Le Contexte Des Travaux De Vincenzo Riccati

Premi`ere partie

Le contexte des travaux de Vincenzo Riccati

Chapitre 1

De la tractrice de Perrault au principe d’un int´egraphe universel

A` l’origine de notre histoire, il y a une simple courbe, la tractrice, décrite par une chaˆıne de montre tiréesur une table. Cette courbe remarquable, entraˆınant dans son sillage de nombreuses questions théoriques et pratiques, a soulevéla passion des meilleurs géomètres dans les dernières années du dix-septième siècle et les premièresannées du dix-huitième. Elle fut l’un des éléments du débatsur la légitimation des courbes transcendantes, ces lignes problématiques que l’on souhaitait réintégrer dans la géométrieaprèsleur injuste exclusion par Descartes, face àla nécessitéde disposer d’un réservoir plus vaste d’objets mathématiques pour décrire convenablement les phénomènesnaturels et exploiter au mieux les ressources du nouveau calcul différentiel. Mon but n’est pas ici de revenir directement sur ce débat, qui a déjàétéanalyséen profondeur par Henk Bos [1988, 1989a, 1989b]. Tout au long de ce chapitre introductif, je me propose simplement de rapporter un maximum de faits, de citations, de figures, afin de faire revivre aussi fidèlement que possible cette période initiale foisonnante oùle mouvement tractionnel a frappéles esprits. On verra ainsi se dessiner peu àpeu le terreau fertile sur lequel pousseront, pendant plus de deux siècles, les réalisations que nous étudierons par la suite, qu’il s’agisse des théoriesde la construction tractionnelle des équations différentielles ou des techniques concrètes de fabrication d’intégraphes tractionnels.

1.1 La tractrice de Perrault

Commen¸conspar faire connaissance avec la tractrice. Quand et par qui a-t-elle été inventée? Quand ont-eu lieu les premières publications àson sujet ? Quelles sont ses propriétés? Pourquoi est-ce une courbe si importante en géométrie ? Pour compléter éventuellement les éléments de réponse que je vais apporter ci-après àces questions, on pourra consulter les ouvrages classiques sur les courbes planes [Braunmühl 1892, p. 79-81 ; Loria 1902, p. 562-565 ; Gomes Teixeira 1909, p. 19-24].

1.1.1 Leibniz àParis Saisissant le prétexte d’une mission diplomatique, Gottfried Wilhelm Leibniz séjourne à Paris de 1672 à1676. C’est l’occasion pour lui de se plonger dans les milieux philosophiques et scientifiques parisiens. Il y rencontre notamment le célèbre anatomiste et architecte Claude Perrault (1613-1688), frèrede l’écrivain Charles Perrault. Un jour, Perrault soumet àLeibniz un problème géométrique de son cru, oùl’on demande d’identifier et de construire

13 14 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL une nouvelle courbe. Voici comment le créateur du calcul différentiel racontera plus tard l’épisode dans un article des Acta eruditorum de 1693 :

Fig. 1.1 – La chaˆıne de montre de Perrault [Poleni 1729, planche BB]

C’est àParis que me fut autrefois offerte l’occasion d’imaginer une telle Construction. Le célèbre Médecin parisien Claude Perrault, remarquable par ses connaissances en Mécanique et en Architecture, et en même temps célèbrepour son édition de Vitruve, qui jusqu’àla fin de sa vie ne fut pas le moins éminent des membres de l’Académie Royale des Sciences, me sou- mit, comme àbeaucoup d’autres, le problèmesuivant, dont la solution, reconnaissait-il très honnêtement, ne s’étaitpas encore présentéeàlui : Trouver la courbe BB que décrit dans un plan horizontal, au point B ou en un point équivalent, un poids fixéàl’extrémité B d’un fil ou d’une Chaˆınette AB lorsque, guidant l’autre extrémité A du fil AB le long d’une droite fixe AA, on tire de ce fait le poids dans le plan horizontal que j’ai dit (ou un autre plan équivalent), oùse situent déjàla droite AA au cours de son mouvement ainsi que le fil AB. Il usait pour mieux se faire comprendre d’une montre B enferméedans un écrin d’argent qu’il tirait sur une table en dépla¸cant le long d’une règle AA l’extrémité A d’une chaˆınette fixéeàl’écrin.De cette fa¸conle point le plus bas de l’écrin (situéau centre de sa partie inférieure) décrivait sur la table la courbe BB. En examinant attentivement cette courbe (j’étaisjustement plongédans l’étudedes tangentes), je remarquai aussitôt,ce qui est la clédu problème, que le fil est constamment tangent àla courbe [Leibniz 1693c (trad. fr. 1989), p. 257].

Fig. 1.2 – La tractrice, courbe aux tangentes ´egales

Cet article de 1693, tout comme les autres textes connus qui relatent les mêmes faits, ne précise pas de date. D’aprèsJoseph Hofmann, qui a étudiéen détaille séjour pari- 1.1. LA TRACTRICE DE PERRAULT 15 sien de Leibniz, l’épisode de la chaˆınede montre aurait eu lieu en 1676 [Hofmann 1949 (trad. angl. 1974), p. 271]. Bos, de son côté,pencherait plutôtpour le situer dès1672 [Bos 1989b, p. 217]. Marc Parmentier, enfin, tranche pour 1674-1675 en s’appuyant sur l’in- terprétation stricte d’une allégoriemythologique employée par Leibniz [Parmentier 1989, p. 263, note 45]. Bref, tout reste possible, quoique la date en elle-même n’ait pas grande importance. L’essentiel reste bien sûr la découverte d’une nouvelle courbe. C’est Huygens qui lui donnera, àpartir de 1692, le nom de « tractoria » pour évoquer le mouvement de traction qui l’engendre. Plus tard, on rencontrera aussi le terme de « tractrix ». Des deux mots francisés correspondants, « tractoire » et « tractrice », le second s’est finalement imposépour désigner la courbe de Perrault.

1.1.2 Propriétésde la tractrice Revenons àla description de la tractrice par Leibniz (cf. figure 1.2) : si l’on considère un fil AB de longueur a placé,par exemple, dans la position initiale A0B0 perpendiculaire àune droite donnée,et si l’on tire l’extrémité A le long de cette droite, l’autre extrémité B va décrire au cours du mouvement une courbe ayant la propriétéremarquable de rester en permanence tangente au fil, et donc d’avoir toutes ses tangentes égales(selon la termi- nologie de l’époque, le mot « tangente » désigneici la longueur du segment de tangente compris entre le point de contact et l’axe des abscisses). En tirant le fil vers la droite, comme sur la figure, on n’obtient naturellement qu’une moitiéde la tractrice. Pour décrire l’autre moitié,il faut remettre le fil dans sa position initiale A0B0 et répéter l’opération en tirant, cette fois, vers la gauche. Prenons le point A0 pour origine des abscisses, et désignons par x et y les coordonnées de B. La propriétéde la tangente constante, qui caractérise la courbe, se traduit (pour la branche de droite) par l’équation différentielle dy y = − . dx pa2 − y2

Les variables étant séparées, on obtient, aprèsintégration, l’équation finie p a + a2 − y2 p x = a ln − a2 − y2 y (pour la branche de gauche, il suffit de remplacer x par −x). Cette équation permet àelle seule de comprendre pourquoi la courbe de Perrault a tant intéresséles géomètresde la fin du dix-septième siècle. La tractrice est liéealgébriquement àla courbe logarithmique, ce qui signifie que si l’une des deux est donnée, alors il est possible de construire l’autre par les moyens cartésiens classiques. Or, depuis Neper, les logarithmes avaient acquis une importance cruciale, d’une part parce qu’ils servaient au calcul numérique, d’autre part parce qu’on ramenait aux logarithmes ou, comme on disait alors, àla quadrature de l’hyperbole, la construction de nombreuses courbes transcendantes et l’intégration de nombreuses équations différentielles. Il était donc important, pour légitimerces pratiques nouvelles, de trouver une construction de la courbe logarithmique qui soit la plus rigoureuse possible selon les critères en vigueur. Ce qu’on préférait de loin en la matière étaitune construction « organique », c’est-à-dire un tracécontinu réalisépar un instrument mécanique animéd’un mouvement simple. En effet, on obtient ainsi de manièreexacte la totalitédes points d’une courbe, alors que dans une construction par points, on ne peut jamais en atteindre qu’un nombre fini, qu’il faut ensuite joindre par un tracéapproximatif àmain levée. C’est pour cela que le mouvement tractionnel 16 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL est immédiatement apparu comme un nouveau type de mouvement simple permettant la construction organique de la tractrice et, indirectement, une construction enfin acceptable de la courbe logarithmique. Une autre courbe candidate àla légitimation des logarithmes était la chaˆınette, forme que prend spontanément une chaˆıne pesante lorsqu’on accroche ses extrémités àdeux clous. Elle est elle-mêmeliée algébriquement àla courbe logarithmique, et donc àla tractrice, dont elle est d’ailleurs la développée. La chaˆınetteséduisait car c’étaitune courbe fournie directement par la nature : on disait avec humour qu’une chaˆınesuspendue prenait toute seule la forme d’une chaˆınette avant même que le géomètre ait eu le temps de commencer le moindre calcul àson égard. Leibniz n’avait-il pas proposésérieusement aux marins d’emporter avec eux une petite chaˆıne afin de pouvoir déterminer facilement les logarithmes en mer ? Aprèsl’étude détailléede la tractrice en 1693, Leibniz admettra cependant, dans une lettre àHuygens, que la traction lui paraˆıtpréférable (en raison de ses potentialités qui apparaˆıtront plus loin) : Je dirai seulement un mot de la difference que vous mettés,Monsieur, entre ma construction des logarithmes par la chainette, et entre celle que vous en donnés par la traction [...]. Je ne laisse pas de préférer la construction de la traction [Leibniz 1693f, p. 168-169]. Il y a une autre fa¸conintéressante d’écrire une équation différentielle de la branche droite de la tractrice, en prenant maintenant pour variable la longueur s de l’arc de la courbe, comptéeàpartir du point de rebroussement B0 (cf. figure 1.2). On obtient ds a = − , dy y d’où,par intégration, y s = −a ln . a Ainsi, la tractrice se rectifie au moyen de la courbe logarithmique. Les deux courbes étant algébriquement liées, on a pu dire de manièrefrappante que la tractrice « se mesure par elle-même ». De plus, comme ses arcs sont des logarithmes, elle est parfois qualifiéeelle aussi de « courbe logarithmique ».

1.1.3 Première publication sur la tractrice C’est la propriétéprécédente, jugéeremarquable, que Christiaan Huygens place en tête de la premièreétude publiéesur la tractrice. L’étude en question fait partie d’une lettre à H. Basnage de Beauval impriméedans le numérode février1693 de l’Histoire des ouvrages des s¸cavans (ou Journal de Rotterdam) [Huygens 1693b]. Perrault n’est pas mentionnédans cette lettre. Pourtant, sachant que Huygens a résidé àParis presque continuellement de 1666 à1681, lorsqu’il fut invitéàorganiser l’Académie des sciences crééeen 1666, et qu’il était trèsliéàPerrault et àLeibniz, il n’est pas impossible du tout qu’il ait entendu parler de l’épisode de la chaˆınede montre. Un des intérêts, et non le moindre, de la lettre de 1693 est de contenir la première figure publiée de la tractrice (cf. figure 1.3). Cette dernièreest définie comme une courbe dont toutes les tangentes sont égales (KN = AD sur la figure). Huygens énonce plusieurs propriétésde la soi-disant nouvelle ligne : rectification de ses arcs, utilisation pour la quadrature de l’hyperbole, aire sous la courbe, aire et volume du solide qu’elle engendre en tournant autour de son asymptote. Au passage, remarquons aussi qu’on assiste làà la premièreapparition de la surface de révolution connue aujourd’hui sous le nom de « pseudosphère ». Cette surface de courbure constante négative jouera plus tard un rôle 1.1. LA TRACTRICE DE PERRAULT 17

Fig. 1.3 – La premièrefigure publiée de la tractrice [Huygens 1693b, p. 408] inattendu dans le développement des géométries non-euclidiennes : le mathématicien italien Eugenio Beltrami (1835-1900) montrera en 1868 que la géométrie des géodésiquesde cette surface est identique àla géométrie hyperbolique de Lobatchevski. Huygens, qui ne cite aucune source, semble suggérerqu’il est le premier àconsidérer la tractrice. S’il est incontestable qu’il possèdela primeur de la publication, cela n’entraˆıne évidemment pas qu’il ne se soit rien passéentre 1676 et 1693. Comme nous allons le voir, les correspondances de la période révèlent, au contraire, une activiténon négligeable sur le sujet. La premièrequestion que l’on se pose concerne Leibniz : s’était-il contenté de contempler avec intérêt la montre de Perrault, ou avait-il entrepris de son côtéune recherche sérieusepour découvrir les propriétés de la nouvelle courbe ? Lorsque Leibniz apprend en 1693 que Huygens vient de publier quelque chose sur la tractrice dans l’Histoire des ouvrages des s¸cavants, il se presse de lui écrire qu’il avait étudiécette courbe depuis longtemps et qu’il avait déjàtrouvéque c’était une quadratrice de l’hyperbole [Leibniz 1693e, p. 164]. On pourrait penser, comme le fera immanquablement Huygens, qu’il n’y a là qu’une affirmation de circonstance destinéeàrécupérer le résultat aprèscoup. Cependant, on possède une lettre de Leibniz àJean-Baptiste du Hamel datée du 21 juillet 1684, dans laquelle il écrivait déjà:

Ayant appris de Mons. Tschirnhaus, qu’on n’avoit pas encore trouvéla ligne de Mons. Perrault qui se decrit, en traˆınant obliquement un corps sur une table avec un filet, je la cherchay, car les methodes que j’ay appresent, laissent peu de choses de cette nature àdesirer et j’ay trouvésa nature, et qu’on la peut decrire encor par une autre voye plus ordinaire [Leibniz 1684, p. 132].

Ces quelques lignes prouvent assurément que Leibniz avait bien fait des recherches sur la tractrice, non pas dèsla rencontre avec Perrault comme il le laisse parfois entendre, mais au moins en 1684, et certainement avant Huygens. Le texte dit clairement qu’en 1684, Leibniz disposait des méthodes adéquates pour étudier la courbe, alors que ce n’étaitsans doute pas le cas dans les années parisiennes de son apprentissage mathématique. Par ailleurs, l’expression « on n’avait pas encore trouvéla ligne de Mons. Perrault » révèleque d’autres personnes cherchaient cette ligne. Elle fait écho àce que Leibniz écrivait dans l’article de 1693 citéau tout début, àsavoir que Perrault lui avait soumis le problème « comme àbeaucoup d’autres ». On trouve effectivement mention de la tractrice dans d’autres documents antérieurs à la publication de Huygens. Signalons pour commencer un manuscrit trèsbref de Jacques Bernoulli [av. 1692], que les éditeurs de ses œuvres datent entre 1689 et mai 1692, et qui contient l’étude analytique d’une courbe aux tangentes égales(cf. figure 1.4). 18 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

Fig. 1.4 – La tractrice selon Jacques Bernoulli [av. 1692, p. 186]

Bernoulli écrit correctement les deux équations différentielles rappelées plus haut, celle liant l’arc s àl’ordonnée y : dy . y :: ds . a et celle liant l’ordonnée y àl’abscisse x : √ dy aa − yy = y dx.

De la première équation, il déduit que la courbe est une logarithmique d’une autre espèce que la vulgaire, car une progression géométrique des ordonnées correspond désormais à une progression arithmétique des arcs de la courbe, et non plus des abscisses. Quant à la seconde équation, il en tire une quadrature de la courbe identique àcelle de Huygens. Sachant que, comme on va le préciser plus loin, Huygens a commencéses propres recherches sur la tractrice en octobre 1692, Jacques Bernoulli l’a donc précédéde quelques mois. Toujours avant la publication de Huygens, Pierre Varignon écrit àJean Bernoulli le 21 janvier 1693 : Je viens de trouver la courbe que decrivent les chaloupes qu’on traine le long du bord de la Riviere avec une corde : C’est une Logarithmique d’une nouvelle espece [Varignon 1693a, p. 29]. Comme pour renouveler le débat, un nouveau problème apparaˆıt,équivalent àla chaˆıne de montre de Perrault, mais situédans un contexte tout àfait différent : celui du mouvement des chaloupes tirées le long d’une berge. Le problème de la « courbe des chaloupes » va avoir une histoire autonome. Il donnera lieu àdes développements complémentaires fort intéressants que nous examinerons plus loin. Pour l’instant, lisons simplement la fa¸condont Varignon, dans la lettre suivante àJean Bernoulli, datée du 28 mars 1693, découvre de son côtéla courbe aux tangentes égales (cf. figure 1.5) :

Fig. 1.5 – La tractrice selon Varignon [1693b, p. 32] 1.2. VERS UNE DESCRIPTION MECANIQUE´ DE LA TRACTRICE 19

Voici la courbe dont je vous parlay dans ma derniére. Soit A une chaloupe dans une eau tranquille dont le bord soit la droite FG. Qu’un homme, allant de F en G, traine cette chaloupe le long du bord FG avec la corde AF . Il est visible, que puisque cet homme ne tire cette chaloupe qu’àmesure qu’il avance de F en G, il ne la tire jamais droit au bord FG,& qu’il ne l’en aproche que suivant des directions qui changent àtous momens, comme celles de la corde avec laquelle il tire cette chaloupe. Cette chaloupe ne doit donc pas suivre une ligne droite ; mais une ligne courbe, telle que lorsque cet homme est en H & la chaloupe en B, la corde avec laquelle il la tire, sera la tangente HB ; de mêmelorsque cet homme sera en G & la chaloupe en C, cette corde alors en CG sera la tangente de la courbe en C ; & ainsy de touttes les autres positions de cette corde entre la ligne courbe ABCR, & la droite FG. Donc en généralcette courbe est telle que touttes ses tangentes comprises entre-elle & la droite FG, sont touttes égales àla corde AF avec laquelle on traine la chaloupe le long de FG ; & par conséquent aussy touttes égalesentre-elles. D’oùvous voyez, Monsieur, que cette courbe est une Logarithmique, dans laquelle la progression Arithmétique prise sur cette courbe répond àdes ordonnéessur son asymptote FG qui sont en progression geometrique, &tc. [Varignon 1693b, p. 32]. Pour en terminer avec cette préhistoire de la tractrice recouvrant tout ce qui précède la publication de Huygens, il reste àmentionner quelques lignes de la fameuse lettre à Oldenburg qu’Isaac Newton envoya le 24 octobre 1676 :

Ce problèmeinverse des tangentes, quand la tangente entre le point de contact et l’axe de la figure est donnée en longueur, n’a pas besoin de ces méthodes. Et c’est pourtant cette courbe mécaniquedont la détermination dépend de l’aire de l’hyperbole. Le problème est aussi du même genre quand la partie de l’axe entre la tangente et l’ordonnéeest donnée en longueur.1 Dans ce passage quelque peu sibyllin, Newton semble dire que les problèmes de la tangente constante et de la sous-tangente constante se laissent traiter sans faire appel àsa méthode généralede résolution des équations fluxionnelles par utilisation des séries infinies. En ce qui concerne la tractrice, cela signifie probablement qu’il en a trouvédirec- tement une équation ou une description sous forme finie, dépendant de l’aire de l’hyperbole comme l’indique le texte. Ainsi, dès 1676, Newton aurait lui aussi possédéles principaux résultats théoriques publiéspar Huygens en 1693. La date de 1676 est intrigante : Newton aurait-il entendu parler du problème posépar Perrault àLeibniz peu de temps avant ? On n’en sait rien, quoique l’hypothèse ne soit nullement absurde vu le nombre de personnes qui semblaient êtreau courant et qui ne devaient pas manquer pas de retransmettre le problème. En tout cas, on ne retrouve, àma connaissance, aucune autre allusion àla tractrice ou au mouvement tractionnel dans l’ensemble de la correspondance et des papiers mathématiques de Newton.

1.2 Vers une description m´ecanique de la tractrice

D’aprèsce qui précède,il est clair qu’avant même la publication des résultats théoriques de Huygens dans l’Histoire des ouvrages des s¸cavants de 1693, un certain nombre de géomètresont étudiéla courbe aux tangentes égales. Newton, Leibniz, Jacques Bernoulli et Varignon, indépendamment les uns des autres et indépendamment de Huygens, ont reconnu la nature logarithmique de la tractrice et son lien avec la quadrature de l’hyperbole. Par contre, une spécificitéincontestable de Huygens, c’est qu’il est le premier àenvisager la

1 « Inversum hoc Problema de tangentibus quando tangens inter punctum contactus et axem figuræ est datæ longitudinis, non indiget his methodis. Est tamen Curva illa Mechanica, cujus determinatio pendet ab area Hyperbolæ. Ejusdem generis est etiam Problema quando pars axis inter tangentem et ordinatim applicatam datur longitudine » [Newton 1676, p. 129]. 20 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL fabrication d’instruments de précision pour tracer concrètement la tractrice. Si un simple fil muni d’un poids àl’une de ses extrémitéssuffit pour réaliserune expérience de pensée ou pour effectuer un tracégrossier donnant l’allure de la courbe, ce n’est certes pas encore un instrument professionnel susceptible de compléter valablement la panoplie du géomètre. Il reste de substantielles difficultéstechniques àsurmonter.

1.2.1 Les projets de Huygens pour tracer la tractrice Dans le texte de Huygens publiéen 1693, on trouve les principales caractéristiques que devrait posséder une machine destinéeàtracer mécaniquement la tractrice. Toutefois, faute de figure d’accompagnement pour représenter cette machine virtuelle, on ne voit pas vraiment àquoi elle pourrait ressembler. Les explications quelque peu rapides de l’auteur se contentent de renvoyer ààla figure générale reproduite plus haut (cf. figure 1.3) : La construction de la machine est fondée sur la proprietésusdite de la Tangente, & sur un principe ou loy du mouvement, qui est, que si sur un plan horizontal on tire un point, qui par son poids ou autrement fasse quelque resistance, étant joint au bout d’un fil, ou d’une verge inflexible, dont on fasse simplement avancer l’autre extremité,ce point decrit une courbe dont le fil ou verge sera toûjours la Tangente. Dans l’instrument ou machine que je viens de dire, il faut mener le bout D du fil ou de la verge DA dans la ligne droite DN, & trouver moyen que la pointe A, qui est àl’autre bout, se tienne droite, & qu’elle presse contre le plan horizontal, plûtôtpar ressort que par poids ; parce qu’ainsi la courbe AK se decrit sans faute qui soit sensible, quoy que le plan ne soit pas exactement de niveau. Et l’on peut savoir si elle a sa veritable figure, en repoussant le bout N de la verge par la même droite ND, parce qu’il faut que la pointe repasse de K en A sur la même trace qu’elle vient de marquer [Huygens 1693b, p. 409-412]. Ce passage contient plusieurs points cruciaux que nous retrouverons régulièrement par la suite. Il y a, tout d’abord, une discussion des conditions àremplir pour que le mouvement tractionnel puisse être considérécomme un mouvement géométrique pur. Ces conditions sont au nombre de deux. La première est de se placer sur un plan parfaitement horizontal pour exclure toute influence de la gravité.La seconde est qu’il y ait un frottement suffisant du corps pesant contre le plan, afin que soit neutraliséàchaque instant son mouvement acquis. En effet, en l’absence de cette condition, il y aurait composition du mouvement inertiel acquis pendant l’instant précédent et du mouvement instantanédûàune nouvelle traction du fil, et le déplacement résultant ne se ferait pas dans la direction du fil. Si l’on tient compte de la gravitéou du fait que le corps pesant garde àchaque instant une partie du mouvement acquis, on se retrouve face àun problème de dynamique. Nous rencontrerons naturellement, àplusieurs reprises, des géomètresqui vont tenter d’étudier le mouvement tractionnel dans toute sa complexitéphysique. A` l’opposé,si l’on fait totalement abstraction, comme Huygens, de la gravitéet du mouvement acquis, on peut considérerque le mouvement tractionnel est un mouvement géométrique pur, indépendant de la vitesse avec laquelle on déplace le fil, indépendant en quelque sorte du temps, et en fin de compte du même type que le mouvement circulaire d’un compas ou le mouvement rectiligne qui sert àtracer une droite avec une règle. Dans la suite, tout en signalant brièvement les recherches de type physique, je ne m’intéresserai bien entendu qu’au mouvement pur, seul susceptible d’être acceptéen géométrie et seul capable de donner naissance àdes instruments exacts. Un dernier point crucial pour la conception d’instruments tractionnels est la différence entre fil et verge. Avec un fil, on ne peut aller que dans un sens (dans l’autre, le fil se détendrait immédiatement) et donc on n’obtient qu’une partie de la courbe, du côtéoù l’on tire le fil àpartir de sa position initiale. Avec une verge, on peut effectuer sans problème le mouvement dans les deux sens. D’une part, cela permet de tracer la courbe complète, 1.2. VERS UNE DESCRIPTION MECANIQUE´ DE LA TRACTRICE 21

(a) Id´eespr´eliminaires diverses

(b) Syst`emes de guidage du point tracteur le long du bord de la table

Fig. 1.6 – Projets d’instruments pour tracer la tractrice [Bos 1989b, p. 211-213] 22 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL d’autre part, comme le dit Huygens, cela permet éventuellement une vérification en re- faisant le tracédans l’autre sens. Comme pour confirmer le bien-fondéde ces remarques, nous verrons qu’il y aura une tendance générale,dans l’histoire des instruments tractionnels, pour abandonner progressivement les fils au profit de tiges rigides. D’ailleurs, dans mes commentaires et mes simulations, mêmelorsque je parlerai de fil, je penserai presque toujours àune tige rigide, afin de profiter pleinement des avantages qui en résultent. En complément de la description sommaire que nous venons de lire, une dizaine de feuillets des manuscrits de Huygens, datésdu 29 octobre au 20 novembre 1692, gardent de manièreplus complète le souvenir des intenses recherches conduites pendant cette courte période pour concevoir un appareil mécanique susceptible de tracer la tractrice avec précision. Les éditeurs des œuvres complètes de Huygens, ne jugeant pas utile de publier ces textes, se sont contentés de les résumer dans une note de bas de page [Huygens, Œuvres 10, p. 409, note 13]. Heureusement, Bos les a analysés en détailet a publiéde son côtéles schémas qu’ils contiennent [Bos 1988, p. 25-32 ; 1989a, p. 5-11 et 17-18 ; 1989b, p. 210-216]. Ces schémas (cf. figure 1.6) révèlent la multiplicitédes solutions techniques imaginées pour remplir les deux conditions indispensables évoquéesplus haut : horizontalitéparfaite du plan de travail et neutralisation permanente du mouvement acquis. L’instrument proprement dit est composé,dans toutes ses variantes, d’une tige rigide avec, àune extrémité, une pointe tractrice qu’il faut guider le long d’une droite et, àl’autre extrémité,un stylet tra¸cant qui va décrire la courbe. En ce qui concerne l’horizontalité,Huygens envisage un moment (cf. figure 1.6(a), en bas àgauche) une nacelle en forme de petite portion de sphère qu’on ferait nager sur un plan d’eau, voire sur du sirop pour augmenter la friction. Dans ce cas, la courbe aurait ététracéesur un plan horizontal situéau-dessus de la surface du liquide, par un stylet tournévers le haut et fixéau centre de l’objet flottant. Cette solution s’avérant peu réaliste, Huygens en revient vite àune plaque solide et explique comment la placer dans la position la plus horizontale possible en se servant du niveau àbulle, un outil récent inventépar Thévenot en 1666. Pour ce qui est du guidage de la pointe tractrice, divers montages sont essayésafin que cette dernièrepuisse tourner librement dans une cavitéd’un curseur glissant le long du bord rectiligne de la plaque (cf. figure 1.6(b)). De l’autre côtéde la tige, Huygens examine sans s’y arrêterl’option d’une petite charrette àdeux roues avec, au milieu, un cylindre vertical dans lequel on glisserait le stylet traceur (cf. figure 1.6(a)). Pour que le stylet soit soumis àune friction suffisante, il envisage d’abord de le surmonter d’un poids. Il cherche ensuite àobtenir une pression indépendante de la gravité, soit en exploitant la pression atmosphérique grâceàune fiole renversée dans laquelle on a réaliséun vide partiel, soit avec un système forméd’une poulie presséehori- zontalement sur le stylet tra¸cant et d’une corde fixéeau point tracteur, mais ces idéesne lui donnent pas satisfaction. Dans la solution finale retenue (cf. figure 1.6(c)), la tige CD est lestée par un poids E attachéàune barre recourbée en forme de U, contournant le bord de la table de sorte que le poids se trouve sous la table, juste au-dessous du stylet tra¸cant F .

1.2.2 De la tractrice aux tractoires

Laissant provisoirement de côtéces efforts techniques obstinés, ouvrons une petite pa- renthèse. Dans les manuscrits de Huygens, il apparaˆıt des courbes généralisant la tractrice de fa¸con naturelle : au lieu de tirer l’extrémitéd’un fil de longueur constante le long d’une droite, pourquoi ne pas la tirer le long d’une courbe quelconque donnée? Dans ce cas, on dit que la courbe tracéepar l’extrémitélibre du fil est une « tractoire » de la courbe 1.2. VERS UNE DESCRIPTION MECANIQUE´ DE LA TRACTRICE 23 donnée, et que cette dernièreest la « base » de la tractoire. Avec ces définitions, la courbe de Perrault s’identifie désormais au cas particulier d’une tractoire àbase rectiligne. Dans le cas général, la propriétéessentielle de la tractrice est conservée, àsavoir qu’une tractoire reste constamment tangente au fil qui la trace (cf. figure 1.7).

Fig. 1.7 – Tractoire d’une courbe donn´ee

Huygens, quant àlui, s’est exercéàreprésenter la tractoire d’un cercle tracéeavec un fil de longueur égaleau rayon (cf. figure 1.8). On ne sait pas comment cette figure a été réalisée. Si l’enroulement en spirale vers le centre a étécorrectement décelé,la reconstitution moderne (cf. figure 1.9) révèle toutefois une courbe assez différente.

Fig. 1.8 – Tractoire d’un cercle vue par Huy- Fig. 1.9 – Allure plus pr´ecise de la mˆeme trac- gens [1693b, p. 422] toire 24 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

La notion de tractoire d’une courbe donnéepromet d’êtreféconde. Si l’on accepte comme géométrique l’opération qui consiste àtirer un fil de longueur donnée le long d’une courbe donnée àpartir d’une position initiale donnée, alors on se munit d’un outil extrêmement puissant pour enrichir l’ensemble des courbes constructibles. Dans la suite, on découvrira peu àpeu comment les mathématiciens et les ingénieurs se ont emparésde cet outil.

1.2.3 L’avis de Leibniz Revenons aux problèmes technico-théoriques poséspar le tracéde la tractrice. Dans une lettre du 17 septembre 1693, Huygens demande l’avis de Leibniz sur sa description mécanique : Vous aurez vu ce que j’ay inserètouchant cette matiere au Journal de Rotterdam [...]. Je voudrais bien scavoir vostre jugement touchant ma Tractoria pour la quadrature de l’Hyper- bole, que j’y avois jointe. Oùil y a cela de remarquable, que suivant les loix de la Mechanique, supposèle plan horizontal, la description doit estre parfaite, et par consequent cette quadrature par son moien. Je vois que Mr. Bernouilli parle desia douteusement de la geometricitè de cette generation de courbes [Huygens 1693g, p. 510]. Le 11 octobre, Leibniz, qui n’a pas encore lu le Journal de Rotterdam, envoie une longue réponse dont voici quelques extraits : La construction des lignes, que vous appellés Tractorias est d’importance. J’appelle ainsi plustost la construction que la ligne, car toute ligne peut estre construite de cette fa¸con, prenant tousjours dans la tangente un point dont la distance du point de la courbe soit donnée,ce qui fera une nouvelle ligne, le long de laquelle un bout du fil estant menél’autre decrira la courbe donnée. [...] Or cela m’a conviéàpublier encor d’autres penséesque j’avois sur l’usage de ce mouvement. Et comme il paroist que vous avésmeditésur les moyens de le rendre exact en pratique, vous trouverés qu’il y a peut estre pas un en Geometrie qui le merite d’avantage. On pourroit se servir soit d’un poids, soit d’une appression elastique, comme par exemple en mettant un ressort entre deux plans paralleles immobiles, qui le tiendroient pressé.Ce ressort couleroit entre ces deux plans, d’une maniere àne pouvoir changer de situation àleur egard, et presseroit un stile contre l’un des plans. Le style seroit attachéau ressort, et le fil qui tireroit l’un et l’autre, quoyqu’il n’iroit peut estre point jusqu’au stile devroit pourtant y aboutir en cas de prolongation ou plustost àl’axe prolonguédu stile àl’entour duquel le fil, ou bien la regle équivalente au fil, se tourneroit pendant le mouvement. Il seroit meme possible de faire que le ressort (un ou plusieurs) estant presséentre les deux plans, le stile qui doit tracer, fut dehors, pour qu’on puisse voir ce qu’il trace. On pourroit encor penser à d’autres moyens ; le tout consiste dans le soin d’empecher que l’impulsion du stile même ne se mele avec la traction. Mais vous pourrés mieux choisir que personne. Lorsque on demande si cette construction est geometrique il faut convenir de la definition. Selon mon langage je dirois qu’elle l’est [Leibniz 1693e, p. 164-165]. Sur le plan purement technique, on constate que Leibniz, de manièreindépendante, envisage àpeu prèsles mêmes solutions matérielles que Huygens pour la fabrication éventuelle d’un instrument. Quant àla « géométricité » des constructions tractionnelles, elle ne semble pas lui poser de problème particulier. On verra bientôtcomment il va s’approprier rapidement ce nouveau mode de construction et le pousser fort loin. Mais, avant même de commencer ses propres recherches sur la question, Leibniz, avec son esprit généralisateur, se projette bien au-delàde la tractrice de Perrault. En remarquant que toute courbe est une tractoire, il fait apparaˆıtredeux opérations inverses sur les courbes : une longueur de fil étant fixée, àtoute courbe on peut associer une unique courbe dont elle est la tractoire ; réciproquement, en tirant le fil le long de la seconde courbe àpartir d’un point donné,on retrouve la première (et une infinitéd’autres en faisant varier de 1.3. LE PROBLEME` DE BERNOULLI 25 toutes les manièrespossibles la position initiale de l’extrémitélibre du fil). La première opération correspond directement, comme le dit le texte, àla construction des tangentes à une courbe donnée. De lààpenser que la seconde opération aurait un rapport étroitavec le problème inverse des tangentes et pourrait servir àsa résolution, ce n’est encore qu’une intuition leibnizienne fulgurante.

1.3 Le probl`eme de Bernoulli

L’attrait initial et spontanéde Leibniz pour les tractoires se serait peut-êtredissipés’il n’avait étérenforcépeu après par un problème que Jean Bernoulli a proposéen mai 1693 àla communautémathématique. Les grands noms du jeune calcul différentiel, Jean et Jacques Bernoulli, L’Hospital, Huygens et Leibniz lui-même vont être tenus en haleine par ce problème pendant plus d’un an. Ce sera l’occasion de généraliser encore la notion de tractoire et de convaincre les géomètresde l’intérêt du mouvement tractionnel pour la construction de certaines équations différentielles.

1.3.1 Un beau problème Le défique Jean Bernoulli lance àses pairs dans les Acta eruditorum [Jean Bernoulli 1693a] est un problèmeinverse des tangentes d’apparence anodine (cf. figure 1.10) : trouver la courbe ABC telle que le segment AD de l’axe, situéentre l’origine et la tangente, soit àla tangente BD comme la longueur donnée M est àla longueur donnée N (dans le langage de l’époque, le segment AD est parfois appelé « resecte »). Bernoulli annonce que la courbe ABC est un cercle si M = N, une courbe géométrique si le rapport M/N est rationnel et une courbe transcendante sinon. Il prévient enfin qu’elle peut être décrite dans tous les cas par un mouvement continu simple.

Fig. 1.10 – Le probl`eme de Jean Bernoulli [1693a]

Notons p le rapport N/M, de sorte que le problèmes’écrive BD = pAD. Pour des raisons de symétrie,on peut se limiter au cas oùla tangente est dans le demi-plan supérieur et oùelle rencontre l’axe des abscisses du côtépositif. Par analogie avec la tractrice, imaginons que cette tangente soit encore un fil, non plus un fil de longueur constante a, mais un fil dont la longueur a(t) = pt varie maintenant en fonction de l’abscisse t du point D. Cela ne change rien àla propriétéessentielle du mouvement tractionnel : le poids attachéen B décrittoujours une courbe constamment tangente au fil. En notant x et y les coordonnées du point B, il vient, pour la position de la figure 1.10, deux équations différentielles qui généralisent celles vues plus haut pour la tractrice : dy y y ds pt = = et = . dx x − t pp2t2 − y2 dy y 26 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

De la premièrerelation, on tire y dx t = x − , dy ce qui conduit, en substituant cette valeur de t dans l’autre relation, àune équation différentielle de la courbe cherchée : p y dx2 + dy2 = p(x dy − y dx).

Pour les autres cas de figure, un calcul analogue aboutit au même résultat, àun changement de signe prèsdu second membre. Une équation différentielle recouvrant toutes les situations est finalement y2(dx2 + dy2) = p2(x dy − y dx)2. L’intégration sous forme finie de cette équation est possible, quoique délicate. Parmi les différentes manièresde déterminer les solutions, retenons les équations paramétriques 1 − u2 1 2u x = γ + up et y = γ up, 1 + u2 p 1 + u2 où γ est une constante arbitraire (pour le détail des calculs, je renvoie à[Bos 1988, p. 33-35]). Sur ces expressions, on retrouve bien les résultats annoncéspar Jean Bernoulli : pour p = 1, la courbe est le cercle de centre (0, γ) et de rayon γ ; pour p rationnel, la courbe est algébrique et peut donc se construire par les moyens ordinaires ; pour p irrationnel, elle est transcendante, mais sa construction ne nécessite que la quadrature de l’hyperbole. Ce beau problèmedonne lieu, dans les années 1693-1694, àune intense activité.Les mathématiciens remplissent àson sujet des pages et des pages de calcul, trouvent indépen- damment les uns des autres des solutions qui co¨ıncident plus ou moins, et se lan¸cent dans de vives confrontations. Ils butent sur de nombreuses difficultés: discussion délicate en fonction du paramètre p, présence dans certains cas d’un point de rebroussement, existence possible de deux courbes passant par un même point, etc. On garde trace de ces efforts dans une bonne vingtaine de documents, qu’il s’agisse de notes publiées dans les Acta eruditorum ou de lettres directement échangées entre les protagonistes. Il serait évidemment inutile pour mon propos de relater toutes les péripéties du débat. Dans la suite, je vais me contenter d’analyser ce qui a un rapport avec le mouvement tractionnel.

1.3.2 Construction tractionnelle par Jacques Bernoulli Dèsjuin 1693, Jacques Bernoulli fait insérerdans les Acta eruditorum une solution au problèmede son frère[Jacques Bernoulli 1693]. Aprèsune construction classique, l’article présente une seconde construction des courbes intégralesàl’aide d’un mouvement tractionnel. A` ce propos, Bernoulli ne manque pas de faire le rapprochement avec ce qui a été publiépar Huygens dans le Journal de Rotterdam. Le dispositif (cf. figure 1.11) comprend une équerre BDH et un fil GDC ayant un poids attachéàson extrémité C. On construit sous l’axe un triangle AF E rectangle en A, tel que AE soit égal àla longueur totale du fil et tel que F soit le point de l’axe vérifiant AE = pAF . On place l’extrémité G du fil sur la droite EF et on dispose l’équerre sous l’axe, de sorte que la partie GD du fil s’aligne sur le côtévertical de l’équerre. On fait alors glisser l’équerre le long de l’axe dans la direction de A, tout en maintenant l’extrémité G du fil sur la droite EF . Comme les triangles AF E et DFG sont semblables et comme AE = pAF , on a aussi DG = pDF , et, par suite, CD = CD+DG−DG = AE−DG = pAF −pDF = pAD. Ainsi, la partie utile CD du fil va envelopper une courbe vérifiant en permanence la condition souhaitée CD = pAD. Cette courbe sera une solution du problème. 1.3. LE PROBLEME` DE BERNOULLI 27

Fig. 1.11 – Un fil guidépar une équerre [Jacques Bernoulli 1693, p. 161]

En somme, tout se passe comme si on tirait directement le long de l’axe l’extrémité D d’un fil de longueur variable. Il apparaˆıtainsi une nouvelle notion de tractoire généralisant d’une autre fa¸conla courbe de Perrault. La tractrice était une tractoire àbase rectiligne et àtangente constante. En jouant sur la courbe le long de laquelle on tire le fil, on a rencontréplus haut les tractoires àbase quelconque et àtangente constante. En faisant maintenant varier la longueur du fil selon une loi donnée, on découvre les tractoires àbase rectiligne et àtangente variable.

Fig. 1.12 – Une partie de la courbe impossible `atracer ? [Jacques Bernoulli 1693, p. 162]

Une petite difficultésemble apparaˆıtretoutefois avec l’équerre et le fil, quand on veut tracer des branches de courbes comme Kci (cf. figure 1.12), c’est-à-dire lorsque la tangente coupe l’axe au-delàdu point F . En effet, Jacques Bernoulli [1693, p. 162] remarque que, dans ce cas, cd = cd + dg − dg = AE − dg = pAF − pF d 6= pAd. Pour réussir, il faudrait un nouveau dispositif qui garde constante la différence des deux parties du fil, et non plus leur somme. Bernoulli ne voit pas comment faire. 28 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

En fait, il suffit de retourner l’équerre (il semble qu’on trouve cette idée dans un des manuscrits de Huygens [Œuvres 10, p. 544, note 2]). Quand on déplacel’équerre vers la gauche, le fil ne peut avoir, sous peine de se détendre, que des pentes positives : on n’atteint donc de cette fa¸conque la partie d’une courbe intégrale située avant un point àtangente verticale. Quand on déplace l’équerrevers la droite, c’est le contraire. Une procédure possible pour obtenir une courbe intégralecomplèteest alors la suivante (cf. figure 1.13) :

– on place le fil dans une position verticale donnée C0D0G0 ; – en faisant glisser l’équerre vers la gauche, on trace la branche C0A de la courbe ; – on remet le fil dans la position initiale C0D0G0 ; – en faisant glisser l’équerre vers la droite, on trace l’autre branche de la courbe. Evidemment,´ on n’atteindra pas l’infini ; on ne pourra faire glisser l’équerre que jusqu’au point F . Mais il faut remarquer que la longueur totale C0D0G0 du fil n’intervient pas dans la construction : la courbe ne dépend que de la longueur utile C0D0. Il est donc tout àfait envisageable de prendre un fil plus long pour le tracéde la seconde branche, afin de pouvoir aller plus loin vers la droite avec l’équerre : c’est ce qui est illustrépar la figure 1.13. A` condition de disposer d’un fil assez long (et d’une équerre assez grande), on peut en théorie prolonger la courbe aussi loin que l’on veut. La figure 1.14 propose une simulation de la construction tractionnelle complète du problèmede Bernoulli, avec un fil et une équerre, dans le cas p < 1 et dans le cas p > 1. On a tracéchaque fois huit courbes intégrales àpartir de huit positions initiales du fil. Cette construction a de quoi faire réfléchir. En premier lieu, il est frappant de constater qu’avec seulement un fil et une équerre,on a pu construire trèssimplement, dans tous les cas, les courbes intégrales du problème. Par comparaison, les intégrations « classiques » trouvées par les différents chercheurs qui ont tentél’aventure nécessitent toutes de lourds calculs et de pénibles discussions, et, de plus, ces intégrations conduisent souvent àdes formules analytiques complexes, àpartir desquelles la construction proprement dite reste encore assez longue àélaborer. Une caractéristique séduisante du problème de Bernoulli est d’admettre comme solutions des courbes qui sont algébriques pour certaines valeurs du paramètre et transcendantes pour d’autres. Il y a làde quoi faire éclater la classification de Descartes : si le même instrument sert àconstruire indifféremment des courbes algébriques et des courbes transcendantes par un même mouvement continu simple, la distinction entre les deux types de courbes n’est-elle pas àreconsidérer? De plus, dans le système géométrique cartésien, les courbes algébriques nécessitent, pour êtretracées, des machines de plus en plus com- pliquées au fur et àmesure que le degréde leur équation augmente. Or, dans le problème de Bernoulli, on rencontre des courbes algébriques de n’importe quel degréet pourtant c’est le même instrument qui les construit. La hiérarchie des courbes algébriques s’en trouve elle-même bousculée. C’est en substance ce qu’écrit Jacques Bernoulli en conclusion de son article :

Il est donc clair que si de telles constructions sont jugéesgéométriques et précises, alors une infinitéd’équations des plus hauts degrés peuvent êtreconstruites de la mêmemanière que les plus simples et avec une facilitépresque incroyable. Enfin, il ne faut pas oublier de mentionner que la solution de ce problème peut jeter une grande lumièresur la difficile méthode inverse des tangentes, qui reste grandement àperfectionner et àétendre.2

2 « Unde patet, si constructiones ejusmodi censendaæ sunt geometricæ & accuratæ, æquationes infi- nitas altissimorum graduum pari cum simplicissimis omnemque pene fidem excedente facilitate construi posse. Denique nec hoc tacendum, quod solutio hujus Problematis abstrusæ Methodi Tangentium inversæ plurimum perficiendæ & promovendæ magnum lumen præbere possit » [Jacques Bernoulli 1693, p. 161]. 1.3. LE PROBLEME` DE BERNOULLI 29

(a) Glissement de l’´equerre vers la gauche

(b) Glissement de l’´equerre vers la droite

Fig. 1.13 – Trac´edes deux parties d’une courbe int´egrale 30 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

(a) Cas p > 1

(b) Cas p < 1

Fig. 1.14 – Construction tractionnelle du probl`eme de Bernoulli 1.3. LE PROBLEME` DE BERNOULLI 31

1.3.3 Construction tractionnelle par Huygens Jacques Bernoulli n’est pas le seul àavoir cherchéàréaliser concrètement le mouvement continu simple dont parlait son frère. Il aurait étésurprenant que Huygens lui-même, après le précédent de la tractrice, soit restéindifférent àce nouveau défi technique. Le 3 septembre 1693, il écrit au marquis de l’Hospital :

Il paroit assez, et mesme M. Bernoulli l’avoue, que cette courbe de son frere est inventée àl’occasion de ma Tractoria qui estoit au Journal de Rotterdam. La description estoit de la mesme nature, laquelle je puis donner de plus d’une fa¸con et qui soient meilleures que celle qu’il propose [Huygens 1693e, p. 494-496]. C’est dans deux lettres àL’Hospital, une du 1er octobre et, surtout, une autre du 5 novembre 1693, que Huygens expose sa description mécanique personnelle. Elle met en œuvre des appareils composés de cordes et de rouleaux. L’Hospital [1693e, p. 565], dans sa réponse du 25 novembre, trouve que la méthode de Huygens est sans comparaison meilleure que celle de Bernoulli. Voyons donc de plus près en quoi elle consiste. Tout l’appareillage (cf. figure 1.15) repose bien entendu sur un plan horizontal. Il comprend quelques variantes selon les paramètres b et c du problèmeàrésoudre (avec les notations de Huygens, le problème de Bernoulli s’écrit CD = pAD où p = b/c est un rapport donné, CD la tangente et AD la resecte). Dans tous les cas, il y a une règle fixe AB passant par l’origine A et placée le long de l’axe, une pointe tra¸cante C lestée par deux poids G et H (cf. figure 1.15(a), àdroite), et un fil CD de longueur variable dont une extrémitéest accrochée àla pointe C et dont l’autre est tirée le long de la règle par une pointe D. Un système de rouleaux adaptéàchaque cas permet de faire varier la longueur CD du fil pour qu’elle soit toujours dans le rapport b/c avec la resecte AD. Huygens commence par le cas simple CD = 2AD, oùun seul rouleau suffit (cf. figure 1.15(a)). Dans ce cas, une corde unique DBEFBDC enveloppe le rouleau EF . Quand on fait glisser la pointe D sur la règle AB dans la direction de A, la corde en- traˆıne la pointe C. Chaque fois que la longueur AD diminue d’une quantité x, la portion utile CD du fil se raccourcit d’une longueur 2x. Si, au départ,le dispositif a étéplacédans une position telle que CD = 2AD, cette relation se conserve donc au cours du mouvement et, par suite, la pointe C trace une courbe CA qui est bien solution du problème. Dans le cas b > c, on adapte ce qui précèdeen introduisant deux rouleaux E et F solidaires tournant ensemble sur un même axe, dont les rayons sont dans le rapport de c à b − c (cf. figure 1.15(b)). Un premier fil DBE enveloppe le rouleau E, tandis qu’un second fil CDBF enveloppe en sens contraire le rouleau F . Quand on déplacela pointe D dans la direction de A, le fil DBE entraˆıne le rouleau E, et le rouleau F , qui lui est lié,tire alors la pointe C par l’intermédiaire du fil FBDC. Pendant que la distance AD se raccourcit d’une quantité x, la portion utile CD du fil se raccourcit de

b − c b x + x = x. c c Ainsi, la tangente et la resecte restent bien dans le rapport imposé. Le cas b < c est plus complexe, car la courbe comprend deux branches, dont l’une est décritepar un fil qui se raccourcit et l’autre par un fil qui s’allonge. Il faut donc prévoir deux dispositifs distincts. Pour la branche gauche AC, celle obtenue avec un fil qui se raccourcit, on peut reprendre la configuration précédente moyennant une légèremodification (cf. figure 1.15(c)). Cette fois, les deux fils s’enroulent dans le même sens sur les rouleaux E et F , et les rayons de ces derniers sont dans le rapport de c à c − b. Quand on tire la pointe D vers l’origine A 32 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

(a) Cas CD = 2AD

b (b) Cas CD = c AD, avec b > c

(d) Cas b < c, trac´ede la branche droite de la courbe

Fig. 1.15 – Appareils de Huygens pour le problème de Bernoulli [Huygens 1693j, p. 550-551] 1.4. UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL 33 d’une longueur x, la portion CD du fil se raccourcit maintenant de c − b b x − x = x, c c ce qui est encore le rapport donné. L’allongement du fil nécessaire au tracéde la branche droite CQ de la même courbe est source de complication (cf. figure 1.15(d)). Les rouleaux E et F sont placés àprésent de l’autre côtéde A, et leurs rayons sont choisis dans le rapport de b + c à c. Le fil DBE issu de D s’enroule sur le rouleau E, et le fil CDBF issu de C sur le rouleau F . Ce système convient, car, quand on éloigne la pointe D de l’origine A et que la distance AD s’accroˆıt de x, alors la portion CD du fil s’allonge de b + c b x − x = x. b c Dans ce dernier appareillage, il y a un risque de détente des fils, car, contrairement aux configurations précédentes, ceux-ci s’allongent au cours du mouvement. Il faut donc agir en sens contraire sur les poulies E et F par l’intermédiaire d’un poids H. Dans tout cela, on peut noter que Huygens, contrairement àla préférence qu’il avait marquée pour des tiges rigides lors de sa construction de la tractrice, en revient maintenant àl’emploi de fils. Il est vrai qu’il est plus facile de faire varier la longueur d’un fil que celle d’une tige rigide. Cependant, on retrouve les inconvénients des fils, àsavoir qu’on n’est jamais sûr qu’ils gardent une tension uniforme et que, surtout, il y a presqu’inévitablement des cas de figure dans lesquels ils se détendent. Cette étude fort ingénieuse de Huygens figurant seulement dans une lettre àl’Hospital, elle n’a eu malheureusement aucun écho par la suite en dehors de l’admiration du marquis. Huygens s’est contentéd’y faire allusion dans l’une des notes sur le problème de Bernoulli qu’il a envoyéesaux Acta eruditorum : Pour ce qui est de la description dans le plan des courbes en question, je pourrais, si cela en valait la peine, indiquer d’autres méthodes, peut-être plus avantageuses, que celle préconiséepar l’illustre Bernoulli, et montrer aussi comment a étéréalisépour le mieux le tracéde ma quadratrice de l’hyperbole, qui doit être considérée comme la plus simple des tractoires (c’est ainsi qu’on peut les appeler) [...]. Mais je crois qu’il vaut mieux attendre pour cela qu’on ait découvert une application remarquable de ces lignes.3

1.4 Un int´egrapheuniversel

Inspiréàla fois par les tractoires de Huygens et par le problème de Bernoulli, Leibniz va publier dans les Acta eruditorum de septembre 1693 un article intitulé « Supplementum geometriæ dimensoriæ seu generalissima omnium tetragonismorum effectio per motum : si- militerque multiplex constructio lineæ ex data tangentium conditione » [Leibniz 1693c]. Ce mémoire représente un tournant dans l’histoire des constructions tractionnelles. Première synthèse sur la question, il reprend et organise tout ce que nous avons vu jusqu’ici, et lance d’audacieuses ouvertures pour l’avenir. Un tel texte mériteraitd’êtrecitéen entier tellement il est dense et riche. Je vais tenter d’en dégager les grandes lignes, puis d’analyser les réactions qu’il a provoquées et les nouvelles recherches qu’il a inspirées dans les années qui ont suivi sa publication.

3 « Porro quod ad curvarum, de quibus agitur, designationem in plano attinet, possem, si operæ pretium esset, alios modos ac fortasse commodiores indicare quam qui a Cl. Bernoullio præscribitur, atque etiam docere qua ratione optime peragatur descriptio nostræ quadratricis hyperbolæ, quæ inter Tractorias (ita enim vocari possunt) simplicissima censenda est [...]. Sed his supersedendum arbitror, donec insignis usus aliquis harum linearum in lucem proferatur » [Huygens 1693i, p. 513-514]. 34 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

1.4.1 Le mémoire de Leibniz de 1693 Leibniz pensait sans doute être le seul àavoir déceléles potentialitésdu mouvement tractionnel depuis sa rencontre avec Perrault. Il n’avait cependant jamais pris la peine d’écrire quelque chose sur la question. Lorsqu’il constate soudain, durant le premier se- mestre 1693, que ses meilleurs disciples en calcul différentiel – Huygens, L’Hospital, les frères Bernoulli – s’emparent brillamment du sujet et commencent àle pousser fort loin, il se sent obligéde réagir. On a l’impression qu’il veut rapidement prouver àtous que le thème de la traction lui appartient ou, tout au moins, qu’il le domine de plus haut que les autres. Il ne va donc pas se lancer, comme ses collègues, dans le traitement d’un problèmeparticulier. Bien au contraire, avec une ambition généralisatrice et programma- tique, il va nous entretenir du problème général des quadratures et de la méthode inverse des tangentes. Après avoir réaffirméqu’il n’y a pas lieu d’exclure les courbes transcendantes de la géométrie,après avoir rappeléles éléments physiques déjàemployés pour décrire ces nouvelles lignes (développement d’un fil enrouléautour d’une courbe, rayons lumineux, composition d’un mouvement uniforme et d’une mouvement retardépar un frottement constant, chaˆınepesante), Leibniz introduit le mouvement tractionnel : Mais il existe un nouveau type de mouvement que je pense avoir étéle premier àem- ployer pour réaliser des constructions Géométriques, [...] car il semble, mieux que tous les autres, relever de la pure Géométrie [...]. L’unique condition qu’il comporte est en effet que le point effectuant le tracéde la courbe dans le plan soit attachéàl’extrémitéd’un fil situé dans le même plan (ou dans un plan équivalent) et se déplace en même temps que se déplace l’autre extrémitédu fil, mais par simple traction, sans impulsion transversale [...]. Il s’ensuit par ailleurs qu’un tel mouvement est remarquablement bien adaptéàla Géométrie transcendante, puisqu’il met en jeu directement les tangentes soit les directions des courbes, donc des grandeurs élémentaires en nombre infini mais de longueur inassignable, autrement dit des infiniment petits [Leibniz 1693c (Trad. fr. 1989), p. 256-257]. Ainsi, pour Leibniz, la traction d’un fil permet de concrétiser directement sa vision des courbes en tant que polygones infinitangulaires. Pendant les instants de temps successifs, le fil matérialise sur le plan de dessin les côtésinfiniment petits successifs de la courbe. Dans ce raisonnement mixte inextricable, le modèle théorique et l’exécution pratique se valident mutuellement. D’une certaine manière,la cinématique et la dynamique viennent au secours d’une théorie qui, en l’absence d’un statut clair des infiniment petits, est impossible à fonder en restant sur le seul terrain de la logique. L’article se poursuit par une sorte de partie historique, dans laquelle Leibniz rappelle sa rencontre avec Perrault, la description et les propriétés théoriques de la tractrice, les recherches de Huygens et le problème de Bernoulli. Il est inutile de revenir sur ces points qui ont déjàétéamplement développés. C’est juste après que Leibniz amorce des considérations nouvelles visant àgénéraliserle plus possible les quelques appareils tractionnels con¸cus jusqu’ici : D’embléeil m’a étéfacile de comprendre qu’une fois aper¸cuela relation entre le mouvement et les tangentes on peut construire par le mêmeprocédéquantitéd’autres courbes qu’il serait plus difficile de ramener àune quadrature. Car àsupposer même que AA ne soit pas une droite mais une courbe, le fil n’en serait pas moins tangent à BB. Bien plus, même si la longueur du fil AB augmentait ou diminuait pendant qu’on le tire, il n’en resterait pas moins tangent. C’est pourquoi, quelle que soit la relation donnéeentre CA et AB (par exemple si AB étaient les sinus et CA les tangentes correspondantes), divers artifices nous permettraient de réglerle mouvement du fil afin qu’il se déplaceen se raccourcissant selon une loi donnée.Ce procédénous permet même de tracer une infinitéde courbes solutions d’un même problème,par exemple celle passant par un point donné.Si le point effectuant le 1.4. UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL 35

tracéest tiréen mêmetemps par plusieurs fils, pourront intervenir des directions composées. Mais n’y aurait-il qu’un seul fil, on pourra faire varier sa longueur en attachant au poids B une roue ou une piècetournéede telle sorte qu’elle décrive une cyclo¨ıde dans le plan. On peut aussi adjoindre à B une droite rigide constamment perpendiculaire au fil ou faisant avec lui un angle constant ou un angle variant selon une loi déterminée,et considérer le tracéeffectué par un autre point mobile de cette droite. On peut tirer en même temps deux poids solidaires du plan, que leur distance soit fixe ou variable au cours du mouvement dans le plan. On peut aussi imaginer deux plans, l’un oùse déplace le point C et auquel il soit indissociable- ment fixé,l’autre sur lequel le poin¸con dépassant de B décrive par un contact trèsléger(ne pouvant donc gêner le mouvement de B) une nouvelle courbe, et supposer que ce plan ait son mouvement propre ; la tangente àcette nouvelle courbe ne sera autre que la droite donnant la direction du mouvement composédu mouvement du poin¸condans le plan fixe, et du mouvement de l’autre plan. Nous en déduirons les propriétésdes tangentes àcette nouvelle courbe ainsi décrite. En méditant sur l’extrêmegénéralitéde ce type de mouvements et sur les applications incalculables qu’ils offrent, j’ai noirci autrefois quantitéde brouillons, j’ai même songéàleurs modalitéspratiques, eu égardnotamment aux ressources merveilleuses que j’y distinguais dans la conversion des tangentes et plus encore dans les Quadratures [Leibniz 1693c (Trad. fr. 1989), p. 261-263].

Les premièresphrases de ce passage récapitulent les différents types possibles de tractoires. Une fois caractérisée la notion de tractoire par le fait que la courbe engendréepar un mouvement de traction reste constamment tangente au fil qui sert àla tracer, Leibniz précise les paramètres sur lesquels il est loisible de jouer sans compromettre cette condition de tangence : on peut choisir àvolontéla courbe de base sur laquelle est guidéel’extrémité tractrice du fil et, pendant le mouvement, on peut faire varier la longueur du fil selon une loi quelconque. Le texte explore ensuite, un peu trop rapidement sans doute, quelques pistes techniques pour mettre en pratique les principes générauxainsi dégagés. Ces pres- criptions assez vagues ne sont pas aussi utopiques qu’il y paraˆıt: la preuve en est que certaines d’entre elles seront concrétisées dans les intégraphes de la fin du dix-neuvième siècle et du début du vingtième (cf. troisièmepartie). Leibniz voit dans les tractoires un outil merveilleux pour la conversion des tangentes. En effet, un problèmeinverse des tangentes consiste àconstruire une courbe dont la tangente vérifie une propriétédonnée. On peut donc toujours, du moins en théorie, imaginer un appareil tractionnel dans lequel le fil serait contraint, par l’intermédiaire d’un dispositif technique adéquat, de vérifier àchaque instant la propriétédemandée, ce qui le conduirait à envelopper automatiquement, pendant son mouvement, une courbe solution du problème. La parfaite réussite de cette méthode pour le problème de Bernoulli n’est pas pour rien dans les espoirs que l’on peut nourrir àson égard. Dans la dernière partie de l’article, Leibniz s’intéresse plus particulièrement aux quadratures. Il démontre que « le problème général des Quadratures revient àconstruire une courbe dont les pentes obéissent àune loi donnée » [Leibniz 1693c (trad. fr. 1989), p. 263]. C’est un moment historique crucial, abondamment étudié, oùs’explicite la réciprocité entre le problème des quadratures et celui des tangentes (en termes modernes, le fait que l’intégrationet la dérivation soient des opérations inverses l’une de l’autre). En ce qui nous concerne, l’important est surtout de faire apparaˆıtre le problème des quadratures comme un cas particulier de problème inverse des tangentes, ce qui le fait aussitôtentrer dans le champ des applications concevables du mouvement tractionnel. Vu l’importance théorique et pratique des quadratures, Leibniz va consacrer de grands effort àla conception d’un appareil tractionnel susceptible d’effectuer toutes les quadratures, une sorte d’« intégraphe universel » capable de tracer exactement, d’un mouvement continu, une courbe intégrale de toute courbe donnée. Dans la mesure oùce projet de machine, largement visionnaire, 36 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL constitue une sorte de prototype de toute une catégoried’intégraphes qui seront fabriqués ultérieurement, nous allons naturellement y consacrer une analyse détaillée.

1.4.2 Le projet d’intégraphe universel Commen¸conspar la description des diverses parties de l’appareil (cf. figure 1.16). Le plan de dessin est celui d’une tablette horizontale fixe T AH. Un fil FTC est attachépar son extrémité F àun cylindre plein FE. Une portion CT du fil repose sur la tablette horizontale T AH, tandis que l’autre portion TF s’aligne àla verticale d’un point T du bord rectiligne de la tablette, sous l’effet du poids du cylindre FE, qui tombe dans un cylindre vertical creux TG coulissant le long de AT . Dans les raisonnements, on considérera pour simplifier que le cylindre FE fait partie intégrante du fil, et on parlera de la longueur constante CT + TE comme étant la longueur du fil. Comme c’est désormais l’habitude, l’extrémité C du fil, nouéeàune pointe tra¸cante surmontéed’un poids, est destinée à décriresur le plan de dessin la courbe (C) enveloppée par la partie utile CT du fil lorsque le point T est guidéle long du bord AT de la tablette.

Fig. 1.16 – Projet d’un int´egraphe universel [Leibniz 1693c]

Ce qui est fondamentalement innovant, c’est le systèmequi permet de contrôler la longueur CT utile du fil. Une seconde tablette rectangulaire MLR est accrochéeen position verticale sous le plan de dessin. Elle peut se déplacer parallèlement àelle-même sous l’action conjointe de deux mouvements : d’une part, le point C pousse devant lui, en direction de AT , une règle HR situéedans le plan horizontal perpendiculairement à AH, et cette règleentraˆınela tablette MLR dans un mouvement de translation de direction AH ; d’autre part, le cylindre vertical TF pousse devant lui cette même tablette d’un mouvement de translation de direction AT . Enfin, sur la tablette MLR est tracéeune courbe 1.4. UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL 37 matérielle (E), par exemple au moyen d’une lamelle en relief, sur laquelle le cylindre FE mord constamment grâceàune encoche pratiquéeàson extrémité E. Reste àimaginer comment fonctionne un ensemble aussi complexe ! La source du mouvement, nous dit Leibniz, se trouve dans le cylindre creux TG. Quand on éloigne le point T du point A, on attire le point C. Les mouvements conjoints de T et de C entraˆınent la tablette verticale MLR, ce qui déplace l’extrémité E du cylindre plein le long de la courbe (E). En fin de compte, la longueur CT du fil varie selon une loi entièrement déterminéepar la donnée de la courbe (E), qui est appellée « directrice ». Le texte explique très succinctement que cet appareil permet de tracer la courbe intégrale de toute courbe donnée, moyennant la construction préalable d’une courbe (E) ne faisant appel qu’àla géométrieordinaire. Pour reconstituer le détaildu raisonnement, reportons-nous àla figure 1.17, oùl’on a rabattu la tablette RLM sur le plan horizontal. D’ailleurs, Leibniz lui-même, dans une note ultérieure parue dans les Acta eruditorum du mois suivant, indique que cette tablette, les deux cylindres et la directrice (E) pourraient êtreplacés dans le même plan que la ligne (C) àdécrire [Leibniz 1693d, p. 291]. En effet, du moment que l’extrémité E du fil est guidéedans une rainure ou une glissière le long de la courbe (E), cela ne change rien.

Fig. 1.17 – Application de l’int´egraphe aux quadratures

Prenons pour origine A, pour axe le bord rectiligne AT de la tablette fixe, et notons x = AB et y = BC les coordonnées du point tra¸cant C. Rappelons que la tablette mobile RLM se déplace d’un mouvement parallèlede sorte que son coin R garde la mêmeabscisse que T et la même ordonnéeque C. La longueur de la portion TE du fil est donc une fonction de y = TR, déterminée par la courbe (E) et notée f(y). Par suite, si b désigne la longueur totale du fil, celle de l’autre portion CT est également une fonction de y, qu’on notera a(y) = b − f(y). L’équation différentielle de la courbe (C) s’écrit alors

dy y dx pa(y)2 − y2 = − , ou encore = − . dx pa(y)2 − y2 dy y

La quadrature d’une courbe donnéerevient toujours, moyennant un choix convenable des R y axes, àdéterminer une fonction x = 0 ϕ(t) dt àpartir d’une fonction x = ϕ(y) positive. A` une constante prèset au signe près, cela sera réalisépar l’intégraphe pour peu que l’on 38 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL impose àla longueur du fil de vérifier p a(y)2 − y2 p = ϕ(y), soit a(y) = y 1 + ϕ(y)2. y En définitive, il suffit de choisir un fil de longueur totale b assez grande et de tracer au préalable sur la tablette mobile RLM la courbe (E) définie par les coordonnées y = RT et f(y) = TE = b − yp1 + ϕ(y)2. La fonction ϕ étant donnée, cette courbe (E) se construit bien, comme annoncé, par les moyens de la géométrieordinaire. Il ne fait pas de doute que Leibniz a atteint son objectif de concevoir un intégraphe universel pour les quadratures. L’article se termine par un paragraphe trèsbref, plus que sybillin, dans lequel Leibniz commence par nous dire que si, au lieu de déplacer le point T le long d’une droite, on le dépla¸cait le long d’une courbe (T ) (cf. figure 1.16), alors l’abscisse x du point C inter- viendrait dans le calcul et, de ce fait, on pourrait résoudre tout problème d’inversion des tangentes. Tentons de décrypter cette annonce aussi alléchante que mystérieuse àpartir du schéma de la figure 1.18.

Fig. 1.18 – Application de l’int´egraphe au probl`eme inverse des tangentes

La nouveauté, comme on vient de le dire, est que le point T est guidéle long d’une courbe (T ) quelconque. On imaginera que le bord de la tablette a étédécoupéle long de cette courbe, ou alors qu’on a installésur la tablette une rainure ou une glissièreayant la forme voulue. Si on note t = AD l’abscisse du point T , son ordonnée u(t) = DT est une fonction de t déterminéepar la courbe (T ). Les longueurs des deux portions CT et TE du fil, qui dépendent directement de la distance RT , ne sont plus maintenant fonction de y, mais de y − u(t) ; on les notera a(y − u(t)) et f(y − u(t)). Compte tenu de ces éléments, la courbe (C) vérifie l’équation dy y − u(t) = − . dx pa(y − u(t))2 − (y − u(t))2

En éliminant t entre l’équation précédente et la relation (t−x)2 +(y−u(t))2 = a(y−u(t))2, on aboutit àune équation différentielle de la forme dy = F (x, y). dx 1.4. UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL 39

Réciproquement, pour construire cette équation différentielle avec l’intégraphe, il suffit de construire préalablement deux courbes : une courbe (T ) sur la tablette fixe, de coordonnées AD = t et DT = u(t), et une courbe (E) sur la tablette mobile, de coordonnées RT = z et TE = f(z) = b − a(z). Leibniz a donc tout àfait raison quand il préditque l’introduction d’une courbe (T ) va faire intervenir l’abscisse x dans le calcul et conduire àun problèmeinverse des tangentes plus généralque celui des quadratures. Cependant, la faisabilitéde la construction pour une équation différentielle donnée a priori ne manque pas de susciter des interrogations. Existe- t-il toujours des fonctions u et a permettant d’effectuer le calcul précédent àl’envers ? Si oui, comment les calculer explicitement ? La construction va-t-elle fournir la totalitéd’une courbe intégraleou seulement une portion de la courbe ? Pourra-t-on construire toutes les courbes intégralesou seulement certaines d’entre elles ? Vu la sobriétédes commentaires de Leibniz, il est probable qu’il n’a obtenu aucune réponse significative àces questions. Les toutes dernières lignes de l’article évoquent un appareillage moins compliquépour le cas d’une courbe définie par une relation faisant intervenir seulement la tangente TC et la resecte AT . Naturellement, Leibniz pense ici àune généralisation du problème de Bernoulli. Dans ce cas, comme les coordonnées x et y n’interviennent plus en tant que telles dans la formulation du problème, il n’est plus besoin de mettre en jeu une courbe mobile guidéepar le point C. On peut se contenter de fixer la tablette verticale RLM sous le bord rectiligne AT de la tablette horizontale, ou tout simplement la poser àplat àcôté (cf. figure 1.19). Par hypothèse, la tangente CT est une fonction donnée a(t) de la resecte t = AT . Il suffit donc de contraindre la portion CT du fil àavoir pour longueur a(t), ce qui se fait en construisant au préalable sur la tablette RLM la courbe auxiliaire (E) de coordonnées AT = t et TE = f(t) = b − a(t).

Fig. 1.19 – Application de l’intégraphe au problème généraliséde Bernoulli

Leibniz n’explicite lànon plus aucun calcul, quoique la situation soit devenue plus abor- dable. Pour cette dernière configuration de l’intégraphe, la courbe (C) vérifie l’équation

dy y y = − = . dx pa(t)2 − y2 x − t 40 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

On en tire t = x − y dx/dy, ce qui permet d’éliminer t en reportant cette valeur dans la relation (t − x)2 + y2 = a(t)2. On aboutit àl’équation différentielle

dx2 y dx2 y2 1 + = a x − . dy2 dy

Pour le cas du problème initial de Bernoulli, dans lequel a(t) = pt, on retrouve bien l’équation dx2 y dx2 y2 1 + = p2 x − , dy2 dy qui avait étérencontréesous la forme équivalente

y2(dx2 + dy2) = p2(x dy − y dx)2.

En parvenant au terme de cet article de septembre 1693, on est impressionnépar l’acharnement mis par Leibniz àconcevoir un appareil mécanique d’intégrationqui soit potentiellement d’usage trèsgénéral,tout autant que par la théorievisionnaire, quoique sommairement développée, qui l’accompagne. Nous retiendrons en prioritél’intuition encore un peu vague que pour construire une équation différentielle àl’aide d’un mouvement tractionnel, on a besoin de deux courbes auxiliaires. La première courbe, la base de la tractoire, est une courbe fixe sur laquelle on tire une extrémitédu fil. La seconde courbe, la directrice, sert àcontrôleràchaque instant la longueur de ce mêmefil. Dans la vision de Leibniz, c’est une courbe mobile – éventuellement fixe – qui se déplace d’un mouvement parallèledépendant conjointement des mouvements des deux extrémités du fil.

1.4.3 Réactions àl’intégraphede Leibniz Comme on s’en doute, Leibniz est impatient de connaˆıtre l’avis de Huygens sur sa construction généraledes quadratures par un mouvement tractionnel. Dans la lettre du 11 décembre 1693 dont on a déjàcitéun extrait, il le lui demande explicitement : Je ne laisse pas de preferer la construction de la traction, non pas tant àcause des logarithmes, qu’a cause de consequences, qui sont d’une grande étendue,puisqu’elle sert à construire toutes les quadratures par un mouvement exact et reglé, dont je souhaitte d’ap- prendre vostre jugement [Leibniz 1693f, p. 169]. Il faut comprendre que, pour Leibniz, la possibilitéde construire par un mouvement continu toutes les quadratures revêtune importance théorique considérable. En effet, les géomètresont pris l’habitude de ramener, via la séparation des indéterminées, un grand nombre d’équations différentielles àdes quadratures de courbes algébriques. Pour com- pliquer l’affaire, ces quadratures ne se réduisent pas toujours àcelles du cercle et de l’hyperbole : elles font apparaˆıtre d’autres fonctions transcendantes. La justification glo- bale d’une telle démarche et la réalisation de tracés effectifs sur le papier supposent que l’on sache construire en pratique une courbe quadratrice d’une courbe donnée. Certes, il y a bien des constructions approximatives par points que l’on imagine aisément, mais cela n’est pas satisfaisant. Face àune telle difficulté,les géomètres ont d’ailleurs souvent tenté de ramener les quadratures àdes rectifications, en s’appuyant sur la constatation qu’il est plus facile de mesurer la longueur d’une courbe que son aire (on peut penser àun fil que l’on applique le long de la courbe, ou àun curvimètre, cet appareil trèssimple forméd’une roue et d’un compte-tours). Par sa construction de toutes les quadratures d’un mouvement continu, Leibniz lève les doutes qui pourraient subsister vis-à-visde la méthode de résolution consistant àramener 1.4. UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL 41 les problèmes àdes quadratures. D’un seul coup, les courbes transcendantes issues de l’inté- gration des équations différentielles àvariables séparables – autrement dit le pain quotidien des nouveaux géomètres – sont mises sur le même pied que les courbes algébriques de Descartes. Huygens ne se presse pas pour répondre àla demande de Leibniz. Il préfère discuter d’abord du sujet avec L’Hospital, àqui il fait part, le 24 décembre 1693, d’une appréciation plus que réservée : Je ne scay si vous aurez vu ce que Mr. Leibnitz a fait publier dans le journal de Leip- sich touchant les Tractoriæ avec un titre fort pompeux, comme s’il donnait une methode universelle et meilleure que nulle autre pour les Tangentes. J’en apprendrai volontiers vostre sentiment, car pour moy je ne trouve rien de plus pauvre ni de plus inutile, vu les descriptions embarasséeset tout àfait impraticables qu’il apporte. Car àpeine pourroit on construire avec quelque exactitude cette simple Tractoria, que j’ay donnée,laquelle il prétend avoir reconnue devant moy, (de quoy on pouroit douter) pour quadratrice de l’Hyperbole [Huygens 1693k, p. 578-579]. Dans sa réponse àHuygens du 18 janvier 1694, L’Hospital abonde dans le même sens : J’ai lûce que vous me mandez de mr Leibnitz, et j’ai trouvéqu’il repondoit si peu au titre fastueux, qu’a peine ay-je eu la patience de le lire, car sa machine est si fort composée, et tellement embarasséequ’elle ne peut estre d’aucun usage dans la pratique, et de plus cela ne donne aucune vûenouvelle pour l’inverse des tangentes [L’Hospital 1694, p. 580]. On comprend que Huygens, gênéen raison de cette opinion fort négative partagée avec L’Hospital et, par ailleurs, visiblement vexéqu’un autre s’attribue l’antérioritéde l’étude de la tractrice, n’ait pas envoyéd’avis àLeibniz. Ce dernier revient àla charge dans une lettre du 26 avril 1694 : Je me consoleray de toutes les raisons de vostre silence, pourvu que ces deux n’en soyent point, une indisposition de vostre part, ou quelque refroidissement àmon égard, que je m’imagine de ne pouvoir meriter, vous honorant comme je fais, et dont je donne des temoignages publics. J’attendois votre sentiment sur [...] ma solution generale de toutes les quadratures per constructionem tractoriam, que vous aurésremarquée dans les Actes de Leipzig [Leibniz 1694b, p. 170-171]. Le 29 mai 1694, Huygens se décide enfin àrépondre àLeibniz : Touchant l’application que vous avez faite des Tractoriæ àla quadratures des Courbes, j’avoue que je n’y puis trouver cet avantage que vous promettez, car ces descriptions sont tres embarassées,et incapables d’aucune exactitude. A peine peut on tracer avec quelque justesse cette premiere et plus simple que j’ay proposée,celles de Mr. Bernouilli estant desia beaucoup plus difficiles, desquelles j’ay envoièla maniere, par des rouleaux et des cordes, à Mr. le Marquis, comme aussi l’equation que j’avois trouuéepour ces lignes et la construction universelle du probleme. Il est vray, comme vous dites, que toute courbe est Tractoria, mais je n’en vois point qu’il vaille la peine de considerer que celles dont je viens de parler [Huygens 1694a, p. 611]. Il est patent que Huygens et L’Hospital sont avant tout rebutés par la complication de l’appareil soumis àleur jugement. Effectivement, en dépit d’un principe de fonctionnement assez clair, on reste encore fort loin d’un instrument opérationnel. Comment êtrecertain que ses diverses parties peuvent se mouvoir harmonieusement, en respectant précisément les conditions imposées et sans entraˆınerde blocage ? Comment s’assurer que le mouvement du point tra¸cant s’effectue bien dans la direction du fil, sous l’effet de la seule traction, sans êtretroublépar la règlerigide que le point tra¸cant doit pousser devant lui ? Comment vérifier que le fil ne va jamais se détendre ? De nombreuses études complémentaires d’ordre technologique semblent nécessaires pour passer du projet àla réalisation. Huygens sait de 42 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL quoi il en retourne, lui qui a déjàdûsurmonter tant d’obstacles dans la conception de ses propres instruments, pourtant beaucoup plus simples, pour la tractrice et le problème de Bernoulli. C’est probablement pour cela que, polarisésur l’aspect purement technique, il n’a pas suivi Leibniz dans sa volontéde placer la discussion àun autre niveau. Ce dernier est alors amenéàse défendre et àpréciser son point de vue dans sa réponse àHuygens du 22 juin 1694 :

Quant àma construction generale des quadratures par la traction, il me suffit pour la science qu’elle est exacte en theorie, quand elle ne seroit pas propre àestre executée en practique. La pluspart des constructions les plus geometriques, quand elles sont composées,sont de cette nature. Comme par exemple, les regles du Mesolabe organique de Mr. Descartes ne s¸cauroient operer exactement, lorsqu’elles doivent estre un peu multipliées. Et quoyque Mr. Descartes ait proposéde construire les equations du 5e ou 6e degrépar un mouvement de la parabole materielle, je crois qu’on auroit bien de la peine àfaire une telle construction avec exactitude, pour ne rien dire des degrésplus hauts. Cependant la construction generale de toutes les quadratures est infiniment plus difficile, et neantmoins je crois que les difficultés pourroient estre assésdiminuéesen practique en se servant d’une bonne appression. Car non obstant tous les embarras apparens, l’appression faisant son devoir, la ligne de la traction ne s¸cauroit manquer de toucher la courbe. Mr. Bernoulli le cadet ayant consideréattenti- vement ma description en a reconnu et admiréla verité, quoyqu’il croye aussi qu’il seroit difficile de la bien executer. Je voudrois avoir des moyens semblables bien generaux pour construire les autres equations differentielles ou les courbes ex tangentium natura [Leibniz 1694c, p. 181-182].

Leibniz dira souvent, pour se justifier, que la complication de son mécanisme ne le cède en rien àcelle des systèmes articulés de Descartes. Dans les deux cas, en dehors de quelques cas simples, les appareillages deviennent vite inextricables. De toute fa¸con, l’intégraphe proposéne doit êtreconsidéréque comme un prototype, destinéàêtreaméliorédans le futur grâce aux progrès de la technologie. Dans l’immédiat,Leibniz ne demande pas qu’on le juge sur cet appareil encore rudimentaire, comme l’ont fait Huygens et L’Hospital, mais plutôtsur la théorie qui l’accompagne. L’essentiel est bien que la construction générale des quadratures par le mouvement tractionnel soit théoriquement exacte, même s’il faudra forcément attendre un peu pour une éventuelle mise en pratique àl’aide d’instruments fiables. Comme l’indique le passage précédent, Leibniz a étéheureusement confortédans son point de vue par l’attitude de Jean Bernoulli, qui, comme lui, s’est placéen prioritésur le plan théorique. Les commentaires de Bernoulli sont bien développés dans une lettre à Otto Mencke du 28 octobre 1693 :

Dans la dernière livraison du mois de septembre des Acta eruditorum, on pouvait voir une réalisation générale des quadratures par le mouvement due àl’illustre Leibniz, que je trouve vraiment ingénieuse. J’avais déjàdes idées presque semblables depuis quelque temps, inspirées par ce que le noble Huygens a publiédans l’Histoire des ouvrages des s¸cavants, mais mon intention était de trouver une méthode générale par laquelle toutes les courbes, aussi bien géométriques que mécaniques, puissent être décrites par le mouvement àpartir d’une propriétéde leurs tangentes. Le fait est que la méthode de Leibniz pour décrireles courbes mécaniquessuppose des courbes géométriques déjàtracées, mais dont la plupart ne peuvent êtreconstruites que par un grand nombre de points (ce qui est des plus fastidieux). Cependant, notre Leibniz a établi beaucoup de grandes choses admirables, en ceci qu’il a déterminéle premier, en toute généralité, la quadrature des surfaces et la rectification des courbes par le mouvement. Le seul inconvénient que je trouve àla méthode, c’est de pouvoir difficilement êtremise en pratique en raison de l’appareillage composéde la machine, si ce n’est dans quelque cas oùelle devient plus simple. Du reste, il me semble que j’ai déjàune 1.4. UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL 43

fa¸conde rendre la machine un petit peu plus avantageuse, puisque je découvre que toute l’affaire peut se déroulerdans un même plan.4 On ignore par quel canal ces commentaires sont parvenus àLeibniz, mais ce dernier, dans une lettre àJean Bernoulli du 21 mars 1694, se réjouit de leur teneur et y répond soigneusement [Leibniz 1694a, p. 136]. En ce qui concerne la courbe géométrique en relief qui sert de directrice et dont Bernoulli regrette la construction préalable par points, Leibniz répond qu’on peut la remplacer par un systèmede règles rigides permettant une description continue. Quant àla suggestion de disposer la totalitéde l’appareil dans un même plan, il rappelle qu’il l’a déjàfaite lui-même, ainsi que l’atteste la note publiéedans les Acta eruditorum d’octobre 1693 [Leibniz 1693d, p. 291]. Dans sa réponse du 9 mai 1694, Jean Bernoulli raconte enfin qu’il a expliquéla méthode des quadratures par le mouvement àson frère, qui s’inquiétaitde son obscurité, et que ce dernier en a reconnu la grande valeur [Jean Bernoulli 1694a, p. 138].

1.4.4 Généralisation de la construction de Jacques Bernoulli Jacques Bernoulli, convaincu par son frère de l’intérêt des idées de Leibniz, va revenir dans la fouléesur sa propre construction avec une équerre et un fil. Conformément àla suggestion faite par Leibniz àla fin de l’article de septembre 1693, il reprend l’étude de la configuration qu’il avait introduite auparavant, en rempla¸cant àprésent la droite EF par une courbe quelconque (cf. figure 1.20).

Fig. 1.20 – Equerre´ et ﬁl de longueur variable [Jacques Bernoulli, av. 1696, p. 284]

Pour suivre ces nouvelles recherches, on dispose d’un court manuscrit [Jacques Ber- noulli, av. 1696], dont la date est estim´ee entre septembre 1694 et juin 1696, et d’un non moins court article paru dans les Acta eruditorum de juin 1696 sous le titre « Constructio

4 « In ultimo ad nos delato Actorum mense Septem. videre licuit Celeb. Leibnitii generalem tetragonismorum effectionem per motum, quam sane peringeniosam deprehendo ; jam ab aliquo tempore similes fere habebam cogitationes ex occasione eorum quæ Nob. Hugenius in Hist. Erudit. publicavit, intentio autem mea erat excogitare modum generalem, quo omnes curvæ tam Geometricæ quam mechanicæ ex tangentium proprietate per motum describi possent ; modus quippe Leibnitii quo mechanicæ describuntur, supponit Geometricas jam descriptas, quarum autem pleræque non nisi per inventionem infinitorum punctorum (id quod summe operosum) construi possunt. Interim multa et miranda præstitit Magnes noster Leibnitius eo quod generaliter spatiorum quadraturas et curvarum rectificationes primus per motum quasi Geometrice determinavit ; hoc unicum incommodum reperio, quod ob compositum machinæ apparatum in praxi vix adhiberi possit, nisi in quibusdam casibus ubi simplicior evadit ; cæterum mihi videor jam habere modum, quo machinatio aliquantulum compendiosior reddi possit, si quidem totum negotium in unico plano posse deprehendo » [Jean Bernoulli 1693b, p. 134-135]. 44 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL mechanicarum curvarum omnium ope logarithmicæ & alterius facile per tractionem des- cribendæ » [Jacques Bernoulli 1696]. L’article contient des résultats énoncés sans démons- tration, tandis qu’on trouve sur le manuscrit une suite de calculs correspondant manifes- tement aux mêmes résultats en dépit de notations différentes. Quant àla figure illustrant l’article (cf. figure 1.21), elle s’est enrichie par rapport àcelle du manuscrit (cf. figure 1.20).

Fig. 1.21 – Une construction tractionnelle des quadratures [Jacques Bernoulli 1696, p. 149]

Le but de l’article est de fournir une construction de toute quadrature en utilisant seulement une courbe logarithmique et un mouvement tractionnel simple. Soit donc une équation a dy = t dx, où a est une constante et t une fonction donnée de x. Bernoulli propose sans explication la construction suivante pour déterminer y :

1. On choisit des droites parallèles AB et CD distantes d’une longueur arbitraire AC. 2. On construit la courbe K de coordonnées BE = x et EF = 2a/t. 3. On trace une tractoire de la courbe K avec une équerre qui glisse le long de la droite CD et un fil F GH dont on guide l’extrémité F sur la courbe K. On a donc GH = GH + GF − GF = AC − GF = EF = 2a/t. 4. Une fois la tractoire tracée,on construit la courbe M de coordonnées BE = x et GH + GD EL = y = ln . GH − GD Pour cela, àpartir d’un point quelconque E de la droite AB, on mènela perpendiculaire EG àla droite CD, puis on trace le cercle de centre G et de rayon EF , qui coupe la tractoire en H, et on mène la perpendiculaire HD àla droite CD ; on dispose alors des quantités GH et GD pour achever la construction de y.

J’ai tentéde reconstituer la preuve de cette construction en adaptant les calculs du brouillon préparatoire de Bernoulli. Introduisons les notations complémentaires CG = z, GD = u, DH = v et GH = p. Cherchons une équation de la tractoire en repérant 1.4. UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL 45 son point courant H par les coordonnées CD = z + u et DH = v. En remarquant que dz = d(CG) = d(AB − BE) = −dx, il vient successivement dv v = d(z + u) u

dpp2 − u2 pp2 − u2 = d(z + u) u p dp − u du pp2 − u2 = pp2 − u2(du − dx) u up dp − u2 du = (p2 − u2)(du − dx) u u2 dp + 1 − dx = du. p p2 La forme de cette dernière équation incite àposer u = pq. On obtient alors

q dp + (1 − q2) dx = p dq + q dp, soit encore dx dq = . p 1 − q2 On peut penser que, dans un premier temps, Bernoulli cherchait simplement àdéterminer la tractoire tracée avec son équerre et son fil, mais que, une fois arrivéàl’équation précédente, il a eu l’idéede la rapprocher de l’équation différentielle générale traduisant une quadrature, àsavoir a dy = t dx. Voilàpourquoi il a choisi GH = p = 2a/t comme longueur utile du fil. En effet, cette valeur permet d’écrire dx t dx dy = = , p 2a 2 ce qui conduit àune équationdifférentielle 2 dq dy = 1 − q2 qui s’intègre sans difficulté.En tenant compte du fait que q = u/p = GD/GH < 1, la solution y s’écrit, àune constante près, 1 + q p + u GH + GD y = ln = ln = ln . 1 − q p − u GH − GD Ainsi, la formule proposéedans l’article et la construction qui s’ensuit sont pleinement justifiées. Le résultat obtenu par Bernoulli est d’une grande importance. Sur le plan théorique, il exprime que, moyennant un mouvement tractionnel simple, toutes les quadratures de courbes algébriques se ramènent àcelle de l’hyperbole. C’en est terminéavec l’ennui de l’apparition indéfinie de nouvelles transcendantes. Sachant que la quadrature de l’hyperbole dépend elle aussi d’un mouvement tractionnel simple, on aboutit finalement àune autre manièreque celle de Leibniz de réaliser toutes les quadratures par le mouvement. Cependant, du point de vue pratique, la mise en œuvre est considérablement simplifiée : plus besoin d’un appareillage complexe et contesté; sous réserve de connaˆıtre les logarithmes, une équerre et un fil suffisent. De manièreéquivalente àl’équerre et au fil, on 46 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL peut conserver l’intégraphe de Leibniz en se limitant àsa version la plus commode (celle oùla directrice est tracéesur une tablette fixe). La méthode de Bernoulli s’étend aussitôtàtoutes les équations différentielles dans lesquelles on a réussi àséparerles variables. En effet, pour construire une équation de la forme r dy = t dx, il suffit d’introduire une variable intermédiaire z telle que r dy = a dz = t dx. Par la procédure étudiéeplus haut, on sait construire deux courbes, l’une exprimant la relation entre y et z, l’autre la relation entre z et x. A` partir de ces deux courbes, on en construit facilement une troisième traduisant directement la relation entre y et x. Cet article de 1696 n’a eu, àma connaissance, aucun écho direct par la suite. On y trouve pourtant un nouvel usage fort prometteur des tractoires. Dans toutes les situations rencontrées auparavant, la tractoire était directement la courbe intégrale cherchée. Jacques Bernoulli, pour la première fois, se sert d’une tractoire en tant que courbe auxiliaire à partir de laquelle on construit ensuite, par des procédésplus classiques, la courbe intégrale cherchée.Cela apporte indéniablement de la souplesse àla méthode tractionnelle : quand on s’obstine àidentifier strictement l’équation différentielle d’une tractoire àune équation différentielle donnée a priori, il apparaˆıt très vite de grandes complications calculatoires pour expliciter la bonne base et la bonne directrice (on l’a vu àpropos de l’intégraphe de Leibniz) ; par contre, si l’objectif est seulement de trouver un lien entre les deux équations qui ramène la construction de l’une àla construction de l’autre, on dispose d’une marge de manœuvre plus confortable. Plus tard, Euler et Vincenzo Riccati ne procéderont pas autrement.

1.5 Les courbes des chaloupes

Revenons àune autre lignée de recherches, celle qui est issue du problème de la courbe des chaloupes. On se souvient que Varignon, en 1693, avait découvert la tractrice de manièreindépendante en cherchant la courbe décrite par une chaloupe qu’on traˆıne le long du bord d’une rivièreavec une corde. Ce problèmeet ses diverses généralisations vont donner lieu àune correspondance suivie entre Varignon, Jean Bernoulli et L’Hospital. Le thème dominant du nouveau débatest l’étude de la traction en tant que phénomènedyna- mique, et non plus son emploi au service de la construction des courbes, aussi son contenu n’a qu’un rapport indirect avec notre histoire. Cependant, ces travaux sur la traction vont jouer un rôlenon négligeable dans la mesure oùils vont contribuer àdiffuser et àentretenir les connaissances de base sur la tractrice et sur le mouvement tractionnel. En France, en particulier, la tractrice sera durablement associéeàla courbe des chaloupes. Comme nous le verrons, c’est sous cet habillage qu’elle fera son entréeofficielle àl’Académieroyale des sciences de Paris en 1711.

1.5.1 Un train de chaloupes Peu après la réception du marquis de L’Hospital àl’Académie, Varignon soumet à l’assembléele problèmesuivant, ainsi qu’il le raconte àJean Bernoulli dans une lettre du 29 juin 1693 (cf. figure 1.22) : [...] je remis la courbe des chaloupes sur le tapis, & àcette occasion je parlay du problême des tangentes des courbes decrites sur une table partant de poids B, C, K, &c. qu’on voudra donner fixes sur une corde BCKD trainéepar une de ses extremitez D le long de EH. Je l’ay resolu [Varignon 1693c, p. 36]. Ainsi, ce n’est plus un poids que l’on tire sur une table (ou une chaloupe sur un plan d’eau) mais un train de poids (ou de chaloupes) reliésentre eux par des cordes. Pour le 1.5. LES COURBES DES CHALOUPES 47 dernier poids B, qui n’est soumis qu’àla traction du fil BC, on se retrouve dans une situation déjàconnue : la courbe BF décritepar B reste constamment tangente au fil BC. Le problèmeest plus complexe en ce qui concerne les poids intermédiaires C et K, car ils sont entraˆınéspar un mouvement composé. Dans ce cas, les tangentes aux courbes CG et KL qu’ils décrivent ne co¨ıncident plus avec les directions des fils CK et KD.

Fig. 1.22 – Les courbes des chaloupes selon Varignon [1693c, p. 37]

Il est inutile de s’attarder sur la construction des tangentes proposéepar Varignon : elle devait s’avérerfausse, ainsi qu’il le reconnaˆıtralui-même dans une lettre ultérieure [Varignon 1693d, p. 41]. La bonne construction a ététrouvée par Jean Bernoulli [1694b]. Elle est exposée dans une lettre àL’Hospital du 22 juillet 1694, au sein d’une petite note annexe intitulée « Maniere de tirer les touchantes des courbes des chalouppes , et celles des courbes decrites par les poins moyens entre les chalouppes ». Avec les nouvelles notations de la figure 1.23, on s’intéresse àprésent àune corde ABCN qui entraˆıneavec elle des poids attachés A, B et C, et dont on tire l’extrémité N le long d’une courbe quelconque NO.

Fig. 1.23 – Les courbes des chaloupes selon Jean Bernoulli [1694b, p. 233]

La courbe AH, comme on l’a dit, reste tangente au fil AB. Pour trouver la tangente àla courbe BL, Bernoulli raisonne sur la quantitéde mouvement Be qui serait celle du poids B en l’absence du poids A. Il remarque que sa composante Bb perpendiculaire à AB n’est pas affectée par la résistance du poids A, tandis que sa composante BE = be dans la direction de AB est diminuéedans la proportion be . bi :: A + B.B. Le point i 48 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL ainsi construit fournit la tangente Bi cherchée.De fa¸conanalogue, la tangente Co àla courbe CM est déterminée en faisant intervenir la résistance conjointe de A et de B au mouvement du poids C. La construction se fait grâceàla quantité co déterminéepar la proportion A × BE + B + C.C :: cf . co. Be La figure 1.24 propose une simulation du mouvement de ce train de chaloupes dans le cas oùles poids A, B et C sont égaux. La courbe décrite par A est une tractoire de la courbe décritepar B, mais ensuite, les courbes décritespar B et C ne sont plus des tractoires en ce sens qu’elles ne sont plus tangentes au fil qui les trace.

Fig. 1.24 – Les courbes des chaloupes

Comme l’indique le titre de la note de Jean Bernoulli àL’Hospital, les deux géomètres se sont aussi interrogéssur la nature des courbes décrites par les « points moyens entre les chaloupes ». Il s’agit, plus précisément, de construire la tangente àla courbe décrite par un point situésur l’un des segments AB, BC ou CN. Dans le cas le plus simple d’un seul poids tiréle long d’une droite, poids qui décrit donc une tractrice, un point intermédiaire du fil décrit une nouvelle courbe appelée « syntractrice ». La figure 1.25 montre deux syntractrices décrites par les points C de D du fil AB. Nous n’étudierons pas plus avant ces nouveaux problèmes et ces nouvelles lignes, que L’Hospital a d’ailleurs fait figurer en bonne place dans son Analyse des infiniment petits [L’Hospital 1696, p. 38-40]. Retenons simplement que c’est probablement grâceàces débats sur les courbes des chaloupes que la tractrice n’a pas sombrédans l’oubli en France.

1.5.2 Quand la tractrice entre àl’Académie Varignon et L’Hospital ayant soulevépubliquement le problèmede la courbe des chaloupes lors des séances de l’Académie, il était inévitable que les propriétés de la tractrice retiennent d’une fa¸conou d’une autre l’attention de la docte assemblée. La preuve en est que, quelque temps plus tard, le 28 mars 1711, un certain Bomie présente àl’Académie un mémoire intitulé « Propriétésde la tractrice ». Ce mémoire devait être publiél’année suivante [Bomie 1712]. Sur le dénomméBomie, je n’ai pu trouver aucun renseignement, pas mêmeson prénom.Dans le texte de présentation du mémoire, le secrétaire perpétuel Bernard de Fontenelle écrit : 1.5. LES COURBES DES CHALOUPES 49

Fig. 1.25 – Courbes syntractrices

Si un Bateau est éloignédu Rivage de la longueur d’une certaine Corde, que l’on doit par conséquent imaginer comme perpendiculaire au rivage, & qu’un Homme prenant d’abord la corde en cette position tire le bateau, en marchant toûjoursd’un pas égalle long du rivage supposéparfaitement droit, & toûjourssur le bord ; il est visible que le bateau [...] décritune Courbe dont le rivage est l’Asymptote [...]. La Corde sera toûjoursTangente de la Courbe, [...] & comme cette Corde est toûjoursla même, c’est une Courbe qui a une Tangente constante, propriétéqui lui est particuliére.On l’a appelée Tractrice, & M. Bomie a entrepris de l’examiner [Fontenelle 1711, p. 59-60].

Ce passage confirme que, pour les mathématiciens fran¸cais, la tractrice est désormais intimement associéeàla courbe des chaloupes de Varignon. L’épisode de Perrault, quoique parisien, a étéoublié. Bomie, qui a visiblement pour principale source l’article de Huy- gens de 1693, se fixe pour objectif de démontrer complètement et rigoureusement l’ensemble des propriétés qui étaient jusque-làseulement énoncées. Tout se passe comme si les académiciens, convaincus de l’importance de la tractrice, lui avaient passécommande d’un mémoire récapitulatif sur le sujet. En tout cas, que ce soit l’effet d’une commande ou d’une initiative personnelle, il faut reconnaˆıtre que Bomie s’est acquittéfort consciencieusement de cette tâche. Et la conclusion àlaquelle il parvient est particulièrement digne d’intérêt:

Il est aiséde voir que si l’on peut trouver une maniérede décrire par un mouvement continu la Tractrice, on aura par ce moyen la quadrature de l’hyperbole, une manièrefacile de décrire la logarithmique, un moyen de trouver les logarithmes des Tables, & de trouver tous les points de la Chaˆınette [Bomie 1712, p. 222].

Par cette phrase trèsdense, Bomie résume parfaitement la problématique théorique sous-jacente àla tractrice. Cependant, il est clair que, pour lui, on ne dispose pas encore du matériel nécessaire pour passer àla pratique. Si Huygens a probablement fait quelques essais en privé,aucun appareil n’a jamais étéprésentépubliquement. Personne n’a pu vérifier la faisabiliténi la précision de nouvelles constructions largement demeurées àl’état virtuel. La balle est maintenant dans le camp des facteurs d’instruments. On n’attend plus que des esprits pratiques et ingénieux pour rendre opérationnels tous ces projets d’appareils tractionnels àpeine esquisséspar Huygens, Leibniz ou Jacques Bernoulli. 50 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

1.6 John Perks, un Anglais `apart

Nous voici presque arrivésau terme d’une première période de l’histoire du mouvement tractionnel. Il est apparu qu’elle s’organisait principalement autour de la tractrice, depuis la montre de Perrault dans les années 1670 jusqu’àla synthèse théorique de Bomie en 1711. Bien entendu, il ne faut pas oublier qu’entre les personnages mineurs Perrault et Bomie, ces deux arbres cachant la forêt,se sont intercalés les plus grands mathématiciens de l’écoleleibnizienne de calcul différentiel. Nous leur devons des généralisations fécondes de la tractrice, d’importantes ouvertures théoriques et des projets variésd’instruments pour légitimer et construire les courbes transcendantes. On ne manque pas, cependant, de remarquer que toutes ces recherches se sont déroulées sur le continent. Que s’est-il donc passéen Angleterre depuis les quelques lignes écrites par Newton en 1676 sur la courbe aux tangentes constantes ? La réponse est que, curieusement, l’Angleterre est restéepresque totalement en dehors du courant scientifique que nous étudions. Une seule exception est à signaler : celle d’un mathématicien isoléet quasiment inconnu, John Perks, àqui l’on doit pourtant quelques réalisations remarquables.

1.6.1 Un math´ematicien amateur de province

Sur John Perks, on ne sait pas grand chose. Ce géomètre qui a travaillédans les premièresdécennies du dix-huitièmesiècle a étéimmédiatement oubliéet, jusqu’ànos jours, n’a quasiment jamais étécitépar les historiens des sciences. On doit heureusement àOlaf Pedersen [1963a] de l’avoir retrouvéet d’avoir analyséson œuvre. Les seules informations biographiques disponibles sont, en gros, que Perks vivait dans le comtéde Worcester, qu’il possédait le titre de Master of Arts et qu’il enseignait dans une institution de charitéhébergeant et éduquant des gar¸cons de familles pauvres. Il semble qu’il n’ait eu aucun contact avec les cercles savants de son temps. On peut voir en lui une sorte de mathématicien amateur de province, comme il en existait un assez grand nombre àl’époque [Pedersen 1963b]. Perks est toutefois sorti du lot en envoyant aux Philosophical Transactions trois articles qui ont étéacceptés pour publication. Le premier article, insérédans le volume de 1699, ne nous concerne pas directement ici : il traite de la quadrature de certaines parties de la lunule d’Hippocrate de Chio. Par contre, les deux textes suivants sont àexaminer de près, car il y est question de la description mécanique des courbes transcendantes. L’un est paru dans le volume de 1706 sous le titre « The construction and properties of a new quadratrix to the hyperbola » [Perks 1706], l’autre dans le volume de 1714-1715-1716 sous le titre « An easy mechanical way to divide the nautical meridian line in Mercator’s projection, with an account of the relation of the same meridian line to the curva catenaria » [Perks 1714-1716]. Proposons-nous donc de parcourir successivement le contenu de ces deux articles.

1.6.2 Une nouvelle quadratrice de l’hyperbole

En 1706, Perks annonce l’invention d’une nouvelle quadratrice de l’hyperbole. La courbe en question est caractérisée par la propriétéque la somme de sa tangente et de sa sous-tangente est constante. Les raisonnements mis en œuvre àcette occasion sont rédigés dans un style que l’on pourrait qualifier d’ancien : il s’agit essentiellement de géométrie synthétique avec cependant, àpetite dose, l’emploi des fluxions. La plus grande originalité de l’article réside de loin dans la description détaillée d’un instrument destinéàtracer la nouvelle courbe (cf. figure 1.26). 1.6. JOHN PERKS, UN ANGLAIS A` PART 51

Fig. 1.26 – Instrument de Perks pour la quadrature de l’hyperbole [Pedersen 1963, p. 6]

Deux règles AB et CD sont fixées entre elles àangle droit au point B. La règle CD peut glisser le long d’une règle SO solidaire de la table àdessin. Une quatrième règle EF est poséesur le téformépar AB et CD. A` l’extrémité E se trouve une petite roulette de laiton d’axe P , dont le plan est perpendiculaire àla table àdessin. Une pièce de bois en forme de quadrant circulaire centréen P est fixéesous la règle EF ; elle assure que le centre de la roulette va toujours rester àla même distance du bord de la règle AB. Enfin, une corde LRM est attachéepar une extrémitéàun point L de la règle EF et par l’autre extrémitéàun point M de la règle CD situéàla même distance que P de la règle AB. Une pointe passéeen R derrière le fil permet de tendre ce dernier le long de EF et de CD. Lorsqu’on pousse la pointe R vers la droite, cela met en mouvement l’ensemble formé par les trois règles CD, AB et EF . La roulette d’axe P , dont le bord est légèrement aiguisé, imprime alors sur le papier une courbe constamment tangente au bord de la règle EF . De plus, la présence du fil LRM garantit l’invariance de la somme PR + RM, c’est-à-dire de la somme de la tangente et de la sous-tangente àla courbe. On est frappéde constater que cet instrument tractionnel assez spectaculaire permet de construire exactement, sans engager le moindre calcul, un problèmeinverse des tangentes non évident a priori. Il reste àcomprendre en quoi le problème est liéàla quadrature de l’hyperbole. Notons x et y les coordonnées du point P , τ = PR la tangente, σ = MR la sous-tangente et a = PR + MR la constante imposéepar l’appareil. Dans la position de la figure 1.26, il vient dy y y dx = − , d0où σ = − . dx σ dy L’équation différentielle de la courbe, τ + σ = a, s’écrit alors s dx2 dx y2 + y2 − y = a, dy2 dy ou encore s dx2 dx y 1 + = a + y . dy2 dy En élevant au carréet en simplifiant, on obtient dx y a = − . dy 2a 2y 52 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

Avec les conditions initiales x = 0 et y = a (correspondant au cas oùla règle EF est placée en position de départ perpendiculaire à CD), l’intégrationconduit àl’équation finie

y2 a a y x = − − ln . 4a 4 2 a Cette courbe étant liéealgébriquement àla courbe logarithmique, on comprend aisément en quoi c’est une quadratrice de l’hyperbole sans qu’il soit besoin de reprendre àla lettre les raisonnements géométriques de Perks. Notons bien que l’instrument ne permet de tracer que la partie de la courbe àpente négative (cf. figure 1.27) ; en effet, l’autre partie de la courbe vérifie la propriétédifférente τ − σ = a. Ce n’est pas une limitation gênante en vue de la quadrature de l’hyperbole, car connaˆıtrela partie de la quadratrice correspondant à y ∈ ]0, a] revient àdisposer des logarithmes sur ]0, 1]. Pour les logarithmes sur [1, +∞[, il suffira de faire appel àla propriétéln(1/x) = − ln x.

Fig. 1.27 – Une quadratrice de l’hyperbole

Perks n’ignore naturellement pas que la courbe logarithmique peut aussi être employée comme quadratrice de l’hyperbole. Il explique donc ensuite comment la tracer en modifiant légèrement son instrument. La corde LRM, dont on n’a plus besoin, est enlevée. La pointe R est fixéesur la règle CD àune distance donnéedu point M. Au cours du mouvement de l’appareil vers la droite, la règle EF va glisser contre cette pointe, et la courbe tracéepar la roulette P aura une sous-tangente constante. On ne sait pas si Perks a réellement fabriquéson appareil, ou s’il s’agissait seulement d’un projet. En tout cas, il est tout àfait remarquable qu’un amateur inconnu parvienne ainsi, dèssa première tentative, àde meilleurs résultats que Huygens, Leibniz et compagnie. Au moins deux grands progrèssont àretenir. On assiste tout d’abord àla première apparition de la roulette coupante, cette petite pièce métallique qui sera une composante essentielle d’un grand nombre d’intégraphes modernes. La roulette coupante mord dans le 1.6. JOHN PERKS, UN ANGLAIS A` PART 53 papier dans la direction de son plan, ce qui empêche tout glissement latéral.L’avantage est important par rapport àl’ancien système du stylet tra¸cant surmontéd’un poids. En second lieu, Perks est le premier àconcevoir un instrument capable de tracer directement la courbe logarithmique d’un mouvement continu. Auparavant, on s’étaitsurtout appuyé sur le tracécontinu de la tractrice pour en déduire une construction des logarithmes par points, ce qui était nettement moins satisfaisant. Sinon, pour réaliserla quadrature de l’hyperbole par le mouvement, on ne pouvait songer qu’àl’intégraphe de Leiniz, mais, sans parler de la complexitérebutante de l’appareil, le tracérestait indirect car il nécessitait la construction préalable d’une courbe algébrique.

1.6.3 Tractrice et cartographie Quelques années plus tard, dans son dernier article des Philosophical Transactions, Perks s’intéresse àun problème de cartographie. Dans la projection de Mercator, la sphère terrestre est envoyéesur un cylindre tangent le long de l’équateur. Les méridiens sont représentés par des droites perpendiculaires àl’équateur, et les parallèles par des cercles égauxet parallèles àl’équateur. Le principe de la projection est d’envoyer le parallèlede latitude ϕ sur un cercle situéàla distance z(ϕ) de l’équateur, avec une fonction z(ϕ) à déterminerde sorte que les angles soient conservés. Un tel choix présente un avantage pour la navigation, car il en résulte que les loxodromies, ou lignes àcap constant sur la sphère, sont représentées par des droites sur la carte. Il s’avère que la fonction cherchéeest ϕ π z(ϕ) = a ln tan + , 2 4 où a désignele rayon de la sphère.En posant x = a cos ϕ, des calculs trigonométriques élémentaires conduisent à √ a + a2 − x2 z(ϕ) = a ln . x Si l’on se souvient que l’équation de la tractrice est √ a + a2 − x2 p y = a ln − a2 − x2, x on observe finalement que p z(ϕ) = y + a2 − x2. Cette dernièreégalitémontre que la distance z(ϕ) peut être construite facilement àpartir de l’angle ϕ, àcondition que la tractrice de paramètre a ait ététracée au préalable. Il faut préciser que Perks ne raisonne pas aussi directement nous venons de le faire, car il ne connaˆıtpas a priori une équation de la tractrice. C’est en étudiant géométriquement le problèmede Mercator qu’il se rend compte aprèscoup que la construction dépend d’une courbe aux tangentes constantes, appelée par lui « equitangential curve ». A` partir de là,il étudie les propriétésde la nouvelle courbe et imagine un instrument pour la décrire (cf. figure 1.28, Fig. 2 et Fig. 5). Dans la version finale de l’instrument, une règle AB est percée àl’une de ses extrémités d’un orifice rectangulaire mh dans lequel une roulette coupante en laiton vient se fixer sur un axe o. Le plan de cette roulette est parallèle àla direction AB de la règle. Sur la règle,il y a encore une poignée p permettant d’exercer une pression avec la main pendant l’utilisation, et une sériede trous. Une vis s inséréedans l’un de ces trous va permettre de régler la distance os et de faire glisser l’instrument le long d’une règle fixe solidaire 54 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL

Fig. 1.28 – Figures du dernier article de Perks [1714-1716, planche hors texte] 1.6. JOHN PERKS, UN ANGLAIS A` PART 55 de la table àdessin. Ainsi, la roulette marquera sur le papier une courbe de tangente os constante. Perks ne fait aucune référence àd’éventuels travaux antérieurs sur la tractrice. Il ne semble connaˆıtre ni les articles publiéspar Huygens et Leibniz en 1693, ni le mémoire de Bomie présentéàl’Académie royale des sciences en 1712. Pour prévenir toute contestation, les éditeurs des Philosophical Transactions ont d’ailleurs senti le besoin d’insérer une petite note àla fin de l’article : Note, Most of these Properties of this Curve by the name of la Tractrice, are to be found in a Memoire of M. Bomie among those of the Royal Academy of Sciences for the Year 1712, but not publish’d till 1715 : Whereas this Paper of Mr. Perks was produced before the Royal Society in May 1714, as appears by their Journal [Perks 1714-1716, p. 339]. On n’a aucun mal àcréditer Perks d’une redécouverte. Un obscur enseignant de province tel que lui n’avait probablement pas accèsàdes périodiques étrangers. Comme il n’entretenait pas de correspondance avec des mathématiciens importants, il ne pouvait pas non plus êtreinformépar ce biais-là.Pourtant, notre ingénieux Anglais retrouve les principales propriétésde la tractrice et, surtout, propose pour la tracer un instrument opérationnel d’une grande simplicitéet d’une grande puretéde conception. Le vœu ex- primépar Bomie àla fin de son mémoire se trouve, en quelque sorte, exaucé.

(a) Instrument pour la tractrice (b) Instrument pour la logarithmique

Fig. 1.29 – Reconstitution des instruments de Perks (Institute for History of Science, Aarhus University) [Pedersen 1963, p. 19]

Les deux instruments de Perks ont étéreconstituéspar Pedersen (cf. figure 1.29). Ils sont parfaitement opérationnels et, une fois qu’on s’est habituéàleur maniement, se révèlent d’une précision convenable. Les géomètres du dix-huitième siècle, se voyant offrir làdes appareils fiables pour tracer la tractrice et la logarithmique, auraient pu en faire grand usage dans leur travail quotidien. Malheureusement, ces inventions sont passées 56 CHAPITRE 1. DE LA TRACTRICE A` UN INTEGRAPHE´ UNIVERSEL complètement inaper¸cues des milieux savants. Seul un autre amateur anglais devait les mentionner ultérieurement, en plagiant d’ailleurs sans vergogne le travail de son compa- triote [Retfordiens 1743]. Finalement, dans notre histoire, les créations originales de Perks resteront comme une belle parenthèse sans passéni avenir. Tout sera àrecommencer comme si elles n’avaient jamais existé. Chapitre 2

L’environnement italien de Vincenzo Riccati

Comme nous venons de le voir dans le chapitre précédent, les premièresrecherches sur le mouvement tractionnel ont eu lieu en Europe du Nord : en Allemagne avec Leibniz, en Hollande avec Huygens, en Suisse avec les frèresBernoulli, en France avec L’Hospital, Varignon, Fontenelle et Bomie, marginalement en Angleterre avec Perks. Pourquoi et comment retrouve-t-on ce thème en Italie, près d’un demi-siècle plus tard, entre les mains de Vincenzo Riccati ? Avant d’expliquer ce déplacement surprenant de centre de gravité, il faut s’imprégnerdu contexte général des mathématiques italiennes de la premièremoitié du dix-huitième siècle et analyser ce qui, dans l’entourage familial et scientifique de Vin- cenzo, dans son éducation et ses centres d’intérêt, pouvait le préparer àporter quelque attention àla construction tractionnelle des équations différentielles.

2.1 La diffusion du calcul infinitésimal en Italie

On connaˆıtassez bien les circonstances dans lesquelles le nouveau calcul de Leibniz et Newton est arrivéen Italie [Loria 1950, chap. 32 ; Pepe 1981, 1986, 1989 ; Palladino 1984 ; Mazzone & Roero 1997]. Après les succès de l’école galiléennedans la première moitiédu dix-septième siècle, après la mort, la même année, de Bonaventura Cavalieri (1598-1647) et d’Evangelista Torri- celli (1608-1647), l’Italie n’occupe plus de position centrale dans la recherche mathématique jusque vers 1700. La pression de la censure ecclésiastique, la sclérose des universitéset une stricte fidélitéàla géométrie des Anciens ont peut-êtrecontribuéàempêcher, en dépit des succèsheuristiques de la méthode des indivisibles, le développement d’une réflexion originale sur l’infini, àla fois philosophique et technique, pouvant conduire àun calcul infinitésimal autonome. Pendant ce temps, le nouveau calcul des différences de Leibniz, aussitôt après l’article fondateur de 1684 dans les Acta eruditorum, se répand rapidement dans les pays de culture germanique, grâcenotamment aux travaux des frères Bernoulli, puis en France, sous l’influence de Huygens et du marquis de l’Hospital, élève de Jean Bernoulli. Le traitéde 1696, Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, apparaˆıtincontestable- ment comme l’aboutissement de cette phase d’expansion. La querelle Leibniz-Newton est alors l’occasion pour les mathématiciens continentaux de découvrir la méthode concur- rente des fluxions et des séries infinies, élaborée par Newton àpartir de 1665, mais restée jusque-lànon publiée et peu diffuséeen dehors de l’Angleterre.

57 58 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI

En Italie, au début du dix-huitième siècle, ni le calcul des différences ni le calcul des fluxions ne sont encore connus. Lorsque Leibniz fait une tournéedes principales villes italiennes en 1689-1690, il constate que les mathématiciens locaux ignorent la géométrie analytique de Descartes tout autant que le nouveau calcul infinitésimal. Il est vrai que, en plus des autres facteurs de stagnation déjàévoqués, l’absence de revue scientifique internationale comparable aux Acta eruditorum de Leipzig, àl’Histoire de l’Académie royale des sciences de Paris, ou aux Philosophical Transactions de Londres, ne permet pas aux savants italiens de se tenir facilement au courant des recherches mathématiques récentes. Le réveil des mathématiques italiennes commence àPise, avec Guido Grandi (1671- 1742). Titulaire de la chaire de philosophie extraordinaire en 1700, mathématicien du Grand Duc de Toscane en 1707, titulaire de la chaire de mathématiques en 1714, il est le premier, en 1703, àpublier un ouvrage dans lequel on emploie le calcul des différences. Sans êtreun mathématicien trèsoriginal, Grandi a néanmoinsjouéun rôleimportant dans la diffusion du nouveau calcul en introduisant les méthodes différentielles dans des ouvrages didactiques largement lus et en étant au centre d’une vaste correspondance avec les savants italiens de l’époque. Plus encore que Pise, c’est l’universitéde Bologne qui va êtreàla pointe du renouveau. Vers 1700, il s’y forme un groupe de jeunes mathématiciens sous la direction de Domenico Guglielmi (1655-1710). Il y a làEustachio Manfredi (1674-1739), son frère Ga- briele (1681-1761), Vittorio Francesco Stancari (1678-1709) et Giuseppe Verzaglia (1664- 1730). Ce groupe, quasiment autodidacte, s’initie àla géométrie cartésienne et au calcul leibnizien àtravers l’étude des problèmes exposésdans les revues scientifiques. De tous, c’est Gabriele Manfredi qui est le plus créatif. En 1707, il publie un ouvrage intitulé De constructione æquationum differentialium primi gradus [Manfredi 1707], dans lequel il expose de fa¸conordonnéeles nombreux résultats relatifs aux équations différentielles du premier ordre qui étaient éparpillés jusque-làdans la littérature mathématique. Il s’agit de la premièremonographie mondiale sur le sujet. L’ouvrage, louépar Leibniz et Jean Bernoulli, jouit rapidement d’une grande renomméedans toute l’Europe. Il est considéré comme l’équivalent pour le calcul intégral de ce qu’avait étéle traitéde L’Hospital pour le calcul différentiel. Malgréce travail de premier ordre, Gabriele Manfredi échoue dans sa candidature àla chaire d’algèbre de l’universitéde Bologne ; il lui faudra attendre 1720 pour obtenir la chaire d’analyse. Entre-temps, en 1714, il publie un article dans le Giornale de’ letterati d’Italia, oùse trouve son résultat le plus important : la méthode de séparation des indéterminées pour les équations différentielles homogènesen x et y par le change- xz ment de variable y = a [Manfredi 1714]. Moins tournés que Gabriele Manfredi vers les mathématiques pures, les autres savants de ce groupe de Bologne se consacrent plutôtà l’application du nouveau calcul àdes problèmes de philosophie naturelle : Eustachio Man- fredi se distingue en astronomie, Stancari en physique mathématique, tandis que Verzaglia s’intéresse àla science des constructions. Après Bologne, c’est àPadoue qu’on étudie le nouveau calcul. A` la faveur d’une po- litique d’ouverture et de tolérance religieuse, l’universités’efforce d’attirer les meilleurs savants italiens et étrangers. C’est ainsi que la chaire de mathématiques est occupéesuc- cessivement par des personnages importants : de 1698 à1702, par Domenico Guglielmi, venu de Bologne ; de 1707 à1713, par Jacob Hermann, disciple de Jacques Bernoulli à Bâle, nomméàPadoue avec le soutien de Leibniz et de Guglielmi ; de 1716 à1719, par Nicolas I Bernoulli, neveu de Jean et de Jacques ; àpartir de 1719, par Giovanni Poleni, que nous retrouverons longuement plus loin. Parmi ces professeurs prestigieux, Jacob Her- mann (1678-1733) joua un rôleessentiel dans la transmission du calcul différentiel vers la 2.1. LA DIFFUSION DU CALCUL INFINITESIMAL´ EN ITALIE 59 péninsule italienne. Néet forméàBâle, il resta toujours en contact direct avec la famille Bernoulli. Aprèsson passage àPadoue, il enseigna àFrancfort, àSaint-Pétersbourg et de nouveau àBâle. A` travers ses le¸consuniversitaires àPadoue et la correspondance qu’il continua ensuite àentretenir avec de nombreux savants italiens, Hermann servit longtemps de trait d’union entre l’Italie et le reste de l’Europe. Son successeur Nicolas I Bernoulli remplit également cette fonction utile de relais. A` l’universitéde Padoue sont liésd’autres personnages intéressants dont l’activité se déroule principalement dans la ville voisine de Venise. Antonio Conti (1677-1749), qui rencontra Newton, Taylor et MacLaurin lors d’un voyage àLondres en 1715, fut médiateur dans la dispute entre Newton et Leibniz. De son côté, Bernardino Zendrini (1679-1747) s’est particulièrement distinguédans l’étude des problèmes hydrauliques auxquels la ville de Venise étaitconfrontée. Par ailleurs, pour combler le manque de revue scientifique qui se faisait ressentir par rapport aux autres pays européens, Scipione Maffei (1675-1755) et Apostolo Zeno (1668-1752) lancent la publication àVenise du Giornale de’ letterati d’Italia. Paru de 1710 à1740, ce journal eut une certaine notoriété, puisqu’il fut le siègede controverses fameuses entre Grandi et Varignon, entre Verzaglia et Hermann, entre Jacopo Riccati et Nicolas I Bernoulli. Il accueillit aussi les premiers mémoiresde Giulio Fagnano (1682-1766), dont les recherches sur la division du quart de lemniscate en arcs de même longueur ont constituéune premièreavancée dans la théoriedes intégrales elliptiques. En dehors de ceux de Fagnano, les travaux les plus marquants de cette époque sont ceux de Jacopo Riccati, dont nous parlerons en détailun peu plus loin. La vie mathématique de Venise est enfin alimentéepar Nicolas II Bernoulli et Daniel Bernoulli, qui y font de longs séjours. Tous deux y ont des contacts privilégiésavec Jacopo Riccati, et c’est à Venise que Daniel Bernoulli publie en 1724 son premier recueil de travaux mathématiques, les Exercitationes quædam mathematicæ [D. Bernoulli 1724], qui contiennent une étude célèbre sur l’équation différentielle qui deviendra « l’équation de Riccati ». En définitive, on assiste pendant les deux premières décennies du dix-huitième siècle à une diffusion massive du nouveau calcul, surtout dans sa version leibnizienne (les œuvres des mathématiciens anglais circulèrent aussi, mais on ne trouve pas de véritable emploi local des fluxions avant 1720). Les vecteurs de cette diffusion furent, d’une part, le renouveau des universités, qui réformèrent rapidement leurs enseignements et surent attirer des savants étrangers, d’autre part, la créationd’académies et de journaux scientifiques à l’instar de ce qui existait déjàdans le reste de l’Europe. Les savants italiens, outre quelques recherches d’analyse pure, s’occupèrent principalement des applications du nouveau calcul àdivers domaines, parmi lesquels, bien sûr, l’astronomie et la physique mathématique, mais aussi, selon une longue tradition remontant àGalilée, Maurolico et Tartaglia, les sciences de l’ingénieuret les questions techniques. En particulier, les problèmes hydrauliques (régulation des cours d’eau, endiguement de la lagune de Venise) n’ont cesséd’en- gendrer d’importantes recherches, tout autant théoriques (dynamique des fluides) que pratiques (construction d’ouvrages hydrauliques). Il convient enfin de signaler qu’en ce début du dix-huitième siècle, la mathématique italienne est fortement liée àla culture philosophique et littéraire. Parmi les mathématiciens précédemment cités, nombre d’entre eux furent aussi écrivains, poètesou hommes de théâtre. C’est donc dans un milieu scientifique et culturel florissant, tournéàla fois vers la théorie et vers la pratique, marquépar un renouveau dans tous les secteurs aprèsun demi- siècle de stagnation, que Vincenzo Riccati va grandir. En rétrécissant le champ de vision, centrons-nous àprésent sur sa famille. Comparable, dans une moindre mesure, àla famille Bernoulli, il s’agit d’une autre famille du dix-huitième siècle oùles mathématiciens ont été nombreux. 60 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI

2.2 La famille Riccati

Les publications italiennes traitant, de près ou de loin, de la famille Riccati se comptent par dizaines. Pour la courte synthèse qui suit, je me suis appuyéprincipalement sur la Vita del conte Jacopo Riccati, écrite par Christoforo di Rovero avec la collaboration de Giordano Riccati et incluse dans le dernier volume des œuvres de Jacopo Riccati [Opere, vol. 4], sur la réédition de ce texte avec un important appareil documentaire et critique par Maria Laura Soppelsa [1990], sur les études biographiques trèsfouillées d’Adriano Augusto Michieli [1943, 1944, 1945a, 1945b] et sur les actes du colloque international « I Riccati e la cultura della Marca nel Settecento europeo » qui s’est dérouléen 1990 àCastelfranco Veneto [Piaia & Soppelsa 1990].

2.2.1 Jacopo Riccati et ses fils Le comte Jacopo Riccati est néàVenise en 1676, dans une famille de petite noblesse provinciale ayant sa résidence àCastelfranco Veneto. Après une éducationsecondaire au Collègedes nobles de Brescia, tenu par les jésuites, il s’inscrit àl’universitéde Padoue pour y suivre des études de droit. S’étant liéd’amitiéavec Stefano degli Angeli (1623- 1697), titulaire de la chaire de mathématiques et ancien élève de Cavalieri, il se convainc de l’intérêt d’étudier les sciences exactes. Dans les années 1694-1695, il aurait appris tout seul l’algèbre cartésienne et se serait lancédans la lecture des Principia de Newton. Cependant, il semble qu’il n’ait découvert le calcul différentiel que plus tard, vers 1709-1710, grâceà des contacts directs avec Hermann. Maˆıtrisant bien le nouvau calcul, Riccati a obtenu des résultatssignificatifs dans le domaine des équations différentielles. Il a résolu le problème généralde la détermination d’une courbe àpartir de son rayon de courbure. Il s’est penchésur la réductiondes équations du second ordre àdes équations du premier ordre : c’est àcette occasion qu’il a mis en évidence la fameuse équation xm dq = du + u2 dx : q, avec q = xn, équation qui portera son nom et dont nous parlerons abondamment plus loin. Il a aussi réaliséune avancéedans l’intégrationpar séparation des variables, en proposant une technique de « dimezzata sepa- razione », ou demi-séparation, qui consiste àisoler une différentielle exacte dans une partie de l’équation et àprendre comme nouvelle variable le résultat de l’intégration partielle qui en découle.En répétant éventuellement le procédéplusieurs fois, on parvient àintégrer certaines équations qui résistaient aux méthodes antérieures. C’est ainsi qu’en 1714, Ric- cati intègrel’équation du second ordre provenant du problème inverse des forces centrales et confirme par làdes résultats trouvésauparavant par Hermann, mais contestés par Jean Bernoullli [Giuntini 1992]. Riccati s’est vite trouvéau cœur de la vie mathématique de son temps. Hermann et Nicolas I Bernoulli le rencontrèrent pendant leur séjour àPadoue et furent en correspondance directe avec lui. Comme on l’a déjàsignaléplus haut, Riccati eut aussi des échanges fructueux avec Nicolas II Bernoulli et Daniel Bernoulli lors de leurs séjours àVenise. S’il n’eut jamais de lien direct avec Leibniz, on trouve dans la correspondance de ce dernier une trentaine de passages le concernant. D’autres mentions de Riccati figurent également dans la correspondance des frères Bernoulli. Sa réputation était telle qu’en 1725, on l’in- vita àprésider l’Académiedes sciences de Saint-Pétersbourg fondée par Pierre le Grand. Il refusa cet honneur, comme il refusa les autres postes qu’on lui proposa, que ce soit à l’étranger ou en Italie. Dans les années 1720, lorsque les mathématiciens italiens prirent leurs distances avec l’écoleleibnizienne et s’intéressèrent de plus prèsaux méthodes de Newton, Jacopo Riccati commen¸ca àappliquer la théorie des fluxions et àl’enseigner àses élèves Giuseppe Suzzi 2.2. LA FAMILLE RICCATI 61

Fig. 2.1 – Jacopo Riccati et Elisabetta d’Onigo lors de leur mariage (Giovan Antonio Lazzari, 1696, mus´ee de Castelfranco Veneto)

(1701-1764) et Ludovico Riva (1698-1746), qui obtinrent ultérieurement les chaires de physique et d’astronomie àl’universitéde Padoue. L’orientation de Riccati entre 1720 et 1730 a fortement conditionnéle cadre de la recherche mathématique italienne pendant les décennies suivantes [Pepe 1992]. On distingue nettement son influence sur les deux principaux traités d’analyse qui vont paraˆıtre au milieu du siècle : les Instituzioni analitiche de la jeune prodige Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) et les Institutiones analyticæ de son fils Vincenzo. Dans le cas d’Agnesi, qui n’avait pas l’occasion de baigner dans un milieu mathématique professionnel, l’aide apportéepar Riccati au cours d’une correspondance de six années fut même largement déterminante [Truesdell 1989, p. 132-135]. En dehors des mathématiques, Jacopo Riccati s’est penchéau cours de sa vie sur les sujets les plus variés: physique, hydrologie, sciences naturelles, histoire, philosophie, théologie, pédagogie, architecture, économie. Dans les quatre volumes de ses œuvres [J. Ric- cati, Opere], on trouve 800 pages de philosophie et même quelques œuvres littéraires. C’est incontestablement un intellectuel polymorphe, qui s’intéresse àtous les domaines du savoir et de la culture. Il se caractérise par une grande ouverture d’esprit et une distanciation critique vis-à-vis des querelles nationales et religieuses. Lorsqu’il polémique sur des questions scientifiques ou métaphysiques, il se place sur le seul plan du savoir. Ses écrits ne com- portent jamais d’attaques de personne, contrairement àceux de certains mathématiciens italiens comme Verzaglia ou Conti, qui s’en prennent systématiquement àLeibniz, àHer- mann ou aux Bernoulli, soit parce qu’ils sont étrangers,soit parce qu’ils ne sont pas de religion catholique [Robinet 1992]. Par ailleurs, alors que certains Italiens ne voient en New- ton, Leibniz et les Bernoulli que de simples continuateurs de la grande tradition italienne, Riccati, qui connaˆıtde prèsaussi bien le calcul des fluxions que celui des différences, est trèsconscient qu’il y a làune nouveautéirréductible aux travaux de Galilée, de Cavalieri et de Torricelli. Ne cherchant àaccumuler ni les postes ni les honneurs, voyageant trèspeu, Jacopo Riccati mena une vie tranquille dans une aire géographique restreinte autour des citésde Trévise,Padoue et Venise. Il s’est partagépresqu’entièrement entre la maison familiale 62 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI de Castelfranco Veneto et la ville de Trévise,oùil s’établit définitivement de 1749 àsa mort, en 1754. S’il a toujours préférémener ses recherches scientifiques en privé,il a, par contre, régulièrement acceptédes postes de responsabilitédans la gestion des affaires locales. Il fut maire de Castelfranco Veneto pendant neuf ans. Par ailleurs, le Sénatde Venise le consulta àplusieurs reprises pour des problèmes hydrauliques, en particulier la construction de digues. Ce fut pour lui l’occasion de travailler avec Zendrini et Poleni. Sur un plan plus personnel, Jacopo Riccati épousa Elisabetta d’Onigo en 1696 (cf. figure 2.1). Ils eurent dix-huit enfants, dont neuf moururent en bas âge. Parmi les neuf survivants, les six fils, Carlo, Vincenzo, Giordano, Montino, Francesco et Agostino furent envoyés pour leurs études secondaires au Collègejésuite des nobles de Bologne, oùils passèrent chacun entre six et huit ans. Ce type d’établissement, trèscoûteuxet trèssélectif, permettait de renforcer la position sociale de la famille. On y trouvait en effet le meilleur de la noblesse italienne, et de nombreux futurs généraux, évêques, diplomates ou écrivains [Brizzi 1992]. Trois des fils Riccati, Vincenzo (1707-1775), Giordano (1709-1790) et Francesco (1718- 1791) vont se distinguer particulièrement par la suite. Giordano, manifestant les intérêts culturels les plus variés, est celui qui se rapproche le plus de son père.Il a fait ses études supérieures àl’universitéde Padoue, oùil a suivi notamment les le¸consd’hydraulique de Poleni. C’est un bon mathématicien, qui a travaillénotamment sur les logarithmes des nombres négatifs, les isopérimètres et les équations algébriques, et plus encore un bon physicien, qui s’est passionnépour la théorie des cordes vibrantes et l’acoustique. Non sans lien avec ces derniers thèmes, un attrait particulier pour la théorie musicale l’a conduit àétudier les lois du contrepoint en collaboration avec le grand violoniste Giuseppe Tartini. C’est enfin un théoricien de l’architecture – sa théorierepose sur l’application de la moyenne harmonique – et un architecte de valeur qui a construit plusieurs églises et autres bâtiments en Vénétie [Bagni 1997c]. Francesco, quant àlui, s’occupa également de diverses disciplines comme son frère Giordano et son pèreJacopo, mais, moins bon mathématicien qu’eux, c’est surtout dans les domaines de la littérature et de l’architecture qu’il laissa une trace. Reste naturellement àparler de manièreplus spécifique de Vincenzo, le personnage central de notre histoire du mouvement tractionnel.

2.2.2 Vincenzo Riccati

Quatrièmeenfant de Jacopo Riccati et d’Elisabetta d’Onigo, Vincenzo naˆıten 1707 à Castelfranco Veneto. Aprèsdes études primaires àla maison paternelle, vraisemblablement sous la direction d’un précepteur, il est inscrit, comme on l’a dit plus haut, au Collègedes nobles de Bologne, le Collegio di San Francesco Saverio, oùil passera huit années scolaires sous la direction des pèresjésuites, de 1717 à1726. A` la sortie du collège,il exprime son désird’entrer dans la Compagnie de Jésus et entame son noviciat. Pendant la période de maturation de sa vocation, il étudie la philosophie et les lettres, tout en enseignant la grammaire, la rhétorique, les mathématiques, les lettres italiennes et latines dans les collèges de sa congrégation, àPadoue puis àParme. De 1735 à1739, il suit des études de théologieàParme et àRome. Il prononce ses vœux en 1741. En 1739, il est affectéau Collegio di Santa Lucia de Bologne, oùil est chargéde l’enseignement des mathématiques. Il y restera 34 ans, jusqu’àla suppression de l’ordre des jésuites par le pape Clément XIV en 1773. Il retourne alors dans la maison paternelle de Trévise jusqu’àsa mort deux ans plus tard, en 1775. Les intérêts de Vincenzo sont moins diversifiésque ceux de son père et de ses frères Giordano et Francesco. Comme son père, il est expert en hydraulique. On lui confie 2.2. LA FAMILLE RICCATI 63

Fig. 2.2 – L’abbéRiccati (àgauche : dessin de Francesco Tonelli, gravure de Giuseppe Lante, bibliothèque municipale de Trévise; àdroite : peinture anonyme, muséede Castelfranco Veneto) régulièrement des missions d’étude pour l’endiguement des cours fluviaux d’Italie du Nord, ce qui lui vaudra la médaille d’argent de la citéde Bologne et la médaille d’or de la République Sérénissime. Mais son activitéprincipale est centréesur les sciences mathématiques et physiques. Toute sa vie, il s’est consacréen profondeur àl’analyse mathématique, au traitement analytique des problèmes mécaniques et àl’intégrationdes équations différentielles (àtel point qu’il est parfois confondu avec son pèredans la littérature de vulgarisation scientifique). Passons en revue ses principaux résultats et ses principales publications. Dèsles premiè- res années de recherche, les résultats obtenus sont significatifs. Au milieu de la polémique sur les forces vives qui oppose les leibniziens aux cartésiens, Vincenzo définit en un sens moderne le concept de travail et démontre la règledu parallélogrammedes forces sans recourir àla règlede composition des mouvements ; réciproquement, en partant de la règle du parallélogrammedes forces, il prouve en 1746 que le travail de la résultante de deux forces est égalàla somme des travaux de leurs composantes [Gliozzi 1967]. Lazare Carnot généralisera ce théorème en 1783, en suivant le mêmeschéma de démonstration. En 1747, Vincenzo publie une nouvelle méthode de séparation des indéterminées, que d’Alembert retrouvera indépendamment trois ans après. En 1752, il y a bien sûr le traité De usu motus tractorii dont nous nous occuperons plus loin. Quelques années plus tard, les principaux mémoires du pèrejésuiteet quelques lettres importantes traitant de sujets d’analyse sont rassemblésdans deux volumes intitulés Opusculorum ad res physicas, et mathematicas pertinentium [V. Riccati 1757-1762]. On y trouve, par exemple, une étude des équations des coniques en coordonnées cartésiennes, ou encore diverses recherches sur la rectification des sections coniques, en prélude àla théoriedes intégrales elliptiques. On y rencontre aussi l’introduction des fonctions hyperboliques et leur utilisation pour obtenir les racines de certains types d’équations algébriques, en particulier cubiques. Ce thème sera développédans le traitéd’enseignement que Vincenzo écrira avec son élève Girolamo Saladini (1731-1813) : les Institutiones analyticæ [V. Riccati & Saladini 1765-1767]. A` partir de considérations purement géométriques, Vincenzo y explore les propriétésdes aires 64 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI sous l’hyperbole par analogie avec l’algèbre des secteurs circulaires : formules d’addition, dérivées, relations avec l’exponentielle, développements en série.C’est donc àtort que Lambert est parfois citécomme le premier àavoir introduit les fonctions hyperboliques en 1770. Par ailleurs, l’ouvrage de Riccati et Saladini est assurément le premier traité étendu de calcul intégral,précédant de peu les Institutiones calculi integralis d’Euler. Vers le milieu du dix-huitième siècle, Vincenzo Riccati est probablement le meilleur mathématicien italien dans le domaine de l’analyse supérieure. Il a gagnél’estime de Jean Bernoulli, de d’Alembert, d’Euler et de bien d’autres. Malgrécela, il est décrit par ses contemporains comme un homme simple, modeste, affable, menant une vie bien réglée. Les deux portraits que l’on connaˆıtde lui (cf. figure 2.2) font effectivement transparaˆıtre, au- delàd’une certaine austérité, un caractèrebonhomme et optimiste. La similitude extrême des visages et des postures est d’ailleurs intrigante : il est possible que la gravure, apparemment postérieure àla mort de Vincenzo si l’on en croit l’inscription, ait étéréalisée à partir du tableau et non d’aprèsnature.

2.3 Les instruments tractionnels de Poleni et Suardi

De la génération venant immédiatement aprèscelle qui avait connu l’introduction du calcul différentiel en Italie, formédirectement àl’école de son pèreJacopo, l’abbéRiccati ne pouvait que s’intéresser aux équations différentielles. On n’est donc pas surpris qu’il se soit passionnépour les techniques déjàanciennes de séparation des indéterminées ou, conformément aux évolutions de son temps, pour l’intégration par les arcs d’ellipse et l’intégrationpar les séries. Par contre, il était moins évident de le voir attacher de l’importance au mouvement tractionnel. Cela ne serait probablement jamais arrivés’il n’y avait pas eu dans son entourage deux hommes ingénieux, Giovanni Poleni et Giambatista Suardi, se mettant àfabriquer concrètement des instruments tractionnels.

2.3.1 Giovanni Poleni, savant universel Giovanni Poleni, néàVenise en 1683, héritade son père du titre de marquis du Saint-Empire Romain, titre confirmépar la République Sérénissime. Il a fait ses études supérieures àl’universitéde Padoue. En 1709, il y occupera la chaire d’astronomie, en 1715, la chaire de physique puis, en 1719, la chaire de mathématiques. Il enseignera àPadoue jusqu’àsa mort en 1761, soit au total une carrièreuniversitaire extrêmement longue de 52 ans. C’est un savant universel aux compétences nombreuses. Expert en hydraulique, il est régulièrement consultépar le Sénatde Venise pour l’endiguement des fleuves et l’irrigation de la basse Lombardie, ou par des souverains qui veulent délimiter des frontières marquées par des cours d’eau. Architecte, la pape l’appelle àRome en 1748 pour ausculter la coupole de la basilique Saint-Pierre menacéed’effondrement. On pourrait ajouter àcette liste sa passion pour l’archéologieet les antiquités. Poleni est enfin un bon mathématicien, qui a étudiéàfond avec Hermann les méthodes du calcul différentiel et intégral et de la géométrie analytique. Lorsqu’il accède àla chaire de mathématiques de Padoue, il rend hommage, dans sa le¸coninaugurale, àGalilée, àses prédécesseurs Guglielmi, Hermann et Nicolas I Bernoulli, mais aussi àNewton. Mettant en évidence l’intérêt de l’étude de la physique pour les progrèsdes mathématiques pures et appliquées, il ambitionne d’unifier la théorie et la pratique, l’analyse et l’expérimentation, afin de discerner la vraie nature des phénomènes. C’est dans cet esprit qu’il obtient la création, en 1738, d’un laboratoire de physique expérimentale qui sera unanimement loué. Il saisit l’occasion pour mettre en place l’un 2.3. LES INSTRUMENTS TRACTIONNELS DE POLENI ET SUARDI 65 des premiers enseignements universitaires s’appuyant sur des expériences de laboratoire (auparavant, il faisait venir les étudiants chez lui, dans son cabinet scientifique personnel). Toute sa vie, notre marquis s’est investi dans la conception et la fabrication d’instruments. Il a proposédes améliorations pour les baromètres et les thermomètres. Il a crééune machine arithmétique fondée, comme celles de Pascal et de Leibniz, sur le report automatique des retenues. On lui doit aussi des méthodes mécaniques de description des courbes que allons examiner bientôt. A` sa mort, son laboratoire possédait 392 machines couvrant les techniques de l’ingénieur, l’optique, l’astronomie, les mathématiques, les arts figuratifs, la mécanique théorique, la météorologie et la pneumatique. La collection d’instruments de Poleni est actuellement conservéeau Musée d’histoire de la physique de l’universitéde Padoue. Elle témoigne de la vitalitéde la recherche scientifique et de la pratique artisanale dans la République de Venise au milieu du dix-huitièmesiècle [Salandin 1996]. On mesure pleinement la renomméeinternationale de Poleni quand on sait qu’il fut membre des académies des sciences de Paris, Londres, Berlin et Saint-Pétersbourg, et qu’il re¸cut de nombreux prix. Il correspondait avec les plus grands savants fran¸cais, allemands, anglais et italiens. C’était notamment un familier de Jacopo Riccati, avec qui il a entretenu une collaboration scientifique épistolaire de 1715 à1742 [Soppelsa 1997]. Enfin, sa célébrité allait bien au-delàdes milieux scientifiques : la République de Venise frappa une médaille en son honneur, la ville de Padoue érigea une statue àson effigie.

2.3.2 Les instruments de Poleni pour la logarithmique et la tractrice

Passionnéd’instruments en tous genres, le marquis Poleni se devait, en particulier, de concevoir de nouveaux instruments de géométrie.Au sein de son programme général d’unification de la théorieet de la pratique, il lui fallait tout naturellement trouver le moyen de tracer mécaniquement les courbes transcendantes dont le nouveau calcul différentiel faisait un abondant usage théorique. Nous allons voir comment il a repris àsa manière cette problématique laisséequelque peu en suspens par les géomètresde la génération précédente. En 1729, Poleni publie àPadoue un recueil de neuf lettres mathématiques [Poleni 1729]. Le volume nous intéresse particulièrement, car il contient une lettre àHermann de septembre 1728 dont le titre est déjàtout un programme : « In qua agitur de Orga- nica Curvarum Tractoriæ, atque Logarithmicæ Constructione. Accedunt problematum ac Theorematum de Curva tractoria, a Celeberrimis Geometris propositorum, Demonstra- tiones » [Poleni 1728]. Ainsi qu’annoncédans ce titre, la lettre proprement dite est suivie d’un petit traitésur la tractrice, intitulé « De Curva Tractoria Commentariolum quo problematum ac theorematum de eadem curva a celeberrimis geometris propositorum demonstrationes continen- tur ». Par là,Poleni a voulu constituer une petite synthèse de tous les résultats qu’il a trouvéséparpillésdans la littérature, en y ajoutant les démonstrations qui manquaient (il fait explicitement référenceàLeibniz [1693c], Huygens [1693b] et Grandi [1701]). Sur la figure 2.3, qui accompagne le débutde ces considérations, on reconnaˆıtPerrault tirant sa chaˆınede montre le long d’une règle, une figure illustrant la définition de la tractrice et une autre servant àobtenir l’équation différentielle de la courbe. Grâce aux outils de la géométrieanalytique et du calcul infinitésimal, Poleni calcule ensuite la rectification des arcs, les aires et les volumes définis par la courbe, et explicite la relation entre la tractrice, la quadrature de l’hyperbole, la logarithmique et la chaˆınette. Toutes ces propriétésayant étéobtenues de manièrethéorique, il reste àtrouver une construction organique de la tractrice susceptible de les légitimer et de les concrétiser. 66 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI

Fig. 2.3 – La tractrice de Perrault [Poleni 1728, planche BB]

Revenons au début de la lettre àHermann. Poleni [1728, §1 et §7] raconte qu’il a trouvédans les livres de géométrie de nombreuses descriptions organiques pour les courbes algébriques, mais quasiment rien de comparable en ce qui concerne les courbes transcendantes, si ce n’est quelques tentatives d’utiliser le mouvement tractionnel. Cette voie lui semble prometteuse, car elle permet de construire les courbes transcendantes, non par points, mais par un véritable procédéorganique facile àmettre en œuvre et présentant les plus grands avantages pour les géomètres. Dans le cas de la tractrice et de la logarithmique, ce sont les propriétéscaractéristiques respectives de la tangente constante et de la sous-tangente constante qui lui ont directement suggéréla possibilitéde concevoir des instruments adéquats. Les deux appareils (cf. figures 2.4 et 2.5) ont un socle analogue forméd’un cadre rectangulaire rigide qEF n qui peut coulisser entre deux règles parallèles ABOL et CDQR fixées sur la feuille de papier. On dispose ainsi d’une sorte de chariot destinéàse mouvoir par translation le long de l’axe des abscisses. Une autre pièce commune consiste en une roulette ie dont le bord est tailléen biseau, afin qu’elle puisse mordre la feuille de papier sans glisser et que son plan reste constamment tangent àla courbe imprimée.L’axe cn de la roulette, autour duquel cette dernière peut tourner librement, est insérédans un support EFHG. Ce support est lui-même surmontéd’une poignée P permettant de faire pression avec la main pour évitertout mouvement latéral. La nature de la liaison entre le socle tracteur et la roulette tra¸cante est ce qui différencie les deux instruments. Dans le cas de la tractrice (cf. figure 2.4), une tige àglissière dhf tourne librement autour d’un pivot vertical d fixédans un coin du chariot. Le support de la roulette est immobilisédans cette tige grâceàune vis S, de sorte que la pointe e de la roulette soit àune distance donnée de du pivot d. Ainsi, lorsqu’on déplacele chariot de L vers O, le point d décritl’axe des abscisses ds et la roulette enveloppe une courbe de tangente constante de : c’est bien la tractrice de Perrault. Tout comme Perks, on constate que Poleni a abandonnéle dispositif initial du fil tirant un poids pour celui, beaucoup plus fiable, d’une tige rigide entraˆınant une roulette coupante. Rien ne permet de soup¸connerle moindre lien entre les deux inventeurs. Disons simplement que tous les deux participent d’une tendance générale àdélaisser les instru- 2.3. LES INSTRUMENTS TRACTIONNELS DE POLENI ET SUARDI 67

Fig. 2.4 – Instrument pour la tractrice [Poleni 1728, planche CC] 68 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI

Fig. 2.5 – Instrument pour la logarithmique [Poleni 1728, planche EE] 2.3. LES INSTRUMENTS TRACTIONNELS DE POLENI ET SUARDI 69 ments formésde fils, dont on mesure alors les limites, au profit d’instruments composés uniquement de parties rigides (on verra plus loin les remarques de Conti et de Riccati àce sujet). Dans le cas d’un mouvement tracteur, comme l’avait déjànotéHuygens en 1693, il est difficile de garder le fil tendu de manière égale et, de plus, on ne peut effectuer le mouvement que dans un sens. Ces inconvénients disparaissent complètement avec une tige rigide. Le chariot de Poleni peut bien être déplacédans un sens ou dans l’autre : cela ne change rien àla courbe obtenue. Alors que l’appareil de Perks pour tracer la tractrice restait artisanal, celui de Po- leni est incontestablement un véritable produit professionnel, forméde pièces métalliques soigneusement usinées. De manièreassez étrange sont déjàen place les principales ca- ractéristiques techniques que l’on retrouvera, mais seulement un siècle et demi plus tard, dans toute une famille d’intégraphes tractionnels modernes (cf. troisièmepartie) : chariot rectangulaire se mouvant par translation le long de l’axe des abscisses, roulette coupante, tiges rigides de liaison avec pivots et glissières. Plus que Perks, Poleni méritebien d’être qualifiéde précurseur en ce domaine. Dans le second appareil, celui destinéàtracer la logarithmique (cf. figure 2.5), le support de la roulette est fixérigidement àl’extrémitéd’une tige àglissière qui coulisse librement autour d’un pivot vertical d situé,cette fois, dans un autre coin s du chariot. Entre la roulette et la poignée P qui la surmonte se trouve un disque N pouvant tourner indépendamment, sans que son mouvement perturbe celui de la roulette. Ce disque est poussépar une tablette verticale zico fixée sur le chariot perpendiculairement àl’axe des abscisses, àune distance donnée is du pivot d. Grâce àce dispositif, le segment qui joint le point s de l’axe, sur lequel repose le pivot, au point de contact de la roulette avec le papier garde une projection constante sur l’axe. Ainsi, lors du mouvement du chariot, la roulette enveloppe une courbe dont la sous-tangente reste constante, autrement dit une courbe logarithmique. En modifiant la position de la tablette verticale, on peut changer facilement la base des logarithmes.

2.3.3 Réflexions personnelles de Poleni sur le mouvement tractionnel Après la description des deux instruments, on trouve, dans la suite de la lettre, des réflexions personnelles et originales dont je vais relater quelques éléments. Poleni envisage d’abord un fil CAB de longueur donnée a = CA+AB = CD (cf. figure 2.6). L’extrémité C étant fixe, on pousse le point A sur la droite CD dans la direction de D, en s’aidant d’un stylet placéderrière le fil. L’extrémitélibre B enveloppe alors une courbe qui n’est autre qu’un cercle tangent en D àla droite CD, puisqu’on a en permanence la relation AB = AD = a − CA.

Fig. 2.6 – Un ﬁl bris´ede longueur constante

Le problème s’identifie àun cas particulier de celui dont Jacques Bernoulli avait donné une construction tractionnelle avec une équerreet un fil : si l’on prend un instant le point D 70 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI comme origine sur l’axe DC, il s’agit bien de trouver une courbe dont la tangente AB soit proportionnelle àla resecte DA, avec ici un rapport de proportionnalitétout simplement égalàl’unité. Bien qu’il soit immédiat que la tractoire soit un cercle, Poleni aborde le problème par le calcul différentiel. Prenons maintenant le point C pour origine sur l’axe CD, posons u = CA, et notons x et y les coordonnées du point B. Il vient immédiatement dy y = − . dx u − x La relation AB = a−CA se traduit par (u−x)2 +y2 = (a−u)2, ce qui permet d’exprimer u en fonction de x et y, soit x2 + y2 − a2 u = . 2(x − a) En éliminant u entre les relations précédentes, on aboutit àl’équation différentielle de la tractoire : dy 2y(x − a) = , dx x2 − y2 + a2 − 2ax que Poleni écrit finalement sous la forme

2ay dx − 2yx dx + a2 dy + x2 dy − 2ax dy − y2 dy = 0.

Il s’avèreainsi que cette équation différentielle compliquée, dans laquelle il n’est pas du tout évident de séparer les variables, se construit fort aisément par le mouvement tractionnel évoquéprécédemment. Une courbe intégraleapparaˆıtcomme une tractoire à base rectiligne dont la longueur de la tangente varie selon une loi simple en fonction de la position du point tracteur (cf. figure 2.7).

Fig. 2.7 – Construction tractionnelle d’un arc de cercle

Pratiquement, les contraintes matériellesde l’appareil rudimentaire décrit par Poleni font que l’on n’obtient qu’une partie d’un quart de cercle, plus précisément un arc allant de l’extrémitéinitiale B0 du fil jusqu’au point fixe D. La figure 2.8 montre le faisceau de courbes intégrales engendrépar la répétitionde la construction àpartir de diverses positions initiales du fil. Cet exemple volontairement caricatural sert de point de départ àdes spéculations assez novatrices [Poleni 1728, §55-56]. Tout d’abord, on se rend compte qu’il y a des équations différentielles fort complexes, dont on ne parviendra sans doute jamais àséparer les indéterminées, et qui pourtant admettent pour solutions des courbes algébriques. Le comble de l’histoire réside bien sûr dans le fait que les lignes en question peuvent être 2.3. LES INSTRUMENTS TRACTIONNELS DE POLENI ET SUARDI 71

Fig. 2.8 – Courbes intégralesde l’équation 2ay dx − 2yx dx + a2 dy + x2 dy − 2ax dy − y2 dy = 0 aussi simples que des cercles. Face àcette situation paradoxale, le géomètre cartésien se découvre impuissant : faute d’une définition explicite de la courbe, il échouera àla décrirepar les procédésclassiques, que ce soit àl’aide d’un systèmearticuléou par points. Poleni avance alors l’argument que le mouvement tractionnel offre peut-êtreune voie prometteuse pour construire ces courbes algébriques cachées en travaillant directement sur l’équation différentielle. Il y a là,en germe, l’idée que l’équation différentielle contient déjàtoute l’information sur la courbe, et qu’il n’est pas forcément nécessaire de passer par l’intermédiaire d’une équation finie pour accéderàsa construction exacte. Poleni va encore plus loin en remarquant que certaines courbes algébriques connues ont des définitions compliquées qui ne permettent pas une construction aiséepar les moyens classiques. Dans ces conditions, pourquoi ne pas établir une équation différentielle vérifiée par la courbe et chercher plutôtune construction tractionnelle simple àpartir de cette équation différentielle ? Le schémahabituel est audacieusement inversé: alors que tous les efforts des géomètresconsistent d’ordinaire àremonter d’une équation différentielle à une équation finie, Poleni leur propose de différentier une équation finie pour exploiter l’équation différentielle résultante ! Non sans habileté,notre marquis se place ainsi sur le propre terrain des géomètres classiques. Pour les convaincre de l’intérêtdes instruments tractionnels, il présente ces derniers comme de nouveaux outils servant àconstruire plus simplement, au moins dans certains cas, les courbes algébriques. Par ailleurs, si les nouveaux instruments peuvent tracer les mêmes courbes que les instruments traditionnels, ne sont-ils pas tout aussi légitimes ? Le mouvement tractionnel par lequel on a décrit plus haut un cercle n’est-il pas tout aussi simple et tout aussi exact que le mouvement de rotation d’un compas ? Poleni aborde ensuite un autre exemple instructif, celui de l’équation

a dx + b dy = a2 dy : y.

C’est une équation dont les variables sont séparées, mais qui va être construire directement, sans passer par une intégration. Le but sera maintenant de convaincre le lecteur qu’une construction tractionnelle peut êtreavantageuse par rapport àune construction usuelle par quadratures. Un autre intérêtde cette équation, et non le moindre, est que le tracé de ses courbes intégralessera réalisableconcrètement avec l’instrument déjàfabriquépour décrirela logarithmique, moyennant une trèslégère modification. 72 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI

Considérons un fil ou une tige rigide AB de longueur variable (cf. figure 2.9), dont une extrémité A est tirée sur une droite AC, et dont l’autre extrémité B est astreinte à demeurer sur une droite mobile CB faisant un angle constant α avec la première droite et coupant cette dernièreen un point C tel que la distance a = AC reste constante. Il s’agit donc d’une généralisation immédiate du principe de l’appareil àlogarithmes, pour lequel l’angle α étaitdroit.

Fig. 2.9 – Modiﬁcation du traceur de logarithmes

Notons x et y les coordonnées du point B qui engendre la tractoire, et désignons par H son projetésur la droite AC. L’équation différentielle du lieu de B est alors

dy BH BH y = − = − = − y , dx HA HC − AC tan α − a ou encore, aprèsréduction, a a2 dy a dx + dy = . tan α y En choisissant l’angle α de sorte que tan α = a/b, on retrouve directement l’équation proposée a dx + b dy = a2 dy : y. Pour la construction effective, il suffit de reprendre l’instrument con¸cupour la logarithmique (cf. figure 2.5) et de fixer la tablette verticale zico sur le chariot, non pas perpendiculairement, mais de sorte qu’elle fasse avec lui un angle α et que la distance au pivot mesurée sur l’axe soit égale à a. Sur la figure 2.10, j’ai simulécette construction en prenant a = b = 1 et, par conséquent, α = π/4. Sur la figure 2.11, j’ai répétéla même construction pour huit positions initiales du fil, afin de visualiser l’allure générale des courbes intégrales de l’équation. En conclusion, les deux instruments soignés con¸cuspar Poleni et les quelques équations différentielles dont il a montréla construction confirment bien les potentialités théoriques et pratiques du mouvement tractionnel. Du point de vue pratique, on a fait un bond en avant avec, pour la première fois, des instruments professionnels suffisamment précis pour être réellement utilisables. Si, lors de la période précédente, Leibniz, Huygens et les frères Bernoulli ne sont pas alléstrèsloin dans l’étude du mouvement tractionnel, c’est probablement parce qu’ils ont étédécouragéspar les quelques machines rudimentaires 2.3. LES INSTRUMENTS TRACTIONNELS DE POLENI ET SUARDI 73

Fig. 2.10 – Construction tractionnelle de l’´equation dx + dy = dy : y

Fig. 2.11 – Courbes intégrales de l’équation dx + dy = dy : y 74 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI forméesde fils qu’ils ont expérimentées. Sans doute ne croyaient-il pas possible de parvenir un jour àquelque chose de fonctionnel. En ce sens, les réalisations de Poleni ont de quoi relancer l’intérêt des géomètres pour le sujet encore peu explorédes tractoires. On peut désormaisestimer que, s’il y avait de nouvelles avancéesthéoriques, elles ne resteraient pas une simple vue de l’esprit, mais seraient rapidement concrétisées par des instruments reprenant les principes de base de ceux de l’ingénieux marquis. Il n’en reste pas moins que le problème théorique àrésoudre semble fort difficile : une équation différentielle étant donnée, comment trouver le bon mouvement tractionnel permettant de la construire ? Comment déterminer explicitement les courbes auxiliaires engendrant la bonne tractoire ? Les exemples simples et isolésexposés dans la lettre àHermann montrent en creux qu’on est encore fort loin de disposer de techniques tractionnelles généralespermettant de construire de larges classes d’équations différentielles. Bien qu’ayant une bonne vision du problème et de solides intuitions, Poleni n’étaitmanifestement pas un assez bon mathématicien pour effectuer une percée significative dans cette direction.

2.3.4 Commentaires de Conti, Manfredi et Riccati Poleni a fabriquéles deux instruments en trois exemplaires et les a envoyéspour avis à Antonio Conti, Gabriele Manfredi et Jacopo Riccati. En même temps, il voulait connaˆıtre l’opinion de ces trois géomètres fameux sur sa lettre àHermann et sur l’opportunitéde la publier. Riccati a répondu de Castelfranco le 10 avril 1728, Conti de Venise le 9 novembre, et Manfredi de Bologne le 12 décembre. Ces réponses, toutes favorables, ont étéincluses dans le volume de 1729, en appendice àla lettre àHermann. Conti est tout àfait enthousiaste. Dèsla réception des instruments àVenise, il a tracéla logarithmique et il a vérifiégraphiquement sur la courbe que les abscisses correspondant àdes ordonnées équidistantes étaient bien en progression géométrique. La concordance, chaque fois parfaite, l’a émerveillé.Il n’a pu s’empêcher d’écrire aussitôtaux mathématiciens fran¸caiset anglais pour les informer de cette invention, et il espère que des exemplaires des instruments parviendront bientôtàParis et àLondres, car il est difficile d’apprécier les qualités d’un appareil sur une simple figure. Conti raconte également que, lors de son voyage àParis, il a vu fonctionner les instruments formés de tiges d’argent et de fils tendus que le marquis de L’Hospital utilisait pour décrire les sections coniques, mais la tension des fils n’étaitjamais uniforme, ce qui faisait apparaˆıtredes irrégularités abruptes en certains points des courbes. Par opposition, les appareils de Poleni, formés entièrement de parties rigides, ne présentent pas ces défauts. Conti conclut en rappelant que les grands géomètres qui ont élaboréla théorie des courbes transcendantes en Angleterre, en Allemagne et en France ont eu du mal àconvaincre les esprits moins pénétrants que leurs idées n’étaient pas seulement métaphysiques, mais réellement mathématiques. Poleni a heureusement ouvert une nouvelle voie pour décrire mécaniquement ces nouvelles courbes, qui semblent compliquées, mais qui proviennent peut-êtrede mouvements simples que l’on n’a pas encore identifiés. Ainsi, les incrédules pourront voir ces nouvelles courbes avec les yeux et les toucher pour ainsi dire avec les mains (« cernere oculis, quasique manu tangere »). Dans sa réponse du 12 décembre, Manfredi manifeste également son intérêtpour l’invention de Poleni. Cependant, je préfèrerapporter un extrait plus significatif d’une lettre antérieure du mathématicien de Bologne, datée du 3 août1728 (citéedans [Mazzone & Roero 1997, p. 156]) : [...] je juge que votre invention, par sa simplicitéet son exactitude, n’est en rien inférieure à celle des instruments déjàtrouvéspour décrireles sections coniques ; au contraire, il me semble que nos courbes mécaniques seront décrites beaucoup plus facilement et plus exactement avec 2.3. LES INSTRUMENTS TRACTIONNELS DE POLENI ET SUARDI 75

les instruments que vous avez inventés,une fois que la main sera quelque peu exercéeàleur utilisation, que les sections coniques peuvent l’être avec n’importe lequel des appareils con¸cus jusqu’àprésent. Et comme la logarithmique et la tractrice sont des courbes d’usage fréquent en géométrie, je juge votre invention d’une grande importance pour l’avancement de la pratique géométrique.1

On voit que Manfredi, quoique de manière plus sobre, fait finalement les mêmes remarques que Conti. Le fait qu’il y ait eu d’autres lettres échangées que celles publiéespar Poleni montre, par ailleurs, àquel point tout cela a étélonguement mûri et souligne, si cela étaitnécessaire, l’importance des échanges épistolaires au dix-huitièmesiècle. La troisième réponse, celle de Riccati, est de loin la plus développée. Le mathématicien de Castelfranco est enchanté par ces instruments extraordinaires qui permettent de construire mécaniquement les courbes transcendantes devenues nécessaires àla géométrie moderne. Il affirme que la logarithmique et la tractrice, ces li¸gnes qu’il connaissait seulement par la réflexion et l’imagination, naissent àpartir de làet se montrent àlui (« inde oriri, & mihi existere »). Le fait de pouvoir tracer une courbe d’un trait continu par un mouvement simple a donc clairement valeur d’existence. La logarithmique et la tractrice acquièrent désormais le mêmestatut que les courbes algébriques décrites par les systèmes articulés de Descartes. Riccati admire aussi le fait que parmi toutes les propriétés de la logarithmique et de la tractrice mises en évidence par les successeurs de Neper, la construction organique de Poleni utilise seulement la propriétépure et simple (« puram semplicemque ») de la sous-tangente constante ou de la tangente constante. En ce qui concerne la réalisation, il félicitele marquis d’avoir employédes règles rigides et solides. ll se prononce contre ces instruments de plus en plus nombreux oùl’on multiplie les foyers et les cordes, car les fils y sont toujours soumis àdes frottements et inégalement tendus. Riccati nous rappelle enfin qu’une grande partie des questions transcendantes se ramè- nent àla quadrature de l’hyperbole, c’est-à-dire àla description des logarithmes, et que jusqu’àprésent il était inévitable de recourir au calcul numérique pour construire les courbes donnant la solution des problèmes :

C’est pourquoi il était nécessaire d’utiliser làune méthode d’approximation, d’employer soit les séries, soit les tables de logarithmes, et par ce calcul, sortant pour ainsi dire des limites de la géométrie, de pénétrerdans le territoire de l’arithmétique.2

L’invention de Poleni permettra donc d’utiliser les logarithmes tout en conservant la puretéde la géométrie.L’usage de la logarithmique et de la tractrice pourra devenir aussi commun que celui des sections coniques, ou même que celui du cercle. En conclusion, afin de poursuivre l’avancéevers la banalisation des courbes transcendantes, Riccati invite Poleni àréfléchir aussi àla description organique des courbes qui dépendent de la rectification d’arcs de cercles, comme la cyclo¨ıde ou la ligne des sinus. Cet épisode a profondément marquéRiccati. On a l’impression que, pour lui, c’est l’aboutissement heureux de tout un mouvement historique cherchant àréintégrer dans la

1 « [...] giudico che la vostra invenzione per la sua semplicità, e sicurezza non sia punto inferiore a quelle degli strumenti giàritrovati per descrivere le sezioni coniche, anzi parmi che con molta maggior facilitàe franchezza descrivansi le nostre Curve Mecaniche cogli strumenti da Voi inventati, ove la mano siasi alquanto addestrata all’uso dei medesimi, di quello possano segnarsi le Sezioni Coniche con qualunque organo a tal fine sino ad ora escogitato. Ed essendo la Logarithmica, e la Trattoria curve di molto uso nella geometria, giudico la vostra invenzione di molta importanza per l’avanzamento della pratica geometria. » 2 « Itaque necesse illi erat approximationum methodis uti ; ac vel Series, vel Logarithmorum tabulas adhibere : hacque ratione, Geometriæ cancellis veluti egressus, in fines Arithmeticæ pertransire [J. Riccati 1728 ; Opere, vol. 3, p. 163]. 76 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI géométrieles courbes mécaniques injustement rejetées par Descartes. Preuve de l’importance de l’événement, il reviendra dessus àdeux reprises dans les essais composéspendant les dernières années de sa vie et publiés àtitre posthume. Dans le Dei principj e dei metodi della fisica, il écrira :

Il est certain que l’infinitédes courbes contempléespar les mathématiciens n’existe pas dans la nature, et il nous manquait peut-êtreil y a peu de temps la tractrice et la logarithmique. Mais parce que leur genèse dépend de principes solides et de véritésconnues, la mécanique a pu inventer des appareils pour les tracer. Nous sommes redevables de l’exécution àla sagacitédu marquis Giovanni Poleni, qui, avec un instrument des plus simples, nous a enseignéàles décrire tout aussi exactement qu’une circonférencede cercle avec un compas.3 Enfin, dans le Saggio intorno il sistema dell’universo, parlant d’une courbe rencontrée àl’occasion de l’étude de l’écoulement de l’eau dans un vase cylindrique percéd’un trou en son fond, Riccati soulignera encore l’importance pour la géométrie de l’invention de son confrère :

Cette courbe, composéede deux branches concaves qui se terminent en un point, imite le symbole adoptépar les astronomes pour représenter le signe du Bélier ; comme elle est transcendante par nature et dépend de la quadrature de l’hyperbole, elle serait de construction malcommode si le marquis Giovanni Poleni ne nous avait appris àdécrire, àl’aide d’un instrument ingénieux, la logarithmique et la tractrice avec autant d’aisance que quand on fait le tour d’une circonférencede cercle au moyen d’un compas exquis.4 En dehors des réponses de Conti, Manfredi et Riccati, qui avaient étéconsultéslors de la préparation du livre de 1729, il faut aussi mentionner que la lettre àHermann sur la tractrice a beaucoup impressionnéles mathématiciens italiens et étrangers aprèssa publication. Poleni a notamment re¸cu àce sujet une lettre de Grandi datéedu 21 septembre 1729 [Mazzone & Roero 1997, p. 156] et il a longuement discutédes tractoires avec Euler, alors àSaint-Pétersbourg, dans une dizaine de lettres échangées entre juin 1735 et décembre 1739 [Juˇskeviˇc et al. 1975, p. 336-338].

2.3.5 Giambatista Suardi, digne élève de Poleni Poleni a eu un disciple, Giambatista Suardi, qui a poursuivi son œuvre de concepteur d’instruments mathématiques. Pour clore notre tour d’horizon de l’environnement culturel et scientifique de Vincenzo Riccati, il reste àfaire connaissance avec ce dernier personnage. Le comte Suardi est néen 1711 àBrescia. C’est une célébritélocale dans cette ville oùil a passél’essentiel de sa vie. On connaˆıtles grands traits de sa biographie grâceàl’éloge écrit après sa mort par Antonio Brognoli [1785, p. 147-169]. Deux courts articles plus récents d’Eugen Gelcich [1885] et d’Arnaldo Masotti [1943] fournissent quelques renseignements complémentaires.

3 « Egli ècerto che non esistono in Natura tutte le infinite curve contemplate dai matematici, e ci mancavano forse poco tempo fa le trattorie e le logaritmiche. Ma perchéla loro genesi dipende da principj fermi e da veritàconosciute ; ha potuto la meccanica inventar ordigni per delinearle : e della esecuzione siamo debitori alla sagacitàdel Sig. Marchese Giovanni Poleni, il quale con un semplicissimo stromento ci ha insegnato a descriverle tanto esatamente, quanto con l’uso del compasso una periferia circolare » [J. Riccati, Opere, vol.2, p. 58]. 4 « Questa curva composta di due rami concavi, che finiscono in punto, imita il carattere adoprato dagli Astronomi per esprimere il segno dell’Ariete ; e siccome trascendente di sua natura, e derivata dalla quadratura dell’iperbola sarebbe di malagevole costruzione, se il Signor Marchese Giovanni Poleni no ci avesse con un ingegnoso stromento addestrati a delineare la logaritmica, e la trattoria con tanta maestria, con quanta si conduce in giro une periferia circolare per via d’une squisito compasso » [J. Riccati, Opere, vol. 1, p. 276-277]. 2.3. LES INSTRUMENTS TRACTIONNELS DE POLENI ET SUARDI 77

Suardi développe une passion précoce pour les mathématiques et la poésie, mais son pèrel’envoie d’autoritéàl’universitéde Padoue pour des études de droit. Il y rencontre Poleni, dont il suit pendant quatre ans les cours de mathématiques et de physique expéri- mentale. Auprèsdu marquis, il acquiert le goûtde la géométrie et l’envie de concevoir de nouveaux instruments pour la description des courbes. Diplôméen 1735, il retourne àBrescia où,malgrél’insistance de son père, il n’entreprend pas de carrière juridique. Arguant d’une santéfragile, il passe tout son temps dans sa bibliothèque, plongédans ses études favorites. A` la fin des années 1740, il organise mêmechez lui une académie scientifique informelle. Vers 1750, il se décide àrassembler ses recherches dans un livre, qui paraˆıt peu après sous le titre Nuovi istromenti per la descrizione di diverse curve antiche e moderne e di molto altre, che servir possono alla speculazione de’ geometri, ed all’uso de’ pratici [Suardi 1752].

Fig. 2.12 – Le trait´ede Suardi [1752]

Ainsi que l’indique le beau titre de ce livre, Suardi se fait fort, grâceàses instruments, de transcender la division entre théorie et pratique. Ce souci est mis en valeur dans l’éloge posthume de Brognoli :

Il arrive souvent qu’un géomètre solitaire soit douéd’une profonde mais stérile science tout encombrée de calculs, et enterréedans les chiffres, sans qu’il sache, ni pense l’appliquer àl’ornementation, au confort, aux besoins humains. Souvent, il arrive aussi qu’un inventeur dévouéproduise ou propose des choses utiles, sans qu’il sache en expliquer la raison, ni rendre compte des inventions qui sortent de ses mains. Ces deux qualités, qui sont généralement séparées,se virent parfaitement conjuguées chez le comte Soardi. Avec la tête,il s’appro- priait en théoriedes connaissances sublimes, et, avec la main, il créait en pratique d’élégants 78 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI

instruments aptes àdécrire sur le papier et àrendre utile la science qui était présente dans son esprit.5 Le livre, écrit non en latin, mais en langue vernaculaire pour toucher un public plus vaste, contient la description de dix instruments permettant de tracer les concho¨ıdes, la cisso¨ıde de Dioclèset la courbe de M. Carré, la ligne quadratrice, les sections coniques, la logarithmique et la tractrice, la cyclo¨ıde,les ovales de Descartes, une courbe inconnue trouvéepar Suardi lui-même, les courbes engendrées par le mouvement composéde deux cercles, et les loxodromies. Chaque courbe fait l’objet de développements historiques, de considérations théoriques et d’applications pratiques. Divers modes de description sont systématiquement présentés: description par points, construction organique àl’aide de l’instrument correspondant, éventuellement construction approchée. L’ensemble constitue un tableau extrêmement révélateurde la pratique géométrique du dix-huitième siècle. On y apprend comment les courbes étudiées par les théoriciens étaient concrètement tracées pour les besoins des arts appliqués, ne serait-ce que pour réaliser les planches de figures illustrant les traités de géométrie! On s’y convainc que le mot « construire » ne se rapportait pas seulement àune opérationmentale, mais aussi àune opération réelle effectivement mise en œuvre dans divers domaines. La courbe inconnue que Suardi prétend avoir découvert est, en fait, une cubique parti- culièredont le tracé, lorsqu’on fait varier le paramètre de la courbe, approche de manière réalistele contour des feuilles de diverses plantes. Elle a gardéle nom de « feuille de Suardi » et illustre bien la volontédu géomètre brescian de trouver dans la géométrie des moyens d’étudier la nature. Par ailleurs, son instrument pour tracer les épicyclo¨ıdesfut très utilisépour l’ornementation des surfaces par gravure mécanique. A` la fin du dix-neuvième siècle, il était encore connu sous le nom de « plume géométrique de Suardi » [Dyck 1892, p. 82 ; Laboulaye 1884, p. 454]. Dèssa parution, le livre re¸cutun accueil unanime : il fit l’objet de recensions élogieuses dans les périodiques et fut ensuite régulièrement citédans divers ouvrages scientifiques, en Italie comme dans le reste de l’Europe [Masotti 1943, p. 305-310]. Pour se faire connaˆıtre, Suardi avait envoyédes exemplaires de son œuvre àdes mathématiciens célèbres. En 1753, àsa grande surprise, on le fit membre de l’Académie de l’Institut des sciences de Bologne. Après la mort de son pèreen 1754, il vola enfin de ses propres ailes et entreprit une tournée des citésscientifiques d’Italie qui dura deux ans. Ce fut notamment pour lui l’occasion de retrouver son maˆıtre Poleni àPadoue. Il mena ensuite une vie paisible dans sa ville natale de Brescia jusqu’àsa fin en 1767.

2.3.6 L’instrument de Suardi pour la logarithmique et la tractrice L’instrument construit pour tracer la logarithmique et la tractrice, le cinquième du traité, est décrit sur onze pages [Suardi 1752, p. 26-36]. En guise d’introduction historique, Suardi nous dit que la logarithmique a étéinventée par Neper, la tractrice par Perrault, et la description organique des deux par le marquis Poleni. Il ajoute un peu plus loin que ce sont Leibniz et Huygens, dans leurs articles de 1693, qui ont énoncéles propriétésde la tractrice, notamment en quoi elle permet la quadrature de l’hyperbole, la description

5 « Sovente avviene, che un solitario Geometra `edotato d’una profonda ma sterile scienza tutta ingombra di calcoli, e nelle cifre sepolta, senza ch’egli sappia, o pensi applicarla all’ornamento, al comodo, all’umano bisogno. Sovente anche avviene, che un servido ingegno produca, o proponga utili cose, senza che ne sappia dichiarar la ragione, e render conto delle invenzioni, che cascano dalle sue mani. Questi due pregj, che per lo pi`usono divisi, si videro nel Conte Soardi perfettamente congiunti. Egli colla mente comprendea in teorica cognizioni sublimi, e colla mano in pratica formava eleganti istromenti atti a descrivere in carta, e a porre in uso la scienza, ch’era nell’intelleto riposta » [Brognoli 1785, p. 161-162]. 2.3. LES INSTRUMENTS TRACTIONNELS DE POLENI ET SUARDI 79

Fig. 2.13 – Instrument pour la logarithmique et la tractrice [Suardi 1752, planche IV] 80 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI de la chaˆınette et celle de la logarithmique. Ces quelques références montrent que Suardi, tout comme Poleni, connaˆıt relativement bien les recherches sur le mouvement tractionnel qui avaient eu lieu àla fin du dix-septième siècle. Le but avouéde l’élève est d’améliorer et de simplifier les instruments présentéspar le maˆıtre dans l’Epistolarum mathematicarum fasciculus de 1729. Suardi a effectivement épuréles appareils en question, éliminéles parties inutiles, unifiétout ce qui pouvait l’être. Chez Poleni, on pouvait parler de deux instruments distincts, car ils avaient plus de parties différentes que de parties communes. Chez Suardi, c’est le contraire : on est véritablement face àun seul instrument, avec deux légères variantes dans les réglagesselon qu’on veut l’employer pour la logarithmique ou pour la tractrice. L’appareil est présentésur une superbe planche (cf. figure 2.13, Fig. 2-3-4-6). Il comprend d’abord un long parallélépipède EP muni d’une rainure sur toute sa longueur. Dans cette rainure, on fait coulisser un prisme dA de même forme en tirant sur une manette M. Sur ce prisme, il y a un pivot fixe g et une barre transversale dcT que l’on peut fixer àune distance donnée gd du pivot grâceàune vis c. Le dernier élément est une tige àglissière oD, qui est perforéed’un trou o àl’une de ses extrémitéset qui supporte àson autre extrémité une roulette coupante DR. Sur le support de la roulette, on trouve un disque K pouvant tourner librement autour de son axe et une poignée V pour faire pression avec la main lors de l’utilisation. Le bord de la roulette est enfin constituéde minuscules dents acérées, de sorte qu’elle imprime bien la courbe sur le papier lors de son mouvement. Le fonctionnement de l’instrument est similaire àce que nous avons déjàvu chez Poleni. Dans le cas de la logarithmique, la tige àglissièrecoulisse librement sur le pivot g. On place sur le pivot g un écrou y qui, sans bloquer la tige, la garde parfaitement horizontale au cours du mouvement. Simultanément, la barre transversale dct pousse le disque K. Par suite, lorsqu’on tire la manette M de P vers E, la roulette DR enveloppe une courbe dont la sous-tangente gd reste constante. Dans le cas de la tractrice, on enlève la barre transversale dct, devenue inutile, et on insèrele pivot g dans le trou o situéàl’extrémité de la tige àglissière.Cette fois, lorsqu’on tire la manette M, la roulette DR enveloppe une courbe dont la tangente gR reste constante. Si l’on souhaite pour la tangente une autre valeur que la longueur complète oR de la tige, un petit dispositif de serrage (cf. figure 2.13, Fig. 4) permet de fixer le pivot g n’importe oùdans la glissière, àune distance donnée gR du point de contact de la roulette avec le papier. Je ne sais pas si cet appareil remarquable de Suardi a étéfabriquéàplusieurs exemplaires, ni par qui il a étééventuellement utilisé.Dans les livres du dix-neuvième et du vingtième siècle sur les courbes et les instruments mathématiques, je ne l’ai trouvémen- tionnéque dans le catalogue de Walther von Dyck [1892], au sein d’un article d’Anton von Braunmülh[1892, p. 85] sur l’histoire de la construction organique des courbes. L’instrument du comte brescian y est présentécomme le premier et l’unique permettant de tracer la logarithmique et la tractrice. On peut donc penser que, au moins en dehors de l’Italie, l’appareil de Suardi a rapidement fait oublier ceux de Poleni.

2.3.7 Constructions approch´ees

En plus des constructions organiques, Suardi fournit àson lecteur des constructions approchées accompagnées de remarques intéressantes. Pour la tractrice, il propose l’algo- rithme suivant (cf. figure 2.13, Fig. 5) : sur le segment aB qui représente la position initiale du fil, on prend un point m trèsproche de a et, avec une ouverture de compas égaleà aB, on trace un cercle qui coupe l’axe des abscisses en C ; sur le segment mC, on prend un point n trèsproche de m et on recommence de même jusqu’àobtenir une ligne polygonale 2.3. LES INSTRUMENTS TRACTIONNELS DE POLENI ET SUARDI 81 amnodbce dont toutes les « tangentes » aB, mC, nD, oE, dF , bG, cH, eK sont égales. Tout àfait dans l’esprit du dix-huitième siècle, Suardi nous dit que cette construction serait exacte si l’on prenait les longueurs am, mn, etc., infiniment petites. Dans la réalité, comme on prend ces longueurs trèspetites, mais finies, on obtient une construction de la tractrice par approximation. Une application inattendue de cette construction réside dans un nouveau mode d’étayage d’une étagère(cf. figure 2.13, Fig. 7-8), consistant àplacer les étaisde sorte qu’ils dessinent une tractrice. Par un raisonnement utilisant le parallélogramme des forces, on montre que la force de gravitéd’un poids posésur l’étagèreest renvoyée sur le mur beaucoup plus efficacement que dans les systèmes antérieurs. Suardi termine avec quelques considérations sur le tracédes tractoires ayant une base autre que rectiligne (Suardi emploie indifféremment le mot « base » ou le mot « diret- trice »). Dans l’absolu, il serait envisageable de fabriquer un instrument spécifique pour chaque courbe de base, mais ces instruments seraient d’usage trop restreint pour que cela en vaille la peine. Une solution alternative peu coûteuse consiste àreprendre isolément la tige àglissière oD utilisée pour la tractrice, àglisser une pointe dans le trou o (ou ailleurs sur la tige grâceau petit dispositif de serrage) et de guider àla main cette pointe le long de la courbe dont on veut décrire la tractoire. Certes, un guidage àla main le long d’une courbe tracéesur le papier est forcément plus hésitant qu’un guidage automatique dans un rail soigneusement usinéayant la forme de la courbe, mais il n’en reste pas moins qu’il s’agit toujours d’une construction organique exacte, du moins en théorie. Bien entendu, on peut aussi généraliser àn’importe quelle tractoire la construction ap- prochée exposée plus haut pour la tractrice. A` titre d’exemple, Suardi exécute la construction approchéed’une tractoire àbase circulaire avec un fil initialement tangent au cercle et de longueur égale àson rayon (cf. figure 2.14). A` titre de comparaison, j’ai simulésur la figure 2.15 la construction organique de la même tractoire, ce qui permet d’apprécier les qualitéset les limites de la méthode approchée.

Fig. 2.14 – Construction approch´ee de la Fig. 2.15 – Construction tractionnelle exacte tractoire d’un cercle [Suardi 1752, planche V] de la mˆemecourbe 82 CHAPITRE 2. L’ENVIRONNEMENT ITALIEN DE VINCENZO RICCATI Chapitre 3

L’´equation de Riccati

Vincenzo Riccati, comme nous venons de le voir, se trouvait dans le contexte le plus fa- vorable qui soit pour s’intéresser àla construction tractionnelle des équations différentielles. Ayant étéélevédans le milieu foisonnant des savants de Venise et de Padoue, vivant et travaillant dans le milieu non moins riche des mathématiciens de Bologne, il était devenu, vers le milieu du dix-huitième siècle, l’un des meilleurs analystes d’Italie. En digne héritier de son pèreJacopo, il maˆıtrisait parfaitement, cela va de soi, toutes les connaissances théoriques de l’époque sur les équations différentielles. Pour couronner le tout, il connaissait bien Poleni et ses tentatives fructueuses de fabrication d’instruments tractionnels, et on peut raisonnablement penser que les ouvertures théoriques lancéespar le marquis dans la lettre àHermann de 1728 ne l’avaient pas laisséindifférent. Pourtant, tout cela n’aurait sans doute pas suffi en l’absence d’un catalyseur externe. Le déclic est venu fortuitement de la lecture de quelques lignes énigmatiques perdues au sein d’un long mémoire de Clairaut et résumant un résultat profond obtenu par Euler : la construction tractionnelle de l’équation de Riccati la plus générale. Je me propose donc de rassembler dans ce chapitre les éléments indispensables àla compréhensiondu processus inattendu qui a conduit Vincenzo Riccati àentreprendre une recherche personnelle d’envergure sur le mouvement tractionnel. Aprèsquelques rappels historiques et mathématiques concernant l’équation de Riccati, j’examinerai de près les travaux d’Euler et de Clairaut en rapport avec la question.

3.1 Histoire classique de l’´equation de Riccati

L’histoire de l’équation de Riccati semble bien connue depuis longtemps. On peut, par exemple, en trouver un exposéélégant et fouillédans les premiers chapitres du monu- mental traitéde George Neville Watson sur les fonctions de Bessel [Watson 1922, chap. 1 et 4]. Cette histoire établie a étéencore affinéepar les travaux récents des historiens italiens [Grugnetti 1985, 1986, 1992 ; Bittanti 1991 ; Bottazzini 1996]. Cependant, toutes ces études, centrées sur l’intégration par quadratures et sur l’intégration par les séries, ont négligéle courant de recherches qui s’est développédepuis le dix-huitième siècle autour de la construction tractionnelle des équations différentielles. Les intégrations tractionnelles exactes de l’équation de Riccati, pour nombreuses et élégantes qu’elles aient pu être,sont le plus souvent passéespar pertes et profits. Au mieux, on se contente de les citer pour mémoire, un peu comme des traces fossilisées d’un phénomène sans importance. Il en résulte que je vais seulement raconter ici ce qu’on peut appeler l’histoire « classique » de cette équation, en guise de préliminaire àune histoire complémentaire moins connue qui sera développée ultérieurement.

83 84 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI

3.1.1 Un problèmeposépar le comte Jacopo Riccati Dans un supplément aux Acta eruditorum, datéde 1724 mais rendu public deux ans auparavant, Jacopo Riccati [1722] soumet àla sagacitédes analystes la recherche des cas d’intégrabilitépar séparation des variables de l’équation

xm dq = du + uu dx : q, où m est un exposant quelconque et où q = xn. Aussitôt,Daniel Bernoulli [1722] annonce que son frèreNicolas II, son père Jean I, son cousin Nicolas I et lui-même ont résolu le problème, chacun par une méthode propre, et ont trouvéles mêmes cas d’intégrabilité. Daniel communique sa solution personnelle sous forme d’anagramme : Solutio problematis ab Ill. Riccato propositi characteribus occultis involuta. 24a, 6b, 6c, 8d, 33e, 5f, 2g, 4h, 33i, 6l, 21m, 26n, 16o, 8p, 5q, 17r, 16s, 25t, 32u, 5x, 3y, +, –, —, ±, =, 4, 2, 1. La cléde cette anagramme n’a apparemment jamais étérévélée. Cependant, Daniel Bernoulli explicite peu après sa démarche dans ses Exercitationes mathematicæ [1724, p. 72-80]. Ayant réduit l’équation originale de Riccati àla forme équivalente plus simple

axn dx + uu dx = b du, il montre que les variables sont séparables lorsque −4c n = , 2c ± 1 où c est un nombre entier, y compris le cas limite n = −2 correspondant à c = ∞. On a longtemps cru que le rôlede Riccati dans cette affaire s’étaitbornéàla pro- position de l’équation, mais l’étude récente d’une correspondance inéditeentre Riccati et Nicolas II Bernoulli [Grugnetti 1986] a mis en évidence que, dès 1719, Riccati connaissait lui-même tous les cas de séparation des variables évoquésci-dessus. S’il n’a rien publié, c’est sans doute parce qu’il n’avait obtenu que des résultats partiels et peut-être aussi que, contrairement au reste de l’Europe, il n’existait pas encore en Italie de revue scientifique susceptible d’accueillir des travaux brefs.

3.1.2 Une équation qui résiste aux meilleurs analystes Daniel Bernoulli avait réussi fort astucieusement àexhiber une famille infinie de cas d’intégrabilitésous forme finie, mais sa méthode ne prouvait en rien que ces cas étaient les seuls, aussi les analystes cherchèrent-ils tout naturellement àen trouver de nouveaux. Parmi bien d’autres géomètresdu dix-huitième siècle, il faut citer Euler pour son obsti- nation às’occuper de l’équation de Riccati dans de nombreux mémoires àpartir de 1733 et jusqu’àla fin de sa vie. Euler a notamment abordéle problèmede diverses manières à l’aide d’algorithmes infinis comme des sériesou des fractions continues, mais, àchaque fois, les cas particuliers oùses algorithmes se terminaient au bout d’un nombre fini d’étapes co¨ıncidaient exactement avec les cas connus depuis 1724. Par ailleurs, Euler est parvenu àexprimer la solution de l’équation de Riccati sous la forme d’une intégrale généralisée dépendant d’un paramètre,mais cela n’est pas considérécomme une intégrationpar quadratures au sens classique du terme. Après tant de tentatives infructueuses, on se persuada peu àpeu, au début du dix- neuvième siècle, qu’on ne pourrait pas découvrir de nouveau cas d’intégrabilité. Ce résultat négatiffut finalement établi avec rigueur par Joseph Liouville en 1841, au bout de plusieurs 3.1. HISTOIRE CLASSIQUE DE L’EQUATION´ DE RICCATI 85 années de recherches générales sur l’intégration en termes finis. Dans un mémoirecrucial, Liouville [1841] montre que l’équation de Riccati, qu’il écrit de son côtésous la forme dy + ay2 = bxm, dx n’est intégrable en termes finis que pour les valeurs de l’exposant m déjàidentifiées depuis 1724. Il prouve même qu’il n’existe pas d’autre cas d’intégrabilitépar quadratures.

3.1.3 Importance de l’équation de Riccati Depuis d’Alembert en 1763, on appelle « équation de Riccati » toute équation différen- tielle de la forme dy = Ay2 + By + C, dx où A, B et C sont des fonctions quelconques de la variable x. Euler, qui s’est intéressé àcette équation àpeu près àla même période que d’Alembert, a montréqu’elle est équivalente àl’équation linéaire du second ordre. En effet, le changement de fonction 1 du y = − transforme l’équation précédente en l’équation Au dx d2u 1 dA du − + B + ACu = 0. dx2 A dx dx Réciproquement, étant donnée une équation linéairedu second ordre

d2u du + P + Qu = 0, dx2 dx le changement de fonction u = exp R y dx la ramène àl’équation de Riccati dy = −y2 − P y − Q. dx L’intérêt soutenu des géomètres pour les équations de Riccati et pour les équations linéaires du second ordre vient tout d’abord du fait qu’il s’agit des équations les plus simples rencontrées aprèsles équations linéairesdu premier ordre. En effet, l’équation y0 = Ay + B, résolue dèsles premiers temps du calcul infinitésimal, se généralisede deux fa¸consnaturelles, soit en y0 = Ay2 + By + C, soit en y00 = Ay0 + By + C. La possibilitéde ramener l’intégration par quadratures de chacune de ces équations àcelle de l’autre avait dûfrapper les esprits. En tout cas, on rencontrait làl’étape incontournable, le verrou à faire sauter, si l’on voulait avancer de manièresignificative dans l’intégrationalgébrique des équations différentielles. En dehors de cette motivation abstraite, il faut aussi rappeler que les équations linéaires du second ordre sont par excellence les équations de la physique mathématique. C’est d’ailleurs àpartir de problèmes divers de géométrie et de mécanique conduisant àdes équations linéairesdu second ordre que l’attention d’Euler fut régulièrement ramenée vers des équations de Riccati : mouvement d’un pendule dans un milieu résistant, longueur du quart d’ellipse, oscillations d’un fil pesant, vibrations d’une membrane circulaire, etc. En particulier, l’équation originelle du comte Riccati se rattache directement aux fonctions de Bessel, qui ont fait l’objet de travaux importants et réguliers tout au long des dix-huitième et dix-neuvième siècles. Alimentées doublement, àla fois par les besoins de la physique mathématique et par le développement interne de l’analyse, les recherches sur l’équation de Riccati sont restées 86 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI vivaces jusqu’ànos jours. Dans la seconde moitiédu vingtième siècle, cette équation inépuisable joue même un rôle essentiel dans de nouveaux secteurs comme la théoriedu contrôle,des systèmes dynamiques et du signal [Bittanti 1996]. Plusieurs livres entiers lui ont étéconsacrés.

3.1.4 Forme canonique de l’équation de Riccati De nombreux géomètres ont cherché,par des changements appropriésde variable et/ou de fonction, àramener l’équation générale de Riccati àdes « formes canoniques » les plus simples possibles. L’intérêtd’une telle réduction est évidemment qu’il suffit ensuite de se concentrer sur la construction de l’équation canonique. Comme nous l’avons vu plus haut, ce fut déjàla démarche de Daniel Bernoulli pour traiter l’équation particulière proposée par Jacopo Riccati. En appliquant àl’équation générale

dy = Ay2 + By + C dx les changements de variable et de fonction d´eﬁnis par

Z B ξ = − A dx et u = y + , 2A on aboutit `ala forme canonique

du + u2 = F (ξ), dξ où F est une fonction quelconque. Cette forme canonique est probablement la plus usuelle. Dans la suite, nous rencontrerons souvent des auteurs travaillant directement, sans perte de généralité,sur une telle équation réduite. Cependant, on peut trouver gênant d’avoir àinverser une intégrale pour exprimer x en fonction de ξ et calculer explicitement la fonction F du second membre. Pour évitercela, Louis Raffy [1902, p. 537-538] a trouvé une autre transformation aboutissant au même résultat: le changement de fonction

C y = 1 C0 u + 2 C − B réduit encore l’équation générale de Riccati àla forme canonique

du + u2 = F (x), dx mais, cette fois, sans changement de variable. L’´equation originelle du comte Riccati correspond tout simplement au cas particulier o`ula fonction F du second membre est une puissance :

du + u2 = axn. dx En multipliant la variable et la fonction par des constantes convenables, on peut mˆeme faire en sorte que a = ±1. 3.2. CONSTRUCTION TRACTIONNELLE DE L’EQUATION´ DE RICCATI 87

3.2 Construction tractionnelle par Euler de l’´equation de Riccati

Euler, il faut le reconnaˆıtre, s’est relativement peu intéresséau mouvement tractionnel. Dans ses œuvres complètes, dont 78 volumes ont paru àce jour sur les 84 prévus par le comitééditorial, on ne rencontre des tractoires que dans un mémoire de 1736, dans un échange de correspondance avec Clairaut en 1741 et dans deux mémoires posthumes publiés en 1784 [Euler 1736, 1741, 1784a, 1784b]. Pour Euler, il est clair que la construction géométrique des équations différentielles appartient déjàau passé. Toute son œuvre est révélatrice d’une mutation décisive qui s’est opéréeau sein de l’analyse vers le milieu du dix-huitième siècle. Désormais, on ne construit plus des courbes, on calcule des fonctions. Il devient admis par tous que l’obtention d’une expression algébrique, même infinie, suffit à prouver l’existence et àcaractériser la solution d’une équation différentielle, sans qu’il soit besoin de traduire cette formule algébrique par une construction géométrique explicite. Cependant, face àl’équation de Riccati, qu’il n’arrive pas àintégrersous forme finie quelles que soient les méthodes algébriques essayées, Euler se résout,pour la seule fois de sa carrière, àrecourir àune construction géométrique au moyen de tractoires. Au passage, c’est l’occasion pour lui de réfléchir en profondeur àla nature du mouvement tractionnel : un tel mode de construction des courbes appartient-il àla géométriepure ou àla mécanique ? Dans l’esprit d’Euler, faire appel au mouvement d’un fil revêt probablement l’allure d’un combat d’arrière-garde. La meilleure preuve en est que, contrairement àses habitudes, il ne va pas pousser très loin les idées pourtant originales et prometteuses que le sujet lui inspirera. De plus, sur les trois textes qu’il consacrera àla question, il ne jugera mêmepas utile de faire publier les deux derniers. Comment comprendre alors que malgrétout, il soit revenu momentanément àune méthode ancienne ? Il n’est peut-être pas anodin de rappeler ici qu’Euler a lu la lettre àHermann sur la tractrice et qu’il en a félicitéPoleni dans une lettre envoyée de Saint-Pétersbourg le 18 octobre 1735 [Mazzone & Roero 1997, p. 156]. Quand on constate qu’Euler publie lui-même quelque chose sur le mouvement tractionnel l’annéesuivante, en 1736, comment ne pas supposer que ce sont les travaux de Poleni qui lui en ont donnél’idéeet l’envie ? D’autant plus que Poleni écrivait explicitement, dans sa lettre àHermann, qu’il voyait dans le mouvement tractionnel un outil avantageux à explorer en vue de la construction des courbes définies par des équations différentielles.

3.2.1 Construction tractionnelle générale de l’équation de Riccati

Le mémoireprésentéen 1736 àl’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg figure dans un volume des actes de cette académie qui est paru avec retard en 1741. Il porte le titre « De constructione æquationum ope motus tractorii aliisque ad methodum tangentium inversam pertinentibus ». Euler commence par rappeler ce qu’est la courbe tractoire d’une courbe donnée(cf. figure 3.1). Soit un fil BA chargéd’un poids en A. Si, àpartir de la position initiale BA, on tire l’extrémité N du fil le long d’une courbe quelconque BN, l’autre extrémité M, celle qui est chargéedu poids, engendre une nouvelle courbe AM qui est la tractoire de la courbe donnée BN. Le traitement mathématique de cette construction repose sur l’hypothèse que le fil reste constamment tangent àla courbe tractoire. Euler s’interroge longuement sur les conditions de validitéd’une telle hypothèse : 88 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI

Fig. 3.1 – Courbe tractoire d’une courbe donn´ee[Euler 1736, p. 83]

C’est dans la mécanique que l’on doit rechercher la raison de cette description, parce qu’elle dépend de la nature du mouvement. En effet, le corps se déplace toujours dans la direction dans laquelle il est tiré,si du moins il est au repos ; et àcause de cela la direction du fil, dans laquelle le corps est tiré,est tangente àla courbe décrite par le corps. Mais si le corps avait déjàun mouvement, sa direction serait différente de la direction du fil. C’est pourquoi, pour que la direction du mouvement co¨ıncide en permanence avec la position du fil, il faut que le mouvement déjàappliquésur le corps soit anéanti àtout instant. Pour obtenir cela, on demande que cette description se fasse sur un plan horizontal et assez rugueux, sans nul doute pour que la force de graviténe change pas la direction, mais aussi pour que tout mouvement déjàacquis soit détruit par le frottement. En outre, le fil doit êtretirétrèslentement pour que l’effet du frottement soit d’autant plus grand et que le corps ne retienne rien du mouvement antérieur.1 On retombe naturellement sur les questions que se posaient déjàLeibniz et Huygens. C’est seulement en supposant le plan parfaitement horizontal et le frottement infini qu’on peut considérerla traction du fil comme un mouvement géométrique pur se prêtant à une mathématisation idéale.Nous retrouverons plus loin cette discussion, car elle sera le thème principal d’un des textes posthumes d’Euler. Dans l’immédiat, consacrons-nous à la mise en équation de la tractoire. Sans transition, Euler énonce un résultat inattendu et spectaculaire : J’ai observéque la construction géométrique de la tractoire AM dépend toujours de la résolution de l’équation ds + s2 dz = Z dz, oùl’on désigne par Z une fonction quelconque de z. C’est pourquoi, puisque cette équation est trèsdifficile àconstruire et assurément plus générale que l’équation ds + s2 dz = zmdz que le comte Riccati avait proposéeautrefois, sa construction par l’emploi du mouvement tractionnel mérite l’attention. Etant´ donnépar ailleurs que ce procédéest tout àfait simple et facile, cela vaudra la peine de ramener au mouvement tractionnel la construction d’une équation aussi ardue.2

1 « Ratio autem huius descriptionis ex mechanica est petenda, quia a motus natura pendet. Movetur enim corpus semper in ea directione, in qua protrahitur, si quidem quiescit ; atque hoc casu directio fili, quo corpus trahitur, est tangens curvæ a corpore descriptæ. At si corpus iam habeat motum, eius directio a directione fili discrepabit. Quare quo motus directio perpetuo in positionem fili incidat, oportet ut motus corpori iam impressus quovis momento pereat. Ad hoc ergo obtinendum requiritur, ut hæc descriptio perficiatur super plano horizontali et satis aspero, illud quidem, ne vis gravitatis directionem immutet, hoc vero ut frictione omnis motus iam acquisitus pereat. Præterea filum tardissime protrahi debet, quo effectus frictionis sit eo maior et corpus nihil de pristino motu retineat » [Euler 1736, p. 84]. 2 « Observavi autem geometricam constructionem tractoriæ AM semper pendere a resolutione æquatio- nis ds + ss dz = Z dz, denotante Z functionem quamcumque ipsius z. Quare cum hæc æquatio constructu 3.2. CONSTRUCTION TRACTIONNELLE DE L’EQUATION´ DE RICCATI 89

Dans la premièreformule du texte, on reconnaˆıt la forme canonique de l’équation généralede Riccati. Comment donc peut-on relier cette équation àla construction d’une courbe tractoire ? Euler (cf. figure 3.1) désignepar AQ = t et QN = u les coordonnées d’un point de la courbe donnée BN, où u est une fonction donnéede t. Pour la courbe cherchée AM, il pose AP = x et PM = y, avec la notation usuelle dy = p dx. Enfin, la longueur du fil est notée b = AB = MN. Par analogie avec un triangle caractéristique de côtéhorizontal 1, de côtévertical p et d’hypoténuse p1 + p2, on voit que p p 1 + p2 : 1 = MN : PQ = b :(t − x) et 1 + p2 : p = MN :(QN − PM) = b :(u − y), ce qui s’écrit encore b bp = t − x et = u − y. p1 + p2 p1 + p2 En combinant ces deux équations, on obtient la relation pt − px = u − y, qui, différentiée, donne p dt + t dp − p dx − x dp = du − dy. Sachant que dy = p dx, il vient du p dt t − x = − , dp dp ce qui, rapprochéde l’autre expression de t − x trouvéeplus haut, permet d’aboutir à l’équation différentielle b dp du = p dt + . p1 + p2 Comme u est donnéeen fonction de t, cette équation contient seulement deux variables t et p. Elle définit p en fonction de t et, par suite, détermine complètement la tractoire AM : en effet, pour chaque point N de la courbe donnée, connaissant la pente p du fil MN et sa longueur b, on pourra construire le point M correspondant. La description de la tractoire dépend donc de la résolution de l’équation précédente. Euler commence par la transformer, au moyen du changement de fonction q = p1 + p2 −p, en l’équation 2q du = dt − q2 dt − 2b dq. La nouvelle variable q possède une signification géométrique naturelle : comme p est la cotangente de l’angle MNQ, il résulte des formules de trigonométrie élémentaire que q est la tangente de l’angle moitié. Maintenant, on se retrouve face àune équation de Riccati. La suite du travail d’Euler consiste àréduire cette équation àla forme canonique. Il y parvient au prix de trois transformations successives que, par composition, je résumerai en une seule : en substance, b tout revient àposer u = 2 ln Z, et àremplacer l’ancienne variable t et l’ancienne fonction q par une nouvelle variable z et une nouvelle fonction s liéespar les relations Z √ s t = 2b dz Z et q = √ . Z La substitution dans l’équation différentielle conduit alors directement àla forme réduite

ds + s2 dz = Z dz, sit valde difficilis, quippe multo generalior quam hæc ds + ss dz = zm dz, quæ a Com. Riccati quondam erat proposita, eius constructio ope tractorii motus attentionem meretur. Quæ constructio cum sit præ- terea admodum simplex et facilis, operæ pretium erit æquationis tam difficilis constructionem ad motum tractorium reduxisse » [Euler 1736, p. 84]. 90 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI dans laquelle Z est une fonction quelconque de z, tout autant que u étaitune fonction quelconque de t. Ainsi, la détermination géométrique d’une courbe tractoire dépend fondamentalement de l’intégration d’une équation de Riccati. Malheureusement, comme on ne sait pas, en général,résoudre une telle équation par quadratures, il n’y a pas d’espoir d’aboutir àdes formules explicites finies pour les coordonnées du point M qui engendre la tractoire. L’idée d’Euler consiste alors àrenverser le problème : si on ne peut pas construire la tractoire àpartir de la résolution de l’équation de Riccati, par contre, pourquoi ne pas construire l’équation de Riccati en s’appuyant sur le tracé « simple et facile » de la tractoire àl’aide d’un fil ? En effet, partons réciproquement d’une équation de Riccati

ds + s2 dz = Z dz, où Z est une fonction quelconque de z donnée a priori. Pour une longueur b quelconque, construisons la courbe BN de coordonnées Z √ b t = 2b dz Z et u = ln Z. 2 Puis, en tirant un fil de longueur b le long de la courbe BN àpartir d’une position initiale arbitraire, tra¸cons une tractoire AM. En reprenant àl’envers les calculs faits lors de l’analyse du problème, on constate que les relations suivantes restent vraies tout au long du mouvement : √ √ √ 1 ZPQ Z (b − QN + PM) s = Z tan MNQd = = . 2 b + QN − PM PQ On en déduit trois constructions géométriques immédiates d’une courbe intégralede l’équa- tion de Riccati àpartir de la courbe BN et de sa tractoire AM. Euler obtient donc, grâce àla virtuositécalculatoire dont il est coutumier, un résultat des plus profonds : la construction d’une équation de Riccati est équivalente àla construction de la courbe tractoire d’une courbe donnée. L’une comme l’autre ne peuvent être effectuées par les moyens géométriques usuels, mais, si l’on a recours àun fil de longueur constante en tant que nouvel instrument de dessin, ces constructions deviennent acces- sibles : le tracéde la tractoire est immédiat de par sa définition même, et, par voie de conséquence, la construction de l’équation de Riccati devient également possible. On observe par ailleurs que ce résultat fixe une limite théorique àce que l’on peut espérer obtenir par le mouvement tractionnel d’un fil de longueur constante : on ne pourra pas intégrer d’autres équations différentielles que les équations de Riccati. Pour aller plus loin, il sera nécessaire de faire appel àun fil de longueur variable.

3.2.2 Forces et faiblesses du calcul d’Euler Au premier abord, le lecteur moderne est surpris de voir Euler raisonner sur un seul cas de figure, avec des coordonnées x, y, t, u qui semblent toutes représenter des quantités positives. Quand on y regarde de plus près, il y a quatre cas de figure àconsidérer, en fonction des signes de t−x et de u−y. Deux de ces cas conduisent exactement àl’équation différentielle écritepar Euler pour la variable p, àsavoir b dp du = p dt + , p1 + p2 3.2. CONSTRUCTION TRACTIONNELLE DE L’EQUATION´ DE RICCATI 91 mais les deux autres cas font apparaˆıtre l’équation légèrement différente b dp du = p dt − . p1 + p2

Pour cette seconde formule, le changement de variable du texte, q = p1 + p2 − p, doit êtreremplacépar l’autre changement de variable q = −p1 + p2 − p si l’on veut que les quatre configurations aboutissent àla même équation

2q du = dt − q2 dt − 2b dq.

A` partir de là,l’analyse d’Euler redevient valable en toute généralité. Observons d’ailleurs qu’il n’y a même pas besoin de modifier les formules d’Euler pour couvrir tous les cas : il suffit pour cela de considérer p1 + p2 comme une fonction multiforme pouvant prendre les deux valeurs que nous notons aujourd’hui +p1 + p2 et −p1 + p2, avec un signe déterminé par une orientation naturelle de la tangente MN dans le sens des abscisses croissantes. ll reste àinterpréter convenablement le résultat final √ √ √ 1 ZPQ Z (b − QN + PM) s = Z tan MNQd = = . 2 b + QN − PM PQ −−→ −−→ L’angle MNQd de la premièreformule doit être compris comme l’angle orienté(NM, NQ) −−→ −−→ si QN > 0, et comme l’angle orienté(NM, QN) si QN < 0 : suivant les cas, on utilisera pour la construction, soit la bissectrice intérieure, soit la bissectrice extérieure. Les autres formules sont valables tout le temps sous réserve de considérer les coordonnées comme des mesures algébriques, et non comme des distances : √ √ Z PQ Z (b − QN + PM) s = = . b + QN − PM PQ En somme, on constate qu’Euler pratique de manièretrèssûre une géométrie orientée qui n’ose pas dire son nom. Malgrél’absence de conventions explicites d’orientation et de notations spécifiques pour les grandeurs orientées, le grand géomètre parvient àconduire des raisonnements généraux et àobtenir des formules universelles permettant de construire la totalitédes courbes intégrales. Il y a toutefois une difficultésubstantielle de nature différente qui surgit de la démons- tration√ : Euler suppose partout que Z est une « fonction quelconque » de z, alors qu’il utilise Z et ln Z dans les coordonnées de la courbe servant de base àla tractoire. Si Z est une fonction positive, il n’y a rien àredire. Dans le cas où Z est négative, on peut éventuellement penser qu’il procède, comme cela lui arrive dans d’autres mémoires sur l’équation de Riccati, àun calcul formel intermédiaire utilisant des nombres imaginaires avant de retomber àla fin sur la solution réelle cherchée. Mais ce qui passerait fort bien au sein d’une démarche purement algébrique ne manque pas d’intriguer dans une construction géométrique oùl’on est censétirer un fil le long d’une courbe. Comment concevoir la traction d’un fil le long d’une courbe imaginaire ? La question est d’autant plus pertinente que, pour Euler, le tracéd’une tractoire ne semble pas revêtir le caractèred’une simple opération de pensée: les longues considérations mécaniques du début du mémoiresur la gravité, le frottement, le choix du plan de travail et la fa¸conde tirer le fil laissent bien entendre qu’il songe sérieusement àune construction géométrique effective, du moins potentiellement. Il convient donc de mettre un bémol au théorème essentiel énoncéplus haut : Euler a seulement réussi àconstruire par le mouvement tractionnel les équations de Riccati de la forme ds + s2 dz = Z dz, où Z est une fonction positive. 92 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI

3.2.3 Etude´ d´etaill´eed’un exemple

Il sera sans doute plus facile de comprendre l’analyse magistrale du mémoire de 1736 àtravers le traitement précis d’un exemple. Euler se propose bien sûrd’appliquer la nouvelle méthode de construction àl’équation du comte Riccati, une équation déjàdevenue historique en 1736 : ds + s2 dz = a2z2n dz.

Remarquons au passage qu’en mettant a2z2n dans le second membre, Euler semble confirmer lui-mêmece qui vient juste d’êtredit, àsavoir que sa construction n’a de sens concret que si le second membre est positif. Dans cet exemple, on a

Z √ 2abzn+1 b Z = a2z2n, t = 2b dz Z = et u = ln Z = b ln a + nb ln z. n + 1 2

En éliminant z entre les valeurs de t et de u, et en laissant tomber les termes constants, ce qui revient àchanger d’axe des ordonnées, on obtient l’équation

nb u = ln t. n + 1

Tout est en place pour la résolution. On trace d’abord sur l’asymptote AB (cf. figure 3.2) la courbe logarithmique DN de sous-tangente nb/(n+1), et on choisit un axe AE. D’un mouvement tractionnel, on tire l’extrémité D d’un fil de longueur b sur la logarithmique, de sorte que l’autre extrémité C décrive la tractoire CM. Des points M et N, on abaisse les perpendiculaires MP et NQ, et il vient finalement √ r ZPQ aznPQ (n + 1)AQ s = = , avec z = n+1 . b + QN − PM b + QN − PM 2ab

Fig. 3.2 – Construction de l’´equation du comte Riccati [Euler 1736, p. 89] 3.2. CONSTRUCTION TRACTIONNELLE DE L’EQUATION´ DE RICCATI 93

Pour la mise en œuvre effective, on construit la courbe parabolique auxiliaire AL d’équation (n + 1)t zn+1 = 2ab par rapport aux coordonnées AQ = t et QL = z. Pour une ordonnée QL = z donnée, on prolonge la droite QL jusqu’àce qu’elle coupe la logarithmique en N, on trace un cercle de centre N et de rayon b qui coupe la tractoire en M, et on abaisse la perpendiculaire MP sur l’axe. A` partir de tous ces éléments, on construit le nombre zn+1 a P Q (n + 1)AQ P Q s = = . z b + QN − PM 2b QL(b + QN − PM) Ainsi, pour toute valeur de la variable z, on dispose d’une construction de s en fonction de z, ce qui détermine parfaitement une courbe intégrale de l’équation du comte Riccati. Du point de vue pratique, Euler remarque qu’on peut utiliser la même courbe logarithmique pour toutes les valeurs de l’exposant n, àcondition de prendre pour longueur du fil b = (n + 1)/n. En effet, pour cette valeur de b, la courbe BN a toujours pour équation u = ln t, la courbe parabolique auxiliaire a pour équation zn+1 = (nt)/(2a) et s est donné par la formule n AQ P Q s = . 2 QL(b + QN − PM) Pour tester concrètement cette construction, j’ai pris le cas le plus simple de l’équation ds + s2 dz = z2 dz, dans lequel n = 1 et a = 1. Les courbes auxiliaires sont la courbe logarithmique népérienne u = ln t, une tractoire de cette courbe tracéeavec un fil de longueur b = 2, et la parabole z2 = t/2. La figure 3.3 illustre la construction par points d’une courbe intégrale de coordonnées z et s. La figure 3.4 montre deux autres courbes intégrales obtenues àpartir de deux autres positions initiales du fil DC. Enfin, pour donner une vue d’ensemble de l’équation différentielle, j’ai tracésur la figure 3.5 huit courbes intégrales àpartir de huit positions initiales du fil ; pour ne pas surcharger la figure, les tractoires auxiliaires n’ont pas étéconservées.

3.2.4 Un nouvel usage des tractoires Revenons sur les caractéristiques de la construction généraled’Euler. Ce qui frappe d’entrée, c’est la confirmation de l’usage des tractoires tel qu’il avait étéinauguréépisodi- quement par Jacques Bernoulli dans son article de 1696. En dehors de ce cas trèspar- ticulier, rappelons que dans toutes les situations rencontrées auparavant, depuis Leibniz jusqu’àPoleni, on se trouvait face àdes problèmes inverses des tangentes au sens classique du terme. Autrement dit, on cherchait àconstruire une courbe àpartir d’une propriété géométrique donnée, en généralassez simple, de sa tangente. La démarche universelle était alors de prendre un fil – ou une tige rigide – pour figurer cette tangente, et de contraindre le fil àvérifier àchaque instant la propriétégéométrique proposée, en usant pour cela de moyens techniques divers comme des poids, des poulies, des glissières, des pivots, etc. Par la grâcede cette incarnation physique, le fil devenait proprement une tangente munie de la propriétésouhaitée, et la tractoire qu’il enveloppait au cours de son mouvement était directement la courbe intégralecherchée.Chez Euler, comme chez Jacques Bernoulli, on dépassecette conception première et immédiatedu mouvement tractionnel : désormais, la tractoire n’est plus la courbe inconnue que l’on veut construire, mais une courbe auxiliaire rendant possible la construction de cette même courbe inconnue par les moyens traditionnels. Bernoulli avait mis cette idée en œuvre pour le seul cas des quadratures ; Euler s’en sert de manièreplus ambitieuse pour l’équation généralede Riccati. 94 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI

Fig. 3.3 – Construction d’une courbe int´egrale de l’´equation de Riccati ds + s2 dz = z2 dz

Fig. 3.4 – Mˆemeconstruction pour deux autres positions initiales du ﬁl 3.2. CONSTRUCTION TRACTIONNELLE DE L’EQUATION´ DE RICCATI 95

Fig. 3.5 – Construction tractionnelle compl`etede l’´equation de Riccati ds + s2 dz = z2 dz

A` l’époque d’Euler, les courbes admises en géométrie en tant que solutions acceptables d’un problème sont, en gros, celles que l’on peut décrire àpartir de courbes données ou déjàconstruites, en appliquant un nombre fini de fois les opérations algébriques usuelles et l’opération de quadrature. Dans le traitement de l’équation de Riccati que nous propose le mémoire de 1736, on part d’une fonction donnée Z et on construit une premièrecourbe auxiliaire d’équations Z √ b t = 2b dz Z et u = ln Z. 2 Comme on le voit, cette courbe satisfait sans difficultéàla définition précédente des lignes constructibles. Mais le fait que l’équation de Riccati ne soit pas intégrable par quadratures signifie qu’on n’aboutira jamais àsa solution en n’utilisant que des constructions de ce type. L’ensemble des courbes constructibles àpartir de Z au moyen des opérations algébriques et des quadratures n’est hélas pas suffisamment vaste pour contenir la courbe intégrale cherchée.Comme il est clair qu’un tel blocage ne peut êtredépasséque par le haut, la démarche d’Euler consiste précisément àenrichir l’ensemble précédent en lui adjoignant une courbe d’un nouveau type : une tractoire décrite avec un fil. On dispose alors de deux courbes auxiliaires tracées sur le papier, d’une part la première courbe dont on vient de rappeler les équations, d’autre part sa tractoire, àpartir desquelles on peut construire la courbe intégralecherchéeavec les procédés classiques (ici, cette étape ultime se fait par points àla règleet au compas). Il importe de noter que ce nouveau mode d’intervention des tractoires a étédécouvert par un raisonnement calculatoire purement formel. C’est en se détachant de l’identifica- tion géométrique concrète du fil àla tangente de la courbe cherchée, c’est en changeant 96 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI complètement de cadre, c’est en laissant agir aveuglément l’algèbre, qu’Euler a pu réaliser une avancéemajeure. Le résultat en est que, pour la première fois, on n’intègreplus, au hasard des circonstances, une équation différentielle particulièretraduisant un problème isolé.Pour la premièrefois, on intègrepar un procédétractionnel identique toute une classe largement étendue d’équations différentielles non réductibles àdes quadratures. L’opération élémentaire qui consiste àtracer avec un fil la tractoire d’une courbe donnée devient véritablement un nouvel outil de construction au service de la géométrie. Remarquons enfin que le changement de cadre va se révélerfructueux dans les deux sens. En effet, la fin de l’article est consacréeau traitement d’une petite dizaine de problèmes inverses des tangentes dans lesquels, conformément àla tradition, une courbe est définie par une condition entre deux longueurs t et u qui peuvent être,àvolonté, divers segments découpéssur la tangente, la normale ou les axes, un arc de la courbe, son rayon de courbure, ou encore le rayon vecteur comme dans certaines questions d’astronomie. Il s’agit chaque fois de trouver une équation de la courbe entre deux coordonnées orthogo- nales x et y. Euler montre comment on peut tirer quelque chose d’intéressant des relations embrouillées qui existent entre t, u, x et y en raisonnant par analogie avec ce qui a été fait pour les coordonnées t et u d’une courbe donnéeet celles, x et y, de sa courbe tractoire. En appliquant des transformations formelles du même type que celles qui avaient réussi pour la tractoire et l’équation de Riccati, il parvient àdes descriptions des courbes cherchéesqui, àdéfaut d’êtretoujours explicites, en permettent souvent une construction selon les méthodes usuelles ou, pour le moins, suffisent àdécider si elles sont algébriques ou transcendantes. En fin de compte, ce qu’a retenu Euler de son traitement innovant de l’équation de Riccati, ce n’est pas tellement l’intérêtd’une construction tractionnelle, qu’il ne cherchera jamais àgénéraliser et àétendre àd’autres types d’équations, mais plutôt la découverte de nouvelles transformations algébriques utiles pour traiter directement certains problèmes inverses des tangentes. L’attitude est typique du glissement progressif de la géométrievers l’algèbre que l’on observe, de fa¸con générale,àcette époque.

3.3 Euler, Clairaut et les tractoires

Dans les années suivant sa parution, le résultat profond d’Euler sur l’équation de Riccati va apparemment être peu remarquépar les géomètres. L’un des seuls àle relayer dans ses propres écritsest Alexis-Claude Clairaut. Cela n’est guère surprenant dans la mesure oùClairaut avait lui-même conduit des recherches sur le mouvement tractionnel peu de temps auparavant. Je vais donc tenter de rassembler et de comprendre maintenant l’ensemble des éléments du dialogue qui s’est établientre les deux hommes autour du thème des tractoires, que ce soit directement dans leur correspondance, ou indirectement àtravers les mémoires publiés par l’un et l’autre.

3.3.1 Clairaut, relais d’Euler

Dans les Mémoires de l’Académieroyale des sciences de Paris de l’année1742, qui ont étépubliésen 1745, on trouve un mémoire de Clairaut [1742b] intitulé « Sur quelques principes qui donnent la solution d’un grand nombre de problèmes de dynamique ». Dans ce long texte de 52 pages, illustréde 32 figures, il y a une page et une seule, la page 9, oùil est question du mouvement tractionnel. Cette page joue un rôleclédans notre histoire, car, comme nous le verrons plus loin, c’est le seul document dont disposera Vincenzo Riccati pour l’écriture de son traitéde 1752. Il importe donc de regarder de près les quelques 3.3. EULER, CLAIRAUT ET LES TRACTOIRES 97 lignes concernées et d’étudier en quoi elles sont reliées au mémoire d’Euler de 1736 que nous venons juste d’analyser. Parmi d’autres problèmes de dynamique, Clairaut s’intéresse au mouvement composé d’un corps qui tombe par son propre poids le long d’un tube de forme donnée pendant que ce tube se meut lui-même d’une manière quelconque. Dans le cas assez simple d’un tube rectiligne tournant sur un plan horizontal autour d’un point fixe, on aboutit àl’équation différentielle T 2 dt = p2 dt + dp, où T est une fonction quelconque de t. Clairaut rappelle qu’aucun géomètre n’a pu en séparerles indéterminées en dehors de quelques cas particuliers, et enchaˆıne en faisant référence àEuler (cf. figure 3.6) :

Fig. 3.6 – Construction de l’équation générale de Riccati [A.-C. Clairaut 1742b, planche I]

M. Euler est le seul, que je s¸cache, qui en ait donnéune construction générale ; & quoique cette construction n’ait pas tous l’avantage de celles qui sont fondéessur la séparation des indéterminées,elle est cependant digne de son s¸cavant Auteur. Comme elle est très-peu connue des Géomètres, je la mettrai ici. Soit décrite la courbe HM, dont l’abscisse AP soit 2a R T dt, pendant que l’ordonnée PM 1 est AL T , a étant une constante prise àvolonté. Soit ensuite décrite la courbe BQ qui soit la tractoire de la courbe HM, QM = a étant le fil ; en divisant l’angle LMP en deux parties PN égales par la droite MN, l’ordonnée p de la courbe cherchéesera PM × T [A.-C. Clairaut 1742b, p. 9]. Par ces quelques lignes, Clairaut résume de manièreclaire et concise, avec des variantes infimes dans la présentation et les notations, la construction tractionnelle d’Euler pour l’équation de Riccati la plus générale. Il est évident que Clairaut vient tout juste de lire le mémoire d’Euler de 1736 qui, rappelons-le, est paru seulement en 1741. Si Clairaut a repérédans la littérature une construction « trèspeu connue des géomètres », s’il l’a étudiéeattentivement, s’il trouve utile de la reproduire dans l’un de ses propres articles, c’est tout simplement parce que lui-même est loin d’être un novice en matièrede tractoires.

3.3.2 Premiers travaux de Clairaut sur les tractoires En effet, dès le 30 avril 1735, Clairaut avait présentéàl’Académie un mémoire spécifi- quement consacréau thème des tractions [A.-C. Clairaut 1736]. Ce mémoire, intitulé « So- lution de quelques problèmes de dynamique », a étéimpriméen retard avec les mémoires de l’année1736, car, nous dit-on, « Le Voyage de M. Clairaut au Nord a empêchéque ce Mémoirefûtimprimédans l’annéeoùil auroit dûl’être » [A.-C. Clairaut 1736, p. 1]. Dans la présentation du mémoire, Fontenelle écrit : 98 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI

Les mouvements d’un ou plusieurs Corps tiréspar des Cordes, sont un des principaux Objets de la Dynamique ou Science des Forces. Nous en avons donnéen 1711 un échantillon qui a rapport àce que nous allons exposer ici. Il s’agissoit de la Courbe décrite par un Bateau, que tire avec une Corde d’une longueur déterminée& constante, un Homme qui marche d’un pas égalsur un rivage parfaitement droit, & qui va toûjourssur le bord. [...] On l’appelloit Tractrice ou Tractoire. Il s’éleva dans l’Académie quelque contestation au sujet d’une Courbe qui pouvoit paroˆıtre une Tractoire, & de la même espece que celle dont on vient de parler, & M. Clairaut, qui soûtenoitqu’elle n’en étoit pas, fut obligéàapprofondir cette matiéreplus que l’on n’avoit encore fait [Fontenelle 1736, p. 105].

On voit que, depuis les discussions de Varignon et L’Hospital sur les courbes des chaloupes et depuis la présentation du mémoirede Bomie de 1711, les débatssur les tractoires ont continuéàl’Académie. Clairaut commence d’ailleurs son mémoireen précisant le nom du contestataire auquel Fontenelle fait allusion : « La dispute qui a durépendant plusieurs assemblées entre M. Fontaine & moi, au sujet de la Tractoire, m’a engagéaux recherches que je donne présentement » [A.-C. Clairaut 1736, p. 1]. La propriétéessentielle d’une tractoire est d’êtrecontinuellement tangente au fil qui l’engendre. La main qui tire le fil ne communique au corps traˆınéque la force nécessaire pour vaincre le frottement du plan. C’est pour cela que le corps peut êtreconsidéréà chaque instant comme au repos et que les côtéssuccessifs infiniment petits de la courbe décriteco¨ıncident avec les directions successives du fil. Clairaut soutient que l’on n’obtient plus une tractoire lorque le plan est parfaitement poli, ou lorsque la force qui tire le corps est supérieure àcelle qu’il faudrait pour seulement vaincre le frottement. Fontaine, au contraire, prétend que la courbe reste une tractoire. Clairaut a donc cherchéàdéterminer rigoureusement la courbe sous diverses hypothèses, quand on tire le fil àvitesse constante, puis àvitesse variable, puis le long d’une courbe quelconque au lieu d’une droite, etc. Au-delàdu problème initial, son ambition est devenue l’élaboration d’une théoriegénérale ayant pour objet l’étude des mouvements d’un système de plusieurs corps reliés entre eux par des fils. Le mémoireprésente la résolution de sept problèmes. Dans le premier de ces problèmes, deux corps P et M situéssur un plan horizontal sont reliés par un fil ou une verge inflexible. Le corps P est déplacéàvitesse constante dans une rainure rectiligne. On demande quel est le mouvement du corps M lorsqu’on suppose que sa vitesse n’est pas détruite àchaque instant par le frottement. Clairaut établit que la courbe décrite est une cyclo¨ıde (allongée, ordinaire ou raccourcie selon les cas). Le second problème oublie la rainure et étudie le cas où P et M ont re¸cuchacun au départ une impulsion suivant une direction quelconque : il apparaˆıtque leur centre de gravitése déplace àvitesse constante sur une droite et qu’on est donc ramenéau premier problème, chacun des corps décrivant en conséquenceune cyclo¨ıdepar rapport àla trajectoire rectiligne du centre de gravité.Le problème 3 reprend le problème 1 en rempla¸cant le mouvement uniforme imposédu point P dans la rainure par un mouvement libre résultant d’une impulsion initiale quelconque. Dans les problèmes 4 à7, on considèreun fil CPM attachéàun point fixe C avec un poids P qui se déplace sur un cercle de centre C, et on demande la courbe décrite par le poids M. On envisage quatre cas selon que le mouvement circulaire de P est un mouvement uniforme imposéou un mouvement libre quelconque, et selon que le dispositif est situédans un plan horizontal ou vertical. Dans la configuration la plus complexe, il faut donc combiner, pour chacun des corps, les effets de la traction, de la gravitéet de la vitesse déjàacquise. Les raisonnements et les calculs conduits par Clairaut en 1735, quoique fort intéressants en eux-mêmes, ne nous concernent pas directement. Ils ont étélargement repris dans l’article « Tractoire » de l’Encyclopédieméthodique de mathématiques [D’Alembert et al. 3.3. EULER, CLAIRAUT ET LES TRACTOIRES 99

1789, p. 133-135], alors que l’article initial « Tractoire » de l’Encyclopédie étaitbeaucoup plus sommaire [D’Alembert et al. 1765, p. 507]. On retiendra simplement de l’épisode que Clairaut était parfaitement au courant des recherches antérieures sur les tractoires et qu’il étaitdonc réceptif àce qui pouvait paraˆıtre sur le sujet.

3.3.3 Dialogue entre Euler et Clairaut Comme s’il avait fallu renforcer encore l’intérêtde Clairaut pour les tractoires, un curieux échange de lettres eut lieu àla même période. Dans une lettre àClairaut envoyée de Berlin le 31 octobre 1741, Euler écrit ceci :

J’ai aussi lûces jours passésvôtrepiéce sur une espècenouvelle de tractoires dans les Miscell. Berolinensia, et cette matiere m’a d’abord paru aussi interessante, que charmante : mais il me semble que vous n’avés pas eûla patience, de pousser la solution entierement àla fin, pour connoˆıtre mieux la courbe qu’on décrit [Euler 1741, p. 100]. Clairaut, dans sa réponse envoyée de Paris le 4 janvier 1742, semble un peu vexé qu’on lui reproche d’avoir publiéune solution inachevée.Il s’avère qu’Euler a commis un quiproquo :

J’ai étéfort flattéde voir que vous fissiésassésde cas d’un memoire qui portoit mon nom pour le lire et pour y penser ; mais je ne suis point l’auteur de celui des journaux de Berlin dont vous me parlésdans votre lettre, c’est mon Pere aux le¸consde qui je dois ce que je s¸cais.La profession qu’il fait de montrer les Mathematiques le detourne trop pour s’exercer à resoudre des Problemes d’une certaine difficulté. Ainsi ne soyés pas etonnéqu’il ait laissésans construction cette pauvre equation de la tractoire. Pour moi qui n’ai d’autre occupation que l’etude et mon plaisir je crois que je n’en serois pas restélàet que j’aurois trouvéfacilement la solution suivante [A.-C. Clairaut 1742a, p. 108]. Ainsi, ce n’est pas Alexis-Claude Clairaut, mais son père Jean-Baptiste, maˆıtre de mathématiques àParis, membre étranger de l’académie de Berlin depuis 1728, qui a en- voyéune pièce sur les tractoires au journal Miscellanea Berolinensia. L’article trèscourt, d’àpeine trois pages, est intitulé « De nova quadam Tractoriæ Specie Problema » [J.-B. Clairaut 1737]. L’auteur se propose d’y généraliser l’étude des tractoires faite avant lui par Huygens et par d’autres géomètres. Jusqu’ici, nous dit-il, on a toujours supposéque l’extrémitédu fil que l’on tire le long d’une courbe donnéeétaitsituée dans le même plan horizontal que celui oùse meut le poids attachéàl’autre extrémité.Pourquoi ne pas envisager que les deux extrémitésdu fil soient dans des plans différents ? Clairaut pèrein- troduit donc deux plans perpendiculaires se coupant suivant l’axe CP (cf. figure 3.7) : un plan horizontal CPRQ sur lequel repose le corps pesant Q attachéàl’une des extrémités du fil, et un plan vertical CPBM dans lequel on tire l’autre extrémité M du fil le long d’une courbe quelconque BM. On fait les hypothèses habituelles pour que le problème puisse êtretraitégéométri- quement et on suppose de plus que le corps Q ne peut pas s’élever au-dessus du plan sur lequel il repose au départ. En désignant par MP la perpendiculaire abaissée de M sur le plan horizontal, il est clair que seule la composante de la traction du fil dirigée selon QP a une influence sur le corps Q. Au cours du mouvement, la droite QP reste donc tangente àla courbe QA décritepar le corps Q. Tout se passe finalement comme si on tirait l’extrémité P d’un fil fictif PQ le long de l’axe CP , mais un fil dont la longueur varierait selon une loi déterminéepar l’ordonnée PM de la courbe auxiliaire MB. Jean-Baptiste Clairaut imagine par làun dispositif qui n’est pas sans rappeler ceux de Leibniz et de Jacques Bernoulli pour faire varier la longueur utile du fil en fonction de l’abscisse du point tracteur. La différence essentielle est que, chez ces auteurs, c’était 100 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI

Fig. 3.7 – Traction spatiale d’un fil selon J.-B. Clairaut [1737, planche I] la longueur QP + PM qui étaitconstante, alors que maintenant c’est pQP 2 + PM 2. Avec l’équerre de Jacques Bernoulli, les segments QP et PM étaient dans le même plan horizontal ; dans l’intégraphe universel de Leibniz, QP étaitdans le plan horizontal et PM dans un plan vertical, mais en-dessous. En dépitde ces ressemblances, il est cependant impossible de savoir si Clairaut pères’est inspiréde quelqu’un ou si son initiative est entièrement originale. Si l’article est bref, c’est qu’il ne va guère au-delàde la simple description de la situation. Désignant par a = QM la longueur du fil, Jean-Baptiste Clairaut se contente d’écrire les équations qui lient les coordonnéesde la courbe MB, soit CP = u et PM = z, àcelles de sa tractoire QA, soit CR = x et RQ = y :

p y dx2 + dy2 p y dx = a2 − z2 et x − = u. dy dy

Sur ces relations, il fait ensuite quelques commentaires qui relèvent presque de l’évidence: si l’on connaˆıtla tractoire QA par une relation entre x et y, on pourra en tirer facilement une équation ordinaire entre u et z déterminant la courbe MB àutiliser pour tracer cette tractoire, et, réciproquement, si c’est la courbe MB qui est donnée par une relation entre u et z, on obtiendra pour sa tractoire une équation différentielle entre x, y, dx et dy. L’article se termine par le traitement sommaire de deux exemples : dans le premier, la courbe MB est un cercle et on prouve que la courbe QA est aussi un cercle ; dans le second, la courbe MB est une ellipse et on obtient pour la tractoire une équation différentielle homogèneque l’on sait résoudre en théorie,mais dont la résolution n’est pas explicitée. On comprend qu’Euler ait étéinsatisfait de cette étude incomplète.Mais Jean-Baptiste Clairaut, ainsi que le dit son fils, n’est qu’un mathématicien de second ordre qui ne possède pas la puissance d’analyse nécessaire pour parvenir àquelque chose d’intéressant àpartir d’équations aussi embrouillées. Dans sa lettre d’octobre 1741, Euler reprend le problème avec des notations personnelles (cf. figure 3.8), obtient des équations explicites pour la tractoire, trouve une condition suffisante sur la courbe donnéepour que cette tractoire soit algébrique et termine le calcul qui étaitrestéinachevédans le cas de l’ellipse. Dans sa réponse de janvier 1742, Clairaut fils retrouve les mêmes résultats par une autre méthode (cf. figure 3.9), en remarquant que tout revient àconstruire une courbe AM àpartir d’une équation donnée entre sa tangente MT et sa resecte AT . On retrouve ainsi explicitement le problème de Bernoulli dans sa formulation la plus générale. 3.3. EULER, CLAIRAUT ET LES TRACTOIRES 101

Fig. 3.8 – Problème de J.-B. Clairaut vu par Fig. 3.9 – Problème de J.-B. Clairaut vu par Euler [1741, p. 100] son fils [A.-C. Clairaut 1742a, p. 109]

Je ne pense pas utile de rapporter en détail ces calculs d’Euler et de Clairaut fils qui nous ramèneraient quelque peu en arrière.De toute fa¸con, il ne semble pas que la forme spatiale du mouvement tractionnel imaginée par Jean-Baptiste Clairaut ait étéreprise ultérieurement, ni qu’elle ait donnélieu àla moindre application. La seule chose réellement importante est, encore une fois, le fait que l’attention de Clairaut fils ait étéattiréesur les tractoires au cours de l’année1741.

3.3.4 Une chronologie complexe Reprenons les divers éléments de chronologie dont nous disposons et proposons un scénario plausible pour l’enchaˆınement des faits. Pendant l’année1735, Euler lit la lettre de Poleni àHermann sur la tractrice. Il se convainc àcette lecture que le mouvement tractionnel offre des possibilités intéressantes pour la construction des équations différentielles. Il engage donc des recherches sur le sujet, ce qui le conduit àdécouvrir un lien intime et inattendu entre, d’une part, l’équation générale de Riccati et, d’autre part, les tractoires à base quelconque et àtangente constante. Ce sera le thème principal du mémoireprésenté en 1736 àl’Académiede Saint-Pétersbourg et publiéen 1741. Clairaut fils, de son côté,mène en 1735 des recherches de dynamique sur le mouvement tractionnel, dans la lignée des débats entretenus depuis plus d’une vingtaine d’années à l’Académiede Paris par Varignon, L’Hospital, Bomie, Fontenelle, Fontaine, etc., autour des courbes des chaloupes. Le mémoirequi va en résulter, insérédans le volume de 1736, sera publiéen 1739. En parallèle, Clairaut père,peut-êtreàla suite de discussions avec son fils, écrit un article beaucoup plus modeste sur un nouveau type de tractoires et le fait paraˆıtreàBerlin en 1737. On peut imaginer qu’Euler, àl’occasion de la parution tardive de son propre mémoire en 1741, s’intéresse ànouveau un peu aux tractoires et que c’est pour cela que son attention est attiréepar l’article de Clairaut père,publiédepuis 1737, mais dont l’existence lui avait jusque-làéchappé.Aussitôt,grâceàson expérience de la question, il achève facilement la solution du problème soumis par Clairaut pèreet écrit àClairaut fils pour lui en faire part. Clairaut fils, dont la curiositéest alors éveillée, ne serait-ce que par la confusion de personnes entre son pèreet lui, traite àson tour le problème dans sa réponse. Il n’est pas absurde de supposer que cet échange de lettres amèneensuite Clairaut à étudier en profondeur le mémoire d’Euler qui vient juste de paraˆıtre en 1741 et às’en servir lors de la préparation de son propre mémoire de 1742 sur certaines questions de dynamique. Voilàsans doute pourquoi on trouve dans le mémoirede Clairaut de 1742, paru en 1745, les quelques lignes citées au début de ce paragraphe, qui résument clairement les résultats d’Euler et que Vincenzo Riccati aura entre les mains un peu plus tard. En fin de compte, sans l’échange fortuit de lettres qui a eu lieu fin 1741-début 1742, peut-être 102 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI que le mémoire d’Euler de 1736 aurait étédéfinitivement oubliéet que Vincenzo Riccati n’aurait jamais écrit un traitésur le mouvement tractionnel.

3.4 Travaux posthumes d’Euler sur les tractoires

Euler est revenu tardivement sur le thèmedes tractoires, dans deux mémoires qui, d’aprèsla chronologie d’Eneström,ont étéécrits en 1775. Ces mémoires ont étéprésentés àl’Académiede Saint-Pétersbourg en 1784, soit un an après la mort d’Euler, et ont été publiés seulement en 1788. Nul ne sait pourquoi Euler a souhaitéreprendre soudainement l’étude d’un thème qui devait alors paraˆıtredémodéet sur lequel lui-mêmen’avait rien écrit depuis une quarantaine d’années. Quoi qu’il en soit, je n’ai rencontréàce jour qu’un seul document [Cady 1965] citant ces écrits posthumes. C’est dire que, même s’ils ont été lus, ils n’ont probablement jamais exercéla moindre influence sur personne. Je vais donc les analyser assez brièvement, comme un ˆılotisoléàl’écartdu reste de notre histoire.

3.4.1 Résumédes deux mémoires posthumes

Les titres des deux mémoires posthumes sont « Commentatio de curvis tractoriis » [Eu- ler 1784a] et « De curvis tractoriis compositis » [Euler 1784b]. Ces deux textes forment un ensemble cohérent. On peut y voir une synthèse brillante de la plus grande partie de ce qui avait étéécrit auparavant sur les tractoires, avec naturellement quelques développements nouveaux dus en propre àEuler. Dans le premier mémoire, Euler traite d’abord le problème des tractoires de manière purement géométrique, en se pla¸cant dans le cas d’un fil de longueur constante que l’on tire le long d’une courbe quelconque. Quand la courbe est une droite, Euler retrouve l’équation de la tractrice. Pour le cas général, il écrit les équations qui lient les coordonnées de la base àcelle de la tractoire et rappelle le résultat de son mémoire de 1736, àsavoir que la détermination explicite de la tractoire dépend d’une équationde Riccati. Comme ce problèmetrop vaste surpasse les forces de l’analyse, il se limite ensuite aux tractoires àbase circulaire, dont il parvient, au prix de lourds calculs, àtrouver des équations paramétriques (nous reviendrons plus bas sur cette question). La fin du premier mémoirereprend la question des tractoires en tant que problème mécanique. Euler tente d’abord d’évaluer le temps nécessaire pour que le frottement neu- tralise le mouvement du poids àcompter du moment oùl’on cesse de tirer le fil. Pour une vitesse d’un pied par seconde, ce temps est d’environ un dixième de seconde. Il en résulte des conseils pratiques pour que les courbes tracéespar un mouvement tractionnel puissent êtreconsidérées comme géométriques : àdéfaut des hypothèses idéalesoùle frottement serait infini, ou la vitesse de traction infiniment petite, il est recommandéde traˆınerle fil trèslentement, et même de le tirer par petits intervalles, en interrompant régulièrement l’action de la main pour que le poids retrouve le repos. Euler s’intéresse ensuite àla véritable courbe que décrit un poids lorsqu’on le tire suivant une ligne droite, en tenant compte de la vitesse acquise, du frottement et de la tension du fil. Le problèmeconduit àune équation différentielle du second ordre. Lors- qu’on suppose le frottement infini, cette équation redonne la tractrice, conformément aux conclusions habituelles des géomètres. A` l’opposé,pour un frottement nul, la courbe est une cyclo¨ıdeengendréepar un cercle dont le rayon est égalàla longueur du fil. Euler retrouve làun résultat du mémoire de Clairaut de 1736, mémoiredont il s’est probablement inspiré. 3.4. TRAVAUX POSTHUMES D’EULER SUR LES TRACTOIRES 103

Le second mémoire,beaucoup plus court, complètece panorama des tractoires par l’étude du mouvement d’un fil chargéde deux ou plusieurs poids que l’on tire le long d’une droite. Ici, Euler se réfèreexplicitement au traitement de la question par L’Hospital dans son Analyse des infiniment petits [L’Hospital 1696, p. 38-40]. Alors que le marquis, reprenant textuellement la démonstration de Jean Bernoulli pour les courbes des chaloupes, n’avait étudiéque la construction des tangentes aux courbes décrites par les différents poids, Euler tente d’expliciter les courbes elles-mêmes, mais il aboutit àdes équations différentielles du premier ordre qu’il ne peut résoudre.

3.4.2 Etude´ des tractoires àbase circulaire La partie la plus intéressante et la plus élaboréedes deux mémoires posthumes consiste en une étude des tractoires àbase circulaire. Il est probable qu’Euler a lu les Institutiones analyticæ de Riccati et Saladini [1765-1767], dont une seconde édition voit d’ailleurs le jour en 1775. Dans le chapitre 15 du second volume du traitédes mathématiciens italiens, on trouve effectivement quelques développements sur les tractoires àbase circulaire qui ont pu constituer une source d’inspiration. On considère un cercle de centre C et de rayon AC = c (cf. figure 3.10). Un fil AB de longueur a est placédans une position initiale normale et extérieure au cercle. L’extrémité A est tirée le long du cercle. Pour une position TZ quelconque du fil, le point Z de la tractoire est repérépar les coordonnées polaires CZ = z et ACZ = ω. Euler choisit comme paramètrel’angle CZT = ϕ. Par des calculs assez longs, il parvient àdes équations pa- ramétriques de la tractoire en distinguant trois cas.

Fig. 3.10 – Param´etrisation d’une tractoire circulaire [Euler 1784a, p. 126]

• Cas a > c : q z = a cos ϕ + c2 − a2 sin2 ϕ √ 2 2 a −1 sin ϕ a − c −1 a sin ϕ ω = √ tan p − tan p . a2 − c2 c2 − a2 sin2 ϕ c2 − a2 sin2 ϕ • Cas a = c : z = 2a cos ϕ ω = tan ϕ − ϕ. • Cas a < c : q z = a cos ϕ + c2 − a2 sin2 ϕ √ p 2 2 2 2 2 a c − a sin ϕ + sin ϕ c − a −1 a sin ϕ ω = √ ln p √ − tan p . 2 c2 − a2 c2 − a2 sin2 ϕ − sin ϕ c2 − a2 c2 − a2 sin2 ϕ 104 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI

Ces formules permettent une description de l’allure des tractoires. Quand a > c, les formules ne sont définies que pour ϕ ∈ [0, sin−1(c/a)[. En fait, on obtient de cette manière une premièrebranche de la tractoire s’interrompant en un point de rebroussement. Avec un fil, la construction s’achève en ce point car, au-delà,le fil se détendrait. Avec une tige rigide, on peut continuer et faire apparaˆıtreles branches suivantes (cf. figure 3.11(a)). Dans les autres cas, le paramètre ϕ peut prendre toutes les valeurs dans l’intervalle [0, π/2[. Quand a = c, on retrouve la situation qui avait déjàétéétudiéeexpérimentalement par Huygens en 1692 et par Suardi en 1751 : la courbe s’enroule en spirale autour du centre, qui joue le rôled’un point asymptotique (cf. figure 3.11(b)). Enfin, pour a < c, la courbe s’enroule également en spirale, mais autour d’un cercle asymptotique (cf. figure 3.11(c)).

(a) Cas a > c

(b) Cas a = c (c) Cas a < c

Fig. 3.11 – Tractoires `abase circulaire 3.4. TRAVAUX POSTHUMES D’EULER SUR LES TRACTOIRES 105

Ainsi, les tractoires àbase circulaire peuvent êtredéterminées par des équations finies. Il en résulte que les équations de Riccati qui leur sont associées sont constructibles par les moyens traditionnels. Pour préciser la forme de ces équations, Euler reprend les notations généralesdu mémoire de 1736 (cf. figure 3.12). L’extrémité T du fil que l’on tire sur la base est repérépar les coordonnées CU = u et UT = t ; le poids Z qui décrit la tractoire est repérépar les coordonnées CX = x et XZ = y. On pose aussi dy = p dx.

Fig. 3.12 – Equation´ diﬀ´erentielle d’une tractoire circulaire [Euler 1784a, p. 138]

On se souvient que l’équation différentielle qui déterminela tractoire est, en général,

a dp + p du = dt. p1 + p2

Pour le cas présent oùla base est un cercle, on a u = c sin ψ et t = c cos ψ, en prenant pour paramètrel’angle ACT = ψ. En faisant simultanément le changement de fonction q2−1 habituel p = 2q et en posant c = 2na pour simplifier, on aboutit àl’équation de Riccati

dq + 2nq dψ sin ψ + nq2 dψ cos ψ = n dψ cos ψ.

Euler parvient ainsi àla conclusion que cette équation de Riccati est constructible par les moyens traditionnels. Il en va de même pour toutes les équations qui s’en déduisent par changement de variable (le texte donne cinq autres équations de Riccati se ramenant àla précédente). On tient peut-être làla motivation qui a conduit Euler àrevenir àsa vieille méthode de construction tractionnelle des équations de Riccati. Par l’intermédiaire des tractoires circulaires, il a réussi àmettre en évidence un nouveau cas d’intégrabilité(au sens traditionnel) de l’équation de Riccati.

3.4.3 Instruments pour les tractoires àbase circulaire Après celles qui ont une base rectiligne, les tractoires àbase circulaire semblent les plus faciles et les plus intéressantes àconstruire. Nous avons vu comment Huygens les a tracées avec un fil, comment Suardi les a construites de manièreapprochée, comment Vincenzo Riccati, puis Euler, en ont calculédes équations. Il semble mêmeque Poleni ait fabriquéun instrument de précision pour les décrire, du moins si l’on en croit la correspondance qu’il a échangéeavec Euler entre 1735 et 1739, et que nous avons déjà évoquée [Juˇskeviˇc et al. 1975, p. 336-338]. Rappelons qu’en juin 1735, Euler félicite Poleni pour ses constructions organiques de la tractrice et de la logarithmique. A` cette occasion, 106 CHAPITRE 3. L’EQUATION´ DE RICCATI il suggèreau marquis qu’il serait intéressant de disposer d’instruments analogues pour les tractoires àbase curviligne, dans la mesure oùces courbes servent àintégrer l’équation de Riccati. Le 1er septembre 1736, Poleni répond qu’il a mis au point un instrument pour les tractoires àbase circulaire3 : Eh bien j’ai inventéun premier instrument pour les tractoires dont les bases sont curvi- lignes, et j’ai pris la peine de le fabriquer. Il est constituéd’une règle munie d’un curseur, comme on dit, portant une pointe, afin que, étant donnéun rayon quelconque, un cercle puisse être décritpar cette règle. A` son extrémitéest fixée une autre règle,mobile en rotation, qui porte une roulette placéeaussi habilement que celle que j’ai proposéeautrefois pour le tracé d’une tractoire simple. Ainsi, pendant que le pourtour d’un cercle est décrit par la première règle,la roulette marque une tractoire telle que les tangentes interceptées entre elle et le pourtour du cercle soient constantes. Les tractoires de cette sorte ont plusieurs parties et, à ce que je crois, quelques usages. En tout cas, bien que ce soient des lignes transcendantes, on les trace trèsfacilement.4 Il est dommage que nous n’ayons pas d’autre témoignage sur cet instrument qui semble avoir disparu. On retiendra de l’épisode ces faits méconnus que, d’une part, Poleni a continuéàfabriquer des instruments tractionnels longtemps après la fameuse lettre à Hermann et que, d’autre part, Euler s’y intéressait de près. Curieusement, il ne semble pas qu’il y ait eu par la suite d’autres réalisations d’appareils spécifiques pour tracer les tractoires àbase circulaire. Il faut attendre 1965 pour que, à l’occasion d’un article récréatifparu dans The American Mathematical Monthly, Walter Guyton Cady [1965] propose un schéma qui se passe de tout commentaire (cf. figure 3.13).

Fig. 3.13 – Appareil pour tracer les tractoires `abase circulaire [Cady 1965, p. 8]

3 Je remercie Silvia Mazzone pour m’avoir procuréune copie de cette lettre encore inédite. 4 « Primum autem instrumentum, quod pro tractoriis, quarum baseos sint curvilineas [...] inveni, et construi curavi, constat regula instructa cursore, ut appellant, acuminato ; ut dato quocunque radio, regula illa circulus describi queat : ad extremum eiusdem regula conexa alia est, in orbem mobilis, atque hæc rotulam habet, eo artificior positam, quod alias pro simplicis tractoriæ descriptione proposui. Ita dum prima regula circuli ambitus describitur, rotula illa signat tractoriam, cuius tangentas inter ipsam, et ambitum circuli interceptæ, sunt constantes. Plures partes habent huiusmodi tractoriæ, et usus aliquos, ut opinor ; certe, ut ut transcendentes lineæ sint, facillime exarantur. »