Integration in Terms of Exponential Integrals and Incomplete Gamma Functions

Integration in Terms of Exponential Integrals and Incomplete Gamma Functions

<p>IIIII</p><p>IIIIIIII</p><p>III</p><p>II</p><p>0</p><p>( )<sup style="top: -0.3753em;">0 </sup>= <br>Γ( , )<sup style="top: -0.3754em;">0 </sup>= </p><p>− &lt; </p><p>( )/ </p><p>0</p><p>/</p><p>(− ) <br>= (&nbsp;+ )/ </p><p>&lt;</p><p>( − )<sup style="top: -0.3753em;">0 </sup>= </p><p>−</p><p>( − <br>)<br>( − )<sup style="top: -0.3753em;">0 </sup>= </p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">)</li></ul><p></p><p>−</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">( ) </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢂ</li><li style="flex:1">ꢃ</li></ul><p></p><p>√√</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">√</li><li style="flex:1">√</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p>ꢁ</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p>−</p><p>+</p><p>−−</p><p>+</p><p>√</p><p>√</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢂ</li><li style="flex:1">ꢃ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">√</li><li style="flex:1">√</li><li style="flex:1">√</li><li style="flex:1">√</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p>−</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li></ul><p></p><p>√</p><p>((<br>))</p><p>√</p><p>( − ) </p><p>π</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p>√</p><p>( + )&nbsp;π + </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">−</li><li style="flex:1">−</li><li style="flex:1">−</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p>√</p><p>π</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">) + </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p>−</p><p>−Γ </p><p>,</p><p>−</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p>Γ</p><p>,</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li></ul><p></p><p>−</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">−</li><li style="flex:1">−</li><li style="flex:1">−</li></ul><p></p><p>Γ</p><p>,</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li></ul><p></p><p>− Γ </p><p>,</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li></ul><p></p><p>−<br>−</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">( + )&nbsp;− </li><li style="flex:1">( )&nbsp;( )&nbsp;+ </li><li style="flex:1">( )&nbsp;( )&nbsp;+ </li><li style="flex:1">( )&nbsp;(− ) </li></ul><p></p><p>q</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢂ</li><li style="flex:1">ꢃ</li></ul><p></p><p>π</p><p>q</p><p>π</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢂ</li><li style="flex:1">ꢃ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">√</li><li style="flex:1">√</li></ul><p></p><p>√</p><p>+ + <br>+ + </p><p>−</p><p>π</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢄ</li><li style="flex:1">ꢅ</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ꢀ</li><li style="flex:1">ꢁ</li></ul><p></p><p>+</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li></ul><p>+</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">0</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">/</li><li style="flex:1">,</li></ul><p></p><p>∈</p><p>=</p><p>III</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">=</li><li style="flex:1">(θ) θ </li></ul><p></p><p>θ</p><p><sup style="top: -0.2344em;">0</sup>θ </p><p>(θ+ ) </p><p>∈</p><p>θ<sup style="top: -0.3298em;">0 </sup>= </p><p>θ/ <br>−θ θ ,&nbsp;. . . , θ&nbsp;∈ </p><p>=</p><p>(θ ,&nbsp;. . . , θ&nbsp;) </p><p>≤ ≤ </p><p>θ</p><p>θ<sup style="top: -0.2344em;">0 </sup></p><p>θ</p><p>0</p><p>=</p><p>∈∈</p><p>0</p><p>θ<sup style="top: -0.3299em;">0 </sup>= </p><p>0</p><p>θ<sup style="top: -0.3299em;">0 </sup>= </p><p>,</p><p>∈</p><p>=</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">0</li></ul><p>0</p><p>, , </p><p>∈</p><p>,</p><p>θ<sup style="top: -0.3299em;">0 </sup>= </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">0</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">=</li><li style="flex:1">=</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">− &lt; </li><li style="flex:1">&lt;</li></ul><p></p><p>=</p><p>(θ ,&nbsp;. . . , θ <sub style="top: 0.1402em;">− </sub></p><p>)</p><p>∈</p><p>(θ) </p><p>θ</p><p>¯<br>(θ) </p><p>0</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">X</li><li style="flex:1">X</li></ul><p></p><p>=(θ) </p><p>X</p><p>(θ) <br>(θ) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">0</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">=</li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">∈</li><li style="flex:1">∈</li><li style="flex:1">∈</li></ul><p>0</p><p>¯</p><p>0</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">∈</li><li style="flex:1">∈</li><li style="flex:1">∈</li><li style="flex:1">∪</li></ul><p>∈</p><p>(θ) </p><p>∈</p><p>,</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">∈</li><li style="flex:1">∈</li><li style="flex:1">∈</li></ul><p></p><p>=</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">θ</li><li style="flex:1">θ</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">X</li><li style="flex:1">X</li></ul><p></p><p>θ</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">0</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">θ = (&nbsp;θ)<sup style="top: -0.3754em;">0 </sup>+ </li><li style="flex:1">+</li></ul><p></p><p>θ</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">∈</li><li style="flex:1">∈</li></ul><p>0</p><p>θ = (&nbsp;θ)<sup style="top: -0.3299em;">0 </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">θ</li><li style="flex:1">θ<sup style="top: -0.3299em;">0 </sup>= <sup style="top: -0.3299em;">0</sup>θ </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">X</li><li style="flex:1">X</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">0</li><li style="flex:1">0</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">=</li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">∈</li><li style="flex:1">∈</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">,</li><li style="flex:1">,</li></ul><p></p><p>X</p><p>0</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">=</li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li></ul><p></p><p>IIII</p><p>I</p><p>ψ</p><p>(ψ) </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">=</li><li style="flex:1">+ ψ + </li></ul><p></p><p>∈<br>∈ Q = </p><p>ψψψ</p><p>[ψ] </p><p>[ψ, ψ<sup style="top: -0.3298em;">− </sup></p><p>]<br>[ψ] </p><p>ψψ</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">=</li><li style="flex:1">+ ψ + </li></ul><p></p><p>,</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">,</li><li style="flex:1">,</li></ul><p></p><p>∂</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">ψ</li><li style="flex:1">,</li></ul><p></p><p>∂</p><p>ψ</p><p>0</p><p>( )&nbsp;&gt; <br>, ) = <br>( )&nbsp;&gt; <br>(</p><p>,</p><p>ψ</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">, ) = </li></ul><p></p><p>,</p><p>∂</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">, ) = </li></ul><p></p><p>ψ<br>,</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">√</li><li style="flex:1">√</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">√</li><li style="flex:1">√</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">−</li><li style="flex:1">0</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">)</li><li style="flex:1">( )/( − ) = </li></ul><p></p><p>( − )<sup style="top: -0.3754em;">0 </sup>− </p><p>( + <br>(φ)<sup style="top: -0.3299em;">0 </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">P</li><li style="flex:1">Q</li></ul><p></p><p>0</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(φ + </li><li style="flex:1">)</li><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">)</li></ul><p>( )&nbsp;= </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">˜</li><li style="flex:1">−˜ </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">( ) )/( (&nbsp;) +&nbsp;) =&nbsp;(( (&nbsp;) +&nbsp;) )<sup style="top: -0.3753em;">0</sup>/( </li><li style="flex:1">)</li></ul><p></p><p>,</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">( ) + </li><li style="flex:1">( ))&nbsp;+ ( </li><li style="flex:1">( ) + </li><li style="flex:1">( )&nbsp;+ )) </li><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">( ) ) </li></ul><p>=<br>( )(&nbsp;( )&nbsp;+ )(&nbsp;( )&nbsp;+ ) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">( ((&nbsp;( )&nbsp;+ )(&nbsp;( )&nbsp;+ ))<sup style="top: -0.3753em;">0</sup>/ ( )(&nbsp;( )&nbsp;+ ))<sup style="top: -0.3753em;">0</sup>. </li><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">(</li></ul><p></p><p>ꢄ</p><p>ꢅ<sub style="top: 0.2265em;">0 </sub></p><p>ꢄ</p><p>ꢅ<sub style="top: 0.2265em;">0 </sub></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">( )/( (&nbsp;)+ ))&nbsp;= </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">−</li><li style="flex:1">−</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">+</li><li style="flex:1">+</li></ul><p></p><p>ψ</p><p>+<br>( − ( ))&nbsp;= (&nbsp;)<sup style="top: -0.3754em;">0 </sup></p><p>ψψ</p><p>∈</p><p>−</p><p>(( + )&nbsp;( )) <br>( ) </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">( )) </li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(( + )&nbsp;( ))<sup style="top: -0.3753em;">0 </sup>= </li><li style="flex:1">=</li></ul><p>( ) </p><p>ψ</p><p>∈</p><p>X</p><p>˜<br>=</p><p>,,</p><p>,<br>,<br>,</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">,</li><li style="flex:1">,</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">) = </li></ul><p></p><p>ψ</p><p>,</p><p>≥</p><p>=</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(− </li><li style="flex:1">−</li></ul><p></p><p>( ) ) ψ = (&nbsp;) </p><p>= −ψ − </p><p>+</p><p>∂</p><p>= − ψ </p><p>ψ</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">( , ∂<sub style="top: 0.1481em;">ψ </sub>) =&nbsp;( − </li><li style="flex:1">)</li><li style="flex:1">( , ∂<sub style="top: 0.1481em;">ψ </sub>) = </li><li style="flex:1">=</li></ul><p>( ))<sup style="top: -0.3299em;">0 </sup><br>= −ψ <br>(</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">= Γ(&nbsp;/ , </li><li style="flex:1">( ))<sup style="top: -0.3753em;">0 </sup>= </li></ul><p></p><p>(− </p><p>( )&nbsp;+ / ). <br>==</p><p>(− </p><p>( )) <br>/ ))<sup style="top: -0.3299em;">0 </sup>= </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">= − </li><li style="flex:1">( ) </li><li style="flex:1">=</li></ul><p>( ) +&nbsp;/ ) <br>+<br>( / ) </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">(</li></ul><p></p><p>(− </p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">√</li><li style="flex:1">√</li><li style="flex:1">√</li></ul><p></p><p>π</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(</li><li style="flex:1">)<sup style="top: -0.3754em;">0 </sup>= </li></ul><p>(− )/ <br>=</p><p>(− −&nbsp;( )/ ) </p>

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