Masarykova univerzita Pˇr´ırodovˇedeck´afakulta Ustav´ teoretick´efyziky a astrofyziky

Uvod´ do studia promˇenn´ych hvˇezd

ZdenˇekMikul´aˇsek,Miloslav Zejda

Brno 2013 Vyd´anov r´amciprojektu Inovace v´yukyaplikovan´efyziky na Pˇr´ırodovˇedeck´efakultˇe Masarykovy univerzity (CZ.1.07/2.2.00/15.0181) v operaˇcn´ımprogramu Vzdˇel´av´an´ıpro konkurenceschopnost (VK) – 2.2 Vysokoˇskolsk´evzdˇel´av´an´ı

c 2013 Masarykova univerzita ISBN 978-80-210-6241-2 OBSAH 3 Obsah

Historie a metody v´yzkumu

1 Uvod´ 11 1.1 Definice ...... 11 1.2 V´yznamstudia promˇenn´ych hvˇezd...... 11

2 Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd 12 2.1 Prehistorie sledov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd ...... 12 2.2 Prvn´ıvˇedeck´apozorov´an´ı ...... 12 2.3 Zaˇc´atkysystematick´ehostudia ...... 13 2.4 V´yzkumpromˇenn´ych hvˇezdv 19. a 20. stolet´ı ...... 15 2.4.1 Vizu´aln´ıfotometrie ...... 16 2.4.2 Nevizu´aln´ıfotometrie ...... 18 2.4.2.1 Fotografick´afotometrie ...... 18 2.4.2.2 Fotoelektrick´afotometrie ...... 18 2.4.2.3 Kˇrem´ıkov´a“ fotometrie ...... 19 ” 2.4.3 Spektroskopie ...... 20 2.4.4 Druˇzicov´apozorov´an´ı...... 21 2.5 Typy promˇenn´ych hvˇezd ...... 22 2.6 Brno a promˇenn´ehvˇezdy...... 25

3 Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd 27 3.1 Astronomick´afotometrie ...... 27 3.1.1 Z´akladn´ıpojmy a vztahy ...... 27 3.1.2 Rozloˇzen´ıenergie ve spektru hvˇezdy ...... 31 3.1.2.1 Z´aˇren´ıACT.ˇ Efektivn´ıteplota. Spektrofotometrie . . . . 31 3.1.2.2 Barevn´eindexy ...... 33 3.1.3 Fotometrick´esyst´emy ...... 35 3.1.3.1 Historick´efotometrick´esyst´emy ...... 37 3.1.3.2 Johnson˚uvmezin´arodn´ısyst´ema jeho rozˇs´ıˇren´ı . . . . . 38 3.1.3.3 Str¨omgren˚uvsyst´em uvby(β)...... 39 3.1.3.4 Dalˇs´ısouˇcasn´efotometrick´esyst´emy ...... 42 3.1.3.5 Standardizace fotometrick´ych syst´em˚u ...... 43 3.1.4 Extinkce a jej´ıeliminace ...... 44 3.1.4.1 Optick´atlouˇst’ka a extinkce ...... 44 3.1.4.2 Mezihvˇezdn´aextinkce ...... 45 3.1.4.3 Atmosf´erick´aextinkce ...... 47 3.2 Astronomick´apolarimetrie ...... 49 3.2.1 Stokes˚uvvektor ...... 50 3.2.2 Polarizace z´aˇren´ıkosmick´ych objekt˚u...... 52 3.2.3 Polarimetrick´apozorov´an´ı ...... 52 3.3 Astronomick´aspektroskopie ...... 53 3.3.1 Charakteristiky spekter ...... 54 4 OBSAH

3.3.2 Z´akladn´ıpojmy ...... 55 3.3.3 Vzhled spektra ...... 59 3.3.4 Co lze vyˇc´ıstze spektrogram˚u...... 62 3.4 Zdroje pozorovac´ıch dat o promˇenn´ych hvˇezd´ach ...... 63 3.4.1 Vlastn´ı,pˇrevzat´aa archivn´ıpozorov´an´ı...... 63 3.4.1.1 Vizu´aln´ıodhady ...... 63 3.4.1.2 Fotografick´apozorov´an´ı ...... 64 3.4.1.3 Fotoelektrick´apozorov´an´ı ...... 64 3.4.1.4 CCD pozorov´an´ı ...... 65 3.4.2 Soudob´epˇrehl´ıdkov´eprojekty ...... 66 3.4.2.1 Pozemsk´eprojekty ...... 66 3.4.2.2 Kosmick´epˇrehl´ıdky ...... 69 3.4.3 Virtu´aln´ıobservatoˇr ...... 71

Zpracov´an´ıpozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

4 Regresn´ıanal´yza 74 4.1 Uvodem´ ...... 74 4.1.1 Regresn´ımodel ...... 74 4.1.2 Zd˚uvodnˇen´ımetody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u...... 76 4.2 Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u...... 77 4.2.1 Hled´an´ıˇreˇsen´ımetodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u...... 77 4.2.2 Krit´eria´uspˇeˇsnostimodelov´an´ı ...... 80 4.2.2.1 Statistika modifikovan´ych odchyleke ˜i ...... 80 2 2 2 4.2.2.2 Sumy χ , χµ a rozptyl proloˇzen´ı s ...... 81 4.2.2.3 Testov´an´ıregresn´ıch model˚upomoc´ıO-C diagram˚u. . . 81 4.2.2.4 Informaˇcn´ıkrit´eria AIC, AICc a BIC ...... 82 4.2.3 Odhad nejistot jednotliv´ych mˇeˇren´ı ...... 83 4.3 Line´arn´ıregrese ...... 84 4.3.1 Line´arn´ıregrese uˇzit´ımmaticov´ehopoˇctu...... 85 4.3.2 Nejistoty parametr˚umodelu a pˇredpovˇed´ı ...... 87 4.3.3 Z´akladn´ıregresn´ımodely - aplikace line´arn´ıregrese ...... 88 4.3.3.1 Pr˚umˇern´ahodnota ...... 89 4.3.3.2 Pˇr´ımka jdouc´ıpoˇc´atkem ...... 89 4.3.3.3 Proloˇzen´ıobecnou pˇr´ımkou ...... 90 4.3.3.4 Proloˇzen´ıˇcasov´ych ˇradpolynomem ...... 91 4.3.3.5 Proloˇzen´ıˇcasov´ych ˇradharmonick´ympolynomem . . . . 91 4.3.4 Zobecnˇen´ıline´arn´ıregrese I - vektorov´az´avisl´apromˇenn´a. . . . . 92 4.3.5 Zobecnˇen´ıline´arn´ıregrese II - v´ıcenez´avislepromˇenn´ych . . . . . 92 4.4 Neline´arn´ıregrese ...... 95 4.4.1 Linearizace neline´arn´ıch regresn´ıch model˚u...... 95 4.4.1.1 Odhad nejistoty okamˇzik˚uextr´em˚u...... 96 4.5 Robustn´ıregrese ...... 96 4.5.1 Vlastn´ımetoda robustn´ıregrese ...... 98 OBSAH 5

5 Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad 100 5.1 Z´akladn´ıpojmy a ´uvahy ...... 100 5.1.1 Svˇeteln´akˇrivka ...... 100 5.1.2 Casˇ pozorov´an´ı ...... 101 5.2 Periodicita promˇennosti ...... 103 5.2.1 Pˇr´ıˇciny zmˇenperiody periodicky promˇenn´ych hvˇezd...... 103 5.2.1.1 Pulzuj´ıc´ıhvˇezdy ...... 103 5.2.1.2 Rotuj´ıc´ıhvˇezdy...... 104 5.2.1.3 Interaguj´ıc´ıdvojhvˇezdy ...... 105 5.2.1.4 LiTE a apsid´aln´ıpohyb ...... 106 5.2.2 Epocha, f´aze,f´azov´afunkce a okamˇzit´aperioda ...... 107 5.2.3 Z´akladn´ıdvouparametrick´ymodel – line´arn´ıefemerida ...... 108 5.2.4 Modely s pozvoln´ymizmˇenamiperiody promˇennosti...... 108 5.2.4.1 Pˇr´ıklady...... 109 5.2.4.2 Diskuse. Prost´ytˇr´ıparametrick´ymodel periody . . . . . 111 5.2.5 Modely s margin´aln´ımizmˇenamiperiody ...... 112 5.2.5.1 Kubick´ymodel zmˇenperiody ...... 112 5.2.5.2 LiTE ...... 113 5.3 Periodov´aanal´yzaokamˇzik˚uextr´em˚u...... 113 5.3.1 Reˇsen´ımetodouˇ nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u...... 116 5.3.1.1 Nejistoty jednotliv´ych okamˇzik˚uextr´emu ...... 117 5.3.1.2 Urˇcov´an´ıparametr˚uline´arn´ıch regresn´ıch model˚u. . . . 118 5.3.2 Standardn´ıurˇcov´an´ıokamˇzik˚uextr´em˚u...... 118 5.3.3 Prost´emodely svˇeteln´ych kˇrivek ...... 119 5.3.4 Precizn´ıurˇcov´an´ıokamˇzik˚uextr´em˚usvˇeteln´ych kˇrivek ...... 120 5.4 Pˇr´ım´aperiodov´aanal´yza...... 122 5.4.1 Popis metody ...... 123 5.4.2 Virtu´aln´ıO-C diagram ...... 124 5.5 Fenomenologick´emodely f´azov´ych kˇrivek ...... 125 5.5.1 Rotuj´ıc´ıhvˇezdys fotometrick´ymiskvrnami ...... 125 5.5.2 Z´akrytov´edvojhvˇezdy ...... 127 5.5.3 Spektroskopick´apromˇennost...... 130 5.6 Simult´ann´ımodelov´an´ınestejnorod´ych zdroj˚uf´azov´einformace ...... 130 5.7 Hled´an´ıperiod. Periodogramy ...... 131 5.7.1 Metody minimalizace f´azov´ehorozptylu ...... 133 5.7.2 Periodogramy jako aplikace metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u...... 133 5.7.2.1 Line´arn´ıregrese a jej´ın´astroje ...... 133 5.7.2.2 Varianta I - suma ˇctverc˚uodchylek ...... 134 5.7.2.3 Varianta II - Lombova-Scargleova metoda ...... 135 5.7.2.4 Varianta III - sign´al/ˇsum ...... 136 5.7.3 Sloˇzitˇejˇs´ısituace ...... 136 5.7.3.1 Dlouhodob´ytrend ...... 137 5.7.3.2 Multiperiodick´ezmˇeny ...... 137 5.7.4 Zd´anliv´eperiody (aliasy) ...... 137 5.7.4.1 Faleˇsn´eperiody ...... 138 6 OBSAH

Fyzika promˇenn´ych hvˇezd

6 Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd 142 6.1 Rotuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy ...... 142 6.1.1 Asf´erick´ehvˇezdy ...... 142 6.1.2 Skvrny na hvˇezd´ach ...... 143 6.1.2.1 Slunce a hvˇezdysluneˇcn´ıhotypu ...... 144 6.1.2.2 Typ FK Comae Berenices ...... 145 6.1.2.3 Typ RS Canum Venaticorum – skvrnit´ıpsi ...... 145 6.1.2.4 Typ BY Draconis ...... 149 6.1.2.5 Chemicky pekuli´arn´ı(CP) hvˇezdy...... 149 6.1.3 Magnetick´epole ...... 152 6.1.3.1 Pulsary ...... 152 6.2 Dvojhvˇezdy ...... 155 6.2.1 Z´akrytov´epromˇenn´ehvˇezdy ...... 155 6.2.2 Svˇeteln´ekˇrivkyz´akrytov´ych dvojhvˇezd ...... 157 6.2.3 Kˇrivkyradi´aln´ıch rychlost´ı...... 162 6.2.4 Tˇesn´einteraguj´ıc´ıdvojhvˇezdy ...... 164 6.2.5 V´yznamv´yzkumu z´akrytov´ych dvojhvˇezd ...... 166 6.2.6 Nez´akrytov´edvojhvˇezdy ...... 167 6.3 Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy...... 168 6.3.1 Radi´aln´ıpulzace ...... 168 6.3.2 Mechanismus pulzac´ı ...... 172 6.3.3 P´asnestability a jeho interpretace ...... 173 6.3.4 Z´avislostperioda–z´aˇriv´yv´ykon a jej´ıvysvˇetlen´ı ...... 176 6.3.5 Pulzace radi´aln´ıi neradi´aln´ı.M´odypulzac´ı ...... 178 6.3.6 Helioseismologie a astroseismologie ...... 181 6.4 Typy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd...... 183 6.4.1 Klasick´ecefeidy ...... 183 6.4.2 Hvˇezdytypu W Virginis ...... 185 6.4.3 RR Lyrae ...... 186 6.4.4 Hvˇezdytypu δ Scuti ...... 187 6.4.5 Hvˇezdytypu γ Doradus ...... 188 6.4.6 Rychle osciluj´ıc´ıpekuli´arn´ıhvˇezdy ...... 189 6.4.7 Hvˇezdytypu β Cephei ...... 190 6.4.8 SPB ...... 190 6.4.9 Pulzuj´ıc´ıb´ıl´ıtrpasl´ıci...... 191 6.4.10 Dlouhoperiodick´epulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy...... 192 6.4.10.1 Polopravideln´epromˇenn´ehvˇezdy ...... 194 6.4.10.2 Hvˇezdytypu RV Tauri ...... 195 6.4.10.3 Hvˇezdytypu R Coronae Borealis ...... 195

7 Fyzika aperiodick´ych promˇenn´ych hvˇezd 196 7.1 Promˇennosthvˇezdyv d˚usledkuzmˇenjej´ıhookol´ı...... 196 7.1.1 Hvˇezdytypu T Tauri ...... 196 7.1.2 Hvˇezdytypu FU Orionis ...... 199 OBSAH 7

7.1.3 Herbigovy-Harovy objekty ...... 200 7.1.4 L´atka ve dvojhvˇezd´ach ...... 200 7.2 Aktivita hvˇezda jej´ıprojevy ...... 201 7.2.1 Pˇr´ıˇciny hvˇezdn´eaktivity ...... 203 7.2.2 Vzplanut´ınov ...... 204 7.3 Komplexn´ıpˇrestavby, zhroucen´ıa v´ybuchy ...... 205 7.3.1 Supernovy typu II, Ib a Ic ...... 206 7.3.2 Supernovy typu Ia ...... 207 Literatura ...... 209

Historie a metody v´yzkumu

11

1 Uvod´ 1.1 Definice

Promˇenn´ehvˇezdy jsou takov´eobjekty, jejichˇzjasnost se v ˇcasemˇen´ı. Promˇenn´e hvˇezdytvoˇr´ımimoˇr´adnˇepestrou skupinu osamocen´ych hvˇezd,dvojhvˇezda v´ıcen´asobn´ych hvˇezdn´ych soustav, velice rozmanit´ejsou i projevy pozorovan´ych zmˇena jejich pˇr´ıˇciny. Promˇennosthvˇezdje pomˇernˇeˇcast´yjev, odhaduje se, ˇzeasi 10 % hvˇezdjsou hvˇezdy zjevnˇepromˇenn´e. C´ımv´ıceseˇ zjemˇnuj´ıdiagnostick´emetody, t´ımvyˇsˇs´ıje zastoupen´ı odhalen´ych promˇenn´ych hvˇezdv n´ahodn´emvzorku hvˇezd. Rozpˇet´ıpozorovan´ych svˇeteln´ych zmˇenje ˇsirok´e:od 1 milimagnitudy (0,001 mag ∼= 1 promile) do des´ıtekmagnitud (10 mag = 1 : 104, 15 mag = 1 : 106). Rozliˇcn´ejsou ˇcasov´e ˇsk´aly: od 10−4 s aˇzdo ˇcasov´ych mˇeˇr´ıtekzmˇen,k nimˇzdoch´az´ıv d˚usledkuhvˇezdn´eho v´yvoje. Pokud tyto v´yvojov´ezmˇeny souvisej´ıs jadern´ymv´yvojem v centr´aln´ıch oblastech hvˇezdy, prob´ıhaj´ıvelice pomalu, v z´avislostina hmotnosti objektu v tzv. jadern´eˇcasov´e ˇsk´ale 106 aˇz109 let. R´adovˇerychlejˇs´ıjsouˇ tehdy, pokud jsou d˚usledkem vnitˇrn´ıpˇrestavby j´adrai obalu hvˇezdy. Pˇrestavba se zpravidla dˇejev tzv. Kelvinovˇe-Helmholtzovˇeˇsk´ale (ˇr´adovˇestatis´ıce let), pˇriˇcemˇzst´aleje hvˇezdave stavu takˇrka pˇresn´ehydrostatick´e rovnov´ahy. Dojde-li vˇsakv pr˚ubˇehu v´yvoje k jej´ımu naruˇsen´ı,mˇen´ıse hvˇezdav tzv. dynamick´eˇcasov´eˇsk´ale (podle typu hvˇezdyaˇzdes´ıtkyminut). K rychl´ymzmˇen´amto- hoto druhu doch´az´ıbud’ na poˇc´atkuhvˇezdn´ehov´yvoje nebo v pozdn´ıch v´yvojov´ych stadi´ıch.

1.2 V´yznam studia promˇenn´ych hvˇezd

Promˇenn´ehvˇezdyjsou zaj´ımav´enejen t´ım,ˇzese na nich, v nich nebo kolem nich nˇeco dˇeje,ale i t´ım,ˇzese rozborem jejich promˇennostim˚uˇzemenˇecodozvˇedˇeto objektech samotn´ych. Vˇseobecnˇeplat´ı,ˇzepromˇenn´ehvˇezdyna sebe prozrazuj´ıv´ıceneˇzhvˇezdy s konstantn´ıjasnost´ı. V´yzkumempromˇenn´ych hvˇezdz´ısk´av´ame ˇcastounik´atn´ıinformace o v´ykonech, hmot- nostech i o vnitˇrn´ıstavbˇehvˇezd,kter´ebychom jinak jen stˇeˇz´ıdok´azaliz´ıskat (z´akrytov´e dvojhvˇezdy, pulzuj´ıc´ıhvˇezdyaj.). Nav´ıcmohou hodnˇeprozradit i o sv´epoloze. Super- novy typu Ia, pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdynebo z´akrytov´edvojhvˇezdymohou velmi dobˇre poslouˇzit i pro urˇcov´an´ıvzd´alenost´ıve vesm´ıru. 12 Kapitola 2. Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd 2 Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd 2.1 Prehistorie sledov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

Pˇrestoˇzeby se mezi hvˇezdamividiteln´ymipouh´ymaoˇcimanaˇslaˇr´adka hvˇezd,kter´e mˇen´ı svou jasnost nepˇrehl´ednuteln´ymzp˚usobem, jejich pozorov´an´ı byla v poˇc´atc´ıch astronomie velmi vz´acn´aa nesystematick´a. Hlavn´ı z´abranousledov´an´ı promˇenn´ych hvˇezdv zem´ıch, ovlivnˇen´ych starovˇekou ˇreckou a ˇr´ımskou kulturou, byla pˇredpojatost uˇcenc˚u,kteˇr´ıve shodˇes tehdy nejvˇetˇs´ı autoritou – Aristotelem – nepoˇc´ıtalis t´ım,ˇzeby se jasnost hvˇezdmˇelaa mohla nˇejak mˇenit.Vypl´yvalo to z aristotelsk´ehon´ahleduna svˇet,kde se za sf´erouMˇes´ıceˇz´adn´e zmˇeny nepˇripouˇstˇely. Hvˇezdn´aobloha tak byla jen statickou kulisou, definovanou jed- nou provˇzdyv jednom jedin´emdefinitivn´ımtvaru. Pokud se pˇrecejenom nˇejak´ezmˇeny pozorovaly, pak muselo j´ıto promˇenn´ehvˇezdys v´yji- meˇcnouamplitudou svˇeteln´ych zmˇen– o vzplanut´ınov ˇcisupernov. Pot´ıˇzje v tom, ˇzetyto jevy byly aristotelovskou fyzikou odm´ıt´any bud’ jako nedopatˇren´ınebo se soudilo, ˇzetu jde o nˇejak´e meteorologick´ejevy, nejsp´ıˇskomety. O tˇech astronomov´ez´aznamy nevedli, nebot’ komety, coby jev souvisej´ıc´ıs lok´aln´ımpoˇcas´ım,spadaly do kompetence meteorolog˚uˇcikronik´aˇr˚u. C´ınˇst´ıaˇ japonˇst´ıastronomov´ea astrologov´etouto pˇredpojatost´ınetrpˇelia neobvykl´ejevy na obloze, vˇcetnˇe n´avˇstˇevhvˇezdn´ych host˚u“, peˇclivˇezaznamen´avali. Od nich pak poch´azej´ı ” d˚uleˇzit´einformace napˇr´ıklad o vˇsech supernov´ach, jeˇzv posledn´ım tis´ıcilet´ı vzplanuly (viz tabulka 2.1). Bohuˇzel,vzhledem k tomu, ˇzevzplanut´ısupernov byla v´yznamn´apodle jejich astrologie, jsou jejich z´aznamy nepˇresn´ea nˇekdyi ´uˇcelovˇezabarven´ea pozmˇenˇen´e. Jedno z nejstarˇs´ıch uvˇedomˇel´ych pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezdse pr´ypodle asyrologa Schaumbergera uskuteˇcnilove starovˇek´eBabyl´onii.Na jedn´ez kl´ınopisn´ych tabulek ´udajnˇe naˇsel´udajnˇed˚ukaz toho, ˇzestarovˇec´ıpozorovatel´evˇedˇelio svˇeteln´ych zmˇen´ach Algolu.

2.2 Prvn´ıvˇedeck´apozorov´an´ı

Tycho Brahe (1546–1601) objevil roku 1572 pobl´ıˇz κ Cas novou“ hvˇezdu.Pˇresnˇeji za- ” kreslil do hvˇezdn´emapy a urˇciljej´ısouˇradnice.Jej´ımˇen´ıc´ıse jasnost srovn´aval s jasnost´ı ostatn´ıch hvˇezda z´ıskal tak prvn´ıˇcasovou ˇradupromˇenn´ehvˇezdy. Z n´ıpak bylo moˇzno sestrojit v˚ubec prvn´ısvˇetelnoukˇrivku1 promˇenn´ehvˇezdy a souˇcasnˇei prvn´ısvˇetelnou kˇrivkuzachycuj´ıc´ıpokles jasnosti supernovy. Tut´eˇzsupernovu sledoval jeˇstˇedvan´act dalˇs´ıch uˇcenc˚u,a je tˇrebapoznamenat, ˇzepo Brahovi byl nejpˇresnˇejˇs´ımpozorovatelem Tade´aˇsH´ajekz H´ajku(1525—1600). Z hlediska v´yzkumu promˇenn´ych hvˇezdjde o pr˚ulomv pohledu na tento typ hvˇezd. Ostatn´ıuˇcenciTychonova pozorov´an´ızhusta znevaˇzovali, oznaˇcuj´ıcenovou hvˇezduza atmosf´erick´yjev: za kometu ˇcimeteor. Tycho Brahe vˇsakpeˇcliv´ymrozborem vlastn´ıch i H´ajkov´ych mˇeˇren´ıprok´azal,ˇzeona nova je nejm´enˇeˇsestkr´atd´alneˇzMˇes´ıc.V t´edobˇe to byla jedna z posledn´ıch ran aristotelsk´emu svˇetov´emu n´azoru.

1Term´ınemsvˇeteln´akˇrivka oznaˇcujemez´avislostjasnosti, hvˇezdn´evelikosti hvˇezdyna ˇcase.Pˇresn´a definice bude uvedena v kapitole 5. 2.3. Zaˇc´atkysystematick´ehostudia 13

Periodicky promˇenn´ahvˇezdabyla poprv´euvˇedomˇele pozorov´anav l´etˇe roku 1596, kdy si David Fabricius (1564–1617) povˇsimlzmˇeny jasnosti omikron Ceti. Znovu ji pozoroval v roce 1609 a nazval ji Mira – Podi- ” vuhodn´a“.Znovu ji objevilo nˇekolik dalˇs´ıch pozorovatel˚u, v 1638 i holandsk´yastronom Holwarda2 (1618–1651), kter´yhvˇezdustudoval systematicky po cel´yrok – to je prvn´ıpˇr´ıpadsystematick´ehosledov´an´ıpromˇenn´ehvˇezdy. Periodicitu svˇeteln´ych zmˇenMiry jako prvn´ızjistil Ismael Boulliau (1605–1694). Periodu stanovil na 333 dny, coˇz je v aˇzdojemn´eshodˇes dneˇsn´ımiurˇcen´ımi(332 dny). V roce 1715 Edmond Halley (1656-1742) uv´ad´ıv ˇcl´anku o historii nov´ych“ hvˇezd za posledn´ıch 150 let ˇsest ” objekt˚u– vesmˇes n´apadnˇese mˇen´ıc´ı dlouhoperiodick´e promˇenn´ea (super)novy - SN 1572 (Tychonova), SN 1604 (Keplerova), omikron Ceti (Mira), P Cyg (N1600 Cyg), Nova 1670 Vul, χ Cyg. Nejde vˇsako katalog v prav´em Obr´azek2.1: SN 1572. slova smyslu, protoˇzerozhodnˇeneobsahuje vˇsechny tehdy zn´am´epromˇenn´ehvˇezdy. Pˇripomeˇnmealespoˇnnovodob´y objev promˇennostiAlgolu Geminianem Montanarim v roce 1669.

2.3 Zaˇc´atkysystematick´ehostudia

Inici´atorysystematick´ehov´yzkumu promˇenn´ych hvˇezdse stali Angliˇcan´eEdward Pigott (1753-1825) a John Goodricke (1764-1786). Ten v letech 1782–3 objevil svˇeteln´ezmˇeny

2nˇekdyt´eˇzJan Fokkens (Johann Phocylides) Holwarda

Tabulka 2.1: Historick´esupernovy

Rok Typ Souˇradnice Dneˇsn´ı Maxim´aln´ı Doba pozorov´an´ı Pozorovatel(´e) α [h m] δ [◦] oznaˇcen´ı hv.vel. pouh´ymaoˇcima [mag] -134 ? 5 54 -13 ? ? Hiparchos,C´ıˇnan´eˇ 185 SN 14 12 -60 -8 7.12.185-ˇcervenec 186 369 ? 0± +60± ? 6 mˇes´ıc˚u 386 SN 18 30 -25 +1 3 mˇes´ıce 393 SN 16 48 -38 -1 8 mˇes´ıc˚u 1006 SN 15 13 -45 -8 aˇz-10 28.4.1006 -13.8.1006 arab.,jap.,ˇc´ın.,jihoevr.poz. 1054 SN 5 30 +22 CM Tau -4 aˇz-5 4.7.1054 -17.4.1056 Jang Wej-Te aj. 1181 SN -1 ˇcervenec 1181 -? 1203 N 16 48 -38 -2 1230 N 16 20 +20 ˇr´ıjen1230 - bˇrezen1231 S. Fujivara aj. 1430 N 7 24 +7 1 mˇes´ıc 1572 SN 0 19 +64 B Cas -4 6.11.1572-´unor1574 Sch¨uller,Brahe,H´ajekaj. 1600 N? 20 12 +38 P Cyg +3 8.8.1600-1626? Blaeu, Kepler(?) 1604 SN 17 25 -21 V843 Oph -2,5 9.10.1604-podzim 1605 Kepler,Fabricius,Brunowski 1667 N 6 +20 V529 Ori 1670 N 19 42 +28 +2,7 20.6.1670-? Anthelme,Picard 14 Kapitola 2. Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd

Algolu a hvˇezdu s´amt´eˇzsystematicky pozoroval. Prok´azal,ˇzese mˇen´ıs periodou ne- cel´ych tˇr´ıdn´ıa spr´avnˇevysvˇetlilpˇr´ıˇcinu jej´ıch svˇeteln´ych zmˇen. T´yˇzGoodricke objevil jeˇstˇedalˇs´ıdvˇeperiodick´epromˇenn´ehvˇezdy: β Lyrae a δ Cephei, shodou okolnost´ıtu jde o pˇredstavitelky dalˇs´ıch dvou typ˚upromˇennostihvˇezd.Pigott roku 1784 objevil dalˇs´ıcefeidu η Aquilae a v roce 1795 R Coronae Borealis a R Scuti. V roce 1786 Pigott publikoval prvn´ı katalog promˇenn´ychhvˇezd, kter´yobsahoval tˇechto 12 exempl´aˇr˚u:

Nova Cas (SN 1572) Algol R Leo Mira Nova Vul 1670 η Aquilae P Cygni χ Cygni β Lyrae Nova Oph (SN 1604) R Hya δ Cephei

Z´ajemo v´yzkumpromˇenn´ych hvˇezdse zv´yˇsilaˇzpo roce 1844, kdy Friedrich Arge- lander (1799-1875) publikoval jednoduchou metodu odhadov´an´ı jasnosti promˇenn´ych hvˇezd- relativn´ımsrovn´av´an´ımpromˇenn´ehvˇezdys hvˇezdamisrovnateln´ejasnosti, jeˇzse nach´azelyv bezprostˇredn´ımokol´ı.Tato vˇseobecnˇedostupn´apozorovac´ımetoda slouˇzila po ˇradudesetilet´ıjak profesion´aln´ımastronom˚um,tak i astronom˚umamat´er˚um,jimˇz koneˇcnˇeslouˇz´ıdoposud. Ale i zde se dnes d´ıkydostupnosti modern´ıdetekˇcn´ıtechniky (hlavnˇeCCD) postupnˇepˇrech´az´ıod subjektivn´ıch pozorovac´ıch metod k metod´amob- jektivn´ım. V roce 1844 mˇelArgelander˚uvsoupis zn´am´ych promˇenn´ych hvˇezd44 poloˇzek.Jako autor zn´am´ehobonnsk´ehokatalogu (Bonner Durchmusterung) si Argelander uvˇedomil nutnost jednoznaˇcn´ehooznaˇcov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezda zaˇcalje v jednotliv´ych souhvˇez- d´ıch oznaˇcovat postupnˇep´ısmeny R, S, . . . Z3 a n´aslednˇekombinacemi RR, RS, RT,...., RZ, SS, ST, . . . , SZ, TT,. . . ZZ. Argelander tak pˇrispˇeltak´ek systematizaci v´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd. 4 V roce 1880 byla zn´amauˇzstovka promˇenn´ych, coˇzumoˇzniloEdwardu C. Pick- eringovi (1846-1919) prov´estjejich z´akladn´ı klasifikaci, j´ıˇzse pˇridrˇzujemedoposud. Pˇrestopozn´an´ı pˇr´ıˇcinpromˇennosti bylo st´aleobt´ıˇzn´ezejm´enapro velk´emnoˇzstv´ıtyp˚u promˇennosti.Nicm´enˇejak nar˚ustalpoˇcetpromˇenn´ych hvˇezd,r´ysovaly se jiˇzurˇcitˇejˇs´ı skupiny promˇenn´ych hvˇezds podobn´ymchov´an´ım. Spektroskopie uk´azala,ˇzevˇetˇsinaze zn´am´ych promˇenn´ych hvˇezdm´asytˇeoranˇzov´y n´adech (miridy) se spektrem s molekul´arn´ımi p´asy. Soudilo se, ˇzepromˇennostje tu vlastnost´ırozs´ahl´ych chladn´ych a hust´ych atmosf´er.Pr´avˇezmˇenaspektra se zmˇenou jasnosti vedla k tomu, ˇzebyla definitivnˇeopuˇstˇenamyˇslenka Wiliama Herschela, kter´yse

3Castoˇ se tvrd´ı,ˇzepoˇc´ateˇcn´ıp´ısmenoR bylo zvoleno podle nˇemeck´eho rot“ nebo francouzsk´eho ” rouge“, ˇceskyˇcerven´y,coˇzmˇelovych´azetz toho, ˇzevˇetˇsinatehdy zn´am´ych promˇenn´ych hvˇezdbyla ” ˇcerven´a.Tento rozˇs´ıˇren´yn´azor vyvr´atils´amArgelander, kter´ynaopak uv´ad´ı: Aby se zamezilo z´amˇen´am ” s Bayerov´ych abecedn´ımoznaˇcen´ım,zvolil jsem posledn´ıp´ısmenaabecedy psan´averz´alkami.“ Arge- lander˚uvn´avrhna oznaˇcov´an´ıpoch´az´ız roku 1855, ale ofici´alnˇebyl pˇrijataˇzroku 1867. 4Pozdˇejibyl tento syst´em oznaˇcov´an´ınov´ych promˇenn´ych hvˇezddoplnˇenRistenpartem a n´aslednˇe Andr´em. Dnes platn´e definitivn´ı“ oznaˇcen´ı promˇenn´e hvˇezdy m´atedy n´asleduj´ıc´ı podobu: Pˇred ” latinsk´ymn´azvem souhvˇezd´ı ve 2. p´adu,respektive jeho tˇr´ıp´ısmenovou zkratkou, se uv´ad´ı p˚uvodn´ı Argelenderova kombinace p´ısmen,pˇr´ıpadnˇedalˇs´ıkombinace p´ısmen nebo ˇc´ıslic,a to v tomto poˇrad´ı: R, S, T, . . . Z, RR, RS, RT, . . . RZ, SS, ST, . . . , SZ, TT,. . . ZZ, AA, AB, . . . QQ, QZ, V 343, V 344 . . . , pˇriˇcemˇzse nepouˇz´ıvaj´ıkombinace s p´ısmenemJ. Mohlo by se totiˇzsnadno popl´ests p´ısmenemI. 2.4. V´yzkumpromˇenn´ych hvˇezdv 19. a 20. stolet´ı 15 domn´ıval, ˇzetyto hvˇezdyjsou posety tmav´ymiskvrnami a ke zmˇen´amdoch´az´ıv d˚usledku rotace. Zachov´anaale z˚ustalau nˇekter´ych polopravideln´ych promˇenn´ych hvˇezd,jejichˇz svˇeteln´akˇrivka pˇripom´ınalapr˚ubˇehv´yskytu sluneˇcn´ıch skvrn. Zcela jin´ympˇr´ıpadem byl b´ıl´yAlgol: V roce 1880 Pickering opr´aˇsiljiˇzskoro sto let starou Goodrickovu domnˇenkuo dvojhvˇezdn´epovaze promˇenn´ehvˇezdya dok´azal, ˇzev´ybornˇeodpov´ıd´apozorov´an´ı.Z tvaru svˇeteln´ekˇrivkyodvodil promˇennosti rela- tivn´ırozmˇeryobou sloˇzek.O potvrzen´ıdomnˇenkyse postaral v roce 1888 Hermann Vogel (1834–1898), kdyˇzzjistil, ˇzeAlgol je jednosloˇzkov´aspektroskopick´advojhvˇezda, jej´ıˇzkˇrivka radi´aln´ırychlosti pˇresnˇeodpov´ıd´advojhvˇezdn´emu modelu. Bezpeˇcnˇetak byl kombinac´ıfotometrick´ych a spektroskopick´ych pozorov´an´ıprok´az´anmechanismus promˇennostitzv. z´akrytov´ychdvojhvˇezd 5. Po ´uspˇechu u Algolu zkouˇseliastronomov´eˇstˇest´ıu cefeid. δ Cephei sice objevil uˇzGoodricke, ale ˇr´adnˇeji zkoumala aˇzV. K. Ceraski roku 1880. I kdyˇzse jedn´ao pˇr´ısnˇeperiodickou hvˇezdu, pokus o vysvˇetlen´ız´akryty ve dvojhvˇezdˇeselhal. Hvˇezdyjsou v minimu jasnosti ˇcervenˇejˇs´ıneˇz v maximu, svˇeteln´akˇrivka je asymetrick´a,vˇzdym´apomal´ypokles, rychl´yn´ar˚ust. Radi´aln´ı rychlost je promˇenn´a,coˇzd´av´amoˇznost v´ypoˇctufiktivn´ıtrajektorie dvojhvˇezdy. Bohuˇzel, jak v roce 1914 uk´azalHarlow Shapley (1885–1972), trajektorie neviditeln´esloˇzkyby v mnoha pˇr´ıpadech zasahovala do jasnˇejˇs´ıhvˇezdy– jedna hvˇezdaby ob´ıhalav druh´e. Bˇehem19. stolet´ıvzrostl poˇcetzn´am´ych promˇenn´ych hvˇezdaˇzna nˇekolik stovek. Pˇr´ıˇcinoua pˇredpokladem byly: a) zv´yˇsen´yz´ajemo hvˇezdy, b) spolehliv´ehvˇezdn´emapy, c) fotometrick´epˇrehl´ıdky, d) na konci stolet´ıi harvardsk´efotografick´epˇrehl´ıdkya e) za- pojen´ıastronom˚uamat´er˚udo v´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd,coˇzjim v podstatˇeumoˇznila Argelanderova stupˇnov´ametoda odhadu jasnosti.

2.4 V´yzkum promˇenn´ych hvˇezdv 19. a 20. stolet´ı

Devaten´act´estolet´ı a zejm´enajeho druh´apolovina byla epochou pˇrekotn´ehov´yvoje astronomie a nˇekter´ych oblast´ıfyziky (napˇr´ıkladspektroskopie); pˇrineslaˇraduobjev˚u, kter´evedly ke vzniku nov´ehovˇedn´ıhooboru – astrofyziky. V ˇradˇepublikac´ıse toto obdob´ı oznaˇcujejako ´eravznikaj´ıc´ı nov´eastronomie“. Ta se nav´ıcmohla st´alev´ıcespol´ehatna ” objektivnˇejˇs´ımetody v´yzkumu, kdy oko pˇrest´avalo b´ytz´akladn´ımdetektorem svˇetla. Pomysln´evl´adyse ujala fotografie, kter´asi svou pozici drˇzela aˇzdo konce dvac´at´eho stolet´ı.To pˇrineslonejen otev´ır´an´ıoken do vesm´ıruv podobˇedetekce i jin´ych ˇc´ast´ıelek- tromagnetick´ehospektra z´aˇren´ıneˇzsvˇetlo, ale tak´epˇresnˇejˇs´ıdetekˇcn´ımetody vyuˇzit´ım fotoelektrick´ea CCD fotometrie. Zejm´enaCCD technika na konci 20. stolet´ı prak- ticky zcela vytlaˇcilaz astronomick´ych observatoˇr´ıklasickou fotografii i fotoelektrickou fotometrii. Po nesmˇel´ych poˇc´atc´ıch na bal´onech a raket´ach pˇriˇslav druh´epolovinˇe minul´ehostolet´ıke slovu i druˇzicov´aastronomie. Pˇripomeˇnmesi tedy tento pˇrekotn´yv´yvoj nikoli chronologicky ale dle jednotliv´ych metod sledov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezda m´ıstapozorov´an´ı.

5Teprve na sklonku 20. stolet´ıuk´azalainterferometrick´apozorov´an´ır´adiov´ehozdroje v m´ıstˇedvo- jhvˇezdy, ˇzezdroj kmit´av r´amci´useˇckyo d´elce 0.004“ s periodou 2.87 dne, kter´aodpov´ıd´aorbit´aln´ıpe- riodˇeAlgolu B. Novˇebyla zjiˇstˇenai orientace obˇeˇzn´etrajektorie dvojhvˇezdyv prostoru. (J.-F. Lestrade et al., 1999). 16 Kapitola 2. Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd

Tabulka 2.2: Definiˇcn´ıstupnˇerozd´ıluslabosti dvou hvˇezd. Odhadn´ı stupeˇn(os) Definiˇcn´ıpopis rozd´ıluslabost´ısrovn´avan´ych hvˇezd Z´apis 0 Hvˇezda a se jev´ı stejnˇeslab´ajako hvˇezda b nebo se a0b chv´ılemizd´astˇr´ıdavˇenepatrnˇeslabˇs´ıa nepatrnˇejasnˇejˇs´ı neˇzhvˇezda b. 1 Pˇribedliv´empozorov´an´ıse hvˇezda a jev´ıˇcastˇejijasnˇejˇs´ı a1b neˇzstejnˇejasn´ajako hvˇezda b a jen vz´acnˇese jev´ıhvˇezda b jasnˇejˇs´ıneˇzhvezda a. 2 Hvˇezda a se jev´ıtakˇrka vˇzdyo m´alojasnˇejˇs´ıneˇzhvˇezda a2b b. Jen zˇr´ıdka se zd´a,ˇzese jejich slabosti rovnaj´ı. 3 Hvˇezda a se jiˇzna prvn´ıpohled jev´ıjasnˇejˇs´ıneˇz b. a3b 4 Hvˇezda a je v´yraznˇejasnˇejˇs´ıneˇzhvˇezda b. a4b

2.4.1 Vizu´aln´ıfotometrie Prvn´ıpozorovatel´epromˇenn´ych hvˇezdmˇelikaˇzd´ysv˚ujsyst´emz´apisua vyhodnocen´ı pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd.Jednalo se v podstatˇebud’ o pˇr´ım´ezaˇrazen´ıhvˇezdydo nˇekter´ez ptolemaiovsk´ych tˇr´ıdhvˇezdn´evelikosti nebo o (vˇetˇsinounepˇresn´y)popis, jak jasn´aje hvˇezdave srovn´an´ıs okoln´ımihvˇezdami. Prvn´ı jasnˇeformulovanou pozorovac´ı metodu pouˇz´ıval F. W. Herschel. V´ysledky srovn´an´ı jasnost´ı dvou hvˇezdvyjadˇroval pomoc´ı soustavu zvl´aˇstn´ıch znaˇceka sym- bol˚u,kter´elze slovnˇeˇc´ıstjako: stejnˇejasn´e,jasnˇejˇs´ı,slabˇs´ı,v´yraznˇejasnˇejˇs´ı,v´yraznˇe slabˇs´ı.Herschel systematicky pozoroval hvˇezdydle katalogu J. Flamsteeda a v´ysledky pozorov´an´ıvˇsech pˇribliˇznˇe3000 hvˇezdpublikoval ve ˇctyˇrech kataloz´ıch v letech 1796– 1799. Jeho metodu uˇz´ıvali pozorovatel´eaˇzdo ˇcas˚uArgelandera. F. W. A. Argelander pouˇz´ıval nejprve pˇrivlastn´ıch pozorov´an´ıch Herschelovu metodu, ale z´ahy si uvˇedomiljej´ınedostatky. V roce 1844 pak publikoval V´yzvuk pˇr´atel˚umas- tronomie(Argelander, 1844) v n´ıˇzpopsal, jak by se mˇelovizu´aln´ıpozorov´an´ıpromˇen- n´ych hvˇezdprov´adˇet.Herschelovy znaˇckynahradil jasnˇedefinovan´ymistupni s ˇc´ıseln´ym vyj´adˇren´ım.Pozorovanou jasnost hvˇezdyvyj´adˇrenouve stupn´ıch dle definice v tabulce 2.2 oznaˇcujeme jako slabost. Argelander nezavrhuje ohodnocen´ı rozd´ılu slabost´ı dvou hvˇezdvyˇsˇs´ım stupnˇem. Takov´eodhady ale mohou b´ytzat´ıˇzeny vˇetˇs´ıchybou a zpravidla je pouˇz´ıvaj´ıjen zkuˇsen´ı pozorovatel´e,kteˇr´ımaj´ıpo letech praxe odhadn´ıstupeˇnpomˇernˇemal´y.Zat´ımcou za- ˇc´ateˇcn´ık˚utotiˇzu prvn´ıch pozorov´an´ı m˚uˇzeb´ytvelikost jednoho odhadn´ıho stupnˇe (os) aˇz0,5 mag, ti nejlepˇs´ı pozorovatel´e v aktivn´ı sluˇzbˇe“ dosahovali aˇz0,02 mag. ” Takov´apˇresnostje ale v´yjimeˇcn´a,ze zn´am´ych pozorovatel˚uji dosahovali ˇcidosahuj´ıjen napˇr´ıkladSebastian Otero, Kamil Hornoch nebo Pavol A. Dubovsk´y.Bˇeˇzn´avelikost 1 os pro zkuˇsen´ehopozorovatele je kolem 0,1 mag. Vizu´aln´ıpozorovatel´epouˇz´ıvaj´ıArgelanderovu metodu dodnes, ale vˇetˇsinouv nˇejak´e ze dvou modifikac´ı.Bud’ pouˇz´ıvaj´ıpro stanoven´ıslabosti promˇenn´ehvˇezdyvˇzdypouze dvˇesrovn´avac´ıhvˇezdy– jednu slabˇs´ıa jednu jasnˇejˇs´ıa nebo pouˇzij´ıv´ıcesrovn´avac´ıch hvˇezdnajednou. 2.4. V´yzkumpromˇenn´ych hvˇezdv 19. a 20. stolet´ı 17

Jinou cestou neˇzArgelander se vydal N. R. Pogson. Zat´ımcoArgelander nepotˇreboval v principu vˇedˇetnic o pouˇzit´ych srovn´avac´ıch hvˇezd´ach, Pogson svou metodu zaloˇzilna znalosti hvˇezdn´ych velikost´ısrovn´avac´ıch hvˇezd.Pˇrivlastn´ımodhadu pak pozorovatel interpoluje hvˇezdnouvelikost promˇenn´ehvˇezdymezi zn´am´ehvˇezdn´evelikosti dvojice srovn´avac´ıch hvˇezd.Pogson pˇr´ımopˇredpokl´adal,ˇzevelikost jednoho odhadn´ıhostupnˇe je 0,1 mag, takˇzepak pracoval s desetinami magnitudy stejnˇejako se stupni.

Ve svˇetˇeje Pogsonova metoda pomˇernˇerozˇs´ıˇren´a(napˇr´ıklad v r´amci spoleˇcnosti AAVSO). Jej´ıv´yhodou je rychlost, odhady se vˇetˇsinouzapisuj´ıpˇr´ımov magnitud´ach a nen´ıpotˇrebadalˇs´ıch v´ypoˇct˚u.Jenˇzejsou zde pˇrinejmenˇs´ımdvˇe´uskal´ı- ne vˇzdyjsou srovn´avac´ıhvˇezdypromˇeˇreny dostateˇcnˇepˇresnˇea ve vizu´aln´ıoblasti spektra a nav´ıc nejsou zpravidla uchov´any informace o pouˇzit´ych srovn´avac´ıch hvˇezd´ach. V´ysledkem je jednak moˇzn´yvˇetˇs´ırozptyl pozorov´an´ıa zejm´enaznehodnocen´ıpozorov´an´ı,pokud se pozdˇejiuk´aˇze,ˇzejedna z pouˇz´ıvan´ych srovn´avac´ıch hvˇezdje ve skuteˇcnostisama promˇenn´a.

Americk´yv´yznaˇcn´yastronom konce 19. stolet´ıE. C. Pickering ale nebyl spokojen ani s jednou v´yˇsepopsanou metodou a navrhl vlastn´ıpostup (Pickering, 1882, 1883) v ˇcl´anku nazvan´em A Plan for Securing Observations of the Variable Stars“. Jeho interpolaˇcn´ı ” metoda vyuˇz´ıv´avˇzdydvojice srovn´avac´ıch hvˇezdse zn´am´ymihvˇezdn´ymivelikostmi. Jejich rozd´ılvˇzdyrozdˇelilna 10 ˇc´ast´ı,takˇzepˇrivlastn´ımodhadu u dalekohledu bylo nutn´erozhodnout, kde v dan´emintervalu leˇz´ıpromˇenn´ahvˇezda. Tento pˇr´ıstupje z hle- diska fyziologie smyslov´ehovn´ım´an´ılepˇs´ıneˇzabsolutn´ıporovn´av´an´ıv Argelanderovˇe, respektive Pogsonovˇemetodˇe.Ale opˇetje tu nezbytn´ypˇredpoklad m´ıtsrovn´avac´ıhvˇezdy pˇredemˇr´adnˇepromˇeˇren´e.

Jako posledn´ıse objevila metoda vizu´aln´ıhopozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd,kterou nez´avislena sobˇenavrhli A. A. Nijland (1901) a o p´ar let pozdˇejiS. N. Blaˇzko. Snaˇz´ıse spojit v´yhody Argelanderovy stupˇnov´ea Pickeringovy interpolaˇcn´ımetody. Pro odhad jasnosti promˇenn´ehvˇezdyse vyuˇzije vˇzdydvojice srovn´avac´ıch hvˇezd.Promˇenn´ahvˇezda se pak zaˇrad´ımezi nˇedo intervalu, rozd´ıluhvˇezdn´ych velikost´ınebo slabost´ı.Interval slabost´ımezi srovn´avac´ımihvˇezdamirozdˇel´ımena tolik ˇc´ast´ı, kolik bychom mezi nimi vloˇziliodhadn´ıch stupˇn˚u.N´aslednˇeurˇc´ımeo kolik tˇechto ˇc´ast´ıje promˇenn´aslabˇs´ı,re- spektive jasnˇejˇs´ıneˇzsrovn´avac´ıhvˇezdy. Tato metoda vyˇzadujeurˇcit´ycvik a nen´ıvhodn´a pro zaˇc´ınaj´ıc´ıpozorovatele.

Vizu´aln´ı pozorov´an´ı je dnes jednoznaˇcnˇena ´ustupu. Provozuje se jen tam, kde zejm´enaz materi´aln´ıch d˚uvod˚usi pozorovatel´enemohou poˇr´ıditCCD kamery a poˇc´ıtaˇce. Nicm´enˇei v konˇcin´ach, kde vizu´aln´ıpozorovatel´evymˇreli,je nutn´evˇedˇetv´ıceo tˇechto pozorov´an´ıch, protoˇzeˇcastopˇredstavuj´ıjedin´einformace o zkouman´ehvˇezdˇez obdob´ı pˇreddes´ıtkami nˇekdyi stovkami let. Pokud uˇzvizu´aln´ı pozorov´an´ı pouˇzijeje vˇsak nutn´ek nim pˇristupovat obezˇretnˇea detailnˇeje prozkoumat. Jsou totiˇzsubjektivn´ım v´ysledkem pozorovatele nikoli objektivn´ımmˇeˇren´ım.Pˇr´ıˇcinoujsou fyziologick´ea psy- chologick´evlivy, kter´ese na v´ysledkuvizu´aln´ıhopozorov´an´ıpodepisuj´ı.Podrobnˇejisi o nich lze pˇreˇc´ıstnapˇr´ıkladv publikaci Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezdI (Zejda et al., 1994). 18 Kapitola 2. Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd

2.4.2 Nevizu´aln´ıfotometrie 2.4.2.1 Fotografick´afotometrie Jakmile se astrofotografie zabydlela“ na observatoˇr´ıch, doˇslok pˇrekotn´emu objevov´an´ı ” nov´ych promˇenn´ych hvˇezd. Astronomov´euˇzpˇrestalispol´ehatna n´ahodu, a pustili se do systematick´ehovyhled´av´an´ınov´ych promˇenn´ych hvˇezdpomoc´ıfotografick´ych pˇrehl´ıdek oblohy. Poˇrizovaly se sn´ımky stejn´ych oblast´ı hvˇezdn´ehonebe a na nich se prost´ym porovn´an´ım daly nov´epromˇenn´ehvˇezdyodhalit relativnˇesnadno. Vznikaly rozs´ahl´e sklenˇen´earchivy.6 Desky tak´ebylo moˇznopromˇeˇrovat a mˇeˇren´ıi po letech znovu opakovat. Astronomov´e tak po nˇekolika stalet´ıch zaˇcaliopouˇstˇelisubjektivn´ımetody zkoum´an´ıhvˇezd.Nicm´enˇe bylo tˇreba vyvinout korektn´ı a pˇresn´emetody zpracov´an´ı a promˇeˇrov´an´ı fotografi´ı hvˇezdn´ych pol´ı.Pr˚ukopn´ıkem v oblasti fotografick´efotometrie se stal Karl Schwarzschild.

2.4.2.2 Fotoelektrick´afotometrie Prvn´ıelektrickou detekci slab´ehosvˇetlahvˇezd uskuteˇcnilroku 1892 v Dublinu William Monck, kdyˇzpouˇziljako svˇetloˇcivn´yprvek fotonku zkonstruovanou Georgem Minchinem. AmeriˇcanJoel Stebbins zaˇcalpouˇz´ıvat seleniov´yodporov´yfotoˇcl´anek v roce 1907. Avˇsak skuteˇcn´ypoˇc´atekfotometrick´efotometrie je spojen s konstrukc´ıfotoˇcl´anku, kde se mˇeˇr´ı elektrick´yproud vznikl´yfotoefektem v hydridu drasl´ıku. Ten vyrobili Julius Elster a Hans Geitel v Nˇemecku a kr´atce pot´eJakob Kunz v USA. Hlavn´ımipr˚ukopn´ıkyfotoelektrick´efotometrie byli Paul Guthnick a Richard Prager v Berl´ınˇea Joel Stebbins a jeho kolegov´ev USA. Pr´avˇeoni pov´yˇsilip˚uvodn´ıfyzik´alnˇe technick´epokusy na metodu, kter´azaˇcalad´avat vˇedeck´ev´ysledkyi mimo laboratoˇr. Bˇehemlet 1912–1940 n´asledovalo postupy pozorovatel˚uz Berl´ınaa Illinois (nebo Wis- consinu) mnoho dalˇs´ıch pozorovatel˚u.Uv´ad´ıse aˇz38 pozorovatel˚una 22 observatoˇr´ıch ale s rozd´ıln´ymi´uspˇechy. Samozˇrejmˇedoˇslok vylepˇsen´ıma v´yvoji, ale nutno ˇr´ıci,ˇzedo prvn´ıkomerˇcn´ıv´yroby foton´asobiˇc˚u,vlastnˇebˇehemcel´ezmiˇnovan´eepochy byla fotoelek- trick´afotometrie sp´ıˇsejist´ymdruhem umˇen´ıneˇzrutinn´ımmˇeˇren´ım.Do toho obdob´ı, pˇresnˇejido roku 19307 spad´ai objev foton´asobiˇce,jehoˇzautorem je L. A. Kubetsky. Foton´asobiˇce(PMT - z anglick´eho“photomultiplier tube”) jsou vlastnˇeelektronky, kde ve vakuovan´etrubici na z´apornˇenabitou katodu dopad´az´aˇren´ıhvˇezdy. Fotoefektem vznikl´yproud elektron˚uje pak zes´ılenv soustavˇenˇekolika dynod vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch efekt sekund´arn´ıelektronov´eemise. Je to kˇrehk´ezaˇr´ızen´ı,kter´elze zniˇciti t´ım,ˇzeje vystav´ıte pˇr´ıliˇsjasn´emu svˇetlu. I na poˇc´atku21. stolet´ıjsou foton´asobiˇcenejcitlivˇejˇs´ımpˇr´ıstrojem na detekci svˇetla, schopn´ymdetekovat jednotliv´efotony. Mezi jejich dalˇs´ıpˇrednostipatˇr´ıvelk´ydynamick´y rozsah, kter´ytypicky dosahuje ˇr´adu107, a tak´elinearita, kdy v´ystupn´ısign´alse mˇen´ı s rozd´ılnouintenzitou dopadaj´ıc´ıhosvˇetlave velk´emrozsahu line´arnˇe.Nav´ıcjde o velmi rychl´ymˇeˇr´ıc´ıpˇr´ıstroj, kter´ym˚uˇzepracovat i na ˇsk´al´ach kratˇs´ıch neˇzmilisekundy. Pˇri spr´avn´emzpracov´an´ınamˇeˇren´ych dat poskytuje velmi pˇresn´ere´aln´ehodnoty v ˇr´adech milimagnitud.

6Vˇetˇsinoubyla fotografick´aemulze nanesena na sklenˇenoudesku. 7Mnoho prac´ıuv´ad´ı za datum vzniku foton´asobiˇcerok 1936 a za jeho vyn´alezcekolektiv kolem V. K. Zworykina. 2.4. V´yzkumpromˇenn´ych hvˇezdv 19. a 20. stolet´ı 19

V dneˇsn´ıdobˇejsou mˇeˇren´ıprovedˇen´afotoelektrick´ymfoton´asobiˇcemsp´ıˇsev´yjimeˇcn´a. Vˇetˇsinaobservatoˇr´ı vymˇenilatyto pˇr´ıstroje za modernˇejˇs´ı a citlivˇejˇs´ı CCD kamery. Bohuˇzelt´ım vˇetˇsinoutak´eukonˇcilaˇcasov´eˇradypˇresn´ych fotometrick´ych pozorov´an´ı jasn´ych hvˇezd.

2.4.2.3 Kˇrem´ıkov´a“ fotometrie ” Prvn´ıprvek CCD (z anglick´ehoCharged Coupled Device) vznikl v roce 1969 v Bellov´ych laboratoˇr´ıch. Willard Boyle a George E. Smith tehdy vyv´ıjelielektronovou poˇc´ıtaˇcovou pamˇet’. Nicm´enˇeprvn´ıCCD kameru pˇredstavili uˇzo rok pozdˇeji.Prvn´ıkomerˇcn´ıCCD zobrazovac´ıprvky byly vyr´abˇeny firmou Fairchild Electronics v roce 1974 o rozmˇeru 100×100 pixel˚u.Schopnost pˇrenosun´aboje byla tehdy m´enˇeneˇz0,5 % (o trochu m´enˇe neˇzdobr´afotografick´adeska). Prvn´ıpouˇzit´ıv astronomii a skuteˇcn´ypoˇc´ateknov´eho vˇekuv pozorovac´ıtechnice nastal v roce 1979, kdy na metrov´em dalekohledu na Kitt Peak National Observatory pouˇzilichlazen´yˇcipRCA 320×512 LN2. Jiˇzprvn´ıpozorov´an´ıuk´azalapˇrednosti vyuˇzit´ıCCD prvk˚unam´ıstofotografick´ych desek. Kvantov´a´uˇcinnostbyla brzy 50 a v´ıcekr´atvyˇsˇs´ı(v ˇcerven´ebarvˇe). Cipyˇ samotn´e byly na rozd´ılod fotografick´ych desek velmi line´arn´ı,takˇzekalibrace byly snadn´ea bylo moˇzn´esnadno detekovat i slab´e,m´alokontrastn´ımlhoviny. Nicm´enˇeve srovn´an´ıs fo- toelektrick´ych fotometrem CCD kamery nemaj´ıtakov´ydynamick´yrozsah, citlivost a ty- picky nejsou tak pˇresn´e.CCD kamery jsou vynikaj´ıc´ıpro sledov´an´ıslab´ych hvˇezd,kdy se na sn´ımkunajednou nach´az´ıˇradazhruba stejnˇejasn´ych hvˇezd. Naopak pro jasn´e hvˇezdyvˇetˇsinounen´ına sn´ımkupouˇziteln´asrovn´avac´ıa kontroln´ıhvˇezdaa nav´ıcje pro jasn´ehvˇezdytˇrebazpravidla volit velmi kr´atk´eexpoziˇcn´ıˇcasya pˇresnostmˇeˇren´ıpak nemus´ıb´ytvelik´a.CCD kamery jsou nejcitlivˇejˇs´ıv ˇcerven´eoblasti spektra, dnes uˇzjsou po ´uprav´ach v´ıcecitliv´ei v modr´ebarvˇe.CCD syst´emy zpravidla dosahuj´ıpˇresnosti0,01 mag, pˇrestoˇzeˇradaprogram˚una zpracov´an´ıCCD pozorov´an´ıpoˇc´ıt´as milimagnitudami. Maxim´aln´ıˇcasovˇerozliˇsen´ıu bˇeˇzn´ych komerˇcn´ıch kamer b´yv´akolem 0,1 sekundy. Dy- namick´yrozsah CCD kamer je d´ananalogovˇedigit´aln´ım pˇrevodn´ıkem ADC8, kter´y v dobˇevzniku skript b´yv´avˇetˇsinouˇsestn´actibitov´y,coˇzznamen´azhruba 65 000 ´urovn´ı sign´alu. Jednou z pˇrednost´ıpouˇzit´ıCCD kamer v astronomii je souˇcasn´ezachycen´ıˇradyhvˇezd na jedin´emsn´ımku, tedy souˇcasn´emˇeˇren´ıjejich jasnosti. Nav´ıcjsou sn´ımkyuchov´av´any v digit´aln´ıch archivech a je moˇzn´ese k nim po ˇcaseznovu vr´atit,promˇeˇrita zpracovat a to vˇseefektivnˇejineˇzu sklenˇen´ych desek. CCD kamery jsou dnes masovˇerozˇs´ıˇreny a jsou v dosahu i movitˇejˇs´ıch amat´ersk´ych astronom˚u.Znamen´ato, ˇzeod zaveden´ıCCD kamer v astronomii neb´yvale vzrostl poˇcet fotometrick´ych dalekohled˚u,schopn´ych promˇeˇrovat jasnosti i slab´ych objekt˚u,kter´e byly jeˇstˇepˇrednˇekolika des´ıtkami let v dosahu jen nˇekolika m´alovelk´ych dalekohled˚u. Poˇcetz´ıskan´ych dat i novˇeobjeven´ych promˇenn´ych hvˇezdtak rostou nev´ıdan´ymtem- pem. Pˇrisp´ıvaj´ı k tomu, jak jiˇzzmiˇnovan´ı amat´erˇst´ı astronomov´e,ale zejm´enapak velk´epˇrehl´ıdkov´eprojekty, napˇr´ıkladASAS, OGLE, MACHO, ROTSE, NSVS a dalˇs´ı. V souˇcasn´edobˇejsou zejm´enad´ıkyzmiˇnovan´ympˇrehl´ıdkov´ymprojekt˚ummasivnˇeob- jevov´any nov´epromˇenn´ehvˇezdy.

8Zkratka vych´az´ız anglick´eho analog-to-digital converter. 20 Kapitola 2. Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd

Z´akladn´ıkatalog promˇenn´ych hvˇezd,tzv. General Catalogue of Variable Stars, vy- d´avan´yod roku 1948 v Moskvˇe,uˇzrozhodnˇenen´ı gener´aln´ı“ - vˇseobecn´y.Posledn´ı ” 4. vyd´an´ıkatalogu (4.2 v elektronick´everzi) lze naj´ıtna internetu a obsahuje 40 215 objekt˚u(stav ke konci roku 2009). Novˇejsou do nˇejzaˇrazov´any jen individu´alnˇeob- jeven´epromˇenn´ehvˇezdy. Promˇenn´ehvˇezdyobjeven´ev r´amcipˇrehl´ıdkov´ych projekt˚u pozemn´ıch observatoˇr´ıjako ASAS, ROTSE, OGLE, NSVS a dalˇs´ı,podobnˇejako promˇen- n´ehvˇezdy, kter´ebyly odhaleny jako rentgenov´enebo r´adiov´ezdroje z druˇzicb´yvaj´ı oznaˇcov´any zkratkou pˇr´ısluˇsn´ehokatalogu a polohou na hvˇezdn´eobloze, vˇetˇsinouv rov- n´ıkov´ych souˇradnic´ıch. Kompletnˇejˇs´ıa aktu´alnˇejˇs´ıpˇrehledo promˇenn´ych hvˇezd´ach dnes poskytuje napˇr´ıkladserver Americk´easociace pozorovatel˚upromˇenn´ych hvˇezdAAVSO (http://www.aavso.org/vsx).

2.4.3 Spektroskopie V 19. stolet´ıbylo publikov´anonˇekolik z´asadn´ıprac´ı,kter´epoloˇzilyz´akladhvˇezdn´espek- troskopii. Pˇripomeˇnmesi alespoˇnnˇekter´ez protagonist˚urozvoje spektroskopie. Brit William Hyde Wollaston objevil roku 1802 temn´eˇc´aryve sluneˇcn´ımspektru. V roce 1818 Joseph Frauhofer pozoroval a popsal 576 temn´ych ˇcarve sluneˇcn´ımspektru a ty nejv´yraznˇejˇs´ıoznaˇcilp´ısmeny A aˇzK. David Brewster uk´azalroku 1832, ˇzechladn´y plyn vytv´aˇr´ıtemn´eˇc´aryve spojit´em spektru. O 15 let pozdˇejiJohn W. Draper zjistil, ˇzehork´apevn´al´atka emituje spojit´espektrum zat´ımcohork´yplyn ˇc´arov´espektrum. V roce 1859 Gustav Robert Kirchhoff a Robert Bunsen objevili, ˇzekaˇzd´ychemick´y prvek nebo slouˇceninam´acharakteristick´espektrum ˇcar,kter´emaj´ıstejnou vlnovou d´elkuv emisn´ımi absorpˇcn´ımspektru. To byl pˇrevratn´yobjev, kter´yv podstatˇeumoˇznil studovat sloˇzen´ıalespoˇnpovrchov´ych vrstev hvˇezdna d´alkupouh´ymrozborem jejich svˇetla.Prvn´ıfotografick´yz´aznam spektra, tzv. spektrogram hvˇezdy, konkr´etnˇeVegy, z´ıskal roku 1872 americk´yamat´erHenry Draper. Christian Doppler (1803-53) ve sv´ych prac´ıch pˇredpovˇedˇel,ˇzepohybuj´ıc´ıse objekt bude vykazovat zmˇenu polohy spektr´aln´ıch ˇcar,takˇzebude moˇzn´erozborem spektra urˇcitradi´aln´ı sloˇzkurychlosti s velkou pˇresnost´ı. Nicm´enˇepoprv´ese to ve spektru konkr´etn´ıhvˇezdypodaˇrilouk´azataˇzWilliamu Hugginsovi v roce 1868. Prvn´ımˇeˇren´ı a sestaven´ıkˇrivkyradi´aln´ıch rychlost´ıpro dvojhvˇezdupak provedl o dvacet let pozdˇeji Hermann Carl Vogel (1841-1907). Na konci 19. stolet´ıjiˇzpatˇrilospektroskopick´epozorov´an´ıhvˇezdk bˇeˇzn´ymmetod´am v´yzkumu. Pˇrestoˇzeuˇzroku 1867 se Angelo Secchi (1818-1878) pokusil o prvn´ıklasifikaci spekter 316 hvˇezd, teprve na pˇrelomu 19. a 20. stolet´ıbyl z´ısk´andostateˇcnˇebohat´y pozorovac´ı materi´al,aby bylo moˇzn´eudˇelatd˚ukladn´yrozbor a n´aslednou klasifikaci hvˇezdn´ych spekter. PˇritvorbˇeHD katalogu s t´emˇeˇr230 tis´ıcihvˇezdami vytvoˇriliEd- ward Pickering a zejm´enaAnnie Cannonov´az´akladsyst´emu klasifikace spekter, kter´y se pouˇz´ıv´adodnes. Systematick´esledov´an´ıspekter nˇekter´ych hvˇezduk´azalo,ˇzese tato spektra mˇen´ı, a to v ˇradˇeohled˚u.Kromˇejiˇzzm´ınˇen´ych radi´aln´ıch rychlost´ısyst´em˚uspektr´aln´ıch ˇcarve spektrech dvojhvˇezda v´ıcen´asobn´ych hvˇezdn´ych syst´em˚u, byly nalezeny zmˇeny v pro- filech nˇekter´ych spektr´aln´ıch ˇcar,zejm´enapak tˇech, kter´evykazuj´ı emisi (nejˇcastˇeji Hα, rezonanˇcn´ıˇc´aryionizovan´ehov´apn´ıkuCa ii – H a K). U magnetick´ych chemicky pekuli´arn´ıch hvˇezdpozorujeme cyklick´ezmˇeny ekvivalentn´ıˇs´ıˇrkyˇcarnˇekter´ych prvk˚u,s 2.4. V´yzkumpromˇenn´ych hvˇezdv 19. a 20. stolet´ı 21 periodou rotace se mˇen´ıi jejich rozˇs´ıˇren´ızp˚usoben´esiln´ymmagnetick´ympolem. U ˇrady hvˇezdbyly nejdˇr´ıve zjiˇstˇeny jejich spektroskopick´ezmˇeny a teprve pak se uk´azalo,ˇze jsou doprov´azeny i zmˇenamijasnosti.

2.4.4 Druˇzicov´apozorov´an´ı Novou ´eruve v´yzkumu promˇenn´ych hvˇezdzapoˇcalaˇcinnostastrometrick´edruˇzice Hip- parcos, pomoc´ın´ıˇzbylo objeveno na 12 000 nov´ych promˇenn´ych hvˇezda byla potvrzena promˇennost8 200 hvˇezd.Dnes je fotometrie t´etodruˇzicez hlediska pˇresnostia ˇcasov´eho rozliˇsen´ı uˇzpˇrekon´ana.Z fotometrick´ych druˇzicpoˇc´atku21. stolet´ı uved’me alespoˇn druˇziceCOROT, MOST, BRITE, Kepler nebo pˇripravovan´ysatelit GAIA.

• COROT – odstartovala v roce 2006. Na palubˇeje dalekohled o pr˚umˇeru28 cm (f=1200 mm, FoV 3,8◦), dvˇeCCD 2k x 2k – kaˇzd´ana jeden z´akladn´ıprojekt - astroseismologie (objekty 5, 7 < V < 9, 5 mag v 5 oknech) a exoplanety (objekty 11, 5 < V < 16, 5 mag v 6000 oknech). Druˇzicepoˇrizujetˇr´ıbarevnoufotometrii a spektroskopii s velmi mal´ymrozliˇsen´ım. http://corot.oamp.fr

• MOST – Kanadsk´avesm´ırn´aagentura (CSA) vypustila roku 2003 mikrosatelit Microvariability and Oscillations of Stars (MOST) urˇcen´yke studiu zmˇenjas- nost´ıhvˇezda ke studiu extrasol´arn´ıch planet. Dalekohled o pr˚umˇeru15 cm do- plnˇen´yCCD kamerou (1024x1024) pracuje v intervalu 350-700 nm. MOST zkoum´a mal´ezmˇeny v jasnostech bl´ızk´ych hvˇezda urˇcujejejich st´aˇr´ıa sloˇzen´ı.Dalˇs´ımpo- zorovac´ımprogramem je studium atmosf´erextrasol´arn´ıch planet. http://www.astro.ubc.ca/MOST/

• BRITE – Projekt BRight Target Explorer poˇc´ıt´ase 4 nanodruˇzicemi,kaˇzd´as hlav- n´ım dalekohledem, vlastnˇejen ˇcoˇckou o pr˚umˇeru30 mm (FoV 24◦). Druˇzice maj´ı slouˇzitk monitorov´an´ı zmˇenjasnosti hvˇezds vizu´aln´ı hvˇezdnouvelikost´ı do 4 mag. Kaˇzd´am´am´ıt fixn´ı fotometrick´yfiltr. http://www.univie.ac.at/ brite-constellation/spacecraft.html

• Kepler – Hlavn´ımc´ılemdruˇzice Kepler (start v roce 2009) je detekovat exoplan- ety o hmotnosti 30-600kr´atmenˇs´ıneˇzJupiter. Dalekohled o pr˚umˇeru0.95 m s FoV vˇetˇs´ıneˇz10 ˇctvereˇcn´ıch stupˇn˚unepˇretrˇzitˇemonitoruje jasnost 100 000 hvˇezd jasnˇejˇs´ıch neˇz14 mag v souhvˇezd´ıch Labut’ a Lyra. Aby byl schopen splnit vytˇcen´y c´ıl,mus´ıdetekovat pokles jasnosti 1/100 procenta. http://kepler.nasa.gov/

• GAIA - Nejoˇcek´avanˇejˇs´ıdruˇzicestel´arn´ıastronomie posledn´ıch let m´apl´anovan´y start v roce 2013. Bˇehempˇetilet m´adoslova proˇsmejdit“ oblohu do 20 mag. ” Hlavn´ızrcadla 1,45×0,5 m maj´ısoustˇred’ovat zachycen´ez´aˇren´ına 106 CCD prvk˚u a tak z´ısk´avat v´ıcebarevnou fotometrii, astrometrii (pro objekty do 15 mag dle barvy s pˇresnost´ı12-25 µas, do 20 mag 100-300 µas) a spektrometrii (spektrofo- tometrii s n´ızk´ymrozliˇsen´ımv rozsahu 330-1000 nm, radi´aln´ırychlosti s pˇresnost´ı 1-15 km/s pro vˇsechny objekty do 17 mag). http://www.rssd.esa.int/Gaia 22 Kapitola 2. Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd

2.5 Typy promˇenn´ych hvˇezd

Vyuˇzit´ıCCD techniky a jej´ızpˇr´ıstupnˇen´ıamat´ersk´ympozorovatel˚uspolu s pokrokem druˇzicov´eastronomie znamenaly doslova boom v poˇctupromˇenn´ych hvˇezd.Prudk´y r˚ustjejich poˇctuje moˇzn´esledovat i v pˇrehledu katalog˚upromˇenn´ych hvˇezdv tabulce 2.3. Zat´ımcoprvn´ıkatalog z roku 1786 obsahoval pouh´ytucet promˇenn´ych hvˇezd,ne- jobs´ahlejˇs´ıkatalog souˇcasnostiVariable Star Index (VSX) americk´espoleˇcnostiAAVSO obsahuje pˇres200 000 promˇenn´ych a kaˇzd´ymˇes´ıcv nˇempˇrib´yvaj´ıdalˇs´ıtis´ıcehvˇezd. Je zˇrejm´e,ˇzejak v historii rostl poˇcetzn´am´ych promˇenn´ych hvˇezd,vyvst´avala i potˇrebarozˇclenitje podle jejich chov´an´ıa pˇr´ıˇcinjejich zmˇen.Hlavn´ımrozliˇsovac´ım znakem vˇzdybyl a st´alez˚ust´av´apodoba zmˇeny jasnosti, tedy vzhled jejich svˇeteln´e kˇrivky. S rozvojem pozorovac´ı techniky pˇresvizu´aln´ı odhady, fotografii, foton´asobiˇce aˇzpo CCD prvky, se neust´alezlepˇsujepˇresnostpozorov´an´ı(v souˇcasnostistandardnˇe ˇr´adovˇemilimagnitudy) i jeho ˇcasov´erozliˇsen´ı(aˇz10−4 s). Casemˇ nabyly na d˚uleˇzitosti dalˇs´ırozliˇsovac´ıznaky pˇr´ısluˇsnostik urˇcit´emu typu promˇennosti:vzhled spektra, spek- tr´aln´ı zmˇeny (zmˇeny intenzity, ekvivalentn´ıˇs´ıˇrkya profilu spektr´aln´ıch ˇcar),zmˇeny radi´aln´ırychlosti. Ofici´aln´ı Gener´aln´ı katalog promˇenn´ych hvˇezd(GCVS) uˇzd´avnonen´ı gener´aln´ı, obsahuje jen“ 40 000 hvˇezd.Najdeme v nˇemale generacemi astronom˚uvytv´aˇrenou ” typologii promˇenn´ych hvˇezd.Dnes uˇz´ıvan´aklasifikace vych´az´ız Gener´aln´ıho katalogu promˇenn´ych hvˇezd(Durlevich et al., 2006). Je v n´ızastoupeno 119 typ˚upromˇenn´ych hvˇezd. Na Valn´emshrom´aˇzdˇen´ıIAU v roce 2006 v Praze byla diskutov´ananov´aklasifikace navrˇzen´avedouc´ım t´ymu GCVS Nikolajem Samusem. Kromˇeˇradyzmˇenv typologii promˇenn´ych hvˇezd bylo navrˇzeno,aby se mimo jiˇzpouˇz´ıvan´ehoznam´enka ”+”(pro koexistenci dvou typ˚u)uˇz´ıval tak´eznak ”|”, znamenaj´ıc´ı”nebo”– pro moˇzn´eklasifikace t´ehoˇzobjektu, napˇr´ıkladEC|Ell, EC|RR. IAU n´avrhy dosud nepˇrijala, ˇraduz nich ak- ceptovali tv˚urciVSX a uvedli je v ˇzivot. Jejich klasifikace typ˚upromˇenn´ych hvˇezdvˇcetnˇe charakteristik jednotliv´ych typ˚uje k dispozici na http://www.aavso.org/vsx/index. php?view=about.vartypes. V z´asadˇem˚uˇzemerozdˇelitpromˇenn´ehvˇezdypodle mechanismu promˇennostina dvˇe skupiny:

A) geometrick´e (anglicky extrinsic), kde se svˇeteln´ytok z hvˇezdynebo hvˇezdn´esous- tavy nemˇen´ı,mˇen´ıse vˇsakjej´ısv´ıtivost. Dˇejese tak nejˇcastˇejiv d˚usledkurotace hvˇezdyse skvrnami na povrchu nebo obˇehu sloˇzekdvojhvˇezdykolem spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇe.

B) fyzick´e (anglicky intrinsic), neboli skuteˇcn´epromˇenn´ehvˇezdy, u nichˇzse re´alnˇe mˇen´ıjejich z´aˇriv´yv´ykon v dan´emspektr´aln´ımoboru. S´ıdlojejich zmˇenm˚uˇzeb´yt jak v okol´ıhvˇezdy, tak v jej´ıch povrchov´ych vrstv´ach (nejˇcastˇejitu jde o r˚uzn´e projevy hvˇezdn´eaktivity), v podpovrchov´ych vrstv´ach (pulzace vˇsehodruhu) a ko- neˇcnˇei samotn´emj´adruhvˇezdy, kter´eb´yv´aohniskem vzplanut´ısupernov vˇseho druhu.

Tyto skupiny se d´ale dˇel´ına tˇr´ıdya jednotliv´etypy (viz obr. 2.2). Castoˇ se jednotliv´etypy promˇenn´ych hvˇezdoznaˇcuj´ıpodle prvn´ınebo nejl´epe prozkouman´ehvˇezdydan´eskupiny: 2.5. Typy promˇenn´ych hvˇezd 23

Tabulka 2.3: Katalogy promˇenn´ych hvˇezdv minulosti a dnes.

Rok Autor Poˇcet hvˇezd 1786 Pigott )1 12 1840 Argelander )2 18 1850 Argelander )3 24 1856 Pogson )4 53 1865 Chambers )5 113 1866 Sch¨onfeld)6 119 1868 Sch¨onfeld,Winnecke )7 126 1875 Sch¨onfeld)8 143 1877 Chambers )9 147 1884 Gore )10 191 1887 Gore )11 243 1893 Chandler )12 260 1896 Chandler )13 393 1903 Pickering )14 701 1907 Cannonov´a)15 1425 1918 M¨uller,Hartwig )16 1687 1920 M¨uller,Hartwig )17 2054 1922 M¨uller,Hartwig )18 2233 1926 Prager )19 2906 1930 Prager )20 4581 1935 Prager )21 6776 1940 Schneller )22 8254 1942 Schneller )23 9476 1948 Kukarkin, Parenago )24 10912 1958 Kukarkin aj. )25 14711 1969–70 Kukarkin aj. )26 20437 1972 Kukarkin aj. )27 22731 1974 Kukarkin aj. )28 25221 1985–87 Cholopov aj. )29 28277 1985 Cholopov, Samus aj. )30 28924 1987 Cholopov, Samus aj. )31 29587 1989 Cholopov, Samus aj. )32 30099 1990 Samus, Kazarovetsov´a)33 30264 1993 Samus, Kazarovetsov´a,Goranskij )34 30702 2012 Samus, Durlevich et al. )35 45835 2012 VSX )36 214 287

Publikace: 1) Philosophical Transaction of the Royal Society of London 76, for the year 1786, s. 189; 2) Schumachers Jahresbuch f¨ur1844, s. 214, 1844; 3) Abgedruckt von A. v. Humboldt im Kosmos Band III, s. 243, 1850; 4) Astronomical and Meteorogical Observations made at the Radcliffe Observatory, Oxford, in the year 1854,XV , s. 281–298; 5) Monthly Notices 25, 208; 6) 32. Jahresbericht des Mannheimer Vereins f¨urNaturkunde. Mannheim 1866; 7) Vierteljahrschrift der Astronomischen Gesellschaft (Leipzig)3 , 66; 8) 41. Jahresbericht. . . (viz 6) Mannheim 1875; 9) A handbook of descriptive astronomy. 3. vyd. Oxford 1877, s. 578; 10,11) Proceedings of the Royal Irish Academy — Ser. II, Vol. IV, s. 149–210 a Ser. III, Vol. I, s. 97–150; 12) Astronomical Journal (AJ) s. 300, 1893; 13) AJ s. 379, 1896; 14) Annals of the Observatory of Harvard College (Harv. Ann.) 48, s. 91–123; 15) Harv. Ann. 55, s. 1–88; 16) Geschichte und Literatur des Lichtwechsels der bis Ende 1915 als sicher ver¨anderlich anerkannten Sterne (GuL), 1. d´ıl,Leipzig, 1918; 17) GuL, 2. d´ıl,Leipzig, 1920; 18) GuL, 3. d´ıl,Leipzig 1922; 19) Kleinere Ver¨offentlichungen der Universit¨atssternwarte zu Berlin-Babelsberg (KVBB) 1, 1926; 20) KVBB 9, 1930; 21) KVBB 15, 1935; 22) KVBB 22, 1940; 23) KVBB 26, 1942; 24) GCVS, 1. vyd´an´ı; 25) GCVS, 2. vyd´an´ı; 26) GCVS, 3. vyd´an´ı; 27) 1. doplnˇekke 3. vyd´an´ıGCVS; 28) 2. doplnˇekke 3. vyd´an´ıGCVS; 29) GCVS, 4. vyd´an´ı; 30) IBVS 2681, 1985; 31) IBVS 3058, 1987; 32) IBVS 3323, 1989; 33) IBVS 3530, 1990; 34) IBVS 3840, 1993; 35 CDS GCVS k 15.4.2012, 36) CDS VSX k 30.12.2012. 24 Kapitola 2. Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek2.2: Rozdˇelen´ıpromˇenn´ych hvˇezd.Pˇrevzato z http://outreach.atnf.csiro.au/.

tak napˇr´ıklad hvˇezdytypu W Ursae Majoris jsou z´akrytov´edvojhvˇezdy s vlastnostmi podobn´ymijejich hlavn´ı pˇredstavitelce W UMa, miridy hvˇezdytypu Mira Ceti atd. Existuj´ıi promˇenn´ehvˇezdykter´evykazuj´ısouˇcasnˇehned nˇekolik typ˚upromˇennosti, patˇr´ıtedy souˇcasnˇedo nˇekolika skupin promˇenn´ych hvˇezd.

Aplikace spektroskopie, v´yzkumkinematiky promˇenn´ych hvˇezdv Galaxii, mˇeˇren´ı paralax nov´ymiastrometrick´ymimetodami (HIPPARCOS) a dalˇs´ın´astroje umoˇznily odhadnout vzd´alenostiˇradyjednotliv´ych promˇenn´ych hvˇezda vypoˇc´ıtatjejich abso- lutn´ıhvˇezdn´evelikosti. T´ımbylo umoˇznˇenozn´azornitjednotliv´etypy promˇenn´ych hvˇezd v ploˇse HR diagramu (viz obr. 2.3). Tento zcela nov´ypohled na problematiku v´yzkumu promˇenn´ych hvˇezduk´azal,ˇzeurˇcit´etypy promˇenn´ych hvˇezdzde zauj´ımaj´ısv´especifick´e m´ısto.Poloha konkr´etn´ıhvˇezdyna HR diagramu je d´anajej´ıhmotnost´ıa v´yvojov´ym stadiem. Z tohoto pohledu se hvˇezdn´apromˇennostzaˇcalavykl´adatjako jist´a nemoc“, ” kterou si hvˇezdav pr˚ubˇehu sv´ehov´yvoje chtˇenechtˇemus´ıprodˇelat(obdoba tzv. dˇetsk´ych nemoc´ı).

Ale ani tento vyˇsˇs´ı stupeˇnpozn´an´ı nepˇrin´aˇs´ı odpovˇed’ na z´akladn´ı ot´azky: Jak ” a proˇcse jasnost promˇenn´ych hvˇezdmˇen´ı?“ K tomu je zapotˇreb´ı nejprve vytipovat nˇekolik z´akladn´ıchmechanism˚uhvˇezdn´epromˇennosti a pomoc´ınich a teorie hvˇezdn´e stavby zkonstruovat soubor z´akladn´ıch model˚upromˇennosti. Pak je moˇzn´erozeb´ırat vlastnosti a chov´an´ıre´aln´ych promˇenn´ych hvˇezd,jejichˇzpromˇennostlze zpravidla vyloˇzit spolup˚usoben´ımnˇekolika mechanism˚upromˇennosti.O modelech i mechanismech pro- mˇennostisi pov´ımev dalˇs´ıch kapitol´ach. 2.6. Brno a promˇenn´ehvˇezdy 25

Obr´azek 2.3: Promˇenn´e hvˇezdy v Hertzsprungovˇe-Russellovˇe diagramu. Zdroj: http://webs.mn.catholic.edu.au/physics/emery/.

2.6 Brno a promˇenn´ehvˇezdy

Astronomie m´ana Masarykovˇeuniverzitˇedlouhou tradici. Je zde vyuˇcov´anauˇzod dvac´at´ych let minul´ehostolet´ı. Kr´atcepo druh´esvˇetov´ev´alcezaloˇzilprofesor Josef Mikul´aˇsMohr univerzitn´ıastronomick´y´ustav, kter´yv´yraznˇepˇrispˇelk rozvoji stel´arn´ı astronomie v b´yval´em Ceskoslovensku.ˇ Mohr˚uvnejlepˇs´ıˇz´ak– LuboˇsPerek, pozdˇejˇs´ıˇs´ef ´ustavu si pˇrivezl z pobytu v Leidenu pl´any na stavbu reflektoru, kterou pak v Brnˇereal- izoval v univerzitn´ıkopuli hvˇezd´arny na Krav´ıhoˇre v roce 1954. Na astronomick´em ´ustavu pracovalo mnoho v´yznamn´ych ˇcesk´ych astronom˚u,kromˇev´yˇse jmenovan´ych napˇr´ıkladVladim´ırVan´ysek,Jiˇr´ıGrygar, ZdenˇekKv´ıznebo LuboˇsKohoutek. V pades´at´ych letech se daˇrilobrnˇensk´eastronomii nejen na akademick´ep˚udˇe,ale vznikla i lidov´ahvˇezd´arnas planet´ariem,v jej´ımˇzˇcele stanul prof. Oto Ob˚urka. Ten na konci pades´at´ych let minul´ehostolet´ıinicioval vznik pozorovac´ıhoprogramu kr´atkope- riodick´ych promˇenn´ych hvˇezdpro astronomy amat´ery, zejm´enaz ˇradml´adeˇze.Pozdˇeji tento program pˇrevzalapod sv´akˇr´ıdla Ceskoslovensk´aaˇ posl´eze Cesk´aastronomick´aˇ spoleˇcnost a jej´ıobnoven´aSekce pro pozorovatele promˇenn´ych hvˇezd.Sekce, jej´ıpo- zorovac´ıprogram, z´ıskan´adata, organizovan´ez´acvikov´eakce i vˇedeck´ekonference pak proslavila brnˇenskou hvˇezd´arnu v komunitˇepozorovatel˚upromˇenn´ych hvˇezda stel´arn´ıch astronom˚upo cel´emsvˇetˇe.V ˇceleSekce se po Ob˚urkovi vystˇr´ıdali Jindˇrich Silh´an,ˇ ZdenˇekPokorn´y,ZdenˇekMikul´aˇsek,Miloslav Zejda a od roku 2005 LuboˇsBr´at.Se zmˇenouveden´ıbrnˇensk´ehvˇezd´arny na poˇc´atku 21. stolet´ıse zmˇenilyi podm´ınky pro ˇcinnost Sekce. Symbi´ozas Hvˇezd´arnoua planet´ariemM. Kopern´ıka v Brnˇebyla pˇreruˇse- na, Sekce zmˇenilasv´es´ıdlo,reorganizovala se, rozˇs´ıˇrilasv˚ujprogram. Podrobnosti lze naj´ıtna str´ank´ach Sekce na http://var.astro.cz. Souˇcasn´eveden´ıbrnˇensk´ehvˇezd´arny 26 Kapitola 2. Historie a souˇcasnostv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd usiluje o navr´acen´ıodborn´ehopozorovac´ıhoprogramu na p˚udut´etoinstituce. Mohutn´a pˇrestavba budovy v letech 2010/2011 k tomu vytvoˇrilapˇredpoklady. Univerzitn´ıastronomii se v Brnˇedaˇrilose stˇr´ıdav´ymi´uspˇechy. Po skvˇel´emzaˇc´atku v pades´at´ych letech se v polovinˇe 80. let dostalo univerzitn´ı pracoviˇstˇe pod tvrd´y tlak dˇekan´atupˇr´ırodovˇedeck´efakulty, jenˇztehdy astronomii vyloˇzenˇenepˇr´al.Po od- chodu L. Perka a V. Van´yska do Prahy se stal vedouc´ımpouh´ehooddˇelen´ıastrofyziky prof. Miroslav Veteˇsn´ık,ale jeho pracoviˇstˇese muselo nˇekolikr´atpˇrestˇehovat do st´ale st´ısnˇenˇejˇs´ıch prostor a person´aln´ıstav se neust´alesniˇzoval. Pˇrestose na observatoˇrina Krav´ıhoˇrez´asluhouprof. Miroslava Veteˇsn´ıka a zejm´enaRNDr. Jiˇr´ıhoPapouˇska st´ale konala soustavn´aa homogenn´ıfotoelektrick´amˇeˇren´ı. Po pˇr´ıchodu Zdeˇnka Mikul´aˇska v roce 2002 byl zatraktivnˇenobsah studia, zv´yˇsilse poˇcet student˚ua tak´epracovn´ık˚uastronomick´eho oddˇelen´ı.V souˇcasn´edobˇepatˇr´ımezi hlavn´ıvˇedeck´at´emata,kter´ymse zamˇestnanci oddˇelen´ıvˇenuj´ı,hork´ehvˇezdya hvˇezdn´e syst´emy s horkou sloˇzkou, a d´alepak promˇenn´ehvˇezdyvˇsech typ˚u.Vˇenujeme se kom- plexn´ımu studiu chemicky pekuli´arn´ıch hvˇezd,spojitost´ımezi geometri´ıjejich magnet- ick´ych pol´ıa tvarem a rozloˇzen´ımfotometrick´ych a spektroskopick´ych nehomogenit na jejich povrchu. Dalˇs´ıoblast´ıv´yzkumu jsou atmosf´erya hvˇezdn´yv´ıtrhork´ych hvˇezd, a to jak z teoretick´ehotak i z pozorovatelsk´ehohlediska. V pˇr´ıpadˇepromˇenn´ych hvˇezd se zamˇeˇrujemena v´yvoj a testov´an´ınov´ych sofistikovan´ych metod pro zpracov´an´ıa in- terpretaci napozorovan´ych dat, kter´ejsou aplikov´any zejm´enana z´akrytov´edvojhvˇezdy a miridy. Nezanedbatelnou pozornost vˇenujeme i v´yukov´ymmetod´amv astronomii a his- torii astronomick´ehovzdˇel´av´an´ı. Astronomick´eoddˇelen´ı Ustavu´ teoretick´efyziky a astrofyziky spolupracuje s dalˇs´ımi ˇcesk´ymia slovensk´ymiinstitucemi, jmenovitˇejde o Astronomick´y´ustav Akademie vˇed CRˇ v Ondˇrejovˇea Astronomick´y´ustav Slovensk´eakademie vˇed,zejm´enapak s jejich stel´arn´ımi oddˇelen´ımi, se kter´ymipracujeme na nˇekolika spoleˇcn´ych projektech. As- trofyzici z tˇechto pracoviˇst’ rovnˇeˇzzaˇstit’uj´ıdiplomov´ea dizertaˇcn´ıpr´acenaˇsich stu- dent˚ujako ˇskolitel´e.Pracovn´ıci astronomick´ehooddˇelen´ı se pod´ılej´ı na ˇreˇsen´ı ˇrady dvoustrann´ych projekt˚ua spolupracuj´ı s partnersk´ymi institucemi napˇr´ıklad v Pol- sku, Rakousku, Turecku, Recku,ˇ Mad’arsku, C´ınˇe,Nˇemeckuˇ a jinde (v´ıcena str´ank´ach oddˇelen´ıhttp://astro.physics.muni.cz). Pˇr´ıklademprestiˇzea dobr´ehojm´enabrnˇensk´eho pracoviˇstˇebyla mezin´arodn´ıkonference o dvojhvˇezd´ach BINKEY, na kter´epˇredn´aˇselo ˇradaastronom˚usvˇetov´ehojm´ena(http://astro.physics.muni.cz/binkey/). 27 3 Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

Promˇenn´ehvˇezdyjsou objekty, jejichˇzpozorovateln´evlastnosti se pr˚ubˇehu ˇcasumˇen´ı. Probereme si ted’ ve struˇcnostity charakteristiky, jichˇzsi u promˇenn´ych hvˇezdvˇs´ım´ame nejˇcastˇeji.

3.1 Astronomick´afotometrie

Hlavn´ımzdrojem informac´ıo promˇenn´ych hvˇezd´ach jsou ˇcasov´ezmˇeny jejich jasnosti. Z´avislostjasnosti na ˇcase,tzv. svˇeteln´akˇrivka ukazuje nejen na typ promˇennosti,ale pˇrin´aˇs´ı i ˇradudalˇs´ıch podstatn´ych informac´ı o objektu samotn´em, napˇr´ıklad o jeho rozmˇerech a mechanismech promˇennostia jejich parametrech.

3.1.1 Z´akladn´ıpojmy a vztahy Z´aˇren´ıpˇrich´azej´ıc´ık n´amod zvolen´ehoobjektu lze nahl´ıˇzetjako proud foton˚uo r˚uzn´e vlnov´ed´elce λ ˇcifrekvenci ν pohybuj´ıc´ıch se rychlost´ısvˇetla c = 2, 99792458 · 108 m s−1, z nichˇzkaˇzd´ynese energii Ef a hybnost pf , pˇriˇcemˇzplat´ı: c h c E h ν h λ = ,E = h ν = , p = f = = , (3.1) ν f λ f c c λ kde h = 6, 626069 · 10−34 J s. Vlnov´ad´elka z´aˇren´ı λ se mˇeˇr´ıv metrech, ˇciv menˇs´ıch jednotk´ach, jako jsou nanometry 1 nm = 10−9 m nebo v ˚angstr¨omech, 1 A˚ = 10−10 m, zat´ımcofrekvence ν poˇc´ıt´av hertzech, 1 Hz = 1 s−1. Z´akladn´ıfotometrickou veliˇcinouje tzv. hustota z´aˇriv´ehotoku F nebo t´eˇz bolomet- rick´ajasnost, coˇzje mnoˇzstv´ıenergie z´aˇren´ı,kter´eprojde plochou kolmo nastavenou smˇeremk pˇrich´azej´ıc´ımu z´aˇren´ıo v´ymˇeˇre1 m2 za 1 s. D˚uleˇzit´eje vˇsakzd˚uraznit, ˇze tato plocha mus´ıb´ytum´ıstˇenaza hranicemi zemsk´ehoovzduˇs´ı.Jednotkou bolometrick´e jasnosti nebo hustoty z´aˇriv´ehotoku F je watt na metr ˇctvereˇcn´ı(W m−2 = J m−2 s−1). Z´akladn´ıspektrofotometrickou veliˇcinouje tzv. spektr´aln´ıhustota z´aˇriv´ehotoku fλ(λ) nebo fν(ν), coˇzje hustota z´aˇriv´ehotoku v urˇcit´evlnov´ed´elce λ nebo frekvenci ν, pˇripadaj´ıc´ına jednotku vlnov´ed´elky(1 m, 1 nm, 1 A)˚ nebo jednotku frekvence (1 Hz). Jednotkami tˇechto moˇzn´ych vyj´adˇren´ıspektr´aln´ıhustoty z´aˇriv´ehotoku jsou watt na metr krychlov´y(W m−3), respektive joule na metr ˇctvereˇcn´ı(W m−2 Hz−1 = J m−2). Mezi tˇemitoveliˇcinamiplat´ıtyto vztahy: Z Z Z  c  Z λ2 λ2 F = f dν = f dλ = f d = f dν, ⇒ f = f . (3.2) ν λ λ ν c λ ν c λ Z´avislostspektr´aln´ı hustoty z´aˇriv´ehotoku na vlnov´ed´elcenebo na frekvenci urˇcuje rozdˇelen´ıenergie ve spektru, oznaˇcovan´eˇcastozkratkou SED (Spectral Energy Distri- bution), nebo tak´eobyˇcejnˇe spektrum objektu. Rigor´ozn´ıurˇcov´an´ıpr˚ubˇehu spektr´aln´ıhustoty z´aˇriv´ehotoku fλ(λ) re´aln´ych objekt˚uz po- zemn´ıch observatoˇr´ıje velice n´aroˇcn´ymmˇeˇren´ım,takˇzebylo provedeno jen u nˇekolika m´alo nejjasnˇejˇs´ıch hvˇezd.Jako etalon, z nˇehoˇzse pak odvozuje SED pro ostatn´ıobjekty, se uˇz´ıv´a mˇeˇren´ı fλ(λ) Vegy. Rovnˇeˇztak mˇeˇren´ı bolometrick´ejasnosti F je dosti n´aroˇcn´ym´ukolem 28 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd mj. i proto, ˇzezemsk´aatmosf´eraprakticky nepropuˇst´ız´aˇren´ıs vlnovou d´elkou kratˇs´ıneˇz300 nm. V minulosti se proto takov´amˇeˇren´ıvedla z vysok´ych hor, pˇr´ıpadnˇev´yˇskov´ych letadel, ˇcize stratosf´erick´ych bal´on˚u,v souˇcasnostise takov´apozorov´an´ıprov´adˇej´ız paluby umˇel´ych druˇzicˇcikosmick´ych sond. Ale i tam z˚ust´avaj´ıprobl´emy se samotn´ymmˇeˇren´ım,s propustnost´ı pˇr´ıstroj˚u,citlivost´ı detektor˚u,coˇzje i pˇr´ıˇcinou,ˇzepraktick´afotometrie i spektroskopie si vypracovala jin´emetody a pracovn´ıpostupy. Pˇribˇeˇzn´eastronomick´efotometrii se jasnost dotyˇcn´ehoobjektu zpravidla mˇeˇr´ıfo- tometrem, coˇzje pˇr´ıstroj schopn´ydetekovat svˇetlos ´uˇcinnost´ı,kter´aobecnˇez´avis´ına vlnov´ed´elce Rd(λ). Pˇredfotometr se vkl´adaj´ıstandardizovan´efiltry c s definovanou pro- pustnost´ı Rfc(λ). Sada pouˇzit´ych filtr˚u c pak definuje tzv. instrument´aln´ıfotometrick´y syst´em, kde index c oznaˇcujejednotliv´efiltry nebo tak´efotometrick´ebarvy. Fotometr s filtrov´ymkolem b´yv´apˇripojen k dalekohledu se svou specifickou propustnost´ı Rt(λ). Sign´alod hvˇezdyale mus´ıjeˇstˇepˇredt´ımproj´ıtnˇekolikakilometrovou vrstvou vzduchu se stopami vodn´ıp´arya rozpt´ylen´ymiopticky aktivn´ımiˇc´asticemiprachu. Propustnost t´eto dalˇs´ıpˇrek´aˇzkystav´ıc´ıse postupuj´ıc´ımu z´aˇren´ı A(t, λ), naz´yvan´abˇeˇznˇe atmosf´erick´aex- tinkce, silnˇez´avis´ına vlnov´ed´elce.Hodnota atmosf´erick´eextinkce se bˇehem pozorov´an´ı nav´ıcvelice v´yraznˇemˇen´ıa to jak co do amplitudy, tak i co do profilu funkce A(t, λ). Skuteˇcnˇemˇeˇren´ahustota toku energie z´aˇren´ı FAc(t) je pˇritomto uspoˇr´ad´an´ırovna in- tegr´alusouˇcin˚uvˇsech zm´ınˇen´ych funkc´ıa spektr´aln´ıhustoty z´aˇriv´ehotoku fλ(λ) pˇres vˇsechny vlnov´ed´elkypodle vztahu: Z ∞ Z ∞ FAc(t) = A(t, λ)[Rfc(λ) Rd(λ) Rt(λ)] fλ(λ) dλ = A(t, λ) Rc(λ) fλ(λ) dλ 0 0 (3.3) Souˇcintˇr´ıfunkc´ısouvisej´ıc´ıs instrumentac´ınaˇsehofotometru pˇripojen´ehok dalekohledu Rc(λ) = Rfc(λ) Rd(λ) Rt(λ) podle vˇsehom´aloz´avis´ına ˇcasua v´yraznˇena volbˇekonkr´et- n´ıhofiltru c, nez´avis´ına moment´aln´ımstavu zemsk´eatmosf´eryve smˇerupozorovan´eho objektu, protoˇzeta je zohlednˇenaspeci´aln´ımˇclenem– extinkc´ı A(t, λ). Pomoc´ıfunkce 1 Rc(λ) lze definovat instrument´aln´ı jasnost Fc pˇr´ısluˇsnouk filtru c a pouˇz´ıvan´emu pˇr´ıstroji , nebo tak´ejasnost v odpov´ıdaj´ıc´ı fotometrick´ebarvˇe c. Mˇeˇren´ım jasnost´ı vybran´ych hvˇezdzvan´ych fotometrick´estandardy lze pomoc´ıjednoduch´ych transformac´ıdoj´ıtk jas- 2 nostem Fc v urˇcit´emmezin´arodnˇeuzn´avan´emfotometrick´emsyst´emu : Z R R λ Rc(λ) fλ dλ λ Rc(λ) dλ Fc = Rc(λ) fλ dλ, λefc = R ' R (3.4) Rc(λ) fλ dλ Rc(λ) dλ Velmi informativn´ıcharakteristikou jasnosti v urˇcit´efotometrick´ebarvˇeje tzv. efektivn´ı vlnov´ad´elka dan´ebarvy λefc, kter´an´amvpodstatˇezaˇrad´ı data zmˇeˇren´av dotyˇcn´e oblasti do spektra hvˇezdyi do kontextu s mˇeˇren´ımiv jin´ych fotometrick´ych syst´emech3. 1Pokud si sv˚ujfotometr neodvezete za hranice zemsk´eatmosf´ery, mus´ıtese sm´ıˇrits t´ım,ˇzepˇr´ımo vˇzdycky budete mˇeˇrit hustotu z´aˇriv´ehotoku FAc(t), nikoli Fc. Nicm´enˇepˇrizvolen´ıvhodn´emetody pozorov´an´ılze vliv atmosf´erick´eextinkce docela dobˇreodhadnout a eliminovat. Bude to pˇredmˇetem kap. 3.1.4.3. 2Problematikou pˇrevodu instrument´aln´ıch jasnost´ı na jasnosti mezin´arodn´ı se zab´yv´amev kap. 3.1.3.5, mnohem v´ıcese ale o n´ıdozv´ıtev prac´ıch Harmanec et al (1977) a Harmanec et al. (1994). 3Jak je patrno z rovnice 3.4, hodnota efektivn´ıvlnov´ed´elkynez´avis´ıpouze na pozorovac´ımpˇr´ıstroji, ale i na rozloˇzen´ıenergie ve spektru pozorovan´ehvˇezdy. Plat´ı,ˇzeˇc´ımteplejˇs´ıhvˇezdubudeme studovat, t´ım kratˇs´ı efektivn´ı vlnov´ad´elka bude. Jde vˇsako efekt druh´ehoˇr´adu,kter´yt´emˇeˇrvymiz´ı, pokud pˇrejdemek stˇrednˇep´asmov´ymnebo ´uzkop´asmov´ymfotometrick´ymsyst´em˚um. 3.1. Astronomick´afotometrie 29

Dalˇs´ı d˚uleˇzitoucharakteristikou dan´eho filtru je i tzv. ˇs´ıˇrkafiltru v poloviˇcn´ı v´yˇsce jeho maxim´aln´ıpropustnosti FWHM (full width at half maximum), pomoc´ın´ıˇzpak rozliˇsujememezi ˇsirokop´asmov´ymifotometrick´ymisyst´emy, stˇrednˇep´asmov´ymia spe- cializovan´ymi´uzkop´asmov´ymisyst´emy, jak´ymi jsou tˇrebaabsolutn´ıspektrofotometrie stoj´ıc´ınap˚ulmezi klasickou fotometri´ıa spektroskopi´ı. Mezi mnoˇzstv´ımpouˇz´ıvan´ych fotometrick´ych barev“ zauj´ım´azvl´aˇstn´ıpostaven´ı vizu´aln´ı ” obor, definovan´yfiltrem V s propustnost´ı, jeˇzodpov´ıd´aspektr´aln´ı citlivosti lidsk´ehooka v denn´ım(fotopick´em)reˇzimu vidˇen´ı4. Nˇekolik vhodnˇezvolen´ych filtr˚uspojen´ych s detektorem o specifick´espektr´aln´ıcitlivosti vytv´aˇr´ıinstrument´aln´ız´akladpro tzv. fotometrick´ysyst´em. Nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ıje Johnson˚uv(stan- dardn´ınebo mezin´arodn´ı)fotometrick´ysyst´ema jeho dlouhovlnn´erozˇs´ıˇren´ı(viz kapitola 3.1.3). Speci´aln´ıfiltry zde vymezuj´ıjasnosti v barvˇe U (centrum v 365 nm), B (440 nm), V (550 nm), R (700 nm), I (900 nm), J (1250 nm) atd. Mˇeˇren´ımjasnosti hvˇezdv ˇradˇefotometrick´ych barev si lze uˇcinituspokojivou pˇredstavu nejen o celkov´ehustotˇez´aˇriv´ehov´ykonu F, ale i o rozloˇzen´ıenergie ve spektru hvˇezd,kter´eje d´anopˇrev´aˇznˇejej´ıpovrchovou teplotou Tef , m´enˇepak uˇzdalˇs´ımicharakteristikami hvˇezdjako jsou chemick´esloˇzen´ınebo povrchov´egravitaˇcn´ızrychlen´ı g. Astronomov´ez tradiˇcn´ıch i praktick´ych d˚uvod˚uvyjadˇruj´ıjasnost zdroje z´aˇren´ıpomoc´ı tzv. hvˇezdn´evelikosti vyjadˇrovan´ev jednotk´ach zvan´ych magnitudy. Hvˇezdn´avelikost m je logaritmick´aveliˇcinasv´azan´as pˇr´ısluˇsnoujasnost´ı Fc v barvˇe c nebo bolometrickou jasnost´ı F v cel´emrozsahu spektra tzv. Pogsonovou rovnic´ı:5     Fc F mc = −2, 5 log mag, mbol = −2, 5 log mag, (3.5) F0c F0 kde F0c je tzv. referenˇcn´ıjasnost, kterou m´azdroj s nulovou hvˇezdnouvelikost´ı. Veliˇcinouje tedy hvˇezdn´avelikost, jednotkou 1 magnituda, kter´am´apovolenou zkratku 6 mag. Podle typu jasnosti rozezn´av´amenapˇr.vizu´aln´ıhvˇezdnouvelikost mV, oznaˇcovanou nˇekdypˇr´ımo V,V = 3, 18 mag, bolometrickou hvˇezdnouvelikost mbol aj. Pˇrevodn´ıvztahy mezi bolometrickou jasnost´ı Fbol a bolometrickou hvˇezdnouvelikost´ı mbol vych´azej´ız definice, podle n´ıˇzhvˇezdas bolometrickou hvˇezdnouvelikost´ı mbol = 0 mag p˚usob´ı −8 −2 mimo zemskou atmosf´eruhustotu z´aˇriv´ehotoku F0 = 2, 553 · 10 Wm . Lze tedy ps´at:

−8 −2 −0,4 mbol F = 2, 553 · 10 Wm 10 , mbol = (−18, 9824 − 2, 5 log F ) mag. (3.6)

V pˇr´ıpadˇevizu´aln´ıhvˇezdn´evelikosti mV je referenˇcn´ıjasnost pro mV = 0 mag stanovena na −9 −2 7 F0V = 3, 2 · 10 Wm . Hvˇezdyv aktivn´ı ˇc´astisv´ehoˇzivota o sobˇed´avaj´ı vˇedˇetpˇredevˇs´ım sv´ymelektromag- netick´ymz´aˇren´ım.Mnoˇzstv´ıelektromagnetick´eenergie v dan´efotometrick´ebarvˇe c vyslan´e

4Maximum propustnosti filtru V leˇz´ıu 554,4 nm, ˇs´ıˇrka ˇcin´ı84,3 nm (Moro & Munari, 2000). Hustota z´aˇriv´ehotoku v barvˇe V se tak pˇr´ımoztotoˇzˇnujehustotou svˇeteln´ehotoku, nebo-li jasnost´ıj. Jednotkou jasnosti je i zde v principu Wm−2, vizu´aln´ıjasnost lze ovˇsemt´eˇzvyjadˇrovat ve speci´aln´ıch jednotk´ach zaveden´ych pro svˇetlo:[j] = 1 lumen m−2 5Konstanta 2,5 v Pogsonovˇerovnici byla z historick´ych d˚uvod˚uvybr´anatak, aby platilo, ˇzepˇri rozd´ılu5 mag je pomˇerjasnosti 1:100 (log(100) = 2). Pro pomˇerjasnost´ıdvou objekt˚u, jejichˇzhvˇezdn´a 0,4 veliˇcinaje vzd´alenapr´avˇeo 1 mag, plat´ı: Fc2/Fc1 = 10 = 2, 511886 Nezamˇeˇnujtepros´ıms v´yˇse vzpom´ınanoukonstantou 2,5 v Pogsonovˇerovnici. 6Rˇcen´ıjako: magnituda hvˇezdyje 4,7 mag“ nemaj´ısmysl. Rovnˇeˇznedoporuˇcujemeps´atdo expo- ”m h m s nentu mal´em: 4, 7, protoˇze m“ v exponentu je jiˇzvyhrazeno pro vyj´adˇren´ı´uhl˚uv . 7 ” −6 Ve speci´aln´ıch jednotk´ach platn´ych jen pro barvu V to pak vypad´atak, ˇze j0 = 2, 54 · 10 lm m−2 = 2, 54 · 10−6 lux˚u. 30 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd za 1 sekundu do prostorov´eho´uhlu1 steradi´anu (smˇeˇruj´ıc´ıhok pozorovateli) vyjadˇrujetzv. −2 −1 z´aˇrivost zdroje, Ic, jeˇzm´arozmˇerW m sr . Z´aˇrivost ´uzcesouvis´ıs tzv. absolutn´ıjasnos- R t´ı v barvˇe c, Jc, coˇzje hustota z´aˇriv´ehotoku hvˇezdy Fc = Rc(λ) fλ(λ) dλ ve vzd´alenosti 17 r0 = 10 pc = 3, 08568 · 10 m, a absolutn´ıvelikost´ı Mc, coˇzje hvˇezdn´avelikost objektu sle- dovan´ehov barvˇe c rovnˇeˇzz 10 pc.

Ic −35 −2 34 2 −1 Jc = 2 = 1, 050265 · 10 W m Ic,Ic = 9, 521406 · 10 m sr Jc. (3.7) r0 27 −1 −0,4 Mc Ic = 2, 431 · 10 W sr 10 ,Mc = (68, 464 − 2, 5 log Ic) mag, (3.8)   Ic r0 2 r Fc = 2 = Jc , ⇒ mc − Mc = 5 log = (m − M)0, (3.9) r r r0 kde r je vzd´alenosthvˇezdy. Posledn´ıze vztah˚uje d˚usledkem toho, ˇzese svˇetloˇs´ıˇr´ıpˇr´ımoˇcaˇre, 8 a plat´ı tedy plnˇei pro mˇeˇren´ı v jak´ychkoli filtrech . Veliˇcina(m − M)0 se naz´yv´a modul vzd´alenosti, a je tou vzd´alenost´ıplnˇeurˇcen. V re´aln´esituaci je tˇrebajeˇstˇeuvaˇzovat tzv. mezihvˇezdnouextinkci, neboli zeslaben´ısvˇetla zp˚usoben´ezpravidla rozptylem na prachov´ych ˇc´astic´ıch mezihvˇezdn´el´atky Ac, jej´ıˇzvelikost je zhruba nepˇr´ımo ´umˇern´av efektivn´ıvlnov´ed´elcedan´efotometrick´ebarvy, takˇzepak pro danou hvˇezduplat´ı:

1 m = M + (m − M) + A = M + 5 log r − 5 + A = M − 5 log π − 5 + A , r = , (3.10) c c 0 c c c c c π kde π je paralaxa v ´uhlov´ych vteˇrin´ach, r je vzd´alenosthvˇezdyvyj´adˇren´av parsec´ıch. Za pˇredpokladu, ˇzehvˇezda z´aˇr´ıdo prostoru rovnomˇernˇeve vˇsech smˇerech, tedy izotropnˇe, lze pˇrej´ıtod z´aˇrivosti Ic, ud´avan´ev jednotk´ach watt na steradi´an,k z´aˇriv´emutoku v barvˇe c 9 Φc. Pˇriizotropii pak plat´ı: Z Z 2 36 Φc = Ic(Ω) dΩ = Ic dΩ = 4 π Ic = 4 π r0 Jc = 1, 1965 · 10 Jc, (3.11)

Z´aˇriv´ytok hvˇezdyv barvˇe c Φc mˇeˇr´ımeve wattech, m˚uˇzemejej ale vyj´adˇriti pomoc´ı absolutn´ı jasnosti Jc. V pˇr´ıpadˇe z´aˇriv´ehov´ykonuhvˇezdy nebo tak´ecelkov´ehoz´aˇriv´ehotoku ˇciluminosity L 26 se tato veliˇcinavyjadˇrujet´eˇzve v´ykonech nomin´aln´ıho Slunce L ,L = 3, 846 · 10 W, Mbol = 4, 750 mag.

28 −0,4 Mbol −0,4 Mbol L = 3, 055 · 10 W 10 = 79, 43 L 10 , (3.12)  L  Mbol = 71, 2125 − 2, 5 log L = 4, 750 − 2, 5 log . (3.13) L

8Pokud bychom dok´azalisvˇetlodetekovat v cel´emrozsahu spektra stejnˇedobˇre,pak by platilo Rc(λ) = 1, a tedy Fc = F . Jasnost Fc by byla rovna jasnosti bolometrick´e F . Z form´aln´ıhohlediska je tak bolometrick´ajasnost zvl´aˇstn´ımpˇr´ıpadem jasnosti v nˇejak´efotometrick´ebarvˇe,coˇzznamen´a,ˇzena ni m˚uˇzemeaplikovat vˇsechny vztahy platn´epro Fc. 9Z´aˇriv´ytok ˇradypromˇenn´ych hvˇezd,jako jsou tˇrebarotuj´ıc´ıhvˇezdy se skvrnami na povrchu nebo z´akrytov´edvojhvˇezdyse v ˇcasenemˇen´ı, a pˇrestopozorujeme jejich promˇennost.Uvˇedommesi, ˇze promˇennosthvˇezdyprim´arnˇesouvis´ıs jejich z´aˇrivost´ı Ic, kter´ase m˚uˇzez d˚uvodu rotace nebo obˇehu cyklicky mˇenit. 3.1. Astronomick´afotometrie 31

3.1.2 Rozloˇzen´ıenergie ve spektru hvˇezdy 3.1.2.1 Z´aˇren´ıACT.ˇ Efektivn´ıteplota. Spektrofotometrie Hvˇezdyjsou tˇelesao hmotnostech od nˇekolika setin hmotnosti Slunce do nˇekolika des´ıtek Slunc´ıdrˇzen´apohromadˇevlastn´ıgravitac´ı.Tvoˇrenajsou hust´ymvysokoteplotn´ımplazmatem o teplotˇenˇekolika mili´on˚ukelvinu ve stavu bl´ızk´emtermodynamick´erovnov´aze.Pˇrirozenou souˇc´ast´ıhvˇezdn´ehomateri´alujsou i fotony, kter´ev nˇemneust´alevznikaj´ıa zanikaj´ı.Veˇsker´e tyto procesy jsou v takˇrka dokonal´erovnov´aze,stav plazmatu i fotonov´ehoplynu lze velice pˇresnˇepopsat vztahy a rovnicemi odvozen´ymipro stav tzv. termodynamick´erovnov´ahy (TR). Zde je hlavn´ımparametrem, kter´ypopisuje statistick´evlastnosti syst´em˚uv TR a jejich sloˇzek termodynamick´ateplota T, poˇc´ıtan´av kelvinech. Tak napˇr´ıkladpro hustotu energie foton˚u w −3 v joulech na metr krychlov´y,jejich koncentraci nf a z´aˇriv´ytlak Pr v pascalech nebo v J m plat´ı: 4 σ 1 4 σ w = T 4, n = 2, 029 · 107 T 3,P = w = T 4, (3.14) c f r 3 3 c kde σ je Stefanova-Boltzmannova konstanta, σ = 5, 67051 · 10−8 W m−2K−4. Rozloˇzen´ıen- ergie ve spektru fotonov´ehoplynu urˇcuje tzv. Planck˚uvvyzaˇrovac´ız´akon vyjadˇruj´ıc´ız´avislost spektr´aln´ıhustoty z´aˇriv´ehotoku (mnoˇzstv´ıenergie vyz´aˇren´ejednotkovou plochou tˇelesav jed- notkov´emintervalu frekvenc´ınebo vlnov´ych d´elekza jednotku ˇcasu)tzv. absolutnˇeˇcern´eho tˇelesa (ACT)ˇ Bν,Bλ:

2πν2 hν c 2πhc2 1 B (ν, T ) = ,B (λ, T ) = B (λ, T ) = , (3.15) ν c2 hν
λ λ2 ν λ5 hc
exp kT − 1 exp kλT − 1 kde k je Boltzmannova konstanta, k = 1, 3806505 · 10−23JK−1. Pokud plat´ı,ˇze hc  kλT , lze jedniˇckuve jmenovateli zanedbat a Planck˚uvz´akon se pak zmˇen´ına jednoduˇsˇs´ı Wien˚uv vyzaˇrovac´ız´akon, s n´ımˇzpro spoustu astrofyzik´aln´ıch aplikac´ıdobˇrevystaˇc´ıme.

2πhν3 2πhc2 B (ν, T ) = ,B (λ, T ) = . (3.16) ν 2 hν
λ 5 hc
c exp kT λ exp kλT Stav termodynamick´erovnov´ahy se velmi brzy rozhost´ı v dokonale izolovan´esoustavˇe, kter´asi s okol´ımnevymˇeˇnuje ani ˇc´astice,ani energii. Pokud by vˇsakhvˇezdyskuteˇcnˇebyly v TR, asi bychom o nich nevˇedˇeli,protoˇze by nez´aˇrily. Re´aln´ehvˇezdyvˇsakv izolaci nejsou, s okoln´ımchladn´ymvesm´ıremsoused´ıpovrchov´ymivrstvami, naz´yvan´ymihvˇezdn´eatmosf´ery. V tˇechto atmosf´er´ach se pak hvˇezdn´efotony vymaˇnuj´ız tˇesn´ehokontaktu s ˇc´asticemihvˇezdn´e l´atkya rychlost´ısvˇetlase vyd´avaj´ına dlouhou pout’ do vesm´ıru.Kromˇeenergie a hybnosti si sebou do svˇetanesou i informaci o stavu hvˇezdn´eatmosf´ery, v n´ıˇzse zrodily. Veˇsker´erozbory vlastnost´ısvˇetlahvˇezdn´astak neinformuj´ıo hvˇezd´ach samotn´ych, ale o jejich fotosf´er´ach – tenouˇck´ych, ˇr´ıdk´ych a chladn´ych povrchov´ych vrstv´ach hvˇezd,odkud k n´ampˇrich´azej´ıhvˇezdn´e fotony. Hvˇezdn´efotosf´eryv principu nejsou a ani nemohou b´ytve stavu termodynamick´erovnov´ahy popsan´etermodynamickou teplotou T, tak, jak tomu je ve vrstv´ach pod nimi. Projev´ıse to mj. i na spektr´aln´ımrozloˇzen´ıenergie vystupuj´ıc´ıhoz´aˇren´ı.V hvˇezdn´emspektru rozliˇsujemeemisn´ı spojitou sloˇzku,na jej´ımˇzpozad´ıpak pozorujeme r˚uznˇeintenzivn´ıspektr´aln´ıˇc´arysvˇedˇc´ıc´ıo povaze interakce z´aˇren´ıs l´atkou v atmosf´eˇre.Anal´yzaprofil˚uspektr´aln´ıch ˇcarn´amumoˇzˇnuje stanovit chemick´esloˇzen´ıfotosf´er,jejich hustotu, excitaˇcn´ıa ionizaˇcn´ıpomˇery, pohybov´ystav l´atkyve fotosf´eˇre,velikost magnetick´ehopole i frekvenci sr´aˇzekmezi ˇc´asticemi.Tˇemito ´ukoly se zab´yv´azejm´ena hvˇezdn´aspektroskopie. Pro svˇetlohvˇezdy, a t´ımi pro hvˇezdnoufotometrii 32 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd je ovˇsemd˚uleˇzitˇejˇs´ıona spojit´aemisn´ısloˇzka z´aˇren´ıhvˇezdy, zvan´at´eˇzkontinuum. Diagnostika kontinua pak umoˇzˇnujeurˇcitglob´aln´ıcharakteristiky hvˇezdy, jako je jej´ız´aˇriv´yv´ykon, obsah tˇeˇzˇs´ıch prvk˚ua tˇrebapovrchov´egravitaˇcn´ızrychlen´ı g. Rozloˇzen´ıenergie ve spektru re´aln´ych hvˇezdje komplikovanou funkc´ıvlnov´ed´elky, nav´ıcpro kaˇzdouhvˇezduje specifick´e,podobnˇejako otisk palce pro lidsk´ehojedince. Nicm´enˇev hrub´ych rysech je moˇzn´ejej aproximovat z´aˇren´ımabsolutnˇeˇcern´ehotˇelesa o teplotˇenˇekolika tis´ıckelvin˚u.Pro n´azornˇejˇs´ıpopis tohoto rozloˇzen´ızav´ad´ımeparametr naz´yvan´y efektivn´ıteplota Tef , kter´yje ˇc´ıselnˇeroven termodynamick´eteplotˇe,kterou by mˇelakoule o polomˇerufotosf´eryhvˇezdy R, z´aˇr´ıc´ıjako absolutnˇeˇcern´etˇeleso,jeˇzdo prostoru vys´ıl´az´aˇriv´yz´aˇriv´ytok L, stejn´yjako zkouman´ahvˇezda.Z´aˇriv´yv´ykon hvˇezdy L, i jej´ıpolomˇer R lze v principu pˇr´ımozmˇeˇrit.Efektivn´ıteplota hvˇezdy Tef je s nimi sv´az´anaprostˇrednictv´ım Stefanova z´akona tak, ˇzeplat´ı:

 4  2 4 2 L? Tef? R? L = σ Tef 4 π R , ⇒ = , (3.17) L Tef R

4 2 2 kde σTef je z´aˇriv´yv´ykon 1 m plochy o termodynamick´eteplotˇerovnaj´ıc´ıse Tef , a 4 π R 26 je ploˇsn´av´ymˇerakoule o polomˇeru R. Sluneˇcn´ız´aˇriv´yv´ykon je L = 3.864 · 10 W, 8 efektivn´ıteplota Tef = 5780 K, a polomˇer R = 6, 969 · 10 m. Je zjevn´e,ˇzev´ykon hvˇezdyz´avis´ıpˇredevˇs´ımna jej´ıefektivn´ıteplotˇe,a teprve v druh´eˇradˇena jej´ıvelikosti. To je i pˇr´ıˇcinouskuteˇcnosti,ˇzese na hvˇezdn´eobloze tak ˇcastosetk´av´ame s hvˇezdami teplejˇs´ımineˇzSlunce, i kdyˇzv Galaxii jsou ve v´yrazn´epoˇcetn´ımenˇsinˇe. Efektivn´ıteplota hvˇezdy Tef , ovˇsemnepopisuje jenom celkov´yz´aˇriv´yv´ykon hvˇezdy, ale informuje n´ast´eˇzo rozloˇzen´ıenergie ve spektru (SED). Toto rozloˇzen´ın´amud´av´a z´avislostspektr´aln´ıhustoty z´aˇriv´ehotoku fν ˇci fλ na frekvenci ν, pˇr´ıpadnˇena vlnov´e d´elce λ (viz rov. 3.2). Jistˇeby bylo v´yteˇcn´e,pokud bychom mˇelipro kaˇzdouhvˇezdu tyto veliˇciny k dispozici, protoˇzepomoc´ınich si uˇzm˚uˇzeme vypoˇc´ıtat,co potˇrebujeme, a m˚uˇzemeje t´eˇzsrovn´avat s teoretick´ymipˇredpovˇed’mi SED a meditovat nad pˇr´ıˇcinami moˇzn´ych rozd´ıl˚umezi teori´ı a skuteˇcnost´ı. Tak tomu vˇsaknen´ı. Absolutn´ı kalibrace spektr´aln´ıhustoty z´aˇriv´ehotoku Fλ patˇr´ımezi ty nejsv´ızelnˇejˇs´ı´ukoly praktick´espektro- fotometrie. Naˇstˇest´ıje moˇzn´epostupovat tak, ˇzevelmi d˚ukladnˇea odpovˇednˇepromˇeˇr´ıme rozloˇzen´ıenergie ve spektru jedn´e,kalibraˇcn´ıhvˇezdy, v˚uˇcin´ıˇzuˇzpak budeme ostatn´ı sv´apozorov´an´ıostatn´ıch hvˇezdvztahovat. Za kalibraˇcn´ıhvˇezdu byla vybr´ana α Lyrae neboli Vega, j´ıˇzbyl pˇrisouzennomin´aln´ı spektr´aln´ı typ A0 V, a hvˇezdn´avelikost v barvˇe V = 0 mag. V n´asleduj´ıc´ı tabulce jsou uvedeny namˇeˇren´ehodnoty spektr´aln´ıhustoty z´aˇriv´ehotoku fλ(λ) v jednotk´ach 10−11 W m−2 nm−1 pro efektivn´ıvlnov´ed´elkyfotometrick´ych barev nejuˇz´ıvanˇejˇs´ıch foto- metrick´ych syst´em˚u– ˇsirokop´asmov´ehorozˇs´ıˇren´ehomezin´arodn´ıhosyst´emu Johnsonova a Str¨omgrenova ´uzkop´asmov´ehosyst´emu uvby:

filtr u U v B b y V R I J H K L M λef [µm] 0,35 0,365 0,41 0,44 0,46 0,55 0,55 0,7 0,9 1,25 1,65 2,2 3,5 4,8 fλ(λ) 3,25 4,22 7,18 6,40 5,81 3,70 3,75 1,70 0,83 0,307 0,12 0,041 0,0064 0,0019 Pozorovatelsky jednoduˇsˇs´ımprostˇredkem pro posouzen´ırozloˇzen´ıenergie ve spektru hvˇezdyje absolutn´ıspektrofotometrie, kde se pomˇeˇrujepr˚ubˇehspektr´aln´ıhustoty z´aˇriv´eenergie Fλ(λ) vztaˇzen´ek spektr´aln´ıhustotˇez´aˇriv´eenergie v nˇejak´ereferenˇcn´ıvlnov´ed´elce, nejˇcastˇeji λr = 500 nm (jde tedy o jist´ybarevn´yindex vztaˇzeny k λr). Pro tento ´uˇcelse zav´ad´ıspeci´aln´ı 3.1. Astronomick´afotometrie 33 diferenci´aln´ı spektrofotometrick´ahvˇezdn´avelikost m(λ):  F (λ)  m(λ) = −2, 5 log λ . (3.18) Fλ(λr) Z definice plyne, ˇze spektrofotometrick´ahvˇezdn´avelikost m(λ) je pro referenˇcn´ıvlnovou d´elku vˇzdyrovna nule. Prakticky se absolutn´ıspektrofotometrie prov´ad´ımˇeˇren´ımjasnosti hvˇezdy´uzkop´asmovou fotometri´ıvymezenou filtry s velmi malou ˇs´ıˇrkou spektr´aln´ıpropustnosti (menˇs´ıneˇz1 nm) v nˇekolika des´ıtk´ach vybran´ych vlnov´ych d´elek.Mˇeˇren´ıjsou to i tak dosti n´aroˇcn´a,op´ıraj´ıse vˇzdyo velmi peˇclivou kalibraci mˇeˇr´ıc´ıhopˇr´ıstroje a d˚ukladn´eoˇciˇstˇen´ıo vliv atmosf´erick´ea t´eˇz mezihvˇezdn´eextinkce. Vzhled z´avislosti m(λ) na vlnoˇctu(pˇrevr´acen´ehodnotˇevlnov´ed´elky)u konkr´etn´ıhvˇezdy je sloˇzitoufunkc´ıparametr˚upopisuj´ıc´ıch vlastnosti jej´ıatmosf´ery, dan´ezejm´enajej´ıefektivn´ı ∗ −2 teplotou Tef , chemick´ymsloˇzen´ıma gravitaˇcn´ımzrychlen´ımpˇripovrchu hvˇezdy g (v m s ), kter´ese obvykle vyjadˇrujeveliˇcinoulog g, log g = log g∗ + 2 (logaritmus gravitaˇcn´ıhozrychlen´ı v soustavˇeCGS). Odchylky od ide´aln´ıhopr˚ubˇehu dan´ehoz´aˇren´ımabsolutnˇeˇcern´ehotˇelesa t´eˇzeefektivn´ıteploty jsou zvl´aˇst’ markantn´ıpro hvˇezdyspektr´aln´ıtˇr´ıdyA, kde intenzita ˇcar nejhojnˇejˇs´ıhoz prvk˚u– vod´ıku, dosahuje sv´ehomaxima. Absolutn´ıspektrofotometrie popisuj´ıc´ırelativn´ırozloˇzen´ıenergie ve spektru je jistˇe velmi komfortn´ı z´aleˇzitost,bohuˇzelk dispozici je pozorov´an´ı jen nˇekolik stovek tˇech nejjasnˇejˇs´ıch hvˇezd.Je totiˇzn´aroˇcn´ana svˇetlo,na pozorovac´ıpodm´ınkya na pˇr´ıstrojov´e vybaven´ı,kter´em´ajen nˇekolik observatoˇr´ına svˇetˇe.Naproti tomu studi´ı,kde se rozloˇzen´ı energie ve spektru studuje prostˇrednictv´ımtzv. barevn´ych index˚u,jsou tis´ıce.

3.1.2.2 Barevn´eindexy Barevn´yindex hvˇezdy CI (z angl. colour index) je rozd´ılemhvˇezdn´ych velikost´ıt´eˇze hvˇezdyurˇcen´ych ve dvou rozd´ıln´ych barv´ach c1 a c2 (vlnov´ych d´elk´ach), pro jejichˇz efektivn´ıvlnov´ed´elky λc1 a λc2 plat´ı: λc1 < λc2 . Vˇetˇsinapouˇz´ıvan´ych fotometrick´ych syst´em˚upˇritomrespektuje ´umluvu,podle n´ıˇzby mˇely m´ıtreferenˇcn´ıhustoty toku z´aˇren´ı F0c (viz rovnice 3.5) vˇsech fotometrick´ych barev takov´e hodnoty, aby mˇelahvˇezda spektr´aln´ıhotypu A0V nedotˇcen´amezihvˇezdnouextinkc´ıstejnou hvˇezdnouvelikost ve vˇsech barv´ach. Pro takovou hvˇezduby pˇrirozenˇeby byly vˇsechny barevn´e indexy nulov´e. K v´ypoˇctubarevn´ehoindexu pouˇzijemevztahy 3.4 a 3.5   R  Fλc1 Fλ0c2 Rc1fλ(λ)dλ Fλ0c2 CI(T ) = mc1 − mc2 = −2, 5 log = −2, 5 log R ' Fλc2 Fλ0c1 Rc2fλ(λ)dλ Fλ0c1    R    fλ(λefc1) Fλ0c2 Rc1dλ fλ(λefc1) ' −2, 5 log R = −2, 5 log + Kc1c2, (3.19) fλ(λefc2) Fλ0c1 Rc2dλ fλ(λefc2) kde Kc1c2 je pro dan´ybarevn´yindex konstanta s jednotkou magnituda. Pod´ıluveden´y v hranat´eje funkc´ıteploty. Pro jeho odhad pouˇzijemeWien˚uvz´akon, podle nˇehoˇzje −5 hc
fλ(λ, T ) ∼ λ exp − kλT , kde k je Boltzmannova konstanta. Dosad´ıme-liznovu do rov.3.19 dostaneme po chv´ılialgebry takovouto funkˇcn´ız´avislostbarevn´ehoindexu na teplotˇe:  5    λefc2 hc 1 1 C1 CI(T ) = −2, 5 log 5 exp − + Kc1c2 = − C2, (3.20) λefc1 kT λefc2 λefc1 T 34 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

−1.5 B−V −1 U−B

−0.5

0

0.5 B−V, U−B [mag] 1

1.5

2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 10000/T [K−1] ef

Obr´azek3.1: Z´avislostbarevn´ych index˚u(B-V ) a (U-B) na pˇrevr´acen´ehodnotˇeefektivn´ı teploty Tef . Je patrno, ˇzez´avislostinejsou zdaleka pˇr´ımkov´e,jak by vypl´yvalo ze z´aˇren´ıACT,ˇ ale zvlnˇen´e,coˇzplat´ızejm´enapro z´avislost(U-B). D˚uvodem je zjevn´aodchylka z´aˇren´ıhvˇezdy od z´aˇren´ıACTˇ s tout´eˇzefektivn´ıteplotou. Cerchovanouˇ ˇcarouje naznaˇcenapˇredpovˇed’ (B-V ) podle vztahu (3.21), pokud zamˇen´ımebarevnou teplotu za efektivn´ı.

kde C1,C2 jsou sloˇzit´e,leˇckonstantn´ıfunkce vˇsech vstupn´ıch parametr˚u.Vzhledem k tomu, ˇzetato teplota byla odhadnuta pomoc´ıbarevn´ehoindexu, mluv´ıse o n´ı,jako o barevn´eteplotˇe Tb. Forma z´avislostipak tˇrebaopravˇnujen´asleduj´ıc´ıpˇribliˇzn´yempir- ick´y10 vztah mezi indik´atoremteploty – barevn´ymindexem B-V a efektivn´ıteplotou 7300 T = . (3.21) b (B − V ) + 0, 52

Barevn´ateplota se obecnˇeodliˇsujeod efektivn´ıteploty Tef , nav´ıcpro kaˇzd´yjin´ybarevn´y index obecnˇedostaneme jinou barevnou teplotu. V oblasti efektivn´ıch teplot kolem 10 000 K kdy vod´ıkov´eˇc´arynab´yvaj´ısv´emaxim´aln´ıintenzity, jsou odchylky rozloˇzen´ı energie ve spektru hvˇezdyod z´aˇren´ıACTˇ t´eˇzeefektivn´ıteploty velmi v´yrazn´e.Pˇresvˇedˇcit se o tom m˚uˇzetena modelov´empˇr´ıpadudemonstrovan´emna obr. 3.2. Barevn´eteploty jsou nav´ıc silnˇeovlivnˇeny mezihvˇezdnouextinkc´ı,kterou je nutno pˇredemodeˇc´ıst(viz kap. 3.1.4.2). Pro lepˇs´ıdiagnostiku hvˇezdse zav´adˇej´ıi sloˇzitˇejˇs´ıbarevn´eindexy jako line´arn´ıkom- binace namˇeˇren´ych hvˇezdn´ych velikost´ıv r´amciurˇcit´ych fotometrick´ych syst´em˚u,v nichˇz P jsou mˇeˇreny hvˇezdn´evelikosti pro r˚uzn´ebarvy ci : CIj = aij m(ci). Pˇr´ıklademm˚uˇze poslouˇzitastrofyzik´alnˇed˚uleˇzit´yStr¨omgren˚uvsyst´em uvby (viz kap. 3.1.3.3), kde se

10Tento vztah byl odvozen na z´akladˇeskuteˇcnˇepozorovan´ych barevn´ych index˚u B-V a efektivn´ıch teplot, ACTˇ poslouˇziljen jako inspiraci. 3.1. Astronomick´afotometrie 35

4 x 1015 Lymanův skok ↓ 3 x 1015 ]

-3 Balmerův skok m

-1 2 x 1015 ↓ Bλ(T ) [J s λ F 1 x 1015 Hα ↓

0 x 100 0 200 400 600 800 1000 λ [nm]

Obr´azek3.2: Rozloˇzen´ıenergie ve spektru hvˇezdys efektivn´ıteplotou Tef = 10 000 K s at- mosf´erousloˇzenoupouze z vod´ıkua h´elia.Ve spektru hvˇezdydominuj´ısiln´evod´ıkov´eˇc´ary v oblasti volnˇe-v´azan´ych pˇrechod˚u(Balmer˚uvskok). Rozloˇzen´ıenergie pro ACTˇ s teplotou 10000 K, Bλ(T ), se od hvˇezdn´ehonejv´ıceodchyluje v oblasti ultrafialov´ehoz´aˇren´ı.V optick´e oblasti je zes´ıleno kontinuum za Balmerov´ymskokem aˇzpo barvu V , coˇzje pak pˇr´ıˇcinou menˇs´ıhobarevn´ehoindexu, neˇzby mˇelb´yt– hvˇezdase zde jev´ıjako objekt s vyˇsˇs´ıteplotou.

m´ıstohvˇezdn´ych velikost´ıv uveden´ych barv´ach ˇcastopouˇz´ıv´ai sloˇzitˇejˇs´ıch barevn´ych index˚u: y = V ,(b − y), m1 = (v − b) − (b − y), c1 = (u − v) − (v − b). Zvl´aˇstn´ımpˇr´ıpadembarevn´ehoindexu je tzv. bolometrick´akorekce BC dan´arozd´ılem mezi bolometrickou hvˇezdnouvelikost´ıhvˇezdya jej´ıvizu´aln´ıhvˇezdnouvelikost´ı,takˇze BC = mbol − mV. Bolometrick´akorekce, rovnˇeˇzvyjadˇrujerozloˇzen´ıenergie ve spektru objektu, jeˇzje v pˇr´ıpadˇehvˇezdurˇcenov prv´eˇradˇeefektivn´ı teplotou Tef . Bolomet- rick´akorekce byla definov´anatak, aby byla nulov´au hvˇezdo povrchov´eteplotˇekolem 7000 K, jejichˇzz´aˇren´ı m´anejvˇetˇs´ı svˇetelnou´uˇcinnost(hvˇezdyspektr´aln´ıho typu F). Smˇeremk vyˇsˇs´ımi niˇzˇs´ımteplot´ambolometrick´akorekce kles´a,v extr´emn´ıch pˇr´ıpadech dosahuje aˇznˇekolika magnitud! (viz obr´azek3.3). Tento fakt je vyj´adˇren´ımskuteˇcnosti, ˇzeu hvˇezdrelativnˇevysok´eˇcin´ızk´eteploty se maximum vyzaˇrovan´eenergie pˇresouv´a do ultrafialov´e,respektive infraˇcerven´eoblasti spektra, kde jiˇznen´ılidsk´eoko citliv´e.

3.1.3 Fotometrick´esyst´emy V astronomick´epraxi se pro mˇeˇren´ıjasnosti kosmick´ych objekt˚upouˇz´ıv´ajasnˇedefino- van´asoustava speci´aln´ıch fotometrick´ych filtr˚u,kter´espolu tvoˇr´ı fotometrick´ysyst´em. Filtry, kter´ese vkl´adaj´ıdo optick´ecesty pˇrifotometrov´an´ı,propouˇstˇej´ısvˇetlov defi- novan´emintervalu elektromagnetick´ehospektra a urˇcuj´ıtak barvy fotometrick´ehosyst´e- mu. V souˇcasnostiv´ybˇerfiltr˚ufotometrick´ehosyst´emu jiˇznen´ın´ahodn´y,dosti ˇcastob´yv´a 1996ApJ...469..355F

36 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek3.3: Bolometrick´akorekce BC v z´avislostina logaritmu efektivn´ıteploty hvˇezd. Pˇrevzatoz Flower (1996).

ˇsitna m´ırupovaze rozloˇzen´ıenergie ve spektru zkouman´ych objekt˚u11. V´ybˇerp´asemtoho kter´ehofotometrick´ehosyst´emu je ovˇsemdiktov´anjak astrofyzik´aln´ımi,tak ryze i prak- tick´ymid˚uvody, jako jsou cena filtr˚ua jejich pˇr´ıstupnost na trhu, spektr´aln´ıcitlivost dostupn´ych detektor˚u,nutnost vyhnout se nˇekter´ymspektr´aln´ımoblastem apod. S´ıˇrkaˇ p´asmapropustnosti pouˇzit´ych filtr˚udˇel´ı poˇz´ıvan´efotometrick´esyst´emy do tˇr´ı tˇr´ıd: jednak jsou to ˇsirokop´asmov´e syst´emy (napˇr´ıklad Johnson˚uvsyst´em UBV ) pokr´yvaj´ıc´ınejm´enˇe30 nm v kaˇzd´emz filtr˚u,d´alepak stˇrednˇep´asmov´e syst´emy, jako uvby s p´asmy od 10 do 30 nm, a koneˇcnˇev´ıcem´enˇemonochromatick´e ´uzkop´asmov´e syst´emy s kˇrivkou propustnosti nˇekolika m´alonm, kter´epropouˇstˇej´ıjen velice ´uzkou ˇc´astspektra hvˇezdy, nebo dokonce vydˇeluj´ıjen nˇekter´evybran´espektr´aln´ıˇc´ary. V souˇcasn´edobˇeexistuje uˇzpˇresdvˇestˇenejr˚uznˇejˇs´ıch fotometrick´ych syst´em˚u12, ale jen nˇekolik z nich se doˇckalo vˇetˇs´ıhorozˇs´ıˇren´ı. U vˇetˇsiny syst´em˚uje moˇzn´eprov´eststandardizaci, tedy pˇrepoˇc´ıtatv´ysledkynamˇeˇren´e urˇcit´ymdalekohledem na urˇcit´emm´ıstˇea s urˇcit´ymdetektorem na standardn´ıpodm´ınky (v´ıcev kap. 3.1.3.5). K tomu je nezbytn´em´ıts dostateˇcnoupˇresnost´ıpromˇeˇren´enapˇr. propustnosti uˇzit´ych filtr˚ua citlivosti detektor˚u.Bohuˇzelspousta origin´aln´ıch a neopako- vateln´ych mˇeˇren´ıztratila svou v´ypovˇedn´ıhodnotu pr´avˇeproto, ˇzetato korekˇcn´ımˇeˇren´ı nebyla provedena nebo byla provedena nepˇresnˇea jedin´eorigin´aln´ıfotometrick´efiltry dan´ehofotometrick´ehosyst´emu byly zniˇceny. Naˇstˇest´ıse jedn´ajen o nˇekolik v´ıcem´enˇe historick´ych pˇr´ıpad˚u. Se standardizac´ı fotometrick´ych mˇeˇren´ı se zaˇcalov´ıcem´enˇeaˇzpo zaveden´ı John- sonova syst´emu UBV. Od pades´at´ych let minul´ehostolet´ılze tedy pro vˇetˇsinu syst´em˚u

11T´yk´ase to zejm´enaobjekt˚us atypick´ymSED, jako jsou tˇrebaextr´emnˇeˇcerven´euhl´ıkov´ehvˇezd, Wolfovy Rayetovy hvˇezdy, chemicky pekuli´arn´ıhvˇezdy, novy ˇcikomety 12Pˇrehledsyst´em˚upod n´azvem Asiago Database on Photometric Systems, kter´ysestavili Ulisse Mu- nari, Massimo Fiorucci a Dina Morolze, lze naj´ıtna str´ancehttp://ulisse.pd.astro.it/Astro/ADPS/. 3.1. Astronomick´afotometrie 37 standardizaci mˇeˇren´ıprov´adˇet. R˚uzn´eobservatoˇrekoneˇcnˇemohly zaˇc´ıtporovn´avat sv´e v´ysledkya pracovat na spoleˇcn´ych projektech. Tato unifikace pˇrinesla sv´eovoce zejm´ena pˇriv´yzkumu promˇenn´ych hvˇezd. Poloˇs´ıˇrka fotometrick´ych barev by mˇelab´ytco nejmenˇs´ı,aby se potlaˇcilvliv ˇclen˚udruh´eho a vyˇsˇs´ıhoˇr´adu.Souˇcasnˇeby mˇelab´ytlimitn´ıhvˇezdn´avelikost co nejvyˇsˇs´ı.Takov´ytooptim´aln´ı fotometrick´ysyst´emby se hodil pro co nejpˇresnˇejˇs´ıstanoven´ıspektr´aln´ıhotypu, luminozitn´ı tˇr´ıdy, typu hvˇezdn´epopulace, velikosti mezihvˇezdn´eextinkce, coˇzby bylo moˇzn´eodvodit pouze pomoc´ıtˇechto parametr˚unebo barevn´ych index˚u. Z´adn´ytakov´yide´aln´ıfotometrick´ysyst´emˇ ale v principu nem˚uˇzeexistovat, vˇsechny jsou jen jist´ymkompromisem, pˇribl´ıˇzen´ımse k tomuto ide´alu. Praktick´yfotometrick´ysyst´emmus´ıpoˇc´ıtats odliˇsnostmiinstrument´aln´ıhovybaven´ı a stavu atmosf´ery, takˇzekromˇedefinice propustnosti idealizovan´ych fotometrick´ych filtr˚u mus´ıobsahovat i dostateˇcn´ypoˇcetdobˇrepromˇeˇren´ych peˇclivˇevybran´ych nepromˇenn´ych hvˇezd, hvˇezdn´ychstandard˚u. Bez tohoto kroku nen´ımoˇzn´ypˇrevod z hvˇezdn´ych velikost´ı zmˇeˇren´ych ve vlastn´ım– instrument´aln´ım fotometrick´emsyst´emu na syst´em standardn´ı.

3.1.3.1 Historick´efotometrick´esyst´emy

Vizu´aln´ıhvˇezdn´evelikosti mviz Lidsk´eoko, jakoˇztodetektor svˇetla,je nejcitlivˇejˇs´ıve ˇzlutozelen´eoblasti spektra, maximum citlivosti je kolem 550 nm pro vidˇen´ıdenn´ı(fotopick´e),480 nm pro vidˇen´ınoˇcn´ı(skotopick´e), kter´ese uplatn´ıjen pˇrivelice n´ızk´emosvˇetlen´ıadaptovan´es´ıtnice. Prvn´ıvizu´aln´ıodhady jasnosti uvedl ve sv´emkatalogu Hipparchos, kter´ykodifikoval syst´em hvˇezdn´ych velikost´ı.Vizu´aln´ıodhady jsou tabelov´any tak´ev nˇekolika velk´ych hvˇezdn´ych kat- aloz´ıch z 19. stolet´ı,napˇr.HD katalogu. Pˇresnosttˇechto odhad˚uje nevelk´a– desetiny magni- tudy, nav´ıcje ˇsk´alahvˇezdn´ych velikost´ıv oblasti n´ızk´ych jasnost´ısilnˇedeformovan´a.

Fotografick´ehvˇezdn´evelikosti mpg Po vyn´alezu svˇetlocitliv´ych fotografick´ych emulz´ızaˇcalyb´ytvelmi brzy jasnosti hvˇezdpromˇe- ˇrov´any na fotografi´ıch. Tento postup podstatnˇezv´yˇsilobjektivitu mˇeˇren´ıa t´eˇzjejich dosah do oblasti velmi slab´ych hvˇezd. Protoˇzebˇeˇzn´enesenzibilovan´efotografick´edesky byly citliv´e sp´ıˇsena kr´atkovlnn´ez´aˇren´ı, liˇsilyse fotografick´ehvˇezdn´evelikosti od hvˇezdn´ych velikost´ı vizu´aln´ıch v z´avislostina barvˇehvˇezd,kter´aje zase funkc´ıjejich efektivn´ıteploty. Astronomov´e velice brzy zjistili, ˇzeexistuje velice dobˇredefinovan´akorespondence mezi spektr´aln´ımtypem hvˇezda barevn´ymindexem (mpg − mviz). Vzhledem k tomu, ˇzetakov´ybarevn´yindex bylo moˇzn´ezjiˇst’ovat i u hvˇezd,kter´epro jejich malou jasnost nebylo tehdy moˇzn´espektroskopicky zkoumat, zastupoval barevn´yindex parametr vyjadˇruj´ıc´ıteplotu hvˇezdy.

Fotometrie s prvn´ımifotocitliv´ymidiodami Prvn´ıfotoelektrick´amˇeˇren´ıjasnost´ıhvˇezdprov´adˇeliStebbins (1916) na Lickovˇeobservatoˇri v USA a Guthnick a Prager (1918) v Potsdamu v Nˇemecku. Pˇresnostmˇeˇren´ı vzrostla aˇz na nˇekolik setin magnitudy. Maximum citlivosti diody pouˇz´ıvan´eStebbinsem se nach´azelo v modrozelen´ebarvˇekolem 500 nm. Naproti tomu diody uˇz´ıvan´ev Potsdamu byly nejcitlivˇejˇs´ı v modr´eoblasti spektra.

Fotometrie s foton´asobiˇcia barevn´ymifiltry V obdob´ımezi dvˇemasvˇetov´ymiv´alkami se postupnˇezaˇcalopouˇz´ıvat fotometr˚u,jejichˇzde- tektorem byl foton´asobiˇcse zdrojem vysok´ehonapˇet´ı.Zv´yˇsen´acitlivost foton´asobiˇc˚udovolila 38 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd pouˇz´ıvat i r˚uzn´ebarevn´efiltry vymezuj´ıc´ısledovanou oblast elektromagnetick´ehoz´aˇren´ı.Exis- tuj´ıv t´edobˇei mˇeˇren´ıv nˇekolika barv´ach, mˇeˇren´ıvˇsaknebyla nikdy d˚uslednˇestandardizov´ana, takˇzejsou nyn´ıjen tˇeˇzko vyuˇziteln´a.

3.1.3.2 Johnson˚uvmezin´arodn´ısyst´ema jeho rozˇs´ıˇren´ı Nejzn´amˇejˇs´ıma nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ımhvˇezdn´ymfotometrick´ymsyst´ememzaloˇzen´ymna tˇrech ˇsirokop´asmov´ych filtrech je syst´em UBV zaveden´yJohnsonem13 a jeho spolupracovn´ıky Johnson & Morgan (1953) v polovinˇeminul´ehostolet´ı.Ten je realizov´antˇremifiltry:

U: propustnost od 300 nm do 420 nm s maximem propustnosti kolem 358 nm; B: propustnost od 360 nm do 500 nm s maximem u 439 nm; V : propustnost od 460 nm do 740 nm s maximem u 545 nm.

Obr´azek3.4: Propustnost filtr˚uv syst´emu UBV

Johnson a jeho spolupracovn´ıcipromˇeˇrilipomoc´ıamerick´ehofoton´asobiˇceIP21 mno- ho tis´ıchvˇezda sv´amˇeˇren´ıv UBV publikovali. D´ıkytomu a d´ıkyjasnˇedefinovan´ym vztah˚ummezi urˇcit´ymi fyzik´aln´ımivlastnostmi hvˇezda barvami urˇcen´ymibarevn´ymi indexy (U-B) a (B-V ) se jejich syst´emstal nejuˇz´ıvanˇejˇs´ımhvˇezdn´ymfotometrick´ym syst´emem. V nˇekter´ych aplikac´ıch se s oblibou pouˇz´ıv´adiagram z´avislostibarevn´ehoindexu (U-B), kter´yodr´aˇz´ıspecifick´evlastnosti hvˇezdn´ych fotosf´er,na barevn´emindexu (B-V ), jeˇzje m´ırou efektivn´ıteploty. Na obr´azku3.5 je zn´azornˇenaz´avislost(U-B) na (B-V ) pro hvˇezdyhlavn´ı posloupnosti neovlivnˇen´emezihvˇezdnouextinkc´ı.Vˇsimnˇetesi dohodnut´eorientace os tohoto diagramu – v lev´emhorn´ımrohu jsou hvˇezdynamodral´es vysokou efektivn´ıteplotou, v lev´em doln´ım pak pozdn´ı naˇcervenal´ehvˇezdys n´ızkou teplotou. Naznaˇcenaje i t´emˇeˇrpˇr´ımkov´a z´avislostpro absolutnˇeˇcern´etˇeleso.Nejvˇetˇs´ı odchylka od tohoto pr˚ubˇehu je pozorov´ana u spektr´aln´ıhotypu A0, s maximem Balmerova skoku a pro hvˇezdy chladn´e,kde rozloˇzen´ı energie silnˇemodifikuj´ımolekul´arn´ıspektr´aln´ıp´asy. Pro hvˇezdyjin´ych luminozitn´ıch tˇr´ıd(jin´ych povrchov´ych gravitaˇcn´ıch zrychlen´ı)vyhl´ıˇz´ı tento diagram dost odliˇsnˇe.V z´asadˇetak lze pomoc´ıpolohy hvˇezdyna tˇr´ıbarevn´emdiagramu

13Syst´emje oznaˇcov´anjako Johnson˚uv,ale nˇekdyt´eˇzjako Johnson˚uv-Morgan˚uv. 3.1. Astronomick´afotometrie 39

Obr´azek3.5: Diagram (U-B)–(B-V ) sestaven´ypro hvˇezdyhlavn´ıposloupnosti neovlivnˇen´e mezihvˇezdnouextinkc´ı. Sikm´aˇc´aranaznaˇcujepr˚ubˇehdiagramuˇ za pˇredpokladu, ˇzeby hvˇezdy skuteˇcnˇez´aˇrilyjako ACT.ˇ

odvodit jak jej´ıefektivn´ıteplotu Tef a t´ımi spektr´aln´ıtˇr´ıdu,tak i luminozitn´ıtˇr´ıdu,tedy z´aˇriv´yv´ykon L. Zn´ame-li Tef a L, m˚uˇzemeodhadnout i polomˇer hvˇezdy R. Neplat´ıto ovˇsem obecnˇe(v nˇekter´ych pˇr´ıpadech poloha objektu na diagramu neurˇcujehvˇezdn´echarakteristiky jednoznaˇcnˇe).Velmi negativnˇese zde ovˇsemprojevuje vliv mezihvˇezdn´ehozˇcerven´an´ı,kter´e zeslabuje svˇetlohvˇezdyv´ıcev modr´eoblasti spektra neˇzv ˇcerven´e(v´ıcev kap. 3.1.4.2). Tˇr´ıbarevn´ysyst´em UBV byl z´ahy rozˇs´ıˇren(Johnson, 1965) do ˇcerven´ea infraˇcerven´e oblasti spektra pouˇzit´ımˇsirokop´asmov´ych filtr˚u R (700 nm), I (900 nm), J (1250 nm), K (2200 nm) a L (3400 nm)14. Johnson volil filtry v infraˇcerven´emoboru tak, aby p´asmojejich nejvˇetˇs´ıpropustnosti leˇzelomimo oblasti se zv´yˇsenouatmosf´erickou ex- tinkc´ı,p˚usobenou zde pˇredevˇs´ımmolekul´arn´ımip´asyvody (J – 1,25 µm, H – 1,62 µm, K – 2,2 µm, L – 3,4 µm, M – 5,0 µm). Filtr H se objevil aˇzroku 1967 a o jeho profilu se vedly dlouh´ediskuse, tabelov´anbyl aˇzv pr´aciBessell & Brett (1988).

3.1.3.3 Str¨omgren˚uvsyst´em uvby(β) Nev´yhodou ˇsirokop´asmov´ehoJohnsonova syst´emu je to, ˇzefiltr U se pˇrekr´yv´as filtrem B a zasahuje tak i do oblast´ıza Balmerov´ymskokem, coˇzv podstatˇeznemoˇzˇnujevyuˇz´ıt jej k urˇcen´ıv´yˇskyBalmerova skoku. Astrofyzik´alnˇeˇst’astnˇejˇs´ıje proto stˇrednˇep´asmov´y syst´em uvby, kter´ynavrhl Bengt Str¨omgren(1956). Syst´emobsahuje ˇctyˇrifiltry s tˇemito parametry:

u: poloˇs´ıˇrka 30 nm, efektivn´ıvlnov´ad´elka 350 nm; v: poloˇs´ıˇrka 19 nm, efektivn´ıvlnov´ad´elka 411 nm; b: poloˇs´ıˇrka 18 nm, efektivn´ıvlnov´ad´elka 467 nm; y: poloˇs´ıˇrka 23 nm, efektivn´ıvlnov´ad´elka 547 nm.

14Rozˇs´ıˇren´emu Johnsonovu syst´emu se obˇcasˇr´ık´aArizonsk´ysyst´em. 40 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

D´ıkyuˇzˇs´ımp´as˚umje tento syst´eml´epe definov´ana poskytuje t´eˇzsrozumitelnˇejˇs´ıin- formaci o vlastnostech zkouman´ych hvˇezd.Kalibrovan´ahvˇezdn´avelikost y se pˇr´ımo navazuje na johnsonovskou hvˇezdnouvelikost V , coˇzje umoˇznˇenod´ıkyklidn´emu pr˚ubˇehu rozloˇzen´ıenergie ve ˇzlut´eoblasti spektra. Pro astrofyzik´aln´ıaplikace se nejˇcastˇejipouˇz´ı- vaj´ıbarevn´eindexy (b-y) a (u-b), d´alepak jiˇzzm´ınˇen´eindexy velmi m´aloz´avisl´ena mezihvˇezdn´eextinkci:

c1 = (u − v) − (v − b), m1 = (v − b) − (b − y), (3.22) z nichˇzprvn´ı index pˇr´ımo souvis´ı s velikost´ı Balmerova skoku, a druh´ys obsahem kovov´ych prvk˚u(odtud metalick´yindex), kter´yse projevuje zv´yˇsen´ymv´yskytemspekt- r´aln´ıch ˇcarkov˚uv oblasti tˇesnˇeza Balmerov´ymskokem. Vyˇsˇs´ımetalick´yindex (vˇetˇs´ı v) tak zpravidla znamen´avyˇsˇs´ıobsah kov˚u.V nˇekter´ych zdroj´ıch b´yvaj´ım´ıstohvˇezdn´ych velikost´ıv uvby uvedeny veliˇciny: V ,(b − y), c1 a m1. Zb´yvaj´ıc´ıveliˇciny lze dopoˇc´ıtat podle vztah˚u:

b = V + (b − y); v = V + 2 (b − y) + m1; u = V + 3 (b − y) + 2 m1 + c1. (3.23)

Str¨omgren˚uvfotometrick´ysyst´emb´yv´aˇcastodoplnˇendvˇemafiltry centrovan´ymna stˇredvod´ıkov´eˇc´aryHβ (486 nm): stˇrednˇep´asmov´ymfiltrem (poloˇs´ıˇrka 15 nm) a ´uzko- p´asmov´ymfiltrem (poloˇs´ıˇrka 3 nm). Rozd´ılhvˇezdn´ych velikost´ıv tˇechto dvou filtrech

Obr´azek3.6: Diagramy z´avislost´ıindex˚ubarevn´ych c1 a m1 na barevn´emindexu (b-y) ve Str¨omgrenovˇefotometrick´em syst´emu uvby. Nepˇreruˇsovan´aˇc´araukazuje polohu hvˇezdhlavn´ı posloupnosti neovlivnˇen´ych mezihvˇezdnouextinkc´ı. Index c1 vyjadˇrujevelikost Balmerova skoku, kter´adosahuje sv´emaxim´aln´ı hodnoty pro hvˇezdytˇr´ıdy A0 s barevn´ymindexem (b-y). Ten se bˇeˇznˇepouˇz´ıv´ajako m´ıraefektivn´ıteploty, jeho velikost ale b´yv´asilnˇezkreslena mezihvˇezdn´ymzˇcerven´an´ım– smˇerjeho p˚usoben´ınaznaˇcujeˇsipka. Naopak index c1 je proti ´uˇcink˚ummezihvˇezdn´eextinkce takˇrka imunn´ı, a proto m˚uˇzeslouˇzitjako indik´atorteploty hvˇezdymnohem l´epe. Metalick´yindex m1 dobˇrekoreluje s obsahem tˇeˇzˇs´ıch prvk˚u,takˇzenapˇr. pro CP hvˇezdyb´yv´aanom´alnˇezv´yˇsen.Nicm´enˇeu norm´aln´ıch hvˇezdjej lze jako indik´ator teploty rovnˇeˇzl´epe pouˇz´ıtneˇzindex (b-y). Zdroj: Dave Kilkenny: Photometry – I. All sky“ ” . 3.1. Astronomick´afotometrie 41 urˇcujetzv. index β. Pozorov´an´ıv obou filtrech jsou vedena simult´annˇe,coˇzpotlaˇcuje atmosf´erick´evlivy, nav´ıczm´ınˇen´yindex nez´avis´ına mezihvˇezdn´eextinkci. Index β je line´arnˇe´umˇern´yekvivalentn´ıˇs´ıˇrceˇc´aryHβ. Pro tepl´ehvˇezdy (O aˇzA) tak pˇredstavuje parametr souvisej´ıc´ı s luminozitou hvˇezdy, pro hvˇezdychladnˇejˇs´ı je pak nez´avisl´ym mˇeˇr´ıtkem efektivn´ıteploty.

Obr´azek3.7: Srovn´an´ınˇekolika fotometrick´ych syst´em˚u.Pˇrevzatoz Bessell (2005). 42 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

3.1.3.4 Dalˇs´ısouˇcasn´efotometrick´esyst´emy

Syst´emdruˇzice Hipparcos Na astrometrick´edruˇziciHipparcos se u jednotliv´ych hvˇezdprov´adˇelat´eˇzsolidn´ıfo- tometrie s pˇresnost´ıdosahuj´ıc´ıu tˇech nejjasnˇejˇs´ıch hvˇezdi nˇekolik milimagnitud. Hlavn´ı pˇr´ıstroj druˇzicemˇeˇrilve velice ˇsirok´em(instrument´aln´ım)p´asmu HP. Nav´ıcbylo z´aˇren´ı pˇrich´azej´ıc´ıdo mapovac´ıhozaˇr´ızen´ırozdˇelenona dva svazky a ve dvou foton´asobiˇc´ıch se simult´annˇemˇeˇrilove filtrech BT a VT zhruba odpov´ıdaj´ıc´ıch sv´ymjohnsonovsk´ym pˇredloh´am.Pro zjiˇst’ov´an´ıpromˇennostise nejl´epe hod´ıprvn´ıbarva, protoˇzemˇeˇren´ıv n´ı jsou nˇekolikan´asobnˇepˇresnˇejˇs´ıa spolehlivˇejˇs´ı,neˇzve zb´yvaj´ıc´ıch dvou barv´ach. Nulov´y bod byl definov´antak tak, ˇze HP = BT = VT = 0, 000 mag pro VJohnson = 0, 000 mag a (B − V ) = 0, 000.

Obor λef [nm] FWHM [nm] BT 435 72 HP 510 220 VT 550 95

Harmanec (1998) publikoval n´asleduj´ıc´ıpˇrevodn´ıvztah mezi hvˇezdnouvelikost´ı V a hippar- covskou hvˇezdnouvelikost´ı HP ve tvaru:

2 3 V = HP − 0, 2964(B−V ) + 0, 0050(U −B) + 0, 1110(B−V ) + 0, 0157(B−V ) + 0, 0072.

CCD fotometrick´esyst´emy CCD dnes prakticky vytlaˇcilyfoton´asobiˇcez pozice hlavn´ıhodetektoru z´aˇren´ıhvˇezd. Nev´yhodou tohoto pˇrechodu na CCD techniku je ale v naprost´evˇetˇsinˇepˇr´ıpad˚usn´ıˇzen´ı fotometrick´epˇresnostizejm´enapro standardizovanou fotometrii. D˚uvod˚uje nˇekolik – ne- soulad pouˇzit´ych filtr˚u,nedostatek vhodn´ych standardn´ıch hvˇezdpro CCD, nedostatek standardn´ıch hvˇezds dobr´ymrozsahem barev, neochota pozorovatel˚uvˇenovat se po- zorov´an´ıstandard˚u. Vˇetˇsinauˇzivatel˚uCCD kamer pouˇz´ıv´apro fotometrii ˇsirokop´asmov´efiltry BVRI. Filtry B a V zpravidla vyhovuj´ıprvotn´ıdefinici, zaveden´ıJohnsona, i kdyˇzi tady se nˇekdypouˇz´ıvaj´ıtrochu odliˇsn´efiltry Bessellovy. Nejvˇetˇs´ırozd´ıly jsou ale v barv´ach R a I. Zpravidla se nejedn´ao Johnsonovy filtry, ale ˇcastoo filtry RC, IC v Cousinsovˇe rozˇs´ıˇren´ıJohnsonova syst´emu Cousins (1976), pˇr´ıpadnˇev modifikaci Bessellovˇe(1990) nebo Landoltovˇe(1983). Zejm´enaA. U. Landolt publikoval rozs´ahl´amˇeˇren´ıstandardn´ıch hvˇezdvhodn´ych pro CCD fotometrii. Jeho pole standard˚use pouˇz´ıvaj´ıdodnes.

Fotometrick´esyst´emypˇrehl´ıdkov´ychprojekt˚u Pˇrehl´ıdkov´ych projekt˚ujsou dnes des´ıtky. Bohuˇzeljejich autoˇriˇcasto objev´ı“, ˇzepotˇre- ” buj´ıpro sv´e´uˇcelynov´yfotometrick´ysyst´em. Poˇcetfotometrick´ych syst´em˚unar˚ust´a,ale ne vˇzdyje bohuˇzel vˇenov´anap´eˇcei promˇeˇrov´an´ıstandard˚upro kalibraci a standardizaci mˇeˇren´ı.V n´asleduj´ıc´ımpˇrehledu uvedeme jen nˇekolik m´alopˇr´ıklad˚u.

Projekt WASP (Wide Angle Search for Planets), respektive SuperWASP je pˇrehl´ıd- kov´yprojekt zamˇeˇren´yna hled´an´ı transit˚uexoplanet. Bˇeˇz´ı od roku 2004 na dvou 3.1. Astronomick´afotometrie 43 stanic´ıch na La Palma a v Jiˇzn´ıAfrice. Kaˇzdounoc se monitoruje hvˇezdn´enebe po- moc´ıs´erieCCD kamer 2048× 2048. V prvn´ıch dvou letech nepouˇz´ıvali ˇz´adn´yfiltr, takˇze spektr´aln´ıpropustnost byla definov´anaoptikou, detektory a atmosf´erou.Od roku 2006 byly instalov´any ˇsirokop´asmov´efiltry s ˇs´ıˇrkou p´asma400 aˇz700 nm (viz obr. 3.8).

Obr´azek3.8: P´asmopropustnosti filtru pˇrehl´ıdkySuperWASP (nahoˇre)vykreslen´esoubˇeˇznˇe s atmosf´erickou propustnost´ı, citlivost´ı CCD a propustnost´ı pouˇzit´ych ˇcoˇcek. Spodn´ı ˇc´ast ukazuje origin´aln´ınefiltrovan´ysyst´emspolu s SWASP filtrem a filtrem Tycho-2 V. Pˇrevzato z Pollacco et al. (2006).

Projekt digit´aln´ı pˇrehl´ıdky pojmenovan´ypodle nadace A. P. Sloana (Digital Sky Survey, SDSS) byl zah´ajenv roce 2000. Jde o jeden z nejrozs´ahlejˇs´ıch pˇrehl´ıdkov´ych projekt˚u.Data jsou z´ısk´av´anapomoc´ı speci´aln´ı kamery sloˇzen´ez tˇricetiCCD ˇcip˚u, uspoˇr´adan´ych do pˇetiˇr´adk˚u,z nichˇzkaˇzd´ym´apˇredsebou jin´ybarevn´yfiltr. Byly zvoleny filtry u, g, r, i, z (Fukugita et al., 1996)(viz obr. 3.7). Tyto filtry se staly v podstatˇestan- dardem pro novˇebudovan´evˇetˇs´ıpˇrehl´ıdkov´eprojekty. Nˇekdyse setk´ames oznaˇcen´ım u’, g’, r’, i’, z’. Autoˇriprojektu poskytli identickou sadu filtr˚ui pro dalˇs´ıdalekohled, ale tam nebyly filtry um´ıstˇeny ve vakuu jako u hlavn´ıhopˇr´ıstroje projektu. U filtr˚uve vakuu se totiˇzm´ırnˇesmrˇstilapovrchov´ainferferenˇcn´ıvrstva a to zp˚usobilozmˇenu charakteris- tik o zhruba jedno procento. Ze dvou sad jedin´eho fotometrick´ehosyst´emu tak de facto vznikly soustavy dvˇe.

3.1.3.5 Standardizace fotometrick´ych syst´em˚u Stˇeˇzejn´ısouˇc´ast´ıanal´yzyfotometrick´ych dat je tzv. standardizace fotometrick´ych barev. Pokud se n´amuˇzpodaˇr´ıpozorov´an´ıoˇcistit o vliv zemsk´eatmosf´erya z´ısk´amehvˇezdn´e velikosti objekt˚utakov´e,jak´ebychom namˇeˇrilivnˇeovzduˇs´ı, je z´ahodno tyto v´ysledky transformovat tak, abychom je mohli porovnat i s daty, kter´ajste poˇr´ıdilipˇreddvˇema tˇremilety, nebo s daty z´ıskan´ymiz jin´ych pozorovac´ıch stanoviˇst’, jin´ymifiltry a detek- 44 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd tory. I kdyˇzmˇeˇr´ımev nˇejak´emdobˇredefinovan´emsyst´emu, jak´ymje UBV, pˇr´ıpadnˇe uvby, nikdy se n´amnepodaˇr´ıdos´ahnouttoho, aby naˇsezaˇr´ızen´ımˇelorelativn´ıspektr´aln´ı citlivost, kter´apˇresnˇeodpov´ıd´adefinici. I kdyby se n´amto nakr´asnˇepovedlo, nebudeme se z t´etoskuteˇcnostitˇeˇsitd´eleneˇzjednu sez´onu, protoˇzevlastnosti dalekohledu (napˇr. spektr´aln´ıodrazivost vˇsech zrcadel), spektr´aln´ıpropustnosti filtr˚u,citlivosti detektor˚u apod. s ˇcasemmˇen´ı. Norm´aln´ı transformace jsou ty, pˇrinichˇzse od instrument´aln´ıch barev pˇrech´az´ıdo standardn´ıhofotometrick´ehosyst´emu. Obˇcasvˇsakpotˇrebujemepˇrej´ıt od jednoho fotometrick´ehosyst´emu na druh´y,abychom mezi sebou mohli porovn´avat hvˇezdn´evelikosti, ˇcibarevn´eindexy z´ıskan´ev r˚uzn´ych fotometrick´ych syst´emech. Tˇemto transformac´ımse ˇr´ık´atransformace speci´aln´ı. Pokud pˇredemnezn´amerozloˇzen´ıenergie ve spektru hvˇezdy F (λ), pak je v principu nemoˇzn´epˇrev´esthvˇezdn´evelikosti z´ıskan´ev jedn´e(zpravidla instrument´aln´ı)barvˇena hvˇezdn´evelikosti v barvˇedruh´e15. Chceme-li tuto transformaci prov´est,mus´ımejas- nost hvˇezdyzjiˇst’ovat alespoˇnve dvou odliˇsn´ych barv´ach. Plat´ıto pros´ımi v tom nej- jednoduˇsˇs´ımpˇr´ıpadˇe,kdy by sledovan´yobjekt z´aˇriljako absolutnˇeˇcern´etˇelesoo jist´e efektivn´ı teplotˇe.Lze uk´azat,ˇzev tomto pˇr´ıpadˇevystaˇc´ıme s jednoduchou line´arn´ı transformaˇcn´ırovnic´ıtypu

     0    m(c1) b11 b12 m(c1) a1 = 0 + , (3.24) m(c2) b21 b22 m(c2) a2 kde bij jsou koeficienty barevn´ehosyst´emu. To znamen´a,ˇzeplat´ı

0 0 m (c2) − m (c1) = B21 [m (c2) − m (c1)] + A21. (3.25) V´ıcese o transformac´ıch dozv´ıtenapˇr´ıkladz pojedn´an´ıHarmanec et al (1977); Har- manec et al. (1994).

3.1.4 Extinkce a jej´ıeliminace 3.1.4.1 Optick´atlouˇst’ka a extinkce Prostor mezi zkouman´ymobjektem a mˇeˇr´ıc´ımpˇr´ıstrojem nen´ıdokonale pr˚uhledn´y,m´a nenulovou opacitu κ. Vyslan´esvˇeteln´ekvantum se na sv´ecestˇedlouh´ei miliony parsek˚u m˚uˇzesetkat s ˇc´asteˇckami mezihvˇezdn´el´atkynebo se shluky molekul vzduchu ˇciprachem v zemsk´eatmosf´eˇre.Tato setk´an´ımohou dotyˇcn´ekvantum pohltit a nebo, a to vyjde na stejno, odch´ylitz p˚uvodn´ıhosmˇeru.Jak absorpce, tak rozptyl z´aˇren´ıpak zp˚usob´ıto, ˇzese tok z´aˇren´ızdroje zeslabuje, doch´az´ık tzv. extinkci. Pˇredpokl´adejme,ˇzestudujeme extinkci svˇetlao p˚uvodn´ıhustotˇez´aˇriv´ehotoku vstupuj´ıc´ıho do prostˇred´ı,v nˇemˇzjsou rovnomˇernˇerozpt´yleny ˇc´astices koncentrac´ı n o ´uˇcinn´empr˚uˇrezu ς. Necht’ z´aˇren´ıo p˚uvodn´ıhustotˇetoku I0 vstoup´ıdo prostˇred´ıa uraz´ızde malou dr´ahu ds. Souˇcin (n ς ds) je bezrozmˇern´aveliˇcina,kter´avyjadˇrujejak´aˇc´astprostupuj´ıc´ıhoz´aˇren´ıje na dr´aze ds odst´ınˇena“ ˇc´asticemi(pohlcena nebo odch´ylenaz p˚uvodn´ıhosmˇeru— tj. rozpt´ylena“. ” ” 15Toto je ˇcast´asituace, kdy pozorovatel´enadˇsenˇepozoruj´ınˇejakou slabou hvˇezduv tzv. integr´aln´ım svˇetlebez pouˇzit´ıjak´ehokoli filtru. Rezignuj´ıtak zcela na moˇznostvypovˇedˇetcokoli o charakteristik´ach svˇeteln´ekˇrivkys v´yjimkou stanoven´ıˇcasov´ych okamˇzik˚usituac´ı,o nichˇzse pˇredpokl´ad´a,ˇzena barvˇe svˇetlanez´avis´ı(okamˇzikminima jasnosti z´akrytov´edvojhvˇezdy). 3.1. Astronomick´afotometrie 45

Odst´ınˇen´ım,neboli zeslaben´ıˇciextinkc´ıubude z proch´azej´ıc´ıhotoku I jist´amal´aˇc´astdI: dI Z dI = –I(n ς ds), ⇒ = –n ς ds = –dτ, ⇒ I = I e–τ , τ = n ς ds, (3.26) I 0 kde τ je bezrozmˇern´aveliˇcinazvan´a optick´atlouˇst’ka. Je-li optick´atlouˇst’ka τ < 1, ˇr´ık´ame,ˇze vrstva je opticky tenk´a,u τ > 1 mluv´ımeo vrstvˇeopticky tlust´e. Z rovnic 3.26 tak´eplyne, ˇzeoptick´atlouˇst’ka je veliˇcinaaditivn´ı– rozdˇel´ıte-lisi napˇr´ıklad cestu z´aˇren´ına dva libovoln´e´usekya vyˇc´ısl´ıte-lisi jejich d´ılˇc´ıoptick´etlouˇst’ky, pak optick´a tlouˇst’ka obou ´usek˚uje souˇcetjednotliv´ych optick´ych tlouˇstˇek.D´aleplat´ı,ˇzepokud existuje pro zeslaben´ısvˇetlanˇekolik mechanism˚u,pak v´ysledn´aoptick´atlouˇst’ka bude rovna prost´emu souˇctujednotliv´ych pˇr´ıspˇevk˚u.Jsou-li optick´evlastnosti prostˇred´ıpod´eldr´ahy svˇetlastejn´e (vˇsudestejn´ysouˇcin ς n, pak bude optick´atlouˇst’ka cel´etrajektorie pˇr´ımo´umˇern´ajej´ıd´elce. Pokud z´avis´ı´uˇcinn´ypr˚uˇrezrozptyluj´ıc´ıch nebo absorbuj´ıc´ıch ˇc´asticna vlnov´ed´elce,pak je zˇrejm´e,ˇzei optick´atlouˇst’ka bude funkc´ıefektivn´ıvlnov´ed´elkynebo pouˇzit´ehofiltru c. Extinkci svˇetlav barvˇe c, Ac lze ovˇsemt´eˇzpopsat i pˇr´ır˚ustkem hvˇezdn´evelikosti vyj´adˇren´ym v magnitud´ach. K tomu pouˇzijemePogsonovy rovnice (viz rov. 3.5) a d´amedo souvislosti s optickou tlouˇst’kou v dan´ebarvˇe τc :   Ic –τc Ac = 2, 5 log mag = −2, 5 log (e ) mag = (2, 5 log e) τc mag = 1, 086 τc mag (3.27) I0c Extinkce je tedy pˇr´ımo´umˇern´aoptick´etlouˇst’ce, pˇriorientaˇcn´ıch ´uvah´ach m˚uˇzemedokonce br´at,ˇzeobˇeveliˇciny jsou si ˇc´ıselnˇerovny. Vˇse,co jsme psali v´yˇseo optick´etlouˇst’ce (aditivnost 16 apod.) plat´ıstejnou mˇeroui pro extinkci Ac. O mechanismu, kter´yzp˚usobujeextinkci Ac, hodnˇevypov´ıd´ajej´ız´avislostna vlnov´ed´elce. V astronomick´epraxi se setk´av´amese dvˇemanejd˚uleˇzitˇejˇs´ımimechanismy, v obou pˇr´ıpadech pˇritomjde o rozptyl svˇetla: 1. Mie˚uvrozptyl na mikroskopick´ych ˇc´astic´ıch prachu - uplatˇnujese jak v mezihvˇezdn´em prostˇred´ı,tak v zemsk´eatmosf´eˇre.Extinkce Ac tu je pˇr´ımo´umˇern´akoncentraci rozpty- −1 luj´ıc´ıch ˇc´astica nepˇr´ımo´umˇern´avlnov´ed´elce,tedy Ac ∼ n λefc. Mie˚uvrozptyl je mj. i pˇr´ıˇcinoutoho, proˇcje cigaretov´yd´ymnamodral´ya disk Mˇes´ıcepˇrijeho ´upln´emzatmˇen´ı okrov´yaˇzmˇedˇen´y. 2. Rayleigh˚uv rozptyl na n´ahodn´ych shluc´ıch molekul plynu - setk´av´amese s n´ımv zemsk´e atmosf´eˇre.Extinkce Ac tu je pˇr´ımo´umˇern´ahustotˇeplynu a nepˇr´ımo´umˇern´a4. moc- −4 ninˇevlnov´ed´elce, tedy Ac ∼ ρ λefc. Tento rozptyl je zodpovˇedn´yza blankytnou modˇr bezmraˇcn´eoblohy.

3.1.4.2 Mezihvˇezdn´aextinkce Pokud se zrovna nezab´yv´amev´yzkumemrozloˇzen´ıa optick´ych vlastnost´ımezihvˇezdn´ehoprachu, pak asi budeme povaˇzovat mezihvˇezdnouextinkci za pˇr´ıtˇeˇz. Pro badatele v oboru promˇen- n´ych hvˇezdto ale nejsou probl´emy pˇr´ıliˇsvelk´e.Prvn´ısdˇelen´ı je to, ˇzeaˇzna v´yjimky17 se 16Pokud by tedy byla mezihvˇezdn´al´atka rozloˇzenapod´eldr´ahy svˇetlarovnomˇernˇe,byla by extinkce ´umˇern´avzd´alenostiobjektu, v pˇr´ıpadˇestejnomˇern´eatmosf´erick´eextinkce by pak platilo, ˇzeextinkce je ´umˇern´avzduˇsn´ehmotˇe X. 17Tˇemiv´yjimkami mohou b´ytpromˇenn´ehvˇezdyobklopen´erelativnˇehust´ymi,nehomogenn´ımioblaky mezihvˇezdn´el´atky, jako jsou tˇreba Herbigovy hvˇezdynebo uhl´ıkov´ehvˇezdy. Tam m˚uˇzedoch´azet k variac´ımjasnosti i v rozsahu nˇekolika magnitud v ˇcasov´eˇsk´alemˇes´ıc˚uˇcilet, t´ımˇzehvˇezdaobˇcasvyk- oukne d´ırouve sv´emobalu. Charakteristikou takov´esituace je abnorm´alnˇevysok´ya nˇekdyi promˇenn´y barevn´yindex hvˇezdy. 46 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

velikost extinkce Ac v ˇcasov´eˇsk´alekratˇs´ıneˇzdes´ıtkylet nemˇen´ı.Vzhled svˇeteln´ych kˇrivek v r˚uzn´ych barv´ach tak nen´ı extinkc´ı dotˇcen,dotˇceny jsou pouze stˇredn´ı hodnoty jasnosti v jednotliv´ych barv´ach. Nicm´enˇe,chceme-li pozorovanou hvˇezdunˇejakzaˇraditmezi ostatn´ı,je nanejv´yˇsˇz´adouc´ızjistit, jak´eby byly jej´ıfotometrick´echarakteristiky, pokud by mezihvˇezdn´eho zapr´aˇsen´ınebylo. Zcela nezbytn´eto je tehdy, chceme-li pomoc´ıpromˇenn´ych hvˇezdurˇcovat vzd´alenostihvˇezdn´ych agreg´at˚u,k nimˇzpˇr´ısluˇs´ı.Eliminaci mezihvˇezdn´eextinkce lze v prin- cipu prov´estz toho d˚uvodu, ˇzejej´ıvelikost citelnˇez´avis´ına vlnov´ed´elce,na n´ıˇzdotyˇcnou hvˇezduzkoum´ame.Znamen´ato jedin´e– je naprosto nezbytn´e,abychom hvˇezdupozorovali alespoˇnve dvou, ˇciradˇejihned ve tˇrech nebo ˇctyˇrech barv´ach, protoˇzejedinˇepak bude moˇzn´e extinkci spolehlivˇeodeˇc´ıst. Zn´ame-livelikost extinkce v barvˇe c, Ac, jsme schopni pomoc´ıskuteˇcnˇepozorovan´e hvˇezdn´evelikost mc vypoˇc´ıtathvˇezdnouvelikost hvˇezdy m0c, kterou by mˇela, pokud prostor mezi n´ami a n´ıbyl perfektnˇepr˚uhledn´y,podle vztahu m0c = mc − Ac. Protoˇze plat´ı,ˇze Ac > 0, je zjevn´e,ˇzeextinkce zp˚usobujezeslaben´ıpozorovan´ehvˇezdy, nˇekdy o mnoho magnitud. Fakt, ˇzevalnou vˇetˇsinu mezihvˇezdn´eextinkce lze pˇripsatna vrub rozptylu na prachov´esloˇzcemezihvˇezdn´el´atkyv optick´e,infraˇcerven´ea bl´ızk´eultrafi- alov´eoblasti spektra, tedy v oborech, kde se bˇeˇznˇefotometrick´apozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezdvedou, znamen´a,ˇzetoto zeslaben´ıje vˇetˇs´ıv kr´atkovlnn´eoblasti neˇzdlouhovlnn´e. Prachov´aextinkce tak zp˚usobuje mezihvˇezdn´ezˇcerven´an´ı18. Znamen´ato mj., ˇzena barevn´eindexy CI, jakoˇztoindik´atoryefektivn´ıteploty, se nelze spolehnout, ponˇevadˇz jsou zvˇetˇseny o tzv. barevn´yexces E(CI) = CI − CI0. Pro velikost barevn´ehoexcesu lze v pˇr´ıpadˇeprachov´eextinkce ps´at:

λ  ∼ c2 E(CI) = CI − CI0 = mc1 − mc2 − m0c1 + m0c2 = Ac1 − Ac2 = Ac2 − 1 ≥ 0, λc1 λ  λ  ∼ c2 ∼ c2 Ac2 = E(CI),Ac1 = 1 + E(CI), m0c = mc − Ac. (3.28) λc2 − λc1 λc2 − λc1 Pokud bychom tedy nevzali v potaz barevn´yexces, obdrˇzelibychom systematicky vˇetˇs´ı odhady povrchov´ych teplot. Ale naopak, jestliˇzebychom dok´azaliodhadnout teplotu jinak, napˇr.ze zn´am´ehospektr´aln´ıhotypu, mohli bychom v tabulk´ach naj´ıtodpov´ıdaj´ıc´ı hodnotu nezˇcervenal´ehobarevn´ehoindexu CI0 a pomoc´ınˇeja pozorovan´ehodnoty CI pak odhadnout nezˇcervenal´ehvˇezdn´evelikosti v obou barv´ach podle vztah˚uuveden´ych v (3.28). Co si vˇsakpoˇc´ıt,nem´ame-lik dispozici spolehliv´eurˇcen´ıspektr´aln´ıhotypu? Reˇsen´ımjeˇ vyuˇzit´ımˇeˇren´ıve fotometrick´emsyst´emu s nejm´enˇetˇremibarvami. Jako pˇr´ıkladsi zde uvedeme klasick´yJohnson˚uvsyst´em UBV. Z pozorov´an´ıvelk´ehomnoˇzstv´ıhvˇezdvypl´yv´a,pomˇerexces˚uv barevn´ych index- ech (U-B) a (B-V ) zp˚usoben´ych mezihvˇezdnouextinkc´ıje v´ıcem´enˇekonstantn´ı,a ˇze ˇcin´ı E(U − B)/E(B − V ) ' 0, 72. Souˇcasnˇev´ıme,ˇzepomˇermezi hodnotou extinkce v barvˇe V , AV existuje relace: AV = 3, 2 E(B −V ). Zp˚usob,jak zjistit nezˇcervenal´ehod- noty obou barevn´ych index˚uzn´azorˇnujeobr. 3.9. Zde se vyuˇz´ıv´askuteˇcnosti,ˇzeobrazy nezˇcervenal´ych hvˇezdna ploˇse(U-B)–(B-V ) vytv´aˇrej´ıdobˇredefinovanou z´avislost.Z po-

18Tento term´ınje ovˇsemponˇekudzav´adˇej´ıc´ı,nebot’ v n´asvzbuzuje pocit, jakoby nˇekdodo svˇetla extinkc´ızeslaben´ych hvˇezdpˇrid´aval ˇcerven´esvˇetlo.Skuteˇcnostje jin´a,extinkce jenom ub´ır´asvˇetlo, m´enˇev dlouhovlnn´eoblasti a v´ıcev kr´atkovlnn´eoblasti. Nejde tak o zˇcerven´an´ı,ale sp´ıˇso odmodr´an´ı“ ” svˇetlahvˇezdy. 3.1. Astronomick´afotometrie 47

−1.5

−1 ° exces −0.5 ⋅ 0 U−B [mag] 0.5

1

1.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 B−V [mag]

Obr´azek3.9: Na sch´ematuje zn´azornˇenaz´avislostmezi johnsonovsk´ymibarevn´ymiindexy (U-B) a (B-V ) pro nezˇcervenal´ehvˇezdy hlavn´ıposloupnosti. Pr´azdn´ymkoleˇckem je naznaˇcena poloha zkouman´ehvˇezdy, pokud by nebylo mezihvˇezdn´eextinkce. Ta posune obraz hvˇezdyve smˇeruˇsipkyv d˚usledkutzv. barevn´ehoexcesu o E(U − B) a E(B − V ), pln´ymkoleˇckem je vyznaˇcenaskuteˇcnˇepozorovan´apoloha obrazu hvˇezdy. Vzhledem k tomu, ˇzesmˇerniciˇsipky posunu zn´ame,m˚uˇzemenaj´ıtpolohu obrazu nezˇcervenal´ehvˇezdy a souˇcasnˇei hodnotu extinkce ve vˇsech tˇrech barv´ach. Probl´emy nast´avaj´ıtehdy, nem´a-li´ulohajedin´eˇreˇsen´ı.Tam je tˇreba si vypomoci fotometri´ıv jin´emv´ıcebarevn´emsyst´emu. zorovan´ehoobrazu hvˇezdylze z´ıskat polohu bodu neovlivnˇen´ehoextinkc´ıa pomoc´ıex- tinkce E(B − V ) vypoˇc´ıtatextinkci a o ni opravit jasnost hvˇezdyve V0 = V − AV a souˇcasnˇenezˇcervenal´ebarevn´eindexy (B − V )0 a (U − B)0 a pomoc´ınich i U0,B0. Tak´eje moˇzn´epostupovat tak, ˇzesi pro hvˇezdymˇeˇren´ev syst´emu (UBV ) zavedeme zvl´aˇstn´ıbarevn´yindex, kter´yje nez´avisl´yna mezihvˇezdn´eextinkci Q, kde Q = (U − B)− 0, 72 (B − V ). Zm´ınˇen´yindex se pomˇernˇedobˇrehod´ıjako indik´atorteploty u hork´ych hvˇezd. Dalˇs´ımoˇznost´ı,jak do znaˇcn´em´ıryomezit vliv mezihvˇezdn´eextinkce je pouˇz´ıv´an´ı sloˇzen´ych barevn´ych index˚uve ˇctyˇra v´ıcebarevn´ych fotometrick´ych syst´emech. Jejich pˇr´ıklademmohou b´ytbalmerovsk´y c1 a metalick´yindex m1 v Str¨omgrenovˇefotometrii uvby.

3.1.4.3 Atmosf´erick´aextinkce Pro pozorovatele pˇredstavuje zemsk´aatmosf´erajak´ysifiltr propouˇstˇej´ıc´ı (nebo tak´e nepropouˇstˇej´ıc´ı)z´aˇren´ızkouman´ych objekt˚u,jehoˇzvlastnosti se v pr˚ubˇehu pozorov´an´ı nepˇretrˇzitˇemˇen´ı. Atmosf´erick´aextinkce v barvˇe c se definuje jako rozd´ıl mezi po- zorovanou hvˇezdnouvelikost´ı mc a hvˇezdnouvelikost´ıt´eˇzehvˇezdypozorovan´eza hran- icemi zemsk´eatmosf´ery m0c. Pro pozorovanou hvˇezdnouvelikost mc v prvn´ımpˇribl´ıˇzen´ı plat´ı: m(c, z) = m0(c) + k(c) X(z), (3.29) 48 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd kde z je zenitov´avzd´alenost, k(c) je tzv. line´arn´ıextinkˇcn´ıkoeficient v pˇr´ısluˇsn´ebarvˇe vyj´adˇren´yv magnitud´ach a X je bezrozmˇern´aveliˇcina naz´yvan´a vzduˇsn´ahmota, kter´a vyjadˇrujerelativn´ıv´yˇskusloupce vzduchu v zemsk´eatmosf´eˇrevztaˇzenouk v´yˇscesloupce vzduchu v zenitu, kde X(0) = 1. Pro planparaleln´ıatmosf´eruplat´ı,ˇzevzduˇsn´ahmota je nepˇr´ımo´umˇern´akosinu zenitov´evzd´alenosti.Ve skuteˇcn´ezemsk´eatmosf´eˇreje pro rozsah zenitov´ych vzd´alenost´ı,v nichˇzse bˇeˇznˇepozoruje, moˇznopouˇz´ıtaproximaci ve tvaru: X = (1 − 0, 0012 tan2 z) sec z. (3.30) Vyneseme-li si pozorovanou hvˇezdnouvelikost m (´umˇernounapˇr.velikosti v´ychylky mˇeˇr´ıc´ıhopˇr´ıstroje) ve stabiln´ıatmosf´eˇrev z´avislostina vzduˇsn´ehmotˇe X sledovan´eho konstantnˇejasn´ehoobjektu, pak bychom mˇeliobdrˇzetpolopˇr´ımku(1 ≤ X), jej´ıˇzsklon je roven extinkˇcn´ımu koeficientu a pr˚useˇc´ıks osou y pak ud´av´avnˇeatmosf´erickou hvˇezdnou velikost objektu m0. Probl´emovˇsemje, ˇzecelou tuto Bouguerovou polopˇr´ımkunelze obdrˇzetz dan´ehom´ıstav jeden okamˇzik,takˇzezde bude hr´atznaˇcnouroli promˇennost extinkˇcn´ıhokoeficientu bˇehem pozorov´an´ı.Ten se m˚uˇzebˇehem noci v´yznamnˇemˇenit, zejm´enapˇripˇrechodu front. Jinak je noc v tomto ohledu pˇrecejenom klidnˇejˇs´ımob- dob´ım,ve dne se extinkce mˇen´ıdaleko rychleji a v´yraznˇeji. Dalˇs´ıkomplikaci pˇrin´aˇs´ıskuteˇcnost,ˇzei citlivost aparatury se bˇehempozorov´an´ım˚uˇze mˇenit(tzv. zmˇenanulov´ehobodu). Vlivy tohoto druhu lze alespoˇnzˇc´astiomezit diferenci´aln´ım mˇeˇren´ıms vhodnˇezvolenou srovn´avac´ıhvˇezdou(hvˇezdami)podobn´ehotypu a vhodnou strategi´ı pozorov´an´ı. Vˇzdyby mˇelpozorovatel do poˇradupozorov´an´ı zaˇraditmˇeˇren´ı jasnosti stan- dardn´ıch hvˇezd a hvˇezdextinkˇcn´ıch. Oprava o extinkci se zpravidla vztahuje k dotyˇcn´enoci. Extinkce zemsk´eatmosf´eryje zp˚usobena jednak Rayleighov´ymrozptylem, jehoˇzex- tinkˇcn´ıkoeficient z´avis´ıjen na poˇctu molekul v zenitov´emvzduchov´emsloupci. Je tedy ´umˇern´yokamˇzit´evelikosti atmosf´erick´eho tlaku. Vzhledem k tomu, ˇzezmˇeny tlaku v dan´emm´ıstˇeo nadmoˇrsk´ev´yˇsce h nikdy neb´yvaj´ıpˇr´ıliˇsdramatick´e,lze pro stˇredn´ıhod- notu extinkˇcn´ıkoeficient Rayleighovy sloˇzkyextinkce kRc(λ, h) ps´atvyj´adˇren´ıvych´azej´ıc´ı z modelu izotermick´estandardn´ıatmosf´erys v´yˇskovou ˇsk´alou7996 m.  λ −4 P (h)  λ −4  −h  k = 0, 107 efc mag = 0, 107 efc exp mag. (3.31) Rc 550 nm P (0) 550 nm 7996 m Pˇredloˇzen´yvztah jasnˇeukazuje na v´yhodu vysokohorsk´ych observatoˇr´ı a pozorov´an´ı v dlouhovlnn´ych oblastech spektra. Dalˇs´ıv´yznamnoua nav´ıcsilnˇepromˇennousloˇzkou atmosf´erick´eextinkce je rozptyl na aerosolech o velikosti srovnateln´es vlnovou d´elkou svˇetla kDc(t), kde plat´ı  λ −1 k (t) = k (t) efc . (3.32) Dc DV 550 nm Pr´avˇezmˇeny zapr´aˇsenostizemsk´eatmosf´erymohou znamenat v´yrazn´ezmˇeny celkov´e- ho extinkˇcn´ıhokoeficientu. Vˇseobecnˇeplat´ı,ˇzev n´ızko poloˇzen´ych a mˇestsk´ych obser- vatoˇr´ıch je vliv prachov´eextinkce ˇcastopˇrevyˇsujei Rayleighovu sloˇzkuextinkce.19 19Prachov´aextinkce jev´ı siln´e sekul´arn´ı a sez´onn´ı variace. Na observatoˇr´ıch vysokohorsk´ych je zapr´aˇsenostminim´aln´ı v zimˇe,kdy je vrstva inverze pod ´urovn´ı hvˇezd´arny, v l´etˇe,kdy se dost´av´a nad pozorovac´ıstanoviˇstˇe,b´yv´azapr´aˇsenostznaˇcn´a.V Brnˇeb´yv´anejˇcistˇs´ıvzduch poˇc´atkem ˇr´ıjna,tam poprv´epronikne relativnˇeˇcist´yarktick´yvzduch. Pak zapr´aˇsenosti v´ıcem´enˇemonot´onnˇepˇrib´yv´a,aby se pak poˇc´atkem ˇr´ıjnavzduch opˇetv´yraznˇevyˇcistil. 3.2. Astronomick´apolarimetrie 49

Vzhledem k tomu, ˇzeextinkci nikdy nemˇeˇr´ıme pˇresnˇemonochromaticky, ale v urˇcit´em intervalu vlnov´ych d´elek,bude situaci komplikovat skuteˇcnost,ˇzeextinkce je z´avisl´ana vl- nov´ed´elce.D˚usledkem pak bude, ˇzeextinkˇcn´ıkoeficienty urˇcen´eprostˇrednictv´ımteplejˇs´ıch hvˇezdbudou vˇzdy o nˇecovˇetˇs´ıneˇzkoeficienty zjiˇstˇen´epomoc´ıhvˇezdpozdˇejˇs´ıch spektr´aln´ıch tˇr´ıd.Bude-li proto hvˇezdn´epole bˇehempozorov´an´ıklesat k obzoru, relativnˇerychleji v nˇem budou sl´abnoutvlivem atmosf´erick´eextinkce hvˇezdyranˇejˇs´ıch spektr´aln´ıch tˇr´ıd.Tento efekt m˚uˇzev´yznamnˇeovlivnit i ta pozorov´an´ı,kde jasnost promˇenn´ehvˇezdyvztahujeme k vˇetˇs´ımu mnoˇzstv´ıhvˇezdrozloˇzen´ych kolem n´ı,jak je to v pˇr´ıpadˇeCCD pozorov´an´ı. Radaˇ pozorovatel˚u se CCD vych´az´ız toho, ˇzeu CCD pozorov´an´ıjsou oproti pozorov´an´ıfotometrem vˇsechny hvˇezdyzaznamenan´ena sn´ımku k sobˇe´uhlovˇebl´ızko. To znamen´a,ˇzejsou zachyceny za prakticky identick´ych atmosf´erick´ych podm´ınek(stejn´azenitov´avzd´alenost,stejn´avzduˇsn´a hmota) a nav´ıcve stejn´emˇcase.To jsou jistˇeide´aln´ıpodm´ınkypro diferenci´aln´ıfotometrii, kde se jasnost promˇenn´ehvˇezdyvztahuje k bl´ızk´ymsrovn´avac´ımhvˇezd´am.Jenˇzeto neplat´ı zcela obecnˇe. V ˇradˇepˇr´ıpad˚uje na CCD sn´ımkuzaznamen´anaoblast o rozmˇerech 1◦ a v´ıcea pak je nezbytn´es extinkc´ıpoˇc´ıtat.A br´atv ´uvahu ji mus´ıme i tehdy, jsou-li mezi hvˇezdamiv´yznamn´e rozd´ılyv barvˇesrovn´avac´ıch hvˇezd.Pak se totiˇzzaˇcnouuplatˇnovat i extinkˇcn´ıˇcleny druh´eho ˇr´adu.Jejich vliv je znaˇcn´yhlavnˇeu ˇsirokop´asmov´efotometrie. Skodyˇ dan´eignorov´an´ımvlivu atmosf´erick´eextinkce jsou vˇsakdosti potlaˇceny faktem, ˇzese tu pozoruje zejm´enav ˇcerven´e barvˇe,kde atmosf´erajiˇztolik nevad´ı.Ale i zde se doporuˇcujev´est pozorov´an´ıtak, aby vzduˇsn´a hmota pˇr´ıliˇsnepˇrekroˇcila bezpeˇcnouhranici X = 2. Pˇripraktick´efotometrii je tˇrebavliv atmosf´erick´eextinkce minimalizovat a co nejv´ıce se pˇribl´ıˇzitide´alupozorov´an´ımimo atmosf´eru.Tomu se mus´ıpodˇr´ıditi metodika po- zorov´an´ıtak, ˇzese jako srovn´avac´ıhvˇezdypˇrednostnˇepouˇz´ıvaj´ıco nejbliˇzˇs´ıkonstantn´ı hvˇezdyco nejbliˇzˇs´ıhospektr´aln´ıhotypu i hvˇezdn´evelikosti. Za tˇechto okolnost´ıbude diferenci´aln´ı extinkce minim´aln´ı. Solidn´ı pozorov´an´ı je ˇz´adouc´ı pˇreruˇsovat za ´uˇcelem promˇeˇren´ı vybran´ych tzv. extinkˇcn´ıch hvˇezd- zpravidla jde minim´alnˇeo fotometrii vˇzdynejm´enˇedvou dvojic hvˇezds extr´emnˇeodliˇsn´ymbarevn´ymindexem a to tak, aby jedna dvojice byla pobl´ıˇzzenitu, zat´ımcodruh´advojice zase co nejn´ıˇznad obzorem. Tato mˇeˇren´ı je vhodn´eopakovat po dvou tˇrech hodin´ach, vˇetˇsinoui s jinou ˇctveˇric´ı extinkˇcn´ıch hvˇezd. Ke koneˇcn´emu zpracov´an´ıpak pouˇz´ıv´amespeci´aln´ısoftware, kde se k eliminaci ex- tinkce uˇz´ıv´ai v´ysledk˚uextinkˇcn´ıch mˇeˇren´ıv dan´epozorovac´ısez´onˇe.Cel´aprocedura se zaˇc´ateˇcn´ık˚umm˚uˇzejevit jako zdlouhav´aa samo´uˇceln´a,jej´ıopr´avnˇenostse ale projev´ı zejm´enatehdy, jde-li n´amo co nejpˇresnˇejˇs´ıa nejspolehlivˇejˇs´ıpozorov´an´ıa tehdy, kdy m´ın´ımespoleˇcnˇezpracov´avat pozorov´an´ız´ıskan´av r˚uzn´ych noc´ıch, r˚uzn´ymipˇr´ıstroji a v odliˇsn´ych astroklimatick´ych podm´ınk´ach.

3.2 Astronomick´apolarimetrie

Aˇzdoposud jsme mlˇckypˇredpokl´adali,ˇzez´aˇren´ı,kter´ek n´amz vesm´ırupˇrich´az´ı,nen´ı polarizovan´enebo ˇzejeho polarizace vznik´aaˇzteprve po vstupu do zemsk´eatmosf´ery, a tud´ıˇzv sobˇenenese ˇz´adnouinformaci o povaze z´aˇr´ıc´ıhoobjektu. Toto by byla pravda, ale jen tehdy, pokud bychom se na obloze setk´avaly jen s objekty z´aˇr´ıc´ımijako abso- lutnˇeˇcern´atˇelesa.Tak tomu vˇsaknen´ı,z´aˇr´ıc´ıvesm´ırje dynamick´y,nav´ıcje vyplnˇen i mezihvˇezdnou l´atkou, kter´ase m˚uˇzeo polarizaci postarat. Z´aˇren´ıtakov´eho vesm´ıru 50 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd je nutnˇepolarizovan´e,coˇzje dobˇre,protoˇzeona polarizace v sobˇenese dalˇs´ıd˚uleˇzitou informaci o stavu ˇradyobjekt˚uvˇcetnˇepromˇenn´ych hvˇezd. Prostˇrednictv´ımpolarimetrie se m˚uˇzemez´ıskat dodateˇcn´einformace o geometrick´em uspoˇr´ad´an´ıvyvinut´ych astronomick´ych zdroj˚u,kter´ebychom jinak nezjistili. Ve hvˇezdn´e astronomii napˇr´ıklad m˚uˇzemestudovat geometrii a dynamiku hvˇezdn´ehovˇetru,disk˚u a v´ytrysk˚ua tak zkoumat procesy ztr´aty hmoty, hvˇezdn´yv´yvoj a n´aslednˇei mezihvˇezdn´e prostˇred´ı. Polarimetrick´amˇeˇren´ı pom´ahaj´ı pˇri studiu tˇesn´ych dvojhvˇezd (umoˇzˇnuj´ı urˇcen´ısklonu obˇeˇzn´eroviny v˚uˇcismˇeruk Zemi) nebo magnetick´ych pol´ıb´ıl´ych trpasl´ık˚u nebo chemicky pekuli´arn´ıch hvˇezd. Prvn´ı z´aznamv historii astronomick´epolarimetrie patˇr´ı Aragovi, kter´ysi v roce 1811 vˇsiml,ˇzesluneˇcn´ısvˇetloodraˇzen´eod mˇes´ıˇcn´ıhopovrchu je polarizovan´e.Pˇrestoˇzek tomuto objevu doˇslo pˇredetablov´an´ımspektroskopie v astronomii, astronomick´apolarimetrie byla po dlouh´adesetilet´ızcela opom´ıjena.Na konci 40. let 20. stolet´ıale William Hiltner a John S. Hall objevili nez´avislepolarizaci svˇetlahvˇezdp˚usobenou mezihvˇezdnoul´atkou (Hiltner, 1949; Hall, 1949). Od t´edoby polarimetrie i v astronomii dospˇelaa stala se jednou ze z´akladn´ıch metod astrofyzik´aln´ıhov´yzkumu. Nejprve byly vyvinuty pokroˇcil´emetody v optick´ea r´adiov´eoblasti spektra. Dalˇs´ıoblasti – ultrafialov´e,infraˇcerven´enebo submilimetrov´e,pˇr´ıpadnˇerentgenov´ejsou v tˇesn´em z´avˇesu. D˚uvodem, proˇctrval v´yvoj astronomick´epolarimetrie o pozn´an´ı d´eleneˇznapˇr´ıklad spek- troskopie, je to, ˇzestupeˇnpolarizace je v astronomick´ych situac´ıch obvykle mal´y,zpravidla m´enˇeneˇzjedno procento, maxim´alnˇenˇekolik procent. Pˇresn´amˇeˇren´ıtakov´ych mal´ych sign´al˚u v sobˇezahrnuje urˇcov´an´ımal´ych rozd´ıl˚uu velk´ych intenzit. A kromˇetoho, kv˚ulipovaze vektoru polarizace je nezbytn´eprov´estnˇekolik pozorov´an´ıza pokud moˇznostejn´ych podm´ınek,aby- chom z´ıskali o polarizaci ´uplnouinformaci. Stabilita pˇr´ıstroje a pˇr´ıstrojov´apolarizace mus´ıb´yt menˇs´ıneˇzzhruba 0.1 - 0.05 %. Polarimetrick´amˇeˇren´ıjsou tak´emnohem obt´ıˇznˇejˇs´ı.Protoˇze je polarizace ˇcastomenˇs´ı neˇzjedno procento, je tˇreba,aby pomˇersign´alˇsumbyl alespoˇn 10kr´atvˇetˇs´ıneˇzu spektroskopie. To ale vyˇzadujestokr´ataˇztis´ıckr´atdelˇs´ıexpoziˇcn´ıˇcasy. Dalˇs´ımprobl´ememje to, ˇzepolarimetrick´epozad´ıve viditeln´emsvˇetlem˚uˇze b´ytsnadno kon- taminov´anosvˇeteln´ymzneˇciˇstˇen´ım,zodiak´aln´ımsvˇetlemmezihvˇezdnoupolarizac´ıa podobnˇe.

3.2.1 Stokes˚uvvektor Elektromagnetick´evlnˇen´ılze charakterizovat pomoc´ıdvou sloˇzek– vektoru intenzity elektrick´ehopole E~ a vektoru magnetick´eindukce B~ . Tyto vektory jsou pˇritomnavz´ajem kolm´e,kmitaj´ıkolmo ke smˇeruˇs´ıˇren´ıvlny a maj´ısouhlasnou f´azi.Polarizovan´ez´aˇren´ı vznik´aomezen´ımkmit˚uvektoru intenzity elektrick´ehopole E~ . Pokud pˇripohledu proti smˇeruˇs´ıˇren´ıvlny kmit´av jedn´epˇr´ımce,jedn´ase o line´arn´ı polarizaci. Jestliˇzevˇsakkoncov´ybod vektoru E~ opisuje elipsu, pˇr´ıpadnˇekruˇznici,jde o eliptickou, respektive kruhovou polarizaci. Obecnˇem˚uˇzeb´ytpˇrij´ıman´ez´aˇren´ıkom- binac´ı line´arnˇea kruhovˇepolarizovan´ehoz´aˇren´ı. Polarizaci m˚uˇzemepopsat pomoc´ı Stokesova vektoru

 I   I   intenzita   Q  I − I   line´arn´ıpolarizace 0◦/90◦  S~ =   =  0 90  =   . (3.33)      ◦ ◦   U  I45 − I135  line´arn´ıpolarizace 45 /135  V Il − Ip kruhov´apolarizace lev´a/prav´a 3.2. Astronomick´apolarimetrie 51

Tabulka 3.1: Pˇr´ıkladynormalizovan´ehoStokesova vektoru.

(Q/I, U/I, V/I) popis (0, 0, 0) nepolarizovan´ez´aˇren´ı; I0 = I90, I45 = I135, Il = Ip, p = 0 (1, 0, 0) zcela line´arnˇepolarizovan´ev kladn´emsmˇeru Q ◦ I0 = I,I90 = 0, I45 = I135, Il = Ip, p = 1, θ = 0 (0, -1, 0) 100% line´arn´ıpolarizace ve smˇeru135◦; ◦ I0 = I90,I45 = 0,I135 = I,Il = Ip, p = 1, θ = 135 (0.15, 0.26, 0) 30% line´arn´ıpolarizace ve smˇeru30◦ (0.001, 0, 0.01) 1% kruhov´apolarizace s 0.1% sloˇzkou v line´arn´ıpolarizaci

Castoˇ se pouˇz´ıv´anormalizovan´yStokes˚uvvektor

 Q/I  U/I   , (3.34) V /I kde parametry Q/I, U/I, V/I lze ch´apatjako sloˇzkyvektoru, jehoˇzd´elka vyjadˇrujem´ıru ˇc´asteˇcn´epolarizace nebo chcete-li stupeˇnpolarizace q p = (Q/I)2 + (U/I)2 + (V /I)2 ≤ 1. (3.35)

Je-li z´aˇren´ıpolarizovan´ejen line´arnˇe,pak je stupeˇnpolarizace

q 2 2 plin = (Q/I) + (U/I) (3.36) a orientaci polarizovan´ehovektoru E~ lze vyj´adˇritjako

1 θ = 2 arctan(U/Q), pˇriˇcemˇz Q/I = p cos 2 θ, a U/I = p sin 2 θ. (3.37)

Jestliˇzenapˇr´ıklad mˇeˇr´ıme pˇrich´azej´ıc´ı fotony od nˇejak´ehozdroje z´aˇren´ı, pak mˇeˇren´ı polarizace znamen´aprov´estmˇeˇren´ıpoˇctuzcela polarizovan´ych foton˚uve dvou opaˇcn´ych polarizaˇcn´ıch m´odech:

- N0 a N90 pro urˇcen´ıStokesova parametru Q,

- N45 a N135 pro urˇcen´ıStokesova parametru U,

- Nl a Np pro urˇcen´ıStokesova parametru V .

Je-li pozorovan´yobjekt izotropnˇez´aˇr´ıc´ımtepeln´ymzdrojem, vyzaˇrujenepolarizovan´e z´aˇren´ıa oba mˇeˇr´ıc´ıkan´alyby mˇelyuk´azatstejn´epoˇcty foton˚u(v r´amcipˇresnostiPois- sonovy statistiky), to znamen´apro Q bude N0 = N90 = N/2 a obdobnˇepro parametry U a V . 52 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

3.2.2 Polarizace z´aˇren´ıkosmick´ych objekt˚u Jak jsme jiˇzuvedli, je polarimetrick´emˇeˇren´ıvelmi obt´ıˇzn´ezejm´enaproto, ˇze stopa po- ” larizace“ v astronomick´ych datech b´yv´azpravidla velmi slab´a.Astronomick´apolarime- trie m´azat´ım jen“ nˇekolik, ale velmi d˚uleˇzit´ych aplikac´ı. V n´asleduj´ıc´ım struˇcn´em ” pˇrehledujsou uvedeny nejd˚uleˇzitˇejˇs´ımechanismy vzniku polarizovan´ehoz´aˇren´ıa jejich projevy u astronomick´ych objekt˚u. Nejbˇeˇznˇejˇs´ıpolarizovan´esvˇetloz vesm´ıru je v´ysledkem rozptylu. Procesy rozptylu se objevuj´ıprakticky vˇsudev astronomii, ale k tomu, abychom dostali ˇcist´ya siln´ypolar- izaˇcn´ısign´al,je zapotˇreb´ısiln´aasymetrie v geometrii rozptyluj´ıc´ıhoobjektu. Zdrojem takov´eholine´arnˇepolarizovan´ehoz´aˇren´ıje napˇr´ıkladrozpt´ylen´esluneˇcn´ısvˇetloz Mˇes´ıce, planet a jejich satelit˚u,planetek, komet a dalˇs´ıch objekt˚uSluneˇcn´ısoustavy (polari- zov´anona ´urovni 0,1 - 50%), plyn a prach v okol´ıhvˇezd,kter´eztr´acej´ıhmotu nebo doch´az´ıteprve k jejich formov´an´ı(line´arnˇepolarizovan´ez´aˇren´ıaˇzdo ≈ 50%), pˇr´ıpadnˇe rozptyl v okol´ıaktivn´ıch galaktick´ych jader na materi´alupobl´ıˇzakreuj´ıc´ıobˇr´ıˇcern´ed´ıry. Pro emisi a absorpci atom˚ua molekul v magnetizovan´emplazmatu je charakter- istick´yZeeman˚uvjev. Urovnˇeenergi´ıatom˚ua´ molekul jsou rozdˇeleny kv˚uliorientaci jejich ´uhlov´ych moment˚u.Rozd´ıln´e magnetick´e“ pod´urovnˇepak produkuj´ıemise a ab- ” sorpce s opaˇcn´ymipolarizaˇcn´ımi sign´aly. Typick´ypolarimetrick´yprofil ˇc´aryse Zee- manov´ymefektem je pak modr´ekˇr´ıdlo ˇc´arys kruhovou polarizac´ı a ˇcerven´ekˇr´ıdlo ˇc´arys opaˇcnˇe orientovanou kruhovou polarizac´ı. Line´arn´ı polarizace je zpravidla o ˇr´adslabˇs´ıneˇzkruhov´apolarizace. Zeeman˚uvefekt lze pozorovat napˇr´ıkladve sluneˇcn´ı atmosf´eˇre,v oblasti sluneˇcn´ıch skvrn, u magnetick´ych hvˇezdse siln´yma rozs´ahl´ym magnetick´ympolem v podobˇeglob´aln´ıho dip´olu(b´ıl´ı trpasl´ıci, magnetick´echemicky pekuli´arn´ıhvˇezdy) nebo u rychle rotuj´ıc´ıch hvˇezdsluneˇcn´ıhotypu s velmi kontrastn´ımi skvrnami na povrchu, pˇr´ıpadnˇem˚uˇzemez polarizace emisn´ıch ˇcar detektovat magnetick´a pole i v mezihvˇezdn´emprostˇred´ı. Pokud se v magnetick´empoli budou velmi rychle pohybovat ˇc´astice(vˇetˇsinouelek- trony), pak budou generovat synchrotronov´e,pˇr´ıpadnˇecyklotronov´ez´aˇren´ıs line´arn´ı a kruhovou polarizac´ı, jej´ıˇzorientace z´avis´ı na orientaci magnetick´ehopole. S t´ımto typem z´aˇren´ıse setk´amenapˇr´ıkladv koron´ach hvˇezd, kde vznik´asilnˇepromˇenn´epo- larizovan´esynchrotronov´er´adiov´ez´aˇren´ı.S relativistick´ymielektrony se ale potk´ame tak´eu v´ytrysk˚uz kvasar˚ua u gama z´ablesk˚u,kter´eprodukuj´ıpolarizovan´eemise aˇz do 30% line´arn´ı polarizace a nˇekolika procent kruhov´epolarizace v r´adiov´eale i ve vizu´aln´ıoblasti. Relativistick´eelektrony v mezihvˇezdn´emprostˇred´ıa mezigalaktick´em prostˇred´ıse pak vyskytuj´ıv oblastech sr´aˇzek,r´azov´ych a podobnˇejako u poz˚ustatk˚upo supernov´ach. Pro ´uplnostjeˇstˇeuved’me polarizaci absorpc´ınebo dvojlomem, kter´ese v astronomii vyuˇz´ıvaj´ıpˇristudiu mezihvˇezdn´ehoprostˇred´ı.

3.2.3 Polarimetrick´apozorov´an´ı Poˇzadavky na astronomick´apolarimetrick´apozorov´an´ıjsou diktov´any t´ım,co vlastnˇe chceme zkoumat. Mˇelibychom zvaˇzovat, zda line´arn´ınebo kruhovou polarimetrii, zda polarimetrii nebo spektropolarimetrii. Pro polarimetrii jednoho objektu m˚uˇzeb´ytm´ısto fotometrick´ych mˇeˇren´ıv nˇekolika filtrech v´yhodn´aspektropolarimetrie. Spektrum i s n´ız- 3.3. Astronomick´aspektroskopie 53 k´ymrozliˇsen´ımtotiˇzposkytne polarizaˇcn´ısign´alv ˇsirok´emrozsahu vlnov´ych d´elekv jed- nom pozorov´an´ı.Spektropolarimetrick´adata mohou b´ytvelmi uˇziteˇcn´apˇriv´yzkumu a odliˇsen´ıpolarizace r˚uzn´ych emisn´ıch sloˇzeka pˇr´ıspˇevku mezihvˇezdn´epolarizace. U spek- troskopie pro polarimetrick´amˇeˇren´ıje ale nezbytn´ezv´aˇzit,zda je rozliˇsen´ıspektrografu dostateˇcn´e. Pozorovatel by mˇeltak´erozhodnout, zda je nezbytn´aabsolutn´ıpolarimetrick´akali- brace a jak´aje poˇzadovan´apolarimetrick´acitlivost pro normalizovanou polarizaci. Pˇresn´a polarimetrick´apozorov´an´ırelativnˇeslab´ych objekt˚ujako aktivn´ıch galaktick´ych jader, supernov nebo gama z´ablesk˚uje jednoduˇselimitov´anostatistikou foton˚u.Takˇzejed- noznaˇcn´ypoˇzadavek pro lepˇs´ıpolarimetrick´adata je jednoduch´ya zˇrejm´y– prostˇev´ıce foton˚u. Dalˇs´ıot´azkou ke zv´aˇzen´ıpˇredpolarimetrick´ympozorov´an´ımje prostorov´erozliˇsen´ı pro obrazovou polarimetrii, zejm´enapro prostorovˇerozs´ahl´eobjekty. Polarizace totiˇz u nerozˇreˇsen´ych zdroj˚um˚uˇzem´ıtkladnou i z´apornou hodnotu sign´alus opaˇcnoupolar- izac´ı,takˇzese sloˇzkyvz´ajemnˇevyruˇs´ıa ˇz´adn´aˇcist´apolarizace nez˚ustane.Takˇzei objekt s velmi silnou polarizac´ıs kladn´ymia z´aporn´ymiznaky se m˚uˇzejevit jako c´ıls velmi slab´ympolarizaˇcn´ımsign´alempˇripozorov´an´ıs n´ızk´ym rozliˇsen´ım.Lepˇs´ısituace je pˇri Zeemanovˇespektropolarimetrii, kde se ˇcastojako referenˇcn´ıhodnota pro polarizaci bere kontinuum. Pak je moˇzn´edos´ahnouti velmi vysok´epolarimetrick´ecitlivosti, i kdyˇz v t´echv´ıliodsuneme do pozad´ıot´azkuabsolutn´ıkalibrace dat. Protoˇzeale spektr´aln´ı ˇc´aryjsou sloˇzeny z kladn´ea z´aporn´epolarizaˇcn´ısloˇzky, je nutn´edostateˇcn´erozliˇsen´ı spektrografu, nebot’ jinak se sign´alvyruˇs´ı. U polarimetrick´ych mˇeˇren´ıale v´ıceneˇzu jin´ych plat´ı,ˇzesamotn´ydalekohled a detek- tor v´yraznˇeovlivˇnujepˇrich´azej´ıc´ız´aˇren´ıa jeho polarizaci. Je tedy nezbytn´evz´ıtv ´uvahu vˇsechny komponenty t´etosoustavy a v´ysledkymˇeˇren´ı patˇriˇcnˇekalibrovat. V z´asadˇe kaˇzd´ysklonˇen´ypovrch vn´aˇs´ıdo sign´alunovou, pˇr´ıstrojovou polarizaci. Napˇr´ıkladrovinn´e zrc´atko (M3) u dalekohledu typu Nasmyth s hlin´ıkov´ympokoven´ım, sklonˇen´ev˚uˇci pˇrich´azej´ıc´ım paprsk˚umo 45◦, pˇrid´av´apolarizaci zhruba 5% a zp˚usobujeretardaci sign´aluzdroje, kter´apˇribliˇznˇe10% Stokesovy line´arn´ısloˇzkyU konvertuje do sloˇzky kruhov´epolarizace V . Z´akladn´ıprincip polarimetrick´ych mˇeˇren´ıspoˇc´ıv´av urˇcen´ınormalizovan´ych Stokeso- v´ych parametr˚u Q/I, U/I a V/I, coˇzjak v´ıme jsou rozd´ıly intenzit sign´al˚uve dvou opaˇcn´ych polarizaˇcn´ıch m´odech. V podstatˇem˚uˇzemeintenzity mˇeˇritdvˇema zp˚usoby. Pomoc´ıjednoho svazku paprsk˚umˇeˇr´ımepostupnˇedva polarizaˇcn´ım´ody(napˇr´ıklad I0 a I90) nˇejak´ympolarimetrem. M˚uˇzemeale tak´esvazek paprsk˚urozdˇelita mˇeˇritoba po- larizaˇcn´ım´odysouˇcasnˇe.Jestliˇzeale mˇeˇr´ımev´ıceneˇzjeden Stokes˚uvparametr, mus´ıme mˇeˇritv´ıcekr´at,alespoˇntˇrikr´atpro z´ısk´an´ı Q/I a U/I a nejm´enˇeˇctyˇrimˇeˇren´ı,jestliˇze urˇcujemei V/I (Schmid, 2012).

3.3 Astronomick´aspektroskopie

Spektroskopie je stˇeˇzejn´ımetodou pozn´av´an´ıokoln´ıhovesm´ıru.Historicky vlastnˇest´ala u zrodu astrofyziky. Bez spektroskopie bychom nyn´ımˇelik dispozici jen zlomek souˇcas- n´ych informac´ıo vesm´ıru.Staˇc´ısi pˇripomenout z´akladn´ıastrofyzik´aln´ı,HR diagram nebo Hubbl˚uvvztah pro extragalaktickou astronomii. 54 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

N´astrojem studia spektroskopie je anal´yzaspektra, respektive jeho z´aznamu. Spek- λ2 trum m˚uˇzemedefinovat jako funkci spektr´aln´ıhustoty z´aˇriv´ehotoku fν(ν) = c fλ(λ) (viz kap. 3.1.1) pˇrich´azej´ıc´ıhok n´amod zkouman´ehoobjektu20.

Obr´azek3.10: Relativn´ırozloˇzen´ıenergie ve spektru hvˇezdr˚uzn´ych spektr´aln´ıch typ˚uvztaˇzen´a k spektr´aln´ıhustotˇetoku z´aˇren´ıo vlnov´ed´elce550 nm.

3.3.1 Charakteristiky spekter Spektrum pˇredstavuje jakousi vizitku, kterou n´ampos´ılaj´ıvesm´ırn´eobjekty. Lze z nˇejvyˇc´ıst opravdu rozs´ahl´emnoˇzstv´ı informac´ı. U hvˇezdjsou to napˇr´ıklad ´udaje o jejich efektivn´ı teplotˇe,tlaku, chemick´emsloˇzen´ı nebo turbulenc´ıch ve hvˇezdn´ych fotosf´er´ach, rotaci nebo pulzac´ıch hvˇezd,pˇr´ıtomnostisouputn´ık˚u,magnetick´empoli, u galaxi´ıpak jejich vzd´alenost, vnitˇrn´ıstrukturu a pohyby a jin´e.Spektroskopie se dnes vyuˇz´ıv´ai ke studiu dalˇs´ıch objekt˚u– (exo)planet, komet, mlhovin aj. V dalˇs´ımv´ykladuse ale zamˇeˇr´ımena spektroskopii hvˇezd. Hvˇezdn´aspektra, jeˇzvznikaj´ıve hvˇezdn´ych fotosf´er´ach, jsou typicky spojit´as ab- sorpˇcn´ımi,obˇcasi emisn´ımiˇcarami. C´arov´espektrumˇ vznik´av´azanˇe-v´azan´ymipˇrechody mezi jednotliv´ymienergiov´ymihladinami atomu nebo molekul. Ve spektru vod´ıkuˇc´ary tvoˇr´ı tzv. s´erie,jeˇzjsou mnoˇzinouˇcarvznikaj´ıc´ıch pˇripˇrechodech z libovoln´evyˇsˇs´ı hladiny do nˇekter´epevnˇezvolen´ehladiny. Lymanova s´eriev ultrafialov´emoboru tak odpov´ıd´apˇrechod˚umdo prvn´ı, ˇciliz´akladn´ı energetick´ehladiny, Balmerova s´erieve

20Spektr´aln´ıanal´yzese podrobnˇejivˇenuj´ıkurzy Fyzika hvˇezda hvˇezdn´ychsoustav, Hvˇezdn´eatmosf´ery nebo Fyzika hork´ych hvˇezd. 3.3. Astronomick´aspektroskopie 55 viditeln´eoblasti spektra zahrnuje pˇrechody do druh´eenergiov´ehladiny, infraˇcerven´a Paschenova s´eriedo tˇret´ı,Brackettova do ˇctvrt´e,Pfundova do p´at´eatd. Spojit´ez´aˇren´ı kontinua naproti tomu m˚uˇzevznikat pˇrechody volnˇe-voln´ymi,v´azanˇe-voln´yminebo rekombinac´ı. Astrofyzik´alnˇenejd˚uleˇzitˇejˇs´ıprvek – vod´ık,pˇrisp´ıv´ak tvorbˇespojit´ehospektra v´aza- nˇe-voln´ymipˇrechody, pˇrinichˇzdoch´az´ık pˇrechodu elektronu z nˇekter´ez niˇzˇs´ıch ener- giov´ych hladin do prostoru nebo naopak k zachycen´ıkolem let´ıc´ıhoelektronu vod´ıkov´ym iontem na nˇekterouz niˇzˇs´ıch hladin. Rozezn´av´ametak napˇr.Balmerovo kontinuum v bl´ızk´eultrafialov´eoblasti nebo Paschenovo kontinuum ve viditeln´eoblasti spektra. Nejvyˇsˇs´ıpravdˇepodobnost maj´ıty pˇrechody, kdy kinetick´aenergie uniknuvˇs´ıhonebo polapen´ehoelektronu je co nejmenˇs´ı.Znamen´ato, ˇzenejv´ıcevyz´aˇren´ych a pohlcen´ych foton˚uv kontinuu je tˇesnˇeza hranami spektr´aln´ıch s´eri´ı,coˇzje dobˇrepatrno na obr. 3.2. V pˇr´ıpadˇechladnˇejˇs´ıch hvˇezd,jako je tˇrebanaˇseSlunce, hraje pˇrivzniku kontinua rozhoduj´ıc´ıroli ionizace a deionizace tzv. negativn´ıhoiontu vod´ıku– atomu vod´ıkuse dvˇemaelektrony.

3.3.2 Z´akladn´ıpojmy Spektroskop (vidmojev) jest pˇr´ıstroj pro pozorov´an´ı a srovn´av´an´ı spekter...“ tolik Ott˚uv ” slovn´ıknauˇcn´y.Prvn´ıspektroskop, tedy pˇr´ıstroj, kter´yvytvoˇr´ıobraz spektra a umoˇzn´ıjeho vizu´aln´ıpozorov´an´ı,vyrobil Joseph von Fraunhofer v roce 1817. Pozdˇeji s vyn´alezem a v´yvojem fotografie byla ˇc´astpro vizu´aln´ısledov´an´ınahrazena ˇc´ast´ıpro z´aznamsledovan´ehospektra (spektrogram) a vznikl spektrograf. Spektrografy rozliˇsujemepodle disperzn´ıhoˇclenu a vzhledu tzv. disperzn´ıfunkce, coˇzje vztah mezi polohou ve spektru x a vlnovou d´elkou λ: 1. hranolov´y(1 aˇz3 hranoly) – hranolov´yspektrograf je historicky starˇs´ı;vyuˇz´ıv´arozd´ılu v indexu lomu materi´aluhranolu pro r˚uzn´evlnov´ed´elkysvˇetla.Standardnˇeb´yv´apˇripojen k dalekohledu v m´ıstech, kde se tvoˇr´ıobraz. Poloha spektr´aln´ıˇc´aryve spektru x zˇrejmˇe z´avis´ı na vlnov´ed´elcesvˇetla λ, kter´eji tvoˇr´ı. Disperzn´ı funkce m´anejˇcastˇejitvar: −α λ = λ0 + (x − x0) , kde x0 je libovolnˇe zvolen´ypoˇc´atek, λ0, C, a α jsou kon- stanty proloˇzen´ı. Nev´yhodami hranolov´ehospektrografu je silnˇeneline´arn´ı disperzn´ı funkce, ztr´aty svˇetlapr˚uchodem jedn´ımnebo i v´ıcehranoly, a nemoˇznostpozorov´an´ı ultrafialov´eˇc´astispektra, kter´aje sklem hranolu pohlcov´ana.To vˇsenahr´av´avˇetˇs´ımu rozˇs´ıˇren´ımˇr´ıˇzkov´ych spektrograf˚u,pr´avˇena ´ukor hranolov´ych. Nicm´enˇev historii sehr´aly hranolov´espektrografy velkou roli. Uplatnily se zejm´enaobjektivov´ehranoly, kter´e umoˇzˇnuj´ı z´ıskat z´aznamy spekter najednou pro vˇsechny hvˇezdy v poli. Hod´ı se tak v´ybornˇepro spektr´aln´ıklasifikaci hvˇezd.S jejich pomoc´ıbyly tak´evytvoˇreny spektro- gramy pro HD katalog. 2. mˇr´ıˇzkov´espektrografy – K rozloˇzen´ısvˇetlase vyuˇz´ıv´adifrakce na mˇr´ıˇzcea n´asledn´e interference. Na rozd´ılod hranolov´ehospektrografu je disperze stejn´apro vˇsechny vl- nov´ed´elky. Pˇredpokl´adejme,ˇzena mˇr´ıˇzkus typicky 600 vrypy na mm dopad´asvˇetlo pod ´uhlem α. Po ohybu je paprsek odch´ylenod kolmice o ´uhel β, pˇriˇcemˇzplat´ı mλ = d(sin β + sin α), kde d je vzd´alenostsousedn´ıch vryp˚umˇr´ıˇzky, tzv. mˇr´ıˇzkov´akonstanta, m je ˇr´adspektra. Z´ıskan´yz´aznamspektra na detektoru je tedy tvoˇrencelou ˇradouspek- ter odpov´ıdaj´ıc´ıch r˚uzn´ymˇr´ad˚umspektra (hodnot´am m). Aby nedoch´azelo k pˇrekryvu sousedn´ıch spekter, zuˇzujese rozsah vlnov´ych d´elekdopadaj´ıc´ıhoz´aˇren´ıspeci´aln´ımifil- try. 56 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek3.11: Vrypy na mˇr´ıˇzce.

3. eˇseletov´e,nˇekdyt´eˇzechelle (z angl. echellette) spektrografy – Pouˇz´ıvaj´ı se zde dvˇe difrakˇcn´ı mˇr´ıˇzkypootoˇcen´ev˚uˇcisobˇeo 90◦. Prvn´ı disperzn´ı ˇclen (zpravidla mˇr´ıˇzka s mal´ympoˇctem vryp˚u)soustˇred’uje z´aˇren´ıdo vysok´ych ˇr´ad˚uspektra, kter´ese vˇsak vz´ajemnˇepˇrekr´yvaj´ı.Proto se vyuˇzijedruh´ehodisperzn´ıho ˇclenu (znovu mˇr´ıˇzka nebo i hranol), kter´yvysok´eˇr´adyopticky naskl´ad´anad sebou. Na v´ysledn´emsn´ımku(zpravidla CCD je pak zachyceno velmi dlouh´y´usek spektra v mnoha ˇr´adech.

Obr´azek3.12: Sch´emazachycuje kl´ıˇcov´ekomponenty modern´ıho ˇstˇerbinov´ehospektrografu. Zdroj: upraveno z diagramu Jamese B. Kalera, v knize ”Stars and their Spectra,”Cambridge University Press, 1989. 3.3. Astronomick´aspektroskopie 57

Obr´azek3.13: Sch´emauspoˇr´ad´an´ıa ˇcinnostieˇseletov´ehospektrografu. Pˇrevzato ze str´anky http://pleione.asu.cas.cz/ slechta.

Spektrograf m˚uˇze pro poˇr´ızen´ıspektrogramu pouˇz´ıvat r˚uzn´e detektory. Kdyˇzodhl´ednemeod oka jako detektoru u spektroskopu, pak se v astronomii setk´av´amev podstatˇes dvˇematypy detektor˚u.Fotografick´ymdetektorem m˚uˇzeb´yt fotografick´adeska, f´olienebo pap´ır.V praxi se dnes nejˇcastˇejisetk´av´ames elektronick´ymdetektorem v podobˇeCCD ˇcipu.V minulosti se pouˇz´ıvaly i line´arn´ıCCD prvky tzv. Reticon. Od konce 90. let minul´ehostolet´ıjsou vyuˇz´ıv´any st´aleve vˇetˇs´ım´ıˇrespektrografy s optick´ymi vl´akny (multifibre spectroscopy). Jejich princip spoˇc´ıv´av tom, ˇze svˇetloje z ohniskov´eroviny dalekohledu rozvedeno soustavou optick´ych vl´aken do spektroskopu, kde vznikaj´ısimult´annˇe spektra pro r˚uzn´eobjekty ze zorn´ehopole dalekohledu. Souˇcasn´epoˇrizov´an´ıspekter pro v´ıce objekt˚uje obrovskou v´yhodou a velice zvyˇsujevyuˇzit´ıpozorovac´ıhoˇcasudalekohled˚u. D˚uleˇzitoucharakteristikou spektrografu je tzv. line´arn´ı disperze W – bezrozmˇern´yparametr vyjadˇruj´ıc´ı,jak velk´y´usekspektra v jednotk´ach vlnov´ed´elkypˇripad´ana jeden d´elkov´yelement na pouˇzit´emdetektoru spektrografu ∆λ W = . (3.38) ∆l Pro fotografick´aspektra se ud´av´av A˚ mm−1 nebo nm mm−1. U elektronick´ych detektor˚uje bˇeˇzn´eud´avat disperze i v nanometrech na pixel. Ale pozor, ˇc´ımje disperze numericky menˇs´ı, t´ımvˇetˇs´ıdetaily v profilu ˇcarm˚uˇzemepozorovat. O spektrografu s numericky menˇs´ıdisperz´ı se pak ˇr´ık´a,ˇzem´avˇetˇs´ıdisperzi. Podle disperze rozdˇelujemespektra na n´ızkodisperzn´ıs 2 nm mm−1 a v´ıcea vysokodisperzn´ıspektra, kde je disperze 2 nm mm−1 a menˇs´ı.N´ızkodisperzn´ı spektra se hod´ıv´ıcepro spektr´aln´ıklasifikaci. Nicm´enˇei zde je lepˇs´ımˇreˇsen´ımvysokodisperzn´ı echelle spektrum. O kvalitˇespektrografu vypov´ıd´a rozliˇsovac´ıschopnost R, kter´aje definov´anajako λ λ R = = , (3.39) n∆λ n W s kde λ je vlnov´ad´elka spektra v nm, W line´arn´ıdisperze v nm mm−1, dλ je rozd´ılvlnov´ych d´elekmezi dvˇema sousedn´ımidetekˇcn´ımielementy zobrazen´ehospektra (zrny emulze nebo pixely elektronick´ehodetektoru) v nm, s je vzd´alenoststˇred˚udvou detekˇcn´ıch element˚uv mm a koneˇcnˇe n ud´av´a,kolikr´atje prom´ıtnut´aˇs´ıˇrka ˇstˇerbiny v poloviˇcn´ıhloubce (FWHM) vˇetˇs´ıneˇz dλ. Zpravidla se n pohybuje mezi 2 aˇz3. Obvykl´ahodnota parametru s ˇcin´ıpro fotografick´e emulze 0,020 aˇz0,025 mm a 0,010 aˇz0,025 mm pro elektronick´edetektory (Harmanec & Mayer, 2008). 58 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek3.14: Vlevo: 400 spekter z dalekohledu 2dF. Kaˇzd´az dvojice CCD kamer zazna- men´av´a200 spekter hvˇezd,jejichˇzsvˇetloje z ohniskov´eroviny vedeno na mˇr´ıˇzkupomoc´ı optick´ych vl´aken. Vpravo: Detekˇcn´ıdeska spektrografu 2dF na Anglo-Australian observatory pˇripravovan´apro pozorov´an´ırobotem. Optick´avl´aknajsou osvˇetlenaˇcervenˇe.Zdroj: The 2dF Galaxy Redshift Survey

Pro ˇraduastrofyzik´aln´ıch ´ulohje nezbytn´avysok´a kvalita spekter. Ta je vˇetˇsinoud´ana pomˇeremsign´aluk ˇsumu S/N, nˇekdy SNR (z angl. signal to noise ratio). V minulosti byla limituj´ıc´ımfaktorem citlivosti fotografick´ych desek, respektive zrnitost fotografick´ych emulz´ı. Sumˇ elektronick´ych spekter je tvoˇrenzejm´enavlastn´ımˇsumemdetektoru, kter´ylze ochlazen´ım detektoru v´yraznˇesn´ıˇzit.U spekter urˇcen´ych pro vˇedeck´e´uˇcelyse vˇzdysnaˇz´ımedos´ahnoutco nejvˇetˇs´ıhopomˇerusign´al/ˇsumpˇrico nejkratˇs´ıexpozici. Dnes je moˇznodosahovat i pomˇernˇe vysok´ych hodnot, kter´eumoˇzˇnuj´ıprov´adˇetdiagnostiku i velmi jemn´ych efekt˚u. Z praxe lze pomˇersign´al/ˇsumpro dan´espektrum jednoduˇseodhadnout jako pomˇerpr˚u- mˇern´ehosign´alua jeho stˇredn´ıkvadratick´echyby urˇcen´epro vhodnˇezvolen´y´usekspektra, o kter´emv´ıme,ˇzeneobsahuje ˇz´adn´espektr´aln´ıˇc´ary.

 v  u .  P ,u P S2 − (P S)2 m  S t  S/N =   , (3.40)  m m − 1  kde S je sign´alodpov´ıdaj´ıc´ıdopadaj´ıc´ımu toku z hvˇezdyv dan´evlnov´ed´elce, N je v´ıcem´enˇe n´ahodn´yˇsuma m je poˇcetbod˚urektifikovan´ehospektra, ve kter´ych byl uvaˇzov´ansign´al S ´umˇern´ytoku z´aˇren´ız kontinua hvˇezdy(Harmanec & Mayer, 2008). Elektronick´aspektra dosahuj´ıbˇeˇznˇepomˇerusign´al/ˇsumv´ıceneˇz100, s detektorem Reticon a s nejkvalitnˇejˇs´ımi CCD detektory lze dosahovat i hodnot 2000. Pˇrivyhodnocov´an´ıspekter z dan´eho spektrografu je nutn´ebr´atv ´uvahu i tzv. instru- ment´aln´ıprofil. V ide´aln´ımpˇr´ıpadˇeby spektr´aln´ıˇc´aramˇelaprakticky nulovou ˇs´ıˇrku,ale v d˚usledkuaberace a difrakce vznikne po pr˚uchodu z´aˇren´ıoptick´ymsyst´ememspektrografu ˇc´aradeformovan´a.Pˇriurˇcov´an´ıskuteˇcn´ych profil˚uˇcarmus´ımeinstrument´aln´ıprofil odeˇc´ıst. Spektrografy obecnˇepotˇrebuj´ı hodnˇesvˇetla,jsou proto pˇripojov´any k velk´ymdaleko- hled˚ums pr˚umˇeremalespoˇn60 cm. Nicm´enˇes v´yvojem detektor˚use i tento limit zmenˇsuje. D˚uleˇzit´eje vyuˇzit´ıspekter a pozorovac´ıprogram. Velice z´aleˇz´ına poˇzadovan´emezn´ıhvˇezdn´e velikosti, kter´ase odv´ıj´ıod konstrukce spektrografu, jeho ´uˇcinnosti.Napˇr´ıklad2m dalekohle- dem v Ondˇrejovˇelze z´ıskat po hodinov´eexpozici spektrum hvˇezdy10. velikosti. Obdobnˇe velk´edalekohledy napˇr.v Tauntenburgu v Nˇemecku vˇsakz´ısk´avaj´ıspektra pro hvˇezdyaˇzdo 3.3. Astronomick´aspektroskopie 59

13. velikosti. Pokud nepotˇrebujemevysokou disperzi lze poˇrizovat spektra i hvˇezd18., 19. velikosti.

3.3.3 Vzhled spektra Na v´yslednoupodobu spektra m´avliv mnoho faktor˚u.Z´aleˇz´ınejen na pozorovan´em objektu, tedy m´ıstuvzniku z´aˇren´ı,ale sv˚ujvliv m˚uˇzem´ıtjak´ekoli z m´ıst,jak´ymz´aˇren´ı proch´az´ı,neˇzse dostane aˇzna z´aznamov´em´ediumdetektoru ve spektrografu. Mus´ıme tedy poˇc´ıtats vlivem mezihvˇezdn´ehoprostˇred´ı,zemsk´eatmosf´eryi pouˇzit´ehospektro- grafu, detektoru a z´aznamov´ehozaˇr´ızen´ı,vˇcetnˇez´aznamov´ehom´edia. Zaznamenan´espektrum kosmick´ehoobjektu je z´avislostmˇeˇren´eveliˇciny naz´yvan´e tradiˇcnˇejako intenzita Iλ(λ) (nebo jen I(λ), kter´asouvis´ıs fyzik´alnˇejasnˇedefinovanou −2 −1 spektr´aln´ıhustotou z´aˇren´ı fλ(λ), ud´avanou v jednotk´ach W m nm n´asleduj´ıc´ırelac´ı: I(λ) = Ψ(λ) fλ(λ), kde Ψ(λ) je sloˇzit´abezrozmˇern´afunkce nejen vlnov´ed´elky, ale i ˇcasu, kterou vˇsakpˇriˇreˇsen´ıvˇetˇsiny ´ulohspektr´aln´ıanal´yzym˚uˇzemev r´amcikr´atk´ych ´usek˚u spektra povaˇzovat za konstantu, takˇzepak plat´ı,ˇze I(λ) ∼ fλ(λ).

Obr´azek 3.15: Spektr´aln´ı ˇc´ary. Vlevo: absorpˇcn´ı ˇc´ary ve spektru Algolu s dominantn´ı ˇc´arou Hα, v jej´ımˇz kr´atkovlnn´em kˇr´ıdle vid´ıme mnoˇzstv´ı ˇcar vodn´ı p´ary vznikaj´ıc´ıch v zemsk´emovzduˇs´ı;vpravo: v´yrazn´aemise v m´ıstˇeˇc´aryHα u hvˇezdy ζ Tauri; dole: rekti- fikovan´yprofil spektra hvˇezdyP Cyg (Ondˇrejov, 6. 7. 1995). Pˇrevzatoz webu M. Slechtyˇ http://pleione.asu.cas.cz/ slechta/spektra.

Ve spektru se kromˇekontinua nach´azej´ıi drobnˇejˇs´ıdetaily, zjasnˇen´ınebo naopak 60 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd pokles intenzity v podobˇespektr´aln´ıch ˇcar.Zat´ımcospojit´asloˇzka spektra se mˇen´ıpo- malu, ˇc´arov´arychle s vlnovou d´elkou λ. Protoˇzev z´ıskan´ych z´aznamech spektra (spek- trogramech) maj´ıkontinua obecnˇer˚uzn´ypr˚ubˇehpro r˚uzn´etypy hvˇezd(viz obr. 3.10), rektifikuj´ı se tyto z´aznamy na kontinuum Ic(λ)≡1. Pak je moˇzn´estudovat rozloˇzen´ı spektr´aln´ıch ˇcara jejich vlastnosti. Spektr´aln´ıˇc´arym˚uˇzemerozdˇelitna temn´eabsorpˇcn´ı (I < 1) a jasn´eemisn´ı(I > 1). Jejich kombinac´ıvznik´anapˇr.ˇc´aras tzv. profilem typu P Cygni (viz tˇret´ız obr´azk˚uv obr. 3.15). Energiov´ehladiny v´azanˇe-v´azan´ych pˇrechod˚u,kter´ed´avaj´ıvznik spektr´aln´ımˇcar´am, jsou velice pˇresnˇedefinov´any. Dalo by se proto oˇcek´avat, ˇzei ˇs´ıˇrka pozorovan´ych spektr´al- n´ıch ˇcarbude d´anajen instrument´aln´ımimoˇznostmipouˇzit´ehospektrografu. Nicm´enˇe uvˇedom´ıme-lisi, ˇzevlastnˇetakov´ypˇreskok elektronu mezi jednotliv´ymihladinami je fyzik´aln´ım mˇeˇren´ım rozd´ılu energi´ı prob´ıhaj´ıc´ı v jist´emˇcasov´eintervalu, mus´ı platit mezi pˇresnostmi obou veliˇcin(∆E, ∆t) zn´am´aHeisenbergova relace neurˇcitosti,kter´a je pak pˇr´ıˇcinnou nenulov´epˇrirozen´eˇs´ıˇrkykaˇzd´eze spektr´aln´ıch ˇcar.Poloˇs´ıˇrka je urˇcena zejm´enafrekvenc´ısr´aˇzeknabuzen´ehoatomu s jin´ymiionty, tedy tlakem. S´ıˇrkuaˇ obecnˇei cel´yjej´ıprofil spektr´aln´ıˇc´aryurˇcuj´ıi dalˇs´ıvlivy jako Doppler˚uv jev (rotace, turbulence, teplotn´ı pohyb), Zeeman˚uvefekt (rozˇstˇepen´ıˇcarv d˚usledku pˇr´ıtomnostimagnetick´epole). Pro z´ısk´an´ıdetailn´ıch informac´ız profil˚uˇc´aryje tˇreba prov´estkomplexn´ıspektr´aln´ıanal´yzua srovn´an´ıs vypoˇcten´ymimodelov´ymispektry hvˇezdy.

Obr´azek3.16: Profil spektr´aln´ıˇc´aryv absorpˇcn´ımspektru. Pˇrevzatoz Kleczek (2002).

U spektr´aln´ıch ˇcarrozezn´av´amej´adroˇc´ary(oblast v bezprostˇredn´ımokol´ıstˇredu ˇc´ary)a kˇr´ıdla,jak je vidˇetna obr. 3.16. Intenzitu nebo chcete-li mohutnost ˇc´aryse nˇekdyoznaˇcujemejako s´ılaˇc´ary“, pˇriˇcemˇzˇc´ımv´ıcesvˇetlabylo absorbov´ano,t´ımje ” ˇc´arahlubˇs´ıa ˇsirˇs´ıa tedy silnˇejˇs´ı.Siln´eˇc´aryabsorbuj´ıv´ıcejak 25 % z´aˇren´ıv dan´eˇc´aˇre (viz obr´azek3.19). Mohutnost ˇc´arym˚uˇzemenumericky vyj´adˇritpomoc´ıtzv. ekvivalentn´ı ˇs´ıˇrkyˇc´ary EWλ. Jej´ımˇeˇren´ıje jedn´ımze z´akladn´ıch n´astroj˚uanal´yzyspektr´aln´ıch ˇcar. Nejdˇr´ıve spoˇctemeplochu vymezenou studovanou spektr´aln´ıˇcaroua n´aslednˇespoˇc´ıt´ame ˇs´ıˇrkuobd´eln´ıku(o jednotkov´ev´yˇsce)stejn´eplochy (viz obr´azek3.18). Plochu vymezenou spektr´aln´ıˇcarouspoˇctemeze vztahu

Z λ2  I(λ)  EWλ = 1 − dλ, (3.41) λ1 Ikont.(λ0) 3.3. Astronomick´aspektroskopie 61

Obr´azek3.17: Spektrum jasn´eveleobˇr´ıhvˇezdy41 Cygni spektr´aln´ıhotypu F5 Iab. Pˇrevzato z http://www.astro.washington.edu/.

kde I(λ) je z´avislostintenzity na vlnov´ed´elcez´aˇren´ıv ˇc´aˇre, Ikont.(λ0) je oˇcek´avan´ainten- zita kontinua ve stˇredustudovan´eˇc´ary. Integrujeme pˇresˇs´ıˇrkuˇc´ary, vymezen´evlnov´ymi d´elkami λ1, λ2. Ekvivalentn´ıˇs´ıˇrka ˇc´aryse ud´av´ase v nanometrech nebo angstr¨omech (1A˚ = 0,1 nm). Dalˇs´ıcharakteristikou spektr´aln´ıˇc´aryje jej´ıcentr´aln´ıhloubka, respektive intenzita ve stˇreduˇc´ary Ic, vyj´adˇren´av jednotk´ach ´urovnˇeintenzity spojit´ehoz´aˇren´ıv dan´em m´ıstˇe.Pro absorpˇcn´ıˇc´aryje tato veliˇcina vˇzdymenˇs´ıneˇzjedna. C´ımsilnˇejˇs´ıjeˇ dan´a absorpˇcn´ıˇc´ara,t´ımje hodnota Ic menˇs´ıˇc´ıslov rozsahu 0 aˇz1. Veliˇcinˇe1 − Ic se ˇr´ık´a zbytkov´anebo tak´erezidu´aln´ıintenzita. U emisn´ıch ˇcarm˚uˇzemeovˇsemkromˇecentr´aln´ı intenzity mˇeˇriti intenzitu fialov´eho IV a ˇcerven´eho IR vrcholu emise (pokud je emise dvojit´a)a studovat i jejich pomˇer.Lze samozˇrejmˇemˇeˇriti ekvivalentn´ıˇs´ıˇrkuemisn´ıˇc´ary

Obr´azek3.18: Schematick´ezn´azornˇen´ı z´avislostirelativn´ı intenzity spektr´aln´ıˇc´ary Irel = I(λ)/Ikont.(λ0) profilu spektr´aln´ıˇc´arys vyznaˇcen´ımcentr´aln´ırelativn´ıintenzity Ic, centr´aln´ı vlnov´ed´elky λc, ˇs´ıˇrkyˇc´aryv poloviˇcn´ıhloubce (FWHM) a tak´eekvivalentn´ıˇs´ıˇrky(EW, equiv- alent width). Vpravo je komplikovan´yprofil ˇc´ary, na kter´emlze rozliˇsitabsorpce a dvojitou emisi. Relativn´ıintenzity emisn´ıch komponent oznaˇcujeme IV (posunutou do fialova) a IR (do ˇcervena). Pˇrevzatoz Harmanec & Broˇz(2011). 62 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd a obvykle se pouˇz´ıv´akonvekce, ˇzeje-li ve v´ysledn´eekvivalentn´ıˇs´ıˇrceemisn´ıpˇr´ıspˇevek dominantn´ı,ud´av´ase ekvivalentn´ıˇs´ıˇrka numericky z´aporn´a. V obr´azku3.18 je vyznaˇceni parametr FWHM (z angl. full width at half maximum), kter´yzn´amez fotometrie. U spektr´aln´ıˇc´aryjde o ˇs´ıˇrkuˇc´arymˇeˇrenouv poloviˇcn´ıhloubce ˇc´ary, mezi centrem ˇc´arya ´urovn´ıspojit´ehoz´aˇren´ı.

3.3.4 Co lze vyˇc´ıstze spektrogram˚u

Spektra hvˇezdn´amposkytuj´ı mnoˇzstv´ı informac´ı o studovan´emobjektu, zejm´enao jeho svrchn´ıch vrstv´ach, tedy pokud je um´ımev z´ıskan´emspektrogramu ˇc´ıst.Anal´yzaspekter nen´ı v˚ubec jednoduchou z´aleˇzitost´ı.V pozorovan´ych spektrech hvˇezdse velmi ˇcastopˇrekr´yvaj´ır˚uzn´e ˇc´arya i zd´anlivˇe ˇcist´e“ ˇc´arymohou b´ytve skuteˇcnostiv´ysledkytakov´ehopˇrekryvu,tedy tzv. ” blendy. Autoˇrimodern´ıch metod spektr´aln´ıdiagnostiky jsou si toho vˇedomi.Nesnaˇz´ıse proto o detailn´ıidentifikaci ˇcar,ale o pˇripodobnˇen´ımodelov´ehospektra re´aln´emu pomoc´ıvhodn´eho astrofyzik´aln´ıhomodelu. Re´aln´a,napozorovan´aspektra srovn´avaj´ıse spektry vypoˇcten´ymi, tzv. syntetick´ymi.V´yzkumn´ık˚umjsou k dispozici cel´es´ıtˇemodel˚uhvˇezdn´ych spekter. Podle vzhledu hvˇezdn´ych spekter lze urˇcitspektr´aln´ıtyp vˇcetnˇeluminozitn´ıtˇr´ıdy. Mimo jin´elze t´eˇzurˇcitnebo alespoˇnodhadnout: 1. Teplotu a tlak (z intenzity a ˇs´ıˇrkyspektr´aln´ıch ˇcarr˚uzn´ych prvk˚u). 2. Chemick´esloˇzen´ı(z ˇs´ıˇrkyspektr´aln´ıch ˇcars pˇrihl´ednut´ımk teplo- tˇe). 3. Z´aˇriv´yv´ykon (z spektr´aln´ıch ˇcar obvykle vod´ıkov´ych nebo ze srovn´an´ı intenzity nˇekter´ych spektr´aln´ıch ˇcar). 4. Rotaci hvˇezdya turbulentn´ıpohyby plyn˚uv horn´ıch vrstv´ach atmosf´ery(z Dopplerova jevu, tyto pohyby rozˇsiˇruj´ıˇc´arya souˇcasnˇezploˇst’uj´ıjejich profil). 5. Radi´aln´ıpohyb hvˇezd(z Dopplerova jevu). 6. N´asobnosthvˇezdy(z periodick´ehoposunut´ı nebo rozˇstˇepen´ıˇcar). 7. Pˇr´ıtomnostpˇr´ıpadnˇepolarita magnetick´ehopole (vede k rozˇs´ıˇren´ı ˇcar,u siln´ych pol´ıaˇzk rozˇstˇepen´ı,vˇsejako d˚usledek ze Zeemanova jevu). Nenulov´a radi´aln´ırychlost RV (z anglick´eho:radial velocity) je nejˇcastˇejˇs´ıpˇr´ıˇcinoutoho, proˇcje jin´apozorovan´avlnov´ad´elka λ. Objekt i pozorovatel jsou ve vz´ajemn´empohybu napˇr. v d˚usledkurotace Zemˇe,jej´ıhopohybu kolem Slunce, obˇehu Slunce kolem stˇreduGalaxie, po- hybu objektu v˚uˇciGalaxii, rotaci a orbit´aln´ımpohybu objektu. RV je pak pr˚umˇetrychlosti ob- jektu do smˇeruk pozorovateli, kterou z´ısk´ameporovn´an´ımvlnov´ych d´elekzn´am´ych spektr´aln´ıch ˇcarve spektru objektu s nepohybliv´ymlaboratorn´ımzdrojem; kladn´aRV znamen´a,ˇzese od n´asobjekt vzdaluje, jeho ˇc´aryjsou v d˚usledkuDopplerova jevu posunuty smˇeremk delˇs´ım vlnov´ymd´elk´am(ˇcerven´yposuv). Rozbor radi´aln´ırychlosti se dˇr´ıve prov´adˇelpomoc´ıdobˇredefinovan´ych ˇcarnebo jejich sous- tavy a urˇcovala se vlnov´ad´elka centra ˇc´ary(SPEFO, Splat). V souˇcasnostise vyuˇz´ıv´avlastnˇe posun cel´eho´usekuspektra, kde nez´avisloupromˇennounen´ıvlnov´ad´elka λ ale jej´ıpˇrirozen´y logaritmus x = ln λ. Posun v x: ∆x = ∆(ln λ) = ∆λ/λ = ∆RV/c, coˇzumoˇzˇnujerychle hledat zmˇeny radi´aln´ırychlosti a vyuˇz´ıvat pˇritomcelou d´elkuspektra, kter´em´atek dispozici. T´ımto pˇr´ıstupem lze ´uplnˇevyuˇz´ıtveˇskerou informaci o pˇr´ıpadn´ych zmˇen´ach radi´aln´ırychlosti, kter´a je ve spektru obsaˇzena,coˇzv´yraznˇepˇrisp´ıv´ake sn´ıˇzen´ınejistoty v´ysledku. Pˇr´ıˇcinouzmˇenradi´aln´ırychlosti m˚uˇzeb´ytjak´ykoli kˇrivoˇcar´ypohyb, nejˇcastˇejijde o projev dvojhvˇezdnosti.Pokud ve spektru pozorujeme ˇc´aryobou sloˇzekpodvojn´esoustavy, mluv´ıme o dvojhvˇezdytypu SB2 (double line spectroscopic binary), jestliˇzeje svˇetlo jedn´eze sloˇzek pˇr´ıliˇsslab´e,najdeme ve spektru jen jeden syst´emspektr´aln´ıch ˇcara hovoˇr´ımeo dvojhvˇezdˇe typu SB1 (single line spectroscopic binary). 3.4. Zdroje pozorovac´ıch dat o promˇenn´ych hvˇezd´ach 63

3.4 Zdroje pozorovac´ıch dat o promˇenn´ych hvˇezd´ach

Kaˇzd´astudie promˇenn´ehvˇezdynebo nˇejak´etˇr´ıdypromˇenn´ych hvˇezdvyˇzadujez´ıskat pokud moˇznoco nejv´ıceinformac´ı,zpravidla pozorovac´ıch dat. V nˇekter´ych pˇr´ıpadech postaˇc´ıvlastn´ıpozorov´an´ı,dnes z´ıskan´anejpravdˇepodobnˇejise CCD kamerou, ale mo- hou to b´yti fotoelektrick´afotometrie. M´enˇeˇcastozˇrejmˇebudete v dneˇsn´ıdobˇeprov´adˇet vizu´aln´ıpozorov´an´ıpˇr´ıpadnˇefotografick´apozorov´an´ına klasick´yfilm. Ale pozorov´an´ı vˇsech typ˚um˚uˇzetenaj´ıt v dostupn´ych zdroj´ıch a archivech a pˇr´ıpadnˇepouˇz´ıt pro vaˇsipr´aci.P˚ujdeo n´aroˇcn´y´ukol, zejm´enav pˇr´ıpadˇe,ˇzese rozhodnete vyuˇz´ıt tak´e data ze starˇs´ıch fotografick´ych pozorov´an´ı,fotografick´ych pˇrehl´ıdek,sklenˇen´ych archiv˚u, pˇr´ıpadnˇevizu´aln´ıpozorov´an´ı.V kaˇzd´empˇr´ıpadˇeje ale dobr´evˇedˇet,na co si d´avat pozor a jak s takov´ymidaty zach´azet.

3.4.1 Vlastn´ı,pˇrevzat´aa archivn´ıpozorov´an´ı 3.4.1.1 Vizu´aln´ıodhady Vizu´aln´ıpozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezduˇzve vyspˇel´ych zem´ıch takˇrka nikdo neprov´ad´ı. V´yjimkou jsou chudˇs´ıregiony, kde pozorovatel´enemaj´ıprostˇredkyna zakoupen´ılepˇs´ıho vybaven´ı,CCD kamer ˇcidigit´aln´ıch fotoapar´at˚u.Zd´aloby se tedy zbyteˇcn´e,se tomuto typu pozorov´an´ıvˇenovat. Jak uˇzjsme uvedli, jde o pozorov´an´ızat´ıˇzen´er˚uzn´ymisub- jektivn´ımivlivy, jehoˇzpˇresnostznaˇcnˇepokulh´av´ave srovn´an´ıs modern´ımimetodami. Jenˇze,vizu´aln´ıpozorov´an´ıa odhady jasnosti promˇenn´ych hvˇezdbyly prov´adˇeny od dob Tychona Braheho. Maj´ıtedy nejdelˇs´ıˇcasovou z´akladnu a pro zkoum´an´ıdlouhodo- b´ych zmˇenpromˇenn´ych hvˇezdjsou tak ˇcastojedin´ymzdrojem informac´ı.M˚uˇzemejim ale d˚uvˇeˇrovat? Ve svˇetˇeexistuje ˇradai vyhranˇen´ych n´azor˚upro a proti vyuˇz´ıv´an´ıvizu´aln´ıch pozorov´an´ı ve studi´ıch promˇenn´ych hvˇezd. Obecnˇelze ˇr´ıci, ˇzes jistou obezˇretnost´ı lze tato data pouˇz´ıt. Neˇzale vizu´aln´ı pozorov´an´ı pouˇzijeme,mˇelibychom je podro- bit detailn´ımu zkoum´an´ı. Je dobr´evˇedˇetnˇecov´ıce i o pozorovateli. Ukazuje se, ˇze napˇr´ıklad urˇcen´ı okamˇzikuminima jasnosti z´akrytov´ych dvojhvˇezdjsou u nˇekter´ych pozorovatel˚uzaloˇzenajen na tˇrech aˇzpˇetiodhadech jasnosti. Takov´atodata jsou krajnˇe ned˚uvˇeryhodn´a.A pokud je produkuje nˇejak´ypozorovatel programovˇe,udˇel´atenejl´epe, kdyˇzje nepouˇzijete.Je tˇrebapeˇclivˇezkontrolovat uv´adˇen´yˇcaspozorov´an´ı, zda jde o svˇetov´y,p´asmov´ynebo dokonce p´asmov´yletn´ıˇcas. Velmi dobr´eje tedy m´ıtk dispozici detailn´ız´aznam(protokol) pozorov´an´ıa ne jen napˇr´ıkladv´ysledn´yokamˇzikminima nebo maxima nˇejak´eperiodicky promˇenn´ehvˇezdy. Vzhledem k tomu, ˇzevizu´aln´ıpozorov´an´ıje silnˇesubjektivn´ız´aleˇzitost´ı,b´yv´adosti silnˇezat´ıˇzenot´ım,ˇzezejm´enazkuˇsen´ıpozorovatel´ejiˇzpˇredemvˇed´ı,jak by mˇelvypadat v´ysledekjejich poˇc´ın´an´ı,tedy jak´ytvar m´am´ıtsvˇeteln´akˇrivka v okol´ıextr´emu (m´a b´ythladk´a,symetrick´aa s extr´ememnˇekdehodnˇebl´ızko pˇredpovˇedi).Pak je to sp´ıˇs ot´azka, jakou efemeridu okamˇzik˚uextr´emu ten kter´ypozorovatel pouˇz´ıval. Detailn´ıroz- bor vyuˇzitelnostivizu´aln´ıch pozorov´an´ız´akrytov´ych dvojhvˇezdpro studium zmˇenjejich periody je uk´az´anv ˇcl´ankuMikul´aˇseket al. (2013). Je tˇrebapˇripomenout, ˇzev tomto smˇeruˇceskoslovenˇst´ı,ˇceˇst´ıa slovenˇst´ıpozorovatel´ejsou opravdu jedni z nejlepˇs´ıch na svˇetˇe.Ke kaˇzd´emu publikovan´emu pozorov´an´ız´akrytov´edvo- jhvˇezdyexistuje protokol v pap´ırov´enebo elektronick´epodobˇe.Z nˇejje moˇzn´ez´ıskat jednotliv´e 64 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd odhady jasnosti a revidovat napˇr´ıkladurˇcen´ıokamˇzikuminima jasnosti hvˇezdy. D´alenaprost´a vˇetˇsinaz nich vyuˇz´ıvala pˇredpovˇediokamˇzik˚uminim zaokrouhlen´ena p˚ulhodiny, takˇzese sice vˇedˇelo,ˇzebˇehemt´etonoci by mˇelohl´ıdan´eminimum nastat, ale kdy, to vˇedˇelojen tˇech p´ar organiz´ator˚u,kteˇr´ıtyto pˇredpovˇedivyd´avali.

3.4.1.2 Fotografick´apozorov´an´ı Klasick´afotografie je dnes v astronomii na ´ustupu.Nicm´enˇeje nutn´epˇripomenout, ˇze st´alejsou k dispozici velk´earchivy sklenˇen´ych fotografick´ych desek. Jmenujme alespoˇn archivy na observatoˇr´ıch na Harvardu, Mt. Palomaru, Sonnebergu, Asiagu, Moskvˇe, Petrohradu, Odˇesea jinde. V tˇechto archivech je uloˇzenoskuteˇcnˇeobrovsk´emnoˇzstv´ı informac´ıo promˇenn´ych hvˇezd´ach. Uˇzˇradulet se majitel´etˇechto sklenˇen´ych desek snaˇz´ı archivy zdigitalizovat a t´ımje i zpˇr´ıstupnitˇsirok´evˇedeck´eobci. Mˇelibychom tedy pˇrece jen vˇedˇetnˇecom´aloi o fotografick´ych procesech, kˇrivce zˇcern´an´ıa podobnˇe.Tyto ot´azky vˇsakˇreˇs´ıjin´ykurz. Zde uˇzna nˇenen´ım´ısto.Pˇripomeˇnmesi ale nˇekter´a´uskal´ıpˇrevzat´ych fotometrick´ych dat poch´azej´ıc´ıch z fotografick´ych pˇrehl´ıdek. Bˇeˇzn´eexpoziˇcn´ı ˇcasypˇriz´ısk´av´an´ı tˇechto sn´ımk˚ubyly minuty, ale sp´ıˇsedes´ıtky minut, takˇzeje nelze vyuˇz´ıvat pro studium velmi rychle promˇenn´ych hvˇezd.Nav´ıc sn´ımkystejn´ehohvˇezdn´ehopole byly poˇrizov´any s urˇcit´ymodstupem aˇznˇekolika dn´ı. Naprostou v´yjimkou jsou ˇrady sn´ımk˚ut´ehoˇzpole poˇr´ızen´ebˇehemjedin´enoci. Takov´a data jsou tedy vhodn´apro studium dlouhoperiodick´ych nebo nepravideln´ych promˇenn´ych hvˇezd. U z´akrytov´ych dvojhvˇezdbyl v minulosti m´ıstostandardn´ıhourˇcen´ıokamˇzikumin- ima ˇcastopublikov´anjen ˇcaspoˇr´ızen´ısn´ımku,na nˇemˇzsledovan´apromˇenn´ahvˇezdabyla slabˇs´ıneˇzobvykle, tedy v t´edobˇe,kdy hvˇezda bud’ sestupovala nebo naopak vystupovala minima. Tento velice hrub´yodhad okamˇzikuminima b´yval uveden jako pˇribliˇzn´y“ ˇcas ” minima a v seznamu okamˇzik˚uminim vˇetˇsinouoznaˇcendvojteˇckou. Tato usance ovˇsem zcela ignoruje informace z ostatn´ıch sn´ımk˚u,a jej´ıvypov´ıdac´ıhodnota je velice n´ızk´a. Spr´avnˇebychom mˇelivyhodnotit vˇsechny sn´ımkya z´ıskat soubor hvˇezdn´ych velikost´ı naˇs´ıpromˇenn´ehvˇezdy. Ten pak pˇripojit k ostatn´ımindividu´aln´ımmˇeˇren´ımpro dalˇs´ı zpracov´an´ı,o nˇemˇzje pojedn´anod´ale.Takov´ypostup umoˇzˇnujez´ıskat f´azovou kˇrivku z fotografick´ych mˇeˇren´ı,pˇresn´ysez´onn´ıokamˇziknebo okamˇzikyminima jasnosti vˇcetnˇe nejistot jejich urˇcen´ı.V´ysledkem je tak mnohem v´ıcepˇresnˇejˇs´ıch dat neˇzpouh´enejist´e okamˇzikyzeslaben´ıjasnosti. Je tˇrebarovnˇeˇzvˇenovat zv´yˇsenoupozornost ˇcasov´ym´udaj˚um,kter´efotografick´e desky prov´az´ı.Protoˇzebyly zˇrejmˇepoˇrizov´any pˇredˇradoudes´ıteklet, budou se liˇsit zvyklosti z´apisuˇcasov´ych ´udaj˚u,bude se liˇsiti pouˇzit´yˇcasov´ystandard a to, zda jde o zaˇc´ateknebo stˇredexpozice.

3.4.1.3 Fotoelektrick´apozorov´an´ı Na rozd´ılod fotografick´ych nebo vizu´aln´ıch pozorov´an´ıjsou fotoelektrick´amˇeˇren´ıvˇet- ˇsinoustandardizovan´a(alespoˇnta, prov´adˇen´aod 50. let minul´ehostolet´ı).Znamen´ato mj., ˇzepˇriprvotn´ımzpracov´an´ıuˇzbyly nalezeny a odstranˇeny hrub´echyby, chybn´e identifikace pˇrimˇeˇren´ıa podobnˇe.Badatel tak dost´av´ado ruky vˇetˇsinouvelmi kvalitn´ı materi´alpro dalˇs´ıstudium. Jenˇzepˇr´ıliˇsn´ad˚uvˇerase ani zde nemus´ıvyplatit. Probl´emy 3.4. Zdroje pozorovac´ıch dat o promˇenn´ych hvˇezd´ach 65

Obr´azek3.19: V´ysledkyprojektu digitalizace desek Harvard Observatory v projektu DASCH. Svˇeteln´akˇrivka z´akrytov´epromˇenn´ehvˇezdyRY Cnc s periodou 1,092943 dne. Na obr´azku jsou dva cykly zmˇen.Do prvn´ıhojsou zobrazena vˇsechna mˇeˇren´ıvˇcetnˇechybov´ych ´useˇcek. V druh´emjsou t´aˇzmˇeˇren´ı.Pˇrevzatoz http://hea-www.harvard.edu/DASCH.

jsou zejm´enas ˇcasov´ymi´udaji. Nˇekdyse zde objevuj´ıopravdu nev´ıdan´evˇeci,kdy se pozorovatel splete o jeden den nebo dokonce cel´yrok. Takov´echyby ale snadno odhal´ıte, pokud si pozorov´an´ızakresl´ıtenapˇr´ıkladdo O-C diagramu. Jenˇze,pokud se chyst´ate pˇrevz´ıttato data napˇr´ıklad ze starˇs´ıpublikace, doporuˇcujemevelmi peˇclivˇeproˇc´ıstinfor- mace o mˇeˇren´ıˇcasu,ˇcasov´emstandardu. Pˇri detailn´ıanal´yze, napˇr´ıkladpro ´uˇcely studia jemn´ych posun˚uokamˇzik˚uminim nebo maxim promˇenn´ych hvˇezdoproti pˇredpovˇedi, mohou i na prvn´ıpohled zanedbateln´eodchylky m´ıtz´avaˇzn´ed˚usledky. Ukazuje se nav´ıc, ˇzepro takov´epˇresn´eanal´yzyje nezbytn´eprov´adˇetpˇrevod uveden´ych ˇcas˚una barycen- trick´y(podrobnˇejiv kapitole 5.1.2).

3.4.1.4 CCD pozorov´an´ı

S n´astupem CCD techniky a jej´ımrozˇs´ıˇren´ımmezi amat´ersk´epozorovatele doˇslok obrovsk´emu n´ar˚ustufotometrick´ych dat promˇenn´ych hvˇezd.Bohuˇzeltento boom pˇrinesltak´eurˇcit´e probl´emy. Fotoelektrick´afotometrie byla takˇrka v´yhradnˇedom´enouprofesion´aln´ıch in- stituc´ı,kde byla jist´az´aruka kvality zpracov´an´ıdat. I kdyˇzi tam se vyskytly v´yjimky, CCD pozorov´an´ıjsou jednoznaˇcnˇeˇrazenak objektivn´ımmetod´amstudia promˇenn´ych hvˇezd.Bohuˇzelr˚uzn´emetody zpracov´an´ıdok´aˇz´ıi docela dobr´esurov´esn´ımkyznehod- notit. Prvn´ım probl´ememzpracov´an´ı CCD sn´ımk˚ujsou korekˇcn´ı sn´ımky. Zejm´enatzv. flat sn´ımekrovnomˇernˇeosvˇetlen´ehopole (napˇr´ıkladsoumrakov´eoblohy bez hvˇezd)je ˇcastoˇspatn´ya tak po jeho aplikaci kles´apˇresnostz´ıskan´efotometrie. V ˇradˇepˇr´ıpad˚u jsou publikov´any pouze okamˇziky minim a maxim jasnosti ze CCD pozorov´an´ı.Jenˇze vˇetˇsinouse uˇznezkoum´a,kolik mˇeˇren´ıbylo k urˇcen´ıokamˇzikuextr´emu jasnosti pouˇzito. A je samozˇrejmˇevelk´yrozd´ıl,pokud to bylo 10 nebo tˇreba200 bod˚u.K tomu se pˇrid´av´a ˇcastochybn´ametoda urˇcen´ıokamˇzikuextr´emu a v´ysledkem je umˇele vyroben´anejistota publikovan´ehookamˇzikuaˇznˇekolik minut. Nejlepˇs´ımˇreˇsen´ımje tedy shrom´aˇzdit vˇsechna dostupn´aindividu´aln´ıCCD mˇeˇren´ıa v pˇr´ıpadˇenejistoty ohlednˇezpracov´an´ı,dokonce 66 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd i p˚uvodn´ıCCD sn´ımky. Opˇetmus´ımeapelovat na pozorovatele a zpracovatele, aby vˇenovali velkou pozornost ˇcasov´ym´udaj˚um.Vzhledem k tomu, ˇzeCCD kamery jsou ˇr´ızeny osobn´ımi poˇc´ıtaˇci, zpravidla z nich tak´epˇreb´ıraj´ıˇcas.Tento poˇc´ıtaˇcov´yˇcasje zaloˇzenna ˇcasov´emstandardu UTC, kter´yje synchronizov´anpˇresNetwork Time Protocol (NTP) server. Ale ne vˇzdy prob´ıh´asynchronizace tak ˇcasto,jak je tˇreba.Nˇekter´estarˇs´ıprogramy pro obsluhu CCD kamer dokonce zastavovaly ˇcasv poˇc´ıtaˇcipo dobu vyˇc´ıt´an´ısn´ımku.Bˇehemnoci se tak ˇcasv poˇc´ıtaˇcist´alev´ıcea v´ıceopoˇzd’oval. Takovou chybu vˇsaknezjist´ımejen z okamˇziku extr´emu, ale porovn´an´ımpr˚ubˇehu svˇeteln´ekˇrivkys jin´ymipozorov´an´ımi. Dalˇs´ımprobl´ememCCD pozorov´an´ıje to, ˇzevˇetˇsinapozorovatel˚use spokoj´ıs tzv. diferenci´aln´ıfotometri´ıa neprov´ad´ıdalˇs´ızpracov´an´ı,kter´eby vedla k nav´az´an´ız´ıskan´ych hvˇezdn´ych velikost´ına mezin´arodn´ısyst´em.Vyuˇz´ıv´ase pˇredpokladu, ˇzepˇrimal´eve- likosti zorn´ehopole jsou rozd´ılyzp˚usoben´er˚uzn´ymibarevn´ymiindexy pozorovan´ych hvˇezda r˚uznouvzduˇsnouhmotou zanedbateln´e.Zkuˇsenostale ukazuje, ˇzet´ımse do po- zorov´an´ı,respektive v´ysledn´efotometrick´eˇradydat vkl´adaj´ır˚uzn´etrendy, kter´emohou ovlivnit napˇr´ıkladurˇcovan´eokamˇzikyminim nebo maxim jasnosti. V pˇr´ıpadˇe,kdy je na CCD ˇcipuzaznamen´anovelk´ezorn´epole (nˇekdyaˇzo rozmˇerunˇekolika stupˇn˚u)m˚uˇze doj´ıtk v´yznamn´edeformaci z´ıskan´esvˇeteln´ekˇrivky, pokud nepovedeme standardizaci mˇeˇren´ıa pˇrevod do mezin´arodn´ıhosyst´emu.

3.4.2 Soudob´epˇrehl´ıdkov´eprojekty

Pˇrehl´ıdkov´ych projekt˚u,kde je monitorov´anaalespoˇnˇc´asthvˇezdn´eoblohy, je dnes nˇekolik des´ıtek.Nen´ımoˇzn´ezde uv´estkompletn´ıpˇrehled.Nav´ıcˇradaopravdu velk´ych projekt˚use teprve chyst´a,napˇr´ıklad Large Synoptical Survey Telescope (LSST) (Ivezic et al., 2008), Panoramic Survey Telescope and Rapid Response System (PanSTARRS) (Hodapp et al., 2004) nebo SkyMapper (SEKBO) (Keller et al., 2008). Vybereme tedy jen nˇekter´ez nich, kde je moˇzn´ez´ıskat dobr´adata pro studium promˇenn´ych hvˇezd.

3.4.2.1 Pozemsk´eprojekty ASAS All Sky Automated Survey (ASAS) je polsk´yprojekt, kter´ybˇeˇz´ıod roku 1997. C´ılemje prov´adˇet automatickou fotometrii zhruba 20 milion˚uhvˇezdjasnˇejˇs´ıch neˇz14 mag na cel´e hvˇezdn´eobloze. Dalekohledy projektu mohou nyn´ıpozorovat jiˇzn´ıobjekty do deklinace +28◦, takˇzepokr´yvaj´ıtˇri ˇctvrtiny hvˇezdn´eoblohy. Stanice ASAS-jih je um´ıstˇenana ob- servatoˇriLas Campanas v Chile a ASAS-sever na hawaiisk´emostrovˇeMaui na Haleakala Observatory. Str˚ujcemn´apadubyl Bohadan Paczynski. Prvn´ıprototyp a n´astroje na pˇrenosa zpracov´an´ıdat vytvoˇrilGrzegorz Pojma´nski. V r´amciprojektu bylo objeveno jiˇznˇekolik des´ıtektis´ıcnov´ych promˇenn´ych hvˇezd. Pozorov´an´ıjsou prov´adˇenave filtrech V a I a jsou k dispozici v pˇrehledn´eformˇena webovsk´ych str´ank´ach projektu http://www.astrouw.edu.pl/asas/. Popis projektu a zpracov´an´ıdat je uveden v prvn´ımze s´erieˇcl´ank˚uo v´ysledc´ıch projektu Pojmanski (2002). 3.4. Zdroje pozorovac´ıch dat o promˇenn´ych hvˇezd´ach 67

NSVS Pˇrehl´ıdka Northern Sky Variability Survey (NSVS) vznikla vlastnˇejako doˇcasn´ypro- dukt projektu Robotic Optical Transient Search Experiment (ROTSE-I). Ten spoˇc´ıval v monitorov´an´ıoblast´ıhvˇezdn´eoblohy s deklinac´ıvˇetˇs´ıneˇz-38◦ pomoc´ıˇctyˇrspˇraˇzen´ych dalekohled˚u(teleobjektiv se CCD kamerou) v Los Alamos (New Mexico, USA). Datab´aze NSVS obsahuje svˇetlen´ekˇrivkyzhruba 14 milion˚uobjekt˚uv rozmez´ı8 aˇz15.5 mag. Data jsou nefiltrovan´a,takˇzevzhledem k profilu citlivosti kamer budou bl´ızk´amˇeˇren´ım ve filtru R. Vˇsechna fotometrick´adata jsou k dispozici pˇresSky Database for Objects in Time-Domain (SkyDOT) v Los Alamos National Laboratory http://skydot.lanl. gov/nsvs/nsvs.php. Pˇripouˇzit´ı dat je tˇrebad´avat pozor na form´atˇcasu.Je totiˇzuveden v podobˇe (MJD-50000), tedy modifikovan´ejuli´ansk´edatum zmenˇsen´eo 50000. Nav´ıcautoˇriv in- formativn´ımˇcl´anku(Wo´zniaket al., 2004) neuv´adˇej´ıani pˇresn´yˇcasov´yr´amec (spokoj´ı se chybnˇejen s UT) ani to, zda byla aplikov´anaheliocentrick´akorekce.

OGLE Optical Gravitational Lensing Experiment (OGLE) je dalˇs´ı polsk´yprojekt, kter´yje ˇr´ızenz varˇsavsk´euniverzity. Jeho vedouc´ımje Andrzej Udalski. Zamˇeˇrujese na hled´an´ı temn´ehmoty s pomoc´ımikroˇcoˇcek.Projekt byl zah´ajenv roce 1992 na observatoˇriLas Campanas v Chile. Od t´edoby se jako vedlejˇs´ı produkt mimo jin´epodaˇriloobjevit nˇekolik exoplanet. Hlavn´ım c´ılem pozorov´an´ı jsou Magellanova oblaka a v´ydut’ naˇs´ı Galaxie. Fotometrick´adata pro zvolen´yobjekt jsou k dispozici ve filtrech BVI na webovsk´e str´anceprojektu http://ogle.astrouw.edu.pl/, respektive http://ogledb.astrouw. edu.pl/~ogle/photdb/. Detaily struktury dat jsou pops´any v pr´aciSzymanski (2005). Projekt prob´ıh´av nˇekolika f´az´ıch: OGLE-I (1992–1995), OGLE-II (1996–2000), OGLE- III (2001–2009). V roce 2010 byl proveden upgrade technick´ehovybaven´ıa odstartovala f´azeOGLE IV. D´ıkyvyuˇzit´ı32ˇcipov´emozaikov´eCCD kamery je moˇzn´enyn´ızv´yˇsit kadenci sn´ımk˚upˇrizachov´an´ıstejn´eoblasti monitorov´an´ı.Hlavn´ım´ukolem t´etof´azeje nyn´ıdetekce exoplanet.

SLOAN Sloan Digital Sky Survey (SDSS) je velmi ambici´ozn´ı projekt. Pod´ıl´ı se na nˇem25 instituc´ız cel´ehosvˇeta.V souˇcasn´edobˇe(od r. 2008) prob´ıh´atˇret´ıf´aze.Bˇehemosmi let prvn´ıch dvou ˇc´ast´ı(SDSS-I, 2000-2005; SDSS-II, 2005-2008) byly z´ısk´any sn´ımkyv pˇeti fotometrick´ych filtrech. Z nich byla mimo jin´evytvoˇrenatrojrozmˇern´amapa v´ıceneˇz ˇctvrtiny hvˇezdn´eoblohy obsahuj´ıc´ıpˇres930 000 galaxi´ıa 120 000 kvasar˚u. Poˇr´ızen´afotometrick´aa spektroskopick´adata jsou postupnˇezveˇrejˇnov´ana.V da- tov´embal´ıˇcku8 uvolnˇen´empoˇc´atkem ledna 2011 je fotometrie p˚ulmiliardy hvˇezd a galaxi´ıa spektroskopie dvou milion˚uobjekt˚u.V datech zveˇrejnˇen´ych v roce 2012 je k dispozici prvn´ıˇc´astspektroskopie z Baryon Oscillation Spectroscopic Survey (BOSS), coˇzpˇredstavuje pˇres800 000 spekter. Podrobnˇejˇs´ıinformace k projektu a zveˇrejnˇen´a data jsou k dispozici na http://www.sdss.org/. 68 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

Pi of the Sky Tento projekt je dalˇs´ımz ˇradypolsk´ych pˇrehl´ıdkov´ych fotometrick´ych projekt˚u.Jde o ˇraduplnˇeautomatick´ych soustav se CCD kamerami s velk´ymizorn´ymipoli. Jeden syst´emje um´ıstˇenv Chile (od roku 2004) a druh´y(od roku 2010) ve Spanˇelsku.Projektˇ je zamˇeˇrenna hled´an´ıkr´atk´ych optick´ych transient˚u,zvl´aˇstˇeoptick´ych dosvit˚ugama z´ablesk˚u,monitorov´an´ı aktivit blazar˚ua obecnˇesledov´an´ı vˇsech promˇenn´ych hvˇezd v pozorovan´eoblasti. Detaily jsou pops´any v pr´aciBurd et al. (2004). Pozorov´an´ıbyla prov´adˇenabez filtru, jen nejnovˇejˇs´ıdetektory maj´ırovnˇeˇzpˇredˇrazen fotometrick´yfiltr. Nefitrovan´apozorov´an´ıbyla kalibrov´anana filtr V Opiela et al. (2012). Data jsou k dispozici na http://grb.fuw.edu.pl. Casˇ je ud´av´anve formˇeheliocen- trick´ehojuli´ansk´ehodata HJD, od nˇehoˇzje odeˇctenˇcas T0=2453250. Cel´ysyst´emvyh- led´av´an´ıje trochu neohraban´y,ale vzhledem k tomu, ˇzeprobˇehlupgrade a rozˇs´ıˇren´ı hardwaru, m˚uˇzeme snad oˇcek´avat zlepˇsen´ıi na softwarov´estranˇea uvolnˇen´ıdalˇs´ıv´arky dat. Zat´ımjsou k dispozici data, ˇradyfotometrick´ych mˇeˇren´ızejm´enapro jiˇzn´ıhvˇezdy v rozmez´ızhruba 6 aˇz10 mag.

2MASS Pˇrehl´ıdkov´yinfraˇcerven´yprojekt Two Micron All Sky Survey ve filtrech JHK je v provozu od roku 1997 (severn´ıˇc´astna Mount Hopkins, Arizona, USA), respektive 1998 (jiˇzn´ı ˇc´astna Cerro Tololo, Chile). Projekt byl navrˇzenpro v´yzkumrozs´ahl´ych struktur naˇs´ı Galaxie a m´ıstn´ıskupiny galaxi´ı,ale tak´ejak pˇr´ıpravn´ya podp˚urn´ypro infraˇcerven´e kosmick´eprojekty HST/NICMOS, Spitzer a James Webb Space Telescope. Mˇeˇren´ıve filtrech JHK jsou z´ısk´av´anasouˇcasnˇetˇremir˚uzn´ymiHgCdTe detektory. Limitn´ıhvˇezdn´e velikosti jsou 15.8 mag (J), 15.1 mag (H) a 14.3 mag (K). Pozorov´an´ıbylo ukonˇceno v roce 2001 a prvn´ıdata byla zveˇrejnˇenav roce 2003 na http://www.ipac.caltech. edu/2mass/. V pouˇzit´einfraˇcerven´eoblasti spektra jsou efekty spojen´es mezihvˇezdnouextinkc´ı zhruba desetkr´atmenˇs´ıneˇzje tomu ve filtru B. I kdyˇzje pˇrehl´ıdka c´ılenana galaxie, protoˇzevˇetˇsinaz nich nejsilnˇejiz´aˇr´ıpr´avˇev bl´ızk´einfraˇcerven´eoblasti, jsou data z t´eto pˇrehl´ıdkyvelmi dobˇrevyuˇziteln´ai pˇristudiu promˇenn´ych hvˇezd.K dispozici jsou totiˇz nejen jednotliv´amˇeˇren´ıpro dan´yobjekt, ale ˇradupromˇenn´ych hvˇezdi cel´es´eriemˇeˇren´ı postaˇcuj´ıc´ıch ke konstrukci kompletn´ısvˇeteln´ekˇrivkyperiodicky promˇenn´ych hvˇezd. V r´amci2MASS bylo z´ısk´ano4 121 439 sn´ımk˚us rozliˇsen´ımzhruba 2”/pixel. V kata- logu Point Source Catalogue (PSC) je 470,992,970 objekt˚u.Jenˇze2MASS PSC obsahuje vˇzdyjen jedno mˇeˇren´ıv kaˇzd´em filtru. Casovouˇ s´eriimˇeˇren´ılze z´ıskat z 2MASS Cali- bration Point Source Working Database vyuˇzit´ımserveru NASA/IPAC IRSA GATOR http://irsa.ipac.caltech.edu/applications/Gator/. Bliˇzˇs´ıinformace o projektu lze nal´eztnapˇr´ıkladv pr´aciSkrutskie et al. (2006). Fotometrick´ymdat˚umprojektu, jejich kalibraci a barevn´etransformaci se vˇenuje ˇradapublikac´ı,napˇr´ıkladCohen et al. (2003). Informace o rozˇs´ıˇren´ıprojektu jsou napˇr´ıkladna http://www.ipac.caltech. edu/2mass/releases/allsky/doc/seca1_1.html.

CRTS Catalina Real-Time Transient Survey (CRTS) se zamˇeˇrujena hled´an´ıoptick´ych tran- sient˚us zmˇenamiv d´elceod minut po roky. Prim´arnˇeje urˇcen´yna v´yzkumbl´ızkozemn´ıch 3.4. Zdroje pozorovac´ıch dat o promˇenn´ych hvˇezd´ach 69 objekt˚uNEO. Pˇr´ıstroje projektu pokr´yvaj´ı26 000 stupˇn˚uˇctvereˇcn´ıch hvˇezdn´eoblohy v deklinac´ıch od -35◦ do +65◦, ale vyh´ybaj´ıse oblasti (10 aˇz15 ◦) kolem galaktick´eho rovn´ıku.V katalogu projektu tak´enenajdeme objekty jasnˇejˇs´ıneˇz12 mag (V ), kde uˇzje pˇr´ıliˇsmal´apˇresnostfotometrie. Pro objekty jasnˇejˇs´ıneˇz13 mag by fotometrie projektu mˇelab´ytvyuˇz´ıv´ana obezˇretnˇe.Pro slabˇs´ıc´ıleje pˇresnostv´ysledn´ych hvˇezdn´ych velikost´ı ve V filtru pˇribliˇznˇe0.06 aˇz0.08 mag. V r´amciprojektu, kter´ybˇeˇz´ıod konce roku 2007, se uˇzpodaˇrilodetekovat des´ıtky supernov, kataklyzmick´ych promˇenn´ych hvˇezd,ak- tivn´ıch galaktick´ych jader dalˇs´ıch transient˚u,nˇekter´edosud nezn´am´epovahy. Data pro- jektu jsou dostupn´ana http://nesssi.cacr.caltech.edu/cgi-bin/getcssconedb_ release.cgi. Bliˇzˇs´ıinformace lze naj´ıtv Drake et al. (2009).

3.4.2.2 Kosmick´epˇrehl´ıdky Hipparcos DruˇziceHipparcos (zkratka z High Precision Parallax Collecting Satellite) byla souˇc´ast´ı astrometrick´emise Evropsk´ekosmick´eagentury (ESA), zamˇeˇren´ena mˇeˇren´ıhvˇezdn´ych paralax a vlastn´ıch pohyb˚uhvˇezd.Projekt byl pojmenov´anna poˇceststarovˇek´ehoas- tronoma Hipparcha, konkr´etn´ın´azevvznikl ze zkratky z High Precision Parallax Collect- ing Satellite. Druˇzicepracovala ve vesm´ıruod 8. srpna 1989 do 15. srpna 1993. Cel´ypro- jekt byl rozdˇelenna dvˇeˇc´asti.V r´amcisamotn´ehoexperimentu Hipparcos se mˇeˇrilopˇet astrometrick´ych parametr˚uu zhruba 120 000 hvˇezds pˇresnost´ı2 aˇz4 tis´ıciny obloukov´e vteˇriny (mas) a jejich hvˇezdn´avelikost ve filtru Hp. Druh´yexperiment Tycho se vˇenoval mˇeˇren´ıastrometrick´ych parametr˚ua hvˇezdn´ych velikost´ıve filtrech BT a VT u dalˇs´ıch 400 000 hvˇezds o nˇecomenˇs´ıpˇresnost´ı.V´ysledn´ekatalogy Hipparcos a Tycho byly pub- likov´any Evropskou kosmickou agenturou v ˇcervnu 1997 (ESA, 1997; Perryman& ESA, 1997). O deset let pozdˇejibyla publikov´ananov´aredukce dat katalogu (van Leeuwen, 2007, 2008, 2009, 2010). Casˇ ve vˇsech kataloz´ıch dat je uv´adˇenv podobˇe(JD-2440000).

Corot Sonda COROT (COnvection ROtation and planetary Transits) je projektem Fran- couzsk´evesm´ırn´eagentury (CNES) a ESA. Jak vypl´yv´az pln´ehon´azvu, m´atato mise dva prim´arn´ıc´ıle.Jednak m´ap´atratpo tranzituj´ıc´ıch exoplanet´ach a jednak studovat d´ıkyvelmi pˇresn´efotometrii i oscilace hvˇezdpodobn´etˇemsluneˇcn´ım,zamˇeˇritse tedy na astroseismologii. Sonda odstartovala v prosinci 2006 a pˇredpokl´adalo se, ˇzebude v provozu pˇribliˇznˇedva a p˚ulroku. Pˇrestechnick´epot´ıˇze,kter´ev roce 2009 zmenˇsily zorn´epole na polovinu, sonda pokraˇcujea jej´ıˇcinnostbyla prodlouˇzenaaˇzdo roku 2015. Dalekohled sondy o pr˚umˇeru27 cm sn´ım´astˇr´ıdavˇepouze dvˇepole – kruhov´eoblasti o pr˚umˇeru10◦ v rovinˇeGalaxie se stˇredyna rektascenzi 6h 50m a 18h 50m. V´ysledkem je v´ıcebarevn´afotometrie (UBVr’i’). Bliˇzˇs´ıinformace a zveˇrejnˇen´adata z projektu jsou k dispozici na http://smsc.cnes.fr/COROT/. Casyˇ jsou v pˇr´ıpadˇet´etosondy uv´adˇeny v podobˇeCJD (CoRoT Julian day) a jsou uv´adˇeny i v heliocentrick´epodobˇe. Moˇzn´a z´aludnostje zde v tom, ˇzeuv´adˇen´yokamˇzikje konec 32sekundov´eexpozice (u sn´ımk˚u s ud´avanou expozic´ı32 s), pˇr´ıpadnˇekonec prvn´ız 16 dvaatˇricetisekundov´ych expozic (u sn´ımk˚us expozic´ı512 s). 70 Kapitola 3. Pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd

Kepler Jedna z nej´uspˇeˇsnˇejˇs´ıch kosmick´ych sond nese jm´enoKepler. Na obˇeˇznoudr´ahu kolem Zemˇeji vyslala NASA v roce 2009 s c´ılemmˇeˇritsoustavnˇejasnosti hvˇezd ve vybran´em poli na rozhran´ı souhvˇezd´ı Lyry a Labutˇe.Dalekohled o pr˚umˇeru95 cm (s hlavn´ım zrcadlem 1.4 metru) je doplnˇenmatic´ı42 CCD ˇcip˚u,coˇzje v souˇcasnostinejvˇetˇs´ıCCD detektor ve vesm´ıru.Hlavn´ım´ukolem druˇziceje p´atratpo transituj´ıc´ıch exoplanet´ach u hvˇezdve vybran´emzhruba 12 stupˇn˚uvelk´emzorn´empoli. Do poˇc´atkuroku 2013 objevil Kepler pˇres400 exoplanet a t´emˇeˇr3000 kandid´at˚u.Mimoˇr´adnˇepˇresn´afotome- trie a zcela unik´atn´ıd´elka a ˇcasov´erozliˇsen´ıumoˇzˇnuj´ıi velmi pˇresn´ea detailn´ıstudie promˇenn´ych hvˇezd.Bliˇzˇs´ı informace o projektu jsou k dispozici na str´ank´ach http: //www.nasa.gov/mission_pages/kepler/main/index.html. Data pro jednotliv´eob- jekty je moˇzn´evyhled´avat na http://archive.stsci.edu/kepler/data_search/search. php.

Integral DruˇziceINTEGRAL (International Gamma Ray Astrophysics Laboratory) je dalˇs´ız ˇrady vˇedeck´ych druˇzicESA. Jej´ımc´ılemje z´ısk´an´ımapy hvˇezdn´eoblohy v oboru γ z´aˇren´ı. Na obˇeˇzn´edr´azepracuje od roku 2002. Pozorovatele promˇenn´ych hvˇezdale v´ıcezaj´ım´a mal´ypodp˚urn´yprojekt na palubˇe– Optical Monitoring Camera (OMC). Kamera se zobrazovac´ımpolem 1024 x 1024 pixel˚uje nainstalov´anana dalekohledu o pr˚umˇeru50 mm a opatˇrenaJohnsonov´ymfiltrem V . Data z t´etokamery jsou dostupn´ana https: //sdc.cab.inta-csic.es/omc/secure/form_busqueda.jsp?resetForm=true a jsou pr˚ubˇeˇznˇezveˇrejˇnov´ana.Pˇrivyuˇzit´ıje tˇrebad˚ukladnˇeproˇc´ıstpopis dat. Casyˇ pozorov´an´ıjsou ukl´ad´any v geocentrick´ea barycentrick´epodobˇea znaˇc´ızaˇc´atek expozice. D´elka expozice se pˇritom mˇen´ı.Nav´ıcmohou b´ytjednotliv´ehvˇezdn´evelikosti v´ysledkem skl´adan´ych expozic, kter´ejsou uvedeny v ˇcasov´emrozliˇsen´ı10 minut, ale jejich d´elka se m˚uˇzemˇenitod zhruba 4 minut do 15 minut. Bliˇzˇs´ıinformace lze naj´ıt napˇr´ıklad v Zejda & Domingo (2011). Po dev´ıti letech pr´acejsou v datab´aziOMC svˇeteln´ekˇrivky(o v´ıceneˇz50 bodech) zhruba 70 000 objekt˚u.Kolektiv autor˚u(Alfonso- Garz´onet al., 2012) publikoval souhrnn´ev´ysledkyo 5263 promˇenn´ych objektech, je- jich data jsou dostupn´ai na serveru CDS (Strasbourg Astronomical Data Center) (http://cds.u-strasbg.fr/).

GAIA Kr´atk´ypˇrehledkosmick´ych pˇrehl´ıdekjsme zaˇcaliastrometrickou druˇzic´ıHipparcos a skon- ˇc´ıme jej´ım n´astupcem – sondou Gaia (Global Astrometric Interferometer for Astro- physics). Tak´eGAIA je evropsk´yprojekt (ESA). Jej´ıstart je pl´anov´anna ˇr´ıjen2013. Mezi z´akladn´ıc´ılesondy patˇr´ıshrom´aˇzdˇen´ıastrometrick´ych a fotometrick´ych dat pˇribliˇznˇe jedn´emiliardy hvˇezddo 20 mag. Kaˇzdouhvˇezdu by pˇritombˇehempˇredpokl´adan´eˇzivot- nosti sondy (5 let) mˇelazmˇeˇrit70kr´at.Pˇresnosturˇcen´ıpolohy by mˇelab´ytpro hvˇezdy do 15 mag kolem 20 mili´ontin ´uhlov´evteˇriny a pro hvˇezdy20 mag pak desetkr´atmenˇs´ı. Na palubˇebudou tˇrihlavn´ı pˇr´ıstroje: kamera Astrometric Field pro astrometrii, modr´ya ˇcerven´yfotometr pro n´ızkodisperzn´ı spektroskopii a Radial Velocity Spec- trometer na mˇeˇren´ıradi´aln´ıch rychlost´ı.O zpracov´an´ıdat bl´ıˇzepojedn´av´aBusso et al. (2012). Pokud vˇsep˚ujde,jak m´atak bude v´ysledn´ykatalog s daty k dispozici kolem roku 2020. Bliˇzˇs´ıinformace o misi jsou na http://sci.esa.int/science-e/www/area/ 3.4. Zdroje pozorovac´ıch dat o promˇenn´ych hvˇezd´ach 71 index.cfm?fareaid=26.

3.4.3 Virtu´aln´ıobservatoˇr Jak napov´ıd´ai pˇredchoz´ı kapitola, je souˇcasn´aastronomie postavena pˇred z´avaˇzn´y probl´em– z´aplavu dat. Data se val´ıskuteˇcnˇeze vˇsech stran v takov´em´ıˇre,ˇzejejich objem se zdvojn´asobujekaˇzd´ych ˇsestmˇes´ıc˚u.Samozˇrejmˇe,jak uˇzto b´yv´a,zrovna pro v´amistudovan´yobjekt je tˇech dat m´alo a potˇrebujetenaj´ıtvˇsechna dostupn´amˇeˇren´ı. V oblasti promˇenn´ych hvˇezdv´ampro prvotn´ıpˇrehleddobˇreposlouˇz´ıkatalog americk´e spoleˇcnosti pozorovatel˚upromˇenn´ych hvˇezdAAVSO Variable Star Index, o nˇemˇzuˇz jsme se zmiˇnovali. Na adrese http://www.aavso.org/vsx/ najdete totiˇznejen samotn´y katalog promˇenn´ych hvˇezd,ale pro zvolenou hvˇezdutak´eodkazy pˇr´ımona data hvˇezdy v r˚uzn´ych fotometrick´ych pˇrehl´ıdk´ach a datab´az´ıch. Samozˇrejmˇem˚uˇzetedata hledat tak´epˇresSIMBAD Astronomical Database (http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/) a nebo vyuˇz´ıtsluˇzebvirtu´aln´ıobservatoˇre(VO). Virtu´aln´ı observatoˇr vznikla na z´akladˇeiniciativy astronomick´ekomunity. Jej´ım c´ılem je poskytnout glob´aln´ı elektronick´ypˇr´ıstup ke vˇsemastronomick´ymdatov´ym archiv˚umz pˇrehl´ıdkov´ych projekt˚upozemsk´ych i kosmick´ych, ale i archiv˚umjednotliv´ych observatoˇr´ınebo i pozorovatel˚u.Ruku v ruce s otevˇren´ımarchiv˚uje i poskytnut´ıefek- tivn´ıch n´astroj˚upro zpracov´an´ıtˇechto dat a pr´acis nimi. Ve svˇetˇeexistuj´ır˚uzn´en´arodn´ı virtu´aln´ıobservatoˇrenebo jejich mezin´arodn´ısdruˇzen´ı,napˇr´ıklad Evropsk´avirtu´aln´ıob- servatoˇrEURO-VO (http://www.euro-vo.org/). Vˇsechny z´ajemcepak sdruˇzujeIVOA (International Virtual Observatory Alliance, http://www.ivoa.net/). Metody zpracov´an´ıpozorov´an´ı

74 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza 4 Regresn´ıanal´yza 4.1 Uvodem´

Objekty s promˇenn´ymicharakteristikami jsou pˇredmˇetemsoustˇredˇen´ehoz´ajmu astro- fyzik˚u,protoˇzesvou promˇennost´ıtoho o sobˇeprozrazuj´ıv´ıce,neˇzobjekty nepromˇenn´e. Zjiˇstˇen´ı a matematick´evyj´adˇren´ı povahy ˇcasov´epromˇennostimˇeˇren´ych veliˇcin(jas- nost, magnetick´epole, intenzita spektr´aln´ıch ˇcar,polarizace apod.), hled´an´ı trend˚u, cyklick´ych zmˇen,periodicit apod. - to jsou nejˇcastˇejˇs´ı´ukoly, kter´epraktick´aastrofyzika ˇreˇs´ı. Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ım n´astrojem pro matematick´ezpracov´an´ı tˇechto z´avislost´ı je tzv. regresn´ıanal´yza a zejm´enajej´ınejstarˇs´ıa nejpropracovanˇejˇs´ıdiscipl´ına– metoda nej- menˇs´ıchˇctverc˚u (MNC,ˇ anglicky least square method - LSM). Dˇr´ıve neˇzpˇristoup´ıte ke zpracov´an´ı pomoc´ı regresn´ı anal´yzy, doporuˇcujiabyste si celou situaci nejprve zevrubnˇeobhl´edli,coˇzmj. znamen´a,ˇzesi do nejr˚uznˇejˇs´ıch graf˚uˇcisch´ematvynesete vz´ajemn´ez´avislostivˇsech moˇzn´ych veliˇcindotyˇcn´ehoob- jektu, at’ uˇzv´aminamˇeˇren´ych nebo pˇrevzat´ych z literatury. Vˇeˇrte,ˇzetyto obr´azky“ ” v´amo povaze vz´ajemn´ych souvislost´ımezi jednotliv´ymicharakteristikami povˇed´ıv´ıce neˇzsebedokonalejˇs´ıˇc´ıseln´erozbory. Zjist´ıte-li,ˇzezobrazen´ev´ysledky mˇeˇren´ı {yi} jev´ı jistou ˇcasovou z´avislost,zˇrejmˇet´eˇzpoc´ıt´ıteneodolateln´enutk´an´ıtuto z´avislostproloˇzit (fit) nˇejakou elegantn´ıhladkou kˇrivkou. Proˇc?Nejsp´ıˇsproto, abyste vidˇeli,jak se dan´a veliˇcinadoopravdy mˇen´ı,tedy jak by to asi vypadalo, pokud byste dotyˇcnouveliˇcinu dok´azalimˇeˇritnepˇretrˇzitˇea pˇritomnav´ıcabsolutnˇepˇresnˇe.K tomuto ide´alusamozˇrejmˇe nedospˇejetenikdy, lze se mu vˇsakalespoˇnpˇribl´ıˇzit.Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚upˇritom naznaˇcujeosvˇedˇcenoucestu, jak toho dos´ahnout. Doporuˇcujiv´am, abyste ale pˇredemzv´aˇzili,zda je v˚ubec tˇrebanˇecoprokl´adata poˇc´ı- tat! Chceme-li totiˇzjen dokumentovat, ˇzetu ona z´avislostexistuje, tak je poctivˇejˇs´ıdo grafu ˇz´adnoukˇrivkunevkreslovat, staˇc´ıjen zvolit vhodn´amˇeˇr´ıtka na os´ach a obr´azek prezentovat v jeho origin´aln´ıpodobˇe.Pouze tehdy, chceme-li s v´ysledkyproloˇzen´ıd´ale pracovat a nˇecoz nich vyvozovat, je z´ahodno pustit se do matematick´ehozpracov´an´ı.

4.1.1 Regresn´ımodel Vyˇsetˇrujmenejprve ˇcasovou z´avislostvybran´emˇeˇren´eveliˇciny y na z´akladˇe ˇcasov´eˇrady, coˇzje soubor n trojic {ti, yi, σi}. Pˇredpokl´adejmepˇritom,ˇzeˇcasmˇeˇren´ı t zn´ame naprosto pˇresnˇe,lze jej tedy pokl´adatza nez´avislouveliˇcinu, zat´ımco jednotliv´amˇeˇren´ı z´avislepromˇenn´eveliˇciny y, yi, jsou zat´ıˇzenaurˇcitounejistotou, ˇreknˇeme σi. Naˇs´ımz´amˇeremnyn´ıbude naj´ıttakovou skal´arn´ıfunkci ˇcasu t, f(t), kter´aoptim´alnˇe proch´az´ımezi namˇeˇren´ymibody a co nejl´epe vystihuje re´alnouˇcasovou z´avislostpo- zorovan´eveliˇciny. Trivi´aln´ımˇreˇsen´ımt´eto´ulohy v pˇr´ıpadˇeˇcasov´ez´avislostije pospojov´an´ıvˇsech po ˇcasovˇe sobˇen´asleduj´ıc´ıch bod˚ulomenou ˇc´arou {ti, yi}, pˇr´ıpadnˇenˇejakou sice hladkou, ale dostateˇcnˇe zvlnˇenouˇc´arou(napˇr.polynomem stupnˇe n − 1), kter´aby proch´azelad˚uslednˇevˇseminamˇeˇre- n´ymibody1. Takov´yto postup by mˇelsv´eopodstatnˇen´ıpouze tehdy, pokud bychom jak ˇcas, tak z´avislepromˇennouveliˇcinu znali absolutnˇepˇresnˇe,coˇzje nere´aln´e.Mnohem hodnovˇernˇejˇs´ı

1T´ımto polynomem stupnˇe n − 1 m˚uˇzeb´yttˇreba Lagrange˚uvnebo Newton˚uvinterpolaˇcn´ıpolynom. 4.1. Uvodem´ 75 v´ysledkyd´av´aprost´agrafick´ametoda, kdy mezi body vynesen´ymido grafu t´ahneme od ruky hladkou kˇrivku, kter´adle naˇsehopˇresvˇedˇcen´ıco nejl´epe vyjadˇrujepozorovanou z´avislost.Tento zp˚usobproloˇzen´ıvˇsaknen´ıobecnˇereprodukovateln´y(i vy sami nakresl´ıtetu svou optim´aln´ı kˇrivkupokaˇzd´etrochu jinak), nav´ıcse s t´ımto grafick´ymˇreˇsen´ımpotom dosti ˇspatnˇepracuje. Bˇeˇznˇese proto d´av´apˇrednost takov´ymmetod´am,kter´evedou k analytick´emu vyj´ad- ˇren´ıprokl´adan´efunkce a k objektivn´ımu, reprodukovateln´emu stanoven´ıkrit´erianejlepˇs´ı shody. Obvykle si hned na poˇc´atkudefinujeme tzv. regresn´ımodel (regression model). Regresn´ımmodelem si z nekoneˇcn´ehomnoˇzstv´ıfunkc´ı,jimiˇzby bylo moˇznopozorovanou z´avislostproloˇzit,vybereme jen jistou omezenou mnoˇzinu funkc´ı,pˇriˇcemˇzkaˇzd´az funkc´ı t´etozvolen´emnoˇziny modelov´ych funkc´ıbude plnˇedefinov´ana g pˇredemnezn´am´ymi voln´ymiparametry, kter´esi pracovnˇeoznaˇc´ıme β1, β2, β3, ...βg. Veliˇcina g pak vyjadˇruje poˇcetstupˇn˚uvolnosti (degree of freedom) zvolen´ehomodelu. Na tom, jak si dok´aˇzeme zvolit ten spr´avn´yregresn´ımodel, kter´yv sobˇeobsahuje funkce co nejpodobnˇejˇs´ıre´aln´e z´avislosti y(t) a pouˇz´ıtpˇritomco nejmenˇs´ıpoˇcetvoln´ych parametr˚u,pak z´avis´ı´uspˇech cel´ehonaˇsehodalˇs´ıhopoˇc´ın´an´ı. Pokud nev´ımeo fyzik´aln´ıpodstatˇez´avislostijedn´ez pozorovan´ych veliˇcinna druh´ev˚ubec nic, pak jako regresn´ımodel vol´ımesoubor co nejjednoduˇsˇs´ıch funkc´ı- polynomy, harmon- ick´efunkce - s nimiˇzlze snadno pracovat. Pokud vˇsakjiˇzpˇredemv´ıme, jakou modelovou funkc´ıby mˇelab´ytpozorovan´az´avislostpops´ana,mˇelibychom j´ıd´atpˇrednost,protoˇzeji- nak si zp˚usob´ımezbyteˇcn´eprobl´emy pˇriinterpretaci zjiˇstˇen´ez´avislosti.Spr´avnoua citlivou volbou regresn´ıhomodelu lze ze souboru dat vytˇeˇzitspoustu informac´ı, naopak zvolen´ımnead- ekv´atn´ıhomodelu, lze snadno dospˇeti ke zcela myln´yma faleˇsn´ymv´yvod˚um. Regresn´ı model pˇredstavuje mnoˇzinu podobn´ych funkc´ı, kter´ese od sebe liˇs´ı jen jin´ymihodnotami voln´ych parametr˚u β1, β2, ...βg : f(t) = f(β1, β2, ...βg, t). Uspoˇr´adanou g−tic´ı parametr˚u βj je v´yhodn´ezapisovat jako g-rozmˇern´yvektor nebo sloupcovou T matici β o rozmˇerech g × 1 (g ˇr´adk˚ua 1 sloupec): β = (β1, β2, ...βg) . Pˇredpokl´adejmenyn´ı,ˇzejsme v r´amciregresn´ıhomodelu zvolili nˇejakou konkr´etn´ı hodnotu vektoru parametr˚upro i-t´emˇeˇren´ı {ti, yi} pak lze vyj´adˇritodchylku ei tohoto mˇeˇren´ıod dan´ez´avislostivztahem

ei = yi − f(ti, β). (4.1)

Je zjevn´e,ˇzeˇc´ımmenˇs´ıbudou odchylky mˇeˇren´ıod modelov´epˇredpovˇedi,t´ımlepˇs´ıbude proloˇzen´ı. Je vˇsaktˇrebanav´ıcuv´aˇzit,ˇzejednotliv´amˇeˇren´ımaj´ır˚uznou kvalitu, ˇcichcete-li v´ahu, kter´abude nˇejaksouviset s nejistotou jejich urˇcen´ı σi. Je uˇziteˇcn´ezav´estsi tzv. modifikovanou odchylku e˜i, kdee ˜i = ei/σi, a tu pak br´atjako rozhoduj´ıc´ıpˇriposuzov´an´ı ´uspˇeˇsnostimodelov´an´ınˇejak´ych pozorovan´ych z´avislost´ı,tedy:

ei yi − f(ti, β) e˜i = = . (4.2) σi σi

Naˇs´ım´ukolem nyn´ıbude vybrat z mnoˇziny funkc´ı,kter´epˇripouˇst´ızvolen´yregresn´ı model, f(t, β) popsan´ych vektorem β, takov´yvektor β = b, pro nˇejˇzbudou modi- fikovan´eodchylky {e˜i} minim´aln´ı.Onu podm´ınkuminim´alnostije ovˇsemtˇrebanejprve matematicky precizovat. Nejˇcastˇejipouˇz´ıvanou, a z mnoha d˚uvod˚unejobl´ıbenˇejˇs´ı(nikoli 76 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza vˇsakjedinou2), je podm´ınka, aby souˇcetˇctverc˚umodifikovan´ych odchylek pro vˇsechna mˇeˇren´ı,oznaˇcovan´ybˇeˇznˇejako veliˇcina χ2, tedy n n  2 X X ei χ2 = e˜2 = (4.3) i σ i=1 i=1 i byl minim´aln´ı.Z t´etopodm´ınkypak vych´az´ımodern´ıvarianta, jinak jiˇzletit´emetody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u,kter´ese budeme nad´alevˇenovat. Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚uje n´astroj, pomoc´ınˇehoˇzlze pomˇernˇejednoduˇsestanovit hodnoty parametr˚uzvolen´ehoregresn´ıhomodelu tak, aby tento model co nejl´epe sou- hlasil s t´ım,co jsme napozorovali. Pokud jsme mˇeliˇst’astnou ruku pˇri v´ybˇerumodelu, budeme moci i pˇredpovˇedˇet,jak se zkouman´yobjekt choval, a to i v dobˇe,kdyˇzjsme jej nemˇelipod dohledem. Budeme moci pˇredpovˇedˇet,co by se s n´ımmˇelod´ıtv budoucnosti. Vˇsechny tyto pˇredpovˇedizn´amei s jistou d´avkou nepˇresnosti,kter´aje d´anajednak t´ım,ˇzezvolen´ymodel nemus´ı ´uplnˇepˇresnˇeodpov´ıdat realitˇe,ale zejm´ena proto, ˇze vˇsechna pozorovac´ıdata jsou zat´ıˇzenajistou nepˇresnost´ıdanou zp˚usobem mˇeˇren´ıa ˇradou nezn´am´ych faktor˚u,kter´ev´ysledkypozorov´an´ıovlivˇnuj´ı.Velkou pˇrednost´ıMNCˇ je, ˇze umoˇzˇnujenejen pˇredpov´ıdat,ale i odhadnout nejistotu tˇechto pˇredpovˇedi.

4.1.2 Zd˚uvodnˇen´ımetody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u MNCˇ vych´az´ı ze skuteˇcnosti,ˇzenaprost´avˇetˇsinaodchylek od hodnoty, kterou jsme mˇeliv dan´echv´ıli namˇeˇrit,m´atzv. norm´aln´ı rozdˇelen´ı. To znamen´a,ˇzehistogram tˇechto n´ahodn´ych odchylek m´azvonovit´ytvar, vyjadˇruj´ıc´ı skuteˇcnost,ˇze pˇrev´aˇzn´a vˇetˇsinamˇeˇren´ıse kup´ıkolem t´e re´aln´e“ hodnoty, najdou se vˇsaki mˇeˇren´ı,kter´ase ” od tohoto ˇz´adouc´ıhoide´aluv´ıceˇcim´enˇeodchyluj´ı.Nejistota mˇeˇren´ıpak znamen´a,ˇze pravdˇepodobnost rozloˇzen´ızmˇeˇren´ıdan´ehodnoty je dobˇrepops´anaGaussovou funkc´ı3, jej´ıˇzˇs´ıˇrka - tedy m´ıra rozmazanosti - je urˇcenatzv. rozptylem σ2. Pˇr´ıˇciny on´eroz- mazanosti jsou mnoh´e,souvisej´ıjak s kvantovou povahou mˇeˇren´ı(napˇr.statistika fo- ton˚uapod.), turbulenc´ıatmosf´ery, zmˇenami atmosf´erick´ehotlaku i stavem pozorovatele, kol´ıs´an´ımnapˇet´ıelektrick´es´ıtˇeapod. Nˇekter´ez tˇechto vliv˚usice lze potlaˇcit,nicm´enˇe ´uplnˇeje odstranit nelze. Naˇstˇest´ın´amvych´azej´ıvstˇr´ıct´ım,ˇzejsou pˇredv´ıdateln´ea t´ım i eliminovateln´e. Kromˇenich vˇsakexistuj´ıi takov´evlivy, kter´edo naˇsich mˇeˇren´ıvn´aˇsej´ıhrub´echyby. Mo- hou to b´ytnapˇr.vlety kosmick´ych ˇc´astic,nestabilita vlastn´ıhopozorovac´ıhopˇr´ıstroje, prudk´e zmˇeny poˇcas´ı,chyby odeˇctupozorovan´eveliˇciny tˇrebaz d˚uvodu nepozornosti (z´amˇenaˇc´ıslic, chybn´yform´at)apod. Nˇekter´ez hrub´ych chyb lze uˇzve v´ypisu namˇeˇren´ych hodnot snadno identifikovat, nebot’ se v´yraznˇeodchyluj´ıod ostatn´ıch mˇeˇren´ı.Takov´etochyby je z´ahodno ne- milosrdnˇeeliminovat. Pokud se vˇsakmˇeˇren´ızat´ıˇzen´ahrub´ymichybami od ostatn´ıch mˇeˇren´ı liˇs´ıjen m´alo,je jejich odhalen´ın´aroˇcnˇejˇs´ıa neobejde se bez celkov´eho statistick´ehozhodno- cen´ıcel´epozorovac´ıs´erie.Dosti z´aludn´emohou b´ytˇcasovˇepromˇenn´esystematick´eodchylky ˇcikol´ıs´an´ı,kdy lze vysledovat zjevnou korelaci odchylek. 2Jinou takovou podm´ınkou m˚uˇzeb´ytminim´alnostsouˇctuabsolutn´ıch hodnot modifikovan´ych od- chylek nebo jejich ˇctvrt´ych mocnin. Nicm´enˇetakto definovan´epodm´ınkyse pouˇz´ıvaj´ıjen zˇr´ıdka, a ve zcela od˚uvodnˇen´ych pˇr´ıpadech. Naopak ˇcastose pouˇz´ıvaj´ıjist´emodifikace MNC,ˇ kter´edok´aˇz´ıelimino- vat hrub´echyby. Tˇemto modifikac´ımse pak ˇr´ık´a robustn´ıregrese. 3Podrobnˇejˇs´ızd˚uvodnˇen´ı,proˇctomu tak je, n´ampˇrin´aˇs´ıtzv. centr´aln´ılimitn´ıteor´em“. ” 4.2. Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u 77

My se ted’ vˇsaksoustˇred´ımejen na ty odchylky, kter´evznikaj´ısouhrou n´ahodn´ych proces˚ua jejichˇzpravdˇepodobnost lze dostateˇcnˇepopsat tzv. norm´aln´ırozdˇelovac´ıfunkc´ı. Pˇredpokl´adejmenyn´ı,ˇzemodelujeme z´avislost n mˇeˇren´ych veliˇcin yi na ˇcase ti. f(ti, β) necht’ je modelov´apˇredpovˇed’ v ˇcase ti s modelov´ymiparametry β. D˚uleˇzit´ymparame- trem je nejistota (rozptyl) σi kaˇzd´ehomˇeˇren´ı. Soustˇred’me se nejprve na libovolnˇevybran´e i-t´emˇeˇren´ıs namˇeˇrenouhodnotou yi a jej´ımodelovou pˇredpovˇed´ı f(ti, β). Za pˇredpokladu, ˇzerozdˇelen´ıodchylek je norm´aln´ı, pak plat´ı,ˇzehustota pravdˇepodobnosti t´etosituace P (yi|f(ti, β), σi) bude d´anapovˇe- dom´ymvztahem: "  2# 1 1 yi − f(ti, β) P (yi|f(ti, β), σi) = √ exp − . (4.4) σi 2 π 2 σi Je zjevn´e,ˇzetato d´ılˇc´ıhustota pravdˇepodobnosti bude t´ımvyˇsˇs´ı,ˇc´ımbl´ıˇzek sobˇebu- dou m´ıt pozorov´an´ı a pˇredpovˇed’. V´yˇseuvedenou hustotu pravdˇepodobnosti lze pro dan´ymodel a zvolenou sadu parametr˚uvypoˇc´ıtatpro vˇsechna pozorov´an´ı.Jsou-li jed- notliv´apozorov´an´ız´ısk´ananez´avisle,pak v´ysledn´ahustota pravdˇepodobnosti toho, jak vˇernˇezvolen´yregresn´ımodel f(t, β) popisuje realitu, bude d´ana souˇcinemd´ılˇc´ıch hustot pravdˇepodobnosti. Ten souˇcin,kter´ysi oznaˇc´ıme L(β), ˇc´ıselnˇevyjadˇrujevˇerohodnost zvolen´ehomodelu: n "  2# Y 1 1 yi − f(ti, β) L(β) = √ exp − . (4.5) 2 σ i=1 σi 2 π i Budete-li si nyn´ı vyb´ırat mezi jednotliv´ymiregresn´ımi modely, vyberete si jistˇeten, kter´ym´amaxim´aln´ıvˇerohodnost (likelihood) L(β). Tomuto postupu se ˇr´ık´a metoda maxim´aln´ıvˇerohodnosti a lze ji pouˇz´ıtm´ıstometody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u,s n´ıˇzovˇsem intimnˇesouvis´ı.Staˇc´ıtotiˇzvztah pro vˇerohodnost (4.5) zlogaritmovat a trochu upravit n n  2 n X X yi − f(ti, β) X −2 ln L(β) + ln[2 π (σ )2] = = e˜2 = χ2(β). (4.6) i σ i i=1 i=1 i i=1 Nab´yv´a-livˇerohodnost modelu L(β) sv´ehomaxima, pak vˇsechny v´yrazyv rovnic´ıch (4.6) dosahuj´ısv´ehominima, pˇriˇcemˇzsuma na lev´estranˇerovnice je konstanta. Suma ˇctverc˚upod´ıl˚uodchylek a jejich nejistot se bˇeˇznˇeoznaˇcujejako χ2(β). Minimalizac´ıt´eto bezrozmˇern´eveliˇciny4 χ2(β) pak lze hledat ty nejlepˇs´ız regresn´ıch model˚u.Od metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚un´asdˇel´ıuˇzjen docela mal´ykr˚uˇcek.

4.2 Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u

4.2.1 Hled´an´ıˇreˇsen´ımetodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u Suma χ2(β) je bezrozmˇern´askal´arn´ıfunkce vektoru parametr˚u β:

n  2 n 2 n n X yi − f(ti, β) X e X X 2 χ2(β) = = i = e2w2 = [y − f(t , β)] w , (4.7) σ σ2 i i i i i i=1 i i=1 i i=1 i=1 4Srovnejte pros´ıms intuitivn´ımtvarem χ2 v (4.3). 78 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza jeˇzje ´umˇern´az´apornˇevzat´emu logaritmu pravdˇepodobnosti dan´ehoˇreˇsen´ı. M´ıstoindi- 5 vidu´aln´ıch nejistot σi lze z v´ypoˇcetn´ıch d˚uvod˚upouˇz´ıti individu´aln´ıv´ahy dan´evzta- −2 hem: wi = σi . Hledejme nyn´ıtakov´yvektor β, (β = b) pro nˇejˇzje tato suma χ2 = χ2(β = b) minim´aln´ı.Funkci χ2(β) si lze pˇredstavit jako zproh´ybanouplochu v (g + 1) rozmˇern´em prostoru, kde g rozmˇer˚uje vyhrazeno pro sloˇzkyvektoru β a g plus prvn´ırozmˇerje rezervov´anpro funkˇcn´ıhodnotu χ2(β). Obecnˇem˚uˇzem´ıttakov´aplocha dosti kompliko- van´yvzhled. Nicm´enˇevˇetˇsinouna n´ım˚uˇzemenaj´ıtjedno nebo i v´ıcelok´aln´ıch minim, z nichˇzovˇsemjen nˇekter´abudou m´ıtnˇejak´ydobr´yfyzik´aln´ısmysl. Pˇrihled´an´ı extr´em˚u(minima nebo maxima) skal´arn´ı funkce je vhodn´esi zav´est pojem gradient funkce. Gradient v dan´embodˇeje vektor orientovan´yv opaˇcn´emsmˇeru neˇzsp´adnice,pˇriˇcemˇzd´elka vektoru je t´ım vˇetˇs´ı,ˇc´ım strmˇejiv dan´embodˇefunkce prob´ıh´a. C´ıselnˇejsouˇ sloˇzkyvektoru gradientu funkce χ2, kter´aje funkc´ı g promˇenn´ych parametr˚u,rovny parci´aln´ımderivac´ımpodle tˇechto parametr˚u

∂χ2 ∂χ2 ∂χ2  ∇~ χ2(b) = , ,..., . (4.8) ∂β1 ∂β2 ∂βg Gradient lze takto podle potˇreby ch´apatjako bud’ jako vektor o g sloˇzk´ach nebo ˇr´adkovou matici s g sloupci. Pomoc´ıgradientu souˇctuˇctverc˚uodchylek lze podm´ınkupro nalezen´ı extr´emu funkce nebo jeho sedlov´ehobodu lze pak elegantnˇezapsat

∇~ χ2(b) = 0, (4.9) kde 0 je ˇr´adkov´yvektor o g sloˇzk´ach, jeˇzjsou vˇsechny rovny nule. Podm´ınka tak ˇr´ık´a, ˇzeextr´em(sedlov´ybod) skal´arn´ıfunkce nast´av´av takov´embodˇe,kde vˇsechny sloˇzky gradientu funkce jsou rovny nule. N´asovˇsemzaj´ımaj´ıpr´avˇejen minima t´etofunkce. Velikost vektoru gradientu je v minimu nulov´a,jsme totiˇzna dnˇe– hloubˇejise v okol´ı tohoto bodu dostat nelze. Popisovan´emetodˇehled´an´ıminima skal´arn´ıfunkce se proto ˇr´ık´at´eˇz gradientn´ımetoda (gradient method). Dosad´ıme-linyn´ıv´yrazpro v´ahovanou sumu ˇctverc˚uodchylek do (4.9) po kr´atk´ych ´uprav´ach dojdeme k jedin´evektorov´epodm´ınce

n n X xi f(ti, b) X xi yi = , σ2 σ2 i=1 i i=1 i n n X X nebo xi f(ti, b) wi = xi yi wi, (4.10) i=1 i=1   ~ ∂f(ti, b) ∂f(ti, b) ∂f(ti, b) xi = ∇f(ti, b) = , ,..., . (4.11) ∂β1 ∂β2 ∂βg

Vektor pˇr´ısluˇsn´yk i-t´emu mˇeˇren´ı xi s g sloˇzkami je tedy gradientem podle sloˇzek parametr˚uprokl´adan´efunkce v dan´embodˇe.Sloˇzkytohoto vektoru tak lze pokl´adat

5U tˇechto vah je vˇsaktˇrebam´ıtna pamˇeti, ˇzeto nejsou bezrozmˇern´eveliˇciny, ale ˇzemaj´ıindividu´aln´ı −2 rozmˇerdim(wi) = [dim(yi)] . 4.2. Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u 79

Obr´azek4.1: Na tˇechto ˇctyˇrech po sobˇen´asleduj´ıc´ıch obr´azc´ıch si m˚uˇzeteovˇeˇrits´ılumetody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u.Pˇredpokl´adejme,ˇzez´avislepromˇenn´a(mˇeˇren´a)veliˇcina y je line´arnˇe z´avisl´ana nez´avislepromˇenn´eveliˇcinˇe x (typicky na ˇcase).D´alepˇredpokl´adejme,ˇzekaˇzd´y z 1000 namˇeˇren´ych bod˚uje zat´ıˇzennejistotou σi, kter´abude pro jednoduchost pro vˇsechny body stejn´a.Nyn´ısi z tˇechto 1000 bod˚un´ahodnˇevybereme 20, kter´ejsou na druh´emobr´azku zv´yraznˇeny krouˇzky. Z tˇechto reprezentant˚ut´ep˚uvodn´ıvelk´emnoˇziny bod˚uvypoˇctemeodhad z´avislosti y(x). V obr´azkuvlevo dole si zn´azorn´ımeonu z´avislostdefinovanou nyn´ıjen tˇemi 20 body. V grafu je pro informaci vynesena i v´ysledn´az´avislost,ovˇsem s vˇedom´ım,ˇzetuto z´avislostv t´echv´ılijeˇstˇenezn´ame.Nyn´ıjde o to, zvolit spr´avn´ymodel pro tuto z´avislost.I kdyˇz by v tˇechto 20 bodech bylo moˇzn´evidˇeti ´usekparaboly, dostaˇcuj´ıc´ımmodelem z´avislostitu bude pˇr´ımka obecnˇeneproch´azej´ıc´ıpoˇc´atkem definovan´advˇemaparametry. Pouˇzit´ımMNCˇ lze tyto dva parametry vypoˇc´ıtat a do grafu je vyn´est. Tato pˇr´ımka se zjevnˇedobˇreshoduje se skuteˇcnouz´avislost´ıdefinovanou pades´atkr´atv´ıcebody, neˇzkolik jich m´amek dispozici. Ukazuje se tedy, ˇzeMNCˇ je skuteˇcnˇemocn´ymn´astrojem, kter´yale nen´ıhned tak pro kaˇzd´eho. za nez´avisl´epromˇenn´e.Soustavu g obecnˇeneline´arn´ıch rovnic o g nezn´am´ych, sloˇzek parametru b pak ˇreˇs´ıme bˇeˇzn´ymzp˚usobem.6

6Trivi´aln´ımpˇr´ıklademregrese ˇreˇsen´epomoc´ıMNCˇ je nalezen´ıstˇredn´ıhodnoty n namˇeˇren´ych hodnot 2 {yi} se stejnou nejistotou σ. Model regresn´ı funkce f(t) = β, xi = ∇~ fi = ∂fi/∂β = 1, χ (β) = −2 P 2 σ (yi − β) . 2 2 −2 P Minimum funkce χ (β) nast´av´av bodˇe β = b, v nˇemˇzplat´ı,ˇze ∂χ /∂β = −2σ (yi − b) = 0, tedy 1 P 2 b = n yi = y hledan´ymstˇredemje aritmetick´ypr˚umˇer.Suma kvadr´at˚umodifikovan´ych odchyleke ˜i 2 −2 P 2 −2 P 2 2 −2 2 2 pro b = y, χ (β = y) = σ (yi − y¯) = σ yi − 2 yi y + y = n σ (y − y ). −2 P 2 −2 P 2 2 2 −2 2 Pouˇcn´yje i pr˚ubˇehfunkce = σ (yi − β) = σ yi − 2 β yi + β = χ (b) + n σ (β − y) – jde 2 2 o parabolu, kˇrivkus minimem v β = b =y ¯ s minim´aln´ıhodnotou χ (β)min = χ (b). 80 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza

4.2.2 Krit´eria´uspˇeˇsnostimodelov´an´ı

4.2.2.1 Statistika modifikovan´ych odchylek e˜i

80 70

70 60

60 50

50 40 N N 40

30 30

20 20

10 10

0 0 −15 −10 −5 0 5 10 15 −15 −10 −5 0 5 10 15 e/σ e/σ

Obr´azek4.2: Histogramy rozloˇzen´ımodifikovan´ych odchylek jasnosti v barvˇe I :e ˜i = ei/σi dvou hvˇezdve Velk´emMagellanovˇemraˇcnu mˇeˇren´ych v r´amci pˇrehl´ıdkyOGLE-III. Jejich svˇeteln´ekˇrivkybyly proloˇzeny modelem pˇredpokl´adaj´ıc´ımkonstantn´ıjasnost. Konstatujeme, ˇzeu prvn´ız hvˇezd,kter´aje obyˇcejn´ymnepromˇenn´ymoranˇzov´ymobrem tˇr´ıdyK, zm´ınˇen´y model vcelku vyhovuje. Rozloˇzen´ıodchylek se kvalitativnˇeshoduje s oˇcek´av´an´ım,ale liˇs´ıse v detailech, speci´alnˇe: n = 531, e˜ = 0, 01, s2 = e˜2 = 1, 25; χ2 = 662. Suma χ2 je viditelnˇe vˇetˇs´ıneˇz n − g, kde g = 1. Pˇr´ıˇcinounejsp´ıˇsjsou podcenˇen´ehodnoty nejistot σi, kter´eby mˇelyb´yto cca 12% vˇetˇs´ı.Zcela jinak je tomu u druh´ez hvˇezd,nadobra spektr´aln´ıhotypu G: n = 437, e˜ = 0, 18, s2 = e˜2 = 25, 7; χ2 = 11230! Suma χ2 je mnohon´asobnˇevˇetˇs´ıneˇz n − g, χ2 = 25, 8, rozptyl je t´eˇz26kr´atvˇetˇs´ı,neˇzby se dalo oˇcek´avat. Z´avˇerje ten, ˇzemodel t´etohvˇezdyje vadn´y,hvˇezdanen´ıkonstantn´ı,ale promˇenn´a.Nasvˇedˇcujetomu i vyslovenˇe bimod´aln´ırozdˇelen´ıs v´yraznˇejˇs´ımvrcholkem v kladn´eˇc´asti˜ei, coˇzje pˇr´ıznaˇcn´epro periodicky promˇenn´ehvˇezdys ostˇrejˇs´ımimaximy. Podrobnˇejˇs´ırozbor uk´aˇze,ˇzetu jde o trpasliˇc´ıcefeidu.

Pˇredpokl´adejme,ˇzese n´ampro danou situaci a dan´ydatov´ysoubor podaˇrilopo- moc´ıMNCˇ naj´ıtadekv´atn´ıregresn´ımodel f(t, b), kter´yje funkc´ıˇcasua g-tice voln´ych parametr˚u b. Pomoc´ıtohoto modelu m˚uˇzemevypoˇc´ıtatpro vˇsechna naˇsepozorov´an´ıin- dividu´aln´ıodchylky ei = yi −f(t, b) i modifikovan´eodchylkye ˜i = ei/σi. Pˇredpokl´adejme jeˇstˇe,ˇzenaˇseodhady nejistot jednotliv´ych mˇeˇren´ı {σi} skuteˇcnˇerigor´oznˇevyjadˇruj´ım´ıru rozptylu n´ahodn´eveliˇciny. Pak ovˇsemplat´ı,ˇzestˇredn´ıhodnota modifikovan´eodchylky 2 2 2 2 e˜ = 0 a rozptyl s = e˜i − e˜i = e˜i = (n − g)/n. To vˇseje dobr´eotestovat, zejm´enapak v´yˇseuvedenou podm´ınkupro rozptyl s2(˜e). Pokud bude roven (n − g)/n, pak je nejsp´ıˇsvˇsev poˇr´adku.Vyjde-li vˇetˇs´ıneˇz(n − g)/n, pak to m˚uˇzeznamenat dvˇevˇeci– bud’ m˚uˇzeb´ytv nepoˇr´adku nalezen´ymodel, kter´y dostateˇcnˇenerespektuje pr˚ubˇehre´aln´ez´avislostimˇeˇren´eveliˇciny na ˇcase, nebo to m˚uˇze b´ytt´eˇzzn´amka toho, ˇzeje nejistota jednotliv´ych mˇeˇren´ısystematicky podceˇnov´ana,ˇze 4.2. Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u 81 n´amzˇrejmˇeunik´anˇejak´yd˚uvod jejich rozptylu. V opaˇcn´empˇr´ıpadˇe,kdy je s2(˜e) < (n − g)/n, jsou nejistoty jednotliv´ych mˇeˇren´ıpˇreceˇnov´any. I zde je dobr´ese zamyslet, proˇck tomu doch´az´ı. Pro klid duˇsebychom mˇelijeˇstˇepˇrezkoumat, zda je rozloˇzen´ımodifikovan´ych od- chylek vskutku gaussovsk´e,tak jak by to mˇelob´yt,to znamen´a,je-lie ˜i = ei/σi n´ahodnou promˇennou.Velmi rychl´ymzp˚usobem je sestrojen´ıhistogramu s touto veliˇcinou.Bude- li m´ıtvˇsechny atributy gaussova rozdˇelen´ı,pak jsme se modelem zˇrejmˇestrefili a naˇse v´ysledkylze interpretovat n´astroji MNC.ˇ V opaˇcn´empˇr´ıpadˇe,pokud je j´adrorozdˇelen´ı pˇr´ıliˇsˇst´ıhl´evzhledem ke kˇr´ıdl˚um,b´yv´ato zn´amkou toho, ˇzezˇrejmˇenejsou dosti dobˇre urˇceny nejistoty jednotliv´ych pozorov´an´ınebo ˇzese v materi´aluobjevuje dost odlehl´ych bod˚u.Za tˇechto okolnost´ıje z´ahodno data zpracovat metodami tzv. robustn´ıregrese (napˇr.4.5.1). Pokud zjist´ıme,ˇzeje profil histogramu zjevnˇeasymetrick´ynebo se v nˇem objevuj´ıi n´aznakybimod´aln´ıhorozdˇelen´ı,b´yv´achyba v neadekv´atnostizvolen´ehomod- elu7.

2 2 2 4.2.2.2 Sumy χ , χµ a rozptyl proloˇzen´ı s 2 P 2 2 Uv´aˇz´ıme-li,ˇzesuma χ = e˜i , pak lze odhadnout, ˇze χ ' n − g. Rovn´ıtko v tomto vztahu nen´ı,protoˇzesuma χ2 je rovnˇeˇzn´ahodn´apromˇenn´a,pˇriˇcemˇzjej´ısmˇerodatnou p odchylku lze odhadnout na σχ2 = 2 (n − g). Takˇzem´ame-litˇreba n − g = 450, lze ˇcekat, ˇze χ2 = 450 ± 30. 2 2 Ukazuje se, ˇzeje v´yhodn´esi kromˇesumy χ zav´esti jej´ımodifikovanou podobu χµ a rozptyl proloˇzen´ızvolen´ymmodelem s2 podle vztah˚u:

n  2 n 2 X yi − f(ti, b) X 2 p χ = = e˜ ' n − g, σ 2 = 2 (n − g) σ i χ i=1 i i=1 2 r 2 2 χ 2 2 χµ χ = ' 1, ⇒ σχ2 = ; s = . (4.12) µ n − g µ n − g σ−2

2 p Modifikovan´asuma χµ je tak rovna jedniˇcces nejistotou ± 2/(n − g). Poloˇz´ıme-li tedy 2 n − g = 450 bude χµ = 1, 00 ± 0, 07. Chceme-li porovnat dva konkurenˇcn´ımodely, pak 2 by mˇelzv´ıtˇezitten, jehoˇzhodnota χµ bude menˇs´ı.Pokud ovˇsembude rozd´ılmezi obˇema 2 konkuruj´ıc´ımisi modely menˇs´ıneˇz σχµ , pak to vypad´asp´ıˇsena plichtu. Rozptyl proloˇzen´ı8 ˇcasov´ez´avislostipozorovan´ych veliˇcin s2 by se zase mˇellimitnˇe bl´ıˇzitpˇredpovˇedi s2 ∼= (σ−2)−1. Obecnˇeby mˇeloplatit s2 ≥ (σ−2)−1. I pomoc´ıtohoto krit´eriaby bylo moˇznomezi dvˇemamodely rozhodnout.

4.2.2.3 Testov´an´ıregresn´ıch model˚upomoc´ıO-C diagram˚u Jak uˇzbylo ˇreˇcenov´yˇse,modelov´an´ıskuteˇcnostipomoc´ıMNCˇ stoj´ıa pad´ase spr´avnost´ı volby regresn´ıfunkce. Nejn´azornˇejˇs´ımkrit´eriemadekv´atnostizvolen´ehomodelu je gra- fick´yvzhled tzv. O-C diagramu (viz 5.3), kter´yvznikne vynesen´ımodchylek pozorovan´e veliˇciny (Observed) od modelov´epˇredpovˇedi(Calculated), tedy O-C v z´avislostina

7Problematiku stanoven´ınormality rozdˇelovac´ıfunkce zevrubnˇeˇreˇs´ıtext Z. Mikul´aˇsek,2012, Popisn´a statistika 2, dostupn´yna http://astro.physics.muni.cz/study/courses/f7581/. 8Tato veliˇcinam´arozumn´yfyzik´aln´ıv´yznampouze tehdy, maj´ı-limˇeˇren´eveliˇciny stejn´yrozmˇer. 82 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza nez´avisl´epromˇenn´e,coˇznejˇcastˇejib´yv´aˇcasnebo jeho funkce, napˇr.epocha. Pˇreloˇzeno do naˇs´ıˇreˇci– je to z´avislostodchylky ei = yi − f(t, b) na ˇcase ti. Vysoce ˇz´adouc´ı je v tomto diagramu vhodn´ymzp˚usobem vyznaˇcitnejistoty σi, jednotliv´ych mˇeˇren´ych 9 hodnot ei = O-Ci; zpravidla se tak dˇejeformou svisl´e´useˇcky se stˇredemv (O-C)i a d´elkou 2 σi. Pˇriprohl´ıdce O-C diagramu se nejprve zamˇeˇr´ıme na to, zda nalezen´ymodel po- zorovanou z´avislostv glob´alepopisuje nebo zda se tam objevuj´ınˇejak´esystematick´e odchylky od ide´aln´ıhopr˚ubˇehu kolem O-C = 0. Jak´ekoli trendy ˇcidobˇreviditeln´evlny ukazuj´ı,ˇzezvolen´ymodel je pˇr´ıliˇshrub´y,ˇzeby mohl b´ytzdokonalen pˇrid´an´ımdalˇs´ıch ˇclen˚udo regresn´ıfunkce nebo jej´ız´amˇenoujin´ym,adekv´atnˇejˇs´ımmodelem, kter´ybude skuteˇcnostl´epe vystihovat. Zvl´aˇst’ pˇekn´eby pak bylo, kdyby se touto n´ahradou podaˇrilo i redukovat poˇcetstupˇn˚uvolnosti. Vˇzdyje vˇsaktˇrebase pˇrihodnocen´ım´ıryn´ahodnosti nebo nen´ahodnosti urˇcit´eho vzhledu O-C diagramu drˇzetsp´ıˇsepˇrizemi a sv˚ujvizu´aln´ıdojem vˇzdydoplnit jeˇstˇe nˇejak´ymjin´ym, objektivn´ım“ testem. Zcela n´ahodn´aseskupen´ımohou obˇcasbudit do- ” jem vysok´euspoˇr´adanosti,kter´ase pak v pr˚ubˇehu ˇcasum˚uˇzenaprosto ztratit. Zejm´ena tehdy, chceme-li sv´emodely pouˇz´ıtk predikci chov´an´ıobjektu v ˇcasov´ych intervalech, kter´enejsou pokryty pozorov´an´ım,je tˇrebab´ythodnˇerezervovan´ya d´avat pˇrednost model˚ums co nejmenˇs´ımpoˇctemvoln´ych parametr˚u.K tomu n´as koneˇcnˇenab´adaj´ı i tzv. informaˇcn´ıkrit´eriapojednan´av n´asleduj´ıc´ıpodkapitole.

4.2.2.4 Informaˇcn´ıkrit´eriaAIC, AICc a BIC

Obˇcasse n´ampˇrihod´ı,ˇzese nem˚uˇzeterozhodnout mezi dvˇemamodely s r˚uzn´ympoˇctem stupˇn˚uvolnosti. Sv´ızeln´eje hlavnˇe,kdyˇzse ten sloˇzitˇejˇs´ımodel od jednoduˇsˇs´ıholiˇs´ıjen o nˇejak´yaditivn´ıˇclen, protoˇzepak zaruˇcenˇeplat´ı,ˇze χ2 toho s vˇetˇs´ımpoˇctemstupˇn˚u 2 volnosti je menˇs´ı,neˇzten jednoduˇsˇs´ı.Jin´eto m˚uˇzeb´yt,porovn´av´ame-li χµ (viz rovnice 4.12). Byly vˇsakvyvinuty jeˇstˇespolehlivˇejˇs´ıindik´atoryspr´avn´ehopoˇctustupˇn˚uvolnosti. Z mnoˇzstv´ıinformaˇcn´ıch krit´eri´ızde uvedeme jen tˇri:Akaikeho informaˇcn´ıkrit´erium AIC, Akaikeho korigovan´einformaˇcn´ıkrit´erium AICc10 a hodnˇepˇr´ısn´ebayesovsk´ein- formaˇcn´ıkrit´eriumBIC, kter´ajsou definov´anatakto:

n AIC = χ2 + 2 g; AICc = χ2 + 2 g ; BIC = χ2 + g ln n. (4.13) n − g − 1

Vˇsechna tato krit´eriase pouˇz´ıvaj´ıobdobnˇe:hodnotu krit´eri´ıvypoˇc´ıt´amepro oba konku- renˇcn´ımodely aplikovan´ena zkouman´ydatov´ysoubor. Ten z model˚u,kter´ym´amenˇs´ı hodnotu zvolen´ehoinformaˇcn´ıhokrit´eria,by mˇeldostat pˇrednost.

9Toto tradiˇcn´ıoznaˇcen´ınen´ımoc ˇst’astn´e,protoˇzen´aˇszrak upoutaj´ısp´ıˇsety body s delˇs´ı´useˇckou a tedy i niˇzˇs´ıkvalitou. Alternativnˇese uˇz´ıv´ajin´eoznaˇcen´ı,kdy v´yznamnostpˇr´ısluˇsn´ehomˇeˇren´ı(v´aha) se zn´azorn´ıplochou pˇr´ısluˇsn´ehosymbolu, pˇriˇcemˇzjeho line´arn´ırozmˇerby mˇelb´ytnepˇr´ımo´umˇern´y nejistotˇe ∼ σ−1. Bohuˇzelpak se zase ztr´ac´ıinformace, kam aˇzsah´aona ´useˇcka nejistoty. Reˇsen´ımjeˇ pak kombinace obou zp˚usob˚u- tedy jak ´useˇcka, tak r˚uzn´avelikost symbol˚u- viz obr. 4.3. 10AICc je z´ahodno pouˇz´ıvat v pˇr´ıpadˇe,kdy poˇcetmˇeˇren´ı n nen´ımnohokr´atvˇetˇs´ıneˇzpoˇcetstupˇn˚u volnosti g. Pro n  g pak krit´eriaAIC a AICc spl´yvaj´ı. 4.2. Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u 83

2

1.5

1

0.5

y 0

−0.5

−1

−1.5

−2 −1 −0.5 0 0.5 1 t

Obr´azek4.3: Simulace moˇzn´ehovzhledu z´avislosti y = t tˇricetin´ahodnˇevygenerovan´ych mˇeˇren´ı,z nichˇzna polovinu byl aplikov´anˇsums σ = 0, 2 a na druhou polovinu ˇsums σ = 0, 4. Rozhodnout se m´amezi pˇr´ımkou ((1) – spr´avn´eˇreˇsen´ı)a parabolou (2). Zde jsou pro 2 2 2 2 porovn´an´ıjednotliv´echarakteristiky obou model˚u χ1 = 35, 0, χ2 = 31, 7; χµ1 = 1, 25, χµ2 = 1, 17; AIC1 = 39, 0; AIC2 = 37, 7; AICc1 = 39, 5; AICc2 = 38, 6; BIC1 = 41, 8; BIC2 = 41, 9. Odtud vypl´yv´ajasn´edoporuˇcen´ı:pokud moˇznovyuˇzijteposledn´ı,nejpˇr´ısnˇejˇs´ız informaˇcn´ıch krit´eri´ı– ‘bayesovsk´e’.

4.2.3 Odhad nejistot jednotliv´ych mˇeˇren´ı

V´yˇseuveden´ainformaˇcn´ıkrit´eriaovˇsemobˇcasselh´avaj´ız toho d˚uvodu, ˇzev praxi nem´ame vˇzdyspolehlivou informaci o nejistot´ach {σi} pro jeden kaˇzd´ybod mˇeˇren´ı.Pˇritomvˇetˇsinoujde o mˇeˇren´ıproveden´av minulosti, tedy neopakovateln´aa tud´ıˇzunik´atn´ı.Nˇekdyo nejistot´ach vs- tupn´ıch ´udaj˚unev´ıme zhola nic. Jenˇzeony nejistoty k v´ypoˇctu χ2 nutnˇepotˇrebujeme.Nebylo by poctivˇejˇs´ıopr´aˇsitstarou dobrou prostou metodu nejmenˇs´ıchˇctverc˚u se sumou ˇctverc˚uod- P 2 chylek v podobˇe: S(b) = [yi − f(ti, b)] , v n´ıˇznen´ıani nejistoty σi ani v´ahy wi zapotˇreb´ı? Lze to ale v˚ubec takto udˇelat? Lze to uˇcinit,ale jen v tom pˇr´ıpadˇe,kdy m´ameco do ˇcinˇen´ıs daty stejn´ehodruhu, o nichˇz v´ıme,ˇzevˇsechna maj´ızaruˇcenˇestejnou nejistotu σi = σ. Pokud by tato podm´ınka splnˇena nebyla, nemˇelibychom MNCˇ pouˇz´ıvat nebo alespoˇnbychom nemˇelitvrdit, ˇzejsme k nˇejak´ym z´avˇer˚umdospˇelipomoc´ıt´etometody. V´ysledky, kter´ebychom dostali, by byly nutnˇezkreslen´e, zejm´enaby nebylo moˇzn´ese spolehnout na odhady nejistot. Pˇripust´ıme-li,ˇzev souboru zpracov´avan´ych dat se nach´azej´ıdata nebo skupiny dat s rozd´ıln´ymrozptylem, s rozd´ılnou kvalitou11, je naˇs´ı povinnost´ı vˇseudˇelatpro to, abychom ony nejistoty ˇciv´ahy nˇejakodhadli a pouˇzilivztahy zohledˇnuj´ıc´ı rozd´ıln´e nejistoty, respektive v´ahy jednotliv´ych mˇeˇren´ı.

Jak tedy onu nejistotu mˇeˇren´ı veliˇciny σi odhadnout? Pˇrednˇeje tˇrebase sm´ıˇrit

11Zde ´uplnˇestaˇc´ı,kdyˇzpouˇz´ıv´amedata od r˚uzn´ych pozorovatel˚u, z´ıskan´ar˚uznoupozorovac´ıtech- nikou, v r˚uzn´ych fotometrick´ych filtrech, v r˚uzn´ych klimatick´ych podm´ınk´ach atp. 84 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza se skuteˇcnost´ı,ˇzeonu nejistotu individu´aln´ıhomˇeˇren´ınikdy nedok´aˇzemeurˇcitpˇresnˇe: kaˇzd´emˇeˇren´ıje jedineˇcn´e,neopakovateln´ea nikdy zpˇetnˇenebudeme zn´atvˇsechny okol- nosti, kter´ev tu chv´ılimohly vlastn´ımˇeˇren´ıovlivnit. Jist´ymvod´ıtkem n´amsice m˚uˇzeb´yt ud´avan´avnitˇrn´ınejistota (chyba), kter´aovˇsemzpravidla pˇredstavuje jen doln´ıodhad skuteˇcn´enejistoty. Zde je tˇrebasi uvˇedomit,ˇzeona nejistota by se mˇelavztahovat k pr´avˇepouˇzit´emu regresn´ımu modelu, kter´ynemus´ırealitu popisovat ide´alnˇe. V´ychodiskem tu m˚uˇzeb´ytpouˇzit´ıprost´emetody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚us jednotkov´ymi v´ahamia s n´aslednouanal´yzoukvality proloˇzen´ıjednotliv´ymipodskupinami v cel´em datov´emsouboru. Zlepˇsen´yodhad nejistot pak lze uˇcinitza pˇredpokladu, ˇzepˇresnost mˇeˇren´ıv r´amciurˇcit´erelativnˇehomogenn´ıpodskupiny dat bude nejsp´ıˇszhruba stejn´a (napˇr.mˇeˇren´ız urˇcit´enoci v urˇcit´emfiltru atp.). Tato nejistota pro j−tou podskupinu mˇeˇren´ı– σj je pak d´anarozptylem mˇeˇren´ıpodskupiny vzhledem k modelov´epˇredpovˇedi. Plat´ıtedy: σji = σj. Takto lze upˇresnit v´ahy vˇsech mˇeˇren´ıve zpracov´avan´emsouboru a celou regresi zopakovat. Po nˇekolika iterac´ıch dojdeme k ust´alen´emu stavu, kdy se jiˇz v´ysledkynebudou d´alemˇenit. Odhadujeme-li nejistoty jednotliv´ych pozorov´an´ıtakto, mus´ımese sm´ıˇrits t´ım,ˇzese v´aˇzouna dan´yregresn´ımodel. Pˇrivolbˇejin´ehomodelu, m˚uˇzemedostat ponˇekud odliˇsn´e hodnoty odhad˚u σji = σj a t´ımi vah jednotliv´ych mˇeˇren´ı.Zkuˇsenostvˇsakukazuje, ˇze tyto rozd´ılypovedou jen k margin´aln´ımzmˇen´amve v´ysledku,takˇzeje m˚uˇzemezanedbat.

4.3 Line´arn´ıregrese

Reˇsen´ısoustavyˇ rovnic (4.10) v jejich obecnosti b´yv´adosti komplikovan´e,takˇzenen´ı divu, ˇzese vyhledaj´ıtakov´eregresn´ımodely, s nimiˇzby se dalo zach´azetjednoduˇseji. Pˇr´ıjemn´apr´aceje s tzv. line´arn´ımiregresn´ımifunkcemi f(t, β), kter´eje moˇzn´evyj´adˇrit jako line´arn´ıkombinaci g funkc´ıˇcasu {x1(t), x2(t), . . . , xg(t)}, kter´etvoˇr´ıvektorovou funkci x(t) = (x1, x2, . . . , xg). Hovoˇr´ımepak o line´arn´ıregresn´ıfunkci nebo o line´arn´ım regresn´ımmodelu. Plat´ıtedy

g X f(t, β) = β1 x1(t) + β2 x2(t) + ... + βg xg(t) = βj xj(t) = β x(t) (4.14) j=1  ∂f ∂f ∂f  ⇒ ∇~ f(t, β) = , ,..., = x(t). (4.15) ∂β1 ∂β2 ∂βg

Dosad´ıme-linyn´ıdo rovnice (4.10) za f(t, β) dostaneme

n g n X X X x(ti) wi bjxj(ti) = x(ti) yi wi, (4.16) i=1 j=1 i=1

−2 kde v´aha wi = σi . k-tou sloˇzkupˇredchoz´ısoustavy rovnic lze po rozn´asoben´ısum pˇrepsatdo tvaru g n n X X X bj xk(ti) xj(ti) wi = yi xk(ti) wi. (4.17) j=1 i=1 i=1 4.3. Line´arn´ıregrese 85

Celou soustavu g line´arn´ıch rovnic o g nezn´am´ych, jimiˇzjsou sloˇzky hledan´ehovektoru b lze zapsat takto: V11b1 + V12b2 + ... + V1gbg = U1 V21b1 + V22b2 + ... + V2gbg = U2 . (4.18) . Vg1b1 + Vg2b2 + ··· + Vggbg = Ug, kde n n X X Vkj = Vjk = xk(ti) xj(ti) wi; Uk = yi xk(ti) wi. (4.19) i=1 i=1

Soustavu g rovnic o g nezn´am´ych (bj) pak lze standardn´ımzp˚usobem ˇreˇsit.Nalezen´ım vˇsech hledan´ych koeficient˚uje pak nalezena i regresn´ıfunkce, kde β = b. Pokud n´as d´alenezaj´ım´apˇresnostmˇeˇren´ı,hodnovˇernostproloˇzen´ı,chyby parametr˚ua neurˇcitost pˇredpovˇedi,pak jsme hotovi.

4.3.1 Line´arn´ıregrese uˇzit´ımmaticov´ehopoˇctu Line´arn´ıregresi lze elegantnˇeˇreˇsitpouˇzit´ımmaticov´ehopoˇctu.Ten budeme pˇrednostnˇe pouˇz´ıvat i v n´asleduj´ıc´ımtextu. Pozorovan´yvztah mezi z´avislepromˇennou(nepˇresnˇemˇeˇrenouveliˇcinou,nejˇcastˇeji hvˇezdnouvelikost´ı,ale i tˇrebaradi´aln´ırychlost´ı,teplotou aj.) y a nez´avisloupromˇennou (pˇresnˇemˇeˇrenou veliˇcinou– typicky ˇcasem) t m˚uˇzeb´ytproloˇzenvhodnou modelovou funkc´ı f. Matematick´ymodel z´avislostinecht’ je urˇcenuspoˇr´adanou g-tic´ı voln´ych T parametr˚u βj, ve formˇesloupcov´ehovektoru β = (β1, β2, . . . , βg) . Pokud je moˇzn´e modelovou funkci f zapsat jako line´arn´ı kombinaci g r˚uzn´ych funkc´ıˇcasu xk(t), tak hovoˇr´ımeo tzv. line´arn´ımodelov´efunkci a lze ps´at g X x = (x1, x2, . . . , xg) , f(x, β) = βk xk = x β. (4.20) k=1 Zaved’me sloupcov´yvektor z´avisl´eveliˇciny y s d´elkou n a matici X s rozmˇerem n × g       y1 x11 x12 ··· x1g x1  y   x x ··· x   x   2   21 22 2g   2  y =  .  ; X =  . . .. .  =  .  , (4.21)  .   . . . .   .  yn xn1 xn2 ··· xng xn kde yi je hodnota i-t´ehopozorov´an´ı, xik je funkˇcn´ıhodnota k-t´efunkce pro i-t´epo- 12 zorovan´ı, f(ti) je hodnota ˇr´adkov´ehovektoru definovan´ehov (4.15) .       f1 x1 w1 0 ··· 0  f   x   0 w ··· 0   2   2   2  f(X, β) =  .  =  .  β = X β; W =  . . .. .  . (4.22)  .   .   . . . .  fn xn 0 0 ··· wn

12Standardnˇepouˇz´ıvan´ymimodely line´arn´ıch regresn´ıch funkc´ıjsou bˇeˇzn´enebo trigonometrick´epoly- nomy vhodn´ych stupˇn˚u.Jako pˇr´ıkladlze zvolit parabolick´ymodel, jenˇzje nejjednoduˇsˇs´ımmodelem 2 ˇc´astisvˇeteln´ekˇrivkys extr´emem. Parabolick´ymodel lze pˇredpokl´adatve formˇe: f(t) = β1 t +β2 t+β3, 2 2 f(t) = [t , t, 1], X = [{ti }{ti}{1}]. 86 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza kde W je diagon´aln´ımatice n × n s vahami jednotliv´ych mˇeˇren´ıv diagon´ale, f(β) je sloupcov´yvektor s jednotliv´ymihodnotami modelov´efunkce fi(xi) pro i-t´epozorovan´ı pro zadan´e β. Jako objektivn´ım´ıru´uspˇeˇsnostiproloˇzen´ımodelovou funkc´ıs parametry β pouˇzijeme souˇcetv´ahovan´ych ˇctverc˚uodchylek pozorovan´ych hodnot od pˇredpovˇedˇen´ych χ2(β)

χ2(β) = [y − f(β)]T W [y − f(β)] = (yT − βTXT) W (y − X β) = (4.23) yT W y − βT U − UTβ + βT V β = yT W y − 2 βT U + βT V β.

U je ˇr´adkov´yvektor s d´elkou g, V je ˇctvercov´amatice g × g, jej´ıˇzinverzn´ımatice H je tzv. kovarianˇcn´ımatice:

U = XT W y; V = XT WX; H = V−1 = (XT WX)−1. (4.24)

Pˇriproloˇzen´ımodelovou funkc´ı f(t, β) metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚use bere za optim´aln´ı takov´e,pro nˇeˇzje suma χ2 = χ2(β = b) minim´aln´ı.V pˇr´ıpadˇeline´arn´ımodelov´efunkce f(t, β) plat´ı,ˇzetakov´eminimum je jen jedin´e.Pro ˇreˇsen´ıv podobˇesady parametr˚u b a sumu kvadr´at˚uodchylek χ2(b) plat´ı:

2 ∂χ T −1 T = 0 = −2 U + 2 V b ⇒ b = HU = (X WX) X W y. (4.25) ∂β β=b

Pˇredpovˇed’ hodnot modelov´eline´arn´ıfunkce pro β = b, yp je d´anan´asleduj´ıc´ımvzta- hem: T −1 T yp = X b = [X (X WX) X W] y = Ξ y. (4.26) V´yrazv hranat´ez´avorce – symetrick´amatice Ξ o rozmˇeru n × n, kter´azde vystupuje jako oper´ator, kter´ykaˇzd´ehodnotˇepozorov´an´ıpˇriˇrad´ıjej´ı vyhlazenou“ hodnotu. Toto ” zobrazen´ıje t´ımvˇernˇejˇs´ı,ˇc´ımv´ıcese matice Ξ bl´ıˇz´ıjednotkov´ematici E(n, n). Minim´aln´ısumu kvadr´at˚uodchylek χ2 lze pro line´arn´ıregresi zapsat r˚uznˇe

2 T T T T T χ = (y − Xb) W(y − Xb) = y W y − b U = y W y − yp W yp. (4.27)

V posledn´ıch dvou variant´ach vystupuje i v´ahovan´asuma ˇctverc˚ufunkˇcn´ıch hodnot, coˇzje veliˇcinavstupn´ı,vypl´yvaj´ıc´ız pozorov´an´ı,tud´ıˇzzcela nez´avisl´ana modelov´an´ı. Metodu nejmenˇs´ıch ˇctverc˚utak lze alternativnˇech´apati jako metodu nejvˇetˇs´ıch ˇctverc˚u modelov´ych pˇredpovˇed´ı.Tento pohled lze s v´yhodou vyuˇz´ıtnapˇr.pˇrihled´an´ınejlepˇs´ıch period, tedy pˇritvorbˇeLSM periodogram˚u. Sumu ˇctverc˚uodchylek χ2(β) pro line´arn´ıregresn´ımodel lze po urˇcit´ych ´uprav´ach zapsat v n´asleduj´ıc´ıminstruktivn´ımtvaru:

g n X X x2 χ2(β) = χ2 + (β − b )2 ki . (4.28) k k σ2 k=1 i=1 i

Ze z´apisuje okamˇzitˇepatrn´e,ˇzefunkce χ2(β) m´atvar paraboloidu s minimem v bodu β = b. M´atedy jedin´ea tud´ıˇzabsolutn´ıminimum. 4.3. Line´arn´ıregrese 87

4.3.2 Nejistoty parametr˚umodelu a pˇredpovˇed´ı V r´amciˇreˇsen´ı´ulohy line´arn´ıregres´ılze t´eˇzodhadnout stˇredn´ı rozptyl mˇeˇren´ı13 s2, d´ale odhad nejistoty pˇredpovˇedijednotliv´ych vstupn´ıch dat δyp a odhad nejistot parametr˚u modelu δb

χ2 q q χ2 s2 = µ ; δy = χ2 diag (XHXT); δb = χ2 diag(H), kde χ2 = . (4.29) w p µ µ µ n − g

2 χµ je pomocn´abezrozmˇern´afunkce, jej´ıˇzvelikost z´avis´ına adekv´atnostivolby regresn´ıho modelu a spr´avnostiodhadu nejistot pouˇzit´ych dat. Oper´ator diag“, aplikovan´yna ” ˇctvercovou matici, vytvoˇr´ısloupcov´yvektor sestaven´yz prvk˚unach´azej´ıc´ıch se na jej´ı diagon´ale;oper´atorm˚uˇzefungovat i v opaˇcn´emsmˇeru,aplikac´ına sloupcov´yvektor obdrˇz´ımeˇctvercovou matici, jej´ıˇzdiagon´alutvoˇr´ıprvky vektoru v odpov´ıdaj´ıc´ımpoˇrad´ı. 2 p Je-li vˇsev poˇr´adku,pak plat´ı χµ ≈ 1 ± 2/(n − g).

11

10.5

10

magnitude 9.5

9

8.5 0 10 20 30 40 50 time

Obr´azek4.4: Na obr´azkujsou ˇctvereˇckyzn´azornˇenasimulovan´apozorov´an´ıpromˇenn´ehvˇezdy v okol´ı jej´ıho minima jasnosti. Vnitˇrn´ı pˇresnostjednotliv´ych mˇeˇren´ı je zn´azornˇenaˇsed´ymi chybov´ymi´useˇckami. Proloˇzen´aparabola je naznaˇcenaˇcern´ymiteˇckami s chybov´ymi´useˇckami odpov´ıdaj´ıc´ıminejistotˇepˇredpovˇedipomoc´ızvolen´ehoparabolick´eholine´arn´ıho modelu.

Sloˇzkysloupcov´ehovektoru δb se ˇcastouv´adˇej´ıjako rigor´ozn´ıodhad nejistot jed- notliv´ych parametr˚umodelu. Bohuˇzel,tento v´yznammaj´ıjen v´yjimeˇcnˇe,nicm´enˇena nich obˇcastrvaj´ırecenzenti odborn´ych ˇcl´ank˚ua oponenti diplomov´ych prac´ı.Naproti

13Tato veliˇcinam´aovˇsemfyzik´aln´ı v´yznampouze tehdy, zpracov´av´ame-li mˇeˇren´ı stejn´ehodruhu (se stejnou fyzik´aln´ıjednotkou - mag, km/s apod.). V opaˇcn´empˇr´ıpadˇeje v´yznamveliˇciny s2 ˇcistˇe form´aln´ı. 88 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza tomu velmi cenn´yje n´asleduj´ıc´ıodhad pˇredpovˇedimodelu δf(t, b) q √ q 2 T 2 T 2 ~ ~ T δf(t, b) = χµ x H x = w s x H x = χµ ∇f H (∇f) . (4.30) Odhady nejistoty jednotliv´ych parametr˚uobsaˇzen´ych ve vektoru ˇreˇsen´ı b, δb se zdaj´ı b´ytd˚uleˇzit´e,nebot’ pˇrecepomoc´ı nich lze odhadnout i nejistotu libovoln´ehov´yrazu Q(β, t), a to podle notorick´eho z´akonao ˇs´ıˇren´ıchyb v u g  2 uX ∂Q δQ(β, t) = t δbk , (4.31) ∂βk k=1 kter´ylze pˇrepsatdo elegantnˇejˇs´ıhotvaru zahrnuj´ıc´ıhoi v´ypoˇcetvektoru chyb δb q  ∂Q ∂Q ∂Q  2 ~ ~ T ~ δQ(β, t) = χµ ∇Q diag(H)(∇Q) , kde ∇Q(β) = , ,..., , (4.32) ∂β1 ∂β2 ∂βg kde ∇~ Q(β) je ˇr´adkov´yvektor gradientu funkce Q podle jednotliv´ych parametr˚u. Jenˇzev´yrazy (4.31,4.32) plat´ıpouze tehdy, je-li kovarianˇcn´ımatice H diagon´aln´ı, jin´ymislovy – jednotliv´eparametry v dan´emv´yrazunejsou korelovan´e.V obecn´em pˇr´ıpadˇetakto dostaneme jen horn´ıhranici nejistoty. Chcete-li postupovat korektnˇe,mˇeli byste pouˇz´ıtn´asleduj´ıc´ı,jistˇejeˇstˇeelegantnˇejˇs´ıvztah q 2 ~ ~ T δQ = χµ ∇Q H (∇Q) . (4.33) Funkc´ı Q m˚uˇzeb´yti prvn´ınebo druh´aderivace modelov´efunkce podle ˇcasu f,˙ f¨, coˇzjsou veliˇciny nezbytn´enapˇr.k v´ypoˇctunejistoty urˇcen´ıokamˇzikuextr´emu svˇeteln´ekˇrivky: q q ˙ 2 ~ ˙ ~ ˙ T 2 T δf(t, b) = χµ ∇f H (∇f) = χµ ˙xH ˙x ; (4.34) q q ¨ 2 ~ ¨ ~ ¨ T 2 T δf(t, b) = χµ ∇f H (∇f) = χµ ¨xH ¨x , (4.35) kde ˙x(t) = (x ˙ 1(t), x˙ 2(t),..., x˙ g(t)) a ¨x(t) = (¨x1(t), x¨2(t),..., x¨g(t)).

4.3.3 Z´akladn´ıregresn´ımodely - aplikace line´arn´ıregrese N´asledujenˇekolik praktick´ych pˇr´ıklad˚uaplikace line´arn´ı regrese metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u,kter´emaj´ıilustrovat zp˚usob,jak lze metodu line´arn´ıregrese v maticov´epodobˇe pouˇz´ıvat. Pokud tyto pˇr´ıkladynˇekomu pˇripadnoujako trivi´aln´ı,pak se nem´yl´ı,nebot’ jde o z´amˇer.Pokud ovˇsemzvl´adnetetoto, m˚uˇzete si troufnout na sloˇzitˇejˇs´ımodely. V ˇradˇepˇr´ıklad˚ubudou s v´yhodou pouˇzity nˇekter´estˇredn´ıveliˇciny, nez´avisl´ych i z´a- visl´ych veliˇcin t a y: n n m l X m l  X t y = ti yi wi wi, (4.36) i=1 i=1 2 2 √ 2 2 √ utt = t − t¯ , st = utt, uyy = y − y¯ , sy = uyy, uty = ty − t¯y,¯ (4.37) s ty − t¯t¯ u2 u r = = ty = ty (4.38) st sy utt uyy st sy 4.3. Line´arn´ıregrese 89

Korelaˇcn´ıkoeficient r je bezrozmˇern´aveliˇcinanab´yvaj´ıc´ıhodnotu mezi -1 a 1, pˇriˇcemˇz0 je roven tehdy, kdy mezi veliˇcinami t a y neexistuje ˇz´adn´aline´arn´ıkorelace, ±1 je roven tehdy, kdy jsou vˇsechny hodnoty {ti, yi} vyskl´ad´any na jedin´epˇr´ımce.Individu´aln´ıv´aha −2 souvis´ıs nejistotou takto: wi = σi .

4.3.3.1 Pr˚umˇern´ahodnota

V pˇr´ıpadˇe,ˇzemezi n dvojicemi t a y datov´ehosouboru {ti, yi, σi} neexistuje ˇz´adn´az´avislost (korelaˇcn´ı koeficient je bl´ızk´ynule), bude hodnota y(t) v mez´ıch chyb nejsp´ıˇskonstantn´ı. Regresn´ımodel pak m˚uˇzemesestavit takto: yi = β + ei, f(β) = β. Optim´aln´ıhodnotu β, pˇri n´ıˇzje v´aˇzen´asuma ˇctverc˚umodifikovan´ych odchyleke ˜i = ei/σi minim´aln´ı, b, nazveme v´aˇzenou stˇredn´ıhodnotou. M˚uˇzemeji naj´ıtpˇr´ımominimalizac´ıv´yrazu χ2(β):

n n  2 n 2 n n X X yi − β X y X yi X 1 χ2(β) = e˜2 = = i − 2 β + β2 , (4.39) i σ σ2 σ2 σ2 i=1 i=1 i i=1 i i=1 i i=1 i 2 n n P −2 P ∂χ (b) X yi X 1 yi σ yi wi = −2 + 2 b = 0; ⇒ b = i = = y; (4.40) ∂β σ2 σ2 P σ−2 P w i=1 i i=1 i i i n n X y2 − y2 X χ2(y) = i ; χ2(β) = χ2(y) + (β − y)2 σ−2. (4.41) σ2 i i=1 i i=1

Grafem funkce χ2(β) je parabola s minimem v β =y ¯ a funkˇcn´ıhodnotou χ2(y) (viz (4.41)). I kdyˇzminimalizac´ıfunkce χ2(β) lze stˇredn´ıhodnotu vypoˇc´ıtatpˇr´ımo,zkusme si nyn´ıze cviˇcn´ych d˚uvod˚uvˇsechny potˇrebn´evztahy odvodit pomoc´ımaticov´ych vztah˚u.

T T −2 −2 −2 X = [1, 1,..., 1] , Y = [y1, y2, . . . , yn] , W = diag[σ1 , σ2 , . . . , σn ]; (4.42) X 1 V = XTWX = σ−2; H = V−1 = , (4.43) i P −2 σi P −2 X yi σ U = y σ−2, b = HU = i = y, (4.44) i i P −2 σi 2 2 T T X 2 2 −2 2 χ (y) 2 n χ (y) = Y WY − b U = (yi − y ) σ ; s = = sy , (4.45) i σ−2 (n − 1) n − 1 χ2 q s q χ2 = , δb = χ2 diag(H) = √ , δy = s χ2 diag (x H xT) = s. (4.46) µ n − 1 µ n p µ

Za povˇsimnut´ıjistˇestoj´ı,ˇzevztahy pro b, σ, δb a δyp jsou form´alnˇestejn´ejako v pˇr´ıpadˇebez vah. Rozd´ılovˇsemje v tom, jak jsou definov´any stˇredn´ıveliˇciny, z nichˇzse pˇriv´ypoˇctuvych´az´ı.

4.3.3.2 Pˇr´ımka jdouc´ıpoˇc´atkem

Obˇcasse m˚uˇzemesetkat se situac´ı,kdy je jeden nebo v´ıcebod˚uz´avislostipevnˇefixov´ano. Z t´etoskuteˇcnostimus´ımepˇrivolbˇeregresn´ıhomodelu vych´azet.Nejjednoduˇsˇs´ımpˇr´ıkladem toho druhu je naˇseoˇcek´av´an´ı,ˇze n bod˚uo souˇradnic´ıch [ti, yi] se stejn´ymiv´ahamilze proloˇzit pˇr´ımkou jdouc´ıbodem o souˇradnic´ıch [0, 0], neboli poˇc´atkem. Regresn´ımodel je pak: yi = βti + ei, f(β, t) = β t. Optim´aln´ıhodnotu β = b, pˇrin´ıˇzje v´aˇzen´asuma kvadr´at˚uodchylek ei minim´aln´ı,nazveme tentokr´atkoeficientem ´umˇernosti. 90 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza

I zde budeme pˇredpokl´adat,ˇzekaˇzd´emu z bod˚umˇeˇren´ıbude pˇrisouzenaurˇcit´aindividu´aln´ı 2 v´aha wi = 1/σi .

T T X = [t1, t2, . . . , tn] , y = [y1, y2, . . . , yn] , W = diag[w1, w2, . . . , wn], (4.47) n T 2 −1 1 T X V = X WX = n w t , H = V = , U = X W y = yi ti = n w ty, (4.48) 2 n w t i=1 Pn t y w t y b = HU = i=1 i i i = , (4.49) Pn 2 2 i=1 ti wi t " 2 # ty
T T  2  2 yp = b t, R = y W y − b U = n w y − b t y = n w y − , (4.50) t2 h
2i 2 n t2y2 − t y √ 2 χ s s = = , δb = s wH = p , (4.51) w(n − 1) (n − 1) t2 n t2 s q 2 ∂f T t x = = t; δyp = s w x(t)H x(t) = s . (4.52) ∂β n t2

4.3.3.3 Proloˇzen´ıobecnou pˇr´ımkou

Pˇrizpracov´an´ıˇcasovˇepromˇenn´ych pozorovac´ıch dat se m˚uˇzemeˇcastosetkat s ´ulohounalezen´ı parametr˚uˇcasov´etrendu, pˇriˇcemˇzse v prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ı nejˇcastˇejipˇredpokl´ad´a,ˇzemezi z´avislouveliˇcinou y a nez´avislouveliˇcinou t (standardnˇeˇcasem mˇeˇren´ı) existuje line´arn´ı z´avislost.Jin´ymislovy body v grafu lze proloˇzitpˇr´ımku.Regresn´ımodel pro takovou situaci je zˇrejm´y: yi = β1 + β2 ti + ei.

Pˇr´ımka necht’ je prokl´ad´ana n body o souˇradnic´ıch [ti, yi], pˇriˇcemˇzkaˇzd´emu z bod˚uje pˇrisouzenajeho individu´aln´ıv´aha wi. Reˇsen´ım´ulohyˇ je nalezen´ıvektoru b se sloˇzkami b1, b2, 2 pro nˇeˇzje suma χ (β1, β2) minim´aln´ı:

n 2 X 2 χ (β1, β2) = wi(yi − β1 − β2 ti) , (4.53) i=1 n n ∂χ2 X ∂χ2 X = −2 w (y − b − b t ) = 0, = −2 w (y − b − b t ) t = 0. (4.54) ∂β i i 1 2 i ∂β i i 1 2 i i 1 i=1 2 i=1

Soustavu dvou rovnic o dvou nezn´am´ych (4.54) ˇreˇs´ımeprostˇredkymaticov´ehopoˇctu:

      1 t1 y1 w1 0 ··· 0  1 t2   y2   0 w2 ··· 0  X =   ; y =   ; W =  ; (4.55)  . .   .   . . .. .   . .   .   . . . .  1 tn yn 0 0 ··· wn  1 t¯   y¯  V = XTWX = nw ; U = XTW y = nw ; (4.56) t¯ t2 ty 1  t2 −t¯   b  1  t2 y − t ty  H = V−1 = ; b = 1 = HU = . (4.57) n w utt −t¯ 1 b2 utt −t y + ty 4.3. Line´arn´ıregrese 91

Pˇresvˇedˇctese, ˇzeplat´ı: yp =y ¯, tedy, ˇzeregresn´ıpˇr´ımka proch´az´ıtˇeˇziˇstˇem.

  χ2 χ2 = yTW y − bTU = n w y2 − b y¯ − b t y , χ2 = , (4.58) 1 2 µ n − 2 s χ2 q ¯ 2 2 µ 2 T s (t − t) s = , x = [1, t]; yp = x b, δyp = χµ x H x = √ 1 + 2 , (4.59) w n st s q q 2 p 2 s 2 s t 2 δb2 = χµ H22 = √ , δb1 = χµ H11 = = δb2 t . (4.60) st n st n

Nejistota smˇernicepˇr´ımky δb2 tedy nez´avis´ına um´ıstˇen´ıpoˇc´atku,zat´ımcochyba absolutn´ıho ˇclenu δb ano. Minim´aln´ıje tato chyba v pˇr´ıpadˇe,kdy poˇc´ateksouˇradnicztotoˇzn´ımes tˇeˇziˇstˇem. 1 √ Nejistota pak bude δb1 = s/ n. Absolutn´ıˇclen b1 lze geometricky interpretovat jako ´usekna ose y, kter´yna n´ıvyt´ın´aregresn´ıpˇr´ımka. Neurˇcitostpolohy tohoto pr˚useˇc´ıkuud´av´achyba pˇredpovˇedi δyp(t = 0) v bodˇe0. C´ıselnˇejeˇ tato chyba rovna chybˇeabsolutn´ıhoˇclenu δb1, tak jak je uvedeno v (4.60). Korelaˇcn´ıkoeficient r je dobrou m´ıroutoho, jak dobˇrepr´avˇepˇr´ımka vystihuje pozorovanou ˇcasovou z´avislost ty − t¯t¯ u r = = ty . (4.61) st sy st sy

4.3.3.4 Proloˇzen´ıˇcasov´ych ˇradpolynomem Pˇrizpracov´an´ıdelˇs´ıch ˇcasov´ych ˇradˇcastoaproximujeme v´yvoj pozorovan´eveliˇciny y poly- nomem ˇr´aduˇr´adu g − 1. Line´arn´ıregresn´ımodel pˇredpokl´ad´ameve tvaru: yi = β1 + β2 ti + g−1 ... + βg ti + ei. Polynomi´aln´ız´avislostnecht’ je prokl´ad´ana n body o souˇradnic´ıch [ti, yi], pˇriˇcemˇzkaˇzd´emu z bod˚uje pˇrisouzenajeho individu´aln´ıv´aha wi. Reˇsen´ım´ulohyˇ je nalezen´ısloupcov´ehovektoru 2 b s g sloˇzkami b1, b2, . . . , bg, pro nˇeˇzje suma v´ahovan´ych ˇctverc˚uodchylek χ (β1, β2, . . . , βg) = χ2(β) minim´aln´ı. Reˇs´ımepomoc´ımaticov´ehopoˇctu.Definiceˇ matic W a y je t´aˇzjako v (4.55), jedin´yrozd´ılje v matici X:

 2 g−1  1 t1 t1 ··· t1 2 g−1  1 t2 t ··· t  X =  2 2  , (4.62)  ......   . . . . .  2 g−1 1 tn tn ··· tn naz´yvan´et´eˇzmatice Vandermondova.

4.3.3.5 Proloˇzen´ıˇcasov´ych ˇradharmonick´ympolynomem Radaˇ astrofyzik´aln´ıch dˇej˚uprob´ıh´av´ıceˇcim´enˇeperiodicky. Zn´ame-liz dˇr´ıvˇejˇska parametry periodicity, lze si zav´esttzv. f´azovoufunkci ϑ, kterou dostanete jako souˇcetbˇeˇzn´ef´aze ϕ a epochy E. Pokud je perioda P konstantn´ı, lze si f´azovou funkci vypoˇc´ıtat jednoduch´ym vztahem: t − M ϑ = 0 , (4.63) P kde t je juli´ansk´edatum pozorov´an´ı, M0 je juli´ansk´edatum poˇc´atkupoˇc´ıt´an´ıf´azov´efunkce, P je fixn´ıperioda ve dnech. 92 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza

Pozorovan´eperiodicky se mˇen´ıc´ıveliˇciny y (jasnosti, radi´aln´ırychlosti, intenzity spektr´aln´ıch ˇcar,indukce magnetick´ehopole aj.) vytv´aˇrej´ı f´azovoukˇrivku, kterou nejˇcastˇejizn´azorˇnujeme jako z´avislostpromˇenn´eveliˇciny na f´azi ϕ = frac(ϑ). F´azov´ekˇrivkyzpravidla prokl´ad´ame harmonick´ympolynomem stupnˇe q = (g − 1)/2, kde g je poˇcetstupˇn˚uvolnosti. Matematick´y Pq model s harmonick´ympolynomem stupnˇe q lze zapsat: yi = β1 + k=1 β2k cos(2 k π ϑi) + 14 β2k+1 sin(2 k π ϑi) + ei. Odpov´ıdaj´ıc´ımatice X:   1 cos(2πϑ1) sin(2πϑ1) cos(4πϑ1) sin(4πϑ1) ··· cos(2qπϑ1) sin(2qπϑ1)  1 cos(2πϑ2) sin(2πϑ2) cos(4πϑ2) sin(4πϑ2) ··· cos(2qπϑ2) sin(2qπϑ2)  X =   .  ......   ......  1 cos(2πϑn) sin(2πϑn) cos(4πϑn) sin(4πϑn) ··· cos(2qπϑn) sin(2qπϑn) (4.64)

4.3.4 Zobecnˇen´ıline´arn´ıregrese I - vektorov´az´avisl´apromˇenn´a Obˇcasse stane, ˇzemˇeˇren´aveliˇcinanen´ıskal´ar,ale m-rozmˇern´yˇr´adkov´yvektor nebo uspoˇr´adan´a m-tice nˇekolika veliˇcin: yi = (yi1, yi2, . . . , yim), veˇsker´amˇeˇren´ıbude pˇredstavovat matice Y s rozmˇerem n × m Reˇsen´ımregreseˇ bude

g X f(t, B) = β1 x1(t) + β2 x2(t) + ... + βg xg(t) = βj xj(t) = x(t) B, (4.65) j=1

      y1 y11 y12 ··· y1m f1  y2   y21 y22 ··· y2m   f2  Y =   =   ; F(B) =   = X B (4.66)  .   . . .. .   .   .   . . . .   .  yn yn1 yn2 ··· ynm fn

T T −1 T U = X WY; B = HU = (X WX) X WY; yp = x(t) B. (4.67)

4.3.5 Zobecnˇen´ıline´arn´ıregrese II - v´ıcenez´avislepromˇenn´ych Aˇzdoposud jsme jako jedinou nez´avisloupromˇennoubrali ˇcasa vˇsejsme nahl´ıˇzeli z hlediska ˇcasov´epromˇennosti.Sloˇzkyvektoru x = (x1, x2, . . . , xg) pak byly funkcemi ˇcasu.To vˇsakmetoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚uv˚ubec nevyˇzaduje. Jednotliv´epoloˇzkymohou b´yttˇrebafunkcemi prostorov´ych souˇradnic,rychlosti nebo to mohou b´ytjen indikace popisuj´ıc´ı povahu mˇeˇren´ı (zda ˇslotˇrebao fotometrick´emˇeˇren´ı ˇcimˇeˇren´ı radi´aln´ıch rychlost´ı nebo intenzity spektr´aln´ıch ˇcar).Vˇseto jsou nez´avisl´e,nen´ahodn´eveliˇciny charakterizuj´ıc´ı konkr´etn´ı mˇeˇren´ı v r´amcizvolen´ehokomplexn´ıho modelu. Proto m´a smysl d´ıvat se na cel´ysoubor veliˇcinobsaˇzen´ych ve vektoru xi = (xi1, xi2, . . . , xig) pˇr´ımojako na soubor g nez´avisl´ych veliˇcin, kter´emohou nab´yvat r˚uzn´ych hodnot. Pro urˇcit´ytyp mˇeˇren´ımohou b´ytnˇekter´ez nez´avisl´ych promˇenn´ych rovny 0, pro jin´ytyp T mˇeˇren´ımohou b´ytnulov´ejin´enez´avisl´epromˇenn´e.Ve vektoru yi = (y1, y2, . . . , yn) s namˇeˇren´ymiveliˇcinamijsou pak jednotliv´epoloˇzkyˇrazeny ˇcastov poˇrad´ı,v jak´em byly namˇeˇreny.

14Zde je tˇrebam´ıtna pamˇetiskuteˇcnost,ˇzef´azov´afunkce je funkc´ıperiody, kter´ase m˚uˇzev pr˚ubˇehu ˇcasumˇenit. Ulohu,´ kde bychom kromˇetvaru svˇeteln´ekˇrivkyˇreˇsilii ˇcasov´yv´yvoj periody, lze zvl´adnout aˇzprostˇredkyneline´arn´ıregrese. 4.3. Line´arn´ıregrese 93

Pˇr´ıklad: Takov´ymline´arn´ımmodelem m˚uˇzeb´ytfunkce se dvˇemastupni volnosti popisuj´ıc´ı mˇeˇren´ıˇs´ıˇrkya d´elkynˇejak´ehoobd´eln´ıku. V pˇr´ıpadˇe,ˇzev i-t´emmˇeˇren´ı mˇeˇr´ımeˇs´ıˇrku,je xi = (0, 1), jde-li naopak o mˇeˇren´ı d´elky, pak je xi = (1, 0), yi je ona namˇeˇren´aveliˇcina. Modelov´afunkce pro i-t´emˇeˇren´ıpro fi = β1 xi1 + β2 xi2 = xi β, β1 je d´elka, β2 je ˇs´ıˇrka. C´ılem zpracov´an´ı je naj´ıt stˇredn´ı velikost tˇechto parametr˚u b na z´akladˇe n mˇeˇren´ı. Pˇriv´ypoˇctu budeme pˇredpokl´adat,ˇzev´ahy vˇsech mˇeˇren´ıjsou jednotkov´e- tedy ˇzeje mˇeˇr´ımese stejnou chybou.

3.16 ˇs  3.16   0 1  2.15 d  2.15   1 0      2.18 d  2.18   1 0   1      0 2.168 ± 0.009 3.13 ˇs ; y =  3.13  ; X =  0 1  ; H = 4 ; b = . (4.68)     0 1 3.140 ± 0.010 2.15 d  2.15   1 0  3     2.19 d  2.19   1 0  3.13 ˇs 3.13 0 1

V´yhodou tohoto pˇr´ıstupu je, ˇzem˚uˇzemesolidnˇeodhadnout smˇerodatnou odchylku a tedy i nejistotu urˇcen´ıhledan´ed´elkya ˇs´ıˇrky. Vzhledem k tomuto zobecnˇen´ıse takto mohou pod sebe dostat i velmi odliˇsn´etypy mˇeˇren´ıs velmi odliˇsn´ymrozsahem mˇeˇren´ych veliˇcin.Proto je d˚uleˇzit´e,aby byly jednotliv´etypy mˇeˇren´ıspr´avnˇeocenˇeny svou vahou wi nepˇr´ımo´umˇernou sv´edisperzi.

Nalezen´ıokamˇzikuminima ze dvou sad pozorov´an´ı- dom´ac´ı´uloha C´ılemt´etodom´ac´ı´ulohy je aplikace zobecnˇen´eline´arn´ıregrese na probl´em,kter´ysimu- luje situaci, do n´ıˇzse pozorovatel´epromˇenn´ych hvˇezdˇcastodost´avaj´ı. Pˇredstavme si, ˇzedva pozorovatel´ev odliˇsn´ych ˇcasov´ych p´asmech spolupracovali pˇripo- zorov´an´ıminima jasnosti urˇcit´edlouperiodick´epromˇenn´ehvˇezdy, pˇriˇcemˇzspolupracuj´ıc´ımu C´ıˇnanoviˇ (q = 1) se podaˇriloprov´estcelkem 15 pozorov´an´ı,vesmˇesna sestupn´evˇetvi. Cesk´yˇ pozorovatel (q = 2) zachytil aˇzv´ystupsvˇeteln´ekˇrivkyz minima v 30 pozorov´an´ıch ovˇsem s ponˇekudhorˇs´ıkvalitou. Samotn´eminimum ˇz´adn´yz pozorovatel˚unezachytil. V obou pˇr´ıpadech se pozorov´an´ıvedla ve filtru V , hvˇezdn´evelikosti se vztahovaly k vybran´e srovn´avac´ıhvˇezdˇe,pozorovatel´ese vˇsakneshodli na jej´ıvolbˇe,takˇzesvˇeteln´ekˇrivkyna sebe nenavazovaly. Svˇeteln´ekˇrivky byly simulov´any parabolou

2 2 a2 ∆m(t) = a1 (t − tmin) + a5 δi1 + a6 δi2 = a1 t + a2 t + a3 δi1 + a4 δi2, tmin = − , (4.69) 2 a1 kde a1 je koeficient parabolick´ehoˇclenu (pro simulaci zvoleno a1 = 1), tmin je okamˇzikminima (zvoleno tmin = 0, 350), a5, a6 jsou rozd´ılyhvˇezdn´evelikosti v minimu jasnosti pro ˇc´ınsk´eho a ˇcesk´ehopozorovatele (zvoleno a5 = 0,000, a6 = 0,400). Funkce δi1 = 1, pokud jde o po- zorov´an´ı C´ıˇnana,jinakˇ δi1 = 0, naproti tomu δi2 = 1, pokud jde o pozorov´an´ı Cecha,ˇ jinak δi2 = 0. a2 je line´arn´ı ˇclen, a3, a4 jsou hodnoty ∆m(t = 0) pro jednotliv´epozorovatele. Okamˇzikypozorov´an´ıjsou ud´av´any ve dnech od zaˇc´atkuurˇcit´ehojuli´ansk´ehodne. Jednotliv´e okamˇziky ti byly voleny n´ahodnˇev intervalu 0 aˇz0,3 (q = 1) a 0,4 aˇz0,8 (q = 2). K simulo- van´ymhodnot´amrozd´ıluhvˇezdn´evelikosti ∆m(ti) urˇcen´ymvztahem (4.69) pro dan´ehodnoty ˇcas˚u ti byl pˇriˇctenn´ahodn´ygaussovsk´yˇsumo standardn´ıch odchylk´ach postupnˇe: s1 = 0.005 mag a s2 = 0.007 mag. Tabulka s takto nasimulovan´ymiˇcasy ti a hodnotami ∆m(ti) vˇcetnˇe pˇr´ıznaku q n´asleduje. 94 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza

ti ∆mi q ti ∆mi q ti ∆mi q 0,013 0,117 1 0,428 -0,037 2 0,596 0,014 2 0,039 0,093 1 0,455 -0,035 2 0,609 0,015 2 0,053 0,086 1 0,473 -0,042 2 0,623 0,026 2 0,100 0,058 1 0,486 -0,036 2 0,623 0,002 2 0,112 0,054 1 0,488 -0,031 2 0,634 0,033 2 0,114 0,055 1 0,489 -0,024 2 0,672 0,049 2 0,120 0,056 1 0,502 -0,035 2 0,672 0,056 2 0,131 0,041 1 0,502 -0,032 2 0,681 0,063 2 0,132 0,051 1 0,543 -0,017 2 0,697 0,086 2 0,206 0,014 1 0,549 -0,005 2 0,739 0,102 2 0,220 0,020 1 0,561 0,005 2 0,740 0,095 2 0,248 0,019 1 0,568 -0,005 2 0,743 0,097 2 0,252 0,006 1 0,572 0,006 2 0,743 0,101 2 0,264 0,005 1 0,573 0,005 2 0,761 0,123 2 0,294 -0,006 1 0,587 0,007 2 0,772 0,133 2

Vaˇs´ım´ukolem bude:

• Nakreslit graf pozorovan´ych svˇeteln´ych kˇrivek.

• Pomoc´ıline´arn´ıregrese se stejn´ymivahami jednotliv´ych mˇeˇren´ıvypoˇc´ıtatzvl´aˇst’ pro 1. a 2. sadu pozorov´an´ıhodnotu koeficient˚u a1, a2, a3, pˇr´ıpadnˇe a4, vˇcetnˇeodhadu je- jich nejistot, hodnoty standardn´ıodchylky. V´ysledn´ehodnoty mezi sebou porovnejte a srovnejte je se zadan´ymiparametry simulace.

Vypoˇc´ıtejted´aleokamˇziky tmin, vˇcetnˇenejistoty jejich urˇcen´ı,pˇriˇcemˇzvyuˇzijetevztah uveden´yv (4.69) a vztah pro v´ypoˇcetodhadu chyby funkce koeficient˚u(4.33) a funkˇcn´ı hodnotu v minimu proloˇzen´eparaboly a5 a a6, vˇcetnˇenejistoty. V´ysledn´ehodnoty mezi sebou porovnejte a srovnejte je se zadan´ymiparametry simulace.

• Spojte obˇepozorov´an´ıdohromady a pˇredpokl´adejte,ˇze absolutn´ıˇcleny line´arn´ıregrese jsou r˚uzn´e.Pˇredpokl´adejtenejprve, ˇzev´ahy vˇsech pozorov´an´ıjsou identick´e,rovn´e1. Vypoˇctˇetekoeficienty a1, a2, a3, a4, vˇcetnˇeodhadu jejich nejistot, hodnotu standardn´ı odchylky. V´ysledn´ehodnoty mezi sebou porovnejte a srovnejte je se zadan´ymi parametry simulace.

• Vypoˇc´ıtejtestandardn´ıodchylky vzhledem k pˇredpovˇediv˚uˇcitomuto modelu zvl´aˇst’ pro ˇc´ınsk´ea ˇcesk´epozorov´an´ı. Pomoc´ınich vypoˇctˇetenormalizovanou v´ahu jednotliv´ych ˇc´ınsk´ych a ˇcesk´ych pozorov´an´ı.S tˇemitovahami pak opakujte v´ypoˇcetparametr˚u a1, a2, a3, a4, vˇcetnˇeodhadu jejich nejistot, hodnotu standardn´ıodchylky. V´ysledn´ehodnoty mezi sebou porovnejte a srovnejte je se zadan´ymiparametry simulace.

• Vypoˇc´ıtejteokamˇzik tmin, vˇcetnˇenejistoty jeho urˇcen´ı, a funkˇcn´ıhodnotu v minimu proloˇzen´eparaboly a5 a a6, vˇcetnˇenejistoty. V´ysledn´ehodnoty mezi sebou porovnejte a srovnejte je se zadan´ymiparametry simulace.

• Pro spojen´esady pozorov´an´ıpˇredpovˇeztefunkˇcn´ıhodnoty a jejich nejistoty pro obˇe sady pozorov´an´ı.Diskutujte, vyneste do grafu. 4.4. Neline´arn´ıregrese 95

4.4 Neline´arn´ıregrese

Je tˇrebase sm´ıˇritse skuteˇcnost´ı,ˇzenaprost´avˇetˇsinaregresn´ıch model˚udobˇrepopisuj´ıc´ıch re´aln´eastrofyzik´aln´ısituace prostˇenen´ıline´arn´ıa ani ji nelze na line´arn´ıpˇrev´est. Reˇsen´ıˇ neline´arn´ıregrese uˇznen´ıtak pˇr´ımoˇcar´e,mj. i proto, ˇzetakov´aregrese m˚uˇzem´ıti v´ıce ˇreˇsen´ı,z nichˇzjen nˇekter´ajsou fyzik´alnˇepˇrijateln´a.Nicm´enˇe,lze uk´azat,ˇzeve vˇetˇsinˇe fyzik´alnˇeakceptovateln´ych ˇreˇsen´ılze v okol´ıminima plochu sumy kvadr´at˚u χ2(β) nahra- dit paraboloidem – lze tedy neline´arn´ımodel v okol´ıminima nahradit jeho linearizo- vanou aproximac´ı.K tomu ovˇsemmus´ımem´ıtdobr´yodhad ˇreˇsen´ı,v jehoˇzokol´ıbudeme skuteˇcn´eˇreˇsen´ıhledat. K odhadu se lze dopracovat tˇrebapouˇzit´ım´udaj˚uz literatury spolu se zjednoduˇsen´ımmodelu, tak abyste pomoc´ınˇejk odhadu ˇreˇsen´ıdospˇeli.

4.4.1 Linearizace neline´arn´ıch regresn´ıch model˚u Pˇripust’me nyn´ı,ˇzese n´ampodaˇrilose k takov´emu odhadu v podobˇev´ychoz´ıhovektoru parametr˚u b0 dop´ıdit. Minimum pak budeme hledat v bezprostˇredn´ım okol´ı tohoto startovn´ıhoodhadu. Jakmile se n´ampodaˇr´ıv´ychoz´ıregresn´ımodel linearizovat, hned se m˚uˇzemezaˇc´ıttˇeˇsitz vymoˇzenost´ıposkytovan´ych line´arn´ıregres´ı. Pˇrilinearizaci modelu zpravidla pouˇz´ıv´amejeho Taylor˚uvrozvoj prvn´ıhoˇr´adupodle parametr˚u,v nichˇzje model neline´arn´ı.

g ∼ X ∂f(b0) f(b0, ∆β) = f(b0) + ∆βk = f(b0) + ∆β x. (4.70) ∂βk k=1 Takto pˇrepsan´amodelov´afunkce je pak line´arn´ıvzhledem k novˇezaveden´ymparametr˚um ∆β, pˇriˇcemˇzvektor nez´avislepromˇenn´ych x je d´anvztahem:

 ∂f ∂f ∂f  x = ∇~ f = , , ... . (4.71) ∂β1 ∂β2 ∂βg Vid´ıme,ˇzesituace je velmi podobn´at´e,co zn´ameu line´arn´ıregrese, rozd´ılytu ale jsou, a to v´yznamn´e.Vektor xi pˇr´ısluˇsej´ıc´ı i−t´emu mˇeˇren´ıje opˇetgradientem, a proto se t´etometodˇeˇreˇsen´ıneline´arn´ıregrese tak´eˇr´ık´ametoda gradientn´ı(viz 4.11). Z vektor˚u xi si vytvoˇr´ımematici X (viz rovnice (5.81)), ∆y = y − f, W a vypoˇctemeˇreˇsen´ıv podobˇediferenˇcn´ıhovektoru ∆b.

V = XT WX; U = XT W ∆y; H = V−1; ∆b = HU. (4.72)

Tento koriguj´ıc´ıvektor pˇriˇctemek poˇc´ateˇcn´ımu odhadu vektoru voln´ych parametr˚u a0 modelov´efunkce a obdrˇz´ıme tak dalˇs´ı, zlepˇsen´yodhad uspoˇr´adan´e g-tice parametr˚u b1 = b0 + ∆b. S novou hodnotou parametr˚upak m˚uˇzemecel´ypopsan´ypostup znovu opakovat. V pr˚ubˇehu iterativn´ıhoprocesu se absolutn´ıvelikost vektoru ∆b zpravidla rychle zmenˇsujea jiˇzpo nˇekolika kroc´ıch se pˇribl´ıˇz´ı nule, coˇzznamen´a,ˇzejsme jiˇz nalezli hledan´eˇreˇsen´ıcel´e´ulohy. A jeˇstˇepozn´amka: nen´ıtˇrebalinearizovat vˇsechny parametry, nˇekter´ez nich b´yvaj´ı line´arn´ıa lze je tak poˇc´ıtatpˇr´ımo.Lze to uk´azatna n´asleduj´ıc´ımpˇr´ıkladu. 96 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza

Pˇr´ıklad– linearizace parabolick´ehomodelu N´aˇskvadratick´ymodel m˚uˇzeme linearizovat podle rovnice (4.70), vych´azej´ıcez naˇseho poˇc´ateˇcn´ıhoodhadu parametr˚u a0

 2  2 f = a02 (t − a01) + a03 + ∆a1 2 a02 (t − a01) + ∆a2 (t − a01) + ∆a3. (4.73)

Je zjevn´e,ˇzemodelov´afunkce je v parametrech a2, a3 line´arn´ı.Znamen´ato, ˇzetyto dva parametry nen´ıtˇrebalinearizovat, ale poˇc´ıtatpˇr´ımo,pouze prvn´ıparametr, a1 je tˇreba hledat iterativnˇe,tedy:

2 f(t, a) = ∆a1 2 a2 (t − a01) + a2 (t − a01) + a3. (4.74)

 2  2 a2 (t1 − a01)(t1 − a01) 1  2 a (t − a )(t − a )2 1   2 2 01 2 01  X =  . . .  (4.75)  . . .  2 2 a2 (tn − a01)(tn − a01) 1

Parametry a2, a3 popisuj´ıc´ıvzhled svˇeteln´ekˇrivkyneiterujeme.

4.4.1.1 Odhad nejistoty okamˇzik˚uextr´em˚u Nejistota voln´ych parametr˚uvˇcetnˇeokamˇzik˚uextr´em˚uje d´anavztahem

∆y = y − f(t, b); χ2 = ∆yTW ∆y; s = pχ2/(n − g); δb = spdiag(H). (4.76)

Jakkoli je v´ysledn´ysoubor korekˇcn´ıch parametr˚ut´emˇeˇrˇcistˇenulov´y,jejich nejistota nulov´anen´ı a odpov´ıd´anejistotˇejednotliv´ych parametr˚u.To n´amumoˇzˇnujeuˇcinit spolehliv´yodhad neurˇcitosti,s n´ıˇzzn´ameokamˇzik,kdy proloˇzen´afunkce nab´yv´asv´eho extr´emu.

4.5 Robustn´ıregrese

Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚uje v´yteˇcn´ymn´astrojem pro modelov´an´ıskuteˇcnostina z´akla- dˇemˇeˇren´ıˇcipozorov´an´ıs mnoˇzstv´ımaplikac´ı,ale to jen tehdy, jsou-li splnˇeny z´akladn´ı pˇredpoklady, na jejichˇzz´akladˇebyla metoda odvozena. Zde je na prvn´ımm´ıstˇepremisa norm´aln´ıhorozdˇelen´ıv odchylk´ach pozorov´an´ıod modelov´ych oˇcek´av´an´ı,zejm´enapak neexistence tzv. odlehl´ychbod˚u (outliers) ˇcihrub´ych chyb. Jedin´etakov´epozorov´an´ı, pokud by se dostalo aˇzdo koneˇcn´ehozpracov´an´ı,dok´aˇzenaprosto znehodnotit celou anal´yzu. Reˇsen´ıseˇ zd´ab´ytnasnadˇe– staˇc´ıpˇrecevˇsechna takov´amˇeˇren´ıidentifikovat a vylouˇcit ze zpracov´an´ı.Tak by se vskutku mˇelopostupovat, zejm´enatehdy, jsou-li i jin´eindikace, ˇzese tu jedn´ao nedopatˇren´ı,vadn´emˇeˇren´ı.Probl´emvˇsaknastane, pokud takov´ych odlehl´ych bod˚um´amev pozorovac´ı s´eriiv´ıce a zejm´enatehdy, kdyˇzse tyto odlehl´e body zaˇcnoum´ısits tˇemibody, co se posluˇsnˇeˇr´ıd´ız´akony norm´aln´ıhorozdˇelen´ı.Jak potom rozhodnout, kter´ez tˇech mˇeˇren´ı,jeˇzse hodnˇeodchyluj´ıod centra je spr´avn´e a kter´ejiˇznikoli? 4.5. Robustn´ıregrese 97

Obr´azek4.5: Simulace v´ysledk˚u25 mˇeˇren´ı pro norm´aln´ı rozdˇelen´ı s centrem v 0 a stan- dardn´ıodchylkou 1. Jednotliv´amˇeˇren´ıjednotliv´ych sad jsou zn´azornˇenanad sebou pln´ymiko- touˇcky, pr˚umˇers jeho nejistotou je naznaˇcenvˇetˇs´ımpr´azdn´ymkrouˇzkem a chybovou ´useˇckou. Povˇsimnˇetesi, jak odliˇsn´em˚uˇzeb´ytrozloˇzen´ıtˇechto bod˚uv jednotliv´ych sad´ach, rovnˇeˇztak, ˇzebody s odchylkou 3 σ jsou pomˇernˇebˇeˇzn´e– v tomto pˇr´ıpadˇetedy nejde o odlehl´ebody.

Zast´ancitvrd´ehopostupu obvykle nel´ıtostnˇeoˇrez´avaj´ıvˇsechna mˇeˇren´ıodchyluj´ıc´ıse o v´ıceneˇz3 σ, domn´ıvaj´ıcese, ˇzet´ımto krokem metodˇenejmenˇs´ıch ˇctverc˚uprosp´ıvaj´ı. Ale jedin´e,ˇcehotak dos´ahnou,je to, ˇzezejm´ena odhady nejistot modelov´ych v´ysledk˚u budou zbyteˇcnˇepodcenˇeny15. Body odchyluj´ıc´ıse o 3 σ a v´ıcejsou koˇren´ımnorm´aln´ıho rozdˇelen´ıa likvidovat by se rozhodnˇenemˇely. Jin´avˇecje, kdyˇzje pokrm pˇrekoˇrenˇen a tˇechto odch´ylen´ych bod˚uje pˇrespˇr´ıliˇs. V z´asadˇeje moˇzn´ese ´uplnˇerozlouˇcits metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ua zaˇc´ıtpra- covat napˇr´ıklad s absolutn´ımi hodnotami. Pˇr´ıkladem takov´ehopostupu je napˇr´ıklad n´asledn´ezjiˇstˇen´ıstˇredua m´ıryrozpt´ylen´ıurˇcit´ehosouboru. Jde o velmi robustn´ımetodu, kter´ana pˇr´ıtomnostiodlehl´ych bod˚uz´avis´ıjen okrajovˇe.Stˇredn´ıhodnotu lze odhad- nout prostˇrednictv´ımmedi´anu funkˇcn´ıch hodnoty ¯ ∼ median(y) a standardn´ıodchylku ˇ σ zn´amouz MNC lze nahradit jej´ı robustn´ı variantou σr pomoc´ı medi´anuabsolutn´ı odchylky takto:

σr = 1.482 mad(∆y) = 1.482 median(|∆y − median(∆y)|). (4.77)

Nev´yhodou zm´ınˇen´ehopostupu je menˇs´ı pˇresnosturˇcen´ı stˇredusouboru a velikosti rozptylu v pˇr´ıpadˇenorm´aln´ıhorozdˇelen´ı. Vyskytnou-li se ale v souboru nˇejak´eodlehl´e body, je v´yˇse uveden´ametoda mnohem jistˇejˇs´ı. Mimoˇr´adnˇevhodn´aje pro zjiˇstˇen´ı prvn´ıhoodhadu pro dalˇs´ısofistikovanˇejˇs´ımetody zaloˇzen´ena metodˇenejmenˇs´ıch ˇctverc˚u.

15Takˇzeat’ jsme konkr´etn´ı:v pˇr´ıpadˇenorm´aln´ıhorozdˇelen´ıtak pˇrijdemeo cca 0,27% mˇeˇren´ıa, coˇz je horˇs´ı,standardn´ıodchylka se n´amtak sn´ıˇz´ı“ o 1,33%! ” 98 Kapitola 4. Regresn´ıanal´yza

4.5.1 Vlastn´ımetoda robustn´ıregrese Nyn´ısi pop´ıˇseme n´azornoua obecnˇepouˇzitelnoumetodu robustn´ıregrese, kter´avych´az´ı z metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u.Tato robustn´ı regrese byla jiˇzmnohokr´atodzkouˇsena a plnˇese osvˇedˇcilai v pˇr´ıpadech, kdy odlehl´ych bod˚ubylo v souborech 5 a v´ıcepro- cent. Zat´ımcov obecn´emetodˇenejmenˇs´ıch ˇctverc˚uvelikost v´ahy na velikosti odchylky nez´avis´ı,v t´etovariantˇerobustn´ıregrese je v´ahafunkc´ıodchylky. Pro body silnˇeodch´ylen´e od pˇredpovˇedˇen´ehodnoty tato v´ahakles´aaˇznule, coˇzm´ırnˇepreferuje body v bliˇzˇs´ım okol´ı pˇredpovˇedi.Je pravda, ˇzezmenˇsen´ım v´ahy vzd´alenˇejˇs´ıch bod˚um´ırnˇepoklesne form´aln´ıpˇresnostmetody, ale to je daˇn,kterou se hod´ızaplatit, pokud se rozdˇelen´ı odchylek liˇs´ıod norm´aln´ıho. Pˇredpokl´adejme,ˇzenejistoty jednotliv´ych mˇeˇren´ı {σi} jsou v mez´ıch moˇznost´ıurˇceny korektnˇea lze se na nˇespolehnout. To neplat´ıo odlehl´ych bodech, kter´ese od proloˇzen´e funkce vzdaluj´ıv´ıce,neˇzby bylo zdr´avo. Uprav´ımesi proto hodnoty nejistot {σi} tak, ˇzeje vyn´asob´ımeskal´arn´ıfunkc´ı Ψ(∆y/σ) ≥ 1. S takto upraven´yminejistotami σri pak 2 pracujeme stejnˇe,jako pˇredt´ım.Definujme si t´eˇzrobustn´ısumu χr (β)   " 4# n  2 ∆yi ∆yi X yi − f(x, β) σ = σ Ψ = σ exp , χ2(β) = . (4.78) ri i σ i 5 σ r σ i i i=1 ri

2 Nyn´ıpomoc´ıstandardn´ımetody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚uminimalizujeme sumu χr (β) a na- jdeme novou sadu parametr˚u b a v´ypoˇcetopakujeme, dokud se nalezen´asada parametr˚u b neust´al´ı.Pak je na ˇcasespoˇc´ıtati dalˇs´ıveliˇciny, jako napˇr.robustn´ıpoˇcetmˇeˇren´ı nr, 2 2 v´ahovanou sumu ˇctverc˚uodchylek χr a pomocnou veliˇcinu χrµ

P n  2 2 1, 06 σri−2 X yi − f(x, b) 1, 23 χ n = n ; χ2 = ; χ2 = r . (4.79) r P σ−2 r σ rµ n − g i i=1 ri r Koeficienty 1,06 a 1,23 vyskytuj´ıc´ıse ve vztaz´ıch (4.79) jsou voleny tak, aby pˇrinorm´aln´ım 2 rozdˇelen´ıbyl robustn´ıpoˇcetmˇeˇren´ı nr roven poˇctumˇeˇren´ı n, stejnˇejako χrµ je roven 2 veliˇcinˇe χµ. Bˇeˇznˇeplat´ı,ˇzerobustn´ıpoˇcetmˇeˇren´ı nr nen´ıvˇetˇs´ıneˇz n, prostˇeproto, ˇzev souboru b´yvaj´ınˇejak´eodlehl´ebody. V praxi se ale setk´ames opaˇcnousituac´ı,a to tehdy, kdyˇzbyl soubor jiˇzpˇredem oˇciˇstˇen“ o odlehl´ebody a pˇritombyla oˇrez´ana ” i re´aln´amˇeˇren´ı.I zde je na m´ıstˇepouˇz´ıtrobustn´ıregresi, kter´atento neopr´avnˇen´yz´asah do znaˇcn´em´ıryeliminuje. Stˇredn´ırobustn´ıstandardn´ıodchylku sr, nejistotu pˇredpovˇedi δyp a nejistotu sady parametr˚uvypoˇctemeprostˇrednictv´ımn´asleduj´ıc´ıch vztah˚u: χ2 q q 2 rµ 2 T 2 s = ; δyp = χ (XHX ); δb = χ diag(H). (4.80) r −2 rµ rµ σr Ke koneˇcn´emu v´ysledkuse ovˇsemnedostaneme hned, ale postupn´ymiiteracemi. To je pˇrirozen´e,nebot’ vlastnˇeupˇresˇnujemeindividu´aln´ıvelikosti vah, kter´emj. z´avisej´ı i na pomˇeruindividu´aln´ıodchylky ei a pˇredpokl´adan´enejistoty urˇcen´ı σi. K tomu je ovˇsemnezbytn´epro zaˇc´atekzn´atalespoˇnhrub´yodhad on´eodchylky. Zde rozliˇsujmedva pˇr´ıpady. V tom prvn´ım,jednoduˇsˇs´ım,budete zn´atpˇredemnejistoty jednotliv´ych mˇeˇren´ı ˇ σi a budete jim d˚uvˇeˇrovat. Pak v prvn´ımkole m˚uˇzemeurˇcithodnotu b0 pˇr´ımoMNC a 4.5. Robustn´ıregrese 99 postupovat podle naznaˇcen´ehosch´ematua postupnˇemˇenithodnoty b a individu´aln´ıch robustn´ıch vah. Po tˇrech, ˇctyˇrech iterac´ıch dospˇejeme k v´ıcem´enˇenemˇenn´emu odhadu vˇsech veliˇcin,kter´en´aszaj´ımaj´ı.

3 5

4 2.5 3 σ / r σ 2 2

1 1.5

y [mag] 0

1 −1 w −2 0.5 −3

0 −4 −5 0 5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ∆y/σ t [d]

Obr´azek4.6: Na obr´azkuvlevo je naznaˇcenaz´avislost pomˇeruvah u bod˚uupravovan´ych ro- bustn´ıregres´ıa pomˇerurobustn´ınejistoty σr a nejistoty σ v z´avislosti na odchylce vyj´adˇren´e v jednotk´ach σ. Na obr´azkuvpravo je uk´azka toho, jak se v pr˚ubˇehu robustn´ıregrese zmˇen´ıne- jistota jednotliv´ych bod˚u.Patrn´eje to zejm´enau odlehl´ehobodu vlevo. C´arkovanˇejeˇ naznaˇcen v´ysledekline´arn´ıregrese bez robustn´ıregrese a plnou ˇcarouje vykreslena t´aˇzline´arn´ıregrese po ˇctvrt´eiteraci robustn´ıregrese.

V pˇr´ıpadˇe,ˇzenejistoty σi pro jednotliv´amˇeˇren´ıpˇredemnezn´ame,coˇzje dosti bˇeˇzn´e, ˇ vypoˇcteme prvn´ıodhad sady parametr˚u b0 pomoc´ıMNC, kde v´ahy vˇsech mˇeˇren´ıbu- dou stejn´e,a pro jednotliv´epodskupiny mˇeˇren´ıvypoˇctemejejich robustn´ıstandardn´ı odchylky σrj podle vztahu (4.77), a vˇsechny individu´aln´ı nejistoty ˇclen˚upodskupiny s touto robustn´ıstandardn´ıodchylkou ztotoˇzn´ıme: σij = σrj. Pak uˇzm˚uˇzemepostupo- vat podle v´yˇseuveden´ehopostupu. 100 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad 5 Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad 5.1 Z´akladn´ıpojmy a ´uvahy

5.1.1 Svˇeteln´akˇrivka Povahu promˇennostinˇejak´ehoobjektu na hvˇezdn´eobloze zpravidla posuzujeme podle vzhledu jeho tzv. svˇeteln´ekˇrivky, coˇzje z´avislosthvˇezdn´evelikosti ˇcijasnosti sledovan´eho objektu na ˇcaseud´avan´emnejˇcastˇejiv juli´ansk´ych dnech. Hvˇezdn´avelikost se ud´av´a v magnitud´ach, nˇekdy t´eˇzv jej´ıch zlomc´ıch (milimagnitud´ach – mmag). Hvˇezdnouve- likost promˇenn´ehvˇezdyurˇcujemezpravidla relativnˇepomoc´ıpomˇerujasnosti zkouman´e hvˇezdy jv a jasnosti jin´e, vhodnˇezvolen´e srovn´avac´ıhvˇezdy jc, o n´ıˇzpˇredpokl´ad´ame,ˇze je hvˇezdous konstantn´ıjasnost´ı.Na vertik´aln´ıosu pak vyn´aˇs´ımeveliˇcinu ∆m: j ∆m = −2, 5 log v , (5.1) jc bˇeˇznˇevˇsakv opaˇcn´emsmˇerutak, aby pˇrivzr˚ustujasnosti ˇslasvˇeteln´akˇrivka vzh˚uru. Pokud je zn´amahvˇezdn´avelikost srovn´avac´ıhvˇezdy(tu m˚uˇzemeurˇciti fotometrick´ym mˇeˇren´ımv˚uˇcitzv. standardn´ımhvˇezd´amse zn´amouhvˇezdnouvelikost´ı),pak m˚uˇzeme vyn´aˇsetpˇr´ımohvˇezdnouvelikost promˇenn´ehvˇezdy v z´avislosti na ˇcase. Vˇzdybychom ale mˇelitak´euv´adˇet,v jak´emspektr´aln´ımoboru jsme jasnosti obou hvˇezdporovn´avali. Mˇeˇren´ı sice m˚uˇzemeprov´adˇetv instrument´aln´ım fotometrick´em syst´emu, kde je spektr´aln´ıcitlivost urˇcenajen vlastnostmi zemsk´eatmosf´ery, pˇr´ıstroje a detektoru, mnohem lepˇs´ıje vˇsakmˇeˇren´ıjasnosti v´estve vhodnˇezvolen´emmezin´arodn´ım fotometrick´emsyst´emu (napˇr. UBV, uvby aj.).

U promˇenn´ych hvˇezdvˇsaknemus´ıb´ytz´avislepromˇennouveliˇcinoujenom jasnost nebo jasnosti pˇr´ıbuzn´aveliˇcina,ale i jin´aveliˇcina,napˇr´ıklad radi´aln´ı rychlost, indukce magne- tick´ehopole, intenzita nˇejak´espektr´aln´ıˇc´arynebo v´yˇska Balmerova skoku. Postup zpracov´an´ı takov´ehotopozorov´an´ıb´yv´avelmi ˇcastopodobn´yjako zpracov´an´ıklasick´esvˇeteln´ekˇrivky. Hlavn´ım d˚uvodem, proˇcjsou svˇeteln´ekˇrivky preferov´any pˇred jin´ymiˇcasov´ymiˇradami,je skuteˇcnost,ˇzerelativn´ıpˇresnostfotometrick´ych zmˇenvzhledem k jejich amplitudˇezpravidla b´yv´amnohem vˇetˇs´ıneˇzu jin´ych typ˚upromˇenn´ych veliˇcin(napˇr.radi´aln´ırychlosti, intenzity spektr´aln´ıch ˇcarnebo indukce magnetick´ehopole).

Pomoc´ıvzhledu a amplitudy svˇeteln´ych kˇrivek promˇenn´ych hvˇezdlze urˇcito jak´y typ promˇennostise u n´ıjedn´a,mnoh´ese dozv´ımei o hvˇezd´ach samotn´ych. Optim´aln´ı by jistˇebylo, kdybychom mˇelik dispozici co nejdelˇs´ı, souvisl´y´useksvˇeteln´ekˇrivky, protoˇzepak budeme m´ıt moˇznostrealisticky celou hvˇezduzhodnotit a popsat. To- muto ide´aluse ovˇsemlze pˇribl´ıˇzitjen tehdy, budeme-li m´ıt k dispozici takov´apo- zorov´an´ıveden´az paluby speci´aln´ıch astronomick´ych druˇzic.I kdyˇztakov´ych mˇeˇren´ı v posledn´ıdobˇepˇrib´yv´a,valn´avˇetˇsinapromˇenn´ych hvˇezdbyla, je a bude pozorov´ana z povrchu rotuj´ıc´ıZemˇeobklopen´eatmosf´erounav´ıcnedokonal´ymipˇr´ıstroji, vn´aˇsej´ıc´ımi do pozorov´an´ıvˇetˇs´ıˇcimenˇs´ırozptyl. Toto vˇselimituje povahu pozorov´an´ıpromˇenn´ych hvˇezd,kter´atypicky jsou jen ´utrˇzkovit´a,nav´ıcsloˇzen´az mnoˇzstv´ıkratiˇck´ych ´usek˚u, kdy se skuteˇcnˇepˇr´ısluˇsn´emˇeˇren´ı prov´ad´ı. Kompletn´ı svˇetelnoukˇrivkuastronomov´e 5.1. Z´akladn´ıpojmy a ´uvahy 101 sice dok´aˇzouvytvoˇrit,ale rozhodnˇeto neb´yv´ajednoduch´a´ulohas jedin´ymˇreˇsen´ım. Z´akladempro konstrukci svˇeteln´ych kˇrivek jsou tzv. ˇcasov´eˇrady pozorov´an´ı nˇejak´e vybran´eveliˇciny zkouman´ehoobjektu. Pˇripomeˇnme,ˇzeza ˇcasovou ˇradubudeme povaˇzovat soubor uspoˇr´adan´ych dvojic ob- sahuj´ıc´ıokamˇzik i-t´ehomˇeˇren´ıjist´ehodruhu, ti, a namˇeˇrenouveliˇcinu yi. Velmi ˇz´adouc´ı je doplnit kaˇzdouz tˇechto dvojic i odhadem nejistoty pˇr´ısluˇsn´ehomˇeˇren´ı σi, pˇr´ıpadnˇe jeho vahou wi, kter´ase standardnˇevol´ıtak, aby byla rovna ˇctverci pˇrevr´acen´ehodnoty −2 nejistoty, tedy wi = σi .

5.1.2 Casˇ pozorov´an´ı Vˇetˇsina publikac´ı o pozorov´an´ı promˇenn´ych hvˇezdse vˇenuje technik´am,jak zv´yˇsit pˇresnostmˇeˇren´ıjasnosti ˇcihvˇezdn´evelikosti, ale velmi ˇcastose zapom´ın´ana druhou veliˇcinu, kter´apˇresnosta hodnovˇernostmˇeˇren´ı ovlivˇnujezcela z´asadn´ım zp˚usobem, a to je ˇcas.Abychom mohli zaˇradita popsat v ˇcasenˇejakou ud´alost,napˇr´ıkladmˇeˇren´ı, opatˇrujemeji ˇcasovou znaˇckou (v angliˇctinˇe time stamp“). Ta definuje pˇresnosts jakou ” je ud´alostzaznamen´anaa je urˇcenakombinac´ıtzv. referenˇcn´ıhor´amcea ˇcasov´ehostan- dardu. Referenˇcn´ır´amec(v angliˇctinˇe reference frame“) se vztahuje ke geometrick´epoloze ” ud´alosti,v naˇsempˇr´ıpadˇek m´ıstupozorov´an´ı.Je tedy zˇrejm´e,ˇzer˚uzn´ereferenˇcn´ır´amce se liˇs´ıo dobu, kterou potˇrebujesvˇetlona cestu mezi nimi. Casov´ystandardˇ (time stan- dard) se pak vztahuje ke zp˚usobuchodu urˇcit´ych hodin pouˇzit´ych pro mˇeˇren´ı ˇcasu a jejich nulov´ehobodu definovan´ehomezin´arodn´ımistandardy. Mezi nejstarˇs´ıˇcasov´estandardy pouˇz´ıvan´ev astronomii patˇr´ıGMT (Greenwich Mean Time), jehoˇzz´akladembyl stˇredn´ısluneˇcn´ıˇcasna observatoˇriv anglick´eGreenwichi.1 V roce 1884 byly zavedeny p´asmov´eˇcasya greenwichsk´ypoledn´ıkbyl ustanoven nult´ym poledn´ıkem, na nˇemˇzse mˇeˇr´ıUT (Universal Time). Term´ınUT byl ale zaveden aˇzroku 1928 (po zmˇenˇedefinice poˇc´atku astronomick´ehodne od 1. 1. 1925). Na z´akladˇerozhod- nut´ıIAU se tento ˇcasUT od 1. ledna 1956 pˇrejmenoval na UT0 a znamen´aˇcasodvozen´y z rotace Zemˇepro konkr´etn´ım´ıstopozorov´an´ı,pˇrepoˇc´ıtan´ypomoc´ızn´am´ezemˇepisn´e d´elkyna greenwichsk´ypoledn´ık.Postupnˇebyly zav´adˇeny r˚uzn´eopravy, napˇr´ıklado vliv pohybu p´ol˚una zemˇepisnoud´elkum´ıstapozorov´an´ı(ˇcasUT1), o kr´atkodob´eodchylky s periodou kratˇs´ıneˇz35 dn´ı(UTR1), sez´onn´ızmˇeny v rychlosti rotace Zemˇe(UT2). Jako z´akladpro obˇcansk´emˇeˇren´ıˇcasua mezin´arodn´ıstandard dnes slouˇz´ıˇcasUTC (Coordi- nated Universal Time), kter´yje definov´anpomoc´ıatomov´ych hodin tak, ˇzese ale nesm´ı odch´ylitod ˇcasuUT1 o v´ıceneˇz0,9 sekundy. Z toho ovˇsemvypl´yv´avelmi nepˇr´ıjemn´a vlastnost UTC. Tento ˇcasnen´ı plynul´y!Pˇribliˇznˇekaˇzd´ych ˇsestmˇes´ıc˚uje korigov´an zaˇrazen´ımtzv. pˇrestupn´esekundy. Od doby, kdy se tento institut zaˇcalpouˇz´ıvat, uˇzdoba korekc´ıˇcin´ıpˇribliˇznˇep˚ulminuty a takov´yrozd´ıluˇzse projev´ıv ˇradˇeastronomick´ych po- zorov´an´ı.Mus´ıme s n´ımtedy poˇc´ıtat. Casuˇ UTC vyuˇz´ıv´avˇetˇsinapozorovatel˚u,kteˇr´ıˇcasy ve sv´empoˇc´ıtaˇci,z nˇehoˇzˇr´ıd´ıCCD kameru, synchronizuj´ıse standardem pomoc´ıNet- work Time Protocol (NTP). Casov´ychˇ standard˚uje cel´aˇrada,od standardu atomov´ych hodin TAI (International Atomic Time), pˇresr˚uzn´evarianty terestrick´ehoˇcasuTT (Ter-

1GMT byl roku 1847 pˇrijatna britsk´ych ostrovech ˇzelezniˇcn´ıspoleˇcnost´ıRailway Clearing House jako ˇzelezniˇcn´ıˇcas“ ( railway time“). Ofici´aln´ımˇcasem pro Velkou Brit´aniise stal v r. 1880. ” ” 102 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad restrial Time) aˇzpo barycentrick´ydynamick´yˇcas TDB (Barycentric Dynamical Time), kter´yopravuje TT na barycentrum Sluneˇcn´ısoustavy. V kaˇzd´empˇr´ıpadˇeby pozorova- tel mˇelvˇzdyuv´adˇetjak´yˇcasov´ystandard pro sv´amˇeˇren´ıpouˇzil.V astronomii se ˇcas zpravidla pˇrev´ad´ıa publikuje v juli´ansk´emdatov´an´ı.Jedn´ase o volnˇeplynouc´ıˇcasov´y ´udaj odpov´ıdaj´ıc´ıpoˇctudn˚u,kter´euplynuly od jist´eho,ˇcasovˇedostateˇcnˇevzd´alen´eho poˇc´atku.Jeho uˇzit´ıv astronomii navrhnul John Herschel v Outlines of Astronomy (1849) a poprv´ev praxi pouˇzilPickering (1890). Jenˇzei tady je tˇreba si uvˇedomit, ˇzena juli´ansk´edatov´an´ı pˇrech´az´ıte z urˇcit´ehoˇcasov´ehostandardu. Doporuˇcujemez´asadnˇe nepouˇz´ıvat p´asmov´eˇcasy, letn´ıˇcasya podobnˇe.Pokud budete vych´azetz UTC, vˇzdyje tˇrebato zaznamenat a uv´estpˇripublikaci dat. Ale nezapom´ınejmena referenˇcn´ır´amec. Udan´yˇcaspozorov´an´ıvych´az´ız polohy pozorovatele. Pokud bychom chtˇelib´ytzcela pˇresn´ı,mˇelibychom vyjadˇrovat ˇcasovou znaˇckumˇeˇren´ıv barycentrick´emdynamick´em ˇcasea pˇrepoˇc´ıtatjej na aktu´aln´ıpolohu barycentra Sluneˇcn´ısoustavy. Spr´avn´aˇcasov´a znaˇcka by pak mˇelaobecn´ytvar

BJD TDB = JDUTC + ∆R + ∆C + ∆S + ∆E , (5.2)

kde BJD znaˇc´ı barycentrick´ejuli´ansk´edatov´an´ı, ∆R Rømerovo zpoˇzdˇen´ı,∆C korekci 2 hodin, ∆S Shapirovo zpoˇzdˇen´ı, ∆E Einsteinovo zpoˇzdˇen´ı . Pokud nepoˇzadujeme pˇresnostvˇetˇs´ı neˇz1 sekunda, m˚uˇzemeposledn´ı dvˇerelativistick´ekorekce zanedbat. Rømerovo zpoˇzdˇen´ıje d´anokoneˇcnourychlost´ısvˇetla.Jak Zemˇeob´ıh´akolem Slunce, mˇen´ıse jej´ıvzd´alenostod sledovan´ehoobjektu a v d˚usledkutoho m˚uˇzedoj´ıtke zpoˇzdˇen´ı sign´aluaˇzo 8,3 minuty. Bˇeˇznˇese setk´ames tzv. heliocentrickou korekc´ı, kter´aˇreˇs´ı Rømerovo zpoˇzdˇen´ı posunut´ım“ Zemˇedo stˇredu Slunce. Takov´akorekce vˇsaknestaˇc´ı ” pokud poˇzadujemepˇresnostlepˇs´ıneˇz8 sekund. Pak je tˇrebaprov´estpˇrepoˇcetna barycen- trum Sluneˇcn´ısoustavy3. Nav´ıcsi mus´ımeuvˇedomit,ˇzeke stejn´emu zpoˇzdˇen´ısign´alu m˚uˇzedoch´azeti v pozorovan´emobjektu, pokud je j´ımnapˇr´ıklad vzd´alen´aplanet´arn´ı soustava, v´ıcen´asobn´yhvˇezdn´ysyst´ema podobnˇe. Z praktick´ehohlediska je tˇrebaˇcasov´ym´udaj˚umopravdu vˇenovat pozornost, kterou si zaslouˇz´ı.At’ uˇzv budeme v odborn´epr´aciuv´adˇetjuli´ansk´edatov´an´ıgeocentrick´e JD geoc, heliocentrick´e JD hel nebo barycentrick´e JD bar, vˇzdyje tˇrebauv´esttak´epouˇzit´y ˇcasov´ystandard, nejˇcastˇejiUTC a pˇr´ıpadnou korekci hodin. Pro v´ypoˇcetbarycen- trick´ekorekce m˚uˇzemenapˇr´ıkladvyuˇz´ıtkalkul´atorna http://astroutils.astronomy. ohio-state.edu/time/utc2bjd.html. Ale nesm´ıme v naˇsich z´aznamech a v´ypoˇctech zapom´ınatani na to, ˇzeexpoziˇcn´ınebo integraˇcn´ıˇcasnen´ınulov´y.Je tedy tˇrebauv´adˇet, zda ˇcasov´aznaˇcka pˇr´ısluˇs´ızaˇc´atku,stˇredunebo konci expozice a tak´ed´elkupouˇzit´e expozice. Napˇr´ıkladu sn´ımk˚ukamery OMC druˇziceIntegral je uv´adˇenˇcaszaˇc´atkuex- pozice a pˇritomkaˇzd´aexpozice m´aobecnˇer˚uznoud´elku,kter´ese liˇs´ıv ˇr´adech minut. Nepozorn´yuˇzivatel dat tak m˚uˇzeprost´ymopomenut´ım silnˇe zaˇsumˇet“ jinak velmi ” kvalitn´ıdata.

2Detailn´ıinformace lze nal´eztv ˇcl´ankuEastman et al. (2010). 3Heliocentrick´ejuli´ansk´edatov´an´ı HJD bylo form´alnˇeodm´ıtnuto rezoluc´ıA4 Mezin´arodn´ıastro- nomick´eunie v roce 1991, kter´adoporuˇcujenad´alepouˇz´ıvat BJD vztaˇzen´ek barycentru Sluneˇcn´ı soustavy 5.2. Periodicita promˇennosti 103

5.2 Periodicita promˇennosti

U ˇrady typ˚upromˇenn´ych hvˇezdse pozorovan´esvˇeteln´ei jin´ezmˇeny opakuj´ıse znaˇcnou pravidelnost´ı.Promˇennosthvˇezdyurˇcujenˇejak´y periodick´ydˇej, jehoˇzperioda pak odpo- v´ıd´a periodˇesvˇeteln´ychzmˇen pˇr´ısluˇsn´epromˇenn´ehvˇezdy. V nˇekter´ych pˇr´ıpadech se m˚uˇzemesetkat i s kombinac´ınˇekolika periodick´ych dˇej˚u,pˇr´ıpadnˇeperiodick´ehodˇeje s nˇejak´ymiaperiodick´ymizmˇenamiˇcitrendy.

V pozorovatelsk´epraxi se lze setkat s rozliˇcn´ymi modifikacemi i stupni periodicity promˇennosti:

a) ide´aln´ıpromˇennost– svˇeteln´ekˇrivkyz´ıskan´ev r˚uzn´ych cyklech jsou v r´amcipˇresnosti mˇeˇren´ızcela identick´e; b) sekul´arn´ı(dlouhodob´e)zmˇeny – tvar svˇeteln´ekˇrivky nebo d´elka periody se dlouhodobˇe mˇen´ı; c) v´ıce period – svˇeteln´akˇrivka je v´ysledkem superpozice nˇekolika periodick´ych zmˇen, prob´ıhaj´ıc´ıch nez´avislea s r˚uzn´ymi,zpravidla nesoudˇeln´ymiperiodami nebo frekven- cemi; d) aperiodick´e(neperiodick´e)zmˇeny, trendy – pˇresperiodick´ezmˇeny se pˇrekl´adaj´ıaperi- odick´ezmˇeny a trendy, kter´eperiodick´ezmˇeny moduluj´ıa mˇen´ıjej´ıch ´uroveˇn.

Ukazuje se, ˇzevˇetˇsinapromˇenn´ych hvˇezdmˇen´ısvou jasnost (ale tak´ei radi´aln´ırychlost, intenzitu spektr´aln´ıch ˇcarnebo indukci magnetick´ehopole) v´ıce ˇcim´enˇeperiodicky, s jednou periodou P nebo chcete-li frekvenc´ı ν (ν = 1/P ) nebo ´uhlovourychlost´ı ω, ω = 2 π ν = 2 π/P . D´aleplat´ı,ˇze tvar i amplituda svˇeteln´ych kˇrivek vˇetˇsiny promˇenn´ych hvˇezdz˚ust´avaj´ıpo mnoho cykl˚ukonstantn´ı,zat´ımcojejich periody P (t) se mohou z ˇrady pˇr´ıˇcinpozvolna mˇenit. Studiem tˇechto zmˇense zab´yv´atzv. periodov´aanal´yza, kter´azmˇeny periody zkoum´a prostˇrednictv´ımv´ıceˇcim´enˇesloˇzit´ych a sofistikovan´ych model˚u.Vysledov´an´ıperiod- icity promˇenn´ehvˇezdya nalezen´ıd´elkyperiody4 hodnˇevypov´ıd´ao fyzik´aln´ıpodstatˇe pozorovan´ych zmˇeni o promˇenn´ehvˇezdˇesamotn´e.Nav´ıcumoˇzˇnujestanovit pˇredpovˇed’ chov´an´ıhvˇezdysmˇeremdo budoucnosti i do minulosti.

5.2.1 Pˇr´ıˇciny zmˇenperiody periodicky promˇenn´ych hvˇezd 5.2.1.1 Pulzuj´ıc´ıhvˇezdy Periodicky promˇenn´ehvˇezdyse podle mechanismu jejich z´akladn´ı promˇennostidˇel´ı do tˇr´ı hlavn´ıch skupin. Pˇredevˇs´ımjsou to fyzicky promˇenn´epulzuj´ıc´ıhvˇezdy, kde pˇr´ıˇcinoupromˇen- nosti jsou kmity vnˇejˇs´ıch a podpovrchov´ych ˇc´ast´ıhvˇezdy. Perioda promˇennostije d´anaokamˇzi- t´ymstavem tˇechto vrstev, jejich rozmˇerem, hustotou a teplotou, zp˚usobem buzen´ı a tlu- men´ı pulzac´ı a jejich celkovou amplitudou. Pulzace mohou souˇcasnˇeprob´ıhat i v nˇekolika m´odech, jejichˇzperioda je obecnˇer˚uzn´a.V souvislosti s postupnou pˇrestavbou vnˇejˇskuhvˇezdy danou vnitˇrn´ım(nukle´arn´ım)v´yvojem pulzuj´ıc´ıhvˇezdyse mˇen´ınapˇr´ıkladjej´ırozmˇer,coˇzse pak odraz´ıv postupn´ezmˇenˇeperiody. V pr˚ubˇehu zmˇen m˚uˇzet´eˇzdoj´ıtk pomˇernˇen´ahl´ym ud´alostem,jako je tˇrebapodstatn´eutlumen´ı pulzac´ıˇcinasazen´ı nov´ych pulzaˇcn´ıch m´od˚u.

4Jev´ı-li hvˇezdaperiodick´ezmˇeny s periodou P , pak jsou tyto zmˇeny periodick´ei v celistv´ych n´asobc´ıch t´etoperiody (2 P, 3 P, −P,...). Periodou zmˇenpromˇenn´ehvˇezdybudeme myslet tu nejmenˇs´ı kladnou z mnoˇziny takov´ych period. 104 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

Nicm´enˇelze oˇcek´avat, ˇzezm´ınˇen´ezmˇeny periodicity pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych budou prob´ıhat v tzv. nukle´arn´ıˇcasov´eˇsk´ale,kterou lze podle typu hvˇezdy odhadnout na mili´ony let. Jsou ovˇsemetapy v´yvoje hvˇezdy, kdy se i zmˇeny periody pulzac´ıznaˇcnˇeurychl´ı.Napˇr´ıklad u cefeid je to tehdy, kdyˇzpr´avˇeproch´azej´ıhranicemi p´asunestability. Tak tˇrebaBerdnikov & Turner (2010) zjistili rozborem pozorov´an´ıklasick´ecefeidy II Car (P = 64, 4 d), ˇze se jej´ıperioda soustavnˇeprodluˇzujetempem dP/dt = 719(15) s/rok.5

5.2.1.2 Rotuj´ıc´ıhvˇezdy Dalˇs´ıskupinou jsou rotuj´ıc´ıhvˇezdys neizotropn´ımvyzaˇrov´an´ımdo prostoru. To b´yv´astan- dardnˇezp˚usobeno bud’ v´yskytemfotometrick´ych skvrn ve fotosf´eˇrenebo zp˚usobem generace elektromagnetick´ehoz´aˇren´ı,jak je tomu v pˇr´ıpadˇemagnetosf´erpulsar˚u.Pakliˇzehvˇezda rotuje jako tuh´etˇeleso, pak jej´ı´uhlov´arychlost ω souvis´ıs celkov´ymmomentem hybnosti L a mo- mentem setrvaˇcnosti J vztahem L = J ω. Ke zmˇen´am´uhlov´erychlosti rotuj´ıc´ıhotuh´ehotˇelesa m˚uˇzedoj´ıt ze dvou d˚uvod˚u– m˚uˇze se mˇenitmoment hybnosti L nebo moment setrvaˇcnosti J, kter´yje d´anrozloˇzen´ımhmoty v tˇelehvˇezdy. Jako pˇr´ıklad rotuj´ıc´ı promˇenn´ehvˇezdysi vezmˇeme tˇreba chemicky pekuli´arn´ı hvˇezdu hlavn´ıposloupnosti s fotometrick´ymiskvrnami na povrchu. Pˇredpokl´adejme,ˇzezvolen´ahvˇezda o hmotnosti M a polomˇeru R jev´ı sf´erickou symetrii, takˇzehustota ρ(r) v n´ı je funkc´ı je vzd´alenosti r od centra hvˇezdy. Uˇziteˇcn´eje jeˇstˇezav´estbezrozmˇernouveliˇcinu u = r/R, kde R je polomˇerhvˇezdy. Z´avislosthustoty l´atky ρ(u) na u n´amud´av´ajin´abezrozmˇern´afunkce 4 3 Ω(u) = ρ(u)/ρ, kde stˇredn´ı hustota ρ = M/ 3 πR a M je celkov´ahmotnost hvˇezdy. Pro moment setrvaˇcnostisf´ericky symetrick´ehvˇezdypak obdrˇz´ımevztah

Z Z R 2 2 2 2 h R 1 4 i 2 2 J = h dM = 3 r 4πρ(r) r dr = 2 0 Ω(u) u du MR = α MR , (5.3) M 0 kde h je vzd´alenostvybran´eho elementu o hmotnosti dM od osy rotace hvˇezdy. Omez´ıme-lise nyn´ıjen na hvˇezdyhlavn´ıposloupnosti, pak vych´az´ı,ˇzebezrozmˇern´akonstanta α souvisej´ıc´ı s rozloˇzen´ımuvnitˇrhvˇezdyje zhruba α ≈ 0, 05. Bˇehemv´yvoje hvˇezdyhlavn´ıposloupnosti doch´az´ıke dvˇemaprotich˚udn´ymproces˚um– pˇrednˇese neust´alezahuˇst’uje centr´aln´ıj´adroob- sahuj´ıc´ıst´alevˇetˇs´ıpod´ılh´elia,ˇc´ımˇzkles´a konstanta“ α, ale souˇcasnˇeroste polomˇerhvˇezdy R. ” Z model˚uodborn´ık˚una hvˇezdn´yv´yvoj Meyneta a Maedera plyne pˇribliˇzn´yvztah α(t) ∼ R(t)−1, takˇzemoment setrvaˇcnostibude s ˇcasemr˚ust´umˇernˇepolomˇeru, J(t) ∼ R(t). Budeme- li pˇredpokl´adat,ˇzemoment hybnosti hvˇezdyse bˇehemv´yvoje na hlavn´ı posloupnosti za- chov´av´a,pak bude ´uhlov´arychlost hvˇezdy ω(t) nepˇr´ımo´umˇern´apolomˇeru R(t), ω(t) ∼ R−1. Rotaˇcn´ıperioda hvˇezdy P bude ´umˇern´apolomˇeru P ∼ R, takˇzeby mˇelas ˇcasemr˚ust,naproti tomu rovn´ıkov´arychlost hvˇezdyby mˇelabˇehemcel´ehov´yvoje hvˇezdyna hlavn´ıposloupnosti z˚ustatkonstantn´ı: Veq = ωR = konst.. Pˇredpokl´adejmenyn´ı,ˇzepolomˇerhvˇezdybˇehemf´azena hlavn´ıposloupnosti roste, a to tak, ˇzeplat´ı R/R˙ (t) = γ, kde γ je kladn´akonstanta. Vyˇreˇsen´ımt´etodiferenci´aln´ırovnice obdrˇz´ıme R(t) = R0 exp(γ t), kde R0 je polomˇerhvˇezdyna poˇc´atkujej´ıhov´yvoje na hlavn´ıposloup- nosti, tedy v ˇcase t = 0. Vid´ımetedy, ˇzepolomˇerhvˇezdyexponenci´alnˇeroste, coˇzodpov´ıd´a

5U tohoto zjiˇstˇen´ıje vˇsakˇz´adouc´ıse trochu pozastavit. Casov´aˇsk´alatohotoˇ zpomalov´an´ı τ, jeˇzje d´anapomˇerem τ = P/P˙ = 7700 let, je o mnoho ˇr´ad˚ukratˇs´ı,neˇzby odpov´ıdalooˇcek´av´an´ıvypl´yvaj´ıc´ı z tempa v´yvoje hvˇezdy. Vysvˇetlen´ıse nab´ızej´ıhned dvˇe– zjiˇstˇen´ezpomalov´an´ıpulzace nen´ıd˚usledkem nukle´arn´ıhov´yvoje v centru hvˇezdy, ale m´amoˇzn´aprozaiˇctˇejˇs´ıvysvˇetlen´ı- cefeida tˇrebam˚uˇzeb´yt sloˇzkou dvojhvˇezdy, nebo, coˇzje jeˇstˇepravdˇepodobnˇejˇs´ı,pˇrizpracov´an´ıse zanedbal nˇejak´yefekt, tˇreba sekul´arn´ızmˇenasvˇeteln´ekˇrivky... 5.2. Periodicita promˇennosti 105 i v´ysledk˚ummodelov´an´ıhvˇezdn´ehov´yvoje. Z model˚upak vypl´yv´a,ˇzehvˇezdase bˇehemf´aze hvˇezdyhlavn´ıposloupnosti, kter´atrv´a τHP, zvˇetˇs´ızhruba e-kr´at.Takto pak dostaneme:

 t  R˙ 1 ω˙ ν˙ P˙ ν R(t) = R0 exp ⇒ = = − = − = , ν˙ = − . (5.4) τHP R τHP ω ν P τHP

7 Dosazen´ımkonkr´etn´ıch hodnot pro nejhmotnˇejˇs´ıCP hvˇezdy: τHP = 10 let by se dalo oˇcek´avat, ˇzerelativn´ızmˇenaperiody v d˚usledkuv´yvoje by mohla ˇcinitnejv´yˇse P˙ /P ∼ 10−7 rok−1, coˇz je tˇesnˇena hranici detektovatelnosti. U hork´ych hvˇezdje produkce hvˇezdn´ehovˇetrupˇr´ımo ´umˇern´az´aˇriv´emu v´ykonu hvˇezdy, −6 maxim´alnˇedosahuje aˇz10 M /rok, u CP hvˇezdvˇsaknikdy tak siln´yv´ıtrnepozorujeme. Hvˇezdn´yv´ıtrvanouc´ız povrchu hvˇezdyje schopen velmi ´uˇcinnˇeodn´aˇsetze hvˇezdy moment hybnosti a t´ımi brzdit rotaci hvˇezdy. M˚uˇzemesi vyj´adˇritˇcasovou zmˇenu celkov´ehomomentu hybnosti L˙ . Je-li Γ R2ω specifick´ymoment hybnosti pˇripadaj´ıc´ına jednotku hmoty odch´azej´ıc´ı do prostoru, M˙ zmˇenahmotnosti hvˇezdyv d˚usledkuhvˇezdn´ehovˇetrua plat´ı,ˇze M˙ < 0 a tedy L˙ < 0, pak

Γ d(Jω) P˙ ω˙  Γ  M˙ L˙ = Γ MR˙ 2ω = Jω,˙ L˙ = = Jω˙ + Jω˙ ⇒ = − = 1 − (5.5) α dt P ω α M

2 Pokud vystupuje hvˇezdn´yv´ıtrrovnomˇernˇez povrchu, pak je Γ = 3 , poch´az´ı-livˇsakz rozs´ahl´e magnetosf´ery, m˚uˇzeb´ytjeˇstˇemnohon´asobnˇevyˇsˇs´ı. Magnetosf´erahvˇezdyudrˇzuje hvˇezdn´yv´ıtr v korotaci6 s hvˇezdn´ympovrchem, a to aˇz do vzd´alenosti rc. Protoˇzepolomˇerkorotace je vˇetˇs´ı neˇzpolomˇerhvˇezdy rc > R, doch´az´ı k pˇrenosumomentu hybnosti z hvˇezdyna hvˇezdn´yv´ıtrprostˇrednictv´ımmagnetick´ehopole pevnˇespojen´ehos hvˇezdou.T´ımpak by mˇelodoch´azetk brzdˇen´ıcel´ehvˇezdynebo alespoˇn jej´ıch svrchn´ıvrstev, do nichˇzje magnetick´epole zamrzl´e.Polomˇerkorotace je omezen u oby- ˇcejn´ych hvˇezd indukc´ımagnetick´ehopole, u pulsar˚upak podm´ınkou ω rc ≤ c. Z´avˇeremje tedy moˇzn´eˇr´ıci,ˇze´unikl´atkyz hvˇezdyve formˇehvˇezdn´ehovˇetruje docela ´uˇcinn´yprostˇredek k brzdˇen´ızejm´enatˇech hvˇezds rozs´ahloumagnetosf´eroujako jsou magnetick´echemicky pekuli´arn´ıhvˇezdya neutronov´ehvˇezdy.

5.2.1.3 Interaguj´ıc´ıdvojhvˇezdy Dalˇs´ımtypem ˇcastostudovan´ych periodicky promˇenn´ych hvˇezdjsou z´akrytov´edvoj- hvˇezdy, kde periodou promˇennostije perioda obˇehu sloˇzekdvojhvˇezdykolem spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇe.Pozorov´an´ıokamˇzik˚uminim jasnosti pˇrivz´ajemn´ych z´akrytech sloˇzekumoˇzˇnuj´ı s mimoˇr´adnoupˇresnost´ıtestovat pˇr´ıpadn´ezmˇeny orbit´aln´ıperiody v pr˚ubˇehu mnoha desetilet´ı.Ukazuje se, ˇzeorbit´aln´ıperioda ˇradyz tˇechto z´akrytov´ych dvojhvˇezdse sys- tematicky prodluˇzujenebo naopak zkracuje. Zpravidla se to t´yk´atzv. tˇesn´ych nebo tak´e interaguj´ıc´ıch p´ar˚u,mezi nimiˇzdoch´az´ık pˇrenosul´atkya momentu hybnosti. Pokud se ˇz´adn´al´atka nedostane ven ze soustavy tvoˇren´edvˇemahvˇezdamio hmotnostech M1 a M2, pak se jedn´ao tzv. konzervativn´ıpˇrenoshmoty. Pˇrikonzervativn´ımpˇrenosuz˚ust´av´akonstantn´ıcelkov´yorbit´aln´ımoment hybnosti ˙ ˙ soustavy L = L1 + L2 a souˇcethmotnost´ıobou sloˇzek M = M1 + M2, takˇze M = L = 0. Budeme pˇritompˇredpokl´adat, ˇzeveˇsker´ahmotnost i veˇsker´ymoment hybnosti je uloˇzen v dvojici hvˇezd,mezi nimiˇzpˇrenoshmoty prob´ıh´a.D´alebudeme m´ıtza to, ˇzesloˇzky

6Uhlov´arychlost´ tu nez´avis´ına vzd´alenostiod centra, tedy ω(r) = konst. 106 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

dvojhvˇezdyob´ıhaj´ıkolem spoleˇcn´ehotˇeˇziˇstˇepo kruhov´ych drah´ach o polomˇerech a1, a2, a = a1 + a2. Ze vztahu pro polohu tˇeˇziˇstˇedvou hvˇezd,reprezentovan´ych zde dvojic´ı hmotn´ych bod˚uplyne a1/a2 = M2/M1 a tedy a1 = a M2/M, a2 = a M1/M. Pro moment hybnosti L lze pak ps´at M M 2 π M M L = L + L = ω(M a2 + M a2) = ω a2 1 2 = a2 1 2 . (5.6) 1 2 1 1 2 2 M P M Vztah pro moment hybnosti nyn´ızlogaritmujeme a pot´ezderivujeme podle ˇcasu(tomuto postupu se ˇr´ık´a logaritmick´aderivace“) ”

ln L = ln(2 π) − ln(P ) + 2 ln(a) + ln(M1) + ln(M2) − ln(M), ⇒ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ L P a˙ M1 M2 M P a˙ ˙ M2 − M1 = − + 2 + + − = − + 2 + M1 = 0. (5.7) L P a M1 M2 M P a M1 M2 Obdobnˇelze naloˇzits 3. Keplerov´ymz´akonem, kter´yspolu v´aˇzehmotnost soustavy M, vzd´alenostsloˇzek a a obˇeˇznouperiodu P , a slouˇcitjej s rovnic´ı(5.7) do tvaru

GM  G  a3 = P 2, 3 ln(a) = ln + ln(M) + 2 ln(P ), (5.8) 4 π2 4 π2 ˙ ˙ a˙ P P ν˙ ω˙ 3 a˙ M1 − M2 ˙ 3 = 2 , ⇒ = − = − = 2 = 3 M1. (5.9) a P P ν ω a M1 M2

7 Budeme-li pˇredpokl´adat,ˇze M1 je hmotnost prim´arn´ı,v tomto pˇr´ıpadˇehmotnˇejˇs´ısloˇzky , ˙ ˙ pak pozorovan´eprodluˇzov´an´ıperiody (P > 0) znamen´a,ˇze(M1 > 0) tedy, ˇzehmot- nost prim´arn´ısloˇzkyjeˇstˇeroste a vzd´alenostisloˇzekse s ˇcasemzvˇetˇsuj´ı,takˇzese l´atka sekund´arn´ısloˇzkypˇren´aˇs´ına sloˇzkuprim´arn´ı.V pˇr´ıpadˇe,ˇzeby se perioda naopak zkra- ˙ ˙ covala (P < 0), musela by l´atka t´ectz prim´arn´ısloˇzky na sloˇzkusekund´arn´ı(M1 < 0). Sloˇzkydvojhvˇezdy by se k sobˇepˇribliˇzovaly (˙a < 0), coˇzby pokraˇcovalo aˇzdo okamˇziku, kdy by se hmotnosti sloˇzekvyrovnaly, a sloˇzkysi vymˇenilyrole. V tom okamˇzikuby dvojhvˇezdamˇelanejkratˇs´ıperiodu a sloˇzkyby k sobˇemˇelyabsolutnˇenejbl´ıˇz.Pak by pˇrenosl´atkypokraˇcoval, l´atka by z nyn´ıjiˇzsekund´arn´ısloˇzkytekla smˇeremk sloˇzce prim´arn´ıa perioda dvojhvˇezdyby rostla (P˙ > 0), vzd´alenostimezi sloˇzkami by rostly takt´eˇz(˙a > 0). Tempo zmˇeny periody P˙ /P tak pˇr´ımo ukazuje na velikost toku hmoty mezi kompo- ˙ ˙ nentami M1 = −M2.

5.2.1.4 LiTE a apsid´aln´ıpohyb Kromˇev´yˇsezm´ınˇen´ych mechanism˚u,kter´emˇen´ıperiodu v´ıcem´enˇemonot´onnˇe,zn´ame i mechanismy zmˇeny pozorovan´eperiody, kter´emˇen´ıperiodu periodicky. Jedn´ase jak o tzv. light-time efect (LiTE), jeˇzje d˚usledkem pˇr´ıtomnosti dalˇs´ıho tˇelesa(tˇeles)v soustavˇe,tak i apsid´aln´ıpohyb, pˇrinˇemˇzse cyklicky mˇen´ıperioda z´akrytov´edvojhvˇezdy, kter´aje odrazem rovnomˇern´ehoposouv´an´ıpˇr´ımky apsid (spojnice mezi periastrem a

7Takov´avolba neplat´ıvˇzdy. Nˇekdyje jako prim´arn´ısloˇzka oznaˇcov´anavˇetˇs´ı(rozmˇernˇejˇs´ı)hvˇezda, nˇekdyta, kter´aje v prim´arn´ımminimu zakr´yv´ana.Oznaˇcen´ıprim´arn´ısloˇzka tedy rozhodnˇenen´ıjed- noznaˇcn´e. 5.2. Periodicita promˇennosti 107 apoastrem). Tento pohyb zp˚usobujejak zmˇenu periody, tak i zmˇenu vzhledu svˇeteln´e kˇrivky. Nejviditelnˇejˇs´ımefektem je vz´ajemn´ypohyb prim´arn´ıch a sekund´arn´ıch minim. PˇriLiTE z˚ust´av´asvˇeteln´akˇrivka nepromˇenn´a. C´ılem n´asleduj´ıc´ıch kapitol bude sestavit modely periody a uk´azat,jak souvisej´ı s pozorov´an´ım.K tomu je vˇsaknezbytn´ezav´esta definovat nˇekolik d˚uleˇzit´ych pojm˚u.

5.2.2 Epocha, f´aze,f´azov´afunkce a okamˇzit´aperioda Stav periodicky se mˇen´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdyse zpravidla popisuje dvˇemafunkcemi ˇcasu t: neklesaj´ıc´ıschodovitou funkc´ı,zvanou epocha E(t), jeˇzvyjadˇrujepoˇcetcykl˚u,kter´euply- nuly od okamˇzikuzaˇc´atkupoˇc´ıt´an´ıepochy t = M0, a pilovitou funkc´ı ϕ(t), zvanou f´aze, jeˇznab´yv´asv´ehominima (ϕ(t) = 0) v okamˇzikuzaˇc´atkunov´ehocyklu, pak monot´onnˇe roste aby nabyla sv´ehomaxima v okamˇzikukonce pˇr´ısluˇsn´ehocyklu (ϕ(t) = 1). F´azese uˇz´ıv´apro sestrojen´ıtzv. f´azov´ekˇrivky nejr˚uznˇejˇs´ıch veliˇcincharakterizuj´ıc´ıch okamˇzit´y stav promˇenn´ehoobjektu. Casov´yintervalˇ mezi po sobˇen´asleduj´ıc´ımiokamˇziky nulov´e f´azepro vybranou epochu E nebo jinak ˇreˇcenod´elka trv´an´ıt´etovybran´eepochy je pak tzv. okamˇzit´aperioda P (E). M´ıstotˇechto dvou, matematicky nepˇekn´ych“ funkc´ı,je lepˇs´ıpracovat s tzv. f´azovou ” funkci - ϑ(t) definovanou n´asleduj´ıc´ımzp˚usobem

ϑ(t) = E(t) + ϕ(t); ϕ(t) = frac[ϑ(t)]; E(t) = floor[ϑ(t)]. (5.10)

Operator ‘frac’ odstraˇnujez re´aln´ehoˇc´ıslajeho celou ˇc´ast,zat´ımco‘floor’ zaokrouhluje toto ˇc´ıslosmˇeremk nejbliˇzˇs´ımu niˇzˇs´ımu cel´emu ˇc´ıslu. F´azov´afunkce promˇenn´ehvˇezdy ϑ(t) je monot´onnˇerostouc´ı hladk´afunkce ˇcasu proch´azej´ıc´ıpoˇc´atkem v okamˇziku t = M0; ϑ(M0) = 0. Uˇzit´ımrovnic (5.10) lze z f´azov´e funkce ϑ(t) vypoˇc´ıtatjak epochu, tak f´aziv libovoln´yokamˇzik.Derivace f´azov´efunkce podle ˇcasu ϑ(˙t) je pak rovna okamˇzit´efrekvenci ν(t), kter´aje rovna pˇrevr´acen´ehodnotˇe okamˇzit´eperiody P (t), takˇzeplat´ı ϑ(˙t) = ν(t) = 2 π ω(t) = P (t)−1, kde ω(t) je ´uhlov´a rychlost v ˇcase t. F´azov´afunkce ϑ(t) a okamˇzit´aperioda jsou pak sv´az´any n´asleduj´ıc´ıdiferenci´aln´ı rovnic´ı (detaily poprv´ezavedeny v Mikul´aˇseket al., 2008) a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou, takˇzeplat´ı

dϑ(t) 1 Z t Z t dτ = ν(t) = ; ϑ(t = M0) = 0; ⇒ ϑ(t) = ν(τ) dτ = . (5.11) dt P (t) M0 M0 P (τ) Je uˇziteˇcn´esi zav´estmimo f´azovou funkci ϑ(t) i jej´ıinverzn´ıfunkci T (ϑ), kterou m˚uˇzeme pouˇz´ıtnapˇr.k v´ypoˇctu okamˇzik˚unulov´ef´aze8 Θ(E) = T (E). Funkci T (ϑ) vypoˇcteme bud’ tak, ˇzenajdeme inverzn´ıfunkci k ϑ(t), nebo ji m˚uˇzeme odvodit ze vztahu

dT (ϑ) 1 = P (ϑ) = ; T (0) = M ; ⇒ (5.12) dϑ ν(ϑ) 0 Z ϑ Z ϑ dζ T (ϑ) = M0 + P (ζ)d ζ = M0 + . 0 0 ν(ζ) 8Obvykle jde o okamˇzikyminima ˇcimaxima jasnosti. 108 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

5.2.3 Z´akladn´ıdvouparametrick´ymodel – line´arn´ıefemerida Nejjednoduˇsˇs´ımysliteln´ymodel periody, kter´ybudeme pouˇz´ıvat jako prvn´ıaproximaci, pˇredpokl´ad´a,ˇzeperioda zmˇenje konstantn´ı: P (t) = P0. Pak uˇzit´ımrovnic (5.11) a (5.12) obdrˇz´ımepro f´azovou funkci ϑ1(t), jej´ıinverzi T1(ϑ) a pˇredpovˇed’ okamˇzik˚unulov´ef´aze Θ1(E) t − M0 ϑ1(t) = ; T1(ϑ1) = M0 + P0 ϑ1; Θ1(E) = M0 + P0 E. (5.13) P0

F´azov´afunkce ϑ1(t) i jej´ıinverze pro pˇr´ıpadkonstantn´ıperiody jsou pˇr´ımky se smˇernice- mi 1/P0 = ν0 a P0 = 1/ν0 a k jejich ´upln´emu popisu staˇc´ıdva z´akladn´ıparametry tzv. line´arn´ıefemeridy – z´akladn´ıokamˇziknulov´ef´aze M0 a perioda P0, respektive frekvence ν0. Tyto parametry lze urˇcitnapˇr´ıkladz grafu z´avislostiokamˇzik˚unulov´ef´aze(zpravidla maxima nebo minima jasnosti) na epoˇse. Line´arn´ıdvouparametrick´ymodel, naz´yvan´yt´eˇzline´arn´ıefemerida, m´av praxi kaˇzd´eho, kdo se zab´yv´av´ıcev´yzkumemjak´ychkoli v´ıceˇcim´enˇepravidelnˇese mˇen´ıc´ıch objekt˚u,zcela z´akladn´ıv´yznam.Nalezen´ıperiody zmˇena z´akladn´ıhookamˇziku,od nˇehoˇzse poˇc´ıtaj´ıf´aze, novˇeobjeven´ych objekt˚uˇcin´asledn´ezpˇresˇnov´an´ınebo ´uprava tˇechto element˚ub´yv´anejˇcastˇejˇs´ı ´uloha,j´ıˇzse promˇen´aˇrizab´yvaj´ı.K sloˇzitˇejˇs´ımanal´yz´ampˇr´ıpadn´ych zmˇenperiody je moˇzn´e s´ahnoutzpravidla aˇzpot´e,kdy je pˇr´ısluˇsn´yobjekt ˇradulet monitorov´an. F´azov´afunkce ϑ1(t) nar˚ust´arovnomˇernˇes ˇcasem, takˇzeji lze s v´yhodou pouˇz´ıtm´ısto ˇcasusamotn´eho.Vztahy (5.11) a (5.12) s ϑ1(t) nabudou symetriˇctˇejˇs´ıhovzhledu.

Z ϑ1 Z ϑ1 dϑ(ϑ1) ν(ϑ1) P0 ν(τ) P0 = = ; ϑ(0) = 0; ϑ(ϑ1) = dτ = dτ. (5.14) dϑ1 ν0 P (ϑ1) 0 ν0 0 P (τ)

Z ϑ Z ϑ dϑ1(ϑ) P (ϑ) ν0 P (ζ) ν0 = = ; ϑ1(0) = 0; ϑ1(ϑ) = dζ = dζ. (5.15) dϑ P0 ν(ϑ) 0 P0 0 ν(ζ)

5.2.4 Modely s pozvoln´ymizmˇenamiperiody promˇennosti Stˇeˇzejn´ım c´ılem anal´yzyˇcasov´ych zmˇenperiody promˇennostivybran´ych objekt˚uje nalezen´ımechanismu tˇechto zmˇena jeho parametr˚u,kter´epak zpˇetnˇemohou prozradit mnoh´eo fyzik´aln´ıpodstatˇesamotn´ehoobjektu. Tˇech z´akladn´ıch mechanism˚uje nˇekolik, pˇriˇcemˇzzvl´aˇstn´ıskupinu mezi nimi tvoˇr´ıty, u nichˇzdoch´az´ık pozvoln´emonot´onn´ızmˇenˇe frekvence promˇennosti ν podle mocninn´ehoz´akona v z´avislostina okamˇzit´ehodnotˇepe- riody P , kde lze ps´at

ν˙(t) = −K νq ⇒ P˙ (t) = KP 2−q, (5.16) kde q je tzv. deceleraˇcn´ıparametr, charakteristick´ypro dominuj´ıc´ımechanismus zmˇeny periody a K je konstanta ´umˇernostivlastn´ıdan´emu objektu. Je-li K > 0, jde o pokles frekvence a prodluˇzov´an´ıperiody. 5.2. Periodicita promˇennosti 109

˙ ˙ ν˙ ν˙0 P P0 K = − q = − q = 2−q = 2−q (5.17) ν ν0 P P0  q  q  2 ν dν ν˙0 ν ν˙0 2 q−1 ν ν¨ ν˙ =ν ˙0 , = , ν¨ = q q ν , ⇒ 2 = q, ν0 dϑ1 ν0 ν0 ν0 ν˙  2−q  2−q ˙ ˙ P dP ˙ P P = P0 , = P0 P0 , (5.18) P0 dϑ1 P0 !2 P˙ P P¨ P¨ = (2 − q) 0 P 3−2 q, = 2 − q. 2−q ˙ 2 P0 P

Pomineme-li z´akladn´ı, tedy dvouparametrick´ymodel popsan´ydvˇemaveliˇcinami(viz rovnice 5.13), zpravidla z´akladn´ımokamˇzikem nulov´ef´aze M0 a konstantn´ıperiodou P0, pˇrech´az´ımeted’ ke sloˇzitˇejˇs´ımmodel˚um,kde se perioda, pˇr´ıpadnˇefrekvence mˇen´ı podle z´akona (5.16). Probereme si postupnˇepˇr´ıpady, kdy parametr q bude nab´yvat celoˇc´ıseln´ehodnoty od 0 do 3.

5.2.4.1 Pˇr´ıklady q = 0 Pouˇzit´ımvztah˚uuveden´ych v rovnic´ıch (5.17) lze pro pˇr´ıpad q = 0 ps´at

dν ν˙ ν˙ P˙ P˙ dP P˙ P 2 P ν˙ =ν ˙ , = 0 , ⇒ ν(ϑ ) = 0 ϑ + ν , = 0 , = 0 ,P = 0 . (5.19) 0 1 1 0 2 2 ˙ dϑ1 ν0 ν0 P P0 dϑ1 P0 1 − P0ϑ1

Zde tedy je ˇcasov´azmˇenafrekvence konstantn´ı,perioda se mˇen´ıkomplikovanˇeji.Naˇsimc´ılem je vypoˇc´ıtatf´azovou funkci ϑ(ϑ1) a jej´ıinverzi.

Z ϑ1 Z ϑ1 ν(τ) 1 ν˙0 2 P0 1 ˙ 2 ϑ(ϑ1) = dτ = ϑ1 + 2 ϑ1 = dτ = ϑ1 − 2 P0 ϑ1, (5.20) 0 ν0 2 ν0 0 P (τ) p ˙ 1 − 1 − 2 P0ϑ . 1 2 1 ˙ 2 3 ϑ1 = = ϑ + 2 ϑ + 2 P0 ϑ ..., (5.21) P˙0 . E2 E3 Θ(E) = M + P E + P P˙ + P P˙ 2 .... (5.22) 0 0 0 0 2 0 0 2

P˙0 Zde jsou t´eˇzzapotˇreb´ıtˇriparametry modelu promˇennosti M0,P0, 2 nebo M0, ν0, ν˙0. P0 q = 1

  ν˙ ν˙0 P˙ P˙0 dν ν˙0 ν ν˙0 ϑ1 = = − = − , = 2 , ν = ν0 exp 2 , (5.23) ν ν0 P P0 dϑ1 ν0 ν0 dP = P˙0 P,P = P0 exp(P˙0 ϑ1), (5.24) dϑ1 110 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

Z ϑ1 1   1  1  −P˙0τ −P˙0 ϑ1 ϑ = e dτ = 1 − e ; ϑ1 = ln ; (5.25) 0 P˙0 P˙0 1 − P˙0 ϑ . 1 ˙ 2 1 ˙ 2 3 . 1 ˙ 2 1 ˙ 2 3 ϑ = ϑ1 − 2 P0ϑ1 + 6 P0 ϑ1; ϑ1(ϑ) = ϑ + 2 P0 ϑ + 3 P0 ϑ (5.26) . E2 E3 Θ(E) = M + P E + P P˙ + P P˙ 2 . (5.27) 0 0 0 0 2 0 0 3

Zde jsou t´eˇzzapotˇreb´ıtˇriparametry modelu promˇennosti M0,P0, P˙0/P0. q = 2 V tomto pˇr´ıpadˇeje perioda line´arn´ıfunkc´ıˇcasu,takˇzeplat´ı   ˙ ˙ ν˙ d 1 ν˙0 P = P0 = − 2 = = − 2 . (5.28) ν dt ν ν0 Nejdˇr´ıve si pomoc´ırovnic (5.11) cel´yprobl´emvyˇreˇs´ımeexaktnˇe.

P (t) = P0 + P˙0 (t − M0) = P0(1 + P˙0ϑ1), (5.29) dP dP dP dϑ dP 1 ˙ = = = = P˙ ; P (ϑ) = P eP0 ϑ; (5.30) dt dT dϑ dT dϑ P 0 0 1 P   0 P˙0ϑ ϑ(t) = ln(1 + P˙0 ϑ1); T (ϑ) = M0 + e − 1 . (5.31) P˙0 P˙0 Protoˇzeˇcasov´azmˇenaperiody P˙ b´yv´azpravidla pomal´a,m˚uˇzemenahradit skuteˇcnouf´azovou funkci ϑ(t) a jej´ıinverzn´ıfunkci jejich Maclaurinov´ymrozvojem

2 3 1 ˙ . ˙ ϑ1 ˙ 2 ϑ1 ϑ(t) = ln(1 + P0 ϑ1) = ϑ1 − P0 + P0 − ... ; (5.32) P˙0 2 3 2 3 P  ˙   ϑ ϑ  0 P0ϑ . ˙ ˙ 2 T (ϑ) = M0 + e −1 = M0 + P0 ϑ + P0 + P0 ... , (5.33) P˙0 2! 3! 2 3 T (ϑ) − M 1  ˙  ϑ ϑ 0 P0ϑ . ˙ ˙ 2 ϑ1 = = e −1 = ϑ + P0 + P0 ..., (5.34) P0 P˙0 2! 3! 2 3 P  ˙  E E 0 P0 E . ˙ ˙ 2 Θ(E) = M0 + e −1 = M0 + P0E + P0P0 + P0P0 .... (5.35) P˙0 2! 3!

K popisu f´azov´efunkce, respektive jej´ıinverze, potˇrebujemecelkem tˇriparametry: M0,P0, P˙0. q = 3 Je-li souˇcin PP˙ konstantn´ı,dostaneme jin´eˇreˇsen´ı: ν˙ ν3 dν ν˙ ν3 P˙ P dP = , = 0 , = 0 , = konst.; (5.36) 3 3 ˙ ν˙0 ν0 dϑ1 ν0 ν0 P0 P dϑ dP q = konst.; P = P (1 + P˙ ϑ) = P 1 + 2 P˙ ϑ ; (5.37) dϑ 0 0 0 0 1 q  ˙ ˙ 2 1 ˙ . P0 2 P0 3 ϑ(ϑ1) = 1 + 2 P0 ϑ1 − 1 = ϑ1 − ϑ1 + ϑ1 − ... ; (5.38) P˙0 2 2 Z ϑ ϑ2 E2 ϑ1(ϑ) = (1 + P˙0τ) dτ = ϑ + P˙0 ; Θ(E) = M0 + P0 E + P0 P˙0 . (5.39) 0 2 2

Zde jsou zapotˇreb´ıtˇriparametry modelu promˇennosti: M0,P0, P˙0P0. 5.2. Periodicita promˇennosti 111

5.2.4.2 Diskuse. Prost´ytˇr´ıparametrick´ymodel periody Porovnejme nyn´ıv´ysledkyvˇsech tˇechto, jinak odliˇsn´ych model˚upˇredpokl´adaj´ıc´ıch, ˇzezmˇenu periody lze popsat jedn´ımparametrem. Pˇrednˇejsme diskutovali v´yvoj period/frekvenc´ıtˇr´ıdy model˚u,u nichˇzplat´ı,bud’ ν˙ ν−q = konst. nebo PP˙ q−2 = konst., kde q je bezrozmˇern´ydece- leraˇcn´ıparametr popisuj´ıc´ıdan´ymechanismus zmˇeny periody/frekvence. Pokud se omez´ıme ve vztaz´ıch pro f´azovou funkci ϑ(ϑ1), respektive na pˇredpovˇed’ okamˇzik˚unulov´ef´aze Θ(E) jen na prvn´ıch nˇekolik ˇclen˚uMaclaurinova rozvoje, vˇcetnˇekubick´ehoˇclenu, lze ps´atobecnˇepro libovoln´e q

2 2 . P˙0 q P˙ P0P˙0 (3 − q) P0P˙ ϑ(ϑ ) = ϑ − ϑ2 + 0 ϑ3, Θ(E) = M + P E + E2 + 0 E3. (5.40) 1 1 2 1 6 0 0 2 6 Vˇsimnˇetesi pros´ım, ˇzena deceleraˇcn´ım parametru q z´avis´ı pouze posledn´ı, kubick´eˇcleny Maclaurinova rozvoje. Odhadnˇemejak velk´e,a tud´ıˇzd˚uleˇzit´etyto ˇcleny jsou. Vezmˇemesi jako pˇr´ıklad extr´emn´ı pˇr´ıpad kr´atkoperiodick´edvojhvˇezdyBS Vulpeculae s v´ymˇenouhmoty mezi sloˇzkami (Zhu et al., 2012) p˚usob´ıc´ızmˇenu periody P˙ = 6.7 × 10−11 9 ˙ 2 3 pˇriperiodˇe P0 = 0.476 d . Za 100 let od poˇc´atkumˇeˇren´ızde kubick´yˇclen P0P0 E naroste na nˇekolik setin sekundy! Je tedy nemˇeˇriteln´ya lze jej zanedbat. HvˇezdaV 901 Ori m´amezi chemicky pekuli´arn´ımihvˇezdaminejvˇetˇs´ıhodnotu brzdˇen´ırotace P˙ = 1.0 × 10−8. Pˇriperiodˇe P0 = 1.538 d naroste za 100 let kubick´yˇclenna necelou minutu. Pˇresnosturˇcov´an´ıokamˇziku maxima u CP hvˇezdu jedn´es´eriemˇeˇren´ıale dosud nepˇres´ahla10 minut. Vzhledem k tomu, ˇze pro naprostou vˇetˇsinu hvˇezds promˇennouperiodou plat´ı,ˇze P˙ ∆t  P , kde ∆t celkov´adoba 2 sledov´an´ıhvˇezdy, mohou b´ytvˇsechny ˇcleny rozvoje obsahuj´ıc´ı P˙0 a vyˇsˇs´ımocniny zanedb´any. . To je moˇzn´adobr´azpr´ava pro v´ypoˇcty, horˇs´ızpr´ava je to pro ty, kteˇr´ıby z rozboru plynule se mˇen´ıc´ıhodnoty (O-C) veliˇciny chtˇeliusuzovat na mechanismus zmˇeny periody – ti se mus´ı sm´ıˇrits t´ım,ˇzek tomu, aby se jemn´enuance souvisej´ıc´ıs r˚uzn´ym q projevily, museli bychom promˇennouhvˇezdusledovat nˇekolik stolet´ı a jeˇstˇenav´ıc trnout, zda je onen mechanismus dostateˇcnˇeˇcist´y. Na vˇetˇsinu pˇr´ıpad˚uobjekt˚us promˇennouperiodou tak lze aplikovat n´asleduj´ıc´ı prost´ytˇr´ıparametrick´ymodel periody:

˙  2 2 . t − M0 P0 t − M0 . ˙ ϑ ϑ(t) = − ; T (ϑ) = M0 + P0ϑ + P0P0 ; P0 2 P0 2! ˙  ˙  P (t) = P0 + P0 (t − M0); P (ϑ) = P0 1 + P0 ϑ . (5.41)

ϑ2 ϑ2 E2 ϑ(ϑ ) = ϑ − P˙ 1 ; ϑ (ϑ) = ϑ + P˙ ; Θ(E) = M + P E + P P˙ . (5.42) 1 1 0 2 1 0 2 0 0 0 0 2 Je tˇrebase sm´ıˇrits t´ım,ˇzepozvoln´emonot´onn´ızmˇeny periody ˇr´ıd´ıc´ıse mocninn´ym z´akonem prob´ıhaj´ızpravidla natolik pomalu, ˇzemezi modely popsan´ymir˚uzn´ymide- celaraˇcn´ımiparametry q nelze jen na z´akladˇepozorov´an´ırozhodnout. Z pozorov´an´ıale

9Dobrou m´ıroutempa, v nˇemˇzse ony zmˇeny periody odehr´avaj´ı,je ˇcasov´aˇsk´ala τ = P/P˙ , kter´a ukazuje, za jak dlouho dojde pˇrisouˇcasn´emtempu zmˇenk v´yraznˇejˇs´ızmˇenˇeperiody. Dosad´ıme-lisem hodnoty pro BS Vul, dojdeme k velmi vysok´ehodnotˇe20 mili´on˚ulet. To je doba dostateˇcnˇedlouh´a, aby se v i nitru hvˇezdyodehr´alyzcela z´asadn´ıpˇremˇeny. Jedinˇepozorov´an´ıprov´adˇen´ave srovnatelnˇe dlouh´edobˇeby byla s to odhalit rozd´ılyv chodu O-C diagramu a t´ımi mechanismy zmˇenperiody. 112 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

˙ lze pomˇernˇespolehlivˇeurˇcitparametr P0 a ten pak srovnat s pˇredpovˇed’mi pro r˚uzn´e mechanismy periodov´ych zmˇen,kter´ese mohou i ˇr´adovˇeliˇsit,a mezi nimi rozhodnout na z´akladˇeznalosti fyziky t´ekter´epromˇenn´ehvˇezdy.

5.2.5 Modely s margin´aln´ımizmˇenamiperiody V naprost´evˇetˇsinˇepˇr´ıpad˚upˇredstavuj´ızmˇeny periody periodicky promˇenn´ych hvˇezd jen nepatrnou odchylku od nˇejak´estˇredn´ı,line´arn´ıperiody, vlastn´ız´akladn´ımu mecha- nismu promˇennosti(rotace, obˇehsloˇzekˇcipulzace). Okamˇzit´eperiody se mohou mˇenit i skokovˇe,pˇr´ıpadnˇeu nich lze vysledovat i dlouhodob´ytrend. Odchylky od stˇredn´ı periody vˇsaknejˇcastˇejimaj´ıpovahu oscilac´ı,kter´emohou b´ytjak nepravideln´e,tak i pˇr´ısnˇeperiodick´e,jak je tomu tˇrebav pˇr´ıpadˇetzv. light-time efektu p˚usoben´ehoobˇehem ruˇs´ıc´ıhotˇelesakolem promˇenn´ehvˇezdynebo dvojhvˇezdy. Margin´alnost(maliˇckost) zmˇenz´akladn´ı periody se prom´ıt´ado vlastnost´ı f´azov´e funkce ϑ(t) ˇci ϑ(ϑ1) a inverzn´ıf´azov´efunkce T (ϑ) ˇci ϑ1(ϑ), kter´ese jen nepatrnˇeodliˇsuj´ı od pˇr´ımkya pˇrechod mezi nimi je tak pomˇernˇesnadn´y.Inverzn´ıf´azovou funkci zap´ıˇseme nyn´ı ve tvaru ϑ1(ϑ) = ϑ + ψ(ϑ), kde ψ(ϑ) vyjadˇrujemalou odchylku od dokonal´e line´arnosti.Chci-li vyj´adˇritf´azovou funkci ϑ(ϑ1) pomoc´ı ϑ1, dostanu

. .  ˙ . ϑ = ϑ1 − ψ(ϑ) = ϑ1 − ψ(ϑ1 − ψ(ϑ)) = ϑ1 − ψ(ϑ1) 1 − P0 ψ = ϑ1 − ψ(ϑ1). (5.43)

˙ Vzhledem k tomu, ˇzev pˇr´ıpadˇemargin´aln´ıch zmˇenperiody je splnˇeno,ˇze P0 ψ  1, plat´ı v´yˇseuveden´arelace. Ta umoˇzˇnujevelmi rychle sestavit modely i pro sloˇzitˇejˇs´ıpˇr´ıpady, neˇzkter´ebyly uvedeny v pˇredch´azej´ıc´ıpodkapitole. Modelem s margin´aln´ımizmˇenamiperiody je i v´yˇse uveden´yprost´ytˇr´ıparametrick´ymodel periody. Pro nˇejplat´ı

ϑ2 . ϑ2 ψ(ϑ) = P˙ , ⇒ ϑ = ϑ − ψ(ϑ ) = ϑ − P˙ 1 , (5.44) 0 2 1 1 1 0 2 coˇzje ve shodˇese vztahy (5.42).

5.2.5.1 Kubick´ymodel zmˇenperiody Zjist´ıme-li,ˇzese pˇripopisu f´azov´efunkce bez kubick´ehoˇclenu neobejdeme, mus´ıme pˇripustit,ˇzemechanismus pozorovan´ych zmˇenperiody je sloˇzitˇejˇs´ı,ˇzeobsahuje dˇeje, kter´enepopisuje z´akonν ˙ = −K νq, nebo P˙ = KP 2−q diskutovan´yv´yˇse. Nejjednoduˇsˇs´ıtakov´ymodel periody pˇredpokl´ad´a,ˇzeperioda je kvadratickou funkc´ı ˇcasu10

2 ˙ 2 ¨ ϑ1 ˙ dP dϑ1 ˙ ¨ P (t) = P0 + P0 P0 ϑ1 + P0 P0 ; P (t) = = P0 + P0 P0 ϑ1. (5.45) 2 dϑ1 dt Uˇzit´ım vztah˚u(5.11) m˚uˇzemenaj´ıt pro f´azovou funkci ϑ(t) exaktn´ıˇreˇsen´ı. Bohuˇzel, vztah pro tuto funkci je natolik sloˇzit´ya nepˇrehledn´y,ˇzeje t´emˇeˇrnepouˇziteln´y.Proto

10 ˙ 2−q ¨ ˙ 2 2q−4 3−2q Pˇr´ısnˇevzato, i v pˇr´ıpadˇe,kdy plat´ı,ˇze P = KP , je P = (2 − q) P0 P0 P obecnˇer˚uzn´a od nuly. V tomto pˇr´ıpadˇen´amovˇsem jde o situace, kdy druh´aderivace periody je mnohem vˇetˇs´ı,neˇz tato, v´ıcem´enˇezanedbateln´aveliˇcina. 5.3. Periodov´aanal´yzaokamˇzik˚uextr´em˚u 113 se jiˇzod poˇc´atkuomez´ımejen na prvn´ıtˇriˇcleny Maclaurinova rozkladu.

. ϑ2 ϑ3 . ϑ2 ϑ3 ϑ(t) = ϑ − P˙ 1 − (P P¨ − 2P˙ 2) 1 = ϑ − P˙ 1 − P P¨ 1 ; (5.46) 1 0 2! 0 0 0 3! 1 0 2! 0 0 3! . ϑ2 ϑ3 T (ϑ) = M + P ϑ + P P˙ + (P 2 P¨ + P P˙ 2) 0 0 0 0 2! 0 0 0 0 3! . ϑ2 ϑ3 = M + P ϑ + P P˙ + P 2 P¨ ; (5.47) 0 0 0 0 2! 0 0 3! . ϑ2 . ϑ2 P (ϑ) = P + P P˙ ϑ + (P 2P¨ + P P˙ 2) = P + P P˙ ϑ + P 2P¨ . (5.48) 0 0 0 0 0 0 0 2! 0 0 0 0 0 2!

˙ 2 Ve v´yrazech v z´avork´ach v rovnic´ıch (5.46), (5.47) a (5.48) m˚uˇzemezanedbat ˇcleny s P0 z jiˇzv´yˇseuveden´ych d˚uvod˚u. K popisu f´azov´efunkce tak v pˇr´ıpadˇekvadraticky se mˇen´ıc´ı periody potˇrebujete ˙ ¨ celkem ˇctyˇriparametry: M0,P0, P0, P0. K tomu, abyste zejm´enaten posledn´ız ˇclen˚u urˇcilis dostateˇcnoupˇresnost´ı(doporuˇcujinejm´enˇe4,5 σ), mus´ıtem´ıtk dispozici vy- nikaj´ıc´ıpozorovac´ımateri´al pokr´yvaj´ıc´ınˇekolik des´ıteklet.

5.2.5.2 LiTE Jako efekt rozd´ıln´edr´ahy svˇetla(Light-Time Effect) se zpravidla oznaˇcujevliv obˇeˇzn´eho pohybu periodicky promˇenn´ehvˇezdynebo hvˇezdn´esoustavy kolem spoleˇcn´ehotˇeˇziˇstˇes dalˇs´ımˇclenem syst´emu (napˇr.v pˇr´ıpadˇepulsaru druh´ehotˇelesa,v pˇr´ıpadˇez´akrytov´edvo- jhvˇezdytˇret´ıhotˇelesa).Cel´yprobl´emlze sice ˇreˇsitzcela exaktnˇe,ale pro ´uˇcelystanoven´ı efemeridy v naprost´evˇetˇsinˇepˇr´ıpad˚uvystaˇc´ıme s fenomenologick´ymmodelem zmˇen periody. 1 h √ i T = M0 + P0(ϑ + ψ); ψ = b1 sin ϑ3 + b2 sin 2ϑ3 + b3(cos 2ϑ3 − cos ϑ3)/ 2 , (5.49) P0 kde b1, b2, b3 jsou koeficienty ve dnech. ϑ3 a ϑ jsou pak d´any vztahem:

t − M3 ϑ3 = , ϑ = ϑ1 − ψ, (5.50) P3 kde M3 je okamˇzik,kdy ψ = 0, a P3 je obˇeˇzn´aperioda tˇret´ıho(druh´eho)tˇelesav sou- stavˇe.Pro tento fenomenologick´ymodel zmˇenperiody je zapotˇreb´ıcelkem 7 parametr˚u, kter´eje moˇznonaj´ıtpodstatnˇesn´azneˇzpˇriexaktn´ımˇreˇsen´ıprobl´emu.

5.3 Periodov´aanal´yzaokamˇzik˚uextr´em˚u

Jednou z ´uloh,kterou badatel v oboru v´yzkumu promˇenn´ych hvˇezdmus´ıopakovanˇe ˇreˇsit,je zjiˇst’ov´an´ıa pˇr´ıpadn´ezpˇresˇnov´an´ıparametr˚umodelu promˇennosti(tedy f´azov´e funkce ϑ(t, a) a jej´ı inverzn´ı funkce ϑ1(ϑ, a) nebo Θ(E, a)), pˇr´ıpadnˇejeho zdokon- alov´an´ıˇcimodifikace. Spolehliv´aznalost tˇechto z´akladn´ıch parametr˚uje totiˇzz´akladn´ım pˇredpokladem pro dalˇs´ı´uvahy o fyzice objektu a mechanismu jeho promˇennosti,even- tu´alnˇek zobecnˇen´ım,kter´aby bylo moˇzn´evzt´ahnoutna hvˇezdyjako na celek. 114 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

Vektor a ch´apeme jako uspoˇr´adanou g-tici voln´ych parametr˚upopisuj´ıc´ıch model promˇenn´ych hvˇezd.K jeho hled´an´ıpˇrikroˇcmeaˇztehdy, budeme-li m´ıtk dispozici po- zorov´an´ıdotyˇcn´ehvˇezdypoˇr´ızen´av co nejdelˇs´ımˇcasov´emintervalu. Vˇseobecnˇeplat´ı, ˇzepˇresnosturˇcen´ıline´arn´ıhoˇclenu je nepˇr´ımo´umˇern´ad´elceintervalu sledov´an´ıhvˇezdy, kvadratick´ehoˇclenu s P˙ kvadr´atut´etod´elkya kubick´ehoˇclenu s P¨ dokonce tˇret´ımocninˇe t´etod´elky. Nejˇcastˇejˇs´ızp˚usob,jak diagnostikovat pˇr´ıpadn´ezmˇeny periody a vytipovat vhodn´y model jej´ıpromˇennosti,stanovit, pˇr´ıpadnˇezlepˇsitjeho parametry, je zaloˇzenna anal´yze tzv. O-C diagramu. V z´asadˇetu jde o urˇcen´ıparametr˚uinverzn´ıf´azov´efunkce T (ϑ, a), respektive Θ(E, a) na z´akladˇedat, kter´aud´avaj´ıokamˇzikyurˇcit´ych speci´aln´ıch hodnot f´azov´efunkce ϑ (vˇetˇsinoujde o okamˇzikyextr´em˚ujasnosti – tedy Θ(E)). Pˇredpokl´adejme,ˇzeu vybran´eperiodicky promˇenn´ehvˇezdyalespoˇnzhruba zn´ame jej´ısvˇeteln´eelementy, tedy z´akladn´ıokamˇziknulov´ef´aze M0, kter´yzpravidla klademe do okamˇzikuextr´emu jasnosti, a stˇredn´ıperiodu svˇeteln´ych zmˇen P0. Pro libovolnou epochu11 E pak lze vypoˇc´ıtatodpov´ıdaj´ıc´ıpˇredpovˇed’ nulov´ef´azepodle vztahu: Θ(E) = M0+E×P0. Rozd´ılymezi ˇcasem,kdy urˇcit´af´aze Text(E) skuteˇcnˇenastala, a vypoˇcten´ym okamˇzikem t´eˇzef´azeve stejn´eepoˇse Θ(E) se naz´yvaj´ıhodnoty O-C(E). Jejich z´avislost na epoˇsenebo obecnˇeˇcaseje pak naz´yv´anajako O-C diagram. Tento diagram slouˇz´ı zejm´enak zlepˇsov´an´ıline´arn´ıch efemerid nebo ke zd˚uvodnˇen´ıvolby sloˇzitˇejˇs´ıhomodelu zmˇenperiody P (t). V pˇr´ıpadˇe,ˇzegrafem O-C je:

1. vodorovn´apˇr´ımka proch´azej´ıc´ıO-C = 0, pak je to indikace skuteˇcnosti,ˇzehvˇezdam´a jen jednu periodu svˇeteln´ych zmˇena ˇzepouˇzit´esvˇeteln´eelementy jsou v poˇr´adku.Tyto bezprobl´emov´e“hvˇezdy je moˇznobez obav na nˇekolik let opustit a vˇenovat se jin´ym. ” 2. vodorovn´apˇr´ımka neproch´azej´ıc´ıO-C = 0. To znamen´a,ˇzeperioda je jedin´a,urˇcena je spr´avnˇe,zato okamˇzikz´akladn´ıhominima nebo maxima si opravu vyˇzaduje.

3. ˇsikm´apˇr´ımka proch´azej´ıc´ıbodem E = 0, O-C = 0, ukazuje, ˇzeokamˇzikz´akladn´ıho extr´emu je urˇcenspr´avnˇe,periodu je nutno opravit o smˇernici pˇr´ımkyproloˇzen´ez´avislost´ı O-C na epoˇse E, ∆P = d(Text(E) − Θ(E)/dE.

4. parabola svˇedˇc´ıo tom, ˇzese perioda line´arnˇezkracuje nebo prodluˇzuje(parabola otevˇren´a vzh˚uru– napˇr´ıkladpˇritzv. pomal´empˇrenosul´atkymezi sloˇzkami algolidy.)

5. polynom vyˇsˇs´ıhostupnˇe.Zmˇeny periody jsou komplikovanˇejˇs´ı,do vzorce pro pˇredpovˇed’ okamˇziku extr´emu nutno zav´estdalˇs´ıˇcleny, jde v podstatˇeo Taylor˚uvrozvoj se stˇredem v epoˇse E = 0. Viz posledn´ıˇc´astpodkapitoly 5.2.4.

6. sinusoida nebo podobn´afunkce. Zde je nejpˇrirozenˇejˇs´ımvysvˇetlen´ımfakt, ˇzepromˇenn´a hvˇezdaob´ıh´akolem spoleˇcn´ehotˇeˇziˇstˇev soustavˇes jinou hvˇezdou,kter´ase jinak spektr´al- nˇenebo i svˇetelnˇenemus´ıprojevovat. Jde o tzv. light-time effect.

Je tˇrebasi ale uvˇedomit,ˇze bˇeˇzn´ejsou i kombinace v´yˇseuveden´ych jev˚u,jak je vidˇeti na obr. 5.1. Zpravidla, ˇc´ımd´eleje hvˇezdasledov´ana, t´ımsloˇzitˇejˇs´ıpr˚ubˇehgraf O-C ukazuje.

11Zpravidla je tato epocha vyj´adˇrenacel´ymˇc´ıslem, v pˇr´ıpadˇez´akrytov´ych dvojhvˇezds nulovou v´ystˇrednost´ı,se epoˇsepˇrid´av´a0,5, vztahuje-li se dotyˇcn´epozorov´an´ık okamˇzikusekund´arn´ıhominima. 5.3. Periodov´aanal´yzaokamˇzik˚uextr´em˚u 115

Obr´azek 5.1: Uk´azky r˚uzn´ych pr˚ubˇeh˚u hodnot O-C. Zdroj: O-C br´ana. http://var.astro.cz/ocgate/. 116 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

Je tˇrebasi uvˇedomit,ˇzepro samotnou periodovou anal´yzu, zaloˇzenouna okamˇzic´ıch extr´em˚usvˇeteln´ych kˇrivek promˇenn´ych hvˇezd,v z´asadˇeˇz´adn´yO-C diagram nepotˇre- bujeme. Staˇc´ı, kdyˇzbudeme vyˇsetˇrovat jen z´avislostnamˇeˇren´ych okamˇzik˚uextr´em˚u Text(E) na epoˇse.Nicm´enˇe,pr´avˇek urˇcen´ı on´eepochy E(t) tu poˇc´ateˇcn´ı efemeridu potˇrebujeme.Pˇriperiodov´eanal´yzepak zjiˇst’ujeme vlastnosti Text(E), kter´ase vˇzdy jenom minim´alnˇebude liˇsitod ide´aln´ıpˇr´ımkyse smˇernic´ı P0. Pr´avˇetato skuteˇcnostn´as vede k zaveden´ıO-C diagramu, kter´yje osvˇedˇcenouvizualizac´ıcel´esituace.

5.3.1 Reˇsen´ımetodouˇ nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u Pˇredpokl´adejme,ˇzeu urˇcit´eperiodicky promˇenn´ehvˇezdyzn´ameuˇzz dˇr´ıvˇejˇska (napˇr. z katalogu nebo z literatury) jej´ıline´arn´ısvˇeteln´eelementy P0,M0 a d´alem´ame k dis- pozici soubor celkem n odhad˚uokamˇzik˚ujej´ıch extr´em˚u {Ti}, dejme tomu prim´arn´ıch minim, jde-li o z´akrytovou dvojhvˇezdu. V prvn´ımkroku pro nalezen´ehodnoty okamˇzik˚uminim {Ti} najdeme odpov´ıdaj´ıc´ı epochy, a to jednoduch´ympˇredpisem Ei = round[(Ti − M0)/P0]. Na takto urˇcen´e epochy {Ei} budeme nahl´ıˇzetjako nez´avislepromˇennou(x-ovou souˇradnici)a okamˇziky {Ti} jako z´avislepromˇennou(y-ovou souˇradnici).Pˇredpokl´ad´ame,ˇzeokamˇzikymin- ima lze vystihnout modelem Θ(E, a), popsan´ym g parametry uspoˇr´adan´ymido sloup- cov´ehovektoru a = [a1; a2; ... ; ag]. Tyto parametry lze urˇcitpomoc´ımetody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u,podle nichˇzm´aplatit, ˇzev´aˇzen´asuma ˇctverc˚uodchylek χ2(α) je minim´aln´ı, takˇze n  2 n  2 n X ei X Ti − Θ(Ei, α) X χ2(α) = = = [T − Θ(E , α)]2 w , (5.51) σ σ i i i i=1 i i=1 i i=1 kde σi je nejistota urˇcen´ıokamˇzikuextr´emu Ti, pˇriˇcemˇzplat´ı,ˇzev´aha wi je d´anavztahem −2 wi = σi . Minimum funkce χ2(α) nastane, bude-li splnˇenavektorov´apodm´ınka ∇~ χ2(a) = 0. Dosad´ıme-litam za χ2(α) z rovnice (5.51) dostaneme g rovnic ve tvaru:

n n X ∂Θ(Ei, a) X ∂Θ(Ei, a) Θ(E , a) w = T w . (5.52) ∂α i i ∂α i i i=1 k i=1 k

Regresn´ıfunkce Θ(E, a) s parametry a je pak onou modelovou funkc´ı,pomoc´ın´ıˇzlze mj. i odvodit, jak se mˇen´ıperioda. Rovnice (5.52) plat´ıobecnˇepro jak´ykoli model Θ(E) a je tˇrebaje ˇreˇsititerativnˇes t´ım,ˇzena poˇc´atkumus´ıtem´ıtpomˇernˇedobr´yodhad ˇreˇsen´ı,kter´ypak v dalˇs´ıch kroc´ıch dolad’ujete. Podrobn´ypopis, jak si pˇritom poˇc´ınat, lze naj´ıtv kapitole 4.4. Podaˇr´ı-li se n´amproloˇzitz´avislostokamˇzik˚uextr´emu na epoˇse pˇredemzadan´ym modelem, mˇelaby n´asledovat etapa zhodnocen´ı,sebereflexe. Pozornost je pˇritomnutn´e vˇenovat jak kvalitˇepouˇzit´ehodatov´ehosouboru a zejm´enapak hodnovˇernostipouˇzit´ych nejistot okamˇzik˚uextr´em˚u,tak i adekv´atnostipouˇzit´ehomodelu regresn´ıfunkce Θ(E, a), zejm´enav tom, ˇzesi vykresl´ımez´avislostjednotliv´ych odchylek zadan´ych hodnot oka- mˇzik˚uextr´emu a jejich pˇredpovˇedi∆Ti = Ti − Θ(Ei, a). V pˇr´ıpadˇe,ˇzetyto odchylky budou odpov´ıdatjen n´ahodn´emu rozptylu a budou tedy stejnomˇernˇerozprostˇreny kolem 5.3. Periodov´aanal´yzaokamˇzik˚uextr´em˚u 117 kolem pˇr´ımky∆T = 0, jsme u c´ıle.V opaˇcn´empˇr´ıpadˇeje nutno se zamyslet, zda ne- jsou nˇekter´ehodnoty okamˇzik˚uzat´ıˇzeny hrubou chybou. Tˇech je pak l´epe se zbavit, pˇr´ıpadnˇezda by nebylo na m´ıstˇezmˇenitnebo zdokonalit prokl´adan´ymodel promˇennosti. Zde je zapotˇreb´ıvelmi kriticky posoudit zejm´enato, zda poˇcetvoln´ych parametr˚uzv- olen´eregresn´ıfunkce vskutku odpov´ıd´akvalitˇea poˇcetnostidat, kter´azpracov´av´ame12. V opaˇcn´empˇr´ıpadˇeby n´asto vedlo k faleˇsn´ymz´avˇer˚uma hlavnˇek chybn´ympˇredpovˇed´ım budouc´ıhov´yvoje. Rovnˇeˇzje tˇreba pˇrehodnotit nejistoty, kter´ejednotliv´ymhodnot´am pˇrisuzujemea pˇr´ıpadnˇeznovu cel´eproloˇzen´ızopakovat.

5.3.1.1 Nejistoty jednotliv´ych okamˇzik˚uextr´emu

Zkuˇsenostukazuje, ˇzejen m´alovˇec´ıje pˇrianal´yzeˇcasov´ych ˇradokamˇzik˚u Ti extr´em˚u promˇenn´ych hvˇezdtak nejist´ych, jako pr´avˇenejistoty jejich urˇcen´ı σi. 1) Ze sv´edlou- holet´epraxe se zpracov´an´ım pˇrevzat´ych v´ysledk˚uv´ıme, ˇzezat´ımco na publikovan´e okamˇzikyextr´em˚use lze jakˇztakˇzspolehnout (u v´ysledk˚uvizu´aln´ıch pozorov´an´ı je tˇrebab´ytostraˇzit´yneust´ale),odhady jejich nejistot b´yvaj´ıt´emˇeˇrvˇzdycitelnˇepodcenˇeny, ˇcastomnohon´asobnˇe,takˇzeb´yvaj´ıtakˇrka nepouˇziteln´e. Nav´ıcu ˇradypozorov´an´ınen´ı ona nejistota urˇcen´ıvyˇc´ıslenav˚ubec. 2) I kdyby odhady urˇcen´ıokamˇzik˚uextr´em˚u σi byly signifikantn´ı,m˚uˇzeb´ytjejich rozptyl“ o dost vˇetˇs´ı,neˇzby vypl´yvalo z pˇresnosti ” jejich nalezen´ı,prostˇez toho d˚uvodu, ˇzezvolen´ymodel promˇennostiperiody nemus´ı onu promˇennostperiody popisovat adekv´atnˇe,a teprve v pr˚ubˇehu v´ypoˇctuje budeme diverzifikovat. Vyplat´ıse proto v prvn´ıiteraci poˇc´ıtats t´ım,ˇzenejistoty urˇcen´ıokamˇzik˚uveˇsker´ych extr´em˚u,respektive jejich v´ahy wi jsou si rovny, ˇreknˇemejednotkov´e.Po nalezen´ıparametr˚u modelov´ef´azov´efunkce ϑ(E, a) pak spoˇc´ıt´ameodchylky pro jednotliv´eokamˇziky po- zorov´an´ı∆Ti. Pak si vˇsechna data rozdˇel´ımedo h skupin podle typu pozorov´an´ı(vizu´aln´ı, fotografick´e,CCD, fotoelektrick´e),pˇr´ıpadnˇepodle jednotliv´ych pozorovatel˚unebo jin´ych atribut˚u,pˇriˇcemˇzje tˇrebadohl´ednout,aby v kaˇzd´ez tˇechto ad hoc vybran´ych skupin bylo nejm´enˇe5 okamˇzik˚uextr´emu. Pro kaˇzdouz tˇechto skupin vypoˇctemestandardn´ı ˇ odchylku z ∆Ti, Zj = sdv{∆Tij}. Clen˚umkaˇzd´eskupiny pak pˇrisoud´ıme nejistotu σij = Zj. S tˇemitonov´yminejistotami, pˇr´ıpadnˇevahami, provedeme v´ypoˇcetznovu a znovu pak zopakujeme evaluaci nejistot pro jednotliv´eskupiny pozorov´an´ıa iteru- jeme dokud se takto urˇcen´enejistoty nepˇrestanoumˇenit.V pr˚ubˇehu v´ypoˇctum˚uˇzeme jednotliv´eskupiny spojovat nebo rozdˇelovat. Uporn´ymneˇsvarem´ je zad´avat v´ahy pˇredem,jen podle zvykov´ehopr´ava – napˇr.CCD a fo- toelektrick´aminima w = 10, fotografick´a w = 3 a vizu´aln´ı w = 1. Takov´etov´ahov´an´ık niˇcemu neposlouˇz´ı,jen zp˚usob´ıto, ˇzenejistoty v´ysledk˚uuˇzv˚ubec nebude moˇzn´enˇejakrozumnˇeinter- pretovat. Maxim´alnˇelze toto v´ahov´an´ıpˇrijmoutjako prvn´ıodhad, ale ke spr´avn´emu ov´ahov´an´ı je tˇrebavych´azetz novˇezjiˇstˇen´ych nejistot, tak jak jsme to popsali v´yˇse.

12Pokud si nejsme stoprocentnˇejisti, ˇzen´amizvolen´yregresn´ımodel m´aten spr´avn´ytvar a adekv´atn´ı poˇcetstupˇn˚uvolnosti, a zda by se nedalo uvaˇzovat i o jin´emmodelu s menˇs´ım arsen´alemvoln´ych parametr˚u,m˚uˇzemepouˇz´ıt tˇrebabayesovsk´einformaˇcn´ıkrit´eriumBIC definovan´ev (4.3). 118 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

5.3.1.2 Urˇcov´an´ıparametr˚uline´arn´ıch regresn´ıch model˚u

Pokud je regresn´ı model line´arn´ı ve vˇsech sv´ych parametrech, pak se syst´emrovnic (5.52) v´yraznˇezjednoduˇs´ıa lze jej ˇreˇsitjednoznaˇcnˇea nav´ıcbez iterac´ı.Vˇsechny mod- ely Θ(E, a) diskutovan´ev odd´ılu5.2.4 line´arn´ıjsou (jde o polynomy), takˇzeje radost je pouˇz´ıvat. Jejich regresi lze elegantnˇeprov´estpouˇzit´ımmaticov´ehopoˇctu.Pops´ana je dostateˇcnˇepodrobnˇev kapitole 4.3.

5.3.2 Standardn´ıurˇcov´an´ıokamˇzik˚uextr´em˚u

Spolehlivost model˚upromˇennostijednotliv´ych promˇenn´ych hvˇezdkriticky z´avis´ı na pˇresnostinaˇs´ıznalosti ˇcasov´ehov´yvoje pozorovan´eperiody P (t) a tedy na pˇresnosti a spolehlivosti ˇcasov´eˇradyokamˇzik˚uextr´em˚unebo chcete-li na hodnovˇernosti v´ychoz´ıho O-C diagramu. Ta prim´arnˇez´aleˇz´ına spolehlivosti pouˇzit´ych urˇcen´ıokamˇzik˚uextr´em˚u a dobr´eznalosti jejich nejistoty. Zachycen´ıre´aln´ehookamˇzikuextr´emu jasnosti promˇenn´ehvˇezdynen´ızrovna trivi´aln´ı pozorovatelsk´a´uloha.Chceme-li urˇcitmoment extr´emu vskutku spolehlivˇe,mus´ıme hvˇezdupozorovat nejen v samotn´yokamˇzikextr´emu, ale i v jeho ˇsirok´emˇcasov´emokol´ı. Mus´ımezachytit dostaˇcuj´ıc´ıˇc´astivzestupn´ea sestupn´evˇetve svˇeteln´ekˇrivky. Takto je ovˇsemurˇcen´ıpolohy jednotliv´ych bod˚uv ploˇsegrafu O-C v´ysledkem obvykle nˇekolika des´ıtekpozorov´an´ıv okol´ıpozorovan´ehookamˇziku Text(E), pˇriˇcemˇzhodnota pozorov´an´ı v bezprostˇredn´ıbl´ızkosti okamˇzikuextr´emu je paradoxnˇenejmenˇs´ı. Urˇcen´ıskuteˇcn´ehookamˇzikuextr´emu a stanoven´ıjeho nejistoty je tak v principu mlhav´ea sporn´e.Existuje ˇradavz´ajemnˇesi konkuruj´ıc´ıch metod urˇcen´ıokamˇzikumi- nima/maxima svˇeteln´ekˇrivky, jejichˇzv´ysledkyjsou aˇzpˇrekvapivˇer˚uzn´ea jeˇstˇehorˇs´ıje to s odhadem nejistoty urˇcen´ıhodnoty Text(E). Nicm´enˇeje vhodn´ese sezn´amits bˇeˇzn´ymi postupy pˇriurˇcov´an´ıokamˇzik˚uminima nebo maxima svˇeteln´ekˇrivky, protoˇzetak byla urˇcenanaprost´avˇetˇsinav´ysledk˚u,s nimiˇzse v praxi setk´ate. Nejbˇeˇznˇejˇs´ımetodou uˇz´ıvanou pro urˇcov´an´ıokamˇzik˚uminim dosud byla Kweeova- van Woerdenova metoda Kwee & van Woerden (1956), kter´aje vlastnˇejen lehce in- ovovanou verz´ı,jiˇzpublikoval uˇzHertzsprung (1928). Tato metoda vˇsakd´av´akorektn´ı v´ysledkyjen pˇrispr´avn´empouˇzit´ı.Je-li pouˇzitanapˇr.na asymetrick´esvˇeteln´ekˇrivky, kˇrivkyse zjevn´ymtrendem nebo nestejnou d´elkou sestupn´ea vzestupn´evˇetve, nejsou z´ıskan´ev´ysledkya ani jejich nejistota v poˇr´adku.Bohuˇzel pr´avˇenespr´avn´epouˇzit´ıje jednou z nejˇcastˇejˇs´ıch pˇr´ıˇcinchyb v urˇcen´ıokamˇzik˚uminim jasnosti u z´akrytov´ych dvo- jhvˇezd. Obecnˇeb´yvaj´ıtechniky urˇcov´an´ıokamˇzik˚uextr´em˚uzpravidla dosti podezˇrel´e,nej- ˇcastˇejijsou zaloˇzeny na proloˇzen´ıparaboly nebo jin´esymetrick´efunkce v bezprostˇredn´ım okol´ıextr´emu jasnosti. Takto urˇcen´eokamˇzikyextr´em˚ud´avaj´ıspolehliv´ev´ysledkyjen v´yjimeˇcnˇe,zpravidla vˇsakb´yvaj´ıdeformov´any z ˇradyd˚uvod˚u.Pˇrednˇe,zm´ınˇen´emetody selh´avaj´ıv pˇr´ıpadˇene´upln´ych nebo asymetrick´ych svˇeteln´ych kˇrivek. Nejistoty naleze- n´ych okamˇzik˚uextr´em˚ujsou bˇeˇznˇened˚uvˇeryhodn´e,protoˇzeprokl´adan´ekˇrivky vˇetˇsinou nejsou podobn´eskuteˇcnˇepozorovan´ymsvˇeteln´ymkˇrivk´am.Hlavn´ınedostatek tˇechto standardn´ıch metod tkv´ıve skuteˇcnosti,ˇzezcela opom´ıjej´ıten fakt, ˇzesvˇeteln´ekˇrivky jsou periodick´efunkce! 5.3. Periodov´aanal´yzaokamˇzik˚uextr´em˚u 119

5.3.3 Prost´emodely svˇeteln´ych kˇrivek Dalˇs´ımetody periodov´eanal´yzyjsou zaloˇzeny na vyuˇzit´ıpˇr´ımopozorovan´ych zmˇen, nejˇcastˇejisvˇeteln´ych zmˇen,ˇcilisvˇeteln´ych kˇrivek. Zde je nezbytn´eumˇetreprezentovat pozorovanou svˇetelnoukˇrivkuperiodick´epromˇenn´ehvˇezdy jej´ım vhodn´ymfenomenolo- gick´ymmodelem, jehoˇzparametry obecnˇenemus´ım´ıtvztah k fyzick´ymcharakteristik´am hvˇezdn´epromˇennosti. Dosti ˇcastostaˇc´ıpˇredpokl´adat,ˇzetvar svˇeteln´ekˇrivkyperiodicky promˇenn´ehoob- jektu lze aproximovat kosinusovkou pˇr´ıpadnˇeharmonick´ympolynomem ˇr´adu r, kter´yˇzto model lze aplikovat napˇr.na chemicky pekuli´arn´ıhvˇezdy(tam staˇc´ı r = 2), z´akrytov´e dvojhvˇezdys plynulou zmˇenoujasnosti jako jsou hvˇezdytypu W UMa, RR Lyr apod. Svˇetelnoukˇrivkuv urˇcit´ebarvˇepak lze vyj´adˇritve tvaru

r X F (ϑ, b0, b1, ...b2 r) = b0 + b2j−1 cos(2 πj ϑ) + b2j sin(2 πj ϑ). (5.53) j=1

Vektor parametr˚u b m´a gb = 2 r + 1 sloˇzeka model svˇeteln´ekˇrivkytak m´a gb stupˇn˚u volnosti. Zvyˇsov´an´ımˇr´adupouˇzit´ehopolynomu lze st´alepˇresnˇeji vyjadˇrovat tvar po- zorovan´esvˇeteln´enebo obecnˇef´azov´ekˇrivky. Je vˇsakˇz´adouc´ı nepodlehnout tomuto l´akadlu a zastavit se v aproximovan´ına takov´emstupni, kter´ydostateˇcnˇedobˇrepopisuje vzhled svˇeteln´ekˇrivky, zejm´enav oblastech, kdy doch´az´ık nejrychlejˇs´ımzmˇen´amjas- nosti. Zvˇetˇsov´an´ıpoˇctuvoln´ych parametr˚uve vˇseobecnosti vede k nestabilit´amv prokl´a- d´an´ıa zhorˇsujeinterpretovatelnost nalezen´ych v´ysledk˚ua jejich nejistot. Uveden´yzp˚usobprost´ehomodelov´an´ısvˇeteln´ych kˇrivek ovˇsemnar´aˇz´ıu klasick´ych algolid, jejichˇzjasnost se v´yraznˇemˇen´ıjen relativnˇekr´atce,a to jen tehdy, prob´ıh´a- li u nich zrovna z´akrytsloˇzek.Sestup do minima a pak n´asleduj´ıc´ıvzestup je pˇritom v´ıcem´enˇeline´arn´ı, svˇeteln´ekˇrivkykolem minima lze v prvn´ımpˇribl´ıˇzen´ıpovaˇzovat za symetrick´efunkce. V minimu se algolidy zpravidla dlouho nezdrˇzuj´ı,existuje vˇsakˇrada algolid, u nichˇzm˚uˇzetepozorovat tzv. zast´avkuv minimu, kdy se jasnost hvˇezdymˇen´ıjen minim´alnˇe.K vyj´adˇren´ıtakov´ych kˇrivek bychom potˇrebovali pouˇz´ıtharmonick´ypoly- nom nejm´enˇe13. ˇr´adu,coˇzby ovˇsemˇsloproti naˇsemu poˇzadavku vyj´adˇritpozorovan´e svˇeteln´ekˇrivkymodelem s co nejmenˇs´ımpoˇctemparametr˚u. Z hlediska periodov´eanal´yzyjsou nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıpr´avˇety ´usekysvˇeteln´ekˇrivky, kdy se jasnost hvˇezdymˇen´ınejrychleji, tedy ˇc´astikolem tzv. inflexn´ıch bod˚u13, zat´ımcona dˇen´ı v bezprostˇredn´ımokol´ıminima uˇztolik nesejde. Nejjednoduˇsˇs´ımatematickou kˇrivkou, kter´atyto poˇzadavky splˇnuje,je Gaussova kˇrivka, kter´aovˇsemm´atu nev´yhodu, ˇzeto nen´ıkˇrivka periodick´a,ale jist´ymtrikem ji m˚uˇzemeperiodickou funkc´ıuˇcinit.Prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ımpro svˇetelnoukˇrivkuz´akrytov´edvojhvˇezdys kruhov´ymiorbitami sloˇzekje n´asleduj´ıc´ıfunkce se ˇctyˇrmivoln´ymiparametry b0, b1, b2, b3

F (ϑ, b) = b0 + b1Ψ1(ϑ, b3) + b2Ψ2(ϑ, b3), (5.54) "  2# 1 ϕ1,2 1 1 Ψ1,2 = exp − , kde ϕ1 = ϑ − round(ϑ); ϕ2 = (ϑ − 2 ) − round(ϑ − 2 ). 2 b3

13V inflexn´ıch bodech funkce je druh´aderivace rovna 0, takˇzerychlost zmˇeny dan´aabsolutn´ıhodnotou prvn´ıderivace zde nab´yv´asv´ehomaxima. 120 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

Parametry maj´ın´azorn´yv´yznam: b0 je hvˇezdn´avelikost dvojhvˇezdymimo z´akryty, b1 je hloubka prim´arn´ıhominima kolem f´aze0, b2 je hloubka sekund´arn´ıhominima kolem f´aze0.5 a b3 je parametr vyjadˇruj´ıc´ıpoloˇs´ıˇrkuz´akryt˚u. Pokud bychom chtˇelisvˇetelnoukˇrivku z´akrytov´edvojhvˇezdymodelovat vˇernˇeji, m˚uˇzemepouˇz´ıtˇradunˇekter´yz dalˇs´ıch fenomenologick´ych model˚usvˇeteln´ych kˇrivek nab´ızen´ych v kapitole vˇenovan´especi´alnˇemodelov´an´ı svˇeteln´ych kˇrivek z´akrytov´ych dvojhvˇezd(viz kap. 5.5.2).

5.3.4 Precizn´ıurˇcov´an´ıokamˇzik˚uextr´em˚usvˇeteln´ych kˇrivek Pokud m´atek dispozici pozorovac´ıˇradyv okol´ıextr´emu jasnosti urˇcit´ehopromˇenn´ehoob- jektu, jeho pˇribliˇzn´esvˇeteln´eelementy (staˇc´ı line´arn´ı, tedy M0,P ) a zn´atejeho vzorovou svˇetelnoukˇrivku, m˚uˇzemeprov´estprecizn´ıodhad okamˇzik˚uextr´em˚upomoc´ıf´azov´ych posun˚u pozorovan´esvˇeteln´ekˇrivkyv˚uˇcivzorov´esvˇeteln´ekˇrivce. Pouˇzit´ımt´etometody se pˇresnost urˇcen´ıjednotliv´ych okamˇzik˚uextr´em˚uv´yraznˇezlepˇs´ı.Tento pˇr´ıstup poprv´enast´ınˇen´yv pub- likaci Mikul´aˇseket al. (2006) a pozdˇejiprecizovan´yv Mikul´aˇseket al. (2011) se osvˇedˇcil nejen v pˇr´ıpadˇe,ˇzem´ameco do ˇcinˇen´ıs nepˇreruˇsenouˇcasovou ˇradoumˇeˇren´ıv okol´ıextr´emu svˇeteln´ekˇrivky, ale hlavnˇetehdy, kdyˇzzpracov´av´amejednotliv´apozorov´an´ı poch´azej´ıc´ı z r˚uzn´ych pˇrehl´ıdekjako jsou pozorovan´ız druˇzice Hipparcos nebo projektu ASAS, poˇr´ızen´a v ˇcasech, kter´enijak nesouvis´ıs okamˇzikyextr´em˚upˇr´ısluˇsn´ych objekt˚u. Pust’me se do periodov´eanal´yzypromˇenn´ehvˇezdyna z´akladˇerozboru jej´ıch n jednotliv´ych fotometrick´ych pozorov´an´ırozdˇelen´ych do N libovoln´ych skupin. Je v´yhodn´epopsat pˇr´ısluˇsnost jednotliv´ych mˇeˇren´ık jednotliv´ymskupin´ammatic´ıo rozmˇeru N ×n sloˇzenouz nul a jedniˇcek, s ˇclenem matice ηik. Jestliˇze i-t´emˇeˇren´ı,kde (i = 1, 2, ...n) patˇr´ıke k-t´eskupinˇe,kde (k = 1, 2, ...N), pak ηik = 1, jinak je ηik = 0. Necht’ ti je juli´ansk´edatum okamˇziku i-t´ehopo- zorov´an´ı, yi je namˇeˇren´aveliˇcina(nejˇcastˇejihvˇezdn´avelikost nebo jejich rozd´ıl)a wi je v´aha i-t´ehomˇeˇren´ı. Pozorovan´ehvˇezdn´evelikosti vynesen´ev z´avislostina ˇcasevytv´aˇrej´ı svˇetelnoukˇrivku, kterou vyjadˇrujefunkce F . Pˇredpovˇedˇen´a(vypoˇcten´a)hvˇezdn´avelikost ypi pro i-t´emˇeˇren´ı je pak d´anafunkˇcn´ıhodnotou F (b, ϑi), kde b = [b1, b2, ...bj, ...bg] je g parametr˚uurˇcuj´ıc´ıch model svˇeteln´ekˇrivkyv okol´ıextr´emu. ϑi je pak individu´aln´ıf´azov´afunkce v ˇcase ti dan´a vztahem PN ti − M0 − k=1 ηik ∆Tmk ϑi = , (5.55) P0 kde M0 a P0 jsou poˇc´ateˇcn´ıodhady pro parametry line´arn´ıefemeridy promˇenn´ehvˇezdya ∆Tmk je konkr´etn´ıˇcasov´akorekce okamˇzikuextr´emu pro k−t´yextr´emsvˇeteln´ekˇrivkyvzhledem k pˇredpovˇedidan´eline´arn´ıefemeridou M0 a P0. Vˇsech (g + N) voln´ych parametr˚u b a {∆Tmk} hled´amesimult´annˇestandardn´ımetodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u,kde hled´amevoln´eparametry modelu minimalizac´ısumy χ2

n  2 n  2 X yi − F (b, ϑi) X ∆yi χ2(b, T ) = = ; ∇~ χ2 = 0 ⇒ (5.56) m σ σ i=1 i i=1 i n n n X ∆yi ∂F X ∆yi ∂F ∂ϑi X ∆yi ∂F ηik = 0; = − = 0, (5.57) σ2 ∂b σ2 ∂ϑ ∂∆T σ2 ∂ϑ P i=1 i j i=1 i i mk i=1 i i 0 kde ∆yi = yi−F (b, ϑi), j = (1, 2, ...g) a σi jsou odhady nejistoty jednotliv´ych mˇeˇren´ı.Soustava g a N (viz 5.55) rovnic se ˇreˇs´ızpravidla iterativnˇepouˇzit´ımzobecnˇen´eNewtonovy-Raphsonovy 5.3. Periodov´aanal´yzaokamˇzik˚uextr´em˚u 121

0.01

0.008

0.006

0.004

0.002

0 O−C [d] −0.002

−0.004

−0.006

−0.008

−0.01 −5000 −4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 epocha

Obr´azek5.2: O-C diagram z´akrytov´edvojhvˇezdyAR Aurigae sestaven´ypomoc´ıokamˇzik˚u minim jasnosti zjiˇstˇen´ych metodou precizn´ıhourˇcov´an´ıokamˇzik˚uextr´em˚u.Chybov´a´useˇcka naznaˇcujenejistotu urˇcen´ıdan´ehookamˇziku.Pˇriv´ypoˇctuse vˇsechny okamˇzikyvypoˇc´ıt´avaly simult´annˇespolu se zjiˇst’ov´an´ımparametr˚usvˇeteln´ekˇrivky. V modelu se pˇredpokl´adali jist´y line´arn´ıtrend bˇehemnoci. Je zjevn´e,ˇzehodnoty O-C se kup´ıkolem jist´eperiodick´ekˇrivky, kter´asvˇedˇc´ıo tom, ˇzez´akrytov´asoustava je ve skuteˇcnostitrojhvˇezdou,kde z´akrytov´advoj- hvˇezdaobˇehnes tˇret´ımtˇelesemkolem spoleˇcn´ehotˇeˇziˇstˇeza nˇekolik des´ıteklet. Tato kˇrivka demonstruj´ıc´ıLiTE je jedn´ımz nejl´epe takto doloˇzen´ych pˇr´ıpad˚uprok´az´an´ıexistence tˇret´ı sloˇzkyv soustavˇe.

nebo Levenbergovy-Marquartovy metody. Cel´aprocedura vede k urˇcen´ı g parametr˚u a popisu- j´ıc´ıch vzhled svˇeteln´ekˇrivky(nebo soustavy svˇeteln´ych ˇciobecnˇef´azov´ych kˇrivek) a souboru N hodnot ∆Tmk. Okamˇzik k-t´ehoextr´emu je d´anvztahem Tmk = M0 + P0 Ek + ∆Tmk, kde Ek je stˇredn´ıepocha pozorov´an´ız k-t´ehointervalu zaokrouhlen´ana cel´eˇc´ıslo.Nejistota stanoven´ı δ∆Tmk je pak i rigor´ozn´ımodhadem nejistoty urˇcen´ı Tmk. Funkci F (ϑ) vol´ımetak, aby byla periodick´as minimem nebo maximem ve f´azi ϕ = 0. V ´uvahu pˇripadaj´ıjak harmonick´epolynomy (5.58), tak i symetrick´ezvonovit´efunkce (5.59) ve tvaru:

 1  F (ϑ) = b1 + b2 cos(2πϑ) + b3 cos(4πϑ) + b4 sin(2πϑ) − 2 sin(4πϑ) ; (5.58)   2 h  i F (ϑ) = b + b exp − 1 ϕ ,F (ϑ) = b + b exp 1 − cosh ϕ , (5.59) 1 2 2 b3 1 2 b3 kde ϕ = ϑ − round(ϑ). Prvn´ıfunkce je vhodn´ai pro asymetrick´eprofily, posledn´ıdvˇe(5.59) vcelku dobˇrevystihuj´ı vzhled minim jasnosti vˇetˇsiny z´akrytov´ych dvojhvˇezd(bez totality) i tvar svˇeteln´ekˇrivkyhvˇezds jednou v´ıcem´enˇesymetrickou fotometrickou skvrnou. 122 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

Cel´asituace se znaˇcnˇezjednoduˇs´ı,pokud jiˇzzn´ametvar svˇeteln´ekˇrivky(svˇeteln´ych kˇrivek), tˇrebam´ame-lik dispozici velmi dobrou fotometrii hvˇezdyz dˇr´ıvˇejˇs´ıdoby nebo solidn´ımode- lovou kˇrivkuodvozenou z fyzick´ehomodelu promˇennostihvˇezdy. V tomto pˇr´ıpadˇem˚uˇzeme zcela vynechat g rovnic (viz 5.56) a pˇr´ımoˇreˇsitjen soustavu N rovnic (viz 5.57). Takto z´ısk´amesoubor s N hodnotami ∆Tmk a dobˇredefinovan´eodhady jejich nejistot δTmk n ∆y v P i ∂F n −2 i=1 ηik 2 ∂ϑ u P σi u i=1 σi δTmk = −P0 ; δTmk = t , (5.60) Pn ∂F
2 −2 Pn ∂F
2 −2 i=1 ηik ∂ϑ σi n i=1 ηik ∂ϑ σi kde s je smˇerodatn´aodchylka jednoho mˇeˇren´ı. V´yˇseuveden´ypostup s v´yhodou pouˇzijemetehdy, m´ame-li k dispozici ˇraduodhad˚uokamˇzi- k˚uextr´em˚ua pak i nˇejak´eˇcasov´eˇradypozorov´an´ıjasnosti a chcete-li toto vˇsezpracovat nˇejakou jednotnou technikou, tedy ˇcistˇepomoc´ıokamˇzik˚uextr´em˚u.Lze vˇsakpostupovat i jinak a me- zikroku urˇcen´ıokamˇzik˚uminima ˇcimaxima se vyhnout.

5.4 Pˇr´ım´aperiodov´aanal´yza

V minulosti byla vˇetˇsinaperiodov´ych anal´yzprovedena uˇzit´ımokamˇzik˚uextr´emu svˇe- teln´ekˇrivky. Historick´eˇcasy Tm a nˇekdyi jejich nejistoty lze naj´ıt bud’ pˇr´ımo v li- teratuˇrenebo i ve speci´aln´ıch datab´az´ıch. Hodnovˇernosttakov´ych periodov´ych anal´yzje odvisl´aod spolehlivosti urˇcen´ıokamˇzik˚uextr´em˚ua jejich nejistot. Vˇetˇsinapublikovan´ych okamˇzik˚uextr´em˚upromˇenn´ych hvˇezdbyla z´ısk´anapomoc´ınotoricky zn´am´eKweeovy- van Woerdenovy metody a jej´ıch modifikac´ı.Bohuˇzel,tato metoda je ˇcastouˇz´ıv´anajako magick´askˇr´ıˇnka na libovoln´apozorovac´ıdata, tedy i pro pˇr´ıpady, kdy pˇredpoklady, za nichˇzbyla odvozena, neplat´ı.Nav´ıcv˚ubec nelze pouˇz´ıtodhad nejistoty urˇcen´ıokamˇziku extr´emu, kter´yposkytuje – b´yv´atotiˇzoproti skuteˇcnostisilnˇepodcenˇen. Rozhoduj´ıc´ınedostatek bˇeˇzn´ehozp˚usobuurˇcov´an´ıokamˇzik˚uextr´emu vˇsaktkv´ıv tom, ˇzenezohledˇnujefakt, ˇzesvˇeteln´akˇrivka je periodick´afunkce. Pˇritomznalost tvaru svˇeteln´ych kˇrivek odvozen´az pozorov´an´ıuˇcinˇen´ych v minulosti m˚uˇzezcela z´asadn´ım zp˚usobem zlepˇsithodnovˇernosturˇcen´ıhodnot Tm. Pak lze okamˇzikextr´emu urˇcitmeto- dou f´azov´ehoposuvu pozorovan´esvˇeteln´ekˇrivkyvzhledem k oˇcek´avan´e,vzorov´esvˇeteln´e kˇrivce, kter´azajiˇst’uje mnohem spolehlivˇejˇs´ı´udaj o okamˇziku extr´emu a jeho nejistotˇe. Bohuˇzel,tato dlouho zn´am´ametoda se dosud pouˇz´ıv´ajen vz´acnˇe. Jak zlepˇsitspolehlivost periodov´ych anal´yz?M˚uˇzemezdokonalit vstup v´yˇsediskuto- van´emetody t´ım, ˇzebudeme pracovat se spolehlivˇejˇs´ımiv´ychoz´ımipozorovan´ymimo- menty extr´em˚us vyuˇzit´ımvzorov´ych svˇeteln´ych kˇrivek (viz. kapitola 5.3.4). Nebo l´epe, m˚uˇzememezikrok s v´ypoˇctemokamˇzik˚uextr´em˚uzruˇsit´uplnˇe. Casov´yv´yvojˇ periody totiˇzlze sledovat pˇr´ımoa jeˇstˇepˇritomzpracov´avat pozorov´an´ınejr˚uznˇejˇs´ıhodruhu! Je zde pouze jedin´eomezen´ı– k pouˇzit´ıon´en´ıˇzepopsan´emetody je nezbytn´ezn´atp˚uvodn´ı data, z´ıskan´apozorov´an´ım.V nˇekter´ych pˇr´ıpadech ale nejsme schopni p˚uvodn´ımˇeˇren´ı dohledat a pak n´amnezbude, neˇzse spolehnout na pouze na nespolehliv´apublikovan´a data v podobˇeokamˇzik˚u Tm. Postupy pouˇz´ıvan´ek anal´yzedat jsou zaloˇzeny na rigor´ozn´ı aplikaci neline´arn´ı, v´ahovan´emetody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚uuˇz´ıvan´enar´azpro vˇsechna relevantn´ı data ob- sahuj´ıc´ı f´azovou informaci. Naˇsetechnika v˚ubec nevyuˇz´ıv´aO-C diagram jako mezi- stupeˇnpˇrizpracov´an´ıdat. O-C diagramy se ovˇsems v´yhodou pouˇz´ıvaj´ıpro vizu´aln´ı 5.4. Pˇr´ım´aperiodov´aanal´yza 123 kontrolu adekv´atnostipouˇzit´ych model˚u.Metoda se m˚uˇze´uspˇeˇsnˇeaplikovat jak pro ˇcasovˇesevˇren´eˇcasov´eˇrady, tak i na pozorov´an´ıpˇrehl´ıdekoblohy.

5.4.1 Popis metody Pˇredpokl´adejme,ˇzeveˇsker´epozorovan´e f´azov´ekˇrivky promˇenn´ehvˇezdylze uspoko- jivˇepopsat jedinou obecnou modelovou funkc´ı F (ϑ, b), popsanou zde gb parametry tvoˇr´ıc´ımitzv. vektor parametr˚ukˇrivky b, kde b = (b1, ..., bj, ..., bgb ). Pˇrinaˇsich v´ypoˇctech pˇredpokl´ad´ame,ˇzetvar vˇsech f´azov´ych kˇrivek je konstantn´ı a ˇcasov´apromˇennost je zcela d´anaf´azovou funkc´ı ϑ(t, a), jej´ıˇzvlastnosti byly probr´any v podkapitole 5.2.2 i pro pˇr´ıpad promˇenn´eperiody. Budeme pˇredpokl´adat,ˇzef´azov´afunkce ϑ(t, a) bude pops´ananˇejak´ymvhodn´ymmodelem urˇcen´ymuspoˇr´adanou ga-tic´ı parametr˚u a =

(a1, ..., aj, ..., aga ). Pro realistick´emodelov´an´ıf´azov´ych zmˇen pro data vˇsech typ˚upotˇrebujeme gb voln´ych parametr˚upro popis modelov´efunkce F (ϑ, b) a ga voln´ych parametr˚upro popis f´azov´e funkce ϑ(t, a). V´ypoˇcetvoln´ych parametr˚uje iterativn´ı a to se z´akladn´ı podm´ınkou ˇ 2 2 MNC, ˇzesuma χ (a, b) kvadr´atupod´ılu (∆yi/σi) je minim´aln´ı, pˇriˇcemˇz σi je indi- vidu´aln´ınejistota i-t´ehomˇeˇren´ı,zat´ımco∆yi = yi − F (ϑi, b) je rozd´ıl i-t´ehomˇeˇren´ı yi a jeho modelov´epˇredpovˇedi F (ϑi). Tedy n  2 X ∆yi ∆y = y − F (ϑ ); χ2 = ; ∇~ χ2 = 0; ⇒ (5.61) i i i σ i=1 i n n X ∆yi ∂F (ϑi, b) X ∆yi ∂F (ϑi, b) ∂ϑ(ti, a) = 0; = 0. σ2 ∂b σ2 ∂ϑ ∂a i=1 i j i=1 i i k

Celkem z´ısk´ame g = ga + gb rovnic s g nezn´am´ymivoln´ymiparametry. Syst´emrovnic je neline´arn´ı,coˇzm.j. znamen´a,ˇzeparametry modelu nelze urˇcitpˇr´ımo,ale pomoc´ı iterac´ı. Nejˇcastˇejipostupujeme tak, ˇzesi funkci F (ϑ, a, b) linearizujeme tak, ˇzeji nahrad´ıme jej´ımTaylorov´ymrozvojem kolem odhadu parametr˚u a a b, a0 a b0. Pak plat´ı: ∂F F [ϑ(t, a), b] ' F [ϑ(t, a ), b ] + ∇~ F (ϑ, b) ∆b + ∇~ ϑ(t, a) ∆a, (5.62) 0 0 b ∂ϑ a kde ∇~b a ∇~a jsou oznaˇcen´ıgradient˚uskal´arn´ıch funkc´ı F (ϑ, b) a ϑ(a) podle vektor˚u a a b. V rovnici (5.62) se m´ısto g parametr˚u a a b objev´ınov´ych g parametr˚u∆a a ∆b, v nichˇz ovˇsemje rovnice pro funkci F (t, ∆a, ∆b) jiˇzline´arn´ıa um´ımeji tedy ˇreˇsitmaticov´ymimeto- dami line´arn´ıregrese. K nov´emu odhadu hodnot hledan´ych parametr˚u a a b dojdeme tak, 14 ˇzek pˇredch´azej´ıc´ımodhad˚umkorekci ∆a a ∆b korekci prostˇepˇriˇcteme , tedy a1 = a0 + ∆a, b1 = b0 + ∆b. S tˇemitonov´ymiodhady parametr˚uv´ypoˇcetznovu a znovu opakujeme aˇz se pˇribl´ıˇz´ımek hodnot´amsady parametr˚u,kter´ese uˇzv dalˇs´ıch iterac´ıch nemˇen´ı(vektory ∆a a ∆b se bl´ıˇz´ık nulov´ym).Ukazuje se, ˇzem´ate-lipro vektory parametr˚u a0 a b0 k dispozici dobr´y poˇc´ateˇcn´ıodhad, konverguj´ıtyto iterace rychle. Bˇeˇznˇepotˇrebujemepouze nˇekolik iteraˇcn´ıch cykl˚u,abychom celou iteraˇcn´ıproceduru dokonˇcili. Nejistoty nalezen´ych parametr˚ujsou tyt´eˇzjako nejistoty odpov´ıdaj´ıc´ıch korekˇcn´ıch ˇclen˚u ∆a a ∆b. Podrobnˇejˇs´ıpopis cel´eprocedury najdete v kapitole 4.4. 14Ukazuje se, ˇzenen´ız´ahodno pˇriˇc´ıtathned celou korekci, staˇc´ı,kdyˇzkorigujeme sadu parametr˚u jen o polovinu vypoˇcten´ekorekce. Zv´yˇs´ıse t´ımsice poˇcetnutn´ych iterac´ı,ale podstatnˇese t´ımzv´yˇs´ı stabilita ˇreˇsen´ı,kter´eby jinak mohlo i divergovat. 124 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

5.4.2 Virtu´aln´ıO-C diagram Jakkoli k vlastn´ımu v´ypoˇctuhodnot parametr˚umodelu O-C diagram nepotˇrebujeme, bylo by nerozumn´ezbavovat se jej nadobro. O-C diagram n´amtotiˇzm˚uˇze´uˇcinnˇepomoci, a to zejm´enave f´azi,kdy se snaˇz´ımenaj´ıtadekv´atn´ımodely pro pozorovan´ezmˇeny periody. V tomto pˇr´ıpadˇepouˇzijemetzv. virtu´aln´ıO-C hodnoty pro libovoln´ypodsoubor pozorovac´ıch dat. Nav´ıc m˚uˇzemesnadno sestrojit diagram ilustruj´ıc´ıˇcasov´ezmˇeny okamˇzit´eperiody P (t).

0.02

0

−0.02

−0.04 [d] lin

O−C −0.06

−0.08

−0.1

−0.12 BS Vul

−0.14 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020

Obr´azek5.3: Virtu´aln´ıO-C diagram tˇesn´e,t´emˇeˇrkontaktn´ız´akrytov´edvojhvˇezdy BS Vul- peculae sestaven´ypomoc´ıveˇsker´ych dostupn´ych pozorovac´ıch dat. R˚uzn´ymiznaky jsou zde vynesena pozorov´an´ır˚uzn´ych typu. Povˇsimnˇetesi, ˇzepomˇernˇesilnˇese od stˇredn´ıkˇrivkyodchy- luj´ıvizu´aln´ıpozorov´an´ı(+ a x), coˇzprokazuje subjektivn´ıcharakter a tud´ıˇzi nespolehlivost tohoto typu informace o svˇeteln´emchov´an´ız´akrytov´edvojhvˇezdy. Periodov´aanal´yzajasnˇe nasvˇedˇcujetomu, ˇzeperioda soustavy se zkracuje, coˇzje d˚usledkem stacion´arn´ıhopˇretoku l´atkysmˇeremod prim´arn´ısloˇzkyk sloˇzcesekund´arn´ı.Soustava se zˇrejmˇev bl´ızk´ebudoucnosti stane kontaktn´ı.Bliˇzˇs´ıinformace v Zhu et al. (2012).

Pouˇzit´ım rezidu´ı pozorovan´ych dat vzhledem k pˇredpovˇedipozorovan´ych hodnot ∆yj m˚uˇzemevytvoˇritjednotliv´ef´azov´eposuny vyj´adˇren´eve dnech (O-C)j s individu´aln´ıvahou Wj pro kaˇzd´epozorov´an´ı.V´ahovan´yaritmetick´ypr˚umˇerf´azov´ych posun˚upak definuje pro libovolnˇesestavenou d´ılˇc´ı skupinu mˇeˇren´ı stˇredn´ı hodnotu (O-C)i nebo odchylku okamˇzit´e periody pro danou skupinu mˇeˇren´ıod okamˇzit´eperiody predikovan´emodelem ∆Pk(tk) ∂F −1 ∂F 2 (O-C) = −P (t ) ∆y ; W = σ−2; (5.63) j j j ∂ϑ j ∂ϑ j Pnk Pnk (O-C)j Wj (O-C)j ϑj Wj (O-C) = j=1 ; ∆P = j=1 . k Pnk k Pnk 2 j=1 Wj j=1 ϑj Wj 5.5. Fenomenologick´emodely f´azov´ych kˇrivek 125

V´ypoˇcty (O-C)k a ∆Pk n´asleduj´ıaˇzpo nalezen´ımodelov´ych parametr˚u;tedy nemaj´ı,a ani nemohou m´ıtˇz´adn´yvliv na ˇreˇsen´ımodelu. Pouˇz´ıvaj´ıse pouze pro vizualizaci ˇreˇsen´ı.Obdobnˇe m˚uˇzemevypoˇc´ıtatvirtu´aln´ı‘pozorovan´e’hodnoty okamˇzit´eperiody ze skupiny pozorov´an´ı, kter´elze s v´yhodou pouˇz´ıtpro vytv´aˇren´ıp˚usobiv´ych obr´azkuzmˇenperiody.

5.5 Fenomenologick´emodely f´azov´ych kˇrivek

Teorie promˇennostihvˇezdse pokouˇs´ıs vˇetˇs´ımˇcimenˇs´ım ´uspˇechem vytv´aˇrettzv. fy- zick´emodely promˇenn´ych hvˇezd.C´ılemfyzick´ych model˚uje poznat pˇr´ıˇciny promˇennosti a naj´ıtfyzick´evlastnosti promˇenn´ych objekt˚u.Pomoc´ımodel˚uˇcastodok´aˇzemedocela vˇerohodnˇepˇredpovˇedˇettvary svˇeteln´ych kˇrivek. V astrofyzice je ovˇsemvelice d˚uleˇzit´a i obr´acen´a´uloha,kdy se snaˇz´ımez tvaru pozorovan´ych svˇeteln´ych kˇrivek urˇcitfyzick´e parametry promˇenn´ehoobjektu. Tato ´uloha obˇcasnem´aˇreˇsen´ı,pokud dotyˇcn´ymodel nezohledˇnujeveˇsker´epˇr´ıˇciny promˇennosti,dosti ˇcastopak nem´ajednoznaˇcn´eˇreˇsen´ı, zejm´enapokud samotn´epozorovan´ı nen´ı extr´emnˇepˇresn´e.D˚uvodem je skuteˇcnost, ˇzenejr˚uznˇejˇs´ı kombinace parametr˚udok´aˇz´ı zhruba stejnˇedobˇrepopsat pozorovanou skuteˇcnost. Jak jsme jiˇzuk´azali,pro periodovou anal´yzunepotˇrebujeme zn´atjak´ejsou skuteˇcn´e fyzick´eparametry promˇenn´ehoobjektu, postaˇc´ıjen naj´ıttakov´ymodel svˇeteln´ekˇrivky, kter´yby pozorovanou realitu dostateˇcnˇepˇresnˇevystihl, a to s nejmenˇs´ımpoˇctempara- metr˚u,pˇriˇcemˇzv˚ubec nesejde na tom, jak´ejsou pˇr´ıˇciny toho, ˇzeona kˇrivka vyhl´ıˇz´ıtak, jak vyhl´ıˇz´ı.C´ılemtedy nen´ıˇreˇsitot´azkuproˇc?,ale jak? Zaj´ım´an´asnyn´ıjen jevov´a str´anka vˇeci,jde n´amo fenomenologick´ypopis skuteˇcnosti,o vytv´aˇren´ıtzv. fenomeno- logick´ychmodel˚u.

5.5.1 Rotuj´ıc´ıhvˇezdys fotometrick´ymiskvrnami Existuje velk´askupina rotuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd,kter´emˇen´ısvoji jasnost, protoˇze se na jejich povrchu vyskytuj´ırozs´ahl´etzv. ‘fotometrick´e’skvrny, jasnˇejˇs´ınebo tmavˇs´ıneˇzokoln´ı povrch. Zkuˇsenostukazuje, ˇzepokud zrovna neanalyzujete data poˇr´ızen´as pˇresnost´ı0.0003 mag a lepˇs´ı,postaˇc´ık popisu jejich svˇeteln´ekˇrivkyharmonick´ypolynom 2. stupnˇe.Doporuˇcujeme pˇritompoˇc´atekpoˇc´ıt´an´ıf´azov´efunkce ϑ v okamˇziku M0 um´ıstitdo jednoho z extr´em˚un´asledu- j´ıc´ıhomodelu svˇeteln´ekˇrivkyrotuj´ıc´ıskvrnit´ehvˇezdyv urˇcit´ebarvˇe

Fc(ϑ) = AcΨc(ϑ, b1c, b2c) + m0c, pˇriˇcemˇz (5.64) q Ψ (ϑ) = 1 − b2 − b2 cos(2 π ϑ) + b cos(4 π ϑ) + √2 b sin(2 π ϑ) − 1 sin(4 π ϑ) , c 1c 2c 1c 5 2c 2 kde m0c je stˇredn´ıhvˇezdn´avelikost, pˇr´ıpadnˇerozd´ılhvˇezdn´evelikosti vzhledem ke srovn´avac´ı hvˇezdˇe, Ac je v tomto pˇr´ıpadˇeefektivn´ısemiamplituda (poloviˇcn´ıamplituda) a Ψc(ϕ) je nor- R 1 2 1 movan´afunkce vyjadˇruj´ıc´ıtvar svˇeteln´ekˇrivky, pro niˇzplat´ı,ˇze 0 Ψc dϕ = 2 . Parametr funkce Ψ, b1c vyjadˇrujeˇspiˇcatostf´azov´efunkce v okol´ız´akladn´ıhoextr´emu, zat´ımco b2c kvantifikuje m´ırujej´ıasymetrie. Takto zapsan´ymodel m´av´yhodu v tom, ˇzevz´ajemnˇeoddˇeluje amplitudu a tvar svˇeteln´ekˇrivky. Dosti ˇcastose totiˇzst´av´a,ˇzeexistuje jen jeden dominantn´ımechanis- mus zp˚usobuj´ıc´ıkontrast fotometrick´ych skvrn, kter´etak budou kontrastn´ıstejnou mˇerouve vˇsech studovan´ych fotometrick´ych filtrech. Z hlediska bl´ızk´ehopozorovatele to znamen´a,ˇze struktura povrchu nebude m´ıtv´yrazn´ebarvy, vzd´alen´ypozorovatel odk´azan´yna pozorov´an´ı 126 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad celkov´ych zmˇenjasnosti pr´avˇeviditeln´ehohvˇezdn´ehodisku to pak pozn´apodle toho, ˇzetvary svˇeteln´ych kˇrivek ve vˇsech fotometrick´ych barv´ach budou v r´amcipozorovac´ıch chyb totoˇzn´e. Za tˇechto okolnost´ıbude v modelu svˇeteln´ekˇrivkyv libovoln´ebarvˇenormovan´afunkce tvaru svˇeteln´ekˇrivkytotoˇzn´a,tedy Ψc(ϕ) = Ψ(ϕ), kde q Ψ(ϑ, b , b ) = 1 − b2 − b2 cos(2 π ϑ) + b cos(4 π ϑ) + √2 b sin(2 π ϑ) − 1 sin(4 π ϑ) , (5.65) 1 2 1 2 1 5 2 2 kde koeficienty b1, b2, popisuj´ıc´ıtvar svˇeteln´ekˇrivky, budou stejn´epro vˇsech pouˇzit´efiltry. T´ımse v´yraznˇesn´ıˇz´ıpoˇcetvoln´ych parametr˚u,coˇzzlepˇs´ıhodnovˇernostv´ysledk˚u. Pokud se asymetrick´yˇclen b2 bl´ıˇz´ınule, znamen´ato, ˇzebud’ je na povrchu pˇr´ıtomnajen jedin´adominantn´ıv´ıcem´enˇesymetrick´afotometrick´askvrna nebo jsou tam dvˇesymetrick´e dominantn´ıfotometrick´eskvrny se stˇredyna poledn´ıc´ıch s d´elkou odliˇsnouo 180◦. q q 2 2 Ψc(ϑ) = 1 − b1c cos(2 π ϑ) + b1c cos(4 π ϑ)nebo Ψ(ϑ) = 1 − b1 cos(2 π ϑ) + b1 cos(4 π ϑ). (5.66) U chemicky pekuli´arn´ıch hvˇezdse ˇcastosetk´av´ames t´ım,ˇzese tvary jejich svˇeteln´ych kˇrivek liˇs´ı,jejich skvrny jsou pestrobarevn´e.Znamen´ato, ˇzese zde uplatˇnuj´ısrovnatelnou mˇeroudva i v´ıcemechanism˚uvytvoˇren´ıjasov´ych kontrast˚u.U naprost´evˇetˇsiny CP hvˇezdale lze vystaˇcits modelem, kde pozorovan´ytvar svˇeteln´ekˇrivkypˇredpokl´ad´ameve tvaru line´arn´ı kombinace dvou tvarov´ych funkc´ı

Ψc(ϑ) = d1c ψ1(ϑ) + d2c ψ2(ϑ), kde (5.67) q ψ (ϑ) = 1 − b2 − b2 cos(2 π ϑ) + b cos(4 π ϑ) + √2 b sin(2 π ϑ) − 1 sin(4 π ϑ) . j 1j 2j 1j 5 2j 2

B´azifunkc´ı ψ1 a ψ2 lze pootoˇcittak, ˇzetyto funkce budou vz´ajemnˇeortogon´aln´ı.Automaticky to tak vyjde, pokud zmiˇnovan´eelement´arn´ıfunkce hled´amemetodou hlavn´ıch sloˇzek (PCA). V tom pˇr´ıpadˇebude i v´ysledn´afunkce tvaru svˇeteln´ekˇrivkynormovan´a. B´azivˇsaklze pootoˇciti tak, ˇzeelement´arn´ıfunkce budou symetrick´e,s centry ve f´az´ıch ϕ01 a ϕ02:

q 2 ψj = 1 − bj cos[2 π (ϑ − ϕ0j)] + bj cos[4 π (ϑ − ϕ0j)], kde j = (1, 2). (5.68)

Takov´ymodel lze velmi snadno interpretovat jako v´ysledekexistence dvou v´ıcem´enˇesyme- trick´ych skvrn s fotocentry v pˇr´ısluˇsn´ych f´az´ıch ϕ01 a ϕ02. Jist´yprobl´emnast´av´apˇriinter- pretaci hrbolk˚uv protilehl´ych f´az´ıch, kter´ejsou zjevnˇeartefaktem zvolen´eho,pˇr´ıliˇsjednoduch´eho modelu harmonick´efunkce. Zde je v´ychodiskem zvolen´ıjin´eho,‘fyzik´alnˇejˇs´ıho’fenomenolog- ick´ehomodelu pro element´arn´ıtvarov´efunkce. Dosti se n´amosvˇedˇcilaprost´agaussova funkce

"  2# 1 ϕj ψj(ϑ, bj, ϕ0j) = exp − , kde ϕj = (ϑ − ϕ0j) − round(ϑ − ϕ0j). (5.69) 2 bj

Model svˇeteln´ekˇrivkyza tˇechto okolnost´ıvyhl´ıˇz´ıodliˇsnˇe,odliˇsn´yje v´yznamparametr˚uv nˇem:

Fc(ϑ) = Ac1 ψ1(ϑ, ϕ01, b1) + Ac2 ψ1(ϑ, ϕ02, b2) + m0c, (5.70) kde Ac1,Ac2 jsou amplitudy zmˇenjasnosti v pˇr´ısluˇsn´emfotometrick´em filtru pro prvn´ıa druhou skvrnu, parametry b1, b2 jsou poloˇs´ıˇrkytˇechto skvrn vyj´adˇren´eve zlomc´ıch periody, m0c je hvˇezdn´avelikost hvˇezdyv barvˇe c ve chv´ıli,kdy ˇz´adn´aze skvrn nen´ıviditeln´a.Pˇriurˇcit´ych konfigurac´ıch skvrn se ovˇsemzhusta st´av´a,ˇzetuto hodnotu nedos´ahne hvˇezdanikdy, protoˇze vˇzdyb´yv´aaspoˇnkousek ze skvrny viditeln´y. 5.5. Fenomenologick´emodely f´azov´ych kˇrivek 127

−0.1 CU Vir

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2 uvby magnitudes [mag] 0.25

0.3

0.35

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 rotational phase φ

Obr´azek5.4: F´azov´akˇrivka svˇeteln´ych zmˇenchemicky pekuli´arn´ıhvˇezdy CU Virginis podle pozorov´an´ıDiany Pyperov´eproveden´ych ve Str¨omgrenovˇestˇrednˇe-p´asmov´emfotometrick´em syst´emu uvby. Proloˇzen´ısvˇeteln´ych kˇrivek bylo realizov´anojako souˇcetdvou gaussov´ych kˇrivek s centry kolem f´aze0.4 a 0.6 (viz 5.69). Stejnˇedobr´ehoproloˇzen´ıbychom dos´ahli,pokud bychom svˇeteln´ekˇrivkyv kaˇzd´emz filtr˚uzvl´aˇst’ proloˇziliharmonick´ympolynomem 2. stupnˇe.Probl´em by ovˇsembyl s interpretac´ıtakov´ehofitu. Poznamenejme, ˇzei v tak perfektn´ımmateri´alu, jak´ymtoto pozorov´an´ıbezesporu je, se najde nˇekolik odlehl´ych bod˚u.

A jeˇstˇed˚uleˇzitoupozn´amku. Je tˇrebase rozhodnout, kter´eparametry vlastnˇebudeme hledat. Kdyˇzp˚ujdemepo dvojici f´az´ıcentra skvrn ϕ01 a ϕ02, pak je tˇrebazafixovat poˇc´atek poˇc´ıt´an´ıf´azov´efunkce M0. Lze postupovat i tak, ˇzesi poˇc´atek M0 ztotoˇzn´ımes centrem jedn´e z skvrn, dejme tomu s tou prvn´ı.Pak ovˇsemfixujeme parametr ϕ01 ≡ 0. Pokud bychom tohoto doporuˇcen´ınedbali, pak by hled´an´ıparametr˚umodelu nezadrˇzitelnˇedivergovalo.

5.5.2 Z´akrytov´edvojhvˇezdy Vˇetˇsinastudi´ıt´ykaj´ıc´ıch se studia zmˇenobˇeˇzn´ych period z´akrytov´ych dvojhvˇezdje zaloˇzena na technice rozboru O-C diagramu, i kdyˇz nˇekolik nejpropracovanˇejˇs´ıch program˚uˇreˇsen´ı svˇeteln´ych kˇrivek jako jsou napˇr.PHOEBE, FOTEL nebo Wilson˚uv-Devineyhoprogram nab´ız´ı pˇr´ımouperiodovou anal´yzu ve smyslu v´yˇsenast´ınˇen´emetody. Doporuˇcujivˇsempouˇz´ıttyto utility, kdyby uˇzk niˇcemu jin´emu, tak aspoˇnk simulov´an´ısvˇeteln´ekˇrivky, kterou pak lze pouˇz´ıtjako vzorovou svˇetelnoukˇrivku pˇr´ısluˇsn´ez´akrytov´edvojhvˇezdy. Ovˇsemmnohem jednoduˇsˇs´ıje pouˇz´ıtk jej´ıreprezentaci fenomenologick´ymodel svˇeteln´e kˇrivkyz´akrytov´edvojhvˇezdy. Vypracovali jsme soubor model˚usvˇeteln´ych kˇrivek z´akrytov´ych soustav, kter´yje schopen popsat vˇetˇsinu pozorovan´ych svˇeteln´ych kˇrivek s pouˇzit´ımminim´al- n´ıhopoˇctuvoln´ych parametr˚u.Napˇr.n´asleduj´ıc´ıfenomenologick´ymodel m˚uˇzeb´ytaplikov´an 128 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

0

0.1

0.2 C=1/2

0.3

0.4

Ψ 0.5

0.6 C=2

0.7

0.8

0.9

1 −3 −2 −1 0 1 2 3 ∆φ/d

Obr´azek5.5: Obr´azekukazuje jak odliˇsn´enormalizovan´etypy svˇeteln´ych kˇrivek Ψ(∆ϕ/d, C) v okol´ı stˇredu z´akrytun´aˇs fenomenologick´ymodel nab´ız´ı. Pˇredˇelov´akˇrivka s C = 1 je zv´yraznˇenatuˇcnˇejˇs´ıˇcarou.Pro hodnoty parametru C < 1, m´amodelov´akˇrivka v nule skok v derivaci, jinak se vˇsudechov´amravnˇe.Pomoc´ımodelu lze realisticky modelovat i svˇeteln´e kˇrivkyse zast´avkou C > 1. Pˇrisrovn´an´ıre´aln´ych a modelov´ych svˇeteln´ych kˇrivek vypl´yv´a, ˇzenejvˇetˇs´ıodchylky nach´az´ımev centru z´akrytua na vzd´alen´ych kˇr´ıdlech. Pro periodovou anal´yzujsou zcela rozhoduj´ıc´ıoblasti kolem inflexn´ıch bod˚u,a tam naˇse modelov´asvˇeteln´a kˇrivka modeluje skuteˇcnostvelmi dobˇre.

na vˇetˇsinu tˇesn´ych dvojhvˇezds kruhov´ymidrahami (minima ve f´az´ıch ϕ = 0; 0, 5). Model dobˇre popisuje vzhled obou minim jasnosti zp˚usoben´ych z´akrytem,vˇcetnˇeminim se zast´avkou, efekty bl´ızkosti sloˇzek(elipticita sloˇzek,efekty odrazu a gravitaˇcn´ıhoztemnˇen´ı)lze popsat zaveden´ım dalˇs´ıch fenomenologick´ych ˇclen˚u.

   C1,2 ϕ1,2 ψ1,2(ϑ) = 1 − 1 − exp 1 − cosh ; (5.71) d1,2 Fc(ϑ) = m0c + b1c ψ1(ϑ, C1c, d1c) + b2c ψ2(ϑ, C2c, d2c), (5.72) kde 1 1 ϑ = (t − M0) /P ; ϕ1 = ϑ − round(ϑ); ϕ2 = (ϑ − 2 ) − round(ϑ − 2 ). (5.73) b1c a b2c jsou hloubky prim´arn´ıhoa sekund´arn´ıho minima v barvˇe c, d1,2 jsou parametry popisuj´ıc´ıˇs´ıˇrkuz´akryt˚u, C1,2 vyjadˇrujeˇspiˇcatostminim svˇeteln´ekˇrivkybˇehemz´akrytu. V prvn´ı aproximaci lze kˇrivkuminim vyj´adˇritjednoduˇseji,napˇr.pomoc´ı Maclaurinova rozvoje 4. ˇr´adufunkce cosh

( "  2  4#)C1,2 1 ϕ1,2 1 ϕ1,2 ψ1,2(ϕ1,2) = 1 − 1 − exp − − (5.74) 2 d1,2 24 d1,2 nebo ( "  2#)C1,2 1 ϕ1,2 ψ1,2(ϕ1,2) = 1 − 1 − exp − (5.75) 2 d1,2 5.5. Fenomenologick´emodely f´azov´ych kˇrivek 129 pˇr´ıpadnˇe    ϕ1,2 ψ1,2(ϕ1,2) = exp 1 − cosh ; (5.76) d1,2 "  2# 1 ϕ1,2 ψ1,2(ϕ1,2) = exp − ; (5.77) 2 d1,2  1 ϕ 2 ψ (ϕ ) = exp − 1,2 . (5.78) 1,2 1,2 2 d

Obecnˇeto vˇseplat´ıjen pro urˇcitouvlnovou d´elku,ale ˇcastolze model funkce ψ1,2(ϕ1,2) svˇeteln´e kˇrivkypouˇz´ıti pro r˚uzn´efiltry. Nestejn´ateplota zakr´yvaj´ıc´ıch se sloˇzeka t´ımi r˚uzn´ehloubky prim´arn´ıch a sekund´arn´ıch minim v r˚uzn´ych barv´ach se dobˇrevyj´adˇr´ınestejn´ymihloubkami b1c, b2c ve vztahu (5.72).

0

0.5

BVRI magnitudes [mag] 1

RW Com 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 orbital phase

Obr´azek5.6: Svˇeteln´ekˇrivkyt´emˇerkontaktn´ı z´akrytov´edvojhvˇezdyRW Com ve filtrech BVRI . Je zjevn´e,ˇzesvˇeteln´ekˇrivkyv r˚uzn´ych barv´ach jsou si dosti podobn´e,tedy i v tom, ˇze jasnost dvojhvˇezdyse nemˇen´ıjen pˇriz´akrytech, ale neust´ale.Z toho d˚uvodu je potˇrebazav´est jeˇstˇeharmonick´ekˇrivky, jimiˇzlze tzv. “proximity effect” pomˇernˇeobstojnˇereprezentovat. Povˇsimnˇetesi, ˇzev´yˇsky maxim jasnosti se od sebe liˇs´ı,nejv´ıcev modr´eoblasti spektra, nejm´enˇe v infraˇcerven´emoboru. Jde o tzv. O’Connell˚uvjev, kter´yse nejˇcastˇejivysvˇetlujev´yskytem temn´ych fotosf´erick´ych skvrn. Pomˇern´ev´yˇskyobou maxim se bˇehemˇcasumˇen´ı. 130 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

5.5.3 Spektroskopick´apromˇennost Dalˇs´ıd˚uleˇzitousouˇc´ast´ıkomplexn´ıf´azov´einformace, kterou n´ampromˇenn´ehvˇezdy poskytuj´ı, pˇredstavuj´ı zmˇeny spektra. Obecnˇevzato i dosud prob´ıran´esvˇeteln´ezmˇeny jsou zmˇenami spektroskopick´ymi,s t´ım,ˇzerozhoduj´ıc´ızde jsou variace spojit´ehospektra. Nicm´enˇe,napˇr. u hvˇezdse siln´ymispektr´aln´ımiˇcaramia spektr´aln´ımip´asyˇcihranami, mohou fotometricky d˚uleˇzitouroli hr´atzmˇeny v intenzitˇetˇechto ˇcar.Zde z´aleˇz´ı jak na typu hvˇezdy, tak i na spektr´aln´ımoboru. Zat´ımco v optick´emoboru lze zm´ınˇen´eefekty tohoto tzv. ‘line blockingu’ zpravidla zanedbat, v bl´ızk´ema zejm´enavzd´alen´emultrafialov´emoboru mohou b´ytzmˇeny intenzit ˇcarvelmi d˚uleˇzit´ea prostˇrednictv´ımpˇrerozdˇelen´ıenergie mezi jednotliv´ymiˇc´astmi spektra mohou zp˚usobovat zmˇeny ´urovnˇespojit´ehospektra. Tato pozn´amka se t´yk´apˇredevˇs´ım CP hvˇezd, ale tak´ei hvˇezdchladnˇejˇs´ıch s molekul´arn´ımip´asyve spektru. Spektroskopickou promˇennost´ıse bˇeˇznˇemysl´ıpromˇennostprofil˚uvybran´ych spek- tr´aln´ıch ˇcar,speci´alnˇepak nˇejak´ych kvantitativn´ıch charakteristik zm´ınˇen´eˇc´ary, s nimiˇz se pak pracuje, jako jsou napˇr.radi´aln´ırychlost pˇr´ısluˇsn´eˇc´ary, zmˇeny centr´aln´ıinten- zity ˇc´arynebo jej´ıekvivalentn´ıˇs´ıˇrky. Pˇr´ıˇciny zmˇenb´yvaj´ırozliˇcn´e,m˚uˇzej´ıto zmˇeny vlastnosti pr´avˇepˇrivr´acen´eˇc´astihvˇezdn´eatmosf´ery, d˚uleˇzitouroli zde sehr´av´ai hvˇezdn´a rotace, kter´av podstatˇeurˇcujetvar profilu vˇetˇsiny absorpˇcn´ıch ˇcarvˇetˇsiny promˇenn´ych hvˇezd.Ze zmˇenprofil˚uspektr´aln´ıch ˇcarve vysokodisperzn´ımspektru lze pomoc´ıtzv. Dopplerovy tomografie odvodit napˇr.rozloˇzen´ıchemick´ych prvk˚una povrchu hvˇezd. Tyto techniky patˇr´ık vrchol˚umv interpretaci spektroskopick´ych zmˇena k jej´ımv´ysled- k˚umje dobr´ese vˇzdystavˇets urˇcitou rezervovanost´ı,vypl´yvaj´ıc´ız cel´eho procesu zpra- cov´an´ıspektroskopick´einformace. Naopak studie zmˇenradi´aln´ıch rychlost´ızmˇeˇren´ych zpravidla z polohy dobˇredefi- novan´ych ˇcar ˇcivˇsech ˇcar v pozorovan´emspektru, jsou vˇetˇsinoudosti spolehliv´e,nav´ıc techniky zmˇenradi´aln´ıch rychlosti dozr´avaj´ıdo sv´ehozlat´ehovˇeku,protoˇzese jejich prostˇrednictv´ım jednak urˇcuj´ı hmotnosti v hvˇezdn´ych syst´emech, jednak se jimi de- tekuje pˇr´ıtomnost dalˇs´ıch, zpravidla temn´ych sloˇzekn´asobn´ych syst´em˚utvoˇren´ych ne- jen hvˇezdami,ale i planetami. V pˇr´ıpadˇe,ˇzenepozorujeme ˇz´adn´ezmˇeny svˇeteln´e,b´yv´a spektroskopick´apromˇennostivelmi solidn´ın´ahraˇzkou fotometrick´epromˇennosti. Dalˇs´ıinformaci poskytuje polarizace svˇetlaa jej´ızmˇeny v r˚uzn´ych ´usec´ıch spektra, kter´ed´avaj´ıinformace o zmˇen´ach magnetick´ehopole, pˇr´ıpadnˇealespoˇnjeho konfiguraci vzhledem k pozorovateli.

5.6 Simult´ann´ı modelov´an´ı nestejnorod´ych zdroj˚u f´azov´einformace

V´yhodou pˇr´ım´emetody periodov´eanal´yzyje, ˇzedok´aˇzevyuˇz´ıta zkombinovat veˇsker´e zdroje f´azov´einformace, a to bez ohledu na jejich faktickou odliˇsnosta rozd´ılnoukval- itu. Pr´avˇetoto modelov´an´ıf´azov´epromˇennostije jej´ınejd˚uleˇzitˇejˇs´ıa na v´ysostkreativn´ı etapou periodov´eanal´yzypomoc´ıpˇr´ım´emetody. Vˇsechny dalˇs´ıˇc´astise daj´ızautomati- zovat, ale modelov´an´ıpromˇennostivˇzdycky z˚ustaneuk´azkou toho, jak dok´aˇzetevytˇeˇzit z dat, kter´am´atek dispozici, maximum informac´ı,jak dok´aˇzeteb´ytkritiˇct´ı,pˇredv´ıdav´ı a pruˇzn´ıve vaˇsempohledu na dan´yobjekt. A protoˇzedata jsou pokaˇzd´ejin´aa jin´yje i objekt zkoum´an´ı,nemohou b´ytv´ypoˇcetn´ıprogramy nikdy stejn´e,mus´ıse liˇsitpˇr´ıpadod pˇr´ıpadu.Nemoˇznostalgoritmizace pr´aceje pak hlavn´ımd˚uvodem, proˇcpˇr´ımoumetodu 5.7. Hled´an´ıperiod. Periodogramy 131 periodov´eanal´yzypouˇz´ıv´ajen zlomek poˇctuastronom˚uzab´yvaj´ıc´ıch se v´yzkumem promˇenn´ych hvˇezd. Z´asadouje, ˇze se veˇsker´amˇeˇren´ı dan´ehoobjektu yi, t´ykaj´ıc´ı se jednoho objektu zpracov´avaj´ısimult´annˇe,a ˇzekdykoli je moˇzn´edo zpracov´an´ıpˇridatnov´adata libo- voln´ehop˚uvodu. Vtip toho pˇr´ıstupuspoˇc´ıv´av tom, ˇzepro modelov´an´ıpozorovan´ych ˇcasov´ych zmˇendan´ehoobjektu nejr˚uznˇejˇs´ıhodruhu pouˇzijeme jedinou speci´alnˇeses- tavenou modelovou funkci F [ϑ(t, a), b], kter´aale popisuje f´azov´ezmˇeny vˇsech typ˚u pouˇzit´ych dat15. Modelovou funkci ˇz´adouc´ıch vlastnost´ım˚uˇzemevytvoˇritjako skal´arn´ı souˇcinsloupcov´ehovektoru d´ılˇc´ıch modelov´ych funkc´ıpro i-t´emˇeˇren´ıs q sloˇzkami: F i = T [F1i,F2i,...,Fki(ϑ(ti, a), b),...,Fqi] a vektoru pˇrep´ınaˇc˚u ηi = [ηi1, ηi2, . . . , ηik, . . . , ηiq] se sloˇzkami nab´yvaj´ıc´ıch hodnot 0 nebo 1. Proloˇzen´af´azov´afunkce pro i-t´emˇeˇren´ıv ˇcase ti a jej´ıgradient podle parametr˚u a a b pak budou d´any vztahem:

Pq Fi[ϑ(ti, a), b] = ηiF i = k=1 ηik Fki[ϑ(ti, a), b], (5.79) ~ ~ ∇Fi[ϑ(ti), a), b] = ηi∇F i = (5.80) ~ kde v´yrazem ∇F i je myˇslenamatice q×g, kde g je poˇcetstupˇn˚uvolnosti (poˇcetvoln´ych ~ ~ ~ T parametr˚u), ∇F i = [∇F1i,..., ∇Fqi] . Nejn´aroˇcnˇejˇs´ım ´ukolem je pˇr´ıprava v´ypoˇctu- regrese, tedy vytipov´an´ı vhodn´ych d´ılˇc´ıch modelov´ych funkc´ı,jejich matematick´aformulace, kde je tˇrebahledˇetnapˇr.i na to, aby se v jejich vyj´adˇren´ınevyskytovaly line´arnˇez´avisl´eparametry a spr´avnˇesestaven´ı matice pˇrep´ınaˇc˚upro kaˇzd´ez mˇeˇren´ı.Ostatn´ıkroky a spuˇstˇen´ıiterac´ıje uˇzpak jen vˇec´ı rutiny. Vhodnou formulac´ımodelu promˇennosti lze napˇr´ıkladv jednom v´ypoˇctusouˇcasnˇe zpracov´avat informace skryt´ev pˇr´ım´empozorov´an´ıpˇr´ısluˇsn´epromˇenn´ehvˇezdya zpro- stˇredkovan´einformace dan´enapˇr.okamˇzikyextr´em˚usvˇeteln´ych kˇrivek. Jednotliv´a mˇe- ” ˇren´ı“ se zpracov´avaj´ı prostˇredkymetody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚uve tvaru se sumou χ2. Rozhoduj´ıc´ıroli zde ovˇsemhraje nutnost odhadu nejistoty pˇr´ısluˇsn´eveliˇciny, coˇzlze standardnˇezvl´adatpomoc´ı iterac´ı, kde pˇrisuzujemekonkr´etn´ı nejistotu definovan´ym skupin´ammˇeˇren´ı- pozorov´an´ıod jednoho pozorovatele, nebo tˇrebapodle metody po- zorov´an´ı.Zm´ınˇen´epˇr´ıstupm´aznaˇcnouv´yhodu v tom, ˇzedok´aˇzezpracovat simult´annˇe takˇrka vˇse,co m´amek dispozici. D˚uleˇzit´eovˇsem je, abychom si takto do naˇsich kalkulac´ı nezan´aˇselipˇr´ıliˇsmnoho odlehl´ych bod˚u,s nimiˇzsi samotn´ametoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u neporad´ı.V t´etosituaci je dobr´es´ahnout po nˇekter´ez variant robustn´ıregrese, tˇreba po t´e,co je pops´ana v 4.5.1.

5.7 Hled´an´ıperiod. Periodogramy

Hled´an´ım periodick´ych jev˚uv ˇcasov´ych ˇrad´ach se zaob´ır´aˇradavˇedn´ıch discipl´ın. Tam se zpravidla daˇr´ız´ısk´avat souvisl´epozorovac´ıˇradys konstantn´ımrozestupem po sobˇen´asleduj´ıc´ıch mˇeˇren´ı.V takov´ych pˇr´ıpadech se s velkou v´yhodou k rozbor˚umperiodicity vyuˇz´ıv´aklasick´e

15Tak tˇrebapro jistou nejmenovanou promˇennouhvˇezdum´amek dispozici fotometrii UBV od dvou r˚uzn´ych pozorovatel˚u,d´alepozorov´an´ıv CCD v R a I, d´alekˇrivkuradi´aln´ıch rychlost´ıa tˇrebamagnet- ick´ehopole. Vˇsechny f´azov´ekˇrivkyse vz´ajemnˇeliˇs´ı,ale t´ykaj´ıse jednoho objektu, byt’ pozorovan´eho v r˚uznoudobu. 132 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

Fourierovy anal´yzy. V pˇr´ıpadˇestudia hvˇezdse s podobnou situac´ıprakticky nesetk´ame,proto o n´ıani nebudeme mluvit. V astronomick´eliteratuˇrenajdeme celou ˇradumatematick´ych, zpravidla poˇc´ıtaˇcov´ych metod k hled´an´ıperiodicity, a nov´ese st´aleobjevuj´ı.Jsou vˇsakvˇzdyobmˇenoudvou z´akladn´ıch princip˚u,pomoc´ınichˇzlze v datech s nepravideln´ymˇcasov´ymrozloˇzen´ım hledat:

1. Metody, kter´epro kaˇzdouzkusmou periodu setˇr´ıd´ı data do f´azov´ehodiagramu a v jednotliv´ych mal´ych f´azov´ych intervalech (binech) pak zkoumaj´ım´ırurozptylu bod˚u.Za nejlepˇs´ıse povaˇzujeta perioda, pro n´ıˇzje rozptyl ve vˇsech f´az´ıch inter- valu minim´aln´ı.Tyto metody minimalizace f´azov´ehorozptylu maj´ıtu v´yhodu, ˇze o tvaru svˇeteln´ekˇrivkyse toho pˇredpokl´ad´avelice m´alo,a jsou tedy vhodn´epro situaci, kdy o dotyˇcn´epromˇenn´ehvˇezdˇenev´ımeprakticky nic. 2. Metody, kter´epˇredempˇredpokl´adaj´ıurˇcit´ytvar svˇeteln´ekˇrivky, zpravidla ve formˇe jej´ıhomodelu, a pak hledaj´ıtakovou periodu, pro n´ıˇzje shoda modelov´efunkce s pozorovan´ymidaty nejlepˇs´ı. Ona shoda se hled´anejˇcastˇejiregresn´ımi meto- dami zaloˇzen´ymi na metodˇenejmenˇs´ıch ˇctverc˚u.V´yhodou tohoto pˇr´ıstupuje, ˇze dostaneme kromˇeodhadu periody i odhad nejistoty jej´ıhourˇcen´ı,jakoˇzi matem- atick´ypopis tvaru proloˇzen´ekˇrivkyzmˇen,coˇzse m˚uˇzepro dalˇs´ızpracov´an´ıhodit. Mus´ımese vˇsakstrefit do tvaru svˇeteln´ekˇrivky. Kdybychom tˇrebapro z´akrytovou dvojhvˇezdupˇredpokl´adalisvˇetelnou kˇrivkuve tvaru sinusovky, coˇzje jinak docela bˇeˇzn´ypˇredpoklad, asi bychom se k re´aln´eobˇeˇzn´eperiodˇetak snadno nepropraco- vali.

Doporuˇcen´ypostup je tedy jasn´y:nejprve pouˇz´ıtnˇekterouz variant metody minimali- zace f´azov´ehorozptylu, naj´ıtperiodu, ze tvaru svˇeteln´ekˇrivkyodhadnout typ promˇenn´e hvˇezdya pro model jej´ısvˇeteln´ekˇrivkyupˇresnitnalezenou periodu a zjistit dalˇs´ıcharak- teristiky svˇeteln´ekˇrivkya z´ıskat pˇredpovˇed’ svˇeteln´ehochov´an´ıhvˇezdy. Pˇrihled´an´ıperiody zcela nezn´am´epromˇenn´ehvˇezdymetodou minimalizace f´azov´eho rozptylu je nezbytn´ezadat minim´aln´ıa maxim´aln´ıpˇredpokl´adanouperiodu zmˇen.Zde se nejˇcastˇejiklade za nejdelˇs´ımoˇznouperiodu d´elka cel´eˇcasov´eˇrady, za minim´aln´ıpak minim´aln´ıˇcasov´avzd´alenostmezi po sobˇen´asleduj´ıc´ımi mˇeˇren´ımi.Stˇeˇzejn´ıovˇsemje spr´avn´avolba kroku prohled´av´an´ı,s n´ımˇzmˇen´ımezkusmou periodu. Pokud bychom zvolili ten krok pˇr´ıliˇs velk´y, mohlo by se st´at,ˇzebychom spr´avnouperiodu mohli pˇreskoˇcit.Na druhou stranu nem´asmysl volit tento krok pˇr´ıliˇskr´atk´y,nebot’ bychom si tak zbyteˇcnˇeprodluˇzovali cel´yv´ypoˇcet.Pokud oˇcek´av´amesinusoid´aln´ısvˇetelnoukˇrivku, pak staˇc´ı volit tak velk´ykrok, ˇzese rozd´ıl f´az´ı na zaˇc´atkua na konci ˇcasov´eˇrady zmˇen´ıpr´avˇeo desetinu periody. Je zˇrejm´e,ˇzeza tˇechto okolnost´ıje rozumn´eod pe- riod pˇrej´ıtke frekvenc´ım,kde prohled´avac´ıkrok je line´arn´ı.Je-li T d´elka ˇcasov´eˇrady a ∆ϕ poˇzadovan´ykrok ve f´azi(v pˇr´ıpadˇesinusovky 0.1), pak krok pro prohled´av´an´ıve frekvenc´ıch je ∆f = ∆ϕ/T . Je potˇrebasi uvˇedomit,jak´en´arokytato podm´ınka klade. Jestli napˇr.m´amepozorov´an´ı pokr´yvaj´ıc´ı100 dn´ıs minim´aln´ıvzd´alenost´ı0,1 dne, pak pro ∆ϕ = 0, 1 mus´ıme zvolit frekvenˇcn´ı krok 0,001 d−1 (cykl˚uza den) v intervalu moˇzn´ych period od 100 dn´ıdo 0,1 dne to bude (1/0,1 - 1/100)/0,001 = 9990 zkusm´ych frekvenc´ı.Budou-li ale data pokr´yvat 1000 dn´ı(3 roky), bude zapotˇreb´ızkusm´ych frekvenc´ıdesetkr´atv´ıc.Existuj´ı-liv datech v´yrazn´esez´onn´ıpˇrest´avky, je 5.7. Hled´an´ıperiod. Periodogramy 133

´uˇceln´eˇcasovou ˇradurozdˇelitna menˇs´ıskupiny. Je-li v datech periodicita, mˇelaby se projevit i pˇrizpracov´an´ıv menˇs´ıch skupin´ach. Pak se m˚uˇzemeopˇetvr´atitk hromadn´emu zpracov´an´ı ale interval prohled´avan´ych frekvenc´ılze v´yznamnˇez´uˇzit.

5.7.1 Metody minimalizace f´azov´ehorozptylu V literatuˇrese setk´ames mnoˇzstv´ımmetod, z nichˇzovˇsemvˇetˇsinaje dosti n´aroˇcn´ana ˇcas,a proto se pouˇz´ıvaj´ıjen zˇr´ıdka. Jsou vˇsaki v´yjimky.. . Dosti zn´amouvariantou metody minimalizace f´azov´ehorozptylu je Morbeyho varianta z roku 1973 (Morbey, 1973). Spoˇc´ıv´av tom, ˇzese data znormuj´ıa zkvantuj´ına celoˇc´ıseln´ehod- noty od 1 do 11. Pro kaˇzdouzkusmou periodu se pak znormuj´ıf´azedo intervalu celoˇc´ıseln´ych hodnot 1 aˇz10 (napˇr.f´az´ım0,0 aˇz0,1 se pˇridˇel´ıindex 1, apod.). F´azov´yrozptyl pro danou periodu se pak definuje jako souˇcetrozd´ıl˚umaxim´aln´ıa minim´aln´ıhodnoty promˇenn´epro kaˇzdouskupinu dat se stejn´ymindexem normovan´ef´aze.Ide´alnˇeby pak mˇelb´ytcelkov´y f´azov´yrozptyl nulov´y,pro nesetˇr´ıdˇen´adata pak dost´av´amehodnotu 10 x (11-1) = 100. Vtip metody spoˇc´ıv´av tom, ˇzedata nen´ınutno pro kaˇzdouzkusmou periodu ˇraditvzestupnˇepodle f´aze,coˇzje n´aroˇcn´ena v´ypoˇcetn´ıˇcas. Dnes nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ıa nejzn´amˇejˇs´ıje metoda navrˇzen´aStellingwerfem (1978), kter´a spoˇc´ıv´av minimalizaci bezrozmˇern´ehoparametru Θ, charakterizuj´ıc´ıho m´ıru kvality proloˇzen´ıstˇredn´ısvˇetelnoukˇrivkou. Rozˇs´ıˇrenoua pouˇz´ıvanou metodou z t´etoskupiny je i metoda, kterou publikoval Jurkevich (1971).

5.7.2 Periodogramy jako aplikace metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u Periodogramy jsou vyhled´avan´ymi n´astroji periodov´eanal´yzy, kter´evelmi rychle uk´aˇzou, zda jsou zmˇeny studovan´epromˇenn´ehvˇezdyˇcistˇeaperiodick´e,nepˇredv´ıdateln´e,nebo zda jev´ıalespoˇnn´aznakperiodicity. Periodogramy jsou v podstatˇegrafy z´avislostiurˇcit´e veliˇciny charakterizuj´ıc´ı´uspˇeˇsnostproloˇzen´ımodelu svˇeteln´ekˇrivkypro fixn´ıhodnotu periody (nebo l´epe jej´ıpˇrevr´acen´ehodnoty, nebo-li frekvence) v z´avislostina t´etope- riodˇe,ˇcifrekvenci. Zkuˇsenostukazuje, ˇzere´aln´aperioda (re´aln´eperiody) jsou bl´ızk´et´e periodˇe,pro niˇzjsme naˇslinejlepˇs´ıshodu se spr´avnˇezvolen´ymmodelem. Pˇrihled´an´ıperiod na z´akladˇedat nerovnomˇernˇerozloˇzen´ych v ˇcasese n´amosvˇedˇcily periodogramy, k jejichˇzsestrojen´ıjsme vyuˇzilimodelov´an´ısvˇeteln´ych kˇrivek metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u.Zde ovˇsemhodnˇez´aleˇz´ı na adekv´atnostivolby modelu svˇeteln´e kˇrivkydan´ehoobjektu a tak´ena definici krit´eria´uspˇeˇsnosti.To by mˇelob´ytzvoleno tak, aby bylo odoln´eproti oˇcek´avan´enerovnomˇernostirozloˇzen´ıpozorovan´ych dat v ˇcase, aby respektovalo moˇznourozd´ılnoupovahu a kvalitu zpracov´avan´ych dat, a zejm´ena, aby jeho v´ysledkybyly invariantn´ıvzhledem ke zmˇenˇepoˇc´atkuˇcasu.

5.7.2.1 Line´arn´ıregrese a jej´ın´astroje Pro jednoduchost pˇredpokl´adejme,ˇzedok´aˇzeme pˇredpokl´adanousvˇetelnoukˇrivkupˇrifixn´ı periodˇe P aproximovat vhodnˇevybran´ymline´arn´ımmodelem, tedy, ˇzeplat´ı:

∼ Pg y(t) = yp(t, P ) = j=1 βj xj(t, P ) = x β, T x(t, P ) = [x1(t, P ), x2(t, P ), . . . , xg(t, P )], β = [β1, β2, . . . , βg] , 134 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

kde y(t) je pozorovan´aveliˇcinav konkr´etn´ımˇcase t, yp(t, P ) jej´ıpˇredpovˇed’ zvolen´ymmodelem, g je stupeˇnvolnosti tohoto modelu, xj(t, P ) jsou vhodnˇevybran´efunkce, z´avisl´ena ˇcasea tak´e na zvolen´eperiodˇe,kter´azde zast´av´afunkci nez´avisl´epromˇenn´e. β je pak vektor parametr˚u se k j-t´ezvolen´efunkci. Nejjednoduˇsˇs´ıma nejˇcastˇejipouˇz´ıvan´ymline´arn´ım modelem svˇeteln´ekˇrivkyperiodicky promˇenn´ehoobjektu je regresn´ıfunkce popsan´atˇremiparametry:

yp(t, P ) = β1 cos(2π t/P ) + β2 sin(2π t/P ) + β3 = x β, T x(t, P ) = [cos(2π t/P ), sin(2π t/P ), 1], β = [β1, β2, β3] . Model lze jeˇstˇev´ıce zjednoduˇsit,pokud pˇredemuprav´ıme pozorovan´adata tak, aby jejich stˇredn´ıhodnota byla rovna nule; t´ımn´amodpadne absolutn´ıˇclen β3. K dalˇs´ımv´ypoˇct˚um s v´yhodou vyuˇzijemematicov´ehopoˇctu,kde si zavedeme sloupcov´y vektor z´avisl´eveliˇciny y s d´elkou n, matici X s rozmˇerem n × g a ˇctvercovou diagon´aln´ı W matici s hodnost´ı n×n, d´alepak pomocn´ematice U (g ×1), V (g ×g), ˇctvercovou kovarianˇcn´ı matici H (g × g) a vektor pˇredpovˇed´ıpro jednotliv´amˇeˇren´ı yp (n × 1):        −2  y1 y1p x1 σ1 0 ··· 0 −2  y2   y2p   x2   0 σ ··· 0  y =   ; y =   ; X =   ; W =  2  ,  .  p  .   .   . . .. .   .   .   .   . . . .  −2 yn ynp xn 0 0 ··· σn T T −1 U = X W y, V = X WX, H = V , yp = X β. V metodˇenejmenˇs´ıch ˇctverc˚uhled´amevektor voln´ych parametr˚umodelu β tak, aby byla splnˇenapodm´ınka, ˇzesuma v´ahovan´ych ˇctverc˚uodchylek modelov´ych hodnot a hodnot po- zorovan´ych χ2(β,P ) je minim´aln´ı: χ2(β, f) = (y − X β)TW(y − X β) = yTW y − 2 βTU + βTVβ, ∂χ2 = 0 = −2 U + 2 V b, ⇒ yp = X b, b = HU. (5.81) ∂β β=b b je pak vektor ˇreˇsen´ıpˇr´ısluˇsn´eregrese.

5.7.2.2 Varianta I - suma ˇctverc˚uodchylek Periodov´aanal´yzavych´azej´ıc´ız metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚unab´ız´ıelegantn´ımoˇznostjak zkonstruovat periodogram, a totiˇzsledovat jako parametr ´uspˇeˇsnostiproloˇzen´ıdan´ym modelem pˇr´ımoonu veliˇcinu, kterou se pˇriregresi minimalizujeme, a totiˇzsumu v´aˇzen´ych kvadr´at˚uodchylek, ˇcilisumu χ2(f). Ta bude funkc´ızvolen´efrekvence f ˇciodpov´ıdaj´ıc´ı ´uhlov´erychlosti ω ˇciperiody P , vz´ajemnˇesv´azan´ymivztahem f = 2 π ω = 1/P . Minim´aln´ısumu v´ahovan´ych ˇctverc˚uodchylek χ2(f), kter´aje funkc´ıfrekvence, lze pak pro pˇr´ıpadline´arn´ıregrese zapsat takto: s χ2(f) χ2(f) = yTW y − bTU = yTW y − yTW y , s(f) = . (5.82) p p w (n − g)

Pro zkonstruov´an´ı periodogramu lze pouˇz´ıt bud’ pˇr´ımo sumu χ2(f) nebo standardn´ı odchylku s(f), coˇzm´an´azornˇejˇs´ıv´yznam16. Re´aln´eperiody se zde hledaj´ıv minimech z´avislosti. 16Nˇekdyse t´eˇzpouˇz´ıv´aˇctverec standardn´ıodchylky - zv´yrazn´ıse t´ımminim´aln´ıhodnoty. 5.7. Hled´an´ıperiod. Periodogramy 135

Prohl´edneme-lisi peˇclivˇejivztah pro sumu ˇctverc˚uodchylek χ2(f) v prvn´ıˇc´asti (5.82), vid´ıme, ˇzese zde nach´az´ı v´yraz yTW y, kter´ysouˇctemv´ahovan´ych ˇctverc˚u mˇeˇren´eveliˇciny (jasnosti), takˇzenijak nez´avis´ı ani na modelu, j´ımˇzsvˇeteln´ekˇrivky prokl´ad´ame,ani na frekvenci - je to tedy konstantn´ıˇclen,kter´ym˚uˇzemeodeˇc´ıst. Zivou“ˇ ” ˇc´ast´ıvztahu je souˇcin bTU, kter´ylze pˇrepsatdo mnoha zaj´ımav´ych podob: bTU = T T T b V b = U HU = yp W yp, z nichˇznejn´azornˇejˇs´ıje asi ta posledn´ı,kdy jde o sumu v´aˇzen´ych ˇctverc˚upˇredpovˇed´ıjednotliv´ych mˇeˇren´ı. Alternativnˇetedy lze periodogram pojmout jako z´avislostt´etoveliˇciny na periodˇe, ˇcifrekvenci a jejich re´aln´ehodnoty hledat v maximech z´avislosti.Pokud pracujeme s pozorovac´ım daty, upraven´ymitak, ˇzeje jejich stˇredn´ı hodnota nulov´a,a svˇeteln´e kˇrivkymodelujeme prost´ymisinusovkami, pak plat´ı,ˇzeodpov´ıdaj´ıc´ıamplituda zmˇen q T P 17 s periodou P , AI(f) = 8 yp W yp/ W . Vznik´aot´azka, zda by nebylo lepˇs´ıvyn´aˇsetdo periodogram˚upˇr´ımoonu amplitudu kˇrivky, kterou dostaneme proloˇzen´ımsvˇeteln´ekˇrivky. Pˇredpokl´ad´ame-li, ˇzemodelem budou opˇetsinusovky,√ pak by takov´aamplituda mohla b´yt vyj´adˇrenavelice elegantnˇe: A(f) = 2 bTb. Bohuˇzeltoto ˇreˇsen´ı, jakkoli i ono nez´avis´ı na volbˇepoˇc´atkuˇcasu, funguje dobˇrejen tehdy, budete-li m´ıtvelmi bohat´ypozorovac´ımateri´al.V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇese v´am v periodogramu objev´ıˇrada faleˇsn´ych period, takov´ych kde se pˇridan´e periodˇeshlukne vˇetˇsinabod˚ukolem jedn´enebo dvou f´az´ı. Pokud byste pˇrecejen chtˇelitakov´yperiodogram zkouˇset,doporuˇcujiv´amvˇzdysi vykreslit f´azov´yobr´azekpro nalezen´amaxima a hodnˇev´aˇzit, zda maximum v peri- odogramu nen´ıjen v´ysledkem n´ahodn´ehoshluknut´ıbod˚u,kde extr´emy nalezen´esvˇeteln´e kˇrivkynejsou dostateˇcnˇepokryty pozorov´an´ım.Vhodn´ymˇreˇsen´ım,kter´epomˇernˇe´uspˇeˇsnˇe eliminuje takov´esituace, je n´ıˇzepopsan´aLombova-Scargleova metoda

5.7.2.3 Varianta II - Lombova-Scargleova metoda

Lombova-Scargleova metoda se osvˇedˇcujepˇrihled´an´ı period i v pˇr´ıpadech, kdy jin´e metody selh´avaj´ı.Nejdˇr´ıve se vypoˇctetakov´yposuv ˇcasu,pˇrinˇemˇzse matice V a t´ımi H stanou diagon´aln´ı.Veliˇcina Q(f) je volena tak, ˇzed´av´astejn´ehodnoty jako bychom

17Je tˇrebase jeˇstˇepˇresvˇedˇcit,ˇzeani suma v´aˇzen´ych ˇctverc˚uodchylek R(f), ani standardn´ıodchylka s(f), ba ani amplituda zmˇen AI(f) nejsou z´avisl´ena volbˇepoˇc´atkuˇcasu.Budeme pˇritompˇredpokl´adat, T ˇzemodelem svˇeteln´ekˇrivkybude yp = x b, kde x(f) = [cos(2πft), sin(2πft)], b = [b1, b2] . Posuneme- 0 0 0 0 0 li poˇc´atekˇcasuo interval ∆t, t = t − ∆t, pˇrejdemek ˇc´arkovan´ymveliˇcin´am: yp = x b , kde x (f) = 0 0 0 0 0 T 0 0 [cos(2πft ), sin(2πft )], b = [b1, b2] . Model x lze vyj´adˇritpomoc´ı x takto: x (f) = [cos(2πft − ε), sin(2πft − ε)] = [cos(ε) cos(2πft) + sin(ε) sin(2πft), cos(ε) sin(2πft) − sin(ε) cos(2πft)] = x O, kde O je matice otoˇcen´ıo ´uhel ε = 2π∆/P .

 cos(ε) − sin(ε)  O = , ⇒ OOT = E, X0 = XO; X0T = OTXT ⇒ (5.83) sin(ε) cos(ε) 0 0 0T 0 −1 0T T T −1 T T yp(f) = [X (X WX ) X W] y = [XOO (X WX) OO X W] y = yp(f).

Z v´yˇseuveden´ych ´uprav plyne, to, co jsme nejsp´ıˇsˇcekali, a totiˇz,ˇzeˇzehodnoty modelov´ych pˇredpovˇed´ı yp(f) zjevnˇenez´avis´ı na konkr´etn´ı poloze poˇc´atkupoˇc´ıt´an´ı ˇcasu.Vzhledem k tomu, ˇzejak suma v´aˇzen´ych ˇctverc˚uodchylek R(P ), tak standardn´ıodchylka s(f), i amplitudy zmˇen AI(f) bezprostˇrednˇe souvisej´ıs tˇemitopˇredpovˇed’mi, plat´ıo nich tot´eˇz.Lze uzavˇr´ıt,ˇzeperiodogramy navrˇzen´ev t´etosekci jsou matematicky korektn´ı. 136 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad dostali v pˇr´ıpadˇezcela rovnomˇern´ehorozloˇzen´ıbod˚u.  Pn  1 i=1 sin(4 π f ti) τ = arctan Pn (5.84) 4 π f i=1 cos(4 π f ti) {Pn y cos [2πf(t − τ)]}2 {Pn y sin [2πf(t − τ)]}2 Q(f) = i=1 i i + i=1 i i (5.85) Pn 2 Pn 2 i=1 cos [2πf(ti − τ)] i=1 sin [2πf(ti − τ)] Podrobn´ezd˚uvodnˇen´ınajdete napˇr. v Press & Rybicki (1989).

5.7.2.4 Varianta III - sign´al/ˇsum Moˇzn´yje i jin´ypˇr´ıstup,jak potlaˇcitty frekvence, v nichˇznejsou dostateˇcnˇepokryty vˇsechny f´aze.Amplitudy tˇechto frekvenci maj´ı vˇetˇs´ı nejistotu. Tu dok´aˇzemeodhad- nout, zn´ame-listandardn´ıodchylku proloˇzen´ı√ s a kovarianˇcn´ımatici H. Dejme tomu, vyˇsetˇrujemenejistotu amplitudy Q(f) = bT b, kterou budeme ch´apatjako sign´al, zat´ımco δQ(f) zde bude zastupovat ˇsum.Jejich pomˇeremdostaneme bezrozmˇernou veliˇcinu S/N. √ s bT H b S Q(f) bT b δQ(f) = ; = = √ . (5.86) Q(f) N δQ(f) s bT H b

5.7.3 Sloˇzitˇejˇs´ısituace

Pozor, ani po opravˇena heliocentrick´yˇcasobecnˇenemus´ıpozorovan´aperioda (frekvence) dˇej˚u souhlasit s periodou (frekvenc´ı)tohoto dˇeje,kterou by udal pozorovatel spojen´ys pozorovan´ym objektem, a to v d˚usledkuDopplerova jevu. V prvn´ımpˇribl´ıˇzen´ıje tu rozhoduj´ıc´ıhodnota radi´aln´ırychlosti RV. Je-li P 0 pozorovan´aperioda, f 0 pozorovan´afrekvence a P vlastn´ıperioda, f vlastn´ıfrekvence, pak plat´ıjednoduch´arelace: P f 0 RV = = 1 − . (5.87) P 0 f c Jestliˇzese k n´amobjekt bl´ıˇz´ı,jev´ıse n´amfrekvence dˇej˚u,kter´etam prob´ıhaj´ı,vyˇsˇs´ı,vzdaluje-li se, je tomu naopak. Tento vztah je d˚uleˇzit´yi v situaci, kdy se radi´aln´ırychlost mˇen´ı– tˇreba v d˚usledkuobˇeˇzn´eho pohybu Zemˇenebo sloˇzekdvojhvˇezdy. V kataloz´ıch jsou vˇsakv´yhradnˇeuv´adˇeny periody pozorovan´e,a to z toho d˚uvodu, ˇzeu ˇrady objekt˚uvelikost radi´aln´ırychlosti nezn´ame.Ta se standardnˇemˇeˇr´ız posunu spektr´aln´ıch ˇcar, jejichˇzlaboratorn´ıfrekvence (vlnov´ed´elky)zn´ame. Re´aln´apozorov´an´ıje zpravidla obt´ıˇzn´ehned spr´avnˇerozˇsifrovat, a to hned z nˇekolika d˚uvod˚u:

– pozorov´an´ıjsou vˇzdy zat´ıˇzenachybami, at’ uˇz n´ahodn´ymi, s nimiˇzse dok´aˇzedosti dobˇrevyrovnat teorie chyb nebo tzv. vyrovn´avac´ıpoˇcet, nebo systematick´ymi, jeˇz nelze redukovat bez znalosti pˇr´ıˇcintoho, proˇcvznikaj´ı; – zˇr´ıdkakdy se n´am podaˇr´ı pozorov´an´ımv jednom kuse z´ıskat celou svˇetelnoukˇrivku dostateˇcnˇedobˇrepokrytou body.

Jen v´yjimeˇcnˇesi m˚uˇzemeb´ythned od poˇc´atkujisti, ˇzeperioda svˇeteln´ych zmˇen,kterou se n´ampodaˇrilostanovit, je skuteˇcnˇere´aln´a.Nejˇcastˇejise dopust´ımetˇechto pˇrehmat˚u: 5.7. Hled´an´ıperiod. Periodogramy 137

a) re´aln´aperioda je ve skuteˇcnostidvojn´asobn´a,ve svˇeteln´ekˇrivce jsou dvˇena prvn´ıpohled nerozeznateln´evlny. Zde je vhodn´ebud’ zpˇresnitpozorov´an´ı(zvˇetˇsitjejich poˇcet),nebo z´ıskat dodateˇcnouinformaci o periodicitˇezmˇenjinak neˇzfotometricky; b) skuteˇcn´aperioda je s fiktivn´ıperiodou v pomˇerumal´ych pˇrirozen´ych ˇc´ısel– to byl i pˇr´ıpadperiody Merkuru, o nˇemˇzse p˚uvodnˇesoudilo, ˇzejeho obˇeˇzn´aperioda se shoduje s rotaˇcn´ı; c) perioda m˚uˇzeb´ytzd´anliv´av d˚usledkuurˇcit´ehopravideln´ehorozloˇzen´ı okamˇzik˚upo- zorov´an´ı– hovoˇr´ımetu ˇcastoo tzv. aliasech – v´ıceviz kapitola 5.7.4.

5.7.3.1 Dlouhodob´ytrend Je zcela bˇeˇzn´e,ˇzese na svˇeteln´ych zmˇen´ach konkr´etn´ı hvˇezdyuplatˇnujev´ıce mech- anism˚u,z nichˇzjen jeden vede k periodick´ymzmˇen´am,dalˇs´ı se projevuj´ı nejˇcastˇeji systematick´ympoklesem nebo naopak vzestupem svˇeteln´ekˇrivky, kter´yje modulov´an periodickou sloˇzkou. Pˇrihled´an´ıperiody je vhodn´etento sekul´arn´ıˇclenodeˇc´ıst(t´yk´ase to zejm´enametod minimalizace f´azov´ehorozptylu) (a) nebo jeˇstˇel´epe – pˇr´ımovtˇelitdo modelu svˇeteln´ekˇrivky(b). V pˇr´ıpadˇe(a) lze velikost sekul´arn´ıho ˇclenu odhadnout tak, ˇzehodnotami cel´eˇcasov´e ˇradyproloˇz´ımevhodnou funkci – nejˇcastˇejipolynomem, jehoˇzfunkˇcn´ıhodnoty pak odeˇcteme. Nev´yhodou tohoto postupu je, ˇze je dosti h´akliv´yna rozloˇzen´ıokamˇzik˚upozorov´an´ıv ˇcase. V pˇr´ıpadˇepouˇzit´ımodelu svˇeteln´ekˇrivkylze tento model doplnit o ˇclenodpov´ıdaj´ıc´ıdlouhodob´emu trendu napˇr.takto:

k p l X X t − t¯ y(β, P, t) = A0 + [Aj cos(2π t/P ) + Bj sin(2π t/P )] + Cl , ts j=1 l=1 kde t¯ je aritmetick´ypr˚umˇerokamˇzik˚upozorov´an´ı, ts je standardn´ıodchylka okamˇzik˚upo- zorov´an´ı (vˇetˇsinouv JD). Polynom v tomto tvaru nevnese v dalˇs´ım zpracov´an´ı probl´emy v pr´acis pˇr´ıliˇsvelk´ymiˇc´ısly– hodnota zlomku (t − t¯)/ts i jeho mocnin b´yv´arozumnˇevelik´a.

5.7.3.2 Multiperiodick´ezmˇeny Nˇekter´epromˇenn´ehvˇezdymˇen´ısv´echarakteristiky v nˇekolika period´ach (napˇr.hvˇezdy typu δ Sct). Za tˇechto okolnost´ınejˇcastˇejipostupuje tak, ˇzese pro v´yraznˇejˇs´ız nich najde stˇredn´ıperiodick´asvˇeteln´akˇrivka a jej´ıhodnoty se odeˇctouod pˇr´ısluˇsn´ych pozorovan´ych hodnot a hledaj´ı se dalˇs´ı periody. Tento postup ale b´yv´aobˇcasnestabiln´ı a pˇrin´aˇs´ı rozporupln´ev´ysledky.

5.7.4 Zd´anliv´eperiody (aliasy) Budeme-li prohled´avat periodicitu v urˇcit´em rozsahu frekvenc´ı, lze oˇcek´avat, ˇze se n´amnab´ıdnev´ıceperiod. V z´asadˇeto m˚uˇzeznamenat, ˇzezkouman´aveliˇcinavykazuje sloˇzitˇejˇs´ıperiodick´echov´an´ıpopsan´ekombinac´ızmˇenv nˇekolika period´ach. Dˇr´ıve neˇz ovˇsemk takov´emu z´avˇerudojdeme, mˇelibychom se pˇresvˇedˇcit,zda tyto nab´ızen´epe- riody nejsou ve skuteˇcnostiperiody jen zd´anliv´e,kter´ejsou v´ysledkem urˇcit´ehoro- zloˇzen´ızkouman´ych dat v prostoru frekvenc´ı.Je tedy nutno pˇredemidentifikovat vˇsechny oˇcek´avan´ezd´anliv´e,faleˇsn´ea pˇridruˇzen´e(konjugovan´e)periody. 138 Kapitola 5. Anal´yzaˇcasov´ych ˇrad

Vznik faleˇsn´ych period si m˚uˇzeme demonstrovat na n´asleduj´ıc´ımpˇr´ıkladu.Pˇredstavte se, ˇzesledujeme promˇennouhvˇezdu, kter´am´aperiodu pˇresnˇe P = 10/11 dne, pravidelnˇekaˇzd´y den pˇresnˇeo p˚ulnoci svˇetov´ehoˇcasu.F´aziv den 0 si oznaˇcme0,0. Pˇr´ıˇst´ıhodne, t = 1,00 d, bude f´aze t/P = 1,10, ˇcili0,10, dalˇs´ıden pochopitelnˇe0,20 atd. Bude-li ovˇsemperioda 10 dn´ı,pak dostaneme t´yˇzv´ysledek,stejnˇejako v pˇr´ıpadˇe,kdy perioda bude 10/21 dne, 10/31 dne nebo dokonce –10/9 dne(!) (svˇeteln´akˇrivka je zde ˇcasovˇeobr´acen´a).Co maj´ıvˇsechny tyto periody spoleˇcn´eho?Vypoˇctˇemesi kolik cykl˚uuplyne po jednom dni u z´akladn´ıperiody: 1,100, u prvn´ız faleˇsn´ych (spurious) period (desetidenn´ı)je to pak 0,100 cykl˚u,u dalˇs´ı2,100 cyklu, pˇr´ıpadnˇe3,100 cyklu nebo –0,900 cyklu. Liˇs´ıse tedy od z´akladn´ıhocyklu o cel´eˇc´ıslo k. Pˇredpokl´adejme,ˇzemˇeˇren´ıprov´ad´ımes nˇejakou obecnou vzorkovac´ıperiodou Pv (tˇrebajednoho hvˇezdn´ehodne: 365,2442/366,2442 = 0,99727 tropick´ehodne), pak bˇehem nˇejhvˇezdavykon´a c0 cykl˚u: c0 = Pv/P . Pro faleˇsn´eperiody Pk spˇraˇzen´e(konjugovan´e) se vzorkovac´ıperiodou Pv, pak plat´ı: ck = Pv/Pk = c0 + k = Pv/P + k, kde k = ±1, ±2. Upravou´ pak dostaneme pro hodnoty faleˇsn´ych period zn´am´y Tanner˚uvvztah ve tvaru:

1 1 k = + ; k = ±1, ±2, ··· . Pk P Pv Pokud je svˇeteln´akˇrivka se dvˇemavlnami (eliptick´epromˇenn´e,nˇekter´edvojhvˇezdy typu W UMa), je to efektivnˇetot´eˇz,jako by byla poloviˇcn´ı,a pro k tedy plat´ı: k = ±1/2, ±1, ±3/2, . . . Snad kaˇzd´apozorovac´ıˇradapozemsk´ych pozorov´an´ıje vzorkov´ana s frekvenc´ıjednoho hvˇezdn´ehodne Pv = 0,99727 d, pˇripozorov´an´ıslab´ych hvˇezd,kdy se pozorovatel´evyh´ybaj´ı´uplˇnk˚umby se mohlo projevit vzorkov´an´ıs periodou synodick´eho mˇes´ıce Pv = 29,5 d a pravidelnˇese projevuje sez´onn´ıvzorkov´an´ıs periodou tropick´eho roku Pv = 365,2442 d. Jak se br´anitproti vzniku zd´anliv´ych period? D˚usledn´ymnaruˇsov´an´ımvzorkov´an´ı. V pˇr´ıpadˇehvˇezdn´ehodne je ´uˇcinn´esledov´an´ıhvˇezdyi v dobˇenˇekolika hodin pˇreda po jej´ıhorn´ıkulminaci nebo jeˇstˇel´epe sledov´an´ımhvˇezdy z jin´ezemˇepisn´ed´elkyˇci z kosmick´eho prostoru18. Se sez´onn´ımvzorkov´an´ımje to horˇs´ı,zde plat´ı,ˇzehvˇezdaby se mˇelasledovat souvisle po co nejdelˇs´ıobdob´ıv roce, a nav´ıc nez´avislena f´aziMˇes´ıce.

5.7.4.1 Faleˇsn´eperiody Je dobr´eodliˇsovat zd´anliv´eperiody vznikl´epˇr´ıtomnost´ıurˇcit´eperiodicity v ˇcasov´em rozloˇzen´ıjednotliv´ych pozorov´an´ıa mezi faleˇsn´ymi periodami, kter´erovnˇeˇzlze rozborem materi´alunal´ezt.Ty vznikaj´ıjako d˚usledekurˇcit´eperiodicity v systematick´ychchyb´ach mˇeˇren´ı,nejˇcastˇejiposunech. Faleˇsn´aperioda o d´elcejednoho hvˇezdn´ehodne se napˇr. projev´ı tehdy, pozorujeme-li celou noc hvˇezdua nekorigujeme-li jej´ı jasnost (ˇspatnˇe korigujeme) o extinkci. Stejnˇetak obˇcasv materi´alunajdeme faleˇsnouperiodu o d´elce 1 roku. Obecnˇebychom mˇeli b´ytvˇzdyostraˇzit´ı, objev´ı-li se n´amv anal´yzeperiody jednoho dne, roku a jejich zlomk˚u.Jinak test na faleˇsn´eperiody je prost´y– mˇelyby se totiˇzstejnou mˇerouprojevit i v mˇeˇren´ıch kontroln´ıch nepromˇenn´ych hvˇezdpodobn´ych vlastnost´ıa polohy na obloze.

18Vˇsel´ekem na probl´emy se zd´anliv´ymiperiodami je pouˇzit´ı fotometrie z druˇziceHipparcos, kde okamˇzikypozorov´an´ıˇz´adnouperiodicitu nejev´ı. 5.7. Hled´an´ıperiod. Periodogramy 139

0.025 0.025

0.02 0.02 0 0

0.015 0.015 −1 1

−2

0.01 0.01 amplitude [mag] amplituda [mag] −3

0.005 −1 −2 1 −3 0.005

0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 frekvence [d−1] frekvence [d−1] 0.025 0.025

−2

−1 0 0.02 0.02 −3 0 1 1 0.015 0.015 −1

−2 0.01 0.01

amplituda [mag] −3 amplituda [mag]

0.005 0.005

0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 frekvence [d−1] frekvence [d−1]

Obr´azek5.7: Na tˇechto ˇctyˇrech obr´azc´ıch si m˚uˇzeteprohl´ednout,jak vypadaj´ı aliasy v pe- riodogramu. Prvn´ıtˇriobr´azkybyly vytvoˇreny matematickou simulac´ıskuteˇcnosti,ten ˇctvrt´y obr´azekje ze ˇzivota - zachycuje periodogram jedn´ez hvˇezdve Velk´emMagellanovˇemraˇcnu podezˇrel´ez pˇr´ısluˇsnostik tzv. chemick´ympekuli´arn´ımhvˇezd´am,jeˇzjev´ınevelk´esinusovit´e −1 zmˇeny. U zm´ınˇen´ehvˇezdybyly nalezeny periodick´ezmˇeny o frekvenci fb = 0.8075 d a am- plitudˇenecel´e0,02 mag. Na prvn´ımobr´azkuje simulace situace, kdy objekt vykazuje pˇresnˇe −1 sinusovit´ezmˇeny s frekvenc´ı fb = 0.8075 d , pˇriˇcemˇzdoby pozorov´an´ıjsou v intervalu 8 let rozesety zcela nahodile (tj. ve dne i v noci, kter´ykoliv den v roce). Sumˇ je roven nule. V peri- odogramu bezkonkurenˇcnˇedominuje vrcholek o zadan´efrekvenci, ˇz´adn´edalˇs´ıaliasy tu nejsou ani naznaˇceny. Sum“ˇ v periodogramu je d´anskuteˇcnost´ı,ˇzedoby pozorov´an´ıjsou rozloˇzeny ” nahodile. Pokud by byla pozorov´an´ırozloˇzenazcela rovnomˇernˇe,zmizel by i ten a v grafu by byl viditeln´ypouze ten z´akladn´ıp´ık.V pˇr´ıpadˇe,ˇzetent´yˇzsign´alpozorujeme z povrchu Zemˇe,a to tedy v noci, pokud je objekt dostateˇcnˇevysoko nad obzorem, pak dostaneme daleko zaj´ımavˇejˇs´ı periodogram s ˇradoualias˚u,pro jejichˇzfrekvenci plat´ıTanner˚uvvztah, ˇze fa(k) = |fb + k fv|, kde k je cel´eˇc´ıslo kolem 0, fv je tzv. vzorkovac´ıfrekvence, u pozemn´ıch pozorov´an´ınejˇcastˇeji −1 pˇrevr´acen´ahodnota d´elkyhvˇezdn´ehodnefv = 366.2442/365.2442 = 1.00274 d . V tˇret´ım obr´azkukromˇesinusov´ehosign´aluuvaˇzujemenav´ıci jist´ynahodil´yˇsum,kter´ypak v obr´azku vytvoˇr´ıˇradudalˇs´ıch faleˇsn´ych p´ık˚ua tak´em˚uˇzezmˇenit relativn´ıintenzitu prav´ych“ alias˚u. ” Nˇekter´ez nich mohou v ˇsumu zcela zaniknout. Posledn´ıobr´azekzn´azorˇnujeskuteˇcnousituaci, kde vˇsem˚uˇzeb´ytjeˇstˇekomplikovanˇejˇs´ı.Vˇsimnˇetesi pros´ım,ˇzena rozd´ılod hlavn´ıhovrcholku b´yvaj´ıaliasy rozdvojeny, coˇzje zp˚usobeno dalˇs´ıvzorkovac´ıfrekvenc´ı, rovnou pˇrevr´acenouhod- notou d´elkytropick´ehoroku ve dnech. Fyzika promˇenn´ych hvˇezd

142 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd 6 Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd 6.1 Rotuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy

Mezi geometricky promˇenn´esamozˇrejmˇepatˇr´ıi rotuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy, kdy ke zmˇen´am geometrie (´uhlupohledu) promˇenn´ehvˇezdyv˚uˇcipozorovateli doch´az´ıze dvou z´akladn´ıch d˚uvod˚u: a) sledovan´ahvˇezdarotuje, coˇzje ovˇsemzcela standardn´ısituace; b) hvˇezdaje ˇclenkou podvojn´esoustavy, coˇzje rovnˇeˇzvelmi ˇcast´e. M´a-lise pˇritˇechto zmˇen´ach jasnost pozorovan´ehoobjektu (hvˇezdanebo dvojhvˇezda) mˇenit,mus´ı jeho z´aˇren´ı vykazovat jist´eodchylky od pˇr´ısnˇeosov´esymetrie. Fakt, ˇze nˇekter´erotuj´ıc´ıhvˇezdya dvojhvˇezdyviditeln´esvˇeteln´evariace nevykazuj´ı,je d´anskuteˇc- nost´ı,ˇzez´aˇren´ıtˇechto hvˇezdje nesm´ırnˇeizotropn´ı,jejich fotosf´eryjsou fotometricky znaˇcnˇehomogenn´ıa jejich tvar je velmi pˇresnˇeosovˇesymetrick´y.V pˇr´ıpadˇedvojhvˇezd tak´enesm´ıdoch´azetk vz´ajemn´ymz´akryt˚um. Tvary svˇeteln´ych kˇrivek nˇekter´ych rotuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezda moˇzn´ezmˇeny periody rotace byly jiˇzdiskutov´any v kapitol´ach 5.5.1, resp. 5.2.1.2

6.1.1 Asf´erick´ehvˇezdy Tvar hvˇezdnen´ı obecnˇepˇresnˇekulovˇesymetrick´y,ale m˚uˇze doch´azetk deformac´ıch tohoto ide´aln´ıho tvaru. Osamˇel´e,rychle rotuj´ıc´ıhvˇezdy budou m´ıttvar rotaˇcn´ıho elipsoidu, pˇriˇcemˇzzploˇstˇen´ına p´olech m˚uˇzeb´yt i velmi v´yraznˇe.Pˇr´ıklademm˚uˇzeb´ytAchernar (α Eri). Prove- den´ainterferometrick´amˇeˇren´ıpomoc´ıVery Large Tele- scope Interferometr (VLTI) uk´azala,ˇzerychlost rotace aˇz230 km/s zp˚usobujesiln´ezploˇstˇen´ı, kdy rovn´ıkov´y pr˚umˇer hvˇezdy je 1,56kr´at vˇetˇs´ı neˇz pol´arn´ı pr˚umˇer (Domiciano de Souza et al., 2003). Rotaˇcn´ıosa Achernaru je v˚uˇcismˇeruk Zemi sklonˇen´ao 65◦. Jenˇzepokud je sklon rotaˇcn´ıosy st´al´y,nebude pozorov´anaˇz´adn´azmˇena jasnosti hvˇezdyv d˚usledkuzmˇeny velikosti plochy orien- tovan´esmˇeremk Zemi. K takov´ymvariac´ımjasnosti by byl nutn´ynˇejak´yprecesn´ıpohyb. Jinak budou pˇr´ıpadn´e Obr´azek 6.1: Diferenci´aln´ı zmˇeny zp˚usobeny sp´ıˇsepˇr´ıtomnost´ıskvrn na povrchu, ale UBV svˇeteln´e kˇrivky elip- o tom aˇzv dalˇs´ıkapitole. soid´aln´ı promˇenn´e hvˇezdy V350 Lac (2446599.82 + K deformaci ide´aln´ıhokulov´ehotvaru hvˇezd ale tak´e 17.755E) v˚uˇcihvˇezdˇeHR8541. doch´az´ıu sloˇzektˇesn´ych dvojhvˇezd.Nejenˇzemaj´ısloˇzky Pˇrevzatoz Sterken & Jaschek elipsoid´aln´ı tvar deformovan´y gravitaˇcn´ım p˚usoben´ım (1996). souputn´ıka (napˇr´ıklad b Per, α Vir), ale pokud sloˇzka vypln´ısv˚ujRoche˚uvlalok, m˚uˇzem´ıttvar jak´esiprot´ahl´e kapky (viz kap. 6.2.1). Obˇeˇzn´arovina dvojhvˇezdym˚uˇzeb´ytorientov´anatak, ˇzepro 6.1. Rotuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 143 pozorovatele ze Zemˇenedoch´az´ık z´akryt˚um,ale mˇen´ıse pr˚uˇrezsloˇzekve smˇeruk Zemi a v d˚usledkutoho doch´az´ık mal´ymzmˇen´amjasnosti s amplitudou do 0,1 mag v barvˇe V . Perioda zmˇenjasnosti pˇritomodpov´ıd´aorbit´aln´ıperiodˇe,nebot’ sloˇzkymaj´ızpravidla synchronn´ırotaci.

6.1.2 Skvrny na hvˇezd´ach

Hvˇezdynejenom, ˇzenemus´ım´ıtobecnˇeide´aln´ıkulov´ytvar, ale povrch hvˇezd nen´ıani stejnorod´y.Vyskytuj´ıc´ıse na nˇemnehomogenity v jasnosti, barvˇe,magnetick´empoli a jin´e.Jednoduˇseˇreˇceno,hvˇezdam´ana povrchu skvrny. Co je ale zp˚usobuje?Pro vznik velk´eskvrny v podstatˇestaˇc´ı,aby hvˇezdarotovala dostateˇcnˇerychle a doˇslok jej´ımu zploˇstˇen´ı.Pak bude hvˇezdao nˇecoteplejˇs´ına p´olech a o nˇecochladnˇejˇs´ına rovn´ıku. Takov´anerovnomˇernostpovrchov´ejasnosti je ovˇsemsymetrick´av˚uˇcirotaˇcn´ıose, takˇze pokud bude poloha osy v˚uˇcismˇeruk Zemi st´al´a,ˇz´adn´epozorovan´ezmˇeny jasnosti tato nehomogenita nezp˚usob´ı.Fotometrick´eskvrny, tedy oblasti na hvˇezdˇe,kter´ez´aˇr´ıjinak ostatn´ıˇc´astipovrchu hvˇezdy, mohou m´ıtnejr˚uznˇejˇs´ırozmˇerya mohou se vyskytovat se na n´ımohou v podstatˇekdekoli. V principu jsou dvoj´ıhodruhu. U hvˇezdsluneˇcn´ıhotypu a chladnˇejˇs´ıch se pravidelnˇesetk´av´ame s fotometrick´ymi skvrnami s odliˇsnouefektivn´ı teplotou, kter´aje pak pˇr´ıˇcinouvzniku kontrastu skvrny v˚uˇcijej´ımu okol´ı. Zpravidla jde o temn´e,chladnˇejˇs´ı´utvary nal´ezaj´ıc´ıse v aktivn´ıch oblastech se siln´ymilok´aln´ımi magnetick´ymipoli, kter´ase generuj´ı v podpovrchov´ych vrstv´ach hvˇezdya postupnˇe vzl´ınaj´ına povrch, kde zvolna disipuj´ı. Zivotnostˇ jednotliv´ych skvrn zde z´avis´ına jejich mohutnosti a tak´ena typu hvˇezdy– poˇc´ıt´ase na dny aˇzna roky. Zcela jinou povahu maj´ı fotometrick´eskvrny v oblastech s odliˇsn´ymzastoupen´ı nˇekter´ych chemick´ych prvk˚u,nach´azej´ıc´ıch se na povrchu vˇetˇsiny magnetick´ych chemicky pekuli´arn´ıch (mCP) hvˇezd.Skvrny na nich maj´ıstejnou efektivn´ıteplotu jakou m´ajejich okol´ı,liˇs´ıse vˇsakstavbou atmosf´ery, kter´aovˇsem z´avis´ına lok´aln´ımchemick´emsloˇzen´ı na povrchu. Z´aˇren´ıvystupuj´ıc´ız takov´ych skvrn m´ajin´espektr´aln´ısloˇzen´ıneˇzz´aˇren´ı zbytku hvˇezdy. Fotometrick´ena mCP hvˇezd´ach tak nejsou ani temn´eani jasn´e,jsou jen jinak barevn´e. V obou pˇr´ıpadech je promˇennosthvˇezdrelativnˇemal´a,jde ˇr´adovˇeo setiny aˇzdesetiny magnitudy. Periodicita pˇritomodpov´ıd´adobˇerotace hvˇezdy. Je tˇreba si vˇsakuvˇedomit, ˇzeskvrny mohou b´ytsamy zdrojem promˇennostiale mohou tak´epˇrisp´ıvat k promˇennosti jin´ehodruhu. Kromˇejiˇzzm´ınˇen´ych velk´ych skupin rotuj´ıc´ıch skvrnit´ych promˇenn´ych hvˇezdlze podle spoleˇcn´ych charakteristik rozdˇelithvˇezdyse skvrnami do n´asleduj´ıc´ıch skupin:

• Slunce a hvˇezdysluneˇcn´ıhotypu • Hvˇezdytypu FK Com • Hvˇezdytypu BY Dra • Hvˇezdytypu RS CVn – skvrnit´ıpsi • Magnetick´echemicky pekuli´arn´ıhvˇezdy (mCP) 144 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

6.1.2.1 Slunce a hvˇezdysluneˇcn´ıhotypu Lid´esi Slunce vˇs´ımaliuˇzod ´usvitudˇejin,ale jako k vesm´ırn´emu tˇelesu,kter´eby se mˇelosystem- aticky a dlouhodobˇesledovat, k nˇemu zaˇcalipˇristupovat teprve ned´avno,vlastnˇeaˇzs n´astu- pem spektroskopie v astronomii. Eberhard & Schwarzschild (1913) objevili emise v ˇcar´ach H a K v´apn´ıkuCa ii u hvˇezd sluneˇcn´ıhotypu, ˇc´ımˇzdok´azaliexistenci jejich rozs´ahl´ych chro- mosf´er. Pˇrekvapen´ımvˇsakbylo, ˇzeoproti oˇcek´av´an´ım´aˇradahvˇezdnesrovnatelnˇevyˇsˇs´ıaktivitu neˇzSlunce. V t´edobˇese nav´ıcpˇredpokl´adalo,ˇzemohutnost projev˚uhvˇezdn´eaktivity je pouze funkc´ıjejich spektr´aln´ıhotypu. Ale tento pˇredpoklad byl uvedenou prac´ıvyvr´acen.O 65 let pozdˇejipˇriˇselOlin C. Wilson (1978) se studi´ıchov´an´ıv´apn´ıkov´ych ˇcaru nˇekolika des´ıtekhvˇezd sluneˇcn´ıhotypu (tj. hvˇezdhlavn´ıposloupnosti spektr´aln´ıhotypu G a K), v n´ıˇzpopisuje dva typy zmˇenv intenzit´ach pozorovan´ych centr´aln´ıch emis´ı: a) kr´atkodob´e,v ˇcasov´eˇsk´alenˇekolika dn´ı,kter´enepochybnˇesouvisej´ıs pohybem aktivn´ıch oblast´ına disku rotuj´ıc´ıhvˇezdy; b) dlouhodob´e,s periodou od 8 do 12 let, kter´ejsou obdobou sluneˇcn´ıhoz´akladn´ıhoje- den´actilet´ehocyklu.

Obr´azek6.2: Svˇeteln´akˇrivka hvˇezdysluneˇcn´ıhotypu HD 129333 ve fotometrick´ych filtrech b,y Str¨omgrenova syst´emu. Zdroj: Lockwood et al. (2007).

KromˇeO. C. Wilsona se v 70. a 80. letech minul´ehostolet´ıstudiem hvˇezdsluneˇcn´ıhotypu zab´yvali t´eˇzGeorge Preston a Arthur Vaugham (napˇr´ıkladVaughan et al. 1978; Vaughan & Preston 1980), kteˇr´ıpromˇeˇrilicelkem jeden a p˚ultis´ıcehvˇezdsluneˇcn´ıhotypu v hvˇezdokup´ach a asociac´ıch r˚uzn´ehost´aˇr´ıa dospˇelik nˇekolika charakteristik´amhvˇezdsluneˇcn´ıhotypu, kter´e pozdˇejipotvrdily dalˇs´ıstudie. Messina & Guinan (2002, 2003) ve sv´em dlouhodob´emprojektu The Sun in Time“ ” charakterizovali pr˚ubˇehaktivity hvˇezdsluneˇcn´ıhotypu takto: • intenzita hvˇezdn´eaktivity souvis´ı s rychlost´ı rotace, protoˇzerotace hvˇezdyje odpovˇedn´aza magnetick´epole hvˇezdy. Hvˇezdys rychlou rotac´ıvykazuj´ıvysokou, sp´ıˇsechaotickou, nepravidelnou aktivitu. • novˇese rod´ıc´ıhvˇezda,kter´ase pˇribliˇzujedo stadia hvˇezdyhlavn´ıposloupnosti, se smrˇst’uje a v d˚usledkuzachov´an´ımomentu hybnosti svou rotaci zrychluje; • hvˇezdysluneˇcn´ıhotypu maj´ıpo sv´emzrozen´ırelativnˇevysokou rotaˇcn´ırychlost, kter´akles´a,s t´ım,jak hvˇezdast´arne.V prvn´ıch mili´onech let je brˇzdˇen´ıpomˇernˇe rychl´ev d˚usledkumagnetick´ehopole a poz˚ustatk˚up˚uvodn´ıl´atkyv akreˇcn´ımdisku. Pozdˇejije moment hybnosti odn´aˇsenhvˇezdn´ymvˇetrem. 6.1. Rotuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 145

• hvˇezdys periodou rotace delˇs´ıneˇz20 dn´ı,maj´ıaktivitu podobnou Slunci. D´elka cyklu je zhruba 10 let nez´avislena jin´ych vlastnostech hvˇezdy.

M´ırouaktivity hvˇezdje mnoˇzstv´ıskvrn na povrchu. Byly vˇsakpozorov´any i hvˇezdy sluneˇcn´ıhotypu, u nichˇzse neprojevoval ani n´aznakaktivity. Za pˇrijateln´ese pokl´ad´a vysvˇetlen´ı,ˇzetyto hvˇezdypr´avˇeproch´azej´ıstadiem jist´edeprese hvˇezdn´eaktivity, ob- dobn´eMaunderovu, resp. Sp¨orerovu minimu sluneˇcn´ıaktivity.1 Vzhledem k tomu, ˇzejsme u Slunce velmi bl´ızko, sledujeme jeho aktivitu doslova z prvn´ıˇrady“. Na povrchu jsou jasnˇepatrn´esluneˇcn´ıskvrny. Vzd´alen´emu pozorovateli ” by se naˇseSlunce jevilo jako hvˇezdase zmˇenamido 0,01 mag ve V a periodou zhruba 30 dn´ı.Amplituda zmˇenby se podle f´azesluneˇcn´ıhocyklu mohla m´ırnˇemˇenit,ale perioda, kter´aje vlastnˇerotaˇcn´ıperiodou, z˚ust´av´apˇribliˇznˇestejn´a.

6.1.2.2 Typ FK Comae Berenices V 80. letech minul´ehostolet´ısi astronomov´epˇrirentgenov´ych pˇrehl´ıdk´ach oblohy po- vˇsimliskupiny hvˇezdpozdn´ıch spektr´aln´ıch typ˚u,kter´evykazovaly vysokou aktivitu. Jedn´ase o obry spektr´aln´ıhotypu G a K se silnou chromosf´erickou a koron´arn´ıak- tivitou. Zpoˇc´atkubyly vymezeny jako samostatn´ehvˇezdys podobnou aktivitou jako tˇesn´edvojhvˇezdytypu RS CVn, ale v souˇcasnostijsou v t´etoskupinˇei dvojhvˇezdy (napˇr.UZ Lib). Hvˇezdytypu FK Com velmi rychle rotuj´ı,samotn´apˇredstavitelka je z nich zat´ımnejrychlejˇs´ı(v sin i ≈ 160 km/s). D˚usledkem rychl´erotace je samozˇrejmˇe zploˇstˇen´ı,elipsoid´aln´ıtvar hvˇezd,ale moˇzn´ai vysok´aaktivita tˇechto hvˇezd.Perioda svˇeteln´ych zmˇenodpov´ıd´adobˇerotace hvˇezdy, ˇr´adovˇedny. Amplituda svˇeteln´ych zmˇen ˇcin´ıaˇznˇekolik desetin magnitudy. Nevyˇreˇsen´yz˚ust´av´adosud p˚uvod tˇechto hvˇezda jejich v´yvojov´ystatus. Nejv´ıce uzn´avan´ateorie pokl´ad´ahvˇezdytypu FK Com za moˇzn´yv´ysledeksplynut´ıdvojhvˇezdn´e- ho kontaktn´ıhosyst´emu typu W UMa. Objevily se ale i n´azory, ˇzejde o velmi mlad´e hvˇezdys neobyˇcejnˇerychlou poˇc´ateˇcn´ırotac´ı,pˇr´ıpadnˇe,ˇzeje hvˇezdarozt´aˇcen´apˇretokem hmoty z neviditeln´ehopr˚uvodce.

6.1.2.3 Typ RS Canum Venaticorum – skvrnit´ıpsi Prvn´ıstudie jednotliv´ych hvˇezdtypu RS Canum Venaticorum se objevily v polovinˇe ˇsedes´at´ych let minul´eho stolet´ı.Astronomy upoutaly zejm´enaneobvykl´ezmˇeny mimo z´akryty. V polovinˇe70. let byly objeveny dalˇs´ızvl´aˇstnostitˇechto hvˇezd:emise v r´adiov´e oblasti, r´adiov´ez´ablesky, tepeln´aemise v rentgenov´eoblasti svˇedˇc´ıc´ı o teplot´ach aˇz 107 K, siln´ea promˇenn´eemisn´ıˇc´ary ionizovan´ehov´apn´ıkuH a K, vod´ıkua hoˇrˇc´ıku.Hall (1976) definoval hvˇezdytypu RS CVn jako dvojhvˇezdys orbit´aln´ıperiodou jednoho dne aˇzdvou t´ydn˚u,s teplejˇs´ısloˇzkou spektr´aln´ıhotypu F aˇzG IV-V a silnou emis´ıv ˇcar´ach H a K mimo z´akryt.Nicm´enˇenyn´ıuˇzje zˇrejm´e,ˇzeexistuj´ıi dvojhvˇezdypodobn´eho chov´an´ıs kratˇs´ıa delˇs´ıperiodou. Hvˇezdy typu RS CVn dnes tvoˇr´ıpoˇcetnˇejˇs´ıskupinu s pˇetipodskupinami:

1Maunderovo minimum sluneˇcn´ı aktivity nastalo v letech 1645-1715. Pˇred n´ım je potvrzeno i Sp¨orerovo minimum z let 1400-1510. 146 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.3: V´ysledkypozorov´an´ıa modelu hvˇezdyFK Com. Tmavˇs´ıbarvy vyznaˇcuj´ıv´yskyt aktivn´ıch oblast´ıse skvrnami. S´ıt’ v map´ach ukazuje rovn´ıka ˇctyˇrid´elkyoddˇelen´epo 90◦. Na svˇeteln´ych kˇrivk´ach kˇr´ıˇzkyznaˇc´ıpozorovan´ehodnoty ve V , ˇc´aryjsou spoˇcten´ehvˇezdn´evelikosti podle modelu. Zdroj: Korhonen et al. (2009). 6.1. Rotuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 147

1. Norm´aln´ısyst´emy: Orbit´aln´ıperiody mezi 1 aˇz14 dny. Teplejˇs´ısloˇzka je spektr´al- n´ıhotypu F nebo G tˇr´ıdyV nebo IV. Siln´eemise v ˇcar´ach Ca ii H a K je patrna vidˇetmimo z´akryty. 2. Kr´atkoperiodick´e syst´emy: Sloˇzky jsou oddˇelen´e. Orbit´aln´ı periody kratˇs´ı neˇz 1 den. Teplejˇs´ı sloˇzka je spektr´aln´ıho typu F nebo G tˇr´ıdy V nebo IV. Emise Ca ii H a K jsou u jedn´enebo obou sloˇzek. 3. Dlouhoperiodick´esoustavy: Orbit´aln´ıperiody jsou delˇs´ıneˇz14 dn´ı.Sloˇzkymohou b´ytspektr´aln´ıhotypu G aˇzK a tˇr´ıdyod II aˇzpo IV. Siln´eemise v ˇcar´ach Ca ii H a K jsou vidˇetmimo z´akryty. 4. Eruptivn´ısyst´emy: Teplejˇs´ısloˇzka je spektr´aln´ıhotypu dKe nebo dMe. Emise se vztahuje k siln´ymˇcar´amCa ii H a K. 5. Soustavy typu V471 Tau: Teplejˇs´ısloˇzka je b´ıl´ytrpasl´ık.Chladnˇejˇs´ısloˇzka spektr´aln´ı tˇr´ıdyG aˇzK vykazuje siln´eemisn´ıˇc´aryCa ii H a K. Svˇeteln´ekˇrivkyhvˇezdtypu RS CVn jsou zpravidla kombinac´ınˇekolika zmˇen.Jsou zde patrn´eperiodick´ezmˇeny vznikaj´ıc´ıv d˚usledkuorbit´aln´ıhopohybu sloˇzektˇesn´edvoj- hvˇezdy(m˚uˇzej´ıti o z´akryty). Pˇresnˇese pˇrekl´adaj´ıpolopravideln´enebo nepravideln´e zmˇeny s amplitudou aˇz0.2 mag na ˇcasov´eˇsk´aledn´ıaˇzlet zp˚usobovan´eskvrnami na povrchu sloˇzek.Skvrny jsou d˚usledkem podobn´eaktivity jako u naˇsehoSlunce, jen jsou mnohem rozs´ahlejˇs´ıa intenzivnˇejˇs´ı.Tak´eproto si tato skupina hvˇezdvyslouˇzila pˇrezd´ıvku skvrnit´ıpsi“. Fotosf´erick´eskvrny spolu s aktivitou chromosf´erya koron´aln´ıch ” magnetick´ych smyˇcekzp˚usobuj´ı vznik deformaˇcn´ı vlny“, kter´ase pˇrekl´ad´apˇresor- ” bit´aln´ıkˇrivku(se z´akryty), jak ukazuje obr´azek6.4. Deformaˇcn´ıvlna se pˇritomv ˇcase posouv´av˚uˇciorbit´aln´ıf´azi,respektive z´akryt˚um,jak je vidˇetna obr´azku6.5.

Obr´azek6.4: Svˇeteln´akˇrivka a schematick´ymodel RS CVn v porovn´an´ı se Sluncem. Na svˇeteln´ekˇrivce je kromˇez´akryt˚upatrn´ai deformaˇcn´ıvlna, kter´ase pˇrekl´ad´apˇrescelou kˇrivku. Zdroj: Percy (2011). 148 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.5: Svˇeteln´ekˇrivky a modely skvrn promˇenn´ehvˇezdyBE Psc, aktivn´ıho elip- soid´aln´ıho,z´akrytov´eho,trojn´ehosyst´emu typu RS CVn v letech 1988-2006. (a) Pozorovan´e svˇeteln´ekˇrivkyve V a proloˇzen´emodelov´ekˇrivky. (b) Rozloˇzen´ıskvrn podle model˚upro jed- notliv´esez´ony. (c) V´yvoj parametr˚uskvrn v ˇcase. Lev´ypanel ukazuje d´elkustˇredukaˇzd´eskvrny (severn´ıjako koleˇcka, jiˇzn´ıkrouˇzky)v jednotk´ach rotaˇcn´ıf´azevyj´adˇren´ejako povrchov´ad´elka ve stupn´ıch. Posun odr´aˇz´ıpr˚umˇern´yrozd´ıl0,5 % mezi orbit´aln´ıa rotaˇcn´ıperiodou prim´arn´ı sloˇzky. Vpravo je velikost skvrn v jednotk´ach povrchu hvˇezdy. (d) Amplituda zmˇenve V vyvolan´askvrnami, minimum a maximum jasnosti (Strassmeier et al., 2008). 6.1. Rotuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 149

6.1.2.4 Typ BY Draconis Hvˇezdy typu BY Draconis jsou chladn´e hvˇezdy hlavn´ıposloupnosti (KVe–MVe) se silnou hvˇezdnou aktivitou ve fotosf´eˇrea chromosf´eˇre.Zejm´enapro hvˇezdyM plat´ı,ˇzejde o plnˇekonvektivn´ıobjekty, takˇzejejich dynamo jako zdroj magnetick´ehopole, aktivity a promˇennostibude zˇrejmˇejin´ehotypu neˇz u Slunce. Jejich rotace je zpravidla rychlejˇs´ı neˇz u jin´ych hvˇezdspektr´aln´ıho typu K a M. Hvˇezdy tohoto typu mohou b´ytjak samostatn´e,tak se m˚uˇze jednat i o dvojhvˇezdy, takˇzerychl´arotace m˚uˇzeb´yt i indukovan´apˇr´ıtomnost´ı dalˇs´ı sloˇzky v soustavˇe. Zmˇeny jasnosti jsou diktov´any tempem rotace. Pe- riody zmˇenjsou od zlomk˚udn´ıaˇzpo nˇekolik dn˚u; jejich amplitudy mohou dos´ahnoutaˇz0.5 mag, ale typicky jsou jen kolem 0.1 mag ve V . Obˇcasdoch´az´ı k erupc´ımpodobn´ymjako pozorujeme u eruptivn´ıch trpasl´ık˚utypu UV Ceti. Samotn´apˇredstavitelka BY Dra je dvojhvˇezda Obr´azek6.6: Svˇeteln´akˇrivka BY K4V + K7,5 s obˇeˇznouperiodou 5,975 dn´ı.Kromˇe Dra v letech 1979-89 ve V , perioda samotn´ehoprototypu patˇr´ımezi hvˇezdy tohoto typu P = 3.8285 dne (Pettersen et al., napˇr.z´akrytov´ysyst´emYY Gem (Castor C) tvoˇren´y 1992). sloˇzkami M1Ve + M2Ve s orbit´aln´ıperiodou 0,814 d a tak´ezn´am´advojhvˇezdaProkyon.

6.1.2.5 Chemicky pekuli´arn´ı(CP) hvˇezdy Povrchov´evrstvy hvˇezdhlavn´ıposloupnosti, v nichˇzvznik´ajejich spektrum, maj´ıchemick´e sloˇzen´ıodpov´ıdaj´ıc´ısloˇzen´ız´arodeˇcn´ehomraˇcna,z nˇehoˇzse pˇredlety zformovaly. Jasnˇe zde dominuj´ıvod´ıka h´elium,v menˇs´ım´ıˇrejsou tu pak pˇr´ıtomny i tˇeˇzˇs´ıprvky s obsahem do 5%. Relativn´ızastoupen´ıprvk˚utˇeˇzˇs´ıch neˇzh´eliumzhruba odpov´ıd´ajejich zastoupen´ı ve sluneˇcn´ıatmosf´eˇre.Vzhled spekter hvˇezdhlavn´ıposloupnosti je urˇcenzejm´enaefek- tivn´ıteplotou jej´ıch atmosf´er.Spektr´aln´ıklasifikace takov´ych je pak v´ıcem´enˇerutinn´ı z´aleˇzitost´ı,kterou lze i automatizovat. Nicm´enˇeuˇzna sklonku 19. stolet´ı,si ˇradaspektroskopist˚upovˇsimla,ˇzezhruba 10% spekter hork´ych hvˇezdspektr´aln´ıch tˇr´ıdB2 V aˇzF 5 nelze jednoznaˇcnˇespektr´alnˇeklasi- fikovat. Tato spektra byla oznaˇcenajako neobvykl´a– pekuli´arn´ıa odhadnut´espektr´aln´ı typy byly oznaˇceny pˇr´ıdomkem p. Mluv´ıse pak o Ap, Bp a Fp hvˇezd´ach. Podrobnˇejˇs´ıroz- bor tˇechto pekuli´arn´ıch spekter n´aspˇriv´ad´ık pˇresvˇedˇcen´ı,ˇzepˇr´ıˇcinoujejich anom´aln´ıho vzhledu je neobvykl´e,tedy pekuli´arn´ıchemick´esloˇzen´ıatmosf´ertˇechto hvˇezd.Od t´e doby se hovoˇr´ı o tzv. chemicky pekuli´arn´ıch hvˇezd´ach (CP hvˇezd´ach). Sloˇzen´ı jejich atmosf´erse liˇs´ıv relativn´ımzastoupen´ıjednotliv´ych prvk˚u,nˇekter´ejsou vzhledem ke sluneˇcn´ımu sloˇzen´ıv deficitu, jin´enaopak v nadbytku, kter´yse od norm´alu m˚uˇzeliˇsit aˇzo nˇekolik ˇr´ad˚u.Dalˇs´ımznakem chemicky pekuli´arn´ıch hvˇezdje celkovˇepomalejˇs´ıro- tace tˇechto hvˇezd,coˇzve sv´ych d˚usledc´ıch znamen´a, ˇzesvrchn´ıvrstvy tˇechto hvˇezdjsou 150 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd o pozn´an´ıklidnˇejˇs´ıneˇzhvˇezdrychleji rotuj´ıc´ıch. Na ˇradˇechemicky pekuli´arn´ıch hvˇezd bylo objeveno siln´eglob´aln´ımagnetick´epole2 s dip´olovou strukturou, kde osa dip´olu obecnˇenesouhlas´ıosou rotaˇcn´ı.U nˇekolika m´alahvˇezdbyly zjiˇstˇeny i sloˇzitˇejˇs´ıkonfig- urace magnetick´ych pol´ı.Vˇseobecnˇese soud´ı,ˇzemagnetick´apole jsou fosiln´ıhop˚uvodu a ve hvˇezdˇepˇretrv´avaj´ıasi po celou dobu jejich ˇzivota na hlavn´ıposloupnosti. Hvˇezdy s magnetick´ympolem vytv´aˇrej´ımezi CP hvˇezdamisv´ebytnou skupinu tzv. magnetick´ych chemicky pekuli´arn´ıchhvˇezd (mCP hvˇezdy),kter´ese vyznaˇcuj´ımj. i t´ım,ˇzechemick´e prvky na jejich povrchu se shlukuj´ıdo kontrastn´ıch spektroskopick´eskvrny, jsou zde patrn´ei rozs´ahl´efotometrick´eskvrny, kter´ejsou pˇr´ıˇcinoufotometrick´epromˇennostitak- tovan´eperiodou jej´ıch rotace. Chemicky pekuli´arn´ıhvˇezdyse od sebe vz´ajemnˇeliˇs´ınatolik, ˇzejen stˇeˇz´ıbychom mohli naj´ıtdvˇeCP hvˇezdy, o nichˇzbychom mohli prohl´asit,ˇzejsou podobn´e.Nicm´enˇe se ukazuje alespoˇnto, ˇzechemick´eodliˇsnostiatmosf´erCP hvˇezdsilnˇekoreluj´ıs efektivn´ı teplotou a pˇr´ıtomnost´ıˇcinepˇr´ıtomnost´ısiln´ehoglob´aln´ıhomagnetick´ehopole, a z toho tak´evych´az´ıjejich klasifikace. Pro roztˇr´ıdˇen´ıchemicky pekuli´arn´ıch hvˇezdse v souˇcasnostinejˇcastˇeji pouˇz´ıv´atato vari- anta Prestonovy-Maitzenovy klasifikace verze CP1 – metalick´ehvˇezdynebo t´eˇzAm (metallic-line) hvˇezdy, jejichˇzspektra vykazuj´ıslab´e ˇc´aryCa ii a/nebo Sc ii, a souˇcasnˇevykazuj´ızv´yˇsenouabundanci Fe, Cr, Ti, Ni a Co. kov˚u.Zpravidla se jedn´ao pomalu rotuj´ıc´ıhvˇezdy, ˇcastosloˇzkydvojhvˇezds teplotou mezi 7 000 K aˇz10 000 K, tedy spektr´aln´ıhotypu A aˇzˇcasn´eF. Magnetick´epole slab´e nebo ˇz´adn´e.Mezi CP1 hvˇezdyse ˇrad´ıi hvˇezdytypu λ Bootis. CP2 – klasick´emCP hvˇezdynebo t´eˇzAp a Bp hvˇezdy, jsou charakterizov´any siln´ymglob´aln´ım magnetick´ympolem, jehoˇzintenzita dosahuje typicky 0,1 T, ale nˇekdyaˇz1 T.3 Povr- chov´eteploty jsou v rozmez´ızhruba 7 200 K aˇz15 000 K (F6-B8). Jejich rotace je tak´e pomal´a.Ve spektru jsou zn´amkyzv´yˇsen´ehoobsahu iont˚ujako Si ii, Fe ii a Fe i, Fe ii, u chladnˇejˇs´ıch CP2 hvˇezdpak i Cr ii, Sr ii, Eu ii a dalˇs´ıch vz´acn´ych zemin. CP3 – tzv. rtut’ovo-manganov´e,HgMn hvˇezdyse vyznaˇcuj´ızes´ılen´ymobsahem tˇechto dvou chemick´ych prvk˚u.Lze je ch´apatjako prodlouˇzen´ıCP1 hvˇezddo oblasti vyˇsˇs´ıch teplot. Maj´ı pomalou rotaci a zpravidla nemaj´ı siln´eglob´aln´ı magnetick´epole. Patˇr´ı mezi chladnˇejˇs´ıhvˇezdy tˇr´ıdyB, jejich efektivn´ıteploty spadaj´ıdo rozmez´ı10 000 K aˇz15 000 K. CP4 – oznaˇcovan´et´eˇzjako He-weak hvˇezdypatˇr´ı mezi magnetick´eCP hvˇezdy. Typicky vykazuj´ıpˇrebytek kˇrem´ıkua naopak deficit nuklidu He4, a zv´yˇsen´ypomˇerabundance nuklid˚uHe3/He4. Spektr´aln´ıtypy bˇeˇznˇeB5-B8, jde o teplotn´ıprodlouˇzen´ıCP2 hvˇezd. CP6 – oznaˇcovan´et´eˇzjako He-strong hvˇezdypatˇr´ı mezi magnetick´eCP hvˇezdy. Typicky vykazuj´ıpˇrebytek He4 norm´aln´ıpomˇerHe3/He4. Spektr´aln´ıtypy bˇeˇznˇeB2-B4, jde o teplotn´ıprodlouˇzen´ıCP2 hvˇezda CP4 hvˇezd.

Pˇr´ıˇcinoupozorovan´eanom´aliev chemick´emsloˇzen´ıpovrchov´ych vrstev CP hvˇezd je nejsp´ıˇsz´aˇriv´adif´uze(Michaud, 1970), kter´av mimoˇr´adnˇeklidn´ych atmosf´er´ach, stabilizovan´ych nˇekdyi magnetick´ympolem, vyn´aˇs´ınˇekter´eionty s velk´ym´uˇcinn´ym pr˚uˇrezemsmˇeremnahoru, zat´ımco jin´eionty zvolna sestupuj´ı na dno vrstvy, kde k

2Siln´emagnetick´epole Ap hvˇezdyobjevil Babcock (1947) u CW Vir (78 Vir). K detekci pouˇzil Zeemanova jevu, kter´yrozˇstˇep´ıspektr´aln´ıˇc´aryna tˇriskupiny sloˇzek,s odliˇsnoupolarizac´ı.Tak lze z polarimetrick´ych mˇeˇren´ıurˇcitnejen intenzitu, ale i periodicitu zmˇenmagnetick´ehopole. 3Pro srovn´an´ı,glob´aln´ıpole Slunce m´aindukci desettis´ıckr´atmenˇs´ı.O nˇekolik ˇr´ad˚usilnˇejˇs´ımagnet- ick´apole se vyskytuj´ıjen lok´alnˇev tzv. aktivn´ıch oblastech. 6.1. Rotuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 151

Obr´azek6.7: Nahoˇrevlevo: Zmˇenarozloˇzen´ıobsahu kˇrem´ıkuna disku hvˇezdyHD 37776 pro r˚uzn´erotaˇcn´ıf´azepodle Khokhlova et al. (2000). Kolem f´aze0 je abundance kˇrem´ıkunejvˇetˇs´ı. Nahoˇrevpravo: Srovn´an´ıpˇredpovˇezen´ych svˇeteln´ych zmˇenHD 37776 spoˇcten´ych podle povr- chov´ehorozloˇzen´ıkˇrem´ıkua h´elia(viz Khokhlova et al. 2000) a pozorovan´ych svˇeteln´ych kˇrivek v barv´ach uvby Str¨omgrenova fotomoetrick´ehosyst´emu (Adelman & Pyper 1985, Adelman 1997b). Dole: vypoˇcten´etoky z´aˇren´ız atmosf´eryHD 37776 s r˚uzn´ymzastoupen´ım kˇrem´ıku. Skvrny s vˇetˇs´ım zastoupen´ım kˇrem´ıku jsou v uvby jasnˇejˇs´ı neˇzoblasti s malou abundanc´ı kˇrem´ıku.Pˇrevzatoz Krtiˇcka et al. (2010).

takov´etochemick´eseparaci doch´az´ı.Teorii jeˇstˇezb´yv´avysvˇetlitnˇekter´edetaily, napˇr. jak je role hvˇezdn´ehovˇetrupˇrivzniku chemick´epekuliarity hvˇezdtˇr´ıdyCP6 nebo z jak´ehod˚uvodu doch´az´ıke vzniku spektroskopick´ych skvrn. Jak jiˇzbylo ˇreˇceno,magnetick´echemicky pekuli´arn´ıhvˇezdyjsou hvˇezdypromˇenn´e, mˇen´ıse s periodou rotace ve sv´ejasnosti, spektru i magnetick´empoli. Vˇselze vysvˇetlit konceptem tuh´erotuj´ıc´ıhvˇezdys persistentn´ımispektroskopick´ymia fotometrick´ymi 152 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd skvrnami a glob´aln´ımmagnetick´ympolem vmraˇzen´ymdo plazmatu hvˇezdy, s n´ımˇzjako prvn´ıpˇriˇsliStibbs (1950) a Deutsch (1958). Spektroskopick´apromˇennost,pˇrin´ıˇzse mˇen´ıprofil jednotliv´ych spektr´aln´ıch ˇcar,byla odhalena aˇzspektroskopi´ıs vysok´ymrozliˇsen´ım.Z profil˚uspektr´aln´ıch ˇcarlze odvodit nejen pr˚umˇernouabundanci jednotliv´ych chemick´ych prvk˚u,ale i jejich rozloˇzen´ıpo hvˇezdˇe,a to pomoc´ıtzv. Dopplerovy tomografie. Z anal´yzvypl´yv´amj. i to ˇze zejm´ena ty prvky, jeˇzjsou v pˇrebytku, jsou po hvˇezdˇerozloˇzeny krajnˇenerovnomˇernˇe- jejich zastoupen´ıse zde m˚uˇzeliˇsitaˇzo 2 ˇr´ady. Fotometrick´apromˇennostbyla objevena aˇzpo spektroskopick´e,a to proto, ˇzeampli- tudy svˇeteln´ych zmˇenjsou takˇrka vˇzdymenˇs´ıneˇzdvˇedesetiny magnitudy, typicky setiny magnitudy. Anal´yzasvˇeteln´ych zmˇenje proto docela n´aroˇcnoudiscipl´ınou,detailnˇejije pops´ana v podkapitole 5.5.1. Krtiˇcka et al. (2010) uk´azali, ˇzepˇr´ıˇcinouvzniku fotomet- ricky kontrastn´ıch skvrn je nejsp´ıˇspˇrerozdˇelen´ıenergie ve spektru zp˚usoben´ezes´ılenou absorpc´ıve spektr´aln´ıch ˇc´ar´ach nebo p´asech volnˇe-v´azan´ych pˇrechod˚uchemick´ych prvk˚u, kter´ejsou v dan´espektroskopick´eskvrnˇev pˇrebytku.

6.1.3 Magnetick´epole (Ne)pˇr´ıtomnost magnetick´ehopole a pˇr´ıpadnˇejeho podoba a intenzita hraje velmi d˚uleˇzitouroli ve v´yvoji hvˇezd.U rotuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezdb´yv´apˇr´ıˇcinouosov´e asymetrie pˇr´ıtomnostsiln´ehomagnetick´ehopole. Je-li magnetick´epole zhruba dip´olov´e, mus´ıjeˇstˇeplatit, ˇzeosa tohoto dip´olunesm´ısouhlasit osou rotaˇcn´ı,coˇzje vˇsakvˇetˇsinou splnˇeno.Pozorovan´ezmˇeny jsou pˇr´ısnˇeperiodick´e,perioda odpov´ıd´arotaˇcn´ıperiodˇe objektu. Ta b´yv´avelmi rozmanit´a:od 10−4 s u tˇech nejrychlejˇs´ıch pulsar˚u aˇzpo nˇekolik let u zvl´aˇst’ pomalu rotuj´ıc´ıch chemicky pekuli´arn´ıch hvˇezd.V promˇenn´ych hvˇezd´ach bychom mohli vymezit vliv magnetick´ehopole zejm´enana:

• magnetick´echemicky pekuli´arn´ıhvˇezdy, • hvˇezdytypu α2 Canum Venaticorum, • pulsary.

6.1.3.1 Pulsary Pˇrestoˇzesamotn´eslovo pulsar vzniklo z anglick´ych slov pulse“ a star“, nejedn´ase ” ” o pulzuj´ıc´ıhvˇezdu.Zdrojem puls˚uje velmi rychle rotuj´ıc´ıneutronov´ahvˇezdavys´ılaj´ıc´ı do prostoru zejm´enar´adiov´ez´aˇren´ıv ´uzk´emkuˇzelu.Jakmile se pozorovatel ocitne ve smˇerukuˇzelupozoruje kr´atk´y, intenzivn´ız´ablesk(tzv. maj´akov´ymodel). Doba mezi z´ableskytak odpov´ıd´aperiodˇerotace hvˇezdy. Pulsar je tedy rotuj´ıc´ıpromˇenn´ahvˇezda. Pulsary byly objeveny n´ahodou pˇripˇrehl´ıdce extragalaktick´ych r´adiov´ych zdroj˚u na frekvenci 81 MHz. Pˇrivyhodnocov´an´ız´aznam˚usi zvl´aˇstn´ıch periodick´ych sign´al˚u povˇsimlaJocellyn Bellov´a(dnes Burnellov´a).Spolu s tehdejˇs´ımˇskolitelem a dalˇs´ımi kolegy pak publikovali objevov´yˇcl´anek(Hewish et al., 1968)4. Pulsary byly nejdˇr´ıve

4Antony Hewish obdrˇzel v roce 1974 se Sirem Martinem Rylem Nobelovu cenu za fyziku za pr˚ukopnick´yv´yzkumv oblasti r´adiov´eastrofyziky, pˇredevˇs´ımza rozhoduj´ıc´ı´ulohu pˇriobjevu pulsar˚u. Jocelyn Bellov´apˇriˇslazkr´atka. 6.1. Rotuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 153 znaˇceny podle zkratky observatoˇre,kde byly objeveny, a rektascenze (napˇr´ıkladCam- bridge pulsar CP1919). Pozdˇejise zaˇcalapouˇz´ıvat zkratka PSR (Pulsating Source of Radio) a souˇradnicePSR0531+21, dnes PSR B1919+21, resp. PSR J1921+2153.

Obr´azek6.8: Svˇeteln´akˇrivka pulsaru v Krab´ımlhovinˇes ˇcasov´ymrozliˇsen´ım3µs ve filtrech U+B+V+R, B, R, U (odshora dol˚u).Pˇrevzatoz Komarova et al. (1996).

V souˇcasnostizn´amepˇresdva tis´ıcepulsar˚u5 s periodami od 1.4 ms do 8.5 s. Vˇetˇsina z nich z´aˇr´ızejm´enav r´adiov´eoblasti, ale nˇekolik i ve viditeln´emsvˇetle.Pro vˇsechny pulsary je typick´eextr´emnˇesilnˇemagnetick´epole dosahuj´ıc´ı aˇz1010 T, resp. 1011 T u magnetar˚u.Nicm´enˇezdroje energie se liˇs´ı.Podle nich rozliˇsujemev principu tˇridruhy pulsar˚u. • Pulsary dotovan´ez rotaˇcn´ıenergie, vyzaˇruj´ıc´ıv d˚usledkuztr´aty rotaˇcn´ıenergie hvˇezdy. • Pulsary poh´anˇen´epˇr´ır˚ustkem hmoty (to plat´ıpro vˇetˇsinu, ale ne vˇsechny rentgenov´e pulsary), kdy je zdrojem energie akrece. • Magnetary, jejichˇzzdrojem energie je rozklad extr´emnˇesiln´ehomagnetick´ehopole. Rotaˇcn´ıenergii pulsaru m˚uˇzemevyj´adˇritvztahem 1 2 π2I E = I Ω2 = , (6.1) rot 2 P 2 kde Ω je ´uhlov´arychlost, P perioda a I moment setrvaˇcnosti. Perioda puls˚use ˇcasem prodluˇzuje,rotace pulsaru zpomaluje, takˇzeplat´ı dP P˙ ≡ > 0. (6.2) dt Dosazen´ımvztahu (6.1) a ´upravou dostaneme z´avislostzmˇeny energie rotace na periodˇe a zmˇenˇeperiody dE −4 π2IP˙ rot = . (6.3) dt P 3 5Pro aktu´aln´ı poˇcet zn´am´ych pulsar˚unavˇstivte jejich katalog na http://www.atnf.csiro.au/ people/pulsar/psrcat/. 154 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.9: Z´avislostdekadick´ehologaritmu zmˇeny periody na periodˇepulsaru je ekviva- lentem HR diagramu pro pulsary. Na diagramu jsou vyznaˇceny vˇsechny zn´am´epulsary v naˇs´ı Galaxii. Pomoc´ıpozorovan´eperiody puls˚ua jejich zmˇeny m˚uˇzemeodhadnout ˇraduparametr˚u jako vˇekpulsaru, s´ılumagnetick´ehopole B a zmˇenu rotaˇcn´ıenergie E˙ . Mlad´epulsary jsou v lev´emhorn´ımrohu a postupnˇese s vˇekem pˇresouvaj´ıv diagramu dol˚ua doprava aˇzzhruba po 1010 let zesl´abnemagnetick´epole natolik, ˇzepulsar pˇrestanevys´ılata skonˇc´ına hˇrbitovˇe“. ” Zaj´ımav´eje zjiˇstˇen´ı,ˇzet´emˇeˇrvˇsechny pulsary s kr´atkou periodou jsou souˇc´ast´ı bin´arn´ıho syst´emu.

Pro nejzn´amˇejˇs´ıpulsar v srdci Krab´ımlhoviny z toho napˇr´ıkladvypl´yv´a,ˇzejeho rotaˇcn´ı energie se mˇen´ırychlost´ı −4 · 1031 J/s. Porovn´an´ımvztahu (6.3) s mnoˇzstv´ımvyz´aˇren´e energie podle Larmorova vztahu m˚uˇzemeodvodit jak minim´aln´ıintenzitu magnetick´eho pole na povrchu pulsaru, tak i tzv. charakteristick´yvˇekpulsaru

P τ ≡ . (6.4) 2P˙

Charakteristick´yvˇekpulsaru nez´avis´ıani na velikosti pulsaru R, momentu setrvaˇcnosti I nebo sklonu a intenzitˇemagnetick´ehopole B sin α. Vztah plat´ı,pokud je poˇc´ateˇcn´ı ˙ perioda puls˚umnohem menˇs´ıneˇzsouˇcasn´a(P0  P ) a P ·P , resp. B je konstantn´ı.Pro jiˇzzm´ınˇen´ypulsar v Krab´ımlhovinˇeje charakteristick´yvˇekzhruba 1300 let. Vzhledem k z´aznam˚umv´ıme,ˇzevznikl v r. 1054, takˇzeje aktu´aln´ıvˇekv dobˇevyd´an´ıtˇechto skript je 959 let. 6.2. Dvojhvˇezdy 155

6.2 Dvojhvˇezdy

6.2.1 Z´akrytov´epromˇenn´ehvˇezdy Z´akrytov´epromˇenn´ehvˇezdyjsou dalˇs´ımnepominuteln´ympˇredstavitelem geometricky promˇenn´ych hvˇezd.V zakr´yvaj´ıc´ıse soustavˇemus´ıb´ytalespoˇndva objekty, ale nemus´ıj´ıt jen o hvˇezdy, druh´ymtˇelesemm˚uˇzeb´yti exoplaneta. Pro snazˇs´ıv´ykladbudeme nad´ale pouˇz´ıvat soustavu sloˇzenouze dvou hvˇezd.Anizotropie ve dvojhvˇezd´ach, zejm´enatˇech tˇesn´ych, je pak d´anajejich vz´ajemn´ymzastiˇnov´an´ıma vz´ajemn´ymovlivnˇen´ım(interakc´ı) jejich sloˇzek, pˇriˇcemˇzperioda pozorovan´ych zmˇensouhlas´ıs periodou obˇehu. Zmˇeny period uˇzbyly diskutov´any v kapitole 5.2.1.3.

Obr´azek6.10: Trojrozmˇern´ezobrazen´ıRocheova potenci´aluve dvojhvˇezdˇes pomˇeremhmot- nost´ısloˇzek q = 2 v korutuj´ıc´ısoustavˇesouˇradnic.Kapkovit´e´utvary zobrazen´ena spodn´ıˇc´asti obr´azkuse naz´yvaj´ıRocheovy laloky. L1,L2,L3 jsou Langrangeovy body. Kdyˇzjedna hvˇezda vypln´ısv˚ujRoche˚uvlalok, m˚uˇzejej´ıhmota pˇrech´azet do sf´eryvlivu druh´ehvˇezdypˇresoblast bodu L1. Zdroj: http://hemel.waarnemen.com/Informatie/Sterren

Vyˇsetˇrujmenyn´ı dˇejev tˇesn´edvojhvˇezdˇe,jej´ıch sloˇzkyo hmotnostech M1 a M2 ob´ıhaj´ıkolem spoleˇcn´ehotˇeˇziˇstˇepo kruhov´ych drah´ach, tak, ˇzejejich vzd´alenost a je konstantn´ı.Obˇehsloˇzekse dˇejes ´uhlovou rychlost´ı ω. Za tˇechto okolnost´ıje vhodn´eza vztaˇznousoustavu zvolit korotuj´ıc´ısoustavu pevnˇespojenou s obˇemahvˇezdami.V n´ı ovˇsemmus´ımezav´estkromˇegravitaˇcn´ıs´ılyp˚usob´ıc´ımezi sloˇzkami zav´estt´eˇz nein- ” erci´aln´ıs´ılu“ – s´ıluodstˇredivou. V bodˇeo souˇradnic´ıch x,y,z, kter´yje ve vzd´alenostech r1 od stˇreduhmotnosti prvn´ıhvˇezdya r2 od stˇredudruh´esloˇzkydvojhvˇezdy, je pak potenci´al Φ(x, y, z) d´ansouˇctemgravitaˇcn´ıch potenci´al˚uvzhledem k obˇemasloˇzk´am dvojhvˇezdya potenci´alu,kter´yodpov´ıd´ap˚usoben´ıodstˇrediv´es´ılyv t´eto korotuj´ıc´ısous- tavˇe M M ρ2ω2 Φ(x, y, z) = −G 1 − G 2 − , (6.5) r1 r2 2 156 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd kde ρ je vzd´alenostvybran´ehobodu od norm´alyk orbit´aln´ırovinˇeproch´azej´ıc´ıtˇeˇziˇstˇem soustavy a ´uhlov´arychlost ω je r 2 π G (M + M ) ω = = 1 2 , (6.6) P a3 kde P je orbit´aln´ıperioda. Ekvipotentenci´aln´ı plochy nebo t´eˇzekvipotenci´aly, jsou plochy tvoˇren´ebody se stejn´ympotenci´alemdan´ym(6.5). V soustavˇe dvojhvˇezdy se o nich hovoˇr´ı jako o Hillov´ych ploch´ach 6. Hmotn´ybod pohybuj´ıc´ıse po ekvipotenci´aln´ıploˇsenekon´apr´aci, protoˇzevykon´av´apohyb ve smˇerukolm´emna p˚usob´ıc´ıs´ıly. Tvar soustavy Hillov´ych ploch silnˇez´avis´ına pomˇeruhmotnosti sloˇzekdvojhvˇezdy. Hillova plocha spoleˇcn´apro obˇehvˇezdyproch´azej´ıc´ınav´ıclibraˇcn´ımLangrangeov´ymbodem L1 se zpravidla oznaˇcuje jako Rocheova plocha, pˇr´ıpadnˇeRocheova mez (viz obr. 6.10). Kolem kaˇzd´esloˇzky dvojhvˇezdytak definuje prostor tzv. Rocheova laloku. Jeho velikost lze samozˇrejmˇe pˇresnˇespoˇc´ıtat,ale v ˇradˇepˇr´ıpad˚uvystaˇc´ımes aproximac´ı,kter´adefinuje velikost koule stejn´ehoobjemu, napˇr.dle Eggleton (1983)

2 R 0, 49 q 3 1 = , (6.7) a 2  1  0, 6 q 3 + ln 1 + q 3 kde a je poloosa soustavy, R1 polomˇer Rocheovy plochy kolem hvˇezdyo hmotnosti M1 a q = M1/M2. Podle pr´acePlavec & Kratochv´ıl (1964) lze tak´espoˇc´ıtat pˇribliˇznou vzd´alenost l1 Lagrangeova bodu L1 od stˇredusloˇzky1:

∼ 1
l1 = 2 + 0, 227 log q . (6.8) M´ıravyplnˇen´ıRocheov´ych lalok˚uhraje z´asadn´ı´ulohu v jedn´ez nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ıch tˇr´ıdˇen´ıtˇesn´ych dvojhvˇezd.Byl to jiˇzKuiper (1941), kdo si pravdˇepodobnˇejako prvn´ı roli vyplnˇen´ı Rocheova laloku u tˇesn´ych dvojhvˇezduvˇedomil.Na jeho pr´acinav´azal Kopal (1955), kter´yzavedl n´asleduj´ıc´ız´akladn´ıklasifikaci (viz obr. 6.11):

• oddˇelen´esyst´emy (detached) – ani jedna ze sloˇzek nevyplˇnujesv˚ujRoche˚uvlalok, • polodotykov´e(semidetached) – jen jedna ze sloˇzeksv˚ujRoche˚uvlalok vyplˇnuje, • kontaktn´ı (contact) – obˇesloˇzkyvyplˇnuj´ı nebo sp´ıˇsepˇresahuj´ı Rocheovu mez, proto se dnes sp´ıˇsepouˇz´ıv´aanglick´yterm´ın overcontact, coˇzbychom mohli pˇrekl´a- dat pr´avˇejako ”pˇresahuj´ıc´ı”.

PozdˇejiWilson (1979) tuto klasifikaci doplnil o soustavy s dvoj´ımkontaktem (double contact), kdy obˇesloˇzkydvojhvˇezdypr´avˇepˇresnˇevyplˇnuj´ı Rocheovy laloky, ale ne- dot´ykaj´ıse navz´ajem.Nav´ıcalespoˇnjedna sloˇzka rotuje vˇetˇs´ırychlost´ıneˇzje rychlost synchronn´ırotace. Pro popis konstituce samotn´edvojhvˇezdyse kromˇeKopalovy klasifikace pouˇz´ıv´a v kataloz´ıch tak´edoplˇnkov´aklasifikace, kter´aupˇresˇnujecharakter sloˇzeksyst´emu, napˇr. v GCVS je to ˇclenˇen´ı:

6Poprv´eje definoval George William Hill na z´akladˇeprac´ıEdouarda Rocheho. 6.2. Dvojhvˇezdy 157

Obr´azek6.11: Kopalova klasifikace tˇesn´ych dvojhvˇezd.Zdroj: Dan Bruton. Upraveno.

GS Jedna nebo obˇesloˇzkysyst´emu jsou obˇrinebo veleobˇri;jedna ze sloˇzekm˚uˇzeb´yt i hvˇezda hlavn´ıposloupnosti. PN Aspoˇnjedna ze sloˇzekje j´adremplanet´arn´ımlhoviny (napˇr´ıkladUU Sge). RS Soustavy typu RS Canum Venaticorum - viz kapitola 6.1.2.3 WD Syst´em,kde sloˇzkami jsou b´ıl´ıtrpasl´ıci. WR Sloˇzkami soustavy jsou Wolfovy-Rayetovy hvˇezdy (napˇr´ıklad V 444 Cyg).

V´yˇseuveden´eklasifikace tedy berou v ´uvahu polohu sloˇzekhvˇezdyv HR diagramu a stupeˇnvyplnˇen´ıRocheova laloku. Pokud nen´ık dispozici detailn´ıstudie soustavy, je typ syst´emu odhadnut vˇetˇsinouna z´akladˇejednoduch´ych krit´eri´ıch publikovan´ych v pr´aci Svechnikov & Istomin (1979).

6.2.2 Svˇeteln´ekˇrivkyz´akrytov´ych dvojhvˇezd Tradiˇcn´ıklasifikace z´akrytov´ych dvojhvˇezdvych´az´ıze vzhledu jejich svˇeteln´ych kˇrivek.

Obr´azek6.12: Svˇeteln´ekˇrivky z´akrytov´ych dvojhvˇezd.CCD pozorov´an´ıM. Zejdy. a) Algolida typu II – hvˇezdaTW Dra. b) Hvˇezdatypu β Lyrae – ST Tri. c) Hvˇezdatypu W UMa – GZ And.

Pozorovatel´esice tuto klasifikaci preferuj´ı,ale je tˇrebasi uvˇedomit,ˇzeo pomˇerech v dvojhvˇezdn´emp´arunˇekdyjen m´alovypov´ıd´a.

EA typ Algol (algolidy) – jsou z´akrytov´edvojhvˇezdy, v jejichˇzsvˇeteln´ekˇrivce nach´az´ıme v´yrazn´ea relativnˇe´uzk´eprim´arn´ı minimum, v opaˇcn´ef´azipak zpravidla po- zorujeme mˇelˇc´ı,ale rovnˇeˇz´uzk´esekund´arn´ıminimum. Tyto poklesy jasnosti jsou 158 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

zp˚usobeny vz´ajemn´ymiz´akryty sloˇzek.Mimo z´akryty je jasnost v´ıcem´enˇekon- stantn´ı,promˇennosttu souvis´ıs asf´eriˇcnost´ıjedn´enebo obou sloˇzeka s efektem odrazu. U algolid typu I jsou minima jasnosti srovnatelnˇehlubok´a,pˇriˇcemˇzjejich hloubka nepˇres´ahne0,8 mag. Jde zpravidla o oddˇelen´edvojhvˇezdyse sloˇzkami v´ıcem´enˇekulov´ehotvaru. Algolidy typu II se vyznaˇcuj´ıv´yrazn´ymprim´arn´ımmin- imem o hloubce aˇznˇekolik magnitud, sekund´arn´ıminimum b´yv´anev´yrazn´enebo ´uplnˇechyb´ı.Jedn´ase o polodotykov´esoustavy v pokroˇcil´estadiu v´yvoje tvoˇren´e takˇrka sf´erickou prim´arn´ısloˇzkou, kter´ab´yv´amnohon´asobnˇejasnˇejˇs´ıneˇzkapkovitˇe prot´ahl´asekund´arn´ısloˇzka. Ta se ve svˇetlesoustavy mimo z´akryty skoro nepro- jevuje. V´ysledkem pak je, ˇzese v tzv. konstantn´ıˇc´astijasnost syst´emu prakticky nemˇen´ı.Periody algolid jsou moˇzn´ev ˇsirok´emrozmez´ı0,2 aˇz10000 dn´ı EB typ β Lyrae – ve svˇeteln´ych kˇrivk´ach nach´az´ıme prim´arn´ıi sekund´arn´ıminimum, kdy zjevnˇedoch´az´ık z´akryt˚umsloˇzek.Jasnost syst´emu se v´yraznˇemˇen´ıi mimo z´akryty, coˇzsvˇedˇc´ıo tom, ˇzetu m´ameco do ˇcinˇen´ıs tˇesnousoustavou se slapovˇe protaˇzen´ymisloˇzkami a siln´ymefektem odrazu. Mezi sloˇzkami doch´az´ık v´ymˇenˇe l´atky, nach´az´ımezde plynn´eproudy i disky. Hloubky prim´arn´ıch minim dosahuj´ı aˇz2 mag ve V . Periody jsou zpravidla delˇs´ıneˇz1 den. Jde o pomˇernˇevz´acn´e syst´emy se sloˇzkami spektr´aln´ıhotypu B aˇzA. EW typ W Ursae Majoris. Na svˇeteln´ych kˇrivk´ach v podstatˇenen´ımoˇzn´eurˇcitpˇresn´y ˇcaszaˇc´atkua konce z´akrytu. Prim´arn´ı a sekund´arn´ı minima jsou t´emˇeˇrstejnˇe hlubok´a.Amplitudy zmˇenjsou do 0,8 mag ve V . Jedn´ase vesmˇeso kr´atkoperiodick´e syst´emy s orbit´aln´ıperiodou pod 1 den, sest´avaj´ıc´ız elipsoid´aln´ıch sloˇzek,kter´e jsou t´emˇeˇrv dotyku. Soud´ıse, ˇzesloˇzkyspektr´aln´ıtypy F aˇzG a pozdˇejˇs´ımaj´ı spoleˇcnouatmosf´eru.

Na vzhledu svˇeteln´ekˇrivkyz´akrytov´ych dvojhvˇezdse podepisuje ˇradaokolnost´ı,a to:

• geometrie syst´emu, tedy sklon trajektorie a relativn´ıvelikosti sloˇzek; • rozloˇzen´ıjasu na kotouˇc´ıch hvˇezd,ˇciliokrajov´eztemnˇen´ıhvˇezd,jehoˇzparametry jsou d´any stavbou hvˇezdn´eatmosf´ery; • u tˇesnˇejˇs´ıch syst´em˚uovlivˇnujevzhled svˇeteln´ekˇrivkyasf´eriˇcnostsloˇzek,kter´ejsou slapovˇedeformov´any, nˇekdehraje roli i existence spoleˇcn´ych fotosf´er(hvˇezdytypu W Ursae Majoris) a existence sv´ıt´ıc´ıˇciabsorbuj´ıc´ıl´atkypoch´azej´ıc´ız pˇretoku hmoty mezi sloˇzkami; • u tˇesn´ych soustav b´yv´ad˚uleˇzit´yi rozptyl z´aˇren´ıdruh´esloˇzkyv syst´emu zp˚usobuj´ı tzv. efekt odrazu

Vˇseje ponˇekudkomplikovan´e,nicm´enˇev souˇcasnostiexistuje ˇradaspolehliv´ych v´ypoˇcetn´ıch program˚unapˇr´ıklad PHOEBE, Nightfall ˇciFOTEL, kter´ejsou s to potˇrebn´einformace (v r˚uzn´emstupni spolehlivosti) ze svˇeteln´ekˇrivkyvytˇeˇzit.7 Pro ilustraci si vyberme znaˇcnˇezjednoduˇsen´ypˇr´ıpad,kdy zkouman´az´akrytov´asous- tava sest´av´aze dvou kulov´ych hvˇezdo polomˇerech R1 a R2, ob´ıhaj´ıc´ıch kolem spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇepo kruhov´etrajektorii ve vzd´alenosti r. Aby mohlo doch´azetk z´akryt˚um,mus´ı

7Pˇrehled modelov´an´ı svˇeteln´ych kˇrivek dvojhvˇezd pod´av´a napˇr. Wilson (1994), pˇr´ıpadnˇe http://astro.physics.muni.cz/models. 6.2. Dvojhvˇezdy 159

Obr´azek6.13: Z´akryty ve dvojhvˇezdˇe.Zdroj: Jiˇr´ıKrtiˇcka. b´ytinklinace (´uhelmezi smˇeremk pozorovateli a norm´alouk obˇeˇzn´erovinˇedvojhvˇezdy) i > 90◦ − α, kde R + R sin α = 1 2 . r Pro naˇsedalˇs´ı´uvahy vezmˇemeide´aln´ıpˇr´ıpad i = 90◦, coˇzznamen´a,ˇzev t´eto soustavˇe bude doch´azetk tzv. centr´aln´ımz´akryt˚um. Pro naˇse´uvahy zvol´ımevˇetˇs´ız hvˇezdo po- 8 lomˇeru R1 za centr´aln´ıtˇeleso(na volbˇenez´aleˇz´ı) a druh´amenˇs´ıbude kolem n´ıst´alou rychlost´ıob´ıhattak, ˇzejej´ıstˇred op´ıˇsekolem stˇreducentr´aln´ısloˇzkykruˇzniciza dobu obˇehu P .

Pˇrechod (transit)

Pozorujeme-li soustavu z velk´evzd´alenosti,vid´ıme,ˇzek prvn´ımu kontaktu pˇrech´azej´ı- c´ıhotˇelesas tˇelesemv pozad´ıdojde ve chv´ıli,kdy spojnice ke stˇredudruh´esloˇzky bude se smˇeremk pozorovateli sv´ırat´uhel α1 (viz obr´azek6.13), pˇriˇcemˇzplat´ı R + R R + R sin α = 1 2 pro mal´e´uhly α ∼ 1 2 . (6.9) 1 r 1 r Pokud jde o pˇrechod menˇs´ıho tˇelesapˇres vˇetˇs´ı, pak budeme sledovat, jak se pˇred kotouˇcvˇetˇs´ı sloˇzkypˇredsune menˇs´ı kotouˇc,kter´ybude systematicky ukusovat st´ale vˇetˇs´ıˇc´astdisku hvˇezdyv pozad´ı.Bˇehemt´etof´azeˇc´asteˇcn´ehoz´akrytujasnost soustavy takˇrka line´arnˇekles´av d˚usledkuskuteˇcnosti,ˇzevyzaˇruj´ıc´ıplocha zakr´yvan´ehvˇezdyse zmenˇsuje.Ve svˇeteln´ekˇrivce vid´ımepokles, naz´yvan´ysestupn´avˇetevminima jasnosti. Rychl´ypokles se zastav´ıv momentu tzv. druh´ehokontaktu, kdy se na disku centr´aln´ı hvˇezdyzobraz´ıcel´ykotouˇcmenˇs´ısloˇzky. V tom okamˇzikubude spojnice ke stˇredudruh´e sloˇzkyse smˇeremk pozorovateli sv´ırat´uhel α2, pˇriˇcemˇzplat´ı R − R R − R sin α = 1 2 pro mal´e´uhly α ∼ 1 2 . (6.10) 2 r 2 r

8To, ˇzena volbˇenez´aleˇz´ı,je ale i ˇcastopˇr´ıˇcinou jist´elibov˚ulea tak se m˚uˇzemesetkat v r˚uzn´ych publikac´ıch s t´ım,ˇzejsou jako prim´arn´ıdefinov´any r˚uzn´esloˇzky!Nˇekdyje to hmotnˇejˇs´ı,nˇekdy jasnˇejˇs´ı sloˇzka, nˇekdyta, kter´aje ve f´azi0 bl´ıˇzepozorovateli. 160 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.14: Vznik svˇeteln´ekˇrivkyz´akrytov´edvojhvˇezdy. t1 aˇz t4 oznaˇcuj´ıokamˇzikytzv. prv´eho,druh´eho,tˇret´ıhoa ˇctvrt´ehokontaktu.

Nyn´ıbude kotouˇcmenˇs´ısloˇzkyputovat aˇzdo centra kotouˇcevˇetˇs´ısloˇzky, kdy nastane stˇredz´akrytu.Vzhledem k tomu, ˇzenaprost´avˇetˇsinahvˇezdjev´ınezanedbateln´eokrajov´e ztemnˇen´ı,bude v t´etof´azijasnost hvˇezdym´ırnˇeklesat. Na svˇeteln´ekˇrivce pozorujeme mˇelk´edno – v promˇen´aˇrsk´emˇzargonu se prav´ı,hvˇezdaje v tzv. zast´avce“. Po pr˚uchodu ” centrem cel´y´ukaz symetricky pokraˇcuje.Kdyˇzse okraj druh´esloˇzkyzevnitˇrdotkne okraje hvˇezdyv pozad´ınast´av´atzv. tˇret´ıkontakt, po nˇemˇzse zaˇcnezmenˇsovat pod´ıl zakr´yvan´eplochy a to aˇzdo momentu ˇctvrt´ehokontaktu, kter´yukonˇcujevzestupnou vˇetevsvˇeteln´ekˇrivkya cel´yz´akryt. V pˇr´ıpadˇe,ˇzelze pˇristoupitna aproximaci sin α ∼= α, d´elka doby mezi prvn´ım a ˇctvrt´ymkontaktem, ˇciliobdob´ısn´ıˇzen´ejasnosti soustavy (doby tzv. minima jasnosti), oznaˇcovan´azpravidla symbolem D, je d´anavztahem

D 2 α R + R = 1 = 1 2 . (6.11) P 2 π π r Pro trv´an´ızast´avky d v minimu jasnosti dost´av´ameobdobnˇe:

d 2 α R − R = 2 = 1 2 . (6.12) P 2 π π r Pokud jsme schopni ze svˇeteln´ekˇrivkyodhadnout trv´an´ıobou f´az´ı,dostaneme tak odhad relativn´ıch rozmˇer˚uobou sloˇzek:

R π D + d R π D − d 1 = ; 2 = . (6.13) r 2 P r 2 P Budeme-li m´ıtnav´ıck dispozici i kˇrivkuradi´aln´ıch rychlost´ıobou sloˇzek,pak z n´ı snadno vyˇcteme t´eˇzobˇeˇznourychlost a t´ımi absolutn´ıpolomˇertrajektorie. Pomoc´ınˇej vypoˇc´ıt´ameabsolutn´ırozmˇerysloˇzek.Upozorˇnuji,ˇzejsme k tomu vˇsemu nepotˇrebovali zn´atvzd´alenostsoustavy. 6.2. Dvojhvˇezdy 161

Z´akryt (okultace)

Pˇresnˇepo p˚ulperiodˇedojde k opaˇcn´esituaci, v popˇred´ıbude centr´aln´ıtˇelesoa za nˇejse bude postupnˇeukr´yvat tˇelesomenˇs´ı.Po prvn´ımkontaktu se ˇc´astkotouˇcemenˇs´ıhvˇezdy skryje za nepr˚uhledn´ymkotouˇcemcentr´aln´ıhvˇezdy. Jasnost soustavy bude postupnˇe klesat a to aˇzdo okamˇzikudruh´ehokontaktu, kdy kotouˇcdruh´ehvˇezdy zmiz´ınadobro. Od t´echv´ılez˚ust´av´ajasnost soustavy konstantn´ıaˇzdo chv´ıletˇret´ıhokontaktu, kdy se na opaˇcn´estranˇecentr´aln´ıhvˇezdyobjev´ıˇc´astkotouˇcezakr´yvan´ehvˇezdy. Ta se nakonec vynoˇr´ıcel´a,pˇriˇcemˇzobˇesloˇzkyse od sebe oddˇel´ıv okamˇzikutzv. ˇctvrt´ehokontaktu. V hlavn´ıch rysech je vzhled svˇeteln´ekˇrivkyobdobn´yjako v pˇr´ıpadˇepˇrechodu (tran- situ), jen s t´ımrozd´ılem,ˇzev zast´avce svˇeteln´ekˇrivkyse jasnost syst´emu nemˇen´ı. Pokud nejsou sloˇzkyz´akrytov´edvojhvˇezdyidentick´e,pozorujeme rozd´ılyv hloubce obou minim (transit a okultace). Hlubˇs´ımu z nich ˇr´ık´ameprim´arn´ıminimum, druh´emu pak minimum sekund´arn´ı. Pokud je efektivn´ı teplota menˇs´ı sloˇzkyniˇzˇs´ı neˇzteplota sloˇzkyvˇetˇs´ı,pak pˇritransitu nast´av´ahlubˇs´ıminimum neˇzpˇriokultaci. Pokud je tomu naopak, odpov´ıd´aprim´arn´ıminimum z´akrytumenˇs´ıhotˇelesa.Jestliˇzedoch´az´ık ´upln´emu z´akrytu,je moˇzn´edokonce urˇcitpomˇerteplot sloˇzekdvojhvˇezdydle vztahu

B − B T 4 0 p = 1 , (6.14) B0 − Bs T2 kde B0,Bp,Bs jsou bolometrick´ejasnosti v maximu, prim´arn´ıma sekund´arn´ımminimu a T1 a T2 teploty vˇetˇs´ıa menˇs´ısloˇzky. V astrofyzik´aln´ı praxi se bˇeˇznˇesetk´av´ames obˇemapˇr´ıpady. Jsou-li sloˇzkydvojhvˇezdy hvˇezdamihlavn´ı posloupnosti, pak plat´ı,ˇzehmotnˇejˇs´ı sloˇzka je vˇetˇs´ı a teplejˇs´ı neˇzsloˇzka m´enˇehmotn´a.Vezmˇemesi hypotetick´ypˇr´ıklad z´akrytudvou hvˇezd:F0 V (R1 = 1, 6 R , Tef = 7200 K) a F5 V (R2 = 1, 4 R , Tef = 6400 K). Zanedb´ame-livliv okrajov´ehoztemnˇen´ı, zv´yˇs´ıse pˇricentr´aln´ımtransitu bolometrick´ahvˇezdn´avelikost o 0,78 mag, pˇriz´akrytuvzroste jen o 0,43 mag. Jin´eje to s tzv. algolidami typu II, kde rozmˇerovˇevˇetˇs´ız obou hvˇezdje podobr, jenˇzje ale chladnˇejˇs´ıa m´enˇehmotn´yneˇzdruh´asloˇzka, kter´ab´yv´ahvˇezdouhlavn´ıposloupnosti. Zvolme si modelov´ypˇr´ıklad:centr´aln´ıhvˇezdoubude podobr o polomˇeru R1 = 5 R , Tef = 4500 K a druhou sloˇzkou hvˇezdahlavn´ıposloupnosti A0 V (R2 = 2, 7 R , Tef = 9250 K). Transit se projev´ınepatrn´ymzeslaben´ımo 0,05 mag, ale pˇriz´akrytu,kdy prim´arn´ısloˇzka zcela zmiz´ı, vzroste bolometrick´ahvˇezdn´avelikost o 1,99 mag! Je tedy zˇrejm´e,ˇzealgolidy typu II jsou pozorovatelsky n´apadnˇejˇs´ı,neˇzsoustavy, kde jsou obˇesloˇzkyhvˇezdamihlavn´ıposloupnosti (algolidy typu I). Pokud nejsou splnˇeny v´yˇseuveden´epodm´ınky(kulov´ehvˇezdy, kruhov´etrajektorie, i = 90◦) setk´av´amese s komplikovanˇejˇs´ımisvˇeteln´ymikˇrivkami, kter´ese v nˇekter´ych ohledech od naˇsehoidealizovan´ehopˇr´ıpaduliˇs´ı. Pro poˇr´adekuved’me, ˇze: • Pˇrinenulov´eexcentricitˇeobecnˇeneb´yv´asekund´arn´ıminimum um´ıstˇeno pˇresnˇeve f´azi 0,5. V´yjimkutvoˇr´ısituace, kdy je pˇr´ımka apsid koline´arn´ıse smˇeremk pozorovateli. Na svˇeteln´ekˇrivce se to ale stejnˇepozn´atak, ˇzepozorovan´azeslaben´ımaj´ır˚uzn´atrv´an´ı. • Pˇrisklonu i 6= 90◦ m˚uˇzej´ıti v absolutn´ımminimu jen o ˇc´asteˇcn´yz´akryt,kdy nenast´av´a v minimu zast´avka (d = 0). Z tvaru svˇeteln´ekˇrivkylze na velikost sklonu i usoudit. 162 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

• V pˇr´ıpadˇetˇesn´ych dvojhvˇezdtvoˇr´ıc´ıch kr´atkoperiodickou soustavu, jsou jejich sloˇzky v´yraznˇeslapovˇedeformov´any. Bˇehemobˇehu se mˇen´ıjejich natoˇcen´ıv˚uˇcipozorovateli, a t´ımi jejich pr˚umˇet.Proto se jasnost soustavy mˇen´ıi mezi z´akryty. • Hvˇezdyse vz´ajemnˇeosvˇetluj´ı– ne pˇr´ıliˇspˇril´ehavˇese tento efekt, kter´ydeformuje a kom- plikuje pozorovan´esvˇeteln´ekˇrivky, oznaˇcujejako efekt odrazu. • Svˇetelnoukˇrivkum˚uˇzedeformovat tzv. tˇret´ısvˇetlov soustavˇe,kter´em˚uˇzeb´ytzp˚usobeno z´aˇren´ımz dalˇs´ıhvˇezdy v soustavˇenebo u tˇesn´ych soustav pˇr´ıtomnost´ıplynn´ehoproudu mezi sloˇzkami, akreˇcn´ıhodisku kolem jedn´eze sloˇzek. V´yznamn´ymdeformaˇcn´ımprvkem jsou tak´eskvrny na povrchu sloˇzekˇci akreˇcn´ıhodisku. Toto jsou ty nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıokolnosti, kter´eformuj´ısvˇetelnoukˇrivku.Lze naj´ıtsamozˇrejmˇe i dalˇs´ıefekty ovlivˇnuj´ıc´ıpodobu svˇeteln´ekˇrivkyz´akrytov´ych promˇenn´ych hvˇezd,vesmˇes ale jde o jemnˇejˇs´ıefekty druh´ehoˇr´adu.

Obr´azek6.15: Zmˇeny radi´aln´ıch rychlost´ıhmotnostnˇejen m´aloodliˇsn´ych sloˇzekA a B dvo- jhvˇezdyAR Aur s kruhov´ymitrajektoriemi. Tmavˇejsou vyznaˇcenamˇeˇren´ıpro prim´arn´ısloˇzku, svˇetlepro sekund´arn´ı,tvar symbol˚uodliˇsujezdroj pozorov´an´ı. C´aryukazuj´ıproloˇzen´ekˇrivkyˇ radi´aln´ıch rychlost´ı– pln´apro prim´arn´ısloˇzku,ˇc´arkovan´apro sekund´arn´ı.Zdroj: Folsom et al. (2010).

6.2.3 Kˇrivky radi´aln´ıch rychlost´ı Kromˇefotometrick´ych pozorov´an´ıa tedy svˇeteln´ych kˇrivek jsou d˚uleˇzit´ymzdrojem infor- mac´ıpˇristudiu z´akrytov´ych promˇenn´ych hvˇezdi pozorov´an´ıspektroskopick´a,zejm´ena pak kˇrivkyradi´aln´ıch rychlost´ı(viz obr. 6.15). Pomoc´ınich m˚uˇzemeurˇcitzejm´enapomˇer hmotnost´ı q sloˇzekdvojhvˇezdy. D´ase totiˇzuk´azat,ˇzeplat´ı m a K q = 2 = 1 = 1 , (6.15) m1 a2 K2 kde m1, m2 jsou hmotnosti sloˇzek, ai, a2 jejich vzd´alenostiod tˇeˇziˇstˇesoustavy a K1,K2 amplitudy9 kˇrivek radi´aln´ıch rychlost´ı sloˇzek dvojhvˇezdy. Podoba kˇrivky radi´aln´ıch rychlost´ısilnˇez´avis´ına trajektorii sloˇzekdvojhvˇezdy, jej´ıexcentricitˇea orientaci v˚uˇci pozorovateli (viz obr. 6.16).

9Hodnota K odpov´ıd´apolovinˇerozsahu hodnot radi´aln´ıch rychlost´ıdan´esloˇzkydvojhvˇezdy, proto se nˇekdyoznaˇcujejako semiamplutuda kˇrivkyradi´aln´ıch rychlost´ı. 6.2. Dvojhvˇezdy 163

Obr´azek6.16: Orbit´aln´ıtrajektorie (vlevo) a kˇrivkyradi´aln´ıch rychlost´ı(vpravo) pro hvˇezdy o hmotnostech m1 = 1 M a m2 = 2 M s obˇeˇznoudobou P = 30 dn´ı. Radi´aln´ı rychlost tˇeˇziˇstˇesoustavy vtˇeˇziˇstˇe = 42 km/s. v1, v2 jsou radi´aln´ırychlosti sloˇzek.V obou pˇr´ıpadech je inklinace i = 90◦. Nahoˇreje situace s kruhovou trajektori´ı,dole s excentricitou e = 0, 4 a d´elkou periastra ω = 45◦. Pˇrevzatoz Carroll & Ostlie (2007) a upraveno.

Pokud jsou ve spektrech mˇeˇriteln´espektr´aln´ıˇc´aryobou sloˇzekdvojhvˇezdy, z´ısk´ame amplitudy K1,K2 a lze pˇr´ımourˇcitprojekci poloos trajektori´ısloˇzek √ 1 − e2 a sin i = K P, (6.16) 1,2 2π 1,2 kde P je obˇeˇzn´aperioda sloˇzeka i inklinace (sklon) a e excentricita trajektorie. Dosazen´ım tˇret´ıhoKeplerova z´akona a ´upravami dostaneme vztah pro minim´aln´ıhmotnosti sloˇzek dvojhvˇezdy 2 3 (1 − e ) 2 m sin3 i = (K + K ) K P. (6.17) 1,2 2 π G 1 2 2,1 Tento vztah d´av´askuteˇcn´ehmotnosti sloˇzekdvojhvˇezdyjen pro i = 90◦, pro vˇsechny ostatn´ıinklinace jde o doln´ımez hmotnosti kaˇzd´esloˇzky. Pokud je ve spektru mˇeˇriteln´a jen jedna sloˇzka dvojhvˇezdydostaneme po ´uprav´ach tzv. hmotnostn´ıfunkci 3 3 m2 sin i f(m) = 2 . (6.18) (m1 + m2) Pro zpracov´an´ıspektroskopick´ych pozorov´an´ıse vyuˇz´ıv´aˇradymetod od pˇr´ım´eho (ruˇcn´ıho) promˇeˇrov´an´ı poloh jednotliv´ych ˇcar,pˇresmetody kroskorelace, rozˇsiˇrovac´ı funkce (broadening function) aˇzpo metody rozpl´et´an´ı(disentangling) spekter (viz obr. 6.17) nebo dopplerovskou tomografii. Je tˇrebasi ale uvˇedomit,ˇzenapˇr´ıkladv´ysledkem disentanglingu jsou pˇr´ımoparametry syst´emu. Prim´arn´ımv´ysledkem jsou zde spektra spektra jednotliv´ych sloˇzekdvojhvˇezdya parametry syst´emu. Radi´aln´ırychlosti zde uˇz vlastnˇenejsou zapotˇreb´ı,ale lze je samozˇrejmˇepro okamˇzikypoˇr´ızen´ıspekter spoˇc´ıtat. 164 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.17: Uk´azka metody rozpl´et´an´ıspekter pro syst´emAR Aur. Body vyznaˇcuj´ıpo- zorov´an´ıa ˇc´araukazuj´ınejl´epe odpov´ıdaj´ıc´ıspektrum. V´ysledn´arozmotan´aspektra sloˇzek A a B jsou vykreslena ve spodn´ıˇc´astiobr´azku.Detaily viz Folsom et al. (2010).

6.2.4 Tˇesn´einteraguj´ıc´ıdvojhvˇezdy U tˇesn´ych dvojhvˇezdn´ych p´ar˚udoch´az´ıke vz´ajemn´einterakci sloˇzeksyst´emu. M˚uˇzej´ıt jak o p˚usoben´ına d´alku“, tak i bezprostˇredn´ıkontakt obou sloˇzeks v´ymˇenouhmoty. ” Anizotropie z´aˇren´ıvzhledem k ose orbit´aln´ıhopohybu m˚uˇzeb´ytv tˇesn´ych syst´emech zp˚usobena slapovou deformac´ı sloˇzek, kdy komponenty nab´yvaj´ı kapkovit´ytvar (viz kapitola 6.2.1). Jak se soustava ot´aˇc´ı, mˇen´ı se jejich pr˚uˇrezy kolm´ena smˇerk po- zorovateli a t´ım i pozorovan´ajasnost. Dalˇs´ım momentem je zde fakt, ˇzejas slapovˇe deformovan´ych hvˇezdnen´ı vˇsudestejn´y,menˇs´ı je v oblastech s menˇs´ım gravitaˇcn´ım zrychlen´ım.U tˇesn´ych z´akrytov´ych dvojhvˇezdto pak znamen´a,ˇzese v d˚usledkuslapov´e deformace sloˇzek jasnost soustavy mˇen´ıi mezi z´akryty. Jin´ymefektem, kter´yu tˇesn´ych soustav hraje d˚uleˇzitouroli, je tzv. efekt odrazu, vyjadˇruj´ıc´ıfakt, ˇzese hvˇezdynavz´ajemosvˇetluj´ı.Toto z´aˇren´ıse ve fotosf´er´ach jejich ko- legyˇnd´ılemrozpt´yl´ıa vyz´aˇr´ıdo prostoru, d´ılemse absorbuje a slouˇz´ık nahˇr´at´ısvrchn´ıch vrstev t´etohvˇezdy. V kaˇzd´empˇr´ıpadˇeto vede ke skuteˇcnosti,ˇzejas k sobˇepˇrivr´acen´ych ˇc´ast´ıhvˇezdje vˇetˇs´ı,neˇzjas ˇc´ast´ıodvr´acen´ych. Pˇriobˇehu n´ampak hvˇezdynat´aˇcej´ır˚uzn´e ˇc´astisv´ych fotosf´er,coˇzse projev´ıperiodick´ymkol´ıs´an´ımjasnosti soustavy. Zvl´aˇstˇev´yznamn´yje efekt odrazu v takov´ych soustav´ach, kde jednu sloˇzkutvoˇr´ınorm´aln´ı hvˇezdaa druhou je zhroucen´asloˇzka, kter´av d˚usledkuakrece l´atky poch´azej´ıc´ız norm´aln´ı sloˇzkyvyzaˇrujedo prostoru mocn´erentgenov´ez´aˇren´ı.To se v povrchov´ych vrstv´ach druh´ekom- ponenty zachyt´ıa nahˇrejejej´ıfotosf´eruaˇzo 1000 kelvin˚u.Vzhledem k tomu, ˇzese rentgenov´a sloˇzka v optick´emoboru neprojevuje a je velice mal´a,takˇzeani nic nezakryje, pozorujeme jen svˇeteln´eprojevy nat´aˇcen´ınorm´aln´ısloˇzky. Jde tedy vlastnˇeo sv´er´aznourotuj´ıc´ıpromˇennou hvˇezdus nestejn´ymipolokoulemi. V tˇesn´ych dvojhvˇezd´ach ˇcastodoch´az´ık v´ymˇenˇel´atkymezi sloˇzkami, v soustavˇepo- 6.2. Dvojhvˇezdy 165

Obr´azek6.18: Sch´ematick´yn´aˇcrtbin´arn´ıhosyst´emu s akreˇcn´ımdiskem obklopuj´ıc´ımb´ıl´eho trpasl´ıka. Zdroj: http://heasarc.gsfc.nasa.gov.

zorujeme plynn´eproudy, akreˇcn´ıdisky, hork´eskvrny. Tato l´atka a ´utvary v n´ıse projevuj´ı i vlastn´ımz´aˇren´ınebo absorpc´ız´aˇren´ısloˇzekdvojhvˇezdy. Bˇehemobˇehu se konfigurace t´etol´atkymˇen´ı,mˇen´ıse i svˇeteln´ypˇr´ıspˇevek l´atkymezi sloˇzkami. Interpretace tˇechto svˇeteln´ych zmˇenje nesnadn´a,protoˇzeje obt´ıˇzn´esestrojit dobˇrefyzik´alnˇefunguj´ıc´ımode- ly zohledˇnuj´ıc´ıvˇsechny d˚uleˇzit´eprocesy prob´ıhaj´ıc´ıv soustav´ach s masivn´ımpˇretokem l´atky.10 Nˇekter´etˇesn´e,interaguj´ıc´ı syst´emy b´yvaj´ı vyˇclenˇeny do zvl´aˇstn´ıch skupin. Jako kataklyzmick´edvojhvˇezdy se oznaˇcuj´ısoustavy obsahuj´ıc´ınorm´aln´ıhvˇezdu hlavn´ıposloup- nosti, kter´aztr´ac´ıhmotu a pˇred´av´aji akrec´ıb´ıl´emu trpasl´ıkovi. Jsou zpravidla velmi mal´ych rozmˇer˚u,typicky srovnateln´evelikost´ıse soustavou Zemˇe– Mˇes´ıc,coˇzvede ke obˇeˇzn´ymdob´am od 1 do 10 hodin. Projevuj´ıse zejm´enav rentgenovsk´eˇc´astispektra. Patˇr´ısem napˇr´ıkladnovy, trpasliˇc´ınovy, polary. Dalˇs´ıskupinu tzv. symbiotick´ychdvojhvˇezd tvoˇr´ıdlouhoperiodick´einteraguj´ıc´ıdvoj- hvˇezdy, jejichˇzjednu sloˇzkutvoˇr´ıvyvinut´yˇcerven´yobr, zpravidla spektr´aln´ıhotypu M III, kter´ypˇren´aˇs´ıhmotu na sv´ehohork´ehoa kompaktn´ıhopr˚uvodce, nejˇcastˇejib´ıl´ehotr- pasl´ıka. Pˇrenoshmoty se v naprost´evˇetˇsinˇepˇr´ıpad˚uuskuteˇcˇnujeintenzivn´ımhvˇezdn´ym vˇetremvyvinut´esloˇzky. Hork´ytrpasl´ıkpak tento hvˇezdn´yv´ıtrobra ionizuje a kolem soustavy vznik´asymbiotick´amlhovina o teplot´ach 7000 K aˇz15 000 K, kter´ase proje- vuje jako tˇret´ıkomponenta sloˇzen´ehospektra dvojhvˇezdy. Symbiotick´ehvˇezdyse mˇen´ı nepravidelnˇeaˇzo 4 mag na ˇcasov´ych ˇsk´al´ach stovek dn´ı.

10V pˇr´ıpadˇehork´ych interaguj´ıc´ıch dvojhvˇezd,projevuj´ıc´ıch se jako hvˇezdyse z´avojem, nalezli Kˇr´ıˇz & Harmanec (1975) d˚ukazy o z´akrytech hvˇezdplynn´ymproudem mezi sloˇzkami. 166 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.19: U, B, V, I svˇeteln´ekˇrivkyCI Cygni. Na horn´ım panelu jsou nejn´apadnˇejˇs´ı hlubok´ez´akryty a velk´yv´ybuch, kter´yzaˇcalv roce 1975. Bˇehemv´ybuchu a kr´atcepo nˇem byly z´akryty ´uzk´e,dobˇredefinovan´es jasn´ymiˇcasykontakt˚u,zat´ımcov klidov´emstavu se vyskytuj´ıvelmi ˇsirok´aminima a takˇrka plynul´asinusoid´aln´ızmˇena(lev´ydoln´ıpanel). Elip- soid´aln´ıpromˇennost ˇcerven´eho obra je viditeln´apouze v klidov´emstavu a na vizu´aln´ıch nebo infraˇcerven´ych kˇrivk´ach (mal´yhrb pobl´ıˇzf´aze0,5 v prav´emdoln´ımpanelu). Pˇrevzatoz Miko- lajewska (2001).

6.2.5 V´yznamv´yzkumu z´akrytov´ych dvojhvˇezd

Vyuˇzit´ımvˇsech dostupn´ych modern´ıch metod pro studium dvojhvˇezdm˚uˇzemeurˇcovat parametry sloˇzekdvojhvˇezdn´ych syst´em˚us relativnˇevysokou pˇresnost´ı,s chybou menˇs´ı neˇz1 %, coˇzje i limit pˇresnostipro testov´an´ıv´yvojov´ych model˚u(Andersen, 1991). Anal´yzousvˇeteln´ekˇrivkylze, jak v´ımeurˇcitˇraduparametr˚u,zejm´ena inklinaci i, rela- tivn´ırozmˇerysloˇzek R1, R2 a relativn´ız´aˇriv´ev´ykony sloˇzekvzhledem k celkov´esv´ıtivosti soustavy. Zmˇeny polohy sekund´arn´ıhominima na svˇeteln´ekˇrivce vypov´ıdaj´ıo excen- tricitˇeobˇeˇzn´etrajektorie. Z pomˇeruhloubek minim lze usuzovat na pomˇerpovrchov´ych teplot sloˇzek. Pomˇerymezi jasnostmi v minimu a mimo z´akryt v r˚uzn´ych oborech spek- tra vypov´ıdaj´ıo hodnot´ach mezihvˇezdn´eextinkce. Pˇrirozboru pˇresn´ych fotometrick´ych pozorov´an´ıpak lze odhalit i projevy efekt˚udruh´ehoˇr´adujako koeficienty okrajov´ych ztemnˇen´ısloˇzek,tedy rozloˇzen´ıjasu na disc´ıch hvˇezd,efekty odrazu, pˇr´ıtomnost skvrn na povrchu sloˇzek a podobnˇe. Pˇripoj´ıme-lik fotometrick´ymmˇeˇren´ımi rozbor spekter lze s pomoc´ıkˇrivkyradi´aln´ıch 6.2. Dvojhvˇezdy 167 rychlost´ıodvodit line´arn´ıvzd´alenostsloˇzeka tak i absolutn´ırozmˇerysloˇzek.Zejm´ena ale m˚uˇzeme urˇcithmotnosti sloˇzekdvojhvˇezdy, s pˇresnost´ı, jakou n´amjin´emetody ned´avaj´ı.Dvojhvˇezdyv tomto hraj´ızcela dominantn´ıa nezastupitelnou roli a ´udaje z jejich v´yzkumu jsou tak z´asadn´ıpro celou astrofyziku. Fotometrick´ai spektroskopick´a pozorov´an´ınav´ıcpˇrin´aˇsej´ıi informaci o efektivn´ıch teplot´ach sloˇzek.N´aslednˇetak lze stanovit i z´aˇriv´ev´ykony hvˇezda jejich absolutn´ıbolometrick´ehvˇezdn´evelikosti. Z nich a z pozorovan´ych hvˇezdn´ych velikost´ıje pak moˇzn´eodvodit i vzd´alenostsoustavy. Je d˚uleˇzit´esi uvˇedomit,ˇzetakto urˇcen´evzd´alenostijsou velmi pˇresn´ea zejm´enanez´avisl´e na jin´ych technik´ach a slouˇz´ıtak jako opora pro jin´emetody urˇcen´ıvzd´alenost´ıi pro ˇsk´alu efektivn´ıch teplot vˇsech hvˇezd.Od konce minul´eho stolet´ı se podobn´ypˇr´ıstup aplikuje i pro mˇeˇren´ı extragalaktick´ych vzd´alenost´ı (Gim´enezet al., 1995; Hilditch, 1996 aj.). Z´akladn´ıparametry hvˇezdzjiˇstˇen´epro sloˇzkydvojhvˇezdumoˇzˇnuj´ıpˇr´ım´etesty v´yvo- jov´ych model˚uhvˇezdr˚uzn´ehmotnosti. Ale nemylte se. Pˇrestoˇzez´akrytov´ych dvojhvˇezd zn´amemnoho tis´ıc,takov´ych, kde jsou dostateˇcnˇepˇresnˇeurˇceny absolutn´ıparametry soustavy je jen nˇekolik des´ıtek. Naˇseinformace o v´yvojov´ych procesech a jednotliv´ych ak- tivn´ıch st´adi´ıch v´yraznˇeobohacuj´ıtak´enov´etechniky zpracov´an´ıspekter jako mapov´an´ı z´akryt˚u,Dopplerovsk´atomografie ˇcirozmot´av´an´ı(disentangling) spekter. Vˇsechna zjiˇs- tˇen´adata ale pˇrisp´ıvaj´ıi k ovˇeˇren´ınaˇsich pˇredstav o specifik´ach ve v´yvoji dvojhvˇezd samotn´ych. Koneˇcnˇestudium dvojhvˇezdn´ych soustav, jejichˇzˇcleny jsou novy, trpasliˇc´ı novy, rentgenovsk´ezdroje, polary, supernovy, neutronov´ehvˇezdy, ˇcern´ed´ıry, slouˇz´ıkromˇejiˇz v´yˇsezm´ınˇen´ych moˇznost´ık z´ısk´av´an´ıinformac´ıi o tˇechto, ˇreknˇemeextr´emn´ıch, objek- tech svˇetahvˇezd.Z´ıskan´adata lze vyuˇz´ıttak´ek ovˇeˇrov´an´ınaˇsich znalost´ıo z´akladn´ıch fyzik´aln´ıch z´akonech, testov´an´ıplatnosti obecn´eteorie relativity a podobnˇe.

Obr´azek6.20: Zmˇenadvojice spektr´aln´ıch ˇcarspektroskopick´edvojhvˇezdyHD 80 715 v z´a- vislosti na orbit´aln´ıf´azi.Pˇrevzatoz http://csep10.phys.utk.edu/astr162.

6.2.6 Nez´akrytov´edvojhvˇezdy Rovina obˇeˇzn´etrajektorie dvojhvˇezdm˚uˇzeb´ytsamozˇrejmˇeorientov´anazcela n´ahodnˇe. Jen u ˇc´astisyst´em˚utak m˚uˇzemepozorovat z´akryty. Vˇetˇs´ı poˇcetsoustav (z hlediska orientace roviny obˇeˇzn´etrajektorie sloˇzek)m˚uˇzemepozorovat spektroskopicky. Uplatn´ı 168 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd se Doppler˚uvjev a my m˚uˇzemeve spektru, kde je slit´esvˇetloobou sloˇzekpozorovat systematick´e,periodick´eposuny spektr´aln´ıch ˇcar.V ide´aln´ımpˇr´ıpadˇejde o dva syst´emy spektr´aln´ıch ˇcar,kter´ese posouvaj´ıv antif´azi.Takov´espektroskopick´edvojhvˇezdyozna- ˇcujemejako dvouˇcarov´e(double-line spectroscopic binary) SB2. Bohuˇzelvelmi ˇcasto je rozd´ıl z´aˇriv´ych v´ykon˚uobou sloˇzektak markantn´ı,ˇzeslabˇs´ı sloˇzka se ve spektru dvojhvˇezdyprakticky neprosad´ıa dominuje tam jen prim´arn´ısloˇzka. Pak se ve spektru periodicky mˇen´ıpoloha ˇcarjen jedn´ımzp˚usobem. Mluv´ımeo single-line binary SB1. Pravidelnˇevych´az´ıkatalog parametr˚uspektroskopick´ych dvojhvˇezd(Pourbaix et al., 2009).

6.3 Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy

Hvˇezdn´epulzace jsou velmi ˇcastoupˇr´ıˇcinouhvˇezdn´epromˇennosti. Na obloze mezi pro- mˇenn´ymihvˇezdamizcela pˇrevaˇzuj´ı,v katalogu promˇenn´ych hvˇezdGCVS tvoˇr´ıcel´ych 70 % vˇsech uveden´ych hvˇezd(zn´am´ez´akrytov´edvojhvˇezdyjsou aˇzna druh´emm´ıstˇe). Je vˇsak dobr´esi uvˇedomit,ˇzetuto statistiku silnˇezkresluje v´ybˇerov´yefekt, kter´y zv´yhodˇnujehvˇezdys velk´ymz´aˇriv´ymv´ykonem. 11 Pomˇermezi stabiln´ımia pulzuj´ıc´ımi hvˇezdamiv Galaxii se odhaduje na ∼ 105 : 1. Pˇr´ıˇcinousvˇeteln´ych zmˇenpulzuj´ıc´ıch hvˇezdjsou zmˇeny povrchov´ych charakteristik – zejm´enapolomˇeruu radi´aln´ıch pulzac´ı,tvaru hvˇezdyu neradi´aln´ıch pulzac´ıa tomu odpov´ıdaj´ıc´ızmˇeny povrchov´eefektivn´ıteploty, k nimˇzv d˚usledkuperiodick´ych pulzac´ı doch´az´ı.Nejvˇetˇs´ıamplitudu svˇeteln´ych zmˇenjev´ıpromˇenn´ehvˇezdypulzuj´ıc´ıradi´alnˇe, tedy hvˇezdykulov´ehotvaru, jejichˇzpolomˇerse cyklicky mˇen´ı.Ani u nich vˇsak nejsou zmˇeny rozmˇer˚uhvˇezdynijak n´apadn´e.Interferometrick´amˇeˇren´ıukazuj´ıu nejzn´amˇejˇs´ı cefeidy δ Cephei zmˇeny polomˇerucca 8 %. V Hertzsprungovˇe-Russellovˇediagramu se setk´av´ames pulzuj´ıc´ımipromˇenn´ymihvˇez- dami pˇredevˇs´ımv tzv. p´asunestability, kter´yse zde t´ahnez oblasti veleobr˚utˇr´ıdyG, prot´ın´ahlavn´ıposloupnost v oblasti pozdn´ıch typ˚uA a ran´ych F, zasahuje aˇzdo oblasti b´ıl´ych trpasl´ık˚upozdn´ıhotypu B a ran´ehotypu A. V p´asunestability nach´az´ıme kla- sick´ecefeidy typu δ Cephei, cefeidy typu W Virginis, kr´atkoperiodick´ecefeidy populace II– hvˇezdytypu RR Lyrae, d´alepulzuj´ıc´ıhvˇezdyhlavn´ıposloupnosti – hvˇezdytypu δ Scuti a koneˇcnˇepulzuj´ıc´ıb´ıl´etrpasl´ıkytypu ZZ Ceti. V oblasti ˇcerven´ych veleobr˚u a nadobr˚use setk´av´amedlouhoperiodick´ymipromˇenn´ymihvˇezdami, at’ uˇzpravideln´ymi nebo polopravideln´ymi,na horn´ıˇc´astihlavn´ıposloupnosti pak s pulzuj´ıc´ımihvˇezdami typu β Cephei.

6.3.1 Radi´aln´ıpulzace Hvˇezdaje gravitaˇcnˇev´azan´y´utvar ve stavu hydrostatick´erovnov´ahy: v kaˇzd´embodˇe hvˇezdyjsou v pˇr´ısn´erovnov´azes´ılydostˇrediv´e(gravitace) a s´ılyodstˇrediv´e(gradient tlaku). Jde pˇritomo rovnov´ahu stabiln´ı12, coˇzznamen´a,ˇzepˇrijej´ımnaruˇsen´ıdojde

11Pokud bych studovali zastoupen´ır˚uzn´ych typ˚upromˇenn´ych hvˇezdve vzorku hvˇezdv okol´ıSlunce, mus´ımekonstatovat, ˇzenejˇcastˇejise zde setk´ames eruptivn´ımiˇcerven´ymitrpasl´ıky, hvˇezdamipozorova- telsky znaˇcnˇeznev´yhodnˇen´ymisv´ymn´ızk´ymz´aˇriv´ymv´ykonem. 12Pˇr´ıklads labiln´ırovnov´ahouje uveden ve skriptech UFHaHS.´ 6.3. Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 169 vˇzdyk pos´ılen´ıt´esilov´esloˇzky, kter´ase snaˇz´ısyst´emnavr´atitdo rovnov´aˇzn´epolohy. Pˇrin´avratudo rovnov´aˇzn´ehostavu se ale hvˇezdav rovnov´aˇzn´epoloze nezastav´ıa bude setrvaˇcnost´ıpokraˇcovat ve sv´empohybu na opaˇcnoustranu. Proti tomuto pohybu se postav´ıst´alerostouc´ırozd´ılmezi silami odstˇrediv´ymia dostˇrediv´ymi.Pohyb se zastav´ı a zmˇen´ıse v opaˇcn´y.Pakliˇzetakto pulzuje cel´ahvˇezda,hovoˇr´ımeo radi´aln´ıch pulzac´ıch. Lze uk´azat,ˇzeu nevelk´ych rozkmit˚unez´avis´ıperioda dˇejena jeho amplitudˇea odpov´ıd´a periodˇe vlastn´ıchkmit˚uhvˇezdy. Pro vznik a udrˇzen´ıpulzac´ımus´ıb´ytsplnˇeny patˇriˇcn´e podm´ınky. Uvaˇzujmeelement hmoty, jehoˇzstav se cyklicky mˇen´ı.Pro rozvinut´ıpulzac´ımus´ıb´yt celkov´apr´acevykonan´ana ´ukor tepla kladn´a. Na z´akladˇe1. a 2. vˇety termodynamiky lze doj´ıtke vztahu:

I δQ δT (t) W = > 0, (6.19) T0 v nˇemˇz T0 je vˇzdykladn´e.Takˇzeaby platila zm´ınˇen´anerovnost, mus´ıb´ytpˇrikladn´em δQ kladn´ei δT (t), coˇzznamen´a,ˇzepˇrizvyˇsov´an´ıteploty mus´ıdoch´azetk pohlcov´an´ı tepla! Celkovou energetickou bilanci hvˇezdylze popsat pomoc´ıvˇety o viri´alujako

U = hEki + hEpi < 0. (6.20)

V gravitaˇcnˇev´azan´em´utvaru je absolutn´ıhodnota potenci´aln´ı(gravitaˇcn´ı)energie rovna dvojn´asobkujej´ıvnitˇrn´ı(kinetick´e)energie

2 hEki + hEpi = 0. (6.21)

Uv´aˇz´ıme-li,ˇzeve hvˇezdˇeje tato energie d´anasouˇctemkinetick´ych energi´ıchaotick´eho pohybu vˇsech ˇc´astic, lze souhrnnˇeps´at

1 2 Ek = 2 M vs , (6.22) kde vs je stˇredn´ı kvadratick´arychlost ˇc´astic,kterou je moˇzn´evyj´adˇritpomoc´ı vˇety o viri´alu.Potenci´aln´ıenergie je

M 2 E ∼ α G = 2 E = M v2, (6.23) p R k s kde α je koeficient souvisej´ıc´ı s rozloˇzen´ım hmoty ve hvˇezdˇe,zpravidla bl´ızk´yjedn´e (standardnˇe1,6). Pak stˇredn´ıkvadratick´arychlost ˇc´astic

M v2 = α G . (6.24) s R Stˇredn´ırychlost ˇc´asticzhruba odpov´ıd´ai rychlosti zvuku. Z´akladn´ıperiodu radi´aln´ıch pulzac´ı Ppz lze pak zhruba ztotoˇznits ˇcasem,kter´yje zapotˇreb´ık pˇrenesen´ıinformace o zmˇenˇetlaku z jednoho konce“ hvˇezdyna druh´y.Tento ˇcasje pak roven 2R/v a tedy: ” s

r 3 2 R 4 R ∼ 1 Ppz ≈ = = √ . (6.25) vs α G M G ρ¯ 170 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Perioda vlastn´ıch kmit˚uhvˇezdy, nebo t´eˇz z´akladn´ıperioda pulzac´ı, je tedy funkc´ıstˇredn´ı hustoty hvˇezdya v prvn´ımpˇribl´ıˇzen´ıplat´ı,ˇzeperioda pulzac´ıhvˇezdy P je nepˇr´ımo ´umˇern´aodmocninˇez jej´ıstˇredn´ıhustotyρ ¯ 1 P ∼ √ . (6.26) G ρ¯ V´yˇseuveden´yteoretick´yz´avˇerse shoduje i s naˇs´ızkuˇsenost´ı,ˇzerozmˇern´ea velmi ˇr´ıdk´e dlouhoperiodick´epromˇenn´etypu o Ceti (miridy) pulzuj´ıs periodou nˇekolika stovek dn´ı, zat´ımcohustˇejˇs´ıcefeidy des´ıtkydn˚ua extr´emnˇehust´ıb´ıl´ıtrpasl´ıcimaj´ıperiody pulzac´ı kratˇs´ıneˇzjednu hodinu. Relace (6.26) stoj´ı t´eˇzv pozad´ıpovˇedom´ehovztahu z´aˇriv´y v´ykon– perioda u klasick´ych cefeid. Amplituda kmit˚uv nitru radi´alnˇepulzuj´ıc´ıhvˇezdysilnˇez´avis´ına vzd´alenostiod centra. V centru hvˇezdynutnˇemus´ı b´ytnulov´anulov´a– zde totiˇzleˇz´ı uzel (jeden z uzl˚u)stojat´ehovlnˇen´ı,zat´ımcona povrchu hvˇezdyje kmitna. Pokud hvˇezdaosciluje v tzv. z´akladn´ımm´odu, pak pulzace v r´amcicel´ehvˇezdyprob´ıh´ave stejn´emsmˇeru– v t´emˇzeokamˇzikuse cel´ahvˇezdabud’ rozp´ın´anebo smrˇst’uje. Hvˇezdavˇsakm˚uˇzeradi´alnˇekmitat i ve vyˇsˇs´ıch harmonick´ych frekvenc´ıch, ve vyˇsˇs´ıch m´odech, pˇriˇcemˇzst´alemus´ıb´ytsplnˇenapodm´ınka, ˇzena povrchu hvˇezdyje kmitna a ve stˇreduuzel. Ve hvˇezdˇeale nav´ıcexistuje jedna nebo v´ıceuzlov´ych kulov´ych ploch, tedy m´ıstve hvˇezdˇe,kter´ese bˇehempulzac´ıneh´ybou. L´atka hvˇezdyv soused´ıc´ıch mezikoul´ıch se pohybuje v dan´emokamˇziku v opaˇcn´emsmˇeru.

Obr´azek6.21: Stojat´ezvukov´evlny v p´ıˇst’ale a ve hvˇezdˇea) z´akladn´ım´od,b) prvn´ıharmon- ick´ym´od, c) 2. harmonick´ym´od.Pˇrevzatoz Carroll & Ostlie (2007).

Radi´aln´ıpulzace hvˇezd lze zjednoduˇsenˇepˇrirovnat k z´akladn´ımu rezonanˇcn´ımu t´onu v polouzavˇren´ych line´arn´ıch rezon´atorech (obr. 6.21) – tzv. p´ıˇst’al´ach (klarinet, varhann´ı p´ıˇst’ala). Z´akladn´ıt´on(n = 0) m´avlnovou d´elku λ0 odpov´ıdaj´ıc´ıˇctyˇrn´asobkud´elky p´ıˇst’aly l, λ0 = 4 l. Vyˇsˇs´ımodus (n = 1) odpov´ıd´astojat´emu vlnˇen´ı,v nˇemˇzkromˇe povinn´ehouzlu na uzavˇren´emkonci najdeme jeˇstˇejeden uzel uvnitˇrvzduchov´ehosloupce, pˇriˇcemˇzna otevˇren´emkonci trubice z˚ust´av´akmitna. Uzel se nach´az´ıve dvou tˇretin´ach 4 d´elkytrubice a vlnov´ad´elka tohoto vlnˇen´ıje tud´ıˇz λ1 = 3 l, λ0/λ1 = 3. Dalˇs´ımodus 6.3. Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 171

2 4 (n = 2) obsahuje ve vzduchov´emsloupci dva uzly nach´azej´ıc´ıse ve 5 a 5 jeho d´elky ’ 4 (poˇc´ıt´anood uzavˇren´ehokonce p´ıˇstaly). Vlnov´ad´elka vlnˇen´ı λ2 = 5 l, λ0/λ2 = 5. V aku- stick´emspektru zvuku, kter´yz polouzavˇren´ehorezon´atoruvych´az´ı, najdeme kromˇe z´akladn´ıfrekvence, urˇcen´ed´elkou rezon´atoru,jeˇstˇet´ony o frekvenci (2n + 1)kr´atvˇetˇs´ı neˇzje frekvence t´onu z´akladn´ıho13.

Obr´azek6.22: Radi´aln´ım´odypulzuj´ıc´ıhvˇezdyhlavn´ıposloupnosti o hmotnosti 12 M . Tvar kaˇzd´evlny byl pˇreˇsk´alov´antak, aby δr/R = 1 na povrchu hvˇezdy. Ve skuteˇcnostije maxim´aln´ı hodnota pomˇeru δr/R pˇribliˇznˇe0.05 aˇz0.10 pro klasick´ecefeidy. Pˇrevzatoz Carroll & Ostlie (2007).

Tak, jako v p´ıˇst’ale, jsou i u hvˇezdpovoleny pouze nˇekter´efrekvence (m´odypulzac´ı). Celkovˇeje ale u hvˇezdsituace podstatnˇesloˇzitˇejˇs´ı.Rozd´ılyspoˇc´ıvaj´ıv tom, ˇze:

1. hvˇezdanen´ıline´arn´ım,ale prostorov´ym(kulovˇesymetrick´ym)rezon´atorem, 2. rychlost zvuku nen´ıv r´amcirezon´atorukonstantn´ı.Vzhledem k tomu, ˇze teplota ve hvˇezdˇes rostouc´ıvzd´alenost´ıkles´a,kles´av n´ıi rychlost zvuku.

D˚usledkyjsou pak opravdu z´asadn´ı.

• Uzly vyˇsˇs´ıch harmonick´ych m´od˚unach´az´ımeobecnˇejinde neˇzu p´ıˇst’al. U 1. m´odu 2 2 4 je polomˇeruzlov´ekoule 0,6 R (nikoli 3 ), u 2. m´odu0,5 a 0,85 R (nikoli 5 a 5 ). • Pomˇermezi periodou z´akladn´ıhom´odua periodou vyˇsˇs´ıho m´odunen´ı3:1, jak je to v pˇr´ıpadˇepolouzavˇren´eholine´arn´ıhorezon´atoru,ale podstatnˇemenˇs´ı,asi 1,5:1. • Na rozd´ılod vlnˇen´ıv line´arn´ımrezon´atoru,jehoˇzamplituda m´asinusov´ypr˚ubˇeh, je pr˚ubˇehz´avislostiamplitudy na vzd´alenosti od centra hvˇezdymnohem kompli- kovanˇejˇs´ı.Pulzace se prakticky net´ykaj´ıcentr´aln´ıch ˇc´ast´ıhvˇezdy– amplituda je s ohledem na amplitudu pulzac´ıpovrchov´ych ˇc´ast´ıtakˇrka zanedbateln´a.Radi´aln´ı

13Prvn´ıharmonick´yt´onm´atedy vzhledem k z´akladn´ımu t´onu tˇrikr´atvˇetˇs´ıfrekvenci, coˇzodpov´ıd´a hudebn´ımu intervalu zvan´emu duodecima - tedy okt´ava + kvinta (1 : 3 = 1 : 2×3/2). Druh´yharmonick´y t´onm´avzhledem k prvn´ımu pomˇerfrekvenc´ı5:3, coˇzje velk´asexta, doplˇnkov´yinterval mollov´emal´e tercii. Vzhledem k z´akladn´ımu t´onu jde o pomˇerfrekvenc´ı1:5, coˇzodpov´ıd´advˇemaokt´av´ama velk´e tercii, matematicky 1 : 5 = 1 : 22 × 5/4. 172 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

pulzace, tˇrebaˇze postihuj´ıcelou hvˇezdu, jsou z´aleˇzitost´ıjen vnˇejˇs´ıho,velmi ˇr´ıdk´eho obalu hvˇezdy, kter´yobsahuje jen procenta jej´ı celkov´ehmotnosti. Pulzace tak nemohou ovlivnit stav hvˇezdn´ehonitra, zejm´enanemaj´ıˇz´adn´yvliv na produkci hvˇezdn´eenergie.

Naprost´avˇetˇsinaklasick´ych cefeid a hvˇezdtypu W Virginis pulzuje radi´alnˇe,a to v z´akladn´ımm´odu.Existuj´ıvˇsaki v´yjimky, jakou je tˇrebaPol´arka, kter´akmit´av 1. har- monick´e.Promˇenn´etypu RR Lyrae pulzuj´ıjak v z´akladn´ımm´odu,tak v 1. harmonick´e, nˇekter´ez nich v obou m´odech souˇcasnˇe.Miridy pulzuj´ırovnˇeˇzv z´akladn´ımm´odu,situ- ace je u nich vˇsakkomplikovanˇejˇs´ı neˇzu pulzuj´ıc´ıch hvˇezdp´asunestability, protoˇze pulzace zde vedou ke vzniku r´azov´evlny, kter´apˇrisv´empr˚uchodu atmosf´erouv´yraznˇe mˇen´ıjej´ıpr˚uzraˇcnost.

6.3.2 Mechanismus pulzac´ı Pozorov´an´ıvelk´ehopoˇctupulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezdprok´azala, ˇzeamplituda jejich pulzac´ıse dlouhodobˇenemˇen´ı.Z energetick´ehohlediska to znamen´a,ˇzepulzace jsou neust´aledotov´any novˇepˇr´ıchoz´ıenergi´ı.V nitru kaˇzd´ere´aln´epulzuj´ıc´ıhvˇezdy hraje d˚uleˇzitouroli tˇren´ı,kter´epˇrev´ad´ıuspoˇr´adan´ypohyb pulzac´ına neuspoˇr´adan´ypohyb te- peln´y.Kdyby v pulzuj´ıc´ıch hvˇezd´ach nep˚usobilmechanismus, kter´yneust´aletyto ztr´aty uhrazuje, pulzace hvˇezdby se z´ahy zatlumily a hvˇezdaby pˇreˇslado stavu dokonal´e hydrostatick´erovnov´ahy. Radi´aln´ı pulzace vyuˇz´ıvaj´ı jako energetick´yzdroj tok z´aˇriv´eenergie prostupuj´ıc´ı hvˇezdouz centra na povrch, kter´yje st´alek dispozici v kter´ekoli ˇc´astihvˇezdy. Nicm´enˇe k tomu, aby se ve hvˇezdˇepulzace udrˇzely, je nezbytn´e,aby zde existovaly dostateˇcnˇe rozs´ahl´eoblasti hvˇezdy, kter´eby ve f´azinejvˇetˇs´ıho smrˇstˇen´ıdok´azaly zadrˇzetpotˇrebn´e mnoˇzstv´ıproch´azej´ıc´ız´aˇriv´eenergie a tuto naakumulovanou energii v okamˇzikun´asledu- j´ıc´ıexpanze opˇetvyz´aˇrit.Uˇzz toho, ˇzevaln´avˇetˇsinahvˇezdviditelnˇenepulzuje, je zˇrejm´e, ˇzeuveden´apodm´ınka b´yv´asplnˇenajen zˇr´ıdkakdy. Hvˇezdn´al´atka se tak totiˇznechov´a. Kdyˇzji adiabaticky stlaˇc´ıte,zv´yˇs´ıse nejen jej´ıhustota, ale i teplota, jeˇzzp˚usob´ı,ˇze opacita l´atky κ poklesne dle Kramerova z´akona: κ ∝ ρ T −3.5 , takˇzel´atka zpr˚uhledn´ı a pro proch´azej´ız´aˇriv´ytok znamen´amenˇs´ıpˇrek´aˇzku.Takov´etochov´an´ıhvˇezdn´el´atky ovˇsemhvˇezdn´epulzace potlaˇcujea stoj´ıtak na t´eˇzestranˇebarik´adyjako disipace me- chanick´eenergie v d˚usledkutˇren´ı. PˇrestoEddington (1926) pro vysvˇetlen´ıpulzac´ınavrhl tzv. z´aklopkov´ymechanismus, podle nˇejˇzby v pulzuj´ıc´ıhvˇezdˇemˇelaexistovat vrstva materi´alu,jehoˇzopacita bude pˇristlaˇcov´an´ı(ohˇrevu)naopak nar˚ustat.Takov´avrstva by pak byla schopna bˇehem smrˇstˇen´ıabsorbovat dostatek energie, pˇrehraditjej´ıtok z nitra a pˇrin´asledn´eexpanzi ji zase uvolnit. Sloˇ jen o to, zda takov´avrstva v re´aln´ych hvˇezd´ach v˚ubec existuje. Pˇresn´epodm´ınkypro rozvinut´ıa zachov´an´ıpulzac´ıodvodil aˇzv 50. letech minul´eho stolet´ı Zevakinˇ (1953) a pozdˇejije detailnˇepropoˇc´ıtaliR. Kippenhahn, N. Baker a J. P. Cox. Zjistili, ˇzez´aklopkov´ymechanismus, jak jej navrhl Eddington m˚uˇze´uspˇeˇsnˇe pracovat v oblastech s ˇc´asteˇcnˇeionizovanou l´atkou. A jak tedy vlastnˇezm´ınˇen´yz´aklopkov´ymechanismus (κ-mechanismus) funguje? Pˇri smrˇst’ov´an´ıse ˇc´astenergie proch´azej´ıc´ı aktivn´ı“ vrstvou spotˇrebov´av´asp´ıˇsena ionizaci ” prvk˚u,neˇzna zvyˇsov´an´ı teploty, coˇzvede k r˚ustuopacity vrstvy vzhledem k okol´ı. 6.3. Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 173

Nepr˚uhlednostvrstvy zp˚usobujer˚usttlaku plynu a z´aˇren´ı,kter´ynaroste do takov´es´ıly, ˇzevyzvednou vrstvu v´yˇse.Vrstva se pohybuje vzh˚uru,smˇeremod stˇreduhvˇezdy do m´ıst s menˇs´ı hustotou a teplotou. Bˇehemtohoto pohybu se vrstva rozp´ın´a,doch´az´ı k houfn´erekombinaci atom˚ua k uvolˇnov´an´ınaakumulovan´eenergie. Teplota vrstvy ale nekles´atak rychle jako v okol´ı,coˇzspolu s klesaj´ıc´ıhustotou vede ke sn´ıˇzen´ıopacity vzhledem k okol´ı.V urˇcit´emokamˇzikuale t´ıhav´yˇse poloˇzen´ehomateri´alupˇrev´aˇz´ınad silou smˇeˇruj´ıc´ıvzh˚urua cyklus zaˇc´ın´aznovu. Nˇekdyje popsan´y κ-mechanismus pos´ılent´ım,ˇzedo stlaˇcovan´e aktivn´ı“ vrstvy s ˇc´asteˇcnˇe ” ionizovan´ymmateri´alemprostupuje teplo, jednoduˇseproto, ˇzeje tato vrstva chladnˇejˇs´ıneˇzjej´ı okol´ı.D´ıkynar˚ustaj´ıc´ımtepeln´ymkapacit´am CV a CP je vrstva schopna pojmout tohoto tepla v´ıce.Tento efekt se nˇekdypodle pomˇeru γ = CP/CV oznaˇcujejako γ-mechanismus. Ve vˇetˇsinˇehvˇezdjsou dvˇehlavn´ıˇr´ıd´ıc´ıvrstvy pulzac´ı.Prvn´ıje ˇsirok´avrstva, v n´ıˇz se nach´az´ıjak ionizovan´yvod´ık,tak i jednou ionizovan´eh´elium.Zpravidla se oznaˇcuje jako oblast ˇc´asteˇcnˇeionizovan´ehovod´ıkua vyskytuje se v hloubk´ach s teplotou mezi 10 000 aˇz15 000 K. Tato vrstva m´au vˇetˇsiny pulzuj´ıc´ıch hvˇezdjen okrajov´yv´yznam. Uplatˇnujese vˇsaku mirid a pulzuj´ıc´ıch trpasl´ık˚utypu ZZ Ceti. Pro ostatn´ıtypy radi´alnˇe pulzuj´ıc´ıch hvˇezdje d˚uleˇzitˇejˇs´ı druh´a,hloubˇejiuloˇzen´avrstva ˇc´asteˇcnˇeionizovan´eho helia s teplotou cca 40 000 K. Vedle sebe se tam ve srovnateln´emzastoupen´ınach´azej´ı jedenkr´ationizovan´eatomy helia (He ii) a zcela ionizovan´eatomy t´ehoˇzprvku (He iii). Ale pozor, aby byl zm´ınˇen´ytepeln´ystroj patˇriˇcnˇe´uˇcinn´y,mus´ıb´ytaktivn´ıvrstva He ii/He iii uloˇzenav optim´aln´ıhloubce pod hvˇezdn´ympovrchem. Ve hvˇezd´ach s niˇzˇs´ı efektivn´ıteplotou je tato vrstva uloˇzenapˇr´ıliˇshluboko ve hvˇezdˇe,ˇciliv m´ıstech, kde je amplituda pulzac´ıtak nicotn´a,ˇzese jimi vlastnosti vrstviˇckytakˇrka nemˇen´ıa zadrˇzen´e teplo je jen nepatrn´e.Naopak pulzuj´ıc´ıhvˇezdynesmˇej´ıb´ytpˇr´ıliˇshork´e,protoˇzev nich je aktivn´ı vrstva uloˇzena ve vyˇsˇs´ıch, relativnˇevelmi ˇr´ıdk´ych a m´alohmotn´ych pod- povrchov´ych vrstv´ach hvˇezdy. Mal´ahmotnost aktivn´ıvrstvy znamen´ai nedostaˇcuj´ıc´ı mnoˇzstv´ı zadrˇzen´eenergie, kter´epak nen´ı s to dotovat tepeln´eztr´aty pˇripulzac´ıch hvˇezdy. To znamen´a,ˇzehloubka uloˇzen´ıvrstvy ve hvˇezdˇeurˇcuje,v jak´emm´odubude hvˇezdapulzovat. U teplejˇs´ıch hvˇezdje vrstva n´ıˇzea vznikaj´ıpulz´atorypulzuj´ıc´ıv prvn´ım harmonick´emm´odu,u chladnˇejˇs´ıch vznikaj´ıpulz´atoryse z´akladn´ımm´odem.Teplota hvˇezdya t´ımi uloˇzen´ıaktivn´ıvrstvy He ii/He iii tak´evymezuj´ıhranice p´asunestability v HR diagramu, takˇrka svisl´ehopruhu o ˇs´ıˇrce600 aˇz1000 K pro hvˇezdyv rozmez´ıteplot 5500 aˇz7500 K. S´ıˇrkaˇ p´asunestability se m´ırnˇemˇen´ıv r˚uzn´ych oblastech HRD. V´yˇsezm´ınˇen´evrstvy ionizovan´ehomateri´aluh´eliaa vod´ıku jsou zodpovˇedn´eza pulzace hvˇezdv p´asunestability. Ale za pulzac´ıhvˇezdv horn´ıˇc´asti hlavn´ıposloup- nosti s teplotami kolem 105 K stoj´ıvrstva ˇc´asteˇcnˇeionizovan´ych prvk˚uskupiny ˇzeleza.

6.3.3 P´as nestability a jeho interpretace Jak jsme jiˇzuk´azali,radi´alnˇepulzuj´ıc´ıhvˇezdymus´ısplˇnovat podm´ınku,ˇzese v nich v patˇriˇcn´ehloubce vyskytuje dostateˇcnˇemohutn´avrstva materi´alu,kter´yje schopen v sobˇeakumulovat a pot´eopˇetuvolˇnovat zadrˇzen´yz´aˇriv´ytok energie pˇrich´azej´ıc´ız cen- tra. Je to tedy ot´azka stavby hvˇezdy, a hvˇezdys podobnou stavbou zejm´enapod- povrchov´ych vrstev se v HR diagramu vyskytuj´ıpospolu. V pˇr´ıpadˇehvˇezdsplˇnuj´ıc´ıch podm´ınkupulzaˇcn´ınestability tyto hvˇezdyv HR diagramu vytv´aˇrej´ıtzv. p´asnestability. Pokud se hvˇezdapˇrisv´emv´yvoji dostane do p´asunestability, pak se v n´ız´ahy rozvinou 174 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.23: Vrstvy ve hvˇezdˇena poˇc´atkuhorizont´aln´ı vˇetve v HR diagramu. Pˇrevzato z Iben (1971). a udrˇz´ıradi´aln´ıpulzace. Kdyˇzoblast nestability v pr˚ubˇehu dalˇs´ıhov´yvoje opust´ı,siln´e radi´aln´ıpulzace se v n´ızase utlum´ı.To jak rychle bude hvˇezdapulzovat a jak´ytyp promˇennostiji pˇrisoud´ımepak bude z´avisetpˇredevˇs´ımna jej´ıstˇredn´ıhustotˇe,a tedy na hmotnosti hvˇezdya stupni jej´ıhov´yvoje. Nejhmotnˇejˇs´ıma nejz´aˇrivˇejˇs´ımosazenstvem p´asunestability jsou klasick´ecefeidy – veleobˇritypu Ib pulzuj´ıc´ıs periodou dn˚uaˇzdes´ıtekdn˚u.Tyto promˇenn´ehvˇezdyt´eˇzjev´ı nejvˇetˇs´ıamplitudy svˇeteln´ych zmˇen,velmi v´yrazn´ejsou i pozorovan´ezmˇeny radi´aln´ıch rychlost´ı(rozkmit aˇz50 km/s) i zmˇeny efektivn´ıpovrchov´eteploty. Vˇsechna pozorov´an´ı do sebe dobˇrezapadaj´ıa potvrzuj´ınaˇsiz´akladn´ıpˇredstavu o cefeid´ach jako o radi´alnˇe pulzuj´ıc´ıch hvˇezd´ach, jejichˇzoscilace jsou dotov´any zadrˇzov´an´ımz´aˇriv´eenergie ve vrstvˇe, v n´ıˇzje srovnatelnou m´ırouzastoupeno jednou a zcela ionizovan´ehelium. Kratˇs´ı periody, niˇzˇs´ı v´ykony a menˇs´ı amplitudy svˇeteln´ych kˇrivek maj´ı po ˇradˇe hvˇezdytypu W Virginis, RR Lyrae, δ Scuti a koneˇcnˇeb´ıl´ıtrpasl´ıcitypu ZZ Ceti, kteˇr´ı kmitaj´ıs periodou 100–1000 s (zpravidla v 1. harmonick´emm´odu).

Hvˇezdytypu RR Lyrae jsou obˇr´ıhvˇezdys hmotnost´ıkolem 0.7 M , kter´ejsou ve velmi pokroˇcil´emst´adiusv´ehov´yvoje. Bˇeˇznˇese s nimi setk´av´amev kulov´ych hvˇezdoku- p´ach a v galaktick´emhalu, kde se vyskytuj´ıty nejstarˇs´ıhvˇezdyv galaxi´ıch. Jedn´ase tedy vesmˇeso hvˇezdyprvn´ıgenerace. Kv˚ulijejich n´ızk´epovrchov´eteplotˇese dlouho nedaˇrilostanovit zastoupen´ı h´eliav jejich vnˇejˇs´ıch vrstv´ach, kter´esv´ymchemick´ym sloˇzen´ımodr´aˇzej´ısloˇzen´ımateri´alu,z nˇehoˇztyto hvˇezdyvznikly. Nicm´enˇeuˇzs´amfakt, ˇzehvˇezdytypu RR Lyrae existuj´ıa pulzuj´ı,ukazuje, ˇzemusej´ıod sv´ehozrodu obsahovat helium, a to v zastoupen´ı,kter´eodpov´ıd´asouˇcasn´emu. Toto zjiˇstˇen´ım´a mimoˇr´adnoud˚uleˇzitostpro teorie ran´ehov´yvoje vesm´ıru,nebot’ jim ukl´ad´aza ´ukol vysvˇetlit t´eˇz,kde se ve vesm´ıruvzalo prvotn´ıhelium, a to jeˇstˇepˇred´erouvznik´an´ıprvn´ıch hvˇezd. 6.3. Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 175

Obr´azek6.24: Pulzuj´ıc´ı hvˇezdyv HR diagramu. Srafov´an´ıˇ jednotliv´ych oblast´ı znaˇc´ı typ pulzac´ı,jak ukazuje vloˇzen´yobr´azekvpravo dole. P´asnestability je vyznaˇcenbarevnˇesiln´ymi ˇcarami. C´arkovan´aˇc´aravyznaˇcujepolohuˇ hlavn´ıposloupnosti nulov´ehost´aˇr´ıZAMS. Na n´ı konˇc´ılinie vyznaˇcuj´ıc´ıv´yvojov´ecesty hvˇezdo hmotnostech 1, 2, 3, 4, 7, 12 a 20 M . Cerchovan´aˇ ˇc´araznaˇc´ıhorizont´aln´ıvˇeteva teˇckovan´akˇrivka je kˇrivka chladnut´ıb´ıl´ych trpasl´ık˚u.Pˇrevzato z http://astro.phys.au.dk/∼jcd/HELAS/puls HR/ a upraveno.

Hvˇezdytypu δ Scuti jsou v˚ubec nejpoˇcetnˇejizastoupen´ymipulzuj´ıc´ımihvˇezdami p´asunestability, coˇzje d´anot´ım,ˇzese jedn´ao pˇr´ısluˇsnicehlavn´ıposloupnosti, na n´ıˇz hvˇezdybˇehemsv´ehov´yvoje str´av´ı nejdelˇs´ı dobu. Pozorovan´esvˇeteln´ekˇrivkytˇechto hvˇezdjsou velmi komplikovan´ea lze je vysvˇetlitsuperpozic´ıˇradypulzac´ı,z nichˇznˇekter´e ani nejsou radi´aln´ı.Nav´ıcamplitudy svˇeteln´ych zmˇenjsou nevelk´e,10−2 i 10−3 mag, coˇz je k jejich ˇskodˇeodsouv´az oblasti z´ajmu vˇetˇsiny pozorovatel˚upromˇenn´ych hvˇezd.14

14V´yjimkou jsou HADS (High-amplitude delta Scuti stars) s amplitudami vˇetˇs´ımineˇz0.1 mag (V ). 176 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.25: Vlevo: Historick´ydiagram z´avislostiperioda – sv´ıtivost pro cefeidy pˇrevzat´y z pr´aceLeavitt (1908). Na vodorovn´eose je log P , na svisl´epak hvˇezdn´evelikosti v magni- tud´ach. Vpravo: Graf pro vztah perioda-sv´ıtivost pro cefeidy i hvˇezdytypu RR Lyrae. Zdroj: http://outreach.atnf.csiro.au/.

6.3.4 Z´avislostperioda–z´aˇriv´yv´ykon a jej´ıvysvˇetlen´ı

Z´avislostimezi periodou a absolutn´ıhvˇezdnouvelikost´ıklasick´ych cefeid si povˇsimlajiˇzHen- rietta Swan Leavittov´a(ˇcti levitov´a) (1868-1921). Na sn´ımc´ıch systematick´epˇrehl´ıdkyMag- ellanov´ych mraˇcenpoˇrizovan´ych na observatoˇriHarvard College v Peru u Arequipa v letech 1893 aˇz1906 objevila 1777 promˇenn´ych hvˇezd15. Do roku 1908 urˇcilaperiody nˇekolika cefeid a povˇsimlasi, ˇzejasnˇejˇs´ız nich maj´ıdelˇs´ıperiody (viz obr. 6.28). Protoˇzehvˇezdyz Mal´ehoMagellanova oblaku (SMC) jsou od n´asvˇsechny rela- tivnˇezhruba stejnˇedaleko (cca 60 kpc), indikuje to, ˇzei absolutn´ıhvˇezdn´evelikosti tˇechto hvˇezdjsou funkc´ıperiody. Tento fakt umoˇznils neb´yvalou spolehlivost´ımˇeˇrit vzd´alenosticefeid a t´ımi vzd´alenostisoustav, v nichˇzse tyto cefeidy nach´azej´ı.Cefeidy jsou k tomu ´uˇceluzvl´aˇst’ vhodn´e,nebot’ jsou to jedny z nejsv´ıtivˇejˇs´ıch hvˇezd,kter´eve vesm´ırunach´az´ıme– jsou tedy viditeln´edo velik´ed´alky.

Zat´ımcosklon z´avislostiabsolutn´ıhvˇezdn´evizu´aln´ıvelikosti cefeid MV na logaritmu jejich periody zn´ames vysokou pˇresnost´ı a spolehlivost´ı, se stanoven´ım polohy tzv. nulov´ehobodu – absolutn´ıhvˇezdn´evelikosti fiktivn´ıcefeidy o periodˇe1 den – je to o dost sv´ızelnˇejˇs´ı.V minulosti byla hodnota nulov´ehobodu z´avislosti MV − log P klasick´ych cefeid nˇekolikr´atkorigov´ana,a to vˇzdysmˇeremk vˇetˇs´ımabsolutn´ımjasnostem. Kaˇzd´a takov´arekalibrace mˇelaz´avaˇzn´ed˚usledkyna n´aˇsn´ahledna vzd´alenostive vesm´ıru,na jeho st´aˇr´ıa v´yvoj. Zde je totiˇznezbytn´ezn´atspolehlivˇevzd´alenostalespoˇnjedin´ez cefeid. Tu jsme vˇsak aˇzdoned´avnaneznali, i ta nejbliˇzˇs´ız cefeid, Pol´arka, byla pˇr´ıliˇsdaleko, neˇzaby bylo moˇzn´estanovit jej´ıparalaxu. Nav´ıc,konkr´etnˇeu Pol´arkynejde o typickou cefeidu, takˇze nen´ıpro kalibraci vhodn´a.Situace se ponˇekudzlepˇsilapo misi astrometrick´edruˇzice

15Jen pro srovn´an´ı,posledn´ıverze katalogu z pˇrehl´ıdkyOGLE III uv´ad´ı3361 klasick´ych cefeid v LMC (Soszynski et al., 2008) a 4630 v SMC (Soszy˜nskiet al., 2010). 6.3. Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 177

Hipparcos, z n´ıˇzvyplynula n´asleduj´ıc´ırelace16,17:

M V = −2, 81 log P − 1, 43(10), (6.27) kde hvˇezdn´avelikost je uv´adˇenav magnitud´ach, a perioda ve dnech. Pˇriuˇz´ıv´an´ıvztahu z´aˇriv´yv´ykon–perioda ale mus´ımem´ıtna pamˇeti,ˇzeplat´ıpouze pro ty cefeidy, kter´epulzuj´ıv z´akladn´ımm´odu.Cefeidy, osciluj´ıc´ıv 1. harmonick´em m´odu,maj´ıpˇritomt´eˇzv´ykonu kratˇs´ıperiodu. Naˇstˇest´ılze oba pˇr´ıpady snadno rozliˇsit jiˇzpouh´ympohledem na svˇetelnoukˇrivku– zat´ımcou cefeid kmitaj´ıc´ıch v z´akladn´ım m´oduje tato kˇrivka v´yraznˇeasymetrick´a,cefeidy pulzuj´ıc´ıv 1. harmonick´emm´odu maj´ı svˇeteln´ekˇrivkydocela symetrick´e. V souˇcasnostise v literatuˇreuv´ad´ıvztah perioda - absolutn´ıjasnost ve tvaru, kde vystupuj´ı veliˇciny nez´avisl´ena mezihvˇezdn´eextinkci. Takovou veliˇcinouje tˇrebafunkce W (v angl. Wesenheit function), v n´ıˇzvystupuj´ıskuteˇcnˇepozorovan´ehvˇezdn´evelikosti v barvˇenapˇr. V a I a jist´akonstanta RVI odvozen´azpravidla z pozorov´an´ı.Odpov´ıdaj´ıc´ıfunkci W zkonstruujeme takto: W = V − RVI (V − I) = V0 − RVI (V − I)0 + [AV − RVI E(V − I)] = W0, kde (6.28) A V = V − A , (V − I) = (V − I) − E(V − I),R = V (6.29) 0 V 0 VI E(V − I) kde veliˇciny oznaˇcen´enulou jsou veliˇciny korigovan´eo mezihvˇezdnouextinkci, AV je extinkce v barvˇe V a E(V −I) barevn´yexces pˇr´ısluˇsn´yk barevn´emu indexu (V −I) a RVI je konstanta dan´avlastnostmi mezihvˇezdn´ehomateri´alunez´avisl´ana konkr´etn´ıhodnotˇe AV . Jej´ıvelikost ocenili napˇr.Freedman et al. (2001) na 2,45. Obecnˇelze z´avislostperioda – z´aˇriv´yv´ykon, s absolutn´ıfunkc´ı W zapsat

Wabs = a + b (log P − 1). (6.30) Nejpˇresnˇejˇs´ıurˇcen´ıhodnot parametr˚u a = −5.86 ± 0.04, b = −3.34 ± 0.17 vych´az´ız mˇeˇren´ı HST (Benedict et al., 2007). Jedna z posledn´ıch studi´ıvzd´alenostiLMC pomoc´ıfotometrie je pak napˇr´ıkladInno et al. (2013). Teoretick´eobjasnˇen´ıpozorovan´erelace mezi periodou cefeid a jejich z´aˇriv´ymv´ykonem spoˇc´ıv´ave faktu, ˇzeklasick´ecefeidy jsou hmotn´ymiveleobry, kteˇr´ıse pˇrisv´emv´yvoji dostali do oblasti p´asunestability. Vzhledem k tomu, ˇzep´asnestability je relativnˇe ´uzk´y,z´avis´ıpoloha cefeidy v tomto p´asupˇredevˇs´ımna jej´ımz´aˇriv´emv´ykonu, a ten opˇethlavnˇena hmotnosti pˇr´ısluˇsn´ehvˇezdy. Vˇseobecnˇeplat´ı,ˇzev r´amcit´eˇc´astip´asu nestability, kde se setk´av´ames cefeidami, smˇeremk vyˇsˇs´ımz´aˇriv´ymv´ykon˚um: a) roste absolutn´ıjasnost hvˇezd(tj. kles´ajejich absolutn´ıhvˇezdn´avelikost); b) kles´apovrchov´ateplota hvˇezd; c) roste jejich hmotnost a polomˇer; d) v´yraznˇekles´ajejich stˇredn´ıhustota. S ohledem na to, ˇzevnitˇrn´ıstavba cefeid r˚uzn´ehmotnosti je dosti podobn´a,lze uplatnit z´akladn´ı relaci pro vlastn´ı kmity hvˇezdy, podle n´ıˇzje perioda pulzac´ı nepˇr´ımo´umˇern´aodmocninˇejej´ıstˇredn´ıhustoty, a tedy mus´ıplatit, ˇze e) perioda hvˇezdyroste. Spojen´ımbod˚ua) a e) pak dosp´ıv´amek objasnˇen´ıpozorovan´ehovztahu mezi peri- odou pulzac´ıa z´aˇriv´ymv´ykonem, absolutn´ıhvˇezdnouvelikost´ıhvˇezdy. 16Feast M. W., Catchpole R. M.: 1997, MNRAS 286, L1 17 Je tˇrebapˇripomenout, ˇzeabsolutn´ıhvˇezdn´avelikost MV se bˇehempulzac´ızˇrejmˇemˇen´ı.Ve vztahu 6.27 MV se proto uv´ad´ıstˇredn´ı absolutn´ıhvˇezdn´avelikost 178 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

6.3.5 Pulzace radi´aln´ıi neradi´aln´ı.M´odypulzac´ı Hvˇezdn´epulzace maj´ıpovahu pod´eln´ehovlnˇen´ı,kter´ese ˇs´ıˇr´ıi vzduchem a kapalinami (na rozd´ılod vlnˇen´ıpˇr´ıˇcn´eho,kter´ese ˇs´ıˇr´ıjen v tuh´ych tˇelesech). Pod´eln´evlnˇen´ıpros- tupuje tˇelesemhvˇezdya interferuje samo se sebou – vznik´atzv. stojat´evlnˇen´ı.V pros- torov´ych rezon´atorech jsou pro vznik stojat´ehovlnˇen´ı,jeˇzvznik´ainterferenc´ı,nepostra- dateln´eodrazy na stˇen´ach rezon´atoru.Pokud je t´ımto rezon´atoremtˇrebatˇelesoZemˇe, pak k nezbytn´ymodraz˚umseismick´ych vln doch´az´ına povrchu Zemˇe.Kde vˇsakm˚uˇze doj´ıtk odraz˚umv tˇelese Slunce, ˇcijin´ehvˇezdy, u nichˇzˇz´adnoupodobnou diskontinuitu nenajdeme? Vypad´ato tak, ˇzev plynn´ych, neohraniˇcen´ych hvˇezd´ach se mohou ustavit jen radi´aln´ıoscilace, kde pevn´ymkoncem (uzlov´ymbodem) je stˇredhvˇezdy. Uv´aˇz´ıme-li vˇsak,ˇzetu m´ameco do ˇcinˇen´ıs akustick´ymivlnami o d´elce104 aˇz105 km, je zˇrejm´e,ˇze touto diskontinuitou, ˇcili povrchem m˚uˇzeb´ythvˇezdn´afotosf´era,jej´ıˇztlouˇst’ka je proti vlnov´ed´elcezanedbateln´a.Vlna pˇrich´azej´ıc´ız nitra se tak na povrchu hvˇezdyodr´aˇz´ı podle klasick´ych z´akon˚upro odraz vlnˇen´ı.Kromˇeodrazu akustick´ych vln od fotosf´ery hraje pˇriˇs´ıˇren´ıtˇechto vln d˚uleˇzitouroli i jejich lom dan´yt´ım,ˇzesmˇeremdovnitˇrhvˇezdy roste teplota, a t´ımi rychlost zvuku, ˇcilikles´aindex lomu. Vlna postupuj´ıc´ıˇsikmodo hvˇezdyse tak l´amesmˇeremod norm´aly. Sledujeme-li pak smˇerpostupu takov´evlny, kter´ase pr´avˇeodrazila od povrchu, vid´ıme,ˇzese trajektorie vlny neust´ale zakˇrivuje smˇeremk povrchu. Vlna tak pˇrisv´empostupu dos´ahne jist´emaxim´aln´ıhloubky, pak zaˇcneopˇetsymetricky vystupovat nahoru. Takov´atovlna m˚uˇzeinterferovat sama se sebou, ve hvˇezdˇem˚uˇzevzniknout stojat´evlnˇen´ı(viz obr´azek6.26). Nejvˇetˇs´ıamplitudu m´astojat´evlnˇen´ıodpov´ıdaj´ıc´ıurˇcit´ymm´od˚um,kter´esplˇnuj´ıjist´e speci´aln´ıpodm´ınky. Protoˇzese ve hvˇezdˇejedn´ao vlnˇen´ıv tˇr´ırozmˇern´emrezon´atoru,jsou pulzace pops´any uspoˇr´adanoutrojic´ıvlnov´ych ˇc´ısel {n,l,m}.

Obr´azek6.26: Zvukov´evlny ve hvˇezdˇe.Pˇrevzatoz Kurtz (2006).

Ve hvˇezdˇese totiˇznaprost´avˇetˇsinavlnˇen´ı vlastn´ı interferenc´ı zruˇs´ı, zbudou jen takov´a,kter´asplˇnuj´ı urˇcit´epodm´ınky. Pro jednoduchost pˇredpokl´adejme,ˇzehvˇezda 6.3. Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 179 pulzuje jen v jedin´empulzaˇcn´ımm´odu.Pak na jej´ımpovrchu najdeme oblasti, kter´e pulzuj´ı ve f´azii v antif´azi.Tyto plochy od sebe oddˇeluj´ı uzlov´ekruˇznice. V rotuj´ıc´ı hvˇezdˇe, kde z´akladn´ısymetrii pulzac´ıurˇcujeosa rotace hvˇezdy, jsou uzlov´ekruˇznice obdobou syst´emu poledn´ık˚ua rovnobˇeˇzekna zemsk´emgl´obu. Pˇr´ısluˇsn´ypulzaˇcn´ımodus je pops´andvojic´ıcel´ych ˇc´ısel l a m, kde l vyjadˇrujecelkov´ypoˇcetuzlov´ych kruˇznic. Pokud l = m = 0, pak je to pˇr´ıpadˇcistˇe radi´aln´ıchpulzac´ı, kter´yjsme jiˇzdiskutovali. Je-li m r˚uzn´eod nuly, lze si pˇredstavit pˇr´ısluˇsn´ymodus jako postupnou vlnu, kter´a bˇeˇz´ıkolem hvˇezdyrovnobˇeˇznˇes rovinou rovn´ıkubud’ ve smˇerurotace (m > 0) nebo proti smˇerurotace (m < 0). Cas,ˇ kter´ytato vlna cestuj´ıc´ı kolem hvˇezdypotˇrebuje k cel´emu obˇehu je |m|n´asobek pˇr´ısluˇsn´epulzaˇcn´ıperiody. Vlna po hvˇezdˇepostupuje, aniˇzby se horizont´aln´ıhopohybu ´uˇcastnilyre´aln´eˇc´astice.(V tom se liˇs´ıod radi´aln´ıch pulzac´ı,kde ˇc´asticepulzaˇcn´ıpohyb skuteˇcnˇevykon´avaj´ı.)Po povrchu hvˇezdyputuje i |m| pomysln´ych azimut´aln´ıchuzlov´ychkruˇznic, proch´azej´ıc´ıch rotaˇcn´ımip´oly, kter´e povrch hvˇezdydˇel´ına 2 |m| stejn´ych d´ıl˚u(jako duˇzninapomeranˇce). Oscilace maj´ıjeˇstˇedalˇs´ıstupeˇnvolnosti – hvˇezdakmit´avzhledem k ekvatore´aln´ı rovinˇe,pˇriˇcemˇz l − |m| vyjadˇrujepoˇcetuzlov´ych rovnobˇeˇzek(|m| ud´av´apoˇcetuzlov´ych poledn´ık˚u).Je-li l = 1, pak leˇz´ıtato kruˇznicena rovn´ıku,pˇri l = 2 jsou tu dvˇeuzlov´e rovnobˇeˇzkyuloˇzen´esymetricky vzhledem k rovn´ıku. Hodnota m se pohybuje vˇzdy v rozmez´ıod -l do +l, takˇzepro kaˇzd´eˇc´ıslo l existuje 2l+1 m-m´od˚u.Vˇseobecnˇetak´e plat´ı,ˇzeˇc´ımvyˇsˇs´ıje ˇc´ıslo l, t´ımm´enˇehluboko tyto m´odydo nitra hvˇezdyzasahuj´ı. Dalˇs´ımparametrem je poˇcetuzlov´ych sf´eruvnitˇrhvˇezdypopsan´yˇc´ıslem n, kter´enab´yv´a celoˇc´ıseln´ych kladn´ych hodnot vˇcetnˇenuly. V z´akladn´ımm´odunen´ıˇz´adn´yuzel (n=0 ), v 1. harmonick´ejeden (n=1 ), v 2. harmonick´edva (n=2 ) apod. Stejnˇejako u radi´aln´ıch pulzac´ıje amplituda vyˇsˇs´ıch harmonick´ych v nitru v´yraznˇe menˇs´ı neˇzrelativn´ı amplituda z´akladn´ıho m´odu.18 Pokud hvˇezdyneradi´alnˇepulzuj´ı, pak se tak vˇetˇsinoudˇejesouˇcasnˇeve velk´empoˇctum´od˚u,jejichˇz´uˇcinkyse navz´ajem pˇrekl´adaj´ı.V´ysledkem je neobyˇcejnˇekomplikovan´ypohyb, kter´ybychom mohli popsat nesp´ıˇsejako chvˇen´ı.Nicm´enˇepr´avˇetoto chvˇen´ın´ampˇrin´aˇs´ıo vlastnostech hvˇezdzcela neoceniteln´einformace. Matematicky lze 3 D oscilace ve hvˇezdˇepopsat v soustavˇesf´erick´ych souˇradnic(r, θ, ϕ) m pomoc´ı sf´erick´ych harmonick´ych funkc´ı Yl (θ, ϕ). r popisuje polomˇersoustˇredn´ych radi´aln´ıch ob´alek, θ vyjadˇrujeˇs´ıˇrkovou souˇradnicia znaˇc´ı ϕ poledn´ıkyna hvˇezdˇe, l, m jsou v´yˇseuveden´amod´aln´ıˇc´ısla.Pro sf´ericky symetrickou hvˇezdum˚uˇzemevych´ylen´ı z rovnov´aˇzn´epolohy ξ v ˇcase t zapsat jako

m i2πνt ξr (r, θ, ϕ, t) = a (r) Yl (θ, ϕ) e , (6.31) ∂Y m (θ, ϕ) ξ (r, θ, ϕ, t) = b (r) l ei2πνt, (6.32) θ ∂θ b (r) ∂Y m (θ, ϕ) ξ (r, θ, ϕ, t) = l ei2πνt, (6.33) ϕ sin θ ∂ϕ kde a(r), b(r) jsou amplitudy a ν je frekvence oscilac´ı.Sf´erick´eharmonick´efunkce jsou

18S´ıla,kter´ase snaˇz´ıvybuzen´ystav navr´atitdo rovnov´aˇzn´ehostavu, souvis´ıs tlakem (pressure), proto se tˇemto typ˚umoscilac´ıˇr´ık´ap-m´ody. Existuj´ızˇrejmˇejeˇstˇetzv. gravitaˇcn´ı,ˇcilig-m´ody. 180 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd d´any vztahem

s 2 l + 1 (l − m)! Y m (θ, ϕ) = P m (cos θ) eimϕ, (6.34) l 4π (l + m)! l

m Obr´azek6.27: N´akresyvrstevnic pro skuteˇcn´esf´erick´eharmonick´efunkce Yl (θ, ϕ) dle vztahu 6.34, kde byl pro jednoduchost potlaˇcen f´azov´yfaktor (−1)m. Kladn´evrstevnice jsou vyznaˇceny plnou ˇcarou,z´aporn´epˇreruˇsovanou. Osa θ = 0 byla stoˇcenao 45◦ smˇeremke ˇcten´aˇria pˇr´ısluˇsn´y p´olje oznaˇcenhvˇezdiˇckou. Rovn´ıkje vyznaˇcens´eri´ıkˇr´ıˇzk˚u. V obr´azkujsou n´asleduj´ıc´ısituace: a) l = 1, m = 0; b) l = 1, m = 1; c) l = 2, m = 0; d) l = 2, m = 1; e) l = 2, m = 2; f) l = 3, m = 0; g) l = 3, m = 1; h) l = 3, m = 2; i) l = 3, m = 3; j) l = 5, m = 5; k) l = 10, m = 5; l) l = 10, m = 10. Pˇrevzatoz Christensen-Dalsgaard (2003). 6.3. Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy 181

m kde Pl (cos θ) jsou Legendreovy polynomy dan´evztahy

m l+m (−1) m d l P m (cos θ) = 1 − cos2 θ
2 cos2 θ − 1
, (6.35) l 2l l! d cosl+m θ kde θ je mˇeˇrenaod pulzaˇcn´ıhop´olu,osy symetrie. Hvˇezdynepulzuj´ıjen v jednom nebo dvou m´odech, ale vˇetˇsinouv mnoha m´odech najednou. Ve vˇetˇsinˇehvˇezdosa pulzac´ısouhlas´ıs rotaˇcn´ıosou hvˇezdy. V´yjimkou jsou rychle osciluj´ıc´ı chemicky pekuli´arn´ı hvˇezdy– tzv. roAp hvˇezdy, kde osa pulzaˇcn´ı symetrie souhlas´ıs osou magnetick´ehopole.

6.3.6 Helioseismologie a astroseismologie Aˇzdo 60. let 20. stolet´ıse vˇseobecnˇesoudilo, ˇzehvˇezdn´epulzace postihuj´ıjen hvˇezdy, kter´e jsou k pulzac´ımn´achyln´e,ostatn´ı,tuctov´ese zd´alyb´ytv˚uˇcipulzac´ımodoln´e.Tento n´azorbyl podporov´ani teoretick´ymzd˚uvodnˇen´ım“, ˇzepulzace hvˇezdse velmi rychle utlum´ı,pokud nej- ” sou n´aroˇcn´ymzp˚usobem energeticky dotov´any zvl´aˇstn´ımmechanismem, kter´yje st´aleudrˇzuje. Pˇr´ıpadn´epulzace svrchn´ıch vrstev hvˇezdymˇelazvl´aˇst’ ´uˇcinnˇetlumit dynamicky rozh´aran´akon- vektivn´ıvrstva se siln´ymivertik´aln´ımipohyby zajiˇst’uj´ıc´ımipˇrenostepla z nitra na povrch. To vˇseby ovˇsemvedlo k tomu, ˇzeby pulzovalo jen nepatrn´eprocento hvˇezd. Byli to Leighton et al. (1962), kdo zjistil neoˇcek´avan´e oscilace Slunce, hvˇezdyvelice vzd´alen´e od p´asunestability, kter´aby mˇela b´ytzaruˇcenˇe klidn´a.Pˇri spektroskopick´em pr˚uzkumu vertik´aln´ıch pohyb˚uzp˚usoben´ych konvekc´ı,speci´alnˇepˇristudiu dˇej˚uspojen´ych se vznikem a z´anikem granul´ızjistili urˇcit´ez´akmity o amplitudˇedes´ıtkym s−1 s charakteristickou periodou 5 minut. Zpoˇc´atkuse soudilo, ˇzetu jde o jakousi odezvu na naruˇsen´ıfotosf´eryvzestupn´ymi konvektivn´ımiproudy. Celou z´ahaduse podaˇrilo rozlousknout aˇzpo 8 letech. Ulrich (1970) a nez´avisleLeibacher & Stein (1971) vysvˇetlili teoreticky z´ahadn´epˇetiminutov´esluneˇcn´ıos- cilace jako v´ysledeksuperpozice obrovsk´ehomnoˇzstv´ıstojat´ych akustick´ych vln, kter´eputuj´ı Sluncem. Uk´azali,ˇzese jedn´ao glob´aln´ıjev, kter´ypostihuje jak povrch, tak i vnitˇrekSlunce. Na prvn´ıpohled chaotick´echvˇen´ısluneˇcn´ıhopovrchu s typickou amplitudou 0,1 m s−1 a menˇs´ıbylo rozloˇzenodo asi 107 r˚uzn´ych m´od˚upulzac´ı,pˇrev´aˇznˇeneradi´aln´ıch. Slunce je tak rozmˇern´ymakustick´ym rezon´atorem, kter´yosciluje, kmit´av neuvˇeˇriteln´emmnoˇzstv´ı akustick´ychm´od˚u. Brzy nato se potvrdilo, ˇzepodobn´eoscilace jsou zjevnˇespoleˇcn´e vˇsemhvˇezd´amsluneˇcn´ıhotypu. Klasick´epulzuj´ıc´ıhvˇezdya hvˇezdybˇeˇzn´e, nepromˇenn´e“ ” odliˇsujeamplituda pozorovan´ych oscilac´ıa zdroj jejich energie. Hvˇezdn´eoscilace tak lze rozdˇelitdo tˇr´ıkategori´ı:

a) p-m´ody– tlakov´e(akustick´em´ody)s frekvencemi vˇetˇs´ımineˇz1 mHz a relativnˇe mal´ymihorizont´aln´ımivlnov´ymid´elkami (l se mˇen´ıod 0 do 1000, i v´ıce).U Slunce jsou nejsilnˇejˇs´ıoscilace s frekvenc´ı2-4 mHz (s periodami od 3 do 8 minut). Nˇekdy se jim ˇr´ık´a pˇetiminutov´eoscilace; b) gravitaˇcn´ı g-m´ody, kter´emaj´ıgravitaci jako s´ıly, kter´ase snaˇz´ıobnovit rovnov´aˇzn´y stav. Maj´ımalou frekvence do 0.4 mHz a vyskytuj´ıv hlubok´ych vrstv´ach hvˇezdy, pod konvektivn´ız´onou.U Slunce se nˇekdytyto g-m´odyspojuj´ıs oscilacemi o del- ˇs´ıch period´ach kolem 160 minut. Jejich vysvˇetlen´ıje vˇsakponˇekudkontroverzn´ı. Sluneˇcn´ı oscilace s periodou 160 minut byly pozorov´any z pozemsk´ych obser- vatoˇr´ı,ale v´ıce neˇz690 dn´ıtrvaj´ıc´ıpozorov´an´ıprov´adˇen´apˇr´ıstrojem GONG na 182 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

palubˇedruˇziceSOHO ˇz´adn´epodobn´eoscilace nezaznamenalo. Jedno z moˇzn´ych vysvˇetlen´ıje, ˇze160minutov´ezmˇeny jsou v´ysledkem harmonick´ych proces˚uspo- jen´ych se zemskou atmosf´erou.160 min je pˇresnˇe1/9 24hodinov´ehosluneˇcn´ıho dne.19 c) povrchov´egravitaˇcn´ıvlny, tzv. f-m´ody. Objevuj´ıse ve fotosf´eˇre.Jejich frekvence je mezi p-m´odya g-m´ody. Dlouhodob´ympozorov´an´ımustaviˇcn´ych zmˇenradi´aln´ırychlosti jednotliv´ych bod˚una sluneˇcn´ımpovrchu je moˇzn´erozloˇzitsluneˇcn´ıoscilace do jednotliv´ych m´od˚ua z´ıskat tak spektrum sluneˇcn´ıch oscilac´ı.Ze vztahu mezi pozorovanou vlnovou d´elkou jednotliv´ych m´od˚ua jejich periodou je moˇzn´evypoˇc´ıtat, jakou stˇredn´ı rychlost´ı se ta kter´avlna ˇs´ıˇrilasluneˇcn´ımnitrem. Vzhledem k tomu, ˇzekaˇzd´yz m´od˚uzasahuje do Slunce jinak hluboko, je moˇzn´estanovit funkci z´avislostirychlosti zvuku na vzd´alenostiod centra. Pˇresnˇestejn´ymzp˚usobem postupuje seismologie, kter´avyˇsetˇrujevlastnosti Zemˇe. Protoˇzerychlost zvuku bezprostˇrednˇez´avis´ı na teplotˇehvˇezdn´ehonitra v dan´e hloubce, je moˇzn´et´eˇzurˇcit,jak z´avis´ıteplota na vzd´alenostiod stˇredu Slunce. Takto lze testovat souˇcasn´emodely sluneˇcn´ıhonitra a prov´adˇetjejich opravy. To se jiˇzskuteˇcnˇe stalo, napˇr´ıklad v tom, ˇzese uk´azalo,ˇzekonvektivn´ı z´onazasahuje hloubˇeji,neˇzse dˇr´ıve pˇredpokl´adalo– aˇz30% pod povrch. Z rozd´ıluv pozorovan´ych period´ach m´od˚u s opaˇcn´ymiazimut´aln´ım ˇc´ıslem m zase bylo moˇzn´eodhadnout, jak se mˇen´ı ´uhlov´a rychlost sluneˇcn´ıhonitra. P˚uvodn´ıpˇredpoklad, ˇzeSlunce rotuje jako tuh´etˇeleso,musel b´ytd´ıkyhelioseismologii pˇrehodnocen. Nyn´ıuˇzv´ıme,ˇzeSlunce uvnitˇrrotuje rychleji. Toto zjiˇstˇen´ıhraje d˚uleˇzitouroli pˇrivysvˇetlov´an´ıpˇr´ıˇcinsluneˇcn´ıa hvˇezdn´eaktivity.

Obr´azek6.28: Uk´azka koncertu“ ˇcerven´ych obr˚u,jak je zaznamenala druˇziceKEPLER. ” Zdroj: NASA.

Sluneˇcn´ıoscilace prostupuj´ıcel´eSlunce, a jak se zd´a,podpovrchov´akonvekce jim zˇrejmˇepˇr´ıliˇsnepˇrek´aˇz´ı.Ba co v´ıc,je pravdˇepodobn´e,ˇzepr´avˇez energie dosti uspoˇr´ada-

19Pˇrehledproblematiky sluneˇcn´ıch oscilac´ıv g-m´oduuv´ad´ıAppourchaux et al. (2010). 6.4. Typy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd 183 n´ehokonvektivn´ıhopohybu ˇcerpaj´ısluneˇcn´ıoscilace svou energii. M˚uˇzeme samozˇrejmˇe zobecˇnovat a pˇredpokl´adat,ˇzeu jin´ych hvˇezdje to stejn´e.Je vˇsakzˇrejm´e,ˇzez velk´e vzd´alenosti,kdy se n´amkotouˇcekhvˇezdsmrˇst´ına jedin´ybod, nen´ımoˇzn´ese souˇcasnou pozorovac´ıtechnikou pozorovat vyˇsˇs´ım´odyoscilac´ı,kter´ejsou u Slunce zvl´aˇst’ siln´e.Je nutno se omezit jen na ty nejjednoduˇsˇs´ı.U vzd´alen´ych hvˇezdtak lze zaznamenat jen m´odys n´ızk´ym l (l < 4), protoˇzepak se m´odypˇripozorov´an´ınavz´ajemst´ıraj´ı.

V souˇcasnostise v´yzkumu hvˇezdn´ych seismick´ych vln (astroseismologii) vˇenuje ˇradat´ym˚u, kter´evyuˇz´ıvaj´ıi velmi pˇresn´afotometrick´amˇeˇren´ız druˇzicWIRE (start v r. 1999), MOST (2003), COROT (2007), KEPLER (2009). Poslednˇejmenovan´adruˇzicetak´ez´ıskala fotomet- rick´adata pro hvˇezduKIC 11026764, kter´aje nyn´ıjednou z nejpˇresnˇejipromˇeˇren´ych hvˇezdve vesm´ıru(Metcalfe et al., 2010). Astroseimologickou anal´yzoupozorov´an´ıbyl velmi pˇresnˇeurˇcen polomˇerhvˇezdy a jej´ıst´aˇr´ı.S podobnou pˇresnost´ızn´amev souˇcasnosti data jen u nˇekolika hvˇezd!Pro hvˇezduKIC 11026764 z anal´yzynapˇr´ıkladvypl´yv´a,ˇzeje ve v´yvoji d´aleneˇznaˇse Slunce a uˇzzap´alilavod´ıkve slupce kolem h´eliov´ehoj´adra.

6.4 Typy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd

6.4.1 Klasick´ecefeidy Cefeidy nebo t´eˇz klasick´e cefeidy, pˇr´ıpadnˇe hvˇezdy typu δ Cephei jsou radi´alnˇe pulzuj´ıc´ı nadobˇri ˇci veleobˇri(luminozitn´ıtˇr´ıdyIb – II) spektr´aln´ıhotypu F–K (viz obr. 6.32). Periody pulzac´ı jsou od 1 dne do 135 dn´ı, amplitudy svˇeteln´ych zmˇen aˇz 2 mag. Kˇrivka radi´aln´ıch rychlost´ı je ve f´azi se svˇetelnou kˇrivkou: maximum rychlosti expanze odpov´ıd´ama- ximu jasnosti hvˇezdy(viz obr. 6.31). Jde o hmotn´e hvˇezdy v pokroˇcil´em stadiu v´yvoje, v jejichˇz ni- tru se jiˇz zap´alily h´eliov´e reakce. Jsou to typick´e ˇclenky ploch´eho podsyst´emu Galaxie, vyskytuj´ı se obˇcas v mladˇs´ıch otevˇren´ych hvˇezdokup´ach. Dobˇre vyj´adˇren´az´avislostmezi periodou pulzac´ıa z´aˇriv´ym Obr´azek 6.29: Klasick´e cefeidy v´ykonem je d˚usledkem skuteˇcnosti, ˇze cefeidy jsou v HR diagramu (viz obr. 6.24). r˚uznˇehmotn´ea tud´ıˇzr˚uznˇez´aˇriv´ehvˇezdy, jeˇzse pˇri sv´emv´yvoji pr´avˇedostaly do p´asunestability. Pˇr´ıˇcinouudrˇzen´ı pulzac´ı cefeid je akumulace tepla z´ıskan´ehopˇri prostupu z´aˇriv´e energie ve vrstvˇe,v n´ıˇzje srovnateln´emnoˇzstv´ıjedenkr´ata dvakr´ationizovan´ehoh´elia. Vˇetˇsinapulzuje v z´akladn´ımm´odu,byly ale nalezeny i takov´e,kter´epulzuj´ıv prvn´ım harmonick´emm´odu.Ty jsou pak oznaˇceny CEP-FO (first overtone). 184 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.30: Svˇeteln´ekˇrivkyˇctyˇrcefeid v SMC z pˇrehl´ıdkyOGLE. Zdroj: M. Skarka.

Obr´azek6.31: Pozorovan´evlastnosti typick´ecefeidy δ Cephei v z´avislostina f´azipulzaˇcn´ı periody. Pˇrevzatoz Carroll & Ostlie (2007). 6.4. Typy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd 185

6.4.2 Hvˇezdytypu W Virginis Pulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdytypu W Virginis jsou tzv. cefeidy druh´egenerace. PromˇennostSamotn´eW Vir objevil Argelander˚uvasistent Sch¨onfeldv roce 1866. Na skuteˇcnost,ˇzese tato hvˇezdaa j´ıpodobn´eliˇs´ı od klasick´ych cefeid upozornil ale aˇzroku 1946 Wal- ter Baade. Hvˇezdytypu W Virginis jsou radi´alnˇe pulzuj´ıc´ıobˇristar´ediskov´ea sf´erick´esloˇzkyGalaxie (populace II). Perioda jejich pulzac´ıje 1 aˇz50 dn´ı, amplituda od 0,2 do 2 mag. Je u nich rovnˇeˇzpo- zorov´ana obdoba z´avislosti perioda–z´aˇriv´yv´ykon, kter´aplat´ıu cefeid, jen s t´ımrozd´ılem,ˇzepro tut´eˇz periodu jsou hvˇezdyW Virginis o 0,7 aˇz2 mag slabˇs´ı. Pr´avˇe sm´ıch´an´ı klasick´ych a cefeid a hvˇezd typu W Vir p˚usobilov prvn´ı polovinˇeminul´ehostolet´ı probl´emy v pˇresn´emvymezen´ı z´avislostiperioda– z´aˇriv´y v´ykon. Nyn´ı uˇz v´ıme, ˇze promˇenn´e typu Obr´azek6.32: Hvˇezdytypu W Vir W Virginis lze od klasick´ych cefeid rozliˇsit podle v HR diagramu. Popis a zdroj viz tvaru jejich svˇeteln´ekˇrivky(viz obr. 6.33). obr. 6.24.

Obr´azek6.33: Svˇeteln´akˇrivka klasick´ecefeidy l Carinae a W Virginis v barvˇe V . Pˇrevzato z http://www.surastronomico.com. 186 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

6.4.3 RR Lyrae Hvˇezdy typu RR Lyrae jsou nˇekdy oznaˇcov´any jako kr´atkoperiodick´e cefeidy. Jedn´ase o radi´alnˇe pulzuj´ıc´ı obry a podobry sluneˇcn´ıch hmotnost´ıspektr´aln´ıhotypu A aˇzF, populace II s menˇs´ımzastoupen´ımtˇeˇzˇs´ıch prvk˚u, kter´ese bˇehemsv´eho v´yvoje pr´avˇedostaly do p´asunesta- bility. Periody svˇeteln´ych zmˇen jsou v intervalu 0,2 aˇz1,2 dn´ı(vˇetˇsinouale do 0,8 dne), amplitudy 0,2 aˇz2,5 mag. Maximu jasnosti odpov´ıd´amaximum expanzn´ırychlosti hvˇezdy. Rozborem svˇeteln´ych kˇrivek lze tak´ena z´akladˇe semiempirick´ych vztah˚uurˇcovat fyzick´evlastnosti tˇechto hvˇezd,napˇr´ıkladmetalicitu [Fe/H]. Podle tvaru svˇeteln´ych kˇrivek se rozliˇsujenˇekolik pod- typ˚u,ale naprost´avˇetˇsina(pˇres90 %) jich patˇr´ık typu Obr´azek 6.34: Hvˇezdy typu ab, kter´ejsou charakterizov´any rychl´ymn´ar˚ustemjas- RR Lyr v HR diagramu. Popis nosti (viz obr. 6.35). U hvˇezdtypu RR Lyrae se nˇekdy a zdroj viz obr. 6.24. v pr˚ubˇehu ˇcasumˇen´ıperiody pulzac´ıi podoba svˇeteln´e kˇrivky. Zaj´ımav´ymfenom´enemje tzv. Blaˇzk˚uvjev, kdy se pˇreshlavn´ıpulzaˇcn´ıkˇrivkupˇrekl´ad´adalˇs´ısekul´arn´ızmˇenatvaru a amplitudy svˇeteln´e kˇrivky. Ani jedno stolet´ıpo objevu nen´ıtento jev uspokojivˇevysvˇetlen.Blaˇzk˚uvjev postihuje jen nˇekter´ehvˇezdytypu RR Lyrae. Jejich katalog publikoval Skarka (2013).

Obr´azek6.35: Svˇeteln´ekˇrivky hvˇezdtypu RR Lyrae. Vlevo je podtyp RRab, vpravo RRc. Zdroj: M. Skarka.

Tyto hvˇezdy lze pouˇz´ıtjako standardy pˇristanovov´an´ıvzd´alenost´ıhvˇezdn´ych sous- tav, nebot’ vˇsechny maj´ı zhruba tut´eˇz stˇredn´ı absolutn´ı hvˇezdnou velikost (MV ≈ 0, 6 mag)20. S v´yhodou se tak ˇcin´ızejm´enau kulov´ych hvˇezdokupa eliptick´ych galaxi´ı, v jejichˇzosazenstvu se klasick´ecefeidy nenach´azej´ı.

20Souˇcasn´estudie ale ukazuj´ı,ˇzebude v pr˚umˇerujeˇstˇenejsp´ıˇseo nˇecomenˇs´ıa z´avisl´ana metalicitˇe. 6.4. Typy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd 187

6.4.4 Hvˇezdytypu δ Scuti Hvˇezdy typu δ Scuti jsou radi´alnˇe i neradi´alnˇe pulzuj´ıc´ıhvˇezdyhlavn´ıposloupnosti, pˇr´ıpadnˇeobˇri spektr´aln´ıho typu A0 aˇzF5. Jde o hvˇezdyz p´asu nestability, kde jsou kmity posilov´any zadrˇzov´an´ım z´aˇriv´e energie postupuj´ıc´ı z nitra hvˇezdy v z´onˇe He ii/He iii.21 Pozorovan´eamplitudy svˇeteln´ych zmˇenjsou od 0,003 mag do 0,9 mag s kr´atk´ymiperiodami, jen 0,01–0,2 dne. Hvˇezdys amplitudami vˇetˇs´ımineˇz0,1 mag se oznaˇcuj´ı jako HADS (z anglick´eho high- amplitude delta Scuti stars). Tvar svˇeteln´ekˇrivky i amplituda se s ˇcasem obvykle silnˇemˇen´ı. Je to d˚usledekskuteˇcnosti,ˇzese zde vedle sebe uplatˇnuje hned nˇekolik pulzaˇcn´ıch period, hvˇezda pulzuje souˇcasnˇev nˇekolika m´odech. Vzhledem k tomu, ˇzese Obr´azek6.36: tyto periody od sebe zpravidla pˇr´ıliˇsneliˇs´ı,m˚uˇzeme ve svˇeteln´ekˇrivce pozorovat r´azy, obdob´ı zv´yˇsen´e Obr´azek6.37: Hvˇezdytypu δ Scuti v HR diagramu. Popis a zdroj viz amplitudy, nˇekdynaopak mohou svˇeteln´ezmˇeny na obr. 6.24. ˇcasvymizet.

Obr´azek6.38: Svˇeteln´akˇrivka FG Vir, hvˇezdytypu δ Scuti z´ıskan´az nˇekolika observatoˇr´ına z´akladˇepozorovac´ıkampanˇe. Pˇrevzatoz Breger et al. (2004).

Zvl´aˇstn´ıpodtˇr´ıdouhvˇezdtypu δ Scuti jsou hvˇezdytypu SX Phoenicis. Zpravidla maj´ıvˇetˇs´ıamplitudy zmˇenjasnosti (aˇznˇekolik desetin magnitudy) s periodami mezi 0,03 aˇz0,08 dne. Nˇekter´epulzuj´ıve dvou m´odech. Ale zejm´enase liˇs´ıfyzick´eparametry. Maj´ı malou metalicitu a jejich vlastn´ı pohyb je ˇrad´ı sp´ıˇsemezi hvˇezdypopulace II. Objevuj´ıse v trpasliˇc´ıch galaxi´ıch a kulov´ych hvˇezdokup´ach mezi modr´ymiopozdilci (v angliˇctinˇe blue straggler“). ” 21Ve stejn´emm´ıstˇeH-R diagramu se nach´azej´ıi magnetick´ehvˇezdytypu Ap, z nichˇzu nˇekter´ych byly pozorov´any neradi´aln´ıpulzace. Jejich spektrum i amplituda se mˇen´ıs periodou rotace. Kurtz (1982) v nich odhalil tzv. magnetick´epulz´atory, hvˇezdy, u nichˇzje urˇcuj´ıc´ıosou symetrie osa jejich mohutn´eho dip´olov´ehomagnetick´ehopole. 188 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.39: Svˇeteln´ekˇrivkyhvˇezdtypu SX Phe v barvˇe V v poli kulov´ehvˇezdokupy M 55. Pˇrevzatoz Pych et al. (2001).

6.4.5 Hvˇezdytypu γ Doradus

Obr´azek6.40: Vlevo: Hvˇezdytypu γ Dor v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Vpravo: Symetrick´ea multimod´alni(prav´ysloupec) svˇeteln´ekˇrivkyhvˇezdtypu γ Dor z pozorov´an´ı druˇziceKepler. Pˇrevzato z Balona et al. (2011).

Hvˇezdytypu γ Doradus tvoˇr´ıpomˇernˇehomogenn´ıskupinu trpasliˇc´ıch pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezdspektr´aln´ıhotypu F0 aˇzF2. Leˇz´ıtˇesnˇeu ˇcerven´ehookraje p´asunesta- bility s hvˇezdamitypu δ Scuti. Jako samostatn´ytyp promˇenn´ych hvˇezdbyla skupina definov´anapomˇernˇened´avno(Kaye et al., 1999). Hvˇezdykmitaj´ıs jednou aˇzpˇetiperi- odami o d´elce0,4 aˇz3 dny, amplitudy svˇeteln´ych zmˇendosahuj´ı0,1 mag (V ). Jedn´ase 6.4. Typy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd 189 o neradi´aln´ıpulzace v g-m´odu. V pozorov´an´ıch druˇziceKepler byly objeveny i hybridy – hvˇezdy typu γ Dor s pulzacemi δ Scuti.

6.4.6 Rychle osciluj´ıc´ıpekuli´arn´ıhvˇezdy Rychle osciluj´ıc´ıpekuli´arn´ıhvˇezdyjsou oznaˇcov´any jako roAp hvˇezdy. Do t´etoskupiny patˇr´ıhvˇezdyspektr´aln´ıho typu B8 aˇzF2 na hlavn´ıposloupnosti nebo v jej´ıbl´ızkosti. RoAp hvˇezdy jsou podtypem rotuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezdtypu α2 Canum Venaticorum. Perioda svˇeteln´ych zmˇens amplitudou ˇr´adovˇemilimagnitudy je od 5 do 15 minut. Pozorovan´asvˇeteln´akˇrivka je v´ysledkem skl´ad´an´ı zmˇenzp˚usoben´ych rotac´ı hvˇezdya pulzac´ı. Z hlediska pulzac´ı jde o neradi´alnˇe pulzuj´ıc´ı magnetick´e hvˇezdy, u nichˇzosu pulzac´ıneurˇcujerotaˇcn´ıosa, ale osa magnet- ick´ehodip´olu.Pulzace o periodˇeˇr´adovˇe0,01 dne a ampli- tudˇeˇr´adovˇe0,01 mag se pˇrekl´adaj´ıpˇresrotaˇcn´ızmˇeny jasnosti. Tomuto typu promˇennosti,kter´yje kombinac´ı Obr´azek 6.41: Hvˇezdy typu rotace a pulzace ˇr´ızen´emagnetick´ympolem, se ˇr´ık´a mag- roAp v HR diagramu. Popis netick´ypulz´ator (viz obr. 6.44). a zdroj viz obr. 6.24.

Obr´azek6.42: Svˇeteln´akˇrivka hvˇezdytypu roAp α Cir z druˇziceWIRE a africk´eobservatoˇre SAAO, kde byly roAp hvˇezdyobjeveny. Spodn´ıpanel ukazuje tˇr´ıdenn´ısimult´ann´ıpozorov´an´ı z WIRE a SAAO. Pˇrevzatoz Bruntt et al. (2009). 190 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

6.4.7 Hvˇezdytypu β Cephei Nˇekdyse hvˇezdytypu β Cephei oznaˇcuj´ıi jako hvˇezdy typu β Canis Majoris. V kaˇzd´empˇr´ıpadˇejsou to jsou pulzuj´ıc´ı hork´ehvˇezdyhorn´ı ˇc´astihlavn´ı posloupnosti v ´uzk´em rozmez´ı spektr´aln´ıch typ˚uB0 aˇz B2, kter´e vykazuj´ı svˇeteln´ezmˇeny o amplitudˇe0,01 aˇz0,3 mag a zmˇeny radi´aln´ıch rychlost´ı,vˇses periodou 0,1 aˇz0,6 dne. Kˇrivkysvˇeteln´ea kˇrivkyradi´aln´ıch rychlost´ı jsou proti sobˇeposunuty o ˇctvrtperiody: maxim´aln´ıjasnost odpov´ıd´aminim´aln´ımu polomˇerua maxim´aln´ı teplotˇe. Vˇse je to d˚usledekpulzac´ı, kter´e b´yvaj´ı jak radi´aln´ı, tak neradi´aln´ı. Nˇekdy m´ıvaj´ı i v´ıce period. Pokud je pˇr´ıtomno v´ıce period, pak jedna zpravidla pˇr´ısluˇs´ı radi´aln´ımpulzac´ıma jedna nebo v´ıceneradi´aln´ım.Pe- riody jsou ˇcastonepˇr´ıliˇsodliˇsn´ea jejich z´aznˇeje(v angl. Obr´azek 6.43: Hvˇezdy typu beat effect“) vytv´aˇrej´ıcharakteristick´evzedmut´ıa pok- ” β Cep v HR diagramu. Popis lesy amplitud. a zdroj viz obr. 6.24.

Obr´azek6.44: Model magnetick´ehopulz´atoru.Pˇrevzatoz Percy (2011).

Mechanismus pulzac´ıje podobn´yjako u cefeid, jen s t´ımrozd´ılem, ˇzezde k ˇz´adouc´ı akumulaci prostupuj´ıc´ız´aˇriv´eenergie doch´az´ıv d˚usledku fotoionizace prvk˚uskupiny ˇzeleza.Ty jsou v podpovrchov´ych vrstv´ach tˇechto hork´ych hvˇezdhlavn´ıpˇr´ıˇcinouopacity hvˇezdn´ehomateri´alu.

6.4.8 SPB SPB je zkratka z anglick´eho slowly pulsating B stars“ a znamen´apomalu pulzuj´ıc´ıB ” hvˇezdy. Jedn´ase hvˇezdyspektr´aln´ıhotypu B2 aˇzB9 o hmotnostech 3 aˇz9 M . Jako zvl´aˇstn´ıskupinu promˇenn´ych hvˇezdje popsal Waelkens (1991). Amplitudy zmˇenjsou jen velmi mal´e,maxim´alnˇedo 0,1 mag. B´yvaj´ıinterpretov´any jako v´ysledekneradi´aln´ıch pulzac´ıg-m´od˚uvysok´ych ˇr´ad˚u.Period pulzac´ıje zpravidla v´ıcev rozmez´ıod nˇekolika hodin do nˇekolika dn´ı. 6.4. Typy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd 191

Obr´azek6.45: Svˇeteln´ekˇrivkytˇr´ıhvˇezdtypu β Cephei z pˇrehl´ıdkyASAS a kˇrivka BW Vul sestaven´apozorov´an´ıv r´amcikampanˇev r. 1982. Pˇrevzatoz Pigulski & Pojma´nski(2008).

Obr´azek6.46: Vlevo: Poloha hvˇezdtypu SPB v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Vpravo: Svˇeteln´ekˇrivkyhvˇezdytypu SPB HD 123515. Pˇrevzatoz Waelkens (1991).

6.4.9 Pulzuj´ıc´ıb´ıl´ıtrpasl´ıci Nadpis t´etokratiˇck´ekapitolky odhalil, o jak´ehvˇezdyse jedn´a.Nˇekdyjsou podle sv´eho hlavn´ıhopˇredstavitele oznaˇcov´any jako promˇenn´ehvˇezdytypu ZZ Ceti. Jak je vidˇet z HR diagramu na obr´azku6.47 nach´azej´ıse v prodlouˇzen´ıp´asunestability v doln´ıˇc´asti HR diagramu v oblasti spektr´aln´ıhotypu A. Pozorovan´ezmˇeny jasnosti o amplitud´ach od mmag do 0,2 mag a period´ach od des´ıtekpo tis´ıcesekund jsou d˚usledkem neradi´aln´ıch pulzac´ı.Vˇetˇsinoujich prob´ıh´ahned nˇekolik najednou s pomˇernˇebl´ızk´ymiperiodami. Obvykle pulzuj´ısouˇcasnˇev nˇekolika bl´ızk´ych period´ach. I kdyˇzprvn´ıpˇr´ıpadje zn´amuˇz v´ıceneˇzˇctvrtstolet´ı(Landolt, 1968), je celkovˇezn´amojen nˇekolik pˇr´ıpad˚u. 192 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek6.47: Vlevo: Poloha hvˇezdtypu ZZ Ceti v HR diagramu. Popis a zdroj viz obr. 6.24. Vpravo: Pozorov´an´ıhvˇezdy EC23487-2424 bˇehem6 noc´ı.Pˇrevzatoz Stobie et al. (1993).

6.4.10 Dlouhoperiodick´epulzuj´ıc´ıpromˇenn´ehvˇezdy V´yznamnouskupinu promˇenn´ych hvˇezdtvoˇr´ıdlouhope- riodick´epromˇenn´ehvˇezdy, zn´am´et´eˇzjako hvˇezdytypu Mira, respektive miridy 22. Jsou to chladn´e hvˇezdy asymptotick´e vˇetve obr˚uo hmotnostech Slunce. Tyto hvˇezdyna sebe velice upozorˇnuj´ı zejm´enavelkou am- plitudou sv´ych svˇeteln´ych zmˇen (i pˇres 10 mag), ale i relativnˇe vysok´ym z´aˇriv´ym v´ykonem – jsou to jedny z nejz´aˇrivˇejˇs´ıch hvˇezd v Galaxii, viditeln´e i na velkou vzd´alenost.Kolem tˇechto hvˇezdse ˇcastopozoruj´ı r˚uznˇevyvinut´eokolohvˇezdn´eplynoprachov´eob´alky(viz napˇr´ıkladokol´ısamotn´eMiry na obr. 6.50). Amplitudy svˇeteln´ych zmˇenv optick´emoboru jsou velik´ezpravidla mezi 2,5 aˇz11 mag, v modr´ea ultra- Obr´azek6.48: Miridy v HR di- fialov´eoblasti b´yvaj´ıjeˇstˇevˇetˇs´ı,v infraˇcerven´emoboru agramu. Popis a zdroj viz obr. vˇsaknepˇrevyˇsuj´ı2,5 mag. Rekordmankou mezi miridami 6.24. a vlastnˇemezi vˇsemiperiodicky promˇenn´ycmihvˇezdami je χ Cygni, kter´ase ve vizu´aln´ımoboru mˇen´ıv rozsahu 14 mag. Bolometricky ˇcin´ıale amplituda zmˇenjen 3,3 mag. Tento rozd´ılje d´ant´ım,ˇzev pr˚ubˇehu cyklu doch´az´ık velmi drastick´ymzmˇen´amv rozloˇzen´ıenergie ve spektru. Svˇeteln´ekˇrivkymirid jsou ponˇekudasymetrick´e,pozorujeme zde rychlejˇs´ıvzestup do maxima a pomalejˇs´ıpokles. Svˇeteln´ekˇrivkyjsou pomˇernˇestabiln´ı,zmˇeny prob´ıhaj´ı dosti periodicky. Pozorovan´eperiody v rozsahu 80 aˇz1100 dn´ıdobˇresouhlas´ıs velmi n´ızkou stˇredn´ıhustotou tˇechto ˇcerven´ych obr˚u.Pulzace tˇechto rozmˇern´ych chladn´ych

22Pˇripomeˇnme,ˇzeprototyp tˇechto hvˇezd o Ceti byla tak´eprvn´ızn´am´aperiodick´apromˇenn´ahvˇezda. Jej´ızmˇeny jasnosti si povˇsimlDavid Fabricius uˇzroku 1596. 6.4. Typy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd 193 hvˇezdjsou radi´aln´ı,spory se vˇsakvedou o tom, zda kmitaj´ıv z´akladn´ımm´odunebo v 1. harmonick´e.Pulzace mirid ˇcerpaj´ısvou energii ze stejn´ehozdroje jako ostatn´ıtypy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych, tedy ze z´aˇriv´ehotoku vych´azej´ıc´ıhoz centr´aln´ıch ˇc´ast´ıhvˇezdy. Rozd´ılje v tom, ˇzek akumulaci z´aˇriv´eenergie a k jej´ımu pˇrevodu na energii kinetickou doch´az´ızˇrejmˇeve vrstvˇeionizovan´ehovod´ıku.Pulzace, jeˇzse hvˇezdouˇs´ıˇr´ı,brzy nabude povahu r´azov´evlny, kter´ase pak prod´ır´ahvˇezdouz nitra na povrch. Pozorovan´esvˇeteln´ezmˇeny jsou pak pˇredevˇs´ımv´ysledkem interakce hork´er´azov´e vlny, kter´aproch´az´ırozmˇernouatmosf´erouo n´ızk´eefektivn´ıteplotˇe.L´atka zde, navzdory sv´eˇr´ıdkosti, je opticky velmi m´alopr˚uhledn´a,a to hlavnˇev d˚usledkuabsorpce vyvolan´e molekulami oxidu titanu TiO. Pˇristˇredur´azov´evlny doch´az´ık disociaci tˇechto molekul, coˇzvede k prudk´emu poklesu opacity. V maximu jasnosti spektr´aln´ıp´asyTiO miz´ı, objevuj´ıse emisn´ıˇc´aryvod´ıkua ionizovan´ehov´apn´ıku,zcela neodpov´ıdaj´ıc´ıpozdn´ımu

Obr´azek6.49: Svˇeteln´akˇrivka Miry. Zdroj AAVSO. 194 Kapitola 6. Promˇennostperiodicky promˇenn´ych hvˇezd spektr´aln´ımu typu. Zmˇeny ve vzhledu a charakteru spektra jsou velmi prudk´e.Pulzace hvˇezdjsou aˇzsekund´arn´ımefektem a na zmˇeny jasnosti hvˇezdmaj´ıjen okrajov´yvliv.

Obr´azek6.50: Nahoˇre:Sn´ımekokol´ıhvˇezdyMira Ceti v ultrafialov´eoblasti spektra jasnˇe ukazuje materi´al,kter´yza sebe hvˇezdazanech´av´a.Dole: Stejn´aoblast v okol´ı o Ceti nic zvl´aˇstn´ıhoneukazuje. Zdroj: Galex team, Caltech.

6.4.10.1 Polopravideln´epromˇenn´ehvˇezdy S klasick´ymimiridami jsou spˇr´ıznˇeny tzv. polopravideln´epromˇenn´ehvˇezdy (typ SR z an- glick´ehosemi-regular) s menˇs´ıamplitudou svˇeteln´ych zmˇena s m´enˇepˇr´ısnouperiodici- tou. U nich nejsou efekty tak v´yrazn´e,hlavnˇetu nem´apr˚uchod r´azov´evlny atmosf´erou tak devastuj´ıc´ı´uˇcinek. P´asyTiO ve spektru pozorujeme st´ale,coˇzse pak projev´ıpo- zorovanou menˇs´ıamplitudou svˇeteln´ych zmˇen. Hvˇezdytypu SR jsou obˇria veleobˇripozdn´ıch spektr´aln´ıch tˇr´ıds jistou periodou pulzac´ı.Periodicita dˇej˚uje zde obˇcasnaruˇsov´anaurˇcit´yminepravidelnostmi. Periody svˇeteln´ych zmˇeno amplitud´ach 1–2 mag b´yvaj´ıod 20 do 2000 dn´ı.Pˇrestoˇzejsou zde spoleˇcn´eznaky s miridami, celkovˇeje svˇeteln´echov´an´ıt´etorozmanit´eskupiny hvˇezd velice r˚uzn´e. M˚uˇzemeje d´alerozdˇelitdo ˇctyˇrpodtyp˚u:

SRa – jejich svˇeteln´ezmˇeny jsou takˇrka pˇresnˇeperiodick´e,periody v rozmez´ı100 aˇz400 dn˚u, amplitudy aˇz2 mag. Jedn´ase o obry a veleobry pozdn´ıch spektr´aln´ıch tˇr´ıds emisemi vod´ıku.Jsou zˇrejmˇevelice podobn´emirid´am.

SRb – svˇeteln´ezmˇeny nejsou jiˇztak pˇr´ısnˇeperiodick´e, perioda vˇetˇsinou80 aˇz120 dn´ı.U ˇrady z nich se objevuje i dalˇs´ı,o ˇr´addelˇs´ıperioda. Amplitudy zmˇenjsou vesmˇespod 1 mag. Jedn´ase o obry a veleobry spektr´aln´ıch typ˚uM, C a S. 6.4. Typy pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd 195

SRc – svˇeteln´ezmˇeny urˇcuje v´ıceperiod jedna b´yv´aˇr´adovˇestovky, druh´atis´ıcedn´ıdlouh´a. Amplitudy kolem 1 mag. Vesmˇesjde o hmotn´eˇcerven´eveleobry tˇr´ıdyM se silnou kon- centrac´ıke galaktick´erovinˇe.

SRd – svˇeteln´ezmˇeny jsou pomˇernˇepˇr´ısnˇeperiodick´e,pˇriˇcemˇzpro kaˇzdouhvˇezdulze vytipo- vat soubor period, v nichˇzse stˇr´ıdavˇemˇen´ı,v obdob´ızmˇeny periody se m˚uˇzejasnost hvˇezdymˇenitdosti chaoticky. Amplitudy jsou v rozmez´ı0,1 aˇz4 mag. Hvˇezdytohoto typu jsou teplejˇs´ıobˇria veleobˇritypu G, K a M, vˇetˇsinous emisemi ve spektru.

6.4.10.2 Hvˇezdytypu RV Tauri Hvˇezdytypu RV Tauri jsou radi´alnˇepulzuj´ıc´ıveleobˇri,jejichˇzspektra se v cyklu pro- mˇennostiv´yraznˇemˇen´ı.Zat´ımcov maximu jde o hvˇezdyspektr´aln´ıtˇr´ıdyF–G, v min- imu K–M. Periody svˇeteln´ych zmˇenˇcin´ı30 aˇz150 dn´ıs amplitudami 3 aˇz4 mag. Ve svˇeteln´ych kˇrivk´ach vedle hlavn´ıch minim jasnosti pozorujeme i minima sekund´arn´ı, pˇriˇcemˇzpomˇeryjejich hloubek se s ˇcasemmˇen´ı, mohou se i pˇrevr´atit.Hvˇezdysilnˇe z´aˇr´ıv infraˇcerven´emoboru, kde se projevuje z´aˇren´ıprachov´eob´alkyvymeten´ez hvˇezdy pulzacemi. Emisn´ıˇc´arysvˇedˇc´ıo pˇr´ıtomnosti rozs´ahl´eatmosf´ery.

6.4.10.3 Hvˇezdytypu R Coronae Borealis Hvˇezdytypu R CrB jsou star´eveleobˇr´ıhvˇezdy spektr´aln´ıtˇr´ıdyF aˇzK s n´ızk´ymzas- toupen´ımvod´ıkuv atmosf´eˇre,ale s hojnost´ıuhl´ıku.Pulzuj´ıs periodou 30 aˇz100 dn´ı s amplitudou pozorovan´ych zmˇen0,1 aˇz1 mag. Pˇrespulzace se pˇrekl´adaj´ıaperiodick´a zeslaben´ıv rozmez´ıod 1 do 9 (!) magnitud. Tato minima jasnosti mohou trvat i cel´eroky (viz obr. 6.51). Enormn´ıpokles jasnosti se vykl´ad´asilnou absorpc´ısvˇetlagrafitov´ymi zrn´ıˇcky, kter´azde zkondenzovala z l´atkyvyvrˇzen´ehvˇezdou.

Obr´azek6.51: Svˇeteln´akˇrivka R CrB v letech 1910–2010. Zdroj AAVSO. 196 Kapitola 7. Fyzika aperiodick´ych promˇenn´ych hvˇezd 7 Fyzika aperiodick´ych promˇenn´ych hvˇezd

Aperiodick´ezmˇeny jasnosti u promˇenn´ych hvˇezd zpravidla pˇr´ımosouvisej´ıse zmˇenou samotn´ehvˇezdynebo jej´ıhookol´ı.V t´etokapitole tedy p˚ujdezejm´enao fyzick´epromˇenn´e hvˇezdy(v anglicky psan´eliteratuˇre intrinsic variable stars“). Zmˇeny charakteristik ” objektu pˇritommohou prob´ıhat:

• v okol´ıhvˇezdy. Mluv´ımeo nejr˚uznˇejˇs´ıch projevech akrece, pˇr´ıtomnostiakreˇcn´ıho disku, o vlivu hvˇezdn´ehovˇetruapod.

• v povrchov´ych vrstv´ach, kde jsou to nejˇcastˇejiprojevy hvˇezdn´eaktivity. Ale samo- zˇrejmˇesem m˚uˇzemezaˇraditi vzplanut´ınov.

• v podpovrchov´ych vrstv´ach, kter´emohou b´ytzdrojem hvˇezdn´ych pulzac´ı.Ty sice patˇr´ımezi striktnˇeperiodick´ejevy, ale jde o fyzick´ezmˇeny hvˇezdy, proto je zde uv´ad´ımepro ´uplnosttak´e,

• v samotn´emj´adruhvˇezdy, ke kter´ymdoch´az´ıpˇrizrodu hvˇezdyve f´azi rychl´eho smrˇst’ov´an´ıi na konci v´yvoje velmi hmotn´ych hvˇezdpˇriv´ybuchu supernov a hy- pernov.

Jednotliv´ymmechanism˚umpromˇennostise nyn´ıbudeme vˇenovat podrobnˇeji.

7.1 Promˇennosthvˇezdyv d˚usledkuzmˇenjej´ıhookol´ı

Kolem hvˇezdse ˇcastonach´az´ımnoˇzstv´ıopticky aktivn´ıhomateri´alur˚uzn´ehop˚uvodu. Mohou to b´yttˇrebazbytky z´arodeˇcn´ehomateri´alu,kter´ynebyl spotˇrebov´anna stavbu hvˇezd.Tak je tomu i v pˇr´ıpadˇevelmi mlad´ych hvˇezdtypu T Tauri, FU Orionis tˇesnˇe pˇredjejich vstupem na hlavn´ıposloupnost. Do okoln´ıho prostoru, ale naopak mohou materi´aldod´avat samotn´ehvˇezdy. Hvˇezdyztr´acej´ı svou hmotu nejˇcastˇejihvˇezdn´ym vˇetrem,kter´ym˚uˇzeb´ytu nˇekter´ych typ˚uhvˇezdi pomˇernˇeintenzivn´ı.Ke ztr´atˇehmoty do okol´ıhvˇezdydoch´az´ıt´eˇzv d˚usledkupulzac´ıhmotn´ych hvˇezda hvˇezdv pozdn´ıch stadi´ıch jejich v´yvoje. Nesm´ımezapomenout ani na v´ybuchy supernov nebo hypernov, pˇrinichˇzje do prostoru odvrˇzenacel´avnˇejˇs´ıˇc´asthvˇezdy, ne-li hvˇezdacel´a.V´yskyt okolohvˇezdn´ehomateri´aluje tak´ed˚uleˇzit´ynapˇr´ıklad u z´ablesk˚uzaˇren´ıgama. Ty jsou zˇrejmˇezp˚usobeny r´azov´ymivlnami ve v´ytryskul´atky, ale jeho interakce s mezihvˇezdnou l´atkou stoj´ıza tzv. optick´ymdosvitem (v anglick´eliteratuˇre afterglow“). ” Znaˇcn´eprocento hvˇezdse nav´ıcvyskytuje ve vesm´ıruv p´arech a tady vstupuj´ıdo hry i dalˇs´ımechanismy, kter´evedou k ´uniku l´atkydo okol´ıjedn´esloˇzkydvojhvˇezdy nebo i cel´edvojhvˇezdy.

7.1.1 Hvˇezdytypu T Tauri Pˇrestoˇzesamotnou promˇennostT Tauri objevil J. R. Hind uˇzroku 1852 (viz obr. 7.3), jako specifick´ytyp promˇenn´ych hvˇezdbyly oznaˇceny aˇzo t´emˇeˇrsto let pozdˇeji(Joy, 1945). Ned- louho pot´eAmbarcumjan vyslovil hypot´ezu, ˇzejde o hvˇezdypodobn´eSlunci ale v ran´emstadiu v´yvoje. 7.1. Promˇennosthvˇezdyv d˚usledkuzmˇenjej´ıhookol´ı 197

Obr´azek7.1: Infraˇcerven´aklasifikace YSO vzhledem v´yvojov´ef´azia pˇretokuhmoty. Pˇrevzato z Schulz (2005).

Hvˇezdytypu T Tauri jsou mlad´e,vˇetˇsinourychle rotuj´ıc´ı,a tud´ıˇzaktivn´ıhvˇezdy ve stadiu gravitaˇcn´ıhosmrˇst’ov´an´ı,jeˇzpˇredch´az´ıjejich vstupu na hlavn´ıposloupnost. Jsou jednou ze skupin tzv. mlad´ych hvˇezdn´ych objekt˚u(YSO, z angl. Young Stel- lar Object) (viz tabulka 7.1). Obvykle proto v jejich sousedstv´ı nach´az´ıme zbytky z´arodeˇcn´emlhoviny. Vyskytuj´ıse ponejv´ıcev tzv. T-asociac´ıch a v mlad´ych otevˇren´ych hvˇezdokup´ach. Jejich hmotnost je stˇredn´ı,leˇz´ıv intervalu 0,3 M aˇz3 M . Spektr´aln´ı ˇc´ary(obˇcasi siln´eemise) profilu P Cygni jasnˇesvˇedˇc´ıo rychl´ych pohybech v atmosf´eˇre, o siln´echromosf´erick´eaktivitˇe.Ve spektrech nal´ez´ame nejen emise vod´ıku,v´apn´ıku Ca ii (H a K ˇc´ary),ale tak´eemisn´ıˇc´aryˇzeleza(406,3 a 413,2 nm), zak´azan´eˇc´ary[O i] a [S ii] (406,8 a 407,6 nm) a silnou ˇc´arulithia (670,7 nm), svˇedˇc´ıc´ıo tom, ˇzeteplota v jejich nitru jeˇstˇenepˇres´ahlaz´apalnouteplotu tohoto prvku. Fotometrick´apozorov´an´ıprov´adˇen´av r˚uzn´ych oblastech spektra ukazuj´ına r˚uzn´e zdroje promˇennostitˇechto hvˇezd.Promˇennostv infraˇcerven´emoboru pravdˇepodobnˇe vznik´av chladn´emmateri´aluakreˇcn´ıhodisku, zat´ımcoultrafialov´apromˇennostb´yv´a d˚usledkem hork´ych skvrn vznikaj´ıc´ıch v m´ıstech dopadu materi´aluz vnˇejˇsku. C´astin-ˇ fraˇcerven´ea optick´epromˇennostije d´aled˚usledkem hvˇezdn´eaktivity vyvolan´edispipac´ı lok´aln´ıch magnetick´ych pol´ıvznikaj´ıc´ıch v konvektivn´ımobalu pomˇernˇerychle rotuj´ıc´ıch 198 Kapitola 7. Fyzika aperiodick´ych promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek7.2: Svˇeteln´akˇrivka T Tauri urˇcen´az 275 archivn´ıch desek na Harvard College Observatory (pˇrevzatoz Tracy L. Beck & M. Simon, AJ 122, 413, 2001).

Obr´azek7.3: Sn´ımekokol´ıhvˇezdyT Tauri (vlevo). Sch´emahvˇezdytypu T Tau (vpravo). Pˇrevzatoz http://www.williams.edu/astronomy a Percy (2011).

hvˇezd.Hvˇezdn´aaktivita se projevuje v´yskytemchladn´ych i hork´ych skvrn na povrchu, erupcemi a chromosf´erickou aktivitou. Pozorovan´esvˇeteln´ezmˇeny b´yvaj´ıpovˇetˇsinounepravideln´e,chaotick´e,s amplitudami od 1 mag do 4 mag na ˇcasov´eˇsk´aleod minut po des´ıtkylet. Byly ale detektov´any i pe- riodick´ezmˇeny v ˇr´adudn´ıspojen´es rotac´ıhvˇezdy. Materi´alv okol´ıhvˇezdT Tauri je jednak poz˚ustatekz´arodeˇcn´el´atky, z n´ıˇzhvˇezda vznikla a kter´ase koncentruje zejm´enav akreˇcn´ımdisku a jednak je dod´av´anhvˇezdou prostˇrednictv´ım bipol´arn´ıch v´ytrysk˚ua hvˇezdn´ehovˇetru.Stˇredn´ı rychlost akrece se 7.1. Promˇennosthvˇezdyv d˚usledkuzmˇenjej´ıhookol´ı 199

Obr´azek7.4: Svˇeteln´ekˇrivkytˇr´ınejl´epe studovan´ych fuor˚u. (Pˇrevzatoz Vittone & Errico, 2006, ChJAS Vol. 6, Suppl. 1, 132.)

−8 ud´av´apˇribliˇznˇe10 M . Z´aˇriv´yv´ykon, kter´yobjekt z´ısk´aakrec´ı,je pˇritom

˙ Mhvˇezda Makrece Lakrece = G . (7.1) Rhvˇezda Z´aˇriv´yv´ykon samotn´ehoakreˇcn´ıhodisku je poloviˇcn´ı,tak jak to plyne z viri´alov´eho teor´emu. Podle nˇej polovina energie z´ıskan´aakrec´ıje tedy vyz´aˇrenaa druh´aspotˇrebov´ana na zv´yˇsen´ıvnitˇrn´ıenergie disku. Znaˇcn´aˇc´astT Tauri hvˇezdse vyskytuje ve dvojit´ych nebo v´ıcen´asobn´ych soustav´ach, kde se mohou kromˇev´yˇseuveden´ych uplatˇnovat i dalˇs´ıspecifick´edˇeje.

7.1.2 Hvˇezdytypu FU Orionis S poˇc´ateˇcn´ımi stadii hvˇezdn´ehov´yvoje jsou spojov´any i hvˇezdytypu typu FU Ori, oznaˇcovan´et´eˇzjako fuory. Jsou to v˚ubec nejmladˇs´ıpozorovan´epromˇenn´ehvˇezdy. Jsou nesm´ırnˇevz´acn´e.Vˇzdyt’ kromˇehlavn´ı pˇredstavitelky zn´amedosud m´enˇeneˇztucet dalˇs´ıch podobn´ych hvˇezd.Charakteristick´ym projevem hvˇezdtypu FU Orionis je ne- pˇredv´ıdateln´yn´ar˚usthvˇezdn´evelikosti hvˇezdyaˇzo 6 mag (viz obr. 7.4). Ve stavu zv´yˇsen´e jasnosti m˚uˇzehvˇezdasetrvat i nˇekolik desetilet´ıa pak se opˇetnavr´atitdo p˚uvodn´ıho stavu. Mechanismus promˇennostizat´ımnen´ıuspokojivˇenalezen. Uvaˇzujese o procesech souvisej´ıc´ıch s dosaˇzen´ım rotaˇcn´ı stability hvˇezdy(Herbig et al., 2003), o v´ybuˇs´ıch akreuj´ıc´ıhomateri´aluv disku (Vorobyov & Basu, 2010), vlivu magnetick´ehopole a podobnˇe. Podle jedn´ez teori´ıje pozorovan´ezjasnˇen´ıd˚usledkem pˇrechodu hrout´ıc´ıse hvˇezdyz f´aze −4 rychl´ehosmrˇst’ov´an´ı,kdy hvˇezdapˇr´ıj´ım´aaˇz10 M /rok a zjevnˇenen´ıv hydrostatick´e rovnov´aze,do stadia pomal´ehosmrˇst’ov´an´ı,kdy nitro jiˇzv rovnov´azeje. V posledn´ıdobˇe je nejv´ıceakceptov´anmodel v´ybuchu FU Ori v d˚usledkunestability v akreˇcn´ımdisku. Proces je podobn´yv´ybuchu trpasliˇc´ınovy, ale na delˇs´ıˇcasov´eˇsk´ale,protoˇzese jedn´a o disk kolem hvˇezdyhlavn´ıposloupnosti a nikoli b´ıl´ehotrpasl´ıka jako u zmiˇnovan´ych trpasliˇc´ıch nov. Bˇehemf´azev´ybuchu pˇrez´aˇr´ıdisk hvˇezdu100 aˇz1000kr´at. Je tu rovnˇeˇz siln´yv´ıtrs rychlost´ıdosahuj´ıc´ıaˇz300 km/s. Na HR diagramu tato situace odpov´ıd´amo- 200 Kapitola 7. Fyzika aperiodick´ych promˇenn´ych hvˇezd mentu, kdy v´yvojov´astopa hvˇezdypr´avˇezprava protne Hayashiho ˇc´aru,resp. Hayashiho mez.

7.1.3 Herbigovy-Harovy objekty V okol´ı velmi mlad´ych hvˇezdse vytv´aˇr´ı plynoprachov´ydisk. Materi´alz disku pos- tupnˇekles´ana hvˇezdua obohacuje hvˇezdu,zvyˇsuje jej´ıhmotnost. C´astmateri´alujeˇ ale vyvrhov´anakolmo k rovinˇedisku v pol´arn´ıch smˇerech nadzvukovou rychlost´ı.Protilehl´e v´ytryskyse setk´avaj´ı s okoln´ı mlhovinou mezihvˇezdn´el´atky(viz obr. 7.5). Vznikaj´ı r´azov´evlny, kter´el´atkuohˇr´ıvaj´ıa nut´ıji tak z´aˇrit.Pr´avˇetato z´aˇriv´aoblast se naz´yv´a Herbig˚uv– Har˚uv(HH) objekt na poˇcestastronom˚uGeorge Herbiga a Guillerma Hara, kteˇr´ıpoˇc´atkem pades´at´ych let minul´ehostolet´ıpublikovali prvn´ıstudie tˇechto objekt˚u (viz obr. 7.5). Tyto objekty nejsou sice hvˇezdami(viz obr. 7.5), ale jsou u nich po- zorov´any zmˇeny jasnosti v rozsahu aˇzo nˇekolik magnitud na ˇcasov´ych ˇsk´al´ach 10 aˇz20 let. Jejich pˇr´ıˇcinouje pravdˇepodobnˇeinterakce mlhoviny HH objekt˚us r´azovou vlnou, kter´ajimi obˇcasproch´az´ı.

Obr´azek7.5: Vlevo: Obr´azekHerbigova – Harova objektu HH30 ukazuje disk a v´ytrysknov´e hvˇezdy. Podobnˇemohlo na poˇc´atkusv´ehov´yvoje vypadat i naˇseSlunce. Zdroj: A. Watson (UNAM Mexico) a NASA. Vpravo: Model hvˇezdytypu T Tauri s akreˇcn´ım diskem a Her- bigov´ymi– Harov´ymiobjekty.

7.1.4 L´atka ve dvojhvˇezd´ach S mnoˇzstv´ımokolohvˇezdn´ehomateri´aluse setk´av´amei v okol´ıtˇesn´ych dvojhvˇezd,kde doch´az´ık intenzivn´ımu pˇretokul´atkymezi jej´ımisloˇzkami. Nejv´ıcel´atkyb´yv´auloˇzeno v akreˇcn´ımdisku kolem sloˇzkypˇrij´ımaj´ıc´ıl´atku.Disk zde vznik´aproto, ˇzepˇret´ekaj´ıc´ı 7.2. Aktivita hvˇezda jej´ıprojevy 201 l´atka si s sebou nese jist´ymoment hybnosti a ten j´ınedovol´ıdopadnout pˇr´ımona hvˇezdu- pˇr´ıjemkyni.Akreˇcn´ıdisk m˚uˇzeabsorbovat a rozptylovat svˇetlosloˇzek,m´ıv´avˇsaki vlastn´ı zdroj energie. Turbulentn´ıtˇren´ıdok´aˇzezahˇr´atmateri´aldisku aˇzna teplotu nˇekolika tis´ıckelvin˚ua zajiˇst’uje v r´amcidisku tok momentu hybnosti z vnitˇrn´ıch ˇc´ast´ıdisku do vnˇejˇs´ıch. Bˇehemtohoto procesu kles´amateri´alz vnitˇrn´ıch parti´ına hvˇezdu,uvolˇnuje se potenci´aln´ı energie, kter´ase z vˇetˇs´ıˇc´astimˇen´ı v energii neuspoˇr´adan´ehopohybu mikroˇc´astic.1 Zm´ınˇen´yproces s ohledem na turbulentn´ıpovahu tˇren´ızpravidla nen´ıspojit´y,v nˇe- kter´ych pˇr´ıpadech se zapne“ nar´aza dojde k prudk´emu uvolnˇen´ıenergie, kter´apak ” vyvol´apˇr´ımoexplozi, vzplanut´ı.Takto si vysvˇetlujemet´eˇzvzplanut´ı trpasliˇc´ıchnov, tˇesn´ych dvojhvˇezdsest´avaj´ıc´ıch ze zhroucen´esloˇzky– b´ıl´ehotrpasl´ıka – a norm´aln´ı hvˇezdy. Vˇetˇs´ısloˇzka vyplˇnujesv˚ujRoche˚uvlalok a neust´aledod´av´al´atkudo akreˇcn´ıho disku kolem b´ıl´ehotrpasl´ıka. Pokud ale hustota disku pˇrev´yˇs´ı jistou kritickou mez, rozvine se n´ahleturbulence, kter´aje s to zp˚usobit,ˇzeˇc´astdisku spadne do gravitaˇcn´ıho j´ıcnu b´ıl´ehotrpasl´ıka. Rychl´ym sestupem ˇc´astil´atkydovnitˇrse uvoln´ıznaˇcn´emnoˇzstv´ı energie, coˇzse projev´ıi optick´ymzjasnˇen´ımo nˇekolik magnitud. Svˇeteln´akˇrivka je jistou miniaturou vzplanut´ınovy – pozorujeme zde n´ahl´ezjasnˇen´ı, trvaj´ıc´ıdes´ıtkyhodin. Po nˇemn´asledujepomalejˇs´ı,dny trvaj´ıc´ıpokles. Pot´esoustava pˇrejdedo klidov´ehostavu a pˇrenosl´atkyz druh´esloˇzkypokraˇcuje.Vzplanut´ıtrpasliˇc´ıch nov se opakuj´ıs ˇcasovou prodlevou nˇekolika mˇes´ıc˚u. Zdrojem nestability b´yv´ai plynn´yproud pˇrin´aˇsej´ıc´ı hmotu do akreˇcn´ıho disku. Pˇretokneb´yv´aobecnˇestacion´arn´ı,l´atka se ke druh´esloˇzcedost´av´apo jist´ych d´avk´ach. Na styku plynn´ehoproudu, vystupuj´ıc´ıhoz Lagrangeova bodu, s akreˇcn´ımdiskem vznik´a tzv. hork´askvrna, jeˇzm˚uˇzeb´yti nejvydatnˇejˇs´ımzdrojem svˇetlav soustavˇetrpasliˇc´ıch hvˇezd.Jej´ımoment´aln´ıteplota i rozsah pak v rozhoduj´ıc´ım´ıˇreovlivˇnujepozorovanou jasnost soustavy. Nestacion´arnostpˇrenosuse projevuje i tzv. mihot´an´ım (flickeringem) svˇetlahork´eskvrny.

7.2 Aktivita hvˇezda jej´ıprojevy

Projevy hvˇezdn´eaktivity byly objeveny i u dalˇs´ıch hvˇezd,zejm´enau chladn´ych hvˇezd hlavn´ıposloupnosti tˇr´ıdyM, ˇciliu tzv. ˇcerven´ychtrpasl´ık˚u. Spektr´aln´ıtyp ˇradyz nich obsahuje pˇr´ıdomek e – napˇr´ıkladM5Ve , kter´yznaˇc´ı,ˇzeve spektru jsou pozorov´any emisn´ıˇc´ary, nejˇcastˇejivod´ıkua v´apn´ıku(ˇc´aryH a K). Vzhledem k tomu, ˇzeteploty tˇechto ˇcerven´ych trpasl´ık˚ujsou niˇzˇs´ıneˇz3 500 K, nemˇelby zde b´ytk z´aˇren´ıvybuzen ani ionizovan´yv´apn´ık,natoˇzpak vod´ık.V´yskyttˇechto ˇcartak jasnˇedokazuje existenci relativnˇemohutn´echromosf´ery. Hvˇezdytohoto typu jsou nezˇr´ıdka fyzicky promˇenn´ymi hvˇezdami,pˇriˇcemˇznejˇcastˇejise zde setk´av´amez tzv. eruptivn´ımitrpasl´ıky – hvˇezdami, kter´evykazuj´ınˇekolik minut trvaj´ıc´ızjasnˇen´ı,pˇrinichˇzse ve v´yjimeˇcn´ych pˇr´ıpadech m˚uˇzev´ykon hvˇezdyzv´yˇsitaˇzo dva ˇr´ady. Vˇsese vysvˇetluje ˇcast´ymi b´ıl´ymierupcemi, kter´ejsou nejm´enˇeo ˇr´admohutnˇejˇs´ıa mnohem ˇcastˇejˇs´ıneˇzsluneˇcn´ıb´ıl´eerupce.

1Je tˇrebadodat, ˇzemince pˇrerozdˇelov´an´ımomentu v r´amcidisku m´ai svou druhou stranu, j´ıˇzje ´unik l´atkydo prostoru. Zeˇ k tomuto dˇejivskutku doch´az´ı,potvrzuj´ıi ned´avn´etˇr´ırozmˇern´ehydrodynamick´e v´ypoˇcty skupiny D. V. Bisikala (Boyarchuk et al., 2002). 202 Kapitola 7. Fyzika aperiodick´ych promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek7.6: Diagram z´avislosti emisivity na teplotˇepro sluneˇcn´ı a hvˇezdn´erentgenov´e erupce. Pˇrevzatoz Schulz (2005).

Silnou hvˇezdnouaktivitu jev´ıi hvˇezdytypu T Tauri, hvˇezdy, kter´ejsou v posledn´ı f´azisv´ehogravitaˇcn´ıho smrˇst’ov´an´ı, kter´epˇredch´az´ı okamˇziku,kdy se hvˇezdastane hvˇezdouhlavn´ıposloupnosti. U hvˇezdtohoto typu pozorujeme hned nˇekolik projev˚u mimoˇr´adnˇemohutn´ehvˇezdn´eaktivity: prudk´ezmˇeny jasnosti dan´eˇcast´ymierupcemi, promˇenn´eemise v ˇcar´ach vod´ıkua ionizovan´ehov´apn´ıku(H a K ˇc´ary),kter´edokazuj´ıex- istenci chromosf´ery. Z hvˇezd vane hvˇezdn´yv´ıtro nˇekolik ˇr´ad˚umohutnˇejˇs´ıneˇzsluneˇcn´ı.2 U obr˚ua veleobr˚u byla rovnˇeˇzpotvrzena existence mohutn´ych chromosf´er,jakoˇz i oˇcek´avan´yv´yronl´atkyp˚usoben´yhvˇezdn´ymvˇetrem. Ten obˇcasb´yv´anatolik mohutn´y, ˇzeovlivˇnuje i pr˚ubˇehv´yvoje hvˇezdy. Zvl´aˇstn´ımpˇr´ıpademjsou promˇenn´ehvˇezdytypu RS Canum Venaticorum. Jedn´ase o sloˇzkytˇesn´ych dvojhvˇezd.U nich lze vysledovat nˇekolik projev˚uhvˇezdn´eaktivity:

1. fotosf´erick´eskvrny, kter´emohou opanovat aˇz50% pozorovan´ehopovrchu hvˇezdy; 2. chromosf´erickou aktivitu; 3. mohutn´eerupce.

Z optick´ych pozorov´an´ı hvˇezdpozdn´ıho spektr´aln´ıho typu vypl´yv´a,ˇzeu tˇechto hvˇezdchromosf´erybˇeˇznˇeexistuj´ı. Aktivita mnoh´ych hvˇezdje v´yraznˇevyˇsˇs´ı neˇzak- tivita sluneˇcn´ı,coˇzpˇr´ımosouvis´ıs jejich rychlejˇs´ırotac´ı.Z´avˇerypotvrzuj´ıi pozorov´an´ı mimo optickou oblast. Hvˇezdn´ekor´ony, hork´emiliony kelvin˚u,z´aˇr´ınejv´ıcev rentgenov´eoblasti, fotosf´ery i chromosf´eryjsou pˇr´ıliˇschladn´ena to, aby se v tomto oboru v˚ubec nˇejakprojevily. Chromosf´eryse pak projevuj´ı sp´ıˇsev oboru ultrafialov´ehoz´aˇren´ı a nˇekter´ych inten- zivn´ıch spektr´aln´ıch ˇcar´ach. Vzhledem k tomu, ˇzeveˇsker´ekr´atkovlnn´ez´aˇren´ıpˇrich´azej´ıc´ı z kosmu je pˇrisv´empr˚uchodu hustˇejˇs´ımiˇc´astmizemsk´eatmosf´eryspolehlivˇepohlceno, je nutno toto z´aˇren´ıpozorovat nad nimi - z druˇzicnebo stratosf´erick´ych balon˚u3.

2 −13 Sluneˇcn´ımvˇetremztrat´ıSlunce 4 · 10 M . 3Nejvˇetˇs´ıpokrok v tomto smˇerupˇredstavovala pozorov´an´ıdruˇziceEinstein, kter´ase specializovala na pr˚uzkummˇekk´ehorentgenov´ehoz´aˇren´ı jednotliv´ych hvˇezd, a d´aledruˇziceIUE, kter´azkoumala hvˇezdyv ultrafialov´eoblasti. 7.2. Aktivita hvˇezda jej´ıprojevy 203

Obr´azek7.7: Chromosf´ericky aktivn´ız´akrytov´advojhvˇezdaSV Cam.

Pozorov´an´ız paluby druˇzicjasnˇeuk´azala,ˇzevaln´avˇetˇsinahvˇezd(i kdyˇzne vˇsechny) spektr´aln´ıch typ˚uF aˇzM jev´ı siln´eemise v ultrafialov´emoboru spektra, coˇzsvˇedˇc´ı o existenci atmosf´erick´ych vrstev s teplotami kolem 200 000 K. Tyto hvˇezdyprodukuj´ı rentgenov´ez´aˇren´ı,kter´esvˇedˇc´ıo tom, ˇzeve svrchn´ıch ˇc´astech atmosf´erytˇechto hvˇezd je pˇr´ıtomenˇr´ıdk´yplyn o teplotˇe106 aˇz108 K. V´ykon hvˇezdv rentgenov´eoblasti b´yv´a zpravidla vˇetˇs´ıneˇzrentgenov´yv´ykon Slunce, ve v´yjimeˇcn´ych pˇr´ıpadech se setk´av´ame aˇzse 100 000n´asobkem tohoto sluneˇcn´ıho v´ykonu. Z toho ovˇsem plyne, ˇzevˇetˇsinahvˇezd stˇredn´ıa doln´ıˇc´asti hlavn´ıposloupnosti m´ahork´ekor´ony. Hvˇezd´amspektr´aln´ıhotypu ranˇejˇs´ıhoneˇzF, ve shodˇes naˇs´ımoˇcek´av´an´ım,rozs´ahl´ehork´ekor´ony chybˇej´ı.U tˇechto hvˇezdtotiˇznen´ırozvinuta podpovrchov´akonvektivn´ıvrstva. Hork´ehvˇezdyspektr´aln´ıhotypu O a B naproti tomu rozmˇern´echromosf´erymaj´ı,coˇz zˇrejmˇesouvis´ıse siln´ymodtokem l´atkydo prostoru, p˚usoben´ymmohutn´ym,z´aˇren´ım poh´anˇen´ymhvˇezdn´ymvˇetrem. U obr˚ua veleobr˚uspektr´aln´ıhotypu ranˇejˇs´ıhoneˇzK2 pozorujeme siln´eemise v ul- trafialov´eoblasti, dokl´adaj´ıc´ıexistenci chromosf´er,i rentgenov´ez´aˇren´ı,svˇedˇc´ıc´ıo pˇr´ı- tomnosti kor´ony. U chladnˇejˇs´ıch hvˇezdtohoto typu vˇsakpozorujeme uˇzjen chromosf´ery spolu s masivn´ımodtokem l´atkydo prostoru. Podobn´echov´an´ıpozorujeme i u mlad´ych hvˇezdtypu T Tauri. Zd´ase, ˇzevˇseobecnˇeplat´ıpravidlo: Hvˇezdy se siln´ymhvˇezdn´ym vˇetremnem´ıvaj´ıkor´ony.

7.2.1 Pˇr´ıˇciny hvˇezdn´eaktivity

Pˇr´ıˇcinouvˇsech projev˚uhvˇezdn´eaktivity je rozpad mohutn´ych lok´aln´ıch magnetick´ych pol´ı, kter´av podpovrchov´ych vrstv´ach chladnˇejˇs´ıch hvˇezd vzl´ınaj´ı na povrch hvˇezd. Pˇrivysvˇetlov´an´ıaktivity hvˇezdje tak tˇrebavysvˇetlit,jak takov´amagnetick´apole ve hvˇezd´ach vznikaj´ı. Z´akladn´ım mechanismem generace magnetick´ych pol´ı je tzv. dy- namov´ymechanismus, v d˚usledkunˇehoˇzdoch´az´ık zesilov´an´ıslab´ych (n´ahodn´ych) mag- netick´ych pol´ı.Ve hvˇezd´ach tento mechanismus funguje v souˇcinnostijiˇzzmiˇnovan´ych 204 Kapitola 7. Fyzika aperiodick´ych promˇenn´ych hvˇezd vertik´aln´ıch konvektivn´ıch pohyb˚ua rotace!4 Magnetick´epole vznikl´ev nitru zamrz´av´a do elektricky dobˇrevodiv´ehoplazmatu a vzestupn´ymi proudy je vyn´aˇsenok povrchu hvˇezdy. Zde tato l´atka chladne a st´av´ase h˚uˇrevodivou. Elektrick´eproudy se zde tlum´ı a mˇen´ıse v ohmick´eteplo – pole sl´abne,disipuje. Pˇritomse vytv´aˇrej´ımohutn´e mag- netohydrodynamick´evlny, kter´ese ˇs´ıˇr´ıvodiv´ymprostˇred´ımfotosf´eryi vyˇsˇs´ıch vrstev hvˇezdy. Podobnˇe,jako akustick´evlny, dok´aˇzenezbytnou energii nad fotosf´erutrans- portovat i samotn´emagnetick´epole. Rozpadem magnetohydrodynamick´ych vln doch´az´ı k ohˇrevu plazmatu, a t´ım i k neust´al´emu vytv´aˇren´ı dynamicky nest´al´echromosf´ery a kor´ony. D˚ukazem r´amcov´eplatnosti naznaˇcen´ehomechanismu je zaj´ımav´yfakt, kter´yobjevil Robert Kraft (1967). Ten zjistil, ˇzeˇc´ımrychleji zkouman´ahvˇezdarotuje, t´ımsilnˇejˇs´ı m´ave spektru chromosf´erick´eemise v ˇcar´ach H a K. Velmi podobn´asouvislost byla odhalena i v ´urovni rentgenov´eemise vyjadˇruj´ıc´ıvelikost a mohutnost hvˇezdn´ekor´ony. Tam se nav´ıcuk´azalo, ˇzerentgenov´yv´ykon hvˇezdyje ´umˇern´yˇctverci rovn´ıkov´erotaˇcn´ı rychlosti hvˇezdy. Ukazuje se tedy, ˇzemohutnost hvˇezdn´eaktivity silnˇez´avis´ına rychlosti rotace. Je to ve shodˇes naˇs´ıpˇredstavou, ˇzelok´aln´ımagnetick´apole jsou generov´anadynamov´ym mechanismem, jehoˇz´uˇcinnostje pˇr´ımo´umˇern´aˇctverci rotaˇcn´ırychlosti. Rychle rotuj´ıc´ı hvˇezdytedy vˇseobecnˇevykazuj´ıvyˇsˇs´ıaktivitu, neˇzhvˇezdypomˇernˇel´ınˇerotuj´ıc´ı(takovou je i naˇseSlunce). Jak´emohou b´ytd˚uvody rychl´erotace hvˇezdy?

a) Jedn´ase o mlad´ehvˇezdy, jeˇz,jak zn´amo,rotuj´ı rychle. Jejich ot´aˇckyse vˇsak pozvolna sniˇzuj´ıv d˚usledkuinterakce hvˇezdys okol´ım.Mlad´ehvˇezdyjsou tak ˇcasto velmi aktivn´ı.Tento fakt umoˇzˇnujei urˇcitst´aˇr´ıhvˇezdynebo hvˇezdn´esoustavy, j´ıˇz je hvˇezdasouˇc´ast´ı. b) Jde o sloˇzkytˇesn´edvojhvˇezdys v´azanourotac´ı(rotaˇcn´ıperioda je shodn´as obˇeˇz- nou). Pˇr´ıklademjsou promˇenn´etypu RS Canum Venaticorum.

Slunce rotuje pomalu, proto je jeho aktivita relativnˇen´ızk´a.Naznaˇcen´ymmechanis- mem lze dobˇrevysvˇetlitvlastnosti aktivity chladnˇejˇs´ıch hvˇezd.U hork´ych hvˇezdchyb´ı rozs´ahl´akonvektivn´ız´ona,takˇzevysvˇetlen´ıje tˇrebahledat jinde. Pozorov´an´ızde zcela jasnˇenaznaˇcuj´ı,ˇze´uroveˇnaktivity hork´ych hvˇezdroste s rostouc´ıteplotou. U hvˇezdtypu O a B jsou chromosf´ery, pˇr´ıpadnˇei kor´ony vytv´aˇreny rychl´ymodtokem l´atkydo prostoru v d˚usledkutlaku ultrafialov´ehoz´aˇren´ı.Hvˇezdn´yv´ıtrneust´aleobruˇsuje vnˇejˇs´ı vrstvy hvˇezdy, atmosf´erytˇechto hvˇezdjsou znaˇcnˇenepokojn´e.Naproti tomu svrchn´ıvrstvy hvˇezdtˇr´ıdyA jsou mimoˇr´adnˇeklidn´ea stabiln´ı.Nedevastuj´ıje ani ´uˇcinky konvektivn´ıch vrstev ani hvˇezdn´yv´ıtr.

7.2.2 Vzplanut´ınov Nejˇcastˇejˇs´ıvnˇejˇs´ıpˇr´ıˇcinounestacion´arn´ıch proces˚uve fotosf´erick´ych vrstv´ach hvˇezdje dopad l´atkyzvnˇejˇsku.Zdrojem tu b´yv´azpravidla pˇrenosl´atkyv tˇesn´ych dvojhvˇezd´ach. Pˇr´ıklademmohou b´yttˇreba klasick´enovy, coˇzjsou tˇesn´edvojhvˇezdysest´avaj´ıc´ız b´ıl´eho

4Uplatˇnujese tedy zejm´ena u hvˇezd pozdn´ıch spektr´aln´ıch typ˚u,kde je konvektivn´ı proudˇen´ı dostateˇcnˇerozvinuto. 7.3. Komplexn´ıpˇrestavby, zhroucen´ıa v´ybuchy 205

Obr´azek7.8: Svˇeteln´akˇrivka Novy Sagittarii 2012 (PNV J17452791-2305213) z pozorov´an´ı druˇziceSTEREO. Zdroj: http://stereo.gsfc.nasa.gov/ thompson

trpasl´ıka a norm´aln´ıtrpasliˇc´ısloˇzky, jeˇzvyplˇnujesv˚ujRoche˚uvlalok. L´atka bohat´ana vod´ık,jeˇzvyt´ek´az t´etosloˇzky, se pˇresz´asobn´ıkv akreˇcn´ımdisku kolem b´ıl´ehotrpasl´ıka postupnˇeukl´ad´ana jeho povrchu. T´ıhapˇrenesen´el´atkystlaˇcuje degenerovanou hvˇezdu,kter´ase postupnˇem´ırnˇesmrˇs- t’uje. Uvolnˇen´agravitaˇcn´ı energie se zˇc´astitransformuje na vnitˇrn´ı energii, coˇzvede k postupn´emu zvyˇsov´an´ı teploty hvˇezdn´ehonitra. Neohˇr´ıv´ase ovˇsemjen nitro, ale i vrstva s pˇrenesen´ymmateri´alembohat´ymna vod´ık.Vzroste-li v n´ıteplota nad urˇcitou, tzv. z´apalnouteplotu, dojde k zaˇzehnut´ı pˇrekotn´ychtermonukle´arn´ıchreakc´ı (CNO cyk- lus), jejichˇzprostˇrednictv´ımse ve velmi kr´atk´edobˇeuvoln´ıznaˇcn´emnoˇzstv´ıenergie. Ta zp˚usob´ıexplozi vnˇejˇskuhvˇezdy, kter´yse do prostoru rozlet´ırychlost´ınˇekolika tis´ıckm/s. Pozorujeme pak vzplanut´ıklasick´enovy, pˇrinˇemˇzse soustava n´ahle (ˇr´adovˇebˇehemdn´ı!) zjasn´ıo 7 aˇz19 magnitud. Pak n´asleduje pomalejˇs´ı,ˇradumˇes´ıc˚utrvaj´ıc´ıpokles, pˇriˇcemˇz 5 v maximu z´aˇriv´yv´ykon hvˇezdydosahuje aˇz10 L . Pot´enastupuje znovu klidn´emezidob´ıo d´elceˇr´adovˇe105 let, pˇrinˇemˇzse na b´ıl´em trpasl´ıku, jenˇzpˇredchoz´ım vzplanut´ım nijak neutrpˇel,znovu uloˇz´ı kritick´emnoˇzstv´ı jadern´etˇraskaviny a k explozi dojde znovu.

7.3 Komplexn´ıpˇrestavby, zhroucen´ıa v´ybuchy

Zvl´aˇstn´ıkategori´ıpromˇenn´ych hvˇezd,jejichˇzpromˇennostje spojena s dˇejiprob´ıhaj´ıc´ımi uvnitˇrhvˇezdyjsou tzv. supernovy. Jsou to promˇenn´ehvˇezdyv´yjimeˇcn´et´ım,ˇzejejich promˇennostje jednor´azov´a.Jako supernova hvˇezdam˚uˇzevybuchnout jen jedenkr´atve sv´emˇzivotˇe.V´ybuch supernovy je natolik drastickou ud´alost´ı,ˇzese se po nˇemhvˇezda kvalitativnˇezcela zmˇen´ı– bud’ pˇrestanejako gravitaˇcnˇev´azan´y´utvar existovat – roz- plyne se, nebo se zmˇen´ıv neutronovˇedegenerovanou hvˇezdu,pˇr´ıpadnˇev ˇcernoud´ıru. 206 Kapitola 7. Fyzika aperiodick´ych promˇenn´ych hvˇezd

Pro vzplanut´ısupernov napsala pˇr´ıroda hned nˇekolik sc´en´aˇr˚u5, setk´av´amese s nˇeko- lika typy supernov, jeˇzmaj´ır˚uznoupˇr´ıˇcinu destrukce a r˚uzn´ydalˇs´ıosud. Z logiky vˇeci budeme o nich pojedn´avat v opaˇcn´empoˇrad´ı, neˇzby se dalo podle jejich oznaˇcen´ı oˇcek´avat.

7.3.1 Supernovy typu II, Ib a Ic Supernovy typu II jsou v´ysledkem v´yvoje mimoˇr´adnˇehmotn´ych hvˇezd, v nichˇzse bˇehem jadern´eevoluce vytvoˇrilodostateˇcnˇehmotn´ej´adrosloˇzen´epˇredevˇs´ımze ˇzelezaa dalˇs´ıch prvk˚uskupiny ˇzeleza(nikl, chr´om),jejichˇzj´adrajsou velmi silnˇev´az´anaa jsou tak jadernˇenehoˇrlav´a.Dˇen´ıv centr´aln´ıch oblastech hmotn´ehvˇezdytˇesnˇepˇredexploz´ıje znaˇcnˇedynamick´e,ve hvˇezdˇeexistuje ˇrada vrstviˇcek,nˇekter´ez nich jsou aktivn´ı – prob´ıhaj´ıv nich termonukle´arn´ıreakce, jin´ejsou neaktivn´ı,ˇz´adn´eenergeticky vydatn´e reakce v nich nehoˇr´ı.V centru roste teplota i hustota, st´alerychleji se zapaluj´ınov´e a nov´etermonukle´arn´ızdroje, vˇsev ˇcasov´eˇsk´alestovek let, pozdˇejii dn˚u.Navenek se hvˇezdajev´ıjako veleobr a ned´av´ana sobˇenic zn´at.6 Po pˇrekroˇcen´ıkritick´ehmotnosti elektronovˇedegenerovan´ehoˇzelezn´ehoj´adradojde k prudk´emu kolapsu, kdy se zaˇcnouvoln´eelektrony houfnˇespojovat s protony v j´adrech. Vznikaj´ıtak neutrony a j´adrase rozpadaj´ı.Zhroucen´ıse aˇzdo okamˇzikuvzniku neu- tronov´ehvˇezdydˇeje prakticky voln´ymp´adem,l´atka pad´adovnitˇrrychlost´ıdes´ıtektis´ıc km/s. Uvolˇnujese mnoˇzstv´ıpotenci´aln´ıenergie, kter´az j´adraunik´aprostˇrednictv´ım neutrin. V okamˇzikukolapsu pˇrev´yˇs´ıv´ykon hvˇezdy v oblasti neutrin jej´ız´aˇriv´yv´ykon aˇzo 7 ˇr´ad˚u. Naprost´avˇetˇsina vznikl´ych neutrin bez odporu projde tˇelesemhvˇezdy, nicm´enˇe nˇekter´ase v n´ızachyt´ı.Svou kinetickou energii pˇredaj´ıhvˇezdn´el´atce,kter´ase t´ımsilnˇe zahˇrejena velmi vysokou teplotu. V d˚usledkutoho v nitru vznikne mohutn´ar´azov´a vlna, kter´ase nadzvukovou rychlost´ıˇs´ıˇr´ıhvˇezdou smˇeremna povrch. M´adostatek en- ergie k tomu, aby celou hvˇezdurozmetala do prostoru. Na vod´ıkbohat´yobal hvˇezdyje pak v podobˇerychle se rozp´ınaj´ıc´ımlhoviny navr´acendo okoln´ıhoprostoru. V maximu sv´eholesku dosahuj´ısupernovy typu II asi -18. absolutn´ıbolometrick´eve- likosti. Vrchol je n´asledov´anpostupn´ympoklesem v´ykonu, a to zhruba o 6 aˇz8 magnitud za rok. Pˇri kolapsu a n´asledn´empr˚uchodu r´azov´evlny hvˇezdouvznik´amnoˇzstv´ı prvk˚u nejr˚uznˇejˇs´ıch atomov´ych ˇc´ısel,vznikaj´ıi radioaktivn´ıizotopy, z nichˇzd˚uleˇzit´yje izo- top Ni56 s poloˇcasemrozpadu 6,1 dne, Co57 (270 dn˚u)a Na22 (2,6 roku). Pozvoln´yra- dioaktivn´ırozpad tˇechto prvk˚uje totiˇzdodateˇcn´ymzdrojem energie supernovy v dobˇe poklesu jej´ıjasnosti. Po vzplanut´ısupernov typu II bychom na m´ıstˇehvˇezdymˇelinaj´ıtjej´ızhroucen´y zbytek – rychle rotuj´ıc´ıneutronovou hvˇezduprojevuj´ıc´ıse jako pulzar. Typick´ympˇr´ıkla- dem je SN 1054, v jej´ımˇz poz˚ustatku,Krab´ı mlhovinˇe, takov´ypulzar pozorujeme. V mnoha jin´ych pˇr´ıpadech se to vˇsaknepovedlo a n´azoryna to, proˇc,se liˇs´ı.

5V posledn´ıdobˇese hovoˇr´ıjeˇstˇeo dalˇs´ımtypu supernov – o tzv. hypernov´ach, kter´eby mˇelyb´yt d˚usledkem pˇr´ım´ehozhroucen´ıvelmi hmotn´ehvˇezdyna ˇcernoud´ıru.Pˇritomto kolapsu by se mˇelave zlomku sekundy uvolnit jeˇstˇemnohem vˇetˇs´ıenergie neˇzv pˇr´ıpadˇevzplanut´ıstandardn´ıch supernov v podobˇeniˇciv´ehoz´ableskuz´aˇren´ıgama. Takto se totiˇztyto st´aletajemn´ejevy t´eˇzvysvˇetluj´ı. 6Viz pˇr´ıpadsupernovy SN1987 A ve Velk´emMagellanovˇeoblaku. 7.3. Komplexn´ıpˇrestavby, zhroucen´ıa v´ybuchy 207

Obr´azek7.9: Klasifikace supernov. Pˇrevzatoz Carroll & Ostlie (2007).

Vedle supernov typu II, kter´ejsou teˇckou za v´yvojem hmotn´ych hvˇezds poˇc´ateˇcn´ı hmotnost´ıod 11 do 50 Slunc´ı,pozorujeme jeˇstˇejasnˇejˇs´ısupernovy typu I. Pro supernovy tohoto typu je charakteristick´e,ˇzese v jejich spektru nevyskytuj´ıˇc´aryvod´ıku.Podle spektr´aln´ıch pˇr´ıznak˚use tento typ dˇel´ı na tˇripodtypy: Ia, u nˇejˇznach´az´ıme velmi intenzivn´ıˇc´aruSi ii na 615 nm, u typ˚uIb a Ic nikoli. Ve spektru supernov typu Ib nach´az´ımesiln´eˇc´aryh´elia,kter´eovˇsemu podtypu Ic nenajdeme. Supernovy typu Ib a Ic jsou vˇseobecnˇeo 1,5 aˇz2 magnitudy slabˇs´ıneˇzsupernovy typu Ia, takˇzese podobaj´ısp´ıˇsesupernov´amtypu II. Nav´ıcse zd´a,ˇzei pˇr´ıˇciny jejich vzplanut´ıjsou v mnoh´emshodn´es pˇr´ıˇcinamiexploz´ısupernov typu II. Podobnˇejako tyto supernovy nach´az´ımesupernovy typu Ib a Ic v´yhradnˇeve spir´aln´ıch ˇcinepravideln´ych galaxi´ıch, pˇrednostnˇepobl´ıˇzm´ıst, kde v souˇcasnostivznikaj´ı nov´ehvˇezdy. Jde tedy o hmotn´ehvˇezdy, kter´eve sv´emjadern´emv´yvoji dojdou aˇzdo ˇzelezn´ehokonce, po nˇemˇzn´asledujegravitaˇcn´ıkolaps j´adra. Soud´ıse, ˇzevzplanut´ısupernovy typu Ib, a zˇrejmˇei typu Ic, je v´ysledkem sloˇzit´eho v´yvoje tˇesn´ych dvojhvˇezds hmotn´ymisloˇzkami.

7.3.2 Supernovy typu Ia Tyto velice jasn´esupernovy se kromˇemohutnˇejˇs´ıhoz´aˇriv´ehov´ykonu (v maximu sv´eho lesku dosahuje jejich absolutn´ıvizu´aln´ıhvˇezdn´avelikost -19,6 mag) vyznaˇcuj´ıi t´ım,ˇze jejich svˇeteln´ekˇrivkyjsou prakticky identick´e.To je povyˇsujedo role tzv. standardn´ıch sv´ıˇcek, objekt˚u,pomoc´ınichˇzlze pomˇeˇrovat vzd´alenostivzd´alen´ych hvˇezdn´ych soustav. Vzhledem k tomu, ˇzeje nach´az´ımeve vˇsech typech galaxi´ı(tj. i v takov´ych, kde tvorba hmotnˇejˇs´ıch hvˇezdjiˇzd´avnoustala), je zˇrejm´e,ˇzepˇredch˚udcitohoto typu super- 208 Kapitola 7. Fyzika aperiodick´ych promˇenn´ych hvˇezd

Obr´azek7.10: Sch´ematick´esvˇeteln´ekˇrivkyr˚uzn´ych typ˚usupernov a supernovy SN1987A. Pˇrevzatoz http://ned.ipac.caltech.edu/. nov musej´ıb´ytm´enˇehmotn´ehvˇezdy. Vˇseobecnˇese proto soud´ı,ˇzesupernovy typu Ia vznikaj´ıv d˚usledkujadern´edetonace vznikl´ezap´alen´ımtermonukle´arn´ıch reakc´ıv elek- tronovˇedegenerovan´emuhl´ıko-kysl´ıkov´emb´ıl´emtrpasl´ıku. Bezprostˇredn´ı pˇr´ıˇcinouvzplanut´ı je pozvoln´yn´ar˚usthmotnosti uhl´ıkokysl´ıkov´eho b´ıl´ehotrpasl´ıka, k nˇemuˇzdoch´az´ıv d˚usledkupˇrenosu l´atkyz druh´esloˇzkytˇesn´edvoj- hvˇezdy. Zvyˇsov´an´ıhmotnosti vede k tomu, ˇzese rozmˇerytrpasl´ıka neust´alezmenˇsuj´ı, ˇc´ımˇzse v jeho nitru uvolˇnujepotenci´aln´ıenergie, kter´al´atkuhvˇezdyst´alev´ıcenahˇr´ıv´a. Pˇrekroˇc´ı-lihmotnost degenerovan´ehvˇezdyjistou kritickou mez (asi 1,3 M ), zv´yˇs´ıse centr´aln´ıteplota hvˇezdynatolik, ˇzese zde zaˇzehnoutermonukle´arn´ıreakce, kter´ebrzy rozhoˇr´ıv cel´ehvˇezdˇe.7 V d˚usledkutoho se v nitru hvˇezdyzaˇcned´aleprudce zvyˇsovat teplota, kter´anakonec pˇrerostei teplotu degenerace. Sevˇren´ıkrun´yˇreelektronov´ede- generace povol´ı, l´atka hvˇezdy se zmˇen´ı v plyn, kter´ydivoce expanduje do prostoru. N´asledn´yv´ybuch jadern´ereakce uhas´ıa rozhod´ıveˇsker´ymateri´alhvˇezdydo prostoru rychlost´ıaˇz104 km/s. Nicm´enˇejeˇstˇedˇr´ıve neˇzse tak stane, se staˇc´ıv´ıceneˇzpolovina uhl´ıkua kysl´ıkuz b´ıl´ehotrpasl´ıka zmˇenitna ˇzelezo. Tento pohled na vˇecdobˇresouhlas´ıse spektr´aln´ımivlastnostmi supernov typu Ia, kde pˇrevl´adaj´ıtˇeˇzˇs´ıprvky. Odhaduje se, ˇzejsou to pr´avˇesupernovy typu Ia, kter´ev´ıceneˇz supernovy jin´ych typ˚uobohacuj´ımezihvˇezdn´ymateri´alo prvky skupiny ˇzelezai o uhl´ık a kysl´ık. Podobnˇejako u supernov jin´ych typ˚uje svˇeteln´yv´ykon supernov typu Ia po maximu lesku urˇcentempem radioaktivn´ıhorozpadu nestabiln´ıch izotop˚uniklu, kobaltu a dalˇs´ıch radioaktivn´ıch prvk˚u.

7Tato skuteˇcnostje zˇrejmˇepˇr´ıˇcinou,proˇcse svˇeteln´ekˇrivkysupernov typu Ia tak podobaj´ı– vy- buchuj´ın´amtu objekty s navlas stejnou hmotnost´ıa vnitˇrkem. LITERATURA 209 Literatura

Alfonso-Garz´on,J., Domingo, A., Mas-Hesse,J.M., Gim´enez,A. 2012, A & A, 548, A79 Appourchaux, T., Belkacem, K., Broomhall, A.-M., et al. 2010, Astronomy and Astro- physics Review, 18, 197 Argelander, F. W. A. 1844, Aufforderung an Freunde der Astronomie, Jahrbuch f¨ur1844, vyd. H. Ch. Schumacher, Stuttgart a T¨ubingen Andersen, J., 1991, Astronomy and Astrophysics Review 3, 91 Babcock, H. W. 1947, ApJ, 105, 105 Benedict, G. F., McArthur, B. E., Feast, M. W., et al. 2007, AJ, 133, 1810 Balona, L. A., Guzik, J. A., Uytterhoeven, K., et al. 2011, MNRAS, 415, 3531 Berdnikov, L. N., & Turner, D. G. 2010, Astronomy Reports, 54, 392 Bessell, M. S., Brett, J. M. 1988, PASP 100, 1134 Bessell, M. S. 1990, PASP 102, 1181 Bessell, M. S. 2005, ARA&A, 43, 293 Boyarchuk, A. A., Bisikalo, D. V., Kuznetsov, O. A., & Chechetkin, V. M. 2002, Mass transfer in close binary stars, by A.A. Boyarchuk, D.V. Bisikalo, O.A. Kuznetsov, and V.M. Chechetkin. Advances in astronomy and astrophysics, Vol. 6. London: Taylor & Francis, 2002, ISBN 0415273536., Breger, M., Rodler, F., Pretorius, M. L., et al. 2004, A & A, 419, 695 Bruntt, H., Kurtz, D. W., Cunha, M. S., et al. 2009, MNRAS, 396, 1189 Burd, A., Cwiok, M., Czyrkowski, H., et al. 2004, Astronomische Nachrichten, 325, 674 Busso, G., De Angeli, F., & Montegriffo, P. 2012, Proceedings of the SPIE, Vol. 8442 Carroll, B. W. & Ostlie, D. A. 2007, An Introduction to Modern Astrophysics, 2. vyd´an´ı. Benjamin Cummings, 2007. ISBN 0-321-11284-9. Catalano, S., Frisina, A., & Rodono, M. 1980, v Close binary stars: Observations and interpretation; Proceedings of the Symposium, Toronto, Canada, August 7-10, 1979. (A80-53742 24-89) Dordrecht, D. Reidel Publishing Co., 1980, p. 405-412 Cohen, M., Wheaton, W. A., & Megeath, S. T. 2003, AJ, 126, 1090 Cousins, A.W.J., 1976, MNRAS 81, 25 Cramer, N., Mander, J. 1979 A&A 78 305 Deeming T.J. 1975 Astrophys. & Space Sci. 36, 137 Deutsch, A. J. 1958, Electromagnetic Phenomena in Cosmical Physics, Proceedings from IAU Symposium no. 6, ed. Bo Lehnert, Cambridge University Press, 209 Domiciano de Souza, A., Kervella, P., Jankov, S., et al. 2003, A & A, 407, L47 Drake, A. J., Djorgovski, S. G., Mahabal, A., et al. 2009, ApJ, 696, 870 Durlevich, O. V., Kazarovets, E. V., Kholopov, P. N., Kireeva, N. N., Samus, N. N., Tsvetkova, T.M., 2006, General Catalogue of Variable Stars V1.4, Vol. IV (verze z 17. 10. 2006), ed. N.N. Samus, Astronomical Council of the USSR Academy of Sciences and Sternberg, Astronomical Institute of the Moscow State University, http://www.sai.msu.su/groups/cluster/gcvs/gcvs/ Eastman, J. 2012, Astrophysics Source Code Library, 6012 Eastman, J., Siverd, R., & Gaudi, B. S. 2010, PASP, 122, 935 Eberhard, G., & Schwarzschild, K. 1913, ApJ, 38, 292 Eddington, A. S. 1926, The Internal Constitution of the Stars, Cambridge: Cambridge 210 LITERATURA

University Press, 1926. ISBN 9780521337083. Eggleton, P. P. 1983, ApJ, 268, 368 ESA 1997, VizieR Online Data Catalog, 1239, 0 Flower, P. J. 1996, ApJ, 469 355 Folsom, C. P., Kochukhov, O., Wade, G. A., Silvester, J., & Bagnulo, S. 2010, MNRAS, 407, 2383 Freedman, W. L. et al. 2001, ApJ, 553, 47 Fukugita, M.,Ichikawa, T., Gunn, J. E., et al. 1996, AJ 111, 1748 Gim´enez,A., Clausen, J. V., Guinan, E. F., Maloney F. P., Bradstreet, D. H., Storm, J. a Tobin, W., 1995, Experimental Astron. 5, 181-183 Golay, M., 1962, Pub. Obs. Gen´eve No 15 (s´erieA), 29 Hall, J. S. 1949, Science, 109, 166 Hall, D. S. 1976, IAU Colloq. 29: Multiple Periodic Variable Stars, 60, 287 Harmanec, P., Grygar, J., Horn, J., Koubsk´y,P., Kˇr´ıˇz,S., Zdˇ ’´arsk´y,F., Mayer, P.; Ivanoviˇc,Z., Pavlovski, K., 1977, Astronomical Institutes of Czechoslovakia, Bulletin, vol. 28, no. 3, p. 133-143 Harmanec, P., Broˇz,M., 2011, Stavba a v´yvoj hvˇezd,Matfyzpress, Praha 2011 Harmanec, P., Mayer, P., 2008, Dvojhvˇezdy, uˇcebn´ıtext, Astron. ´ustav MFF UK Praha Harmanec P., Horn J., Juza K. 1994, Astron. Astrophys. Suppl. 104, 121 Herbig, G. H., Petrov, P. P., & Duemmler, R. 2003, Apj, 595, 384 Hertzsprung, E. 1928, BAN 4, 178 Hewish, A., Bell, S. J., Pilkington, J. D. H., Scott, P. F., & Collins, R. A. 1968, Nature, 217, 709 Hilditch, R. W., 1996, Binary Stars in Local Group, v The origins, evolution, and des- tinies of binary stars in clusters, Astron. Soc. of Pacific Conference Series 90, An internat. symposium, Univ of Calgary, 18-23 June 1995, San Francisco, ed. E. F. Milone, J.-C. Mermilliod, str. 207 Hiltner, W. A. 1949, Nature, 163, 283 Hodapp, K. W., Kaiser, N., Aussel, H., et al. 2004, Astronom. Nachrichten, 325, 636 Christensen-Dalsgaard, J. 2003, Lecture Notes on Stellar Oscillations, University Aarhus, 5. vyd´an´ı Iben, I., Jr. 1971, PASP, 83, 697 Inno, L., Matsunaga, N., Bono, G., et al. 2013, ApJ, 764, 84 Ivezic, Z., Axelrod, T., Brandt, W. N., et al. 2008, Serbian Astronom. Journal, 176, 1 Johnson, H. L., Morgan, W.W., 1953, ApJ 117, 313 Johnson, H. L., 1965, ApJ 141, 923 Joy, A. H., 1945, ApJ 102, 168 Jurkevich, I., 1971, Astrophysics and Space Science, Vol. 13, 154-167 Kaye, A. B., Handler, G., Krisciunas, K., et al. 1999, PASP, 111, 840 Keller, S. C., Murphy, S., Prior, S., Da Costa, G., & Schmidt, B. 2008, ApJ, 678, 851 Kleczek, J., 2002, Velk´aencyklopedie vesm´ıru.Academia, 584 str. Komarova, V. N., Beskin, G. M., Neustroev, V. V., & Plokhotnichenko, V. L. 1996, Journal of Korean Astronomical Society Supplement, 29, 217 Kopal, Z., 1955, Annales d’Astrophysique, 18, 379 Korhonen, H., Berdyugina, S. V., Ilyin, I. V., Strassmeier, K. G., & Hackman, T. 2009, LITERATURA 211

Revista Mexicana de Astronomia y Astrofisica Conference Series, 36, 323 Krtiˇcka, J., Mikul´aˇsek,Z., Zverko, J., et al. 2010, IAU Symposium, 264, 270 Kˇr´ıˇz,S., Harmanec, P., 1975, Astronomical Institutes of Czechoslovakia, Bulletin, vol. 26, no. 2, p. 65-81. Kuiper, G. P. 1941, ApJ, 93, 133 Kurtz, D. W. 1982, MNRAS, 200, 807 Kurtz, D. W. 2006, Astrophysics of Variable Stars, 349, 101 Kwee, K. K., & van Woerden, H. 1956, BAN 12, 327 Landolt, A. U. 1983, AJ, 88, 439 Landolt, A. U. 1968, ApJ, 153, 151 Leavitt, H. S. 1908, Annals of Harvard College Observatory, 60, 87 Leibacher, J. W., & Stein, R. F. 1971, Astrophysical Letters, 7, 191 Leighton, R. B., Noyes, R. W., & Simon, G. W. 1962, ApJ, 135, 474 Lockwood, G. W., Skiff, B. A., Henry, G. W., et al. 2007, ApJS, 171, 260 Messina, S., & Guinan, E. F. 2002, A & A, 393, 225 Messina, S., & Guinan, E. F. 2003, A & A, 409, 1017 (erratum 2004, A&A 428, 983) Metcalfe, T. S., Monteiro, M. J. P. F. G., Thompson, M. J., et al. 2010, ApJ, 723, 1583 Michaud, G. 1970, ApJ, 160, 641 Mikolajewska, J. 2001, IAU Colloq. 183: Small Telescope Astronomy on Global Scales, 246, 167 Mikul´aˇsek,Z., Zejda, M., Zhu, L., Qian, S.-B., Liˇska, J., de Villiers, S. N., 2013, Cent. Eur. Astrophys. Bull. 37, 1, v pˇr´ıpravˇe(jinak arXiv:1212.5519) Mikul´aˇsek,Z., Zejda, M., Qian, S.-B., Zhu, L. , Proceedings of 9th Pacific Rim Confer- ence on Stellar Astrophysics, (11.–26. dubna 2011, Lijiang, C´ına),2011,ˇ Astronomical Society of the Pacific, 451, 111 Mikul´aˇsek,Z., Krtiˇcka, J., Henry, G. W. et al. 2008, Astron. and Astrophysics, 485, 585 Mikul´aˇsekZ., Wolf M., Zejda M., Pecharov´aP. 2006, Astrophys. Space Sci. 304, 363 Morbey, C. L., Publications of the Dominion Astrophysical Observatory, Vol. 14, p. 185 Moro, D., Munari, U., 2000, A & A Suppl. 147, 361 Opiela, R., Ma lek,K., Mankiewicz, L., et al. 2012, Proceedings of the SPIE, Vol. 8454, Percy, J. R. 2011, Understanding Variable Stars, by John R. Percy, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2011, Perryman, M. A. C., & ESA 1997, ESA Special Publication, 1200, Pettersen, B. R., Olah, K., & Sandmann, W. H. 1992, Astronomy and Astrophysics Supplement Series, 96, 497 Pickering, E. C. 1882, The Sidereal Messenger Pickering, E. C. 1883, The Observatory, 6, 79 Pickering, E. C. 1890, Annals of Harvard College Observatory, 18, 285, Appendix Pigulski, A., & Pojma´nski, G. 2008, A & A, 477, 917 Plavec, M., & Kratochv´ıl,P. 1964, Bull. of the Astron. Inst. of Czechoslovakia, 15, 165 Pojmanski, G. 2002, Acta Astronomica 52, 397 Pollacco, D. L., Skillen, I., Collier Cameron, A., et al. 2006, PASP, 118, 1407 Pourbaix, D., Tokovinin, A. A., Batten, A. H., et al. 2009, VizieR Online Data Catalog, 1, 2020 Press, W. H., Rybicki, G. B. 1989, ApJ, 338, 277 212 LITERATURA

Pych, W., Kaluzny, J., Krzeminski, W., Schwarzenberg-Czerny, A., & Thompson, I. B. 2001, A & A, 367, 148 Rucinski, S. 1999, Turkish Journal of Physics, 23, 271 Schmid, H.M. 2012, uˇcebn´ıtexty Astronom. Observations, http://www.astro.ethz.ch Schulz, N. S. 2005, From Dust To Stars Studies of the Formation and Early Evolution of Stars, by N.S. Schulz. Springer-Praxis books in astrophysics and astronomy. Praxis Publishing Ltd, 2005. ISBN 3-540-23711-9, Skarka, M. 2013, A & A, 549, A101 Skrutskie, M. F., Cutri, R. M., Stiening, R., et al. 2006, AJ, 131, 1163 Soszynski, I., Poleski, R., Udalski, A., et al. 2008, Acta Astron., 58, 163 Soszy˜nski,I., Poleski, R., Udalski, A., et al. 2010, Acta Astron., 60, 17 Stellingwerf, R. F., 1978, Astrophysical Journal, vol. 224, 953-960 Sterken, C., & Jaschek, C. 1996, Light Curves of Variable Stars. A Pictorial Atlas, ISBN 0521390168, Cambridge University Press Stibbs, D. W. N. 1950, MNRAS, 110, 395 Stobie, R. S., Chen, A., O’Donoghue, D., & Kilkenny, D. 1993, MNRAS, 263, L13 Strassmeier, K. G., Bartus, J., Fekel, F. C., & Henry, G. W. 2008, A & A, 485, 233 Str¨omgren,B. 1956, Vistas in Astronomy 2, 1337 Svechnikov, M. A., Istomin, L. F., 1979, Astronomiceskij cirkuljar No.1083 Szymanski, M. K. 2005, Acta Astronomica 55, 43 Ulrich, R. K. 1970, ApJ, 162, 993 van den Bergh, S. 1968, J.R.Astron.Soc.Can., 62, 145 van den Bergh, S. 1975, Galaxies and the Universe. Eds. A. Sandage, M. Sandage, J. Kristian. University of Chicago Press (Stars and Stellar Systems. Volume 9), Chicago, USA, p.509 van Leeuwen, F. 2007, A&A 474, 653 van Leeuwen, F. 2008, VizieR Online Data Catalog, 1311, 0 van Leeuwen, F. 2009, A&A 500, 505 van Leeuwen, F. 2010, Space Science Reviews 151, 209 Vaughan, A. H., Preston, G. W., & Wilson, O. C. 1978, PASP, 90, 267 Vaughan, A. H., & Preston, G. W. 1980, PASP, 92, 385 Vorobyov, E. I., & Basu, S. 2010, Apj, 719, 1896 Waelkens, C. 1991, A & A, 246, 453 Walraven, Th., Walraven J. H. 1960, BAN 15, 67 Wilson, O. C. 1978, ApJ, 226, 379 Wilson, R.E., 1979, ApJ 234, 1054 Wilson, R.E., 1994, PASP 106, 921 Wo´zniak,P. R., Vestrand, W. T., Akerlof, C. W., et al. 2004, AJ, 127, 2436 Zejda, M., Boroviˇcka, J., H´ajek,P., et al. 1994, Contributions of the Public Observatory and Planetarium in Brno, 30 Zejda, M., & Domingo, A. 2011, Information Bulletin on Variable Stars, 5996, 1 Zhevakin, S. A., 1953, Astronomiˇcskijˇzurnal30 161–179 Zhu, L.-Z., Zejda, M., Mikul´aˇsek,Z., Qian, S.-B. & de Villiers, S.N., 2012, Astronomical Journal 144, 37 Uvod´ do studia promˇenn´ych hvˇezd

Prof. RNDr. ZdenˇekMikul´aˇsek,CSc., RNDr. Miloslav Zejda, Ph.D.

Vydala Masarykova univerzita v roce 2013 Vyd´an´ıprvn´ı N´aklad200 ks Tisk Tisk´arnaKnopp, Cernˇcice24,ˇ 549 01 Nov´eMˇestonad Metuj´ı ISBN 978-80-210-6241-2