UNIVERSIDAD POLITE´CNICA DE MADRID ESCUELA TECNICA´ SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS GENERACIO´ N AUTOMATICA´ DE MALLA DE ELEMENTOS FINITOS EN MODELOS EVOLUTIVOS DE DINAMICA´ DE GLACIARES Tesis Doctoral por JAIME OTERO GARC´IA Licenciado en Ciencias Matem´aticas Madrid, 2008 Departamento de Mec´anicade Medios Continuos y Teor´ıade Estructuras Escuela T´ecnicaSuperior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos GENERACION´ AUTOMATICA´ DE MALLA DE ELEMENTOS FINITOS EN MODELOS EVOLUTIVOS DE DINAMICA´ DE GLACIARES Autor: JAIME OTERO GARC´IA Licenciado en Ciencias Matem´aticas Directores: FRANCISCO JOSE´ NAVARRO VALERO, Doctor en Ciencias F´ısicas y MAR´IA LUISA CUADRADO EBRERO, Doctora Ingeniera de Telecomunicaci´on Madrid, 2008 ii Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Uni- versidad Polit´ecnicade Madrid, el d´ıa de de 2008. Presidente D. Vocal D. Vocal D. Vocal D. Secretario D. Suplente D. Suplente D. Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el d´ıa de de 2008, en la E.T.S.I. EL PRESIDENTE LOS VOCALES EL SECRETARIO A mis padres Luis y Tere. A Mar´ıa. A Gabriela y Jara. v Resumen El objetivo final de las investigaciones en las que se encuadra esta tesis doctoral es la predicci´onde la respuesta de los glaciares y mantos de hielo a las variaciones en los par´ametrosclim´aticos,utilizando como herramienta fundamental la simu- laci´onnum´ericade la termomec´anicaglaciar. El Grupo de Simulaci´onNum´erica en Ciencias e Ingenier´ıade la Universidad Polit´ecnicade Madrid, del que forma parte el doctorando, ha desarrollado durante los ultimos a˜nos un modelo com- pleto de termomec´anicaglaciar. El autor de esta tesis ha sido el responsable del desarrollo de una parte importante de este modelo, la relativa a generaci´onau- tom´aticade malla de elementos finitos con criterios glaciol´ogicosy la referente a tratamiento de frentes glaciares con terminaci´onen mar (proceso de generaci´on de icebergs), que constituyen, desde el punto de vista te´orico,las aportaciones esenciales de esta tesis doctoral. Estas se complementan con los resultados de las aplicaciones del modelo a glaciares de variada tipolog´ıa, que ha llevado a conclusiones relevantes en el campo de los procesos subglaciares. Concretamente, el trabajo llevado a cabo en esta tesis doctoral puede desglosarse en tres partes: 1. Desarrollo de una t´ecnicade mallado de elementos finitos, basada en la triangulaci´onde Delaunay-Vorono¨ı,especialmente orientada al mallado de modelos de din´amicaglaciar (cap´ıtulos 2 y 3), que permite generar un mallado con el mayor grado de automatizaci´onposible y adecuado a las caracter´ısticas propias de la geometr´ıa y r´egimende flujo t´ıpicos de los glaciares y mantos de hielo. 2. Desarrollo de un modelo de termomec´anicaglaciar, incluyendo una ley de producci´onde icebergs (cap´ıtulos4 y 5). El modelo consta de submodelos din´amico,t´ermicoy de evoluci´onde la superficie libre. La ley de producci´on de icebergs constituye una extensi´ontridimensional del criterio de pene- traci´onde grietas hasta el nivel del mar, estando definida la penetraci´onen funci´ondel r´egimenextensional en la lengua glaciar m´asel posible relleno parcial de las grietas por agua de fusi´onsuperficial. 3. Aplicaci´ondel modelo, con las t´ecnicasde mallado descritas, a la simulaci´on de la din´amicade varios glaciares con caracter´ısticasbien diferenciadas, in- cluyendo la zona de divisoria de un promontorio de hielo fr´ıo,un glaciar vii polit´ermicocon terminaci´onen tierra emergida y un glaciar mayoritaria- mente templado con terminaci´onen mar (cap´ıtulo6). Los resultados de estas aplicaciones han puesto de manifiesto la idoneidad de la t´ecnica de mallado, la capacidad de la ley de producci´onde icebergs para proporcionar una estimaci´onadecuada de la posici´ondel frente en glaciares con termi- naci´onen mar y la inadecuaci´onde las leyes de deslizamiento basal de tipo Weertman a la representaci´onde los procesos subglaciares para glaciares con geometr´ıacompleja y fuertes pendientes de su superficie. viii Abstract The final aim of the research constituting the framework of this doctoral thesis is the forecasting of the response of glaciers and ice sheets to changes in climate pa- rameters, using as main tool the numerical modelling of glacier thermo-mechanics. The Group of Numerical Simulation in Science and Engineering of Universidad Politecnica de Madrid, of which the PhD candidate is a member, has developed during the recent years a full model of glacier thermo-mechanics. The author has been responsible for several key elements of the model, including the automatic finite element mesh generation routine using glaciological criteria, and the treat- ment of calving fronts. These constitute, from the theoretical point of view, the key contributions of this thesis. They are complemented with applications of the model to various glaciers, which has lead to relevant conclusions in the field of subglacial processes. In particular, the work carried out within this doctoral thesis can be split into: 1. Development of a finite element grid generation technique, based on Delaunay- Vorono¨ıtriangulation, especially designed for glacier dynamics applications (chapters 2 and 3), which allows the generation, as automatic as possible, of a mesh appropriate to the special characteristics of the geometry and flow regime of glaciers and ice sheets. 2. Development of a model of glacier thermo-mechanics, including a calving law (chapters 4 and 5). The model consists of dynamic, thermal and free surface evolution submodels. The calving law is a three-dimensional exten- sion of the crevasse penetration to sea-level criterion, the penetration depth being a function of the tensile stress regime plus possible contributions from the partial filling of the crevasses by surface meltwater. 3. Application of the model, using the grid routines developed, to the mod- elling of various glaciers with well-defined characteristics, including the ice divide of a cold ice rise, a land-terminating polythermal glacier and a mostly temperate tidewater glacier (chapter 6). The results from these applications confirm the suitability of the mesh generation routine, the ability of the calving law to provide a good estimate of the position of the calving front and the failures of Weertman-type sliding laws to adequately represent the ix subglacial processes for glaciers with complex geometry and large surface slopes. x ´Indice general ´Indice general IX Prefacio XIII 1. Motivaci´ony antecedentes 1 1.1. Motivaci´on. 1 1.2. Antecedentes y estado del arte . 3 1.2.1. M´etodos de elementos finitos y t´ecnicasde mallado . 3 1.2.2. Simulaci´onnum´ericade glaciares . 5 1.2.3. Leyes de producci´onde icebergs (calving).......... 7 1.2.4. Procesos basales . 9 1.2.5. Algunos antecedentes de mallado de elementos finitos en glaciolog´ıa . 10 1.3. Objetivos . 12 2. Interpolaci´onespacial 15 2.1. M´etodos de interpolaci´onespacial . 15 2.1.1. Introducci´on. 15 2.1.2. Krigeado . 16 2.1.3. Medias m´ovilesponderadas por la distancia . 19 2.1.4. Funciones de base radial . 20 2.2. Estudio de diferentes m´etodos de interpolaci´onaplicados a la ge- ometr´ıay distribuci´onde datos propia de la glaciolog´ıa . 20 2.2.1. Datos de entrada . 21 2.2.2. Metodolog´ıa,resultados y conclusiones . 22 2.3. Interpolaci´onen zonas sin datos de espesor . 25 2.3.1. Datos de entrada . 26 2.3.2. Metodolog´ıay resultados . 26 3. Mallado Delaunay-Vorono¨ı 29 3.1. T´ecnicasde mallado . 29 3.1.1. Introducci´on. 29 3.1.2. Clases de m´etodos . 29 xi 3.1.3. M´etodos de descomposici´onespacial . 32 3.1.4. M´etodo de frente en avance . 33 3.1.5. M´etodos de Delaunay . 33 3.2. M´etodo de Delaunay-Vorono¨ı . 35 3.2.1. Triangulac´ıonde Delaunay y diagrama de Vorono¨ı. 35 3.2.2. Mallado de Delaunay . 37 3.3. Mallado Delaunay-Vorono¨ıde glaciares . 42 3.3.1. Mallado bidimensional . 42 3.3.2. Mallado tridimensional . 45 3.3.3. Consideraciones glaciol´ogicas. 49 4. Modelo de termomec´anicaglaciar 51 4.1. Ecuaciones b´asicasdel modelo (formulaci´onfuerte) . 51 4.1.1. Ecuaciones del submodelo din´amico. 51 4.1.2. Ecuaciones del submodelo t´ermico. 54 4.1.3. Ecuaciones del submodelo de evoluci´onde la superficie libre 54 4.2. Condiciones de contorno . 55 4.2.1. Submodelo din´amico . 55 4.2.2. Submodelo t´ermico . 59 4.3. Soluci´onnum´erica. 60 4.3.1. Formulaci´ond´ebildel sistema de Stokes, discretizaci´onme- diante elementos finitos y soluci´onnum´erica . 60 4.3.2. Formulaci´ond´ebilde la ecuaci´ont´ermica,discretizaci´on mediante elementos finitos y soluci´onnum´erica. 64 4.3.3. Soluci´onnum´ericade la ecuaci´onde evoluci´onde la super- ficie libre . 68 4.4. Consideraciones computacionales . 69 4.4.1. Elecci´onde los espacios de aproximaci´on . 69 4.4.2. Resoluci´onde los sistemas no lineales resultantes de las discretizaciones de elementos finitos . 70 5. Problema de la producci´onde icebergs (calving) en un glaciar con terminaci´onen el mar 71 5.1. Introducci´on. 71 5.2. Conceptos b´asicos. 72 5.3. Modelos de producci´onde icebergs . 72 5.3.1. Modelo de tensi´onde cizalla de flexi´on . 72 5.3.2. Modelo de profundidad de agua . 73 5.3.3. Modelo de flotaci´on. 74 5.3.4. Modelo inducido por la fusi´on . 75 5.3.5. Modelo de profundidad de grietas . 76 5.3.6. Extensi´ontridimensional del modelo de profundidad de gri- etas . 78 xii 6. Aplicaciones 81 6.1.