Approximation of Conformal Mappings by Circle Patterns and Discrete Minimal Surfaces

Approximation of conformal mappings by circle patterns and discrete minimal surfaces vorgelegt von Dipl.-Math. Ulrike Bucking¨ Von der Fakultät II – Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universität Berlin zur Erlangung des akademischen Grades Doktorin der Naturwissenschaften – Dr. rer. nat. – genehmigte Dissertation Promotionsausschuss Vorsitzender: Prof. Dr. Volker Mehrmann, Technische Universität Berlin Berichter: Prof. Dr. Alexander I. Bobenko, Technische Universität Berlin Prof. Dr. Yuri B. Suris, Technische Universität Munchen¨ zusätzlicher Gutachter: Prof. Kenneth Stephenson, University of Tennessee (USA) Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 14. Dezember 2007 Berlin 2007 D 83 i Summary To a rhombic embedding of a planar graph with quadrilateral faces and vertices colored black and white there is an associated isoradial circle pattern C1 with centers of circles at white vertices and radii equal to the edge length. Let C2 be another circle pattern such that the rhombi correspond to kites of intersecting circles with the same intersection angles. We consider the mapping gC which maps the centers of circles and the intersection points to the corresponding points and which is an affine map on the rhombi. Let g be a locally injective holomorphic function. We specify the circle pattern C2 by prescribing the radii or the angles on the boundary corresponding to values of log g0. We show that gC approximates g and its first derivative uniformly on compact subsets and that a suitably normalized sequence converges to g if the radii of C1 converge to 0. In particular, we study the case that C1 is a quasicrystallic circle pattern, that is the number of different edge directions of the rhombic embedding is bounded by a fixed constant (for the whole sequence). For a class of such circle patterns we prove the convergence of discrete partial derivatives of arbitrary order to the corresponding continuous derivatives of g. For this purpose we use a discrete version of Hölder’s inequality and a discrete regularity lemma for solutions of elliptic differential equations. Furthermore, we consider the special case of regular circle patterns with the combinatorics of the square grid and two (different) intersection angles, which correspond to the two different edge directions. We show the uniqueness of the embedded infinite circle pattern (up to similarities) and prove an estimation for the quotients of radii of neighboring circles of such an (finite) circle pattern with error of order 1/combinatorial distance of the circle to the boundary. We also carry this result over to certain classes of quasicrystallic circle patterns. In addition, we study the Zγ -circle patterns with the combinatorics of the square grid and regular intersection angles for γ ∈ (0, 2). We prove the uniqueness (up to scaling) of such embedded circle patterns which cover a corresponding sector of the plane, subject to some conditions on the intersection angles and γ. Similar results are also shown for some classes of quasicrystallic Zγ -circle patterns. For the case of orthogonal circle patterns with the combinatorics of the square grid we consider the problem to approximate an homeomorphism of a square onto a kite which is conformal in the interior and maps the corner points of the square to the corner points of the kite. We prove uniform convergence on the square and convergence of all discrete derivatives on compact sets which do not contain any of the corner points. This result is generalized for other polygonal domains and stereographic projections of spherical polygonal domains which are bounded by arcs of great circles and contained in an open half-sphere of the unit sphere. As a consequence, we prove the convergence of S-isothermic discrete minimal surfaces to the corresponding smooth minimal surfaces away from nodal points. Furthermore, we construct examples of S-isothermic discrete minimal surfaces. ii Zusammenfassung Zu einer rhombischen Einbettung eines planaren Graphen mit viereckigen Flächen und schwarz-weiß gefärbten Knoten gehört ein isoradiales Kreismuster C1 mit Mittelpunkten in den weißen Knoten und Radien gleich der Kantenlänge. Fur¨ ein weiteres Kreismuster C2, bei dem den Rhomben Drachen von sich schneidenden Kreisen mit denselben Schnittwin- keln entsprechen, betrachten wir die Abbildung gC , die entsprechende Mittelpunkte und Schnittpunkte der Kreismuster aufeinander abbildet und affin auf den Rhomben ist. Fur¨ eine lokal injektive holomorphe Funktion g bestimmen wir das Kreismuster C2 durch die Vorgabe von Radien oder Winkeln am Rand mit Hilfe von log g0. Wir zeigen, dass gC die Abbildung g und ihre Ableitung gleichmäßig auf kompakten Teilmengen appro- ximiert und eine geeignet normierte Folge solcher Abbildungen gegen g konvergiert, falls die Radien von C1 gegen 0 konvergieren. Insbesondere untersuchen wir den Fall, dass C1 ein quasikristallisches Kreismuster ist, d.h. die Anzahl der verschiedenen Kantenrichtungen der rhombischen Einbettung ist durch eine feste Konstante beschränkt (fur¨ die gesamte Folge). Fur¨ eine Klasse solcher Kreismuster beweisen wir die Konvergenz diskreter partieller Ablei- tungen beliebiger Ordnung gegen die entsprechenden kontinuierlichen Ableitungen von g. Dafur¨ verwenden wir eine diskrete Hölderungleichung und ein diskretes Regularitätslemma fur¨ Lösungen elliptischer Differentialgleichungen. Außerdem betrachten wir den Spezialfall regelmäßiger Kreismuster mit Quadratgit- terkombinatorik und zwei (verschiedenen) Schnittwinkeln, die den zwei Kantenrichtungen entprechen. Wir zeigen die Eindeutigkeit des eingebetteten unendlichen Kreismusters (bis auf Ahnlichkeitstransformationen)¨ und beweisen eine Abschätzung fur¨ die Radienquotien- ten fur¨ benachbarte Kreise eines solchen (endlichen) Kreismuster mit Fehler der Ordnung 1/kombinatorischen Abstand der Kreise zum Rand. Dieses Ergebnis ubertragen¨ wir auch auf gewisse Klassen quasikristallischer Kreismuster. Ferner untersuchen wir die Zγ -Kreismuster mit Quadratgitterkombinatorik und regelmäßigen Schnittwinkeln fur¨ γ ∈ (0, 2). Wir beweisen die Eindeutigkeit (bis auf Skalierung) solcher eingebetteter Kreismuster, die einen entsprechenenden Sektor der Ebene uberdecken,¨ unter bestimmten Bedingungen an die Schnittwinkel und γ. Ahnliche¨ Aussagen zeigen wir auch fur¨ einige Klassen quasikristallischer Zγ -Kreismuster. Fur¨ den Fall orthogonaler Kreismuster mit Quadratgitterkombinatorik betrachten wir das Problem, den im Inneren konformen Homeomorphismus eines Quadrates auf einen Dra- chen zu approximieren, der die Eckpunkte aufeinander abbildet. Wir beweisen gleichmäßige Konvergenz auf dem Quadrat und Konvergenz aller diskreter Ableitungen auf kompakten Mengen, die keinen der Eckpunkte enthalten. Dieses Ergebnis verallgemeinern wir fur¨ ande- re polygonale Gebiete und stereographische Projektionen sphärischer polygonaler Gebiete, die von Großkreisbögen begrenzt werden und in einer offenen Halbsphäre der Einheitss- phäre liegen. Als Folgerung beweisen wir die Konvergenz von S-isothermen diskreten Mi- nimalflächen außerhalb von Nabelpunkten gegen entsprechende glatte Minimalflächen. Des Weiteren konstruieren wir Beispiele von S-isothermen diskreten Minimalflächen. Contents 1 Introduction 1 2 Circle patterns 11 2.1 Definitions and existence ............................. 11 2.2 The radius function ............................... 14 2.3 Estimations on the radius function ....................... 17 2.4 Relations between radius and angle function .................. 20 2.5 The angle function ................................ 23 3 Quasicrystallic circle patterns 27 3.1 Quasicrystallic rhombic embeddings and Zd .................. 27 3.2 Examples of quasicrystallic rhombic embeddings ............... 28 3.3 Properties of discrete Green’s function and some consequences ....... 31 3.3.1 Asymptotic development for discrete Green’s function ........ 33 3.3.2 Regularity of discrete solutions of elliptic equations .......... 36 3.4 Quasicrystallic circle patterns and integrability ................ 40 3.5 Local changes of rhombic embeddings ..................... 41 3.6 Regular circle patterns with square grid combinatorics ............ 45 3.6.1 Uniqueness of regular circle patterns with square grid combinatorics 45 3.6.2 An analog of the Rodin-Sullivan Conjecture .............. 52 3.7 Uniqueness of embedded quasicrystallic circle patterns ............ 59 4 Some properties of the Zγ -circle patterns 61 4.1 Brief review of orthogonal Zγ -circle patterns ................. 61 4.2 Geometric properties of the Zγ -circle patterns and consequences ...... 63 4.3 Uniqueness of the Zγ -circle patterns ...................... 66 4.4 Brief review on Zγ -circle patterns corresponding to regular SG-circle patterns 69 4.5 Uniqueness of quasicrystallic Zγ -circle patterns ................ 70 5 Convergence for isoradial circle patterns 77 5.1 C1-convergence for Dirichlet boundary conditions ............... 77 5.2 C1-Convergence for Neumann boundary conditions .............. 85 5.3 C∞-convergence of quasicrystallic circle patterns ............... 90 0 5.3.1 Estimations on the partial derivatives of log(rn/εn) − log |g | .... 93 5.3.2 Proof of C∞-convergence ........................ 96 5.4 Connections to the linear theory of discrete holomorphic functions ..... 97 5.4.1 Connections of discrete holomorphic functions and isoradial circle patterns .................................. 98 5.4.2 Convergence results ........................... 98 6 Convergence for isoradial circle packings

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