<p><strong>The Work of Sophie Germain and Niels Henrik Abel on Fermat’s Last Theorem </strong></p><p><strong>Lene-Lise Daniloff </strong></p><p>Master’s Thesis,&nbsp;Spring 2017 </p><p>This master’s thesis is submitted under the master’s programme <em>Mathematics</em>, with programme option <em>Mathematics</em>, at the Department of Mathematics, University of Oslo. The scope of the thesis is 60 credits. </p><p>The front page depicts a section of the root system of the exceptional Lie group E<sub style="top: 0.1246em;">8</sub>, projected into the plane.&nbsp;Lie groups were invented by the Norwegian mathematician Sophus Lie (1842–1899) to express symmetries in differential equations and today they play a central role in various parts of mathematics. </p><p>a, b, c n &gt; 2 </p><p>a<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>= b<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>+ c<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>a<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= b<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ c<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p>n = 3 n = 4 </p><p>nn = mp </p><p>(a<sup style="top: -0.3299em;">m</sup>)<sup style="top: -0.3299em;">p </sup>= (b<sup style="top: -0.3299em;">m</sup>)<sup style="top: -0.3299em;">p </sup>+ (c<sup style="top: -0.3299em;">m</sup>)<sup style="top: -0.3299em;">p </sup></p><p>p</p><p>a<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= b<sup style="top: -0.3299em;">n</sup>+c<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a, b, c </li><li style="flex:1">a</li><li style="flex:1">b</li></ul><p></p><p>a<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>= b<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>+ c<sup style="top: -0.3298em;">n </sup></p><p>c</p><p>a<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= b<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ c<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">n &gt; 2 </li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>(−a)<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= −a<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">a, b, c </li></ul><p>na, b a, b </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">c</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">c</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a</li><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">a</li></ul><p></p><p>a<sup style="top: -0.3298em;">p−1 </sup>≡ 1 (mod p) </p><p>φ : Z<sub style="top: 0.1363em;">+ </sub>→ Z<sub style="top: 0.1363em;">+ </sub></p><p>φ</p><p>φ(n) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>a<sup style="top: -0.3299em;">φ(n) </sup>≡ 1 (mod n) </p><p>p</p><p>φ(p) = p − 1 </p><p>n</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">φ</li><li style="flex:1">φ</li></ul><p>nn</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">g</li><li style="flex:1">g</li></ul><p></p><p>k = φ(n) g<sup style="top: -0.3299em;">k </sup>≡ 1 (mod n) </p><p>p</p><p>φ(p − 1) </p><p>pnmgpn</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">k</li></ul><p></p><p>m ≡ g<sup style="top: -0.3299em;">k </sup>(mod n) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">g</li><li style="flex:1">p</li></ul><p>g, g<sup style="top: -0.3299em;">2</sup>, ..., g<sup style="top: -0.3299em;">p−1 </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">n = 2, n = 4, n = p<sup style="top: -0.3299em;">k </sup></li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">k &gt; 0 </li><li style="flex:1">n = 2p<sup style="top: -0.3298em;">k </sup></li><li style="flex:1">p &gt; 2 </li></ul><p></p><p>ꢀ</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">g</li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><p>g<sup style="top: -0.3299em;">p−1 </sup>= 1 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">m</li><li style="flex:1">n</li></ul><p>m</p><p>a, n, m m</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a</li><li style="flex:1">n</li></ul><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ a </p><p>(mod m) </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n = 3 </li><li style="flex:1">m = 5 </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1, 2, 3 </li><li style="flex:1">3</li></ul><p></p><p>x</p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">3 </sup></p><p>(mod 5) </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n = 3 </li><li style="flex:1">m = 7 </li><li style="flex:1">3</li></ul><p></p><p>x</p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">3 </sup></p><p>(mod 7) <br>7</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">3</li><li style="flex:1">7</li><li style="flex:1">3</li><li style="flex:1">5</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">u, v </li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>u<sup style="top: -0.2344em;">n</sup>−v<sup style="top: -0.2344em;">n </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">φ(u, v) = </li><li style="flex:1">u<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>− v<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= (u − v)φ(u, v) </li></ul><p></p><p>u−v </p><p>φ(u, v) <br>(u − v)(u<sup style="top: -0.3299em;">n−1 </sup>+ u<sup style="top: -0.3299em;">n−2</sup>v + ... + uv<sup style="top: -0.3299em;">n−1 </sup>+ v<sup style="top: -0.3299em;">n−1 </sup></p><p>)</p><p>φ(u, v) = u − v </p><p>= u<sup style="top: -0.3753em;">n−1 </sup>+ u<sup style="top: -0.3753em;">n−2</sup>v + ... + uv<sup style="top: -0.3753em;">n−1 </sup>+ v<sup style="top: -0.3753em;">n−1 </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">xyz </li></ul><p>np</p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ 0 (mod p) x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ n (mod p) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x ≡ 0 </li><li style="flex:1">y ≡ 0 </li></ul><p></p><p>z ≡ 0 (mod p) </p><p>xn</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x, y, z </li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= 0 </p><p>n</p><p>−x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= </p><p>y<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= (y+z)(y<sup style="top: -0.3299em;">n−1 </sup>−y<sup style="top: -0.3299em;">n−2</sup>z+...−yz<sup style="top: -0.3299em;">n−2 </sup>+z<sup style="top: -0.3299em;">n−1</sup>) = (y+z)φ(y, −z) q</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">y ≡ −z (mod q) </li><li style="flex:1">φ(y, −z) ≡ 0 (mod q) </li></ul><p></p><p>ny<sup style="top: -0.3299em;">n−1 </sup>≡ 0 </p><p>(mod q) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">q|n </li><li style="flex:1">q|y<sup style="top: -0.3298em;">n−1 </sup></li><li style="flex:1">q|n </li><li style="flex:1">q = n </li></ul><p>n | xyz </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x</li><li style="flex:1">y</li></ul><p>y +z nn|y φ(y, −z) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">−y<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= (x + z)φ(x, −z) </li><li style="flex:1">−z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= (x + y)φ(x, −y) </li></ul><p>a, b, c, α, β, γ </p><p>y + z = a<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>x + y = b<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>x + z = c<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>φ(y, −z) = α<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>φ(x, −y) = β<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>φ(x, −z) = γ<sup style="top: -0.3753em;">n </sup></p><p>−x = aα −y = bβ −z = cγ p</p><p>2x = b<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ c<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>− a<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x ≡ 0 (mod p) </li><li style="flex:1">b<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ c<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ (−a)<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ 0 (mod p) </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a, b </li><li style="flex:1">c</li><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">b</li><li style="flex:1">c</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">x, y </li></ul><p>x, z </p><p>a ≡ 0 (mod p) </p><p>y + z = a<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p>y ≡ −z (mod p) α<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>= φ(y, −z) ≡ ny<sup style="top: -0.3753em;">n−1 </sup>(mod p) β<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>= φ(x, −y) ≡ y<sup style="top: -0.3754em;">n−1 </sup>(mod p) <br>⇒ α<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>≡ nβ<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>(mod p) </p><p>β ≡ 0 (mod p) </p><p>g</p><p>gβ ≡ 1 (mod p) </p><p>g<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p>α<sup style="top: -0.3299em;">n</sup>g<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ n (mod p) </p><p>ꢀ</p><p>n &lt; 100 p</p><p>5</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">11 </li><li style="flex:1">n = 5 </li><li style="flex:1">p = 11 </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">5</li><li style="flex:1">1, 0 </li></ul><p>n = 5 </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">−1 </li><li style="flex:1">11 </li><li style="flex:1">±1 ± 1 ± 1 ≡ 0 </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li></ul><p>n</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li></ul><p>n</p><p>pn</p><p>pn</p><p>x</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n = 5 </li><li style="flex:1">p = 11 </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">5</li><li style="flex:1">11 </li></ul><p></p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">5 </sup></p><p>(mod 11) <br>5<br>11 </p><p>n = 5 </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p = 7 </li><li style="flex:1">5</li><li style="flex:1">7</li></ul><p></p><p>x</p><p>x<sup style="top: -0.3298em;">5 </sup></p><p>(mod 7) <br>5</p><p>1, 2, 3, 4, 5, 6 p</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x, y </li><li style="flex:1">z</li></ul><p></p><p>x<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>+y<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>+z<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>≡ 0 (mod p) </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x ≡ 0 (mod p) y ≡ 0 (mod p) </li><li style="flex:1">z ≡ 0 (mod p) </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>⇒</p><p>p</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">a</li></ul><p>b</p><p>a<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>≡ b<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>+ 1&nbsp;(mod p) </p><p>1 ≤ a, b&nbsp;≤ p − 1 </p><p>a<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>− b<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>− 1<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ 0 (mod p) </p><p>a</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">b</li><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">a, b &lt; p </li></ul><p></p><p>⇒</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>x<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>≡ 0 (mod p) </p><p>x, y </p><p>ax ≡ y (mod p) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">z</li><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">a, b </li></ul><p></p><p>bx ≡ z (mod p) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">a</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">b</li><li style="flex:1">y, z </li></ul><p>p</p><p>x<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>+ (ax)<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>+ (bx)<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>≡ 0 (mod&nbsp;p) <br>⇒ 1 + a<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>+ b<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>≡ 0 (mod&nbsp;p) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>ꢀ</p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= 0 </p><p>n</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x, y </li><li style="flex:1">z</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">x, y, z </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>p = 2Nn + 1 </p><p>N</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p − 1 </li></ul><p>pp</p><p>p = 2 </p><p>p</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p − 1 </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">m</li><li style="flex:1">n = Km </li><li style="flex:1">p − 1 = Mm </li></ul><p>K, M p − 1 = <sup style="top: -0.3579em;">M</sup><sub style="top: 0.3135em;">K </sub>n = 2Nn p</p><p>MK</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2N = </li><li style="flex:1">p = 2Nn + 1 </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p − 1 </li><li style="flex:1">n</li></ul><p>a, b </p><p>a(p−1)+bn = 1 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">u, v, w </li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><p>u + v + w ≡ 0 (mod p) </p><p>u<sup style="top: -0.3754em;">bn </sup>= u(u<sup style="top: -0.3754em;">p−1 −a </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">)</li><li style="flex:1">≡ u (mod p) </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">v<sup style="top: -0.3299em;">bn </sup>≡ v (mod p) </li><li style="flex:1">w<sup style="top: -0.3299em;">bn </sup>≡ w (mod p) </li></ul><p>(u<sup style="top: -0.3754em;">b</sup>)<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>+ (v<sup style="top: -0.3754em;">b</sup>)<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>+ (w<sup style="top: -0.3754em;">b</sup>)<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>≡ 0 (mod&nbsp;p) </p><p>p</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">uvw </li></ul><p></p><p>ꢀ</p><p>n</p><p>p = 2Nn + 1 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">N</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2N </li><li style="flex:1">n</li></ul><p>p</p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ b (mod p) b<sup style="top: -0.3299em;">2N </sup>≡ 1 (mod p) </p><p>0 &lt; b &lt; p </p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ b (mod p) b<sup style="top: -0.3298em;">2N </sup>≡ (x<sup style="top: -0.3298em;">n</sup>)<sup style="top: -0.3298em;">2N </sup>≡ x<sup style="top: -0.3298em;">p−1 </sup>≡ 1 (mod p) </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">b<sup style="top: -0.3299em;">2N </sup>≡ 1 (mod p) </li><li style="flex:1">b = 1 </li></ul><p>b = 1 x = 1 </p><p>p</p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ b (mod p) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">g</li></ul><p></p><p>g<sup style="top: -0.3299em;">p−1 </sup>≡ 1 (mod p) </p><p>p − 1 </p><p>1 ≡ b<sup style="top: -0.3298em;">2N </sup>≡ g<sup style="top: -0.3298em;">p−1 </sup>= g<sup style="top: -0.3298em;">2Nn </sup>= (g<sup style="top: -0.3298em;">n</sup>)<sup style="top: -0.3298em;">2N </sup>(mod p) b ≡ g<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>(mod p) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2N </li><li style="flex:1">b</li></ul><p></p><p>b<sup style="top: -0.3299em;">2N </sup>≡ 1 (mod p) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">g</li><li style="flex:1">p</li></ul><p>g<sup style="top: -0.3298em;">n</sup>, g<sup style="top: -0.3298em;">2n</sup>, ..., g<sup style="top: -0.3298em;">2Nn </sup></p><p>ꢀ</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">k</li><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><p>p = 2Nn + 1 </p><p>nn</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p − k </li><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><p>(p − k)<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ k<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>(mod p) </p><p>n</p><p>k ≡ x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>(mod p) p − k ≡ −k ≡ −x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= (−x)<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>(mod p) </p><p>p − k nn</p><p>ꢀ ꢁ </p><p>n</p><p>X</p><p>ni</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(p − k)<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>= </li><li style="flex:1">(−1)<sup style="top: -0.3753em;">i </sup></li><li style="flex:1">p<sup style="top: -0.3753em;">n−i</sup>k<sup style="top: -0.3753em;">i </sup>≡ k<sup style="top: -0.3753em;">n </sup>(mod p) </li></ul><p></p><p>i=0 </p><p>ꢀ</p><p>n = 3 n = 3 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">N</li><li style="flex:1">p &gt; 13 </li></ul><p></p><p>p = 6N + 1 </p><p>1, 2, <br>. . . , 6N </p><p>p − 1 = 6N </p><p>2N </p><p>2N − 1 </p><p>4N </p><p>4N − 2(2N − 1) = 2 </p><p>p &gt; 13 </p><p>2<sup style="top: -0.3298em;">3 </sup>= 8 </p><p>84</p><p>= 2 </p><p>6N </p><p>2</p><p>1, 5, 8, 11..., 6N − 10, 6N − 7, 6N − 4, 6N <br>N ≥ 5 </p><p>p ≥ 31 <br>27 = 3<sup style="top: -0.3299em;">3 </sup><br>27 ≡ 0 (mod 3) </p><p>6N </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p &lt; 31 </li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><p>4<sup style="top: -0.3298em;">3 </sup>= 64 ≡ 7 (mod 19) </p><p>p</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">p</li><li style="flex:1">r, s </li></ul><p>p</p><p>g<sup style="top: -0.3299em;">q </sup>= 2 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">r − s = 2 </li><li style="flex:1">g</li></ul><p>q</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">3 | q </li><li style="flex:1">q = 3k + 1 </li><li style="flex:1">q = 3k − 1 </li></ul><p></p><p>kr + s </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">r + s ≡ 0 (mod p) </li><li style="flex:1">2 = r − s ≡ 2r (mod p) </li></ul><p></p><p>r &lt; p&nbsp;r = 1 </p><p>r ≡ 1 (mod p) </p><p>r − s = 2 m</p><p>r + s ≡ 0 (mod p) r + s ≡ g<sup style="top: -0.3299em;">m </sup>(mod p) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">3|m </li><li style="flex:1">r+s </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">rs<sup style="top: -0.3299em;">−1 </sup>+1 ≡ g<sup style="top: -0.3299em;">m</sup>s<sup style="top: -0.3299em;">−1 </sup>(mod p) </li><li style="flex:1">r+s ≡ g<sup style="top: -0.3299em;">m </sup>(mod p) </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">m = 3l + 1 </li><li style="flex:1">m = 3l − 1 </li></ul><p></p><p>l ∈ N </p><p>m = 3l + 1 q = 3k − 1 </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">m = 3l±1 </li><li style="flex:1">m = 3l−1 </li></ul><p>q = 3k ∓ 1 q = 3k+1 r<sup style="top: -0.3753em;">2 </sup>− s<sup style="top: -0.3753em;">2 </sup>= (r − s)(r + s) <br>= 2(r + s) ≡ g<sup style="top: -0.3753em;">3k∓1</sup>g<sup style="top: -0.3753em;">3l±1 </sup>(mod p) </p><p>= g<sup style="top: -0.3754em;">3(k+l) </sup>r<sup style="top: -0.3299em;">2</sup>s<sup style="top: -0.3299em;">−2 </sup>−1 ≡ g<sup style="top: -0.3299em;">3(k+l)</sup>s<sup style="top: -0.3299em;">−2 </sup>(mod p) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">m = 3l + 1 </li><li style="flex:1">q = 3k + 1 </li></ul><p>3l ± 1 m = 3l − 1 </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">q = 3k − 1 </li><li style="flex:1">3k ± 1 </li></ul><p>2r = (r − s) + (r + s) <br>⇒ g<sup style="top: -0.3753em;">3k±1</sup>r ≡ g<sup style="top: -0.3753em;">3k±1 </sup>+ g<sup style="top: -0.3753em;">3l±1 </sup>(mod p) <br>⇒ r ≡ 1 + g<sup style="top: -0.3754em;">3(k−l) </sup>(mod p) </p><p>ꢀ</p><p>n = 3 p = 6N + 1 n = 3 </p><p>n = 3 </p><p>n &gt; 3 </p><p>2Nn + 1 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n &gt; 3 </li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>p = 2Nn + 1 </p><p>N = 1, 2, 4, 5 <br>Nn</p><p>p = 2Nn + 1 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">N</li></ul><p></p><p>p = 2Nn + 1 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">p</li></ul><p></p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x + y, z − y </li><li style="flex:1">z − x </li></ul><p></p><p>n<sup style="top: -0.3299em;">2n−1 </sup></p><p>n</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n = 5 </li><li style="flex:1">11, 41, 71 </li></ul><p></p><p>x + y z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= (x + y)φ(x, −y) </p><p>101 </p><p>n</p><p>z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p>5<sup style="top: -0.3299em;">9 </sup>· 11<sup style="top: -0.3299em;">5 </sup>· 41<sup style="top: -0.3299em;">5 </sup>· 71<sup style="top: -0.3299em;">5 </sup>· 101<sup style="top: -0.3299em;">5 </sup></p><p>x<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3298em;">n </sup>= z<sup style="top: -0.3298em;">n </sup></p><p>x, y, z </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x, y </li><li style="flex:1">z</li></ul><p>x, y, z </p><p>n<sup style="top: -0.3299em;">2n−1 </sup></p><p>nn|z </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x+y </li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">z − y </li><li style="flex:1">z − x </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">x</li><li style="flex:1">y</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x, y, z </li><li style="flex:1">n</li></ul><p>x + y = a<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>z − x = b<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>z − y = c<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>φ(x, −y) = α<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>φ(x, z) = β<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>φ(y, z) = γ<sup style="top: -0.3754em;">n </sup>aα = z bβ = y cγ = x </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">z</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">x + y ≡ </li></ul><p></p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>≡ 0 (mod n) </p><p>s = x + y </p><p>x<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3299em;">n </sup></p><p>x + y φ(x, −y) = </p><p>(s − y)<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>+ y<sup style="top: -0.3299em;">n </sup><br>=</p><p>s</p><p>ꢀ ꢁ </p><p>n−1 </p><p>X</p><p>1</p><p>ni</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">=</li><li style="flex:1">(−1)<sup style="top: -0.3753em;">i </sup></li></ul><p></p><p>s<sup style="top: -0.3753em;">n−i</sup>y<sup style="top: -0.3753em;">i </sup></p><p>s</p><p>i=0 </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ ꢁ </li><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><p>= s<sup style="top: -0.3753em;">n−1 </sup></p><p>−</p><p>s<sup style="top: -0.3753em;">n−2</sup>y + ... + </p><p>y<sup style="top: -0.3753em;">n−1 </sup></p><p>1</p><p>n − 1 </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">φ(x, −y) </li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">n</li><li style="flex:1">z<sup style="top: -0.3299em;">n </sup>= (x + y)φ(x, −y) </li></ul><p>x + y </p><p>n<sup style="top: -0.3298em;">nm−1 </sup></p><p>m</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">x + y = n<sup style="top: -0.3753em;">mn−1</sup>a<sup style="top: -0.3753em;">n </sup></li><li style="flex:1">φ(x, −y) = nα<sup style="top: -0.3753em;">n </sup></li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">a</li><li style="flex:1">α</li><li style="flex:1">n</li></ul><p></p>