revue interdisciplinaire de g&om&rieappliquke aux probl&mesde structure et morphologieen design, architecture et gCnie
PARUTION NUMtiRO: ISSUE NUMBER: 10
interdisciplinary journal on geometryapplied to problemsof structure and morphologyin architecture, designand engineering La revue est publiee par le groupe de recherche ‘Topologie The Journal is published by the Structural Topology L’Cquipe de ce numkro / Staff for this issue structurale’, avec la collaboration de I’Association math& research group, with the collaboration of the Association matique du Quebec et de 1’UniversitC du Quebec a mathematique du Quebec and the Universite du Quebec a Montreal. Montreal. Redaction/Editors Henry Crapo Jacques Arc hambault Cornit de direction / Management committee Janos J. Baracs Michel Fleury Walter Whiteley, president et representant du groupe de recherche ‘Topologie structurale’/president and representative of Jean-Luc Raymond the Structural Topology research group, Champlain Regional College, St. Lambert, Quebec. Walter Whi teley Janos J. Baracs, representant de son Ccole/representative of his school, Ecole d’architecture, Universite de Montreal. Traduction/Translation Henry Crapo Henry Crapo, redacteur en chef et membre ex officio/editor in chief and ex officio member, departement de mathemati- Jean-Luc Raymond ques, Universite du Quebec a Montreal. Francine Lefebvre Michel Fleury, reprtsentant de son dCpartement/representative of his department, departement de design, Universite du Jacques Archambault Quebec a Montreal. Typographic/Typesetting Pierre Leroux, representant de son departement/representative of his department, departement de mathematiques, Carole Deslandes UniversitC du Quebec a Montreal. Modulo Editeur Outremon t, Quebec Richard Pallascio, representant de 1’Association mathematique du Quebec/representative of the Association mathemati- que du Quebec, College Edouard-Montpetit, Longueuil, Quebec. Correction des textes/Proof reading Jacques Archambault Cornit consultatif / Advisory board Mise en page/Composition Dominique Lalancette Laszlo Fejes-T&h, mathematician. Professor, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, Hungary. Robert Labelle Branko Griinbaum, mathematician. Professor, University of Washington, Seattle, Washington, U.S.A. Photogravure Normand Lacas Lionel March, architect. Director, Centre for Configurational Studies; professor, The Open University, Milton Keynes, England. Impression/Printing Cedric Marsh, engineer. Professor, Centre for Building Studies, Concordia University, Montreal, Quebec. Imprimerie Gag& Louiseville, Quebec Gert Sabidussi, mathematicien. Professeur, UniversitC de Montreal, Montreal, Quebec. Moshe Safdie, architect. Director, Urban Design Program, Graduate School of Design, Harvard University, Cambridge, Massachusetts, U.S.A. @La revue (
Henry Crapo, rkdacteur en chef/editor in chief, departement de mathtmatiques, Universite du Quebec a Montreal. Jacques Archambault, directeur administratif/managing editor, departement de mathtmatiques, UniversitC du Quebec 8 Montreal. @La revue ( Table des mat&es Table of Contents Avant-propos 4 Foreword Une introduction a la theorie des figures: la geomttrie de E.S. Fedorov 5 An Introduction to the Theory of Figures: the Geometry of E.S. Fedorov par Marjorie Senechal et R.V. Galiulin by Marjorie Senechal et R.V. Galiulin Compte rendu: La forme de l’espace: polygones, polyedres et polytopes 23 Review: Form of Space: Polygons, Polyhedra and Polytopes par Koji Miyazaki by Koji Miyazaki L’hexagone regulier quadridimensionnel 27 Four-Dimensional Regular Hexagon par Koji Miyazaki by Koji Miyazaki L’art et les mathematiques: une seconde serie de films 35 Art and Mathematics: A Second Series of Movies par Michele Emmer by Michele Emmer La rigidite des reseaux spatiaux composes 41 The Rigidity of Compound Spatial Grids par Alain Dandurand by Alain Dandurand La rigidite generique des graphes biparti-complets dans Rd 57 Generic Rigidity of Complete Bipartite Graphs in Rd par Jean-Luc Raymond by Jean-Luc Raymond Compte rendu sur (Shaping Space)> 63 Report on “Shaping Space” par Janos J. Baracs by Janos J. Baracs Notes aux lecteurs 66 Notes to our Readers Courrier 67 Letters Notes a l’intention des collaborateurs 71 Notes to Contributors Abonnements 72 Subscriptions Remerciements 74 Acknowledgements Avant-propos Foreword La revue Topologie structurale est publiee par le groupe de recherche ‘Topologie structu- The journal Structural Topology is published by the Structural Topology research group, rale’, avec la collaboration de 1’Association mathematique du Quebec et de l’universite du with the collaboration of the Association mathematique du Quebec and the Universite du Quebec a Montreal. Le groupe de recherche est une Cquipe multidisciplinaire composee a Quebec a Montreal. The research group is an interdisciplinary team bringing together la fois de mathtmaticiens, d’ingenieurs, d’architectes, de designers et d’artistes. mathematicians, engineers, architects, designers and artists. Le champ d’interet specifique de la revue est l’application des mathematiques classiques et The particular field of interest of the Journal is the application of classical and contempo- contemporaines (specialement de la geometric) a la solution de problemes morphologi- rary mathematics (especially geometry) to the solution of morphological and structural ques et structuraux qui se posent en architecture et en design. Sesprincipaux themes ont problems arising in architecture and design. The principal themes of this research are trait a l’architecture et sont: les formes polykdriques (modules elementaires), la juxtaposi- questions relevant to construction, namely: polyhedral forms (living units), juxtaposition tion de ces formes (en habitations) et la rigidit des structures resultantes. of these forms (into dwellings) and the rigidity of the resulting structures. Le but de la revue: The aim of the Journal: l rassembler et mettre en communication les chercheurs interesses aux problemes de l to gather together and promote interchange between researchers who are interested in topologie structurale, a un niveau theorique et pratique; the problems of structural topology, at a theoretical or practical level; l publier les resultats recents, les applications recentes et les problemes non resolus dans l to publish recent results, recent applications and unsolved problems in these areas; ces domaines; l to encourage interdisciplinary communication, thereby making the results available to a l encourager la communication interdisciplinaire, par consequent mettre les resultats a la wide audience; disposition d’un large public; l to describe teaching projects and materials which illustrate those themes and which use l decrire les projets et le materiel d’enseignement qui illustrent ces themes et se servent de those results. ces resultats. With these objectives, the Journal contains: Avec ces objectifs, la revue comporte: l longer articles describing recent theoretical advances, current projects and applications l des articles longs decrivant des progres theoriques r¢s, des projets en tours et des in the field of structural topology; applications dans le domaine de la topologie structurale; l brief reports on recent work, including unsolved problems and reviews of work relevant l de brefs rapports sur des travaux recents, incluant des problemes non resolus et des to the themes of structural topology; comptes rendus de travaux lies aux themes de la topologie structurale; l expository articles which describe methods and results in such a way that students and l des articles d’introduction decrivant les methodes et les resultats de facon telle que les practitioners can apply them; etudiants et les gens du metier puissent les appliquer; l popular articles which translate the results into a visual form accessible to a broad l des articles populaires qui traduisent les resultats en une forme visuelle accessible a un audience not familiar with technical mathematics. large public peu familier avec les mathematiques techniques. We invite our readers to send their comments on the Journal and to submit articles for Nos lecteurs sont invites a nous envoyer leurs commentaires sur la revue et a nous publication in forthcoming issues. The editors will make every effort to maintain a soumettre des articles pour publication. La redaction s’efforcera de maintenir un tquilibre balance between theoretical, applied and expository articles, and to develop contacts entre les articles theoriques, appliques et d’introduction, et de developper des contacts between the diverse groups who share an interest in the field of structural topology. entre les divers groupes qui partagent un meme inter-et en topologie structurale. An Introduction to the Theory of Figures: the Geometry of E.S. Fedorov by Marjorie Senechal and R.V. Galiulin Topologie structurale #lo, 1984 Structural Topology ##lo, 1984 Une introduction A la thborie des figures: la g6omhtrie de E.S. Fkdorov Introduction Introduction I1 y a presque cent ans, etait publie a Saint-Petersbourg, en Russie, un curieux livre de Nearly one hundred years ago, a curious geometry book was published in Petersburg, geometric. Son auteur etait E.S. Fedorov (1853-1919), un jeune homme de science qui Russia. Its author was a young scientist, E.S. Fedorov ( 1853- 1919) who later became one allait devenir un cristallographe de reputation internationale. I1 avait intitule son livre of the world’s leading crystallographers. He called his book Nachala Ucheniya o Figurakh Nachala Ucheniya o Figurakh (en francais, Une introduction ci Ia the’orie des figures) (in English, An Introduction to the Theory of Figures) (Fedorov, 1885). It is famous today (Fedorov, 1885). Encore aujourd’hui, les cristallographes reconnaissent que ce livre a among crystallographers because it systematized geometrical crystallography and systematise la cristallographie geometrique, et qu’il renfermait, a l’etat embryonnaire, les because it contains, in embryonic form, the mathematical basis for the theory of crystal fondements mathematiques de la theorie de la structure des corps cristallins, laquelle fut structure which was Fedorov’s life work. It is famous among mathematicians because it l’aboutissement ultime de tous les travaux de Fedorov. Quant aux mathematiciens, ils contains the first derivation of the five convex parallelohedra - polyhedra which fill reconnaissent que ce livre leur a fourni la premiere derivation des cinq paralleloedres space when arranged face-to-face in parallel position (Figure 1). “Tradition ascribes to convexes, ces polyedres qui pavent l’espace lorsqu’assembles faces contre faces en posi- Plato the discovery of the five regular convex polyhedra”, writes B.N. Delone, “to tion parallele (Figure 1). ((La tradition attribue a Platon la decouverte des cinq polyedres Archimedes the thirteen convex semi-regular polyhedra, to Kepler and Poinsot the four convexes reguliers ‘B,ecrit B.N. Delone, 4 Archimede celle des treize polyedres convexes regular nonconvex solids, and Fedorov found the five parallelohedra” (Delone, 1956). semi-reguliers, a Kepler et Poinsot celle des quatre solides reguliers non convexes, et a Indeed, Fedorov was not only the first to derive the parallelohedra, he was the first to pose Fedorov celle des cinq paralleloedres~~(Delone, 1956). En fait, non seulement Fedorov the problem of finding them. fut-il le premier a deriver les paralleloedres, mais il fut aussi le premier a suggerer leur existence. Et pourtant, jamais Une introduction b la thkoriedesfigures n’a ete traduit dans une langue Despite this, An Introduction to the Theory of Figures has never been translated into a occidentale. En fait, a notre connaissance, bien que cet ouvrage soit souvent cite, aucune Western language. In fact, although it is often cited, as far as we know no detailed critical analyse critique detaillee de son contenu mathtmatique n’a jamais ete publiee dans quelle evaluation, from a mathematical point of view, has ever been published in any language. que langue que ce soit. Ceci pourrait etre attribue au fait que l’ouvrage fut d’abord publie One reason may be that the book first appeared in Russian, as a volume of the “Notices of en russe, comme un des tomes des (Comptes rendus de la Societe mineralogique de the St. Petersburg Mineralogical Society”. (In 1953 it was republished in the Soviet series 6 Topologie structurale #I 0, I984 Saint-Petersbourgbb. (En 1953, les Sovietiques le reediterent dans la collection < Figure 1. The five parallelohedra l Les cinq parallilokdres. Structural Topology #I 0, I984 7 Le present article, qui se veut une ebauche d’analyse du livre de FCrodov, est done en The present article, an introduction to the study of Fedorov’s book, is nearly one hundred retard de pres de cent ans; mais il nous semble constituer une facon appropriee de celebrer years overdue, but still seems to us to be an appropriate way to mark its centennial. ce centenaire. Fedorov aurait aime voir un tel compte rendu paraitre dans Topologie Fedorov would have been pleased to have such a review appear in Structural Topology, structurale, une revue vouee aux etudes interdisciplinaires. I1 etait tres prtoccupe par le which is devoted to interdisciplinary studies. The lack of communication among scientists manque de communication entre les hommes de science oeuvrant dans des champs in related fields was of great concern to him. He discusses this in the preface to his book: it connexes. 11en discuta dans la preface de son livre: il est inconcevable, ecrivait-il, qu’une is amazing, he writes, that such an interesting branch of elementary geometry could have branche aussi interessante de la geometric elementaire ait ete negligee, d’autant plus been neglected, all the more so since it has practical applications in mineralogy. But qu’elle comporte des applications pratiques en mineralogie. Mais les mintralogistes ne se mineralogy has been interested only in the practical side of the problem, and has deve- sont interesses qu’aux aspects pratiques du probleme, et ont developpe une approche, loped its own nomenclature and so on. “On the other hand, pure mathematicians, dont une nomenclature, qui leur est propre. ((D’autre part, en mathtmatiques pures, la developing the questions of this field from a more general, and consequently more correct, question fut abordee d’un point de vue plus general, et consequemment plus correct; mais point of view, were sometimes unacquainted with the results obtained by mineralogists, etant quelquefois ignorants des progres des mintralogistes, les mathematiciens en vinrent and thus arrived at a completely different organization of the material...” He hoped that a une organisation des connaissances radicalement differente...), Par son livre, Fedorov his book would bring the two viewpoints closer together. esperait reconcilier les deux approches. E.S. Fbdorov E.S. Fedorov Evgraf Stepanovich FCdorov, fils d’un ingenieur militaire, naquit en 1853 dans la ville Evgraf Stepanovich Fedorov was born in 1853 in the Russian town of Orenburg. His d’orenbourg, en Russie, et grandit a Saint-Petersbourg, ou sa famille avait demenage. Sa father was a military engineer. The family moved to Petersburg where the boy grew up. passion pour la geometric se manifesta des l’ecole elementaire; a l’age de 16 ans, il His lifelong interest in geometry began in elementary school; by the age of 16 he had begun entreprit la redaction d’Une introduction d la the’orie des figures. Fiddle a la tradition working on An Introduction to the 7%eoryof Figures. In the family tradition, he attended a familiale, il etudia dans un lycee militaire, puis dans une ecole de genie militaire, et y obtint military gymnasium and then a school of military engineering. Upon graduation in 1872 un diplome en 1872; il servit alors deux ans en Ukraine, apres quoi il presenta sa demission he served in the Ukraine, but resigned two years later to return to Petersburg and continue et revint a Saint-Petersbourg pour y poursuivre ses etudes. I1 etudia d’abord la medecine, his studies. He first attented medical school and then studied chemistry, but his principal puis la chimie, mais ce fut surtout la physique qui l’interessa a cette epoque. interest at that time was physics. En 1879, apres y avoir travail16 durant dix ans, Fedorov completa son livre. De toute Fedorov finished his book in 1879, after working on it for ten years. Evidently, while evidence, alors meme qu’il poursuivait les differentes activites que nous venons d’enume- pursuing the various activities described above, he was also becoming a scholarly and rer, il etait en phase de devenir un erudit et un penseur original tant en geometric qu’en original thinker in both geometry and mineralogy. The footnotes show that for a young mintralogie. Ses notes infra-paginales nous rev&lent, chez ce jeune individu qui travaillait person working mainly in other fields he was astonishingly familiar with the mathematical principalement dans d’autres champs, une etonnante familiarite avec la litterature literature. And although the book is not concerned with mineralogyperse, it is clear from mathematique. Et, bien que son livre ne traite pas de mineralogie comme telle, son choix his choice of topics that he had already sketched out the theory of crystal structure which de sujets indique qu’il avait deja Cbauche la theorie de la structure des corps cristallins qui was the basis of his life’s work. fut au coeur de ses recherches sa vie durant. Toutefois, n’ayant encore jamais poursuivi d’etudes reconnues en cristallographie, il Nevertheless he had not yet studied crystallography in a formal way, so in 1880 he enrolled s’inscrivit en 1880 au troisieme cycle de 1’Institut des mines de Saint-Petersbourg. 11y in the third course of the Petersburg Mining Institute. There he explained, to the presenta au corps professoral sa theorie des paralleloedres et la theorie de la structure des professors, his theory of parallelohedra and the theory of crystal structure which was corps cristallins qui en decoulait. Bien que sa theorie fournit une explication simple de based on it. However, although his theory provided a simple explanation of many plusieurs phenomenes, 4’establishment~~ ne la prisa guere. crystallographic phenomena, the “establishment” did not appreciate it. 11eut a surmonter de grandes difficult& pour faire publier son livre. Par exemple, ( Pour bien apprecier l’apport de FCdorov, il faut se rememorer l’etat des connaissances en In order to appreciate Fedorov’s achievement, it is necessary to recall the state of cristallographie geometrique a cette Cpoque. Avant la decouverte, en 1912, de la diffrac- geometrical crystallography at that time. Until the discovery, in 1912, that crystals tion des rayons X par les cristaux, tous les concepts sur la structure des solides etaient diffract x-rays, all views on the structure of the solid state were purely hypothetical. purement hypothetiques. Toutefois, les formes polyedriques de plusieurs cristaux, le fait However, the polyhedral shapes of many crystals, the fact that certain features of these que certains elements de ces formes subsistent durant la croissance des cristaux, et le shapes are strictly conserved during crystal growth, and the phenomenon of cleavage phenomene du clivage (une fracture nette selon certains plans) incitaient a croire que les (clean fracture along plane surfaces) strongly suggested that crystals are built of identical cristaux etaient des assemblages ordonnes d’elements identiques. Au debut, ces elements units arranged in orderly juxtaposition. Early views on the nature of these units alternated furent concus soit comme de minuscules polyedres par les tenants de la theorie polyedri- between a polyhedral theory, which assumed that the units were minute polyhedra, and a que, soit comme des spheres identiques reunies en assemblages compacts par les tenants sphere-packing theory, which assumed that they were closely-packed identical spheres. By de la theorie des assemblages de spheres. A l’epoque de FCdorov, ces concepts rudimen- Fedorov’s time, these views had evolved into more sophisticated models of crystal taires avaient evolue et engendre des modeles de la structure des corps cristallins plus structure which attempted to account for the physical and chemical as well as the sophistiques qui tentaient d’expliquer les propriMs tant physiques et chimiques que geometrical properties of crystals. One hundred years earlier, the French crystallographer geometriques des cristaux. Cent ans plus tot, le cristallographe francais J.B.L. Rome de J.B.L. Rome de L’Isle had published his four volume masterpiece in which he showed L’Isle avait publie un trait6 magistral en quatre volumes dans lequel il demontrait empirically that the various forms which crystals of the same substance can assume are all empiriquement que les differentes formes qu’adoptent les cristaux d’une meme substance formally related by geometrical truncation (Rome de L’Isle, 1783). This is due, he decoulaient les unes des autres par troncature (Rome de L’Isle, 1783). Cela resultait, selon explained, to the “law” of constancy of interfacial angles. The faces of a crystal can be lui, de la ( a a b a b a a a b a b b Figure 2. Adapted from Goldschmidt’sA&as der Kristal&mwn. The law of constancyof interfacialangles asserts that the angl?sbetween the facesof family a (or b) are alwaysthe samel Adapt6 de Mtlas der Kristulyomen de Gokkhmidt. La loi de la c&stance&s anglesdiWrcs stipule quc ks anglescntrc ks facesappartcnanta uricfamillc a (a0 b) sent toujoun la!sl9le¶na 10 ropologie structurale MO, 1984 Une introduction & la th6orie des figures An Introduction to the Theory of Figures En dtpit de ses nombreux defauts (dont certains seront discutes plus loin), le livre de Despite its many defects (some of which are discussed below), Fedorov’s book is a work of Fedorov Porte la marque de l’originalite, voire du genie. Motive par sa fascination pour originality and genius. Motivated by his fascination with plane-filling figures and guided les figures capables de paver le plan, et guide par les besoins de la mineralogie, Fedorov by the needs of mineralogy, Fedorov wrote a text which leads the reader step by step ecrivit un texte qui m&e le lecteur pas a pas a travers les proprittes des polyedres qu’il through the properties of polyhedra which he deemed most significant. This is easily seen estimait les plus importantes. Un rapide coup d’oeil a la table des mat&es nous le laisse by a glance at the table of contents. The book is divided into five parts, each of which is voir. Le livre est divise en cinq parties; chaque partie est subdivisee en chapitres, et chaque subdivided into chapters and these into sections. (For brevity, we omit the section chapitre en sections. (Pour abreger, nous avons omis les titres des sections. La pagination headings. The page numbers refer to the 1953 edition.) est celle de l’edition de 1953.) ire partie. Les figures ouvertes Part I. Open Figures Chapitre 1. Le concept de gonaedre et leur mesure (25-45) Chapter 1. The concept of gonohedra and their measurement (25-45) Chapitre 2. Une methode elementaire pour determiner les dimensions des gonaedres et Chapter 2. An elementary method of determining the sizes of gonohedra and of conic des angles coniques (45-59) angles (45-59) 2e partie. Les figures fermees Part II. Closed Figures Chapitre 3. Les sphenoi’des et les tetraedres (63-79) Chapter 3. Sphenoids and tetrahedra (63-79) Chapitre 4. Sur les polyedres, leurs angles plans et diedres et les conditions generales de Chapter 4. On polyhedra, their plane and solid angles and the general conditions for leur formation (79- 115) their formation (79-l 15) Chapitre 5. La deduction de tous les isogones possibles et de tous les isoedres typiques Chapter 5. The deduction of all possible isogons and typical isohedra (115-142) (115-142) Chapter 6. Nontypical isohedra ( 142-148) Chapitre 6. Les isoedres non typiques (142-148) Chapter 7. The classification of polyhedra (148-176) Chapitre 7. La classification des polyedres ( 148- 176) 3e partie. L’etude de la symetrie Part III. The Study of Symmetry Chapitre 8. Les concepts generaux de symttrie et l’organisation correspondante des Chapter 8. General concepts of symmetry and the corresponding organization of figures figures en systemes (179- 188) into systems ( 179-188) Chapitre 9. La symetrie des isoedres typiques et des isogones sous-typiques particuliers Chapter 9. The symmetry of particular typical isohedra and subtypical isogons (188-209) (188-209) Chapter 10. The symmetry of general typical isohedra and subtypical isogons (209-228) Chapitre 10. La symetrie des isoedres typiques et des isogones sous-typiques generaux (209-228) 4e partie. L’etude des zones et du pavage du plan et de l’espace Part IV. The Study of Zones and Filling the Plane and Space Chapitre 11. Le pavage du plan (231-256) Chapter 11. Filling the plane (231-256) Chapitre 12. Les zones et les zonaedres (256283) Chapter 12. Zones and zonohedra (256283) Chapitre 13. Le pavage de l’espace (283-3 18) Chapter 13. Filling space (283-3 18) 5e partie. Sur les poly&lres ayant des angles rentrants, reels ou apparents Part V. On Polyhedra with Concave Angles, Actual or Apparent Chapitre 14. Les koilaedres (32 l-336) Chapter 14. Koilohedra (321-336) Chapitre 15. Les polygones et les polyitdres de degre superieur (336366) Chapter 15. Polygons and polyhedra of higher degree (336366) En bref, la premiere partie traite des proprietes des angles polyedriques; la seconde est Stated briefly, the first part is concerned with the properties of polyhedral angles; the consacree a la classification des polyedres et, en particulier, des isoedres et de leurs duals, second is devoted to the classification of polyhedra and, in particular, to the enumeration et la troisieme est une breve discussion de la symetrie. La quatrieme partie est celle qui a of the isohedra and their duals, and the third is a brief discussion of symmetry. The fourth valu au livre sa renommee: Fedorov y developpe la theorie des pavages du plan, presente part is the one for which the book is famous: in it, Fedorov develops the theory of plane et enumere les zonaedres tridimensionnels, et, grace a ces notions, decrit les cinq paralle- tilings, introduces and enumerates the three-dimensional zonohedra, and then uses these loedres. La cinquieme partie, une discussion des polyedres uniformes, semble superflue. results to describe the five parallelohedra. The fifth part, a discussion of uniform Structural Topology #IO, 1984 11 Fedorov l’a peut-$tre inclue a cause de la ressemblance marquee des polyedres uniformes polyhedra, seems somewhat out of place. Perhaps Fedorov included it because the non convexes avec les formes des macles. nonconvex uniform polyhedra strongly resemble the forms of twinned crystals. La lecture d’Une introduction li la the’orie desjlgures exige d’un mathematicien une certaine Reading An Introduction to the ?%eory of Figures requires patience and generosity on the dose de patience et d’indulgence. C’est peut-etre la une des raisons qui retard&rent la part of a mathematician. This may be one reason it took so long to be published. publication de cet ouvrage. Faisant allusion aux deboires que Fedorov relate, Referring to Fedorov’s account of his difficulties, B.N. Delone remarks, “It seems to me B.N. Delone remarque: ~(11me semble que d’autres raisons peuvent expliquer le rejet de that the rejection by Chebyshev can be explained by other reasons: Fedorov’s work was Chebyshev: l’ouvrage de FCdorov, bien que mathtmatique pour le fond, avait une forme mathematical, but its writing was somewhat strange for a mathematician.” The book is bizarre pour un mathematicien.~~ Le livre laisse perplexe.l &es definitions et ses demons- perplexing: “Its definitions and proofs are, in large measure, imprecise and incomplete trations sont, dans une large mesure, imprecises et incompletes du point de vue mathema- from the mathematical point of view.” (Delone, 1956). We would add that Fedorov’s style tique.)) (Delone, 1956). Nous ajouterions que le style de Fedorov est lourd, et qu’il est is weighty, and one easily becomes lost in the welter of definitions, classifications, facile de s’y perdre dans la profusion de definitions, de classifications, de theoremes, de theorems, lengthy remarks, and corollaries (and there are many digressions). Further- longues remarques et de corollaires (sans parler des nombreuses digressions). De plus, ses more, his illustrations are few and confusing. rares illustrations sont confuses. C’est dans ce contexte que nous allons maintenant tenter de decrire plus en detail chaque With this in mind, we will now try to describe each of these sections in more detail in order section afin d’expliquer les plus importantes des idles et des theses de Fedorov (dans la to explain Fedorov’s principal ideas and arguments (as far as we understand them) and to mesure ou nous les comprenons) et de mettre en evidence leurs forces et leurs faiblesses, les assesstheir strengths and weaknesses, both of which abound. unes y foisonnant tout comme les autres. Dans la premiere partie, FCdorov discute de l’analogie entre les figures planes et spatiales. In the first part, Fedorov discusses the analogy between plane and spatial figures. Just as Tout comme l’angle plan est le point de depart de l’etude des figures planes, le Des idles nouvelles commencent a apparait.re dans la deuxieme partie du livre. Celle-ci New ideas begin to appear in Part II, which opens with a detailed description of the debute avec une description detaillee des proprietts des spheno’ides (ou tetraedres, le properties of sphenoids (or tetrahedra; the regular tetrahedron is a special case of the tetraedre regulier n’etant qu’un cas particulier des sphenoides). La plus grande partie du sphenoid). Most of chapter 3 is concerned with the calculation of angle sums. In chapter 4 chapitre 3 traite du calcul des sommes d’angles. Au chapitre 4, nous rencontrons la we find the first step toward a classification of polyhedra by their topological properties. premiere etape d’une demarche menant a une classification des polyedres selon leurs Definition 9 reads as follows: “A typical polyhedron, coresponding to a given one, is that proprietes topologiques. La definition 9 se lit comme suit: &In polyedre typique, associe a which we obtain if, from the center of an arbitrarily placed sphere with arbitrary radius we un polyedre don& est obtenu en tracant, a partir du centre d’une sphere de rayon draw straight lines perpendicular to all the faces of the given one, to the intersection with arbitraire disposee arbitrairement, des droites normales a toutes les faces du polyedre the surface of the sphere and at these points we construct planes tangent to the sphere, to don& et en construisant, par les points de per&e de ces droites sur la surface de la sphere, their mutual intersection”. (Fedorov indicated later that by this he meant to construct a des sections de plan tangentes a la sphere et limitees par leurs intersections mutuelles,). polyhedron topologically equivalent to the given one, but circumscribed about a sphere. (FCdorov indiqua plus tard qu’il entendait par ceci construire un polyedre topologique- He evidently assumed, incorrectly, that such a polyhedron always exists.) He digresses to ment quivalent au polyedre donne, mais circonscrivant une sphere. De toute evidence, il show that any typical polyhedron can, by an arbitrarily small motion that we would now supposait, et ceci a tort, qu’un tel polyedre existe toujours.) Dans une digression, il call “vertex splitting”, be transformed into a typical polyhedron all of whose vertices are montre que, par un mouvement arbitrairement petit que nous appellerions aujourd’hui trivalent; he does not appear to have realized that different topological types may result 12 Topologie structurale #lo, 1984 ( Dans cette partie, il discute des operations de symetrie et des elements de symetrie, et, a and symmetry elements and deduces, correctly if somewhat confusingly, the symmetry travers une deduction assez confuse, identifie correctement les groupes de symttrie des groups of the typical isohedra and subtypical isogons. isoedres typiques et des isogones sousrtypiques. La quatrieme partie du livre est de loin la plus importante. Une discussion tres detaillee en The fourth part of the book is by far the most significant. We will discuss it in considerable sera faite, parce qu’elle met clairement en evidence le genie de Fedorov en geometric, et ses detail, because in it we find the most striking evidence of Fedorov’s geometric genius, and faiblesses comme mathematicien. 11 est important de se rappeler que la plupart des also his weaknesses as a mathematician. It is important to remember that most of the concepts de la quatrieme partie sont entierement originaux: nul n’avait jamais pose de concepts of Part IV are entirely original: no one had ever asked such questions before, let telles questions auparavant, et encore moins tent6 d’y repondre. alone tried to answer them. Le chapitre 11 est consacre au pavage du plan, et la theorie qui y est developpee est capitale Chapter 11 is devoted to tiling the plane, and the theory developed here is fundamental to pour le reste de la quatrieme partie. Fedorov definit (definition 1) un pavage (( Figure 3. Fedorov’s Figure 104 l La figure 104 de FCdorov. Structural Topology #IO, 1984 15 Afin de generaliser de deux a trois dimensions la theorie des planigones, Fedorov definit In order to generalize the theory of planigons from two dimensions to three, Fedorov (au chapitre 12) un type de polyedre qu’il nomme zonaedre, (un polyedre dont les faces introduces (chapter 12) a type of polyhedron which he calls a zonohedron, “a polyhedron sont disposees sur les zones principalesbb. (Une zone principale est une ceinture fermee de whose faces occur in principal zones”. (A principal zone is a closed ring of faces in which faces avec laquelle les faces adjacentes forment des intersections disposees sur des a&es adjacent faces intersect along equal and parallel edges of the polyhedron.) Zonohedra had paralleles et de longueurs tgales du polyedre.) Les zonaedres avaient et6 definis par been introduced by Kepler, but in a more restricted sense. Fedorov proves that for any Kepler, mais dans un sens plus restreint. FCdorov demontre que, pour tout zonaedre given zonohedron, (p - 1)p = (l/2)( 1.2f, + 2.3f, + .. . + (n-l)nf, + ...). where p is the donne, (p - 1)p = (l/2)( 1l 2fi + 203f, + . . . + (n-l)nf, + . ..). ou p est le nombre de zones, et fi number of zones, and fi is the number of faces which are 2i-gons. This formula is the est le nombre de faces qui sont des 2i-gones. Avec cette formule pour principal outil, il principal tool in his enumeration. Fedorov first shows that there are two infinite families effectue alors son tnum&ation. Fedorov demontre d’abord qu’il existe deux familles of zonohedra with n-gonal axes and parallelogram faces: the first, for which p = n, infinies de zonaedres ayant des axes n-gonaux et des parallelogrammes pour faces: la includes the cube, the rhombic dodecahedron, and the rhombic icosahedron, which was premiere, pour laquelle p = n, comprend le cube, le rhombidodecaedre et le rhombicosae- “evidently not known before” (Figure 4). The second, for which p = n + 1, includes the dre, lequel n’etait &idemment pas connu auparavant>b (Figure 4). La seconde, pour rhombic dodecahedron and the triacontahedron. Next he discusses zonohedra with both laquelle p = n + 1, comprend le rhombidodecaedre et le triacontaedre. 11discute ensuite les parallelogram and hexagonal faces, giving as examples the hexagonal prism, the truncated zonaedres constitues a la fois de faces hexagonales et de faces en forme de parallelo- octahedron and four additional zonohedra. grammes, donnant comme exemples le prisme hexagonal, l’octaedre tronque et quatre zonaedres additionnels. Figure 4. The rhombic icosahedron, discovered by Fedorov in his enumeration of the zonohedra. (Fedorov’s Figure 105) l Le rhombico&dre, dkouvert par FCdorov au tours de son knum&ration des zonatdres. (La figure 105 de Fkdorov) 16 Topologie structurale #lo, 1984 Fedorov demontre alors quelques theoremes additionnels: par exemple, si les faces d’un Fedorov then proves some additional theorems: for example, if the faces of a polyhedron polyedre sont disposees en paires paralleles mais inversees, alors le polyedre a un centre de occur in parallel but inverted pairs, then the polyhedron has a center of symmetry. symetrie. Coxeter fait remarquer que Fedorov n’avait evidemment pas realise qu’un Coxeter has pointed out that Fedorov evidently did not realize that a zonohedron is zonaedre est completement caracterise par le fait que toutes ses faces ont des centres de completely characterized by the fact that all its faces have centers of symmetry (Coxeter, symetrie (Coxeter 1973). 1973). Nous arrivons enfin au chapitre 13, lequel peut etre resume tres brievement. Fedorov y Now at last we come to chapter 13, which can be summarized very briefly. Fedorov first donne d’abord une definition du pavage de l’espace analogue a sa definition du pavage du defines a space filling, analogous to his definition of plane filling, and then defines plan, puis des definitions des stereoedres et des paralltloedres analogues a celles des stereohedra and parallelohedra, analogous to the planigons and parallelogons. He then planigones et des parallelogones. I1 soutient alors qu’un paralleloedre convexe est un argues that a convex parallelohedron is a zonohedron. This implies that the faces of a zonaedre. Ceci implique que les faces d’un paralleloedre convexe sont convexes, centro- convex parallelohedron are convex, centrosymmetric, quadrilaterals or hexagons. symetriques et quadrilaterales ou hexagonales. De plus, si, a l’ensemble des paralleloedres Further, if we consider the set of parallelohedra which meet a given one along the faces of adjacents a un paralleloedre donne par les faces qui appartiennent a une seule zone, nous a single zone, and add the parallelohedra which meet them along the faces of this same ajoutons les paralleloedres adjacents a ceux de cet ensemble par les faces qui appartien- zone, we obtain an infinite layer of parallelohedra. A plane cross section through their nent a cette m&me zone, nous obtenons une couche infinie de paralleloedres. Une section centers is a tiling by parallelogons, whose edges, of which there are four or six, are its plane passant par leurs centres est un pavage par les parallelogones, dont les aretes, intersection with the faces of the parallelohedra belonging to this zone. Thus, Fedorov toujours au nombre de quatre ou six, sont l’intersection de cette section plane avec les writes, “it is necessary to determine the convex zonohedra whose zones and faces are of faces des paralleloedres qui appartiennent a la zone generatrice. Done, ecrit Fedorov, ((il order not greater than six.” To carry out this enumeration, he employs the formula stated est necessaire de determiner quels sont les zonaedres convexes dont les zones et les faces above. (The five parallelohedra are shown in Figure 1.) sont d’un ordre egal ou inferieur a six,,. Pour effectuer cette enumeration, il utilise la formule enoncee plus tot. (Les cinq paralleloedres sont illustres a la Figure 1.) Finalement, apres avoir discute les proprietts des paralleloedres, il (tdemontreb, l’analogue Finally, after a discussion of the properties of parallelohedra, he “proves” the three- tridimensionnel du theoreme 17, et discute les systemes de points reguliers tridimen- dimensional analogue of Theorem 17, and discusses three-dimensional regular systems of sionnels. points. La cinquieme et derniere partie du livre traite des polyedres isoedriques et isogonaux de The fifth and last part of the book is concerned with isohedral and isogonal polyhedra of ( Figure 5. Fedorov’s Figures 141 and 161. In 141, the sphere is subdivided into triangles, four of which (5,2,1,3) are grouped together to form a larger triangle which yields a finite network covering the sphere 4 times. 161 is the corresponding uniform polyhedron (Badoureau, Figure 97, Coxeter et al., Figure 37) l Les figures 141 et 161 de Fedorov. A la figure 141, la sphere est subdivisee en triangles, dont quatre (5,2,3, 1) sont reunis pour former un plus grand triangle qui genere un reseau fini qui couvre la sphere 4 fois. La figure 161 montre le polyedre uniforme correspondant (Badoureau, figure 97, Coxeter et al., figure 37). 18 Topologie structurale #IO, 1984 Beaucoup plus tard, en 1954, H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, et J.C.P. Miller Much later, in 1954, H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, and J.C.P. Miller described decrivirent les 75 polyedres uniformes; 74 d’entre eux furent obtenus en appliquant la the 75 uniform polyhedra; 74 of them were obtained by applying Wythoff s construction construction de Wythoff aux triangles de Schwarz, qui sont des unions de triangles de to Schwarz triangles, which are unions of Mobius triangles. But the last uniform Mobius. Mais un quadrilatere fut requis pour construire le dernier de ces polyedres, polyhedron required a quadrilateral, suggesting that “there is no general reason for the laissant supposer qu’il tn’existe pas de raison g&r-ale pour la restriction aux triangles. restriction to triangles. We can only say that higher spherical polygons would have to Tout ce que nous pouvons dire, c’est que les polygones spheriques de degre superieur satisfy various conditions which are almost always incompatible.” (Coxeter, et al., 1954). devraient satisfaire a differentes conditions qui sont presque toujours incompatibles.)) Fedorov, who seems to have been unaware of the work of Mobius and Schwarz, did use (Coxeter et al., 1954). FCdorov, qui ne semble pas avoir eu connaissance des travaux de such higher polygons, but it is not entirely clear to us how he did so. A deeper study of Mobius et de Schwarz, utilisa effectivement de tels polygones de degre suptrieur, mais la Part V could be very interesting. What are the details of Fedorov’s method? What exactly facon dont il le fit nous echappe en partie. Une etude plus en profondeur de la cinquieme were the conditions he imposed on his polygons? Is his list complete? And which of the partie pourrait etre fort interessante. Quels sont les details de la mithode de Fedorov? uniform polyhedra can be obtained from them? Quelles furent exactement les conditions qu’il appliqua a ses polygones? Sa liste est-elle complete? Et quels sont les polyedres uniformes qui peuvent etre obtenus a partir de ces polygones? Postface Postscript Une partie importante de la carriere scientifique de Fedorov fut consacree a developper les Much of the rest of Fedorov’s scientific life was devoted to developing the implications of implications de la theorie qu’il avait ebauchee a un si jeune age. Quelques annees plus the theory he had initiated at such an early age. A few years later, in 1891, he published the tard, en 1891, il publia la premiere derivation des 230 groupes cristallographiques tridi- first derivation of the 230 three-dimensional crystallographic groups, which are the mensionnels, lesquels correspondent aux groupes de symitrie des systemes de points symmetry groups of the regular systems of points. This is the work for which Fedorov is rtguliers. Ce fut surtout grace a cette contribution que Fedorov acquit sa renommee. most famous. It was anticipated in a remark in the fourth part of the book, in which he Deja, dans une remarque de la quatrieme partie de son livre, Fedorov en entrevoyait la pointed out that the subdivisions of space into congruent polyhedra that he envisioned possibilitt, et indiquait que la subdivision de l’espace en polyedres congruents, comme il la can be represented by regular systems of points whose symmetry groups include improper proposait, pouvait etre representee par des systemes de points reguliers dont les groupes as well as proper motions (the improper motions had not been included by earlier de symetrie admettent aussi bien les mouvements impropres que les mouvements propres authors). In addition to theoretical work, Fedorov took part in many scientific expedi- (avant lui, seuls les mouvements propres avaient et6 pris en consideration). Fedorov ne se tions to the Urals, and made notable contributions to mineralogy and crystallography. limita toutefois pas aux travaux theoriques; ii prit part a plusieurs expeditions scientifi- Throughout his life he continued to develop his ideas on symmetry and on the subdivision ques en Oural, et contribua de facon appreciable au developpement de la mineralogie et de of parallelohedra. The latter theory was the basis of his monumental Das Krystallreich, la cristallographie. Sa vie durant, il poursuivit son etude de la symetrie et de la subdivision published posthumously in 1920, in which he attempted to deduce the chemical structures des paralltloedres. Celle-ci aboutit a la publication posthume, en 1921, de Das KrystaZZ- of crystals from their external forms. Unfortunately x-ray studies show that in many reich, ouvrage monumental dans lequel il proposait une facon de deduire la structure crystals the discrete units corresponding to “crystal molecules”, which Fedorov had chimique des corps cristallins de leur forme exterieure. Malheureusement, la diffraction presupposed, do not exist. For this reason his structure theory is not accepted today. But des rayons X revele que, dans plusieurs cristaux, les ((molecules des corps cristallins),, ces many of the discoveries he made in the course of constructing this great edifice are of elements distincts que Fedorov prtsupposait, n’existent pas. De ce fait, sa theorie de lasting value, and most of them had their roots in his early book. structure est aujourd’hui d&hue. Mais plusieurs des decouvertes qu’il fit alors qu’il oeuvrait a l’edifier sont encore valables, et l’origine de la plupart peut &re retracee jusqu’a son premier livre. Structural Topology #lo, 1984 19 Le livre renferme aussi de nombreuses idles qui furent ensuite developpees par d’autres. The book contains many ideas which later were developed by others. The fact that Arthur Schoenflies, qui le premier demontra que, dans le cas tridimensionnel, la regularite regularity implies periodicity was first established in the three-dimensional case by Arthur implique la ptriodicite, et qui presenta presqu’en mZme temps que Fedorov sa propre Schoenflies, whose enumeration of the three-dimensional crystallographic groups was enumeration des groupes cristallographiques tridimensionnels, travailla en etroite colla- almost simultaneous with Fedorov’s, and who worked closely with him to determine their boration avec ce dernier pour etablir leur nombre a exactement 230 (Schoenflies, 1891). exact number 230 (Schoenflies, 1891). The generalization of this theorem to n dimensions C’est en se fondant sur la generalisation de ce theoreme a n dimensions que Bieberbach was the basis for Bieberbach’s affirmative answer to the first part of Hilbert’s 18th repondit a la premiere partie du 1giime probleme de Hilbert, demontrant qu’il existe, pour problem, which asked whether the number of crystallographic groups in n dimensinons is chaque valeur de n, un nombre fini de groupes cristallographiques en n dimensions. finite for every n. Fedorov was evidently the first to attempt a general theory of Fedorov fut evidemment le premier a ebaucher une theorie generale des pavages. Au tessellations. In chapter 11, he tried to enumerate all planigons with unequal sides, chapitre 11, il nous presente une tentative d’enumeration des planigones a cot& inegaux, choosing this special case because these figures can tile the plane in only one way. Here we figures auxquelles il accordait cette attention speciale parce qu’elles ne pavent le plan que see adjacency symbols in a rudimentary form. (For a survey of the contemporary theory d’une seule facon. Sous une forme rudimentaire, les symboles d’adjacence y apparaissent. of plane tilings, seeGriinbaum and Shephard, 1985.) In connection with their program of (Pour un compte rendu sur l’etat actuel de la theorie des pavages du plan, cf. Griinbaum et placing geometrical crystallography on a firm axiomatic basis, Delone and his colleagues Shephard, 1985.) Lorsqu’ils entreprirent d’etablir la cristallographie geometrique sur une completed, polished, and extended many of the ideas that Fedorov had sketched in An base solide d’axiomes, Delone et ses collegues completerent, affinerent et dtvelopperent Introduction to the Theory of Figures (see, for example, Delone et al., 1979). Delone’s plusieurs des idles ebauchees par Fedorov dans Une introduction ti la thiorie desfigures derivation of the five parallelohedra is reproduced in L. Fejes T&h’s Regular Figures. We (par exemple, cf. Delone et al., 1979). La derivation des cinq paralleloedres par Delone est note again that Theorem 17 of chapter 11 remains an open problem: it is equivalent to reproduite dans Regular Figures de Fejes T&h. Rappelons que le theoreme 17 du chapitre asserting the nonexistence of an aperiodic prototile. 11 n’a toujours pas et6 demontre: celui-ci Cquivaut a affirmer la non-existence d’un proto-element de pavage aperiodique. Le livre de Fedorov demeure important non seulement a cause des idles qu’il renferme, Fedorov’s book remains important not only for the ideas that it contains, but also because mais aussi parce qu’il constitua un vaillant effort visant a reunir plusieurs disciplines pour it was a valiant effort to bring different disciplines together for the benefit of them all. He le plus grand bien de chacune. 11y reussit au moins en partie; cet ouvrage contribua tant a was at least partially successful; both mathematics and crystallography were substantially l’enrichissement des mathematiques qu’a celui de la cristallographie. Mais, en gtometrie, enriched by his work. But in large measure geometry still tends to look inward, while as la tendance a limiter le champ d’exploration predomine encore, alors que, comme le nota Fedorov noted, “important questions and even entire areas have remained untouched”. Fedorov, ( Remerciements. Nous d&irons remercier H.S.M. Coxeter pour ses precieux commen- Acknowledgements. We would like to thank H.S.M. Coxeter for helpful comments on taires sur la cinquieme partie du livre de Fedorov, ainsi que Branko Griinbaum, le Part V of Fedorov’s book, and Branko Griinbaum, Professor Coxeter, and the referee for professeur Coxeter et le critique designt par la revue pour leurs critiques de la version their criticisms of the preliminary version of this paper. preliminaire de cet article. 20 Topologie stmcturale #IO, 1984 Adresses des auteurs: Addresses of the authors: Marjorie Senechal Marjorie Senechal Department of Mathematics Department of Mathematics Smith College Smith College Northampton, MA 01063 Northampton, MA 01063 U.S.A. U.S.A. R.V. Galiulin R.V. Galiulin Institute of Crystallography Institute of Crystallography Academy of Sciences of the USSR Academy of Sciences of the USSR Lenin Prospect 59 Lenin Prospect 59 117333 Moscow 117333 Moscow U.S.S.R. U.S.S.R. Bibliographie Bibliography Le code qui apparait dans la premiere colonne de chaque entree bibliographique est constitue de trois parties The Code in the first block of each bibliographic item consist of three parts, separated by dashes. The first letter &par&es par des tirets. La premitre partie indique s’il s’agit d’un livre (Book), d’un Article, d’une P&impression ou indicates whether the item is a Book, Article, Preprint or Course notes. The middle letter(s) indicates whether the de notes de tours (Course notes). La deuxieme partie indique si le texte a CtCrCdigC pour des Cristallographes, des piece was intended primarily for an audience of Crystallographers, Mathematicians, Architects or Engineers. The Mathematiciens, des Architectes ou des ingenieurs (Engineers). La partie finale indique si le texte touche un ou final letter(s) indicates if the piece touches on one or more of the principal themes of structural topology: Geometry plusieurs des themes principaux de la topologie structurale: Geometric (en general), Polyedres, Juxtaposition ou (in general), Polyhedra, Juxtaposition or Rigidity. RigiditC. Les mots-cl& ou les annotations de la colonne finale signalent la pertinence de l’ouvrage a la recherche en topologie The key-words or other annotations in the third column are intended to show the relevance of the work to research structurale, mais ne timoignent pas necessairement de l’ensemble du contenu ou de l’intention de l’auteur. in structural topology, and do not necessarily reflect its overall contents or the intent of the author, Badoureau 1881 Memoire sur les figures isoc4les (Incomplete) derivation of the nonconvex uniform polyhedra l Une derivation (incomplete) des polytdres uniformes non convexe s. A. Badoureau Journal de 1’6cole Polytechnique 49 (188 I), 47- 172. A-M-P L Mbmoire sur les syst&mesform& par des points distribu6s rCguli6rement Bravais 1850 Derivation of the 14 space lattices l La derivation des 14 rkseaux sur un plan ou dans I’espace spatiaux. Journal de l’kcole Polytechnique 19 ( 1850), 1- 128. English translation Auguste Bravais by Amos J. Shaler, The Crystallographic Society of America, 1949, On the Systems Formed by Points Regularly Distributed on a Plane or in B-CM-J , Space. Briickner 1900 Vielecke und Vielflache Definitive history of the theory of polyhedra up to 1900 l L’histoire complete de la theorie des polytdres jusqu’a 1900. Max Bruckner Leipzig, Teu bner, 1900. I I I I B-M-P 1 I Structural Topology #lo, I984 21 C’oxeter et al. 1954 Uniform Polyhedra Detailed derivation of the 75 uniform polyhedra, with illustrations l La dCrivation d&ailiie des 75 polyedres uniformes, avec illustrations. H.S.M. C’oxctcr. M.S. Lonpucl-Higgins. J.C.P. Miller Royal Society, Philosophical Transactions, 246A ( 1954). 40 I-450. A-M-P. . Coxeter 1973 Regular Polytopes Regular polytopes, uniform polyhedra, zonohedra l Les polytopes riguliers, les polytdres uniformes et les zonaidres. 1I.S.M. (‘oxctcr Jrtl edition, Dover, N.Y. 1973. H-M-P Iklonc I956 Fedorov as a geometer Brief discussion of Fedorov’s work on symmetry and on polyhedra l Une breve discussion des travaux de FCdorov sur la symCtrie et les B.N. I)clon~ Akadcmiiia nauk S.S.S.R. lnstitut istori estestvoznania i techniki polytdres. Trudy, 10 ( 1956). 5- 12. In Russian. Delone et al. 1979 The (‘ontemporary Theory of Regular Partitions of Euclidean Space N-dimensional treatment of the problems considered by Fedorov l Un traitement & N dimensions des probltmes Ctudies par Fkdorov. H.N. L)cl~wc. R.V. Cialiulin. M. 1. Shtogrin I!.(‘. t’cdor ov. Kcp:ullrr* l)ir*i.vion o/‘rhc t’hnc trncl of’.~pcrw. Classics of Scicncc, Moscow. 1979. 234-265. In Russian. A-C‘M -.I Fedorov 1885 An Introduction to the Theory of Figures This book is the subject of the present article l Ce livre w-t de sujet au prksent article. t..S. I.‘cdoro\ Notices of the Imperial Petersburg Mineralogical Society ( 1885), 211’1series - 1 vol * 2 19 1-279. H-CM- P-1 Iledorov I 89 1 The Symmetry of Regular Systems of Figures Enumeration of the 230 three-dimensional crystallographic groups l line inumCration des 230 groupes cristallographiques tridimen- I .s. I~cdoroc Notices of the Imperial Petersburg Mineralogical Society (1891), sionnels. vol. 28, I- 146. In Russian. English translation by D. Harker and H-(‘M-C ;.I K. Harker, American Cryst. Assoc., S:r~mmerq* qf‘C’r~*sta/s. 1 ICedorov 1920 Das Kristallreich Deduction of structure and composition of crystals from their forms l La deduction de la structure et de la composition des corps cristallins B t,.s. ~~ccioro~~ Mcm. Acad. Sci. Russ. VI 1I’, Scr 26, 1920. partir de leurs formes. B-C- P.1 Fejes T&h 1965 Regular Figures The only account available in English of Delone’s derivation of the five paralleiohedra l Le seul compte rendu disponible en anglaisde la L.. Fejes T6th Pergamon Press 1965. I l4- I 19, I2 1-123. dtkivation des cinq parallklotdres par Delone. B-M- P.1 Griinbaum and Shephard 1985 Tilings and Patterns Contemporary theory of tilings and patterns in the Euclidean plane l La theorie actuelle des pavages et des motifs dans le plan euclidien. H. Griinbaum and G.S. Shephard W.F. Freeman, San Francisco, 1985. B-M-.1 22 Topologiestmcturde #I 0, 1984 HaMy 1822 Trait6 de Cristallograpl~b, 3 volumes. Hatiy’s famous polyhedral theory of crystal structure l La c&bre theorie polyedrique de la structure des corps cristallins de Haley. RenC Just Hauy Paris, 1822. B-C-PJ CristallograpMe, ou descriptioo des formes propres Q tous les corps du Law of constancy of interfacial angles; truncation as the relation dgne minhl, 4 volumes among crystals of the same species l La loi de la Constance des angles J.B.L. RomC de L’Isle dihdres; la troncature comme relation entre les cristaux des memes Paris, 1783. esphes. B-C-P ~- scimunflies 1891 Krystallsysteme and Krystalktrucktur Derivation of the 230 three-dimensional crystallographic groups l La derivation des 230 groupes cristallographiques tridimensionnels. Arthur Schoenflies Leipzig, Tuebner, 1981. B-M-GJ Steinitz1922 Polyeder und Raumeinteilungen The theory of polyhedra, with historical remarks l La theorie des poly&dres, avec remarques historiques. Ernst Steinitz Encyklop’sidie der mathematischen Wissenschaften, Band I I I, Heft 9, 1922, Teu bner, Leipzig. A-M-PJ Review: Form of Space: Polygons, Polyhedra and Polytopes by Koji Miyazaki* Topologie structurale #lo, 1984 Structural Topology ##lo, 1984 Compte rendu: La forme de l’espace: polygones, poly&lres et polytopes Sommaire Outline Dans ce livre, on entreprend une aventure graphique dans des mondes fantastiques a A graphic adventure in two-, three- and four-dimensional fantastic worlds is undertaken deux, trois ou quatre dimensions, en utilisant des polygones (ou 2-polytopes), des polye- in this book, using polygons (or 2-polytopes), polyhedra (or 3=polytopes), and polytopes dres (ou 3-polytopes) et des polytopes (ou 4polytopes). Les sujets s’etendent sur plusieurs (or 4-polytopes). The topics extend over many epochs and countries, with particular epoques et plusieurs pays, mais une emphase particuliere est mise sur le passe du Japon. emphasis on the past in Japan. The stars are Plato and polygons, Kepler and polyhedra, Les etoiles en sont Platon et les polygones, Kepler et les polyedres, et Fuller et les and Fuller and polytopes. polytopes. Dans la Grece antique du quatrieme siecle avant Jesus-Christ, Platon, fascine par Pytha- Plato in the ancient Greece of the fourth century B.C., who was fascinated by Pythagoras, gore, soutenait dans son Timaeus que le cosmos etait rempli de polygones, en dtpit des explained the cosmos filled with polygons in his Timaeus, in spite of the objection of objections d’Aristote et des autres. On peut dire qu’il eut une influence certaine sur Aristotle et al., and had influence on Euclid et al. Kepler in Germany of the 17th century Euclide et sur plusieurs autres encore. Dans I’Allemagne du dix-septieme sitcle, Kepler A.D., who was astonished at Copernicus, constructed the space filled with polyhedra in fut ibahi par les decouvertes de Copernic et il construisit l’espace a partir de polyedres his Harmonices A4undi in spite of the disregard of Galileo et al. and gave a hint to Newton dans son Harmonices Mundi, en depit du mtpris de Galilee et des autres. Ainsi, ii traca la et al. Fuller in the U.S.A. of today, who has been impressed with Einstein, is imagining the route a Newton et a bien d’autres. Aujourd’hui aux Stats-Unis, Fuller, influence par universe filled with polytopes in his Synergetics in spite of the puzzlement of some people, Einstein, imagine dans son Synergetics que l’univers est rempli de polytopes, malgre la and which amuses Coxeter et al. perplexit de plusieurs personnes, ce qui ne manque pas d’amuser Coxeter ainsi que plusieurs autres. * Koji Miyazaki, La forme de Pespace:polygones, polykdres etpolytopes, Asakura Publish- * Koji Miyazaki, Form of Space: Polygons, Polyhedra and Polytopes, Asakura Publishing ing Company, Tokyo, 1983. Company, Tokyo, 1983. 24 Topologie structurale #lo, 1984 Au milieu de la civilisation de chaque Cpoque, tous les trois effectuerent des recherches de At the center of the civilization of each time, each of these three investigated in a similar facon similaire sur les macro, medio et micro univers, seuls, sans l’aide de telescope ou de manner on the macro, medio, and micro universes, by themselves, without any telescope microscope et sans tenir compte des suggestions des autres. Finalement, chacun trouva or microscope and without paying any attention to suggestions by others. And at last, une facon de parvenir a l’espace a quatre dimensions, bien qu’aucun n’en ait donne une each found his way to the entrance of the four-dimensional space, though none gave any description concrete. concrete description of the scene. Quel spectacle nous offre done l’espace a quatre dimensions? Les indices permettant de What spectacle does spread out in the four-dimensional space? The clues to show it are in nous le rep&enter se trouvent dans les polygones de Platon, les polyedres de Kepler et Plato’s polygons, Kepler’s polyhedra, and Fuller’s polytopes. dans les polytopes de Fuller. Par exemple, dans l’espace a trois dimensions, un trefle a trois feuilles est compose de trois For example, in 3-space, a three-leaf clover has three thin leaves and opens in the regular feuilles minces et s’inscrit dans le triangle regulier. Mais dans l’espace a quatre dimen- triangle. So in 4-space, such a clover may have four thick leaves and open in the regular sions, un tel trefle sera compose de quatre feuilles epaisses et s’inscrira dans le tetraedre tetrahedron. Similarly, in 3-space, a four-leaf clover has four thin leaves and opens in the regulier. De facon similaire, dans l’espace a trois dimensions, un trefle a quatre feuilles square. So in 4-space, such a clover may have six or eight thick leaves and open in the cube possede quatre feuilles minces et s’inscrit dans le carre. Mais dans l’espace a quatre or regular octahedron, both of which are mutually dual. In 3-space, a cherry blossom has dimensions, un tel trefle aura de six a huit feuilles epaisses et s’inscrira dans le cube ou five thin petals and blooms in the regular pentagon. So in &pace, a hyper-cherry blossom l’octaedre rCgulier, les deux etant mutuellement duals. Dans l’espace a trois dimensions, has twelve or twenty thick leaves and blooms in the regular’dodecahedron or icosahedron, une fleur de cerisier possede cinq petales minces et s’epanouit dans le pentagone regulier. both of which are also mutually dual. The hyper-rainbow, whose shape is not semi- Mais dans l’espace a quatre dimensions, une fleur de cerisier hyperspatiale aura de douze a circular, but semi-spherical, covers a four-dimensional flower garden. Diamonds in vingt feuilles et s’epanouira dans le dodecaedre regulier ou l’icosaedre, tous deux &ant three-dimensional mines have often the cubic or regular octahedral shapes. So in 4-space, aussi mutuellement duals. L’arc-en-ciel hyperspatial, dont la forme n’est pas semi- they have the shapes of the hyper-cube or 16cell. Stars in three-dimensional sky sparkle circulaire, mais semi-spherique, recouvre un jardin de fleurs a quatre dimensions. Les as if they were the small stellated dodechaedra. So in 4-space, they sparkle as if they were diamants, dans les mines de l’espace a trois dimensions, ont souvent la forme d’un cube ou the small stellated 120-cell. d’un octaedre regulier. Mais dans l’espace a quatre dimensions, ils ont la forme de l’hypercube ou de la cellule-16. Les etoiles, dans un ciel de l’espace a trois dimensions, scintillent comme si elles etaient de petits dodecaedres &oil&. Mais dans l’espace a quatre dimensions, elles scintillent comme si elles etaient de petites cellules-120 &oil&. En resume, les polygones, les polyedres et les polytopes sont les outils efficaces ou les To sum up, the polygons, polyhedra, and polytopes are the effective tools or hieroglyphs hieroglypes permettant d’explorer et de decrire les macro, medio et micro mondes ou le to investigate and describe the macro, medio, and micro worlds or the multi-dimensional monde multidimensionnel sans aucun telescope ou microscope, et sans avoir a tenir world without any telescope or microscope, and without paying any attention to suggest- compte des suggestions des autres. ions by others. Table des mat&es Contents 1. Le cercle de Pythagore. On trace ici l’historique des relations etroites entre le cercle, le 1. Circle of Pythagoras. The close relations between the circle, polygon, sphere, and polygone, la sphere et le polyedre selon les cosmologies de Pythagore, etc. polyhedron are historically traced according to the cosmologies of Pythagoras, etc. 2. Le cosmos de Platon. On explique ici la cosmologie de Platon, utilisant les polygones 2. Cosmos of Plato. The Plato’s cosmology using the regular polygons and the regular et les polyedres reguliers, telle que d&rite clans son Timaeus. polyhedra is explained according to his Timaeus. 3. Le chaos d’Aristote. L’objection d’Aristote face au cosmos geometrique de Platon est 3. Chaos of Aristotle. The objection of Aristotle to Plato’s geometrical cosmos is menti- exposee en ce qu’elle differe de l’ordre de la nature a l’echelle microscopique tel que concu oned as contrasting with the obedience of microscopic nature to Plato. par Platon. Structural Topology #IO, I984 25 4. La famille d’Archim&le. Les polyedres reguliers de Platon sont deform& de maniere 4. Family of Archimedes. Plato’s regular polyhedra are symmetrically deformed by symttrique par Archimede, etc. Archimedes, etc. 5. L’orbite de Kepler. La coupe cosmique de Kepler en tant que receptacle des planetes et 5. Orbit of Kepler. The cosmic cup of Kepler as the vessel of the planets and the geodesic les domes geodtsiques de Fuller en tant que receptacles des etres humains, tous les deux domes of Fuller as the vessel of the human beings, both of which are determined by the &ant determines par les polyedres reguliers, sont compares les uns aux autres. regular polyhedra, are compared with each other. 6. Le secret de Kukai. Les polyedres reguliers dont on fait mention dans l’histoire 6. Secret of Kukai. The regular polyhedra seen in the past of Japan are traced by the holy ancienne du Japon se retrouvent dans les reliques saintes ou dans les legendes a la relics or legends in memory of Kukai, etc. memoire de Kukai, etc. 7. La synergie de Fuller. Le monde microscopique construit selon les Synergetics de 7. Synergy of Fuller. The microscopic world constructed according to Fuller’s Synerget- Fuller est explique par l’utilisation d’arrangements polyedriques de spheres. its is explained by using the polyhedric arrangements of spheres. 8. Le palais de Kelvin. Les juxtapositions periodiques de polyedres symetriques de 8. Palace of Kelvin. Periodic space fillings by symmetrical polyhedra of Kelvin, etc. are Kelvin, etc. sont construites et comparees aux formes que l’on retrouve dans la nature. constructed in relation with the designs of nature. 9. La formule d’Euler. On classifie ici tous les polyedres qui satisfont a la formule d’Euler 9. Formula of Euler. Polyhedra, all of which satisfy the Euler’s formula, are classified, et parmi ceux-ci, les pavages rtguliers de Pythagore, les polyedres rtguliers de Platon et les and of them, Pythagorean regular tessellations, Plato’s regular polyhedra, and Coxeter’s Cponges rtgulieres de Coxeter sont respectivement relies a l’univers plan, spherique et regular sponges are related to the plane, spherical, and hyperbolic universe respectively. hyperbolique. 10. Le labyrinthe de Miibius. Les polyedres rtguliers sont curieusement deplaces, pivotes 10. Labyrinth of Miribius. The regular polyhedra are curiously moved, rotated, and et etoiles, et de plus, ils sont transform& en polyedres a un seul tote comme la bande de stellated, and moreover, changed to the one-sided polyhedra like the Mobius strip. Mobius. 11. La melancolie de Direr. Les arrangements planaires et spatiaux utilisant des penta- 11. Melancholy of Diirer. The planar and spatial arrangements using regular pentagons gones reguliers et des pentagrammes sont decrits par Diirer, Kepler, Penrose, etc. and pentagrams are shown by Diirer, Kepler, Penrose, etc. 12. L’horizon de Penrose. Des pavages non-periodiques et des reseaux d’hexagones sont 12. Horizon of Penrose. Non-periodic tessellations and honeycombs are designed by concus par Penrose, etc., en utilisant le nombre d’or. Penrose, etc., using the golden-ratio. 13. Le vecteur de Descartes. On presente ici une projection dans un espace a trois 13. Vector of Descartes. A projection into 3-space of the four-dimensional co-ordinate dimensions des axes coordonnes quadridimensionnels que l’on retrouve dans les oeuvres axes, which are seen in arts and nature, is introduced in comparison with the three- d’art et dans la nature, et on la compare aux axes coordonnes tridimensionnels de dimensional Cartesian co-ordinate axes. Descartes. 14. La creation de SchlWi. Les six polytopes reguliers a quatre dimensions, ayant tous 14. Creation of SchlXli. The six regular polytopes in Ldspace,all of which were already ete decrits deja par Schlafli, sont represent& par leurs modeles symetriques. described by Schlafli, are shown by their symmetrical models. 15. La nature de Coxeter. Les polytopes rtguliers sont deform& par Coxeter et par 15. Nature of Coxeter. The regular polytopes are deformed by Coxeter et al., and d’autres, ce qui nous permet de concevoir des etoiles, des flocons de neige, des fleurs, des according to them, four-dimensional stars, snowflakes, flowers, diamonds, etc., are diamants, etc., tous quadridimensionnels. designed. 16. La sphere d’Einstein. On trace a rebours l’histoire des figures quadridimensionnelles 16. Shpere of Einstein. A history of four-dimensional figures in the East and West are en Orient et en Occident en partant d’Einstein, notre contemporain, jusqu’a Platon dans traced backwards from Einstein of the present to Plato of the past, and lastly, the Plato’s I’AntiquitC, et finalement, on substitue au cosmos dodecatdrique regulier et tridimensi- three-dimensional regular dodecahedral cosmos is replaced with the four-dimensional onnel de Platon le cosmos quadridimensionnel dont la forme est determinee par la cosmos whose form is determined by the 120-cell. cellule- 120. 26 Topologie stmcturale MO, 1984 Les principaux apports originaux de ce livre Main Original Works in this Book 1. La presentation d’exemples ou l’on retrouve des polyedres dans l’histoire ancienne du 1. Introduction of the polyhedral traces in the past of Japan (each section). Japon (dans chaque section). 2. La construction de r&eaux d’hexagones non-periodiques utilisant les iso-zonaedres 2. Construction of non-periodic honeycombs using the golden iso-zonohedra (section l2). d’or (section 12). 3. La suggestion de l’existence reelle d’une quatri&me dimension dans la nature par 3. Suggestion of the four-dimensionality of actual nature using four lines which connect l’utilisation de quatre lignes qui relient le centre du tktraedre rtgulier a sesquatre sommets the body-center and four vertices of the regular tetrahedron (section 13). (section 13). 4. La construction des modeles symttriques de polytopes rkguliers quadridimensionnels 4. Construction of the symmetrical models of four-dimensional regular polytopes (sec- (section 14). tion 14). 5. La deformation des polytopes reguliers en des polytopes semi-reguliers et &toil& 5. Deformation of the regular polytopes into the semi-regular and stellated polytopes (section 15). (section 15). 6. La suggestion de l’aspect des oeuvres d’art et de la nature en quatre dimensions a 6. Suggestion of the four-dimensional arts and nature through symmetrical polygons, travers des polygones, polyedres et polytopes symetriques (sections 13- 16). polyhedra, and polytopes (sections 13- 16). Adresse de l’auteur: Address of the author: Koji Miyazaki Koji Miyazaki Kobe University Kobe University l-2-1 Tsurukabutu Nada-Ku 1-2-1 Tsurukabutu Nada-Ku Kobe-Shi 657 Kobe-Shi 657 Japan Japan Four-Dimensional Regular Hexagon by Koji Miyazaki ? R&urn6 Topologie structurale ##lo, 1984 Abstract Structural Topology ##lo,1984 L’hexagone r6gulier quadridimensionnel On comprend facilement que les analogues quadridimensionnels du triangle regu- It is easily understood that the 4dimensional analogues of the regular triangle, lier, du carre et du pentagone regulier (dans cet article, ils sont tous composts square, and regular pentagon (in this paper, all are composed of only edges and uniquement d’aretes et ne cornportent aucun Clement a deux dimensions) sont have no portion of 2-space) are the regular tetrahedron, cube, and regular dode- respectivement le tetraedre regulier, le cube et le dodecaedre regulier (dans cet cahedron (in this paper, all are composed of only faces and have no portion of article, ils sont tous composts uniquement de faces et ne cornportent aucun element 3-space) respectively. Then, which polyhedron is the 4-dimensional analogue of the a trois dimensions). Alors, quel polyedre est l’analogue quadridimensionnel de regular hexagon, i.e. 4-dimensional regular hexagon? If this riddle is solved, we can l’hexagone regulier, c’est-a-dire un hexagone rtgulier quadridimensionnel? Si nous see a 4-dimensional snowflake, honeycomb, pencil, etc. resolvons cette enigme, nous pourrons rep&enter un flocon de neige, un nid d’abeille, un crayon, etc. quadri-dimensionnels. PropriMs gbombtriques de I’hexagone rbgulier. Les principales propriMs geometriques Geometrical Properties of Regular Hexagon. The main geometrical properties of the de l’hexagone rtgulier se rapportant a cet article sont les suivantes: regular hexagon which relate to this paper are as follows: 1. 11possede un cercle inscrit auquel toutes les a&es sont acljacentes en leur milieu. 1. It has an inscribed circle which all midpoints of edges contact. 2. 11poss&le un cercle circonscrit auquel tous les sommets touchent. 2. It has a circumscribed circle which all vertices contact. 3. Toutes les a&es sont d’egale longueur. 3. All edges have equal length. 4. Tous les angles internes sont Cgaux. 4. All internal angles are equal. 5. 11peut creer un pavage infini du plan. 5. It can tessellate infinitely a plane. 6. Tous les sommets sont situ& sur les axes isomttriques tridimensionnels qui se croisent 6. All vertices are on the 3-dimensional isometric axes which intersect each other in the les uns les autres sur un plan A 1200(Figure 1). plane at 1200 (Figure 1). 7. C’est un parallelogone. 7. It is a parallelogon. 8. Deux triangles reguliers mutuellement duals peuvent y etre inscrits (Figure 2). 8. It contains two inscribed regular triangles which are mutually dual (Figure 2). 9. On l’obtient par l’intersection de deux triangles reguliers qui sont mutuellement duals 9. It can be obtained by the intersection of two regular triangles which are mutually dual (Figure 2). (Figure 2). 10. 11est etroitement apparent6 a la juxtaposition dense de cercles. 10. It closely relates to the closest circle arrangement. 28 Tupologie structurale #lo, 1984 Figure 1 Figure 2 Propri&k g6omCtriques de l’hexagone r6gulier quadridimensionnel. Les prop&es geom& Geometrical Properties of 4-Dimensional Regular Hexagon. The above mentioned geo- triques de l’hexagone rtgulier mentionn6es ci-dessus peuvent Etre transpo&es a I’espace g metrical properties of the regular hexagon can be extended into 4-space as follows: quatre dimensions comme suit: 1. It has an inscribed sphere which all central points of faces contact. 1. I1 poss6de une sph6re inscrite a laquelle sont adjacentes chacune des faces de l’hexa- 2. It has a circumscribed sphere which all vertices contact. gone en leur milieu. 3. All faces are identical. 2. I1 possede une sphere circonscrite i laquelle tous les sommets touchent. 4. All solid-angles are equal. 3. Toutes les faces sont identiques. 5. It can fill infinitely a 3-space. 4. Tous les angles solides sont tgaux. 6. All vertices are on the 4-dimensional isometric axes which intersect each other in a 5. II peut remplir a l’infini un espace a trois dimensions. 3-space at 109*28’ (Figure 3). 6. Tous les sommets sont situ& sur les axes isometriques quadridimensionnels qui se 7. It is a parallelohedron. croisent les uns les autres dans un espace g trois dimensions ZL109”28’ (Figure 3). 8. It contains two inscribed regular polyhedra which are mutually dual. 7. C’est un paralI6loedre. 9. It can be obtained by the intersection of two regular polyhedra which are mutually 8. Deux polyedres reguliers mutuellement duals peuvent y &re inscrits. dual. 9. On l’obtient par l’intersection de deux polyedres rCguliers qui sont mutuellement 10. It closely relates to the closest sphere arrangement. duals. 10. I1 est etroitement apparent6 a la juxtaposition dense de spheres. Comparaison de certains poly5dres consid&& comme des hexagones rkguliers quadridimen- Comparison of some Polyhedra as LGDimensional Regular Hexagon. There are some sionnels. Certains polyedres peuvent etre consid&s comme des hexagones reguliers polyhedra which can be thought of as the 4-dimensional regular hexagon. Table 1 shows quadridimensionnels. Le Tableau 1 les compare en tenant compte des propriMs g6omC- their comparison according to the above mentioned geometrical properties. The cross- triques mention&es ci-haut. Les intersections marqubes par des asttrisques indiquent ings having asterisk show that the geometrical properties are satisfied. que les proprietes g6omCtriques ont et6 satisfaites. Structural Topology MO, 1984 29 12345678910 Cube * * * * * * * * Cube Octaedre regulier * * * * * Regular Octahedron Prisme hexagonal * * * * Hexagonal Prism Tetraedre tronque * * * Truncated Tetrahedron Octaedre tronque * * * * Truncated Octahedron Cuboctaedre * * * Cuboctahedron Rhombidodecaedre * * * * * * * Rhombic Dodecahedron Tableau 1 -Table 1 Figure 3 Le cube consid& comme hexagone rkgulier quadridimensionnel. D’apres le Tableau 1, le Cube as 4-Dimensional Regular Hexagon. According to Table 1, the cube has the largest cube possede le plus grand nombre d’asttrisques. Par consequent, on peut penser que le number of the asterisks. Therefore, it may be thought that the cube is closest to a cube est celui qui se rapproche le plus de l’hexagone quadridimensionnel regulier. Feu 4-dimensional regular hexagon. The late David Brisson designed 4-dimensional snow- David Brisson a dessine des flocons de neige quadridimensionnels inscrits dans des cubes flakes inscribed in cubes as in Figure 4. First, he grasped that 3-dimensional snowflakes comme on peut le voir A la Figure 4. 11 a d’abord compris que les flocons de neige are the stars of David subdivided according to the fractal theory of Mandelbrot. And tridimensionnels sont des etoiles de David subdivisees selon la theorie fractale de Mandel- next, he imagined 4dimensional snowflakes such that the Kepler’s stella octangula is brot. Ensuite, il a imagine des flocons quadridimensionnels produits par une subdivision subdivided. It seems that the 4-dimensional regular hexagon for him was the cube. similaire de la stella octangula de Kepler. 11semble que, pour lui, l’hexagone rtgulier However, the cube can not satisfy the geometrical properties 9 and 10, and furthermore, it quadridimensionnel etait le cube. Toutefois, le cube ne peut pas satisfaire aux proprietes is surely the analogue of the square. geometriques 9 et 10, et de plus, il est de maniere certaine l’analogue du carre. Le rhombidod6caMre consid&! comme hexagone r6gulier quadridimensionnel. Dans cet Rhombic Dodecahedron as 4-Dimensional Regular Hexagon. In this paper, the rhombic article, le rhombidodecaedre dont toutes les faces ont des diagonales de rapport 1: J2 et dodecahedron all of whose faces have the diagonals of the ratio 1: J2 and its dual, the son dual, le cuboctaedre, sont consider& comme les hexagones quadridimensionnels cuboctahedron, are thought of as the 4-dimensional regular hexagons. They can satisfy all reguliers. Ensemble, ils peuvent satisfaire a toutes les proprietes geometriques. En ce qui of the geometrical properties by helping one another. Concerning properties 8 and 9, the concerne les proprietts 8 et 9, la Figure 5 illustre comment elles sont satisfaites. De plus, situations are as in Figure 5. And moreover, all of the edges and lines connecting the toutes les aretes et les segments de droite reliant le centre du cubocta&lre a tous ses body-center with all the vertices of the cuboctahedron are mutually equal to the length of sommets sont mutuellement Cgalesa la longueur du rayon de la sphere circonscrite, ce qui the radius of the circumscribed sphere, as in the condition for the regular hexagon. It etait aussi le cas pour l’hexagone regulier. Dependant des circonstances, l’on adopte le depends upon circumstances which of the rhombic dodecahedron or cuboctahedron is rhombidodecaedre ou le cuboctaedre, bien que le premier soit satisfaisant dans la plupart adopted, though the former may be suitable in most cases. des cas. 30 Topologie structurale #IO, 1984 Figure 4 Figure 5 Flocon de neige quadridimensionnel. La Figure 6 presente des constructions de flocons de 4Dimensional Snowflake. Figure 6 shows 4-dimensional snowflakes built according to neige quadridimensionnels a partir de rhombidodecaedres. Le 7 avril 1983, a la sugges- the rhombic dodecahedra. On April 7,1983, the space shuttle “Challenger” attempted to tion d’un japonais, la navette spatiale Khallenger,, a tent& de faire des flocons de neige make snowflakes in space having no gravity according to a proposal by a Japanese. dans l’espace pour les soustraire a l’action de la gravite. Malheureusement, cela n’a pas Regretfully, it ended in a failure. But, if it proved successful, the snowflakes might have reussi. Mais si cela avait reussi, les flocons de neige seraient tels qu’a la Figure 6, parce become as in Figure 6 because a circular drop of water would become spherical in space, qu’une goutte d’eau circulaire devient spherique dans l’espace, lorsqu’elle n’est pas having no gravity. So also in 4space. soumise a l’action de la gravitt. C’est la meme chose dans l’espace a quatre dimensions. Nid d’abeille quadridimensionnel. La Figure 7 presente un nid d’abeille quadridimen- 4Dimensional Honeycomb. Figure 7 shows a 4-dimensional honeycomb and a sionnel et une abeille quadridimensionnelle. 4-dimensional bee. Dans un espace tridimensionnel, un nid d’abeille est compose de tubes, chacun ayant la In 3-space, a honeycomb is composed of some tubes each of which has the shape of a forme d’un rhombidodecaedre, c’est-a-dire la forme exterieure d’un cube a quatre dimen- rhombic dodecahedron, i.e. the outer shape of the 4=cube, elongated along one set of sions allongC le long d’un ensemble d’ar&es mutuellement paralleles. Et quand ce nid mutually parallel edges. And when this 3-honeycomb is cut perpendicular to the elon- d’abeille a trois dimensions est coupe par un plan perpendiculairement aux a&es allon- gated edges by a plane, the regular tessellation created uses only regular hexagons; in other gees, le pavage regulier qui apparait est compose uniquement d’hexagones reguliers; en words, the closest circle arrangement appears as the section. Here, each regular hexagon d’autres mots, nous apercevons une juxtaposition dense de cercles. Dans ce cas, chaque becomes a parallelo-hexagon when it is obliquely projected onto a plane. On the contrary, hexagone rCgulier devient un parallelo-hexagone lorsqu’il est projete obliquement sur un the base of each tube becomes a regular hexagon composed of three rhombi when it is plan. Au contraire, la base de chaque tube devient un hexagone regulier compose de trois orthogonally projected onto a plane which is perpendicular to the elongated edges. losanges lorsqu’il est projete orthogonalement sur un plan perpendiculaire aux a&es allongees. Structural Topology #IO, 1984 31 Done, dans l’espace a quatre dimensions, un nid d’abeille peut etre compose de tubes Therefore, in 4-space, a honeycomb may be composed of some tubes each of which has the ayant chacun la forme d’un rhombicosaedre, c’est-a-dire la forme exterieure du cube a shape of a rhombic icosahedron, i.e. the outershape of the Scube, elongated along one set cinq dimensions allongt le long d’un ensemble d’ar&es mutuellement paralleles. Et of mutually parallel edges. And when this 4-honeycomb is cut perpendicular to the lorsque ce nid d’abeille quadridimensionnel est coupe par un hyper-plan, perpendiculai- elongated edges by a hyper-plane, the ( Une abeille quadridimensionnelle possede une t&e et un corps, mais trois yeux, trois A 4-dimensional bee has one head and one body, but three each of eyes, antennae, and antennes et trois ailes epaisses comme des carottes. wings thick like carrots. Figure 6 Structural Topology #IO, 1984 33 Un crayon quadridimensionnel. La Figure 8 presente un crayon quadridimensionnel. &Dimensional Pencil. Figure 8 shows a 4-dimensional pencil. In 3-space, a pencil has the Dans un espace a trois dimensions, un crayon a la forme d’un prisme hexagonal regulier shape of the regular hexagonal prism of which one end is the regular hexagon or any dont un des bouts est l’hexagone regulier ou n’importe quel parallelo-hexagone et dont parallelo-hexagon and the other end is shaved in the form of a circular cone whose base l’autre bout est aiguise en forme d’un cone circulaire dont la base a six hyperboles comme has six hyperbolas as the edges. So, in 4-space, a pencil has the shape of the hyper- aretes. Alors, dans un espace a quatre dimensions, un crayon a la forme d’un hyper- hexagonal prism of which one end is the rhombic dodecahedron or any parallelo- prisme hexagonal dont un des bouts est le rhombidodecaedre ou tout parallelo- dodecahedron and the other end is shaved in the form of a hyper-circular cone whose base dodecaedre et dont l’autre bout est aiguise en forme d’un hyper-cone circulaire dont la has twelve hyperboloids as the faces (hyper-edges). base possede douze hyperboloides comme faces (des hyper-aretes). Figure 8 34 Topologie structurale MO, 1984 Addendum. Lors de la seconde tentative, le ler septembre 1983, (Challenger>> reussit a Addendum. On September 1,1983, “Challenger” proved successful in the second attempt fabriquer des flocons de neige dans l’espace, en &at d’apesanteur. Bien que la definition to make snowflakes in space having no gravity, though the pictures on a Braun tube were des images obtenues sur un &ran de Braun laisse a desirer (Figure 9), il est possible de not so clear (Figure 9). They resemble our computer graphics of rhombic dodecahedral constater la ressemblance de celles-ci avec nos dessins par ordinateur de flocons de neige 4dimensional snowflakes (Figure 10). quadridimensionnels rhombidodtcaedriques (Figure 10). Figure 9* Figure lO* Adresse de l’auteur: Address of the author: Koji Miyazaki Koji Miyazaki Kobe University Kobe University l-2- 1 Tsurukabutu Nada-Ku l-2- 1 Tsurukabutu Nada-Ku Kobe-Shi 657 Kobe-Shi 657 Japan Japan * Une gracieusete du Journal Asahi * By the courtesy of the Asahi Newspaper Art and Mathematics: a Second Series of Movies by Michele Emmer* Topologie structurale MO, 1984 Structural Topology #lo, 1984 L’art et les mathbmatiques: une seconde s&e de films Une premiere serie de films sur le theme c Les principaux sujetsde ce film sont la deuxiemeet la quatrieme dimensions. Principal subjectsof the movie are the secondand the fourth dimensions. Le film commencepar un episodede Flatland, un dessinanime tire du livre d’Abbott. Puis, The movie begins with a part of Flatland, in animation, basedon the book by Abbott. le mathematicienT. Banchoff expliquecomment il est possiblede visualiserun hypercube Then the mathematician, T. Banchoff, explains how it is possibleto usea video terminal a l’aide d’un terminal video. Comment est-il possible de avoirn un objet quadridimen- to visualize a hypercube. How is it possible to “see” a four dimensional object? The sionnel? Les artistes americains David et Harriet Brisson nous disent comment deux American artists, David and Harriet Brisson, tell us how two artists try to keep visible the artistes tentent de rendre visible l’invisible. Le cristallographe Whittaker est lui aussi invisible. Also a crystallographer, Whittaker, has the sameproblem of visualizing the confront6 a ce memeprobleme de la visualisation de l’invisible quatrieme dimension. invisible fourth dimension. L’historienne de l’art modeme Linda Henderson explique les relations entre ce que l’on The modem art historian, Linda Henderson, explains the connections between the nomme ( * L’auteur est professeur associeen mathematiques au Dipartimento di Matematica, * The author is Associate Professorin Mathematics at the Dipartimento di Matematica, Universita di Roma ( Le mathematicien A. Dewdney nous sugg&e un voyage dans le monde de la deuxieme The mathematician A. Dewdney proposesa trip in the world of the seconddimension. dimension. Quelques-unesdes restrictions l&s au monde bidimensionnel sont p&en- Someof the restrictions of the flat world are introduced. The hypercubeof Salvador Dali tees. Notre voyage dans l’hyperespacese termine sur des images de l’hypercube de and the sculpturesof Attilio Pierelli end our trip in the hyperspace. Salvador Dali et des sculpturesd’Attilio Pierelli. (Couleur, 27 min, son optique, 16 mm). Le film fut tour& a Brown University, Provi- (Colour, 27 min, optical sound, 16 mm). The movie was filmed at: Brown University, dence,au studio de D. et H. Brisson, Rehoboth, B Oxford University, Oxford, a l’univer- Providence,D. and H. Brisson Studio, Rehoboth, Oxford University, Oxford, University sity of Texas, Austin, a l’university of Western Ontario, London, Canada, au Centre of Texas, Austin, University of Western Ontario, London, Canada, Centre national national G, Pompidou, Paris,au Metropolitan Museum,New York, et B 1’Operadi Roma. G. Pompidou, Paris, Metropolitan Museum, New York, Opera di Roma. Les spirales Spirals Les spirales dissimuleesdans les tableaux de Paolo &cello sont misesen evidence. Le The spirals hidden in the painting of Paolo Uccello are shown. The French mathemati- mathematicien francais A. Deledicq nous presentequelques types de spiralesa l’aide d’un cian, A. Deledicq, introducesa few typesof spirals with a plotter. The definitions of spiral traceur. La definition de la spirale par Archimedeset celle de la spirale logarithmique par by Archimedesand the logarithmic spiral by J. Bernoulli 2are described. J. Bernoulli sont expos&s. Le zoologiste PeterWard explique ou dans l’ocean on peut trouver le nautile et l’etudier. The zoologist, Peter Ward, explains where we can find and study the Nautilus in the Le secretde cette creature: sa flottabilitt. ocean. The secretof this creature: its buoyancy. Des exemples d’usagede la spirale dans l’art de toutes les epoques:les tombeaux prehisto- Examplesof spirals in the art of every period: the prehistoric tombs in Newgrangein riques de Newgrange en Irlande et les Croix celtiques, les mosaiquesdes voiites de San Ireland and the Celtic crosses,the mosaics in the vaults of San Marco in Venice, the Marco a Venise, lesfameuses peintures de Canaletto de la Basilica della Saluteet le motif famous paintings of Canaletto of the Basilica della Salute and the spiral motive in the en spirale des assiettesde verre de Murano. glassplates of Murano. L’astronome Paul Hodge nous fait remarquer la structure en spirale desgalaxies, et tout The astronomer Paul Hodge points out the spiral structure of the galaxies,esp&ially specialementcelle d’Androm&de. Andromeda. (Couleur, 27 min, son optique, 16 mm). Le film fut toume a l’universite de Paris VII, (Colour, 27 min, optical sound, 16 mm). The movie was filmed at: Universitd de Paris, a 1’University of California at Davis, au SheddAquarium, Chicago, B Newgrange, Paris VII, Paris, Uniitersity of California at Davis, Shedd Aquarium, Chicago, New- Irlande, au British Museum, Londres, B la &silica di San Marco, Venise, Q la Basilica grange, Ireland, British Mub#um, London, Basilicadi San Marco, Venice, Basilica delta della Salutrt, Venise,et a l’university of Washington,Seattle. Salute, Venice, University of Washington, Seattle. Ii&l h&ices 3 Helices Le film commence avec la description de Breughelde la MTourde Babeln. Suivent alors The movie starts with the “Tower of Babel” as depicted by Breughel. Then, examplesof desexempks d’utilisations d’h&es dansl’art et la nature: la chapelleSixtine, le Themede helicesin art and nature: the Cappella Sistina, the Spiral Theme by Gabo and the long la spirale par Gabo et la longue canine du narval. . teeth of the Narwhale. Le b&him&e Bauerexplique la structure de 1’ADN et sag&m&e: la double h&e. Un The biochemist, Bauer, explains the structure of DNA and its geometry:the double helix. exemple bien connu de l’application de la double h&lice en architecture: l’escalier du A famous example of double helix in architecture: the staircase of Chambord Castle. chateau de Chambord. Un autre exemple d’escaliersbien connu: ceux du chateau de Another famous exampleof stairs: those of Blois Castle, in the decoration of which we Blois, dont la decoration incorpore plusieurs themess’inspirant de coquillages et de la find many shellsand spiral themes. Similarly, in the drawings of Leonardo da Vinci, the @ale. 11en va de m&e de la farneuseBataille d’Anghiari, un dessinde Leonard de Vinci famous Battle,of Anghiari as copied by Rubens,and in the famous stairs of Venice, those sauvegardepar la copie qu’en fit Rubens,et de quelquesfameux escaliersde Venise,soit at the Ospedalettoand the Scala Contarini de1Bovolo. Structural Tophgy #lO, I984 37 ceux de 1’Ospedalettoet de la Scala Contarini de1Bovolo. Le mathematicienWhite explique la structure topologique de I’ADN et lesdifferents types The mathematician, White, explains the topological structure of DNA and its various de lien qu’on y trouve. David Raup discute des dif%rentesformes de coquillageset de la kinds of links. David Raup speaksof the various forms of the shellsand of the possibility possibilitCde simuler sur ordinateur de nombreusesformes possibles,dont certainesne se of simulating with a computer many possible shapes,even shapesthat we cannot find in trouvent pas dans la nature. Le film setermine par la presentationde deux exemplesbien nature. The movie endswith two famous examplesof helicoidal structure in architecture: connusde structureshelico’idales en architecture:le GuggenheimMuseum de New York et the GuggenheimMuseum in New York and the Marine Towers in Chicago. les Marine Towers de Chicago. (Couleur, 27 min, son optique, 16 mm). Le film fut tourne a I’University of New York, (Colour, 27 min, optical sound, 16 mm). The movie was filmed at: University of New Stony Brook, a I’University of California, Los Angeles, aux chateaux de Blois et de York, Stony Brook, University of California at Los Angeles, Chambord and Blois Chambord, France, au Patriarcato diocesano,a I’Ospedaletto et a la Scalade1 Bovolo, Castles,France, Patriarcato diocesano,Ospedaletto and Scaladel Bovolo, Venice, Field Venise, au Field Museum of Natural History, Chicago, au Guggenheim Museum, New Museum of Natural History, Chicago, Guggenheim Museum, New York, The Tate York, et a The Tate Gallery, Londres. Gallery, London. M.C. Escher:la sym&ie et I’espace M.C. Escher:Symmetry and Space Ce film constitue la premierepartie d’une seriesur l’oeuvre graphique de l’artiste neerlan- This movie is the first part of the complete one basedon the graphic work of the Dutch dais Maurits Comelis Escher. Bien entendu, le film utilise enormementles effets sp&iaux artist, Maurits Comelis Escher. Of course, it is a movie full of special effects and et le dessinanime. L’objet du film est de donner une nouvelle dimension, le mouvement, animations. The idea of the movie is to give a new dimension, movement,to the prints of aux estampesde l’artiste. the artist. Bruno Ernst, un ami intime d’Escher,nous racontequelques episodes de la vie d’Escheren Bruno Ernst, a closefriend of Escher,tells us of someepisodes in the lift of Escher in Italy. Italie. Le cristallographe C. MacGillvary, qui fut coauteur avec Escher d’un livre bien The crystallographer, C. MacGillvary, who wrote a famous book on syrnmetry with connu sur la symCtrie,explique la structure de quelquesdessins ptriodiques. La partie la Escher,explains the structure of someperiodic drawings. The most attractive part of the plus interessantedu film est celleou lesoeuvres d’Escher sont animeeset deform&es,partie movie is the animations and deformations of the works of Escher,all basedon the original realisee& partir des estampesoriginales afin d’obtenir un effet 4 la mode d’Escherm. prints in order to have a result “a la mode d’Escher”. (Couleur, 27 min, son optique, 16 mm). Le film fut tour& au Gemeentemuseum, (Colour, 27 min, optical sound, 16 mm). The movie was filmed at: Gemeentemuseum, La Haye, au studio de B. Ernst, Utrecht, au studio de C. MacGillvary, Amsterdam, au Den Haag, B. Ernst Studio, Utrecht, C. MacGillvary Studio, Amsterdam, Castello Caste110Sforzesco, Milan, au Gabinetto Nazionale delle Stampe, Rome, a 1’Istituto Sforzesco,Milano, Gabinetto Nazionale delle Stampe, Roma, Istituto Italo-Olandese, Italo-Olandese,Florence, chez S. Gimignano et $ I’Alhambra, Grenade. Firenze, S. Gimignano, Alhambra, Granada. M.C. Escher:la g4omCtrieet les mondesimpossibles M.C. Escher:Geometry and ImpossibleWorlds Ce film constitue la deuxiime partie de la s&e sur l’oeuvre graphique d’Escher. Le This film is the secondpart of the precedingfilm. A large number of animated scenesand recours au dessin anime et aux effets speciaux appliques aux oeuvres graphiques de special effects are used, basedon the works of the Dutch graphic artist. l’artiste neerlandaisy est frequent. Le mathematicien H.S.M. Coxeter montre quelques exemples de solides qui pavent The mathematician H.S.M. Coxetershows some examples of solids that fill space,solids l’espace,lesquels furent utilisis par Escher. later used by Escher. Ce qu’on appelle alesobjets impossiblesbbsont alors etudies,en commencantavec le cube The film then investigatesthe so-called “Impossible Objects” starting with the Necker’s de Necker. Roger Penrosemontre quelquesexemples de figures impossiblesconcues par Cube. Roger Penroseshows some examples of impossiblefigures that he and his biologist lui et son p&e, un biologiste,soit le triangle et lesescaliers. Des dessinsanim&s faits iirpartir father have devised the triangle and the staircases. Some animated scenes based on d’oeuvres d’Escherjettent un nouvel eclairagesur le sujet. Un dessinanime produit par Escher’s works help to make the subject clear. Also shown is a computer animation ordinateur au Bell Laboratories du New Jerseyest aussi utilise. produced at the Bell Laboratories, New Jersey. Le mathematicien Coxeter discute quelques modtles qui reltvent de la geometric non The mathematician, Coxeter, talks about some models of non-Euclideangeometry that 38 Topologie structurale #IO, 1984 euclidienne, et dont Eschers’inspira. Le film setermine avecd’autres sequencesde dessin Escherused as his models. The film ends with further animated sequences. anime. (Couleur, 27 min, son optique, 16 mm). Le film fut tourne a l’university of Toronto, (Colour, 27 min, optical sound, 16mm). The movie wasfilmed at: University of Toronto, Toronto, il Oxford University, Oxford, au Gemeentemuseum,La Haye, et au Gabinetto Toronto, Oxford University, Oxford, Gemeentemuseum,Den Haag, Gabinetto Nazio- Nazionale delle Stampe,Rome. nale delle Stampe,Roma. L’ars conrbinatoria Ars Combinatoria Au debut du film, une citation de Leibniz est comparte a une autre de Mondrian, et The film begins by comparing a quotation by Leibniz with one by Mondrian, both chacuned’elles est illustr&e avecplusieurs peintures de Mondrian. illustrated by severalof Mondrian’s paintings. Le mathematicien R. Magari, de 1’UniversitCde Sienne,parle de la methodede Leibniz et The mathematician,R. Magari, of SienaUniversity, talks about Leibniz’s method and the de l’tmergence de l’ars combinatoria. Quelques exemplesanterieurs sont rapport&s: emergenceof Ars Combinatoria. Some earlier examples:Giordano Bruno, Lull0 and Giordano Bruno, Lull0 et la poesiecombinatoire. Le peintre Luigi Veronesi,a son studio combinatorial poetry. The painter, Luigi Veronesi,in his Milan studio demonstratesthe de Milan, fait une demonstration de la methode qu’il utilise pour rialiser sestableaux, method involving variations that he employs in making his paintings. The use of laquelle implique des variations. L’usage de formes geometriqueselementaires comme elementarygeometric shapesas a basefor construction. based’une construction. Le peintre et sculpteur suisseMax Bill utilise aussiune methodeoriginale pour combiner The Swisspainter and sculptor, Max Bill, also has his own method of combining colours les couleurs et les formes. Des formes geomttriques desoeuvres de Max Bill, le film passe and shapes.From the geometrical shapesof Max Bill to the mathematician, D. Singmas- a l’exposi du mathematicienD. Singmastersur les possiblitesinfinies du cube de Rubik. ter, who talks about the infinite possibilities of Rubik’s Cube. The possibility of studying La possibilite d’etudier lesproprietes du cubea l’aide d’un ordinateur. Le mathematicien the properties of the cube with a computer. The mathematician, Magari, shows how Magari montre commentle r&e de Leibniz d’une logique combinatoire, bien qu’irrtalisa- Leibniz’s dream of a combinatorial logic, while being unachievable, has given rise to ble, a don& naissancea la logique mathematique modeme. modem mathematical logic. D’autres exemples de l’ars combinatoria tires des oeuvresde quelquesartistes contem- Further examplesof Ars Combinatoria from the works of some contemporary artists. porains. (Couleur, 27 min, son optique, 16 mm). Le film fut tourne a l’universite de Sienne,au (Colour, 27 min, optical sound, 16 mm). The movie was filmed at: University of Siena, Gemeentemuseum,La Haye, au studio de L. Veronesi, Milan, au studio de M. Bill, Gemeentemuseum,Den Haag, Veronesi’sStudio, Milano, Bill’s Studio, Zurich, Palazzo Zurich, au Palazzodei Diamanti, Ferrare, au Polytechnicof the South Bank, Londres, et a dei Diamanti, Ferrara, Polytechnic of the South Bank, London, Galerie Denis Rene, la Galerie Denis Rene, Paris. Paris. Les noeuds Knots Le professeur Bustrik, devenumagicien, raconte une histoire sur un maharajah et sestrois The magician, ProfessorBustrik, tells a story about a Maharajah and his three dogs. The chiens, et la termine avec un tour de magie sur des noeuds. En fait, plusieurs tours de story endswith a trick involving knots. Throughout the film there are severalother tricks magiesur des noeudssont present& au tours du film. Quelques-unsdes marins du voilier involving knots. Some of the crew on board the sailing ship “Amerigo Vespucci” Le mathematicien L. Neuwirth explique la difference entre un noeud ordinaire et un The mathematician, L. Neuwirth, explainsthe differencebetween an ordinary knot and a noeud mathematique. Quelquesexemples de noeudsmathematiques sent illustr& gracea mathematical knot. Someexamples of mathematical knots are illustrated with computer un dessinanime produit par ordinateur par T. Banchoff et D. Salesin. animation by T. Banchoff and D. Salesin. Les noeuds dans la tradition populaire japonaise; divers types de noeuds traditionnels Knots in popular Japanesetradition; various types of traditional knots from Tokyo and originaires de Tokyo et de Kyoto. L’importance desnoeuds dans la feligion japonaise: le Kyoto. The importance of knots in Japanesereligion: the Zen knot. The significancein noeud zen. L’importance du complementd’un noeuden mathtmatiques. Les noeudsen mathematicsof the complement of a knot. Knots in four dimensions. StructuralTopology#lQ 1984 39 quatre dimensions, Quelquesexemples de fils tressestires de la tradition japonaise. Des spheres,appelees Some examplesof plaited threads in Japanesetradition. Spheres,known as Temari, Temari, structureesselon des formes polyedriques et fabriqutes par Madame Urata. Le basedon polyhedric forms, madeby Mrs. Urata. The painter, Richard Antohi, showshis peintre Richard Antohi fait une demonstration de sa maniere de c&r des noeuds. Les way of creating knots. The rings of the Borromeo Family are illustrated mathematically anneaux de la famille Borromeo font l’objet d’une illustration mathtmatique par by Neuwirth. Neuwirth. Suit un exposesur l’ile 4sola Bellan et l’histoire destrois anneauxqui apparaissentsur les The island ‘Isola Bella” and the story of the three rings on the coat of urns of the armoiries de la famille Borromeo. Borromeo Family are discussed. Le film se termine avec une touche de magie. The film ends with a touch of magic.. (Couleur, 27 min, son optique, 16mm). Le film fut toume a Marino, a bord de 1’uAmerigo (Colour, 27 min, optical sound, 16 mm). The movie was filmed at: Marino, on board Vespucciu,La Spezia,au Monte dei Paschidi Siena,Sienne, a la Contrada ( Le titre du film fut produit a l’aide d’un traceur de Beck et de Jung. The title of the film was createdby meansof Beck and Jung’s graphic plotter. Des exemplesde geometries sont present&s,allant de la perspective(illustree avec les Some examplesof geometries,starting from perspective(illustrated with paintings by peintures de Piero della Francescaet de Paolo Uccello) a la tqG&om&riewde Descartes. Pier0 della Francescaand Paolo Uccello) to the “Geometry” of Cartcsius. Le biophysicien R. Pierantoni discute du fonctionnement du sensde la vue, et passeen The biophysicist, R. Pierantoni, talks about how one’ssense of vision works, including the revue diff’rentes theories sur ce sens. Le theme des premi&es gkometriesmagiques est history of various theories of vision. The first magical geometries. aborde. L’architecte Sugiura parle du Mandala tibetain et du Mandala du templeToji de Kyoto, et The architect, Sugiura, talks about the Tibetan Mandala and about the Mandala in the explique leur structure et leur importance. Alberti et Lionard de Vinci: ((La demiere Toji temple of Kyoto: their structure and significance. Alberti and’leonardo da Vinci: s&en montree telle qu’elle est aujourd’hui, et reconstitueedans son espacevirtue1 par “The Last Supper” shown as it is today and reconstructed with virtual space by an l’ingtnieur en klectronique Attanasio grace a un &an graphique Computer Vision. electronic engineer,Attanasio, using a Computer Vision graphic screen. Other examples Autres exemplesde gCom&riesdans les structures rCgulitres: K. Miyazaki a 1’UniversitC of geometriesin regular structures: K. Miyazaki at Kobe University. The possibility of de Kobe. La possibilite de construire un monde geometriquefait de papier: l’origami de constructing a geometric world made of paper: the Origami of Terada, an engineer. l’ingenieur Terada. Finalement, Pierantoni nous montre differentes possiblites de l’espacecomme nous le Finally, Pierantoni showsus various possibilities of spaceas we seeit “from the Inside”. voyons ( (Couleur, 27 min, son optique, 16mm). Le film fut toumC au Laboratorio di Biofisicia, (Colour, 27 min, optical sound, 16 mm). The movie was filmed at: Laboratorio di Camogli, au studio de Sugiura, Tokyo, au Cenacolo delle Grazie, Milan, au Computer Biofisicia, Camogli, Sugiura’sStudio, Tokyo, Cenacolodelle Grazie, Milano, Computer Vision, Milan, au temple Toji, Kyoto, a l’universite de Kobe, au sanctuaire Kitano, Vision, Milano, Toji Temple, Kyoto, Kobe University, Kitano Shrine, Kyoto, Jaipur Kyoto, a l’observatoire de Jaipur, Jaipur, et a l’observatoire de New Delhi, New Delhi. Observatory, Jaipur, New Delhi Observatory, New Delhi. 40 Topologie stmcturale MO, 1984 Adresse de l’auteur: Address of the author: Michele Ernmer Michele Emmer Dipartimento di Matematica Dipartimento di Matematica Universitsl di Roma (La Sapienzav Universita di Roma “La Sapienza” Roma, Italia Roma, Italia Rbfhences aux publications de M. Emmer References to Publications by M. Emmer [l] “Art and Mathematics: a Series of Films”, Topologie [5] “Visual Art and Mathematics: Comments on the [9] “11 mondo della matematica: un’idea per il cinema”, Stmcturale, n. 7 (1982), p. 69-72. Meaning of Order”, Leonardo,vol. 15 (1982), p. 65-66. to appear in the Boll. Ass. Ital. Cinemat. Scient. [2] “Visual Art and Mathematics: the Moebius Band”, [6] “Art and Mathematics”, Sugaku Seminar, Nov. 1981, [IO] “An Interdisciplinary Idea: the Movies of the Series Leonardo, vol. 13 (1980), p. 108-l 11. p. 2-19. Art and Mathematics”, to appear in the Proceedings of the Congress “Math and Movies”, Torino (1984). [3] ‘Comments on the Note by Jean C. Rush on the [7] “Visual Art and Mathematics: the Platonic Solids”, appeal of M.C. Escher’s Picture”, Leonardo, vol. 13 to appear in Leonardo. [I l] “Animation: an Idea for Mathematical Movies”, to (1980), p. 209-210. appear in the Proceedings of the Congress “Math and [8] “Some Remarks on the Relationship between Art Movies*, Torino (1984). [4] “Alcune osservazioni su Arte e Matematica”, Qua- and Mathematics”, to appear in the Proceedings of the demo, n. 8, Museo Laboratorio, Casabianca, Malo ( 1981). Int. Workshop on Art and Science, Edinburgh (1981). La rigidit des rkeaux spatiaux cornposh par Alain Dandurand* Topologie structurale MO, 1984 Structural Topology MO, 1984 The Rigidity of CompoundSpatial Grids Introduction Introduction Ce document se divise en deux parties; premierement,la dependancelin6aire desdroites, This article is in two sections: fast, on linear dependenceof lines, and second, on the et deuxiemement,la rigidit des r&seauxspatiaux. 11tente de definir une methodologie rigidity of spatial frameworks. Our purpose is to define a methodology which will permit permettant de faire l’investigation d’un r&au spatial afin d’en determiner la rigidite ou la us to investigate a spatial framework, to determine its rigidity or non-rigidity. The non rigidite. Le r6seau&ant constitue de liens (droites) et de noeuds(rotules) dont la frameworks in question consist of bars (line segments)joining two rigid bodies, the bars configuration relie deux elementsrigides. Autrement dit, le r6seauforme une attache being attached to the bodies at universal joints. In other words, the framework forms a entre lesdeux Clementset il s’agit de determiner si cetteattache est rigide ou si elle n’est pas link betweentwo rigid bodies,and it is a question of determining if this linkage is rigid, or rigide (mouvementmecanique ou infinit&simal). elseis non rigid and permits either a mechanicalor infinitesimal relative motion ofthe two bodies. La dbpendancelinbaire des droites Linear Dependenceof Lines Deux droites dans l’espacesont, soit concourantes,soit gauches. Si les deux droites ab et Two lines in spaceare either concurrent or skew. If the two lines ab and bc are coIIcucIQllf, bc sont concourantes,les droites du faisceau de centre b sont dites lin6airement dtpen- the lines in the flat pencil with centre b are said to be linearly dependenton ab and bc. If dantesde ab et bc. Si les deux droites sont gauches,les seulesdroites dependantessont les the two lines are skew, the only dependentlines are the two lines themselves. deux droites elles-m&es. Trois droites gauchesdans l’espaceddfmissent un hyperboloide B une nappe ou une Three skew lines in spaceddlne a hyperboloid of one sheetor a hyperbolic paraboloid paraboloiidehyperboliqut (Figure 1). Toutes les g&ratrices de la m&e famille sur cette (Figwe 1). All the lines in one family of generatorsof this surface,which family is called a surface, appck le &gohuc,sont lin&irement d&pen&n&s aux trois droites don&s. M, are linearly dependenton any given set of three of those lines. 42 Topologie stmcturale #IO, 1984 Generalement, une configuration de n droites, aucune d’elles n’etant dependantes des n - 1 More generally, a configuration of n lines, no one of which is dependend on the other n - 1 autres, sont dites lineairement independantes. lines, is said to be linearly independent. gtant don& un ensemble B de droites et son sous-ensemble A, nous pouvons dire que le Given a set B of lines and a subset A of B, we say that the subset A spans the set B if all the sous-ensemble A engendre l’ensemble B si toutes les droites de B sont liniairement lines in B are linearly dependent upon the configuration formed by the lines in A. The rank dtpendantes a la configuration fox&e par les droites de A. Le rang de l’ensemble B est le of the set B is the minimum number of lines which span the set B. The empty set has rank nombre minimum de droites pouvant engendrer l’ensemble B. L’ensemble vide est de 0. The set of all lines in space has rank 6. Thus any set of lines has as its value R of rank, rang 0. L’ensemble de toutes les droites de l’espace est de rang 6. Ainsi tous les ensembles some number between 0 and 6. de droites possedent une valeur de rang de numero R entre 0 et 6. On appelle vatit& un ensemble de droites qui contient: A variety is a set of lines which contains: a) avec les deux droites concourantes, aussi les droites du faisceau gtnere; a) along with any two concurrent lines, also the lines of the flat pencil they generate; b) avec les trois droites gauches, aussi les droites du regulus g&M. b) along with any three skew lines, also the lines of the regulus they generate. Ceci &ant, un ensemble de droites est une variete si aucune droite exterieure a l’ensemble This being the case, a set of lines is a variety if no line outside the set is dependent upon the n’est dependante des droites de l’ensemble. lines in the set. Nous avons deja mentionne les deux varietes de droites de rang 2 et une des varietes de We have already mentioned the two varieties of rank 2, and one of the varieties of rank 3. rang 3. Au total, il existe quatre varietes de rang 3: In all, there are four different types of varieties of rank 3: 3a) le regulus, 3a) the regulus, 3b) l’union de deux faisceaux non coplanaires et de centres differents mais ayant une 3b) the union of two flat pencils, not coplanar, with different centres, having a line in droite commune, common, 3c) toutes les droites passant par un point, 3c) all the lines passing through a point, 3d) toutes les droites dans un plan. 3d) all the lines lying in a plane. Les varietes de rang 4 sont appelees congruences. 11en existe quatre: The varieties of rank 4 are called congruences. There are four types: 4a) la diffusion lindaire, la variCt6 de droites contenant exactement une droite par chaque 4a) a linear spread, having exactly one line passing through each point in space (generated point de l’espace (engendree par un ensemble de quatre droites gauches et independantes), by four independent skew lines), 4b) toutes les droites concourantes a deux droites gauches, 4b) all the lines concurrent with two skew lines, 4c) l’ensemble des faisceaux a un parametre, tous ayant une droite commune et formant 4c) a one-parameter family of flat pencils, having one line in common, and forming a une variete, variety, 4d) toutes les droites dans un plan ou passant par un point de ce plan. 4d) all the lines in a plane, or passing through one point in that plane. Les varietes de rang 5 sont appelees complexes. 11en existe deux: Varieties of rank 5 are called complexes. There are two types: 5a) non singuliere: la variete de droites contenant exactement un faisceau de droites par 5a) non singular: a variety of lines containing exactly one flat pencil through each point in chaque point de l’espace (engendree par un ensemble de cinq droites gauches et space (generated by five independent skew lines), indipendan tes), 5b) singular: all the lines meeting one given line. 5b) singuliire: toutes les droites concourantes a une droite donnee. Ces varietes sont illustrees dans le Tableau 1. Le Tableau 2 d&it le cheminement creCpar These varieties are illustrated in Table 1. Table 2 describes the consequence of adding lines l’addition d’une droite independante a la configuration minimum. Par exemple, il y a trois one by one starting with a single line. For example, there are three distinct ways of adding facons distinctes d’ajouter une quatrieme droite indtpendante a un regulus forme de trois a fourth independent line to a set of three skew lines generating a regulus. In the first case, droites indkpendantes. Dans la premiere, la droite ne penetre pas le regulus. Dans la the added line does not meet the regulus. In the second, it penetrates the regulus, meeting seconde, la droite penetre le regulus et le perce en deux points. Et dans la troisieme, la it in two points. In the third, the line is tangent to the regulus at one point. The properties droite est tangente en un point du rtgulus. Les proprietts de generation de la nouvelle of the resulting configuration generated by the addition of one line depend on the choice configuration dependent de la facon dont la droite independante est ajoutee. Ainsi of the added line. Each of the above ways of adding a line results in a different chacune de ces additions mene a une variete differente de rang 4. Le Tableau 3 illustre des configuration of rank 4. Table 3 shows combinatorially distinct figures of lines which are configurations posstdant les mt?mesproprietts de generation que certaines des configura- equivalent to the generating systems shown in Table 1. tions du Tableau 1 mais possedant des proprittts combinatoires differentes. Structural Topology #IO, 1984 43 A 1 1 I 2 A[,] B[m] B C 2 1 D 3 1 I 2 : / / 3 3 3 A[5q Eel \ El --. 2 --_ C D 4 ,~-j -_ ~‘--, 3 1 k 7 \a l \ / *. =. I 2 1 l . 4 A[zJ - . --_._ -. _-_- El La A B 3 ‘4 1 2\ 3 4’ < .@ T --- \(\ S /\ .‘< =, [/‘I 0 \2\ R-1 5 A 6 Tableau 1 - Table 1 44 Topologie stmcturale #20, 2984 1 2 Cf D’ 3 ,*, 92 1 I\@, 2 3 1 t zl I 1 1 5 6 TaMeau2-Tdle2 Structural Topology #IO, 1984 45 0 00 m8 00 0 0 00 0000 oeoo 00 0 0 00 0000 0080 O”OO 40 0 00 0000 oooe 00 0 0 5A 00 0000 0000 @O 0 0 58 00 0000 0000 00 0 Tableau 3 - Table3 46 Topologiestrwcturale #IO, 1984 Les constructions suivantesdeterminent les mtthodes pour trouver a partir d’une confi- The following constructions determine the methods by which, starting with a configura- guration de droites independantesune droite dependantea la configuration. tion of independentlines, a line dependenton the configuration can be found. Find the line through the point p which meetslines 1 and 2. Construction 1 (Figure 2). Trouver la droite concouranteaux droites I et 2 par le point p. Construction 1 (Figure 2). 1. Le point p et la droite 1 forment le plan opq. 1. The point p and the line 1 form a plane opq. 2. Le point p et la droite 2 forment le plan rst. 2. The point p and the line 2 form a plane rst. 3. La droite cherchkeest la droite d’intersection des plans opq et rst: xy. 3. The required line is the line of intersection of the planes opq and rst, that is: xy. Find a line in the regulus generatedby lines l-2-3. Construction 3Al (Figure 3). Trouver une droite dkpendanteau rkgulus l-2-3. Construction 3Al (Figure 3). 1. Trouver trois droites quelconquesconcourantes a 1,2 et 3: ab, cd et ef. 1. Find three arbitrary lines meeting lines 1,2 and 3, say ab, cd and ef. 2. La droite cherchkedoit etre concourante a ab, cd et ef: xy. 2. The required line will be concurrent with ab, cd and ef, say xy. Figure 3. Construction 3Al Figure 2. Construction 1 Structural Topology #IO, 1984 47 Construction 4Al (Figure 4). Trouver la droite dependantea la congruence l-2-3-4 (de Construction 4Al (Figure 4). Find the line through a point p, in the congruence gener- type 4A) par le point p. ated by lines 1,2, 3,4 (of type 4A). 1. Par p trouver une droite concourante aux droites 1 et 2: ab (en se servant de 1). 1. Through p, find a line concurrent with lines 1 and 2, say ab (using construction 1). 2. Les droites 2 et ab forment le plan opq. 2. The lines 2 and ab form a plane opq. 3. Les droites 3 et 4 percent opq en c et d. 3. The lines 3 and 4 pierce opq at points c and d. 4. La droite cd coupe ab en i. 4. The line cd intersectsline ab at point i. 5. Trouver deux droites concourantesaux droites 2, 3 et 4: ef et gh (en servant de 1). 5. Find two lines ef and gh which meet lines 2, 3 and 4 (using construction 1). 6. Trouver par i la droite concourantea ef et gh: ij (en se servant de 1). 6. Through point i, find the line ij meeting lines ef and gh (using construction 1). 7. Trouver deux droites concourantes8 1,2 et ij: kl et mn (en se servant de 1). 7. Find two lines kl and mn meeting lines 1,2 and ij (using construction I). 8. La droite chercheeest la droite passantpar p et concourantesaux droites kl et mn: xy. 8. The required line is the line xy through p meeting lines kl and mn. Construction 4A2 (Figure 5). Trouver la droite dependantea la congruencel-2-3-4 (de Construction 4A2 (Figure 5). Find a line in the plane opq which is in the congruenceof type 4A) dans le plan opq. type 4A generatedby lines 1,2, 3,4. 1. Les droites 1 et 2 percent opq en a et b. 1. The lines 1 and 2 pierce opq at points a and b. 2. Par un point quelconque C de la droite ab trouver une droite dependante a la 2. Through an arbitrary point c on the line ab find a dependentline in the congruence 1,2, congruencel-2-3-4: cd (en se servant de 4Al). 3, 4 say cd (using construction 4Al). 3. Trouver deux droites concourantesa cd, 1 et 2: ef et gh (en se servant de 1). 3. Find two lines ef and gh meeting cd, 1, and 2 (using construction 1). 4. Les droites ef et gh percent opq en x et y. 4. The lines ef and gh pierce the plane opq at x and y. 5. La droite chercheeest la droite passantpar x et y: xy. 5. The required line is the line xy through the points x and y. Fqure 4. Construction 4A 1 / Fin 5. Construction 4A2 48 Topologiestructurale #IO, 1984 Construction 4Bl (Figure 6). La droite 4 perce le regulus l-2-3 en a et c. Construction4Bl (Figure 6). The line 4 piercesthe regulus 1,2,3 at a and c. 1. Par les points a et c passentles droites ab et cd appartenant au rbgulus l-2-3. 1. Through the points a and c there passlines ab and cd belonging to the regulus 1,2,3. 2. Par les points a et c passentles droites ab’ et cd’ appartenant au regulus conjuguede. 2. Through the points a and c there pass lines ab’ and cd’ belonging to the regulus l-2-3. conjugate to 1, 2, 3. 3. Par le point a il existe un faisceaude droites dependantesa ab et ac qui relie tous les 3. Through the point a there is a flat pencil of lines dependentupon ab and ac which join points de cd ’ a a. the points on line cd’ to a. 4. Par le point c il existe un faisceaude droites dependantesB cd et ac qui relie tous les 4. Through the point c there is a flat pencil of lines dependentupon cd and ac which join points de ab’ g c. the points on line ab’ to c. 5. Ainsi toutes les droites concourantesa ab’ et cd’ sont dependantesa la congruence 5. Thus all the lines meetinglines ab’ and cd’ are in the congruence(of type 4B) generated l-2-3-4 (de type 4B). by lines 1, 2, 3,4. Construction4B2 (Figure 7). Trouver la droite dependantea la congruencel-2-3-4 par le Construction 4B2 (Figure 7). Find the line through a point p, in the congruencegener- point p. La droite chercheeest la droite passantpar p et concourantea ab et cd: xy (en se ated by lines 1,2,3,4. The required line is the line xy through the point p, meeting lines ab servant de 1). and cd (obtained by construction 1). Construction 4B3 (Figure 8). Trouver la droite dependantea la congruencel-2-3-4 dans Construction4B3 (Figure 8). Find the line in the plane opq which is in the congruence le plan opq. Les droites ab et cd percent opq en x et y. La droite chercheeest la droite generatedby lines 1,2,3,4. The lines ab and cd pierce opq at x and y. The required line is passantpar x et y: xy. the line xy through thesepoints x and y. Figure 7. Construction 4B2 Fii 6. Construction 4Bl Structural Topology#I 0, 1984 49 Construction 4Cl (Figure 9). La droite 4 est tangenteau regulus l-2-3 en a. Construction 4Cl (Figure 9). The line 4 is tangent to the regulusgenerated by lines 1,2,3 at a. 1. Par le point a passela droite ab appartenant au regulus 1-2-3. 1. Through the point a there passesa line ab belonging to the regulus 1,2, 3. 2. Par le point a il existe un faisceaude droites dependantesa 4 et ab. 2. Through the point a there is a flat pencil of lines dependentupon lines 4 and ab. 3. La droite ab’ appartenant au regulus conjugue de l-2-3 fait par-tiede ce faisceau. 3. The line ab’ belonging to the regulus conjugate to 1,2, 3 is in that flat pencil. 4. La droite ab’ est concourante a toutes les droites du regulus l-2-3. 4. The line ab’ meetsall the lines in the regulus 1, 2, 3. 5. Ainsi chaque intersection de la droite ab’ et des droites du regulus l-2-3 engendreun 5. Thus whereverthe line ab’ meetsa line of the regulus 1,2,3 it generatesa flat pencil of faisceaude droites dependantesa la congruencel-2-3-4 (de type 4C). lines which belong to the congruence(of type 4C) generatedby lines 1,2, 3,4. Construction 4C2 (Figure 10). Trouver la droite dependantea la congruencel-2-3-4 par Construction 4C2 (Figure 10). Find the line through the point p in the congruence le point p. generatedby lines 1, 2, 3,4. 1. Le point p et la droite 1 forment le plan opq. 1. The point p and the line 1 form a plane opq. 2. Trouver deux droites concourantesaux trois droites 2, 3 et 4: ab et cd (en se servant 2. Find two lines ab and cd which meet lines 2,3, and 4 (using construction 1). de 1). 3. The lines ab and cd pierce the plane opq at e and f. 3. Les droites ab et cd percent le plan opq en e et f. 4. The line ef intersectsthe line 1 at x. 4. La droite ef coupe la droite 1 en x. 5. The required line is the line xy through points p and x (by construction 1). 5. La droite chercheeest la droite passantpar p et x: xy (en se servant de 1). \ Figure 9. Construction442 Figure 10. Construction 4C2 56 Topologiesttucturale #lo, 1984 Construction 4C3 (Figure 11). Trouver la droite dkpendante a la congruence l-2-3-4 Construction 4C3 (Figure 11). Find the line in the plane opq which is in the congruence dans le plan opq. generatedby lines 1, 2, 3,4. 1. La droite 1 perce opq au point x. 1. The line 1 piercesthe plane opq at point x. 2. Tracer deux droites concourantesa 2,3 et 4: ab et cd (en se servant de 1). 2. Trace two lines ab and cd which meet lines 2, 3, and 4 (using construction 1). 3. Par x tracer la droite concourante a ab et cd: ef (en se servant de 1). 3. Find through the point x the line ef meeting lines ab and cd (using construction 1). 4. La droite ef et la droite 1 forment le plan rst. 4. The line ef and the line 1 form a plane rst. 5. La droite cherchCeest l’intersection des plans opq et rst: xy. 5. The rquired line is the intersection xy of the planes opq and rst. Construction 4Dl (Figure 12). Trouver la droite dependantea la congruencel-2-3-4 par Construction 4Dl (Figure 12). Find the line through the point p in the congruence le point p. La droite cherch&eest la droite passantpar p et le point x: xy. generatedby lines 1, 2, 3,4.The required line is the line xy through the points p and x. Constmctiom 4D2 (Figure 13). Trouver la droite dbpendantea la congruence l-2-3-4 Construction 4D2 (Figure 13). Find the line in the plane opq in the congruencegenerated dans le plan opq. La droite cherch6eest la droite d’intersection da plans opq et rst: xy. by line 1,2,3,4. The required line is the line xy, the intersection of the planesopq and rst. Figure 12. Construction 4D 1 -\ s \ 8b \ ===z 3 \ \ \ \ \ ,‘ = = = = =- \ 2 7 \ \ \ \ \ \ = Fii 11. Construction 4C3 Figure 13. Construction 4D2 Stnrctural Topology #IO, 1984 51 Construction 5Al (Figure 14). Trouver le faisceaudidroites dependantesau complexe Construction 5Al (Figure 14). Find the flat pencil of lines with centre p in the complex 1-2-3-4-5dont le centre est p. generatedby lines 1, 2, 3,4, 5. 1. Trouver la droite dependantea la congruence lY2G4par le point p: po (en se servant 1. Find the line po through the point p in the congruencegenerated by lines 1,2,3,4 (using de 4Al). construction 4A 1). 2. Trouver la droite dependantea la congruence2-3-G par le point p: pq (en seservant de 2. Find the line pq through the point p in the congruencegenerated by lines 2, 3,4,5 (using 4A 1). construction 4A 1). 3. Le faisceaucherche est dans le plan opq. 3. The flat pencil required lies in the plane opq. Construction 5A2 (Figure 15). Trouver le centre du Csceaude droites dependantesau Construction 5A2 (Figure 15). Find the centre of the flat pencil of lines in the plane opq complexe l-2-3-4-5 dans le plan opq. in the complex generatedby lines 1,2,3,4, 5. 1. Trouver la droite dipendante a la congruencel-2-3- dans le plan opq: op (en seservant 1. In the plane opq, find the line op in the congruencegenerated by lines 1, 2,3,4 (using de 4A2). construction 4A2). 2. Trouver la droite dependantea la congruence2-3-4 dans le plan opq: pq (en seservant 2. In the plane opq, find the line pq in the congruencegenerated by lines 2, 3,4,5 (using de 4A2). construction 4A2). 3. Le centre chercheest l’intersection des droites op ( pq: p. 3. The required centre is the point p at the intersection of the lines op and pq Construction 5Bl (Figure 16). Trouver le faisceaud droites dependantesau complexe Construction 5Bl (Figure 16). Find the flat pencil of lines having centrep in the complex 1-2-3-4-5dont le centreest p. Le faisceauchercht estdns le plan opq form6 par le centrep generatedby lines 1,2,3,4,5. The flat pencil required is in the plane opq formed by the et la droite ab. centre p and the line ab. Construction 5B2 (Figure 17). Trouver le centre du aisceaude droites dependantesau Construction 5B2 (Figure 17). In the plane opq, find the centre of the flat pencil of lines complexe 1-2-3-4-5dans le plan opq. Le centre cherhe est le point d’intersection de la in the complex generatedby lines 1,2,3,4,5. The required centre is the point at which the droite ab et du plan opq. line ab intersectsthe plane opq. FIgme 14. Construction 5Al F@re 15. Construction 5A2 52 Topologie strwturale #IO, 1984 5 0 0 4 / 0 \ OP 2 \ 0 1 0 i 0: #f6 0 0 0 0 0 / ii4 I I Figure 16. Construction SBl Figure 17. Construction SB2 Construction 6 (Figure 18). Toutes les droites de l’espace sont dbpendantes aux droites 1, Construction 6 (Figure 18). All lines in space are dependent upon the six lines 1,2,3,4,5, 2, 3,4,5 et 6. 6. 6 / 3 \ \ 5 \ /-\ 1 i 4 \ / 2 \ / \\ \ Figure 18. Construction 6 Structural Topology MO, I984 53 La rigidit des rbseaux spatiaux Rigidity of Spatial Structures 11existe trois elements: le point, la droite et le corps. Ces trois elements peuvent se There are three types of elements: points, lines, bodies. These three types of elements can combiner en six associations Mmentaires: le point et le point, le point et la droite, le point be combined in six elementary forms: point and point, point and line, point and body, line et le corps, la droite et la droite, la droite et le corps, le corps et le corps. and line, line and body, body and body. Pour effectuer une association rigide, chaque association Mmentaire necessite un nombre To be rigidly attached, each of these six elementary forms requires a certain minimum minimum de liens independants. Ainsi pour fixer la position d’un point par rapport a un number of independent linkages (bars). To fix the position of a point with respect to autre point, un seul lien est necessaire. Pour fixer la position d’un point par rapport a une another point, a single bar is necessary. To fix the position of a point with respect to a line, droite, deux liens independants sont necessaires. Ainsi de suite jusqu’a la sixiime two independent bars are required. Similarly, for each case, until the last, where to fix the association, le corps et le corps, oh pour fixer la position d’un corps par rapport a un autre position of one body with respect to another, six independent bars are necessary. corps, six liens independants sont nkessaires. Le nombre minimum de liens est une condition necessaire mais non suffisante. Pour fixer To have this minimum number of bars is a necesary but not sufficient condition for a rigid deux elements de facon rigide, il existe deux conditions: premierement, le nombre mini- linkage. To fix two elements in a rigid fashion, there are two conditions required: that the mum R de liens correspondant au type d’association, et deuxiemement, ces liens doivent number of bars correspond to the type of elements joined, and secondly, that these bars former une configuration telle qu’ils sont lineairement independants entre eux. Ceci form a linearly independent configuration. Thus, a pair of elements of rank n joined by n &ant, l’association de deux Mments correspondant au rang n form&e par une configura- bars is not rigid if the configuration of bars has rank less than n, that is, if there exists a tion de n liens n’est pas rigide si la configuration correspond a un rang inf&ieur a n, proper subset of the set of n bars with the same span as the set of all n bars. c’est-adire s’il existe un sous-ensemble de liens pouvant engendrer l’ensemble. L’analyse d’une configuration consiste a faire l’inventaire de tous les sous-ensembles de The analysis of a configuration consists of making an inventory of all the subsets of the set liens, et ce pour chaque rang, puis a verifier, pour chaque sous-ensemble, s’il ne contient of bars, this for each rank, to verify that no set contains a proper subset capable of pas un sous-ensemble pouvant l’engendrer. L’analyse de l’exemple illustrC Ala Figure 19a spanning it. The analysis of the example illustrated by Figure 19a gives the following donne les resultats suivants: results: - Rang 1: les sous-ensembles sont: ab, cd, ef, gh. Aucun ne peut &re reduit. - Rank 1: the subsets are: ab, cd, ef, gh. None can be reduced. -Rang 2: les sous-ensembles sont: ab-cd, ab-ef, abgh, cd-ef, cd@, ef-gh. Aucun ne peut - Rank 2: the subsets are: abed, ab-ef, ab-gh, cd-ef, cd-gh, ef-gh. None can be reduced. etre r&iuit. - Rang 3: les sous-ensembles sont: ab-cd-ef, ab-cd-gh, ab-ef-gh, cd-ef-gh. Le sous- - Rank3: the subsets are: ab-cd-ef, ab-cd-gh, ab-ef-gh, cd-ef-gh. The subset ah-cd-ef can ensemble abcd-ef peut etre reduit a ab-ef puisque la droite cd est dependante au faisceau be reduced to ab-ef because the line cd is in the flat pencil generated by lines ab and ef g&M par ab et ef (Figure Mb). De ce fait la configuration des liens est equivalente a celle (Figure 19b). From this fact, the configuration of bars is equivalent to the one illustrated illustr6e a la Figure 19~.Cette configuration correspond a la variite 3B, done l’association by Figure 19~. This configuration corresponds to the variety 3B, so the linkage is non est non rigide. rigid. Figure 1% Fire I!% Figure l!k 54 Topologie stnrcturale#IO, 1984 En rang 1 et rang 2 une seuleverification est necessaire;il s’agit de compter le nombre de In ranks 1 and 2 a single verification is necessary;it is a question merely of counting the liens. Dans le cas de l’exemple precedent,puisque l’association droite et droite corres- number of bars. In the caseof the previous example,because the linkage of two lines is of pond au rang 4, la verification consiste a determiner s’il y a quatre liens. En rang 3 rank 4, it sufficesto verify that there are four bars. From rang 3 up to rank 6, the number jusqu’en rang 6, le nombre de verifications a effectuer est determine par l’equation: of casesto check is controlled by the equation: m(m - 1) .. . (m - n + 1) m(m - 1) . . . (m - n + 1) CT = c; = n! n! ob n = le nombre de liens dans le sous-ensemble where n = the number of bars in the subset m = le nombre de liens dans l’ensemble m = the number of bars in the entire set Deux autres exemplesde non rigidite sont don& pour la liaison de deux corps par les six Two other examplesof non-rigidity are given for the linkage of two bodies by bars ab, cd, droites ab, cd, ef, gh, ij et kl. Dans le premier cas (Figure 20a), il existe une dependance ef, gh, ij and kl. In the first case(Figure 2Oa),because the line ab is concurrent with the lineaire chez les six droites puisque la droite ab est concourante aux cinq au&es droites, other five lines, there is a linear dependenceamong the six lines, which produces a conferant ainsi a la configurtaion de six droites un rang inferieur a 6 (rang SB). Dans le configuration (5B) of rank lessthan 6. In the secondcase (Figure 2Ob),the four lines ab, deuxi&me cas (Figure 2Ob),les quatre droites ab, cd, ef et gh font partie du memeregulus cd, ef, gh are part of a single regulus (of rank 3), so the configuration (5A) has rank less (configuration de rang 3), conferant ainsi a la configuration de six droites un rang than 6. infkieur a 6 (rang SA). Structural Topology #IO, 1984 55 11est ‘evident qu’il n’est pas toujours n&essaire de verifier s’il existe une dependance It is clear that it is not always necessaryto check every subsetfor the existenceof a linear 1inCaireil l’interieur de chacun des sous-ensembles.Certains indices &v&lent a premiere dependence.Certains clues reveal a linear dependenceat first glance. vue la presenced’une dependance1inCaire. Le Tableau4 illustre chacunedes associations Clementaires ainsi que quelquescas types de Table 4 shows the six elementary linkages, together with several typical cases of non rigidit&. non-rigidity. Adressede l’auteur: Address of the author: Alain Dandurand Alain Dandurand Groupe de rechercheTopologie structurale Groupe de rechercheTopologie structurale FacultCd’Amenagement FacultCd’Amenagement Universitt de Montreal UniversitCde Montreal C.P. 6128, Succursale“A” C.P. 6128, Succursale@An Montreal, Quebec,H3C 357 Montreal, Quebec,H3C 357 Canada Canada Bibliographic Bibliography BARACS, Janos.Rigidity of Articulated SpatialPanel Structures.Bulletin of the Interna- tional Association for Sheetand Spatial Structures, no 59. CRAPO, Henry. A Combinatorial Perspective on Algebraic Geometry. Proceedings, Convegno in Geometria Combinatoria, Accademia dei Lincei, Roma, 1973. CRAPO, Henry & Alan CHEUNG. A Combinatoria/Perspective on Ak’gebraicGeometry. Advances in Mathematics, 20,1976,388-414. VEBLEN & YOUNG. Projective Geometry,vol. 1. Blaisdell Publishing.Company. * Cet article a et& realis&dans le cadre de l’unite de rechercheTopologie structurale de * This article hasbeen produced within the Structural Topology researchunit of the Ecole l’kcole d’architecture de l’universiti de Montreal, sous la direction de 3anos J. Baracs. d’archictecture of the UniversitCde Montreal, under the direction of Janos J. Baracs. 56 Topohge structurale #IO. 1984 ELEMENTS LIENS C k= m (m-1) . . . (m-n+1 CAS TYPES NON RIGIDES “! POINT rang l:C=l 0 0 POINT 0 POINT 1 2 DROITE P Ct=’ fang 1: POINT rang 2: c =’ rang 3: CS=l CORPS C t =2 DROITE rang 1: fqj 2: c =’ rang 3: CS=4 rang 4: Ct=l DROITE C t =6 rang 1: DROITE rang 2: C =I rang 3: Ca=m rang 4: C%=s rang 5: C&=1 CORPS C t =I7 CORPS rang 1: rang 2:C =l rang 3: CJ=m rang 4: Cs=15 rang 5: Ci= 6 rang 6: C8= 1 CORPS C t=43 Tabkru4 -T&k4 La rigidit ghdrique des graphes biparti-complets dans Rd par Jean-Luc Raymond R&urn6 Topologie structurale MO, 1984 Abstract Structural Topology #lo, 1984 Dans un article deja comment6 dans Topologie structurale, E.D. Bolker et B. Roth Generic Rigidity of Complete Bipartite Graphs in Rd ((Bolker 1980), (Whiteley 1979)) amorcaient une classification generique des graphes biparti-complets dans R* et dans R3. Leur raisonnement Ctait base sur le In an article reviewed earlier in Structural Topology, E.D. Bolker and B. Roth calcul de la dimension de l’espace des autocontraintes (stress) pour une realisation ((Bolker 1980), (Whiteley 1979)) put together a generic classification of complete d’un graphe biparti-complet dans un espace don&. La classification qu’ils etablis- bipartite graphs in R* and R3. Their reasoning was based on calculating the saient se limitait a R* et a R3. Le texte qui suit se veut une gtneralisation de leurs dimension of the space of stressesfor a realization of a complete bipartite graph in a resultats A des espacesde dimension superieure. Nous pourrons etablir la classifica- given space. The classification which they established applies only to R* and R3. tion generique des structures construites sur des graphes biparti-complets en regard The text which follows is a generalization of their results to spaces of higher de leur comportement rigide dans un espace ambiant fix6 de dimension superieure dimension. We can establish the generic classification of structures built over ou &gale a 2. complete bipartite graphs with regard to their rigid behavior in a fixed ambient space of dimension greater than or equal to 2. L’etude de la rigiditt des graphes biparticomplets a deja Cte realisee dans un texte de The study of rigidity of complete bipartite graphs was initiated by E.D. Bolker and E.D. Bolker et B. Roth, (When is a bipartite graph a rigid framework?,, (Bolker 1980). B. Roth When is a bipartite graph a rigid framework?” (Bolker 1980). We rely here on Nous nous appuierons, ici, sur la plupart de leurs resultats et nous reprendrons l’idk most of their results and we take up again the main idea of their proofs to extend to higher maitresse de leur cheminement pour etendre a des dimensions suptrieures ce qu’ils dimensions what they showed for complete bipartite graphs in the plane or in space. We demontraient pour des graphes biparti-complets realis& dans le plan ou dans l’espace. obtain in this way a generic classification revealing the rigidity of any structure construc- Nous obtiendrons a ce titre une classification generique concernant la rigidit de toute ted over a complete bipartite graph in Rd. structure construite sur un graphe biparti-complet dans Rd. Ces travaux ont et6 realises dans le cadre d’une etude menant a la redaction d’un memoire This work was prepared in the context of a study leading to the preparation of a master’s de maitrise au departement de mathematiques de 1’UniversitC du Quebec a Montreal thesis in the Department of Mathematics of the UniversitC du Quebec A Montreal (Raymond 1982). D’ailleurs, je tiens a remercier monsieur Maurice Garancon, mon (Raymond 1982). Moreover, we wish to thank Prof. Maurice Garancon, my research directeur de recherches, pour ses nombreuses et precieuses suggestions. director, for his many helpful suggestions. 58 Topdogie structutale #IO, 1984 Introduction Iutroduction Un graph bipartkomplet K, n est une structure abstraite comportant m + n sommets A complete bipartite graph Km n is an abstract structure with m + n vertices(x,, x,, . . .. x r?’ (x,9xz, l **9x,9 Yp Yp l **9 y,) et l’ensembledes a&es (xi, Xj) pour 15 i 5 m et 15 j 5 n. Une Y,, Yp l **9 y”, and the setof edges(Xi, Xj)for 15 i s m and 1 On notera cette realisation du graphe Km, par K(A, B). We denote this realization of the graph Km9 n by K(A, B). Pour determiner la classification gentrique du comportement d’une structure Km n dans To determine the generic classification of the behavior of a structure Km n in Rd with Rd par rapport a la rigidid, il stit de connaitre le comportementde la structure r&alis& respectto rigidity, it suffices to know the behavior of the structure realizedat a regular en un point regulier de sa fonction d’ar&es, f. Pour ce faire, nous allons calculer, pour point of its edgefunction f. To do this we are going to calculate, for this realization, the cette realisation, le nombre de de@ de IibertO Interne de la structure, c’est-&dire la number of internal degrees of freedom of the structure, that is, the differencebetween the difference entre les dimensionsde l’espacedes mouvements infinitesimaux, Ker df(A, B), dimension of the spaceof infinitesimal motions, Ker df(A, B), and of the tangent spaceto et l’espace tangent B la vari&C des points de R(m+np congruents a (A, B) au point the variety of points of R(m+n)d congruent to (A, B) at the point (A, B), T(A, B). We can (A, B), T(A, B). On peut montrer que dim T(A, B) s d(d + 1)/2 et que l’egalite est vHi& show that dim T(A, B) 5 d(d + 1)/2 and that the equality is verified when the vertices span quand les sommetsengendrent au moins un hyperplan de l’espaceRd. On se servira, at least a hyperplane in the spaceR d. Furthermore, we make use of the following fact: d’autre part, du fait suivant: dim (Ker df(A, B)) = dim a(A, B) + (m + n)d - mn (1) dim (Ker df(A, B)) = dim f&A, B) + (m + n)d - mn (1) where O(A, B) is the vector spaceof stresses(self-stresses) on the realization of K(A, B). oti WA, B) est l’espacevectoriel desautocontraintes (stress)sur la rkalisation K(A, B). Sur For all of these ideas the reader can consult (Balker 1980),(Raymond 1982)or (Roth l’ensemblede cesnotions on pourra consulter (Balker 1980),(Raymond 1982)ou (Roth 1981). 1981). Le r&s&at principal de Bolker et Roth (Bolker 1980)est dans Naboration d’une mCthode The main result of Bolker and Roth (Bolker 1980)is in the developmentof a method of de calcul de la dimension de ce demier espace,fZ(A, B). 11s%nonce ainsi, si on note X calculating the dimension of this latter space,n(A, B). One finds that, if one denotes by X 1’enveIoppeaffme de X, soit K(A, B) une rtalisation dans Rd du graphe biparti-complet the affine hull of X, and we let K(A, B) be a realization in Rd of the completebipartite Kmp et soient C = (A n B) u (A n B), k = ICI, h = dim c et Q(C), l’espacedes surfaces graph Km n andletC=(AnB)u(AnB),k=IC(,h=dimCandQ(C),thespaceof quadratiques dans c contenant’ les sommets de C, alors si D(X) est l’ensemble des quadratic surfaces in c containing the verticesof C, then if D(X) is the set of the affrne dbpendancestines de X on a dependenciesof X one has dim WA, B) = dim D(A) dim D(B) + dim Q(C) + k - (l/2)@ + l)(h + 2) (2) dim n(A, B) = dim D(A) dim D(B) + dim Q(C) + k - (1/2)(h + l)(h + 2) (2) Qn remarquera que si X e Rfd on a la relation dim D(X) + dim X = I - 1. We notice that if X c Rid then we have the relation dim D(X) + dim X = L - 1. En ce qui concemeQ(C), on peut montrer le fait suivant: Concerning Q(C) we can show the following fact: dim Q(C) L max (0, (l/2@ + l)(h + 2) - k) dim Q(C) 2 max (0, (l/2)@ + l)(h + 2) - k) De plus, l’ensembledes points C = (c,, c2,. . . . ck) c Rkdpour lesquelsl%galitt est v&ifi& est Moreover, the set of points C = (cl, c2,. .. . ck) ERkd for which the equality is satisfied is an un ouvert densede Rkd. open set densein Rkd. Classification ghhique Generic Classification On peut, dans un premier temps, classifier tous les graphesbiparti Dans ce contexte, on trouve dans l’article de Bolker et Roth, des resultats concernant la In this context, we find in the article by Bolker and Roth, some results concerning the classification gCnCriquedans R2 et dans R3 des graphes biparti-complets comportant generic classification in R2 and R3of complete bipartite graphs having “enough” edges ((assez))d’aretes en fonction de la dimension de l’espacedans lequel ils sent rCalisCs.En with respectto the dimension of the spacein which they are realized. Actually in R2as in effet, dans R2 comme dans R3, il suffit que mn 2 (m + n)d - (1/2)d(d + 1) pour que le R3,it sufficesthat mn r (m + n)d - (1/2)d(d + 1)for the graph K,, to be generically rigid. graphe K,, soit generiquementrigide. Les auteurs dtplorent par contre le fait que ce The authors lament the fact that this result cannot be directly applied to higher dimen- resultat ne puissepas directements’appliquer a desdimensions superieures et exhibent le sions and exhibit the graph K,, which is genericallyflexible in R’ despitethe fact that the graphe K,, qui est gentriquement flexible dans R’ malgrk le fait que le couple (6, 7) couple (6, 7) satisfiesthe inequality mn 2 (m + n)d - (1/2)d(d + 1) with d = 4. satisfassel’inequation mn > (m + n)d - (1/2)d(d + 1) avec d = 4. Le theoreme suivant apporte la correction nCcessairea une gCnCralisationdes resultats The following theorem suppliesthe necessarycorrection to a generalization of the above mention&. results. ‘TMor8me2: Sent m > 1 et n > 1 tels que mn 2 (m + n)d - (1/2)d(d + 1) pour d fix& Theorem2: Let m > 1 and n > 1 be such that mn 2 (m + n)d - (1/2)d(d + 1) for d fixed, K, n est gtntriquement rigide dans Rd si m + n 1: (1/2)(d + l)(d + 2) et g&nCriquement then K m n is genericallyrigid in Rdif m + n 1 ( 1/2)(d + l)(d + 2) and is generically flexible if flexible si m + n < (1/2)(d + l)(d + 2). m + n c’(1/2)(d + l)(d + 2). Dtfmonstra tion : Soit V= {(A, B) e R(m+nJd : x =B = Rd}, Vest un ouvert densede Rtrn+*w. Proof: Let V = {(A, B) c Rtrn+*ld: x =B = Rd), so V is an open set densein R(m+n)%Then D’autre part, considerons l’ensemble des points (A, B) pour lesquelsdim Q(A, B) est consider the set of points (A, B) for which dim Q(A, B) is minimal: minimale: W = ((A, B) e Rcrn+*M: dim Q(A, B) = max (0, (1/2)(d + l)(d + 2) - (m + n))) W = {(A 9B) e Rtrn+*v: dim Q(A, B) = max (0, (1/2)(d + l)(d + 2) - (m + n))) Commeon l’a signif%plus haut, cet ensembleest un ouvert densede Rtrn+*w.Ainsi, V n W Just as above, this set is an open set densein Rtrn+*Jd.Thus V n W is a non-empty open est un ouvert non vide de Rtrn+*fl ktant l’intersection de deux ouverts denses. subsetof Rfrn+*v 9 being the intersection of two denseopen sets. Pour m, n et d fixes et tels que mn L (m + n)d - (1/2)d(d + l), nous chercherons,dans un For m, n and d fixed and such that ma L (m + n)d - (1/2)d(d + l), we will first try to premier temps,a connaitre le comportementd’une rialisation K(A, B) dans Rddu graphe understandthe behavior of a realization K(A, B) in Rd of the graph Km n at a point (A, B) Km n en un point (A, B) appartenant a Vn W. L’expression (2) nous permet de calculer la belonging to V n W. The expression(2) permits us to calculatethe dimension of the space dimension de l’espacedes autocontraintes dans le cas qui nous intkresse.On a of stressesin the casewhich interestsus. We have dim R(A, B) = (m - d - l)(n - d - 1) + dim Q(A, B) + m + n - (1/2)(d + l)(d + 2) dim a(A, B) = (m - d - l)(n - d - 1) + dim Q(A, B) + m + n + (1/2)(d + l)(d + 2) = mn - (m + n)d + (1/2)d(d + 1) + dim Q(A, B) = mn - (m + n)d + (1/2)d(d + 1) + dim Q(A, B) En utilisant l’expression(l), on obtient By using the expression(1) we obtain dim (Ker df(A, B)) = (1/2)d(d + 1) + dim Q(A, B) dim (Ker df(A, B)) = (1/2)d(d + 1) + dim Q(A, B) pour un point (A, B) de V n W. for a point (A, B) of V n W. Or, si (A, B) e V, on a dim T(A, B) = (1/2)d(d + 1). Ainsi, pour un point appartenant a Now, if (A, B) c V, we have dim T(A, B) = (1/2)d(d + 1). Thus for a point belonging to V n W, le nombre de degresde liberte interne de la structure est egal a dim Q(A, B), V n W, the number of internal degreesof freedom of the structure is equal to dim Q(A, B), c’est-adire that is dim (Ker df(A, B)) - dim T(A, B) = max 10, (l/2)(6 + l)(d + 2) - (m + n)} dim (Ker df(A, B)) - dim T(A, B) = max (0, (1/2)(d + l)(d + 2) - (m + n)) 60 Topologie structurale #lo, 1984 De la on peut conclureque toute r6alisation d’un graphebiparti-complet K, ,, en un point From this, one can concludethat everyrealization of a completebipartite graph Km n at a (A,B)eVnWcR( m+n)dest infinittsimalement rigide si (1/2)(d + l)(d + 2) -(m + n) I Oet point (A, B) e V n W c RtrnMwis infinitesimally rigid if ( 1/2)(d + l)(d + 2) - (m + n) 5 band infinit6simalement flexible si (1/2)(d + l)(d + 2) - (m + n) > 0. D’autre part, on sait que infinitesimally flexible if (1/2)(d + l)(d + 2) - (m + n) > 0. Furthermore, one knows that l’ensemble des points rtguliers de la fonction d’aretes de Km n est un ouvert dense de the set of regular points of the edgefunction of Km n is an open densesubset of Rfrn+@ R(m+nw(Roth 1981) Cet ensemblea done une intersection non’vide avecl’ouvert V n W. (Roth 1981). This set, thus, has a non-empty intersiction with the open set Vn W. This Cela suffit pour conclure sur le comportement infinit&imal de tous lespoints regulierset permits us to draw conclusionsconcerning the infinitesimal behavior of all regular points, puisque rigidite et rigiditt infinitesimale sont deux conceptsCquivalents sur des points and sincerigidity and infinitesimal rigidity are equivalent conceptsat regular points, one rbguliers, on obtient le rCsultatvoulu. 0 has the desiredresult. cl De facon evidente, K, 1 est rigide dans toutes ses rtalisations et quelle que soit la Clearly, K, i is rigid in all its realizations,whatever be the dimension of the ambient space. dimension de l’espaceambiant. Aussi, K, n (n > 1) et Km9 , (m > 1) sont flexibles dans Also K, ,n (h > 1) and Km, 1(m > 1) are flexible in all their realizations in Rd (d 2 2). toutes leurs rhalisations dans Rd (d 2 2). ’ Ainsi, on connait le comportementgenkrique de tout graphe biparticomplet Km, rCalise Thus, one knows the genericbehavior of everycomplete bipartite graph K, n realized in a dans un espaceRd fix& On retrouve, entre autres, a titre de corollaires, des r6sultats fixed space Rd. We recover as corollaries, among others, the results givkn in (Bolker tnon& dans (Bolker 1980). 1980). Corollary 3: If mn > 3(m + n) - 6, then Km n is generically rigid in R3. 0 Corollaire 3: Si mn > 3(m + n) - 6 alors K, 9n est gen&iquement rigide dans R3. 0 9 Corollary 4: If mn > 2(m + n) - 3, then Km n is generically rigid in R2. 0 Corollaire 4: Si mn > 2(m + n) - 3 alors KmI n est generiquementrigide dans R2. 0 9 A titre d’exemple, on peut dresserla liste des graphesbiparti-complets qui sont g&&i- As exampleswe give the list of completebipartite graphs which are genericallyflexible in quement flexibles dans R4et dans R5 tout en possedant(tassez)) d’aretes. R4 and in R5despite the fact they have “enough” edges. Dans R4: K,,, K,,9 K,,9 In R4: K,,, K,,. K,,, DansRs: K7lo9 K7Il, K7,2, K713, %9, K,*cl9 K,,,9 K812, K,,, K,,*9 K9,,, K,,ro9 *nR5: K7lo* K,H9 K712, K713, K89t K,*o* K,l,* K,nf K!w9 K,,o9 K9HI Kmo9 11faut se rappeler que ceci demeure une classification gkntrique du comportement, One should rememberthat this is a genericclassification of behavior, that is, according to c’est-a-dire selon le comportement des rkalisations en des points reguliers de la fonction the behavior of realizations at regular points of the edge function. For a study of d’aretes. Pour une etude des mouvements infinitesimaux des rhalisations de graphes infinitesimal movementsof realizations of complete bipartite graphs, consult the recent biparti-complets, on consultera les recentsarticles de Walter Whiteley (Whiteley 1981), articles by Walter Whiteley (Whiteley 198l), (Whiteley 1982). His geometric study of (Whiteley 1982). Son &ude gCom&riquedes mouvements am&ne une reponsecompl&e a movementsprovides a completeresponse to the question posedin the title of thearticle by la question poseedans le titre de l’article de Roth et Bolker, When is a bipartite graph a Roth and Bolker, When is a bipartite graph a rigid framework?“. rigid framework?m. Graphes multiparti-complets Complete multi-partite graphs Les thCor&mesqui p&&dent nous permettent d’Ctablir un resultat partiel au sujet du The preceding theorems permit us to establish a partial result concerning the generic comportementgenerique des graphes multiparti-complets. En fait, nous pourrons recon- behavior of complete multipartite graphs. In fact, we can recognizecertain of them as naitre certains de ceux-ci comme des structures gMriquement rigides dans un espace generically rigid structures in a given space. donnt. ‘IWoke 5: Soit K,,,, *,.,.m un graphekparti-complet. Si il existeune partition (I, J) de Theorem5: Let K, m2,..,mbe a completek-partite graph. If there is a partition (I, J) of l’ensemble( 1,2, . .. . k) telle qie K mn est un graphe biparti-complet gCnCriquementrigide the set (1, 2, .. . . k) such tha:, K m n is a complete bipartite graph, genericallyrigid in Rd dans Rd, ou m = C mi et n = C mj: alors le graphe Km m mkest generiquementrigide where m = 2 mi and n = C mj, then the graph Kml,m2, mkis generically rigid in Rd. I J 1’ 29***9 I J .. . . dans Rd. Structural Topology #IO, 1984 61 Dkmonstration: Le graphe K, ,n possedem + n sommetset mn ar&es alors que le graphe Proof: The graph Km9 n has m + n vertices and mn edges,so that the graph Kml,m2,.. . . mlr k K poss&deIk mi sommetset C IllilYlj a&es. has 2 mi verticesand C mimj edges. m,,m2,...,mk i=l 15kjdc i=l lti ITlilTlj lTlj> C lT+lTlj 2 (2 mi)(C mj> = mn C 2 (2 lT$)(C = mn llicjrk I J 1$ mk. Thus, the latter is none other De plus, toute a&e de Km9 n est une a&e de Km1’ m 2’“’ mk. Ainsi cedernier n’est rien d’autre Furthermore, every edgeof Km9 n is an edgeof KmI* m 2’“’ que le graphe K, n auquel on a ajout6 un certain nombre d’aretes. Done la rigidit than the graph K, n to which one has addeda certain number of edges.Thus, the generic mLin Rd. 0 gtnCrique de Km, n’ dans Rd entrainera la rigidite g&Grique de Km,, m 2’“’ mk dans Rd. Cl rigidity of Km* n in’Rd implies the generic rigidity of Km,’ m 2’“’ Exemple: ConsidCronsle graphetriparticomplet K, 2 I dansses realisations dans le plan. Example: We considerthe completetripartite graph K, 2 I in its realizations in the plane. On sait, par le th6or&1~!1, que les graphes K, s et *K, 4 ont toutes leurs rialisations We know by Theorem1 that the graphs Kje5and K, 4ha&all their realizations infinitesi- infinitesimalement flexibles dans R2, Mais K, 3est genC&uement rigide dans R2(Corol- mally flexible in R2. But K, 3 is generically rigid in R2 (Corollary 4); moreover, a lake 4); plus que cela,une rkalisation de K, 3dans R2est infinit6simalement rigide a moins realization of K, j in R2is infinitesimally rigid unlessits six verticeslie on a conic (Theorem que sessix sommetsse situent sur une conique (Th6oreme14de (Bolker 1980)).Ainsi K, 2 , 14(Bolker 1980)). Thus, K, 2 1is infinitesimally rigid in R2unless its six vertices lie on a est infinit&imalement rigide dans R2au moins quand sessix sommetsne sesituent pas sur conic; it is thus generically rigid in R2. une conique; il est done gentriquement rigide dans R2. Adressede l’auteur: Addressof the author: Jean-Luc Raymond Jean-Luc Raymond Charge de tours Chargede tours Dkpartement de mathematiques DCpartementde mathbmatiques UniversitCdu Quebeca Montreal Universite du Quebeca Montreal C.P. 8888,Succursale “A” C.P. 8888, Succursale“A” Montreal, QuCbec,H3C 3P8,Canada Montrbal, QuCbec,H3C 3P8, Canada Bibliographie Bibliography Le code qui apparait dans la premiere colonne de chaque entree bibliographique est constitue de trois parties The code in the first block of each bibliographic item consist of three parts, separated by dashes. The first letter siparees par des tirets. La premiere partie indique s’il s’agit d’un Livre, d’un Article, d’une PrC-impression ou de indicates whether the item is a book (Livre), Article, Preprint or course notes (Notes de tours). The middle letter(s) Notes de tours. La deuxieme partie indique si le texte a ttC Gdigt pour des Mathimaticiens, des Architectes ou des indicates whether the piece was intended primarily for an audience of Mathematicians, Architects or engineers Inginieurs. La partie finale indique si le texte touche un ou plusieurs des themes principaux de la topologie (Ingenieurs). The final letter(s) indicates if the piece touches on one or more of the principal themes of structural structurale: GiomCtrie (en general), Polyedres, Juxtaposition ou Rigiditt. topology: Geometry (in general), Polyhedra, Juxtaposition or Rigidity. Les mots-clis ou les annotations de la colonne finale signalent la pertinence de l’ouvrage a la recherche en topologie The key-words or other annotations in the third column are intended to show the relevance of the work to research structurale, mais ne temoignent pas necessairement de l’ensemble du contenu ou de l’intention de l’auteur. in structural topology, and do not necessarily reflect its overall contents or the intent of the author. t Balker 1980 When is a Bipartite Graph a Rigid Framework? Espace des autocontraintes des graphes biparticomplets, surfaces quadriques l The stress space of complete bipartite graphs, quadratic Ethan Balker et Ben Roth Pacific Journal of Math., 90 ( 1980), 27-44. spaces. 62 Topologiestructurale #IO, 1984 Raymond 1982 Sur la rigidit# des grapbes Rigidite simple,infinitesimale et statique,graphes biparti-compk ts, structurestendues, rigidite et Cnergiel Simplerigidity, infinitesimal Jean-LucRaymond M&moirede maitrise,Departement de mathtmatiques,Universite du and static, completebipartite graphs, tensilestructures, rigidity md Quebecil Montreal, aoiIt 1982. energy. P-M-R Roth 1981 Rigid d Fkxibk Frameworks Introduction Bla rigiditi, simple,infinitesimale et statiquel Introduc- Ben Roth AmericanMath. Monthly, vol. 88, no. 1,621. tion to rigidity, simple,infinitesimal and static. A-M-R Wbiteky 1979 Moths of a Bipartite Framework Commentairessur (Bolker 1980)avec des observations sur lesmo u- vements l Commentson (Bolker 1980) with observationsabout Walter Whiteley Topologiestructurale, 3 (1979),62-63. movements. A-MIA-R Whiteky 1981 Itinitesimd Motions of a Bipartite Framework Mouvementsinfinittsimaux g partir dessurfaces quadriques, l’ajatit de barresa un graphebiparti-complet, l’application aux charpent- l Walter Whit&y PacificJournal of Math., a paraitre. Infinitesimalmovements starting from quadraticsurfaces, adding ba rs to a completebipartite graph, application to frameworks. A-M-R Motiom of Trusses and Bipartite Frameworks Wbiteky 1982 . Mouvementsdes graphes biparti-complets et application au daau octet et r&au mi-octaedriquetttraedrique l Movementsof complzte Walter Whiteley Topologiestructurale, 7 (1982),61-68. bipartite graphswith application to the half-octahedraltetrahedral truss. A-MIA-R Report on “Shaping Space” by Janos J. Baracs Topologie structurale #lo, 1984 Structural Topology #lo, 1984 Compte rendu sur &haping Space)) La composition du comite organisateur fut une des causes de ce succes: dirigt par une The composition of the organising team was a key to success: led by a mathematician mathematicienne (Marjorie Senechal, Smith College), celui-ci comprenait un chimiste (Marjorie Senechal, Smith College), it included a chemist (George Fleck, Smith College), (George Fleck, Smith College), un artiste (A. Lee Burns, Smith College) et un designer an artist (A. Lee Bums, Smith College) and a designer (Robert Whorf, Symmetries Inc.). (Robert Whorf, Symmetries Inc.). Les activites - conferences, ateliers, films et expositions - furent organisees en quatre The activities - lectures, workshops, films and exhibits - were organised into four sessions: I. La construction de maquettes et la visualisation, II. Les applications des sessions: I. Model building and Visualisation, II. Applications of Polyhedra, III. The polyedres, III. La theorie des polyedres, IV. Les problemes non resolus. Theory of Polyhedra, IV. Unsolved Problems. La conference inaugurale s’intitulait ((Regular and Semiregular Polyhedra>) et fut don&e The keynote lecture was given by Professor Coxeter on “Regular and Semiregular Polyhe- par le professeur Coxeter; celui-ci en donna aussi une autre intitulee ((The Artist Escher dra”; he also gave a lecture on “The Artist Escher and his Intuitive Flair for Geometry”. It and his Intuitive Flair for Geometry,,. En verite, nous tous qui tentons d’explorer ou is fair to say that all of us, who try to explore or apply polyhedra are admiring students of d’appliquer les poly&lres, nous sommes des disciples et des admirateurs de Donald Coxeter. Donald Coxeter. 64 Topologie structurale #I 0, I984 Trois autres conferencesfurent don&es par Jean Pederson(4Vhy Study Polyhedra?+, Other three lectureswere given by JeanPederson (“Why Study Polyhedra?“),Arthur Loeb Arthur Loeb @Polyhedra,Surfaces or Solids?>>)et Janos J. Baracs@Spatial Perception (“Polyhedra, Surfacesor Solids?“) and Janos J. Baracs(“Spatial Perceptionand Creati- and Creativity+. A notre grand regret, Branko Griinbaum ne put participer a la vity”). We regretted that Branko Griinbaum could not attend the conferencefor health conferencepour desraisons de Sante;cependant, l’article intitule ((Duality of Polyhedra,,, reasons,but his joint paper with G.C. Shephardon the “Duality of Polyhedra” was well dont il estcoauteur avecG.C. Shephard,fut tres bien present6par Egon Schulte.L’arriv6e delivered by Egon Schulte. The last minute arrival of Michael Burt (architect, geometer imprevue de Michael Burt (un architecte, un geometreet un constructeur venant d’Isra3) and builder from Israel) was a pleasant surprise; his latest slidesdelighted the audience. causaune agr6ablesurprise; sesplus recentesdiapositives ravirent l’assistance. Les atelierscorrespondaient bien au themede la conference.Vu le nombre limit6 de blocs Workshops were very well integrated with the theme of the Conference. Due to the horaires disponibles, plusieurs furent don&s simultanement, et il Ctait impossible de limited time periods, many were given simultaneously, and it was impossibleto partici- participer a chacun d’eux. Cependant,nous avons assezentendu parler de ceuxque nous pate in everyone. But we heard about thosewe missed,so we can report that they wereall avons manquts pour pouvoir affirmer que tous furent un succes,et qu’ils comportaient very successful,with many visual surprises. Three workshops given by Jean Pederson, plusieurs surprises visuelles. Les trois ateliers don& par Jean Pederson, Doris Doris Schattschneiderand Marion Walter - leading educators in geometry - were Schattschneideret Marion Walter, trois chefs de file en enseignementde la gtombtrie, followed with great interest. The workshop by the “Structural Topology” researchgroup suscitirent un grand inter&. L’atelier donni par Dominique Dion, Richard Pallascioet (also called “Montreal Maffia”) with Dominique Dion, Richard Pallascio and Vincent Vincent Papilon au nom du groupe de recherche< Si l’on tient compte desdifferentes expositions qui entouraient lesparticipants, alors, sans If we mention now the exhibits which surroundedthe participants, then without exaggera- exageration, Nul n’est besoinde commenterici la beautCdes oeuvres renommtes, comme les sculptures There is no need to comment here about the beauty of the well known works, like the g6ometriquesde Morton Bradley ou lessculptures architecturales dynamiques de Charles geometrical sculptures of Morton Bradley or the dynamic architectural sculptures of Perry. Mais j’aimerais vous faire part de ma reaction devant les polyedres sculpt& de Charles Perry. But I would like to describe my reactions to the sculpted polyhedra by Robinson Fredenthal. En depit de l’interet predominant pour les poly&dresreguliers et Robinson Fredenthal. Despite the overwhelminginterest in regular, symmetrical polyhe- symetriques,Robinson vint nous presenterun tout autre univers. Sesmaquettes &aient dra, Robinson came to show us a different world. His models were mostly non-convex, presque toutes des poly&dres non convexes,non reguliers et non symttriques. Elles not regular, non-symmetrical polyedra. They were neither zonohedra, parallelohedra, n’etaient ni des zonaedres,ni des parallClo&dres,ni des s&oedres, ni des polytires stereohedra,nor homogeneousand uniform. And someof them - God forbid - were homogeneset uniformes. Et quelques-unes- Dieu nous garde- n’etaient m2mepas des not even polyhedra, according to recent definitions. (“Thou shalt not self-intersect.“) polyedresselon desdefinitions r6centes.(~Tu ne commettraspoint d’auto-intersection.,,) Thesenameless, unlabelled shapesdo not belong to any class. But I enjoyed looking at Cesformes sansnom et non etiqueteesn’appartiennent a aucune classe. Mais, pour de them and touching them for other reasons.I found them simple and beautiful! They were toutes autres raisons,j’ai tir& beaucoupde plaisir a les regarderet a les toucher. Je les ai grouped together on a table in a certain order and they told me about the thinking process trouvc!essimples et belles! Elles 6taientgroupees sur la table dansun certain ordre, et elles of a creative mind. They reflected the basic concept of geometry: changeand conserva- me racontaient le processusde pens&ed’un esprit cr&cur. Elles refletaient le conceptde tion, or transformation and invariance. It was a discovery of spaceby motion, shaping base de la gtometrie: le changementet la conservation, ou la transformation et l’inva- spaceat its best. Theselittle models did also have interesting topological, projective and riance. Elles constituaient une d6couvertede l’espacepar le mouvement; elles Ctaient combinatorial properties worthy of attention. l’essencememe du gestequi donne forme a l’espace. Cespetites maquettesposstdaient aussi despropritds topologiques, projectives et combinatoires dignes d’attention. Structural Topology MO, 1984 65 En somme le titre 4haping Space)) fut fort heureux, et la conference tint admirablement The title “Shaping Space” was a fortunate choice; the conference admirably delivered what ses promesses. Par ses con%rences, ses expositions et ses ateliers, elle constitua une fete it promised. The lectures, the exhibits and the workshops were feasts for the brain, the pour l’esprit, l’oeil et la main. Marjorie Senechal, bravo! eyes and the hands. Bravo, Marjorie Senechal! Note de /a ~&zction: Un livre sur Janos J. Baracs Janos J. Baracs ficole d’architecture, Universite de Montreal, &oIp G’architecture, Universite de Montreal C.P. 6128, Succ. “A”, Montreal, Quebec C.?. 6 128, Succ. “A”, Montreal, Quebec Canada H3C 357 Canada H3C 357 Notes aux lecteurs Notes to our Readers Articles de nature didactique ou pklagogique Articles of a Didactic or Pedagogical Nature La revue est maintenant ouverte a des articles de nature didactique ou ptdagogique relies The Journal is now interested in publishing articles of a didactic or pedagogical nature a l’enseignement ou a l’apprentissage de la gtometrie, principalement dans un contexte de related to the teaching or learning of geometry, mainly in the context of the structural perception structurale d’un espace geomttrique. Les objets d’etude devront se situer dans perception of a geometric space. The topics under study should belong to the particular le champ d’inter& specifique de la revue: objets polyedriques et problemes de juxtaposi- field of interest of the Journal: polyhedral objects and problems of juxtaposition or of tion ou de rigiditt. rigidity. Adresses des auteurs Addresses of the authors Certains lecteurs nous ont signal6 qu’il serait souhaitable de publier avec tout article Some readers have pointed out that we should publish the addresses of the authors with l’adresse de l’auteur, ce que nous ne faisions pas toujours. A compter du present numero, their articles, which we sometimes fail to do. From this issue on, we will make sure that we nous nous y astreindrons; de plus, voici la liste des adresses des auteurs dont les articles do; furthermore, you will find below the addresses of the authors whose articles were sont parus dans les numeros 7 a 9 sans mention de l’adresse de l’auteur. published in issues 7 to 9 without the address of the author. Henry CRAPO, Boite postale 452,75527 Paris Cedex 11, Dr. R. HUGHES-JONES, Mathematical Institute, Jean-Francois ROTGE, 9, rue Stanislas, Paris 75006, France Cornwallis Building, The University, Canterbury, France Kent CT2 7NF, England Michele EMMER, Dipartimento di Matematica, Tibor TARNAI, Hungarian Institute for Building Science, Universita di Roma “La Sapienza”, Roma, Italia Jay M. KAPPRAFF, Mathematics Department, Budapest, David F. u. 6., H-l 113, Hungary New Jersey Institute of Technology, Michael GOLDBERG, 5823 Potomac Avenue, 323 High Street, Newark, New Jersey, 07102 USA Tiong-Seng TAY, National University of Singapore, Washington, D.C., 20016 USA Kent Ridge Road, Singapore 0511 Koji MIYAZAKI, Kobe University, Lowell A. HINRICHS, Department of Mathematics, l-2-1 Tsurukabutu Nada-ku, ’ Walter WHITELEY, Champlain Regional College, University of Victoria, P.O. Box 1700, Victoria, Kobe-shi, 657 Japan 900 Riverside Drive, St. Lambert, Quebec, British Columbia, Canada, V8W 2Y2 Canada, J4P 3B8 Prof. And& RECSKI, Mathematical Institute, E&v& University, H-1088 Budapest, Muzeum kordt 6-8, Hungary L’Association mathbmatique du QuCbec (A.M.Q.) The Association MathCmatique du QuCbec (A.M.Q.) L’Association mathematique du Quebec (A.M.Q.), fond&e en 1958, a pour but de contri- The Association mathematique du Quebec (A.M.Q.), founded in 1958, is devoted to the buer a l’etude des mathbmatiques et au progres de leur enseignement au Quebec. promotion of the study of mathematics and the progress of mathematical education in Quebec. Les 800 membres de l’A.M.Q., representant tous les niveaux d’enseignement des math& The 800 members of the A.M.Q., educators in mathematics coming from all levels from matiques, de la matemelle jusqu’a l’universite, sont &partis s&n les rkgions que void: the kindergarten to the university, are divided in the following regional chapters: Bas Bas Saint-Laurent-Gaspesie, Quebec, Trois-Rivieres, Estrie, Montreal-Centre (ile de Saint-Laurent-Gasp&sie, Quebec, Trois-Rivieres, Estrie, Montreal-Centre (Montreal Montreal), Montreal-Rive-Sud, Montreal-Rive-Nor& Outaouais. Island), Montreal-Rive-Sud, Montreal-Rive-Nord, Outaouais. Structural Topology# IO, 1984 67 Plusieurs membres ont forme des groupes dits d’interet: Many members formed so-called interest groups: 1) Groupe des didacticiens en mathematiques (G.D.M.) 1) Groupe des didacticiens en mathematiques (G.D.M.) 2) Groupe de recherche en topologie structurale (G.R.T.S.) 2) Groupe de recherche en topologie structurale (G.R.T.S.) 3) Groupe de recherche en didactique des mathematiques au collbgial (G.R.D.M.C.) 3) Groupe de recherche en didactique des mathtmatiques au collegial (G, R.D.M.C.) 4) Groupe pour le loisir en informatique et en mathematiques (G.L.I.M.) 4) Groupe pour le loisir en informatique et en mathematiques (G.L.I.M.) Trois associations importantes sont assocites a 1’A.M.Q.: Three important associations are associated with the A.M.Q.: 1) Association des promoteurs pour l’avancement de la mathematique 8 I’ClCmen- 1) Association des promoteurs pour l’avancement de la mathematique a l’eltmen- taire (A.P.A.M.E.) taire (A.P.A.M.E.) 2) Groupe des responsables en mathtmatique au secondaire (G.R.M.S.) 2) Groupe des responsables en mathtmatique au secondaire (G.R.M.S.) 3) Quebec Association of Mathematics Teachers (Q.A.M.T.) 3) Quebec Association of Mathematics Teachers (Q.A.M.T.) Les principales activitbs de l’A.M.Q. sont: The main activities of the A.M.Q. are: 1) la publicationd’une revue, quatre fois par annee: Bulletin AMQ. On y trouve des 1) The publication of a journal, four times a year: Bulletin AMQ. It contains articles de fond, des nouvelles des membres et des comites, des informations sur foundamental articles, news of the members and of the committees, informations les programmes de mathematiques, des problemes et jeux mathkmatiques, etc.; about mathematical programs, mathematical problems and games, etc. 2) le congres annuel qui a lieu habituellement en octobre; 2) The annual congress usually held in October. 3) la valise mathematique qui contient de nombreux jeux mathematiques; 3) The mathematical pouch which contains many mathematical games. 4) l’organisation de deux contours annuels pour le niveau secondaire et le niveau 4) The organization of two annual contests for the high school and college levels. collegial; 5) The mathematical camp which gathers the best students selected through the 5) le camp mathtmatique qui regroupe les meilleurs etudiants des contours mathematical contests. mathtmatiques. Pour de plus amples informations, s’adresser a: For more informations, write to: Secrbriat de I’AMQ, C.P. 247, MontrCal-Nord, HlH 5L2 Secrbtariat de I’A.M.Q., C.P. 247, Montrbal-Nord, HlH 5L2 N.B.: On peut devenir membre de l’A.M.Q. en faisant parvenir sa cotisation de 35,00 $ can. N.B.: It is possible to become a member of the A.M.Q. by sending a subscription of 35 $ a l’adresse cidessus. can. at the above address. Courrier Letters Interdisciplinaire? Interdisciplinary? II nous fait toujours plaisir de recevoir du courrier de nos lecteurs, surtout lorsque cela We are pleased to receive.lettersfrom our readers, particularly those which help us to improve contribue ci I’am&oration de la revue. La lettre qui suit nousfut adresst!epar Steve Baer et this journal. ?hefollowing letterfrom Steve Baer certainly deservesspecialattention. First, mt%ite une attention spbciale. Mais d’abord, quelques mots au sujet de Steve Baerpour ceux a few words about Steve for those who are not familiar with his work. As far as we know, quine seraientpasfamiliers avec son muvre. k notre connaissance, Steve Baerfut Iepremier Steve was thefirst to recognize the unlimitedpotential of zonohedrafor buildingpurposes and ci reconnaitre le potentiel i/limit4 des zonagdres pour fin de construction et ci en donner la he built wDrop City”, a cluster of tonohedraldomes. Hegave a delightfulaccount of his work de’monstration en bditissant “Drop City,,, un assemblage de ddmes zonaddriques. Ilfournit un in the Dome Cookbook (Lama Foundation 1968) and shortly after he reported further savoureux compte rendu de ses travaux dans le Dome Cookbook (.ma Foundation 1968) et developments in the Zome primer (Zomework Corp. 1970). These informal and stimulating peu de temps apr2s fit rapport sur des dt!veloppements uIt&ieurs dans le Zome Primer writings were among our models when we Iaunched Structural Topology. We include below (amework Corp. 1970). Ces textes simples et stimulantsfurent du nombre des exemples qui Steve’s letter and our reply. nous inspirsren t lorsque nous lan@mes Topologie structurule. Voici done la lettre de Steve et notre reponse. 68 Topologie stmcturale #IO, 1984 Chers Janos et Henry, Dear Janos and Henry: La revueTopologie structurale (#9)est en pleine degenerescenceet tend versune approche The Structural Topology bulletin (#9) is degeneratinginto narrow minded mathematics. mathematique bomee. Lisez l’article de Hinrichs sur les tensegrit& prismiques. Deux Read Hinrich’s paper on Prismic Tensigrids. Two paragraphs are intelligible to the paragraphesintelligibles pour le dilettante, suivis par cette merde d’abstrations debiles layman, followed by this wretched abstract crap which you people said you were going to que vous vous etiez engagesa Cviter! Vos auteurs s’empressentde rev&ir leurs uniformes avoid! Your authors can’t wait to put on their mathematiciansuniforms and strut around de mathematicienset de sepavaner, brimant de la sorte un public confiant qui avait cru a bullying the unsuspectingpublic who believed the promise “interdisciplinary” on your votre promesse~~d’interdisciplinarit& affichte sur la couverture. Vous devriez en avoir cover. Shameon you! honte! SteveBaer SteveBaer Zomework Corporation Zomeworks Corporation P.O. box 25805,Albuquerque, New Mexico P.O. box 25805Albuquerque, New Mexico 87125USA 87125USA Cher Steve, Dear Steve: Ta lettre ne m’a pas surpris. Je ne peux memepas me mettre en colbre contre toi, et cela Your letter did not surpriseme. I could not evenget mad at you for severalreasons. First, pour plusieurs raisons. D’abord, parce que j’aime l’originalite de ta prose; ensuite,parce I like your unconventional prose; sedond,I respectyour opinion. Above all, I think you queje respecteton opinion; mais surtout, parceque je penseque tu as raison! Je n’entends are right! I do not mean in particular that the article by L.A. Hinrichs deservesall your pas par la que l’article de L.A. Hinrichs merite tous tes adjectifs, mais bien que nous adjectives,but indeedwe did promise an interdisciplinary journal and we did not deliver. avions effectivementpromis une revue interdisciplinaire que nous n’avons pas produite. Nous avons ecrit dans l’introduction (Topologie structurale # 1) au sujet de nos objectifs: We wrote in the introduction (Structural Topology # 1) about our objectives:If... they are C’Ctait la un projet ambitieux et peut-etrequelque peu nai’f. Nous avonscontinuellement This was quite an ambitious project and maybe somewhat nai’ve. We kept trying to deploy6 des efforts pour augmenter le nombre des articles ecrits pour nos lecteurs non increasethe number of articles written for the non-mathematical readersbut we soon mathimaticiens, mais nous nous sommesrapidement rendu compte que les mathimati- learnedthat mathematiciansprefer to write to other mathematicians.You know as well as cienspreferent &ire pour d’autres mathematiciens. Tu saisaussi bien que moi que seuls I do that only the bestfew have the specialtalent and the courageto exposebeautiful and les meilleurs, et ils sont peu nombreux, possedentle talent specialainsi que le couragequi sometimes complex geometrical results in a simple language accessibleto all of us. leur permet d’exposerdes resultats geometriquesquelquefois complexes et d’une grande Geometryand the Imagination,the classicbook by the late David Hilbert and more recent beaute dans un langage simple et accessibleB tous. Geometry and the Imagination, un works by Donald Coxeter, Laszlo Fejes-T&h and Branko Griinbaum are the examples to classiquedu regrettt David Hilbert et desaeuvres plus r¢esde Donald Coxeter, Las40 show that rigour doesnot necessaryexclude clarity. They are also our mentors, who help Fejes-T&h et Branko Griinbaum sont des exemples qui demontrent que la rigueur us to keep away from the other extreme:the populist mathematical folklore. n’exclut pas nkessairement la clarte. Ce sent la nos mentors et ilsnous aident a tviter l’autre extreme: le folklore mathematiquepopuliste. En dtpit de cesdifficult&, nous continuerons a publier desarticles qui utilisent desmathe- Despite thesedifficulties, we shall continue to publish articles using higher mathematics if matiquesavancees si leur sujet appartient a notre domaine d’int&&. Tout&is, M)USavons the subject is within our domain of interest. We decidedhowever at our kast editorial d&id6 Iors de notre &m&e rhnion de hIaction que, pour de t& a&les, I’auteur devra meeting that for those articles, the author has to include a summarystating the problem, inclure un r6sumChonqnt le problhe, dhivant les m&odes et donnsnt les &uk& dans describingthe methodsand giving the results in a non-mathematicallanguage. This new W)langage non mathknatique. Cette nouvelle politique prendra effet B compter du #l 1. policy will be implementedstarting with issue# Il. Structural Topology #IO, 1984 69 J’espere, Steve, que tu continueras a suivre le cheminement de la revue avec ton oeil et ton I hope, Steve, you will continue to follow our journal with your critical eye and mind. It esprit critiques. Je viens tout juste de me rappeler que nous avons publie de pareils articles just occured to me that we had similar highly abstract mathematical articles in previous bourres de mathtmatiques tres abstraites dans des numtros anterieurs au #9. Pourquoi issues. Why did you wait for so long, why did you not give us hell much sooner? Shame as-tu attendu si longtemps, pourquoi ne nous as-tu pas fustigt! bien plus tot? Tu devrais en on you? avoir honte! Je te prie d’agreer mes salutations amicales. Yours truly Janos J. Baracs, r&lacteur Janos J. Baracs, Editor P.S.: La traduction litteraire de ta lettre en francais nous a pose quelques difficult&! P.S.: We had some difficulties with the literary French translation of your letter! A venir: une confbrence suf la g6omCtrie intuitive Coming soon: A Conference on Intuitive Geometry La Societe mathematique Jsinos Bolyai organise une conference intemationale sur la The Jainos Bolyai Mathematical Society will organize an international conference on gbombtrie intuitive a Siofok (sur le lac Balaton), Hongrie, entre le 12 mai (arrivee) et le Intuitive Geometry in Siofok (at Lake Balaton), Hungary, between 12 May (arrival) and 18 mai 1985 (depart). La conference sera consacree a la discussion de problemes 18 May (departure), 1985. The conference is devoted to the discussion of problems in gtomttriques qui peuvent etre expliques simplement a ((l’homme de la rue’>. Naturelle- geometry which can be explained simply, to the “man in the street”. Naturally, solutions ment, les solutions a ces problemes ne seront pas pour autant aussi simples. Selon les of the problems are not excepted to be so simple. According to the traditions in Hungary, traditions hongroises, l’emphase portera sur la geomttrie discrete, la convexite et la emphasis will be on discrete geometry, convexity and combinatorial geometry, but the geometric combinatoire, mais la discussion de problemes de geomttrie intuitive relevant discussion of intuitive geometrical problems from other branches would be also d’autres branches serait aussi appreciee. appreciated. Pour de plus amples informations sur la conference, veuillez nous retoumer le formulaire If you are interested in obtaining further information about our conference, please return &joint avant le 10 octobre 1984 aux soins de: G. Fejes T&h, J. Bolyai Mathematical the enclosed form not later than 10 October, 1984 to: G. Fejes T&h, J. Bolyai Mathemat- Society, Budapest, Anker kiiz l-3., H-1061. Une seconde circulaire vous sera alors ical Society, Budapest, Anker koz l-3., H - 1061. A second communication will then be envoyee vers la fin de l’annee. mailed to you at the end of this year. Si vous connaissez quelqu’un qui serait interesse a participer a la conference et n’a pas recu If you know somebody who did not obtain this first communication and is interested in cette premiere circulaire, veuillez s’il vous plait lui remettre une copie de celle-ci et du participating in the conference, please give them a copy of this note and the enclosed form. formulaire ci-joint. Nous voudrions aussi vous signaler qu’une conference sur ( I1 nous ferait plaisir de vous compter du nombre des participants a notre conference. We would be pleased if you could participate in our conference. Au nom du comite organisateur, On belhalf of the Organizing Committee, K. Biiriiczky, president, et G. Fejes T&h, secretaire K. Biiroczky, Chairman, and G. Fejes T&h, Secretary 70 Topologie structurale #I 0, 1984 COLLOQUIUM ON INTUITIVE GEOMETRY JANOS BOLYAI Si&fok, Hungary, 13-18 May, 1985 MATHEMATICAL SOCIETY PLEASE, TYPE OR PRINT! 1. FAMILY NAME: ...... GIVEN NAME: ...... 2. MALE 0 FEMALE I3 3. MAILING ADDRESS: ...... ...... 4. Do you intend to take part in the Colloquium? Yes Cl No o 5. Accompanying person(s): ...... 6. Do you intend to give a lecture in the Colloquium? Yes Cl No 0 7. If yes, can you indicate the area this lecture would belong to? ...... ...... ...... 8. Addresses of institutions and further persons who may be interested in the Colloquium: ...... ...... ...... ...... ...... A positive answer to questions 4 and 6 does not imply any obligation. The Organizing Committee will send further information about the Colloquium to all those answering question 4 positively. Notes ii l’intention des Notes to Contributors collaborateurs Nous encourageonsnos lecteursa nous 6crire de man&e informelle au sujet de problemes We urge our readers to engage in informal correspondencewith us concerning open pendants, ou des travaux et des publications de leurs groupes de recherche. Nous les problems, or concerning the work and publications of their researchgroups, and to invitons egalementa nous soumettre pour publication des articles, des resumeset des submit articles, abstracts and researchnotes of their own for publication. Contributed notesde recherche.Les textessoumis devront &re r&dig& en francais ou en anglais. Nous material should be in the English or French languages.We will give priority to publishing publierons en priorite les articles et la correspondance: those articles and that correspondencewhich: l qui permettraient de faire avancer la recherche dans l’un de nos domaines d’etude l advancethe researchin one of our three principal domains of study: static rigidity of privilcgi6s: rigidite statique des structures, polyWres et juxtapositions; structures, polyhedra and space-filling (juxtaposition); l qui touchent plus d’un de nos trois groupesde lecteurspotentiels: architectes,mathema- l are comprehensibleto more than oneof the three groups of intended readers: architects, ticiens et ingenieurs. mathematiciansand engineers. Afin de rendre la lecture des textesaccessibles aux non-init& d’une scienceparticuli&re, To achieve this second aim we urge authors to define their basic terms, if they employ nous demandons aux auteurs de bien d&Ink leurs termes, de preciser toute nouvelle terms not previously defined in that way in the Journal, of terms which might not be acception et d’expliquer les expressionssusceptibles de presenterdes difficultes. Dans familiar to readersin the other disciplines. All submissionsshould include representative cette memeoptique, nous invitons les auteursa donner desexemples, A se servir de dessins exampies. We urge authors to make free use of drawings. Authors should sketch et a dtmontrer le car&&e pratique de leurs travaux. applicationsof their work. Les demonstrations mathematiqueset les explications d’exemplesqui seraient omises, If detailed mathematicalproofs, or an extendeddiscussion of illustrative examples,are to parce que trop d&ill&+ et nuisant a la fluidite du texte, devraient cependantfaire l’objet be omitted merely in order to increasereadability, they should neverthelessbe preparedin d’un texte p&sent6 sur une feuille s&par&, afin d’eclairer lejury chargede la selectiondes full to accompanythe article, as an aid to refereesin verifying the results. textes. Nous demandons6galement aux auteurs d’utiliser le moins possiblede symbolesmatht- We ask authors to keep their useof mathematicalnotation to a minimum, and to restrict matiques, et de se limiter, autant que faire sepeut, a l’usagedes chiffres et des alphabets themselveswherever possible to the standard English, French and Greek alphabets and courants du francais, de l’anglais et du grec, en caract&es romains (standards)ou gras. numerals, in roman (normal) or boldface. On utilisera dessous-titres et on marquera d’un a&risque les termesde metier en prenant Internal paragraphing should be supplied with appropriate subheadings. Special terms soin d’en donner la definition en fin de texte. La bibliographicsera present& sousla forme should be marked with an asterisk,and should be defined in a separatelist at the end of the standard de la revue, et les referencesbibliographiques a l’inttrieur du meme texte se paper. A bibliography should be prepared in our ,andard format, complete with key feront selon le modele: (Vitruvius 1960). words or other annotation. Bibliographic referenceswithin the text should be in the form: (Vitruvius 1960). Les manuscrits seront dactylographies a 1.5 interligne. Les dessinsseront effectuesa l’encre de Chine. Les dessinsseront present&sdans un format normal de manitre a les Manuscriptsshould be typed at 1.5spaces between lines. Drawings should be prepared in r6duire de 50%lors de l’impression. Ce serait plus facile si lesdessins originaux pouvaient India ink. Drawings should be submitted double-size, and will be reduced 50% in &re encadresdans des rectanglesde 49 cm de large. printing. Thus it will help if original drawings can be arranged in rectangles49 cm wide. On tracera les traits gras du dessinavec une plume 0,8. Le caract&restandard du dessin The standard for heavy lines in drawings is a 0,8 pen. Lettering standard for drawings is sera 12 points saris-serif. Les dessinsseront present&ssur des feuilles separees,et leur 12 point sans-serif. Drawings should be prepared on separatesheets, and indications emplacementdans le texte serapr&ist. Les rtf6rencesaux dessinsou aux photographies should be made as to where they are to appear in the text. Referencesto drawings or se feront comme suit: Figure 8. (Les referencesaux figures et tout autre mot devant photographsare madein the form: Figure 8. (Referencesto figures, aswell as other words apparaitre en gras seront soulignts dans le texte dactylographie.) De prefbrence, les to be setin boldface,should be underlined in the typescript.) Captions should be supplied, legendesseront group&s sur une feuille s&par&e. most conveniently on a separatesheet. 72 Topologie stmcturale #IO, I984 Tous les articles seront soumis a un jury. Les auteurs devraient presenterun bref rbumC Articles will be refeered,and should be accompaniedby a brief abstract of the aentents of de leur texte (moins de 200 mots). Ces resumesserviront parfois a annoncer l’article a the paper in no more than 200words. This abstract may be printed asan announcementof paraitre dans un prochain num&o, ou encore remplaceront le texte s’il s’avere trop an article soon to appear in the Journal, or may even replace the text of the ancle, if the difficile d’accespour etre imprime ou s’il s’adressea un public trop limit& later turns out to be too difficult to print, or if it is addressedto too limited a radership. Tous les articles paraitront en francais et en anglais. Si l’auteur ne propose aucune All articles will appear in English and French. If no translation is submitted, Iae editors traduction, les Cditeursy pourvoiront et seront responsablesde sa justesse. will provide a translation and acceptresponsibility for its accuracy. Les auteurs recevront lesepreuves pour en faire la correction et 50 copiesde leurs articles. Authors will receive galleys for correction, and 50 reprints of their articles, Authors Ceux qui souhaitent recevoir Cgalementles epreuves de la traduction devraient le pr&iser wishing to also receivegalleys of the translation should indicate thus when mbmitting au moment ob ils soumettent leurs articles. their articles. Envoyer les manuscritssoit a la revue,soit directementa Henry Crapo, JanosJ. Baracsou Manuscripts should be sent either to the Journal, or directly to Henry Crapc!- Janos J. Walter Whiteley a l’une des adressessuivantes: Baracsor Walter Whiteley at one of the following addresses: La revue Topologie structurale, UQAM, C.P. 8888, Sbcc. “A”, Montreal, Quebec,Canada, H3C 3P8 f fy?.y * lJ .-* --+.. ‘,* Henry Crapo, Boite postale.452, 75527 Paris Cedex 11, France b dC La Janos J. Baracs,Ecole d’architecture, UniversitCde Montreal, C.P. 6128, Succ.“A”, Montreal, Quebec,Canada, H3C 357 LI ‘4 Walter Whiteley, Champlain Regional College, 900 Riverside Drive, St. Lambert, Quebec,Canada, J4P 3T2 II f*I’ Subscriptions Depuis 1979,la revue a publit trois series;la premiere comprenait les numeros 1 a 3, la Since 1979,the Journal has published three series:the first comprised issues. to 3, the seconde,les numeros 4 a 6, et la troisieme, les numtros 7 a 9. Tous cesanciens numeros second,issues 4 to 6, and the third, issues7 to 9. All theseback issuesare availabe, though sont disponibles,bien que le numero 1 soit maintenant distribue sousforme de photoco- issue 1 is now distributed as unbound photocopies,the original edition being Khausted. pies non relit%s,l’edition originale &ant epuisee.La quatrieme sirie, qui est prbentement The fourth series, which is now being published, will comprise issues 10 a:&I 11; the en tours de publication, comprendra les numeros 10et 11;la parution du numero 11est publication of issue 11is scheduledfor April, 1985. It will be followed by theC$th series prevue pour avril 1985.Suivra la cinquiemeserie qui comprendra lesnumeros 12et 13;la which will comprise issues12 and 13;the publication of issue 12is scheduledfa October, parution du numero 12est prevue pour octobre 1985et celledu numero 13pour avril1986. 1985and that of issue 13 for April, 1986. Les prix sont presentementles suivants: The current prices are the following: l Pour une institution, l’abonnement a la quatrieme ou a la cinquieme sCrie co&e l For an institution, the subscription to the fourth or fifth seriescosts 37 $ cam the back 37 $ can.; les anciensnumeros coutent 15 $ can. l’exemplaire, et il faut ajouter a ce prix issuescost 15 $ can. per copy, to which price must be added a fixed chargeof Z6 can. per 7 $ can. de frais fixes par client et par commanded’anciens numeros. client and per order of back issues. l Pour un individu, l’abonnementa la quatrieme ou a la cinquieme seriecoute 25 $ can.; l For an individual, the subscription to the fourth or fifth seriescosts 25 $ can; the back les anciensnumCros coutent 10 $ can. l’exemplaire, et il faut ajouter a ce prix 5 $ can. de issues cost 10$ can. per copy, to which price must be added a fixed chargeof Z& can. per frais fixes par client et par commanded’anciens numeros. client and per order of back issues. Aucuns frais d’exptdition ne sont exigespour quelque destination que ce soit. En casde No shipping chargeis required whereverthe destination. If in doubt about th=ost of an doute sur le cout d’une commande,il est suggCrCde demanderune facture avant d’effec- order, it is suggestedto ask for an invoice before sendingany money. Our usualrrocedure tuer le r&glement. Notre procedure usuelle consiste a enregistrer les abonnementset a consistsof registering the subscriptionsand shipping the issuesalready publitied upon expkdier les numerosdeja parus sur reception d’un reglementcomplet. Veuillez emettre receipt of a full payment. Pleasemake your chequespayable to “La revueropologie les rtglements a l’ordre de (