Apuntes De Cálculo Aplicado
Total Page：16
File Type：pdf, Size：1020Kb
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE CÓMPUTO Apuntes de Cálculo Aplicado Profesora: Elena Fabiola Ruiz Ledesma Abril 2018 Cálculo Aplicado i Introducción ........................................................................................................... 4 ii Organización de los apuntes ................................................................................. 5 UNIDAD 1 ................................................................................................................. 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA ..................................................................... 7 1.1 Razones de cambio relacionadas .......................................................................... 7 1.2 Diferencial de una función.................................................................................. 16 1.2.1 Aplicaciones de la diferencial y determinación de errores ......................... 17 1.3. Aplicación de Máximos y mínimos .................................................................... 23 1.3.1.- Extremos de una función ........................................................................... 23 1.3.2. Criterio de la primera derivada .................................................................. 25 1.3.3. Criterio de la segunda derivada ................................................................. 26 1.4 Optimización ....................................................................................................... 34 1.4.1. EJERCICIOS COMO APOYO EN LA CLASE .......................................... 40 1.4.2 EJERCICIOS PARA RESOLVER POR PARTE DEL ESTUDIANTE ...... 58 1.4.3. Examen de opción múltiple ........................................................................ 70 UNIDAD 2 ............................................................................................................... 76 APLICACIONES DE LA INTEGRAL .................................................................... 76 2.1 Área entre curvas ................................................................................................ 76 Ejemplo 2.1.6 ......................................................................................................... 87 2.2 Volúmenes usando rebanadas ............................................................................ 89 Proceso de solución ............................................................................................... 90 Ejemplo 2.2.3 ......................................................................................................... 91 2.3 Volúmenes de sólidos de revolución ................................................................... 94 2.3.1 Método de Discos .......................................................................................... 94 Ejemplo 2.3.1.2 ...................................................................................................... 96 Ejemplo 2.3.1.3 ...................................................................................................... 97 2.3.2 Método de Arandelas ................................................................................. 100 Proceso de solución. ............................................................................................ 101 Figura 2.24 Representación gráfica de las funciones ........................................ 104 2.3.3 Método de envolventes cilíndricas o capas ................................................ 106 2.4 Longitud de arco y área de superficie de revolución ....................................... 110 Elena Fabiola Ruiz Ledesma 2.4.1 Longitud de arco ......................................................................................... 110 2.4.2 Áreas de superficie de revolución .............................................................. 114 2.4.3 Ejercicios como apoyo en clase ................................................................... 120 Ejercicios para resolver por el estudiante .......................................................... 131 Examen muestra ................................................................................................. 139 Referencias Bibliográficas .................................................................................... 147 Respuestas de los primeros 9 problemas .............................................................. 148 3 Cálculo Aplicado La formación de ingenieros demanda un aprendizaje considerable de las matemáticas que contribuya a resolver problemas de orden técnico y tecnológico, pero, sobre todo, práctico. Las matemáticas que necesita un ingeniero deben proporcionar herramientas e instrumentos capaces de lograr la optimización en el uso de los recursos que la humanidad posee y requiere para su desarrollo [1]. El Cálculo otorga a los ingenieros los conocimientos y saberes necesarios que los puedan llevar a la resolución y modelado de problemas prácticos que incluyan funciones matemáticas con variable real. La forma en que es abordada la unidad de aprendizaje de Cálculo a nivel universitario debe contribuir a que el estudiante tenga un aprendizaje reflexivo y que sea crítico. En los últimos años las escuelas de nivel superior han orientado su formación académica a fin de que sus egresados tengan un nivel de desarrollo rentable para las empresas, desafortunadamente los estudiantes ingresan con un nivel en Cálculo, bastante bajo, el cual, no permite el completo desarrollo de sus capacidades analíticas en las distintas materias que lo requieren. Entre los problemas de aprendizaje del Cálculo que se han detectado en los estudiantes de nivel medio y superior, está la falta de significado y sentido [2] que tienen de los conceptos involucrados (función, límite, derivada e integral). Algunos autores de la literatura de matemática educativa lo atribuyen a que el estudio del Cálculo se restringe a una manipulación algebraica dejando a un lado las múltiples representaciones que hay [2, 3-7]. El punto de vista de algunos investigadores [5], es que las tareas de conversión promoverían un mejor entendimiento de las funciones y permitirían también el desarrollo de procesos de visualización. En lo general, las tareas de conectar las diferentes representaciones de un concepto ayudan a su comprensión. En las referencias [2,3-8], se proporcionan ejemplos claros de experimentación educativa en donde la visualización es un elemento primordial para el aprendizaje del Cálculo. Esta problemática, de la falta de otorgamiento de significado y sentido a los conceptos involucrados en el Cálculo, también se refleja en los estudiantes de la ESCOM, lo que influye en que los estudiantes no logran enfrentar con éxito las Elena Fabiola Ruiz Ledesma situaciones problemáticas que se les pide resolver en la unidad de aprendizaje de Cálculo Aplicado, trayendo como consecuencia: Bajo aprovechamiento en la materia. Alto índice de reprobación. Retraso en el aprendizaje de otras materias cuya base es Cálculo. Falta de interés en aprender otros métodos de estudio Deserción de los estudiantes por no poder acreditar las materias básicas. Con la finalidad de apoyar al docente y al estudiante, se han desarrollado los apuntes de la Unidad de Aprendizaje de Cálculo Aplicado, empleando ejercicios rutinarios y problemas en contexto y mostrando paso a paso los procesos de solución. Los apuntes se han organizado de la siguiente forma: Se abordan los temas del programa de estudio en los cuales se dividen en 4 unidades temáticas. La primera unidad se denomina Aplicaciones de la derivada y se inicia con razones de cambio relacionadas, se continúa con aplicaciones de la diferencial de una función, para determinar los errores en mediciones. El tercer tema es la determinación de puntos críticos, como los intervalos de crecimiento y concavidad de una función, empleando los criterios de la primera y segunda derivada. Se termina la primera unidad temática con la resolución de problemas de optimización. La segunda unidad se denomina Aplicaciones del Cálculo Integral, de tal forma que se inicia con la determinación del área entre curvas, para pasar a la obtención de volúmenes de sólidos de revolución, mediante diferentes técnicas. Se concluye esta segunda unidad con el tema de longitud de arco. La forma en cómo se presenta el contenido de los apuntes se describe enseguida: 5 Cálculo Aplicado Primeramente, se muestra una parte teórica de cada tema, seguido se presentan ejemplos tanto de ejercicios como de problemas en contexto, mostrando paso a paso el proceso de solución. Hay una segunda sección que se titula “Ejercicios como apoyo en la clase”, en la cual se presentan más ejercicios y problemas resueltos paso a paso, para que el profesor que imparta la materia tenga una variedad de problemas que abordar en clase. En la tercera sección se tienen ejercicios y problemas para que sean resueltos por los estudiantes y en la última sección se presenta un examen de opción múltiple de cada unidad temática. Elena Fabiola Ruiz Ledesma Al definir la derivada de una función = ( ) en un punto fijo , se explicitó en el curso previo de Cálculo, que: 0 ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) = lim = lim = lim ′ 0 0 0 0 ℎ − − ∆ ℎ→0 →0 ∆→0 Donde = ( ) ( ) = (ℎ + ) ( ), −=0 = ,∆ son los incrementos de las variables y y x, respectivamente. ∆ − 0 0 ℎ − 0 ∆ − 0 ℎ Refiriéndonos a estos incrementos podemos decir que: • El incremento = ( ) ( ) = ( + ) ( ) muestra el cambio que tiene la variable . 0 0 0 • El incremento ∆= −= muestra el cambioℎ − que tiene la variable . De esto se desprende la definición.