Determinaç˜Ao Das Órbitas E Massas De Exoplanetas

Universidade de SãoPaulo Instituto de Astronomia, Geof´ısicae CiênciasAtmosféricas Departamento de Astronomia

Marcos Tadeu dos Santos

Determina¸c˜aodas ´orbitase massas de exoplanetas

S˜aoPaulo 2011

Marcos Tadeu dos Santos

Determina¸c˜aodas ´orbitase massas de exoplanetas

Tese apresentada ao Departamento de Astronomia do Insti- tuto de Astronomia, Geof´ısicae CiênciasAtmosféricasda Universidade de SãoPaulo como parte dos requisitos para a obten¸cãodo t´ıtulode Doutor em Ciências.

Area´ de Concentra¸c˜ao:Astronomia Orientador(a): Prof.(a) Dr.(a) Sylvio Ferraz-Mello

S˜aoPaulo 2011

Ao sr. Ricieri Bergamasco, meu avˆo- em mem´oria

Agradecimentos

A` minha fam´ılia,pelo apoio incondicional; Ao prof. Sylvio Ferraz-Mello, a quem sempre serei muito grato pela orienta¸cão,pelas oportunidades que me proporcionou e principalmente pela paciênciaque teve comigo neste periodo; Agrade¸coáprof. Tatiana Michtchenko, co-orientadora, pelas dúvidassanadas, sug- estõese cr´ıticas. Meu muito obrigado tambémao prof. Cristian Beaugépor ter me acolhido em Córdoba,a paciênciae a orienta¸cãoque deu origem ao cap´ıtulo 4; Ao grande prof. Tadashi Yokoyama, sempre amigo, incentivador e conselheiro; Aos amigos de sala: Adrian, Alan, Eduardo, Gleidson e V´ıtor.Agrade¸coa convivência, as conversas, risadas e discussões. Aos amigos do time de Mecânica Celeste de Córdoba:Cristian Giuppone, Jorge Correa e Martin Leiva. A` Daniela dos Santos, a quem devo a revisão de texto. Agrade¸cotambémao prof. Nelson Callegari Jr. A secretaria do depto. de Astronomia e da se¸cãode pós-gradua¸cao,e ao corpo técnico de informáticado Depto. de Astronomia, em especial ao Marco e ao Lu´ıs, que muito sol´ıcitos,sempre resolveram prontamente os problemas computacionais que tive. Por fim, àFAPESP, pelo apoio financeiro, sob o processo no: 06/52984-0 e áCapes, pelo subs´ıdiologo no in´ıciodeste projeto.

Esta tese/disserta¸c˜aofoi escrita em LATEX com a classe IAGTESE, para teses e disserta¸c˜oesdo IAG.

“O correr da vida embrulha tudo, a vida ´eassim: esquenta, esfria, aperta e da´ıafrouxa, sossega e depois desinquieta. O que ela quer da gente ´ecoragem. ”

JoãoGuimarãesRosa - Grande Sertão:Veredas

“Take care, my Lord, replied Sancho Panza; what we see down there are not giants, but windmills”

Miguel de Cervantes - Don Quijote

Resumo

Nos últimosanos, a descoberta de planetas em outras estrelas, os chamados sistemas extrassolares ou exoplanetários,tem demandado um grande custo intelectual e financeiro. Em decorrênciao estudo de exoplanetas éuma das áreasda Astronomia que mais tem crescido: grandes esfor¸cosestãosendo feitos para melhorias nas condi¸cõesde observa¸cões, satélitessãoenviados ao espa¸cocom este objetivo e, cada vez mais, grupos ao redor do mundo têmse dedicado ao assunto. O interesse por estes sistemas ocorre por serem muito peculiares e desafiarem as teorias hoje conhecidas e que funcionam razoavelmente bem para nosso sistema solar. Portanto, este trabalho se faz pertinente, pois qualquer estudo, seja ele pela busca de vida, seja algum estudo dinâmico, etc., exige o bom conhecimento dos parâmetrosdestes planetas. Apresentamos um estudo das formas mais utilizadas para a determina¸cãodos elementos orbitais destes sistemas: a técnicade velocidade radial (VR) e a de trânsito. Para o método de VR apresentamos sua modelagem, a aplica¸cãoem alguns sistemas de interesse (CoRoT-7 e HD202206) e, também,para verificar a confiabilidade dos resultados, a utilizamos em dados gerados de forma artificial, o que nos leva ao questionamento dos valores hoje dispon´ıveis na literatura. Introduzimos, no apêndiceC, a técnicade trânsito, a qual modelamos como em Kopal (1979). Trata-se de uma formula¸cãogeral e válida para qualquer tipo de eclipse e a utilizamos para o sistema OGLE-TR113, cujos resultados apresentam concordânciasatisfatóriacom aqueles publicados.

Abstract

In the last years, the discovery of planets in others stars, the called extra-solar or exo- planetary systems, has demanded a great intellectual and financial cost. Consequently, the estudy of exoplanets is one of the areas of Astronomy with more development: great effort has been done to improvements in the observational conditions, satellites are launching to espace with this objective and groups around the world have been dedicated to this subject. The interest in these systems occurs because they are very peculiar and challenging the theories well-kown today, and that work fairly well for our solar system. Therefore, this work is relevant, since any study, about search life, about dynamic or any others, requier an accurate knowledge of the orbital parameter of this planets. We present here a study of the most popular forms of determination of the orbital elements of these systems: the radial velocity (RV) method and transit. For the radial velocity method we modeled and applied it in the some interesting cases (CoRoT-7 and Hd202206) and in order to check its reliabity we used it in artificial data, and the result drive us to doubt the values, today, available in the literature. About the transit, we modelled as Kopal (1979), it is a general formulation, and valid for any type of eclipse; and we used it in the OGLE-TR113 system, whose results are, satisfactorily, in agreement with that published.

Lista de Figuras

2.1 Esquematiza¸cãodo sistema de coordenadas (X, Y, Z) em que vale a equa¸cão (2.1), o eixo Z éperpendicular ao plano (X, Y)...... 37 2.2 Geometria dos sistemas de coordenadas que representa a passagem do sis-

tema (XC.M.,YC.M.,ZC.M.), com origem no centro de massa e plano (XC.M.,YC.M.)

coincidente com o plano orbital; para (Xf ,Yf ,Zf ), cujo eixo Zf representa a linha de visada do observador...... 38 2.3 Esquematiza¸c˜aodo funcionamento do algoritmo simplex. Figura extra´ıda de Press et al. (1992)...... 46

2.4 Histograma de c1 e c2 calculados a partir de amostras de dados puramente

ruidosas com σr = 5. Tomamos 10000 amostras com 500 pontos em cada uma delas...... 52

2 2 2.5 Histograma de I = c1 + c2. Calculados com os mesmos dados da figura (2.1) 53 2.6 Em (A), temos 50 medidas geradas artificialmente com per´ıodo de 10 dias e amplitude de 5. Em (B), o espectro destas medidas onde destacamos em cada linha horizontal a probabilidade de tal amplitude ser alcan¸cadapara quando os dados forem puramente ruidosos...... 54 2.7 Em (A), “scramble” para os dados da figura (2.6-A); em vermelho, o espectro dos dados originais; e em preto, os espectros de cada uma das 1000 ordena¸cõesque efetuamos. Em (B), um histograma dos valores alcan¸cados por S na frequênciade 0.1d−1 em cada um dos conjuntos criados, onde podemos fazer uma compara¸cãocom a amplitude obtida com os dados originais S = 0.7364...... 55 2.8 Espectro das velocidades radiais de HD50554. A probabilidade do pico maior ser gerado, por ru´ıdos,épraticamente zero, da ordem de 10−7% . . 56 2.9 Curva de velocidade radial tra¸cadaa partir da solu¸cão(2.6-1) juntamente com os res´ıduosadvindos deste ajuste...... 57 2.10 Espectro dos res´ıduosda figura (2.9). O histograma da direita representa os 10000 “scramble” que fizemos a partir dos res´ıduos...... 58 2.11 Sistema HD12661, ajuste com um corpo de per´ıodo ≈ 264 dias. Observa- mos a curva gerada juntamente com as medidas. Nos res´ıduos deste ajuste podemos verificar uma clara rela¸cãoperiódica,que pode ser comprovada pelo espectro, que revela um per´ıodo de aproximadamente 1500 dias . . . 60 2.12 Curva de velocidade Radial calculada a partir da solu¸cão(2.6-5). Apre- sentamos tambémos res´ıduose seu respectivo espectro onde verificamos a inexistênciade outros per´ıodos...... 61

3.1 Velocidades radiais que encontramos apóso processo de recupera¸cãodos dados descrito no ApêndiceA...... 66 3.2 Espectro dos dados apresentados na figura (3.1) onde salientamos o per´ıodo de 258.3 dias...... 66 3.3 O gráficoacima representa a curva de velocidade radial gerada a partir da solu¸cão(3.2-1). Abaixo temos os res´ıduosdeste ajuste bem como o espectro, onde observamos haver um segundo per´ıodo de aproximadamente 1300 dias. 68 3.4 Figuras geradas a partir da solu¸cão (3.2-2)...... 69 3.5 Valores encontrados atravésdo processo de BMC. Cada ponto deste gráfico representa uma evolu¸cãodo algoritmo por 10000 intera¸cõescalculadas através de chutes distintos no espa¸code parâmetrose com valores Q ≤ 300 . . . . . 72 3.6 Continua¸cãodo gráfico(3.5). Apresentamos aqui os elementos angulares. 73 3.7 Elementos orbitais em fun¸cãodo númerode medidas...... 75 3.8 (wrms) de cada um dos ajustes apresentados no gráfico(3.7)...... 76 3.9 Jacknife de Ferraz-Mello, exclu´ımosconjuntos aleatóriosde 10 observa¸cões. 77 3.10 Continua¸cãodo gráfico(3.10)...... 78 3.11 Resampling para o Sistema HD202206...... 79 3.12 Integra¸cãoda solu¸cão(3.5-1), verificamos instabilidade em menos de 20000 anos...... 81 3.13 Integra¸cãoda solu¸cõesproposta por Correia et al. (2005)...... 82 3.14 Mapa dinâmicodo sistema HD202206, calculado a partir das condi¸cões(3.5- 1). Em (A) temos o mapa espectral, jáem (B) o mapa da excentricidade máxima...... 83 3.15 Resultado da integra¸cãocom condi¸cõesas condi¸cõesiniciais (3.5-2). . . . . 84 3.16 Zoom do comportamento dos elementos angulares e ânguloscr´ıticos da figura (3.15)...... 84 3.17 Sistema de referênciaque utilizamos para a minimiza¸cãono plano do céu.. 85

4.1 Exemplo de curva de velocidade radial gerada...... 90 4.2 Elementos orbitais obtidos para cada conjunto sint´eticode dados...... 91 P 2 2 4.3 Histograma dos resultados Q = j(Oj − Cj) /σj das minimiza¸c˜oespara os valores K/σ que utilizamos...... 92

4.4 Histograma para os elementos orbitais em que K/σr = 1. Como a escala do histograma nãoéfavorável, em (D) e (E) temos o diagrama M vs. a em que podemos observar melhor a dispersãodestes elementos. O gráfico(E) é apenas um zoom na escala de (D)...... 93 4.5 Para cada minimiza¸cãocalculamos a dispersãodos dados em torno de seu

valor médio, QM , cujos resultados estãoapresentados no histograma em vermelho. Comparamos com o valor de Q advindo do ajuste da fórmula de VR, histobrama preto...... 94

4.6 Os pontos em vermelho representam os valores (QVR,QM ) que calculamos para cada amostra sintética. As regiõesclaras ao fundo correspondem aos dados para os quais nãoépossivel concluir uma rela¸cãofuncional (VR(t)) entre as medidas. Ao contrário,a regiãoescura éonde detectar´ıamos a existencia de algum planeta, pois seria poss´ıvel determinar uma rela¸cão funcional a partir das observa¸cões. A áreaem azul trata-se de um corte onde, hipoteticamente, a médiados dados seria um ajuste melhor que a fun¸cãoVR, situa¸cãosem significado f´ısico...... 94 4.7 Histograma das soluões(4.4) em que exclu´ımosos ajustes sem relevância.. 95 4.8 Libra¸cãodo ânguloressonante e de ∆$ ...... 96 4.9 Curva de velocidade radial gerada pelas condi¸cõespropostas...... 97 4.10 Curva de velocidade radial gerada pelas condi¸cõespropostas, mas variamos apenas a razãodas massas...... 97 4.11 Em (A), ajuste com um planeta para o sistema HD50554 e, em (B), incluimos a procura de um segundo planeta em ressonância2:1 com o primeiro. 99 4.12 Curva vermelha - Velocidade radial gerada com o truncamento da sérieem ordem 4. Azul - curva exata...... 100

4.13 Per´ıodos resultantes do ajuste. Eixo vertical ´e P1 e o horizontal P2. . . . . 101

4.14 Em (A), curva azul, tomamos os parˆametros: K1 = 31.560m/s,K2 = o 35.001m/s,e1 = 0.285,e2 = 0.477,P1 = 357.54d,P2 = 181.888,ω1 = 353.801 ,ω2 = o o o 10.199 , `1 = 353.859 , `2 = 349.216 e Vo = 0.034m/s. Em (B) K1 =

63.208m/s,K2 = 47.001m/s,e1 = 0.511,e2 = 0.763,P1 = 366.513d,P2 = o o o o 365.578d,ω1 = 1.021 ,ω2 = 7.724 , `1 = 359.302 , `2 = 177.617 e Vo = 0.033m/s. Tanto em (A) quanto em (B), a curva vermelha representa as condi¸c˜oesiniciais propostas...... 102 4.15 Em vermelho as excentricidades do conjunto 2 e, em preto, as do 1. . . . . 103 4.16 Histograma das solu¸c˜oesdo conjunto 1. Para relembrar, os valores iniciais

propostos s˜ao: e1 = 0.1271 e e2 = 0.3923, que est˜aorepresentados pelas

linhas verticais em vermelho. O valor m´ediodos histogramas s˜ao he1i = 0.25

e he2i = 0.42, superiores aos inicialmente propostos...... 103 4.17 Em vermelho o conjunto 2 e, em preto, o conjunto 1. A estrela verde

representa os valores K1 = 38.972m/s e K2 = 28.684m/s ...... 104 4.18 Qualidade de cada um dos ajustes, em (A) temos o termo Σ(O − C)2/σ2. Em (B), o wrms das solu¸cõesdo tipo 1 e, em (C), as solu¸cõesdo conjunto 2. 104 4.19 Em (A) o ru´ıdodos dados é5m/s, em (B), de 7m/s; e de 9m/s, em (C). Cada ponto representa as solu¸cõesobtidas em amostras sintéticasde 100 medidas cada uma e espa¸camento regular de 5 dias. Neste gráficoexclu´ımos

as solu¸cões P1/P2 ≈ 1. Em vermelho temos a condi¸cãoinicial proposta. . 106 4.20 Em preto: condi¸cõesiniciais propostas. Vermelho: hK1i = 40.144m/s,

he1i = 0.386, hP1i = 182.588d, hK2i = 29.131m/s, he2i = 0.1512 e hP2i =

364.934. Azul: hK1i = 39.836m/s, he1i = 0.3861, hP1i = 182.546d, hK2i =

28.921m/s, he2i = 0.1875 e hP2i = 365.421. Por ﬁm, em verde: hK1i =

40.463m/s, he1i = 0.392, hP1i = 183.1437d, hK2i = 30.477m/s, he2i =

0.2329 e hP2i = 363.68. Em todos os casos tomamos ω1 = `1 = ω2 = `2 = 0. 107 4.21 O mesmo da ﬁgura (4.19) onde a cor verde representa as solu¸c˜oesem que

ambos os ângulos,∆$ e 2λ1 − λ2 − $1, libram. Em azul eles circulam e, em preto, sãoórbitasinstáveis...... 108

4.22 Resultados obtidos para σ = 7. Em verde temos: K1 = 41.394m/s, e1 =

0.369, P1 = 181.224, ω1 = 6.274, `1 = −0.063; K2 = 27.763m/s, e2 = 0.01,

P2 = 378.023, ω2 = 4.232, `2 = 0.231. Em vermelho: K1 = 47.033m/s,

e1 = 0.320, P1 = 181.322, ω1 = 6.249, `1 = −0.015; K2 = 29.509m/s, e2 =

0.191, P2 = 358.817, ω2 = 3.027, `2 = 9.447. Em preto: K1 = 37.696m/s,

e1 = 0.405, P1 = 180.979, ω1 = 6.235, `1 = −0.043; K2 = 28.391m/s,

e2 = 0.189, P2 = 363.478, ω2 = 6.080, `2 = 6.378. Azul: K1 = 36.288m/s,

e1 = 0.459, P1 = 181.771, ω1 = 6.625, `1 = 6.118; K2 = 31.922m/s,

e2 = 0.318, P2 = 364.420, ω2 = 6.800, `2 = 5.719...... 109 4.23 Resultado da integra¸cãodas condi¸cões(1.4-A)...... 111 4.24 Exemplo de curva de velocidade radial gerada pelas condi¸cões(1.4-A) . . . 111 4.25 Análogaa figura (4.20) com as condi¸cões(1.4-A) ...... 112 4.26 Histogramas das excentricidades. A linha vertical vermelha representa o valor inicial proposto...... 113 4.27 Histogramas de ∆$ e ∆`. A linha vertical vermelha representa o valor inicial proposto...... 114 4.28 Resultados para as condi¸cões(4.4-B) em que σ = 5m/s...... 115 4.29 Análogoàfigura (4.26), mas eliminamos os ajustes irrelevantes...... 116

4.30 Restri¸c˜aoda ﬁgura anterior para os resultado em que P1 ≈ 365 e P2 ≈ [365 − 700]d...... 116 4.31 Curva verde: K1 = 113.474m/s, e1 = 0.303, P1 = 366.228d, ω1 = 6.233rad,`1 =

6.233rad; K2 = 35.243m/s, e2 = 0.776, P2 = 497.517d, ω2 = 6.261rad,`2 =

10.271rad e Vo = −1.979m/s. Curva azul: K1 = 114.556m/s, e1 = 0.298,

P1 = 366.486d, ω1 = 6.195rad,`1 = 6.360rad; K2 = 37.330m/s, e2 = 0.795,

P2 = 682.910d, ω2 = 6.168rad,`2 = 4.609rad e Vo = −4.960m/s. Ver-

melha: K1 = 115.336m/s, e1 = 0.313, P1 = 363.828d, ω1 = −0.076rad,`1 =

6.325rad; K2 = 35.800m/s, e2 = 0.716, P2 = 371.697d, ω2 = 6.188rad,`2 =

9.504rad e Vo = −0.717m/s. Por fim, a curva preta representa as condi¸cões iniciais propostas...... 117 4.32 Resultados das condi¸cões(1.4-B) que reproduzem de maneira aproximada os per´ıodos iniciais propostos ...... 118

4.33 Curva vermelha: K1 = 19.568m/s, e1 = 0.094, P1 = 121.238d, ω1 =

6.236rad,`1 = 3.218rad; K2 = 115.565m/s, e2 = 0.490, P2 = 363.740d,

ω2 = 6.263rad,`2 = 6.285rad. Curva azul: K1 = 21.534m/s, e1 = 0.580,

P1 = 243.498d, ω1 = 6.465rad,`1 = 1.529rad; K2 = 107.486m/s, e2 = 0.361,

P2 = 356.733d, ω2 = 0.078rad,`2 = 6.158rad e Vo = −0.106m/s. Curva

verde: K1 = 36.997m/s, e1 = 0.442, P1 = 182.872d, ω1 = 0.081rad,`1 =

0.023rad; K2 = 88.793m/s, e2 = 0.1426, P2 = 364.985d, ω2 = 6.432rad,`2 =

6.136rad e Vo = −0.237m/s...... 118 4.34 Histograma das solu¸cõesdo conjunto IV...... 119 4.35 Elementos angulares dos elementos do conjunto IV...... 120 4.36 Comportamento dinâmicodo conjunto IV, gráficoanálogoas figuras (4.20) e (4.23)...... 120 4.37 Gráficoextra´ıdode Reiners (2009). Em (A), háa grande explosão,vista em maiores detalhes logo na primeira noite de observa¸cãoe émarcada por

uma forte emiss˜aona linha Hα. Em (B), os c´ırculoscinzas representam a

luminosidade normalizada Hα, enquanto os demais s´ımbolos, a amplitude de velocidade radial alcan¸cada...... 122 4.38 Gráficoextra´ıdode Saar e Donahue (1997) representando as curvas de n´ıvel da equa¸cão(4.4)...... 124 4.39 Gráficoextra´ıdode Desort et al. (2007). Em (A), a localiza¸cãoda mancha na superf´ıcieda estrela e, em (B), a amplitude de varia¸cãoda velocidade radial causada por ela...... 125

5.1 Reprodu¸cãodo gráfico8 do artigo de Queloz et al. (2009)...... 130 5.2 Em (A), o espectro com todas as velocidades radiais medidas. Em (B), somente as medidas no intervalo 845 < t < 875...... 131 5.3 Em preto, elimina¸cãodo per´ıodo de rota¸cão.Em cinza, o mesmo espectro da figura (5.2-B)...... 132 5.4 Gráficosgerados pela solu¸cão5.2-1. Observamos a curva de velocidade radial gerada, juntamente com as medidas e os res´ıduosdeste primeiro ajuste. No espectro destes res´ıduosháum pico em 0.849d, que trata-se do per´ıodo de CoRoT-7b, o planeta de trânsito...... 133 5.5 Análogaa figura 5, porémcom os dados da solu¸cão5.2-2...... 134 5.6 Res´ıduose espectro dos mesmos gerados atravésda solu¸cão(5.1-3). . . . . 135 5.7 “Scramble” dos res´ıduosque vemos na figura (5.6). Nesta figura temos 100 espectros, de cada uma das ordena¸cõesque fizemos, representados pelos pontos pretos. A curva branca éo e espectro jáapresentado em (5.6). . . 136 5.8 Curva de velocidade radial, res´ıduose espectro da solu¸cão(5.1-4). . . . . 137 5.9 Valores medidos das velocidades radiais, salientamos as janelas em que não háobserva¸cões...... 138 5.10 Gráficos referentes àssolu¸cões(5.3-1) ...... 139 5.11 Curva de velocidade radial gerada pela solu¸cão(5.3-2). Apresentamos também os res´ıduose espectro, onde encontramos um pico em ≈ 9 dias ...... 140 5.12 Gráficos da solu¸cão(5.3-3)...... 141 5.13 Gráficos da solu¸cão(5.3-4), ...... 142 5.14 Espectro dos res´ıduosda figura (5.3-4)...... 142 5.15 Espectro dos res´ıduosda figura (5.3-5)...... 143 5.16 Gráficodas velocidades radiais obtidas com o filtro que descrevemos. . . . 145 5.17 Dados digitalizados (azul) juntamente com a nossa filtragem (vermelho). . 145 5.18 Em vermelho: velocidades radiais. Preto: Dados filtrados...... 146 5.19 Espectros das velocidades radiais filtradas. Em (A), a linha vertical vermelha representa o per´ıodo do planeta de trânsito.Em (B), destacamos os per´ıodos de cada uma das amplitudes significativas...... 147 5.20 Em preto: espectro dos dados digitalizados que foram apresentados na figura (5.17), jáem vermelho eliminamos dos mesmos o per´ıodo de 3.7 dias. . . . 147 5.21 Em (A), temos a curva gerada e as medidas do ajuste. Em (B) temos o detalhe de ambos no intervalo 845 < t < 875. Em (C) temos os res´ıduosdo ajuste e em (D) seu espectro...... 148 5.22 Gráficodo scramble da solu¸cão(5.4-1). Em (A), espectro das 100 ordena¸cões que promovemos nos res´ıduose, em (B), a amplitude máximaatinigida por cada um deles. A linha horizontal representa o valor máximoalcan¸cadono espectro (2.12)...... 149 5.23 Curvas geradas com a solu¸cão(5.4-2), em (A) a curva de velocidades radiais juntamente com as medidas filtradas. Em (B) os res´ıduos,em (C) o espectro e em (D), o “scramble” dos res´ıduos...... 150 5.24 Espectro das velocidade radiais filtradas de Queloz et al.(2009) no intervalo 845 < t < 875. A linha vertical representa o per´ıodo do planeta de trânsito. 151 5.25 Velocidades radiais res´ıduose espectro da solu¸cão(5.5-1)...... 152 5.26 Velocidades radiais filtradas juntamente com a curva, res´ıduose espectro gerados pela solu¸cão(2.3-2)...... 153 5.27 Procedimento autoconsistente, com trêsharmônicose tempo de coerência de 21 dias ...... 155 5.28 Procedimento autoconsistente, com trêsharmônicose diversos tempos de coerência...... 155 5.29 Procedimento autoconsistente com 3 harmônicos. O códigode cores éo mesmo de (5.28). Em (A), os s´ımbolos são: ⊕ a solu¸cão(5.2-4), calculada a partir das técnicasclássicade Fourier com os dados no intervalo 845-875. O quadrado a solu¸cão(5.3-5), resultado tambémobtido por análisede Fourier utilizando todas as observa¸cões. A cruz representa (5.5-2) obtida com os dados filtrados e limitados temporalmente e o triânguloa solu¸cãode Queloz (2009). Em (B), temos a longitude dos planetas em t = 847.5968...... 156 5.30 Modelagem dada pelo filtro para a atividade e a parte atribuida aos planetas. Em (A), a atividade modelada e as velocidades radiais medidas. Em (B), a velociade radial filtrada, devido aos planetas...... 157 5.31 Em (A), peridograma da atividade modelada pelo algoritmo autoconsistente. A curva cinza representa o espectro das velocidades radiais observadas. Em (B), o espectro das velocidades radiais filtradas da atividade. . 157 5.32 Zoom de (5.21-B) nos per´ıodos de 3.7 e 0.85 dias. Em cinza, temos o espectro das velocidades radiais observadas...... 158 5.33 Velocidades Radiais filtradas calculada a partir da médiados valores representados na figura (5.30) e respectivo espectro...... 159 5.34 Res´ıduosgerados pela solu¸cão(5.6-1) e respectivo espectro...... 160 5.35 Resultado do algoritmo autoconsistente com o quarto harmônico. Esta figura éanálogaàfigura (5.29). O asterisco representa uma solu¸cãoque

tomamos com tc = 21, mas quadruplicando o númerode itera¸cõesde nossos algoritmos, para observamos a consistênciada regiãode convergência. As linhas pontilhadas em cinza representam os limitadores da região de con- vergênciapara trêsharmônicos...... 161 5.36 Em (A), a atividade para cada um dos tempos de coerência. Em (B), a velocidade radial filtrada da atividade...... 162

5.37 Em (A), o espectro da atividade para cada tc. As linhas verticais representam os harmônicos.Em (B) e (C), o espectro do sinal dos planetas em 3.7 e 0.85 dias. A curva cinza representa o espectro da velocidade radial observadas...... 162 5.38 Valores Médiosda figura (5.36-A) juntamente com seu espectro. A curva cinza éa repeti¸cão(5.33)...... 163 5.39 Em (A) os pontos pretos representam os res´ıduos da solu¸cão(5.6-2) em rela¸cãoaos dados da figura (5.38-A). Nesta mesma figura os pontos em vermelho sãoos res´ıduosjáapresentados na figura (5.34). Em (5.39-B) há o espectro da ambos os res´ıduosde (5.38-A)...... 164 5.40 As estrelas em vermelho representam os res´ıduosproduzidos pela solu¸cão (5.6-2) em rela¸cãoaos dados (5.33-A). Enquanto que em azul temos os res´ıduosproduzidos pela solu¸cão(5.6-1) em rela¸cãoaos dados (5.38-A). . . 165 5.41 Os c´ırculosrepresentam as solu¸cõesapresentadas no gráfico(5.35); as estrelas as do gráfico(5.29). As cruzes sãoas solu¸cõesobtidas com quatro harmônicose todas as medidas dispon´ıveis, enquanto que, os quadrados, o resultado equivalente com três harmônicos...... 166 5.42 Filtro com seis harmônicos e tempo de coerênciade 5.5 dias ...... 167 5.43 Filtro com seis harmônicos e tempo de coerênciade 10.5 dias...... 167 5.44 Espectro das velocidade radiais (preto) e das bvs (vermelho)...... 168

A.1 P´agina753 de Correia et al. (2005)...... 181 A.2 Figura 2, p´agina753 de Correia et al. (2005)...... 182

PN B.1 Histograma de C = j=1 xj cos ω(tj − τ), para K\σr = 3, calculado para uma frequˆenciaﬁxa. O valor de K utlizado foi de 41m/s...... 193 PN B.2 Histograma de C = j=1 xj cos ω(tj − τ), para K\σr = 4 e tomamos K = 41m/s...... 193

B.3 Histograma de P para K\σr = 4. O valor de K utlizado foi de 41m/s.O eixo x representa a potênciaP, a curva azul a fun¸cãoGaussiana e a vermelha a fórmula que deduzimos...... 199

B.4 Idem àfigura (6.3), mas aqui temos σr = 2...... 199 B.5 Aproxima¸cãoda fórmula (B.44) em um conjunto de velocidades radiais. . . 202 B.6 Periodograma χ2. Para cada frequência no intervalo [0-0.5] ajustamos a equa¸cão(6.38) e nesta figura mostramos a qualidade de cada ajuste. Salien- tamos o per´ıodo de cinco dias e seus harmônicos...... 203 B.7 Periodograma χ2 para dados puramente ruidosos, ajustamos sete harmônicos.203 B.8 Histograma do espectro (B.7)...... 204 B.9 Em preto, periodograma com espectro de potênciascalculado com os mesmos dados da figura (B.6). Em vermelho, temos o mesmo, mas para dados

ruidosos σr = 5 m/s sem qualquer correla¸cãoperiódica. Utilizamos três harmônicos...... 205 B.10 Histograma para cada um dos coeficientes de Fourier de um periodograma com 200 medidas puramente ruidosas. A médiade cada um dos fatores deve

2 ser zero e a variânciapode ser aproximada por 2σr /N...... 206 B.11 Periodograma Z, utilizando dois harmônicos. Encontramos para os dados per´ıodicos o valor de cinco dias. Apresentamos tambémo periodograma dos dados puramente ruidosos juntamente com seu histograma. Para os ru´ıdos utilizamos sete harmônicos...... 212 B.12 Idem ao gráfico6.11, mas aqui empregamos β...... 215

C.1 Geometria que utilizamos para resolu¸c˜aoda equa¸c˜ao(C.6) ...... 220

C.2 Representa¸cãoda estrela e planeta como discos circulares de raios r1 e r2 respectivamente. As fun¸cões f(x, y) e g(ξ, η) representam a distribui¸cãodo brilho na superf´ıciede ambos os corpos...... 223 C.3 Representa¸cãoda oculta¸cãoentre ambos os discos. A integral (C.14) está definida somente na áreaem destaque da figura...... 224 C.4 Luminosidade do sistema OGLE-TR113. Nestas medidas, temos trêscon- juntos distintos e bem separados temporalmente: Conjunto I (2452320 ≤ t ≤ 2452440), II (2452620 ≤ t ≤ 2452700) e III (2453020 ≤ t ≤ 2453080). . 235 C.5 Neste gráfico temos cada um dos conjuntos mostrados individualmente. Percebemos as diminui¸cõessucessivas da luminosidade e que esta ocorre em per´ıodos de 1.4 dias, ou de um númerointeiro deste valor...... 236 C.6 Em (A) representamos a distânciaentre os centros da estrela e do planeta. O valor ézero quando a fase ézero (ou 2π). Em (B), temos o parâmetroc, que ézero em duas ocasiões,indicando duas conjun¸cões,que representamos no gráficoem vermelho e verde. O mesmo códigode cores utilizamos em (C) onde os pontos em verde representam a conjun¸cãoem π e por isso não percebemos a altera¸cãona luminosidade medida, ao contráriodo que ocorre nas medidas em vermelho, representando a conjun¸cãoem zero...... 237 C.7 Em (A): Luminosidade em fun¸cãoda fase orbital. O gráfico(B) éanálogo a (A), mas apresentamos somente as medidas onde nãoocorre trânsito. . . 238 C.8 Distribui¸cãodas medidas apresentadas no gráficoC.7(B). O valor médioé de 14.4235 e o desvio padrãoéde 4.91.10−4...... 238 C.9 Em vermelho, a curva de luz modelada na se¸cão(C.3) juntamente com as medidas feitas...... 239

C.10 Coeﬁcientes u1 e u2 para uma estrela com log g = 4.5, [F e/H] = 0.0 e

vt = 2km/s ...... 241

C.11 Pontos extra´ıdosdo modelo de Kurucz, de onde obtemos u1 = 0.7117 e

u2 = 0.0921...... 241 Lista de Tabelas

3.1 Tabela 1.1 ...... 86

B.1 Tabela 3.1 ...... 201 B.2 Tabela 3.2 ...... 215

C.1 Tabela 4.1 ...... 234 C.2 Tabela 4.2 ...... 239 C.3 Tabela 4.3 ...... 242

Sum´ario

1. Introdu¸c˜ao ...... 31

2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial ...... 35 2.1 Introdu¸cão...... 35 2.2 O Ajsute Kepleriano ...... 36 2.3 O Ajuste dinâmico ...... 41 2.4 O Método de M´ınimosQuadrados e Algoritmos ...... 42 2.4.1 Algoritmos ...... 44 2.5 DCDFT ...... 49 2.6 Aplica¸cões...... 55 2.6.1 HD50554 ...... 55 2.6.2 HD12661 ...... 59 2.7 Conclusão ...... 62

3. O sistema HD202206 ...... 65 3.1 Introdu¸cão...... 65 3.2 Ajuste Kepleriano ...... 66 3.3 Os intervalos de confian¸ca:Biased Monte Carlo ...... 70 3.4 Jacknife ...... 74 3.4.1 Jacknife de Beaugé et al. (2007) ...... 74 3.4.2 Jacknife de Ferraz-Mello ...... 76 3.5 Resampling ...... 78 3.6 Ajuste Dinâmico ...... 80 3.7 Estabilidade das solu¸cões ...... 81 3.8 Inclina¸cões...... 85 3.8.1 Plano tangente ao céu ...... 85 3.9 Conclusões...... 86

4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais ...... 89 4.1 Introdu¸cão...... 89 4.2 Sistema: Estrela + Um Planeta ...... 90 4.3 Sistema: Estrela + dois planetas ...... 95 4.3.1 As minimiza¸cõespropriamente ditas ...... 100 4.4 Sistema: Estrela + dois planetas - Diferentes razõesdas massas ...... 110 4.5 Influênciada Atividade Estelar nas Velocidade Radiais ...... 121 4.6 Conclusão ...... 126

5. O Sistema CoRoT 7 ...... 129 5.1 Introdu¸cão...... 129 5.2 Análisepreliminar: Velocidades radiais no intervalo 845 < t < 875 . . . . . 131 5.3 Análisedas Velocidades Radiais: Todas as observa¸cões...... 138 5.4 Análisedos dados filtrados, usando todas as observa¸cões...... 144 5.5 Análisedos dados filtrados no intervalo 845 < t < 875 ...... 151 5.6 Filtro Autoconsistente ...... 153 5.6.1 Filtro Autoconsistente: terceiro harmônico ...... 154 5.7 Procedimento Autoconsistente: Quarto Harmônico ...... 160 5.8 Sexto harmônico ...... 166 5.9 As linhas bisectoras ...... 167 5.10 Conclusão ...... 169

6. Conclus˜ao ...... 171

7. Bibliograﬁa ...... 173 Apˆendice 179

A. Reconstru¸cãode medidas a partir dos gráficospublicados ...... 181

B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas ...... 189 B.1 Introdu¸cão...... 189 B.2 Defini¸cão...... 189 B.3 Distribui¸cãode P ...... 192 B.4 Periodogramas emp´ıricos ...... 201

C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos .... 217 C.1 Introdu¸cão...... 217 C.2 Modelagem da Curva de luz: Primeira aproxima¸cão ...... 218 C.3 Fórmula Geral ...... 222 C.4 Aplica¸cão ...... 233 C.4.1 Sistema OGLE-TR113 ...... 234 C.4.2 Determina¸cãodos coeficientes de escurecimento de borda (CED’s) . 240 C.5 Conclusão ...... 242

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

“Existem inúmeros sóis,inúmeras terras que orbitam estes sóis...criaturas vivas habitam estes mundos.”

(Giordano Bruno, De l’inﬁnito universo e mondi, 1584)

A hipóteseda existênciade outros “mundos” em outras estrelas possui uma história fascinante que remonta háváriosséculos. Filósofosgregos, como Demócrito,Epicuro e Leucipo, em 400 a.C., conjecturavam sobre planetas como a Terra circundando outras estrelas e habitados por outras formas de vida. Mesmo na Grécia,essas ideias foram muito combatidas por Platãoe por Aristóteles, cujas teorias, durante a Idade Média,foram adotadas pela cultura ocidental. Esta contenda custou a vida de Giordano Bruno e causou muitos problemas a Galileu Galilei, que consideramos como quem deu o primeiro passo para a comprova¸cãodas teorias dos antigos filósofosgregos, com a inven¸cãodo telescópio, em 1609. A deteçcãode companheiros em estrelas foi iniciada em 1844 por Bessel, que descobriu Sirius B por intermédiodas irregularidades que esta causa no movimento de Sirius A. Ainda assim, para a descoberta de planetas extrassolares, um longo caminho deveria ser percorrido: Sirius B possui uma massa aproximada a do Sol, de tal forma que a perturba¸cão em sua companheira estelar pôdeser medida, ao contrárioda causada por um planeta, que éde pequena magnitude e necessitaria de instrumentos extremamente precisos para sua inferência. Para se detectar um planeta fora de nosso sistema solar, o efeito seletivo seria bem grande, devendo ser uma estrela especial, próximaa nós,para que seu movimento próprio pudesse ser medido com precisãoe tambémpequena, para que fosse afetada de forma 32 Cap´ıtulo1. Introdu¸cão significativa pelo hipotéticoplaneta. Justamente com este objetivo, o astrônomoholandês Peter van de Kamp estudou estrelas próximasao sistema solar, percebendo pequenas anomalias nos movimentos própriosde 61 do Cisne, de 21185 Lalande e da estrela de Barnard. Esta última, por sua proximidade, possui movimento conhecido com precisão e van de Kamp concluiu haver um planeta como Júpiter orbitando-a. Entretanto, as medi¸cõesfeitas estavam próximas ao limiar dos aparelhos dispon´ıveis da época e ainda hoje este caso carece de confirma¸cão. Aproximadamente 50 anos depois, em in´ıcioda década de 1990, os primeiros planetas foram descobertos, empregando uma metodologia diferente, a partir da análisedo espectro estelar. Descobriu-se que algumas estrelas estãosujeitas ao efeito Doppler variável e a explica¸cãodada a este fenômenoéo movimento da estrela causado possivelmente por um corpo que a orbita, o que faz com que a estrela se desloque ao redor do centro de massa do sistema, ocasionando os desvios no espectro. A velocidade deste deslocamento possui uma componente medida a partir do efeito Doppler, que éa proje¸cãoda velocidade total na linha de visada do observador, ou seja, a dire¸cãoradial da esfera celeste, da´ıadvéma origem do nome, método das velocidades radiais. Assim, com esta velocidade medida, é poss´ıvel deduzir os elementos orbitais do poss´ıvel companheiro estelar. Em 1989, ocorreram os dois primeiros casos de destaque: HD114762 e γ Cephei. O primeiro trata-se de um planeta super maci¸co,de aproximadamente 11.02MJ e per´ıodo

≈ 84 dias. Jáo segundo éuma binária,cuja estrela central possui massa de 1.14M e seu companheiro 0.5M com per´ıodo ≈ 2.5 anos. Somente anos depois estes casos foram confirmados e, portanto, nãosãoconsiderados como primeiras descobertas. Esta primazia édividida entre Aleksander Wolszczan e Michel Mayor & Didier Queloz. Wolszczan, em 1993, detectou dois planetas ao redor do pulsar PSR 1257+12, enquanto que Mayor & Queloz, em outubro de 1995, anunciaram o planeta 51Pegasi-b, o primeiro em uma estrela da sequênciaprincipal, com per´ıodo de 349.3 dias e massa m´ınima de 0.472MJ . Jáo primeiro sistema múltiplo, com 3 planetas, surgiu somente em 1999, νAndrômeda,e os corpos, na ocasiãoda descoberta, possu´ıam per´ıodos de 4.6, 241.23 e 1290.1 dias, um sistema portanto hierárquico,em que a perturba¸cãoentre os corpos épequena. A partir destas descobertas iniciais, o númerode exoplanetas encontrados cresceu rapi- Cap´ıtulo1. Introdu¸cão 33 damente e os principais catálogos 1 dispon´ıveis contabilizaram, em dezembro de 2010, 506 planetas descobertos pelas seguintes técnicas:

• Velocidade Radial: éo principal meio de deteçcão.Mais de 80% dos corpos descobertos o foram por intermédiodesta técnica. E´ utilizada tambémcomo confirma¸cão para as demais metodologias e baseia-se na medi¸cãoda componente radial da velocidade de movimento da estrela ao redor do centro de massa do sistema planeta+estrela.

• Trˆansito:Tem crescido bastante devido aos programas CoRoT e OGLE que medem varia¸c˜oesna luz observada da estrela causadas por eclipses de corpos orbitando-a.

• Microlentes: Tambémháuma consórcio dedicado ao assunto, OGLE, e trata-se da deteçcãoatravésde lentes gravitacionais.

• Astrometria: Como descrevemos, foi o método utilizado por Bessel e Van de Kamp. Vale-se das varia¸cõesno movimento próprio da estrela.

• Timming: Usado para deteçcãoem pulsares. Aproveita-se do fato de os pulsares emitirem, com extrema precisão,sinais em intervalos regulares, tambémconhecidos como pulsos. A deteçcãoéposs´ıvel pelas varia¸cõesno tempo de chegada destes pulsos.

• Imagem direta: Consiste na detecãoda imagem de um planeta atravésda reflexão da luz estelar. Todavia, éde dif´ıcilaplica¸cão,pois exige uma tecnologia que consiga medir a luz refletida.

Cada um destes métodos apresenta suas vantagens e desvantagens, mas a tendência futura éque o númerode exoplanetas continue aumentando nãosópela existênciade missõesespec´ıficasdedicadas ao assunto, como OGLE, CoRoT, Kepler, etc., mas, também, pela melhoria das técnicaselencadas; hoje, por exemplo, o telescópio HARPS écapaz de medir varia¸cõesde velocidade radial de até1 m/s. Por intermédiodas metodologias mencionadas infere-se uma grande diversidade para os parâmetrosplanetáriosfugindo dos padrõesde nosso sistema solar: hásistemas muito

1 Website do Observatoire de Paris-Meudon-Nancay: http://exoplanet.eu/ e Website do Califórniaand Carnegie Planet Search: http://exoplanets.org/ 34 Cap´ıtulo1. Introdu¸cão exóticos,alguns extremamente excêntricos, como HD20782b e HD80606b, com e ≥ 0.9, e outros com semieixos muito pequenos; o menor tabelado atéo momento éCoRoT-3b, uma anãmarrom, com massa igual a 21.66MJ e a = 0.057UA. Como tais sistemas desafiam as teorias dinâmicasexistentes, dedicamos este trabalho ao estudo da determina¸cãode seus elementos orbitais, na tentativa de se entender melhor como estes foram obtidos e contestar/aceitar os valores tabelados, concentrando-nos especialmente nas metodologias de velocidade radial (VR) e trânsito,as quais julgamos as principais atualmente. No cap´ıtulo2 descrevemos em linhas gerais a técnicade VR, evidenciando suas limita¸cões e desenvolvendo as ferramentas necessáriasque serãoutlizadas ao longo deste trabalho. No cap´ıtulo3, apresentamos uma aplica¸cãoa um sistema espec´ıfico,o HD202206, bastante interessante, pois háum corpo maci¸co,de ≈ 17MJ e um outro externo de ≈ 2.4MJ , ambos se encontrando nas proximidades da ressonância5:1. O cap´ıtulo4 traz a aplica¸cão em VR fict´ıciasem que geramos as observa¸cõescom condi¸cõesconhecidas e, a seguir, através destas medidas pré-fabricadasdeterminamos os elementos orbitais, comparando-os com as condi¸coes iniciais propostas. Dedicamos o cap´ıtulo5 ao caso de CoRoT-7, um sistema bastante peculiar devido a natureza de sua estrela, muito ativa e que dificulta a dedu¸cão dos elementos dos planetas que a orbitam, principalmente por estes possu´ırempequenas massas. Quanto aos apêndices,em A destacamos a forma de obten¸cãodas medidas de velocidades radiais que utilizamos em sistemas cujas observa¸cõesnãoestãoem disponibilidade pública. No apêndiceB tra¸camosalgumas considera¸cõessobre a estat´ısticados periodogramas, tema utilizado para distinguirmos sinais ruidosos daqueles que sãogenuina- mente periódicos. E, por fim, no apêndiceC, destacamos a modelagem da deteçcãopor meio das curvas de luz e, como exemplo de caso, apresentamos o sistema OGLE-TR113. Cap´ıtulo 2

Determina¸c˜aodos elementos orbitais pela t´ecnicade velocidade radial

2.1 Introdu¸c˜ao

Este primeiro cap´ıtulodestina-se àinvestiga¸cãoe ao desenvolvimento das principais ferramentas relacionadas ao assunto e que serãoutilizadas ao longo deste trabalho. Primeiramente, deduziremos a fórmula anal´ıticapara as velocidades radiais (VR) em fun¸cãodos parâmetrosorbitais do planeta. E´ pelo ajuste desta fórmula que se deter- minam os elementos orbitais, encontrando, por meio de m´ınimosquadrados, os melhores parâmetrosplanetáriospara o qual a curva anal´ıticadescreve os valores medidos. A esta primeira aproxima¸cãochamamos de ajuste Kepleriano, pois despreza a intera¸cãomútua entre poss´ıveis companheiros adicionais que porventura existam no sistema. Mostraremos que uma outra maneira de se fazer o ajuste éa partir da integra¸cãodireta das equa¸cões de movimento, que chamamos de ajuste dinâmico. Trata-se de uma aproxima¸cãomais precisa, porémseu ônus computacional éelevado. Neste último,de sua aplia¸cãono caso planar, veremos que os valores em si dos parâmetros nãodiferem de forma muito significativa daqueles deduzidos pelo ajuste Kepleriano, uma vez que as medidas de VR dispon´ıveis ainda estãoem um pequeno intervalo de tempo, tal que podemos desprezar as intera¸cões mútuas.O utilizaremos de forma mais efetiva no cap´ıtulo2 em uma tentativa de calcularmos as inclina¸cõespara o sistema HD202206. Visto que as medidas de VR estãoàmercêde fatores externos, como distribui¸cãoirre- gular etc., uma das grandes dificuldades enfrentadas éa determina¸cãodo per´ıodo da curva VR vs t. Utilizamos, então,a DCDFT (date compensated discrete Fourier Transform), 36 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial desenvolvida em Ferraz-Mello (1981), que éuma ferramenta para calcular a transformada de Fourier em dados de espa¸camento irregular. A respeito do método de m´ınimosquadrados, haja vista a impossibilidade de se obter fórmulas anal´ıticaspara os elementos orbitais, passamos àsua resolu¸cãonumérica,assim apresentamos uma breve descri¸cãodos algoritmos mais utilizados na literatura dedicados a este fim e os aplicamos a alguns sistemas conhecidos apenas para calibra¸cãoe compara¸cão dos resultados com aqueles tabelados. Este cap´ıtuloestádividido da segunte maneira: Na se¸cão2.2 apresentamos a dedu¸cão da fórmula de VR, em fun¸cãodos elementos orbitais do planeta. Na se¸cão2.3 comentamos sobre o ajuste dinâmico, enquanto que em 2.4 descrevemos os métodos que utilizamos para tratar dos m´ınimosquadrados, descrevendo em linhas gerais os principais algoritmos utilizados. A se¸cão2.5 traz o formalismo para estimarmos os per´ıodo da curva V R vs. t. E, por fim, na se¸cão(2.6) apresentamos a aplica¸cãode toda a metodologia descrita nas se¸cõesanteriores.

2.2 O Ajsute Kepleriano

Deduziremos nesta se¸cãoa velocidade da estrela devida àpresen¸cade algum corpo orbitando-a, mais especificamente, encontraremos a expressãoanal´ıtica em termos dos elementos orbitais do planeta, para a componente radial da velocidade da estrela em rela¸cão ao centro de massa. Em um sistema de coordenadas com origem na estrela, ilustrado na figura (2.1), o plano (X, Y) éo plano orbital, e o eixo Z énormal a este plano. O eixo X localiza-se na dire¸cãodo pericentro e o vetor posi¸cãodo planeta édado por (em que f éa

→ anomalia verdadeira e r = r ):

→ → → r = r cos f i +r sin f j (2.1) Se¸c˜ao2.2. O Ajsute Kepleriano 37

Figura 2.1: Esquematiza¸cãodo sistema de coordenadas (X, Y, Z) em que vale a equa¸cão (2.1), o eixo Z éperpendicular ao plano (X, Y).

Derivando a equa¸c˜ao(2.1) em rela¸c˜aoa t e lembrando que:

a(1 − e2) r = 1 + e cos f df 2πa2 √ = 1 − e2 dt P r2 encontramos:

→ 2πa h → →i v = − √ sin f i −(e + cos f) j (2.2) P 1 − e2 em que a éo semieixo maior, P o per´ıodo e e a excentricidade. A equa¸cão (2.2) éo vetor velocidade do planeta em rela¸cãoàestrela, jáa velocidade da estrela em rela¸cãoao centro de massa pode ser deduzida facilmente e resulta na expressão:

→ m 2πa h → →i v = √ sin f i −(e + cos f) j (2.3) ME + m P 1 − e2

Onde m éa massa do planeta e ME a da estrela. Por fim, o últimopasso éescrever a equa¸cão(2.3) no sistema de referênciaadequado, ou seja, no sistema (Xf ,Yf ,Zf ) ilustrado na figura (2.2), em que o eixo Zf éa linha de visada do observador, e éa velocidade projetada neste eixo que representa a componente mensurável, chamada de velocidade radial. 38 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial

Figura 2.2: Geometria dos sistemas de coordenadas que representa a passagem do sistema

(XC.M.,YC.M.,ZC.M.), com origem no centro de massa e plano (XC.M.,YC.M.) coincidente com

o plano orbital; para (Xf ,Yf ,Zf ), cujo eixo Zf representa a linha de visada do observador.

Lembrando de que estamos no sistema (XC.M.,YC.M.,ZC.M.), para o qual a velocidade da estrela ´e(2.3), que em termos das componentes ﬁca:

. XC.M.= K sin f

. Y C.M.= −K(e + cos f) (2.4)

. ZC.M.= 0

Onde:

m 2πa K = √ (2.5) ME + m P 1 − e2

A passagem de (XC.M.,YC.M.,ZC.M.) para (Xf ,Yf ,Zf ) possui um sistema intermediário, que estáilustrado em (2.2) por (Xo,Yo,Zo), diferindo daquele solidárioao centro de massa apenas por uma transla¸cão. Sendo Vox e Voy as componentes da velocidade do centro de massa em rela¸cãoà(Xo,Yo,Zo), as equa¸cões(2.4) nestes sistema podem ser escritas como: Se¸cão2.2. O Ajsute Kepleriano 39

. Xo= Vox + K sin f

. Y o= Voy − K(e + cos f) (2.6)

. Zo= 0

Por fim, agora bastam duas rota¸cões,uma no sentido horário,feita em torno do eixo

Zo, que farácoincidir os eixos Xo e Xf e outra, de um ângulo i ao redor de Xf . A matriz destas rota¸cõesé:

  cos ω − sin ω 0      sin ω cos i cos ω cos i sin i   − sin ω sin i − cos ω sin i cos i

Aplicando a matriz especiﬁcada, encontramos para a componente Z da velocidade no sistema (Xf ,Yf ,Zf ) a seguinte equa¸c˜ao:

Vz = Vo − K sin f sin ω sin i + K(e + cos f) cos ω sin i (2.7)

Onde, por abrevia¸c˜ao,colocamos Vo como sendo a velocidade radial do centro de massa advinda dos termos Vox e Yoy. Rearrajando a equa¸c˜ao(2.8), encontramos:

Vz = Vo + K [cos(f + ω) + e cos ω] (2.8)

A amplitude K ´edada por:

m sin i 2πa K = √ (2.9) ME + m P 1 − e2

Notemos que em muitas ocasiõespodemos fazer o termo ME + m ≈ ME e a equa¸cão(2.9) fica: 40 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial

m sin i 2πa Vz = Vo + √ [cos(f + ω) + e cos ω] (2.10) ME P 1 − e2

Portanto, a equa¸cão(2.11), dependente dos elementos orbitais planetários, representa a componente radial da velocidade da estrela que émensurável. Por m´ınimosquadrados, descrito na se¸cão(2.4), encontramos os melhores elementos orbitais que ajustam a equa¸cão(2.11) àsmedidas e chamamos esta tarefa de ajuste Ke- pleriano. A velocidade Vz éfun¸cãode m, ME, a, P , e, ω, i, f e Vo e, por rela¸cões bem conhecidas, podemos eliminar algumas das dependências destes parâmetros.A primeira é que consideramos a massa da estrela conhecida, pois pode ser determinada por modelos astrof´ısicos.Por outro lado, pela terceira lei de Kepler, somos capazes de escrever o per´ıodo P em fun¸cãode a e vice-versa e, assim, eliminarmos tambémde (2.11) a dependênciade uma destas variáveis. Em contrapartida, o ângulo f éfun¸cãode e, P , t e de `, este últimoéa anomalia média,

2π dada por `(ti) = P (ti −τ), em que τ éo tempo de passagem pelo perihélio.A dependência de f em rela¸cãoa estes termos pode ser escrita por meio da equa¸cãode Kepler ou, ainda, das expansõesel´ıpticasde Brouwer & Clemence (1961). Uma das limita¸cõesda técnicade velocidade radial éa indetermina¸cãoda inclina¸cão i do plano orbital. Isto ocorre porque se mede apenas uma componente da velocidade, aquela projetada na linha de visada, a Zf da figura (2.2), portanto, falta a informa¸cãoa respeito das demais. Assim, nãohámaneria de deduzirmos a orienta¸cãode um vetor no espa¸co se possuirmos apenas uma componente do mesmo, ou seja, nãohárela¸cõesadicionais que nos possibilitem escrever i em termos dos demais parâmetrosorbitais. Em virtude deste empencilho, determinamos o fator (mseni) e nãocada um dos elementos massa e inclina¸cão de forma independente; assim quando nos referirmos àmassa fica subentendido que esta écalculada sob a condi¸cão i = 90o e expomos, portanto, a massa m´ınimaque o planeta pode ter, jáque, como veremos futuramente na se¸cão(3.7), para i 6= 90o esta pode assumir valores superiores.

Portanto, a equa¸cão Vz, em (2.11), éfun¸cãode mseni, P , e, ω, τ e Vo, ou seja, existem seis variáveis a se encontrar. Em muitas ocasiões,como ` pode ser escrito tambémcomo Se¸cão2.3. O Ajuste dinâmico 41

2π ` − ò = P ti, informamos o valor de ò, que éa anomalia médiaàépoca da primeira observa¸cão,ao invésde τ, mas ambos sãoequivalentes. Em sistemas múltiplosconsideramos:

n X (m sin i)j 2πaj Vz = Vo + q [cos(fj + ωj) + ej cos ωj] (2.11) ME 2 j=1 Pj 1 − ej o ´ındice j = 1...n representa o númerode planetas existentes e teremos 5n + 1 variáveis a encontrar. A utiliza¸cãoda equa¸cão(2.12) despreza a intera¸cãoentre os corpos do sistema, mas uma modelagem mais adequada, que chamamos de ajuste dinâmico,contempla este fato e seráexposta na se¸cão(2.3). Todavia, na se¸cão(2.6) e, também,no cap´ıtulo3, veremos que em geral, a equa¸cão(2.12) nos conduz a resultados tãosatisfatóriosquanto aqueles dados atravésda modelagem dinâmica.

2.3 O Ajuste dinˆamico

Para o ajuste dinˆamicoutilizamos o integrador Radau15 (Everhart, 1984) e integramos diretamente as equa¸c˜oesde movimento dos planetas ao redor da estrela central, dadas por:

  → → → → →¨ 2 ri n ri − rp rp ri = −k (ME + mi) − Σ  +  (2.12) 3 p=1p6=i  → → 3 → 3  |ri| ri − rp rp

Onde: ri ≡ (xi, yi, zi), ME a massa da estrela e i éo ´ındiceque codifica os corpos orbitando a estrela. O sistema de referênciaadotado étal que o plano (x, y) coincide com o plano tangente ao céue o eixo Z éa dire¸cãoda linha de visada (Ferraz-Mello et al. (2005)). As coordenadas da estrela, em rela¸cãoao centro de massa, são:

n → → −Σi=1mi r i r ECM = n (2.13) ME + Σi=1mi

→ → n −Σi=1mi V i V ECM = n (2.14) ME + Σi=1mi

O ajuste continuarásendo feito via método de m´ınimosquadrados, com exce¸cãode que 42 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial agora os valores calculados para a velocidade radial serãodados pela componente Z da equa¸cão(2.14).

2.4 O M´etodo de M´ınimosQuadrados e Algoritmos

O m´etodo de m´ınimos quadrados (MMQ) visa encontrar o menor valor poss´ıvel para a equa¸c˜ao:

N 2 X (Oi − VRi) Q = (2.15) σ2 i=1 i

2 Onde Oi e σi sãoas observa¸cõese suas respectivas variâncias, VRi sãoos valores da velocidade radial, calculados a partir dos elementos orbitais, de acordo com a equa¸cão (2.11) ou (2.14). Ou seja, devemos encontrar os melhores parâmetrosplanetáriosque

2 ajustem o valor VR calculado com àsobserva¸cões. A variável Q possui distribui¸cão χν, com ν = N − M, e, portanto, seu valor esperado e sua variânciasão:

E(Q) = N − M

2 σQ = 2(N − M) (2.16)

Onde N-M tambéméchamado de númerode graus de liberdade (ν), sendo N o número de medidas e M o de parâmetrosajustados. Então,um ajuste ideal fornece para Q valores no intervalo: (N − M) ± p2(N − M).

Alguns trabalhos, eventualmente, trazem para a qualidade do ajuste o fator Qν, im- 2 propriamente chamado χν, e que trata-se de Q, dado de acordo com a equa¸cão(2.15), normalizado pelo númerode graus de liberdade N-M. A variânciae valor esperado deste novo parâmetro, Qν, podem ser calculados pelas seguintes equa¸cões:

E(Qν) = 1 2 σ2 = (2.17) Qν (N − M) Se¸c˜ao 2.4. O M´etodo de M´ınimosQuadrados e Algoritmos 43

Veremos que na práticaas equa¸cões(2.16) dificilmente se verificam. Isto ocorre pois o ru´ıdonominal dado àsmedidas e infromado a nóspor σi, muitas vezes nãoéo real. Em geral, cada observa¸cãopossui um valor para σi, que muitas vezes pode estar mal estimado, devido a diversos fatores, sendo o principal deles o efeito da atividade estelar, chamado na literatura de “jitter” . Por esta razão,alémde Q, hátambémo parâmetro wrms, que pode ser calculado a partir de (2.15). Coloquemos a equa¸cãocitada sob a forma:

N 1 X Q = w (O − VR )2 (2.18) ν N − M i i i i=1

1 O fator wi, calculado por wi = 2 , échamado de “peso”. Ou seja, uma observa¸cãocom σi 2 valor de σi pequeno, teráum peso maior na análise,contribuindo mais para o cálculode

Q. Em outras palavras, como geralmente cada observa¸cãopossui um valor de σi diferente, consideramos medidas com σ2 pequenos mais importantes na análisedo que outras com valores elevados. A atribui¸cãode “pesos” àsmedidas pode ser feita de forma normalizada. Seja W o peso médiode todas as observa¸cões:

N 1 X 1 W = (2.19) N σ2 i=1 i

Podemos ent˜aoescrever cada wi em fun¸c˜aode W , na forma:

1/σ2 1/σ2 w = i = i (2.20) i 1 PN 1 W i=1 2 N σi

Assim, encontramos a equa¸c˜ao(2.21):

N 2 S X (Oi − VRi) (wrms)2 = N − M σ2 i=1 i N 1 X 1 S−1 = W = (2.21) N σ2 i=1 i

A equa¸cão(2.21), a menos do fator de normaliza¸cão,éa mesma contida em Beaugé et al. 44 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial

(2008), aqui optamos por nomalizar pelo termo N-M para uma corre¸cãode viés.Notemos que wrms dado pela equa¸cão(2.21) possui dimensãode m/s e representa uma estimativa médiapara os ru´ıdoscontidos nos dados. Se todas as observa¸cõespossuirem o mesmo

2 2 2 2 peso, ou seja, σi = σR para i = 1, .., N, o valor esperado de (wrms) éo próprio σR dos dados e a variânciado mesmo pode ser calculada a partir de (2.21) e resultaráem:

q 2 2 σ[(wrms)2] = N−M E [(wrms) ].

2.4.1 Algoritmos

Vista a impossibilidade de se obter expressõesanal´ıticasdos elementos orbitais a partir da equa¸cão(2.16), o processo deve ser feito numericamente. Existem diversos métodos numéricosdestinados a este fim, mas utilizaremos o simplex e o algoritmo genético(usando o códigoconhecido como pikaia).

2.4.1-1 Algoritmo Simplex

O algoritmo simplex foi proposto por Nelder & Mead (1965) e minimiza uma fun¸cãode N variáveis. Aplicaremos a versãodescrita em Press et al. (1992). O método ébastante popular e de fácilimplementa¸cão,pois baseia-se apenas em conceitos geométricos. Dada uma fun¸cãode N variáveis, o algoritmo define uma figura geométrica,chamada de simplex de N+1 vértices. Estes vérticessão“chutes” iniciais dados nos quais a fun¸cãoé calculada e posteriormente eles sãoordenados de acordo com o valor da fun¸cãoem cada um. Aquele cujo valor da fun¸cãoéo menor entre todos éo qualificado como o melhor vértice, posto que se adimite ser uma aproxima¸cão mais adequada para o m´ınimoque os demais. A partir de então,o simplex deforma-se seguindo regras preestabelecidas, expandindo-se, contraindo-se, etc. em váriasdire¸cõesno espa¸code parâmetros àprocura dos valores que minimizam Q da equa¸cão(2.15). Para exemplificarmos melhor estas regras e entendermos o funcionamento geral do programa, seja uma fun¸cãode trêsvariáveis f(x, y, z) e procuremos os valores de x, y, z para os quais a fun¸cão f seja m´ınima. O simplex será,então,um tetraedro, ilustrado na

figura 1, definido a partir de quatro vértices: V1, V2, V3 e V4. As diretrizes que o programa assume em sequênciasão:

1. E´ feito o cálculode f(x, y, z) em cada um dos vértices e éfeita uma ordena¸cãodestes Se¸cão 2.4. O Método de M´ınimosQuadrados e Algoritmos 45

pontos em rela¸c˜ao ao valor da fun¸c˜aoneles. Seja por exemplo: f(V2) < f(V1) <

f(V4) < f(V3). Portanto, a melhor aproxima¸c˜aoque possu´ımospara o m´ınimo,que

chamaremos de M, é V2; em contrapartida, a pior, P, nesta situa¸cãoé V3. Devemos entãosubstituir P por algum outro valor mais adequado.

2. O primeiro procedimento para a substitui¸cãode P étestar o vérticerefletido. A figura 1 ilustra o simplex original e (1a) a reflexãode P. Ou seja, a procura pelo m´ınimo desejado éfeita na dire¸cãooposta àdo pior vértice. Sendo P 0 o vértice refletido e se o valor da fun¸cãonele for adequado temos que f(P 0) < f(P ), se isto ocorrer passa-se ao item 3, onde étestado o quãomelhor é P 0 em rela¸cãoaos demais vértices.

3. P 0 pode produzir um resultado melhor atémesmo que M. Se isto ocorrer, significa que o item 2 foi bem sucedido, ou seja o simplex se deformou na dire¸cãoadequada. Aqui, uma expansãopor um fator 2 éfeita deste excelente vértice,ilustrada na figura (1b). Em resumo, a reflexãofoi feita na dire¸cãodesejada, entretanto esta expansão éfeita para verificarmos se existe alémdo vérticerefletido uma aproxima¸cãomelhor para os almejados valores para a minimiza¸cão.

4. Se o resultado P 0 émelhor somente que P, entãonossa melhor solu¸cãoainda éM. E os valores desejados se encontram nas proximidades de M, portanto procura-se por um ponto intermediário,diminuindo a “altura” do tetraedro, como estáilustrado em (1c), e ainda a melhor aproxima¸cão para o m´ınimoque possuimos éM, que jáfoi encontrada no item 1.

5. Caso nenhuma das passagens descirtas anteriormente sejam eficazes, o melhor valor que possuimos continua sendo M, éfeita uma múltiplacontra¸cão,figura (1d), re- duzindo o volume do tetraedro e, consequentemente, diminuindo o intervalo de procura para o m´ınimo.

Lembrando que em cada uma destas etapas éfeita a reordena¸cãodos vértices, os qualificando novamente qual deles éa melhor e a pior aproxima¸cãopara o m´ınimo. As passagens 1-5 sãorepetidas atéque o critériode parada seja alcan¸cado;isto pode suceder quando a distânciaentre os vérticesémenor que um determinado fator, por exemplo 10−12, ou por um número preestabelecido de repeti¸cõesdos itens descritos. 46 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial

Como precau¸cãopara fugirmos de m´ınimos locais, utilizaremos o ardil de reinicializa¸cõessucessivas, que serádescrito na se¸cão(2.6), mas basicamente consiste em aplicarmos os procedimentos descritos repetidas vezes para diferentes conjuntos de vérticesescolhidos de forma aleatória.

Figura 2.3: Esquematiza¸c˜aodo funcionamento do algoritmo simplex. Figura extra´ıdade Press et al. (1992).

2.4.1-2 Algoritmo Gen´etico

Implementamos o programa Pikaia 1.2 (Charbonneau (1995), (2002)) que procura por máximos/m´ınimos de fun¸cõesbaseando-se nas premissas de evolu¸cãoe adaptabilidade formuladas por Charles Darwin, em 1859. Se¸cão 2.4. O Método de M´ınimosQuadrados e Algoritmos 47

Para exemplificarmos, seja uma fun¸cãode duas variáveis, F (x, y). Empregamos este simples caso para explicarmos qualitativamente os procedimentos tomados, mas, na verdade, quando o aplicarmos em nosso problema, utilizaremos uma fun¸cãode 5n+1 variáveis. Com o conhecimento de F (x, y), o programa gera uma quantidade de pontos, aleatórios, cada um chamado de indiv´ıduoe o conjunto deles de popula¸cão.A fun¸cãoF écalculada para cada indiv´ıduo,definindo assim sua adaptabilidade em que os melhores sãoos que possuem o valor de F mais conveniente (m´ınimosou máximos). Cada individuo écaracterizado por genes - mostraremos a seguir como serãoinferidos - a partir deles, dois indiv´ıduosescolhidos aleatoriamente trocam “material genético” re- produzindo outros dois indiv´ıduos. Desta maneira, uma nova popula¸cãoécriada, e seus elementos, ou melhor indiv´ıduos,sãonovamente organizados de acordo com sua adaptabilidade. Espera-se, assim, que apósgera¸cõessucessivas existam somente aqueles mais adaptados, ou seja, com o valor de F (x, y) mais conveniente. Os processos de reprodu¸cãopreestabelecidos são:

1. Crossover: quando dois indiv´ıduostrocam material gen´etico;

2. Muta¸c˜ao:uma mudan¸cainduzida na sequˆenciado “gene”.

A compreensãose torna mais fácilse assumirmos valores numéricos,seja dois indiv´ıduos escolhidos aleatoriamente:

• (x, y)1 = (0.34567890; 0.23456789)

• (x, y)2 = (0.87654321; 0.65432198)

Deﬁne-se os genes para cada um destes:

• gene1 = 3456789023456789

• gene2 = 8765432165432198

Esses dois genes deﬁnir˜aodois novos indiv´ıduoscomo segue:

• Crossover: o algoritmo gera dois númerosaleatóriosN[1-16] para indicar em que sequênciado gene o material genéticoserátrocado, seja, por exemplo, N=7 e 3. 48 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial

gene1 = 345678[902]3456789

Para o segundo, por exemplo N = 12

gene2 = 87654321654[321]98

Ap´osa troca teremos:

0 gene1 = 345678[321]3456789 0 gene2 = 87654321654[902]98

• Muta¸cão:o algoritmo gera dois númerosaleatórios: k[1 − 16] e h[0 − 9]

Por exemplo: k = 9 e h = 5

0 gene1 = 345678321[3]456789 0 gene1 = 345678321[5]456789

Seja para o segundo, k = 14 e h = 6

0 gene2 = 87654321654902[9]8 0 gene2 = 87654321654902[6]8

Por fim, éfeita a decodifica¸cão,reconstituindo novamente os dois indiv´ıduos:

0 0 gene1 = 3456783215456789 → (x, y)1 = (0.34567832; 0.15456789)

0 0 gene2 = 8765432165490268 → (x, y)2 = (0.87654321; 0.65490268)

Assim, teremos dois novos indiv´ıduos:

0 (x, y)1 = (0.34567832; 0.15456789)

0 (x, y)2 = (0.87654321; 0.65490268)

cuja adaptabilidade depende do valor da fun¸cãoaplicada a eles. De uma popula¸cãode, por exemplo, 100 indiv´ıduos,égerada uma nova, com outros 100, sendo 99 deles criados a Se¸cão2.5. DCDFT 49 partir dos métodos descritos juntamente com o indiv´ıduomais bem adaptado da gera¸cão anterior, que sempre serámantido, pois ditaráo rumo dos descendentes posteriores, até que o m´ınimoseja encontrado. Este artif´ıcio,segundo as teorias de Darwin, échamado de elitismo. Uma observa¸cãoque merece destaque diz respeito ao critériode parada, afinal devemos nos perguntar quando o m´ınimoseráencontrado. Adiantamos que este fundamento éum tanto vago, pois assume que éo númerode gera¸cõescriadas. Logo, para obtermos uma solu¸cão,devemos partir para tentativas e testarmos váriosnúmeros de gera¸cões. Assim como o simplex, tambémutilizamos o subterfúgiode reinicializa¸cões.

2.5 DCDFT

Como mencionamos anteriormente, devido a mádistribui¸cãotemporal dos dados, uma das dificuldades enfrentadas éa determina¸cãodo per´ıodo da curva (V R, t). Trata-se de um problema comum em Astronomia visto que as medi¸cõesestãosujeitas a fatores externos, o principal deles sendo o fato de a estrela nãoser vis´ıvel durante todo o ano, devido ao movimento da Terra. Para contornarmos esta situa¸cão,aplicamos a técnicade DCDFT (date compensated discrete Fourier transform), que éa transformada de Fourier para pontos com espa¸camento irregular, permitindo-nos, assim, deduzir a melhor frequênciapara o conjunto de pontos. Seguimos o formalismo de Ferraz-Mello (1981), onde o objetivo é escrever o conjunto de N pontos medidos (t, f) em termos de uma base de fun¸cões,a saber:

Ho(t) = 1

H1(t) = cos(2πωt) (2.22)

H2(t) = sen(2πωt)

Assim, escreveremos o sinal f(t), como, F (ω) dado por:

F = (f, Ho)Ho + (f, H1)H1 + (f, H1)H1 (2.23)

N K 2 Onde (f, Hk) = Σi=1fiHk(ω, ti) e definimos o espectro como S = Σk=1 |(f, Hk)| , em que k determina todos os elementos da base. Assim, varrendo um intervalo de frequências e calculando para cada o parâmetroS, veremos que este atinje seu maior valor quando 50 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial a frequência teste for igual a frequencia real dos dados. O problema éque para dados de espa¸camento irregular a base (2.1) nãoémais ortogonal, e, portanto, ortogonaliza¸cões sucessivas devem ser feitas a cada frequênciade teste. Assim, teremos uma nova base, esta sim ortogonal e dada por:

ho(t) = aoHo

h1(t) = a1H1 − a1(ho,H1) (2.24)

h2(t) = a2H2 − a2ho(ho,H2) − a2h1(h1,H2)

e os elementos ao, a1 e a2 possuem a forma:

−2 ao = N

−2 2 2 a1 = (H1,H1) − ao(Ho,H1) (2.25)

−2 2 2 2 2 4 2 2 2 a2 = (H2,H1) − ao(Ho,H2) − a1(H1,H2) − aoa1(Ho,H1) (Ho,H2) +

2 2 2a1ao(Ho,H1)(Ho,H2)(H1,H2).

Os coeficientes de regressãoserão:

co = (f, ho)

c1 = (f, h1) (2.26)

c2 = (f, h2).

PN Ressaltamos que redefinimos f de modo tal que: i=1 fi = 0, ou seja, subtra´ımosde cada ponto a médiatotal e isto acarreta co = 0. Com estas redefini¸cõespodemos escrever:

f = coho + c1h1 + c2h2 (2.27)

Entretanto, o problema nãoestáresolvido, como f éresultado de medi¸cõesestásujeito a erros e, para uma melhor aproxima¸cão,podemos ponderar as fórmulas anteriores com cada um dos erros σi, passando a ter as seguintes modifica¸cões: Se¸cão2.5. DCDFT 51

N −2 X ao = wi i=1 N N −2 X 2 2 X 2 a1 = wi cos γi − ao( wi cos γi) (2.28) i=1 i=1 N N −2 X 2 X 2 a2 = wi sin γi − ao( wi sin γi) − i=1 i=1 N N N 2 X X X 2 a1[ wi cos γi sin γi − ao( wi cos γi)( wi sin γi)] i=1 i=1 i=1

2 em que tomamos γi = 2πωti e wi = 1/σi . Os coeficientes c’s ficarãoagora:

N X c1(ω) = a1 wifi cos γi i=1 N N X X c2(ω) = a2 wifi sin γi − a1a2c1[ wi sin γi cos γi− (2.29) i=1 i=1 N N 2 X X ao( wi sin γi)( wi cos γi)] i=1 i=1

2 2 O espectro serádefinido a partir de entãocomo I(ω) = c1 + c2, que porventura pode ser normalizado pelo fator Q = (f, f) e teremos assim: S(ω) = I(ω)/Q. Programamos estas fórmulas e a aplicamos em algumas situa¸cões,como serávisto em se¸cõesmais adiante. Como seria esperado, a amplitude mais significativa do espectro ocorre para a frequênciaque procurávamos. Contudo, notaremos que em determinadas situa¸cõeshaveráoutras frequências tambémimportantes, que, na maioria das vezes, édif´ıcil descobrir suas causas, poderão tratar-se de harmônicosda frequênciaprincipal, outras podem ser causadas por ru´ıdossem correla¸cãoperiódicaentre si e outras, atémesmo de corpos adicionais existentes. Para descobrirmos novos companheiros, adotaremos a seguinte diretriz: do conjunto de medidas calculamos sua DCDFT e, depois do ajuste da velocidade radial, analisaremos a periodicidade dos res´ıduos,se houver algum per´ıodo digno de destaque o atribu´ımosa mais algum corpo presente. Caso isto ocorra, refazemos o ajuste, mas agora adequadamente, 52 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial com dois corpos e seguimos com este procedimento de analisar o espectro dos residuos até os reduzirmos a ru´ıdos. E´ interessante destacarmos o comportamento da fun¸cão S(ω) para o caso em que os dados sejam ru´ıdos sem correla¸cão. Para esta finalidade, geramos uma sériede dados sintéticos,puramente ruidosos, com σr conhecido e calculamos seu espectro. Na figura abaixo, apresentamos o histograma dos termos c1 e c2, em que verificamos que ambos possuem distribui¸cãoGaussiana, e, se forem calculados de acordo com (2.8), ou seja, ponderados pelo fator wi, teremos:

hc1i = hc2i = 0.0

2 2 σc1 = σc2 = 1.0 (2.30)

Figura 2.4: Histograma de c1 e c2 calculados a partir de amostras de dados puramente

ruidosas com σr = 5. Tomamos 10000 amostras com 500 pontos em cada uma delas.

Para compara¸cãocom os valores advindos da teoria, calculamos numericamente o valor médioe variânciado exemplo acima e encontramos:

−3 hc1i = 3.6810

−3 hc2i = 4.1910

2 σc1 = 1.014

2 σc2 = 1.009 Se¸c˜ao2.5. DCDFT 53

2 Por outro lado, I, ou seja, S sem a normaliza¸cãodo fator Q, segue a distribui¸cão χ2 que possui valor médioe variânciaiguais a:

hIi = 2

2 σI = 2 hIi (2.31)

Abaixo, apresentamos o histograma de I, calculado com os mesmos valores de c1 e c2 que originaram a figura (2.4). Informamos tambémos valores de médiae variânciacalculados

2 numericamente para compara¸c˜aocom as equa¸c˜oes(2.28): hIi = 2.024 e σI = 4.14.

2 2 Figura 2.5: Histograma de I = c1 + c2. Calculados com os mesmos dados da ﬁgura (2.1)

Com a distribui¸cãopara I conhecida, podemos obter um critériopara diferenciar sinais periódicosde ru´ıdos.Para exemplificar, geramos 50 medidas com uma senoide amostrada com espa¸camento irregular, com per´ıodo de 10 dias, amplitude de K=5m/s e ru´ıdos de

σr = 2.5m/s. Os pontos e espectro estãodados na figura (2.6-A). A figura (2.6-B) éo espectro dos dados apresentados em (A). As linhas horizontais sãoprobabilidades calculadas atravésda distribui¸cãocumulativa de χ2, e representam a probabilidade de que uma combina¸cãode ru´ıdosalcance determinada amplitude. Assim temos que, para o per´ıodo de 10 dias, com S ≈ 0.72, a probabilidade para que ru´ıdossem correla¸cãoatinjam tal valor éde 1.3 × 10−4%. 54 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial

Figura 2.6: Em (A), temos 50 medidas geradas artiﬁcialmente com per´ıodo de 10 dias e amplitude de 5. Em (B), o espectro destas medidas onde destacamos em cada linha horizontal a probabilidade de tal amplitude ser alcan¸cadapara quando os dados forem puramente ruidosos.

Outra maneira de estimarmos estas probabilidades éatravésda técnicachamada de

“scramble”, em que tomamos os dados (ti,VRi, σi) e, mantendo a coluna ti ﬁxa, ordenamos

VRi, σi de forma aleatória.O intuito é“quebrar” uma poss´ıvel rela¸cãofuncional entre os pontos e gerar dados ruidosos a partir do conjunto original de medidas. Para cada uma das ordena¸cõesfeitas calculamos seu espectro com a ideia de verificar se a amplitude que éalcan¸cadapelos dados originais tambémo épelos dados reordenados. Na figura (2.7), tomamos o mesmo conjunto de dados da figura (2.6-A) e aplicamos este procedimento. Em (2.7-A), temos superpostos os espectros para cada uma das 1000 reordena¸cõesque promovemos e, em (2.7-B), um histograma das amplitudes especificamente na frequencia de f = 0.1d−1. As linhas verticais tra¸cadasem (2.7-A) servem como comparativo àsrespectivas probabilidades calculadas em (2.6-B). A linha tra¸cadaem S = 0.3, por exemplo, indica que aproximadamente 40 (4%) dos mil espectros que calculamos alcan¸cama amplitude especificada. Se compararmos com os resultados da figura 2.6 verificamos uma razoável concordância,uma vez que encontramos um valor da ordem de 3.5%. Se¸cão 2.6. Aplica¸cões 55

Figura 2.7: Em (A), “scramble” para os dados da figura (2.6-A); em vermelho, o espectro dos dados originais; e em preto, os espectros de cada uma das 1000 ordena¸cõesque efetuamos. Em (B), um histograma dos valores alcan¸cadospor S na frequênciade 0.1d−1 em cada um dos conjuntos criados, onde podemos fazer uma compara¸cãocom a amplitude obtida com os dados originais S = 0.7364.

2.6 Aplica¸c˜oes

Aplicamos os métodos descritos a fim de testarmos os programas e hipótesesmen- cionadas. Escolhemos dois sistemas: HD50554, cuja estrela central possui M = 1.05M e 1 HD12661, estrela com massa igual a de 1.11M (Butler et al.. 2006) . As medidas para estes sistemas, e alguns outros, que deram origem ao catálogode Butler et al. (2006) estão dispon´ıveis em http://iopscience.iop.org/0004-637X/646/1/505/datafile1.txt cujo último acesso que fizemos foi em 13 de dezembro de 2010.

2.6.1 HD50554

Possu´ımos51 medidas feitas de janeiro de 1998 atéjaneiro de 2006, nos observatóriosde Lick (San José,Califórnia/USA)e Keck (Mauna Kea, Hawaii). De uma análisepreliminar das medidas, podemos esperar um planeta bastante maci¸co,pois as velocidades radiais variam no intervalo ≈ [−100; 100]m/s, e de longo per´ıodo. Como primeiro passo, apresentamos o gráfico(2.8), onde calculamos a DCDFT das velocidades radiais com o intuito de termos uma primeira aproxima¸cãodo per´ıodo que

1 Em http : //exoplanet.eu, os valores para as massas da estrela sãoligeiramente diferentes. Como estamos comparando com os resultados de Buttler et al. (2006) utilizamos os mesmos valores que este autor. 56 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial devemos obter pelo ajuste.

Figura 2.8: Espectro das velocidades radiais de HD50554. A probabilidade do pico maior ser gerado, por ru´ıdos,´epraticamente zero, da ordem de 10−7%

O periodograma nos mostra haver um per´ıodo de 1200 dias. Como segunda etapa, efetuamos o ajuste propriamente dito. Utilizaremos primeiramente o ajuste Kepleriano, com o algoritmo Simplex, em que iniciamos a análisesupondo haver apenas um planeta, a eventual introdu¸cãode um segundo corpo dependerádos res´ıduosdesta primeira aproxima¸cão.

Jáque possu´ımosseis variáveis a serem determinadas, a saber: K, P, e, `, ω e Vo, o processo envolvendo o Simplex envolverásete vérticesque serãoescolhidos aleatoriamente nos intervalos: K = [50; 150]m/s, P = [1000; 1500]d, ` = ω = [0o; 360o], e = [0; 0.9] e Vo = [Vm − 100; Vm + 100], onde Vm éa médiadas medidas. Esses intervalos foram definidos de acordo com o que julgamos esperar do ajuste, como mencionamos. Para fugirmos de m´ınimosnãosignificativos promovemos no programa, reinicializa¸cões sucessivas; ou seja, escolhemos sete vérticese aplicamos o processo de minimiza¸cãoa partir deles, guardando os valores encontrados. Sorteamos outros sete e interamos novamente, comparando o novo resultado com aquele que obtivemos anteriormente, preservando o melhor deles. Como hádois critériosde parada para cada reincializa¸cão,o númerode intera¸cõese a distânciaentre os vértices, utilizamos ambos, ou seja, o m´ınimoéencontrado apósa distânciaentre os vérticesser menor que 10−12 ou o algoritmo alcan¸car50000 intera¸cões,dependendo do que for obtido primeiro. Assim, das mil reinicializa¸cõesque Se¸cão 2.6. Aplica¸cões 57 efetuamos, o melhor resultado alcan¸cadofoi:

• Solu¸c˜ao(2.6-1)

o o K1 = 107.173m/s, ω1 = 5.580 , e1 = 0.497,P1 = 1232.50d, `1 = 59.75 , τ = 10627.24421,

a1 = 2.286UA, M1 = 5.067MJ

Vo = 33.068m/s Σ(O − C)2/σ2 = 86.34 wrms = 6.77m/s

Onde `1 éa anomalia médiaem t = 10831.804919. Os gráficosgerados pelo resultado (2.6-1) podem ser vistos na figura (2.9), em que podemos comparar a curva de VR obtida com as medidas, bem como analisar os res´ıduosdo ajuste efetuado.

Figura 2.9: Curva de velocidade radial tra¸cadaa partir da solu¸c˜ao(2.6-1) juntamente com os res´ıduosadvindos deste ajuste.

Analisando os res´ıduos da solu¸cão(2.6-1) por DCDFT, percebemos que a do pico mais alto éde S = 0.311 para uma frequência de 0.0337d−1, este espectro pode ser visto a seguir, na figura (2.10). 58 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial

Figura 2.10: Espectro dos res´ıduosda ﬁgura (2.9). O histograma da direita representa os 10000 “scramble” que ﬁzemos a partir dos res´ıduos.

Aplicamos a técnica de “scramble” e obtemos o histograma que aparece na figura (2.10), em que apresentamos as amplitudes alcan¸cadaspara a frequência de 0.0337d−1 para cada uma das 10000 reordena¸cõesque efetuamos. Percebemos que a probablilidade de encontrarmos esse pico em uma sériegerada por ru´ıdosésignificativa ≈ 8%, portanto, nãopodemos afirmar a existênciade um outro per´ıodo nos dados. A seguir, usamos o algoritmo simplex com o ajuste dinâmico. Para isso utilizamos o mesmo procedimento que descrevemos na se¸cão(2.3). Entretanto o custo computacional nos obrigou a tomar para a quantidade de intera¸cõesum númeromais modesto, calculamos 500 reinicializa¸cõesde 5000 intera¸cõescada uma delas. Encontramos com estes novos cálculosos resultados (2.6-2):

• Solu¸c˜ao(2.6-2)

o o K1 = 104.598m/s, ω1 = 5.768 , e1 = 0.490,P1 = 1225.52d, `1 = 59.258 , τ = 10630.07757

a1 = 2.278UA, M1 = 4.958MJ

Vo = 34.241m/s Σ(O − C)2/σ2 = 84.46 wrms = 6.69m/s

Para concluir, testamos o ajuste kepleriano com o algoritmo genético. Tomamos 100 “indiv´ıduos” e testamos um númerovariável de gera¸cões. Os resultados obtidos, após 10000 intera¸cões,são: Se¸cão 2.6. Aplica¸cões 59

• Solu¸c˜ao(2.6-3)

o o K1 = 100.58m/s, ω1 = 5.77 , e1 = 0.490,P1 = 1225.52d, `1 = 58.44 , τ = 10632.84

a1 = 2.283UA, M1 = 4.77MJ

Vo = 33.142m/s Σ(O − C)2/σ2 = 84.5 wrms = 6.70m/s

Testamos também20000 e 50000 intera¸cõese os resultados foram equivalentes. Para este sistema, os valores publicados na literatura são:

• Solu¸c˜ao(2.6-4): Buttler et al. (2006)

o o K1 = 91.5m/s, ω1 = 7.4 , e1 = 0.444,P1 = 1224d, `1 = 54.648 , τ = 10646, a1 = 2.28UA,

M1 = 4.46MJ

p 2 χν = 1.1 rms = 12.m/s

Consideramos os resultados que obtivemos satisfatórios.A maior diferen¸caobservada entre eles e os de Buttler et al. (2006) diz respeito àamplitude, mas os valores obtidos sãodiscut´ıveis. Basta notarmos, na figura (2.9), que nãohápontos medidos próximosao valor máximo da velocidade radial para bem determiná-lo.Julgamos, também,nãohaver muito sentido comparar os fatores de qualidade do ajuste pois nãosabemos se os valores

2 de rms e χν de Buttler et al. (2006) s˜aocalculados da maneira que descrevemos na se¸c˜ao (2.4).

2.6.2 HD12661

Deste sistema há108 medidas entre janeiro de 1998 e janeiro de 2003. Aqui, para o ajuste kepleriano, utilizaremos uma combina¸cãodos dois programas, aplicaremos primeiramente o algoritmo genéticoe o resultado deste seráusado como um dos vérticesdo simplex, sendo os demais escolhidos aleatoriamente, assim o procedimento de reinicializa¸cõesserá mantido. Salvo men¸cãocontrária,doravante utilizaremos este como procedimento padrão para os cálculos. 60 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial

De uma primeira análise,o cálculodo espectro das velocidades radiais indicam haver um per´ıodo de ≈ 264.22 dias, e o ajuste, com apenas um corpo, pode ser visto na figura (2.11), onde verificamos haver ainda nos res´ıduosum per´ıodo de 1500 dias. Posteriormente, com a ajuda do scramble, observamos ser imposs´ıvel tratar-se de um pico gerado pelo acaso, fato que nos obriga a um ajuste com dois corpos. Da considera¸cãode dois planetas neste sistema, encontramos:

Figura 2.11: Sistema HD12661, ajuste com um corpo de per´ıodo ≈ 264 dias. Observamos a curva gerada juntamente com as medidas. Nos res´ıduosdeste ajuste podemos verificar uma clara rela¸cãoperiódica,que pode ser comprovada pelo espectro, que revela um per´ıodo de aproximadamente 1500 dias

• Solu¸c˜ao(2.6-5):

o o K1 = 74.7510m/s, ω1 = 297.32 , e1 = 0.3593,P1 = 262.6370d, `1 = 126.64 ,

τ1 = 10739.21852, a1 = 0.831UA, M1 = 2.356MJ o o K2 = 29.7337m/s, ω2 = 285.98 , e2 = 0.08,P2 = 1720.4577d, `2 = 87.30 ,

τ2 = 10414.39739, a2 = 2.9195UA, M2 = 1.8762MJ

Vo = −6.3167m/s Σ(O − C)2/σ2 = 202.6 Se¸c˜ao 2.6. Aplica¸c˜oes 61

wrms = 4.94m/s

Os gráficoscom os valores de (2.6-5) podem ser vistos na figura (2.12)

Figura 2.12: Curva de velocidade Radial calculada a partir da solu¸cão(2.6-5). Apresenta- mos tambémos res´ıduose seu respectivo espectro onde verificamos a inexistênciade outros per´ıodos.

Ainda para este sistema, usando o ajuste dinâmicoobtemos a solu¸cão(2.6-6), nesta ocasião durante o processo foi imposto, para ambos os corpos, a condi¸cãoinicial i = 90o, sendo as demais escolhidas randomicamente, segundo o protocolo padrãoque descrevemos anteriormente.

• Solu¸c˜ao(2.6-6)

o o K1 = 73.164m/s, ω1 = 297.65 , e1 = 0.358, P1 = 257.25d, `1 = 125.95 , τ1 = 10741.60661,

a1 = 0.821UA, M1 = 2.292MJ o o K2 = 29.070m/s, ω2 = 31.59 , e2 = 0.021, P2 = 1674.18d, `2 = 86.479 , τ2 = 10429.43779,

a2 = 2.857UA, M2 = 1.82MJ 2 2 Vo = 4.997m/s Σ(O − C) /σ = 183.31 wrms = 4.7m/s 62 Cap´ıtulo2. Determina¸c˜aodos elementos orbitais pela t´ecnicade velocidade radial

Ressaltamos aqui que, devido ao custo computacional, utilizamos apenas o simplex com o mesmo procedimento relatado para HD50554. Verificamos que o cálculoKepleriano se mostra tãobom quanto o ajuste dinâmico. Os resultados deste sistema dispon´ıveis em outros trabalhos são:

• Solu¸c˜ao(2.6-6): Buttler et al. (2006)

o o K1 = 74.9m/s, ω1 = 296.0 , e1 = 0.361, P1 = 262.53d, `1 = 126.91 , τ1 = 10214.,

a1 = 0.83UA, M1 = 2.34MJ o o K2 = 29.27m/s, ω2 = 38. , e2 = 0.017, P2 = 1679.d, `2 = 81.61 , τ2 = 12130.,

a2 = 2.86UA, M2 = 1.83MJ

p 2 χν = 1.1 rms = 7.8m/s

2.7 Conclus˜ao

Neste cap´ıtulointrodutóriodesenvolvemos as técnicasque sãousadas para determina¸cão dos elementos orbitais. Definimos os ajustes dinâmicoe Kepleriano, baseados no método de m´ınimos quadrados (MMQ). Verificamos que ambas as modelagens fornecem para os parâmetrosresultados equivalentes. Portanto, o cálculoKepleriano, por sua rapidez, mostra-se como uma excelente aproxima¸cão, mesmo para sistemas com mais de um corpo. Isto ocorre devido aos curtos intervalos de observa¸cão,que, nos exemplos que exploramos, sãode sete e cinco anos. Para o MMQ, que deve ser calculado numericamente, utilizamos os algoritmos simplex de Nelder e Mead (1965) e genético(com o códigoPikaia), de Charbonneau (1995; 2002). Embora nãohaja uma forma padrãode utilizá-los,adotaremos a mesma metodologia que utilizamos em HD50554 e HD12661: os ajustes sãoguiados pelo espectro dos dados, à medida que formos encontrando per´ıodos nos dados vamos incorporando mais incógnitas aos ajustes. Para especifica¸cãodos per´ıodos utilizamos a técnicade DCDFT. Consideramos tambémimportante os critériosestabelecidos para diferenciarmos sinais de ru´ıdos,que é

2 feito a partir do “scramble” ou por intermédioda distribui¸cão χν. Os resultados das aplica¸cõesque realizamos foram comparados aos de Buttler et al. (2006), que, supostamente, foram obtidos com as mesmas medidas. Para HD12661, veri- Se¸cão 2.7. Conclusão 63

ficamos que os resultados sãoequivalentes. Em contrapartida, para HD50554, a diferen¸ca mais importante diz respeito àamplitude e, consequentemente, àmassa; o valor tabelado éde ≈ 91 m/s e encontramos valores no intervalo 100 − 107 m/s. Esta diferen¸canão deve ser motivo para preocupa¸cãoe, como citamos, pode ser fruto da mádistribui¸cãodos dados. Nãohámedidas para deduzirmos o valor máxmode VR. A` parte este problema, consideramos os resultados obtidos semelhantes áqueles tabelados. Salientamos que neste primeiro cap´ıtulonãonos preocupamos com o cálculodos erros dos elementos orbitais que deduzimos. A descri¸cãode como obtê-losestádada na se¸cão (3.2) e (3.3) do próximocap´ıtulo. 64 Cap´ıtulo2. Determina¸cãodos elementos orbitais pela técnicade velocidade radial Cap´ıtulo 3

O sistema HD202206

3.1 Introdu¸c˜ao

O sistema planetárioHD202206 tem especial importânciapela grande massa de seus componentes. O maior dos dois companheiros planetáriosnãoéum planeta, mas sim uma anãmarrom. Essas massas fazem que grandes sejam as intera¸cõesgravitacionais entre os planetas e traz a perspectiva de determiná-las, pelas perturba¸cõesembutidas nas velocidades radiais, resolvendo a indetermina¸cãonas massas. Neste cap´ıtulotemos uma nova análisedas observa¸cõesexistentes com aux´ıliode modelos mais adequados a sistemas com grandes massas planetárias,que consideram as perturba¸cõesmútuas.Trata- se da fitagem dinâmicaque descrevemos no cap´ıtulo anterior. Os resultados mostram que os dois companheiros se movem em planos distintos e que o menor deles pode ter uma massa muito superior àquelaadmitida atualmente. O problema maior deste sistema éque todas as órbitasatéhoje propostas, sejam coplanares, sejam tridimensionais, são fortemente instáveis, evoluindo para um evento catastróficoem geral em menos de 10000 anos. Essa instabilidade pode ter diversas origens, mas, em regra éatribu´ıdaaos erros devidos àsobserva¸cõesexistentes. Em geral, esses estudos mostraram a inexistênciade grandes dom´ıniosdo espa¸code fase em altas excentricidades, onde o sistema pode existir, e permitem explicar os eventos catastróficosobservados nas simula¸cõespela proximidade da ressonância 5:1, entre os per´ıodos dos dois companheiros planetários,e da poss´ıvel grande inclina¸cãomútuadas órbitas. 66 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

3.2 Ajuste Kepleriano

Para obten¸cãodas medidas de velocidades radiais, utilizamos a metodologia descrita no Apêndice-A,visto que nãoencontramos em parte alguma os dados dispon´ıveis para análise. Do processo descrito, deduzimos as medidas que ilustramos na figura (3.1), abaixo:

Figura 3.1: Velocidades radiais que encontramos apóso processo de recupera¸cãodos dados descrito no ApêndiceA.

Como primeiro procedimento, temos a ﬁgura (3.2), onde calculamos o espectro das medidas para termos alguma no¸c˜aoda periodicidade das mesmas.

Figura 3.2: Espectro dos dados apresentados na ﬁgura (3.1) onde salientamos o per´ıodo de 258.3 dias. Se¸c˜ao3.2. Ajuste Kepleriano 67

Uma nota a ser feita sobre o espectro (3.2) diz respeito àsignificânciaestat´ısticada amplitude dos picos. De uma rápidaestimativa, calculamos que, caso os dados da figura (3.1) sejam ru´ıdos,a probabilidade de que estes atinjam uma amplitude tãosignificativa quanto a que encontramos, S = 0.9, éde praticamente zero (da ordem de 10−8), então, comprovadamente, o per´ıodo éreal. Portanto, a partir da figura (3.2) verificamos a existênciade um planeta cujo per´ıodo é de aproximadamente 258.3 dias. Ajustamos assim a fórmula de velocidade radial deduzida no cap´ıtuloanterior. Quanto a este processo, cabe uma reessalva: embora tenhamos uma ideia do valor do per´ıodo atravésde (3.2), este parâmetronãofoi considerado fixo. Foi, como os outros, encontrado durante o processo de minimiza¸cão.Utilizamos a combina¸cão do algoritmo genéticocom o simplex, com 100 mil intera¸cõesno primeiro e 500 “chutes” de 10000 intera¸cõespara o segundo. A solu¸cãoalcan¸cadaestáilustrada em (3.2-1):

• Solu¸c˜ao(3.2-1)

o o K1 = 575.66m/s, ω1 = 156.985 , e1 = 0.43400,P1 = 255.73d, `1 = 353.55 ,

a1 = 0.8261UA, M1 = 17.77MJ

Vo = 2.489m/s Σ(O − C)2/σ2 = 1422.475 wrms = 23.645m/s

Nessa solu¸c˜ao, `1 representa a anomalia m´ediaem t = 51402.6626. Isto equivale ao tempo de passagem pelo pericentro τ = 51151.51083(JD − 2400000).

Chamamos a aten¸cãopara o valor de massa m´ınimaencontrado, ≈ 17MJ . Se consideramos que uma anãmarrom éum corpo com massa superior a 13 massas de Júpiter,este nãoémais classificado como planeta. Hátambém,o agravante devido àindetermina¸cão das inclina¸cões. Quando futuramente as inclina¸côesforem encontradas, este valor para a massa apresentado pode ser muito superior. A da estrela central possui 1.15M . Os gráficos gerados pela solu¸cão(3.2-1) sãovistos na figura (3.3). Verificamos que é n´ıtidauma rela¸cãoper´ıodica entre os ru´ıdos,fato que éconfirmado por um novo espectro, apontando para um valor de 1300 dias. A probabilidade, calculada a partir da distribui¸cão

2 −8 χν, de que ru´ıdosatinjam amplitude tãosignificativa éainda pequena P ≈ 6.10 68 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

Figura 3.3: O gráficoacima representa a curva de velocidade radial gerada a partir da solu¸cão (3.2-1). Abaixo temos os res´ıduosdeste ajuste bem como o espectro, onde observamos haver um segundo per´ıodo de aproximadamente 1300 dias.

A figura (3.3) nos mostra haver um segundo planeta, externo, de per´ıodo ≈ 1300 dias. Agregando na análiseeste segundo corpo, econtramos a solu¸cão(3.2-2):

• Solu¸c˜ao(3.2-2)

o K1 = 564.7678m/s, ω1 = 161.1272 , e1 = 0.4330,P1 = 256.1998d, o `1 = 353.899 ,a1 = 0.8271UA, M1 = 17.459MJ e τ1 = 51150.80479 o K2 = 42.6957m/s, ω2 = 101.963 , e2 = 0.2822,P2 = 1295.552d, o `2 = 54.156 ,a2 = 2.4367UA, M2 = 2.4111MJ e τ2 = 51207.7688

Vo = −6.26288m/s Σ(O − C)2/σ2 = 218.77 wrms = 9.2m/s

Os gráficosgerados pela solu¸cão(3.2-2), que podem ser vistos na figura (3.4), não permitem concluir a existênciade um terceiro planeta. Como vemos, os res´ıduos são, Se¸cão3.2. Ajuste Kepleriano 69 aparentemente, ru´ıdossem correla¸cãoentre si, fato que pode ser comprovado pelo periodograma dos mesmos.

Figura 3.4: Figuras geradas a partir da solu¸c˜ao(3.2-2).

Verificamos atravésdo scramble dos res´ıduos, como jámencionamos, a impossibilidade de encontrarmos um terceiro corpo neste sistema. Os resultados correspondentes que encontramos na literatura são(Correia et al. 2005):

• Solu¸c˜ao(3.2-3) - Correia et al. (2005)

o K1 = 564.83m/s, ω1 = 161.10 , e1 = 0.433,P1 = 256.20d,

τ1 = 52175.6,a1 = 0.8271UA,M1 = 17.461MJ o K2 = 42.71m/s, ω2 = 101.83 , e2 = 0.284,P2 = 1296.8d, τ2 = 51206.4,a2 = 2.4383UA,

M2 = 2.411MJ 70 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

Vo = 14.721km/s

Como percebemos, os valores concordam de maneira muito boa com os nossos e acreditamos que isto corrobora nosso processo de recupera¸cãodas medidas. Informamos que testamos váriosvalores para o númerode itera¸cõesem nossos algoritmos (chegando até 106) e, em todas as situa¸cões,encontramos aproximadamente os mesmos resultados informados. Usamos a palavra aproximadamente, devido ao fato de que o sinal do segundo corpo ébastante inferior ao do primeiro; enquanto um produz varia¸cõesde 500-600 m/s na estrela, a do outro éapenas ≈ 50m/s, o que dificulta uma inferênciarobusta de seus parâmetrosorbitais. Para finalizar esta se¸cão,citamos anteriormente a indetermina¸cãodas massas, cujos valores estãoatrelados a inclina¸cãodo plano orbital. Os resultados que apresentamos até o momento estãosob a condi¸cão i = 90o. Do ponto de vista da análisedos dados não hádiferen¸case considerarmos por exemplo, i = 270o. Os valores apresentados na solu¸cão (3.2-4) foram calculados mantendo o corpo interno em i = 90o e o externo em i = 270o.

• Solu¸c˜ao(3.2-4)

o o K1 = 564.639m/s, ω1 = 161.128 , e1 = 0.433,P1 = 256.202d, `1 = 353.899 ,

τ1 = 51150.8026, a1 = 0.8271UA, M1 = 17.453MJ o o K2 = 42.094m/s, ω2 = 283.178 , e2 = 0.2642,P2 = 1299.215d, `2 = 53.835 ,

τ2 = 51208.32866, a2 = 2.442UA, M2 = 2.408MJ

Vo = −4.664m/s Σ(O − C)2/σ2 = 219.0692 wrms = 9.28m/s

Encontramos um ajuste equivalente, com exce¸cãodo parâmetroangular ω2 que, como jáesperávamos, difere de um fator de π se comparado com aquele da solu¸cão(3.2-2).

3.3 Os intervalos de conﬁan¸ca:Biased Monte Carlo

Para avaliarmos o intervalo de confian¸cados elementos apresentados em (3.2-2), utilizamos a metodologia BMC (Biased Monte Carlo) usada por Ferraz-Mello et al. (2005), onde o intuito nãoéencontrar o m´ınimoexato, mas, sim, um perfil do mesmo, explorando Se¸cão3.3. Os intervalos de confian¸ca: Biased Monte Carlo 71 o espa¸code parâmetrosnas vizinhan¸casdos valores que encontramos na solu¸cão(3.2-2). Dessa forma, podemos ter a no¸cãode qual dos parâmetrosestábem ou mal inferido, assim como, encontrar poss´ıveis m´ınimoslocais. Tomamos agora 10000 itera¸cõespara o algoritmo genéticoe 1000 chutes com 5000 itera¸cõesem cada um deles para o algortimo simplex. Esperamos que, com um número baixo de itera¸cões,possamos explorar melhor o espa¸code parâmetros inicializando o programa com várioschutes distintos. Deste processo, guardamos todos os resultados em que encontramos Q = P(O − C)2/σ2 ≤ 300, ou seja, wrms ≤ 10.8. Os valores sob estas condi¸cões estãono gráfico(3.5), em que notamos, primeiramente, que os elementos do planeta interno sãomuito bem determinados. Isto de certa forma, jáera esperado, por causa da magnitude da oscila¸cãoque tal corpo causa na estrela central. Notamos tambéma inexistência de m´ınimos locais que poderiam nos conduzir a indetermina¸cõesnos resultados. Jápara o segundo corpo, o externo, para e2, por exemplo, hávalores encontrados nos intervalos ≈ [0.25 − 035] que possuem aproximadamente o mesmo Q, ou seja, valores sensivelmente diferentes de excentricidade podem nos levar a ajustes equivalentes. De certa forma isto tambémocorre para os demais elementos. Enfim, para o corpo interno, encontramos valores em intervalos bastante estreitos, excentricidades, por exemplo, estãoentre 0.431 e 0.433, os per´ıodos tambémsãomuito bem determinados, com precisãode horas, fato que nãoocorre para o companheiro externo. 72 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

Figura 3.5: Valores encontrados atravésdo processo de BMC. Cada ponto deste gráfico representa uma evolu¸cãodo algoritmo por 10000 intera¸cõescalculadas atravésde chutes distintos no espa¸co de parâmetrose com valores Q ≤ 300 .

Na figura (3.6) temos os elementos angulares ω1,ω2, `1 e `2. Se¸cão3.3. Os intervalos de confian¸ca: Biased Monte Carlo 73

Figura 3.6: Continua¸cãodo gráfico(3.5). Apresentamos aqui os elementos angulares.

Os pontos presentes nas figuras (3.5) e (3.6) nãorepresentam a melhor solu¸cão,mas sim valores que encontramos ao dar em nosso algoritmo, chutes aleatóriosque evoluem, após10 mil itera¸cõespara a vizinhan¸cado m´ınimoque encontramos. Assim, podemos ter uma ideia de como éo espa¸code parâmetrosna vizinhan¸ca da solu¸cão(3.2-2) e também tirar algumas conclusõesa respeito de seu intervalo de confian¸ca.Os gráficos(3.5) e (3.6) foram obtidos guardando todos os valores em que Q ≤ 300, ou seja, (wrms) ≤ 10.8m/s. Podemos diminuir este limite que foi escolhido de forma arbitrária.A melhor solu¸cão que possuimos, (3.2-2), possui Q = 218.77. Se nos restringirmos somente àquelesvalores em que Q ≤ 218.8 + p2(N − M), tomamos somente os pontos nos quais Q ≤ 232.5, que equivale a wrms ≤ 9.6 m/s. Encontramos com este critério: K1 = [564 − 567]m/s, ω1 = o o [161.0 − 161.2] , e1 = [0.432 − 0.433], P1 = [256.19 − 256.21]d e `1 = [353.8 − 353.9] , que, como citamos, sãointervalos bastante pequenos. Em contrapartida, para o planeta externo

o temos: K2 = [40 − 45]m/s, ω2 = [93 − 107] , e2 = [0.22 − 0.36], P2 = [1269 − 1303.04]d e o `2 = [56 − 46] . 74 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

3.4 Jacknife

O nome Jacknife, para um método estat´ıstico, foi utilizado primeiramente em Que- nouille (1956) na sua técnicade redu¸cãode viés,nãoa tratamos neste trabalho por ser um método muito custoso computacionalmente, sendo imposs´ıvel explorá-loem toda sua extensão. Todavia, hámétodos semelhantes sob este mesmo t´ıtulo,como o utilizado em Beuagé et al. (2007) para HD82943, ou aquele de Ferraz-Mello, que se vale de fitagens por amostras aleatórias, todos esses procedimentos serãodescritos nas subse¸cõesseguintes.

3.4.1 Jacknife de Beaug´e et al. (2007)

Esta técnicaémais comumente aplicada com a finalidade de observarmos a robustez dos resultados encontrados. Foi aplicado em Beaugé et al. (2007) para o sistema HD82943 e consiste em calcular os elementos orbitais como fun¸cãodo númerode observa¸cões.Para este fim, reduzimos o númerode medidas, eliminando uma a uma as observa¸cões em ordem cronológicainversa e para cada novo conjunto aplicamos o processo de ajuste inferindo os parâmetrosorbitais para ambos os corpos do sistema. Os resultados estão apresentados na figura (3.7), onde percebemos que os elementos do planeta interno são,aparentemente, robustos, pois variam pouco com o númerode medidas, por isso seus gráficossãobastante estáveis. Este resultado era atécerto ponto esperado devido àmagnitude da varia¸cãoque este corpo causa na estrela. Ao contrário,para o corpo interno, notamos que seus resultados parecem se estabilizar apenas a partir da nonagésimamedida, com exce¸cãode sua excentricidade que ainda assim pode atingir valores tãoaltos quanto 0.8. Desta forma, conclu´ımos que os valores para este sistema ainda estãosujeitos a mudan¸casna propor¸cãoque medi¸cõesfuturas sejam feitas. Outro fator que entendemos ser interessante éa razãodos per´ıodos, os valores que encontramos colocam o sistema nas proximidades da ressonância5:1 de movimentos médios.Todavia, esta conclusãonãopoderia ter sido obtida antes da nonagéssimamedida. Para finalizar, apresentamos, em (3.8) a qualidade de cada um dos ajustes do gráfico (3.7). Se¸cão 3.4. Jacknife 75

Figura 3.7: Elementos orbitais em fun¸c˜aodo n´umero de medidas. 76 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

Figura 3.8: (wrms) de cada um dos ajustes apresentados no gr´aﬁco (3.7).

3.4.2 Jacknife de Ferraz-Mello

Consiste em, a partir do total de 105 observa¸cões,gerarmos subconjuntos aleatóriosde medidas. Para este fim, tomamos primeiramente um conjunto de 10 medidas, escolhidas aleatoriamente das 105 existentes. Exclu´ımos,destas, as 10 observa¸cões,gerando, portanto, um subconjunto com 95 dados que utilizamos para a determina¸cãodos elementos orbitais. Encontrado-os, escolhemos novamente outro subconjunto de 10 medidas, tambémao acaso, gerando um outro conjunto, para o qual tambémdeterminamos os elementos orbitais. Aplicando este processo repetidas vezes, encontramos os resultados mostrados na figura (3.9). Se¸cão 3.4. Jacknife 77

Figura 3.9: Jacknife de Ferraz-Mello, exclu´ımosconjuntos aleat´oriosde 10 observa¸c˜oes.

Os elementos restantes `1, `2 e Vo sãoapresentados na figura (3.10). Observamos haver 78 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206 uma certa concordânciacom os intervalos que inferimos da figura (3.6), embora haja uma diferen¸caconceitual entre os métodos: todos os pontos apresentados nos gráfico(3.9) e (3.10) representam o m´ınimo para cada conjunto de dados que contruimos. Enquanto que na se¸cãoanterior trabalhamos apenas com o conjunto de 105 medidas e verificamos o espa¸code parâmetros nas proximidades do m´ınimoencontrado. Atravésdesta metodologia encontramos os seguintes intervalos de confian¸ca: K1 = [562 − 568], K2 = [39 − 49], ω1 = o o [161 − 161.7] , ω2 = [75 − 115] , e1 = [0.428 − 0.436], e2 = [0.22 − 0.4], P1 = [256.1 − 256.3] e P2 = [1250 − 1350], que, sãovalores com wrms ≤ 10m/s.

Figura 3.10: Continua¸cãodo gráfico(3.10).

3.5 Resampling

Esta técnica,assim como o Jacknife da se¸cão(1.4.3), éutilizada para se determinar o intervalo de confian¸cados elementos encontrados. O propósitodesta ferramenta égerar conjuntos sintéticosde dados onde as medidas sãotomadas de acordo com as observa¸cões oficiais (ti,Vi, σi) adicionadas a um ru´ıdogaussiano de desvio σi. A ideia éque cada um dos conjuntos obtidos seja tãoprovável quanto o conjunto original. Para cada um destes dados Se¸cão3.5. Resampling 79

“artificiais” determinamos os melhores elementos orbitais poss´ıveis, que estãoapresentados na figura (3.11).

Figura 3.11: Resampling para o Sistema HD202206.

Portanto, para o corpo interno, notamos novamente que seus parâmetrossãobem definidos, pois os intervalos de confian¸casãobastante estreitos. Jápara o corpo externo

o temos K2 = [40 − 50]m/s, ω2 = [80 − 120] , e2 = [0.16 − 045], P2 = [1240 − 1360]d e, por 80 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

o fim, `2 = [40 − 75] , que sãosemelhantes àquelesdas figuras (3.5) e (3.6).

3.6 Ajuste Dinˆamico

Como as massas dos corpos envolvidos sãosignificativas, analisamos nesta se¸cãose as perturba¸cõesentre eles afeta de alguma maneira o processo de ajuste. Para este objetivo, utilizamos o método descrito no cap´ıtuloanterior, com o integrador RA15(Everhart 1984), para computar as órbitasdos corpos. Por ser um processo mais preciso, esperamos uma natural melhora no processo de ajuste. Para integra¸cãodas equa¸cões de movimento consideramos os corpos planares, ambos com i = 90o e o resultado é:

• Solu¸c˜ao(3.5-1)

o a1 = 0.83957UA, ω1 = 161.215, e1 = 0.43407, `1 = −6.646 ,M1 = 17.6023MJ

a2 = 2.72456UA, ω2 = 101.371, e2 = 0.2968, `2 = 56.980,M2 = 2.4452MJ

Vo = 14.7205km/s Σ(O − C)2/σ2 = 203.6821 wrms = 8.94m/s

O processo de fitagem kepleriana exige um tempo computacional elevado pois somos obrigados a integrar cada uma das órbitas durante o ajuste. Por esta razãoutilizamos apenas o algoritmo simplex, com chutes dados em valores próximosàquelesque encontramos nas se¸cões anteriores. A solu¸cão(3.5-2) éanálogaàanterior, com exce¸cãode que a calculamos para a condi¸cão i = 270o, apenas para o corpo externo; enquanto o interno foi mantido i = 90o. Assim, encontramos:

• Solu¸c˜ao(3.5-2)

o a1 = 0.8377071UA, ω1 = 341.2147, e1 = 0.434064, `1 = 353.3552 ,M1 = 17.90606MJ o a2 = 2.7453366UA, ω2 = 281.2115, e2 = 0.29703, `2 = 57.003 ,M2 = 2.48775MJ

Vo = 14.7205555km/s Σ(O − C)2/σ2 = 203.72635 wrms = 8.94m/s Se¸c˜ao3.7. Estabilidade das solu¸c˜oes 81

As solu¸c˜oes(3.5-1) e (3.5-2) s˜aoequivalentes, apenas os argumentos do pericentro diferem de π.

3.7 Estabilidade das solu¸c˜oes

Sabendo que a estrela em questãopossui uma massa de 1.15 massas solares, usamos algumas das solu¸cõesque encontramos em integra¸cões numéricasa fim de verificar a estabilidade das configura¸caõesencontradas. Na figurao (3.12), apresentamos a evolu¸cãodos elementos da solu¸cão(3.5-1), a melhor que obtivemos via ajuste dinâmico. Utilizamos o integrador Radau-15 (Everhart,1984), com sa´ıdasa cada 10 anos, e notamos que o sistema evolui para um evento catastróficoem aproximadamente 20000 anos. Portanto, as solu¸cões propostas sãoinstáveis, ocorrênciaque éfrequente com todas as que obitvemos atéesta se¸cão.

Figura 3.12: Integra¸cãoda solu¸cão(3.5-1), verificamos instabilidade em menos de 20000 anos.

Jáos resultados (3.2-3) de Correia et al. (2005) tambémsãoinstáveis, como verficamos na figura (3.13): 82 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

Figura 3.13: Integra¸c˜aoda solu¸c˜oesproposta por Correia et al. (2005).

Vista a dificuldade em encontrarmos configura¸cõesconfiáveis para este sistema, estudamos a estabilidade na regiãodo m´ınimoencontrado atravésdo cálculodo mapa dinâmico. Para este fim, consideramos a solu¸cão(3.5-1) e fixamos os elementos encontrados do planeta interno, bem como os do externo, com exce¸cão de a2 e e2. Destes últimos,constru´ımos uma grade de condi¸cõesdefinidas como: a2 = [2.0 − 3.0], ∆a2 = 0.01UA e e2 = [0.0 − 0.5],

∆e2 = 0.01, que nos rendeu uma resolu¸cãode 101 x 51 pontos. Cada ponto da malha foi utilizado como condi¸cãoinicial para uma integra¸cãode 106 anos, ao fim da qual, calculamos a transformada de Fourier do elemento a2. Caracterizamos a estabilidade/instabilidade pelo númerode picos significativos no espectro deste elemento. Assumimos que uma solu¸cão cujo espectro possua 10 picos, por exemplo, émais estável do que uma outra com 100. Sendo N o númerode picos do espectro, a figura (3.14-A), apresenta log(N) para cada um dos pontos da grade. Apresentamos tambémo mapa de excentricidade máxima, figura (3.14-B), que representa o valor máximoatingido pela excentricidade ao longo de toda a integra¸cão. Nestes cálculos, se uma condi¸cãoinicial tomada evolui para um evento catastrófico adotamos, arbitrariamente, que log(N) = 8 e também emax = 1.0. Se¸cão3.7. Estabilidade das solu¸cões 83

Figura 3.14: Mapa dinâmicodo sistema HD202206, calculado a partir das condi¸cões(3.5-1). Em (A) temos o mapa espectral, jáem (B) o mapa da excentricidade máxima.

Percebemos grande semelhan¸caentre as figuras (3.14-A) e (3.14-B), nelas as regiões escuras sãolocais de estabilidade, onde o sistema sobrevive por pelo menos 1 milhãode anos, elas representam as ressonânciasde movimentos médios4:1 e 5:1, como destacado no gráfico. A estrela em vermelho reprsenta a solu¸cão(5.3-2). Portanto, conclu´ımos que o sistema sópode existir em um intervalo bastante estreito para a2 ≈ [2.6 − 2.75] e e2 ≈ [0.08 − 0.25]. Gozdziewski (2006) tambémcalcula o mesmo gráficoe seus resultados sãoequivalentes aos nossos. Embora do ponto de vista dos ajustes pouco importa se tomamos i = 90o ou i = 270o, nossa insistência em calcularmos tambémpara esta últimacondi¸cãofoi para verificar se esta apresenta alguma diferen¸cado ponto de vista dinâmico.Assim, na figura (3.15), apresentamos a integra¸cãodas solu¸cões(3.5-2). Os resultados encontrados classificam o sistema como secular, como em Cunha (2010) e estes gráficos evocam o cuidado extremo que devemos tomar, visto que pequenas mudan¸cascomo estas, provocam altera¸cõessignificativas no panorama dinâmico. Para uma melhor visualiza¸cãodo comportamento dos ângulos cr´ıticos,apresentamos no gráfico(3.16), uma integra¸cãofeita em um pequeno per´ıodo e com sa´ıdasmuito curtas, apenas com o intuito de observar os per´ıodos de oscila¸cão. 84 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

Figura 3.15: Resultado da integra¸cãocom condi¸cõesas condi¸cõesiniciais (3.5-2).

Figura 3.16: Zoom do comportamento dos elementos angulares e ânguloscr´ıticosda figura (3.15). Se¸cão3.8. Inclina¸cões 85

3.8 Inclina¸c˜oes

Um dos problemas referentes àtécnicade velocidades radiais éque ela nãodetermina a inclina¸cãodos planetas. Isto restringe bastante o entendimento dos sistemas recém- descobertos visto que seu estudo fica limitado ao caso planar e ao de massas m´ınimas. Nesta se¸cão,determinamos as inclina¸cõesposs´ıveis para o sistema HD202206. Fizemos isto utilizando o plano tangente ao céucomo referênciae aumentando o número de parâmetros a serem determinados, passaremos a ter tambémas duas inclina¸cões i1, i2 e a diferen¸cade nodos ∆Ω.

3.8.1 Plano tangente ao c´eu

O estudo deve ser feito via ajuste dinâmico,que foi utilizado em se¸cõesanteriores. Nelas o emprego foi feito para verifica¸cãode seu funcionamento e compara¸cãode resultados; aqui, ao contrário,este uso éfeito de forma mais efetiva. Abordamos o problema aumentando o número de parâmetrosa ser determinados, de 11 para 14. Como referência, o plano tangente ao céu,o eixo Z, na dire¸cãoda linha de visada, e o eixo X, coincidindo com o nodo ascendente do planeta 1. A figura (3.17) ilustra melhor o sistema de referência utilizado.

Figura 3.17: Sistema de referênciaque utilizamos para a minimiza¸cãono plano do céu. 86 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206

A` parte do fato dos planetas nãoserem tratados como coplanares, o procedimento é em tudo semelhante ao ajuste dinâmicodescrito anteriormente. Utilizamos o integrador Radau-15 e abaixo, na tabela (3.1), apresentamos os resultados encontrados.

Tabela 3.1 - Inclina¸c˜oespara o sistema HD202206.

Planeta 1 Planeta 2

a(UA) 0.832 2.631 e 0.432 0.363 ω(o) 161.121 98.587 i(o) 48.988 62.229 `(o) 353.657 54.329

M(MJ ) 29.458 2.862 ∆Ω(o) 77.559

Vo(km/s) 14.721 χ2 204.20 wrms(m/s) 8.95

Notamos que nãohámudan¸casignificativa em nenhum dos elementos, com exce¸cão das massas que, como esperado, aumentaram de forma importante. Como aumentamos o númerode variáveis a serem determinadas, seria natural esperarmos uma melhora nos ajustes, seja em χ2 ou em wrms, entretanto, nem isto observamos, e, portanto, ilustramos que as medidas de VR nãopossuem informa¸cãosuficiente para deduzirmos i1 e i2.

3.9 Conclus˜oes

Este cap´ıtuloversou sobre nossa primeira grande aplica¸cãodas técnicasque descrevemos no cap´ıtulo2. A principal dificuldade que encontramos foi a obten¸cãodas medidas, por esta razãoestudamos um processo pelo qual podemos obtê-lasde forma indireta, que estádescrito no apêndiceA. Esta etapa se fez necessáriae seráútilsempre que nos depararmos com a dificuldade de conseguirmos as medidas reais. Infelizmente, nãotemos ideia de como o processo descrito pode influenciar nos resultados finais. Por outro lado, os valores que obtivemos concordam de forma muito boa com aqueles dispon´ıveis na literatura. Conclu´ımos,portanto, que a melhor solu¸cão,que alémde boa do ponto de vista Se¸cão 3.9. Conclusões 87 estat´ıstico,alia estabilidade dinâmicaéaquela dada em (3.5-2), em que o corpo externo se encontra em i = 270o e o interno em i = 90o. Outro empecilho encontrados nos estudos deste cap´ıtulo foi o cálculodos intervalos de confian¸ca,jáque os métodos tradicionais a partir do cálculoda matriz de covariância, tornaram-se dif´ıceise obtivemos resultados insatisfatórios,esta razãonos obrigou a utilizar metodologias alternativas, baseadas em técnicasde Monte Carlo, apresentadas na se¸cão (2.3) e (2.4). Sobre as inclina¸cões,exploramos duas formas diferentes de encontrá-lase, ainda, evidenciaram a limita¸cãoda técnica. 88 Cap´ıtulo3. O sistema HD202206 Cap´ıtulo 4

Conﬁabilidade da Determina¸c˜aoOrbital por Velocidades Radiais

4.1 Introdu¸c˜ao

Dedicamos este cap´ıtuloao estudo da confiabilidade dos resultados obtidos por velocidades radiais. Para isto, primeiramente, elencamos alguns cuidados que devemos tomar durante o processo de minimiza¸cão,como truncamentos da sérieetc. Posteriormente, partimos de condi¸cõesiniciais conhecidas, gerando, a partir delas, medidas artificiais com diferentes n´ıveis de ru´ıdoe efetuamos, então,o ajuste de solu¸cõesaos dados sintéticos. Nosso objetivo com isto é,pelo menos, observar quais dos elementos orbitais sãobem determinados e quais nãoo são,comparando os valores obtidos com as condi¸cõesiniciais propostas. Iniciamos este processo com um sistema simples de uma estrela cuja massa é 1.1M e um planeta com per´ıodo de 100 dias e massa igual àde Júpiter.Aplicamos este mesmo procedimento tambémem um sistema um pouco mais complexo: estrela e dois planetas, sendo que estes últimos se encontram em condi¸cõesressonantes. Pretendemos deduzir com que seguran¸ca podemos afirmar se um sistema estáou nãoem ressonância. De forma teórica,estudamos tambémalguns trabalhos que fazem estimativas sobre o quanto a atividade estelar pode influenciar na pesquisa de exoplanetas. Apesar de se tratarem de trabalhos puramente numéricos e fenomenológicos,acreditamos esta ser uma questãopertinente, pois o tipo de estrela pode, aparentemente, ser um efeito seletivo, uma vez que a maioria a maioria dos sistemas conhecidos sãoem estrelas do tipo F,G e K, que possuem caracter´ıticasem comum, como sua baixa atividade, por exemplo. Por outro lado, se analisarmos os catálogosdispon´ıveis, veremos a quase inexistênciade planetas ao 90 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais redor de estrelas do tipo M 1 que sãobastante ativas e que existem em maior número.

4.2 Sistema: Estrela + Um Planeta

S˜aoestas as condi¸c˜oes inciais que tomamos:

• Massa da estrela: 1.1 M

• Planeta:

P=100 dias (a=0.435)

e=0.0

M = 1.0MJ

K = 41.1m/s

ω e ` escolhidos aleatoriamente [0o − 360o]

Um exemplo de curva produzida com as condi¸cõesacima em que ω = ` = 0o édada pela figura (4.1)

Figura 4.1: Exemplo de curva de velocidade radial gerada.

1 Na verdade há13 planetas ao redor de 9 anãsM (Reiners (2009)). Se¸cão4.2. Sistema: Estrela + Um Planeta 91

Em cada curva gerada inserimos ru´ıdos,Gaussianos e tais que: σ = K/3,K/4etc. Con- sideramos da ordem de 800/900 amostras com 60 pontos cada uma delas. O espa¸camento foi tomado regular de cinco dias e para a minimiza¸cãoutilizamos apenas o algoritmo genéticocom 40.000 intera¸cões. Apresentamos, como resultado deste primeiro empreendimento, a figura (4.2):

Figura 4.2: Elementos orbitais obtidos para cada conjunto sint´eticode dados.

A figura (4.2) mostra que o semieixo (consequentemente o per´ıodo) e a massa são parâmetrosbem definidos, ao contrárioda excentricidade que apresenta um forte enviesa- mento. 92 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

Um cuidado que devemos tomar nestes ajustes éque corremos o risco de que os ru´ıdos se sobreponham ao sinal ou atémesmo que o númerode itera¸cõesdo algoritmo seja in- suficiente, fazendo com que o resultado nãoconvirja para o seu valor m´ınimo. Para nos ajudar neste tipo de problema apresentamos na figura (4.3), os histogramas do termo Σ(O − C)2/σ2 que representa a qualidade de cada um dos ajustes feitos.

P 2 2 Figura 4.3: Histograma dos resultados Q = j(Oj − Cj) /σj das minimiza¸c˜oespara os valores K/σ que utilizamos.

P 2 2 O valor esperado de Q = j(Oj − Cj) /σj éN-M, onde N éo número de medidas e M o de variáveis ajustadas, Oj os dados sintéticose Cj os valores calculados pelo ajuste. Com as diretrizes que seguimos aqui, esperamos que os histogramas (4.3) estejam centrados em aproximadamente 54, e isto de fato ocorre, mostrando-nos, portanto, que as minimiza¸cões apresentadas em (4.2) sãosignificativas. Repetimos o procedimento para um n´ıvel de ru´ıdobastante elevado, K/σ = 1, que se trata de um caso cr´ıticoem que dificilmente poder´ıamosafirmar com seguran¸caa existênciado planeta. Como resultado para estas simula¸cõesapresentamos a figura (4.4), que éanáloga a (4.2) e possui 1.000 amostras com 60 pontos em cada uma delas. Se¸cão4.2. Sistema: Estrela + Um Planeta 93

Figura 4.4: Histograma para os elementos orbitais em que K/σr = 1. Como a escala do histograma nãoéfavorável, em (D) e (E) temos o diagrama M vs. a em que podemos observar melhor a dispersãodestes elementos. O gráfico(E) éapenas um zoom na escala de (D).

Devemos ter certa cautela ao analisar a figura (4.4). Muitos dos ajustes representados nela nãosãobons resultados. Para cada amostra sintéticaque construimos, calculamos P 2 2 o valor de Q atravésda fórmula de VR; ou seja, QVR = i(Oi − Ci) /σi , onde Ci éo valor calculado atravésda fórmula anal´ıtica dada pela equa¸cão(2.8). Calculamos também P 2 2 a dispersãodas medidas em rela¸cãoa seu valor médio, QM = i(Oi − M) /σi , onde M é o valor numéricoda médiados dados que geramos. A inten¸cãoécomparar os dois valores de Q a fim de decidirmos se o ajuste da fun¸cãoem rela¸cãoas medidas érelevante. Assim, pela figura (4.5), verificamos que nãopodemos simplesmente considerar bons resultados aqueles em que QVR éigual ao númerode graus de liberade. Na ocasiãoque fizemos isto, nãohavia a sobreposi¸cãodos histogramas que observamos agora. Portanto, para separarmos os bons dos maus ajustes, necessitamos de uma análiseum pouco mais sofisticada, por esta razãoaplicamos o teste F que visa comparar estatisticamente os dois valores de Q que estamos tratando, desta análise,geramos o gráfico(4.6). 94 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

Figura 4.5: Para cada minimiza¸c˜aocalculamos a dispers˜aodos dados em torno de seu valor

médio, QM , cujos resultados estãoapresentados no histograma em vermelho. Comparamos com o valor de Q advindo do ajuste da fórmula de VR, histobrama preto.

Figura 4.6: Os pontos em vermelho representam os valores (QVR,QM ) que calculamos para cada amostra sintética.As regiõesclaras ao fundo correspondem aos dados para os quais não épossivel concluir uma rela¸cãofuncional (VR(t)) entre as medidas. Ao contrário,a região escura éonde detectar´ıamosa existencia de algum planeta, pois seria poss´ıvel determinar uma rela¸cãofuncional a partir das observa¸cões. A áreaem azul trata-se de um corte onde, hipoteticamente, a médiados dados seria um ajuste melhor que a fun¸cãoVR, situa¸cãosem significado f´ısico. Se¸cão 4.3. Sistema: Estrela + dois planetas 95

O gráfico(4.6) deve ser lido da seguinte maneira: os pontos em vermelho representam os valores (QVR,QM ) que calculamos para cada amostra sintética. O códigode cores ao fundo mostra as probabilidades, calculadas a partir do teste F, que representam a melhora efetiva no ajuste ao considerarmos que as medidas possuem uma rela¸cãofuncional dada pela fórmula da velocidade radial. Nesta situa¸cãoseria poss´ıvel a deteçcãodo corpo orbitando a estrela. Percebemos, portanto de (4.6), que, em muitos resultados, o ajuste da curva de Vr não oferece melhora significativa e o planeta nãoseria, tecnicamente, detectado nas medi¸cões. Excluindo da figura (4.4) os ajustes em que a probabilidade dada na figura (4.6) é ≤ 0.1, ficaremos com 326 amostras que estãorepresentadas na figura (4.7).

Figura 4.7: Histograma das solu˜oes(4.4) em que exclu´ımosos ajustes sem relevˆancia.

Para finalizar esta se¸cão,conclu´ımosque, enquanto os demais elementos orbitais são bem determinados, a excentricidade se mostra bastante sens´ıvel, uma vez que, na média dos histogramas (4.2), ela ficou em torno de 0.05, apesar dos dados serem gerados impondo- se e = 0. Este viésera atécerto ponto esperado, uma vez que tomamos excentricidade inicial igual a zero e nãopoder´ıamosesperar uma distribui¸cãosimétricapara este elemento. Todavia, consideramos a dispersãobastante importante, que demonstra que esta superes- tima¸cãoéreal e ocorre tambémpara valores iniciais diferentes de zero, como veremos na se¸cãoseguinte e como jádemonstrado em Shen e Turner (2008).

4.3 Sistema: Estrela + dois planetas

Aumentamos a complexidade do sistema: uma estrela com massa igual a do Sol e dois planetas com as seguintes condi¸cões: 96 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

-Condi¸c˜oes(4.3-A)

• a1 = 0.6299 , a2 = 1.0UA

• e1 = 0.3923 , e2 = 0.1271

• M1 = 1.0MJ , M2 = 1.0MJ

• K1 = 38.972m/s , K2 = 28.684m/s

o • ω1 = `1 = ω2 = `2 = 0

• P1 = 182.5d e P2 = 365.1d

• Inserimos nos dados um ru´ıdoGaussiano de σ = 6.5m/s

A integra¸cãodessas condi¸cõesiniciais éapresentada na figura (4.8) e nela percebemos a libra¸cãodo ângulo θ = 2λ1 − λ2 − $1 e tambémde ∆$. Jáum exemplo de curva de velocidade radial gerada por estas condi¸cõesédado na figura (4.9).

Figura 4.8: Libra¸c˜aodo ˆanguloressonante e de ∆$ .

Antes de iniciarmos o processo de minimiza¸cãopropriamente dito, devemos tomar certas cautelas com alguns poss´ıveis fenômenosque podem nos levar a resultados errôneos. Se¸cão 4.3. Sistema: Estrela + dois planetas 97

Figura 4.9: Curva de velocidade radial gerada pelas condi¸c˜oespropostas.

Figura 4.10: Curva de velocidade radial gerada pelas condi¸cõespropostas, mas variamos apenas a razãodas massas. 98 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

O primeiro deles estádiretamente ligado àrazãode massa entre os corpos interno e externo. Podemos ver, pela figura (4.10), que, quando as massas sãoequivalentes, a curva de velocidade radial apresenta nitidamente duas amplitudes bem percept´ıveis: uma delas atingindo valores próximosa 80 m/s e a outra valores ≈ 30 m/s, o fato éque duas amplitudes tãod´ısparessão um ind´ıciode que hádois corpos no sistema. Entretanto, dificuldades sãoencontradas se a razãoentre as massas nãofor favorável; consideramos este fator bem ilustrado na figura (4.10), onde gradativamente diminu´ımosa massa do corpo externo e, percebemos que, somando-se a isso os ru´ıdose o espa¸camento irregular, quando Mext ≈ 0.4MJ verificamos dificuldades em encontrar o ind´ıcio de dois corpos.

Quando as massas sãotais que Minterno = 1MJ e Mexterno = 0.1MJ observamos apenas uma amplitude, de per´ıdo0.5 ano, que exije uma análisemais cuidadosa se quisermos concluir a existênciade dois corpos no sistema. Uma consequênciadeste fato que narramos éum fenômenojáalertado em Anglada- Escudé(2009) e que ocorre preferencialmente em casos ressonantes. O fato éque poderá haver uma superestimativa da excentricidade do corpo 1, se o segundo planeta nãofor detectado. Isto pode ser visto facilmente: seja a fórmula da velocidade radial de uma estrela devido a dois planetas, representados pelos ´ındices1 e 2, dada por:

Vr = K1 cos[f1 + ω1] + K1e1 cos ω1 + K2 cos[f2 + ω2] + K2e2 cos ω2 (4.1)

Onde K1 e K2 sãoas semiamplitudes; f1 e f2, as anomalias verdadeiras; ω1 e ω2, as longi- tudes do pericentro; e, finalmente, e1 e e2, as respectivas excentricidades. A equa¸cão(4.1), escrita em termos das anomalias médias `1 e `2 e expandida em ordem 2, toma a seguinte forma:

2 Vr = K1 cos[n1(t − τ1) + ω1] + K1e1 cos 2[n1(t − τ1) + ω1] + K2 cos[n2(t − τ2) + ω2] + ϑ(e1, e2) (4.2)

Se n2 = 2n1, a equa¸c˜ao(4.2) ﬁca da seguinte forma:

Vr = K1 cos[n1(t − τ1) + ω1] + K1e1 cos 2[n1(t − τ1) + ω1] + K2 cos[2n1(t − τ2) + ω2] (4.3) Se¸c˜ao 4.3. Sistema: Estrela + dois planetas 99

Analisando a equa¸c˜ao(4.3), notamos que o termo K1e1 ´eformalmente igual ao termo K2.

Então,se o segundo planeta nãofor detectado, o termo K1e1 serásuperestimado, pois sobre ele recai tambémo sinal do corpo 2. Este fato, na prática,écorriqueiro pois é fato recorrente que quando um novo planeta éanunciado, as excentricidades dos corpos conhecidos anteriormente diminuem consideravelmente. Como exemplo, na figura (4.11), apresentamos o sistema HD50554, onde inserimos um segundo corpo no sistema, este de per´ıodo na razão2:1 com o planeta jáexistente e confirmamos um leve decréscimo da excentricidade do planeta conhecido.

Figura 4.11: Em (A), ajuste com um planeta para o sistema HD50554 e, em (B), incluimos a procura de um segundo planeta em ressonˆancia2:1 com o primeiro.

As condi¸c˜oesencontradas para (4.11-A) s˜ao:

o o • K1 = 99.9m/s , e1 = 0.470,ω1 = 4.860 , P1 = 1229.0d, `1 = 59.004 , Vo = −15.203m/s e P(O − C)2/σ2 = 73.545

As solu¸c˜oes (4.11-B) s˜ao:

o o • K1 = 88.4m/s , e1 = 0.440,ω1 = 16.204 , P1 = 1209.0d, `1 = 41.013

o o • K2 = 7.04m/s , e2 = 0.591,ω1 = 217.667 , P1 = 604.5d, `1 = 6.675 , Vo = −13.058m/s e P(O − C)2/σ2 = 72.253

Por fim, uma últimacautela que devemos tomar éa respeito da expansãoda fórmula de velociade radial. Principalmente para excentricidades altas podemos enxergar per´ıodos 100 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais espúriosna curva de VR, devido aos res´ıduos advindos do truncamento da série. Um exemplo disto estádado na figura (4.12), onde desenhamos a mesma curva de VR, uma delas calculada de forma exata e outra expandida atéquarta ordem nas excentricidades. Doravante, usaremos sempre a solu¸cãoexata, resolvendo numericamente a equa¸cãode Kepler.

Figura 4.12: Curva vermelha - Velocidade radial gerada com o truncamento da s´erieem ordem 4. Azul - curva exata.

4.3.1 As minimiza¸c˜oespropriamente ditas

Com essas ressalvas feitas, passamos, enfim, ao processo de determina¸cãoda solu¸cãoa partir dos dados gerados com as condi¸cões que mencionamos. Os detalhes de cada uma delas são:

• 800 amostras com 50 pontos cada ;

• Espa¸camento regular de cinco dias;

• σ = 6.5m/s;

• 40000 intera¸cõese 100 “chutes” para o Algoritmo genético + 200 amostras com 10000 intera¸cõescom o Simplex.

Apresentamos primeiramente os per´ıodos encontrados presentes na ﬁgura (4.13). Se¸c˜ao 4.3. Sistema: Estrela + dois planetas 101

Figura 4.13: Per´ıodos resultantes do ajuste. Eixo vertical ´e P1 e o horizontal P2.

A figura (4.13) nos chamou bastante a aten¸cão,pois notamos um fenômenointeressante: hádois conjuntos de solu¸cõesbastante distintos, o conjunto 1 que reproduz aproximadamente os per´ıodos iniciais propostos (P1 ≈ 180d e P2 ≈ 365d) e o conjunto 2, no qual

P1 ≈ P2 ≈ 365d, apontando para uma ressonância1:1. Para analisarmos a coerênciadestas solu¸cões,tomamos um exemplo, escolhido ao acaso, de cada uma delas e tra¸camossua velocidade radial. As curvas geradas podem ser vistas em (4.14-A) e (B), demonstrando que ambas reproduzem de forma satisfatória a curva original, dada em vermelho. Portanto, os gráficos(4.14-A) e (B) mostram que tanto a solu¸cãodo conjunto 1 quanto as do conjunto 2 sãoaceitáveis, e isto pode se tornar um sérioproblema, ao nos depararmos com este dilema em situa¸cõespráticas.O método de ajuste nãonos fornece informa¸cões para sabermos quais as frequênciasreais dos dados. 102 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

Figura 4.14: Em (A), curva azul, tomamos os parˆametros: K1 = 31.560m/s,K2 = o o 35.001m/s,e1 = 0.285,e2 = 0.477,P1 = 357.54d,P2 = 181.888,ω1 = 353.801 ,ω2 = 10.199 , o o `1 = 353.859 , `2 = 349.216 e Vo = 0.034m/s. Em (B) K1 = 63.208m/s,K2 = o o 47.001m/s,e1 = 0.511,e2 = 0.763,P1 = 366.513d,P2 = 365.578d,ω1 = 1.021 ,ω2 = 7.724 , o o `1 = 359.302 , `2 = 177.617 e Vo = 0.033m/s. Tanto em (A) quanto em (B), a curva vermelha representa as condi¸c˜oesiniciais propostas.

As condi¸c˜oesdo conjunto 2 apresentam, ainda, as seguintes particularidades:

1. ∆$ ≈ 0o (as solu¸c˜oesdo conjunto 1 s˜ao ≈ 0 ou 2π);

2. 0.4 ≤ e ≤ 0.8;

3. ∆` ≈ 0o ( ≈ 0 ou 2π para o conjunto 1);

Quanto aos demais elementos, podemos ver as excentricidades nos gráficos(4.15) e (4.16). No primeiro deles, os pontos vermelhos representam o conjunto 2, enquanto que em preto, os resultados do conjunto 1. Em (4.15), temos o histograma apenas dos pontos do conjunto 1, e, percebemos o mesmo viésjáencontrado anteriormente, as médiassão he1i = 0.25 e he2i = 0.42. Se¸cão 4.3. Sistema: Estrela + dois planetas 103

Figura 4.15: Em vermelho as excentricidades do conjunto 2 e, em preto, as do 1.

Por fim, na figura (4.17) apresentamos as semiamplitudes das velocidades radiais para cada um dos grupos de solu¸cõesencontradas.

Figura 4.16: Histograma das solu¸c˜oesdo conjunto 1. Para relembrar, os valores iniciais

propostos s˜ao: e1 = 0.1271 e e2 = 0.3923, que est˜aorepresentados pelas linhas verticais

em vermelho. O valor m´ediodos histogramas s˜ao he1i = 0.25 e he2i = 0.42, superiores aos inicialmente propostos.

De (4.16) e (4.17), precebemos que tanto as excentricidades quanto as amplitudes são bastante superiores àquelasinicialmente propostas. Disto, conclu´ımosque a confusãoentre os per´ıodos dos conjuntos 1 e 2 eventualmente podem ser causadas por uma diferen¸cade 104 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais fase. Finalmente na figura (4.18), exprimimos a qualidade dos ajustes feitos, demonstrando que todas as solu¸cõesencontradas sãorelevantes. Os argumentos para descartarmos uma em detrimento de outra deve vir ou da procura de algum ind´ıciona análisedos periodogramas dos dados que a geraram ou, ainda, de argumentos dinâmicos.

Figura 4.17: Em vermelho o conjunto 2 e, em preto, o conjunto 1. A estrela verde representa

os valores K1 = 38.972m/s e K2 = 28.684m/s

Figura 4.18: Qualidade de cada um dos ajustes, em (A) temos o termo Σ(O − C)2/σ2. Em (B), o wrms das solu¸c˜oesdo tipo 1 e, em (C), as solu¸c˜oesdo conjunto 2.

Os resultados apresentados atéo momento nos mostra que, considerando somente as solu¸cõescom per´ıodos ≈ 180 e ≈ 365, háuma tendênciade superestimarmos a excentricidades do par no sistema. Se¸cão 4.3. Sistema: Estrela + dois planetas 105

Para corroborar com esta conclusão,exploramos as mesmas condi¸cõesexpostas com n´ıveis diferentes de ru´ıdos,contemplamos tambémas situa¸cõesem que σ = 5, 7 e 9 m/s. Alémdos ru´ıdos,outra diferen¸caéque, tomaremos 500 amostras com 100 medidas em cada uma delas, alteramos ainda os parâmetrosde nossos programas, de 40000, passaremos a usar 100000 intera¸cõesno algoritmo genéticoe implementamos tambémo algoritmo simplex, da mesma forma como nos cap´ıtulosanteriores. Nestas situa¸cões,nos deparamos com os mesmos conjuntos de per´ıodos que encontramos na figura (4.13) e, como tais, apresentam as mesmas caracter´ısticasque jádescrevemos. Portanto, nos gráficos(4.19), excluimos as solu¸cõescujos per´ıodos sãotais que P1/P2 ≈ 1. Julgamos necessárioinformar tambémo númerode pontos em cada uma das figuras do gráfico(4.19): Em (A), para σ = 5 m/s temos 327 pontos, enquanto nos demais temos 325 para σ = 7 e 323 para σ = 9m/s. Ou seja, das 500 amostra consideradas, da ordem de 35% foram descartadas. Os critériospara estas exclusõesforam os mesmos que utilizamos na se¸cão(4.2), utilizando o teste F, que estáilustrado mais precisamente na figura (4.6).

2 A diferen¸caéque calculamos agora 3 valores para Q: atravésda média, QM ; o segundo pelo ajuste de apenas um corpo Q1c e o terceiro, considerando dois corpos no sistema, Q2c.

Comparamos primeiramente QM com Q1c e por fim Q1c e Q2c, e excluimos aqueles em que a semelhan¸cados valores de Q émaior que 5%. Das 500 amostras, da ordem de 2% foram excluidas por este critério,as restantes foram causadas pela ocorrênciade P1/P2 ≈ 1. Na figura (4.19) cada ponto representa um m´ınimoque encontramos para cada conjunto sintéticode dados, após100000 itera¸cões. O ponto em vermelho representa a condi¸cão inicial proposta. E percebemos que a dispersãodas excentricidades, por exemplo, étanto maior quanto éo ru´ıdoque os dados possuem. Como vemos, nossos resultados sãodiferentes das condi¸cõespropostas. O valor médio dos elementos da figura (4.19) são:

1. σ = 5m/s : hK1i = 40.144m/sd, he1i = 0.386, hP1i = 182.588d, hK2i = 29.131m/s,

he2i = 0.1512 ,hP2i = 364.934d

2. σ = 7m/s : hK1i = 39.836m/s, he1i = 0.3861, hP1i = 182.546d, hK2i = 28.921m/s,

he2i = 0.1875 e hP2i = 365.421d

3. σ = 9m/s : hK1i = 40.563m/s, he1i = 0.392, hP1i = 183.1437d, hK2i = 30.477m/s, 106 Cap´ıtulo4. Conﬁabilidade da Determina¸c˜aoOrbital por Velocidades Radiais

he2i = 0.2329 e hP2i = 363.68d

Figura 4.19: Em (A) o ru´ıdodos dados é5m/s, em (B), de 7m/s; e de 9m/s, em (C). Cada ponto representa as solu¸cões obtidas em amostras sintéticasde 100 medidas cada uma e

espa¸camento regular de 5 dias. Neste gráficoexclu´ımosas solu¸cões P1/P2 ≈ 1. Em vermelho temos a condi¸cãoinicial proposta.

Os valores (M1,M2), calculados a partir dos valores médios,informados acima, respectivamente, são:(1.033; 1.012), (1.025; 0.977) e (1.042; 1.041). Comparando os valores médios,veremos primeiramente uma tendênciaem superestimá- los, alguns de forma bastante acentudada, como éo caso de e2. Todavia, entendemos ser mais interessante observar a dispersãodos pontos em cada um dos casos e veremos que esta émaior dependendo do ru´ıdo inserido, como seria esperado. Notamos assim que, apesar de he1i reproduzir, atéde forma satisfatória,o valor conhecido, isto pode ser um fato Se¸cão 4.3. Sistema: Estrela + dois planetas 107 acidental, uma vez que este elemento pode assumir valores d´ısparesno intervalo [0.2−0.6].

Jáo valor de he2i énitidamente superior, atingindo até,para σ = 9, aproximadamente o dobro do valor inicial; a dispersãopara este elemento tambémégrande [0 − 0.6]. Por fim, nas amplitudes temos diferen¸casde até1.8 m/s, que podem superestimar as massas, parâmetroimportante para a dinâmicado sistema. Para finalizarmos esta se¸cão,analisamos o comportamento dinâmicodas solu¸cõesque encontramos. Nosso intuito éverificar se as libra¸cõesem (4.8) sãopreservadas. Primeira- mente, integramos os valores médiosque calculamos anteriormente e apresentamos o resultado desta tarefa no gráfico(4.20). Vemos que os ângulos de interesse libram, embora nãocom a mesma amplitude e per´ıodo da figura (4.8)

Figura 4.20: Em preto: condi¸c˜oesiniciais propostas. Vermelho: hK1i = 40.144m/s, he1i =

0.386, hP1i = 182.588d, hK2i = 29.131m/s, he2i = 0.1512 e hP2i = 364.934. Azul: hK1i =

39.836m/s, he1i = 0.3861, hP1i = 182.546d, hK2i = 28.921m/s, he2i = 0.1875 e hP2i =

365.421. Por ﬁm, em verde: hK1i = 40.463m/s, he1i = 0.392, hP1i = 183.1437d, hK2i =

30.477m/s, he2i = 0.2329 e hP2i = 363.68. Em todos os casos tomamos ω1 = `1 = ω2 = `2 = 0.

As integra¸cõesque deram origem a figura (4.20) foram feita por 10000 anos com sa´ıdas a cada 5 anos utilizando o integrador Radau15. Repetimos estas integra¸cõespara cada uma das condi¸cõesencontradas, assim, reconstru´ımosa figura (4.19) com modifica¸cõesque a partir de agora, chamaremos de figura (4.21), em que o códigode cores representa um comportamento dinâmicodiferente. Salien- tamos que em (4.20) tomamos arbitrariamente ω1 = `1 = ω2 = `2 = 0; jáem (4.21) estes elementos assumiram seus valores nominais, advindos da minimiza¸cão. 108 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

Figura 4.21: O mesmo da ﬁgura (4.19) onde a cor verde representa as solu¸c˜oes em que

ambos os ângulos,∆$ e 2λ1 − λ2 − $1, libram. Em azul eles circulam e, em preto, são órbitasinstáveis.

Na figura (4.21), as solu¸cõesem preto representam órbitasinstáveis, em verde temos as solu¸cõesem que ambos os ângulosestãoem estado de libra¸cãoe, em azul, vemos que eles circulam. O númerode condi¸cõeslibrando, circulando e instáveis dependem do valor do ru´ıdoinserido, em (A), para σ = 5, estes númerossão,para circula¸cão92, instáveis 30 e 205 em libra¸cão. Em (B), dos 325 resultados, 107 destes circulam enquanto 80 são instáveis e, em (C), as condi¸cõesem que os angulos circulam sãoem número100 e 130 não sobrevivem aos 10000 anos de integra¸cão.Concluimos assim que as libra¸cões dependem dos ru´ıdosinseridos basta observamos como a nuvem de pontos verdes, referentes a libra¸cão, diminui gradativamente àmedida que aumentam os ru´ıdosnos dados. Consideramos um Se¸cão 4.3. Sistema: Estrela + dois planetas 109 exemplar de cada uma das solu¸cõesdo gráfico(4.21) e as apresentamos explicitamente na figura (4.22), tomamos este cuidado para demonstrar que alémde solu¸cãooscilando em 0, como em (4.8), encontramos tambémlibra¸cõesem π.

Figura 4.22: Resultados obtidos para σ = 7. Em verde temos: K1 = 41.394m/s, e1 = 0.369,

P1 = 181.224, ω1 = 6.274, `1 = −0.063; K2 = 27.763m/s, e2 = 0.01, P2 = 378.023,

ω2 = 4.232, `2 = 0.231. Em vermelho: K1 = 47.033m/s, e1 = 0.320, P1 = 181.322,

ω1 = 6.249, `1 = −0.015; K2 = 29.509m/s, e2 = 0.191, P2 = 358.817, ω2 = 3.027, `2 =

9.447. Em preto: K1 = 37.696m/s, e1 = 0.405, P1 = 180.979, ω1 = 6.235, `1 = −0.043;

K2 = 28.391m/s, e2 = 0.189, P2 = 363.478, ω2 = 6.080, `2 = 6.378. Azul: K1 = 36.288m/s,

e1 = 0.459, P1 = 181.771, ω1 = 6.625, `1 = 6.118; K2 = 31.922m/s, e2 = 0.318, P2 = 364.420,

ω2 = 6.800, `2 = 5.719.

Nesta últimasitua¸cãoque estudamos, os resultados que obtivemos cujos per´ıodos são aproximadamente iguais tambémse apresentaram instáveis. Isto pode aténos servir de critériose nos depararmos com este tipo de problema na prática, mas, como as solu¸cões,1:1 e 2:1, sãoigualmente prováveis, nãodevemos excluir da análisenenhuma das possibilidades.

Por fim, observamos que, principalmente nos diagramas e1 vs. e2, que para σ = 5m/s háuma nuvem de pontos em libra¸cãobastante n´ıtida. Todavia, a densidade desta vai 110 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais diminuindo a medida que os ru´ıdos aumentam. Para σ = 9m/s observamos apenas alguns casos pontuais de libra¸cão.

4.4 Sistema: Estrela + dois planetas - Diferentes raz˜oesdas massas

Nesta se¸cãorepetimos os procedimentos da anterior, entretanto modificamos as condi¸cões iniciais, que agora são: Condi¸cões(4.4-A):

• a1 = 0.6299 , a2 = 1.0031UA;

• e1 = 0.1105 , e2 = 0.3840;

• M1 = 1.0MJ , M2 = 0.333MJ ;

• K1 = 36.069m/s , K2 = 10.14964m/s;

o o • ω1 = 115.9 , ω2 = 0 ;

o o • `1 = 310 , `2 = 65.30 ;

• P1 = 182.5d e P2 = 365.9d.

Como anteriormente, tomamos 500 amostras, cada uma com 100 medidas, e os parâmetros dos algoritmos foram os mesmos que na se¸cãoanterior. As condi¸cõesapresentadas sob o nome (4.4-A) tambémsãoACR, mas de natureza diferente. Aqui ela éassimétrica,como vemos na figura (4.23): Se¸cão 4.4. Sistema: Estrela + dois planetas - Diferentes razõesdas massas 111

Figura 4.23: Resultado da integra¸c˜aodas condi¸c˜oes(1.4-A).

Para estas condi¸cões,corremos o risco alertado na figura (4.10), vejamos uma curva de velocidade radial gerada, a seguir, na figura (4.24).

Figura 4.24: Exemplo de curva de velocidade radial gerada pelas condi¸c˜oes(1.4-A)

A figura (4.24) foi gerada com as condi¸cões(1.4-A), sem ruidos. A partir dela, prevemos dificuldades em deduzir dois per´ıodos em gráficos como este. A amplitude de VR causada pelo corpo externo na estrela éde apenas 10m/s e, portanto, altos n´ıveis de ru´ıdocausarão situa¸cõescr´ıticaspara a determina¸cãodeste segundo corpo. A seguir, na figura (4.25), apresentamos os resultados desse experimento, onde o código de cores éo mesmo que o utilizado na figura (4.21), da se¸cãoanterior. Nesta figura, 112 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais jáfizemos a sele¸cãodos resultados atravésdo teste F, da maneira como mencionamos anteriormente e tambémas ocorrênciasem que P1/P2 ≈ 1, isto, reduz em mais de 50% as amostras consideradas.

Figura 4.25: Análogaa figura (4.20) com as condi¸cões(1.4-A)

Os gráficos(4.25) apresentam em média230 pontos, ou seja, o númerode ocorrências indesejadas foi superior a 50%, como jáesperávamos. Destas, as condi¸cõesinstáveis são 70 − 80%, como édado a seguir a seguir:

• Em (A): 44 libradores, 28 circulam e 177 inst´aveis;

• Em (B): 18 libram, 24 circulam e 194 s˜aoinst´aveis;

• Em (C): 17 libram , 30 circulam e 170 inst´aveis.

Para uma melhor visualiza¸cãoe compararmos melhor os resultados apresentamos o histograma das excentricidade, que pode ser visto em (4.26). Se¸cão 4.4. Sistema: Estrela + dois planetas - Diferentes razõesdas massas 113

Figura 4.26: Histogramas das excentricidades. A linha vertical vermelha representa o valor inicial proposto.

A figura (4.26) nos ajuda a ver que os valores, principalmente e2, sãosuperestimados e este viésémaior, quanto maior éo ru´ıdoinserido. Por fim, na figura (4.27), verificamos que háuma reprodu¸cãorazoável dos os elementos angulares. 114 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

Figura 4.27: Histogramas de ∆$ e ∆`. A linha vertical vermelha representa o valor inicial proposto.

Testamos tamb´emas condi¸c˜oes (4.4-B), que representam um ACR (0, 0):

Condi¸c˜oes(4.4-B)

• a1 = 0.6298 , a2 = 1.0UA;

• e1 = 0.41375 , e2 = 0.0946; Se¸c˜ao 4.4. Sistema: Estrela + dois planetas - Diferentes raz˜oesdas massas 115

• M1 = 1.0MJ , M2 = 3.0MJ ;

• K1 = 39.375m/s , K2 = 85.840m/s;

o o • ω1 = 0.0 , ω2 = 0 ;

o o • `1 = 0 , `2 = 0.0 ;

• P1 = 182.4d e P2 = 364.7d.

Este tambémfoi um caso delicado, situa¸cãoque pode ser vista no gráfico(4.28) em que representamos todas as 500 amostras consideradas para σ = 5m/s. Exploramos somente este valor de ru´ıdo,mas consideramos este exemplo importante, pois nos traz uma miscelâneade per´ıodos muito grande. Em (4.28-A), temos o diagrama de per´ıodos onde observamos uma grande variedade de valores poss´ıveis: P1 estádistribu´ıdono intervalo

[360, 3500] ao passo que P2 em [5, 1000]. Em (B), h´aas excentricidades. Resultado curioso, pois encontramos agrupamentos bem distintos que destacamos na ﬁgura como conjuntos I, II, III e IV.

Figura 4.28: Resultados para as condi¸c˜oes(4.4-B) em que σ = 5m/s.

Como nos casos anteriores, efetuamos uma limpeza no gráfico(4.28), considerando somente os casos em que P rob(F ) ≤ 5%, e assim reconstru´ımoso gráficoanterior, que apresentamos agora como a figura (4.29). 116 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

Figura 4.29: Análogoàfigura (4.26), mas eliminamos os ajustes irrelevantes.

Notamos uma substancial redu¸cãono númerode elementos. Temos agora 360 pontos. Mas a divisãoentre os quatro grupos persiste. Quanto aos per´ıodos, notamos que a grande nuvem de pontos que se estendia atévalores superiores a 3000 dias foi eliminada. Resta-nos agora um agrupamento em P2 ≈ 365d e P1 ≈ [365−700]d. Demonstramos individualmente estes per´ıodos no gráfico(4.29), que trata-se apenas de um zoom na escala e percebmos entãoque os valores que encontramos são: P2 ≈ [350 − 368]d e P1 ≈ [365 − 700]d

Figura 4.30: Restri¸c˜aoda ﬁgura anterior para os resultado em que P1 ≈ 365 e P2 ≈ [365 − 700]d.

As excentricidades que formam o conjunto I e III, como vemos por (4.30), sãointegral- mente aquelas com per´ıodos P1 ≈ 365 e P2 ≈ [365−700]d. Como jáfizemos anteriormente, Se¸cão 4.4. Sistema: Estrela + dois planetas - Diferentes razõesdas massas 117 vamos comparar as curvas de velocidades radiais geradas pelos resultados do grupo I e III com as dos dados originais.

Figura 4.31: Curva verde: K1 = 113.474m/s, e1 = 0.303, P1 = 366.228d, ω1 = 6.233rad,`1 =

6.233rad; K2 = 35.243m/s, e2 = 0.776, P2 = 497.517d, ω2 = 6.261rad,`2 = 10.271rad e Vo =

−1.979m/s. Curva azul: K1 = 114.556m/s, e1 = 0.298, P1 = 366.486d, ω1 = 6.195rad,`1 =

6.360rad; K2 = 37.330m/s, e2 = 0.795, P2 = 682.910d, ω2 = 6.168rad,`2 = 4.609rad e Vo =

−4.960m/s. Vermelha: K1 = 115.336m/s, e1 = 0.313, P1 = 363.828d, ω1 = −0.076rad,`1 =

6.325rad; K2 = 35.800m/s, e2 = 0.716, P2 = 371.697d, ω2 = 6.188rad,`2 = 9.504rad e

Vo = −0.717m/s. Por ﬁm, a curva preta representa as condi¸c˜oesiniciais propostas.

Portanto, de (4.31), percebemos que as curvas sãoequivalentes e podem nos levar a resultados enganosos. Dando prosseguimento a esta se¸cão,passaremos àanálisedos outros per´ıodos que foram vistos na figura (4.31), restringindo-nos agora, ao intervalo 100 ≥ P2 ≤ 300 dias e 300 ≥ P2 ≤ 400, que podemos ver em (4.32), a seguir. Notamos trêsnuvens de pontos bem caracter´ısticasque representam razõesde per´ıodos distintas. Dos 360 pontos de (4.29), temos agora tãosomente 171 pontos, ou seja, menos da metade dos dados. 118 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

Figura 4.32: Resultados das condi¸c˜oes(1.4-B) que reproduzem de maneira aproximada os per´ıodos iniciais propostos

Do diagrama (4.32), notamos dois remanescentes do conjunto III, que estãorelacionados aos per´ıodos cuja razãoé1.5, jáas excentricidades em II sãoexclusivamente da condi¸cão

P1/P2 ≈ 3. Ambos os conjuntos, II e III, tambémreproduzem de forma satisfatóriaas condi¸cões(4.4-B), como verifica-se na figura (4.33).

Figura 4.33: Curva vermelha: K1 = 19.568m/s, e1 = 0.094, P1 = 121.238d, ω1 =

6.236rad,`1 = 3.218rad; K2 = 115.565m/s, e2 = 0.490, P2 = 363.740d, ω2 = 6.263rad,`2 =

6.285rad. Curva azul: K1 = 21.534m/s, e1 = 0.580, P1 = 243.498d, ω1 = 6.465rad,`1 =

1.529rad; K2 = 107.486m/s, e2 = 0.361, P2 = 356.733d, ω2 = 0.078rad,`2 = 6.158rad

e Vo = −0.106m/s. Curva verde: K1 = 36.997m/s, e1 = 0.442, P1 = 182.872d,

ω1 = 0.081rad,`1 = 0.023rad; K2 = 88.793m/s, e2 = 0.1426, P2 = 364.985d, ω2 =

6.432rad,`2 = 6.136rad e Vo = −0.237m/s. Se¸c˜ao 4.4. Sistema: Estrela + dois planetas - Diferentes raz˜oesdas massas 119

Para os elementos angulares, informamos que:

• P1/P2 ≈ 3: ∆$ ≈ 0(2π) e ∆` ≈ π;

• P1/P2 ≈ 1.5: ∆$ ≈ 0(2π) e ∆` ≈ π/2.

Por fim, passaremos àanálisedos dados do grupo IV, aqueles em que os per´ıodos são aproximadamente iguais aos da condi¸cão(4.4-B), e apresentamos o histograma (4.34) de cada uma das variáveis envolvidas no processo. Da quantidade incial de 500 amostras, temos restante, tãosomente, 159 para a análisefinal.

Figura 4.34: Histograma das solu¸cõesdo conjunto IV. 120 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

Como vemos, notamos uma predisposi¸cãoem considerarmos os parâmetrosmaiores do que realmente são,neste caso tanto a excentricidade quanto a amplitude do corpo externo são,em geral, superiores ao valor inicial conhecido. Como complemento àfigura anterior, apresentamos a figura (4.35) em que temos a distribui¸cãodos valores de ∆$ e ∆` que encontramos.

Figura 4.35: Elementos angulares dos elementos do conjunto IV.

Para finalizar este caso, constru´ımos,como anteriormente, o diagrama dinâmico,para verificar se as solu¸cõesACR sãoverificadas.

Figura 4.36: Comportamento dinâmicodo conjunto IV, gráficoanálogoas figuras (4.20) e (4.23).

Percebemos uma nuvem de pontos bem definida, representando a libra¸cão.Devido aos Se¸cão4.5. Influênciada Atividade Estelar nas Velocidade Radiais 121 custos computacionais elevados, nãoexploramos, para esta razãode massas, as situa¸cões em que σ = 7 e 9 m/s, mas esperamos que estes apresentem o mesmo comportamento anterior: àmedida que os ru´ıdosaumentam os pontos em verde vãoficando cada vez mais raros, dificultando a classifica¸cãodo sistema como ressonante. Alémde um maior número de ocorrênciasde solu¸cõesindesejadas, ou seja, razõesde per´ıodos diferentes daquelas inicialmente propostas.

4.5 Inﬂuˆenciada Atividade Estelar nas Velocidade Radiais

Alémdos itens que citamos na se¸cãoanterior, outra precau¸cãoque devemos tomar é saber que nem toda varia¸cãoda velocidade radial observada pode ser atribu´ıdaa planetas. Como citamos, a maioria dos sistemas conhecidos estãoem estrelas do tipo F, G e K que são,em geral, estrelas menos ativas. Por outro lado, observa-se a quase inexistênciade planetas descobertos em estrelas do tipo M, que possuem alta atividade magnética e são a maioria das estrelas observadas. Então,énatural nos questionarmos as influênciasdas atividades estelares, uma vez que um bom entendimento disto pode ampliar significativa- mente o númerode planetas catalogados, ajudando na deteçcãode sistemas em estrelas ativas. Pesquisamos na literatura estudos que comprovam influênciasde explosõese manchas e procuramos por técnicaspara as diferenciarmos das causadas por planetas. Os trabalhos neste campo sãopuramente numéricose fenomenológicos,por esta razãoapenas apresentamos os principais resultados dispon´ıveis. A primeira referência que citamos éReiners (2009). O autor apresenta a análisede três noites de observa¸cãoda estrela CN-Leo (Wolf 359). Esta édo tipo M, com uma massa bem menor que a do Sol (0.09M ) . Em uma das noites, vê-seum aumento significativo da velocidade radial observada, que reproduzimos na figura (4.37). 122 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais

Figura 4.37: Gráficoextra´ıdode Reiners (2009). Em (A), háa grande explosão,vista em maiores detalhes logo na primeira noite de observa¸cãoe émarcada por uma forte emissãona

linha Hα. Em (B), os c´ırculoscinzas representam a luminosidade normalizada Hα, enquanto os demais s´ımbolos, a amplitude de velocidade radial alcan¸cada.

Em (4.37-A) temos o primeiro grande sobressalto, logo no in´ıciodas observa¸cões.Na segunda noite, devido as máscondi¸cõesclimáticasnãohámuitas medidas dispon´ıveis, e, por fim, na terceira, háuma sériede pequenos sobressaltos que podem ser visualmente no- tados. Jáem (4.37-B) estárepresentado no eixo da esquerda a velocidade radial, enquanto Se¸cão4.5. Influênciada Atividade Estelar nas Velocidade Radiais 123

no da direita a escala de luminosidade Hα. Embora nãoseja vis´ıvel, o autor afirma haver varia¸cõesde até600m/s durante a primeira noite. Julgamos estes gráficosinteressantes por entender tratar-se de uma boa ilustra¸cãodo fenômenode jitter. Como jámencionamos em cap´ıtulosanteriores, o jitter trata-se da influênciada atividade estelar nas medidas de VR. Verificamos que as oscila¸cõestrazem àsmedidas erros adicionais, que fogem ao controle do observador devido sua imprevis- ibilidade. Nestes gráficos,excetuando a explosãona primeira noite a atividade causam ruidos estimados em σ = 8m/s pode ru´ıdos,na terceira noite, este valor háédiferente e de 10m/s. Assim, o trabalho de Reiners (2009) procura obter correla¸cõesentre as velocidades radiais e as linhas espectrais, nos ajudando a entender melhor a influênciada atividade na amplitude de velocidade radial. O autor conclui que explosões,como a observada, nãocom- promentem a pesquisa por exoplanetas, pois estas possuem uma assinatura caracter´ıstica: sãoclaramente distingu´ıveis, bem como a correla¸cãoentre Hα. Outro trabalho importante, que nos forneceráresultados que quantificam de forma expl´ıcitaa amplitude de VR causada por manchas, éo de Saar e Donahue (1997). Nesse estudo, os autores calculam as perturba¸cõescausadas por manchas em estrelas do tipo G, que dependem da áreada mancha considerada,fs, em % da áreatotal do disco, que pode variar de 0% para estrelas velhas e inativas até6%, como éo caso de HD129333, o Sol, por exemplo, possui fs = 0.15%. Esta amplitude depende ainda da localiza¸cãoda mancha, bem como de sua temperatura e a da estrela. Os autores, em processos computacionais, simularam uma estrela do tipo solar (T=5750 K) com áreapara a mancha fs = [0 − 2]% e temperatura para esta de 0K localizada no equador da estrela. Deduz-se entãouma equa¸cãoemp´ıricadada por:

0.9 As ≈ 6.5fs vsini (4.4)

Onde As éa amplitude de VR causada pela mancha com as especifica¸cõesque mencionamos, possui unidades de m/s. O fator fs e édado em porcentagem. O termo vsini representa a velociade de rota¸cãoda estrela projetada na linha de visada. Apresenta-se no gráfico(4.38) as curvas de n´ıvel da equa¸cão(4.4) em fun¸cãoda áreada mancha e da 124 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais velocidade de rota¸cãoda estrela, esta do tipo G, com temperatura de 5750K, enquanto que a mancha possui 0K.

Figura 4.38: Gráficoextra´ıdode Saar e Donahue (1997) representando as curvas de n´ıvel da equa¸cão(4.4).

Pela figura (4.38), vemos que para o Sol, por exemplo, com vsini ≈ 2km/s, uma mancha, para causar a mesma amplitude de velocidade radial que Júpitercausa, deve possuir um fs de aproximadamente 1.1%. Como outros exemplos, podemos citar também

HD129333, com fs = 6% e vsini = 15 − 17km/s que pode ter varia¸c˜oesde at´e200 m/s.

Hátambémo caso de VB64 ou 9 Ceti com ≈ 0.8giga − anos e amplitude As = 30/50m/s. Por fim, um trabalho mais completo éo de Desort et al. (2007). Nele podemos encontrar as mesmas simula¸cõesde Saar e Donahue, mas explorando melhor o espa¸code parâmetros. Levando-se em considera¸cão,por exemplo, a localiza¸cãoda mancha, a resolu¸cãodos aparelhos utilizados, etc. Uma simula¸cãocontida nesse trabalho éa de uma

o mancha de latitude 60 graus, fs = 1.02, vsini = 7km/s(com i = 30 ), em uma estrela do tipo G2V(T=5800K), tal émostrada na figura (4.39), cuja amplitude em VR pode ser Se¸cão4.5. Influênciada Atividade Estelar nas Velocidade Radiais 125

confundida com um planeta de per´ıodo 3.7 dias e aproximadamente 0.51MJ . Para esta mesma estrela, uma mancha equatorial produz uma amplitude dada por (4.5).

1.1 As ≈ 16fs(vsini) (4.5)

Figura 4.39: Gráficoextra´ıdode Desort et al. (2007). Em (A), a localiza¸cãoda mancha na superf´ıcieda estrela e, em (B), a amplitude de varia¸cãoda velocidade radial causada por ela.

A análogaàequa¸cão(4.5), para uma estrela do tipo F, nas mesmas condi¸cões,é:

1.1 As ≈ 15.4fs(vsini) (4.6)

E, por ﬁm, para uma do tipo K temos:

1.1 As ≈ 18.3fs(vsini) (4.7)

A diferen¸caentre as equa¸cões(4.5) e (4.4) deve-se a parâmetros diferentes levados em considera¸cãonas simula¸cões,como temperatura, condi¸cõesde aparelhagem, etc. Portanto, com estas equa¸cões,podemos quantificar, ao menos grosseiramente, as contamina¸cõesde- vidas a manchas e explosões. Porémisto resolve apenas parcialmente o problema, pois necessitamos decidir se o que émedido écausado por atividade ou se éalgum planeta no sistema. O que sabemos éque estas manchas sãoinstáveis ao longo do tempo e causam um deslocamento Doppler assimétricono espectro, ao contráriodas perturba¸cõesgeradas 126 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais por planetas. Uma das formas de se medir esta assimetria épor meio das linhas bisectoras, que sãomuito usadas na literatura e que tambémutlizaremos, especialmente no cap´ıtulo 5 dedicado ao Sistema CoRoT 7.

4.6 Conclus˜ao

Este cap´ıtulosalientou algumas das dificuldades que enfrentamos para se calcular os elementos orbitais. Iniciou-se com o intuito de adquirirmos uma certa seguran¸canos valores encontrados, na tentativa de verificarmos quais dos elementos orbitais sãoobtidos com maior confiabilidade. Na primeira parte deste cap´ıtuloconsideramos um sistema simples constitu´ıdode uma estrela e um planeta com massa igual àde Júpitere semieixo igual a 0.435UA. Os resultados obtidos, para diferentes ru´ıdos,mostraram que, enquanto a massa e o semieixo sãobem determinados, háuma forte tendênciaem superestimarmos a excentricidade do planeta em questão.Posteriormente, verificamos que este viésjáhavia sido verificado por Shen e Turner (2008) e por esta razãodecidimos aumentar a complexidade do sistema em estudo: tomamos trêsconjuntos de condi¸cõesem ACR. Partimos assim de órbitascom dinâmicaconhecida, atravésdas quais geramos medidas para as velocidades radiais. Do ajuste destas observa¸cõessintéticasverificamos se o comportamento dinâmicodo sistema émantido, simplesmente comparando os resultados dos mesmos àscondi¸cõesinicialmente propostas. Ficou claro que os resultados, obtidos com as técnicasusuais, nãoreproduzem de forma satisfatóriaas órbitasusadas na constru¸cão do modelo. Basta lembrarmos as diferentes razõesde per´ıodos que encontramos e também a dispersãonos diagramas K1 vs. K2, P1 vs. P2 e e1 vs. e2. Entretanto, considerando somente os resultados cujos per´ıodos reproduzem os originais, ainda encontramos dificuldades, a correta identifica¸cãodo resultado como ressonante, depende do ru´ıdoinserido, quando este égrande, nãoéposs´ıvel encontrar órbitasressonantes em libra¸cão.Os argumentos para afirmarmos isto estãonos gráficos(4.21), por exemplo, onde observamos que a nuvem de pontos referentes àlibra¸cãoébem definida para σ = 5m/s, porém,sua densidade diminui, ou seja as libra¸cõesse tornam cada vez mais dif´ıceisde serem encontradas, àmedida que tomamos σ = 7 e 9m/s. A situa¸cãofica ainda mais cr´ıticapara a segunda condi¸cãoque consideramos, m1/m2 = 3. Se¸cão 4.6. Conclusão 127

Outro resultado que julgamos curioso foi que diferentes razõesde per´ıodos, que represen- tariam diferentes ressonâncias,de diferentes ordens, podem reproduzir velocidades radiais equivalentes. Este foi o caso dos conjuntos que encontramos com P1 ≈ P2 ≈ 365 que pode- ria nos levar a procura de alguma solu¸cãocoorbital e também P1/P2 ≈ 3 e P1/P2 ≈ 1.5, que tratam-se de solu¸cõesposs´ıveis e que nãodevem ser excluidas das análises Por fim, estudamos também,apenas de forma teórica,a influênciada atividade estelar nas velocidades radiais. E´ dado o cômputode forma emp´ırica, equa¸cões(4.4), (4.5) e (4.7), para a amplitude de velocidade radial causada por manchas de diversos tamanhos em diferentes localiza¸cõesna superf´ıcieestelar. O efeito das manchas éproblemático:Elas sãomuito instáveis em tamanho, localiza¸cão etc., por isto podem, segundo Reiners (2000), serem facilmente detectadas. Entretanto, veremos que isto, porventura, atépode ocorrer, mas nãoéposs´ıvel separar facilmente, nas medidas da velocidade radial, as contribui¸cõesadvindas da presen¸cade manchas daquelas dos hipotéticosplanetas. No cap´ıtuloseguinte, veremos este tipo de problema ao tratarmos do Sistema CoRoT-7 e podemos observar que esta situa¸cão émuito mais dramáticado que aquela relatada na literatura. 128 Cap´ıtulo4. Confiabilidade da Determina¸cãoOrbital por Velocidades Radiais Cap´ıtulo 5

O Sistema CoRoT 7

5.1 Introdu¸c˜ao

Apresentamos neste cap´ıtuloa análisede CoRoT-7, um sistema bastante peculiar, por se tratar de planetas com massas comparáveis àda Terra e uma estrela bastante ativa. A missãoCoRoT jáobteve êxitosanteriores, como exemplo citamos a descoberta de CoRoT-2b, um planeta orbitando uma estrela do tipo G, com per´ıodo de 1.7 dias (Alonso et al. 2008). Outros que podemos mencionar sãoCoRoT-1b (Barge et al. 2009) e CoRoT-3b (Deleuil et al. 2008). Nestas descobertas, tem se mostrado uma constante a determina¸cão de pelo menos um dos corpos ser feita por técnicasde trânsito.Somente apósa descoberta efetuam-se medi¸cõesde velocidades radiais para uma confirma¸cãodefinitiva.

Um destes sistemas éCoRoT-7, uma estrela do tipo G9V e massa 0.93M , que possui um planeta, chamado CoRoT-7b, descoberto por trânsitoe de curto per´ıodo (≈ 0.85d). Entretanto, uma análisedas velocidades radiais mostrou a existênciatambémde um segundo planeta com per´ıodo de ≈ 3.7 dias. Háconsenso na existênciadeste segundo corpo, mas, existe ainda uma grande con- trovérsiaa respeito dos melhores elementos orbitais para ambos. Isto ocorre justamente por haver forte atividade estelar que influi na amplitude e periodicidade da velocidade radial: a rota¸cãoda estrela, por exemplo, épercebida nas medi¸cões. Outro fator que contribui para esta discórdiaéa mádistribui¸cãodos dados, principalmente no intervalo t = 775 − 845(JD − 2452000), que nos obrigou a restringir o intervalo de análisepara 845 ≤ t ≤ 875, em que as observa¸cõesforam feitas de forma mais cont´ınua e em muitas ocasiões hámais de uma observa¸cão por noite. Essa limita¸cãotemporal éimportante, pois reduz o númerode medidas de 109 para 52, mas éconveniente se quisermos atenuar o efeito 130 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7 de alias e, jáque pesquisamos por um per´ıodo menor que um dia sideral, necessitamos de observa¸cõestãocont´ınuas quanto poss´ıvel. Outro fator que nos motivou a esta limita¸cão foi a regularidade da atividade: no periodo de dias mencionado as medidas estãodisper- sas em um intervalo pouco superior a um per´ıodo da rota¸cão estelar, mas nele podemos verificar os valores máximose m´ınimosalcan¸cadospela velocidade radial devido a atividade. Portanto, analisamos na se¸cão(5.2) os dados limitados em sua escala temporal e é justamente desta análiseque julgamos obter os resultados mais confiáveis. Nas se¸cõesseguintes, estudamos uma tentativa de eliminarmos dos dados os efeitos de atividade estelar, da maneira proposta por Queloz (2009). No gráfico8, do trabalho apresentado por esse autor, temos, em 8(a), as velocidades radiais, e, em 8(b), as medidas nas quais o efeito da rota¸cãoda estrela foi eliminado. Reproduzimos aqui, na figura (5.1), o gráficoreferido. O processo proposto suprime qualquer per´ıodo maior que cinco dias. E´ atravésdele que Queloz argumenta encontrar os valores para as massas que hoje são difundidos na literatura. Repetimos o mesmo procedimento, contudo, os resultados que alcan¸camosnãosãoconsistentes e édif´ıcilcompreender como os valores publicados para este sistema foram obtidos.

Figura 5.1: Reprodu¸cãodo gráfico8 do artigo de Queloz et al. (2009). Se¸cão5.2. Análisepreliminar: Velocidades radiais no intervalo 845 < t < 875 131

Apresentamos, ainda, uma breve análisedas linhas bisectoras, comprovando que, muito provavelmente, a amplitude, cujo per´ıodo éde 3.7 dias, representa um planeta. Sobrevem, ainda, um per´ıodo de ≈ 9 dias, que étambémbastante polêmico,alguns autores afirmam se tratar de um terceiro corpo, contudo devemos ser prudentes em tal afirma¸cão,e esperarmos medidas adicionais, pois veremos que este per´ıodo estáassociado ao per´ıodo de rota¸cão estelar.

5.2 An´alisepreliminar: Velocidades radiais no intervalo 845 < t < 875

Antes de analisarmos os dados livres dos efeitos da atividade estelar, estudaremos as velocidades radiais, como estas foram medidas, sem nenhuma ﬁltragem.

Figura 5.2: Em (A), o espectro com todas as velocidades radiais medidas. Em (B), somente as medidas no intervalo 845 < t < 875.

Primeiramente, fizemos o espectro dos dados no intervalo citado, mostrado na figura (5.2-B), nela verificamos que háquatro per´ıodos significativos em que o principal deles, de 20.6 dias, éatribu´ıdoàrota¸cãoda estrela. Notamos que, quando consideramos todas as observa¸cões,a rota¸cãosofre um pequeno acréscimopassando a valer ≈ 23 dias, visto em (5.2-A). O segundo per´ıodo que surge na figura éde 3.7 dias, que consideraremos advindo de um planeta, os outros destacados sãode 9.1 e 6.4 dias, que, aparentemente, são“side-bands” do per´ıodo de rota¸cão,provocado pela amostragem e tamanho pequeno do intervalo de medi¸cões.Para corroborar isto, vemos que estes últimosestãofortemente correlacionados com o per´ıodo de 20.57 dias, percebemos este fato, efetuando uma simples filtragem onde eliminamos de (5.2-B) a rota¸cãoda estrela. O resultado deste procedimento 132 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7 estána figura (5.3), em que, de significativo, vemos apenas o per´ıodo de 3.61 dias. Os sinais de 9.1 e 6.4 dias desaparecem juntamente com a rota¸cão.

Figura 5.3: Em preto, elimina¸cãodo per´ıodo de rota¸cão. Em cinza, o mesmo espectro da figura (5.2-B).

Fato curioso éque em (5.2-B) o per´ıodo éde 3.7d, enquanto que em (5.3) este se apresenta como 3.61d. Creditamos esta diferen¸caàinfluênciado per´ıodo de rota¸cão,pois háum harmônicode alta ordem nas proximidades de 3.7d. Portanto, a figura nos leva a um ajuste primáriocom duas senoides, uma que modela a rota¸cãoe outra, com 3.7 dias, referente ao planeta. Medimos a qualidade do ajuste pela variável wrms, jáexposta no cap´ıtulo2, se¸cão(2.4); cuja fórmula édada abaixo, por (5.1) e (5.2):

2 S X (V r − yi) (wrms)2 = (5.1) N − M σ2 1 X 1 S−1 = (5.2) N σ2

Nas equa¸cões(5.1) e (5.2) V r representa as velocidades calculadas e yi as medidas, feitas com precisãodada por σ. N trata-se do númerode medidas enquanto que M o de parâmetrosajustados. Salvo men¸cãocontrária,utilizamos o algoritmo genético+simplex, e, a respeito da indetermina¸cãodas inclina¸cões,fixamos i = 900. Hárazõesdinâmicaspara acreditarmos que ambos os corpos possuem excentricidades iguais a zero, por esta razão, Se¸cão5.2. Análisepreliminar: Velocidades radiais no intervalo 845 < t < 875 133 em nossos algoritmos, sempre “for¸camos” e = 0 e ω = 0o, então,o resultado de nossa primeira minimiza¸cãoéa solu¸cão(5.2-1), cuja representa¸cãográficaestána figura (5.4).

• Solu¸c˜ao(5.2-1)

o K1 = 12.3080m/s, P1 = 20.34d, `1 = 193.374 o K2 = 5.5121m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 3.58d, `2 = 3.9591 , M2 = 12.563M⊕

Vo = 2.296m/s P(O − C)2/σ2 = 331.8 wrms = 4.7m/s

Figura 5.4: Gráficosgerados pela solu¸cão5.2-1. Observamos a curva de velocidade radial gerada, juntamente com as medidas e os res´ıduosdeste primeiro ajuste. No espectro destes res´ıduosháum pico em 0.849d, que trata-se do per´ıodo de CoRoT-7b, o planeta de trânsito.

Atravésdo “scramble” verificamos que o pico no espectro da figura (5.4) ésignificativo. Portanto, énecessárioum ajuste com trêssenoides, uma delas com per´ıodo de 0.85 dias, 134 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7 que éo planeta encontrado por trânsito.O resultado deste processo é:

• Solu¸c˜ao(5.2-2)

o K1 = 12.8070m/s, P1 = 20.38d, `1 = 191.013 o K2 = 6.022m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 3.64d, `2 = 19.69913 , M2 = 13.79M⊕ o K3 = 4.4114m/s, ω3 = 0.000, e3 = 0.000,P3 = 0.851d, `2 = 317.820 , M3 = 6.228M⊕

Vo = 2.44m/s P(O − C)2/σ2 = 172.20 wrms = 3.49m/s

A análisedos res´ıduosdeste ajuste émostrado no gráfico(5.5).

Figura 5.5: Análogaa figura 5, porémcom os dados da solu¸cão5.2-2.

Na figura (5.5) encontramos um per´ıodo de 11 dias com amplitude de S(f) ≈ 0.35, que acreditamos tratar-se de um harmônico do per´ıodo de rota¸cão.Fizemos novamente o Se¸cão5.2. Análisepreliminar: Velocidades radiais no intervalo 845 < t < 875 135 ajuste, agregando o per´ıodo de 11 dias, pois, além deste possuir uma amplitude importante, consideramos o wrms da solu¸cão5.1-2 ainda elevado. Cabe esclarecermos aqui que, não sónesta ocasião,mas em todas as outras, quando afirmamos que tratamos um per´ıodo a mais no ajuste, nãoestamos o considerando fixo em nosso algoritmo. Por exemplo, quando planejamos incorporar a senoide de 11 dias, procuramos os melhores valores para sua amplitude no intervalo [0 − 100] m/s e, para o per´ıodo, pesquisamos no intervalo de [5 − 15] dias, e para as fases, [0 − 360]o. Jáos dados da solu¸cãoanterior também sãodeterminados juntamente, nãoépor que o conhecemos, sabemos que ele existe que iremos considerá-lo fixo, são,também,determinados, juntamente com esta nova senóide incorporada. E deste processo encontramos o seguinte resultado:

• Solu¸c˜ao(5.2-3)

o K1 = 15.026m/s, P1 = 21.125d, `1 = 198.220 o K2 = 6.049m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 3.667d, `2 = 27.652 , M2 = 13.83M⊕ o K3 = 4.9945m/s, ω3 = 0.000, e3 = 0.000,P3 = 0.8531d, `3 = 328.167 , M3 = 7.05M⊕ o K4 = 4.2007m/s, P4 = 11.36d, `4 = 323.062

Vo = 1.849m/s P(O − C)2/σ2 = 78.1256 wrms = 2.4m/s

Desenhamos no gráfico(5.6) as solu¸cões(5.1-3).

Figura 5.6: Res´ıduose espectro dos mesmos gerados atrav´esda solu¸c˜ao(5.1-3). 136 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

O espectro de (5.6) traz um per´ıodo de 4.87 dias, com amplitude de ≈ 0.2. Devemos agora nos preocupar se esta amplitude ésignificativa, ou seja, se ru´ıdossem correla¸cão sãocapazes de produzir uma amplitude tãosignificativa quanto. Para isto, utilizamos novamente a técnica “scramble” e na figura (5.7) apresentamos cada um dos 100 conjuntos que processamos.

Figura 5.7: “Scramble” dos res´ıduosque vemos na figura (5.6). Nesta figura temos 100 espectros, de cada uma das ordena¸cõesque fizemos, representados pelos pontos pretos. A curva branca éo e espectro jáapresentado em (5.6).

A figura (5.7) mostra-nos que ru´ıdospodem atingir valores tãosignificativos quanto ≈ 0.2, que éo que vemos para o per´ıodo de 4.87 dias. A vista disto, podemos parar os ajuste na solu¸cão(5.2-3) e elegê-lacomo a melhor que conseguimos nesta se¸cão.Contudo, se ainda considerarmos o per´ıodo de 4.87 dias, ajustando, assim, cinco senoides aos dados, o resultado é:

• Solu¸c˜ao(5.2-4)

o K1 = 15.0265m/s, P1 = 21.125d, `1 = 198.22 o K2 = 6.028m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 3.6993d, `2 = 37.821 , M2 = 13.888M⊕ o K3 = 2.7598m/s, P3 = 5.0886d, `3 = 80.50 o K4 = 3.845m/s, P4 = 11.744d, `4 = 335.81 o K5 = 6.0352m/s, ω5 = 0.000, e5 = 0.000,P5 = 0.849d, `5 = 306.532 , M5 = 8.513M⊕ Se¸c˜ao5.2. An´alisepreliminar: Velocidades radiais no intervalo 845 < t < 875 137

Vo = 1.849m/s P(O − C)2/σ2 = 53.559 wrms = 2.10m/s

A solu¸c˜ao (5.2-4) fornece-nos as curvas (5.8).

Figura 5.8: Curva de velocidade radial, res´ıduose espectro da solu¸c˜ao (5.1-4).

O“scramble” na figura (5.7) nos mostrou que a amplitude do per´ıodo de 4.87 (≈ 5) dias pode ser atingida por ru´ıdos. Mesmo assim insistimos em inclu´ı-lo na análise para verificarmos sua importânciaem rela¸cãoaos dados e verificamos uma melhora nos ajustes. O wrms passa a ser agora 2.1 m/s. Todavia, concluiremos que esta melhora é apenas aparente. O teste F nos dáuma semelhan¸caentre os valores wrms2 superior a 5%, que éo limiar que adotamos no cap´ıtulo4 deste trabalho. Como compara¸cão,se aplicarmos o mesmo teste ao passarmos da solu¸cão(5.2-2) para (5.2-3), encontraremos para a semelhan¸caentre os dados o valor de 1.2%. Portanto, a solu¸cãomais consistente que obtivemos nesta se¸cãoéa (5.2-3), que nos fornece para as massas os valores de 7.05 e 13.8 para CoRoT-7b e c, respectivamente. Os intervalos de confian¸cada referida solu¸cão, calculados por Biased Monte Carlo (BMC) em que consideramos somente os casos nos quais 138 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

q 2 2 wrms ≤ 2.4 ± N−M E[(wrms )] ≈ 3 m/s, s˜ao: K1 = [14.0 − 15.6], P1 = [20.8 − 21.8],

`1 = [180 − 216], K2 = [4.0 − 7.2], P2 = [3.66 − 3.73], `2 = [10.0 − 40.0]. Finalmente, para o corpo interno temos, K3 = [4.4 − 5.6], P3 = [0.848 − 0.852], `3 = [300 − 353]. J´aas massas, para o corpo interno encontramos valores no intervalo [6.4 − 9.1]MT , e, para CoRoT-7c temos [10.5 − 16.4]MT .

5.3 An´alisedas Velocidades Radiais: Todas as observa¸c˜oes.

Refizemos as mesmas análisesda se¸cãoanterior, mas consideramos todas as observa¸cões feitas, ou seja, as 109 medidas entre t = [775 − 884]. Reproduzimos aqui a curva de velocidade radial, a mesma que apresentamos na figura (5.1), mas chamamos a aten¸cão para os per´ıodos sem observa¸cão: háquatro grandes janelas, sendo a maior delas de 18 dias e, a menor, de 6.

Figura 5.9: Valores medidos das velocidades radiais, salientamos as janelas em que nãohá observa¸cões.

O gráfico (5.2) nos guia a um primeiro ajuste com uma senoide cujo per´ıodo éde ≈ 23 dias. O resultado é:

• Solu¸c˜ao(5.3-1)

o K1 = 9.8544m/s,P1 = 23.0463d, `1 = 177.073

Vo = 1.0747m/s P(O − C)2/σ2 = 1873.866 wrms = 7.53m/s Se¸cão5.3. Análisedas Velocidades Radiais: Todas as observa¸cões. 139

As figuras referentes a este resultado estãodadas em (5.10), onde observamos o surgimento do per´ıodo de 3.7 dias e a perseveran¸cado per´ıodo de 9 dias, ao contrárioda se¸cãoanterior, ocasiãoem que ele desapareceu juntamente com a rota¸cão,e por esta razãoo atribu´ımosa algum harmônicoou a uma “side-band”. Pode ser fruto tambémdo espa¸camento irregular dos dados e das janelas sem observa¸cões. Outro fator que salientamos éa irregularidade do termo associado àrota¸cão. Na se¸cãoanterior, esta possu´ıa amplitude da ordem de 15m/s, aqui a encontramos como ≈ 9.8m/s, o que ocorre com certa frequência ao longo desta se¸cão.

Figura 5.10: Gráficosreferentes àssolu¸cões(5.3-1)

Agregando este ´ultimoper´ıodo, indicado pelo espectro da ﬁgura (5.10), encontramos novamente os seguintes resultados:

• Solu¸c˜ao(5.3-2)

o K1 = 9.8430m/s, P1 = 23.045d, `1 = 176.397 o K2 = 4.9160m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 3.6920d, `2 = 237.926 , M2 = 11.31M⊕

Vo = 1.1447m/s P(O − C)2/σ2 = 1460.886 wrms = 6.75m/s 140 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

Os gráficosreferentes a esta solu¸cãosãodados na figura (5.11).

Figura 5.11: Curva de velocidade radial gerada pela solu¸c˜ao(5.3-2). Apresentamos tamb´em os res´ıduose espectro, onde encontramos um pico em ≈ 9 dias

Finalmente, na figura (5.11), encontramos o polêmicoper´ıodo de 9 dias. Passando agora a ajustar trêssenoides aos dados, uma delas possuindo per´ıodo de ≈ 9 dias, chegamos os resultados (5.3-3):

• Solu¸c˜ao(5.3-3)

o K1 = 8.8601m/s, P1 = 23.2035d, `1 = 185.97 o K2 = 4.9100m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 3.6896dd, `2 = 234.036 , M = 11.302M⊕ o K3 = 5.2681m/s, P3 = 8.9901dd, `3 = 82.844

Vo = 0.672195m/s P(O − C)2/σ2 = 1055.291 wrms = 5.83m/s

Os res´ıduosgerados pela solu¸cão(5.3-3) estãoapresentados na figura (5.12). Se¸cão5.3. Análisedas Velocidades Radiais: Todas as observa¸cões. 141

Figura 5.12: Gráficosda solu¸cão(5.3-3).

Reunindo na análiseeste per´ıodo de ≈ 11 dias, que atribuimos ao segundo harmônico da rota¸cão,encontramos a solu¸cão(5.3-4).

• Solu¸c˜ao(5.3-4)

o K1 = 9.7362m/s, P1 = 23.3951d, `1 = 192.72 o K2 = 5.1354m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 3.6956dd, `2 = 247.970 , M = 11.823M⊕ o K3 = 7.5819m/s, P3 = 9.0043dd, `3 = 84.50 o K4 = 5.4538m/s, P4 = 10.5307dd, `4 = 15.115

Vo = 0.1249m/s P(O − C)2/σ2 = 666.88 wrms = 4.70m/s

Se analisarmos os res´ıduos deste ajuste, ﬁgura (5.13), ﬁnalmente encontramos um per´ıodo de 5.9 dias. 142 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

Figura 5.13: Gráficosda solu¸cão(5.3-4),

O per´ıodo encontrado na figura (5.13) atribu´ımosser alias do per´ıodo orbital do planeta em trânsito,como percebido ao estendermos a escala de frequênciaa valores superiores a 1, vide figura (5.14).

Figura 5.14: Espectro dos res´ıduos da ﬁgura (5.3-4).

Na sequˆenciainclu´ımos o per´ıodo de ≈ 0.85 aos ajustes, considerando assim cinco senoides e os resultados est˜aoapresentados em (5.2-4):

• Solu¸c˜ao(5.3-5)

o K1 = 9.7355m/s, P1 = 23.3488d, `1 = 192.727 Se¸cão5.3. Análisedas Velocidades Radiais: Todas as observa¸cões. 143

o K2 = 5.5588m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 3.6979dd, `2 = 252.124 , M = 12.806M⊕ o K3 = 6.9531m/s, P3 = 9.0307dd, `3 = 13.158 o K4 = 5.0906m/s, P4 = 10.4997dd, `4 = 11.855 o K5 = 3.6453m/s, ω5 = 0.000, e5 = 0.000,P5 = 0.8542dd, `5 = 333.748 , M = 5.15M⊕

Vo = 1.8527m/s P(O − C)2/σ2 = 464.2613 wrms = 3.98m/s

A figura (5.15) mostra-nos que as amplitudes restantes sãotodas insignificantes, fato verificado com “scramble” dos dados, e comprovamos que se insistirmos em tomar mais um per´ıodo no ajuste, veremos que este nãoincorpora nenhuma melhora significativa no wrms da solu¸cão(5.3-5), indicando que os res´ıduossão apenas ru´ıdos.Elegemos assim a solu¸cão (5.3-5) como a melhor que podemos obter para esta se¸cão e os intervalos de confian¸ca, calculados com os mesmos critériosda se¸cãoanterior são: K1 = [8 − 12], P1 = [20 − 24],

`1 = [160 − 215]; K2 = [4 − 6.7], P2 = [3.45 − 3.77], `2 = [220 − 275]; K3 = [5.8 − 7.3],

P3 = [8.5 − 9.5], `3 = [3.0 − 23.0]. E tamb´em K4 = [4 − 6], P4 = [9.8 − 12.0], `4 = [2 − 20], por ﬁm, K5 = [3 − 4.2], P5 = [0.840 − 0.856], `5 = [300 − 360]

Figura 5.15: Espectro dos res´ıduos da ﬁgura (5.3-5). 144 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

5.4 Análisedos dados filtrados, usando todas as observa¸cões.

Trabalhamos aqui no tratamento de Queloz (2009) dado àsmedidas, nele o autor aplica um filtro no qual elimina dos dados o per´ıodo de rota¸cão(Prot) e seus harmônicos

(Prot/2,Prot/3). Como nas se¸cõesprecedentes, iremos tratar os dados de duas maneiras, a primeira delas com as 106 medidas em toda a sua extensãotemporal. O processo consiste basicamente definir, a partir de N medidas, N janelas de observa¸cõese estimar em cada uma delas a atividade estelar. O processo iterativo éo seguinte:

1. Tomamos um ponto da s´erie,que chamamos de ponto principal (pc), este ´e:(ypc, tpc, σpc).

2. Deﬁnimos uma janela, em que consideramos todas as medidas que est˜ao no intervalo

tpc − 10d < tpc < tpc + 10d. Ao intervalo que ﬁxa o tamanho da janela, aqui tomado

de 20 dias, chamamos de tempo de coerˆencia(tc).

3. Ajustamos àjanela especificada no item 2 a soma de trêssenoides, com per´ıodos 23.64, 23.64/2 e 23.64/3 dias, fixos durante o processo de minimiza¸cão.Calculamos assim a amplitude e fase para os per´ıodos de rota¸cãoe seus harmônicos.

4. Consideramos outro pc e repetimos o procedimento

5. Ao final do processo, a atividade éestimada mediando-se, para cada observa¸cão,os valores encontrados em cada uma das N janelas construidas.

Assim, geramos um arquivo final contendo os res´ıduos(ypc − Atividade), que, em teoria, deve-se somente aos sinais planetários. Na figura (5.16), apresentamos o resultado deste procedimento, que corresponde àfigura (8b) de Queloz (2009), reproduzida aqui apresentada em (5.1). Se¸cão 5.4. Análise dos dados filtrados, usando todas as observa¸cões. 145

Figura 5.16: Gráficodas velocidades radiais obtidas com o filtro que descrevemos.

Nas análisesdesta se¸cãoos resultados foram obtidos a partir da recontru¸cão das velocidades a partir da figura (8b) de Queloz (2010). Na figura (5.17) confrontamos os dados obtidos atravésdo filtro descrito com os recontistuidos. 1

Figura 5.17: Dados digitalizados (azul) juntamente com a nossa ﬁltragem (vermelho).

1 Mesmo processo utilizado em HD202206. 146 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

Na figura (5.18) apresentamos dois periodogramas superpostos. O primeiro édas velocidades radiais, que jáapresentamos em (5.2-A), e o outro dos dados filtrados que digitalizamos. Notamos, que a filtragem eliminou todos os per´ıodos maiores que cinco dias, inclusive a alias do per´ıodo 0.85d. Em (5.19) repetimos partes da figura (5.18), com o objetivo de enfatizarmos alguns aspectos: em (A), estendemos a escala de frequências a valores superiores a um, para vermos como se comporta o espectro na proximidade do per´ıodo de 0.85d. Em (5.19-B), indentificam-se as frequências mais significativas que nos restam e que são3.96d (0.25d−1), 3.698 (0.2704d−1) e 3.5 (0.2857d−1) dias; identificamos estes per´ıodos como sendo “side-bands” do per´ıodo de 3.7 dias.

Figura 5.18: Em vermelho: velocidades radiais. Preto: Dados ﬁltrados.

O gráfico(5.20) foi constru´ıdocom o intuito de explicarmos a rela¸cãoentre os per´ıodos que observamos em (5.19); nele, apresentamos o espectro das velocidades radiais filtradas, juntamente com o espectro dos mesmos dados no qual eliminamos o per´ıodo de 3.7 dias. Notamos que o valor de 3.5 de fato estárelacionado ao per´ıodo de 3.7, pois desaparece quando eliminamos este último.Por outro lado, a persistênciadaquele de quatro dias nos leva a prever um ajuste de duas senóidesaos dados, uma delas de per´ıodo, aproximadamente 3.7 dias e a outra de 4 dias. Se¸cão 5.4. Análise dos dados filtrados, usando todas as observa¸cões. 147

Figura 5.19: Espectros das velocidades radiais filtradas. Em (A), a linha vertical vermelha representa o per´ıodo do planeta de trânsito.Em (B), destacamos os per´ıodos de cada uma das amplitudes significativas.

Figura 5.20: Em preto: espectro dos dados digitalizados que foram apresentados na ﬁgura (5.17), j´aem vermelho eliminamos dos mesmos o per´ıodo de 3.7 dias.

Consideramos as solu¸cõespara este sistema. Apresentamos o resultado (5.4-1), que éo ajuste de apenas uma senoide cujo per´ıodo éde ≈ 3.7 dias. A representa¸cãográficadesta solu¸cãoestána figura (5.21)

• Solu¸c˜ao(5.4-1)

o K1 = 3.2103m/s, P1 = 3.6933d, `1 = 241.456 , M1 = 7.23M⊕

Vo = 0.0376m/s 148 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

P(O − C)2/σ2 = 271.43 wrms = 2.87m/s

A figura (5.21) corrobora com o fato que apresentamos na figura (5.20), pois nos mostra que, mesmo apósa subtra¸cãodo sinal de 3.7, ainda háum per´ıodo significativo na vizinhan¸cade quatro dias, este, por sua vez, éuma alias de 1.33 que vemos na figura (5.21-D), destacamos as duas alias deste per´ıodo bem como o aparecimento do per´ıodo de 0.85.

Figura 5.21: Em (A), temos a curva gerada e as medidas do ajuste. Em (B) temos o detalhe de ambos no intervalo 845 < t < 875. Em (C) temos os res´ıduosdo ajuste e em (D) seu espectro.

Aplicamos a técnicade scramble aos res´ıduos (5.21-C) e os resultados mostram que este per´ıodo éainda importante para os dados. Dificilmente ru´ıdos produziriam amplitudes tão significativas. Se¸cão 5.4. Análise dos dados filtrados, usando todas as observa¸cões. 149

Figura 5.22: Gráficodo scramble da solu¸cão(5.4-1). Em (A), espectro das 100 ordena¸cões que promovemos nos res´ıduose, em (B), a amplitude máximaatinigida por cada um deles. A linha horizontal representa o valor máximoalcan¸cadono espectro (2.12).

As figuras (5.21) e (5.22) nos estimulam ao ajuste com duas senoides. O resultado da minimiza¸cão,neste caso, éa solu¸cão(5.4-2):

• Solu¸c˜ao(5.4-2)

o K1 = 2.8435m/s, P1 = 3.679d, `1 = 207.468 o K2 = 2.1233m/s, P2 = 3.9803d, `2 = 104.904 −5 Vo = 2.10 m/s P(O − C)2/σ2 = 209.24 wrms = 2.55m/s

Como padrãoque adotamos, informamos ao final de cada se¸cãoos intervalos de confian¸cada solu¸cãoque julgamos mais adequada. Portanto, para (5.4-2), calculamos da mesma maneira que nas se¸cõesanteriores deste cap´ıtuloe encontramos: K1 = [2.2 − 3.1],

P1 = [3.58 − 3.75], `1 = [180 − 220] e K2 = [2.0 − 2.2], P2 = [3.8 − 4.2], `2 = [95 − 115]. Para visualiza¸cão,os gráficosgerados a partir da solu¸cão(5.4-2) podem ser visualizados na figura (5.23) 150 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

Figura 5.23: Curvas geradas com a solu¸c˜ao(5.4-2), em (A) a curva de velocidades radiais juntamente com as medidas ﬁltradas. Em (B) os res´ıduos, em (C) o espectro e em (D), o “scramble” dos res´ıduos.

Lembrando que, para todos os dados, sem o filtro, encontramos um wrms de 3.98 m/s, na solu¸cão(5.3-5). A figura (5.23), que representa a solu¸cão(5.4-2), fornece-nos um fato interessante, que jámencionamos anteriormente. Notamos uma modula¸cãode aproximadamente 52 dias, evidente em (5.23-A). O responsável por este fato éjustamente a componente de quatro dias, que ocorre devido ao batimento com o tamanho total da sérietemporal e ocorre por haver divisãodesigual das janelas próximosaos intervalos sem observa¸cões.Em (5.23-B), háos res´ıduose, em (C), o espectro dos mesmos, fornecendo um per´ıodo de 0.72 dias, entretanto este estáno mesmo n´ıvel daqueles causados por ru´ıdos, como vemos em (D). Portanto, em toda extensãotemporal, com o filtro de Queloz podemos concluir com seguran¸caapenas duas frequências.Uma delas de ≈ 3.7d que atribuimos ao planeta e a outra de 4 dias devido ao processo de filtragem em si. Perdemos informa¸cão sobre o planeta interno, cujo per´ıodo éde 0.85d. Como este planeta éconhecido da observa¸cãode trânsito, podemos for¸carsua inclusãono modelo, táticaque seráusada a partir da se¸cão(5.6). Se¸cão5.5. Análisedos dados filtrados no intervalo 845 < t < 875 151

5.5 An´alisedos dados ﬁltrados no intervalo 845 < t < 875

Nossas análisesnesta e nas se¸cõesprecedentes foram feitas na expectativa de encontrarmos ao menos um valor parecido com àqueles da literatura para as massas de CoRoT 7b e c. Nossa últimatentativa seráfeita nesta se¸cão,ainda com os dados filtrados de Queloz et al.(2009) que digitalizamos. Repetindo o procedimento da se¸cãoanterior, com os 52 dados do intervalo jácitado, apresentamos seu espectro na figura (5.24), onde estásalientado o per´ıodo de 3.7 dias.

Figura 5.24: Espectro das velocidade radiais ﬁltradas de Queloz et al.(2009) no intervalo 845 < t < 875. A linha vertical representa o per´ıodo do planeta de trˆansito.

Marcamos tamb´emem (5.24) uma linha vertical que representa onde estaria o per´ıodo de 0.85d. O ajuste com uma senoide de 3.7 dias resulta na solu¸c˜ao(5.5-1).

• Solu¸c˜ao(5.5-1)

o K1 = 2.8435m/s, ω1 = 0.000, e1 = 0.000,P1 = 3.754d, `1 = 167.694 , M2 = 6.582M⊕ −7 Vo = 1.310 m/s P(O − C)2/σ2 = 150.516 wrms = 3.06m/s

As solu¸cõesde (5.5-1) produzem o gráfico(5.25), onde encontramos o per´ıodo de ≈ 0.85d e o per´ıodo espúriode quatro dias. 152 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

Figura 5.25: Velocidades radiais res´ıduose espectro da solu¸c˜ao(5.5-1).

Na figura (5.25) percebemos que o per´ıodo de 0.85d ésignificativo, com amplitude da ordem de ≈ 0.27; isto ilustra a importância da limita¸cãotemporal que tomamos. O per´ıodo de quatro dias possui amplitude ≈ 0.20. Ao ajustarmos aos dados trêssenoides, encontramos como resultado a solu¸cão(5.5-2), cujo gráficoestárepresentado em (5.26).

• Solu¸c˜ao(5.5-2)

o K1 = 3.6428m/s, P1 = 3.495d, `1 = 310.314 o K2 = 1.578m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 0.8503d, `2 = 310.944 , M2 = 2.227M⊕ 0 K3 = 4.568m/s, P3 = 3.963d, `3 = 119.336 −7 Vo = 1.02710 m/s P(O − C)2/σ2 = 71.5 wrms = 2.10m/s Se¸c˜ao 5.6. Filtro Autoconsistente 153

Figura 5.26: Velocidades radiais ﬁltradas juntamente com a curva, res´ıduose espectro gerados pela solu¸c˜ao(2.3-2).

Os picos do espectro em (5.26) têmaamplitude menor que 0.2. Esse valor éfacilmente alcan¸cadopor ru´ıdos, portanto, conclu´ımos que a solu¸cão(5.3-2) éa melhor que conseguimos para esta se¸cão,e por fim temos atravésde BMC que os intervalos de confian¸ca são: K1 = [3.0−4.2], P1 = [3.2−4.1], `1 = [280−320]; K2 = [1.2−2.1], P2 = [0.848−0.857],

`2 = [290 − 320] e, K3 = [4.0 − 5.3], P3 = [3.4 − 4.1], `3 = [100 − 130].

5.6 Filtro Autoconsistente

Como notamos no filtro usado por Queloz et al.(2009), perdemos informa¸cõesrelevantes, principalmente no que se refere ao planeta de trânsito. Por esta razão,vamos usar uma modifica¸cão.O processo interativo passa a ser agora:

1. Tomamos um “chute” inicial para amplitude e fase dos planetas, com per´ıodos ﬁxos e iguais a 3.698 e 0.853585 dias. 154 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

2. Subtra´ımosdas medidas originais as velocidades radiais calculadas com os chutes dados. Geramos, assim, um segundo conjunto de medidas, que supostamente possui somente a atividade estelar.

3. Dos dados do item 2, aplicamos o filtro de Queloz com o objetivo de determinar a amplitude e a fase da atividade estelar. Os per´ıodos aqui, para a atividade também foram considerados fixos 23.64 dias, 23.64/2 e 23.64/3 dias.

4. Tomamos novamente os dados originais e subtra´ımosdestes a atividade encontrada no item 3. Temos aqui um terceiro conjunto de dados que, esperamos, corresponde apenas os sinais planet´arios.

5. A partir das velocidades radiais obtidas no item 4, determinamos os elementos orbitais para os planetas. Comparamos os resultados com o “chute” inicial no item 1. Caso nãosejam semelhantes, tomamos o resultado aqui encontrado como um novo chute e repetimos o procedimento atéencontrarmos a consistência desejada.

A desvantagem desta metodologia éo tempo computacional gasto, que émuito elevado e torna praticamente imposs´ıvel a tarefa de explorarmos todos os parâmetros poss´ıveis do algoritmo. Para termos uma ideia, quando consideramos 3 harmônicos,foi necessário a repeti¸cãodos passos 1-5 cerca de 35-45 vezes. Com quatro harmônicos,o númerode incógnitasa serem encontradas aumenta e, então,devemos repetir o procedimento cerca de 60 vezes. Por fim, na situa¸cãolimite que exploramos, com seis harmônicos,chegamos ao caso de 300 repeti¸cões. Por esta razão,trabalhamos apenas com os dados retringidos temporalmente em 845-875.

5.6.1 Filtro Autoconsistente: terceiro harmˆonico

Abaixo, na figura (5.27), apresentamos o resultado do procedimento descrito quando fixamos o tempo de coerência em 10.5 dias, juntamente com os per´ıodos de 23.64, 23.64/2 e 23.64/3 para a atividade. Como percebemos, de um chute inicial dado em (0,0) nosso algoritmo converge, após35 itera¸cões,para (7.306; 14.98)MT , o wrms na regiãode con- vergênciaéda ordem de 1.82m/s. Do gráfico,notamos que os valores que encontramos sãopróximossomente daqueles que obtivemos na se¸cão(5.2). Se¸cão 5.6. Filtro Autoconsistente 155

Figura 5.27: Procedimento autoconsistente, com trêsharmônicose tempo de coerênciade 21 dias

Cada uma das cadeias apresentadas em (5.28) ´eobtida com um valor diferente para o tempo de coerˆencia.

Figura 5.28: Procedimento autoconsistente, com trêsharmônicose diversos tempos de coerência.

Tivemos a cautela de, em (5.28), tomarmos chutes iniciais diferentes e conclu´ımosque o processo descrito qualitativamente éindependente do chute inicial dado. Como também, de certa forma, depende pouco do tempo de coerência utilizado. Para a massa de 7b 156 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

encontramos valores nos intervalo 6.7 ≤ M7b ≤ 8.2 e, para 7c, 13.7 ≤ M7c ≤ 14.7. Em (5.29), plotamos o últimoponto de cada cadeia da figura (5.28) como sendo represen- tativo da regiãode convergência,nesta figura, podemos compará-loscomo os resultados previamente encontrados. Em (5.28-B) temos a fase do ajuste, que nada mais édo que a longitude do planeta em t = 847.596797.

Figura 5.29: Procedimento autoconsistente com 3 harmônicos.O código de cores éo mesmo de (5.28). Em (A), os s´ımbolos são: ⊕ a solu¸cão(5.2-4), calculada a partir das técnicas clássicade Fourier com os dados no intervalo 845-875. O quadrado a solu¸cão(5.3-5), resultado tambémobtido por análisede Fourier utilizando todas as observa¸cões.A cruz representa (5.5- 2) obtida com os dados filtrados e limitados temporalmente e o triânguloa solu¸cãode Queloz (2009). Em (B), temos a longitude dos planetas em t = 847.5968.

Apresentamos, em (5.30-A), a modelagem dada pelo filtro para atividade. Em (5.30- B) as VR filtradas para cada um dos tempos de coerênciaconsiderados. Desta figura, percebemos que qualitativamente a modelagem da atividade parece ser quase a mesma para os váriostempos de coerênciautilizados. Notamos algumas diferen¸caspontuais pequenas mas que sãosuficientes para dispersar os resultados nos intervalos ressaltados na figura (5.29). Com os dados da figura (5.30-A) podemos ter uma ideia da amplitude de cada um dos harmônicosconsiderados;.de uma rápidaanálisedos dados desta figura, estimamos que a rota¸cãopossui semi-amplitude de 15m/s, enquanto que, para o segundo e terceiro harmônicos,encontramos ≈ 4.9 m/s e 0.442 m/s. Para uma análisemais detalhada apresentamos a figura (5.31) que trata-se do espectro de cada uma das curvas (5.30). Se¸cão 5.6. Filtro Autoconsistente 157

Figura 5.30: Modelagem dada pelo ﬁltro para a atividade e a parte atribuida aos planetas. Em (A), a atividade modelada e as velocidades radiais medidas. Em (B), a velociade radial ﬁltrada, devido aos planetas.

Figura 5.31: Em (A), peridograma da atividade modelada pelo algoritmo autoconsistente. A curva cinza representa o espectro das velocidades radiais observadas. Em (B), o espectro das velocidades radiais ﬁltradas da atividade.

Assim, notamos que, para o per´ıodo de 3.7 dias o tempo de coerênciaparece nãoser 158 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7 muito importante, pois todos os resultados atingem aproximadamente as mesmas amplitudes. O mesmo nãoocorre para a amplitude referente ao per´ıodo de 5.9 dias. Na figura (5.32), apresentamos um zoom no espectro nas frequênciasde interesse em que podemos fazer um comparativo melhor com o espectro dado pelas velocidades radiais observadas.

Figura 5.32: Zoom de (5.21-B) nos per´ıodos de 3.7 e 0.85 dias. Em cinza, temos o espectro das velocidades radiais observadas.

De (5.32) observamos o mesmo comportamento da figura (5.31). O que destacamos de notável éque em (5.32-B) a amplitude referente a tc = 15d (curva em laranja) reproduz de forma satisfatóriaa amplitude real das velocidades radiais. Entretanto, isto nãosignifica dizer que este éo tempo de coerênciaideal, pois, como salientamos, o per´ıodo de 0.85 dias éinfluenciado pelo quarto harmônicoda rota¸cão,que, de acordo com a solu¸cão(5.1-4), deve possuir uma amplitude da ordem de 2.7 m/s. Assim, ’descontando’ da curva cinza uma amplitude de ≈ 2.7m/s o pico que era da ordem de S(f) ≈ 310 cai para ≈ 305.

Se verificarmos que estes valores para tc = 15 éde S(f) = 320, enquanto para tc = 17 temos S(f) = 290, conclu´ımosque o tempo de coerênciaideal, nesta situa¸cão,seria algum valor entre 15 e 17 dias. Em (A), a diferen¸caentre as amplitudes da curva em cinza para as demais éda ordem de 20%, que creditamos tambémàrota¸cãoestelar jáque o sexto harmônicoda rota¸cãoéde 3.94 dias. Para finalizar esta se¸cão,apresentamos o gráfico(5.33) no qual mediamos os pontos da figura (5.30-B). Atravésdos dados obtidos empreendemos o mesmo processo de minimiza¸cãoque fizemos anteriormente, ajustando 2 senóidesdeterminando os per´ıodos, Se¸cão 5.6. Filtro Autoconsistente 159 amplitudes e fase que sãoos resultados (5.6-1).

Figura 5.33: Velocidades Radiais filtradas calculada a partir da médiados valores representados na figura (5.30) e respectivo espectro.

• Solu¸c˜ao(5.6-1)

o K1 = 6.1174m/s, ω1 = 0.000, e1 = 0.000,P1 = 3.6949d, `1 = 31.5012 , M1 = 14.08M⊕ o K2 = 5.2141m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 0.85353d, `2 = 326.007 , M2 = 7.368M⊕ Σ(O − C)2/σ2 = 44.65743

Os res´ıduose espectro dos mesmos produzidos pela solu¸cão(5.6-1) em rela¸cãoaos dados da figura (5.33) estãorepresentados na figura (5.34). Observamos no espectro nãohaver qualquer periodicidade significativa. 160 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

Figura 5.34: Res´ıduosgerados pela solu¸c˜ao(5.6-1) e respectivo espectro.

5.7 Procedimento Autoconsistente: Quarto Harmˆonico

Nesta se¸cão,introduzimos o quarto harmônicono filtro. Isto foi estimulado por três fatores: o primeiro deles estáligado ao resultado (5.2-4) onde associamos trêsper´ıodos a atividade, incluindo um deles de ≈ 5dias; o segundo éque o quarto harmônicoéexatamente igual a 5.91 dias, muito próximoa um alias do per´ıodo orbital do planeta de trânsito.Por fim, temos o trabalho de Boisse (2011), que apesar de alegar irrelevânciapara o per´ıodo de

Prot/4, afirmam que este pode ainda se fazer presente em algumas raras situa¸cões.Aqui o incluimos na análisee comparamos os resultados com aqueles obtidos anteriormente. Se¸cão5.7. Procedimento Autoconsistente: Quarto Harmônico 161

Figura 5.35: Resultado do algoritmo autoconsistente com o quarto harmônico.Esta figura é

análogaàfigura (5.29). O asterisco representa uma solu¸cãoque tomamos com tc = 21, mas quadruplicando o númerode itera¸cões de nossos algoritmos, para observamos a consistência da regiãode convergência. As linhas pontilhadas em cinza representam os limitadores da regiãode convergênciapara trêsharmônicos.

Verificamos que, para CoRoT-7c, os valores encontrados com 3 e 4 harmônicossão coincidentes. Em ambas situa¸cõesencontramos valores no intervalo [13.7 − 14.7]M⊕. Ao contrário,para o planeta CoRoT-7b, enquanto que, com os trêsharmônicos,encontramos o intervalo [6.7−8.2]M⊕, representado pela linha pontilhada em cinza; com os quarto, este intervalo é[7.9 − 9.3]M⊕. A dispersãodos valores éaproximadamente a mesma, jáque ambos os intervalos possuem largura de 1.5M⊕. Nesta figura, tambémtestamos a consistênciadesta região,mudando os parâmetrosde nosso algoritmo, e isto érepresentado pelo asterisco na figura (5.35) que éo uso do filtro com janela de 21 dias e 800000 intera¸cões,ou seja, númeroquatro vezes maior do que v´ınhamosutilizando. Assim, como na se¸cãoanterior, apresentamos a modelagem da atividade e do sinal devido aos planetas na figura (5.36). 162 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

Figura 5.36: Em (A), a atividade para cada um dos tempos de coerˆencia. Em (B), a velocidade radial ﬁltrada da atividade.

De (5.36), verificamos que os resultados sãoequivalentes. Em, por exemplo, t ≈ [855 − 870] éatédificil distinguir os pontos de cada uma das janelas utilizadas. Portanto, fica dif´ıcilafirmarmos qual dos tc éo ideal.

Figura 5.37: Em (A), o espectro da atividade para cada tc. As linhas verticais representam os harmônicos.Em (B) e (C), o espectro do sinal dos planetas em 3.7 e 0.85 dias. A curva cinza representa o espectro da velocidade radial observadas. Se¸cão5.7. Procedimento Autoconsistente: Quarto Harmônico 163

Como na se¸cãoanterior, mediamos os resultados da figura (5.36-B). O novo conjunto de medidas estárepresentado na figura (5.38), juntamente com o seu periodograma. Nesta figura, as curvas cinza sãoos resultados (5.33) para compara¸cão.

Figura 5.38: Valores Médiosda figura (5.36-A) juntamente com seu espectro. A curva cinza éa repeti¸cão(5.33).

Dos dados da ﬁgura (5.38) encontramos os seguintes valores, solu¸c˜ao(5.6-2):

• Solu¸c˜ao(5.6-2)

o K1 = 6.1353m/s, ω1 = 0.000, e1 = 0.000,P1 = 3.6961d, `1 = 32.712 , M1 = 14.123M⊕ o K2 = 5.9802m/s, ω2 = 0.000, e2 = 0.000,P2 = 0.8532d, `2 = 323.761 , M2 = 8.46M⊕ Σ(O − C)2/σ2 = 42.78938

Os resultados (5.6-2) apresentam os res´ıduosapresentados em (5.39). 164 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

Figura 5.39: Em (A) os pontos pretos representam os res´ıduosda solu¸cão(5.6-2) em rela¸cão aos dados da figura (5.38-A). Nesta mesma figura os pontos em vermelho sãoos res´ıduosjá apresentados na figura (5.34). Em (5.39-B) háo espectro da ambos os res´ıduosde (5.38-A).

A partir da solu¸cão(5.6-2) faremos um cruzamento de resultados, verificando como a solu¸cão(5.6-1), obtida com trêsharmônicos, se comporta em rela¸cãoaos dados da figura (5.38-A), estes obtidos atravésdo uso do quarto harmônico;testaremos tambéma situa¸cão contrária,ou seja, a solu¸cão(5.6-2) em rela¸cãoaos dados (5.33-A). Assim, com o gráfico(5.40), vemos que os filtros com trêse quatro harmônicoslevam a res´ıduos equivalentes. O grande problema parece realmente ser a magnitude das massas envolvidas. Flutua¸cõesnas amplitudes, que podem ser creditadas àimperfei¸cõesem nosso algoritmo ou pelos ru´ıdos nos dados, podem acarretar diferen¸cassignificativas para as massas. Por exemplo, em CoRoT-7b, uma diferen¸cade 0.5m/s pode dar diferen¸casde

≈ 0.8MT nas massas. Por esta razãoe baseados na figura (5.41), indicamos como os valores mais razoáveis para as massas os seguintes: Se¸cão5.7. Procedimento Autoconsistente: Quarto Harmônico 165

Figura 5.40: As estrelas em vermelho representam os res´ıduosproduzidos pela solu¸cão(5.6- 2) em rela¸cãoaos dados (5.33-A). Enquanto que em azul temos os res´ıduosproduzidos pela solu¸cão(5.6-1) em rela¸cãoaos dados (5.38-A).

• Massas para CoRoT 7b e 7c

Corot-7b: 7.9 ± 1.6MT

Corot-7c: 14.2 ± 0.5MT

Os valores acima estãorepresentados pelo triângulopreto em (5.41), e as barras de erros foram tra¸cadasde acordo com os intervalos que mencionamos anteriormente e, portanto, cobrem todos os valores que encontramos. Como citado, o gasto computacional para os resultados apresentados ébastante elevado. Esta tambémfoi uma das razõespara aplicarmos os métodos descritos apenas para os dados em 845-875. Para finalizar esta se¸cão,apresentamos alguns casos espec´ıficosem que utilizamos todas as medidas cujos resultados tambémestãona figura (5.41). Cabe lembrar aqui que da análisedos dados filtrados, com todas as 109 observa¸cões,se¸cão(5.4), hav´ıamosencontrado apenas o corpo externo e para sua massa calculamos o valor de 6.4MT . O sinal do corpo interno, na ocasião,foi perdido durante o processo de filtragem. Por outro lado, a aplica¸cão direta das técnicasclássicasde Fourier nas velocidades radiais observadas, se¸cão(5.3), encontramos 5.25MT e 12.8MT para CoRoT 7b e c respectivamente. 166 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

Figura 5.41: Os c´ırculosrepresentam as solu¸cõesapresentadas no gráfico(5.35); as estrelas as do gráfico(5.29). As cruzes sãoas solu¸cõesobtidas com quatro harmônicose todas as medidas dispon´ıveis, enquanto que, os quadrados, o resultado equivalente com trêsharmônicos.

5.8 Sexto harmˆonico

Mencionamos a influênciado quarto harmônicono per´ıodo de 0.85 dias, pela mesma razão,naturalmente, somos impelidos a incluir na análiseo per´ıodo de 23.64/6 dias, que estápróximodo valor de 3.7 dias, e entãoverificar como isto influencia nos resultados apresentados. O grande empecilho para esta tarefa éo tempo computacional que éainda mais elevado que nos casos anteriores. No gráfico(5.42), apresentamos a situa¸cãocom tempo de coerência11 dias que nos dáuma no¸cãoda inviabiliade computacional encontrada. Enquanto que nas se¸cõesanteriores, a partir de um chute inicial em (0, 0) ating´ıamosa convergênciaapós ≈ 60 intera¸cões,isto nãoocorre nesta situa¸cão, a figura (5.42) possui 300 pontos e ainda assim nãogarantimos que a convergênciafoi encontrada. Enquanto que, para CoRoT-7b, a amplitude érapidamente alcan¸cada,a curva se estabiliza rapidamente em torno de 6m/s, o mesmo nãoocorre para CoRoT-7c. Para este últimoa convergênciaé muito lenta, ao contrário do que foi visto nas se¸cõesanteriores. Isto ocorre justamente devido a influênciado sexto harmôncio,qualquer flutua¸cãona determina¸cãode sua amplitude acarretarátambémdiferen¸canos valores de CoRoT-7c. Em (5.43), apresentamos o mesmo gráficopara um tempo de coerênciade 21 dias em Se¸cão 5.9. As linhas bisectoras 167 que nos deparamos com o mesmo problema.

Figura 5.42: Filtro com seis harmˆonicose tempo de coerˆenciade 5.5 dias

Figura 5.43: Filtro com seis harmˆonicose tempo de coerˆenciade 10.5 dias.

5.9 As linhas bisectoras

Simula¸cõesde velocidade radial causadas por atividade estelar foram feitas por outros autores que discutimos na se¸cão(4.5). Foi percebido que, ao contráriodos planetas, manchas podem causar curvas de velocidade radial bastante assimétricas, como pode ser verificado, por exemplo, na figura (4.39). A forma mais utilizada na literatura para diagnosticar se varia¸cõesde VR sãocausadas 168 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7 por planetas ou se sãoefeitos de atividade éatravésdas linhas bisectoras (cuja sigla em inglêsébvs, de bisector velocity spam). As bvs’s sãoas medianas das linhas espectrais de absor¸cãoe destas medem, de certa forma, suas assimetrias. De uma modo geral, quando os perfis de absor¸cãosãosimétricossignifica que a estrela nãopossui manchas em sua superf´ıcie,tendo portanto baixa atividade, assim sendo varia¸cõesem VR, quando ocorrem, sãoatribuidas a existênciade planetas. Apresentamos na figura (5.45) a superposi¸cão do espectro da velocidade radial com o da bvs. Esperamos encontrar no espectro das bisectoras somente “picos” causados por atividade estelar. Portanto, os “picos” observados no espectro das velocidades radiais sem análogosao da bvs, devem ser atribuidos aos planetas.

Figura 5.44: Espectro das velocidade radiais (preto) e das bvs (vermelho).

Percebemos que o per´ıodo mais significativo de (5.45) éo de 23 dias e este possui cor- respondente em ambos os espectros, ou seja, aparece tanto nas velocidades radiais quanto na bvs. Portanto, nãose trata de planeta. O per´ıodo de nove dias estápresente apenas no espectro de VR e este éo principal argumento para que Hatzes et al. (2009) afirmarem se tratar possivelmente de um planeta. O que nos levou a nãofazer o mesmo foram os cálculosda se¸cão(5.2), em que tomamos os dados limitados em 845-874, aproximadamente 30 dias de observa¸cõesonde seria poss´ıvel detectar de maneira consistente o valor de nove dias. Todavia, nãoéisto que ocorre; na se¸cãocitada, conclu´ımosque esta periodicidade de nove dias muito provavelmente, se trata de um batimento do per´ıodo de rota¸cãocom Se¸cão5.10. Conclusão 169 outros exitentes nas observa¸cões.Note-se que quando eliminamos a rota¸cãodos dados, este per´ıodo de nove dias tambéméeliminado. Por outro lado, as periodicidades de 3.7 dias e 5.9 dias aparecem somente nas velocidades radiais, e, também,sãoconsistentes como mostraram as análisesque efetuamos ao longo deste cap´ıtulo.

5.10 Conclus˜ao

Neste cap´ıtulo apresentamos nossa análisedas velocidades radiais de CoRoT-7. Tra- balhamos com os dados em toda sua extensãotemporal e tambémcom o conjunto restrito no intervalo 845-875, respectivamente nas se¸cões(5.3) e (5.2), aplicando técnicasclássicas de Fourier que consistem em efetuarmos os ajustes de acordo com as indica¸cõesdadas pelo espectro dos dados. Assim, em (5.2), verificamos a influênciado quarto harmônicoda rota¸cãonas velocidades radiais e conclu´ımospara as massas os valores de 8.513MT e 13.88MT para CoRoT-7b e c respectivamente, resultado muito distinto daqueles da literatura. Na se¸cão(5.3), repetimos o procedimento incluindo todas as medidas, e os valores para as massas passaram a ser: 5.15M⊕ e 12.806M⊕. Aqui se faz n´ıtidaa irregularidade da velocidade radial advinda da rota¸cão: enquanto que, em (5.2), esta atingia amplitudes da ordem de 15m/s, em (5.3) este valor éde, no máximo,10m/s, e a isto atribuimos as diferen¸casentre os valores das se¸cões(5.2) e (5.3). Encontramos tambémum per´ıodo de ≈ 9 dias que atéafirmar´ıamosse tratar de um terceiro planeta, pela análisedas linhas bisectoras, nãofossem os resultados da se¸cão(5.2), em que verificamos a grande correla¸cão deste per´ıodo com a rota¸cãoestelar. Nas se¸cõesseguintes, (5.4) e (5.5), estudamos o filtro passa alto de Queloz, atravésdo qual esperávamos a ratifica¸cãodos valores propostos na literatura. Verificamos que uma simples filtragem, como a reazliada em Queloz et al. (2009), acarreta em perdas relevantes de informa¸cão.Basta analisarmos o gráfico(5.24) em que foi eliminada toda a atividade estelar e tambémo alias em ≈ 5.9 dias referente ao sinal do planeta de per´ıodo ≈ 0.85d. Por esta razão,os valores obtidos atravésde tal filtro levam a subestimar as massas. Assim, insatisfeitos com os valores obtidos, propomos um procedimento para o uso do filtro que nãosóelimina a atividade indesejada mas garante tambéma consistênciados valores alcan¸cados. Da aplica¸cãodeste filtro autoconsistente, encontramos valores nos intervalos 170 Cap´ıtulo5. O Sistema CoRoT 7

de [6.9 − 9.4]M⊕ para 7b e [13.7 − 14.7]M⊕ que sãoconcordantes com nossa primeira estimativa da se¸cão (5.2). Nãoconsideramos ser motivo de preocupa¸cãoa dispersãodos dados nos intervalos mencionados, basta observamos que a modelagem encontrada para os sinais planetáriose da atividade, figuras (5.30) e (5.36), sãoaproximadamente iguais para os tempos de coerênciaconsiderados. Cap´ıtulo 6

Conclus˜ao

Neste trabalho foi apresentada uma discussãoqualitativa das técnicasde determina¸cão das órbitase parâmetrosplanetáriosa partir das medidas de velocidade radial. A qual- ificamos desta maneira por entendermos que cada sistema possui caracter´ısticapróprias e, justamente isto, dificulta a cria¸cãode um “protocolo” para determina¸cãodos elementos orbitais. Basta lembrarmos da aplica¸cãoque fizemos para o sistema HD202206 e CoRoT-7, por exemplo. No primeiro, devido a pequena massa do segundo corpo, foi necessário,para uma determina¸cãoconfiável, a utiliza¸cãodo processo de frequentes reinicializa¸cões,afim de explorar melhor o espa¸co de parâmetrosa partir de chutes dados de forma aleatória. Deste processo, a melhor solu¸cãoque obtivemos, que alia consistênciaestat´ısticacom a estabilidade dinâmicaéa dada pela solu¸cão(3.5-2), que classifica o sistema como secular, concordante com a classifica¸cãodada em Cunha (2010). No segundo caso, o sistema CoRoT-7, as medidas possuem forte contamina¸cãoda atividade estelar e os algoritmos desenvolvidos foram aplicados de forma a separar das medidas de VR os efeitos da atividade e dos planetas. Apesar desta dificuldade a linha de conduta que seguimos éa de efetuarmos os ajustes de forma sucessiva: Calculamos primeiramente um ajuste e, posteriormente, analisamos seus res´ıduospor DCDFT. Desta análise,outros ajustes serãofeitos casos entendamos necessárioaumentar a complexidade do sistema. Mesmo com esta “receita” para dedu¸cãodos parâmetros,háainda grandes discussões envolvendo sistemas polêmicos,como o próprioCoRoT-7, que estudamos aqui, e GJ581. O primeiro, como citamos, possui como principal varia¸cãode VR efeitos de atividade estelar, que ébastante irregular ao longo das observa¸cões.Isto dificulta sobremaneira a dedu¸cão das massas, para os dois planetas existente neste sistema, CoRoT-7b e c. Esse sistema é 172 Cap´ıtulo6. Conclusão interessante, pois um dos corpos, CoRoT-7b, éobservado por trânsito,o que possibilita o cálculode seu raio. Assim, uma boa determina¸cãode sua massa pode eleger este como o primeiro exoplaneta com medida para sua densidade. Os valores que encontramos para as massas são:7.9 ± 1.6 e 14.2 ± 0.5, para CoRoT 7b e c, respectivamente. Jáo segundo, GJ- 581, envolve uma sériadiscussãoa respeito da diferencia¸cãode sinais advindos de ru´ıdos daqueles genuinamente planetários. Aqui não estudamos especificamente este sistema, mas esta distin¸cãoque nos referimos fizemos estudando a aplica¸cãodo espectro de Fourier (DCDFT) em dados ruidosos e deduzindo a sua distribui¸cão. Outro fator que gera dúvidasdiz respeito àsincertezas nos valores encontrados. Os métodos conhecidos, por intermédio da matriz de covariância,nãosãoaplicáveis, pois, nos casos em que tentamos sua utiliza¸cão,observamos tratar-se de uma matriz mal condi- cionada. Por esta razãodeve-se utilizar amostras alternativas geradas com aux´ılio de processos estocásticos,como o jacknife e resampling, que descrevemos no cap´ıtulo3. Todavia, cada autor utiliza uma metodologia própria,Beaugé et al. (2007) e Ford (2005), por exemplo, utilizam o resampling tal qual descrevemos. Buttler et al. (2006) utilizam um subterfúgiosemelhante, mas estimam os ru´ıdospor meio dos res´ıduosdo melhor ajuste para, posteriormente, gerar amostras alternativas inserindo nelas os ru´ıdosinferidos. Discut´ıveis tambémsãoos valores tabelados na literatura que, aparentemente, de acordo com o cap´ıtulo4, estãoprovavelmente superestimados. Mesmo em sistemas simples, constitu´ıdosde uma estrela e apenas um planeta, este problema éobservado e ésempre poss´ıvel melhorar os valores tabelados. E´ clara tambéma dificuldade em afirmarmos se um sistema éou nãoressonante. Esta classifica¸cão,nos casos estudados, alémde ser fortemente dependente dos ru´ıdosinseridos, tambémpode ser confusa, visto que razõesdistintas de per´ıodos, ou seja, diferentes ressonâncias,podem produzir curvas de velocidade radial equivalentes. Como perspectiva para trabalhos futuros, introduzimos tambémo estudo das curvas de luz, descrito no apêndiceC. Vislumbramos neste tópicováriosassuntos a serem ex- plorados, como por exemplo, a pesquisa de T.T.V. (transit time variation) e T.D.V. (transit duration variation), hoje bastante estudadas e que visam procurar ind´ıciosde um outro companheiro planetárionas curvas de luz. Contudo, apenas efetuamos a fase de implementa¸cãocomputacional que seráaplicada no futuro. Cap´ıtulo 7

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Apˆendice A

Reconstru¸cãode medidas a partir dos gráficos publicados

Descrevemos aqui o processo que utilizamos para a captura de medidas que usamos tanto para HD202206 como no per´ıodo inicial das pesquisas sobre o sistema CoRoT-7. Apresentamos como exemplo a figura (A.1), que representa a página753 do artigo Correia et al. (2006) e trata-se de um arquivo de extensão“.ps”.

Figura A.1: Página753 de Correia et al. (2005). 182 Apêndice A. Reconstru¸cãode medidas a partir dos gráficos publicados

Na figura (A.1), o gráficoda esquerda representa o ajuste kepleriano com apenas 1 corpo, enquanto que o da direita representa o ajuste com 2 corpos, que representamos em maiores detalhes na figura (A.2), pois édele, efetivamente, que extrairemos as medidas.

Figura A.2: Figura 2, p´agina753 de Correia et al. (2005).

Ao abrirmos a páginado arquivo “.ps”, com algum aplicativo de texto, seja Word ou Edit, teremos um arquivo de cerca de 45000 linhas, estas embora possam parecer inin- tel´ıgiveis nos permitem obter algumas informa¸coes importantes. Da análisecuidadosa da codifica¸cãodo “.ps”, na linha 1313, veremos comandos do tipo: ...... LTB 798 1828 M 31 0 V 4621 0 R -31 0 V 798 2023 M 63 0 V 4589 0 R ApêndiceA. Reconstru¸cãode medidas a partir dos gráficospublicados 183

-63 0 V stroke 714 2023 M [[(Helvetica) 140.0 0.0 true true (13.8)] ]-46.7 MRshow ......

Estes códigosse estendem atéa linha 1410 e se tratam nada mais, nada menos, que a montagem do eixo vertical do gráficoda figura (A.2). Vamos analisar estes comandos linha a linha: A primeira delas, “798 1828 M ” , traz as coordenadas adotadas no plano do papel onde a letra M significa que a coordenada éabsoluta em rela¸cãoa origem (0, 0). Não sabemos onde esta origem se encontra, mas isto nãoinflui em nossa análisepois adotamos como ponto de partida (198, 1828).

Estamos entãoem (798, 1828), a linha seguinte é“31 0 V ” e ela nos diz que a partir do ponto da localiza¸cão(798, 1828) étra¸cadoum segmento de reta horizontal de comprimento 31, cuja unidade de comprimento éo pixel. Tra¸cadoeste segmento horizontal, não estamos mais em (798, 1828), mas sim em (829, 1828).

Seguindo, temos “4621 0 R” , a letra R significando que écoordenada relativa, ou seja, são medidas a partir de (829, 1828) e, portanto, significa que partindo deste ponto devemos nos deslocar até(5450, 1828). O próximocomando “-31 0 V ” nos informa que énovamente desenhado um segmento de comprimento 31, inciando em (5450, 1828) e terminando em (5419, 1828). Estes pequenos segmentos horizontais tra¸cadoséque formam a escala vertical do gráfico,estas que descrevemos neste parágrafocorrespondem ávelocidade de 13.9 km/s, que vemos em maiores detalhes na figura (A2).

Portanto, a velocidade de 13.9 km/s equivale a ordenada 1828, de maneira análoga,concluimos que 13.8 km/s éa ordenada absoluta 2023, e, estendendo este racioc´ıniopodemos montar facilmente toda a escala vertical, aquela referente as velocidades radiais. A abcissa 184 Apêndice A. Reconstru¸cãode medidas a partir dos gráficos publicados destes pontos é798 e fixa a posi¸cãodo eixo no gráfico.

Por outro lado, a escala horizontal, referente aos momentos em que as observa¸c˜oesforam feitas, ´edada entre as linhas 21763 e 21880, como segue abaixo: ...... 798 420 M 0 31 V 0 1200R 0 -31 V 1009 420M 0 31 V 0 1200 R 0 -31 V 1221 420M 0 31V 0 1200R 0 -31V 1432 420M 0 63V 0 1168R 0 -63 V stroke 1432 280 M [[(Helvetica) 140.0 0.0 true true (51500)] ]-46.7 MCshow ......

Como jácitado, as coordenadas assinaladas com a letra M sãoabsolutas, entãoesta- mos inicialmente na localiza¸cão(798,420). A partir deste in´ıcioétra¸cadoum segmento de reta vertical de tamanho 31, que nos conduz ao ponto (798,451). Na linha subse- ApêndiceA. Reconstru¸cãode medidas a partir dos gráficospublicados 185 quente, o comando indica que “caminhamos” (0,1200) em rela¸cãoao ponto que estávamos, chegamos entãoem (798,1651) onde édesenhado um tra¸covertical de comprimento 31, paramos entãoem (1620,798). Portanto, podemos concluir que a abcissa 798 equivale a t = 51200(JD − 2400000). Seguindo o racioc´ıonio, a linha subsequente nos coloca em (1009,420) édesenhado um segmento de reta vertical de comprimento 31, que nos faz chegar ao ponto (1009,451). Este último,a abcissa 1009, se refere a t = 51300(JD − 2400000). Se procedermos desta maneira podemos reconstruir, também,todo o eixo horizontal, determinando, com precisão de algumas horas, todos os momentos das observa¸cões. A escala dos res´ıduoséobtida de forma análogae édada a partir da linha 43622. Já os pontos, propriamente ditos, da figura (A2) sãomostrados a partir da linha 21575, da seguinte forma: ... 1227 2400 CircleF 1227 2406 CircleF ... Os res´ıduosestãoinformados a partir da linha 22919, dados por: ... 1227 487 CircleF 1227 521 CircleF 1258 750 CircleF ... Jáque conhecemos as escalas e temos seus pontos, podemos por simples interpola¸cãoen- contrar os valores efetivamente digitalizados na constru¸cãodos gráficos,que são: t(JD-2400000) VR(km/s) 51402.8805 13.9931 51402.8805 13.9962 ......

Jápara os res´ıduosencontramos: t(JD-2400000) O-C(km/s) 186 Apêndice A. Reconstru¸cãode medidas a partir dos gráficos publicados

51402.8805 0.023 51402.8805 0.025 ......

Assim podemos montar a tabela ﬁnal: t(JD-2400000) VR(km/s) σ(km/s) 51402.8805 13.9931 0.00901 51402.8805 13.9962 0.00901 51417.5408 13.9137 0.00502 ......

Entretanto, nãopodemos considerar a tabela acima como a definitiva, pois nela há algumas incoerências,principalmente em rela¸cãoa coluna t. Sabemos que as observa¸cões foram feitas em La Silla-Chile, que estáno fuso GMT − 4h. Ao convertermos a coluna t para dia e hora local, observaremos que existem valores do tempo que correspondem a dia claro, o que obviamente nãoretrata a realidade. Este problema surge da resolu¸cãousada pelo arquivo .ps, de forma que a largura do pixel utilizado, na escala de t possui cerca de 10 horas. Para corrigirmos este equ´ıvoco, assumimos que as observa¸cõesforam realizadas no exato momento da passagem da estrela pelo meridiano de La Silla. Conhecendo a ascen¸cão reta e a declina¸cãoda estrela, que são:21h14m57.7693 e -20h47m21.154, repectivamente,e, com uma tabela de horas siderais, calculamos as passagens meridianas para cada uma das 105 observa¸cões.Ainda assim, em alguns poucos casos a passagem meridiana ocorreu em dia claro. Nestes casos, assumimos que as medi¸cõesforam feitas próximasao nascer ou ao ocaso da estrela, dependendo de qual for poss´ıvel. Entãoa tabela com as corre¸cõescitadas é: t(JD-2400000) VR(km/s) σ(km/s) 51402.66259 13.9931 0.00901 51402.66259 13.9962 0.00901 51417.61275 13.9137 0.00502 ...... ApêndiceA. Reconstru¸cãode medidas a partir dos gráficospublicados 187

Como últimopasso, ajustamos a coluna VR(km/s) pois nossa assertiva de que as medidas sejam feitas na passagem meridiana éarbitrária,nãotemos garantias de que isto ocorra. Isto nos induz a corre¸cõesnas velocidades para compensar estes poss´ıveis desvios. O gráfico(2) de Correia et al. (2005) que ilustramos em (A2) foi obtido pela aproxima¸cão kepleriana com 2 corpos. Jáque possuimos os res´ıduosdos mesmos, e sabemos as órbitas que foram usadas para obtê-los, reavaliamos as velocidades da seguinte maneira:

Vr = Vr(calculado na passagem meridiana e dados da tabela 2 de Correia et al.(2005))+Residuos(tamb´emdigitalziados da ﬁgura A2)

Sendo assim, encontramos a tabela ﬁnal: t(JD-2400000) VR(km/s) σ(km/s) 51402.66259 13.995 0.009 51402.66259 13.999 0.009 51417.61275 13.914 0.005 ......

Assim, com esta últimatabela encontramos o que julgamos serem as melhores medidas que podemos extrair do gráfico.Atravésdesta últimatabela obtivemos os cálculospara o sistema HD202206. O método que descrevemos, tambémfoi inicialmente utilizado para o sistema CoRoT-7. Posteriormente recebemos as medidas reais da equipe de espectroscopia da missãoCoRoT e abandonamos os constru´ıdosa partir do arquivo ’.ps’ . A compara¸cãodos dois conjuntos mostram excelente acordo, mas os dados reconstru´ıdossempre deixam margem a incertezas e portanto, o método descrito aqui, sódeve ser usado em casos extremos em que os dados nãosãocolocados àdisponibilidade públicapelas equipes de observa¸cão. 188 Apêndice A. Reconstru¸cãode medidas a partir dos gráficos publicados Apêndice B

Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

B.1 Introdu¸c˜ao

Apresentamos nesta apêndicealgumas considera¸cõessobre o comportamento estat´ıstico dos periodogramas. Deduzimos sua distribui¸cão,bem como apresentamos combina¸cões arbitráriasdos elementos da base, periodograms F e β, que tambémpodem ser utilizados para procura de per´ıodos e que possuem estat´ısticabem definida.

B.2 Deﬁni¸c˜ao

Um periodograma éuma fun¸cãodos per´ıodos e édefinido na literatura de várias maneiras, que podem diferir entre si por seus fatores de normaliza¸cãoe pelo conjunto de dados a que se aplica. Para um conjunto com N dados, a defini¸cãomais simples e exata para dados equiespa¸cadasé:

P = C2 + S2 (B.1)

Onde:

N X C = xj cos(ωtj) (B.2) j=1

e 190 Apˆendice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

N X S = xj sin(ωtj) (B.3) j=1

As observa¸cõessão x = {xj/j = 1, ..., N}, com amplitude K e ru´ıdo σr. A equa¸cão (B.1) échamada na literatura de periodograma clássicoe pode ser avaliado para qualquer frequência. Jápara dados com espa¸camento irregular, esta defini¸cãonãoémais válida, pois, com a mádistribui¸cãotemporal, nãopodemos garantir a ortogonalidade dos termos sen(ωt) e cos(ωt). Em outras palavras, nesta situa¸cão,em geral, teremos:

N X sin(ωtj) cos(ωtj) 6= 0 (B.4) j=1

Deeming e Lomb contornam este problema ao deﬁnir as equa¸c˜oes(B.1), (B.2) e (B.3) da seguinte maneira:

1 C2 S2 P = { + } (B.5) 2 A B

Onde:

N X C = xj cos ω(tj − τ) j=1 N X S = xj sin ω(tj − τ) (B.6) j=1

Jáos termos A e B sãodados pelas fórmulas:

N X 2 A = xj cos ω(tj − τ) j=1 N X 2 B = xj sin ω(tj − τ) (B.7) j=1

O parâmetro τ, garante a ortogonalidade, e écalculado a partir da seguinte condi¸cão: Se¸cãoB.2. Defini¸cão 191

N X cos ω(tj − τ) sin ω(tj − τ) = 0 (B.8) j=1

E isto resulta em:

PN 1 sin ω(tj − τ) τ = arctan{ j=1 } (B.9) 2ω PN j=1 cos ω(tj − τ)

Por fim, a divisãode cada um dos termos da equa¸cão(B.5) pelos fatores A e B éequivalente a normaliza¸cãodo periodograma pelo númerode pontos, jáque, para uma quantidade suficiente de medidas, teremos:

1 C2 S2 P = { + } 2 A B 1 C2 S2 = { + } 2 P 1+cos ω(tj −τ) P 1+sin ω(tj −τ) 2 2 1 C2 S2 = { + } 2 N N 2 2 1 = {C2 + S2} N

Trataremos de encontrar a distribui¸cãoda variável P, supondo ser conhecido σr. Com P calculado de acordo com (B.1) e chegaremos ao resultado apresentado por Groth (1975) e Horne-Baliunas (1982). Utilizaremos uma defini¸cãosimples de periodograma, mas que engloba o parâmetro τ e, naturalmente, chegaremos a defini¸cãode Deeming e Lomb. Con- cluiremos que hárazõesestat´ısticas para os fatores de normaliza¸cãoque esses autores utilizam. Estudamos tambémos trabalhos de Czerny (1996, 1998) que propõedistribui¸cões alternativas para P, baseadas em combina¸cõesemp´ıricasdos termos C2 e S2. 192 Apêndice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

B.3 Distribui¸c˜aode P

Partiremos da deﬁni¸c˜ao:

N N X 2 X 2 P = { xj cos ω(tj − τ)} + { xj sin ω(tj − τ)} (B.10) j=1 j=1

2 Se o sinal xj for ru´ıdoGaussiano, chamado tambémde “white noise”, com variância σr , PN PN os termos C = j=1 xj cos ω(tj − τ) e S = j=1 xj sin ω(tj − τ) sãoindependentes e com distribui¸cãogaussiana de médiazero. Por outro lado, se alémdos ru´ıdoshouver alguma componente per´ıodica, os termos C e S continuarãoGaussianos, mas, nesta situa¸cão,a médiaestarádeslocada para o valor de Ps, que éa amplitude do sinal se nãohouvesse ru´ıdoalgum (ou seja, σr = 0). Para iniciarmos a dedu¸cão,basta sabermos que C e S, como jácitamos, sãoGaussianos, e se houver uma quantidade suficiente de medidas, podemos aproximar as médiase variânciaspor:

KN hCi = hSi = 2 r Nσ2 σ = σ = r (B.11) C S 2

Onde N éo númerode pontos e K a amplitude do sinal. Apresentamos nas figuras (B.1) e (B.2) o histograma do termo C com a finalidade de demonstrar que as aproxima¸cõesque propomos sãoválidas. As figuras (B.1) e (B.2) foram geradas da seguinte forma: tomamos como amplitude

K = 41.1m/s e per´ıodo de 100 dias. Os ru´ıdosforam gaussianos tais que: K\σr = 3 e 4 e consideramos 5.000 amostras com 150 pontos cada uma delas. Alémdestes gráficos apresentados, fizemos tambémtestes com quantidades maiores e menores de medidas, 100, 250, 500 e 1.000 que tambémapresentaram boa concordânciamas nãoos colocaremos aqui por economia de espa¸co. Se¸cãoB.3. Distribui¸cãode P 193

PN Figura B.1: Histograma de C = j=1 xj cos ω(tj − τ), para K\σr = 3, calculado para uma frequˆenciaﬁxa. O valor de K utlizado foi de 41m/s.

PN Figura B.2: Histograma de C = j=1 xj cos ω(tj − τ), para K\σr = 4 e tomamos K = 41m/s.

Tanto na figura (B.1) quanto na (B.2) plotamos somente o histograma da variável C e neles a curva em vermelho representa a fun¸cão:

1 (C − hCi)2 p(C) = exp{− } (B.12) p 2 2σ2 2πσC C Para real¸carainda mais a concordância entre as curvas, informamos os valores calculados pelas fórmulas: de acordo com a equa¸cão(B.11), para a figura (B.1), temos que

σC = 118.69 e hCi = 3082.25, os valores calculados diretamente do histograma s˜ao: 194 Apˆendice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

σC = 117.39 e hCi = 3083.94. Jápara a figura (B.2), temos: σC = 88.98 e hCi = 3082.5, pela fórmula e σC = 88.0576 e hCi = 3083.439, pelo histograma. Sendo uma boa hipótese considerar C e S gaussianos, podemos encontrar a distribui¸cãode P, para isto, devemos encontrar primeiramente a fun¸cãocaracter´ısticapara C2 e S2. Partimos, então,da equa¸cão

2 (B.12) que éa distribui¸cãonormal N(hCi, σC ) e calculamos, para C , a fun¸cãocarac- ter´ıstica:

∞ 2 2 1 Z (C − hCi) E(eikC ) = exp − + ikC2 dC (B.13) p 2 2σ2 2πσC −∞ C

Com alguma manipula¸cãoalgébrica,a expressão(B.13) pode ser escrita como (B.14):

n hCi2 o exp 2 ∞ 2 2σ Z 1 2hCi E(eikC ) = C exp −C2 − ik + C dC (B.14) p 2 2σ2 2σ2 2πσC −∞ C C

Para resolu¸cãode (B.14), recorremos àfórmula 1 da tabela (B.1), fixando os parâmetros

2 1 hCi p = 2 − ik e q = 2 , chegaremos entãoàseguinte expressão: 2σC σC

n hCi2 o ( ) √ exp 2 2 2 2 2σ hCi /σ π E(eikC ) = C exp C (B.15) p 2 1 q 1 2πσ 4( 2 − ik) C σC 2 − ik 2σC

Apósas devidas simplifica¸cões,a equa¸cão(B.15) fica da seguinte forma:

2 2 1 ikhCi φ(k) = E(eikC ) = exp (B.16) p 2 1 − 2σ2 ik 1 − 2σC ik C

A fun¸cãocaracter´ıstica para S2, dada em (B.17), segue as mesmas diretrizes e écomple- tamente análogaa (6.16).

2 2 1 ikhSi φ(k) = E(eikS ) = exp (B.17) p 2 1 − 2σ2 ik 1 − 2σSik S

Portanto, com o aux´ıliode (B.16) e (B.17), podemos calcular a distribui¸cãode P. Seja: Se¸cãoB.3. Distribui¸cãode P 195

n X 2 2 Ps = hCim + hSim (B.18) m=1

Como definimos anteriormente, (B.18) éo valor da amplitude máximado periodograma, devido somente ao sinal, se nãohouvesse ru´ıdosnos dados. O ´ındicesuperior da somatória é n e refere-se ao númerode per´ıodos que existe neste sinal. A fun¸cãocaracter´ıstca de P é,segundo (B.16) e (B.17):

( )n " n # 1 ik X φ(k) = exp {hCi2 + hSi2 } p 2 1 − 2σ2 ik m m 1 − 2σP ik P m=1

( )n 1 ikP φ(k) = exp s (B.19) p 2 1 − 2σ2 ik 1 − 2σP ik P

Nãodevemos esquecer que σP = σC = σS. A distribui¸cãode probabilidade de P resulta da inversãoda fun¸cãocaracter´ıstica,ou seja:

Z ∞ 1 2 −n ikPs pn(P ; Ps) = (1 − 2σP ik) exp 2 − ikP dk (B.20) 2π −∞ 1 − 2σP ik

Agora seguiremos com algumas manipula¸c˜oespara resolver a integral acima, se ﬁzermos z Ps 1/2 2 i P = 1 − 2σP ik, rescrevemos (B.20) como:

(n−1)/2 n−1 Z ∞ 1/2 1 P P + Ps i −n 1 (PPs) pn(P ; Ps) = 2 exp − 2 z exp −i z − 2 dz 2σP Ps 2σP 2πi −∞ z 2σP (B.21)

Resolvemos a equa¸cão(B.21) utilizando a fórmula (3) da tabela (B.1). Fixando os parâmetros

1/2 x (PPs) −ν = n−1 e = 2 , o termo entre chaves da equa¸c˜ao(B.21) ﬁca da seguinte maneira: 2 2σP

i2 Z ∞ 1 x zν−1 exp −i z − dz (B.22) 2πi −∞ z 2

A integral acima ´eigual a: 196 Apˆendice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

1/2 (PPs) Iν(x) = In−1 2 σP

Assim teremos:

(n−1)/2 1/2 1 P P + Ps (PPs) pn(P ; Ps) = 2 exp − 2 In−1 2 (B.23) 2σP Ps 2σP σP

A expressão(B.22) étabelada e chamada de distribui¸cãonãocentral de χ2 e com ela demonstramos a distribui¸cãopara o periodograma de Lomb-Scargle. Esta expressãoéa mesma contida em Horne e Baliunas (1982) e Groth (1975). Fixaremos n = 1, ou seja, de acordo com a somatória(B.18), hásomente um per´ıodo nos dados, então(B.22) fica:

1/2 1 P + Ps (PPs) p1(P ; Ps) = 2 exp − 2 Io 2 2σP 2σP σP ∞ k 1 P + Ps X 1 (PPs) p (P ; P ) = exp − (B.24) 1 s 2σ2 2σ2 k!k! 22kσ4k P P k=0 P

Ainda, para n = 1 iremos calcular a m´ediae variˆanciade P:

Z ∞ ∞ k 1 P + Ps X 1 (PPs) hP i = exp − dP 2σ2 2σ2 k!k! 22kσ4k −∞ P P k=0 P ∞ k Z ∞ 1 P + Ps X 1 (Ps) P hP i = exp − P k+1 exp − dP 2σ2 2σ2 k!k! 22kσ4k 2σ2 P P k=0 P −∞ P

P Uma sutil mudan¸ca: u = 2 , implica em: 2σP

∞ k Z ∞ 1 P + Ps X 1 (Ps) hP i = exp − uk+1exp{−u}2σ2 du (B.25) 2σ2 2σ2 k!k! 22kσ4k P P P k=0 P −∞

E utilizando em (B.24) a equa¸c˜ao(4) da tabela (B.1) teremos:

∞ k 2 (−P /2σ2 ) X 1 Ps hP i = 2σ e s P (k + 1)! (B.26) P k!k! 2σ2 k=0 P Se¸c˜aoB.3. Distribui¸c˜aode P 197

2 Apenas para economia de nota¸c˜ao,utilizaremos x = Ps/2σP e, ent˜ao, teremos:

∞ ∞ X 1 X 1 hP i = 2σ2 e−x xk(k + 1)! = 2σ2 e−x xk(k + 1) P k!k! P k! k=0 k=0 ( ∞ ∞ ) X xk X xk hP i = 2σ2 e−x x + (B.27) P k! k! k=0 k=0

Na equa¸cão(B.26), utilizaremos a fórmula (6) da tabela (B.1) e, portanto, o valor esperado de P é:

2 hP i = (2σP ) {x + 1} hP i 2 = x + 1 2σP hP i Ps 2 = 2 + 1 (B.28) 2σP 2σP

Omitiremos aqui os cálculos,mas a variânciasegue as mesmas diretrizes e seu valor pode ser representado pela fórmula:

P 2Ps var 2 = 2 + 1 (B.29) 2σP 2σP

Compilando os resultados que encontramos atéo momento, temos, para a distribui¸cãode P, seu valor esperado e variância,as seguintes equa¸cões,para n=1:

∞ k 1 P + Ps X 1 (PPs) p (P ; P ) = exp − (B.30) 1 s 2σ2 2σ2 k!k! 22kσ4k P P k=0 P hP i Ps 2 = 2 + 1 (B.31) 2σP 2σP P 2Ps var 2 = 2 + 1 (B.32) 2σP 2σP

2 2 Nσr Lembremos que σP = 2 , então,em termos de σr as equa¸cões(B.29), (B.30) e (B.31) 198 Apêndice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

ﬁcam da seguinte maneira:

∞ k 1 P Ps X 1 P Ps p (P ; P ) = exp − + (B.33) 1 s Nσ2 Nσ2 Nσ2 k!k! Nσ2 Nσ2 r r r k=0 r r

hP i Ps 2 = 2 + 1 (B.34) Nσr Nσr P 2Ps var 2 = 2 + 1 (B.35) Nσr Nσr

Prestemos aten¸cãono fato de que, nestas últimasequa¸cões,os termos P ou Ps sempre 2 surgem divididos por N e pelo fator σr . Assim, podemos entender melhor a defini¸cãode

Lomb e a normaliza¸c˜aopor σr proposta por Horne e Baliunas (1982). Normalizando o periodograma (B.1) por N e σr as equa¸c˜oes(B.32) a (B.34) podem ser reescritas como (B.35) a (B.37):

∞ 1 X 1 p (P ; P ) = exp [−P − P ] (PP )k (B.36) 1 s Nσ2 s k!k! s r k=0

hP i = Ps + 1 (B.37)

var[P ] = 2Ps + 1 (B.38)

Com estas equa¸cões,fechamos a dedu¸cão,a seguir apresentaremos as figuras (B.3) e (B.4), em que vemos alguns histogramas que mostram boa concordânciaentre os valores simu- lados por Monte-Carlo e as fórmulas deduzidas. Plotamos nestes gráficos5.000 amostras com 60 pontos cada uma, as demais condi¸cõesforam as mesmas das figuras (B.1) e (B.2). Estes resultados nos mostram boa concordância,a fun¸cãogaussiana tambémpoderia representar bem o histograma, mas acreditamos que isto ocorre em virtude dos parâmetros que utilizamos. Se¸cãoB.3. Distribui¸cãode P 199

Figura B.3: Histograma de P para K\σr = 4. O valor de K utlizado foi de 41m/s.O eixo x representa a potênciaP, a curva azul a fun¸cãoGaussiana e a vermelha a fórmula que deduzimos.

Figura B.4: Idem `aﬁgura (6.3), mas aqui temos σr = 2.

Portanto partimos de P = C2 + S2 em que C e S possuem distribui¸cãogaussiana. Entãodemonstramos que P, calculado pela soma do quadrado de variáveis de distribui¸cão guassiana, possui distribui¸cão χ2. Note que esta éa mesma defini¸cãopara o periodograma 200 Apêndice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

2 2 de Ferraz-Mello (1982), cujo espectro édado por c1 +c2 em que tanto c1 quanto c2 também possuem distribui¸cãoGuassina. Se calculados com os fatores de normaliza¸cãoadequados,

2 ou seja, σr o valor médioe a variância para c1 e c2 são:

hc1i = hc2i = 0 (B.39)

2 2 σc1 = σc1 = 1 (B.40)

E portanto, encontramos:

hP i = 2 (B.41)

2 σP = 4 (B.42)

Que sãoas mesmas equa¸cões(2.28), encontradas no cap´ıtulo2 atravésde amostras sintéticas de dados. Assim inferimos para o periodograma de Ferraz-Mello (1982) tambémuma distribui¸cão χ2. Retornando àequa¸cão(B.35), éinteressante tambémdeduzirmos a distribui¸cãocumulativa para p1, que se calcula da seguinte maneira:

Z ∞ 1/2 2 P + Ps (PPs) Π1 = 2σP exp − 2 Io 2 dP P 2σP 2σP ∞ k Z ∞ Ps X 1 P P Π = 2σ2 exp − s exp − P kdP 1 P 2σ2 k!k! 2σ2 2σ2 P k=0 P P P

Recorrendo àfórmula (6) da tabela (B.1), encontramos como solu¸cãofinal:

∞ k −k−1 Ps X 1 P 1 P Π = 2σ2 exp − s Γ k + 1, (B.43) 1 P 2σ2 k!k! 22kσ4k 2σ2 2σ2 P k=0 P P P

Consideramos importante um bom entendimento da estat´ıstica que envolve periodogramas, com esta ferramenta podemos ter melhores critériospara determinar se uma amplitude Se¸cão B.4. Periodogramas emp´ıricos 201 observada no espectro pode ser dada por ru´ıdosou se égenuinamente um sinal periódico. Entretanto, um problema que nos deparamos nesta dedu¸cãoéque os cálculosforam feitos com o conhecimento préviodo valor de σr, para aplica¸cõesreais isto nãoacontece e édif´ıcil encontrarmos uma boa estimativa para σr, o que torna dif´ıciluma correta normaliza¸cão do periodograma. Em virtude deste problema, empreendemos o estudo de Schwarzenberg- Czerny (1996) e (1998), ambos estãodetalhados na se¸cãoseguinte.

Tabela B.1 - F´ormulas utilizadas ao longo do apˆendiceB3

Gradshteyn et al. 2007

2 √ 1 R ∞ exp{−p2x2 ± qx}dx = exp[ q ] π −∞ 4p2 p 1 H x 1 −ν−1 2 2πi exp{ 2 (t − t )t }dt = Jν (x) −ν 1 H ix 1 −ν−1 −ν 3 i 2πi exp{ 2 (t − t )t }dt = i Jν (x) = Iν R ∞ k+1 4 −∞ u exp{−u}du = Γ(k + 2) = (k + 1)! x N xk 5 e = Σk=0 k! j 6 R ∞ exp(−µx)xndx = e−µuΣn n! u = µ−n−1Γ(n + 1, µu) u j=0 j! un−j+1 [u > 0; Re(µ) > 0; n = 0, 1, 2, 3, ...]

B.4 Periodogramas emp´ıricos

O periodograma de Lomb-Scargle utiliza-se da proje¸cãodo sinal na base ortogonal (senω(t − τ); cosω(t − τ)). Sem nos preocuparmos, por enquanto, com o espa¸camento dos dados e a ortogonalidade de fun¸cões,podemos procurar por periodogramas alternativos, cuja estat´ısticaseja bem definida e independente de σr. Podemos, por exemplo, generalizar e estender a base de forma a contemplar tambémos harmônicosda frequência ω. Ao fazer isto, estamos, na verdade, escrevendo nosso conjunto de pontos em uma sériede Fourier, dada por:

∞ X ao + [ancos(nωt) + bnsen(nωt)] (B.44) k=0 202 Apˆendice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

Figura B.5: Aproxima¸c˜aoda f´ormula (B.44) em um conjunto de velocidades radiais.

Para exempliﬁcar, geramos um conjunto de 200 velocidades radiais com a amplitude

o de 10 m/s, per´ıodo de 20 dias, excentricidade 0.3, ω = l = 0 e σr = 5 m/s. Estas medidas artificiais estãoapresentadas no gráfico(B.5) pelos pontos pretos. A curva cont´ınua representa a equa¸cão(B.44) com trêsharmônicos,cujos coeficientes foram calculados por:

N X an = xj cos(jωt) k=0 N X bn = xj sin(jωt) (B.45) k=0

Assim, uma alternativa éutilizar a série de Fourier para a determina¸cãode per´ıodos. Podemos, por exemplo, utlizar algum algoritmo de minimiza¸cãopara ajustar (B.44) aos dados que possu´ımos. Tal processo consiste de uma varredura de frequênciasem um determinado intervalo e, para cada uma delas, promovermos a minimiza¸cão,ajustando a equa¸cão(B.44), com o objetivo de encontrar os coeficientes de Fourier. Com este método, passar´ıamosa utilizar como periodograma a variável χ2. Exemplificamos no gráfico(B.6) estas ideias para o mesmo conjunto de dados que deram origem àfigura (B.5). Se¸cão B.4. Periodogramas emp´ıricos 203

Figura B.6: Periodograma χ2. Para cada frequênciano intervalo [0-0.5] ajustamos a equa¸cão (6.38) e nesta figura mostramos a qualidade de cada ajuste. Salientamos o per´ıodo de cinco dias e seus harmônicos.

A vantagem de utilizarmos χ2 éque esta variável possui estat´ıstica bem definida. Um outro exemplo que apresentamos estána figura (B.7), onde tomamos o mesmo periodograma para 200 dados puramente ruidosos, com σr = 5 m/s.

Figura B.7: Periodograma χ2 para dados puramente ruidosos, ajustamos sete harmˆonicos.

Este tipo de periodograma, apresentado nas figuras (B.6) e (B.7), talvez seja o mais confiável e étambémválidopara dados com espa¸camento irregular. O valor esperado na 204 Apêndice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

figura (B.7) deve ser igual ao númerode graus de liberdade do sistema, que para o caso é de aproximadamente 186, e isto éo que realmente observamos. Apresentamos tambémo gráfico(B.8) em que temos o histograma da figura (B.7) juntamente com a curva anal´ıtica da distribui¸cãode χ2.

Figura B.8: Histograma do espectro (B.7).

A desfavor desta técnicapesa o gasto computacional, visto que devemos fazer várias minimiza¸cões. Para economia de tempo, podemos definir o espectro de potênciascomo P 2 2 S = {an + bn}, com cada coeficiente de acordo com a fórmula (B.45). Este tipo de artif´ıcio funciona, mas, de acordo com a defini¸cãoda sérieque utilizamos na equa¸cão (B.5), sópode ser aplicado para espa¸camentos regulares, como mostra a figura (B.9). Se¸cão B.4. Periodogramas emp´ıricos 205

Figura B.9: Em preto, periodograma com espectro de potˆenciascalculado com os mesmos

dados da figura (B.6). Em vermelho, temos o mesmo, mas para dados ruidosos σr = 5 m/s sem qualquer correla¸cãoperiódica.Utilizamos trêsharmônicos.

Se por um lado a utiliza¸cãodo espectro de potênciasémais ágilque o de χ2, por outro, sofre da dependênciadofator σr. Para ilustrar isto, apresentamos o gráfico(B.10) no qual representamos os histogramas de cada um dos coeficientes que geraram o periodograma dos dados ruidosos da figura (B.9), cada um dos coeficientes possui distribui¸cão gaussiana, mas, como vemos, sãodependentes de σr.

Como citamos, esbarramos no problema do conhecimento de σr. Em virtude disto, se quisermos utilizar como periodograma o espectro de potências, neste ponto nos deparamos com o trabalho de Czerny (1996), no qual o autor propõecombina¸cõesarbitráriasdas proje¸cõesdo sinal na base, suposta ortogonal. Primeiramente, chamemos de ξk a proje¸cão dos dados nesta base, no caso de Lomb-Scargle, por exemplo, ter´ıamos ξk = (cos ω(t − τ); sin ω(t − τ)) .

Entretanto, ξk nãoésuficiente para descrevermos corretamente os dados x. Uma vez 2 2 2 que teremos |X| = |ξk| + |ξ⊥| , ou seja, necessitamos do conhecimento da base comple- 2 2 mentar ξ⊥, que deve ser tal que: |ξ⊥| = σr , somente assim os dados estãocorretamente representados.

2 2 Por outro lado, os termos | ξk | e | ξ⊥ | sãoindependentes e cada um poussui dis- 2 2 2 tribui¸cão χ , como demonstrado na se¸cãoanterior. O que faremos aqui étratar σr =| ξ⊥ | 2 2 como uma variável aleatóriae utilizaremos combina¸cõesarbitráriasde | ξk | e | ξ⊥ | como 206 Apêndice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

Figura B.10: Histograma para cada um dos coeficientes de Fourier de um periodograma com 200 medidas puramente ruidosas. A médiade cada um dos fatores deve ser zero e a variância 2 pode ser aproximada por 2σr /N.

periodograma, cujas distribui¸cõesdeduziremos aqui. Uma das combina¸cõesposs´ıveis éa variável Z, estudada primeiramente por Fisher (1924), definida por:

2 1 | ξk | /nk Z = ln 2 (B.46) 2 | ξ⊥ | /n⊥

Onde nk e n⊥ sãoos graus de liberdade. Para uma nota¸cãomais ágil,poremos: x1 = ξk, 2 n1 = nk, x2 = ξ⊥ e n2 = n⊥. Sabemos que x1 e x2 seguem uma distribui¸cão χ , dada:

n /2 (1/2) 1 n1 −1 h x i p(x ) = x 2 exp − 1 (B.47) 1 n1 1 Γ( 2 ) 2 Se¸c˜ao B.4. Periodogramas emp´ıricos 207

Por quest˜oesde comodidade dividiremos a equa¸c˜ao(B.47) em duas partes independentes:

1 x 1 x Z = ln 1 − ln 2 2 n1 2 n2 1 x A = ln 1 2 n1 1 x B = − ln 2 (B.48) 2 n2

A partir de (B.48), vamos primeiramente calcular a distribui¸c˜aopara A e B separada- mente. De acordo com a lei fundamental das probabilidades, a distribui¸c˜aopara A pode ser calculada da seguinte maneira:

dx p(A) = p(x ) 1 1 dA n1/2 n (1/2) 1 −1 h x i dx p(A) = x 2 exp − 1 1 (B.49) n1 1 Γ( 2 ) 2 dA

Teremos que:

n1/2 2n n n1 o p(A) = 1 [exp(2A)]n1/2 exp − e2A (B.50) n1/2 n1 2 Γ( 2 ) 2

A fun¸cãocaracter´ıstica,jácalculada na se¸cãoanterior, para A, é:

Z ∞ E(eikA) = p(A) exp {ikA} dA −∞ Z ∞ n1/2 ikA 2n1 2A n1 + ik n n1 2Ao E(e ) = (e ) 2 2 exp − e dA (B.51) n1/2 n1 −∞ 2 Γ( 2 ) 2

Se ﬁxarmos u = e2A, ﬁcamos com:

Z ∞ n1/2 ikA 2n1 n1 + ik n n1 o 1 E(e ) = (u) 2 2 exp − u du n1/2 n1 −∞ 2 Γ( 2 ) 2 2u n1/2 Z ∞ ikA 2n1 n1 + ik −1 n n1 o E(e ) = u 2 2 exp − u du (B.52) n1/2 n1 2 Γ( 2 ) −∞ 2 208 Apˆendice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

Segundo fórmula 1 da tabela (B.2), a equa¸cão (B.52) fica da seguinte maneira:

2nn1/2 1 n ik E(eikA) = 1 Γ 1 + (B.53) n1/2 n1 n1 n1/2+ik 2 Γ( 2 ) ( 2 ) 2 2

Ent˜ao,para os termos A e B da equa¸c˜ao(6.48), encontramos:

2nn1/2 n n o p(A) = 1 [exp(2A)]n1/2 exp − 1 e2A (B.54) n1/2 n1 2 Γ( 2 ) 2 2nn2/2 n n o p(B) = − 2 [exp(−2B)]n2/2 exp − 2 e−2B (B.55) n2/2 n2 2 Γ( 2 ) 2 2nn1/2 1 n ik E(eikA) = 1 Γ 1 + (B.56) n1/2 n1 n1 n1/2+ik 2 Γ( 2 ) ( 2 ) 2 2 nn2/2 1 n ik E(eikB) = − 2 Γ 2 − (B.57) n2/2 n2 n2 n2/2+ik 2 Γ( 2 ) ( 2 ) 2 2

Do conhecimento da fun¸cãocaracter´ısitcade A e B, podemos calcular a mesma para Z, que seráa multiplica¸cãode (B.56) e (B.57).

Z = A + B

E(eikZ ) = E(eik(A+B)) = E(eikA)E(eikB) n ik/2 Γ( n1 + ik )Γ( n2 − ik ) E(eikZ ) = 2 2 2 2 2 (B.58) n1 n2 n1 Γ( 2 )Γ( 2 )

Assim, a equa¸cão(B.58) representa a fun¸cãocaracter´ısticapara Z e, como esta determina somente uma distribui¸cãode probabilidades, podemos fazer o caminho de volta e encontrar, por fim, p(Z). Esta últimaetapa estáilustrada em (6.59):

∞ ik/2 ikZΓ( n1 + ik )Γ( n2 − ik ) 1 Z n e 2 2 2 2 p(Z) = 2 dk n1 n2 2π −∞ n1 Γ( 2 )Γ( 2 ) (B.59) Se¸c˜ao B.4. Periodogramas emp´ıricos 209

1 Z ∞ ik n n ik p(Z) = exp ln 2 − 2Z Γ 1 + × n1 n2 2πΓ( 2 )Γ( 2 ) −∞ 2 n1 2 2

n ik Γ 2 − dk (B.60) 2 2

ik n2 n1+n2 Em (6.59), se impormos que u = 2 − 2 e β = 2 , a equa¸c˜aoﬁca da seguinte maneira agora:

( " # ) 1 n n2/2 p(Z) = exp ln 2 − n z × n1 n2 2 2πiΓ( 2 )Γ( 2 ) n1

− n2 +i∞ u Z 2 n exp ln 2 − 2z Γ(β + u)Γ(−u)du (B.61) n2 n1 − 2 −i∞

Se ainda, fizermos que s = u, γ = −n2/2, t = exp {ln(n2/n1) − 2z}, teremos que a solu¸cão de (B.61), de acordo com (2) da tabela (B.2), fica da seguinte maneira:

2 n n n n2/2 n n1/2 p(Z) = − Γ 1 2 2 1 × n1 n2 2 2 n n Γ( 2 )Γ 2 1 2

− n1+n2 n 2 1 + exp ln( 1 ) exp{−2z} (B.62) n2

Assim, depois das devidas simplifica¸cões, chegamos na seguinte distribui¸cão:

n /2 n /2 n 1 n 2 en1Z p(Z) = 2 1 2 (B.63) n1 n2 2z (n1+n2)/2 B( 2 , 2 ) (n1e + n2)

Portanto, para a variável Z deduzimos (B.63) como sua distribui¸cãode probabilidades, mas éimportante encontrarmos tambémsua médiae variância. Estes cálculossãomais 210 Apêndice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas complexos, pois envolvem expansõesda fun¸cãogeradora de momentos, dada por:

n Γ( n2−t )Γ( n1−t ) M(t) = ( 2 )t/2 2 2 (B.64) n1 n2 n1 Γ( 2 )Γ( 2 )

A fun¸cão(B.64), na verdadde, éanáloga àfun¸cãogeratriz que utilizamos anteriormente. Por defini¸cão, M(t) éo valor esperado do termo etx, onde x possui distribui¸cão f(x). De acordo com a defini¸cão:

Z ∞ M(t) = E(etx) = etxf(x)dx (B.65) −∞

Se lembrarmos da s´eriede Taylor para a exponencial, a express˜aoacima pode ser posta na forma:

Z ∞ Z ∞ M(t) = 1 + t xf(x)dx + t2 x2f(x)dx + ... (B.66) −∞ −∞

E´ ´utiltomarmos o logaritmo de M(t), juntamente com a seguinte aproxima¸c˜aoln[1 + x] =

x2 x3 x − 2 3 + ..., teremos:

" # Z ∞ t2 Z ∞ Z ∞ 2 ln(M(t)) = t xf(x)dx + x2f(x)dx − xf(x)dx + ϑ(3)(B.67) −∞ 2 −∞ −∞

Notemos que o primeiro termo desta expansão éo valor esperado e o segundo, a expressão entre colchetes, éa variânciade x. Portanto, somos levados a expandir o lado direito da equa¸cão(B.65) e igualarmos termo a termo com (B.67). O logaritmo da equa¸cão(B.65) é:

t h n n i n + t n − t ln(M(t)) = ln 2 − ln 1 + ln Γ 1 + ln Γ 2 − 2 2 2 2 2

n n ln 1 − ln 2 (B.68) 2 2 Se¸c˜ao B.4. Periodogramas emp´ıricos 211

De Abramovitz e Stegun (1971) temos:

n1 n1 n1 1 n1 n1 1 1 8 ln Γ ≈ ln − ln − + ln(2π) + − 3 + ... 2 2 2 2 2 2 2 6n1 360n1 n2 n2 n2 1 n2 n2 1 1 8 ln Γ ≈ ln − ln − + ln(2π) + − 3 + ... 2 2 2 2 2 2 2 6n2 360n2

n1 − t 1 n1 n1 1 n1 n1 1 1 ln Γ ≈ ln(2π) + ln − ln − + − 3 + ... 2 2 2 2 2 2 2 6n1 45n1

1 1 n1 1 2 1 1 1 +t − + ln − + ... + t 2 + 3 + ... + ϑ(3) 2n1 2 2 6n1 2n1 4n1 6n1

n2 − t 1 n2 n2 1 n2 n2 1 1 ln Γ ≈ ln(2π) + ln − ln − + − 3 + ... 2 2 2 2 2 2 2 6n2 45n2

1 1 n2 1 2 1 1 1 +t − + ln − + ... + t 2 + 3 + ... + ϑ(3) (B.69) 2n2 2 2 6n2 2n2 4n2 6n2

Logo, substituindo (B.69) em (B.68) e igualando a (B.67), tiramos:

1 1 1 1 1 1 Media = − − 2 − 2 + ... (B.70) 2 n2 n1 6 n2 n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 V ariancia = + + 2 − 2 + 3 + 3 + ... (B.71) 2 n2 n1 2 n2 n1 3 n1 n2

Enfim, apresentamos na figura (B.11) os periodogramas da variável Z aplicado aos mesmos dados sintéticose ru´ıdosque deram origem àfigura (B.9). 212 Apêndice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

Figura B.11: Periodograma Z, utilizando dois harmônicos. Encontramos para os dados per´ıodicos o valor de cinco dias. Apresentamos também o periodograma dos dados puramente ruidosos juntamente com seu histograma. Para os ru´ıdosutilizamos sete harmônicos.

A variável Z foi estudada por Fischer em 1924, mas ficou difundida a utiliza¸cãoda variável F, definida como a partir da exponencial de Z:

x /n F = e2Z = 1 1 x2/n2

Jáque temos o conhecimento de p(Z), fica fácildeduzirmos a distribui¸cãopara F, e encontramos a seguinte expressão: Se¸cão B.4. Periodogramas emp´ıricos 213

dZ p(F ) = p(Z) dF (B.72) n n1/2 n2/2 1 −1 n n F 2 p(F ) = 1 2 (B.73) B( n1 , n2 ) n1+n2 2 2 (n1F + n2) 2

O valor médioe variânciade F são:

n hF i = 2 (B.74) n2 − 2 2 2n2(n1 + n2 − 2) var[F ] = 2 (B.75) n1(n2 − 2) (n2 − 4)

Assim, podemos utilizar tambéma variável F como periodograma, jáque possui estat´ıstica bem conhecida. Outra combina¸cãoposs´ıvel, que tambémpode nos servir como periodograma, é:

x β = 1 (B.76) x1 + x2

Lembrando que x1 = ξk, n1 = nk, x2 = ξ⊥, n2 = n⊥ e que 0 6 β 6 1. Podemos encontrar a distribui¸cãode β a partir, por exemplo, da equa¸cão(B.73). Seja a rela¸cãoentre β e F dada abaixo:

n F β = 1 n2 + n1F dF n2 βn2n1 = + 2 dβ n1 − n1β [n1 − n1β]

Pela lei fundamental das probabilidades, tiramos que:

1 n1 −1 n2 −1 p(β) = β 2 (1 − β) 2 (B.77) n1 n2 B( 2 , 2 ) 214 Apˆendice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas

A m´edia´edada por:

Z 1 1 n1 n2 −1 hβi = β 2 (1 − β) 2 dβ (B.78) n1 n2 B( 2 , 2 ) 0

Se utilizarmos a tabela (B.2), aplicando a f´ormula (3), encontraremos:

1 n n 1 n /2 n n hβi = B 1 + 1 , 2 = 1 B 1 , 2 n1 n2 n1 n2 B( 2 , 2 ) 2 2 B( 2 , 2 ) n1/2 + n2/2 2 2 n hβi = 1 (B.79) n1 + n2

A variânciasegue as mesmas diretrizes e pode ser encontrada tambémcom o aux´ılode (3) da tabela (B.2). O resultado é:

(n /2)(n /2) var[β] = 1 2 (B.80) n1 n2 2 n1 n2 ( 2 + 2 ) ( 2 + 2 + 1)

Apresentamos na figura (B.12) um exemplo de periodograma β aplicado a um sinal per´ıodico e a um ru´ıdo.Mostramos, também,o histograma deste espectro ruidoso. Se¸cão B.4. Periodogramas emp´ıricos 215

Figura B.12: Idem ao gr´aﬁco6.11, mas aqui empregamos β.

Nesta se¸c˜ao,portanto, apresentamos outras formas de espectro que tamb´empodem ser utilizadas para pesquisa de per´ıodo.

Tabela B.2 - F´ormulas utilizadas ao longo do par´agrafo6.3.

Gradshteyn et al. 2007

R ∞ ν−1 1 1 0 x exp{−µx}dx = µν Γ(ν) R γ+i∞ s −beta 2 γ−i∞ Γ(−s)Γ(β + s)t ds = 2πiΓ(β)(1 + t) R 1 µ−1 ν−1 −µ−ν −µ 3 0 x (1 − x) (1 + ax) dx = (1 + a) B(µ, ν) 216 Apˆendice B. Algumas notas sobre a estat´ısticados periodogramas Apˆendice C

Determina¸c˜aodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trˆansitos

C.1 Introdu¸c˜ao

Apresentamos aqui a teoria usada para determinar os parâmetrosdos planetas por meio dos eclipses causados pelos mesmos. A motiva¸cãopara este estudo éo fato que a primeira determina¸cãodo Projeto CoRoT sempre éfeita pela análiseda curva de luz. Por exemplo, como citamos, temos CoRoT 1b, 2b, 3b,... que foram detectados por trânsitoe sóposteriormente foram analisadas suas velocidades radiais. Em futuras determina¸cões, esta técnicacontinuaráa ser importante e ainda existem outros projetos que a utilizam, como Kepler e OGLE. Esse método possui efeito seletivo bastante significativo pois somente planetas de per´ıodos curtos tem chance de serem encontrados. A inclina¸cãodo plano orbital também deve possuir um valor favorável. Entretanto, com os trânsitospodemos deduzir parâmetros complementares àquelesobtidos por velocidade radial, como o raio do planeta, por exemplo. Seguimos a modelagem de Kopal (1979), cujas passagens expomos na se¸cão(C.2) e (C.3). Segundo Gimenez (2006) esta éa dedu¸cãomais geral poss´ıvel, servindo para qualquer tipo de eclipse seja ele central ou não,sendo que a únicalimita¸cãoimposta éa aproxima¸cãoda estrela e do planeta como discos circulares. As equa¸cõestambémconsideram o efeito de “limb-darkening” ( em português“escurecimento de bordo”), fenômenoobser- vado em que o brilho da estrela se distribui de forma irregular ao longo de sua superf´ıcie, devido a varia¸cõesde temperatura e densidade. Nas equa¸cõesutilizadas consideramos um 218 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos polinômiode grau arbitrárioregendo o fenômenode escurecimento de borda. Como análisede caso e melhor entendimento das equa¸cõesdeduzidas, aplicamos primeiramente esta técnicapara o sistema OGLE-TR113 e comparamos os resultados obtidos com aqueles previamente tabelados.

C.2 Modelagem da Curva de luz: Primeira aproxima¸c˜ao

Nesta se¸cão,utilizaremos considera¸cõesgeométricaspara determinar a perda de luz durante um eclipse. E´ bem conhecido na literatura que a luminosidade observada de uma estrela édada pela seguinte equa¸cão:

Z L1 = J cos γdσ (C.1) S

Onde S ´ea superf´ıcieda estrela e J a fun¸c˜aode escurecimento de borda (EB), dada por:

( n ) X k J = H 1 − uk 1 − cos γ (C.2) k=0

Essa éuma fun¸cãogeral pois engloba um grau arbitráriopara a fun¸cãode EB. O ângulo γ éo ânguloentre a linha de visada e a normal a superf´ıcieda estrela e o termo dσ éa área superficial da estrela. Portanto, o termo cos γdσ éo elemento de áreado disco que observamos, ou seja, a área dxdy. Substituindo (C.2) em (C.1) e nãoesquecendo tambémque:

cos γdσ = 2πrdr

γ = arcsin(r/r1) (C.3)

A equa¸c˜ao(C.1) pode ser escrita da seguinte maneira:

( N ) Z r1 X k r L1 = H 1 − uk 1 − cos arcsin rdr r1 0 k=0 ( N N ) Z r1 Z r1 Z r1 X X k r L1 = 2πH rdr − uk rdr + uk cos arcsin rdr (C.4) r1 0 k=0 0 k=0 0 Se¸c˜ao C.2. Modelagem da Curva de luz: Primeira aproxima¸c˜ao 219

O terceiro termo de (C.4), aquele que envolve a fun¸cãocosseno e arcseno éo fator mais complicado a ser resolvido, mas podemos fazer isto ao abrirmos a somatóriaque a envolve e resolvermos a integral para cada valor de k individualmente. Fazendo isto, podemos tirar uma fun¸cãogeral para este termo. Resumidamente, a integral (C.4) fica da seguinte maneira:

( ) X lul L = πr2H 1 − (C.5) 1 1 l + 2 l

A expressão(C.5) écoincidente com aquela dada em Kopal (1979) e representa a luminosidade total da estrela que observamos. Passemos agora àquantidade total de luz que deixamos de observar quando uma oculta¸cãoocorre. Seja a luminosidade total dada por

L = L1 −αL1 onde α éa fra¸cãode luz que deixamos de observar quando o eclipse acontece e pode ser avaliada na seguinte expressão:

δL R J cos γdσ α = 1 = S (C.6) L 2 P lul 1 πr1H 1 − l l+2

Os elementos que constituem essa expressãosãoos mesmos que os da equa¸cão(C.1). Entretanto, a superf´ıcieS agora nãoémais a áreatotal da estrela, mas sim, aquela que é encoberta pelo planeta, como vemos na figura (C.1). Para resolu¸cãoda equa¸cão (C.6), utilizamos exatamente a mesma geometria da figura (C.1). Consideramos a estrela e o planeta como discos circulares, cujas equa¸cõesescreve-

2 2 2 2 2 2 mos, respectivamente, como: x + y = r1 e (x − δ) + y = r2. Podemos entãocalcular o valor da distancia “S” que éo ponto de interseçcãodos dois discos e de acordo com a equa¸cão(C.7), temos: 220 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

Figura C.1: Geometria que utilizamos para resolu¸c˜aoda equa¸c˜ao(C.6)

r2 − r2 + δ2 S = 1 2 (C.7) 2δ

Conhecendo esses fatores, podemos nos preocupar em analisar a express˜ao δL1/L1, faremos isto em coordenadas cartesianas e consideramos tamb´em:

cos γdσ = dxdy q 2 2 2 r1 cos γ = r1 − x − y (C.8)

A fun¸cãode EB éa mesma que utilizamos anteriormente, dada pela equa¸cão(C.2), e substituindo (C.8) em (C.6), apósalgumas simplifica¸cões,teremos:

( ) H Z X Z α = C dxdy + C cosk γdxdy Hπr2 o k 1 k

 "s #0 "s #k   Z r2 − x2 − y2 X Z r2 − x2 − y2  απr2 = C 1 dxdy + C 1 dxdy 1 o r2 k r2  1 k 1  Se¸c˜ao C.2. Modelagem da Curva de luz: Primeira aproxima¸c˜ao 221

( N Z ) X Ck απr2 = zkdxdy (C.9) 1 rk k=0 1

P p 2 2 2 1− k uk uk Onde : z = r1 − x − y , Co = P iui e Ck = P iui . Os limites de integra¸c˜ao 1− i i+2 1− i i+2 tiramos por meio da ﬁgura (C.1), e a integral (C.9) escrevemos portanto como:

N X α = Ckαk k=0 √ √ 2 2 2 2 Z s Z r2−(x−δ) Z r1 Z r1−x 2+k k k αkπr = √ z dxdy + √ z dxdy (C.10) 2 2 2 2 δ−r2 − r2−(x−δ) s − r1−x

Assim, resolvendo (C.10), podemos calcular a perda de luz devido ao eclipse. Entre- tanto, esta nãoétarefa das mais fáceis,uma vez que cada integral depende do ´ındicede somatóriak e a resolu¸cãopode se tornar extremamente complicada. Para valores de k pares, podemos availar (C.10) sem muitos problemas, embora haja um pesado trabalho de álgebra.A situa¸cãose complica enormemente para valores de k ´ımpares, ocorrendo o surgimento de fun¸cõesel´ıpticase αk se torna bastante dif´ıcilde ser avaliado. Para exemplificar, tomamos k = 0, que resulta em:

1 1 α πr2 = r2 ς − sin(2ς ) + r2 ς − sin(2ς ) (C.11) 0 1 1 2 1 2 2 2 2

h 2 2 2 i h 2 2 2 i r1−r2+δ δ −r1+r2 Onde: ς1 = arccos e ς2 = arccos . Por outro lado, para k = 1, a 2δr1 2δr2 equa¸c˜aopara α1 ﬁca da seguinte maneira:

√ √ r r2−x2 s r2−(x−δ)2 Z 2 Z 1 q Z Z 2 q 3 2 2 2 2 2 2 α1πr = √ r1 − x − y dxdy + √ r1 − x − y dxdy 2 2 2 2 s − r1−x δ−r2 − r2−(x−δ) (C.12)

A avalia¸cãode (C.12) ébastante complicada mesmo com o uso de manipuladores algébricos como Maple ou Mathematica. Para finalizar esta se¸cão,tracemos alguns comentáriosa respeito dos cálculos apresentados: a expressãopara α édependente de r1, r2, os raios da 222 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos estrela e do planeta respectivamente, e do parâmetro δ, que éa distância mútuaentre o centro da estrela e do planeta. Este fator éimportante pois ele édependente dos elementos orbitais do planeta e pode ser escrito como:

a(1 − e2) 2 δ2 = (1 − cos2θsin2i) (C.13) 1 − esin(θ − ω)

Onde a éo semieixo, e a excentricidade, i a inclina¸cão, ω o argumento do pericentro e θ a fase orbital do planeta. O empecilho para utilizarmos os resultados desta se¸cãoéprin- cipalmente a comodidade computacional. O cálculose torna extremamente dispendioso, mesmo para simples fun¸cõesde ED. Na se¸cãoseguinte, traremos uma formula¸cãogeral, que tambémestácontida em Kopal (1979) e que éusada modernamente.

C.3 F´ormula Geral

Como vimos na se¸cãoanterior, a expressãopara α que deduzimos nãoéa mais geral poss´ıvel, devido a dificuldades em calcularmos a equa¸cão(C.10), mesmo para baixas ordens de k. Aqui tomaremos um caminho alternativo, e encontraremos uma expressãopara α independente da fun¸cãode escurecimento de borda tomada. Apenas recapitulando o problema, consideramos o planeta e a estrela como discos circulares, como mostrado na figura (C.2), notemos que agora consideramos δ como um vetor, cujas componentes são(δx, δy). As fun¸cãof e g representam as fun¸cõesde escurecimento de boda para a estrela e planeta respectivamente, escrevemos a fra¸cãode luz perdida durante uma oculta¸cãocomo sendo dado pela equa¸cão(C.14)

ZZ ∞ αL1 = f(x, y)g(ξ, η)dxdy (C.14) −∞ Se¸c˜ao C.3. F´ormula Geral 223

Figura C.2: Representa¸cãoda estrela e planeta como discos circulares de raios r1 e r2 respectivamente. As fun¸cões f(x, y) e g(ξ, η) representam a distribui¸cãodo brilho na superf´ıcie de ambos os corpos.

A integral (C.14) serácalculado quando δ ≤ r1 + r2, ou seja, somente quando hácon- jun¸cãoentre os discos. As fun¸cões f(x, y) édefinida tal que:

f = 0 se |(x, y)| ≥ r1

f = Eq.(C.2) se |(x, y)| ≤ r1 (C.15)

J´apara a fun¸c˜ao g, temos:

g = 0 se |(ξ, η)| ≥ r2

g = 1 se |(ξ, η)| ≤ r2 (C.16)

A fun¸cãog, como definida, representa um disco opaco para o planeta. Considerando-a como uma fun¸cãosimétrica,teremos que:

g(ξ, η) = g(−ξ, −η) (C.17) 224 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

Assim sendo, quando háuma conjun¸cão,de acordo com a defini¸cãodas fun¸cõesf e g, a integral (C.14) serácalculada somente na áreadestacada da figura (C.3). O resultado representaráa quantidade de luz equivalente a áreahachurada. Posteriormente, calculamos a luz total observada como L1 = L1 − αL1, como na situa¸cãoanterior.

Figura C.3: Representa¸cãoda oculta¸cãoentre ambos os discos. A integral (C.14) está definida somente na áreaem destaque da figura.

Escrevendo g no sistema (x, y), temos:

x = ξ + δx ; y = η + δy

g(ξ, η) = g(x − δx, y − δy) (C.18)

Fazendo valer a rela¸c˜ao(C.17) temos:

g(ξ, η) = g(x − δx, y − δy) = g(δx − x, δy − y) (C.19)

A integral (C.14) fica: Se¸cão C.3. Fórmula Geral 225

ZZ ∞ αL1 = f(x, y)g(x − δx, y − δy)dxdy (C.20) −∞

Resolveremos a equa¸cão (C.20) atravésdo teorema da convolu¸cão.As fun¸cõesf e g podem ser expressas de acordo com as equa¸cões(C.21) e (C.22).

ZZ ∞ f(x, y) = F (u, v)e2πi(ux+vy)dvdu (C.21) −∞

∞ ZZ 0 0 0 0 2πi(u (δx−x)+v (δy−y)) 0 0 g(δx − x, δy − y) = G(u , v )e dv du (C.22) −∞

Substituindo (C.21) e (C.22) em (C.20) temos:

∞ ∞ ∞ ZZ ZZ 0 0 ZZ 0 0 F (u, v)G(u0, v0)e2πi(δxu +δyv )) e2πi[(u−u )x+(v−v )y]dxdy dudv du0dv0 −∞ −∞ −∞ (C.23)

A integral em x e y pode ser resolvida como abaixo:

ZZ ∞ exp {2πi(u − u0)x} exp {2πi(v − v0)x} dxdy = δ(u − u0)δ(v − v0) (C.24) −∞

Ent˜aosubstituindo (C.24) em (C.23), teremos:

∞ ∞ ZZ 0 0 ZZ G(u0, v0)e2πi(u δx+v δy) F (u, v)δ(u − u0)δ(v − v0)dudv du0dv0 (C.25) −∞ −∞

A integral entre colchetes resulta em F (u0, v0) e ﬁcaremos portanto:

∞ ZZ 0 0 G(u0, v0)F (u0, v0)e2πi(u δx+v δy)du0dv0 (C.26) −∞ 226 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

Portanto, verificamos a igualdade, que trata-se do teorema da convolu¸cãoentre duas fun¸cões:

∞ ∞ ZZ ZZ 0 0 0 0 0 0 2πi(u δx+v δy) 0 0 f(x, y)g(δx − x, δy − y)dxdy = G(u , v )F (u , v )e du dv −∞ −∞ (C.27)

Passaremos entãoao cálculoda integral (C.20) atravésda rela¸cão(C.27) que encontramos. O cálculosdas transformadas de Fourier de f e g sãodados por:

ZZ ∞ F (u, v) = =[f(x, y)] = f(x, y) exp {−2πi(ux + vy)} dxdy (C.28) −∞

0 0 G(u , v ) = =[g(δx − x, δy − y)] =

ZZ ∞ e2πi(uδx+vδy) g(x, y) exp {−2πi(u0x + v0y)} dxdy = −∞

e2πi(uδx+vδy)=[g(x, y)] (C.29)

Entãoa situa¸cãoque temos éa seguinte:

ZZ ∞ 0 0 =[f(x, y)]=[g(δx − x, δy − y)]du dv = −∞

ZZ ∞ 0 0 0 0 =[f(x, y)]=[g(x, y)] exp {2πi(u δx + v δy)} du dv = −∞

ZZ ∞ f(x, y)g(δx − x, δy − y)dxdy (C.30) −∞ Calculando F (u, v) temos: Se¸c˜ao C.3. F´ormula Geral 227

ZZ ∞ F (u, v) = f(x, y) exp{−2πi(xu + vy)}dxdy (C.31) −∞

√ Onde i = −1. Podemos utilizar coordenadas polares, e se f(x, y) possui simetria radial, podemos escrever:

f(x, y) = f(r)

x + iy = reiθ (C.32)

Assim a equa¸c˜aopara F (u, v) ﬁca:

Z ∞ Z π F (u, v) = f(r) exp{−2πiqrcos(θ − φ)}rdrdθ (C.33) 0 −π

Onde: u + iv = qeiφ. E´ conveniente escrevermos a exponencial da equa¸c˜ao(C.33) em termos da fun¸c˜aode Bessel. De acordo com Arfken e Weber (2005), temos:

∞ X h π i exp{i(−2πqr)cos(θ − φ)) = J (2πqr) + 2 J (2πqr) cos 2n + θ − φ o 2n 2 n=1

∞ X h π i −2i J (2πqr) sin (2n + 1) + θ − φ (C.34) 2n+1 2 n=1

Assim, utilizando a equa¸c˜ao(C.34) para F (u, v), temos para (C.33) a seguinte forma:

∞ Z ∞ Z π X h π i F (u, v) = f(r)J (2πqr) + 2 J (2πqr) cos 2n + θ − φ o 2n 2 0 −π n=1

∞ X h π i −2i J (2πqr) sin (2n + 1) + θ − φ rdrdθ (C.35) 2n+1 2 n=1 228 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

Percebemos que a integral em θ dos termos que levam as fun¸cõesseno e cosseno se anulam e a equa¸cão(C.35) fica da seguinte maneira:

Z ∞ F (q) = 2π f(r)Jo(2πqr)rdr (C.36) 0

A equa¸cão(C.36) éconhecida como transforma¸cãode Hankel para a fun¸cão f(r). Vamos tomar, como anteriormente, f(r) da forma mais geral poss´ıvel, ou seja:

( ) X k f(r) = Ho 1 − uk(1 − cos γ) (C.37) k

Onde u1, u2, ...un s˜aoos coeﬁcientes de escurecimento de borda e:

pr2 − r2 cos γ = 1 (C.38) r1

Assim, a equa¸c˜ao(C.36) toma a seguinte forma:

Z ∞ X Z ∞ F (q) = 2πH rJo(2πqr)dr − 2πH uk rJo(2πqr)dr+ 0 k 0

Z ∞ X k 2πH uk cos γJo(2πqr)rdr (C.39) k 0

Segundo Gradsthteyn e Ryzhik (2007) temos tabelado:

Z ∞ 1 ν µ µ µ −µ−1 Γ( 2 + 2 + 2 ) x Jν(ax)dx = 2 a 1 ν µ (C.40) 0 Γ( 2 + 2 − 2 ) Assim, por (C.40) podemos resolver os dois primeiros termos de (C.39), estes sãonulos, pois teremos como resultado um denominador que envolve Γ(0), que tende a ∞. Portanto, Se¸cão C.3. Fórmula Geral 229

ﬁcaremos somente com o termo:

Z ∞ X k F (q) = 2πH uk cos γJo(2πqr)rdr (C.41) k 0

Introduzindo nesta equa¸cãoa expressão(C.38) ficaremos com:

Z ∞ 2 k/2 X uk r F (q) = 2πH r1k 1 − J (2πqr)rdr (C.42) rk r2 o k 1 0 1

Ao promovermos uma mudan¸cade vari´avel do tipo u = r/r1, ﬁcaremos com:

Z 1 X 2k/2 F (q) = 2πH uk 1 − u Jo(2πqr1u)du (C.43) k 0

Para a resolu¸c˜aode (C.43) recorremos novamente a Gradsthteyn e Ryzhik (2007) que traz tabelado:

Z 1 ν+1 2 µ µ −(µ+ν) x (1 − x ) Jν(bx)dx = 2 Γ(µ + 1)b Jν+µ+1(b) (C.44) 0

Aplicando à(C.43) a expressão(C.44), chegaremos a expressãopara F (q) que desejamos, que é:

ν X 2 Γ(ν)Jν(2πqr1) F (q) = L1 Ck ν (C.45) (2πqr1) k

k+2 Onde: ν = 2 . Nos preocuparemos agora com o segundo disco, aquele que representa o planeta. Este possui distribui¸cãode brilho dada pela fun¸cão(C.16). Calculamos a transformada de g(x, y), representada pela equa¸cãoque segue:

Z ∞ G(u, v) = g(x, y)exp {−2πi [ux + vy]} dudv (C.46) −∞ 230 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

Procedendo de forma rigorosa, como ﬁzemos quando calculamos F(u,v), encontramos:

2πr2J (2πqr ) G(u, v) = 2 1 2 = =[g(x, y)] (C.47) 2πqr2

Onde q = u2 + v2. Assim, com F e G conhecidos por (C.45) e (C.47) podemos subsitu´ı-los em (C.27) e ﬁcaremos com a seguinte equa¸c˜ao:

−∞ ZZ 0 0 0 0 0 0 2πi(u δx+v δy) 0 0 L1α = F (u , v )G(u , v )e du dv −∞

−∞ ν 2 ZZ 0 0 X Ck2 Γ(ν)Jν(2πqr1) 2πr2J1(2πqr2) 2πi(u δx+v δy) 0 0 L1α = L1 ν e du dv (C.48) (2πqr1) 2πqr2 −∞ k

0 0 Lembrando que u = q cos ζ , v = q sin ζ e (δx, δy) = (δ cos ψ, δ sin ψ), a equa¸c˜ao(C.48) ﬁca:

Z 2π Z −∞ ν 2 X Ck2 Γ(ν)Jν(2πqr1) 2πr2J1(2πqr2) 2πiqδ cos(ζ−ψ) L1α = L1 ν e qdqdζ (2πqr1) 2πqr2 0 −∞ k

Z −∞ ν 2 Z 2π X Ck2 Γ(ν)Jν(2πqr1) 2πr2J1(2πqr2) 2πiqδ cos(ζ−ψ) L1α = L1 ν e dζ qdq (2πqr1) 2πqr2 −∞ k 0 (C.49)

A integral entre colchetes na expressão (C.49) pode ser calculada em termos das fun¸cões de Bessel, como de acordo com a equa¸cão(C.34) e resulta em:

Z 2π 2πiqδ cos(ζ−ψ) e dζ = 2πJo(2πqδ) (C.50) 0

Assim, substituindo (C.50) em (C.49) ﬁcaremos com:

Z −∞ 2 X ν Jν(2πqr1) J1(2πqr2) L1α = (2πr2) L1 Ck2 Γ(ν) ν Jo(2πqδ)qdq (C.51) (2πqr1) 2πqr2 k −∞ Se¸c˜ao C.3. F´ormula Geral 231

Ressaltamos aqui que a expressãoque encontramos, (C.51), somente éválidapara uma fun¸cãode transparênciacomo a dada em (C.16), na qual consideramos um disco opaco representando o planeta. A t´ıtulode curiosidade, podemos tambémconsiderar o planeta com algum brilho próprio,utilizando uma expressãodiferente para g, como a dada abaixo (C.52), por exemplo:

2 λ g = [1 − (ρ/r2) ] se ρ ≤ r2

g = 0 se ρ ≥ r2 (C.52)

Para esta situa¸c˜ao,aexpress˜aopara G se tornaria:

λ+1 2 Jλ+1(2πqr2) −2πiλu G(u, v) = 2 πr2Γ(λ + 1) λ+1 e (C.53) (2πqr2)

Nossa tarefa agora se resume a resolver a equa¸cão(C.51), que apósalguma álgebrapode ser posta sob a forma:

X α = Ckαk k Z ∞ 2 ν J1(2πqr1) J1(2πqr2) αk = (2πr2) 2 Γ(ν) ν Jo(2πqδ)qdq (C.54) 0 (2πqrq) 2πqr2

r1+r2 Se ﬁzermos uma mudan¸cade vari´avel tal que: y = (2πqr2), encontraremos para αk: r2

Z ∞ ν −ν αk = 2 Γ(ν)b (ay) Jν(ay)J1(by)Jo(cy)dy (C.55) 0

Onde: a = r1 , b = r2 e c = δ . Esses parâmetros sãotais que, para qualquer tipo r1+r2 r1+r2 r1+r2 de eclipse, teremos 0 ≤ a ≤ 1 e 0 ≤ b ≤ 1. Jácom o parâmetro c podemos calcular a dura¸cãoda oculta¸cão,visto que 0 ≤ c ≤ 1, quando c = 1 háo in´ıcioda conjun¸cão,quando 232 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos c = 0 ela émáximae por fim c = 1 ao términodo eclipse. Substitu´ımostambém,no termo

Jν(ay)J1(by), a identidade, conhecida como identidade de Bateman (1905):

∞ 2baν X (−1)n(ν + 2n + 2)Γ(ν + n + 2)Γ(ν + n + 1) J (by)J (ay) = × 1 ν y n!Γ(n + 2){Γ(ν + 1)}2 n=0

2 {1F2(−n, ν + n + 2, ν + 1, a)} Jν+2n+2(y) (C.56)

Podemos escrever a identidade acima em termos dos polinˆomiosG de Jacobi, ent˜ao,teremos:

∞ 2baν X (−1)n(ν + 2n + 2)Γ(ν + n + 2)Γ(ν + n + 1) J (by)J (ay) = × 1 ν y n!Γ(n + 2){Γ(ν + 1)}2 n=0

2 {Gn(ν + 2, ν + 1, a)} Jν+2n+2(y) (C.57)

Substituindo (C.57) em (C.55), ﬁcaremos com:

∞ 2νΓ(ν)b X (−1)n(ν + 2n + 2)Γ(ν + n + 2) α = {G (ν + 2, ν + 1, a)}2× k Γ(ν + 1)2 n!Γ(n + 2){Γ(ν + 1)}2 n n=0

Z ∞ −ν−1 y Jν+2n+2(y)Jo(cy)dy (C.58) 0

Para resolu¸c˜aoﬁnal de (C.58) recorremos a Abramowitz e Stegun (1972), que traz tabelado:

Z ∞ β µ+β−λ+1 −λ w Γ( 2 ) t Jµ(vt)Jβ(wt)dt = × λ β−λ+1 µ−β+λ+1 0 2 a Γ(β + 1)Γ( 2 )

ν + β − λ + 1 β − µ − λ + 1 w2 F , , β + 1, (C.59) 1 2 2 2 v2

Se utlizarmos a equa¸cão(C.59) com v = 1, µ = ν + 2n + 2, β = 0, w = c, λ = ν + 1 e se Se¸cão C.4. Aplica¸cão 233 jáutilizarmos a identidade dada em (C.60):

2 2 ν+1 2 1F2(−ν − n − 1, n + 1, 1, c ) = (1 − c ) Gn+1(2 + ν, 1, c ) (C.60)

chegaremos na expressãofinal, que é:

∞ b2(1 − c2)ν+1 X (−1)n(ν + 2n + 2)Γ(ν + n + 1) α = {G (ν + 2, ν + 1, a)}2× k νΓ(ν + 1) Γ(n + 2) n n=0

2 Gn(2 + ν, 1, c ) (C.61)

Relembrando que: ν = (k + 2)/2. Essa éa mesma expressãoencontrada em Gimenez (2006) e éconvergente para |c| ≤ 1. Os fatores a, b e c sãomencionados na equa¸cão

(C.55). Com a equa¸c˜aopara αk, podemos escrever a equa¸c˜ao de luz para a estrela:

L = L1 − αL1 (C.62)

Onde L1 foi calculado na equa¸cão(C.5) e α étal que: α = 0 quando nãoháoculta¸cão, ou seja, para valores |c| ≥ 1. Por outro lado, quando hátrânsitoutilizamos:

N X α = Ckαk (C.63) k=0

Onde N éo grau da fun¸cãode escurecimento de borda utilizada e os C’s sãocalculados de acordo com (C.9)

C.4 Aplica¸c˜ao

Para as análisesque apresentamos aqui, utilizamos alugmas medidas publicadas pelo projeto OGLE que estãodispon´ıveis na páginaoficial do projeto: http://ogle.astrouw.edu.pl . 234 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

C.4.1 Sistema OGLE-TR113

Este sistema est´aresolvido e seus elementos orbitais s˜aoapresentados na tabela (C.1):

Tabela C.1 - Valores encontrados na literatura para o Sistema OGLE-TR113, publicados em obspm.eu.

Sistema OGLE-TR113

Estrela:

M∗ 0.78M

R∗ 0.77R Planeta: a 0.0229U.A. P 1.4324772dias

R 1.04RJ i 89.4o τ 3471.7782

Como primeira aproxima¸cãovamos supor este planeta em uma órbitacircular e a lei de escurecimento de borda(EB) seja linear. Cabe fazermos um esclarecimento sobre a diferen¸cade nota¸cãoque encontramos na literatura a respeito dos coeficientes de EB: alguns trabalhos os trazem sob o t´ıtulo(u+, u−); outros com (ua, ub). A conversãode uma nota¸cãopara outra éfácile a fazemos como: (u+ = ua + ub, u− = ua − ub) e (u1 = ua + 2ub; u2 = −ub), que sãoos valores que utilizamos. Segundo Gimenez (2006), para este sistema, estes coeficientes são:(u+ = 0.64 ± 0.05; u− = 0.17 ± 0.05), que resulta em

(Co = 0.4693101575,C1 = 1.140684411,C2 = −0.3063552417). Apenas como teste de nosso programa e para adiquirirmos familiaridade com as equa¸cões apresentadas, iremos resolver este sistema, sempre conscientes dos valores da tabela C.1 . As medidas da luminosidade para este sistema sãoapresentadas na figura (C.4) onde percebemos haver trêsgrupos bastante distintos, que denotamos como conjunto (I), (II) e (III). Se¸cão C.4. Aplica¸cão 235

Figura C.4: Luminosidade do sistema OGLE-TR113. Nestas medidas, temos trˆesconjun- tos distintos e bem separados temporalmente: Conjunto I (2452320 ≤ t ≤ 2452440), II (2452620 ≤ t ≤ 2452700) e III (2453020 ≤ t ≤ 2453080).

Na figura seguinte, (C.5), mostramos cada um dos conjuntos individualmente, salien- tando que háum decréscimosistemáticoe periódicona luminosidade observada. Estes ocorrem em valores inteiros de, aproximadamente, 1.4 dias e, acreditamos, que isto está bem claro nas medidas do conjunto I. Jáo conjunto II apresenta poucas medidas e somente com ele nãopodemos tirar concluõesfidedignas. Finalmente, temos o conjunto III, onde apesar de uma quantidade maior de medidas, tambémnãotiramos nenhuma conclusão significativa, visto o maior espa¸camento das medidas e por isso observamos somente três eclipses. A seguir, primeiramente consideramos os valores dados na tabela C.1 como conhecidos e, então,avaliaremos cada um dos parâmetros L, θ, δ e c, que encontramos na se¸cãoanterior apenas para um melhor conhecimento das rela¸cõesdeduzidas. Por esta razão,apresentamos a figura C.6, onde temos os parâmetros δ, c e L em fun¸cãoda fase orbital θ. 236 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

Figura C.5: Neste gráficotemos cada um dos conjuntos mostrados individualmente. Percebe- mos as diminui¸cões sucessivas da luminosidade e que esta ocorre em per´ıodos de 1.4 dias, ou de um númerointeiro deste valor.

Em (C.6-A) temos a distânciaentre o centro do planeta e o centro da estrela, parâmetro que se comporta como o esperado: quando a fase é0 (ou 2π ), π a distânciaentre os centros énula. A primeira condi¸cãorepresenta a oculta¸cãoda estrela pelo planeta e a segunda a situa¸cãocontrária, quando o planeta éocultado pela estrela. Em (C.6-B) apresentamos o parâmetroc, este se trata de um fator muito importante, pois éatravésdele que determinamos a dura¸cãodo eclipse. Quando c éigual a 1 significa que temos o in´ıcioda oculta¸cão.Este valor decresce àmedida que o eclipse evolui e atinge 1 novamente quando a oculta¸cãotem seu fim. Neste gráfico,salientamos, por uma linha pontilhada, este valor limiar de c. Quando c émenor que 1 e a fase éde 0 ou 2π percebemos a diminui¸cãoda luminosidade observada. Ao passo que quando c émenor que 1 e a fase é de π o planeta éque estásendo ocultado pela estrela. Finalmente, em (C.6-C), apresentamos os valores da luminosidade em fun¸cãode c. Novamente, representamos o valor limiar de c pela linha pontilhada e o códigode cores Se¸cão C.4. Aplica¸cão 237 representa as fases; nas medidas em verde, temos a conjun¸cão,mas nãoobervamos de- crescimo em L pois a fase éde π, ao contráriodas medidas em vermelho, onde a fase é 0(2π).

Figura C.6: Em (A) representamos a distânciaentre os centros da estrela e do planeta. O valor ézero quando a fase ézero (ou 2π). Em (B), temos o parâmetroc, que ézero em duas ocasiões,indicando duas conjun¸cões,que representamos no gráfico em vermelho e verde. O mesmo códigode cores utilizamos em (C) onde os pontos em verde representam a conjun¸cão em π e por isso nãopercebemos a altera¸cãona luminosidade medida, ao contráriodo que ocorre nas medidas em vermelho, representando a conjun¸cãoem zero.

No gráfico(C.7) apresentamos a luminosidade em fun¸cãoda fase; nele tivemos o trabalho de separar as medidas feitas fora da regiãode trânsito,que estáapresentada na 238 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

figura (C.7-B). Fizemos isto com o intuito de analisarmos as medidas fora da regiãode trânsito.

Figura C.7: Em (A): Luminosidade em fun¸cãoda fase orbital. O gráfico(B) éanálogoa (A), mas apresentamos somente as medidas onde nãoocorre trânsito.

Figura C.8: Distribui¸cãodas medidas apresentadas no gráficoC.7(B). O valor médioéde 14.4235 e o desvio padrãoéde 4.91.10−4.

Analisamos posteriormente as medidas fora do trânsito;para elas, calculamos sua distribui¸cão,que pode ser vista no gráfico(C.8), onde representamos o histograma das medi- Se¸cão C.4. Aplica¸cão 239 das juntamente com a curva gaussiana. Consideramos boa a concordância entre a gaussiana e o histograma e isto nos leva àconclusãode que, fora da regiãode trânsitopodemos considerar a luminosidade constante com o valor de L = 14.4235. Finalmente, apresentamos a figura (C.9) onde, com os valores fornecidos pela tabela (C.1), tra¸camosa curva dada analiticamente para a luminosidade, apresentada na se¸cãoanterior.

Figura C.9: Em vermelho, a curva de luz modelada na se¸c˜ao(C.3) juntamente com as medidas feitas.

Para finalizar esta se¸cão,implementamos o algoritmo genéticoe aplicamos os método de m´ınimosquadrados para determinar os parâmetrosplanetários,com o intuito de repro- duzirmos os resultados da tabela (C.1). Os únicosfatores que consideramos conhecidos sãoos coeficientes de EB, que jáenunciamos anteriormente, o raio e a massa da estrela, que sãodeterminados por outros meios. O resultado que obtivemos neste processo está dado na tabela C.2.

Tabela C.2 - Valores que encontramos para o Sistema OGLE-TR113.

Sistema OGLE-TR113

OGLE TR113b: a 0.0229U.A. P 1.43248dias

R 1.06RJ i 89.7o τ 2452321.49912 240 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

C.4.2 Determina¸c˜aodos coeﬁcientes de escurecimento de borda (CED’s)

Na se¸cãoanterior utilizamos os coeficientes de ED’s utilizados por outros autores. Ne- cessitamos estabelecer critériosnos quais podemos determinar tais parâmetros.Para este fim, estudamos alguns trabalhos dedicados ao assunto nos quais sãodiscutidos formas mais geraiss para fun¸cão I(µ) bem como diferentes maneiras de se encontrar os CED’s. Claret (2000), por exemplo, estipula a equa¸cão (C.64), que ele considera ser uma fórmula bastante geral e precisa, embora exija o ônus de se encontrar 4 coeficientes a1, ..., a4.

4 I(µ) X = 1 − a (1 − µk/2) (C.64) I(1) k k=0

Seja pela equa¸cão(C.64) ou qualquer outra fun¸cãoregendo o escurecimento de borda, determinamos os CEB’s por m´ınimosquadrados ao ajustarmos a fórmula I(µ) aos pontos

(µi,Ii). Estes últimosforam extraidos do Atlas de Kurucz, dispon´ıveis em sua página pessoal, em que há17 valores para (µi,Ii), que dependem somente das caracter´ısticas estelares, tais como metalicidade, temperatura e etc. Baseados em medidas de espectroscopia, Konacki et al. (2004) classificam a estrela OGLE-TR113 como sendo do tipo K da sequênciaprincipal, com T = 4800±150K, log g =

4.5 e [F e/H] = 0.0. Estimaram tamb´empara a massa e raio os valores: 0.79 ± 0.6M e

0.78 ± 0.06R . Para esta configura¸cãoconstruimos o gráfico(C.10), no qual calculamos os coeficienes u1 e u2, seguindo a lei quadráticapara I(µ), como dado pela equa¸cão(C.65).

I(µ) = 1 − u (1 − µ) − u (1 − µ)2 (C.65) I(1) 1 2 Se¸c˜ao C.4. Aplica¸c˜ao 241

Figura C.10: Coeﬁcientes u1 e u2 para uma estrela com log g = 4.5, [F e/H] = 0.0 e

vt = 2km/s

Do gráfico(C.10), utilizando um algoritmo interpolador, encontramos para T = 4800K os valores de u1 = 0.668 e u2 = 0.132, que sãopróximosaos de Gimenez (2006), embora este último nãoinforme referênciassobre os CEB’s que utiliza. Diaz (2007) classifica OGLE-TR113 como T = 4750K, log g = 4.5, [F e/H] = 0.0 e para estes parâmetrose com velocidade de microturbulênciade 2 km/s e comprimento de onda λ = 551 nm, que éo mesmo que temos na figura (C.10), constru´ımoso gráfico(C.11), no qual os pontos representam as medidas dadas pelo modelo de Kurucz. A curva cont´ınua éo ajuste da equa¸cão(C.65), onde encontramos u1 = 0.7117 e u2 = 0.09216, valores próximosdaqueles descritos por Diaz (2007). Assim, temos a tabela (C.3) onde as barras de erros foram calculadas por Biased Monte Carlo, como no cap´ıtulo3.

Figura C.11: Pontos extra´ıdos do modelo de Kurucz, de onde obtemos u1 = 0.7117 e

u2 = 0.0921. 242 Apêndice C. Determina¸cãodos elementos orbitais por meio da curva de luz: Trânsitos

Tabela C.3 - Valores para o Sistema OGLE-TR113: Para diferentes valores de u1 e u2.

Sistema OGLE-TR113

OGLE TR113b:

u1 = 0.668 u2 = 0.132 u1 = 0.7117 u2 = 0.09216 a 0.0229 ± 0.0001UA 0.02289 ± 0.0001UA P 1.43248 ± 0.0002d 1.43248 ± 00002d

R 1.1 ± 0.3RJ 1.1 ± 0.4RJ i 89.93o ± 4o 89.86o ± 4o τ 2452321.5 ± 0.2 2452321.5 ± 0.2

C.5 Conclus˜ao

Neste apêndiceestudamos a modelagem que nos permite a determina¸cãodos parâmetros planetáriosa partir do trânsito.Esta técnicaéimportante para o estudo das curvas de luz dos planetas extrassolares. As equa¸cõesdeduzidas permitem determinar de forma segura os parâmetrosplanetários. A aplica¸cãofoi feita no sistema OGLE-TR113, cujas observa¸cõesrecentes (Adams et al. (2010)) revelam a existênciade T.T.V., transit time variation. Este éum fenômeno pelo qual édeduzida a existênciade um segundo corpo no sistema a partir de perturba¸cões que este causa nas oculta¸cõesdo primeiro corpo. As equa¸cõesque encontramos podem ser aplicadas para inferirmos T.T.V. e seria análogoao ajuste dinâmicoque empreendemos no cap´ıtulo2. Todavia, mesmo sem contemplar este fato, consideramos os resultados que obtivemos em concordânciacom aqueles da literatura e, portanto, a teoria estudada aqui poderáser aplicada em outros sistemas de forma confiável.