UNIVERSITY OF PATRAS SCHOOL OF ENGINEERING DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING
ENVIRONMENTAL DATA MANAGEMENT AND DECISION SUPPORT FOR RIVER BASINS Application in Alfeios River
PhD Thesis
Eleni S. BEKRI Dipl. Civil Engineer, MSc
PATRAS 2015
The authors thank the European Social Fund (ESF), Operational Program for EPEDVM and particularly the Program Herakleitos II, for financially supporting this work.
“Since all measurements and observations are nothing more than approximations to the truth, the same must be true of all calculations resting upon them, and the highest aim of all computations made concerning concrete phenomena must be approximate, as nearly as practicable, to the truth. But this can be accomplished in no other way than by a suitable combination of more observations than the number absolutely requisite for the determination of the unknown quantities.”
Gauss, K.G. (1963) Theory of Motion of Heavenly Bodies, New York, Dover.
Dedicated
to my husband Panagiotis
and my two daughters Aimilia and Konstantina
…When you bend down and look at the waters of the Alfeios river near Olympia, their clarity is such that your face and soul are mirrored in them... The nature becomes here spirit. The clarity of waters becomes clarity of thought …
Panayiotis Kanellopoulos (1902-1986) Professor of Sociology Prime Minister of Greece
ΕΚΤΕΝΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Εισαγωγή
Η αναγκαιότητα για την ανάπτυξη και την εφαρµογή σχεδίων διαχείρισης υδρολογικών λεκανών έχει εισαχθεί στην Ευρώπη µε την Κοινοτική Οδηγία για το Νερό 2000/60/EC (WFD, 2000). Ένα από τα θεµελιώδη στάδια αυτών των σχεδίων είναι τα προγράµµατα παρακολούθησης της ποσότητας και της ποιότητας των υδατικών πόρων τους. Αυτά τα προγράµµατα είναι απαραίτητα µεταξύ άλλων για τον καθορισµό µιας συνολικής εικόνας της κατάστασης των υδάτων και για τον προσδιορισµό όχι µόνο του
επιπέδου καθορισµένων ρύπων αλλά και του ρυπαντικού τους φορτίου. Το φορτίο qij µιας ρυπαντικής ουσίας j σε µία επιλεγµένη διατοµή i ενός ποταµού µπορεί να υπολογιστεί
έµµεσα µέσω του συνδυασµού παράλληλων µετρήσεων της υδατικής παροχής Qi και της
συγκέντρωσης του εν λόγω ρύπου cij από την σχέση:
= cQq ijiij (E.1) Για µία καθολική και πλήρης εικόνα της κατάσταση των υδάτων, ποιοτικές και ποσοτικές µετρήσεις πρέπει να πραγµατοποιηθούν σχεδόν ταυτόχρονα σε κατάλληλα επιλεγµένες διατοµές καλύπτοντας όλο το εξεταζόµενο ποτάµι και τους παραποτάµους του. Ωστόσο, τροχοπέδη αποτελεί η απουσία τέτοιων οργανωµένων και συστηµατικών µόνιµων σταθµών µετρήσεων υδατικών χαρακτηριστικών από πολλά ποτάµια ανά τον κόσµο. Σε αυτήν την περίπτωση κινητά όργανα µέτρησης (π.χ. µυλίσκοι) χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό της επιφανειακής ταχύτητας ροής µε ταυτόχρονη εκτίµηση της υγρής διατοµής. Πληθώρα κινητών µεθόδων µετρήσεων παροχής έχουν αναπτυχθεί και εφαρµοστεί (WMO, 1980b, ISO 1100, 1981, 1981, 1981; Inuiguchi and Ramik, 2000). Παρά ταύτα, ο διαθέσιµος χρόνος για την πραγµατοποίηση αυτών των µετρήσεων σε πολλαπλές διατοµές σε όλο το εύρος ενός υδατορρεύµατος είναι σηµαντικά µικρότερος σε σχέση µε τον απαιτούµενο για τις προαναφερόµενες µεθόδους µετρήσεων πεδίου. Γι’ αυτόν τον λόγο καθώς και σε περιπτώσεις µειωµένου οικονοµικού προϋπολογισµού για προγράµµατα παρακολούθησης, αντιπροτείνεται η χρήση ταχέων µετρήσεων υδατοπαροχής χαµηλού κόστους και αξιοπιστίας, όπως αυτές του επιπλέοντος αντικειµένου, αναδυόµενων φυσαλλίδων αέρα και ανηρτηµένης σφαίρας (Yannopoulos, 1995; Yannopoulos et al., 2000; Yannopoulos, 2008). Ωστόσο, για χρήση αυτών των
i
µετρήσεων υδατοπαροχών απαιτείται η κατάλληλη προεπεξεργασία και διόρθωσή τους. Επιπροσθέτως, η εν λόγω Κοινοτική Οδηγία έχει εισαγάγει πολλαπλές προκλήσεις και πολυπλοκότητες όσον αφορά την διαχείριση των υδατικών πόρων. Ταυτοχρόνως, οι λεκάνες απορροής έχουν δεχθεί πληθώρα περιβαλλοντικών πιέσεων µε άµεσο επακόλουθο την µείωση των ποιοτικών και ποσοτικών τους χαρακτηριστικών. Σ’ αυτό το πλαίσιο η µείωση των διαθέσιµων, κατάλληλων προς χρήση, υδατικών πόρων έχει δηµιουργήσει συνθήκες ανταγωνισµού µεταξύ των διαφόρων χρήσεων, οδηγώντας στην ανάγκη βέλτιστης διαχείρισής τους σε επίπεδο υδρολογικής λεκάνης. Σε διάφορες χώρες, µεταξύ αυτών και αρκετές Μεσογειακές, τα απαραίτητα στοιχεία και δεδοµένα για την διαχείριση των υδατικών πόρων χαρακτηρίζονται είτε περιορισµένα και ελλιπή, είτε µειωµένης αξιοπιστίας, είτε τέλος ασαφούς και ανακριβούς φύσεως. Τέτοιας φύσεως στοιχεία µπορούν να προσεγγιστούν στο στάδιο της µοντελοποίησης µε εκτιµήσεις της µορφής διαστηµάτων τιµών (intervals). ∆εδοµένων αυτών των συνθηκών έχει παραστεί η ανάγκη ανάπτυξης και εφαρµογής µεθοδολογιών βελτιστοποίησης της διαχείρισης των υδατικών πόρων υπό συνθήκες ασαφών και ανακριβών δεδοµένων. Η έρευνα της παρούσας διδακτορικής διατριβής αποτελείται από δύο µέρη, τα οποία φιλοδοξούν να συµβάλλουν µέσω µεθοδολογικών προτάσεων και πρακτικών εφαρµογών θετικά στα δύο επιστηµονικά θέµατα που αναλύθηκαν στις παραπάνω παραγράφους και αφορούν στη διαχείριση των υδατικών πόρων. Το πρώτο µέρος στοχεύει στην ανάπτυξη του θεωρητικού, µαθηµατικού και υπολογιστικού υποβάθρου µιας πρότυπης µεθοδολογίας διόρθωσης υδατοπαροχών, που έχουν µετρηθεί µε χρήση ταχέων µεθόδων, ώστε να είναι εφικτός ο υπολογισµός πιο αξιόπιστων τιµών παροχών σε σχέση µε τις αρχικές µετρήσεις, και κατ' επέκταση και πιο αξιόπιστων ρυπαντικών φορτίων (Yannopoulos, 2009; Yannopoulos and Bekri, 2010; Bekri et al., 2012). Το δεύτερο µέρος αφορά στον συνδυασµό υπαρχουσών µεθοδολογιών και λογισµικών για την δηµιουργία και την προσαρµογή ενός κατάλληλου πλαισίου λήψεως αποφάσεων για την βέλτιστη κατανοµή των υδατικών πόρων υπό ασαφείς και ανακριβείς συνθήκες. Στόχος του είναι η εφαρµογή σε πραγµατικές λεκάνες απορροής, λαµβάνοντας υπόψη πολλαπλές θέσεις εισαγωγής υδάτων (multi-tributary) και για πολλαπλές χρονικές περιόδους (multi-period). Τέλος, και τα δύο ερευνητικά µέρη βρίσκουν εφαρµογή στην υδρολογική λεκάνη του Αλφειού Ποταµού στην ∆υτική Πελοπόννησο, η οποία περιγράφεται συνοπτικά στη συνέχεια.
ii
Συνοπτική Περιγραφή Λεκάνης Αλφειού Ποταµού
Η λεκάνη απορροής του ποταµού Αλφειού (Σχ. Ε-1) έχει έκταση 3660 km2 και αποτελεί µία από τις σηµαντικότερες υδρολογικές λεκάνες του Υδατικού ∆ιαµερίσµατος της ∆υτικής Πελοποννήσου (01) όσον αφορά την φυσική, οικολογική, κοινωνική και οικονοµική της σηµασία. Ο ποταµός Αλφειός, µε συνολικό µήκος 116 km, είναι συνεχούς ροής µε µέση παροχή 67 m3/s και µέση ετήσια απορροή που κυµαίνεται µεταξύ 1500-2100 hm3. Η λεκάνη απορροής του εκτείνεται στη ∆υτική και Κεντρική Πελοπόννησο και κατανέµεται κυρίως στις περιοχές Αρκαδία, Ηλεία και Αχαΐα, ενώ έχει διαπιστωθεί υπόγεια τροφοδότηση του παραποτάµου Λάδωνα από την περιοχή Φενεού του Νοµού Κορινθίας (230 km2) και από την περιοχή Χοτούσα ανατολικά του υδροκρίτη του Μαινάλου του Ν. Αρκαδίας (280 km2). Το µέσο ετήσιο ύψος βροχοπτώσεων στην λεκάνη απορροής είναι 1070 mm µε εύρος τιµών από 800 έως 1600 mm, ενώ ο µέσος ετήσιος όγκος υετού είναι 3852 hm3. Η µέση ετήσια θερµοκρασία στην λεκάνη είναι 19 οC µε διακύµανση τιµών µικρότερη των 16 οC. Το γεωµορφολογικό ανάγλυφο της λεκάνης χαρακτηρίζεται ως ήπιο στην παραλιακή και πεδινή ζώνη και στο εσωτερικό υψίπεδο της Μεγαλόπολης, µε οµαλή και ήπια µετάβαση στη λοφώδη και ηµιορεινή ζώνη και ως ορεινό και απότοµο στο εσωτερικό και ανατολικό τµήµα του, όπου και βρίσκονται διάφοροι ορεινοί όγκοι, όπως Ταΰγετος, Μαίναλο, κ.α. Η λεκάνη απορροής του Αλφειού ποταµού µπορεί να χωριστεί σε τρία µέρη (υπολεκάνες), την άνω υπολεκάνη (250 km2), που περιλαµβάνει το τµήµα του ποταµού Αλφειού στο οροπέδιο της Μεγαλόπολης µε κυριότερους παραποτάµους τους Λούσιο, Ελισσώνα και Ξερίλα, τη µεσαία υπολεκάνη (3048 km2), που περιλαµβάνει το ενδιάµεσο τµήµα άνωθεν του Φράγµατος Φλόκα µε κυριότερους παραποτάµους τους Σελινούντα, Κλαδέο, Ερύµανθο και Λάδωνα, και την κάτω υπολεκάνη (362 km2), που περιλαµβάνει το χαµηλό τµήµα από το Φράγµα Φλόκα έως τις εκβολές στον Κυπαρισσιακό Κόλπο µε κυριότερο παραπόταµο τον Λεστενίτσα ή Ενιπέα. Η λεκάνη έχει δεχθεί διάφορες περιβαλλοντικές πιέσεις τις τελευταίες δεκαετίες καθιστώντας αναγκαία την βέλτιστη διαχείριση των υδατικών της πόρων.
Σχήµα Ε-1. Η υδρολογική λεκάνη του Αλφειού Ποταµού αποτελούµενη από 11 υπολεκάνες σε διάφορες αποχρώσεις του γκρι. Με κόκκινες κουκίδες δίδονται οι διατοµές εξόδου των υπολεκανών (που συµπίπτουν µε τις διατοµές µετρήσεων). Με διακεκοµµένες γραµµές παρουσιάζονται οι τέσσερις κόµβοι.
Η γεωλογική δοµή της λεκάνης του Αλφειού είναι σύνθετη και πολύπλοκη. Τις ορεινές περιοχές σχηµατίζουν πετρώµατα Άλπεων (Μεσοζωικής περιόδου), τις ηµιορεινές iv
και λοφώδεις περιοχές σχηµατίζουν µεταλπικά πετρώµατα (Τριτογενούς περιόδου) και τις χαµηλού υψοµέτρου κοιλάδες δοµούν πρόσφατες αποθέσεις ιζηµάτων (Τεταρτογενούς περιόδου). Το έδαφος στη λεκάνη του Αλφειού συνίσταται από αλουβιακές αποθέσεις, αποτελούµενες από άµµους, χαλίκια και κροκάλες, καθώς επίσης και από νεογενή ιζήµατα που χαρακτηρίζονται από ασυνέχεια και ανοµοιογένεια, µε επακόλουθο την εµφάνιση επάλληλων υπό πίεση υδροφόρων οριζόντων. Σε µερικές περιοχές παρατηρούνται αυξηµένα επίπεδα σιδήρου και µαγγανίου, που καθιστούν τα υπόγεια νερά ακατάλληλα για ύδρευση. Τα πιο σηµαντικά κατασκευαστικά έργα που αφορούν τη διαχείριση των υδατικών πόρων του Αλφειού Ποταµού φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. Οι βασικές χρήσεις νερού στην λεκάνη περιλαµβάνουν: (1) την παραγωγή υδροηλεκτρικής ενέργειας στον Λάδωνα σε συνδυασµό µε τον αντίστοιχο ταµιευτήρα και το φράγµα, (2) την άρδευση κυρίως γύρω από το Φράγµα του Φλόκα (20 km ανάντη της εκβολής του ποταµού στον Κυπαρισσιακό κόλπο), (3) την παραγωγή υδροηλεκτρικής ενέργειας στο µικρό υδροηλεκτρικό εργοστάσιο του Φλόκα και (4) την ύδρευση της περιοχής του Πύργου και των όµορων ∆ήµων από τον παραπόταµο του Αλφειού Ποταµού, Ερύµανθο.
Πίνακας Ε.1 Έργα Υποδοµής στην υδρολογική λεκάνη του Αλφειού Ποταµού
Έτος Έργο - ∆ραστηριότητα Φράγµα βαρύτητας Παραποτάµου Λάδωνα στα Τρόπαια (τεχνητή λίµνη: επιφάνεια 4 km2, 1951 ωφέλιµος όγκος αποθήκευσης 46.2×106 m3, λεκάνη απορροής 749 km2, ύψος φράγµατος 50 m). Υδροηλεκτρικός σταθµός Λάδωνα 8620 m κατάντη του φράγµατος (δύο υδροστρόβιλοι × 34.5 1955 MW τύπου FRANCIS). Κατασκευή αναχωµάτων στην κάτω λεκάνη του Ποταµού Αλφειού (µήκος × πλάτος 8.6 km × 1965 250 m). Έναρξη οργανωµένης αµµοχαλικοληψίας από κοίτη Ποταµού Αλφειού στην κάτω υπολεκάνη. Αποξήρανση λιµνών Αγουλινίτσας και Μουριάς. Αρδευτικά έργα στην κάτω λεκάνη του Αλφειού (160 km2). 1967 Αρδευτικό Φράγµα Φλόκα (φράγµα εκτροπής για άρδευση µέγιστης παροχής 13 m3/s περίπου). Έργα προστασίας (κυρίως αναχώµατα) στη µεσαία λεκάνη του Αλφειού (περιοχή Αρχαίας Ολυµπίας). Λειτουργία ατµοηλεκτρικού σταθµού (ΑΗΣ) ∆ΕΗ στην περιοχή της Μεγαλόπολης (δύο 1971 µονάδες × 150 MW). 1975 Λειτουργία µίας επί πλέον µονάδας 300 MW στον ΑΗΣ Μεγαλόπολης. 1989 Λειτουργία µίας επί πλέον µονάδας 300 MW στον ΑΗΣ Μεγαλόπολης. 2002 Εκτροπή κοίτης ποταµού Αλφειού στην περιοχή Μεγαλόπολης για εξόρυξη λιγνίτη. 2000 Μικρό υδροηλεκτρικό εργοστάσιο στην Λαµπεία (∆ίβρη) µε µέγιστη ικανότητα 1.3 MW 2010 Μικρό υδροηλεκτρικό εργοστάσιο στο Φράγµα Φλόκα µε µέγιστη ικανότητα 6,594 MW Εγκατάσταση καθαρισµού νερού και σύστηµα διανοµής από τον Ερύµανθο Ποταµό για την 2011 ύδρευση του Πύργου και των όµορων δήµων µε συνολική ικανότητα 2,000 m3/h και 7,000 κατοίκων.
Πρώτο µέρος: Μεθοδολογία διόρθωσης ταχέων µετρήσεων υδατοπαροχής
Εισαγωγή
Στην παρούσα διδακτορική διατριβή προτείνεται µια πρότυπη µεθοδολογία διόρθωσης ταχέων µετρήσεων υδατοπαροχής µε στόχο τον υπολογισµό πιο αξιόπιστων παροχών σε σχέση µε τις αρχικές µετρήσεις, και κατ’ επέκταση πιο αξιόπιστων ρυπαντικών φορτίων. Η µεθοδολογία στηρίζεται στις εξισώσεις διατήρησης του όγκου του νερού καθώς και της µάζας του ρύπου εφαρµοζόµενες ταυτοχρόνως, τόσο σε όλους τους µονούς ανεξάρτητους κόµβους ισορροπίας ενός ποταµού, όσο και σε όλους τους δυνατούς συνδυασµούς διαδοχικών κόµβων (ανά δύο, ανά τρείς, κτλ.). Απαραίτητη προϋπόθεση για την εφαρµογή της είναι να υπάρχουν διαθέσιµες παράλληλες µετρήσεις υδατοπαροχής και ρυπαντικών ουσιών ή φυσικών δεικτών σε αντιπροσωπευτικές διατοµές καθ’ όλο το µήκος του κυρίως ποταµού και των παραποτάµων του. Το βασικό εννοιολογικό πλαίσιο της προτεινόµενης µεθοδολογίας είναι παρόµοιο µε αυτό του επιστηµονικού πεδίου του «συνταιριάσµατος δεδοµένων» (data reconciliation), αφού επιδιώκεται η διόρθωση των αρχικών µετρήσεων βάσει των αρχών διατήρησης του όγκου και της µάζας. Οι κλασσικές τεχνικές του «συνταιριάσµατος δεδοµένων» περιλαµβάνουν συνήθως την επίλυση µε την χρήση στατιστικών προσεγγίσεων, οι οποίες προϋποθέτουν γνωστή την ακρίβεια των µετρήσεων. Οι βασικές δυσκολίες της στατιστικής αυτής γνώσης είναι ότι η περιγραφή των διαδικασιών και των αλληλεπιδράσεών τους, που επηρεάζουν τις µετρήσεις, δεν είναι πάντα απολύτως γνωστές, καθώς και ότι η στατιστική ακρίβεια των µετρήσεων δεν µπορεί να ποσοτικοποιηθεί µε ακρίβεια. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις, υπάρχει η εµπειρική γνώση για τις µετρήσεις και το σφάλµα µέτρησής τους, η οποία παρά το γεγονός ότι δεν είναι ακριβής, µπορεί να διατυπωθεί υπό µορφή διαστηµάτων τιµών. Η παρούσα µεθοδολογία δεν απαιτεί την ρητή γνώση της στατιστικής κατανοµής των σφαλµάτων µέτρησης των παροχών, καθώς χρησιµοποιεί διαστήµατα τιµών (intervals) εκφράζοντας τα άνω και κάτω όρια τιµών τους µέσω σφαλµάτων (error bounds), ώστε να προσδιορίσει το επιτρεπόµενο εύρος τιµών των διορθωµένων παραµέτρων µε βάση τις αρχικές µετρήσεις. Η λογική αυτή χρησιµοποιείται στο επιστηµονικό υποπεδίο του «συνταιριάσµατος δεδοµένων», το οποίο αναφέρεται στην βιβλιογραφία ως «εκτίµηση συστήµατος παραµέτρων µε χρήση ορίων σφαλµάτων» (parameter set estimation from bounded error data) (Milanese and Belforte, 1982; Ragot and Maquin, 2004). Σε αυτή την περίπτωση vi
γίνεται η υπόθεση ότι όλοι οι τύποι σφαλµάτων ανήκουν σε γνωστό πεδίο τιµών και ότι το σφάλµα µέτρησης είναι δεσµευµένο και οριοθετηµένο (bounded). Όπως αναλύεται στις εν λόγω εργασίες, λόγω της έλλειψης ακρίβειας καθώς και της επιρροής θορύβου, δεν είναι εφικτός ο υπολογισµός των τιµών των παραµέτρων µε ακρίβεια, αλλά φαίνεται πιο λογικός ο υπολογισµός ενός πεδίου τιµών µέσα στο οποίο εµπεριέχονται και οι πραγµατικές τιµές του συστήµατος. Πιο συγκεκριµένα, µια παρόµοιας λογικής εργασία µε την παρούσα προτεινόµενη µεθοδολογία είναι αυτή των Mandel et al. (1998) από τον τοµέα των χηµικών µηχανικών. Όλες οι µεταβλητές εκφράζονται ως διαστήµατα εµπιστοσύνης καταλήγοντας σε άνω και κάτω όρια τιµών. Επιπροσθέτως, µια ανώτατη και κατώτατη επιτρεπόµενη απόκλιση από την ισορροπία της µάζας λαµβάνεται υπόψη, συµπληρώνοντας το σύστηµα των περιορισµών. Όλες αυτές οι πληροφορίες στηρίζονται στην εµπειρική γνώση της διαδικασίας και του πιθανότερου πεδίου διακύµανσης των τιµών των εξεταζόµενων παραµέτρων. Το διαµορφωµένο σύστηµα ανισοτήτων επιλύεται µε την χρήση της τεχνικής του Γραµµικού Μητρώου Ανισοτήτων (Linear Matrix Inequality), η οποία καθορίζει αν το εν λόγω σύστηµα ανισοτήτων έχει εφικτή και δυνατή λύση και υπολογίζει µία λύση του. Βασικές διαφορές της παρούσας µεθοδολογίας είναι, πρώτον, η διάταξη του µαθηµατικού προβλήµατος µε την µορφή προβλήµατος βελτιστοποίησης και όχι συστήµατος ανισοτήτων (όπως θ’ αναλυθεί ακολούθως) και, δεύτερον, ότι το σύστηµα των περιορισµών περιλαµβάνει επιπροσθέτως την έκφραση των ανισοτήτων των πεδίων τιµών της κάθε µεταβλητής έχοντας αντικαταστήσει την εν λόγω µεταβλητή από την ισοδύναµη έκφρασή της µέσω των εξισώσεων διατήρησης του όγκου και της µάζας, εκφρασµένων όχι µόνο για την ισορροπία του µονού ανεξάρτητου κόµβου, αλλά και όλων των δυνατών συνδυασµών ισορροπίας των διαδοχικών κόµβων. Με αυτόν τον τρόπο οι διορθωµένες τιµές ικανοποιούν στο µέγιστο δυνατό βαθµό όλες τις εν λόγω εξισώσεις.
∆ιακριτοποίηση λεκάνης απορροής και προϋποθέσεις εφαρµογής της µεθοδολογίας
Η παρούσα µεθοδολογία βασίζεται στη διακριτοποίηση µιας υδρολογικής λεκάνης µέσω του ορισµού διαδοχικών κόµβων καλύπτοντας όλο το µήκος του κυρίως ποταµού καθώς και των παραποτάµων. Ο κάθε κόµβος αποτελείται από κατάλληλα επιλεγµένες διατοµές, στις οποίες λαµβάνουν χώρα µετρήσεις ποιοτικών και ποσοτικών χαρακτηριστικών. Επιπλέον, κάθε κόµβος συνδέεται µε το γειτονικό του µέσω της κοινής τους εφαπτόµενης διατοµής, η οποία για τον ανάντη κόµβο αποτελεί διατοµή εξόδου και
για τον κατάντη διατοµή εισόδου. Οι θέσεις των διατοµών είναι επιλεγµένες έτσι, ώστε να εξασφαλίζεται ότι οι διατοµές βρίσκονται αρκετά κοντά µεταξύ τους ώστε να ελαχιστοποιούνται οι ενδιάµεσες εισροές υδάτων. Παράλληλα, οι διατοµές πρέπει να απέχουν κατάλληλη απόσταση µεταξύ τους, ώστε να επιτρέπουν την επίτευξη συνθηκών πλήρους ανάµειξης των συγκεντρώσεων των ρύπων από ενδιάµεσες σηµειακές πηγές ρύπανσης, εξασφαλίζοντας στις θέσεις των εν λόγω διατοµών οµοιοµορφία πλευρικών και κατακόρυφων συγκεντρώσεων. Επιπλέον, για την εφαρµογή της µεθοδολογίας γίνεται η παραδοχή ότι οι συνθήκες κατά τις οποίες πραγµατοποιήθηκαν οι µετρήσεις αναφέρονται στις µέσες υδραυλικές συνθήκες ροής που συνήθως επικρατούν στην περιοχή µελέτης υπό µόνιµες (steady-state) συνθήκες ροής (Schmidt et al., 2012) (όπως π.χ. µε απουσία µεταβατικών φαινοµένων ροής, µεταβαλλόµενης αντιρροής, αλλαγές στην γεωµετρία των διατοµών µετρήσεων, κτλ.).
Περιορισµοί µε βάση την διατήρηση του όγκου νερού
Στην παρούσα µεθοδολογία η εξίσωση διατήρησης του όγκου νερού σ’ ένα µονό
ανεξάρτητο κόµβο (k Σχήµα Ε-2) στον οποίο συµπεριλαµβάνονται nk εν συνόλω διατοµές
(i=1,nk) µπορεί να γραφτεί ως εξής, αγνοώντας σε αυτό το στάδιο την παρουσία σφαλµάτων µέτρησης (Yannopoulos and Bekri, 2010):
− nk 1 +±= 1 ∑ i λ QQQQ nk (Ε.2) i=2 k
Για τα µεγέθη (παροχή, συγκέντρωση και φορτίο) αναφερόµενα σε όλες τις
ενδιάµεσες εισροές ή εκροές στον κόµβο πέραν των κύριων (Q1 και Qnk) χρησιµοποιείται ο δείκτης int όπως φαίνεται ακολούθως (σχέση (Ε.3)) και προκύπτει τελικώς η σχέση (Ε.4):
− nk 1 ±= int ∑ i QQQ λk k i=2 (Ε.3)
= +QQQ (Ε.4) 1 k nint k
Οι µετρηµένες ποσότητες της παροχής σε µία διατοµή ( i 1,nk) συµβολίζονται
αντιστοίχως ως Qi. Σε κάθε µονό ανεξάρτητο κόµβο λαµβάνεται υπόψη µία άγνωστη, µη άµεσα µετρηµένη ποσότητα. Αυτός ο άγνωστος όρος αναφέρεται ως λανθάνουσα ποσότητα, αφού δεν έχει µετρηθεί άµεσα. Γίνεται, δε, η υπόθεση ότι αντιστοιχεί σε viii
απορροή από την υπολεκάνη που βρίσκεται ανάµεσα στις διατοµές εξόδου των
υπολεκανών, των οποίων η απορροή εισρέει στον κόµβο (διατοµές µε i=2, nk) και της διατοµής εξόδου (διατοµή µε i=1) από τον κόµβο k. Η επιφάνειά της στο Σχήµα Ε-2 αντιστοιχεί στην χρωµατισµένη επιφάνεια µε κίτρινο. Η λανθάνουσα παροχή από την επιφάνεια δεν µπορεί να υπολογιστεί µε ακρίβεια, αλλά µόνο µία χονδρική εκτίµηση είναι δυνατή µε βάση τις επιφάνειες των υπολοίπων υπολεκανών απορροής και της συνολικής επιφάνειας που περικλείεται από τον εξεταζόµενο κόµβο. Τέλος, το µοντέλο υπολογισµού
της λανθάνουσας παροχής Qλk βασίζεται στη διατήρηση του όγκου του νερού σε επίπεδο µονού ανεξάρτητου κόµβου kόπως, φαίνεται ακολούθως:
Παραπόταµος 2 Παραπόταµος nk-2
Κόµβος k Κυρίως ποτάµι
Παραπόταµος i Κυρίως ποτάµι
Παραπόταµος 1
nk = ∑ () ± Qλk m i QQ 1 i = 2 (Ε.5)
Σχήµα Ε-2. Σχηµατοποίηση ενός µονού ανεξάρτητου κόµβου k αποτελούµενου από τις διατοµές (i=1 έως nk=N όπου nk=Ν το σύνολο των διατοµών), όπου i=1 αντιστοιχεί στην διατοµή εξόδου από τον κόµβο και i>1 αντιστοιχεί στις εισρέουσες διατοµές.
Ωστόσο, οι µετρήσεις παροχών Qi εµπεριέχουν σφάλµατα, τα οποία µετατρέπουν τις εξισώσεις ισορροπίας σε ανισότητες. Λαµβάνοντας υπόψη τα σφάλµατα µέτρησης, οι
διορθωµένες/ βελτιστοποιηµένες τιµές της παροχής συµβολίζονται ως Xi για κάθε διατοµή i (i=1,nk), οι οποίες θα προκύψουν από την µεθοδολογία διόρθωσης, και Xλk για την λανθάνουσα ποσότητα του κόµβου( k k=1,K, όπου Κ είναι ο συνολικός αριθµός µονών ανεξάρτητων κόµβων που έχουν καθοριστεί στο εξεταζόµενο υδατόρρευµα). Το πεδίο
τιµών των Xi θεωρείται ότι οριοθετείται συναρτήσει των αρχικών µετρήσεων Qi και των
υποτιθέµενων σφαλµάτων µέτρησής τους εi, ορίζοντας τις ακόλουθες ανισότητες:
≤ Q (10 − ε ) ≤ ≤ QX (1 + ε ) ii iii (Ε.6)
Στη διατήρηση όγκου του νερού εισάγεται ένας όρος που εκφράζει την τιµή της
απόκλισης από τη µηδενική ισορροπία QD k (για πλήρη ικανοποίηση της ισορροπίας
DQk=0), καθώς και ένας όρος για την ελάχιστη και µέγιστη επιτρεπόµενη απόκλιση από τη µηδενική ισορροπία:
( +−= XXXDQ ) k 1 intk nk (Ε.7) − nk 1 += int ∑ i XXX λk k i=2 (Ε.8) − DevQ ≤ DQ ≤ + DevQ k (Ε.9)
Μπορούµε να εκφράσουµε τη σχέση (Ε.6) αντικαθιστώντας σε αυτήν το ισοδύναµο
των διορθωµένων παροχών Xi από τη σχέση (Ε.7). Με αυτόν τον τρόπο για κάθε διατοµή του ποταµού προστίθενται στο σύστηµα των περιορισµών ανισότητες µε βάση την ισορροπία του όγκου του νερού εκφρασµένη, τόσο για τους µονούς ανεξάρτητους κόµβους όσο και για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς διαδοχικών κόµβων. Για παράδειγµα, για
τη διατοµή εξόδου X1 (Σχήµα Ε-2) και για την περίπτωση έκφρασης της εξίσωσης διατήρησης για τον µονό κόµβο προκύπτει η εξής διπλή ανισότητα:
Q (1 ε ) QXXDQ (1 +≤++≤− ε ) (Ε.10) 11 k int k nk 11
Η σχέση (Ε.10) γράφεται αντιστοίχως για την εν λόγω διατοµή i=1 τόσες φορές όσες οι εξισώσεις διατήρησης του όγκου νερού, οι οποίες περιλαµβάνουν αυτήν τη διατοµή.
Περιορισµοί µε βάση τη διατήρηση της µάζας του ρύπου
Προχωρούµε ακολούθως στην ανάλυση του δεύτερου συνόλου περιορισµών, που βασίζονται στη διατήρηση της µάζας του ρύπου. Στην προτεινόµενη µεθοδολογία λαµβάνονται υπόψη οι συγκεντρώσεις m τον αριθµό κατάλληλα επιλεγµένων ρυπαντικών ουσιών ή φυσικών δεικτών, οι οποίοι έχουν µετρηθεί µε αρκετά καλή ακρίβεια, και συνεπώς έχουν χαµηλά και γνωστά σφάλµατα µέτρησης. Επιπλέον, µπορούν να επιλεχθούν µόνο ρύποι ή φυσικοί δείκτες, οι οποίοι µπορούν να θεωρηθούν σταθεροί και x
συντηρητικοί και δεν θα υποστούν διάσπαση ή οποιαδήποτε άλλη αντίδραση (φυσική, βιολογική ή χηµική) κατά την πορεία του ρύπου µέσα στην περιοχή του κόµβου/ κόµβων που έχουν οριστεί στην παρούσα µεθοδολογία. Είναι αξιοσηµείωτο το γεγονός ότι όταν οι ρύποι ή οι φυσικοί δείκτες µετρώνται µε µεγάλη ακρίβεια, η ακρίβεια µέτρησης των παροχών είναι η κρισιµότερη παράµετρος στον υπολογισµό των φορτίων ρύπανσης και αποτελούν τη µεγαλύτερη πηγή σφαλµάτων (NCSU, 2008). Μέσα σ’ αυτό το πλαίσιο οι εξισώσεις ισορροπίας της µάζας, αγνοώντας τα σφάλµατα µέτρησης, για το µονό ανεξάρτητο κόµβο (k Σχήµα Ε-2) γράφονται ως εξής:
= + qqq → 1 k njintj k (Ε.11) += cQcQcQ 11 kk kk jnnjintintj
όπου:
− nk 1 →±= int ∑ ij qqq λkj k j i=2 − (Ε.12) nk 1 ±= jintint ∑ iji cQcQcQ λλ kjk kk i=2
Οι µετρηµένες ποσότητες της συγκέντρωσης του ρύπου και του συσχετιζόµενου
φορτίου ρύπανσης ενός ρύπου ή φυσικού δείκτη j σε µία διατοµή i (1,nk) συµβολίζονται
αντιστοίχως ως cij, qij. Λαµβάνοντας υπόψη τα σφάλµατα µέτρησης των συγκεντρώσεων
ζj, γίνεται η θεώρηση ότι οι διορθωµένες τιµές των συγκεντρώσεων cc ij µιας διατοµής i
(1,nk) ενός ρύπου ή δείκτη j κινούνται στο πεδίο τιµών [cij(1-ζj), cij(1+ζj)]. Επίσης,
θεωρείται ότι οι τιµές των ζj είναι ίσες µε τις τιµές που δίνονται από τους κατασκευαστές των οργάνων µέτρησης, ενώ στην µεθοδολογία συµπεριλαµβάνονται ρύποι ή δείκτες µε χαµηλό σφάλµα µέτρησης (≤20%). Όπως φαίνεται από την σχέση (Ε.11), οι περιορισµοί που στηρίζονται στην ισορροπία της µάζας του ρύπου, ως συνάρτηση του γινοµένου των παροχών και των συγκεντρώσεων, είναι µη γραµµικοί και συνθέτουν ένα διγραµµικό σύστηµα ανισοτήτων (bilinear system of inequalities). Στην προτεινόµενη µεθοδολογία προκειµένου να ξεπεραστεί αυτή η µη γραµµικότητα του συστήµατος, υιοθετείται η µεθοδολογία γραµµικοποίησης των διγραµµικών περιορισµών όπως αναλύεται στην εργασία των Mandel et al. (1998). Πιο συγκεκριµένα προτείνεται µία επαναληπτική επίλυση (iterative solution), η οποία βασίζεται στην ιδέα της αποζευγάρωσης/ διαχωρισµού (decoupling)
χρησιµοποιώντας µεταξύ δύο διαδοχικών επαναληπτικών βηµάτων του αλγορίθµου την επί µέρους συµβολή των δύο αυτών παραµέτρων. Κάθε µη γραµµικός περιορισµός εκφράζεται δύο φορές: πρώτον, θεωρώντας τις παροχές ως σταθερές, γνωστές και ίσες µε τις διορθωµένες τιµές του προηγούµενου βήµατος και ότι µόνο οι συγκεντρώσεις είναι οι άγνωστες µεταβλητές και, δεύτερον, θεωρώντας το αντίστροφο. Με αυτόν τον τρόπο χτίζεται ένα σύστηµα γραµµικών περιορισµών. Στο πρώτο βήµα του επαναληπτικού αλγορίθµου απαιτούνται οι αρχικές τιµές των παροχών και των συγκεντρώσεων, τόσο των µετρηµένων διατοµών όσο και των διατοµών χωρίς µετρήσεις (όροι συσχετιζόµενοι µε την λανθάνουσα παροχή). Για τις πρώτες (διατοµές µε µετρήσεις) λαµβάνονται υπόψη οι µετρήσεις που πραγµατοποιήθηκαν, εφόσον αυτές δεν περιλαµβάνουν µεγάλα συστηµατικά σφάλµατα µέτρησης (gross errors). Για τις δεύτερες (διατοµές χωρίς µετρήσεις), οι αρχικές εκτιµήσεις τους προκύπτουν από τις σχέσεις ισορροπίας σε επίπεδο µονού κόµβου, όπως η σχέση (Ε.5). Αντίστοιχα µε τη σχέση αυτή, γράφεται και η ισορροπία της µάζας του ρύπου, η οποία επιλύεται ως προς τη λανθάνουσα συγκέντρωση:
− nk 11 ∑ cQcQ ijij ±= i=2 cλkj (Ε.13) Qλk
Αυτή η διαδικασία περιλαµβάνει έναν αριθµό επαναληπτικών βηµάτων µέχρι την επίτευξη σύγκλισης των τιµών των διορθωµένων παροχών και συγκεντρώσεων προς σταθερές τιµές µεταξύ δύο βηµάτων ή µέχρι την επίτευξη µιας αρκούντως µικρής απόκλισης των εν λόγω τιµών µεταξύ δύο διαδοχικών βηµάτων. Προσθέτοντας, στην κάθε µία από τις δύο γραµµικοποιηµένες διατυπώσεις της διατήρησης ισορροπίας της µάζας του ρύπου, έναν όρο που εκφράζει την τιµή της
απόκλισης από τη µηδενική ισορροπία DqXkj, και DqCkj, καθώς και έναν όρο για την ± ελάχιστη και µέγιστη επιτρεπόµενη απόκλιση από τη µηδενική ισορροπία DevDqX kj και ± DevDqCkj , οι περιορισµοί για τον µονό ανεξάρτητο κόµβο k µπορούν να γραφούν ως εξής:
= − + cXcXcXDqX kj 11 kk kk jnnjintintj (E.14) +−= ccQccQccQDqC kj 11 kk kk jnnjintintj (E.15) − DevDqX DqX +≤≤ DevDqX kj kj kj (E.16)
xii
− DevDqC DqC +≤≤ DevDqC kj kj kj (E.17)
Οι σχέσεις (Ε.14) και (Ε.15) γράφονται αντιστοίχως και για τις ισορροπίες όλων των δυνατών συνδυασµών διαδοχικών κόµβων (συνδυασµοί ανά 2 έως K κόµβων). Με βάση τα παραπάνω, προστίθενται στο σύστηµα του προβλήµατος βελτιστοποίησης και περιορισµοί για τα φορτία αντίστοιχοι της σχέσης (Ε.10). Για την διατοµή εξόδου i=1 (Σχήµα Ε-2) και για την περίπτωση του µονού ανεξάρτητου κόµβου k προκύπτουν οι εξής περιορισµοί:
( )cQ (11 ζε ) ( )cQXcXcDqX (11 ++≤++≤−− ζε ) 111 jj k njnintjintkj kkk 111 jj (Ε.18) ( −ε )cQ (11 −ζ )≤ + + ≤ ( +ε )cQQccQccDqC (11 +ζ ) 111 jj k intjintkj k njn kk 111 jj (E.19)
Σε αυτό το σύστηµα περιορισµών προστίθεται και η αντικειµενική συνάρτηση, η οποία περιλαµβάνει την ελαχιστοποίηση των αθροισµάτων των απόλυτων τιµών δύο όρων: (α) των υπολοίπων/αποκλίσεων των εξισώσεων διατήρησης του όγκου νερού και της µάζας του ρύπου για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς κόµβων ισορροπίας και (β) των διαφορών των τιµών των δύο γραµµικοποιηµένων εκφράσεων των εξισώσεων διατήρησης της µάζας του ρύπου για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς κόµβων ισορροπίας. Μιας τέτοιας µορφής αντικειµενική συνάρτηση οδηγεί σε διορθωµένες τιµές παροχής και συγκεντρώσεων που ικανοποιούν στο µέγιστο δυνατό βαθµό τις διπλές εξισώσεις ισορροπίας όγκου νερού και µάζας ρύπων. Υπολογίζονται, λοιπόν, πιο αξιόπιστες και αντιπροσωπευτικές τιµές των µεταβλητών σε σχέση µε τις αρχικές τους µετρήσεις. Επίσης, σε αυτό το πλαίσιο διαµόρφωσης του προβλήµατος βελτιστοποίησης, το σύνολο των υπολοίπων των εξισώσεων διατήρησης εισάγεται στην αντικειµενική συνάρτηση, έτσι ώστε όταν ένας περιορισµός του προβλήµατος παραβιάζεται µέσα στην αποδεκτή περιοχή αποκλίσεων, αυτή η απόκλιση να έχει θετική αριθµητική συµβολή στην αντικειµενική συνάρτηση ίση µε την ποσότητα της απόκλισης (το άθροισµα των αποκλίσεων). Συνεπώς, µιας και η αντικειµενική συνάρτηση ελαχιστοποιείται, όσο µεγαλύτερη είναι η απόκλιση αυτή τόσο µεγαλώνει η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης, και µπορεί να µεταφραστεί και σαν ποινή (penalty). Οµοίως και για τον δεύτερο όρο, η µη µηδενική διαφορά ανάµεσα στη διπλή γραµµικοποιηµένη έκφραση των εξισώσεων διατήρησης της µάζας του ρύπου εισάγεται ως θετική, δηλαδή ως ποινή, στην αντικειµενική συνάρτηση.
Ποιοτική ανάλυση των µετρήσεων και καθορισµός περιθωριακών τιµών
Πριν από την εφαρµογή της µεθοδολογίας διόρθωσης, απαιτείται µία πρώτη ποιοτική ανάλυση των µετρήσεων των παροχών µε στόχο να εκτιµηθεί εάν µία ή περισσότερες µετρήσεις περιλαµβάνουν µεγάλα συστηµατικά σφάλµατα (gross errors) και αν υπάρχουν περιθωριακές τιµές (outliers). Ο λόγος για αυτό το στάδιο ελέγχου είναι ότι η διαδικασία του «συνταιριάσµατος δεδοµένων» µπορεί να υποστεί ανεξέλεγκτες επιδράσεις αν δεν εντοπιστούν και αποµακρυνθούν οι περιθωριακές τιµές (Mandel et al., 1998; Narasimhan and Jordache, 2000). Η παρουσία περιθωριακών τιµών στις µεθοδολογίες που στηρίζονται στα οριοθετηµένα σφάλµατα και σε συστήµατα ανισοτήτων εκπεφρασµένα σε διαστήµατα τιµών, όπως η παρούσα µεθοδολογία, καθώς και αυτή των Ragot and Maquin (2004), οδηγεί σε µη εφικτή λύση, λόγω του ότι οι ανισότητες δεν είναι πλέον συµβατές µεταξύ τους και δεν έχουν κοινή περιοχή τιµών κατά την κοινή τους επίλυση.
Αναγνώριση προβληµατικών κόµβων
Στην προτεινόµενη µεθοδολογία η αρχική εκτίµηση της λανθάνουσας παροχής κάθε κόµβου προκύπτει από την σχέση (Ε.5) µε βάση την ισορροπία του όγκου νερού στον εν λόγω κόµβο, και αντιστοίχως η αρχική εκτίµηση των συγκεντρώσεων των διατοµών χωρίς µετρήσεις από την σχέση (Ε.13). Με βάση αυτές τις δύο ποσότητες (παροχή και συγκέντρωση) στην διατοµή χωρίς µετρήσεις, εκτελείται ο έλεγχος τεσσάρων σηµείων για την αναγνώριση των κόµβων που πιθανότατα περιλαµβάνουν διατοµές µε περιθωριακές τιµές, καθώς και για τον εντοπισµό των διατοµών αυτών και την αναθεώρηση των µετρηµένων τιµών τους µε νέες αρχικές τιµές. Αυτά τα τέσσερα σηµεία περιλαµβάνουν: (α) Την αξιολόγηση του µεγέθους της απόλυτης τιµής της λανθάνουσας παροχής µε βάση τη σύγκριση της υπολογισµένης τιµής της και µιας χονδρικής εκτίµησης του επιτρεπόµενου πεδίου τιµών της. Αυτό το πεδίο τιµών µπορεί να οριοθετηθεί, είτε από εµπειρική γνώση, είτε µε βάση την στατιστική επεξεργασία µέσων µηνιαίων χρονοσειρών απορροής των γειτονικών λεκανών µε παρόµοια χαρακτηριστικά και αναλογική (ως προς την επιφάνεια της λεκάνη απορροής) µεταφορά των µηνιαίων ελαχίστων και µεγίστων τιµών τους στην σχετική υπολεκάνη. (β) Την εξέταση του προσήµου της υπολογισµένης λανθάνουσας παροχής σε σχέση µε την εκτίµηση αν η λανθάνουσα παροχή εισρέει ή εκρέει στον κόµβο που αντιστοιχεί. (γ) Την αξιολόγηση του µεγέθους των εκτιµηµένων συγκεντρώσεων των
xiv
εξεταζόµενων ρύπων και δεικτών για τις διατοµές χωρίς µετρήσεις (που αντιστοιχούν στις διατοµές των λανθανουσών παροχών). Μια τέτοια διατοµή για κάθε κόµβο βρίσκεται µέσα στην γενικότερη λεκάνη απορροής και γίνεται η υπόθεση ότι η συγκέντρωση των ρύπων που αντιστοιχούν σε αυτήν µπορεί να λάβει τιµές από µηδέν έως τη µέγιστη καταγεγραµµένη τιµή της συγκέντρωσης του συγκεκριµένου ρύπου πολλαπλασιαζόµενη
µε το αντίστοιχο σφάλµα µέτρησης maxcij×(1+ζj). (δ) Τέλος, την εξέταση του προσήµου της εκτιµηµένης συγκέντρωσης των ρύπων που αντιστοιχούν στις διατοµές χωρίς µετρήσεις. Είναι αποδεκτές µόνο θετικές τιµές, επειδή µόνον αυτές έχουν φυσική σηµασία. Σε αντίθετη περίπτωση, στο πρώτο βήµα του επαναληπτικού αλγορίθµου διερευνώνται αλλαγές των µετρηµένων συγκεντρώσεων των υπόλοιπων διατοµών του κόµβου εντός των επιτρεποµένων ορίων τους, ώστε να προκύψει εφικτή λύση του προβλήµατος βελτιστοποίησης. Κατά την εφαρµογή του προτεινόµενου αλγορίθµου στον Αλφειό Ποταµό, προστίθεται ακόµη ένα σηµείο ελέγχου, το οποίο αφορά στην ηλεκτρική αγωγιµότητα. Η αγωγιµότητα έχει µετρηθεί µε δύο διαφορετικά όργανα µέτρησης και η κάθε µία λαµβάνεται ως ξεχωριστός δείκτης. Ωστόσο σε κάθε διατοµή, οι δύο αυτές τιµές της ηλεκτρικής αγωγιµότητας δε µπορεί να διαφέρουν περισσότερο από 15% µεταξύ τους, επειδή εκφράζουν εκτιµήσεις της ίδιας παραµέτρου. Για αυτόν τον λόγο, πριν ακόµη εφαρµοστεί ο έλεγχος των τεσσάρων σηµείων, που προαναφέρθηκε, απαιτείται ο έλεγχος των µετρήσεων αγωγιµότητας. Σε περίπτωση µη ικανοποίησης της συνθήκης του ±15%, οι αρχικές τιµές των συγκεντρώσεων των διατοµών του κόµβου προσαρµόζονται κατάλληλα εντός των επιτρεποµένων ορίων τους ώστε να ικανοποιούν την εν λόγω συνθήκη.
Εντοπισµός διατοµών µε περιθωριακές τιµές και αναθεώρηση µετρήσεων
Στην προτεινόµενη επαναληπτική διαδικασία βελτιστοποίησης, τα άνω και κάτω όρια των προς βελτιστοποίηση µεταβλητών, τα οποία αποτελούν το δεξί τµήµα των ανισοτήτων, εκφράζονται µε βάση τις µετρήσεις και τα υποτιθέµενα σφάλµατα µέτρησής τους. Στο αριστερό τµήµα των περιορισµών, στο οποίο περιλαµβάνονται οι µεταβλητές του προβλήµατος βελτιστοποίησης, για τους συντελεστές (coefficients) των µεταβλητών που συσχετίζονται µε τις προβληµατικές διατοµές (µε την παρουσία περιθωριακών τιµών µετρήσεων) χρησιµοποιούνται στο πρώτο βήµα του αλγόριθµου αναθεωρηµένες τιµές παροχών αντί για τις µετρήσεις ώστε να προκύψει εφικτή και καθολική λύση (global optimum solution).
Μετά από τον καθορισµό των προβληµατικών κόµβων, λαµβάνει χώρα ο εντοπισµός των διατοµών που δηµιουργούν το πρόβληµα στους εν λόγω κόµβους. Το τελικό βήµα είναι ο υπολογισµός/προσέγγιση των αναθεωρηµένων τιµών τους. Σ’ αυτήν τη µεθοδολογία προτείνεται η ακόλουθη διαδικασία. Για κάθε διατοµή κάθε κόµβου µπορεί να γίνει µία γενική εκτίµηση του µεγέθους του σφάλµατος µέτρησης της παροχής µε βάση την εµπειρική γνώση που αποκτήθηκε κατά την εκτέλεση των µετρήσεων (π.χ. µε βάση τα γεωµετρικά και µορφολογικά χαρακτηριστικά της διατοµής και τις δυσκολίες µετρήσεων σε σχέση µε την αξιοπιστία και την ακρίβεια της µέτρησης). Με αυτόν τον τρόπο η κατηγοριοποίηση του σφάλµατος σε µικρό, µεσαίο ή µεγάλο για κάθε διατοµή είναι εφικτή, καθώς και η κατηγοριοποίηση των σφαλµάτων της κάθε διατοµής ως προς τις υπόλοιπες (π.χ. το σφάλµα µέτρησης της διατοµής i=1 είναι µεγαλύτερο από της διατοµής i=2, κ.τ.λ.). Οι διατοµές µε τα µεγαλύτερα σφάλµατα είναι αυτές που οι µετρήσεις τους τίθενται προς αναθεώρηση. Για αυτές τις διατοµές πρέπει να προσδιοριστούν άνω και κάτω όρια του εύρους διακύµανσης των τιµών τους για τους µήνες που πραγµατοποιήθηκαν οι µετρήσεις. Αυτό µπορεί να γίνει, όπως στην περίπτωση του Αλφειού Ποταµού, µε χρήση της στατιστικής ανάλυσης µηνιαίων χρονοσειρών απορροής ή µε εµπειρική γνώση. Με βάση αυτό γίνεται η υπόθεση ότι οι αναθεωρηµένες τιµές των παροχών των προβληµατικών διατοµών βρίσκονται µέσα σε αυτά τα εκτιµηµένα πεδία τιµών και λαµβάνονται τρεις τιµές προς εξέταση: η ελάχιστη, η µέση (ή και εναλλακτικά η µέτρηση, αν είναι µέσα στο πεδίο τιµών) και η µέγιστη τιµή. Με βάση αυτές τις τρεις τιµές, εξετάζονται όλοι οι δυνατοί συνδυασµοί τιµών για τον εν λόγω κόµβο και είτε γίνονται αποδεκτοί, είτε απορρίπτονται, αναλόγως µε την συµβατότητά τους ή µη, µε βάση τα τέσσερα προαναφερόµενα σηµεία ελέγχου (µέγεθος και πρόσηµο) των ποσοτήτων της παροχής και της συγκέντρωσης των διατοµών χωρίς µετρήσεις.
Υπολογιστικό πλαίσιο εφαρµογής της µεθοδολογίας
Ο προτεινόµενος αλγόριθµος βελτιστοποίησης κτίσθηκε χρησιµοποιώντας την προχωρηµένη γλώσσα προγραµµατισµού του ολοκληρωµένου υπολογιστικού πακέτου µαθηµατικής βελτιστοποίησης LINGO (Schrage, 1997; Lindo Systems Inc., 1996). Επιλέχθηκε επειδή διαθέτει αποτελεσµατικά και αξιόπιστα (robust) υπολογιστικά εργαλεία για το κτίσιµο και την επίλυση προβληµάτων µαθηµατικής βελτιστοποίησης. Προκειµένου να µπορεί να χρησιµοποιηθεί το παρόν υπολογιστικό εργαλείο, χωρίς να απαιτείται η οποιαδήποτε εξοικείωση του χρήστη µε το LINGO, η αλγοριθµική διαδικασία xvi
πραγµατοποιείται στο Microsoft Excel 2010, το οποίο µέσω OLE Automation Links ανταλλάσσει δεδοµένα και αποτελέσµατα µε το LINGO. Ο κώδικας του αλγορίθµου στο LINGO έχει γενική µορφή και απαιτεί µόνο την εισαγωγή των τιµών των δεδοµένων (µετρήσεις και σφάλµατα) από το Excel για κάθε εξόρµηση. Τέλος, το σύνολο των υπολογιστικών διαδικασιών για τα δεδοµένα εισαγωγής ή για τα ενδιάµεσα στάδια από βήµα σε βήµα στον επαναληπτικό αλγόριθµο πραγµατοποιείται µέσω VBA macros. Για την επίλυση του γραµµικού προβλήµατος βελτιστοποίησης, το LINGO από το σύνολο των ενσωµατωµένων πακέτων επίλυσης (built-in solvers) επιλέγει τον γραµµικό επιλυτή για γραµµικά προβλήµατα βελτιστοποίησης και πιο συγκεκριµένα την µέθοδο primal simplex.
Εφαρµογή µεθοδολογίας στον Αλφειό Ποταµό: Περιοχή µελέτης και συνθήκες µετρήσεων
Η µεθοδολογία, που αναλύθηκε παραπάνω, εφαρµόζεται στον Αλφειό Ποταµό, για τον οποίο υπάρχουν παράλληλες ταχείες µετρήσεις παροχής και µετρήσεις φυσικών δεικτών και ρύπων. Όπως φαίνεται στο Σχήµα Ε-1, η λεκάνη του περιλαµβάνει έντεκα κατάλληλα επιλεγµένες διατοµές (ώστε να εξασφαλίζονται οι προϋποθέσεις που αναλύθηκαν στο θεωρητικό µέρος της µεθοδολογίας) κατά µήκος της κυρίας κοίτης του και των πιο σηµαντικών παραποτάµων του, καλύπτοντας όλες τις σηµαντικές εισροές νερού και ρύπων στο σύστηµα. Από τις έξι συνολικά εξορµήσεις µετρήσεων παροχής και φυσικοχηµικών παραµέτρων που έλαβαν χώρα στα πλαίσια του Προγράµµατος Πυθαγόρας ΙΙ από την οµάδα του Εργαστηρίου Τεχνολογίας του Περιβάλλοντος του Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών, µόνο τέσσερις έδωσαν τα απαραίτητα και κατάλληλα στοιχεία για την εφαρµογή της µεθοδολογίας διόρθωσης. ∆ύο εξορµήσεις απορρίφθηκαν, επειδή οι µετρήσεις έλαβαν χώρα υπό µεταβαλλόµενες συνθήκες ροής λόγω µεταβολών λειτουργίας του υδροηλεκτρικού σταθµού του Λάδωνα. Για κάθε εξόρµηση από το σύνολο των φυσικοχηµικών παραµέτρων που µετρήθηκαν και εξετάστηκαν ως προς την καταλληλότητά τους για χρήση στην εν λόγω µεθοδολογία, επιλέχθηκαν τελικώς η ηλεκτρική αγωγιµότητα µε µετρήσεις από δύο διαφορετικά όργανα -2 (µε ζ1≤0.10), η συγκέντρωση των ανιόντων θειικών (SO4 ) (µε ζ2≤0.15) και η - συγκέντρωση των ανιόντων χλωρίου (Cl ) (ζ3≤0.15), ως οι καταλληλότεροι δείκτες και ρύποι (Ziabras and Tasias, 1992). Η επιλογή αυτή επιβεβαιώνεται και από την εργασία των Kim et al. (2002), στην οποία εξετάστηκε η χηµική συµπεριφορά των κύριων ανόργανων ιόντων του ποταµού Μankyung στη Νότια Κορέα. Οι συγκεντρώσεις χλωρίου και θειϊκών,
καθώς και η συνολική συγκέντρωση των κύριων κατιόντων και η ηλεκτρική αγωγιµότητα, βρέθηκε ότι ελέγχονται από την ανάµειξη, αποδεικνύοντας τη συντηρητική συµπεριφορά τους, όµοια µε αυτή των ιόντων χλωρίου. Αντιθέτως η αλκαλικότητα και η συγκέντρωση των νιτρικών καθορίζεται από άλλες διαδικασίες αντιδράσεων πέραν της ανάµειξης, όπως φωτοσύνθεση, αναπνοή και αποσύνθεση της οργανικής ύλης. Επίσης, η ηλεκτρική αγωγιµότητα θεωρείται καλός δείκτης εκτίµησης των ολικών ανόργανων διαλελυµένων στερεών (Ο∆Σ) στην υδατική στήλη (Eaton et al., 1995; Allan and Reyeros de Castillo, Maria Magdalena, 2007). Η συγκέντρωση των Ο∆Σ προκύπτει από το άθροισµα των ανιόντων και των κατιόντων που διαλύονται στο νερό και θεωρείται ένα έµµεσο µέτρο αξιολόγησης της υδατικής ποιότητας. Η ηλεκτρική αγωγιµότητα είναι ανάλογη της συγκέντρωσης Ο∆Σ και µπορεί να χρησιµοποιηθεί στις εξισώσεις ισορροπίας της µάζας ως ένας ρύπος. Κατά την εφαρµογή της επαναληπτικής διαδικασίας βελτιστοποίησης, παρατηρείται ότι σε κάθε βήµα του αλγόριθµου η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης µειώνεται µέχρι το σηµείο που µηδενίζεται εντελώς. Μετά από αυτό το βήµα, παρατηρείται ότι η διαδικασία εγκλωβίζεται ανάµεσα σε δύο λύσεις που εµφανίζονται εναλλασσόµενες σε διαδοχικά βήµατα. Σε αυτήν την περίπτωση απαιτείται η εισαγωγή επιπρόσθετων περιορισµών που οριοθετούν τη διαφορά τιµών των βελτιστοποιηµένων µεταβλητών µεταξύ δύο διαδοχικών βηµάτων (step bounds) (Edgar et al., 2001). Με αυτόν τον τρόπο οδηγείται ο αλγόριθµος στην αναζήτηση λύσης σε πιο κοντινή περιοχή τιµών. Σ’ αυτήν την εργασία η τιµή των ορίων του επιτρεπόµενου βήµατος καθορίζεται µε δοκιµές.
Συνοπτικά αποτελέσµατα και συµπεράσµατα
Με βάση εκτενή βιβλιογραφική διερεύνηση, ο συνδυασµός των εξισώσεων διατήρησης του όγκου του νερού και της µάζας των ρύπων σε ένα σύστηµα κόµβων ενός ποταµού µε την χρήση οριοθετηµένων σφαλµάτων, όπως αναλυτικώς περιγράφθηκαν στην προτεινόµενη µεθοδολογία, δεν έχει αναπτυχθεί ή εφαρµοστεί µέχρι αυτήν τη στιγµή για τη διόρθωση µετρήσεων παροχής και στη συνέχεια για υπολογισµό πιο αξιόπιστων φορτίων, ενώ υπάρχουν παρόµοιες τεχνικές συνταιριάσµατος δεδοµένων µε εφαρµογή σε πεδία χηµικών µηχανικών και «process engineering». Η εν λόγω µεθοδολογία εφαρµόστηκε µε επιτυχία στον Αλφειό Ποταµό, στον οποίον υπάρχουν αποσπασµατικές και περιορισµένες ποιοτικές και ποσοτικές µετρήσεις. Μέσω της εφαρµογής αυτής κατέστη εφικτή: xviii
(α) Η εκτίµηση των διορθωµένων/βελτιστοποιηµένων τιµών των παροχών, των συγκεντρώσεων των ρύπων, καθώς και των ρυπαντικών τους φορτίων για τους οχτώ συνδυασµούς αρχικών τιµών των παροχών (όπως αυτές προέκυψαν από την ποιοτική ανάλυση των µετρήσεων και τη µεθοδολογία εντοπισµού και αναθεώρησης των περιθωριακών τιµών – Πίνακας 2.17), (β) Ο εντοπισµός ενός διαστήµατος τιµών µέσω της καλύτερης/χειρότερης περίπτωσης (best/worst case) ή, µε άλλα λόγια, µέσω της ελάχιστης και µέγιστης τιµής από τους οχτώ εξεταζόµενους συνδυασµούς, καθώς και του αντίστοιχου σφάλµατος του εν λόγω διαστήµατος ως προς την µέση τιµή του για τις διορθωµένες παροχές, συγκεντρώσεις και ρυπαντικά φορτία του συνόλου των διατοµών του κυρίως ποταµού και των παραποτάµων του, στις οποίες έχουν πραγµατοποιηθεί οι µετρήσεις, και (γ) η εκτίµηση των άγνωστων µη άµεσα µετρήσιµων παραµέτρων, που περιλαµβάνουν την παροχή, τις συγκεντρώσεις και τα ρυπαντικά φορτία σε κάθε οριζόµενο κόµβο. Επιπροσθέτως, η µεθοδολογία έδωσε ικανοποιητικά αποτελέσµατα µε σηµαντικά χαµηλότερα σφάλµατα για τις διορθωµένες παροχές. Με βάση τα αποτελέσµατα (Πίνακας 2.21) επιτεύχθηκε ο περιορισµός των σφαλµάτων των τιµών των διορθωµένων παροχών για όλες τις διατοµές όπου υπήρχαν µετρήσεις. Το σχετικό σφάλµα ως προς την µέση τιµή του διαστήµατος κυµαίνεται από 2% έως 5%, ήτοι πολύ περιορισµένο διάστηµα τιµών και µε χαµηλά σφάλµατα σε σχέση µε το αντίστοιχο που προκύπτει από τις µετρήσεις και τα θεωρούµενα σφάλµατά τους (5% έως 100%). Για τις διορθωµένες τιµές των συγκεντρώσεων, τα υπολογισµένα διαστήµατα τιµών είναι µειωµένα, αλλά όχι σηµαντικά, αφού τα σφάλµατα µέτρησης των συγκεντρώσεων είναι a priori πολύ µικρά µε βάση τις προϋποθέσεις της µεθοδολογίας. Το σχετικό σφάλµα των διορθωµένων λανθανουσών παροχών είναι σηµαντικά µεγαλύτερο και µε ευρύτερο διάστηµα τιµών (2% έως 74%) σε σχέση µε αυτό των διατοµών µε µετρήσεις. Παρ’ όλα αυτά, αξίζει να σηµειωθεί ότι ο καθορισµός της υποθετικής άγνωστης, µη άµεσα µετρήσιµης ποσότητας, καθώς και η εκτίµηση των διορθωµένων τιµών της, έστω και αν είναι σχετικά ανακριβής, είναι πολύ σηµαντική και χρήσιµη, αφού η άµεση µέτρηση είναι αδύνατη. Πέραν τούτου, µε βάση τα αποτελέσµατα αξίζει να τονιστεί ότι ο συνδυασµός των εξισώσεων διατήρησης του όγκου του νερού και της µάζας του ρύπου για τους επί µέρους κόµβους και σε όλους τους δυνατούς συνδυασµούς πολλαπλών διαδοχικών κόµβων,
κατέληξε σε σηµαντική µείωση των ακρότατων τιµών των διαστηµάτων των παροχών σε όλες τις διατοµές του Αλφειού Ποταµού. Το σύνολο των διαστηµάτων τιµών που προέκυψαν για τις δύο βασικές µεταβλητές του προβλήµατος βελτιστοποίησης, της παροχής και της συγκέντρωσης, βρίσκονται σε πλήρη συµβατότητα µε τα αποτελέσµατα της ποιοτικής ανάλυσης. Για την διατοµή 8 στον Λάδωνα Ποταµό, η τιµή της µέσης ηµερήσιας παροχής του υδροηλεκτρικού σταθµού του Λάδωνα (=36.75 m3/s, Πίνακας 2.7) περιλαµβάνεται µέσα στο υπολογισµένο διάστηµα τιµών της διορθωµένης παροχής στη εν λόγω διατοµή (35.7, 38.25) m3/s, γεγονός το οποίο αποτελεί έναν έµµεσο τρόπο επαλήθευσης της εγκυρότητας των αποτελεσµάτων της µεθοδολογίας διόρθωσης. Με βάση τις διορθωµένες παροχές και συγκεντρώσεις (Πίνακα 2.21 και Πίνακες 2.28 - 2.30) για τους οκτώ συνδυασµούς αρχικών τιµών των παροχών (Πίνακας 2.17), υπολογίστηκαν οκτώ τιµές διορθωµένων ρυπαντικών φορτίων για κάθε διατοµή και για κάθε εξεταζόµενο ρύπο ή δείκτη (Πίνακες 2.34 - 2.36). Για λόγους σύγκρισης, οι ελάχιστες και µέγιστες τιµές των ρυπαντικών φορτίων µε βάση τις µετρήσεις και τα θεωρούµενα
σφάλµατά τους καθορίστηκαν από το διάστηµα (Qi(1-εi)×cij(1-ζj)Qi, Qi(1+εi)×cij(1+ζj)). Από αυτά τα αποτελέσµατα προκύπτει το γενικό συµπέρασµα ότι τα διορθωµένα ρυπαντικά φορτία έχουν σηµαντικά χαµηλότερα σφάλµατα, δηλαδή τα διαστήµατα τιµών τους είναι πολύ περιορισµένα σε σχέση µε αυτά που προκύπτουν από τις µετρήσεις για όλες τις µετρηµένες διατοµές. Προχωρώντας τώρα στην αξιολόγηση των ρυπαντικών φορτίων (που αντιστοιχούν στις διατοµές των µη µετρηµένων λανθανουσών παροχών), το σχετικό σφάλµα τους για το σύνολο των εξεταζόµενων ρύπων/δεικτών είναι αρκετά υψηλό και αντίστοιχης τάξης µεγέθους µε αυτά που προέκυψαν για τα διορθωµένα ρυπαντικά φορτία µε βάση τις µετρήσεις για τις µετρηµένες διατοµές. Οι πιο υψηλές τιµές των ρυπαντικών φορτίων εµφανίζονται στις διατοµές 6, 3 και 1 κατά µήκος του κυρίως ποταµού, γεγονός που αιτιολογείται από το ότι δέχονται τις εισροές από τις ανάντη υπολεκάνες του Αλφειού Ποταµού και των αντιστοίχων παραποτάµων του. Οι υψηλότερες τιµές των φορτίων, που αντιστοιχούν στις διατοµές χωρίς µετρήσεις, για τα ολικά διαλελυµένα στερεά έχουν υπολογιστεί στον δεύτερο και τον τέταρτο κόµβο, ενώ για τα θειϊκά στον δεύτερο και τον τρίτο κόµβο. Περαιτέρω διερεύνηση του υπολογισµού των ρυπαντικών φορτίων ως γινοµένου δύο µεταβλητών, ώστε να επιτρέπει την καλύτερη δυνατή στατιστική τους ανάλυση, αποτελεί πιθανό στόχο µελλοντικών ερευνών. Η άµεση επιβεβαίωση της προτεινόµενης µεθοδολογίας διόρθωσης µέσω της
xx
σύγκρισής της µε ακριβείς µετρήσεις παροχής δεν είναι δυνατή λόγω απουσίας τέτοιων απαιτούµενων µετρήσεων. Γι’ αυτόν τον λόγο, η εγκυρότητα της µεθοδολογίας εξασφαλίζεται µε έµµεση επαλήθευση των αποτελεσµάτων µε αυτά που προκύπτουν από την µη γραµµική επίλυση των εξισώσεων διατήρησης της µάζας εκάστου ρύπου. Το µη γραµµικό πακέτο του LINGO χρησιµοποιείται προκειµένου να βρεθούν οι εν λόγω λύσεις. Στην περίπτωση της διαµόρφωσης της παρούσας µεθοδολογίας διατηρώντας τις µη γραµµικές ανισότητες, δεν απαιτείται η εισαγωγή αρχικών τιµών για τις παροχές και τις συγκεντρώσεις, παρά µόνο οι αρχικές τιµές των ποσοτήτων για τις οποίες δεν υπάρχουν µετρήσεις, και χρησιµοποιούνται οι οχτώ συνδυασµοί τιµών που προέκυψαν. Με βάση αυτήν τη σύγκριση συµπεραίνεται ότι τα διαστήµατα τιµών που προκύπτουν από το µη γραµµικό µοντέλο βρίσκονται σε παρόµοια, αλλά όχι ακριβώς ίδια περιοχή τιµών µε αυτές του γραµµικού µοντέλου, έχοντας µια κοινή περιοχή τιµών. Για παράδειγµα, στη διατοµή i=8 στο Λάδωνα, η επίλυση του γραµµικού προβλήµατος βελτιστοποίησης δίνει τις τιµές διορθωµένων παροχών (Min, Mean, Max)=(36.84, 38.03, 38.99) m3/s και η αντίστοιχη περιοχή του µη γραµµικού µοντέλου είναι (Min, Mean, Max)=(35.70, 36.34, 38.25) m3/s. Το διάστηµα τιµών της γραµµικής επίλυσης τέµνεται στο µεγαλύτερο τµήµα του µε αυτό της µη γραµµικής, αποδεικνύοντας τη συνέπεια και τη συµβατότητα των αποτελεσµάτων τους. Γενικώς, τα διαστήµατα τιµών από τη µη γραµµική προσέγγιση είναι λίγο πιο διευρυµένα. Ακολούθως, έλαβε χώρα έλεγχος γραµµικότητας του συστήµατος που συνθέτουν οι
µετρήσεις (Qi) και οι διορθωµένες τιµές (Xi) µέσω του στατιστικού ελέγχου υποθέσεων της κατανοµής t (Hypothesis t-test paired with two tails), µε στόχο τη διερεύνηση ισχύος της γραµµικής σχέσεως. Η µηδενική υπόθεση εκφράζεται µε βάση την κλίση της ευθείας που
προκύπτει από τη γραµµική παρεµβολή µεταξύ των Qi (x-άξονας) και Xi (y-άξονας) (Η0:
β1=1), ενώ η εναλλακτική υπόθεση είναι Η1: β1ǂ1. Με βάση τις διορθωµένες τιµές των παροχών για τους οκτώ συνδυασµούς που εξετάστηκαν, δεν απορρίπτεται η µηδενική
υπόθεση Η0 σε επίπεδο σηµαντικότητας 0.01. Και οι οκτώ τιµές της κλίσης β1 από την γραµµική παρεµβολή είναι πολύ κοντά στη µονάδα µε διάστηµα τιµών (0.951, 0.980) για το γραµµικό µοντέλο και (0.951, 0.991) για το µη γραµµικό. Συνεπώς, συµπερασµατικά ο προτεινόµενος αλγόριθµος υπολογίζει βελτιστοποιηµένες τιµές των παραµέτρων οι οποίες δεν είναι υποεκτιµηµένες ή υπερεκτιµηµένες ως προς τις µετρήσεις. Συνεπώς, οι λύσεις της µεθοδολογίας είναι συµβατές και σε συµφωνία µε τις µετρήσεις. Τέλος, σε κάθε περίπτωση κρίνεται αναγκαίο και προτείνεται ως µελλοντικό
αντικείµενο µελέτης, η περαιτέρω διερεύνηση της άµεσης σύγκρισης της µεθοδολογίας διόρθωσης µε µετρήσεις ακριβείας. Η εφαρµογή του προτεινόµενου µαθηµατικού και µεθοδολογικού πλαισίου δεν περιορίζεται µόνο σε ποτάµια µε ή χωρίς παραποτάµους, αλλά σε οποιαδήποτε άλλη εφαρµογή που περιλαµβάνει τη δυνατότητα παράλληλων µετρήσεων παροχών και µάζας ή συγκεντρώσεων ρύπων που µπορούν να εκφραστούν µέσω των εξισώσεων διατήρησής τους. Συνεπώς, η παρούσα µεθοδολογία θα µπορούσε να αποτελέσει ένα χρήσιµο, αποτελεσµατικό και απαραίτητο εργαλείο για την εφαρµογή προγραµµάτων παρακολούθησης ποιοτικών και ποσοτικών χαρακτηριστικών, µε στόχο την αύξηση της αξιοπιστίας σε αποδεκτά επίπεδα της εκτίµησης γρήγορων µετρήσεων παροχών, των συγκεντρώσεων και των ρυπαντικών φορτίων.
∆εύτερο µέρος: Βέλτιστη κατανοµή υδατικών πόρων υπό αβέβαιες συνθήκες συστήµατος
Εισαγωγή
Η βέλτιστη κατανοµή των υδατικών πόρων συνιστά πολλαπλή πρόκληση λόγω των διαφόρων αβεβαιοτήτων και ασαφειών, που συσχετίζονται µε το υδατικό σύστηµα, τις παραµέτρους του και τους παράγοντες που το επηρεάζουν, καθώς και µε τις αλληλεπίδράσεις τους. Αυτές οι αβεβαιότητες σε πολλές περιπτώσεις είναι αποτέλεσµα διαφόρων πολυπλοκοτήτων σχετικά µε την ποιότητα και την ποσότητα των πληροφοριών (Li et al., 2009). Τα τυχαία χαρακτηριστικά των φυσικών διαδικασιών (π.χ. βροχόπτωση και κλιµατική αλλαγή) και των συνθηκών του συστήµατος (π.χ. υδατικές εισροές, υδατική παροχή, ικανότητες αποθήκευσης και περιβαλλοντικές απαιτήσεις), τα σφάλµατα στις εκτιµήσεις των παραµέτρων των µοντέλων (π.χ. παράµετροι για τα οφέλη και το κόστος), η ασάφεια της αντικειµενικής συνάρτησης και των περιορισµών συνιστούν πηγές αβεβαιότητας. Αυτές οι αβεβαιότητες µπορεί να περιλαµβάνονται, είτε στο δεξί σκέλος (ως σταθερές), είτε στο αριστερό σκέλος (ως µεταβλητές µε τις σταθερές τους) των περιορισµών καθώς και στην αντικειµενική συνάρτηση. Το σύνολο των προαναφερόµενων µεταβλητών µπορεί να εκφραστεί µε τη µορφή τυχαίων µεταβλητών (random variables). Ωστόσο σε κάποιες περιπτώσεις η ποσότητα και η ποιότητα της πληροφορίας για κάποιες από αυτές τις µεταβλητές δεν επαρκεί για να προσδιοριστούν οι στατιστικές τους κατανοµές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, κάποια τυχαία γεγονότα µπορούν να ποσοτικοποιηθούν υπό την µορφή διαστηµάτων τιµών (intervals),
xxii
είτε µε ντετερµινιστικά είτε µε ασαφή άνω και κάτω όρια, οδηγώντας σε πολλαπλούς τύπους αβεβαιοτήτων (Li et al., 2010b). Οι παραδοσιακές µέθοδοι βελτιστοποίησης αδυνατούν να συµπεριλάβουν µεταβλητές µη ντετερµινιστικές, µε άµεση συνέπεια να τίθενται εν αµφιβόλω τα αποτελέσµατά τους, όταν τα δεδοµένα εισαγωγής του µοντέλου είναι αβέβαια (Li et al., 2009; Fan and Huang, 2012; Suo et al., 2013). Για αυτόν τον λόγο, έχουν αναπτυχθεί νέες τεχνικές, όπως ο στοχαστικός προγραµµατισµός (stochastic programming), ο προγραµµατισµός ασαφούς λογικής (fuzzy programming) και ο προγραµµατισµός µε διαστήµατα τιµών (interval-parameter programming), καθώς και ο υβριδικός συνδυασµός τους. Πληθώρα τέτοιων µεθοδολογιών έχουν προταθεί για διάφορους συνδυασµούς αβεβαιοτήτων και εφαρµογών (Suo et al., 2013; Huang et al., 1992; Huang and Loucks, 2000; Maqsood et al., 2005; Li et al., 2006; Nie et al., 2007; J. Environmental Management, 2007; Yeomans, 2008; Li and Huang, 2009; Li and Huang, 2011; Yeomans, 2008; Li and Huang, 2009; Li and Huang, 2011; Fu et al., 2013; Liu et al., 2014; Miao et al., 2014; Li et al., 2008). Πολλά προβλήµατα βέλτιστης κατανοµής υδατικών πόρων απαιτούν τη σταδιακή λήψη αποφάσεων µέσα στο χρονικό ορίζοντα που εξετάζονται. Αυτά τα προβλήµατα µπορούν να εκφραστούν ως προβλήµατα στοχαστικού προγραµµατισµού δύο σταδίων (two-stage programming TSP), στα οποία µία απόφαση λαµβάνεται πριν γίνουν γνωστές οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών, και στην συνέχεια, αφότου λάβουν χώρα τα τυχαία συµβάντα και γίνουν γνωστές οι τιµές τους, µία δεύτερη απόφαση λαµβάνεται µε στόχο την ελαχιστοποίηση των «ποινών» (penalties) που πιθανόν να εµφανιστούν λόγω οποιουδήποτε προβλήµατος (Loucks et al., 1981). Στις πρακτικές εφαρµογές του TSP, κάποιες αβεβαιότητες έχουν καθοριστεί µέσω συναρτήσεων πιθανοτήτων και κάποιες άλλες ως σταθερές τιµές για τις οποίες θ’ ακολουθήσει ανάλυση µετα-βελτιστοποίησης (post-optimality analyses) (Huang and Loucks, 2000). Το βήµα αυτό είναι αναγκαίο επειδή (1) η ποιότητα της πληροφορίας, όσον αφορά την αβεβαιότητα σε πολλά πρακτικά προβλήµατα, δεν είναι αρκετά καλή για να εκφραστεί µε την µορφή συνάρτησης πιθανοτήτας, και (2) η επίλυση ενός µεγάλου TSP µοντέλου µε όλες τις αβέβαιες µεταβλητές εκπεφρασµένες ως συναρτήσεις πιθανοτήτων είναι πολύ δύσκολη και πολύπλοκη, ακόµη και στην περίπτωση που αυτές οι συναρτήσεις είναι διαθέσιµες. Το δεύτερο µέρος αυτής της διδακτορικής διατριβής έχει ως στόχο να προτείνει ένα πλαίσιο για τη λήψη αποφάσεων (DS) όσον αφορά στη βέλτιστη κατανοµή των υδατικών πόρων υπό συνθήκες αβεβαιότητας σε ένα πραγµατικό και σύνθετο υδατικό σύστηµα µε
πολλαπλές υδατικές εισροές (multi-tributary) και πολλαπλές περιόδους (multi-period), και πιο συγκεκριµένα στον Αλφειό Ποταµό. ∆ύο υβριδικές µεθοδολογίες χρησιµοποιούνται γι’ αυτόν τον σκοπό: πρώτον, µία ανακριβής τεχνική στοχαστικού προγραµµατισµού δύο σταδίων (an inexact two-stage stochastic programming technique (ITSP)) µε διαστήµατα τιµών µε ντετερµινιστικά (καθορισµένα) άνω και κάτω όρια (Huang and Loucks, 2000), και δεύτερον, µία παρόµοιας λογικής µεθοδολογία, αλλά πιο εκλεπτυσµένη και εξελιγµένη, στην οποία τα όρια των διαστηµάτων των τιµών είναι ασαφή (FBISP) (Li et al., 2009). Και οι δύο µέθοδοι βασίζονται στην ιδέα ότι στα πρακτικά προβλήµατα κάποιες αβεβαιότητες µπορούν να εκφραστούν σαν ασαφή διαστήµατα, αφού οι µηχανικοί και οι µελετητές συνήθως διαθέτουν ελλειπείς πληροφορίες και θεωρούν πιο εύκολο τον καθορισµό ενός εύρους διακυµάνσεων παρά πιθανοτικών κατανοµών. Η ITSP είναι µία υβριδική µέθοδος ανακριβούς βελτιστοποίησης (inexact optimization), η οποία προτάθηκε µε στόχο να ξεπεραστούν οι δυσκολίες που σχετίζονται µε τις αναλύσεις µεταβελτιστοποίησης και να ενσωµατωθούν αβεβαιότητες, που δεν µπορούν να περιγραφούν µε ακρίβεια µε τη µορφή συναρτήσεων πιθανοτήτων. Από την άλλη µεριά η FBISP περιλαµβάνει τους πιο σηµαντικούς τύπους έκφρασης της αβεβαιότητας (πιθανότητες, ασαφή λογική και διαστήµατα τιµών) και βασίζεται στον συνδυασµό τριών τεχνικών βελτιστοποίησης: (α) Στοχαστικό προγραµµατισµό πολλαπλών σταδίων (multi-stage stochastic programming), (β) ασαφή προγραµµατισµό (χρησιµοποιώντας ανάλυση κορυφών για ασαφή σύνολα - vertex analysis for fuzzy sets) και (γ) προγραµµατισµό παραµετρικών διαστηµάτων τιµών (interval parameter programming - IPP). Κάθε τεχνική συµβάλλει µε τον δικό της τρόπο στην ενίσχυση της ικανότητας της µεθοδολογίας να ενσωµατώνει την αβεβαιότητα σε διάφορες µορφές. Επιπροσθέτως, η συµπεριφορά των υπευθύνων (decision makers), όσον αφορά στο ρίσκο µιας απόφασης, λαµβάνεται υπόψη στην FBISP, µέσω δύο διαφορετικών τρόπων επίλυσης του υπολογιστικού αλγορίθµου βελτιστοποίησης: (α) µε µία αρνητική προσέγγιση της ανάληψης επικινδυνότητας ή απαισιόδοξη ή συντηρητική (risk-adverse or pessimistic) και (β) µε µία θετική προσέγγιση της ανάληψης επικινδυνότητας ή αισιόδοξη (risk-prone or optimistic). Ο όρος «επικινδυνότητα», που χρησιµοποιείται για να χαρακτηρίσει τους δύο τρόπους επίλυσης, δεν υποννοεί τη µέτρηση της επικινδυνότητας µε την αυστηρή µαθηµατική του έννοια. Περισσότερο αναφέρεται στην πρόθεση των υπευθύνων να αναλάβουν το ρίσκο (επικινδυνότητα) ή όχι να πληρώσουν υψηλότερες ποινές (ή να αποδεχτούν το κόστος) σε περίπτωση που επιλέξουν την λύση του αβέβαιου συστήµατος
xxiv
από την αισιόδοξη προσέγγιση επίλυσης όταν προκύψουν στην πραγµατικότητα απαιτητικές µη ευνοϊκές συνθήκες (penalty risk). Ή να υπάρχει µειωµένο κέρδος από την κατανοµή των υδατικών πόρων στην περίπτωση επιλογής της λύσης του απαισιόδοξου τρόπου επίλυση όταν προκύψουν στην πραγµατικότητα ευνοϊκές συνθήκες (opportunity loss).
Συνοπτική παρουσίαση του µαθηµατικού υπόβαθρου της ITSP
Το µαθηµατικό υπόβαθρο του ITSP µοντέλου παρουσιάζεται µε συνοπτικό τρόπο µε βάση την εργασία των Huang and Loucks (2000). Αρχικώς, γίνεται η θεώρηση µιας υπόθεσης εργασίας, στην οποία ο διαχειριστής των υδατικών πόρων έχει την αρµοδιότητα κατανοµής του νερού σε διάφορες χρήσεις από πολλαπλές πηγές ύδατος. Μπορεί να αναπαρασταθεί λοιπόν το πρόβληµα βελτιστοποίησης ως πρόβληµα µεγιστοποίησης της οικονοµικής δραστηριότητας στην περιοχή. Με βάση ένα σχέδιο στόχων διανοµής του νερού για κάθε χρήση, αν πράγµατι επιτευχθεί ο στόχος που έχει τεθεί, επιτυγχάνονται καθαρά κέρδη για την τοπική κοινωνία. Στην αντίθετη περίπτωση (µη µηδενικών ελλείψεων νερού), ο επιθυµητός στόχος νερού θα πρέπει να ικανοποιηθεί µέσω εναλλακτικών και πιο δαπανηρών πηγών ύδατος, καταλήγοντας σε ποινές (κόστος) για την τοπική κοινωνία (Loucks et al., 1981). Ο στόχος κατανοµής ύδατος ( ) και τα συσχετιζόµενα οικονοµικά µεγέθη, κόστος και όφελος, ( και από την κατανοµή νερού στην χρήση i είναι πιθανό να µην είναι διαθέσιµα µε καθορισµένες ) ντετερµινιστικές τιµές, αλλά υπό τη µορφή διαστηµάτων τιµών. Η παρουσία αυτού του τύπου αβεβαιότητας οδηγεί σε ένα υβριδικό ITSP µοντέλο, όπως φαίνεται ακολούθως: