Wigner quantization and Lie superalgebra representations Wigner kwantisatie en representaties van Lie superalgebra’s Gilles Regniers Proefschrift ingediend tot het behalen van de graad van Doctor in de Wetenschappen: Wiskunde. Promotor: Prof. dr. Joris Van der Jeugt December 2011 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Contents Dankwoord 7 Preface 11 Samenvatting 15 1 Partitions and Schur functions 21 1.1 Partitions and generating functions .................. 21 1.1.1 Partitions and diagrams .................... 21 1.1.2 Generating functions ..................... 24 1.2 Symmetric polynomials ........................ 26 1.3 Schur functions ............................ 28 2 Lie superalgebras and their representations 35 2.1 Lie algebras .............................. 35 2.1.1 Theoretical overview ..................... 37 2.1.2 An example involving traceless matrices ........... 40 2.2 Lie superalgebras ........................... 43 2.3 Some notes on representation theory ................. 48 2.3.1 Lie algebra representations .................. 48 2.3.2 Character theory ........................ 53 2.4 Classification of osp(1 2) representations ............... 55 | 2.4.1 The Lie superalgebra osp(1 2) and -representations . 56 | ∗ 2.4.2 Construction of the representation space ........... 57 2.4.3 Extension to -representations ................ 61 ∗ 3 The harmonic oscillator in canonical and Wigner quantization 65 3.1 The one-dimensional canonical harmonic oscillator .......... 65 3.1.1 Quantum mechanics in a nutshell ............... 66 3.1.2 Solving the 1D canonical harmonic oscillator ......... 76 3.2 Special functions and orthogonal polynomials ............ 80 3.2.1 Hermite polynomials ..................... 82 3.2.2 Laguerre polynomials ..................... 82 3.2.3 Generalized Hermite polynomials ............... 83 3.2.4 Meixner-Pollaczek polynomials ................ 84 3 CONTENTS 3.2.5 Other orthogonal polynomials ................. 86 3.3 The 1D Wigner harmonic oscillator .................. 87 3.3.1 Wigner quantization ...................... 88 3.3.2 Solving the 1D Wigner harmonic oscillator .......... 89 3.3.3 Conclusion ........................... 93 4 Harmonic oscillators coupled by an interaction matrix 95 4.1 Introduction .............................. 96 4.1.1 Historical context ....................... 97 4.1.2 Nearest-neighbour interaction ................. 98 4.1.3 Wigner quantization ......................101 4.2 General method ............................101 4.3 Krawtchouk interaction ........................104 4.3.1 Krawtchouk polynomials ...................105 4.3.2 Hamiltonian with Krawtchouk interaction .......... 107 4.3.3 Remark ............................108 4.4 Hahn interaction ............................109 4.4.1 Hahn polynomials .......................109 4.4.2 Hamiltonian with Hahn interaction ..............111 4.5 q-Krawtchouk interaction .......................113 4.5.1 The dual q-Krawtchouk polynomials .............113 4.5.2 Hamiltonian with dual q-Krawtchouk interaction . 115 4.6 Some properties of the spectra ....................116 4.7 The Wigner quantization procedure ..................118 4.8 Lie superalgebra solutions .......................122 4.8.1 The gl(1 n) solution .....................122 | 4.8.2 The osp(1 2n) solution ....................126 | 4.9 The spectrum of Hˆ in a class of representations ...........127 4.9.1 The gl(1 n) representations V(p) ..............127 | 4.9.2 The osp(1 2n) representations V(p) .............129 | 4.10 Relation to canonical quantization ..................133 4.11 Summary ................................134 5 The n-dimensional Wigner harmonic oscillator 137 5.1 Introducing the system ........................138 5.2 The osp(1 2n) solution ........................139 | 5.3 Angular momentum content for osp(1 2n) ..............142 | 4 CONTENTS 5.3.1 Angular momentum ......................143 5.3.2 Decomposing the osp(1 6N) representation V(p) . 144 | 5.4 Generating functions for osp(1 6) and osp(1 12) ...........149 | | 5.4.1 Generating functions for osp(1 6) so(3) u(1) . 149 | ⊃ ⊕ 5.4.2 Generating functions for osp(1 12) so(3) u(1) . 152 | ⊃ ⊕ 5.5 The gl(1 n) solution ..........................155 | 5.6 Angular momentum decomposition of gl(1 n) ............157 | 5.6.1 Angular momentum ......................157 5.6.2 Decomposing the gl(1 3N) representation V ........ 158 | λ 5.7 Generating functions for gl(1 3) and gl(1 6) .............159 | | 5.7.1 Generating functions for gl(1 3) so(3) ...........161 | ⊃ 5.7.2 Generating functions for gl(1 6) so(3) ...........163 | ⊃ 5.8 Conclusions ..............................166 5.A The function H(J, A1, A2) ......................167 6 Wigner quantization of one-dimensional Hamiltonians 169 6.1 The Berry-Keating-Connes Hamiltonian ...............170 6.1.1 Wigner quantization and osp(1 2) solutions ......... 170 | 6.1.2 Spectrum of the operators Hˆ b, xˆ and pˆ ...........173 6.1.3 Generalized wave functions ..................179 6.2 The Hamiltonian of the free particle .................185 6.2.1 Relation with the osp(1 2) Lie superalgebra ......... 185 | 6.2.2 Energy spectrum of the free particle .............187 6.2.3 Remaining inner products ...................189 6.2.4 Generalized wave function and the canonical case . 191 6.3 Conclusions ..............................193 Bibliography 195 Index 205 5 Dankwoord "Verwacht niet dat je binnen het eerste jaar zal begrijpen waar je mee bezig bent." Met deze woorden omschreef Prof. dr. Joris Van der Jeugt, mijn promotor, het leven van een doctoraatsstudent. Dat het uiteindelijk vier jaar zou duren om alles goed te snappen, zal alleszins niet aan hem gelegen hebben. Ik was altijd welkom om hem mijn lastigste onderzoeksproblemen voor te leggen, en zo’n bezoek aan zijn bureau was telkens weer fascinerend. Haast nooit moest hij spieken om de meest ingewikkelde formules neer te schrijven, en ook als ik het best geholpen was met een boek of paper vond hij die verbazend snel terug tussen de lange boekenrijen of stapels vergeelde papieren. Ondanks deze grote beschikbare hulp wachtte ik dik- wijls lang om de stap naar zijn bureau te zetten. Ik zat soms liever zelf dagenlang vruchteloos naar mijn blad papier te staren dan toe te geven dat ik misschien beter hulp zou vragen. Bedankt, Joris, om dat te begrijpen. Ook buiten de muren van S9 leerde ik veel bij van Joris. Zo weet ik sinds mijn trip naar Newcastle dat de Arteveldestad niet de enige plaats is waar je een ‘Gents toilet’ kan vinden. Dankzij de begeleiding van Joris werden conferenties ook op sociaal gebied aangename ervaringen. Ook mijn andere reisgezellen, Vera en Neli, speelden hier een grote rol in. Vera, bedankt voor de leuke gesprekken en de gouden sou- venirtip – ik scoor nog steeds punten met die theemuts. Neli, you made me forget that our research group was very small. I always enjoyed our many conversations, both on and off topic. Ik kon steeds op de steun van mijn familie rekenen, in het bijzonder van mijn ouders en van Pascal, Ann en oma. Bedankt voor jullie moedige pogingen om te weten te komen waarover mijn doctoraat ging. Het was niet altijd makkelijk om dat uit te leggen, maar het deed toch deugd om erover te kunnen praten. Tevens zou ik Jaydee willen bedanken. Zelfs al ben je mijn nonkel niet, toch heb je mij vele leuke tijden bezorgd. Hoewel alle collega’s van de vakgroep TWI bijdroegen aan de aangename werk- sfeer, zijn er toch enkele personen die ik bij naam wil noemen. Al vanaf mijn eerste kennismaking met de nogal treurige gangen van S9 stond Virginie aan mijn zijde. We legden eerder toevallig hetzelfde parcours af, van kandidatuur tot doctoraat. Virginie, het was een fijne rit en wie weet zetten we die na jouw verdediging gewoon weer verder! Ook met Nele klikte het vanaf het begin heel goed. Samen vonden we 7 DANKWOORD de ideale mix tussen werk en ontspanning, ik kon echt geen betere bureaugenoot treffen! Omdat we het beiden nogal druk hadden, was er niet veel tijd om elkaar het afgelopen jaar te zien. Daar moet nu dringend verandering in komen, want ik heb schrik dat er ondertussen weer enkele foute truien in uw kast geslopen zijn. Trouwens, zelf vind ik het ook soms moeilijk om in te schatten of iets er goed of slecht uitziet. Gelukkig was Heide er dan altijd om heel direct haar mening te geven. Heide, naast het feit dat je gewoon een heel plezante bent, heb ik die eerlijkheid altijd heel sterk weten te appreciëren. Ondertussen heb ik al vrede genomen met hoe mijn kaft eruitziet. Bedankt, Heide en Veerle, om opbouwende kritiek te geven over tientallen versies die nauwelijks van elkaar verschilden. Met Maarten en Bart, die samen door het leven gaan als het vlot bekkende folk/rock- duo Box, Cox and the seven bootstraps, was het altijd lachen geblazen. De grappige en absurde scenario’s die jullie wisten te verzinnen, hebben vele koffiepauzes bijzon- der vermakelijk gemaakt. Enkel Marjon vertelde soms verhalen van een vergelijkbaar surrealisme, al waren ze bij haar niet altijd fictief. Bedankt, Marjon, voor die ont- wapenende openheid. Binnen de categorie ‘opmerkelijke uitspraken’ moet ik zeker ook Bert vermelden. Met zijn controversiële standpunten of vreemde gedachte- experimenten slaagde hij er altijd weer in om een pikante laag kruiden aan de lunchgesprekken toe te voegen – altijd welkom in de resto! Om de een of andere reden kon ik het heel goed vinden met de hele fuzzy-groep. Een dikke merci aan Steven om van elk onderwerp een luchtige discussie te maken, aan Patricia om zo