<p>University of California </p><p>Los&nbsp;Angeles </p><p>Metric Geometry in a Tame Setting </p><p>A&nbsp;dissertation&nbsp;submitted&nbsp;in&nbsp;partial&nbsp;satisfaction </p><p>of&nbsp;the&nbsp;requirements&nbsp;for&nbsp;the&nbsp;degree </p><p>Doctor&nbsp;of&nbsp;Philosophy&nbsp;in&nbsp;Mathematics by </p><p>Erik Walsberg </p><p>2015 </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">c</li><li style="flex:1">ꢀ Copyright&nbsp;by </li></ul><p>Erik&nbsp;Walsberg <br>2015 </p><p>Abstract of the Dissertation </p><p>Metric Geometry in a Tame Setting </p><p>by </p><p>Erik Walsberg </p><p>Doctor&nbsp;of&nbsp;Philosophy&nbsp;in&nbsp;Mathematics <br>University&nbsp;of&nbsp;California,&nbsp;Los&nbsp;Angeles,&nbsp;2015 Professor&nbsp;Matthias&nbsp;J.&nbsp;Aschenbrenner,&nbsp;Chair </p><p>We&nbsp;prove&nbsp;basic&nbsp;results&nbsp;about&nbsp;the&nbsp;topology&nbsp;and&nbsp;metric&nbsp;geometry&nbsp;of&nbsp;metric&nbsp;spaces&nbsp;which&nbsp;are </p><p>definable&nbsp;in&nbsp;o-minimal&nbsp;expansions&nbsp;of&nbsp;ordered&nbsp;fields. ii <br>The&nbsp;dissertation&nbsp;of&nbsp;Erik&nbsp;Walsberg&nbsp;is&nbsp;approved. <br>Yiannis&nbsp;N.&nbsp;Moschovakis Chandrashekhar&nbsp;Khare <br>David&nbsp;Kaplan <br>Matthias&nbsp;J.&nbsp;Aschenbrenner,&nbsp;Committee&nbsp;Chair </p><p>University&nbsp;of&nbsp;California,&nbsp;Los&nbsp;Angeles <br>2015 </p><p>iii </p><p>To Sam. </p><p>iv </p><p>Table of Contents </p><p>1 Introduction&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </p><p>15</p><p>2 Conventions&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Metric&nbsp;Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . </p><p>3.1&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. 3.2&nbsp;Maps&nbsp;Between&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. 3.3&nbsp;Covers&nbsp;and&nbsp;Packing&nbsp;Inequalities&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. <br>3.3.1&nbsp;The&nbsp;5r-covering&nbsp;Lemma&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;. </p><p>7</p><p>7899</p><p>3.3.2&nbsp;Doubling&nbsp;Metrics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;10 <br>3.4&nbsp;Hausdorff&nbsp;Measures&nbsp;and&nbsp;Dimension&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;11 <br>3.4.1&nbsp;Hausdorff&nbsp;Measures&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;11 3.4.2&nbsp;Hausdorff&nbsp;Dimension&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;13 <br>3.5&nbsp;Topological&nbsp;Dimension&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;15 3.6&nbsp;Left-Invariant&nbsp;Metrics&nbsp;on&nbsp;Groups&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;15 3.7&nbsp;Reductions,&nbsp;Ultralimits&nbsp;and&nbsp;Limits&nbsp;of&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;16 <br>3.7.1&nbsp;Reductions&nbsp;of&nbsp;Λ-valued&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;16 3.7.2&nbsp;Ultralimits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;17 3.7.3&nbsp;GH-Convergence&nbsp;and&nbsp;GH-Ultralimits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;18 3.7.4&nbsp;Asymptotic&nbsp;Cones&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;19 3.7.5&nbsp;Tangent&nbsp;Cones&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;22 3.7.6&nbsp;Conical&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;22 <br>3.8&nbsp;Normed&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;23 </p><p>4 T-Convexity&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;24 </p><p>4.1&nbsp;T-convex&nbsp;Structures&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;24 4.2&nbsp;The&nbsp;(K, O)-approximation&nbsp;Lemma&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;25 </p><p>4.3&nbsp;Imaginaries&nbsp;in&nbsp;Real&nbsp;Closed&nbsp;Valued&nbsp;Fields&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;27 4.4&nbsp;Uniform&nbsp;Limits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;28 </p><p>5 Definition&nbsp;and Examples of Definable Metric Spaces&nbsp;. . . . . . . . . . . .&nbsp;30 </p><p>5.1&nbsp;Definable&nbsp;Sets&nbsp;with&nbsp;Euclidean&nbsp;Metrics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;30 5.2&nbsp;Products,&nbsp;Sums&nbsp;and&nbsp;Cones&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;30 <br>5.2.1&nbsp;Products&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;31 </p><p>v</p><p>5.2.2&nbsp;Disjoint&nbsp;Sums&nbsp;and&nbsp;Wedge&nbsp;Sums&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;31 5.2.3&nbsp;The&nbsp;Euclidean&nbsp;Cone&nbsp;over&nbsp;a&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;31 <br>5.3&nbsp;Snowflakes&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;32 <br>5.3.1&nbsp;Infinite&nbsp;Hausdorff&nbsp;Measure&nbsp;and&nbsp;Dimension&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;32 <br>5.4&nbsp;Metrics&nbsp;Defined&nbsp;using&nbsp;the&nbsp;Logarithm&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;33 <br>5.4.1&nbsp;Hyperbolic&nbsp;Space&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;33 5.4.2&nbsp;The&nbsp;Hyperbolic&nbsp;Cone&nbsp;over&nbsp;a&nbsp;Definable&nbsp;Metric&nbsp;Space&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;34 5.4.3&nbsp;Noncompact&nbsp;Symmetric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;34 5.4.4&nbsp;Hilbert&nbsp;Metrics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;34 5.4.5&nbsp;Approximate&nbsp;Ultrametrics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;34 5.4.6&nbsp;Multiplicative&nbsp;Metrics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;35 <br>5.5&nbsp;Carnot&nbsp;Metrics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;35 5.6&nbsp;Euclidean&nbsp;Groups&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;37 5.7&nbsp;Metrics&nbsp;Associated&nbsp;To&nbsp;Definable&nbsp;Families&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;37 <br>5.7.1&nbsp;Hausdorff&nbsp;Metrics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;37 5.7.2&nbsp;Metric&nbsp;Associated&nbsp;To&nbsp;Definable&nbsp;Families&nbsp;of&nbsp;Functions&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;37 5.7.3&nbsp;Examples&nbsp;constructed&nbsp;using&nbsp;the&nbsp;CLR-volume&nbsp;Theorem&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;37 <br>5.8&nbsp;Definable&nbsp;Metrics&nbsp;with&nbsp;Noneuclidean&nbsp;Topology&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;38 <br>5.8.1&nbsp;Discrete&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;38 5.8.2&nbsp;A&nbsp;Definable&nbsp;Metric&nbsp;Space&nbsp;with&nbsp;Cantor&nbsp;Rank&nbsp;1&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;39 5.8.3&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;Associated&nbsp;to&nbsp;Definable&nbsp;Simplicial&nbsp;Complexes&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;39 5.8.4&nbsp;Cayley&nbsp;Graphs&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;40 <br>5.9&nbsp;Subriemannian&nbsp;Metrics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;42 </p><p>6 O-minimal&nbsp;Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;43 </p><p>6.1&nbsp;Generic&nbsp;Properties&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;43 6.2&nbsp;Hausdorff&nbsp;Limits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;47 6.3&nbsp;One-Variable&nbsp;Definable&nbsp;Functions&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;48 6.4&nbsp;A&nbsp;Polynomial&nbsp;Volume&nbsp;Bound&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;49 </p><p>7 Basics&nbsp;on Definable Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;50 </p><p>7.1&nbsp;Definable&nbsp;Completeness&nbsp;And&nbsp;Compactness&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;50 7.2&nbsp;The&nbsp;Definable&nbsp;Completion&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;54 </p><p>8 Gromov-Hausdorff&nbsp;Limits of Definable Metric Spaces . . . . . . . . . . . .&nbsp;57 </p><p>8.1&nbsp;Uniqueness&nbsp;of&nbsp;GH-Limits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;57 </p><p>vi </p><p>8.2&nbsp;GH-Limits&nbsp;and&nbsp;Pointwise&nbsp;Limits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;59 </p><p>9 Topology&nbsp;of Definable Metric Spaces&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;61 </p><p>9.1&nbsp;Definably&nbsp;Separable&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;61 9.2&nbsp;A&nbsp;Definable&nbsp;Compactification&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;62 9.3&nbsp;Covering&nbsp;Definably&nbsp;Compact&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;69 9.4&nbsp;Product&nbsp;Structure&nbsp;of&nbsp;General&nbsp;Definable&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;72 9.5&nbsp;Topological&nbsp;Dimension&nbsp;of&nbsp;Definable&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;74 </p><p>10 Metric Geometry of Definable Metric Spaces&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;76 </p><p>10.1&nbsp;A&nbsp;Lower&nbsp;Bound&nbsp;on&nbsp;d .&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;76 10.2&nbsp;Upper&nbsp;Bounds&nbsp;on&nbsp;d .&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;78 10.3&nbsp;Fine&nbsp;Hausdorff&nbsp;Dimension&nbsp;and&nbsp;Hausdorff&nbsp;Dimension&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;83 <br>10.3.1&nbsp;Fine&nbsp;Hausdorff&nbsp;Dimension&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;83 </p><p>10.3.2&nbsp;Hausdorff&nbsp;Dimension&nbsp;and&nbsp;Fine&nbsp;Hausdorff&nbsp;Dimension&nbsp;of&nbsp;Definable&nbsp;Met- </p><p>ric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;84 <br>10.4&nbsp;Tangent&nbsp;Cones&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;88 10.5&nbsp;Semilinear&nbsp;Metric&nbsp;Spaces&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;91 10.6&nbsp;Doubling&nbsp;Metrics&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;92 </p><p>¯</p><p>11 R<sub style="top: 0.1494em;">an</sub>-definable Metric Spaces&nbsp;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;94 </p><p>11.1&nbsp;The&nbsp;CLR&nbsp;Theorem&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;94 11.2&nbsp;Tangent&nbsp;Cones&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;95 11.3&nbsp;Hausdorff&nbsp;Dimension&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;96 11.4&nbsp;Weak&nbsp;Precompactness&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;98 </p><p>12 GH-limits of Semialgebraic Families of Metric Spaces . . . . . . . . . . . .&nbsp;103 </p><p>12.1&nbsp;Definability&nbsp;of&nbsp;GH-limits&nbsp;of&nbsp;Sequences&nbsp;of&nbsp;Elements&nbsp;of&nbsp;X .&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;103 12.2&nbsp;Further&nbsp;Results&nbsp;on&nbsp;GH-limits&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;105 12.3&nbsp;GH-ultralimits&nbsp;of&nbsp;Sequences&nbsp;of&nbsp;Elements&nbsp;of&nbsp;X .&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;109 <br>12.3.1&nbsp;Applications&nbsp;of&nbsp;Weak&nbsp;Precompactness&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;110 </p><p>13 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;111 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&nbsp;113 </p><p>vii </p><p>Acknowledgments </p><p>I&nbsp;must&nbsp;thank&nbsp;many&nbsp;people.&nbsp;I&nbsp;thank&nbsp;my&nbsp;parents,&nbsp;for&nbsp;support.&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;my&nbsp;mother&nbsp;for pointing&nbsp;out&nbsp;the&nbsp;math&nbsp;books&nbsp;in&nbsp;the&nbsp;Tempe&nbsp;public&nbsp;library.&nbsp;I&nbsp;thank&nbsp;my&nbsp;advisor,&nbsp;Matthias Aschenbrenner,&nbsp;for&nbsp;greatly&nbsp;improving&nbsp;my&nbsp;writing,&nbsp;for&nbsp;allowing&nbsp;me&nbsp;to&nbsp;pursue&nbsp;my&nbsp;own&nbsp;ideas, and&nbsp;for&nbsp;tolerating&nbsp;a&nbsp;far-from-ideal&nbsp;student.&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;Samantha&nbsp;Xu&nbsp;for&nbsp;telling&nbsp;me&nbsp;to&nbsp;ignore the&nbsp;audience.&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;my&nbsp;professors&nbsp;at&nbsp;ASU:&nbsp;Matthias&nbsp;Kawski,&nbsp;John&nbsp;Quigg and&nbsp;Jack&nbsp;Spielberg.&nbsp;I&nbsp;would&nbsp;like&nbsp;to&nbsp;thank&nbsp;Wayne&nbsp;Raskind&nbsp;for&nbsp;telling&nbsp;me&nbsp;to&nbsp;apply&nbsp;to&nbsp;UCLA. Thanks&nbsp;to&nbsp;my&nbsp;professors&nbsp;in&nbsp;Budapest:&nbsp;to&nbsp;Gabor&nbsp;Elek&nbsp;for&nbsp;his&nbsp;teaching&nbsp;and&nbsp;to&nbsp;Mikl´os&nbsp;Erd´elyiSzabo´&nbsp;for&nbsp;his&nbsp;model&nbsp;theory&nbsp;class&nbsp;(this&nbsp;is&nbsp;all&nbsp;his&nbsp;fault).&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;Yiannis&nbsp;Moschovakis&nbsp;for the&nbsp;gift&nbsp;of&nbsp;a&nbsp;computer&nbsp;on&nbsp;which&nbsp;much&nbsp;of&nbsp;this&nbsp;thesis&nbsp;was&nbsp;written.&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;the&nbsp;logic&nbsp;group at&nbsp;UCLA.&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;Sherwood&nbsp;Hachtman&nbsp;and&nbsp;Siddharth&nbsp;Bhaskar.&nbsp;I&nbsp;thank&nbsp;the&nbsp;logic&nbsp;group in&nbsp;Urbana&nbsp;for&nbsp;hospitality&nbsp;during&nbsp;Fall&nbsp;2014.&nbsp;I&nbsp;thank&nbsp;Deirdre&nbsp;Haskell&nbsp;and&nbsp;Ehud&nbsp;Hrushovksi&nbsp;for useful&nbsp;conversations&nbsp;concerning&nbsp;the&nbsp;material&nbsp;in&nbsp;Chapter&nbsp;11.&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;Bill&nbsp;Chen&nbsp;for&nbsp;games of&nbsp;ping&nbsp;pong&nbsp;and&nbsp;badminton.&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;Ashay&nbsp;Burungale&nbsp;for&nbsp;the&nbsp;movies.&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;Paul </p><p>White,&nbsp;for&nbsp;thirteen&nbsp;years&nbsp;of&nbsp;friendship.&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;Ben&nbsp;Hayes&nbsp;and&nbsp;Stephanie&nbsp;Lewkiewicz. </p><p>Thanks&nbsp;Alan&nbsp;Mackey&nbsp;for&nbsp;uniting&nbsp;our&nbsp;powers.&nbsp;Thanks&nbsp;to&nbsp;all&nbsp;the&nbsp;friends&nbsp;I&nbsp;had&nbsp;in&nbsp;the&nbsp;UCLA math&nbsp;department,&nbsp;too&nbsp;many&nbsp;to&nbsp;name.&nbsp;For&nbsp;five&nbsp;years&nbsp;you&nbsp;made&nbsp;this&nbsp;place&nbsp;home. </p><p>viii </p><p>Vita </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2006-2010 </li><li style="flex:1">B.S.&nbsp;in&nbsp;Mathematics&nbsp;at&nbsp;Arizona&nbsp;State&nbsp;University. </li></ul><p>ix </p><p>CHAPTER 1 Introduction </p><p>In this chapter we assume that R is an o-minimal expansion of the real field. By “definable” we mean “R-definable, possibly with parameters from R”. Much&nbsp;of&nbsp;our&nbsp;work&nbsp;is&nbsp;done&nbsp;over </p>