, em De architectura, a simetria terá sido criada pelo homem primitivo: ‘(...) next, observation and application led them from fluctuating and indefinite conceptions to definite rules of symmetry.’ (Vitruvius, 1960, p.41) E ao explicar em que consiste a simetria, logo no início refere também além do templo, a balista e o barco. (Vitruvius, 1960, p.14) O que, per se, já mostra a abrangência do conceito, mas, denota, também, a importância da amplitude de conhecimentos que o arquitecto deveria ter, no entendimento de Vitrúvio. É,

As fórmulas na arquitectura 251 Clara Germana Gonçalves

ainda sintomático de outro aspecto referido por Mário Krüger (2011, pp. 37-39): enquanto De architectura considera a arquitectura para lá das suas fronteiras mais definidas, tal não vem a acontecer com De re aedificatoria que exclui do seu âmbito os assuntos que não dizem respeito à ‘edificação’ do seu sentido mais estrito. Gianni Carchia (2009, p. 322-323) (tal com outros autores como Darvas4 (2007), Hon e Goldstein (2004, 2008), por exemplo) considera De architectura a obra que melhor ilustra o significado de simetria no contexto da teoria clássica da arte. Por outro lado, De architectura foi também, na opinião deste autor, a obra que serviu de base às sucessivas reflexões sobre o tema até ao aparecimento de Leon Battista Alberti (1404-1472), Luca Pacioli (1445-1517) ou Albrecht Dürer (1471-1528). A simetria significa para Vitrúvio ‘co-modularidade’ – commodulatio – cujo resultado da aplicação é a euritmia – ‘uma sinfonia perfeita do jogo das proporções que parte do corpo humano e se estende até à harmonia das esferas celestes’. (Carchia, 2009, p. 323) Na sua tradução de Vitrúvio (2006, p. 31), Justino Maciel estabelece um significado semelhante, mas não exactamente igual: ‘Symmetria: comensurabilidade.’ Simetria será para Vitrúvio ‘a unidade de todas as partes em relação umas com as outras e com o todo, ou, por outras palavras, será o sistema inter-relacional de módulos’. Vitrúvio aproxima a ideia de simetria ‘da ideia de commodulatio, ‘ordenação conveniente, tendo como referência um módulo’. Justino Maciel explica, ainda, que ‘a palavra grega symmetria não tinha o significado que hoje apresenta em português. Os latinos não criaram uma palavra nova, como dizia Plínio (…).’ Justino Maciel (Vitrúvio, 2006, p. 31) diferencia traduções, de acordo com o respectivo contexto, traduzindo então simetria ‘por sistema proporcional de medidas, por cor- relação modular ou até, simplesmente, por sistema de medidas’. No Livro I, cap. II, 4., Vitrúvio entende a simetria como o acordo entre o arranjo das partes da obra e das partes com o todo, de acordo com uma parte seleccionada como módulo [standard, na tradução inglesa]. E explica como no corpo humano é visível a simetria. Propõe que na concepção de um templo a simetria seja calculada a partir da espessura da coluna (ou, ainda, de um tríglifo ou de um módulo). (Vitruvius, 1960, p. 14) Na presente tradução de Vitrúvio (trad. Morris Hicky Morgan) o texto aqui referido apresenta-se da seguinte forma: ‘(…) in the human body there is a kind of symmetrical harmony (…)’. Quando citado por Hon e Goldestein (2008, p. 5), o mesmo excerto do texto, a palavra

4 Darvas enfatiza, a este propósito, a ideia de que (apesar de não ser o único tratado em que é discutida a simetria, tendo até sido escrita uma obra sobre simetria pelo escultor e pintor Eufránor (act.c.390- c.325a.C.), como refere o próprio Vitrúvio bem como Plínio, o Velho (23-79d.C.)), a obra de Vitrúvio não será a única, mas foi a obra mais antiga que sobreviveu e é fundamental por ser aquela que estabelece um verdadeiro vínculo entre a Antiguidade e o Renascimento. (Darvas, 2007, p.49)

252 As fórmulas na arquitectura Simetria harmonia surge como euritmia, à qual os autores acrescentam o original em latim: ‘(…) in the human body there is a symmetric quality of eurhythmies [symmetros est eurythmiae qualitas] (...).’ Este aspecto é sintomático de outros dois aspectos muito interessantes e que estão ligados entre si: por um lado, a dificuldade em traduzir estes três conceitos por não serem claros quer na sua génese, quer nas suas sucessivas interpretações, e por outro lado, o facto destes conceitos surgirem sempre ligados e em relações de interdependência.5 No Livro III, capítulo I, intitulado, precisamente (na presente edição), ‘So- bre a simetria: nos templos e no corpo humano’, no ponto 1., Vitrúvio (Vitruvius, 1960, p.72) explica como a concepção do tempo depende da simetria cujos prin- cípios deverão ser aqueles a que o arquitecto deverá devotar maior atenção. Es- tes devem-se à proporção (e explica que proporção em grego é αναλογία (analogia)). A proporção será ‘uma correspondência entre as medidas dos membros de uma obra e do todo e uma determinada parte escolhida como modulo’. Daqui, resultam os princípios da simetria. Sem simetria e proporção não é possível conceber qualquer templo. Isto é, se não existir uma relação precisa entre os seus membros, tal como acontece no caso de um homem bem configurado. No Livro VI, capítulo II, intitulado (na presente tradução) ‘Simetria, e res- pectivas modificações de acordo com o sítio’, Vitrúvio (Vitruvius, 1960, p.174) refere não haver nada a que o arquitecto deva devotar mais atenção do que às exactas proporções do seu edifício referindo-se a certa parte do edifício seleccionada como módulo – o módulo da simetria. Este standard deve ser a primeira coisa a ser definida: ‘There is nothing to which an architect should devote more thought than to the exact proportions of his building with reference to a certain part selected as the standard. After the standard of symmetry has been determined (…).’ A tradução de Justino Maciel (Vitrúvio, 2006, p. 226): ‘Não haverá maior cuidado por parte do arquitecto que não seja o terem os edifícios correctos planeamentos de acordo com pro- porções reportadas a uma determinada parte. Uma vez constituído o sistema de medidas e explanadas por cálculos as modulações (…).’

A ideia de simetria no Renascimento: a ênfase na proporção e a ausência de termo

Petrarca (1304-1374) terá reconhecido a inexistência do termo latino equivalente ao grego simetria. Assim, no Renascimento, os diversos autores rein- terpretaram e modernizaram o termo simetria segundo os seus próprios fins,

5 A título de exemplo, podemos acrescentar, também, as múltiplas traduções adoptadas por diferentes autores para cada um dos principais conceitos abordados por Alberti que são reproduzidas por Joseph Rykwert, Neil Leach e Robert Tavernor, no Glossário, na sua tradução do De re aedificatoria. (Alberti, 1988)

As fórmulas na arquitectura 253 Clara Germana Gonçalves

colocando a ênfase no seu sentido de proporção. (Darvas, 2007, p.50) Terá sido através das inúmeras e sucessivas traduções de Vitrúvio, e outras obras do Re- nascimento sobre estética, nas diferentes modernas línguas europeias que se foi introduzindo, num crescente número de países, o conceito de simetria.6 (Dar- vas, 2007, p. 52) Nos tratados de arte e de arquitectura do Renascimento, simmetria é frequentemente tratado do ponto de vista da harmonia reportando para as razões entre os primeiros números naturais – 1:1, 1:2, 2:3, 3:4, etc. – enfatizando a pro- porção, mais do que a uniformidade da medida. (Summers, 1996, p. 171) Segundo Darvas (2007, p. 50), terá sido Alberti o primeiro autor a usar a palavra simetria no contexto estético, mas em relação à pintura. E usa o termo com os dois sentidos independentes: o geométrico e o estético. No entanto, Alberti não traduz o termo para italiano e na sua tradução para italiano – Della pittura (1436) – do seu tratado (escrito originalmente em latim) De pictura (1435), surge a palavra misura. (Darvas, 2007, p. 50-51) Terá sido Ghiberti (1378-1455) quem, nos seus Commentarii (1455), estabeleceu o conceito de simetria, e quem introduz o uso da palavra proporzione, usando os dois termos como sinónimos. É também Ghiberti quem associa proporcionalidade a beleza. No final do século XV, proporzione era, sem ambiguidade, a palavra italiana para simetria. (Darvas, 2007, p. 51) Será pertinente relembrar aqui que, além do primeiro autor do Renascimento a criar um corpo teórico no contexto da arquitectura, Alberti era, antes de tudo, um humanista. E era, antes de tudo, aos humanistas que, segundo Hanno-Walter Kruft (1994, p. 44), se dirigia o seu tratado escrito em latim. Como já referido, Alberti não considera o conceito de simetria. O conceito que destaca é o de proporção, expresso no termo finito. Kruft (1994, p. 46) explica como para Alberti a ideia de proporção corresponde às de symmetria e eu- rythmia em Vitrúvio, e abrange a ideia moderna de proporção, mas em sentido mais lato. E Kruft (1994, pp. 46-47) explica como, antecipando Claude Perrault (1613-1688) que formula a sua “beauté positive” no final do século XVII, Alberti requere para os edifícios uma simetria no sentido moderno do termo, fazendo corresponder os membros do lado esquerdo aos do lado direito, tal como, considera, sucede na Natureza. Kruft explica ainda como a adopção da tradição (de Santo Agostinho (354-430) e Boécio (470/475-524)) de tornar coincidentes as leis da proporção na arquitectura com a harmonia musical torna análogos o fini- to na arquitectura e a harmonia na música. O que do ponto de vista da simetria continua a fazer sentido, uma vez que, como já vimos, o conceito de simetria também se aplicará ao ritmo. (Carchia, 2009, p. 322)

6 Para Albrecht Dürer, por exemplo, este era já um conceito corrente.

254 As fórmulas na arquitectura Simetria

À semelhança de Alberti, e seguindo a mesma tradição humanista, a simetria significava para Palladio (1508-1580), mais do que a simples aplicação de um sistema de proporções comensuráveis. Herdeiro de uma longa tradição revelada por Pitágoras (c.570-c.500/490a.C.) e depois por Platão (de quem se considerava seguidor), Palladio entendia a simetria como uma relação entre os números, cheia de significado, em harmonia com a ordem cósmica tal como anunciava essa tradição de que era herdeiro. (Wittkower, 1998, p. 97) Wittkower (1945, p. 72) explica como a definição de beleza em Palladio segue muito de perto a de simetria em Vitrúvio: a correspondência das partes entre si e das partes com o todo. Deste modo, o edifício deve surgir como um corpo inteiro e completo em que todos os membros são necessários para a unidade o edifício.

A ideia de unidade orgânica: a simetria como conceito transdisciplinar no Renascimento

Na realidade, Filosofia, Ciência, Música, Arquitectura partilhavam os mesmos princípios. Desde o Timeu, obra de Platão que serviu de modelo quer para a ciência até ao seu culminar na física newtoniana, quer para a teoria da arquitectura (e para a música), que a verdade era entendida como correspon- dência matemática. E eram a Filosofia e a Ciência, as duas disciplinas de maior relevo do bios theoretikos, que pretendiam revelar esta verdade. (Pérez-Gómez, 1999, p. 9). No mundo ‘sublunar’, a arquitectura deveria desvendar a verdade, revelando a ordem do cosmos. A ciência ditava aquilo que deveria ser contem- plado, a ordem proporcional que a arquitectura deveria incorporar, por analogia com a ordem da dança cósmica astral, não apenas como forma edificada, mas também como uma situação humana. A ideia de que a arquitectura é uma ciência e que cada parte do edifício – quer no seu interior quer no seu exterior – deve estar num e mesmo sistema de rácios matemáticos pode ser considerado, segundo Wittkower (1998, p. 104), o axioma primeiro dos arquitectos do Renascimento. A ideia da unidade simétrica é, pois, fundamental. Para Copérnico (c.1473- 1543), era de primordial importância a ideia da harmonia simétrica do universo – a sua forma entendida como um corpo gigantesco, coerente e bem proporcionado. (Lowinsky, 1989, p. 60). As ideias revolucionárias de Copérnico terão certamente que ver com a aplicação da simetria. Já Platão procurava um retrato de mundo perfeito – simples, simétrico. É esta a escolha de Copérnico: de uma descrição mais simétrica. A escolha, na realidade, entre uma descrição mais simples e uma mais complicada. (Darvas, 2007, p. 53) Na realidade, Copérnico também apelava ao

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juízo estético dos seus colegas matemáticos: o movimento circular uniforme do seu sistema heliocênctrico, ao contrário do sistema ptolomaico, era provido de beleza e unidade.7 (Bronovski, Mazlisch, 1988, p. 129) Este juízo estético, presente na ciência, apontado por Darvas, é também referido por Stephen Hawking (2002, p.ix) que refere a propósito da adopção das teorias de Copérnico por Galileu (1564-1642): ’Galileo found Copernicus’ proposal convincing not because it better fit the observations of planetary positions but because of its simplicity and elegance, in contrast to the complicated epicycles of the Ptolemaic model.’ Copérnico terá sido influenciado por Vitrúvio, em particular, no uso do termo symmetria.8 E criticava os astrónomos tradicionais por falharem ao não seguirem os princípios do som. Em De revolutionibus orbium coelestium (1543) compara os modelos Ptolomaicos a um ’monstro’ quando deveriam assemelhar-se a um belo homem (homo bene figuratus): ’[...] fragments would not belong to one another at all, a monster rather than a man would be put together from them!’ A astronomia tradicional falhava, aos olhos de Copérnico, na correcta descrição do desenho [design no original] do universo. (Hon and Goldstein 2004, p. 276) Apesar da aplicação da simetria se remeter ao seu significado matemático, percebemos que este não é independente do seu outro significado, o estético; que ambos estão presentes nos dois universos de modo interdependente.

O final do século XVII e a alteração do paradigma matemático: da aritmética à geometria

Contrastando com a estabilidade do significado matemático (o de comensurabilidade), um novo entendimento estético da simetria, presente nos textos de arquitectura dos séculos XVI e XVII, emerge em França.9 No século XVIII esse entendimento estético da simetria era já comum nos contextos da arte e da ar-

7 Por este mesmo motivo outros humanistas recusaram o trabalho da Escolástica. 8 O signifcado de symmetria tal como usado por Copérnico no Libro I de De revolitionibus orbium coelestium (1543) não é claro, apesar de o ser o facto de não se tratar do seu significado moderno. Copérnico não se refere à simetria bilateral ou a um outro tipo de simetria que implique transformação. Hon e Goldstein sustêm que também não será à comensurabilidade (como surge nos Elementos de Euclides) que se refere Copérnico quando usa o termo symmetria, mas sim ao seu significado antigo correspondente ao seu uso estético e que é o de bem proporcionado, tal como herdado de Vitrúvio e expresso no De architectura. Galileu terá, do mesmo modo, adoptado este conceito, herdando, também, Vitrúvio. (Hon e Goldstein, 2004, p.273) ‘Moreover, if Copernicus extended the idea of symmetry – a meaning well attested from Antiquity to the 17th century – from architecture to an arrangement of the cosmos, Galileo went further and applied it in a variety of different scientific contexts but always with the sense of proportionality.’ (Hon and Goldstein, 2004: 286). 9 Estes textos eram, por sua vez, inspirados por fontes italianas ainda do século XV.

256 As fórmulas na arquitectura Simetria quitectura e, em alguns casos, em contexto científico. Entre a segunda metade do século XVIII e o início do século XIX, a simetria entra em várias disciplinas sob o seu entendimento científico. (Hon, Goldstein, 2008, p.58) E o entendimento do que se entende como simétrico é, também, sintomático da alteração do paradigma do domínio da aritmética para o domínio da geometria que se faz sentir a partir do século XVII no desenho da arquitectura. A grande diferença consiste, pois, no final do Renascimento. A antiga ideia de simetria, adoptada por Gregos e Romanos, sobrevive até ao final do Renas- cimento. No século XVII emerge um novo entendimento para o conceito de simetria: este já não assenta nas proporções, mas numa relação de equivalência entre elementos que se opõem, como as partes esquerda e direita de uma figura. (Brading, Castellani, Teh, 2017) David Summers (1996, p. 171) explica como neste período, século XVII, quando a simetria passa a referir-se a uma relação de pura equivalência de pontos ou partes, na realidade, a diferença em relação aos períodos anteriores é que nestes últimos, parece não ter tido muita importância, em si, apesar de evidente quer na arte quer na natureza. Os diversos autores referiam-se-lhe como ’igualdade’, ’paridade’ ou ’conformidade’. Segundo Hon e Goldstein (2008: viii), quando Claude Perrault distingue os dois significados de simetria – o antigo, veiculado por Vitrúvio, identificado, agora, como ‘simetria uniforme’, e o coevo usado em França, identificado como ‘simetria respectiva’ – enquanto erradicava o antigo significado, substituía tam- bém o seu significado aritmético pelo novo geométrico. Trata-se do paradigma referido por Wittkower (1998, passim): o Renasci- mento é fortemente aritmético. As regras são as da aritmética. Já no Barroco, as regras são as da geometria. E, na realidade, a geometria que é visível não é a regra. (Tal como não se vê a aritmética do desenho renascentista.) Interessante para pensar o que é uma arquitectura mais aritmética e uma mais geométrica, apesar da impossibilidade de uma arquitectura sem geometria. Mas a geometria que desenha pode não ser, necessariamente, a disciplina de concepção. Isto é, sendo sempre a matemática que preside, pode ser a concepção pré-geométrica mais algébrica (aritmética) ou mais geométrica.

Le Corbusier: ainda a Antiguidade

Um caso particular relacionado com a presente discussão tem Le Corbusier (1887-1965) como protagonista. Em 1951, realiza-se, na Trienal de Milão, a confe- rência De Divina Proportione10, na qual participa. No entanto, mantém com a Orga-

10 É interessante notar que em 2011, comemorando o sexagésimo aniversário, da conferência De

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nização da Conferência uma acesa discussão: na sua opinião, a designação da Con- ferência deveria ser alterada para Symmetria. Le Corbusier alegava que a escolha do título que, então, se apresentava, significava a renúncia de uma longa tradição e o abandono da ‘exegese científica’, não se concretizando, assim, como um verdadeiro contributo para o objectivo a que apelava – ‘porter l’harmonie aux temps moder- nes’. (Le Corbusier, 2000b, p. 160) O título proposto por Le Corbusier, ao contrário do escolhido pela Organização da Conferência, não remeteria, em particular, para os estudos do Renascimento. Le Corbusier justificava, assim, a sua escolha: ‘Le mot de symétrie adoptable au-jourd’hui par l’avant-garde de la pensée moderne poursuit un double but: dénoncer sa fausse acception d’égalité maintenue par un académisme toujours vivace; replacer au contraire le terme de ’symétrie’ sur son plan originel qui est celui de l’équilibre – ce qui est le propre même de la proportion.’ (Le Corbusier, 2000b, p. 160)11 E seria certamente a simetria bilateral, imposta no século XVII, aquela que Henry- -Russel Hitchcock (1903-1987) e Philip Johnson’s (1906-2005) recusavam a favor do equilíbrio; equilíbrio que se aproximaria muito, ainda que mais plasticamente e menos disciplinar e simbolicamente, da original ideia de simetria. Ao referir-se ao Modulor, Le Corbusier usa o termo ‘medida’ e é, de facto, de medida que se tratava – no sentido em que era usado quer na Antiguidade quer no Renascimento quando era referida a simetria. Para Le Corbusier (2000a, p. 33) o metro não mais é do que um número abstracto, incapaz de qualificar um intervalo – uma medida [une mesure; a measure in space, na edição inglesa da obra]. Esse sentido – de tradição erudita – está também presente quando afirma que o Modulor é uma ferramenta de trabalho para quem cria (projectistas, designers), não para quem executa (pedreiros, carpinteiros). (Le Corbusier, 2000a, p. 180) Mas na procura da regra – um dos objectivos do Modulor – o arquitecto confronta-se com o seu gosto próprio. E Le Corbusier é muito claro quanto à limitação que o uso da regra pode implicar. O arquitecto tem de julgar com o seu talento:

‘Je contesterai toute formule et tout outillage qui m’enlèveraient la moindre parcelle de liberté. Je veux conserver si intacte cette liberté, qu’au moment

Divina Proportione, a Universidade de Leiden organizou uma conferência intitulada Objects of Belief: Proportional Systems in the History of Architecture, com o objectivo de ‘explore proportional systems as design methods and modes of belief since Antiquity’. (Org.Matthew A. Cohen and Maarten Delbeke) 11 Na realidade, Le Corbusier, não estaria totalmente correcto uma vez que no Renascimento a ideia de comensurabilidade é absolutamente fundamental para a arquitectura. Daí decorre o facto de o projecto se basear mais na aritmética – nos rácios entre os números naturais – do que na geometria, como acontecia, anteriormente, na Idade Média. (Wittkower, 1978) Ora, o conceito de simetria, tal como defende Le Corbusier, na sua discussão, era aquele que era vigente durante o Renascimento.

258 As fórmulas na arquitectura Simetria

où les chiffres d’or et les tracés me proposeront parfois une solution parfaite- ment orthodoxe, je riposterai: “C’est peut-être exact, mais ce n’est pas beau.” Concluant sans retour: “Ça ne me plait pas, je n’aime pas ça, je ne le sens pas avec mon flair, avec mon goût, avec toutes les intuitions qui sont en moi suffisamment présentes pour m’ordonner de décider: Je n’en veux pas!”’ (Le Corbusier, 1983a, p. 185)12

É interessante perceber que este não é um raciocínio moderno (neste caso do século XX). Podemos recuar e relembrar Palladio, mais uma vez, para quem também a objectividade e a subjectividade (embora não entendida nestes termos à época) eram difíceis de conciliar. Essa última palavra dada pelo autor-arquitecto a que se refere Le Corbusier é já referida por Palladio quando, aludindo às correctas proporções dos diferentes compartimentos de um edifício, declara: ‘há ainda outras alturas dos compartimentos que não obedecem a qualquer regra, e o arquitecto deve escolhê-las de acordo como seu julgamento e necessidade.’ (Palladio citado em Wittkower, 1998, p. 129 [trad. livre])

Simetria: a medida e o belo

A discussão remete para a distinção entre o objetivamente identificável e o subjectivamente identificável. E nesta discussão, muito cara à arte, em geral, mas também à arquitectura, a ciência, presente desde o início, apesar de uma tradição mais recente parecer ter querido excluí-la, manifesta-se constantemente. O conceito de beleza era especialmente caro a Einstein (1879-1955), o esteta por excelência [quintessential aesthete, no original] do século XX. (Farmelo, 2003, p.xv) No testemunho do seu filho mais velho, ‘[h]e had a character more like that of an artist than of a scientist as we usually think of them. For instance, the highest praise for a good theory or a good piece of work was not that it was correct nor that it was exact but that it was beautiful’. (Hans Albert Einstein citado em Farmelo, 2003, p.xv) Se o conceito de simetria continua a ser transdisciplinar, apesar das diferentes abordagens assumidas pelas diferentes disciplinas, poderá ainda hoje, ser um elo de ligação e um elemento importante numa nova visão holística da humanidade e do universo. Tal como referem Istvan Hargittai e Magdolna Hargittai (1994, p.xv; 1996, passim), não há simetrias específicas das várias disciplinas, mas diferenças de ênfase na aplicação do conceito. As ciências, as humanidades e as artes, têm-se, gradualmente, afastado. O estudo da simetria pode proporcionar uma ligação entre estas áreas. Pode, até, trazer, de novo, à luz assuntos esqueci-

12 Logo a seguir afirma: ‘Ce verdit ne mettra certainement pas en cause la mathématique (qui est aussi près du divin qu’elle sera à jamais insaisissable dans ses infinis retranchements).’ (Le Corbusier, 1983a, p.185)

As fórmulas na arquitectura 259 Clara Germana Gonçalves

dos nessa separação. O carácter transdisciplinar (e transtemporal), inerente a este conceito, será certamente uma base de reflexão quer para o futuro da arquitectura, em si, quer para as definições dos seus limites e para outras áreas do saber ou área indefini- das, ou novas áreas que estão por explorar. Por exemplo, aplicar a simetria topológica13 na arquitectura. Quando Dar- vas (2007, p. 34) refere as proporções e a forma para discutir a simetria no contex- to da arquitectura poderemos acrescentar algumas formas de simetria ainda não experimentadas: por exemplo, aquilo que poderíamos denominar como ‘simetria topológica’; incluir-se-ia uma arquitectura que retornasse sempre à sua configu- ração essencial; isto é, que, à semelhança da esponja, mantivesse o seu desenho depois de usada, voltasse à sua configuração original. Voltando ao início, e citando Darvas (2007, p. 35): ‘Like the concept, the phenomenon of symmetry has been an important bridge between the arts and the sciences.’ A medida e o belo: a medida também é bela, e o belo também é medida. Procuramos a medida no belo e o belo na medida.

13 Segue-se a descrição dada por Darvas (2007, p. 10): ‘When we squeeze a sponge, its shape becomes completely deformed, and its measurements change. The neighbourhood relations between the cells of the pores are unchanged, however, as are those of contact with the matter surrounding with cells. If this characteristic – the topological relations between points – is unchanged, we call this topological symmetry.’

260 As fórmulas na arquitectura Simetria

Referências

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As fórmulas na arquitectura 261 Clara Germana Gonçalves

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262 As fórmulas na arquitectura Project Presentation and Guided Tour

VISITA DE ESTUDO OBRA DE REMATE DO PALÁCIO NACIONAL DA AJUDA

Apresentação do Projecto de Arquitectura Arquitecto João Carlos dos Santos Sub-Director Geral do Património Cultural

Introdução

As Fórmulas na Arquitetura, organizou neste IV Seminário mais uma visita de estudo, desta feita a um dos edifícios mais emblemáticos do património monumental da cidade de Lisboa, o Palácio Nacional da Ajuda. A organização destas visitas tem o intuito de conhecer este património edificado de valor arquitetónico. Estas expedições iniciaram-se, a pretexto do primeiro Seminário, com a visita ao Museu Nacional de História Natural e da Ciência, à qual se seguiram no ano seguinte as visitas ao Panteão Nacional (Igreja de Santa Engrácia) e Igreja de Santa Clara, e no terceiro Seminário a visita ao MAAT (Museu de Arte, Arquitetura e Tecnologia). A visita ao Palácio da Ajuda incluída no programa do IV Seminário contou com a colaboração do Arquiteto João Carlos dos Santos, a quem agradecemos a disponibilidade, que na qualidade de Subdiretor da Direção-Geral do Património Cultural (DGPC) e autor do projeto de arquitetura para remate do Palácio, guiou a visita ao edifício e à obra de construção do corpo de remate, tendo para isso preparado uma exposição de enquadramento histórico sobre o edifício, assim como sobre a solução de projeto desenvolvida. Este novo espaço irá albergar uma Exposição Permanente do Tesouro Real.

As fórmulas na arquitectura 265

Exhibition

EXPOSIÇÃO INTERPRETAÇÃO PROJECTUAL DO TEMPLO DE SALOMÃO

Universidade Lusíada Faculdade de Arquitectura e Artes Arquitectura I 1º Ano do Curso – Componente Prática Coordenador - Professor Doutor Arquiteto Mário Chaves Professor Auxiliar - Professor Doutor Arquiteto Rui Alves

Introdução

Parte do programa deste Seminário, à semelhança dos anteriores, integrou uma exposição temática ilustrativa em torno dos temas abordados no programa de comunicações, este ano, foram apresentados trabalhos de alunos do 1º ano da faculdade de arquitetura e artes da Universidade Lusíada de Lisboa, que desenvolveram um estudo sobre a obra mítica do templo de Salomão com base numa ideia de composição e escala. Este trabalho foi realizado no âmbito da unidade curricular de arquitetura I, Coordenada pelo Professor Doutor Arquiteto Mário Chaves.

As fórmulas na arquitectura 269 Alunos do 1.º ano do curso de Arquitectura

Exercício 1

OBJETIVOS - Meditação sobre a relação entre a descrição escrita da arquitetura e a sua representação desenhada e em maqueta. - Ensaio de transposição da ideia arquitetónica para a representação e materialização projetual. - Compreensão do desenho como processo estratégico de exploração, comunicação e afirmação do conteúdo projetado.

Programa

Interpretação projetual da descrição do Templo de Salomão tal como se encontra na Bíblia: (https://bibliaportugues.com/1_kings/6.htm) Do Primeiro Livro dos Reis, Capítulo 6:

1 No ano quatrocentos e oitenta depois que os filhos de Israel foram tirados da terra do Egito, durante o quarto ano do reinado de Salomão em Israel, no mês de Ziv, o segundo mês do ano, ele começou a construir o Templo de Yahweh. 2 O Templo que Salomão edificou e consagrou a Yahweh tinha vinte e sete metros de comprimento, nove metros de largura e treze metros e meio de altura. 3 O pórtico, a sala de entrada, do santuário tinha a largura do Templo, que era de nove metros, e avançava quatro metros e meio à frente do Templo. 4 Ele mandou fazer janelas de treliças fixas para o Templo. 5 Edificou andares em torno do Templo, encostados na parede, tanto do pátio como do santuário interior, construindo assim salas laterais ao redor. 6 O andar térreo tinha dois metros e setenta centímetros e o terceiro andar tinha três metros e quinze centímetros. Ele orientou que se produzissem saliências de apoio nas paredes externas do Templo, e por esse motivo não foi preciso perfurar as paredes. 7 Na edificação do Templo só foram usados blocos cortados e preparados nas pedreiras, para que assim, durante os trabalhos de construção, não se ouvisse o barulho de martelos, machados ou qualquer outra ferramenta. 8 A porta para as salas laterais do meio estava no lado direito do Templo; e havia escadas espirais para subir ao andar do meio e deste ao terceiro. 9 Deste modo, ele construiu e terminou o Templo, ordenando que o cobrissem com vigas e tábuas do melhor cedro. 10 Também edificou e concluiu salas, ao redor de todo o Templo, e cada sala tinha dois metros e vinte e cinco centímetros de altura, e elas estavam ligadas ao Templo por resistentes vigas de cedro.

270 As fórmulas na arquitectura Exposição - Interpretação Projectual do Templo de Salomão

11 Então a Palavra do SENHOR veio a Salomão, dizendo: 12 “Quanto a esta Casa que estás edificando, se procederes de acordo com os meus estatutos, se obedeceres as minhas orientações e seguires fielmente os meus mandamentos, Eu confirmarei por teu intermédio a promessa que fiz a teu pai Davi. 13 E habitarei no meio dos israelitas e jamais desampararei o meu povo de Israel!” 14 Assim Salomão finalizou a construção do Templo. 15 Salomão mandou forrar todas as paredes do Templo por dentro com tábuas de cedro, cobrindo-as desde o chão até o teto, e fez o assoalho foi feito com tábuas de pinho. 16 Ele separou nove metros na parte de trás do Templo, erguendo uma divisória produzida com tábuas de cedro, do chão ao teto, a fim de edificar dentro do Templo o Debir, Santo dos Santos, o Lugar Santíssimo. 17 O Hekal, o átrio principal, localizado em frente do Debir, o santuário interno, media dezoito metros de comprimento. 18 O interior do Templo era todo forrado de cedro decorado com finos entalhes de figuras de frutos e flores abertas. Toda a parte de dentro da sala era revestida de tábuas de cedro da melhor qualidade. Não se observava nenhuma pedra aparente. 19 Preparou também o santuário interno no Templo para ali depositar a Arca da Aliança deYahweh. 20 O santuário interno media nove metros de comprimento, nove de largura e nove de altura. E Salomão ordenou que toda a parte de dentro fosse revestida de ouro puro, e, da mesma forma, mandou revestir de ouro o altar de cedro. 21 Também cobriu de ouro puro todo o interior do Templo, e estendeu correntes de ouro em frente do Debir, o santuário interno. 22 Desde modo, acabou por revestir de ouro puro todo o interior do Templo e também o altar que fazia parte do santuário interno. 23 No Debir, o santuário interno, Salomão mandou esculpir em madeira fina de oliveira as figuras de dois querubins, cada um com quatro metros e meio de altura. 24 As asas abertas da escultura destes seres celestiais mediam dois metros e vinte e cinco centímetros: quatro metros e meio de uma extremidade à outra. 25 Os dois querubins tinham exatamente a mesma medida e a mesma forma. 26 A altura de cada estátua era de quatro metros e meio. 27 E Salomão colocou os querubins, com as asas abertas, no santuário interno do Templo. A asa de um querubim tocava levemente uma parede e a asa do outro encostava na outra. As demais asas encostavam uma na outra no meio do santuário. 28 Ele também mandou revestir completamente os querubins de ouro puro. 29 Em todas as paredes do Templo, ao redor, tanto no interior como no exterior,

As fórmulas na arquitectura 271 Alunos do 1.º ano do curso de Arquitectura

mandou esculpir figuras de querubins, palmas de tamareiras e flores abertas. 30 E cobriu de ouro puro todo o pavimento do Templo, tanto na parte interna como na externa. 31 Salomão mandou produzir uma porta dupla para o Debir, a entrada do Lugar Santíssimo, em madeira de oliveira selvagem, a verga e os umbrais tinham cinco lados. 32 E nas duas portas de madeira de oliveira entalhou figuras de querubins, tamareiras e flores abertas. Também revestiu os querubins e as tamareiras de ouro puro batido. 33 Da mesma forma, para a porta do Hekal, a entrada do Templo, mandou fazer vigas de madeira de oliveira selvagem; seu enquadramento tinha pilares de quatro lados. 34 Ordenou que se produzisse também duas portas de pinho, cada uma com duas folhas que se articulavam por meio de dobradiças. 35 Entalhou imagens de querubins, de palmas de tamareiras e de flores abertas nas portas e as cobriu de ouro puro batido. 36 Mandou construir o muro do pátio interior com três camadas de pedra lavrada de alta qualidade e uma de vigas de cedro puro. 37 No quarto ano, no mês de Ziv, foram lançados os alicerces para a construção do Templo. 38 No décimo primeiro ano, no mês de Bul, o oitavo mês, a edificação do Templo foi concluída em todos os seus detalhes, de acordo com seu projeto. Salomão dedicou sete anos do seu reinado para construí-lo.

On Symmetry: In Temples and in Human Body

“A arquitetura dos templos depende da simetria, as regras as quais os arquitetos deveriam observar. A simetria surge da proporção, chamada pelos gregos de ἀναλογία [analogia]. Proporção é um ajustamento acertado do tamanho das diferentes partes e em relação ao todo, do qual essa simetria depende. Portanto, nenhum prédio pode ser chamado bem projetado se faltar simetria e proporção. Na verdade elas são tão necessárias para a beleza do edifício quanto são para a figura humana.”

Vitrúvio, “Tratado de Arquitectura” [trad. Port. M. Justino Maciel (Lisboa: IST Press, 2006)]

272 As fórmulas na arquitectura O NÚMERO E A FORMA A MATEMÁTICA ARQUITETADA

Mário Chaves Universidade Lusíada de Lisboa – Faculdade de Arquitetura e Artes | Lisboa – Portugal [email protected]

Abstract: A reflection on the entrails of mathematical Mário João Alves knowledge in its relation to the shape of things in an Chaves infinite Universe. The architecture of the infinite general Architect, MSc and PhD by the to the finite particular. The Architect of an unpredictable Lusíada University, Lisbon in 2011 Universe defined by mathematics, language, and art. The – “The Utility of Architecture Ob- number as a composing element of the formula behind the jects in the Society of Information”. Cultivates ‘Flexiexistentialismo’ form from its thought, materialization until its destruction. (flexible existentialism) as an atti- The materialization of philosophical and artistic thought tude and a way of empowerment with the profound mastery of the mathematical formula in life. Expert valuer of real estate and real rights. Book reviewer in culminates in architectural work’s splendor. Numbers ARQA architecture journal. Coor- represented informs that carry messages and feelings dinator of the collections of pub- and make us real in a virtual world that we could call the lications of the Research Project - Flexiexistencialismo, within the Matrix. Reality or fiction, macro, and micro scale, art, or Research Centre on Architecture geometric pragmatism? and Urbanism of the Faculty of Ar- The mathematics behind the thought – form is the chitecture of the Lusíada Universi- ty. Knight of ‘Ordem de Malta’ and structure of this complex existentialism that wants to be of ‘Ordem de São Maurício e São real and humanistic, and that tends towards the virtual Lázaro da Casa de Sabóia’. and misanthropic. The backbone of an artistic body of human will. The ambitious, desired, perfected AI based on mathematical calculations gain self-awareness and ceases to serve, and the purposes of the natural universe lose their meaning... Doesn’t the world we know exist in reality, or is it just part of an interactive neural simulation that we could call the Matrix? The numerical order makes us imperfect in the light of an unknown and straightforward natural Universe. It leads us in the constant search for perfection, looking for answers to questions that we should never have asked...

As fórmulas na arquitectura 273 Mário Chaves

O número é a ideia do Universo, na sua aritmética e na sua geometria. Por ele, conhece-se a unidade, estrutura-se a dualidade, e o resultado, o três; eis a prova. A Arquitetura que é a Forma, necessita de um três, na sua base elementar da sustentação, numa demonstração física da superfície, da essência de uma materialidade. No mínimo elementar de um sólido, a esfera exige três pontos para se definir; o centro e as coordenadas de superfície; um triângulo e uma pirâmide exigem essas três coordenadas referenciais, para assumirem a forma básica e elementar da construção e constituição. A base de uma forma de arquitetura que exige beleza, força e sabedoria para a sua formalização e realização enquanto entidade convocada, três entidades misteriosas para a magia da Arquitetura. Porque a magia existe na evanescência de uma forma arquitetónica inventada nas infinitas possibilidades; porque o Cosmos, a Natureza não faz Arquitetura. A Matemática é-lhes inerente e basilar, mas a forma arquitetónica é da vontade humana. O universo físico, necessita em absoluto da aritmética para a estruturação das suas quantidades e para o seu equilíbrio de forças; exige da geometria na definição da qualidade das formas em rigor e exatidão. O universo é aritmético pela dosagem do número, é geométrico pela estruturação sistematizada do número. O número é o elemento virtual que formaliza a qualidade e quantidade da invenção e a forma em definição de uma realidade que se ancora na virtualidade para a sublimação de uma existência, consubstanciada no ideal formal de um universo paralelo, onde a conceptualização é perfeita. O homem entende todo o real e o virtual, pela capacidade de interação entre as distintas realidades na vontade do raciocínio e perceção; constrói então uma humanidade na qual a Arte é a maior demonstração da capacidade de manipulação de uma abstração que existe em múltiplas dimensões, que as vai descobrindo. O engenho é a manipulação da realidade física por meio do intelecto e do que é proporcionado pela matéria; pela sua ação, átomos e moléculas moldam- se e subjugam-se ao valor da invenção; a ciência explica o Cosmos, a engenharia transforma o mundo e oferece soluções práticas para as distintas realidades que enformam o quotidiano, mas que perante a limitação física de corpos e matérias, consomem-se, depreciam-se e envelhecem urgentemente. Mas a Arte é perene, não encerra em si o sentido da limitação física e da castração da transformação material e da constante resolução de desafios e problemas. A tecnologia torna-se obsoleta e exige a continuada superação; a arte valoriza-se, realiza-se e é um desafio em si mesma. Essa foi a vontade da Arquitetura, que para com a sociedade, superou a dimensão telúrica do abrigo e revelou o esplendor da forma sob a Luz pela exigência da ideia. A Arquitetura nunca foi verdadeiramente necessária, senão na necessidade da perenidade da sociedade perante a indiferença da Natureza. Porque se inventou? Não foi descoberta, porque é inexistente na Natureza; inventou-se porque o homem social de raciocínio sagaz, exigiu a sociedade como

274 As fórmulas na arquitectura O número e a forma: a Matemática Arquitetada nova morada, superando a sua animalidade, conhecendo a moralidade e a ética, e exigiu a Arte, porque o seu raciocínio foi capaz de filosofar sobre a existência da sua alma; a consciência da existência de si mesmo. A Arquitetura veio dar a forma em objetos esplendorosos que fabricou, a corporização das instituições que legitimaram a sociedade, no ego poderoso, que lhe deu o domínio da Terra. Alexandre o Grande, foi o primeiro a entender a qualidade e quantidade da vastidão do Mundo, mas também a sua possível unidade, tal como o seu mentor, Aristóteles, o tinha preconizado ao reconhecer a qualidade da fundação do Lugar; o Mundo necessitava da simbiose entre o cidadão, a cidade e a cultura; o saber do individuo, a força da cidade e a beleza da cultura. Apoiou-se na força dos generais, no saber dos matemáticos e na beleza dos arquitetos. Em e por Alexandre e nas suas Alexandrias, o estatuto do Mundo mudou radicalmente; a arquitetura e a matemática, souberam construir, medir, cartografar, dar sentido a uma sociedade em afirmação. Alexandre, foi o primeiro visionário de um Mundo global, aberto, culto, integrador, apoiando- se nesse panteão de matemáticos e arquitetos, que 25 séculos depois, legitimam a propriedade do Mundo pelos cidadãos, que mudaram muito na sua posição social, mas a interação entre a sabedoria do seu saber fazer, a força do cálculo matemático e a beleza da forma construída, permanece inquestionável. Adriano veio consolidar as fronteiras de um Império Romano que preconizou o princípio do território moderno que a topografia e a geometria da geografia veio a consolidar no seu reconhecimento.

Busto italiano do Imperador Adriano, dinastia dos Antonianos – sec- XVIII

As fórmulas na arquitectura 275 Mário Chaves

Como o Viajante sobre o Mar de Névoa de Caspar David Friedrich, o Mundo fornece a vontade e a determinação necessária para a afirmação do Homem, que pela beleza da Arquitetura, a força da Matemática e a sabedoria da Filosofia – constituiu a base da sua sustentabilidade social; a Humanidade. Mas toda a Arte é também número, geometria, como preconizou Nadir Afonso e uma aritmética de traçados, como identificou Almada Negreiros; como todos sabemos, a Arte provem de um Universo multidimensional que se formaliza pelo número, em todos os seus graus e qualidades, porque é a capacidade de produzir com um pensamento reto, numa disposição suscetível de criação acompanhada de razão verdadeira, no pensamento de Aristóteles. Por isso a Arte tem sempre um infinito potencial, como uma descoberta sem fim do infinito matemático; mas não é previsível nem determinista. É a magia do inolvidável e do insoldável.

Ponto do Angulo Recto – Mário Ritta – óleo sobre tela - 2010

O valor da Arquitetura vem ao encontro desse infinito potencial, numa descoberta inesgotável da matemática, que pela aritmética e geometria, encontra, em valor, todas as formas necessárias à glória da exigência social e na exigência do exercício de uma liberdade, que os determinismos das engenharias entendem

276 As fórmulas na arquitectura O número e a forma: a Matemática Arquitetada castrar na mesquinhez de uma sensatez formalizada, formatada e previsível. Porque o conceito de infinito potencial que só a Arte contem, só é expressável pela liberdade matemática, porque todas as suas demonstrações excederiam em muito todas as partículas no universo e o tempo necessário ultrapassaria claramente a idade cósmica. Porque o infinito potencial é um conceito perturbador, tão fascinante quanto intrincado, mas inerente ao pensamento infinito humano. Talvez porque virtual. É então inequívoco que a Matemática e a Arte em todas as suas evidências e materializações, superam todas as limitações do conhecimento físico do macro aos microcosmos. A liberdade da estruturação matemática e do pensamento intrincado da invenção artística, conduzem a uma descoberta sem fim e na demonstração capaz de uma evidência superior, estruturadora de um valor e uma vontade. Um grande arquiteto do Universo, dá o pleno valor à demonstração matemática de uma realidade sistemática, mas também a possibilidade demonstrada de realidades supranaturais do raciocínio, da qual a Arte é o grande exemplo de que tudo no Universo é inteligente. A razão do grande Arquiteto do Universo, é a realidade do conceito de infinito, inexistente no universo real. Apenas um grande Arquiteto poderia ter oferecido a experiência do infinito pela matemática, pela linguagem, pela arte.

Grande Presença de Deus – Basília de Santa Maria Maior - Roma

As fórmulas na arquitectura 277 Mário Chaves

Pode entender-se a teoria da Relatividade para com a grandeza do Macro Cosmos e a teoria Quântica para com a subtileza do Micro Comos, nos paradoxos entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno, como o definido por Zenão de Eleia. Este pensamento paradoxal é conhecido como método de redução ao absurdo, que é de facto, o momento cósmico e civilizacional em que nos encontramos. Porque os paradoxos possuem uma arquitetura lógica impecável; as ciências focalizam o modo de ver o Mundo, as engenharias moldam-nos as maneiras de viver, mas as artes proporcionam as outras maneiras de viver. A Arquitetura materializada por matérias moldadas, por meio de forças e energias, resulta desse desejo sublime de superação da função; e é pela matemática que as suas formas são enaltecidas ao clímax da revelação da forma, pela geometria e da coerência da relação entre as funções e os números. Um paradoxo perante a linearidade da vida. Paulo d’Eça Leal pode ter descoberto a mecânica das Pirâmides, sem que estas máquinas deixem de ter o esplendor da forma construída; o angulo reto, moldado pelo esquadro que é a figura geométrica da humanidade para a sua retidão, é o exemplo concreto da afetação da linha reta à limitada dimensão humana, uma vez que o universo tende para a curva, personificado no compasso do direito divino da construção, como enunciado nas obras de William Blake. Na maçonaria operativa, os construtores de catedrais capacitavam-se nos traçados reguladores, para demonstrarem a sua veleidade e segurança na criação de edifícios divinos, como nos traçados da Catedral de Charters e Amiens.

Grau Maçónico com as 5 Ordens Arquitetónicas

278 As fórmulas na arquitectura O número e a forma: a Matemática Arquitetada

A criação Barroca, com curva contracurva em delírio, aproximou-se da divindade curvilínea, mas num conceito finito, porque a curva tende para uma certa finitude e clausura, que Bernini e Borromini tão bem entenderam.

Praça Navona com basilica de Borromini e grupos escultóricos de Bernini

O fim da sociedade crente conduziu à sociedade descrente; o homem ateu imagina e quer demonstrar a reta como a única possibilidade de uma linha infinita, mas usa-a limitada e timidamente, em troços mínimos, em sólidos regulares de ângulos retos e na máquina de habitar que a indústria lhe impingiu. LeCorbusier celebrou-o, porque conhecia a limitação humana, na sua condição de geómetra. Mies van der Rohe enalteceu esta depurada oportunidade de fabricar sólidos platónicos da alegoria da caverna dos edifícios ideais. Philip Johnson entendeu a limitação do entendimento humano às formas do seu tempo e capacitou-se na sua resolução, ZahaHadid seduziu-se pelas formas computorizadas para além da definição platónica e preconizou uma arquitetura contra-clássica de conceção quântica. Nadir Afonso acreditou numa arte geometrizada depurada que pudesse concretizar e difundir preconizando a capacidade de os algoritmos reconhecerem e fabricarem arte.

As fórmulas na arquitectura 279 Mário Chaves

Escadaria do MAXX Museu de ZahaHadid - Roma

A Arte é sempre uma equação infinita, a ser continuadamente resolvida e a Arquitetura a entidade capaz de dar forma ao ensejo da sociedade de se materializar. É, contudo, tão capaz de uma elasticidade o quanto a sociedade se metamorfoseia, e presentemente é tão plástica, quanto os elementos diferenciais que atuam nas diferentes superfícies da sociedade. No entanto, o seu poder de criação e ação, não pode subjugar-se à castração das forças telúricas industriais e das engenharias redutoras, sob pena de converter-se num mero ato de concatenação de elementos autónomos, sem a força do todo ser a plenitude da soma das suas partes. A capacitação infinita da criação e da invenção da forma nas suas diversas partes e qualidades, é uma característica própria e intrínseca da matemática, pelo que a conexão é una e sui generis. A particularidade de uma análise combinatória entre as partes de um todo que é a forma, não difere do valor de equilíbrio e senso de um corpo que se quer vivo, no seu esqueleto, órgãos, isto é o hardware, mas também o sentido de utilidade e valor de ação, isto é o software, e pasme-se o sistema operativo, de arranque e tesão, isto é, uma alma. Edifício, corpo orgânico, computador, não diferem na sua essência constitutiva, operativa e valorativa, tal como a análise combinatória de Leibniz a um mundo em que tudo sucede aos saltos quânticos, permite toda a imensa multiplicidade e complexidade matemática de análise e entendimento.

280 As fórmulas na arquitectura O número e a forma: a Matemática Arquitetada

Cúpula de San Carlo a 4 Fontana - Roma

Os algoritmos da IA vem introduzir a terceira idade da humanidade, depois do homem errante, do homem urbano, o homem inútil. Na aventura cósmica, a IA irá triunfar, os algoritmos farão todas as tarefas executáveis e decidirão pelos humanos porque decidem melhor. Só ainda haverá humanos porque terá de haver consumidores para alimentar a riqueza dos possuidores das chaves de ativação dos poderosos logaritmos que regrarão todas as vidas. Como acontece com programas já conhecidos, para quem trabalhamos gratuitamente, os logaritmos serão a base da riqueza futura, para quem humanos cada vez mais dependentes e empobrecidos, contribuirão enquanto consumidores para a dita supremacia da IA que tanto aplaudimos agora. Depois do homem recolector, do homem urbano, virá o homem inútil. Nesse momento em que os logaritmos aprenderam a fazer tudo melhor, não há lugar para a filosofia, a arte, a matemática, enquanto três bases do raciocínio humano. Os logaritmos, que se auto multiplicarão, porque também eles aprenderão o nepotismo, farão tudo o que os consumidores necessitarão, e far-nos- ão o que fizemos aos animais domesticados. The Animal Farm de George Orwell acontecerá de novo, em que alguns logaritmos serão uns mais que os outros menos. Ainda somos todos iguais, mas todos diferentes, mas a cegueira na tecnologia está a empurrar-nos para o fim da Humanidade dos homens, enquanto a conhecemos. O facto de nos tornarmos todos iguais à luz da IA nos seus competentes e castradores logaritmos, transformamos em todos iguais todos

As fórmulas na arquitectura 281 Mário Chaves

iguais. Não devemos conceber máquinas de habitação, mas habitações; não máquinas de serviços ou comércio, mas locais de trabalho e lazer. Parecendo uma posição retrograda, esta assume que de outro modo tudo se poderá converter numa indiferença para além dos Não Lugares, preconizados por MarcAugé, numa direção que se assume como Lugares Banais ou da Inconsequência, porque estarão estabilizados, finalizados, personalizados, perpetuamente instáveis, ultrapassados, desatualizados, impróprios. Os objetos de arquitetura se se convertem em meras máquinas técnicas e tecnológicas, ainda que com efeitos especiais, serão apenas mecanismos que continuadamente envelhecem, se desatualizam, se descartam. Não devem ser regulados apenas pela física quântica, mas pela geometria e aritmética, que formalmente lhes confere o sentido do todo, da proporção, tamanho, escala. Ainda que continuadamente numa expressão ‘out ofthe box, para responder ao apelo da vontade de existir arquitetura em tudo o que há. Toda a Arquitetura é ainda uma forma de resistência, una, mas distinta, porque toda a diversidade é complexa, mas não complicada, porque diferenciadora. Por isso a querem liquidar; não interessa uma atividade que exige tempo, personalidade diferenciadora, cumplicidade, cadeia de valor. Porque também querem que um algoritmo de projeto resolva todas as formas da ainda Arquitetura. Para que se termine com a singularidade que ainda subsiste, perante a castrante vulgaridade da normalidade banal e inconsequente da indústria da construção. Por tal se complica, se enreda por exigências técnicas continuadamente desatualizadas e descontinuadas, por exigências absurdas de creditação e certificação, num processo antinatural.

Colunata do Páteo dos Conservadores de Miguel Ângelo, no Monte Capitolino - Roma

282 As fórmulas na arquitectura O número e a forma: a Matemática Arquitetada

A grande música sinfónica cedeu-se à musica abstrata a grandiosidade da sinfonia, a ópera cedeu ao cinema a sua intriga narrativa, a pintura cedeu à imagem digital o brilho emanado da representação, a escultura cedeu a inexcedível forma aos múltiplos repetitivos do design, a literatura rendeu-se ao Twiter; a arquitetura, no fim do tempo das Artes, é só um meio de assemblagem dos artefactos tecnológicos e da industria? Na expansão espacial, que tanto desconhecemos como ambicionamos, haverá ainda Arte? Haverá possibilidade de Arquitetura em Marte? Haverá Bach, Miles Davis e Bowie nos ambientes cósmicos? Ler-se-á ainda Sade, Camus, Yourcenar ao contemplar-se as galáxias? Haverá no imaginário cenográfico as imagens de algo de Giorgione, Klee, Rotko? Haverá memória das formas arrancadas à matéria bruta de Bernini, Canova, Chafes?

O Anjo da Arquitetura de Canova

Os incontáveis, complexos e intrincados algoritmos, com que nos queremos assemelhar ao Criador, incorporarão a Arte? Ou só a longa cadeia que o conhecimento incrementa? A grandeza abstrata da matemática resumir-se-á a aplicações para que a tecnologia avance e se auto legitime; a Arte não é a aplicação das Indústrias Criativas Artísticas, porque a Arquitetura também não é a mera Indústria da Construção.

As fórmulas na arquitectura 283 Mário Chaves

A arquitetura é para todos, porque todos arquitetamos ainda uma sociedade ideal onde o homem não é o complemento acessório, mas a base do Humanismo. Porque ainda toda a Arquitetura, como a Matemática, como o Universo, tende para o entendimento de sua complexa simplicidade e singularidade, e não para a sua redução a uma elementaridade simplória e simplista. Como a Matemática o sempre o não foi. Porque a Arquitetura é a disciplina do saber, porque transversal, generalista, capacitante, complexa; porque o Arquiteto com o Matemático e o Filósofo, constituem a estrutura formativa e constitutiva da sociedade que legitimamos. O Político gere os consensos, mas são estas 3 profissões que constroem a civilização. Pela gramática, lógica e retórica Aristotélica dos pensadores, se ensaia o raciocínio e comunicação intrínseca à convivência humana, a matemática descobre a ordem e revela o intrincado plano do grande Arquiteto do Universo; o Arquiteto forma a casa do homem civilizado onde a sua existência se desenrola. Tudo é justo e perfeito. Disse.

284 As fórmulas na arquitectura O número e a forma: a Matemática Arquitetada

As fórmulas na arquitectura 285

Film Presentation

THE GEOMETRY OF ARCHITECTURE THE FORMULAS, THE GEOMETRY OF FORMS AND THEIR CONCRETIZATION

Suzana Metello de Nápoles Department of Mathematics Faculty of Sciences of the University of Lisbon

Suzana Metello de Nápoles

Professor at the Department of Mathematics of the Faculty of Sci- ences of the University of Lisbon (DM-FCUL) and non permanent member of the Center of Math- ematics, Fundamental Applica- tions and Operations Research (CMAFcIO), Suzana Nápoles is an active promoter of mathematics and its teaching, being author and co-author of texts to teach and communicate mathematics and coordinator of the exhibitions “Sundi- The relationships between art and architecture als and Mathematics” (2005, FCUL) occur naturally and lead to an association of forms “Calculating Yesterday and Nowa- with formulas with great potential from an interac- days” (2011, FCUL with the Na- tional Museum of Natural History tive perspective. and Science, MUHNAC), “Meas- Through works by renowned architects such as uring Time, Measuring the World, Antoni Gaudí, Felix Candela and Oscar Niemeyer, Measuring the Sea” (MUHNAC/ Portuguese Mathematical Society this film intends to show the natural way in which collaboration, 2010) and “Mathe- the formulas, the geometry of forms and their con- matic Biology Without Frontiers” cretization are intertwined. (2018 promoted by CMAFcIO, funded by the Faculty of Sciences and by the Foundation for Science https://www.youtube.com/watch?v=z2Fb0R2EYo and Technology). She was curator 4&feature=youtu.be of the exhibition “Forms and For- mulas” (MUHNAC/FCUL, 2012), author of the concept of the video Scientific credits “Curved Surfaces” and co-author Suzana Nápoles of the films “Sundials, Mathemat- ics and Astronomy”, a module of Margarida Oliveira the MPE2013 Virtual Exhibition José Soeiro shown at “Mathematics of Planet Earth Day”, Unesco (Paris) and “The geometry of architecture”(2017, Video funded by the Calouste Gulben- João Filipe Silva kian Foundation). Pedro Mira Phil Sobral [translation and voice over]

As fórmulas na arquitectura 289

Posters

BAIRRO DOS CTT LUANDA/ANGOLA

Jeanne Seixas Universidade Lusíada

Este estudo enquadra o estudo do Plano Urbano para o Bairro dos CTT em Luanda/Angola - realizado pelo Arquiteto Simões de Carvalho, a uma leitura matemática, ligada ao desenho, à composição, Jeanne Seixas baseada no estudo de simetrias. No sentido de dar resposta a este desafio, foi realizado um ensaio de Luanda - Angola, 1984. She completed her master degree reenquadramento dos módulos que compõem o at Univ. Lusíada de Lisboa, in plano, de modo a alcançar um desenho aproximado June 2017, with the dissertation á sua realidade e que ao mesmo tempo tornasse “Problematização das questões clima- téricas e a identificação da arquitetura possível criar uma estrutura modular, fundamentada modernista em Luanda”. She worked numa isometria, que através das suas recombinações at CITAD, RPs Estejo and LLAB21, admitisse diversas simetrias. Pretende-se também in 2018-2019, and currently at the University’s Planning and Design demonstrar como originalmente os objetos foram Office. She joined the world of idealizados, organizados e adaptados de acordo com multimedia, exploring the possi- o meio em que se encontram inseridos. bilities of bonding between architecture and digital techniques. “O resultado de um verdadeiro layout geométrico é a repetição, o resultado da repetição é um padrão. A forma perfeita” (Merin, 2016).

A forma urbana pode servir de instrumento para outras disciplinas e campos do conhecimento. Com base nesta perspetiva, o estudo realizado a este plano, busca um novo olhar sobre o seu layout a partir da aplicação de conceitos matemáticos e geométricos, com o objetivo de criar um traçado demarcado pela composição simétrica dos seus elementos.

“Estruturas modulares são estruturas construídas a partir de um conjunto de elementos básicos (módulos)’’. (Hall, 2017, pp. 1-4)

O princípio da modularidade é manifestado de diversos modos na ciência, na arte e na natureza, sendo nesta última considerado como uma manifestação universal do princípio de economia:

As fórmulas na arquitectura 293 Jeanne Seixas

“a possibilidade de diversidade e variabilidade das estruturas, resultante de alguns conjuntos (finitos e muito restritos) de elementos básicos, através das suas recombinações’’. (Hall, 2017, pp. 1-4)

“A recombinação do módulo pode ser mais ou menos flexível dando origem a resultados com diferentes graus de regularidade”; que através do estudo das suas propriedades possibilita a ocorrência de simetrias e também de antissimetrias, dada a uma extensão da célula unitária, considerando os possíveis grupos de simetria das figuras e efetuando cálculos para cada grupo distinto. (Hall, 2017, pp. 1- 4). A presença matemática, conceptual e instrumental, na estruturação da criação do objeto arquitetónico, encontra-se na base de uma série de princípios presentes no pensamento clássico da tradição ocidental, e que se funda no desejo de querer seguir a Ordem Universal. A vontade de beber destas teorias ou seguir as suas heranças, é manifestada por diversos estudiosos e autores no século XX, que perseguiram o elo ancestral entre Homem, Natureza e Arquitetura (Gonçalves e Soares 2018, pp. 11-24). A habitação coletiva tornou-se um programa central na produção arquitetónica e um tema disciplinar no centro do debate da cultura arquitetónica da primeira metade do século XX. Esta exponenciou a dimensão dos seus bairros, não resolvendo clivagens de classe social, mas reinventando a relação entre espaço público e espaço doméstico, atribuindo-lhe uma moral condicionadora, reflexo da própria configuração social, onde os conceitos de privacidade e família conheceram grande valorização (Merin, 2016). No plano, o espaço público resulta da subtracção da área ocupada pelo edificado e da área das vias de circulação. O volume de intervenções é formado por um conjunto de blocos de habitação com quatro pisos. Este Plano Urbano subdivide os edifícios em lotes, que por sua vez são constituídos pelas diversas tipologias desenvolvidas no projecto. O edifício destacado com a cor verde - Lote 1 - é composto por quatro módulos que variam entre as tipologias TO (localizadas nas extremidades do edifício) e as tipologias Tl que (que formam o corpo central) (Ilustração 1). No edifício destacado a vermelho, os lotes são constituídos por módulos que comportam duas tipologias de habitação, nomeadamente, as tipologias do tipo T2 e T3. Em ambos os edifícios, os módulos articulam-se através da caixa de escadas que ligam os pisos intermédios que os estruturam. A elevação do volume arquitectónico acima do nível do solo, com pilotis, procura deixar um espaço coberto que permite integrar percursos de veículos e peões. Ao nível da planta é definido um desfasamento, entre os módulos do edifício, que dá origem a um jogo de luz e sombra, permitindo que as áreas de interesse recebam maior incidência solar e que os outros espaços permaneçam resguardados. Esta solução, também, pretendeu dar resposta a questões funcionais que visam prevenir os efeitos nocivos da humidade oriunda do solo e obter fluidez na transição dos espaços.

294 As fórmulas na arquitectura Bairro dos CTT – Luanda/Angola

A nível do piso térreo, os elementos inseridos no remate dos vãos funcionam como um plano de salvaguarda do peão na aproximação à habitação (Ilustração 13), ou seja, restringem uma distância de salubridade na relação do peão com o fogo e exercem o papel de elemento mediador no contacto com o interior da habitação. A grande verticalidade dos vãos promove a transparência e cria um filtro na relação com o exterior que é mediada pela presença do verde, numa espessura microclimática. Esta matéria orgânica cria um contraste com as tonalidades dos restantes materiais pela exibição de um elemento de cor através desta matéria orgânica e húmida. O desfasamento entre os módulos, ao nível da planta, permite que uma ampla área do conjunto edificado permaneça em contacto com a massa de ar vinda do exterior. Na junção dos lotes 4 e 5, para além da caixa de escadas ser usada como nó de articulação, é estabelecida uma rotação que provoca intencionalmente uma quebra no alinhamento do edifício. Os patamares de chegada fazem a distribuição para as células de habitação, ou seja, cada patamar permite aceder a uma das habitações dos módulos correspondentes. As células habitacionais são individuais e os andares estão separados por meios pisos. Em cada meio piso nasce um apartamento. As entradas funcionam em sentidos opostos, levando à rotação das células de habitação. A distribuição, a dimensão e a forma dos vãos são elementos fundamentais para a realização de uma ventilação eficiente. Os mecanismos adoptados na sua composição são de extrema importância para o conforto térmico no interior do edifício. Considerando a necessidade de ventilar constantemente as zonas habitadas e assegurar a protecção contra a radiação solar, bem como a garantia de que o ar entre, mesmo com as janelas e portas fechadas, tendo sido para este efeito usadas portadas de correr com venezianas em madeira no exterior dos vãos, nas zonas dos quartos e da sala. Esta solução permitiu encerrar os vãos sem obstruir a entrada da brisa vinda do exterior e manter a ventilação cruzada. O sistema utilizado é bastante funcional em locais com pequenas dimensões, pois possibilita uma fácil abertura, tem baixos custos e exige pouca manutenção. Estes vãos são acentuadamente verticais e facilitam a ventilação a nível superior, apresentando grande desempenho em termos de iluminação natural e vivência do espaço interior. Encontram-se, ainda, organizados em função da métrica estrutural claramente reconhecível na sua disposição em planta, no seu desenho e dimensões gerais. Os fogos de tipologia T2 possuem vãos com maiores dimensões e janelas triplas de correr, devido ao menor número de espaços e de aberturas existentes. Nos fogos de tipologia T3 foram usadas janelas duplas com o mesmo sistema de abertura. Observa-se também o uso de técnicas de arrefecimento passivo, como a utilização de isolamento térmico ou revestimento reflexivo, que reduzem os ganhos de calor e não exigem o controlo dos ocupantes, pois são sistemas fixos inerentes ao edifício. Estas técnicas podem apresentar um grau de eficiência satisfatório, mas não é garantido que proporcionem ambientes uniformes de baixas temperaturas, porém, contribuem para satisfazer o conforto fisiológico e

As fórmulas na arquitectura 295 Jeanne Seixas

psicológico dos ocupantes. O estudo realizado com base na carta solar da latitude 7oS permitiu determinar o comportamento da trajectória solar no edifício ao longo do ano. No caso dos climas tropicais o maior eixo das edificações deverá posicionar- se segundo a orientação nascente-poente, ideal para este clima. O estudo das horas de maior incidência solar sobre as fachadas do edifício foi realizado segundo os ângulos de inclinação face à marcação dos eixos este e oeste. Concluiu-se que os módulos recebem incidência solar, ao longo de todo o ano, nas suas fachadas norte e sul, tanto de manhã como de tarde. Nos módulos que se encontram orientados a 167o em relação ao eixo este-oeste, a maior incidência solar sobre as fachadas dá-se por volta das 11h30 da manhã no solstício de verão. No solstício de inverno, este fenómeno ocorre pelas 12h30. Portanto, em ambas as estações, estas fachadas recebem luz solar durante todo o dia. Nos módulos que possuem uma inclinação de 33o em relação ao eixo este- oeste, o sol alterna a sua posição entre as fachadas correspondentes aos referidos eixos, por volta das 10h30 no verão e das 12h30 no inverno. Segundo os gráficos da ilustração 22, no verão o sol incide maioritariamente na fachada norte, durante a manhã; e no inverno, na fachada sul durante o período da tarde.

296 As fórmulas na arquitectura Bairro dos CTT – Luanda/Angola

1 4th INTERNATIONAL ARCHITECTURE SEMINAR ANO MATHEMATICS BAIRRO DOS CTT - LUANDA/ANGOLA FORMULAS IN ARCHITECTURE JEANNE GAMEIRO FERREIRA SEIXAS

Este seminário enquadra o estudo do Plano Urbano para o Bairro dos CTT em Luanda/Angola - realizado pelo Arquiteto Simões de Carvalho, a uma leitura matemática, ligada ao desenho, à composição, baseada no estudo de simetrias. No sen 1 tido de dar resposta a este desafio, foi realizadoum ensaio de reenquadramento dos módulos que compõem o plano, de 11 modo a alcançar um desenho aproximado á sua realidade e que ao mesmo tempo tornasse possível criar uma estrutura 1 modular, fundamentada numa isometria, que através das suas recombinações admitisse diversas simetrias. Pretende-se também demonstrar como originalmente os objetos foram idealizados, organizados e adaptados de acordo com o meio �� em que se encontram inseridos. Dll�� 11 l==I

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5 - Esquema da implantação do edifício e ligações de acesso vertical. (Seixas, 2017, p.173). No plano, o espaço público resulta da subtracção da área ocupada pelo edifi cado e da área das vias de circulação. O volume de intervenções é formado por um conjunto de blocos de habitação com quatro pisos. Este Plano Urbano subdivide os edifícios em lotes, que por sua vez são constituídos pelas diversas tipologias desenvolvidas no projecto.

O edifício destacado com a cor verde - Lote 1 - é composto por quatro módu los que variam entre as tipologias TO (localizadas nas extremidades do edifí cio) e as tipologias Tl (formam o corpo central) (Ilustração 3).

No edifício destacado a vermelho, os lotes são constituídos por módulos que comportam duas tipologias de habitação, nomeadamente, as tipologias do tipo T2 e T3. Em ambos os edifícios, os módulos articulam-se através da caixa de escadas que ligam os pisos intermédios que os estruturam. A elevação do volume arquitectónico acima do nível do solo, com pilotis, pro cura deixar um espaço coberto que permita integrar percursos de veículos e peões. Ao nível da planta é definido um desfasamento, entre os módulos do edifício, que dá origem a um jogo de luz e sombra, permitindo que as áreas de interesse recebam maior incidência solar e que os outros espaços permane çam resguardados. Esta solução, também, pretendeu dar resposta a questões funcionais que visam prevenir os efeitos nocivos da humidade oriunda do solo e obter fluidez na transição dos espaços.

11- Acessos verticais, alçadoSul -lote 2. (Seixas, 2017, p.168-18 1).

1- Planta de implantação do plano-Simetria D4 (Ilustração nossa). - �-- O resultado de um verdadeiro layout geométrico é a repetição, o resultado da repetição é um padrão. A forma perfeita" li u (Merin,2016). /- l,i " � '�-�L, --,-----:,u[ �_�

� ª' 1c:::=J • Lole 3 �- Lot,e '2 <= /, -- ._, -· - r- /- ' " ' -· .. - - ' - - 6- Representação dos lotes e da ligação dos acessos verticais aos módulos do edifício. (Seixas, 2017, p.177). �7 e;:.-

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�� I■� 2 - Desenho em perspectiva do Lote número 1 (Seixas, 2017, p.163). -� - :ro,P1H,iiili � A forma urbana pode servir de instrumento para outras disciplinas e campos do conhecimento. Com base nesta perspeti va, o estudo realizado a este plano, busca um novo olhar sobre o seu layout a partir da aplicação de conceitos matemáticos e geométricos, com o objetivo de criar um traçado demarcado pela composição simétrica dos seus elementos."Estruturas modulares são estruturas construídas a partir de um conjunto de elementos básicos (módulos)''. Oprincípio da modulari dade é manifestado de diversos modos na ciência, na arte e na natureza, sendo nesta última considerado como uma mani festação universal do princípio de economia: "a possibilidade de diversidade e variabilidade das estruturas, resultante de alguns conjuntos (finitose muito restritos) de elementos básicos, através das suas recombinações''. "A recombinação do módulo pode ser mais ou menos flexível dando origem a resultados com diferentes graus de regulari 7 -Identificaçãodas áreas da habitação e representação axonométrica dos volumes do objecto em estudo e da ligação com dade'; que através do estudo das suas propriedades possibilita a ocorrência de simetrias e também de antissimetrias, dada os acessos verticais. (Seixas, 2017, p.177-18 8). a uma extensão da célula unitária , considerando os possíveis grupos de simetria das figuras e efetuando cálculos para r cada grupo distinto. (Hall, pg.1- 4). 1 A presença matemática, conceptual e instrumental, na estruturação da criação do objeto arquitetónico, encontra-se na E--- ____p base de uma série de princípios presentes no pensamento clássico da tradição ocidental, e que se funda no desejo de querer seguir a Ordem Universal. li li 1 A vontade de beber destas teorias ou seguir as suas heranças, é manifestada por diversos estudiosos e autores no século 11,,"" J "" J 1 1111 J 1 1 XX, que perseguiram o elo ancestral entre Homem, Natureza e Arquitetura (Gonçalves; Soares 2018, p.11). 8 - Representação da permeabilidade dos ventos sob a estrutura do edifío e humidade oriunda do solo. (Seixas, 2017, p.173- 12 -Esquema de acessos verticais e orientação dos blocos. (Seixas, 2017, p.175). -175). --■ ■ .O . D � . . . . A nível do piso térreo, os elementos inseridos no remate dos vãos funcionam ' 11 • J" como um plano de salvaguarda do peão na aproximação à habitação (Ilustra JL 'lJ!l ção 213), ou seja, restringem uma distância de salubridade na relação do peão com o fogo e exercem o papel de elemento mediador no contacto com o inte IIí ___, "li'"J 1 ! rior da habitação. A grande verticalidade dos vãos promove a transparência e .... . :.. cria um filtrona relação com o exterior, que é mediada pela presença do verde, ' -- numa espessura microclimática. Esta matéria orgãnica cria um contraste com as tonalidades dos restantes materiais com a exibição de um elemento de cor 3 - Lote número 1, Planta do piso 1. (Seixas, 2017, p.163). através desta matéria orgânica e húmida.O desfasamento entre os módulos, ao nível da planta, permite que uma ampla área do conjunto edificadoperma neça em contacto com a massa de ar vinda do exterior A habitação coletiva tornou-se um programa central na produção arquitetónica e um tema disciplinar no centro do debate da cultura arquitetónica da primeira metade do século XX". Esta exponenciou a dimensão dos seus bairros, não resolvendo clivagens de classe social, mas reinventando a relação entre espaço público e espaço I ll 1.--�III 11 , 1 li jl - - 1 , li - - - , - 11--,� 11 11'1 .... , . i 1 doméstico, atribuindo-lhe uma moral condicionadora, reflexo da própria configuração social, onde os conceitos . de privacidade e família conheceram grande valorização (Merin, Gili).

13 Embasamento da estrutura assente sobre pilotis, alçado Sul, Lote 5 (Seixas, 2017, p.18 0-182). ;;,. _ ·- Na junção dos lotes 4 e 5, para além da caixa de escadas ser usada como nó 9- Representação da permeabilidade dos ventos nas escadarias de acesso vertical. (Seixas, 2017, p.176). de articulação,é estabelecida uma rotação que provoca intencionalmente ..... uma quebra no alinhamento do edifício. Os patamares de chegada fazem a ..... distribuição para as células de habitação, ou seja, cada patamar permite ,iiiiiiiii aceder a uma das habitações dos módulos correspondentes. !Í! As células habitacionais são individuais e os andares estão separados por meios pisos. Em cada meio piso nasce um apartamento. As entradas funcio nam em sentidos opostos, levando à rotação das células de habitação.

4 - Maquete do terreno (Seixas, 2017, p.165). 1o Estudo da ventilação nas fachadas- ventos predominantes. (Seixas, 2017, p.168-171).

ORGANIZADO POR: COMO APOIO:

FCTFundação para a Ciên.ci.a e a Tecnologia CENTRO DE INVESTIGAÇÃO ,\11NISTi:R.I◊ DA (:J�N(;r,\, Tf.Ç:

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298 As fórmulas na arquitectura Bairro dos CTT – Luanda/Angola

Referências

CARVALHO, Ricardo (2013) – Habitar : da cidade-campo à cidade-difusa. In COLÓQUIO INTERNACIONAL DE ARQUITECTURA, 2011 - Habitar, pensar, investigar, fazer. Editado por Filipa Ramalhete e Ricardo Carvalho. Lisboa : Universidade Autónoma de Lisboa. pp. 21-44. “Clássicos da arquitetura: Ville Radieuse/Le Corbusier”[AD Classics: Ville Radieuse/Le Coubusier] COSTA, Pedro Campos (2013) – Habitar é construir a cidade. In COLÓQUIO INTERNACIONAL DE ARQUITECTURA, 2011 - Habitar, pensar, investigar, fazer. Editado por Filipa Ramalhete e Ricardo Carvalho. Lisboa : Universidade Autónoma de Lisboa. pp. 15-18. GONÇALVES, Clara Germana (2018) – A presença da matemática na arquitectura do século XX : Le Corbusier como paradigma. In SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE ARQUITECTURA E MATEMÁTICA, 2.º, 2016 - As fórmulas na arquitectura. Coordenação de Fátima Silva, Elsa Negas. Lisboa : Universidade Lusíada. pp. 11-24. HALL, Andreia (2017) - Arte modular com azulejos de Truchet [Em linha]. [S.l.] : Sociedade Portuguesa de Matemática. Workshop “Matemática e Arte”, Dezembro 2017. [Consult. 18 Nov. 2019]. Disponível em WWW:. RAMALHETE, Filipa (2013) – Introdução à obra. In COLÓQUIO INTERNACIONAL DE ARQUITECTURA, 2011 - Habitar, pensar, investigar, fazer. Editado por Filipa Ramalhete e Ricardo Carvalho. Lisboa : Universidade Autónoma de Lisboa. pp. 13-14. SEIXAS, Jeanne Gameiro Ferreira (2017) - Problematização das questões climatéricas e a edificação da linguagem modernista em Luanda: dois casos de estudo. Lisboa : [s.n.]. Dissertação de mestrado em Arquitectura. [Consult. 18 Nov. 2019]. Disponível em WWW:.

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Closing Remarks

CLOSING REMARKS

Fátima Silva, Elsa Negas, Rui Seco CITAD | Lusiada University, Lisbon, Portugal

The complementary between the fields of theory and scientific expertise and practical knowledge is widely reaffirmed in this fourth seminar ’Formulas in Architecture’. And it continued to gather significant information for development in all the important contributions collected. Correlating two distinct areas of human knowledge – mathematics, an essential, sheer, scientific knowledge, and architecture, of a more practical and utilitarian nature, responsible for the creation of the human habitat – opens new advances in reasoning and points out new possibilities for the development of both and for reflecting upon the scope of the framework that enhances the dynamics of human life. Architecture has developed throughout civilization as a matter of space understanding, responsible for space characterization and for its functional and emotional qualification. Being simultaneously a theoretical and practical discipline, and dealing with extreme complexity, it increasingly requires a multidisciplinary knowledge that congregates in an operative synthesis the technical and the tectonic, the artistic and the humanistic. All these aspects are involved in the matters studied in this seminar, which mainly focused on three main comprehensive themes among the multiple aspects that relate mathematics and architecture:

- Conceptual thinking, both theoretical-based and practical-based; - Graphic representation and composition, dimensioning and accuracy; - Interpreting and conceiving built environment and territory through mathematics.

These domains base on mathematical reasoning of different nature and scope, generally translated by means of a significant graphic or geometric representation. The keynote addresses, by Nikos Salingaros, of Texas University at San Antonio, Renato Saleri, of the Ecole Nationale Supérieure d’Architecture de Lyon, and António Araújo, of Universidade Aberta – Lisbon, relate to each of these main themes. What is the direct correlation that can be established between beauty and meaning in architecture? This central question, brought by Nikos Salingaros’ presentation, frames his reading on how the perception of the environment is processed by the human brain and the biological reactions of the human body in face of different architecture atmospheres. Mathematics is an important tool for the understanding of the built environment, through sensorial perception of mathematical abstractions such as symmetry, repetition, sequences, division and hierarchical

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subdivision, dimension distribution and scale factors. The automatic processing of information by our brain, basing in aspects like these, has a biological origin, according to Professor Salingaros, basing on neuroscientific studies, and a visceral sense of ‘beauty’ which induces sensory well-being is therefore driven by this kind of perception. Professor Nikos Salingaros pledges a shift away from current mainstream and ‘fashionable’ design, incorporating new practices and promoting mechanisms for mathematical coherence in shaping buildings and space, as well as in the teaching of architecture. Mathematics allows us to find a sense of composition in the laying of an element within a structure, by encountering a proportion that relates the parts to the entire unit, thus establishing a perception of harmony from the recognition of a natural order, foundational in the universe. “Mathematics has historically been tied to architecture as one of its most important tools.” (Salingaros, 2019). Understanding Beauty as a quality-related adjective, found in the coherence of the unity relation between two entities, the mathematical and the aesthetic, as aesthetic can also derive from geometry and mathematics. “Man understands the real and the virtual, by the ability of intertwining different realities in his will of reasoning and perception; he then edifies human condition in which Art is the greatest demonstration of the ability to manipulate an abstraction that exists in multiple dimensions, and which is discovering”, according to Mário Chaves, that further states that “all Architecture is yet a form of resistance, unitary but distinctible, since all diversity is complex, although not complicated, as it differentiates”. Reviewing a selection of writings from the classical period – Vitruvius, Plato, Aristotle – Emanuel Ferreira studies the multiple layers in which mathematics is operative in architecture and its interconnection with the artefactual and the tectonic. From these classical texts, he develops “a specific scrutinization on the harmonic and scalar nature of architectonic institution, not mainly defined by spatial relations, but order, symmetry and scale as determined fundamentally by ‘temporal calibrations’ “. Basing on learnings from Japanese traditional architecture, Maria João Soares reflects on different cultures of geometry and space, revealed in concepts like ‘Mu’ (which can be translated as nothing or void), a denial of existence that may also be seen, for instance, as the space that a body has previously occupied. “Are we facing a geometric universe that deviates from absolute rigor to reveal the ineffable? Or are we faced with a culture of strictness that opens the way to improvisation, as a key to privilege aesthetic emotion?” An insight to the cinematography of Yasujiro Ozu triggers a reflection by Maria João Soares on the issues of geometry and space in the distinct Western and Japanese perceptions. An analysis of architecture in its plastic and sensorial quality, resulting from a geometry that through its presentation as scenario that through cinematography communicates space and time. On a broader dimension, the implementation of this type of correlation systems is confirmed by a number of papers presented during the seminar focusing on order and proportion in architecture. It is the case of the study on the geometric background of one of the major works of Portuguese Architect Manuel

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Taínha, the Oliveira do Hospital National Inn, designed from 1954 to 1960, and finished in 1970, where was employed “in the modulation of some openings and in the size definition of some spaces” a proportion system “developed by Le Corbusier (1887-1965) in the Modulor” as noted Teresa Belo Rodeia and João Miguel Couto Duarte, while reflecting on the design in its meaningful engagement of sensitive communication and the binding of the construction to the local environment. The presentation by Professor Susana Nápoles of a film about the geometry of forms and their use in architecture provided other examples of work by masters such as the Catalan architect António Gaudí, the Valencian architect Santiago Calatrava or the Brazilian architect Oscar Niemeyer. Geometric forms generated from mathematical formulas and examples of the application of ruled surfaces that mimic natural structures are some of the examples shown in this Gulbenkian Foundation funded film. Founder and President of International Association of Mathematics and Art – Italy (IAMAI) Giampiero Mele presented a study on an 18th century work in Ferrara/Italy, the Teatro Comunale, in which there were “several renovations that have affected the decorative apparatus by Migliari, technological systems and structures. However, the plan has never been strongly altered, and has come almost intact to this day”. In this study is stressed the importance of the dimensioning accuracy in graphic representation: “The result, obtained through the indirect survey carried out by laser distance meter 3D, was very helpful. By this instrument, the profile that faces in the audience, at the first order of boxes, where the oval had to have the intact measures - net of the mouldings - has been detected”. The debate on the ‘operativity of a geometry’ – in this particular case on the utilization of the curve in the shaping of the living space – is complemented by the study by Miguel Brito on the use of composition patterns on façades in standard and author architecture. Notions of symmetry, grouping, repetition and sense of rhythm are aspects that, in combination with the typologies, are used by the authors to communicate in more or less complex, organized, or intentional ways, and interpreted by users according to their own assimilated reading codes, in a two-way relationship from which can be infered the potential fluidity or difficulty of interpretation. Clara Germana Gonçalves presented the evolution throughout history of the concepts of ‘symmetry’ and ‘proportion’, highlighting the genesis of the terms and the distinct interpretations they had in different periods and cultures: “If the concept of symmetry continues to be transdisciplinary, despite the different approaches taken by different disciplines, it may still be a connection and an important factor in a new holistic vision of humanity and the universe”. From Joaquim Marcelino’s standpoint the scope of mathematical and geometric work and its realization is more an accurate description than a metaphor, as he states that “This problem seems to be particularly critical when we approach architecture. We know and we are able to identify proportion systems in architecture as well as forms and shapes given by algorithms. And this fact means that we have strongly crashed into the mathematical realm. Thus, how can we accept an eidetic reduction in which geometrico‑mathematization does not play a major rule? The case seems to be serious because algorithms and similar approaches have become so attractive

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that we can never find an eidetic reduction substantive if at the act of perception, we have not found some intuitive way of dealing with the way to mathematical formulae.” Mathematics applied to the visual representation of shaped space is a further area of application of utmost importance in two acquainted moments of the process of creation of the built environment, the registry of the idea that precedes the design and construction – the experience of space by the body and the mind – and the communication as such for the process of building, with the necessary mathematical exactitude and rigor. Other domains can also be referred, like the interpretative representation of space a posteriori, an open field in constant progress with the development of new technologies like laser scanning and drone survey, and also the creation of virtual spaces and constructions, again using new technologies, media of communication and register. Computer geometric applications have undergone a strong evolution with a wide applicability in architecture. On these new developments, Professor Renato Saleri points out that “over the past twenty years, the considerable growth of digital tools has enabled the emergence of technologies capable of imitating and reproducing human behavior in an increasingly autonomous way” and therefore “we are now seeing the emergence of many tools capable of accompanying conceptual exploration”. Saleri concludes that regarding the reproduction or imitation of human behavior in creating built environment by emergent technologies, “besides the impossibility to solve with a single formalism the exhaustive shaping of existing architectural forms across history and cultures, we believe that an artificial creative process cannot be separated – so far -– from conscious intentionality to get it out of the trap of ‘disparate uniformity’ “. The creation of different and many times interesting virtual alternative environments in the digital world still needs therefore the understanding of multiple processes that occur simultaneously in the real world and, at least for now, of the creativity of the human mind. The development, outside of the digital world, of new methods for the precise representation of space and buildings was an interesting subject addressed by Professor António Araújo, presenting tools he has developed in his research, such as spherical perspective and immersive visualizations. “The theoretical innovation consists in the possibility of drawing the whole perspective manually and systematically” he emphasized, although “these projections and visualizations can be made by computer with relative ease. There is software that allows to make and display 360 degrees photographs” but “unlike photography, which captures everything indifferently, drawing is the expression of the expert thoughts, his selections, reasoning, interpretations and conclusions. If this is true for classical perspective drawing, it will also be true for drawing in an immersive perspective”, he argued, corroborating with sketches produced in his parallel activity as illustrator. The tools perfected by António Araújo open a field of direct relation in the parameterization of space for its communication and graphic recording, representing reality in a virtual process: “Spherical perspectives (...) have a particular interest in the present precisely because they establish a connection between free (‘analog’) drawing and digital visualization, they keep us aware of the illusionism of visualization and awake to the multiple possibilities of visualization and its significations”.

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Cubical perspective, an advance in the application of this immersive drawing methodology, was presented by Lucas Olivero. “Cubical perspective is maybe the youngest alternative among the options for immersive drawing” according to the researcher, highlighting “the important role played by the publication and debate of e-practical theories to disseminate knowledge and creativity. The lack of communication about the importance of the use of immersive perspectives begins perhaps in the academy itself, where its teaching is virtually non-existent”. From the explanation of the concept of anamorphosis and the presentation of multiple studies, Olivero describes his methodology, which bases on the personal analysis of space and its elements from an equirectangular panoramic photograph using the cubic format converting it into a cubemap. Once again the subjects addressed in the seminar confirm the compelling importance of returning in this new millennium to an integrative knowledge as was sought in the Renaissance and which can today be attainable with an interdisciplinary converging cooperation, providing a more comprehensive perspective both of reality and of its adequate and conscious use and transformation. As Sylvie Duvernoy emphasizes, the evolution we are witnessing “stems from the changing and evolving commitment and meaning that both mathematicians and architects, each on their own side, have put into their work, and also to the intellectual approach at the base of their professional researches and challenges. In addition, the ancient relationship between mathematics and architecture was built on a common sense of a certain beauty that evolved in time, and we can wonder what kind of inheritance is left today”. In respect to architecture, “order is obtained when shapes are regular. Equilateral, equiangular shapes are regular shapes, and therefore beautiful. In modern terms we would say ‘simple’. The square is the paradigm of order in planar geometry”, Duvernoy states. “In addition, the switch to abstraction and analysis unfortunately created a sort of hierarchical relation between mathematics and architecture, where architecture became an application field of mathematics. This new kind of relationship had already started to be claimed by some mathematicians”. Two presentations explored the interpretation through mathematics of the dynamics of the territory. Ramón Piedra-de-la-Cuadra presented a study based in the metropolitan area of Sevilla area addressing “the problem of locating a rapid transit line (metro, tram, BRT) with the objective of maximize the functional diversity of the districts traversed by the alignment”. This issue intends to counterbalance the impacts of urban sprawl and the extensive use of motorized transport modes with negative environmental impacts that it induces: “Increasing the existing infrastructures is a decision which often induces the installation of new urban settlements that generate a new increase in the demand for transport. This vicious circle can be broken by reducing the need of transport imposed by the urban model, which is only possible bringing services closer to the citizens”. The Estejo Research Project presented an ongoing study that aims to perceive multiple specificities of different territories, by quantifying the level of infrastructures which can foster economic and social development. Elsa Negas

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and Rui Seco presented the research on a methodology to create an “application to quantify the level of urban infrastructure in the territory, in order to create a useful and operative system to classify its urban conditions. It is intended that this indicator may become a tool to indicate the development potential of different territories, based on the availability of basic urban infrastructure and services”. This tool is meant as a potential contribute to a more accurate and thorough knowledge on the territory, to be applied to the Tagus estuary and eventually any other area. The subject of natural acclimatization was interestingly addressed in a poster by Jeanne Seixas, who studied the CTT neighbourhood in Luanda, Angola, designed by architect Fernão Simões de Carvalho in the modernist period. Cooling was a main concern of the project, being developed ventilation systems and shading elements that were incorporated in the design taking into consideration the main direction of sunlight and the layout of the various buildings. As in the previous three editions, the seminar ‘Formulas in Architecture’ was complemented with a field trip and an exhibition. The Ajuda National Palace was the object of the field visit. Planned to be the Portuguese Royal residence after the devastation caused by the 1755 earthquake, tsunami and fire that ruined Lisbon, the Ajuda Palace construction work was never completed, the incomplete existent building being nearly one third of the initial project. Architect João Carlos dos Santos, the author of the ongoing project to finish the Palace, made a presentation in site, explaining the history of the building and its occupation from the 18th Century, exposing the ideas and principles that conducted his design to complete it, presenting the project and leading the participants and students in a visit both through the existent building halls and to the ongoing construction site. Back at Lusíada University, an exhibition of the architecture students’ work was held along the seminar. This work, under the guidance of Professors Mário Chaves and Rui Alves, was developed by freshmen students on the subject of a contemporary interpretation of the Temple of Solomon. Both the exhibition and the study trip enable a better connection between the objectives of the seminar and the academic component for university students, an important element also in the relationship between the Faculty of Architecture and Arts and the Research Centre, which organize the seminar. The fourth edition of the seminar on Architecture and Mathematics ‘Formulas in Architecture’ continued the sequence of the three previous editions, always seeking to evolve and improve, without shedding its attributes and accomplishments. In this edition, in addition to the guest keynote speakers, was opened a call for papers and carried out a peer review process in which all the articles were reviewed and further perfected, a methodology that follows the best academic practice and which is intended to be pursued in the future. Believing in the importance of interdisciplinary debate for the progress of the diverse fields of knowledge, the organization thanks all speakers, guests, scientific committee and participants for their commitment, involvement and effort, and looks forward to welcoming them in the future.

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