L'exp´erimentation num´eriquedans les sciences : une br`eve histoire Jean-Ren´eChazottes ,∗ Marc Monticelli y 4 novembre 2014 R´esum´e Cet article retrace bri`evement quelques ´etapes marquantes de l'his- toire de l'exp´erimentation num´eriqueen math´ematiqueet en physique. Les exemples que nous abordons montrent une ´evolution rapide du statut des ordinateurs : de simples moulins `acalculs au d´epart,ils sont de- venus de v´eritablesinstruments de recherche permettant des d´ecouvertes impossibles par d'autres moyens. Le choix des exemples refl`etenos go^uts et nos connaissances. Nous nous sommes efforc´es de citer le nom des or- dinateurs et des programmeurs dans chaque exemple. 1 Introduction L'´emergencedes ordinateurs, acc´el´er´eepar la seconde Guerre mondiale, a donn´eune nouvelle dimension aux math´ematiquesexp´erimentales , c’est-`a- dire l'exploration des propri´et´esd'objets math´ematiquespar des calculs. Cette approche, qui a toujours exist´eavait vu son importance diminuer progressive- ment `apartir du XVIIe si`ecle en raison de la place grandissante de l'abstrac- tion. Au-del`ade l'extension stup´efiante du domaine des calculs possibles, de leur vitesse et de leur pr´ecision,les ordinateurs ont fourni un outil puissant : la visualisation, qui permet une exploration et la d´ecouverte de ph´enom`enesqui passeraient inaper¸cusautrement. Les sciences physiques ont tir´eun b´en´eficedes ordinateurs encore plus grand et plus profond que les math´ematiques.En effet, les ordinateurs permettent de faire des exp´eriencesnum´eriques`apartir des ´equationsgouvernant les ph´enom`e- nes que l'on d´esire´etudier,alors que les exp´eriences classiques peuvent ^etretrop compliqu´ees,trop co^uteuses,voire impossibles `ar´ealiser(comme en astrophy- sique, par exemple). Des exp´eriences{ dans le monde r´eel { ont m^eme´et´e suscit´eespar des exp´eriencesnum´eriques.Le terme anglo-saxon pour qualifier cette approche est simulation , qui est ´egalement utilis´epar les francophones, ∗Centre de Physique Th´eorique,UMR 7644 du CNRS, Ecole´ polytechnique, Palaiseau yLaboratoire de Math´ematiquesJ.A. Dieudonn´e,UMR 7351 du CNRS, Universit´ede Nice Sophia Antipolis 1 mais le mot exp´erimentation correspond beaucoup mieux `ace qu'est effec- tivement l'utilisation du num´eriquedans ces sciences. L'objet de cet article est d'illustrer comment l'exp´erimentation num´erique, devenue interactive au fil du temps, a permis des d´ecouvertes impossibles sans elle, ainsi que le renouvellement, voire la renaissance, de certains do- maines des math´ematiqueset de la phy- sique. Au-del`ade la recherche scienti- fique, les ordinateurs ont influenc´ela J. von Neumann et l'ENIAC (1952) didactique des math´ematiqueset de la physique. Citons comme exemple les livres de Hubbard et West [14] qui sont une introduction aux syst`emesdynamiques. Les grands inspirateurs de l'utilisation de l'exp´erimentation num´eriquesont Stanislas Ulam, John von Neumann et Alan Turing. Partant de ces figures incontournables, nous ´evoquerons plusieurs exemples, plus ou moins c´el`ebres,qui illustrent cette d´emarche. Note. Cet article est une adaptation d'un article originellement con¸cupour tablette tactile, avec des exp´eriencesnum´eriquesinteractives. Il en existe ´egale- ment une version con¸cuepour l'Internet qui contient des exp´eriencesnum´eriques interactives. 1 Nous remercions des relecteurs anonymes de la Gazette qui ont contribu´e`al'am´eliorationde ce texte. 2 John von Neumann & Stanislas Ulam : les pr´ecurseurs John von Neumann et Stanislas Ulam sont les premiers `aavoir compris le potentiel des ordinateurs en math´ematiqueet en physique. Voici ce qu'´ecrit Ulam : Presque imm´ediatement apr`esla guerre, John von Neumann et moi-m^emeavons commenc´e`adiscuter la possibilit´ed'utiliser les ordinateurs de fa¸conheuristique, pour essayer d'obtenir quelques lumi`eressur des questions de math´ematiquespures. En produisant des exemples et en observant les propri´et´esde certains objets math´e- matiques, on peut esp´ererobtenir des ´el´ements de r´eponse quant au comportement des lois g´en´erales.Lors des ann´eesqui ont suivi j'ai sugg´er´e,et dans certains cas r´esolu,une vari´et´ede probl`emesde math´ematiquespures en exp´erimentant ou m^emetout simplement 2 en observant. (Extrait de l'autobiographie de S. Ulam, Adventures of a Mathe- matician, 2d ed., Berkeley, 1991) 1. http://experiences.math.cnrs.fr/L-experimentation-numerique-dans-50.html 2. Il sous-entend bien s^ur `al'ordinateur 2 Ulam propose d'utiliser les ordinateurs non pas comme un simple moulin `acalculs mais comme un outil d'exp´erimentation permettant d'explorer les solutions des ´equationsque l'on ´etudie. La vision d'Ulam a ´et´einfluenc´eepar la physique, plus pr´ecis´ement l'´etudenum´eriquede mod`elessimplifi´esde diffusion des neutrons, en lien avec la bombe atomique. Notons que les premiers calculs pour une r´eactionen cha^ınesont r´ealis´espar Nicholas Metropolis en 1947, sur l'ENIAC. Dans un texte ´ecriten 1947 intitul´e The Mathematician , von Neumann fait le bi- lan de ses travaux et se demande si les math´ematiquessont une science empirique. Il tente de r´epondre `acette question par une confrontation avec les d´emarches de la phy- sique th´eorique.Pour lui, il y a une base em- pirique aux math´ematiquesqui a ´et´eoccult´ee par leur d´eveloppement. Mais quand des tendances `adevenir baroque se font jour, le signal de danger doit ^etre´emis et le seul S. Ulam rem`edeest, selon lui, la r´e-injectiond'id´eesplus ou moins directement empi- riques. Dans cet esprit, Ulam cherche `ad´evelopper une pratique des exp´eriences num´eriques,d'abord dans le domaine de la combinatoire et de la th´eoriedes nombres. Avec ses collaborateurs, il s'int´eresseensuite `al'exploration du com- portement d'it´erationsde transformations non lin´eairesqui sont le pendant en temps discret des ´equationsdiff´erentielles. Ils utilisent un syst`emeconnect´e`a l'ordinateur permettant la visualisation des it´erations.C'est une nouvelle fa¸con d'´etudierles it´erationsnon lin´eairesqui nous para^ıtaujourd'hui ´evidente. Ces analyses posent de nouveaux probl`emes et ouvrent de nouvelles perspectives. 3 Enrico Fermi, John Pasta, Stanislas Ulam & Mary Tsingou A` Los Alamos, au d´ebutdes ann´ees 1950, Enrico Fermi, John Pasta et Stanislas Ulam proposent un mod`elepour comprendre l'´evolution vers l'´equilibrethermique dans un cristal. Leur mod`eleest suffisamment simple pour ^etre´etudi´eavec un ordinateur de l'´epoque. Il s'agit d'une cha^ıneunidimensionnelle de masses identiques reli´eesentre elles par des ressorts. Quand on ´ecarteune masse de sa position d'´equilibre,elle subit une force de rappel qui n'est pas proportionnelle `ala distance par rapport `ala position d'´equilibre. Ce mod`eleest diff´erent de celui ´etudi´edans les cours de physique o`uil y a proportionnalit´e(on dit que la cha^ıned'oscillateurs est harmonique , ce qui rend le mod`ele lin´eaire et donc r´esoluble).M^emela faible anharmonicit´e introduite par Fermi, Pasta et Ulam rend le mod`ele tr`escompliqu´eet n´ecessiteson exploration par une exp´eriencenum´erique,sans 3 doute la premi`eredu genre. Ils consid`erent 16, 32 puis 64 masses et, `aleur grande surprise, ils d´ecouvrent que le syst`eme,loin de tendre vers l'´equipartition de l'´energie(synonyme de thermalisation), pr´esente au contraire des solutions quasi-p´eriodiques, en contradiction avec l'hypoth`eseergodique qu'on pensait alors v´erifi´eedans ce cas. En 1955, ils ´ecrivent un rapport interne [10] dans lequel ils mentionnent que l'´ecriturede l'algorithme et la programmation du MANIAC I furent la t^ache de Mary Tsingou [7]. Ces exp´eriencesouvrirent la voie `atoute une classe de probl`emesnouveaux concernant les syst`emesdynamiques non ergodiques et constitu`erent le point de d´epartde ce qui est maintenant une discipline `apart enti`ere: la physique num´erique,qu'on peut consid´erercomme une branche interm´ediaireentre la physique th´eorique et la physique exp´erimentale. 4 La morphogen`ese selon Alan Turing Un des probl`emesque s'´etaitpos´ele biologiste D'Arcy Thompson est l'apparition de formes similaires pour des organismes non-apparent´es, donc non explicables par des facteurs purement g´en´etiques. Turing postula qu'il devait y avoir un processus g´en´eral`al’œuvre ob´eissant `ades lois physico-chimiques. Il s'attela donc `ala mise en place d'un mod`elemath´ematiquedont le but ´etaitde rendre compte de la morphogen`ese , c’est-`a-dire,le passage d'un ´etatd'´equilibreinitial sym´etrique,`aun nouvel ´etatd'´equilibrenon-sym´etrique qui constitue une forme. Ce passage devrait r´esulterd'une r´eaction-diffusion dans la chimie des composants du syst`eme. En 1952 Turing publie un article c´el`ebreintitul´e The chemical basis of morphogenesis [21] dans lequel il propose un tel mod`eleet discute no- tamment deux exemples : { la constitution de taches qui font penser `acelle qu'on voit sur certains pelages d'animaux ; { l'hydre d'eau douce qui d´eveloppe de cinq `adix tentacules `apar- Turing (debout) et le MARK I tir d'une forme initiale tubu- laire sym´etrique. Dans son article, Turing fait la plupart de ses calculs `ala main mais montre un exemple num´eriquer´ealis´eavec l'ordinateur de Manchester (le MARK I). Du point de vue qui nous int´eresseici, Turing sugg`ereque l'exp´erimentation num´eriquedoit devenir un v´eritableinstrument dans l'investigation de la nature. Il le confirme lui-m^emedans ses travaux ult´erieursconsacr´es`ala botanique, plus pr´ecis´ement en phyllotaxie. 3 Il faudra attendre 1990 pour obtenir des structures de Turing dans une v´eritableexp´eriencede chimie [5].