МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ __________________________________________________________________ МОДЕЛИРОВАНИЕ И СИТУАЦИОННОЕ УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ Молодежная секция Сборник докладов 15–19 апреля 2019 г. УДК 001(042.3) ББК 72я43 М74 М74 Моделирование и ситуационное управление качеством сложных систем (Молодежная секция): сб. докл. СПб.: ГУАП, 2019. 242 с.: ил. ISBN 978-5-8088-1358-8 Доклады отражают весь спектр направлений научных работ, проводимых Институ- том инноватики и базовой магистерской подготовки ГУАП. Оргкомитет конференции Ю. А. Антохина – доктор экономических наук, профессор, ректор ГУАП А. А. Оводенко – доктор технических наук, профессор, президент ГУАП Е. Г. Семенова – доктор технических наук, профессор, директор Института фундаментальной подготовки и технологических инноваций А. О. Смирнов – доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой высшей мате- матики и механики В. Г. Фарафонов – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики И. И. Коваленко – кандидат физико-математических наук, доцент, и. о. заведующего кафедрой физики В. В. Окрепилов – доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой метрологи- ческого обеспечения инновационных технологий ISBN 978-5-8088-1358-8 Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, 2019 МОЛОДЕЖНАЯ СЕКЦИЯ УДК 51-76 В. Е. Крылова, О. А. Константинова, Ю. А. Алдохина студенты кафедры высшей математики и механики О. Е. Дик кандидат физико-математических наук, доцент – научный руководитель ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ВХОДНЫМ ДАННЫМ Стремительное развитие средств вычислительной техники, программного обеспечения рас- ширяют возможности применения математической модели как на всех этапах автоматизированного проектирования, так и на этапах управления. Независимо от способа построения модели важным звеном ее структурной и параметрической идентификации остается обработка экспериментально- статистической информации, получаемой либо в лабораторных условиях, либо при натурных испы- таниях, либо с функционирующего объекта. Экспериментальные данные. Исследование направлено на формирование понимания ме- ханизмов электровозбудимости мембран, характеризующихся ионными каналами. Оно базируется на модели Ходжкина – Хаксли – математической модели, описывающей генерацию и распростране- ние потенциалов действия в нейронах. Была разработана Аланом Ллойдом Ходжкином и Эндрю Хаксли в 1952 г. для описания электрических механизмов, которые обусловливают генерацию и пе- редачу нервного сигнала в гигантском аксоне кальмара. За это авторы модели получили Нобелев- скую премию в области физиологии и медицины за 1963 г. Данная модель в рамках исследования рассматривает активацию и инактивацию каналов как полностью независимые друг от друга процессы, и описывает их функция [1] 1 τx (E) = , xs= , ()αβxx(EE) + ( ) αx (E ) xE∞ ( ) = . (αxx(EE) + β ( )) На одном из этапов необходимо найти параметры αssrr(EEEE) , β( ) , α( ) , β ( ) данных функций. Для обеспечения наилучшего соответствия экспериментально полученному семейству натриевых токов используется многопараметрический метод наименьших квадратов для подбора параметров функции для приближенного описания. Также при расчетах используются методы ап- проксимации и подгонки. Сначала многопараметрическим методом наименьших квадратов методом на основании формул [1, 2] 3 GEt(), = gmax s ( Et,)⋅ rEt ( , ), sEt(), = s∞ ( E)⋅ (1 − exp (− t /τs ( E) ) , rEtrE(), = ∞∞( ) +−(1 rE( )) exp() − t /τr ( E) , INas ( Et,) где GEt(), = , находятся зависимости sE( ), rE( ), τsr( E) , τ ( E) . (EE − Na ) 3 МОЛОДЕЖНАЯ СЕКЦИЯ Рис. 1. Экспериментальные зависимости GtE( , ) для процесса активации и инактивации натриевого канала Процесс аппроксимации кривых тока [3]. Экспериментально мы имеем К таких зависимо- стей (токов), полученных при разных значениях потенциала Е, и для каждого значения Е осуществ- ляется аппроксимация. Для программы, разработанной в среде Wolfram Mathematica, аппроксима- ция осуществляется при значении потенциала Е = 5: Рис. 2. Отрывок листинга программы manip_E5_GUAP.nb, содержащий основные формулы для вычислений Рис. 3. Результат выполнения программы manip_E5_GUAP.nb 4 МОЛОДЕЖНАЯ СЕКЦИЯ Таким образом, при одном значении потенциала были найдены четыре параметра, описы- вающих одновременно активацию и инактивацию натриевого канала. Это повторяется эксперимен- тально для всех кривых. Нахождение параметров. Далее определяются значения параметров abiii, , = 1,...,2, при которых получается наилучшая аппроксимация функций, соответствующая процессам активации: 1 τs ()E = , ()ea1 E++ b 12 ea E + b2 ea11 E+ b sE∞ () = . (ea1 E++ b 12 ea E + b 2) Осуществляются данные расчеты при помощи метода подгонки. Рис. 4. Отрывок листинга программы manip_hfit_GUAP.nb, содержащий основные формулы для вычислений Рис. 5. Результат выполнения программы manip_hfit_GUAP.nb Затем определяются значения параметровabiii, , = 3,...,4,при которых получается наилуч- шая аппроксимация функций, соответствующая процессам инактивации: 1 τr ()E = , ()ea3 E++ b 34 ea E + b 4 ea33 E+ b rE∞ () = . ()ea3 E++ b3 ea 44 E + b 5 МОЛОДЕЖНАЯ СЕКЦИЯ Рис. 6. Отрывок листинга программы manip_hfit_GUAP.nb Рис. 7. Результат выполнения программы manip_hfit_GUAP.nb Библиографический список 1. Рубин, А. Б. Биофизика: учеб. для биологических спец. вузов. Теоретическая биофизи- ка / А. Б. Рубин. В 2 т. Т. 1. 2-е изд., испр. и доп. М.: Университет, 1999. 448 с. 2. Izhikevich, E. M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Burst- ing. London, Cambridge: MIT Press, 2007. 3. Зефиров, А. Л. Ионные каналы возбудимой клетки (структура, функция, патология) / А. Л. Зефиров, Г. Ф. Ситдикова. Казань: Арт-кафе, 2010. 271 с. 6 МОЛОДЕЖНАЯ СЕКЦИЯ УДК 51-76 Я. Ю. Шуманова студент кафедры инноватики и интегрированных систем качества А. М. Балонишников доктор технических наук, доцент – научный руководитель МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ ПРИ НЕБОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА В физике есть уравнения, описывающие абсолютно все: от растяжения пространства- времени до точной траектории полета фотона. Однако всего лишь один набор уравнений считается настолько математически сложным, что его включили в список одной из семи задач тысячелетия, за решение которых Математический институт Клэя предлагает премию в миллион долларов: это уравнения Навье – Стокса, описывающие течение жидкостей. Гидродинамика макроскопически описывается уравнением Навье – Стокса. Оно показывает, каким будет давление, плотность и скорость жидкости в каждой точке пространства в каждый мо- мент времени в зависимости от начальных и граничных условий и параметров среды. Закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды: ∂p +(p υ= ) 0. ∂t Данное выражение свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости: νυ = 0, которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по срав- нению со звуковой. Его физический смысл – сохранение массы для потока жидкости. Уравнение На- вье – Стокса (также называемое уравнением движения): ∂ν 2 ρ +( ν∇ )) ν = −∇ P + η∇ ν . ∂t Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений ее уравнений. Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удается до сих пор. Движение жидкости по своей природе бывает двух видов: 1) ламинарное – т.е. слоистое, позади тела в жидкости или газе не возникает вихрей. Если тело обтекается ламинарно, то сила сопротивления зависит от скорости и вязкости среды; 2) турбулентное – позади тела возникают завихрения (вихревая дорожка Кармана). Второй тип течения представляет собой более сложную для моделирования модель. Огра- ничимся на данном этапе изучением ламинарного течения, т.е. упорядоченного течения жидкости или газа (рис. 1). Рис. 1. Параболический профиль скоростей при ламинарном течении жидкости в круглой трубе 7 МОЛОДЕЖНАЯ СЕКЦИЯ Устойчивое ламинарное течение может происходить при условиях, которые зависят от зна- чения числа Рейнольдса, а именно при любом Re < Reкр. Если же Re (≈ 2000 для движения в трубе) превышает критическое значение, то получаем неустойчивое течение, в котором присутствуют воз- мущения (неупорядоченное турбулентное течение). При моделировании гидродинамики без учета изменений температуры любая система с наперед заданной геометрией полностью описывается только одним безразмерным параметром – числом Рейнольдса, равным νL Re= , μ где v – характеристическая скорость в системе (например, скорость в центре трубы), L – характери- стическая длина в системе (например, длина стороны квадрата сечения),μ – вязкость среды. Методы решеточных уравнений Больцмана (Lattice Boltzmann Methods, LBM) – класс мето- дов вычислительной гидродинамики для моделирования жидкостей. В отличие от многих других ме- тодов, метод LBM не решает уравнения Навье – Стокса, а моделирует поток ньютоновской жидкости дискретным кинетическим уравнением Больцмана. В отличие от традиционных методов CFD (вычислительной гидродинамики), с помощью ко- торых решают численно уравнения сохранения макроскопических свойств (то есть массы, импульса и энергии), LBM моделирует жидкость, состоящую из фиктивных частиц, и