Insieme di Mandelbrot - Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot
Insieme di Mandelbrot
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
L'insieme di Mandelbrot o frattale di Mandelbrot è uno dei frattali più popolari, conosciuto anche al di fuori dell'ambito matematico per le suggestive immagini multicolori che ne sono state divulgate.[1]
È l'insieme dei numeri complessi per i quali la successione definita da:
[2] è limitata. Nonostante la semplicità della Una rappresentazione dell'insieme di definizione, l'insieme ha una forma Mandelbrot. complessa il cui contorno è un frattale. Solo con l'avvento del computer è stato possibile visualizzarlo.
L'insieme prende il nome da Benoît Mandelbrot, colui che nel suo libro Les Objects Fractals: Forme, Hazard et Dimension (1975) rese popolari i frattali.
Indice
1 Storia 2 Definizione formale 3 Rappresentazione grafica 4 Relazione con gli insiemi di Julia 5 Galleria d'immagini 6 Note 7 Bibliografia 8 Voci correlate 9 Altri progetti 10 Collegamenti esterni
Storia
1 di 8 27/12/2016 10:55 Insieme di Mandelbrot - Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot
L'insieme di Mandelbrot si colloca nel campo della dinamica complessa, il cui studio inizia con i matematici francesi Pierre Fatou e Gaston Julia all'inizio del XX secolo. I primi disegni dell'insieme di Mandelbrot risalgono al 1978 e fanno parte di uno studio di Robert Brooks e Peter Matelski riguardante i gruppi kleiniani;[3] è Benoît Mandelbrot nel 1980 a visualizzare per primo la forma che oggi porta il suo nome e a riconoscere che si tratta di un frattale.[4][5]
Lo studio approfondito di questo insieme La prima immagine pubblica dell'insieme comincia nel 1984 con il lavoro dei di Mandelbrot creata da Robert W. Brooks e matematici Adrien Douady e John H. Hubbard, che ne scoprono molte Peter Matelski nel 1978 fondamentali proprietà e gli danno il nome di Mandelbrot.[6]
L'articolo di copertina del numero di Scientific American dell'agosto 1985, tradotto in italiano su Le Scienze nell'ottobre dello stesso anno, rappresenta un'immagine creata da Benoît Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgen e John H. Hubbard; in quell'articolo l'insieme è definito "l'oggetto più complesso esistente in matematica" e, grazie anche alle colorate immagini che accompagnano l'articolo, inizia la popolarità dell'insieme anche presso il grande pubblico.[7][8][9] I matematici Heinz-Otto Peitgen e Peter Richter diventano famosi promuovendo l'insieme con fotografie, libri e raccolte d'immagini.[10]
Il lavoro di Douady e Hubbard coincide con una grande crescita d'interesse nella dinamica complessa e lo studio dell'insieme di Mandelbrot è subito un elemento centrale di questo campo. Una lista completa di tutti i matematici che da allora contribuiscono alla comprensione di questo insieme è al di là degli scopi di questa voce, ma una tale lista includerebbe senz'altro ai primi posti Mikhail Lyubich,[11][12] Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura e Jean-Christophe Yoccoz.
Definizione formale
L'insieme di Mandelbrot è definito a partire da una famiglia di polinomi quadratici complessi:
nella forma:
2 di 8 27/12/2016 10:55 Insieme di Mandelbrot - Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot
dove è un parametro complesso.
Per ogni si considera il comportamento della successione
ottenuta iterando a partire dal punto ; questa può o divergere all'infinito oppure essere limitata. L'insieme di Mandelbrot è definito come l'insieme dei punti tali che la corrispondente successione è limitata. Una rappresentazione matematica rigorosa dell'insieme di Mandelbrot M. I punti che Più formalmente, se indica l'n-esima appartengono all'insieme sono colorati di iterata di (cioè composta con sé nero, i restanti di bianco. stessa n volte), l'insieme di Mandelbrot è il sottoinsieme del piano complesso dato da:
Si può dimostrare che se il modulo di è maggiore di allora la successione divergerà e quindi il punto sarà esterno all'insieme di Mandelbrot.
Rappresentazione grafica
Dal punto di vista matematico, l'insieme di Mandelbrot è semplicemente un insieme di numeri complessi. Ogni numero complesso può appartenere a oppure no. Una rappresentazione grafica rigorosa dell'insieme di Mandelbrot si ottiene colorando tutti i punti che appartengono a di nero e gli altri di bianco.
Le immagini multicolori che si vedono sono generate colorando i punti esterni all'insieme in dipendenza di "quanto velocemente" la sequenza diverge all'infinito. Il minimo valore di per cui Zoom nell'insieme è un indice di quanto "lontano dal contorno" si trova un punto e viene utilizzato per la rappresentazione "a colori".
3 di 8 27/12/2016 10:55 Insieme di Mandelbrot - Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot
Paradossalmente, i punti colorati che conferiscono il fascino al frattale di Mandelbrot sono proprio quelli che non appartengono all'insieme.[13]
Relazione con gli insiemi di Julia
L'insieme di Mandelbrot permette di indicizzare gli insiemi di Julia. Ad ogni punto del piano complesso corrisponde un diverso insieme di Julia; tale insieme è connesso se il punto in questione appartiene all'insieme di Mandelbrot, ed è invece non connesso se il punto non vi appartiene.
Intuitivamente, gli insiemi di Julia più interessanti (ovvero quelli dalle forme meno banali) corrispondono a punti che si trovano vicino al bordo dell'insieme di Mandelbrot, mentre punti molto all'interno generano insiemi di Julia dalle forme geometriche semplici e i punti esterni, lontani dal bordo, generano insiemi di Julia formati da molti piccoli insiemi connessi.
Galleria d'immagini
Inizio Passo 1
4 di 8 27/12/2016 10:55 Insieme di Mandelbrot - Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot
Passo 2 Passo 3
Passo 4 Passo 5
Passo 6 Passo 7
Passo 8 Passo 9
5 di 8 27/12/2016 10:55 Insieme di Mandelbrot - Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot
Passo 10 Passo 11
Passo 12 Passo 13
Passo 14
Note
1. ^ Unione matematica italiana, Bollettino della Unione matematica italiana: Matematica nella società e nella cultura, Bologna, N. Zanichelli, 2001, p. 236. 2. ^ (EN) Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary , math.bu.edu. URL consultato il 7 ottobre 2007. 3. ^ Robert Brooks e Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in "Riemann Surfaces and Related Topics", ed. Kra and Maskit, Ann. Math. Stud. 97, 65–71, ISBN 0-691-08264-2 4. ^ (EN) Benoît Mandelbrot, Fractal aspects of the iteration of for complex
6 di 8 27/12/2016 10:55 Insieme di Mandelbrot - Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot
, Annals NY Acad. Sci. 357, 249/259 5. ^ (EN) R.P. Taylor & J.C. Sprott, Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen- savers (PDF), su Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1, Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences, 2008. URL consultato il 1º gennaio 2009. 6. ^ (FR) Adrien Douady e John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985) 7. ^ (EN) John Briggs, Fractals: The Patterns of Chaos. 1992, p 80. 8. ^ Archimede, Voll. 39-40; Le Monnier, 1987. p. 109. 9. ^ Mandelbrot, p. 259 10. ^ (EN) James Gleick, Chaos: Making a New Science, 1987. p. 229. 11. ^ Lyubich, Mikhail, Six Lectures on Real and Complex Dynamics , maggio-giugno, 1999. URL consultato il 4 aprile 2007. 12. ^ Mikhail Lyubich, Regular and stochastic dynamics in the real quadratic family (PDF), in Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 95, novembre 1998, pp. 14025-14027, DOI:10.1073/pnas.95.24.14025 . URL consultato il 4 aprile 2007. 13. ^ M. Rita Laganà,, Marco Righi; Francesco Romani, Informatica. Concetti e sperimentazioni, 2ª ed., Apogeo Editore, 2007, p. 145.
Bibliografia
(EN) Benoît Mandelbrot, Fractals and chaos: the Mandelbrot set and beyond, Springer, 2004, ISBN 0-387-20158-0.
Voci correlate
Buddhabrot Burning ship Costanti di Feigenbaum
Altri progetti
Wikimedia Commons (https://commons.wikimedia.org/wiki/?uselang=it) contiene immagini o altri file sugli insiemi di Mandelbrot (https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Mandelbrot_sets?uselang=it)
Collegamenti esterni
Benoit Mandelbrot: Frattali e l'arte della rugosità (http://www.ted.com/talks/lang/it /benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.html) , TED Chaos and Fractals , su Open Directory Project, Netscape Communications. (Segnala (http://www.dmoz.org/public/suggest?cat=Science/Math/Chaos_and_Fractals/) su DMoz un
7 di 8 27/12/2016 10:55 Insieme di Mandelbrot - Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot
collegamento pertinente all'argomento "Chaos and Fractals")
Estratto da "https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Insieme_di_Mandelbrot& oldid=84448351"
Categoria: Frattali | [altre]
Questa pagina è stata modificata per l'ultima volta il 24 nov 2016 alle 14:20. Il testo è disponibile secondo la licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo; possono applicarsi condizioni ulteriori. Vedi le Condizioni d'uso per i dettagli. Wikipedia® è un marchio registrato della Wikimedia Foundation, Inc.
8 di 8 27/12/2016 10:55