Positivity of Direct Images and Projective Varieties with Nonnegative Curvature Juanyong Wang

Positivity of direct images and projective varieties with nonnegative curvature Juanyong Wang To cite this version: Juanyong Wang. Positivity of direct images and projective varieties with nonnegative curvature. Al- gebraic Geometry [math.AG]. Institut Polytechnique de Paris, 2020. English. NNT : 2020IPPAX048. tel-02982921 HAL Id: tel-02982921 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02982921 Submitted on 29 Oct 2020 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. Positivité des images directes et variétés projectives à courbure positive Thèse de doctorat de l’Institut Polytechnique de Paris préparée à l’École polytechnique École doctorale n◦574 École doctorale de mathématiques Hadamard (EDMH) Spécialité de doctorat : Mathématique fondamentale NNT : 2020IPPAX048 Thèse présentée et soutenue à Palaiseau, le 27 août 2020, par Juanyong Wang Composition du Jury : Claire Voisin Directrice de recherche, Sorbonne Université (IMJ-PRG) Présidente Benoît Claudon Professeur, Université de Rennes 1 (IRMAR) Rapporteur Thomas Peternell Professeur, Universität Bayreuth (Mathematisches Institut) Rapporteur Thomas Gauthier Professeur Monge, École polytechnique (CMLS) Examinateur Sébastien Boucksom Directeur de recherche, École polytechnique (CMLS) Directeur de thèse Junyan Cao Maître de conférence, Sorbonne Université (IMJ-PRG) Co-directeur de thèse 574 Positivity of direct images and projective varieties with nonnegative curvature Juanyong Wang under the supervision of Sébastien Boucksom & Junyan Cao Ma troisième maxime était de tâcher toujours plutôt à me vaincre que la fortune, et à changer mes désirs que l’ordre du monde : et généralement de m’accoutumer à croire qu’il n’y a rien qui soit entièrement en notre pouvoir que nos pensées. Discours de la méthode, René Descartes 一切有:法，如¦{áq，如2¦如 5，应\如/Â。 Sutra¯ du Diamant 1 2 Remerciements En tout premier lieu, je tiens à exprimer ma plus profonde gratitude à à mes directeurs de thèse Sébastien Boucksom et Junyan Cao, qui m’ont dirigé vers la voie de devenir un cher- cheur de mathématiques pendant ces quatre années. Leur expertise et intuition dans le domaine de géométrie complexe, en faisant ressortir les idées essentielles de théorèmes ou de notions, m’ont beaucoup aidé dans ma recherche, et les conversations enrichis- santes et divertissantes tout au long de cette thèse m’ont toujours proposé la bonne idée pour en résoudre les difficultés. Cette thèse n’aurait jamais vu le jour sans leurs sugges- tions et encouragements, qui m’ont soulevé des stresses et m’ont encouragé à continuer mon travail dans les moments les plus difficiles. C’est un grand honneur d’avoir été leur élève et c’est un autant grand regret qu’il y a encore énormément de choses que je n’ai pas pu apprendre d’eux. Je dois un grand merci à Benoît Claudon et Thomas Peternell d’avoir accepté d’être rapporteurs de cette thèse, j’ai beaucoup tiré profit de leurs travaux scientifiques pendant la préparation de cette thèse. En particulier, je voudrais remercier Benoît pour très gentiment lire tout le manuscrit, m’aider à corriger toutes les petites typos et erreurs gramma- ticales, signaler une erreur dans une version précédente du manuscrit et m’a proposé la démonstration correcte du théorème pendant une discussion instructive. C’est en outre un grand honneur pour moi que Thomas Gauthier et Claire Voisin aient accepté de faire partie de mon jury. Le fameux ouvrage de Mme Voisin m’a répondu toujours les questions concernant la théorie de Hodge et bien d’autres. Je voudrais ensuite adresser mes reconnaissances aux mathématiciens qui se sont montrés disponibles pour des discussions profitables et pour des remarques sur mon travail; qu’il me soit permis de citer Hugues Auvray, Daniel Barlet, Nero Budur, Frédéric Campana, Jiang Chen, Ya Deng, Stéphane Druel, Lie Fu, Paul Gauduchon, Henri Gue- nancia, Vincent Guedj, Andreas Höring, Masataka Iwai, Sándor Kovács, Jie Liu, Shin-ichi Matsumura, Mihnea Popa, Xiaowei Wang, Zhiyu Tian, Chenyang Xu, Maciej Zdanowicz et De-Qi Zhang. Mes remerciements vont particulièrement à Xiaowei pour les conversations très instructives et pour tous ses conseils, à Stéphane pour signaler une erreur dans une version précédente du manuscrit, pour répondre mes questions parfois stupide avec la patience et pour m’aider à rédiger une partie de cette thèse, et à Shin-ichi pour un travail en commun avec lui qui généralise un résultat principal de cette thèse et pour beaucoup de choses qu’il m’a apprises pendant nos discussions (surtout quand j’était trop optimistique). Je remercie cordialement Charles Favres qui m’a très gentiment offert une bourse qui m’a permis de faire ma quatirème année de thèse au CMLS sans tâche d’enseignement, sans l’aide duquel je n’aurais pas pu me concentrer sur la rédaction de cette thèse. Je dois aussi un grand merci à Mihai Păun, Andreas Höring et Javier Fresán pour écrire des lettres de recommandation pour mes candidatures aux postes postdoc. Et je remercie Frédéric Paulin pour toutes ses aides sur l’administration de l’école doctorale. Cette thèse a été préparée au CMLS, et je tiens à remercier vivement les camarades du labo : Aymeric Baradat, Nicolas Brigouleix, Nguyen-Bac Dang, Vincent de Daruvar, René Mboro, Tien-Vinh Nguyen, The-Hoang Nguyen, Yichen Qin et Xu Yuan. En particulier, 3 je remercie Vincent pour les enseignements que l’on a fait ensemble. Je remercie tous les amis pendant mon étude de Master à Paris-Sud : Marco d’Addezio, Fabio Bernasconi, Cheng Shu, Yanbo Fang, Zhizhong Huang, Mirko Mauri, Jiacheng Xia, Songyan Xie, Xiaoqi Xu, Ruotao Yang, Shengyuan Zhao, Xiaoyu Zhang et Kefu Zhu. Je voudrais surtout remercier Marco pour les projets que nous avons faits ensemble ainsi que les choses qu’il m’a apprises pendant nos discussions (c’étaient vraiment de très bons moments mathématiques). Je voudrais remercier Jean-Benoît Bost pour sa direction de mon mémoire de M1, j’en ai tiré beaucoup de profit. Je remercie Dawei Yang, qui était mon professeur en licence à Jilin et qui m’a recom- mandé d’aller en France pour poursuivre mes études. Je le rendais visite chaque fois il faisait un séjour académique à Paris-Sud et nous avons toujours passé de très bons moments. Je tiens à remercier Haijun Wang, qui était mon professeur en licence, pour son en- couragement continu qui m’a conduit à la voie académique. Pendant la préparation de cette thèse, j’ai organisé un groupe de travail avec Xiaozong Wang sur le programme des modèles minimaux (MMP). Merci beaucoup, Xiaozong! Et c’est un grand plaisir de connaître des amis qui y ont participé : Xindi Ai, Zhangchi Chen, Nicolina Istrati, Louis Ioos, Mingchen Xia, Zhixin Xie et Zhiyu Zhang. Un grand merci pour eux. Il me semble également important de souligner ici la qualité des conditions de travail offertes par le laboratoire ainsi que celle du travail fourni par les secrétaires Marine Amier, Pascale Fuseau et Carole Juppin. Mon remerciement va particulièrement à Pascale pour toutes ses aides qui rendent les choses administratives beaucoup plus simples. Je voudrais aussi remercier les secrétaires de l’École polytechnique qui m’ont aidé à mettre en place les enseignements, parmi eux je voudrais exprimer toutes mes reconnaissances à Mme Linda Guével qui était en charge du tutorat (c’était une grande tristesse d’apprendre son décès, R.I.P.). Pendant la préparation de cette thèse, j’ai été partiellement soutenu par le projet ANR « GRACK ». Tous mes remerciements à ma famille et ma belle-famille pour leur soutien and leur accompagnement. Ça fait plus de huit ans que ma femme Ruidan est entrée dans ma vie. Comme l’aurore dissipant les ténèbres, elle m’a soulevé du chagrin et du pessimisme. C’est elle qui me fait connaître le sens du bonheur et qui me fournit la motivation constante pour finir la thèse, que de mots simples ne sauraient exprimer ... Ruidan, merci. Cette thèse lui est dédiée. 4 Contents Introduction 9 Methodology....................................... 12 On the Iitaka conjecture Cn;m for Kähler fibre spaces................ 13 On the structure of klt projective varieties with nef anticanonical divisors.... 18 Organization of the thesis............................... 20 Introduction (Français) 21 Méthodologie...................................... 24 Sur la conjecture Cn;m d’Iitaka pour les fibrations kählériennes.......... 25 Sur la structure des variétés projectives klt à diviseur anticanonique nef..... 30 Organisation de la thèse................................ 32 1 Preliminary results 35 1.1 An analytic geometry toolkit........................... 35 1.2 Negativity Lemma in analytic geometry.................... 37 1.3 Reflexive hull of the direct image of line bundles............... 38 1.4 Singular Hermitian metrics over vector bundles................ 43 1.5 Albanese map of quasi-projective varieties................... 45 1.6 Horizontal divisors and base changes...................... 47 2 Main tools 49 2.1 Ohsawa-Takegoshi type extension theorems.................. 49 2.2 Positivity of the twisted relative pluricanonical bundles and their direct images....................................... 50 2.2.1 Positivity of the relative m-Bergman kernel metrics.......... 51 2.2.2 Positivity of the canonical L2 metric on the direct images...... 53 2.2.3 Positivity of direct images of twisted relative pluricanonical bundles 60 2.2.4 Generalizations.............................. 62 2.3 Numerically flat vector bundles and locally constant fibrations....... 64 2.4 Holomorphic foliations on normal varieties.................. 66 2.4.1 General results on holomorphic foliations..............

Load more