ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ- ΠΑΙ∆ΑΓΩΓΙΚΗΣ& ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ∆ιαπανεπιστηµιακό –∆ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ » ∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ « τα fractals ως πλαίσιο κατανόησης ακολουθίας και ορίων µέσω της έννοιας του εµβαδού σε περιβάλλον βασισµένο στο δυναµικό χειρισµό µαθηµατικών αντικειµένων » Σταυρούλα Πατσιοµίτου Επιβλέπων Καθηγητής Χρόνης Κυνηγός ΑΘΗΝΑ 2005 Εξώφυλλο: αυτοοµοιότητα στον πίνακα του Wassily Kandinsky ( circle possessed for him “the clearest indication of the fourth dimension ”) Musèe National d’Art Moderne Centre d’Art et de Culture Georges Pompidou ,Paris Gift of Nina Kandinsky II Thales Testimonia Fragment 1 line 128 «To αρχαιότερο από όλα τα όντα είναι ο Θεός, γιατί είναι αγέννητος Το ωραιότερο είναι ο κόσµος , γιατί είναι έργο του Θεού Το µεγαλύτερο είναι ο τόπος , γιατί όλα τα χωράει Το ταχύτερο είναι ο νους , γιατί τρέχει διασχίζοντας τα πάντα Το ισχυρότερο είναι η ανάγκη, γιατί όλα τα εξουσιάζει Το σοφότερο είναι ο χρόνος , γιατί ανακαλύπτει τα πάντα … » Θαλής ( Μίλητος 650π.Χ – 540 π.Χ ) III ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ- ΠΑΙ∆ΑΓΩΓΙΚΗΣ& ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ∆ιαπανεπιστηµιακό –∆ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ » ∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ « τα fractals ως πλαίσιο κατανόησης ακολουθίας και ορίων µέσω της έννοιας του εµβαδού σε περιβάλλον βασισµένο στο δυναµικό χειρισµό µαθηµατικών αντικειµένων » Σταυρούλα Πατσιοµίτου Επιβλέπων Καθηγητής Χρόνης Κυνηγός IV H παρούσα ∆ιπλωµατική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ∆ιπλώµατο∆ιπλώµατο̋̋ Ειδίκευση̋ που απονέµει το ∆ιαπανεπιστηµιακό –––∆ιατµηµατικό–∆ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών στη «∆ιδακτικήκαι Μεθοδολογίατων Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την 11/ 10 /2005 από την Εξεταστική Επιτροπή αποτελούµενη από του̋: Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογραφή ΚΥΝΗΓΟΣ ΧΡΟΝΗΣ Αναπλ. ……………………… (Επιβλέπων Καθηγητή̋ ) Καθηγητή̋ ΖΑΧΑΡΙΑ∆ΗΣ ΘΕΟ∆ΟΣΙΟΣ Αναπλ. ……………………… Καθηγητή̋ ΧΡΙΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Αναπλ. ……………………… Καθηγητή̋ V ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ σελ. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΑ FRACTALS 1.1 Εισαγωγή στα fractals σελ. 8 1.2 Τι είναι τα fractals σελ. 9 1.3 Προέλευση της λέξης Fractal σελ. 9 1.4 Ποιος είναι ο Benoît Mandelbrot σελ.10 1.5 Συµβολή της κλασσικής ανάλυσης σελ.10 1.6 Ιδιότητες των fractal σελ.11 1.6.1 Η αυτοοµοιότητα στην Ευκλείδεια Γεωµετρία και στα Fractal σελ.12 1.6.2 Η αυτοοµοιότητα στη φύση σελ.12 1.6.3 Η έννοια της διάστασης στην Ευκλείδεια Γεωµετρία και στα φράκταλ- Η έννοια τής Ευκλείδειας ∆ιάστασης σελ.14 1.6.4 Η έννοια της Fractal ∆ιάστασης σελ.15 1.7 Πως προσδιορίζεται η Fractal διάσταση αυτοοµοίων σελ.16 συνόλων 1.8 Τα µαθηµατικά fractals σελ.17 1.8.1 Τρίγωνο του Sierpinski σελ.17 1.8.2 Χαλί του Sierpinski (Sierpinski Carpet) σελ.17 1.8.3 Το Σφουγγάρι του Menger σελ.18 1.8.4 Χιονονιφάδα του Koch (Koch Snowflake) σελ.18 1.8.5 Koch Antisnowflake σελ.20 1.8.6 Του Cantor το τετράγωνο Fractal σελ.21 1.8.7 Box Fractal(anticross-stitch curve ) σελ.21 1.8.8 dragon Καµπύλη σελ.22 1.8.9 Καµπύλες του Sierpinski σελ.22 1.8.10 Coastline Paradox( παράδοξο της ακτής ) σελ.22 1.9 Σύντοµη αναφορά στα σύνολα Julia ,Mandelbrot σελ.23 1.9.1 Mandelbrot set σελ.23 1.9.2 Ιστορία του Mandelbrot set σελ.23 1.9.3 Σχέση µε τα σύνολα Julia σελ.24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΟΡΙΑ ΚΑΙ FRACTALS 2.1 Ένας δρόµος προς το άπειρο από τον Ζήνωνα τον Ελεάτη µέχρι τα fractal σελ.27 2.2 Το άπειρο κατά τον Αριστοτέλη .H έννοια του ορίου σελ.31 2.3 Η έννοια της διαίσθησης- Αρχικές διαισθήσεις για το άπειρο και τα όρια σελ.32 2.4 ∆υσκολίες συνδεδεµένες µε την έννοια του ορίου σελ.34 2.5 Η έννοια του εµποδίου σελ.35 2.5.1 Επιστηµολογικά εµπόδια σελ.35 2.5.2 ∆ιδακτικά εµπόδια σελ.36 2.6 ∆υσκολίες από την κατανόηση των δεκαδικών αριθµών σελ.36 2.7 ∆υσκολίες προερχόµενες από τις αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται για να περιγράψουµε τη έννοια του ορίου σελ.37 2.8 Συγκλίνουσα αριθµητική ακολουθία σελ.38 2.8.1 Ο όρος «προσεγγίζει»- Υπέρβαση εµποδίου σελ.40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 3.1 Θεωρητικά µοντέλα κατασκευής των µαθηµατικών δοµών H προσέγγιση των µαθηµατικών εννοιών ως αντικείµενα ή σελ.43 διεργασίες 3.2 Η έννοια της αναπαράστασης σελ.47 3.3 Εσωτερικές –Εξωτερικές Αναπαραστάσεις Πολλαπλές αναπαραστάσεις και η επίδραση τους στην σελ.49 οπτικοποίηση (Visualization ) των εννοιών 3.4 Ανάπτυξη των γεωµετρικών εννοιών - διατύπωση θεωριών σελ.51 κατασκευής γεωµετρικών εννοιών VI 3.5 Ο ρόλος των υπολογιστών στην οπτικοποίηση των εννοιών σελ.53 3.5.1 Η κονστρουβιστική προσέγγιση των εννοιών µέσα στο περιβάλλον ενός υπολογιστή σελ.55 3.5.2 H κονστρουβιστική προσέγγιση µέσα από τις σελ.56 πολλαπλές αναπαραστάσεις .Η διάκριση artefact- instrument 3.6 H συµβολική αλληλεπίδραση ως προέκταση της λεκτικής σελ.57 3.7 Ο ρόλος της κοινωνικής αλληλεπίδρασης στη µάθηση. Οι σελ.58 θέσεις του Vygotsky –Piaget ως προς την φύση και προέλευση της ανθρώπινης γνώσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Η ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 4.1 Μεθοδολογία της έρευνας σελ.62 4.2 Στόχοι της έρευνας σελ.63 4.3 Το περιβάλλον του Geometer’s Sketchpad 4.03 σελ.66 4.4 Περιγραφή των δραστηριοτήτων σελ.67 4.4.1 Περιγραφή της 1ης δραστηριότητας σελ.69 4.4.2 Περιγραφή της 2ης δραστηριότητας - Η σπείρα του Baravelle σελ.77 4.4.3 Περιγραφή της 3ης δραστηριότητας -Το πυθαγόρειο δένδρο σελ.79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο Η ΕΡΕΥΝΑ 5.1 Περιγραφή και ανάλυση της έρευνας στην Β΄Λυκείου σελ.85 5.2 Περιγραφή και ανάλυση της έρευνας στην Α΄ Λυκείου σελ.95 5.3 Περιγραφή και ανάλυση της έρευνας στην Α΄ Γυµνασίου σελ.100 5.4 Περιγραφή και ανάλυση της έρευνας στην ΣΤ΄∆ηµοτικού σελ.111 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 6.1 Παρατηρήσεις που προέκυψαν από την έρευνα στην τάξη της ΣΤ΄ ∆ηµοτικού σελ.129 6.2 Παρατηρήσεις που προέκυψαν από την έρευνα στην τάξη της Α΄ Γυµνασίου σελ.130 6.3 Παρατηρήσεις που προέκυψαν από την έρευνα στην τάξη της Α΄ Λυκείου σελ.133 6.4 Παρατηρήσεις που προέκυψαν από την έρευνα στην τάξη της Β΄Λυκείου σελ.134 6.5 Συνολικές παρατηρήσεις σελ.135 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΠΑΙ∆ΑΓΩΓΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ FRACTALS 7.1 Λόγοι που στηρίζουν την ένταξη των fractals στο Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών της Εκπαίδευσης σελ.142 7.2 Πως µπορούµε να κατασκευάσουµε fractals -Ποιοι διδακτικοί στόχοι περιέχονται στην κατασκευή ενός fractal σελ.143 7.3 Ποια κεφάλαια µαθηµατικών εµπλέκονται στην διαδικασία κατασκευής και υπολογισµού ενός Fractal αντικειµένου σελ.147 7.4 Τι αναµένεται από την κατασκευή των fractal αντικειµένων στον υπολογιστή και τη χρησιµοποίηση σχετικών σελ.148 ανοικτών προβληµάτων 7.5 Η βιβλιοθήκη των fractal στο Geometer’s Sketchpad Η παιδαγωγική σηµασία της εξερεύνησης της σελ.150 ΕΠΙΛΟΓΟΣ σελ.155 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ σελ.157 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ σελ.169 VII ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ θερµά τα µέλη της τριµελούς ε̟ιτρο̟ής και ιδιαίτερα τον ε̟ιβλέ̟οντα καθηγητή µου κ. Χρόνη Κυνηγό , για την ε̟οικοδοµητική συνεργασία και την βοήθεια τους στην ολοκλήρωση αυτής της εργασίας . Ευχαριστώ τους καθηγητές µου στο Μετα̟τυχιακό της ∆ιδακτικής των Μαθηµατικών, γιατί µε οδήγησαν µέσα α̟ό τις διαλέξεις τους σε ένα άλλο ε̟ί̟εδο και τρό̟ο σκέψης και µου ενέ̟νευσαν την ανάγκη να ασχοληθώ µε τα νέα ̟εδία της ε̟ιστήµης των Μαθηµατικών και να τα συνδέσω µε τα ̟αλαιά , να εξετάσω τον τρό̟ο κατανόησης των εννοιών στα µαθηµατικά α̟ό τους µαθητές µας ̟αρατηρώντας και διερευνώντας την κατάσταση κάτω α̟ό ένα νέο ̟ρίσµα . Ε̟ίσης ευχαριστώ τα σχολεία των Αθηνών ̟ου µε δέχθηκαν για την διεξαγωγή των ερευνών και τους µαθητές ̟ου µε τη διάθεση και τον ενθουσιασµό τους, µου δηµιουργούσαν όλο και ̟ερισσότερα κίνητρα και ενδιαφέρον για αυτό ̟ου έκανα. Η εργασία είναι αφιερωµένη στα ̟αιδιά µου Αλέξανδρο , Λουκία -Ιόλη και Θεανώ –Μαγδαληνή ̟ου µε την υ̟οστήριξη και υ̟οµονή τους , συνέβαλλαν σηµαντικά ώστε να ̟ραγµατο̟οιηθεί η φοίτησή µου στο ̟ρόγραµµα και ολοκληρωθεί η ̟αρούσα εργασία . Οκτώβριος 2005 , Σταυρούλα Πατσιοµίτου VIII ΠΕΡΙΛΗΨΗ Είναι γνωστό από έρευνες αλλά και από την εµπειρία µας στην τάξη ότι οι µαθητές αντιµετωπίζουν δυσκολία στην κατανόηση εννοιών του απειροστικού λογισµού . Στην παρούσα εργασία εξετάζουµε τον τρόπο που οι µαθητές κατασκευάζουν την έννοια του ορίου και της ακολουθίας µε κατάλληλες δραστηριότητες σε fractals στο περιβάλλον του Geometer’s Sketchpad (GSP 4.03) . Η ανάπτυξη της έννοιας του ορίου προϋποθέτει µια θεωρία για το άπειρο αφού αυτό υπεισέρχεται ως αποτέλεσµα µιας διαδικασίας ή στην διαδικασία εύρεσης του ορίου ως άπειρο πλήθος βηµάτων. Η διαδικασία εποµένως της εύρεσης ενός ορ ίου συσχετίζεται άµεσα µε την πολυπλοκότητα και το άπειρο των fractal – αντικειµένων Σκοπός είναι να γίνει προσεγγίσιµη και κατανοητή η σχετική θεωρία σε όλο το φάσµα της εκπαίδευσης στα µαθηµατικά ,από το ∆ηµοτικό ως το Λύκειο . Και αυτό µπορεί να σ υµβεί όταν το θέµα αντιµετωπιστεί µε κατάλληλες διδακτικές ακολουθίες διαφορετικές και εξελισσόµενες σε κάθε βαθµίδα ,που θα δίνουν στο µαθητή την δυνατότητα του ανασχηµατισµού και επέκτασης της νοητικής εικόνας της έννοιας, µε στόχο την εύρεση αποδεικτικ ών διαδικασιών και στην περίπτωση του ορίου του ε-δ ορισµού . ∆εν είναι λίγες οι φορές που τα αποτελέσµατα ερευνών οδηγούν σε εκπλήξεις σχετικά µε το επίπεδο κατανόησης των µαθητών Στην παρούσα εργασία θα εξετάσουµε ποιες δεξιότητες των µαθητών αναπτύ σσονται και βελτιώνονται από την εφαρµογή της πειραµατικής µεθόδου στις διάφορες βαθµίδες εκπαίδευσης και αν η συγκεκριµένη µέθοδος έχει µεγαλύτερη απόδοση. IX ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ύριο ερώτηµα που τίθεται και το οποίο αδιαµφισβήτητα απασχολεί κάθε έναν που εµπλέκεται στην µαθησιακή και διδακτική διαδικασία είναι κατά Κ πόσο οι µαθητές ανταποκρίνονται στην εισαγωγή µαθηµατικών εννοιών µέσω του φορµαλισµού και αν η διαπίστωση της ύπαρξης διδακτικών εµποδίων στη χρήση µοντέλων παραδοσιακής διδασκαλίας µας οδηγεί στην ανεύρεση µεθόδων µε σκοπό την αναίρεση τους .