UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS WEAK AND STRONG TOPOLOGIES IN TOPOLOGICAL ABELIAN GROUPS MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR PRESENTADA POR Lorenzo de Leo Bajo la dirección de los doctores Elena Martín Peinador Dikran Dikranjan Madrid, 2009 • ISBN: 978-84-692-1017-8 ©Lorenzo de Leo, 2008 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Facultad de Ciencias Matem´aticas Weak and strong topologies in topological abelian groups Lorenzo de Leo UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Facultad de Ciencias Matem´aticas Weak and strong topologies in topological abelian groups Lorenzo de Leo Memoria presentada para optar al grado de Doctor con menci´on de Doctor Europeus en Matem´aticas, elaborada bajo la direcci´onde: Prof. Elena Mart´ınPeinador Prof. Dikran Dikranjan Resumen El t´ıtulo de esta Memoria ”Las topolog´ıas d´ebiles y fuertes en los grupos topol´ogicos abelianos” requiere una explicaci´on.En el marco de los espacios vectoriales topol´ogicosnociones como topolog´ıad´ebil, topolog´ıa de Mackey, topolog´ıa fuerte son primordialmente el objeto de estudio de la teor´ıa de dualidad. La extensi´onde la teor´ıa de dualidad a la clase m´as amplia de los grupos topol´ogicos abelianos encuentra serios obst´aculos, como por ejemplo la falta de sentido de la noci´onde convexidad, que es la piedra angular en dicha teor´ıa. Una primera idea para trasladar la teor´ıade dualidad a la clase de los grupos topol´ogicosabelianos, es tomar como objeto dualizante el c´ırculo complejo unidad T en lugar del cuerpo de los reales R, y sustituir las for- mas lineales continuas por homomorfismos continuos definidos del grupo en cuesti´onal grupo T. De este modo se obtiene el grupo dual, cuyos elemen- tos se denominan caracteres. La noci´onde grupo dual de un grupo dado se remonta a Pontryagin hacia los a˜nos ’30, y uno de los teoremas m´asbellos y ´utiles que subyace en los or´ıgenes del an´alisisarm´onico es el teorema de du- alidad de Pontryagin van-Kampen. La noci´onequivalente a “convexidad” en el marco de los grupos topol´ogicos, llamada cuasi-convexidad, se inspira en el teorema de Hahn-Banach, v´alido para los espacios localmente convexos. Fu´eintroducida por Vilenkin (en ruso, en 1951) y de hecho los subconjuntos cuasi-convexos en un espacio vectorial topol´ogico son muy distintos de los convexos. Baste decir que el subconjunto de n´umeros reales formado por {0, 1, −1} es cuasi-convexo en el grupo R. No es exagerado decir que la teor´ıade dualidad en grupos topol´ogicosabelianos ha dado lugar a resul- tados matem´aticas de gran complejidad, como iremos desgranando en estas l´ıneas introductorias. Se define la topolog´ıa de Bohr (o topolog´ıad´ebil) en un grupo topol´ogico abeliano como la topolog´ıainicial relativa a sus caracteres continuos. Por tanto es la topolog´ıamenos fina de todas las que admiten el mismo grupo dual. En sentido amplio es la versi´onpara grupos de la topolog´ıad´ebilde un espacio vectorial topol´ogico.Como puede verse en la Bibliograf´ıamuchos matem´aticosnotables se han ocupado de esta topolog´ıacomo Van Dowen, Kunen, Givens, Gladdines, Dikranjan, Hern´andez, Galindo etc. y los resul- ii Resumen tados obtenidos inciden en diversos campos de la Matem´atica. En el extremo contrario a la topolog´ıad´ebilencontramos – en el con- texto de los espacios localmente convexos – la llamada topolog´ıa de Mackey. Tambi´encabe definirla para grupos topol´ogicos abelianos, pero ´esto se ha he- cho muy recientemente. El primero en mencionar algo es Varopoulos (1962) refiri´endose a una clase muy peque˜nade grupos topol´ogicos: los localmente precompactos. La clase m´asnatural de grupos topol´ogicospara definir y estudiar la topolog´ıade Mackey es la formada por los grupos localmente cuasi-convexos. El primer estudio de este tipo se hace por Chasco, Mart´ın Peinador y Tarieladze en [23]. Este trabajo ha sido el origen de esta Tesis. A lo largo de la presente Memoria probamos resultados nuevos que per- miten ampliar el conocimiento de las topolog´ıas d´ebiles y fuertes en los grupos localmente cuasi-convexos. Para lograr nuestro objetivo, es nece- sario consolidar el conocimiento de la topolog´ıade Bohr y de la teor´ıade los subconjuntos cuasi-convex de un grupo topol´ogico.La Tesis est´aestructura en tres partes: 1) Los conjuntos cuasi-convexos. Sobre la estructura y caracteri- zaci´onde subconjuntos cuasi-convexos. Incluso en grupos elementales como Z o T no hay criterios determinantes para dilucidar si un sub- conjunto es o no cuasi-convexo. Hemos dado luz sobre estos conjuntos en los cap´ıtulos 3, 6, 7 y 8. 2) Nuevos aspectos de la topolog´ıa de Bohr y otros tipos de topolog´ıas”d´ebiles” corresponde a los cap´ıtulos 3, 4 y 5. 3) La topolog´ıa de Mackey de un grupo. De hecho esta definici´on aparece por primera vez en esta tesis. Corresponde al cap´ıtulo 9. El estudio en profundidad de esta topolog´ıaes la motivacci´onque subyace en los otros cap´ıtulos. Hemos avanzado sobre lo que ya se sab´ıa, a partir de [23], dando resultados nuevos, y estructurando m´asde fondo la teor´ıa. Queda de manifiesto a lo largo de nuestro estudio que en los grupos abelianos la teor´ıade dualidad presenta notables diferencias con la teoria cl´asica para los espacios localmente convexos y de alg´unmodo tiene una mayor riqueza. No puede considerarse terminado el estudio, de hecho ten- emos problemas abiertos que ser´anmotivo de trabajo en los pr´oximosa˜nos. En los cap´ıtulos 4 y 5 inclu´ımosresultados obtenidos conjuntamente con D. Dikranjan y con M. Tkatchenko, y recogidos en sendos trabajos de pr´oxima publicaci´on(V. [29] y [30]). iii La topolog´ıade Mackey en los grupos abelianos El primero en tratar de dualidades de espacios vectoriales reales y de topo- log´ıascompatibles fu´eGeorge Mackey ([60, 61, 62, 63]). En los trabajos [60, 63], Mackey introdujo lo que ´elllam´o sistema lineal (linear system) como un par (E, L), donde E es un espacio vectorial real y L es un subespacio vectorial del espacio vectorial de las formas lineales l : E → R. Adem´as,denomin´o regular a un sistema lineal (E, L) cuando L separa los puntos de E. Estos objetos se conocen hoy d´ıa como par dual y par dual separado o dualidad (separada). En [61, 62], se consider´oel sistema lineal (E, L) obtenido al fijar una topolog´ıa localmente convexa T en E y tomar como espacio L el formado por todos los funcionales lineales T -continuos; se observ´oas´ımismo que la correspondencia entre T y L no es, en general, un´ıvoca. La existencia de las topolog´ıas localmente convexa m´asd´ebil y m´as fuerte en E entre todas aqu´ellasque dan lugar al mismo sistema lineal regular (E, L) fue formulada en [61, Theorem 1], y probada en [62, The- orem 5]. Mackey no fij´oninguna notaci´onpara estas topolog´ıas,pero en nuestro lenguaje actual son, respectivamente, la topolog´ıa d´ebil (denotada por σ(E, L) en [32, 33, 34]) y la de Mackey (denotada por τ(E, L) en [34]) para el par (E, L). Un espacio localmente convexo E es un espacio de Mackey si su topolog´ıa coincide con τ(E, L), donde L es el conjunto de todos los funcionales lineales continuos de E. Estos espacios fueron introducidos directamente por Mackey (con otra nomenclatura), que desarroll´ouna buena parte de la teor´ıaque hoy en d´ıaconsideramos cl´asica en el marco de los espacios localmente convexos. Los t´erminos “topolog´ıade Mackey” y “espacio de Mackey” aparecieron por primera vez en [18]. En dicho libro podemos encontrar la noci´onde topolog´ıa compatible: una topolog´ıa(localmente convexa) T en E se denomina com- patible con la dualidad (E, L) si L coincide con el conjunto de todos los funcionales lineales T -continuos de E en R. Otra demostraci´onde la existencia y la descripci´onconcreta de la topo- log´ıade Mackey fue alcanzado por R. Arens en [1]. M´asprecisamente, en [1, Theorem 2] se demuestra que, dado un sistema lineal regular (E, L), la topolog´ıa κ en E de la convergencia uniforme sobre los subconjuntos σ(L, E)- compactos y convexos de L es la m´asfuerte entre todas las topolog´ıaslo- calmente convexas t de E tales que “los elementos de L representan exac- tamente los funcionales lineales continuous en Et”. La combinaci´onde [1, Theorem 2] con [61, Theorem 1] se conoce como el Teorema de Mackey- Arens. Casi cuarenta a˜nosdespu´es del articulo de Mackey [62], Kakol observ´oen [56] que la convexidad local es esencial para asegurar la validez del Teorema de Mackey-Arens. El prob´oque, dada una dualidad (E, L), no tiene por qu´e iv Resumen existir la topolog´ıa en E m´asfuerte entre las topolog´ıas (no necesariamente localmente convexas) compatibles con (E, L). Aunque Mackey ten´ıa profundos conocimientos acerca de los grupos topol´ogicos, no formul´oel problema en t´erminos de grupos topol´ogicosa- belianos. Las dualidades de grupos abstractos y las topolog´ıas(de grupo) compatibles fueron consideradas por primera vez por N. T. Varopoulos en [80], donde se desarrolla una teor´ıade dualidad para la clase de los gru- pos localmente precompactos. Sin embargo esta clase de grupos resulta demasiado restringida como se demuestra en [23, Proposition 5.5]. Puesto que los grupos localmente cuasi-convexos presentan una buena analog´ıa con los espacios localmente convexos, los autores de [23] abordan el estudio de la topolog´ıade Mackey para dicha clase de grupos.