TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND Matemaatika instituut Raili Vilt ERILISED TÄISARVUDE JADAD, MIS ON DEFINEERITUD ARVU JAGAJATE ARVU VÕI NUMBRITE ARVU, JAGAJATE SUMMADE VÕI ARVU NUMBRITE SUMMADE ABIL Magistritöö Juhendaja: dotsent Elts Abel Tartu 2010 Sisukord Sissejuhatus ................................................................................................................................4 1. Arvude liigitamine nende positiivsete jagajate summade järgi..............................................7 1.1. Täiuslikud, puuduga ja liiaga arvud ................................................................................7 1.1.1. Põhimõisted ..............................................................................................................7 1.1.2. Täiuslike arvude põhiomadused ..............................................................................8 1.1.3. Täiuslike arvude täiendavaid omadusi ..................................................................13 1.1.4. Täiuslike arvude üldistusi......................................................................................17 1.1.5. Puuduga ja liiaga arvud .........................................................................................20 1.2. Täisarvude positiivsete jagajate summade abil määratud paarid ja alikvootjadad........25 1.2.1. Sõbralikud arvud ...................................................................................................25 1.2.2. Lahked arvud .........................................................................................................27 1.2.3. Täisarvude alikvootjadad.......................................................................................29 1.3. Praktilised arvud...........................................................................................................31 1.3.1. Põhimõisted ...........................................................................................................31 1.3.2. Põhitulemused .......................................................................................................33 1.3.3. Praktiliste arvude omadused..................................................................................37 1.3.4. Praktiliste arvude mitmikud ..................................................................................39 1.3.5. Peaaegu praktilised arvud......................................................................................41 1.4. Zumkelleri arvud ..........................................................................................................42 1.4.1. Põhimõisted ja –tulemused....................................................................................42 1.4.2. Zumkelleri arvude genereerimine..........................................................................44 1.4.3. Praktilised ja Zumkelleri arvud .............................................................................46 1.4.4. Pool-Zumkelleri arvud...........................................................................................47 1.4.5. Zumkelleri ja pool-Zumkelleri arvud ....................................................................50 2. Arvu positiivsete jagajate arvuga seonduvad arvuhulgad ...................................................53 2.1. Tau-arvud .....................................................................................................................53 2.1.1. Põhimõisted ...........................................................................................................53 2.1.2. Põhitulemused .......................................................................................................53 2.1.3. Tau-arvude seosed teiste arvuhulkadega ...............................................................56 2.1.4. Järjestikused tau-arvud ..........................................................................................57 2.1.5. Antitau-arvud.........................................................................................................58 2 2.2. Ülikordarvud ja nende mõned alaliigid ........................................................................60 2.2.1. Põhimõisted ...........................................................................................................60 2.2.2. Ülikordarvude mõningaid omadusi .......................................................................61 2.2.3. Erilised ülikordarvud .............................................................................................63 2.2.4. Etteantud positiivsete jagajate arvuga määratud arvuhulga vähima elemendi leidmine ............................................................................................................................67 3. Arvu numbrite ja numbrite summaga seonduvad arvuhulgad.............................................73 3.1. Niveni arvud .................................................................................................................73 3.1.1. Põhimõisted ja -tulemused ....................................................................................73 3.1.2. Super-Niveni arvud ...............................................................................................75 3.1.3. Nivenmorfsed arvud ..............................................................................................77 3.2. Smith’i arvud ................................................................................................................78 3.2.1. Põhimõisted ja –tulemused....................................................................................78 3.2.2. Smith’i arvude mõningaid eriliike.........................................................................83 3.2.3. Smith’i arvude mõningaid üldistusi.......................................................................84 3.3. Raiskavad, võrdnumbrilised ja säästlikud arvud ..........................................................87 3.3.1. Põhimõisted ...........................................................................................................87 3.3.2. Põhitulemused .......................................................................................................88 4. Elementaarse arvuteooria põhivara .....................................................................................92 4.1. Täisarvude jaguvus.......................................................................................................92 4.2. Suurim ühistegur, vähim ühiskordne............................................................................93 4.3. Algarvud ja kordarvud..................................................................................................94 4.4. Arvu algteguriteks lahutus, kanooniline kuju...............................................................96 4.5. Jäägiga jagamine ..........................................................................................................97 4.6. Kongruentsid ................................................................................................................99 4.7. Euleri funktsioon ........................................................................................................102 4.8. Täisarvu positiivsete jagajate arv ...............................................................................104 4.9. Täisarvu positiivsete jagajate summa.........................................................................105 4.10. Hulknurkarvud..........................................................................................................107 Summary.................................................................................................................................108 Kasutatud allikad ....................................................................................................................110 LISA 1. Defineeritud täisarvude nimetuste register ...............................................................116 LISA 2. Ülesannete kogu .......................................................................................................121 3 Sissejuhatus Täisarvude jadad on olnud matemaatikute uurimisobjektiks juba antiikajast peale sõltumata sellest, kas need jadad on tekkinud mingi teadusliku probleemi lahendamise käigus või lihtsalt amatööride soovist „mängida“ naturaalarvudega. Ühed vanimad seda liiki arvudest on näiteks täiuslikud arvud, s.o arvud, mis võrduvad oma positiivsete pärisjagajate summaga. Vaatamata sellele, et need arvud on küllalt lihtsalt defineeritud, ei ole aastatuhandete jooksul matemaatikud suutnud tõestada, kas täiuslike arvude hulk on lõplik või lõpmatu. Vastuseta on ka küsimus, kas leidub paarituid täiuslikke arve. Kaasaegsete arvutite võimsuse piirides ei ole leitud ühtki paaritut täiuslikku arvu. Ei ole suudetud ka tõestada, et selliseid arve polegi olemas. Möödunud sajandi keskpaigast alates on oluliselt suurenenud matemaatikute huvi täisarvude jadade uurimise vastu ja seda osaliselt ka tänu Paul Erdösi ja tema õpilaste põhjapanevatele töödele arvuteooriast. Viimasel kümnel aastal on loodud kümneid uusi täisarvude jadasid arvutite abil ning on avastatud juba varem defineeritud jadade uusi omadusi. N.J.A. Sloane initsiatiivil on loodud suurim täisarvude jadade elektrooniline andmebaas (OEIS, [53]), mis sisaldab 2010. aasta maikuu andmetel üle 175000 täisarvude jada kirjet, millest enamus tugineb teadusartiklitele või mille juures on leitud ka teisi huvitavaid omadusi lisaks definitsioonis antutele. Iga jada selles andmebaasis on varustatud koodiga, mis