Research Collection
Doctoral Thesis
Kovariante analytische Funktionen
Author(s): Hepp, Klaus
Publication Date: 1963
Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000089747
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ETH Library Prom. Nr. 3336
Kovariante analytische Funktionen
Von der
EIDGENÖSSISCHENTECHNISCHEN HOCHSCHULEIN ZÜRICH
zur Erlangung der Würde eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigte PROMOTIONSARBEIT
Vorgelegt von KLAUS HEPP dipl. phys. ETH Deutscher Staatsangehöriger
Referent: Herr Prof. Dr. R. Jost Korreferent: Herr Prof. Dr. M. Fierz
Basel Buchdruckerei Birkhäuser AG. 1963 Sonderabdruck aus Math. Annalen, Band 752, Heft 2 (1963), Verlag: Springer (1. Teil) und HelveticaPhysica Acta, Band 36, Heft 3 (1963), Verlag: Birkhäuser (2. Teil) Hbpp, K. Math. Annalen 152, 149—158 (1963)
Klassische komplexe Liesche Gruppen und kovariante analytische Funktionen Von Klaus Hepp in Zürich
§ 1. Einleitung Sei L eine klassische komplexe Matrixgruppe über dem C, und zwar die allgemeine lineare Gruppe OL(n, C) oder ihre Untergruppe (SL(n, C)) der unimodularen, (0(+) (n, C)) der (eigentlich) orthogonalen oder (Sp(n, C)) der
n . . . . symplektischen komplexen X «-Matrizen. Sei P(f1; ., ffc, zv ., z,) ein Polynom in k kontra- und l kovarianten «,-dimensionalen komplexenVektoren Cv . . ., Cia Zj., . . ., Z;> das invariant unter L ist: (1.1) P(i) = P(AD
für alle L und alle := . . . . := • . A £ j (C1; ., f,„ z1; ., z,), /lj (Ci^l"1, ., UA~\
. . Dann Azlt ., Azi). ist nach dem 1. Hauptsatz der Invariantentheorie [16]
ein von endlich vielen . . P(j) Polynom Standardinvarianten 71(j), ., 7r(j) von L, die ganz rational den Ring der Z-in VariantenPolynome in 3 £ Q(k + l)n erzeugen. Es stellt sich die Frage, wie weit und in welcher Form eine ähnliche Aussage für i-invariante holomorphe Funktionen von mehreren komplexen Vektor¬ variablen gültig ist. Wir wollen in dieser Arbeit als Verallgemeinerungeines in der relativistischen QuantenfeldtheoriewichtigenTheorems von Bakgmann, Hall und Wightman [6] mit den folgenden beiden Sätzen einen Zusammen¬ hang zwischen der klassischen Invariantentheorie und der komplexenAnalysis herstellen: Satz 1: Sei D ein Gebiet im komplexen Zahlenraum C = (1.2) D I~loI(D) . Dann ist I (D) eine normale algebraischeMenge in einem Gebiet des Cr, und jeder in D holomorphen L-invarianten Funktion /(j) entspricht genau eine auf I{D) (stark) holomorpheFunktion /(£) mit (i.3) /(s) = /o/(a). Dieses Resultatsteht in engem Zusammenhang mit der Theorieder analytischen Zerlegungen [13] und den Quotienten komplexer Räume nach komplexen Lieschen Automorphismengruppen(siehe [3], [4], [9], [10]). In der obigen 150 Klaus Hepp: konkreten Situation kann man durch den Übergangvon den /-Bahnen zu den /-Invariantenaus D\L in kanonischerWeise einen normalen komplexenRaum I(D) gewinnen, in dem die lokalen holomorphen Funktionen genau die auf den /-saturierten offenen Mengen von D /-invariantenholomorphenFunktionen sind. Auch für die unter einer klassischen Gruppe / kovarianten holomorphen Tensorfelder lassen sich in natürlicher Weise Sätze der Invariantentheorie [15] verallgemeinern. Dazu sei A^S(A) eine irreduzible s-dimensionale Tensor¬ darstellung der klassischen Gruppe L. In einem /-invariantenGebietD C C<,: +!> n sei Oxj{D) der Ring der in D /-invarianten holomorphenFunktionen und Os(D) der Modul über 0L(D) der sich nach der Darstellung$kovariant trans¬ formierenden holomorphen Tensorfelder .Fa (3) mit (1,4) F«(A]>) = £ S(AKF«'(i) a' = l für alle A£ L und alle j £ D. Dann gilt der folgende Satz 2: Zu jeder irreduziblen Tensordarstellung S der klassischen komplexen Gruppe L gibt es endlich viele S-kovariante Polynome Qx(i), 1 -^ x < K, die in jedem I-saturierten Holomorphiegebiet DcWc+l'>n den Modul Os(D) über dem Ring 0L(D) erzeugen. Insbesonderegilt in einem /-saturierten Gebiet lokal stets für ein F £ Os(D) eine Standardzerlegung •(i,5) F(h)= ZL°m)-QM) x = l mit auf der Invariantenvarietät lokal (stark) holomorphen Koeffizienten¬ funktionen /„(j). In dieser Arbeit werden in einem ersten Abschnitt einige Hilfssätze über die Abbildung / und über /-saturierte Gebiete bereitgestelltund kurz Gegen¬ beispielediskutiert.In dem folgendenAbschnitt werdendie Sätze 1 und 2 über die Struktur des Ringes 0L(D) und des ModulsOs(D) bewiesen. Anwendungen auf Probleme der mathematischen Physik in Zusammenhangmit der kom¬ plexen eigentlichen Lorentz-Gruppe Z+(C) sowie eine genauere Diskussion des Moduls Os(D) für Darstellungen dieser Gruppe werden an anderer Stelle gebracht [8]. Meinem verehrtenakademischen Lehrer, Herrn Prof. Dr. Res Jost, möchte ich an dieser Stelle herzlich für Anregungen und hilfreiches Interesse danken und den Herren Dr. H. Aeaki und Dr. D. Rtjelle für viele kritische Dis¬ kussionen. Ebenso sei Herrn Prof. Dr. H. Behnke und den Herren Dr. H. Holmann und Dr. G. Scheja für wertvolle Hinweise vielmals gedankt. § 2. /-saturierteGebiete In diesem Abschnitt sollen einige wichtige Eigenschaften /-saturierter Gebiete einer klassischen Gruppe / bereitgestellt werden. Unter L sei dabei stets die Gruppe GL(n, C) oder eine der Untergruppen SL(n, C), 0(+) (n, C) oder Liesche Gruppen und analytische Funktionen 151 Sp(n, C) verstanden. Wegen der Zusammenhangsverhältnisse von / zerfällt das /-Urbild eines Gebietes im C in maximal zwei disjunkte Gebiete im Q(k + l)n, in denen die Funktionswerte von /-kovarianten holomorphen Funktionen zu¬ sammenhängen.Mit einem /-saturierten Gebiet sei eine dieser Komponenten gemeint. Die GL(n, C) operiert auf dem Raum der kovarianten w-dimensionalen Vektoren z als z' = Az für A £ GL(n, C). Kontragredient zu den z transfor¬ mieren sich die kontravariantenVektoren t, unter A als f' = t.A"1, so daß das innere Produkt n (2.1) &):= E?* invariant bleibt. Nach dem 1. Hauptsatz der Invariantentheorie ist (2,1) die einzige typische Vektorinvarianteder Gruppe GL(n, C), d. h. jedes invariante Polynom (1,1) von k kontra- und l kovarianten n-Vektoren f1; . . ., f k, zv . . .,zl läßt sich ganz rational durch die k ¦ l Standardinvarianten (dz,), 1 < i ^ k, 1 g; j g; l, ausdrücken. Bei der speziellen linearen Gruppe SL(n, C) treten neben (2,1) als weitere typische Vektorinvariantendie Determinanten = = . . . . : det (2.2) [C1; ., CJ det{$), [z1( ., zn]: (zj) hinzu, die das System der Standardinvariantenin diesem Fall vervollständigen. Die einzige typische Vektorinvariantefür die 0 in, C) ist die symmetrische Bilinearform (o. E. in Normalform): n (2.3) (Ziz2):= E*&> v = 1 falls man sich über (2,3) auf kovarianteVektorvariable beschränkt. Für die die Determinante . . hinzu. Schließlich ist 0+(n, C) kommt wieder [z1; ., z„] für die symplektischeGruppe (o. E. in Räumen geradzahliger Dimension) die schiefe Bilinearform - (2.4) [zlZ2]: = (z\4- z\z\) + ¦¦¦+ (z?-H2 z^1) die einzige typische Vektorinvariante bei Beschränkung auf kovariante Vektoren. Die Abbildung /: 8~>-(^(}),..., Zr(ä)) =: Z(ä), die jedem (k + Z)-Tupel + j £ C(* z>" von komplexen n-Vektoren die r = r(L, k, l) Standardinvarianten der klassischen Gruppe/ zuordnet, bildetden C<* + l)n surjektiv (siehe Lemma 1) auf eine algebraische Menge / im C ab. / ist nach dem 2. Hauptsatz der In¬ variantentheorie [14], [16] global charakterisiert als das simultaneNullstellen¬ von . . r gebilde endlich vielen Polynomen RT(IV ., Ir), 1 ^ :g t, die nach der Substitution /e->/g(ä) das Ideal der Relationen zwischen den Standard¬ invarianten der Vektoren £lt . . ., £k, zv . . .,zl erzeugen. Zum Beispiel ist für l komplexe w-Vektoren z1; . . ., z( die Invarianten¬ varietät / der 0(n, C) für l g n der ganze C!<'2 derkomplexenVariablenzijt 1 <: i g j < l, und für l > n ist / eine algebraische Menge im C durch die Relationen (2,5) det mit ztj = zH für i > j und 1 ^ ix < ¦ ¦ ¦ < in+1 ^ l, 1 g jx < • • • < /„+1 ^ l. Die folgendenbeiden Hilfssätze über die holomorphe Abbildung / in die Vektorinvarianten einer klassischen Gruppe / wurden erstmalig von Barg¬ mann, Hall und Wightman [6] bei der Untersuchung der 4-dimensionalen komplexenLorentz-Gruppe Z(C) ?« 0(4, C) gefunden. Lemma 1: Die Abbildung I: C fcl(DOv o «ä • 0 0 mit: Ml)(l) S-fl äti( 8n) (1 ^ i ^ jfe) 1 _ (2,7) 5,(1) - äia( an) (i ss ?g Z) (1) = A äij an äij' an) (2 ^ * ^ fc, 2 ^ / ^ Z) . Die gleiche Darstellung ist für alle a £ ^(j) n / mit Matrixelementen «W, aiV> öiV: für hinreichendkleines 77 > 0 möglich, und es gibt Konstanten CW (5), /»(!)(3) (2,8) i7-«iyi Bezug auf ein betragsgrößtes Element von a(s) gilt: (s^i^k) (2'9) \<4a\ = (2,10) 3= PiN-iQi* « PiNiQ« . wobei die NormalformenN-h bzw. iVa von 3 bzw. a rg 3 bzw. rga Einsen in der Hauptdiagonalen haben. Die k Zeilenvektorenvon P-h (bis zur rg 3-ten Spalte, - die übrigen n — rg3 Komponenten durch Nullen ergänzt) und die l Spalten vektoren von Q~b (bis zur rg 3-ten Zeile und durch Nullen ergänzt) liefern k + l = = . . . . mit Dies kontra- und kovarianteVektoren 3 (C1; ., £k, zv ., zt) 3 /(j). beweist die Surjektivität von /. Die punktale Offenheit folgt aus den Ab¬ schätzungen (2,7) und (2,9): es gibt eine Konstante C(%) < 00 derart, daß die Komponenten des aus Pa, §a analog gebildeten Urbildpunktes a £ /_1(a) für hinreichendkleines r\ > 0 und für a £ Üv( 3) n / von 3 einen Abstandkleiner als C(3) |/?7 haben. Für / = 0(n, C) bzw. Sp(n, C) läßt sich die symmetrische bzw. schiefe Matrix 3 £ / der (formalen) innerenProdukte (z,, z3) bzw. [z,-, z3] stets darstellen [11] als (2,H) 5 = äT^-,Sj mit (für Sp(n, C) schiefer) Normalform N~h und Abschätzungen wie (2,7), (2,8), (2,9). Auch die Anpassungder (formalen) Determinanten in 3 für / = 0+(n, C), SL(n, C) ist ohne Schwierigkeiten möglich. Damit ist Lemma 1 bewiesen. Die so konstruierten Urbildpunkte 3 £ I~1( 3) sind „regulär", d. h. entweder . . • ¦ . . lineare Raum ., ist der durch fi> ¦, £ä oder z1: ., z; aufgespannte . . . . von maximalenDimension oder es ., oder (z1; ., z;> der n, gilt dim(d, £,c) = = dim bzw. /t232 verschwinden. Wir definieren [1] für e #= 0 Transformationen A\, A\ £ (?Z(ra, C), die im ersten Fall die s-te Komponente mit e, im letzteren Fall mit e"1 multiplizieren und in den ersten m Komponenten als Identität operieren. Dann konvergiert A^A^-> 33 für e -> 0 und «=1,2. Daher liegt 33 und ebenso JB(33) in B{fa) r\ B(fo). Analog (siehe auch [6] und [7]) schließt man für die anderen klassischen komplexenGruppen L. Zu einer in einem Z-invarianten Gebiet D Z-invarianten holomorphen Funktion /(}) gibt es im allgemeinen keine stetige Funktion /(j) auf der Invariantenvarietät I(D) mit /(j) = / 0/(3), wie das folgende Beispiel zeigt: In den charakteristischen Koordinaten der 0+(2, C) im C2 u:= (z1 + iz2), v:= (z1 — iz2) operiert die eigentliche komplexe Orthogonalgruppe als (2.14) A{u,v) = {Xu,X-1v), A(/l)4=0, und die vier Standardinvarianten zweier Vektoren zx = (%, v^), z2 = (u2, v2) sind utVj, 1 g; i, j < 2. Offenbar ist (2.15) /(zi, «,): = ¦?- holomorph in D = {(zl5 z2): w2 =)= 0} und 0+(2, C)-invariant, jedoch nicht als stetige Funktion der Invarianten auf /(/)) darstellbar. Aus Lemma 1 und 2 folgt dagegen, daß der Ring GL(D) der auf einem /-saturierten Gebiet D stetigen Z-invariantenFunktionen isomorph ist zum Ring C(I(D)) der auf I(D) stetigen Funktionen, und zwar über den Ring¬ isomorphismus /(3) = /o/(3). Ferner ist /(/)) offen auf der Invarianten¬ varietät / und daher eine lokal-algebraische Menge im C, die lokal-irreduzibel ist wegen der punktalen Offenheit von /. Ein /-saturiertes Gebiet D läßt sich nach Lemma 1 durch Z-invariante analytische Polyederumgebungen (2.16) F£(30) := {3 : |Jefo)-Je(8o)| < e, 1 g q SS r} überdecken, die durch die Z-invarianten Polynome pe{i)-=Ie(i)— Ie{fa) definiert sind. Es sei p(j) := (^(j), . . .,pr(i)). Fe(30) läßt sich nach Oka [12] durch die eigentliche biholomorphe Abbildung J->(j, p(j)) singularitätenfrei einbetten als analytische Menge in den Polyzylinder = (2.17) IF.(jo): {(3, p): |pe| < e, 1 ^ q < r} . Zu jeder in Fe(30) holomorphenFunktion / (3) gibt es eine in TFe(j0) holomorphe Funktion /(j, p) mit /(j) = /(j, p (3)) [2]. Ist nun F"(i) ein holomorphes Tensor¬ feld (1,4) in Fe(30), das sich nach einer irreduziblen Darstellung8 der Gruppe Z kovariant transformiert, so folgt für eine analytische Fortsetzung ^"(j, p) von /,a(3) in PT,(a0) zunächst wegen p(j) = p(/l j): ^"(J. P(8)) = -Pa(3) = 27 iS^)?.^'^-1}) (2.18) ""-/ = £ S(A)ZF«'(A-ii, p(3)) für alle A$L. Sei K := L r\ U(n) die kompakte Untergruppe der unitären Elemente von Z und ü das Volumen von K bezüglich des Haarschen Maßes dA auf K. Definiert man dann (2.19) P«(3, p) := E G-1 JdA S(A)l-F«'{A~^, p) , a' = 1 K so bleibt wegen (2,18) die Spureigenschaft (2.20) ^"(3, P(ä)) = ^a(5) erhalten, und unter den unitären Elementen aus Z transformieren sich die holomorphen Funktionen Pa(3, p) in W£(h) kovariantnach der Darstellung8: = (2.21) F«(Ah p) E S(A)l.F«'(i, p) . a' = l Aus der Existenz der Cayley-Parametrisierung[16] der nicht exzeptionellen Elemente von Z mit reellen Parameterwerten genau im L r\ ü (n) folgt aus dem Eindeutigkeitssatz für holomorphe Funktionen die Z-Kovarianz (2,21) von i?a(3, p) in We{b0) identisch unter der vollen Gruppe L. Zusammenfassend gilt das Lemma 3: Ein I-saturiertes Gebiet D läßt sich durch Polyederumgebungen Ve(fo) überdecken, in denen jedes S-kovariante holomorphe Tensorfeld Pa(3) eine analytische Fortsetzung Pa(3, p) in einen höherdimensionalen Polyzylinder TF£(30) erlaubt mit (2,20) und (2,21). § 3. HolomorpheTensorleider über /-saturierten Gebieten Das Beispiel (2,15) im letzten Abschnitt zeigte, daß nicht jede Z-invariante holomorphe Funktion als holomorphe Funktion der Z-Invarianten darstellbar ist. Ebenso gibt es Beispiele [8] dafür, daß im allgemeineneine lokale Zerlegung eines S-kovarianten holomorphenTensorfeldes in Standardkovariante Qx der Darstellung S von Z mit Z-invarianten lokal holomorphen Koeffizienten¬ funktionenunmöglich ist (man beachte aber dazu einen Satz von H. Aeaki [8] für holomorphe Tensorfelder von nur „wenigen" Vektorargumenten). Fordert man jedoch zusätzlich die /-Saturierungvon Z, dann sind alle diese Eigen¬ schaften in natürlicher Weise erfüllt. Wir beweisen zunächst den Satz 1: Ist D ein I-saturiertes Gebiet im komplexen Zahlenraum von k kontra- und l kovarianten n-Vektoren 3, dann ist I(D) eine normale algebraische Menge in einem Gebiet des C, und jeder in D holomorphen L-invarianten Funktion /(3) entspricht genau eine auf I(D) (stark) holomorphe Funktion /(3) mit /(3) = /o/(3). Beweis: Aus der lokalen Irreduzibilitätvon I(D) folgt zunächst, daß jede in einer offenen Menge Ü C I(D) schwach holomorphe Funktion / (3)dort stetig und in den gewöhnlichen Punkten von Ü holomorphe Spurfunktion ist. Das /-Urbildder nicht gewöhnlichen Punkte von Ü ist mindestens 1-codimensional in U := Z-1(#), und deshalb ist nach dem Riemannschen Fortsetzungssatz / (3): = / o / (3) holomorphund Z-invariant in der /-saturierten offenen Menge U. 156 Klaus Hepp: Daher ist die Normalität von I(D) und der Isomorphismus der Ringe 0L(D) der in D Z-invariantenholomorphen Funktionen und 0(1(/>)) der auf I(D) stark holomorphen Funktionen bewiesen, falls man zeigen kann, daß jeder in einer /-saturierten offenen Menge U C_ D holomorphen Z-invariantenFunktion auf g(3) eine /(ü) stark holomorphe Funktion g(%) entspricht mitg (¦&) = § o/(3). Zum Beweis dieser lokalen Aussage überdecken wir ü mit Polyeder¬ umgebungen Ve{fo) der Gestalt (2,16). Nach § 2 gibt es zu jeder Z-invarianten holomorphen Funktion f(h) in F£(30) eine in I(Vs(io)) stetige Funktion/(3) mit /(3) = / o /(3) und eine im Polyzylinder We(i0) (2,17) holomorphe Funktion 9(h P) mit - (3>!) 9(A, P(ä)) /(j), g(Ai, p) - g(i, p) identisch in (3, p) £ JT£(j0) und A £ L. In der Potenzreihevon «7(3, p) um den Nullpunkt in TT£(j0) <3'2) y(8,P)= 2; «(«)(»)(8)(m)(p) (»»), (») . . ist bei festem in ., • • (w) jeder f1; Cfc, «,, ¦, zl homogene Term h(0) (n) (3) vom = Grade . . . . (0) (t1( .^ t7;, *i, ., ^) ein Z-invariantes Polynom in 3, und es gibt daher ein Polynom h(e) M (Ix, . . .,Ir) (d. h. eine stark holomorphe Funktion auf der Invariantenvarietät = I) mit h(e) M (3) h(e) M o /(5). Das gleiche gilt für das Z-invariante Polynom (3>3) (pw^rivM-wye.= e i Die Reihe der auf / stark holomorphen Funktionen - ¦ (3>4) Z1 *(« <„> (h, ¦ ¦, /r) /7(/e /„ (Jo))»e ex«) 5 = 1 nach Lemma 1 in einer konvergiert kompakt Umgebung /(Ft-(3„)), 0 < e' < e, gegen die Funktion / o /(j). Nach einem Satz von Grauertund Remmert ([5]! p. 290) ist die Grenzfunktion einer auf einer analytischen Menge M kompakt konvergenten Folge von stark holomorphen Funktionen wieder auf M stark holomorph. Dies beweist den Satz 1. Mit dem gleichen Approximationsverfahren beweist man den Satz 2: Sei A^S(A) eine irreduzible Tensordarstellung der klassischen komplexen Gruppe L. Dann gibt es endlich viele S-kovariante Polynome #„(3), 1 < x g. K, die in jedem I-saturierten Holomorphiegebiet De C<* + i>re den Modul Os{D) über dem Ring 0L(D) erzeugen. Beweis: Sei ein F<*d) Ä-kovariantes holomorphes Tensorfeld aus Os(D). In jeder PolyederumgebungF£(30)C/> wählen wir nach Lemma 3 eine 8- kovariante analytische Fortsetzung #*(j, p) in den Polyzylinder We(i0) mit (2,20) und (2,21). jS sei eine Tensordarstellung vom Range t. Dann ist die Kontraktion von F«^, p) mit t komplexen kontraVariantenVektoren &,..., f4 n (3,5) ö(f, 3, p):= E p) = !f... ff/'"'¦¦¦'"(3, /'1 /'< 1 Liesehe Gruppenund analytische Funktionen 157 = Z-invariant in den Variablen : ...... 3' (f1; ., gt, £ly ., £;„ zv ., zt), homogen vom . . < < r. Grade 1 in fj, ., f f und holomorphfür alle (3', p) mit \ps\ e, 1 g q Ferner gilt: = (3,6) /'"••¦"«(a, p) -^r ¦ • ¦ T^rö^ »• p> • Sei /' die Abbildung der Vektoren 3' £ C(t + ,c + !)re in die entsprechenden Vektor¬ invarianten /i(j'), • . .,I'r-(i')- Wie in dem Beweis von Satz 1 gilt nach dem 1. Hauptsatz der Invariantentheorie und nach dem Satz von Grauert und Remmert für ö(f, 3, p(3)) in einer PolyederumgebungV'e>(fo), 0 < e' < s, von (0, 3„, 0) die Darstellung: = (3.7) Ö(f, 3, P(3)) r &(»)(„) (Jr'(8'))(™>(P(a))(") , (m) (n) die für |pe(ä)| . . ., Die Differentiation von nach . . ein Monom |1; !,. (/'(3'))(m) |1; ., f( ergibt in den Invarianten ^(3), . . ., /r(3), multipliziert mit einem Tensorpolynom — aus den . . • • gebildet Vektoren zv ., z%, eventuell t1( •, Ck (lur L SL(n, C)), und möglicherweiseden numerischen Tensoren e*'1'"1'» (für unimodulare Z) und d'lv bzw. e1" (falls Z = 0(+> (n, C) bzw. Sp(n, C)). Die gliedweise differenzierte Reihe (3,7), die nach (3,5) das Tensorfeld .F' K Schnittflächen Q%(%) £ H°(D, Os), 1 ^ x g K, erzeugte O - Garbe 2K kohärent und wegen (3,8) ist jedes ^-holomorphe Tensorfeld /Ta(3) in D ein Element aus H°(D, 3ft). Aus dem TheoremeB von H. Cartan [2] folgt für ein Holomorphie- gebiet D, daß die Schnittflächen Qf(j), . ..,Q%(b) den Modul H°(D, 92t) über dem Ring H°(D,O) erzeugen. Also ist F*(b) in D global darstellbar als (3.9) fhd^eLWQUb) mit in D holomorphen Funktionen /„(3). Ebenfalls gilt für A £ Z: F«(Ah) = £ S(Ara.F-'(h) = EL(Ab) Q«(Al) a'~x "-1 (3.10) K = ES(A)z{EfMi)Qi'{h)}, a' = 1 « = 1 and da £(/l) nichtsingulär ist, gilt identisch in A £ L und 5 £ D: (3,ii) ^a(8) = Z7*(^a)^'(8). «=1 Daher sind auch die über K = Z r\ U(n) gemittelten Funktionen /x(3): = := ü~x f dAjx(Ab) zulässige Z-invariante holomorphe Koeffizientenfunk- K tionen. Damit ist Satz 2 bewiesen. Literatur [1] Artin, E.: Geometrie Algebra. Interscience. New York 1957. [2] Cartan, H.: Varietes analytiques complexes et cohomologie. Coli, de Bruxelles, 41—55, 1953. [3] — In Algebraic Geometry and Topology. Princeton Univ. Press, Princeton 1957. [4] — In Contributions to Function Theory. Tata Institute of FundamentalResearch, Bombay 1960. [5] Grauert, H., u. R. Remmert: Math. Ann. 136, 245 (1958). [6] Hall, D., u. A. S. Wightman: Dan. Vid. Selsk. Mat. Fys. Medd. 81, No. 5 (1957). [7] Hepp, K.: Diplomarbeit,Zürich 1960 (unveröffentlicht). [8] — Helv. Phys. Acta 36, 355 (1963). [9] Holmann, H.: Math. Ann. 139, 383 (1960); 142, 407 (1961). [10] — Habilitationsschrift, Münster 1961. [11] Mo Dupfee,C. C: Ergeb. Math. 2, 5 (1933). [12] Oka, K.: J. Sei. Hiroshima Univ., Series A, 6, No. 3 (1936). [13] Stein, K.: Math. Ann. 132, 63 (1956). [14] van der Waerden, B. L.: Math. Ann. 95, 706 (1926). [15] — Math. Ann. 113, 14 (1937). [16] Weyl, H.: The Classical Groups. 2^ ed., Princeton Univ. Press, Princeton 1946. (Eingegangenam 3. Dezember 1962) Druck: Brühische Universitätsdruckerei Gießen Lorentz-kovariante analytischeFunktionen Abstract: The structure of the modulc 0^s](ö) of holomorphic tensor fields (transforming accordingto the irreducible representation [r, s] of the propercomplex Lorentz group L+(C)) over A of the ring 0[0lo](D) 0I Z.+(C)-invariant holomorphic functions is investigated. decomposition sj with every F e 0[r>s](Z)) into a finite linear combination of tensor polynomials Qx e 0[,iS](ü) L+(C) -invariant holomorphic coefficient functions is shown to exist (locally) for a large class of domains D. As a generalization of a theorem of Bargmann, Hall and Wightmanit is proved that in such domains each L(+)(C)-mvariantholomorphic function is a strongly holomorphic function of the L(+)(C)-invariants. The results are applied to the Wightman functions of arbitrary spinor fields, for which for instance it is shown that all 3-point functions can be continued into the Källen-Wightman-domain. Finally sufficient conditions for the existence of invariant amplitudes for scattering and production processes are given. § 1. Einleitung Die Methoden der Funktionentheoriemehrerer komplexer Veränderlicher haben in den letzten Jahren zu einem gewissen Fortschritt in der Theorie der Elementar¬ teilchen und ihrer Wechselwirkungen beigetragen. In der allgemeinen Quantenfeldtheorie1)2) haben die physikalischen Grössen (Vakuumerwartungswerte von Produkten von Feldoperatorenim «-Raumbzw. von retardierten und zeitgeordneten Produkten im />-Raum) eindeutige analytische Fort¬ setzungen zu holomorphen Tensorfeldern mehrerer komplexer Vektorargumente, in denen sich Strukturen der Theorie, wie Lorentz-Kovarianz und Lokalität, für gewisse Untersuchungen besonders geeignet ausdrücken (vgl. 3)). In den analytischen S-Ma- trix-Theorien (vgl.4)) postuliert man, durch die Störungstheorie geleitet, Regularitäts- eigenschaften von Feynman-Amplitudenim Raum der komplexen Impulsvektoren auf der «Massenschale»und versucht, von dieser Seite her die Phänomene der relativi¬ stischen Elementarprozessezu verstehen. Die mathematischen Schwierigkeiten bei diesen Untersuchungen sind bekanntlich gross. So beschränktman sich bei den meisten grundsätzlichen Fragen auf das verein¬ fachte Modell eines neutralen Skalarfeldes,in der Hoffnung, dass die Komplikationen für realistische Teilchen mit beliebigen Spins rein algebraischer Natur sind. Wir wer¬ den an der Klasse der Lorentz-kovariantenholomorphen Tensorfelder, die nach dem obigen in einem gewissen Sinne die fundamentalen Grössen der Theorie darstellen, zeigen, wie und unter welchen Bedingungen eine «Reduktion auf skalare Grössen» im mathematisch strengen Sinne möglich ist. 356 Klaus Hepp Genauer sei A -> S(A) eine irreduzible Tensordarstellungder eigentlichen kom¬ plexenLorentz-Gruppe L+(C) (vgl. §2.), und es sei F0((21, ...zn) ein s-Tupel(s = dimS) von = in einem Gebiet flimC4" der komplexenVierervektorenz (z1, ... z„) holomor¬ phen Funktionen, die sich nach der DarstellungS kovariant transformieren: = F«{A zv...Azn) S(A)l- F«'(zv ... z„) (1.1) C('-l£ z e = für alle D und alle A e L+{C) mit A z (A zlt ... A z„) ei)*). Ist A -> S(A) die Einsdarstellung, so heisse F(z) in D /+(C)-invariant. Die Menge Os(D) der in D holomorphen S-koVarianten Tensorfelder (1,1) bildet einen Modul über dem Ring O[0 0](Z>) der in D Z+(C)-invariantenholomorphen Funktionen. Das HauptproblemdieserArbeit ist es abzuklären, wannder ModulOs{D) über dem Ring O[0i0](D) von endlichem Typus ist, das heisst wann es in D endlich viele S-ko- variante holomorphe Tensorfelder Qsx[z) («StandardkoVarianten»)gibt derart, dass sich jede 5-koVarianteanalytische Funktion F e Os(D) in D darstellen lässt als F(*) = (1-2) x-lZU?)Q?M mit Z+(C)-invariantenholomorphen Funktionen f„ e O[0 0](D). Wir werden zeigen (§4.), dass eine solche «Standardzerlegung»(1,2) im allgemeinen nicht überall lokal möglich ist, und werden hinreichende Bedingungen (§ 5.) für die Existenz von lokalen und globalen Standardzerlegungen in Os(D) angeben. In allen Fällen werden die Standardkovarianten ein minimales System von S-kovarianten Polynomen (§3.) sein, von gewissermassen trivialer kinematischer Natur. Damit wendet sich das Interesse den Z+(C)-invariantenholomorphen Koeffizientenfunk¬ tionen zu. Hier werden wir (§5.) ein Theorem von Bargmann, Hallund Wightman5) verallgemeinern und einen kanonischen Zusammenhang zwischen Z(+)(C)-invarianten holomorphen Funktionen und stark holomorphen Funktionen der Z(+)(C)-Invarianten herstellen. Diese Resultatewerden schliesslich (§ 6.) auf die Theorie der Wightman- Funktion und verallgemeinerten retardierten Funktionen und auf das Problem der invarianten 5-Matrixamplituden 7) angewandt. § 2. Tensordarstellungen von £+(C) In diesem Abschnittwerdenkurz die irreduziblen Tensordarstellungender eigent¬ lichen homogenen komplexen Lorentz-Gruppe L+(C), der Gruppe der komplexen unimodularen 4 x 4-Matrizen, die die symmetrische Bilinearform 3 3 (x, y) =X0y°- ^J x" y"= g„„ *" / (2.1) - 27- M 1 /l, V 0 invariant lassen, charakterisiert.Die L+(C) ist isomorph zur eigentlichen komplexen 4-dimensionalenOrthogonalgruppe 0+(4, C) (die hyperbolische Signatur der Metrik *) Durch (1.1) lässt sich F*(z) stets S-kovariantund eindeutig nach L+(C) D analytisch fort¬ Daher sei o.E. D = setzen5). L+(C) D angenommen. Da die Tensordarstellungenvon L+(C) voll- reduzibel sind6), ist ferner die Annahme der Irreduzibilität von S(A) keine Beschränkung der Allgemeinheit. Lorentz-kovarianteanalytische Funktionen 357 g ist nur sinnvoll im Hinblick auf die physikalischen Randwerte im reellen Min- kowski-Raum), und so ergeben sich die irreduziblen Tensordarstellungenleicht mit den Methoden der' klassischen Darstellungstheorie8). Zur quantitativen Diskussion des physikalisch interessanten Falles der L+(C) ist es jedoch vorteilhafter*),sich auf die einfache Struktur der Darstellungstheorie der S L(2, C) ® S Z(2, C), der univer¬ sellen Überlagerungsgruppe der L+(C), zu stützen und im Spinorkalkülzu operieren. Hier gewinnen viele Formeln eine besonders einfache Gestalt, und es wäre möglich, den Aufwand an nichttrivialerkomplexer Analysis durch direkte Abschätzungen zu verkleinern (vgl. Lemma 3 und § 5.). Ordnet man über die Darstellung -{\y H1)' -(.¦"')¦ *-('-•) ,2-21 der Pauli'schen 2 X 2-Matrizen jedem komplexen Vierervektor z eineindeutig und linear eine 2 x 2-Matrix z zu: 3 z<-^z ^ z" a, (2.3) i'-02J dann wird bekanntlich32)10) ein 2 — 1-Homomorphismus von S Z(2, C) (x) S Z(2, C) auf L+{C) gestiftet, indem jedem [A, B) e S L(2, C) ® S L(2, C) die durch A{A,B)z = AzBl (2.4) definierte Transformation A(A, B) e L+(C) zugeordnet wird. Bei diesem Homo¬ morphismusbilden die A(A, Ä) mit der zu A konjugiert komplexen Matrix A genau die Einskomponenteder reellen homogenen Lorentz-Gruppe L\. Es sei 5R[,,'S] der komplexeVektorraum der Spinoren y>0ll... ' »- i / - i eine 2r+I-dimensionale i.a. reduzible Darstellungvon S Z(2, C) ® S L(2, C) gegeben. Auf dem (r + 1) (s + l)-dimensionalen Teilraum &r-*] der in a. und ß symmetrischen Spinoren fa,l...a,rß1...'ß!. ist die Darstellung (2.5) irreduzibel, und alle endlichen stetigen irreduziblen Darstellungenvon S Z(2, C) ® (S Z(2, C) sind vom Typ [r, s] mit ganzen Zahlen r, s 2> 09). Ein wichtiger invarianter Spinor ist die e-Matrix (2.6) 1 -1), die in der Darstellung(2.2) mit i c2 übereinstimmt. Denn wegen A e Ä1 = det (A) e für alle komplexen2x2 Matrizen A ergibt die £-Kontraktionzweier ungepunkteter *) Die wesentlichen Resultate dieser Arbeit lassen sich unabhängig vom Spinorkalkül für alle klassischen komplexen Gruppen beweisen 8). 358 Klaus Hepp oder gepunkteter Indizes eines Spinors wieder einen Spinor von um 2 niedrigerem Rang. Symmetrische Spinoren ipe &r-s] von geradzahligem Gesamtrang r + s = 0(2) und Tensoren T über dem 4-dimensionalenMinkowski-Raum,die sich nach irredu- ziblen Darstellungender L+(C) transformieren, stehen nach den folgenden Formelnin eineindeutiger linearer Beziehung zueinander: i = 1 t''l 7 = 1 (2.7) s— r m«~»=n{^t^...,rk...ßsn ^&^l (r f — s r 2 "11 + + ij (r>s)> #l1...,i..ril(ff^iftr"'«'-i 7-1 % ,.;-1ßs s— r i (2-8) = (o^ T«~"> e (r < s) w(T)ai...^...-ßs ]J= 7J= i 1 ? 1 Die Komplexifikationen aller irreduziblerTensordarstellungenvon L\ sind über die folgende Relation durch Darstellungender S L(2, C) ® 5 L(2, C) vom Typ [r, s], r + s s 0(2), gegeben: r((4 x B)wY*~"" = f[A{A,B)nT(y>y*-T«, (2.9) und das Transformationsgesetzeiner [r, s]-koVarianten Funktion lautet: ... = i^ (yl(^, ß) zlf Ä(A, B) zn) S(A i^fo, ... *„) (2.10) mit £)«'/' »-1 / -1 ^ Als Bausteine für ein minimales Systemvon Standardkovariantenwerdenwir in dem folgenden Abschnitt neben dem Vektor z» noch einige einfache irreduzible Tensor¬ polynomebrauchen. Der Pseudovektor (Zl Az2A zsY ee Bf'"^), (zt)p (za)„ (2.11) von drei Vierervektorenzx, z2, z3 steht über - (zx AZjA z3, zt) = [zlt z2, z3, z4] (2.12) Lorentz-kovarianteanalytische Funktionen 359 mit der Determinante [zlt z2, z3, z4] von zv z2, z3, zt in Zusammenhang. Dabei ist sfivea der total antisymmetrische Tensor vom Rang 4 mit g0123 = 1. Es gilt die Identität: g*p ... gaa • eaßYö ^vea = _det; ; |_ (2.13) Schliesslichsind M±(zlt z2)"v = ~ [*? zl ~z\zi± i e"'^(z1)p (z2)„] (2.14) schiefe selbstduale bzw. antiselbstduale Tensoren vom Rang 2. Über (2.8) erhält man für (2.11) und (2.14) die folgendenSpinorkovarianten: (zt AZ2A 23)a/, = i [(zv z2) (z3)aß + (z2, zs) (z1)a|g (2.15) - (zlt z3) (z2)a/, + (zx szle z3)xß], wobei § für die (separate) totale Symmetrisierung der ungepunkteten und gepunkte- a,ß ten Indizes steht: — • • ¦ • • ¦ ^ ' Ö Va,...ar, ft ...ßs r\ s\ 2-1 W»p(i) ap(r) 0Q(i) %s) ot, /S p- ö mit Summation über alle Permutationen P von (1, ... r) und () von (1, ... s). Schliess¬ lich gilt {zltzt) = -\Sv&e~zZe). (2.18) Im folgendenwerden wir ohne Gefahr von Missverständnissen die Tilde über einem Spinor fortlassen, dessen Transformationsverhaltenohnehin eindeutig durch die Anzahl der a- und /3-Indizes bestimmt ist. §3. I,^(C)-koVariante Polynome Die Klasse der L+(C)-kovarianten Polynome ist in mehrfacher Hinsicht wichtig. Einmal bildet sie die einfachste Familie von L+(C)-kovarianten Tensorfeldern, und die sich hier ergebenden grundsätzlichen Zusammenhänge zwischen der Invarianten¬ theorie und der komplexen Analysis werden später die «kanonische» Struktur des Moduls 0[rsi(D) und der Ringe O[0 01(Z)), O0(D) kennzeichnen. Zum anderen werden wir für jede irreduzible Darstellung [r, s] von L+(C) ein minimales System von ko- varianten Polynomen Q^,s]{z) konstruieren, die den Modul ^ß[rsj(z) der \r, s]-ko- = varianten Polynome in den Variablen z (z1: ... zn) e C4" über dem Unterring ¥o(z) C ^3[o,oj(z) der Z,(C)-invarianten Polynome erzeugen. Dieses Erzeugenden¬ system wird später - nach der «Komplettierung» des Moduls ^8^S](^) zum Modul 0[r, sj(-D) - in gewis"en Fällen für die in D [r, s]-kovarianten analytischen Funktionen 360 Klaus Hepp ausreichen. Schliesslichgewinnen wir hier einen quantitativen Zusammenhang zwi¬ schen L(+)(C)-invarianten Polynomen und Polynomen in den L(+)(C)-Invarianten - eine Illustration der analytischen Strukturen, die wir im § 5. antreffen werden. Man erhält leicht einen Überblick über die algebraische Struktur der Moduln ^B[r s](z) durch die Reduktion von Monomen d (**.)«.*.' zx.e &• ¦¦¦*»} > P-1) 17= % 1 in unter L+(C) irreduzible Komponenten. Ist q0il...anß\...ß ein irreduzibler Spinor der Darstellung [r,s], so zerfällt bekanntlich das Tensorprodukt qai...a,.ßl...ß x za p in die folgenden irreduziblen Terme: ' ' S 1*1...arßi---ßsZ*r + lßs + l ^ ?«i ¦ ¦ ¦ «rÄ •¦• Ä> Z«, + 1 ßs + i £/is ßs + 1 (3.2) ' * z~ . - ä . - £~ ~ . - £r ö S«! •-- «rar ft •...• • Äsft, Z<*>-«,4-1^+ 1 Äs + l1 £°V°V »r+«»¦ 4.11 1a1...xrßl...ßsai <*r + lßs + 1 *r<*r + 1 ßs ßs + 1 zu den Darstellungen[r + 1, s + 1], [r+l,s — l](s> 0), [r - 1, s + 1] (r > 0) und [r — 1, s — 1] (r, s > 0). So zerfällt (3.1) (vgl. Lemma 3) in eine Summe von [r, s]- kovarianten Monomen mit stets r + s = 0(2), in denen gewisse = § {z1 ezlez3e zl)^ ^ (z1( z3) M+(z2, zt)ai ^ + (z2, z4) M+(zlt z3)Xi Sj a - - («1. *2) M,.(z3, ^L, a2 fo. ^) ^+(^1- ^L, «, (3-3) - - (*1, £4) Mf fe> Z3)ai ^ (Z2, Z3) M+fo, Zt)ai a2 ¦ Ebenfalls lassen sich KoVarianten wie M+(zlt z2) M_(z3, zt), [zlt z2, z3, z4] z6, M±(zlt z2) x (z3 A £4 A z5) und (zx A z2 A £3) (z4 A % A z8) singularitätenfrei auf einfachere Kovarian- ten mit Koeffizientenpolynomen in den Skalarprodukten reduzieren. Durch voll¬ ständige Induktion nach d folgt das = Lemma 1: Der Modul ty[TtS]{z), z (zlt ... z„)e Cin, ist über dem Ring Sß0(z) von endlichem Typus. Jedes koVariante Polynom qaß{z) e ty^^z) ist zerlegbar in: q*fc) = jt (a) für r = s + 2t> s: 1 = 1 m-l Ja/3 Lorentz-kovarianteanalytische Funktionen 361 (ß) für s = r + 2 t > r: = z WH*)«* nK)iiM-K.-2m-l' *r + 2r. (3.5b) aß aß (y) für f = s #= 0: #''](*U = S 17 (*«,).,*. (3-5-) = A (3-5d) <&-'\*U S17KUßi/=1 K \+iA v+.Wä- aß ((5) für f = s = 0: = = *'0lW 1, Qf 0](*) K, *„., z„3, zyJ . (3.5e) Hierbei steht a /? für a1( ... ar /?!, ... ßs und *: für alle Kombinationenvon Vierervek¬ toren z„ e {zv ... z„}, die über C verschiedene Standardkovarianten liefern. Für festes [r, s] und w gilt: 1 < x < K — K(r, s, n) < oo. Insbesondere ist also jedes L(C)-invariante Polynom />(^1, . ..z„) als Polynom fi((zi> zj)) ln den r = n (n + l)/2 L(C)-Vektorinvarianten(z;, z,.), 1 <»' = [zv ... zkJ) in den r+ n (n + l)/2 + max 0, I )' L+(C)-Invarianten (zit Zj) und [zki, ... zkt] mit 1 < k1< ... < k4 (*.-,. zj) ¦ ¦ ¦ (*v zj) \ l (*v\) ¦ • • K> z0 l>V ...zl[i][zk...zlt] + det\ : : =0 (3.7) mit 1 < &! < ... < kt < n, 1 < lx < ... < Z4 < n. Aus dem 2. Hauptsatz der Invariantentheorie6)11) folgt, dass alle Polynom- Relationen zwischen den LM(C) Vektorinvariantenauf (3.6) (und (3.7)) zurückge¬ führt werden können: sei in dem der Cr(+) komplexenVariablen z(j (und z^* * *) mit den = = Symetrien ztj zj{ (und z^^ sgnyr X ^„(1) *„(2) *„(3) *„(4)) ein Polynom P(z) gegeben, das bei der Substitution (und **,*.*.*, = K' ZV ZK< Z*J) (3-8) 362 Klaus Hepp für die Vektorinvariantender (zv ... zn) e Cin identisch verschwindet, dann gehört P(z) dem Polynomideal über dem C(+) an, das durch die Relationen (3.6) (und (3.7)) in den Variablen ztj (und zkiksksk) erzeugt wird. Sei IM: Cln -> Cr(+) die Abbildung, die jedem w-Tupel von Vierervektoren ~ zv ... zn die rU) L(+)(C)-Invarianten I[+)(z),... I-r^\iz) nämlich die (zf, z}) und even¬ - tuell die [zki, ... zkt] zuordnet. Man überzeugt sich leicht5)8), dass das 7<+>-Bild des C4n genau die durch die Relationen (3.6) (und (3.7)) definierte algebraische Varietät ?<+) C C<+> ist. Jetzt lassen sich unsere Kenntnisse über die Struktur der Ringe (,13[0>o](2). V(o){z) folgendermassenzusammenfassen: Lemma 2: Zu jedem im Cin(z) Z.(+)(C)-invariantenPolynom P(zlt ...zn) gibt es ein Polynom P(z^, ... Sr(+)) im Cr(+'(z) mit = . P(z1} ... z„) P(I^(z), ... P+^z)) ,Po 7<+)(z) (3.9) Je zwei Polynome P^z), P2(z) definieren dasselbe L(+)(C)-invariante Polynom P{z), falls sie auf I{+) übereinstimmen, das heisst falls ihre Differenz dem durch die Rela¬ tionen (3.5) (und (3.6)) erzeugtenPolynomideal angehört. Man vergleiche mit Lemma 1 und 2 die Sätze 2 und 3 des Abschnittes§ 5! Eine charakteristische Schwierigkeit wird später bei den funktionentheoretischen Untersuchungen auftreten und nur mit nichttrivialen Sätzen der analytischen Garben¬ theorie überwundenwerden können: die Tatsache, dass im allgemeinendie Standard- kovarianten Q^'s\z) nicht global singularitätenfrei fast überall zu einem im Dar¬ stellungsraum y. min [r, s] — x 2 e[;-*J(*i.*a)M = s 17 w 17 w ]J ^i.«.) (3.11) aß aß (0 < x < min {r, s}) linear unabhängig im S^-"'-1, falls zx und z2 linear unabhängig und nicht total isotrop sind (vgl. § 4.). Für n = 3 wird &•"' durch die Standardkovarianten (3.5) aufgespannt, falls die Gram'sche Determinante G(z1, z2, z3) 4= 0 ist. Für die Darstellungenvom Typ [r, r], [2,0] und [0,2] bilden die QlJ's]{z) dann eine Basis. Für Darstellungen [r, s] mit [ r — s | = 2 sind für Gfa, z2, z3) 4 0 die einzigen Abhängigkeitsrelationenüber dem Konstantenkörper C, und zwar von der Art: = 0 . § [z4 M±(z2, z3) + z2 M±(z3, Zl) + z3 M±(zv z2)]a ß (3.12) aß Lorentz-kovarianteanalytische Funktionen 363 Daher kann hier das Erzeugendensystem {Q[Z,s\z)} global und singularitätenfreizu einer Basis von &•s] verkürztwerden. Für | r — s | > 2 treten dann weiter Relationen über ^30(z) auf, wie: § [fo, Zl) M±(z2, z3) M±{z2, z3) + (z2, z2) M±(z3, Zl) M±(z3, z4) a,ß + {z3, z3) M±{Zl, z2) M±(zv z2) + 2(zv z2) M±{z2, z3) M±{z3, 2J (3.13) = + 2(z2, z3) M±{z3, z4) M±(zv z2) + 2(z3, zj M±{zv z2) M±(z2, z3)]aß 0 . Hier ist keine globale singularitätenfreieVerkürzung des Erzeugendensystems mehr möglich. Für n = 4 sind in der Darstellung[0, 0] die Erzeugenden 1 und [zt z2 z3 z4] unab¬ hängig über ^ß0(z) und ebenso in (1.1) die Vektoren zlt z2, z3, z4 und die Pseudovektoren zx A z2 A z3, z2 A z3 A z4, z3 A z4 A z4, z4 A z4 A z2. Sonst existiert hier und für höhere n keine globale Polynombasis von ^'•s\z). Wenn auch die Darstellung (3.4) nicht eindeutig ist, so kann man dennoch Zer¬ legungen angeben, bei denen die auftretenden Terme «nicht zu gross» werden. Ge¬ nauer heisse eine Einheit vom Grade d die [r, s]-KoVariante: d- m e X Qx" (Z)a1...arß1...ßs 11 ^P \Zxm — 1 ZK*m+£a+0 £) a - 1 d-r d- s (3-14) 2 2 X -1", + 2i + 2c + 2c 6-1IJ\+2b c=lII£ßs -1^ = — — = mit w = max {r, s} (bzw. w = r, r + 2 für r s 4 0) und mit d r, d s 0, 2, 4, ... und <2^,s](z) nach (3.5). Der Betrag eines numerischen Faktors vor (3.14) heisse Ge¬ wicht der Einheit. Dann gilt das d Lemma 3: Es gibt eine Reduktion des Monoms 77' (zx)aißi vom Grade d in eine i" i Summe von Einheiten (3.14) vom Grade d und höchstens einem Gesamtgewicht Bd (B < oo konstant, unabhängig von z und d). Der Beweis erfolgt induktiv nach d durch wiederholte Anwendungder Clebsch- Gordan-Reihe. Auf die Bereitstellung der notwendigen Spinoridentitäten (vgl. (3.3)) - sei hier verzichtet, da die Hauptresultatedieser Arbeit - Satz 2 und 3 ebenfalls aus einem allgemeinen Satz von Grauert und Remmert12) (vgl. 8)) gefolgert werden können. § 4. Der Fall n = 1, 2 und ein Gegenbeispiel für n = 3 Lorentz-kovarianteanalytische Funktionen von einer oder zwei Vierervektor¬ variablen lassen stets eine eindeutige holomorphe Standardzerlegung(1.2) zu. Dieser- von H. Araki entdeckte Sachverhalt*)- beruht wesentlich auf der Existenz von *) Ich danke Herrn Dr. H. Araki für die Benutzung seiner Resultate an dieser Stelle. 364 Klaus Hepp IsotropiegruppenG+(z) von L+(C), unter denen auf Grund der L+(C)-Kovarianz (1.1) das Tensorfeld Faß(z) invariant sein muss. Die spezielle Gestalt dieser G+(z)-invarian¬ ten Tensoren liefert zusammen mit der linearen Unabhängigkeit der Standardkova- rianten (3.10), (3.11) für n = 1,2 die Behauptung. Eine Verallgemeinerungdieser Resultate auf holomorphe Tensorfelder mit 3 und mehr Argumentvektoren ist dagegen nicht mehr uneingeschränktmöglich, wie es ein typisches Gegenbeispiel für den Fall n = 3 am Ende dieses Abschnittes illustrieren wird. Satz 1: (H. Araki): a) Alle [r, s]-holomorphen Tensorfelder Faß(z^ von einer Vierervektorvariablen z4 e .Dj C C4 sind eindeutig zerlegbar in der Form: U(zi) QM(zi)aß für r = s W= (4J) [ 0 sonst mit einer in Dx holomorphen L(C)-invariantenFunktion f(z1). b) Für [r, s] -holomorphe Tensorfelder FXß(zlt z2) von zwei Vierervektorvariablen (z4, z2) e D2C C8 gibt es eine eindeutige Zerlegung min {r, s) (4-2) Faß(*l,*!= x-0E U*l.*!Q[:''H*l,*!aß mit in D2 holomorphen L(C)-invariantenFunktionen fx(zly z2). Dem Beweis dieses Satzes schicken wir zwei Hilfssätze voraus: Lemma 4: Sei G+(zx) die Isotropiegruppe von z4, das heisst die Untergruppe der Elemente vonL+(C), die den Vektor z± fest lassen, und sei der Spinor Y>a/j e (5[r's] mit r + s s 0(2) invariant unter G^z-^. Dann ist yaß = 0 für r 4 s oder z1 = 0 und für r = s und zx 4 0 von der Gestalt: Vaß =WS IJ ^)atßf V£C- (4-3) aß '-1 = = = • Beweis:Sei zunächstzt l0 (1, 0, 0, 0) I das heisst z4 I . Dann ist die reelle Orthogonalgruppe 0+(3, R) in drei Dimensionen die Untergruppe der reellen Elemente von G+(z4). 0+(3, R) ist über den Homomorphismus (2.4) das Bild der Paare (U, U) mit UeSU(2,C). Alle irreduziblen eindeutigen Darstellungen von 0+(3, R) sind vom Typ I)A = ... vom f 0, 1, 2 , realisiert durch symmetrische Spinoren Rang (2 /, 0) oder, äqui¬ valent, (0, 2/)9). Daher zerfällt die irreduzible Darstellung [r, s], r + s = 0(2), von L+(C) als Darstellungvon 0+(3, R) wie ein Tensorprodukt: ~ ~ r~ä L>, s] t>'-'2 ® D^'2 X)(r+i);2 © ... © 3) '2. (4.4) Lorentz-kovarianteanalytische Funktionen 365 Ein Spinor y>aß 4 0 aus &*•s] ist also genau dann invariant unter 0+(3, R), falls r = s ist und y>a ß von der Gestalt: V>eC- (4-5) faß=V>S nVo)aiß>'= 1 1 aß Zu einem beliebigen Vektor z4 mit (zv zx) 4= 0 gibt es stets ein A e L+(C) mit z4 = a/1 /0, a. e C Falls ya/^ G+(Zj)-invariant ist, so ist ^-¦S(^'/W (4-6) G+(/0)-invariantund daher von der Form (4.5). Also gilt (4.3), wenn immer (zv zx) 4 0 ist. Ist nun zx 4 0 ein Nullvektor, so kann er immer durch L+(C) auf l = (1, 0, 0, 1) / ~ /2 0\\ I also l = I I transformiert werden. In diesem Fall wird die Untergruppe G+(l) erzeugt durch die Bilder der Elemente von S 1.(2, C) ® SL{2, C): = (A(z),B(ß)) mit , BIß) f ^(«)=(J ") (j (4.7) leif>!i 0 \ (C(0),C(0)) mit C(0) = ( 0 g_s9/2j. Seiy(r2)3 =ipi...i T.^i, /?,... fedie Komponente des G+(/) -invarianten Spinors^a/; G &'¦s], wo r2 der (symmetrischen) Indizes aä = 2 sind. Dann gilt x = V + a'" ¦ (4-8) ((^ (a) 1) v>) (rs)ß E ('* ™)ß( m Damit ya/j unter allen A(a) X 1 invariant ist, ist notwendig und hinreichend: xp (r2 + m)ß = 0 für alle ß und r — r2 > m > 1. (4.9) Daher ist y>(r2)ß = 0 für alle /S ausser für r2 = 0, und aus einem analogen Argument mit 1 x B(ß) folgt das Verschwinden aller Komponenten vonrpaß ausser von ^...i i...i- Schliesslichbedingt die Invarianzunter C(0) X C(6) die Gleichheit r = s. Dies be¬ weist Lemma 1. Lemma 2: Sei G+(z1; z2) die Untergruppe der Elemente von L+(C), die zwei linear unabhängige, nicht total isotrope Vektoren z4, z2 fest lässt. Dann ist jeder G+(z4, z2)- invariante Spinor \paß G ®[,,'s] mit r + s = 0(2) von der Gestalt mm {r, 5} faß- E VMÄV1(Z1.^.3 (410) mit eindeutig bestimmten komplexen Koeffizienten y(«). Beweis: 2 Vektoren zv z2 mit det | (z1( z2) | 4= 0 können stets durch L+{C) in den = = Teilraum werden. durch /„ (1, 0, 0, 0) und l3 (0, 0 , 0, 1) aufgespannten gedreht G+(l0, l3) besteht aus den Elementen A(C(0), C(0)) über den Homomorphismus (2.4). 366 Klaus Hepp Sei y(r±, sx) eine Komponente des Spinors faß e &r-s] mit ^ der a, = 1, sx der ßj = 1. Diese transformiert sich unter G+(Z0, J3) wie folgt: ((C(0) x C(0)) v>) (r1: st) = e«'e/2<2^-^ + s-2s^(f1, Sl) (4.11) Daher folgt aus der G+(l0, /3)-Invarianz von rpaß: r-s (4-12) Im Falle r s ist ;> somit der symmetrische Spinor ya ß eindeutig durch die folgenden s + 1 Komponenten bestimmt: = = (o1,...ar) (1, ...1, 1...1, 2, ...2, 21...2); (#, ... #,) (i, ... 1, 2, ... 2) . (4.13) r-s s- sl r-s ~2" ~~2~ Nun ist = = - - • UM (^tH j Ö« Öl (^)aß Ö« 'l ^ <¦>*- ^ ** + ^ *J Dies ermöglicht die Darstellung: r — s (4.14) 2 x17M+(;o.aj+2,_iaj+2, also: min {r, s) Waß= E VMQ^K^ß- Aus der Gleichheit der Zahl der Komponenten (4.13) und der Anzahl der (£> (zlf z2) folgt die Eindeutigkeit der Darstellungund die lineare Unabhängigkeit der Standard- koVarianten. Ist für lineareunabhängige zlt z2 die Skalarproduktmatrixvom Rang 1, so können zx, z2 durch L+(C) in den von l2 = (0, 0, 1, 0) und l = (1, 0, 0, 1) aufgespannten Teil¬ raum gedreht werden. G+(l2, l) besteht aus den Elementen A(A(x), £(«)) mit (4.7). Sei ip(r2, s2) eine Komponente des Spinors ya/? G &¦s] mit r2 der a,. = 2, s2 der ßj = 2. Dann gilt unter G+(l2, l) r- rz s- s2 {(A(*)xB(*))w)(r2,s2)=X y> (r2 + m, s2+ n) . (4.15) = E «m+\ m #1 0 »= 0 \ Notwendig und hinreichendfür die G+(l2, /)-Invarianz ist: r - r2 s - 5a - + m, + =0 E E n ! y> (r2 s2 w) (4.16) m + n = M Lorentz-kovarianteanalytische Funktionen 367 für 1 < M < r + s — r2 — s2. Setzt man M = 1, so folgt W + 1, = - -ii±l y> (r2, s2 + 1) (4.17) (r2 s2) ' 2 "¦ X und mit s2 = s:y)(r2, s) = 0 für 1 < r2 < r und mit r2 = r: ip(r, s2) = 0 für 1 < s2 < s. Also gilt: 0 für r2 + s2 > min {r, s} = V('2. S2) 2 ^ (4.18) 1)" U) (0, r2 + s2) sonst '2 Wegen /0 _ i\ /2 0 o)aß- {l)«t< \0 0)aß Und ^ß-l[t = - * = i 2 , 2 M+(h, l)ai „ < ^ M_(/2, Z)A A dl dl sind wieder alle G+(l2, l)-invarianten Spinoren eindeutig in der Form (4.10) darstellbar und die Standardkovarianten Q%'s](l2,l) sind linear unabhängig. Dies beweist die Behauptung. Zum Beweis von Satz 3 im Falle n = 1 betrachten wir ein 0 4 zx e Dx und A aus der Isotropiegruppe G^Zj). Dann folgt aus der [r, s]-Kovarianzvon Faß : Faß(zi) = Faß IA *i) = S(A)*j Fa.t.(zJ (4.19) und nach Lemma 1 die Gestalt (4.1) für F^^) mit eindeutig bestimmtem Koeffi¬ zienten f(zx). Eingesetzt in (4.19) folgt aus der Eindeutigkeit von /(z4) die L+(C)-In- varianz und die Holomorphie: für z4 4 0 ist stets eine Komponente a0/30 von Q[r'l\z\) * 0 und daher p . {z\ tM = -# (4-2°) holomorph. Da der Nullpunkt zx = 0 von niederer Dimension ist, folgt die Holo¬ morphie und L+(C)-Invarianzvon f(z1) in ganz Dv Analog schliesst man für n = 2 durch Betrachtung von G+{zlt z2) für linear un¬ abhängige, nicht total isotrope z1, z2. In solchen Punkten folgert man die Zerlegbar¬ keit von F^ßfa, z2) nach (4.3), und, da die Standardkovarianten hier linear unab¬ hängig sind, ist (4.3) eindeutig nach den Koeffizientenfunktionen fx(zt, z2) lösbar. Diese sind daher wieder L+(C)-invariantund holomorphin ganz D2, da die Menge der Ausnahmepunkte nur nach dem Riemann'schen Fortsetzungssatzhebbare Singulari¬ täten beitragen kann. Damit ist Satz 3 bewiesen. Für drei Vierervektorenzx, z2, z3 existieren im allgemeinen keine nichttrivialen' Isotropiegruppen mehr. Falls die Gram'sche Determinate G(z) 4= 0 ist, spannen z4, z2, z3 und zxAz2/\ z3 den 4-dimensionalenkomplexenMinowski-Raum C4 auf. Für G(z) = 0 dagegen liegen z4, z2, z3 und z4 A z2 A z3 in einem durch Einheitsvektoren lv l2, l aufgespannten singulären Teilraum zi = cnl1 + ci2l2 + ci3l (1<*<3) (4.21) = = mit (l{, lj) = -dij, (lf, l) = (l, 1) = 0{1< i, j < 3) und^ A l2 A l a l, a ± 1 je nach der Orientierung der zt. 368 Klaus Hepp Offenbar gilt • zx A z2 A z3 = a det (4.22) • • • ^33 und h) C21 C22 ] C^z) = det det2 (zykl. (4.23) \Z2' ZS (Z3> Z3. C31 C32 Aus (4.22) und (4.23) folgt bei geeigneter Wahl der Zweige von j/Q(z}Tfür G(z) = 0 die L+(C)-invarianteRelation: 2yq(z) *$•-<;(*! A*2Az8r = 0. (4.24) Nach dieser geometrischenÜberlegung lässt sich leicht eine Z.+(C)-kovariante analy¬ tische Funktion F(zx, z2, z3) konstruieren, die nicht in ihrem ganzen Definitionsbereich eine lokale holomorphe Zerlegung gestattet. Offenbar ist G(z)-^ X"a(z) = G(z)~i \E)/Cjz) z'-g (z4 A z2 A z3)" (4.25) holomorphfür alle z mit G(z) Ct[z) 4 0. Ferner ist ein Punkt w mit G(w) = 0 aber 3 t-1[J mit 4 = C,[w) 0 und linear wi + 212 + b. 3 / < i < i-iTT unabhängigen bill1 b{ (1 3) ein regulärer Punkt von {G(z) = 0}. Denn für einen Einheitsvektorl0 mit (l0, l0) = 1, (/„, l) 4= 0, ist die Variablensubstitution (zlt l0) <-> G(z) bei festen restlichen Kom¬ ponenten von z4, z2, z3 biholomorph in einer Umgebungvon w wegen dG(z) -2 A A d{*v (w, !»2 w3, l0 A w2 A w3) b„ ... 6, "21 "22 (4.26) = 2(l0, l) det det 4=0. "31 • • • "33 "31 "32 Daher ist in einem solchen Punkt w G^1(z) X%(z) holomorph, obwohl die eindeutig bestimmten (vgl. § 3.) L(C)-invariantenKoeffizientenfunktionen G~1(z) ]/Cjz) und G~1(z) dort singulär werden. Dieses Gegenbeispiel ist typisch für alle Darstellungen [r, s] für n > 3. Ein Punkt (z1: ... zn)eCin heisse regulär, wenn der Rang rz seiner Skalarprodukt- matrix Z = ((zf, z})) gleich der Dimension des durch ihn aufgespannten Teilraums Ein gemischterTensor wie G(z)~1 Xß+(z) X"_(z) muss jedoch nach dem Riemann'- schen Fortsetzungssatz in ganz U(a>°) holomorph sein, da für dim G(z)-^ X"+ X'_ = G-1 ~Aik) S(zt, zkY" i, £k - 1 ((/Q ]/ck + {(*» zk) M+(z2) z3y' + (z2, zk) j/c, MAh, Z,Y' 'g1 hE= 1 ick + (z3,zk))/CkM+(z1,z2y*} (4.27) - {(«i. **) M-(z*. Z*YV + (z2, h) \'Ck MAz3, zj" -2J- Ä=E1 iC* + (z3,h)^ckMAz1,z2y*} i,k-l Dabei ist S(z{, z,.)1'" = 1/2 (zf z\ + z\ zßk) - 1/4 gßV{zi, zk) der irreduzible symmetrische Tensor vom Rang 2 mit verschwindender Spur und Aik das Komplement zu (z,-, zk) in der Skalarproduktmatrix der zlt z2, z3. Die Holomorphie der L(C)-invarianten Koeffizienten in U(w°) folgt aus den Relationen: j/Qz) ]/ckJz) - 0 . Z(zpzk)fCk(z) für G{z) (4.28) Die Diskussion dieses Beispiels zeigt also, dass man für n > 2 keine holomorphe lokale Standardzerlegbarkeit mehr beweisen kann, wenn nicht zu jedem Punkt z im Definitionsbereich D ein regulärer Punkt z° mit gleichen L+(C)-Invariantenenthalten ist. Ferner ist nicht jedes System von invarianten Koeffizientenfunktionen in D singularitätenfrei,jedoch wird im nächsten Abschnitt für eine grosse Klasse von Z+(C)-invariantenGebieten D wie in (4.27) die Existenz einer lokalen holomorphen Zerlegung in Standardkovarianten bewiesen. § 5. L+(C)-koVariante analytischeFunktionenin /(+)-saturierten Gebieten Das Gegenbeispiel im letzten Abschnitt zeigte, dass im Falle n > 2 zusätzliche Voraussetzungen an den Definitionsbereich D zu fordern sind, damit jedes in D holomorphe Z.+(C)-kovariante Tensorfeld überall eine lokale holomorphe Standard¬ zerlegung erlaubt. Als notwendig erwies sich dabei die Bedingung, dass D zu jedem Punkt zeD einen regulären Punkt z° mit gleichen £+(C)-Invariantenenthält oder, äquivalent B), dass D saturiert ist bezüglich der Abbildung /+ (vgl. § 3.) in die In¬ variantender Gruppe /-+(C): D = (/+)-1 o I+(D). (5.1) 370 Klaus Hepp In J+-saturierten Gebieten D gelten analog zu den Resultatenvon Bargmann, Hall und Wightman (6), Lemma 2 und 3). Sätze über den Zusammenhang von Lorentz- Bahnen und -Invarianten und über die Struktur der Abbildung 1+: C4" -> C* (vgl. 8)18)). Es zeigt sich, dass I+(D) eine algebraische Menge in einem Gebiet G C Cr+ ist, die in jedem Punkt von G als das genaue simultaneNullstellengebilde der Polynome (3.6) und (3.7) charakterisiert ist. Während es auf algebraischen Mengen M C G C C""' im allgemeinenverschiedene inäquivalente Holomorphiebegriffe(«komplexe Strukturen») gibt*)12), kann man für I+(D) beweisen, dass alle diese komplexen Strukturenzusammenfallen und jede auf I+(D) holomorphe Funktion lokal in eine konvergente Potenzreihein den Variablen zü< zklk,k k, (V£L § 3.) des umgebenden Raumes Cr*(z) entwickelbar ist («starke Holomorphie»), das heisst I+(D) ist in G C Cr* eine normale algebraische Menge. Der an anderer Stelle 8) gebrachte Beweis stützt sich auf klassische Sätze der In¬ variantentheorie (vgl. § 3.), auf einen Approximationssatz für kovariante analytische Funktionen in 7+-saturierten Gebietendurch kovariantePolynome (8), Lemma 3) und auf ein Theorem von Grauert und Remmert12). Dabei ergibt sich in Verallgemeine¬ zu 3. ein kanonischer rung § Isomorphismus zwischendem RingO[0 0] (D) der auf D holo¬ morphen L+(C)-invariantenFunktionen und dem Ring 0(I+(D))der auf 1+(D) holo¬ morphen Funktionen in den L+(C)-Invarianten: Satz 2: Zu jedem J+-saturierten Gebiet D C Cin ist die L+(C)-Invariantenvarietät I+{D) eine normale algebraische Menge in einem Gebiet G C Cr*. Jeder auf D holomorphen L+(C)-invariantenFunktion / entspricht genau eine auf I+(D) (stark) holomorphe Funktion / mit /(z)=/o/+(z). (5.2) Bemerkungen: 1. Der gleiche Satz liefert in sinngemässer Abänderung für die volle komplexe Lorentz-Gruppe L(C) eine Verallgemeinerungeines Theoremsvon Bargmann, Hall undWightman6) auf /-saturierteGebieteD, ebenfallsmit starkerHolomorphieauf7(D). 2. Eine auf einer algebraischen Menge M C G C C* (allgemeiner auf einer ana¬ lytischen Menge M C G C C*, die in jedem Punkt z G G das genaue simultane Null¬ stellengebildevon in z lokal holomorphen Funktionen ist) stark holomorphe Funktion /(z) ist also lokal Spurfunktion einer im volldimensionalen C* holomorphen Funktion, das heisst zu jedem z° e M gibt es eine volldimensionale Umgebung U(z°) C C* und eine in U(z°) im gewöhnlichen Sinne holomorphe Funktion g(z) mit = /(z) g(z) für alle z e U{z°) D M . (5.3) Zwei in U(z°) holomorphe Funktionen g^z), g2(z) definieren auf U(z") D M die gleiche stark holomorphe Funktion, falls sie dort übereinstimmen (vgl. Lemma 2). Damit ist eine auf M C G C C* stark holomorphe Funktion eine Äquivalenzklasse von in G *) z.B. ist die von Bargmann, Hall und Wightman5) für eine in der «ausgedehnten Röhre» %'n holomorphe L(C)-invariante Funktion / bewiesene komplexe Struktur als Funktion/auf der Skalarproduktvarietät9Jfn die sogenannten «schwachen Holomorphie»: /ist auf 9Jtn stetig und in den gewöhnlichen Punktenvon 9Jfn (wo 9Jfn komplexe Mannigfaltigkeit ist) holomorph im klassi¬ schen Sinne. Lorentz-kovarianteanalytische Funktionen 371 lokal holomorphe Funktionen. Falls G holomorphkonvexist, folgt aus einem tiefen Satz der komplexen Analysis14), dass es eine in ganz G holomorphe Funktion gibt, deren Spur auf M f ist. Dies eröffnet eine eventuell interessante Perspektive im folgenden Abschnitt. Für den Modul Olrs](D) wurde in 8) mit den gleichen Methoden bewiesen: Satz 3: Jedes in einem 7+-saturierten Gebiet D [r, s]-holomorphe Tensorfeld Fa ß(z) lässt sich lokal zerlegen = (5.4) Faß(z) x-lEloIAz)Q^\z)aß in die Standardkovarianten (3.5) der Darstellung[r, s] und in auf I+(D) lokal (stark) holomorphe Funktionen fx. Ist D holomorph-konvex, so wird durch die Standard¬ kovarianten {Q[Hr's]{z)} der Modul 0[r_s](D) über dem Ring O[0i0](D) ~ 0(I+(£>)) endlich erzeugt (das heisst eine Darstellung (5.4) gilt global in D). In Verallgemeinerungvon Lemma 1 kann man zeigen, dass 0[rs](D) in /-saturier¬ ten holomorph-konvexen Bereichen (L(C) zerfällt in 2 disjunkte Komponenten) D bereits über dem Unterring O0(D) der L(C)-invariantenFunktionen endlich erzeugt - ist. Dazu muss man - wie es auch in den Beweisen von Satz 2 und 3 möglich ist das Theorem von Grauert und Remmert durch eine explizite Abschätzung der appoxi- mierenden Polynome (vgl. Lemma 3) ersetzen. Dann erhält man den Satz 3': In jedem /-saturierten holomorph-konvexen Bereich D wird der Modul Otr?si(D) über dem Ring O0(D) ^ 0{I{D)) durch die Standardkovarianten {Qi'-^iz)} endlich erzeugt. Insbesondere gilt stets in /-saturierten Bereichen eine lokale Stan¬ dardzerlegung K = (5-5) Faß(z) x-lEL°mQZ'H*U mit auf I(D) lokal (stark) holomorphen Funktionen fx. Speziell erlaubt jede L+(C)-invarianteholomorphe Funktion hier eine Zerlegung m = /"(*) + t^z) z>~ ^ (5-6) A-lE \-\ zJ mit (lokalen) L(C)-invariantenholomorphen Funktionen. In gewissen Fällen, wo die Standardzerlegungeindeutig ist (vgl. § 3.), kann man auf die Holomorphiekonvexität des Bereiches D verzichten und allgemeiner beweisen: Satz 4: Sei D ein /-saturiertes Gebiet im C4". Dann wird der Modul 0(,;S](D) über dem Ring O0(D) durch die Standardkovarianten (3.4) erzeugt, falls n = 1 oder 2 ist (vgl. Satz 1) und ferner bei n = 3 für Darstellungen [r, s] mit j r — s | < 2 und bei n = 4 für [r, s] = [0, 0] oder [1,1]. Schliesslich sei noch bemerkt, dass die Sätze dieses Abschnittes ihre Gültigkeit behalten, falls man statt /<+»-saturierte GebieteD C Cl" /(+)-Urbilder M von analy¬ tischen Mengen in Gebieten G C Cr(+) und überall die stark holomorphe Strukturbe¬ trachtet. Ein typisches Beispiel ist die « Massenschale»Mim Raum C4 " der komplexen Impulsvektoren (px, ... p„), definiert durch n (h.Px) = ml (l = = - V {(Pi, ¦ ¦ ¦ Pn-i)¦ (fit. fit) ™l 1 < i < » 1} (5.8) als das genaue Nullstellengebilde eines Polynoms (Pl+ ¦¦¦+ Pn-l, Pl+ ¦¦¦+ Pn-l) - K (5-9) charakterisieren, dessen Singularitätenmengemindestens 2-codimensionalist. Daher n- 1 ist für *»,•=•= 0 die «Massenschale»M eine normale algebraische Menge im C4" auf »-117 Grund eines Satzes von K. Oka15). In diesem Fall ist die Forderung der starken Holo¬ morphie von selbst erfüllt. § 6. Anwendungen Wie wir es schon in der Einleitung ausgeführt haben, dient die vorliegende Unter¬ suchung der Aufklärung des Zusammenhanges von L+(C)-kovariantem Transforma¬ tionsverhalten und Analytizitätseigenschaften in relativistischenTheorien. Ein mathematisch klar umrissenes Anwendungsgebiet liegt in der allgemeinen Quantenfeldtheorievor. Dazu betrachtenwir eine lokale relativistische Quantenfeld¬ theorie im Wightman'schenSinne1)3) mit temperierten Feldoperatordistributionen y>^(x) (k = 1, 2, 3 ...; 1 < n < nk) in einem Hilbert-Raum § und speziell mit dem relativistischenTransformationsgesetz U(a, A) xpf(x) U{a, A)-1 = S^(A-\ I-1); y>f (A x + a) (6.1) für (a, A) aus der universellen Überlagerungsgruppe P+ der inhomogeneneigentlichen orthochronen reellenLorentz-Gruppe P+, wobei A = A(A, Ä) nach (2.4) definiert ist und (a, A) -> U(a, A) eine stetige unitäre Darstellungvon I\. in § ist und (A,B)^ SW(A,B) (6.2) eine o.E. irreduzible Darstellung[r, s] von S L(2, C) ® S L(2, C). Dann sind bekanntlichdie Vakuumerwartungswerte = ¦ ¦ • st:::*:(*„. • • • *„) (ß, y£>(*.») v>%?M ß) (6-3) als temperierte Distribution in den Differenzvariablen f. = xi — xt _lt 1 < i < n, Randwerte von holomorphen Tensorfeldern W*°;;;*£(fi, ¦•¦ £„), den «(w+1)- Punkt-Funktionen». Nach einem Satz von Bargmann, Hall und Wightman5) ist W*°0A^"(Ci. ••• Cn) zunächst holomorphin der «ausgedehnten Röhre»3^: X^ = {ß1,...tn):3(&,...Q,AeL+(C) mit / m £ e V+, £; - A Q (6.4) (V+ sei der Vorkegel im reellen4-dimensionalenMinkowski-Raum) und transformiert sich dort L+(C)-kovariant für (A, B) e S L[2, C) ® S L{2, C): Lorentz-kovariante analytische Funktionen 373 Wk-->M(A,B)tx,...A(A,B)Q | = S^(A, B);:... SM(A, B)H W\-;:X(£1( ... C„). j Die Wightman-Funktionenzu zweideutigen Darstellungen(6.5) verschwinden iden¬ tisch, währendsich die anderen eindeutig analytisch und L+(C)-kovariantin die Ver¬ einigungder «permutiertenRöhren»%l = U P(g) Z'n fortsetzen lassen1)3)13). Die Gebiete Z'n und Z„ sind /-saturiert. 'B + 1 Aus unseren Untersuchungen folgt zunächst eine lokale Standardzerlegung(jeder irreduziblen Komponente) von W^'-^id, ...£„) nach Satz 3. Die Wightman-Funk¬ tionen zu Darstellungenvom Typ [0, 0] sind speziell stark holomorphauf der Z.+(C)- Invariantenvarietät I+(Z%) und erlauben lokal eine Zerlegung nach Satz 3, während man jeder L(C)-invarianten Wightman-Funktion in kanonischer Weise eine auf 9Ji£ = I{Z„) stark holomorphe Funktion in den Skalarprodukten zuordnen kann. Stets konvergiert lokal eine Potenzreihein den Invarianten. Für die 2- und 3-Punktfunktionen ist nach Satz 4 stets eine eindeutige Standard¬ zerlegung in ganz Z% möglich mit holomorphen Koeffizientenfunktionen in dem Gebiet 9JC der Skalarprodukte (n = 1, 2). Wendet man das Fortsetzungsverfahren von Källen und Wightman16) oder Ruelle17) zur Berechnung der Holomorphie- hülle §(SR^) auf diese Funktionen an, so ist bekanntlich das Resultat trivial für n = 1, und für n = 2 folgt unmittelbar der Satz: Die 3-Punkt-Funktionen IT^/'^Ci, f2) von 3 lokalen Spinorfeldern Vit0'W- vtl(xi>' V^'W lassen sich stets eindeutig analytisch und L(+)(C)-kovariant in das Källen-Wightman-Gebiet /_1(§(iD{2°)) fortsetzen. Aus der Diskussion der Randhyperflächen der ausgedehnten Röhren Z'n und der Skalarproduktvarietät93?„ (i3)w)i8-22)) folgt bis heute, dass alle Z'n mit n < 4 Holo- morphiegebiete sind. Nach Satz 3' existieren in diesen Gebieten für die Wightman- Funktionen globale holomorphe Standardzerlegungen. Für n > 4 ist die SkalarproduktvarietätMn eine algebraische Menge in einem GebietG C Cn <" +1)/2. Aus der Charakterisierung der RandpunktevonWnnach Källen und Wightman16) und Jost18) folgt, dass man als G das /-Bild Wn der ausgedehnten Röhre %% von n n-Vektoren wählen kann. Denn der eingehenden Analyse von Wightman in 13) folgend kann man zeigen, dass die Randpunkte in B\ = d%l n d%X (6.6) als spezielle Randpunkte von %\ (mit jeweils verschwindenden letzten n — 4 Kom¬ ponenten) durch keine «-dimensionale komplexe Lorentz-Transformation in das Innere von X" gedreht werden können, und daraus folgt 16), dass 9K„ in Wn abge¬ schlossen und damit algebraisch ist23). Daher ist X'n Holomorphiegebiet,wenn man beweisen könnte, dass ZI' oder, äquivalent nach einem Satz von Ruelle24), 9ft* Holomorphiegebiet ist. Aus der letzteren Tatsache liesse sich weiter schliessen, dass — sich die L4(C)-invarianten Wightman-Funktionen Wk" h"{£1, ... Q von n + 1 Skalarfeldern holomorph und L"(C)-invariant in die ausgedehnte Röhre ZI' von n w-Vektoren fortsetzen liessen. Dies folgt unmittelbaraus der Bemerkung in Anschluss an Satz 2 in § 5., sogar mit zusätzlichen Aussagen über das Wachstum der (nicht ein¬ deutig bestimmten) analytischen Fortsetzungen(25), Seite 240). Man hat nur zu be- 374 Klaus Hepp • • nutzen, dass dann Wk"¦ kn(tlt ... f„) holomorphist auf der in dem (hypothetischen) Holomorphiegebiet 9JJ" normal eingebetteten algebraischen Menge 931„. Auch für die verallgemeinerten retardierten Funktionen (26-28)) von Spinorf eidern yjf^ existieren lokale Standardzerlegungenim komplexenImpulsraum. Als zweite wichtige Anwendungunserer Methoden untersuchen wir das Problem der invarianten Amplituden in einer S-Matrix-Theorie4). Das S-Matrix-Element eines Wechselwirkungsprozessesvon k einlaufenden und n — k auslaufendenTeilchen der Impulse/); und der Spinzustände <.(£,-) (auf eine zusätzliche Isospin-Multiplizität werde hier nicht eingegangen) ist im wesentlichen gegeben durch die Feynman- Amplitude2)29): g(0,«) = 5(0, .../>„, «\ ...«") | = <(0x) •¦•<(**) ^...aSPl. -P») <^x(fik,l) ¦¦¦ = mp, «) An(P) Bn(P, a) . (6.8) E- n 1 Dabei soll das Invariantensystem möglichst minimal sein und den physikalischen Nebenbedingungen genügen (zum Beispiel (i y p{ + mt) n; = 0 für Spin 1/2-Teilchen und p. e{ = 0 für Spin 1-Teilchen). Die Existenzeiner Zerlegung (6.8) lässt sich formal (das heisstohne Rücksicht auf Konvergenz) aus der Störungstheorie plausibel machen7). Ferner existieren Vor¬ schriften, wie man in gewissen konkreten Fällen einen Zerlegungsansatz (6.8) mit vorgegebenen Invarianten Bn(p, a) auf die Abwesenheit von «kinematischen» Singu¬ laritäten prüfen kann30). Aus den vorliegenden Untersuchungen bietet sich nun für /(+)-saturierte offene Mengen D C M die folgende allgemeine und von der Störungstheorie unabhängige lokale Lösung dieser Aufgabe an: man zerlege das in D stark holomorphe Tensorfeld Lorentz-kovarianteanalytische Funktionen 375 (vgl. die Bemerkungen am Ende von § 5. über M) lokal in Standardkovarianten der irreduziblen Komponenten von <$"( Ich wurde am 11. Dezember 1936 in Kiel (BundesrepublikDeutschland)geboren. Die Volksschulebesuchteich in Leipzig und Hamburg, anschliessend dort das «Johan- neum» und später die «Kieler Gelehrtenschule», und Ostern 1956 legte ich das Abitur am «Schillergymnasium» in Münster ab. An der Universität Münster studierte ich Mathematik, Physik und Chemie, und im Herbst 1958 bestand ich die Vordiplom¬ prüfung in Physik. Ostern 1959 trat ich in die Abteilungfür Mathematikund Physik an der Eidg. Technischen Hochschule ein und erwarb dort im Herbst 1960 mit einer Arbeit in theoretischer Physik bei Herrn Prof. Dr. R. Jost das Diplom als Physiker. Seitdem befasste ich mich, erst mit Unterstützung des Schweizerischen Nationalfonds (KAW) und später als Assistent am Seminar für theoretische Physik der ETH,unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. R. Jost mit Problemen der allgemeinen Quanten¬ feldtheorie. Aus diesem Fragekreis ist die vorliegende Promotionsarbeit entstanden.