INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO “Félix Varela”

Facultad de Enseñanza Media Superior

Departamento de Ciencias Exactas

MODELO DIDÁCTICO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS

NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN

LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS

Tesis presentada en opción al grado científico de

Doctor en ciencias Pedagógicas

Autora: M. Sc. Yusimí Guerra Véliz

Tutor: Dr. C. Julio Leyva Haza

Santa Clara, 2008

En estas páginas va parte de mi vida, trabajo, sacrificio,

tristezas, esperanzas... y sobre todas las cosas Amor.

Me son muy preciadas, porque en cada una he ido

dejando un pedazo de mí.

Creo que no las hubiera escrito, al menos no salidas del

alma,

Si no hubiera contado siempre con él.

2 Por enseñarme tantas cosas, por amarme... y por todo lo

que significa para mí

Dedico estas páginas a mi esposo, mi mejor maestro.

3

A mis niños Rafael y Alberto.

Que un día estos sueños sean los suyos...

4 5

A mi maestra Adelfa, de preescolar, por inspirarme a buscar las nubes

cuadradas.

A mi maestro Lázaro, de quinto grado, por despertarme el bichito de la

matemática.

A mi maestro Carlos, de Física en séptimo grado, por responder mis

interminables preguntas.

A mis profesoras, de Literatura en décimo y onceno grados, Magali y Liset

por enseñarme a leer con los sentimientos.

A mis profesores de Filosofía de preuniversitario Quirino y Raúl, por hacer

de sus clases la vida misma.

A mi profesor de Electromagnetismo, Carlos Sánchez por su exigencia y

amor.

A mi profesor y esposo Julio por aquellas integrales de fuerzas variables;

por su ejemplo.

6 A mi profesor de Análisis Matemático, Norli por plantearme un problema

difícil cada día.

A mi maestro Rivas, por su Mecánica Teórica que me dio tanto gusto.

A mi profesor, Eberto, por hacer del Álgebra una ciencia mágica.

A mi profesor de pedagogía, Rodolfo, por su acertada sabiduría.

A mi profesor atemporal Tomás Crespo, por confiar en mi.

A todos los que han marcado mi camino.

Gracias por las flores que encontré en el borde, y por el árbol lleno de hojas

verdes que vislumbro al final.

7 SÍNTESIS

Existen varias razones para que esta investigación, encaminada a la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física, se haya realizado: la primera radica en que tales métodos al sustituir el problema original por otro aproximado evidencian la relatividad de los conocimientos que comportan; la segunda en que los métodos numéricos al sustituir operaciones matemáticas complejas por simples operaciones algebraicas permiten que el razonamiento del estudiante, que recién ingresa a la educación superior, transite de forma gradual del razonamiento numérico formado en la enseñanza media al razonamiento funcional que debe formarse en la educación superior; la tercera razón se debe al uso intenso que se le da a dichos métodos para modelar problemas contemporáneos. Así, los métodos numéricos son parte de la cultura que necesariamente debe asimilar el ciudadano común. Sin embargo, tradicionalmente se ha relegado su uso en el estudio de las ciencias que aplican la matemática como una herramienta, convirtiéndose su implementación didáctica en una dificultad. En nuestros días muchos pedagogos se ocupan de investigar en está temática, ofreciendo propuestas que pueden clasificarse en dos grandes grupos: uno dirigido a la formación de científicos e ingenieros, y otro a los niveles de enseñanza en que se estudian las ciencias con menos profundidad. Las propuestas dirigidas a la enseñanza de las ciencias en las carreras de formación de profesores de ciencias exactas para la enseñanza media se ubican en el segundo grupo, pero las existentes no responden completamente a las razones abordadas, por ello la búsqueda de una que las tenga en cuenta adquiere la cualidad de problema científico a resolver en la presente investigación. Para tal solución se propone un modelo didáctico fundamentado en el modelo de aprendizaje Histórico Cultural, la didáctica de Álvarez de Zayas y que toma como guía metodológica la filosofía Marxista Leninista. Tal modelo concibe la introducción de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General que es una de las disciplinas incluidas en el plan de estudio de dicha carrera. Conjuntamente con la solución del problema científico fueron develados varios aspectos particulares que enriquecen la didáctica de la Física y que se explican en el informe. Para probar que el modelo propuesto es realizable desde el punto de vista teórico se hizo un experimento de modelo consistente en el diseñar sobre la base de dicho modelo asignatura Mecánica, que forma parte de la disciplina Física General. Para probarlo desde el punto de vista práctico se ejecutó un preexperimento pedagógico que se complementó con el criterio de experto. Cada uno de ellos arrojó resultados que avalan la calidad del modelo propuesto.

8 ÍNDICE

CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS ...... 23 1.1. FUNDAMENTACIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO ...... 23 1.1.1. Lugar de los métodos numéricos en la matematización de la Física ...... 23 1.1.2. Los métodos numéricos como objeto capaz de satisfacer la necesidad psicológica de transitar gradualmente del razonamiento numérico al funcional...... 28 1.1.3. Los métodos numéricos como componente de la cultura que es imprescindible asimilar en el presente ...... 30 1.1.4. El tratamiento de los métodos numéricos en los planes de estudio de formación de profesores de Ciencias Exactas...... 31 1.1.5. Formulación del problema ...... 35 1.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO ...... 36 1.2.1. La concepción científica del mundo ...... 36 1.2.2. La teoría histórico – cultural, la actividad y la comunicación en la concepción del modelo de aprendizaje ...... 43 1.2.3. Carácter interdisciplinario de la aspiración social y su concreción en la escuela...... 50 1.2.4. El sistema proceso docente educativo ...... 55

CAPÍTULO 2 LA PROPUESTA DEL MODELO DIDÁCTICO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS ...... 71 2.1. LA REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA A TRAVÉS DEL MODELO Y SU CONFORMACIÓN ...... 71 2.2. ELABORACIÓN DEL MODELO DIDÁCTICO ...... 73 2.2.1 El objeto ...... 73 2.2.2 El problema ...... 74 2.2.3 El objetivo ...... 75 2.2.4 El contenido ...... 77 2.2.5 El sistema de métodos, los medios y las formas ...... 87 2.2.6 La dinámica del proceso docente educativo en el modelo que se propone ...... 100 2.2.7 El profesor y el colectivo pedagógico ...... 103 2.2.8 El alumno ...... 104 2.2.9 El resultado ...... 105

9 CAPÍTULO 3 LA VALORACIÓN DEL MODELO DIDÁCTICO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS ...... 107 3.1 EL MÉTODO DE VALORACIÓN DEL MODELO SEGÚN LA METODOLOGÍA SEGUIDA ...... 107 3.2 LA REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO...... 108 3.2.1 La concepción, ejecución y valoración del experimento de modelo ...... 108 3.2.2 La concepción, ejecución y valoración de los resultados del experimento pedagógico . 110

CONCLUSIONES ...... 128

RECOMENDACIONES ...... 130

BIBLIOGRAFÍA ...... 131

ÍNDICE DE ANEXOS Anexo 1: Carácter binario de los métodos de enseñanza problémica que se proponen para la modelación del componente método ...... 137 Anexo 2: Estructura del método de solución de tareas teóricas y tareas experimentales de Física ...... 138 Anexo 3: Métodos numéricos cuya introducción se propone a través del proceso docente educativo de la Física General ...... 139 Anexo 4: Matriz interobjeto para la asignatura Mecánica ...... 143 Anexo 5: Matriz resultado para cada tema de la asignatura Mecánica ...... 146 Anexo 6: Casos particulares para cada tema de la asignatura Mecánica ...... 155 Anexo 7: Clasificación de las tareas docentes genéricas de Física ...... 157 Anexo 8: Estructura de las TD1 y esquema de su procedimiento de solución ...... 158 Anexo 9: Concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD1 a partir de su procedimiento de solución ...... 159 Anexo 10: Ejemplo de una TD1 y análisis de su solución según el procedimiento propuesto ...... 160 Anexo 11: Estructura de las TD2 y esquema de su procedimiento de solución ...... 165 Anexo 12: Concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD2 a partir de su procedimiento de solución ...... 166 Anexo 13: Ejemplo de una TD2 y análisis de su solución según el procedimiento propuesto ...... 167 Anexo 14: Estructura de las TD3 y esquema de su procedimiento de solución ...... 173 Anexo 15: Concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física con procesamiento informático de los datos en la estructura del procedimiento de solución de las TD3 ...... 174

10 Anexo 16: Ejemplo de una TD3 y análisis de su solución según el procedimiento propuesto ...... 175 Anexo 17: La estructura del método de solución de tareas experimentales de Física con procesamiento informático de los datos y la estructura del método de solución de las TDG2 experimentales ...... 182 Anexo 18: Ejemplo de guía de estudio de Mecánica ...... 183 Anexo 19: Programa del curso de postgrado: “Aplicación de la Matemática Numérica en la solución de tareas docentes de Física” ...... 198 Anexo 20: Programa del curso de postgrado: “Implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General” ...... 202 Anexo 21: Esquema del modelo didáctico ...... 205 Anexo 22: Preprueba para medir el componente intelectual ...... 206 Anexo 23: Guía de observación para medir el componente práctico ...... 208 Anexo 24: Postprueba para medir el componente intelectual ...... 209 Anexo 25: Tabla de valores de la variable dependiente para el componente intelectual ...... 210 Anexo 26: Tabla de valores de la variable dependiente para el componente personal ...... 211 Anexo 27: Tabla de valores de la variable dependiente para el componente práctico ...... 212 Anexo 28: Gráfico de cajas y pivotes para el componente intelectual ...... 213 Anexo 29: Gráfico de cajas y pivotes para el componente personal ...... 214 Anexo 30: Gráfico de cajas y pivotes para el componente práctico ...... 215 Anexo 31: Tabla de índices para el componente intelectual ...... 216 Anexo 32: Tabla de índices para el componente personal ...... 217 Anexo 33: Tabla de índices para el componente práctico ...... 218 Anexo 34: Gráfico de índices de cada componente por estudiante ...... 219 Anexo 35: Tabla de tasas de variación por estudiante para cada componente ...... 220 Anexo 36: Caras de Chernoff para cada uno de los estudiantes sometidos al experimento ...... 221 Anexo 37: Cuestionario para el criterio de experto ...... 223 Anexo 38: Fuentes de argumentación para establecer el criterio de experto...... 225 Anexo 39: Resultados de los encuestados en cada fuente de argumentación ...... 226 Anexo 40: Nivel de competencia de los expertos ...... 227 Anexo 41 Procesamiento estadístico de la evaluación del modelo dada por los expertos a partir de los resultados de los indicadores del componente intelectual ...... 228 Anexo 42: Procesamiento estadístico de la evaluación del modelo dada por los expertos a partir de los resultados de los indicadores del componente personal ...... 230 Anexo 43: Procesamiento estadístico de la evaluación del modelo dada por los expertos a partir de los resultados de los indicadores del componente práctico ...... 232

11 INTRODUCCIÓN

El desarrollo alcanzado por la sociedad actual repercute de manera decisiva en los sistemas educacionales. Fenómenos sociales como la globalización y el vertiginoso avance de la tecnología han sacado a la luz carencias de las ciencias pedagógicas que antes no se detectaban. Al respecto la Doctora Lesbia Cánovas señala “… la Pedagogía está emplazada también por la práctica social al no dar respuesta a las exigencias y necesidades de la época, al seguir empleando representaciones tradicionalistas para la solución de nuevos problemas…” (Cánovas, 2002, 51). Más adelante sentencia: “La Pedagogía tendrá que modelar la vida de la escuela a partir de revolucionar su sistema de actividades y relaciones con la participación activa de todos los que intervienen en el hecho educativo, jerarquizar su función formadora y educadora. La incorporación de las nuevas tecnologías de la información impactará el rol del maestro, exaltando su condición de mentor. En consecuencia, tendrán que revolucionarse las concepciones acerca de la formación de maestros…” (Cánovas, 2002, 53).

Tal reto, aun cuando atañe a todas las ciencias pedagógicas, debe ser enfrentado, de acuerdo con sus características, por cada una de las disciplinas específicas que la integran; esto recae, en gran medida, en las didácticas particulares. Los especialistas de cada una de ellas han de realizar profundos análisis con dos fines fundamentales: primero, determinar cómo se manifiestan los problemas actuales en la didáctica de la ciencia que enseñan y segundo, buscarles soluciones científicas.

Uno de tales problemas es el conocimiento de los métodos numéricos como parte de la cultura que debe asimilar el ciudadano común. Para ello hay razones de carácter gnoseológico, psicológico y social que exigen su inclusión en los currículos escolares como un encargo social. Seguidamente serán expuestas cada una de estas razones.

La formación de la concepción del mundo de los ciudadanos es un problema cardinal de cualquier sociedad, que depende de la ideología imperante en ese momento. Así, en nuestro caso, la inclusión de las ciencias en los planes de estudio educacionales persigue el objetivo gnoseológico encaminado a la formación de la concepción científica del mundo de los estudiantes.

12 La Dra. Beatriz Macedo, representante de la UNESCO para la enseñanza de las ciencias en América Latina y el Caribe, planteó en la conferencia de apertura del II Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias (La Habana, 2002) que en los currículos actuales la enseñanza de las ciencias se concibe de forma tal que provoca que el alumno se haga una representación de sus contenidos como algo acabado, como un conjunto de conocimientos que describen exactamente la realidad.

Asumir los conocimientos científicos de este modo implica que no se tome una posición marxista leninista en cuanto a la posibilidad de conocer el mundo. De acuerdo con la gnoseología materialista dialéctica el mundo es cognoscible a través de la práctica siendo los conocimientos un reflejo aproximado de la realidad. Es decir, la verdad objetiva posee carácter relativo.

Esta forma de manifestarse la verdad objetiva se hace más evidente en aquellas ciencias en las que la matemática es una herramienta para la conformación e interpretación de sus teorías. Los métodos matemáticos empleados pueden o no comportar el carácter aproximado de dichos conocimientos. Entre los que permiten valorar las aproximaciones se hallan los métodos numéricos. En otra clase se ubican los métodos exactos que no tienen en cuenta el carácter aproximado de los conocimientos respecto a la realidad que representan.

En el hecho de que los métodos numéricos permitan juzgar acerca de la eficiencia del resultado radica su valor gnoseológico pues, al hacer evidente la naturaleza inexacta de las representaciones o conocimientos que se obtienen, las construcciones científicas se asumirán con el carácter aproximado que les es inherente y se entenderá que estas aunque correctas, son susceptibles de ser mejoradas.

Durante la construcción del aparato teórico de las ciencias exactas los métodos numéricos y exactos son igualmente importantes, se excluyen y complementan conformando una unidad dialéctica. Mientras que los métodos exactos posibilitan arribar a importantes generalizaciones teóricas, los numéricos permiten pasar de los datos obtenidos en las mediciones al modelo matemático que expresa sus relaciones y comprobar en la práctica el modelo teórico propuesto.

13 Sin embargo, actualmente en la enseñanza de las ciencias predominan los métodos exactos. En consecuencia, los estudiantes asumen los conocimientos científicos como una descripción exacta de la realidad y obvian el carácter relativo de dichos conocimientos, que tan importante es para estimular la inconformidad que lleva a la búsqueda de nuevos conocimientos y a la profundización de los existentes. Esta dificultad puede resolverse incluyendo en la enseñanza de las ciencias los métodos numéricos conjuntamente con los exactos.

El desarrollo del pensamiento de los ciudadanos, es también un problema de cualquier sociedad que se transmite como encargo a la escuela. Este adquiere matices diferentes en cada nivel educacional y al cambiar de un nivel a otro. Durante la enseñanza media el razonamiento de los estudiantes, en lo que a matemática se refiere, se desarrolla sobre la base de las operaciones con números. Así, después de realizar cualquier operación matemática ellos esperan obtener como resultado un número; sin embargo, al comenzar en la educación superior se inician las operaciones sobre las funciones de modo que los estudiantes deben obtener como resultado una función pero lo que esperan es un número. Así, su razonamiento transita de forma muy brusca de numérico a funcional. Esta situación lleva a que comiencen a aparecer lagunas en el aprendizaje y que muchos de los conocimientos a asimilar no sean asequibles en el momento en que se estudian.

Los métodos numéricos sustituyen operaciones tales como: la derivación, integración y solución de ecuaciones diferenciales, que son operaciones matemáticas complejas que se realizan sobre funciones, por operaciones algebraicas simples como suma, resta, multiplicación y división que se realizan sobre números. La integración sistémica de tales operaciones algebraicas representan la operación matemática compleja a realizar sobre la función y los propios conjuntos de números involucrados en dichas operaciones constituyen funciones expresadas en forma tabular. Luego, cuando los estudiantes están operando con conjuntos de números ya están operando con funciones; claro que para hacerlo evidente es preciso que interpreten el sistema de operaciones algebraicas como operaciones realizadas sobre funciones y los conjuntos de números como funciones. Esto propicia un tránsito gradual en su razonamiento de numérico a funcional con lo que se justifica desde el punto de vista psicológico la introducción de los métodos numéricos como una necesidad.

14 A pesar de que estas dos razones son suficientes para la introducción de los métodos numéricos en los currículos actuales, existe otra de carácter sociológico y es el hecho de que tales métodos se empleen cada vez con más frecuencia para resolver problemas en los ámbitos científico, técnico y práctico convirtiéndose en parte de los conocimientos que debe asimilar el ciudadano común para su inserción social.

En los momentos actuales en que todo Nuestro Pueblo dirigido por el Partido Comunista está enfrascado en llevar adelante la Batalla de Ideas, la formación de una cultura general integral es elemento imprescindible para garantizar el mantenimiento y desarrollo de la Revolución, esto lo reafirman las palabras que dan título al discurso pronunciado por Nuestro Comandante en Jefe Fidel Castro en el Aula Magna de la Universidad de Caracas en Venezuela donde expresó que “Una revolución solo puede ser hija de la cultura y las ideas” (Castro, 1999, portada).

La formación de la cultura general integral está estrechamente ligada al momento histórico concreto, a la dialéctica intrínseca en las ideas éticas, jurídicas, políticas, artísticas y científicas que prevalecen en las relaciones sociales de cada época. No basta con el conocimiento de la riqueza cultural heredada de nuestros ancestros, es preciso conocer los problemas actuales y participar en la toma de decisiones para orientarse en el mundo vertiginosamente cambiante que nos ha tocado vivir.

La concepción de la ciencia ha mantenido relativa estabilidad respecto a la acelerada dinámica de las demás facetas que conforman la cultura; sin embargo, desde finales del siglo XX está ocurriendo un cambio en el concepto de madurez de la ciencia y en consecuencia en su forma de incorporarse a la cultura, en su valor teórico. Al referirse a este particular el Dr. Carlos Cabal expresó: “Hace algunas decenas de años se subrayaba que las ciencias eran maduras cuando lograban una formulación teórica, analítica, matemática, que podía expresar, en un conjunto limitado de teorías, todo un sistema de fenómenos que se ocupaba como objeto de estudio de esa ciencia. Yo pienso que ese concepto de madurez de la ciencia es un concepto en evolución y, de hecho, la descripción matemática y el conjunto de teorías que pueden surgir para descubrir los fenómenos objetos de una ciencia han ido cambiando con el propio cambio de los conceptos en la matemática. La matemática de antes de finales del siglo XIX es diferente

15 a la matemática actual, y eso ha sido en gran medida por el desarrollo de los métodos numéricos, por la simulación y la modelación de fenómenos a través de herramientas de la matemática. Y eso ha sido, más que todo, producto del desarrollo de la computación y de las herramientas de cálculo que al hombre le ha permitido ver las cosas no solamente desde un punto de vista analítico, de fórmulas que describen todos y cada uno de los procesos que ocurren en un fenómeno determinado” (Coloquio 2002 ,300).

La participación que tiene hoy el ciudadano medio en la sociedad exige que su concepción acerca de la ciencia sea más dialéctica por la labor que realiza y por la necesidad de poder orientarse en una sociedad en que se ve “bombardeado” diariamente por un gran cúmulo de información de todo tipo y con contenidos e intenciones diversas. Entonces, el estudio de las ciencias en que se aplica la matemática ha de concebirse considerando la unidad dialéctica entre los métodos numéricos y exactos para dar una visión más adecuada de dicha ciencia en correspondencia con la cultura de masas que exige el mundo de hoy.

Sobre la base de los razonamientos anteriores hemos determinado que los métodos numéricos se implementen en el proceso docente educativo de la Física para desarrollar las siguientes habilidades:  Realizar una operación matemática determinada sobre una función aplicando métodos numéricos.  Aplicar cada método numérico para explicar sistemas o fenómenos físicos.  Valorar el carácter aproximado de los conocimientos físicos. Estas son habilidades complejas que se componen de conocimientos, hábitos y otras habilidades más sencillas cuyo contenido debe ser asimilado por el estudiante, puesto que es resultado del quehacer de diversas ciencias. En este sentido constituyen significaciones objetivas (Brito, 1987, 62, t3). El desarrollo de la primera garantizará el tránsito gradual del razonamiento del estudiante del numérico al funcional. El desarrollo de la segunda propiciará su competitividad para operar con el contenido físico al nivel exigido por el programa. La tercera facilitará la apreciación de la diferencia entre conocimiento y realidad. Las dos primeras se formarán al unísono para cada método numérico específico y la tercera se asimila en la medida que se aprendan más métodos numéricos, pero una vez que se van formando se van individualizando (Brito, 1987, 62, t3), puesto que el sujeto 16 las asocia al mundo objetal sensible; es decir, las relaciona con fenómenos físicos concretos que explica a través de métodos numéricos concretos. Paralelo a ello va teniendo lugar la subjetivación de las significaciones puesto que el individuo las parcializa, les da sentido personal, según la relación que estas tienen con el motivo de su actividad (Brito, 1987, 63, t3) hasta lograr que dichas habilidades se integren en una más compleja consistente en resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos.

Especialistas de diferentes países se han percatado de la necesidad de incluir los métodos numéricos en los cursos de Física en diversos niveles educacionales y constituye una tendencia en el ámbito internacional que se ha desarrollado en dos direcciones. La primera dirigida a la formación de científicos e ingenieros, y la segunda a los niveles de enseñanza en que se estudia la Física con menos profundidad. En el primer caso se propone usar métodos numéricos para resolver problemas complejos que no tienen solución por otra vía. La precisión que demanda la solución y el tiempo requerido para su convergencia exige métodos numéricos muy sofisticados y complejos, de aquí que las propuestas didácticas existentes para su enseñanza no sean aplicables a la formación de profesores de Ciencias Exactas de educación media superior.

La segunda dirección, aunque concibe el trabajo con métodos numéricos más simples, tiene aun un desarrollo incipiente por lo que se limita a ofrecer ejemplos aislados de problemas físicos que se resuelven por métodos numéricos sin proporcionar orientaciones didácticas para aplicar de forma coherente dichos métodos en los cursos de Física.

Las deficiencias señaladas en ambas direcciones hacen que las propuestas didácticas existentes no den respuesta a la exigencia social que se concreta en el desarrollo de la habilidad abordada más arriba. Ello nos ha llevado a considerar en la presente investigación el siguiente problema científico:

No se dispone de una propuesta didáctica para implementar los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas que lleve al desarrollo de la habilidad de resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos.

El objeto de estudio de esta investigación es: el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas y el campo de acción es: el

17 proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas, en el que se incluyan, conjuntamente con los exactos, los métodos numéricos.

El objetivo planteado es el siguiente: proponer un modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas que lleve al desarrollo de la habilidad de resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos.

La investigación estuvo dirigida a dar respuesta a las siguientes preguntas científicas:

 ¿En qué estado se encuentra la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas?  ¿Cuáles son los fundamentos que determinan teóricamente el modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas?  ¿Cómo elaborar un modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas?  ¿Qué resultados se obtienen al aplicar el modelo didáctico elaborado para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas? Las tareas realizadas en esta investigación fueron:  Diagnóstico del estado en que se encuentra la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.  Sistematización de la información bibliográfica acerca de la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.  Elaboración de un modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.  Valoración de los resultados que se obtienen al aplicar el modelo didáctico para la implementación los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.

18 La variable independiente de esta investigación es: el modelo didáctico para la implementación los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas y la variable dependiente es la habilidad resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos.

Métodos teóricos

 Modelación: aplicado a partir de la metodología empleada en la ejecución de la investigación y centrada en el método de modelación de Boguslavski.

 Histórico – Lógico: al analizar el problema científico en los planos filosófico, social, psicológico y didáctico para determinar la influencia de su manifestación anterior en su manifestación actual y las particularidades de la proyección de su solución.

 Enfoque Sistémico: al concebir el proceso docente educativo de la Física General como un sistema autogestionado y tener en cuenta su estructura y dinámica de funcionamiento a partir de las relaciones entre sus componentes.

 Analítico Sintético: aplicado al realizar la revisión bibliográfica para determinar los fundamentos teóricos que sirven de base a la solución dada al problema científico, en la construcción del modelo y en la valoración de los resultados del experimento.

 Inductivo Deductivo: aplicado para la determinación de las características de cada uno de los componentes modelados sobre la base de los criterios teóricos que sustentan el modelo.

 Ascensión de lo Abstracto a lo Concreto: aplicado para realizar las generalizaciones que conforman el modelo y para diseñar y ejecutar el proceso docente educativo que permitió la valoración de los resultados del experimento.

Métodos empíricos  Observación: A través de la observación a clases aplicada como preprueba, postprueba y durante los ensayos de relación variable independiente – variable dependiente para medir el componente práctico de la variable dependiente. A través de la observación del comportamiento de los estudiantes durante el desarrollo de las clases de la asignatura de Mecánica y durante el tiempo extradocente para medir el componente personal de la variable dependiente.

19  Experimentación: Durante la realización del experimento de modelo al diseñar el proceso docente educativo de la asignatura Mecánica con el modelo elaborado y en forma de preexperimento pedagógico al ejecutar el proceso docente educativo de dicha asignatura según el diseño realizado en el experimento de modelo.  Medición: Al asignarle valores a cada uno de los indicadores en que se operacionalizó la variable dependiente y a cada una de las valoraciones realizadas por los expertos que evaluaron el modelo.  Análisis documental: Aplicado al estudio de los programas de las disciplinas de Física General y Matemática de los diferentes planes de estudios a través de los cuales se han estado formado las diferentes generaciones de profesores de Física y Matemática.  Interrogación: Mediante las técnicas de prueba pedagógica aplicada como preprueba y postprueba para medir el componente intelectual de la variable dependiente, composición aplicada como preprueba y postprueba para medir el componente personal de la variable dependiente, conversación informal: aplicada para valorar cualitativamente el estado de la variable dependiente, entrevista: aplicada para investigar indirectamente a través de la opinión de los tutores el estado del componente práctico de la variable dependiente, criterio de experto: para valorar la aplicabilidad del modelo propuesto a otros contextos.  Estudio de casos: para investigar cada componente de la variable dependiente y la correlación entre ellos. Métodos estadísticos: De la estadística descriptiva  Tablas de estadígrafos: para organizar los resultados de las mediciones directas y de las valoraciones de los expertos.  Percentiles: para describir el comportamiento de cada componente de la variable dependiente y para valorar el modelo a partir del criterio de experto.  Números índices simples: para realizar el análisis de cada uno de los componentes de la variable dependiente a nivel individual.  Tasas de variación: para analizar la variación relativa en el estado de cada componente de la variable dependiente producto de la intervención realizada.

20  Caras de Chernoff: para realizar el análisis de la correlación entre los diferentes indicadores de cada componente de la variable dependiente y de correlación entre los propios componentes a nivel individual.  Tablas de contingencia para clasificar las valoraciones de los expertos.  Medidas de tendencia central: para valorar el modelo a partir del criterio de experto.  Desviaciones: para valorar el modelo a partir del criterio de experto. De la estadística inferencial  Prueba de CHI CUADRADO a partir del coeficiente de Kendall: para probar la confiabilidad del criterio de experto. Se usaron como fuentes teóricas de esta investigación la Filosofía Marxista Leninista, el modelo de aprendizaje fundamentado en la teoría histórico – cultural de Vygotsky y los continuadores de su escuela, así como la concepción didáctica de Carlos Álvarez y de otros autores recientes que la actualizan y enriquecen.

Para dar solución al problema científico fue necesario realizar algunas elaboraciones novedosas que pueden ser consideradas como contribuciones a la teoría didáctica de la Física General y a su puesta en práctica.

Las contribuciones de carácter teórico consisten: en primer lugar, en la elaboración del modelo para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General encaminado a formar la habilidad resolver tareas docentes de Física y en segundo lugar, en la definición del concepto de función interobjeto como elemento integrador del contenido que sería tratado de forma interdisciplinaria así como en la determinación de la estructura del método de solución de las tareas docentes con procesamiento informático de los datos.

Las contribuciones de carácter práctico son las siguientes: en primer lugar, el diseño del proceso docente educativo de la asignatura Mecánica según presupone el modelo elaborado que después de ser ajustado a partir del diagnóstico se llevó a la práctica y en segundo lugar, el diseño de dos cursos de postgrado dirigidos a la preparación de los profesores de Física General y de los tutores de las microuniversidades para impartir esta disciplina o asesorar a los estudiantes durante la realización del estudio independiente siguiendo el modelo que se propone.

21 La novedad científica que se presenta en esta tesis consiste en haber elaborado un modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.

La estructura del informe de esta investigación consta de tres capítulos. El primero se refiere a los Fundamentos teóricos para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas y consta de dos epígrafes. Uno dedicado a fundamentar el problema científico y el otro a la determinación de los criterios teóricos que sirven de base para su solución. Con ellos se da respuesta a las dos primeras preguntas científicas.

El segundo capítulo se titula: La propuesta del modelo didáctico para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas y está constituido, de igual forma, por dos epígrafes. En el primero se expone la metodología seguida para la solución del problema científico, mientras que en el segundo se describe la estructura y dinámica de funcionamiento del modelo didáctico que se propone. Con esto se da respuesta tercera pregunta científica.

El tercer capítulo titulado: La valoración del modelo didáctico la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas. Este capítulo consta de dos epígrafes el primero dedicado a exponer la última parte de la metodología seguida en la presente investigación y le segundo que se refiere a la concepción, ejecución y valoración del experimento al cual fue sometido el modelo.

Al informe se añaden anexos que ilustran y complementan los estudios realizados.

22 CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS “… la Pedagogía está emplazada también por la práctica social al no dar respuesta a las exigencias y necesidades de la época, al seguir empleando representaciones tradicionalistas para la solución de nuevos problemas…” Lesvia Cánovas 1.1. FUNDAMENTACIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO

1.1.1. Lugar de los métodos numéricos en la matematización de la Física

Los entes materiales y fenómenos naturales son objetivos. En el proceso de investigación científica el hombre interactúa con ellos convirtiéndolos en objeto de su actividad cognoscitiva como resultado de la cual “...asimila teóricamente el objeto y lo transforma” (Konstantinov, 1977, 214). Las construcciones de la ciencia Física constituyen el reflejo de la realidad estudiada. Tal reflejo es profundo, organizado, coherente y constituye el resultado de la actividad práctica de muchos científicos.

El conocimiento de los objetos, procesos o fenómenos físicos se obtiene a partir de modelos de la parte de la realidad estudiada. La cuantificación de dichos modelos se logra con la definición de magnitudes y dependencias entre ellas que se concretan en modelos matemáticos. En estos, cada elemento (variable, constante, signo...) y cada parte (ecuación, función, sistema de ecuaciones o funciones...) tiene un sentido físico estricto. Al tránsito de un modelo matemático a otro o a la determinación del valor de las magnitudes presentes en el modelo dado se llega a partir de operaciones matemáticas que de igual modo tienen sentido físico estricto. También, puede irse desde las magnitudes cuantificadas hasta el establecimiento del modelo. En todo este proceso la física habla a través de la matemática. Se dice que la matemática es el lenguaje de la física, no una matemática que comporta solo las estrictas formas y relaciones cuantitativas de los objetos abordados sino portadora, además, de un estricto sentido físico. En la matemática existen dos grandes grupos de métodos: Los numéricos y los exactos. La matemática exacta se ocupa de demostrar la existencia de la solución de un problema y señalar el proceso que converge a la solución (Danílina, 1985, 10); sin embargo, para muchos problemas la segunda cuestión queda sin resolver, aun cuando se garantiza, desde el punto de vista teórico, que tal solución existe. Asimismo, puede ocurrir que se brinde el algoritmo del proceso al que converge la solución pero que este sea demasiado largo y en consecuencia, inutilizable desde el punto de vista práctico.

En auxilio de tales dificultades aparece la matemática numérica que tiene como objetivo la búsqueda de algoritmos aproximados de cálculo para todos aquellos casos en que la existencia de la solución esté garantizada desde el punto de vista teórico, se conozca o no un algoritmo exacto para resolverlo. Para ello sustituye el problema inicial por otro más simple (Volkov, 1990, 10), de aquí que la solución encontrada por esta vía resulte aproximada respecto al problema original. La solución por vía numérica se reduce a la realización de operaciones aritméticas y lógicas sobre los números.

El aspecto que diferencia gnoseológicamente los métodos numéricos de los exactos es que en los primeros conjuntamente con el resultado se puede juzgar acerca de la eficiencia. “La Matemática Numérica es la teoría y la práctica del cálculo eficiente y la determinación del error de la solución aproximada. El adjetivo eficiente es muy importante. Una de las diferencias primarias entre la Matemática y la Matemática Numérica es que la primera carece del concepto de eficiencia. Luego, la Matemática Numérica tiene entre sus objetivos la elección del procedimiento más adecuado (y su conveniente aplicación) para la solución de un problema particular” (Suárez, 1980, 8).

La investigación en física tiene lugar a través de los métodos teórico y experimental. La matemática está presente en ambos. Unas veces predomina la exacta otras prevalece la numérica complementándose dialécticamente.

Si se opera con el método teórico, partiendo de postulados iniciales, a través del proceso de abstracción, se obtienen como resultado leyes, principios, teorías que matemáticamente se modelan como funciones, ecuaciones, inecuaciones, sistemas de ecuaciones, conjunto de funciones, etc. “una vez que se han determinado algunas magnitudes, la tarea consiste en determinar las relaciones entre estas magnitudes y otras

24 mensurables con el fin de que unas puedan deducirse de las otras” (Migdal, 1990, 32), En estos modelos matemáticos se sustituye el objeto o proceso real por uno ideal, con propiedades definidas a través de magnitudes Físicas: constantes o variables. Las relaciones entre dichas magnitudes son descritas en términos lógicos matemáticos estrictos (priman los métodos exactos de las matemáticas). Hasta este momento el modelo matemático que describe la realidad Física forma parte del conocimiento científico solo en calidad de hipótesis.

Luego corresponde aplicar el método experimental, que consiste en reproducir el objeto o proceso real para medir directamente las magnitudes y calcular otras a partir de los valores medidos. Como aquí el punto de partida son números, prevalecen los métodos numéricos. Por último, es preciso comparar los resultados obtenidos del experimento con los que predice la teoría para establecer el grado de correspondencia entre la hipótesis y la realidad. Si tal grado de correspondencia está entre determinados límites que se consideran aceptables para el problema que se resuelve, entonces la hipótesis será aceptada y pasará a formar parte del conocimiento científico en calidad de verdad objetiva.

En la construcción de los conocimientos y teorías Físicas se puede comenzar también a partir del experimento. Así, una vez reproducido el fenómeno y realizadas las mediciones directas e indirectas, se proponen leyes que relacionen las magnitudes medidas, fundamentalmente usando métodos numéricos. Estas son leyes empíricas, que después deben ser deducidas de las teorías generales existentes usando, mayormente, métodos exactos.

Tanto para el caso en que la hipótesis sea rechazada, ¡el experimento dio una respuesta inesperada!, como para cuando la ley empírica no sea deducible a partir de la teoría existente, se precisa de una teoría nueva. La búsqueda de tal teoría constituye un nuevo problema científico a resolver.

El punto de contacto entre el mundo material y los conocimientos físicos ocurre a través del proceso de medición directa que tiene lugar durante la experimentación. El resultado de tal medición es siempre un valor aproximado porque está afectado por una incertidumbre que depende de múltiples factores como son: el carácter subjetivo de las percepciones del experimentador, la apreciación de los instrumentos de medición, la

25 influencia que dichos instrumentos ejercen al intervenir en el fenómeno que se reproduce, los factores casuales que participan durante la ocurrencia del fenómeno, entre otros. Claro está, en la concepción del método de medición la acción de tales factores se disminuye tanto como sea posible pero no puede eliminarse totalmente. La incertidumbre es, en esencia, inevitable.

La selección del modelo es otro factor que provoca cierta discordancia entre conocimiento y realidad; pues el modelo, siempre está afectado por las propiedades que no fueron tenidas en cuenta en él y que sí están presentes en el fenómeno o sistema físico real.

Para pasar de los números a las expresiones analíticas definitivas o para calcular el valor de otra que depende de las magnitudes medidas directamente, se realizan operaciones sobre el conjunto de números obtenido; es decir, se realizan mediciones indirectas. Tales operaciones van acompañadas de errores propios del método numérico empleado y errores de redondeo que se propagan al resultado conjuntamente con la incertidumbre de la medición directa y el carácter aproximado del modelo físico. Luego, por la inevitabilidad de las incertidumbres en las mediciones directas e indirectas y por el carácter de modelo de los conocimientos puede afirmarse que el mundo físico es cognoscible pero siempre con determinado grado de exactitud.

Tanto la expresión analítica, como el valor obtenido, según sea el caso, poseen ya el criterio de la práctica pero ambas son aproximadas. Constituyen una verdad objetiva, por haberse corroborado en la práctica pero tienen carácter relativo. Su carácter aproximado es el que impide que los conocimientos se estanquen y hace que se encaminen a su futuro desarrollo. Su exactitud es la que dice que contiene conocimientos correctos sobre la realidad objetiva que describe y le da un lugar en el edificio del conocimiento científico. Según palabras de Lenin “... este criterio (la práctica) es lo bastante impreciso para impedir que los conocimientos del hombre se conviertan en algo absoluto; al mismo tiempo es lo bastante preciso para sostener una lucha implacable contra todas las variedades de idealismo y agnosticismo” (Lenin, 1976, 132).

Además de las expuestas, existen otras dos razones que llevan a usar los métodos numéricos como parte del método científico, estas radican en la imposibilidad o el grado de dificultad tan elevado para resolver un problema concreto empleando métodos exactos.

26 Como en el caso de situaciones modeladas por la integral de Gauss que no integra por métodos exactos, u otras situaciones Físicas para cuyos modelos matemáticos, aun cuando exista la solución desde el punto de vista teórico, sea imposible obtener dicha solución en la práctica (incluso para una computadora, como al resolver un sistema de ecuaciones lineales de 10 ecuaciones con 10 variables cuya solución exacta se garantiza por el método de Kramer).

En resumen, los métodos numéricos se aplican a la Física en alguno de los tres casos siguientes:  Para procesar los resultados de las mediciones.  Para determinar la solución cuando está existe desde el punto de vista teórico pero no existe el método exacto que permita obtenerla.  Para obtener la solución cuando esta se garantiza desde el punto de vista teórico, pero el método exacto que permite obtenerla, aunque existe, es inaplicable desde el punto de vista práctico. Cada uno de estos usos son razones que le dan un lugar a los métodos numéricos, conjuntamente con los exactos en el método científico. Por consiguiente, ambos métodos forman parte de la cultura que debe asimilar el ciudadano común si se pretende que tenga una idea acertada sobre la ciencia y su relación con la realidad.

El hecho de enseñar Física usando solo métodos exactos da una visión limitada de la realidad y del proceso de su conocimiento. Primero porque solo se pueden abordar aquellas manifestaciones de los fenómenos físicos cuyos modelos matemáticos son operables con métodos exactos, y segundo porque muestra solo una arista del proceso de matemátización de la Física. Así, queda enmascarado, en gran medida, el carácter relativo de la verdad objetiva, llevando a que los estudiantes asuman la ciencia como una descripción exacta del mundo que puede intercambiar su rol de reflejo de la realidad con el de la realidad misma. Luego, la inclusión de los métodos numéricos en los currículos escolares ha de hacerse sobre la base de su lugar en el método científico y su valor gnoseológico puesto que cuando no se es conciente de tal valor no se ven sino como una herramienta matemática más y su aporte a la formación de la concepción científica del mundo es espontáneo.

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1.1.2. Los métodos numéricos como objeto capaz de satisfacer la necesidad psicológica de transitar gradualmente del razonamiento numérico al funcional.

Durante los primeros años de la enseñanza universitaria, en aquellas carreras en que se imparte la disciplina Matemática Superior, el pensamiento del estudiante debe sufrir un cambio muy profundo. Su razonamiento en Matemática debe transitar de un razonamiento fundamentalmente numérico a uno fundamentalmente funcional. Mientras que en la enseñanza media la mayoría de las operaciones se realizan con números, empleando la Matemática elemental, en la enseñanza superior predominan las operaciones sobre las funciones características de la Matemática Superior. Esto se refleja en las disciplinas particulares que emplean la matemática como herramienta, tal es el caso de Física General donde la mayoría de los contenidos se explican usando la Matemática Superior.

En consecuencia, el enfrentamiento del estudiante al aprendizaje de las disciplinas particulares que hacen uso de la matemática resulta difícil en el sentido de que a cada momento se ve precisado de asimilar conocimientos modelados a través de conceptos matemáticos que él no está en condiciones de entender. Esto se debe a que no posee los conocimientos previos imprescindibles, sobre todo porque al final de cada operación espera como resultado un número.

La situación referida lleva a la aparición de una necesidad, que “se refleja psíquicamente, en él, como una inquietud” (Brito, 1987, 11, T2). La aparición de las condiciones (herramientas matemáticas que el alumno domine o que pueda dominar con ayuda de otro) conforma el motivo que conduce a la satisfacción de tal necesidad.

La selección de dichas herramientas debe hacerse pensando en que el cambio del razonamiento del estudiante de numérico a funcional ocurra de forma gradual, teniendo en cuenta los conocimientos que ya el estudiante domina y los que puede aprender con ayuda para facilitar la formación de nexos entre los contenidos aprendidos y la estructuración que de ellos, cada estudiante, se va formando en el plano mental hasta lograr el aprendizaje deseado.

28 Los métodos numéricos por su particularidad de operar sobre las funciones a partir de operaciones con números se convierten en el objeto capaz de satisfacer la necesidad psicológica anteriormente declarada. Según palabras de Leontiev: “El encuentro de la necesidad con el objeto es un hecho extraordinario... de objetivación de la necesidad” (Leontiev, 1982, 71). Este objeto llena de contenido la necesidad y una vez que el estudiante se ponga en contacto con él, una vez que aprecie la utilidad de la herramienta matemática usada para entender el contenido físico, se convertirá en el motivo que conducirá su actividad de estudio. El hecho es que para que la necesidad cumpla su función rectora respecto a la actividad, tiene que encontrarse con el objeto y este tiene que ser asumido por el individuo como el objeto que realmente satisface su necesidad. (Brito, 1987, 17, T2). En otras palabras, puede haber otras herramientas matemáticas (como en el caso de los métodos exactos cuando se enseña la Física General) que explican correctamente el contenido físico y en ese sentido son objeto de la actividad pero le falta a ese objeto el ser asequible, por ello se afecta el motivo que conduce su actividad de estudio.

Los métodos numéricos sustituyen la derivación, la integración, la solución de ecuaciones diferenciales, etc. (que son operaciones que se realizan sobre las funciones, y se definen como operaciones analíticas, nuevas para el estudiante) por múltiples operaciones algebraicas que son conocidas por él desde los primeros grados escolares.

Al trabajar con métodos numéricos cada operación algebraica se realiza sobre números de forma similar a como se realiza en la Matemática elemental, por lo que el estudiante estaría usando aquello que ya conoce. Lo nuevo está en el análisis global que debe hacerse sobre el sentido de cada número o conjunto de números involucrado, de modo que se interprete el número como un valor que caracteriza de algún modo a una función o se asuma al conjunto de números como una función expresada en forma tabular.

También es nueva la interpretación que se dé al conjunto de operaciones particulares; es decir, el conjunto de sumas, restas, multiplicaciones o divisiones o la combinación de algunas de ellas debe asumirse como una nueva operación cualitativamente diferente que se realizó sobre una función (sobre el conjunto de números) y dio como resultado un valor de alguna de las variables de la función, otra función e incluso un conjunto de funciones.

29 Para escoger las operaciones, para interpretarlas y para comprender el resultado obtenido se precisa de la ayuda del maestro que se apoya en lo que el estudiante conoce para ir ampliando su conocimiento en la medida que se definan y realicen nuevas operaciones sobre las funciones. El maestro debe lograr que el estudiante interprete la relación de cada operación algebraica con los números involucrados en ella y que a la vez entienda el modo en que se relacionan unas operaciones algebraicas con otras y unos números con otros para dar lugar a una operación cualitativamente diferente que se realiza sobre una función. A esto es a lo que nos referimos cuando hablamos de pasar gradualmente a un razonamiento funcional.

1.1.3. Los métodos numéricos como componente de la cultura que es imprescindible asimilar en el presente

El lugar de los métodos numéricos en el proceso de matematización de la Física y su valor psicológico como objeto capaz de lograr el tránsito gradual del razonamiento del estudiante de numérico a funcional constituyen en sí mismos motivos para incluirlos como componente de la cultura que le es imprescindible asimilar al ciudadano actual y por ello su aprendizaje constituye una exigencia social. No obstante, existe otra razón que está en la propia esencia de la práctica ciudadana de nuestros días y es su uso cada vez más frecuente para resolver problemas característicos de las más disímiles esferas sociales.

El surgimiento de los primeros métodos numéricos data, aproximadamente del año 2000 a.n.e. y la incorporación de nuevos métodos numéricos, así como el enriquecimiento de los ya existentes, ha estado ocurriendo durante todo el desarrollo de la matemática y la física. Sin embargo, hasta hace poco su uso estuvo limitado, casi exclusivamente, al plano científico producto del enorme volumen de cálculos que requiere su aplicación.

En los últimos tiempos el uso de los métodos numéricos se ha intensificado debido al desarrollo de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación, y específicamente de los paquetes matemáticos profesionales diseñados para las computadoras que permiten realizar los cálculos de forma automatizada. Por otra parte, el propio desarrollo científico y tecnológico alcanzado hace que cada vez sea más frecuente la modelación a través de métodos numéricos de los problemas prácticos que se deben

30 resolver en función del desarrollo social. Resulta entonces imprescindible, el conocimiento de los métodos numéricos en un amplio círculo de profesionales de la ciencia y la técnica.

A pesar de que en las ciencias la incorporación de los métodos numéricos ha experimentado un avance desde las últimas décadas, producto de la introducción en el ámbito científico de las diferentes generaciones de ordenadores, no ha sido posible su incorporación paralela de manera intensiva a la enseñanza, porque hasta hace muy poco tiempo las computadoras no estaban disponibles para el uso de las grandes masas sociales. Sin embargo, el impetuoso desarrollo que ha alcanzado la microelectrónica en los últimos tiempos ha llevado a la reducción del tamaño de los ordenadores y a la disminución de sus costos, a la par que aumenta vertiginosamente su capacidad para procesar la información. Estos aspectos han provocado que desde finales de los 90 los ordenadores estén al alcance, no solo de los científicos, sino también de técnicos, especialistas, profesores e incluso de estudiantes de todos los niveles convirtiéndose en una herramienta de uso cotidiano. Este hecho hace que cada día sean mejores las condiciones para incluir los métodos numéricos en la enseñanza.

A pesar de ello, los métodos numéricos no se incluyen en los currículos, o se incluyen muy pocos de forma asistemática y parcializada. Al respecto, el Dr. Delgado Rubí señala “El uso de los métodos numéricos y de los modelos discretos desplaza cada vez más el uso de los métodos exactos y de modelos continuos en la llamada Matemática Aplicada, sin embargo la escuela (incluye las carreras universitarias) sigue bastante a la zaga en este terreno” (Delgado, 1996, 8). En la formación de profesores de ciencias exactas también se manifiesta esta dificultad. Los planes de estudio contemplan muy pocos métodos numéricos, además de no mostrar la aplicación que tienen en Física, aun cuando esta es una de las asignaturas de su especialidad. Esta dificultad aleja la escuela de la vida y entra en contradicción con su función social. A decir de Carlos Álvarez “el vínculo que se establece entre el proceso docente educativo y la sociedad, en que el papel dirigente lo tiene lo social, explica las características de la escuela en cada contexto social” (Álvarez, 1999, 174).

1.1.4. El tratamiento de los métodos numéricos en los planes de estudio de formación de profesores de Ciencias Exactas.

31 En los planes de estudio con los que se han formado los profesores de Matemática desde la creación de los destacamentos pedagógicos hasta el curso 1993 – 1994 (planes de estudio A; B y C) los métodos numéricos constituían una disciplina independiente. A partir de las diferentes modificaciones del plan C estos se incluyeron en una asignatura dentro de la disciplina Cursos y Seminarios Especiales hasta desaparecer completamente del plan de estudios en el curso 1996 – 1997.

En el año 1998 el profesor Rubén Rodríguez, en su tesis presentada en opción al Título de Master en Matemática Aplicada, realizó un estudio sobre la concepción de los métodos numéricos en la especialidad Matemática – Computación que lo llevó a elaborar una estrategia organizativo – metodológica para su reinclusión en dicha carrera.

En los planes de estudio que existían anteriormente para la formación de profesores de Física (especialidad Física y Astronomía: planes A y B y Física y Electrónica: plan C), no se incluía el estudio de los métodos numéricos ni en las disciplinas de Matemática, ni en Física General, excepto el método de los mínimos cuadrados para aproximar funciones, el cual se usaba solo durante el procesamiento de datos de algunas prácticas de laboratorio.

En el curso 2003 – 2004 las especialidades Física – Electrónica y Matemática – Computación, se unieron dando lugar a la especialidad de Ciencias Exactas para la Enseñanza Media Superior, donde se forman los profesores de Física, Matemática y Computación para el antedicho nivel educativo.

En los objetivos generales de la nueva especialidad se declara que el estudiante debe: 1. Dominar las asignaturas del área (Física, Matemática y Computación) con un enfoque interdisciplinario, conocer sus objetos de estudio, métodos, formas principales de trabajo, sus características distintivas, sus limitaciones así como su importancia para otras ciencias. 2. Utilizar métodos y formas habituales en la actividad científica. 3. Utilizar la computación como herramienta de trabajo para la resolución de problemas y tareas, realización de experimentos con modelos matemáticos, automatización de la actividad experimental y la elaboración de recursos para la preparación de sus clases. (CD Ciencias Exactas, 2003).

32 Para el cumplimiento de tales objetivos es preciso introducir los métodos numéricos como contenidos en las asignaturas que se imparten en el ciclo Fundamentos Científicos de las Disciplinas del Área por ser este el contenido principal o complementario para:  Lograr el conocimiento del objeto de cada una de las asignaturas con sus limitaciones y sus métodos de trabajo, así como el uso de métodos y formas de la actividad científica. Exigencia, contemplada en el primero y segundo de los objetivos señalados, que no se cumpliría íntegramente sin los métodos numéricos dado su lugar en el método científico y su valor gnoseológico (ver epígrafe 1.1.1).  Resolver problemas aplicando la Computación. Exigencia contenida en el tercer objetivo y cuyo cumplimiento es muy factible a través de métodos numéricos. Sin embargo, en dichos objetivos generales no se tiene en cuenta:  Que los métodos numéricos tienen hoy un uso muy amplio en la solución de problemas prácticos lo que hace del conocimiento de tales métodos una exigencia social.  El aspecto psicológico al no mencionar la necesidad de lograr un tránsito gradual del razonamiento numérico a funcional. Al contener estas limitaciones, los objetivos, no describen de modo preciso el estado de desarrollo que se desea alcanzar en los estudiantes para resolver el encargo social en lo que a métodos numéricos se refiere provocando que dichos métodos no se enseñen o se enseñen de forma asistemática y espontánea tal y como se refleja en la concepción de cada una de las disciplinas del área. Por ejemplo: las disciplinas de Matemática Superior (Análisis Matemático, Álgebra, Geometría, Probabilidades y Estadística) y la disciplina de Computación no incluyen la enseñaza de métodos numéricos. En la disciplina Física General, por el contrario, se sugiere usarlos en Mecánica para la determinación de velocidades, para la solución de la ecuación diferencial que expresa la segunda ley del movimiento y para el ajuste de curvas pero no se dice qué métodos usar, ni de qué modo hacerlo. En estas circunstancias, en el caso de la Física General, la selección del método numérico y el recurso metodológico para lograr que el estudiante domine la habilidad de operar con dicho método queda en manos del profesor que imparte la asignatura. Este está limitado para hacerlo por:  Ser un profesor adjunto con poca experiencia en la educación superior.

33  No haber estudiado los métodos numéricos (si se formó como profesor de Física en un instituto superior pedagógico).  Conocer los métodos numéricos solo como herramienta sofisticada para resolver problemas difíciles que no tienen solución exacta (si se formó como Ingeniero o Licenciado en Física). Por otro lado, los textos de Física disponibles solo hacen uso de los métodos exactos, aunque desde los años 90 han comenzado a aparecer algunos libros para la enseñanza que ofrecen tareas docentes a resolver o resueltas por métodos numéricos; pero estas son pocas, en ellas se suponen conocidos los métodos numéricos a utilizar y, en consecuencia, no se les da el tratamiento didáctico requerido para que el estudiante comprenda su esencia (ver por ejemplo, Resnitk, 1993). Esto se convierte, entonces, en otra dificultad dada por la poca disponibilidad de tareas docentes de Física donde se empleen métodos numéricos y porque en las disponibles queda oculta la esencia del método durante la solución. La implementación de los métodos numéricos dentro de las diferentes disciplinas de Matemática constituye un problema práctico, puesto que es posible resolverlo a partir de los conocimientos que poseen los profesores de Matemática de las Sedes Pedagógicas (la mayoría de ellos graduados de la especialidad de Matemática, que a diferencia de los de Física, estudiaron los métodos numéricos en su carrera). Contando, además, conque la bibliografía especializada en Matemática Numérica y su Metodología es amplia y de ella se pueden extraer tanto tareas docentes como recursos didácticos para introducir y aplicar los métodos numéricos dentro de la Matemática. Se cuenta también con la estrategia propuesta por Rodríguez (Rodríguez, 1998, Anexos) que dice cómo insertar la Matemática Numérica dentro de las diferentes disciplinas de la Matemática Superior.

Las dificultades para llevar a cabo este reto en la Física son, sin embargo, de naturaleza teórica, pues aunque enseñar Física empleando métodos numéricos constituye una tendencia que se ha desarrollado en dos direcciones; como veremos más adelante ninguna de las dos satisface el encargo social que da lugar a dicho reto.

La primera dirección se orienta a la formación de físicos e ingenieros. El objetivo de su introducción es resolver problemas físicos que no tienen solución por métodos exactos; por ejemplo: al estudio del ciclo de histéresis de aleaciones ferromagnéticas especiales.

34 La precisión con que es necesario resolver dichas tareas y el tiempo requerido para la convergencia de la solución hace que los métodos numéricos empleados para estos casos sean muy sofisticados y complejos, de aquí que las propuestas didácticas existentes para su enseñanza no sean aplicables a la formación de profesores de Ciencias Exactas de educación media superior.

La segunda dirección, aunque se orienta a un círculo más amplio de estudiantes en el que se puede incluir los profesores de Ciencias Exactas en formación, tiene aun un desarrollo incipiente por lo que se limita a ofrecer ejemplos aislados de problemas físicos que se resuelven por métodos numéricos sin ofrecer orientaciones para concebir y aplicar de forma sistemática dichos métodos en la enseñanza de la Física.

Por otro lado, de los aspectos que originan la necesidad de usar los métodos numéricos en la actualidad solo se da respuesta a la exigencia social propiamente dicha, pues es verdad que en muchos de los casos las tareas docentes que se presentan en los textos constituyen problemas prácticos, pero el hecho de usarse de forma asistemática impide que se logre el tránsito gradual en el razonamiento del estudiante de numérico a funcional y que se use intencionadamente su valor gnoseológico para contribuir a valorar el carácter relativo de la verdad objetiva como componente de la concepción científica del mundo. En tanto estos dos aspectos también forman parte de la exigencia social esta no puede cumplirse aplicando las propuestas didácticas existentes, las que además están elaboradas para contextos y problemas muy específicos.

En resumen, podemos encontrar dos razones que llevan a enunciar el problema científico en el marco de la Didáctica de la Física: la primera es que por tener esta ciencia un objeto de estudio menos abstracto que la matemática, permite evidenciar mejor la aplicabilidad de los métodos numéricos para la solución de problemas prácticos y revelar su valor gnoseológico para mostrar el carácter aproximado de los conocimientos. Y la segunda, es que la Física General se ubica en el plan de estudio antes que la Matemática Superior de modo que el estudiante necesita operar con las funciones antes de estudiar dichas operaciones en Matemática, en consecuencia el razonamiento funcional debe comenzar a desarrollarse desde la propia Física.

1.1.5. Formulación del problema

35 El análisis realizado en los epígrafes anteriores, ha revelado por una parte, la necesidad de implementar el estudio de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General como una necesidad para lograr un tránsito gradual en el razonamiento del estudiante de numérico a funcional, para contribuir a la formación de su concepción científica del mundo y para mostrar el valor de dichos métodos en la solución de problemas prácticos. Por otra parte se ha mostrado la necesidad de llevar adelante este propósito a través de las asignaturas de Física y carencia en la didáctica de esta ciencia para hacerlo viable. A partir de estos elementos consideramos la existencia del problema científico que enunciamos del siguiente modo: no se dispone de una propuesta didáctica para implementar los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas que lleve al desarrollo de la habilidad de resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos.

El problema enunciado anteriormente se enmarca dentro de la ciencia didáctica de la Física por lo que su solución ampliará el campo teórico y práctico de esta ciencia. Sin embargo, dada la complejidad del objeto, el estudio se realizará interdisciplinariamente considerando criterios didácticos, filosóficos, sociológicos y psicológicos que enriquezcan, con la solución del problema, el modelo de profesional que hoy se necesita.

1.2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA PARA LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA CIENTÍFICO

1.2.1. La concepción científica del mundo

La concepción del mundo es el modo en que el hombre interpreta al mundo y a sí mismo. Esta interpretación lo distingue como ser individual y como ser social históricamente determinado. Por ello, el proceso de formación de dicha concepción debe abordarse teniendo en cuenta cómo se concibe esta en la sociedad específica de que se trate y el modo en que ocurre tal proceso en la psiquis del hombre. Lo primero es una tarea de la filosofía y la sociología mientras que lo segundo corresponde a la psicología y la pedagogía.

En la psiquis del hombre tienen lugar un sinnúmero de formaciones psicológicas que constituyen unidades estructurales complejas en las que se expresa la máxima unidad entre lo afectivo y lo cognitivo. (Brito, 1987, 107, t3). Entre ellas están: las capacidades y el carácter, y dentro de este último: ideales, valores, puntos de vistas… Todas estas se 36 estructuran en un sistema complejo dando lugar a la personalidad, que constituye el nivel superior de regulación de la actividad humana.

El núcleo de la personalidad es la concepción del mundo, que incluye solo las máximas generalizaciones que cada individuo tiene del mundo circundante y de sí mismo. (Kirilenko, 1989, 127). Luego, la concepción del mundo también se compone de un conjunto de formaciones sicológicas, que orientan la actividad del individuo.

Los resultados de las ciencias particulares constituyen una representación del mundo a partir de los datos de la investigación científica, y la filosofía expresa la interpretación teórica a los problemas más generales del mundo, del hombre y de la relación hombre - mundo (Labarrere, 1988, 227). Luego, la concepción que cada persona tiene de determinada parte de la realidad estará condicionada por dos elementos: los argumentos particulares que tiene para explicar tal parte de la realidad y la concepción filosófica asumida al dar dicha explicación. En la medida que la explicación dada esté más generalizada se hará más evidente la posición filosófica y menos los argumentos particulares y viceversa; pero siempre está presente la conjugación de ambos. De acuerdo con el grado de verdad de los argumentos particulares y de la filosofía asumida la concepción del mundo puede ser ordinaria o científica.

La concepción ordinaria del mundo resulta de la interpretación de los hechos y fenómenos a partir de la experiencia perceptual e intuitiva, de creencias e ideales no basados en la ciencia y de asumir modos de actuación guiados por conductas apriorísticas e inocentes o apoyados en credos o por la fe. (Kirilenko, 1989, 128)

En contraposición a esta, la concepción científica se expresa en la explicación de las cosas a partir de conocimientos comprobados en la práctica y fundamentados por las teorías científicas existentes y en la adopción de modos de conducta orientados por sólidos ideales y convicciones que devienen de dichos conocimientos. (Kirilenko, 1989, 129) y en que su generalización teórica se fundamente en la filosofía que describe el mundo de modo objetivo.

Engels demostró para las ciencias naturales de su época que solo la aplicación conciente del materialismo dialéctico podía conducir a la solución teórica correcta de cada problema investigado (Engels, 1953, 23). Su argumento fundamental radica en que las leyes

37 generales del mundo y su desarrollo, al ser objetivas, influyen en las creaciones de la ciencia. La aplicación conciente de tales leyes y la interpretación de los hechos y teorías sobre su base actúa como catalizador en el desarrollo de la ciencia. Cuando la actuación del científico responde a otra filosofía, la dialéctica influye solo de forma espontánea en sus descubrimientos por lo que se retrasa y desvía el camino del conocimiento. (Kedrov, 1978, 424, t1).

De acuerdo con las ideas anteriores, puede decirse que para que una representación del mundo tenga carácter de verdad es preciso que se fundamente no solo en los resultados de las ciencias particulares, sino además, en las leyes de la filosofía materialista dialéctica. Cada uno desempeña un rol específico: los resultados de las ciencias particulares son el producto del que se nutre la concepción científica, mientras que las leyes y principios de la filosofía materialista dialéctica dirigen la organización de tales productos, en el plano mental para dar lugar a las generalizaciones que devienen en formaciones psicológicas. Estas últimas, una vez establecidas, orientan la actuación del individuo tanto en su quehacer cotidiano como hacia la solución de nuevos problemas teóricos y prácticos por la vía científica.

Estudios psicológicos realizados en torno al proceso de formación de la concepción científica del mundo (Mujina, Menchinskaia, Samarin, Krutetsky) muestran que el establecimiento de cualquiera de estas formaciones sicológicas comienza desde la infancia, en la medida en que el niño va asimilando el patrimonio científico y cultural acumulado durante todo el desarrollo histórico de la humanidad. Este patrimonio posee una significación objetiva, puesto que forma parte de la conciencia social. Durante el proceso de asimilación, dichas significaciones pasan a formar parte de la conciencia individual según la persona va dominando los conceptos, relacionándolos y aprendiendo a realizar operaciones intelectuales con ellos. En este proceso de subjetivación de las significaciones existe un predominio de la esfera cognitiva de la personalidad. Simultáneamente, el individuo se parcializa con lo que aprende, puesto que su actividad está subordinada a determinados motivos que le confieren un sentido personal (esfera afectiva). Expresándose, así la relación indisoluble entre las esferas: afectiva y cognitiva de la actividad psíquica.

38 Las formaciones psicológicas que integran la concepción científica del mundo son de carácter motivacional en tanto inducen la actividad del individuo según la significación personal que este les confiera; pero en su base se encuentran las significaciones provenientes de la conciencia social que han sido individualizadas durante el aprendizaje.

Por último, sobre el nivel alcanzado en la formación de la concepción científica del mundo solo se puede juzgar en la medida que esta regula la actuación práctica del individuo. De aquí tales autores (Mujina, Menchinskaia, Samarin, Krutetsky) revelaron que la estructura psicológica de la concepción científica del mundo está formada por tres componentes: el intelectual, referido a los conocimientos y habilidades que posee el individuo, el personal, que expresa su actitud hacia dichos conocimientos y habilidades y el práctico, que regula la posición del individuo ante las situaciones prácticas en que se ve precisado a emplear los dos componentes anteriores. De aquí se infiere que el aprendizaje de las ciencias particulares debe encaminarse no solo a lograr que el estudiante domine el cuerpo teórico de tales ciencias sino a mostrarle, además, explícitamente cómo los conocimientos que conforman dicho cuerpo teórico corroboran las leyes y principios de la filosofía marxista – leninista, y le sirven para su actuación cotidiana.

El dilema de cómo encausar el papel rector de la filosofía marxista – leninista en la escuela ha sido abordado por diferentes autores (Álvarez, Usanov, Labarrere, Shkolmik, Martínez Llantada y otros). Todos ellos coinciden en partir de contenidos filosóficos rectores que dirijan la formación de la concepción científica del mundo. Los dos primeros autores se refieren a la enseñanza de la Física en particular, mientras que los otros realizan el análisis para la enseñanza en general.

Álvarez propone: 1. El carácter material del mundo. 2. El movimiento como forma de existencia de la materia. 3. El carácter eterno e indestructible del movimiento. 4. La cognoscibilidad del mundo material. 5. El desarrollo dialéctico del mundo (Álvarez, 1976, 97). Usanov sugiere:

39 1. La formación de representaciones sobre el mundo. 2. La interpretación dialéctico – materialista de los fundamentos de la Física. 3. La formación de convicciones materialistas. 4. La formación del pensamiento científico materialista. (Usanov, 1985, 46). Shkolmik considera cuatro: 1. La comprensión materialista – dialéctica de las regularidades del desarrollo de la naturaleza. 2. La comprensión materialista – dialéctica de las regularidades del desarrollo de la sociedad y el individuo. 3. La posibilidad de conocer el mundo. 4. La interiorización y conformación de la esencia de la moral comunista. (Shkolmik citado por Labarrere (Labarrere, 1988, 232) y por el colectivo de autores de Pedagogía (Pedagogía, 1984, 84). Las ideas de Shkolmik al referirse a los aspectos más globales de la filosofía marxista – leninista poseen mayor grado de generalidad, que las de Álvarez y Usanov dirigidas solo al materialismo dialéctico. En los trabajos de estos últimos autores se observa un desdoblamiento de las ideas uno y tres de Shkolmik. Por ejemplo, las ideas uno, dos y tres de Álvarez se refieren a la idea uno de Shkolmik, la cuatro se refiere a la tres de Shkolmik y la cinco debe incluirse tanto en la uno como en la tres. Las de Usanov, sin embargo, se refieren tanto a la uno como a la tres de Shkolmik pero el hecho de estar enunciadas como vías (así las llama este autor) para la formación de la concepción científica del mundo hace que en cada una de ellas puedan encontrarse elementos de las mencionadas ideas de Shkolmik. Por su grado de generalidad en esta investigación se asumen las ideas definidas por Shkolmik.

Cada una de las ideas enunciadas por Shkolmik, dado su alto nivel de generalidad, está integrada por un sistema de ideas menos generales con las que es necesario establecer formaciones psicológicas de menor complejidad. Cada una de estas ideas menos generales a la vez que se asimilan y dan lugar a las formaciones sicológicas correspondientes, se integran en sistemas de mayor jerarquía que constituyen la aceptación, por parte del individuo, de la generalización filosófica contenida en la idea de partida.

40 Luego, al diseñar el proceso didáctico a través del cual se pretenda formar o contribuir a la formación de algunas de estas ideas generales (nos referimos a las ideas de Shkolmik) es preciso que se realice la reestructuración de la idea en cuestión en ideas menos generales que abarquen todo el contenido de la primera y que permitan observarlo explícitamente. Como ya se mostró en el epígrafe 1.1.1, por las razones allí expuestas, actualmente la formación de concepción científica del mundo de los estudiantes se encuentra afectada en cuanto a la valoración del carácter relativo de la verdad objetiva. Tal aspecto no responde completamente a ninguna de las ideas de Shkolmik; sin embargo, es evidente su relación con la tercera idea referida a la posibilidad de conocer el mundo. Según la gnoseología marxista – leninista, que sustenta filosóficamente esta tesis el mundo es cognoscible a través de la práctica pues los problemas a resolver parten, y sus soluciones se comprueban en la experiencia, solo que entre la solución y el objeto de estudio existe cierta diferencia porque esa solución describe aproximadamente el objeto. De aquí que en la posibilidad de conocer el mundo puedan delimitarse dos ideas de menor generalidad: 1. El mundo es cognoscible a través de la práctica. 2. El conocimiento del mundo tiene carácter relativo. Ambas ideas están estrechamente relacionadas; sin embargo, tradicionalmente en la didáctica de la Física se ha ponderado la primera a través del trabajo experimental mientras que la segunda se ha relegado puesto que el carácter aproximado de los conocimientos casi no se analiza, es más, se enmascara detrás del adjetivo exacta con que se ha calificado a esta ciencia. Luego, para una valoración más completa de la cognoscibilidad del mundo deben tratarse ambas ideas como una unidad dialéctica. En esta tesis se abordará la formación de la segunda a fin de que su tratamiento se complemente con el tratamiento acertado que tradicionalmente se ha dado a la primera. Entonces, ¿en qué consiste el carácter relativo del conocimiento? El problema del relativismo del conocimiento humano ha sido abordado por los filósofos de las más disímiles escuelas. Engels, niega la existencia objetiva de la soberanía1 del pensamiento. Él parte del hecho de que el conocimiento humano aunque no es el pensamiento de un

1 Entiéndase aquí soberano como sinónimo de absoluto, tal y como lo usó Engels. 41 solo hombre, solo existe como pensamiento individual de muchos miles de millones de hombres pasados, presentes y futuros y en lo que toca al valor soberano de los conocimientos de cada mente aislada... la experiencia nos enseña que en dichos conocimientos se encierran siempre más elementos que admiten rectificación, que los que son exactos, en consecuencia, afirma Engels, “la soberanía del pensamiento se realiza a través de una serie de hombres que piensa de un modo muy poco soberano; el conocimiento que puede alegar títulos incondicionales de verdad, se impone a lo largo de una serie de errores relativos; ni una ni otra soberanía puede convertirse en plena realidad más que a través de una duración infinita de la humanidad” (Engels, 1979, 106). De este análisis de Engels puede inferirse que la verdad objetiva se manifiesta en forma relativa, aproximada, primero por ser un reflejo de la realidad en la mente de cada hombre individual y segundo porque cada hombre existe en un periodo histórico determinado; es decir, la naturaleza relativa de la verdad objetiva emana de su carácter reflejo y de su carácter histórico. Por estas razones, los conocimientos físicos, no deben asumirse como el conocimiento del modelo físico del mundo, sino como el conocimiento del mundo a través del modelo físico. Lo esencial es “...convencer al alumno de que la Física es exacta no por sus leyes, sino por sus métodos. No existe ninguna ley de la Física que sea absolutamente exacta” (Usanov, 1985, 46). Podemos afirmar parafraseando a Engels que los conocimientos físicos, salvo unos pocos, no son exactos aun cuando están expresados a través de las matemáticas; pues estas al dar entrada a las magnitudes variables y a la extensión de su variabilidad hasta lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande entraron en la senda de triunfos del conocimiento pero también de los errores. Y más adelante, “...en la Física uno se encuentra entre las hipótesis como dentro de un enjambre de abejas” (Engels, 1979, 106). Por otro lado, en la medida que la Física resuelve nuevos problemas se precisa, generaliza y amplía el conocimiento que marca cada período concreto de desarrollo de esta ciencia acercándose a un conocimiento más exacto del mundo. Así, “...desde el punto de vista del materialismo moderno –dice Lenin– son históricamente condicionales los límites de aproximación de nuestros conocimientos a la verdad objetiva, absoluta, pero la existencia de esta verdad, así como el hecho de que nos aproximamos a ella no obedece

42 a condiciones. Son históricamente condicionales los contornos del cuadro, pero este cuadro representa sin condiciones un modelo objetivamente existente”. (Lenin, 1978, 125). La aproximación de los conocimientos físicos respecto a la realidad se manifiesta tanto cualitativa como cuantitativamente. Cuando al describir determinado fenómeno o proceso no se tiene en cuenta alguna propiedad o se simplifica su acción, la aproximación es de carácter cualitativo. En estos casos el conocimiento no se expresa a través de números, sino por modelos matemáticos que contienen las magnitudes y sus relaciones para la clase de fenómeno descrita por el modelo. La cuantificación tiene lugar cuando al reproducir un fenómeno concreto a cada magnitud medida directamente se le asocia un número, el resultado de la medición. A tal número le es inherente una incertidumbre en dependencia de los métodos e instrumentos de medición. También se cuantifica la aproximación cuando los resultados de las mediciones se procesan para obtener otros números; es decir, para calcular otras magnitudes cuyo proceso de obtención se ha dado en llamar medición indirecta porque no es medida por un instrumento de medición sino calculado mediante una ecuación. Otro caso es cuando el resultado de la medición directa es una función, esta está siempre acompañada de un término residual, ambos, función y término residual, pueden evaluarse para determinado estado del sistema o fenómeno y dar como resultado dos números, el de la función es el conocimiento cuantificado, y el término residual es el que evalúa su aproximación,. A las mediciones indirectas se propagan, además, de los errores de la medición directa, los de cálculo y del método matemático empleado. Los métodos numéricos, por sustituir el problema real por otro aproximado, muestran cómo tienen lugar las aproximaciones de carácter cualitativo y, por comportar una acotación para la validez de la solución evidencian también las aproximaciones de carácter cuantitativo; estas razones le dan ventaja sobre otros contenidos para que realizando un trabajo intencionado se logre contribuir con ellos a aprender a valorar el carácter relativo de la verdad objetiva. 1.2.2. La teoría histórico – cultural, la actividad y la comunicación en la concepción del modelo de aprendizaje

El aprendizaje del hombre es “un proceso dialéctico de apropiación de los contenidos y las formas de conocer, hacer, convivir y ser construidos en la experiencia sociohistórica, en el

43 cual se producen como resultado de la actividad del individuo y de la interacción con otras personas, cambios relativamente duraderos y generalizables, que le permiten adaptarse a la realidad, transformarla y crecer como personalidad” (Castellanos, 2004, 302).

El fenómeno del aprendizaje ha sido estudiado desde diferentes posiciones psicológicas dando lugar a otras tantas elaboraciones teóricas y prácticas que en psicología de la educación han dado en llamarse modelos de aprendizaje. En esta tesis se asume el modelo Histórico – Cultural sustentado en la teoría de Vygostky. Primero por estar elaborados, tanto modelo como teoría, sobre la base del marxismo – leninismo y segundo por ser, a nuestro juicio, el que mejor describe cómo ocurre el proceso de aprendizaje en los estudiantes e indica cómo dirigirlo.

Según la ley general del desarrollo enunciada por Vygotsky, el aprendizaje ocurre de modo que cualquier función aparece dos veces, primero a nivel interpsicológico y luego, mediante un proceso de internalización, a nivel intrapsicológico. (Hernández, 2000, 5). Tal proceso de internalización tiene lugar solo a través de la actividad y la comunicación.

La actividad, desde el punto de vista psicológico, se compone de acciones subordinadas a objetivos concientes cuyo logro conjunto conduce al objetivo general de dicha actividad como expresión conciente de su motivo. A su vez las acciones transcurren a través de operaciones que dependen de las condiciones concretas en que se desarrolla la actividad. (Brito, 1987, T2, 9) La actividad se asimila en forma de hábitos y habilidades y se da de dos modos diferentes: como interacción sujeto – objeto y en forma de comunicación sujeto – sujeto.

El aspecto que distingue el hábito de la habilidad es que en los hábitos la actividad se realiza de forma automática (Brito, 1987, T2, 41) mientras que en la habilidad la actividad es regulada concientemente a través de acciones psíquicas y prácticas que el individuo domina. (Brito, 1987, T2, 51). La frontera entre hábito y habilidad depende del modo en que es asimilada la actividad por cada individuo, así unos hábitos pueden devenir en habilidad y viceversa para cada individuo concreto, aunque existen habilidades tan complejas que nunca se transforman en hábitos.

La estructura de la habilidad se conforma de conocimientos y un sistema operacional que permite aplicar concretamente dichos conocimientos. Luego, un conocimiento se ha

44 aprendido en tanto se puede usar en la realización de determinada actividad. Es decir, la adquisición de un conocimiento lleva necesariamente a la formación de una habilidad. (Brito, 1987, T2, 56).

En sus trabajos, Vygotsky introduce el término medida de generalidad para expresar la intensidad con que se manifiesta a nivel mental la equivalencia de conceptos y todas las operaciones intelectuales posibles, que es capaz de realizar un individuo, con un concepto dado” (Vygotsky, 1981, 127). De aquí se entiende que la medida de generalidad es la expresión en el plano mental de los conocimientos y la habilidad que se ha formado en relación con ellos, su internalización. Como el dominio de un concepto determinado está siempre ligado no solo a la realización de operaciones con él, sino que exige, además, el dominio de otros conceptos, entonces debe hablarse de sistemas de medidas de generalidad para referirse a: los conceptos que domina el individuo, las operaciones que puede realizar con los diferentes conceptos y las relaciones que es capaz de establecer con y entre ellos. Por supuesto, si consideramos la habilidad como un saber hacer, entonces cada medida de generalidad está asociada a un sistema de habilidades.

En consecuencia, la asimilación de los contenidos físicos ocurre en forma de sistema, estableciéndose para cada estudiante un determinado sistema de medidas de generalidad consistente en todos los conceptos físicos que domina y las operaciones que puede realizar con ellos. Si la Física se estudia a un nivel superior al fenomenológico (como en la Física General), entonces, indisolublemente ligado a este sistema se encuentra el de los contenidos matemáticos, puesto que, a dicho nivel, la matemática es el lenguaje de la Física. Por ello, un sistema de medidas de generalidad para determinados contenidos físicos no se formará completamente si no se forma antes, o al mismo tiempo, el sistema de medidas de generalidad relacionado con los contenidos matemáticos que son necesarios para entender y operar con los contenidos físicos al nivel exigido.

Según la ley general del desarrollo, el aprendizaje de un contenido específico se va logrando primero en el plano externo, con la ayuda del otro. El cambio en la medida de generalidad tiene lugar solo a través de una acumulación de cambios cuantitativos que se dan a la vez que el alumno va prescindiendo de ayuda para operar con el contenido de que se trate hasta poder hacerlo completamente solo. En este momento tiene lugar el

45 cambio cualitativo que en términos sicológicos significa el paso al plano interno y el desarrollo de la habilidad correspondiente.

La actividad dirigida a asimilar los contenidos de la enseñanza es la actividad de estudio. Esta consiste en la solución concatenada de tareas docentes1.

De acuerdo con lo anterior podemos afirmar que el desarrollo de habilidades relacionadas con los contenidos de Física General ocurre a través de la solución de tareas docentes que exigen aplicar los conceptos físicos en determinadas situaciones con la realización de las operaciones físicas y matemáticas pertinentes. Si no se dominan estas últimas, como se requiere en cada momento, entonces su desconocimiento dificulta el desarrollo de la habilidad en cuestión.

Por otro lado, Vygotsky afirma que “El único tipo de instrucción adecuada es el que marcha adelante del desarrollo y lo conduce... Sigue siendo necesario determinar el umbral más bajo en que la instrucción puede comenzar, (estado de desarrollo actual)2 puesto que se requiere un cierto mínimo de madurez de las funciones. Pero debemos considerar también el nivel superior, (estado de desarrollo potencial) la educación debe estar orientada hacia el futuro...” (Vygotsky, 1981, 118). El estado de desarrollo actual y el estado de desarrollo potencial son expresión del sistema de medidas de generalidad del individuo en el momento actual y su posible configuración en un futuro más o menos inmediato respectivamente. Tanto la descripción del estado de desarrollo actual como la predicción del estado de desarrollo potencial la realiza el maestro a través del diagnóstico.

De acuerdo con esto, cada programa debe diseñarse considerando el estado de desarrollo actual a su comienzo y el estado de desarrollo potencial al finalizar. Pero como dichos estados son propios de cada individuo, un diseño tal, solo puede hacerse

1 La tarea docente, como se verá más adelante (epígrafe 1.2.4), constituye la célula del proceso docente educativo. 2 La zona de desarrollo próximo debe entenderse como la distancia que media entre el estado de desarrollo actual del individuo, visto como aquello que es capaz de hacer por sí solo en un momento dado y el estado de desarrollo potencial entendido como el estado al que puede trasladarse su estado de desarrollo actual con el uso de mediadores y la ayuda del otro. Cuando aquí nos referimos a un determinado el estado de desarrollo actual, zona de desarrollo próximo o estado de desarrollo potencial debe interpretarse como una caracterización del desarrollo del individuo en ese momento ya que cada uno de ellos tiene carácter dinámico y dependientes entre si. A medida que se avanza por la zona de desarrollo próximo el estado de desarrollo actual se mueve y, junto con él, el estado de desarrollo potencial. 46 aproximadamente, considerando el estado de desarrollo previsto en los programas que ya deben haber sido cursados por los estudiantes para los que se diseña y sus características psicopedagógicas generales.

Para la ejecución de dicho programa, el nivel de partida estará marcado por el sistema de medidas de generalidad que debe poseer el estudiante para enfrentarse a los contenidos de dicho programa que llamaremos estado de desarrollo inicial ideal. Este debe coincidir con el sistema de medidas de generalidad que debió lograrse al finalizar la puesta en práctica del currículo que le antecede que llamaremos estado de desarrollo inicial real. En muchos casos los estado de desarrollo inicial ideal y estado de desarrollo inicial real no coinciden provocando dificultades en el aprendizaje, como ocurre con el nivel matemático al comenzar a estudiar la Física General. En ese caso el estado de desarrollo inicial ideal exige el dominio del cálculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real, que corresponde a la Matemática Superior mientras que el estado de desarrollo inicial real está al nivel de la Matemática elemental.

El nivel superior que exige el programa es el estado de desarrollo deseado .Este queda fijado por los objetivos de dicho programa. El tránsito desde el estado de desarrollo inicial ideal hasta el estado de desarrollo deseado se realizará a través de una sucesión de estados de desarrollo deseado definidos por objetivos parciales de las diferentes etapas del proceso docente educativo a través del cual se desarrolla el programa. Estos estado de desarrollo deseado no necesariamente coinciden con los estado de desarrollo potencial en cada etapa y en ese caso también se dificulta el aprendizaje.

Para que el aprendizaje conduzca al desarrollo debe garantizarse que al comienzo de cada etapa el estado de desarrollo actual coincida con el estado de desarrollo inicial real, esto se logra si cada estudiante domina los objetivos de los programas anteriores. Además, si el estado de desarrollo inicial real no coincide con el estado de desarrollo inicial ideal, (lo cual ocurre cuando se elaboran programas que exigen que el estudiante domine contenidos que no se han enseñado en ningún proceso docente educativo anterior) entonces debe garantizarse, también, el traslado del estado de desarrollo actual

47 hasta el estado de desarrollo inicial ideal. Asimismo, debe lograrse que los estados de desarrollo potencial coincidan con los estados de desarrollo deseado.

La coincidencia de los estado de desarrollo actual y estado de desarrollo inicial real se logrará a través del trabajo diferenciado con cada estudiante según sus necesidades educativas. Para lograr la coincidencia de los estados de desarrollo inicial real e inicial ideal al comenzar a impartir la Física General se hace necesario enseñar los conceptos del cálculo infinitesimal en el propio proceso docente educativo de la Física General. Para ello pueden seguirse dos vías: 1. Enseñar los métodos exactos. 2. Enseñar los métodos numéricos. La primera de estas vías necesita de mucho tiempo, puesto que el estado de desarrollo deseado queda fuera de la zona de desarrollo próximo. Ello se explica por el hecho de que para comprender cada método exacto se debe entender primero el significado de límite de una función (concepto fundamental de la Matemática Superior) y otros muchos conceptos relacionados con este. Todos ellos, están interconectados con propiedades de las funciones y operaciones realizadas sobre ellas que implican un razonamiento funcional no desarrollado aun en esta etapa en que predomina el razonamiento numérico. Por otro lado, el modo de realizar cada operación del cálculo infinitesimal (por ejemplo: derivadas de cualquier orden, integrales ya sean definidas o de otro tipo, etc.) es específico para cada función. Entonces, se requiere aprender un gran volumen de contenidos (por ejemplo, para la integral definida debe aprenderse además de las tablas de integrales, al menos, los métodos de sustitución y por partes). En resumen, debe transitarse por una sucesión muy grande de estados de desarrollo potencial a fin de que la zona de desarrollo próximo se vaya desplazando hasta contener el estado de desarrollo deseado en el dominio de dicha operación.

La segunda vía necesita un tiempo relativamente más corto puesto que para cada operación matemática siempre pueden seleccionarse métodos numéricos lo suficientemente simples como para poder deducirlos inmediatamente a partir de los conocimientos previos según el estado de desarrollo inicial real. En otras palabras siempre existen métodos numéricos cuya comprensión (estado de desarrollo deseado) está dentro de la zona de desarrollo próximo (para estos métodos coinciden los estados de desarrollo

48 inicial real e inicial ideal). Además, una vez seleccionado el método numérico con el que se efectuará la operación dada, este mantiene el mismo aspecto independientemente de la función matemática a que se aplique. Por ejemplo, si se selecciona el método de Simpson para la integral definida, la fórmula es la misma independientemente de la función integrando, lo que reduce el volumen de contenido a asimilar. Ello justifica desde el punto de vista psicológico que esta vía sea la que se siga en esta tesis y que se lleve a cabo, por supuesto, usando los métodos numéricos más simples a fin de que resulten asequibles al estudiante.

Sobre la base de los razonamientos anteriores hemos determinado que se desarrollen las siguientes habilidades:  Realizar una operación matemática determinada sobre una función aplicando métodos numéricos.  Aplicar cada método numérico para explicar sistemas o fenómenos físicos.  Valorar el carácter aproximado de los conocimientos físicos. Estas son habilidades complejas que se componen de conocimientos, hábitos y otras habilidades más sencillas cuyo contenido debe ser asimilado por el estudiante, puesto que es resultado del quehacer de diversas ciencias. En este sentido constituyen significaciones objetivas (Brito, 1987, 62, t3). El desarrollo de la primera garantizará el tránsito gradual del razonamiento del estudiante del numérico al funcional. El desarrollo de la segunda propiciará su competitividad para operar con el contenido físico al nivel exigido por el programa. La tercera facilitará la apreciación de la diferencia entre conocimiento y realidad. Las dos primeras se formarán al unísono para cada método numérico específico y la tercera se asimila en la medida que se aprendan más métodos numéricos, pero una vez que se van formando se van individualizando (Brito, 1987, 62, t3), puesto que el sujeto las asocia al mundo objetal sensible; es decir, las relaciona con fenómenos físicos concretos que explica a través de métodos numéricos concretos. Paralelo a ello va teniendo lugar la subjetivación de las significaciones puesto que el individuo las parcializa, les da sentido personal, según la relación que estas tienen con el motivo de su actividad (Brito, 1987, 63, t3) hasta lograr que dichas habilidades se integren en una más compleja consistente en resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos.

49 Al resolver tales tareas, el estudiante, tendrá un motivo que coincidirá o no con el objetivo planteado. Este, en caso de no coincidir, llevará a una asimilación formal y temporal. Con relación a ello Leontiev plantea “lo decisivo es el lugar que en la vida del individuo ocupe el conocimiento, si constituye para él una parte de su vida real o solamente una condición externa” (Leontiev, 1982, 247). Luego, para lograr un buen desarrollo de esta habilidad, en primera instancia, deben coincidir objetivo y motivo. Así, de no coincidir, este último debe ser educado para garantizar su coincidencia.

Para la educación del motivo es necesario que durante el proceso docente educativo “se creen las condiciones para el adecuado desarrollo de la esfera cognitiva de la personalidad en indisoluble unidad con su esfera afectiva” (Brito, 1987, t3, 70). En concreto, debe explicarse: la importancia de los métodos numéricos para la comprensión de la Física, y su lugar en el método científico de modo que se vaya generalizando paulatinamente el carácter relativo de los conocimientos físicos mostrando la importancia que el conocimiento de dicha relatividad tiene para establecer la diferencia entre el mundo y el reflejo del mundo y su valor metodológico para enfrentarse a la solución de los problemas particulares de la Física y para el desarrollo de su actividad como profesor. Estos elementos consecuentemente tratados llevarán a que el estudiante se parcialice afectivamente con los conocimientos y habilidades relacionados con los métodos numéricos, por reconocer su importancia teórica, metodológica y práctica, dándole un sentido personal positivo respecto al objetivo de la actividad que realiza.

1.2.3. Carácter interdisciplinario de la aspiración social y su concreción en la escuela

Actualmente están ocurriendo cambios en cuanto a la metodología de la investigación, a la forma de abordar los problemas en cualquier rama del saber, a la tipología de estos problemas e, incluso, en cuanto a la participación ciudadana en su solución. Tales cambios repercuten de modo particular en cada sociedad específica.

El desarrollo de la ciencia y la técnica tiene lugar a partir de dos vías: la primera que investiga al objeto dentro de los límites de una ciencia particular y los investigadores son, por lo general, especialistas de la rama de que se trate, la segunda involucra varias disciplinas para su estudio y requiere del concurso de especialistas de cada una de las

50 ramas implicadas en la investigación en cuestión. En el mundo de hoy está más extendida la segunda vía; puesto que la mayoría de los problemas actuales, por su complejidad, no pueden enmarcarse en el ámbito de una sola ciencia propiamente dicha y por supuesto, tales circunstancias dificultan el trabajo individual.

Son ejemplo de esta última vía las investigaciones referidas al cuidado y conservación del medio ambiente, a la exploración de fuentes alternativas de energía, las relacionadas con las novedosas construcciones de ingeniaría civil, u otras que, aunque singulares, son extremadamente complejas como las dirigidas a la búsqueda de nuevas soluciones y aplicaciones de la técnica en la medicina.

En la ponencia “Inmunología”, el Dr. Agustín Lage, al responder a la pregunta: “¿Cómo describiría el estado actual de su especialidad en el mundo?” plantea: “ya de inicio es difícil precisar a qué se refiere cuando a uno le preguntan por «su especialidad».

El problema es que el desarrollo científico del siglo XX ha ido haciendo borrosas las fronteras entre una especialidad y la otra; y ha ido convirtiendo en una de las fuentes principales de creatividad precisamente, a la capacidad de abordar problemas de una «especialidad» utilizando conceptos, datos y enfoques de otras, a veces aparentemente distantes.

Así, los científicos ya casi no tenemos «especialidades»: Tenemos un conjunto de conocimientos y habilidades tomadas de diferentes campos; y constantemente remodelados, que nos permiten a cada uno intentar encontrar soluciones nuevas a problemas nuevos, e incluso a problemas viejos” (Lage, 2002, 143).

Actualmente se vive una situación de autentica emergencia planetaria provocada por los problemas ambientales y bélicos, entre otros. En tal sentido la UNESCO ha instituido “la década para el desarrollo sostenible comprendida entre los años 2005 – 2014. En ese período se pretende formar una conciencia ciudadana en pos de solucionar a favor de la humanidad dichos problemas. Muchos científicos se han dado a la tarea de determinar el modo de lograrlo y se ha señalado como uno de los obstáculos que lo impiden “la falta de tradición en los ciudadanos para abordar problemas globales” (Carrascosa, 2006, 4). El caso es que el ciudadano común, de nuestros tiempos, se ve precisado a resolver problemas y participar en la toma de decisiones que requieren del concurso de múltiples

51 disciplinas y cuyas soluciones pueden poner en juego su calidad de vida, por ejemplo la decisión de ingerir o no alimentos transgénicos por solo citar un caso.

El mundo circundante es complejo, en cada hecho o fenómeno que ocurre intervienen múltiples factores de los cuales cada ciencia particular hace caso omiso, salvo aquellos que forman parte de su objeto de estudio; como resultado se obtiene una explicación vista a través del prisma de cada disciplina científica, “... que han sido arbitrariamente recortadas en el tejido complejo de los fenómenos” (Morín, 1990, 23). Pero el caso es que “... la naturaleza ignora las fronteras entre las disciplinas” (Mayor, 1997, 38) Esto, junto al desarrollo alcanzado por las ciencias básicas y la técnica, explica por qué los problemas científicos actuales se resuelven de forma cooperada, empleando conocimientos, métodos y especialistas de varias disciplinas; transformando la metodología de la ciencia de hoy, las creaciones científicas, la forma de pensar y de actuar del científico de hoy e incluso la del ciudadano común que participa en la toma de decisiones. Para denominar esta particularidad que caracteriza al quehacer social actual se emplea el término interdisciplinariedad.

Cada país tiene el reto de modelar el camino que le permita formar a sus ciudadanos para enfrentarse a las nuevas circunstancias y resolverlas. “La preparación de los ciudadanos de un país es una de las necesidades más importantes a satisfacer en cualquier sociedad lo que se convierte en un problema esencial de la misma” (Álvarez 1999, 16). La escuela es la institución socialmente responsable de resolver tal problema.

Las razones anteriores evidencian la necesidad de formar en los ciudadanos de nuestros tiempos, ya sean profesionales o no, la capacidad para pensar y actuar interdisciplinariamente. Luego, es imprescindible la creación de una didáctica de la interdisciplinariedad.

Ahora bien, una cosa es actuar de forma interdisciplinaria en el ámbito científico – técnico y otra en la escuela. En el primer caso, es distintivo el trabajo en equipos multidisciplinarios, donde cada integrante es especialista en alguna rama del saber y pone sus conocimientos, en interacción con los del resto para realizar, en consenso, un estudio más o menos holístico del objeto o fenómeno abordado. Mientras que en la escuela, se tiene como presupuesto que todos los alumnos asimilen un mismo sistema de contenidos

52 pertenecientes a asignaturas diferentes; luego, cada uno debe aplicar tal sistema de conocimientos al objeto en cuestión para, de modo análogo a los científicos, abordar su estudio interdisciplinariamente.

Esta diferencia marcada entre ambos modos de proceder interdisciplinario hace que no sea posible transferir la metodología del trabajo interdisciplinario desde el ámbito científico – técnico a la escuela, aunque como método tengan una base gnoseológica común, expresada en el hecho de abordar el objeto en “casi toda”, su complejidad.

En la construcción de la didáctica de la interdisciplinariedad intervienen múltiples investigadores, en los últimos tiempos pueden citarse a: Núñez Jover, Fiallo, Pérez Fernández, Perera, Fátima Addine, Marta Álvarez, Diana Salazar, entre otros. Es común entre ellos partir del trabajo integrado de las disciplinas “...donde cada una de ellas aporta sus esquemas conceptuales, formas de definir problemas y métodos de integración” (Núñez, 1994, 62). “...donde no se propongan contenidos adicionales o yuxtapuestos; sino que se procure establecer conexiones y relaciones de conocimientos, habilidades, hábitos, normas de conducta, sentimientos, valores morales y humanos, en integridad y permanente cambio” (Fiallo, 2001, 4).

Este rasgo distintivo de la interdisciplinariedad se concreta en el concepto de interobjeto definido por Miguel Pérez Fernández como “la relación de cada disciplina con el objeto y entre ellas. La relación constitutiva de un objeto específico y propio de todas ellas. Un interobjeto que constituye un contenido sustancial en su desarrollo histórico en ciertos ámbitos científicos”. (Pérez, 1994, 167) En otras palabras, es una parte de la realidad que es abordada por varias ciencias (la relación de cada disciplina con el objeto) por ello constituye objeto de estudio de cada una y las relaciona entre sí (la relación...entre ellas.) en un accionar sistémico (la relación constitutiva de un objeto específico y propio de todas ellas.) y en este sentido es objeto de ese sistema de disciplinas (...en ciertos ámbitos científicos). La integridad del objeto se expresa en asumirlo así como interobjeto (un interobjeto que constituye un contenido sustancial en su desarrollo histórico...) viendo en ello más que la simple suma del aporte individual que cada rama del saber pueda hacer a su estudio, su descripción o construcción holística.

53 La definición anterior es compartida tanto por el ámbito científico como por el escolar. Si en el ámbito científico el interobjeto es la parte de la realidad o del quehacer psíquico del hombre, objeto de la actividad científica, que es abordada por determinado sistema de disciplinas; en el contexto didáctico debe entenderse como un contenido, objeto de la actividad de estudio, común a determinado sistema de asignaturas. El interobjeto, al ser objeto de estudio de todas ellas, actúa como agente integrador de los contenidos que involucra.

En la relación objeto – sujeto, a través de la cual tiene lugar la actividad de estudio (del alumno) durante el enfoque interdisciplinario, el objeto de la actividad (contenido) lo asumiremos como interobjeto tal y como lo define Pérez Fernández. En el capítulo dos de esta tesis se definirá el tipo de contenido específico que se asumirá como tal. Teniendo en cuenta que dicho contenido para alcanzar la cualidad de interobjeto debe ser a la vez, contenido de Física, de Matemática Numérica y de Computación.

La menor unidad estructural del proceso docente educativo, como se justificará más adelante, es la tarea docente. Es por ello que durante el trabajo interdisciplinario asumimos la tarea docente que requiere de tal trabajo como el medio portador del interobjeto, pues es mediante la tarea docente que, el alumno se pone en contacto con el interobjeto, lo transforma y despliega mediante su actividad las relaciones entre las diferentes disciplinas. Así, el interobjeto estará presente, también, en los demás niveles estructurales del proceso docente educativo, puesto que la tarea docente es su célula. De este modo el trabajo con el interobjeto debe planificarse a través de un sistema de tareas docentes, en las que esté presente dicho interobjeto, que se integre al sistema de tareas de los niveles superiores de organización del proceso docente educativo en cuestión.

La estructura del enunciado de la tarea docente puede describirse de forma general como una situación en la que están dadas determinadas condiciones y exigencias, estas últimas constituyen la expresión del objetivo (Majmutov, 1983, 129). En las condiciones se dan los elementos del contenido que el estudiante debe transformar para obtener el resultado esperado. Precisamente, uno de esos elementos del contenido debe ser el interobjeto. Ello garantiza que la solución (proceso para el cumplimiento de las exigencias) deba ser tratada apelando a los contenidos correspondientes a las diferentes asignaturas que se

54 involucran en el abordaje del interobjeto en cuestión. Esta forma peculiar de presentarse la estructura de su enunciado es lo que le da carácter interdisciplinario a la tarea que llamaremos tarea docente con función interdisciplinaria.

Según la calidad con que se establezcan las relaciones entre los contenidos de las diferentes disciplinas, se han definido diferentes niveles de interdisciplinariedad (existen varias clasificaciones en dependencia del autor). En esta tesis se asumirá la clasificación realizada por Fiallo, quien propone cuatro clases. En orden ascendente de la calidad de las relaciones ellas son: intradisciplinar, multidisciplinar, interdisciplinar, transdisciplinar. (Fiallo, 2001, 6). La intradisciplinariedad está determinada por la concatenación de los contenidos que se incluyen en una misma disciplina. La multidisciplinariedad determina la relación que ocurre solo a nivel informativo entre diferentes disciplinas.

La interdisciplinariedad contempla relaciones que, respetando cada disciplina, “pueden ir desde la simple comunicación de ideas hasta la integración mutua de leyes, teorías, hechos, conceptos, habilidades, hábitos, normas de conducta, sentimientos, valores a desarrollar, metodologías, formas de organización de las actividades e inclusive de organización de las investigaciones” (Fiallo, 2001, 47).

La transdisciplinariedad propone un sistema en el cual no existen fronteras entre las disciplinas por ello se considera el nivel superior.

El hecho de que los currículos escolares en nuestro país se conciban por disciplinas implica que el máximo nivel en que se puede trabajar en estos momentos es el de interdisciplinariedad.

1.2.4. El sistema proceso docente educativo

“El proceso docente educativo es el proceso dirigido a resolver la problemática que se le plantea a la escuela: la preparación del hombre para la vida y cuya función es la de formar al hombre pero de un modo sistémico y eficiente” (Álvarez, 1999, 33). Tal proceso, es un sistema complejo y autogestionado que tiene lugar a diferentes niveles de organización. Así, su nivel más simple es la tarea docente, (Álvarez, 1999, 33). Cualquier otro proceso docente educativo se constituye de una sucesión de dichas tareas pero las cualidades que le dan integridad como sistema no se manifiestan al nivel de ninguna de ellas, sino al nivel del todo en que dichas tareas se constituyen. Según la complejidad de tal integridad se 55 establece una escala jerárquica. Ciertamente, para la Educación Superior en orden ascendente, se tienen: tarea docente, clase, tema, asignatura, disciplina y carrera.

El proceso docente educativo que tiene lugar a cualquiera de sus niveles de organización, según Carlos Álvarez ocurre a través de tres procesos relacionados dialécticamente y que se ejecutan a la vez. Ellos son: el instructivo, el educativo y el desarrollador. (Álvarez, 1999, 26) Ninguno de estos puede existir al margen de los restantes puesto que es su unidad la que garantiza el cumplimiento integral de la función del proceso docente educativo como sistema. Tales procesos soportan algunos cambios, siempre que estos no sean tan grandes como para variar su esencia. Sin embargo, cuando el encargo social, que es el que determina la especificidad del proceso docente educativo, se modifica significativamente, entonces tales procesos deben sufrir cambios tan radicales que implican una nueva concepción.

Justamente así, ocurre con el proceso docente educativo de la Física General en la carrera de Profesor de Ciencias Exactas al introducir los métodos numéricos para cumplir el encargo social. Ello requiere incorporar cualidades nuevas a cada uno de los componentes de la estructura del proceso docente educativo actual en cada uno de los tres procesos que lo conforman y modificar su dinámica de funcionamiento. Se debe considerar, además, que tales cualidades coexistan con otras que ya posee el dicho proceso docente educativo y que no pueden ser cambiadas, en tanto son expresión de otras aristas del encargo social a las que no se hace referencia en esta tesis.

La estructura del proceso docente educativo

El estudio de cualquier sistema, incluyendo al proceso docente educativo, debe comenzar por definir su estructura, Considerando como tal los componentes y leyes en cuya unidad descansa la integridad del sistema. Sobre la estructura del proceso docente educativo existen diferentes criterios. En esta tesis se sigue la definida por Carlos Álvarez, por estar elaborada intencionalmente con un enfoque sistémico y fundamentada en la filosofía marxista – leninista.

Según Álvarez, los componentes son de dos tipos: personales y no personales. Los primeros se refieren al maestro y al alumno; y los segundos, que son ocho, al problema, objeto, objetivo, contenido, método, forma, medio y resultado. Todos estos resultarán

56 afectados en mayor o menor medida con la introducción de los métodos numéricos. Por esta razón es conveniente determinar la configuración que adopta cada uno y exponer preliminarmente, cómo han de llevarse a cabo las transformaciones.

Un problema manifiesto en cualquier sector social, se convierte en didáctico cuando es reformulado por la escuela con el fin de concebir un proceso docente educativo encaminado a su solución. En esta investigación, se detectó la necesidad cada vez más creciente de resolver problemas prácticos usando métodos numéricos y se planteó el mismo en términos didácticos al asumir tal necesidad como la exigencia de implementar dichos métodos en el proceso docente educativo de la Física General.

El reconocer, además, que tal y como está concebido actualmente este proceso docente educativo no permite solucionar dicho problema, lleva, por supuesto a su modificación en aras de resolverlo. El problema: se manifiesta en el estado inicial del objeto que se selecciona, como proceso, que no satisface la necesidad de dicho contexto social. (Álvarez, 1999, 105).

Vale aclarar que al no contar con una propuesta de solución en el marco teórico lo convierten en un problema científico que ha de ser resuelto desde la didáctica. Este es el problema científico a cuya solución se encamina la presente investigación siendo a la vez el componente problema del nuevo proceso docente educativo que se modelará para resolverlo.

El objeto: expresa la configuración que adopta el proceso docente educativo, como portador del problema (Álvarez 1999, 107). En nuestro caso, se concreta en el proceso docente educativo de la Física General que será diseñado para darle solución al problema. Claro está, que un mismo proceso docente educativo responde a varios problemas y que en su concepción deben tenerse en cuenta todos ellos. Una separación como esta que proponemos es solo factible para su estudio pero nunca tendrá lugar durante su ejecución.

El objetivo es el componente que manifiesta la precisión del estado deseado que se debe alcanzar en el desarrollo del proceso docente educativo para resolver el problema (Álvarez 1999, 97). El objetivo debe proyectarse en tres dimensiones: la instructiva que se refiere al dominio de conocimientos y habilidades, la desarrolladora que se orienta hacia la formación capacidades y la educativa que incluye la formación de valores y la concepción

57 científica del mundo (Álvarez, 1999, 95). En el caso que nos ocupa, el objetivo se precisará sobre la base del modelo establecido para la formación del Profesor de Ciencias Exactas en los momentos actuales.

El resultado es el componente que expresa las transformaciones que se lograron alcanzar en el escolar; es el producto que se obtiene del proceso. (Álvarez 1999, 30). El resultado... se manifiesta en el estado final alcanzado en el proceso, que satisface o no el objetivo programado. (Álvarez 1999, 108). Luego, el resultado se modela de un modo aproximado con el objetivo pero su estado final depende del modo específico en que ocurra el proceso. En esta investigación se juzgará acerca del resultado a través del experimento de modelo y el experimento pedagógico que serán explicados en el capítulo tres para valorar el modelo de proceso docente educativo que será presentado en el capítulo dos.

Entre el problema, objeto, objetivo y resultado se manifiestan determinadas relaciones de dependencia que se establecen con carácter de ley. Carlos Álvarez, llamó a esta, primera ley de la didáctica. En ella se expresa la relación entre el contexto social y el proceso docente educativo. Su esencia consiste en establecer la subordinación dialéctica de la parte, escuela, al todo, sociedad. (Álvarez 1999, 113). El problema determina el proceso que lo resolverá para lo cual se traza un objetivo que prevé el alcance de determinado resultado.

El proceso en su desarrollo puede alcanzar o no el resultado previsto en los objetivos. Precisamente, la comparación del resultado con el objetivo informa en qué medida se resolvió el problema.

La aplicación de la primera ley, a partir del problema que se ha determinado, será la guía metodológica para decidir la configuración específica que adoptan el objeto, objetivo y resultado en el proceso docente educativo de la Física General que portará y resolverá dicho problema.

“El contenido es el componente que precisa, dentro del objeto, aquellos aspectos necesarios e imprescindibles para cumplimentar el objetivo y se manifiesta en los elementos de la cultura y su estructura de los que debe apropiarse el estudiante para alcanzar los objetivos” (Álvarez 1999, 81). El contenido está formado por conocimientos, habilidades y valores. Esos aspectos son tres tipos de contenidos distintos, cada uno

58 posee su propia identidad pero no existen al margen unos de otros, sino que se interrelacionan dialécticamente; pues solo se poseerá un conocimiento en la medida en que se sepa operar con él y en este sentido se tiene ya una habilidad, del mismo modo a cada conocimiento se le da determinado valor. Luego, no existen conocimientos, ni valores al margen de las habilidades, del mismo modo que estas no existen al margen de los primeros.

El contenido será afectado, en tanto se incorporarán conceptos y habilidades, propios de la Matemática Numérica, la Física y la Computación que ahora serán abordados interdisciplinariamente. Todos ellos se integrarán a través de un contenido especial que será a la vez contenido de cada una de las disciplinas involucradas, el interobjeto del contenido. Esto enriquecerá, asimismo, el sistema de valores a formar.

El método expresa la configuración interna del proceso docente educativo, para que transformando el contenido se alcance el objetivo, el método se manifiesta a través de la vía, el camino que escoge el sujeto para desarrollar el proceso (Álvarez 1999, 51).

Coincidimos con Álvarez en asumir el método como la organización de los procesos de actividad y comunicación que son concebidos, regulados y controlados por el profesor (dimensión administrativa del método). A través del método la necesidad social prevista en el objetivo se convierte en necesidad de cada individuo. La tarea de lograr el tránsito de necesidad social a individual le corresponde al maestro mediante el método de enseñanza (Álvarez 1999, 54). Ello solo se logra convenciendo al alumno de cuan importante es para su desarrollo como individuo y para la ejecución de su futura profesión, dominar el contenido. Por esta razón la selección de cualquier método debe partir de la motivación que pueda trasmitir su cumplimiento al estudiante para la asimilación del contenido dada la necesidad de tal dominio para su futuro desarrollo en la sociedad.

El método posee tres dimensiones que se expresan en el modo en que este influye en la formación de la personalidad del individuo. Así, se tienen las dimensiones instructiva, desarrolladora y educativa. Dirigidas a la adquisición de conocimientos y habilidades, el desarrollo de capacidades y la formación de valores respectivamente.

El método tiene lugar a través de los procedimientos, que constituyen sus eslabones, dependiendo estos últimos de las condiciones en que se desarrolla el proceso.

59 Por lo general se aplican varios métodos integrados en un sistema. Según las clasificaciones actuales existe un gran número de métodos y, por supuesto, muchas y variadas formas de combinarlos. Aquí, propondremos un sistema en el que de acuerdo con la participación del estudiante en la adquisición del conocimiento transite de la elaboración conjunta al trabajo independiente, respondiendo al vertiginoso desarrollo científico técnico actual que exige la autogestión del conocimiento (ver Áreas, 2002, 7). Y de acuerdo con el nivel de dominio del contenido, de productivos a creativos respondiendo al modelo de educador actual que debe buscar soluciones nuevas a problemas nuevos (Cánovas, 2002, 51). Ambos aspectos pueden lograrse al mismo tiempo siguiendo los métodos de enseñanza problémica “cuya esencia consiste en que los estudiantes guiados por el profesor se introducen en un proceso de búsqueda y solución de problemas nuevos para ellos, gracias a lo cual, aprenden a adquirir de forma independiente los conocimientos y a emplearlos en la solución de nuevos problemas”. (Álvarez, 1999, 72) “...el alumno debe analizar el material y operar con él, de forma tal, que pueda obtener por si solo una información nueva,..., es la aplicación y profundización de los conocimientos con ayuda de los que ya se han asimilado anteriormente, o una nueva aplicación de los conocimientos anteriores” (Majmutov, 1983, 256).

Los métodos de enseñanza problémica que proponemos, según el nivel de independencia del alumno son, en escala ascendente: el método de diálogo (Majmutov, 1983, 334), el explicativo motivador y el motivador (Majmutov, 1983, 321).

Teniendo en cuenta que en el proceso docente educativo el sujeto de la actividad puede ser en unos casos el maestro (enseña) y en otros el alumno (aprende) asumiremos los métodos de enseñanza problémica con carácter binario (Majmutov, 1983, 321). En tal sentido, cada método se manifiesta en realidad como una pareja de métodos, el de enseñanza del maestro y el de aprendizaje del alumno. Cada método de enseñanza determina uno de aprendizaje, sin embargo, el estudiante puede asumir su propio método, que coincidirá más o menos con el método de aprendizaje correspondiente, según el de enseñanza, empleado y en ese caso acelerará o retrasará su aprendizaje respectivamente. Por supuesto que en el aprendizaje también influye el ritmo propio de cada estudiante, aun cuando este siga el método planificado.

60 En el anexo 1 se muestra cómo se concibe la naturaleza binaria en los métodos de enseñanza problémica que se proponen. Tanto la selección de los métodos como su caracterización se han realizado tomando como base los métodos propuestos por Majmutov (Majmutov, 1983, capítulo VIII).

Para concretar el sistema de métodos propuestos para la introducción de los métodos numéricos como contenido se determinarán:

 La tipología de las tareas docentes y el procedimiento didáctico para su solución como tipos de actividad cognoscitiva que dan especificidad a los métodos de enseñanza problémica y que le dan carácter singular a la estructura del método de solución de tareas cuantitativas de Física.  La concepción de la inserción de las tareas docentes en el proceso docente educativo de la Física General como orientadora de la lógica de los métodos de enseñanza problémica.  El diseño de la actividad del alumno y del profesor o tutor en el planteamiento y solución de cada tipo de tarea docente que determina el papel de cada sujeto según la naturaleza binaria del método de enseñanza problémica que se lleve a cabo. Los medios de enseñanza son los portadores materiales del método (Álvarez 1999, 77). Estos pueden entenderse como “cualquier recurso tecnológico que articula en un determinado sistema de símbolos ciertos mensajes con propósitos instructivos" (Áreas, 2002, 6 (tema 3)).

En cada medio de enseñanza coexisten dos componentes: su soporte material (tangible o hardware) y la información (intangible o software). Esta última está codificada mediante un sistema de símbolos que es preciso decodificar para acceder a dicha información. El proceso de decodificación depende de la complejidad del sistema de símbolos empleados y también, en algunos casos, de habilidades especiales para operar con el soporte material. Estos elementos serán tenidos en cuenta al determinar los medios de enseñanza que han de usarse en esta propuesta y diseñar el trabajo con ellos.

La forma es el componente del proceso, que expresa su configuración externa como consecuencia de la relación entre el proceso como totalidad y su ubicación espacio – temporal, a partir de los recursos humanos y materiales que se posea (Álvarez 1999, 42).

61 La forma en su dimensión espacial está relacionada con la cantidad de alumnos que participan en el proceso, el modo en que se establece su relación con el profesor y el lugar en que se desarrolla dicho proceso. Con la universalización se ha implementado una forma nueva de proceso docente educativo que ocurre de modo tutorial y grupal a la vez. El grupo de alumnos es pequeño (entre cinco y diez estudiantes) y el proceso docente educativo al nivel de clase adopta la forma de encuentros dirigidos por el profesor de la asignatura en cuestión. El tema se despliega de forma semipresencial y la actividad del alumno es dirigida tanto por el profesor de la asignatura como por el tutor. Además, participa otro profesor de modo no presencial, este es el que elabora las guías de estudio que deben resolverse de un encuentro a otro y las orientaciones al profesor de la asignatura y al tutor. En cada uno de los niveles estructurales del proceso que tienen lugar en la universalización prima un alto grado de independencia del alumno. Por ello consideramos que prima la forma de autopreparación (Álvarez 1999, 48).

Desde el punto de vista de su extensión temporal, existen varios tipos de forma desde las más abarcadoras como los niveles y a partir de aquí se van dando lugar otras de menor jerarquía según el nivel de que se trate: por ejemplo: en nivel universitario en el caso de la universalización los cursos de pregrado se organizan en forma de bloques, los postgrados pueden planificarse también de este modo.

En nuestra propuesta las transformaciones que se proyectarán en este componente, estarán dadas en gran parte porque la actividad del alumno se realizará ante la computadora, debido al enorme volumen de cálculos que exige el trabajo con los métodos numéricos.

La segunda ley de la didáctica expresa las relaciones internas (de subordinación y coordinación) entre los componentes del proceso docente educativo. (Álvarez, 1999, 120) A partir de los trabajos de Álvarez consideramos que estas pueden generalizarse en:  El objetivo determina el aspecto general tanto del contenido como de la forma, métodos y medios. Estos últimos se relacionan de modo que a la vez que los contenidos determinan lo particular de la forma, métodos y medios, estos tres también particularizan al contenido. Su singularidad, sin embargo, ocurre en el proceso docente

62 educativo específico, en dependencia de las características psicopedagógicas de los estudiantes y del profesor que dirige el proceso.  La unidad dialéctica que existe entre los procesos de instrucción, desarrollo y educación que se realizan al unísono durante la ocurrencia del proceso docente educativo afectan a cada uno de sus componentes y relaciones.  La derivación e integración del proceso docente educativo que muestra cómo las relaciones, componentes e incluso procesos de menor jerarquía tienen lugar en cualquiera de sus niveles de organización (integridad del proceso docente educativo) caracterizándose, cada uno, por determinado grado de complejidad que define su lugar en la escala jerárquica de los niveles de organización del proceso docente educativo. La segunda ley de la didáctica será aplicada en esta investigación, a partir de los resultados obtenidos con la aplicación de la primera, constituyendo la guía metodológica para determinar la configuración especifica de: contenidos, métodos, formas, medios, resultados y las relaciones entre ellos en el proceso docente educativo de la Física General que portará y resolverá nuestro problema científico.

La estructura del proceso docente educativo no estaría completa sin la inclusión de los componentes personales, pues son estos los que le dan razón de ser a los no personales, los personalizan. “Los componentes personales son aquellos que en su condición de persona interactúan entre sí, uno de ellos es el maestro, el que ejerce la dirección del proceso pedagógico, permitiendo que el otro, el alumno, se implique personalmente en él de manera activa, participativa, vivencial y reflexiva...” (Gutiérrez, 2005, 69). Dado su carácter de persona tales componentes, los personales, serán tratados en varios lugares de este trabajo atendiendo a su naturaleza psicológica y sociológica y a su implicación en el proceso docente educativo que se diseña.

Las tareas docentes cuantitativas de Física, la determinación de su tipología y de la estructura de su método de solución

Por ser la tarea docente la célula del proceso docente educativo, es en ella donde con mayor claridad se manifiesta cualquier variación de carácter cualitativo realizada al proceso docente educativo. Así, la tarea docente como proceso docente educativo elemental sufrirá variaciones en cada uno de sus componentes didácticos los cuales han

63 de modelarse según los criterios asumidos en el epígrafe anterior. Del mismo modo, se afectará la tarea docente vista como tipo de actividad cognoscitiva.

Las tareas docentes a que nos referiremos en este trabajo, como ya aclaramos, serán tareas docentes con función interdisciplinaria (Física, Matemática Numérica e Informática) partiendo de situaciones Físicas. Además, serán tareas cuantitativas, adjetivo que queda fijado por la presencia de la Matemática Numérica, significando que el fenómeno o sistema abordado se puede describir matemáticamente mediante un modelo que contiene a las magnitudes Físicas involucradas y la solución se puede obtener operando numéricamente con dicho modelo hasta llegar a una o un conjunto de relaciones que contienen a las magnitudes conocidas e incógnitas o a través de una o un conjunto de funciones singulares o números.

Además, dichas tareas pueden ser experimentales o teóricas en dependencia de si los datos son tomados por quien resuelve la tarea a través de un experimento o no, respectivamente (Leyva, 2002, 63) puesto que esta diferencia no influye en que la solución pueda encontrarse por la vía numérica.

En su tesis doctoral, Leyva propone una estructura para el método de solución de tareas teóricas de Física y otra para las experimentales (Leyva, 2002, 156 y 159) tomando como base los resultados de estudios realizados anteriormente tanto en la solución de tareas teóricas (Polya, Majmutov, Gil, Schoenfeld, Sifredo, Campistrous, Rivero, Labarrere, Valera, etc.) como en el campo de la solución de las tareas experimentales (Núñez, Ferrer, etc.).

Leyva postula que la estructura del método de solución de tareas teóricas es la célula a partir de la cual se genera la estructura del método de solución de cualquier otro tipo de tarea y la fundamenta según las partes funcionales de la acción integral: orientación, ejecución y control valorativo (Talízina y Labarrere). Tales elementos lo llevan, en primer lugar, a revelar la coincidencia de casi todas las etapas de la estructura del método de solución de las tareas teóricas con la de las experimentales y, en segundo lugar, a diferenciar las clases de solución, propiamente dichas, por el predominio del tipo de actividad que tiene lugar en cada uno, de modo que la solución teórica está presente en

64 ambas estructuras, mientras que la solución experimental se adiciona a la estructura del método de solución de las tareas experimentales y es lo que las distinguen.

Cada tipo de solución, declara el autor, requiere transitar primero por una etapa de confección del plan de la solución, en que predomina la función de la acción integral de orientación y después, por una de ejecución de dicho plan donde predomina la función ejecutora (Leyva, 2002, 64). Así, en las tareas teóricas y experimentales, la solución teórica requiere transitar por las etapas de confección del plan de la solución teórica y de ejecución del plan de la solución teórica predominando las funciones de orientación y ejecución pertinentemente. Entretanto, en las tareas experimentales vuelven a tener lugar las funciones de orientación y control puesto que, en la solución experimental, otra vez se da la etapa de confección del plan de la solución, ahora referida al diseño del experimento y la de ejecución del plan de la solución que se dirige a la ejecución del experimento y al procesamiento de los datos. En el anexo 2 se muestra un esquema de las estructuras propuestas por Leyva para los métodos de solución de ambos tipos de tareas (Leyva, 2002, 156 y 159). Tales estructuras, como acertadamente declara su autor, no se dan de forma lineal como se observa en el modelo.

De las reflexiones anteriores puede inferirse que en cualquier otro tipo de tareas docentes de Física la estructura del método de solución se erigirá sobre la base de la estructura del método de solución de tareas teóricas y que se complejizará solo por el predominio del nuevo tipo de actividad que es premisa indispensable para resolver el tipo de tarea en cuestión. Así, la estructura de su método de solución se caracterizará por la inclusión de un nuevo tipo de solución que del mismo modo que la solución teórica requerirá el tránsito por las funciones de orientación y ejecución. Precisamente, las tareas docentes, a través de las cuales se aplican los métodos numéricos a la Física requieren un nuevo tipo de actividad dada por la necesidad de introducir la computadora en el proceso de solución de todas aquellas en que se requiere realizar cálculos. Dicha actividad se diferencia por las especificidades que caracterizan la operabilidad de este medio, tanto en lo referente al hardware como al software. Entonces, asumiendo estos argumentos, para dichas tareas, una vez definida su tipología, se definirá la estructura de su método de solución en el capítulo dos de esta tesis.

65 Como una consecuencia inmediata de la etapa de proposición de la nueva tarea, que tiene lugar objetivamente, producto de los cuestionamientos a que llevan, de manera directa o indirecta, los resultados de la solución, el propio autor propone el modelo de mallas (Leyva, 2002, 104) y declara “el proceso de planteamiento de nuevas tareas en la mayoría de los casos no ocurre sin antecedentes, sino que es estimulado por los resultados de las tareas planteadas con anterioridad...tiene carácter encadenado” y más adelante enumera las ventajas que el uso de dicho modelo trae al desarrollo del proceso docente educativo: “garantiza una comprensión más profunda de la tarea por comenzar desde la tarea anterior, aumentando la motivación y confianza del alumno en sí mismo por surgir la nueva tarea de sus propias reflexiones, propicia que el alumno aprenda a plantearse tareas y garantiza un análisis más detallado del objeto“, y concluye, esto implica que el proceso docente educativo y el sistema de tareas docentes de la asignatura o disciplina en particular deben ser diseñados teniendo en cuenta su carácter encadenado y el modelo de malla”. (Leyva, 2002, 105). En consecuencia, el modelo de malla será el primer elemento a considerar para la concepción teórica sobre la cual ha de elaborarse el sistema de tareas en el modelo que propondremos.

La dinámica del proceso docente educativo

Uno de los aspectos que determinan la dinámica del proceso docente educativo, desde el punto de vista didáctico, es el modo en que se suceden sus diferentes momentos hasta alcanzar el estado deseado previsto por los objetivos. El aprendizaje de determinado contenido tiene sentido en la medida que el individuo puede operar con él. Asimismo, para arribar al estado de poder operar con el contenido este debe tener significado para el alumno. Por ello conocimientos, valores y habilidades no existen unos al margen de los otros. Luego, si la asimilación de un contenido no se lleva hasta la formación de la habilidad, entonces nunca se sabrá si ocurrió el aprendizaje, ni la significación que tiene para el alumno; en tanto él no podrá operar con dicho contenido.

La propiedad de poder juzgar acerca del aprendizaje solo mediante el desarrollo de habilidades hace que sea el proceso de su desarrollo la menor unidad dinámica del proceso docente educativo. Así, la estructura dinámica del proceso docente educativo se conforma como un sistema complejo de procesos entrelazados de formación de habilidades que solo pueden separarse de tal entramado para su estudio. 66 Al tratar las habilidades, didácticamente, es de gran interés investigar a qué nivel organizativo del proceso docente educativo le corresponde su desarrollo como un todo (esto ligaría la estructura del proceso docente educativo con su dinámica). Los eslabones del proceso docente educativo, es decir, las etapas en que se lleva a cabo el proceso docente educativo (orientación, asimilación, dominio y sistematización del nuevo contenido y evaluación del aprendizaje) para lograr un objetivo, caracterizadas por los distintos tipos de actividad cognoscitiva que desarrollan los estudiantes durante el aprendizaje del nuevo contenido (Álvarez, 1999, 138), expresan la secuencia del desarrollo de la habilidad. Sin embargo, como ellos no constituyen un nivel organizativo en sí se precisa de otros argumentos para determinar el nivel buscado.

Fue Carlos Álvarez quien por primera vez llamó la atención sobre la relación entre el proceso de desarrollo de la habilidad y la estructura del proceso docente educativo en su libro “La escuela en la vida”. La vinculación del hecho de que solo la actividad repetida de solución de tareas docentes lleva al estudiante a apropiarse de la habilidad declarada en el objetivo, con el papel de los eslabones dentro del proceso lo llevó a afirmar que el tema es la unidad organizativa mínima en que se logra el desarrollo de la habilidad (Álvarez, 1999, 139). Con el fin de sistematizar o generalizar la habilidad, esta se puede retomar en otros temas de la misma (u otra) asignatura. En ese caso aparecerá declarada en los objetivos de dichos temas.

Otra cosa ocurre si el contenido implicado en la formación de una habilidad no se recoge completamente en un solo tema, sino en varios. Así, cada tema por separado carece de posibilidades para realizar la cantidad de tareas docentes necesarias o de algunos elementos del contenido imprescindibles para su formación. Luego, estas habilidades quedan al margen de las que se forman en un tema y de las que se sistematizan o generalizan. A ellas les hemos llamado habilidades extendidas y las definimos como: “las habilidades que en la configuración curricular adoptada no tienen como unidad organizativa para su desarrollo el tema, sino un nivel superior y a dicho desarrollo aportan diversos temas de una o varias asignaturas o disciplinas” (Leyva, 2004, 8).

Las habilidades extendidas no se declaran en los objetivos de ningún tema; sino que, a lo sumo, se dan como atributos de alguna de las habilidades de aquellos temas que tienen

67 potencialidades para su desarrollo. Ellas se declaran en los objetivos del nivel organizativo del proceso docente educativo encargado de su desarrollo.

Por otro lado, como el hecho de que una habilidad sea extendida depende del currículo específico con que se trabaje, entonces, la condición de extendida tiene carácter relativo.

A pesar de las diferencias que puedan presentar las habilidades extendidas respecto de las que se desarrollan en el tema, consideramos que las habilidades extendidas se forman siguiendo los mismos eslabones que estas. Puesto que la cualidad de ser extendida no cambia su estructura interna, de cambiarla dejaría de ser habilidad, luego los tipos de actividad cognoscitiva para desarrollarla son los mismos que para cualquier otro tipo de habilidad, y como es la secuencia de los tipos de actividad cognoscitiva la que determina los eslabones, entonces para la formación de la habilidad extendida deben seguirse los mismos eslabones, solo que ahora la habilidad se desarrolla paralelamente al desarrollo de los diferentes temas y el tránsito por los diferentes eslabones resulta extendido.

Del análisis anterior resulta que independientemente del modo en que se desarrolle la habilidad, esta debe estar formada para poder hablar de aprendizaje propiamente dicho. Es por esta razón que el proceso de desarrollo de las habilidades constituye la menor unidad dinámica del proceso docente educativo, cualquier otro nivel dinámico estructural, más complejo, tendrá en su base un sistema de procesos de desarrollo de habilidades del mismo modo a como ocurre con las tareas docentes y los niveles jerárquicamente superiores del proceso docente educativo.

Para garantizar el tránsito por los eslabones hasta formar la habilidad extendida debe diseñarse un sistema de tareas docentes, que dado el carácter extendido de dicha habilidad, no coincide con el sistema de tareas de un tema especifico sino que se inserta como un subsistema del sistema de tareas del nivel organizativo del proceso en el cual debe desarrollarse la habilidad extendida como un todo. A este subsistema de tareas le llamaremos subsistema de tareas docentes con función extendida y a las tareas que lo integran tareas docentes con función extendida.

Las potencialidades de cada tema para aportar al desarrollo de una habilidad extendida, dependen de dos aspectos: la lógica de la asignatura y el tiempo que se le asigna a cada tema. El primero aporta los contenidos y el modo en que serán tratados, el segundo

68 determina la duración del tratamiento del contenido de dicho tema”. (Leyva, 2004, 12). Estos aspectos subordinan el proceso de formación de la habilidad extendida al proceso de formación de la habilidad del tema y determinan cómo se trabajará (cantidad de tareas que se le dedicará, contenidos específicos de las tareas, condiciones y exigencias que pueden presentarse en las tareas, entre otros) durante el desarrollo de dicho tema para aportar a la habilidad extendida.

A un tema particular, le corresponderá solo una parte del sistema de tareas con función extendida, aquellas que relacionan los contenidos de la habilidad extendida con los específicos del tema en cuestión. En consecuencia, toda tarea de este tipo tiene doble función puesto que debe contribuir, además, a la formación de la habilidad del tema al que pertenecen. En las condiciones y exigencias de las tareas con función extendida se han de dar al unísono elementos dirigidos a la formación de ambas habilidades; de modo que el proceso de solución exija el despliegue de ambas, evidenciando la relativa independencia con que se forma cada una. Sin embargo, dichos elementos deben combinarse de modo tal que no sea posible la ejecución de una habilidad sin la otra. Esta doble función debe tenerse en cuenta al concebir y ubicar este tipo de tarea dentro del sistema de tareas del tema.

Durante el proceso docente educativo, las habilidades que se van formando se integran de modo complejo con otros contenidos que el alumno ya domina para dar lugar a las formaciones psicológicas que se generalizan en las capacidades, o el carácter. Los procesos de formación de estos, desde el punto de vista didáctico, constituyen niveles dinámicos estructurales de mayor jerarquía que las habilidades. Los valores forman parte del carácter, por ello el proceso de su formación, desde el punto de vista didáctico constituye un nivel dinámico estructural de menor jerarquía que el proceso de formación del carácter pero superior al de formación de la habilidad.

Los valores, en tanto expresan “las relaciones estables y emocionalmente matizadas del hombre con los fenómenos de la realidad circundante” (Mujina, 1979, 59), han de devenir de los conocimientos y habilidades que posee el individuo para interactuar con esa parte de la realidad pero en gran medida, también dependen, del sentido personal con que asume el individuo dichos conocimientos y habilidades y el modo en que los aplica para

69 resolver problemas prácticos. Por ello, no basta con garantizar la base cognitiva y operacional a través del desarrollo de habilidades, hay que lograr la integridad de las mismas predisponiendo positivamente la esfera afectiva del individuo hacia dichos conocimientos y habilidades, revelando la importancia que tienen para el desarrollo de su profesión y para su vida en general. En este proceso de formación desempeña un papel importante la comunicación, el modo en que a través de ella el profesor transmite el significado que tienen dichos conocimientos para él y así trasmitir este valor a los estudiantes y el modo como muestra la ayuda que tales conocimientos pueden prestarle para resolver determinadas situaciones prácticas.

70 CAPÍTULO 2 LA PROPUESTA DEL MODELO DIDÁCTICO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS “La matemática de antes de finales del siglo XIX es diferente a la matemática actual, y eso ha sido en gran medida por el desarrollo de los métodos numéricos, por la simulación y la modelación de fenómenos a través de herramientas de la matemática. Y eso ha sido, más que todo, producto del desarrollo de la computación y de las herramientas de cálculo que al hombre le ha permitido ver las cosas no solamente desde un punto de vista analítico, de fórmulas que describen todos y cada uno de los procesos que ocurren en un fenómeno determinado”

Carlos Cabal

2.1. LA REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA A TRAVÉS DEL MODELO Y SU CONFORMACIÓN En el desarrollo de esta investigación se ha concebido al proceso docente educativo de la Física como un sistema, el cual, adquiere una configuración singular al introducir y aplicar los métodos numéricos al estudio de los fenómenos físicos. La solución del problema científico está encaminada a modelar este nuevo proceso.

Cualquier proceso docente educativo, como parte de la realidad, es en extremo complejo y un estudio exhaustivo del mismo, se hace muy difícil ya que requiere de mucho tiempo y grandes gastos. Es por ello que al estudiar, usar, o conformar un sistema en general o un proceso docente educativo en particular, es muy útil apoyarse en abstracciones hechas a partir de sus características invariables o específicas. Tales abstracciones se materializan a través del modelo.

Para representar un sistema mediante un modelo, este último debe cumplir los requisitos siguientes:  “El modelo es más simple, cómodo o accesible para el estudio que el sistema al cual representa.  Ciertos rasgos, propiedades o particularidades del modelo reflejan las propiedades, particularidades o rasgos de conducta en estudio del sistema.

71  En los demás sentidos el modelo se diferencia del sistema.  Los conocimientos obtenidos en base al estudio de un modelo pueden aplicarse luego, con enmiendas mayores o menores al sistema, pueden usarse para explicar las particularidades del sistema o para predecir su comportamiento” (Boguslavski, 1976, 292). Por estas razones, a la hora de conformar cada sistema particular, como ocurre con el proceso docente educativo que nos ocupa, es aconsejable crear primero el modelo que lo represente y luego a partir de él, realizando algunas enmiendas, componer el sistema en cuestión.

Aún cuando, la sustitución del sistema por un modelo simplifica bastante el proceso de investigación, este constituye una tarea ardua que requiere vencer diferentes etapas. Coincidimos con Boguslavski en que para ello deben darse cuatro etapas.  En la primera se elaboran las principales abstracciones que fijan, distinguen las propiedades más importantes del sistema. A la vez se formulan la tarea y el objetivo del conocimiento posterior. (Boguslavski i, 1976, 297).  En la segunda etapa se crean los distintos sistemas de pensamientos que se encarnan luego en un modelo de signos, en una construcción Física o teórica (Boguslavski, 1976, 297). Esta etapa constituye la materialización del modelo.  En la tercera etapa se hacen los denominados experimentos de modelos (Boguslavski, 1976, 297).  En la cuarta etapa se aplica el modelo al sistema. (Boguslavski, 1976, 297). En el Capítulo 1 de esta tesis se recogen los resultados de la primera etapa. Al precisar los fundamentos teóricos para la implementación de los métodos numéricos al proceso docente educativo de la Física General.

Como el presente capítulo estará dedicado mayormente a la elaboración teórica del modelo didáctico, es necesario realizar algunas precisiones al respecto.

El hecho de asumir al proceso docente educativo como un sistema, implica que para la construcción del modelo se describan sus componentes y leyes, así como su dinámica revelando sus particularidades en el campo de acción dado.

72 El nivel estructural de organización del proceso docente educativo de más alta jerarquía en que se pretende dar solución al problema científico es la disciplina Física General, por ello el modelo didáctico que se proponga debe ser aplicable a este nivel y a cada uno de los niveles inferiores en que se desarrolle dicho proceso.

Las dos últimas etapas, en la elaboración del modelo didáctico están dirigidas a su valoración y serán tratadas en el último capítulo de esta tesis.

2.2. ELABORACIÓN DEL MODELO DIDÁCTICO

2.2.1 El objeto

El proceso docente educativo de la Física General en la carrera de Profesor de Ciencias Exactas que se desarrolla actualmente no permite dar solución al problema científico planteado puesto que se requiere un proceso docente educativo que incluya los métodos numéricos como parte de él. Entonces, algunos aspectos del proceso actual han de ser transformados para salvar esta dificultad.

Como no todos los aspectos del proceso docente educativo actual han de ser cambiados, puesto que se deben seguir resolviendo otros problemas comprendidos en él y que constituyen exigencias sociales de actualidad, se declararán en esta tesis solo aquellos elementos que se incluyen por primera vez y el modo en que estos se coordinan con las características que subyacen en cada uno de los componentes de dicho proceso después de hacer las inclusiones. Tales declaraciones se realizarán a nivel de disciplina.

Para modelar el proceso docente educativo que tiene lugar en otros niveles de organización de menor jerarquía se considerará la contribución que su ejecución pueda hacer a la solución del problema que será analizado como uno de sus componente, para lo cual se enunciará el objetivo pertinente derivado a partir del que se enunció para la disciplina.

Luego, el objeto como componente del proceso docente educativo que se modelará, a nivel de disciplina, es: el proceso docente educativo de la Física General, en el que se incluyan, conjuntamente con los exactos, los métodos numéricos.

Al aplicar el modelo, a su contexto, el profesor debe diseñar y ejecutar el proceso docente educativo, en cada uno de los niveles estructurales de menor jerarquía comenzando por el

73 nivel estructural en que comienza su intervención, que debe corresponder al nivel de asignatura. Tendrá en cuenta las relaciones de coordinación entre los procesos docentes educativos de iguales niveles y la subordinación de estos a los procesos docentes educativos de mayor jerarquía, aun cuando estos últimos no sean diseñados directamente por él, como puede ser el caso del nivel disciplina. Este, por lo regular se diseña y ejecuta por el conjunto de profesores que imparte cada asignatura de dicha disciplina. Si el modelo se va a llevar a la práctica en toda la disciplina, entonces el diseño de los procesos docentes educativos de cada asignatura se hará de forma coordinada entre los profesores encargados de impartirlas.

2.2.2 El problema

El papel que desempeñan los métodos numéricos en la Física y su omisión en los currículos escolares ha provocado que el estudiante se forme una idea desvirtuada de la ciencia al asumirla como absoluta y acabada, que no haya un tránsito gradual de numérico a funcional en su razonamiento y que no adquieran cultura sobre su uso en la solución de problemas prácticos. Por otro lado, variados son los ejemplos en que se ha visto cómo dicha omisión frena el desarrollo científico y entorpece la inserción del individuo común en la sociedad. Tal situación, por ser objetiva, constituye un problema en la formación de los individuos de cualquier sociedad, sea esta conciente o no de ello. Las sociedades que asumen la filosofía marxista – leninista como su ideología poseen las condiciones para detectar este problema en toda su magnitud y actuar en pos de su solución dándolo como encargo social a la escuela.

Un gran número de los problemas actuales que devienen en encargo social están matizados por la interdisciplinariedad (epígrafe 1.2.2). En la carrera de Profesor de Ciencias Exactas ya se ha tenido en cuenta esta condición desde el punto de vista externo al concebir un profesor que domine tres asignaturas: Matemática, Física y Computación. No así internamente dónde la condición está en capacitarlo a través de las disciplinas específicas para aplicar los contenidos de cada una de ellas en las restantes.

La interdisciplinariedad tendrá una función metodológica en la concepción del modelo didáctico que se propone. Su lugar en el problema está dado porque la propia lógica de los contenidos que se necesitan para cumplir el encargo social dirigido a la introducción de los

74 métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física requiere del trabajo sistémico con los contenidos de Física, Matemática Numérica y Computación. Ello permite contribuir, en la medida que se de solución a nuestro problema, a la solución de otro más amplio que es componente del proceso docente educativo a nivel de carrera y que consiste en la necesidad de que el estudiante aprenda a pensar y actuar de forma interdisciplinaria.

De acuerdo con estas exigencias el problema queda enunciado para la disciplina Física General del siguiente modo: “existe la necesidad de formar un profesor de Ciencias Exactas que sepa aplicar los métodos numéricos a la solución de tareas de Física relacionadas con la práctica que se fundamenten a través de esta ciencia para que entienda el carácter aproximado de los conocimientos científicos y pueda impartir la Física aplicando tal concepción, que aprenda a operar gradualmente con las funciones Físicas y que reconozca la utilidad de los métodos numéricos en la solución de problemas prácticos.”

Al aplicar el modelo, a su contexto, el profesor debe enunciar este problema de acuerdo con el nivel estructural de organización del proceso docente educativo inferior a la disciplina Física General que esté diseñando.

2.2.3 El objetivo

El objetivo contempla tres dimensiones: la instructiva, la desarrolladora y educativa por ello delimitaremos qué elementos corresponde a cada una.

En la dimensión instructiva, el objetivo, contiene en forma de habilidad el encargo social que da solución al problema. Aquí estará encaminado a resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos. Esta habilidad es muy compleja y se forma con la sistematización y generalización de otras consistentes en realizar cada operación matemática estudiada a través del método numérico seleccionado para ello, aplicar dicho método a la Física y valorar el carácter aproximado de los conocimientos obtenidos con ellos. Por último, para lograr su desarrollo exitoso es necesaria la sistematización de habilidades encaminadas a operar con los asistentes informáticos que permiten realizar los gráficos y cálculos numéricos.

La dimensión desarrolladora debe dirigirse a lograr el tránsito del razonamiento numérico al funcional. Es decir, lograr que el estudiante adquiera la capacidad de operar con

75 funciones. Esto se logra en la medida que el estudiante analice las operaciones numéricas no aisladamente sino en su conjunto. Entendiendo tal conjunto de operaciones como una sola operación realizada sobre una función y a los conjuntos de números con los que opera como funciones expresadas en forma tabular.

La dimensión educativa debe estar encaminada a significar el valor que los conocimientos, anteriores tienen para su desarrollo personal y profesional al permitirle: entender el carácter procesal de la ciencia como una sucesión de verdades relativas, conocer el método científico, entender los problemas actuales que enfrenta la ciencia, tomar decisiones ciudadanas y prepararlo para transmitir las ideas anteriores a sus alumnos.

Estas tres dimensiones se relacionan a través de complejas dependencias influyéndose mutuamente. Aquí los contenidos de Física, Matemática Numérica y Computación son los que debe dominar el estudiante para alcanzar el estado deseado en la dimensión instructiva y desarrolladora, que caracterizarán el desarrollo alcanzado en la esfera cognitiva de la personalidad. Tal dominio se logra en la medida que el estudiante le da sentido personal a cada conocimiento particular, cree en ello y lo asume como una verdad científica de modo que alcance el estado deseado en la dimensión educativa que caracteriza la esfera afectiva de su personalidad. Por otro lado, los contenidos anteriores, son el producto del que se nutre su concepción del mundo, y en dependencia de ello pensará y actuará alcanzando el estado deseado en la dimensión desarrolladora en la que expresan de forma compleja los tres componentes de su personalidad: intelectual, personal y práctico.

El nivel de profundidad queda determinado por el modelo físico más cercano a la realidad con que se pueda abordar el estudio del fenómeno en cuestión aplicando el método numérico elegido.

El nivel de sistematicidad se expresa en la generalidad con que formen parte del objetivo cada uno de los contenidos de acuerdo a la jerarquía del nivel de organización del proceso de que se trate.

Teniendo en cuenta estas consideraciones se enuncia el objetivo al nivel de disciplina del siguiente modo: resolver tareas docentes de Física General en las que se apliquen los métodos numéricos contribuyendo con ello a la valoración del carácter aproximado de los

76 conocimientos físicos como expresión del carácter relativo de la verdad objetiva, al tránsito gradual del razonamiento de numérico a funcional y al establecimiento de la cultura que requiere el profesor de ciencias exactas de modo que se forme un sentido personal positivo al respecto y sepa aplicar los conocimientos adquiridos en situaciones sencillas de su práctica educativa.

La derivación de este objetivo a niveles inferiores de organización del proceso debe hacerse especificando los contenidos y el modo específico en que ello contribuye a los diferentes aspectos enunciados en él.

2.2.4 El contenido

El sistema de conocimientos resulta modificado por la introducción de los métodos numéricos específicos y del asistente informático para procesar los datos. Además, se incorporan otros conocimientos físicos, gracias a la aplicación de los métodos numéricos. Se tratarán también, algunas formas en que puede manifestarse el carácter relativo de los conocimientos físicos.

Al sistema de habilidades se incorporan las encaminadas a:  Realizar una operación matemática determinada sobre una función aplicando métodos numéricos.  Aplicar cada método numérico para explicar sistemas o fenómenos físicos.  Valorar el carácter aproximado de los conocimientos físicos. Estas habilidades se componen de otras más sencillas y hábitos; algunos de los cuales el estudiante ya domina, como son: evaluar, calcular, convertir de unas unidades métricas a otras, trabajar con números aproximados y despejar ecuaciones así como las habilidades básicas de la Computación.

Formando parte de las tres habilidades anteriores existen otras nuevas para el estudiante como son: aproximar el fenómeno físico objeto de estudio a otro más simple, deducir métodos numéricos a partir de contenidos físicos, interpretar conjuntos de números como funciones expresadas en forma tabular, seleccionar el o los métodos numéricos adecuados según la exigencia de la tarea, operar con el asistente informático seleccionado para procesar los datos, realizar la solución numérica en la computadora, valorar el carácter aproximado del modelo ya sea de forma cuantitativa o cualitativa. Estas

77 deben ser tratadas en cada tarea docente y se verán de forma más clara cuando se trate la tipología de las tareas docentes y sus métodos de solución. Todas estas habilidades se integrarán en la habilidad más compleja consistente en resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos. El sistema de valores se distinguirá por el aporte que se realiza a la esfera afectiva de la personalidad del estudiante. En este caso se concreta en darle sentido personal al lugar de los métodos numéricos dentro de la Física, al hecho de que los conocimientos físicos tienen carácter aproximado, en que el estudiante asuma tal hecho como una verdad científica y comprenda la importancia que para su desarrollo personal y profesional tiene asumir una actitud consecuente con ello.

Para concretar el sistema de contenidos correspondiente a un nivel de organización del proceso dado se tendrán en cuenta tres criterios.

1. Seleccionar los contenidos respetando la dependencia entre ellos teniendo en cuenta que:  Los contenidos de Física quedan determinados por la lógica de la Física General en el nivel de organización del proceso dado, del que es parte el nivel de organización del proceso que se modela (ver epígrafe 2.2.5). Es decir, están determinados por el programa.  Las operaciones a realizar por métodos numéricos que se incluyan dependen de si los contenidos físicos establecidos según el punto anterior pueden tratarse por esta vía o no.  El asistente informático depende del método numérico seleccionado. De su factibilidad para operar con el método en cuestión. 2. Seleccionar contenidos que sean asequibles, según el currículo. 3. Seleccionar contenidos que sean asequibles según el diagnóstico y permitan alcanzar el estado de desarrollo previsto por el objetivo. Los aspectos uno y dos determinan teóricamente el volumen de los contenidos en el modelo mientras que el aspecto tres permite ajustarlo a la práctica.

Realmente, entre la selección de los contenidos físicos y matemáticos existe cierta interdependencia; primero, porque, al actuar los contenidos matemáticos como lenguaje y

78 herramienta de los contenidos físicos, estos últimos pueden ser abordados matemáticamente solo en los casos en que exista el método matemático adecuado para ello y segundo, porque al responder a un currículo concreto, deben ser asequibles. Esto fija cuáles manifestaciones concretas del fenómeno que se estudia pueden ser abordadas.

Algunos métodos numéricos, brindan la posibilidad de abordar fenómenos físicos complejos usando un aparato matemático más sencillo que los exactos, lo que permite estudiar más manifestaciones concretas de una misma clase de fenómenos. Luego, una vez seleccionados los métodos numéricos, a partir de los contenidos físicos, hay que valorar la inclusión de dichas manifestaciones concretas en el contenido. Esto implica cambios a nivel fenomenológico pero no al nivel de leyes, principios y teorías, por constituir estos últimos invariantes del sistema de conocimientos físicos contemplado en el currículo.

A continuación se explicará cómo seleccionar los contenidos siguiendo los criterios anteriores.

Selección de las operaciones a realizar por métodos numéricos a partir de la lógica de la Física General

Como los contenidos de Física quedan determinados por la lógica de la Física General expresada en el programa de la disciplina, entonces la selección de las operaciones a realizar por métodos numéricos se realizará según las posibilidades que brinden tales contenidos físicos para aplicar los métodos numéricos a su estudio. Así, en dicho programa se aprecia que la función es el ente matemático más usado para modelar los fenómenos o sistemas objetos de estudio, por ello la determinación de los métodos numéricos se hará a partir de su utilidad para realizar operaciones con las funciones Físicas.

Al estudiar determinada función que tiene significado físico, es frecuente que se precise conocer el valor de las magnitudes involucradas en ella. Esto se reduce a resolver una ecuación, que en sentido general, puede tener o no solución exacta. Usualmente los fenómenos y sistemas físicos que se han estudiado por esta vía se describen por funciones lineales o cuadráticas cuyas ecuaciones tienen solución exacta; reduciéndose

79 así la variedad de fenómenos y la profundidad1 con que se aborda su estudio. Para acercar más el modelo a la realidad o para incluir situaciones nuevas es preciso introducir otras ecuaciones más complejas, algunas de las cuales solo admiten solución a través de métodos numéricos.

Con frecuencia, solo se dispone de una tabla de valores de las funciones Físicas. Sin embargo, para una mejor interpretación del fenómeno que tiene lugar es necesario conocer dicha función en otros puntos, e incluso, en un intervalo. Esto, se resuelve aproximándola numéricamente a una expresada en forma analítica. Para ello existen dos vías: el ajuste de curvas y la interpolación. El hecho de escoger una u otra depende del problema concreto. Por esta razón ambas deben ser incluidas dentro del contenido.

Muchas funciones Físicas se obtienen al derivar o integrar otra función. Tradicionalmente para ello se ha empleado la vía exacta. Válida para funciones expresadas analíticamente, que en el caso de la integración deben cumplir, además, que integren en términos elementales. Pero tal vía es inasequible hasta tanto se estudien dichas operaciones en Matemática Superior. Si la función sobre la que se realizará la operación de derivación o integración está expresada en forma tabular o gráfica los métodos exactos no se pueden aplicar, aun cuando el estudiante los domine. La vía numérica, sin embargo, además de extender estas operaciones a funciones expresadas en estas formas y a las que no integran en términos elementales, posee métodos que son asequibles aunque no se hayan estudiado en Matemática Superior.

La teoría de ecuaciones diferenciales se estudia al final de la disciplina Matemática Superior pero es preciso usarlas antes en Física puesto que ellas modelan matemáticamente muchas de sus leyes y procesos. Pero entonces el estudiante no entiende su solución. Los métodos numéricos permiten resolver tales ecuaciones y ¡entender dicha solución!

En resumen: el contenido que se estudia en Física General permite aplicar métodos numéricos para realizar las siguientes operaciones con funciones:  resolver ecuaciones

1 Aquí se empleará nivel de profundidad como el grado de acercamiento de un modelo a la realidad. 80  aproximar funciones  calcular derivadas de primero y segundo orden (totales y parciales)  calcular integrales (definidas, de línea, de superficie, dobles y triples)  resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primero y segundo orden.

Selección de los métodos numéricos a partir del currículo y su ajuste conforme al diagnóstico…

Para la realización de las operaciones anteriores se dispone de un conjunto de métodos numéricos en cada caso. La selección de los métodos específicos se realizará a partir del criterio de que tales métodos sean asequibles, según el currículo.

Para seleccionar métodos numéricos asequibles es preciso conocer el estado de desarrollo inicial real al introducir, por primera vez, alguna de las operaciones numéricas determinadas en el tópico anterior. Así, según sea el caso debe seguirse una de las dos alternativas siguientes: 1. El método numérico debe ser tal que su deducción sea factible desde la Física General a partir de los conocimientos previos. 2. El método numérico ya se estudió en Matemática Superior. La teoría requerida para comprender cada método numérico puede ser más o menos compleja. Para cada una de las operaciones declaradas en el tópico anterior excepto para la aproximación de funciones, existen métodos numéricos que por su sencillez pueden ser explicados a partir de contenidos de Matemática y Física que el estudiante debe dominar de preuniversitario (estado de desarrollo inicial real). Luego, es posible su introducción en Física General antes que en Matemática Superior1.

Introducir un método numérico a partir de contenidos físicos significa deducir fórmulas reconocidas por la Matemática Numérica a partir del análisis de fenómenos físicos, usando los conocimientos previos de Física y Matemática. De acuerdo con esto proponemos introducir los siguientes métodos numéricos específicos: 1. fórmula de los dos puntos para calcular la primera derivada

1 El hecho de que se introduzcan en Matemática Superior depende de que se aplique la estrategia propuesta por Rodríguez (Rodríguez, 1998) ya que en el plan de estudio actual no se concibe la enseñanza de métodos numéricos en esta disciplina. Según dicha estrategia es posible que la solución numérica de ecuaciones se introduzca en Matemática antes que en Física General.

81 2. fórmula de los tres puntos para calcular la segunda derivada 3. fórmula compuesta de los trapecios para calcular integrales definidas 4. método mejorado de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 5. método mejorado de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. La solución de ecuaciones por vía numérica proponemos que se estudie primero en Matemática lo cual puede hacerse aplicando la estrategia de Rodríguez cuando se aborde la solución de ecuaciones en Matemática y su Metodología que se imparte en primer año antes que Física General. Así puede usarse el método analítico de bisección para la solución de ecuaciones. La aproximación de funciones por exigir un nivel teórico que no se corresponde con los conocimientos con que el estudiante comienza a estudiar la Física General, proponemos que no se apliquen a esta disciplina hasta tanto no se estudien en Matemática Superior. Entonces, su introducción debe hacerse después de impartir el Electromagnetismo.

Una explicación más detallada de cuándo y cómo usar los métodos que proponemos introducir desde la Física y el método analítico de bisección para la solución de ecuaciones que son los que se deben introducir desde Mecánica y de cómo se fundamentan dichos métodos en el análisis numérico se muestra en el anexo 3. Para lograr el tránsito gradual por la zona de desarrollo próximo, se requieren métodos que muestren la lógica de obtención del resultado, su carácter aproximado y simulen el proceso de investigación científica. No es necesario, pues, usar métodos más complejos y sofisticados, que los anteriores, aunque por lo regular son más exactos. En consecuencia, solo se añadirán otros si se estudian en Matemática Superior y permiten realizar las operaciones propuestas.

Para medir el grado de aproximación de determinado método se usa el término error. Su cuantificación en cada uno se realiza a partir de fórmulas que en la mayoría de los casos dependen del conocimiento de las derivadas de hasta orden n, en uno o varios puntos, de la función usada, lo cual muchas veces es imposible desde el punto de vista práctico. Otras veces se requiere acotar la función o las derivadas, lo que también puede ser poco práctico pues incluso cuando se pueda hacer dicha acotación, las fórmulas para calcular el

82 error se fundamentan en conceptos del análisis matemático que no son tan fáciles de obtener a partir de contenidos físicos como se hará con los métodos numéricos propuestos. Por estas razones proponemos que la cuantificación se realice solo cuando las fórmulas para valorar el error se hayan estudiado en Matemática. En este caso es preferible, en pos de la asequibilidad, realizar la valoración cualitativa del error, es decir explicar qué elementos del método lo introduce. El modo de hacer tal valoración y el análisis de varios ejemplos se tratará cuando se defina la tipología de las tareas. Para realizar la aproximación de funciones, como ya se explicó, debe estudiarse antes en Matemática Superior, al menos, la teoría que la justifica. Las derivadas parciales y la integral de línea pueden realizarse sin mayor dificultad reduciéndola a una derivada total o a una integral definida, según el caso una vez elegidas las variables convenientemente. Los otros tipos de integrales se usarán cuando se estudie su solución por métodos exactos y se haga asequible entonces la solución numérica, el método numérico más sencillo para ello es el de Montecarlo, pero este debe introducirse primero en el cálculo de la integral definida en una variable y aun así es preciso garantizar el conocimiento de algunos contenidos de teoría de las probabilidades.

El diagnóstico es el instrumento que permite determinar el grado de coincidencia entre el estado de desarrollo inicial real y el estado de desarrollo actual si este último se retrasa respecto al primero entonces el estado de desarrollo potencial tampoco coincidirá con el estado de desarrollo deseado. En consecuencia el estado de desarrollo deseado puede no estar dentro de la zona de desarrollo próximo por lo que se debe reorientar el proceso planificado para garantizar el nivel de partida que permita introducir el método previsto y promover la zona de desarrollo próximo hasta lograr el estado de desarrollo deseado.

Esto puede ocurrir también en otros momentos después de encaminado el trabajo con un método específico, producto de disímiles causas, por ello el seguimiento del diagnóstico es imprescindible para detectar cualquier dificultad y ajustar el proceso concebido. La atención al diagnóstico individual y colectivo que se tenga del grupo determina definitivamente los contenidos físicos y matemáticos que han se usarse en cada método numérico propuesto para lograr la medida de generalidad deseada.

Determinación del asistente informático

83 El uso de asistentes informáticos como herramienta para realizar cálculos está ampliamente difundido tanto en la práctica científico – técnica como en la educativa. En la enseñanza universitaria son muy conocidos los paquetes matemáticos. Entre ellos los más usados son: el Mathematica, el Matlab y el Derive.

Tales paquetes están diseñados para que una vez introducidos los datos y seleccionadas las operaciones a realizar devuelvan el resultado, quedando oculto, en la mayoría de los casos, el proceso de solución. Esta particularidad propicia que los estudiantes no sean concientes de la lógica de operación del método matemático que se emplea para pasar de los datos a los resultados. Ello constituye una dificultad para lograr el tránsito del razonamiento de numérico a funcional.

Una vía para hacer evidente el proceso de solución es que sea el estudiante quien elabore el programa para realizar los cálculos pero esto exige no solo saber programar sino, además, conocer las características del paquete matemático en que implementará el programa. Estas razones se convierten, entonces, en una nueva dificultad.

De los paquetes matemáticos anteriores, el Mathemática y el Matlab están elaborados para el uso de científicos e ingenieros mientras que el Derive se dirige a un círculo más amplio de usuarios de modo que es el más asequible de los tres. Por este motivo, aun cuando comporta las dificultades anteriores, podrá usarse en el modelo que se propone siempre que sea el estudiante quien idee y programe el algoritmo de cálculo.

Otra opción para realizar los cálculos es la hoja electrónica Excel. En esta se conciben las operaciones básicas y su combinación con funciones matemáticas a partir de una sintaxis muy parecida a la usada para los cálculos en la asignatura de Matemática, permitiendo implementar los cálculos para muchos tipos de métodos numéricos sin necesidad de aprender lenguajes complicados de programación. Por otro lado, el trabajo con Excel comienza en nuestro país desde preuniversitario. Atendiendo a estos aspectos, el Excel es el asistente que se recomienda emplear en este modelo para realizar los cálculos que los métodos numéricos requieren.

El interobjeto del contenido

84 Durante la actividad de estudio, el contenido constituye el objeto de dicha actividad. Si el contenido proviene de varias asignaturas su asimilación requiere del concurso de todas ellas. En este sentido la actividad adquiere carácter interdisciplinario y el mismo objeto, el contenido, adquiere la dimensión de interobjeto según la definición dada por Pérez Fernández. Entendiéndose por interobjeto, no todo el contenido sino aquella parte de él que necesariamente debe ser abordada interdisciplinariamente. Por el lugar que ocupan las funciones en la modelación matemática de los procesos y fenómenos físicos consideramos que el interobjeto debe ser precisamente una función la cual tendrá atributos especiales que la conviertan en objeto de estudio de la Física, la Matemática Numérica y la Computación.

El interobjeto del contenido de este modelo didáctico se define del siguiente modo: es una función matemática, cuyas variables y constantes representan magnitudes Físicas y la relación entre ellas describe determinada porción de la realidad estudiada por esta ciencia, está representada de forma tal que para obtener de ella determinada información es preciso transformarla mediante métodos numéricos y el empleo de la computación.

La condición de interobjeto de un tipo de función particular es relativa pues depende de que al menos una de las operaciones seleccionadas a realizar numéricamente tenga sentido físico para las funciones del tipo dado y esté contenida en el programa de la disciplina que se diseña.

Al concebir el proceso docente educativo a nivel de asignatura es menester analizar los tipos de funciones y la posibilidad de aplicarles las operaciones numéricas seleccionadas. Los resultados de este análisis pueden organizarse en una matriz de incidencia en la que por las columnas se ubiquen los tipos de funciones y por las filas los métodos numéricos seleccionados. Si en la celda cij , donde se interceptan la columna i con la fila j, se escribe un 1 significa que el tipo de función correspondiente a la columna i puede usarse como interobjeto para el método numérico de la fila j. En caso contrario aparecerá un cero. A esta matriz la llamaremos matriz interobjeto. En el anexo 4 se muestra una matriz de este tipo para la asignatura Mecánica.

Con un tipo específico de función interobjeto se pueden obtener uno o varios resultados que describen o explican aspectos de la parte de la realidad que ella modela. En

85 dependencia de qué resultado se necesite será el tipo de operación numérica a realizar. Para ello es aconsejable construir otra matriz de incidencia a la que llamaremos matriz resultado. Esta puede hacerse para cada tema de la signatura que se diseñe y parte de la información se toma de la matriz interobjeto. Su construcción se hará como sigue:  de la matriz interobjeto se toman cada uno de los tipos de funciones que se abordan en el tema que se diseña y se ubican por las columnas.  para cada tipo de función se anotan todos los métodos numéricos para los que el tipo dado es interobjeto.  para cada método numérico anotado, en el paso anterior, se determina que resultados físicos se pueden obtener al aplicarlo sobre una función específica. Los resultados se ubican por las filas. Las celdas se llenan del siguiente modo: Si con las funciones de la columna i puede obtenerse numéricamente el resultado de la fila j entonces en la celda cij aparece un uno, si no habrá un cero. Las celdas en que aparece un uno se colorearán según un código que indica el método numérico específico con que se obtiene el resultado en cuestión. En el anexo 5 se ofrece esta matriz para cada tema de Mecánica.

Selección de los contenidos físicos particulares a partir de los métodos numéricos seleccionados…

Una vez seleccionados los métodos numéricos es preciso determinar qué contenidos físicos serán abordados con dichos métodos. Para ello debe considerarse que para explicar o describir una clase de fenómenos o sistema físico se usa más de un tipo de función puesto que cada una de ellas explicará o describirá (genéricamente) un aspecto determinado del mismo. Al particularizarse la clase en cuestión a un ente físico concreto, se manifiesta la dependencia entre sus propiedades. A este nivel se eligen las funciones matemáticas concretas que pueden ser usadas en calidad de interobjeto.

Hasta ahora se ha hablado de tipos de función interobjeto. Su concreción se hará solo cuando se fijen las manifestaciones singulares de la clase de fenómenos o sistemas a estudiar. Para ello proponemos elaborar una lista a nivel de tema que llamaremos casos particulares (ver un ejemplo para Mecánica en el anexo 6). El uso de cada uno de los elementos de esta lista para la elaboración de las tareas docentes queda determinado por la información que de ellos se tenga o se pueda recopilar (conocimiento de la función 86 interobjeto, valor de las constantes y parámetros, etc.) y finalmente por el diagnóstico del grupo en el momento de usarlo.

Los contenidos físicos particulares quedarán determinados con la selección de los casos particulares que pueden ser tratados por funciones interobjeto también de carácter particular. La función interobjeto adquiere carácter singular cuando se refiere a una manifestación concreta de determinado fenómeno o sistema físico. Su uso en el modelo que se propone está determinado primero porque sea posible conocer dicha función y segundo por el diagnóstico.

2.2.5 El sistema de métodos, los medios y las formas

Aunque el sistema de métodos a emplear, ya ha sido determinado en su aspecto más general a partir del objetivo, este adquiere determinadas particularidades según el contenido específico que será abordado y el modo en que dicho contenido se organiza en el currículo. Tales particularidades dependen de la tipología de las tareas docentes que al ser asumidas como tipos de actividad cognoscitiva, reflejan, en el método, la estructura de su enunciado y de su método de solución. Así, las tareas docentes constituyen un medio de enseñanza en tanto ellas son las portadoras del método por excelencia.

La computadora, como medio de enseñanza, influye de modo decisivo en la estructura del método de solución de las tareas docentes que precisan de ella para realizar los cálculos del método numérico que da solución a dichas tareas. Esta cuestión repercute en el método de enseñanza a través de la tarea docente y lo particulariza.

Por otro lado, la problematicidad del método ha de combinarse con el modelo de aprendizaje a seguir. Ello significa poner al alumno ante tareas docentes que constituyan problemas asequibles de modo que pueda acometer la solución partiendo de lo que conoce, ya sea solo o con ayuda. Esta última dependerá del método de enseñanza empleado puesto que en la medida que este exija un nivel de independencia mayor los niveles de ayuda se harán menores. La forma se verá afectada con la inclusión de la computadora en la actividad de estudio en cualquiera de los niveles del proceso de que se trate.

87 La tipología de las tareas docentes y la estructura de su método de solución. Su relación con los métodos de enseñanza problémica

En el capítulo uno ya se explicó que las tareas docentes a través de las cuales se ejecutará el sistema de métodos serán tareas docentes cuantitativas de Física, teóricas o experimentales.

Tales tareas se distinguirán porque en sus condiciones el elemento distintivo es una función interobjeto y su exigencia la realización de una operación matemática, que tiene sentido físico, sobre la función interobjeto. La vía para la realización de dicha operación será la numérica, cuya particularidad distintiva es su carácter aproximado. Este último atributo garantiza que todas las tareas de este tipo tengan condiciones potenciales para contribuir a través de su solución a la formación de la concepción científica del mundo, en particular a la valoración del carácter relativo de la verdad objetiva. Mientras que la realización de la operación matemática por la vía numérica garantiza la formación gradual del razonamiento funcional. Por último, si en las nombradas tareas se describen situaciones prácticas entonces se mostrará la importancia de los métodos numéricos como una parte de la cultura que es necesario asimilar actualmente.

Además, de acuerdo con el sistema de métodos que proponemos las tareas deben constituir un problema, en el sentido psicológico que esta palabra encierra. Ello significa que para el estudiante no sea posible realizar la operación matemática que le da solución, aun cuando pueda dar una explicación cualitativa del fenómeno o proceso físico de que se trate. Sin embargo, el alcance de la solución debe exigir del estudiante aplicar los conocimientos previos u otros que el profesor le oriente cuya comprensión está dentro de su zona de desarrollo próximo. Así constituirán problemas asequibles.

A las tareas de este tipo le llamaremos clase genérica de tareas docentes de Física que se resuelven por la vía numérica. En lo adelante nos referiremos a ellas en forma abreviada como TDG.

Como criterio para la definición de los tipos de TDG se tomará, en primera instancia, que el método numérico se use por primera vez en Física o no. Así, se tendrán dos clases: las TDG1 y las TDG2, respectivamente.

88 Dentro de las TDG1 pueden distinguirse las encaminadas a aplicar teóricamente el método (TDG1.1) y las que muestran cómo realizar los cálculos en Excel (TDG1.2). Las TDG1.1 se dividen en dos tipos siguiendo el criterio de que el método se estudie previamente en alguna asignatura de Matemática o no. Estas son: las tareas docentes para aplicar un método numérico, ya estudiado en Matemática, a la Física y las tareas docentes para introducir un método numérico desde la clase de Física. A estas las llamaremos tareas docentes de tipo 1 (TD1) y tareas docentes de tipo 2 (TD2) respectivamente. En la clase TDG1.2 se define un solo tipo de tarea que llamaremos tarea docente de tipo 3 (TD3). En el anexo 7 se muestra un esquema que representa la clasificación de las tareas docentes correspondientes a la clase genérica de tareas docentes de Física. Las TDG1 se corresponden con el nivel elemental de problematicidad del método (introducción del nuevo contenido a través del método de diálogo), por ello su redacción debe ser clara, la exposición de las condiciones exhaustiva y la exigencia dirigirse únicamente al cumplimiento del objetivo del tipo de tarea en cuestión.

La clase de las TDG2 se corresponden con los niveles de mayor problematicidad del método, el explicativo motivador y el motivador, por ello, en esta etapa, aumentará tanto el grado de independencia como el de productividad. Para su clasificación se tomará como criterio los diferentes casos en que puede aplicarse a la Física un mismo método numérico que ya se ha introducido a través de las TDG1. En tal caso, proponemos los siguientes tipos: tareas para aplicar el método numérico al mismo tipo de función interobjeto en otra manifestación singular del mismo tipo de fenómeno o sistema1. Tareas para aplicar el método a otro tipo de función interobjeto en la misma manifestación singular del mismo tipo de fenómeno o sistema. Tareas para aplicar el método a otro tipo de función interobjeto en otra manifestación singular del mismo tipo de fenómeno o sistema, Tareas para aplicar el método a otro tipo de función interobjeto en una manifestación singular de otro tipo de fenómeno o sistema. A estas tareas las llamaremos tareas docentes de tipo 4, de tipo 5, de tipo 6 y de tipo 7. (TD4, TD5, TD6 y TD7) respectivamente. (Anexo 7).

1 Aquí nos referimos al tipo de fenómeno o sistema tratado en la TD1 o TD2 que le antecede y la manifestación singular se refiere a la abordada en la TD3 correspondiente. 89 Caracterización de las TD1 y su procedimiento de solución. La particularización del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD1

Cuando se necesite emplear un método numérico en Física y este ya se ha estudiado en Matemática se empleará una TD1, cuyo objetivo es aplicar dicho método a la Física. Por consiguiente, el método numérico exigido, debe constituir una de las vías de solución de este tipo de tarea y su exigencia será encontrar una fórmula a partir de la cual se pueda obtener una función o magnitud con sentido físico.

Durante el proceso de solución debe establecerse la analogía entre la operación numérica estudiada en Matemática y la operación a ejecutar para obtener la información Física pedida. Tal operación debe realizarse sobre la función interobjeto que se dará explícitamente en las condiciones junto con sus constantes y parámetros, así como otras informaciones de carácter cualitativo. En este tipo de tarea no se darán valores numéricos en los datos, solo se dirá qué magnitudes son conocidas y la función interobjeto se representará sin evaluar ni las constantes, ni las variables. En otras palabras, toda la información se dará de forma literal. En consecuencia todas las TD1 serán teóricas.

La vía numérica de solución no tiene, necesariamente, que ser la única aunque debe ser la más asequible para que el alumno sienta la necesidad de seguirla. Aquí, hablamos de asequible porque en Matemática Superior, está concebido que si se estudia una operación por métodos numéricos es porque se ha estudiado también la vía exacta de realizarla, entonces ambas podrán usarse para resolver la tarea y el estudiante escogerá, con la guía del profesor, aquella que le resulte menos complicada.

En las TD1 la problematicidad está en la contradicción entre el carácter particular tanto de la función interobjeto como de la operación a realizar con ella y el carácter general con que se estudió dicha operación para funciones abstractas en Matemática Superior. Tal contradicción provoca que aun cuando el estudiante posee los conocimientos y habilidades necesarios para resolver la tarea se encuentre con no pocas dificultades para llevarla a cabo.

En el procedimiento para la solución de este tipo de tareas, predomina la aplicación y consta de tres momentos: modelación matemática, selección del método numérico y particularización del algoritmo de solución.

90 En la modelación matemática se establecen analogías entre el modelo físico (particular), dado por: la función interobjeto, las constantes y las variables que la integran u otras que constituyen datos adicionales, y el modelo matemático (general) dado por: el tipo de función, variables dependientes e independientes, constantes, etc. El objetivo de este paso es plantear el problema físico en términos matemáticos. En la selección del método numérico se juzga entre aquellos métodos conocidos por el estudiante, cuál permite resolver la tarea planteada, en términos matemáticos, en el paso anterior. Su objetivo es seleccionar un método numérico específico y establecer su aplicabilidad en la tarea dada. En la particularización del algoritmo el objetivo es determinar la especificidad de las operaciones a seguir según el algoritmo general del método seleccionado, para realizar los cálculos que permiten cumplir la exigencia, haciendo las consideraciones necesarias para darle el sentido físico que la solución requiere. En el anexo 8 se muestra la estructura que proponemos para las TD1 y el esquema de su procedimiento de solución. Para contribuir a la formación de la concepción científica del mundo en lo referente a la valoración del carácter relativo debe evidenciarse:  El carácter aproximado del método numérico que se aplica y cómo ello lleva a realizar aproximaciones o simplificaciones del ente físico descrito por el interobjeto. Estas son de carácter cualitativo.  El carácter aproximado de la expresión solución hace aproximado al resultado físico que se obtiene al aplicar dicha expresión. Esta aproximación es cuantificable, pero en la TD1 se analizará al nivel de la expresión literal. La estructura de la TD1, su procedimiento de solución y el carácter aproximado del método numérico particularizan la estructura del método de solución de tareas teóricas. Así, la base para la interpretación de la TD1 radica en el reconocimiento de la clase de fenómeno o sistema representado a través de la función interobjeto, y en la modelación matemática de la tarea. Ambos elementos sientan las bases para la elección de la vía numérica de solución. La etapa de solución teórica se lleva a cabo a través del procedimiento de solución definido, cuyos dos primeros momentos constituyen la confección del plan de la solución y el último la ejecución del mismo. En la etapa de

91 control valorativo del curso de la solución y los resultados, además de las valoraciones en cuanto a su veracidad, debe considerarse qué aproximaciones se realizan en cada momento y cómo estas afectan al modelo inicial expresado a través de la función interobjeto. Este aspecto es el que permite que la valoración del carácter relativo de la verdad objetiva esté presente durante todo el curso de la solución. En la etapa de contrastación teórica de los resultados se analizará explícitamente en qué consiste el carácter aproximado de la expresión solución. Aunque a partir de la solución de una TD1 pueden formularse disímiles tareas lo más frecuente es la formulación de una que muestre una manifestación singular de la clase de fenómeno o sistema descrito por la función interobjeto de la TD1 resuelta a fin de aplicar la fórmula numérica obtenida. En el anexo 9 se muestra cómo se concreta la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD1 a partir de su procedimiento de solución. La estructura del método de solución y específicamente, el procedimiento de solución se materializan en el camino que escoge y sigue el profesor, según las preguntas específicas que realiza al alumno para activar su pensamiento y propiciar sus respuestas de modo que conduzcan a la solución de una TD1 específica. Es decir, se personalizan. En el anexo 10 se ejemplifica el procedimiento de solución para una TD1.

Caracterización de las TD2 y su procedimiento de solución. La particularización del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD2

Cuando el método numérico a aplicar en Física no ha sido estudiado en Matemática Superior se usará una TD2 cuyo objetivo es definir la fórmula numérica en cuestión. Entendiendo que, introducir un método numérico a partir de contenidos físicos significa deducir fórmulas reconocidas por la Matemática Numérica tomando como base el análisis de procesos o fenómenos físicos. Las fórmulas deducidas tendrán, además, sentido físico puesto que modelan parte de la realidad estudiada por esta ciencia. Este último aspecto le da a dicha fórmula carácter particular.

Dado el objetivo de la TD2, necesariamente, una de sus soluciones debe ser la fórmula numérica a deducir. La cual constituirá su exigencia. Aunque no se descarta que sea la única solución, sí debe ser la única que se encuentre dentro de la zona de desarrollo próximo según el estado de desarrollo inicial real, en el momento en que se introduce la

92 TD2. Por supuesto, en la exigencia no se pedirá explícitamente la fórmula numérica, sino una expresión para calcular determinada magnitud Física, que será una aplicación (expresión particular) de la nombrada fórmula. Las restantes magnitudes que forman parte de la expresión solución, conjuntamente con otras informaciones de carácter cualitativo se darán en las condiciones de la tarea relacionadas mediante el interobjeto. Tanto la función interobjeto como las magnitudes conocidas se darán, al igual que en las TD1 en forma literal. Las TD2 también son tareas teóricas.

En las TD2 la problematicidad está en la contradicción que aparece entre la explicación cualitativa que puede dar el estudiante del fenómeno o sistema descrito en la función interobjeto y su imposibilidad de expresarla en términos matemáticos.

La solución de la TD2 se alcanzará realizando transformaciones al interobjeto, dichas transformaciones dan lugar al procedimiento invariante para solucionar cualquier tarea de este tipo y consta de tres momentos: descomposición, simplificación y composición del fenómeno o sistema descrito por el interobjeto.

El primer momento está dirigido a descomponer el fenómeno o sistema físico modelado por la función interobjeto en una sucesión de entes de este mismo tipo. Esto, en términos matemáticos significa hacer una partición del dominio (dividirlo en tramos).

El segundo momento consiste en simplificar el modelo físico con que se describe el fenómeno a uno conocido. Es decir, describir el fenómeno con un nivel de profundidad menor de modo que el estudiante sepa operar con él. Esta acción se realizará sobre uno de los entes de la sucesión obtenida en la descomposición anterior. Matemáticamente significa seleccionar uno de los tramos y eliminar o aproximar los parámetros físicos involucrados hasta obtener un modelo conocido del fenómeno o proceso físico. Esta acción debe hacerse después para cada tramo.

El tercer momento consiste en componer en un todo único el nuevo modelo del fenómeno físico mediante la unión de todos los tramos descritos por el modelo conocido que se asumió en el momento anterior. Para ello se analizará cómo tienen lugar los cambios en las magnitudes de un tramo a otro. El resultado de esta composición será un modelo cualitativamente diferente al que se aproximó cada tramo por separado porque en él estarán implícitas cada una de las variaciones que deben sufrir los parámetros al pasar de

93 un tramo a otro de la partición. Esta particularidad le da el carácter dialéctico que permite analizar el fenómeno o sistema físico estudiado como un todo único.

En el anexo 11 se muestra la estructura que proponemos para las TD2 y el esquema de su procedimiento de solución.

En el procedimiento anterior el aporte a la comprensión del carácter relativo de la verdad objetiva se hará evidenciando las siguientes aproximaciones:

 Sustituir el fenómeno o proceso físico por otro más simple. Ello implica obviar algunos aspectos que inciden sobre él. Esta aproximación es cualitativa.  Sustituir el modelo matemático del fenómeno o proceso físico por el modelo matemático del otro fenómeno o proceso al que fue aproximado. Esta aproximación ocurre a nivel de expresiones analíticas, pero no se cuantifica.  El carácter aproximado de la fórmula numérica que se obtiene. Esta expresión es cuantificable pero tal cuantificación no se hará en este tipo de tarea puesto que su fundamentación requiere del dominio de herramientas matemáticas que el estudiante no está en condiciones de comprender en ese momento. Aquí lo que debe quedar claro es en qué consiste la aproximación. La estructura del método de solución de las TD2, es también una particularización de la estructura del método de solución de tareas teóricas. Así, la base para su interpretación es el reconocimiento de la clase de fenómeno o sistema descrito por la función interobjeto y de la necesidad de realizar una aproximación al mismo. La etapa de solución teórica se lleva a cabo a través del procedimiento de solución definido. En la etapa de control valorativo del curso de la solución y los resultados, además de las valoraciones en cuanto a su veracidad, se tendrá en cuenta qué aproximaciones se realizan en cada momento y como estas afectan al modelo inicial expresado a través de la función interobjeto. En la etapa de contrastación teórica de los resultados se analizará explícitamente en qué consiste el carácter aproximado de la expresión solución.

Como la solución de la TD2 es una fórmula numérica particular, al igual que en la TD1, la formulación de la nueva tarea se orientará a una en que se manifieste un fenómeno o sistema singular de la clase descrita por la función interobjeto de la TD2 resuelta, de modo que se pueda aplicar la fórmula numérica obtenida.

94 En el anexo 12 se representa la concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD2 a partir de su procedimiento de solución.

Obsérvese que la aproximación, representada en el anexo 12 como parte de la estructura del método de solución de este tipo de tarea no se ha incluido como un momento de su procedimiento de solución que aparece representado en el anexo 11. Ello está dado porque en dicho procedimiento la aproximación tiene lugar en el momento de simplificación del fenómeno. La “aproximación” se representa de forma explicita en el gráfico de la estructura del método de solución de las TD2 para destacar que este es el camino a seguir y que el estudiante debe detectar dicho camino en la etapa de comprensión de la tarea y seleccionarlo cuando traza el plan de la solución. Él ejecutará la aproximación cuando lleve a cabo, como ya se dijo, el momento de simplificación durante la ejecución del plan de la solución.

La estructura del método de solución de este tipo de tarea, al igual que en la TD1, se personaliza cuando el profesor escoge una TD2 concreta y sigue un sistema de preguntas específicas para activar el pensamiento del alumno y propiciar sus respuestas de modo que conduzcan a la solución. En el anexo 13 se ejemplifica una TD2 y su procedimiento de solución.

Caracterización de las TD3 y su procedimiento de solución. La estructura del método de solución de las TD3

La definición de las TD3 tiene por objetivo mostrar cómo aplicar un método numérico hasta la realización de los cálculos. Para ello se escogerán tareas teóricas de Física puesto que las experimentales harían muy engorroso el proceso de solución al tener que cumplir además con la solución experimental. Además, para la solución de tales tareas, dado el gran número de operaciones matemáticas que requieren los métodos numéricos, es preciso el uso de la computadora de modo que será imprescindible la realización de una solución informática. Estas razones nos llevan a considerar que las TD3, de acuerdo con la estructura de su método de solución, que expondremos más adelante, pertenecen a una nueva clase de tareas de Física, las tareas teóricas de Física con procesamiento informático de los datos. Esta clase de tareas incluye aun, otros tipos de tareas que no abordaremos como pueden ser tareas teóricas que se resuelvan por métodos exactos en

95 la computadora. Luego la TD3 es solo una representante de dicha clase. Ellas deben proponerse como continuación de las TD1 o TD2 pero siempre como una tarea independiente a ellas.

En las condiciones de la TD3 se dará la función interobjeto, los valores de las constantes y variables que la conforman o den alguna información cuantitativa sobre la misma (por ejemplo: dominio, imagen). La exigencia será determinar una función o cuantificar una magnitud Física que describe alguna propiedad de una manifestación singular del ente físico modelado con la función interobjeto. La vía de solución debe ser la transformación del interobjeto mediante la ejecución de un método numérico hasta cumplir la exigencia.

La problematicidad de las TD3 radica, primero, en la aplicación del método numérico en cuestión al caso concreto que se analiza y segundo en la concepción, implementación y ejecución del algoritmo usando el asistente informático seleccionado.

El procedimiento de solución que proponemos consta de cinco momentos: el primero de singularización de la fórmula numérica que se obtuvo en la TD1 o TD2 que antecede a la TD3 en cuestión, el segundo de elaboración del algoritmo, el tercero de implementación del algoritmo en el asistente informático (Excel), el cuarto de ejecución del algoritmo y el último de compilación de los resultados.

La singularización de la fórmula numérica se cumplirá a través del establecimiento de analogías entre la tarea docente anterior (TD1 o TD2) y la TD3 que se resuelve. Debe reconocerse la manifestación del ente físico estudiado, la función interobjeto que lo describe, las magnitudes Físicas involucradas y la fórmula numérica a aplicar en la TD3 como representantes de la clase particular del ente físico, de la función interobjeto, de las magnitudes Físicas y de la fórmula numérica particular a que se arribó como resultado de la primera tarea.

La elaboración del algoritmo se dedicará a establecer los pasos a seguir, operaciones a realizar en cada paso y el orden en que estas se llevarán a cabo para realizar los cálculos.

La implementación del algoritmo se dirige a preparar la hoja de cálculo para realizar las operaciones con los números. Para ello, si es preciso, se realiza un prototipo previo en papel, siguiendo la misma sintaxis con que se lleva a la máquina. En la ejecución del algoritmo se realizan los cálculos. 96 En la compilación de los resultados se selecciona de entre todos los valores que se obtuvieron al realizar los cálculos, aquel o aquellos que constituyen la solución de la tarea. En caso de obtenerse como resultado un conjunto de números que representan una función se interpretará tal conjunto en su integridad, evidenciando su carácter funcional para lo cual puede usarse su representación gráfica e incluso proponerse una expresión analítica aproximada, según sea la exigencia de la TD3. Esto último garantiza la formación del razonamiento funcional.

En el anexo 14 se muestra la estructura que proponemos para las TD3 y el esquema de su procedimiento de solución.

Para contribuir a la formación de la concepción científica del mundo en cuanto a la relatividad de la verdad objetiva se constatará:  El carácter aproximado del método numérico que se aplica y cómo ello lleva a realizar aproximaciones o simplificaciones del ente físico descrito por el interobjeto. Tales aproximaciones de carácter cualitativo se llevan a cabo en la etapa de singularización al evidenciar en el fenómeno o sistema concreto cómo tienen lugar las aproximaciones realizadas a la clase particular al aplicarle el método numérico seleccionado a la función interobjeto que la describe.  El carácter aproximado de la expresión solución que le da carácter aproximado al resultado físico que se obtiene al aplicar dicha expresión. Debe analizarse en qué radica la aproximación del método numérico. En caso de obtenerse como resultado una función se analizará el carácter aproximado de cada una de las formas en que se representa y en qué consiste tal aproximación desde el punto de vista cualitativo. Estas aproximaciones tienen lugar durante todo el proceso de solución, puesto que cada número está afectado por el error del método. Una valoración más integral se hará en la última etapa de compilación de los resultados.  La cuantificación del error que acompaña a cada valor se realizará si es asequible. En ese caso se comienza a procesar desde la segunda etapa de solución a la par que se elabora, implementa y ejecuta el algoritmo. Su constatación se lleva a cabo conjuntamente con la compilación de los resultados. Dado el lugar que ocupan las TD3 dentro de la clase de las tareas teóricas de Física con procesamiento informático de los datos la estructura de su método de solución constituirá 97 una particularización del método de solución de todas las tareas de dicha clase. Como hasta ahora no se han abordado ninguna de las dos estructuras, definiremos ambas evidenciando en cada momento como tiene lugar la nombrada particularización.

La estructura del método de solución de tareas teóricas de Física con procesamiento informático de los datos se conforma al adicionar a la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física las etapas correspondientes a la solución informática que requiere este nuevo tipo de tarea. Dichas etapas se integran de modo sistémico a la estructura anterior manteniendo el carácter cíclico del proceso de solución propuesto por Leyva.

Cada una de las etapas de la estructura definida se particulariza en las TD3. En estas, la etapa de comprensión se inicia, en la etapa de proposición de la nueva tarea con que termina la solución de la TD1 o TD2 que le dio lugar, retomándose aquí el fenómeno o sistema y la función interobjeto, que ahora poseen carácter singular. De igual modo se reconoce la vía numérica de solución a partir de la tarea que la antecede.

Las etapas de confección y ejecución del plan de la solución teórica se llevan a cabo a través de los dos primeros pasos del procedimiento de solución definido para las TD3, con la particularidad de que la selección del método numérico tiene su génesis en la tarea anterior.

Las etapas de confección y ejecución de la solución informática, correspondientes a las funciones de orientación y ejecución de la acción respectivamente, tienen lugar según el procedimiento de solución de este tipo de tareas, a partir de la implementación del algoritmo que se da tanto en la confección del plan de solución, a través de la elaboración del prototipo, como durante la ejecución cuando el prototipo se lleva a la computadora. La ejecución del algoritmo y la compilación de los datos se desarrollan durante la ejecución de la solución en la computadora.

En la etapa de control valorativo del curso de la solución y los resultados, al igual que en las tareas que le anteceden, además de las valoraciones en cuanto a la veracidad, se controlarán y valorarán qué aproximaciones se realizan en cada momento y cómo estas afectan al modelo inicial expresado a través de la función interobjeto. En la etapa de

98 contrastación teórica de los resultados de analizará explícitamente en qué consiste el carácter aproximado del resultado.

Como la solución de la TD3 es una función o el valor de una magnitud concreta, entonces la formulación de la nueva tarea se orientará a la aplicación del método a otras situaciones concretas que coincidirá con algún tipo de TDG2, aunque no se descarta que los estudiantes se planteen otros tipos de tareas.

En el anexo 15 se muestra cómo se concreta la estructura del método de solución de tareas docentes teóricas de Física con procesamiento informático de los datos en la estructura del procedimiento de solución de las TD3.

En el anexo 16 se muestra un ejemplo de TD3 y cómo llevar a cabo su procedimiento de solución.

Caracterización de estructura de las TDG2 y su procedimiento de solución. La estructura del método de solución de las TDG2

Las TDG2 siempre son tareas que requieren de procesamiento informático de los datos, en tanto su exigencia será determinar una función o cuantificar una magnitud Física que describe alguna propiedad de una manifestación singular del ente físico modelado con la función interobjeto. Si la TDG2 es una tarea teórica, su estructura y método de solución coinciden con la estructura y el método de solución de las TD3. Si es de carácter experimental entonces, la función interobjeto no se dará explícitamente en las condiciones. Así en el enunciado de la tarea se brindarán los elementos que lleven al estudiante al diseño y ejecución de un experimento como resultado del cual se obtendrán los valores que permitan representar de modo concreto la función interobjeto a partir de la cual se cumplirá la exigencia.

La estructura del método de solución de las TDG2 experimentales, se elaboró también, considerando la estructura del método de solución de tareas teóricas como su menor unidad estructural. Esta, además, se compone de una solución experimental y una informática. La solución experimental posee las mismas etapas que las propuestas por Leyva, con la particularidad de que la etapa de ejecución debe llegar hasta la realización de las mediciones directas y la concreción de la función interobjeto a partir de dichas mediciones. Después, se concibe la solución informática que consta de las etapas de

99 confección y ejecución del plan de la solución informática y se ubica entre la solución experimental y la etapa de control valorativo del curso de la solución y los resultados. En la solución informática, al igual que en la teórica y la experimental, se dan las funciones de orientación y ejecución. Así, cada una de dichas funciones tiene lugar tres veces durante el despliegue del método de solución de las TDG2 experimentales como un todo. En el anexo 17 se muestra la estructura del método de solución de tareas experimentales de Física con procesamiento informático de los datos y la estructura del método de solución de las TDG2 experimentales.

Para un mismo tipo de TDG2 pueden elaborarse tareas de carácter experimental y carácter teórico, con enunciado cerrado o abierto. Ello permite variar la forma de representar la función interobjeto (tabular, gráfica o analítica) o no ofrecerse explícitamente si el enunciado es abierto o la tarea es experimental. En estos últimos casos el estudiante debe concretar dicha función a partir de información recolectada de diferentes fuentes. Estos elementos dan la posibilidad de poder elaborar una gran variedad de tareas para un mismo tipo de TDG2.

2.2.6 La dinámica del proceso docente educativo en el modelo que se propone

Ya ha quedado declarado en varios lugares de esta tesis que la habilidad más general a formar, en el proceso que se diseña, es “resolver tareas docentes de Física usando métodos numéricos” y que esta está formada por otras tres habilidades que son:  Realizar una operación matemática determinada sobre una función aplicando métodos numéricos.  Aplicar cada método numérico para explicar sistemas o fenómenos físicos.  Valorar el carácter aproximado de los conocimientos físicos. Las dos primeras suponen el desarrollo de una habilidad diferente para cada método numérico específico que se emplee, mientras que la tercera no se forma completamente hasta tanto se hayan formado las habilidades uno y dos para un gran número de métodos numéricos diferentes.

Como las dos primeras habilidades están enunciadas en función del método numérico, entonces su formación requiere el tránsito por diferentes contenidos físicos hasta que el estudiante aprenda a reconocer y usar el método como herramienta para resolver tareas

100 de Física. Si solo se cambia la manifestación singular del fenómeno o sistema entonces el estudiante puede aprender el método numérico de forma reproductiva para esa clase de fenómeno o sistema, lo que no significa que haya desarrollado la habilidad. Por ejemplo, para reconocer que una tarea dada se resuelve derivando numéricamente, como a él no se le ha dicho que tal operación es una derivada, ni se le ha dado su definición matemática, entonces durante el proceso de solución de las tareas docentes que se resuelven por esta vía, deben repetirse elementos que lo lleven a generalizar cómo identificar esta operación. En este caso los elementos que se repiten son:  La magnitud Física que se deriva y la magnitud respecto a la cual se calcula la derivada se relacionan en la función interobjeto. La primera como variable dependiente y la segunda como independiente.  Existe una manifestación singular de la clase de fenómeno modelado en el interobjeto, conocida del estudiante, para la cual la dependencia entre las magnitudes anteriores es lineal por lo que la función interobjeto representa una recta y la incógnita es la pendiente de dicha recta. Ahora, si la derivación se realiza para calcular siempre una misma magnitud, por ejemplo: la velocidad, entonces cambiará únicamente la manifestación singular del movimiento mecánico, de modo que la función interobjeto será diferente en cada caso pero tanto las variables (desplazamiento y tiempo) como la manifestación particular del fenómeno en que ellas varían linealmente (movimiento rectilíneo uniforme) serán las mismas. Estas razones que pueden dar la falsa idea de que el estudiante ha aprendido a aplicar la derivación numérica en la solución de tareas de Física cuando en realidad lo que ha aprendido es a aplicar mecánicamente la fórmula de derivación numérica en ese caso particular. Este análisis fue el que nos llevó a proponer los siete tipos diferentes de TDG de modo que puedan plantearse situaciones en que cambien las variables e incluso el tipo de fenómeno o sistema para cada método numérico concreto. Por consiguiente, para la formación de la habilidad “resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos”, es preciso resolver tareas de todos los tipos propuestos, para cada método numérico estudiado.

Sin embargo, tal y como está concebido el currículo de Física General, siguiendo la lógica de esta ciencia, no es posible formar dichas habilidades en el marco de ningún tema en específico, ya que en cada uno se estudia una clase determinada de fenómeno o sistema.

101 Por esta razón, las habilidades anteriores se formarán de manera extendida. En el anexo 5 se muestra una relación de los temas a través de los cuales se extenderá la habilidad para cada método numérico de los que se deben introducir en Mecánica.

Ahora puede entenderse mejor el concepto de tarea docente con función extendida y cómo su solución tributa tanto a la habilidad que se forma de modo extendido como a la que se forma en el tema. Por ejemplo: la tarea docente del anexo 10 se usa para transitar por el eslabón de tratamiento del nuevo contenido en la formación de la habilidad de aplicar el método numérico de solución de ecuaciones a la solución de tareas docentes de Física General; sin embargo, ella tributa, además, a la habilidad de describir geométricamente el movimiento mecánico que es la habilidad que caracteriza al tema de cinemática. Respecto a esta última habilidad la tarea docente puede usarse para transitar por el eslabón de asimilación del contenido. En el anexo 18 se muestra una guía formativa en la que se puede apreciar cómo se insertan las tareas a resolver con métodos numéricos en el sistema de tareas de un encuentro específico.

Para diseñar el subsistema de tareas docentes con función extendida para una asignatura de Física General concreta deben construirse la matriz interobjeto para dicha asignatura así como la matriz resultado y la lista de casos particulares para cada tema. A partir de estos tres elementos y teniendo en cuenta el tiempo de que se dispone en cada tema se determinará a través de qué temas se extenderá la formación de la habilidad, por cuáles eslabones se transitará en cada tema y, como consecuencia, qué tipos de tareas se propondrán en cada uno. Posteriormente, atendiendo al diagnóstico que se tenga del grupo se determinará la cantidad de tareas a emplear en cada tema y se diseñarán o seleccionarán las tareas específicas a resolver para cada método numérico concreto. Para esto último debe hacerse una propuesta preliminar que se ajustará en la medida que se vaya profundizando y completando el diagnóstico.

Si es preciso extender el desarrollo de la habilidad por más de una asignatura entonces, el estudio anterior se hará con la participación de los profesores que imparten cada una de ellas.

El eslabón orientación del nuevo contenido se desarrollará empleando TD1, TD2 y TD3 teniendo en cuenta que las TD1 y TD2 son excluyentes, puesto que su uso depende de la

102 correlación entre la ubicación de las asignaturas de Matemática y Física General en el currículo y de los contenidos tratados en cada una de ellas; mientras que el empleo de una TD3 siempre estará precedido de una TD1 o TD2.

Para el eslabón asimilación del contenido se usarán TD4. Para el de dominio y sistematización TD5, TD6 y TD7 y para la evaluación del aprendizaje de usará una tarea cualquiera de estos tres últimos tipos.

Las habilidades relacionadas con métodos numéricos que se introducen en Física General a partir de las TD1, se desarrollarán como habilidades extendidas de desarrollo transversal, recuérdese que estos métodos ya se introdujeron en Matemática, en ese caso es preciso un trabajo coordinado de los profesores de estas dos disciplinas. Mientras que las que introducen a partir de las TD2 se desarrollarán como habilidades extendidas de desarrollo paralelo.

2.2.7 El profesor y el colectivo pedagógico

La enseñanza de la Física General a partir del modelo que se propone se realizará con un enfoque diferente al tradicional. Ello requiere de un gran esfuerzo por parte de los profesores implicados. En primer lugar, de los profesores del Instituto Superior Pedagógico responsables de cada asignatura, por ser los encargados de diseñarla a partir del modelo que se propone. En segundo lugar, de los profesores que imparten cada asignatura de Física General en la sede pedagógica pues, son quienes ejecutan y ajustan el modelo según el diagnóstico. En tercer lugar, de los tutores de la microuniversidad que deben dar la ayuda apropiada en el momento que el estudiante lo necesite.

Para un buen desempeño de los profesores es preciso que: 1. Dominen los contenidos de Física en la signatura de la disciplina de Física General que enseñan. 2. Dominen los métodos numéricos y sus aplicaciones al campo de la Física. 3. Dominen la hoja de cálculo Excel. 4. Sepan valorar cómo tienen lugar las aproximaciones en los fenómenos o sistemas físicos al aplicar métodos numéricos. 5. Dominen el modelo didáctico que se propone. 6. Asuman concientemente la necesidad de enseñar la Física con este nuevo enfoque. 103 Para la preparación de los profesores en los cuatro primeros aspectos se ha diseñado el curso de postgrado “Aplicación de la Matemática Numérica en la solución de tareas docentes de Física” que se muestra en el anexo 19. Este se ha concebido, al igual que el modelo didáctico que se propone, con un enfoque interdisciplinario de modo que los contenidos de las tres disciplinas involucradas (Física General, Matemática Numérica y Computación) puedan abordarse durante la solución de una misma tarea docente.

La lógica seguida en la organización de los contenidos ha sido fundamentalmente la de la Matemática Numérica, por ello cada tema tiene potencialidades para el desarrollo de las habilidades para realizar las operaciones matemáticas que suponen los métodos numéricos tratados en cada uno y para aplicar dicho método numérico al proceso docente educativo de la Física. Así, es posible, abordar en cada tema contenidos correspondientes a cada una de las asignaturas de Física General. La habilidad de valorar el carácter aproximado de los conocimientos físicos se formará de modo extendido durante el desarrollo de los tres temas que conforman el curso puesto que cada uno aportará elementos a su formación.

En el curso se incluyen, también, algunos contenidos de carácter didáctico que son necesarios para un mejor desarrollo entendimiento del contenido y sientan las bases para la preparación del profesor en el trabajo con el modelo didáctico. Dicha preparación se completará con el curso de postgrado “Implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General”. El programa de este curso es el que se muestra en el anexo 20.

2.2.8 El alumno

El alumno es el componente del proceso docente educativo, sobre el que se evidenciarán con mayor fuerza los cambios propuestos. Uno de tales cambios está en que el alumno aprenda a pensar de manera interdisciplinaria, no sólo para abordar y resolver problemas inherentes a las ciencias exactas, sino que debe asumir concientemente la interdisciplinariedad como una filosofía de trabajo que marcará su futuro desempeño profesional.

El alumno debe saber resolver tareas docentes de Física que requieran de los métodos numéricos para su solución, debe dominar dichos métodos, comprender su carácter 104 aproximado, tener desarrollado un razonamiento funcional y conocer la importancia práctica del empleo de los métodos numéricos.

La orientación del alumno se realizará mediante las guías de estudio en las que se concibe la inserción de los métodos numéricos. En el anexo 18 se muestra una guía de estudio, correspondiente al tercer encuentro, en que desarrolla el tema de cinemática.

2.2.9 El resultado

El resultado es el componente del proceso docente educativo que determina en qué medida lo aprendido por el estudiante se acerca al objetivo. Por ello como resultado del trabajo con el modelo didáctico se pretende formar alumnos que sepan resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos contribuyendo con ello a la valoración del carácter aproximado de los conocimientos físicos como expresión del carácter relativo de la verdad objetiva, al desarrollo del razonamiento funcional y al establecimiento de la cultura que requiere el profesor de ciencias exactas de modo que se forme un sentido personal positivo al respecto y sepa aplicar los conocimientos adquiridos en situaciones sencillas de su práctica educativa.

El resultado es el producto final de una etapa o nivel estructural determinado del proceso docente educativo. Para conocer la calidad de tal producto se utiliza la evaluación, la cual informa acerca del grado de correspondencia entre el objetivo propuesto y el resultado alcanzado en una etapa determinada. En este sentido se habla de la evaluación en el proceso docente educativo.

En la medición del resultado deben tenerse en cuenta cada una de las dimensiones observadas en el objetivo, en tanto que el primero determina en qué medida se cumplió cada una de las dimensiones del segundo y el nivel estructural para el cual se está determinando dicho resultado, ya que este será más limitado cuando se trate de niveles inferiores y exigirá más en la medida en que se ascienda en la escala de los niveles estructurales de organización del proceso.

Para evaluar en qué medida se han desarrollado cada una de las habilidades que se pretenden formar con la aplicación del modelo (realizar la operación matemática que supone un método numérico dado, aplicar dicho método numérico a la solución de tareas docentes de Física General y valorar el carácter aproximado de los conocimientos físicos)

105 se exigirá del estudiante la solución de tareas docentes que respondan a uno de los tipos propuestos en el modelo didáctico, de acuerdo con el fin de dicha evaluación que puede estar dirigido a investigar la calidad parcial o total del resultado. Para determinar en qué medida el trabajo con los métodos numéricos ha influido de manera integral en la personalidad del estudiante es preciso, el diseño de un instrumento de evaluación más complejo que incluya, además del componente intelectual referido a los conocimientos y habilidades, el personal que expresa su actitud hacia lo aprendido y el práctico que regula la posición del individuo ante las situaciones prácticas en que se ve precisado a emplear los dos componentes anteriores.

El control debe estar presente durante el desarrollo de todo el proceso docente educativo a diferencia de la evaluación que se ubica en un momento determinado. El control permite determinar cómo se va desarrollando el proceso en relación con lo planificado y realizar los ajustes necesarios para lograr su máxima integridad y alcanzar el resultado previsto en el objetivo.

106 CAPÍTULO 3 LA VALORACIÓN DEL MODELO DIDÁCTICO PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL EN LA ESPECIALIDAD DE PROFESOR DE CIENCIAS EXACTAS “Lo que nos compromete no es lo que no sabemos, sino lo que creemos que sabemos con seguridad y no es así” Albert Gore 3.1 EL MÉTODO DE VALORACIÓN DEL MODELO SEGÚN LA METODOLOGÍA SEGUIDA Al método de valoración del modelo corresponde el desarrollo de la tercera y cuarta etapa de su concepción según la metodología que se ha venido siguiendo. A la tercera corresponde el llamado experimento de modelo y a la cuarta el experimento propiamente dicho.

Según la nombrada metodología en el experimento de modelo no se aplican aun los conocimientos obtenidos al objeto modelado, es decir, al sistema al cual representa, sino que ella consiste en “probar” sobre el propio modelo su efectividad. Es lo que Boguslavski llama su materialización “la encarnación de la abstracción en unos u otros modelos” (Boguslasvki, 1976, 296); por consiguiente, cualquier prueba que se realice se hará sobre el propio modelo y dependerá en gran medida del tipo de modelo que se ha conformado.

Por ejemplo: si el modelo que se ha conformado es un modelo material, como el proyecto de un avión, entonces su copia a pequeña escala será el medio sobre el que se realizará el experimento de modelo. Dicho experimento consiste en la realización de las pruebas de fuerza, estabilidad u otros parámetros de funcionamiento del avión, que fueron tenidos en cuenta al conformar el proyecto y han sido llevados a la escala dada. Los resultados obtenidos permiten corregir posibles dificultades antes de construir el avión o determinar en alguna medida que dichos parámetros son confiables y se puede pasar a la etapa posterior, la construcción del avión en sí.

Sin embargo, cuando los sistemas son más complejos como es el caso de los sistemas sociales, el modelo no resulta tan evidente como en el caso anterior, sino que es más abstracto, aquí los experimentos de modelo estarán dirigidos a diseñar teóricamente un sistema concreto según las exigencias del modelo que lo representa. A tal tipo de modelo

107 pertenecen los modelos didácticos a través de los cuales se describe cómo debe concebirse determinado proceso docente educativo para alcanzar un fin específico. Así, sin llegar a ejecutar el proceso docente educativo en sí, un experimento de modelo puede ser el diseño de la asignatura para cuyo proceso docente educativo fue elaborado.

Para cumplimentar esta etapa se realizó el diseño de una de las asignaturas de Física General. Las deficiencias detectadas a partir del diseño de dicha asignatura servirían para corregir el modelo, mientras que los logros obtenidos al respecto constituirían avales para su futura aplicación al proceso docente educativo concreto.

La cuarta etapa en la construcción del modelo se corresponde con la aplicación del modelo al sistema. Así, en el caso dado, corresponde aplicar el modelo didáctico al proceso docente educativo de una asignatura específica de Física General para determinar la calidad del modelo.

Tal aplicación se lleva a cabo como experimento didáctico puesto que “se manipulan deliberadamente una o más variables independientes (supuestas causas) para analizar las consecuencias de esa manipulación sobre una o más variables dependientes (supuestos efectos), dentro de una situación de control para el investigador”. (Hernández, 2003, 121).

3.2 LA REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO

3.2.1 La concepción, ejecución y valoración del experimento de modelo

La asignatura seleccionada para la realización del experimento de modelo fue Mecánica. Para ello se observaron los siguientes criterios:

. En el contenido de esta asignatura se incluye una gran cantidad de fenómenos y sistemas que se modelan matemáticamente con funciones para las cuales las operaciones numéricas seleccionadas en el modelo didáctico propuesto tienen sentido físico. . Es la asignatura en que se estudia el fenómeno más simple de la naturaleza (movimiento mecánico), elemento que hace más asequible el estudio de los métodos numéricos. . Esta asignatura se ubica en el plan de estudio cuando no se ha estudiado aun ningún contenido del cálculo infinitesimal, por lo que al impartirla es más grande la diferencia

108 entre los contenidos de Matemática que el estudiante necesita dominar para entender la Física y los que verdaderamente domina (diferencia entre el estado de desarrollo inicial ideal e inicial real) lo que hace que, desde el punto de vista psicológico, este sea el momento en que más se necesita emplear los métodos numéricos. La asignatura se diseñó según el modelo construido en el capítulo dos para lo cual se elaboraron las matrices de los anexos 4 y 5, la lista de casos particulares del anexo 6 y el subsistema de tareas docente del tipo TDG entre las que se encuentran las que han servido de ejemplo en esta tesis y las mostradas en la guía de estudio del anexo 18.

Aunque esta etapa de la elaboración del modelo se expone en este capítulo, en tanto se refiere a la validez del mismo, ella se llevó a cabo conjuntamente con la elaboración del modelo permitiendo en muchos casos realizar correcciones al mismo.

Una vez realizado el diseño de la asignatura Mecánica según el modelo del capítulo dos se pudo determinar que:

. En el contenido de la asignatura se pudieron identificar 37 tipos de funciones interobjeto. Varias de ellas podían ser usadas como función interobjeto para más de un método numérico. Teniendo en cuenta esto último, puede hablarse de 71 tipos de funciones interobjeto. Esto está representado por la cantidad de “unos” de la matriz del anexo 4. . Se encontraron tipos de funciones interobjeto para todos los tipos de métodos numéricos seleccionados. Más de un tipo de función en cada caso. Para los métodos numéricos que menos tipos de funciones interobjeto se encontraron fueron, el cálculo de la segunda derivada y la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden; cinco en cada caso. Les sigue el método de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias con 7 y para el resto, más de 15 tipos de funciones en cada caso. . Para la mayoría de los tipos de función inteobjeto se podía obtener más de un resultado diferente en dependencia del tipo de operación numérica que se realizara con ella. (Anexo 5). . La lista de casos particulares en que se puede presentar la función interobjeto es también bastante amplia en cada tema. (Anexo 6).

109 . Con los elementos anteriores se puede elaborar una cantidad suficientemente grande de tareas docentes para cada uno de los tipos de tareas definidos, lo que permite seleccionar las más convenientes para impartir la asignatura según el modelo elaborado en el capítulo dos teniendo en cuenta no solo los estado de desarrollo inicial ideal y deseado sino también los estado de desarrollo inicial real y potencial. En cuanto a las relaciones de coordinación con los aspectos restantes que conforman la asignatura puede decirse que la lógica con que esta se concibe en el plan de estudio se mantiene pues ello fue tomado en consideración al conformar el modelo de modo que, aunque se introducen algunos cambios en cuanto a la forma matemática de abordar los contenidos, su orden se mantiene. Otro elemento positivo a favor del modelo es que el hecho de que se planifique la formación de las habilidades concebidas en el modelo de modo extendido hace posible que las tareas docentes usadas para formar dichas habilidades respondan, también, a los objetivos del temas en que se insertan.

El experimento de modelo evidenció que desde el punto de vista teórico, dicho modelo es realizable.

3.2.2 La concepción, ejecución y valoración de los resultados del experimento pedagógico

La concepción y ejecución

Desde el punto de vista científico, los experimentos deben cumplir tres requisitos: la manipulación intencional de una o más variables independientes, la medición del efecto de la variable independiente sobre la dependiente y el control o validez interna de la situación experimental. (Hernández, 2003, 121 - 129).

El control se refiere al grado de seguridad que tiene el experimentador de la relación causal existente entre las variables dependiente e independiente. Es decir, de la justeza de los resultados. El experimento debe tener, además, validez externa, refiriéndose esta, a: “qué tan generalizable son los resultados de dicho experimento” (Hernández, 2003, 176).

Según el grado de control que se tenga durante el diseño y ejecución del experimento, este se puede clasificar en preexperimento, cuasiexperimento, o experimento verdadero, según la clasificación de Campbell y Stanley (Hernández, 2003, 176). El primer tipo es el

110 más dudoso y el último el más seguro. La dificultad de los preexperimentos radica en que no se tiene grupo de control y la de los cuasiexperimentos en que los grupos no son equivalentes puesto que sus integrantes no se pueden seleccionar al azar. En el experimento verdadero se resuelven ambas dificultades.

Antes de pasar a la determinación del tipo de experimento, creemos necesario declarar las variables independiente y dependiente con el fin de que se entienda el por qué de la selección. La variable independiente es el modelo didáctico para la implementación los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas que será aplicado al impartir la asignatura Mecánica y la variable dependiente es el desarrollo de la habilidad “resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos”. Estos aspectos serán analizados más adelante.

El tipo de experimento seleccionado para realizar la valoración del modelo fue el preexperimento no obstante su debilidad en cuanto al control interno y la validez externa.

La selección de este tipo de diseño experimental está justificada, en primera instancia, por la existencia de un solo grupo de estudiantes en cada uno de los años de la especialidad de profesor de Ciencias Exactas, en el curso en que realizó la intervención con el modelo elaborado. De modo que se contaba con un solo grupo para recibir la asignatura diseñada en el experimento de modelo.

Una segunda razón, estuvo dada por las particularidades del propio modelo. Este último, al tener como fin la formación de una habilidad que se desarrolla de modo extendido, hace imposible que se aplique un experimento verdadero en el que el mismo grupo experimental desempeñe el rol de grupo de control puesto que ello requiere que existan etapas en el proceso docente educativo en que se intervenga con la variable independiente y otras en que cese la intervención (esto puede repetirse en varios periodos según el tipo de diseño); pero para la habilidad extendida, es imprescindible que el modelo didáctico que se propone se aplique durante toda la asignatura.

El diseño seguido para el preexperimento fue el de preprueba  postprueba con un solo grupo de control. La esencia de este diseño consiste en medir el estado de la variable dependiente antes de intervenir con la independiente, esta es la preprueba; después, realizar la intervención y por último medir el estado final de la mencionada variable

111 dependiente, postprueba. En esta investigación el diseño se concreta en medir el estado de desarrollo de la habilidad “resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos”, aplicar el modelo didáctico elaborado, y después medir otra vez el estado de desarrollo de dicha habilidad.

Como la intervención abarcaría toda la asignatura se decidió aplicar la preprueba a su comienzo y la postprueba al finalizar la misma.

Para la concepción teórica del instrumento de valoración que se materializaría en la preprueba y la postprueba consideramos necesario medir no solo el componente intelectual en donde se manifiesta la habilidad propiamente dicha sino además determinar su efecto sobre la esfera afectiva de la personalidad del estudiante (componente personal) e investigar de qué modo esto influía en su actuación práctica (componente práctico). Esto permitiría además, valorar, en cierto sentido, la contribución realizada a la formación de la concepción científica del mundo de los estudiantes sometidos al experimento.

Para la medición del componente intelectual se decidió elaborar una prueba pedagógica como instrumento que midiera el estado de desarrollo de la habilidad a formar, tal prueba se concretó en la solución de una tarea docente a resolver usando métodos numéricos.

Para la medición del componente personal se optó por usar instrumentos en los que el estudiante pudiera expresar el sentido que para él en el plano personal y profesional tiene el uso de los métodos numéricos en la Física y su importancia para mostrar el carácter aproximado de los conocimientos. Para ello se emplearon conversaciones informales, y composiciones.

Como instrumento de medición del componente práctico se usó la observación de clases a los estudiantes sometidos al preexperimento para investigar si transmitían a sus alumnos, a través de ellas, los conocimientos referidos a los métodos numéricos. Se investigó además, la profundidad y exhaustividad de las explicaciones dadas al respecto.

Tales instrumentos se aplicaron teniendo en cuenta el inconveniente de que los instrumentos usados para medir los componentes personal y práctico, son menos confiables que los empleados para medir el componente intelectual. Ello se debe, no a insuficiencias de los propios instrumentos, sino a la complejidad de los componentes

112 medidos, cuyos verdaderos estados pueden ser enmascarados por el individuo al conocer cuál es el modo de actuación que de él se espera.

Para justificar la validez externa del modelo se aplicó el criterio de experto a cuya consideración se sometieron los resultados del preexperimento realizado.

En esta investigación se asume el concepto de experto dado por Eric Crespo en su tesis doctoral en la que define que un experto es: “un individuo, grupo de personas u otras organizaciones capaces de ofrecer con un máximo de competencia valoraciones exclusivas sobre un determinado problema, hacer pronósticos reales y objetivos sobre efecto, aplicabilidad y relevancia que puede tener en la práctica la solución que se propone y brindar recomendaciones de qué hacer para perfeccionarlas” (Crespo, 2007, 90). Los expertos consultados se clasifican como expertos no comprometidos asumiendo como tales: “los que cumplen con la definición anterior y no han participado en el proceso de la investigación, conociendo de ella por la información que el autor le presenta como resultado científico” (Crespo, 2007, 90).

En esta investigación La población está compuesta por todos los estudiantes de la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas.

La selección de la muestra se realizó intencionalmente y estuvo constituida por el grupo que cursaba el segundo año de especialidad de Profesor de Ciencias Exactas en el curso 2005  2006 en la sede pedagógica de enseñanza media superior del municipio de Santa Clara.

El grupo estaba formado por siete estudiantes, cuatro del curso para trabajadores y tres del curso regular diurno. Aun cuando se registraban como grupos de modalidades diferentes sus planes de estudio coincidían en el ciclo de Fundamentos Científicos de las Disciplinas del Área. Atendiendo a la escasa cantidad de estudiantes en cada modalidad se orientó, por la dirección de la sede y con la aprobación del responsable pertinente del instituto superior pedagógico, que ambos grupos recibieran las clases unidos.

Para poder medir los aspectos cognitivo, afectivo y la actuación práctica se definieron indicadores en cada uno de los tres componentes definidos: Para el intelectual cuatro indicadores, para el personal tres indicadores y para el práctico tres indicadores.

113 El componente intelectual se operacionalizó del siguiente modo: 1. Interpretar la tarea docente, reconociendo sus condiciones exigencias y función interobjeto. 2. Realizar la solución teórica de la tarea. 3. Realizar la solución informática de la tarea. 4. Relacionar el carácter aproximado de los conocimientos con su carácter de verdad como reflejo del mundo. El componente personal se operacionalizó del siguiente modo: 1. Reconocer la importancia que tiene para la Física como ciencia el uso de los métodos numéricos. 2. Reconocer la importancia que tiene para su vida personal y profesional el conocimiento de los métodos numéricos. 3. Expresar su disposición afectiva con el hecho de que la los conocimientos físicos poseen carácter aproximado. El componente práctico se operacionalizó del siguiente modo: 1. Usar en las clases tareas docentes en las que se apliquen métodos numéricos sencillos. 2. Explicar a través de sus clases el lugar de los métodos numéricos para el desarrollo de la ciencia y la técnica en la actualidad. 3. Trasmitir a través de la explicación del contenido de las clases el carácter relativo de los conocimientos. Un aspecto que actuó como variable ajena que repercutiría desfavorablemente sobre todo en el componente práctico fue que no todos los estudiantes impartieron clases en la signatura de Física en su componente laboral. La medición de los indicadores, para cada componente, se realizó con una escala ordinal de 2 a 5 puntos conservando el sentido que habitualmente tiene dicha escala en la enseñanza superior en Cuba: 2  mal, 3  regular, 4  bien, 5  excelente.

Para la realización del preexperimento la muestra fue sometida a la intervención con la variable independiente, que en este caso particular, consistió en impartir la asignatura Mecánica, ya diseñada en el experimento de modelo, realizando los ajustes requeridos según el diagnóstico del grupo experimental.

114 Mediante la implementación del modelo debían obtenerse avances progresivos en el estado de desarrollo de la habilidad “resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos”, al proponerse tareas en las que los estudiantes se verían precisados de realizar aproximaciones de diversa índole, valorar en cada caso el modo más conveniente de realizar dicha aproximación e interpretar las operaciones realizadas sobre los números como operaciones realizadas sobre las funciones. Además, se orientarían procesos de comunicación entre estudiantes y profesores a fin de hacer conciente, en los primeros, la importancia y lugar de los métodos numéricos en proceso de conocimiento científico y su uso cada vez más difundido en la práctica y dar la posibilidad de valorar la marcha del proceso a los segundos. A la vez que tales procesos tenían lugar en la actividad de estudio, se debía ir fortaleciendo, paulatinamente, el componente personal y el práctico que expresan el modo en que influye la habilidad formada en la personalidad del estudiante. Esta es, en síntesis, la lógica aplicada para dar cumplimiento a la primera parte de la cuarta etapa en la conformación del modelo. La segunda parte se dedicó a la realización de la prueba de experto y será explicada más adelante.

La aplicación del método de medición se concibió del siguiente modo:

Primero: Determinar el estado de cada componente en cada uno de los estudiantes que sería sometido al preexperimento, en el momento de comenzar a impartir la Mecánica.

El componente intelectual se evaluó a través de una prueba pedagógica que cada estudiante resolvió en el primer encuentro (Anexo 22). El orden de las preguntas se corresponde con el orden en que se definieron las dimensiones del componente intelectual. Es decir, la pregunta uno mide la primera dimensión, la dos la segunda y así sucesivamente.

El componente personal se midió a través de una composición cuyo título fue: “El lugar de la matemática para la construcción de las teorías físicas”. En dichas composiciones se midieron cada una las dimensiones del componente personal.

El componente práctico se midió a través de la observación a clases ubicadas en la primera etapa en que se comenzó a aplicar el preexperimento. La guía de observación usada se muestra en el anexo 23.

115 Segundo: Introducir el modelo didáctico elaborado en el capítulo dos, en el proceso docente educativo de la asignatura Mecánica. En cada uno de los temas de dicha asignatura se fueron introduciendo los métodos numéricos, mediante los diferentes tipos de tareas docentes definidos, a la vez que se analizaba cada tipo de aproximación realizada durante la solución de la tarea, el carácter sistémico de las operaciones algebraicas involucradas que actuaban de modo íntegro como operaciones sobre las funciones, el lugar de los métodos numéricos en el método científico y su importancia para resolver problemas prácticos.

Tercero: Ensayos de relación variable independiente  variable dependiente. En cada encuentro, a través de las guías formativas, se orientaba a los estudiantes la realización de tareas docentes de los tipos definidos en el modelo para ser resueltas por ellos usando los diferentes métodos numéricos que se habían introducido para resolverlas, se ofrecían, además, diferentes niveles de ayuda. Se realizaban conversaciones informales en el tiempo de receso y se observaron clases impartidas por los alumnos en sus respectivas escuelas.

Cuarto: Medición de la variable dependiente. Dicha medición se llevó a cabo en tres partes: una para medir el componente intelectual, otra para el personal y una última para el práctico.

El componente intelectual se evaluó a través de una prueba pedagógica con estructura y objetivos similares a los de la preprueba usada para medir este componente (Anexo 24).

El componente personal se evaluó mediante la composición titulada “La importancia de los métodos numéricos para resolver problemas físicos”.

El componente práctico se evaluó a través de la observación de una clase a cada uno de los estudiantes sometidos al experimento. La guía de observación se muestra en el anexo 23. Dicha clase coincidió con la etapa final en que se impartía la asignatura.

En el anexo 25 se exponen los resultados que expresan el estado de la muestra, en cada uno de los indicadores del componente intelectual antes y después de intervenir con la variable independiente.

116 En el anexo 26 se exponen los resultados que expresan el estado de la muestra, en cada uno de los indicadores del componente personal antes y después de intervenir con la variable independiente.

Por último, los resultados que expresan el estado de la muestra, en cada uno de los indicadores del componente práctico antes y después de intervenir con la variable independiente se ofrecen en el anexo 27.

La valoración

Para el procesamiento estadístico de los resultados se usaron los siguientes métodos:  Cuartiles representados a partir de los gráficos de cajas y pivotes.  La definición de índices simples y compuestos.  El análisis multivariado a través de las caras de Chernoff. Los cuartiles usados en este trabajo son los percentiles de orden 25, 50, 75 definidos para una variable discreta. En los anexos 28, 29 y 30 se muestran los cuartiles representados mediante gráficos de cajas y pivotes para el componente intelectual, personal y práctico respectivamente. La evaluación de la calidad del modelo a través de números índices se fundamenta en la definición de determinados números a partir de las mediciones realizadas, tales números se definen como “una magnitud estadística que expresa la relación numérica entre dos cantidades, que permite estudiar los cambios que se producen en una magnitud simple o compleja con respecto al tiempo o al espacio; es decir, permiten comparar dos situaciones una de las cuales se considera de referencia” (Crespo, 2007, 2). En esta investigación se han definido los índices por estudiante para cada componente del siguiente modo: n di i 1 Ia  5 n Donde: I es el índice por estudiante para el componente a, de modo que a “a” pueden asignársele las variables “i” correspondiente al componente intelectual, “p” al personal y “pr” al componente práctico. di es el indicador en cuestión, n el número de indicadores y el número cinco se introduce en el denominador por ser el valor máximo que puede tomar el indicador según la escala establecida.

117 Como puede apreciarse, de la fórmula definida, el índice representa la relación entre la n medida que caracteriza al estado integral del componente en cuestión di respecto al i 1 valor máximo que es posible alcanzar en el estado de dicho componente según los indicadores establecidos. En esta investigación, de acuerdo con la escala y la cantidad de indicadores señalados para cada componente el índice puede tomar valores entre 0,4 y 1. En los anexo 31, 32 y 33 se muestran las tablas de índices antes y después de la intervención, así como un gráfico de índices por estudiante para los componentes intelectual, personal y práctico respectivamente. En el anexo 34 se muestra un gráfico con los índices de cada componente por estudiante. La tasa de variación “expresa el porcentaje que representa la variación absoluta de una magnitud en un intervalo temporal determinado, sobre el valor inicial de dicha magnitud” (Crespo, 2006, 6). En el caso que nos ocupa se usará para analizar la variación de los índices por lo que toma la forma:

Iact  Iant  Tv  100% Iant Donde: Tv es la tasa de variación, Iact es el índice después de la intervención y Iant es el índice antes de la intervención. La interpretación de Tv es la siguiente: si es positiva se observan avances, si es negativa retroceso y si es cero no hubo variación. A la interpretación de Tv debe agregarse un análisis cualitativo en tanto su valor es relativo. En el anexo 35 se muestran las tablas de tasas de variación para cada componente. Las caras Chernoff constituyen una herramienta estadística que permite procesar en un esquema en forma de cara humana 20 variables o dimensiones. Según los valores que tomen las variables será la expresión del semblante específico. Debido a sus únicas características, se considera por algunos investigadores como una última exploratoria en la técnica de la estadística multivariada. Se ha comprobado que dicha técnica es capaz de revelar patrones escondidos y mostrar interrelaciones entre variables que no han sido reveladas por otras técnicas multivariadas. (Statistica, ayuda, 2006). En las caras de Chernoff siempre deben usarse las 20 variables; es decir, el método no admite caras incompletas por ello si las variables son menos de 20, las restantes se toman de modo estandarizado.

118 En esta investigación se han usado las caras de Chernoff para realizar un análisis multivariado entre los diferentes indicadores de cada componente y entre los propios componentes. Dichas caras se muestran para cada estudiante antes y después de la intervención en el anexo 36. De las veinte variables, se han asociado a algún indicador los rasgos coloreados en rojo. La coincidencia entre rasgos e indicadores se especifica en la leyenda. Los rasgos en negro no se han asociado a ningún indicador. La selección de los métodos estadísticos expuestos anteriormente permitió realizar un análisis que fue de lo general a lo particular y viceversa. Así, en un primer momento, las mediciones indirectas representadas por: los percentiles permitirían caracterizar el estado de la muestra, como un todo, para cada indicador de los correspondientes componentes (plano grupal), los índices simples y las tasas de variación el estado de cada estudiante en cada componente (plano individual) y por último, cada rasgo de las caras de Chernoff permitiría realizar un análisis del comportamiento de cada indicador por estudiante (plano singular). En un segundo momento, las caras de Chernoff permitirían una exploración en el plano individual que iría de lo singular (el indicador) a lo particular (el componente) hasta llegar a lo general (el desarrollo de la habilidad expresada en la personalidad del individuo). De los tres componentes que intervienen en el desarrollo de la habilidad asumida como variable dependiente, es el intelectual el que más caracteriza su estado, en tanto que el personal y el práctico expresan la influencia que ejerce tal habilidad sobre la personalidad del individuo en su integridad. Por esta razón los resultados de las mediciones del componente intelectual se consideran, por si solos, una medida de la variable dependiente, mientras que los componentes personal y práctico expresan una medida más integral de dicha variable dependiente. De los gráficos de cajas y pivotes, para los indicadores del componente intelectual, se observa que antes de la intervención cada uno de ellos se encontraba muy afectado, puesto que en todos los percentiles de orden 75 coinciden con el valor mínimo. Sin embargo, se observa un notable cambio de posición en dichos percentiles después de la intervención que muestra el avance obtenido por los estudiantes en cada uno de los indicadores a través de los cuales se midió este componente.

119 En el estado inicial del componente personal se observa la misma regularidad que en el intelectual con la diferencia de que el primer indicador, antes de la intervención se encuentra aprobado, aunque como puede verse con el menor valor en esta categoría. Debe destacarse además, que todos los indicadores del componente personal ascendieron al máximo después de la intervención. El estado inicial del componente práctico se comporta como en el componente intelectual; sin embargo, no puede decirse lo mismo de sus estados finales pues los avances en el componente práctico fueron mucho menores, aun cuando se notan avances en cada uno de sus indicadores. Es lógico pues, que el componente práctico sea el más afectado en tanto este depende no solo del personal sino también del intelectual, adicionándose a ello que es preciso usarlo en condiciones nuevas. En muchos casos los estudiantes se veían obligados a hablar sobre métodos numéricos no solo en cuanto a su aplicación a la Física, en el caso de los que impartían esta asignatura, sino a contenidos de Matemática o Computación. Téngase en cuenta que de los estudiantes muestreados dos impartían Matemática y uno Computación. A estos les resultó más difícil desarrollar su componente práctico, aunque se pudieron observar los esfuerzos realizados y algunos logros que se obtuvieron en determinadas situaciones aisladas. El análisis de los índices simples revela que inicialmente la mayoría de los estudiantes tenían afectados todos los componentes, mientras que después de la intervención estos mejoraron notablemente. Para facilitar la observación anterior se han reunido en un mismo gráfico el comportamiento de cada uno de los tres componentes por estudiantes (Anexo 34). Las tasas de variación muestran la relatividad de los avances alcanzados por cada estudiante individualmente (Anexo 35). Tanto los índices como las tasas de variación revelan que la intervención con el modelo contribuyó de modo favorable a formar la habilidad de resolver tareas docentes usando métodos numéricos. Como resultado de este análisis individual, pudo observarse que varios estudiantes presentaban estados similares para un mismo componente. Sin embargo, estas coincidencias no siempre significan que los indicadores afectados sean los mismos. Por ello fue preciso realizar un estudio más fino, a nivel singular, analizando cada indicador en relación con los restantes. Para esto se conformaron las caras de Chernoff (Anexo 36).

120 Al analizar el componente intelectual antes de la intervención se observa que los estudiantes 1; 2; 4 y 5 poseen el mismo índice 0,40; coincidiendo también, en los cuatro casos los valores de los indicadores. Por ello coincide la configuración de las caras de Chernoff para los cuatro rasgos que caracterizan tales indicadores en estos estudiantes. Sin embargo, en ese mismo componente después de la intervención para los estudiantes 1 y 2 coinciden los índices 0,85 pero mientras que el estudiante 1 alcanzó 5 puntos en el primer indicador y cuatro en los restantes, el estudiante 2 alcanzó cuatro puntos en los tres primeros y 5 en el último. Así la longitud de la nariz de 1 es mayor que la de 2. A la vez, la longitud de extremo a extremo de la boca de 2 es mayor que la de 1. Tales resultados eran esperados dada las puntuaciones alcanzadas por dichos estudiantes en los indicadores caracterizados por los rasgos analizados. Obsérvese también cómo los estudiantes 6 y 7 poseen índices iguales y sin embargo los rasgos que caracterizan sus indicadores para este componente coinciden o se diferencian según coincidan o no sus calificaciones para los mismos. Existe un detalle muy interesante en la conformación de las caras y es que estudiantes con índices diferentes en un mismo componente pero con algún indicador coincidente no presentan igualdad en el rasgo. Por ejemplo: los estudiantes 2 y 3 después de la intervención, para el componente intelectual, tienen índices de 0,85 y 1,00 respectivamente, y su indicador cuatro coincide, pero el rasgo que caracteriza este indicador no es igual en ambos casos. Ello está dado por la correlación que existe entre los demás indicadores del componente en cuestión, que ofrecen para cada conjunto de rasgos que caracterizan un componente una configuración única, salvo el caso en que todos los indicadores coincidan como ocurrió con el componente intelectual antes de la intervención para los estudiantes 1, 2 ,4 y 5. Este mismo modo de expresarse la correlación se observa a nivel de componentes obsérvese la diferencia en los rostros, prácticamente imperceptible, para los estudiantes 1 y 2 que difieren en el primer indicador del componente personal. El estudiante 1 tiene los ojos a mayor altura que el 2 dada su puntuación más elevada en ese indicador. En todos los demás indicadores de ese y los restantes componentes sus puntuaciones coinciden. Sin embargo, esta pequeña variación en un indicador es suficiente para cambiar la configuración del rostro expresándose así la correlación entre los componentes.

121 Del modo en que se han definido las dependencias entre rasgos y valores de las variables se puede inferir que en la medida en que los rasgos se concentran más hacia el centro de la cara y el ángulo de las cejas aumenta, la habilidad está menos desarrollada y ha influido menos en la personalidad del estudiante. Los rasgos de este modo distribuidos dan una expresión de tristeza y disgusto a la cara. Ver las caras de Chernoff que representan el estado de la variable dependiente para cada estudiante antes de la intervención. En la medida que aumentan las puntuaciones los rasgos se van alejando del centro de la cara, su distribución se va haciendo más uniforme. Ello también depende, por supuesto, del modo en que se han definido las variables. Su configuración final expresa la correlación existente entre las variables caracterizadas por dichos rasgos (ya sean indicadores cuando se trate de rasgos aislados o componentes cuando se trate de grupos de rasgos). En todos los casos se observan avances en el desarrollo de la habilidad al comparar el antes con el después. El componente personal es en el que mejores resultados se alcanzan, obsérvese los cambios ocurridos en los rasgos de los ojos, también se observan cambios significativos en el componente intelectual, las bocas pasan a expresar alegría y las narices se alargan. El componente práctico es el más afectado, aunque los rasgos que lo caracterizan también cambian de modo favorable. De modo general, sobre la base del análisis estadístico antes de la intervención puede decirse que el estado de la habilidad cuya formación se asumió como variable dependiente se encontraba afectado (componente intelectual) y por supuesto su influencia sobre la personalidad del individuo (componente personal y práctico) también estaba dañada. Los resultados positivos del componente intelectual, evidenciado en cada una de las técnicas estadísticas, aplicadas para cada uno de los indicadores de dicho componente y para el componente como un todo, después de la intervención arrojan que: la habilidad encaminada a resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos se logró desarrollar mientras que los resultados positivos alcanzados en los indicadores del componente personal expresan la disposición afectiva de los individuos para aplicar lo aprendido y los resultados del componente práctico que todavía existen dificultades para aplicar lo aprendido a situaciones nuevas. En consecuencia, a pesar de la disposición afectiva existente los resultados obtenidos sugieren que: todavía la habilidad

122 no influye de modo determinante sobre la personalidad del estudiante pero que existe una tendencia positiva al respecto. No obstante, el carácter favorable de los resultados cuantitativos obtenidos con la intervención, creemos oportuno realizar una valoración cualitativa de los mismos. A tal valoración fue posible arribar con la observación continua del comportamiento y desenvolvimiento de cada estudiante durante el desarrollo de la asignatura, y durante el tiempo extradocente.

A ello contribuyeron, además, las conversaciones informales propiciadas por la investigadora con los estudiantes y la información recogida como resultado de entrevistas realizadas a los tutores.

Todos estos elementos brindaron una información favorable al conocimiento del estado de la habilidad y su influencia en la personalidad del individuo, sobre todo su predisposición positiva al reconocer la importancia de los métodos numéricos y su lugar en el método científico. Se pudo constatar cómo el modo de asumir los conocimientos científicos por parte de los estudiantes fue cambiando, desde la idea de considerarlos como una parte de la ciencia ya acabada y completamente exacta, o de confundir dichos conocimientos con la propia realidad hasta asumirlos como un reflejo del mundo que tiene carácter de verdad relativa. Se observó como los estudiantes interpretaban las operaciones algebraicas realizadas sobre los números como un sistema de operaciones que llevaba a una operación cualitativamente diferente que actuaba sobre las funciones y cómo reconocían el lugar de los métodos numéricos en el proceso de matemátización de la Física y su utilidad para resolver problemas prácticos.

Los factores que más negativamente incidieron fueron que: algunos estudiantes no impartían Física en su componente laboral por lo que tenían que ser muy creativos para hablar de los métodos numéricos y aplicarlos a los contenidos de la asignatura que impartían y que algunos tutores no eran de la especialidad o si lo eran, desconocían los métodos numéricos o el modo de aplicarlo a la Física.

Por último, para determinar la validez externa del modelo se aplicó el criterio de experto para lo cual se presentó una descripción del modelo y los resultados obtenidos en el experimento de modelo y el preexperimento a un grupo de 30 profesores catalogados

123 como expertos no comprometidos y se les pidió que respondieran el cuestionario del anexo 37. En la primera parte del cuestionario se realizan las preguntas que sirvieron como fuentes de argumentación para establecer el carácter de experto del encuestado y en la segunda parte las encaminadas a investigar sus criterios sobre la aplicabilidad del modelo didáctico a otros contextos. El método de ejecución para realizar la evaluación de expertos que se usó fue el método de preferencia que se irá explicando en la medida en que se presenten los resultados. La cantidad de 30 expertos garantiza que el error de la decisión que se tome como resultado de la evaluación de la investigación sea del 1%. (Lissabet, 1998, 18).

En el anexo 38 se muestra una tabla donde se relacionan las fuentes de argumentación y la significación que cada una de ellas tiene en el establecimiento del nivel de competencia del experto. En el anexo 39 se muestra la evaluación de los encuestados en cada fuente de argumentación. En el anexo 40 se muestra el nivel de competencia de cada experto y los criterios seguidos para el establecimiento de dicho nivel. Como puede observarse todos los expertos poseen un alto nivel de competencia puesto que su índice de competitividad es en, todos los casos, mayor que 0,8.

La evaluación que los expertos le hacen al modelo se presenta en los anexos del 41 al 43. Donde se muestra su evaluación según los resultados de los indicadores del componente intelectual, personal y práctico respectivamente.

Los anexos 41, 42 y 43 poseen la misma estructura.

1. Primero: se muestra la tabla de contingencia. 2. Segundo: se muestra el gráfico de barras realizado a partir de la tabla de contingencia. 3. Tercero: se muestra una tabla de estadística descriptiva usada para valorar las calificaciones dadas por los expertos sobre el modelo. 4. Cuarto: se muestra una tabla que contiene los resultados de la estadística inferencial usada para comprobar la validez de la prueba de experto. A continuación se explican cada una de las partes de estos anexos.

La tabla de contingencia se ha construido del siguiente modo: por las filas se muestran las categorías en que se puede evaluar el modelo y por las columnas cada uno de los

124 indicadores que caracterizan al componente dado. En las celdas de intersección se indica la cantidad de expertos que evalúan el modelo a partir del indicador a que se refiere la columna en cuestión con la categoría que encabeza la fila que le corresponde. Por ejemplo, en el anexo 41, se observa que 11 expertos evalúan el modelo de adecuado, tomando como criterio para dicha evaluación los resultados experimentales que se le ofrecen sobre la medición del indicador 2 del componente intelectual (Anexos 41, 42 y 43).

Los gráficos de barras se han construido a partir de las tablas anteriores. En ellos se observa que:  A partir de los resultados de los indicadores 1, 2 y 4 del componente intelectual la mayoría de los expertos consideran el modelo muy adecuado y que para el indicador 3, de este componente, lo consideran adecuado (ver gráfico de barras anexo 41).  A partir de los resultados de todos los indicadores del componentes personal consideran el modelo muy adecuado (ver gráfico de barras del anexo 42).  A partir de los resultados de los indicadores del componente práctico evalúan el modelo como adecuado (ver gráfico de barras del anexo 43). Como puede verse de los gráficos, los puntos más débiles del modelo están dados por el indicador 3 del componente intelectual que se refiere a la realización de la solución informática de la tarea y en cada uno de los indicadores del componente práctico. Este último elemento se refiere al modo en que incide la habilidad de resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos en la personalidad del estudiante, específicamente en su actividad práctica. Se observa que la mayoría de los expertos considera, en estos casos, el modelo adecuado y en los demás casos lo consideran muy adecuado. Solo en algunos indicadores aislados se considera medianamente adecuado. Ningún experto considera que, a nivel de indicador, el modelo es poco adecuado o inadecuado. Las técnicas de la estadística descriptiva permiten hacer una valoración en la que se tiene en cuenta la cantidad y calidad de las calificaciones dadas por los expertos para valorar de modo integral la calidad del modelo en cada componente. Las medidas de tendencia central oscilan, para todos los casos, entre los valores 4 y 5, mientras que las desviaciones no sobrepasan a 0,6. Los cuartiles de orden 25 y 75 oscilan también entre 4 y 5 coincidiendo en 5 para muchos casos lo que prueba que la mayoría de los valores de

125 las calificaciones se concentran alrededor de los 5 puntos, y en casos muy específicos (indicador tres del componente intelectual y en todos los indicadores del componente práctico) se concentran alrededor del 4. Ver tabla de estadística descriptiva para el componente intelectual en el anexo 41, para el personal en el anexo 42 y para el práctico en 43. En síntesis, los resultados obtenidos con la prueba de experto permiten valorar positivamente la calidad del modelo didáctico elaborado y corroboran al igual que en el preexperimento pedagógico que la mayor debilidad del mismo radica en la contribución que se puede hacer con la aplicación del mismo al componente práctico. Es decir, la prueba de experto arroja que:  El modelo es factible para formar la habilidad de resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos y que la mayor dificultad radica en la realización de la solución informática de la tarea, aunque esta se considera adecuada.  El modelo es factible para integrar la habilidad formada a la personalidad del estudiante y que el punto más difícil está en lograr que el estudiante incorpore dicha habilidad a su actividad práctica. Por último, para garantizar la validez de los resultados obtenidos en la prueba de experto, se precisa probar que existe correlación entre las calificaciones realizadas por ellos, puesto que un mismo resultado también puede obtenerse de forma casual. Esto se explica del siguiente modo, si cada experto realiza su evaluación del modelo, independientemente y tal evaluación es objetiva, entonces debe existir concordancia entre las calificaciones dadas por los diferentes expertos, ya sea que los resultados, de tales calificaciones, arrojen que el modelo es o no factible. Para realizar esta prueba proponemos la hipótesis

H1: “Existe comunidad de preferencia entre los expertos” contra la hipótesis alternativa H0:

“No existe comunidad de preferencia entre los expertos”. De rechazarse H0 se considerará que ha existido consenso entre los expertos en cuanto a las evaluaciones que han dado del modelo, de modo que se pueden considerar confiables los resultados obtenidos. Como en el caso que nos ocupa la evaluación del modelo ha sido positiva entonces el rechazo de H0 significaría que el modelo es factible y en consecuencia posee validez externa y puede generalizarse al contexto para el que fue elaborado. De lo contrario, aun

126 con los resultados positivos obtenidos en las calificaciones que de él, hacen los expertos, no puede decirse nada de su validez externa. Tal prueba de hipótesis se realizó a través del cálculo del coeficiente de Kendall. Este coeficiente es una medida de correlación para variables ordinales. Su uso es aconsejable cuando los datos contienen un número considerable de rangos empatados (Hernández, 480, 2006) como es el caso de las calificaciones dadas por los expertos en esta investigación. Este coeficiente debe dar entre -1 Y 1 y en la medida que se acerca a dichos extremos aumenta la correlación negativa o positiva respectivamente, mientras más se acerca a cero menor es la correlación. A partir del coeficiente de Kendall se determinó el valor de CHI-CUADRADO para n – 1 grados de libertad para cada componente y se comparó con el valor esperado para los grados de libertad y el intervalo de confianza elegido  = 0,0001 asumiendo que: si el valor de CHI-CUADRADO calculado es igual o mayor que el esperado existe correlación entre las calificaciones realizadas por los expertos y se rechaza H0. Como para cada uno de los componentes a desarrollar según el modelo elaborado el valor de CHI-CUADRADO calculado a partir del coeficiente de Kendall es mayor que el valor de

CHI-CUADRADO para los grados de libertad y el  correspondiente se rechaza H0, en todos los casos, lo que significa que: se acepta la existencia de comunidad de preferencia entre los expertos, y que las evaluaciones del modelo, realizada por ellos son de significación estadística con un 99% de confiabilidad. Ver valores específicos para el componente intelectual en la tabla de estadística inferencial del anexo 41, para el personal en el anexo 42 y para el práctico en el 43.

127 CONCLUSIONES

1. Las indagaciones acerca de la existencia de una propuesta didáctica para la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas evidencian el problema científico, pues las existentes no permiten encaminar el desarrollo de la habilidad resolver tareas docentes de Física aplicando métodos numéricos y que contribuya con ello a la valoración del carácter aproximado de los conocimientos físicos, al desarrollo del razonamiento funcional y a la formación de la cultura que requiere el profesor de ciencias exactas para aplicarlo a situaciones sencillas de su práctica educativa. 2. Los fundamentos teóricos que sustentan el modelo didáctico para implementar los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas implican considerar que: el proceso docente educativo es un sistema autogestionado con una estructura y dinámica de funcionamiento propias que se particularizan en dependencia de la exigencia social a que responde el proceso específico que se estudia; la solución de tareas docentes de Física usando métodos numéricos es un acto interdisciplinario que involucra además, a la Matemática Numérica y la Computación al incidir en la transformación de una parte de contenido que actúa como elemento integrador de de todas ellas y adquiere la dimensión de interobjeto; el aprendizaje solo se produce cuando el contenido a asimilar está dentro de la zona de desarrollo próximo; la contribución a la formación de la concepción científica del mundo ha de hacerse intencionadamente y la estructura de cualquier tipo de tarea docente tiene como elemento la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física y se complejiza con la incorporación de otros tipos de actividades diferentes de la teórica. 3. En el modelo propuesto como resultado de la presente investigación: cada uno de los componentes del proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas y sus relaciones han sido redimensionadas en función de la implementación de los métodos numéricos y de su inserción en el resto

128 del proceso; el interobjeto del contenido que comporta su carácter interdisciplinario se determinó como una función matemática con sentido físico; se seleccionaron métodos numéricos asequibles que propician el tránsito gradual al razonamiento funcional a partir de la interpretación de las operaciones realizadas sobre los números como operaciones sobre las funciones; se evidencia el carácter relativo de los conocimientos a partir del análisis de cada una de las aproximaciones que tiene lugar durante la solución de tareas docentes de Física empleando métodos numéricos, lo cual influye en la actuación práctica del estudiante; la solución de este tipo de tareas incorpora la computadora determinado una nueva etapa en la estructura del método de su solución, la etapa de solución informática. 4. El diseño y ejecución del proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas, al aplicar el modelo propuesto para implementar los métodos numéricos, contribuye a desarrollar la habilidad de resolver tareas docentes de Física empleando métodos numéricos. 5. La aplicación del método de modelación definido por Boguslavski constituyó el camino metodológico para implementar los métodos numéricos en el sistema: proceso docente educativo de la Física General en la especialidad de Profesor de Ciencias Exactas, solucionando así, el problema científico con el modelo didáctico definitivo.

129 RECOMENDACIONES

1. Para continuar enriqueciendo y sistematizando el modelo didáctico propuesto se recomienda:  Impartir los cursos de postgrado que se han diseñado en esta investigación para la preparación de los profesores de Física General en la aplicación del modelo didáctico.  Verificar la validez del modelo en otras asignaturas de la disciplina Física General. 2. Generalizar la aplicación del modelo propuesto en el proceso docente educativo de la disciplina Física General en las sedes pedagógicas en las que se forman profesores de Ciencias Exactas. 3. Realizar los estudios pertinentes para determinar que enmiendas es necesario realizarle al modelo para que sea aplicable al impartir Física en preuniversitario o en la Física General de otras carreras universitarias en contengan esta disciplina en su plan de estudio.

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136 ANEXO 1 Anexo 1: Carácter binario de los métodos de enseñanza problémica que se proponen para la modelación del componente método CARÁCTER BINARIO DE LOS MÉTODOS DE ENSEÑANAZA PROBLÉMICA QUE SE PROPONEN PARA LA MODELACIÓN DEL COMPONENTE MÉTODO

MÉTODOS CARACTERIZACIÓN MÉTODOS CARACTERIZACIÓN DE DEL MÉTODO DE DE DEL MÉTODO DE ENSEÑANZA ENSEÑANZA APRENDIZAJE APRENDIZAJE

El maestro emplea El alumno realiza una fuerte preguntas problémicas actividad mental y es quien Diálogo Diálogo que obligan al alumno a responde las preguntas meditar y reflexionar formuladas por el maestro

El maestro explica El alumno combina la parcialmente el material y percepción que se hace de a partir de lo explicado las explicaciones del Aprendizaje Explicativo plantea tareas maestro con su actividad por búsqueda motivador cognoscitivas problémicas independiente de búsqueda parcial al alumno para que creativa por todas o algunas realice su solución de las etapas del proceso independiente cognoscitivo

El alumno sin una ayuda sustancial del maestro El maestro organiza la descubre de modo actividad independiente Aprendizaje independiente para si, Motivador del estudiante a través de investigativo asimila nuevos contenidos, tareas cognoscitivas se plantea problemas problémicas docentes o prácticos y busca vías para resolverlos

137 ANEXO 2 Anexo 2: Estructura del método de solución de tareas teóricas y tareas experimentales de Física ESTRUCTURA DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE TAREAS TEÓRICAS Y TAREAS EXPERIMENTALES DE FÍSICA

T A R E A S T E Ó R I C A S T A R E A S E X P E R I M E N T A L E S

COMPRENSIÓN DE COMPRENSIÓN DE LA TAREA LA TAREA

CONFECCIÓN DEL CONFECCIÓN DEL PLAN DE LA SOLUCIÓN PLAN DE LA SOLUCIÓN

EJECUCIÓN DEL PLAN EJECUCIÓN DEL PLAN DE LA SOLUCIÓN DE LA SOLUCIÓN SOLUCIÓN TEÓRICA SOLUCIÓN TEÓRICA SOLUCIÓN

DISEÑO DEL EXPERIMENTO

EJECUCIÓN DEL EXPERIMENTO Y PROCESAMIENTO DE LOS DATOS EXPERIMENTAL SOLUCIÓN CONTROL VALORATIVO CONTROL VALORATIVO DEL CURSO DE LA DEL CURSO DE LA SOLUCIÓN Y DE LOS SOLUCIÓN Y DE LOS RESULTADOS RESULTADOS

CONTRASTACIÓN CONTRASTACIÓN TEÓRICA DE LOS TEÓRICA DE LOS RESULTADOS RESULTADOS

PROPOSICIÓN DE PROPOSICIÓN DE LA NUEVA TAREA LA NUEVA TAREA

138 ANEXO 3 Anexo 3: Métodos numéricos cuya introducción se propone a través del proceso docente educativo de la Física General MÉTODOS NUMÉRICOS CUYA INTRODUCCIÓN SE PROPONE A TRAVÉS DEL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL

1. El método analítico de bisección:

Este método se usa para resolver ecuaciones cuya solución exacta no se puede encontrar, él se fundamenta en el teorema de Bolzano1 A partir de una ecuación de una incógnita f x  0 ; si se tiene en la forma qx  gx se lleva a la anterior mediante la transformación qx  gx  0 , se define la función f x.

Para encontrar la raíz buscada se determina un intervalo x1, x2  que pertenezca al dominio de la función f x en el cual dicha función cambie de signo y se calcula el punto

x x medio del intervalo, es decir: x1 21 11 , donde: x11  x1 y x21  x2 2 El valor de x encontrado se sustituye en f(x), si se obtiene f(x) = 0, lo cual ocurre raras veces, esta es la solución buscada. Si no, de los dos subintervalos en que quedó dividido el intervalo original se toma aquel en que la función cambia de signo y se repite el proceso x x usando la ecuación: xn  2n 1n para calcular xn hasta que al sustituir xn en f xse 2 obtenga:f xn   0, o se llegue a un intervalo para el cual se cumpla: x2n  x1n  2 donde 2 representa la exactitud con que se requiere la solución. En este último caso la raíz buscada se tomará como el punto situado en el centro del intervalo en el que se detuvo el proceso.

La exactitud de la solución depende de la exactitud con que sea factible medir la magnitud física que representa dicha solución de acuerdo con el fenómeno en que ella se manifieste y los instrumentos de medición que puedan usarse para medir la magnitud en el fenómeno dado. Según estas condiciones se toma 2 como la mitad de la unidad del orden decimal en que estará la última cifra (a la derecha) que se tomará como exacta.

139

2. La fórmula de los dos puntos para calcular la primera derivada.

y i 1  y i 1 Esta expresión tiene la forma y xi   . Para aplicarla se necesita conocer los xi 1  xi 1 valores de la función física que se va a derivar en tres puntos equidistantes. Sustituyendo los valores de los puntos extremos en dicha expresión se obtiene la primera derivada para el punto del centro. Si se conocen solo dos puntos entonces cambiando los subíndices del

 x  y i 1  y i siguiente modo: y  xi    , se puede obtener el valor aproximado de la  2  xi 1  xi primera derivada para el centro del intervalo determinado por dichos puntos. Aquí

x  xi 1  xi 1. Esta expresión en Matemática Numérica se obtiene al aproximar una función expresada en forma tabular, a través del polinomio interpolador de Bessel2 y derivarlo una vez respecto a x.

3. La fórmula de tres puntos para calcular la segunda derivada

y  2y  y Esta expresión tiene la forma: y   i 2 i i 2 . Para aplicarla se necesita conocer i 2 xi 1  xi 1 los valores de la función física que se va a derivar en cinco puntos equidistantes. El valor de la segunda derivada se obtiene para el punto del centro. Si se conocen solo tres puntos también se puede aplicar cambiando los subíndices del siguiente modo y  2y  y y   i 1 i i 1 . Esta expresión se puede obtener a partir de la fórmula i 2 xi 1  xi  seleccionada para el cálculo de la primera derivada y aproximaciones del fenómeno físico concreto. En matemática Numérica se obtiene al aproximar la función expresada en forma tabular por el polinomio interpolador de Stirling3 y derivarlo dos veces respecto a x.

1 Plantea que si una función f(x) continua en un intervalo a, b tal que f af b  0 entonces existe c  a, b tal que f(c) = 0. 2 El polinomio interpolador de Bessel es una variante del polinomio de Lagrange construido sobre un número par de nodos. 3 3 El polinomio interpolador de Stirling es una variante del polinomio de Lagrange construido sobre un número impar de nodos. 140 4. La fórmula compuesta de los trapecios. x n  y   y  n1  La expresión y dx  x  x  0 n  y  es la fórmula compuesta de los  i i 1  2  i  x0  i 1  trapecios para calcular la integral definida en una red uniforme de (n + 1) puntos. Para aplicarla se necesita conocer los valores de la función física que se va a integrar en n  1 puntos y considerar que en cada uno de los tramos entre dos puntos consecutivos el fenómeno ocurre de forma lineal. El resultado se interpreta como el área bajo la curva aproximada, que en este caso estará formada por n trapecios. De aquí su nombre de fórmula compuesta de los trapecios. En matemática Numérica se obtiene al dividir el intervalo de integración en n subintervalos y aproximar la función en cada tramo por el polinomio interpolador de primer grado.

5. El método mejorado de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Este método se usa para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:

y   f (x,y) con la condición inicial y(x0 )  y 0 en el tramo xa, xb .

Para aplicarlo se ejecutan los siguientes pasos:

 Se divide el segmento xa, xb  en n partes iguales por medio de los puntos x  x  x  ix con (i = 0; 1; 2; ...; n) y x  b a 0 n x  Se calculan los valores auxiliares de la función buscada y  y  y  en los i 1/ 2 i 2 i x puntos x  x  i 1/ 2 i 2  Se halla el valor del segundo miembro de la ecuación diferencial en el punto medio

y i1/ 2  f xi 1/ 2, y i 1/ 2  sustituyendo directamente en la ecuación diferencial.

 Se determina y i1  y i  x  y i1/ 2  A partir de aquí se repite el proceso.

141 6. El método mejorado de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

El método perfeccionado de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden exige convertir dicha ecuación en un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. La solución de cada una de las cuales se fundamenta en el mismo principio que la solución de una de 1er orden.

Dada la ecuación y   f x, y, y  con las condiciones iniciales: x0, yx0   y 0, y x0   y 0 la solución se obtiene del siguiente modo:

 Se divide el segmento xa, xb  en n partes iguales por medio de los puntos x  x  x  ix con (i = 0; 1; 2; ...; n) y x  b a 0 n y   z  la ecuación se transforma en el sistema:  con las condiciones  z  f x, y, z iniciales: x0 , y0 y z0 x  Se calcula el valor auxiliar inicial z  z  z determinando z a partir de m0 0 0 2 0 z0  f x0, y0, z0   Con el valor de z se calcula y  y  z x , con este se calcula m0 i i 1 mi 1 z  f x, y, z y con este último y el de z se obtiene z  z  zt i   m0 mi mi 1 i  Con el z calculado por z  z  zt y el y calculado con mi mi mi 1 i i y  y  z x se calcula y i i 1 mi 1 i 1  A partir de aquí se repite el proceso.

142 ANEXO 4 Anexo 4: Matriz interobjeto para la asignatura Mecánica MATRIZ INTEROBJETO PARA LA ASIGNATURA MECÁNICA

Métodos numéricos (filas)

1. Método gráfico de separación de raíces o analítico de bisección para la solución de ecuaciones 2. Fórmula de los dos puntos para calcular la primera derivada 3. Fórmula de los tres puntos para calcular la segunda derivada 4. Fórmula compuesta de los trapecios para calcular integrales definidas 5. Método mejorado de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 6. Método mejorado de Euler para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden Tipos de funciones físicas (columnas) 1. Posición en función del tiempo 2. Posición angular en función del tiempo 3. Velocidad en función del tiempo 4. Velocidad angular 5. Aceleración en función del tiempo 6. Aceleración angular 7. Celeridad en función del tiempo 8. Segunda ley de Newton para un cuerpo que se mueve 9. Densidad lineal de masa 10. Distribución lineal de masa 11. Densidad lineal de masa 12. Fuerza en función del tiempo 13. Impulso de una fuerza en función del tiempo 14. Cantidad de movimiento para un instante de tiempo dado 15. Fuerza en función del desplazamiento 16. Trabajo en función del tiempo

143 17. Potencia en función del tiempo 18. Fuerza conservativa en función de la posición 19. Energía potencial en función de la posición 20. Ecuación fundamental de la dinámica de la rotación 21. Torque de una fuerza en función del desplazamiento angular 22. Densidad en función de la altura para un fluido en reposo 23. Densidad en función de la presión para un fluido en reposo 24. Masa de fluido que atraviesa la sección transversal de un tubo en función del tiempo 25. Volumen de fluido que atraviesa la sección transversal de un tubo en función del tiempo 26. Segunda ley de Newton para un cuerpo que se mueve bajo la acción de una fuerza restauradora 27. Segunda ley de Newton para un cuerpo que se mueve con fricción bajo la acción de una fuerza restauradora 28. Segunda ley de Newton para un cuerpo que se mueve con fricción bajo la acción de una fuerza restauradora y una fuerza periódica 29. Posición del origen del sistema de referencia móvil respecto al origen del sistema de referencia fijo en función del tiempo 30. Posición de un cuerpo respecto al sistema de referencia fijo en función del tiempo 31. Posición del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil en función del tiempo 32. Velocidad del origen del sistema de referencia móvil respecto al origen del sistema de referencia fijo en función del tiempo 33. Velocidad del cuerpo respecto al sistema de referencia fijo en función del tiempo 34. Velocidad del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil en función del tiempo 35. Aceleración del origen del sistema de referencia móvil respecto al origen del sistema de referencia fijo en función del tiempo 36. Aceleración del cuerpo respecto al sistema de referencia fijo en función del tiempo 37. Aceleración del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil en función del tiempo

144

Tabla # 1: Matriz Interobjeto para Mecánica

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0

3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

4 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

145 ANEXO 5 Anexo 5: Matriz resultado para cada tema de la asignatura Mecánica MATRIZ RESULTADO PARA CADA TEMA DE LA ASIGNATURA MECÁNICA Por las columnas se han ubicado los tipos de funciones físicas y por las filas los resultados a obtener. Los elementos de la matriz son ceros y unos. Si con las funciones de una columna dada se puede obtener, a través de la vía numérica, el resultado indicado en determinada fila entonces en la celda donde ambas se interceptan aparece un uno, sino en dicha celda habrá un cero.

Para indicar el método numérico específico que permite obtener el resultado correspondiente se coloreará la celda según el siguiente código:

Si se resuelve una ecuación

Si se calcula la primera derivada

Si se calcula la segunda derivada

Si se calcula una integral definida

Si se resuelve una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Si se resuelve una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden

Tema # 1 Introducción a la Física General. Cinemática (El movimiento mecánico: su descripción)

Tipos de funciones físicas (columnas) 1. Posición en función del tiempo 2. Posición angular en función del tiempo 3. Velocidad en función del tiempo 4. Velocidad angular en función del tiempo 5. Aceleración en función del tiempo 6. Aceleración angular en función del tiempo 7. Celeridad en función del tiempo Resultado a obtener con la función física para el caso dado (filas) 1. valor del desplazamiento

146 2. valor de la posición 3. valor de la posición angular 4. valor de la velocidad 5. valor de la velocidad angular 6. valor de la aceleración 7. valor de la aceleración angular 8. Valor de la aceleración tangencial 9. posición en función del tiempo 10. Longitud de la trayectoria 11. posición angular en función del tiempo 12. velocidad en función del tiempo 13. velocidad angular en función del tiempo 14. aceleración en función del tiempo 15. aceleración angular en función del tiempo 16. Tiempo 17. Celeridad en función del tiempo

1 2 3 4 5 6 7 1 1 0 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 0 0 3 0 1 0 1 0 0 1 4 1 1 1 0 1 0 1 5 0 1 0 1 0 1 1 6 1 0 1 0 1 0 0 7 0 1 0 1 0 1 1 8 0 1 0 1 0 1 1 9 0 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 1 0 0 1 12 1 0 0 0 1 0 0 13 0 1 0 0 0 1 0 14 1 0 1 0 0 0 0 15 0 1 0 1 0 0 1 16 1 1 1 1 1 1 1 17 0 1 0 0 0 0 0

Tabla # 1: Matriz resultado para el tema 1

147 Tema # 2 Interacciones en la naturaleza y movimiento mecánico

Tipos de funciones físicas (columnas) 1. Posición en función del tiempo 2. Velocidad en función del tiempo 3. Segunda ley de Newton para un cuerpo en movimiento 4. Densidad lineal de masa 5. Distribución lineal de masa Resultado a obtener con la función física para el caso dado (filas) 1. Ley del movimiento (posición en función del tiempo) 2. Velocidad en función del tiempo 3. Aceleración en función del tiempo 4. Densidad lineal de masa 5. Distribución lineal de masa 6. Fuerza resultante en función del tiempo

1 2 3 4 5 1 0 1 1 0 0 2 1 0 1 0 0 3 1 1 1 0 0 4 0 0 0 0 1 5 0 0 0 1 0 6 1 1 0 0 0

Tabla # 2: Matriz resultado para el tema 2

Tema # 3 Impulso y cantidad de movimiento

Tipos de funciones físicas (columnas) 1. Densidad lineal de masa 2. Fuerza en función del tiempo 3. Impulso de una fuerza en función del tiempo 4. Cantidad de movimiento para un instante de tiempo dado Resultado a obtener con la función física para el caso dado (filas) 1. Coordenadas del centro de masa 2. Fuerza en función del tiempo 3. Impulso de una fuerza en función del tiempo

148 4. Cantidad de movimiento para un instante de tiempo dado

1 2 3 4 1 1 0 0 0 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 1 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0

Tabla # 3: Matriz resultado para el tema 3

Tema # 4 Energía, Hombre y Naturaleza

Tipos de funciones físicas (columnas) 1. Fuerza en función de la trayectoria 2. Posición en función del tiempo 3. Trabajo en función del tiempo 4. Potencia en función del tiempo 5. Fuerza conservativa en función de la posición 6. Energía potencial en función de la posición Resultado a obtener con la función física para el caso dado (columnas) 1. Valor del trabajo para un desplazamiento dado 2. Trabajo en función del desplazamiento 3. Valor de la potencia instantánea 4. Potencia en función del tiempo 5. Valor del trabajo al cabo de un tiempo dado 6. Trabajo en función del tiempo 7. Valor de la energía potencial en un punto 8. Energía potencial en función de la posición 9. Valor de la fuerza conservativa en un punto 10. Fuerza conservativa en función de la posición

149 1 2 3 4 5 6 1 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 3 0 0 1 1 0 0 4 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 6 0 0 0 1 0 0 7 0 0 0 0 1 0 8 0 0 0 0 1 0 9 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 1

Tabla # 4: Matriz resultado para el tema 4

Tema # 5 Rotación de cuerpos rígidos

Tipos de funciones físicas (columnas) 1. Posición angular en función del tiempo 2. Velocidad angular en función del tiempo 3. Aceleración angular en función del tiempo 4. Celeridad en función del tiempo 5. Densidad lineal de masa 6. Ecuación fundamental de la dinámica de la rotación 7. Torque de una fuerza en función del desplazamiento angular Resultado a obtener con la función física para el caso dado (filas) 1. valor de la posición angular 2. valor de la velocidad angular 3. valor de la aceleración angular 4. valor del momento de inercia 5. posición angular en función del tiempo 6. velocidad angular en función del tiempo 7. aceleración angular en función del tiempo 8. Aceleración tangencial en función del tiempo 9. Tiempo 10. Celeridad en función del tiempo 11. Momento de inercia en función del radio

150 12. Valor del trabajo para un desplazamiento dado 13. Trabajo en función del desplazamiento 14. Torque resultante en función del tiempo

1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 0 1 0 1 0 2 1 1 1 1 0 1 0 3 1 1 1 1 0 1 0 4 0 0 0 0 1 0 0 6 0 1 0 1 0 1 0 7 1 1 0 1 0 1 0 8 1 1 0 1 0 1 0 9 1 1 1 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 0 12 0 0 0 0 0 0 1 13 0 0 0 0 0 0 1 14 1 1 0 1 0 0 0 Tabla # 5: Matriz resultado para el tema 5

Tema # 6 Elementos de estática y dinámica de los fluidos

Tipos de funciones físicas (columnas) 1. Densidad en función de la altura para un fluido en reposo 2. Densidad en función de la presión para un fluido en reposo 3. Masa de fluido que atraviesa la sección transversal de un tuvo en función del tiempo 4. Volumen de fluido que atraviesa la sección transversal de un tuvo en función del tiempo Resultado a obtener con la función física para el caso dado (filas) 1. Presión en función de la altura 2. Flujo de masa 3. Gasto

1 2 3 4 1 1 1 2 1 1 3 1

Tabla # 6: Matriz resultado para el tema 6

151 Tema # 7 Oscilaciones y ondas mecánicas

Tipos de funciones físicas (columnas) 1. Posición en función del tiempo para el movimiento oscilatorio 2. Velocidad en función del tiempo para el movimiento oscilatorio 3. Aceleración en función del tiempo para el movimiento oscilatorio 4. Segunda ley de Newton para un cuerpo que se mueve bajo la acción de una fuerza restauradora 5. Segunda ley de Newton para un cuerpo que se mueve con fricción bajo la acción de una fuerza restauradora 6. Segunda ley de Newton para un cuerpo que se mueve con fricción bajo la acción de una fuerza restauradora y una fuerza periódica Resultado a obtener con la función física para el caso dado (filas) 1. Posición en función del tiempo para el movimiento oscilatorio 2. Velocidad en función del tiempo para el movimiento oscilatorio 3. Aceleración en función del tiempo para el movimiento oscilatorio 4. Fuerza resultante 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 0 0 0 0

Tabla # 7: Matriz resultado para el tema 7

Tema # 8 Limitaciones de la mecánica newtoniana

Tipos de funciones físicas (columnas) 1. Posición del origen del sistema de referencia móvil respecto al origen del sistema de referencia fijo en función del tiempo 2. Posición de un cuerpo respecto al sistema de referencia fijo en función del tiempo 3. Posición del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil en función del tiempo

152 4. Velocidad del origen del sistema de referencia móvil respecto al origen del sistema de referencia fijo en función del tiempo 5. Velocidad del cuerpo respecto al sistema de referencia fijo en función del tiempo 6. Velocidad del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil en función del tiempo 7. Aceleración del origen del sistema de referencia móvil respecto al origen del sistema de referencia fijo en función del tiempo 8. Aceleración del cuerpo respecto al sistema de referencia fijo en función del tiempo 9. Aceleración del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil en función del tiempo Resultado a obtener con la función física para el caso dado (filas) 1. Valor de la posición del origen del sistema de referencia móvil respecto al sistema de referencia fijo 2. Valor de la posición del cuerpo respecto al sistema fijo 3. Valor de la posición del cuerpo respecto al sistema móvil 4. Valor de la velocidad del origen del sistema de referencia móvil respecto al sistema de referencia fijo 5. Valor de la velocidad del cuerpo respecto al sistema de referencia fijo 6. Valor de la velocidad del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil 7. Valor de la aceleración del origen del sistema de referencia móvil respecto al sistema de referencia fijo 8. Valor de la aceleración del cuerpo respecto al sistema de referencia fijo 9. Valor de la aceleración del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil 10. Posición del origen del sistema de referencia móvil respecto al origen del sistema de referencia fijo en función del tiempo 11. Posición de un cuerpo respecto al sistema de referencia fijo en función del tiempo 12. Posición del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil en función del tiempo

153 13. Velocidad del origen del sistema de referencia móvil respecto al origen del sistema de referencia fijo en función del tiempo 14. Velocidad del cuerpo respecto al sistema de referencia fijo en función del tiempo 15. Velocidad de un cuerpo respecto al sistema de referencia móvil en función del tiempo 16. Aceleración del origen del sistema de referencia móvil respecto al origen del sistema de referencia fijo en función del tiempo 17. Aceleración del cuerpo respecto al sistema de referencia fijo en función del tiempo 18. Aceleración del cuerpo respecto al sistema de referencia móvil en función del tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 1 1 1 12 0 0 0 1 1 1 1 1 1 13 1 1 1 0 0 0 1 1 1 14 1 1 1 0 0 0 1 1 1 15 1 1 1 0 0 0 1 1 1 16 1 1 1 1 1 1 0 0 0 17 1 1 1 1 1 1 0 0 0 18 1 1 1 1 1 1 0 0 0

Tabla # 8: Matriz resultado para el tema 8

154 ANEXO 6 Anexo 6: Casos particulares para cada tema de la asignatura Mecánica CASOS PARTICULARES PARA CADA TEMA DE LA ASIGNATURA MECÁNICA Tema 1 1. movimiento rectilíneo uniforme1 2. movimiento rectilíneo uniformemente variado 3. movimiento rectilíneo variado 4. movimiento de proyectiles con aceleración constante 5. movimiento de proyectiles considerando la resistencia del aire 6. otros tipos de movimientos bidimensionales 7. movimiento tridimensional 8. movimiento circular uniforme 9. movimiento circular uniformemente variado 10. movimiento circular variado Tema 2 1. Movimiento bajo la acción de una fuerza resultante constante 2. Movimiento bajo la acción de una fuerza resultante variable con el tiempo 3. Movimiento bajo la acción de una fuerza resultante variable con la velocidad 4. Movimiento bajo la acción de una fuerza resultante variable con la posición 5. Movimiento bajo la acción de una fuerza resultante que varía con más de uno de estos parámetros 6. Varilla recta homogénea 7. Varilla curvilínea plana homogénea 8. Varilla recta no homogénea 9. Varilla curvilínea plana no homogénea Tema 3 1. Varilla recta homogénea 2. Varilla curvilínea plana homogénea

1 Los casos que se han subrayado son los que se estudiaban con métodos exactos, los no subrayados son los que es posible incorporar con los métodos numéricos. 155 3. Varilla recta no homogénea 4. Varilla curvilínea plana no homogénea 5. Movimiento bajo la acción de una fuerza resultante constante 6. Movimiento bajo la acción de una fuerza resultante variable con el tiempo Tema 4 1. Movimiento bajo la acción de una fuerza constante colineal con el desplazamiento 2. Movimiento bajo la acción de una fuerza variable colineal con el desplazamiento 3. Movimiento bajo la acción de una fuerza variable en módulo y dirección (en el plano) 4. Movimiento bajo la acción de una fuerza variable en módulo y dirección (en el espacio) 5. Movimiento bajo la acción de una fuerza conservativa 6. Movimiento bajo la acción de una fuerza no conservativa Tema 5 1. Movimiento de rotación bajo la acción de una fuerza de módulo constante 2. Movimiento de rotación bajo la acción de una fuerza de módulo variable Tema 6 1. fluido en reposo 2. fluido perfecto 3. fluido laminar viscoso Tema 7 1. Movimiento armónico simple 2. Movimiento oscilatorio periódico no armónico simple 3. Movimiento oscilatorio aperiódico 4. Movimiento oscilatorio subamortiguado 5. Movimiento bajo la acción de una fuerza restauradora sobreamortiguado 6. Movimiento bajo la acción de una fuerza restauradora críticamente amortiguado 7. Movimiento oscilatorio forzado Tema 8 1. Movimiento relativo respecto a sistemas inerciales de referencia (uno fijo y uno móvil) 2. Movimiento relativo respecto a un sistema inercial de referencia fijo y uno móvil no inercial

156 ANEXO 7 Anexo 7: Clasificación de las tareas docentes genéricas de Física CLASIFICACIÓN DE LAS TAREAS DOCENTES GENÉRICAS DE FÍSICA

TDG

Problema asequible cuantitativo de Física

, teórico o experimental Vía de solución Exigencia: Fórmula Condiciones: métodos numérica, función o Función interobjeto numéricos magnitud con sentido físico

El método El método numérico nunca TDG 1 numérico ya se ha TDG 2 se ha usado en usado en Física Física

Se aplica al mismo tipo TD4

Para aplicar de función interobjeto en TDG 1.1 teóricamente el otra manifestación método numérico singular del mismo tipo de fenómeno o sistema El método numérico ya Se aplica a otro tipo de TD5 TD1 se estudió en función interobjeto en la Matemática misma manifestación singular del mismo tipo

El método de fenómeno o sistema numérico no se TD2 ha estudiado en Se aplica a otro tipo de TD6 Matemática función interobjeto en otra manifestación Para mostrar singular del mismo tipo como realizar los de fenómeno o sistema TDG 1.2 cálculos en Excel Se aplica a otro tipo de TD7 Los cálculos para función interobjeto en una manifestación TD3 el método numérico se realizan por singular de otro tipo de

primera vez fenómeno o sistema

157 ANEXO 8 Anexo 8: Estructura de las TD1 y esquema de su procedimiento de solución ESTRUCTURA DE LAS TD1 Y ESQUEMA DE SU PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

Función interobjeto Condiciones

Modelación matemática

PROBLEMA TEÓRICO Selección del CUANTITATIVO Transformaciones método numérico ASEQUIBLE DE FÍSICA

Particularización del algoritmo

Exigencia Fórmula Numérica

158 COMPRENSIÓN DE LA TAREA

ANEXO 9 Anexo 9: Concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD1 a partir de su procedimiento de solución CONCRECIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE TAREAS TEÓRICAS DE FÍSICA PARA LAS TD1 A PARTIR DE SU PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

Estructura del método de Estructura del método de solución de solución de tareas teóricas las TD1

INTERPRETACIÓN DEL FENÓMENO O PROCESO, COMPRENSIÓN RECONOCIMIENTO DE LA FUNCIÓN INTEROBJETO, DE LA TAREA DE LAS MAGNITUDES CONOCIDAS Y DE LA INCÓGNITA

MODELACIÓN MATEMÁTICA CONFECCIÓN DEL PLAN DE LA SOLUCIÓN SELECCIÓN DEL MÉTODO NUMÉRICO

EJECUCIÓN DEL PLAN DE LA SOLUCIÓN PARTICULARIZACIÓN DEL ALGORITMO

SOLUCIÓN TEÓRICA

CONTROL VALORATIVO CONTROL VALORATIVO DEL CURSO DE DEL CURSO DE LA LA SOLUCIÓN, DE LOS RESULTADOS SOLUCIÓN Y DE LOS ANALIZANDO EN QUÉ CONSISTE EL RESULTADOS CARÁCTER APROXIMADO DE AMBOS EVIDENCIANDO EL CARÁCTER APROXIMADO DE AMBOS

CONTRASTACIÓN CONTRASTACIÓN TEÓRICA DE LOS TEÓRICA DE LOS RESULTADOS Y DE SU CONDICIÓN RESULTADOS DE VERDAD OBJETIVA CON CARÁCTER RELATIVO

PROPOSICIÓN DE PROPOSICIÓN DE LA NUEVA TAREA LA NUEVA TAREA

159 ANEXO 10 Anexo 10: Ejemplo de una TD1 y análisis de su solución según el procedimiento propuesto EJEMPLO DE UNA TD1 Y ANÁLISIS DE SU SOLUCIÓN SEGÚN EL PROCEDIMIENTO PROPUESTO

Enunciado de una TD1 y análisis de su estructura:

Una pelota de masa m se deja caer desde el borde de un acantilado de altura ha . Considerando que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad, la ley de su b 2  t 2 mg m m m movimiento toma la forma: h(t)  t  ge  g  h0 ...... (1) b b2 b2 Donde: g es la aceleración de la gravedad; b es el coeficiente de fricción entre el aire y la pelota, t es el tiempo; h0 es la posición inicial; h(t) es la posición en función del tiempo.

Determine una expresión que permita calcular el tiempo que demora la pelota en el aire.

En esta tarea docente el objetivo es aplicar una fórmula numérica para la solución de una ecuación trascendente, dicho objetivo se concreta en la exigencia “Determine una expresión que permita calcular el tiempo que demora la pelota en el aire”. Aquí la expresión solución contendrá la magnitud tiempo como incógnita.

En las condiciones se brinda la ley del movimiento de la partícula ht expresada en forma analítica. Esta expresión es el interobjeto pues como se verá más adelante es la función que se transforma a través de los métodos numéricos. Concretamente, determinando para qué valor del dominio la función toma un valor determinado dado y cumplir, así, con la exigencia de la TD1.

Esta tarea se usará en el tema Cinemática de la asignatura Mecánica la cual está ubicada según el plan de estudio actual cuando en Matemática Superior ya se estudió el tema de solución de ecuaciones, por lo que consideraremos que la solución numérica es conocida del estudiante. Sin embargo en las condiciones de la tarea lo que se brinda es una función donde las constante no están evaluadas. Entonces, esta tarea docente constituye un problema asequible, cuya solución puede acometer con los contenidos que dominan y la ayuda del profesor siguiendo el método de diálogo.

160 Como solución se obtendrá la expresión para calcular el tiempo que demora en caer la pelota tv aquí aplicaremos el método de bisección.

Solución de la TD1 anterior usando el procedimiento definido: Modelación matemática La función interobjeto es la expresión (1) donde son constantes m, g, b, que dependen del fenómeno, e es la constante de Euler. ha es también una constante, que no está incluida en (1), en ella está implícito el dominio de la función interobjeto, puesto que su valor determina la longitud del intervalo en que toman valores las imágenes. Las variables independiente y dependiente son t y h respectivamente.

h0 es una condición inicial que indica la posición que ocupa la pelota respecto al sistema de coordenadas elegido en el momento que comienza la caída. Ello puede evidenciarse matemáticamente haciendo t  0 en (1). Para fijar el valor de h0 , es necesario elegir el sistema de referencia, dependiendo su valor de este último.

Si se sitúa el origen de coordenadas en el borde del acantilado y se orientan los ejes como se muestra en la figura A7 – 1, lo cual se ha hecho a conveniencia, se tiene que h0  0 y

hf  ha , ya que ha  hf  h0 . Obteniéndose este último valor para un tiempo igual al que demora la pelota en caer, puesto que el movimiento de la pelota es rectilíneo y ocurre en un solo sentido. Así. ocupa cada uno de los puntos del intervalo 0, ha  una sola vez.

Entonces, la posición final ha se alcanza para un solo instante de tiempo, este es el tiempo final t f .

Fig. A7 – 1 Modelación de del momento inicial y final de la caída la pelota

161 La condición inicial h0  0 permite escribir la función interobjeto en la forma: b mg m2  t m2 ht  t  ge m  g ...... (2) b b2 b2 Sustituyendo en (2), htf   ha y tf . La función interobjeto se convierte en la ecuación (3) para la incógnita tf : b 2  tf 2 mg m m m ha  tf  ge  g ...... (3) b b2 b2 Selección del método numérico

La ecuación (3) es una ecuación trascendente para cuya solución no existen métodos exactos. Suponiendo conocido el método de bisección para la determinación de raíces que se estudia durante la solución de ecuaciones en la disciplina Matemática y su Metodología en el primer año de la carrera, este será el método seleccionado.

Aquí corresponde recordar el método de bisección tal y como se expone en el anexo 3. y seguir el método de diálogo, asegurándose que sea el alumno quien responda las preguntas, para determinar su aplicabilidad al caso dado. La expresión (3) que está en la forma qt  gt debe quedar en la forma f t  0 , b 2  tf 2 mg m m m específicamente: tf  ge  g  ha  0 , y definir a partir de aquí la función b b2 b2 f t. Es decir:

b 2  t 2 mg m m m f t  t  ge  g  ha (4) b b2 b2 La función (4) es continua por ser continuo el movimiento. El dominio de f t toma valores en un intervalo cuyo extremo inferior es 0, dada la condición inicial t  0 . Considerando, además, que el tiempo es una magnitud positiva asumiremos como dominio de f t a t  R; t  0 .

La solución f t  0 permite determinar de modo explicito el dominio de la función interobjeto ht que es un intervalo real cuyo extremo inferior coincide con el extremo inferior del intervalo en que toma valores el dominio de f t y cuyo extremo superior es el valor de t que anula a f t y determina el tiempo de caída de la pelota. Ello se debe a que

162 la función f t solo tiene sentido físico (define la ley del movimiento de la pelota respecto a un sistema de referencia situado en el fondo del acantilado con el eje h orientado al centro de la tierra) para  ha  f t  0 puesto que f t  0 significa que la pelota ha sobrepasado el fondo del acantilado y f t  ha que la pelota se encuentras a una distancia del fondo del acantilado mayor que la altura de este. Sin embargo, en el dominio de f t se tomarán valores que la hagan positiva puesto que (4), más que para describir el fenómeno físico, se usa como modelo matemático para aplicar el método numérico de bisección. Entonces, el método de bisección se aplicará teniendo en cuenta estas consideraciones.

Particularización del algoritmo

Para encontrar el valor de t que se busca es preciso tomar un intervalo t1; t2  en el que se supone se encuentra la solución buscada. En primera instancia puede tomarse t1  0 asumiendo el extremo inferior del intervalo como el tiempo en que se comienza a estudiar el movimiento. Garantizando, con ello, que la solución no quede fuera puesto que solo se conoce que el tiempo buscado es posterior a cero. El valor t1 se sustituye en f t para determinar el signo de f t1.

Para elegir el extremo superior t2 debe hacerse una estimación del tiempo de caída de la pelota y tomar un valor algo mayor. La estimación se hará según los valores de las magnitudes conocidas y la experiencia; por esto el problema físico debe partir de una situación real que el estudiante pueda representarse y tener una idea más o menos aproximada de la solución. Una vez elegido t2 se calcula f t2  pudiéndose obtener los siguientes casos:

1) Si f t2   0 , entonces esta es la solución buscada. Considerando la exactitud de dicha solución a partir de la de los datos.

2) Si f t2   0, se compara su signo con el de f t1 y pueden ocurrir dos casos:.

2.1) Si coinciden se repite el proceso para elegir otro t2 puesto que ello significa que

el tiempo de caída tf es posterior a t2 , es decir tf  t1; t2 .

163 2.2) Si son diferentes, se calculan tm 1 y la longitud del intervalo con las ecuaciones:

t  t t  2 1 y t  t , respectivamente. La longitud del intervalo obtenida se m 1 2 2 1 compara con la exactitud requerida 2 .

2.2.1) Si se obtiene t2  t1  2 entonces se toma tm 1 como la solución. Aquí

puede darse el caso en que tm 1 haga f t  0 pero esto no significa que la solución sea exacta como sí ocurre en Matemática donde las magnitudes representan cantidades exactas.

2.2.2) Si se obtiene t2  t1  2 , entonces se repite el proceso. Tomando, de

los dos intervalos en que quedó dividido t1; t2 , aquel en que la función cambia de signo.

tn  tn 3) La expresión general para calcular t es t  2 1 . donde n significa el m n m n 2

número de veces que se ha dividido el intervalo original y tn1, tn 2 denotan los valores de los extremos inferior y superior del n – ésimo intervalo. En la n – ésima división la

t  t tn  tn longitud del intervalo es 2 1 ó 2 1 . El proceso se detiene cuando se 2n 2

t  t1 t  t obtenga 2  2 con la seguridad de que el error no supera 2 1   . 2n 2n1 La aproximación de este método consiste en tomar el valor buscado como el centro del intervalo cuando realmente se desconoce con qué punto del intervalo se corresponde dicho valor. Desde el punto de vista matemático solo se puede afirmar que es un punto interior al mencionado intervalo. La importancia de valorar este error, desde el punto de vista físico, radica en poder enmascararlo según las cifras exactas de los datos puesto que en física no tiene sentido hablar de magnitudes cuyo valor es exacto al 100%.

164 ANEXO 11 Anexo 11: Estructura de las TD2 y esquema de su procedimiento de solución ESTRUCTURA DE LAS TD2 Y ESQUEMA DE SU PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

Condiciones Función interobjeto

Descomposición del fenómeno PROBLEMA TEÓRICO CUANTITATIVO ASEQUIBLE DE FÍSICA Transformaciones Simplificación del fenómeno

Composición del fenómeno

Exigencia Fórmula Numérica

165 ANEXO 12 Anexo 12: Concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física para las TD2 a partir de su procedimiento de solución CONCRECIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE TAREAS TEÓRICAS DE FÍSICA PARA LAS TD2 A PARTIR DE SU PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

Estructura del método de solución de Estructura del método de solución de tareas teóricas las TD2

INTERPRETACIÓN DEL FENÓMENO O PROCESO, COMPRENCIÓN DE RECONOCIMIENTO DE LA FUNCIÓN INTEROBJETO, DE LA TAREA LAS MAGNITUDES CONOCIDAS Y DE LA INCÓGNITA

CONFECCIÓN DEL APROXIMACIÓN DEL FENÓMENO PLAN DE LA SOLUCIÓN

DESCOMPOSICIÓN DEL FENÓMENO

EJECUCIÓN DEL PLAN DE LA SOLUCIÓN SIMPLIFICACIÓN DEL FENÓMENO

COMPOSICIÓN DEL FENÓMENO

SOLUCIÓN TEÓRICA

CONTROL VALORATIVO CONTROL VALORATIVO DEL CURSO DEL CURSO DE LA DE LA SOLUCIÓN, Y DE LOS SOLUCIÓN Y DE LOS RESULTADOS EVIDENCIANDO EL RESULTADOS CARÁCTER APROXIMADO DE AMBOS

CONTRASTACIÓN TEÓRICA DE LOS CONTRASTACIÓN RESULTADOS Y DE SU CONDICIÓN TEÓRICA DE LOS DE VERDAD OBJETIVA CON RESULTADOS CARÁCTER RELATIVO

PROPOSICIÓN DE PROPOSICIÓN DE LA NUEVA TAREA LA NUEVA TAREA

166 ANEXO 13 Anexo 13: Ejemplo de una TD2 y análisis de su solución según el procedimiento propuesto EJEMPLO DE UNA TD2 Y ANÁLISIS DE SU SOLUCIÓN SEGÚN EL PROCEDIMIENTO PROPUESTO

Enunciado de una TD2 y análisis de su estructura:

Una pelota de masa m que se deja caer desde el borde de un acantilado de altura ha demora en llegar al fondo un tiempo tv . Considerando que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad, la ley de su movimiento toma la forma: b 2  t 2 mg m m m h(t)  t  ge  g  h0 (1) b b2 b2 Donde: g es la aceleración de la gravedad; b es el coeficiente de fricción entre el aire y la pelota, t es el tiempo; h0 es la posición inicial; h(t) es la posición en función del tiempo.

Determine una expresión que permita obtener la función v(t).

En esta tarea docente el objetivo es deducir una fórmula numérica para el cálculo de la primera derivada, dicho objetivo se concreta en la exigencia “Determine una expresión que permita obtener la función v(t)”. Aquí la expresión solución contendrá la magnitud velocidad como incógnita, pero como se pide la función se necesitará poder calcular, al menos un conjunto de sus valores. Por ello el estudiante aún cuando calcule pares ordenados de velocidad y tiempo por separado se verá precisado a realizar un análisis integral del conjunto de valores obtenidos.

En las condiciones se brinda la ley del movimiento de la partícula ht expresada en forma analítica. Esta expresión es el interobjeto pues como se verá más adelante ella es la función que se transforma a través de los métodos numéricos (derivación numérica) para cumplir con la exigencia.

Esta tarea debe usarse al impartir la unidad de Cinemática de la asignatura Mecánica la cual está ubicada según el plan de estudio actual cuando en Matemática Superior no se ha definido aun el concepto de derivada. En este caso se considera que el estudiante domina como contenidos previos, de preuniversitario, los conceptos de modelo físico, movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo uniformemente variado y sabe

167 operar con sus expresiones matemáticas. Sin embargo, la observación de ley del movimiento presentada en las condiciones de la tarea corrobora que el movimiento de la pelota no coincide con ninguno de los estudiados y en consecuencia, el estudiante, no conoce ninguna expresión para calcular su velocidad. Luego, esta tarea docente constituye un problema para él, que como se verá más adelante puede resolver con los contenidos que ya domina y la ayuda del profesor siguiendo el método de diálogo. Luego es un problema asequible.

Como solución se obtendrá la expresión para calcular vt que coincidirá con la fórmula de dos puntos de derivación numérica y constituye el método a introducir.

Al presentarse la situación problémica debe apelarse a los conocimientos del estudiantes para detectar que dicha situación puede ser resuelta de forma aproximada, luego qué aproximación realizar y cómo llevarla a cabo son las situaciones qué se deben resolver para dar solución a la tarea.

Las preguntas del maestro estarán dirigidas a presentar la necesidad de la aproximación a un fenómeno conocido (por ejemplo caída libre) que de hacerse para todo el tiempo de caída llevaría a un error muy grande. Para una comprensión más completa de ello puede dejarse indicada una tarea docente, anterior a esta, en la que se pida calcular la distancia recorrida por un cuerpo para un tiempo dado; primero en caída libre y después considerando la resistencia del aire y comparar los resultados. Entonces, el estudiante debe proponer realizar la aproximación por tramos. Aquí puede discutirse el tamaño de los tramos y otros detalles que el profesor crea necesario de acuerdo con la tarea concreta. Todo este análisis muestra la necesidad de hacer aproximaciones y tener en cuenta que estas sean, en la medida de lo posible, lo más cercanas a la realidad. Aquí el carácter relativo de la verdad objetiva se analizará como necesidad.

Solución de la TD2 anterior usando el procedimiento definido:

Descomposición del fenómeno:

En la función interobjeto la variable independiente es el tiempo t y la dependiente es la posición h. Para la descomposición del fenómeno debe realizarse una partición del dominio de modo que este quede dividido en tramos, la cantidad de tramos se elegirá

168 durante el proceso de solución. Como puede verse en esta tarea no se han dado valores por lo que la división se hará de forma literal. Es decir: t0, t1, t2,...,ti ,...,tn 1,tn . Así, el dominio quedará dividido en n tramos. Si la función interobjeto estuviera expresada en forma gráfica se procederá del mismo modo. La red determinada por la partición puede ser uniforme o no, (tramos equidistantes o no, respectivamente). Si el interobjeto estuviera expresado en forma tabular los tramos ya estarán predeterminados por los valores de la tabla.

Para determinar la longitud de los tramos equidistantes t debe dividirse la longitud del t  t intervalo en que se define el dominio entre la cantidad de tramos, es decir: t  f 0 . El n valor de cada ti se calcula del siguiente modo ti  ti1  t .

La partición se modelará como se muestra en la figura A9 – 1.

Fig. A9 – 1 Modelación de la partición del intervalo

En el caso de que se decida realizar una partición no uniforme, entonces debe destacarse que los  t difieren entre si y por ende deben ser identificados. Luego debe escribirse

 ti  ti  ti 1 con la condición de que de modo general  ti   t j con i  j . Tal partición no es aconsejable que sea usada en las TD2, puesto que introduciría una complicación innecesaria, aunque la fórmula obtenida con ella es más general pues puede llevarse al caso de red uniforme haciendo  ti   t j ; i, j con i  j ..

Simplificación del fenómeno:

Primeramente, es preciso elegir uno de los tramos. Para el movimiento dado se toma la expresión general de la velocidad media, válida para cualquier movimiento. h  h v  i i 1 (2) m  t

169 donde:  t es el intervalo de tiempo que determina el tamaño del tramo elegido. Para esta tarea es aconsejable elegir tramos equidistantes y así hacer más fácil el análisis. hi es el valor de la función interobjeto en ti . Con la fórmula anterior no se logra cumplir con la exigencia de la tarea, puesto que ella no dice para qué instante de tiempo se alcanza dicha velocidad. Recordemos que al aplicar esta ecuación solo podemos decir que existe al menos un punto en el intervalo elegido en el cual la velocidad instantánea coincide con la media por ser la ley del movimiento una función continua, pero no se puede asegurar en qué punto ocurre esto. Apelando nuevamente a los conocimientos previos puede preguntarse al estudiante para qué tipos de movimiento se conoce, de antemano, que la velocidad media coincide con la instantánea en la mitad del tramo. Sus respuestas serán el movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo uniformemente variado. De ellos, debe elegirse el segundo porque es el que requiere hacer menos aproximaciones al fenómeno real y en consecuencia a la función interobjeto. Luego, en el tramo elegido el movimiento se aproximará a una caída libre. Las simplificaciones, desde el punto de vista físico, consisten en despreciar la resistencia del aire (aproximación de carácter cualitativo) y, desde el punto de vista matemático, en asumir que el valor de velocidad media se alcanza en la mitad del tramo, cuando en realidad no se sabe en qué punto del intervalo se alcanza (aproximación a nivel de expresión literal). Ambos tipos de aproximaciones deben usarse para evidenciar el carácter relativo de la verdad objetiva.

Ahora se puede escribir vm  v t y  2  t  hi  hi 1 vti    (3)  2   t La expresión (3) permite calcular la velocidad en el centro del tramo elegido. De este  t t  modo, para ese tramo se obtiene el par ti  ; vti    2 2  Al ser medida la posición para intervalos de tiempos iguales t  ti  ti 1, puede considerarse, no el intervalo entre dos mediciones consecutivas, sino entre tres de modo

hti 1  hti 1 que (3) tome la forma: vti   , es decir: ti 1  ti 1

170 ht   ht  vt   i 1 i 1 (4) i 2t Con la expresión (4) se puede obtener el par ti ;vi  La justeza matemática de la solución encontrada se puede comprobar si se escribe la expresión (4) de la forma:

y i 1  y i 1 y xi   (5) xi 1  xi 1 Lo que puede lograrse haciendo, vti   hti , el cambio de variables: t  x; h  y; h  y  .

Y sustituyendo 2t por ti 1  ti 1. Esta es la fórmula de los dos puntos para calcular la primera derivada por métodos numéricos (ver anexo 3). El proceso anterior se aplica a cada tramo del modo siguiente: ht   ht  vt   2 0 , para los tres puntos consecutivos: t ;h , t ;h , t h  1 2t 0 0 1 1 2; 2 ht3   ht1 vt   , para los tres puntos consecutivos: t1;h1, t2; h2 , t3;h3  2 2t ...... hti1  hti1 vt   , para los tres puntos consecutivos: ti 1;hi 1, ti; hi , ti 1;hi 1 i 2t     ...... htn   htn2  vt   , para los tres puntos contiguos: ti 2;hi 2 , tn 1; hn 1, tn ;hn  n1 2t    

De las fórmulas obtenidas se ve que los valores de v(ti )se pueden calcular solo para los tiempos ti con i  N , 1  i  n  1 ya que para v(t0 ) no se conoce el valor de la posición en

t01 y para v(tn )no se conoce la posición para tn 1 puesto que estos instantes de tiempo quedan fuera del intervalo en que se estudió el movimiento de la pelota por lo cual ellos no pertenecen al dominio de la función interobjeto.

Composición del fenómeno:

En esta etapa de la solución debe restituirse en uno solo la sucesión de fenómenos anteriores.

171 En la solución se obtendrá un conjunto de números que constituyen una representación tabular de la función de la velocidad. La tabla a obtener es la siguiente:

v t m n t s    s 1 t1 vt1 2 t2 vt2  3 t3 vt3  ...... i ti vti  ......

n  1 tn 1 vtn1 En el fenómeno así obtenido, se analizará que la velocidad no varía de modo uniforme sino de otro modo desconocido. Para ello pueden representarse los puntos ti ;hi , en un sistema de coordenadas con lo cual se obtendrá un grafico aproximado de ht,. Para ello se darán previamente valores a los parámetros expresados en forma literal y al tiempo para poder calcular hi . Todo ello puede hacerse muy fácil en Excel.

A partir de dicho gráfico se analizará que el comportamiento de vt debe ser una poligonal abierta con segmentos de diferente pendiente, a diferencia de la única recta que se obtendría si la velocidad variara de modo uniforme caso particular en que su valor medio coincide con su valor instantáneo en la mitad de cada tramo; pero como ya se analizó, en esto precisamente radica la aproximación realizada.

La obtención de la forma que adoptará la curva vt puede ser la incógnita de la nueva tarea que se plantee el estudiante y que puede ser realizada a través de una TD3.

172 ANEXO 14 Anexo 14: Estructura de las TD3 y esquema de su procedimiento de solución ESTRUCTURA DE LAS TD3 Y ESQUEMA DE SU PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

Función interobjeto Condiciones en forma singular

Singularización de la fórmula numérica

Elaboración del algoritmo PROBLEMA TEÓRICO CUANTITATIVO ASEQUIBLE DE FÍSICA Transformaciones Implementación del algoritmo

Ejecución del algoritmo

Compilación de los resultados

Función de un ente físico Exigencia singular o valor de una magnitud Físicas

173 ANEXO 15 Anexo 15: Concreción de la estructura del método de solución de tareas teóricas de Física con procesamiento informático de los datos en la estructura del procedimiento de solución de las TD3 CONCRESIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE TAREAS TEÓRICAS DE FÍSICA CON PROCESAMIENTO INFORMÁTICO DE LOS DATOS EN LA ESTRUCTURA DEL PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN DE LAS TD3

Estructura del método de solución de Estructura del método de solución de tareas teóricas de Física con las TD3 procesamiento informático de los datos

INTERPRETACIÓN DEL FENÓMENO O PROCESO, COMPRENSIÓN DE RECONOCIMIENTO DE LA FUNCIÓN INTEROBJETO, DE LA TAREA LAS MAGNITUDES CONOCIDAS Y DE LA INCÓGNITA

CONFECCIÓN DEL RECONOCIMIENTO DE LA VÍA PLAN DE LA SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SOLUCIÓN

SELECCIÓN DEL MÉTODO NUMÉRICO

EJECUCIÓN DEL PLAN SINGULARIZACIÓN DE LA FÓRMULA NUMÉRICA TEÓRICA DE LA SOLUCIÓN SOLUCIÓN ELABORACIÓN DEL ALGORITMO

CONFECCIÓN DEL IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO EN EXCEL PLAN DE LA SOLUCIÓN

EJECUCIÓN DEL ALGORITMO EJECUCIÓN DEL PLAN DE LA SOLUCIÓN COMPILACIÓN DE LOS RESULTADOS SOLUCIÓN

INFORMÁTICA

CONTROL VALORATIVO CONTROL VALORATIVO DEL CURSO DE DEL CURSO DE LA LA SOLUCIÓN, Y DE LOS RESULTADOS SOLUCIÓN Y DE LOS ANALIZANDO EN QUÉ CONSISTE EL RESULTADOS CARÁCTER APROXIMADO DE AMBOS EVIDENCIANDO EL CARÁCTER CONTRASTACIÓNAPROXIMADO TEÓRICA DE AMBOS DE LOS CONTRASTACIÓN RESULTADOS Y DE SU CONDICIÓN TEÓRICA DE LOS DE VERDAD OBJETIVA CON RESULTADOS CARÁCTER RELATIVO

PROPOSICIÓN DE PROPOSICIÓN DE LA NUEVA TAREA LA NUEVA TAREA 174 ANEXO 16 Anexo 16: Ejemplo de una TD3 y análisis de su solución según el procedimiento propuesto EJEMPLO DE UNA TD3 Y ANÁLISIS DE SU SOLUCIÓN SEGÚN EL PROCEDIMIENTO PROPUESTO Enunciado de una TD2 y análisis de su estructura:

Una pelota de masa 150 g que se deja caer desde el borde de un acantilado de 300 m de altura, demora en llegar al fondo 14,72s . Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y ubicando el sistema de referencia como se indica en la figura (1), la ley de su movimiento toma la forma:

ht  24,5t  61,3e0,4 t  61,3 (1)

Fig. 1 Determine cómo varía la velocidad en función del tiempo durante la caída. En esta tarea docente la función interobjeto es la expresión (1) que está escrita para un caso específico de caída de un cuerpo en el campo gravitatorio terrestre considerando la resistencia del aire. El objetivo es determinar la velocidad en función del tiempo y se concreta en la exigencia “Determine cómo varía la velocidad en función del tiempo durante la caída”. Aquí la expresión solución debe contener la velocidad como incógnita y el resultado es un conjunto de números que constituyen la función velocidad expresada en forma tabular.

Esta tarea se usará en el tema Cinemática de la asignatura Mecánica después de resolver la TD2 que se muestra en el anexo 13. La fórmula numérica que la resuelve, se obtiene a partir de la comparación de la fórmula de los dos puntos para calcular la primera derivada obtenida en la TD2 que le antecede. Constituyendo, en estas condiciones, un problema

175 asequible, que se resuelve con los contenidos previos y la ayuda del profesor a través del diálogo problémico.

Solución de la TD3 usando el procedimiento definido:

Etapa de singularización de la fórmula numérica: El fenómeno que se describe en esta tarea es una manifestación singular de la caída de un cuerpo en el campo gravitatorio considerando la resistencia del aire. La función interobjeto que describe su ley del movimiento es análoga a la expresión (1) de la TD2 expuesta en el anexo 13. Su dominio es 0  t  14,72 . Luego, la partición se hará en el intervalo 0; 14,72. Aquí se pedirá opinión a los estudiantes sobre la selección de la cantidad de tramos que conformarán la partición. Diferentes estudiantes pueden realizar diferentes particiones. Supongamos que realizamos una partición uniforme de 20 tramos, es decir n  20 . Ver figura 2 de este anexo.

Fig. 2 Partición del dominio en una red uniforme La expresión (4) del anexo 13 es la que se usará para calcular la velocidad para los instantes desde t1 hasta t19 puesto que para t0 y t 20 no se posee la información necesaria. ht   ht  Luego se usará: vt   i 1 i 1 con i  N; 1; 19 i 2t

El valor de velocidad inicial se tomará como v0  0 considerando que en el enunciado de la tarea dice que “se deja caer lo pelota”, lo que debe tomarse como que la pelota parte del reposo.

Una vez realizados los cálculos se analizará el fenómeno como un todo para lo cual se elaborará el gráfico de vt a partir de los puntos obtenidos y se discutirá el tipo de función obtenido.

Etapa de elaboración del algoritmo:

176 El algoritmo a seguir es: 14,72 1) Calcular t con la expresión t  . 20

2) Determinar cada uno de los ti con la expresión ti  ti 1  t . Tomando t0  0 .

3) Determinar cada hti  evaluando ti en la función interobjeto:

ht  24,5t  61,3e0,4 t  61,3 ht  ht  4) Calcular cada valor de vt  con la expresión: vt   i 1 i 1 i i 2t

5) Representar gráficamente los puntos ti ; v i . Etapa de implementación del algoritmo en Excel

A continuación se muestra un prototipo que puede ser implementado en la máquina siguiendo la misma sintaxis con que se muestra. Todas las celdas a que se hace referencia se representan en la tabla de la figura 3. Sugerimos consultar dicha tabla para entender a que columnas o celdas se hace referencia en cada caso.

Las columnas en que se recogen los valores a graficar y el propio gráfico se muestran en la figura 4. 1)  14,72 / 20 . Ver celda A2.

2) Definir una columna para n, entrar los valores de n en el intervalo (0; 20) . Ver

columna B, celdas (C2; C22). Definir una columna para ti ver columna C, en la primera celda (C2) entrar el valor 0. En la segunda celda (C3) se define  C2  valor de A2 .

Después se arrastra el cursor hasta C22

3) Definir una columna para hti . Ver columna D. En la primera celda D2 definir:  24,5 * C2  61,3 * EXP 0,4 * C2 61,3 . Para calcular los valores restantes arrastrar el

cursor hasta D22.

4) Definir una columna para vti . Ver columna (E). En la primera celda (E2), entrar el valor 0. En la segunda (E3) definir: =(D4-D2)/2*0,736. Para calcular los valores restantes se arrastra el cursor hasta E22. 5) La selección de las columnas a graficar se hará marcando primero la columna que contiene los valores de la variable independiente columna C y después presionando la

177 tecla control marcar la de la variable dependiente E. Después se debe pinchar en gráfico. Seleccionar gráfico de dispersión, de allí el más adecuado es el que muestra los puntos y los une con una curva suave. Una vez seleccionado el gráfico deben seguirse las instrucciones que muestra la ventana hasta finalizar. Ver figura 4. A Etapa de ejecución del algoritmo en Excel:

A B C D E

t  t   t 14,72 i i 1 0,4t hti 1 hti 1  t  ht  24,5t  61,3e  61,3 vti   1 20 n 2t t0  0

2 0,736 0 0,000 0,0 0 3 1 0,736 2,4 6,0 4 2 1,472 8,8 10,7 5 3 2,208 18,1 14,2 6 4 2,944 29,7 16,8 7 5 3,680 42,9 18,8 8 6 4,416 57,4 20,2 9 7 5,152 72,7 21,3 10 8 5,888 88,8 22,1 11 9 6,624 105,3 22,7 12 10 7,360 122,2 23,2 13 11 8,096 139,5 23,5 14 12 8,832 156,9 23,8 15 13 9,568 174,5 24,0 16 14 10,304 192,1 24,1 17 15 11,040 209,9 24,2 18 16 11,776 227,8 24,3 19 17 12,512 245,7 24,3 20 18 13,248 263,6 24,4 21 19 13,984 281,5 24,4 22 20 14,720 299,5 24,4

Fig. 3 Tabla de valores iniciales y cálculos realizados en Excel.

178

Fig. 4 Tabla de valores y gráfico de la velocidad en función del tiempo Etapa de compilación de los resultados

La tabla de valores recogidos en las columnas C y E contienen la función de la velocidad expresada en forma tabular, la cual da solución a la tarea propuesta. En la figura 4 se tiene la misma función en forma gráfica. Para encontrar su expresión analítica debe analizarse cada una de sus dos representaciones anteriores.

La forma en que se ubican los puntos en el gráfico lleva a pensar que estos se distribuyen según una exponencial negativa de la forma: vt  A  B ekt , con A, B, k constantes; k  0 y t  0 . De la expresión analítica propuesta se observa que A y B tienen dimensiones de velocidad, mientras que el producto kt es adimensional, de donde, k posee dimensión inversa a la del tiempo.

179 El hecho de escoger esta expresión se debe a que en ella para tiempos relativamente grandes, según sea el valor de k, el término B ekt se hace casi cero, comenzando a predominar el valor de A, como ocurre en el gráfico. Entonces, la función se comporta prácticamente constante acercándose cada vez más a A.

Esto, físicamente, significa que cuando ha pasado determinado tiempo el factor B ekt , no provoca cambios en la velocidad. De modo que a partir de ese momento la velocidad se hace constante y su gráfico es una recta horizontal, la recta vt  A . Como en Física cada magnitud posee una cantidad limitada de cifras exactas, entonces, tal tiempo es aquel para el cual las cifras del término B ekt , correspondientes a las que ocupan los lugares decimales significativos en A, se hacen cero. A partir del gráfico puede tomarse A  24,4 m s . Este elemento diferencia el modelo físico del matemático por lo que es un elemento a favor para contribuir a valoración del carácter relativo de la verdad objetiva.

El valor de B se determina a partir del intercepto de la curva con los ejes coordenados que ocurre en 0; 0. Observemos en vt  A  B ekt que para t  0 , ekt  e0  1 y

B ekt  B . De este modo, sustituyendo, el punto 0; 0 en vt  A  B e-kt se obtiene

0  A  B ek0 y de aquí 0  A  B . Luego, se obtiene B  A , ó B  24,4 m s .

Ahora, es preciso determinar el valor de k para ello se sustituyen los valores de las constantes A y B en la expresión vt  A  B e-kt y allí mismo se evalúa un punto cualquiera diferente de 0; 0 perteneciente al gráfico. Por ejemplo, 1,472; 10,7. De modo

-kti que se obtiene la expresión vti   A  B e , o para el punto seleccionado

10,7  24,4  24,4 e-k1,472 que es una ecuación trascendente para la incógnita k que se

1  24,4  10,7  resuelve despejando k del siguiente modo: k   ln  . La solución es 1,472  24,4 

k  0,392s 1.

180 Finalmente puede escribirse la expresión analítica vt  24,4  24,4 e-0,392 t que representa aproximadamente la dependencia funcional de la velocidad respecto al tiempo durante el fenómeno de caída de la pelota.

La aproximación del método numérico usado consiste en considerar que el valor medio de la velocidad se alcanza en el centro del intervalo cuando, realmente, se desconoce para qué punto del intervalo se alcanza dicho valor. Matemáticamente, sobre la base del teorema del valor medio, solo se puede afirmar que tal valor corresponde a un punto interior al intervalo.

La obtención de la expresión analítica a partir del gráfico comporta este error y se le adiciona el que se comete al despreciar el término que contiene el exponencial a partir de determinado momento. Este elemento diferencia al modelo físico del matemático pues mientras que en el matemático la velocidad nunca se hace constante en el físico esto si ocurre debido a la incertidumbre con que se pueden medir las constantes involucradas. La realidad se acerca más al modelo matemático pero en física no se puede uno deshacer de la incertidumbre de las mediciones. Una claridad mayor sobre el desarrollo de dicho fenómeno se tiene cuando se aborden, en el tema de dinámica de la traslación, las fuerzas variables.

181 ANEXO 17 Anexo 17: La estructura del método de solución de tareas experimentales de Física con procesamiento informático de los datos y la estructura del método de solución de las TDG2 experimentales LA ESTRUCTURA DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE TAREAS EXPERIMENTALES DE FÍSICA CON PROCESAMIENTO INFORMÁTICO DE LOS DATOS Y LA ESTRUCTURA DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LAS TDG2 EXPERIMENTALES.

TAREAS EXPERIMENTALES CON TDG2 EXPERIMENTALES PROCESAMIENTO INFORMÁTICO DE LOS DATOS

COMPRENSIÓN DE LA TAREA COMPRENSIÓN DE LA TAREA

RECONOCIMIENTO DE LA VÍA NUMÉRICA DE SOLUCIÓN

CONFECCIÓN DEL PLAN DE LA SOLUCIÓN SELECCIÓN DEL MÉTODO NUMÉRICO

SINGULARIZACIÓN DE LA FÓRMULA NUMÉRICA EJECUCIÓN DEL PLAN DE LA SOLUCIÓN ELABORACIÓN DEL ALGORITMO

TEÓRICA SOLUCIÓN

DISEÑO DEL DISEÑO DEL EXPERIMENTO EXPERIMENTO

EJECUCIÓN DEL EXPERIMENTO, REAL EJECUCIÓN DEL EXPERIMENTO ZACIÓN DE LAS MEDICIONES DIRECTAS Y CONCRECIÓN DE LA FUNCIÓN INTEROBJETO

EXPERIMENTAL SOLUCIÓN

CONFECCIÓN DEL IMPLEMENTACIÓN DEL ALGORITMO EN EXCEL PLAN DE LA SOLUCIÓN

RMÁTICA EJECUCIÓN DEL ALGORITMO EJECUCIÓN DEL PLAN DE LA SOLUCIÓN COMPILACIÓN DE LOS RESULTADOS SOLUCIÓN INFO SOLUCIÓN

CONTROL VALORATIVO DEL CONTROL VALORATIVO DEL CURSO DE LA CURSO DE LA SOLUCIÓN Y DE SOLUCIÓN, Y DE LOS RESULTADOS ANALIZANDO LOS RESULTADOS EN QUÉ CONSISTE SU CARÁCTER APROXIMADO

CONTRASTACIÓN TEÓRICA DE LOS CONTRASTACIÓN TEÓRICA RESULTADOS Y DE SU CONDICIÓN DE VERDAD DE LOS RESULTADOS OBJETIVA CON CARÁCTER RELATIVO

PROPOSICIÓN DE LA NUEVA TAREA PROPOSICIÓN DE LA NUEVA TAREA 182 ANEXO 18 Anexo 18: Ejemplo de guía de estudio de Mecánica EJEMPLO DE GUÍA DE ESTUDIO DE MECÁNICA

INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO “FELIX VARELA”

FACULTAD: ENSEÑANZA MEDIA SUPERIOR

DEPARTAMENTO: CIENCIAS EXACTAS

CARRERA DE CIENCIAS EXACTAS, CRD Y CPT

DISCIPLINA: FÍSICA GENERAL

AÑO: 2 do. MÓDULO: I

ASIGNATURA: MECÁNICA

Guía # 3

Encuentro # 3

Elaborado por: M. Sc. Yusimí Guerra Véliz

Tema # 1: Introducción a la Física General. Cinemática.

Situación problémica

El chofer de una rastra que viajaba por un tramo recto de la autopista en horario nocturno, a una velocidad v en (km/h) aplica los frenos ante un animal suelto en la vía. La velocidad de la rastra comienza a disminuir de modo no uniforme, producto de la fuerza de frenado,

c t3 según la ley v  v0  Donde: m es la masa de la rastra; c es una constante que 3 depende de las condiciones técnicas de dicha rastra para frenar y de la superficie de la vía, sus unidades de medida son: (m/s4); t es el tiempo transcurrido desde el momento en que se aplican los frenos. Determine la distancia recorrida por la rastra hasta detenerse. 183 Objetivo formativo

Resolver el problema fundamental de la Mecánica desde el punto de vista cinemático a partir del estudio de los diferentes tipos de movimiento clasificándolos según su trayectoria, el comportamiento de su velocidad y aceleración para lo cual se usarán métodos numéricos que permitan valorar el carácter objetivo y aproximado de los conocimientos físicos.

Objetivos específicos 1. Definir los conceptos básicos de cinemática. 2. Clasificar los movimientos por el tipo de trayectoria. 3. Clasificar los movimientos por el comportamiento de la velocidad. 4. Resolver tareas teóricas de carácter cualitativo y cuantitativo aplicando los conceptos básicos de la cinemática. Usando métodos numéricos, análisis vectorial, y métodos geométricos ya sean gráficos o analíticos. 5. Resolver tareas experimentales sencillas sobre movimiento mecánico. 6. Valorar el carácter aproximado y objetivo de los modelos físicos y matemáticos utilizados.

Problema profesional

Resolver el problema fundamental de la mecánica, desde el punto de vista cinemático, lo cual garantiza una adecuada preparación del profesor de ciencias exactas para desempeñarse como profesor de Física en preuniversitario.

Desarrollo

Contenidos

Cinemática de la partícula. Importancia de la mecánica. Movimiento mecánico y su clasificación general. El problema general de la mecánica. Movimiento de traslación. El modelo de partícula. Objeto de estudio de la cinemática. Algunos conceptos básicos de la cinemática. Sistema de referencia, posición, desplazamiento, trayectoria, velocidad y aceleración.

184 Movimiento unidimensional. Posición, desplazamiento, longitud de la trayectoria, velocidad media y celeridad media. Velocidad instantánea y celeridad instantánea. Aceleración media y aceleración instantánea.

Estudio del movimiento rectilíneo uniforme. Estudio del movimiento rectilíneo uniformemente variado. Estudio del movimiento curvilíneo, aceleración tangencial y normal. Estudio del movimiento circular uniforme y estudio del movimiento circular uniformemente variado.

Orientaciones para el estudio

1. Como contenidos previos usted debe dominar los referentes al tema de cinemática que aparecen con el capítulo 2 del texto 1. Para recordarlos le recomendamos realizar un estudio de los epígrafes 2.1 al 2.7 y del 2.9 al 2.19.

2. Realizar un resumen de los conceptos punto material, posición, sistema de referencia, desplazamiento, velocidad, aceleración. Analice el comportamiento de estas magnitudes para los tipos de movimientos que allí aparecen. Es importante diferenciar entre los valores instantáneos y medios de velocidad y aceleración de forma general y en cada tipo de movimiento. Debe analizarse el modo obtener gráficamente la velocidad media, la aceleración media y el desplazamiento, la relación entre ellas y su interpretación geométrica pues estos conceptos sentarán las bases para el estudio de otros tipos más complejos de movimiento. Debe prestar especial atención, además, al tratamiento vectorial de las diferentes magnitudes, usando el texto 1.

3. En el epígrafe 2.1 del texto 2 usted debe: precisar el concepto de movimiento mecánico con ejemplos que lo ilustren y permitan identificar el sistema de referencia, caracterizar el modelo de partícula, definir el objeto de estudio de la Cinemática y su problema fundamental puntualizando que este se deriva del problema general de la Mecánica.

4. Utilizar con rigor el aparato vectorial articulando las siguientes ideas: movimiento de una partícula en el plano, determinación de la posición de la partícula para un instante cualquiera de su movimiento, vector de posición y su expresión en componentes para cada eje, distinguir entre componentes y proyección del vector para cada eje, vector

185 desplazamiento y su módulo, longitud de la trayectoria. Comparar el módulo del desplazamiento con la longitud de la trayectoria, definición de los vectores velocidad media y velocidad instantánea, este último solo cualitativamente, definición de los vectores aceleración media e instantánea (la instantánea solo cualitativamente), comparación entre los valores medios e instantáneo de velocidad y de aceleración Epígrafes 2.2; 2.3; 2.4 y 2.9 incluyendo el 2.9.1.

5. Resolver las tareas generales del capítulo 2 del texto 1 que se orientan a continuación: 5, 8, 11, 16, 17, 26, 27, 44. Realice los gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo en todos los casos en que los datos lo permitan. De ser posible exprese las soluciones también, en forma gráfica.

6. Resuelva la situación problémica planteada al inicio para ello le hacemos las siguientes sugerencias que usted usará en la medida que lo necesite:

6.1. Trate de obtener una expresión general para calcular distancia pedida usando la interpretación geométrica del desplazamiento.

6.2. Represente gráficamente el módulo de la velocidad en función del tiempo y trate de obtener una expresión que le permita calcular el área bajo la curva obtenida que coincidirá con la distancia recorrida.

6.3. Divida el intervalo de tiempo desde que se aplican los frenos hasta detenerse en subintervalos más pequeños y pruebe a ver si ahora puede obtener una expresión para calcular el área de cada subintervalo que coincidirá con la distancia recorrida en ese subintervalo.

6.4. Considere que en cada subintervalo el movimiento es de un tipo conocido y use las ecuaciones de tal movimiento para calcular la distancia recorrida en dicho subintervalo.

6.5. Obtenga una expresión general para calcular la distancia total como la suma de expresiones empleadas para calcular las distancias en cada subintervalo.

6.6. Auxíliese de la solución completa que se brinda en el anexo 1 de la presente guía.

186 7. Suponiendo que en la tarea anterior el frenado de la rastra ocurre a partir de una velocidad de 120 km/h y que el valor de la constante c es –3,63 m/s4, realice la solución informática de la misma. Para ello siga la estructura de solución que le proponemos en el 2 de esta guía.

8. Una pelota de masa m que se deja caer desde el borde de un acantilado de altura ha

demora en llegar al fondo un tiempo tv . Considerando que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad, la ley de su movimiento toma la forma:

b mg m2  t m2 h(t )  t  ge m  g  h0 (1) b b2 b2

Donde: g es la aceleración de la gravedad; b es el coeficiente de fricción entre el aire y la

pelota, t es el tiempo; h0 es la posición inicial; h(t) es la posición en función del tiempo.

Determine una expresión que permita obtener la función v(t).

Para resolver esta tarea debe seguir el mismo método de solución de la situación problémica resuelta.

9. Una pelota de masa 150 g que se deja caer desde el borde de un acantilado de 300 m de altura, demora en llegar al fondo 14,72s . Suponiendo que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y ubicando el sistema de referencia como se indica en la figura (1), la ley de su movimiento toma la forma:

ht  24,5 t  61,3 e0,4 t  61,3 (1)

Fig. 1

187 Determine cómo varía la velocidad en función del tiempo durante la caída.

Para resolver esta tarea debe seguir el mismo método de solución de la tarea 5.

10. Realice una clasificación de los tipos de movimientos teniendo en cuenta la forma de la trayectoria y la velocidad en la que incluya los movimientos abordados en las tareas de la 4 a la 7.

11. Para los diferentes tipos de movimiento rectilíneo estudiados hasta el que varía de modo no uniforme establezca una comparación entre el instante en que se alcanza la velocidad media y la velocidad instantánea, trascurrida la mitad del tiempo que dura el movimiento.

12. Haga un resumen en el que tenga en cuenta la relación entre las magnitudes desplazamiento, posición, velocidad y aceleración y el modo de obtener una de ellas a partir del conocimiento de la otra.

13. Estudie el movimiento de proyectiles por el texto 2 epígrafe 2.11 y el movimiento curvilíneo en el 2.12.

14. Estudiar las tareas resueltas que aparecen en el texto 3 en los anexos del 3 al 8, el 11 y el 12.

15. Estudiar el ejercicio 2.1 página 31 del texto 2 en él se resumen las magnitudes fundamentales cinemáticas para el movimiento rectilíneo, resuelva los incisos c y e empleando los métodos usados en las tareas 8 de esta guía y la 8 del texto 3 respectivamente. Conclusiones

El enfoque que proponemos seguir en el estudio del contenido es un enfoque inductivo partiendo de lo singular a lo general. Es poco probable que usted domine el formalismo matemático concerniente al análisis infinitesimal por ello se ha usado el enfoque numérico que realiza los mismos tipos de operaciones pero realizando aproximaciones del problema de modo que pueda resolverse el problema a partir de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones como en los casos de la situación problémica que se propone resolver como tarea propuesta 6 y las que le siguen hasta la 9. Por ello las relaciones entre los valores

188 instantáneos de posición, velocidad y aceleración proponemos verlos de modo cualitativo y usar los métodos aproximados que proponemos para su valoración cuantitativa. Este nuevo enfoque permite tratar los movimientos más complejos que los movimientos: rectilíneo uniforme, rectilíneo uniformemente variado, circular uniforme y circular uniformemente variado a nivel de preuniversitario, en cuanto al nivel matemático, pero es imprescindible garantizar el nivel físico y matemático de partida por lo que el estudio del texto de décimo grado no debe faltar en su preparación. Bibliografía

Texto 1: Núñez Viera, Juan. Física Décimo grado. Núñez Viera y otros; Editorial Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana 2005.

Texto 2: Portuondo Duany, Raúl. Mecánica. Portuondo Duany, Raúl y Pérez Quintana, Medel. Editorial: Pueblo y Educación, Ciudad de la Habana, 1986

Texto 3: Guerra Véliz, Yusimí. Modelo Didáctico para Introducir y Aplicar los Métodos Numéricos al Estudio de la Física. Tesis de Maestría. UCLV. Santa Clara. 2005. Formato electrónico

189 ANEXO 1 GUÍA 3

SOLUCIÓN DE LA SITUACIÓN PROBLÉMICA PLANTEADA AL INICIO DE LA GUÍA

Situación problémica

El chofer de una rastra que viajaba por un tramo recto de la autopista en horario nocturno, a una velocidad de v en (km/h) aplica los frenos ante un animal suelto en la vía. La velocidad de la rastra comienza a disminuir de modo no uniforme, producto de la fuerza de

c t3 frenado, según la ley v  v0  Donde: m es la masa de la rastra; c es una constante 3 que depende de las condiciones técnicas de dicha rastra para frenar y de la superficie de la vía, sus unidades de medida son: (m/s4); t es el tiempo transcurrido desde el momento en que se aplican los frenos. Determine la distancia recorrida por la rastra hasta detenerse.

Solución

Observe la estructura del método de solución que emplearemos para resolver la situación problémica y que siempre será declarada cuando se resuelva una tarea docente en las guías de estudio.

El primer paso es la comprensión de la tarea que como podemos ver se trata de encontrar una expresión para el calculo de la distancia recorrida por un cuerpo a partir de la ley de su velocidad que es conocida, solo que en el caso dado no conocemos cómo hacerlo pues este tipo de movimiento no coincide con ninguno de los movimientos rectilíneos estudiados.

De preuniversitario solo conocemos cómo calcular dicha distancia para cuando la velocidad varía uniformemente. En ese caso tal distancia es numéricamente igual al área del trapecio que queda limitado por los ejes coordenados y el gráfico de la velocidad para el intervalo de tiempo dado. Por esta razón, en primera instancia puede pensarse en aproximar el frenado de la rastra a un movimiento rectilíneo uniformemente retardado.

190 Luego, corresponde el segundo paso que es confeccionar el plan de la solución a partir de la aproximación del fenómeno a uno conocido, es decir aproximar el tipo de movimiento de frenado de la rastra a uno conocido. La problematicidad está en cómo hacerlo.

El tercer paso consiste en la ejecución del plan de la solución para ello se debe realizar una representación de la función velocidad para tener una idea de qué área es la que debemos calcular. Para ello pueden emplearse el Derive, o mejor aun el Excel, que es el asistente que se recomienda, dándole algunos valores a las magnitudes, debe estimarse un valor para la velocidad inicial v0 y a la constante c. En este caso le recomendamos tomar c  3,63 aunque aquí lo importante es darse cuenta que c es negativa puesto que la velocidad de la rastra disminuye hasta cero. El valor absoluto de c no modifica la forma de la curva.

c t3 En la figura 1 se muestra una tabla de valores para la función v  v0  calculada en 3 Excel para lo cual se han dado valores al tiempo a partir de cero cada 0,5 segundos. En la figura 2 se muestra el gráfico de la función realizado a partir de los valores de la tabla de la figura 1. De la tabla se observa que el valor cero de la velocidad se alcanza entre 3 y 3,5 segundos.

Por estar más cercano consideraremos que ocurre para t  3,0 s.

Del gráfico de la figura 2 se observa que existe una gran diferencia entre la forma de este y la de un trapecio por lo que al aproximar el frenado de la rastra a un movimiento rectilíneo uniformemente retardado se cometería un gran error. Ver figura 3.

t v 0,00 33,30 0,50 33,15 1,00 32,09 1,50 29,22 2,00 23,62 2,50 14,39 3,00 0,63

191 3,50 -18,58 Fig. 1: Tabla de valores de la velocidad en función del tiempo para el frenado de la rastra.

Fig. 2: Grafico de velocidad en función del tiempo para el frenado de la rastra.

Fig. 3 Diferencia entre el gráfico de velocidad de frenado de la rastra y el de velocidad para un movimiento rectilíneo uniformemente retardado que demora el mismo tiempo.

¿Cómo hacer entonces la aproximación a este tipo de movimiento sin cometer un error tan grande?

192 Para ello proponemos estudiar el frenado de la rastra por tramos es decir dividir el tiempo de frenado de la rastra en pequeños intervalos y analizar si es posible la realización de las aproximaciones para cada uno de ellos. Por ejemplo en intervalos de 4 segundos. Ver figura 4.

Fig. 4: División de la función velocidad en tramos

Como puede verse de la Fig. 4, ahora el error disminuye y podemos aproximar el movimiento de la rastra en cada tramo por un movimiento rectilíneo uniformemente retardado. De la figura se ve que las rectas que representan la variación de la velocidad en cada tramo tienen pendiente diferente, luego la aceleración en cada tramo hemos de tomarla diferente.

Antes de analizar cada tramo, representemos el movimiento como en la figura 5.

193

Ahora podemos aproximar el movimiento en cada tramo como un movimiento rectilíneo 1 2 uniformemente variado y usar las ecuaciones: x  x0  vt  at y v  v0  at . 2

El valor de la aceleración para el primer tramo se puede calcular a partir de la ecuación

v1  v0 para la velocidad:v1  v0  a1(t1  t0 ), despejando a1 se tiene a1  que pueden t1  t0 ser tomados directamente del gráfico y sustituyendo a1 en la ecuación para x1, se llega a: 1 x1  x0  v0(t1  t0 )  (v1  v0 )(t1  t0 ) que permite calcular la posición para el primer 2 tramo. Un análisis similar para el segundo subintervalo permite obtener que:

1 2 v2  v1 x2  x1  v1(t2  t1)  a2(t2  t1) y v2  v1  a2(t2  t1) de donde a2  por lo 2 t2  t1 1 que: x2  x1  v1(t2  t1)  (v2  v1)(t2  t1) 2 Donde x2 es la posición que ocupa la pelota al final del segundo tramo respecto al sistema de coordenadas elegido. En general para el i–ésimo subintervalo se tendrá que: 1 xi  xi 1  vi 1(ti  t1i )  (vi  vi 1)(ti  ti 1) 2 Esta expresión permite calcular la coordenada de la pelota al final del i–ésimo tramo. Si tenemos en cuenta que hemos tomados todos los tramos de igual valor podemos 1 escribir: ti  ti 1  t de donde: xi  xi 1  vi 1t  (vi  vi 1)t 2

194 De forma general puede escribirse, sustituyendo todas las posiciones al inicio de cada tramo por la ecuación que permite calcularla, la expresión: 1 1 1 xn  x0  v0t  (v1  v0 )t  v1t  v2  v1t      vi 1t  vi  vi 1  2 2 2 1    vn1t  vn  vn1 2 Y eliminando paréntesis y reduciendo términos semejantes obtenemos: 1 1 xn  x0  v0t  v1t  v2t      vi 1t  vi t      vn1t  vnt 2 2 Que finalmente podemos escribir en la forma:

1 n1 1 xn  x0  v0t  vi t  vnt 2  2 i 1 Si el origen del sistema de coordenadas asociado al sistema de referencia se ubica en el punto donde comienza el frenado, entonces x0 = 0 y la expresión toma la forma:

1 n1 1 xn  v0t  vi t  vnt puede, además, sacarse t como factor común en cuyo 2  2 i 1 caso se escribiría la expresión aun más simplificada.  n1  1   xn  t v0  vn  2 vi 2     i 1  esta última expresión constituye la expresión solución de la tarea docente observe como durante todo el proceso de solución se ha estado realizando un control valorativo de la misma que ha estado dado por el análisis de la justeza de las consideraciones realizadas por último podemos realizar un control del resultado comprobando si la ecuación solución se expresa en las unidades pertinentes, proponemos que realice usted mismo este análisis.

Otro elemento a tener en cuenta es que en este caso particular vn  0 por lo que la  n1  1   expresión final debe ser: xn  t v0  2 vi 2     i 1  La contrastación teórica de los resultados puede realizarse si usted compara la expresión solución de cada tramo con la expresión para calcular el área de un trapecio que es la

195 figura geométrica que se obtiene al aproximar el movimiento de frenado por un movimiento rectilíneo uniformemente retardado. La suma de estas expresiones se corresponde con la expresión empleada para calcular el área total de los trapecios empleados y por último sirve de contrastatación el análisis de unidades que se le indicó realizar. Observe como los resultados obtenidos son resultados aproximados en tanto en cada trapecio se despreció una pequeña porción de área que se correspondía con la terminación en forma de curva de la figura obtenida. Por último corresponde dar cumplimiento a la etapa de proposición de la nueva tarea que no es más que la proposición de otra tarea derivada a partir de esta. Qué tal si realizamos una similar pero con números para ver como ejecutar los cálculos en Excel.

196 ANEXO 2 GUÍA 3

ESTRUCTURA DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA TAREA DOCENTE TEÓRICA CON PROCESAMIENTO INFORMÁTICO DE LOS DATOS

La solución de la tarea consta de dos etapas una solución teórica y una solución informática.

La solución teórica debe comenzar por la comprensión de la tarea que debe incluir: la interpretación del fenómeno o proceso, el reconocimiento de la función con que se trabajará, que le llamaremos función interobjeto, el reconocimiento de las magnitudes conocidas, de la incógnita y la identificación de que la vía de solución se corresponde con la seguida en la de la situación problémica. Después corresponde el paso de confección del plan de la solución que para el caso dado apoyándose en la solución de la situación problémica usted solo debe identificar con qué magnitudes se corresponden los datos y la incógnita, es decir debe plantearse el problema para el caso particular dado. El próximo paso es la ejecución del plan de la solución aquí se debe plantear la fórmula numérica evaluada para los valores especificados en el paso anterior y elaborar el algoritmo de cálculo. Con esto termina la solución teórica de la tarea.

La solución informática demanda también la confección del plan de solución que se refiere a la selección de asistente a usar y un esbozo general de cómo operar con él. A este paso le sigue el de ejecución del plan de la solución que consiste en escribir el algoritmo de diseñado según la sintaxis del asistente seleccionado, que en este caso debe ser Excel, ejecutar dicho algoritmo y compilar los resultados de los cálculos. Con esto termina la solución informática de la tarea.

Durante e desarrollo de ambas soluciones deben estar presente el control valorativo del curso de la solución y los resultados que en este tipo de tarea se centrará en reconocer en qué consiste el carácter aproximado y la contrastatación teórica de los resultados que tiene que ver con reconocer el carácter de verdad objetiva de los resultados que se van obteniendo y su carácter relativo de acuerdo con los conocimientos físicos y las aproximaciones empleadas. El último paso es la proposición de la nueva tarea lo cual dejamos a su creatividad.

197 ANEXO 19 Anexo 19: Programa del curso de postgrado: “Aplicación de la Matemática Numérica en la solución de tareas docentes de Física” PROGRAMA DEL CURSO DE POSTGRADO: “APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA NUMÉRICA EN LA SOLUCIÓN DE TAREAS DOCENTES DE FÍSICA”

Fundamentación de la asignatura La mayoría de profesores de Física General de los Institutos Superiores Pedagógicos y de las Sedes Pedagógicas, se han formado a través de planes de estudio en los que ha primado el uso de métodos exactos por lo que, muchos de ellos, no conocen los métodos o no están capacitados para aplicarlos a la solución de tareas docentes de Física. Este curso se ha diseñado para capacitar a los profesores de Física General en la aplicación de los métodos numéricos a la solución de tareas docentes de Física General tomando como punto de partida que dichos métodos resulten asequibles para los alumnos del pregrado, de modo que los profesores puedan introducirlos en su práctica educativa. El curso está estructurado en tres temas dedicados a aplicar a la solución de tareas docentes de Física cada uno de los métodos numéricos seleccionados, a la vez que se introducen los diferentes tipos de tareas, así como el procedimiento y la estructura de su método de solución.

Objetivos por temas

Tema 1: Solución numérica de ecuaciones

1. Definir el método de bisección a partir de contenidos matemáticos. 2. Definir la estructura de las TD1. 3. Definir el procedimiento y la estructura del método de solución de las TD1. 4. Definir la estructura de las TD3. 5. Definir el concepto de función interobjeto. 6. Definir el procedimiento y la estructura del método de solución de las TD3. 7. Resolver tareas docentes de los tipos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 para la solución de ecuaciones usando el método de bisección. 8. Identificar los tipos de aproximaciones que se realizan al resolver cada tarea.

198 Tema 2: Derivación e integración numéricas

1. Definir las fórmulas de los dos puntos para el cálculo de la primera derivada, de los tres puntos para la segunda derivada y de los trapecios para el cálculo de la integral definida a partir de contenidos físicos. 2. Definir la estructura de las TD2. 3. Reconocer la función interobjeto. 4. Definir el procedimiento y la estructura del método de solución de las TD2. 5. Resolver tareas docentes de los tipos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 para el cálculo de la primera y segunda derivadas y para la integral definida. 6. Identificar los tipos de aproximaciones que se realizan al resolver cada tarea. Tema 3: Solución de ecuaciones diferenciales

1. Definir las fórmulas del método mejorado de Euler para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primero y segundo orden a partir de contenidos físicos. 2. Reconocer la estructura de las TD2 en las tareas docentes a partir de las cuales se definen las fórmulas del método mejorado de Euler para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primero y segundo orden. 3. Reconocer el procedimiento y la estructura del método de solución al resolver las TD2 anteriores y la función interobjeto. 4. Resolver tareas docentes de los tipos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primero y segundo orden. 5. Identificar los tipos de aproximaciones que se realizan al resolver cada tarea.

Contenidos por temas

Tema 1: Solución numérica de ecuaciones

Tarea. Problema. TDG. Tipología de las TDG, criterios para su clasificación. Solución de ecuaciones por el método de bisección. Aplicación del método de bisección a Física considerando que este es conocido por el estudiante, estructura de las TD1. Función interobjeto. Procedimiento y estructura del método de solución de las TD1. Estructura de las TD3. Procedimiento y estructura del método de solución de las TD3.

199 Tema 2: Derivación e integración numéricas

Definición de las fórmulas de los dos puntos para el cálculo de la primera derivada, de los tres puntos para la segunda derivada y de los trapecios para el cálculo de la integral definida a partir de contenidos físicos. Estructura de las TD2. Procedimiento y estructura del método de solución de las TD2. Solución de tareas de tipo 3 para cada uno de los métodos estudiados.

Tema 3: Solución de ecuaciones diferenciales

Definición de las fórmulas del método mejorado de Euler para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primero y segundo orden a partir de contenidos físicos. Solución de TD3 para estos tipos de ecuaciones diferenciales.

Orientaciones metodológicas

Los temas están dirigidos a que el profesor aprenda a resolver cada una de las TDG a la vez que aplica los métodos numéricos que proponemos introducir. Los contenidos referidos a: Tarea. Problema. TDG. Tipología de las TDG. Los criterios para su clasificación y La definición de función interobjeto son comunes para cada tema por ello se introducen en el tema 1. Cada tema se estructurará de modo que primeramente se entrene al profesor en la solución de tareas teóricas (TD1 o TD2) para la operación numérica de que se trate y después en el diseño y ejecución de la solución informática (TD3). Posteriormente, debe resolver un sistema que contenga tareas de los tipos 4, 5, 6 y 7. El profesor debe entrenarse, además, en la elaboración de tareas tipos. Las clases prácticas se realizarán en el laboratorio de computación a fin de poder realizar la solución informática de las tareas que lo requieran. El estudio Independiente debe contener gran variedad de tareas a fin de que se logre el desarrollo de las habilidades.

200 Plan temático

Tema C CP ANP E total Tema 1: Solución numérica de ecuaciones 8 12 20 40 Tema 2: Derivación e integración numéricas 8 12 20 40 Tema 3: Solución de ecuaciones diferenciales 4 8 20 32 Evaluación 4 4 Total 20 32 60 4 116

Leyenda: C: conferencia, CP: clase práctica, ANP: actividades no presenciales, E: evaluación

Sistema de evaluación

En cada encuentro se controlarán las tareas del encuentro anterior y se evaluará el aprendizaje de los profesores. El curso debe terminar con un examen final en el cual el profesor demostrará que ha cumplido con los objetivos del curso. Bibliografía

1. Danílina, N. I. Matemática de Cálculo. Moscú: Editorial Mir. 1990. 2. Guerra Véliz, Yusimí. El papel de la matemática en la conformación de las teorías Físicas y su implicación en los currículos escolares. En Revista Varela. No. 7, marzo – mayo 2004. 3. Guerra Véliz, Yusimí. Modelo Didáctico para Introducir y Aplicar los Métodos Numéricos al Estudio de la Física. Tesis de Maestría. UCLV. Santa Clara. 2005. 4. Guerra Véliz, Yusimí. Una propuesta didáctica para enseñar los métodos numéricos desde la clase de Física. En Boletín de la Sociedad Cubana de Matemática y Computación. Volumen 3. Número 1. 2005 5. Guerra Véliz, Yusimí. Del reto hasta el ejercicio de enseñar los métodos numéricos desde la clase de Física. En forma de CD en IX Taller Internacional sobre la enseñanza de la Física. IPLAC y cátedra UNESCO. 2006. 6. Leyva Haza, Julio. La estructura del método de solución de tareas experimentales de Física como invariante del contenido. Tesis doctoral. ISPFV. Santa Clara 2002.

201 ANEXO 20 Anexo 20: Programa del curso de postgrado: “Implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General” PROGRAMA DEL CURSO DE POSTGRADO: “IMPLEMENTACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN EL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO DE LA FÍSICA GENERAL”

Fundamentación de la asignatura La mayoría de profesores de Física General de los Institutos superiores Pedagógicos y de las Sedes Pedagógicas, se han formado a través de planes de estudio en los que ha primado el uso de métodos exactos por lo que, muchos de ellos, no están capacitados para desarrollar el proceso docente educativo de la Física General con este nuevo enfoque. Este curso se ha diseñado para capacitar a los profesores de Física General a fin de que tengan un mejor desempeño en la implementación de los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General. El curso está estructurado en dos temas dedicados al estudio del modelo didáctico que se propone y al modo de ponerlo en práctica.

Objetivos por temas

Tema 1: Determinación de las potencialidades de las asignaturas de la disciplina Física General para el desarrollo de las habilidades relacionadas con la aplicación de los métodos numéricos a la Física.

9. Explicar la necesidad de introducir los métodos numéricos en el proceso docente educativo de la Física General. 10. Reconocer la función interobjeto. 11. Proponer funciones interobjeto. 12. Construir la matriz interobjeto, la matriz resultado y la lista de casos particulares para un tema de una asignatura determinada. 13. Determinar los contenidos físicos a través de los cuales se desarrollará cada una de las tres habilidades definidas en el modelo para asignaturas concretas. 14. Determinar la correspondencia entre los contenidos físicos anteriores y los eslabones de cada habilidad.

202 Tema 2: Elaboración de tareas docentes que se resuelven por métodos numéricos y valoración de las diferentes aproximaciones

7. Confeccionar tareas docentes de cada uno de los tipos definidos. 8. Confeccionar sistemas de tareas docentes insertado al sistema de clases para el desarrollo de la habilidad para un método numérico determinado. 9. Determinar los tipos de aproximaciones que se realizan en la elaboración y solución de cada tarea.

Contenidos por temas

Tema 1: Determinación de las potencialidades de las asignaturas de la disciplina Física General para el desarrollo de las habilidades relacionadas con la aplicación de los métodos numéricos a la Física. Caracterización de cada uno de los componentes del proceso docente educativo de la Física General en el modelo que se propone. Criterios para la selección de los contenidos. Matriz interobjeto. Matriz resultado, Lista de casos particulares. La dinámica del proceso docente educativo: habilidades que se desarrollan en un tema y habilidades extendidas. Las habilidades de: Realizar la operación matemática que supone un método numérico dado, aplicar dicho método numérico a la solución de tareas docentes de Física General y valorar el carácter aproximado de los conocimientos físicos. Tema 2: Elaboración de tareas docentes que se resuelven por métodos numéricos Criterios para la confección de los diferentes tipos de tareas y del sistema de tareas para un método numérico determinado. Su diseño según el currículo y su ajuste según el diagnóstico. Orientaciones metodológicas Los temas están dirigidos a que el profesor aprenda a diseñar la parte del proceso docente educativo de la Física General en que se aplican los métodos numéricos y a insertarlo en el proceso docente educativo que se desarrolla como un todo. A la vez que concibe las tareas docentes y los sistemas de tareas que le permiten formar las habilidades definidas. El estudio Independiente debe contener gran variedad de tareas encaminadas a enfrentar a los profesores a situaciones que puedan darse en su práctica educativa y en las que tenga que tomar decisiones sobre el diseño del proceso.

203 Plan temático tema C CP ANP E total Tema 1: Determinación de las potencialidades de las asignaturas de la disciplina Física General para el 8 12 40 60 desarrollo de las habilidades relacionadas con la aplicación de los métodos numéricos a la Física Tema 2: Elaboración de tareas docentes que se resuelven 8 12 40 60 por métodos numéricos Evaluación 4 4 Total 16 24 80 4 124 Sistema de evaluación En cada encuentro se controlarán las tareas del encuentro anterior y se evaluará el aprendizaje de los profesores. El curso debe terminar con la defensa de un trabajo investigativo encaminado a introducir los contenidos del curso en su práctica educativa. Bibliografía 7. Danílina, N. I. Matemática de Cálculo. Moscú: Editorial Mir. 1990. 8. Guerra Véliz, Yusimí. El papel de la matemática en la conformación de las teorías Físicas y su implicación en los currículos escolares. En Revista Varela. No. 7, marzo – mayo 2004. 9. Guerra Véliz, Yusimí. Modelo Didáctico para Introducir y Aplicar los Métodos Numéricos al Estudio de la Física. Tesis de Maestría. UCLV. Santa Clara. 2005. 10. Guerra Véliz, Yusimí. Una propuesta didáctica para enseñar los métodos numéricos desde la clase de Física. En Boletín de la Sociedad Cubana de Matemática y Computación. Volumen 3. Número 1. 2005 11. Guerra Véliz, Yusimí. Del reto hasta el ejercicio de enseñar los métodos numéricos desde la clase de Física. En forma de CD en IX Taller Internacional sobre la enseñanza de la Física. IPLAC y cátedra UNESCO. 2006. 12. Leyva Haza, Julio. La estructura del método de solución de tareas experimentales de Física como invariante del contenido. Tesis doctoral. ISPFV. Santa Clara 2002.

204 ANEXO 21 Anexo 21: Esquema del modelo didáctico ESQUEMA DEL MODELO DIDÁCTICO

EL PROFESOR

DOMINA: LA FÍSICA GENERAL, LOS MÉTODOS NUMÉRICOS, EL EXCEL, EL MODELO DIDÁCTICO QUE

SE PROPONE Y ASUME LA INTERDISCIPLINARIEDAD COMO FILOSOFÍA DE TRABAJO RETROALIMENTACIÓN DIRIGEEL PROCESO DOCENTE EDUCATIVO (DISEÑA, EJECUTA Y CONTROLA)

PROBLEMA OBJETIVO OBJETIVO

NECESIDAD DE INTRODUCIR LOS METODOS PDE DE LA FISICA GENERAL QUE NUMÉRICOS EN EL ESTUDIO DE LA FÍSICA. INCLUYA LOS MÉTODOS NUMERICOS

RESOLVER TAREAS DOCENTES DE FISICA GENERAL CONTENIDO DIRI APLICANDO MÉTODOS NUMÉRICOS.

CRITERIOS DE SELECCION

GE JERARQUIA ENTRE ASEQUIBILIDAD DIAGNOSTICO LOS CONTENIDOS SEGÚN EL CURRICULO

CONTENIDOS DE FISICA, METODOS NUMERICOS Y FUNCION ASISTENTES INFORMÁTICOS INTEROBJETO

MÉTODO SISTEMA DE METODOS BINARIOS DE ENSEÑANZA PROBLEMICA

TDG 1 TD1 TD2 TD3 FORMA TDG TDG 1 TD4 TD5 TD6 TD7

ORGANIZACIÓN DEL SISTEMA DE TAREAS CON MEDIOS COMPUTADORA UN TIPO DE MÉTODO NUMÉRICO

DESARROLLO DE LA HABILIDAD: RESOLVER TAREAS DOCENTES DE RESULTADO FÍISCA APLICANDO MÉTOODOS NUMÉRICOS

DIRIGE SU APRENDIZAJE DENTRO DE LOS LIMITES DE DIRECCION DEL PROFESOR (REALIZA LA ACTIVIDAD DE ESTUDIO ORIENTADA Y ASUME LA INTERDISCIPLINARIEDAD COMO FILOSOFÍA DE TRABAJO)

ALUMNO 205 ANEXO 22 Anexo 22: Preprueba para medir el componente intelectual PREPRUEBA PARA MEDIR EL COMPONENTE INTELECTUAL

1. Diga cuáles de los conocimientos físicos que se relacionan a continuación son exactos y cuales aproximados:  La velocidad de la luz en el vacío es 300 000 km/s.  Un cuerpo pequeño se considera un punto material.  Dentro de un tubo de vidrio en el que se ha hecho el vacío no existe sustancia.  La segunda ley de Newton.  La aceleración de la gravedad para puntos cercanos a la superficie de la tierra es un valor constante. 2. Explique cada uno de los casos anteriores. 3. En una maqueta, como la que se muestra a continuación, usada para estudiar el regulador de Watt; se midió el valor de la velocidad del cuerpo que cae atado del hilo en intervalos de un segundo después de comenzada la caída.

Con los valores de velocidad y tiempo obtenidos se construyó el siguiente gráfico:

206

a. Explique un procedimiento que le permita calcular la distancia recorrida por el cuerpo al cabo de los 15 segundos de comenzado el movimiento. b. Calcule dicha distancia. 4. Explique el carácter exacto o aproximado del resultado obtenido.

207 ANEXO 23 Anexo 23: Guía de observación para medir el componente práctico GUÍA DE OBSERVACIÓN PARA MEDIR EL COMPONENTE PRÁCTICO

Lugar: Escuelas donde están insertados los estudiantes para realizar su componente laboral. Tipo de actividad a observar: Clases de Física, Matemática o Computación. Tiempo: 45 minutos en cada clase. Unidad de observación: alumnos integrantes del grupo experimental. Variable dependiente: Habilidad resolver tareas docentes de Física General usando métodos numéricos. Aspectos a observar: Cada uno de los siguientes aspectos que constituyen dimensiones del componente práctico de la personalidad en que se manifiesta la habilidad desarrollada  Transmisión a través de la explicación del contenido de las clases el carácter relativo de los conocimientos.  Uso en las clases tareas docentes en las que sea necesario reconocer el carácter relativo de los conocimientos.  Uso en las clases tareas docentes en las que sea necesario aplicar el carácter relativo de los conocimientos.

208 ANEXO 24 Anexo 24: Postprueba para medir el componente intelectual POSTPRUEBA PARA MEDIR EL COMPONENTE INTELECTUAL

1. Un cuerpo de masa 1,000 kg se encuentra atado a un resorte, en posición horizontal sobre una superficie lisa. La constante elástica del resorte es k  2,467N/m. El sistema así formado se desplaza 1,00 dm de su posición de equilibrio y se deja libre como resultado de lo cual comienza a oscilar. a) A partir de las condiciones anteriores obtenga una tabla de valores para x(t) y v(t) respectivamente. b) Proponga una expresión analítica para las funciones x(t) y v(t) a partir de los valores obtenidos. 2. Explique el carácter exacto o aproximado del resultado obtenido.

209 ANEXO 25 Anexo 25: Tabla de valores de la variable dependiente para el componente intelectual TABLA DE VALORES DE LA VARIABLE DEPENDIENTE PARA EL COMPONENTE INTELECTUAL

Resultados de la preprueba usada para medir el componentes intelectual

Indicadores 1 2 3 4 Est. 1 2 2 2 2 Est. 2 2 2 2 2 Est. 3 3 2 2 2 Est. 4 2 2 2 2 Est. 5 2 2 2 2 Est. 6 4 3 2 3 Est. 7 3 3 3 2 Resultados de la postprueba usada para medir el componentes intelectual

Indicadores 1 2 3 4 Est. 1 5 4 4 4 Est. 2 4 4 4 5 Est. 3 5 5 5 5 Est. 4 4 4 3 4 Est. 5 3 3 3 2 Est. 6 5 4 4 5 Est. 7 5 5 4 4 Indicadores

1. Reconocer que los conocimientos físicos poseen carácter aproximado. 2. Reconocer los tipos de aproximaciones que se realizaron en la obtención de determinado conocimiento. 3. Realizar las aproximaciones pertinentes para resolver una tarea docente dada. 4. Relacionar el carácter aproximado de los conocimientos con su carácter de verdad como reflejo del mundo.

210 ANEXO 26 Anexo 26: Tabla de valores de la variable dependiente para el componente personal TABLA DE VALORES DE LA VARIABLE DEPENDIENTE PARA EL COMPONENTE PERSONAL

Resultados de la preprueba usada para medir el componentes personal

Indicadores 1 2 3 Estudiante 1 3 2 2 Estudiante 2 2 2 2 Estudiante 3 3 3 2 Estudiante 4 3 2 2 Estudiante 5 2 2 2 Estudiante 6 3 3 3 Estudiante 7 4 3 3 Resultados de la postprueba usada para medir el componentes personal

Indicadores 1 2 3 Estudiante 1 5 4 4 Estudiante 2 4 4 5 Estudiante 3 5 5 5 Estudiante 4 5 5 5 Estudiante 5 5 5 5 Estudiante 6 5 5 5 Estudiante 7 5 5 5 Indicadores

1. Estar convencido de que la verdad objetiva tiene carácter relativo. 2. Reconocer la importancia que tiene para su vida personal, y profesional el conocimiento de que la verdad objetiva tiene carácter relativo. 3. Expresar su disposición afectiva con el hecho de que la verdad objetiva posee carácter relativo.

211 ANEXO 27 Anexo 27: Tabla de valores de la variable dependiente para el componente práctico TABLA DE VALORES DE LA VARIABLE DEPENDIENTE PARA EL COMPONENTE PRÁCTICO

Resultados de la preprueba usada para medir el componente práctico

Indicadores 1 2 3 Estudiante 1 2 2 2 Estudiante 2 2 2 2 Estudiante 3 2 2 2 Estudiante 4 2 2 2 Estudiante 5 2 2 2 Estudiante 6 2 2 3 Estudiante 7 2 2 3 Resultados de la postprueba usada para medir el componentes práctico

Indicadores 1 2 3 Estudiante 1 4 3 3 Estudiante 2 3 3 3 Estudiante 3 5 4 4 Estudiante 4 5 4 3 Estudiante 5 5 3 2 Estudiante 6 5 5 4 Estudiante 7 5 4 5 Indicadores

1. Trasmitir a través de la explicación del contenido de las clases el carácter relativo de los conocimientos. 2. Usar en las clases tareas docentes en las que se tuviera que reconocer el carácter relativo de los conocimientos. 3. Usar en las clases tareas docentes en las que se tuviera que aplicar el carácter relativo de los conocimientos.

212 ANEXO 28 Anexo 28: Gráfico de cajas y pivotes para el componente intelectual GRÁFICO DE CAJAS Y PIVOTES PARA EL COMPONENTE INTELECTUAL

Cajas Y Pivotes para la preprueba y la postprueba

213 ANEXO 29 Anexo 29: Gráfico de cajas y pivotes para el componente personal GRÁFICO DE CAJAS Y PIVOTES PARA EL COMPONENTE PERSONAL

Cajas y pivotes para la preprueba y la postprueba

214 ANEXO 30 Anexo 30: Gráfico de cajas y pivotes para el componente práctico GRÁFICO DE CAJAS Y PIVOTES PARA EL COMPONENTE PRÁCTICO

Cajas y pivotes para la preprueba y la postprueba

215 ANEXO 31 Anexo 31: Tabla de índices para el componente intelectual TABLA DE ÍNDICES PARA EL COMPONENTE INTELECTUAL

Tabla de índices para el componente intelectual antes de la intervención

Indicadores 1 2 3 4 Índices Est. 1 2 2 2 2 0,40 Est. 2 2 2 2 2 0,40 Est. 3 3 2 2 2 0,45 Est. 4 2 2 2 2 0,40 Est. 5 2 2 2 2 0,40 Est. 6 4 3 2 3 0,60 Est. 7 3 3 3 2 0,55 Tabla de índices para el componente intelectual después de la intervención

Indicadores 1 2 3 4 Índices Est. 1 5 4 4 4 0,85 Est. 2 4 4 4 5 0,85 Est. 3 5 5 5 5 1,00 Est. 4 4 4 3 4 0,75 Est. 5 3 3 3 2 0,55 Est. 6 5 4 4 5 0,90 Est. 7 5 5 4 4 0,90 Gráfico de índices del componente intelectual por estudiante

216 ANEXO 32 Anexo 32: Tabla de índices para el componente personal TABLA DE ÍNDICES PARA EL COMPONENTE PERSONAL

Tabla de índices para el componente personal antes de la intervención

Indicadores 1 2 3 Índices Est. 1 3 2 2 0,47 Est. 2 2 2 2 0,40 Est. 3 3 3 2 0,53 Est. 4 3 2 2 0,47 Est. 5 2 2 2 0,40 Est. 6 3 3 3 0,60 Est. 7 4 3 3 0,67 Tabla de índices para el componente personal después de la intervención

Indicadores 1 2 3 Índices Est. 1 5 4 4 0,87 Est. 2 4 4 5 0,87 Est. 3 5 5 5 1,00 Est. 4 5 5 5 1,00 Est. 5 5 5 5 1,00 Est. 6 5 5 5 1,00 Est. 7 5 5 5 1,00 Gráfico de índices del componente personal por estudiante

217 ANEXO 33 Anexo 33: Tabla de índices para el componente práctico TABLA DE ÍNDICES PARA EL COMPONENTE PRÁCTICO

Tabla de índices para el componente práctico antes de la intervención

Indicadores 1 2 3 Índice Estudiante 1 2 2 2 0,40 Estudiante 2 2 2 2 0,40 Estudiante 3 2 2 2 0,40 Estudiante 4 2 2 2 0,40 Estudiante 5 2 2 2 0,40 Estudiante 6 2 2 3 0,47 Estudiante 7 2 2 3 0,47 Tabla de índices para el componente práctico después de la intervención

Indicadores 1 2 3 Índice Estudiante 1 4 3 3 0,67 Estudiante 2 3 3 3 0,60 Estudiante 3 5 4 4 0,87 Estudiante 4 5 4 3 0,80 Estudiante 5 5 3 2 0,67 Estudiante 6 5 5 4 0,93 Estudiante 7 5 4 5 0,93 Índices del componente práctico por estudiante

218 ANEXO 34 Anexo 34: Gráfico de índices de cada componente por estudiante GRÁFICO DE ÍNDICES DE CADA COMPONENTE POR ESTUDIANTE

219 ANEXO 35 Anexo 35: Tabla de tasas de variación por estudiante para cada componente TABLA DE TASAS DE VARIACIÓN POR ESTUDIANTE PARA CADA COMPONENTE

Tasa de variación para el componente intelectual

Iant Iact Tv (%) Estudiante 1 0,40 0,85 112 Estudiante 2 0,40 0,85 112 Estudiante 3 0,45 1,00 122 Estudiante 4 0,40 0,75 87 Estudiante 5 0,40 0,55 37 Estudiante 6 0,60 0,90 50 Estudiante 7 0,55 0,90 63

Tasa de variación para el componente personal

Iant Iact Tv Estudiante 1 0,47 0,87 85 Estudiante 2 0,40 0,87 118 Estudiante 3 0,53 1,00 89 Estudiante 4 0,47 1,00 113 Estudiante 5 0,40 1,00 150 Estudiante 6 0,60 1,00 67 Estudiante 7 0,67 1,00 49

Tasa de variación para el componente práctico

Iant Iact Tv Estudiante 1 0,40 0,67 68 Estudiante 2 0,40 0,60 50 Estudiante 3 0,40 0,87 118 Estudiante 4 0,40 0,80 100 Estudiante 5 0,40 0,67 68 Estudiante 6 0,47 0,93 98 Estudiante 7 0,47 0,93 98

220

ANEXO 36 Anexo 36: Caras de Chernoff para cada uno de los estudiantes sometidos al experimento CARAS DE CHERNOFF, PARA CADA UNO DE LOS ESTUDIANTES SOMETIDOS AL EXPERIMENTO

Caras de Chernoff por estudiantes

Leyenda: La leyenda que a continuación se muestra se acompaña de un esquema para aclarar la relación entre los rasgos de la cara de Chernoff y la magnitud de las variables representada por dicho rasgo.

Componente intelectual ― Longitud de la nariz = indicador 1 (a mayor longitud de la nariz más puntuación) ― Altura del centro de la boca = indicador 2 (a menor altura mayor puntuación) ― Curvatura de la boca = indicador 3 (a mayor curvatura mayor puntuación) ― Longitud de un extremo a otro de la boca = indicador 4 (a mayor longitud mayor puntuación) Componente personal ― Altura de los ojos = indicador 1 (a menor altura menor puntuación) ― Separación entre los ojos = indicador 2 (a mayor separación mayor puntuación) ― Tamaño de los ojos = indicador 3 (a mayor tamaño menor puntuación)

221

Componente práctico ― Separación extremo superior de las cejas = indicador 1 (a mayor separación mayor puntuación) ― Ángulo agudo de las cejas, respecto a la horizontal = indicador 2 (a mayor ángulo menor puntuación) ― Longitud de las cejas = indicador 3 (a mayor longitud menor puntuación)

Esquema que representa la relación entre algunos rasgos de la cara de Chernoff y la magnitud de la variable que con dicho rasgo se caracteriza

222 ANEXO 37 Anexo 37: Cuestionario para el criterio de experto CUESTIONARIO PARA EL CRITERIO DE EXPERTO

Cuestionario Compañero con el fin de aplicar la prueba de experto para comprobar la validez externa del modelo didáctico que proponemos como resultado científico de la investigación abordada en nuestra tesis doctoral le pedimos su colaboración. Para ello, después de estudiar la memoria escrita de la tesis, que adjuntamos, usted debe responder el siguiente cuestionario, valorando si con los resultados obtenidos durante el preexperimento el modelo didáctico que proponemos puede generalizarse a otras asignaturas de la disciplina Física General en otros grupos de estudiantes que cursan la carrera de profesor de Ciencias exactas. El cuestionario que consta de dos partes la primera se refiere a algunos datos generales que nos permitirán avalar su calidad de experto y la segunda a su opinión de si con los resultados alcanzados en los indicadores medidos el modelo es aplicable a otros contextos. PRIMERA PARTE Nombre y apellidos______Institución a que pertenece ______Categoría docente______Categoría científica______Años de experiencias como profesor en el área de Matemática, Física o Computación ______Su experiencia docente empleando o la impartiendo temas relacionados con la Matemática Numérica ha sido: directa____, indirecta_____, ninguna_____ Experiencia en docencia o investigaciones relacionadas con la didáctica de las asignaturas involucradas en el modelo: directa____, indirecta_____, ninguna_____ Conoce la teoría de la interdisciplinaridad: Nacional e internacional_____, la teoría cubana_____, ninguna______Emplea la interdisciplinaridad en su actividad docente: directamente____, indirectamente_____, no la emplea_____. Conoce los fundamentos de la metodología de la investigación educativa: Nacional e internacional_____, la teoría cubana_____, ninguna______

223 Ha realizado investigaciones en el campo de la educación relacionadas con las asignaturas que se involucran interdisciplinariamente en la presente investigación: con todas_____, con algunas____, no _____. SEGUNDA PARTE La aplicabilidad del modelo se evaluará de modo integral por componentes y de forma particular por indicadores de cada componente. Se usará una escala de 1 a 5 puntos con la siguiente significación: 5 muy adecuado, 4 adecuado, 3 medianamente adecuado, 2 poco adecuado, 1 inadecuado. El componente intelectual: 1. Interpretar la tarea docente, reconociendo sus condiciones, exigencias y función interobjeto. 1______2______3______4______5______2. Realizar la solución teórica de la tarea. 1______2______3______4______5______3. Realizar la solución informática de la tarea. 1______2______3______4______5______4. Relacionar el carácter aproximado de los conocimientos con su carácter de verdad como reflejo del mundo. 1______2______3______4______5______El componente personal de modo general: 1. Reconocer la importancia que tiene para la Física como ciencia el uso de los métodos numéricos. 1______2______3______4______5______2. Reconocer la importancia que tiene para su vida personal y profesional el conocimiento de los métodos numéricos. 1______2______3______4______5______3. Expresar su disposición afectiva con el hecho de que la los conocimientos físicos poseen carácter aproximado. 1______2______3______4______5______El componente práctico en general: 1. Usar en las clases tareas docentes en las que se apliquen métodos numéricos sencillos. 1______2______3______4______5______2. Explicar a través de sus clases el lugar de los métodos numéricos para el desarrollo de la ciencia y la técnica en la actualidad. 1______2______3______4______5______3. Trasmitir a través de la explicación del contenido de las clases el carácter relativo de los conocimientos. 1______2______3______4______5______

224 ANEXO 38 Anexo 38: Fuentes de argumentación para establecer el criterio de experto FUENTES DE ARGUMENTACIÓN PARA ESTABLECER EL CRITERIO DE EXPERTO

FUENTES DE ARGUMENTACIÓN ALTO MEDIO BAJO Años de experiencias como profesor en el área de Matemática, Física o Computación (más de 15, entre 15 30,00% 24,00% 15,00% y10, menos de 10). Experiencia docente empleando o la impartiendo temas relacionados con la Matemática Numérica. 20,00% 16,00% 10,00% (directamente, indirectamente, no lo emplea) Experiencia en docencia o investigaciones relacionadas con la didáctica de las asignaturas involucradas en el 10,00% 8,00% 5,00% modelo.(directamente, indirectamente, no lo emplea) Dominio de los fundamentos teóricos de la 10,00% 8,00% 5,00% interdisciplinaridad. Empleo que hace de la interdisciplinaridad en su actividad docente. 20,00% 16,00% 10,00% (directamente, indirectamente, no lo emplea) Conocimiento teórico sobre la metodología de la 5,00% 4,00% 2,50% investigación educativa. Conocimiento de la bibliografía internacional relacionada 5,00% 4,00% 2,50% con el tema de investigación. 100,00 TOTAL 80,00% 50,00% %

225 ANEXO 39 Anexo 39: Resultados de los encuestados en cada fuente de argumentación RESULTADOS DE LOS ENCUESTADOS EN CADA FUENTE DE ARGUMENTACIÓN

EXPERTO F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 1 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 2 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 3 Alto Alto Alto Alto Alto Medio Alto 4 Alto Medio Alto Alto Alto Alto Medio 5 Alto Alto Alto Alto Alto Medio Medio 6 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 7 Alto Medio Medio Medio Alto Medio Bajo 8 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 9 Alto Medio Alto Alto Alto Alto Alto 10 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Medio 11 Alto Alto Alto Alto Alto Medio Medio 12 Medio Alto Alto Alto Alto Medio Alto 13 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 14 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 15 Alto Medio Alto Alto Alto Alto Medio 16 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 17 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 18 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 19 Alto Alto Medio Medio Alto Medio Alto 20 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 21 Alto Alto Alto Medio Alto Alto Medio 22 Alto Alto Medio Alto Alto Medio Bajo 23 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Medio 24 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 25 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Medio 26 Alto Alto Alto Medio Alto Medio Bajo 27 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Bajo 28 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto 29 Alto Alto Alto Alto Alto Bajo Alto 30 Alto Alto Alto Alto Alto Alto Alto

226 ANEXO 40 Anexo 40: Nivel de competencia de los expertos NIVEL DE COMPETENCIA DE LOS EXPERTOS

NIVEL DE COMPETENCIA DE LOS EXPERTOS Índice de Nivel de EXPERTO TOTALES % competitividad Competencia

1 1 Competencia Alta Competencia Alta 30 100,00% 2 1 Competencia Alta Competencia Media 0 0,00% 3 0,945 Competencia Alta Competencia Baja 0 0,00% 4 0,975 Competencia Alta

5 0,99 Competencia Alta 6 1 Competencia Alta 7 0,8925 Competencia Alta Criterios tomados > que < ó = que 8 1 Competencia Alta Competitividad alta 0,8 1 Competitividad 0,5 0,8 9 0,93 Competencia Alta media 10 0,995 Competencia Alta Competitividad baja 0,5 11 0,94 Competencia Alta 12 0,915 Competencia Alta 13 1 Competencia Alta 14 1 Competencia Alta 15 0,925 Competencia Alta 16 1 Competencia Alta 17 1 Competencia Alta 18 1 Competencia Alta 19 0,925 Competencia Alta 20 1 Competencia Alta 21 0,935 Competencia Alta 22 0,9725 Competencia Alta 23 0,945 Competencia Alta 24 1 Competencia Alta 25 0,995 Competencia Alta 26 0,9725 Competencia Alta 27 0,9875 Competencia Alta 28 1 Competencia Alta 29 0,9375 Competencia Alta 30 1 Competencia Alta

227 ANEXO 41 Anexo 41 Procesamiento estadístico de la evaluación del modelo dada por los expertos a partir de los resultados de los indicadores del componente intelectual PROCESAMIENTO ESTADÍSTICO DE LA EVALUACIÓN DEL MODELO DADA POR LOS EXPERTOS A PARTIR DE LOS RESULTADOS DE LOS INDICADORES DEL COMPONENTE INTELECTUAL

Indicador 1 Indicador 2 Indicador 3 Indicador 4 Muy adecuado 28 18 8 26 Adecuado 2 11 20 3 Medianamente adecuado 0 1 2 1 Poco adecuado 0 0 0 0 inadecuado 0 0 0 0

Tabla de contingencia para el componente intelectual

Gráfico de barras realizado a partir de la tabla de contingencia para el componente intelectual

228

IND_1 IND_2 IND_3 IND_4 Media de los items 4,933 4,567 4,200 4,833 Desviación de los items 0,250 0,559 0,542 0,454 Coeficiente de variación 5,06% 12,24% 12,90% 9,38% Moda 5 5 4 5 Mínimo 4 3 3 3 Cuartil_1 5 4 4 5 Mediana 5 5 4 5 Cuartil-2 5 5 4,75 5 Máximo 5 5 5 5

Tabla de estadística descriptiva para el componente intelectual

Coeficiente de concordancia de Kendall 0,631 Chi-cuadrado calculado para el coeficiente hallado 128,79 Grados de Valor de alfa para prueba de hipótesis 0,0001 3 libertad Chi-cuadrado para alfa y n-1 grados de libertad= 21,107 Se rechaza la hipótesis nula (H0) de que no existe comunidad de preferencia entre los expertos

Tabla de estadística inferencial para el componente intelectual

229 ANEXO 42 Anexo 42: Procesamiento estadístico de la evaluación del modelo dada por los expertos a partir de los resultados de los indicadores del componente personal PROCESAMIENTO ESTADÍSTICO DE LA EVALUACIÓN DEL MODELO DADA POR LOS EXPERTOS A PARTIR DE LOS RESULTADOS DE LOS INDICADORES DEL COMPONENTE PERSONAL

Indicador 1 Indicador 2 Indicador 3 Muy adecuado 26 25 21 Adecuado 4 5 8 Medianamente adecuado 0 0 1 Poco adecuado 0 0 0 inadecuado 0 0 0

Tabla de contingencia para el componente personal

Gráfico de barras realizado a partir de la tabla de contingencia para el componente personal

230

IND_1 IND_2 IND_3 Media de los items 4,867 4,833 4,667 Desviación de los items 0,340 0,373 0,537 Coeficiente de variación 6,98% 7,71% 11,52% Moda 5 5 5 Mínimo 4 4 3 Cuartil_1 5 5 4 Mediana 5 5 5 Cuartil-2 5 5 5 Máximo 5 5 5

Tabla de estadística descriptiva para el componente personal

Coeficiente de concordancia de Kendall 0,450

Chi-cuadrado calculado para el coeficiente hallado 112,558 Grados de Valor de alfa para prueba de hipótesis 0,0001 2 libertad

Chi-cuadrado para alfa y n-1 grados de libertad 18,421

Se rechaza la hipótesis nula (H0) de que no existe comunidad de preferencia entre los expertos

Tabla de estadística (componente personal)

231 ANEXO 43 Anexo 43: Procesamiento estadístico de la evaluación del modelo dada por los expertos a partir de los resultados de los indicadores del componente práctico PROCESAMIENTO ESTADÍSTICO DE LA EVALUACIÓN DEL MODELO DADA POR LOS EXPERTOS A PARTIR DE LOS RESULTADOS DE LOS INDICADORES DEL COMPONENTE PRÁCTICO

Indicador 1 Indicador 2 Indicador 3 Muy adecuado 10 13 12 Adecuado 16 17 17 Medianamente adecuado 4 0 1 Poco adecuado 0 0 0 inadecuado 0 0 0

Tabla de contingencia para el componente práctico

Gráfico de barras realizado a partir de la tabla de contingencia para el componente práctico

232 IND_1 IND_2 IND_3 Media de los items 4,200 4,433 4,367 Desviación de los items 0,653 0,496 0,547 Coeficiente de variación 15,55% 11,18% 12,52% Moda 4 4 4 Mínimo 3 4 3 Cuartil_1 4 4 4 Mediana 4 4 4 Cuartil-2 5 5 5 Máximo 5 5 5

Tabla de estadística descriptiva para el componente práctico

Coeficiente de concordancia de Kendall 0,540

Chi-cuadrado calculado para el coeficiente hallado = 140,406

De valor de alfa para prueba de hipótesis 0,0001 2 Grados de libertad

Chi-cuadrado para alfa y n-1 grados de libertad= 18,421

Se rechaza la hipótesis nula (H0) de que no existe comunidad de preferencia entre los expertos

Tabla de estadística inferencial para el componente práctico

233