Sinos: F´Isica E Música Fundidas Em Bronze

Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 37, n. 2, 2303 (2015) www.sbﬁsica.org.br DOI: http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173721688

Sinos: F´ısicae m´usicafundidas em bronze (Bells: physics and music cast in bronze)

Thiago Corrˆeade Freitas1, Ana Lucia Ferreira2, Thales Gon¸calves Barros1

1Curso Superior de Tecnologia em Luteria, Universidade Federal do Paraná,Curitiba, PR, Brasil 2Curso de Engenharia Mecânica, Universidade Tecnológica Federal do Paraná,Campus Guarapuava, Guarapuava, PR, Brasil Recebido em 29/9/2014; Aceito em 28/2/2015; Publicado em 30/6/2015

Os sinos sãoinstrumentos de percussão,da fam´ıliados idiófonos.Sãodispositivos de produ¸cãode som apenas aparentemente simples. O seu corpo éconstitu´ıdode uma liga metálicachamada bronze, que éuma combina¸cão de cobre e estanho em propor¸cõesque podem sofrer ligeiras varia¸cões.No interior do sino encontra-se o badalo - um pênduloque, quando oscila, atinge o corpo fazendo com que o sino soe. A fundi¸cãode um sino ébastante complexa e envolve um grande númerode procedimentos, desde a constru¸cãodos moldes atéa metalurgia e afina¸cão. O sino moderno sofreu apenas algumas mudan¸casna sua forma em compara¸cãoaos primeiros sinos fundidos do SéculoIX. Do ponto de vista da acústicaexistem dificuldades para a sua modelagem, tanto devido aos métodos matemáticosenvolvidos quanto àobten¸cãode resultados experimentais, jáque o tamanho exage- rado impede o seu translado para um laboratório. Neste artigo trataremos brevemente da origem, história,e utiliza¸cãodo sino, bem como dos principais processos de fundi¸cãoempregados na sua fabrica¸cãoe da descri¸cão f´ısicade como o sino produz som. Palavras-chave: sino, campanologia, acústica,frequênciasnaturais de vibra¸cão,f´ısicae música.

Bells are percussion instruments from the idiophones family, being devices to produce sound which are simple only in appearance. The bells bodies are made of an alloy called bronze, which is a combination of copper and tin in a variable ratio. Inside the bell there is the clapper, a pendulum that hits the bell from inside in order to start the sound. Bell foundry is quite complex and involves a large number of procedures which range from the construction of the molds until the metallurgy and its tuning. The modern bell suffered only minor changes in its shape when compared to the first casted bells from the 9th century. Complex mathematical methods are needed to create acoustical models for vibrating bells and, due to their exaggerated size, it is difficult to transport them to a laboratory in order to perform experimental analysis. This article presents a brief discussion on the origin, history and uses of the bell, as well as the main steps in the casting process and the physical description of the vibrating bell. Keywords: bell, campanology, acoustics, natural frequencies of vibration, physics and music.

1. Introdu¸cão soar éatingi-lo externamente com uma espéciede martelo acionado por um mecanismo. Como a produ¸cão Os idiófonossãodefinidos como instrumentos musicais de som no sino depende de uma batida em seu corpo, em que o própriocorpo do instrumento vibra para que ele éum idiófonopercutido ou, mais simplesmente, um ocorra a produ¸cãode som. A vibra¸cãopode ser inici- instrumento de percussão. ada tanto pela percussãode um elemento externo ao O uso de instrumentos musicais pelo homem, se- instrumento como por uma parte do próprioinstru- gundo as atuais evidências, remonta ao per´ıodo pa- mento [1, 2]. No primeiro caso tem-se como exemplo leol´ıtico médio. Concebe-se como primeiras mani- o xilofone, no qual uma baqueta atinge a barra de ma- festa¸cõesmusicais humanas as vocaliza¸cões,palmas e deira e inicia a vibra¸cãoe a consequente produ¸cãode batidas de pé,juntamente com instrumentos de per- som. Um sino representa, na maioria das vezes, um cussãoconstru´ıdos a partir de recursos naturais sem exemplo do segundo caso. O badalo - pêndulopreso no grandes altera¸cões,como materiais vegetais e/ou ani- interior do sino - colide com suas paredes internas, inici- mais facilmente degradáveis, como caba¸cas, peles e ando assim a produ¸cãode som. Outra forma de fazê-lo troncos [3]. Apesar da pequena chance de preserva¸cão 1E-mail: [email protected].

Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ısica.Printed in Brazil. 2303-2 Freitas et al. desse material arqueológico,écorreto afirmar que os gunda metade do SéculoXX, assim como as facilida- instrumentos idiófonospercutidos estãoentre os mais des que estes trouxeram para a pesquisa de maneira antigos criados/utilizados pelo homem. geral, surgiram mais artigos relacionados aos sinos. Na A origem dos sinos é bastante antiga, provavel- Alemanha, destacam-se dois livros com cap´ıtulosque mente junto com o surgimento da metalurgia, quando abordaram o tema, tendo como autores Fehn [24], Se- peda¸cosde metal golpeados produziram sons pela pri- ewann e Terhardt [25]. Rossing editou um livro em meira vez. Os primeiros sinos foram feitos a partir l´ınguainglesa sobre o tema [26]. O design e afina¸cãofoi de placas metálicasdobradas de modo a formar um abordado por Bagot [27]. Uma maior ênfasena análise tronco de cone de base retangular - forma muito si- dos modos de vibra¸cãoe do funcionamento f´ısico foi milar àdos sinos de animais ainda utilizados em al- dada pelo grupo de Perrin em uma longa sériede tra- gumas partes do mundo [4, 5]. O próximopasso in- balhos [28–38]. A modelagem computacional foi inicial- ventivo na sua fabrica¸cãofoi constru´ı-losnãomais de mente proposta por Lehr e colaboradores [39–42] e foi folhas metálicas,mas utilizando um conjunto de for- tema de interesse de McLachlan e colaboradores [43]. mas nas quais se depositaria metal fundido liquefeito. Alguns trabalhos mais recentes sãoos de Fletcher e co- Atravésdeste método, que envolve a fundi¸cãodo me- laboradores [44], Lavan e colaboradores [45], Ozak¸cae tal e a utiliza¸cãode formas, foi poss´ıvel produzir sinos Gögüs[46] e novamente de Rossing e Perrin [31]. Por cada vez maiores, resultando em sons cada vez mais fim, existe a recente tese de Hibbert [47], que trata da intensos. Existem alguns poucos exemplares produzi- quantifica¸cãodo tom de sinos de igreja e conta com dos desta maneira que remontam ao SéculoXI e ainda ampla revisãodo tema, alémdo desenvolvimento de al- encontram-se preservados [6]. O sino fabricado através guns programas de computador para análisedo som dos da fundi¸cãodo metal sofreu algumas altera¸cõesna sua sinos. forma desde o SéculoXI atéos dias atuais. No entanto, O artigo está organizado de forma que inicial- essas mudan¸casnãoalteraram o princ´ıpiode seu funci- mente trata-se da nomenclatura das partes, da forma onamento e as linhas gerais do seu formato geométrico. geométricae de como se inicia a produ¸cãode som. Na Alémdo uso musical, existem alguns usos civis dos sequência,éfeita uma descri¸cãohistóricados usos mu- sinos, como a sinaliza¸cãode a¸cõesou aviso sobre si- sical, civil e religioso. Utiliza-se a teoria de combina¸cões tua¸cõesde perigo como incêndios,invasõese etc. Em para mostrar que, mesmo com um númeroreduzido de particular, o toque cont´ınuo de sino com 90 a 120 ba- sinos, époss´ıvel criar música. Discute-se brevemente daladas por minuto foi extremamente utilizado na Ale- o carrilhão,instrumento musical que depende de si- manha e na Fran¸ca,ao ponto de existirem palavras es- nos para a produ¸cãode som. A fundi¸cãodo sino é pec´ıficaspara designá-lo.Em alemãoesse toque chama- uma se¸cãocujo objetivo édar ao leitor as principais se Stürmlauten [7] e em francês tocsin [8]. Porém,o informa¸cõessobre os materiais e métodos que sãoutili- uso predominante dos sinos éreligioso, sendo que ins- zados no processo de cria¸cãode um sino. A últimase¸cão titui¸cõesreligiosas possuem, nas suas leis e normas, trata da aplica¸cãoda f´ısicapara entender como os sinos men¸cõesespec´ıficassobre a montagem e utiliza¸cãode produzem som. Sãodiscutidos os principais modos de sinos [9]. Desta maneira, uma breve descri¸cãodo uso vibra¸cãodos sinos, suas frequênciasrelativas, linhas no- dos sinos com finalidade religiosa éinteressante. Curi- dais e simetrias. Alémde uma introdu¸cãosucinta aos osamente, dada a inventividade humana, tocar sinos já métodos utilizados em modelagem dos sinos e as no- foi considerado uma espéciede esporte ou atividade re- vas propostas que da´ısurgiram, conclui-se o artigo com creativa [4, 5]. O estudo da origem, fundi¸cãoe história uma análiseemp´ıricada dependênciada frequênciado dos sinos dáorigem a um campo do conhecimento cha- modo fundamental do sino com a sua massa e o seu mado de campanologia. Campanólogoéo indiv´ıduo tamanho. versado em ou que se dedica àcampanologia. Embora os sinos játenham chegado a uma forma 2. Descrevendo os sinos funcional estável hámuito tempo, existem poucos estudos de carátercient´ıfico que discorrem sobre o as- A forma geométricade um sino nãoésimples de ser sunto, especialmente sobre o seu funcionamento des- descrita matematicamente, uma vez que a espessura da crito a partir da f´ısica. A primeira abordagem deste sua parede varia significativamente com a posi¸cão.Um ponto de vista foi feita por Lord Rayleigh [10] no in´ıcio tronco de cone de base circular que seja oco interna- da últimadécadado SéculoXIX. Na mesma década, mente éo objeto mais simples que lembra vagamente Simpson [11, 12] publicou dois trabalhos onde explicou um sino. Nos instrumentos primitivos, constru´ıdosa os processos, atéentãoemp´ıricos,de afina¸cãodos sinos. partir de uma chapa metálicacortada e soldada [4, 5], Existem apenas alguns artigos da primeira metade do a forma érealmente muito próximaa de um tronco SéculoXX: os de Jones [13–17], o de Mayer e Klaes [18], de cone de base retangular internamente oco. Dada a o de Tyzzer [19], os de Arts [20, 21], o de Curtiss e Gi- forma de sua constru¸cão,a espessura da sua parede é annini [22] e outro de Stuber e Kallenbach [23]. constante. Estes sãoos sinos ainda hoje utilizados em Atravésdos desenvolvimentos tecnológicosda se- animais em várioslugares do mundo. Uma proposta Sinos: F´ısicae músicafundidas em bronze 2303-3

de equa¸cãoque descreve o formato do perfil do sino foi um sistema f´ısicocuja dinâmicaérelativamente com- feita por Perrin e colaboradores [34], levando a um bom plexa [48]. Com a movimenta¸cãodo sino, o badalo acordo com a forma de um sino convencional. E´ uma tambémentra em movimento e passa a atingir o ins- equa¸cãode um c´ırculode raio C, centrada na origem, trumento em sua parte interna, resultando na produ¸cão com uma perturba¸cãode magnitude A e um parâmetro de som. O acionamento deste movimento pode ser ma- B, dada por nual, atravésde uma corda presa a uma roda que faz o sino girar, ou atravésde um motor elétricoque de- 2 2 2 − 2 − 2 x + y + A(x y ) sin By C = 0, (1) sempenhe tal fun¸cão[4, 6, 49]. Uma representa¸cãoes- onde os valores que descrevem um sino real são A = quemáticadesta forma de acionamento éfeita na Fig. 2 0, 943, B = 1, 510 e C2 = 0, 968 [34]. O nome sugerido e foi criada a partir da Ref. [48]. Aqui, dependendo para a curva gerada écampanoide, devendo-se obser- da altura do eixo de rota¸cãodo sino e do badalo ser var que ela descreve apenas um sino com paredes de preso ou nãoquando o movimento se inicia, surgem espessura constante. váriossistemas diferentes, resultando em sonoridades Os sinos possuem uma nomeclatura de suas partes tambémdiferentes. A outra forma de acionar o sino que écaracter´ıstica. Na parte superior, por onde são émantendo-o preso atravésda coroa e movimentando sustentados, fica a coroa, que em geral éricamente de- exclusivamente o badalo atravésde uma corda. Este é corada. Suspenso na parte interna háo badalo, uma conhecido como sistema russo [4] e émais utilizado no espéciede pênduloque bate internamente na parede do leste europeu. Em sinos acionados por um mecanismo sino para produzir som. A massa do badalo épropor- acoplado a um relógio,que dãoas badaladas referentes cional àmassa do sino, sendo que para sinos de grande àsdeterminadas horas, o sino permanece fixo. Para que porte, pode chegar a cerca de 1000 kg [6]. As diferen- o som seja produzido, outra parte do mecanismo pode tes regiõesdo corpo de um sino sãodenominadas da tanto movimentar o badalo quanto acionar uma espécie seguinte maneira: a parte inferior aberta éa boca; logo de martelo, que atinge o sino externamente. acima da boca encontra-se a borda sonante ou arco sonante; na sequênciafica a cintura, parte onde se encontram a maioria dos ornamentos; finalmente, com uma maior inclina¸cão,o ombro éa parte que liga a cintura e a coroa. Para maior clareza, todas as partes sãoindi- cadas na Fig. 1.

Figura 2 - Representa¸cãoesquemáticade como o sino épendu- rado e pode girar em torno de um eixo que passa próximoàcoroa. As duas situa¸cõesmostradas correspondem àposi¸cõesextremas do movimento de rota¸cãodo sino. Quando a corda éacionada (situa¸cãoda esquerda), ocorre uma rota¸cãono sentido horário e, na situa¸cãoda direita, uma rota¸cãono sentido anti-horário. Ilustra¸cãocriada a partir da Ref. [48].

3. Os diversos usos dos sinos

O primeiro uso documentado de sinos em uma pe¸camu- sical éatribu´ıdoao compositor Georg Melchior Hoff- Figura 1 - Sino com 65 mm de diâmetroexterno na abertura, 80 mm de altura e massa de 195 g. Superior: visãofrontal; Meio: mann (1679-1715). Na partitura da cantata fúnebre Visãode cima para baixo; Inferior: Visãode baixo para cima. A Schlage doch, gewünschteStunde, sãosolicitados dois correspondênciadas partes nessa figura é: A coroa; B ombro; C pequenos sinos. Na ópera Camille de Nicolas-Marie cintura; D borda sonante; E boca e F badalo. Dalayrac (1753-1809) ésolicitado o toque de sinos de Háduas formas como um sino pode ser acionado, igreja, da mesma forma que na ópera La Révolutiondu independentemente de manual ou mecanicamente. Na Dix Août de Ignaz Pleyel (1757-1831). Outra ópera, primeira, o sino épreso a um sistema que o permite Les Huguenotes de Giacomo Meyerbeer (1791-1864), rotacionar ao redor de um eixo ligeiramente acima da solicita um sino grande, especialmente feito para ser coroa. Esta configura¸cãotorna o sino, como um todo, utilizado nessa obra. Finalmente, na Abertura 1812 de 2303-4 Freitas et al.

Piotr Tchaikovsky (1840-1893), o compositor solicita na A inclusãode um 13o sino referente ànota dóuma oi- partitura ‘todos os sinos de Moscou’. Esses sãoalguns tava acima da nota do sino mais grave permite agora exemplos de inclusõesde sinos em pe¸casorquestrais e 6.227.020.800 combina¸cõesde toques. As sequênciasde oper´ısticas[50]. toques para conjuntos formados por 1, 2 e 3 sinos são Conjuntos de sinos utilizados para fazer músicare- mostradas na Tabela 1. montam ao SéculoX, sendo o mais comum o de oito sinos, abrangendo uma oitava diatônica (correspon- Tabela 1 - Combina¸cõesposs´ıveis de n sinos tocados um após dendo, por exemplo, àsnotas: dó,ré,mi, fá,sol, lá, o outro em sequênciasde n sinos. Com apenas um sino, sóhá s´ıe dó)[4, 49]. Para que sejam tocados, os sinos são uma permuta¸cãoposs´ıvel, enquanto com dois sinos existem duas permuta¸cõesposs´ıveis. Para um conjunto de trêssinos, o número acionados por uma corda, que os faz girar ao redor de de permuta¸cõessobe para seis e, se tentássemosescrever aqui as um eixo ligeiramente acima da sua coroa. Com o giro, o permuta¸cõespara um conjunto de quatro sinos, nossa tabela teria badalo percute a parte interna do sino e produz o som. vinte e quatro linhas. E´ poss´ıvel controlar a rota¸cãodo sino para que este soe 1 1 2 1 2 3 apenas quando se queira. Quando se deseja que o sino 2 1 1 3 2 pare de badalar, ele émantido em repouso com a boca 2 1 3 voltada para cima, de forma a manter o badalo também 2 3 1 em repouso, como mostrado na Fig. 2. Nesse sistema, 3 1 2 3 2 1 se faz necessáriauma pessoa para o acionamento de cada sino atravésde sua respectiva corda. Essa forma de fazer música com sinos levou à A maneira mais simples de se tocar um conjunto de cria¸cãode uma nota¸cãomusical particular, baseada nos sinos de, por exemplo, trêssinos, consiste em tocá-los númerosatribu´ıdosaos sinos. A nota¸cãoconsiste em em uma sequência,um apóso outro. Convencionou-se uma sequênciade linhas com o númerodos sinos na denotar esta sequênciapor 3 2 1, onde o maior número sequênciaem que devem ser tocados. A leitura éfeita corresponde ao sino de som mais agudo e o menor da esquerda para a direita e de cima para baixo, como númeroao de som mais grave. Porém,essa forma de na escrita ocidental. Essa escrita musical ésimilar às tocá-losnãopermite explorar toda a músicaque pode combina¸cõesmostradas na Tabela 1. Nas composi¸cões, ser extra´ıdade um conjunto de sinos. Isso levou as pes- adota-se uma regra para facilitar a execu¸cãomusical, a soas a tocá-losem sequênciasdiferentes da que vai do qual consiste em fazer com que o sino 1 mude apenas sino mais agudo para o mais grave. Esse fato fez com para posi¸cõesadjacentes entre uma sequênciae outra, que o númeroposs´ıvel de sequênciasnas quais os sinos ou ainda permane¸cana mesma posi¸cão. Isto permite poderiam ser tocados crescesse de maneira assustadora, acompanhar facilmente o sino mais agudo, o qual tem mesmo para conjuntos com alguns poucos sinos. papel de l´ıderdo grupo [5]. Na forma tradicional de tocá-losem um conjunto, A ideia de dispor um conjunto de sinos acionados cada sino étocado um apóso outro, nãohavendo re- por um mecanismo em uma sequênciade frequências, peti¸cãoenquanto todos os outros nãotenham sido to- de modo a produzir as notas de uma escala musical [51] cados. Ou seja, os sinos sãotocados formando per- remonta àBélgicado SéculoXVII. Esta disposi¸cãoper- muta¸cões P de n sinos agrupados tambémem número mite a execu¸cãode músicascomo em qualquer outro de n. Sabemos que a permuta¸cãode n objetos combi- instrumento. Ao conjunto de sinos acionados por uma nados em r elementos éexpressa por espéciede teclado acoplado a um mecanismo dá-seo n! nome de carrilhãoe o músicoque o toca chama-se car- P (n, r) = . (2) rilhonista. Na Fig. 3, a representa¸cãoesquemáticade (n − r)! como uma tecla do carilhãoaciona o sino émostrada. Como todos os sinos sãotocados sempre, eles sãoagru- O sino permanece preso e, quando a tecla éacionada, o pados de forma que r = n e, a expressãoanterior movimento étransmitido atéo badalo por um sistema simplifica-se de alavancas, fazendo com que o sino soe. Cada tecla corresponde a um sino e um sistema mecânicoinde- P (n = r) = P (n) = n! (3) pendente dos demais. Desta maneira, sãonecessários váriossinos para ter notas diferentes suficientes para Para um e dois sinos existem, respectivamente, uma tocar musicas. e duas possibilidades de toque. Com três sinos, o A cidade de Bruges, norte da Bélgica,possui um car- númerode possibilidades vai a seis e, para quatro sinos rilhãoconstitu´ıdopor 47 sinos, cuja massa total éde a vinte e quatro. Para uma oitava diatônicaconstitu´ıda 27.535 kg [5]. Esse carrilhão,entre outros no mundo, foi por oito sinos existem 40.320 sequênciasposs´ıveis. Se acoplado mecanicamente ao relógioda torre na qual se passamos para um conjunto de doze sinos, uma oitava encontra montado, tocando assim melodias em fun¸cão cromática(formada, por exemplo, pelas notas dó,dó♯, da passagem das horas. Embora existam carrilhõesem ré,ré♯, mi, fá,fá♯, sol, sol♯, lá,s´ı♭ e s´ı), existem as- todo o mundo, a maior concentra¸cãodeles estáloca- sombrosas 479.001.600 sequênciasde toques poss´ıveis. lizada ao norte da Europa continental, principalmente Sinos: F´ısicae músicafundidas em bronze 2303-5

na Fran¸ca,Bélgica,Paises Baixos e Alemanha [51]. Se- res passassem a ser constru´ıdas em fun¸cãodos sinos gundo a Federa¸cãoMundial do Carrilhão[52], existem que receberiam. Isso obrigou arquitetos e engenheiros apenas dois no Brasil: um com 61 sinos na Catedral a encontrarem solu¸cõesem termos de estrutura, forma Metropolitana (Catedral da Sé)e o outro no Santuário e materiais que possibilitassem a constru¸cãode torres Nossa Senhora do Sagrado Cora¸cão,contando com 47 para suportar sinos de dezenas de toneladas a muitos sinos, ambos na cidade de SãoPaulo - SP. metros do chão. A coloca¸cãodo sino no alto da torre tambémacabou se tornando mais complexa [6]. O uso litúrgicodos sinos ébastante extenso, sendo que algumas institui¸cões religiosas, como a Igreja Católica,possuem regras e normas para o seu uso [54]. Na Instru¸cãoda Sagrada Congrega¸cãodos Ritos Sobre a MúsicaSacra e a Sagrada Liturgia [9], no cap´ıtuloIII, existem 12 aspectos que devem ser observados quando do sino como elemento religioso. Em particular, a instala¸cãodos sinos deve seguir determinados ritos, como pode ser observado na Ref. [55]. Carrilhõese sinos de uso litúrgicodevem ser tidos como objetos diversos cuja utiliza¸cãonãoéintercambiável, ou seja, o carilhãonão épara uso religioso. O cuidado e considera¸cãosobre os sinos e a sua utiliza¸cãosãoexemplos de como esse instrumento musical se agregou àcultura religiosa. No caso de sinos que serãoinstalados em igrejas, como os novos sinos fundidos para substituir os que estavam na Igreja de Notre Dame de Paris [55] em Paris, Fran¸ca,écomum que o processo de fundi¸cãoseja acompanhado por um religioso, que procede com um rito antes do in´ıciodo depósitode bronze liquefeito na forma do sino. Este procedimento é seguido por outro ainda mais intri- gante e que atribui, de certa forma, a caracter´ıstica de uma personalidade aos sinos: o antigo batismo de um sino, que hoje échamado apenas de benedi¸cão. Muitos dos principais sinos de igreja possuem nomes Figura 3 - Representa¸cãoesquemáticado sistema de acionamento que remetem a pessoas, ou possuem atémesmo algum de um carrilhão. O sino permanece fixo, enquanto o badalo é significado especial dentro da cultura na qual se en- colocado em movimento por um sistema de alavancas que são contram [4]. Os novos sinos instalados na Catedral de acionadas pela tecla do carrilhão. Um sistema como esse éne- cessáriopara cada sino do carrilhão. Ilustra¸cãocriada a partir Notre Dame, por exemplo, chamam-se [56]: Marie, Ga- da Ref. [53]. briel, Anne-Geneviève, Denis, Marcel, Etienne,´ Benoˆıt- Tanto os carrilhõescomo os grandes sinos instalados Joseph, Maurice e Jean-Marie. Esses nomes remetem em catedrais adicionam uma massa considerável àes- a pessoas que deram contribui¸cõesimportantes para a trutura onde estãomontados. O exemplo mais famoso cristianiza¸cãoda Fran¸ca. éo sino Big Ben, com uma massa de 13.760 kg [5], instalado no Paláciode Westminster, em Londres. Porém, 4. A fundi¸cãodo sino o Big Ben possui pouco mais da metade da massa dos maiores sinos da Europa: o Pummerin, instalado na Ca- Ao contráriodo violino, por exemplo, onde époss´ıvel tedral de Santo Estevão,Viena, com 20.130 kg, e o sino que apenas um construtor - o luthier - realize todo o de SãoPedro, na catedral de Colônia,com 23.500 kg processo de constru¸cãodo instrumento, a fundi¸cãode [4, 6]. Com aproximadamente 220.000 kg e sem nunca um sino envolve, necessariamente, um númeromaior ter soado, o sino Czar, em Moscou, éo maior jáfun- de pessoas. Esta necessidade surge de fatores como: a dido atéhoje. Em 1737, houve um incêndioenquanto magnitude da quantidade de material utilizado no sino; o sino ainda se encontrava no seu po¸code fundi¸cãoe, a parte art´ısticaenvolvida na produ¸cãodos moldes; a devido ao calor das chamas, seu corpo sofreu aqueci- afina¸cãodo sino e a sua instala¸cão[6]. Ou seja, den- mento. Inadvertidamente, águafria foi jogada sobre tro da fundi¸cãode sinos existem profissionais que são o mesmo, fazendo com que ele trincasse [4]. Se inici- especialistas em determinados procedimentos, de ma- almente sinos eram colocados nas torres para que pu- neira similar àindústriado piano, onde existem profis- dessem ser ouvidos a maiores distâncias,a fabrica¸cão sionais para o trabalho com metal, outros para a monta- de exemplares cada vez maiores fez com que as tor- gem do teclado, etc. A atua¸cãode diversas pessoas em 2303-6 Freitas et al.

fun¸cõesespec´ıficasda fundi¸cãodo sino ébem ilustrada ouro ou/e prata na liga metálica,geralmente associadas na Ref. [55]. a supersti¸cõesde que o brilho desses metais traria, de A prepara¸cãoda liga metálicachamada de bronze alguma forma, brilho ao som do sino [4, 5,49]. éfeita fundindo cobre e estanho na propor¸cãoaproxi- O primeiro passo édefinir qual o tamanho do sino a mada de 75% de cobre para 25% de estanho. Se o sino ser fundido, o que irátambémdeterminar a nota emi- for muito grande, procede-se com uma altera¸cãona liga, tida quando ele soar. Isso éfeito atravésdo acúmulo de diminuindo a quantidade de estanho, o que torna o sino conhecimento emp´ıricode mais de um milênio,sinteti- mecanicamente mais resistente. Existem segredos in- zado na Tabela 2. Nela, as rela¸cõesentre a frequência dustriais com rela¸cãoàpropor¸cãoexata de cada metal da nota, o diâmetroda boca do sino e a sua massa são utilizado de forma a se obter um amálgamade alta qua- apresentadas. Estes dados devem ser entendidos mais lidade. A temperatura de fusãodo bronze depende das como aproximados do que exatos, uma vez que peque- propor¸cõesrelativas de cada metal mas, de forma geral, nas altera¸cõesno formato do sino, mantendo a mesma varia entre 1000 oC e 1200 oC[6]. Algumas lendas fa- massa e diâmetro,podem levar a resultados sonoros zem men¸cãoàintrodu¸cãode pequenas quantidades de distintos [40]. Isso serádiscutido posteriormente.

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Tabela 2 - Rela¸cãoentre as notas musicais da escala cromáticacujas frequênciascorrespondem àescala temperada, tomando a nota lá4 com frequência440 Hz. Para cada nota musical émostrada a massa e o respectivo diâmetronecessáriospara que o sino emita a respectiva nota como som fundamental, o qual corresponde ao som produzido pelo segundo modo normal de vibra¸cão.Os valores para a massa sãoaproximados, uma vez que as frequênciasdos modos de vibra¸cãodependem da forma do sino e o fato de que perde-se massa durante o processo de afina¸cão.Adaptado da Ref. [6].

Nota f (Hz) m (kg) d (mm) f (Hz) m (kg) d (mm) Dó 130,8 13.000 2.808 523,2 210 702 Dó# 138,6 11.000 2.640 554,4 170 660 Ré 146,8 9.700 2.536 587,3 160 634 Ré# 155,6 8.000 2.364 622,2 125 592 Mi 164,8 6.800 2.248 659,2 105 562 Fá 174,6 5.690 2.112 698,5 88 528 Fá# 185,0 4.770 1.996 740,0 74 500 Sol 196,0 4.200 1.896 784,0 60 474 Sol# 207,6 3.320 1.764 830,6 52 441 Lá 220,0 3.000 1.696 880,0 46 423 S´ı♭ 233,1 2.380 1.584 932,3 36 396 S´ı 246,9 2.100 1.508 987,8 30 376 Dó 261,6 1.740 1.404 1046,5 26 351 Dó# 277,2 1.360 1.320 1108,7 20 330 Ré 293,7 1.240 1.260 1174,7 18 317 Ré# 311,1 1.040 1.182 1224,5 15 295 Mi 329,6 830 1.124 1318,5 13 281 Fá 349,2 710 1.056 1396,9 10 264 Fá# 370,0 610 998 1480,0 9 249 Sol 392,0 510 948 1568,0 8 237 Sol# 415,3 410 882 1661,2 6 220 Lá 440,0 370 846 1760,0 5 211 S´ı♭ 466,2 310 792 1864,6 4 198 S´ı 493,9 270 754 1975,5 3 188 ⌈

Um gabarito em madeira, correspondendo àmetade adequado da superf´ıcieda alma [6]. O gabarito, que roda proje¸cãodo formato interno do sino, éconstru´ıdoe taciona sobre o eixo vertical, permite ao construtor dar fixado a um eixo vertical que se encontra preso a uma o formato simétricoexato àalma, como mostrado na base e que permite que este gabarito preso ao eixo gire Fig. 4. de 360o. O gabarito éconstru´ıdode forma a possuir A argamassa aqui utilizada possui em sua com- exatamente o contorno interno do sino, e éutilizado posi¸cãoargila, areia, palha e crina de cavalo. Era para construir a primeira parte do molde, chamada de comum a utiliza¸cãode estrume de cavalo, porémele alma (em português,podemos encontrar a designa¸cão nãoémais tãoutilizado por questõesde higiene. Uma de macho para este molde interno). Sua primeira es- vez que a alma écolocada em seu formato final, esta trutura éconstru´ıdacom pequenos tijolos refratários, pe¸cadeve ser reservada para que a argamassa seque. E´ pedras ou peda¸cosde coque. Uma vez feita a estrutura poss´ıvel expor a alma a temperaturas levemente mais com os pequenos tijolos, uma camada de argamassa é altas do que a temperatura ambiente para facilitar a se- colocada sobre eles de forma a permitir um acabamento cagem. A Ref. [57] possui boas ilustra¸cõesdo processo Sinos: F´ısicae músicafundidas em bronze 2303-7

de constru¸cãodos moldes. Agora, uma pe¸camaci¸ca adesãoentre ela e a superf´ıcie do falso sino. Alguns e de dimensõesexternas idênticas ao sino almejado é dias depois, a argamassa seca completamente e o con- constru´ıda. Utiliza-se tambémpequenos tijolos e uma junto forma e falso sino édesmontado [5]. Para isso, argamassa similar àempregada na constru¸cãoda alma. énecessárioquebrar o falso sino, porémsem danificar Essa pe¸caéo falso sino, uma vez que éidêntica ao sino, a argamassa que agora contémo formato do sino e to- mas nãose trata de forma alguma de um sino [6]. No dos os ornamentos. Neste estágioa argamassa passa a falso sino todos os ornamentos desejados jádevem estar ser um molde, o qual édenominado de manto (em por- presentes. Estes consistem de inscri¸cõese desenhos em tuguês,podemos encontrar a designa¸cãode fêmeapara alto relevo feitos em cera, os quais devem ser aderidos à este molde externo) [57]. A limpeza do manto deve ser superf´ıciedo falso sino [4]. Uma vez conclu´ıdo,o falso feita para que nãofiquem resqu´ıciosde argamassa ou sino seráutilizado para a confeçcãodo molde externo cera, o que causaria altera¸cõesno formato final do sino. do sino final. Para a remo¸cãode eventuais restos de cera, écomum utilizar um fluxo de ar quente de um soprador térmico. Na parte superior do manto existem canais que servirão para depositar o bronze fundido em um dos passos finais da fundi¸cãodo sino [6]. Apósestes processos, tanto o molde externo do sino como o molde interno estãofinalizados. O próximo passo consiste em montar o manto sobre a alma em uma superf´ıciehorizontal. Nesta etapa do processo de fundi¸cãodeve-se tomar muito cuidado para que o manto e a alma estejam com seus respectivos eixos verticais ali- nhados, de forma que os espa¸cosvazios entre essas duas partes sejam sempre iguais em uma mesma altura. Caso nãoseja feita uma centraliza¸cãoadequada, o sino terá diferentes espessuras a uma mesma altura, o que pode prejudicá-lodo ponto de vista tanto estrutural quanto acústico[49]. Uma vez que o alinhamento foi realizado com sucesso, o manto éfixado àbase onde a alma foi constru´ıdapara evitar movimentos que possam desali- nhar a estrutura do conjunto, conforme mostrado na Fig. 5. Figura 4 - Representa¸cãoesquemáticade como éconstru´ıdaa alma, molde da parte interna do sino. Um molde em madeira écolocado ao eixo central do sino. O molde pode girar, permi- tindo ao art´ıficea constru¸cãoda alma de maneira simétricaem rela¸cãoa este eixo vertical. E´ importante garantir essa simetria para que a parte interna do sino nãoprovoque problemas de nãoalinhamento do sino depois de fundido, podendo levar a uma distribui¸cãonãohomogêneada espessura a uma mesma altura. Ilustra¸cãocriada a partir da Ref. [6]. Para a confeçcãodo molde externo do sino, pode-se utilizar tanto uma forma metálicaquanto uma constru´ıdade argamassa, desde que suas dimensõessejam maiores do que as do sino a ser constru´ıdo.O falso sino tem a sua superf´ıciepulverizada com grafite em pó,vi- sando minimizar a aderênciada argamassa que entrará em contato com ele [55]. O falso sino éentãocolocado sobre uma superf´ıciehorizontal plana e nivelada. Sobre ele écolocada a forma previamente constru´ıda,sendo que as duas partes devem estar devidamente alinhadas em rela¸cãoao eixo horizontal que passa pelo centro de ambas. Apóso correto alinhamento, o conjunto épreso Figura 5 - Croquis da estrutura montada antes do in´ıcio da fundi¸cãodo sino. A alma édenotada por A, o manto por M para evitar movimentos que possam causar algum de- e * indica o canal por onde o bronze liquefeito édepositado. Ao salinhamento [6]. lado de * existem dois canais para a sa´ıdade ar. O espa¸cova- Uma argamassa pouco viscosa éinjetada atravésde zio entre a alma e o manto, que possui o formato do sino a ser aberturas na parte superior da forma. Esta argamassa fundido e serápreenchido por bronze liquefeito, estáindicado em preto. No caso de sinos muito grandes (com massa da ordem passa a preencher o espa¸coexistente entre a forma e o de toneladas), essa estrutura costuma ser enterrada. Isso éfeito falso sino e o grafite em póevita que ocorra uma forte tanto por razõesde seguran¸caquanto de estabilidade mecânica 2303-8 Freitas et al.

da estrutura, e ainda para que o resfriamento ocorra de maneira das frequênciasharmônicaspara um determinado som lenta. Ilustra¸cãocriada a partir da Ref. [6]. fundamental [60]. Isso, porém,nãoimpediu os constru- No caso de sinos de dimensõespequena e média,o tores desses instrumentos de encontrarem maneiras de conjunto manto-alma fica no chãoe o bronze fundido e alterá-los,de forma a modificar o som e obter sons mais liquefeito édepositado com um cadinho no espa¸cova- próximosde harmônicos. zio entre a alma e o manto atravésdos canais e orif´ıcios Em uma corda, existe o conceito de nóou nodo, na parte superior do manto [57]. Jáno caso de sinos que éum ponto onde nãoexiste movimento. Jápara de dimensõesgrandes, da ordem de algumas toneladas, objetos com mais dimensões,o conceito passa a ser o essa estrutura geralmente fica enterrada. Os canais do de linha nodal, uma linha sobre a qual nãoexiste mo- manto ficam no n´ıvel do chãoe o bronze liquefeito sai vimento [61]. Essas linhas sãoresponsáveis pelos com- diretamente da fundi¸cãopara preencher o espa¸coentre plexos desenhos que surgem em tampos e fundos de o manto e a alma, como mostrado na Ref. [55]. Uma instrumentos musicais quando sãofeitas figuras de Ch- vez conclu´ıdoesse processo, énecessárioaguardar que ladni [58]. O conceito de linha nodal pode ser utilizado o sino esfrie dentro do molde e o metal se solidifique, o para que se fa¸cauma representa¸cãopictóricados modos que pode levar desde alguns dias para sinos pequenos de vibra¸cãode um objeto como o sino. atécerca de duas semanas para sinos cuja massa seja Nesta representa¸cãoas linhas nodais serãodenota- da ordem de toneladas. das, bem como o modo com que elas dividem as partes Apóso metal ter esfriado e solidificado-se, chega vibrantes do sino, tanto de maneira longitudinal como a hora de extrair o sino de dentro do molde formado de maneira circular [39]. As linhas nodais meridionais, pelo manto e pela alma. Para a extra¸cãoénecessário que ocorrem na vertical do sino, o dividem angular- quebrar a alma, que ficou na parte interna do sino, e mente em partes que vibram para dentro e para fora depois quebrar a argamassa que ficou entre o sino e o em antifase. A proje¸cãodestas linhas sobre um c´ırculo molde utilizado para a confeçcãodo manto, procedi- exemplifica como as partes vibrantes do sino estãodi- mento tambémmostrado em [55]. Deve-se tomar um vididas em fun¸cãodo númerodestas linhas. Jáa linha cuidado extremo para nãocausar nenhum dano ao sino nodal circular, que éapenas uma nos principais modos quando se estáquebrando o molde. Apósser retirado, de vibra¸cão,divide o sino na vertical, em duas par- o sino élimpo, sua sonoridade éavaliada e, eventuais tes [26, 31]. Essa linha nodal éum c´ırculoao redor do ajustes na sua afina¸cãosãoexecutados. Em particular, sino e estálocalizada a uma altura bem definida. Nos fundidores italianos, com a sua longa experiênciana diferentes modos normais aqui estudados, alteram-se área,conseguem fazer sinos que jásaem devidamente apenas a posi¸cãoda linha nodal circular e o númerode afinados - o que émotivo de orgulho desta escola naci- linhas nodais meridionais. onal [6]. O ponto de maior deslocamento da posi¸cão de equil´ıbriocorresponde ao ponto onde o sino éatingido 5. F´ısicaaplicada aos sinos pelo badalo. Existe uma regiãonodal na parte superior do sino, por onde ele épendurado [26]. Para representar Antes de descrever como o sino vibra e o processo pelo as linhas nodais circulares utiliza-se a metade do cro- qual ele éafinado, éimportante relembrar alguns con- quis do sino e a ideia de que a parede do sino possui um ceitos que serãoutilizados daqui para frente. O pri- movimento parecido com o de uma barra [59]. A parte meiro éo conceito de harmônico: quando uma única superior do sino, onde se encontra a coroa, equivale à corda étocada em um violino, por exemplo, uma série extremidade presa da barra, enquanto a extremidade de sons éemitida simultaneamente [58]. Ao som com a da boca do sino corresponde àextremidade solta da menor frequência,o mais grave em termos musicais, barra. A analogia para por aqui, jáque nãoéposs´ıvel é dado o nome de fundamental, aqui denotado por associar os modos de vibra¸cãoda barra com os modos f0. Os outros sons emitidos, que possuem valores da de vibra¸cãodo sino. frequênciaque sãomúltiplosinteiros da frequênciafun- Rayleigh [10] ofereceu uma visãofascinante sobre damental, sãodenominados de harmônicos,tal que o investiga¸cãocient´ıfica inicial das vibra¸cõese sons de n-ésimoharmônicosegue fn = nf0, com n=1, 2, 3... . sinos. Um dos principais objetos de seu trabalho foi De maneira geral, no caso dos idiófonos,os sons pro- apresentar os resultados de um experimento realizado duzidos juntos com o som fundamental possuem uma com váriossinos de igreja. Dado àsdificuldades ex- rela¸cãoque nãoobedece uma regra de múltiplosin- perimentais, tanto tecnológicasquanto ligadas àsdi- teiros da frequênciafundamental. Neste caso, esses mensõesdos sinos, coube a Rayleigh fazer uma des- sons deixam de ser harmônicose passam a ser cha- cri¸cãoqualitativa dos modos de vibra¸cãodestes instru- mados de parciais, sobretons ou ainda sobretons de- mentos. Esta análiseapontou a existênciadas linhas sarmônicos[59]. O sino éjustamente um exemplo onde nodais meridionais e verificou que o contorno inicial- as frequênciasdos sobretons desviam significativamente mente circular do sino torna-se el´ıpticoquando ele está Sinos: F´ısicae músicafundidas em bronze 2303-9

a vibrando. Modos normais simétricosem torno do eixo é2, 0f0, correspondendo a um intervalo musical de 8 vertical foram tambémreportados, mas nenhuma im- justa com o som do modo fundamental. portânciaacústicafoi atribu´ıda aos mesmos. Foram Os cinco modos normais anteriormente descritos são feitas algumas tentativas de identificar os modos de vi- os mais importantes na produ¸cãode som musical por bra¸cãocorrespondentes aos diferentes tons de um sino um sino e, de forma geral, sãoestes cinco sons que de igreja, obtendo-se apenas sucesso parcial, uma vez sãoharmonizados (afinados) pelos construtores de si- que somente os modos de vibra¸cãocorrespondente aos nos. Existem ainda trêsmodos normais de vibra¸cão cinco tons mais graves foram identificados. Nos seus bem conhecidos que sucedem os anteriores [64]. São experimentos, Rayleigh observou que o quinto tom cor- eles: sexto modo normal, com oito linhas nodais meri- responde a oitava nominal da tonalidade do sino. dionais e uma linha nodal circular. Possui frequência a Os modos de vibra¸cãode um sino sãomostrados 2, 5f0 e forma um intervalo musical de 3 maior com de maneira pictóricana Fig. 6, onde as linhas nodais o som do quinto modo. O sétimomodo normal tem sãorepresentadas por linhas tracejadas. Existem linhas dez linhas nodais meridionais e uma linha nodal circu- nodais meridionais, que ocorrem na vertical e, linhas lar, com frequência3, 0f0. Forma um intervalo musical nodais circulares, que formam um c´ırculohorizontal ao de 5a justa com o som do quinto modo. Finalmente, redor do sino. O númerode meridianos nodais édado o oitavo modo normal tem 12 linhas nodais meridio- por 2m, com m= 0, 1, 2, 3, ... , enquanto o númerode nais e uma linha nodal circular. Sua frequênciaéde a c´ırculosnodais é n, com n=0, 1, 2, 3, ... . O primeiro 4, 0f0, formando um intervalo de 8 justa com o som modo normal de vibra¸cãodo sino (A) éresponsável do quinto modo. Uma análisede sinos reais feita por pela produ¸cãode um som semelhante a um zumbido, o Oancea et al. [65] mostra que, de forma geral, os sinos que lhe confere o nome, em inglês,de hum tone [47,62], podem ser harmonizados de forma que as rela¸cõesen- aqui chamado de som de hum. Nesse modo existem tre as frequênciasdos diversos modos com o modo fun- quatro linhas nodais meridionais, de forma que o sino damental sejam muito próximasdas idealizadas para fica divido em quatro partes que se movem alternada- formarem intervalos musicais bem definidos. mente para fora e para dentro. Possui frequência0, 5f0, Os modos de vibra¸cãode um sino podem ser ana- onde f0 , corresponde àfrequênciado modo fundamen- lisados a partir da teoria de grupos [29]. Para tanto, tal, B, formando com este um intervalo musical de 8a épreciso considerar o sino como sendo de material ho- justa [63]. mogêneo,algo muito próximoda realidade, porémdes- No segundo modo de vibra¸cão(B) - o qual recebe considerando os ornamentos, que correspondem a ape- o nome de fundamental ou, em inglês, prime [64] - as nas uma pequena fra¸cãoda massa total do sino. Por fim quatro linhas nodais meridionais do primeiro modo se a coroa, que éuma parte essencialmente estática,não mantém. Alémdelas, surge uma linha nodal cirular entra na análise. Dessa forma, o sino pode ser gerado localizada mais para a parte inferior do sino, o qual pela rota¸cãodo perfil no entorno de uma linha verti- fica dividido em oito partes que vibram alternadamente, cal. E´ fácilperceber que uma rota¸cãode um ângulo deslocando-se para fora e para dentro. Esse modo de ϕ no entorno dessa linha vertical éuma opera¸cãode vibra¸cãopossui frequência f0, que é,de modo geral, simetria, a qual serádenotada por C(ϕ). No caso par- muito próximaàfrequênciado som produzido pela pan- ticular ϕ=0, essa éa opera¸cãoidentidade E. Outra cada do badalo no sino, que recebe o nome de som da opera¸cãode simetria éa reflexãoespecular do sino em badalada ou strike tone, em inglês[47]. um plano que contenha a linha vertical. Esta reflexão O terceiro modo normal (C) divide o sino em doze édenotada por σv, sendo que existem infinitos planos partes, sendo que passam a existir seis linhas nodais que contemplam a condi¸cão.O conjunto de opera¸cões meridionais e uma linha nodal circular mais ou menos de simetria formado por E, C(ϕ) e σv forma o grupo no meio do sino. A frequênciadeste modo corresponde pontual C∞v [66]. a a 1, 2f0, formando assim um intervalo musical de 3 O grupo C∞v possui infinitas representa¸cõesirre- menor com o modo fundamental [63]. dut´ıveis, tambémchamadas de simetrias. As` simetrias Em (D), o quarto modo normal, continuam a existir Σ+ e Σ− correspondem modos com m = 0, os quais seis linhas nodais meridionais e uma linha nodal circu- nãopossuem meridianos nodais e nãosãoimportantes lar, e o sino continua dividido em doze partes [64]. Este acusticamente [29]. Aos modos com m= 1, 2, 3 e 4, cor- modo difere do terceiro na posi¸cãoda linha nodal cir- respondem as simetrias Π, ∆, Φ, Γ, respectivamente. A cular, a qual estálocalizada mais próximada boca do correspondênciaun´ıvoca entre m e cada representa¸cão sino. Sua frequênciaé1, 5f0, que, musicalmente, éum irredut´ıvel permite agrupar os modos de vibra¸cãoem intervalo de 5a justa com o modo fundamental [63]. fam´ıliascom o mesmo númerode meridianos nodais, Jáno quinto modo normal (E), existem oito linhas mas que possuem um númerovariado de c´ırculosno- nodais meridionais. A linha nodal circular estálocali- dais. Na Tabela 3, éfeita uma s´ıntese das informa¸cões zada mais próximaao ombro do sino, o qual se encon- sobre frequências,nomes, linhas nodais e simetria dos tra dividido em dezesseis partes [64]. A sua frequência principais modos de vibra¸cãorepresentados na Fig. 6. 2303-10 Freitas et al.

Tabela 3 - Modos de vibra¸cão,frequênciasrelativas frel, nome do modo de vibra¸cão,númerode c´ırculosnodais n, númerode meridianos nodais 2m e representa¸cãoirredut´ıvel (simetria) de cada modo. ∗Na Ref. [29] o valor é n = 0 porém,verificou-se posteriormente a existênciade um c´ırculonodal muito próximoàboca do sino.

Modo Nome frel n 2m Simetria A Som de hum 0,5 0 4 ∆ B Fundamental 1,0 1 4 ∆ C Ter¸camenor 1,2 1 6 Φ D Quinta justa 1,5 1∗ 6 Φ E Oitava nominal 2,0 1 8 Γ

Figura 6 - Representa¸cãopictóricados cinco primeiros modos de vibra¸cãode um sino, de A até E. As informa¸cõessobre cada modo de vibra¸cãoestãoem colunas, sendo que a primeira linha da figura corresponde àrepresenta¸cãodo modo de vibra¸cãoe as linhas tracejadas representam as linhas nodais meridionais e circulares. A segunda linha da figura éuma proje¸cãoda metade do perfil do sino, com o qual se faz a analogia parcial entre os modos de vibra¸cãodo sino e uma barra presa em uma extremidade. Na terceira linha da figura éfeita a proje¸cãosobre um circulo das linhas nodais meridionais. A nomeclatura dos modos é: A som de hum; B fundamental; C ter¸ca(menor); D quinta (justa); E oitava (justa). As frequênciasrelativas são,respectivamente, 0,5 f0, 1,0 f0, 1,2 f0, 1,5 f0 e 2,0 f0. Detalhes de cada modo normal de vibra¸cãosãodiscutidos no texto. Ilustra¸cãocriada a partir da Ref. [62].

O conhecimento das frequênciasnaturais de um sistema vibrante éde suma importânciapara a sua uti- pn fm,n = Cn(m + bn) . (4) liza¸cão. No caso dos sinos, elas estãoassociadas diretamente àsnotas musicais produzidas. Dispor de uma Na décadade 1890, Canon A.B. Simpson [11, 12] rela¸cãoque permita obter as frequênciasdos modos de conseguiu mostrar que os processos de afina¸cãoutiliza- vibra¸cãoa partir dos números m e n foi o objeto dos dos pelos fundidores de sinos por séculosestavam am- trabalhos do grupo de Perrin [38]. A proposta consiste parados cientificamente [59]. Ele mostrou que os cinco em modificar a lei de Chladni, inicialmente formulada principais sons podem ser afinados separadamente uns para placas planas e nãoplanas, de forma a torná-la dos outros, atravésde varia¸cõesna espessura da parede aplicável aos sinos. A forma original da lei édada do sino nos pontos que correspondem aos ventres des- 2 por fm,n = Cn(m + 2n) , onde fmn éa frequênciado tes modos, como mostrado na segunda linha da Fig. 6. modo associado aos ´ındices m, n e Cn éuma constante Esse processo de afina¸cãorequer muito cuidado uma vez emp´ıricaque depende apenas de n. A lei de Chladni que, caso o sino seja deixado com uma espessura menor modificada para sinos éescrita com a inclusãode mais do que a desejada, torna-se imposs´ıvel recuperá-losem dois parâmetrosemp´ıricos, b e pn, conforme a Eq. (4). que ele precise ser fundido novamente. Essa forma emp´ıricade descrever as frequênciasdos si- Quase cem anos depois dos trabalhos de Simpson, nos mostrou-se capaz de se adequar a dados de mais de Lehr [40] realizou um estudo teórico,com simula¸cões 60 diferentes modos de vibra¸cão,a únicaregiãoque não computacionais e um prático,com a constru¸cão- pelos ébem descrita [38] por essa lei modificada ocorre para fundidores de sino - dos modelos obtidos no compu- m ≤ 2. tador. A abordagem utilizada para a modelagem dos Sinos: F´ısicae músicafundidas em bronze 2303-11

sinos éa do Método dos Elementos Finitos, onde a es- fun¸cãodo inverso do raio, obtém-seuma reta. Ou trutura complexa do sino éconstitu´ıdade um número seja: a rela¸cãofoi linearizada [68], como mostrado na finito de elementos com formas simples. Usando a Fig. 8. Pode-se ajustar uma reta f(R) = aR + b, onde teoria das interpola¸cões constrói-se uma formula¸cão R = 1/r, a = 184, 6 e b = −0, 1264, mostrando que numérica,onde os elementos devem satisfazer algum realmente f éinversamente proporcional a r. Proce- critériode otimiza¸cãode forma a produzir uma solu¸cão dendo da mesma forma para a rela¸cãoentre frequência numérica[67]. e massa, verifica-se que, quando n = 3, obtém-sea line- O objetivo de Lehr era alterar o sino de forma que ariza¸cãoda rela¸cãode forma que f(M) = a′M+b′, onde 3 ′ ′ o modo C - que corresponde a um intervalo ter¸came- M = 1/m , a = 3010, 8√ e b = 14, 069, indicando uma nor com o som fundamental, caracterizando, na música rela¸cãoda forma f ∝ 1/ 3 m. Essa breve análiseserve ocidental, um som lúgubre- passasse a ser uma ter¸ca como indicador, para este conjunto de dados, de como maior, intervalo associado a uma sonoridade mais ale- a frequênciado modo fundamental do sino depende do gre [63]. Apósuma sériede estudos baseados em si- raio e da sua massa. mula¸cõescomputacionais, chegou-se a uma nova forma para o sino, como mostrado na Fig. 7. A frequência do modo C no sino com forma alterada passa de 1, 2f0 para 1, 26f0. Posteriormente, os ‘sinos com ter¸camaior’ foram fundidos. No entanto, o estudo foi aparentemente mais acadêmicodo que uma proposta aceita pela indústriada fundi¸cãode sinos.

Figura 8 - Dependênciada frequênciado modo fundamental do sino como fun¸cãodo inverso do raio da boca e como fun¸cãodo inverso da raiz cúbicada massa. C´ırculosrepresentam valores obtidos dos dados da Tabela 2, tra¸cocont´ınuo representa a reta ajustada aos dados.

6. Conclus˜oes

Este artigo traz informa¸cõessobre o sino, instrumento musical classificado como idiófonopercutido. Primei- ramente o sino foi discutido como um objeto, como sua forma e como ele ocorre. Geralmente os sinos aparecem em torres de igreja em diversas formas, desde um sino solitárioatéum conjunto de alguns instrumentos. Eles Figura 7 - A` esquerda representa¸cãodo croquis de um sino ociden- tambémpodem ocorrer em um conjunto de dezenas de tal tradicional e, àdireita, do sino proposto por Lehr. Ilustra¸cão unidades que formam um carrilhão.Foi realizada uma criada a partir das Refs. [6] e [40]. revisãobibliográficaonde constam os principais traba- A partir dos dados da Tabela 2, pode ser realizada lhos de cunho cient´ıficosobre os sinos, assim como sobre uma análiseda dependênciada frequênciado modo a sua fundi¸cão. Os usos musical e litúrgicodos sinos, fundamental dos sinos tanto com o seu raio quanto bem como algumas particularidades e tradi¸cõesforam com sua massa. Intuitivamente, pode-se pensar que apontadas de forma sucinta. Uma descri¸cãode todo o quanto maior o raio, maior o caminho que a onda es- processo de constru¸cãode formas e da fundi¸cãosegue tacionáriano sino precisa percorrer, logo, menor será na sequência,atentando-se para a clareza em relatar os a sua frequência. Supondo que a frequênciaéinver- principais passos e processos envolvidos. Finalmente, samente proporcional ao raio, époss´ıvel propor uma uma descri¸cãode como o som éproduzido pelos sinos rela¸cãoentre a frequência f e o raio r da forma f(r) ∝ foi apresentada atravésde uma análisedo ponto de vista 1/r. Da mesma forma, analisando os dados, pode-se da f´ısica,dando ênfasena descri¸cãodo comportamento propor uma rela¸cãoentre f e a massa m do sino que dos seus modos normais e como altera¸cõesgeométricas pode ser escrita da seguinte maneira f(m) ∝ 1/mn, afetam esses modos e sãoempregadas em ajustes na com n a ser determinado. Fazendo o gráficode f em sonoridade final do instrumento. 2303-12 Freitas et al.

Agradecimentos [25] M. Seewann and E. Terhardt, Messungen der wahrge- nommenen Tonhöhevon Glocken In: Fortschritte der Os autores agradecem ao Prof. Evaldo Ribeiro, ao Prof. Akustik (VDE-Verlag, Berlim, 1980). JoséRoberto do Carmo Jr., ao Fabio A.S. Rahal e à [26] T.D. Rossing (ed.), Acoustics of Bells (Van Nostrand, Claudia L. Borio pelas sugestõese ideias que deram Reinhold, 1984). para este trabalho. Agradecemos tambémàRaisa R. [27] H. Bagot, Acoust. Aust. 14, 35 (1986). Jakubiak pelo aux´ılio com a revisãotextual e àAn- [28] R. Perrin, T. Charnley and J. de Pont, J. Sound Vib. dressa Brotto pela cuidadosa revisãogeral. 90, 29 (1983). [29] R. Perrin and T. Charnley, J. Sound Vib. 31, 411, Referências (1973). [30] R. Perrin, J. Sound Vib. 52, 307 (1977). [1] C. Sachs e E.M. von Hornbostel, Galpin Soc. J. 14, 3 (1961). [31] T.D. Rossing and R. Perrin, App. Acoust. 20, 41 (1987). [2] A.L. Schmid, G.G.B. Romanelli, I.M. Fomin, J. Berg- mann Filho, L.H.M. Mombach, R.M. Pereira, T.C. [32] R. Perrin and T. Charnley, J. Sound Vib. 117, 411 Freitas e T. Madalozzo, Museu dos Instrumentos Mu- (1987). sicais (MIMU) (Editora UFPR, Curitiba, 2014). [33] R. Perrin and T. Charnley, J. Sound Vib. 119, 243 [3] I. Morley, The Evolutionary Origins and Archaeology of (1987). Music Tese de Doutorado, Cambridge University, 2003. [34] R. Perrin, T. Charnley, J.H. Samson and H.P.W. Got- tlieb, J. Sound Vib. 151, 163 (1991). [4] S.N. Coleman, Bells Their History, Legends, Making, and Uses (Rand McNally, Chicago, 1928). [35] T.D. Rossing, R. Perrin, H.J. Sathoff and R.W. Peter- son, J. Acoust. Soc. Am. 76, 1263 (1984). [5] S.N. Coleman, The Book of Bells (John Day, Nova Ior- que, 1938). [36] R. Perrin, T. Charnley and G.M. Swallowe, App. Acoust. 46, 83 (1995). [6] A.D. Quadri, Arte Campanaria (Arte Tipografica, Nápoles, 2010). [37] R. Perrin, G.M. Swallowe, T. Charnley and C. Marshall, J. Sound Vib. 227, 409 (1999). [7] G. Drosdowski (ed.), Duden Deutsches Univer- sal Wörterbuch (Bibliographisches Institut & F.A. [38] R. Perrin, T. Charnley, H. Banu and T.D. Rossing J. Brockhaus AG, Mannheim, 1989). Sound Vib. 102, 11 (1985). [8] A. Rey (ed.), Le Robert Micro Dictionnaire de la langue [39] A. Lehr, J. Acoust. Soc. Am. 79, 2000 (1986). fran¸caise (Dictionnaires Le Robert, Paris, 1998). [40] A. Lehr, Music Percept. 4, 267 (1987). [9] M.J. Francisco (ed.), Documentos Sobre a Música [41] A. Lehr, Acustica 83, 320 (1997). Litúrgica (Paulus, SãoPaulo, 2005). [42] A. Schoofs, F. Van Asperen, P. Maas and A. Lehr, Mu- [10] Lord Rayleigh, Phil. Mag. 29, 1 (1890). sic Percept. 4, 245 (1987). [11] C.A.B. Simpson, Pall Mall Mag. 7, 183 (1895). [43] N. McLachlan, B.K. Nigjeh and A. Hasell, J. Acoust. Soc. Am. 114, 505 (2003). [12] C.A.B. Simpson, Pall Mall Mag. 10, 150 (1896). [44] N.H. Fletcher, W.T. McGee and A.Z. Tarnopolsky, J. [13] A.T. Jones, Phys. Rev. 31, 1092 (1928). Acoust. Soc. Am. 111, 1437 (2002). [14] A.T. Jones, J. Acoust. Soc. Am. 1, 373 (1930). [45] D. Lavan, S. Hogg and J. Wolfe, Acoust. Aust. 31, 4 [15] A.T. Jones, J. Acoust. Soc. Am. 1, 382 (1930). (2003). [16] A.T. Jones and G.W. Alderman, J. Acoust. Soc. Am. [46] M. Ozak¸caand¨ M.T. Gögüs,J. New Mus. Res. 33, 61 3, 297 (1931). (2004). [17] A.T. Jones and G.W. Alderman, J. Acoust. Soc. Am. [47] W.A. Hibbert, The Quantification of Strike Pitch and 4, 331 (1933). Pitch Shifts in Church Bells Tese de Doutorado, The Open University, 2008. [18] E. Mayer and J.J. Klaes, Naturwissenschaften 39, 697 (1933). [48] J. Woodhouse, J.C. Rene, C.S Hall, L.T.W. Smith, F.H King and J.W. McClenahan, Adv. Acoust. Vib. [19] F.G. Tyzzer, J. Franklin Inst. 210, 55 (1930). 681787, 1 (2012). [20] J. Arts, J. Acoust. Soc. Am. 9, 344 (1938). [49] Still Ringing After All These Years: A Short His- [21] J. Arts, J. Acoust. Soc. Am. 10, 327 (1939). tory of Bells Dispon´ıvel em http://www.bbc.co.uk/ [22] A.N. Curtiss and G. M. Giannini, J. Acoust. Soc. Am. programmes/b018ct1c. Acesso em: 23 set. 2014. 5, 159 (1933). [50] R. Dearling (ed.), The Encyclopedia of Musical Instru- [23] C. Stuber and W. Kallenbach, Blätter 5, 268 (1949). ments (Smithmark, Nova Iorque, 1996). [24] T. Fehn, Die Gliederung des Tonaufbaus in ihrer Be- [51] R. Bragard e F.J. de Hen, Musical Instruments in Art deutung fürdie Klangqualitätder Glocke In: Beiträge and History (Viking Press, New York, 1968). zur Glockenkunde. (Beratungsausschuß fürdas Deuts- [52] Federa¸cãoMundial do Carilhão,Dispon´ıvel em http: che Glockenwesen, Heidelberg, 1970). //www.carillon.org. Acesso em: 23 set. 2014. Sinos: F´ısicae músicafundidas em bronze 2303-13

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