Eingereicht von Milinovic Michael
Angefertigt an der Linz School of Education Abteilung für MINT Didaktik
Beurteiler / Beurteilerin A. Uni. Prof. Univ. Doz. Dr. Jürgen Maaß
Dezember 2020
Genau getroffen! Stochastik und Dart lernen
Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Magister der Naturwissenschaften im Diplomstudium Lehramtsstudium Mathematik – Chemie
JOHANNES KEPLER UNIVERSITÄT LINZ Altenberger Straße 69 4040 Linz, Österreich www.jku.at DVR 0093696 Eidesstattliche Erklärung
Eidesstattliche Erklärung
„Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe.“
Die vorliegende Diplomarbeit ist mit dem elektronisch übermittelten Textdokument identisch.
………………………………………………….. Linz, Dezember 2020 Milinovic Michael
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Danksagung
Danksagung
Mein größtes Dankeschön geht an meinen Diplomarbeits-Betreuer Herrn A. Univ.-Prof. Dr. Jürgen Maaß für die ausgezeichnete und entgegenkommende Betreuung. Ohne ihn wäre meine Arbeit unmöglich zustande gekommen, vor allem die informativen Ratschläge und dadurch die Leitung in die richtige Bahn. Auch während der Corona-Krise bewiesen Sie immer wieder Geduld mit mir und waren immer erreichbar, falls eine schwere sowohl praktische als auch mentale Hürde zu bestreiten war. Am Ende kamen immer aufbauende Worte, welche mich motivierten, weiter zu machen.
Ein großes Dankeschön geht an meine Familie, die immer für mich da war. Das Studium und die Diplomarbeit wären schlichtweg ohne sie unmöglich. Ihr habt immer Rücksicht genommen, wenn ich das eine oder andere Familientreffen versäumt habe. Darüber hinaus habt ihr mich nicht nur in schweren Phasen aufgebaut, sondern auch immer finanziellen unterstützt.
Zudem bedanke ich mich bei Herr Mag. Alexander Novak, Herr Mag. Kevin Thaller, Frau Martina Brunner und Frau Vanessa Schmid für die Veröffentlichung ihrer Ergebnisse. Die praktische Arbeit und die Gespräche danach waren Quint essentiell für die folgende Arbeit, welche das Projekt um einiges verschönert und realitätsbezogener dargestellt haben.
Ein weiterer Dank geht an die zwei Experten Mag. Harald Jansenberger und Zoran Lerchbacher. Die informativen Gespräche hinter dem Dartssport waren sehr aufschlussreich, und haben mich immer weiter inspiriert. Der Austausch diverser Erfahrungen hat neue Wege geebnet, welche die Arbeit individueller und themenspezifischer gestaltet haben. Das Buch von Herr Jansenberger war dabei ein Grundfundament des Forschungprojektes bzgl. der eigenen Trefferquote.
Das letzte große Dankeschön geht an meine Kollegin Frau Dipl. Pädagogin Edith Zoidl und meinen Freund Mag. Dr. Christian Jetzinger LL.M für die sorgfältige Kontrolle hinsichtlich Grammatik- und Rechtschreibfehler. Dabei möchte ich mich bei Christian nochmals bedanken, welcher mich während der Arbeit immer wieder motiviert hat und mit mir über meine Einfälle diskutiert hat. Seine ehrliche Meinung hat mir oft geholfen, um meine Gedanken neu zu ordnen und zu formulieren. Auch die inhaltlichen Unklarheiten wurden damit wettgemacht und somit stand einem vollständigen Werk nichts im Wege.
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Abstract
Abstract
The following diploma thesis is investigating a school project which is teaching the students to solve a mathematical problem concerning darts. The students are told to play darts, analyse, calculate and statistically construe their results.
As part of the project, the students should deal with the definition of the hit rate and they learn to calculate it. Following the advices of two experts they are told to throw darts with different throwing positions on a steel dartboard. Before being able to solve the problems through calculations, they are taught all mathematical requirements which are based on a Bernoulli process (Bernoulli chain). In the course of the project, students should be able to recognise new insights like disruptive factors influencing the individual hit rate.
While throwing darts on a steel dartboard the pupils should reflect the performance differences between their individual and the new optimized position. The results are compared with the positioning of the professional darts scene.
During the analysis the occurring fatigue will also be taken into consideration. To illustrate that the students are supposed to calculate with a spreadsheet software. Summoning up all experiences being made in the course of the project, the students are told to design their own implementation concept based on the Disney method, leading to next step of the project.
The students are then told to aim at the middle of the steel dartboard. After that they are told to compare their individual throwing and the new optimized throwing position in order to find out which throwing position is better. To make the individual hits more visible the steel dart board is covered with a millimeter paper. Evaluating their results through individual and group work the students should recognize that they are in fact on the trails of Gauss. During this process it’s necessary for the students to work closely with the normal distribution (gaussian distribution), which is derived during the practice-related school session. In the end the students should have learned to use the gaussian curve to illustrate their results combining the practical and theoretical part. Finally, the results of the comparison are presented.
In this diploma thesis the four-practical parts are highlighted by four different test persons, making this thesis very reproducible through the analysis and calculations of their results. The conversations with the test persons leading to their own implementation concept are included.
Concluding the project, the results are presented and the whole project is reevaluated once more. Furthermore, the group results are presented to determine the best group and the best individual dart player in the class. The project concluding conversation between the teacher and the groups is used for grading the students and the teacher.
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Kurzfassung
Kurzfassung
In der gegenständlichen Arbeit befasse ich mich mit einem projektorientierten Zugang für Schüler und Schülerinnen zur Modellierung im Mathematikunterricht in einem auf die Nischensportart Darts bezogenen Kontext. Zu diesem Zweck werden praktisch erzielte Ergebnisse analysiert, berechnet und statistisch interpretiert.
Im Rahmen eines Schulprojektes sollen die Schüler und Schülerinnen sich mit dem Begriff der Trefferquote befassen und diese auch berechnen können. Durch Dartswürfe auf einer Steeldartscheibe werden verschiedene Wurfpositionen ausprobiert, dabei werden die Ratschläge von zwei Experten berücksichtigt. Für die Berechnung müssen zuerst alle mathematischen Voraussetzungen überprüft werden, die auf eine Bernoulli-Kette basieren. Im Zuge des Projektes erkennen Schüler und Schülerinnen neue Erkenntnisse wie z.B. Störfaktoren, welche die individuelle Trefferquote beeinflussen können.
Im Anschluss daran sollen die Teilnehmer und Teilnehmerinnen auch ihre Leistungen hinsichtlich der individuellen und neuen Wurfposition überprüfen und auf der Steeldartscheibe testen. Darüber hinaus wird auch ein Vergleich mit der Profi-Dartsszene durchgeführt
Berücksichtigt und analysiert werden auch die im Projektverlauf auftretenden Müdigkeitserscheinungen. Zur Illustration werden Beispiele mit Tabellenkalkulationsprogrammen berechnet. Nach all den Erfahrungen, sollen die Lernenden ein eigenes Auswertungskonzept nach der Disney-Methode gestalten. Das Ergebnis der Methode führt zum nächsten praktischen Abschnitt.
Im letzten praktischen Abschnitt sollen die Schüler und Schülerinnen auf die Mitte des Dartboards zielen, wobei hier sowohl ihre individuelle Wurfposition, als auch die neu entdeckte Wurfposition nochmals überprüft werden, um eine endgültige Antwort hinsichtlich der Frage, welche Wurfposition besser ist, zu bekommen. Um die einzelnen Treffer besser sichtbar zu machen, wird die Steeldartscheibe mit einem mm-Papier überdeckt. Im Zuge dieser praxisbezogenen Auswertung wandeln die Akteure auf den Spuren von Gauß. Dies geschieht in Form einer Einzel- als auch Gruppenarbeit, wo alle Treffer mit einem Tabellenkalkulationsprogramm ausgewertet werden. Hierbei wird die Darstellung der Normalverteilung genauer ins Visier genommen und in der praxisbezogenen Einheit hergeleitet. Am Ende sollen die Akteure und Akteurinnen ihre erzielten Ergebnisse mit der Gaußschen Glockenkurve veranschaulichen, um den theoretischen und den realitätsbezogenen Abschnitt zu vereinen. Abschließend werden die Ergebnisse nochmals verglichen und präsentiert.
Die vier praxisorientierten Teile werden in dieser Arbeit durch vier Reflektanten besonders hervorgehoben. Mit der Einwilligung zur Veröffentlichung ihrer Ergebnisse ist diese Arbeit sehr greifbar und nachvollziehbar, da ihre Ergebnisse auch berechnet und analysiert werden.
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Kurzfassung
Enthalten sind auch die geführten Gespräche hinsichtlich der Entwicklung eines eigenen Lösungskonzepts und deren eigene Ansichten.
Der letzte Projektabschnitt dient der Präsentationsmöglichkeit der Ergebnisse und der Evaluation der Arbeit. Hierbei sollen die Ergebnisse der ganzen Gruppe dargestellt werden, um sowohl einen Klassenbesten oder eine Klassenbeste als auch die stärkste Gruppe bestimmen zu können. Die nachfolgenden Gespräche zwischen Lehrpersonen und Gruppen unterstützen die nicht vernachlässigbare Evaluation und Benotung des Projektes.
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Eidesstattliche Erklärung ...... 1
Danksagung ...... 2
Kurzfassung ...... 4
Inhaltsverzeichnis ...... 6
1. Einleitung ...... 8
2. Allgemeines ...... 11
2.1. Persönliche Motivation ...... 12
2.2. Ziele des Projektunterrichts ...... 13
2.3. Lehrplanbezug ...... 13
2.4. Merkmale von Projektunterricht ...... 15
2.5. Die Phasen eines Projektunterrichts ...... 17
2.6. Organisatorische Maßnahmen ...... 18
3. Projektanfang ...... 20
3.1. Themenfindung ...... 20
3.1.1. Erster Zugang ...... 20
3.1.2. Zweiter Zugang ...... 22
3.2. Planung und Vorbereitungszeit ...... 23
3.2.1. Informationsbeschaffung ...... 27
3.2.2. Trefferquote ...... 29
3.2.3. Aktuelle Trefferquote steigern ...... 32
3.2.4. Meine Erwartungen ...... 35
3.2.5. Rahmenbedingungen, Sicherheit, Arbeitsblätter ...... 37
4. Durchführung ...... 40
4.1. Ablauf...... 40
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Inhaltsverzeichnis
4.2. Gruppenaufteilung ...... 41
4.3. 1. Praktischer Teil ...... 42
4.3.1. Fachdidaktischer Kommentar und Ziel des ersten praktischen Arbeitsblattes ...... 46
4.3.2. Lösungsvorgang des erstens praktischen Teils (Teil 1) ...... 47
4.3.3. Lösungsvorgang des ersten praktischen Teils (Teil 2) ...... 52
4.3.4. Resümee des ersten praktischen Teiles ...... 67
4.4. 2. Praktischer Teil ...... 68
4.4.1. Fachdidaktischer Kommentar und Ziel des zweiten Arbeitsblattes ...... 71
4.4.2. Lösungsvorgang des zweiten praktischen Beispiels ...... 72
4.4.3. Resümee des zweiten praktischen Teiles ...... 84
4.5. 3. Praktischer Teil ...... 86
4.5.1. Fachdidaktischer Kommentar und Ziel des dritten Arbeitsblattes ...... 95
4.5.2. Lösungsvorgang des dritten praktischen Teils ...... 95
4.5.3. Resümee des dritten praktischen Teiles ...... 116
4.6. 4. Praktischer Teil ...... 118
4.6.1. Fachdidaktischer Kommentar des vierten praktischen Arbeitsblattes ...... 122
4.6.2. Lösungsvorgang des vierten praktischen Teils (Teil 1) ...... 123
4.6.3. Lösungsvorgang des vierten praktischen Teils (Teil 2) ...... 129
4.6.4. Resümee des vierten praktischen Teiles ...... 145
5. Projektpräsentation ...... 147
6. Projektevaluation ...... 150
7. Abbildungsverzeichnis...... 151
8. Tabellenverzeichnis ...... 153
9. Literaturverzeichnis ...... 155
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Einleitung
1. Einleitung
Game on, wie es immer am Anfang eines Dartspiels heißt. Seinen historischen Ursprung hat Darts in Großbritannien. Von dort aus verbreitete sich die Sportart über die ganze Welt und erfreut sich großer Popularität. Schon als Jugendlicher, wenn ich mit meinen Freunden unterwegs war, konnte man in etlichen Gasthäusern und Pubs, die wir besuchten, eine Vielzahl an Dartautomaten und Dartboards sehen. Wie bei anderen Sportarten auch beruht Darts auf Konkurrenzkampf. Zum Leidwesen vieler begeisterter Dartsspieler und Dartspielerinnen und Fans ist der Sport nach wie vor mit dem Stigma des Glückssports oder Wirtshaussports belastet.
Bei genauerer Betrachtung des Spielablaufs und den damit verbundenen Bewegungsabläufen ist dieses Vorurteil weder nachvollziehbar noch haltbar. Neben den physischen Herausforderungen stellt Darts eine enorme Belastung an die Mentalität des einzelnen Sportlers und der einzelnen Sportlerin. Zur Verdeutlichung: In hochkarätigen Turnieren entscheiden wenige Würfe über Preisgelder im 5-stelligen Bereich. Davon abgesehen sind deutliche Parallelen zu klassischen olympischen Sportarten, wie Bogen- und Zielschießen, zu erkennen. In der Theorie liest sich die Spielbeschreibung denkbar einfach; jeder der teilnehmenden Spieler und Spielerinnen stellt sich hinter eine vorgegebene Linie und wirft seine Darts auf das Board. Es gilt, die für jeden Spieler und jede Spielerin festgelegte Punkteanzahl in Höhe von 501 – beim klassischen Dart – auf null zu verringern. Jeder Spieler und jede Spielerin wirft drei Darts hintereinander und addiert in der Folge die jeweils erreichten Punktzahlen und subtrahiert diese Summe von den 501 Anfangspunkten. Sieger ist der Spieler, dem es gelingt, die Punkteanzahl zuerst auf null zu verringern. Große Vertreter der Szene sind Michael van Gerwen, Gary Anderson, Peter Wright, Rob Cross oder der Österreicher Mensur Suljovic. Der bekannteste von ihnen ist Phil „The Power“ Taylor, er wurde 2010 in einer BBC-Umfrage zum zweitbekanntesten Sportler des Jahres gewählt. Hervorzuheben sind auch die deutschsprachigen Youngsters wie Rowby-John Rodruigez, Max Hopp und Nico Kurz, ein Indiz für die steigende Popularität. Dazu kommen das kontinuierlich zunehmende Preisgeld und die hohe mediale Präsenz. Dies ist nicht zuletzt der ausgezeichneten Vermarktungsarbeit der PDC geschuldet. Die Äußerung von S. Heinecke, dass Darts keine medientaugliche Sportart ist, hat sich nicht bewahrheitet. (vgl. Jansenberger 2019, S.7 & Eastway, Haigh, 2011, S.93)
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Einleitung
Abbildung 1: Mensur Suljovic in Aktion © Lawrence Lustig
Die Popularitätswerte und Verbreitung von Dartboards ermöglichen die mühelose Einbindung in den Unterricht, beispielsweise zur praktischen Erläuterung mathematischer Probleme; so etwa in den Bereichen der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Im Zuge dessen lässt sich auch das Mythos des Einflusses von Zufall und Glück im Dartssport erforschen. Darüber hinaus gibt es Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik und Physik.
Der Fokus liegt hier auf der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, beispielsweise die Berechnung der „aktuellen“ Trefferquote. Mein Unterrichtsvorschlag zielt also auf die Oberstufe, dorthin, wo die Gaußverteilung behandelt wird. Für die Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit sind folgende Punkte zu beachten:
• der Dart (Pfeil) • das Board (Zielscheibe) • Wurfbewegung • Ausgangsposition • mentale Verfassung
Zielscheiben findet man nicht nur in Lokalen oder Gasthäusern, sondern auch am Jahrmarkt, wo man einzelne Felder treffen muss, um diverse Sachpreise zu gewinnen. Die Motivation resultiert aus der Möglichkeit Prestige zu gewinnen und aus dem Konkurrenzkampf. Niemand
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Einleitung verliert gerne und um dies zu verhindern, gilt es die effizienteste Technik anzuwenden, um die Siegeschancen zu erhöhen.
Im Klassenzimmer soll eine Diskussion in Gang gesetzt werden über die Berechnung der Trefferwahrscheinlichkeit anhand eines konkreten Beispiels in Darts. Im Anschluss daran wird ein praktisches Beispiel durchgeführt und die daraus resultierende Trefferwahrscheinlichkeit berechnet. Im nächsten Schritt ist der Erwartungswert hinsichtlich der erreichbaren Punktezahlen zu berechnen und die Binomialverteilung der Trefferwahrscheinlichkeit darzustellen. Ein weiterer Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Anwendung der Gaußschen Glockenkurve bzgl. der Gaußschen Dichtefunktion im Zusammenhang mit Darts.
Wie die genannten Beispiele zeigen, kann das Thema Darts im Mathematikunterricht durchaus behandelt werden. Im Zuge dessen sollen die mathematischen, feinmotorischen und kognitiven Fertigkeiten der Schüler und Schülerinnen gesteigert werden, unter der Anwendung moderner Technologie. Die Einleitung abschließend, lässt sich nun die Frage beantworten, was das Ziel eines solchen Theorie, Praxis, und Sport kombinierenden projektorientierten Unterrichts ist: Die Schüler und Schülerinnen sollen in der Lage sein, ihre eigene „aktuelle“ Trefferquote und individuelle Leistung zu berechnen.
Die einzelnen Auswertungen und Interpretationen der erforschten Daten sind zeitintensiv, weshalb es zu klären gilt, wie die Durchführung eines derartigen Projektes am besten zu gestalten ist. Denkbar wäre die Abhaltung einer Projektwoche oder ein längerfristiger fächerübergreifender – Bewegung und Sport - und Informatik – Unterricht.
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Allgemeines
2. Allgemeines
Wie bereits in der Einleitung angeführt, beschäftigt sich das Projekt mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Dartssport. Dabei gilt es verschiedene Aspekte zu beachten, etwa die Unterrichtsmethode oder den Lehrplanbezug. Die Wirklichkeit ist eine der am meisten motivierenden Lernumgebungen und daher eignet sich ein projektorientierter Unterricht ideal, um Theorie und Praxis zu verbinden. Auch der Bezug zum Lehrplan der jeweiligen Klassen ist zu beachten, weil davon die Zielsetzung und letzten Endes das erlangte Wissen abhängt
Unterrichtsmethoden ändern sich im Laufe der Zeit und müssen angepasst und verfeinert werden. Generell stellt ein projektorientierter Unterricht eine Unterrichtsform dar, welcher den steigenden Ansprüchen der Zeit entgegenkommt. Gefördert werden sollen auch die Grundkompetenzen – Sach-, Sozial- und Selbstkompetenz – der Schüler und Schülerinnen, ganz unabhängig von der Inhomogenität in den Schulen.
Grundlage dieser Arbeit ist das Spielen auf einer Steeldartanlage und nicht auf einem Dartautomaten, welcher in den meisten Lokalecken steht. Gravierende Unterschiede gibt es dabei nicht, denn sowohl die Distanz, Höhe, als auch die Größe des Ziels bleiben gleich. Einzig das Equipment verändert sich, denn bei einem Steeldartboard verwendet man Darts mit Spitzen aus Eisen und nicht aus Plastik. Der Vorteil eines Steeldartboards liegt in der leichteren Transportfähigkeit der Anlage, da man ein Dartboard mit einem mobilen Dartständer überall befestigen kann und es wesentlich leichter als ein Dartautomat ist.
Abbildung 2: Typisches Steeldartboard
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Allgemeines
2.1. Persönliche Motivation
Nicht nur einmal wurde ich gefragt, wie es mir in meinem Studium ergangen ist und wie ich es finanziert habe. Diese Fragen beantwortete ich stets mit einem Lächeln und dezent sarkastischem Unterton „Zum Teil mit Pfeilen werfen“. Darts ist nicht nur ein persönliches Hobby von mir, sondern auch mein Nebenverdienst und jetzt Thema meiner Diplomarbeit.
Die Begeisterung für diesen Sport fand ich, als ich mir mit 18 Jahren beim Turnunterricht einen Schien- und Wadenbeinbruch zuzog. Da ein anderer Ersatzsport zur damaligen Zeit nicht durchführbar war, versuchte ich bei einem Freund das Dartspielen. Bereits ein Jahr später, nach intensiver Spielzeit, nahm ich an diversen Meisterschaften teil, und auch die ersten kleinen Turniere konnte ich siegreich bestreiten. Dabei faszinierten mich nicht nur die konkrete Ausführung des Sports, sondern insbesondere auch die sozialen Aspekte, handelt es sich doch um eine geschlechter- und generationenübergreifende Tätigkeit. Entscheidend ist nicht eine hohe körperliche Fitness, sondern die individuelle mentale Stärke. Zeigt man im Spielverlauf Nerven, so wirkt sich das auf die körperliche Spannung aus und führt in der Regel zu einer Niederlage
Die Behauptung, Darts sei Glückssport oder bloßer Wirtshaussport, ist schlichtweg falsch, viel mehr kommt es auf mentale Stärke, als auch mathematische und physikalische Faktoren an. Die Begeisterung für Darts hat mich dazu veranlasst, dieses Thema aus einem anderen Blickwinkel neu aufzurollen. Nicht nur sollen die Schüler und Schülerinnen eine Nischensportart kennenlernen, sondern bezweckt wird auch, eine mathematische Brücke zum Klassenraum zu erschaffen. Durch die Verbindung von Theorie, Praxis und Sport soll der Unterricht spannender, abwechslungsreicher und individueller gestaltet werden.
Abbildung 3: persönlicher Dartwurf
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Allgemeines
2.2. Ziele des Projektunterrichts
Die Ziele sind mit dem Grunderlass des Bildungsministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung abgestimmt:
(vgl. BMBWK, 2001, Grundsatzerlass zum Projektunterricht)
Diese sind:
• selbstständiges Lernen und Handeln
• eigene Fähigkeiten und Bedürfnisse erkennen und weiterentwickeln
• Handlungsbereitschaft entwickeln und Verantwortung übernehmen
• realitätsbezogene Herausforderung und Problemsituationen erkennen, verständlich
verarbeiten und originelle Lösungsstrategien entwickeln
• kommunikative und kooperative Kompetenzen sowie eine konstruktive Konfliktkultur
entwickeln
• organisatorische/fächerübergreifende Zusammenhänge begreifen und gestalten
2.3. Lehrplanbezug
Das Projekt muss mit den von Bildungsministerium festgelegten Lehrplan übereinstimmen und zwar in Bezug auf die Schulstufe und dem benötigten Wissensstand der Lehrkraft. Thematisch beschäftige ich mich in dieser Arbeit zunächst mit der Stochastik. Konkret: Statistik und Auswertung von Daten, Berechnung von Maßzahlen, Erwartungswert, Binomialverteilung und Bezug zur Normalverteilung. Auch andere Gebiete der Mathematik sind mit zu berücksichtigen, etwa die Integralrechnung, Berechnung von Flächen, als auch diverse Arten der Kreisberechnung und Prozentrechnungen.
Der Themenpunkt Statistik wird zum ersten Mal in der 1. Klasse Unterstufe behandelt. Dabei beschränkt sich der Inhalt des Lehrplans diesbezüglich noch auf Grundrechnungsarten, das Erkennen von Proportionalität und das Ablesen von Daten ist beschränkt. Die Kenntnis von der relativen Häufigkeit, welche einer ein Grundbegriff der Stochastik ist, erlangen die Schüler und Schülerinnen erst ab der 2.Klasse. Dieser Begriff und das Thema der Stochastik begleitet die Schüler, die Lernenden, bis zur achten (AHS) oder neunten (BHS / BMHS) Schulstufe. 13 | S e i t e
Allgemeines
Mit den Grundbegriffen der elementaren Stochastik wird erst ab der 4. Unterstufe gearbeitet. Laut Lehrplan sind hier folgende Punkte zu erfüllen.
4.4 Arbeiten mit Modellen, Statistik
– Wachstums- und Abnahmeprozesse mit verschiedenen Annahmen unter Zuhilfenahme von elektronis,chen Rechenhilfsmitteln untersuchen können,
– funktionale Abhängigkeiten untersuchen und darstellen;
– Untersuchen und Darstellen von Datenmengen unter Verwendung statistischer Kennzahlen (zB Mittelwert, Median, Quartil, relative Häufigkeit, Streudiagramm).
Durch die Verwendung von Taschenrechner, Smartphones, Tablets oder PCs wird die Rechenarbeit erleichtert und die Erfassung größerer Datenmengen ermöglicht.
Anmerkung: In den folgenden Anführungen wird ausschließlich auf den Lehrplan der AHS- Oberstufe verwiesen.
Die Stochastik ist im vierten bis achten Semester Lehrplaninhalt, wobei zum ersten Mal der Begriff der Wahrscheinlichkeit auftritt.
Beschreibende Statistik; Wahrscheinlichkeit
• Darstellungen und Kennzahlen der beschreibenden Statistik kennen und damit arbeiten können • die Begriffe Zufallsversuch, Ereignis und Wahrscheinlichkeit kennen; Methoden zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten kennen: Bestimmung eines relativen Anteils, Ermittlung einer relativen Häufigkeit durch eine Versuchsserie, Angabe des subjektiven Vertrauens; wissen, dass diese Methoden nur näherungsweise bzw. unsichere Ergebnisse liefern. • den Zusammenhang zwischen relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten kennen • Mit Wahrscheinlichkeiten rechnen können (Baumdiagramme, Additions- und Multiplikationsregel) • Bedingte Wahrscheinlichkeiten und (stochastische) Unabhängigkeit von Ereignissen kennen • Den Satz von Bayes kennen und anwenden können.
In der 7. Klasse im 6. Semester wird die diskrete Wahrscheinlichkeit behandelt und ein Schwerpunkt auf die Binomialverteilung gelegt. Ab diesem Zeitpunkt wird nur mit Zufallsvariablen gearbeitet. Im 7. Semester in der 8. Klasse liegt der Fokus auf der stetigen Normalverteilung und der Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Zudem werden den Schülern und Schülerinnen im 6. und 7. Semester anwendungsorientierte Aufgaben gestellt.
(vgl. BMBWF, 2019, Lehrpläne der AHS Unter- und Oberstufe)
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Allgemeines
Auf Grund meiner Forschung und einzelner Auswertungen bietet sich die Durchführung des Projekts im 6. und 7. Semester an, da sich hier der Inhalt des Lehrplans und der Umfang der Beispiele decken. Zu erwähnen ist auch, dass Dartboards und Dartautomaten in der Regel in diversen Gaststuben und Nachtlokalen stehen. Dort ist der Zutritt erst für Jugendliche ohnehin ab 16 oder 18 möglich, welches dem Alter von den jeweiligen Schülern und Schülerinnen entspricht. Gefördert werden der Konkurrenzkampf und die Motivation, anwendungsorientierte mathematische Probleme zu lösen; die Schüler und Schülerinnen sollen ein Gefühl von Sicherheit erlangen. Überhaupt ist die Durchführung des Projektes auch aus finanzieller Hinsicht leicht möglich, da die Preise des benötigten Equipments nicht hoch sind und eine Vielzahl von Dartvereinen bereits Tage der offenen Tür anbieten. Die Anschaffung wäre eine längerfristige Investition, weil ein Dartsständer eine sehr lange Haltbarkeit hat und das Dartboard nach meiner persönlichen Erfahrung bei regelmäßiger Benützung, nur 1x im Jahr zu wechseln ist, was bei Schülern und Schülerinnen nicht der Fall ist, da sie nur einen Tag spielen . Für die Lagerung und Durchführung des Projektes bietet sich die Schulaula oder die Turnhalle an.
2.4. Merkmale von Projektunterricht
Projektunterricht ist nicht nur spannend für Schüler und Schülerinnen, sondern trägt der Erfüllung der Bildungsziele der Schule bei. Freilich stellt diese Art von Unterricht keine Alltäglichkeit dar, sondern ist eine Ausnahmeerscheinung und dient der Unterrichtsergänzung. Den einzelnen Schülern und Schülerinnen werden Gesichtspunkte und Möglichkeit der Problemlösung aufgezeigt. Zu diesem Zweck ist es erforderlich, dass die folgenden Merkmale in Harmonie zueinanderstehen:
Orientierung an den Interessen der Beteiligten
Für die Auswahl des Projektthemas sind die Interessen der Schülerinnen und Schüler und der Lehrkräfte von entscheidender Bedeutung. Die Themenwahl hängt dabei nicht nur vom Inhalt, sondern auch von den vorgesehenen Handlungsformen ab. In diesem Fall handelt es sich um die Wahrscheinlichkeiten beim Dartspiel, wobei die Aktivität das Werfen der Darts ist.
Selbstorganisation und Selbstverantwortung
Ein Ziel des Projekts ist das Erkennen und Erlernen von Planungsstrategien, den Umgang mit einzelnen Ressourcen und das Finden von Möglichkeiten, das Gelernte (erarbeitetes Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten) weiterzugeben, aber auch die kritisch-konstruktive Einschätzung der eigenen und anderen Person ist ein unumgänglicher Lernprozess, ebenso gehören sie auch zum Inhalt der einzelnen Lernziele.
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Allgemeines
Zielgerichtete Planung
Das Erreichen solcher Lernziele funktioniert nur durch eine gemeinsame Festlegung von Lern- und Handlungszielen, genauso müssen auch die einzelnen Tätigkeiten, Arbeitsformen, Zeitbedingungen und verschiedene Verantwortlichkeiten oder Sicherheitsvorkehrungen besprochen, geplant und vereinbart werden.
Wissen koppeln
Im Projektunterricht ist das Problem immer das Hauptthema, welches bearbeitet und gelöst werden soll. Dadurch sollen diverse Betrachtungsweisen entwickelt werden, welche durch verschiedene Fächerdisziplinen, Ansätze und Methoden erlernbar sind. Das so entstandene „vernetzte Denken“ kann aber auch nur durch einen Unterrichtsgegenstand hervor gehen, somit ist das Verbinden mehrerer Fächer kein Pflichtakt.
Aneignung sozialer Kompetenzen
Durch ein entwickeltes Teamwork und das Arbeiten an einem Thema entstehen zwischen den Teilnehmern und Teilnehmerinnen neue Kommunikationsformen um miteinander und voneinander lernen zu können. Das gemeinsame Arbeiten öffnet auch andere Türen wie z.B. Konfliktlösungsstrategien, Gleichberechtigung und der Umgang mit Kritik, welche währenddessen untereinander entwickelt werden.
Wirkung nach außen
Bei einem Projektunterricht soll die eigene und gesellschaftliche Realität aktiv beeinflusst und gestaltet werden.
Rolle der Lehrkraft
Neben der fachlichen Kompetenz dient der Lehrer oder die Lehrerin auch als Berater oder Beraterin, welche/r den Schüler und Schülerinnen bei den diversen Arbeitsblättern hilft und sie dabei berät. Der Job als Berater/-in und Lehrer/-in reicht allein nicht aus. Es muss auch die Position eines Managers oder einer Managerin eingenommen werden, welcher/welche bei Planungs- und Entscheidungsprozessen und der Vermittlung didaktischer Arbeitsmethoden mitwirkt. Eine andere wichtige Position ist der Kontrolleur oder die Kontrolleurin, um störende Elemente (private Konflikte, Auffälligkeiten…) innerhalb von Gruppen zu vermeiden. Wegen der Komplexität eines Projektunterrichts kann es vorkommen, dass die Lehrkraft auch nicht alle Antworten weiß. Dies sollte nicht negativ empfunden werden, da es den Schülern und Schülerinnen zeigt, dass die Lehrkraft auch kein allwissendes Orakel ist, sondern am Ende auch nur ein Mensch.
Einbeziehung vieler Sinne
Die Verbindung zwischen Körper und Geist ist für den Erkenntnisgewinn essentiell. Das Kombinieren möglichst vieler Sinne stellt ein deutliches Qualitätsmerkmal eines Projektunterrichts dar.
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Allgemeines
(vgl. BMBWK, 2001, Grundsatzerlass zum Projektunterricht)
2.5. Die Phasen eines Projektunterrichts
Im Großen und Ganzen wird ein Projektunterricht in sechs Teile aufgeteilt, welche die Schüler und Schülerinnen selbst erarbeiten und erforschen sollen.
Themenfindung
Eine zentrale Säule eines Projektunterrichts ist die Themenfindung, bei der das Interesse aller Beteiligten geweckt werden kann. Deswegen sollte für die Themenfindung genügend Zeit zur Verfügung gestellt werden.
Zielformulierung und Planung
Nachdem ein Thema gefunden wurde, werden anschließend die einzelnen Ziele des Themas besprochen. Nicht zu vergessen ist, dass die Rahmenbedingungen und Ressourcen berücksichtigt werden müssen, um ein erfolgreiches Projekt einleiten zu können.
Vorbereitungszeit
Diese Zeit dient der umfassenden Informationsbeschaffung und der Besorgung notwendiger Arbeitsmaterialien. In dieser Arbeit sind die Ressourcen die Darts ein Dartboard und eine Aufhängevorrichtung. Die Informationen sind die einzelnen Spielregeln und Abstandsmaße von Darts. So eine Vorbereitungszeit dient auch für plötzliche Planänderungen, vielleicht auch, um eine Spielstätte wie einen Verein besuchen zu können.
Projektdurchführung
In diesem Abschnitt wird die inhaltliche Hauptarbeit geleistet. Die geplanten Vorhaben und praktischen Durchführungen werden von den Schülern und Schülerinnen möglichst selbstständig durchgeführt. Die Lehrkraft steht hier als Experte oder Expertin zur Verfügung, dient aber auch als Berater oder Beraterin und Konfliktmanager oder Konfliktmanagerin. Wichtig ist auch alle Zwischenergebnisse, Erfahrungen und besondere Vorkommnisse zu notieren und zu besprechen/ vergleichen. Jene Vergleiche helfen, ein reibungsfreies Projekt zu gestalten und ein interessanteres Ergebnis herbeizuführen.
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Allgemeines
Projektpräsentation / Projektdokumentation
Projektorientierte Unterrichtseinheiten sind mit einem klaren Schlussstrich gekennzeichnet, wo alle Teilnehmer und Teilnehmerinnen die Gelegenheit erhalten, ihre Ergebnisse zu präsentieren oder schriftlich abgeben zu können. Quint essentiell für einen Abschluss ist ein positives Feedback oder eine Kritik, welche den gesamten Beteiligtenrahmen interessieren könnte. Eine schriftliche Dokumentation bringt jenen Vorteil mit, dass die Daten sorgfältig von der Lehrkraft evaluiert werden können, daher sollten die erwähnten Anmerkungen vom vorherigen Punkt mitkommentiert werden. Den Jugendlichen sollte auch eine Möglichkeit gegeben werden, ihre Ergebnisse zu präsentieren und zu verteidigen, so werden die Ergebnisse des Projektes kommunizierbar und es kann eine goldene Brücke zu einer fruchtbaren Klassendiskussion gebaut werden.
Projektevaluation
Der letzte Abschnitt dient der Überprüfung der Projektergebnisse und der Fortentwicklung für die Qualität künftiger Projekte. Prozessbegleitend am Ende des Projektes werden die gesetzten Ziele aufgrund der Basis der gesammelten Daten systematisch bewertet. Während der Projektreflexion werden die Erfahrungen der einzelnen Teilnehmer und Teilnehmerinnen besprochen. Dies erfolgt durch die Akteure und Akteurinnen selbst, grundsätzlich darf aber auch eine außenstehende Person teilhaben.
(vgl. BMBWK, 2001, Grundsatzerlass zum Projektunterricht)
2.6. Organisatorische Maßnahmen
Um den Zielsetzungen vom Projektunterricht gerecht zu werden, kann eine vorübergehende Veränderung der üblichen schulischen Organisationsformen notwendig werden. Dazu gehört insbesondere die für die Dauer des Projekts erforderliche Veränderung des Stundenplans, auch die Aufhebung des Klassenverbandes während der einzelnen Arbeitsphasen ist eine Option. Darüber hinaus ist das Mitwirken von außerschulischen Personen für Lehrkraft und Schüler und Schülerinnen eine profitable Gelegenheit, da der Lehrperson eine Verschnaufpause geboten wird und den Schülern und Schülerinnen eine professionelle Meinung aus dem prädestinierten Milieu. Im Grunde genommen ist das Unterrichten im Schulgebäude nicht verpflichtend, deswegen besteht auch die Möglichkeit, einen anderen Ort zu wählen. Die genannten Punkte müssen dennoch mit der Schulleitung besprochen werden. Bei fehlender Volljährigkeit wäre gegebenen falls eine Benachrichtigung der Eltern (Elternbrief, Schulgemeinschaftsausschuss, Elternverein, Klassenforum, Schulforum) von Vorteil. Die Zusammenarbeit zwischen Eltern und Lehrpersonal wird begrüßt, weil dadurch das Projekt mitprofitiert und gefördert wird.
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Allgemeines
Wird der Standort gewechselt, ist die Aufsichtspflicht der Lehrkraft zu beachten. Um diverse Ungereimtheiten gar nicht entstehen zu lassen, gilt es zu Beginn entsprechende Regeln festzulegen. Diese sind im Projektverlauf von Anfang an bis zum Ende einzuhalten. Sicherheit hat oberste Priorität. Schüler und Schülerinnen sind darüber in Kenntnis zu setzen, in welchen abgegrenzten Bereichen (Wartebereich) sie sich aufhalten dürfen. Diese Information sollte auch einen Hinweis auf die potenziellen Gefahren beinhalten, um die Sinnhaftigkeit des abgegrenzten Bereichs für die Schülerinnen und Schüler zu unterstreichen. Besonders bei dieser Projektarbeit sind einige Regeln zu beachten, um Verletzungen zu vermeiden. Eine gewisse Reife der Teilnehmer und Teilnehmerinnen ist Grundvoraussetzung. Die Gefahren insbesondere die potenzielle Gefahr von Stichverletzungen, muss klar und deutlich formuliert werden, so dass ein verantwortungsvoller Umgang miteinander gewährleistet werden kann.
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Projektanfang
3. Projektanfang
In diesem Punkt möchte ich, auf die bereits in Kapitel 2.5 kurz angesprochene Themenfindung des Projektes eingehen.
3.1. Themenfindung
Gemäß des Grundsatzerlasses ist ein Thema zu wählen, das den gemeinsamen Interessen im Klassenraum anspricht. Die Schüler und Schülerinnen sollen sich damit identifizieren und in die Projektsituation hineinversetzen können. Für diesen Zweck liegt es an der Lehrperson eine realitätsnahe Situation zu beschreiben und mit medialen Hilfsmitteln darzustellen. Die daraus resultierende innere Bindung und das Engagement erleichtern sowohl die praktische als auch theoretische Durchführung. Für die gegenständliche Arbeit sind meines Erachtens nach zwei Zugänge denkbar
3.1.1. Erster Zugang
Bei der ersten Möglichkeit würde ich den Personen im Raum folgende Frage stellen: „Liebe Schüler und Schülerinnen, wer von euch hat schon einmal versucht, ein Papierstück oder eine Plastikflasche in einen Mülleimer zu werfen? Wie oft habt ihr das Ziel getroffen, und wer kann mir sagen, wie sicher er oder sie ist?“ Meine Erwartungen hinsichtlich dieser Fragestellungen sind hoch, denn beinahe jeder und jede hat dies einmal versucht. Meistens besteht hier ein nicht allzu weiter Abstand zwischen Werfer und Ziel.
Im Anschluss daran könnte man die Fragen an die Teilnehmer und Teilnehmerinnen spezifizieren; etwa hinsichtlich der konkreten Vorgangsweise, der benutzten Technik und wie realistisch sie ihre Trefferwahrscheinlichkeit bei, zehn Versuchen das Ziel vier Mal zu treffen, einschätzen. Um die Übung interessanter und herausfordernder zu gestalten, könnte man das zu treffende Ziel höherstellen, um den Höhenabstand zu verringern.
Daraufhin würde ich einen Schüler und eine Schülerin herausbitten, ihnen zwei zusammengeknüllte Papiere in die Hand geben und sie auffordern, den Papiereimer in einem Abstand von ca. 2 m zu treffen. Unabhängig davon, ob die Teilnehmer und Teilnehmerinnen das Ziel treffen oder nicht, werden ein paar Versuche durchgeführt, anschließend wird das Ziel auf einen Tisch gestellt und ein anderes Teilnehmerpaar wird herausgebeten. Analog zum vorherigen Versuch werden die Trefferversuche beobachtet und die Schüler und Schülerinnen währenddessen gefragt, ob die Berechnung einer Trefferquote der einzelnen Akteure und Akteurinnen schon mit wenigen Versuchen möglich ist. Unter der Annahme, dass die Teilnehmerpaare zehn Mal geworfen haben, könnte man sich die Trefferquote folgendermaßen berechnen: 20 | S e i t e
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퐴푛푧푎ℎ푙 푑푒푟 푇푒푓푓푒푟 푇푟푒푓푓푒푟푞푢표푡푒 = 퐴푛푧푎ℎ푙 푑푒푟 푊ü푟푓푒
Im Anschluss daran ist die Qualität der Auswertung kritisch zu hinterfragen:
• Sinnvolle Auswertung eines Modells • Veränderung der Trefferquote nach Umpositionierung des Zielobjektes • Eignung der Wurfutensilien
Aus diesen Fragen soll sich eine spannende Klassendiskussion entwickeln, wobei die Schüler und Schülerinnen zu diesem Zeitpunkt schon eigenständig an eigenen Ideen und Lösungsmöglichkeiten operieren sollen.
Es soll sich dabei nicht bloß um eine zwanglose Unterhaltung handeln, sondern es soll ein mathematischer Bezug hergestellt und die Vorschläge auch mathematisch unterlegt werden. Zunächst soll die Gestaltung einer Urliste besprochen werden, um eine Protokollierung der Datenerfassung zu haben und danach die Durchführung. Im Unterschied zum vorher genannten Beispiel, bei dem ein Abstand von etwa 2 m genannt wurde, ist nun die Position des Werfers exakt zu fixieren, was zu einer leichteren Vorstellbarkeit des Modells führt. Der fixe Abstand führt zu einer höheren Chancengleichheit, welcher nun die Ausgangslage fixiert.
Ein weiteres Kriterium für die Chancengleichheit ist die äquivalente Beschaffenheit der Wurfobjekte. Zieht man das Beispiel des Papierballs in Betracht, so wirkt sich nicht das Gewicht, sondern die Form des Papierballs auf die Trefferwahrscheinlichkeit aus. Nicht jeder Ball ist aufgrund der Faltung und der verschiedenen Komprimierungsmöglichkeit gleich groß. Daraus ergeben sich auch Unterschiede im Luftwiderstand und folglich im Flugverhalten, was sich in einer geringeren Chancengleichheit auswirkt. Es besteht immer noch die Möglichkeit, denselben Papierball zu verwenden; zu beachten ist jedoch, dass Papier ein sehr weiches Material ist, dass durch den Aufprall und während des Haltens in der Hand verformbar ist. Auch ein Tennisball ist ungeeignet, weil er vom Rand des Mülleimers zu leicht abprallt und der Abstand ist bei Verfehlung des Ziels nicht ordentlich (ab)messbar. Im Zuge dessen sollte die Lehrkraft auch den bisher gelernten Stoff der Stochastik auffrischen, um mit den Lernenden die Grundbegriffe besprechen zu können. Zusammenfassend lässt sich zur Gewährleistung einer korrekten Einschätzung der Trefferquote festhalten:
• fixer Abstand • idente Wurfobjekte hinsichtlich Masse und Form • Markierung der Aufprallstelle • Wurfobjekt sollte nicht vom Ziel abprallen können, sondern am Aufprallort liegen bleiben
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Zusätzlich könnte die Lehrkraft auch auf die praktischen Gegebenheiten im Abendleben hinweisen. In Pubs, Gasthäusern oder bei einem Rummel sieht man oft Objekte, welche die genannten Kriterien erfüllen. Wie schon in der Einführung erwähnt, hat Darts vor allem im deutschsprachigen Raum einen riesigen, medialen Aufschwung, somit wäre eine Begriffsfindung hinsichtlich der Schüler und Schülerinnen nicht so fern. Sobald ein Teilnehmer oder Teilnehmerin den Begriff Darts nennt, ist es wichtig, die notierten Punkte mit der Sportart zu vergleichen für eine Veranschaulichung der übereinstimmenden Punkte mit den obengenannten Voraussetzungen.
Die theoretischen Kriterien zur Gewährleistung der Chancengleichheit hinsichtlich der Trefferwahrscheinlichkeit, angewendet auf Darts, ergibt folgendes:
• Abstand = vorgegebene Wurflinie • gleiche Form, Größe und Gewicht der drei Wurfobjekte • Markierung der Aufprallstelle
Wir haben nun die theoretischen Grundlagen mit dem Dartssport in Verbindung gebracht, es liegt nun an den Schülern und Schülerinnen, in Gruppen von zwei bis vier Personen ein mathematisches Modell aufzustellen, mit dem man eine Trefferquote berechnen kann (und darüber nachzudenken, wie man mit stochastischen Mitteln eine andere Wurftechnik entdecken könnte, mit der es möglich ist, eine höhere Trefferquote zu erzielen.) Die Akteure und Akteurinnen sollten sich Gedanken machen, was darüber hinaus durch eine Trefferwahrscheinlichkeit noch ausgesagt werden kann und wie man den Wurf verändern könnte, um die Trefferquote zu erhöhen bei gleichbleibenden Rahmenbedingungen. Es stellt sich die Frage, wie viele Würfe für eine Berechnung der Trefferquote sinnvollerweise vorgenommen werden sollen, um eine „ordentliche“ stochastische Auswertung durchzuführen.
3.1.2. Zweiter Zugang
Eine andere Möglichkeit wäre das Betrachten und Analysieren von diversen Dartvideos: Videos zur Auswahl: Perfekt Bullseye Moment in Darts: https://www.youtube.com/watch?v=g-_AI4FXWAk (Stand: 20.07.2019) Dart trick shots: https://www.youtube.com/watch?v=EQ2Rpog_lBo (Stand: 20.07.2019) 180s GALORE! Van Gerwen v Schindler - World Cup of Darts 2018: https://www.youtube.com/watch?v=u84-Nl5WjSA (Stand: 20.07.2019)
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Nach Sichtung und Analyse der Dartsvideos wird den Schülern und Schülerinnen die Frage gestellt, ob sich daraus die Trefferquote der einzelnen Spieler berechnen lässt. Auch hier sollte sich ein kleines Symposium in der Klasse entwickeln. Auf die einzelnen Voraussetzungen, die in den Videos auftreten, sollte die Lehrperson im Anschluss eingehen und den Schülern und Schülerinnen in beratender Funktion behilflich sein. Zusätzlich könnte man die Schüler und Schülerinnen hinsichtlich der Qualität der Berechnungen mit und ohne die Rahmenbedingungen befragen. Als Ergänzung können die Jugendlichen eigene Erfahrungen mitteilen. Die oben angeführten Punkte sollten in der Form einer Notation festgehalten werden. Der übrige Vorgang ist analog dem ersten Zugang durchzuführen.
3.2. Planung und Vorbereitungszeit
Wenn Schüler und Schülerinnen zum ersten Mal ein Projekt selbstständig vorbereiten und planen, stehen sie des Öfteren vor größeren Problemen und fachlichen Hürden, welche sie verunsichern. Ein Projektunterricht ist für viele Schülergruppen eher ein konturloser Begriff, da sie oftmals noch über keine Erfahrungswerte verfügen und damit eine unklare Vorstellung davon haben. Selbstverständlich gibt es immer einzelne Teilnehmer und Teilnehmerinnen, denen eine umfangreichere Arbeit nicht schwerfällt, da sie aufgrund ihrer Erfahrungen im Elternhaus besser vorbereitet sind. Ein Gruppenprojekt wie das dieser Arbeit zugrunde liegende, verlangt den einzelnen Schülern und Schülerinnen viel ab, da sie neben der umfangreichen Vorbereitung und während der Informationssammlung zusätzlich noch eigenständig zielgerichtet forschen. Dabei erlernen die Jugendlichen während des Forschung- und Rechercheprozesses einzelne Synapsen zu bilden, indem sie Forschen, Lernen und ihre Recherchen verbinden müssen. Die Arbeit muss auf das Themenziel ausgerichtet sein und gegebenenfalls adaptiert werden, wenn Abweichungen vorliegen. Die traditionellen Methoden der Recherche, Datenerhebung und Auswertung einzelner Daten, bieten den Forschenden eine gewisse Orientierung und Sicherheit, es besteht allerdings auch die Möglichkeit, dass es zu unvorhersehbaren Fragen kommt.
Speziell bei dieser Projektarbeit könnten derartige Unvorhersehbarkeiten auftreten, weil stochastische Probleme in der Regel eine präzisere Sprache als der übliche Mathematikunterricht voraussetzen. Die Beurteilung verschiedener momentaner Lösungsvorschläge in diesem Bereich der Mathematik ist äußerst schwer, weshalb die Aufgabenstellung eindeutig und klar beschrieben werden muss. Während des Unterrichts ergeben sich insbesondere mehrere rhetorische Probleme in der Stochastik, welche aus der unterschiedlichen Interpretationsfähigkeit des einzelnen Schülers und der Schülerin verursacht wird. Aus diesem Grund ist eine sorgfältige Vorbereitung und Planung unverzichtbar. Aber nicht nur Schüler und Schülerinnen, sondern auch die Lehrkraft steht vor einer Herausforderung, weil die Durchführung des Projektes einen großen Arbeitsaufwand
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Projektanfang darstellt. Besonders für die Lehrkraft ist es ein großer Arbeitsaufwand, da in der Stochastik/ Wahrscheinlichkeitsrechnung eine „Chancengleichheit“ zwischen guten Schülern und Schülerinnen beim Lösen von Problemen besteht. Somit kann das momentane Benoten von Lösungsmöglichkeiten und Interpretationen sehr schwerfallen.
Laut Professor Manfred Borovcnik sollte eine Modellierungsaufgabe in der Stochastik eindeutig und klar gestellt werden, dabei sollte man dem gängigen Stochastikunterricht mit vorgegeben Modellen, welche zur Orientierung dienen, ausweichen. Die Schüler und Schülerinnen sollen das Hinterfragen des Problems und der Modelle lernen, daraus eigene Fragen und Antworten bilden, um das Beispiel weiter aufschlüsseln zu können. Dabei sollten die Grunddefinitionen der Aufgaben beachtet werden wie z.B. bei Bernoulli-Ketten, denn hier gibt es nur zwei Ergebnisse und jedes Spiel bzw. jeder Wurf in diesem Fall ist unabhängig vom anderen. (vgl. Borovcnik, S. 4)
Der Projektunterricht hängt von den einzelnen Aufgaben und Modellen ab, weshalb die Formulierung der Arbeitsaufgabe reiflich überlegt sein sollte, um fachliche Falschaussagen zu vermeiden. Zu Beginn muss eine konkrete Projektplanung mit Stunden und Aufgabenstellung gemacht werden
Unter Berücksichtigung der einzelnen Phasen des Projektunterrichts würde eine Planung für mein Projekt folgendermaßen aussehen: Projekteinführung Inhalt Dauer Themenfindung unabhängig ob erster oder zweiter Zugang 2
Planung, Vorbereitungszeit und organisatorische
Maßnahmen Inhalt Dauer Informationsbeschaffung • Darts (Maße, Material) • Spielregeln 2 h • Was ist eine Trefferquote • Wie könnte man eine Trefferquote steigern bzw. verbessern
Vorschläge besprechen • Wie könnte man eine individuelle bessere Trefferquote erzielen bzw. eine konstantere Trefferquote erreichen? 3 h • Wie könnte man so etwas statistisch unterstreichen?
Wie groß sind meine Erwartungen • Welche Maßzahlen bzw. Werte können noch miteinbezogen werden • Könnte man mit stochastischen Mittel und mehreren Versuchen ein 4 h klareres Bild erstellen. Welche Berechnungsarten wären hier von Vorteil?
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Rahmenbedingung, Arbeitsblätter/Notizblätter und Sicherheitsunterweisung • Lokalität (Verein oder Turnsaal) • Aufbaubesprechung • Abwurflinie und Abstände messen (falls im Turnsaal) 4 h • Sicherheitsgespräch (Welche Gefahren auftreten können und wie man sich vor solchen Gefahren schützen kann) • Per Powerpoint die einzelnen Arbeitsaufträge präsentieren und darüber reden
Durchführung Inhalt Dauer Ablauf besprechen • Anmerkung: Wenn die Klasse das Projekt im Turnsaal durchführt, 30 min. dann muss der Aufbau miteingerechnet werden Gruppenaufteilung 10 min. 1. Praktischer Teil (Exkursion oder im Turnsaal) + Arbeitsblatt Teil 1 und 2 austeilen • Durchführung (Teil 1) 2 h • Besprechung • Durchführung (Teil 2) • Notwendige Notationen aufschreiben Vergleichen von Ergebnissen mit anderen Mitgliedern 10 min. Resümee 10 min. 2. Praktischer Teil (180) • Arbeitsblatt austeilen und evtl. Maßbänder austeilen. 2 h • Praktischer Teil • Notationen machen Pause 30 min. 3. Praktischer Teil (100 Würfe) • Arbeitsblatt aufteilen 1 h • Durchführung • Einzelne Notationen machen 4. Praktischer Teil (Bullseye) • Besprechung • Zielblätter montieren (Millimeterpapier oder Tabelle evtl. beides) 2 h • Koordinaten abmessen und eintragen • Von Teammitgliedern vergleichen lassen
Berechnung von Teil 1 • Interpretation der Ergebnisse aller einzelnen Wurfstile • Berechnungen 2 h • Graphische Darstellung (Säulen- oder Balkendiagramm) • Resümee
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Berechnung von Teil 2 • Durchschnitt • Erwartungswert Herleitung • Erwartungswert 3 h • Graphische Darstellung • Interpretation vom Ergebnis • Resümee
Berechnung von Teil 3 • Binomialaufgaben • Graphische Darstellung 3 h • Vergleich zum ersten praktischen Teil • Interpretation • Resümee Berechnung von Teil 4 • Besprechen vom Beispiel, da es sich hier um ein komplizierteres Beispiel handelt • Koordinaten übersetzen 3 h • Berechnungen der Normalverteilung durchführen • Eingabe in ein Darstellungsprogramm • Präsentation
5. Arbeitsblatt • Durchschnitt der einzelnen Gruppen zu AB 1, 2, 3, 4 30 min.
Abgabe der Gruppenmappe (Enthalten müssen alle Rechenwege, 15 min. Ergebnisse, Darstellungen und Interpretationen sein)
Projektpräsentation Inhalt Dauer Präsentation der individuellen und Gruppenergebnisse 30 min. pro • Vergleich der jeweiligen Spieler untereinander Gruppe • Aussagekraft der einzelnen Kurven und Teaminterpretation Klassenfeedback und Fragen 10-15 min. pro Gruppe Pufferzeit Projektevaluation Inhalt Dauer Rückgabe der Gruppenmappe + Reflexionsgespräch 15-30vmin Schülerfeedback (schriftlich und mündlich) Während der Rückgabe Ende Gesamtstundenausmaß ≈ ퟑퟖ 풉 Tabelle 1: Projektplanung mitsamt Einheitenausmaß
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Projektanfang
Die dargestellte Planung resultiert unter anderem aus Erfahrungswerten, da ich den praktischen und theoretischen Prozess selbst ausprobiert und mit Studienkollegen und Schülern und Schülerinnen erprobt habe. Daraus ergeben sich die obigen Angaben der Zeit In den folgenden Abschnitten werden die einzelnen Tabellenzellen näher erklärt.
3.2.1. Informationsbeschaffung
Im Laufe der Informationsbeschaffung ist es die Aufgabe der Lernenden, die für die Durchführung des Projekts erforderlichen theoretischen Grundlagen eigenständig zu recherchieren.
Dartpfeil (Darts):
Die einzelnen Pfeile können nochmals zerlegt werden, um die Bestandteile davon zu sehen. Kann man mit jeder Art von Pfeilen (Darts) werfen oder gibt es hier bestimmte Größen- und Gewichtmaße? Gibt es noch andere Regelwerke, welche zu beachten sind? Die Schüler und Schülerinnen müssen herausfinden, dass ein Dartpfeil prinzipiell aus zwei bis vier Stücken besteht (abhängig vom Modell).
Abbildung 4: Darts (Dartpfeile) und ihre Bestandteile
In diesem Bild besteht ein Dartpfeil aus vier Teilen, wobei der mittlere graue Abschnitt das Barrel zu 95% das schwerste und teuerste Material (bis zu 100€) ist. Das Barrel besteht aus einer Eisen- und Messing Legierung oder alternativ zu einer hohen Prozentanzahl aus Wolfram
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Projektanfang z.B. 90% und die restlichen Prozent aus Eisen. Das Barrel zu zerstören ist ohne mutwilliger, hoher, mechanischer Krafteinwirkung unmöglich.
Die drei restlichen Teile sind die Spitze, der Schaft und der Flight (Flügel). Die Kosten der beiden letztgenannten Teile betragen etwa zwischen 30 - 90 Cent pro Stück, somit sind diese auch sehr leicht ersetzbar, falls eine Beschädigung vorhanden ist. Die Spitze selbst kann bis zu 7 € kosten, aber diese ist ohnehin sehr schwer zu beschädigen, da sie aus Eisen oder hartem Aluminium besteht. Der Grund für diese ausführliche Erklärung ist die Darstellung eines Wurfobjektes, welches sich nicht verformt. Der Dartpfeil erfüllt folglich eines der genannten Kriterien für ein solches Zielspiel.
Die Gewichtsgrenze im Dartssport für einen Pfeil beträgt 50 g, ansonsten würden zu viele Schäden am Board entstehen. im Durchschnitt hat ein Pfeil eine Masse von 18-22 g, da es laut Profispielern das angenehmste Wurfgewicht ist. Es gibt dennoch etliche Spieler und Spielerinnen, die mit 28 g oder 12 g Pfeilen spielen, da sie sich mit dieser Art von Pfeilen wohlfühlen. Das Reglement der Profidartssports sieht eine maximale Dartlänge von 30,5cm vor.
(vgl. British Darts Organisation playing rules and tournament rules, 2019, S. 2)
Abstandsmaße:
Die folgende Abbildung soll die international anerkannten Maßangaben verdeutlichen.
Abbildung 5: Maßangaben
Der Abstand zwischen Spieler oder Spielerin und Board beträgt 2,37 m, die Höhe 1,73 m und wird von der Mitte des Dartboards (Bullseye) bis zum Boden gemessen. Die Diagonale von der Wurflinie bis zum Bullseye sollte 2,93 m haben.
(vgl. British Darts Organisation playing rules and tournament rules, 2019, S. 6)
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Die konkreten Maße des Dartboards sind essentiell für die zweite Aufgabe und werden dort besprochen.
Regelwerk: Pro Runde sind drei Pfeile zu werfen bei einer zeitlichen Befristung von maximal drei Minuten Die Wurfgeschwindigkeit hängt individuell vom Spieler oder Spielerin und dessen oder deren Konzentrationsphase ab. Nun haben die Schüler und Schülerinnen einen fixen Abstand, welcher nicht verkürzt werden darf, und ihn zu erweitern, wäre nicht sinnvoll, da man sich somit das Zielen und Treffen erschwert. Somit wurden nun zwei von vier Punkten absolviert. Abschließend müssen die Schüler und Schülerinnen noch zwei Punkte beachten:
• Markierung der Aufprallstelle • Fixierung des Wurfobjekten am Aufprallort
Unter genauerer Betrachtung des Dartboards und des Spielverlaufs sind die restlichen Kriterien erfüllt. Unabhängig vom Wurfwinkel oder von der Wurfkraft (unter der Annahme, dass der Pfeil das Board erreicht) bleibt der Pfeil in der Scheibe stecken und hinterlässt ein Loch. Aufgrund der flachen Form des Boards kann der Pfeil auch nicht abprallen.
3.2.2. Trefferquote
In deutschen Wörterbüchern oder im Internet wird die Trefferquote etwa folgendermaßen definiert): „Trefferquote = Anteil der erzielten Treffer“. Es findet sich auch folgende Erklärung: „An der Gesamtheit abgegebener Schüsse, Würfe … z. B. beim Sport, beim Einsatz von Waffen.
Die Erklärung ist für das gegenständige Projekt nicht ausreichend, weil nur auf die Anzahl der erzielten Treffer abgestimmt wird, jedoch nicht auf das Ziel eingegangen wird. Die Schüler und Schülerinnen sollten paarweise überlegen, worauf gezielt wird. Es soll die Erkenntnis erlangt werden, dass die Trefferquote per se nichts über das Ziel aussagt. Trifft Person x etwa sechs von zehn Fußballtipps, ändert sich der gesamte Kontext des Grundgedankens und es können Missverständnisse auftreten.
Es ist Aufgabe der Schüler und Schülerinnen, sich eine geeignete Definition der Trefferquote für diese Übung zu formulieren. Denkbar wäre etwa: „Die Trefferquote beim Dartssport ist die Anzahl der erzielten Treffer, welche beim Werfen auf das Dartboard oder Darstsegment erreicht wurde.“
Laut Professor Borovcnik ist eine Trefferquote im Sport nur schwer zu berechnen, weil sie die Regeln der Binomialverteilung erfüllen muss, um Berechnungen dieser Art durchführen zu können.
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Mit der Binomialverteilung modelliert man Vorgänge:
• bei denen eine feste Anzahl 푛 von Versuchen durchgeführt wird • bei jedem Versuch gibt es nur zwei Möglichkeiten (Erfolg, Misserfolg)
Bei Anwendung des Modells auf unser Projekt ist davon auszugehen, dass
• die Erfolgswahrscheinlichkeit p für alle Versuche dieselbe ist und • dass sich die einzelnen Versuche nicht gegenseitig beeinflussen
Bei Interpretation der Trefferrate als Wahrscheinlichkeit sind die Würfe als Binomialverteilung mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit unabhängig von den Würfen aufzufassen. Nur so lässt sich sicherstellen, dass die relativen Häufigkeiten als Schätzwert einer unbekannten Erfolgswahrscheinlichkeit gelten können. (vgl. Borovcnik, S. 4)
Die teilnehmenden Schüler und Schürinnen dürfen nur Treffer und Nichttreffer notieren (Ausmaß von 푛 Würfen). Da die Felder im Dartssport gleichverteilt sind mit Ausnahme des Bulls und Bullseyes, besteht eine gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit p die Felder zu treffen. Von den Utensilien, welche man nutzt, geht eine idente Erfolgswahrscheinlichkeit p aus. Die benützten Utensilien haben also eine idente Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Andererseits ist zu beachten, dass nicht die Utensilien ausschlaggebend sind, sondern der Spieler und die Spielerin. Wie bereits in meiner Motivation erwähnt, ist die mentale Stärke ein wichtiger Punkt. Hierbei können mehrere Störfaktoren (Confounder) mitspielen, wodurch man ein schlechteres Ergebnis erzielt.
Typische Confounders sind:
• Stress in der Familie • Angst vor dem Verlieren • Angst, sich vor den anderen zu blamieren • zu hohe Ansprüche, welche nicht erfüllt werden können • körperliche Beschwerden • Müdigkeit usw.
(vgl. Borovcnik, S.5-6)
Es sollte eine Diskussion über Confounders in der Klasse stattfinden.
Dies sind nur ein paar genannte Beispiele, welche in das Unendliche gezogen werden können, deswegen ist der letzte Punkt mit dieser Argumentation angreifbar. Solch ein Zugang kann zwar nicht in einer gestellten Aufgabe geprüft werden, sollte aber sehr wohl ein Gesprächsstoff in der Klasse sein.
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Ein anderer kritischer Punkt, der Zweifel am letzten Argument aufkommen lässt, ist der Trainingseffekt im Spiel und in der Verbesserung der Wurftechnik. Bei den ersten Dartwürfen können mehrere Fehler bei der Wurfbewegung auftreten. Mit den Würfen verbessert sich auch das individuelle Gefühl mit den Wurfgeschossen. Hier ist auch die Länge der Wurfserie ausschlaggebend, da ein Unterschied zwischen kurzen und langen Wurfserien vorhanden ist. Diese Faktoren werden in den praktischen Arbeiten eins und drei mitexploriert und interpretiert. Im folgenden Link findet sich ein Video über eine Analyse von Trainingseffekten von Mag. Jansenberger: https://m.youtube.com/watch?v=wC0bleCwzjA&t=85s (Stand 29.8.2020)
Eine gründliche Vorbereitung ist wichtig, um „falsche“ Wahrnehmungen diskutieren und argumentieren zu können. Es kann auch ein anderer Lösungsweg entdeckt werden. Laut Borovcnik gibt es drei Zugangsmöglichkeiten, um eine Erfolgswahrscheinlichkeit p zu berechnen:
i. p ist bekannt ii. p wird aus Daten geschätzt iii. p wird aus ähnlichen Situationen übertragen oder gemäß einer Hypothese fiktiv unterstellt
(vgl. Borovcnik, S.6)
Da die Erfolgswahrscheinlichkeit nicht bekannt ist, fällt i weg. Dasselbe gilt für den Punkt iii, weil keine ähnliche Situation besteht bzw. keine statistisch erfasste Situation, bei der man sagen könnte, dass sie der Wahrheit entspricht (keine Zeugen).
Übrig bleibt somit nur der Punkt ii. Dabei könnte man einzelne Schüler und Schülerinnen an die Tafel bitten, um ein fiktives Beispiel zu lösen. Es handelt sich hier nur um eine Wiederholung, denn im Allgemeinen benötigt man die Formel der relativen Häufigkeit bzw. des arithmetischen Mittels.
Eine mögliche Lösungsvariante wäre: ii) Man schätzt p aus den aktuellen Daten, die sich aus den Würfen ergeben. Folgen die Daten einer Bernoulli-Kette 푋푖 , so schätzt man den Parameter p durch
푋1 + 푋2 + ⋯ + 푋푛 푝 = 푋̅̅̅̅ = 푛 푛
푋1 + 푋2 + ⋯ + 푋푛 …. Anzahl erfolgreicher Treffer 푛 ∈ ℤ … Anzahl der Würfe
(vgl. Borovcnik, S.7)
Ab diesem Punkt sollte den Schülern und Schülerinnen klar sein, dass es nur schwer möglich ist, eine genaue Trefferquote zu bestimmen, da sie von zu vielen inneren und äußeren Faktoren abhängt. 31 | S e i t e
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Sowohl die Schüler und Schülerinnen als auch die Lehrkraft sollte den Term Trefferquote bzw. Trefferrate in „aktuelle Trefferquote“ für das Projekt umbenennen, da sie aus täglicher Sicht je Spieler und Spielerin sehr variabel ist.
3.2.3. Aktuelle Trefferquote steigern
In diesem Abschnitt sollten sich die Schüler und Schülerinnen Gedanken über die Wurftechnik machen bzw. wie man die individuelle aktuelle Trefferquote steigern könnte. Die offensichtlichste Lösung wäre Training. Laut mehreren Profis und meiner eigenen Erfahrung benötigt man mindestens zwei Wochen Training, um eine sichtbare Verbesserung zu erzielen, wobei die für das Projekt veranschlagte Zeit nicht ausreicht. Aus diesem Grund muss eine alternative Methode gefunden werden, die während des Projektes verfolgt wird. In diesem Zusammenhang möchte ich auf die Meinung zweier Technikexperten eingehen.
Der erste Experte und mehrfache Softdart Europa-, Staats- und Weltmeister ist Zoran Lerchbacher. Der gebürtige Knittelfelder, gehörte zu den 64 besten Steeldartspielern der Welt und äußert sich über die Wurftechnik eines Anfängers bzw. einer Anfängerin folgendermaßen: „Ein Anfänger oder eine Anfängerin sollte sich keine Gedanken über seine oder ihre Wurftechnik machen, das Spiel sollte zuerst Freude bereiten. Erst wenn dies ersichtlich ist, kann man Anfängern und Anfängerinnen Ratschläge geben, welche sie befolgen können, aber nicht müssen.“
Für die verständliche Erklärung des Dartwurfes ist es wichtig, zuerst an das räumliche Verständnis des Kindes anzuknüpfen. Der Werfer und die Werferin sollte eine Vorstellung davon haben, wohin der Pfeil gehen wird. Die größte Ruhelage wird dann erreicht, wenn das Standbein auf derselben Seite wie der Wurfarm ist. Diese Technik wird von allen Profis angewendet, da sie eine konstantere und höhere Punktzahlt erbringt. Dadurch wird eine erhöhte Körperstabilität gewährleistet und die Wurfdistanz verringert.
Erst dann kann mit der Korrektur anderer Fehler begonnen werden. Wichtig ist, dass die Schüler und
Schülerinnen in der Lage sind, den Pfeil gerade Abbildung 6: Zoran Lerchbacher auszulassen, dafür sollte der Arm möglichst ausgestreckt sein. Anschließend kann die Korrektur der Feinheiten stattfinden.
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Der zweite Experte ist der Sportwissenschaftler und Autor von “Darts-Sport-sportwissenschaftliche Leistungsdiagnostik und Traningsansätze“ Mag. Harald Jansenberger. Er ist der Auffasung, dass in der Sportart Techniken und Standardbewegungen zu erarbeiten sind.
Beginnt der interessierte Neuling mit dem Erlernen des Wurfes, gibt es zwar grundlegende Empfehlungen zum Stand und zum Wurf selbst, allerdings wird im selben Atemzug auch empfohlen, einen individuellen Wurfstil zu entdecken. Trotzdem müssen grundlegende Faktoren erfüllt werden . Gerade bei einer Sportart wie Darts, welche aus der biomechanischen Sicht relativ simpel ist, ergibt sich folgendes Phänomen: Je einfacher Abbildung 7: Mag. Harald Jansenberger die Bewegung, desto weniger Fehler können gemacht werden, umso gravierender sind jedoch die möglichen Fehler auf das Ergebnis. Viele Standardbewegungen dienen als Orientierungsmöglichkeit, an der sich Trainer oder Trainerin als auch die einzelnen Spieler und Spielerinnen orientieren können, um die Leistungsfähigkeit zu steigern. Ein Anfänger oder eine Anfängerin, sollte nur die Grundprinzipien des Standes verstehen und am Anfang ein Gefühl entwickeln.
Diese beiden Meinungen verdeutlichen die Wichtigkeit der Wurftechnik und des Wohlgefühls.
(vgl. Jansenberger, 2019, S.8-12)
Im Anschluss an die erwähnten Expertenmeinungen bietet sich wieder der Start eines Klassengesprächs an. Diskutiert werden soll, ob und inwiefern es sinnvoll ist, die Technik eines Profis zu übernehmen. Die Teilnehmer und Teilnehmerinnen können auch einen individuellen Wurfstil entwickeln. Sollte man wirklich die Standardtechnik übernehmen oder sind auch andere Wurftechniken möglich? Darauffolgend sollten sie sich Gedanken über die statistische Verifizierung machen.
Dabei sollten die Schüler und Schülerinnen ein Gedankenspiel für einige Minuten durchführen und sich überlegen, wie sie einen Pfeil noch werfen könnten bzw. schon geworfen haben. Folgende Gliedmaßen bzw. Positionen der Gliedmaßen müssen erwähnt werden:
• Position der Arme • Position der Beine (Die Richtung der Füße kann erwähnt werden) • Position des Schwerpunktes • Aussehen der Wurfbewegung
Dabei sollten sie noch eine Idee entwickeln, wie man so etwas testen könnte.
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Mögliche Lösungsvorschläge, welche man im Unterricht präsentieren könnte:
Anmerkung: Bei allen Standpositionen ist der Wurfarm der dominante Arm und der andere Arm hält die Pfeile.
1. Beide Beine stehen ganz normal schulterbreit zueinander und beide Füße schauen zum Dartboard und befinden sich parallel zueinander. Der Schwerpunkt befindet sich über den Beinen gleichmäßig verteilt.
2. Das linke Bein ist wird ans Oche (Abwurflinie) gestellt, das rechte Bein geht nach hinten und dient als Stabilisierung. Die Fußspitze des linken Beines, schaut Richtung Dartboard (wie ein olympischer Speerwerfer).
3. Analog wie bei 2. nur dass diesmal der Fuß normal zum Board ausgerichtet wird d.h. die Fußspitze schaut zur Seite. Der Schwerpunkt liegt über dem Standbein.
4. So wie der ideale Wurf schon beschreibt, ist das rechte Bein das Standbein und wird an die Linie gestellt. Das linke Bein wird zurückgestellt und dient als Stabilisator. Die Fußspitze des Standbeines richtet sich zum Dartboard. Der Schwerpunkt liegt über dem Standbein.
5. Analog zu 4., nur dass diesmal die Fußspitze normal zum Dartboard steht. Der Schwerpunkt befindet sich über dem Standbein.
6. Entwickle deinen individuellen Stil. Unterscheidet sich dieser gravierend von den Punkten 1-6, beschreibe ihn in zwei bis drei Sätzen.
Anmerkung: Der Schwerpunkt ist meistens über dem Standbein, da der Spieler oder die Spielerin zwischen Board und sich selbst, den Abstand so weit wie möglich verkürzen möchte. Schafft ein Spieler oder Spielerin dies verletzungsbedingt nicht, so kann er den Schwerpunkt zwischen den Beinen zurücklagern.
Wurden alle möglichen Wurfpositionsarten besprochen, so kann man diese mit den Lösungsvorschlägen vergleichen und anschließend wäre die Vorbereitung für den 2. Teil der ersten Aufgabe gelöst. Hierbei sollen sich die Schüler und Schülerinnen Gedanken machen, wie sie sowas statistisch hinterlegen können, ob die Theorie/Meinung von den beiden Experten auch stimmt oder nicht.
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Eine mögliche Lösungsoption wäre, eine statistische Urliste zu schreiben und im Anschluss daran die Treffer herauszufiltern. Dabei soll jeder Teilnehmer und Teilnehmerin eine gewisse Anzahl von Pfeilen werfen (n = 30) und sehen wie oft sie das Feld mit jeweiliger Position getroffen wurde. Um Zufälle zu vermeiden, wird dieser Schritt drei Mal wiederholt und die zuvorbesprochene Reihenfolge verändert. Dadurch soll ein Trainingseffekt und Zufälle vermieden werden.
Die Position mit den meisten Trefferzahlen bzw. mit der aktuellen Trefferquote geht als sicherste Wurftechnik hervor. Natürlich muss dabei unterschieden werden, ob der jeweilige Kandidat oder die jeweilige Kanditin Links- oder Rechtshänder bzw. Links- oder Rechtshänderin ist, denn die ideale Wurftechnik besagt, die dominante Hand und der gleichseitige Fuß sind nach vorne gerichtet.
Berechnet jeder Schüler und jede Schülerin die aktuelle Trefferquote auf diese Weise, so lässt sich anhand des Ergebnisses der Teilnehmern und Teilnehmerinnen bestimmen, welche Wurfart bzw. Position die Beste ist. Freilich stellt das nur ein Indiz dar und kann nicht auf die gesamte Weltbevölkerung umgelegt werden. Das kritische Hinterfragen und Interpretieren der Beispiele soll durch realitätsbezogene Beispiele gedeckt werden. Dies wird auch das erste Arbeitsblatt sein, bei dem die Akteure und Akteurinnen ihre eigene „aktuelle Trefferquote“ berechnen können.
3.2.4. Meine Erwartungen
Die von den Schülern und Schülerinnen erarbeitete Standardwurfbewegung wird praktisch und theoretisch überprüft. Im Zuge dessen sollen die Teilnehmer und Teilnehmerinnen nochmals auf das Dartboard werfen. Zuvor wird jedoch ein Wert für einen Durchschnittsspieler oder eine Durchschnittsspielerin benötigt. Diesbezüglich kann auch eine weitere Klassendiskussion geführt werden. Die Lehrkraft könnte folgende Frage formulieren: „Aufgrund eurer neu entdeckten Technik, welche Erwartungen habt ihr nun? Nun könnt ihr jetzt behaupten, dass ihr besser als ein durchschnittlicher Anfänger oder eine durchschnittliche Anfängerin seid?“ Diese Diskussionseinleitung soll auch als Hilfsmittel für die Ableitung des Erwartungswertes dienen.
Nun muss die Frage beantwortet werden, wovon der Erwartungswert berechnet werden soll bzw. wie man mit dem Erwartungswert einen durchschnittlichen Anfänger oder eine durchschnittliche Anfängerin kategorisieren kann.
Der Begriff „durchschnittlicher Anfänger oder durchschnittliche Anfängerin“ muss im Unterricht definiert werden. Einen Werfer oder eine Werferin als Anfänger oder Anfängerin zu definieren ist im Sport kein einfaches Thema, denn was macht einen Anfänger oder eine Anfängerin aus? Die Unerfahrenheit? Das mangelnde Talent? Beides? Vielleicht hat Anfänger X ein Talent Pfeile präzise zu werfen, aber kann dies nicht vor einem Publikum beweisen.
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Anfängerin Y lässt sich vom Publikum nicht beeinflussen, aber besitzt absolut kein Talent für Darts, es stellt sich nun die Frage, wer der Anfänger ist X oder Anfängerin Y?
Um hier eine Antwort zu finden, muss man sich mit dem Ziel von Darts beschäftigen. Das Hauptziel in Darts ist, mehr Punkte als der Gegner zu spielen, um das Spiel früher beenden zu können. Im Groben muss ein Spieler oder eine Spielerin viele Punkte erzielen. Höchstwahrscheinlich liegt hier der Unterschied im Erzielen der Punkte, denn ein professioneller Spieler oder eine professionelle Spielerin trifft eine beliebige Zahl zu 99%. Bei einem Profi lautet eher die Frage, wie oft er die Triple 20 oder Triple 19 trifft. Dies spielt in dieser Arbeit keine Rolle.
Abbildung 8: Einteilung der Bereiche am Dartboard Die Verteilung der Punktezahlen auf dem Dartfeld gibt uns dabei die Voraussetzungen an. Mit den dazugehörigen Boardmaßen und dem Erwartungswert kann man sich eine durchschnittliche Punktzahl ausrechnen, die uns einen Fixwert angibt, den man übertreffen muss. Zuerst muss man sich die prozentuelle Aufteilung eines Dartboards ansehen. Wie schon am Anfang der Vorbereitungszeit erwähnt, hat ein Dartboard verschiedene Felder. Es besteht aus Single- (großen Felder), Double- (äußerer Ring), Triple-Feldern (Innerer Ring) und in der Mitte ist das Bull (grün) und Bullseye (Rot). All diese vorgeschriebenen Felder haben eine Größennorm laut der BDO (British-Dart-Organisation), welche international anerkannt wurde. Diese Größen müssen von den Schülern und Schülerinnen recherchiert werden, um das zweite praktische Beispiel lösen zu können.
Falls es ein Schüler oder eine Schülerin gefunden hat, kann er oder sie die Maße eines Dartboard folgendermaßen auf den Arbeitsauftrag schreiben, ansonsten können die Schüler und Schülerinnen es mit einem Maßband am Durchführungstag abmessen. Die genauen Maße, welche von der BDO vorgegeben sind, kann man in der folgenden Tabelle sehen:
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Projektanfang
Alle Dartboards sind verpflichtet, folgende Größendimensionen incl. Doppel- und Tripelfelder, als auch beim Bull und Bullseye einzuhalten. Dabei gibt es minimalistische Schwankungen bis zu 2 mm, die wegen Ungenauigkeiten vorkommen können, aber auch durch heterogene Dicken des Drahtes, da jeder Hersteller ein eigenes Produkt entwickelt hat.
Bullseye Durchmesser (incl. Draht) 12,7 mm +/- 0,2 mm Bull Durchmessser (incl. Draht) 31,8 mm +/- 0,3 mm Breite der Doppel- und Trippelfelder 8 mm +/- 0,2 mm Äußerer Rand des Doppelringes bis zur Mitte vom Bullseye. 170 mm +/- 0,2 mm
Äußerer Rand des Trippelringes bis zur Mitte vom Bullseye. 107,4 mm +/- 0,2 mm
Gesamter Durchmesser des Dartboards 451,0 mm +/- 3,0 mm Tabelle 2: Internationale Größennorm eines Dartboards laut BDO
(vgl. British Darts Organisation playing rules and tournament rules, 2019, S. 6)
Da nun alle Größendimensionen geklärt sind, müssen sich die Schüler und Schülerinnen auf die prozentuelle Aufteilung (Wahrscheinlichkeiten) der einzelnen Flächen konzentrieren. Damit besitzen die Schüler und Schülerinnen die Anteile des Dartboards, welches sie für das Berechnen des Erwartungswertes benötigen. Den Schülern und Schülerinnen sollte beim Erwartungswert klar sein, dass sie die durchschnittliche Punktzahl für einen Pfeil berechnen müssen.
Beim praktischen Teil müssen die Schüler und Schülerinnen in drei Durchgängen so viele Darts werfen, bis sie die Punktzahl von 180 überschritten haben. Die Anzahl der Darts und der zu viel geworfenen Punkte sollte notiert werden.
Am Ende soll ein Diagramm hergestellt werden, wo man die Leistung der Teammitglieder individuell und als Team sehen kann. Auf dem Diagramm sollte der berechnete Erwartungswert mit ihren durchschnittlichen Punktzahlen verglichen und dargestellt werden.
3.2.5. Rahmenbedingungen, Sicherheit, Arbeitsblätter
Unabhängig davon, ob die Gruppen zu einem Verein oder in den Turnsaal gehen und sich die Apparatur selbst aufbauen, müssen gewisse Regeln eingehalten werden, um die größte Sicherheit zu gewährleisten. Es muss ein Wartebereich vorbereitet werden, da die Steeldarts Eisenspitzen haben und daher in der Anwendung gefährlich sind. In der Regel ist zu diesem Zweck hinter der Abwurflinie in einem Abstand von ca. einem Meter eine weitere Linie vorhanden, wo sich Gegner und Gegnerin, Mitspieler und Mitspielerin, sowie die Zuschauer aufhalten.
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Projektanfang
Den Bereich zwischen der Wurflinie und der hinteren Sicherheitslinie nennt man auch den Wurfbereich. Alles, was sich hinter der hinteren Linie befindet, ist der Wartebereich. In der Turnhalle muss so eine Markierung mit Klebeband markiert bzw. gezogen werden.
In diesem Absatz wird ein Konstruktionsvorgang für eine Turnhalle oder Aula dargestellt. Die unteren Bilder illustrieren so eine bildliche Anleitung:
Abbildung 9: Konstruktionsvorschlag für eine Turnhalle
Nach dem Aufbau der Anlage, Anbringung der Markierungen und erfolgter Sicherheitsunterweisung kann das Spiel beginnen. Man geht erst nach vorne, sobald der benachbarte Spieler bzw. die benachbarte Spielerin auch seine oder ihre drei Pfeile abgeworfen hat, um Verletzungen zu vermeiden.
Um eine zügige und strukturierte Arbeitsweise zu ermöglichen, werden die Schüler und Schülerinnen in Gruppen eingeteilt. Jeder sollte zumindest einen Partner oder eine Partnerin haben, damit eine wechselseitige Protokollierung vorhanden ist. Dies hat auch den Vorteil, dass der jeweilige Werfende nicht abgelenkt wird und vom Wurfrhythmus wegkommt, somit werden zwei oder mehrere Confounder, welche den Werfer oder die Werferin beeinflussen können, vermieden.
Das letzte Kapitel der Vorbereitungszeit im Unterricht dient der kurzen Besprechung einzelner Beispiele, welche am oder nach dem Durchführungstag zu machen sind. Um Verwirrungen oder Missverständnissen zu entgehen, sollten die Beispiele gründlich besprochen werden. Diese werden im Kapitel der Projektdurchführung dargestellt. Die Probanden und Probandinnen sollten auch wissen, dass zuerst die praktische Arbeit für jeden Arbeitsauftrag gemacht werden soll und im Anschluss die rechnerischen Aufgaben gelöst werden muss.
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Projektanfang
Zusammenfassend ist zu sagen, dass es hier einige Dinge gibt, welche beachtet werden müssen für Schüler und Schülerinnen, aber auch für die Lehrperson. Nicht nur die Auffrischung der fachlichen Kompetenz der Schüler und Schülerinnen ist von Nöten, sondern ein anderer wichtiger Punkt ist das kritische Hinterfragen von Problemen. Dies muss beachtet und ordentlich besprochen werden, um das realitätsbezogene Element im Unterricht nicht zu vernachlässigen. Aber auch die Besprechung von Grundbegriffen ist von Wichtigkeit, da man des Öfteren Elemente übersieht oder falsch interpretiert, was in der Stochastik ein bekannter Fehler ist, welcher beiden Parteien im Raum geschehen kann. Auch die praktische Arbeit sollte dabei nicht vernachlässigt werden, umso mehr sollte den Schülern und Schülerinnen klar sein, wie der Aufbau einer Apparatur aussieht bzw. die einzelnen Maße. Deswegen sollte man in diesem Abschnitt evtl. noch eine Pufferzeit bereithalten, um alle Punkte gründlich zu klären.
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Durchführung
4. Durchführung
Nach all den Gesprächen und Überlegungen kommen wir nun zur Hauptphase des Projektes. Dieser Projektabschnitt ist der aufwändigste, da nun die Schüler und Schülerinnen die meiste Arbeit leisten, wobei die Arbeit des Lehrers die Position eines Beraters, Experten und Pädagogen einnimmt. Ab sofort werden alle Punkte der Projektplanung verwirklicht, die Schüler und Schülerinnen sollen am Ende der Durchführung ihre Ergebnisse interpretieren können, um sich selbst und ihre Fertigkeiten kennenzulernen. Zu guter Letzt sollten sie dann ihre Ergebnisse individuell und in Gruppen präsentieren können, damit man die Ergebnisse in der Klasse vergleichen kann. Dieser Vergleich sollte nicht im Vordergrund stehen, dennoch sind die meisten TeilnehmerInnen sehr neugierig, wie sie abgeschnitten haben, um zu sehen, ob sie besser oder schlechter als ihre Kollegen sind. Nachdem die Präsentation vorbei ist, sollte sich jeder Teilnehmer und Teilnehmerin eine eigene Meinung vom Projekt bilden können und evtl. von sich selbst, vielleicht erkennt auch die- oder derjenige die eigenen Fehler beim Werfen.
4.1. Ablauf
Zu Beginn der Durchführung wird nochmals der Ablauf kurz besprochen, um den Schülern und Schülerinnen die Details in Erinnerung zu rufen. Die Ablaufbesprechung ist umso wichtiger, wenn der Unterricht in der Turn- oder Schulhalle stattfindet. Dabei sollten die einzelnen Maße nochmal besprochen werden und der Aufbau eines Steeldartständer mit Dartboard demonstriert werden. Ideal wäre es, wenn die Lehrperson die einzelnen Dartboards bereits zuvor an das Gestänge schraubt, um die Benützung einer Bohrmaschine im Unterricht zu vermeiden. Daraufhin sollten die Akteure und Akteurinnen die Messungen und den restlichen Aufbau erfüllen. Bei einer Gruppe mit 20 Schülern sollte die Lehrkraft folgende Gegenstände bereitstellen:
• 5x Maßbänder • 5x Steeldartständer mit Board • Klebeband • Dartspfeile und evtl. Reservepfeile mit Reserveteile, wie z.B. Flights und Schäfte
Die einzelnen Berechnungen finden im Anschluss der praktischen Arbeit im Unterricht oder zu Hause statt. Die praktische Durchführung sollte ca. eine Dauer von 8-9h einnehmen.
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Durchführung
4.2. Gruppenaufteilung
Nach dem Aufbau der Anlagen macht die Lehrperson die Aufteilung der Gruppen. Für diese Form des Projektunterrichts bieten sich eher kleine Gruppen an, also maximal bis zu 5 Personen, ideal wären vierer Gruppen von Vorteil, um zu gewährleisten, dass jede Person einen Protokollschreiber innerhalb der Gruppe hat. So kann die eine Person ganz gelassen werfen. Dabei kann noch ein anderes Teammitglied dem Werfer die Pfeile aus dem Board holen und diese immer zurückbringen, um diverse Confounders hinsichtlich des Werfers zu vermeiden.
Da Darts ein generationen- und geschlechterübergreifender Sport ist, so ist die Wahl der einzelnen Gruppenmitglieder unabhängig vom Erfolg. Dabei gibt es auch Spieler und Spielerinnen mit körperlichen Behinderungen, welche den Sport auf einem hohen Niveau ausführen (Ausnahme: armlose Personen), somit sind dieser Sportart keine Grenzen gesetzt. Interessant ist das Faktum, dass weibliche Spieler einen deutlich geringeren Punkteschnitt haben als männliche Spieler. Sieht man sich die aktuelle Weltrangliste an (PDC. Order of Merit Stand: 20.07.2020), so ist Ashton Lisa momentan die beste Dame mit Platz 125, danach kommt eine lange Durststrecke. Obwohl Darts ein geschlechterübergreifender Sport ist, so gehören die besten 120 Spieler dem männlichen Geschlecht an, und eigentlich gibt es für diese Tatsache noch keine Erklärung. Falls die Klasse geschlechtergerecht aufgeteilt ist, so wäre eine ideale Aufteilung mit zwei weiblichen und zwei männlichen Personen pro Gruppe. Die Funktionsaufteilung der Gruppe wird intern vereinbart.
Reflektanten
Da eine vierer-Gruppe in diesem Projekt ideal ist, werde ich auch nur vier Testpersonen erwähnen bzw. mit ihren Daten arbeiten, dennoch beinhaltet die Stichprobe eine Anzahl von 30 Personen pro Aufgabe. Die vier Testpersonen haben die Auswertungen nicht gleichzeitig durchgeführt, da ein gemeinsamer Termin wegen der verschiedenen Wohnorte unmöglich war.
Zu den Personen: 1. Herr Mag. Alexander Novak, ist ein langer und hilfsbereiter Studienfreund, auf dem ich mich verlassen kann. Er war auch der erste, der seine Hilfe angeboten hat. Umso interessanter war es mit Alex zu arbeiten, da er selbst ein Hobbybogenschütze ist und somit eine gewisse Erfahrung in Zusammenhang mit Schützensportarten mit sich bringt.
2. Frau Martina Brunner, ist eine Studienkollegin seit Anfang an. Die gebürtige Steyrerin interessierte sich für den Dartssport immer wieder und war sogar auf großen Turnieren im Publikum, somit war schon ein großes Interesse vorhanden. Laut den Angaben von
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Durchführung
Martina spielte sie Dart ab und zu mit ihren Freunden in einer Kneipe, wobei sie das schon öfter gemacht hat. Frau Brunner entspricht vollkommen dem Profil, wie es in der Einleitung beschrieben steht, denn fast in jedem Lokal steht so ein Gerät.
3. Herr Mag. Kevin Thaller, ist so wie Herr Novak ein sehr netter und zuvorkommender Studienkollege. Wir haben gemeinsam unser letztes Praktikum in Steyr bestritten und über unsere einzelnen Arbeiten gesprochen. Dies interessierte den Fußballer und er erklärte sich bereit für die einzelnen Testungen.
4. Frau Vanessa Schmid, ist mit Darts durch ihre Mutter in Berührung gekommen, somit hatte sie diesbezüglich eine gewisse Erfahrung. Die Salzkammergutlerin aus Bad Mitterndorf führte den Sport das letzte Mal laut ihren Angaben mit 12 Jahren aus. Sie ist als letzte Testperson eine Idealbesetzung.
Wie bereits bei der Gruppeneinteilung erwähnt, bietet eine vier Personen Gruppe eine solide Personenanzahl, indem die Arbeitsaufträge zügig und geschlechterübergreifend ausgeführt und berechnet werden.
4.3. 1. Praktischer Teil
Jede Gruppe bekommt von der Lehrkraft drei Darts und geht zu einem der aufgestellten Dartboards. Der erste Teilnehmer oder die erste Teilnehmerin stellt sich zur Abwurflinie, die übrigen Teilnehmer bleiben im Wartebereich. Erst wenn alle bereit sind, auch die Kollegen an den Nebenboards, kann der Spieler an der Abwurflinie werfen. Die ersten paar Dartwürfe dienen der Aufwärmung und um ein Gefühl in der Hand zu bekommen. Nach Abwurf aller drei Darts (auch vom Nebenboard), geht immer ein Gruppenmitglied nach vorne und holt die Pfeile für den Werfer, wobei sich das Teamwork somit innerhalb der Gruppe steigert.
In der Regel dauert die Aufwärmzeit bis zu zehn Minuten. Nach der Aufwärmphase teilt die Lehrperson jedem einzelnen Schüler und jeder Schülerin den Arbeitsauftrag für den ersten praktischen und theoretischen Teil aus. Wie bereits zuvor besprochen, wird hier die „aktuelle Trefferquote“ berechnet.
Diese Praxissequenz wird in zwei Teilen gesplittet. Zuerst wird Teil 1 abgehalten und anschließend in einer Gesprächsrunde im Turnsaal besprochen. Die Ergebnisse und Wurfstile werden verglichen. Nachdem das Ergebnis von Teil 1 besprochen und analysiert wurde, folgt der zweite Teil der ersten praktischen Arbeit.
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Durchführung
1. Praktischer Teil (Teil 1) Meine aktuelle Trefferquote Auftrag: Wirf 30 Darts nach deinem Stil auf das Steeldartboard und versuche die Segmente 5-20-1 oder 7-19-3 zu treffen. Entscheide vor dem Werfen welchen Segmentbereich du wählst. Ein Wechsel währenddessen ist nicht erlaubt. Der Wurf erfolgt immer mit dem dominanten Arm.
Aufgabe 1: Vervollständige die unten dargestellte Tabelle und notiere dabei die Anzahl deiner Treffer! (Berechne die gesuchten Werte mit einem Taschenrechner oder einem Smartphone)
Strichliste Trefferanzahl Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit in % ___ von 30
Aufgabe 2: Beschreibe deine eigene Wurfposition in drei Sätzen! ______.
Aufgabe 3: Überlege und diskutiere in der Gruppe, wie du deine persönliche Trefferquote bzw. eine Trefferquote verbessern könntest. Schreibe dazu 2 bis 3 Sätze auf! ______.
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Durchführung
1. Praktischer Teil (Teil 2) Die aktuelle Trefferquote Auftrag: Wirf 30 Darts nach den vorgegebenen Positionen (siehe: Wurfpositionen) und befolge die gleichen Regeln wie in Teil 1 Aufgabe 1: Stelle den absoluten und relativen Wert dar! Wie groß ist der prozentuelle Anteil bei jeder Trefferquote?
Aufgabe 2: Führe eine übersichtliche graphische Auswertung mit allen Wurfarten (incl. Individuelle Wurfposition) aus.
Aufgabe 3: Mit welcher Art hast du am meisten getroffen, gibt es dabei eine anatomische Begründung?
Aufgabe 4: Du wirfst mit deinen letzten drei Darts auf die gewählten Segmente. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du damit zwei Treffer erzielst? (Du rechnest mit der besten aktuellen Trefferquote)
Gruppenaufgabe 1: Vergleicht eure Ergebnisse und erstellt ein Säulendiagramm mit der besten Wurftechnik!
Gruppenaufgabe 2: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihr den gewünschten Segmentbereich genau 3x erzielt, wenn alle Mitglieder der Gruppe nur einen Dart besitzen?
Gruppenaufgabe 3: Gilt diese aktuelle Trefferquote für das ganze Steeldartboard? (Begründe warum!)
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Durchführung
Wurfpositionen:
Bildbeschreibung Beschreibung Trefferanzahl 1) Das linke Bein wird ans Oche (Linie) gestellt und das rechte Bein geht nach hinten, welches als Stabilisierung dient. Die Fußspitze des linken Beines schaut Richtung Dartboard. ___ von 30 (Wie ein olympischer Speerwerfer)
2) Beide Beine stehen gerade schulterbreit zueinander, beide Fußspitzen schauen zum Dartboard und liegen parallel zueinander. Der Schwerpunkt befindet sich vorne gleichmäßig ___ von 30 über den Beinen verteilt.
3) Das rechte Bein wird an die Linie gestellt und das linke Bein wird zurückgestellt. Die Fußspitze des Standbeines richtet sich zum Dartboard. Der Schwerpunkt liegt über dem ___ von 30 Standbein.
4.) Analog zu Wurftechnik 1, nur dass die Fußspitze des Standbeines normal zum Dartboard positioniert ist (Die Fußspitze ist nach innen zur Seite gedreht). ___ von 30
5.) Analog zu Wurftechnik 3, nur dass die Fußspitze des Standbeines normal zum Dartboard positioniert ist (Die Fußspitze ist nach innen zur Seite gedreht). ___ von 30
Tabelle 3: Arbeitsblattanhang Wurfpositionen
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Durchführung
4.3.1. Fachdidaktischer Kommentar und Ziel des ersten praktischen Arbeitsblattes
Im ersten Arbeitsblatt soll den Schülern und Schülerinnen bewusst werden, wie gut ihre „aktuelle Trefferquote“ ist. Diese wird durch verschiedene Wurfpositionen entdeckt und dabei ausgewertet.
Beim ersten Arbeitsblatt werden die Schüler und Schülerinnen mit ihrer eigenen individuellen Wurfart konfrontiert; diese soll ausgewertet und beschrieben werden. Anschließend findet eine Gesprächsrunde über die Steigerung der Trefferquote statt. Dabei sollte man die vorbereiteten Themen nochmals wiederholen und auf andere Wurfpositionen aufmerksam machen.
Die höchste aktuelle Trefferquote geht aus der Wurfposition mit den meistgetroffenen Feldern hervor. Speziell bei diesem Arbeitsblatt wird den Schülern und Schülerinnen deutlich gemacht, dass die Wurfposition ein wichtiges Kriterium bei einer Zielübung ist. Die individuelle, neuentdeckte Trefferwahrscheinlichkeit der einzelnen Teilnehmer und Teilnehmerinnen gilt nur für den gezielten Bereich und nicht für das ganze Dartboard oder einzelne Segmentbereiche.
Darüber hinaus sollten die Schüler und Schülerinnen die einzelnen Daten auswerten und im Anschluss sorgfältig analysieren. Die Teilnehmer und Teilnehmerinnen sollten in der Lage sein, die diversen Ergebnisse zu begründen. Die verschiedenen Wurfarten visualisieren den Einfluss des Körpers auf das jeweilige Ziel, umso mehr ist eine Erklärung hinsichtlich einer ruhigen Haltung wichtig. Je mehr sich der Schütze oder die Schützin während des Zielvorgangs bewegt, dreht, wippt oder auf die Zehnspitze steigt, umso mehr Fehler können passieren. So stimmt die Theorie des idealen Dartwurfs, dass der dominante Arm und das gleichseitige Bein nach vorne gerichtet und der Körper angespannt werden muss, weil in dieser Haltung der Körper die größte Ruhe beim Wurf beibehalten kann. Aufgrund dieser Interpretationsmöglichkeit einzelner Ergebnisse und erreichter Leistung kann eine statistische Berechnung und Veranschaulichung erfolgreich stattfinden. Nicht die Trefferanzahl ist das Augenmerk der Auswertung, sondern der Unterschied zwischen den einzelnen Positionen.
Zuletzt sollte das erste Arbeitsblatt auch der Wiederholung diverser Grundbegriffe und deren Berechnungsarten dienen (absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit, Wahrscheinlichkeitsberechnung und gegebenenfalls ein Baumdiagramm mit den dazugehörigen Pfadregeln). Die Teilnehmer und Teilnehmerinnen müssen ein elektronisches Hilfsmittel mit Tabellenkalkulationsprogramm benutzen, wobei das Design der graphischen Darstellung den Schülern überlassen bleibt.
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Durchführung
4.3.2. Lösungsvorgang des erstens praktischen Teils (Teil 1)
Die Auswertung wird mit den Ergebnissen der erwähnten Reflektanten aus Punkt 4.2.1 ausgeführt. Sie haben alle mit meinen privaten Darts geworfen, welche 21g schwer und 17cm lang sind. Daraus folgt eine Chancengleichheit bezüglich der Pfeile.
Nachdem sich die Reflektanten aufgewärmt und ihr Einverständnis zur Zählung bestätigt haben, beginnt die Auswertung. Um das Blatt vollständig auszufüllen, müssen die Schüler und Schülerinnen ihr gelerntes Wissen bzgl. Wahrscheinlichkeit und Häufigkeiten auffrischen.
Beginnt man mit der Strichliste, so zieht man einen Strich, wenn die jeweilige Person das gewünschte Feld getroffen hat. Die maximale Anzahl von Würfen ist in der Angabe gegeben (n= 30).
Bevor man die Wahrscheinlichkeit berechnet, sollte den Schülern nochmals klar gemacht werden, was überhaupt eine Wahrscheinlichkeit (P(A)) ist und wie diese zustande kommt. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls. Was sich zu Beginn widersprüchlich anhört, wird anhand eines Münzwurfes erklärt. Das Ergebnis eines Münzwurfes ist nicht vorhersagbar (es ist nicht bekannt, ob Kopf oder Zahl fällt), wiederholt man diesen Vorgang und zählt das Auftreten der beiden Seiten, so fällt einem auf, dass die beiden Seiten bei oftmaligem Werfen gleich häufig auftreten. (Vgl. Fischer et al., 2015 S. 75)
Diese Überlegung lässt sich auf den Dartsport bzw. auf diesen praktischen Teil anwenden. Es ist nicht bekannt, ob die Person mit dem kommenden Wurf den Segmentbereich trifft, es lässt sich aber die Anzahl der Treffer von einer Anzahl von Würfen abzählen (n = 30). Um mit Wahrscheinlichkeiten rechnen zu können, müssen diese bestimmte Eigenschaften erfüllen. Diese werden auch Axiome von Kolmogorov genannt und lauten:
1. Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses bei einem Zufallsexperiment ist eine eindeutig positive reelle Zahl. 0 ≤ 푝(퐴) ≤ 1
2. Einem sicheren Ereignis wird die Wahrscheinlichkeit 1 zugewiesen.
푝(훺) = 1
3. Schließen sich zwei Ereignisse A und B gegenseitig aus (푃(퐴) ∩ 푃(퐵)) z.B. A = Treffer und B = nicht Treffer. Die Wahrscheinlichkeit für ihre Vereinigung (푃(퐴) ∪ 푃(퐵)) ist als Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten berechenbar.
푃(퐴) ∪ 푃(퐵) = 푃(퐴) + 푃(퐵) 푓푎푙푙푠 푃(퐴) ∩ 푃(퐵)
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Durchführung
Nach dem 3. Axiom dürfen 2 unabhängige Ereignisse aus dem gleichen Experiment addiert werden. (vgl. Fahrmeir et al., 2016, S.172)
Wie schon im Kapitel Trefferquote erwähnt, kann nun die Wahrscheinlichkeit mit der relativen
Häufigkeit(hT) berechnet werden. Die relative Häufigkeit ist das Ergebnis aus der Division der absoluten Häufigkeit (Anzahl der aufgetretenen erwünschten Ereignisse) durch die Versuchsanzahl. Aufgrund dieses Wissens ist nun die Berechnung der aktuellen Trefferquote möglich. Die relative Häufigkeit gibt uns auch die Möglichkeit, einen Versuch so oft wie möglich zu wiederholen bis wir eine „gute Wahrscheinlichkeit“ haben. Das ist leider nicht so einfach, denn hier muss geklärt werden, wie viele Versuche wirklich sinnvoll sind, denn es könnten körperliche Müdigkeitserscheinungen auftreten, welche als Confounder gewertet werden können. Diese können das Ergebnis verfälschen. Aus diesem Grund werden die Würfe auf 30 limitiert. Nach den 30 Würfen findet ein Spielerwechsel statt. Den prozentualen Anteil berechnet man, indem man die relative Häufigkeit mit 100 multipliziert.
So könnte ein mögliches Lösungsblatt für Aufgabe 1 aussehen:
Abbildung 10: Lösungsbeispiel Diese Ergebnisse stammen aus der Auswertung von Alexander Novak. Vergleicht man diese nun mit den Axiomen von Kolmogorov, zeigt sich, dass alle drei Punkte erfüllt sind. Die Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1 (0,66). Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Alexander Novak das Ziel nicht trifft 0,34 beträgt. Addiert man diese beiden unabhängigen Ereignisse, dann ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 1, weshalb auch die somit Punkte 2 und 3 der Kolmogorov‘schen Kriterien erfüllt sind. Insbesondere Punkt zwei wird erfüllt, da es nur zwei Ereignisse (Treffer, Kein Treffer) gibt, welche eintreten können. Würde man auf beide setzen können, so hätte man eine sichere Wahrscheinlichkeit.
Hier ist noch eine einzelne Zusammenfassung der einzelnen Reflektanten:
Name Trefferanzahl Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit in % Thaller 15 von 30 0,5 50% Brunner 17 von 30 0,5666 56,66% Schmid 13 von 30 0,4333 43,33% Tabelle 4: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles von Aufgabe 1 (Teil 1)
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Durchführung
Nachdem alle Teilnehmer und Teilnehmerinnen den Auftrag absolviert haben, vergleicht man die Ergebnisse. Es spielt keine große Rolle, wie gut oder schlecht ein Spieler oder eine Spielerin abgeschnitten hat, sondern entscheidend ist die Wurfposition. Der individuelle Stil von Alexander Novak war insofern bemerkenswert, als er den Expertentheorien nicht entsprach. Sein linkes Standbein war nach vorne gerichtet und sein dominanter, rechter Arm diente als Wurfarm. Die Position ähnelte einem olympischen Speerwerfer. Dazu kam eine wippende Bewegung, welche sich beim Auslassen des Pfeiles zu einer angespannten durchgestreckten Wurfhaltung entwickelte. In der dritten Aufgabe müssen sich die Akteure Gedanken über die Verbesserung ihres Wurfstiles machen. Dabei können die Informationen genutzt werden, welche sie recherchiert haben und die im Unterricht besprochen wurden. Es müssen nicht unbedingt Sätze geschrieben werden, sondern es reichen auch einzelne Stichwörter. Währenddessen könnte die Lehrkraft eine Mindmap erstellen, mit allen einzelnen Vorschlägen bzw. Ideen, welche aufgetreten sind vermerkt werden. Sobald alle Ideen aufgeschrieben wurden, hängt die Lehrkraft die Mindmap an eine Wand, um eine größere Übersicht zu schaffen. Diese sollte die Schüler und Schülerinnen dazu animieren, eine andere Wurfposition zu entwickeln.
Abbildung 11: Beispiel einer Mindmap
Ein typischer Anfängerfehler ist der unkoordinierte Einsatz des Bewegungsapparates; so etwa, wenn der Schütze beim Wurf die Hüfte dreht, sich auf die Zehenspitzen stellt oder seine Körperspannung vernachlässigt. Freilich ist das Sprichwort: „Übung macht den Meister“
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Durchführung zutreffend, die Grundlage ist jedoch, dass in einem ersten Schritt die richtige Technik erlernt wird. Fragen zur Ausführung und statistischen Auswertungsmöglichkeit können einen fruchtbaren Klassenraum entwickeln, da jeder Spieler und jede Spielerin eine individuelle Art für sich selbst herausfinden kann. Darüber hinaus müssen gewisse Richtlinien beachtet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollten recherchieren, wie ein Dartpfeil zu werfen ist, und sich mit der Technik vertraut machen. Es ist auch wichtig, das eigene Wohlgefühl während des Wurfes zu beachten. Diese Standpunkte haben auch die zwei Experten vertreten.
Anschließend könnte die Lehrkraft ein größeres Plakat oder per Tablet den Schülern und Schülerinnen zeigen, wie eine ideale Wurfposition laut den Experten beschrieben werden könnte.
Die ideale Wurftechnik bei Darts lautet:
• korrekte Einnahme der Standposition • der starke Fuß/Hauptfuß wird ans Oche (Linie) gestellt und anschließend belastet • das zweite Bein wird zurückgestellt, welches zur Stabilisierung dient, dabei wird der Oberkörper seitlich ausgerichtet und mitsamt Rumpf angespannt, vor allem diese Basis ist für einen erfolgreichen Wurf essentiell • die Pfeile werden in der nicht dominanten Hand sortiert und einzeln langsam in die dominante Hand, welche dann zielt und wirft, weitergegeben • der Wurf gelingt ganz einfach mit einer nach vorne fallenden dominanten Hand, welche den Pfeil beim Fallen des Armes loslässt • anschließend wird der Hauptarm zurückgezogen und der zweite Pfeil wird in die Hand genommen
(vgl. Jansenberger, 2019, S.10)
Dabei sollte die ganze Bewegung flüssig ablaufen und einen einheitlichen Wurfrhythmus besitzen, welcher aus dem individuellen Gefühl empfunden wird.
(vgl. Jansenberger, 2019, S.10-12)
Schüler und Schülerinnen sollen nur die obigen Schritte beachten und keine weiteren Ratschläge bekommen. Dieser Schritt stützt sich auf die Aussage von Jansenberger, welche besagt, dass die Fokussierung auf eine bestimmte Bewegung hinderlich sein kann. Beispiel: „Versuche den Arm komplett zu strecken und dabei den Oberarm möglichst ruhig zu halten“ (interner Fokus). Positiveren Einfluss hätte eine Metapher oder Analogie, um auf die Zielbewegung hinzudeuten wie z.B. „Stell dir vor, dass während des Wurfes dein Arm auf einem Kasten fest und ruhig aufliegt“ (externer Fokus).
(vgl. Jansenberger, 2019, S.29-32)
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Durchführung
Im Anschluss werden ein paar weitere Positionen besprochen und von den Schülern und Schülerinnen präsentiert. Daraufhin wird der 2.Teil ausgeteilt.
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Durchführung
4.3.3. Lösungsvorgang des ersten praktischen Teils (Teil 2)
Alexander Novak:
Die Ergebnisse von Alex fielen sehr gut aus. Dank seiner Erfahrungen aus dem Bogensport wies Alexander Novak eine sehr ruhige Hand und einen genauen Fokus auf. Dies zeigte sich auch am Board.
Seine Ergebnisse sind folgendermaßen notiert worden:
Wurfposition Trefferanzahl 1 13 von 30 2 16 von 30 3 23 von 30 4 18 von 30 5 16 von 30 Tabelle 5: Trefferanzahlzusammenfassung bzgl. Wurfpositionen (Novak)
Aufgabe 1:
Die Illustration einer möglichen Lösungsabgabe:
Wurfposition Trefferanzahl Absolute Relative Prozentueller Häufigkeit Häufigkeit Anteil 1 13 von 30 13 0,4333 43,33% 2 16 von 30 16 0,5333 53,33% 3 23 von 30 23 0,7666 76,66% 4 18 von 30 18 0,6 60% 5 16 von 30 14 0,4666 46,66%
Tabelle 6: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles (Teil 2) von Aufgabe 1 (Novak)
Aufgabe 2:
Eine graphische Veranschaulichung könnte folgenermaßen aussehen; hierbei wird die individuelle Wurfposition an der Stelle 6 dargestellt:
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Durchführung
AKTUELLE TREFFERQUOTE: NOVAK
100,00% 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% PROZENTE % PROZENTE 76,66% 40,00% 66,66% 60% 30,00% 53,33% 43,33% 46,66% 20,00% 10,00% 0,00% 1 2 3 4 5 6 WURFPOSITION
Abbildung 12: Aktuelle Trefferquote von Novak bzgl. der Wurfpositionen
Das Säulendiagramm ist mit Excel-office erstellt worden.
Aufgabe 3:
Aus den Ergebnissen von Aufgabe 1 und 2 ist die dritte Wurfposition am präzisesten. Genau 76,66% aller Würfe gingen auf das gewünschte Feld. Somit besteht eine sehr hohe Trefferquote im Segmentbereich von 5-20-1. Hierbei haben wir eine Übereinstimmung von Jansenberger und Lerchbarcher, da Alexander Novak ein Rechtshänder ist. Der Grund dafür ist die Ausgangslage der Wurfposition. Während der Positionierung hat Alexander Novak den kürzesten Abstand zum Board eingenommen und muss nur seinen Arm nach vorne fallen lassen. Dabei zeigt sich das angewendete kognitive Wissen vom Bogensport bezüglich Körperspannung und der Wurfhaltung.
Interessanterweise hat er auch bei Wurfposition sechs (individueller Stil) sehr gut abgeschlossen. Hierbei bestätigt sich auch die Aussage von Lerchbarcher, dass man zuerst den Wurfstil wählt, welcher einem das sicherste Gefühl bietet.
Offensichtlich ist, wie in Kapitel 3.2.2 erwähnt ein Trainingseffekt, vorhanden. Der Unterschied zwischen dem individuellen Wurfstil und Wurfposition 3 lässt sich mit der ruhigen Haltung begründen, welche im individuellen Wurfstil nicht gelingt. Dort ist wie oben schon erwähnt eher eine wippende Bewegung sichtbar, welche eine größere Streuung herbeiführen kann, da mehrere Gliedmaßen sich simultan bewegen und somit das Zielen erschweren. Ein weiterer Vorteil ist, dass man sich auf das nach vorne Fallen des Armes und auf das Auslassen des Pfeiles konzentrieren kann. Aufgrund der wippenden Bewegung ist beim individuellen Wurfstil während des Auslassens des Pfeiles ein richtiges Timing von Nöten. Dazu kommt noch die Konzentration auf das Durchstrecken des Armes. Erfreulicherweise präsentiert uns damit 53 | S e i t e
Durchführung unser Akteur einen sehr eindrucksvollen Trainingseffekt, welcher von Grund auf von zwei verschiedenen Standpositionen.
Aufgabe 4:
Die Trefferquote von Alexander beträgt: 푝(푇) = 0,76
T…Treffer
¬푇 …kein Treffer
Auf der folgenden Seite werden zwei Lösungsmöglichkeiten dargestellt:
1. Möglichkeit:
Die erste Möglichkeit ist ein klassisches Baumdiagramm, denn mithilfe eines Baumdiagramms lässt sich der mögliche Ablauf eines mehrstufigen Zufallsexperiments mit endlich vielen möglichen Ergebnissen in seiner komplexen Struktur erfassen, darstellen und analysieren. Mitsamt den beiden Pfadregeln können zusammengesetzte Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Dabei verzweigt sich ein stilisierter Baum auf jeder Stufe des Zufallsexperiments in Äste, die den möglichen Ergebnissen bzw. Ereignissen der entsprechenden Stufe des Zufallsexperiments entsprechen, wobei die Verzweigungsstelle mit den entsprechenden Ergebnissen bzw. Ereignissen beschriftet wird.
(vgl. https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik- abitur/artikel/baumdiagramme-und-pfadregeln stand: 10.08.20)
Die zwei Pfadregeln lassen sich am Besten mit einem Bild erklären:
Abbildung 13: Exemplar eines Baumdiagrammes mitsamt Pfadregeln
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Durchführung
Die erste Pfadregel (Produktregel) besagt: Die Pfadwahrscheinlichkeit entspricht dem Produkt aller einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
Die zweite Pfadregel (Summenregel) besagt: Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines (zusammengesetzten) Ereignisses gleich den Summen der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu den zugehörigen Ergebnissen führen. In unserem Fall bedeutet das, dass alle Pfadwahrscheinlichkeiten, wo genau zwei von dreit Darts getroffen werden, addiert werden.
Wendet man das Baumdiagramm mit den dazugehörigen Regeln an, so könnte dieses, wie in der folgenden Darstellung gezeigt, aussehen. Die drei Darts werden nacheinander geworfen, somit ist jeder Wurf unabhängig voneinander. So gilt:
1.Wurf
2.Wurf
3.Wurf
Abbildung 14: Baumdiagramm von Novak
Die Kombinationen für 2 Treffer bei 3 Würfen werden im Baumdiagramm mit dem grünen Pfad markiert. Benutzt man die zwei Pfadregeln, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer folgendermaßen:
푝(2) = 0,76 ∙ 0,76 ∙ 0,24 + 0,76 ∙ 0,24 ∙ 0,76 + 0,24 ∙ 0,76 ∙ 0,76 =
3 ∙ (0,76 ∙ 0,76 ∙ 0,24) = 0,415872 ≈ 41,59%
Antwort: Es besteht eine Chance von 41,59% , dass Alexander Novak den Segmentbereich 5- 20-1 zwei Mal mit drei Darts trifft.
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Durchführung
2. Möglichkeit:
Da jeder Wurf voneinander unabhängig ist und das Ergebnis nur 2 Ausgänge besitzt, so sind die Voraussetzungen für eine Binomialverteilung laut Borovcnik wie im Punkt 3.2.2. erfüllt. 푛 Die Binomialverteilung ( ( ) ∙ 푝푘 ∙ 푞푛−푘) besteht aus mehreren Komponenten: 푘 푛 • ( ) Diese mathematische Formulierung nennt man Binomialkoeffizient und spricht 푘 ihn „n über k“ aus. Dies wird laut Statistik der Weg zur Datenanalyse folgendermaßen definiert:
푛 Der Binomialkoeffizient ( ) ist definiert als 푘 푛 푛! ( ) = 푘 (푛 − 푘)! ∙ 푛!
Der Binomialkoeffizient gibt also die Anzahl der Möglichkeiten an, aus n Objekten k auszuwählen. (vgl. Fahrmeir et al. 2016, S. 188) Auf unser Beispiel übertragen, bedeutet n die Anzahl der Würfe und k die Anzahl der Treffer ist. Das Ergebnis eines Binomialkoeffizienten gibt uns die Anzahl der günstigen Fälle im Baumdiagramm an. So sehen wir oben als Probe, dass es exakt drei Fälle gibt, somit muss der Binomialkoeffizient auch drei ergeben. ({푇, 푇, ¬푇}, {푇, ¬푇, 푇}, {¬푇, 푇, 푇})
Anmerkung: Zahlen mit einem Rufzeichen nennt man auch Fakultät z.B. 푛! Spricht man n Fakultät aus. So ein Zeichen wird folgendermaßen berechnet:
푛! = 푛 ∙ 푛 − 1 ∙ 푛 − 2 ∙ … ∙ 1
• 푝 ist hier die Wahrscheinlichkeit; vor allem in diesem Beispiel ist das die aktuelle Trefferquote der einzelnen Akteure • 푞 ist die Gegenwahrscheinlichkeit oder anders ausgedrückt 1-p. Sie gibt uns die Wahrscheinlichkeit des Verfehlens vom Ziel an.
So lautet die Binomialverteilung für dieses Beispiel: 푛 3 푝(2) = ( ) ∙ 푝푘 ∙ 푞푛−푘 = ( ) ∙ 0,762 ∙ 0.24 = 0,41582 ≈ 41,59% 푘 2
Die Lösung stimmt mit der obigen Möglichkeit überein und somit gilt die idente Antwort.
Kevin Thaller
Kevin Thaller hat sich noch nie mit Zielsportarten beschäftigt und hat keine Erfahrung mit Darts. Aus diesem Grund war die Umsetzung der Wurfpositionen und das Resultat spannend
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Durchführung zu beobachten. Deswegen erhielt Kevin Thaller eine längere Aufwärmphase, um sich mit den Darts bekannt zu machen. Sein dominanter Arm ist der rechte Arm.
Die Ergebnisse:
Wurfposition Trefferanzahl 1 3 von 30 2 12 von 30 3 13 von 30 4 10 von 30 5 18 von 30 Tabelle 7: Trefferanzahlzusammenfassung bzgl. Wurfpositionen (Thaller)
Offensichtlicht sticht hier Wurfposition 5 heraus, welche auch mit der Theorie übereinstimmt.
Aufgabe 1: Wurfposition Trefferanzahl Absolute Relative Prozentueller Häufigkeit Häufigkeit Anteil 1 3 von 30 3 0,1 10% 2 12 von 30 12 0,4 40% 3 13 von 30 13 0,4333 43,33% 4 10 von 30 10 0,33 33,33% 5 18 von 30 18 0,6 60% Tabelle 8: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles (Teil 2) von Aufgabe 1 (Thaller)
Aufgabe 2:
Eine andere Möglichkeit wäre die Balkendiagrammdarstellung, um die Ergebnisse repräsentativ darstellen zu können.
Aktuelle Trefferquote Thaller 50% 60% 33,33% 43,33%
40% Wurfpositionen 10%
0% 20% 40% 60% 80% 100% Wurfposition 6 Wurfposition 5 Wurfposition 4 Wurfposition 3 Wurfposition 2 Wurfposition 1 Abbildung 15: Aktuelle Trefferquote von Thaller bzgl. der Wurfpositionen
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Durchführung
Der individuelle Stil bei KevinThaller war eine Kombination von Wurftechnik 3 und 5, da sich der Winkel des rechten Fußes eigentlich zwischen 40 und 60° befand. Er wirkte auch ziemlich unsicher, denn er fragte mich zuvor, wie man so einen Pfeil wirft. Dies unterstreicht die Unerfahrenheit hinsichtlich der Sportart.
Aufgabe 3:
Aus den obigen Diagrammen ist ersichtlich, dass alle Wurfpositionen, bei denen das rechte Bein als Standbein dient, die besten Ergebnisse erzielten. 60% aller Würfe treffen das Ziel bei der 5. Wurfposition. Somit bestätigt sich erneut die Theorie der zwei Experten. Auch durch den individuellen Stil konnten gute Resultate erzielt werden, obwohl es sich dabei eine Kombination der beiden angegebenen Stile handelt.
Laut Kevin bewegt er sich auch am wenigsten bei den Wurfpositionen, bei denen das rechte Bein als Standbein dient, und er fühlt sich dabei am sichersten. Darüber hinaus ist der Abstand zum Board maximal verkürzt, somit empfindet die Wurfperson eine gewisse Erleichterung. Dies lässt auf einen geringen Trainingseffekt hindeuten, da der individuelle Wurfstil ähnlich zur 5. Wurfposition ist. Daraus resultiert ein gesteigertes Gefühl für die Wurfgeschosse und Standposition.
Aufgabe 4:
1. Möglichkeit
Wie schon bei Alexander Novak kann auch bei Kevin Thaller ein individuelles Baumdiagramm angewendet werden, welches auf der folgenden Seite ersichtlich ist.
1.Wurf
2.Wurf
3.Wurf
Abbildung 16: Baumdiagramm von Thaller
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Durchführung
Es wurden die gleichen Pfade wie bei Alexander Novak grün markiert. So gilt für dieses Baumdiagramm folgendes Ergebnis für genau 2 Treffer:
3 3 2 3 2 3 2 3 3 푝(2) = ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 2 3 ∙ ( ∙ ∙ ) = 0,432 ≈ 43,2% 5 5 5 Antwort: Es besteht eine Chance von 43,2%, dass Kevin Thaller den Segmentbereich 5-20-1 zwei Mal mit drei Darts trifft.
2. Möglichkeit:
Die Voraussetzungen für eine Binomialverteilung gelten wie oben, so gilt:
2 푛 3 3 2 푝(2) = ( ) ∙ 푝푘 ∙ 푞푛−푘 = ( ) ∙ ( ) ∙ = 0,432 ≈ 43,2% 푘 2 5 5 Es stimmt die Lösung mit der ersten Möglichkeit überein und somit gilt die idente Antwort.
Martina Brunner
Die Dartssport interessierte Steyrerin spielte schon öfters in diversen Gaststätten und war im Fanbereich bei großen Veranstaltungen. Dabei versuchte sie des Öfteren einen Wurfstil zu imitieren, um besser höhere Punktzahlen zu erreichen. Ob eine erfolgreiche Umsetzung der diversen Wurfpositionen gelingt, war ein sehr interessanter Aspekt hinsichtlich der Auswertung. Folgende Punkte wurden bei der Rechtshänderin im Segmentbereich von 5-20- 1 ausgewertet:
Wurfposition Trefferanzahl
1 6 von 30 2 6 von 30 3 21 von 30
4 6 von 30 5 21 von 30 Tabelle 9: Trefferanzahlzusammenfassung bzgl. Wurfpositionen (Brunner)
Martina ist ein Paradebeispiel für die vorgegebene Theorie. Die beiden höchsten Werte wurden erzielt bei den Wurfpositionen 3 und 5, bei denen sie mit dem rechten Bein an der Abwurflinie stand. Es ist zu beachten, dass sie mit beiden Standpositionen dieselbe Trefferanzahl erreicht hat. Aus diesem Grund ist das Errechnen beider Trefferquoten nicht nötig, da es der gleiche Rechenvorgang ist. Laut Martina Brunner fühlten sich beide Stile sehr
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Durchführung angenehm an. Sie selbst präferierte die 3.Wurfposition, weil die Körperspannung geringer als bei fünf war.
Aufgabe 1:
Wurfposition Trefferanzahl Absolute Relative Prozentueller Häufigkeit Häufigkeit Anteil 1 6 von 30 6 0,2 20% 2 6 von 30 6 0,2 20% 3 21 von 30 21 0,7 70% 4 6 von 30 6 0,2 20% 5 21 von 30 21 0,7 70%
Tabelle 10: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles (Teil 2) von Aufgabe 1 (Brunner)
Aufgabe 2: Bei dieser Aufgabe benutzen wir wieder ein Säulendiagramm, jedoch nutzen wir eine andere Art der Darstellung, um die Vielfalt der Lösungsmöglichkeiten zu zeigen.
Aktuelle Trefferquote: Brunner 100% 90% 80% 70% 70% 70% 60% 56% 50%
Prozent% 40% 30% 20% 20% 20% 20% 10% 0% Wurfpositionen
Wurfposition 1 Wurfposition 2 Wurfposition 3 Wurfposition 4 Wurfposition 5 Wurfposition 6
Abbildung 17: Aktuelle Trefferquote von Brunner bzgl. der Wurfpositionen
Ihr individueller Stil ähnelte schon sehr einem Profiwurf, mit Ausnahme von der Armbewegung, denn diese blieb nach dem Auslassen immer in der Luft stehen und war nie vollkommen durchgestreckt.
Aufgabe 3:
Martina argumentiert genau wie Kevin. Dazu kommen noch die empirischen Werte und das Imitieren der Profiwurfstile. Dies entspricht der Theorie von Lerchbacher und Jansenberger. 60 | S e i t e
Durchführung
Der Trainingseffekt zeigt sich in der verbesserten Armbewegung (durchgestreckter Arm), welcher auch die Wurfrichtung beeinflusst.
Aufgabe 4:
Wie schon bei den anderen Kandidaten sind auch hier 2 Lösungsarten angeführt.
1. Möglichkeit
Auch bei dieser aktuellen Trefferquote ist ein Baumdiagramm möglich:
1.Wurf
2.Wurf
3.Wurf
Abbildung 18: Baumdiagramm von Brunner
Dabei werden hier die gleichen Pfadregeln benutzt:
7 7 3 7 3 7 3 7 7 푝(2) = ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 7 7 3 3 ∙ ( ∙ ∙ ) = 0,441 ≈ 44,1% 10 10 10
Antwort: Es besteht eine Chance von 44,1%, dass Martina Brunner den Segmentbereich 5-20- 1 zwei Mal mit drei Darts trifft.
2. Möglichkeit
Die Voraussetzungen für eine Binomialverteilung gelten wie oben:
2 푛 3 7 3 푝(2) = ( ) ∙ 푝푘 ∙ 푞푛−푘 = ( ) ∙ ( ) ∙ = 0,441 ≈ 44,1% 푘 2 10 10 61 | S e i t e
Durchführung
Die Lösung stimmt mit der ersten Möglichkeit überein, weshalb die gleiche Antwort gilt.
Vanessa Schmid: Schließlich kommen wir zu unserer letzten Testperson, welche schon im frühen Alter mit Dart in Berührung kam. Dabei spielte sie das letzte Mal in jungen Jahren. Auch sie ist wie alle Probanden davor eine Rechtshänderin. Sie erreichte folgendes Ergebnis:
Wurfposition Trefferanzahl
1 6 von 30 2 18 von 30 3 18 von 30
4 8 von 30 5 16 von 30 Tabelle 11: Trefferanzahlzusammenfassung bzgl. Wurfpositionen (Schmid)
In der obigen Tabelle sieht man zum ersten Mal eine Ausnahmeerscheinung, welche teilweise mit der Theorie übereinstimmt, dieses Thema wird in Aufgabe 3 besprochen.
Aufgabe 1:
Wurfposition Trefferanzahl Absolute Relative Prozentueller Häufigkeit Häufigkeit Anteil 1 6 von 30 6 0,2 20% 2 18 von 30 18 0,6 60% 3 18 von 30 18 0,6 60% 4 8 von 30 8 0,2666 26,66% 5 16 von 30 16 0,5333 53,33%
Tabelle 12: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles (Teil 2) von Aufgabe 1 (Schmid)
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Durchführung
Aufgabe 2: (Anmerkung: Der individuelle Stil wurde auf Position 6 vermerkt.) In der folgenden Abbildung ist ein umgestaltetes Balkendiagramm ersichtlich:
AKTUELLE TREFFERQUOTE: SCHMID
6
5
4
3
2 WURFPOSITIONEN
1
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% PROZENT %
Abbildung 19: Aktuelle Trefferquote von Schmid bzgl. der Wurfpositionen ihre Individuelle Art ist wie bei Kevin Thaller eine Kombination zwischen der Standposition 3 und 5. Der Winkel der Fußrichtung ist ident mit dem Unterschied, dass Vanessa Schmid den Arm beim Auslassen des Pfeiles durchstreckte.
Aufgabe 3: Wie schon am Anfang erwähnt, ist hier eine teilweise Übereinstimmung mit den Profis erkennbar. Die Tatsache, dass in dieser praktischen Durchführung zwei aktuelle Trefferquoten mit unterschiedlicher Ausgangsposition den höchsten Wert erreicht haben, ist bemerkenswert. Nummer drei entspricht eher den Ratschlägen der Experten, aber Wurfposition zwei stimmt nicht mit der obigen Expertise überein. Die Werferin war von ihrer Leistung selbst überrascht, weil sie sich während der Wurfposition zwei sehr unwohl gefühlt hat. Dabei merkte sie auch eine ständige Rotation in der Hüfte. Sie hatte zwar einen stabilen und lockeren Stand, aber die permanente Ganzkörperbewegung machte den Wurfstil für sie sehr unangenehm. Sie konnte die Körperspannung nicht aufbringen. Aus diesem Grund wurden bei Vanessa Schmid die zwei Wurfarten im Zuge der kommenden Aufgaben analysiert. Insofern gab es hier keinen ersichtlichen Trainingseffekt, weil zwei verschiedene Wurfpositionen die gleiche aktuelle Trefferquote aufwiesen. Denkbar ist aber auch, dass die Praxiszeit für Frau Schmid zu kurz bemessen war, um sichtbare Trainingseffekte erzielen.
Aufgabe 4 Die Resultate sind identisch mit jenen von Kevin Thaller. Aus diesem Grund wird das Ergebnis 1:1 übernommen!
63 | S e i t e
Durchführung
Antwort: Es besteht eine Chance von 43,2%, dass Vanessa Schmid den Segmentbereich 5-20- 1 zwei Mal mit drei Darts trifft.
Da alle einzelnen Reflektanten ausgewertet wurden, kann mit der Gruppenaufgabe fortgesetzt werden.
Gruppenaufgabe 1:
Zusammenfassend die Spitzenergebnisse in einer Tabelle und darunter das Gruppendiagramm:
Name Trefferquote Wurfposition Gruppenauswertung: Novak 76,66% 3 Thaller 60% 5 Schmid 60% 2&3 Brunner 70% 3&5
Tabelle 13: Gruppenauswertung des ersten praktischen Teiles
Aktuelle Trefferquote der Gruppe 100,00% 90,00% 80,00% 70,00% 60,00% Novak 50,00% Thaller 40,00% Schmid 30,00% Brunner 20,00% 10,00% 0,00% Novak Thaller Schmid Brunner Aktuelle Trefferquote in % 76,66% 60% 60% 70%
Abbildung 20: Zusammenfassung aller Bestleistungen bzgl. der aktuellen Trefferquote Gruppenaufgabe 2:
Dieses Beispiel kann in der Schule nur mit einem Baumdiagramm gelöst werden, da sich die Treffwahrscheinlichkeit hinsichtlich jedes einzelnen Werfers und Werferin ändert. Die Reihenfolge des Werfers beeinflusst die Trefferquote nicht, so ist es egal, wer zuerst wirft. Es werden die besten aktuellen Trefferquoten benutzt. Ein mögliches Baumdiagramm würde folgendermaßen aussehen:
T…Treffer
¬푇 …kein Treffer
64 | S e i t e
Durchführung
Abbildung 21: Baumdiagramm für das zweite Gruppenbeispiel im ersten praktischen Teil
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Durchführung
Alle Teilnehmer und Teilnehmerinnen haben den Segmentbereich von 5-20-1 gewählt. Um zu gewährleisten, dass so ein Baumdiagramm möglich ist, müssen die einzelnen Werfer und Werferinnen nacheinander werfen. Daraus folgt eine Serie von Würfen mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten. Damit man nun die 3 Treffer berechnen kann, muss man sich die gesuchten Pfade herausfiltern, welche die Kriterien erfüllen. Die oben grün-markierten Pfade sind die gesuchten Möglichkeiten. Darüber hinaus kann man sich auch die einzelne 4 Kombinationsanzahl mit dem Binomialkoeffizienten von ( ) berechnen. 3 In Kombination mit den einzelnen Pfadregeln kann die Zufallsvariable/Trefferanzahl 3 berechnet werden:
푝(3) = 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,76 ∙ 0,3 + 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,24 ∙ 0,7 + 0,6 ∙ 0,24 ∙ 0,76 ∙ 0,7 + 0,4 ∙ 0,6 ∙ 0,76 ∙ 0,7 = 0,39792 ≈ 39,79%
Gruppenaufgabe 3: In dieser Aufgabe kommen die Schüler und Schülerinnen zur Erkenntnis, dass sie nicht jeden einzelnen Spielbereich mit der gleichen Wahrscheinlichkeit treffen können. Folgende Faktoren müssen berücksichtigt werden:
• jeder Bereich hat einen anderen Winkel • jeder einzelne Bereich ist anders positioniert als ein anderer Bereich gegenüber dem Werfer und Werferin • jeder Segmentbereich hat eine eigene Höhe • einzelne Felder wie das Bull oder Bullseye sind kleiner
Die ersten drei Punkte lassen sich mit dem räumlichen Verständnis argumentieren, da sich bei der Veränderung des Winkels auch die Höhe und Breite des bespielbaren Feldes ändert. Wie in Punkt 2 geschildert, muss der Werfer oder die Werferin eine andere Position einnehmen, um die gewünschten Felder der Segmentbereiche zu treffen. Dadurch ändert sich die Haltung des Spielers bzw. die Höhe seines Wurfarmes. Die genannten Punkte ergeben eine neue Ausgangslage und eine neue Treffwahrscheinlichkeit.
Die Trefferwahrscheinlichkeit wird von der Größe des Feldes beeinflusst; es entsteht eine ganz andere Wahrscheinlichkeit, wenn der Werfer auf ein kleineres Feld wirft. Das Bull oder Bullseye liegt tiefer oder höher als die Segmentbereiche im ersten praktischen Teil, die obigen Ausführungen des vorherigen Absatzes gelten auch hier.
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Durchführung
4.3.4. Resümee des ersten praktischen Teiles
Wie aus den oberen Ergebnissen ersichtlich ist, stimmt die Theorie weitgehend (Ausnahme von Vanessa Schmid) mit der Praxis überein. Den Schülern und Schülerinnen sollte klar werden, dass im Schützensport Talent alleine nicht ausreichend ist, sondern es müssen auch die Richtlinien hinsichtlich der Wurftechniken befolgt werden.
Den Akteuren fällt auf, dass die Körperspannung und Ruhelage steigt, wenn der Wurfarm und das Standbein auf der gleichen Seite liegen, da in diesem Fall nur der Pfeil wie in der Theorie nach vorne ausgelassen werden muss. Freilich ist es für Anfänger schwer, den Pfeil nach vorne auszulassen, denn die kleinste Rotation in der Schulter, im Handgelenk oder mit der Hüfte kann eine Zielverfehlung herbeiführen. Deswegen sollte der Körper möglichst ruhig und angespannt bis zum Arm sein. Der Wurfarm selbst sollte locker bleiben, um eine flüssige Fallbewegung nach vorne durchführen zu können. Dabei sollte man den Körper so wenig wie möglich bewegen.
Darum ist die Wurfposition, bei der das Standbein nicht auf gleicher Seite positioniert ist, schlichtweg schwieriger. Als die Teilnehmer und Teilnehmerinnen die Bewegungsvorgänge durchgeführt hatten, merkten sie eine größere Rotationsbewegung im Rumpf pro Wurf, da sie sich automatisch nach vorne ausrichten wollten. Von dieser Rotation ausgehend, senkt sich die Körperspannung automatisch wie auch die Ruhelage. Je unruhiger der Körper ist, desto mehr seitliche Schwankungen können passieren, obwohl der Dart gerade ausgelassen wurde. Schlussendlich trifft dieser Pfeil sein Ziel nicht. Besonders gute Amateure oder Weltklassespieler bewegen sich vor dem Dartboard kaum, dennoch gibt es auch Ausnahmen die durch eine flüssige aber angespannte Bewegung das Ziel treffen.
Die Position mit der größten Ruhelage ist dennoch die 2. Wurfposition, da man beide Beine gleichmäßig belastet und den Schwerpunkt relativ zentral positioniert. Der Haken an diesem Wurfstil ist die Armposition. Zieht man den dominanten Arm zum Auge, um zu zielen, so dreht und bewegt sich unsere Schulter nach innen. Aus anatomischer Sicht ist der Körper im Schulterbereich verzogen und den Arm nach vorne fallen zu lassen, ist umso schwieriger, da einzelne Rotationsbewegungen in der Schulter vorkommen können, welche den geraden Fall des Armes verziehen können.
Der Schwerpunkt wird automatisch nach vorne gerichtet, weil sich der Abstand zum Board damit verkürzt. Je kürzer der Abstand zwischen Ziel und Werfer ist, umso sicherer und leichter ist das Ziel zu treffen. Jedoch sollte man sich als Werfer oder Werferin nicht zu weit nach vorne lehnen, denn meistens kann man durch die herbeigeführte Körperspannung den Fall des Armes nicht kontrollieren. Daraus resultiert ein Gleichgewichtsverlust und folglich ein Übertritt der Abwurflinie.
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Durchführung
4.4. 2. Praktischer Teil
Die am häufigsten gestellten Fragen im Darts-Sport betreffen die Anordnung der Zahlen. Neben sehr großen Zahlen (20) liegen typischerweise sehr kleine Zahlen (5 oder 1). Diese Anordnung wurde höchstwahrscheinlich im Jahr 1896 vom Zimmermann Brian Gamlin erfunden; dies ist jedoch historisch nicht belegt. Mit der Anordnung wird das Ziel verfolgt, die größte Unordnung bzw. Chaos zu erreichen, um „Glückstreffer“ zu vermeiden. Später bewiesen Mathematiker, dass Gamlin ein sehr feines Gefühl für Zahlen hatte, da er ein sehr großes Durcheinander aus 120 Billiarden Kombinationen erschuf. Diese Anordnung hat dennoch nichts mit dem Erwartungswert der durchschnittlichen erreichbaren Punktezahl zu tun. Sie erschwert dem Spieler oder der Spielerin diesen Wert zu erwarten, was auch das Ziel von Gamlin war. (vgl. Eastway et al., 2011, S.97)
Nachdem sich die Schülerinnen und Schüler warm geworfen haben, können sie nun ihre Fähigkeiten nochmals unter Beweis stellen. Wie schon im Kapitel 3.2.4 werden die Akteure an das Dartboard gebeten, um zu sehen, ob sie einem Durchschnittsanfänger oder eher schon einem Amateur entsprechen.
Für die Berechnung benötigen die Schüler die einzelnen Maße des Dartboards und die einzelnen Dimensionen. Mit der Flächeninhaltsformel des Kreises und der Kreisringformel können sie sich den prozentualen Anteil berechnen und damit den Erwartungswert mit den durchschnittlich erreichbaren Punkten.
Bevor der praktische Teil anfängt sollte man nochmals das arithmetische Mittel und den Erwartungswert wiederholen und definieren.
Das Arithmetische Mittel (Mittelwert)
Sei 푥1, 푥2, … , 푥푛 휖 ℝ dann gilt:
푥1 + 푥2 + ⋯ + 푥푛 푥̅ = 푛
푥1, 푥2, … , 푥푛 …. einzelne Werte n … Gesamtanzahl der Werte
Das arithmetische Mittel wird im deutschsprachigen Raum auch als Durchschnitt verstanden.
Bevor der Erwartungswert definiert wird, muss man die Definition bzw. Erklärung für eine Zufallsvariable und ein Zufallsexperiment/-versuch wiederholen.
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Durchführung
Zufallsexperiment (Zufallsversuch)
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem unter gleichen Bedingungen, alle, auch die nicht vorhersehbaren Ausgänge (zufällige Ausgänge), in einer Menge (Ω) zusammengefasst und realisiert werden. Es ist ungewiss, welches Ergebnis tatsächlich eintreten wird, dennoch ist dieses Experiment immer wiederholbar. (vgl. Malle et al., 2016, S.173)
Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments (Ω ist die Menge der Ergebnisse) einen reellen Wert zu. Zur Präzisierung ist die Zufallsvariable eine Funktion von Ω → ℝ. (vgl. Fischer et al., 2015, S. 89)
Nach all diesen kleinen mündlichen Wiederholungen kommt man zum Erwartungswert; präziser zum diskreten Erwartungswert, denn im Dartssport gibt es endlich viele Werte für die Zufallsvariable.
Der Erwartungswert (푬(푿) = 흁)
Der diskrete Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable X mit den möglichen Werten
푎1, 푎2, … , 푎푘 (k ist ein Element aus den ganzen Zahlen) und mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten 푝1, 푝2, … . , 푝푘 ist:
푘
퐸(푋) = 푎1 ∙ 푝1 + 푎2 ∙ 푝2 + ⋯ + 푎푘 ∙ 푝푘 = ∑ 푎푘 ∙ 푝푘 푖=1 Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ähnelt sehr dem arithmetischen Mittel. Es gibt den Durchschnitt an aller Zufallsvariablen bei oftmaliger Wiederholung des Zufallsexperimentes an. (vgl. Fahrmeir et al. 2016, S. 226)
Am Ende sollte den Schülern und Schülerinnen nochmals klar gemacht werden, dass der diskrete Erwartungswert und das arithmetische Mittel deutliche Unterschiede zueinander aufweisen. Während das arithmetische Mittel der Durchschnitt von Daten (im Dart von den einzelnen Punkten) ist, gibt der Erwartungswert die mittlere Lage der Verteilung der einzelnen Versuche wieder. Dabei handelt es sich um den Durchschnitt der Ergebnisse d.h. es ist ein Wert, der am ehesten erwartet wird, wenn das Zufallsexperiment oftmals oder unendlich wiederholt wird.
Es findet wieder eine Aufteilung in individuelle Aufgaben und Gruppenaufgaben statt. Das Arbeitsblatt für den 2. praktischen Teil ist auf der folgenden Seite ersichtlich!
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Durchführung
2.Praktischer Teil Meine Erwartungen: Auftrag: Nun hast du deine ideale Wurftechnik entdeckt. Wirf unter Anwendung dieser Wurftechnik auf das Dartboard (kein spezieller Bereich) und versuche mit minimaler Anzahl an Darts 180 Punkte zu erreichen. Die benötigte Anzahl an Darts wird notiert. Diese Aufgabe wird insgesamt 3 Mal durchgeführt. Falls man mit dem letzten Dart über 180 Punkte wirft, wird die Zahl der erreichten Punkte aufgeschrieben. Der Vorgang ist erst zu Ende, wenn die Zahl 180 erreicht oder überschritten wird. Fülle dazu folgende Tabelle aus.
Vorgang 1 2 3 Erreichte Punkte Anzahl der Darts
Aufgabe 1: Berechne den Durchschnitt der benötigten Darts und die erreichten Punkte Pro Dart. Gruppenaufgabe 1: Vervollständige die unten dargestellte Tabelle mit den Maßen des Dartboards.
Bullseye Durchmesser (incl. Draht) Bull Durchmessser (incl. Draht) Breite der Doppel- und Trippelfelder Äußerer Rand des Doppelringes bis zur Mitte vom Bullseye. Äußerer Rand des Trippelringes bis zur Mitte vom Bullseye.
Gruppenaufgabe 2: Berechne den Flächeninhalt und prozentualen Anteil des Boards, welchen die Feldbereiche Single, Double, Triple, Bull und Bullseye einnehmen. Es wird nur der Bereich am Dartboard miteinbezogen, bei dem Punkte erzielbar sind. Die Bereiche bei denen keine Punktzahlen erreichbar sind, werden nicht miteingerechnet. Gruppenaufgabe 3: Berechne den Erwartungswert hinsichtlich der erreichbaren Punktzahlen am Dartboard, welche durchschnittlich pro Dart erreicht werden können. Was sagt der berechnete Erwartungswert aus? Stellt einen graphischen Vergleich mit euren individuellen Ergebnissen aus Aufgabe 1 dar und den Average, welchen die Mitglieder und die Gruppe erreicht haben!
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Durchführung
4.4.1. Fachdidaktischer Kommentar und Ziel des zweiten Arbeitsblattes
Im 2. praktischen Teil können die Schülergruppen ihr kognitives und motorisches Wissen benutzen, um einen individuellen Durchschnitt zu erzielen und zu berechnen. Hinzukommend sollen die Schülerinnen und Schüler auswerten, ob sie mit ihrem neuen Stil schon einem Amateur nahekommen oder noch blutiger Anfänger sind. Dabei gibt das Board den Teilnehmern und Teilnehmerinnen eine Basis für die Berechnung.
Diese Berechnungen erfordern das ganze gelernte Wissen der Unterstufe. Es werden geometrische Flächeninhaltsformeln des Kreises und Kreisringes angewendet. Anschließend werden die Prozentrechnung bzw. der Dreisatz durchgeführt. Wichtig dabei ist, dass die Schüler und Schülerinnen das Problem visualisieren, insbesondere die Kreisringe auf der Dartscheibe. Nimmt man das Board genauer unter die Lupe, so merkt man, dass die Doppelringe und Tripelringe einzelne Kreisringe eines Gesamtkreises sind. Als Gedankenstütze könnte man folgende Hilfsgraphik präsentieren:
Abbildung 22: Ein Dartboard ist nur eine Zusammensetzung von Kreisringen
Die Teilnehmer und Teilnehmerinnen werden darauf aufmerksam gemacht, dass sich der Punktebereich in der rechten Abbildung im inneren des äußeren roten Ringes befindet. Diese Vorstellung ist umso wichtiger, weil das ganze Arbeitsblatt und der folgende Lösungsweg auf dieser Idee basieren. Erst wenn das ersichtlich ist, kann eine erfolgreiche Berechnung mitsamt prozentualem Anteil und Erwartungswert erfolgen. Die dabei resultierende Interpretationsmöglichkeit machen die Unterrichtseinheit realitätsbezogen.
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Durchführung
4.4.2. Lösungsvorgang des zweiten praktischen Beispiels
Die Gruppe wirft mit den gleichen Pfeilen, die sie im ersten praktischen Beispiel benutzt hat. Somit bleibt das Gefühl des Darts eher in der Hand bzw. die Erinnerung an das Gefühl ist schneller vorhanden, als eines mit neuen Pfeilen zu entwickeln. Wie schon zuvor werden die erwähnten Reflektanten als Teilnehmer und Teilnehmerinnen für eine ideale Lösung genommen. Die erzielten Resultate des Zufallsexperimentes werden wieder ausgewertet und präsentiert.
Alexander Novak
Er blieb seinem Stil treu und versuchte mit Erfahrung und Körperspannung an das Problem ranzugehen. Mit seiner neuen Wurftechnik erreichte er folgende Ergebnisse:
Vorgang 1 2 3 Erreichte Punkte 197 180 199 Anzahl der Darts 15 16 15 Tabelle 14: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles (Novak)
Zu Beginn war die Nervosität von Alexander Novak erkennbar, weil er unbedingt ein gutes Ergebnis erreichen wollte. Aufgrund dessen traten Verspannungen auf, die dazu führten, dass er das Ziel nicht mehr traf.
Aufgabe 1 Den Durchschnitt der benötigten Darts berechnet man sich mit dem arithmetischen Mittel. So gilt mit der Anzahl der benötigten Darts:
Sei 푥1, 푥2, 푥3 휖 ℝ dann gilt:
푥1 + 푥2 + 푥3 푥̅ = 푛
푥1, 푥2, 푥3 … Anzahl der Darts n … Anzahl der Vorgänge
Daraus folgt: 20 + 11 + 15 46 푥̅(퐷푎푟푡푎푛푧푎ℎ푙) = = = 15. 3̇ 3 3
Alex benötigt durchschnittlich 15,3 Darts.
72 | S e i t e
Durchführung
Der Durchschnitt der erreichten Punkte pro Dart wird ähnlich berechnet. Davor muss man sich je Vorgang den einzelnen Punkteschnitt pro Dart berechnen:
199 • 1 Vorgang: = 13,26 Im ersten Vorgang erzielt Alex 13,26 Punkte pro Dart 15 180 • 2 Vorgang: = 11,25 11,25 Punkte pro Dart 16 197 • 3 Vorgang: = 13,13 13,13 Punkte pro Dart 15
Da wir nun die einzelne Werte für alle Vorgänge haben, können wir das arithmetische Mittel erneut anwenden und damit den Durchschnitt der Punkte pro Dart berechnen. 13,26 + 11,25 + 13,13 37,64 푥̅(푃푢푛푘푡푒푎푛푧푎ℎ푙) = = ≈ 12.55 3 3 Antwort: Die durchschnittlich erzielte Punkteanzahl pro Dart beträgt 12,55.
Anmerkung: Um den ersten Teil des Lösungvorganges nicht allzu sehr in die Länge zu ziehen, werden die kommenden Ergebnisse der einzelnen Kandidaten präsentiert.
Kevin Thaller
Als Neuling ging Kevin mit der im ersten praktischen Teil erlernten Technik an die Aufgabe ran und erreichte folgendes Ergebnis:
Vorgang 1 2 3 Erreichte Punkte 181 187 181 Anzahl der Darts 17 15 18 Tabelle 15: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles (Thaller) Die durchschnittliche Anzahl an Darts beträgt: 17 + 15 + 18 50 푥̅(퐷푎푟푡푎푛푧푎ℎ푙) = = = 16. 6̇ 3 3
Anschließend kommt der Durchschnitt der erreichten Punktzahl pro Vorgang und der daraus resultierende Gesamtdurchschnitt.
181 • 1 Vorgang: = 10,65 10,65 Punkte pro Dart 17 187 • 2 Vorgang: = 12,46 12,46 Punkte pro Dart 15 181 • 3 Vorgang: = 10,05 10,05 Punkte pro Dart 18
73 | S e i t e
Durchführung
Daraus folgt:
10,65 + 12,46 + 10,05 33,17 푥̅(푃푢푛푘푡푒푎푛푧푎ℎ푙) = = ≈ 11,06 3 3
Antwort: Kevin benötigt im Schnitt 16,6 Darts und erreichte dabei eine durchschnittliche Punktzahl von 11,06 Punkten.
Martina Brunner
Aufgrund ihrer Vorkenntnisse hatte sie einen gewissen Vorteil gegenüber den anderen Mitspielern. Martina erreichte mit beiden rechtshändigen Wurfstilen die gleiche Trefferquote, somit entschied sie sich selbst für die 3. Wurfposition. Zur Erinnerung: Wurfposition 3 war die Position, bei der rechte Arm und das rechte Bein nach vorne gerichtet sind. Das linke Bein ging nach hinten und diente dabei als Stabilisator. Die rechte Fußspitze schaute zum Dartboard.
Die daraus resultierenden Ergebnisse waren sehr überraschend.
Vorgang 1 2 3 Erreichten Punkte 180 199 204 Anzahl der Darts 12 14 13 Tabelle 16: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles (Brunner) Die durchschnittliche Anzahl an Darts beträgt: 12 + 14 + 13 39 푥̅(퐷푎푟푡푎푛푧푎ℎ푙) = = = 13 3 3
Nun der durchschnittliche Punkteschnitt:
180 • 1 Vorgang: = 15 15 Punkte pro Dart 12 199 • 2 Vorgang: = 14,21 14,21 Punkte pro Dart 14 204 • 3 Vorgang: = 15,7 15,7 Punkte pro Dart 13
Daraus folgt:
15 + 14,21 + 15,7 44,91 푥̅(푃푢푛푘푡푒푎푛푧푎ℎ푙) = = = 14,97 3 3
74 | S e i t e
Durchführung
Antwort: Martina hat ein hervorragendes Ergebnis mit 13 Darts im Schnitt erreicht und einer durchschnittlichen Punktzahl von 14,97.
Vanessa Schmid
Bei der Auswertung von Vanessa wurde ein Ausnahmefall geschaffen, denn sie erreichte mit zwei verschiedenen Wurfstilen dieselbe aktuelle Trefferquote. Aus wissenschaftlichem Interesse wurden hier zwei Tabellen errichtet mitsamt Berechnungen.
Wurfposition 2 (Zur Erinnerung: Beide Beine stehen Schulterbreit zueinander):
Vorgang 1 2 3 Erreichten Punkte 182 184 185 Anzahl der Darts 15 17 16 Tabelle 17: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles mit Wurfposition zwei (Schmid) Die Ergebnisse bei diesem Wurfstil betragen:
푥̅(퐷푎푟푡푎푛푧푎ℎ푙) = 16
Durchschnitt der erreichten Punkte:
푥̅(푃푢푛푘푡푒푎푛푧푎ℎ푙) = 11,5
Wurfposition 3
Vorgang 1 2 3 Erreichten Punkte 188 180 196 Anzahl der Darts 14 13 14 Tabelle 18: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles mit Wurfposition drei (Schmid) Die Ergebnisse dieses Wurfstiles betrugen:
푥̅(퐷푎푟푡푎푛푧푎ℎ푙) = 13, 6̇
Durchschnitt der erreichten Punkte:
푥̅(푃푢푛푘푡푒푎푛푧푎ℎ푙) = 13,8
Antwort: Vergleicht man beide Positionen miteinander, so ist die Wurfposition 3 die effektivere Art.
75 | S e i t e
Durchführung
Gruppenaufgabe 1
Die einmalige Vervollständigung dieser Tabelle reicht pro Gruppe vollkommen aus. In dieser Übung kann man keine individuellen Ergebnisse erreichen. Hierbei handelt es sich um eine Recherche bzw. praktische Arbeit. Die zuletzt genannte Methode resultiert aus dem Misserfolg der Recherchearbeit. Finden die Schüler und Schülerinnen die einzelnen Maße nicht mehr, so können sie diese noch immer am Standort abmessen, um die weiteren Aufgaben lösen zu können. Dabei dienen den Schülern und Schülerinnen die Maßbänder, welche sie für den Aufbau benötigt haben.
Laut BDO sind die regulären Dartdimensionen folglich vorgegeben (ohne Abweichungen):
Bullseye Durchmesser (incl. Draht) 12,7mm Bull Durchmessser (incl. Draht) 31,8mm Breite der Doppel- und Trippelfelder 8mm Äußerer Rand des Doppelringes bis zur Mitte vom Bullseye. 170 mm Äußerer Rand des Trippelringes bis zur Mitte vom Bullseye. 107,4mm Tabelle 19: Reguläre Steeldartboarddimensionen Gruppenaufgabe 2:
Diese Aufgabe befasst sich mit der Geometrie des Steeldarboards und der Prozentrechnung. In diesem Exkurs verbindet man zwei mathematische Fachgebiete bzw. man benötigt die Informationen von einem Gebiet, um die darauffolgenden Beispiele des anderen Gebietes lösen zu können.
Der Anfang dieser Aufgabe wird zusammen im Unterricht besprochen. Dabei sollten sich die Schüler und Schülerinnen über die geometrische Form des Steeldartboardes Gedanken machen. Offensichtlich handelt es sich hier um konzentrische Kreise (Kreis mit Kreisringen). Folgende Grafik sollte im Unterricht entwickelt werden, um die Flächenbereiche des Steeldartboards berechnen zu können. Diese kann sowohl händisch als auch auf der Tafel oder von der Lehrkraft dargestellt werden. Die darauffolgende Abbildung wurde mit Microsoft Word mit Formen erstellt:
Abbildung 23: Das Steeldartboard in Form von Kreisringen
76 | S e i t e
Durchführung
Liest man die Angabe genau durch, so wird nur der Bereich, wo die Punkte erreichbar sind, miteinkalkuliert. Darum ist der graue Bereich für dieses Beispiel irrelevant, da es sich hier um die schwarze Umrandung des Boards handelt. Man könnte diesen zwar miteinrechnen, jedoch ergab aus den Würfen der Probanden, dass sie zu 95% das Board treffen. Das Ziel des Sports ist es auch in das Punktefeld zu treffen; dies ist auch der relevante Teil der zweiten praktischen Aufgabe.
Mit den Werten aus der ersten Gruppenaufgabe kann man zuerst die gesamte Kreisfläche des Steeldarboards berechnen. Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises lautet:
퐴 = 푟2휋
wobei r der Radius ist.
Man benötigt für diese Kreisfläche den Radius vom Mittelpunkt bis zum äußeren roten Rand. Dieser beträgt laut der ausgefüllten Tabelle 170mm. Setzt man dies in die obere Formel ein, so ergibt sich:
2 2 2 퐴퐺푒푠푎푚푡 = 푟 휋 = 170 ∙ 휋 = 90792푚푚
Dieser Flächeninhalt ist nun das gesamte Board, wo Punkte erreicht werden können (100%). Darauffolgend berechnet man den Flächeninhalt des Doppelbereiches (Double-Bereich), wo alle Zahlen doppelt so viel zählen. Um dies zu bewerkstelligen, benötigt man hier die Formel des Kreisringes, welche folgendermaßen definiert ist:
2 2 2 2 퐴퐾푟푒푖푠푟푖푛푔 = 푅 휋 − 푟 휋 = (푅 − 푟 ) ∙ 휋
푅2 ... äußerer Radius
푟2 … innerer Radius
Aus Aufgabe 2 ist bekannt, dass die Dicke des Doppelfeldes 8mm beträgt. Daraus folgt der innere Radius des Kreisringes mit 170-8 =162mm. So gilt für den Flächeninhalt des Kreisringes des Doppelfeldes:
2 2 2 2 2 퐴퐷표푝푝푒푙 = (푅 − 푟 ) ∙ 휋 = (170 − 162 ) ∙ 휋 = 2656 ∙ 휋 = 8344,1 mm
Um den prozentualen Anteil des Doppelfeldes zu berechnen, geht man folgendermaßen vor:
퐴퐷표푝푝푒푙 8344,1 = ≈ 0,0919 퐴퐺푒푠푎푚푡 90792
77 | S e i t e
Durchführung
Diesen Anteilswert multipliziert man nochmals mit 100, um den prozentualen Anteil des Doppelfeldes zu bekommen: 0,0919 ∙ 100 = 9,19%. Das Doppelfeld nimmt nur 9,19% von der Gesamtfläche ein.
Analog kann man diesen Rechengang mit dem Tripelbereich (Triple-Bereich) durchführen. Zuerst benötigt man dafür eine Information aus der ersten Gruppenaufgabe. Der Radius vom Mittelpunkt der Scheibe bis zum äußeren Ring des Tripelbereiches beträgt 107,4 mm. Die Breite der Tripelfelder ist äquivalent zu den Doppelfeldern; so gilt für die Berechnung des inneren Radius: 107,4 – 8 = 99,4 mm. Nun ist die Kreisringformel anzuwenden:
2 2 2 2 2 퐴푇푟푖푝푒푙 = (푅 − 푟 ) ∙ 휋 = (107,4 − 99,4 ) ∙ 휋 = 1654,4 ∙ 휋 = 5197,4 mm
Der prozentuale Anteil beträgt:
퐴푇푟푖푝푒푙 5197,4 = ≈ 0,0572 퐴퐺푒푠푎푚푡 90792
0,0572 ∙ 100 = 5,72%
Der Tripelring nimmt 5,72% der Gesamtfläche ein.
Für die Berechnungen von Bull und Bullseye benötigt man die Radien beider Kreisflächen. Aus der ersten Gruppenaufgabe ist den Schülern und Schülerinnen der Durchmesser beider Kreisflächeninhalte bekannt. Die Formel für den Durchmesser (d) lautet:
푑 = 2푟
Dividiert man nun durch 2, so bekommt man den Wert für den Radius: 푑 = 푟 2
Aufgrund dieser Umformung sind beide Flächeninhalte nun berechenbar. Aus der obigen Tabelle ist bekannt, dass der Durchmesser vom Bullseye 12,7mm, vom Bull 31,8mm beträgt. So gilt für beide Radien:
푑 12,7 푑 31,8 푟 = = = 6,35푚푚 푟 = = = 15,9푚푚 퐵푢푙푙푠푒푦푒 2 2 퐵푢푙푙 2 2
Als Erstes wird der Flächeninhalt und prozentuale Anteil vom Bullseye berechnet. Da es sich hier um einen Kreis handelt, reicht die Flächeninhaltsformel vom Kreis.
2 2 2 퐴퐵푢푙푙푠푒푦푒 = 푟 휋 = 6.35 ∙ 휋 ≈ 126,68푚푚 78 | S e i t e
Durchführung
Daraus ergibt sich der prozentuale Anteil wie zuvor:
퐴퐵푢푙푙푠푒푦푒 126,68 = ≈ 0,0014 퐴퐺푒푠푎푚푡 90792
0,0014 ∙ 100 = 0,14%
Schlussendlich können wir nun den Anteil vom Bull mit der Kreisringformel berechnen:
2 2 2 2 2 퐴퐵푢푙푙 = 푅 휋 − 푟 휋 = 15,9 ∙ 휋 − 6,35 ∙ 휋 ≈ 667,55푚푚 R … Radius vom Bull r … Radius vom Bullseye
Daraus folgt:
퐴퐵푢푙푙 667,55 = ≈ 0,0074 => 0,74% 퐴퐺푒푠푎푚푡 90792
Der Anteil vom Bull beträgt 0,74%. Als Abschluss fehlen nur noch der Flächeninhalt und Flächenanteil vom Singlefeld. Dieser wird mit der Gesamtfläche minus der Summe aller einzelnen Teilflächen berechnet.
퐴푠푖푛푔푙푒 = 퐴퐺푒푠푎푚푡 − (퐴퐷표푝푝푒푙 + 퐴푇푟푖푝푒푙 + 퐴퐵푢푙푙푠푒푦푒 + 퐴퐵푢푙푙) 2 퐴푆푖푛푔푙푒 = 90792 − (8344,1 + 5197,4 + 126,68 + 667,55) = 76456,27 푚푚
Daraus ergibt sich der prozentuale Anteil des Single-Bereiches analog wie oben:
퐴푆푖푛푔푙푒 76456,27 = ≈ 0,8421 => 84,21% 퐴퐺푒푠푎푚푡 90792
Da es sich bei diesem Beispiel um einen langwierigen Rechenvorgang handelt, ist eine Ergebnistabelle am Ende sehr erbracht. Jene stellt die Ergebnisse übersichtlich dar und vermeidet das Suchen im Heft oder in der Projektmappe, außerdem lassen sich die Ergebnisse leichter vergleichen.
79 | S e i t e
Durchführung
Flächenbezeichnung Flächeninhalt (mm2) Prozentualer Anteil 2 Single-Bereich (ASingle) 76456,27mm 84,21% 2 Doppel-Bereich (ADoppel) 8344,1 mm 9,19% 2 Tripel-Bereich (ATripel) 5197,4 mm 5,72% 2 Bullseye (ABullseye) 126,68 mm 0,14% 2 Bull (ABull) 667,55 mm 0,74% 2 Gesamt (AGesamt) 90792 mm 100% Tabelle 20: Flächen- und Prozenanteil der möglichen Punktzahlenfelder eines Steeldartboards
Gruppenaufgabe 4
In dieser Aufgabe liegt das Problem im Textverständnis. Es wird nicht im Allgemeinen der Erwartungswert bzgl. der Punktezahlen gesucht, welche die Spieler oder Spielerinnen durchschnittlich erzielen, sondern es wird der Erwartungswert vom Durchschnitt der erreichbaren Punktzahlen gesucht.
Diese Überlegung basiert auf der aktuellen Trefferquote eines Anfängers bzw. Amateurs. Das Dartboard selbst, ausgenommen von Bull und Bullseye, ist gleichverteilt, sowohl die Single- und Doppel- als auch die Tripelfelder. Auch wenn die Reflektanten eine gute aktuelle Trefferquote besitzen, so treffen sie maximal bis zu 76,66% (Novak) den gewünschten Segmentbereich. Das heißt, die aktuelle Trefferquote gilt hierbei für 3 Felder und nicht nur für ein einziges Feld. Darüber hinaus muss auch überlegt werden, wohin die anderen Darts, welche das Ziel nicht treffen, gehen könnten. Unter der Annahme, dass kein Pfeil den ganzen Punktebereich verfehlt und wegen der Gleichverteilung am Board, besitzt jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden. Solche Darts, welche das Ziel nicht treffen und glücklicherweise in ein Feld mit großer Punktzahl landen, nennt man wie von Gamblin bestimmt „Glückstreffer“. Rechnet man dazu den Durchschnitt der Punkte einzelner Flächenanteile aus, so ergibt sich eine durchschnittliche Punktezahl für den jeweiligen Flächenbereich, welcher mit einem Dart erreicht werden kann.
Freilich gehen die meisten Spieler und Spielerinnen auf die höchste Punktzahl 180 (3x Tripel 20). Aus diesem Grund haben die Akteure bewusst auf das 20er Feld gezielt, welches sie schon im ersten praktischen Abschnitt zum Teil trainiert haben. Trotzdem war und ist immer eine Fehlerrate vorhanden, denn ein Profi trifft auch nicht permanent die 180 Punkte.
Für die Berechnung der durchschnittlichen Punkte eines Flächenbereiches muss zuerst eine Auflistung (Urliste) der Daten (Punkte) erstellt werden.
Single-Bereich
Unter der Annahme das alle Darts den Punktebereich eines Single Feldes (1-20) treffen, wird die Urliste (Datenreihe) folgendermaßen formuliert:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
80 | S e i t e
Durchführung
Der Durchschnitt, welcher pro Dart erreicht werden kann, wird mit dem arithmetischen Mittel von der Urliste berechnet. 1 + 2 + 3 … + 20 210 푥̅(푆𝑖푛푔푙푒 − 퐵푒푟푒𝑖푐ℎ) = = = 10.5 20 20
Man kann durchschnittlich 10,5 Punkte pro Dart erreichen, falls man ein Single-Feld trifft.
Eine andere Art der Berechnung wäre es, wenn man das Minimum und Maximum von der Urliste addiert und durch zwei dividiert!
푥푚푖푛푖푚푢푚 + 푥푚푎푥푖푚푢푚 1 + 20 푥̅ (푆𝑖푛푔푙푒 − 퐵푒푟푒𝑖푐ℎ) = = = 10,5 2 2
Doppel-Bereich
Analog wie bei der Single-Feldberechnung gilt dasselbe beim Double-Feld (Doppelbereich). Mit Ausnahme, dass hier die getroffenen Felder doppelt zählen. So entsteht folgende Urliste für den Doppel-Bereich:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40}
Also gilt für den Durchschnittswert für einen Dart, wenn er auf ein Doppelfeld landet: 2 + 4 + 6 … + 40 420 푥̅(퐷표푝푝푒푙 − 퐵푒푟푒𝑖푐ℎ) = = = 21 20 20
Auch diesen Bereich kann man wie oben mit der anderen Art berechnen.
Triple-Bereich
Logischerweise funktioniert der gleiche Rechenvorgang für den Tripel-Bereich (Dreimal- Bereich). Die Urliste verändert sich analog zu oben. Unter der Bedingung, dass man einen Triple-Bereich trifft, erzielt man im Durchschnitt pro Dart:
푥̅(푇푟𝑖푝푙푒 − 퐵푒푟푒𝑖푐ℎ) = 31,5
Bull und Bullseye
In diesen Feldern existiert kein Durchschnitt. Ein Dart kann zum einen 25 Punkte zählen, wenn er den Bullbereich trifft, zum anderen 50 Punkte, wenn der Dartpfeil im Bullseye landet.
81 | S e i t e
Durchführung
Durch die Informationen aus Gruppenarbeit 2 und 3 lässt sich der Erwartungswert von einem Dartboard berechnen. Die Zufallsvariable in diesem Erwartungswert ist der Punktedurchschnitt, der mit einem Dartwurf durchschnittlich erreicht werden kann. Die Einträge sind die durchschnittlichen Punkte der einzelnen Bereiche auf dem Board, welche getroffen werden können. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind die prozentualen Anteile der Felder am Board. So folgt:
퐸(푋) = 10,5 ∙ 0,8421 + 21 ∙ 0,0919 + 31,5 ∙ 0,0572 + 25 ∙ 0,0074 + 50 ∙ 0,0014 퐸(푋) = 12,82875 ≈ 12,83
Die Punktezahl welche man durchschnittlich am Board erwartet, wenn man als Anfänger darauf wirft, beträgt 12,83 Punkte. Das bedeutet, wenn Spieler oder Spielerinnen über diesen Wert pro Dart erzielen, so kann man sie schon zur Kategorie der Amateure zählen, sie sind in der Lage, ihre aktuelle Trefferquote so zu steuern, dass sie damit Punktzahlen 푥 ≥ 13 treffen.
Vergleicht man diesen Wert mit unseren Teilnehmern und Teilnehmerinnen, so ergibt sich folgendes Säulendiagramm, welches mit Microsoft-Excel gemacht wurde:
ANFÄNGER ODER AMATEUR
14,97
13,8
12,83
12,55
11,06 PUNKTEANZAHL
Durchschnitt Novak Thaller Brunner Schmid
Abbildung 24: Die erreichten durchschnittlichen Punktzahlen im Vergleich mit dem Erwartungswert
Die Durchschnittssäule an erster Stelle dient als Richtwert. Alle Spieler und Spielerinnen, deren Säule kürzer ist sind noch als Anfänger zu werten, auch wenn sie ihre Trefferquote im letzten praktischen Teil verbessert haben. So haben in diesem Fall die beiden männlichen Reflektanten nicht den Durchschnitt übertroffen und sind noch als Anfänger zu werten. Im Unterschied dazu haben die weiblichen Reflektantinnen Ergebnisse über dem Durchschnitt erreicht und sind eher als schlechte Amateurspielerinnen zu sehen. 82 | S e i t e
Durchführung
Den Begriff Average im Zusammenhang Darts müssen die Schüler und Schülerinnen im Internet recherchieren. Übersetzt bedeutet dies Durchschnitt. Es handelt sich hier aber nicht um den Durchschnitt pro Dart, sondern pro Runde. In Darts hat man immer 3 Darts zu werfen, deswegen wird in diesem Fall der Punkteschnitt pro Dart mit drei multipliziert wird. Die Ergebnisse werden unten in einem Diagramm dargestellt:
AVERAGE
50 44,91
45
41,4 38,49
40 37,65
35 33,18
30
25
20 PUNKTEANZAHL 15
10
5
0 Durchschnitt Novak Thaller Brunner Schmid
Abbildung 25: Average Vergleich
So sieht man, dass ein Anfänger, welcher immer die Scheibe trifft, einen erwarteten Punkteschnitt von 38,49 besitzt. Den Schülern und Schülerinnen wird dargestellt, welche Punkte sie pro Runde werfen müssen, um als Amateur zu gelten.
Da der Wettbewerbsgedanke nicht vom Tisch zu weisen ist, benötigt man den Gruppenaverage als Messwert. Der Gruppenaverage wird mit dem arithmetischen Mittel berechnet: 37,65 + 33,18 + 44,91 + 41,4 157,14 푥̅(퐺푟푢푝푝푒푛푎푣푒푟푎푔푒) = = = 39,285 4 4
In diesem Abschnitt sind interessante Ergebnisse aufgetreten, welche zu einer vielfältigen Diskussion im Klassenraum führen können. Die erwähnenswerten Punkte werden im Resümee besprochen. Nach dieser Auswertung sollte den Schülern und Schülerinnen bekannt gemacht werden, dass im professionellen Dartsport andere Regeln gelten. Es wird mit 501 Punkten begonnen und versucht, diese so schnell wie möglich auf 0 zu reduzieren. Die Punkteanzahl der jeweiligen Runde wird von 501 subtrahiert, der übrig gebliebene Score wird in der nächsten Runde mit einer anderen oder gleich geworfenen Punkteanzahl dezimiert. Zum 83 | S e i t e
Durchführung
Schluss muss man genau die Zahl treffen, welche man mit einem Dartwurf beenden kann z.B: Hat man am Ende nur noch 5 Punkte übrig, dann muss man die fünf treffen, um das Spiel zu beenden. Wirft man in diesem Fall mehr als die 5 Punkte, so steht man in der nächsten Runde wieder auf 5. Es ist auch möglich mit höheren Punktzahlen zu beenden; etwa 47. Dazu benötigt man in einer Runde folgende Treffer: 20, 20, 7. Erzielt man dabei eine höhere Punktzahl, so fällt man wieder auf 43, wenn sie niedriger ist, dann bleibt in der nächsten Runde die Differenz übrig.
Amateure müssen des Öfteren nur einfache Zahlen treffen, um das Spiel zu gewinnen. Schwieriger ist es bei den Profis; diese müssen das Spiel mit einem Doppelfeld beenden z.B. Bei einem Restbetrag von 40 muss der Werfer oder die Werferin die Doppel 20 treffen, um das Spiel zu beenden. Trifft dieser oder diese eine Eins, so steht er auf 39 und muss sich wieder auf eine gerade Zahl stellen.
(vgl. British Darts Organisation playing rules and tournament rules, 2019, S. 5)
Dadurch sollte den Lernenden bewusst werden, dass sie im Scoring (Punktewerfen) zum Anfänger oder Amateur eingestuft werden, aber nicht für das ganze Spiel. Dazu hat man im Projekt keine Auswertung durchgeführt. Nach Abschluss des Projektunterrichts sollte den Schülern und Schülerinnen klar sein, wie man so einen Average mit offiziellen Regeln berechnet.
4.4.3. Resümee des zweiten praktischen Teiles
Am Ende dieses praktischen Abschnittes macht die Lehrkraft den Werfer und Werferinnen klar, dass die Personen, welche über den berechneten Erwartungswert spielen, einen Amateurschnitt im Scoring haben. Dazu sollte er ihnen sagen, dass ein Weltklassespieler einen Average von 95 bis 105 benötigt, um in den Top 16 mitspielen zu können. Zusätzlich müssen die Spieler und Spielerinnen das Spiel mit einer doppelten Zahl beenden, welche sie davor erzielen, um auf dem Wert der Doppelzahl stehen zu bleiben. Vergleicht man dieses Ergebnis nun mit den aktuellen Trefferquoten vom ersten Abschnitt, so fällt auf, dass Alexander Novak die beste aktuelle Trefferquote für den Segmentbereich 5-20- 1 hatte, aber nicht über dem Erwartungswert spielt. Dies lässt vermuten, dass Herr Novak die Zahlen 1 und 5 öfters getroffen hat als die Nummer 20, im Gegensatz zu Martina Brunner, welche mit Kevin Thaller die geringste aktuelle Trefferquote hatte. Sie hat über den gleichen Zeitraum des Öfteren die Zahl 20 getroffen als die Zahl 5 und 1. Dennoch hatte sie mehrere Abweichungen bei ihrer aktuellen Trefferquote während der zweiten Wurfposition, denn dort lag sie deutlich unter dem Durchschnittswert. Daraus ergibt sich eine gewisse Interpretationsfreiheit im Unterricht, welche mit einer Gruppendiskussion geklärt wird.
84 | S e i t e
Durchführung
• Bezug zwischen erster und zweiter Aufgabe • Anzahl und Qualität der Proben, um einen messbaren Average zu machen • Kriterien für einen Weltklassespieler
Im Prinzip wurde die erste Frage schon im oberen Absatz beantwortet, denn alle Spieler gingen immer auf die 20 bzw. dreifach 20, weil sie die meisten Punkte gibt und dabei nur gerade auf dem Board (12 Uhr) steht. Spieler und Spielerinnen assoziieren damit einen leichteren Wurf, da man nur gerade werfen muss. Offensichtlich haben die Reflektanten, welche über dem Erwartungswert spielen, öfters die 20 getroffen, anstatt die anderen Zahlen daneben. Manche haben auch die T20 (Tripel 20 = 60 Punkte) getroffen. Darts, welche den Punkteraum nicht getroffen haben, wurden mit null Punkten gewertet. Durch diese Voraussetzung standen die Akteure unter einem größeren Druck als im vorherigen praktischen Abschnitt, denn hier ging es darum, viele Punkte zu erzielen und nicht wie im ersten praktischen Beispiel in einen bestimmten Segmentbereich zu treffen. Somit war ein Teilziel dieser Übung, präziser zu werfen. Dies wurde bewusst den Schülern und Schülerinnen verheimlicht, da es nur einen größeren Druck entwickeln würde und laut Borovcnik mehrere Confounder auslösen könnten, die das Ergebnis beeinflussen oder sogar verschlechtern.
Das Zufallsexperiment beliebig oft zu wiederholen macht in diesem Fall keinen Sinn, weil die körperliche und mentale Müdigkeit, welche mit der Zeit auftritt, zu einem größeren Confounder führt, der das Ergebnis verschlechtern würde. In der anderen Hand würde dabei ein Trainingseffekt zustande kommen, welcher ein zukünftiges Ergebnis verbessern könnte und somit eine neue verbesserte aktuelle Trefferquote produzieren würde. Dies hätte aber nichts mit der aktuellen Trefferquote im Unterricht zu tun, da die Voraussetzungen bzgl. Dart anders wären und man könnte auf empirische Werte und bekannten Wurftechniken zurückgreifen. Darüber hinaus sind bei den Reflektanten auch keine großen Spannweiten vorhanden, weshalb man einen guten Mittelwert in drei Vorgängen ohne den Einfluss eines Trainingseffektes berechnen kann. Eine dreimalige Wiederholung ist jeder Schülerin und jedem Schüler zumutbar.
Bedenkt man, dass ein Weltklasse Spieler am Ende Doppelfelder treffen muss, um das Spiel zu beenden, so hört sich das am Anfang nicht schwer an. Dem ist leider nicht so, denn wie man oben schon berechnet hat, nimmt das ganze Doppelfeld einen Flächeninhalt von 8344,1 mm2 mit einem Anteil von 9,19% und das gesuchte Doppelfeld hat aber nur einen Flächeninhalt von einem Zwanzigstel vom Doppelflächeninhalt 8344,1/20 = 417,205 mm2 , welcher einen Anteil von 0,46% ein. Besonders Profis können so einen Bereich bis zu 70% in einem Match treffen, wo der Druck am größten ist. Es gibt keine Daten, wie oft Profis eine Doppelzahl im Training treffen können. Im Gegensatz zu den Profis (0,46%) zielten wir auf ein Segmentbereich mit einem Größenanteil von 14,9%.
Miteinzurechnen ist, dass ein Profi vor mehreren Tausend Personen auf der Bühne spielt, welche ihn anfeuern. Dabei erreichen sie einen Average von ca. 95-105 Punkten. Den Schülerinnen und Schülern sollte bewusst werden, wie ruhig und genau ein Weltklassespieler 85 | S e i t e
Durchführung oder Weltklassepielerin sein muss, um in diesem Sport bestehen zu können. Dies ist auch ein Grund, warum Dart als Sportart anerkannt werden sollte. Im Anschluss wird eine 30-Minütige Pause gemacht.
4.5. 3. Praktischer Teil
In den vorherigen Kapiteln wurde im Resümee oft die Müdigkeitserscheinung als großer Confounder erwähnt, wenn es um die Auswertung mehrerer Würfe ging. Umso wichtiger erscheint eine Überprüfung folgender Behauptung: Je mehr Würfe gemacht werden, desto geringer die aktuelle Trefferquote. Das Problem, welches in diesem Abschnitt verfolgt wird, ist nochmals wie im ersten praktischen Teil die Berechnung der aktuellen Trefferquote. In dieser praxisorientierten Übung werden 100 Pfeile auf das Dartboard geworfen und dabei wird jede einzelne Runde mit 0, 1, 2, oder 3 Treffern vermerkt.
Die Anzahl der Runden beträgt 34. 33 Runden werden mit 3 Darts geworfen; in der letzten (34) wirft man nur mit einem Dart. Der Schwerpunkt liegt hier in der Datenauswertung und Binomialverteilung. Dazu sollen die Schüler und Schülerinnen eine durchschnittliche Gruppentrefferquote berechnen. Dabei können diverse Auffälligkeiten auftreten, welche die Datenauswertung vielfältig interpretierbar darstellt. Außerdem sollten Diagrammdarstellungsmöglichkeiten benutzt werden, um die Treffer in Abhängigkeit von der Rundenanzahl darzustellen.
Der Vergleich zum ersten praktischen Teil kann einen Unterschied aufweisen, welcher herausgehoben werden soll. Insofern müssen die oben genannten Punkte miteinbezogen werden, um eine statistische Beurteilung liefern zu können. Dabei sollten der Erwartungswert und die Standardabweichung miteinberechnet werden. Darüber hinaus werden Binomialbeispiele gestellt, welche die Wichtigkeit des Erwartungswertes darstellen.
Zum Abschluss gibt es Gruppenaufgaben. In diesen werden diverse Lösungs- und Ideenmethoden bzgl. der Auswertung durchgeführt. Dabei soll ein Lösungskonzept erarbeitet werden, wie eine Auswertungsart aussehen könnte.
86 | S e i t e
Durchführung
Bevor wir mit der praktischen Arbeit beginnen, müssen folgende Definitionen im Unterricht durchgemacht bzw. wiederholt werden:
• Binomialverteilung • Streudiagramm • Erwartungswert der Binomialverteilung • Standardabweichung der Binomialverteilung • Grenzwertsatz von de Moivre (einfach formuliert) und die dazugehörige Bedingung
Folgende Aufzählungen werden im möglichen Lösungsweg definiert und deren Anwendung präsentiert.
87 | S e i t e
Durchführung
3. Praktischer Teil Auftrag: Wirf 100-Pfeile auf den gleichen Segmentbereich wie im ersten praktischen Teil. Schreibe für jede Runde auf, wie viele Darts pro Runde das gewünschte Feld getroffen haben, z.B. Runde 1: 1 von 3! Man wirft 33 Runden mit drei Darts und in der 34. Runde wird nur ein Dart benutzt.
Aufgabe 1: Wie groß ist deine aktuelle Trefferquote und wie unterscheidet sie sich zum ersten praktischen Teil.
Aufgabe 2: Erstelle eine Tabelle mit den 34 Runden. Was fällt dir dabei auf. Ist eine Auswertung mit 100 Darts sinnvoll?
Aufgabe 3: Welcher Wert ist zu erwarten und wie groß ist die Standardabweichung? Mit welchen Treffern kann man eine Wahrscheinlichkeit von 95% decken?
Aufgabe 4: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 45, genau 50 und höchstens 55 Darts in den jeweiligen Segmentbereich zu treffen. Stelle ein Histogramm mit den dazugehörigen Berechnungen dar!
Gruppenaufgabe 1: Wie groß ist die durchschnittliche aktuelle Trefferquote des Teams bei 100 Würfen? Wie sinnvoll ist eine Gruppentrefferquote im Dart? Erstelle dabei eine pro und contra Liste!
Gruppenaufgabe 2: Wie viele Würfe wären für eine durchschnittliche individuelle bzw. aktuelle Gruppentrefferquote sinnvoll? Wie könnte man so eine Auswertung verbessern? Erstelle mit all der gesammelten Erfahrung eine Ideen- und Lösungsliste nach der Disney-Methode. (siehe Anhang)
Anmerkung: Elektronische Hilfsmittel sind erlaubt.
88 | S e i t e
Durchführung
Die Disney-Methode (Walt Disney) ist ein Arbeitskonzept zur Ideen- und Lösungsfindung. Sie funktioniert am besten mit 3er oder 4er Teams. Jeder der einzelnen Mitglieder nimmt eine Rolle der unten angegebenen Charaktere ein. Der Träumer erstellt eine Liste zu seinen eigenen Charakterideen und bleibt ausschließlich in seiner Rolle. Anschließend analysiert der Realist die Liste mit seinen Charakterzügen. Keiner steigert sich in die Ideen, Lösungen oder Gedanken des anderen Charakters hinein. Die in der Gruppe freiwillig zu vergebenden Rollen sind:
• Der Träumer: Er versucht, fern von Realität und Logik zu denken. Der Träumer sollte möglichst kreative Ideen und Lösungen finden.
• Der Realist und Macher: Das wichtigste Attribut des Realisten ist sein unparteiisches Denkvermögen. Er muss praktische und umsetzbare Ideen, sowie dazugehörige Lösungen finden. Diese müssen immer zweckorientiert sein.
• Der Kritiker: Dieser Charakter hinterfragt alles kritisch, sogar Themen bzw. Ideen- und Lösungsvorschläge sind vor ihm nicht sicher. Der Kritiker soll die Schwachstellen aufdecken, welche einen Misserfolg herbeiführen können. Auch wenn es die anderen Charaktere ungern hören, so müssen die Meinungen des Kritikers akzeptiert werden.
• Die neutrale Person: Diese Rolle ist unparteiisch und beobachtet den ganzen Prozess. Sie bewertet die Notizen aller Teilnehmer und Teilnehmerinnen neutral. Besteht das Team aus 5 Personen, sind zwei davon neutral; bei 3 Personen gibt es keine neutrale Person.
Im Anschluss wird daraus ein Lösungskonzept erstellt.
89 | S e i t e
Durchführung
Angabe: Wie viele Würfe wären für eine durchschnittliche individuelle bzw. aktuelle Gruppentrefferquote sinnvoll? Wie könnte man so eine Auswertung verbessern? Nutze dabei die gesammelte Erfahrung und schreibe 3-5 Punkte auf!
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Durchführung
Angabe: Wie viele Würfe wären für eine durchschnittliche individuelle bzw. aktuelle Gruppentrefferquote sinnvoll? Wie könnte man so eine Auswertung verbessern? Nutze dabei die gesammelte Erfahrung und schreibe 3-5 Punkte auf!
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Angabe: Wie viele Würfe wären für eine durchschnittliche individuelle bzw. aktuelle Gruppentrefferquote sinnvoll? Wie könnte man so eine Auswertung verbessern? Nutze dabei die gesammelte Erfahrung und schreibe 3-5 Punkte auf!
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Angabe: Wie viele Würfe wären für eine durchschnittliche individuelle bzw. aktuelle Gruppentrefferquote sinnvoll? Wie könnte man so eine Auswertung verbessern? Nutze dabei die gesammelte Erfahrung und schreibe 3-5 Punkte auf!
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Durchführung
Nenne und begründe die einzelnen Meinungen der verschiedenen Charaktere. Erstelle damit ein argumentreiches Lösungskonzept. Schreibe in vollständigen Sätzen. Der Text kann per Hand oder mit dem Computer verfasst werden.
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Durchführung
4.5.1. Fachdidaktischer Kommentar und Ziel des dritten Arbeitsblattes
In diesem praktischen Abschnitt wird die statistische Interpretation des Werfens bei einer großen Versuchsanzahl behandelt. Dabei sollten diverse Tabellen, Veranschaulichungen und Kommentare verglichen werden, um den Ablaufprozess präziser analysieren zu können. Zusätzlich ist eine Wahrscheinlichkeitsberechnung bzgl. der Binomialverteilung durchzuführen. Ein anderer großer Aspekt ist die angenommene Zunahme des Confounders und dessen Einfluss auf das Ergebnis bei größerer Wurfanzahl. Es kann auch ein Wurf- und Trainingsfluss entstehen, welcher sich auf das Ergebnis positiv auswirken könnte. Die Rechenbeispiele sind sehr komplex mit der Hand zu berechnen, weshalb ein technologisches Hilfsmittel von benötigt werden, um die dazugehörigen graphischen Veranschaulichungen illustrieren zu können. Dazu können diverse Gruppenvergleiche stattfinden, um die Leistungen der Schüler und Schülerinnen zu präsentieren. Die Wichtigkeit von Programmen wie z.B. Geogebra sollte in diesem Abschnitt nochmals verdeutlicht werden.
In den Gruppenaufgaben wird erneut auf schriftliche Teamarbeit mit verschiedenen Methoden Wert gelegt. Dabei sollen die Schüler und Schülerinnen ihre bis jetzt erlangte Erfahrungen einfließen lassen. Hierbei soll die Auswertung der aktuellen Trefferquote diskutiert werden. Es sollen neue Ideen- und Lösungsvorschläge entstehen, die eine eigene Interpretation erfordern. Im Grunde genommen lernen die Schüler und Schülerinnen die gleichen Probleme kennen, mit welchen auch eine Lehrkraft bei der Projekterstellung konfrontiert ist. Dabei wird mit der Disney-Methode das Problem Schritt für Schritt erarbeitet. Von dieser Methode und den individuellen Erfahrungen ausgehend, soll ein Lösungskonzept erstellt werden.
4.5.2. Lösungsvorgang des dritten praktischen Teils
Es wird mit den gleichen Darts geworfen. In diesem Abschnitt müssen die Schüler und Schülerinnen im Team arbeiten. Eine Person muss die Ergebnisse pro Runde notieren und ein anderes Mitglied muss die Pfeile holen. Es werden wieder die gleichen Reflektanten wie zuvor benutzt. Dieses Mal werden die Ergebnisse von Martina Brunner präsentiert.
Aufgabe 1 und 2
Auf der folgenden Seite sieht man die Treffertabelle von Martina Brunner:
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Durchführung
Trefferanzahl Runde Runde Trefferanzahl (max. 3 Treffer) 1 0 18 0 2 2 19 1 3 1 20 1 4 2 21 3 5 2 22 0 6 2 23 0 7 3 24 1 8 3 25 1 9 2 26 1 10 2 27 1 11 3 28 1 12 3 29 0 13 0 30 0 14 1 31 0 15 1 32 2 16 2 33 1 17 1 34 0 Summe 43 von 100 Treffer Tabelle 21: Die erzielten Treffer pro Runde in 100 Würfen von Frau Brunner
Berechnet man aus der Summe nun die „aktuelle Trefferquote“, so hat Martina Brunner ein Ergebnis von 43% erreicht. Im ersten praktischen Teil erreichte sie eine aktuelle Trefferquote von 70%. Um den Grund für die große Differenz zu ermitteln wird die obigere Tabelle einer genaueren Betrachtung unterzogen.
Schüler und Schülerinnen müssen sich in diesem Abschnitt Gedanken über die Darstellungsform der Tabelle machen. Welche Vor- und Nachteile bringt sie mit sich und wie aussagekräftig ist sie für die aktuelle Messreihe? Eine Alternative zum Lesen von stetig gemeinsamen Messwerten (x,y) mit sehr vielen Daten wäre das Streudiagramm. Die Messwerte können in einem kartesischen Koordinatensystem als Punkte, Kreuze uvm. dargestellt werden. Ein anderer Vorteil ist die Überschaubarkeit, da man hier leichter die Menge der erzielten Darts pro Runde und deren Menge ablesen kann. Darüber hinaus ist ein Zusammenhang in Abhängigkeit von der Rundenanzahl ersichtlich. Das Streudiagramm wurde mit Geogebra mithilfe der Tabellenfunktion erstellt.
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Durchführung
Abbildung 26: Das Streudiagramm von 100 Würfen (Brunner) Auf der x-Achse ist die Anzahl der Treffer (0, 1, 2, 3) ablesbar und auf der y-Achse steht die Rundenanzahl. Im Diagramm ist ersichtlich, dass die hohen Trefferanzahlen z.b 2 oder 3 öfters bis zur 13. Runde auftreten. Nach der 13. Runde wurde der gewünschten Segmentbereich des Öfteren nur einmal getroffen. Sieht man sich die obige Tabelle an, so war die stärkste Phase bei Martina Brunner bis zu Runde 12.
Berechnet man nun die aktuelle Trefferquote bis zur 12. Runde, so hätte man 24 von 36 Treffer, was einen prozentualen Anteil von 66,6% ergibt. Dieser nähert sich dem Wert vom ersten praktischen Teil an. Danach kam eine Abnahme der Trefferquote. Folgende Behauptung gilt in diesem Fall: „Je größer die Rundenanzahl, desto schlechter ist die aktuelle Trefferquote.“ Diese Behauptung kann mit der Abbildung 27 verstärkt werden, indem man eine lineare Gerade mit Geogebra legt.
Abbildung 27: Das Streudiagramm von 100 Würfen mit einer linear fallenden Trendlinie (Brunner)
97 | S e i t e
Durchführung
In der letzten Abbildung ist ersichtlich, dass die lineare Trendlinie monoton fallend ist. Die rote Gerade ist anfangs bei der 23. Runde bei 0 Treffer ablesbar. Anschließend fällt sie monoton. Sie ist zuletzt während der 10. Runde ablesbar; hier sind zwei Treffer vermerkt. Die fallende aktuelle Trefferquote ist somit von der Rundenanzahl abhängig. Um diese Behauptung zu unterlegen, muss sie mit den anderen Probanden verglichen werden.
Vanessa Schmid
Sieht man sich Vanessa Schmid an, so hat sie bei 100 Würfen 45 Treffer erzielt. Somit hat sie eine aktuelle Trefferquote von 45%. Die Differenz zum ersten praktischen Teil beträgt 15%. Beobachtet man das dazugehörige Streudiagramm mitsamt linearer Geraden so ergibt sich folgendes Diagramm:
Abbildung 28: Das Streudiagramm von 100 Würfen mit einer linear fallenden Trendlinie (Schmid) Es ist wieder eine linear fallende Trendlinie ersichtlich, welche das gleiche Ergebnis wie bei Martina Brunner liefert. Die stärkste Phase von Vanessa Schmid war von Runde 1 bis 11 (letzter 3 Treffer Wurf). In den darauffolgenden Runden nahm die durchschnittliche Trefferdichte ab. Die Trefferanzahl betrug bis dahin 22 von 33; somit hatte Vanessa Schmid eine aktuelle Trefferquote von 66,6%. Diese war sogar höher als im ersten praktischen Teil. Grundsätzlich gilt die gleiche Argumentation wie bei Martina Brunner, jedoch muss berücksichtigt werden, dass bei Vanessa Schmid nach Runde 11 eine Müdigkeitserscheinung auftrat.
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Durchführung
Kevin Thaller
Bei Kevin Thaller ergibt sich folgendes Streudiagramm:
Abbildung 29: Das Streudiagramm von 100 Würfen mit einer linear fallenden Trendlinie (Thaller) Kevin Thaller hatte wie Vanessa Schmid eine aktuelle Trefferquote von 45%. Dies ergibt eine Differenz von 15%. Die stärkste Phase war zwischen der ersten bis zur zwölften Runde. Zusammengefasst hatte Kevin Thaller eine aktuelle Trefferquote von 64%. Anzumerken ist, dass der Trend im Vergleich zu den Damen weniger fällt. Die Behauptung wird dadurch nicht verletzt.
Alexander Novak
Abbildung 30: Das Streudiagramm von 100 Würfen mit einer linear fallenden Trendlinie (Novak)
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Durchführung
Die aktuelle Trefferquote betrug 47%, wobei eine Differenz von fast 30% zum ersten praktischen Teil ersichtlich war. Alexander Novak stärkste Phase war zwischen der ersten und dreizehnten Runde, wobei die aktuelle Trefferquote einen Wert von 72% aufwies. Diese entspricht beinahe den 76,66% der aktuellen Trefferquote vom ersten praktischen Teil. Die Gerade fällt wie bei allen Gruppenmitgliedern.
Die durchgeführten Tests stellen ein Indiz dafür dar, dass die These „je größer die Wurfanzahl, desto schlechter die aktuelle Trefferquote“ stimmt. Die stärkste Phase aller Spieler und Spielerinnen war von der elften bis zur dreizehnten Runde bzw. 33-39 Darts. Die Auswertung stimmt mit all den anderen Probanden überein. Dort betrug die Spannweite von der zehnten bis zur 14. Runde bzw. 30 – 42 Darts. Zusammenfassend gilt: „Eine ideale Messung für die aktuelle Trefferquote findet zwischen Runde 10 und 14 statt. Die Würfe danach führen zu einer schlechteren Wertung, da eine mentale und physische Müdigkeit auftritt, welche sich zu einem größeren Störfaktor entwickelt.“ Das Gespräch nach den 100 Würfen unterstrich diese Vermutung, da viele Probanden leichte Verspannungen und Schmerzen im Oberarm verspürten. Vereinzelt gab es auch bessere Ergebnisse als im ersten praktischen Teil, unter der Bedingung, dass man diese nur bis zur stärksten Phase analysiert.
Aufgabe 3
Hierbei handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment; wie im ersten praktischen Teil gibt es nur zwei Ergebnisse. Es existieren die gleichen Resultate wie in Teil 1; Treffer und kein Treffer. Für die Berechnung des Erwartungswertes wird dabei eine andere Formel als beim zweiten praktischen Teil benötigt, da es sich hier um ein binomialverteiltes Beispiel handelt. Jede Binomialverteilung hat ein individuelles Histogramm, wobei die Flächeninhalte der einzelnen Säulen mit der Wahrscheinlichkeit von der Zufallsvariable X gleichbedeutend sind. So nimmt jede Säule einen eigenen Wahrscheinlichkeitswert für das jeweilig eintreffende Ereignis ein. Ist ein Histogramm völlig ausgefüllt, so beträgt der Flächeninhalt und der implizierte Wahrscheinlichkeitsausgang 1.
Da ein Erwartungswert von der Zufallsvariable X und seiner Verteilung abhängig ist, lautet seine Formel für die Binomialverteilung:
퐸(푋) = 휇 = 푛 ∙ 푝 n… Anzahl der Versuche p… Wahrscheinlichkeit.
Falls X binomialverteilt ist mit den Parametern n und p.
(vgl. Strick, 2018, S. 2)
So gilt für die Berechnung in unserem Fall (etwa bei Martina Brunner):
퐸(푋) = 푛 ∙ 푝 = 100 ∙ 0,43 = 43
100 | S e i t e
Durchführung
Antwort: Der meisterwartete Fall beträgt 43 Treffer.
Es ist dennoch nicht immer anzunehmen, dass man 43 Treffer erzielt. Unzweifelhaft ist immer eine Streuung oder Abweichung vom Erwartungswert vorhanden; dies gilt auch hier. Zur Berechnung der Standardabweichung benötigt man folgende Formel:
휎 = √푛 ∙ 푝 ∙ (1 − 푝)
σ … Standardabweichung
(vgl. Strick, 2018, S. 7)
Im Fall von Martina Brunner kommt man zu folgendem Ergebnis:
휎 = √푛 ∙ 푝 ∙ (1 − 푝) = √100 ∙ 0,43 ∙ (1 − 0,43) = 4,95
Rundet man diesen Wert nun auf, so bekommt man das Ergebnis 5. Es kann eine Streuung von 5 Treffern mehr oder weniger stattfinden. Je größer der Stichprobenumfang ist, desto größer ist der Erwartungswert und seine Standardabweichung.
Unter Anwendung des Grenzwertsatzes von Moivre-LaPlace, welcher in diesem Projekt einfach formuliert wird, kann die Zufallsvariable X einer Binomialverteilung mit sehr vielen Wiederholungen (n sehr groß) durch eine Normalverteilung angenähert werden. Aus diesem Grund können die Eigenschaften der Sigma Umgebungen (Sigma-Regel) benutzt werden. Um dies zu bewerkstelligen, muss folgende Faustregel zur Normalapproximation gelten:
휎 = √푛 ∙ 푝 ∙ (1 − 푝) > 3
In manchen Büchern wird diese Faustregel auch La Place Bedingung genannt. (Vgl. Strick, 2018 S. 11)
So können wir im Fall von Martina Brunner die Sigma-Regeln anwenden, welche uns einen Wahrscheinlichkeitsbereich von 95% zuweisen. Für eine n-stufige Bernoulli-Kette mit einer Wahrscheinlichkeit p muss die Standardabweichung größer 3 sein, um mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung folgende Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen zu können:
푝(0,67휎 − 푈푚푔푒푏푢푛푔 푣표푛 휇) ≈ 50% 푝(1,28휎 − 푈푚푔푒푏푢푛푔 푣표푛 휇) ≈ 80% 푝(1,64휎 − 푈푚푔푒푏푢푛푔 푣표푛 휇) ≈ 90% 푝(1,96휎 − 푈푚푔푒푏푢푛푔 푣표푛 휇) ≈ 95% 푝(2,33휎 − 푈푚푔푒푏푢푛푔 푣표푛 휇) ≈ 98% 푝(2,58휎 − 푈푚푔푒푏푢푛푔 푣표푛 휇) ≈ 99% Tabelle 22: Sigma-Regen mitsamt zutreffender Wahrscheinlichkeit (vgl. Strick, 2018, S. 11)
101 | S e i t e
Durchführung
Auch die Sigma-Regeln sind Faustregeln, welche nur einen approximierten Wert angeben und keinen Fixwert. Um es auf Schulbücher zu adaptieren, wird die 1,96 Sigma-Regel auf 2 gerundet, somit wird die Näherung von 95% einfacherweise 2σ-Regel genannt. Zur Wiederholung könnte den Schülern und Schülerinnen zuerst die 1σ Regel dargestellt werden, welche einen Bereich von 65% einnimmt.
Damit ein Wahrscheinlichkeitsausgang von 95% dargestellt werden kann, wird zuerst die Standardabweichung von Martina Brunner mit zwei multipliziert.
2휎 = 4,95 ∙ 2 = 9.9
So gilt:
휇 + 2휎 = 43 + 9,9 = 52,9 & 휇 − 2휎 = 43 − 9.9 = 33,1
Da nur ganze Trefferanzahlen existieren, werden die Ergebnisse aufgerundet. So entsteht durch die 2σ-Regel ein Intervall von [34, 53] Treffern. Zur Vermeidung eines komplexen und langwierigen Rechenaufwands lässt sich das Intervall und sein dazugehöriger Wahrscheinlichkeitsausgang mit der dynamischen Software von Geogebra Wahrscheinlichkeitsrechner darstellen.
Abbildung 31: Der 95% Wahrscheinlichkeitsausgang von Frau Brunner Als Bestätigung unserer Berechnungen steht in der obigen Abbildung rechts unten nochmals der Erwartungswert und die Standardabweichung. So stimmt das Intervall mit der 2σ-Regel überein. Da sich die Wahrscheinlichkeiten additiv verhalten, werden alle Trefferausgänge mit den dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten von 34 bis 53 addiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 34 und 53 landet, beträgt wie in der oberen Abbildung ersichtlich 95,62%. 102 | S e i t e
Durchführung
Es darf nicht vergessen werden, dass es sich hier um eine Annäherung handelt. Es sollte noch folgendes bedacht werden: Würde der Proband diesen praktischen Teil 100 Mal wiederholen, so könnten 4 Trefferanzahlen nicht in diesem Bereich landen. All diese Rechenschritte und Regeln gelten für die restlichen Teilnehmer und Teilnehmerinnen in Bezug auf ihre individuellen Werte, so lange sie die Laplace-Bedingungen erfüllen. In der darauffolgenden Tabelle sieht man eine Zusammenfassung der einzelnen Ergebnisse:
Name Erwartungswert Standardabweichung 휎-Bereich Schmid 45 4,97 [36, 55] ≈ 95,51% Thaller 45 4,97 [36, 55] ≈ 95,51% Novak 47 4,99 [38, 57] ≈ 95,44% Tabelle 23: Individuelle Ergebnisse für Aufgabe drei im 3. praktischen Teil
Wie erwartet erfüllen alle Kandidaten und Kandidatinnen die Laplace-Bedingung und somit auch die Nutzung des σ-Bereiches. Sieht man sich die letzte Abbildung genauer an, so ist eine rote Kurve über dem Histogramm dargestellt, welche die Gaußsche Glockenkurve darstellen soll. Dadurch kann die Genauigkeit der Approximation und Gültigkeit der σ-Regel im Unterricht visualisiert werden.
Aufgabe 4:
Dieses Beispiel sollte den Schülern und Schülerinnen als Wiederholung der Binomialrechnung dienen. Diese Berechnung erfolgt händisch oder mit Technologieneinsatz. Umfasst sind drei Teilaufgaben, die mit der individuellen, aktuellen Trefferquote von 100 Würfen berechnet werden müssen.
• mindestens 45 Treffer erzielen
Die händische Berechnung ist komplex, da es sich in diesem Fall um eine kumulierte Binomialverteilung (einzelne Wahrscheinlichkeiten werden summiert) handelt. Aus diesem Grund wird das Beispiel mit Technologieeinsatz gelöst.
Für Martina Brunner gilt folgendes:
Zuerst wird die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:
푝 = 0,43 => 푞 = 1 − 푝 = 0,57
Anschließend in die Formel eingesetzt:
100 100 푃(푋 ≥ 45) = 푃(45) + 푃(46) + ⋯ + 푃(100) = ∑ ( ) ∙ 0,43푘 ∙ 0,57100−푘 푘 푘=45
103 | S e i t e
Durchführung
Das Beispiel wird mit der dynamischen Software Geogebra berechnet. Möglich wäre auch die Nutzung eines Taschenrechners; auf diese Darstellungsmöglichkeit wurde aufgrund der Typenvielfalt verzichtet. Um dieses Beispiel berechnen zu können, muss die Fragestellung uminterpretiert werden in: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 44 Treffer zu erzielen?“ Diese Wahrscheinlichkeit wird anschließend von 1 subtrahiert. Der einzugebende Befehl in Geogebra lautet: Binomial (
푃(푋 ≥ 45) = 1 − 푃(푋 ≤ 44) = 1 − 0,62 = 0,38 = 38%
Eine optionale Darstellung, welche mit der dynamischen Software Geogebra (Ansicht: Wahrscheinlickeitsrechner) erstellt wurde, sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 32: Das mindestens 45 Treffer erzielt werden (Brunner) Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass Martina Brunner mindestens 45 Treffer erzielt, beträgt 38%.
• Genau 50 Treffer
Dieses Beispiel lässt sich mit dem Taschenrechner sehr einfach berechnen, vor allem da hier nur ein Wert zu berechnen ist. Der Befehl im Taschenrechner für 100 über 50 lautet: 100 nCR 50. Das Ergebnis davon wird gespeichert und anschließend mit den beiden anderen Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
Setzt man in die oben angegebene Formel in die Binomialverteilung ein und befolgt man die angegebene Anweisung, so ergibt sich: 100 푃(푋 = 50) = ( ) ∙ 0,4350 ∙ 0,5750 = 0,0296 = 2,96% ≈ 3% 50
104 | S e i t e
Durchführung
Illustriert:
Abbildung 33: Genau 50 erzielte Treffer (Brunner)
Antwort: Es besteht eine Chance von 2,96%, 50 Treffer zu erzielen.
• Höchstens 55 Treffer
Wie in der ersten Teilaufgabe werden hier die gleichen technologischen Hilfsmittel benutzt. Die Gleichung sieht folgendermaßen aus:
55 100 푃(푋 ≤ 55) = 푃(0) + 푃(1) + 푃(2) + ⋯ + 푃(55) = ∑ ( ) ∙ 0,43푘 ∙ 0,57100−푘 푘 푘=0
Analog zu oben wird der gleiche Befehl eingegeben, daraus folgt:
푃(푋 ≤ 55) ≈ 0,99 = 99%
Die dazugehörige Abbildung sieht folgendermaßen aus:
105 | S e i t e
Durchführung
Abbildung 34: Höchstens 55 erzielten Treffer (Brunner) Antwort: Es besteht eine 99% Chance, dass Martina Brunner höchstens 55 Treffer erzielt.
Der Rechenvorgang für die restlichen Gruppenmitglieder erfolgt analog. Vor allem weil sich die aktuellen Trefferquoten bei 100 Würfen nur marginal unterscheiden. Die Aussagekraft des Beispiels tritt bei den Ergebnissen hervor. Obwohl der größte Trefferunterschied vier Treffer beträgt, existiert ein wesentlicher Unterschied bei den Ergebnissen mit mindestens 45 Treffern. Dies betont die Wichtigkeit des Erwartungswertes. Auch die anderen Resultate weisen Differenzen auf.
In der folgenden Tabelle sind die einzelnen Ergebnisse der Teilnehmer und Teilnehmerinnen zusammengefasst:
Name Mindestens 45 Treffer Genau 50 Treffer Höchstens 55 Treffer Schmid 53,87% ≈ 54% 4,81% ≈ 5% 98,23% ≈ 98% Thaller 53,87% ≈ 54% 4,81% ≈ 5% 98,23% ≈ 98% Novak 69,11% ≈ 69% 6,65% ≈ 7% 95,56% ≈ 96% Tabelle 24: Individuelle Ergebnisse für Aufgabe vier im 3. praktischen Teil
Dieses Beispiel illustriert die Mächtigkeit des Erwartungswertes. So unterscheidet sich dieser maximal bis zu 4 Treffer, der Wahrscheinlichkeitsausgang von mindestens 45 Treffern jedoch um 31%.
Gruppenaufgabe 1:
Die durchschnittliche aktuelle Gruppentrefferquote bei 100 Würfen wird mit dem arithmetischen Mittel berechnet. Folgendes Ergebnis ergibt sich bei den Reflektanten: 0,45 + 0,45 + 0,43 + 0,47 1,80 푥̅(푎푘푡푢푒푙푙푒 푇푟푒푓푓푒푟푞푢표푡푒) = = = 0,45 = 45% 4 4
106 | S e i t e
Durchführung
Antwort: Die Gruppentrefferquote des Teams beträgt 45%
Anmerkung: Die Reflektanten haben die kommenden Fragen immer alleine beantwortet, ohne sich zu beeinflussen. Die Antworten und Fragen wurden von mir dokumentiert und auf einer pro und contra Liste präsentiert.
Eine pro und contra Liste dient dazu, die gesammelten Erfahrungen einzubringen und als Argumente dastehen zu lassen. Es fördert dabei die Fähigkeit neue Ideen und Lösungsmöglichkeiten zu entdecken, aber auch alte und neue Interpretationsmöglichkeiten zu formulieren. Es sollten auch die grundlegenden Regeln der Mathematik befolgt werden.
Ein mögliches Lösungsblatt würde wie folgt aussehen:
107 | S e i t e
Durchführung
Gruppentrefferquote Ja oder Nein? Pro Contra hängt von mehreren hängt von mehreren Spielern ab Spielern ab
gute Spieler steigern die schlechte Spieler senken aktuelle die aktuelle Gruppentrefferquote Gruppentrefferquote
steigert das Teamwork und erhöhte Stresssituation somit die Klassengemeinschaft
steigert den entspricht nicht der Konkurrenzkampf innerhalb Realität des Teams sagt nichts über die Messwert Spielstärke des Teams aus hängt vom Zielfeld ab
Tabelle 25: Gruppentrefferquote Ja oder Nein
Die Interpretation der Pro und Contra Liste erfolgt durch zwei verschiedene Ansichtspunkte. Ein Blickwinkel geht von einem guten Spieler oder guten Spielerin aus und der andere vom Schwächeren. Bei beiden Spalten hängt die Auswertung einer durchschnittlichen aktuellen Gruppentrefferquote von allen Mitspielern ab. Der talentiertere Spieler sieht das negativ, da ein schlechter Spieler den Durchschnittswert senkt. Genauso gilt das Gegenteil, der Schlechtere freut sich über einen guten Spieler im Team. Die Gruppe war sich bei der Steigerung des Teamworks und somit bei der Steigerung der Klassengemeinschaft einig, da in diesem Moment jeder die Daumen drückt, weil jeder das bestmögliche Ergebnis erreichen
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Durchführung möchte. Darüber hinaus wird der Konkurrenzkampf im Team gesteigert, welcher sich positiv auf das Resultat auswirkt. Ein anderer positiver Aspekt ist die Präsentation des Ergebnisses, weil es ein Messwert ist, mit dem die Gruppen verglichen werden können. Ein Contra- Argument, bei dem alle Spieler zugestimmt haben, war die erhöhte Stresssituation, da keiner das Team hängen lassen wollte. Somit ist ein zusätzlicher unbekannter Confounder entstanden. In Bezug auf den Profidartssport brachte Martina Brunner das Argument, dass diese Durchführung nicht der Realität im Sport entspricht. Prinzipiell wird im Dartssport Eins gegen Eins gespielt (es gibt Bewerbe, wo Personen in Paaren Spielen) und die Spielstärke wird mit dem Avg. (Average) gemessen. Darüber hinaus zählt die Check-out (Doppelzahlen) Quote, um das Spiel zu beenden. Je höher beide Quoten sind, desto höher die Siegeschancen. Dies ist bei Anfängern relativ schwer zu messen, da sie noch keine Erfahrungen in diesem Bereich haben.
Umso komplexer wird es, wenn die einzelnen Akteure auf verschiedene Segmentbereiche zielen, da es mehrere verschiedene Ziele sind, welche verschiedene Ausgangspositionen besitzen. Freilich besteht bei der aktuellen Gruppentrefferquote des Teams und der Spielstärke, wie sie im professionellen Bereich gemessen wird, keine Gemeinsamkeit, aber um dies geht es nicht in diesem Arbeitsabschnitt. Hierbei sollte ein Wert angegeben werden, welcher mit den anderen Gruppen in der Klasse verglichen werden kann. Eine andere Option wäre die Berechnung durchschnittlicher Gruppenaverages oder eine durchschnittliche Gruppendartanzahl, um sich mit den anderen Klassenkameraden messen zu können. Somit dient dieser Wert nur der Veranschaulichung und als Messwert.
Gruppenaufgabe 2:
In diesem Abschnitt sollen sich die Schüler und SchülerInnen über all ihre Erfahrungen Gedanken machen und die Aufgabe 1 aus diesem Abschnitt miteinbeziehen. Die Analyse erfolgt durch die in der Angabe als Anhang angegebene Disney-Methode. Wie schon in 4.2.1 erwähnt, war eine zeitgleiche Analyse schlicht unmöglich. In diesem Fall wurden die Rollen der Gruppenmitglieder von mir zugewiesen, da immer nach der Analyse ein Gespräch über das Projekt stattgefunden hat. Dabei wurden alle Meinungen, Fragen und Antworten notiert. Den Reflektanten wurden folgende Rollen zugewiesen mitsamt deren Meinung.
109 | S e i t e
Durchführung
Angabe: Wie viele Würfe wären für eine durchschnittliche individuelle bzw. aktuelle Gruppentrefferquote sinnvoll? Wie könnte man so eine Auswertung verbessern? Nutze dabei die gesammelte Erfahrung und schreibe 3-5 Punkte auf!
• Pro Datenerfassung mehrere Durchgänge gestalten (mindestens 5)
• Verschiedene Darts benutzen
• Eine aufsteigende Wurfanzahl bei der Auswertung vergeben z.B. 24, 27, 30, 33, 36, 39….
• Andere Dartsegmente probieren und die beste Wertung präsentieren!
110 | S e i t e
Durchführung
Angabe: Wie viele Würfe wären für eine durchschnittliche individuelle bzw. aktuelle Gruppentrefferquote sinnvoll? Wie könnte man so eine Auswertung verbessern? Nutze dabei die gesammelte Erfahrung und schreibe 3-5 Punkte auf!
• Mehrere Durchgänge würden zu viel Zeit in Anspruch nehmen.
• Wie viele verschieden Dartssets wären hier notwendig? Welcher finanzielle Aufwand würden dabei entstehen?
• Eine aufsteigende Wurfanzahl ist in diesem Fall durchführbar, aber unter der Bedingung, dass jede Wurfsequenz maximal einmal und mit den gleichen Darts durchgeführt wird. Die Summe aller aufsteigenden Wurfanzahlen beträgt 150 Darts. Daraus resultierend würde sich pro Wiederholung die Wurfanzahl verdoppeln.
• Andere Dartsegmentbereiche sind möglich; Es stellt sich die Frage, welche ausgewählt werden. Ein neuer Bereich benötigt eine neue Auswertung.
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Angabe: Wie viele Würfe wären für eine durchschnittliche individuelle bzw. aktuelle Gruppentrefferquote sinnvoll? Wie könnte man so eine Auswertung verbessern? Nutze dabei die gesammelte Erfahrung und schreibe 3-5 Punkte auf!
• Bei mehreren Durchgängen an einem Projekttag könnten zu große Schwankungen entstehen. Auftretende Müdigkeitserscheinungen führen zu einer Verfälschung. Somit würde die Qualität der Auswertung darunter leiden.
• Ein neues Dartsset bringt ein neues Gefühl in die Hand, welches als neue Unbekannte interpretiert werden kann. Diese Unbekannte muss wieder erforscht werden bzw. ein Gefühl für den Pfeil muss entwickelt werden. Darüber hinaus könnte, das neue Darts den Mitgliedern nicht gefallen.
• Zuerst könnte die aufsteigende Wurfanzahl als ein Störfaktor (Confounder) empfunden werden. Besser wäre es hier eine Zahl zu fixieren. Wie im 3. praktischen Teil ersichtlich ist, kann man maximal bis zur 13. Runde werfen (39 Darts), ohne dass Müdigkeitserscheinungen auftreten. Am häufigsten war der Wert mit 36 Darts, somit würde ich diesen empfehlen (12 Runden). Eine andere Frage, die sich dabei stellt, ist die mathematische Begründung dahinter bzw. der Vergleich mit anderen Trefferquoten. Um ein Problembeispiel zu nennen: Trifft der Spieler bei 24 Würfen und bei 36 Würfen jeweils 12-mal. Beim ersten Versuch hätte man eine Trefferquote von 50% und beim Letzten eine von 33,3%. Im Grunde genommen hätte man dadurch zwei verschiedene Bernoulli-Ketten, die dem Sinn des Projektes zuwiderlaufen würden.
• Man hat aus dem ersten praktischen Teil gelernt, dass ein anderer Segmentbereich eine neue Ausgangslage präsentiert. Somit würde sich eine neue aktuelle Trefferquote hinsichtlich dieses Feldes entwickeln, welche eine neue Auswertung benötigt.
112 | S e i t e
Durchführung
Angabe: Wie viele Würfe wären für eine durchschnittliche individuelle bzw. aktuelle Gruppentrefferquote sinnvoll? Wie könnte man so eine Auswertung verbessern? Nutze dabei die gesammelte Erfahrung und schreibe 3-5 Punkte auf!
• Zur Berechnung einer durchschnittlichen Trefferquote ist die Durchführung mehrerer Durchgänge sinnvoll. Um Ermüdungserscheinungen zu vermeiden, sollten sich die Spieler oder Spielerinnen abwechseln. Gleiches gilt für eine durchschnittliche Gruppentrefferquote. Die Gefahr, dass bei Anfängern zu große Abweichungen auftreten, ist nicht zu verhindern. „Rosinenpicken ist zu vermeiden.“ Denkbar wäre die Anwendung eines Intervalls.
• Die Gefahr, dass ein Dartsset einem Mitglied nicht gefällt, besteht immer. Eine Änderung der Darts ist daher in der Regel nicht zweckmäßig.
• Eine aufsteigende Wurfanzahl ergibt keinen Sinn, da die Trefferquote zu sehr variieren würde. Manchmal ergeben mehr Treffer ein schlechteres Ergebnis: 12 Treffer von 24 Würfen ergeben eine Trefferquote von 50%. Bei 17 Treffern von 36 Würfen entsteht eine Trefferquote von 47%. Wie würde man so ein Ergebnis interpretieren? Mehr Fleiß für weniger Profit? Es würde zu viel Veränderung auf einmal stattfinden, welche dem Spieler die Wurfsequenz erschwert.
• Aus dem ersten praktischen Teil ist bekannt, dass jedes Segment andere Voraussetzungen hinsichtlich der Wurfhaltung hat. Daraus folgend entsteht eine ganz neue Situation, welche zu einer neuen aktuellen Trefferquote führt.
Ein mögliches Lösungskonzept basierend aus den oberen Meinungen wäre:
113 | S e i t e
Durchführung
Nenne und begründe die einzelnen Meinungen der verschiedenen Charaktere. Erstelle damit ein argumentreiches Lösungskonzept. Schreibe in vollständigen Sätzen. Der Text kann per Hand oder mit dem Computer verfasst werden.
Es gibt keine allgemeingültige Lösung für das Messen der aktuellen Trefferquote oder der durchschnittlichen aktuellen Trefferquote. Es spielen zu viele Faktoren mit, welche das Ergebnis beeinflussen können. Die erwähnten Argumente der Reflektanten und die eingenommenen Rollen stellen ein Problemszenario dar. Dabei muss man zuerst mit empirischen Werten arbeiten bzw. diese entstehen lassen, um eine „ideale“ Forschungsmethode zu ermitteln. Abgeleitet davon entstehen Simulationen, welche die angenommenen Theorien unterstützen können. So ist es in diesem Fall. Im 3. praktischen Teil wurde ersichtlich, dass eine Dartsanzahl von maximal bis zu 39 Darts für Anfänger zu beschränken ist, da Müdigkeitserscheinungen auftreten können, welche zu einem schlechteren Ergebnis führen können. Da die Spannweite der stärksten Phase von der 11. bis zur 13. Runde reichte, wurde ein Mittelwert mit einer Anzahl von 12 Runden gewählt. Vergleicht man die Werte aus dem ersten praktischen Teil und dem 3. praktischen Teil, so steigern sich die aktuellen Trefferquoten von Vanessa Schmid und Kevin Thaller. Die Werte der anderen Probanden senkten sich. Dabei muss erwähnt werden, dass Alexander Novak und Martina Brunner mindestens 70% erreicht haben, was schon einem sehr hohen Wert für Anfänger entspricht. Vor allem Alexander Novak erreichte wieder einen Wert über 70% und beide erwähnten Kandidaten erreichten ihre aktuelle Trefferquote aus dem ersten praktischen Teil um einen Dart nicht. Bei Vanessa Schmid und Kevin Thaller ergab sich eine Verbesserung von 2 bis fast 3 Darts. Die Idee einer durchschnittlichen Trefferquote wäre in diesem Fall plausibel, aber man muss bedenken, dass mit der Zeit ein immer größerer Trainingseffekt eintreten könnte. Dieser ist bei Anfängern sehr schnell ersichtlich. Somit besteht die Gefahr, eine große Spannweite zu produzieren. Nebenbei können neue Confounders entstehen wie z.B. der Gedanke, den Wert vom vorherigen Versuch übertreffen zu wollen. Der Spieler oder die Spielerin könnten zu viel Druck auf sich ausüben, welcher sich negativ auswirkt. Deswegen wäre die Idee eines Intervalls eine andere Option. Dabei entsteht ein guter Wert und ein schlechter Wert, wobei man sich fragen muss, ob dieses Intervall sinnvoll ist, da ein Anfänger große Schwankungen, aufgrund seiner Unerfahrenheit aufweist. Letztendlich ist es dennoch am besten, einen aktuellen Wert für diese Arbeit zu messen, welcher eine Wurfanzahl bis zu 36 Pfeilen hat.
Die Nutzung neuer Darts, während man sich noch an das erste Dartsset gewöhnt, ist nicht zu empfehlen, da dies zu einer Verunsicherung führen kann. Wegen des fehlenden Selbstvertrauens und der fehlenden Erfahrung stellt das für den Anfänger eine unmögliche
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Durchführung
Aufgabe dar. Den anderen Gruppenmitgliedern könnte das neue Set nicht gefallen. Deswegen sollte ein x-beliebiges Set ausgeteilt werden, mit dem die Gruppe arbeiten muss.
Das Prinzip der aufsteigenden Wurfanzahl würde mathematisch keinen Sinn ergeben. Dies sollte durch das folgende Beispiel illustriert werden:
• 1. Fall: Bei 24 Würfen trifft man das gewünschte Feld 12 Mal, so ergibt sich eine Trefferquote von 50%. Erreicht man bei 36 Würfen die gleiche Trefferanzahl, so ergibt sich eine Trefferquote von 33,3%.
• 2. Fall: Bei 24 Würfen trifft man das gewünschte Feld 12 Mal, so ergibt sich eine Trefferquote von 50%. Erreicht man bei 36 Würfen nicht die gleiche Trefferanzahl, sondern 17 Treffer, so ergibt sich eine Trefferquote von 47%.
Im ersten Fall erbrachte man die gleiche Leistung, trotzdem erreichte man eine geringere Trefferquote, welche das Ergebnis schlechter darstellt. Beim 2. Fall hat der Spieler oder die Spielerin sogar eine größere Trefferanzahl erzielt, aber dennoch eine schlechtere Trefferquote erreicht. Den Unterschied macht die aufsteigende Versuchsanzahl, welche aber als Hindernis angesehen werden kann, da man eine längere Konzentrationsphase aufweisen muss, die mit längerer Durchführung anstrengender wird. Auch bei einem Spielerwechsel und einer Verschnaufpause würde der Anfänger oder die Anfängerin noch immer über sein Ergebnis nachdenken und sich über seine Fehler Gedanken machen, welche sich evtl. negativ auswirken können. Dazu müsste man auswerten, ob der Trainingseffekt wirklich so groß ist, um dies mit ansteigenden Wurfanzahlen zu kompensieren. Vor allem ist jeder Spieler oder jede Spielerin einzigartig und reagiert auf ein verändertes Umfeld anders. Deswegen wäre eine Veränderung schlecht zu bewerten, da manche negativ darauf reagieren könnten. Auch mathematisch gesehen hätte man pro veränderter Wurfanzahl eine neue Bernoulli-Kette mit neuen Voraussetzungen.
Das Zielfeld zu ändern bringt gar nichts, da immer neue Voraussetzungen auftreten, welche im ersten praktischen Teil herausgefunden wurden. Unabhängig von Position oder Wurfwinkel entsteht eine andere aktuelle Trefferquote für das gewünschte neue Feld.
Ein möglicher Lösungsvorgang wäre ein einfacher Durchgang mit 36 Darts für Anfänger, welche auf ein gewünschtes Feld zielen müssen. Diese weisen keine hohe Konstanz auf. Für fortgeschrittene Spieler, welche schon ein besseres Gefühl für den Dartssport besitzen, könnte man einen durchschnittlichen Wert errechnen, da die Spannweite höchstwahrscheinlich nicht allzu groß ist und diese durch das Training belastbarer sind. Zu guter Letzt könnte ein Konfidenzintervall für fortgeschrittene Spieler eine mögliche Option sein.
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Durchführung
4.5.3. Resümee des dritten praktischen Teiles
Am Anfang dieses Abschnittes haben die Akteure und Akteurinnen mit ihrer neuen Wurfposition 100 Darts auf den gleichen Segmentbereich wie im ersten praktischen Teil geworfen. Dabei merkten die Akteure einen eindeutigen Fall ihrer aktuellen Trefferquote gegenüber dem ersten Beispiel. Sie notierten jede einzelne Runde mit der jeweiligen Trefferanzahl. Dabei entdeckten die Werfer und Werferinnen Parallelen zueinander, welche versucht wurden zu begründen.
Am sinnvollsten ist eine Wurfanalyse mit maximal 13 Runden (Novaks stärkste Phase reichte von der 1. bis zur 13.Runde). Alle Würfe danach ergaben ein schlechteres Ergebnis, da diverse Müdigkeitserscheinungen (Oberarmmuskulatur, Konzentrationsschwächen) aufgetreten sind. Anschließend wurden die Datensätze der Akteure genauer analysiert. Frau Schmid und Herr Thaller haben bessere Ergebnisse erzielt, was als Trainingseffekt interpretiert werden kann. Die Option, ein (1-α) Konfidenzintervall zu gestalten, da Daten mit einer zufälligen Fluktuation behaftet sind, wäre eine Möglichkeit. Diese lässt sich unter Normalapproximation folgendermaßen berechnen:
+ 푝 ∙ (1 − 푝) 훼√ 푝 ( ) 푧1− ( ) − 2 푛
(vgl. Borovcnik, S.5)
Nimmt man die Ergebnisse des ersten praktischen Teils als Ausgangsquote, so könnte man die obere Formel leider nicht anwenden, da sie die Faustregel (Laplace-Bedingung) 휎 > 3 nicht erfüllen. Dafür wurden zu wenig Wurfversuche durchgeführt. Im Fall von Herrn Novak, der im ersten Teil eine aktuelle Trefferquote von 76,66% erzielt hatte, würde man eine Wurfanzahl von 51 benötigen (17 Runden). Dies würde sich aber auf die Leistung auswirken, da nach der 13. Runde ein deutlicher Abfall bei den Anfängern erkennbar war. So wäre ein Konfidenzintervall nicht sinnvoll, da die Normalapproximation von Anfang an zu ungenau wäre. Aber auch die anderen Teilnehmer und Teilnehmerinnen, welche in dieser Arbeit nicht veröffentlicht wurden, wiesen solche Muster auf, vor allem Jugendliche im Bereich von 13- 15 Jahren. Bei ihnen kamen Müdigkeitserscheinungen nach zehn Runden zum Vorschein.
Im Anschluss daran mussten die Schülergruppen individuelle Binomialrechenbeispiele bewerkstelligen, wobei ein σ-Regel Beispiel auch vorhanden war. Diese Beispiele zeigten den Einfluss des Erwartungswertes und bestätigten seine Wichtigkeit. In den Gruppenaufgaben haben sich die Probanden über eine aktuelle durchschnittliche Gruppentrefferquote Gedanken gemacht und diese mit einer pro und contra Liste unterlegt. Das Interpretationsresultat stellte diese als einen Messwert im Klassenraum dar, welche fern vom Profibereich ist. Vor allem betont sie auch den Sinn dieses Projektes, bei dem die Steigerung 116 | S e i t e
Durchführung einer Trefferquote gemessen werden soll. Man erreichte in diesem Abschnitt einen höheren Wert als der eigene individuelle Wurfstil im ersten Abschnitt. Zu guter Letzt haben die Schüler und Schülerinnen die einzelnen Probleme des Messens einer aktuellen Trefferquote entdeckt. Durch ein Rollenspiel sind sie auf diverse Hürden gestoßen, welche sie mathematisch belegt haben.
Am Ende kam der Entschluss, dass eine einmalige Messung für einen Anfänger eine sinnvolle Option ist, da mehrere Confounders einen durchschnittlichen Wert behindern würden. Die Confounders verkraftet jeder individuell anders, was zu einer ungleichen Chancengleichheit führen würde, die bei Anfängern vermieden werden soll. Ein anderer Grund ist, keine zu hohen Unterschiede auftreten zu lassen, welche die einzelnen individuellen Trefferquoten in der Gruppe negativ beeinflussen könnten und somit die Verringerung des Teamworks oder der Klassengemeinschaft impliziert. Daher wurde entschieden, dass eine Auswertung mit 36 Darts am sinnvollsten ist.
Personen, die in Darts geübt sind, könnten mit einem durchschnittlichen Wert oder einem Konfidenzintervall gemessen werden und somit einen best und worst case (obere Ergebnisschranke und untere Ergebnisschranke) herstellen. Sobald diese öfters übertroffen wird, hat man seinen Wert verbessert. Schlussendlich ist jede Person individuell und man sollte so viele Störfaktoren wie möglich vermeiden, um eine möglichst hohe Chancengleichheit im Raum gewährleisten zu können. Störfaktoren, die ihren Ursprung im Privatleben haben, können nicht vermieden werden.
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Durchführung
4.6. 4. Praktischer Teil
Im letzten praktischen Teil versucht man auf die Spuren der Gaußschen Glockenkurve zu kommen. Auch hier vergleicht man die individuelle Wurfposition und die neue Wurfposition. Die Schüler und Schülerinnen müssen nun auf das Bull zielen. Dabei werden die Abstände vom Ursprung mit den x und y Koordinaten gemessen. Um dies zu bewerkstelligen, ist es notwendig, die Ereignisse (Treffer) zu markieren. Die wird mit einem A3-großen Millimeterpapier (es kann auch ein A2-Format genommen werden) gemacht. Darauf sollte das Bull aufgezeichnet werden, wobei der Radius aus dem 2.praktischen Teil bekannt ist. Eine Apparatur würde folgendermaßen aussehen:
Abbildung 35: Das Millimeterpapier auf dem Dartboard fixiert Nachdem jeder Kandidat auf die Scheibe mit dem darauf montierten Papier geworfen hat, beginnt im Anschluss die Datenanalyse. Wobei jedes einzelne Wurfloch vermerkt wird. Am besten ist es, wenn die Einwurflöcher als einzelne Koordinaten vermerkt werden. Falls ein Schüler oder Schülerin das ganze Steeldartboard verfehlt, darf die Person den Wurf wiederholen. Damit in der letzten Sequenz keine allzu langen Wartezeiten entstehen, kann man das mm- Papier kopieren und zur Kontrolle einer anderen Gruppe geben. So wird eine Manipulation der Ergebnisse umgangen, welche in einem Wettstreit zwischen den Gruppen aufkommen könnte. Falls kein Kopierer vorhanden ist, kann man mehrere mm-Papiere übereinander aufhängen. Nachdem die Datenauswertung erfolgt ist, wird im Unterricht weitergearbeitet.
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Durchführung
Im zweiten Teil werden einzelne Bereiche in Abstandsklassen unterteilt und davon werden die relativen Häufigkeiten mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (Excel) unterteilt und berechnet. Dies sollte mit den mathematischen Schritten, welche im Unterricht gelernt werden, der Herleitung der Gaußschen Glockenkurve dienen. Es soll ein Zusammenhang zwischen Darts und der Gaußschen Glockenkurve hergestellt werden. Eine im Unterricht entwickelte Herleitung wird nur dann hervorgebracht, wenn man die Darts auf das Bull wirft und versucht, möglichst gleichmäßig zu verteilen. Dies geschieht meistens von alleine, weswegen der praktische Teil nur einmal gemacht werden muss. Die Annahme stützt sich auf folgende Idee: Falls ein Spieler oder Spielerin zu tief ist, wird er oder sie automatisch höher zielen, um das Ziel (Bull) zu treffen. Hier besteht die Gefahr, dass er oder sie erneut das Ziel verfehlt, weil sie „überkorrigieren“. In diesem Fall war der Spieler oder die Spielerin zu hoch. Dabei werden Integralrechnungen und Darstellungen auftreten, welche eine Brücke zwischen der Analysis und Stochastik bilden. Hierbei handelt es sich um ein sehr anspruchsvolles Thema, welches nur in den 8. Klassen durchgeführt werden kann. Dieses besteht aus zwei Teilen, da der erste Teil zu Hause gemacht werden kann und der zweite Teil erst nach der Unterrichtsstunde bzgl. dem vierten praktischen Teil. Das Ziel von zwei Arbeitsblättern ist eine schnellere Bearbeitung der Aufgaben von den Schülern und Schülerinnen. Zusätzlich sollte nicht alles auf ein Arbeitsblatt kommen, da der Aufwand abschreckend und demotivierend wirken kann. So könnte das erste Arbeitsblatt aussehen.
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Durchführung
4. Praktischer Teil (Teil 1)
Auftrag: Befestige das vorgearbeitete Millimeterpapier auf dem steel Dartboard. Der Kreis in der Mitte symbolisiert das Bull. Wirf 36 Darts einmal mit deinem individuellen Wurfstil und einmal mit deinem neuentdeckten Wurfstil in die Mitte (Bull und Bullseye). Versuche, so oft wie möglich und so nah wie möglich das Ziel zu treffen.
Aufgabe 1: Erstelle eine Urliste oder Tabelle aus allen Einwurflöchern. Die Ereignisse (Treffer) werden als Koordinaten angegeben.
Aufgabe 2: Berechne die einzelnen Abstände vom Mittelpunkt (Radius) mit dem Satz von Pythagoras.
Aufgabe 3: Berechne den Mittelwert und die empirische Standardabweichung beider Wurfstile anhand der Daten vom Abstand (d). Im Anschluss sollte die Standardabweichung vom Ursprung aus bezüglich d berechnet werden.
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Durchführung
4. Praktischer Teil (Teil 2)
Gruppenaufgabe 1: Erstelle eine Gruppendatenreihe aller Ereignisse und dem dazugehörigen Abstand d. (n= 144).
Gruppenaufgabe 2: Stelle die relativen Häufigkeiten von x, y und d in Abhängigkeit der Klassen in % dar. Im Anschluss illustriere die dazugehörigen Histogramme.
Gruppenaufgabe 3: Berechne den mittleren (durchschnittlichen)
Gruppenabstand und die empirische Standardabweichung von 푠푥, 푠푦 und 푠푥−푦 (Gesamtstandardabweichung) hinsichtlich des Ursprungs.
Gruppenaufgabe 4: Lege eine Normalapproximation über das Histogramm! Was fällt dir dabei auf?
Tipp: Benutze ein Tabellenkalkulationsprogramm!
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Durchführung
4.6.1. Fachdidaktischer Kommentar des vierten praktischen Arbeitsblattes
Die Auswertungen in diesem Abschnitt basieren auf den grundlegenden Elementen der deskriptiven Statistik.
In der ersten Aufgabe werden die Grundlagen, wie das Ablesen vom Koordinatensystem nochmals überprüft. Darüber hinaus wird auch die Erstellung eine Urliste/ Tabelle benötigt, welche die Ereignisse am besten darstellt. Umso wichtiger wäre eine Nummerierung auf einem Millimeterpapier, um die Übersicht beizubehalten. Anschließend wird nochmals der Satz von Pythagoras angewendet, um den Abstand diverser Punkte vom Mittelpunkt zu berechnen. Die Ergebnisse werden von den anderen Gruppen kontrolliert, um einen fairen Wettkampf gewährleisten zu können. Die Schüler und Schülerinnen sollen zuletzt ihre individuelle und ihre neue Wurfposition mit statistischen Maßzahlen auswerten und interpretieren.
Anschließend werden die einzelnen Abstände in Klassen (Abstandsintervalle) definiert, welche im Unterricht vom Lehrer vorgegeben werden. Darauffolgend wird eine Herleitung der Gaußschen Glockenkurve mittels der einzelnen Klassen und Wahrscheinlichkeitsdichten dargestellt, welche die Schüler und Schülerinnen 1:1 abschreiben müssen. Abschließend wird die Gruppenstandardabweichung und der durchschnittliche Gruppenabstand ausgewertet, um einen Wettkampfwert für den Klassenraum präsentieren zu können. Damit können die einzelnen Gruppenergebnisse gemessen werden.
Die empirische Standardabweichung und der benötigte arithmetische Mittelwert dienen hier nicht nur als Wettbewerbsmaßstab, sondern auch als endgültige Antwort auf die Frage: „Welche Wurfposition ist die bessere bzw. konstantere?“ Dieses Beispiel soll den endgültigen Beweis liefern, ob ein individueller Wurfstill für einen Anfänger besser ist oder ob ein neu entdeckter Wurfstil, mit dem man keine Erfahrungen hat, ein besseres Ergebnis erzielt.
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Durchführung
4.6.2. Lösungsvorgang des vierten praktischen Teils (Teil 1)
Im ersten Schritt müssen die Schüler und Schülerinnen die Daten des durchlöcherten Millimeterpapiers auswerten, welches auf der rechten Seite ersichtlich ist. Dieses Exemplar stammt von Vanessa Schmid und ihrem individuellen Wurfstil. Dabei werden alle 36 Löcher vom Ursprung (Bull) Mittelpunkt in Koordinaten umgeschrieben.
Abbildung 36: Wurflöcher nach einem Durchgang
Aufgabe 1:
In dieser Aufgabe wird nur der individuelle Stil von Vanessa Schmid genau berechnet, alle Rechenschritte für die anderen Wurfpositionen erfolgen analog. Eine dazugehörige Datenreihe für den individuellen Wurfstil kann auf der folgenden Seite betrachtet werden:
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Durchführung
Wurfanzahl x-Koordinate y-Koordinate 1 8,8 -4,2 2 8,7 -1,9 3 8,3 3,1 4 6,7 -1,5 5 4,9 2,5 6 5,1 1,4 7 5,2 -1,2 8 4,7 -2,9 9 3,7 -3,7 10 3,4 6,7 11 3,2 -4,9 12 3,1 -0,3 13 2,1 2,1 14 3 0,8 15 -6,8 -8,3 16 -8,8 -1,2 17 1,6 0,1 18 1,5 -0,3 19 -0,1 0 20 0,6 2,5 21 -1,4 2,4 22 2,1 -8,9 23 3,1 -10,4 24 4 12,5 25 -1 7,9 26 -4,3 6,4 27 -0,5 10,6 28 2,2 8,8 29 -3,5 3,4 30 -3,7 -0,8 31 -5,6 1,9 32 -6,7 -0,6 33 -4,9 -1,2 34 -3,5 -12 35 -4,3 -8 36 -1,8 -7,3 Tabelle 26: Ausgewertete Wurflöcher des individuellen Wurfstils von Frau Schmid
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Durchführung
Aufgabe 2:
Wie schon in der Angabe beschrieben, wird der Abstand mit dem Satz von Pythagoras berechnet. Die illustrierte Idee sieht man auf der darauffolgenden Abbildung:
Abbildung 37: Illustrierte Darstellung für die Berechnung des Abstandes
In diesem Abschnitt wird der Mittelpunkt vom Steeldartboard, genauer gesagt vom Bullseye genommen, um einen Startpunkt zu besitzen. Aus der obigen Abbildung und dem Satz des Pythagoras für die Wurfanzahl i 휖 {1, 2, …, 36} gilt:
2 2 푑 = √푥푖 + 푦푖 x… x-Koordinate y… y-Koordinate
(vgl. Riemer, Dezember 2012, S.21)
Um den Rechenaufwand zu ersparen gibt man die obige Formel mit den dazugehörigen Zellen mit folgendem Befehl =WURZEL(B7^2+C7^2) in Excel ein. Anschließend lässt sich jene Zelle runterziehen, wo Excel alle Rechenschritte analog durchführt, nur mit den darauffolgenden Koordinaten.
Anmerkung: B7 und C7 sind die Zellennummern für die x1 und y1 Koordinate.
Daraus ergibt sich folgende Tabelle mit den Abständen in cm:
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Durchführung
Wurfanzahl Abstand (d) 1 9,75 2 8,91 3 8,86 4 6,87 5 5,50 6 5,29 7 5,34 8 5,52 9 5,23 10 7,51 11 5,85 12 3,11 13 2,97 14 3,10 15 10,73 16 8,88 17 1,60 18 1,53 19 0,10 20 2,57 21 2,78 22 9,14 23 10,85 24 13,12 25 7,96 26 7,71 27 10,61 28 9,07 29 4,88 30 3,79 31 5,91 32 6,73 33 5,04 34 12,50 35 9,08 36 7,52 Tabelle 27: Abstände (d) vom Ursprung Somit sind alle Abstände bzgl. den x- und y-Koordinaten des jeweiligen Wurfes in einer übersichtlichen Tabelle dargestellt.
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Durchführung
Aufgabe 3
In dieser Teilaufgabe ist das arithmetische Mittel und die empirische Standardabweichung zu berechnen. Den Schülern und Schülerinnen muss klar gemacht werden, dass solche Werte nur mit empirischen Formeln berechenbar sind. Die Wahrscheinlichkeit, einen exakten Punkt auf der Scheibe zu treffen, beträgt 0%. Dies bedeutet nicht, dass der Fall gar nicht eintreffen kann, sondern dass er sehr unwahrscheinlich ist. Deswegen müssen Werte erzielt werden, um eine Datenreihe für einen durchschnittlichen Abstand ermitteln zu können.
Dank Excel lässt sich das arithmetisches Mittel mit dem Befehl MITTELWERT(Anfangszelle:Endzelle) leicht berechnen. So beträgt der durchschnittliche Abstand von Vanessa Schmid vom Mittelpunkt zum Wurfloch 푑̅ = 6,55cm. Da das Bull einen Radius von 1,59 cm hat muss man dieses noch vom durchschnittlichen Abstand abziehen. Es ergibt sich ein Wert von 4,96 cm. Der Abstand zum Bull beträgt unabhängig von welcher Seite 4,96 cm. Das arithmetische Mittel ist kein Fixwert, da beim Werfen immer Abweichungen vorhanden sind. Somit muss die empirische Standardabweichung berechnet werden, um ein gewisses Abstandsintervall bilden zu können.
Die allgemeine Formel für die empirische Standardabweichung in unserem Fall lautet:
36 ̅ 2 (푑푖 − 푑) 푠 = 휎 = ∑ √ 푑 푑 푛 푖=1
(vgl. Fahrmeir et al.,2016, S. 65)
Damit die Schüler und Schülerinnen nicht jeden Wert händisch eingeben müssen, kann man bei Excel folgenden Befehl eingeben: =STABW(Anfangszelle:Endzelle). Damit erreicht Frau Schmid 3,21 cm für die Standardabweichung hinsichtlich ihres individuellen Stils.
Die zweite Standardabweichung sollte vom Abstand d auf dem Ursprung bezogen sein und nicht auf den empirischen Mittelwert. Dies soll ein Streuungsmaß vom Ursprung (Mittelpunkt) zeigen. Um dies zu bewerkstelligen, wird in der obigen allgemeinen Formel der Standardabweichung für den Mittelwert 0 eingesetzt. So ergibt sich folgende Formel:
36 2 (푑푖 − 0) 푠 = 휎 = ∑ √ 푑(푈푟푠푝푟푢푛푔) 푑(푈푟푠푝푟푢푛푔) 푛 푖=1
Dies lässt sich in das Tabellenkalkulationsprogramm Excel folgendermaßen eingeben: =WURZEL(SUMME(Anfangszelle:Endzelle ^2)/ANZAHL(Anfangszelle:Endzelle)). Dieser Befehl
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Durchführung muss als Matrix angegeben werden. Eine Matrix Eingabe erfolgt nicht mit der Eingabetaste, sondern mit STRG+ Umschalttaste+ Eingabetaste.
Daraus ergibt sich für den individuellen Wurfstil folgendes Ergebnis:
36 2 (푑푖) 푠 = 휎 = ∑ √ = 7,28 푑(푈푟푠푝푟푢푛푔) 푑(푈푟푠푝푟푢푛푔) 푛 푖=1
Somit hat diese Wurfposition eine Streuung von bis zu 7,28cm vom Ursprung aus.
Analoge Rechenvorgänge wurden für Wurfposition 3 (siehe 4.3) durchgeführt und folgende Resultate haben sich ergeben:
푑̅ 푠푑 = 휎푑 푠d(Ursprung) = 휎푑(푈푟푠푝푟푢푛푔) 5,54 cm 3,21 cm 6,40 cm Tabelle 28: Berechnete Ergebnisse des vierten praktischen Teiles hinsichtlich des individuellen Wurfstils (Schmid) Vergleicht man die Ergebnisse zwischen dem individuellen Wurfstil und dem neu entdeckten Wurfstil so ergibt sich:
Schmid 푑̅ 푠푑 = 휎푑 푠d(Ursprung) = 휎푑(푈푟푠푝푟푢푛푔) Individuelle Position 6,55 cm 3,21 cm 7,28 cm Wurfposition 3 5,54 cm 3,24 cm 6,40 cm
Tabelle 29: Ergebnisvergleich der beiden Wurfstile im vierten praktischen Teil (Schmid)
Antwort: Vergleicht man alle Ergebnisse miteinander, so sieht man, dass die neu entdeckte Wurfposition bei Vanessa Schmid, nicht nur eine höhere aktuelle Trefferwahrscheinlichkeit liefert (siehe 4.3.3), sondern auch eine geringere Streuung hinsichtlich der Würfe auf das Bull. Dabei ist der mittlere Abstand um einen ganzen Zentimeter kürzer. Es wird durch die vorgeschlagene Wurfposition ein besseres Ergebnis erzielt.
In den folgenden Tabellen werden alle Ergebnisse der jeweiligen Werfer zusammengefasst.
Kevin Thaller
Thaller 푑̅ 푠푑 = 휎푑 푠d(Ursprung) = 휎푑(푈푟푠푝푟푢푛푔) Individuelle Position 7,89 cm 3,65 cm 8,67 cm Wurfposition 5 6,64 cm 3,71 cm 7,58 cm Tabelle 30: Ergebnisvergleich der beiden Wurfstile im vierten praktischen Teil (Thaller) 128 | S e i t e
Durchführung
Antwort: Kevin Thaller schneidet mit der Wurfposition 5 in zwei von drei Bereichen besser ab.
Alexander Novak
Novak 푑̅ 푠푑 = 휎푑 푠d(Ursprung) = 휎푑(푈푟푠푝푟푢푛푔) Individuelle Position 7,06 cm 4,3 cm 8,23 cm Wurfposition 3 6,77 cm 3,04 cm 7,4 cm Tabelle 31: Ergebnisvergleich der beiden Wurfstile im vierten praktischen Teil (Novak) Antwort: Wie bei all den anderen Kandidaten und Kandidatinnen fällt die Wurfposition mit der höchsten aktuellen Trefferquote besser aus.
Martina Brunner:
Brunner 푑̅ 푠푑 = 휎푑 푠d(Ursprung) = 휎푑(푈푟푠푝푟푢푛푔) Individuelle Position 6,72 cm 3,59 cm 7,59 cm Wurfposition 3 5,96 cm 3,05 cm 6,67 cm Tabelle 32: Ergebnisvergleich der beiden Wurfstile im vierten praktischen Teil (Brunner) Antwort: Das Ergebnis deckt sich mit den Ergebnissen der einzelnen Teilnehmer und Teilnehmerinnen
Es ist offensichtlich, dass Qualitätsmaßstäbe wie der mittlere Abstand (푑̅) bei der neuen Wurfposition bessere Ergebnisse erzielen als beim individuellen Stil. Es gilt also, dass eine Wurfposition, welche dem Körper eine hohe Ruhelage bietet, auch bei Anfängern von Vorteil ist. Dabei sollte die Körperspannung möglichst hoch sein, um den Körper möglichst wenig zu bewegen, ausgenommen vom Wurfarm, welcher locker bleiben sollte.
Andere Qualitätsmaßstäbe wären die Standardabweichungen von der x-Koordinate oder y- Koordinate. Man könnte auch die Standardabweichung von x und y gemeinsamen berechnen, welche das Ergebnis unterstreichen würden.
4.6.3. Lösungsvorgang des vierten praktischen Teils (Teil 2)
Bevor Schüler und Schülerinnen mit Teil zwei beginnen können, müssen zwei Unterrichtseinheiten bzgl. Teil zwei vermittelt werden. Im zweiten Abschnitt handelt es sich um die Auswertung der Gruppen und den Zusammenhang mit der Gaußschen Glockenfunktion.
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Durchführung
Die Wichtigkeit von Klassen Die meisten Schüler und Schülerinnen lernen die Geschichte von Gauß in der Volksschule, wo er die Summe von 1-100 in kürzester Zeit vor seiner Lehrkraft berechnen hat. Zur Normalverteilung oder auch Gaußsche Glockenfunktion genannt, gibt es keine so spannende Geschichte. Meistens wird die Gaußsche Glockenfunktion in den Schulbüchern vom Himmel geholt oder salopp mit einem: „die Formel dafür lautet …“ erklärt. Dabei wäre es viel interessanter, so eine Funktion herzuleiten bzw. den Schülern und Schülerinnen eine Möglichkeit zu präsentieren, wie Gauß auf seine Formel gekommen ist. Dies kann mit den Daten der einzelnen Teams dargestellt werden, wobei zuerst die Grundidee visualisiert werden soll.
Entsprechend dem zentralen Grenzwertsatz gilt, dass die Verteilung der Summen einzelner unabhängiger Zufallsvariablen X1 + X2 +… + Xn für ein großes n gegen eine Normalverteilung konvergiert bzw. approximativ verteilt ist. Damit liefert der zentrale Grenzwertsatz die theoretische Begründung, dass eine Zufallsvariable X gut approximativ normalverteilt ist, wenn sie durch das Kohärieren kleiner zufälliger Effekte entsteht.
(vgl. Fahrmeir et al., 2016, S. 293-295)
Den Schülern und Schülerinnen sollte klar gemacht werden, dass mit einer Wurfanzahl von 36 Darts eine approximative Normalverteilung durchführbar wäre, welche vermutlich sehr ungenau wäre. Weswegen auch die Schüler und Schülerinnen alle Würfe dieser Gruppe benützen werden, um diese Auswertung so präzise wie möglich darzustellen; insgesamt sind das 144 Würfe.
Im ersten Schritt müssen die einzelnen Wurfergebnisse in die Zufallsvariablen X, Y und D in Klassen der breite 2cm zusammengefasst werden. Dabei müssen zwei verschiedene Klassen definiert werden, wobei eine Klasse für die Auswertung der relativen Häufigkeiten von X,Y auf einem Vertikalstreifen und D über Kreisringe wirken. Die Darstellung der Normalverteilung hinsichtlich der Gleichverteilung von Kreisringen auf das Dartboard bezogen wird später noch ein wichtiges Element für die Darstellung im Diagramm. Die Tabellen würden folgendermaßen in Excel aussehen:
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Durchführung
Klassen Mitte -18 -16 -17 -14 -15 -12 -13 -10 -11 -8 -9 -6 -7 -4 -5 -2 -3 0 -1 2 1 4 3 6 5 8 7 10 9 12 11 14 13 16 15 18 17 Tabelle 33: Klassen und Mitte
Da die Klassen auf dem Board in 2 cm unterteilt sind, führt das zu einem Klassenintervall von [ -18, 18 ]. Aus dem zweiten praktischen Beispiel wissen die Akteure, dass der Radius von einem Dartboard rund 17 cm beträgt (Radius vom Punktebereich), somit wurde eine Klasse von 16 bis 18 cm gewählt. Also können Darts, die außerhalb des Punktebereichs landen, mitgemessen werden. Von den insgesamt 30 Probanden, welche sich für diese Projektarbeit gemeldet haben, ist nur ein Dart außerhalb des Punktebereichs gelandet.
Unter der Voraussetzung, dass sich die Punkte in einem Kreis gleich verteilen, kann man die Wahrscheinlichkeiten, welche den zufälligen Häufigkeitsverteilungen unterliegen, durch einen Flächenvergleich bestimmen. Für X und Y dient als Fläche wie oben erwähnt ein Vertikalstreifen, welcher wie folgt dargestellt werden kann:
Abbildung 38: Exemplar für die Flächendarstellung der Vertikalstreifen
131 | S e i t e
Durchführung
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, welches zwischen 16 und 18 liegt, kann man mit dem oben dargestellten Vertikalstreifen L17 (Mitte liegt bei 17) an der Kreisfläche (Gesamtfläche) mittels einem Integral berechnen. Dabei sollte beachtet werden, dass man nun mit einem Radius von 18 cm rechnet, also 1cm außerhalb des Punktebereiches. Folgendes ergibt für den letzten Wahrscheinlichkeitsbereich bzw. die letzte Klasse des Kreises:
퐿17 푃(16 < 푋 ≤ 18) = 2 ∙ 퐾푟푒𝑖푠푓푙ä푐ℎ푒
L17 ergibt sich durch den Satz von Pythagoras. Der Radius beträgt in diesem Fall 18 cm, so folgt:
18 2 18 2 √ 2 2 √ 2 2 ∫ 2 ∙ 푟 − 푥 푑푥 = ∫ 2 ∙ 18 − 푥 ≈ 0,02 16 휋푟 16 휋18
Der Rechenaufwand dieses Integrales sprengt den Rahmen der Oberstufe, da hier eine negative Variable unter der Wurzel steht. Somit müsste in diesem Fall eine Substitution mit trigonometrischen Funktionen stattfinden, welche in dieser Arbeit nicht näher behandelt werden. Dieses Problem lässt sich leicht mit der dynamischen Software Geogebra vermeiden. Hierbei definiert man zuerst die obige Funktionsgleichung als f(x) und anschließend gibt man folgenden Befehl ein: Integral(
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von D zerlegt man vom Mittelpunkt aus den Kreis in kleine Kreisringe (konzentrischer Kreis/ Ringe) mit der Breite von 2cm (siehe Abbildung 39)
Abbildung 39: Exemplar für die Zerlegung des Kreises in einzelne Kreisringe
132 | S e i t e
Durchführung
Wie im zweiten praktischen Teil lässt sich die Wahrscheinlichkeit für den äußersten Ring (Orange) mit der Kreisringformel berechnen:
182 ∙ 휋 − 162 ∙ 휋 푃(16 < 퐷 ≤ 18) = ≈ 0,21 182 ∙ 휋
Auch diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als Integral folgendermaßen darstellen:
1 푏 1 푃(푎 < 퐷 ≤ 푏) = (푏2 − 푎2) = ∫ 푥 푑푥 324 푎 162
Somit können die relativen Häufigkeiten mit den Wahrscheinlichkeiten verglichen werden. So ergibt sich, dass Wahrscheinlichkeiten mit denen stetige Zufallsgrößen in vorgegebenen Intervallen liegen, sich mithilfe der Integration von Funktionen berechnen lassen. Die Funktionen lassen sich als Wahrscheinlichkeitsdichten mit einer „Wahrscheinlichkeit je Intervalllänge“ interpretieren.
Die Stelle, wo die meisten Ereignisse oft auftreten, hat auch die größte Dichte. So ist die größte Dichte beim Vertikalstreifen genau dann, wenn als Wahrscheinlichkeit 1 auftritt. Dies geschieht beim Integral mit folgendem Intervall, welches sich analog wie oben mit Geogebra eingeben lässt: 푟 푟 2 √ 2 2 ∫ 푓(푥) = ∫ 2 ∙ 푟 − 푥 푑푥 = 1 −푟 −푟 휋푟 mit −푟 ≤ 푥 ≤ 푟
Die größte Wahrscheinlichkeitsdichte beim Abstand D erfolgt, wenn x= 0. So gilt für den Abstand D: 1 푓(푥) = 푥 푑푥 162 mit 0 ≤ 푥 ≤ 18 und
18 2 1 푥 18 ∫ 푥 푑푥 = | = 1 0 162 324 0
Dies ist deutlich zu erkennen, da sich einzelne Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren lassen. Dabei nimmt jede Wahrscheinlichkeit einen kleinen Flächenbereich ein und wenn man nun über die ganze Fläche integriert, so hat man alle Wahrscheinlichkeiten miteinbezogen. Daraus folgt, dass es 1 ergeben muss.
133 | S e i t e
Durchführung
Dieser Abschnitt soll veranschaulichen, wieso man das Dartboard in einzelne Klassen unterteilt. Dabei kann man bei über 100 Würfen einen realen Vergleich hinsichtlich einer Normalverteilung ansetzen, wenn man die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Intervall berechnet. Die Ergebnisse dieser Auswertung hängen von der Geschicklichkeit der jeweiligen Spieler und Spielerinnen ab.
(vgl. Riemer, Dezember 2012, S.22)
Der Dartspieler Gauß?
Die Herleitung der Normalverteilung wird in der Schule nicht behandelt bzw. meistens vom Himmel hergeholt. Dabei wäre eine Einführung bzw. Motivation hinsichtlich der Normalverteilung sehr wichtig. Das Thema der Normalverteilung wird auch in den Klassenräumen sehr ungern genau gemacht, da es sich hier um ein sprachlich genaues Thema mit vielen Eigenschaften handelt. Ferner spielen Funktionen wieder eine sehr wichtige Rolle.
Die typische Gauß-Verteilung, wie sie in den Lehrbüchern dargestellt wird, sieht folgendermaßen aus:
Die Dichte ist für jedes x 휖 ℝ durch:
1 푥−휇 2 1 − ∙( ) 2 휎 휑휇,휎2 = ∙ 푒 √2휋 ∙ 휎
(vgl. Malle et al., 2016, S. 79)
σ … Standardabweichung
μ … Erwartungswert
In diesem Abschnitt nimmt man für den Erwartungswert 0 an, da man vom Mittelpunkt (Ursprung) des Steeldartsboards ausgeht. So gilt:
1 푥 2 1 − ∙( ) 2 휎 휑0,휎2 = ∙ 푒 √2휋 ∙ 휎
Diese Gleichung könnte an der Tafel als Ziel präsentiert werden. Auf diese Form sollen die Schüler und Schülerinnen mitsamt Lehrkraft kommen.
Die Akteure versuchten, so oft wie möglich das Bull zu treffen, dabei haben sie ihre eigenen Ergebnisse interpretiert. So macht es nur Sinn, weiter darauf zu arbeiten. Hierbei geht man von zwei Annahmen aus, welche das Verständnis bzw. die Lösungsidee weiterentwickeln soll:
134 | S e i t e
Durchführung
• x und y-Koordinaten der Wurflöcher sind unabhängig voneinander und besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der unbekannten Funktionsdichte f
• die Verteilung der Trefferereignisse auf einem Steeldartboard sind rotationssymmetrisch zum Ursprung.
Aus dem ersten Punkt folgt, dass die Wahrscheinlichkeit P eines Mittelpunktes M( x;y ), welche in einem Quadrat mit der Fläche dx ∙ dy liegt, beträgt:
푃 = 푓(푥) ∙ 푑푥 ∙ 푓(푦) ∙ 푑푦
Dreht man das Koordinatensystem, wie auf der folgenden Abbildung zu sehen ist, so kann man M positionieren, dass er auf der x- Achse steht. Synchron dazu rotiert sich die y-Achse:
Abbildung 40: Der Abstand M nach der Rotation der einzelnen Achsen
So gilt nun für M ein Abstand auf der x- Achse, welcher mit √푥2 + 푦2 beschrieben wird. Daraus folgend erhält man für die Wahrscheinlichkeit P: 135 | S e i t e
Durchführung
푃 = 푓 (√푥2 + 푦2) ∙ 푑푥 ∙ 푓(0) ∙ 푑푦
Somit ergibt sich für die gesuchte Dichte folgende Gleichung:
푓(푥) ∙ 푓(푦) = 푓 (√푥2 + 푦2) ∙ 푓(0)
Definiert man eine Funktion, welche folgendes Ergebnis erfüllt: 푓(푥) 푓(̅ 푥) = 푓(0) ergibt sich automatisch daraus:
푓(̅ 푥) ∙ 푓(̅ 푦) = 푓(̅ 푥2 + 푦2)
Stellt man nun y mit x gleich (y = x) erhält man aus der obigen Gleichung:
푓(̅ 푥2) = 푓(̅ √2 ∙ 푥)
Setzt man für 푓(̅ 1) = 푎 impliziert sich aus der obigen Gleichung folgende Formel:
푓(̅ √2) = 푎2 => 푓(̅ 2) = 푎4
Draus folgt:
푓(̅ 2 ∙ √2) = 푎8 => 푓(̅ 4) = 푎16
usw.
Es ist nun ersichtlich, dass die Funktion mit 푓(̅ 푥) = 푎푥2 beschrieben werden kann. Formt man die obige Gleichung um, so gilt für 푓(푥):
푓(푥) = 푓(0) ∙ 푎푥2 .
(vgl. Riemer, Dezember 2012, S. 23)
Nun können die Schüler und Schülerinnen die Grundstruktur von der Gaußschen Glockenfunktion sehen. Für eine bessere Veranschaulichung könnte man diese auf der Tafel wie folgt illustrieren:
136 | S e i t e
Durchführung
Gauß-Verteilung Unsere Funktion
ퟏ ퟏ 풙 ퟐ − ∙( ) 푥2 흋 ퟐ = ∙ 풆 ퟐ 흈 푓(푥) = 푓(0) ∙ 푎 ퟎ,흈 √ퟐ흅 ∙ 흈
Dabei merken die Personen im Raum, dass nun die Werte für f(0) und 푎푥2 definiert werden müssen, um eine adäquate Gleichung zu bekommen.
Um herauszufinden, wie die Kreiszahl Pi in die Gleichung eingefügt wird, muss zuerst einmal für den Wert a der richtige Ausdruck gefunden werden. Hierbei wäre eine Möglichkeit Sigma folglich zu setzen:
−1 휎 = √ 2 ∙ ln(푎)
Formt man die Gleichung um, so resultiert für a folgendes Ergebnis:
1 − 푎 = 푒 2휎2
Setzt man diesen Wert nun in die Funktionalgleichung ein, so gilt:
1 − ∙푥2 푓(푥) = 푓(0) ∙ 푒 2휎2
In der Tat ähnelt hier die Gleichung schon viel eher einer Normalverteilung. Den Schülern und Schülerinnen könnte noch bekannt gegeben werden, dass sich der Exponentialwert über Differentialgleichungen mit Trennung der Variable sehr gut herleiten lässt, dies würde aber den Stoff einer AHS- Oberstufe um einiges übertreffen.
Die Konstante f(0) erhält man durch das Integrieren des gesamten Kreisringes (2휋푟). Da man hier über den gesamten Kreisring integriert und damit über die ganze Fläche, so muss die Wahrscheinlichkeit 1 ergeben. Darüber hinaus integriert man hierbei über x und y, somit wird als Abstand der Radius (r) genommen. Es ergibt sich folgendes Integral:
∞ 1 − ∙푟2 1 = 푓(0)2 ∙ ∫ 2휋푟 ∙ 푒 2휎2 푑푟 0
137 | S e i t e
Durchführung
Betrachtet man nur den Integralwert an, so lässt sich dieser Anhand eines 푟2 푑푢 푟 Substitutionsverfahrens lösen. Setzt man für 푢 = − so gilt für = − . So ist 푑푟 = 2휎2 푑푟 휎2 휎2 − 푑푢. Wendet man dies auf den oberen Integralwert an, so folgt: 푟
∞ 1 ∞ − ∙푟2 ∞ ∫ 2휋푟 ∙ 푒 2휎2 푑푟 = ∫ 2휋휎2 ∙ (−푒푢)푑푢 = −2휋휎2 ∙ (−푒푢) | = 2휋휎2 0 0 0
Daraus folgt:
1 = 푓(0)22휋휎2
Form man diese Gleichung nun für den Wert von f(0), folgt: 1 푓(0) = 휎 ∙ √2휋
Setzt man das nun in unsere Funktionalgleichung ein, so ergibt sich:
1 1 − ∙푥2 푓(푥) = ∙ 푒 2휎2 휎 ∙ √2휋
Vergleicht man das nun mit der obigen grünen Tabelle, so merkt man, dass beide Seiten nun ident sind.
Am Ende bleibt nur noch die Frage offen, ob Gauß nicht wirklich ein Dartspieler war.
(vgl. Riemer, Dezember 2012, S. 23-24)
138 | S e i t e
Durchführung
Nach all dieser Herleitung können die Akteure nun die letzten Vergleiche ansetzen und sehen, ob die Normalverteilung mit der Realität, welche sie erschaffen haben, übereinstimmt. Die Daten der Gruppe sollte den Akteuren mitsamt den Aufgaben des zweiten Teils der vierten praktischen Arbeit Klarheit verschaffen. Dabei soll angemerkt werden, dass die Lehrkraft die notwendigen Excelbefehle bekannt gibt oder nochmals präsentiert, welche im Lösungsvorgang des zweiten Teils dargestellt werden. Hierbei könnte die Lehrkraft noch ein Informationsblatt den Schülern und Schülerinnen geben.
Lösungen:
Da es hier keine individuellen Unterschiede gibt, reicht es das Ergebnis nur einmal zu präsentieren.
Gruppenaufgabe 1: Es ist die einzige Gruppenaufgabe, bei der keine Lösung der vier Reflektanten präsentiert wird, da eine Datenreihe aus 144 Einträgen sehr viel Platz einnimmt. Dies müssen auch die Schüler und Schülerinnen nicht vorweisen. Das Beispiel sollte ihnen als Hilfestellung für die anderen Gruppenaufgaben dienen.
Gruppenaufgabe 2:
Als ersten Schritt neben den 144 Einträgen sollte ganz einfach eine Liste mit Klasse und Mitte, wie oben schon erwähnt in Excel erstellt werden. Eine mögliche Darstellungsart ist in der darauffolgenden Illustration zu sehen:
Abbildung 41: Einteilung der Klassen in Excel
139 | S e i t e
Durchführung
Anschließend werden darauffolgende Spalten für die relativen Häufigkeiten von x, y und d bzgl. der einzelnen Klassen berechnet. Dies kann händisch durchgeführt werden, was einen sehr großen Aufwand aufweist. Deswegen wird hier in Excel folgender Befehl für z.B. die Koordinate x eingegeben: {=HÄUFIGKEIT(Anfangszelle der x-Koordinate: letzte Zelle der x- Koordinate;$Anfangszelle der Klasse:$letzte Zelle der Klasse)/ANZAHL(Anfangszelle der x- Koordinate: letzte Zelle der x-Koordinate)}. Während der Befehlseingabe sollten alle notwendigen Zellen markiert sein. Da dieser Befehl als Matrix eingegeben werden muss, darf nicht nur die Eingabetaste bei der Befehlseingabe gedrückt werden, sondern Strg + Umstelltaste + Eingabetaste müssen zusammengedrückt werden. Dies erfolgt analog mit y und d. Am Ende sollte die relative Häufigkeit noch in Prozenten dargestellt werden, eine mögliche Abbildung sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 42: Beispielabbildung für die berechneten relativen Häufigkeiten Die dazugehörigen Histogramme werden mit der Mitte (Klasse) und der jeweiligen relativen Häufigkeit dargestellt. So entstehen die 3 folgenden Abbildungen für die relativen Häufigkeiten von x, y und d.
140 | S e i t e
Durchführung
20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Abbildung 43: Histogramm der relativen Häufigkeiten der x-Koordinaten
20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Abbildung 44: Histogramm der relativen Häufigkeiten der y-Koordinaten
24% 22% 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
Abbildung 45: Histogramm der relativen Häufigkeiten des Abstandes d
141 | S e i t e
Durchführung
Gruppenaufgabe 3:
Die Berechnung erfolgt analog dem ersten Teil der vierten praktischen Aufgabe. Dieses Mal erhöht sich die Datenanzahl. Diese Werte können als Messwerte für die Klasse aufgefasst werden.
• Der durchschnittliche Gruppenabstand (풅̅) aus beträgt 6,48cm.
• Die empirische Standardabweichung der Koordinate x (sx) beträgt: 5,05cm.
• Die empirische Standardabweichung der Koordinate y (sy) beträgt: 5,19cm.
Zur Berechnung der empirischen Standardabweichung der Koordinaten x und y (sx-y) bzgl. des Ursprungs benötigt man einen erweiterten Befehl in Excel bzw. man muss über zwei Spalten markieren. Der Befehl dazu lautet, welcher erneut als Matrix eingegeben wird: =WURZEL(SUMME(Anfangszelle von x:Endzelle von y ^2)/ANZAHL(Anfangszelle von x:Endzelle von y )).
• Die Gesamtstandardabweichung (sx-y) beträgt bei der Projektgruppe 5,12 cm.
Gruppenaufgabe 4:
Zum Finale sollen nun die Gruppen ihre Ergebnisse mit einer Normalverteilung annähern und dabei Punkte oder eine Kurve darüberlegen. Hierbei müssen die Schüler und Schülerinnen am Anfang alle allgemeinen Wahrscheinlichkeitsdichten für x, y und d berechnen. Dies geschieht über einen Normalverteilungsbefehl in Excel. Da Excel aber nicht alle Klassen automatisch deckt, muss jeder Befehl einzeln eingegeben werden. Zuerst berechnet man folgendermaßen die einzelnen Dichten für x und y:
=NORM.VERT(Zufallsvariable;Mittelwert;Standardabweichung;kumuliert)- NORM.VERT(Zufallsvariable;Mittelwert;Standardabweichung;kumuliert)
Um die Wahrscheinlichkeit von einem Klassenintervall berechnen zu können, muss zuerst bestimmt werden, welche Parameter eingesetzt werden müssen. Die erste Zufallsvariable ist die größere Klasse. Der darauffolgende Mittelwert beträgt 0, da man vom Ursprung ausgeht bzw. auf ihn zielt. Die gewählte Standardabweichung ist 푠푥−푦 vom Ursprung aus, weil sie alle Koordinaten, welche für die Herleitung und praktische Durchführung benutzt wurden, beinhaltet. Da es sich hier um eine kumulierte Normalverteilung handelt, muss der Wert 1 (Wahr) eingegeben werden. Beim zweiten Normalverteilungsbefehl bleibt alles gleich mit Ausnahme der Zufallsvariable, welche sich hierbei zum kleineren Klassenwert ändert. Somit könnte ein Idealbeispiel für die äußerste Wahrscheinlichkeitsdichte mit den Werten aus diesem Projekt lauten:
=NORM.VERT(-16;0;5,12;1)-NORM.VERT(-18;0;5,12;1)
142 | S e i t e
Durchführung
Anmerkung: Den Eintrag für die Standardabweichung kann mit dem $ versehen werden, so dass dieser Wert immer konstant bleibt (z.B.: F$1).
Die Berechnung für die Wahrscheinlichkeit vom Abstand d geht über die Exponentialgleichung, welche in der Gauß-Verteilung enthalten ist.
1 1 − ∙푥2 푓(푥) = ∙ 푒 2휎2 휎 ∙ √2휋
In der obigen Funktionsgleichung ist der Bereich rot markiert, welcher als Befehl in Excel eingegeben werden muss. Hier ist x2 wieder die gewählte Zufallsvariable der Klasse. Bei 휎2 handelt es sich um die gesamte Standardabweichung von x und y bzgl. des Ursprungs. Der Befehl in Excel, welcher wieder einen Klassenbereich eingrenzen muss, lautet folgendermaßen:
=EXP(-(kleinereKlasse^2)/(2*Standardabweichung^2))-EXP(-(größereKlasse^2)/ (2*Standardabweichung^2) )
Wie schon für die Wahrscheinlichkeiten von x und y muss auch hier jeder Befehl einzeln eingegeben werden. Für die zukünftigen Diagramme benutzt man nur den positiven Prozentwert. Hat man nun beide Wahrscheinlichkeitsbereiche berechnet, so könnte eine Exceltabelle folgendermaßen aussehen:
Abbildung 46: Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten hinsichtlich der Normalverteilung Da alle Werte für die Normalverteilung berechnet sind, ist eine Erweiterung der oberen Histogramme mitsamt den berechneten Daten möglich. Dazu fügt man zu den oberen Histogrammdaten die Wahrscheinlichkeitsdaten hinzu und wählt bei Diagrammoptionen ein Kombinationsdiagramm aus. In den folgenden 3 Illustrationen sieht man die Normalverteilung hinsichtlich der Daten, welche bestimmt und welche praktisch ausgewertet wurden, folglich ist hier ein Vergleich zwischen Theorie und Praxis vorhanden.
143 | S e i t e
Durchführung
(vgl. Riemer, Dezember 2012, S. 24-25)
20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Abbildung 47: Histogramm der relativen Häufigkeiten der x-Koordinaten mit darüber gelegter Glockenkurve
20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Abbildung 48: Histogramm der relativen Häufigkeiten der y-Koordinaten mit darüber gelegter Glockenkurve
144 | S e i t e
Durchführung
24% 22% 20% 18% 16% 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
Abbildung 49: Histogramm der relativen Häufigkeiten des Abstandes d mit darüber gelegter Glockenkurve
Offensichtlich ist eine Annäherung an die Normalverteilung unvermeidbar. Man sieht zwischen Theorie und Praxis eine eindeutige Übereinstimmung. Freilich sind hier ein paar Verschiebung oder Ungenauigkeiten vorhanden, welche auch vom Geschick der Spieler und der Datenanzahl abhängen. Man kann mit ruhigem Gewissen behaupten, dass die Gruppe der Reflektanten eine sehr gute Arbeit geleistet hat, welche ein wunderschönes Ergebnis liefert. Nach den obigen Illustrationen darf man am Ende doch vermuten, dass Gauß ein Dartspieler oder Schützensportler war.
4.6.4. Resümee des vierten praktischen Teiles
Durch die Ergebnisse des ersten Teiles in diesem Abschnitt sollte nun die Frage „welcher Wurfstil ist besser“ für jeden individuellen Werfer oder jede Werferin beantwortet worden sein. Offensichtlich bestätigen sich somit die Theorien von Jansenberger und Lerchbarcher hinsichtlich des Wurfstils. Während der Auswertung lernen die Schülergruppen diverse Messmethoden und Interpretationsmöglichkeiten, welche sie für ihre zukünftige Karriere benötigen können, vor allem, dass der mittlere Abstand mitsamt einer dazugehörigen Standardabweichung in diesem Fall am aussagekräftigsten ist. Je geringer die Standardabweichung bzgl. des Mittelwertes ist, desto kleiner waren die Schwankungen und umso mehr ist ein Spieler konstanter. Sie unterstreicht dabei die Stärke, Konstanz und mentale Stärke eines Spielers. Dies wäre auch eine Messoption für den Profibereich, denn je geringer die Schwankungen sind, desto näher ist die Person am Ziel.
145 | S e i t e
Durchführung
Der zweite Teil bildet eine Brücke zwischen Analysis und der Stochastik. Es wird ein Zusammenhang mit den individuellen Leistungen und der allgemeinen Theorie hergestellt. Dies ermöglicht den Schülern und Schülerinnen ein einmaliges Erlebnis, welches in Schulbüchern nicht beschrieben wird. Eine Herleitung mit verschiedenen Mitteln in der Mathematik ist meistens ein komplizierter Prozess, welcher auf alten Kenntnissen ohne Realitätsbezug basiert. In diesem Fall leisten Schüler und Schülerinnen eine eigene praktische Arbeit, welche ihnen eine Annäherung zur Gaußschen Glockenkurve liefert. Interessant dabei ist, dass jede einzelne Gruppe eine eigene einzigartige Annäherung liefert. Umso wichtiger ist bei der Ergebnispräsentation eine Diskussion der einzelnen Histogramme mitsamt Kurve. Schüler und Schülerinnen haben hier die Möglichkeit, nicht nur individuelle Histogramme zu sehen, sondern auch den Einfluss der Standardabweichung auf die Kurve. In Abhängigkeit der Größe der Standardabweichung ändert sich auch die Form der jeweiligen Kurve. Je kleiner die Standardabweichung, desto eher spitzt bzw. staucht sich die Kurve zusammen. Dies gilt auch vice versa.
Dieser Abschnitt liefert den Akteuren eine Informationsflut, welche auch nach der Auswertung der eigenen Ergebnisse interpretiert werden kann. Behandelt man das Thema noch genauer, so könnte man auch diverse Trainingsvorschläge daraus ableiten wie z.B.: je spitzer die Glockenkurve zusammenfällt, desto konstanter ist ein Spieler. Somit wäre es möglich, den größten Radius mitsamt Klassen der einzelnen Messungen zu verringern, um den Spieler oder die Spielerin erneut zu fordern, bis ein gesetzter Fixwert übertroffen wird. Dies kann man bis zu einem gewünschten Radius wiederholen, um die Verbesserungen eines Spielers zu messen. Dabei sollte der mittlere Abstand gemessen werden, welcher auch ein wichtiger Indikator ist. Freilich kann das nicht alles im Unterricht gemessen werden, um einzelne Verbesserungen zu entdecken, aber es kann als Gesprächsgrundlage im Unterricht genutzt werden.
146 | S e i t e
Projektpräsentation
5. Projektpräsentation
Nach allen Datenauswertungen und Berechnungen erfolgt die Gruppenpräsentation. Schüler und Schülerinnen sollen berichten, wie es ihnen dabei ergangen ist. Es sollte zwischen der praktischen Arbeit und den einzelnen Berechnungen unterschieden werden. Anschließend präsentieren die einzelnen Gruppenmitglieder über PowerPoint oder andere Präsentationsmöglichkeiten ihre individuellen Bestleistungen und die erreichten Gruppenergebnisse. Dabei sollten besondere Auffälligkeiten erwähnt werden. Im Zuge dessen könnte auch eine Analyse der einzelnen Ereignisse beschrieben werden. Am Ende sollte jedes einzelne Mitglied und die ganze Gruppe über die subjektiven Empfindungen während der Auswertung berichten. Nach den projektorientierten Berichten sollten die Schüler und Schülerinnen der Lehrperson mitteilen, was sie aus dem Projekt mitgenommen haben.
Hinsichtlich der Ergebnisse können diese extern auf der Tafel vermerkt werden. Von jedem praktischen Teil können die individuellen Bestleistungen und Gruppenergebnisse notiert werden. Somit ist eine Wettkampfstimmung gewährleistet, dies impliziert eine gesteigerte Aufmerksamkeit. Währenddessen kann die beste Gruppe und der beste Spieler pro Abschnitt ausgewertet werden. Um an der Tafel keine endlose Anreihung von Namen aufzuschreiben, sollte von jeder Gruppe der beste Werfer pro Abschnitt genommen werden. So entstehen bei einer Klasse von 24 Teilnehmern und Teilnehmerinnen 6 Gruppenergebnisse an der Tafel und 6 individuelle Bestleistungen pro Arbeitsabschnitt. Damit kann auch die klassenbeste Gruppe und der klassenbeste Spieler und die klassenbeste Spielerin ermittelt werden.
Nach jeder einzelnen Präsentation empfiehlt sich eine Diskussion, um einzelnen Fragen und Hürden des Projektes auf den Grund zu gehen. Nach allen Präsentationen könnte eine längere Klassendiskussion erneut stattfinden, wobei sich die Lernenden ihre Fragen nach deren Präsentation oder während der Ausarbeitung des Projektes notieren sollten. Somit könnte sich der Kreis bezüglich der Fragen zum Dartssport und des Projektes schließen.
Auf der folgenden Seite werden die einzelnen Ergebnisse je Abschnitt illustriert.
147 | S e i t e
Projektpräsentation
Resultate
Im ersten Arbeitsauftrag Teil 1 gab es nur ein individuelles Ergebnis und in Teil 2 muss ein individuelles und ein Gruppenergebnis präsentiert werden. Bei den individuellen Ergebnissen wird, wie oben schon angemerkt, nur der beste Werfer oder die Werferin präsentiert.
1. praktischer Teil Teil 1 Name Gruppenname Ergebnis Individueller Wurfstil Novak -- 66,6%
Teil 2 Name Gruppenname Ergebnis Neue Wurfpsition Novak 76,66% Wahrscheinlichkeit Testgruppe 39,79% (3x zu treffen) Tabelle 34: Mögliche Tafeldarstellung der Bestleistungen des ersten praktischen Teils
Im zweiten praktischen Teil kann die durchschnittlich erreichte Punktzahl des besten Akteurs dargestellt werden und der Gruppenaverage als Gruppenergebnis.
2. praktischer Teil Name Gruppenname Ergebnis 풙̅ (푷풖풏풌풕풛풂풉풍) Brunner -- 14,97 Gruppenaverage Testgruppe 39,285
Tabelle 35: Mögliche Tafeldarstellung der Bestleistungen des zweiten praktischen Teils
148 | S e i t e
Projektpräsentation
Im dritten Teil bietet sich die aktuelle Trefferquote bei 100 Würfen sowohl bei der individuellen Leistung, als auch bei der Gruppenleistung an.
3. praktischer Teil Name Gruppenname Ergebnis 100 Würfe Novak -- 47% 100 Würfe Testgruppe 45% Tabelle 36: Mögliche Tafeldarstellung der Bestleistungen des dritten praktischen Teils
Im vierten Teil müssen wieder zwei Teile präsentiert werden. Der erste Teil kann die individuellen Leistungen mit dem durchschnittlichen Abstand und der Standardabweichung bzgl. des Ursprungs darstellen. Der zweite Teil repräsentiert die Gruppenleistung bzgl. des mittleren Gruppenabstandes und der empirischen Standardabweichung von x und y vom Ursprung aus.
4. praktischer Teil Teil 1 Name Gruppenname Ergebnis 풅̅ Schmid -- 5,54cm
풔풅(푼풓풔풑풓풖풏품) Schmid 6,40 cm Teil 2 Name Gruppenname Ergebnis 풅̅ Testgruppe 6,48cm
풔풙−풚 Testgruppe 5,12 cm Tabelle 37: Mögliche Tafeldarstellung der Bestleistungen des vierten praktischen Teils Dabei sollten auch noch die Abbildungen der einzelnen relativen Häufigkeiten mitsamt der Gaußschen Kurve dargestellt werden, um diverse Veranschaulichungen der Übereinstimmung mit der Gaußkurve im Klassenraum zu vermitteln.
149 | S e i t e
Projektevaluation
6. Projektevaluation
Die Evaluation erfolgt durch die Abgabe der Ergebnismappe, welche alle Teile beinhalten muss. Hierbei sollte sich die Lehrkraft mindestens einen Tag Zeit nehmen, um die einzelnen Interpretationen und Lösungen aller praktischen Teile zu lesen. Idealerweise wären einzelne Notizen zu den Interpretationen von Vorteil, da man diese nachher im Gruppengespräch miteinfließen lassen kann, welche ein konstruktives und flüssiges Gespräch liefern. Dazu kann jedes Gruppenmitglied bzgl. dem mathematischen Hintergrund befragt werden, um das Fachverständnis nochmals zu überprüfen. So kann eine vielfältige und transparente Evaluation starten, welche auch innerhalb der Gruppe ersichtlich ist. Es entsteht eine gleichberechtigte und faire Beurteilung innerhalb des Gespräches.
Ein anderer wichtiger Aspekt der Projektevaluation ist das Feedback zum Projekt von den Schülern und Schülerinnen. Es sollen ehrliche Meinungen mit Begründungen geteilt werden. Im Zuge dessen können die erstellten Interpretationen nochmals wiederholt und vertieft werden. Auch die Herleitung der Normalverteilung sollte nicht vergessen werden, weswegen die Akteure über diesen Abschnitt auch einen Kommentar abgeben sollen. Erfahrungsgemäß tun sich Schüler und Schülerinnen schwer mit ehrlichen Meinungen, somit sollte die Lehrkraft ihnen einen letzten Auftrag geben in Form eines Berichts. Die Schüler und Schülerinnen sollen per Computer schreiben, was ihnen am Projekt gefallen und nicht gefallen hat. Bei diesen Berichten darf kein Name stehen, sie sollen so weit wie möglich anonym abgegeben werden. Deshalb ist das Schreiben mit dem Computer umso wichtiger, so dass keine Schrifterkennung möglich ist.
Am Ende des Projektes sollte den Schülern und Schülerinnen klar sein wie kompliziert eigentlich die Berechnung einer Trefferquote ist. Nicht nur die Körperhaltung ist wichtig, sondern jeder Tag ist anders, aber auch die körperliche und mentale Belastung ändert sich damit. Folglich ändert sich die Trefferquote. Der Umgang mit diesen Veränderungen ist sehr wichtig für den Schützen. Nicht nur das Messen der Trefferquote, sondern diese auf Konstanz zu überprüfen, ist ein wichtiger Teil vom Schützensport. Unentbehrlich sind auch die Ratschläge von Profis, aber auch das individuelle Gefühl. All diese Komponenten mitsamt effizientem und diszipliniertem Training machen einen erfolgreichen Schützen aus. Letztendlich sollten die Schüler und Schülerinnen hoffentlich die Freude am Dartsport entdecken, aber auch ihre Schwierigkeiten kennen. Wer kann schon vorhersagen, vielleicht wird ein Schüler oder eine Schülerin ein Profi und zukünftig im Fernsehen zu sehen sein? Umso mehr freut man sich, wenn diese Person eine 180 wirft. Aber auch wenn sie keine wirft, wird man immer einen Satz am Spielbeginn hören: Game on!
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Abbildungsverzeichnis
7. Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Mensur Suljovic in Aktion © Lawrence Lustig ...... 9 Abbildung 2: Typisches Steeldartboard ...... 11 Abbildung 3: persönlicher Dartwurf ...... 12 Abbildung 4: Darts (Dartpfeile) und ihre Bestandteile ...... 27 Abbildung 5: Maßangaben ...... 28 Abbildung 6: Zoran Lerchbacher ...... 32 Abbildung 7: Mag. Harald Jansenberger ...... 33 Abbildung 8: Einteilung der Bereiche am Dartboard ...... 36 Abbildung 9: Konstruktionsvorschlag für eine Turnhalle ...... 38 Abbildung 10: Lösungsbeispiel ...... 48 Abbildung 11: Beispiel einer Mindmap ...... 49 Abbildung 12: Aktuelle Trefferquote von Novak bzgl. der Wurfpositionen ...... 53 Abbildung 13: Exemplar eines Baumdiagrammes mitsamt Pfadregeln ...... 54 Abbildung 14: Baumdiagramm von Novak ...... 55 Abbildung 15: Aktuelle Trefferquote von Thaller bzgl. der Wurfpositionen ...... 57 Abbildung 16: Baumdiagramm von Thaller ...... 58 Abbildung 17: Aktuelle Trefferquote von Brunner bzgl. der Wurfpositionen...... 60 Abbildung 18: Baumdiagramm von Brunner...... 61 Abbildung 19: Aktuelle Trefferquote von Schmid bzgl. der Wurfpositionen ...... 63 Abbildung 20: Zusammenfassung aller Bestleistungen bzgl. der aktuellen Trefferquote ...... 64 Abbildung 21: Baumdiagramm für das zweite Gruppenbeispiel im ersten praktischen Teil ... 65 Abbildung 22: Ein Dartboard ist nur eine Zusammensetzung von Kreisringen ...... 71 Abbildung 23: Das Steeldartboard in Form von Kreisringen ...... 76 Abbildung 24: Die erreichten durchschnittlichen Punktzahlen im Vergleich mit dem Erwartungswert ...... 82 Abbildung 25: Average Vergleich ...... 83 Abbildung 26: Das Streudiagramm von 100 Würfen (Brunner) ...... 97 Abbildung 27: Das Streudiagramm von 100 Würfen mit einer linear fallenden Trendlinie (Brunner) ...... 97
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Abbildungsverzeichnis
Abbildung 28: Das Streudiagramm von 100 Würfen mit einer linear fallenden Trendlinie (Schmid) ...... 98 Abbildung 29: Das Streudiagramm von 100 Würfen mit einer linear fallenden Trendlinie (Thaller) ...... 99 Abbildung 30: Das Streudiagramm von 100 Würfen mit einer linear fallenden Trendlinie (Novak) ...... 99 Abbildung 31: Der 95% Wahrscheinlichkeitsausgang von Frau Brunner ...... 102 Abbildung 32: Das mindestens 45 Treffer erzielt werden (Brunner) ...... 104 Abbildung 33: Genau 50 erzielte Treffer (Brunner) ...... 105 Abbildung 34: Höchstens 55 erzielten Treffer (Brunner) ...... 106 Abbildung 35: Das Millimeterpapier auf dem Dartboard fixiert ...... 118 Abbildung 36: Wurflöcher nach einem Durchgang ...... 123 Abbildung 37: Illustrierte Darstellung für die Berechnung des Abstandes ...... 125 Abbildung 38: Exemplar für die Flächendarstellung der Vertikalstreifen ...... 131 Abbildung 39: Exemplar für die Zerlegung des Kreises in einzelne Kreisringe ...... 132 Abbildung 40: Der Abstand M nach der Rotation der einzelnen Achsen ...... 135 Abbildung 41: Einteilung der Klassen in Excel ...... 139 Abbildung 42: Beispielabbildung für die berechneten relativen Häufigkeiten ...... 140 Abbildung 43: Histogramm der relativen Häufigkeiten der x-Koordinaten ...... 141 Abbildung 44: Histogramm der relativen Häufigkeiten der y-Koordinaten ...... 141 Abbildung 45: Histogramm der relativen Häufigkeiten des Abstandes d ...... 141 Abbildung 46: Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten hinsichtlich der Normalverteilung ...... 143 Abbildung 47: Histogramm der relativen Häufigkeiten der x-Koordinaten mit darüber gelegter Glockenkurve ...... 144 Abbildung 48: Histogramm der relativen Häufigkeiten der y-Koordinaten mit darüber gelegter Glockenkurve ...... 144 Abbildung 49: Histogramm der relativen Häufigkeiten des Abstandes d mit darüber gelegter Glockenkurve ...... 145
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Tabellenverzeichnis
8. Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Projektplanung mitsamt Einheitenausmaß ...... 26 Tabelle 2: Internationale Größennorm eines Dartboards laut BDO ...... 37 Tabelle 3: Arbeitsblattanhang Wurfpositionen ...... 45 Tabelle 4: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles von Aufgabe 1 (Teil 1) .. 48 Tabelle 5: Trefferanzahlzusammenfassung bzgl. Wurfpositionen (Novak) ...... 52 Tabelle 6: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles (Teil 2) von Aufgabe 1 (Novak) ...... 52 Tabelle 7: Trefferanzahlzusammenfassung bzgl. Wurfpositionen (Thaller) ...... 57 Tabelle 8: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles (Teil 2) von Aufgabe 1 (Thaller) ...... 57 Tabelle 9: Trefferanzahlzusammenfassung bzgl. Wurfpositionen (Brunner) ...... 59 Tabelle 10: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles (Teil 2) von Aufgabe 1 (Brunner) ...... 60 Tabelle 11: Trefferanzahlzusammenfassung bzgl. Wurfpositionen (Schmid) ...... 62 Tabelle 12: Ergebniszusammenfassung des ersten praktischen Teiles (Teil 2) von Aufgabe 1 (Schmid) ...... 62 Tabelle 13: Gruppenauswertung des ersten praktischen Teiles ...... 64 Tabelle 14: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles (Novak) ...... 72 Tabelle 15: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles (Thaller) ...... 73 Tabelle 16: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles (Brunner) ...... 74 Tabelle 17: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles mit Wurfposition zwei (Schmid) ..... 75 Tabelle 18: Erzielte Ergebnisse des 2. praktischen Teiles mit Wurfposition drei (Schmid) ...... 75 Tabelle 19: Reguläre Steeldartboarddimensionen ...... 76 Tabelle 20: Flächen- und Prozenanteil der möglichen Punktzahlenfelder eines Steeldartboards ...... 80 Tabelle 21: Die erzielten Treffer pro Runde in 100 Würfen von Frau Brunner ...... 96 Tabelle 22: Sigma-Regen mitsamt zutreffender Wahrscheinlichkeit ...... 101 Tabelle 23: Individuelle Ergebnisse für Aufgabe drei im 3. praktischen Teil ...... 103 Tabelle 24: Individuelle Ergebnisse für Aufgabe vier im 3. praktischen Teil ...... 106 Tabelle 25: Gruppentrefferquote Ja oder Nein ...... 108
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Tabellenverzeichnis
Tabelle 26: Ausgewertete Wurflöcher des individuellen Wurfstils von Frau Schmid ...... 124 Tabelle 27: Abstände (d) vom Ursprung ...... 126 Tabelle 28: Berechnete Ergebnisse des vierten praktischen Teiles hinsichtlich des individuellen Wurfstils (Schmid) ...... 128 Tabelle 29: Ergebnisvergleich der beiden Wurfstile im vierten praktischen Teil (Schmid) .... 128 Tabelle 30: Ergebnisvergleich der beiden Wurfstile im vierten praktischen Teil (Thaller) ..... 128 Tabelle 31: Ergebnisvergleich der beiden Wurfstile im vierten praktischen Teil (Novak) ...... 129 Tabelle 32: Ergebnisvergleich der beiden Wurfstile im vierten praktischen Teil (Brunner) ... 129 Tabelle 33: Klassen und Mitte ...... 131 Tabelle 34: Mögliche Tafeldarstellung der Bestleistungen des ersten praktischen Teils ...... 148 Tabelle 35: Mögliche Tafeldarstellung der Bestleistungen des zweiten praktischen Teils .... 148 Tabelle 36: Mögliche Tafeldarstellung der Bestleistungen des dritten praktischen Teils ...... 149 Tabelle 37: Mögliche Tafeldarstellung der Bestleistungen des vierten praktischen Teils ...... 149
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