Ingenier´ıadel Agua, Vol. 16, No 1, Febrero 2009

EVALUACION´ DE CORRIENTES LITORALES Y FRENTES DE MAREA MEDIANTE MODELIZACION´ BIDIMENSIONAL EN R´IAS Y DESEMBOCADURAS DE R´IOS Luis Cea, Jer´onimoPuertas Grupo de Enxe˜nar´ıada Auga e do Medioambiente GEAMA E.T.S. Ingenieros de Caminos Canales y Puertos Universidad de A Coru˜na 15071 A Coru˜na(Espa˜na) [email protected] Mar´ıa-ElenaV´azquez-Cend´on Departamento de Matem´aticaAplicada Facultad de Matem´aticas Universidad de Santiago de Compostela

Resumen: Los modelos num´ericosson una herramienta ampliamente utilizada en la actualidad para el estudio hi- drodin´amicode las desembocaduras de r´ıos y estuarios. Para este tipo de problemas el coste computacional de un modelo tridimensional es en general excesivo. Por otro lado, los modelos unidimensionales, tradicionalmente utilizados en hidr´aulicafluvial, no son adecuados debido a la compleja geometr´ıade las regiones costeras, siendo deseable y nece- sario en numerosas ocasiones recurrir a modelos bidimensionales de aguas poco profundas. En este art´ıculose presenta la aplicaci´onde un modelo de aguas someras bidimensional para el estudio de la hidrodin´amicay para la evaluaci´onde zonas inundables en desembocaduras de r´ıosy en regiones litorales. Se consideran y analizan los efectos de la turbulencia y de los frentes seco-mojado. Se presentan las principales ventajas, inconvenientes y limitaciones del modelo para este tipo de aplicaciones, y se comparan algunos resultados num´erico-experimentales.

INTRODUCCION´ ciones de St.Venant bidimensionales asumen una escala espacial vertical mucho m´aspeque˜naque El estudio de la hidrodin´amicade r´ıos y es- la escala horizontal, lo cual permite asumir una tuarios es de gran importancia para entender, distribuci´onde presi´onhidrost´atica.Al mismo predecir y controlar los procesos f´ısicosque tie- tiempo se asume un campo de velocidad rela- nen lugar en ellos, adem´asde servir como base tivamente homog´eneoen profundidad. Ambas para estudios de transporte de contaminantes y hip´otesisse cumplen de manera razonable tanto de procesos de erosi´on,por citar s´oloalgunos en r´ıoscomo en zonas litorales, haciendo posible ejemplos. La dificultad de realizar ensayos de la- la utilizaci´onde modelos de aguas someras para boratorio, as´ıcomo el coste econ´omicode llevar su estudio. Evidentemente un modelo tridimen- a cabo mediciones experimentales en campo, ha- sional proporcionar´ıaunos resultados m´aspreci- cen de los modelos num´ericosuna herramienta sos, pero a un coste computacional mucho m´as muy ´utilpara el estudio de este tipo de proble- elevado, lo cual impide que en la actualidad se mas. La modelizaci´onnum´ericapresenta adem´as utilicen modelos tridimensionales de forma sis- la ventaja de poder estudiar las afecciones e im- tem´aticaen ingenier´ıafluvial y costera. pacto que puede provocar una futura actuaci´on En este trabajo se presentan diversas aplica- ingenieril, permitiendo la evaluaci´onde diferen- ciones de un modelo num´ericoen vol´umenesfini- tes escenarios hipot´eticos.Todo ello a un coste tos que resuelve las ecuaciones de aguas some- temporal y econ´omicorelativamente bajo. ras promediadas en profundidad, considerando Las ecuaciones de aguas someras promediadas tanto los esfuerzos turbulentos como los frentes en profundidad, tambi´enconocidas como ecua- seco-mojado. Se presentan los siguientes casos

© Fundacion´ para el Fomento de la Ingenier´ıa del Agua ISSN: 1134–2196 Recibido: Octubre 2008 Aceptado: Marzo 2009 14 L. Cea, J. Puertas y M.E. V´azquez pr´acticos:el estuario Crouch (Reino Unido), la ∂h τs,y tb,y −gh + − + 2Ω sen λUx + r´ıade O Barqueiro (Galicia) y la desembocadura ∂y ρ ρ del r´ıoL´erezen la r´ıade Pontevedra (Galicia). ∂hτ e ∂hτ e + xy + yy (1) En los casos en los que se dispone de medidas ∂x ∂y experimentales de velocidad y calado, se realiza la validaci´onnum´erico-experimental de los resul- donde Ux, Uy son las dos componentes horizon- tados del modelo num´erico. tales de la velocidad promediada en profundidad, h es el calado, g es la aceleraci´onde la gravedad, MODELO NUMERICO´ zb es la elevaci´ondel fondo, ρ es la densidad del agua, τb,x, τb,y son las dos componentes horizon- tales de la fricci´ondel fondo, τs,x, τs,y son las Las ecuaciones de aguas someras dos componentes de la fricci´onejercida por el promediadas en profundidad viento sobre la superficie libre, Ω es la velocidad angular de rotaci´onde la tierra, λ es la latitud Las ecuaciones de aguas someras bidimensio- e e e nales se obtienen promediando en profundidad de la zona de estudio, y τxx, τxy, τyy, son las las ecuaciones de Reynolds tridimensionales. En tensiones efectivas horizontales promediadas en su derivaci´onmatem´aticase asume una distri- profundidad. La fuerza de Coriolis suele ser des- buci´onde presi´onhidrost´atica(se desprecia la preciable excepto en problemas de una gran ex- presi´ondin´amicadebido al movimiento del flui- tensi´onespacial con velocidades muy peque˜nas. do) y un campo de velocidad relativamente uni- La fricci´ondel fondo se modela habitualmente forme en profundidad. La hip´otesisde presi´on mediante la f´ormulade Manning para lechos ru- hidrost´aticaequivale a despreciar las aceleracio- gosos: 2 2 nes verticales del fluido, cumpli´endosede manera τb,x n |U|Ux τb,y n |U|Uy razonable en flujos con una extensi´onhorizontal = gh , = gh ρ h4/3 ρ h4/3 mucho mayor que su profundidad, lo cual es ha- (2) bitual tanto en hidr´aulicafluvial como en regio- donde n es el coeficiente de Manning y |U| es nes costeras. La homogeneidad en profundidad el m´odulode la velocidad horizontal promediada del campo de velocidad depende de las condi- en profundidad. La fricci´onejercida por el viento ciones locales de flujo. Algunas causas comunes sobre la superficie libre se puede calcular a par- que invalidan esta hip´otesisson la presencia de tir de la velocidad del viento a una determinada obst´aculosabruptos en el fondo o la curvatura altura y un coeficiente de arrastre asociado a di- excesiva de las l´ıneasde corriente. A´unen estos cha altura y al tipo de superficie. Habitualmente casos las ecuaciones de aguas someras pueden se utiliza la velocidad del viento a 10 metros de utilizarse, teniendo siempre en cuenta a la hora altura, expres´andosela fricci´ondel viento como: de analizar los resultados que en las zonas en las que se rompen las hip´otesisde partida se esta τs,x τs,y = C10|V10|V10,x , = C10|V10|V10,y introduciendo un error de modelizaci´on. ρa ρa Las ecuaciones de aguas someras forman un (3) sistema hiperb´olicode 3 ecuaciones diferencia- siendo ρa la densidad del aire, C10 el coeficiente les de transporte con 3 inc´ognitas,estando de- de arrastre, y V10 la velocidad del viento a 10 finidas sobre un dominio espacial bidimensional. metros de altura. Las ecuaciones se pueden escribir como: Las tensiones efectivas que aparecen en la ec.(1) incluyen los efectos de las tensiones visco- ∂h ∂hU ∂hU sas, de las tensiones turbulentas y de los t´ermi- + x + y = 0 ∂t ∂x ∂y nos de dispersi´onlateral debido a la no homo- geneidad en profundidad del perfil de velocidad ∂hU ∂hU 2 ∂hU U ∂hz x + x + x y = −gh b − (Rastogi,1978): ∂t ∂x ∂y ∂x e v 0 0 ∂h τ τ τij = τij − uiuj + Dij −gh + s,x − b,x + 2Ω sen λU + ∂x ρ ρ y en donde τ v son las tensiones viscosas, u0 u0 son ∂hτ e ∂hτ e ij i j + xx + xy las tensiones turbulentas (tambien llamadas ten- ∂x ∂y siones de Reynolds), y Dij son los t´erminosde ∂hU ∂hU U ∂hU 2 ∂hz dispersi´onlateral. Como se ha comentado ante- y + x y + y = −gh b − ∂t ∂x ∂y ∂y riormente, la hip´otesisde velocidad homog´enea en profundidad equivale a despreciar los t´erminos Evaluaci´onde corrientes litorales y frentes de marea 15 de dispersi´onlateral, debido a la imposibilidad difusi´onturbulenta varios ´ordenesde magnitud de calcularlos de forma general. Su importancia superior al coeficiente de difusi´onmolecular. ser´amayor cuanto menos uniforme sea el perfil El objetivo de los modelos de turbulencia es de velocidad en profundidad. calcular las tensiones de Reynolds. En los mo- Las tensiones viscosas se calculan a partir de delos basados en la hip´otesisde Boussinesq las la viscosidad cinem´aticadel fluido (ν) como: tensiones de Reynolds se eval´uana partir de la expresi´on: v µ ¶ µ ¶ τij ∂Ui ∂Uj = ν + (4) 0 0 ∂Ui ∂Uj 2 −uiuj = νt + − kδij (5) ρ ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi 3 en donde ν es la viscosidad turbulenta y k es la En problemas de flujo en r´ıos y en regiones t energ´ıacin´eticaturbulenta. El modelo de turbu- costeras, el orden de magnitud de las tensiones lencia proporciona la viscosidad turbulenta para viscosas es mucho menor que el del resto de los utilizarla en la expresi´onanterior. t´erminosque aparecen en las ecuaciones de St. Venant, y por lo tanto su efecto puede despre- Modelo de longitud de mezcla promediado ciarse. en profundidad Las tensiones de Reynolds reflejan el efecto de la turbulencia sobre la velocidad media del En la versi´ondel modelo de longitud de mez- fluido y en flujo turbulento toman valores mu- cla para aguas someras, la viscosidad turbulenta cho mayores que las tensiones viscosas. El efec- se calcula a partir de las caracter´ısticaslocales del flujo mediante la siguiente expresi´on: to de las tensiones turbulentas es especialmente r importante en zonas de recirculaci´on,en don- ³ ´2 2 uf de la producci´onde turbulencia es elevada. Para νt = l 2SijSij + 2.34 (6) s κh calcularlas es necesario recurrir a un modelo de turbulencia. ls = m´ın(0.267 κh, κdwall) en donde κ=0.41 es la constante de von Kar- Modelos de turbulencia man, dwall es la distancia a la pared m´ascerca- Existen diferentes modelos de turbulencia es- na, uf es la velocidad de fricci´ondel fondo, y pec´ıficospara las ecuaciones de aguas someras Sij es el tensor de deformaci´onhorizontal: µ ¶ promediadas en profundidad (Cea et al. 2007). 1 ∂U ∂U S = i + j Entre los m´asutilizados se encuentran el mode- ij 2 ∂x ∂x lo de longitud de mezcla y el modelo k − ε de j i Rastogi y Rodi (Rastogi y Rodi, 1978). Ambos Es un modelo algebraico sencillo que permi- modelos de turbulencia est´anincorporados en el te obtener resultados relativamente buenos en modelo num´ericoutilizado en este art´ıculo. flujos en los que la turbulencia est´agenerada lo- En todos los casos presentados se ha realiza- calmente y principalmente por el rozamiento del do un an´alisisde sensibilidad de los resultados fondo. Tiene en cuenta la producci´onde turbu- a la modelizaci´onde la turbulencia. Como suele lencia debido a gradientes horizontales de velo- ocurrir en la modelizaci´ondel flujo en r´ıosy en cidad, pero no considera el transporte convecti- zonas costeras, la influencia del modelo de tur- vo ni la disipaci´onde turbulencia. En flujos con bulencia en los resultados de calado y velocidad zonas de recirculaci´onfuertes los resultados ob- es muy peque˜na,en general inapreciable, debido tenidos con el modelo de longitud de mezcla em- a que los esfuerzos convectivos son varios ´orde- peoran, especialmente si el nivel de turbulencia nes de magnitud superiores a las tensiones tur- es elevado. bulentas. Esto suele ocurrir en flujos en los que la geometr´ıaes lo suficientemente suave como Modelo k−ε promediado en profundidad para que no se produzcan zonas de recirculaci´on Es la versi´onpara aguas someras del mode- en planta. A pesar de ello, incluso en este tipo lo k − ε est´andar. La viscosidad turbulenta se de situaciones es importante realizar una correc- calcula como: k2 ta modelizaci´onde la turbulencia, ya que esta ν = c (7) juega un papel fundamental en los procesos de t µ ε transporte y mezcla de contaminantes y sedi- en donde k es la energ´ıacin´eticaturbulenta, ε es mentos. La difusi´onde calor, de un soluto, o de la tasa de disipaci´onde turbulencia, y cµ es una un sedimento en suspensi´onse produce b´asica- constante con valor Cµ=0.09. El modelo resuel- mente por turbulencia, siendo el coeficiente de ve una ecuaci´onde transporte para cada una de 16 L. Cea, J. Puertas y M.E. V´azquez las variables k y ε, en donde se tiene en cuenta en vol´umenesfinitos para mallas bidimensionales la producci´ondebido al rozamiento del fondo, la no estructuradas. Queda fuera de los objetivos producci´onpor gradientes de velocidad, la disi- de este art´ıculoel realizar una descripci´ondeta- paci´ony el transporte convectivo: llada de los m´etodos num´ericosutilizados para µµ ¶ ¶ resolver las ecuaciones de aguas someras bidi- ∂k ∂U k ∂U k ∂ ν ∂k + x + y = ν + t mensionales. A pesar de ello, a continuaci´onse ∂t ∂x ∂y ∂xj σk ∂xj realiza una descripci´onbreve de los esquemas 3 num´ericos utilizados en Turbillon, pudi´endose uf +2νtSijSij + ck − ε (8) encontrar una descripci´onm´asdetallada de los h mismos en (Cea et al., 2006). µµ ¶ ¶ ∂ε ∂U ε ∂U ε ∂ ν ∂ε La discretizaci´ondel dominio espacial se rea- + x + y = ν + t ∂t ∂x ∂y ∂x σ ∂x liza con vol´umenesfinitos no estructurados tipo j ε j arista. Berm´udez et al. (1998) proporciona una 4 2 ε uf ε descripci´ondetallada de este tipo de vol´umenes. +c 2ν S S + c − c (9) 1ε k t ij ij ε h2 2ε k Los vol´umenesde control se generan a partir de una triangulaci´onprevia del dominio espa- k2 ν = c , c = c−1/2 cial, situando los nodos en el punto medio de las t µ ε k f aristas de los tri´angulos(Figura 1). Las celdas τ 1 construidas de tal manera tienen cuatro aristas c = 3.6c3/2c c−1/2 , c = b ε k ε2 µ f ρ |U|2 excepto en los contornos, en donde s´olotienen 3 aristas. Este tipo de vol´umenespermite una con las constantes: definici´onsimple del vector normal en las aristas cµ=0.09; c1ε=1.44; cε2=1.92; σk=1.0; σε=1.31. del contorno, evitando la indeterminaci´onen la El modelo k−ε es un modelo relativamente so- definici´ondel vector normal que aparece cuando fisticado. En flujos turbulentos poco-profundos se utilizan vol´umenestipo v´erticeen problemas proporciona resultados relativamente buenos, con una geometr´ıairregular (Dervieux, 1992). siendo uno de los modelos m´asutilizados en di- Para la discretizaci´ondel flujo convectivo se cho ´ambitocuando el nivel de turbulencia es im- utiliza una extensi´onde orden 2 del esquema portante. No obstante, su grado de complejidad descentrado de Roe (1986), con un limitador no garantiza resultados correctos en cualquier de pendiente (Superbee o Minmod) para evitar tipo de flujo. Al igual que cualquier modelo de oscilaciones en regiones con m´aximoso m´ıni- turbulencia, los resultados obtenidos con el mo- mos locales. Si se utiliza el esquema descentra- delo k − ε deben de analizarse y valorarse de do de Roe con una discretizaci´oncentrada del forma cr´ıtica. t´erminofuente pendiente del fondo, en proble- mas con batimetr´ıairregular se generan oscila- Esquema num´erico ciones no f´ısicasen la superficie libre del agua, Para realizar las modelizaciones presentadas incluso en condiciones hidrost´aticas(Berm´udez en este art´ıculose ha utilizado el c´odigo Turbi- y V´azquez-Cend´on,1994). Para evitar estas os- llon, desarrollado en el Grupo de Ingenier´ıadel cilaciones debe utilizarse una discretizaci´ondes- Agua y del Medio Ambiente (GEAMA) de la centrada de la pendiente del fondo. Berm´udezy Universidad de A Coru˜naen colaboraci´oncon V´azquez-Cend´on(1994) proponen una discreti- la coautora de la Universidad de Santiago de zaci´ondescentrada de la pendiente del fondo que Compostela. El c´odigoresuelve las ecuaciones de proporciona un balance exacto de las ecuaciones aguas someras mediante un esquema num´erico

Figura 1. Definici´onde los vol´umenesfinitos tipo arista (´arearallada) a partir de una malla triangular no estructurada Evaluaci´onde corrientes litorales y frentes de marea 17

Figura 2. Frentes seco-mojado. Redefinici´ondel fondo y condici´onde reflexi´on´unicamente en el caso de la izquierda de flujo en el caso hidrost´aticocuando se utiliza riza por tener una forma relativamente estrecha con el esquema descentrado de Roe de primer y alargada, con una extensi´onlongitudinal de orden. Sin embargo, cuando se utiliza la exten- aproximadamente 25 km y una anchura de apro- si´onde orden 2 del esquema de Roe, se generan ximadamente 1 km en la desembocadura (Figura oscilaciones de la superficie libre aunque se utili- 3). Existen numerosas zonas inundables que se ce la discretizaci´ondel t´erminofuente propuesta anegan y drenan con cada ciclo de marea. Debi- por Berm´udezy V´azquez-Cend´on(1994). Como do a su topograf´ıarelativamente plana e irregu- posible soluci´on,Cea et al. (2006) proponen uti- lar el proceso de drenaje es lento, gener´andose lizar la extensi´onde orden 2 ´unicamentepara en bajamar bolsas de agua atrapada en ciertas las dos componentes del caudal unitario (qx, qy), depresiones del terreno. Este tipo de topograf´ıa conservando una discretizaci´onde primer orden puede provocar oscilaciones en la soluci´on,pro- para el calado y la pendiente del fondo. Como duciendo inestabilidades num´ericassi el trata- resultado se obtiene un esquema h´ıbrido de se- miento de los t´erminosfuente y del frente seco- gundo orden en qx y qy, y de primer orden en mojado no es correcto. h y zb. De esta forma se elimina una gran parte La malla no estructurada utilizada en el mode- de la difusi´onnum´erica,y se mantiene en gran lo num´ericodel Crouch consta de 48995 vol´ume- medida la estabilidad del esquema. nes finitos tipo arista, cubriendo una extensi´on Para el tratamiento del frente de marea se de- espacial de aproximadamente 27.65 km2 con un 2 fine una tolerancia seco-mojado εwd, de forma tama˜nomedio de celda de 570 m . El tama˜node 2 que si el calado en una celda es menor a εwd, las celdas var´ıaaproximadamente entre 500 m la celda se considera seca y no se incluye en el en el cauce principal y 2000 m2 en las zonas m´as c´alculo.La altura de agua nunca se fuerza a ce- elevadas del estuario. La altura del fondo, relati- ro, con el fin de evitar p´erdidasde masa en el va al nivel medio del mar en la desembocadura, interior del dominio de c´alculo.El esquema des- var´ıa entre -15 m en las zonas m´asprofundas centrado de Roe genera oscilaciones espurias en de la desembocadura, y +3 m en las zonas m´as la superficie libre del agua si se aplica directa- elevadas. mente en un frente seco-mojado. Brufau (2000) Las aportaciones externas de agua dulce en atribuye estas oscilaciones a la diferencia entre todo el estuario son muy escasas, especialmen- los gradientes del fondo y del calado, y propone te en comparaci´oncon el flujo de marea, por lo redefinir la elevaci´ondel fondo en el frente seco- que no es necesario considerarlas en las simu- mojado (Figura 2). En las simulaciones presenta- laciones num´ericas.La ´unicacondici´onde con- das en este trabajo se ha redefinido el fondo tal torno abierto a imponer es el nivel de marea en como proponen Brufau et al. (2002), y se ha im- la desembocadura, cuyo rango var´ıaentre 3 m puesto una condici´onde reflexi´on(flujo normal con mareas muertas y 5 m con mareas vivas. La cero) en las aristas que definen el frente seco- variaci´ontemporal del nivel de marea impues- mojado. Este tipo de tratamiento fue utilizado to como condici´onde contorno no estacionaria por Cea et al. (2004) para simular la llegada se ha obtenido directamente de una sonda de de oleaje de onda larga a muros con pendiente calado situada en la orilla norte de la desembo- elevada, proporcionando resultados aceptables, cadura. estables y con un frente no difusivo. Debido a la extensi´onespacial del estuario, el tama˜node malla en los contornos es relativa- APLICACIONES mente grueso, por lo cual se utiliza una condici´on de deslizamiento libre. En todo caso, durante la El estuario Crouch mayor parte del tiempo los contornos de la malla El estuario Crouch (Reino Unido) se caracte- est´ansecos, y por lo tanto no intervienen en la 18 L. Cea, J. Puertas y M.E. V´azquez soluci´on.Debido a ello se incrementa la impor- mentales de calado y velocidad en 5 puntos del tancia del frente seco-mojado, el cual define el estuario cuya localizaci´onse muestra en la Figu- avance de los contornos del fluido, as´ıcomo su ra 3. La comparaci´onentre resultados num´ericos extensi´on. y experimentales se muestra en la Figura 5 y Fi- En general las velocidades inducidas por la gura 6. En general la predicci´ondel calado es marea en el estuario son relativamente eleva- bastante buena en todos los puntos. Las predic- das, con valores superiores a 0.8m/s en una ciones de velocidad son tambi´enbastante satis- gran parte del estuario en media marea entran- factorias, especialmente en Wallasea, Holliwell y te/saliente. Las velocidades m´aximasse produ- Fambridge. En Paglesham y Creeksea el mode- cen cerca de la desembocadura (Figura 4), con lo sobreestima ligeramente la velocidad m´axima valores ligeramente superiores a 1.5 m/s. Com- experimental. Probablemente las diferencias en- parando la Figura 3 y la Figura 4 se observa cla- tre los resultados experimentales y num´ericosse ramente que el campo de velocidades est´amuy deban a errores en la batimetr´ıalocal del mo- condicionado por la batimetr´ıa,siendo la veloci- delo num´ericoo a la presencia de patrones de dad mayor en las regiones m´asprofundas. flujo locales que necesiten una malla de c´alculo En este caso se dispone de medidas experi- tridimensional a nivel local.

Figura 3. Batimetr´ıadel estuario Crouch

Figura 4. Campo de velocidad en el estuario Crouch. Marea entrante Evaluaci´onde corrientes litorales y frentes de marea 19

Figura 5. Series temporales de calado en Holliwell (arriba-izquierda), Wallasea (arriba- derecha), Paglesham (abajo-izquierda) y Fambridge (abajo-derecha)

Teniendo en cuenta que la turbulencia en el Este valor es bastante elevado, lo que signifi- estuario est´afundamentalmente generada por la ca que el efecto de la difusi´onturbulenta sobre fricci´ondel fondo, se puede realizar una estima- el flujo medio es peque˜noen comparaci´oncon ci´onde la viscosidad turbulenta a partir del mo- el efecto de las fuerzas convectivas (fuerzas de delo de longitud de mezcla (ec.(6)), desprecian- inercia). Debido a ello, la influencia del mode- do la generaci´onpor gradientes, como: lo de turbulencia en el campo de velocidad es peque˜na.La estimaci´onde la viscosidad turbu- 1 1 √ lenta dada por la ec.(10) es del mismo orden ν ≈ κu h ≈ κ gnh5/6U ≈ 0.21nh5/6U t 6 f 6 de magnitud que los valores m´aximosde visco- (10) sidad turbulenta obtenidos con el modelo k − ε en donde se ha utilizado la f´ormulade Manning (Figura 7), lo cual confirma que la turbulencia para estimar la velocidad de fricci´ondel fondo est´afundamentalmente generada por la fricci´on uf . Asumiendo un calado de 10 m, un coeficien- de fondo. te de Manning de 0.02, y una velocidad media Los valores mayores de energ´ıacin´eticaturbu- de 1.5 m/s, se obtiene una viscosidad turbulenta lenta aparecen en la desembocadura del estuario 2 aproximada de 0.04 m /s. Con esta estimaci´on, (Figura 8). Se genera asimismo una zona de alta y asumiendo una escala espacial de 1000 m (que turbulencia en la entrada del R´ıoRoach. De to- es aproximadamente la anchura del estuario en das formas, incluso en esas zonas la energ´ıatur- la desembocadura), se puede definir un n´umero bulenta no es excesivamente elevada, tomando de Reynolds turbulento como: valores del orden de 0.015 m2/s2, lo cual equi- UL vale a una intensidad turbulenta del orden de Rt = ≈ 37000 (11) 0.10. νt 20 L. Cea, J. Puertas y M.E. V´azquez

Figura 6. Series temporales de calado en Holliwell (arriba-izquierda), Wallasea (arriba- derecha), Paglesham (abajo-izquierda) y Fambridge (abajo-derecha)

Figura 7. Campo de viscosidad turbulenta en la desembocadura del estuario Crouch. Marea entrante

La Figura 9 muestra la evoluci´ontemporal de te y marea saliente, especialmente en Wallasea, la energ´ıacin´eticaturbulenta proporcionada por en donde la energ´ıaturbulenta es 3 veces mayor el modelo num´ericoen diferentes puntos del es- durante la marea entrante que durante la ma- tuario. Es interesante observar la marcada asi- rea saliente. En otros puntos del estuario, como metr´ıaen el nivel de turbulencia en Holliwell y Paglesham, los niveles de turbulencia en marea en Wallasea durante los ciclos de marea entran- entrante y saliente son similares. Evaluaci´onde corrientes litorales y frentes de marea 21

Figura 8. Campo de energ´ıacin´eticaturbulenta en el estuario Crouch. Marea entrante

Figura 9. Series temporales de energ´ıacin´eticaturbulenta en Wallasea (izquierda) y Pagles- ham (derecha)

La r´ıade O Barqueiro lizado sobre una malla no estructurada formada La forma de la r´ıa de O Barqueiro es muy aproximadamente por 19000 vol´umenesfinitos tipo arista, la cual cubre una superficie de 24.7 diferente a la del estuario Crouch. La r´ıa tie- 2 ne una longitud de aproximadamente 5 km con km . La malla comprende todo el interior de la una anchura a la entrada de casi 3 km. El flujo r´ıa,extendi´endoseexteriormente a la r´ıaen for- por lo tanto es mucho m´asbidimensional, pro- ma de semicircunferencia (Figura 10). Con ello duci´endosezonas de recirculaci´onen el interior se pretende disminuir la influencia de la forma del estuario. Al igual que en el Crouch, el caudal del contorno de mar abierto en las corrientes 3 generadas en el interior de la r´ıa. La parte in- medio aportado a la r´ıapor el r´ıoSor (5.9 m /s) 2 es varios ´ordenesde magnitud inferior al caudal terior de la r´ıa,con una extensi´onde 11.3 km , de marea (aproximadamente 30000 m3/s), y por comprende aproximadamente 14500 vol´umenes finitos con un tama˜nomedio de 780 m2. En la lo tanto los efectos de la cu˜nasalina a nivel glo- 2 bal son despreciables, pudi´endoseconsiderar que semicircunferencia exterior (13.4 km ) es sufi- toda el agua en la r´ıaes agua salada. ciente con utilizar un tama˜node malla superior (4500 vol´umenescon un tama˜nomedio de 3000 La modelizaci´onnum´ericade la r´ıase ha rea- m2). 22 L. Cea, J. Puertas y M.E. V´azquez

Figura 10. Batimetr´ıade la r´ıade O Barqueiro

Figura 11. Campo de velocidad en la r´ıa de O Barqueiro. Marea entrante (izquierda). Marea saliente (derecha)

Como condici´onde contorno en mar abierto ta de aproximadamente 0.01 m2/s, tanto en la se impone el nivel de marea, asumi´endolocons- zona central del estuario (20 metros de calado tante en todo el contorno. Se toma un rango y velocidades m´aximasde 20 cm/s) como cerca de marea de 4m con un per´ıodo de 12 horas de la desembocadura del r´ıoSor (3 metros de (marea semidiurna). En el r´ıo Sor, se impone calado y velocidades m´aximasde 1 m/s). Asu- un caudal constante de 5.9 m3/s, aunque como miendo una escala espacial horizontal de 500 m se ha comentado anteriormente su influencia a cerca de la desembocadura del Sor y de 2000 nivel global es despreciable. Al igual que en el m en el interior de la r´ıase obtienen respectiva- estuario Crouch, se utiliza una condici´onde des- mente sendos n´umerosde Reynolds horizontales lizamiento libre en los contornos cerrados de la turbulentos de 40000 y 50000, suficientemente malla y un coeficiente de Manning de 0.02 para elevados como para asumir que el papel de la evaluar el rozamiento del fondo. difusi´onturbulenta en el flujo medio es peque˜no En lo que respecta a la turbulencia, utilizando en comparaci´oncon el efecto de las fuerzas con- la estimaci´ondada por la ec.(10) (turbulencia vectivas. generada por rozamiento del fondo), se obtiene Las velocidades inducidas por la marea (Figu- un orden de magnitud de la viscosidad turbulen- ra 11) son mucho menores que en el estuario Evaluaci´onde corrientes litorales y frentes de marea 23

Crouch, manteni´endosecon valores inferiores a dad alcanza valores del orden de 11m de calado 0.2m/s en casi toda la r´ıaexcepto en la parte en las zonas m´asprofundas con mareas vivas. m´asinterior, cerca de la desembocadura del r´ıo Desde el punto de vista hidrodin´amico,la prin- Sor, en donde existe una zona de bajos forma- cipal diferencia con los 2 casos anteriores (Crou- da por la acumulaci´onde arena, lo que provoca ch y O Barqueiro) es que en este caso para cau- que se lleguen a alcanzar valores de velocidad dales medios y elevados predomina el caudal del superiores a 1m/s con marea entrante. En esa r´ıosobre el caudal de marea. Aunque el nivel de zona existe una gran asimetr´ıa de velocidades la l´aminalibre sigue estando condicionado por la entre marea entrante y marea saliente, produ- marea, la velocidad de la corriente est´adirigida ci´endosecorrientes mucho m´asfuertes cuando hacia aguas abajo durante todo el ciclo de ma- sube la marea. Esto se debe a la existencia de los rea, pudi´endoseconsiderar que el agua es dulce mencionados bajos de arena en la desembocadu- en todo el tramo, i.e. no existe cu˜nasalina en la ra del Sor, y contribuye asimismo a la acumula- zona estudiada. ci´onde arena en dicha zona, produci´endoseun La discretizaci´onespacial se realiza mediante efecto de retroalimentaci´on.Aunque no se dis- una malla no estructurada de vol´umenesfinitos pone de medidas experimentales de velocidad, tipo arista compuesta por 12827 nodos de c´alcu- estos resultados concuerdan con observaciones lo, cubriendo una superficie total de 105727.7 visuales en la zona. Las series temporales de las m2. La Figura 13 muestra la batimetr´ıautiliza- velocidades en los tres puntos identificados en da en el modelo num´erico. la Figura 11 se representan conjuntamente en la En el contorno aguas arriba se impone el cau- Figura 12. dal total que entra en el tramo proveniente del r´ıoL´erez,estudi´andoselas condiciones de flujo correspondientes a la avenida m´aximaanual me- 3 dia (Qmax,medio =354.3 m /s). Dicho caudal se distribuye en toda la secci´onde entrada de ma- nera proporcional a la profundidad en cada pun- to del contorno, imponiendo un mayor caudal unitario en las zonas m´asprofundas. Se impo- ne adem´asla condici´onde velocidad de entrada perpendicular al contorno de entrada. El caudal total se distribuye a lo largo de la secci´onde entrada seg´unla siguiente expresi´on: h5/3 q = hU = Kte (12) n n n siendo qn el caudal unitario de entrada en cada punto normal al contorno, h el calado en dicho punto, Un la velocidad normal al contorno pro- mediada en profundidad, y n el coeficiente de Manning. La constante Kte se fija establecien- Figura 12. Campo de velocidad en la r´ıade O Bar- do el valor del caudal total a trav´esde la secci´on queiro. Marea entrante (izquierda). Ma- de entrada, en este caso 354.3 m3/s. Se ha con- rea saliente (derecha) siderado un coeficiente de Manning n =0.025, constante en todo el tramo estudiado. Desembocadura del r´ıoL´erez En la secci´onde salida se impone la elevaci´on El r´ıoL´erezdesemboca en la r´ıade Ponteve- de la superficie libre constante en todo el con- dra. A su paso por la ciudad de Pontevedra el torno, la cual viene dada por el nivel de marea. calado y las velocidades se encuentran condicio- A falta de datos m´asprecisos, se ha tomado un nados por el nivel de marea en la r´ıa de Pon- per´ıodo de marea de 12 horas (la marea en la r´ıa tevedra. Con el fin de estimar la capacidad de de Pontevedra es fundamentalmente semidiur- arrastre de sedimentos del r´ıoen condiciones de na) con una carrera de marea igual a la m´axima avenida, se ha modelado el flujo en un tramo de observada (4.23 m). Se toma como elevaci´on aproximadamente 1 km de longitud, a su paso m´ınima la suma del nivel m´ınimo astron´omico por Pontevedra. La secci´ontransversal del r´ıoen registrado (0.07 m) m´asel residuo meteorol´ogi- dicho tramo es variable, con anchuras del cauce co m´ınimopara un per´ıodo de retorno de 20 a˜nos comprendidas entre 65 m y 125 m. La profundi- (-0.60 m), obteni´endoseun nivel m´ınimode ma- rea de -0.53 m. 24 L. Cea, J. Puertas y M.E. V´azquez

Figura 13. R´ıoL´erez.Batimetr´ıazb(m) (izquierda). Velocidad en bajamar Vmod(m/s) (cen- tro). Di´ametrocr´ıticode arrastre D50(mm) (derecha)

proporciona valores m´aximosde viscosidad tur- bulenta en torno a 0.06 m2/s en bajamar (velo- cidades de 2 m/s y calados de 7 m), y de 0.04 m2/s en pleamar (velocidades de 1 m/s y cala- dos de 10 m). Asumiendo una escala espacial de 50m (anchura m´ınimade secci´onen bajamar) se obtiene un n´umerode Reynolds horizontal tur- bulento de en torno a 2000 (ec.(11)). Este valor es un orden de magnitud m´asbajo al obtenido en el estuario Crouch y en la r´ıade O Barqueiro, por lo que a priori las tensiones turbulentas podr´ıan jugar un papel m´asimportante en el desarrollo del flujo. Para analizar la influencia de las tensio- nes turbulentas, se realiz´ouna modelizaci´onuti- lizando el modelo de longitud de mezcla (Figura 14), el cual proporciona valores adecuados de la viscosidad turbulenta en casos como este, en los que la turbulencia est´agenerada principalmente por rozamiento de fondo. Los campos de veloci- dad y calado obtenidos son a efectos pr´acticos iguales a los obtenidos sin utilizar ning´unmodelo de turbulencia.

En la Figura 13 se muestran los campos de ve- Figura 14. Campo de viscosidad turbulenta (m2/s) locidad en condiciones de bajamar para el cau- en bajamar en el r´ıoL´erez dal de c´alculo.Al contrario que en el estuario Crouch y en la r´ıa de O Barqueiro, donde las corrientes m´aximasse producen en media ma- En este caso la estimaci´ondada por la ec.(10), rea entrante/saliente, en este caso las m´aximas Evaluaci´onde corrientes litorales y frentes de marea 25 velocidades se producen en bajamar, cuando los Cuando se modelan corrientes de marea es ne- calados y la secci´onmojada del r´ıoson m´ınimos. cesario realizar un calentamiento previo del mo- En pleamar el calado aumenta, disminuyendo la delo num´erico,de forma que la masa de agua velocidad necesaria para desaguar el caudal del adquiera cierta inercia. En general suele ser sufi- r´ıo. ciente un calentamiento del modelo consistente A partir del campo de velocidades se han cal- en 2 ciclos de marea, realizando el an´alisisde culado las tensiones de fondo mediante la f´ormu- resultados a partir del tercer ciclo. la de Manning. A partir de dichas tensiones en En todos los casos estudiados se puede con- cada punto del modelo, se eval´uael di´ametrode siderar flujo monof´asico,ya sea de agua dulce sedimento no cohesivo que es capaz de soportar (caso de la desembocadura del r´ıoL´erez)o de dicha tensi´onsin que se produzca transporte de agua salada (caso del estuario Crouch y de la r´ıa fondo, utilizando para ello el ´abacode Shields. de O Barqueiro). En otras situaciones puede ser Asumiendo r´egimenturbulento rugoso, se calcu- necesario tener en cuenta en la modelizaci´onla la el di´ametrocr´ıticocomo: existencia de una cu˜nasalina mediante un mode- lo de flujo bicapa. La existencia, tama˜noy forma τb D50 = (13) de la cu˜nasalina depende de la geometr´ıadel es- Ψc · (ρs − ρ) · g tuario, as´ıcomo de la relaci´onentre el caudal de marea y el caudal del r´ıo. donde D50 es el di´ametrocr´ıticocapaz de sopor- En los casos en los que se dispone de medidas tar la tensi´onde fondo τb sin que se produzca de campo, el ajuste num´erico-experimental de arrastre de sedimentos, Ψc es la tensi´oncr´ıtica velocidades y calados es muy satisfactorio, con- de Shields adimensional, ρs es la densidad del firmando la capacidad de los modelos de aguas sedimento, ρ es la densidad del agua, y g es la someras bidimensionales de modelar los procesos aceleraci´onde la gravedad. de inundaci´ony drenaje generados por el flujo de En la Figura 13 se muestra, para condiciones marea en estuarios con geometr´ıay topograf´ıa de bajamar, el di´ametrocr´ıticocalculado a par- complejas. tir de la ec.(13). Como puede apreciarse, para avenidas medias existen zonas del tramo en las AGRADECIMIENTOS que se producir´atransporte de s´olidosincluso superiores a 20mm, mientras que en otras zonas Los autores de este art´ıculoagradecen a Jon donde la secci´ones m´asancha el s´olidoestable French y Helene Burningham del grupo CERU es encuentra en torno a los 2mm. (University College London) el haber proporcio- nado los datos experimentales de velocidad y ca- CONCLUSIONES lado obtenidos en el estuario Crouch. As´ımismo agradecen al profesor Juan Acinas de la Universi- Se han presentado diferentes aplicaciones de dad de A Coru˜nay a la empresa Eyser, el haber simulaci´onnum´ericadel flujo en r´ıaspor medio proporcionado las batimetr´ıas correspondientes de un modelo de vol´umenesfinitos que resuelve a la r´ıade O Barqueiro y a la desembocadura las ecuaciones de aguas someras bidimensiona- del r´ıoL´erez. les. A pesar de que en este art´ıculono se ha incidi- REFERENCIAS do en la modelizaci´onde la turbulencia, en todos los casos presentados se ha realizado un an´ali- A. Berm´udezy M.E. V´azquez-Cend´on,(1994). sis de sensibilidad de los resultados num´ericos Upwind methods for hyperbolic conser- al modelo de turbulencia utilizado. Como suele vation laws with source terms. Comput. ocurrir en la modelizaci´ondel flujo en r´ıosy en Fluids, 23(8), 1049. zonas costeras, la influencia del modelo de tur- A. Berm´udez,A. Dervieux, J.A. Desideri y M.E. bulencia en los resultados de calado y velocidad V´azquez-Cend´on, (1998). Upwind sche- es muy peque˜na,en general inapreciable, debido mes for the two-dimensional shallow wa- a que las fuerzas de inercia son varios ordenes ter equations with variable depth using de magnitud superiores a las tensiones turbulen- unstructured meshes. Comput. Methods tas. A pesar de ello, es necesario remarcar que Appl. Mech. Eng., 155, 49–72. la turbulencia juega un papel fundamental en el trasporte de sustancias solubles, y por lo tanto P. Brufau, (2000). Simulaci´onbidimensional de su correcta modelizaci´ones muy importante pa- flujos hidrodin´amicostransitorios en geo- ra el estudio de procesos de transporte y mezcla. metr´ıasirregulares. Tesis doctoral, Area´ de 26 L. Cea, J. Puertas y M.E. V´azquez

Mec´anicade Fluidos, Universidad de Za- 1932. ragoza. L. Cea, J. Puertas y M.E. V´azquez-Cend´on, P. Brufau, M.E. V´azquez-Cend´ony P. Garc´ıa- (2007). Depth averaged modelling of tur- Navarro, (2002). A numerical model for bulent shallow water flow with wet-dry the flooding and drying of irregular do- fronts. Archives of Computational Met- mains. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 39(3), hods in Engineering, 14(3), 303–341. 247–275. A. Dervieux y J.A. Desideri, (1992). Compres- L. Cea, A. Ferreiro, M.E. V´azquez-Cend´ony J. sible flow solvers using unstructured grids. Puertas, (2004). Experimental and nume- Rapports de Recherche, 1732, INRIA. rical analysis of solitary waves generated by bed and boundary movements. Int. J. A.K. Rastogi y W. Rodi, (1978). Predictions of Numer. Meth. Fluids, 46(8), 793–813. heat and mass transfer in open channels. L. Cea, J. French y M.E. V´azquez-Cend´on, Journal of the Hydraulics Division HY3, (2006). Numerical modelling of tidal flows 379–420. in complex estuaries including turbulen- P.L. Roe, (1986). Discrete models for the nu- ce: an unstructured finite volume solver merical analysis of time-dependent mul- and experimental validation. Int. J. Nu- tidimensional gas dynamics. J. Comput. mer. Meth. Engineering, 67(13), 1909– Phys., 63, 458–476.