The Trinomial Asset Pricing Model MVEX01-16-26 Kandidatarbete inom civilingenj¨orsutbildningen vid Chalmers Johan Bj¨orefeldt Dick Hee Edvin Malmg˚ard Vilhelm Niklasson Tom Pettersson Jakob Rados Institutionen f¨or matematiska vetenskaper Chalmers tekniska h¨ogskola G¨oteborgs universitet G¨oteborg 2016 The Trinomial Asset Pricing Model Kandidatarbete i matematik inom civilingenj¨orsprogrammet Industriell ekonomi vid Chalmers Johan Bj¨orefeldt Edvin Malmg˚ard Vilhelm Niklasson Tom Pettersson Jakob Rados Kandidatarbete i matematik inom civilingenj¨orsprogrammet Teknisk matematik vid Chalmers Dick Hee Handledare: Simone Calogero Examinator: Maria Roginskaya Institutionen f¨or matematiska vetenskaper Chalmers tekniska h¨ogskola G¨oteborgs universitet G¨oteborg 2016 Institutionen f¨or matematiska vetenskaper G¨oteborg 2016 Popul¨arvetenskaplig presentation Har du n˚agong˚ang blivit frustrerad av att priset p˚an˚agotsom du planerade att k¨opa pl¨otsligt steg precis innan du skulle k¨opa det? Kanske hade du l¨ange planerat att ˚aka p˚aen semesterresa, men samma dag som du skulle k¨opa biljetter s˚ah¨ojde resebolaget priset med 3000 kr. Vad du skulle kunna haft nytta av i ett s˚adant l¨age ¨ar n˚agotsom kallas f¨or en option. En option ¨ar ett avtal mellan tv˚aparter som ger innehavaren r¨atten, men inte skyldigheten, att i framtiden k¨opa eller s¨alja en produkt (kallad underliggande tillg˚ang) till ett f¨orbest¨amt pris. F¨or att f˚aden h¨ar r¨attigheten betalar k¨oparen av op- tionen en liten summa pengar till den som st¨aller ut optionen. En kritisk fr˚aga ¨ar hur dessa optioner ska priss¨attas p˚aett r¨attvist s¨att. Det ¨ar i teorin m¨ojligt att teckna optioner f¨or m˚anga olika typer av produkter, ¨aven semesterresor. Vanligtvis anv¨ands dock optioner p˚aden finansiella marknaden och pro- dukterna i fr˚aga ¨ar aktier, det vill s¨aga sm˚a ¨agarandelar i f¨oretag. F¨or att kunna best¨am- ma priset p˚aen option m˚aste antaganden g¨oras kring hur v¨ardet av den underliggande tillg˚angen f¨or¨andras. En modell f¨or hur aktier kan modelleras beskrivs av den s˚akallade trinomialmodellen. Enligt denna modell s˚akan aktiepriset i varje tidsintervall, exem- pelvis varje dag eller varje timme, r¨ora sig i en av tre m¨ojliga riktningar med olika sannolikheter. Antingen r¨or sig priset upp eller ner med vissa specificerade procentsat- ser, eller s˚af¨orblir priset of¨or¨andrat. En av de vanligaste optionerna p˚aden finansiella marknaden ¨ar den s˚akallade europeiska k¨opoptionen. Denna option ger ¨agaren m¨ojligheten att i framtiden, vid den f¨orbest¨amda l¨osendagen, k¨opa en aktie f¨or ett visst l¨osenpris. Den avkastning (payoff) som optionen ger best¨ams av skillnaden mellan aktiens pris p˚al¨osendagen och det f¨orbest¨amda l¨o- senpriset. Om aktiepriset ¨ar l¨agre ¨an l¨osenpriset v¨aljer givetvis optionsinnehavaren att inte nyttja optionen eftersom det ¨ar billigare att k¨opa aktien f¨or dess verkliga pris och payoffen blir noll. Ett r¨attvist pris f¨or en option ska inte vara till varken s¨aljarens eller k¨oparens f¨ordel. Den som till exempel s¨aljer optionen ska allts˚ainte ha m¨ojlighet att g¨ora en garante- rad vinst oavsett hur s¨aljint¨akterna investeras. Utifr˚andetta antagande g˚ardet att visa att det r¨attvisa priset f¨or en option ¨ar den tidsjusterade (diskonterade) genomsnittliga payoffen givet vissa riskneutrala sannolikheter i trinomialmodellen. Eftersom det finns flera riskneutrala sannolikheter f¨or aktiepriset i trinomialmodellen s˚akommer dock inte det r¨attvisa priset att vara unikt. Som en f¨oljd av detta ¨ar det inte alltid m¨ojligt att replikera v¨ardet av en option (¨aven kallat hedga) i trinomialmodellen genom att endast investera i den underliggande aktien och en riskfri tillg˚ang(r¨antepapper). Marknaden s¨ags s˚aledes vara ofullst¨andig. Vid sidan om trinomialmodellen finns det m˚anga andra modeller f¨or att priss¨atta optio- ner d¨ar den vanligaste ¨ar Black-Scholes-modellen. Denna modell introducerades 1973 och flera av personerna bakom modellen bel¨onades med Sveriges Riksbanks pris i ekonomisk vetenskap till Alfred Nobels minne ˚ar1997. Inom den finansiella marknaden anses detta vara det korrekta priset f¨or optioner. En av f¨ordelarna med deras modell ¨ar att priset kan uttryckas med hj¨alp av en matematisk formel som enkelt kan ber¨aknas. En nackdel ¨ar dock att den inte fungerar till alla priss¨atta alla typer av optioner, vilket skapar ett behov av exempelvis trinomialmodellen som ¨ar mer generell men inte lika exakt. N¨ar tidsintervallen i trinomialmodellen s¨atts till v¨aldigt sm˚av¨arden i kombination med vissa villkor p˚a ¨ovriga parametrar i modellen n¨armar sig dock dess pris Black-Scholes-priset, f¨orutsatt att det sistn¨amnda priset existerar. En annan vanlig modell f¨or optionspriss¨attning ¨ar binomialmodellen. Till skillnad fr˚an trinomialmodellen bygger denna modell p˚aantagandet att priset f¨or den underliggande tillg˚angen endast kan r¨ora sig i tv˚aolika riktningar i varje tidsintervall, antingen upp eller ner. En s˚adanbegr¨ansning i r¨orelsem¨onstret g¨or det enklare att implementera bino- mialmodellen ¨an trinomialmodellen. Trinomialmodellen har dock f¨ordelen att det kr¨avs f¨arre tidsintervall innan priset stabiliseras och n¨armar sig Black-Scholes-priset. Detta m¨ojligg¨or kortare ber¨akningstider, vilket anses v¨ardefullt. Det ¨ar av speciellt intresse att anv¨anda trinomialmodellen f¨or att priss¨atta optioner med mer komplexa payoff-strukturer ¨an den som exempelvis beskrevs f¨or den europe- iska k¨opoptionen. Dessa s˚akallade exotiska optioner d¨ar payoffen exempelvis kan bero p˚aden underliggande aktiens genomsnittliga v¨arde under hela l¨optiden saknar ofta ett Black-Scholes-pris och det blir d¨arf¨or n¨odv¨andigt att till¨ampa andra modeller. Trino- mialmodellen kan f¨or det mesta till¨ampas och priset best¨ams som tidigare beskrivits utifr˚anden diskonterade genomsnittliga payoffen. P˚agrund av att ber¨akningarna ibland ¨ar v¨aldigt tidskr¨avande ¨ar det dock inte alltid en bra l¨osning att anv¨anda trinomialmo- dellen f¨or att priss¨atta s˚adana optioner. Med kunskap om optioner och trinomialmodellen samt dess breda till¨ampningsomr˚a- den b¨or det st˚aklart att det finns m˚angaf¨ordelar med att anv¨anda dem. Oavsett om det handlar om aktier eller semesterresor kan de implementeras med framg˚ang. Sammanfattning Optioner har en stor betydelse p˚aden finansiella marknaden. Under l˚ang tid har mate- matiker arbetat med att ta fram det r¨attvisa priset f¨or olika typer av optioner. I det h¨ar kandidatarbetet unders¨oker vi hur trinomialmodellen fungerar som priss¨attningsmetod. Vi ger en f¨orklaring till modellen och d¨arifr˚anh¨arleder vi villkoren som kr¨avs f¨or att den ska kunna anv¨andas f¨or att ber¨akna det r¨attvisa priset av europeiska optioner. Vi unders¨oker ¨aven hur modellen approximerar Black-Scholes-priset, samt applicerar trino- mialmodellen f¨or att priss¨atta sex olika typer av exotiska optioner. I v˚arslutsats har vi kommit fram till att f¨orutsatt vissa restriktioner konvergerar trinomi- almodellen mot Black-Scholes-priset. Vi har ¨aven kommit fram till att trinomialmodellen ¨ar v¨aldigt anv¨andbar f¨or att ber¨akna det r¨attvisa priset f¨or amerikanska optioner. Detta beror p˚aatt i j¨amf¨orelse med den mindre avancerade binomialmodellen konvergerar tri- nomialmodellen snabbare till Black-Scholes-priset. Vid priss¨attning av exotiska optioner ¨ar slutsatsen att trinomialmodellen ofta kan vara anv¨andbar n¨ar optionens slutv¨arde inte beror p˚av¨agen av den underliggande tillg˚angen. Abstract Options play an important part in financial markets. Throughout the years, several pricing theories have been developed to generate fair prices for options of different sorts. In this thesis we investigate the trinomial asset pricing model. After giving an expla- nation of its properties, we use the trinomial model to derive a fair price of standard European options. We study the trinomial model approximation of the Black-Scholes price and finally apply the trinomial model on six different exotic options. We have found that, under certain conditions on the model parameters, the trinomial price converges to the Black-Scholes price. Furthermore, we have established that pricing American put options works well using the trinomial model. Regarding the investigated exotic options, we conclude that the trinomial model can often be suitable to use when pricing exotic options that are not path dependent. In relation to the less advanced bi- nomial model, the trinomial model has the advantage of converging to the Black-Scholes price faster than the binomial model. Preface This thesis was produced at Chalmers University of Technology in Sweden, during the spring of 2016. The project group consisted of five students of the Industrial Engineering and Management programme, as well as one student of the Engineering Mathematics programme. The thesis has been written primarily in English, as we consider it to be the most fitting language for this type of project, however as it was done at a Swedish institution we have included abstract and popular science summary written in Swedish above, as well as an extended Swedish summary in Appendix D. All theorems included in this report have been produced by the project group, unless otherwise stated. We would like to thank everyone involved in this project. We would like to especially thank our supervisor, Simone Calogero, who has been driving us forward and supporting us every step of the way. We were first introduced to option pricing concepts during his course Options and Mathematics; without him we would have never gotten the chance to work on this interesting project.