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Matrices Cuaterniónicas

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Matrices Cuaterniónicas Traballo Fin de Grao Matrices Cuaterniónicas Esteban Manuel Gómez Castro 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Matrices Cuaterniónicas Esteban Manuel Gómez Castro 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Título: Matrices cuaterniónicas Breve descrición do contido El álgebra lineal sobre los cuaternios presenta algunas características originales que la diferencian de los casos real y complejo. En este trabajo se abordarán algunos trabajos recientes donde se definen la matriz adjunta, la regla de Cramer, la descomposición en valores singulares o la inversa de Penrose en este contexto. Recomendacións Referencias: Determinantal representations of the Moore-Penrose inverse over the quaternion skew field and corresponding Cramer’s rules. I.I. Kyrchei, Linear Multilinear Algebra 59.No.4,413-431 (2011). Outras observacións iii Índice general Resumen vii Introducción ix 1. Cuaternios 1 1.1. Propiedades básicas . .2 1.2. Cuaternios Similares . .3 1.3. Matriz Asociada . .6 2. Matrices Cuaterniónicas 9 2.1. Matriz Asociada . .9 3. Determinantes 13 3.1. Determinante de Study . 13 3.2. Unicidad del determinante . 15 3.3. Determinante de Moore . 19 4. Matriz Inversa 23 4.1. Determinante por filas . 23 4.2. Determinante por columnas . 25 4.3. Caso de las Matrices Hermíticas . 27 4.4. Cálculo de la inversa de una matriz . 29 Bibliografía 33 v Resumen El álgebra lineal sobre los cuaternios presenta algunas características originales que la diferencian de los casos real y complejo. En esta memoria se abordan algunos trabajos recientes donde se estudian el determinante de Study, el determinante de Moore, y la matriz adjunta e inversa. Abstract Linear algebra on quaternions has some original characteristics that differentiate it from real and complex cases. In this report some recent works are explained shown where the determinant of Study, the determinant of Moore, and the adjoint and inverse matrix are studied. vii Introducción Los cuaternios son el primer ejemplo de un cuerpo no conmutativo. Fueron introducidos por Hamilton en 1843. En la actualidad siguen siendo muy importantes sus aplicaciones en ingeniería. El álgebra lineal sobre los cuaternios presenta algunas características originales que la diferencian de los casos real y complejo. Se sabe que la mayor parte de los resultados usuales siguen siendo válidos cuando se pasa a espacios vectoriales sobre un cuerpo no conmutativo. Sin embargo, hay una parte de la teoría donde la conmutatividad juega un papel esencial: la teoría de los determinantes. n×n La cuestión de extender el determinante del espacio C de las matrices complejas al n×n espacio H de las cuaterniónicas ya fue considerada por Cayley, sin éxito, en 1845. De n×n n×n hecho no existe ningún funcional multiplicativo H ! H que coincida con det en C . Lo que ahora se considera determinante canónico fue introducido por Study en 1920, y es + un funcional multiplicativo pero con valores en R , que extiende a j det j (el módulo del determinante complejo). Dieudonné demostró, en 1943, que el determinante de Study es el único, salvo un exponente, funcional real F que cumple las siguientes propiedades: 1. Es multiplicativo, F(AB) = F(A)F(B) 2. Una matriz A es inversible si y sólo si F(A) 6= 0. 3. F no cambia si a una columna se le suma un múltiplo por la izquierda de otra columna. La fórmula clásica para el determinante complejo, basada en sumatorios y permutacio- nes, no permite por tanto definir un auténtico determinante. Sin embargo, Moore demostró en 1922 que está bien definida para las matrices Hermíticas, aunque el funcional resultante no es multiplicativo. De hecho el determinante de Study de A coincide con el determinante de Moore de la matriz Hermítica asociada AA∗. Más recientemente, en 2008, Kyrchei probó que es posible adaptar el determinante de Moore para desarrollar el determinante de Study por filas o por columnas, como en el caso ix x INTRODUCCIÓN clásico. Esto permite definir la matriz adjunta o de cofactores, y da un método explícito para calcular la inversa de una matriz cuaterniónica. El contenido de este trabajo es como sigue: En el primer capítulo aclararemos las nociones más básicas de los cuaternios, así como el producto de estos, definiremos el conjugado de un cuaternio y estudiaremos los cuaternios similares.Para acabar veremos los cuaternios en su foma compleja, así como la matriz compleja asociada, y las distintas propiedades que tiene. En el segundo capítulo comenzamos definiendo la matriz compleja asociada a una matriz cuaterniónica . También estudiaremos distintas propiedades de esta última matriz. Más adelante, en el tercer capítulo, estudiaremos dos importantes determinantes con valores reales. Uno de ellos es el determinante de Study. Con la ayuda de un artículo de Nir Cohen and Stefano De Leo, "The Quaternionic Determinant"[6], veremos que no hay ningún otro funcional que nos de el mismo valor. El segundo es el determinante de Moore, que cobrará importancia en el último capítulo. Por último en el capítulo 4 estudiaremos una serie de resultados aportados por el matemático Ivan Kyrchei [2], que introducen el concepto de determinante desarrollado por una fila o una columna, con el fin de desembocar en el cálculo de la inversa de una matriz cuaterniónica Capítulo 1 Cuaternios 2 De alguna manera podemos ver a C y a R como el mismo conjunto. Si lo tratamos como 2 un espacio vectorial estaremos hablando de R , cuyos elementos son vectores, mientras que estaremos pensando en C si lo vemos como un cuerpo, siendo sus elementos los números 4 complejos. Lo mismo pasa con los cuaternios, que denotaremos por H y R . Siendo 1, i, j y k los elementos de la base canónica de los cuaternios, representaremos un vector del siguiente modo: t + xi + yj + zk En este primer capítulo aclararemos las nociones más básicas de los cuaternios, así como el producto de estos, definiremos el conjugado de un cuaternio y estudiaremos los cuaternios similares.Para acabar veremos los cuaternios en su foma compleja, así como la matriz compleja asociada, y las distintas propiedades que tiene. Si la condición que teníamos en los complejos era que i2 = −1, ahora en los cuaternios tenemos la siguientes: i2 = j2 = k2 = −1 ij = k; jk = i ki = j; ji = −k kj = −i; ik = −j Los cuaterniones son un ejemplo de cuerpo no conmutativo. La multiplicación es asociativa y todo cuaternio no nulo posee un único inverso. La multiplicación de los cuaternios no es conmutativa.Veamos esto con un ejemplo. Ejemplo 1.1. (No conmutatividad de los cuaternios ) Sean q = 1 + 3i + 2j y q0 = 2i − k q0q = 2i + 6i2 + 4k − k − 3j + 2i = −6 + 4i + 3k − 3j 1 2 CAPÍTULO 1. CUATERNIOS qq0 = 2i − k + 6i2 + 3j − 4k − 2i = −6 + 3j − 5k 1.1. Propiedades básicas Definición 1.2. Sea q = t + xi + yj + zk un cuaternio, entonces definimos su conjugado como q¯ = t − xi − yj − zk: Proposición 1.3. Sea q un cuaternio y q¯ su conjugado. Entonces, qq¯ =qq ¯ = jqj2 = t2 + x2 + y2 + z2 Corolario 1.4. La anterior proposición tiene las siguientes consecuencias: (1) Si q 6= 0, entonces tiene inverso: q¯ q−1 = jqj2 (2) q1q2 =q ¯2q¯1 (3) q +q ¯ = 2<(q) (4) Todo cuaternio q es solución de la ecuación: r2 − 2Re(q) · r + jqj2 = 0 Demostración. (1) qq−1 = qq¯ = 1 = q−1q jqj2 0 0 0 0 (2) Sean q1 = t + xi + yj + zk y q2 = t + x i + y j + z k. 0 0 0 0 Sus conjugados son q¯1 = t−xi−yj−zk y q¯2 = t −x i−y j−z k. Entonces, tenemos, 0 0 0 0 0 0 0 0 q1q2 = t t − t xi − t yj − t zk − txi − x x + xyk − xzj − ty j − y xk − y y+ y0zi − tz0k + z0xj − z0yi − z0z = (tt0 − xx0 − yy0 − zz0) − (tx0 + xt + yz0 − zy0)i− (ty0 − xz0 + yt0 + zt0)j − (tz0 + y0x − x0y + zt0)k = t0t − t0xi − t0yj − t0zk − txi − x0x + xyk − xzj − ty0j − y0xk − y0y+ y0zi − tz0k + z0xj − z0yi − z0z = q¯2q¯1 (3) TRIVIAL 1.2. CUATERNIOS SIMILARES 3 (4) Sea q = t + xi + yj + zk Hagamos primero q2. q2 = (t+xi+yj+zk)·(t+xi+yj+zk) = t2 +txi+tyj+tzk+txi−x2 +xyk−xzj+ tyj−xyk−y2 +yzi+tzk+zxj−zyi−z2 = (t2 −x2 −y2 −z2)+(2tx)i+(2ty)j+(2tz)k Teniendo en cuenta que 2<(q)·q = 2t2 +2tx+2ty+2tz y que jqj2 = (t2 +x2 +y2 +z2). Entonces, finalmente, q2−2Re(q)·q+jqj2 = (t2−x2−y2−z2)+2txi+2tyj+2tzk−(2t2+2txi+2tyj+2tzk)+(t2+x2+y2+z2) = 0 Por tanto, podemos afirmar que q es solución de la ecuación dada. Añadamos, a raíz de lo anterior, algunas propiedades aparentemente evidentes pero importantes: Proposición 1.5. Se cumple lo siguiente: <(¯q) = <(q) jq¯j = jqj <(q1q2) = <(q2q1) jqj−1 = jq−1j jq1q2j = jq1j jq2j Demostremos la última propiedad: 2 2 2 2 jq1q2j = (q1q2)(q1q2) = (q1q2)(q ¯2q¯1) = q1(q2q¯2)q ¯1 = q1 jq2j q¯1 = jq1j jq2j Esto pasa porque los reales conmutan con los demás cuaternios 1.2. Cuaternios Similares Definición 1.6. Dos cuaternios q y q0 son similares si existe un cuaternio r 6= 0 tal que q0 = rqr−1. Ejemplo 1.7. Los vectores i y j, son similares : j = rir−1 4 CAPÍTULO 1. CUATERNIOS Sea r = i + j vemos que se cumple jr = ri , −k − 1 = −1 − k Teorema 1.8. Dos cuaternios q y q0 son similares si y solo si: Tienen la misma parte real y tienen el mismo módulo Demostración. ())Sean q y q0 cuaternios similiares, con lo que q0 = xqx−1.
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