1603623259 Aghalibrary.Pdf

Aghalibrary.com

Aghalibrary.com Aghalibrary.com

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

"ر ! $ط ا%ر ن ړۍ & د ر* وو/م ز.ر-د دی ، واړم $ط ا %ر - 0 و*و2ت & ز ت 2وت ري او ر ر*0 "$ ورو * و & ر ی ھم ډره ز ا5ده ږي ، د را6ول او رر & راوړم . ددي 8 %7 د %و ور" 9 د ور5و :و و- 0 8رو ، & ا !:05 اور 0 ژ%ود$ط0 ا%ري %ر$ 0 ور.ړل >ودي ، مھ >ل دی . آرزو رم & 5ب و$ت & دي @ل ډول و5?ت ور ړم ر "و $ط ا%ر د ز& ا5دي وړ و.ر-ول >0 . $ط ا %ر ر و5م ړۍ وري د و A5ل *ون >8ل وود و . %:8 و 5ت د :: ھ د5 و . د Bل ډول Leibniz 1690 ل & و Cرول د و ر8س د در ت 5E راو5:و ره دا ړ . !ر ن $ط ا %ر وازی وه / %ر$ د ر*و .ر-د0 ده ، %:8 $ط ا %ر "$ د 5 5 وا ا @دی 5:و ل & ھم ری ډره ا5ده ږي . د Fو Hښ >وی دی & ھI ر*0 5%و و ا5?ل >&، & ن ړۍ & روج او %و & ھI "$ ا5ده ږي او 7% د وي ? 0 ژ%& وي . ھ دار ! د وو و ا5?ل & وHښ >وی دی & د دو ژ%و ( Hو ا و ا K:5 ) رو وو و "$ ا5ده و>0 . ا% ھI ھم 0 و ږ $:و:0 ژ%و 0 ھI ووا د او5 درد وم رو، ا !:5 8ل >ودي . دا دھIو 5 وره & د ر* او ور 2و :و % و %ن ا::0 ژ%و ط? وي ، د .& وړ% ھم وي . ھI 5 %و و ا و ا$@رات & د ا5?ل >وی دي ، ا$ر & & >رL ړ ی دی. د DAAD ا M و55 "$ >8ر وم & د درس و 7 را د !رھراوھرات د وھ و و د 5 س وھ -و & 25ده ړي وه . ھدار ! د Afghanic و505 "$ وم وو را5ره ر5 ړده . ا 8ن ری & 8:وا و د N و وړHت & ا>%/ت :طM وود ي وي ، ?ذرت واړم . . "ر. ده ده ھ ر0:2 اBر 8ل ږي - 0 !ړ:وي رې، ود روو5و 8و "$ ھ: وم & دا !ړوي د$ل وړا دز ډول ز E دي ا8رو 8& & راو5وي، ر "و را:و 08 & م & و ول >0 . . در Hت

[email protected]

ډ ارد د

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

رت ړی ل ( &روع $#" 6 ): ): ر ' ات : و" (set) : : ?ن 5ت (finite set) ، ر?ن 5ت (infinite set) ، countible set ( د >ر وړ 5ت ) ، infinite countible set ( د >رش وړ ر?ن 5ت ) ، uncountible set : ( mapping) ) ا 8ب (injective) ، 5ور8ف (surjective)، %8ف (bijective) ار (algebra) : : دو .و 0 را%ط (binary operation) ، ا%ری وړHت ( 5$ن ) (algebraic structure) ، . روپ (field) 5 ، (ring) A: ، (group) راط" (relation) : : ا ?8س را%ط ( reflexive ) ، ظره را%ط (symmetric) ، ا transitive) A) را%ط ، ?د را%ط ( equivalence relation )، ر%وط ا55 *وي دو م ل ( &روع $#" 31 ): ): 31 د ط ,د+و م ( System of linear Equation ): ): د $ط 5و (homgen) ?دEو او ر 5و (inhomogen) ل ، Q وس طرGaussian Algorithm ) A )، ر%وط ا55 *وي در م ل ( &روع $#" 43 ): ): ر س ا و د ر ت ( Matrix and Determinant): ر8س ، در ت ، د ?8وس ر8س ددا ووطر0A ، ل 55م د $ط ?دE و ل د ر8س وا5ط ، د cramer طرA ، ور (minor) ، وCور (cofactor) ر8س /.ورم ل ( &روع $#" 75 ): ): ووری ' (Vectorspace): و وری C ، *Cرsubspace) *C 2 )، $ط ر ب ( ) ، span ، LinearCombination 3

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

$ط واLinearly dependent ) 5% ) ، $ط A5ل Linearly independent ) ، ر%وط ا55 *وي 01م ل ( &روع $#" 92 ): ): د 'ی وور 2 ده ا و ,د : : ( basis and dimension of a vectorspace ) 2ده (basis) دوی و وری C* ، ا55 2ده ( canonical basis )، 2ده (basis) د وی Cرsubspace) *C 2) ، د ر8س ر rank) R) ، %?د (dimension) دوی و وری C* ، ر%وط ا55 *وي &1ږم ل ( &روع $#" 118 ): د ر 'و و" (sum of subspaces) : : %?د Cرول د CرC 2* . و ( Dimension Formel for subspaces ) د CرC 2* . و A5 وdirect sum of subspaces) 2 ) ، ر%وط ا55 *وی اوم ل ( &روع $#" 127 ): ط 1 5 ( 7ش ) ( linear mapping :) :) ھوورCزم (homomorphism) ، و وورCزم ( Monomorphism ) ، اوورCزم ( epimorphism ) ، ازوورCزم ( ismorphism ) ، ا دوورCزم ( Endomorphism ) ، اووورCزم ( Automorphism ) Image او د و $ط kernel S ، %?د Cرول د $ط Dimension Formel for linear mapping ) 9 ) ، ا وار ت ( C ( InvariantرC 2* ام ل ( &روع $#" 154 ): د ر س ا وط 51 ر 8 راط" : : (Linear Mapping and Matrix ) د$ط 9 ر%وط ر8س ظرا55 2دي د ر8س ر%وط $ط 9 ظرا55 2دي را%ط د$ط ) 9 Aش ) اور8س ر T ظر دو $:و 2دو ، skew Hermitain matrix ، Hermitain matrix ، adjiont matrix ، idempotent matrix ، nilpotent matrix ، involutory matrix ، permutation matrix ، ر%وط ا55 *وي م ل ( &رو ع $#" 176 ): & " 2 و" او & " وور و" : :

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( Eigenvalues and Eigenvectors ) >$@ و ور و ( eigenvectors ) >$@ و ( eigenvalues) ( eigenspace ) *C @$< (characteristic function ) 7% @$< ھ د5 @ل *رب ( geometric multiplicity ) ا%ری @ل *رب ( algebraic multiplicity ) ) ارو Qو ل ( orthogonal ) ر8س ، د.و ل ( diagonal ) ر8س ، diagonalizable ر8س ، ?دل ( equivalence) ر8س، >% ( similar) ر8س ، upper triangular matrix ( ور B:B ر8س ) ، ر%وط ا55 *وی م ل ( &روع $#" 199 ): ا2. دی ' (euclidean space) : : Bilinearform ، 85ری @ل *رب ( scalar product )، ا :دی normed vector space ، norm ، ( euclidean space ) * C ، رR و وری ortogonal ، ( metric space ) *C و ورو ، orthonormal و ورو ، اورو ورل 2ده ( orthonormalbasis ) ، gram-schmidt process ، و وری @ل *رب ( vectorproduct)، hermitian ، unitary vector space ، semi-bilinear ، ر%وط ا55 *وي وم ل ( &روع $#" 214 ): د ر و ډوو" او ا,ل : : Quadratic Form ( دو در Cورم او ر%? Cورم ) ) negative definite ، positive definite ، positive semidefinite principal minor ، indefinite ، negative semidefinite ، Hessian Matrix ، jacobian matrix ( ھس ر8س ) ) local maximum ( و*? ا2ظ او 5% ا2ظ ) ) local minimum ( ا@Iری و*? ا@Iری %5 ) ) wronskian matrix ، Cayley-Hamilton theorem ر%وط ا55 *وي دو م ل ( &روع $#" 237 ): 9و" او ر و"

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ړی ل ( و" , ا0ور( و ر) او اړ ( راط") ) ( Set , Mapping and Relation )

دې C@ل H واړم - ھم او *وی & وور 5 $ط ا %ری H ور - ا5ده ږی $@رډول >رL ړم . . ,ر ف 1.1: 5ت ( set ) د Georg Cantor $وا 1874Nدي ل & E دې ډول ?ر ف >وی دی : : Set وه و2 د او%8و و ( Objects ) ده & 6ول و ?ن >$@ت وری !ر و %ل "$ Cرق ري . دBل ډول X 5ت 5 س د وھ - @:ن وي . ?ن >$@ت د د5 س دوھ - @ل دل دي . !رھر @ل و%ل "$ Cرق ری. و ږ و 5ت E دی ډ ول Hو : :

= {, ,………….} د Objects يد & د X د 5ت د 2 @رو cardinality X . (elements) , , . . . . وم .دږی دوه 5ت د 2 @ر و>رد وم د ږي اوو ږ ھI 5ره Hو . $ 5ت 5ره Hودل ږي. : : 1. 2 , ر ف ∅ ( a ) ری X او Y دوه 5 وی . C Xر2 5ت (subset) د Y ول ږی ېد >رط & : : ( ⊆ ) و Cر2 5ت X (proper ⟹ x ∈ subset) Y X د ∋ x Y∀ ول ږي ېد . . X Y >رط & H - 2 @ر وود وي &(X ⊂ Y) & >ل وی a ; a X : ?

د Bل ډول∌ Y ∋ ∃ X = { 2,4,5}, Y = {2,4,5,a,b}

ھر5ت و$ ⊃ Cر2 5ت ⟹ری . X او Y 5ره 5وی دی ېد >رط & او وی . ? :

⊆ ⊆ 6 = ⇔ ( ⊆ ) ∧ ( ⊆ )

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( b ) د?ن 5ت ( finite set) ره ډول ډول ?ر و و ود دي R . Dedekind (1916-1831) ?ن 5 ت ( finite set) دار ! ?رف ړی : و5ت X ?ن ول ږي دې >رط & X ھU و Cر2 5ت (proper subset) وود وې & Cardinality (د 2 @ر و >ر ) د X 5ره 5وی وی . ?

A X ; اودا& : = ⊃ ∄ A X ; و ږ ?ن 5ت > ⊃5ره Hو . ∀ د د X د 2 @ر و >ر 5وی ∞ n دی{ . , ? … , ,} = . . (infinite set) ھر ھI 5ت ≠ & ?ن و ي د = ر?ن 5ت وم دږي ∞ : ? : : 9ل =

ℕ = {1,2,3,3,4,…}

ℕ = {0,1,2,3,3,4,…}

ℤ = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}

2ℤ = {...,−6,−4,−2,0,2,4,6,…} ℚ = { │, ∈ ℤ, ≠ 0} : : . ور 5 و 6ول ر?نℂ يد⊇ ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ 8- ⊆ ℝ (

( ℕ ⊂ ℤ∞ ⊂ ℚ ⊂ ℝ∞ ⊂ ℂ , 2ℤ∞ ⊂ ℤ) ∧∞ ∞ = ∞ )

ℕ = , ℤ = , 2ℤ = , ℚ = , ℝ = , ℂ 9ل : د اE دی 5و ?ن دي و % ر دی = │ X ا و Y ھر و 5 {2 ≥ 2 @ر ه ≥ ری − . 2? ℤ ∋ } = !ر او 5 = =

⊈ ⊈ := { ∈ ℤ−15 ≤ ≤ 16} 7

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ت : = ∈ ℤ1 ≤ ≤ 16∧() دل ږی & ا و {6,8,10,12,14,16 ,2,4} =

دا E دی 5 و $ دی⊇ 8 = , { } { } ا و ℕ n < 0 W4:= ∈ ℤ x = 3 = 0 ∋ = : ,ر ف 1.3 : =ری = 5 و وي : : , , … , اﺗﺤﺎد : ( )

∪ ∪ … ∪ ≔ {∃ ∈ {1,2,3, . . , }; ∈ } Aط7

: ( ) ∩ ∩ … ∩ ≔ ∈ , ∀ ∈ {1,2, … , } ور Bل = ا و = دی 9ل : 5ت دھA IA ∪ 2ددو وي & د@ ∩ر"$ زت او 5وی دی او 5تℝ دھA IA 2ددو وي & د@ ر"$ م او 5وی دی . ? = ℝ ℝ = { ∈ ℝ ≥ 0} دھIوی ا د د AA ا2داد و 5ت وا {دھIویA ≤ 0طℝ 7 @ر ∋ دی .} ℝ ? = وا {0} = 9ل : ℝ ∩ℝ ℝ ∪ℝ ℝ │ ≔ {x ∈ ℤ│(−8 ≤ ≤ 8)} 8 8 Y ≔ {x ∈ ℤ (−8 < < 8)} -8∈ X ⟹ -8 ∈ Y X ∪ -8 X Y 5 ∈ X ∧ 5 ∉ ⟹ 5∉ X∩Y 9ل : ∩ ∋ ⟹ X ∧ ∈ Y ∋ 8

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A = {a,b,c,d} , B = {d,e,f}, C = {a,b } A B = {a,b,c,d,e,f} , A B = {d}

C∪ A , A C = {a,b,c,d}∩ = A , A C = {a,b} = C ⊆ ∪ ∩ A B = { a A │ a B } = {a,b,c} ∖ ∈ ∉ A C = { a A │ a C } = { c, d } , C A =

"ر ! & C A ∅دی . % ∖د A C 5ت ∌ ∋complement د A∖ C A B relative Complement A B & او د ⊇ 5ت ∖ د طر ول ږي : : 9ل ∖ W1 : = { ∈ ℝx<0∨ >0} W2: = { ∈ ℝx<0∧>0} W1 5ت ھIو AA ا2دادو & @ر"$ وی ( ) @ر"$ و وی >8ل >وی ده . ? : ∨

W1 = {0} = ∗ ℝ ∖ ℝ W2 5ت ھIو AA ا2دادو & @ر"$ وی اود ( ) @ر"$ . . و وی >8ل >وی ده "ر ! & ھI ډول AA 2دد ∧ دا ږی س W2 $ ده ? : = W2 : : (elements) : 1.1 ر ن دE دی ∅5و و 2 @ر دا ړۍ ( a ) │ ( b ) ≔ {x ∈ ℤ (−1 ≤ ≤ 6)} │ ( c ) ≔ {x ∈ ℤ (1 ≤ ≤ 7)} A:

{ ∈ ℤ0 ≤ ≤ 4} ( AX } Y ( d ∋ او n −X 4,Y = دا ړۍℤ . x ا%∋ د} X ≕ او Y ور 0 5 و دي ∩ ∪

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( e ) │ ,ر ف : X و {10> ?ن ≥ 5ت 6∨وی .( 2 ≥ و ږ د ≥ X 2−6ول) C ℤر5 ∈ 2x} و ≕ (p(X وHو . ? : (P(X د X د { power ⊆ set } ≕ وم ()دږی . X و?ن 5ت وی اود2 @رو (elements) >رn 0 وي . دې @ورت (p(X ھم ?ن وا د 2 @ر و >ر2n 0 دی . ? : n 2 = 9ل: {X = {a,b وي . دی (p(X@ورت دھC Iر2 5 و {A1={a ,{A3={a,b}, A2={b او يد . ? : : 2 { ,P(X) = { A1,∅ A 2, A 3 وا 4 = 2 = ری د X ∅ ت5 $ وي . دې @ورت { }= )p(X)p(X) = p وا = 1 ∅) ∅ ر ن : (∅)p ( ( a X = {a, b, c} وي . (P(X ا و دا ړی ( ( b p(X) │وي . د X 5ت وا دا ړی {p(X) X ≔ {x ∈ ℤ 4 ≤ x ≤ 16 ,ر ف 4. :1 وه function or mapping) 7%) وه 5ت A "$ ر 5ت B % دی وه دا ډول را%ط ده & دھر2 @ر ره وازی و 2 @ر وود وی & د a د @ور او ا -ور ∋ (map) وم دږي ∋ ? & %د : : a A, b B ; f(a) = b : او E دې >8ل Hودل ږي ∍ !∃ ∍ ∀

: ⟶ (f (a د mapping image) = () ⟼ @ور ا -ور ) د a ظر f وم , A د Domain وم , B د Codomain وم او (f(A د A د Range او image وم دږي . ھر Range و Cر2 5ت (subset) د Codomain دی . . داE دی %7 د identity function وم دږی : :

∶ ⟶ 10 ⟼ () =

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل: { B:= {d , e , g , h } , A:= { a , b , c

: ⟶

⟼ () =

⟼ () = . a . f دا ډول ?رف د در5ت = (دی) -8 ⟼ ړی دا & دوه @و رو ری دو دام & U cھ @ور ری. 9ل 1 .1 : د f د اE دی ?ر و در5ت يد ( a)

: ℤ ⟶ ℕ ⟼ 2 : 8-

= −1 ∈ ℤ ⟹ () = (−1) = −2 ∉ ℕ ( b )

: ℝ ⟶ ℝ -8 د Bل ډول = (f(-2 ⟼ f !ر داE دی ?رف د ℝره∌در5ت 2−دی

: ℝ ⟶ ℂ 9ل : { B:= {0 , 1 } , A:= { a , b , c ⟼ ( a ) , B . codomain range ېد Bل H او 5ره 5f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1وی دی⟶ ? :ھI دی ( b ) , g(a) = 1 , g(b) = 1 , g(c) = 1 range B codomain , A domain دی Bل H 5وی ⟶ 5وی : او 5وی {1} ظر g دی و ټ: دو ه f 7% وا g ھI و$ت 5وی دي ر ی دواړه 2ن domain ( د Bل ډول A ) ا دو ھر ره %د @دق و ړۍ. ,ر ف A : 1.5 ∍ وه Mapping () ) 7%a ) = ده( . ) 11 ∶ →

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

f injective : , ( ? = و ږ ⟹ (ورو)& = () A و∍ ي .a, b%د a = b >0 ) ) , : اودا& a, b ∊ A () = () f surjective : a, b b ∊A B, a ≠ A ; ⟹f(a) =( b) ≠ ( ) ( ? د ھر b B ره %د و a A ∍وود و∃ي ∍& f(a) =∀ b >0 ) f bijective : f injective ∊ f surjective ∊ 9ل: { B:= {d∧ , e , g } , A:= { a , b , c

: ⟶

⟼ () =

⟼ () = a b f(a) = f(b) = e . injective f و دی -8 !ر = () دی⟼ f و surjective ھم دی . -8 د g B ره ھU و ≠2 @ر A & > : : . g & ا -ور0 وی ? ∍ x A ; f(x) = g B:= {d , e } , A:= { a , b , c } : 9ل ∍ ∄

: ⟶

⟼ () =

⟼ () = f و surjective دی !ر injective دی . f(a) = ⟼f(b) (= )d =8- ! ر a a b . B:= {d , e , g , h } , A:= { a , b , c } : 9ل ≠ و ږ >و وEی و ه 7% دا ړو & surjective وی . 8- B → = :4 > 3 = ! در injective ا8ن > . Bل 2││.1: ││

: ℤ ⟶ ℤ a ⟼ 2a 12

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

f و injective دی . و ږ a , b ورو & (f(a) = f(b وي . . a = b %د B%وت > & ږي ℤ ∍ f(a) = f(b) 2 a = 2b a = b f و surjective دی . -8 ⇒ 0 ھX ⟹ودا5 2 @ر دا ږی & . . ( ) f @ور 0 ظر طق ا2داد د Bℤل ډول و وی x ; f(x) = 1 ? 3.1 : : 3.1 Bل ℤ ∍ ∄ ( a ) داE دی bijective 7% ده

: ℝ ⟶ ℝ : : . surjective injective وب وا*L دی ا و ھم ده2 8-⟼

∈ ℝ, : = ∈ ℝ ⟹ () = = 2. = ( b ) داE دی Injective 7% ده . !ر surjective ده

: ℕ ⟶ ℕ m,n , f(m) = f(n) m +1 = n+1 m = n f injective ⟼ f(n) = n + 1 دBل ډول د 1 ره⇒ ھ U و2دد ⇒ m H ⇒دا ږی & f(m)∈ ℕ = 1 surjective . > س دی ℕ 9ل : د اE دي 7% injective او surjective ده

∶ ℂ ⟶ ℝ z=a+ib ⟼ ││ = a +b z1=3+4i,z 2=-3-4i f(z 1)=│z│= 3 +4 = 25 =5 !ر z1 z2 دی . س injective25 =5 = دی . (f(z 2)=│z│= (−3) +(−4 ≠Surjective ھم ده . -8 د ھر ره f(z) 0 ږي . . ر ن 1.2: ?:وم ړۍ & و z ∈ ℂداE دی 7% injective≥ او surjective دای >

: ℤ ⟶ ℤ 13 ⟼

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

,ر ف 1.6 : و ږ د وه %7 او ورو . . ( ) mapping combination g f د او د → : → : د %?ور ب " " ﭘﻪ ﻧﻮم → ﻳﺎدي∶ ي . ∘ ﭘﻪ ﺻﻮرت ﻋﻤﻮم ﺗﺮﻛﻴﺐ د دوﺗﺎﺑﻌﻮﭘﻪ ودل ﻛﻲي . ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺗﻪ mappings composition ﻫﻢ وﻳﻞ ﻛﻲي . ∘ 9ل : دې Bل H واړو دا ړو

∘

:ℤ ⟶ ℝ:ℕ ⟶ ℤ ⟼ − 1 ⟼ + 1

∘ () = ( + 1) = ( + 1) − 1 = + 2 + 1 − 1 : ر ن دا ړی 2 + = ( a ) ∘

:ℕ → ℝ:ℕ → ℕ ( b ) ⟼ 2 ⟼ + 1

:ℕ → ℚ:ℕ → ℕ 1.1 : 1 + و ږ دوه ⟼ %7 او2 ⟼ ورو . % : ( a ) : ⟶ : ⟶

( b ) ∧ ⟹ ∘

( c ) ∧ ⟹ ∘

( d ) ∘ ⟹

(a) 9وت: ری د ره ⟹ وی∘ . س %د B%وت > & a = b ږي∋ , () ∘ = () ∘ -8 و [ -8 و]() = () ⟹ () ∘ = ( ) ∘ ⟹ = 14

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(b) 9وت : %د B%وت > & : :

∀ ∈,∃∈;∘() =

⟹∀ ∈ ∃ ∈ ;() = : : ⟹∀ ∈ ∃ ∈ ;() = &

gf(x) = g(y) = z ⟹ ∘ ر ن c ) : 1.3 ) ا و (d) د 1.1 B%وت ړی . ر ن 1.4: f: , g: , h: ℤn ⟶ 2n ℤ nℤ ⟶ 3n ℤ + 5 nℤ ⟶ - 6n ℤ ( a ) دE دی وا%?و ر ب ⟼دا ړی ⟼ ⟼ f g , g f , f h , h f , g h , h g

( b ) و دھIور %و ∘injective ∘او و ∘ ∘surjective دی ∘ ∘

,ر ف 1.7 : و bijective %7 ده . دھI ?8و5 7% : : (inverse function) → : E دی ډول ?رف >وی دی

: → ? د @ور ظر ھ I 2 @ر دی & f(a) = b ⟼ : = () ږي ا و ∋ ھم bijective دی ∋ 9ل : داE دی id:→ Bijective 7%= ده ∘ ∧ → :id = ∘

: ℝ ⟶ ℝ د ھI ?8وE ( 7% 5 دی >8ل ري ⟼ 3 + 2 ) : ℝ ⟶ ℝ ⟼ : 8-

() () = ⟹ ∘ () = = + 2 = 15

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ر ن 1.5 : : ( B ( a%وت ړی & د f %7 ور Bل bijective H ده . . ( b ) دE دی %7 ?8وس دا ړی

: x ℝ ⟶ 2x ℝ + 1 : ,ر ف ⟼ ( a ) ?ن 5ت E دی ډول ھم ?رف >وی دی : و M 5ت ھI و$ت ?ن ول ږی ري : : injective surjective : : وا E دی ډول → : ⇔ → : n bijective {1−,…,1,2} → (: ?ن ) ∃ℕ M ∧ finete ∋ ∃ ( countable set ( b ( د& روړ ت ): ⟹ و 5ت X د countable Set ( د>روړ 5ت ) وم دږي، دی >رط & د X وا ط%? ا2دادو ود Cر2 5ت (subset) ر T وه bijective 7% ووده وې . دار ! وه %7 ووده وي، % un countable وم دږي . . و 5ت X د infinite countable ( د >رش وړ ر?ن 5ت ) د ږ ی ، دې >رط & د X وا ط%? ا2دادو ر T وه bijective %7 ووده وي . د Bل ډول م ا2داد ا و طق ℕا2داد د >رش وړ ر?ن 5 و دي . !ر د AA ا2دادو 5ت ℤ و un countableℚ دی . E دي Bل واړم وHم، & ود >رش ℝ وړ ر?ن ( infinite countable ) 5ت دی . . ℤ f : ℤ ⟶ ℕ 2k ( k ) k f(k) = ≥ 0 ⟼ 2(-k) - 1 ( k < 0 ) : : f injective m,n , f(m) = f(n) : : n m د وا ره دري E دي و وود دي ℤ ∋

1 . m,n f(m) = 2m f(n) = 2n m = n 16 ≥ 0 ⟹ ∧ ⟹

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

f injective 2 . m n⟹ < 0 f(m) = 2m f(n)= 2(-n)-1 "ر ! & n < 0 ا $ب > وی ، ∧س n)> 0-)2 ⟹دی ا و n)∧ -1-)2 0 و ≤ طق 2دد دی . (f(m) = 2m = 2(-n) -1 = f(n ا8ن :ري 3 . m,n < 0 f(m)= 2(-m) -1 f(n)= 2(-n) -1 f(m)= 2(-m)⟹ -1 = f(n)= 2(-n)∧ -1 m = n f injective ⟹ f surjective : د x ره دو ه E دي E و وود دي : ⟹ : ړی ت x: و ℕ ت ∋2دد دی x even , x k ; 2k = x k = ≥ 0 ⟹ f(k)∃ ∈ = ℤf( ) = 2. =⟹ x f surjective دوم ت x: و طق 2دد ⟹دی ⟹ x = 2.(-k) – 1 k = f(k) = f( ) ⟹= 2.(- ( − ) ∈- 1 ℤ = x + 1 – 1 = x f surjective− − f %8ف ( bijective) دی . س د >رش وړ ر?ن 5ت ⟹ ( infinite countable) دی ℤ : 1 1. " '2 A و ?ن 5ت وی . % دوی %7 ر ه داE دی

اCدی دو%ل 5ره ?د0 دی . → : ( f ( i و injective دی ( f ( ii و surjective دی (f (iii و bijective دی

9وت : "ر ! & A ?ن دی او و ږ Cرض و & n $:ف 2 @ره ری . ?

(ii) ( i) = {, , … , } f و⇐ surjective وی . دا دی ? & :

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

⟹ () ≠⟹∃∈;∉() ? د (f(A د 2 @ر و>ر n "$ م دی . m = │ │ وی. (m . وه روک %د هدو object وي . دا دې ? & f و injective دی . !ر دا د Cر* *د دی . س %د f و surjective وی . . (i) (i) (ii) : . injective f ⇐ و وی دا دې ? &

دې ت &() =(f(A( ) وEی ∧ > ≠ ا2ظ; ∋ n-1 ,∃ 2 @ر ⟹ وری . ? %د (f(A وی . !ر دا $Nف د Cر* ده . f 8- و C surjectiveرض . . injective f . >وی ≠وه س %د وی وټ : : ( a ) د دو? و 5و A او B ره ھم 1.1 * @دق وی . دې >رط & │ │ │ │ وي . . . 1.1 ( b ) د= * د ر?ن 5ت ره @دق وې دBل ډول f : ( n طق) ℕ → ℕ n n f(n) = ( n ت ) ⟼ f و injective دی . 8-:

f(3)=3= =f(6) ⟹ fnotinjective f !ر surjective دی : k f f f( k) = k . k : ړی ت ری طق ℕ وی∋ دې @ورت ږی او و surjective دی دوم ت : ری k ت وي . دی @ورت : :

n: = 2k f(n) = f(2k) = = k f surjective ⟹ ⟹ 18

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( c ) ری B و ?ن 5ت او A د ھproper subset I ( ? ) وی . دې @ورت و ږ >و وEی هو bijective %7 ددی . . . دواړو B 5و و ⊃ ر T ده ړو !ردر? و 5و و ر T % دا ا8ن > E دی Bو دا وا*L وی Bل 1.4: ( a ) f :

ℕ ⟶ ℤ ( ﻛﻪ n ﺟﻔﺖ) x f(x) = ( n ق) ⟼ () ا% د 0 ت 2دد Cرض >وی دی

f و injective : : x,y

د (f(x) = f(y ت د ( y x = 0 ) او ( ℕ ( y x 0 ره∋ @دق وي . س x او y ∧ 0 د@ر$Nف ≠Cرض وو . د ≠ ∧0injective د =B%وت ره داE دی دری ظر H 5و: x,y case 1: f(x) = , f(y) = ∈ ℕ f(x) = f(y) = 2.x = 2.y x = y case 2: f(x) = ⟹ , f(y) = ⟹ ⟹ () () f(x) = f(y) = -2.x – 2 = -2.y -2 () () ⟹ x = y ⟹ case 3 : f(x) = , f(y) = ⟹ () f(x) = f(y) = 2.x = -2.y – 2 x + y = 1 () x + y = 1 ⟹ا8ن ری ، x 8- او⟹ y ط%? ا2داد ⟹دی . .

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ودل >ول & درم ت ا8ن ری . ? & x ت اوy طق وي . دې @ورت % (f(x) = f(y ا8ن ري . !ر ړی او دوم ت f f H ا 8 ف دی . . f و surjective ھم دی . 8- : : د y ره دری E دی وود دی: case 1 : y = 0 ∈ ℤ

() =y=0∨ =y=0 ⟹x=0∨-(x+1)=0 -(x+1)=0 ⟹ x=-1∉ ℕ f(0)=case 2 : y > 0=0 x:= 2y [ 2y 8- ت دی ] f(x) = f(2y) = = y ∈ ℕ case 3⟹ : y < 0 x:= -2y-1 f(x) = f( -2y – 1 ) [ 2y-1 8-- طق ] = ∈ ℕ ⟹ () = = y ھردری و H ودل >وه & دھر y ره و x H دا ږی & f(x) = y >0 . او ℤ دواړه∋ ر?ن دی او ℕ ھم bijective . @دق وی %ھم ℕ ℤددواړو5و ور T وود دی ℕ ⊂ ℤ ( b ) دا E دی Exponentialfunction %8ف ده : exp x : ℝx ⟶ ℝe e د او:ر 2دد (Eulers Number) وم دږي ⟼ e = 2.718281828459 : : injective

ex = ey x = y exp injective x,y∈ ℝ ,,,exp(x)=exp(y), ⟹ ⟹ ⟹ : surjective x ln(y) y∈ ℝ,x:=ln(y)⟹e = e =y x 20⟹exp(x)=e =y⟹expsurjective

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

bijective . او د واړه ر?ن دي او ھم @دق وی %ھم ℝ ℝددواړو5و ور T وود دی. ℝ ⊂ ℝ ر ن 1.7 : ?:وم ړی & و0 دE دی واsurjective , injective 7% وا bijective يد ( a )

∶ ℝ ⟶ ℝ ( b ) ⟼ + 1

∶ ℝ ⟶ ℝ

⟼ 3 − 4 ,ر ف 1.8 : د (i=1,2,3,…,n) 5و و ره : : direct product of Sets E دی ډول ?رف >وی دی

× × … .× و ږ {,…,1,2 = , ∋ │( , . . . . ,و*7 , ړو . )} =∶دې @ورت ھر 2 @ر ×. … E دی× >8ل ×ري : × = ∈ ( , … ,n-tupel ,ول , ږی) او= 5و وب د دو n – tupel : : دا( ډول, … , ?رف, > ,وی )دی

= (, , , … , ), = (, , , … , ) ∈ وی {,…,1,2} دی ∋ ∀@ورت = direct = ∶⟺ product د = 5و و ⋯ د = = >8ل = 8ل ږي . . Cartesian product direct product د وم ھم دږي او ھ د5 H ری زده 5ا ده ږي . د A 5ت m 2 @ر وه ا د B 5ت n 2 @ ره وری . ? & ا و . . . G = AxB . B A direct product G 5ت = د= ا و وی ? دی @ورت د G د 2 @رو >ر m.n دی . ?

ور را%ط دزو ? و . 5=و و .ره i=1,2,…,n) = = A i) ھم @دق وی . . 21

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل : A = {1,2,3} , B = {a,b,c,d} G = AxB = {1,2,3} x {a,b,c,d} = { (1,a),(2,a),(3,a),{1,b),(2,b),(3,b),(1,c),(2,c),(3,c),(1,d) ,(2,d),(3,d) } دل ږی & 12 = 3.4 = : : 1.5 9ل G := x fℝ : ℝ ℝ ) ℝ ⟶ ℝ f (injective:, ) ⟼ (2, x = (x 1,x 2) , y = (y 1,y 2) رې (f(x) = f(y وي . %د B%وت >& & x ℝ = y ∋دی F(x) = f(y) ( 2x 1 , x 2 ) = ( 2y 1 , y 2 ) ⟹ 2x 1 = 2y 1 x2 = y 2 x1 = y 1 x2 = y 2 ⟹ x = y ∧ ⟹ ∧ f injective ⟹ f surjective⟹: y = (y 1,y 2) %د و (x = (x 1,x 2 وود وي & f(x) = y > ∈ ℝ f(x) = f(x1 , x 2) = ( 2x 1 , x 2 ):= y = (y 1,y 2) ∈ ℝ 2x 1 = y 1 x2 = y 2 x1 : = x2: = y 2 ⟹ f(x) = f(x1∧ , x 2) = f( ⟹ , y 2) = ( 2. ∧ , y2 ) = ( , y2 ) = y ⟹ f surjective . . bijective f & و دی ⟹ ر ن 1.6 : و E دی surjective , injective 7% وا bijective دی ( a )

∶ ℝℝ ⟶ ℝ ( b ) (, ) ⟼ + 22

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

∶ ℝℝ ⟶ ℝ : ر ن 1 − + ⟼ ( ,) ( a ) دE دی 5و و 2 @ر (elements) دا ړی : :

X ≔ {(,) ∈ ℤℤ│ ( + = 0) ∧ (−3 ≤ , ≤ 3) } Y ≔ {(, ) ∈ ℤℤ( = ) ∧ (−3 ≤ , ≤ 3)} ( b ) ≔ {(, ) ∈ ℤℤ( = 0 ∨ = 0) ∧ (−3 ≤ , ≤ 3)}

u: = =(1,0,1){( , , v, = )(2,0,3),∈ ℝ w = (0,1,0) } ?:وم ړی & د w,v,u "$ وم و W & >ل او وم دی . . ( c )

H:= { (x 1,x 2,x 3,x 4) x1+3x 2+2x 4=0 , 2x 1,x2+x 3=0} u=(1,2,0,2) , v=(3,-1,-5,0)∈ ℝ │ , w=(-1,1,1,-1) ?:وم ړی & د w,v,u "$ وم و H & >ل او وم دی . . ,ر ف 1.9 : وه دوه .و 0 ر ا%ط (Binary operation) “ روه 5ت E دی ډول ?رف >وی ده : "⨁ ≠ ⨁: ( × →

? د ھر ⨁ ره A ⟼Cط ( وا,زی و وود دی & ∈ (, ) ∈ ×. 0 < 9ل ⨁ : = E دی Bل H وه دوه .و 0 را%ط (Binary operation) " " " ر ( م ا2داد ) ?رف >وی ده ⨁ . ℤ

⨁ ∶ ℤℤ ⟶ ℤ !ر E 2a − b دی = ډول ر a⨁b ( ط%?0 ا2داد ) ⟼(a,b) % دی ?رف ړو ℕ ⨁ ⨁: ℕℕ ⟶ ℕ دا دوه .و 0 را%ط ده 8- = . 2a−b a = 2 a⨁b وا b =(a,b)⟼ 6 وي a b = 2a – b = 2 · 2 – 6 = - 2 23 ⨁ ∉ ℕ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل : E دی Bل & وه دوه .و را %ط (Binary operation) " " ر ( AA ا2دادو ) ?رف >وی ده ⨀ ℝ

⨀ ∶ ℝℝ ⟶ ℝ (a,b)⟼ a⨀b = (a + b) !ر E دی ډول ر ( م ا2دادو ) ?رف ړو ℤ ⨀

⨀:ℤℤ ⟶ ℤ (a,b)⟼ a⨀b = (a + b) دا دوه .و را%ط ده . 8- a = 2 ا و b = 3 وي

= = a⨀b = (a + b) (2 + 3) ∉ ℤ ,ر ف 1.10 : و 5 ت وی دوه .و 0 را%ط ” “ 5ره د (Algebraic structure) ا%ری وړHت ≠ وم د ږی وا ⨁و ږھI 5ره Hو . 5و ت M دو دوه .و و را%ط و (Binary operations) ( ⨁او,) 5ره و ږ Hو . و ا%ری وړHت : : ( ) ⨁ 5$ن⨀ ره E دی ( ⨀$وا@,⨁ و ,) ظر دوه .و & ( ⨁را%ط& ,) ?رف >وی دی

( i ) ا دی (associativity)

( ii ) و ∋ دE دی, و$, ∀ا@و 5ره د 2 ت ⨁(⨁) =2 @ر( ⨁)(identity⨁ ) وم

دږی e ∈ M

( iii) د ھر ره و = دE دی و$⨁ ∧ا@و = 5ره وود ⨁ وي ∋ ∀ a ∈ M ∈ M a ( inverse) b ?8وس = ⨁د ∧ ول e = ږيb⨁a ( iv ) % د: (commutative) : : a د Bل ډول ) , ⨁ = ⨁ )M ا و∋ (. , ,∀+ , ) ا%ري وړHت . " +" ( ) 5$ن ( . ری &,+ ,ℤھروی دوه دوه (.,+,ℝ.و 0 را%ط " ا و ℂ " ری 9ل : 24

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( a ) د {M:={-1,1 5ت ظر *رب “.„ و ا%ری وړHت ( 5$ن ℝ ) ⊃ری . !ر ظر 7 “+„ :ری . M 8- 2 = 1 + 1 ( b ) د {M:={-1,1,i,-i 5ت ظر *رب “.„ و ا∌%ری وړHت ری . . ⊂ ℂ : 8- (-1).(-1) = 1 M , (-1).(1) = -1 M, (-1).i = -i M, (-1).(-i) = I ∈ M, 1.1 = 1 M, 1.i∈ = i M, 1.(-i)∈ = -I M, i.i = -1 M,∈ i.(-i) = -1.(i 2∈) = (-1).(-1) =∈ 1 M, ∈ (-i).(-i) ∈= 1.(i 2) = 1.(-1) = -1 M ∈ 9ل -: داE دی هود وQ را%ط %د: ده ∋

⨀: ℕ × ℕ → ℕ -! : = ⨀ ⟼!ر ( ,) وټ: 3direct = 2 product= 8 د ⨀ 2ا%ري 9 =وړHو و ( algebraic structures3 ⨀ 2 = 3 ) ) % ھم و ا%ري وړHت دی . ? & و ږ E دي ا%ري وړHو ورو: (A, ) , (B, ) G:=⨁ (A, )x(B,⨀ ) د G دوه .و 0 را%ط “ „ 5ره وHو . % : ⨀ ⨁ x = (x 1,x 2) , y = (y 1,y 2) G = (A, )x(B,∗ ) x y = (x 1 y1 , x 2 y2 )∈ ⨁ ⨀ 9ل: ر % دي E دي دوه .و 0 را%ط ?رف >وده : ⨀ ⨁ ∗ ℝ

⨀ ∶ ℝℝ ⟶ ℝ ( , ) او ( , ) ا%ري (b + وړHو a,b)⟼algebraic structures a⨀b = ) (a) ) دي . . G:= ( , ) x ( , ) ℝ ⨀ ℝ + x = ( ℝ2, +4) , y ℝ= (1,6)⨀ G د G دوه .و 0 را%ط “ „ 5ره وHو . % : ∋

∗ x y = ( 2, 4) (1,6) = ( 2+1, 4 6 ) = (3, ⨀ ∗ ∗ (4 + 6) 25

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= (3,5)

,ر ف 1.11 : و ا%ری وړHت (algebraic structure) ) . (group) (iii) (ii),(i) ور ا و $وا@ وری د . روپ وم( ⨁د,ږی ری وه . روپ & (iv ) ھم @دق و ړی . % ھI .روپ %د:0 . روپ ( commutative group) ول ږي . . 9ل: %د: . رو و دی . & 2 ت 2 @ر 0 @ر “0„ ا و(+ ℚ, +) , (ℤ,-a)?8وس, د( + ℝ, aدی) . . (+, ) وھم . روپ دی & 2 ت 2 @ر 0 @ر ا و z=-a-ib- ?8وس د z=a+ibℂ دی . . %د: . رو و دی & 2 ت 2 @ر 0 و “1„ ∗ ∗ وا = a-1 ?8وس د a دی . . (ℝ ,. ), (ℚ ,. ) a. = 1 8- ږی . !ر Qروپ دی ∗ ,ر ف 1.12 : و ا%ری ( .,وړHت ℤ) د E دی $وا@ و و5ره د :A (Ring) وم دږی : (⨀ , ⨁ ,) ( 1 ) و %د: . روپ (commutative group) دی ( 2 ) (⨁ ا دی,) (associativity) ظر “ ⨀" ( ) ( 3 ) وز? ∋ , ,∀(distributivity) ظر وا (⨀)⨀ = ⨀(⨀)

⨁ ⨀

∀, , ∈ ⨀(⨁) = (⨀)⨁(⨀)

∧

(⨁)⨀ = (⨀)⨁(⨀) ری و ر ring) 9) 2 ت 2 @ر (identity) ظر “ وری . % ھI : : . (ring with identity) ر S د 2 ت 5ره وم دږی"⨀ ? ( ) 2 ت 2 @ر ظر ∋ د ∀وا د (unity) = وم ⨀ دږی; . ∋ R ∃ ظر “ (Commutative) %د: وی . % ھI ⨀ %د: ر S واي . ? "⨀ ( ) 26 ⨀ = ⨀ ∀, ∈

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل : , , %د: ر !و دی & وا د 2 @ر ( . (unity) ,+ 0 و,ℤ ) (“1. ,+ دی ,ℝ, +, . ) (ℚ) ,ر ف 1.13 : وه %د: : ( ,+,.) (commutative Ring ) A E دی : : ( ) Field $واص وری د 5 وم دږی ( i ) و وا د 2 @ر ( unity ) وود وي (ii ) ھر ?8وس ذر ( Invertible ) وي . ? : : ∈ ∖ {0} { } 9ل : ( . ,+, ) , ( ., + , ) ا و = fields0 ,∃ ) ∈;. 5∖ ) دی∋ . ∀!ر ℚ 5 د ای >ℝ . 0-8 د ( . Bل ,+ ,ℂډول )د ره ظر *رب "." ( . ,+ ,(ℤ H ?8وس > . ℤ ∋ 2 ,ر ف A :1.14ℤ 5ت دی . و ږ را%ط ( relation ) د 2 @رو ر T „ 5ره ≠ Hو . ری د a ا و b ر T وه را%ط „ وود ه وی . % a~" b 8و . "~ ,ر ف ~1.15: هو را%ط (relation) „ ور 5ت A % دی دE دي . . ( ) equivalence relation $وا@و 5ره د "~ ?د را%ط≠ وم دږی

( i ) a a (reflexive ) , , ∈ ( ii ) a ~ b b a ( symmetric ) ( iii ) a ~ b ⇒ b c~ a c ( transitive ) - و %و & reflexive ا ?8س ، ~ ⇒symmetric ~ ∧ ظر او ~ transitive ا 0A ول >وي يد . 9ل : د 5وات را%ط ”=“ روه 5ت A % دی وه ?د را%ط (eq-relation) ده . ≠ reflexive: a = a a a ( ) symmetric: a b ⇒ a =~ b b∀ = a ∈ ~ ⇒ b a (⇒ ) transitive: a b ⇒ b ~c a∀(, = b ) b ∈ = c a = c ~ ∧ ~ a ⇒c ∧ ⇒ 9ل: ر % دی∋ داE( دی ,),( را%ط ,) ∀ ظر & 5و~ : ⇒ 27 ℤ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

a b : a b ( ) ور را%ط reflexive ا و transitive ∈ ℤℤ ( ده . ,)!ر ≥symmetric ده ⇔ . 8-~ : :

2 3 2 3 3 ≤ 2 ⇒ 3 ~ 2 س ور را%ط وه ?د را%ط ( eq-relation ) ده . ≁ ⇒ ≱ 9ل 1.6 : ر % دی داE دی را%ط وه ?د را%ط ( eq-relation ) هد . ℤ a – b(, ) ) ∈ ℤℤ ر 2 %ل 5Aم دی ) a b : 2 | a – b ~ ⇔ :reflexive

a – a = 0 2 | 0 a a ⇒ ⇒ ~ : symmetric

, a b 2|a – b q ; a – b = 2q (, ) ∈ ℤℤ b – a = ~2.(-q)⇒ ⇒ ∃ ∈ ⇒ 2|b – a b a “ symmetric ⇒ ⇒ ~ ⇒ ~" : transitive , a b b c 2|a – b 2|b – c ( , ) , (, ) m∈ ℤℤ ; a –~ b = ∧2m ~ n⇒ ; b – c ∧= 2n ⇒ b∃ = a∈ – 2m c = b – 2n∧ ∃ ∈ ⇒ c = a – 2m∧ – 2n = a – 2(m+n) ⇒ c – a = - 2(m+n) a – c = 2(m+n) 2|a – c ⇒ “ transitive ⇒ ⇒ B%وت >و & “ و ه ?د را%ط ( eq-relation ) د ه . "~ ⇒ 9ل : ر ( م "~ا2داد ) دا “ را%ط (E (relation دی ډول ?رف >وی ده : a,b ℤ "~ a b: a.b 0 , c ∈ ℤ a~ b ⇔ a.b ≠ 0 b.a 0 b a symmetric ~ ⇒ ≠ ⇒ ≠ ⇒ ~ ⇒ "~" 28

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

a b b c a.b 0 b.c 0 ~ ∧ ~ ⇒ a 0≠ , b ∧ 0 , c ≠ 0 ⇒ a.c≠ 0 ≠ a c≠ transitive !ر reflexive هد . "~"-8 ⇒ 0~ ⇒ وی ،≠ %د 0 ⇒ 0.0 >0 . . س و ه ?د را%ط ( ~eq-relation0 ) هد . ≠ ر ن : "~" ( X ( a د وه Hو - >.ردان دی . ر X % دي E دی را%ط (relation) ?رف >وی ده . a,b a ∈ X د b 5ره وه 6و! H دی :a b B %وت ړی & و ه ?د را%ط ( eq-relation ) ده⇔ ~ ( X ( b د 5 س "~"دوھ -0 @:ن دی . ر X % دي E دی را%ط (relation) ?رف >وی ده . a,b a ∈ X د b 5ره ھم د دی :a b B %وت ړی & و ه ?د را%ط ( eq-relation ) ده ⇔ ~ ,ر ف 1.15 : "~" n! = 1.2.3…..n n, k ∈ ℕ

0 k n ! = !.()! ≤ ≤ ( ) 0 k > n !n د factorial ا و د binomial coefficient وم دږي . ا% د k 5وی n او ()5وی @روي، % E دی ډول ?رف >و دی = = 1 () 9ل : () () 5! = 1.2.3.4.5 = 120 = = = = 10 ! () !()! . ,ر ف Kronecker symbol : 1.16 29

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

و ر*0 5%ول دی . i او j ا د س (index) 5ره 5وي وي ت 0 و دی، او 5وي وي %ي ت @ر دی . ? 0 : :

( ﻛﻪ i = j وي) 1 = ( ﻛﻪ i j وي ) 0 ≠

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

دو م ل د ط ,د+و م ( System of linear Equation )

د و ږ د $ط ?دEت 55 م AA ا2دادو ( ) H ط? وو . " . و $ت & و ږ د $ط ?دE 5و 5م د ل %ر$ ℝ$%ری وو دو ه E دی و طرح ږي . . ( 1 ) $ط ?دE و55م ل ری . . دې @ورت دو ه E دی و 8ن دی : : ( a ) $ط ?دE و55م زت : و ری . . ( b ) $ط ?دE و55م ACط و ل ری . . ( 2 ) $ط ?دE و55م Uھ ل :ری ړی ر : H واړم د وی $ط ?دE و55م د ل ا8 ت د"وBو ذر? >رL ړم. 9ل: 3x = 6 دا 55م وه ?د ا وو /ول ري . دا ?د ل ري دوا ھI و ل x x = 2 دی . اوس واړو?:وم ړو & ACط و ل ر ې . ری ھم و ل ددی

?د وي

3=6∧3 =6⟹3x−3 =6−6=0 ودل >وه & دا ?د ACط=x⟹0 و= ل ری . −x − ) =0⟹x)3 ⟹ ,ر ف 2.1: وه $ط ?دE و55م H داE دی 2:ت د A ) Elementary Operationد 2:و ) وم دږی ( 1 ) *ر% ول د وی ?د وه 2دد $Nف د @ر 5ره ( 2 ) *ر% ول دوی ?د وه 2دد $Nف د @ر 5ره او% د%: ?د 5ره 7 ول . . ( 3 ) % د:ول ددو ?د و-و 31

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د Aد 2: دو ط%ق وا5ط د $ط ?دE و55م ل I Hر را- 9ل 2.1 : :

+ = 5−2. 2 − = 1 x + y = 5 2x – 2x – 2y – y = -10 + 1

+ = 5 −3 = −9 −3 = −9 ⟹ 3+9 ⟹ = = 3 ددی ?د و ل دی . 2=5−3=⟹5=+3⟹=+5 د و" : دور Bل د (2,3) = (5%ول ,)>رL : : -2.

ړی ?د د 2- 5ره *رب >وې ا و % ددو& ?د 5ره 7 >وی ده . $: ړی ?د Iر وی . . 9ل 2.2 : دا 55م دوه ?د و دری /و ری . . x – y + z = 1 .1 x – y + z = 1 -x + y – z = 0 ⟹ x –x –y +y +z –z = 0 + 1

"ر ! & 0 = 1 ا8ن ری . س دا $ط ?دE و55م ل 1 = ری .0 ⟹ 9ل 2.3 : دا 55م ھم هدو ?د و دری /و ری. x – y + z = 1 1. x – y + z = 1 -x + y – z = -1 0 = 0 دې Bل H ودل >و & ړی ?د د 1- 5ره *رب > دو ?د Eس را- . و ږ ACط ړی ?د ظر H و 5و او x 5وی

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

و 2دد وا y 5 وی و 2دد و*7 ړو . % وEی >و E z دی : : ډول دا ړو + د ھر ره ACط وازی و ل د z ره وود دی . =,=⟹=1−+=1− H دا

?دEت,ډرزت : و ری و ږد :و و 5ت solution of linear equations ) SLE ) 5ره Hوو . ? : :

( , , ) ≔ = {(, , ) ∈ℝ│=,=,=1−+} د Bل ډول {( + ا $ب ړو− : 1,,)} = 0, = 1 او ل 0 دی 2=1−0+1=1−+= او (0,1,2) = ا( , $ب ,)> . ل 0 ږی دا ډول3 = ل د ,1 = راری ل ( parameterize) = (1,3,3) Solution ) , , وم) دږی . . ر ن 1.2 : دا E دی ?د راری ل ری . د ل 5ت (SLE(x,y,z دا ړی ( a )

x + y + z = 3 2 + 2 + 2 = 6 ( b )

9ل 2x+2y–z=6 : 2.4 2و د دو2ددو 62 ا و Cرق دھIو 5وی 20 وی . ھI هدو ه2دد دا ړی . . #ل: دا ا2داد x او y وی . د ?د و 55م E دی ډول دی : :

X + y = 62 1. X + y = 62 X – y = 20 x + x + y – y = 62 + 20

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

2x = 82 x = 41 , y = 62 – 41 = 21 ھI 2د دو 41 او 21 دی ا و د ل 5ت { ⟹(x,y) =(41,21) } دی ⟹ 9ل 2.5 : د Nر , -وی او ور د 2رو و2 70 ده . دNرد 2 ر "$ د ور او هود د ه د -وی 2ر م > ، % 5 % ږی . دNرد 2ر "$ د -و ی اودری ده د ور 2ر م > ، % @ر% ږی . د ھر وه 2ردا ړی . . #ل: د Nر 2ر x ، د -وی 2ر y وا د ور 2ر z وی . دی @ورت د ?دEو 55م E دی >8ل ري 70 -1. -1. + + = 5 x − 2y − z = 0 x − y − 3z = 70 + + = −3 − 2 = −65-2. −2 − 4 = −70

++ = 70 −3−2 = −65 4+015 = −2. (−65 ) −70 = 130−70 = 60 y = = -2z=-65+3y=-65+45⟹z= =10 دا و ړل & Nر 45 :ن , -وی 15 :ن وا ور 10 : ده x=70–y–z=70–15–10=45 د ?دE و ل 10 15 45 ر ن : د ا د ا{و ( , ود ,د )2ر} و و= ( , و2, ) 50 ده . س ور5 د ود 2ر د ا د د 2ر ږی . د ھروه 2ر "و ده ور Bل H و ود & و $ط ?دE 55م وEی > و ل، Uھ ا ل و ډر زد : و ري . .

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

اوس د $ط ?دE 55م 2و ت ط? وو . وه $ط ?د @ورت 2وم E دی >8ل ري : :

1 1 2 2 3 3 د A = 1 1 1A ا2داد ا و+ ⋯ + 2 1+ /ول +دی . ور . . ?د , H, … %د, , $:ف , و و%ل "$ , … ,8R , ړو ( a ) ری 1 1 1 6ول *راب @ر وي او am 1 , … ,ړی , $Nف , د @ر *رب وي . دی @ورت ور : : ( ?د ≥ E دی ≥>8ل )ا$: 1 2 3 1 . + . + . + ⋯ + . + . 1 1 1 د= . + free+ ⋯ Variable وم د ږی . ? وEی >و ھ روه Not free Variable . ا$ری, … , و , ور ړو وا 1 د وم . . . د ږی ? دوی A5ل دی ا, و… ,د ورو %7,دی "ر ! & 1 1 1 1 6ول @ر Cرض >وی وه . س وEی >و . . & ھIوی "$ , … ,@رف , ظر ,و ړو 1 "ر ! & 0 دی س = وی >و + ?د ⋯ ر + 5Aم ړو . + 1 1 1 ≠ + ( +. . … + } = دل ږی & ت د( %7− د … . .−ا $% و و − ) = دی⟹ . . . ھدی ډول وEی >و ھI ور /ول & *رب 0 N$,ف د , @ر… ,دی دا ړو ( b ) *راب @ر دی. !ر دی . دی @ورت ھI

?د E دی >8ل 5 , 0:… , 0 ≠

ده . !ردا ت 8ن = 0 دی .⟹ س = ?د . ھU, … ل, ر 0 ,ي . 0 . ( c ) 0 ول ≠*راب @ر دی ا و b ھم @ر دی . دی ت H ?د دھر , … ,ت ره ل ری. 9ل , … ,

35 2 + + 4 = 16

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ور ?د H د (a) ت @دق وی . -8 دی . . = 2 ≠ 0 + ( + 4) = = 8 و ږاوس وا 2 − − 8 = و*7 − ړو . % − 8 = - – x 2 == 8 ږي .= د Bل (ℝ ډول ,) وا وې . = 6 = 4 2 دور ?د د :و و 5ت E دی >8ل ري : −6=8−2−12=−26 − 8 =

ر ن 2.2 { , ,2 − − 8} = ( , ,) د :و و 5ت دE دی ?د دا ړۍ . .

N2وه رھI او و ې . % x3 4 دا= ړی . + 2 + 3 اوس واړود $ط6 = ?دEو 2 =55م 2و @ورت ط? ړو . .

+ + + ⋯ + = . + + + ⋯ + = (G) .

+ + + ⋯ + = ور $ط ?دE و 55م m ?د ا و n /و ری . . ) وي . %دا ?دE 55م د س ا و د . ( Homogen ) ھو Q oن= (…,1,2,3,4 = وم دږی ر ھI ر س (Inhomogen ) دي . و س $ط ?دE و 55م ھش و Zero-n-tupel ل ( ? ل 0 ( 0,...,0,0 ) ) ر ی . ور و B &و ودل >ول & د ?دE و د ل ره و>ش >ودی & /و و>ره > . 2و ډول د $ط ?دE ود ل ره د Aد 2:و 36

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( elementary Operation ) (1 ) , ( 2 ) وا ( 3 ) "$ ا5ده ږی. دو $ط ?دE& 55م ل د 6وو دا ول دی &

د?دو>راط ری ط%ق > , … , , 2' " 1. 2 : ر و $ط ?دE 55م Aد 2:ت ط%ق >0 دھI د :و و 5 ت Iر وی . ? د : و و>ر H8$ د Aد 2: واو ور5 ھI 5ره 5وی دي . . 9وت: و ږ و $ط ? دE 55م H داE دی دوه ?د0 ورو : :

( a ) + + ⋯ + = ( b ) ( 1 ) 9وت : د ( a ) ?د دوه 2دد= + 5ره⋯ + *رب > 0 . + داE دی ( c ) ?د Eس را- : 0 ≠ ( c) + + ⋯ + = ( 2 ) 9وت : د (c ) ?د د ( b ) 5ره 7 >0 د ( E ( d دی ?د Eس را0- : :

+ + ⋯ + + + = + ⋯ + ( + ) + ( + ) ( d ) + ⋯ + ( + ) = + د ل 5ت د ( b ) وا (d ) ?دو 5ره 5وی دی . -8 دواړه $وا د ?د و 5وی Aدار N2وه >وی دی . ( 3 ) 9وت وا*L دی. د $ط ?دE 55م د ل ره & m ?د ا و n /و وري . ا Bراً د و method ( طرA& ) "$ ا5ده ږ ي . د ی طر A H و>ش ږي & ړی و /ول م >0 . $ط ?دE 55م % H n-1 /ول % ږي . د Aد 2:و ا5ده ھدی ډول ادا ور ړل >0 . د ?دE 55م E دی 5طری ز (row-echelon ) >8ل دا وی : :

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

+ + ⋯ + = + ⋯+ = . . (S)

+ + ⋯ + = 0 =. .

0 = d

ور ?د ھI و$ت و ل ری & 0 ≥ ≥ ⋯ ≥ ≥ ≥ 1

وي = = ⋯ = = 9ل 72. : : 72.

+ + = 2 − 2. − 3. 2 + 4 + 3 = −1 3 − + 4 = 7

+ + = 2

2 + = −52.

−4 + = 1

+ + = 2 2 + = −5 د Aد 2: و ر ط%ق وو وEی >و & د ?دEو 9− =55م 3ز >8ل دا ړی . E دي ډول دا ږي : : , , 3 = −9 ⟹ = −3 2 = −5 − = −5 + 3 = −2 ⟹ = −1 38

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= 2 − − = 2 + 1SLE(x,y,z) + 3 = 6 = {(6,-1,-3)} : H 9ل 2.8 : و ږداE دي ?دE 55م رو : 1. 2. -1. 2 − + − + = 0 −2 + − 2 − + 2 = −1 4 − 2 + − − = 2 2 − − − 2 + =

2 − − − + = 0 -1. -2. − − 2 + 3 = −1 − + − 3 = 2 −2 − =

2 − + − + = 0 − − 2 + 3 = −1 3 − 6 = 3 − 1. 3 − 6 = + 2

2 − + − + = 0 − − 2 + 3 = −1 3 − 6 = 3 ور M $ط ?د ل ری 1 − ری = 0 وی. وی دې @ورت ا$ري ?د o = ≠ o 1 >8ل 05 . ا و د (S) . 1 ?دEو= $& س دا ?د0 ل ر د ل ددا ووره E دي ډول ر^ -و : : "ر ! & در ?د هدو /و ري %د وی و ت ور ړو . .

= 39

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

3 = 3 + 6 = 3 + 6 ⟹ = 1 + 2 = 1 − 2 + 3 = 1 − 2(1 + 2) +3 " ر ! & − ړۍ 1− =?د & 3 + 4 − 2 − 1 ژ و .= س %د د ل ره ا و

و ت ور ړو x, x ,

= 2 2 = = − + − = 2 − (−1 − ) + 1 + 2 − x1 2= + 2 + 2 & د :و و تE 5 دې >8ل ري : + 1 + ⟹

{Gaussian Algorithm ) 2.2) " '2 ) ,2+1,−1−,2,+1+)ھر} =$ط ( ,?دE , ,55م ,G) س د Aد0 2:و د S >8ل راوړل دای >0 . ( ) 9وت : 6ول (*راب ) (G) & @ر وې . B%وت 0 وا*L دی . اوس و ت ظر & 5و & ھ: 6ول ا @ر و ې . د ی @ورت ړی 5ن ( 5ون ) ( د پ "$ >روع ) & *رب 0 N$ف د @ر وې . ھI % r1 او*ر ب H 0و . "ر ! & دی وEی >و و ?داد Aد 2:ت د (G), ر ?دE 55م 0 % دی ≠ ,E دی ډول ط%ق ړو : :

– , , , , , + + ⋯ + = , ⋅... , ⋅ . , + , + ⋯ + , = .

, + , + ⋯ + , = , + , + ⋯ + , = . , + ⋯ + , = (W) .

, + ⋯ + , = 40

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

دل ږي & m-1 ور5 ?د و & دل ږی . . اوس وEی >و & 2ن طرA ر (W) ?دx ,0 xE , 55م… ,ط%ق ړو . ھدی ډول ادا ور ړل > . %E$ره د (G) ?د0E 55م د (S) >8ل 5 . . 9ل 2.9 : :

0 + 2 + 3 = 13 + 3 − 2 = 1 2 − + = 3

, ⋅ + 3 − 2 = 1 , = 2 − + = 3 2 + 3 = 13 : 8- , = 1 ≠ 0 + 3 − 2 = 1 0 − 7 + 5 = 1 ⋅ 2 + 3 = 13

+ 3 − 2 = 1 0 − 7 + 5 = 1 0 + 0 + = ⟹ 31 = 93 ⟹ = 3 −7 = 1 − 5 =1−5.3=−14⟹ = 2 = 1 − 3 + 2 = 1 − 6 + 6 = 1 ر ن 2.3 : د ا د، ود ا و رم{ (د 2ر 1,2,3)} = (و2 , 95 , ده) . د ا د ا و ⟹ ود د 2رو2 د رم د 2ر "$ 5 ږ ده . !رد ا د ا و رم د 2ر و2 25 د ود 2ر "$ ډره ده . د ھروه 2ر دا ړی ر ن : دا E دی ?دE 0 55م ل ړی

2 + − = 1 41

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

− + = 2 3 + 2 − = 10

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

در م ل ر س ا ود ر ت (Matrix and Determinant )

,ر ف 3.1 : و ږ وه Field) 5) ا و وه E دي %7 ظر H 5و : :

: { 1,2,3, … , } × { 1,2,3, … , } ⟶ دھر (i,j) ره وازی و ⟶ ( ,) & وود دی i. د 08 ( 5طری ) ا د س (row) = index) وا, ) j د 5 ( 5و ) ا د س (column index) وم دږي . د f د %7 ا -ور ( @ور ) د ر8س (matrix) وم دږي وا د رس 2 @ر (elements) يد او >ر 0 5وی m.n دی . و ږد د AA ا2داد و 5 ا5?و . ? : : ر8س E دی ډول Hودل ږي ℝ =

⋯ a = ⋮ ⋱ ⋮ a ⋯ a د ( A ( i=1,2,3,…,m j=1,2,3,…,nA ا2داد يد . دا ډول ر8س د m 8 ( 5طری) ا∧و n 5 ( 5و ) ر8س وم د ږي . و ږ ھH Iو . . ري (ℝ دور8س د 8,)و (rows) او 5 و (columns) >ر5ره 5وې وې، ور ر%?& ر8س (square matrix) ول ږي اوو ږ% د ر-ی 8و . . (ℝ ,ر ف (, : 3.2 ℝ) ,) وې . ? , ∈ (,ℝ) ⋯ a b ⋯ b A = ⋮ ⋱ ⋮ ,B = ⋮ ⋱ ⋮ ( a ) د A وا b B ⋯ر58 و bوE 2 دې ډول ده : a ⋯ a 43

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

a + b ⋯ a + b + = ⋮ ⋱ ⋮ ا و $@ر ډول : a + b ⋯ a + b = دBل ډول : ( + ) +

4 3 2 5 3 1 = = دل ږي & 6 4 2 يد 2 4 1 , ∈ (23,ℝ) 4 3 2 5 3 1 9 6 3 + = + = ( b ) *رب 8 دوه A 4 6 3 8 2ر8س د 2 وه A 41A 2دد 5ره ∈ ℝ ∈ (, ℝ)

⋯ . = ⋮ ⋱ ⋮ ( c ) ددو ر58 و *رب : ,⋯ د A وا B @ل *رب و ( (ℝ) ( × , ℝ ر8س , دی .× هدو )ر58 B B A ( columns ) ھI و$ت *رب دی >0 & دℝ , × 5و و) >رد 5وی د د 8و ( rows ) 5ره وې . د *رب :2 E دی ډول ?رف >وی ده : :

= ( = 1,2,3,…; = 1,2.3,…) A.B=C وې . د C 2 @ر (…,E (elements) = 1,2.3 دی ;…,1,2,3 ډول= )5E را- : = "ر ! & ( دی . ? m 8 ا و K 5 ری . س : : C وEی >و E × ,ℝ دی ډول و8و)

= ( = 1,2,3,…; = 1,2.3,…)

⋯ a b ⋯ b ⋮ ⋱ ⋮ . ⋮ ⋱ ⋮ 44a ⋯ a b ⋯ b

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

⋯ = ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 9ل 3.1 :

1 2 1 2 3 0 = 2 1 = 0 1 2 3 "ر ! & او دی . س 1 %د 3 ℝ ,2 × 3 وې∋ . (ℝ ,4 × 2) ∋ . = ∈(3×4,ℝ) = = . + . = 1.1 + 2.0 = 1 ھ دی4 = رب 2.1 + وEی 1.2 >ود= C . ر8س+ ور . 2 @ر ھم= دا ړو =

= 3 + 4 = 7, = 0 + 6 = 6 = 2.1 + 1.0 = 2, = 2.2 + 1.1 = 5 = 2.3 + 2 = 8, = 2.0 + 1.3 = 3 = 3 + 0 = 3, = 3.2 + 1.1 = 7 = 3.3+1.2 = 11, = 3.0 + 1.3 = 3 1 4 7 6 = = 2 5 8 3 ر ن : 3 11 7 3

2 4 1 3 = B = A.B = C وې . د C ر8س1 دا2 ړۍ . 5 1

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ر ن : :

o 2 2 o 1 o = = 1 4 1 4 2 1 ( a ) ا A.B ا8 ن 1 ری 3 ( B.A ( b دا ړۍ ر ن: ا د ره داE دي را%ط0 @دق وي : : 2 ( a ) (A – B) = (A + B).(A – B) , ∈ (,ℝ) ( b ) (AB) 2 = A 2 . B 2 ر ن : : A , B , C m ا و n دا(ℝ ړ,3 ۍ × & ) ∋ @ل *رب(ℝ د ,A.(B.C) ( × 5 ∋ ا8ن (ℝ و,4 ری × 2) ∋ 9ل 3.2: , , 1 −2 3 −2 = = = X.A=B وې . 6− واړو د X−1 ر8س 2 دا 1 ړو X.A = . = 1 −2 3 −2 1 2 −1 −6 = + −2 + 2 3 −2 ⟹ + −2 + 2 −1 −6

⟹ x11 + x 12 = 3 .2 -2x 11 + 2x 12 = -2

x11 + x 12 = 3

0 + 4 x 12 = 4

x12 = 1 , x 11 = 2 ﭘﻪ ﻫﻤﺪ E دی ?د0 ل ړو ⟹ 46

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

x21 + x 22 = -1

-2x 21 + 2x 22 = -6

x21 = 1 , x 22 = -2 د X ر8س E دی >8ل ري : ⟹ X = 2 1 1 −2 ر ن 3.1: , , −4 −1 2 −13 = = = A.X = B وي . دX −11 6ر8س دا ړ3− ۍ 2 ,ر ف 3.3 : و ر8س د وا د ر8س ( Unity Matrix ) وم (ℝ , دږي× . ېد ) ∋ >رط & ) aij = 1 i=j وې ) وا aij = 0 ( وې ) . . د Bل ډول ≠ E دې >8ل ری ∈ (4 × 4, ℝ) 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 1 وټ : و ږ C , A,B,C,A 1,A 2,B 1,B 2 ورو . داE دی : : وا ن ری @دق (ℝ وی, × ) ∋

. = . = (associativity ) (. ). = (. ) ( distributivity ) ( + ). = . + .

. ( + ) = . + . "ر ! & دا $ وا@ و روی ا دازی وری و ا *7 دی . س B%وت "$ 0 @رف ظر و . وټ : 2و @ورت @دق وې . دBل ډول : : . = . 1 2 2 −2 = , = 47 2 1 2 −1

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A.B = = 1.2 + 2.2 1. (−2) + 2. (−1 6 −4 2.2 + 1.2 2. (−2) + 1. (−1) B.A = = 6 −5 2 −2 1 2 −2 2 . دل ږی & A.B B.A دی 3 0 1 2 −1 2 ,ر ف 3.4 : و ≠ر8س A د Nonsingular وم د ږی دې >رط & و ( , ر8س × ) ∋ B وود وی & > . ? A ( , ر8س× )?8وس ∋ذر (invertible) و ي . . B = = ?8وس .(inverse) ر8س د A ول ږی اوو ږھI singular . 5 ره Hوو و ر8س & ?8وس و ری د وم دږی ,ر ف 3.5: GL(n, ):= { A A Nonsingular } و ټ: دوه ر8س د ?8وس دا ووره $:│(ℝ طرA ,) ∋وودی دی ℝ ړی طر 7" : , وس ر س 1 داول د وا#د ر س " ری و ږو ر8س ورو . دھI د?8وس ددا ووره د وا د ر8س "$ (ℝ ا5اده و .,) ∋ دې طر A H ر دواړو ر58و A ا و A A % دی د Aد 2:ت "$ ا5ده ږي او رھIو وری دوام ور ور"ود ر8س وا د ر8س %دل > . . 9ل 3.3 : واړودE دی ر8س ?8وس دا ړو:

1 0 = "ر ! دی . س د ?8وس ر8س2 3ددا وو ره د وا د (,(ℝ ر8س ,2 × 2)"$ ∋ ا5ده وو 1 0 1 0 3 2 0 1 رھI وری د Aد 2: و"$ ر ا و % دی ر ا$:و ر"و د A A

ر8س وا د ر8س %دل >

-3. 1 0 1 0 48 3 2 0 1

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

1 0 1 0 0 2 −3 1 1 0 1 0 0 1 − س 8- : : 1 0 = −

1 0 1 0 1 + 0 0 + 0 . = 3 2 − 3 + 2() 0 + 2 1 0 = = ر ن 3.2: 1 0 ( a ) دE دی ر8س ?8و س دا ړی :

1 0 2 A = 2 1 0 ( b ) و E دی ر8س ?8وس ری : 3 2 0 A = 3 6 2 4 دو " طر 7" : د , وس ر س 1 داول د ط ,د+و د #ل " ری , , , ∈ (2,ℝ) = = د A ر8س ?8وس B وی . دې @ورت %د داE دی ت @دق و ړی : :

. = 1 0 = 0 1 . د B ر8س د ور ?دEود ل "$ 5E را-. n > 2 او وی % ھم داطرA @دق وی (ℝ,) ∋ , 49

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل 3.3: A = 1 0 د B ر8س ?8وس د A وی . س %د : 2 3

1 0 1 0 . = 3 2 0 1

+ 0. = 1 + 0. = 0 3 + 2. = 0 3 + 2. = 1 = 1 = 0 3.1 + 2 = 0 ⟹ = − 3.0 + 2 = 1 ⟹ =

1 0 ⟹ = ر ن 3.3: −

0 1 −4 = 1 2 −1 د A ?8وس ر8س دا ړۍ . د ددواړو طرA و"$ 2 ا5ده ړ و1 ۍ.1 و ږاوس واړود (G) $ط ?دE 55م *راب دوه ر8س ډول و8و

⋯ = ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د*را%و ر8س د (G) د ?دE 55م وم دږی . (i=1,2,...,m) ∈ (, ℝ او i=1,2,…,n) x i) ھم وEی >ود ر8س ډول

و8وو

, = ⋮ = ⋮ b او x (ℝ و ږ A ا,1) و x∋ 5ره (ℝ *رب ړو . ,1) % ∋دE دي ر8س Eس را- : :

⋯ . = ⋮ ⋱ ⋮ د A 5ره E b دی ډول N2وه > : ⋯

(A,b ) ⋯ = ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ د (A,b) ر8س د Extended Cofficient Matrix ( ? د *را% و و5? >وی ر8س ) وم د ږی 9ل 3.4:

3 + 2 + = 10 + − 2 = −3 2 − + = 3

3 2 1 = = 1 1 −2 2 −1 1

10 = = −3 51 3

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

3 2 1 10 (, ) = 1 1 −2 −3 2 −1 1 3 9ل 3.5 : :

2 + 4 + 6 + 5 = 3

+ 3 + 2 + = 1

3 + = 2

0 2 0 4 6 0 5 3 = 0 0 1 3 2 1 0, = = 1

0 0 0 0 0 3 1 2

0 2 0 4 6 0 5 3 (, ) 0 0 1 3 2 1 0 1 0 0 0 0 0 3 1 2 و ږوو 5ل & د ل دو $ط ?دE 55م د Aد 2:و ر ط%ق I ر وي . ھدا ډول وEی >و 5طری Aد 2:ت رو ر8س E دی ډول ?رف ړو : : ( 1 ) *ر% ول د وی 8 دو2دد $Nف د@ر5ره ( 2 ) *ر% ول د وی 8 دو2دد $Nف د@ر5ره او%دا 8 دوی %: 8 5ره 7 ول ( 3 ) %دول او ?وض د دو 8و دا ډول Aد 2:ت ر و ر8س % دی د Elementary Transformation وم دږی . ود $ط ?دE 55م extended cofficient matrix وی اود ( ,)ر8س س د Aد 2:و ( 1 ,2 ,3 ) "$ 5E ( ,را: و)ې . دی @ورت وا 5وی ( ل ,)ری . . : 3.6 ,ر ف و ر8س = = E دي >8ل وری د 5طري . . ( Row- Echelon Matrix ) ذ & ر 8س (ℝ , ,) ∋ وم د ږی

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

∗ ∗ = ∗ ∗ و ذ & ر8س E دی $واص ری : … ∗ ( 1 ) ھI 2 @ر & د 5 وری (*) -ی دی %د $Nف د @ر وي او ھI دا E دی 2 @ردي

( 2 ) رذ E دی 2 @ر %د @ر وی. , … , , , ( 3 ) ذ د5 2 @ر دای > @ر ا و $Nف د @ر وې.

9ل 3.6 : :

+ + = 9 2 + + = 9

6 − + = 8

4 + − + 2 = 11 0.x 1 + + + = + + + 2 + 0. + + = + + + 6 − + 0. + = − + 4 + − + 2 = − + +

0 1 1 1 9 2 0 1 1 9 (, ) = 6 −1 0 1 8 4 1 −1 2 11 = 53

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ړ ی Aد 2: و " $ ا5ده وواو د ړی اودو 8 -و %دوو . .

2 0 1 1 9 0 1 1 1 9 , = 6 −1 0 1 8 4 1 −1 2 11

"ر ! & 0 دی . س ړی 8 د = 5ره *ر%و ا و %≠ 2 =ددرم 8 5ره 7 و . اوس % 3− ړی = 8− د = −

5ره *ر%و او د ":ور0 8 5ره 7 و . . − − = −2

2 0 1 1 9 0 1 1 1 9 0 −1 −3 −2 −19 0 1 −3 0 −7 د دو 8 د 1 5ره *ر% واوددر 8 5ره 7 وو . % دو 8 د = −5ره *ر%و او د":ور 8 5ره 7 وو − = −1

2 0 1 1 9 0 1 1 1 9 0 0 −2 −1 −10 0 0 −4 −1 −16 54

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

اوس در 8 د 2- 5ره *ر%و او% د ":ور 8 5ره 7 وو . = −

2 0 1 1 9 0 1 1 1 9 0 0 −2 −1 −10 0 0 0 1 4 ھر"وره د Aد 2: و"$ ا5ده و ړو . % ھم >و وEی & و “1„ ":ور 8 0 @ر %دل ړو . اوس وEی >و دور ز 0 ر8س $ ?دE 0 دی ډول ل ړو : :

= 4 -2x 3–x4=-10 ⇒ −2 = −10 + =−10+4=−6⟹ = 3 = 9 − − = 9 − 3 − 4 = 2 2 = 9 − − =9−3−4=2⟹ = 2 = 1 وټ: 22و ډول وEی >و د و $ط ?دE 55م & m ?د او n /ول و ری د ل ا8 ت E دی ډول و "ړو : :

+ + + ⋯ + = + + . + ⋯ + = .

+ + + ⋯ + = د*را%و ر8س 0 س Aد 2:و E دي >8ل وری:

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د ر8س دور5 8 $ وEی >و & دور ?دE 55م د ل ا8 ت و6و: ( i ) 6ول i=1,2,…,n) a mi = 0) او bm 0 وی . دې @ورت

دا?دE 55م ل ری ≠ ( ii ) ور 5 8 ACط وا زي amn 0 وی . دې @ورت

دا?دE 55م ACط و ل ری ≠ ( iii ) 6ول i=1,2,…,n) a mi = 0) اوھم bm = 0 وی . دې @ورت دا?دE 55م ډرزت ل ري ( iv ) ور5 8 ا Nْ دوه i=1,2,…,n) a mi 0) وود وی .

دی @ورت دا ?دE 55م ≠رار ی ل ری و :ټ د AA ا2دادو و و وم E دی >8ل ری: n n-1 2 f(x) = a nx + a n-1x + ….. + a 2x + a 1x + a 0 (f(x و n در و وم د ی ، & n د و ط%? 2دد دی 9ل: وه 2 در و وم د E دې >راطو 5ره دا ړ :ۍ f(1) = 2 , f(2) = 7 , f(3) = 14, , و ږ Cرض وو، & -و ږ و وم E دی >8ل ری : f(x) = ax 2 + bx + c اوس د f را ړل >و ي و و*7 وو f(1) = a.1 + b.1 + c = a + b + c = 2 f(2) = 4a + 2b + c = 7 f(3) = 9a + 3b + c = 14 د ور و ?دE ود *را% و ر8س E دی ډول دی :

, (A,b) = 1 1 1 1 1 1 2 = 4 2 1 4 2 1 7 9 3 1 9 3 1 14 ر (A,b) د Aد 2: و وروE 5 دی ر8س 5E را- : 56

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

1 1 1 2 0 −2 −3 −1 c = -1 , -2b – 03c = 0-1 1 -2b −1 = -1 + 3c = - 4 b = 2 a = 2 - b - c = 2 -2 + 1 = 1 ⟹ ⟹ س د f وو م E دی >8ل ری : f(x) = x 2 + 2x - 1 ودل >ول & د ر8س ری وEی >و و و وم دا ړو . دی >رط & د ووړی و وم - و را ړل >وي وي

ر ن : وه در در (f(x و وم E دی و وری . % (f(x دا ړی F(1) = 0 , f(-1) = -6 , f(2) = 6 , f(-2) = -18

,ر ف 3.7: دا E دی %7 د Transposed Matrix وم دږی : :

:(×,ℝ) ⟶ (,ℝ) t د A ر8س transpose matrix وم دږی ⟶ 9ل : :

A = , =

1 2 3 1 3 6 = 3 4 5, = 2 4 7 ﻛﻪ ، 8 5 3 ، وي . 8 % 7 ر 6t % دی دا E دی وا ن (ℝ,,) @دق ∋ وي : , (λ ϵℝ ∈ (,,ℝ ( a ) ( b ) ( + ) = + ( c ) λ = λ ( d ) (. ) = C .A 57 (A ) = A

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

,ر ف 3.8 : ( a ) و ر8س A د ظر ( symmetric ) وم skew symmetric A = A t دږی، دی >رط( &, × ) وي∋اوور ول ږي ، ري A = -At و ي . At د A را 5وز (transpose) دی . . د Bل ډول دا E دي ر8س symmetric دی

1 = 3 A = A t 8- دی 5 ( A ( b . ھر a A ?وض > & او % ھI complex conjugate A ر8س (&E , ℂس × )را-0 د∋ د ∋ a وم دږي اوو ږ ھI 5ره Hو . د Bل ډول = 1 + i 2 + i 1 − i 2 − i = ⇒ 3 1 − 2i 3 1 + 2i 9ل : د x ت دا ړی ، دې >رط & دا E دی ر8س ظر ( symmetric ) وي

4 x + 2 = t ر8س A ظر وی ، %د x +A 1= A وی . − 3? 2x = 4 x + 2 4 2x − 3 دوه ر58 ھI و$ت 1 + دو%ل x 5ره 2 + 5ویx يد ، x + & 1 6ول 3 − 2 @ر 2x0 دو%ل 5ره 5وی وي . ? : : x + 2 = 2x – 3 x = 5 س : ⇒

4 7 = 58 7 6

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

دل ږی & A و ظر ( symmetric ) ر8س دی ر ن 3.4: داE دي ر58و را ړل >ودي

, 0 1 2 1 = 1 0 1 = −1 0 1 B%وت ړۍ & A و symmetric 0 او 1B− و skew 3 symmetric−2 1 2ر8س دی . .

وټ 3.1: ( H ( a ?8وس (right inverse ) وا پ ?8وس ( left inverse) دوه ر8س 5ره 5وی دی ، 8- L پ ?8وس ا و H R ?8وس د وي . س %د L.A = E n A.R = E n ∈ (, , ℝ) ∧ L = L.E n = L.(A.R) = (L.A).R = E n.R = R ( b ) وی . د En ?8وس ر8س En ⇒دی . 8- : : (E n ).( En ) = E n En = E n . E n = E n ≠ 0 ,ر ف 9 .3 : ر8س E دی >8ل وری : ∈ (, ℝ)

⋯ = ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ( a ) د ر8س E دی ډول ?ر ف : >وی دی (ℝ,−1,−1)∋ A "$ دې ډول 5E را- ، & د i رrow )H) دوا k k . A ( colmn ) 5 "$ د ر8س & @رف ظر و> د Bل ډول

0 1 2 = 3 2 1 = 1 1 0

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= 3 1 ( b ) د ر8س دا ډول ?رف >وی دی := 1 0 (A ℝ "$ ,) دې ∋ ډول 5E را- ، & aik = 1 وې ا و% 2 @ر د . ( colmn ) k ( row ) i رH اود 5 @روې د Bل ډول

, 1 2 3 1 0 3 = 3 2 1 = 0 1 0 ,ر ف 3.10: وه field) 0 3 5) ، 2 & 5وی د ده .E 1 3 دی2 7% ( Determinant) ( ) (mapping) ا -ور @ور د و ر8س د در تℝ وم دږی . . det: ( , A ) ⟶ ور Determinant. . det د i( 1−) رdet (row) = Hری دی ⟼ . . داE دی Determinant د 5 k column ) ) ری دی . . det: ( , A ) ⟶ وت: و ږ det .دی .C@ل (د 1−) در ت = detددا ووره د⟼ AA ا2داد و"$ ا5ده وو . ? =

ور طرA د NEℝس ( Laplace ) وم د ږی اوو ږ د د در ت ددا و وره دھدی طرA "$ ا5ده وو . ډري وری طرA ھم د در ت ددا ووره و ودی دی. دBل ډول د Sarrus طرA اود Leibniz طرA . دو ر8س در ت E دی ډول : : دا ږي (ℝ,2×2) ∋

= ⟹ = − 9ل 3.7

0 1 2 = 3 2 1 = 1 1 0 60

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

2 1 = 0, = , det = 2.0 − (1.1) = −1 1 0

3 1 = 1, = , det = 3.0 − (1.1) = −1 1 0 3 2 = 2, = , det = 3.1 − (1.2) = 1 1 1 det = (−1) = 2 3 4 3=2.1. (1-)+(1-).1. ا و (E.0.(-1)+(-1 دي (1-)ډول =دا وی >و :

0 1 2 2 1 3 1 3 2 = 3 2 1 = . − 1. + 2. 1 0 1 0 1 1 1 1 0 = 0 + (−1). ( 3.0 − 1 ) + 2.(3.1− 2.1) 3 = ور 2 + 1 + در ت0 =دړی رrow) H) ری دا>وی دی اوس واړو det A د در 5 colmn ) ) ری دا ړو . .

3 2 0 1 0 1 = 2. − 1. + 0. 1 1 1 1 3 2 = 2. (3.1 − 2.1 ) − 1. (0.1 − 1.1) + 1 دل ږي & د در ت ددا وو ره د Laplace 3 = 1 + 2 =ددواړوطرAو"$ ا5ده و >و ه . !ر%ھم در ت & Iر دی را: . . وټ: د %7 2و ډول E دی $واص ری : : :(×,ℝ) ⟶ ℝ i i A . (D ) 1 ⋮ وی د د ر8س ( = 1,2,3,…) = رH ده ⋮

⋮ ⋮ ⋮ = + دې >رط & وی . او ⋮ ⋮ ⋮ 61 = +

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

⋮ ⋮ = . دې >رط & او وی ⋮ ⋮ = ∈ ℝ (D 2) 0 دې = >رط & A دوه 5وی رH ( 5طر ) او دوه 5وی 5 ( 5ون ) وري . .

(D 3) 1 =و وا د ر8س دی. (D 4) ∈ ℝ det (. ) = . (D 5) 0 ری = د A وه رH او وه 5 ( 5ون ) 5وی @روې (D 6) ری − A = B "$ د دو رHو ( rows) د-ی د %دوووا5ط Eس را: وې

(D 7) د A وه رH دوه $Nف د@ر2 دد 5ره *رب وا % د%: رH 5ره 7 > . دی @ورت Iر 8وی . . (D 8) د A ر8س E دی >8ل وری : :

.... . ... 0 0 ... = 0 0 0 ⋱ . 0 0 0 0 . 0 0 0 0 detA = . . … . د : دی . (D 9) د A λ = ر8س E دی >8ل وری او ، ر%? ر8س وې : : 62

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= ⟹ detA = (detA). (detA) 0 (D 10 ) ,( × ,ℝ) det (. ) = . A GL(n, ) (D 11 ) = ℝ -1 -1 det(A )=(detA) ( ) (D 12) t detA = det(A ) ( × , ℝ

وټ: د ره 2و @ورت E دی اCده @دق 8وی : : ,( × ,ℝ) د Bل ډول + = ( + ) et , , + = 2 0 2 1 4 1 = = 1 2 1 0 2 2 detA=4–0=4,detB=0–1=-1, det(A+B)=8–2=6 9ل det(A+B)=6≠3=4–1=detA+detB : 3.8

0 1 1 = 1 −2 −5 2 −3 −6

0 1 1 1 −2 −5 = 1 −2 −5 = − 0 1 1 2 −3 −6 2 −3 −6

1 −2 −5 1 −2 −5 = − 0 1 1 = − 0 1 1 0 1 4 [ &$ 0 D 08 ] 3 = −1.1.3 = −3 63

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل 3.9: دي Bل د در ت د دا وو ره د (D9) $@ت "$ ا5ده وو

2 1 0 2 1 2 0 0 = 0 0 1 1 0 0 0 1

A1:= , A2:= , C:= 2 1 1 1 0 2 detA = 1detA 2 1 . detA 2 =0 3.1 1 = 3 0 0 د (D9) $@ت د در ت د دا وو ره ھI و$ت .6ور د ی & ر8س ډرزت 2 @روري ر ن : د E دي ر8س در ت دا ړی

1340 2 5 71 = −1 2 −30 وټ 3.2 : 14 0 0 ( a ) A,B GL(n, ) A.B GL(n, ) A.B . A,B ? ?8وس ر8س ℝوري دې∋ @ورت ⟹ ℝھم ?8وس ∋ ر8س ري . 8-: -1 -1 -1 -1 -1 B .A (A.B) = B (A .A).B = B (E n).B = E n دل ږي & B-1.A -1 ?8وس د A.B دی . ? A.B) -1 = B -1.A -1) ( ( b GL(n, ) وی . % ( ,S-1 GL(n وا S -1)-1 = S) ∈ ℝ S ∈ ℝ ( c ) A GL(n, ) At GL(n, ) ∈ ℝ ⇒ ∈ ℝ :8- -1 -1 t t A.A = E n (A.A ) = (En) = En -1 t -1 t t ⟹ (A.A ) = (A ) . A = E n 64 ⟹

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ودل >وه & A -1)t) ?8وس د At دی. ? A t)-1 = (A -1)t) ( d ) ھر ( ,AC A GL(nط وازې و ?8وس ر8س رې . . 9وت: ℝرې B او ∋C د A ?8وس ر58و وي، % : : A.B = E n = B.A A.C = E n = C.A B = B.E n = B.(A.C)∧ = (B.A).C = E n . C = C ( e ) A GL(n, ) ,0 c.A GL(n, ) (cA) -1= A-1 9ل : ∧ ℝ ≠ ∈ ℝ ⟹ ∈ ℝ ∋

A= , detA = 2 , A -1 = = 1 0 2 0 1 0 c:= 32 2 −2 1 −1 3.A = , det (3.A) = 18 3 0 6 6 (3.A) -1 = = 6 0 0 −6 3 − .A -1 = . = 1 0 0 −1 ودل >و & : − (cA) -1= A-1 وټ : او 3.9 ?رف >رL >وی ر8س دی(M(nxn, . ℝ ∋ ( د 2A = (a @ر minor واې او ھH Mij Iو . . a detA Mij & ? i+j i+j Cij := (-1) .Mij = (-1) . detA = Cij د aij د cofactor وم دږي. minordetA او cofactor 5وي ،يد i+j ت 2دد وي . و ږ E دي ر8س رو : :

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

⋯ a A = ⋮ ⋱ ⋮ a ⋯ a د C A و 8ورر8س (cof actor matrix) د ور و?رو $& E دي >8ل دی : :

⋯ C C = ⋮ ⋱ ⋮ C ⋯ C i+j i+j = (-1) .Mij = (-1) Cij detA adjugate matrix Ct او adjoint matrix ول ږي . . وټ: - و %و & د cof actor -ی د adjunct : ھم ا5 ?ږي 9ل 3.10

1 2 0 A = 1 1 1 M11 = = = 1 2 M21 0 = 1 = = 2 1 1 2 0 detA detA M12 = = 0 1 = -1 M22 = = 0 1 = 1 1 1 1 0 detA detA M13 = = 2 1 = -2 M23 = = 2 1 = -4 1 1 1 2 detA detA M31 = = 2 0 = 2 M32 = = 2 0 = 1 2 0 1 0 detA detA M33 = = 1 1 = -1 1 1 1 2 detA 1 1 ور (minors) و دا ړل اوس واړو د cof actor ر8س دا ړو . 1+1 c11 = (-1) .M11 = 1. 1 = 1 1+2 c12 = (-1) .M12 = -1.(-1) = 1 c13 = -2 , c21 = -2 , c22 = 1 , 66

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

c23 = 4 , c31 = 2 , c32 = 1, c33 = -1 & د cof actor ر8س E دي >8ل ري:

1 1 −2 C = −2 1 4 د, وس در " طر 7" : −1 1 2 د ړی د ر8س "$ و cof actor ر8س (E ∈ (, ℝ دی ډول 5E راوړو : = = ∈ (, ℝ) 3.9 ?رف (1−)>رL >وی دی . (?8وس1− )د E $" C ≔A دی ډول 5E را- : :

و ږ وھږوھر ر8س & ?8وس وری،. دھI = در ت $N ف د@ردی 9ل 3.11: A = ږو Cرض وو & دی او واړو د A ?8وس دا ړو ≠ 0 = − = (−1) . = 1. = = (−1) . = −1. = − = (−1) . = −1. = − = (−1) . = 1. = C = , = − − − −

− = = . = − 67

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= ر ن : B%وت ړی & ور ر س د A ?8وس دی. 9ل: 3.12 :

1 0 = det = 1.2 − 3.0 = 2 3 2 = ری ر8س د A ?8وس وي . دې @ورت وEی >و & E دی ډول دا ړو : . ≔ (−1) , =

= (−1) . = 1.2 = 2 = (−1) . = −1.3 = −3 = (−1) . = −1.0 = 0 = (−1) . = 1.1 = 1 2 −3 2 0 = = 0 1 −3 1 2 0 1 0 = . = . = د ا ن ره − 1 −3

= . = 1 0 1 0 1 +. 0 0. + 0 A. 3 2 − 3 − 1 0 = وټ : دو ر8س ره E دی اCده 1 @دق0 وی : : ∈ (, ℝ) 68 ≠ 0 ⟺ ∃ ∈ (, ℝ); . =

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل 3.13: دری د$ل ور 5ره %غ و ش :: وه . و ود 5روس را 6 ا IC وا دو و 8 اIC وه . دری 6و 34 اIC را ور ړه . د ور ور د و و را 8 اIC وا د و و 10 اIC وه . داوارد دری ور 44 اIC د 5روس را ور ړه . د و و اود و و>ر ?:وم ړی

#ل : د و و>ر =:x1 , دو و>ر =:x2

X = ( x 1 x2 ) , A = , B = ( 34 44 ) 6 8 detA = 6 . 10 – ( 8 . 88 ) 10= 60 – 64 = -4 0 -1 "ر ! & detA 0 دی .≠ س A و ?8وس ر8س A ری . ظر 3.7 A Bل وEی ≠>و & ?8وس د ا5 5ره دا ړو

A-1 = . = 10 −8 − 2 −8 6 x1 ا و E x2 دی ډول Eس را- :− 2 -1 -1 -1 X . A = B X . A . A = B . A X . E 2 = B . A -1 ⟹ X = B . A ⟹ ⟹

( x 1 x2 ) = (34 44) . − 2 = ( 34 . ( ) +2 44 . −2 34 . 2 + 44 . ( ) ) = ( −- 68 - ) = ( − ) = ( 3− 2 ) اد و ړه & 3 و ن ا و 2 ون دي ر ن 3.5: و دار و ?ن >راوزی اوږي ری . ھر ی اوزی د ل >ت 5 ر ه >دي اوھري ږی 8 ر ه >دي ور ړی . & 6و0 148 ر >ه دی >وي . !رد Bور >ت ھر ی اوزی 8 ر >ه دی او ھر ی ږی 10 ره >دی ور ړی . & 6و0 220 ر ه >دی Bور >وي . د ر8س ری ?:وم ړی & دار "و اوزی او "وږی ري 9ل E :3.14 دي ر8س رو 69

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

1 1 0 = 3 1 واړودا ړو & د p وم ت ره2 د 0A ر8س ?8وس ذر (invertible) دی

1 1 0 3 1 p 1 = p 3 1 = 1. − 1. = (3p – 2 ) – p2 2 p 0 p 0 2 p

A ھI و$ت ?8وس ر8س ری & وی 2 2 (3p – 2 ) – p = 0 p -3p ≠ 0 + 2 = 0 ( p -1 ).( p – 2 ) = 0 ⇒ د A در ت ھI و$ت @ر ږی & p = 1 وا ⇒ p = 2 وی . س A ھI و$ت ?8وس ر8س ری & ا و وي ر ن: ور Bل p 1 = 0 ≠ وی . دی 2 ≠ @ورت د A ?8وس ر8س دا ړی ر ن 3.6:

1 0 − = −1 3 1 0 2 −4 د c وم ت ره د A ر8س ?8وس (inverse) ري ,ر ف 3.11: ∈ (, ℝ)

⋯ = ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Aij ھI ر8س دی & 3.9 ?رف >ودی . E دي ر8س د Adjunkte-matrix وم دږی

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ad A := ( ) = ⋯ ⋮ ⋱ ⋮

⋯ ad ? A ر8س د ( E $" ( i,j=1,2,...,n) det(A jiس را- 9ل 3.15:

2 3 = A11 = 1 4 , det A 11 = 4 1 0 A12 = 0 4 , det A 12 = -1 0 1 A21 = 1 0 , det A 12 = -3 0 3 A22 = 1 0 , det A 22 = 2 2 0 د ھE adjunkte-matrix I دی >8ل ري 1 0 Aad = 4 −3 −1 2 /.ور" طر 7" : د د ?8وس ر8س د دا ووره د adjunkte-matrix "$ ا5ده ږی . ? وی . د ?8وس E دی ډول : 5E را- (ℝ ,) ∋ Aad 9ل 3.15: = , detA = 2.4 -1.3 = 5 2 3 = ور Bل وودل & 4 1 Aad = 4 −3 −1 2

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

Aad = . = 4 −3 − = −1 2 − وټ : و ږد ?8وس ر8س دا وو ره در او":ور طرA د ت 5ره ط? ړو . دل ږی & دواړه طرA >% دی . - و %و د ?8وس ر8س دا وو ره ھدی طرA "$ ا5ده ږی ر ن 3.7:

0 1 −4 = 1 2 −1 د A ?8وس دا ړی اودا وو ره ددر0 او2 1 ":ور 1طر0A "$ ا5ده و ړی. وټ: Cramer طر 7" : دی طر0A "$ د $ط ?دE 55م د ل ره ا5ده ږي . دی >رط : : ( i ) د *را%و ر8س ر%? وي ( ii ) د *را%و ر8س در ت $Nف د @روي و ږ E دی $ط ?دE 55م ورو : :

+ + ⋯ + = + + ⋯ + =

د ھI د *را% و ر8س : = + ⋯ + +

⋯ = ⋮ ⋱ ⋮ ⋯

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= , = ⋮ , = ⋮ دا ?دEت ھI و$ت د Cramer ری ل دا ی > 0 وي . و ږ د A ر8س 5 0 ( 5ون ) 0 ≠ 5ره Hو . : Cramer د ?دE ود ل ره د E دي Cورول, … ,"$ , ا5ده, وي

( … … ) = 9ل 3.16 : :

+ = 1 + = 1 3 + 2 + = 0

1 1 0 1 = 0 1 1 = 1 3 2 1 0

= 1(1.1 − 1.2) − 1( 0.1 − 3.1) + 0(0.2 − 1.3) =−1+3=2≠0 1 1 0 = = . 1 1 1 0 2 1 = (1(1 − 2) − 1. (1 − 0) + 0) = (−2) = −1

1 1 0 = 0 1 1 = . (1. (1 − 0) − 1. (0 − 3) + 0)

3 0 1 = (1 + 3) = 2

1 1 1 = 0 1 1 = . (1(0 − 2) − 1. (0 − 3) + 1. (0 − 3)) 73 3 2 0

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ر ن 3.8 : د E دی ?دE ود ل ره د 1− رر (= (Cramer 3 − 3)+ 2−) طرA ="$ ا5ده و ړی . . ( a )

2 + 3 = 10 + 4 = 6 + + = 5 ( b )

2x 1–x2+x3=4 x1+2x 3=9 x1–2x 2+2x 3=5

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

/.ورم ل و وری ' ( Vector space ) ,ر ف 4.1 : وه Field ) 5 ) ده . د 5 ت د و وری C* وم ظر د ږی دی >رط & ري E دی دوه 2: ?رف >وی وي : : +∶ × → (, ) ⟼ +

⋅∶ × → ا و ظر دي دو را%ط و ( 2:و ) $ E دي $واص وري : ⟼ ( ,) : و %د: . روپ ( commutative group) وي . 2 ت “ 0 “ ()2 @ر 0(+ ,د ) @ر و ورد ی & و ږ ھH Iواو ?8وس 2 @ر (inverse element) د 5ره Hو . . : د , او − ره %د دا E دي اCدي ( ) @دق ∋ و ړي : , ∋ , , ( i ) ) ( ii ) ( + ) = + ( iii ) ( + ) = + ( iv ) () = () و ږ و و وری C* ظر د 5 5ره Hو . = .1 ,ر ف 4.2 : د وي 5 ره و ږ د 5 ت ( دا, )ډول ?رف وو : : ر % دی د “ + “ :2 E (Operation ) دی >8ل ?رف >وی ده=×…×××=∶ : , ∈ , ∈ = (, , , … , ), = (, , , … , )

+ = (, , , … , ) + (, , , … , ) = ( + , + , + , … , + ) ظر هو( , … ,و وری ,C* ده . , ) = ( , … , , ,) = 75

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

وي % وه و وری C* ظر AA ا2دادو ده . د ( +, ℝ = ) 2 ت 2 @رℝ وا د ?8وس و ور دی . : : − 0 = (0,0,0, … ,0) ℝ ?

وټ : و ږ (د س − , … ,دی د − ,2وت− ,"$ −) =رږو( او , ACط… ,د , AA ,ا2داد)و− = 5 − (Field) ظر 5و . ? دی 9ل ℝ : 4.1 = ( V, ) ( a) ا و ( ,W) دو ه و وری C* دی وا د (Map(V,W 5ت E دی ډول ?رف >وی دی : : Map(V,W):= ر (M:=} Map(V,W → وEی ∶ >و E دی }دوه 0:2 ?رف ړو : :

+∶ × →

(, ) ⟼ +

⋅∶× → د : ⋅ ⟼ ( ,) , ∀ ∈ ∈ ( + )( ) = () + () ∧ وه و وری C* ده . -8 و %د:0 .() روپ =دی( &)( ,)2 ت . ( f(x) = 0 ) ( 2 @ر ,)0 د @ر%7 ده ? (+ ,) او ?8وس د ده . . ھ دار ! د و وری C* ور ∋$@واص ھم∀ %ل ط%ق يد − ( b )

n-1 0 1 2 2 n-1 n-1 i {ℝ ∋دھIو6وو x ,aو وو 5 ت دی x +….+a& در x+a a+ و ℝf(x)=aاو5وی د → ℝ: ويV :={f V ا5 5ره B%وت وEی >و & ( ,V) ظرور 2:و & ( a ) . . & > رL >وي ، وه و وري C* هد ℝ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

وټ 4.1 : وه و وری *C E دي اCده @دق وي : : (, ) 0a ) , ∈ , 0, ∈ b) 0. = 0 c) . 0 = 0 d) (-1).. = = 0 -⟹ = 0∨ = 0 (a) 9وت:

(b) 9وت: 0=.0⟹.+0.0=.(0 + 0) = .0

(c ) 9وت : 0 = 0 . ⟹ 0 . + 0 . = (0 + 0) = 0 . وي B%وت وا*L دی . وی. % : : ≠ 0 = 0 [ (b) ] = 1. = (. ). = (. &$) = . 0 (B (d%وت: 0 =

+ (−1) = 1. + (−1 ). = (1 − 1). = 0. = 0 ر ن I = [a,b] : 4.1 و Interval − دی . = .(−1) ⟹ دیℝ ⊇ وي . % B%وت ړی &( ( ) ظر ھℝ( I 2:و→ & :B : =4.1ل (ℝ ?,) رف > وي يد ،

وه و وریℝ*C),ℝ ده,) ,ر ف 4.3 : و و وری C* او . E دي $واص . . ( Subspace ) V . وري ھI % د( ,) CرC 2* ⊇ ول ږي

() ≠ ∅ (), ∈ ⟹ + ∈ 2' " 4.1 : هو ∋ .و وری C* وا⟹ دھC ∈IرC 2*, ده∋ . % ( $:) . . هو و وری ( C*,ده) 9وت : "ر ! ا دی ، %دوی وا د $واص ظر “ + “ ري . س دا ر ھم %ل د ط%ق يد . () 77

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

[ د (uv 3) $& ] [ د (uv 3) $& ]∋ .0 = 0⟹∋∃⟹0≠ %:0 $وا ∋ .−1⟹ ∋ [ د 4.1 وټ $& ] س (+,W) و %د:0 .روپ او هو∋ .1− و وری = C* − ده . ⟹ 9ل 4.2 : ( ,) ( a ) وه CرC 2* ( { ) & = ده . ℝ ∋ ( , , )} = : #ل : ℝ ,ℝ

0 = (0,0,0) ∈ ⟹ ≠ ∅ ⟹ ( ) = ( , ,+ ) ,= = (, , ) ∈ "ر ! & ( يد+ . ,س + , + ) ⟹ , ∈ = ∧ = ⟹ + = + ⟹ + ∈ "ر ! 0 دی ( س ,%د , ) = وي ⟹. س ∋ ,ℝ ∋ او W وه CرC 2* ) & ده . . ∈ = = ( b ) ا (ℝ , ℝ وه CرC 02* ( ) & ده { ≤ ℝ ,ℝ : = {( , ) ∈ ℝ #ل:

0 = (0,0) ∈ ⟹ ≠ ∅ ⟹ () = ( , ), + = = (, ) ∈ "ر ! & (دی . س + , + ) ⟹ , ∈ ≥ ∧ ≥ ⟹ + ≥ + ⟹ + ∈ 1- = وي . % ( ,) = ⟹ ∋ ,ℝ ∋ 78

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

u1 u2 (-1). u1 (-1).u 2 W C WرC 2* ∌ & ⟹ ده . ≥ ⟹ ≤ 9ل : ℝ

H وه CرC 02* ( ) { & 0 = ده ℝ 2 + 3 ∋ ( , )} = : : #ل ℝ ,ℝ

2.0 + 3.0 = 0 ⟹ (0,0) ∈ ⟹ ≠ ∅ ⟹ () = (, ), = (, ) ∈ ⟹2.u 1+3u 2=0 ∧2. w 1+3 w 2=0 ⟹2.(u 1+ w 1)+3.(u 2+ w 2 )=0 ⟹u+v∈ B%وت >و & H وه Cر& ( 2)=0⟹.u∈ ) *C 02 3u+1 ده ℝ, ∈ ⟹.(2.u ∋ 9ل : داE دي 5ت وه Cرℝ ,ℝ ) *C 2 ) & ده . . ℝ ,ℝ : = ( , , ) ∈ ℝ () = () : " 0

= (2,1, −2), = (−3,1, −3) ∈ ℝ 2 2 2 2 2 =(-2) ∧(-3) =(-3) ⟹u, + =w ∈W = (-1, 2 , -6) 2 2 (-1) (-3)(2−3,1+1,−2−3 + W ) وHودل >و & C WرC 2* & ده . ∌ ⟹ ≠ ر ن ℝ : 4.2 ( B ( a%وت ړۍ & وه CرC 2* ( {2 ) & = ده . = ℝ ∋ ( , , )} = ( B ( b% وت ړۍ & ℝ ,ℝ وه CرC 2* ( { ) = & ده = . ℝ ∋ ( , , )} = ( B ( c%وت ړۍ &ℝ ,ℝوM وه = {( , ) ∈ ℝ = 1} 79

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

CرC 2* ( ) & ده . . ℝ ,ℝ ( d )

: = {( , , ) ∈ ℝ = } B%وت ړۍ {C1+x2 +xW 3&=0ر& ( 2+2x 4)=0,2x *C 2 3x+1 او C ℝ H│xرH :={(x( 1 ,x) 2,x *C3,x 4 )∈2 & ده ℝ ,ℝ ℝ ,ℝ ر ن 4.3 : ا وه CرC 2* د ه { ≤ ℝ ∋ ( , , )} = ر ن 4.4ℝ : و وری C* ا و ورو . . B%وت ړی & (ℝ (ℝ ,ℝ ∋ 0 ≠ وه CرC 2* & ده . . {ر ن ℝ ,ℝ) = { : 4.5 ∈ ℝ) ( a ) آ وه CرC 2* { ده ≥ ℝ ∋ ( , , )} = (( ℝ (,ℝ bآ) وه CرC 2* {0 ≤ ده ∧ ℝ ≥ 0 ∋ ( , )} = (ℝ ,ℝ )( c )

B%وت ړۍ & H وه CرC 02* ( ) & ده : = {( , ) ∈ ℝ 5 + 3 = 0} ر ن ℝ ,ℝ : 4.6 ( w = ( a ا و B%وت ℝ ∋.ړی ( & 2,3,4) وه CرC ℝ }2* ∋ .} = & : ده . . ( b ) و ږ( ,V) و وری C@ رو. ℝ ,ℝ ) V) , , . B%وت ړی &∋ وه≠ C0رC 2* ({ ∋ ,V) ده . .} = : 4.1 : هو و وری C* او دی . ( (C( , ℝرC 2* & {وي , . … % Aط1,2,3,7 } (= ھم CرC ∈ 2* ) 0 ده . ? وي . ∋ % ) ھم وه CرC 2* 0 ده . ⊇ ∋ = : 80

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9وت:

0 ∈ (∀ ∈ ) ⟹0∈⟹≠0 ⟹ () , ∈ ⟹ , ∈ (∀ ∈ ) ⟹ + ∈ (∀ ∈ ) ⟹ + ∈ ⟹ () ∈ℝ,∈⟹∈ (∀ ∈ ) وټ : !ر ا د( د ) CرC ⟹ 02*و ∋ 2و0 ⟹ ( @ورت∋ ∀)CرC &2* ∋ ده . ⟹

: = {( , ) ∈ ℝ 2 + 3 = 0} : = {( , ) ∈ ℝ 5 + 3 = 0} H او C WرC 02* وي ( ) & يد . !ر C W HرC 02* ( ) & ده . 8- : ∪ ℝ ,ℝ ( 3,-2 ) H , (-3,5) W ℝ ,ℝ ( 3,-2∈ ) , (-3,5) ∈ W H ⟹ ( 3,-2 ) + (-3,5) = ∈(0,3) ∪ (0,3) (0,3) (0,3) W H وHودل >و & C W HرC∪ 02* ∌( ) ⟹ & ∌ده ∧ ∌ V,∪ ) : 4.2) وه و وری C* ده ℝ, ا و ℝ . % : : H وه CرV *C 2 ده ⊇ ≠ ∅

9وت : ⇔ ( ∋ ,∀) ∋ + ; ∋ ,∀ „ „ ⟸ C 8-رC ∈2* ده,⟹ ∋ , , ∋ , ⟹ + ∈ [ H ] ” “ ⟹ 0 و*7 >0 . دی∋ + @ورت ⟹ ∋, ,∋, μ = 1 و*7 >0 . دې @ورت ∋ . ⟹ ∋ .0 + . μ 81 = =

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

B %وت >و & وه CرV *C 2 & ∋ ده + ⟹ ∋ .1 + .1 4.3 : وا هدو CرC 2* وي & يد . ھم وه CرC 2* & وي . % ∪ ( , ) 9وت : و ږ Cرض وو & ′ ⊇ دی . %د ∨B%وت > 0 ⊇ & ′ دی . ⊉ ⊇

⊈ ⟹∃ ∈ ∉ C 8-رC 2* ] ∪ ∋ , ⟹ ∋ ! ر [′ ′∪ . -8 ھ5I ∪ وي . ∋س + ⟹ + ∉ [ د $ ] ∋ + ! ر وه( س )%د ∋ %>د − + = ⟹ + ∉ ∉ ⟹ + ∈ ∪ + ∉ ⟹ + ∈ ,ر ف 4.4 : وه ⊇و وری C* ⟹ ده . ∋ − + = ⟹ ا و ( ( ,)و ور و V يد . و { , … و ور ,1,2,3 } = د ( ( ) ∋ ) و ور و $ط ر ب ∋ ول, . . … ږی , ,دې ,>رط وودی & : LinearCombination , , … . , ∈ = = + + ⋯ + ,ر ف 4.5 : وه و وری C* ده . وا ( و Cل د و ورو دی . 5 ت د { , 6ووھIو… و ور,1,2,3 و} = ∋ & د) $ط ر ب >8ل د 8ل دای >0 د ود . ( Span generating by ) (Lin– Comb) ∋ () وم دږي ? ( ) ∈ ( ) ∈ ∶= { ∈ ∃, , … , ∈ ; } = + + ⋯ + 82

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

?:و وي & ھدف و Field ) 5) ده % وEی >ود -ی ACط و 8و . 4.4 : وه و وری C* ده . وا و Cل : . د و ور و ( , & ) دی % { , … ,1,2,3} = ∋ ( Span(v i) ( 1 وه CرC 2* & ده ( 2 ) وه CرC 2* & وا ( ) ) وي . دی ⊇ @ورت . ∋ ∋ ∀ ( 1 ) 9وت : و ږ ⊃ () و*7 ﻛﻮ ﻛﻮ = = = ⋯ = = 0 0 = 0 + 0 + 0 + ⋯ + 0 ⟹ 0 ∈ () ⟹ () ≠ ∅ ⟹ ( ) , , ∈ () ⟹ ∃, ∈ ( = (1,2,3, … , )

= + + + ⋯ + = + + + ⋯ + + = (() + ()) = ( + )

⟹ + ∈ () ⟹ () ∈ , ∈ () ⟹ ∃ ∈ (∀ ∈ ); = + + ⋯ + ⟹ = () + () + ⋯ + () ( 2 ) 9وت : () ⟹ () ∋ . ⟹

∈ () ⟹ ∃ , , , … , ∈ ; "ر ! & دی+ . ⋯ س + + ھم دی . = ∈ ∈ (∀ ∈ ) د ⊃ (4.4 ) "$ ا$:و & ر6وو و CرC 2* .( .( ) ده & 6ول >ل (دي) د ھI 2 @ر دي 9ل 4.3 : د ( ) و وری *C E & دي و ور و د . يد ℝ ℝ , ℝ

= (1,2,3, … , ) = (0,0,0,…,0,1,0,0,0,…,0) 83

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د و ور و “1„ د i $@ وا 7 دی . وي دی @ورت = (1,2,3, … , ) وي ℝ دی = (∋@ورت) () ا و دی = ( 0,1) = (1,0) = 2 = (, ) ∈ ℝ + = (1,0) + (0,1) = (, 0) + (0, ) س /ذا وEی >و ھر د = ( ,و ورو ) د =$ط ر ب ( lin-comb ) >8ل ℝو8و∋ . ? (1,2 = )

,ر ف 4.6: وه ℝ و وری= (C* , ده . ) و ورو ( Linearly dependent ) & $ط (وا%5 ,) , ول… , , ږي، دې >رط & ا2داد ( 6ول @ر دي ) وود وي او E دی : : ∋را%ط , @دق … , ړي , ,

او دا & 0 =و ورو $ط0 + ⋯ وا%5+ ول ږي + . ري+ E دي : : اCده @دق , … و ړي, ,

i ; + + + ⋯ + = 0 0 ≠ و ورو { , $ط… ,A5{1,2ل ∋( ∃ ⟹Linearly independent ) ول : : . , ږي… , ,دی ,>رط & E دی اCده @دق و ړي

∃ , , … , ; + … + = 0 او دا & 0 = = و ورو ⋯ = $طA5= 0ل ول = ږي . ⟹ري E دي : : اCده @دق , … و ړي, ,

+ + + ⋯ +i = 0 ; 9ل 4.4: 0 ≠ { و وری, … C* ,1,2 } ∋ ∄ ⟹ ا و . . و ور و ($ط ℝ ,ℝ)وا%5 يد (1,2) = (3,6) = #ل : و ږ 0 وا 0 و*7 ړو دل ږی & : : . (lin-dep) ا و $ط ≠وا%35− = يد ≠8- 1 = 84

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

−3 + 1 = −3(1,2) + (3,6) 9ل 4.5 : 0 = (و وری C(0,0* =& ( 3,6) + (6− ,3− ،) ا و= ا . . (lin-indep) (ℝ ,ℝ)و ور و $ط A5ل (2,0,0) = يد (0,3,4) = ( #ل : 0,1,5) = 0 , , ∈ ℝ, + + = ⟹ (2,0,0) + (0,3,4) + (0,1,5) = (0,0,0) ⟹ (2, 0,0) + (0,3, 4) + (0, , 5) = (0,0,0) ⟹ 2 = 0 ∧ 3 + = 0 ∧ 4 + 5 = 0 3 + = 0 3 + = 0 ⟹ ⟹ 4 + 5 = 0 −11 = 0

⟹ = 0, = 0 ⟹ = 0 ∧ = 0 ∧ = 0 ر ن 4.6 : ا و وری C* – ,، , ⟹ ا و( ℝ ,ℝ) و ور و ( $ط A5= (1,2,3ل (lin-indep) يد . . (ر ن 4,5,6)4.7 = : ( 7,8,9) = و وری *C E دي و ور و را ړل >وي يد (ℝ ,ℝ) ( a ) (?:وم ړی 1,1,2−)& =ا ,( 1− ,0,3و ور) و = $ط ,واlin-dep2, −14,0 ) )5%) ) =وا . . ( lin-indep ) $ط A5ل , , يد ( b ) ا و ور و $ط واlin-dep ) 5% ) ا و $ط A5ل يد 4.5 : , وه و وری C* ده. V ,V, ( ,) % دا E دي اCدℕ ي ∋ @دق, وي . . ( = 1,…,) ( I∈ ) ∈ − ⟸ ≠ 0 ( II ) ≥ , , … , , … , − ⟸ , , … , − ( III ) $ط ∋ ر ب د و ور و دی , ( = 1, … , ) , , … , − ⟸ 85

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( IV) p > 1 , , … , − ⟸ ا N " و وود دی & $ط ر ب ( lin-comb) د ورو و ور ووې ( V )

v , v, … , vlin − indep lin − dep$ط v ,ر ب v(lin-comb), v, … , v د ∧ دی , , … , ⟸ n > 1 ( VI )

, , … , − ⟸ v, v, … , vlin − indep (I) 9وت : د 3.1 و ټ $& : :

"ر ! & 0 = د ه س ∨0 %د= ⟹ 0 وي . = , ∋ و,0 ≠ $ط . . A5ل و ور 0 دی≠ 0 = (II) 9وت:

( ); 6ول @ر دی − , … , , ⟹ ∃ ∈ ( = 1, … , ) = 0 ⟹ + + ⋯ + + 0. + ⋯ + 0. = 0 (III) 9وت: "ر ! & و $ط ر ب− ( , … lin-comb, ) د, … , , ⟹ دی . س , … , ,

∃ ∈ ( = 1, … , ); = ⟹ −1. + + + ⋯ + = 0 (IV) 9وت: − , … , , , ⟹

, , … , − ; ⟹86 ∃ ∈ ( = 1, … , )( = 0)

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

"ر ! & د 0 =$ط وا%5 + ⋯ ?رف + $& + م ر %د و وود ه وي . س وEی >و ور ?د ر 5Aم ړو . 0 ≠ ور ?د − &H⋯ −& و −$ط ر ب د − 0 ⋯ −و ورو دی . − − = (V) 9وت:

, , … , − ∧, , … , , − ⟹ ∃ ∈ ( = 1, … , + 1)( = 0); ور ?د0 = %د وي . دا5 وي . % $ط 0 ≠وا%5 ږي & دا د Cر* $Nف دی . س وEی . . >و( p , ور … ,i = 1?د) ر 5Aم ړو

+ + ⋯ + + ⟹ = − دل ږي & $ط − ر ب⋯ − −(lin-comb) د − = و ور و و دی . (i = 1, … , p) (VI) 9وت : ; ∈ ( = 1, … , − 1) + + ⋯ + = 0 [ A5+ 0. = 0 8-ل $ط0 ] + ⋯ + + ⟹ ⟹ = = ⋯ = lin-indep v, v, … , v 4.6 : وه و وری C* وا %, v. , … , v v ⟹داE دی : : اCدي دو%ل (5ره, )?دل دي ∋ (i = 1, … , p) ( A5 ( 1ل $ط (lin-indep) دي . . , , … , 87

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( 2 ) د ره A Cط وازی و $ط ر ب د و ورو (وود) دی . ∋ ∀ , … , , 9وت : : 1) (2) و ږ Cرض وو & دوه ډو $ط ر % و د ره وود : : . دی ⟸? = = ( , ∈ ;( = 1,2, … , )) -8 $ط A5ل دی 0 = ( − ) ⟹ ⟹ − = 0( = 1,2, … , ) [ ] ودل >و & ACط وازی و ډول $ط ( , ر ب … د ھر,1,2 = ) = و ور ⟹ره . . وود دی () ∋ ( (1) (2 A5ل $ط وی، س وا%5 $ط دی او د 4.5 ⟸ $ و , ددی… , ,و ورو $ط ر ب د ورو و ورودی . و ږCرض وو & ھI و ور دی . س : : ; v 1 = v2 + v3 + ... vp

∃ v∈1 – (v =2 + 2, … ,v 3) + ... vp) = 0 %: $وا : ) ⟹

0.v 1 + v2 + v3 + ... vp = 0 دل ږی & 0 و ورره دوه $ط ر %و .0وود دي . .0!ردا (1) .0اCدي $Nف دی . س د و و رو A5ل $ط دي 4.7 : , … , ,و وری C* ا و . % داE دي اCد ی و%ل . 5ره ?دل (يدℝ (ℝ ,ℝ ∋ , ( i ) ; ( ? ا و ھU و AA. = 2دد ℝ ∋ دا∄ ∧ ږي & 0 ≠ ) ) ( ii ) = . ; ∈ ℝ ≠ 0 ( ? ا و ھU و AA . 2دد = ℝ ∋ دا∄ ∧ ږي & 0≠ ) ) ( iii ) = . ; ∈ ℝ ≠ 0 ( ? v واw = 0 = و ور⇒و 0 $ط = A5ل ( + lin-indep ℝ)∋ يد , ) ∃ 9وت : : 88

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

) و ږ Cرض و & @دق وي . ? ( ) ) ⟸ () ړی ت : . = ;ℝ ∋ ∃∨0 = وي دی @ورت . !ردا د ( i ) 5ره *د دی . . دوم 0 = ت : .0 =

وي . % 0 ≠ ∨0 = ږي & دا ⟹ ھم د ( . ) = 5ره ;ℝ *د ∋ & ∃ . . ده 0 = 0 = .0 = وي . دی @ورت ږي . !ر دا $Nف د ( ) دی . . ≠ 0 iii)) در5ت = وي. س %د ا و وي . ()و ږ ⟸Cرض () وو & دی . دې ت : 0 ≠ 0 ≠ ≠ 0 − = − ⟹ = !ردا $Nف ( ) دی . س %د وي . . = 0 [ ii 8- ] + = 0 ⟹ = 0 ⟹ = 0 ≠ 0 ( ) ري i ) 0 @دق = و 8ړي= س %د : ⟹ ) ) ⟸ ( وي . دې @ورت . = ;ℝ ∋ ږي . ∃∨0 !ر = دا $Nف د 0 ) = دی . 0 = .0 + .1 %ل ( ت

!ر دا ھم N$ 0ف د= ( ) دی . .−.1 س ⟹ ( . = ) ;ℝ ∋ ∃ ددا<ت : ر ھر ھI هدو و ور ه & دور 0 ) ⟸ هو (اCده @دق و ړې . % ھI هدو و وره $ط A5ل دی . . 9ل : و ږ و ور و و وری C* & رو : : (ℝ ,ℝ) , , = (2, −3, 0), = ( 8, −12, ; 0), = (0,0,1) 89 = (2, −3, 0) ≠ 0 ∧ ∄ ∈ ℝ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

v,w = lin-indep(0,0,1) = . [ =&$ . (2, −3, 4.7 0) ] ! ر ⟹ ; u = . .v ∃4 ∈ ℝ u – 4v(8, = −12, 0 0) =4 u,v lin-dep(2, −3, 0) =4 9ل 4.6 : ⟹ ⟹ , , , (ℝ ,ℝ) ( a ) (3,1− ,3) = و ور و ,($ط 0,9,1)واlin-dep)), =5% ) 1,5,1 ) = ,( يد 2,1,1) = ( b ) , و , $ط ر ب (lin-comb) د دی ℝ ( a ) 9وت : $ط واlin-dep) 5% ) دې ,? , و ږ ورو & 6ول @ر دي او E دی ?د @دق وي ℝ ∋ , ,

+ + = 0 ⟹ (1,5,1) + (0,9,1) + (3, −3,1) = (0,0,0)(∗∗)

⟹ (, 5, ) + (0,9, ) +(3, −3, ) = (0,0,0) ⟹ + 3 = 0 ⟹ = −3 5 + 9 − 3 = 0 5(−3) + 9 − 3 = 0 ⟹ ⟹ + + = 0 −3 + + = 0

9 − 18 = 0 ⟹ − 2 = 0 ددی ?دE و ل 5وی 2 = ⟹ 0 = دی . 2 − د Bل ډول ℝ ∋ و*7 >0│ .( ,دی 2 ,@ورت 3−) ا و . . ږي 1 = 2 = −3 = دا و ?د و*7 >0 (∗∗)

−3(1,5,1) + 2(0,9,1) +(3, −3,1) = (0,0,0) ⟹ (−3, −15, −3) + (0,18,2) +(3, −3,1) = (0,0,0) ودل >و & د Bل ډول دا >و & 0=1+2+3−,0=3−18+15− ور ?د @دق وي .,0=−3+3⟹ س /ذا $ط 0 وا%5 ≠ و ورو يد . . 90 , ,

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( b ) 9وت: و $ط ر ب د دی . 8- : : , , −1. + 1 + 1 = −1(1,5,1) + (0,9,1) + (3, −3,1) = (−1+0+3,−5+9−3,−1+1+1 ) و ږ 1- = , 1 = = دا = ( ړل & 2,1,1) = w = ږي . س w و $ط ر ب + ( + lin-comb) د و ور و دی ددا<ت : و ور و $طA5 0ل وي . ,% , وEی >0 وه "$

زت و ور ,و د ,$ط ر ب >8ل وري ر ن 4.8: ( B ( 1%وت ړی & E دي و ور و $ط واlin-dep ) 5%) يد u = (1,2) , v = (-2,-4) ( a ) u = (1,2,3) , v = (-1,-2,1) , w = (0,0,2)∈ ℝ ( b ) u = (1,0,0) , v = ( 0, 0,2) , w = (5,0,5) ∈ ℝ ( c ) ( B ( 2%وت ℝ ∋.ړی & E دي و ور و $ط A5ل ( lin-indep) يد & ( a ) u1 = (3,0,0,0), u2 = (0,3,0,0), u 3 = (0,0,3,0), u4 = (0,0,0,3ℝ ) u1 = (1,1,1) , u2 = (0,1,1) , u3 = (0,0,1) b ) u1 = (1,0,0) , u 2 = (0,0,2) , u 3 = (5,5,5) ∈ ℝ ( c ) ∈ ℝ ( 3 )

u1 = (1,1,1) , u 2 = (0,1,1) , u 3 = (0,0,1) , w = (1,2,3) Bℝ%وت∋ ړی & د w و ور و $ط ر ب ( lin-comb) د u2 , u 1 ا و u3 دی )4( و ږ و وری C* & ( 4.1) ?رف >وده ظر 5و . B%وت ړی (E & (ℝℝ دی وا%7 $ط A5ل : : دی (ℝℝ)

() = () =

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

01م ل

د ووری ' 2ده وا ,د ( Basis and Dimension of a vectorspace )

,ر ف 5.1 : و وری C* ده . و و وري Cل ( Generating system or Span ) د ( , )ود 55م ∋() = ) وم ( , دږي… ,1,2دې >رط & وي . ? ھر و ور د . و ور و و د $ط∋()ر ب >8ل= و8ل >0 دا دی ∋ ? ()∈

∀ ∈ ⟹ ∃ , , … , ∈ ; ,ر ف 5.2 : + ⋯ + + = ( 1 ) و وری C* ده . ( I= 1,2,...,n ) و ورو د

2ده (( ,)Basis ) ول ږی ∋(ري :) ( a ) ( b ) ∋() و ور=و $طA5 0ل ( lin-indep ) $@ت وري . . ( 2 ) ∋() و ور و وه 2ده د ( Canonical or standard Basis ) و وری ℝC *∋ده ا و (دې , … ,1,2 ا55 = 2د) (ℝ ,ℝ) ول ږي . وټ : و ې ، و ږ ھI

( , … , , وا) = وه 2ده د وی ، % و ږ ھI , … , , = , … ,5ره ,Hو . 2 ' " 5.1 : , … , , = و وری C* ا و وي % : : = , , … , (, ) ( 1 ) ( ? , … , , ر6وو, … , و , و ور≠ و Cل دی & ھI ود 55م ( , … ,Generating, system ) د دی . ) ) . ( 2 ) وی ، % و ور و $ط وا5% (lin-dep) يد∋ . , , … , , 92

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( ? ر6وو وی د و ورو Cل دی & 0 $ط A5ل يد, )… , , (1) 9وت : وې . ? و و ور م >& او ھC, … , Iرض , ړو . , % … , وEی ,>و =و8و : = 1 ∃, , … , ∈ ; = + + ⋯ +

⟹ (−1) + + + ⋯ + = 0 ! ر دا در5ت ده ، -8 − 2د (basis), … ,را ړل , >وده . ⟹ , , … , & 9وت (2) : , … , , , … , , ≠

= , , … , ⟹ = , , … , ⟹ ∀ ∈ ∃, , … , ∈ ; = + + ⋯ + ⟹ + + ⋯ + + (−1 ) = 0 ودل >و & د و و ور زوو5ره $ل− $ط A5ل , , … $@ت , ,5E ⟹ و ر وي . . وټ : و و وری C* وEی >& "و 2دي (basis) وري . !ر د 6وو 2دو د و ور و >ر و ی و وری C*ی 5ره 5وی يد . . 9ل 5.1 : و ږ و وری & *C E دې و ور و رو : : (ℝ ,ℝ) = (1,0), = (0,1) ∈ ℝ و ږ Hو & : ℝ ∋ (−1,2) = ,(1,1) =

? { e2 , e1 } او { v2 , v 1 } , د =2دي دي ℝ = , ∧ℝ #ل : ℝ (1) د B%وت ره %د وHو : : ℝ = , ( a ) ( b ) , =$ط A5ℝل (lin-indep) دی . . 93 ,

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( B ( a%وت : : د B%وت ره %د د ھر , , = ℝا2داد دE دی $وا@و 5ره ℝ ∋وود (وي :, ) = ∈ ℝ

= + = (, ) = (1,1) + (−1,2) = (, ) +(−, 2) = ( − , + 2 ) -1. = − ⟹ = + 2 = − ⟹ − = 3

⟹ − = 3 ⟹ = ⟹ = ∧ = + = + = = ⟹ = (, ) = + (b) 9وت : , = ℝ و ږ ره ورو، %د B%وت > & ℝ ∋ , يد . 0 = + = = 0 + = 0

⟹ (1,1) + (−1,2) = (, ) + (−, 2) = (0,0)

⟹ − = 0 ∧ + 2 = 0 -1. − = 0 + 2 = 0 lin-indep ⟹ 3 = 0 ⟹ = = 0 ⟹ , & (2) 9وت: د , = B ℝ%وت ره %د وHو : : 94 ℝ = ,

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( c ) ( d ) , =$ط A5ℝل (lin-indep) يد . . ( c ) 9وت, : د B%وت ره %د د ھر ,, =ا2داد ℝدE دی $وا@و 5ره ℝ وود ∋ (وي : , ) = ∈ ℝ = + = ( , ) = + = (, 0 ) + ( 0, ) = (, ) ⟹ = ∧ = ⟹ = + (d) 9وت: , = ℝ ⟹ ره ورو . %د B%وت > & ℝ ∋ , يد . 0 = + = = 0 + = 0 = (0,0) ⟹ (1,0) + (0,2) = (, 0) + (0, ) = (, ) ⟹ = = 0 ⟹ e1,e 2lin-indep 9ل : , = ℝ

وه Cرℝ ( =) } *C &2∋ & (ده , , )} = : ℝ ,ℝ و ږ Hو & { v2 , v1 } وه 2ده د W ده .∋ (? & 0,1,0) = ,( دی1,0,1 ) = %د B%وت >W = , : M ( a ) W = span( v 1 , v 2 )

( b ) v 1 , v 2 lin-indep ( a ) 9وت : :

د ( B W = span( v 1 , v 2%وت ره %د د ھر , ا2داد دE دی $وا@و 5ره وود ℝ وي : ∋ ( , ,) = ∈ ℝ x = ( x , x , x ) = (1,0,1) + (0,1,0) = 1 +2 3 = ( ,0, ) + (0, ,0) 95

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= ( , , ) = x 1 = x 3 , = x2 ⟹ W = < v1 , v 2 > ( b ) 9وت : و ږ ره ورو . %د ⟹ B%وت > & ℝ ∋ , دی . 0 = + = = 0 +(1,0,1) =+ 0 (0,1,0) = (0,0,0) ⟹ ( ,0, ) + (0, ,0) = ( , , ) = (0,0,0) ⟹ = 0 , = 0 ( $ط A5ل ) v1 , v 2 lin-indep ⟹ ری و وود وې & w ,v1 , v 2 $ط& A5ل >& . ⟹ "ر ! & و . س w و $ط& ر ب د v1 , v 2 دی . د 4.5 w ,v 1 , v 2 &$ $ط& واlin-dep) 5%) دي . ? & ا2ظ& و ور و >ر، & $طA5 0ل وي 2 دی . & ر ن : , = W

H :={(x 1,x 2,x 3,x 4)∈ ℝ │x1+3x 2+2x 4=0,2x 1+x2+x 3=0} B %وت ړۍ & u,v وه 2ده د ده . ? & (u=(3,-1,-5,0),v=(-1,1,1,-1 2' " 5.2 : و ه Hو وری C* ده ، < . + دی + @ورت : = ≠ 0 ∈ {1,2, … , } 9وت : و ږ Cرض و , … &, , ,ا و , … , ,دی . س =%د وHودل >0 : : ≠ 0 = 1

= , , … , , , , … ,

∈ ⟹ ∃ , , … , ∈ ;

= + + ⋯ + = + + ⋯ + 96

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= − − ⋯ − = − − ⋯ − + + ⋯ + = − − ⋯ − + + ⋯ + = + − + ⋯ + − اوس %د B%وت > & و ور و , … $ط, A5ل, = ⟹(lin-indep) . . يد , … , , و ږ Cرض و و & "ر ! & 0 = + ⋯ + + دی . او ( و ږ ∋ د , ) ر-ی : : 8و + ⋯ + + =

( + + ⋯ + ) + + ⋯ + = 0

⟹ + + ⋯ + + + ⋯ + = 0 "ر ! & 0 = ( + $ط) + ⋯ A5ل +دی (س %د +: ) + ⟹ , , … , μτ = μτ + μ = ⋯ = μτ + μ = 0 τ ≠ 0 ⟹ μ = 0 ⟹ μ = 0 ⟹ μ = 0 ⟹ w, v, … , vlin − indep :

9ل 5.2 : و ږ v , … ,و وری & *Cw, v EV = دې و ور و رو : : (ℝ ,ℝ ) د د * 5.2ℝ & "$ ∋ (ا5ده 1,2− و ) او = Hو ,&( 1,1)او= ,(و ورو 1,8−وه ) = 2ده (basis) د وړوي . ? & B 5.1ل ℝ & وودل & , = ℝ ږي . ړی %د B%وت >& & و$ط0 ر ب د او ,دی . ? & : = ℝ v2 v1 w B 5.1ل & و د (w+ = (x1,x 2 $& =دا w ړل ;ℝ ∋ ,∃ , − + 2 97 = ∧ = 3 3

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

"ر ! & دې Bل & (w = (-1,8 ده

8 + 1 8 − 2 = = 3 ∧ = = 2 3 3 0 ⟹ w = 2 + 3 [ ∧&$ &*≠ 5.2 ] ⟹ ℝ = , 9ل : و ږ و وری *C E & دي و ورو رو : : (ℝ ,ℝ ) %:& $وا دل ږې & { u,v,e 3,e 4 } د وه 2ده وړوې . ? & : : = (0,2,2,3), u = (1,0,0,1), = (0,1,1,0) = <<ℝ u,v,e 3,e 4 >> واړو B%وت ړو : ℝ = << u,v,e 3,w >> ړی واړو وHو & w $ط& ر ب د u,v,eℝ 3, e4 دی . ?

(0,2,2,3)=∃, , , (1,0,0,1)+ ∈ ℝ; w =(0,1,1,0)+ ++(0,0,1,0)+ + (0,0,0,1) = ( ,0,0, )+(0, , ,0)+(0,0, ,0)+(0,0,0, ) = ( , , , ) = 0 , , + + , ⟹ = 0 , = 2 , + =, 2 + = 3 "ر ! & دی .3 =س د 5.2 0 = *& 2 وEی =>و و8و : ⟹ = << u,v,e 3,w >> = 3 ≠ 0 9ل : ℝ

2 د ھI 6ووو وو {(ℝ 5ت دی & ∋a,b,c)در ر 2 او 5ℝf(x)=a+bx+cxوی →وي. V :={f :ℝ دB 4.1 Vل وودل & ( ,V) وه و وری C* ده . وه 2ده 1,x,x 2 2 { x,x,1} ده . -8 ھ ر و ℝ$ط ر ب د دی او $طA5 0ل ھم

دي . f ∈ V :8-

2 ا% د “0„ د @ر%7 ده . اوس د (ℝ >ق ∋a,b,c) 5و f(x):=a+bx+cx =0 98 f(x)

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

′ = b + 2cx = 0 ′′ ( ) = 2c = 0 c = 0 b + (2cx) = 2.0.x = ⟹0 b = 0 ⟹ 2 2 2 B%وت >و x,x,1 $طA5 0ل دي . & :a+bx+cx =a+0.x+0.x =0⟹a=0 (V, ) = << 1,x,x 2 >> 9ل : ℝ

2 3 د ھℝ)} I 6ووو وو 5ت ∋a,b,c,d)دی & dx+در ر 3 او 5ℝf(x)=a+bx+cxوی →وي. V :={f :ℝ دB 4.1 Vل وودل & ( ,V) وه و وری C* ده . وه 2ده { x,x 2,x 3,1} ده . -8 ھر و $ط ر ب د x,x 2,x 3,1 دی . اوھدار ! 2 3 ℝ د wronski ر8س ( Vوو5م ∋ Cf@ل x,x ,x } 0$ ( 0,1} $ط A5ل دي . ر ن 5.2 : : ( 1 ) و ږ و وری C* & ېدE و ور و رو : : (ℝ ,ℝ) ℝ ∋ وې ، (% د * = 5.2(−1,2B = (&$1,1 ), &%وت ,( ړۍ 2− & ,1) و= وه E دي اCده, @دق = وې ℝاو و @دق وې ( a ) ( b ) ( 2 ) د , =و وری Cℝ* دا E دی و ور رو , : = ℝ (ℝ ,ℝ) د * 5.2B &$ &%وت ړۍ ℝ & ∋ ( و وه E −1,0 دي ,2,0)اCده= @دق وې او و @دق وې

( a ) = <> ( b ) = << e 1,w, e 3, e 4>> ( c ) ℝ = << e 1,e 2, w, e 4>> ( d ) ℝ = << e 1, e 2, e 3, w>> ℝ ℝ ر ن B : 5.3%وت ړی & دی . . 5.1 : هو و وری ≪ C* ,1 ده .≫ = (ℂ, ℝ) ( , ) = , , … , ∧ = , , … , 99

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

دی @ورت %د وې . ? د و ور وو >ر د دواړو 2د و . . 5ره 5 وي دی = 9وت : "ر ! & د وه 2ده ده او و ور و $ط A5ل يد , . … ,س د ,5.1 د * 0 $& %د , … ,وې , %:0 $وا ھم د وه 2 ده ده ا و ≥ $ط A5ل يد . س د, … ,5.1 ,*& $ %د وي . , … , , . . دی ≥ = ,ر ف 5.3 : وه و وری C* ده . د 2د ی د و ور و و>رد د %?د

( Dimension( ), ) وم دږی او و ږ ھI 5ره Hو . د Bل ډول د 2دی د و ور و و >ر 5 وي وي . dim? = , , … , ⟹ dim = [ دی @ورت & ر ?ن وي ] = [ دی @ورت & ?ن وي ] ∞= dim د لB ډول دی . -8 ا55 2دهdim د ده. =ℝ << e1, e 2 >> , dim, … , = 2 dim ℝ = 9ل: ℝ ⟹ ℝ ( M ( a ور?ن Cر2 5ت دی Map(M, ℝ ℝ) ≔ {f:M → ℝ} P (M,ℝ) ≔{p :M → ℝppolynomial}

C(M,ℝ) ≔{f :M → ℝfcontinue} د ,Map(M و وری C* ر?ن %?د او د ﻫﻐﻪ Cرℝ)C 2 * وي دي 0 ر?ن %?دو ری (C(M,ℝ) , P (M,ℝ ر ن:

W:={(x 1,x 2,x 3)∈ ℝ │x1=x 3} dimW وا {x 2 +xdimH3=0,1دا ړی . H :={(x 1,x 2,x 3,x 4)∈ ℝ │x1+3x 2+2x 4=0,2x ر ن 5.4 : :

100

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( ( a w = ا و وي . دی @ورت ( dim() ∈ ℝ 2,3,4 )دا ړی . { ℝ ∋ .} = : ( V, ) ( b) و وری C@ ده . V او ده . % dim( ) ℝ دا ړی ∋ ℝ } w ∋ .} = : 9ل 5.3 ر % دي E دی :2operation) 0) ?رف : ( × , ℝ) <

+ : ∶=M x M( × , M ℝ ) ⟶

(, ) ⟼ + ⋅∶ℝ× → ور 0:2 ر % دی در5 دی . 8- : . ⟼ ( .)

,∈⟹+∈ و %د : Qروپ دی & ?8وس د∋ د. ⟹ ∋ ر8س دی او ,ℝ ∋ 2 ت . . (+ 2 @ر د ,) @ر ر8س دی د و وری C* ور $واص −ھم @دق وي هو و وري C* هد . . 9ل: (ℝ داE دي,) 5ت وه CرC &2* & ده H:= (2 × 2, ℝ) ∈ (22, ℝ) = , + = 0 , H = = ∈ + + A+B= + + + + H+ = a1+d 1+a 2+d 2=0+0=0 ھ دار ! B%وت دای >& & : ∋A+B ⟹

& H وه CرC 2* ∋ & . ده . ⟹ ∋ ,ℝ ∋ اوس واړو د (ℝ و وري ,C(22* 2ده (basis) او %?د 101 ( × , ℝ)

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(dimension) دا ړو د ر8 5و & E دی >رL > وي دی ( وه 2ده ,…,basis) = 1,2) ∧,…,1,2 = ) وړوي . . ( × , ℝ)

0 ⋯ 0 = ⋮ 1 ⋮ د د و ”1” 2دد 8 او 5 ( 5ون ) وا 7 دی .0 ⋯ 0 د Bل ډول Hو & د ر 58 و وه 2ده د و وری (C* ده 1,2,3 = ∧1,2 = ) (2 × 3, ℝ)

1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 = = = %د 1 وHودل 0 >: 0 0 1 0 0 0 1 ( a ) ( b ) (1,2,3 = ∧1,2 = ) $ط = (A5لlin-indep)(2 × 3, ℝ) (ر58 و 1,2,3 دی.= ∧1,2 = ) ( B ( a%وت :

∈ (2 × 3, ℝ)

%د ا2داد د E دی $وا@ و 5ره = وود وي : ℝ ∋ (1,2,3 = ∧1,2 = )

= + + + + + = 102

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

⟹ = ⟹ = , = , = , = , س ھر و $ط ر ب =(lin-comb) د, =دی . ? : : ∈ (2 × 3, ℝ) < (i=1,2 j = 1,2,3 ) > ( b ) 9وت : و ږ E دی E ت ورو : = (ℝ ,3 × 2)

+ + + + + 0 0 0 = 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⟹ + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0

⟹ = 0 0 0 ⟹ = = = = = = 0 وټ 5.1 : د − و وری ( C* د1,2,3 = 2دي ∧1,2 دو ور و = )>ر 5 وي ⟹ . دی (ℝ ? , × ) او ور Bل dim( ( × , ℝ)) = . × وټ 5.2 : و ږ د ℝ) = 2.3 = 6 ,3 و وری × ( *C2 dim و ور و ورو او (ℝ ,ℝ) وي . % وEی , >و… ,د , و ور و د : : ر8س( , >8ل… , ,E دی ډول ) و8و =∶

103

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

… = ⋮ ⋱ ⋮ ∈ ( × , ℝ) … د دی اود رH ( 5طری ) و ور >8ل ري . . ( , … , )ا55 = 2ده و ور و و وری C* د E دی . , وا د … , ,ر8س >8ل ری (ℝ ,ℝ)

1 ⋯ 0 = ⋮ ⋱ ⋮ ∈ ( × , ℝ) د ر8س رH& ( 5طری ) ز 0 >8ل 1 راو5ل >⋯ E0 دی ډول . . ?:وږي

… … … … 0 …… … = 0 0 …… … … …… …… 0 … … …… د (i=1,2,…,r) دی ( ور , … ,ر8س ) = ھ IN$ & 08ف د @ر دي د ھI ر%وط و ور و $ط A5ل ( lin-indep) يد . ? د r >ر و ورو دړو8و $ط A5ل دی . -8 و ږ ( ورو ( = 1,2, … , ∈ ℝ + + ⋯ + = 0 ⟹ ( , , … , ) + ( , , … , ) ++ ….( , , … , ) + +( + , + -, - … - ,- - + ) = ( 0,= …0 ,0) "ر ! & ⟹ + + - - - - - + = 0 = 0 ⟹ [ !- ] 104⟹ = 0 ≠ 0

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ھ دی ډول ادا ور ړل > 0 = . : ⟹ 0 = +

س B%وت > و & د >ر د ړی 8 $ط A5ل lin ⋯ - =indep = ) 0= ) . . يد وټ 5.3 : 2و ډول وEی >ووواو & و ور و د ر8س >8ل و8ل > او % ھI ر8س , … , و5طري ,ز 0 ر8س %دل >0 . دی @ورت 6و0 ھI د رN$ & &Hف د @ر وي &

ھI دی وه 2ده د وړوي ., … , , ( , … , ,) =∶ ,ر ف 5.4 : وه و وری C* ده . دا E دی 2 :ت ر ( ,) و ور و و Aد 2:و : : ( Elementary operation ) ∋ , … , , وم دږی ( i ) %د وا ? و* ول د دو و ور و -ی (ii) *رب ول دو و ور د 5ره (iii) *رب ول د و و ور د ∋ ≠ 0 5ره او % د ل% و ور 5ره

7 ول ∋ ≠ 0 2' " 5.3 : هو و وری C* ده . د Aد 2:ت ط%ق ر ( ,) و ورو و % دی () ,( ) ,( ) I ر . . وي ∋ , … , , ( , … , ,) 9وت : , , i و Aد 2: ∋ وا*L دهℕ . ∋ ≥ ≥ ≥ 1 Aد 2: () v () ∈ (, , ,….,, … , , … , ; ) ⟹ ∃ ∈ = + + ⋯ + + ⋯ + v = + + ⋯ + () + ⋯ + ⟹ ∈ (, , … , , … , ) v⟹ (, , … , , … , ) ⊆ (, , … , , … , ) 105∈ (, , … , , … , )

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

, ,…., ; ⟹ ∃ v ∈ = + + ⋯ + () + ⋯ + v = + + ⋯ + ( ) + ⋯ +

⟹ ∈ (, , … , , … , ) ⟹

(, , … , , … , ) ⊆ (, , … , , … , )

(, , … , , … , ) = (, , … , , … , ) Aد :2 iii)) v ∈ (, ,,…., , … , , … ,; ) ⟹ ∃ v ∈ = + + ⋯ + + ⋯ + = + + ⋯ + + v + ⋯ + − + ⋯ + ⟹ ∈ , , … , + , … , , … , ⟹ ( , , … , , … , ) v ⊆ , , … , + , … , ∈ , ,….,, , … , + ; , … , , … , ⟹ v ∃ ∈ = + + ⋯ + + = + ⋯ + + ⋯ + + + ⋯ + + ⋯ + + v + ⋯ + ⟹ ∈ (, , … , , … , ) ⟹ , , … , + , … , ⊆ (, , … , , … , )

106

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

s (,ر ف , … A (, , … , :, 5.5 = , … , + , … , , و ږ د A (ر8س رr1 ,r 2,…,r m ( rows∈ M )( mxn,0H او 5 0 ( c1,c 2,…,c n ( colmns 5ره Hو . د 4.4 $& ∈ ( span(r 1,r 2,…,r m ∋وه CرC 2* & او (span(c 1,c 2,…,c n وه ) row subspace span(r ,r ,…,r ) . CرC 2* & ده m 2 1 د رH& : : . rs(A) ( CرC 2* وم دږي اوو ږ ھI 5ره Hو ? rs(A): = span(r 1,r 2,…,r m )

(span(c 1,c 2,…,c n د Column subspace ( 5و CرC 2* ) وم دږي او ھcs(A) I 5ره Hو . ? & : :

cs(A): = span(c 1,c 2,…,c n) داوا & : : cs(A) = { A.x x } , rs(A) = { x t .A x } ,ر ف row∈ rank :5.6 (│ ر0H ر R ) او column∈ rank │ ( 5 ر R ) ) E دي ډو ل ?رف > وي دی

rk r(A) = dim(rs(A)) , rk c (A):= dim(cs(A))

rk c د column rank ا و rk r د row rank دی . . د 5.3 *& $& وھږو & span I &ر را-& ر ری Aد0 2:ت ط%ق > . س دو A ر8س (rk r(A 5 وي د ھI د $ط A5:و 8و >ر 5ره او ( rk c (A 5 وي د $ط A5ل (lin-indep) 5 و ( 5ون ) >ر 5ره دی . ? & وه ر8س & E دي را%ط0 @دق وي

rk c (A) = dim(cs(A)) = rk r(A) = dim(rs(A))

"ر ! & (rk c (A او (rk r(A 5ره 5 وي دی . ورو5 دی ACط (rk(A 8و . ? : (rk(A) = rk c (A) = rk r(A

س د و A ر8س rank 5 وي د ھI د $ط A5ل 5 و ( رHو ) >ر 5ره دی . ? وه و وری C* او د و ور و ر%وط ر8س A ( وي, . )% د A ر8س ∋ , E دی … ,ډول ,Eس را0- :

107() ≔ dim (, , … , )

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل 5.4: و وری C*ی E دي و ور و رو : : a1 = (1,2,0) , a 2 = (2,0,1) , a 3 = (2,4,0)(ℝ ,ℝ) ددو و ورو ر8س E دي ډول دی : :

1 2 0 A = 2 0 1 د Aد 2: ور ط%ق وروA 5 د B ر8س 0 >8ل 4 5 2

1 2 0 = 0 −4 1 0 0 0 B د ر8س ھI ر0H & @ر دي، د 5.3 وټ $& $ط A5ل دي . . س وه 2ده د ، ? د Row ) subspace , ( ,)5طری CرA )*C= 2 )) دهrs او ، و ور و وه 2ده د وړوي . (1,2,0) = Rank(A) = dim(rs(A)) = 2 ( −4,1 rs (A) = (0,&دی 9ل : واړو د E دي ر8س rank دا ړو

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 2 2 ↣ 0 0 0 ↣ 0 3 6 3 6 9 0 3 6 0 0 0 "ر ! & ور5 ر8س 2 $طA5 0ل ر0H ري س rank د A 5وي 2 2 دی . . ل9 : وه و وری C* ده . . (, ℝ) ( a ) 0 ≠ ∈ ∶= () =< >= {∈ = , ∈ ℝ} ( b ) $ط A5ل و ور و 1 ا و= A ()دھI وي ر%وط dim = (ر8س ) دی , ∈ ≔ (, ) = , 108

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= {∈ = + (, ∈ ℝ)} 9ل 5.5 : 2 = ( ,و وری ) *C E دیdim = (و ور)و رو : = () (ℝ ,ℝ)

= (0,0,0,2, −1) = (0,1, −2,1,0) د ھI وي ر%وط ر8س (E دی ډول 0,0,0,1,2) = ?:وږي . (−1,−1,2,1,0) =

0 0 0 2 −1 = 0 1 −21 0 ↣ 0 −1 2 1 −1 0 0 0 1 2

0 1 −2 1 0 1. 0 0 0 2−1 ↣ 0 −1 2 1 −1 0 0 0 1 2

0 1 −2 1 0 ↣ 0 0 0 2−1 0 0 0 2 −1

0 0 0 1 2

0 1 −2 1 0 -2. −2. ↣ 0 0 0 1 2 0 0 0 2 −1 0 0 0 2 −1

0 1 −2 1 0 0 0 0 1 2 ↣ 0 0 0 0 −5 −1. 0 0 0 0 −5 109

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

0 1 −2 1 0 ↣ 0 0 0 1 2 = 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 0 د ر8س ھI رN$ & 0Hف د @ر يد د 5.3 وټ $ $ط A5ل (lin-indep) يد . س د CرC 2* وه 2ده ده . ? ( , , ، , ) ≕ او وه 2ده د (2,1,0−,0,1) = وړوي . (0,0,0,1,2) = Rank(A) = =dimW (0,0,0,0,5) = 3 ر ن: و وری *C E دی و ور و رو : : (ℝ ,ℝ) = (1,2,0,2, −1) = (2,2, −1,0,0) ( a ) د (ور وو ورو 1− ر%وط ,1,2,0,4)ر8س= وM8 . (−4,1,−2,2,−2) = ( rank(A) ( b دا ړۍ ( c ) د 2ده (basis) دا ړۍ ( dimH, ) ( d , دا ,) ړۍ ≕ : : % . A :5.2 rk(A) = n det(A) ∈ 0 M (nxn, )

9وت “ „ : det(A)≠ 0 رو . %د ⇔B%وت >rk(A) = n & 0 دی

rk(A)⇐ = n ≠وي . دی @ورت % : : rk(A) n rk(A) < n

س %د ورو5 د Aد 2:و ( elem-trans) د ر8س A⇒ "$ و≠ ر8س Eس را >& & ږ رږه وه 8 0 5 وي @ر وي . "ر ! & دا 2: ت در ت Iر ور وي . س %د (det(A 5 وي @ر وي . & دا $Nف د Cر* 0 ده . س %د rk(A) = n وي

9وت و ږ رو & rk(A) = n دی . %د B%وت >0 & 110 " ⇒ "

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

det(A) 0 دی . . A . rk(A) = n "ر !≠ & دی س وEی >و د ر8س د Aد 2: و ر ط%ق و 5طری ذ 0 ر8س B %دل ړو & طری 2 @ر N$ 0ف د @ر يد . .

.... . ... 0 0 ... = 0 0 0 ⋱ . 0 0 0 0 . det(A) 0= det(B) 0 0= 0. . . …. 0 ≠ 2' " 5.4 : وه و وری C* ده ، wn,…., w3, w2 , w1 $ط A5ل ( (lin, - indep ) ) و ور و V & دي . . << V=<

V = << w1 , w2 , w3 ,....., wn, vn+1 ,...., v r >> n 9وت≥ : B%وت∧ ره د complete induction طرA "$ ا5ده ږي complete induction دري E دي و وود يد ړی #ت : د n = 0 ره %د @دق و ړي د و م #ت : و ږ Cرض و & د n -1 ره @دق وي در م #ت : %د B%وت >& & د n ره ھم @دق وي ړی ت وا*L دی . -8 د n = 0 ره : :

<< w1 , w2 , w3 ,....., wn, vn+1 ,...., v r >>

= << v 1, v2 , v 3 , … , v r >> او دی د مو #ت ≥ : 0 و ږ Cرض و & n -1 @دق وي w1 , w2 ,....., wn lin-indep w1 , w2 , ....., wn-1 lin-indep -8 ھ5I وي % د 4.5 $ ⟹: w1 , w2 ,....., wn-1 lin-dep w1 , w2 , ....., wn lin-dep 111 ⟹

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

!ر دا $Nف د Cر*0 ده . س وEی >و د induction د Cر*0 $ و8و : :

V = << w1 , w2 , w3 ,....., wn-1, vn ,...., v r >> در م #ت : د C inductionر* $& و ږ رو : n – 1 r n – 1 = r وي %د < وي دی . س %د n -1< r وي . وا 0 8و n r . "ر ! & د C inductionر* $& : : V =<< w1 , w2 , w3 ,....., w≤n-1, vn ,...., v r >> س وEی >و wn دو $ط ر ب ( lin-comb ) >8ل و8و . ? :

w = w + w + ... + w + v + .... + v ∃ , n, , …1 , ∈ ;2 n-1 n r د 0 = ت @دق وي -8 ھI @ورت : : = = ⋯ = wn = w1 + w2 + ... + wn-1 w 1 , w2 , w3 ,....., wn lin-dep !ر دا $Nف د Cر* دی . س %د و i = n, n+1, …,r ) 0 ) ⟹وود 5. 2 . 0 . وي و ږ وEی >وھI ا $ب ≠ ړو اوس د *& $ : v w وEی >و n د n 5ره ≠ 2وض ړو وا V = << w1 , w2 , w3 ,….., wn, vn+1 ,…., v r >>

9ل : و ږ ( , و وری C* & رو u = (1,0,0,1) , v = (0,1,1,0) (ℝ ℝ ا5 وEی >و B%وت ړو & u اوv ℝ ∋ و ور و $ط A5ل (lin-indep) دي . %:0 $وا وھږو & << e 1,e 2,e 3,e 4 >> = دی . س د 5.4 : * $& Eس را- ℝ

= << u,v,e 3,e 4 >> 5.3 : و و وری C* ده & n ?ن ℝ%?د ري . ? dimV = n( . ,% )داE دی اCدي و%ل 5ره ?د دی : : V = < u1,u 2,…,u n > ( 1 )

( u1,u 2,…,u n ( 2 و ور و $ط A5ل (lin-indep) دی

112

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9وت ( 2 ) ( 1 ) ⇐ری u1,u 2,…,u n ور و $ط A5ل وي . % : : u1,u 2,…,u n lin-dep

[ د 4.5 u1,u 2,…,u n,u n+1 lin-dep [ $ ? د و ور و >ر n "$ زد >0 % $ط A5ل دای ⟹ >0 . وا ھ دار ! > دای د $ط A5ل و ورو >ر n "$ م >0 . 8- dimV = n دی . س u1,u 2,…,u n و ور و $ط A5ل (lin-indep) يد . . ( 1 ) ( 2 ) "ر ! ⇐& dimV = n دی س ?داد دھIو و ور و & $ط A5ل دی n "$ زت دای >0 . ? dimV = n u V u1,u 2,…,u n , u lin-dep د 4.5 u &$ و $ط ر ب (lin-comb) ⟹ د u1,u ∧2,…,u∈ n و ورو دی . س : :

V = ور "$ ا$:و & و ږ وه >و & dimV = n ?ن د ی . دې @ورت : :

( a ) V = V = <> ( b ) u 1,u 2,…,u n lin-indep ⇔ V = <> 2' " 5.5 : د و ?ن %?د ⇔و وری C* ده . . ( W ( 1 ( , ) ھر $ط A5ل و ورو 5ت و ډول و5?ت ور ړل >0 ر 2ده (basis) د W %دل دای >0 . . ( W ( 2 د و ور و ھر 5ت و ډول و5?ت ور ړل >0، 2ده (basis) د W %دل دای >0 دې >رط & دا و ور و و span د W وي . .

( 1 ) 9وت : u1,u 2,…,u k W u1,u 2,…,u k lin-indep ∈ W = W W = ⟹ ∨ ≠ [ د 5.2 ﻟﻴﻤﺎ ﻟﻪ ﻣﺦ ] << W = << u 1,u 2,…,u k 113⟹

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

W uk+1 W ; u k+1 span(u 1,u 2,…,u k ) u1,u 2,…,u k , uk+1 و ور∌و $ط ∋A5ل دی .∃ -8 ⟹ ھ5I& وي . ≠دی @ورت uk+1 د 4.5 $ و $ط ر ب د u1,u 2,…,u k دی . ? : : u1,u 2,…,u k , uk+1 lin-dep

a1,a 2,…,a k ; u k+1 = a 1u1+ a 2u2+…+ a kuk !ر دا د ( uk+1 span(u 1,u 2,…,u k 5ره ∋*د دی . س ∃ ⟹ u1,u 2,…,u k , uk+1 $ط A5ل ∌يد . . < W = < u 1,u 2 , …,u k,u k+1 وي دې @ورت u1,u 2,…,u k,u k+1 وه 2ده د W ده . دا05 . ?

W < u1,u 2,…,u k , uk+1 > ور M ره رھI وری ادا ور و ر"و $ط ≠ A5ل و ور و 5ت وا span 5ت 5ره 5 وي > . ھI و$ت د ووړو و ور و 5ت وه 2ده ( basis) د W وړوي

( 2 ) 9وت : و ږ Cرض و & < W = < u1,u 2,…,u k دی . u1,u 2,…,u k و ور و $ط A5ل (lin-indep) وي . % دا basis ھم ده . دا5 وي دی @ورت د 5.4 $ و و ور د ورو و ورو $ط ر ب دی . د ا و ور دBل ډول u1 وي ، دې @ورت : :

a2, a 3,…, a k ; u 1 = a 2u2 + a 3 u3 + …+ a kuk %: $وا : ∋ ∃ u W = < u1,u 2,…,u k > ∈ b1, b 2,…, b k ; u = b 1u1 + b 2 u2 + …+ b kuk ⟹ ∃u = b1(a 2u2 + a ∈3 u3 + …+ a kuk ) + b2 u2 + …+ b kuk ⟹ = (b 1a2 + b 2 )u 2 + (b 1a3 + b 3 )u 3 + … + (b 1ak + b k )u k

W = < u2,u 3,…,u k > u2,u 3,…,u k % ھم $ط A5ل وي . % ور ره رھI ⟹وری ادا ور و ر"و د $ط A5ل و ور و 5ت span 5ت 5ره 5 وي >0 . . وټ: ,V) هو ? و وری C* ا و H دھC IرC 2* وي . % dimH dimV ) 9ل 5.6 : و ږ د ( , و وری *C E & دی و ورو رو : : ≤ 114 (ℝ ℝ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

u1 = (1,-2,5,-3) , u 2 = (0,1,1,4) , u 3 = (1,0,1,0) W:= span(u 1,u 2,u 3 ) A د ور 0 و ورو ر%وط ر8س وي

A = 1 −2 5 −3 0 1 1 4 د A ر8س ذ 0 0 ر1 8س 0 %دل >E1 0 دی >8ل ري

U = 1 −2 5 −3 0 1 1 4 0 0 1 د U ر8س دري 3 ر0H $ط A5ل يد . او اوس ھI د و ور ډول 8و v1 = (1,-2,5,-3) , v 2 = (0,1,1,4) , v 3 = (0,0,1, ) [ د * 5.3 span(u 1,u 2,u 3) = W = span(v 1,v 2,v 3 ) [ $ W = <> [ د 5.2 W = << v 1,v 2,v 3>> [ $ ⟹ dimW = 3 ∧ د U ر8س 5ره د (t ) u4 =(0,0,0,t) رN2 Hوه >0 . % ⟹ . U ":ور رH $ط A5ل دی ? 0 ≠ v1,v 2,v 3, v 4 lin-indep [ د 5.2 v 1,v 2,v 3, v 4 >> [ $ >> = ور Bل وHودل & $ط A5ل و ور و و5?ت ور ړل >و او ℝ وه⟹ 2ده (basis) %دل >و 9ل 5.7 : دې Bل واړو 5.5 * ط%ق ړو . . و ږ ( , و وری *C u2 = (3,2,1) , u 1 = (1,2,3) و ورو رو u1 ا و u2 $ط A5ل ،دی !ر و 2ده (basis) د دای (ℝ ℝ > . -8 %?د (dim) د 5 وي 3 دی . س %د د $ط A5ل ℝو ورو . 3 >ر م وي ℝ span( u1 , u 2 ) u ; u span( u 1 , u 2 ) . u = (1,1,0) ا5 5ره Hود >و &∌ ℝ ∋ ∃ھI ⟹ډول و و ور دی ≠ ℝ 115

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

? ( u span( u 1 , u 2 . ھI ډول وي . ? & : : u span( u 1 , u 2 ) ∉ , ; u = u1 + u2 ∈ ⟹ (1,1,0)∃ = ℝ (1,2,3) + (3,2,1) = ( +3 ,2 + 2 ,3 + ) ⟹ ⟹ + 3 = 1 2 + 2 = 1 3+ = 0 : : د ور ?دEو ر%وط ر8س E دی >8ل ري

1 3 1 3 1 0 3 1 0 2 2 1 ≈ 2 2 1 ≈ 0 −4 1 3 1 0 1 3 1 0 −8 1 3 1 0 ≈ 0 −4 1 0 0 −1 "ر ! 1- = 0 8ن دی . س ور ?دEت ل ری . ( u span( u 1 , u 2 دی . . . (lin – indep) u u , u د 1 2 و ∋و ور و $ط A5ل يد دا5 وي د : : &$ 4.5 u1 , u 2, u lin – dep a1,a 2 ; u = a 1u1 + a 2u2 ⟹ ∃ u span(∈ ℝ u 1 , u 2 ) u u , u . u !ر دا $Nف د ا $ب د ید س %د 1 ∋2 و ⟹ $ط A5ل (lin – indep) وي . د 5.2 $& وای >و و 8و & : : = . u2 , u 1 ا و u و ور و و 2ده د ده . ? : : ℝ ℝ = <> (basis ) : 5.8 9ل دې Bل واړم وHم، & ℝ"ر ! وه 2ده د و ي CرC 2* دا وEی >و . .

W:= { (x 1,x 2,x 3,x 4) x2 = 2x 1 } ∈ ℝ │

116

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

دل ږي & W وه CرC 2* & ده . د 2د ی د دا ووره و و ور & @ر وي د Bل ډول u= (1,2,0,0) ℝ W % ا $ب ړو . د ا55 2دی e1 اوe2 و ور∋و W & >ل دي ، ! ر e3 e e , u . e ا و ℝ4 >ل دی ا5 B%وت دای > & 3 ا و 4 و ور و $ط A5ل (lin-indep ) يد . س د 5.2 W= $ ھم ږي . وه 2ده د W ده . ? : : W = <> = <<(1,2,0,0 ), (0,0,1,0), (0,0,0,1) >> dimW = 3 : : :5.5 ر ن و ږE دي و5 رو ∧

{H :={(x 1,x 2,x 3,x 4)∈ ℝ │ x2=2x 1ٌ 1 2 3 4 1 2 4 W:={(x ,x ,x ,x )∈ ℝ │ x =x =x } ( B ( a%وت3 2 ړی &1 , ، 4او C2رC1 2* وي 4 & 3ديV 1 2 :={(x ,x ,x ,x )∈ ℝ │x +3x +2x =0 2x +x +x =0} ( b ) %?د ( W (DimensionH د ،V او دا ړۍ ℝ V W H

117

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

&1ږم ل د ر 'و و" ( Sum of Subspaces)

,ر ف V, ) :6.1 ) وه و وری C* وا C H1,H 2 , ..., H nرC 2* وي . . V يد H1 + H 2 + H 3 + …. + H n :=

( Sum of Subspaces ) ور {ℎ و2 د+ ⋯ +CرC ℎ 2* د+ ℎ =وℎ ∈ ∃ℎ ∈ ; ℎ2} وم دږي V, ) : 6.1 " '2 ) وه و وری C* ا و C H2 ، H1رC 2* وي V V H +H . يد % ھ دار ! 2 1 وه CرC 2* ده 9وت : , ∈ 0 H2 H2 0 u,v ∈ H, 0 ∈ HH2 ⟹ ∈ H + ⟹ H + ≠ ∅ ∈ uH1,v +1 u2,v 2 ; u = u1+u 2 v = v1+v 2 ⟹ ∃ ∈ H ∧u1∃+u 2) + ∈ Hv1+v 2) ∧ ⟹ + = u( 1+ v1) + (u2+ v2) u + v u + v H 1 1 ( 2 2 ( 2 H H+2 ∋ د + 4.4 H$ ⟹ وه∋ CرHV ∧ *C 2 ∋ ده . H + V, ) : 6.1 ) وه و وری C* ا و C H1,H 2رC 2* وي V يد . V = H1 + H2 وي % دا E دي اCدي و%ل 5ره ?د0 يد : ( 1 ) H 1 H2 } ( 2 ) v∩ =, {0 H1 H2 ; v = h 1 + h 2 ( 3 ) ∀ ∈ V H∃!1 ℎ ∈ ∧ ∃! Hℎ2 ∈ h1,h 2 lin-indep in V 9وت : ⟹ ∋ ℎ ∈ ∧0 ≠ ℎ ≠ 0 (1) (2) : ري w1 H1 ا و w2 H2 ھم وود وي & ∈ ∈ ? . 0< v = w 1⇐ + w 2 w1 + w 2 = v = h 1 + h 2 h1 – w1 = w 2 – h2 ⟹ 118

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

h1 H1 , h2 H2 , w1 H1 , w2 H2 -h2 H2, -w1 H1 h – w = w – h H H } ∈1 1 ∈2 2 ∈ 1 2 ∈ ⟹ ∈ ∈ ⟹ h1 – w1 = 0 ∈ h2 –∩ w2 = =0 {0 ⟹ h1 = w 1 h2 =∧ w 2 ( : (3) (2 h2 ، h1 $ط A5ل (lin-indep) ∧وي س %د ⟹ $ ط ⇐وا%5 وي . دی @ورت د 4.5 $& و دی و ورو "$ و $ط ر ب د ورو دی . و ږ Cرض وو & h1 $ط ر ب د h2 دی . ? : : K ; h1 = h2 h1 – h2 = 0 : : . V = H + H %:0 $وا 2 1 دی س ⟹ ∋ ∃ o V : : دی "$ 5E + را0- &= 0 ; ∋ ∃∧ ∋ ∃ ⟹ ∋ h1 – h2 = 0 = h h . (2) !ر دا $Nف د دی س %د 1 ا و 2 $طA5+لوي

( : (1) (3 H1 H2 } وي . % وEی >و و8و :

∩ = {0 ⇐

∃ ∈ H ∩H,≠0⟹+ v , -v( −1lin-dep). = 0 ⟹ !ر دا د (3) 5ره *د دی . س %د { H1 H2 وي . . 2 : وټ د CرC 2*و >ر "$ زت >00} %= ∩ھI @ورت د 6.1 (1) ا و (3) اCد ي 5ره ?د0 يد . د Bل ډول و ږ وھږو & e e , e ( , ) و وری C* 1 2 و 3 و ورو ا55 2ده = << e ,e , e >> . (canonical basis ) ℝ ℝ وړوي ? 3 2 1 H2 , H1 ا و E H3 دي ډول و6 ل >ℝ : 0

H1 = span(e1,e 2) , H2 = span(e2,e 3 ) , H3 = span(e1,e 3) 4.4 د $& دا 5 و CرC 2* وي يد وا : : . H H H } 3 2 1 دی - ℝ 8 x = (x 1, x 2, x 3) H1 H2 H3 ∩ ∩ = {0 ∈ ∩ ∩ ; x =⟹ ∃ e1 +, , e,2 =, , e 2 +∈ ℝ e3 = e1 + e3 (x , x , x ) = (a ,0,0) + (0,a ,0) = (0,b ,0) + (0,0,b ) . 1 2.3 1. . 2 . 1 . 2 = (c ,0,0) + (0,0,c ) ⟹ 1 2 119

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(x 1, x 2, x 3) = (a 1,a 2,0 ) = (0, b 1,b 2 ) = ( c 1,0,c 2) ⟹ ( a1 = 0 , c1 = 0 ) ( a2 = 0, b 1 = 0 ) ⟹ ( b2 = 0, c ∧2 = 0 ) (x , x , x = (0,0,0) H H H } 1 2 ∧ 3 1 2 3 , !ر 0} = ∩ وا ∩ ⟹ $ط A5ل ⟹ lin-indp)∈ H) يد . H ∋-8 و ږ دτ ℝ τ , τ ∈ H ره E دي را%ط ورو : ∈ ℝ + + = 0 τ e ( τe τ + (0,e + ( ,0, ) = (0,0,0) ⟹ (τ, + 0,0) , , 0τ ) , 0)= (0,0,0)τ 0 ⟹ τ τ τ : : . ور 0 ?د0 راري τ ل − =ري τ? τ +τ = 0 ∧ τ = 0 ⟹ ⟹

( , , ) == { (τ, τ, τ) ∈ ℝ │ = τ, = τ, = τ} 2 = و*7 >0 . ھE − τ} -2 $" Iس,τ , 0)}را-0 ا و $ط A5τل دی . ودل >و & د = CرCτ 2*و >ر 2 "$ ز ت >0 % ھI @ورت د (1) ا و (3) اCد ي 5ره ?د0 يد . .

( Dimension Formel) : 6.2 " '2

( ,V ) وه و وری C* & ?ن %?د ( Dimension ) ري وا H1,H 2 CرC 2* وي V & يد . % : :

Dim(H 1+H 2) = dimH 1 + dimH 2 – dim( ) H H 9وت: و ږ Cرض ∩ وو & : :

= << v1 , v 2 , v 3,…., v m >> H ∩H د 5.4 * $& وEي >و د H1 ا و H2 2دی (E (Basis دي >8ل راوړو : :

H1 = << v1 , v 2 , v 3,…., v m,w 1,w 2,….,w n >>

120

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

H2 = << v 1 ,v 2 ,v 3,…., v m,u 1,u 2,….,u k >>

اوس % د B%وت ړو & : :

+ H 2 = << v 1 ,v 2 ,..., v m,w 1,w 2,...,w n,u 1,u 2,...,u k >> H ? %د B%وت >0 : ( a ) + H 2 = < v 1 ,v 2 ,v 3,…, v m,w 1,w 2,...,w n, u 1,u 2,...,u k > ( b ) ور 0 و ور و د H 2 + و وری C* & $ط A5ل H ( lin-indep ) يد H ( a ) 9وت : H1 H2 ; h = h 1 + h 2 "ر ! & < H ⟹ = ∃< ℎv 1 ,∈ v 2 , v 3∧,….,∃ ℎv m,w∈ 1,w 2,….,w nدی .+ سℎ ∈ H H j = 1,2,...,n ) ; ∃ h1, = ∈v (1 + = 1,2,…,v2 + … ∧vm + w1 + w2+ ... + wn ھدار ! < H2 = < v 1 , v 2 , v 3,…., v m,u 1,u 2,….,u k دي س

′ ′ j = 1,2,…,k ) ; ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∃ h2 ,= ∈v1 ( + =v2 1,2, + … …+ , ∧vm + u1 + u2+ … + uk ′ ′ h = h 1+h 2 = v1 + v2 + … ′ ⟹ + ( + )v) m ( + ) + (w+1 + w2+ ... + wn ′ ′ ′ + (u1 + u2+ ... + uk = < v 1 ,v 2 ,….,v m,w 1,w 2,….,w n, u 1,u 2,….,u k > H H ( b ) 9وت : ري و ږ ورو : + ⟹

v1 + v2 + … vm + w1 + w2+ ... + wn ′ ′ ′ + u1 + u2+ … + u k = 0 (*) v: = v1 + v2 + …+ vm + w1 + w2+ ... + wn H 1 (** ) ′ ′ ′ v + u1 + u2+ ... + ∈uk = 0 121⟹

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

′ ′ ′ -v = u1 + u2+ ... + uk -v H2 v H2 ⟹ v ⟹ ∈ ⟹ ∈ ′ (i=1,2,3,…,m); ⟹ ∈ H ∩H ′ ′ ′ ′ ⟹ ∃ v = ∈ + + +....+ . (lin-comb) 4.6 د $& ACط و $ط vر ب v vا8ن vري س %د ( **) ?د & 0 = =…= وي = د (*) ?د % E دي > 8ل 05 : :

v1 + v2 + … vm + u1 + u2+ … + uk = 0 "ر ! & ور 0 و ور و وه 2ده (basis) د H2 وړوي . س $ط A5ل (lin-indep) ھم دی . س %د : : = = … = = = … = = 0 & (b) ھم B%وت >و . اوس وEی >و =و8و : : dim( , dimH 1 = m+n , dimH 2 = m+k H ∩H) = m dimH 1 + dimH 2 = m + n + m + k = 2m + n + k dim( m + n + k = m + n + m + k – m H +H) = = dimH 1 + dimH 2 – dim( H H ر ن: ( ∩ ( a )

H: = {( , , , , ) ∈ ℝ = } (dim(H 1 + H 2 "ودی { = H: = {( , , , , ) ∈ ℝ

( V, ) ( b ) وه د ?ن %?د و وری C* ا و V H2 , H1 C &ر02 C* وي دي . ℝ dim(H 1+H 2 ) = 12 , dim(H 1 او ∩ H2) = 3 122

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

{ w5 , w4, w 3 , w2 , w1 } وه 2ده (Basis) د H2 وي . % dimH 1 "ودی . .

,ر ف 6.2 وه و وری A5 ) direct product ( V, ) *C و2 ) د C H1,H 2,…., H nرC 2* وو ل ږي . دی >رط & : :

( i ) V = H 1 + H 2 + ….. + H n ( ii ) hi Hi , h i 0 (i = 1,2,...,n) ∈ ≠ h1,h 2,.....,h n lin – indep و ږ ھV = H 1 H2 ..... Hn I 5ره Hو . n =⟹ 2 وي دی @ورت د 6.1 ⨁ $& ⨁ ت ⨁ وي د ( ii ) ر-ي {H1 H2 = {0

@دق و ړي ∩

V, ) : 6.3 " '2 ) وه و وری C* ده & ?ن %?د (dimension ) . V H ,H ري او C 2 1رC 2* وي د يد % دا E دي اCدي و %ل 5ره ?دل يد : : ( a ) V = H 1 H2 ( b ) H 1 = <<⨁ u 1,u 2,...,u m >> H2 = << w 1,w 2,...,w n >> V = <> 1 2 ∧ m 1 2 n ( c ) V = H 1 +⟹ H 2 dimV = dimH 1 + dimH 2 : : 9وت ∧ (b) (a) ⇐ [ د ?رف $& ] {V = H 1 H2 H2 = {0 ⨁ ⟹ H ∩ dim( H2) = 0 H س د * 5.4E &$ & و ی >و و8و : ∩ ⟹ V = <> (c) (b) و ږ ⇐وھږو & H1 + H 2 V دی . اوس %د B%وت >0 &

V H1 + H 2 دی⊇ v V j = 1,2,…,n ) ; ⊆ ∈ v =⟹ u∃1 +, u∈2 (+ … = 1,2,…,um + w∧1 + w2+ … + wn u:= u1 + u2 + … um w: = w1 + w2+ … + wn u H1 w H2 v = u + w H1 + H 2 123⟹ ∈ ∧ ∈ ⟹ ∈

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

V H1 + H 2 : : ⟹ ⊆ & V = H 1 + H 2 dimV = m + n = dimH 1 + dimH 2

∧ ( a) (c) : : (dimension formel) 6.2 د ⇐ *& $&

dimV = dim(H 1 + H 2 ) = dim H 1 + dimH 2 – dim( H2) H ∩ ! در (dimV = dimH 1 + dimH 2 &$ (c دی . س : dim( H2) = 0 H2 = {0} H ∩ ⟹ H ∩ V = H 1 H2 ⟹ ⨁ V, ) : 6.4 " '2) وه و وری C* ده & n ?ن %?د ري ا و H1 وه V H . V CرC 2*ی & ده % وه CرC 2* 2 وود ه ده & 0< V = H 1 H2 5.4 . H = <> : 9وت ⨁ m 3 2 1 1 وي % وEي >و د *& $& و8و : : V = <> و ږ E H2 دي ډول ?رف ړو : : H2 = span(um+1 ,…., u n ) H2 د 4.4 $ وه CرV *C 2 & ده او"ر ! & um+1 ,…., u n و ور $ط A5ل دی . س : : H2 = << um+1 ,…., u n>> & (2) د 6.3 * @دق وې . س 8: >و V = H 1 H2 H H , H ( , ) 6.1 9ل د 1" و وری C* & 1 2 وا ⨁3 5 و E دي ? رف >ويℝ دی ℝ:

H := , H := , 1 2 H := (, 0) ∈ ℝ ∈ ℝ (0, ) ∈ ℝ ∈ ℝ 3 ( a ) ا5 5ره وEی >و B%وت ړو & H2 ∈ , ℝH1 وا C ) ∈H3 ℝر2,)

C* وي & يد ℝ 124

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( b ) د H1 وه 2ده (Basis) د (e1 = (1,0 و ور , د H2 د (e2 = (0,1 و ور او د H3 د (u = (1,1 و ور دی . ? & : H1 = << e 1 >> , H 2 = << e 2 >> , H 3 = <> , dimH 1 = dimH 2 = dimH 3 = 1

د Bل ډول و ږ وھږو & e1 $ط A5ل (H1 (lin-indep & دی وا د $ط A5ل و ورو >رھ م H1 و دی . 8- w = (w 1,0) وا e1

$ط A5ل و ور و H1 & وي . دی @ورت %د د ره E دي اCده @دق و ړي ℝ ∋ , + = 0 = = 0 w .= (w 1,0). = w 1(1,0)⟹ = w 1e1 w1e1 + (-1. W) = 0 ⟹ e1, w lin-dep . . dimH = 1 H = <> س وازي 1 1 دا>0 ا و ⟹ 1 دی = H + H = H + H = H + H ( c ) 3 1 ، 3 2 ا و 2 1 ℝ ℝ ℝ x = (x ,x ) 1 2 x = (x ,x ) = (x -x ,0) + (x ,x ) H + H ∈ ℝ 1 2 1 2 2 2 1 3 H + H ⟹ 1 3 ∈ : : . H + H %:0 $وا وھږو & 3 1 دی⊇ ℝ & ⟹ = H + H 1 3 ⊆ ℝ

ℝ ھدار ! وEي >و ور Eت B%وت ړو . . H1 H 2 = H1 H 3 = H2 H3 = {0} ( d ) ∩ ∩ ∩ h H1 H3 h1, h 2 ; h = (h 1,0) = (h 2,h2) ∈ ∩ ⟹ h∃2 = 0 ∈ ℝ h1 = h 2 = 0 ⟹ h = (0,0)⟹ H1 H3 = {0} 6.1 . ھدار ! وEي >وE 0ت B%وت ∩ ړو ⟹ & د ⟹ 5س 8: >و :

= H H , = H H , = H H 1 2 1 3 2 3 ℝ ⨁ ℝ ⨁ ℝ ⨁ 125

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

H H , H , H ( , ) : 6.1 ر ن د و وری C* & 1 2 3 وا 4 5 6و E دي ℝډول ℝ?رف > وي يد : :

H := , H := , 1 2 H := (, 0,0) ∈ ℝ ∈ ℝ , H := (0, , 0) ∈ ℝ ∈ ℝ 3 4 (0,0, ) ∈ ℝ ∈ ℝ (, , ) ∈ ℝ ∈ ℝ = H H H ( a ) B%وت ړي & 4 2 1 ℝ ⨁ ⨁ ? = H H H ( b ) ا 3 2 1 را%ط ھم @دق وي ℝ ⨁ ⨁ ر ن V, ) :6.2 ) و و وری C*ی & ?ن %?د ري ا و H2 , H1 dimH = 12 dim H = 8 . V CرC 2* وي د ℝ دي 1 ، 2 ا و << H1 H2 = << u 1 , u2, u 3 , u4 وي . ( dim(H 1+H 2 دا ړی . . V = H H dimV = 10 dimH = 4 6.3 ر ن : 1 ، ∩ وا 2 1 وي، % dimH 2 "ودی ⨁

126

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

اوم ل ط 51 ( linear mapping )

,ر ف V, ) : 7.1) او ( ,W) دوه و وری C* وي يد . وه 7% ( linear mapping ) L: V W د $ط 9 وم دږی،

ري →E دي $واص وري u,v V ,

( 1 ) ∈L(u+v) = ∈L(u) + L(v)

( 2 ) L(

$ط 9 $ط Aش وا $ط %7 ھم و ل ږي . (L(u. - و= %و(u & linear mapping د operator ، lineartransformation وا د homomorphism وم ھم دږي . و $ط& injective 9 وې د monomorphism وم surjective وې د epimorphism وم او bijective وي د isomorphism وم دږي . . V = W وي دې @ورت endomorphism ور و ل ږي و bijective & endomorphism ھم وي ، % automorphism ور و ل ږي . . ود L: V W $ط& 9 وا5ط - & $ط& ار%طت د V او W T 5E→ & را-0 . دBل ډول : : ,..., ∈ (, ) v , v ,……, v lin-dep L(v ), L(v ), …., L(v ) lin-dep 1 2 n ⇒ () ∈ (1 (1), ()n, … , ()) ⇒

= + +… + : : . Isomorphism L و ()وې %+ …+ () + () = ()L ⇒ v1, v 2,……, v n lin-indep L(v 1), L(v1), …., L(v n) lin-indep H وه CرV * C &2 & وې . % (L(H ⇒وه CرW *C &2 & ده. 9ل V, ) :7.1) وا ( ,W) دو ه و وری C* وي دی 127

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( E ( a دی %7 و $ط lin-map ) 9) دی f : V W v ⟶ f(v) = 0 ( b ) ھ دار ! داE دي %7 و $ط ⟼ lin-map 9 ید id:V V v → v ( , ) : 7.2 9ل و ږ د و وری → C* ظر 5و ℝ ℝ (x ∶ ℝ1,x 2⟶ℝ,x 3 ) (x 1+x 2,x 3,0) ⟼ L و $ط lin-map) 9) دی . 8- : x = (x ,x ,x ), y = (y ,y ,y ) , 1 2 3 1 2 3 L(x +y) = L((x ,x ,x ) + (y ,y ,y )) 1 2 3 1 ∈2 ℝ3 ∈ ℝ = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) = ((x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3, 0) = (x 1+ x 2, x 3, 0) + (y 1+ y 2, y 3, 0 ) = L(x 1,x 2,x 3) + L(y 1,y 2,y 3) = L(x) + L(y) L( = L( (x1,x 2,x 3)) = L( x1, x2, x3) x) = ( x1+ x2, x3, 0) = (x1+ x 2, x 3, 0) = L(x) (lin-map) L B%وت >و & و $ط 9 ید . ( , ) : 9ل و ږد و وری C* ظر & 5و E دي 7% ℝ automorphismℝده

(x ∶1 ℝ,x 2 ) ⟶ (2x ℝ1 ,x 2 ) #ل : B 1.4ل 0 وودل & L و ⟼ bijective دی . اوس واړو B%وت ړو & L $ط lin-map) S) دی x = (x ,x ), y = (y ,y ) , 1 2 1 2 λ L(x +y) = L((x ,x ) + (y ,y )) 1 2 ∈1 ℝ2 ∈ ℝ = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (2.(x 1 + y 1) , x 2 + y 2) = (2.x1+ 2. y1) , x2 + y 2) 128

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= (2.x1, x2) +(2. y1, y2 ) = L(x 1,x 2 ) + L(y 1,y 2 ) = L(x) + L(y) L( λ = L( λ (x1,x 2 )) = L( λ x1, λ x2 ) x) = ( λ x1, λ x2 ) = λ (2x1, x2 ) = λ L(x) automorphism B%وت >و & L و دی. 2 9ل I = [a,b] :7.3 و Interval دی . . ℝ⊇دی (, ℝ) : = : → ℝ( ) و ږوھږو & ( , ) وه و و ری C* ده s: (, ℝ) ℝ f (, ℝ) ⟶ ℝ s و $ط lin-map)() 9) ید ⟼ ل : ,x f,g , s(f+g) = s(f+g)(x) = s(f(x) + g(x)) ∈ ℝ = ∈ (, ℝ) (() + ()) = = s(f) + (s(g)) + ()) ھدا ډول وE ی >وB%وت ړو & = (s( f @دق وي : 7.1 ر ن (s(f ( E ( a دی 7% b وم ت وا$: ، & $ط lin-map) 9) >0 L: x ax + b ℝ ⟶ ℝ ( b ) ا E دي %7 ( , ) ⟼و وری C* و $ط 9 ( ) دیℂ ℂ ℂ − − ∶ z ℂ ⟶ ℂ ( c ) ا E دي z ( , ) 7% و ⟼وری C* و $ط 9 ( ) یدℂ ℝ ℝ − − z ∶ ℂ ⟶ ℂ 129 ⟼ z

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( B ( d%وت ړی & E دې %7 ( , ) و وری C* و $ط (lin-map) 9 دی ℝ ℝ

) (x ∶1 ℝ,x 2 ⟶ℝ) (2x 1 , x 1 – x2 V, ) : 7.1) ا و ( ,W) ⟼و وری C* . 0 يد . ، u,v,0 v V ، µ او % . 0w W V → W : ∶ ∈ ∈ , ∈ ( a ) L lin-map L(0 v) = 0w L(u – v ) = L(u) – L(v) ⇒ ∧ ( b ) L lin-map L( + µ ) = ) + µ

(a) 9وت: (u . v . L(u . L(v . ⇔ L( 0 v) = L(0. 0 v) = 0.L(0 v) = 0 w L(u – v ) = L(u + (–) v ) = L(u) + (–1) L(v)

= L(u) – L(v)

(b) 9وت : :

„ “ L lin-map L( + µ ) = ) + µ ) ⇒ ⇒ . u . v L(. u L( . v = ) + µ )

. L(u . L(v “ ” L( ) = + 0.v ) = ) + 0.L(v) = ) ⇐ . u L(. u . L(u . L(u و ږ µ = 1 و*7 ړو . دی @ورت : : L(u + v ) = L(( + µ ) = ) + µ = = L(u) + L(v) L lin-map . u . v . L(u . L(v)

9ل 7.4 : داE دی %7 و $ط lin-map) 9) دی ⇒

∶ ℝ ⟶ℝ (x 1,x 2 ) (-x1 , x 2) 130 ⟼

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

#ل : د ل ره د 7.1 "$ ا5ده و . . x = (x 1,x 2) , y = (y 1,y 2) , µ ∈ ℝ , ∈ ℝ L( + ) = L(( x1, x 2 ) + ( y1, y2)) . x . y = L(( x1 + y1) + ( x2 + y2)) = (- x1 – y1, x2 + y2) = (- x1 , x2 ) + (- y1, y2) µ L lin-map=L(x)+ L(y)

V, ) : 7.2) ا و ( ,W) و وری C* يد ا و و ⇒$ط : : . ( i=1,2,...,n ) , v V (lin- map) 9 دی . V → W i ∶ % ( a ) L( v1 + v2 + ..... + ∈ vn ) ∈ λ λ λ = L(v 1) + v2) + ….+ vn ) λ λL( λL( ( b ) v 1, v 2,……, v n lin-dep

L(v 1), L(v 1), …., L(v n) lin-dep

C ) in Vرc ) V´ subspace⇒ ( *C 2 )

C∧ ) in WرW´ subspace ( *C 2 L(V´) subspace in W L-1(W´) subspace in V

( d ) ⟹dim(L(V)) dimV ∧

( e ) L isomorph≤ L-1 : W V isomorph

( a ) 9وت : → ⇒ L( v1 + v2 + ….. + vn ) λ λ λ = L( v1) + L( v2 + ….. + vn ) λ λ λ = L(v 1) + L( v2 + ….. + vn ) 131 λ λ λ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

و ږ د ھ دی ډول ادا ور ړو % : :

L( v1 + v2 + ….. + vn ) λ λ λ = L(v 1) + v2) + ….+ vn ) (b) 9وت : )λ λ L( λ L v1, v 2,……, v n lin-dep

; ( 6ول @ر دی ) , ⇒ ∃λ ∈ (i = 1,2,...,n) = 0 λ = λ v ⇒ L(λv) λL(v) [ د (L ) [ &$ (a = [ L $ط L(0)( = λ0 v [ 9 =

L(v 1) + v2) + ….+ vn ) = 0 ⇒ λ λL( λL( L(v 1), L(v 1), …., L(v n) lin-dep

(c) 9وت : ⇒ (´L(V وه CرW *C 2 ده . 8- : : ( 1 ) 0 L(0) = 0 L(V´) L(V´) ∈ V´ ⇒ ∈ ⇒ ≠ ∅ ( 2 ) w1,w 2 L(V´) v1,v 2 V´ ; L(v 1) = w 1 , L(v 2) = w 2 ∈ ⇒ ∃ ∈ w1+w 2 = L(v 1) + L(v 2) = L(v 1+v 2) L(V´) ⇒ ∈ ( 3 ) w L(V´) v V´ ; L(v) = w

[ -8 وه و وری C* ده∋ ] ∃ ⇒ ∋ ´ V´ λ ∈ ⇒ λ ∈ = L(V´)

B%وت > و & (´L(V وه Cرλ)W *C∈ 2) ده ()λ = λ ⇒ 132

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(´L-1(W وه CرV *C 2 & ده . 8-: L-1(W´) = ´ "ر ! & L و lin-map دی س د {W 7.1 ∋ ( )$&: │ ∋ } L(0) = 0 0 L-1(W´) L-1(W´)

∈-1 W ´ ⇒ ∈ ⇒ ≠ ∅ v1,v 2 L (W´) w1,w 2 ; L(v 1) = w 1 , L(v 2) = w 2 ∈ ⇒ ∃ ∈ W ´ L(v1 + v2 ) = L(v 1) + L(v 2) = w1+w2

⇒ -1 ∈ W ´ v1 + v2 L (W´)

-1 ⇒ ∈ v L (W´) w W´ ; L(v) = w

∈ ⇒ ∃ ∈ W´

λ ∈ ⇒ L(λv )L=-1(W´) λL( v) = λ ∈

B%وت >و & (´L-1(W و Cر V *C 2 & ده . ∋ λ ⇒

(d) 9وت : "ر ! & ( L(V ظر (b) وه Cر W *C 2 0 ده وا و ږ Cرض و & w1,w 2,w 3, ….,w n و ور و وه 2ده (basis) دھI ده . ? L(V) = <>

v1,v 2,v 3, ..., v n ; L(v 1) = w 1, L(v 2) = w 2,..., L(v n) = w n ∃ ∈ [ wi 8- وه 2ده ده ] wi = L(v i) (i=1,2,....,n ) lin-indep ⇒ [ د (v1,v 2,v 3, ...... , v n lin-indep [ &$ ( b

دا05 وي . ? &: ⇒ v1,v 2,v 3, ...... , v n lin-dep L(v 1), L(v 2), …., L(v n) lin-dep [ &$ (b) ] ⇒

133

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

!ردا $Nف د 2دي (basis) د $وا@و دی . س %د v1,v 2,v 3, ...... , v n $ط& A5ل وې . و ږ 5.1 * 0 وو5ل ، & و وری C* 0 د د 2دی و ور و د ھI و و ورو Cل ( ور ) ید & $ط A5ل ( lin-indep ) دي . س : : n dim V dim(L(V) dimV

(e) 9وت : ≥ ⇒ ≥ w1,w 2 ∈ v1,v 2 ; w1 = L(v 1) w2 = L(v 2) [ L-isom 8 - ] ⇒ ∃ -1∈ -1 ∧ v1 = L (w 1) v2 = L (w 2) ⇒ ∧ L( v1 + v2 ) = L(v 1) + L(v 2) = w1 + w2

-1λ λ λ -1 λ λ λ L L( v1 + v2 ) = L ( w1 + w2 )

∘ λ λ -1 λ λ v1 + v2 = L ( w1 + w2 )

⇒ λ-1 λ -1 λ -1 λ L (w 1) + L (w 2) = L ( w1 + w2 ) λ ) λ $ط λ L-1 Lin-mapλ ( 9 ⇒

%:0 $وا وھږو & د %8ف ?8وس %7 ھم %8ف ده . س L-1 و ⇒ isomorph دی . .

V, ) , (U, ) : 7.3) و ( ,W) و وری C* دی . % : : f lin-map lin-map U V V ∶ → g f: ∧ lin-map ∶ → W U ( ? & ر ب ددو$ط& !وھم $ط0 9 دی ) W → ∘ ⇒

9وت : u , u1,u 2 ا و λ ∈ ∈ g f(u 1+u 2) = g (f(u 1+u 2) 134∘ ∘

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

[ f 8- $ط g(f(u 1) + f(u 2) ) [ 9 =

[ g 8- $ط g f(u 1) + g f(u 2) [ 9 = ∘ ∘ ھدي ډول وEی >و B%وت ړو & ( g f( u ) = g f(u دي . .

ر ن B : 7.2%وت ړي & داE دي وا%7 ∘$ط λ Lin-Map)∘ λ 9) يد ( a )

( x , x ) (3x +2x , x ) 1 ∶ ℝ2 ⟶ ℝ1 2 1 ⟼ ( b )

(x 1,x ∶2 ℝ ) ⟶ (2x ℝ1+x 2,x 1,2x 2) ⟼ (c)

(x ,x ) (x ,-x ,x ) ∶1 ℝ2 ⟶ ℝ1 1 2

⟼ (d)

(x 1,x ∶2 ℝ,x 3 ⟶) (x ℝ1-x2,2x 1+3x 2+2x 3)

⟼ (e)

(x ,x ,x ) (x ,2x ,x ) 1 ∶ ℝ2 3 ⟶ ℝ 3 1 2

⟼ ,ر ف W,k) ، (V, ) : 7.2) و وری C* وي يد ا و و (Lin-Map) $ط 9 دی V → W ∶ Im(L): = L(V) Ker(L): = L -1(0) = (Im(L د Image ( @ رو {0 ) ا و= ()(Ker(L│ د ∋ }Kernel ( ھ5 ) وم دږي.

135

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

W, ) ، (V, ) : 7.4) دوه و وری C* وي ا و و (Lin-Map) $ط 9 دی V → W ∶ ( 1 )

( Im(L) ( a وه CرW (Subspace) *C 2 & ده

( Ker(L) ( b وه CرV (Subspace) *C 2 ده Im(L) = W L surjective ( 2 )

Ker(L) = 0 ⟺ L injective ( 3 ) { } ⟺ ( L ( 4 و v1,v 2, … ,v n injective $ط A5ل V (L(v 1),L(v 2),….,L(v∧ n $ط A5ل W ⟸ ( 5 )

V = Im(L) =

( ( 6 L و isomorph وې . % ⟹ V = << v 1,v 2,....,v n >> W = << L(v 1),L(v2),....,L(vn) >>

⟹ ( 1 ) 9وت : : ( a ) 9وت : د 2 .7 $ د (Im(L وه CرW *C 2 ده . -8 هرھ و وری C $: *CرC 2* ده . . ( b ) 9وت:

[ د 7.1 L(0) = 0 [ &$ 0 ∈ ⇒ 0 ker(L) ker(L) u,v Ker(L) L(u) = 0 L(v) = 0 ⇒ ∈ ⇒ ≠ ∅ ∈ L(⇒ u + v ) = L(u)∧ + L(v) = 0 + 0 = 0 ⇒ u + v Ker(L) u Ker(L)⇒ , λ ∈ L(∈λ = λ ∈= λ = 0 λ Ker(L) . . V (Subspace) Ker(L) B%وت >و & وه Cرu) . 0 ⇒ u*C ∈ 2 L (ده (u

136

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(2) 9وت : :

و ږ وھږو & Im(L) W ده ” ⟸ ” L surjective , ⊆ ; L(v) = w w V ⇒ ∀ Im(L)∈ W ∃v ∈W Im(L) w ⇒ ∈ ⇒ ⊆ W = Im(L) ” ” "ر ! & Im(L) = W دی . س L %د و surjective وي : : (3) ⇒ 9وت “ „ {Ker(L) = {0 وي . دی @ورت : Ker(L) {0} Ker(L) , v 0 L(v) = 0 ⟸ %:0 $وا وھږو & (Ker(L ⇒ دی . ≠ س ∋ v∃ ⇒ ≠ [ L 8- ∋ 0ا 8ف دی ] L(v) = 0 = L(0) v = 0 دی "$ ا$:و & {Ker(L) = {0 دی . ⇒ “ „ ر V ورو & (L(u) = L(v وي . س دی ⟹@ورت : ∋ , L(u) – L(v) = 0 L(u – v ) = 0 u –v Ker(L) ⟹ u – v = 0 ⟹u = v ∈ ⟹ L injective⇒ (4) 9وت : ( i = 1,2,..., n) وود وي ⟹& : ∈ K a1L(v 1) + a 2L(v 2) + ….. + a nL(v n) = 0 = = 0 L( = 0 ( ) K (L 8- ] ∈ er(L ا 8ف ⟹] 0 =( ⟹ ⟹ a1 = a 2 = ..... = a n = 0 [ v 1,v 2,.... ,v n lin-indep 8- ] ⟹ ( $ط A5ل ) L(v 1), L(v 2),...... , L(v n) lin-indep ⟹

137

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(5) ﺛﺒﻮت : رن ه چ < V =

ھرو ور د $ط ر ب (lin-comb) >8ل د v1,v 2, …. ,v n و ور و و8و . ? a1,a 2, … , a n ; v = a 1v1 + a 2v2 + .... + a nvn

∈ V ⟹ ∃ ∈ ⟹ L (L(v)v) ∈ =I m(L)L(a1v1∧ + a 2v2 + .... + a nvn) = a L(v ) + a L(v ) + .... + a L(v ) 1 1 1 2 n n Im(L) = < L(v 1),L(v 2), …. ,L(v n) > : ( 6 ) 9وت ⟹ L isomorph L surjective [ د (Im(L) = W [ $ (2 ⟹

[ د (W = [ $ (5 ⟹ : : %:& $وا ⟹ V = << v 1,v 2,....,v n >> v1,v 2,....,v n lin-indep [ د (L(v 1),L(v 2),….,L(v ⟹n) lin-indep [ $ (4 : : ⟹ W = << L(v 1),L(v 2),….,L(v n) >> "ر ! & د V او W د 2دو و ور>ر5وي دی . س dimV = dimW V, ) : 7.1 " '2) ا و ( ,W) و وری C* وې يد . . w ,w ,…., w W << V = << v 1 , v2 …. , v n ا و n 1 1 . % ( AC ( 1ط وازي و $ط lin-map)∈ 9) & L(v i) = w i وي ، وود ري (V . → ( Wi = 1,2,…,n ∶ Im(L) = span(w 1,w 2,....,w n) ( 2 )

L injective w1,w 2,....,w n lin - indep ( 3 ) ⇔ ا% L $ط 9 ( 2 ) او ( 3 ) & د ( 1 ) "$ دی. (1) 9وت : و ږ %د B%وت ړو & : : (a ) ھI ډول وه L %7 وود ه ده ( L ( b و $ط 9 دی ( AC ( cط وازي و ھI ډول $ط 9 وود دی ( a ) 9وت : V = << v 1 , v2 , .... , v n >>

138⟹ ∀ ∈ ∃ , , … , ∈ ;

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

V (basis) v , v , …. , v "ر ! &n+ . 2…+ 1 وه + 2ده = د ده س ACط وازي و ھI ډول ا2داد a1, a 2,….,a n وود يد . و ږ E L دي ډول ?رف وو : :

∶v V → W L(v) = دل ږي (& د ) L ?رف =در5ت دی . -8 د ھر v ره وازی ⟼و 2 @ر W ظر L 9 وود دی

( b ) ﺛﺒﻮت : د 7.1 ﻟﻴﻤﺎ ﻟﻪ ﻣﺨﻲ ﻛﺎﻓﻲ دي چ ﺛﺒﻮت ﺷﻲ : L( λ + µ ) = λ ) + µ ( u,v λ µ ) : : . V = << v , v , .... , v >> "ر ! & ∋ L(v) 1 2 ∈ , , n . دیL(u س. u . v . (i = 1,2,..., n ) ; K ∃ , u = ∈ , v = = , µ = µ ⟹ λ. u λ . v L( + µ ) = L( µ ⟹ λ. u . v (λ )) [ د L ?رف $& ] µ = (λ ) = ( + µ( λ () () = ) + µ ( ) ( c ) 9 وت : ھم وL v.$ط L(u 9 وې .λ & iV = → 1,2,...,n W ) f(v i) = w i) ∶ وي . % وEی >و د ھر u و8و : L(u) = L( ) = = ∈ ( ) = L( = f ) = f(u) (2) 9وت : ⇒ “ “ 139 ⊆

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

v a1,a 2, .... , a n ; v = a 1v1 + a 2v2 + ....+ a nvn ∈ V ⟹ ∃L(v) Im(L) ∈ L(v) = a L(v ) + a L(v ) + ....+ a L( v ) ⟹ ∈ 1 1 ∧ 2 2 n n = a 1 w1 + a 2w2 + ....+ a nwn L(v) span(w 1,w 2,....,w n) ⟹ Im(L)∈ span(w 1,w 2,....,w n) “ ⟹ ⊆ w span(w 1,w 2,....,w n) ⊇ " ∈ b1,b 2, .... , b n ; w = b1w1 + b 2w2 + ....+ b nwn ⟹ ∃ w = b1 L(v 1 ) +∈ b 2 L(v 2 ) + ....+ b n L(v n) = L(b v + b v + ....+ b v ) ⟹ 1 1 2 2 n n w Im(L) span(w 1,w 2,….,w n) Im(L) Im(L) = span(w ,w ,….,w ) ⟹ ∈ ⟹ 1 2 ⊆ n (3) 9وت: „ w1,w 2,….,w n $ط A5ل (lin-indep) وي . % دی : : " ⇒@ورت a1,a 2, .... , a n ; (a 1,a 2,...., a n) (0,0,....,0) ∃ a∈1 w1 + a 2w2 + ....+ a≠nwn = 0 ∧ a1 L(v 1 ) + a 2 L(v 2 ) + ....+ a n L(v n ) = 0 ⇒ L(a1v1 + a 2v2 + ....+ a nvn) = 0 ⇒ a1v1 + a 2v2 + ....+ a nvn Ker(L)

"ر ! & L د Cر* injective∈ &$ 0 دی . س د 7.4 ا5س :⇒ :

Ker(L) = {0} a1v1 + a 2v2 + ....+ a nvn = 0 ⇒ "ر ! & (a1,a 2, .... , an) (0,0,....,0) دی . س v1 , v2,...,v n و ور و $ط A5ل ≠(lin-indep) دای >0 . !ر دا د ووړي و ورو د 2ده وب 5ره *د وا 7 ږي . س %د w1,w 2,….,w n و ور و $ط A5ل وي . .

" ⇐ " 140

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

v Ker(L) L(v) = 0 a1,a 2, .... , a n ; v = a v + a v + ....+ a v ∈ ⇒ ∧ ∃ 1 1 2 2 n n L(v) = a1 L(v 1 ) + a 2 L(v 2 ) + ....+ a n L(v n ) = a w + a w + ....+ a w = 0 ⇒ 1 1 2 2 n n "ر ! & w1,w 2,....,w n $ط A5ل دي. س . a1 = a 2 = .... = a n = 0 v = 0 Ker(L) = {0} L injective (dimension formel for linear mapping) :7.2 ⇒ ⇒ ⇒ " '2 ( ,V) ا و ( ,W) و وری C* وي & ?ن %?د ( dimension ) ري ا و و $ط Lin-Map) 9) دی . % : : dimV = dim(Ker(L)) + dim(Im(L)) ∶ V → W dimV = dim(Ker(L)) + rank(Im(L))

9وت : د 7.4 $ وھږو & (Ker(L وه CرV *C 2 ا و (Im(L وه CرW *C 2 ده . س دواړه ?ن %?د و ري . و ږ dim(Ker(L)) = p وا dim(Im(L) = k و*7 ړو . ھI @ورت : : w ,w , …. ,w W k 2 1 و ور و د E دی $@ت 5ره وود يد ∋ Im(L) = << w 1,w 2, …. ,w k>>

? w1,w 2, …. ,w k و ور و وه 2ده ( Basis ) د (Im(L ده wi Im(L) ( i=1,1,…..,k) ∈ vi V ; L(v i) = w i (i=1,2,…,k)

ړی #ت : { Ker(L) { 0 ∋ ∃ ⇒ ≠ <

V = <>

? ور 0 و ور و وه 2ده (Basis) د V ده . س %د B%وت >0 : : V = ( a ) ( u1,u 2,….,u p, w 1,w 2, …. , wk ( b و ور و $ط A5ل ( Lin-indep) يد 141

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9وت ( a ) : : v V , L(v) Im(L) ∀ ∈ a1,a 2, …∈ , a k ; L(v) = = ⇒ ∃ ∈ [ L 8- $ط L( [ 9 = ( ) L(v) – L( = 0 ) L( v – ) ⇒ ) ⇒ = L(v - a 1v1 – a2v2 - ..... - akvk ) = 0 v - a1v1 – a2v2 - ..... - akvk Ker(L) : . Ker(L) u ,u ,…,u "ر p & 8 2 1 وه 2ده ∋د ده س ⇒ b1,b 2, … , b p ; ∃ v - a∈1v1 – a2v2 – ..... – akvk = b u + b u + .... + b u 1 1 2 2 p p v = + دل ږي ھI و ور و & >رp + k 0 ر5ږي . و ود 55م⇒ ( Span) د V يد . ? : : V = ( b ) 9وت : د i=1,2,...,p j= 1,2,...,k ) a i,b j ) ره E دی

?د @دق و ړې ∋ + = 0 ( ) ∗ + = L(0) = 0 [ 7.1 ] ⇒ L( ) + = 0 ⇒ () ( ) "ر ! & (i=1,2,…,p ) u i Ker(L) دي . س : : ∈ L(u i) = 0 (i=1,2,…,p )

= 0 0 + = 0 ⇒ () ⇒ ( ) و ږ وھږو & j=1,2,…,k ) L(v j) = wj ) دی . س : :

= = 0 142 ( )

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

[ wj 8- $ط A5ل دی ] b1 = b2 = ..... = bk = 0

⇒ = 0 ⇒ ( ) ?د E دي >8ل ا$:0

= 0 ∗ [ ui 8- $طA5 0ل دی ] a1 = a 2 = ...... = a p = 0 ⇒ u1,u 2,….,u p, w 1,w 2, …. ,w k Lin-indep u ,u ,….,u , w ,w , …. ,w اوس واړو B%وت ړو & p 1 2 k 2 1 و ور و ⇒ E دي $واص ري : ( i ) ر6و و و Cل د و ورو ، & ود 55م (gen-system) د V V دی . . ( ii ) ر6وو وي Cل د و ور ،و & V $ط A5ل (Lin-indep ) يد . . 9وت ( i ) : دBل ډول

ai,b j ( i= 2,...,p j= 1,2,...,k ) ; ∃ ∈ u1 = a 2u2 + a 3u3 + ... + b 1w1 + b 2w2 + ... + b kwk

a2u2 + a 3u3 + ... + b 1w1 + b 2w2 + ... + b kwk - u1 = 0 ⇒ u1 , u 2 , …. ,u p , w 1,w 2, …. ,w k Lin – dep

!ر ور وHودل >ول & دا و ورو $ط A5ل يد . ⇒ س و . . ت ( v V : ( ii v, u ,u ,….,u , w ,w , …. ,w ﯽ V ﯽ . : : ∈1 2 p 1 2 k

1 2 p 1 2 k V = ⇒∃ai,b j ∈ (i=1,2,...,pj=1,2,...,k); 143v=a 1u1+a 2u2+a 3u3+...+b 1w1+b 2w2+...+b kwk

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

a1u1 + a 2u2 + ... + b 1w1 + b 2w2 + ... + b kwk - v = 0 ⟹ u1 , u 2 , …. ,u p , w 1,w 2, …. ,w k , v Lin- dep u , u , …. ,u , w ,w , …. ,w B%وت >و & p 1 2 k 2 1 ر6وو د و ور و وي ⟹ Cل دی & V $ط A5ل (Lin-indep ) يد او (ii) ھم B%وت >و . . B%وت >و & : V = <> dimV = p + k = dim(ker(L)) + dim(Im(L))

د و م ت : { Ker(L) = { 0 ⟹ Ker(L) = {0} [ د 7.4 dim(Ker(L)) = 0 L injective [ &$ : : . dimV = n وي دی @ورت ∧ ⟹ v1 , v 2 , …… , v n V ; V = << v1 , v 2 , …… , v n>> L(v ) , L(v ) ,... , L(v ) Lin-indep [ 7.4 ] د $& n ∋ 2 1 ∃ %:0 $وا: ⟹

V = < v1 , v 2 , …… , v n> Im(L) = < L(v 1) , L(v 2) , ……. , L(v n) > ⇒ Im(L) = << L(v 1) , L(v 2) , ……. , L(v n) >> dim(Im(L)) = n ⇒ ⇒ dimV = 0 + dim(Im(L)) = dim(Ker(L)) + dim(Im(L)) ⇒ وټ : (Rank dim(Im(L د L و ل ږي او و ږ ھrk I 5ره Hو . . rk(L): = dim(Im(L)) ? 9ل 7.5 : و ږ دا E دي %7 ظر & 5و : :

(x ∶1 ℝ, x 2 ⟶ℝ) x1 – x2 : واړودا ړو ⟼ ( L ( a و $ط Lin-map) 9) دی Ker(L) ( b )

( c ) 2ده ( basis) د (Ker(L dim(Ker(L)) ( d ) 144

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

Im(L) = ( e ) (9ℝ (aوت: x = (x 1,x 2), y = (y 1,y 2) , λ L(x + y) = L((x ,x ) + (y ,y )) = L(x +y , x +y ) 1 2 ∈1 ℝ2 ∈ ℝ1 1 2 2

= (x1+y 1) – (x 2+y 2)

= (x 1 – x2) + (y 1 – y2) = L(x) + L(y)

L( = L( x1, x2) = x1 – x2 = ( x 1 – x2 ) = L(x) λx) lin-mapλ λ λ λ λ λ

( b) 9وت : ⇒ x = (x 1,x 2) Ker(L) L(x1,x 2) = 0 x1 – x2 = 0 ∈ ⇒ x1 = x 2 ⇒ : س ⇒ Ker(L) = {(x 1,x 2) │x1 = x 2 } = { (r,r) │ ∈r ℝ } = . (1,1) ( c ( 9وت : (v = (1,1 و ور وه 2ده د ℝKer(L) ℝ ∋ده . 8- : : د 6.4 Ker(L) &$ وه CرC 2* & ده او : : x = (x 1,x 2) Ker(L)ℝ λ ; x =∈ (x 1,x 2) = ( ⇒λ λ ∃) = ∈λ . ℝ (1,1) = λ . v ker(L) = < v > , v v 4.5 . v = (1,1) (0,0) = 0 "ر ! & دی س د $& ⇒و ور v = (1,1) . (Lin-indep ) $ط A5ل ≠ دی & وه 2ده د (Ker(L ده . ? << Ker(L) = << v (d) 9وت : وو دل & (Ker(L د 2دی د و ورو >ر و دی . س dim(Ker(L) ) = 1

( e ) 9وت : : x , (x,0) ; L(x,0) = x – 0 = x ∀ ∈ ℝ ∃ L surjective∈ ℝ Im(L) = : : . 7.2 %:0 $وا د * ھم @دقℝ وي 8- ⇒ ⇒ 145

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

dim = dim(Ker(L)) + dim(Im(L)) 2 = 1 + 1 V, ) 7.3 " '2) ا و ( ⇒,W) و وری C* وي يد & 5وي ?ن ℝ%?د (Dimension) ري . ? . dimV = dimW = n L: V W و $ط Lin-map) 9) وي . % : → L injective L surjective

9وت “ “ ⇔

L injective Ker(L) = {0} [ &$ 7.4 ] ⇒ ⇒ dim(Ker(L)) = 0 dimV = dim(Ker(L))⇒ + dim(Im(L)) [ &$ * 7.2 ] n = 0 + dim(Im(L)) dim(Im(L)) = dimW

[ Im(L) 8- وه CرC 2* د ⇒W ده ] Im(L) = W ⇒ ⇒ L surjective

9وت “ „ : ⇒ L surjective Im(L) = W dim(Im(L)) = n ⇐

dimV = dim(Ker(L))⇒ + dim(Im(L))⇒ n = dim(Ker(L)) + n

dim(Ker(L)) = 0 Ker(L) = {0}⇒ L injective ⇒ ⇒ ⇒ Bل A = (a ij ) , A M(mxn, ) : 7.6 LA : ∈ ℝ ℝx ⟶ ℝ A.x : : L د A %7 وEی >و E دي ډول و8و ⟼ LA : ℝ → ℝ

146

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

⋯ . = ⋮ ⟼ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ = + ⋯ + ⋮ ⋱ ⋮ + ⋯ + LA و $ط Lin-map) 9) دی . -8 د ھر x,y ا و ره E دي را%ط @دق وي λ ∈ ℝ ∈ ℝ

LA(x + y ) = L Ax + L Ay , L A( = LA(x) λx) λ و ږ ا55 2ده ( canonical basis) د ظر & و 5و دل ږي & i=1,2,…,n) A.e i) "$ د A د ر8س ℝ 5 0 ( 5ون ) Eس را-0 . د Bل ډول

⋯ . = ⋮ ⟼ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ = + ⋯ + ⋮ ⋱ ⋮ + ⋯ + L (e ) = L = A.e = . = A 1 A 1 1 ⋯ 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 وEی 0>و و 8و : ⋯ 0

Im(L A) = A. = span( A.e 1, A.e 2, …. , A.e n) : ℝ 8- A. = { A.x │ x } ℝ ∈ ℝ A.x A.x = + ⋯ + ∈ A. ℝ ⇒ ⋮ ⋱ ⋮ + ⋯ + 147

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A.x و $ط ر ب ( Lin-comb) د A.e 1, A.e 2, …. , A.e n دی . 8- و ږ ورو : : , , ..... , ; A.x = A.e∈ ℝ1 + A.e 2, …. , A.e n . . . A.x = + ...... + ⇒ . ⋮ . ⋮ = + ⋯ + ⋮ ⋱ ⋮ + ⋯ + ور 0 ?د & وEي >و , ..... , , دا ړو . . V, ) :7.4 " '2) وه و وری v 1,v 2,….,v n ) & *C) = 0 2ده (Basis) ده . % ℝد V او ر AC Tط وازي و ℬ V: ℬ i=1,2,…,n) ( eℝi) = v i & Isomorphism) ) → وي .L ℝوود دی . . ℬ د ei د ا55 2د ي Lو ورو دي 9وت : د * ℝ7.1AC &$ &ط وازي وھI ډول $ط 9 (lin-map) ا8ن ري . %:& $وا د v1,v 2,….,v n و ور و د V وه 2ده ده س : : V = << v 1,v 2,….,v n >> v1,v 2,….,v n lin-indep

[ د * 7.1injective [ &$ & ⇒ ⇒ Lℬ "ر ! & dimV = n = dim دی ، س د 7.3 *& $& surjective ھم ℝدی . & و IsomorphismLℬ دی . . ℬ ,ر ف 7.3: دو ه و وری C* وي (V, L) ا و ( ,W) و%ل 5ره Isomorph دی دی >رط & و Isomorphism L:V W و ود وي W V V W . V W وا و ږ ھI 5ره Hو ھر → ھد ار ! دی V, ) : 7.5 " '2) ا≅ و ( ,W) دو ه ≅و وری C* وي دی & ≅?ن %?د ري . : %

148

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

dimV = dimW V W ≅ 9وت ⇔ dimV = dimW= n " ⇒ "

v1,v 2,….,v n V w1,w 2,….,w n W ; ⇒ ∃ ∈ ∧ ∈ V = << v1,v 2,….,v n>> , W = << w1,w 2,….,w n>>

د 7.1 * $& و $ط L:V W 9 دE دی $@ت 5ره وود دی : →

L(v i) = w i (i=1,2,…,n) : : Ker(L) ={0} u Ker(L) u V L(u) = 0 ∈ ⇒ ∈ ∧ a1,a 2,….,a n , u = a1v1 + a 2v2 + …+ a nvn ⇒ ∃ = ∈ = L( ) = L(u) = 0 () a1= a 2 = ...... = a n = 0 [w1,w 2,....,w n lin-indep ] ⇒ u = = 0 Ker(L) = {0} [ د 7.4 L injective [ ⇒&$ ⇒

د * 7.3L &$ & و surjective ھم دی . س V W دی ⇒ ≅ 9وت “ „ V W L: V W ; L lin-map L bijective ⇐ ≅ "ر ! & V و?ن %?د ∧ري، س 8: >و: → !∃ ⇒

V = << v1,v 2,….,v n>> v1,v 2,….,v n lin-indep 149⇒

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

[ د 7.4 L(v 1) , L(v 2),….., L(v n) lin-indep [ &$ ⇒ dimV dinW %:0 $وا : ≥ ⇒ V W W V dimW dimV ≅ ≅ ⇒ ⇒ ≤ dimV = dimW &

,ر ف V, ) : 7.4) ا و ( ,W) هدو و وری C* وي دی وا د (Hom(V,W 5ت E دی ?رف > وي دی { ( $ط Hom(V,W): = { L : V W | L lin-map ( 9

: 7.6 " '2 V, )) ا و ( ,W) دو ه →و وری C* وي وي . % (Hom(V,W وه CرC 2* د (Map(V,W ده . . 9وت: B 4.1ل & و ودل & (Map(V,W ظر Field) 5) وه و وری C* وا (Hom(V,W) Map(V,W ده . : : %د B%وت >0 ⊇ f,g Hom(V,W) , m ∈ (f + g) Hom(V,W)∈ mf Hom(V,W)

⇒ ∈ ∧ ∈ u,v V , K (f + ∈g)( , ∈ = f( + g( [ f , g 8- $ط0 ( 9 + ] + ( + + ( + + = = ()( f(u) + g(u)( ) + ()( f(v) + g(v)( )) = ( f + g)(u) + (f + g )(v) [ د 7.1 f + g) lin-map [ &$) ⇒ (f + g) Hom(V,W)

%:0 $وا: ∋ ⇒ 150

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

m.f( ) = m( + ) = + + = () () + . . () . . () m.f lin-map. (. (m.f)) Hom(V,W). (. () )

B%وت >و & (Hom(V,W وه CرC 2* ∋ د ⇒(Map(V,W ده ⇒

,ر ف V, ) : 7.5) و وری L : V V , *C و lin-map ا و H وه L invariant H V CرC 2* & ده . د → وم ظر دږي . دی >رط & L(H) H وي . 9ل: ( , ) و وری *C E & دي $ط 9 رو : : ⊆ ℝ ℝ

(x1 ∶,x ℝ2 ) ⟶ℝ (2x 1 , x 1 - x2) ⟼

H هو CرC 2* ده !ر invariant ظر L دی . 8- x = (-2,2) H

L(x) = L(-2,2)∈ = (2.(-2), -2 – 2) = (-4, -4) H L(H) H

9ل : ⊉ ⟹ ∌

(x ,x ,x ) (-x +x , -3x - 2x + 3x , -2x -2x + 3x ) L ∶1 ℝ 2 ⟶ℝ3 2 3 1 2 3 1 2 3 ا5 5ره وEی >و B%وت ړو : ⟼ ( L ( a و $ط lin-map) 9) دی H = { (x ,x ,x ) x = x + x } ( b ) د 2 1 3 3 2 1 وه CرC 2* & ده . اوس واړو وHو │& ℝH ∋ ظر L و invariant دی . ? ℝ L(H) H x = (x 1,x 2,x 3) x3 = x 1 + x 2 ⊆ L(x) = L((x 1,x ∈2,x H3) )⇒ 151

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= (-x2+x 3, -3x 1- 2x 2 + 3x 3, -2x 1 -2x 2 + 3x 3)

= (-x2+ x1 + x 2 , -3x 1- 2x 2 + 3(x1+x 2) , -2x 1 -2x 2 + 3(x1+x 2) )

= (-x2+ x1 + x 2, -3x 1- 2x 2 + 3x1 + 3x 2,

-2x 1 -2x 2 + 3x1 + 3x 2) )

= ( x1 , x2, x1 + x 2 ) H H invariant ∈

,ر ف V, ) : 7.6) وه و وری C* هد وا د ( ,Hom(V 5ت E دی ⇒ ?رف > وي دی { ( $ط Hom(V, ): = { L : V | L lin-map ( 9 د Hom(V, ) 0$ 0* 7.6 ھم ظر وه و وری C* هد اوھI → * و ږ , V) 5ره Hو . ? 0 : (V *, := Hom(V, ) ) . . dual space V V* و وری C* د د وم دږي ( V ?ن %?د ورې او vn,…, v 2,v 1 & وه 2ده وي او E دي ډول ∗ ?رف >وی وي : : V ∗ vj = ( i=1,2,3,…,n j=1,2,3,…,n) →∗ ا% د kronecker ∧5%ول دی . دي @ورت i=1,2,...,n) () 0)⟼ وه ∗ * * 2ده (basis) د V وړوي او dimV = dimV 9ل : و ږ و وري C* دا055 2ده (canonical basis) 5ره ظر & 5و . د و ور ي E dual space *C دي >8ل ري : : * (ℝ ,ℝ) {( $ ط Hom( , ) = { L: L lin-map (ℝ 9=: ( ) واړوB%وت ړو & او وه 2ده د *( ) وړوي ℝ ℝ ℝ ℝ → ℝ ∗ ∗ ; ∗ ∗ ℝ , ∈ ℝ + = 0 = = = 0 ⇒ ∗ ∗ = = = 0 ( ) + ( ) + . 1 + . 0 ∗ ∗ () + () + . 0 + . 1 152

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= 0 = 0 , lin-indep ∗ ∗ ⇒ ∧ ⇒ & او د 5.4 $0 وه 2ده (basis) د *( ) ده . . ∗ ∗ ℝ

153

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ام ل ط 1 5 ا و ر س ( Linear Mapping and Matrix )

دې C@ل واړو ار%طت د و $ط lin-map) 9) وا دھI ر%وط ر8س ط? ړو . ( ,V) او ( ,W ) دو ه و وری C* وي دي & ?ن %?د (ℝ (dimension ري . ℝ

(v 1, v2,…..,v n) = وه 2ده د w1, w2,…..,w m) , V ) = وه 2ده د W ا و L:Vℬ W و $ط 9 دی . و ږ د L ر%وط ℬر8س

ظر ا و 2د→و 5ره Hو . ? : : ℬ ℬ ℬ ℬ () M(mxn, ) ℬ ℬ () = ( ) ∈ ℝ ا% د د domain 2ده او د codomain 2ده ا $ب >وده. = ℬ وي % د ھℬ Iر%وط ر8س Hو . . ℬ ℬ ℬ "ر ! & dim(V) = n ا و dim(W) = m دی . ()س د L ر%وط ر8س m ر0H ( 5طر ) ا و n 5 0( 5ون ) ري . . :8.1 ( a ) د ھر : L $ط lin-map) 9) ره ACط وازي و ( ℝ A→ M(mxn,ℝر8س ظر ا55 2دي (canonical basis) : : د Eℝ دي $@ت ∋ 5ره وود دی L(x) = A.x ( ) . x ا% د 5و ر8س دی ℝ ∋ ∀ ( b ) د ھر ( ,A M(mxn ر8س ره وازي و$ط0 9 د E دي : $@ت 5ره ℝوود دی ∋ L : X A.x ℝ ⟶ ℝ ⟼ 154

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(a) 9وت: e1,e 2,…..,e n ا055 2د (canonical basis) د ا و د وي . % وEی >و و8و : ℝ ℝ , , … . . , = << e 1,e 2,…..,e n >> , = << >> ℝ ℝ , , … . . , x = (x1,x 2,.....,x n ) ∈ ℝ a i ( i=1,2 ,...,n) ; x = a 1e1 + a 2e2 + .... + a nen ⇒ ∃! ∈ ℝ

= a 1 1 + a 2 0 + ….. + a n 0 = a 0 1 0 a ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a1 = x 1 , a02 = x 2 , …….,0 a n = x n 1 ⇒ L(x) = L(x1e1 + x 2e2 + …. + x nen )

= x 1 L(e 1 ) + x 2 L(e 2 ) + …. + x n L(e n )

"ر ! & ( L(e 1 ) , L(e 2 ) , …. , L(e n د ي ، س E و ی >وو8و : ℝ ∋

a 11 , a 21 , ...., a m1 ; ∃! ∈ ℝ L(e 1) = a 11 + a 21 + ….. + a m1

= a11 1 + a 21 0 + ….. + a m1 0 0 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1 = a a ⋮ a

155

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ھدي ډول وEی >و @ور 9 د ( L(e 2 ) , .... , L(e n دا ړو . : : & ?

L(e 2) = a , ….. , L(e n) = a a a ⋮ ⋮ a a ري (i=1,2,…,n) L(e i) د و %ل ر" 9 و8ل >0 د A ر8س 5E را0- . ? : :

A = ( L(e 1 ) , L(e 2 ) , …. , L(e n ) )

= …… … … ⋮ ⋮ ⋮⋮ دل ږي & : … …

L(x) = x1 L(e 1 ) + x 2 L(e 2 ) + …. + x n L(e n )

= a . x 1 + a . x 2 + …… + a . x n a a a ⋮ ⋮ ⋮ a a a = a. x + a. x +… + a. x ⋮ ⋮ ⋮ a. x + a. x +… + a. x = aa … a . x x ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = A.xa a … a x وټ: ور ودل >ول & د $ط0 9 ر%وط ر8س ظر ا55 2د ی E دي >8ل Eس را0- : :

156

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

L(e i) = a ( i = 1,2,…,n ) a ⋮ a (L(e i د د ر%وط ر8س 5 0 ( 5ون ) يد & دا % د و ورو و د $ط0 ر ب *راب يد . . . (canonical basis) !ر , . . … ,2ده , ا55 2ده وي % 2و0 ډول و ر 0 را%ط @دق وي . .

اوس واړوB%وت ړو & وازی و ھI ډول ر8س وود دی

= << >> ℝ , , … . . , lin-indep ⟹ , , … . . , a1i, a 2i , ...., a mi ; ⟹ ∃! ∈ ℝ L(e i) = a 1i + a 2i + ….. + a mi = a ( i = 1,2,…,n ) a ⋮ a د 4.6 AC &$ط وازي وډول a1i, a 2i , ...., a mi وود دي & در8س 5 0 ( 5ون ) وړوې . س ACط وازې و د A ر8س وود دی & &< LA(x) = A.x

(b) 9وت : د LA %7 وEی >و E دي ډول ھم و8و :

LA : ℝ ⟶ ℝ ⋯ . = ⋮ ⟼ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 157 ⋯

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= + ⋯ + ⋮ ⋱ ⋮ + ⋯ + LA و $ط Lin-map) 9) دی . -8 د ھر x,y ا و , λ ∈ ℝ ∈ ℝ x = (x 1,x 2, ... ,x n) , y = (y 1,y 2, ... ,y n ) sn, ... ,s 2,s 1 د د A ر8س 5 colmns ) 0 ) دي . .

A.( x + y ) = s 1.( .x1+ .y 1 ) + …+ sn.( .xn+ .y n ) λ λ λ = . (s 1.x1+ … + sn. xn )+ (s1.y1+ … + sn.yn) λ = . Ax + . Ay λ = .LA( + LA(y) λ x) B%وت >و & LA و$ط& 9 دی او LA د A ر8س ر%وط $ط& 9 و ل ږي . رې gA ھدار ! و$ط& 9 وي . ? & : :

gA : ℝ x ⟶ A.x ℝ LA(x) = A.x =⟼ g A(x) ( ) LA = gA 9ل 8.1 : د واړو د و $ط ⟹ ℝ 9 ر%وط ∋ ∀ر8س ظر ا55 2د ي دا ړو . ددې ر ره د ( ) و وری C* ظر 0 5و . L E دي ډول ?رف > و دی : ℝ , ℝ L : (x 1ℝ,x 2) → ℝ (2x 1, x 1 – x2 ) ⟼ ا5 5ره وEی >و B%وت ړو & ( ) L Hom دی . وھږو & ( ) و وری ℝ *C e1 = (1,0)ℝ ,& ∋او (e2 = (0,1 و ورو اℝ 55 ,2ده canonical basis)ℝ ) وړوي . اوس @ و رو د e2 , e 1 ظر L دا و . . 158

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

L(e 1) = L(1,0) = (2.1 , 1 – 0 ) = ( 2 , 1 )

%:0 $وا ( L(e 1 دی س 8: >و : : ∈ ℝ a11 , a 21 ; L(e 1) = a 11 e1 + a21 e2 = ( a 11 , a 21 ) ∃! ∈ ℝ = ( 2 , 1 )

L(e 2) = L(0, 1) = (2. 0 , 0 – 1 ) = ( 0 , -1 )

د ا55 2دی @ رو و د L ر%وط ر8س 5 0 ( 5ون ) >8: وي . ھI ر8س A وHو

A = 2 0 ? A ر%وط ر8س د L ظر 1− 1ا55 2دي e2 , e1 دی . . اوس د A ر8س رو او واړو د ھI $ط lin-map) 9) ظر ا55 A M (2x2, ) . 2د ي دا ړو "ر ! & دی س %د $ط L : 9 وي ℝ ∋ L(e ) = (a , a ) = ( 2 , 1) 1 11 21 ℝ → ℝ

L(e 2) = (a 21 , a 22 ) = ( 0 , -1) x = (x 1 , x2 ) ∈ ℝ L(x) = L(x1 , x 2 ) = L((x 1,0) + (0,x 2))

= L( x 1(1,0) + x 2(0,1)) = x 1.L(e 1) + x 2.L(0,1)

= x 1(2,1) + x 2(0,-1)

= (2x 1, x 1) + (0, - x2) = (2x 1, x 1 – x2)

& دل ږي & دھI $ط 9 ظر ا55 2د ي E دي >8ل ري : :

159

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

L : (x 1,xℝ2) ⟶ (2xℝ 1, x 1 – x2 ) وټ : د 8.1 ا5دي 5ره وEي >و ور B 0ل & ⟼د L $ط

9 ظر A ر8س E دي >8ل دا ړو : ( x = (x 1 , x 2 ∈ ℝ L(x) = L(x 1 , x 2 ) = A.x = . 2 0 = = (2x 1, 1x 1 – −1 x2 ) 2 − 9ل : هدو و وری C* وي ( ) وا ( ) رو . د E 7% L دي >8ل ?رف > وي ده: ℝ , ℝ ℝ , ℝ L : (x 1ℝ,x 2,x⟶3) ℝ (2x 1 – 3x 2, x 1 – 2x2 + x 3 ) واړو د L ر%وط ر8س ظر ا55 2دو دا ړو . ⟼ ا5 5ره وEی >و B%وت ړو & ( ) L Hom دی . و ږ . د ا055 2ده وا د ℝ ,5ره Hℝو ? ∋ ℬ =ℝ ( e 1, e 2ℬ , e 3) , = (e 1,ℝ e 2) . . ( ) 3 ( ) 2 L د ر%وط ℬر8س %د رℬ 0H 5طر ا و 5 0 5ون وري L(e 1) = L(1,0,0) = (2.1 – 3.0 , 1 – 2.0 + 0) = ( 2 , 1 )

%:0 $وا ( L(e 1 دی . س 8: >و : : ∈ ℝ a11 , a 21 ; L(e 1) = a 11 e1 + a 21 e2 = ( a 11 ,a 21 ) = ( 2 ,1 ) ∃! ∈ ℝ L(e 2) = L(0, 1,0) = (2. 0 – 3.1, 0 – 2.1+0 ) = ( -3 , -2 )

L(e 3) = L(0, 0,1) = (2. 0 – 3.0, 0 – 2.0+1 ) = ( 0 , 1 )

د ا55 2دي @ رو و د L ر%وط ر8س 5 0 ( 5ون ) دی . ? ℬ 160

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ℬ 2 −3 0 ℬ () = 1 −2 1 A:= اوس ℬ ر8س رو او واړو د ھI $ط 9 ℬ M (2x3, ) . (lin-map)() ظرا 55 2د و دا ړو "ر 8 & دی س %د $ط L : 9 وي . د 8.1 L &$ ℝ ∋ $ط A : : A 9 ظر ر8س E→ ℝ دي ℝډول 5E راوړو

x = (x 1 , x 2,x 3 ) ∈ ℝ L(x) = L(x 1 , x 2,x 3 ) = A.x = . 2 −3 0 1 −2 1 = = (2x 1 – 3x 2, x 1 – 2x 2 + x 3 ) 2 − 3 : : A L س $ط 9 د ر8س ظر ا55 2د ي + E دي2−>8ل ري L : (x 1,x 2,xℝ3) ⟶ (2xℝ 1 – 3x 2, x 1 – 2x 2 + x 3 ) ⟼ 9ل 8.2: دی Bل & واړو وHو & "ر ! وEی >و د و L $ط0 9 ر%وط ر8س A ظر دو ه 2د ي & را ړل >وي دی ده ړو او ھ دار ! ?8وس 0 . . = (v ,v ) ( , ) د و وری C*ی دو ه 2دي 2 1 وا (ℝ (w 1ℝ,w 2= را ړل > وي يد . و ږ ظر L %7 د ℬ 2ده د Domain وا ℬ 2ده Comdomain ره ظر ℬ 0 5و . . W = (-1,-1),w = (1,-1), v = (-1,1), v = (1,1) 2 1 2 1 ℬ ( a ) واړو دE دي $ط0 9 ر%وط ر8س ظر ا و دا ړو ℬ ℬ L : (xℝ1,x ⟶2) ℝ ( x 1+x 2, x 1 – x2 ) ⟼

161

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( b) واړو دE دي ر8س $& دھI ر%ط $ط 9 ظر ا و دا ړو ℬ ℬ

A: = (L) = ℬ 1 1 ℬ −1 1 ( a ) #ل : "ر ! & (L(v 2),L(v 1 دی س : : ! a 11 ,a 21 ,a 12 ,a 22 ; ∈ ℝ ∃ ∈ ℝ L(v 1) = a 11 w1+ a 21 w2 , L(v 2) = a 12 w1+ a 22 w2

L(v 1) = a 11 (1,-1) + a 21 (-1,-1) = (a 11 ,- a11 ) + (-a21 ,- a21 ) ⇒ = (a 11 – a21 , - a11 – a21 )

%:0 $وا : : L(v 1)= L(1,1) = ( 1+1,1-1) = (2,0) س : :

L(v 1) = (2,0) = (a 11 – a21 , - a11 – a21 )

a11 – a21 = 2 - a11 – a21 = 0 ⇒ ∧ a11 = 2 + a 21 a11 = - a21 - a21 = 2 + a 21 ⇒ ∧ ⇒ -2 a 21 = 2 a21 = - 1 a11 = - a21 = 1 ⇒ ⇒ ∧ L(v 2) = a 12 (1,-1) + a 22 (-1,-1) = (a 12 ,- a12 ) + (-a22 ,- a22 )

= (a 12 – a22 , - a12 – a22 )

%:0 $وا : : L(v 2)= L(-1,1) = ( -1+1, -1-1) = (0,-2)

س : : L(v 2) = (0, -2) = (a 12 – a22 , - a12 – a22 )

a12 – a22 = 0 - a12 – a22 = - 2 162⇒ ∧

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

a12 = a22 a12 = 2 - a22 a12 = 2 - a12 ⇒ ∧ ⇒ 2 a 12 = 2 a12 = 1 a12 = a22 = 1 ⇒ ⇒ ∧ & د L $ط 9 ر%وط ر8س ظر او 2د و & و ږ ھL) I) 5ره Hو E دي >8ل ري : ℬ ℬ ℬ (L) = ℬ ℬ 1 1 ℬ (b) #ل : 1 −1 x = (x 1,x 2) ∈ ℝ [ v2 , v 1 8- 2ده ] a1 ,a 2 ; x = a1v1 + a 2v2 ! ⇒ ∃ ∈ ℝ (x1,x 2) = a1(1,1) + a 2(-1,1) ⇒ = (a 1 , a 1) + (-a2 , a 2) = (a 1 – a2 , a 1 + a2 )

x1 = a1 – a2 x2 = a1 + a 2 ⇒ ∧ a1 = , a2 = و ږ د ر س ر%وط $ط 0 L 9 5ره Hوو ⇒ L(x) = L(a1v1 + a 2v2) = a1L(v 1) + a 2 L(v 2 )

: : w , w L(v ),L(v ) "ر ! & 1 2 او 1 2 وه 2ده د ده، س ℝ ∈ ℝ a11 ,a 21 ,a 12 ,a 22 ; L(v 1) = a 11 w1+ a 21 w2 , ∃! ∈ ℝ L(v 2) = a 12 w1+ a 22 w2

L(v 1) = a 11 (1,-1) + a 21 (-1,-1) = (a 11 ,- a11 ) + (-a21 ,- a21 ) ⇒ = (a 11 - a21 , -a11 – a21 ) = (1+1, -1+1) = (2 , 0 )

L(v 2) = a 12 (1,-1) + a 22 (-1,-1) = (a 12 ,- a12 ) + (-a22 ,- a22 )

163

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= (a 12 - a22 , -a12 – a22 ) = (1-1, -1-1) = (0 , -2 )

"ر ! & x1 = a1 – a2 ا و x2 = a1 + a 2 دی . س : : x1 + x 2 = a 1 – a2 + a 1 + a 2 = 2 a 1 x1 – x2 = a 1 – a2 – a1 – a2 = - 2 a 2

L(x) = a1L(v 1) + a 2 L(v 2 ) = a1(2,0 ) + a 2(0,-2)

= (2 a 1,-2 a 2 ) = (x 1 + x 2, x 1 – x2)

د ر8س ر%وط $ط 0 E 9 دي >8ل ري : : L : (xℝ1,x →2) ℝ ( x 1+x 2, x 1 – x2 ) ⟼ = (v ,v ) ( , ) : 8.1 ر ن د و وري C@ & دو ه 2دي 2 1 ا و ا (ℝ = (w 1,w 2را ړل >ويℝ يد . ℬ . . w = (-1,-1),w = (1,-1), v = (-1,1) , v = (1,1) 2 1 2 ℬ1 و $ط E L (lin-map) 9 دي ډول ?رف > وي دی : : L : (x 1ℝ,x 2) ⟶ ℝ( x 1+x 2, x 1 – x2 ) ( a ) د L $ط 9 ر%وط ر8س ظر وا ا55 2ده ⟼ (can-basis) دا ړې ℬ ( b ) د L $ط 9 ر%و ط ر8س ظر وا ا55 2ده -can) (basis دا ړې ℬ = (v ,v ) . v = (1,1) , v = (-1,1) 8.2 ر ن 2 1 2 1 وه 2ده L . ℬ ( , ) = (e ,e ,e ) ( , ) واℝ 3∋ 2 1 ا55 2ده د وي E دي ℝ>8ل ℝ?رف > وي دی : ℝ ℝ ℬ L : (x 1,xℝ2) ⟶ (ℝ x 1+x 2, 3x 2 , 2 x 1 ) ( B ( a%وت ړې & L و $ط 9 دی ⟼

164

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( b ) د L $ط0 9 ر%وط ر8س ظر% وا ا55 2ده ℬ (can-basis) دا ړي (ℬ ℬ (L ℬ ( c ) د (L) ر8س & ( E ( bس را-0 د ھI $ط L 9 ℬ دا ړې . ℬ ر ن : E دي $ط !و (Lin-Maps) را ړل > وي د ي . دھIوي اړو د ر58و ظرا55& 2دی دا ړۍ ( a )

(x1 ∶, ℝx 2 ) ⟶ (3x ℝ 1+2x 2, x 1) (b) ⟼

(x ∶1 ℝ,x 2 ) ⟶ (2x ℝ 1+x 2,x 1,2x 2)

⟼ (c)

(x ,x ) (x ,-x ,x ) ∶1 ℝ 2 ⟶ ℝ1 1 2

⟼ (d)

(x ∶1 ℝ,x 2,x ⟶3 ) ℝ (x 1-x2,2x1+3x2+2x 3)

⟼ (e)

(x ,x ,x ) (x ,2x ,x ) ∶1 ℝ 2 ⟶3 ℝ 3 1 2

⟼ ر ن E 7% L :8.3 دي ?رف >وي ده : :

L : (x ℝ1,x 2)⟶ ℝ ( x 1- x2 +2x 3, 4 x 1 + x 2 + 3x 3) ⟼ 165

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( B ( a%وت ړې & L و $ط 9 دی . .

( ( b e 1,e 2,e 3)) = ا55 2ده د وا ( e 1,e 2) = ا55 ℬ . ℬ 2ده د وي % د ر8س ℝدا ړې ℬ ℬ (L) ℝ ( c ) د (L) ر8س & ( E ( bس را-0 دھI ر%وط $ط ℬ L 9 دا ℬ ړې . .

= (v ,v ) . v = (2,1) , v = ( 1,1) :8.4 ر ن 2 1 2 1 وه 2ده L . ℬ ( , ) = (e ,e ,e ∈) ℝ ( , ) د وا 3 2 1 ا55 2ده د وي E دي ?رف ℝ> وي ℝ هد ℝ ℝ ℬ L : (x 1,x 2) ℝ ( →x 1+xℝ2, 3x 2 , 2 x 1 ) ⟼ ر8س دا ړې ℬ ℬ (L) = (v ,v ) . v = (-1,1) , v = ( 1,1) :8.5 ر ن 1 2 2 1 وه ℬ : L ( , ) 2ده د ℝ ∋ا و E دي >8ل ?رف > وي وي id : ℝ ℝ (x 1,x 2) ℝ (→ x 1 ,ℝ x 2) ⟼ ر8س ظر دا ړې . ℬ ℬ ℬ( ) دا Eid دې H0 & د $ط lin-map) 9) ا ور58 و ر T ار%ط وازې 5 درد (standard) و وری C*و ( د Bل ډول ) & وود يد ، %:8 2و 0 ډول ھم @دق وي . ℝ V, ) :8.2 ) ا و ( ,W ) دو ه و وری C* وي & ?ن %?د dimension)ℝ) ري . (v 1, v2,…..,vℝn) = وه 2ده د V وا (w1, w2,…..,w m ) = وه 2ده د W ده .ℬ % د ھر $ط 9 ℬ

166

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

M(mxn, ) L:V W ره ACط وازې و ℬ ℬ →ر8س د E دي $وا@و 5ره وود ℝدی : ∋ ( ) = () L(v j) = wi ( j=1,2,…,n) 9وت : "ر ! & j=1,2,…,n) L(v j) W) دی . % وEی >و ھI د (lin-comb) $ط ر ب ∋ >8ل و8و

L(v 1)=a 11 w1+a 21 w2+….+a m1 wm 2 12 w2 22 w2 m2 wm L(v )=a +a +….+a ⋮ L(v n) = a 1n w1 + a 2n w2 + …. + a mn wm

"ر 8 & وه 2ده (basis) د W ده . س د 4.6 AC &$ط وازي و ډولℬ $ط ر ب aij ا8ن ري . اوس د ور و ?د و *راب د ر8س >8ل داℝ ∋ډول 8و & د k 5 ( 5ون ) د (L(v k

: : . ?د& *راب وي د ℬ ر8س % E دي >8ل ري ℬ ()

… … ℬ … … ℬ () = ⋮ ⋮ ⋮⋮ اوس واړو B%وت ړو & … دا …E دې isomorphism 7% ده

: Hom(V,W) M(mxn, ) ℬ ℬ → ℝ L = A ℬ ⟼ ℬ () : (lin-map) و ط 51 دی

F H V 167 ∈ ℝ ,L, ∈ om( ,W)

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ℬ ℬ ij ⇒ ()=A=(a )∈M(mxn,ℝ)∧ ℬ ℬ ij ( )=B=(b )∈M(mxn,ℝ)

⇒∀j∈{1,2,...,n};L(v j)= wi∧

F(v j) = wi

( L+F)(v j) = L(v j) + F(v j) = wi + wi ⇒ = wi ( + )

ℬ ℬ ℬ ⇒ ℬ (L+ F )=ℬ (L)+ℬ ( F ) %:0 $وا : : L(v j) = wi = (a ) = ℬ ij ℬ ℬ ℬ ⇒ ( ) () . . (lin-map) & ℬ و $ط دی ℬ : : : injective دی و ږ ورو

L,F Hom(V,W) , = ℬ ℬ ℬ ℬ ∈ () ( ) L(v j) = wi = F(v j) ⇒ L = F injective ℬ ⇒ ⇒ ℬ 168

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

: surjective دی

A M(mxn, ) ; := wi W ∈ ℝ ∈ د * 7.1AC &$ &ط وازي و (L Hom(V,W د (i=1,2,...,n) . ∈ . L(v )= w i i $وا@ و 5ره وود ري س ℬ 5ور8 ف ھم دی & ℬ isomorphisim ℬ و دی او ACط وازې و ℬ : . M (mxn, ) ℬ ر8س وود دی ? & ℬ () = ( ) ∈ ℝ = A = (a ) M(mxn, ) ℬ ij ℬ () ∈ ℝ ,ر ف A symmetric ، A : 8.1 او x و 5و (و ور ,n دی× ℝ ∈ M(n ∋ ( A ( a ر8س د positive semidefinite وم دږي، ري : :

t x . A.x = xj 0 , a x ≥ ( A ( b ر8س د negative semidefinite ري : :

t X . A.x = xj 0 , a x ≤ ( c ) د x 0 ره A ر8س positive definite و ل ږي . . ري : : t ≠ x . A.x = xj > 0 , a x ( d ) د x 0 ره A ر8س negative definite و ل ږي، ري : ≠ t x . A.x = xj < 0 وت: E دي >8ل x >رaL , دای >0 : : , a x xj = xj ) 169, a x x( a

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل : :

[ x و 5و و ور دی ] x 0 2 −1 0 = −1 2 −1 ≠ ∈ ℝ 0 −1 2

t X .A.x = (x ,x ,x ). . 1 2 3 2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 = (x ,x ,x ). 1 2 3 2 – − + 2 − − + 2 = x 1( 2x 1 – x2 ) + x 2( -x1 + 2x 2 – x3 ) + x 3( -x2 + 2x 3 )

= 2 – 2x 1x2 + 2 – 2x 2x3 + 2 x 2 x 2 x = + ( x 1 – x2 ) + ( x 2 – x3 ) + > 0 [ 0 x 8- ] Ax positive definite x ≠

,ر ف 8.2 : ⇒ A , := complex conjugate , A * : = ( )t * ( A ( a ر8س د adjiont matrix د A وم (ℂ دږي . , × ) ∋ 9ل = 2 2 + i 2 2 − i = * t ⇒ A 3= ( 1 ) − = 2i 3 1 + 2i 2 3 ⇒ 2 − i 1 + 2i 170

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( A ( b ر8س ) self adjiont Hermitain ) و ل ږي . ري A* = A وي . .

9ل = 1 −i 1 i = ⇒ i 1 −i 1 A* = ( )t = = A 1 −i ودل >ول & A و Hermitian ) self adjiont) ⇒ر8س دی . . i 1 ر ن : ا دا E دی ر58و Hermitian matrix دی

, B = 2 2 + i 4 2 −i = 2 − i 3 i i 1 B = 4 −i 1 1 1 + i 2i 1 − i 0 −i −2i −3 0 ( A ( c ر8س ) skew Hermitain antihermitain ) و ل ږي . ري A* = - A وي . . 9ل :

= −i 2 + i i 2 − i = ⟹ −2 + i 0 −2 − i 0 A* = ( )t = = -1. = -A i −2 − i −i 2 + i ⟹ A skew Hermitain2 − i 0 −2 + i 0 ,ر ف A : 8.3 ⟹ involutory matrix ( a ) A (ر8س د , × ) ∋ وم دږي. ري A2 وي . . 9E nل:=

4 −1 = 171 15 −4

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

2 4 −1 4 −1 ⟹A = . 15 −4 15 −4 4.4 + (−1). 15 −1.4 + (−1). (−4) = 15.4 + (−4). 15 −1.15 − (−4). (−4)

1 0 2 = = E involutory0 1

2و0 ډول ھر و A ر8س E دي >8ل وري ، A⟹ involutory ھI (ر8س دی .,2 × 2) ∋ a b t A= ,A = a ا% او دي a− b −a b ≠ 0 a,b ∈ : : 8- A2 = a b a b . – a – a = a + 1 − a a. b − b. a 1 0 2 = .( ) ( ) = E ( b ) د a nilpotent0 1matrix + وم a − 1دږي، ري و+ m وود وي & = Am >& . د ر%وط @رر8س دی . . ∈ ℕ A 9ل: E E ( ,2 × 2)

2 −2 A=2 A = 2 −2 2 −2 2 −2 0 0 A nilpotent . matrix = = E 2 −2 2 2 −2 0 0 ( c ) د idempotent matrix وم دږي A = A وي ⟹ : : BلA

4 −1 A= 12 −3 172

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A2 = 4 −1 4 −1 16 − 12 −4 + 3 . = = 12 −3 = A 12 −3 48−36 −12+9 4 −1 A idempotent matrix 12 −3 idempotent وا د ر8س ر8س دی ⟹ permutation matrix ( d ) ھره E دي bijective & 7% وي د permutation وم دږي f: {1,2,3,….,n } {1,2,3,….,n }

و ږ ھE I دي >8ل 8و ⟶ f = 123 ⋯ n : : P f permutation matrix د و ږ f(n) f 5ره ⋯ وHو، E دي (f(3(2>8ل) f(ريf(1

Pf = () ⋮ (ef(n) ,…,e f(2) ,e f(1 د ا55& 2دي دو ورو $واص ري . () ℝ 9ل : و ږ داE دي permutation رو : : f: {1, 2, 3, 4, 5 } {1, 2, 3, 4, 5 } f(1) = 1 , f(2) = 4 , f(3) = 2 , f(4) = 5 , f(5) = 3 ⟶

اوس ھI د ر8س >8ل 8و

f = 12345

f(1)f(2)f(3)f(4)f(5) permutation matrix د E f دي ډول 5E راوړل ږي : :

173

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

() 10000 P = () = = f 0 0 0 1 0 () 0 1 0 0 0 () 0 0 0 0 1 ( n) . Permutation د >ر 0 %7 د0 5ت1 د 0 20 @رو دی ? & 5ت 2 @ر وري . % د Permutation >ر 5 وي !n دی . ور Bل ظر & و ول >0 5! = 1.2.3.4.5 = 120 د Permutation >ر 120 دی . دا دی ? & & 120 $:ف permutation ر58و وود دي ر ن : :

1 2 3 1 2 3 permutation ر 8س Pf او Pg = :دا ړی = : 2 3 1 1 3 2 A :8.3 و idempotent ر8س دی . % داE دي : : اCدي @دق ( وې, × ) ∋ ( a ) A En A singular ( b ) det(A)≠ = ⟹1 det(A) = 0

( a ) #ل : A و singular ر8س وې . س %د A∨-1 ?8وس ورۍ A idempotent A.A = A A-1.A.A = A-1.A ⟹ En .A = E ⟹n A = E n !ر C A Enرض > وي وه . س A ⟹%د singular ⟹ر8س وي. : ( b ) #ل≠ A idempotent A2 = A det(A 2) = det(A) det(A 2) = det(A.A) = det(A). det(A) = (det(A)) 2 ⟹ ⟹ (det(A)) 2 = det(A 2) = det(A) ⟹ det(A). [det(A) – 1] = 0 det(A) = 0 det(A) = 1 A :8.4 و ⟹nilpotent ر8س دی . % داE دي اCدي ⟹ ∨ : @دق وې ( , × ) ∋ ( a ) det(A) = 0 ( a ) #ل : و ږد ر%وط @رر8س 5ره Hو m ( × , ) 174Anilpotent ⟹∃ ∈ ℕ;A =

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

m ⟹det(A )=det( )=0 m m ⟹(det(A )) =det(A )=0⟹det(A )=0

175

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

م ل & " ( ا @ ) 2 و" ا و& " ( ا @ ) وور و" [ Eigenvalues and Eigenvectors ]

,ر ف V, ) : 9.1) وه و وری C* ده . End(V):= { L: V V L- End }

,ر ف V, ) : 9.2) وه و وری │C* ا و → (L End(V دی . و ( ) Eigenvalue د >$@ وا ا$@@0 ت وم ∋دږي دی ∋ >رط & و و ور v 0 د E دي $@ت 5ره وود وي: L(v) = .v ≠ ∈ v د eigenvector L ( >$@ وا ا$@@0 و ور ) ظر وم eigenvalue . دږي و وEي >0 زت >ر >$@ و ور و ( eigenvectors ) وري . ?8و5 ً د ھر >$@ و ور ره ACط وازي و >$@ ت وود دی . . د Bل ډول v >$@ و ور ظر وي . % µ ھم د L >$@ eigenvector و ور ( ) ظر دی . v 8- . µ µ 0 , L( µ v) = µ = µ .v = (µ v ) L(-v) = .v وي . % : (L(v ≠ , ∋ L(-v) = .v L(-v) = .(-v ) L(v) = . v ? & v او v– >$@ (−) و ور و ∧ ظر −دي ⟹ : : 2و0 @ورت E دي را%ط0 @دق وي− و L(v) = .v L(v) – .v = 0 (L – )v = 0

,ر ف V, ) :9.3) وه idو وری C*⟺ ده , (L End(V ا و ⟺ ∈ ∈ Eig((L, ):= {v v 0 L(v) = .v } {0} V ( ,Eig((L د C∧ @$< ) Eigenspace ∪ L* ) ≠ │ 5%ت ∋ وم دږي . ھر ( ,Eig((L د invariant $@ت ھم ري . 176

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل 9.1: و وری *C E & دي %7 را ړل > و ده (ℝ ,ℝ)

∶(x ℝxℝ1,x 2) → ℝxℝ (x 1,-x2) ⟼ دل ږی & L دی . 6ول و ور و & (x = (x 1,0 >8ل وري، ھI( ) >$@ ∋و ور و د L دی & ا$@ی ℝ ∋ت 0 و “ 1“ دی . : : 8-

L(x) = L(x 1,0) = 1. (x 1,0)

او6ول و ور و & (x = (0,x 2 >8ل وري ، ھI >$@ و ور و : : . „-1“ L د دی & ا$@ی ℝت∋ 0 0 و دی 8- L(x) = L(0,x 2) = (0, -x2) = -1. (0,x 2 ) ودھIوي >$@ C* وي E دي >8ل ري : :

Eig(L,1) = . e 1 = { r.(1,0) r } ℝ │ ∈ ℝ Eig(L,-1) = . e 2 = { r.(0,1) r } 9ل : و ږ د و وری C∈ ℝ* & │دا E دي د ℝ identity%7 ظر & 5و : (ℝ,)

∶ Vv → v id ا و ACط وازی “1„ ⟼2دد >$@ ت دا>0 . !ر د V V (6ول ) ∋و ورو ظر >$@ دی . id(v) = 1.v 8- 9ل : I و interval دی V:= D(I, ) = { f: I │ f arbitrary differentiable } ⊆ ℝ arbitrary differentiable دی ? & ℝا$ری→ ز دت ℝ>ق يدوړ L: V f → f´ 177 ⟼

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

دل ږي & (L End(V ا و ھر و >$@ ت ر%وط د L L دی . ℝ ∈ : 8- ∋ f(x): = c. V L(f(x)) = L (c.∈ ) = f´( c. ) = c. = (c. ) = .f(x) دوا ھر ره .f(x): = c د L و >$@ و ور eigenvector) ∗ ( ظر ℝ ∋ دی . V, ) : 9.1) وه و وری L End(V) , *C ا و . % : :

C ) in VرEig((L ∈, ) is Subspace∈ ( *C 2 ( 1 )

{Eig(L, ) {0 ( >$@ ت ) Eigenvalue ( 2 ) ⇔ ≠ ( 3 ) Eig(L, ) \ {0} = {v v 0 L(v) = .v } V ( ? 5 وي د ∧6وو ≠ا$@ی│ ∋و ور و 5ت ظر ) ( 4 ) Eig(L, ) = ker(L – )

( 5 ) id Eig(L, ) Eig(L, ) = {0}

(1) 9وت : ∩ ⇒ ≠ ∧ ∋ , u,v Eig(L, ) L(u+v) = L(u) + L(v) = u + = (u+v)

∈ ⇒ u + v Eig(L, ) v

, u Eig(L,⇒ ) ∈ L(a.u) = a.L(u) = a.( u )

& ( ,Eig(L وه CرV *C 2 & ⇒ده . ∋ ∋ a

د ( 2 ) ا و ( B ( 3%وت وا*L دی

178

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( 4 ) 9وت : v Eig(L, ) L(v) = L(v) – = 0

∈ ⇒ L(v) – v ⇒)= 0 v

⇒ (L – id(v = 0 v ker(L – )

⇒ Eig(L,id)(v)) ker(L –⇒ ) ∈ id v ker(L – ⇒ ) (L –⊆ )(v) =id 0 L(v) – v = 0

∈ id ⇒L(v) =id v ⇒

⇒ v Eig(L, ) ker(L – ) Eig(L, )

B%وت >و & ( ⊇,ker(L ⇒ – ) id Eig(L دی . ∋ ⇒

( 5 ) 9وت : = id w Eig(L, ) Eig(L, )

∈ L(w) = ∩ L(w) = w w w w ⇒ ∧ ⇒ = "ر ! & دی . س %د w = 0 وي او 0 = & ( − ) ⇒ Eig(L, ) Eig(L, ) = {0} ≠ ∩ وټ: س دی و ږ دی C@ل & ACط د ( , ) = :V و وری C* & ?ن %?د وري او = = وي ظرℝ & 5و . ℂ ℝ وټ: 8.1 & وودل & د ھر : L $ط lin- 9) (canonical basis) map) ره ظرا55 2ده AC ℝ → ℝط وازې و ر8س ( ,L(x) = A & A M(nxn وي، وود دی . س و x L (eigenvelue) >$@ تℝ ∋ ظر ا و دھI >$@ و ور

179

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( eigenvector) وي . % وEی >و >$@ ت وا >$@ و ور دا05 و8و : Ax = x ( ,En M(nxn وا د ر8س (unity matrix) وي، % دا E دې را%ط ووده ℝده : ∋

Ax = x Ax – x = 0 Ax - (E n .x) = (A – En ). x

9ل: . ⇔ ⇔

A = 3 0 8 −1 L ) A د ر%وط ر8س ظر ا55 2د ي وا : : E v = nd(ℝ ∋وي، % 1 ∈ ℝ A.v = = = 3. = 3.v 2 3 0 1 3 1 . دل ږي & v و >$@ و ور2 او 3 د ھ6I ر%وط2 >$@1− 8ت دی .

V, : 9.1 ) وه و وری C* ده & ?ن %?د ( dimension ) ري ، ( ، (En ، L (V وا د ر8س وا ( ,A M(nxn د L L : : . (can-basis) ر%وط∋ ر8س ظر ∋ا55 2دې دیℝ % ∋ >$@ ت ( eigenvalue) دی det(A - .E n ) = 0

9وت: ⇔ v V ; v 0 L(v) =

∃ L(v)∈ – ≠ = 0 ∧ ⇔ (L – id v )v = 0 [ L lin-map ] ⇔ ker(L – id v ) {0} ⇔ ≠ dim(ker(L – id v ) ) 0 dim(im(L- id v ) < dimV ⇔ ≠ ∧ [ د rank د ?رف $& ] rank ( L – id v ) < dimV = n 180⇔

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

rank(A – .E n ) < n ⇔ [ د 7.5 det(A – .E n ) = 0 [ &$

,ر ف V, :9.4 ) وه و وری dim(V) = n & *C ا و (L End(V ⇔ دی . داE دي %7 د( >$@ و وم ( characteristic polynomial ) ∋ وم ظر L د ږي

PL : ℝ → ℝdet(L – ) ⟼ λid pL وEې >و E دي >8ل راوړو، دی >رط & ( ,A = (a ij ) M(nxn د L ر%وط ر8س ظر ا55 2ده وي . t وℝ ول دی∋ PL(t) = det(A – tE n )

− t ... .. a = det( a −t. . ⋮ ) . ⋯ . .... ... a .......a − t

ل د (PL(t و وم ( ? & PL(t) = 0 ) طر 9.1 >$@ و ( eigenvalue) دي . .

9ل : د واړو د و $ط 9 ر%وط ر8س ظر ا55 2دي دا ړو . ددې ر ره د ( ) و و ری C* ظر 0 5و . E L دي ډول ?رف > و دی : ℝ , ℝ L : (x 1ℝ,x 2) → ℝ (2x 1+x 2, x 2 ) ⟼ ا5 5ره وEی >و B%وت ړو & ( ) L Hom دی . ∈ ℝ , ℝ 181

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

وھږو & ( ) و وری *C e1 = (1,0) & او (e2 = (0,1 و ورو اℝ 55 ,2ده canonical basis)ℝ ) وړوي . اوس @ و رو د e2 , e 1 ظر L دا و . .

L(e 1) = L(1,0) = (2.1+0 , 0 ) = ( 2 , 0 )

L(e 2) = L(0, 1) = (2. 0 +1 , 1 ) = ( 1 , 1 )

د ا55 2دی @ رو و د L ر%وط ر8س 5 0 ( 5ون ) >8: وي . ھ I ر8س A وHو

A = 2 1 ? A ر%وط ر8س د L 1 ظر 0ا55 2دي e2 , e1 دی . .

A – t.E 2 = 2 − 1 0 1 − pL(t) = det(A – t.E 2 = 2 − 1 = ( 2 - t ) (1 – t0 ) = 10 −

t1 = 1 t2 = 2 . 2 1 دوه >$@ و او ودا ړل اوس واړو ∧دھIوي ⟹ ا$@@0 و ورو دا ړو . ړی د 1 >$@ ت ره

( A – t.E 2 )(x) = 0

= = 2 − 1 1 1 1 0 . . 0x1 + x 12 = − 0 1 x1 = - x02 0 0 ⟹ ⟹ Eig(L,1) = {(m,-m) m } = {(m(1, - 1) m } 182 │ ∈ ℝ │ ∈ ℝ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د Bل ډول x2 = -2 و*x1 = 2 ، & < 7 ږي او (-2 ,2) >$@ و ور 5%ت >$@ ت t = 1 دی.

ا ن : :

L(x 1,x 2) = (2x 1+x 2, x 2 ) L(2,-2) = (2.2 – 2, -2 ) = 1.( 2, -2 )

د 2 >$@ ت ره

( A – t.E 2 )(x) = 0

= = 2 − 2 1 0 1 0 . . 00.x 1 + 1 1. − x 2 2 = 0 0.x 10 + -1. −1 x 2 = 0 0 ⟹ ∧ x2 = 0 او x1 ﻫﺮ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻋﺪد ﻛﻴﺪاي ﺷﻲ

Eig(L,2) = {(m, 0) m } = {m(1, 0) m } │ ∈ ℝ │ ∈ ℝ د Bل ډول x2 = 0 او x1 = 3 و*7 > ، >$@ و ور 0 (0 ,3) دی. 8- : : L(x 1,x 2) = (2x 1+x 2, x 2 ) L(3,0) = (2.3+0, 0 ) = ( 2.3,0) = 2.( 3,0)

9ل : 9.2 L ) وا A ر%وط ر 8س د L وي. ⟹ ∈ (ℝ A = −1 6 −1 4 A – t.E 2 = −1 − 6 −1 4 − 2 pL(t) = det(A – t.E 2 ) = = t – 3t + 2 −1 − 6 183 −1 4 −

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

2 pL(t) = t – 3t + 2 = (t – 1) . (t – 2) = 0

t1 = 1 , t 2 = 2

1 وا 2 >$@ و ظر L دي . د >$@ ⇒و ورو

( eigen vectors) دا ووره %د E دي ?د0E 55م ل 0<

(A – tE 2)(x) = 0

( A –t.E 2)(x) = . = −1 − 6 0 ړی د t = 1 0>$@ ت ره : − 4 −1

( A –1.E 2)(x) = . = −1 − 1 6 0 −1 4 − 1 0 = . = −2 6 0 −1 3 0 = = −2 +6 0 −1 +3 0 -2x 1 + 6x2 = 0 -x1 + 3x2 = 0 x1 = 3x2 ⇒ ∧ ⇒ "ر ! & ور 0 ?د 0 راری ل ري . و ږ ( x2 = m (m و*7 ړو ℝ ∋

Eig(L,1) = {(3m,m) m } = {m(3,1) │ m } │ ∈ ℝ ∈ ℝ د Bل ډول x2 = 1 و*x1 = 3 ، & < 7 ږي او (1 ,3) >$@ و ور 5%ت >$@ ت t = 1 دی.

9ل : 9.3 L ) وا A ر%وط ر8س د L ظر 2ده اstandard∈ (ℝ Basis ) 55 ) وي

184

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A = 5 −8 −1 3 A – t.E 2 = 5 − −8 −1 3 − pL(t) = det(A – t.E 2 ) = 5 − −8 = (5 – t) . (3 – t ) – 8 −1 3 −

2 pL(t) = t – 8t + 7 = (t – 7) . (t – 1) = 0

t1 = 7 , t 2 = 1

1 ا و 7 >$@ و ظر L يد . ⇒ د >$@ و ور و ( Eigen vector) %دا وو ره %د E دي ?د0E 55م ل >0

(A – tE 2)(x) = 0

( A –t.E 2)(x) = . = 5 − −8 0 t = 7 >$@ 0 ت ره : − 3 −1

( A –7.E 2)(x) = . = 5 − 7 −8 0 −1 3 − 7 0 = . = −2 −8 0 −1 −4 0 = = −2 −8 0 −1 −4 0 -2x 1 – 8x 2 = 0 -x1 – 4x 2 = 0 x1 = -4x 2 ⇒ ∧ ⇒ "ر ! ور ?د0 راری ل ري ، ( x2 = m (m و*7 و ∈ ℝ 185

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

Eig(L,7) = {(-4m,m) m }= {m(-4,1) │ m } │ ∈ ℝ ∈ ℝ د Bل ډول x2 = -1 و*x1 = 4 ، 0 < 7 ږي . د ھI و >$@ و ور ظر t = 7 >$@ ت (1-,4) دی . .

ر ن 9.1:

A = , B = 1 1 1 0 ( A ( a ر8س ر%وط >$@ و ور2 و 0دا ړی . 2 0

( B ( b ر8س ر%وط >$@ و ور و دا ړی . .

9ل 9.4 : دی Bل & و ت Hو & & >$@ ت AA ا2داد دی . . ( L وا A د L ر8س ظر ا 55 2ده ( standard Basis) . . دیℝ) ∋

A = 3 4 −4 3 A – t.E 2 = 3 − 4 −4 3 − pL(t) = det(A – t.E 2 ) = 3 − 4 = (3 – t) . (3 – t ) + 16 −4 = t 2 3 – −6t + 25 = 0

t1,2 = = = ±. ± ± "ر ! & AA 2دد دی ، س & >$@ و رې . .

9ل: E −64 دي >8ل ري : ℝ ∈ (22,ℂ) A = 3 4 186 −4 3

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د A ر8س د ور B 0ل >8ل ري . !ر د ظر :8س ا2داد و دی . . t1,2 = = = ±. ± ±

= = . ±(). ± = = 3 4i ± ± ± ودل >و & ظر دو ه >$@ و ري & و 4i+3 وا %ل 3-4i دی . ℂ ,ر ف L ) :9.5 وا ( ,A (nxn د L ر%وط ر8س . ظر ا55 2ده دیℝ ∈ (ℝ ∋ ( a ) ﻛﻪ ( ,Eig(L ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻓﻀﺎ (eigenspace) ﻧﻈﺮ ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻗﻴﻤﺖ وي ، % ( ( ,dim( Eig(L د geom- multip) geometric multiplicity) . . وم دږي ( ( b Characteristic polynomial ( >$@ و وم ) ظر L E دي >8ل وري : :

PL(t) = det(A – tE n ) = ( – t ) k1 . ( – t ) k2 . …. . ( – t ) kn ki د ( i=1,2,…,n) د ) algeb-multip ) algebraic multiplicity) وم دږي ا و و ږ ھI ,PL) 5ره Hو . . 9ل : ( , L . ا55 2ده د ا و A د L L ر%وط ℝر8س ظر ℝ) ∋وي ℝ ℬ ℬ A: = = 0 −1 1 ℬ() −3 −2 3 −2 −2 3

187

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

P (t) = det(A – tE ) = L 3 − −1 1 −3 −2 − 3 د ھI >$@ و وم ( − E −2 (char-polyn 3 دي >8ل2− ري

3 2 2 PL(t) = -t + t + t – 1 = -( t – 1 ) .(t + 1 )

>$@ و (eigenvalues) 0 1 او 1- دی . ? 1 = ا و 1 - = . س Algebraic multiplicity د 5 وي 2 دوا 5 وي 1 دی . ?

P L, ) = 2) ا و P L, ) = 1) د 1 = >$@ ت ر%وط >$@ و ور و ( eigen vectors) دا

وو ره %د E دي ?د0E 55م ل >0

. 0 − 1 −1 1 −3 −2 − 1 3 −2 −2 3 − 1 x = . = −1 −1 1 0 −3 −3 3 0 x - x1 – x2 +−2 x 3 = −20 2x3 = x 1 + x 2 0 ⇒ ⇒ Eig(L,1) = { (x ,x ,x ) x = x + x } 1 2 3 3 1 2 ∈ ℝ │ = { x 1(1,0,1) + x 2(0,1,1) }

"ر ! & (1,0,1) ، (0,1,1) و ور و وه 2ده د (Eig(L,1 ده ، س dim( Eig(L,1) ) = 2 دی . ? geometric multiplicity ظر 1 = >$@ ت 5 وي 2 دی . د 1- = >$@ ت ر%وط >$@ و ور و ( eigen vectors) د E دي ?د0E 55م د ل "$ E س ر ا0- . . 188

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

. 0 + 1 −1 1 −3 −2 + 1 3 −2 −2 3 + 1 x = . = 1 −1 1 0 −3 −1 3 0 −2 −2 4 x 0 ⇒ x1 – x2 + x 3 = 0 – 4x 2 + 6x 3 = 0

x2 = x3 x1 = x3 ⇒ ∧ x3 = a و*7 >& . ا% a د و AA 2دد دی . د ھI ر%وط >$@ E ( eigenspace ) *C دي >8ل ري : :

Eig(L,-1) = { (x 1,x 2,x 3) x1 = x3 x2 = x3 } ∈ ℝ │ ∧ = { ( a , a ,a) } = { (1,3,2) a } ∈ ℝ │ ∈ ℝ "ر ! & (1,3,2) و ور وه 2ده د (Eig(L,-1 ده . س . dim( Eig(L,-1) ) = 1? geometric multiplicity ظر 1- = >$@ ت 5 وي 1 دی . . . . L End(V) (V, ) : 9.2 وه و وری C* & ?ن %?د ري وا دی (eigenvectors) v ,v ,…., v m 2 1 ا$@@ و ور و 5%ت∋ , , .… , $:ف >$@ و و(eigenvalues) وي ، % m dimV (lin-indep) vm ,…,v 2 ,v 1 $ط A5ل دی وا دی. 9وت : %د B%وت >0 : ≥ a1v1 + a 2v2 + … + a mvm = 0 ( a i , i = 1,2,…,m) a = a = … = a = 0 1 2 m ∈ . . complete induction د B%وت ره د طرA 0 "$ ا5ده و ⇒ ړی #ت: د m = 1 ره @دق وي . 8- : :

189

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

[ v1 8- >$@ و ور دی ] a1v1 = 0 a1 = 0

د و م #ت : Cرض و & د m-1 ره @دق .وي ⇒ در م #ت: %د B%وت >& & د m ره ھم @دق وي

"ر ! & vi ا$@@0 و ور طر دي . و8: >و : : λ L(v i) = vi (i , i = 1,2,…,m) λ ∈ ℕ a1v1 + a 2v2 + … + a mvm = 0 ( a i , i = 1,2,…,m) ( ) ∈ ∗

a .L(v1 1 ) + a2 2.L(v ) + …m +m a .L(v ) = 0 ⟹L(a1 v 1+a v2 +…+a2 v )=L(0)=0m m ⟹ a1. v1 + a 2 . v2 + … + a m . vm = 0 ( ) ( ) ?د ∗∗ & *رب او% λ $" ( ) λرق ړو، % Eλ دي ⟹ ? ∗د Eس راλ0- : ∗∗

a2 . ( )v2 + a3 . ( )v 3 λ − λ λ − λ + … + a m . vm = 0 Induction د Cر* $& (%د :λ − λ) a2 . ( λ λ )= 0 , a3 . ( λ λ ) = 0 ,…, am . λ λ = 0 "ر ! ( & −>$@ ) و و %ل "$ −$:ف دی . س − 0 , 0 , …… , 0 λ − λ ≠ λ − λ ≠ λ − λ ≠ a2 = a 3 = … = a m = 0

( ) ?د E دي >8ل 5& : ⇒ ∗ a1v1 + 0.v 2 + … + 0.v m = 0

a1 = 0 [ v1 0 8- ] ⇒ ≠ 190

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

v1 , v2, …. Vm lin-indep

,ر ف 9.6: ⇒

( a ) و A ر8س د diagonal matrix ( طري ( , ر8س )× ) وم ∋دږي ، دی >رط & i j ) aij = 0 ) . ا% دﻟﺘﻪ aij د A ﻋ ﻨﺎﺻﺮ دي ≠ ( b ) و A ر8س diagonalizable ر8س لو ږي، ( دی , >رط× )& و ∋ر8س ( , S GL(n وود وي & D diagonal S-1.A.S ﻮﻳ ﻣﺘﺮﻳﻜﺲ وي او و ږ ﻫﻐﻪ ﭘﻪ ∋ ﺳﺮه . ﻳﻌﻨﻲ :

-1 D:= S .A.S = 0 . . 0 A,B ( c ) د A ( , ر8س × د ) B ∋ر8س ?دل ( equivalence) و ل ږي ، دی >رط & : : S GL(m , ) T GL(n , ) ; B = S.A.T -1

∃ ∈ ∧ ∃ ∈ A,B ( d ) د A( , × ر8س ) د B ∋ ر8س >% ( similar) و ل ږي ، دی >رط : : & S GL(n , ) ; B = S.A.S -1 A ا و B ر58 و >% وي ، و ږ % ھA B I 5ره Hو . ∋ ∃

9ل : ~

A = , B = 1 1 1 0 0 2 0 2 191

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A ر8س د B ر8س >% ( similar) دی . 8- : :

د S ر8س E دي >8ل وري : :

S = S-1 = 1 1 1 −1 ⇒ 0 1 0 1 S-1.A.S = . . 1 −1 1 1 1 1 0 1 0 2 0 1 = . = = B 1 −1 1 1 1 0 وټ : 2 0 1 0 2 0 ( a ) ( i ) >% ر58و ( similar matrices ) 5 وي در ت ري ( ii ) د >% ر58و ( similar matrices ) >$@ و ( eigenvalues) 5ره 5 وي دی . !ر د ھIوي ر%وط ا$@@0 و ور و 5ره 5 وي دی . دا Eت وEي > د 9.1 رن & ا ن ړی . .

( b ) ?دل ( equivalence) ر58و 5 وي ر rank) R) ري 9ل A = , B = 1 0 0 1 Rank(A)0 = 0 1 = Rank(B)0 0 س A او B ر58و 5ره ?دل دي وټ: طري ر58و $واص و ږ دا E دي A او B طري ر58و رو : :

A = 0 . . 192 0

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

B = 0 . .

0 (a)

+ A + B = + 0 . .

0 + ( b )

. A . B = . 0 . .

0 .

( ) 2 A = ( ) 0 . . 0 ( ) 193

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

,ر ف 9.7 : و ر8س & 6ول 2 @ر د ا@: طرE دی @ر وي د upper triangular matrix ( ور B:B ر8س ) وم دږی ا و E دی >8ل ري

∗ = ⋱ 0 ⋱ : : ? i > j aij = 0 ( i,j = 1,2,…,n )

⟹ 9.3: د و upper triangular ((( ور B:B ) ر8س ا@: طر 2 @ر د ھI >$@ و (eigenvalues) دي 9وت : :

∗ = ⋱ 0 ⋱

PL(t)=det(A–t E n) – − ∗ =det( ⋱ ) 0 ⋱

− = (a 11 - t).( (a 22 - t). .... (a nn - t) = 0 t1= a 11 , t 2= a 22 , … , t n= a nn A ودل >و & طری 2 @رد ر8س د ھI >$@ و دي ⟹

194

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A : 9.4 ا و ( ,S GL(n . % : : -1 ( A ( a وا ( , S ×.A.S )2ن ∋>$@ و ∋(eigenvalues) ري ( ( b S-1.A.S و Qد و ل ر8س ( diagonal matrix ) وي ، دی @ورت د S-1.A.S د ا@: طر 2 @ر د A ر8س >$@ و دي 9وت : و ږ D S-1.A.S 5ره Hو . ? : D:= S-1.A.S ( a ) S-1.A.S S-1.A.S S-1.t PD E n En S (t)=det( S-1(A –t )= det( – . ) =det( –t E n). S ) -1 =det( S ).det(A–t E n).det( S ) n n A = ().det( S )(det(A–t E )=det(A–t E )= P (t) دل ږی & د S-1.A.S او A >$@ و وم 5ره 5 وي دي . س 5 وي >$@ و ھم ري ( b ) 9وت : Q S-1.A.Sد و ل ر8س ( diagonal matrix ) وي ، % د 9.3 $ د S-1.A.S ا@: طر ی 2 @ر (diagonal elements ) د ھI >$@ و دي . "ر ! & د ( a ) $ >$@ و و د A ا و S-1.A.S 5ره 5 وي دي . س S-1.A.S د طر 2 @ر د A >$@ و ( eigenvalues ) دي vn ,…,v 2 ,v 1 , A : 9.1 " '2 و ورو وه 2ده د ده . . : : . S (columns) v ,…,v ,v n , 2) 1× ) ∋و ورو 5 د و ر8س وي % ( S ( a ر8س ?8وس ذر ( invertible ) دی ( E ( b دي اCدي دو%ل 5ره ?دل دي ( i )

-1 S .A.S = 0 ⋱ 0 ⋱ 195

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( j = 1,2, ... , n ) vj ( ii ) د A >$@ و ور او دھI ر%وط >$@ ت دی 9وت ( a ) v1, v 2, ... , v n basis v1, v 2, ... , v n lin-indep rank(A) = n ⟹det(A) A invertible

9وت (b) ⟹ 0 ≠ ⟹ ⟹ A diagonalizable S GL(n, ) ; ⟺ ∃ ∈ -1 S .A.S = D = ∗ ⋱ A.S = S.D 0 ⟺ "ر ! & vn ,…,v 2 ,v 1 و ور د 5 S columns) 0) دي . س

A.S = (Av 1, Av 2, ... , Av n ) = S.D = (v 1 , v2 , ... , vn ) Av j = vj ( j=1,2, … , n ) ⟺

j = 1,2, ... , n ) vj ) د A >$@ و ورو ر%وط >$@ و دي 9ل:

A = −2 6 ﻏﻮا A و Diagonalizable−2 5 ر8س دی . ړی واړو دھI >$@ و دا ړو

A – t.E 2 = −2 − 6 196 −2 5 −

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

pA(t) = det(A – t.E 2 = = ( -2 -t).( 5 -t) + 12 −2 − 6 = t2 -3t -10 + 12 = t 2−2 -3t + 2 5 = − ( t - 1 ) (t – 2 ) = 0

t1 = 1 t2 = 2 . 2 1 ا و >$@ و دي اوس واړودھI ر%وط ∧ا$@@0 ⟹ و ورو ودا ړ . ړی د 1 >$@ ت ره

( A – t.E 2 )(x) = 0

= = −2 − 1 6 −3 6 0 . . −2 -3x 1 + 5 6x −2 1= 0 -2x 1 −2+ 4x 2 4 = 0 0 ⟹ ∧ Eig(A,1) = {(x ,x ) -3x + 6x = 0 } 1 2 1 2 ⟹ ∈ ℝ │ = {(x ,x ) x = 2x } 1 2 1 2 ∈ ℝ │ دBل ډول د x2 = 1 ره (2,1) و >$@ و ور دی اوس د 2 >$@ ت ر%وط >$@ و ور و دا ړو

( A – t.E 2 )(x) = 0

= = −2 − 2 6 −4 6 0 . . −2 -4x1 + 5 6x −2 2= 0 -2x 1 −2+ 3x2 3 = 0 0 ⟹ ∧ Eig(A,2) = {(x ,x ) -2x + 3x = 0 } 1 2 1 2 ⟹ ∈ ℝ │ = {(x1,x2) x1 = x2 } ∈ ℝ │ دBل ډول د x2 = 2 ره >$@ و ور (3,2) دی

197

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

اوس %د S ر8س داډول ?رف >، & 5 columns ) 0) >$@ و ورو وي . ?

S = 2 3 det(S)1 = 21

S-1 = = = 2 −3 2 −3 2 −3 () −1 2 −1 2 −1 2 S-1.A.S = . . 2 −3 −2 6 2 3 −1 2 −2 5 1 2 = . = 2 −3 2 3 1 0 دل ږی & S-1.A.S و Qد و ل2 0ر8س دی 2 . س1 د?رف4 $2− د A ر8س Diagonalizable دی

198

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

م ل ا2. دي ووري ' ( Euclidean space ) ,ر ف 10.1 : وه و وری C* ده s : V x V (V, ) (v,w) → s(v,w) د s %7 د E دي $وا@ و5ره د bilinearform وم دږي ⟼ ´v,v´,w,w و ( i ) s(v+v´,w) = s(v,w) + s(v´,w) s( .v,w)∈ = .s(v,w) ∈ ( ii ) s(v,w+w´) = s(v,w) + s(v,w´) ∧ s(v, .w) = .s(v,w) و symmetric∧ bilinearform ( ظر) و ل ږي ري (s(v, w) = s(w,v وې ، د alternating وم دږي ري (s(v, w) = - s(w,v وې او positive definite دی ري (s(v,v 0 < د ھر v 0 ره @دق و ړي ,ر ف 10.2: (≠ ) وه و وری C* ده وا E & ℝ< −, > scalarproduct دي ?رف > وي دی ، و (bilinearform(V, ℝ وې < , > : V x V (v,w) → ℝ < , > د E دي $وا@و 5ره د scalar product وم ⟼دږي ( i ) = ( د ii ) > 0 ( v ) ? و bilinearform ر و وریC≠ 0* & 2ن و$ت & symmetric وا positive(V, ℝ) definit وي ، scalar product ور و ل ږي 199

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ر ن < , > : x ℝ ( x, yℝ ) → ℝ < , > E دي ډول ?رف > وي وې ⟼

= < (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )> = x1 . y 1 + x 2 . y 2 B%وت ړی & < , > و scalar product دی 9ل: [I = [a,b و Interval . و ږ وھږو & ℝ ⊇دی وه و وری C* ده . (داE دي %7 و )ℝ bilinearform ر→ : = دی :(ℝ ,) < , >: (, ℝ) ( ) , ℝ x(, ℝ) → ℝ ,ر ف 10.3 : وه () () و وری C* د f,g)⟼= scalar product) 5ره د ( Euclidean space ) ا :دي و وري V, ℝ)*C) وم دږي او− ℝو ږ ھI 5ره Hو (< ?رف,> ,standard scalar product in ) : 10.4(V) mapping ر ℝو وری C* دا E دي ?رف > وي دی < , > : x (ℝ , ℝ) ℝ ( x, yℝ ) → ℝ: = x1 . y 1 + x 2 . y 2 + … + x n . y n

د ( x = (x 1, x 2,….., x n) , y = (y 1, y 2, …. , y n دي⟼ ا5 5ره وEی >وB%وت ړو : : x,x´,y,y´ , ( i ) ∈ ℝ = ∈ ℝ + < .x,y> = . ( ii ) = + ∧ = . س < , > و bilinearform دی ∧

= x1 . y 1 + x 2 . y 2 + … + x n . y n

200

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= y 1 . x 1 + y 2 . x 2 + … + y n . x n = < y,x> < , > symmetric ⇒ = + + … + 0 < , > positive definite س < , > و scalar product ا⇒ و ≤ & ( ) و وری C* ظر < , > و Euclidean space دی . ℝ ,ℝ < , > د standard scalar product وم دږي . - و %و & ور Canonical scalar product ھم وای ,ر ف 10.5 : ( ) وه C Euclidean* ده . دا E دي %7 د Norm وم دږي ℝ ,ℝ : ∥ ∥ ℝx → xℝ : = = ∥ ∥ د و وری+… *C . +x x & ورم+ 5xوي د < ط:A , ت >5ره دی . ⟼ x = │x │ ℝ ? و وری C* د ∥ ∥ ورم 5ره د normed vector space وم دږي او ھI ( , ) 5ره Hودل ږي . . 9ل ∥ ∥ ℝ < , > : x ℝ( x, yℝ ) → :ℝ = x1 . y 1 + x 2 . y 2 X = (1, 2) , y =⟼ (3,4) = 1.3 + 2.4 = 11∈ ℝ x = = = ∥ ∥ ددا<ت : وزا د x ا و 5y ر 2.2T + وې . 1.1دی < @ورت , > E scalarα product دی ډول 8 >و : = . .cos ∥ ∥ ∥ ∥ 201

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

دی >رط & د cos ت د E دي اCده ط%ق وي > 0 , 0 < Cos : = ≤ α < 0 , < α π ,ر ف 10.6 : ر ≥ % دي E d دي ډول ?رف > وي دی d : x (ℝ , ∥∥) ℝ( x, yℝ ) → d(x,y):ℝ = d د distance Function وا د ∥ − metric ∥ وم دږي . ⟼د (d (x,y C@: د x ا و y دو Aط و ر T ده . د E 7% d دي $واص ري : : x,y,z ( a ) ∈d(x,y)ℝ = 0 x = y ( b ) d(x,y) = d(y,x)⟺ ( symmetric ) ( c ) d(x,z) d(x,y) + d(y,z) وه و وری C* د metric 5ره د metric space وم ≥دږي وا ھI ) Hودل ږي . metric space د euclidean metric وم ھم ( ,دږي ℝ 9ل d : x ℝ ( x, ℝy ) → ℝd(x,y): = ∥ ∥ د Bل ډول : (x = ( 1, -2, − 2) , y = ( 3,0, 1 ⟼ d(x,y) = = ( 3,0, 1) - ( 1, -2, 2) =∈ ℝ ( 2, 2, -1) ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ = −

= < (2,2,−1),(2,2,−1) = = 3 > 4 + 4 + 1 9 202

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل: d : x ℝ ( x,ℝ y →) ℝ d(x,y):= ) وه رmetric y│ space) *C &8)− ده x│. وا 2و0⟼ @ورت : : d : x ℝ, ) ℝ ( x, yℝ ) → ℝd(x,y):= ) وهھم رmetric │x space) −y│ *C &8) ده . ⟼ ( ,,ر ف 10.7ℝ: ( ) وه ا :دې ( C ( Euclidean* ده . x,y ( x ( a وا ,ℝ y ℝ& اوروQو ل (orthogonal) دی ، ℝ ∋ ℝ = 0 >0 . د x وا y و ورو Orthogonal دا ? & x,y رو%ل 2ود دی او و ږ ھx y I 5ره Hو . ( x ( b وا y & اورو ورل ⊥(orthonormal) دی ، دی : >رط & ℝ = 0 = 1 = ( vn∥,…,v 2,v 1 ( c ∥ و ور و ∥ ∥ & orthogonalsystem يد ، ∧ i ) vi vj ) وي . ℝ و ⊥اوروQو ل 55م≠ orthonormagsystem j و ل ږي ، رې 1 = د ھر i ره . و اورو ورل 55م & 2ده (basis) د ھم∥ وي ،∥ د orthonormalbasis وم دږي . & ا55 2ده canonicalbasis)ℝ) و orthonormalbasis ید . د Bل ℝ ډول & e1 ا و e2 و ور و و orthonormalbasis دی . ℝ : 8-

= <(1,0),(0,1)> = 1.0 + 0.1= 0 e1,e 2 orthogonal %:& $وا : ⟹ = = ∥ ∥ = < , > = <, =1 (1,0) , (1,0) > 1.1 + 0.0 1 203

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= = ∥ ∥ < , > = <, =1(0,1 ) , (0,1) >

e=1,e 2 0.0orthonormal + 1.1 1

وھږو & e1 ا و e2 وه 2ده د ده . س orthonormalbasis ھم ده . ⟹ . و ټ : و ږ وھږو & ( , ℝ) و normed vector space دی . . orthonormalbasis gram-schmidt د ود ∥ ∥ ℝا5دی 5ره وE >و و وری C* دا وړ . . projetion operator v ړ ی ℝر u او دوو ور و% دی E دی 2: ، & د وم دږی ، ?رف > دهو : :

Proj u(v): = u , ا% د < , > 85ری @ل *رب دی . , gram-schmidt طرA ، & د gram-schmidt process وم ھم دږی، E دی ډول ده : : v1,v 2,…,v n u := v 1 1 ∈ ℝ u2: = v 2 - (v 2) u3: = v 3 - proj (v 3) - (v 3) u4: = v 4 - proj (v 4) - proj (v 4) - (v 4) proj proj proj un: = vn = ⋮ proj (v) wi:= ( I = 1,2,3,…,n ) wi و ورو وه اورو ورل 2ده ( orthonormalbasis ) د ∥ ده∥ . . : 9ل ℝ

v1=(3,1),v 2=(2,2)∈ (ℝ , ∥ ∥) 1 1 u2: = v 2 - (v 2) = v 2 - .u1 = (2,2) - .(3,1) u :=v =(3,1) , (,),(,) = (2,2)proj – .(3,1) = (2,2), - (3,1)= (2,2)(, + ) ,(,)( ) .. 204 .. ,

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= ( , ) wi:= ∥∥( = 1,2) 1 w = ∥∥= ∥(,)∥.(3,1)= .(3,1)= .(3,1)

( , ) ( , ) = ( , ) = = . .. −2 6 = ( , ) =. < −1 3 , > = + = 0 ودل >و & ا و w2 و ورو و%ل 5ره(orthogonal .(-1,3(3,1). دي. اوس واړ و B%وت ړ و & orthonormalw 1 ھم دي

1 ∥w ∥= ∥ .(3,1)∥= +

= + =1

2 ∥w ∥= ∥ .(-1,3)∥= + ا5 وEی >و B%وت ړ و & ا و w2 وه 2ده 1=د +ده . س = ا و w2 و ورو orthonormalbasisw1 ړو وي . ℝ w 1 ,ر ف Vectorproduct in ) :10.8 ) و ږ د ( ℝ) ا :دي ( Euclidean ) و وري C* ظر & و 5واوE دي ℝ 7%,ℝورو : x: x (ℝ v, wℝ ) → ℝv x w 205 ⟼

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

E v x w دي ډول ?رف >وې ده : : v x w:= (v 2w3 – v3w2, v3w1 - v1w3 , v 1w2 – v2w1) ور vectorproduct 7% ( و وری @ل *رب ) & و ل ږي . دل ږي & د دو و ورو vectorproduct %ر و ℝو ور دی . !ر د دو و ورو scalar product و 2دد دی . . د د دو و ورو vectorproduct & ور ?رف > وي دی ، وEی >و د determinant ري E دي >8ل ℝ 5Eراوړو : : u = (u 1,u 2, u3) ,v = (v 1,v 2, v3) , w = (w 1,w 2, w3) وواړو & د v ℝ ا∋ و w دو و ورو vectorproduct د در ت ري ده ړو، %د د u $@ت ړی رH & و8ل >0 . اوس ھI و ور و د ر8س >8ل 8و

د ر8س د A "$ دا ډول 5E را-0 & د ړې رH& اود j j ´ j=1,2,3)A) 5 & ( 5ون ) "$ @رف ظر و>0 . ? : : j=1

A11 = v v w w j=2

A12 = v v w w j=3

A13 = v v 1+1 1+2w w 1+3 v x w = ( (-) . det( ), (-) det( ), (-) det( ) ) ´ ´ ´ = (1.(v2w3 – v3Aw2 ),-1 . (v1w3 –A v3w1 ),1.(v1w2 –A v2w1)) 206

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل: u = (u 1,u 2, u3) ,v = (1,2, 3) , w = (2,-2, 1) واړو Vectorproductℝ ∋ د v ا و w د در ت ري ده ړو

1+1 1+2 1+3 v x w = ((-) det( ) , (-) det( ) , (-) det( ) ) ´ ´ ´ A A A = (1.det , -1. det , 1. det 2 3 1 3 1 2 = ( 2.1 – −2( -2.3 1 ) , -1. (1.1 –2 2.3 1 ) , 1 . (-2) 2– 2.2 −2 ) = ( 8, 5 , -6 ) وټ : Vectorproduct دا E دي $واص ري : v , v´, w , w´ , ( 1 ) (v + v´) ∈x ℝw = vλ x∈ wℝ + v´x w v x (w + w´) = v x w + v x w´ ( 2 ) .v x w = . (v x w) v x = . (v x w) ( 3 ) λw x v = -vλ x w v∧ x v = 0 λw λ ( $ط واv x w = 0 v∧ , w lin-dep ( 5% ( 4 ) 10.3: دا د Vectorproduct ا و ⇔scalerproduct ر T ا ړ08 ( ار%ط ) H0 u = (u 1,u 2, u3) ,v = (v 1,v 2, v3) , w = (w 1,w 2, w3) ∈ ℝ

207

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( 1 ) = det u u u v v v ( 2 ) = w = 0 w (1) 9وت : : u x v = (u 2. v3 – u3 .v 2, u 1 .v 3 – u3 .v 1,. u1 .v 2 – u2 v1)

= (u2. v3 – u3 .v 2) .w 1 + (u 3 .v 1 – u1 .v 3) .w 2

+ (u 1 .v 2 – u2 v1) . w 3

= det u u u v v v ا % ور در ت د ورو 5w &8رې w 5Ewرا: دی . (2) 9وت : د (1) $& 8: >و :

= det u u u = 0 v v v -8 " و$ت & دوه ر0H ( 5طر ) وهu uر8س u & 5ره 5 وي وي ، % د (D 2) $& د ھI در ت @ر دی . . د B = 0%وت >% د ھI دی , ر ف 10.9: و وری C*ی & E s دې ډول ?رف > وي دی : (V, ℂ) s : V x V (v,w) → ℂs(v,w) s د E دي $وا@ و5ره د semi-bilinear وم دږي ⟼ ´v,v´,w,w و ( i ) s(v+v´,w) = s(v,w) + s(v´,w) s( .v,w) ∈ ℂ = .s(v,w) ∈ ∧ 208

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( ii ) s(v,w+w´) = s(v,w) + s(v,w´) s(v, .w) = .s(v,w) ا% د complex∧ conjugate ( زدوج ) د ید positive definite s و ل ږي ، رې s(v,v) > 0 د ھر v 0 ره @دق و ړي او s د hermitian وم دږي ، ≠ = (s(v,w وي . ( ,ر ف ,)10.10: ( ) وه و وری C* ده . وا وې دی ، و (semi-bilinear(V, ℂ وې : : < , > : V x V (v,w)→ ℂ < , > و ل ږي ، < , > ⟼ hermitian وا positive definite ھم وي % − . scalarproduct ℂ و وری C* د V 5ره د (unitary vector( space, ℂ وم دږي . ,ر ف standard scalar product in ℂ − ) scalarproduct : 10.11) د $:ط (complexℂ number) ا2دادو 5ت & ھ ر z د z=a+ib = a-ib a,b >8ل ري، & يد . . %:0 $وا ℂوھږو ∋ & وه و وری C* ده اℝو ∋(a,b) و و ور و وري C* & دھر ℂ z=a+ib "$ دی . ر و وری C* % دي E دي 9 ℝ ℂ ∋?رف > وي دی : (ℂ , ℂ) < , > : x ℂ ( x, ℂy ) → ℂ : = x1 . + x 2 . + … + x n . د ( x = (x 1, x 2,….., x n) , y = (y 1, y 2, …. , y n ⟼دی x,x´,y,y´ , ا5 داي B%وت >ℂ ∈ ℂ : & 0 ∋ ( i ) = + < .x,y> = . ∧ 209

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( ii ) = + = . س < , > و semi-bilinear دی∧ . .

= x1 . + x 2 . + … + x n . = . x1 + . x2 + … + . xn = + + … + = . . . = . + . +… +. < , <> ,hermitian >

⇒ = x1. + x2. + …+ xn 0 < , > positive definite ≥ س < , > و scalar product وا ( ) ظر < , > و ⇒ unitary space دی . ℂ , ℂ < , > د standard scalar product & دی . - & ور Canonical scalar product ھم وای . ℂ 9ل: واړو دی Bل & standard scalar product & وا*L ړو (ℂ , ℂ) x, y,w , x = (x 1∈,x ℂ2) = (a ∈1+ib ℂ 1, a2+ib 2) , y = (y1,y2) = (c 1+id 1, c2+id 2) w = (w1,w2) = (h 1+iq 1, h2+iq 2)

= < (x 1+ y 1 , x 2+ y 2 ), (w 1,w 2)>

= (x 1+ y 1). + (x 2+ y 2). = <( a1+ib 1+ c1+id 1, a2+ib 2+ c2+id 2),( h1+iq 1,h 2+iq 2)>

= (a 1+ib 1+c 1+id 1).( h1-iq 1) + (a 2+ib 2+ c2+id 2).( h2-iq 2) 210

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= x 1. + y 1. + x 2. + y 2. = + x, y,w , x = (x 1∈,x ℂ2) = (a ∈1+ib ℂ 1, a2+ib 2) , y = (y1,y2) = (c 1+id 1, c2+id 2) w = (w1,w2) = (h 1+iq 1, h2+iq 2)

= < (x 1+ y 1 , x 2+ y 2 ), (w 1,w 2)>

= (x 1+ y 1). + (x 2+ y 2). = x1. + y 1. + x 2. + y 2. = + ھدار ! وEی >و B%وت وړ & = + ږي . .

< ,w> = < ( x1, x2), (w 1,w 2) > = x1. + x2. = (x 1. + x 2. ) = . = <(x 1,x 2), ( w1, w2) > = x 1. + x 2. = x 1. . + x 2. . = .( x 1. + x 2 . ) = . B%وت >و & < , > و semi-bilinear دی. د positive definite وا hermitian $واص و 2و0 ت & B%وت ړل . & < , > و standard scalar product ا و و unitary space دی . (ℂ , ℂ) وټ: "ر ! & z,z> 0> د و وری C* & @دق وي . س وEی >وE دي ورم≤ ر ھI ?رف (ℂ ړو :,ℂ) : 211

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

: ∥ ∥ ℂ z→ ℝ z : = د Bل ډول: z = 3+i4 < , > ∥ ∥ ⟼ z : = = = ∥ ∥ = < , > . (3 + 4). (3 = − 4) = 3.3+4.3−3.4− = 5 (. ). 4.4 3.3 + 4.4 ,ر ف 10.10: وه euclidian و وری C* ده & ?ن 25%?د V ( ℝ) ( dimension ري, . ) s و bilinearform ا و ( v 1,v 2,….,v n) = دھI 2ده (Basis) وي . % د s ر%وط ر8س ظر E دي >8لℬ ري : ℬ

(, )(, )… ..(, ) (, ) (, ) …..(, ) ℬ () = ⋮ ⋮ ⋮⋮ ري( , وه )…… و ری ( ( unitary, ) ) و وری ( C*, د )?ن %?د 5ره وې , , s و (semi-bilinear(V, ℂ او ( v 1,v 2,….,v n) = د ھI 2ده (Basis) وي . د s ر%وط ر8س وEی >و 2ن ℬرب دا ړو . . ℬ ( , ) : 9ل دی Bل واړو و وری C* & د scaler product ر%وط ℝر8س ℝ ظر (v 1, v2, v 3) = 2دي دا ړو ℬ v1= (1,0,0) , v 2= (1,1,0) , v 3= (1,1,1)

= < , > < , > < , > 1 1 1 ℬ = < , > < , > < , > 1 2 2 < , > < , > < , > 1 2 3 212

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

213

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

وم ل ر وډوو" وا دھB وي ا,ل

,ر ف 11.1: A , A sysmmetric , [ x (و ور5و ا5ت, × ] , ) ∋ x ( ) quadratic Form داE دي %7 د د و در Cورم وا ر%? Cورم ℝ ∋ وم ظر A ر8س دږي qA : ℝ ⟶ ℝ x = xt . A . x = (x ,x ,…,x ) . . 1 2 n . . ⟼ . . t qA(x) = x . A. x = xj ) ( ( positive semidefinite qA(x) ( a و ل ږي، دي >رط & دھر x ره qA(x) 0 @دق و ړی positive definite q (x) ( b ) Aℝ∋ ≤ و ل ږي، دي >رط & دھر x 0 ره qA(x) > 0 @دق و ړی negative semidefinite q (x) ( c ) A ℝ∋ ≠ و ل ږي، دي >رط & دھر x ره qA(x) 0 @دق و ړی negative definite q (x) ( d ) A∈ ℝ ≥ و ل ږي، دي >رط & د ھر x 0 ره qA(x) 0 @دق و ړی ( indefinite qA(x) ( e و ل ږي، دي >رط و>ر x < ≠ ∈ ℝ وود وي & qA(x) 0 او و>ر x وود ℝوي ∋& q (x) 0 ∈ ℝ ≤ 0< A

≥ 9ل 11.1 : واړو quadratic Form دE دی ر8س ذل دا ړو

214

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A = 1 2 A ر%? ر8س ا و (sysmmetric(2 × 2, ℝ ( ∋ ظر ) دی . . 2 1 qA : ℝ ⟶ ℝt x = x . A . x = (x 1,x 2) . ⟼ . t qA(x) = x . A. x = (x 1,x 2) . A. = (x 1,x 2) 1 2 . . 2 1 = (x 1 + 2 x 2 2 x 1 + x 2) . = (x )2 + 2 x x + 2 x x + (x)2 = (x )2 + 4 x x + (x )2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 (qA(x و indefinite ر%? Cورم دی . 8- : :

x: = y: = − = = A q (x)=+4. . + =1>0 A س (qA(x و indefinite د و در Cورمquadratic . + Form=-) <0.4- ) دی =(q (y 9ل 11.2 : :

2 −1 0 = −1 2 −1 ∈ (3 × 3, ℝ)

qA 0 −1 2 : ℝ ⟶ ℝ x = xt . A . x ⟼ t q (x) = x.A.x = (x ,x ,x ). . A 1 2 3 2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 2 215

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= (x 1,x 2,x 3). 2 − − + 2 − − + 2 = x 1( 2x 1 – x2 ) + x 2( -x1 + 2x 2 – x3 ) + x 3( -x2 + 2x 3 )

= 2 – x1x2 – x1x2 + 2 –x2x3 –x2x3 + 2 x x x = 2 – 2x1x2 + 2 –2x2x3 + 2 x 2 x 2 x [ x 0 وي ] x 1 – x2 ) + ( x 2 – x3 ) + > 0 ) + = x x ≠ qA(x) positive definite A positive definite

,ر ف sysmmetric⟹ A ، A : 11.2 ( ظر ) . ⟹ A A submatrix (k=1,2,...,n) A ℝ ) k , ر%× ?0) ∋ د دی ، & د n-k 5 و( colmns ) وا رHو( rows ) "$ @رف ظر و> . Ak د Principal submatrix وم دږي، ري k وه "$ >روع او n n $م > . ( det(A k د داډول Ak د principal minor وم دږي . . و Principal submatrix د leading principal submatrix ودږي ، دې >رط & 6وو Ak 0 د A ړی 2 @ر ( ? a11 ) >ل وي . ( det(A k د داډول Ak د leading principal minor وم دږي . .

A = ⋯ a = ⋮ ⋱ ⋮ a ⋯ a A1 = a 11 , A2 = , A3 = , A n= A 9ل

, = A1 = 1 , A 2 , و 1 4 2 1 2 1 0 2 1 2 = 4 0 1 3 2 1 216 1 2 3 1

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A = , A = A = 1 2 4 1 3 1 2 4 4 2 1 0 2 2 1 0 4 0 1 3 4 0 3 1 2 3 1 leading principal submatrix د A3 ، A2 ، A1 او A4 = A دي وت: و ږ س دي ھleading principal submatrix 0 Ak I وي ، ر ا$:و. sysmmetric A ، A : 11.1 " '2 ( ظر ) ، (qA(x و quadratic ℝ ) Form, (د× و) ∋در ر%?C 0ورم ) ، Ak 11.3 ?رف >وي ر58و او د A >$@ و دي . % : : ( 1 ) , , … , ( a ) qA(x) positive definite A positive definite ( b ) det(A ) > 0 ( k ⟺ ( ? 6ول B leading1 ≤ principal ≤ ) minor%ت و ي ) ) A positive definite ( ? 6ول >$@ و B%ت و ي ) ( ⟺ ) c ) > 0 ) A positive definite 1 ≤ ≤ ( 2 ) ⟺ ( a ) q A(x) nigative definite A nigative definite k ( b ) (-1) . det(A k ) > 0 ( ⟺ ) A nigative definite ( ? 6ول >$@ ⟺و ≥ 0 و ي≥ ) c ) < 0 ( )1 ) 1 ≤ ≤ A nigative definite ( 3 ) ⟺ ( a ) q A(x) positive semidefinite A positive semidefinite ( b ) det(A ) > 0 ( ) det(A ) = 0 k ⟺ n A positive1 ≤ semidefinite ≤ − 1 ( c ) ⟹ 0 ) A positive semidefinite ( 4 ) ≥ (1 ≤ ≤ ⟺ ( a ) q A(x) nigative semidefinite A negative semidefinite k ( b ) (-1) det(A k) 0 ⟺ ) det(A n) = 0 A negative semidefinite ≥ (1 ≤ ≤ − 1 ( c ) ⟹ 0 ( A negative semidefinite 217 ≤ 1 ≤ ≤ ⟺

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( 5 ) ( a ) A not positive definite A not nigative idefinite det(A n) 0 A indefinite ≠ A indefinite ( ( ت ) b ) det(A⟹ k) < 0 ( k even ) ( c ) ( i,j noneven ( ) ; طق⟹ ∃, ∈ {1,2,…,} ( det(A i) < 0 det(A i) > 0 ) A indefinite ( d ) a , a A ; a < 0 a > 0 A indefinite ii ⟹jj ii jj . . د B%وت "$ اوس @رف ظر وم⟹ ∋ ∃ 9ل 11.3 : : ( a )

2 −1 0 = −1 2 −1

A1 = 2 , det(A 1) = 2 > 0 0 −1 2

A2 = , det(A 2) = 4 – 1 = 3 > 0 2 −1 A3 = A−1 , det(A 2 3) = 2.( 2.2 – 1) –(-1)( -2 -0) = 6 - 2 = 4 > 0

س د ور 0 *0 د (b) .1 ا5س : :

det(A k) > 0 ( k=1,2,3) A positive definite

( b ) و ا د ر58و positive definite ⟹دي . دBل ډول: ⟹

1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 A1 = 1, det(A 1) = 1 > 0 ,A 2 = , det(A 2) = 1 > 0 1 0 A3 = A , det(A 3) = 1.( 1.1 – 0)0 = 1 1 > 0

218

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

E3 positive definite ⟹ ( c )

4 0 A= 0 1

2 4 − 0 A–t. E = 0 1 −

2 4 − 0 p(t)=det(A–t.... EEE )= 0 1 −

=(4–t).(1–t)p(t) = t1 = 4(4–t).(1–t)=0 , t 2 = 1 "ر ! & ا$@@0 و 6ول B%ت دي . س %د ور * 0 د c ) ⇒(1) ) ) A ا5س و positive definite ر8س وي . وا وEی E دي ډول B%وت ړو : A1 = 4 , det(A 1) = 4 . A2 = A = , det(A2) = 4.1 -0 = 4 4 0 [ ور *0 د (A positive definite [ &$ (1) (b 0 1 وا در%?C 0ورم %ري : ⟹

qA : ℝ ⟶ ℝt x = x . A . x = (x 1,x 2) . ⟼ . t qA(x) = x . A. x = (x 1,x 2) . A. = (x 1,x 2) 4 0 . . 2 2 0 1 [ x 0 وي ] 4x1 x2) . = 4(x 1) + (x 2) > 0) = ≠ qA(x) positive definite ⟹ 219

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

[ ور *0 د (A positive definite [ &$ (1) (a

9ل 11.4: ⟹ ( a ) A = −3 0 A2 = A0 , 3det(A 2) = -9 -0 = -9 < 0

A indefinite : -8 د ور *b) 0).5 @دق وي

11 22 [ ور *0 د (a =-3<0 A indefinitea =3>0 [ &$ (5) (d ⟹ ( b )

A = −2 1 1 A1 = -21 , −2(-1) det(A 1) = (-1).(-2) = 2 > 0

2 A2 = A , (-1) det(A 2) = 1. ( 4 -1 ) = 3 > 0

[ ور *0 د (A negative definite [ &$ (2) (b

9ل 11.5: ⟹

−2 −3 0 = −3 3 2 0 2 1 : A indefinite

2 −2 −3 2 A = ,det(A )=-6-9=-15<0 −3 3 220

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

[ ﭘﻮرﺗﻨﻲ ﻗﻀﻲ د (b) (5) ﻟﻪ ﻣﺦ ] A indefinite ⟹ : a11 = -2 < 0 a22 = 3 >0 [ ور *0 د (A indefinite [ &$ (5) (d :11.6 9ل ⟹

1 4 6 = 4 2 1 6 1 6 A2 = , det(A 2 ) = 2 -16 = -14 < 0 1 4 [ ور *0 د (A 2indefinite [ &$ (5) (b 4 ⟹ A=(a ij ) :11.1 ا و positive definite . % : : A G,L(n, ) . A ( i ) (?8وسℝ , × ر8س)ري∋ ? (i=1,2,...,n) a > 0 ( ii ) ∈ ℝ ii (i) 9وت: A positive definite [ ور *0 د (det(A n) > 0 [ &$ (1) (b det(A ) = det(A) > 0 ⟹ n ⟹ A G,L(n, ) . : (ii) 9وت B%و ت ره د ا55 2ده ور و ظر 5وℝ ∋ ⟹ A positive definite

⟹ . A.e 1 = (1,0,0, ...,0).A. = a 11 > 0 [ e1 0 8- ] 1 ⋮ ≠ 0 ⋮

. A.e n = (0,0,0, ...,1).A. = a nn > 0 [ en 0 8- ] 0 ⋮ ≠ sysmmetric 1 A ، A :11.2 " '2 ( ظر ) ، 221 ∈ (2 × 2, ℝ )

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

0 w=( x,y) ≠ ∈ ℝ a b t QA(w) = w .A.w وا د A >$@ = و دي . % داE 0 اCد ي دو%ل b c : 5ره ?د0 دي , ( a ) det(A) > 0 a > 0 ( b ) Q (w) positive definite A ∧ ( c ) : : 9وت 0 < , (b) (a) t QA(w) = w .A.w = (x,y) . . ⟸ a b = (ax + by bx + cy)b . c = ax 2 + bxy + bxy + cy 2 = ax 2 + 2bxy + cy 2 2 2 = a( x + y) + ( )y 2 2 det(A) > 0 a > 0 a( x + y) + ( )y > 0 ∧ QA(w)⟹ > 0 Q A(w) positive definite

⟹ ⟹ (c) (a) د A ⟸& " 2 و" : :

A – t.E 2 = − − pL( ) = det(A – .E 2 ) = − 22 − 2 = ( ) . ( ) – b = t – t.( a+c ) – b – – () ( ) t= ± 2 det(A)>0∧a>0⟹ac–b >0 ∧ a>0 8- 2 ⟹ac>b ≥0⟹c≥0[ a>0 ] 222

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

8- 2 (a+c) > (a + c) − 4( − )[−4( − ) < 0 ] ⟹a+c> (a + c) − 4( − ) ⟹(a+c)- (a + c) − 4( − )>0

() ( ) := + >0

() ( ) := − >0 B% وت >و & >$@ و 0< او 0< دي (jacobian matrix) : 11.3 ,ر ف f : (x 1,x 2,…,xℝn) ⟶ ℝ( f1, f2 ,…,f m )

⟼ f 6ول A< 5ت وري . % داE دي ر8س jacobian matrix ( ر8س و% ) وم دږي . a ∈ ℝ

Jf (a):= (a) = (a) (,,…,) (,,…,)

= (a) (a) ⋯ (a)

⋮ ⋱ ⋮ (a) (a) ⋯ (a) 9ل E : 11.7 دي %7 & 6ول A< 5 ت ري ، را ړل > دهو

f : 2 2 2 (x,y,z)ℝ ⟶ ℝ( x +y +z.sinx , z +z.siny ) د f1 او f2 : : 2 2 ⟼ 2 f1:= x +y +z.sinx , f2:= z +z.siny 223

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(x,y,z) = 2x + z.cosx , (x,y,z) = 0

(x,y,z) = 2y , (x,y,z) = z.cosy (x,y,z) = sinx , (x,y,z) = 2z + siny jacobian matrix ( ر8س و% ) E دي >8ل ري

∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 Jf (x,y,z) = f f f ∂x (x, y, z) ∂y (x, y, z) ∂z (x, y, z) ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂x (x, y, z) ∂y (x, y, z) ∂z (x, y, z) = 2x + z. cosx2y sinx 9ل E : 11.8 دي siny 7% & + 6ولA< 5 2zت ري ، را ړل 0z.cosy> دهو f : + × [0, π] ℝ (r, ) ⟶ (r.cos ℝ , r.sin ) ⟼ f1:= r.cos , f2:= r.sin cos sin (r,)= , (r,)= , jacobian matrix ( ر8س r.cos=( و% ),r) داE دي >8ل ري r, )=-r.sin)

224

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

∂ ∂ Jf = f1 f1 ∂ ∂ r (r, ) (r, ) ∂f2 ∂f2 (r, ) ∂r (r,) ∂ (r,) = cos −r. sin sin r. cos

اوس واړو د Jf در ت دا ړو det(Jf (r, ) 2 2 (r, )=r.(cos ) +r.(sin ) 2 2 =r.((cos ) +(sin ) )=r.1=r ,ر ف Hessian Matrix : 11.4 ( ھس ر8س ) دوه ا 0 ر*0 دان ( 1811 – 1874) Hesse وم د >وی دی D , a 2 C ⊂ ℝ ∈ ( ,ℝ ): = 2 {f(x: 1,...,x →n ℝ) C2 } H (a) ( Hessian Matrix ) ھس ر8س & و ږ ھH∈ (f,ℝ ) Iواو E دي >8ل ?رف > و دي:

Hf(a) = (a) (a) ⋯ (a) ⋮ ⋱ ⋮ (a) (a) ⋯ (a) (Hf(a ھس ر8س ظر f د a Aط دی

"ر ! & دي . س ھس ر8س symmetric ( ظر ) دی = 225

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

9ل 11.9 : : f(x,y,z) ϵ C2 , f(x,y,z)=x 2+ y z , ( ,ℝ ) , ⋅ = 2x = z = y

= 2 , = 0 , = 0

= 0 , = 0 , = 1

= 0 , = 1 , = 0

H (x,y,z) = f 2 0 0 0 0 1 9ل 11.10 : : 0 1 0 f(x,y) ϵ C2 , x 3 x ( ,ℝ ) f(x,y)=2ex 2 ⋅y−y 2e .y , 2e - 3y = = x x = 2e .y , = 2e x = 2e , = -6y

Hf(x,y) = 2e . y2e 2e −6y وټ: د ھس ر8س ( Hessian Matrix ) وا5ط وEی >و local maximum( و*? ا2ظ 5% ا2ظ ) ا و local minimum ( و*? ا@Iری 5% ا@Iری ) ط A 0 دا ړو . ? : : - دھس ر8س 6ول >$@ و (eigenvalues) وي ا ?طف Aط B 0%ت ( ? positive definite ) وي . @ورت دا Aط %5 226

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ا@Iری ده - دھس ر8س 6ول >$@ و (eigenvalues) وي ا ?طف Aط 0 ) 0 ? negative definite ) وي . دې @ورت دا Aط %5 ا@Iری ده - دھس ر8س - 0 >$@ و وي ا ?طف Aط 0 0 او - 0 >$@ و B%ت ( ? indefinite ) وي . دې @ورت ھ I Aط 5% ا2ظ ا و 5% ا@Iری ده . %:Saddle point 8 ( ز Aط ) ده 9ل 11.11 : : f(x,y)ϵ C2 , 4 2 2 (,ℝ ) f(x,y)=-x +2x –y د local maximum ( ﻧﺴﺒﻲ اﻋﻈﻤﻲ ا) و local minimum ( ﻧﺴﺒﻲ اﺻﻐﺮي ) ) Aطوددا ووره %د داE دي را ل ط >0 : : critical points ( ا ?طف Aط0 ) : : ) 3 -4 x + 4x , -2y 3 2 -4 =x + 4x = 4x( -x + 1 ) = 0 = x = 0 x = 1 x = -1 -2y = 0 y = 0 ⟹ ∨ ∨ س د ا ?طف Aط0 : ⟹ critical points: (0,0) , (1,0) , (-1,0)

ھ س ر8س ( Hessian Matrix :) :)

2 = -12x + 4 , = 0

= 0 , = -2 د f ھ س ر8س ( E ( Hessian Matrix دي ډول دی :

Hf(x,y) = −12x + 4 0 ھ س ر8س د ا ?طف Aطو : −2 0

227

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

Hf(0,0) = , Hf(1,0) = 4 0 −8 0 0 −2 0 −2 Hf(-1,0) = = Hf(1,0) −8 0 اوس واړو دور وھ س ر58و leading0 −2 principal minor دا ړو

A:= Hf(-1,0) = = Hf(1,0) −8 0 1 0 −2 A1 = -8 (-1) .det(A1) = (-1).(-8) = 8 > 0 ⟹ 2 A2 = A = (-1) .det(A2) = 1. 16 = 16 > 0 −8 0 ⟹ 0 −2 [ د Hf(-1,0) , Hf(1,0) negative definite [ &$ 0* 11.1 ⟹ س (1,0) ا و (1,0-) د f 5% ا2ظ ( local maximum ) 0 Aط0 دي

A:= Hf(0,0) = 4 0 0 −2 A1 = 4 det (A 1) = 4 > 0 ⟹ A2 = A = det(A 2) = -16 > 0 4 0 ⟹ 0 −2 [ د A:= Hf(0,0) indefinite [ &$ 0* 11.1

س (f (0,0 0 وه ذ Aط ( Saddle point ) ده

9ل 11.12 : :

2 2 f(x,y)ϵC (,ℝ ), f (x, y)=4y³ -6xy ² +3x² y -6xy ( ( ) local minimum ( ) local maximum د 5% ا2ظ ا و 5% ا@Iری Aطوددا ووره %د داE دي را ل ط >0 : : 228

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

critical points ( ا ?طف Aط0 ) : : )

2 2 2 2 -6 y + 6xy – 6y , 12y -12xy + 6x y – 6x 2 0 = -6 = y + 6yx – 6y = -6y( y – x = + 1 ) ( ) 2 2 2 2 0 = 12y -12xy + 6x y – 6x 2y – 2xy + x y – x = 0 (∗ ) د ( ) ∗∗?د ھI و$ت @ر ږي ري : ⟹ y – x + 1 = 0 y = 0 y = ∗ اوس دا و د ( ) ?د 0 و∨* 7 وو او⟹واړو x دا ړو ∨ y=0 2 Y = 0 2.0 – 2x.0 + x .0 – x = 0 x = 0∗∗ y = 2( )2 – 2x( + x2( - x = 0 ⟹ ⟹ ⟹ ) ) ور ?د x+1) 2) *ر%وو

2 – 2x ( x -1) + x 2( x – 1 ) – x( x – 1) 2 = 0 2 - 2 x2 + 2x + x 3 - x2 - x3 + 2x 2 + x = 0 2 2 ⟹ 2 - x + x = 0 x - x - 2 = ( x - 2 ). ( x + 1 ) = 0 ⟹ x = 2 x = -1 ⟹ : : د ا ?طف Aط0 ∨ ⟹ critical points: (0,0) , (2, ) = (2,1) , (-1, ) = (-1,- ) ھ س ر8س د ا ?طف Aطو :

2 = 6y , = -12y + 12xy -6 2 = - 12y + 12xy – 6 , = 24y – 12x + 6x د f ھ س ر8س E دي >8ل ري : :

229

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

Hf(x,y) = 6y − 12y + 12xy − 6 −12y + 12xy–624y − 12x +6x اوس د ا ?طف Aط0 د ھس ر8س 0 و*7 وو

(0,0)

H:= Hf(0,0) = 0−6 Pf(t) = det(H ––60 t.E 2 ) = det 0−t−6 = t 2 -36 = (t + 6).(t – 6 ) –60−t (t + 6).(t – 6 ) =0 t = 6 , t = -6 ⟹ Hf(0,0) indefinite ⟹ "ر ! 0 د ( (0,0 Aط 0 >$@ و 6 ا و 6- دي ، س (0,0) %5 ا2ظ ا و %5 I@ري Aط ده . %:8 و Saddle point ( ز Aط ) ده

(2,1)

H:= Hf(2,1) = 66 624 2 Pf(t) = det(H – t.E 2 ) = det = t -30t + 144 - 36 2 6−t6 = t -30t + 108 624−t ھI دوه >$@ و 0 دور ?د 0 د ل "$ E 5 راB ،0-%ت دي . .

س (2,1) وه local minimum ( و*? ا@Iری 5% ا@Iری ) Aط ده و ږ د 11.1 *0 "$ ا5ده و ړو 2ن 5E راوړ

A:= H f(2,1) = 66 624 A1 = 6 , det(A 1) = 6 > 0 230

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A2 = , det(A 2) = 144 – 36 = 108 > 0 6 6 Hf(2,1)6 24positive definite س د 11.1 *0 ا5س 6ول >$@ و B 0%ت دي ⟹

(-1,- ) H = − 6 −66 Pf H E 2 −t−6 (t)=det( –t. )=det 2−66−t =( − t).(6–t)-36=t –7,5t-27 2 دل ږي 0 و >$@ ت B%ت وا±%ل 0 1,2دی ، س د Aط t –7,5t-27=0⟹t = 3,75 (3,75) + 27 ( ذ Aط ) ده. (-,-1) S addlepoint ,ر ف wronski : Wronskian Matrix :11.5 (1853– 1776) و و ډی د ر* 2م وه او دا E دي ر8س دھI وم دږي : :

V { f f } S:= {f (x) (i=1,2,...,n) n-1 f (x) } i %7 وارد>ق وړ i :ℝ → ℝ ≕ ∈ د Wronskian Matrix S & و ږ ھW(f 1,f 2,…,f n)(x) I 5ره Hو، E دي >8ل ري : :

W(f 1,f 2,…,f n)(x) (′ ) (′ ). . . ′() = () (). . . () . .. . . . (). ..() . .() . () ()... () 231

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د wronski ر8س وا5ط وEی >و دو وو C*ی و ورو و 2ده (basis) دا ړو . ددي ھدف ره دE دي *0 "$ ا5ده وو : : 2 " 11.3 : ري د wronski ر8س در ت وه Aط N$ 0ف د @روي، % دھI ر%وط وا%7 $ط lin-indep) 0:A5) دي . ? & : :

x0 ; det(W(x 0)) 0 f1(x), f2(x), ... , f n(x) lin-indep

ھدار ! د*:0 ?دEو د ل ره د ⟹wronski ≠ر8س "$ ا5ده ℝ ∋ ږی . ∃ 9ل 11.13::: V ={ f f(x)=a+bx+cx 2+dx 3 ( a,b,c,d )} د C*ي و ور( V,∈ ℝ) وه 2ده E دي >8 ل ري : ℝ ℝ V = <<1,x,x: →2,x 3 >> ℝ : : 8- 2 3 f1(x): = 1 , f 2(x): = x , f 3(x): = x , f 4(x): = x د ورو wronski ) 085 ) ر8س E دي >8ل ري : :

′() ′() ′() ′() W(f 1,f 2,f 3, f4)(x) = ′′ ′′ ′′ ′′ () () () () ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ () () () () () () () ()

1 x x x = 0 1 2x 3x 0 0 2 6x 0 0 0 6 0 ( x ) 2 3 [ ℝ ∋دور ∀* ≠ $0 ] 12 (= $طA5 1.1.2.6 0ل ) =((det(W 1, x,( f1,x , f2, x f3, lin-indep f4)(x : : . span 1,x,x 2,x 3 V د ?رف "$ ?:وږي & وا%7 0 وړوي ? & ⟹ V = <1,x,x 2,x 3 > : : & V = <<1,x,x 2,x3 >> dimV = 4 ∧ 232

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

A : (Cayley-Hamilton theorem) :11.4 " '2 ، )% . ، pA( =det pA(A) = . ا% د En وا د ∈ (, ) (A −ر8س او @ري( ر8س ∋ دی . . : 9وت "ر ! B%وت 0 و" : دی ، B%وت "$ 0 @رف ظر وم !رد *0 ط%ق E دي Bل & وا*L ږي 9ل A :11.14 ∈ 2, ℝ a b = c d A − − p ()=det( − A)= − − =( − ).( − )–cb= -(a+d)t+ad-bc 2 pA(A)=A –(a+d)A+(ad–bc) E = - (a+d). ad – bc). a b a b a b 1 0 . + ( c d c d c d 0 1 = + a + bc ab + bd −a − da −ab − bd ca + cd cb + d −ca−cd −ad−d + ad − bc 0 0 ad − bc = a + bc−a − da + ad − bc ab + bd − ab − bd ca+cd−ca−cd cb+d − ad − d + ad − bc

0 0 0 = = E & د Cayley-Hamilton * @دق وې . 0 0

9ل 11.15:

1 −1 4 = 3 2 −1 2 1 −1 233

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د A >$@ و وم داE دي >8ل رې : :

p (λ) = λ − 2λ − 5λ + 6 p(A) = A − 2A − 5A + 6E = ( -2( 1 −1 4 1 −1 4 3 2 −1 ) 3 2 −1 ) 2 1 −1 2 1 −1 - 5 1 −1 4 1 0 0 3 2 −1 + 6 0 1 0 2 1 −1 0 0 1 = 11 −3 22 6 1 1 1 −1 4 29 4 17 − 2 7 0 11 − 5 3 2 −1 16 3 5 3 −1 8 2 1 −1

6 0 0 + 0 6 0 0 0 6 = 11 −3 22 −12 −2 −2 29 4 17 +−14 0 −22 16 3 5 −6 2 −16

−5 5 −20 6 0 0 + −15 −10 5 + 0 6 0 −10 −5 5 0 0 6 = 0 0 0 0 0 0 وټ: د A >$@ و وم ( characteristic0 0 polynomial 0) 2و0 (ډول E دي, )>8ل ∋ري:

P (λ) = λ + aλ +…+ aλ + a 234

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

n د (a0 = (−1) det (A را%ط& $0 وEی >و ?:وم ړو ا د A A ر8س ?8وس ري . ? &:

0 n د * Cayley-Hamilton 0⟹Ainvertible detA≠⟹0 ر*& ≠(AاوCزdet( R & د (1−- و5:و )⟹0د ل ≠ رهa ا5?ږې . . د Bل ډول د : ھ :ون * 0 وا5ط د ?8وس ر8س دا ول: -1 و ږ Cرض وو N $ a0ف د@ردی . س A وود دی . د -Cayley Hamilton د * $& N8ی >و : : = P (A) = A + aA +…+ aA + aE E = = (−( +- - +…+…. – a1).A ) -1 .A − = ( - - …. – a1).A.A-1 = − - - …. – a1)En -1 (− a0.A = - - …. – a1En ⟹ -1 A −= ( – - …. – a1En) 9ل 11.16: − ⟹

د A >$@ و وم داE دي >8ل رې : : λ λ λ λ : ور & ?د & p ( ) = − − 6 − 11 + 6 a2 = - 6 , a 1 = -11 , a 0 = 6 د :0 ھ:ون *0 $& : :

"ر ! a0 = 6 دی، Eس د= 6E A + ?8وس 11A −ر8س 6A −وود دی .) = −A? p( A : 0 -1 A = ( – a1E3) ≠ 0 = ( −(− -) − - a1E3)) 235 −(− )

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= ( + 6 +11E 3) = ( + 6 + ) 5 7 −5 5 7 −5 1 0 0 0 4 −1 0 4 −1 11 0 1 0 2 8 −3 2 8 −3 0 0 1

15 23 −17 5 7 −5 1 0 0 = −2 8 −1 − 6 0 4 −1 + 11 0 1 0 4 22 −9 2 8 −3 0 0 1 − − −4 −19 13 = −2 −5 5 = − − −8 −26 20 − −

236

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

دوم ل 9 و" ا ور و" [ Examples and Exercises]

دي C@ل & ددي ب و -د و*و2و ره Bو اور و و-ل % راوړل >ودي 9ل 12.1 : :

(x1 ∶,x ℝ2 ) ⟶ (-2x ℝ 1+2x 2,-x1+x 2) dim(Im(L)) dem(Ker(L) ) . L B%وت ړ ې ، & و $ط 9 دی %⟼ وا دا ړې . . : : Lin-Map x = (x ,x ) , y = (y ,y ) , 1 2 1 2 λ L(x +y) = L((x ,x ) + (y ,y )) 1 2 1∈ 2 ℝ ∈ ℝ = L(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (-2(x 1 + y 1) + 2(x 2 + y 2), -(x1 + y1 )+x2 + y 2) = (-2x1 -2 y1 + 2x2 + 2y2, -x1 - y1 + )+x2 + y 2) = (-2x1 + 2x2 -2 y1 + 2y2, -x1 +x2 - y1 + y 1 ) = (-2x1 + 2x2 , -x1 +x2 ) + ( -2 y1 + 2y2, - y1 + y 1 ) = L(x 1,x 2 ) + L(y 1,y 2 ) = L(x) + L(y) L( λ = L( λ (x1,x 2 )) = L( λ x1, λ x2 ) x) = ( x1+ x2, x1 + x2) = −2 (( x1+2 x2, -x−1 +x 2) = L(x) −2 2 : Ker(L) Ker(L) = │ = { (x ,x ) } {1 ∈ ℝ2 ()│= 0} = { (x ,x )∈ ℝ (-2x(x+2x, x,-x) +x= (0,0)) = (0,0) } 1 2 1 2 1 2 = { (x ,x ) x = x } = .(1,1) 1 2 ∈ ℝ │ 1 2 د (Ker(L وه 2ده ℝ u:=(1,1)⊆ ℝده . -8 ھرو ور│ د Ker(L)∈ ℝ و$ط0 ر ب د u دی . "ر ! & د u و ور$Nف د @ردی، س $طA5 0ل ھم دی . : : & 237

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

Ker(L) = <> dim(Ker(L)) = 1 : : Im(L) ⟹ Im(L): = L( ) = = { (x ,x ) } ℝ {L()1 ∈2 ℝ } = { (-2x+2x ,-x +x ) (x ,x ) } ((x1 , x 2))│1 2 ∈1 ℝ2 = { ( -x +x )(2,1) x ,x } = .(2,1) 1 2 1 │2 ∈ ℝ د (Im(L وه 2ده ℝ v:=(2,1)⊆ ℝده . ℝ 8- ∋ھرو ور د │(Im(L و$ط0 ر ب د v v دی . "ر ! & د v و ور$Nف د @ردی، س $طA5 0ل ھم دی . : : & Im(L)= <> dim(Im(L)) = 1

⟹ = (v ,v ,v ) ( , ) :12.2 9ل و وری C* & هدو 2دي 3 2 1 وا ℬ . = (w ,w ,w ) Eℝ ℝ 1 2 3 دي ډول را ړل >ودي د ا55 2ده . C = (e ,e ,e ) (canonical Basis ) ℬ 3 2 1 5ره H وℝ ? & v = (2,0,0) , v = (1,2,0) , v = (0,1,1) 1 2 3 w = (1,1,0) , w = (0,0,3) , w = (1,0,2) 1 2 3 ∈ ℝ e = (1,0,0) , e = (0,1,0) , e = (0,0,1) 1 2 3 ∈ ℝ

∈ ℝ L ∶ ℝ ⟶ℝ 1 2 3 3 1 2 ( 1 ) (x ,x ,x )⟼(x ,2x ,x ) ( L ( a و $ط 0 lin-map) 9) دی . . ( b ) واړو دL ر%وط ر8س ظر وا ا55 2د ي دا ړو (ℬ (L ( c ) د واړو د ر8س ، (b) & وEس راوړی ، L ر%وط $طL) 0) 9 دا ړو ( 2 ) ´ ( i ) واړو دL ر%وط ر8س ظر وا ´ 2د و ℬ دا ړو ℬ ℬ (L) ´ ( ii ) د واړو د ر8س ، (i) & وEس راوړی ، ℬ L ر%وط $طL) 0) 9 دا ړو 238

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

#ل ( 1 ) : : ( a ): داB%وت و5و 08 رږدو . . (basis) e3,e 2,e 1 L(v 3) L(v 2),L(v 1) : ( b ) ﯽ : : ∈ ℝ ! ∃ a11 ,a 21 , a31 , a12 ,a 22 ,a32, a13 ,a 23 ,a33 ∈ ℝ ; L(v 1)=a 11 e1+a 21 e2+a 31 e3 L(v 1)=a 11 (1,0,0)+a 21 (0,1,0)+a 31 (0,0,1)=(a 11 ,a 21 ,a 31 ) L(v 1)=L((2,0,0))=(0,4,0)⟹(a 11 ,a 21 ,a 31 )=(0,4,0)

L(v 2)=a 12 e1+a 22 e2+a 32 e3 L(v 2)=a 12 (1,0,0)+a 22 (0,1,0)+a32 (0,0,1)=(a 12 ,a 22 ,a 32 ) L(v 2)=L((1,2,0))=(0,2,2)⟹(a 12 ,a 22 ,a 32 )=(0,2,2)

L(v 3)=a 13 e1+a 23 e2+a33 e3 L(v 3) = L((0,1,1))13 = (1,0,1)23 (a 33 , a , a ) 13= (1,0,1)23 33 L(v 3)=a (1,0,0)+a (0,1,0)+a 13(0,0,1)=(a23 33 ,a ,a ) & ر%وط ر8س: ⟹

0 0 1 (L):= 4 2 0 ( c ) : دا E دي ر8س رو : : 0 2 1

ℬ 0 0 1 (L):= 4 2 0 x = (x 1,x 2,x 3) 0 2 1 [ v3, v2 , v 1 ﻗﺎﻋﺪه ] a1,a 2,a ∈3 ℝ ; x = a1v1 + a 2v2 + a3v3 ! ⇒ ∃(x1,x 2,x 3) =∈ a ℝ1(2,0,0) + a2 (1,2,0 ) + a 3 ( 0,1,1 ) ⇒ = (2a1 + a 2 , 2a2 + a 3, a 3) a3 = x3

2a2 + a3 = x 2 ⇒ = = 2a1 + a2 = x 1 = ⇒ = =

239

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

L(x) = L(a 1v1 + a 2v2 + a3v3 ) = a 1L(v 1) + a 2 L(v 2 ) + a3 L(v 3 )

"ر ! & ( L(v 1) , L(v 2 ), L(v 3 دي . س 8: >و : : ! a 11 ,a 21 , a31 , a12 ,a 22 , a32, a13 ,a 23 , a33 ; ∈ ℝ L(v ) = a e + a e + a e ∃ 1 11 1 21 2 31 3 ∈ ℝ L(v 1) = a 11 (1,0,0) + a 21 (0,1,0) + a 31 (0,0,1) = (a 11 ,a 21 , a 31 ) = (0,4,0) L(v 2) = a 12e1 + a 22e2 + a 32e3 L(v 2) = a 12(1,0,0) + a 22(0,1,0) + a 32(0,0,1) = (a 12,a 22, a 32) = (0,2,2) L(v 3) = a 13e1 + a 22e2 + a 33e3 L(v 3) = a 13(1,0,0) + a 23(0,1,0) + a 33(0,0,1) = (a 13,a 23, a 33) = (1,0,1)

L(x) = L( (x 1,x 2,x 3) ) = a1L(v 1) + a 2 L(v 2 ) + a3L(v 3)

= ( 0,4,0) + (( 0,2,2) ) + x 3 (1,0,1) = (0, +(0, ) +(x 3,0, x 3) = (x , ) 3 2 − + , 0) − , − = ( x , 2x , x ) 3 21− 2 + + − , − +

& ھI $ط E 9 دي >8ل ري : :

L ∶ ℝ ⟶ℝ 1 2 3 3 1 2 (x ,x ,x )⟼(x ,2x ,x )

( 2 ) #ل : : : : L (v 3) L(v 2),L(v 1) : ( i ) ! a 11 ,a 21 , a31 , a12 ,a 22 , a32, a13 ,a 23 , a33 ; ∈ ℝ L(v ) = a w + a w + a w ∃ 1 11 1 21 2 31 3 ∈ ℝ L(v 2) = a 12w1+ a 22w2 + a 32w3 L(v 3) = a 13w1+ a 23w2 + a 33w3

L(v 1) = a 11 (1,1,0) + a 21 (0, 0,3) + a 31 (1, 0,2) 240

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= (a 11 , a11 ,0) + (0, 0, 3a21 ) + (a 31 , 0, 2a31 ) = (a 11 + a31 , a11 , 3a21 + 2a31 ) L(v 1) = L((2,0,0)) = (0,4,0) = (a 11 + a 31 , a 11 , 3a21 + 2a31 ) a11 = 4 a11 + a 31 = 0 a31 = - a11 = - 4

3a21 + 2a31 = 0⟹ 3a21 = - 2a31 = –2 (-4) = 8 a21 = (a 11 , a 21 , a31 ) =⟹ (4, ,-4) ⟹ L(v 2) = a 12w1+ a 22w2 + a 32w3 L(v 2) = a 12(1,1,0) + a 22(0, 0,3) + a 32(1, 0,2) = (a 12, a12,0) + (0, 0, 3a22) + (a 32, 0, 2a32) = (a 12 + a32, a12, 3a22+ 2a32) L(v 2) = L((1,2,0)) = (0,2,2) = (a 12 + a32 , a 12 , 3a22 + 2a32 ) a12 = 2 a12 + a 32 = 0 a32 = 0 - a12 = -2 3a22 + 2a32 = 2⟹ 3a22 = 2 – 2a32 = 2 –2(- 2) = 6 a22 = 2 (a 12 , a22, a 32) = ⟹(2,2 , -2 ) ⟹

L(v 3) = a 13w1+ a 23w2 + a 33w3 L(v 3) = a 13(1,1,0) + a 23(0, 0,3) + a 33(1, 0, 2) = (a 13, a13,0) + (0, 0, 3a23) + (a 33, 0, 2a33) = (a 13 + a33, a13, 3a23+ 2a33) L(v 3) = L((0,1,1)) = (1,0,1) = (a 13 + a 33, a 13, 3a23 + 2a33) a13 = 0 a13 + a 33 = 1 a33 = 1 - a13 = 1 – 0 = 1

3a23 + 2a33 = 1 3a23 = 1 - 2a33 = 1 – 2 = -1 a23 = ⟹ (a 13 , a 23 , a 33 ⟹) = (0, ,1) ⟹ − − س ر%وط ر8س :

241

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

´ = 4 2 0 ℬ ℬ (L): 2 − #ل ( ii ) : ر8س ذل را دارم : 1 −2 −4

´ = 4 2 0 ℬ ℬ (L): 2 − −4 −2 1 x = (x 1,x 2,x 3) [ زﻳﺮا v3, v2 , v 1 ﻗﺎﻋﺪه ] a1,a 2,a ∈3 ℝ ; x = a1v1 + a 2v2 + a3v3 ! ⇒ ∃(x1,x 2,x 3) =∈ a ℝ1(2,0,0) + a2 (1,2,0 ) + a 3 ( 0,1,1 ) ⇒ = (2a1 + a 2 , 2a2 + a 3, a 3) a3 = x3

2a2 + a3 = x 2 ⇒ = =

2a1 + a2 = x1 = ⇒ a = = L(x) = L(a 1v1 + a 2v2 + a3v3 ) = a 1L(v 1) + a 2 L(v 2 ) + a2 L(v 2 )

ون ( L(v 1) , L(v 2 ), L(v 3 ا5ت . س : : ! a 11 ,a 21 , a31 , a12 ,a 22 , a32, a13 ,a 23 , a33 ; ∈ ℝ L(v ) = a w + a w + a w ∃ 1 11 1 21 2 31 3 ∈ ℝ = a 11 (1,1,0) + a 21 (0, 0,3) + a 31 (1, 0,2) = (a 11 , a11 ,0) + (0, 0, 3a21 ) + (a 31 , 0, 2a31 )

= (a 11 + a31 , a11 , 3a21 + 2a31 ) = (4-4, , 3. +2.(-4)) = (0, 4 , 0) L(v 2) = a 12w1+ a 22w2 + a 32w3 = a 12(1,1,0) + a 22(0, 0,3) + a 32(1, 0,2) = (a 12, a12,0) + (0, 0, 3a22) + (a 32, 0, 2a32) = (a 12 + a32, a12, 3a22+ 2a32) = (2-2,2 ,3.2 +2(-2)) 242

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= (0, 2 , 2) L(v 3) = a 13w1+ a 23w2 + a 33w3 = a 13(1,1,0) + a 23(0, 0,3) + a 33(1, 0, 2) = (a 13, a13,0) + (0, 0, 3a23) + (a 33, 0, 2a33)

= (a 13 + a33, a13, 3a23+ 2a33) = (0+1,0, 3.(- )+2.1) = (1, 0 , 1 )

x = a1v1 + a 2v2 + a 3v3

L(x) = L( a1v1 + a 2v2 + a 3v3) = a1L(v 1) + a 2 L(v 2 ) + a3L(v 3)

L((x 1,x 2,x 3)) = (0, ,0) + (0 , 2, 2) + x 3 (1,0 ,1) = (0, 4 + (0, , ) + (x ,0, x ) 2 −3 +3 , 0) − − = (x 3 , ) = ( x , 2x , x ) 3 2 1− 2 + + − , − + )

& $ط 9 داE دي >8ل ري : :

L ∶ ℝ ⟶ℝ 1 2 3 3 1 2 (x ,x ,x )⟼(x ,2x ,x ) = (v ,v ,v ) ( , ) :12.1 ر ن و وری C* & هدو 2دي 3 2 1 وا ℬ . = (w ,w ,w ) Eℝ ℝ 1 2 3 دي ډول را ړل >ودي د ا55 2ده . C = (e ,e ,e ) (canonical Basis ) ℬ 3 2 1 5ره Hوℝ ? & v = (1,2) , v = (0,3) , :=(v ,v ) 1 2 1 2 w = (1,5,1) , w = (0,9,1) , w ℬ = (3,-3,1) , := (w ,w ,w ) 1 2 ∈ ℝ 3 1 2 3 ∈ ℝ ℬ

L ∶ ℝ ⟶ℝ 1 2 1 1 2 ( 1 ) (x ,x )⟼(x ,2x ,x ) ( , ) ( a ) B %وت ړې & د C*ي و ور وه 2ده ده 243 ℝ ℝ ℬ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( , ) ( b ) B %وت ړې & د C*ي و ور وه 2ده ده ℝ ℝ ℬ ( 2 ) ( B ( a%وت ړې & L و $ط 0 lin-map) 9) دی . . ( b ) دL ر%وط ر8س ظر وا دا ړې ℬ ( c ) د ر8س ، (b) & وEس ℬراوړی ، ℬ (L) L (Lر%وط ) $ط0 9 دا ړې ( , ) 12.2 ر ن ::: و ږ د C*ی و ور م & 5و ℝ ℝ v = (2,0,0) , v = (1,2,0) , v = (0,1,1) 1 2 3 ∈ ℝ L ∶ ℝ ⟶ℝ 1 2 3 3 1 2 (x ,x ,x )⟼(x ,2x ,x ) . . v ,v ,v ( 1 ) B%وت ړې & د 1 2 3 و ور و وه 2ده د ده Isomorphism L ( 2 ) ا و دی ℝ ( ( 3 L و lin-map وي ، % (ker(L ا و (Im(L د8ړې ( 4 ) دو طرAو B%وت ړې & د (L(v 3), L(v 2), L(v 1 و ور و ھم وه

2ده د ده : : ( , ) : 12.3 ر ن ℝ و وری *C E & دي و ورو را ړل >ودي

ℝ ℝ v = (1,0,0) , v = (2,0,1) , v = (0,2,1) , := (v ,v ,v ) 1 2 3 1 2 3 w = (1,1,0) , w = (0,0,2) , w = (0,1,2) ℬ, := (w ,w ,w ) 1 2 3 ∈ ℝ 1 2 3 ℬ ∈ ℝ (x ,x ,x ) ( x , 2 x , x ) L ∶1 ℝ2 ⟶ℝ3 3 1 2 (basis) ( 1 ) B%وت ړې & او 2دي د دي ⟼ ´ ( 2 ) د L $ط ℬ ℬ 9ر%وط ر8س ظر وا ℝ 2دو دا ړې ( 3 ) ھI ر8س & ( (2 ℬ 5E &راوړل ℬ>وی ´ وHو ℬ ℬ ( a ) در ت ´ دا ړې (L) ℬ ℬ ( b ) د ´ (L)ر8س rank دا ړې ℬ 244 ℬ (L)

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( c ) د ´ ?8وس " >8ل ري ℬ ℬ (L) 9ل 12.3 : د واړم د 7.1 * ط%ق وه Bل 0 وا*L ړم . . هدو E دي و ور و , وﻛﺘﻮري C* 0 را ړل >وي دي : w1= (2,3),w 2= (1,2) (ℝ ℝ) ∈ ℝ ( B 5.1 ( 1ل 0 وودل & ا و (v2= (-1,2 وه 2ده د ده . ھI و ږ 5ره (Hوو .1,1 ) = ℬ (ℝ ,ℝ) ( a ) واړو $ط L 9 ظ ر د E دي $ وا@و 5ره دا ړو : ℬ , L(v ) = w ( i=1,2 ) i i ( b ) ﻏﻮا L ر%وط ر8س (L) ظ ر دا ړو . . L ∶ ℝ ⟶ ℝ ℬ ( c ) ﻏﻮا (L) ر%وط $ط ℬ 9 ظ رℬ دا ړو . . ℬ ( 2 ) واړ وي و $ط ℬ L 9 طر ا055 2د ي ℬ دE دي $وا@و5ره دا ړو : , L(e ) = w ( i=1,2 ) i i : (1) #ل L ∶ ℝ ⟶ ℝ ( a )

ℝ =≪ , ≫ ; x = v1 + v2 ھB Iل λ 0وودل : x = (x, x) ∈ ℝ ⟹ ∃λ, λ ∈ ℝ λ

λ = , λ = L(x) = w1 + w2 λ λ = . w 1 + . w 2 = .(2,3 ) + . (1,2) = ( ) + ( , ) .( ) .( ) .() , = ( ) , 245

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= ) () , = ) ( + , E L 0 دي >8ل ري:

(x 1,x 2 ) ) L ∶ ℝ ⟶ ℝ اوس واړو B%وت ړو & L و $ط L-Map) , 9) + دی . ) ⟼

λ R 1 2 1 2 =(r ,r ),s=(s ,s )∈ ℝ , ∈ ℝ ()() 1 1 2 2 1 1 2 2 L(r+s)=L(r +s ,r +s )=(r +s +r +s , ) ) ) 1 2 1 2 =(r +r , )+(s +s , )=L(r)+L(s) ) 1 2 1 2 L()=L(r ,r )=(r +r , ) () 1 2 1 2 =((r +r ), )=((r +r ), ) . . ( L-Map ) L 0 و $ط 9 دی (L(r= ا وس %د B%وت > & L(v 1) = w 1 ا و L(v 2) = w 2 @دق وي . .

L(v 1) = L((1,1)) = ) = (2,3) = w 1

L(v 2) = L((-1,2)) = (1 + 1, ) = (1,2) = w 2 (). ( b ) #ل : د $ط L 9 ظر 0 5و ,2 + −1) : : v ,v L(v ),L(v ) 2 1 2 1 ! a 11 ,a 21 ,a 12 ,a 22 ℝ ; ∈ ℝ L(v ) = a v + a v , L(v ) = a v + a v ∃ 1 11 1 ∈21 ℝ2 2 12 1 22 2

1 11 21 11 11 21 21 L(v )=a (1,1)+a (-1,2)=(a ,a )+(-a ,2a ) 11 21 11 21 : L %:0 $وا د $ط 9 $وا@و $&( a -a ,a +2a)= L(v 1)= w1 = (2,3) س : :

246

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

L(v 1) =(2,3)===(a 11 -a21 ,a 11 +2a 21 ) 11 21 11 21 ⇒a -a =2∧a +2a =3 21 = 21 ⇒-3a 2-3=-1⇒a = 11 21 ⇒a =2+a =2+= 11 21 ⇒ (a ,a )=(, ) L(v 2)=a 12 v1+a 22 v2 =a 12 (1,1)+a 22 (-1,2)=(a 12 ,a 12 )+(-a22 ,2a22 ) 12 22 12 22 : L %:0 $وا د $ط 9 $وا@و $&( a -a ,a +2a)= L(v 2)= w2 = (1,2) س : : L(v 2) = (1, 2) = (a 12 - a22 , a 12 + 2a22 ) a12 - a22 = 1 a12 + 2a22 = 2

-3a22 = 1 - 2 = -1 a22 = ⇒ ∧ ⇒ ⇒ a12 = 1 + a22 = 1 + = ⇒ (a 12, a 22 ) = ( , ) ⇒ 0 د L $ط 9 ر%وط ر8س ظر 2ده E دي >8ل ري : ℬ

(L) = ℬ ℬ ( c ) #ل: د د (L) ر8س ر%وط $ط 0 5E L 9 راوړو ℬ ℬ ℝ =≪ , ≫ ; x = v1 + v2 x = (x, x) ∈ ℝ ⟹ ∃λ, λ ∈ ℝ λ λ L(x) = L(x) = L( v1 + v2) = L(v 1) + L(v 2) ⟹ λ λ λ λ

247

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(L) = = ℬ ℬ : : v ,v L(v ),L(v ) 2 1 2 1 ! a 11 ,a 21 ,a 12 ,a 22 ℝ ; ∈ ℝ L(v ) = a v + a v , L(v ) = a v + a v ∃ 1 11 1 ∈21 ℝ2 2 12 1 22 2

1 11 21 11 11 21 21 L(v )=a (1,1)+a (-1,2)=(a ,a )+(-a ,2a ) 11 21 11 21 1 =(a -a ,a +2a )=( − , + )=(2,3)= w 2 12 22 12 12 22 22 L(v )=a (1,1)+a (-1,2)=(a ,a )+(-a ,2a ) 12 22 12 22 2 (w (a 0 وودل & =(a -a ,a +2a )=( − , + : )=(1,2)=

λ = , λ = L(x) = L(v 1) + L(v 2) = + λ λ ( (2,3 , ) (1,2) ) == ( ) + ( , = ( , () = (x 1 + x 2 , + , + ) ) : 0

(x 1,x 2 ) ) L ∶ ℝ ⟶ ℝ ⟼ ( + , د (2) #ل: و ږوھږو & و وري C* ا55 2ده E دي : >8ل ري (ℝ ,ℝ) e1= (1,0) , e 2= (0,1)

= <> ℝ λ λ ; x = λ e1 + λ e2 248x = (x, x) ∈ ℝ ⟹ ∃ , ∈ ℝ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

(x, x) = (, 0) + (0, ) = ( , ) L(x)⟹ = λ w=1 + ∧λ w2 = x 1 .w =1 + x 2 .w 2 = x 1(2,3) + x 2(1,2) = (2 x , 3 x ) + ( x , 2 x ) 1 1 2 2 = (2 x 1+ x 2 , 3 x 1 +2 x 2) %:0 $وا : : L(e 1) = L( (1,0) ) = ( 2+0 , 3 +0) = (2,3) = w 1 L(e 2) = L( (0,1) ) = ( 0+1 , 0 +2) = (1,2) = w 2

س $ط L 9 ظرا55 2ده E دي >8ل ري : :

(x ,x ) (2 x + x , 3 x +2 x ) L ∶1 ℝ 2 ⟶ ℝ1 2 1 2 ر ن 12.4 : و ږ د د ) C*ی و ور ظر 0 5و. ⟼ w1 = (2,3,1) , w2 = (1,2,1) , w3 = (1,1,1) ℝ , ℝ) v1= (2,0,0),v2= (3,0,1), v3= (0,2,1) ∈ ℝ ∈ ℝ ( 1 ) (B ( a%وت ړی & د v2,v 1 او v3 وﻛﺘﻮروﻧﻪ ﻳﻮه ﻗﺎﻋﺪه (basis) د ﺟﻮ . : : = << v 1,v 2ℝ,v 3>> ( b ) د 7.1 * $& و $ط L 9 ظ ر (v1,v 2,v 3) = دE دي ℝ

$وا@و 5ره دا ړی : ℬ , L(v ) = w ( i=1,2,3 ) i i ( L ( c ر%وط ر8س (L) ظ ر دا ړی . . L ∶ ℝ ⟶ ℝ ℬ ( 2 ) $ط L 9 طر ا2ℬ 055د ي ℬدE دي $وا@و5ره دا ړو : , L(e ) = w ( i=1,2,3 ) i i

L ∶ ℝ ⟶ ℝ 9ل 12.4: واړو دې Bل 0 و isomorphism د ) ا و . M(2x2, ) C*ي و ورو ر T دا ړو (ℝ , ℝ : : : #ل ℝو ږ وھږو

= << e 1 ,e 2 , e 3, e 4>> 249ℝ M(2x2,ℝ)=<< , , , >>

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د 7.1 *& $& و $ط L 9 دE دي $وا@و5ره وود دی : :

i E i L ∶ ℝ ⟶ M(2x2, ℝ),L(e )= (i=1,2,3,4) x = (xλ, xλ, xλ, xλ) ∈ ℝ ; x = λ e1 + λ e2 + λ e3 + + λ e4 ⟹ ∃ , , , ∈ ℝ

⟹ = ∧ = ∧ = ∧ = L(x) = L( λ e1 + λ e2 + λ e3 + + λ e4) = λ e1) + λ L(e2) + λ L(e3) + + λ L(e4) = L(. . + . . λ +λ λ +λ = x 1. + x2 . + x3 . + x4 . 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 = x x س $ط E L 9 دي ډول دی x x

L ∶ ℝ ⟶ M(2x2,ℝ) x x 1 2 3 4 : L injective X=(x ,x ,x ,x )⟼ x x

L(x)x = (=x L(y), x, x , x ) , y = (y, y, y, y) ∈ ℝ x x y y x = y L injective ⟹ x x = y y : : L surjective ⟹ ⟹ Dim( = 4 = dim(M(2x2, ) [ د * 7.3L injectiveℝ ) L surjectiveℝ [ &$ &

⟹ وا A = , x:=( a b 1 2 3 4 ∈ M(2x2, ℝ) x ,x ,x ,x )=(a,b,c,d) c d 250

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

a b L(x)=L((a,b,c,d))= ⟹Lsurjective c d L و isomorphism دی . .

ر ن W, ) :12.5) و وری C* ده & w5 , w4, w 3, w 2, w 1 و ورو . surjective W 0 وه 2ده ℝوړوي او و $ ط 9 دی B%وت ړې & L ﻮﻳ ⟶ ھمℝ ∶ دی.L 9ل :12.5 L injective ) وا A د L ر%وط ر8س ظر ا55 : : (standard Basis) 2دي E ∈ (ℝ دي ډول وي

A = 5 −8 ( 1 ) $ط L 9 ظر A ر8س دا ړې −1 3 ( 2 ) د L >$@ و (eigenvalues) وم دي ( 3 ) د>$@ و ر%وط >$@ و ورو ( eigenvectors) دا ړې اوا ن 0 ړې ( B ( 4%وت ړې & د A ر8س diagonalizable ( د طري دو وړ ) دی

( 1 ) #ل:

x = (x 1,x 2 ) L(x) = L( x1,x 2)∈ =ℝ A.x = . 5 −8 = −1 3 5 − 8 = (5x – 8x , -x + 3x ) −1 +32 1 2 & د A ر8س ر%وط $ط 9 ظر ا55 2ده E دي >8ل رې : : L : ) (x 1ℝ,x 2) ⟶ (5xℝ 1 – 8x2, -x1 + 3x2 ( 2 ) #ل: ⟼ 251

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

2 5 − −8 A–t. E = −1 3 −

L 2 5 − −8 p (t)=det(A–t.... EEE )= −1 3 −

=(5–t).(3–t)–82 1 1 pL(t) = t – 8t + 7 = (t – 7) . (t – 1) = 0 t1 = 7 , t 2 = 1 1 ا و 7 د L >$@ و دي . ⇒ د او t2 ا%ري @ل *رب ( algebraic multiplicity ) 1 دی . ? & : : (P L,7) = (P L,1) = 1

( 3 ) #ل: >$@ و ورو ( eigenvectors) دا ووره داE دي ?د 0 ل وو : : (A – tE 2)(x) = 0

( A –t.E 2)(x) = . = 5 − −8 0 t1 = 7 −1 3 − 0

2 5 − 7 −8 0 (A–7. E )(x)= . = −1 3 − 7 0 −2 −8 0 = . = −1 −4 0 −2 −8 0 ==== = −1 −7 0 -2x 1 – 8x 2 = 0 -x1 – 4x 2 = 0 x1 = -4x 2 ⇒ ∧ ⇒ "ر ! & ور ?دEي راری ل ري . ( x2 = m (m eigenspace v = (-4m,m) و*7 >&، % 1 و>$@ و وردی ℝ ∋اور%وط E 0 دي >8ل رې Eig(L,7) = {(-4m,m) m } = {(m( -4,1) m } 252 │ ∈ ℝ │ ∈ ℝ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د Bل ډول x2 = -1 و*% ،& < 7 x1 = 4 ږي ا وو >$@ و ور 5%ت t1= 7 >$@ ت (u:= (4,-1 دی ا ن : ?رف $& د >$@ ت او>$@ و ور v ره %د = (L(v @دق و ړې : L(v ) = L(-4m,m) = (5(-4m) – 8m, 4m + 3m ) = (-28m, 7m) 1 = 7.(-4m,m) = t 1.v 1 (4,1-) وه 2ده د (C Eig(L,7* ې و ور ده . س dim(Eig(L,7)) = 1 دی . . س geometric multiplicity ( ھ د5 @ل *رب ) د ?رف $& 1 دی ttt222 ====1111 ددد 2 5 − 1 −8 0 (A–1. E )(x)= . = −1 3 − 1 0

4 −8 0 = . = −1 2 0 4 −8 0 ==== = −1 2 0 4x 1 – 8x 2 = 0 -x1 + 2x 2 = 0 x1 = 2x 2 ⇒ ∧ ⇒ "ر ! & ور ?دEي راری ل ري . ( x2 = m (m eigenspace v = (2m,m) و*7 >&، % 2 و>$@ و وردی ℝ ∋اور%وط 0 E دي >8ل رې Eig(L,1) = {(2m,m) m } = {(m( 2,1) m } x = 2 x = 1 د Bلℝ ∋ډول│ 2 و*ℝ< 7 &، ∋% │ 1 ږي ا وو >$@ و ور 5%ت t2= 1 >$@ ت (v:= (2,1 دی ( 4 ) #ل : : 5.3 . v u 9.2 د $0 ا و و ورو & $ط A5ل دي س د = << u, v >> : $0 8: >و ℝ و A ر8س diagonalizable ( د طری دو وړ ) -1 ℝ دی، ( , ري× و) ∋ر8س ( ,S GL(n وود وي & S .A.S و . . diagonal ر8س >& ∋

253

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

د S ر8س دا ډول ?رف >& 5 0 (column) 0u 0 ا و v >$@ و ور و وي . ? : : S = , det(S) = 4.1 – (-2.1) = 6 4 2 −1 1 S-1 = = = 1 −2 1 −2 − () 1 4 1 4

S-1.A.S = . . − 5 −8 4 2 −1 3 −1 1

= . = − 4 2 + − −1 1 = − + 7 0 0 1 -1 دل ږې & S .A.S و Qد و ل ر8س دی . س ?رف $0 د A A ر8س Diagonalizable دی . . و ږ ودل & د t1 او t2 >$@ و ور 2و0 ډول E دي >8ل درود : :

V1 = (-4m,m) , V 2 = (2m,m) ( m ) m= -1 و*% &H 7 u= (4,-1) او (v=(-2,-1 ږي ∈ ℝ S = , det(S) = - 6 4 −2 −1 −1 S-1 = = = −1 2 −1 2 − () − 1 4 1 4 − −

S-1.A.S = . . − 5 −8 4 −2 − − −1 3 −1 −1 254

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

= + − − 4 −2 . − + − −1 −1 = . − 4 −2 . − − −1 −1 = 7 0 دل ږې & S-1.A.S % ھم و Qد و ل ر8س دی او 1 طري 20 @ر 0 >$@ و دي . س A ر8س Diagonalizable دی . . ر ن 12.6 دا E دي ر8س را ړل >ودی : :

A = 1 2 0 0 3 0 ( 1 ) د A ر8س ر%وط L $ط0 9 ظر ا55& 2 2ده 4− 2دا ړې

( 2 ) د A ر8س >$@ و (eigenvalues) وم دي

( 3 ) ا%ري @ل *رب (algebraic multiplicity) 0 دا ړې

( 4 ) د A ر8س >$@ و ورو (eigenvectors) وم دي

( 5 ) ر%وط eigenspace 0 دا ړې

( 6 ) ھ د5 @ل *رب (geometric multiplicity) 0 دا ړې

( ( 7 t3 ,t 2 ,t 1 >$@ و ا و v3 ,v 2 ,v 1 >$@ و8ور و د A ر8س وي ، %B%وت ړې & داE دې را%ط @دق وې : :

A.v i = t i . v i ( i= 1,2,3 )

255

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

( 8 ) و S ر8س دا ړې & det(S) 0 ا و S-1.A.S و Qد و ل (eigenvalues) A D . D ر8س وې د طر %د د ≠>$@ و "$ >8ل >وی وې.

9ل 12.6:

v1=(1,1,0),v 2=(2,2,3)∈ (ℝ , ∥ ∥) . ? 0 %د B%وت >& & ( v 2,وه1 2ده د دهW:=span(v 2 111 gram-schmidt 1 2 (1) << اv, و ل W=<8ل ري او%د ا ن >& orthonormalbasis 2 1 ( b ) د v ، v ر%وط Eس ر اوړو د لv2 v 1و5و 8 رږدم : (2) (1) ل gram-schmidt د orthogonalbasis او orthonormalbasis د : : دا وو طرE A دي ډول ده

(a) 1 1 u2: = v 2 - (v 2) = v 2 - .u 1 u :=v =(1,1,0) , = ( proj- ,. (,,),(,,) = 2,2,3) – (,,),(,,) (1,1,0)= - .. = (2,2,3)+ ( .. ()1,1,0 = ( ), (2,2,3)) (1,1,0) = < (1,1,0)−2, −2,0, (0,0,3) >0 = 0,31.0 + 1.0 + 3.0 = 0 u1 , u 2 orthogonal W u u اوس %د B%و ت >& & 1 او 2 وه 2ده د ده ⇒

X=(x 1λ,x 2,xλ3)∈W=span(v ; x = λ v1,v +2 )λ v2 ⇒ ∃ , ∈ ℝλ (1,1,0) + λ (2,2,3) 1 2 3 ⇒ (x ,x ,x )= = ( λ , λ ,0) + ( λ , λ , λ ) = ( λ λ λ 2 λ2 λ3 x1 = x 2 = λ +λ 2 , ,x 3 =+ 2λ , 3 ) a1,a 2 ; x = a1+u1 2+ a 2u2 3 ⇒ 256 ∈ ℝ

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

a1(11,0) + a 2(0,0,3) = (a 1, a1,0) + (0,0,3a 2) 1 2= ((a3 , a , 3a ) (x ,x ,x )=1 1 2 a1 = x 1 = x2 = ( λ λ ) , a 2 = λ + 2 3 1 2 1 2 ⇒ W=span(u ,u )= u1 ا و u2 $طA5 0ل ھم دي . 8- : :

µ µ ; µ u1 + µ u2 = 0 ,µ (1,1,0) ∈ ℝ + µ (0,0,3) = (0,0,0) (µ µ µ ) = (0,0,0) ⇒ µ µ ⇒ , , 3 & u1 ا و u2 د W اورو.و ل %س orthogonalbasis) = 0) = وړوي . ⇒ ( b ) wi:= ∥∥( = 1,2) 1 w = ∥∥= ∥(,,)∥.(1,1,0)= .(1,1,0)=(, , 0) ( , ) ( , ) w2 == ∥(∥,= ∥(,,)) = ( ,∥. 0)0,3 = . 0 0,3 . 0 0,3 0 0,1 = < , ( , ) > 0 + 0 + 0 = 0 دل ږې & ا و w2 و ورو و%ل (5ره orthogonal , 0) 0 0,1 ,دي .) . او w1 w2و ورو orthonormal ھم دي . 8- : : w1 1 ∥w ∥= ∥(, , 0) ∥= + + 0= 1=1 ∥w2∥= ∥(0,0,1) ∥= 1=1 w W w ا5 5ره B%وت دای >& & ا و 2 و 2ده د ده . س او 2 و ورو و w orthonormalbasis1 وړوي . w1

257

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ر ن 12.7:

1 2 3 . (∥ ∥ , (ℝ? B 0%وت∋(2,1,1)= ړې &v,(1,1,3)= وه 2دهv,(1,2,1)=دv 3 2 111 1 2 3 (1) <<ده v , v , v W=<8ل ري او%د 3 2 1 ا نv v&<,,, v ( b ) د ، , ر%وط E orthonormalbasisس راوړي 3 2 1:12.7 9ل v v v

x 2x V ={f ℝ ℝ x f(x)=a+be2x +ce (a,b,c∈ ℝ)} د B 4.1ل $ ( ,V) وه و وری C* ده ، { e ,e,1} → :وه 2ده : : . ده ℝ 8- اول : ھر V وEی >و د { e x ,e 2x,1} $ط0 ر ب ډول و8و . س : : x x V = <1,e , e2 > ∈ دوم : واړود Wronski ري B%وت ړو { e x ,e 2x,1} $طA5 0ل دي

x 2x f1(x): = 1 , f 2(x): = e , f 3(x): = e د ورو wronski ) 085 ) ر8س E دي >8ل ري : :

′ ′ ′ W(f 1,f 2,f 3 )(x) = () () () ′′ ′′ ′′ () () () () () ()

1 e e = 0 e 2e 0 e 4e det W(f1, f2, f3 )( x) = 1. (e . 4e −e . 2e0 ( x ) x 2x [ *∈ ℝ 11.3 2e ) ≠[ 0$ ∀ $طA5= 0لe , e } lin-indep= 4e − ( 2e,1}

⟹ : : & 258

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

V = <<1, ex,e2x >> dimV = 3 12.8 ر ن : ∧

2 3 4 V ={f ℝ ℝ f(x)=a+bx+cx +dx +ex (a,b,c,d,e∈ ℝ)} ( B ( 1%وت ړې ( ,V) ﻳﻮه وﻛﺘﻮري ﻓﻀﺎ ده . → : ( 2 ) ﻳﻮه 2ده د ( ,ℝ(V دا ړې ℝ dimV ( 3 )

ر ن 12.9:

mx nx V ={f ℝ ℝ f(x)=ae +be (a,b∈ ℝ, m, n ∈ ℕ)} و ږ د ( ,V) و وري C* م & 5و → : mx nx f1(x):= e , f2(x):= e V (m,n ) ℝ) د wronski ر8س ℕ $0 ∋?:وم ړي، ∋د m ا و n وو وره (f1(x

او (f2(x $طA5 0ل (lin-indep) دي . .

259

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

و و" (Symbols) د ﻃﺒﻴﻌﻲ اﻋﺪادو ﺳﺖ =: ℕ دوره ( م ) ا2دادو 5ت {ℕ : = ℕ {0 ∗ \ ℤ د طق ا2دادو 5ت {ℤ∗ ℤ {0 := \ ℚ د AA ا2دادو 5ت {ℚ∗ ≔ ℚ {0 د B%ت AA ا2دادو 5ت د @ر 5ره \ ℝ ℝ {0} ℝ د AA ا2دادو 5ت د @ر 5ره ℝ ℝ د و ھو0 دوا $:ط ا2دادو 5ت ∗ (Field) ℂ : = ℂ\{0} 5 ℂ A ?رف >وي :A د a اCد ی -$ د b اCده Eس را"0 ⇒ د a اCدي "$ b ا دو E a $" bس را0- ⇔ A و $ ت5 دی ∅ = A و $ 5 ت دی ∅ ≠ a و 2 @ر د 5 ت A دی . وا دا & A a >ل دی ∋ a a د A 2 @ر دی . وا دا & a د A 5 ت >ل دی ∌ د ھر a ره & د A 5ت >ل وي (conjuction) and ∀ ∈ ∧ دBل ډول : د a اCده وا د b اCده ∧ (disjunction) or ∨ دBل ډول : د a اCده د b اCده د 5 و و ا د (union) ∨ د 5و و Aطintersection) 7) C Aر2 5 ت (sub set) د B دی C A A ⊂ Bر2 5ت (sub set) د B وا 5 وي د B 5ره دی { a A a B } A⊆ B ∖ و b ∌2 @ر│ د A ∋ 5ت وود دی ∋ ∃ و b 2 @ر د A 5ت ود ری ∋ ∄ ACط وا- و b د A 5ت وود دی 260 ∃! ∈

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

< , ..., > ود ( system generating وا Span ) دوه C*ی و ور << , … , >> 2ده ( Basis ) د و C*ی و ور A : ر8س m5 n ، (rows) 08 colmns) 0) ري ( , × ) ∋ او2 @ر 0 د د 5 0 دي

A : ر%?0 ر8س n5 n ، (rows) 08 colmns) 0) ري

( ,) ∋ او2 @ر 0 د د 5 0 دي

(L) د L $ط0 9 ر%وط ر8س ظر او 2د و ´ ℬ ℬ

261

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

ا رات lin-comb $ط ر ب (linear combination)

lin-dep $ط او linearly dependent ) 5%)

lin-indep $ط A5ل ( linearly independent)

lin-map $ط linear mapping ) 9)

(Im(L @ رو (image) د L $ط 9

(Ker(L ھkernel) 5) د L $ط 9 geometric multiplicity geom – mult

algebraic multiplicity algeb – mult n ر%?0 @رر8س E n En ر%?0 وا د ر8س

262

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

Greek Letters ( و #روف ) )

Uppercase lowercase ( و 0 روف ) ( وي روف ) ------alpha Α beta α Β gamma β Γ delta γ Δ epsilon epsilon variant Ε zeta ϵ Ζ eta Η theta theta variant Θ iota Ι kappsa Κ lambda Λ mu Μ nu Ν xi ν Ξ onmicron Ο pi Π rho rho vaiant Ρ sigma sigma variant Σ tau Τ upsilon Υ phi phi variant Φ chi Χ psi Ψ omega Ω

263

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

References List

Prof. Gerd Fischer Lineare Algebra 10. Auflage 1995 Prof. Klaus Jänich Lineare Algebra 11. Auflage 2007 Jin Ho Kwak Linear Algebra second Edition H.J. Kowalsky Lineare Algebra 12. Auflage 2003 Prof. Dr. Dirk Ferus Lineare Algebra II , Wintersemester 2001/2 Prof.Dr.Ina Kersten Analytische Geometrie und Lineare Algebra 2001 Prof.Dr.V.Bangert Lineare Algebra Vorlesung von 2003 Serge Lang Linear Algebra Jim Hefferon Linear Algebra 2014 Kenneth Kuttler Linear Algebra, Theory And Applications 2012

265

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

Index Algebraic multiplicity 163 Algebraic structure 16 Associativity 17 Bilinearform alternating Bilinearform 169 definition of Bilinearform 169 positive definite Bilinearform 169 symmetric Bilinearform 169 Binary operation 16 Cayley-Hamilton theorem 233 Characteristic function 159 Complete induction 166 Complex conjugate 50 Composition Cramer`s rule 64 Distance Function ( or metric ) 172 Distributivity 18 Direct sum of subspace 107 Dimension Formel 123 Dimension Formel for subspaces 105 Eigenvalue 155 Eigenspace 155 Eigenvector 155 Elementary Operation 21 Elementary Transformation 44 Function Field 19 Gaussian elimination Gaussian Algorithm 31 Geometric multiplicity 163 Group definition of Group 18 commutative group 18 inverse element of a group 18 identity of Group 18 invertible element of a group 18 Homogen Linear Equations 27 Image of linear Mapping 118

266

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

Inhomogen Linear Equations 27 Invariant 135 Kernel of linear Mapping 118 Linearly dependent 74 Linear Independent 75 Linear combination 73 Mapping automorphism 111 bijective Mapping 8 definition of a Mapping ( or Function ) 6 combination of Mapping 10 endomorphism 111 epimorphism 111 homomorphism 111 image of a Mapping 7 injective Mapping 8 inverse function 11 isomorphism 111 linear Mapping 111 linear transformation 111 mappings combination 10 mappings composition 10 monomorphism 111 range of a Mapping 7 surjective Mapping 8 Matrix adjiont matrix 151 adjugate matrix 57 Adjunkte-matrix 62 cofactor of Matrix 57 complex conjugate Matrix defination of Matrix 34 determinant of Matrix 52 diagonal Matrix 167 diagonalizable Matrix 167 equivalence Matrix 167 extended Cofficient Matrix 43 hermitian Matrix 151 inverse Matrix 39

267

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

invertible Matrix 39 jacobian matrix 152 minor of Matrix 57 negative definite Matrix 150 negative semidefinite Matrix 150 nonsingular Matrix 39 positive definite Matrix 150 positive semidefinite Matrix 150 row echelon form of Matrix 45 self adjiont matrix 152 singular Matrix 39 similar Matrix 167 symmetric Matrix 50 transpose matrix 49 unity Matrix 38 Norm 171 Orthogonal 173 Orthonormal 173 Orthonormalsystem 173 Orthogonalsystem 173 Parameterize Solution 24 Rank rank for linear Mapping 126 rank for Matrix 93 Relation definition of Relation 19 equivalence Relation 19 Ring definition of Ring 18 commutative Ring 19 unity of Ring 19 scalar product 169 Semi-bilinear definition of Semi-bilinear 177 hermitian Semi-bilinear 177 positive definite Semi-bilinear 177 Set definition of Sets 2 cardinality of a Set 2 domain Set 7 268

ﺧﻄﻲ اﻟﺠﺒﺮ ------Linear Algebra

codomain Set 7 complement of Sets 5 direct product of Sets 15 cartesian product 15 elements of a Set 2 finite set 3 infinite Set 3 intersection of Sets 4 power set 6 proper Subset 3 relative Complement of Sets 5 subset 2 union of sets 4 Solution of linear equations 24 Sum of Subspaces 101 System of Linear Equations 21 Vectorproduct 174 Vector space basis of a Vector space 82 canonical or standard Basis 83 definition of Vector space 67 dimension of a Vector space 87 euclidean space 170 generating system in a Vector space 82 invariant subspace of a Vector space metric space 172 normed vector space 172 span ( or generating ) of a Vector space 73 subspace of a Vector space 69 unitary vector space 177 Wronskian Matrix 231

269

Aghalibrary.com