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MATEMÁTICOS ACTUALES Richard Lawrence Taylor, Teoría de números, formas automórficas, la conjetura local de Langlands

Los padres de Richard Taylor son y Gillian Mary Schofield. John Taylor es físico matemático, ahora profesor emérito de física matemática en la Universidad de Cambridge. La madre de Richard, Mary Taylor, era profesora de piano. Richard nació en Cambridge pero, cuando tenía dos años, la familia se mudó a Oxford, donde Richard fue criado y donde asistió a la escuela primaria. Asistió a la Magdalen College School donde Tony Middleton le enseñó matemáticas, quien más tarde se convirtió en profesor de matemáticas para la física en el Brasenose College de la Universidad de Oxford. Taylor dijo [Referencia 12]:

Sospecho que me interesé por las matemáticas en edad muy temprana. Mi padre es físico teórico. Siempre hubo una cultura de la ciencia matemática en la familia. No recuerdo exactamente, pero ciertamente cuando era adolescen- te me interesaban las matemáticas. Simplemente disfruté leyendo libros recreativos sobre matemáticas, tratando de resolver problemas matemáticos y descubriendo matemáticas más avanzadas. No había nada que me pareciera particularmente interesante. Supongo que ya en la escuela secundaria estaba claro que yo era mejor que la mayoría de los otros niños en matemáticas.

También escribió sobre sus primeras experiencias de matemáticas en [Referencia 11]:

Aunque nunca fuí una estrella en ellas, disfruté mucho de las Olimpiadas matemáticas, que me sirvieron de primera experiencia de trabajar en problemas que me llevarían más de unos minutos resolver. Pero la mayor influencia en mi desarrollo científico temprano fue, sin duda, mi padre, quien me enseñó que nunca debía estar satisfecho hasta que realmente hubiera entendido algo completamente. También aprendí de él a no temer hacer preguntas simples.

Después de completar sus estudios escolares en la Magdalen College School, Taylor regresó a Cambridge, donde se matriculó en el Clare College en 1980. Trabajó duro en sus estudios matemáticos pero también encontró tiempo para otros intereses.

1 Fue presidente de 'The Archimedeans' en 1981 y 1982. Esta es una sociedad matemática de Cambridge fundada en 1935 que tiene como objetivo promover la cooperación entre todas las sociedades matemáticas de Cambridge. También le gustaba viajar, particularmente a lugares donde podía disfrutar de su amor por el montañismo. Visitó los Alpes, el Himalaya indio y más tarde los volcanes de Ecuador y la gran cordillera de Karakoram. Fue la teoría de números la que más lo atrajo entre los temas matemáticos que estudió. Él escribió [Referencia 11]:

También me quedó claro que la teoría de números era el campo que me pareció más emocionante. Me atrajo la combinación de problemas simples, una estructura hermosa y la variedad de técnicas que se emplearon.

Él era. sin embargo, algo inseguro de sus propias habilidades [Referencia 12]:

... a medida que avanzas, siempre te estás mezclando con personas que tienen más talento en matemáticas. Nunca está claro si uno tiene un talento real o simplemente parece talentoso en el grupo con el que se está mezclando actualmente. Realmente disfruto las matemáticas. Creo que el gran interés en las matemáticas y la determinación de perseverar representan más de lo que la gente suele dar crédito. Si se está muy interesado en trabajar en problemas matemáticos, generalmente es bueno en eso, y creo que esto puede compensar una buena cantidad de talento matemático. Ciertamente, he conocido personas que son matemáticos mucho más brillantes que yo, pero si han pensado en un problema durante dos días y no pueden resolverlo, se aburren y quieren seguir adelante.

Taylor se graduó de la Universidad de Cambridge en 1984 y, después de algunas dudas sobre si era lo suficientemente bueno como para emprender una investigación en un área tan exigente como la teoría de números, decidió que realizaría estudios de posgrado en Princeton en los Estados Unidos. Allí eligió trabajar con , quien había ocupado un puesto en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1981, y luego fue nombrado profesor en la Universidad de Princeton al año siguiente. Taylor pasó cuatro años en Princeton 1984-88, tiempo durante el cual realizó investigaciones para un doctorado aconsejado por Wiles. Taylor recibió su Ph.D. en 1988 por su tesis sobre congruencias entre formas modulares. En 1989 aparecieron dos documentos provenientes del trabajo de su tesis, a saber, las representaciones sobre Galois asociadas a las formas mo- dulares de Hilbert y las representaciones de grupos de Galois asociados a las formas modulares de Hilbert.

Después de graduarse de Princeton, Taylor se convirtió en miembro del Clare College, Cambridge y de la Royal Society European Exchange Fellowship financió un año postdoctoral 1988-89 en el Institut des Hautes Études Scientifiques en las afueras de París. Una de las principales atracciones de regresar a la Universidad de

2 Cambridge fue el hecho de que John Coates, quien había sido el asesor de tesis de Andrew Wiles en Cambridge en la década de 1970, había sido nombrado para la Cátedra Sadleiriana de Matemáticas en Cambridge en 1986. Taylor, todavía miembro de Clare College, fue nombrado profesor asistente (1989-92), profesor (1992-94), luego lector (1994-95) en la Universidad de Cambridge durante los seis años 1989-95. Taylor se mudó a Oxford en 1995 cuando fue nombrado profesor de geometría Savilian. El anuncio fue el siguiente:

La cátedra Savilian de Geometría, Richard Lawrence Taylor, FRS (MA Cambridge, Ph.D. Princeton), Reader in , , ha sido nombrada para la cátedra con efecto desde el 1 de octubre de 1995. El Dr. Taylor será miembro de Nueva universidad.

Taylor se casó con Christine Jiayou Chang en 1995. Christine Chang, que era algebrista, se graduó de la Universidad de Harvard y, en 1993, recibió una beca de posgrado de NSF para estudiar en el Instituto de Tecnología de Massachusetts.

Taylor escribió en [Referencia 11]: En 1994 tuve la maravillosa suerte de conocer a Christine Chang, quien hizo mi vida mucho más feliz. Nos casamos en agosto de 1995 y ahora tenemos dos hijos: Jeremy (nacido en 1998) y Chloe (nacido en 2000). ... En un esfuerzo por combinar nuestras dos carreras científicas, abandoné la Universidad de Cambridge después de mi matrimonio con Christine, primero para la cátedra de geometría Savilian en Oxford y luego un año después para la Universidad de Harvard.

Como explica en la cita anterior, después de solo un año en Oxford, Taylor se mudó a los Estados Unidos cuando fue nombrado profesor en la Universidad de Harvard. Explicó las razones de su desplazamiento en la entrevista [Referencia 12] que dio poco después de llegar a Harvard para ocupar la cátedra:

Creo que recibí la oferta formal de Harvard en la primavera de 1996, del decano, pero obviamente habíamos hablado al respecto con la facultad [en Harvard] durante algún tiempo antes de eso. Una razón personal fuerte es que mi esposa es estadounidense y me gustaría estar en Estados Unidos. También es un gran departamento. Como digo, es difícil imaginar una mejor colección de colegas en mi materia que la que hay aquí. Por todo lo que se cuenta, los estudiantes aquí son muy brillantes. Realmente no tengo experiencia personal, pero estoy seguro de que es cierto. De hecho, la visité durante seis meses hace un par de años, y una cosa que me gusta es el sol. De alguna manera en Gran Bretaña durante la mitad del año, está extraordinariamente oscuro. Eso es en parte porque está más al norte y en parte porque hay más nubosidad. He oído a gente quejarse de que en invierno hace frío aquí, pero al menos ves el sol. Y me gusta la energía; La gente aquí es muy enérgica y entusiasta. Algo que noté es que en Gran Bretaña es genial fingir que nunca haces ningún trabajo. Los estudiantes allí obviamente trabajan porque aprenden lo mismo que cualquier otra persona, pero les gusta fingir que no hacen nada. Mientras que aquí en los Estados Unidos la gente de Princeton venía a mí y me decía que habían pasado las últimas veinticuatro horas en la biblioteca. Aquí, pues, parecen fingir que trabajan más duro de lo que lo hacen. Sospecho que las personas trabajan igual en ambos lugares; es solo que le ponen al trabajo distinto brillo.

En 2002, Taylor fue nombrado profesor de Matemáticas Herchel Smith en Harvard. Continuó desempeñando este papel durante los siguientes diez años. Desde agosto de 2010 hasta diciembre de 2011, fue visitante en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. En enero de 2012, dejó su puesto en Harvard para ser

3 nombrado Profesor de Matemáticas Robert y Luisa Fernholz en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Taylor se unió al Departamento de Matemáticas de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Universidad de Stanford en julio de 2018 cuando fue nombrado nuevo profesor Barbara Kimball Browning. Esta silla dotada es el honor más alto que la Universidad de Stanford puede otorgar a un miembro de la facultad.

Para ver la respuesta de Taylor a la pregunta de 1996, "¿Cuáles son sus principales intereses y logros de investigación?", Vea el artículo “Research interests and achievements”, al final de esta biografía.

Para comprender las contribuciones sobresalientes que Taylor ha seguido haciendo, primero enumeramos los premios y reconocimientos que ha ganado y luego damos la cita para algunos de estos. Estos premios incluyen: Premio Whitehead de la London Mathematical Society (1990); el Premio Ostrowski (2001); el Premio Fermat (2001); la Sociedad Americana de Matemáticas, Premio Frank Nelson Cole en teoría de números (2002); el Premio Dannie Heineman de la Academia de Ciencias de Gotinga (2005); el Premio Shaw en Matemáticas (2007); Premio Clay Research (2007); y el Premio Breakthrough in (2015). Otros honores incluyen: elección como miembro de la Royal Society (1995); elección como miembro de la American Mathematical Society

(2012); elección para la Academia Na- cional de Ciencias (2015); y elección como miembro de la American Philosophical Society (2018).

Permítanos ahora dar información sobre algunos de estos premios y la cita para Taylor. El Premio Ostrowski. La Fundación Ostrowski fue creada por Alexander Ostrowski, durante muchos años profesor de la Universidad de Basilea. Dejó todo su patrimonio a la fundación y estipuló que el ingreso debería proporcionar un premio por los logros recientes sobresalientes en matemática pura y los fundamentos de la matemática numérica. El premio se otorga cada dos años.

El Premio Ostrowski: Cita para Richard Taylor. Taylor ha contribuido de manera importante a algunos de los desarrollos más espectaculares en la teoría de números en los últimos diez años. Un tema particularmente fascinante y gratificante en la teoría de números ha sido la aplicación de formas automórficas a problemas aritméticos relacionados con las representaciones de l-adic Galois. La extraordinaria creatividad de Taylor y su impresionante dominio técnico tanto de la geometría algebraica como de la teoría de la representación automórfica le permitieron hacer descubrimientos profundos en esta área. Es mejor conocido por su aportación al trabajo de Andrew Wiles, demostrando la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil en suficientes casos como para implicar el último teorema de Fermat. En una serie de documentos, conjuntamente con Diamond, Conrad y Breuil, Taylor completó recientemente la

4 prueba de esa conjetura: cada curva elíptica racional está cubierta por una curva modular. La conjetura de Taniyama-Shimura-Weil es una instancia del Programa Global Langlands, que relaciona representaciones automorfas y representaciones de Galois. Otro logro importante de Taylor, junto con Michael Harris, es la prueba de la Conjetura local de Langlands para GL(n), que establece una correspondencia similar sobre las terminaciones de Q. Una tercera serie de documentos relacionados, en parte en colaboración con N Shepherd-Barron y K Buzzard, se refiere a un programa presentado por Taylor para probar la Conjetura de Artin sobre la holomorficidad de las funciones L de ciertas representaciones bidimensionales del grupo de Galois de los números racionales.

El Premio Cole de la Sociedad Americana de Matemáticas en teoría de números. El Premio Frank Nelson Cole en teoría de números se otorga cada tres años por una notable memoria de investigación en teoría de números que ha aparecido durante los cinco años anteriores (hasta 2001, el premio generalmente se otorgaba cada cinco años). La entrega de este premio se alterna con la entrega del Premio Cole en Álgebra, que también se otorga cada tres años. Estos premios se establecieron en 1928 para honrar a Frank Nelson Cole con motivo de su retiro como secretario de la American Mathematical Society después de veinticinco años de servicio. También se desempeñó como editor en jefe del Boletín durante veintiún años.

El Premio Cole en teoría de números: cita para Richard Taylor. El premio Frank Nelson Cole en teoría de números se otorga a Richard Taylor, de la Universidad de Harvard, por varios avances sobresalientes en la teoría de números algebraicos. Lideró un esfuerzo para extender su trabajo anterior con Wiles, para mostrar que todas las curvas elípticas sobre Q son modulares, es decir, son factores de los jacobianos de las curvas modulares. En su libro con M Harris, estableció la conjetura local de Langlands, dando una parametrización completa de las representaciones n-dimensionales de un grupo de Galois de un campo local. También ha realizado importantes progresos en las representaciones bidimensionales de Galois, estableciendo la conjetura de Artin para una clase infinita de casos no solucionables, y aumentando nuestra comprensión de las conjeturas de Fontaine-Mazur y Serre.

El Premio Shaw en Matemáticas. Ver el artículo del final de esta biografía

El Premio Avance en Matemáticas. El Premio Breakthrough en Matemáticas fue lanzado por el fundador de Facebook Mark Zuckerberg y el empresario ruso Yuri Milner en la ceremonia del Premio Breakthrough en diciembre de 2014. Su objetivo es reconocer los principales avances en el campo, honrar a los mejores matemáticos del mundo, apoyar sus esfuerzos futuros y comunicar la emoción de las matemáticas al público en general.

The Breakthrough Prize: Cita para Richard Taylor. El Premio Breakthrough se otorga a Richard Taylor, Instituto de Estudios Avanzados, por numerosos resultados innovadores en la teoría de formas automórficas, incluyendo la conjetura de Taniyama-Weil, la conjetura local de Langlands para grupos lineales generales y la conjetura de Sato-Tate.

En octubre-noviembre de 2013, Taylor pronunció tres conferencias en la serie de conferencias distinguidas de la Universidad de California en Los Ángeles. Título: Leyes de reciprocidad.

Resumen: Las leyes de reciprocidad proporcionan una regla para contar el número de soluciones a una ecuación polinómica fija, o sistema de ecuaciones polinómicas, módulo un número primo variable. La regla involucrará objetos muy diferentes:

5 formas automórficas y subgrupos discretos de grupos de Lie. El ejemplo prototípico es la ley de Gauss de reciprocidad cuadrática, que se refiere a una ecuación cuadrática en una variable. Otro ejemplo famoso es la conjetura de Shimura- Taniyama que se refiere a una ecuación cúbica en dos variables. Comenzaré con la ley de Gauss y avanzaré hacia ejemplos algo más complicados. Al final de la charla espero indicar el estado actual de nuestro conocimiento.

Título: Teoría de Galois y variedades localmente simétricas. Resumen: Describiré resultados recientes que muestran que uno puede asociar representaciones de Galois a clases en la cohomología de ciertas variedades localmente simétricas (reales), a saber, los cocientes del espacio de matrices simétricas reales totalmente positivas por subgrupos de congruencia de GL(n, Z) Discutiré mi trabajo conjunto con Harris, Lan y Thorne sobre la cohomología con coeficientes racionales y el trabajo de Scholze sobre la cohomología con coeficientes en un campo finito. Si el tiempo lo permite, daré alguna indicación de las pruebas.

Título: Leyes de reciprocidad por motivo regular, auto dual. Resumen: Discutiré el trabajo reciente con Stefan Patrikis demostrando la automorfía de los motivos regulares de auto dual sobre los números racionales. En trabajos previos con Barnet-Lamb, Gee y Geraghty, esto se mostró como una hipótesis de irreductibilidad en las representaciones de l-adic correspondientes. La innovación en el trabajo más reciente es un truco simple que nos permite evitar esta hipótesis de irreductibilidad que puede ser difícil de verificar en la práctica.

Basado en el artículo de JJ O'Connor y EF Robertson http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Taylor_Richard.html casanchi.com

Referencias: Articles:

2002 in Number Theory, Notices Amer. Math. Soc. 49 (4) (2002), 476- 478. M Cimons, Unlocking the mysteries of mathematics, National Science Foundation (19 December 2014). https://www.nsf.gov/discoveries/disc_summ.jsp?cntn_id=133695&org=NSF&from= news Iwaniec, Sarnak, and Taylor Receive Ostrowski Prize, Notices Amer. Math. Soc. 49 (7) (2002), 800-801. Mathematician Taylor wins , The Harvard Gazette (11 September 2007). https://news.harvard.edu/gazette/story/2007/09/mathematician-taylor-wins-shaw- prize/ Personal Profile of Dr Richard Lawrence Taylor, Department of Mathematics, Stanford University. https://www.msri.org/people/3960 Professor Richard Taylor, Department of Mathematics Stanford University (22 October 2018). https://mathematics.stanford.edu/2018/10/22/professor-richard-taylor-appointed- to-a-distinguished-professorship/ Richard L Taylor, National Academy of Sciences. http://www.nasonline.org/member-directory/members/20035967.html

6 Richard Taylor, School of Mathematics, Institute for Advanced Study. https://www.ias.edu/scholars/taylor Richard Taylor, The Royal Society. https://royalsociety.org/people/richard-taylor-12396/ Richard Taylor, University of California Los Angeles Distinguished Lecture Series (October 2013). https://www.math.ucla.edu/dls/richard-taylor The Shaw Prize in Mathematical Sciences 2007 (12 June 2007, ). http://www.shawprize.org/en/shaw.php?tmp=3&twoid=50&threeid=60&fourid=88 S Sheffield, Exclusive Interview with Richard Taylor, Massachusetts Institute of Technology (1996). http://math.mit.edu/~sheffield/interview.html

Richard Taylor - Research interests and achievements

In 1996, just after being appointed to Harvard University, Richard Taylor was interviewed by Scott Sheffield. See http://math.mit.edu/~sheffield/interview.html

We give Taylor's reply to the question: What are your Major Research Interests and Achievements?

The great problem that motivates me is to understand the absolute Galois group of the rational numbers, that is, the group of all automorphisms of the field of algebraic numbers (complex numbers which are the roots of nonzero polynomials with rational coefficients). If you like you can talk about all Galois groups of finite extensions of the rational numbers, but this is a convenient way to put them all together. It doesn't make a lot of difference, but it is technically neater to put them all together. The question that has motivated almost everything I have done is, "What's the structure of that group?" One of the great achievements of mathematicians of the first half of this century is called , and one way of seeing it is as a description of all abelian quotients of the absolute Galois

group of , or if you like, the classification of the abelian extensions of the field of the rational numbers. That's only a very small part of this group. The group is extremely complicated, and just describing the abelian part doesn't solve the problem. For instance John Thompson proved that the monster group is a quotient group of this group in infinitely many ways.

There is some sort of program to understand the rest of this group, often referred to as the . There's a huge mass of conjectures, of which we are only beginning to scratch the surface, which tell us what the structure is. The answer is to my mind extremely surprising; it invokes extremely different objects.

7 You start out with this algebraic structure and end up using what are called modular forms, which relate to complex analysis.

There seems to be an answer to this question: what's the structure? And the answer is something completely unexpected in terms of these analytic objects, and I think that's what attracts me to the subject. When there is a great connection between two different areas of mathematics, it always seems to me indicative that something interesting is going on.

The other thing we can see - another indication that it's a powerful theory - is that one can answer questions one might have asked anyway, before one built up the theory. Maybe, the first example was a result proved by Barry Mazur; he provided a description of the possible torsion subgroups of elliptic curves defined over the rational numbers. It was a problem that had been knocking around for some time, and it's relatively easy to state. Using these sorts of ideas, Barry was able to settle it.

Other examples are the proof the main conjecture of Iwasawa theory by Barry Mazur and Andrew Wiles, and the work of Dick Gross and Don Zagier on rational points on elliptic curves. And I guess finally, there's Fermat's last theorem, which Andrew Wiles solved using these ideas again. So in fact, the story of Fermat's last theorem is that this German mathematician Frey realised that if you knew enough of this correspondence between modular forms and Galois groups, there is an extraordinarily quick proof of Fermat's last theorem. And at the time he realised this, not enough was known about this correspondence. What Andrew Wiles did and Andrew and I completed was prove enough about this correspondence for Frey's argument to go through. The thing that amuses me is that it seems that history could easily have been reversed. All these things could have been proved about the relationship between modular forms and Galois groups, and then Frey could have come along and given nearly a two-line proof of Fermat's last theorem.

Those four [torsion points, Iwasawa theory, Gross and Zagier, Fermat] are probably the obvious big applications of these sorts of ideas. It seems to me the applications have been extraordinarily successful - at least four things that would have been recognised as important problems irrespective of this theory, problems that people had thought about before modular forms.

Richard Taylor wins 2007 Shaw Prize

In 2007 and Richard Taylor were awarded, in equal shares, the Shaw Prize, "for initiating and developing a grand unifying vision of mathematics that connects prime numbers with symmetry." We present below the Biographical Note for Richard Taylor and Richard Taylor's autobiography written as Shaw Prize winner. We also give the Press announcement and the essay about Robert Langlands and Richard Taylor's contributions. We have included the description of Langlands work simply because it is so interlinked with that of Richard Taylor.

Biographical Note for Richard Taylor

Richard Taylor, born 1962 is currently the Herchel Smith Professor of Mathematics at Harvard University, a post he has held since 2002. Professor Taylor was born in England. He received his BA from Cambridge University in 1984 and his PhD from 4 years later. He taught at Cambridge University from 1989 to

8 1995 and held the Savilian Chair of Geometry at Oxford University from 1995 to 1996. He is a Fellow of the Royal Society of London.

12 June 2007, Hong Kong

1. Richard Taylor's autobiography

I was born on May 19, 1962 in Cambridge, England, but two years later we moved to Oxford where I spent the rest of my childhood. My mother, Mary, was a piano teacher and my father, John, a theoretical physicist. I enjoyed mathematics from a young age and was blessed with a number of inspiring mathematics teachers, including Tony Middleton at Magdalen College School. Although never a star at them, I greatly enjoyed the mathematics olympiads, which gave me my first experience of working on problems which took more than a few minutes to solve. But the biggest influence on my early scientific development was undoubtedly my father, who taught me never to be satisfied until I had really understood something completely. I also learnt from him not to fear asking simple-minded questions.

I was an undergraduate at Clare College, Cambridge. At this stage I developed a passion for travel and mountaineering, visiting the Alps, the Indian Himalayas and later the Karakoram and Ecuadorean volcanoes. I found it a great way to relax from mathematics which otherwise could be very consuming. It also became clear to me that number theory was the field that I found most exciting. I was attracted by the combination of simple problems, beautiful structure and the variety of techniques that were employed. However I very nearly chose to do graduate work in another area because I felt my abilities were insufficient to make an impact in such a hard field with so many outstanding practitioners. I overcame these doubts and went to graduate school in Princeton. Here I chose to work with Andrew Wiles attracted both by the beauty of his work and his approachability. It was a wise choice. Andrew's influence on my work has been enormous. After completing my PhD I spent a year at the Institut des Hautes Etudes Scientifiques outside Paris before returning to Cambridge University and Clare College. I stayed there for the next 6 years, during which time I benefited greatly from John Coates' support.

In 1994 I had the wonderful good fortune to meet Christine Chang, who has made my life much happier. We married in August 1995 and now have two children: Jeremy (born in 1998) and Chloe (born in 2000). Since then I have devoted significantly less time to mathematics, but paradoxically my mathematical work has improved.

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In an effort to combine our two scientific careers I left Cambridge University following my marriage to Christine, first for the Savilian chair of geometry at Oxford and then a year later for Harvard University, where I am currently the Herchel Smith professor of mathematics. At Harvard I have found a supportive and stimulating home with incomparable colleagues and students.

My mathematical interests centre on the relationship between two very different kinds of symmetry: certain discrete symmetries of polynomial equations discovered by Galois in the first half of the 19th century, and other continuous symmetries arising in geometry. In the simplest (commutative) case this relationship was one of the great mathematical achievements of the first half of the 20th century (class field theory). More recently a much more general (non-commutative) theory has developed which is often loosely described as the Langlands program. I am fascinated by the way these ideas relate two very different kinds of mathematics (one coming from algebra, the other more closely related to analysis) which on the face of it have no reason to be related. I am also deeply impressed at how progress on this "program" has led to the solution of old, concrete problems in number theory. The most notable, but certainly not the only instance of this, being Andrew Wiles' proof of Fermat's last theorem. (It was a wonderful opportunity when in December 1993 Andrew asked me to help him repair the gap in his first attempt to prove Fermat's last theorem, a task at which we succeeded in less than a year, though we used a wholly unexpected argument.)

Class field theory can be considered the one dimensional case of the program. My early work is concerned with the two dimensional case, most notably my work with Wiles alluded to above and its continuation with Breuil, Conrad and Diamond to prove the full Shimura-Taniyama conjecture which has important applications to the arithmetic of elliptic curves. Also my discovery of potential modularity results, which led to the proof of the meromorphic continuation and functional equation of the L-functions of all regular rank two motives. Subsequently Khare and Wintenberger again made use of these ideas in their ground-breaking proof of Serre's conjecture. More recently I turned my attention to any number of dimensions, most often in a long collaboration with Michael Harris. I consider our proof of the local Langlands conjecture and our work (in part with Clozel and Shepherd-Barron) on modularity lifting theorems and potential modularity theorems in any number of dimensions to be the highlights of this work. An application of this is the proof of the Sato-Tate conjecture (for elliptic curves with non-integral j-invariant). This account will make clear that I am someone who works best in collaboration with others. I am extremely fortunate to have had fruitful and very enjoyable collaborations with many different colleagues. I am also blessed to have been able to work with 20 very talented PhD students.

11 September 2007, Hong Kong

10 2. Richard Taylor - Press Release

The Shaw Prize in Mathematical Sciences 2007 will be awarded in equal shares to Robert Langlands and Richard Taylor. Richard Taylor has made many extraordinary contributions to modern number theory, and more specifically to the framework of the Langlands program, where he has, in recent years, solved several important problems that had been long-standing conjectures.

Mathematical Sciences Selection Committee

The Shaw Prize

11 September 2007, Hong Kong

3. Robert Langlands and Richard Taylor - The essay

The work of Robert Langlands and Richard Taylor, taken together, provides us with an extraordinary unifying vision of mathematics. This vision begins with "Reciprocity", the fundamental pillar of arithmetic of previous centuries, the legacy of Gauss and Hilbert. Langlands had the insight to imbed Reciprocity into a vast web of relationships previously unimagined. Langlands' framework has shaped - and will continue to shape, unify, and advance - some of the most important research programmes in the arithmetic of our time as well as the of our time. The work of Taylor has, by a route as successful as it is illuminating, established - in the recent past - various aspects of the Langlands programme that have profound implications for the solution of important open problems in number theory.

For a prime number p form the (seemingly elementary) function that associates to an integer n the value +1 if n is a square modulo p, the value -1 if it isn't, and the value 0 if it is divisible by p. It was surely part of Langlands' initial vision that such functions and their number theory might be relatively faithful guides to the vast number-theoretic structure concealed in the panoply of automorphic forms associated to general algebraic groups. Langlands, viewing automorphic forms as certain kinds of representations (usually infinite-dimensional) of algebraic groups, discovered a unification of the two subjects, number theory and representation theory, that has provided mathematics with the astounding dictionary it now is in the process of developing and applying. Namely, the Langlands Philosophy: a dictionary between number theory and representation theory which has the uncanny feature

11 that many elementary representation-theoretic relationships become - after translation by this dictionary Ð profound, and otherwise unguessed, relationships in number theory, and conversely.

In the mid 1960's Robert Langlands was one of the prime movers in the development of the general analytic theory of automorphic forms and their relationship to representation theory. Of particular note is his much celebrated general theory of Eisenstein series. Remarkably quickly after this, he was able to enunciate in a rather precise way the audacious "Langlands philosophy" which has guided the subject ever since. This includes his extremely general "reciprocity conjecture" connecting automorphic forms with number theory and his "principle of functoriality", a beautiful conjecture that subsumes all these ideas in terms of internal properties of representations. In the 1970's and 1980's Langlands went on to attack many important special cases of his conjectures using generalisations of the . Of particular note is his theory of cyclic base change for GL(2), an example of "functoriality" which has profound applications to number theory. He pioneered the use of the trace formula to study Shimura varieties. He also laid out a very detailed blueprint (the theory of "endoscopy") on how to overcome deep problems that were encountered when trying to apply the trace formula to analyse Shimura varieties or to prove cases of functoriality. In sum, Langlands' insight offers us a grand unification, already used to establish some of the deepest advances in number theory in recent years.

Indeed, it is thanks to the work of Richard Taylor that we now have some of these advances. To cite the most recent of these breakthroughs, he and co-workers (Michael Harris, Laurent Clozel, and Nicholas Shepherd-Barron) have established an important part of a basic conjecture that has been around for 40 years. At the same time, they have extended - in a striking way - our ability to make use of Langlands' ideas, in combination with work of others, for arithmetic purposes. The technical statement of what they have done is to have proved the Sato-Tate conjecture for elliptic curves over totally real fields, provided that the curve has a place of multiplicative reduction. The Sato-Tate conjecture predicts that certain error terms in a broad class of important numerical functions of prime numbers conform to a specific probability distribution. In this recent work we see otherwise separate mathematical sub-disciplines coming together and connecting with each other in an illuminating way. Moreover, the successful strategy adopted, in keeping with Langlands' principle of functoriality, involves an infinite sequence of automorphic forms attached to algebraic groups of higher and higher rank. All this is surely just the beginning of a much bigger story, as envisaged by Langlands.

Richard Taylor's earlier work includes his celebrated collaboration with Wiles on the resolution of Fermat's Last Theorem followed by his quite significant contribution to the collaborative effort to finish fully the modularity of elliptic curves over the

12 rational number field, his collaboration with Michael Harris culminating in the resolution of the local Langlands' Conjecture for the in n dimensions, and his work resolving the classical Artin conjecture for a quite important class of non-solvable Galois representations of degree two.

The work of Robert Langlands and Richard Taylor demonstrates the profundity and the vigour of modern number theory and representation theory. Together they amply deserve the honour of the Shaw Prize.

Mathematical Sciences Selection Committee

The Shaw Prize

11 September 2007, Hong Kong

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