<p>Steiner Minimal Trees<sup style="top: -0.5201em;">∗ </sup></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">Bang Ye Wu </li><li style="flex:1">Kun-Mao Chao </li></ul><p></p><p>1 Steiner&nbsp;Minimal Trees </p><p>⊂<br>••</p><p>2</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">2</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">2</li></ul><p></p><p>−−<br>−</p><p>11<br>22</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">2</li></ul><p>1</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">|</li><li style="flex:1">|</li><li style="flex:1">|</li><li style="flex:1">−</li><li style="flex:1">|</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">2</li></ul><p></p><p>1.1 Approximation&nbsp;by MST </p><p>⊂<br>⊂</p><p>Problem Instance Goal </p><p>⊂<br>⊂</p><p><sup style="top: -0.3168em;">∗</sup>An excerpt from the book “Spanning Trees and Optimization Problems,” by Bang Ye Wu and Kun-Mao Chao <br>(2004), Chapman &amp; Hall/CRC Press, USA. </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(a) </li><li style="flex:1">(b) </li></ul><p></p><p>Exact Cover by 3-Sets <br>MST-Steiner </p><p>⊂<br>← ∅ <br>∈</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">1 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">2 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">1 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">2 </sub></li></ul><p></p><p>88<br>4</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">2</li></ul><p>2</p><p><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">3 </sub></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">8</li><li style="flex:1">7</li></ul><p></p><p><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">1 </sub></p><p>6<br>5</p><p><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">4 </sub></p><p>7</p><p><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">2 </sub></p><p>1<br>4<br>6<br>9</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">8</li><li style="flex:1">5</li></ul><p>5<br>8<br>9</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">3</li><li style="flex:1">8</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.2em;">3 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.2em;">3 </sub></li></ul><p></p><p>7</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">4 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">5 </sub></li></ul><p><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">4 </sub><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">5 </sub></p><p>8<br>(a) <br>(b) </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">1 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">2 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">1 </sub></li></ul><p></p><p>4<br>2</p><p><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">1 </sub></p><p>7<br>6</p><p><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">2 </sub></p><p>1<br>5</p><p>3</p><p><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">3 </sub><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">4 </sub></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">4 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">5 </sub></li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(c) </li><li style="flex:1">(d) </li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.24em;">1 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.24em;">2 </sub></li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">1 </sub></li><li style="flex:1"><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">2 </sub></li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">2</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">2</li></ul><p></p><p><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">1 </sub><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">1 </sub></p><p>5</p><p><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">2 </sub></p><p>1</p><p><em>u</em><sub style="top: 0.22em;">2 </sub></p><p>1</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">4</li><li style="flex:1">4</li></ul><p>3<br>3</p><p><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">3 </sub><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">3 </sub><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">5 </sub><em>v</em><sub style="top: 0.22em;">4 </sub><em>v</em><sub style="top: 0.24em;">4 </sub></p><p>(e) <br>(f) </p><p>MST-Steiner </p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">{ | ≤&nbsp;≤ } </li><li style="flex:1">≤</li><li style="flex:1">≤</li></ul><p>∈</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">4</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">4</li></ul><p></p><p>∈</p><p>21<br>32</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">3</li><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">3</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">5</li><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">5</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">2</li></ul><p></p><p>≤</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">≥</li><li style="flex:1">≥</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">≤</li><li style="flex:1">≤</li></ul><p></p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">... </li><li style="flex:1">... </li></ul><p>... </p><p>1<br>1<br>1<br>2</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">2</li></ul><p>2</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">1</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">1</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">1</li></ul><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">1</li><li style="flex:1">1</li></ul><p>2</p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">2</li><li style="flex:1">2</li></ul><p>1<br>2<br>1</p><p>2<br>2<br>2<br>2</p><p></p><ul style="display: flex;"><li style="flex:1">(b) </li><li style="flex:1">(c) </li></ul><p>(a) </p><p>−<br>−</p><p>2</p><p>| || | </p><p>MST-Steiner </p><p>2</p><p>| || | </p><p>Bibliographic Notes and Further Reading </p><p>√<br>√</p><p>References </p>