Jagiellonian University Faculty of Physics, Astronomy & Applied Computer Science Marian Smoluchowski Institute of Physics Spin and Orbital Polarons in Strongly Correlated Electron Systems Krzysztof Bieniasz A Ph.D. Thesis prepared under the supervision of prof. dr hab. Andrzej Michał Oleś Kraków 4239 Oświadczenie Ja, niżej podpisany, Krzysztof Bieniasz (nr indeksu: 323673;), doktorant Wydziału Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiel- lońskiego, oświadczam, że przedłożona przeze mnie rozprawa doktorska pt. „Polarony spinowe i orbitalne w układach silnie skorelowanych elektronów” (tytuł w języku angielskim: “Spin and Orbital Polarons in Strongly Correlated Electron Systems”) jest oryginalna i przedstawia wyniki badań wykonanych przeze mnie osobiście, pod kierunkiem prof. dra hab. Andrzeja M. Olesia. Pracę napisałem samodzielnie. Oświadczam, że moja rozprawa doktorska została opracowana zgodnie z Ustawą o prawie autorskim i prawach pokrewnych z dnia 6 lutego 3;;6 r. (Dziennik Ustaw 3;;6 nr 46 poz. :5 wraz z późniejszymi zmianami). Jestem świadom, że niezgodność niniejszego oświadczenia z prawdą, ujaw- niona w dowolnym czasie, niezależnie od skutków prawnych wynikających z wyżej wymienionej ustawy, może spowodować unieważnienie stopnia naby- tego na podstawie tej rozprawy. Kraków, 45 czerwca 4239 r. .............................. Streszczenie Właściwości układów silnie skorelowanych elektronów, a w szczególności skorelowanych izolatorów Motta, które są często spotykane wśród tlenków metali przejściowych, są istotnym zagadnieniem w fizyce fazy skonden- sowanej. Jednym z głównych problemów w tej dziedzinie, zwłaszcza ze względu na jego znaczenie dla eksperymentów fotoemisyjnych, jest zachowanie się ładunku poruszającego się w izolatorze Motta, sprzęga- jącego się do spinowych i orbitalnych stopni swobody, tworząc polaron. Zagadnienie istnienia oraz dynamicznych właściwości powstającej w ten sposób kwazicząstki da się rozwiązać za pomocą obliczeń funkcji Greena z modeli efektywnych. Niniejsza rozprawa doktorska poświęcona jest teorii polaronów spinowych i orbitalnych, t.j. kwazicząstek powstają- cych przez oddziaływanie z magnetycznym lub orbitalnym porządkiem dalekozasięgowym. W ramach tych badań zaproponowano modele efek- tywne opisujące dwa strukturalnie podobne układy: rodzinę związków miedziowo-tlenowych (zwanych kupratami, opisywaną za pomocą modelu t-J oraz jego rozszerzeń) oraz perowskit miedziowo-fluorowy (KCuF3, opisywany za pomocą modelu Kugela-Khomskiego). Rozwinięte zostały również metody analityczne i numeryczne, służące do obliczania jednoelek- tronowych funkcji Greena za pomocą rozwinięcia wokół stanu uporząd- kowanego, t.j. przybliżenie wariacyjne funkcji Greena oraz samozgodne przybliżenie Borna. Metody te zostały następnie użyte do rozwiązania trzech blisko spokrewnionych modeli układów polaronowych: dwuwymia- rowego modelu spinowego reprezentującego kupraty, dwuwymiarowego modelu orbitalnego zainspirowanego płaszczyznami CuF2 w układzie KCuF3 oraz pełnego trójwymiarowego modelu spinowo-orbitalnego opi- sującego związek KCuF3, który nigdy wcześniej nie został rozwiązany. Poprzez porównanie wyników dla układów z jednym stopniem swobody wyciągnięte są wnioski na temat wpływu oddziaływań ze spinowymi i orbitalnymi stopniami swobody na właściwości polaronów, co stanowi podstawę dla rozważań dotyczących modelu spinowo-orbitalnego. Po- nadto przedstawione są interesujące zjawiska pojawiające się w modelu spinowo-orbitalnym, takie jak efekty wymiarowe w konkurencji między spinowymi i orbitalnymi stopniami swobody, zmiana charakteru orbital- nego na spinowy pod wpływem oddziaływania wymiennego czy znaczenie oddziaływania Hunda dla magnetycznego stanu podstawowego układu. Praca kończy się krótką dyskusją wciąż otwartych problemów oraz możli- wości dalszych badań w tej tematyce. Abstract The properties of strongly correlated electron systems, in particular the correlated Mott insulators commonly encountered among transition metal oxides, are at the forefront of current research in condensed matter physics. One of the central problems in the field, particularly due to its relevance to photoemission experiments, is the behaviour of a charge injected into a Mott insulator which can couple to the ordered spin-orbital degrees of freedom to form a polaron. The questions of the existence and the dynamical properties of the ensuing quasiparticle state can be elucidated by means of Green’s function calculations from effective models of the system. In this thesis we explore the theory of spin and orbital polarons, i.e., quasiparticles resulting from the charge coupling to magnetic or orbital long range order. To this end, we develop effective models for two structurally similar systems: the copper-oxide series of high temperat- ure superconductors (or cuprates, modeled using the t-J model and its extensions), and the copper-fluoride perovskite (KCuF3, modeled using the Kugel-Khomskii model). We then develop analytical and numerical methods for calculating single electron Green’s functions by means of expansion around an ordered ground state, namely the Green’s function variational approximation and the self-consistent Born approximation. Subsequently, we apply these methods to solve three related polaronic model systems: purely spin planar model based on cuprates, purely or- bital planar model inspired by CuF2 planes of KCuF3, and the full three dimensional spin-orbital model for KCuF3 which has never been solved before. By comparing the results for the two cases with a single degree of freedom we demonstrate the differences between the spin and orbital interactions for the polaronic properties and draw general conclusions about the spin-orbital model. Further, we demonstrate a number of inter- esting effects encountered in the spin-orbital problem, such as dimensional interplay between orbitals and spins leading to polarons of predominantly orbital nature in the strong coupling regime; the orbital to spin polaron crossover under varying superexchange strength; or the importance of the Hund’s exchange in the settling of the magnetic ground state. We conclude by discussing open problems and proposing possible routes of continuation of the present work. Acknowledgments I would like to thank my advisor, Professor Andrzej M. Oleś, whose help and support was the fuel that propelled this work to its conclusion. His guidance and knowledge were invaluable motivators in the process of my self-development. I would also like to thank my colleagues and scientific collaborators, without whose expertise and cooperation it would not have been possible for me to complete this thesis. I am particularly indebted to Professor Mona Berciu from the University of British Columbia, the ongoing collaboration with whom produced most of the results that went into this thesis. I would also like to thank my co-advisor, Doctor Krzysztof Wohlfeld, for insightful discussions and words of encouragement. Usually what follows is a long list of relatives and friends whose support had an impact on the author’s work. I will not list them here, however, I would like to thank all the people without whose involvement this thesis would not have been completed in the timely manner that it was. Finally, I would like to acknowledge financial support from the Polish National Science Centre (ncn) under the “Etiuda” scholarship, project number 4237/38/t/st5/22725. I would further like to acknowledge support from ncn under project number 4234/26/a/st5/22553 as well as from the Pol- ish Ministry of Science and Higher Education under project number n n424 28;85;. Lastly, I would like to thank the Quantum Matter Institute, which has generously sponsored my first visit to the University of British Columbia in 4236. 9 Contents Acknowledgments 9 Contents ; Motivation 33 I Preliminaries 35 3 Introduction 37 3.3 Correlated Insulators . 37 3.4 Cuprates . 39 3.5 Orbital Ordered Systems and KCuF3 ............... 47 4 The Models 4; 4.3 The t-J Model . 4; 4.4 The Spin-Orbital Model . 55 4.5 The Planar Orbital Model . 5: 5 Methodology 63 5.3 The Green’s Function . 63 5.4 Self-Consistent Born Approximation . 67 5.5 Variational Method . 6; II Results 77 6 Cuprates: Purely Spin Systems 79 6.3 Introductory Information . 79 6.4 Convergence of the Variational Results . 7; 6.5 Three Site Terms . 85 6.6 Conclusions . 88 7 KCuF3 Planes: Purely Orbital Systems 89 7.3 Convergence of the Ising Model . 89 ; 32 Contents 7.4 The Role of Variational Constraints . 94 7.5 Significance of Orbital Fluctuations . 96 7.6 Conclusions . 98 8 Spin-Orbital Polarons in KCuF3 9; 8.3 The Orbital-Flop State . :2 8.4 Self-Energy Analysis . :5 8.5 Weak Interaction Limit . :7 8.6 The Kugel-Khomskii State . :9 8.7 Many Magnon Expansion . :; 8.8 The Hund Exchange . ;2 8.9 Conclusions . ;6 9 Summary ;9 A Real Space Propagators 323 B SAGE 329 Bibliography 333 List of Publications 33; Motivation I killed him for money and for a woman. I didn’t get the money and I didn’t get the woman. Fred MacMurray as Walter Neff in Billy Wilder’s Double Indemnity (3;66) Transition metal oxides are a varied group of chemical compounds notable for their huge diversity of interesting and potentially useful physical properties, ranging from superconductivity in cuprate systems to colossal magnetoresist- ance in cubic manganites LaMnO3. They exhibit a full range of conduction properties, from insulators to metals, some of them even displaying a crossover under metal-insulator transitions, like for instance vanadates V2O3. In terms