C&O Wickelfalz.Indd
Total Page：16
File Type：pdf, Size：1020Kb
einander liegende Punkte unterschiedliche Ergebnisse. Daraus lassen sich in der komplexen Zahlenebene sehr anmutige Bilder 1. Satz - Form 3. Satz – Algorithmus berechnen. Die Abbildung zeigt das Bild zu f(z) = z³-1. Der Koordinaten-Ursprung liegt in der Bildmitte. Wie bei der Man- Gitterwürfel Belousov-Zhabotinsky-Zellautomat delbrot-Menge werden die Punkte je nach der Geschwindigkeit Statisches Array aus Würfeln Evolutionäre Kunst ihrer Konvergenz eingefärbt (dunkel = schnelle Konvergenz). Symmetrie: Kaleidoskop 3D Diffusionsbegrenztes Wachstum Charakteristisch für die Newton-Fraktale sind Schnüre aus Voronoi-Diagramm Gekoppelter Zellautomat schleifenförmigen Mustern; eine Ausschnittvergrößerung Platonische Körper: Zykloid zeigt, dass die „Schnüre“ aus ähnlichen Schleifen bestehen. Hexaeder 2D Diffusionsbegrenztes Wachstum Tetraeder Das vorangegangene untere Bild zeigt einen Ausschnitt mit Rabinovich-Fabrikant-Gleichung Oktaeder 30facher Vergrößerung aus dem Oberen, an der Stelle zwischen Ikosaeder Reaktionsdiffusionssystem: den beiden oberen Nullstellen berechnet. Es erinnert an die Dodekaeder Ginzburg-Landau-Modell Stützrippen in gotischen Gewölben. Dynamisches Array aus geodätischen Reaktionsdiffusionssystem: Kugeln Turing-Modell Menger-Schwamm Dynamisches Array aus Würfeln Lorenz-Attraktor Das Objekt wurde 1926 von dem öster- Borromäischer Knoten aus 5 Ringen reichischen Mathematiker Karl Menger Geodätische Kugel (1902 – 1985) beschrieben, als er sich mit Gyroidfläche dem Problem der Festlegung eines Dimen- Spiralfläche sionsbegriffs für mathematische Mengen Clebsch-Fläche beschäftigte. Die Entstehung des Schwamms wird durch ein iteratives Ver- fahren (wiederholte Anwendung) beschrieben: Ausgehend von 2. Satz – Simulation einem massiven Würfel wird aus jeder der 6 Oberflächen nach 4. Satz – Fraktal einer Teilung der Kanten in d = 3 Teile der mittlere Würfel ent- Partikel-Gravitationssimulation and fernt, auch in der unsichtbaren Mitte des Würfels. Dadurch ent- Strukturbildung im Universum Mandelbrot-Menge steht ein Körper, der aus N(d) = 8 · 2 + 4 = 20 einzelnen massi- Dynamik starrer Körper Secant-Fraktal ven, kleineren Würfeln besteht. Die Oberfläche ist nach diesem Dynamik von Flüssigkeiten Escape-Fraktal chaos Schritt vergrößert und das Volumen verkleinert. Die Wiederho- Boids-Schwarmsimulationen Iteriertes Funktionensystem: lung dieser Bearbeitung auf jeden dieser kleineren Würfel führt Boids-Flugbahnen „recursive fractal flames“ nach vielen Wiederholungen dieser Prozedur zu einem Körper Viskoelastische Flüssigkeit Mandelbulb-Fraktal mit sehr großer Oberfläche und sehr kleinem Volumen in dem Thermodynamik Mandelbox-Fraktal Raumbereich, den der Ausgangswürfel eingenommen hatte. „gravity set“-Simulation Newton-Fraktal „light gravity“-Simulation Menger-Schwamm Partikelsimulation „Galaxy-Collision“ order Die Hausdorff-Dimension D (benannt nach dem deutschen Mathematiker Felix Hausdorff, 1868 – 1942) wird berechnet durch D = log(N(d)) / log(d). Dabei ist N(d) die Zahl der Zahl der im Iterationsschritt aus einem Objekt neu entstehenden Objekte (die kleineren Würfel im mittleren Bild) und d der Faktor A Mathematic Symphony der Verkleinerung der Kantenlänge bei der Iteration. Impressum Die Hausdorff-Dimension des Volumens für den Menger- Sacherschließung: Prof. Dr. Ulrich Sowada Schwamm ist D = log(20) / log(3) = 2,73. Dieser Zahlenwert ist Bildmaterial: Rocco Helmchen & Prof. Dr. Ulrich Sowada nicht ganzzahlig; deshalb hat Mandelbrot den Begriff „fraktal“ Gestaltung: Frieder Klotz für die Dimension eingeführt. Erstellt am Zentrum für Kultur- und Wissenschaftskommunikation der Fachhochschule Kiel Aus denselben Anfangsbedingungen ent- Chaos und Ordnung Zweiter Satz: Simulation stehen bei jeder Versuchsdurchführung Galaxien-Haufen andere Endresultate, weil Diffusion ein Neuere astronomische Beobachtungen lassen erkennen, dass statistischer Vorgang ist. Dies lässt sich Erster Satz: Form die Galaxien im Kosmos nicht gleichmäßig verteilt sind, sondern mit Computern modellhaft berechnen. Kaleidoskop sich zu Galaxienhaufen zusammen ballen. Bewegungen inner- Durch die Kombination eines statistischen Bei diesem Gerät handelt es sich um ein Rohr halb dieser Haufen sind wegen der großen Abstände innerhalb Vorganges (Diffusion) mit einem determnistischen (chemische mit 3- oder 4-seitigem Querschnitt, das in- eines Menschenlebens nicht zu beobachten, aber sie können Reaktion) entstehen bei Wiederholung andere Formen; die nen verspiegelt ist und um die Längsachse rechnerisch nachgebildet werden. Formen haben aber Ähnlichkeit miteinander. gedreht werden kann. Wenn man hindurch ein Objekt betrachtet, sieht man das Objekt Fluid-Dynamik Vierter Satz: Fraktale direkt, aber auch einfach oder mehrfach ge- Die Berechnung von Flüssigkeitsbewegungen beinhaltet außer Der Begriff des Fraktals wurde durch den französisch- spiegelt. Die zu sehenden Bilder lassen sich auch durch Computer Trägheits- und Gravitationskräften auch Viskosität und Oberflä- amerikanischen Mathematiker Benoit Mandelbrot (1924 – 2010) berechnen, weil die optischen Vorgänge sehr einfach sind. chenspannung. Diese Kraft wirkt der Vergrößerung der Oberfläche eingeführt. Damit wird es möglich, der Rauheit in der Natur entgegen und lässt Flüssigkeitstropfen kugelförmig werden, wenn eine Maßzahl zu geben; denn ein Berg ist kein Kegel. Eine oft Voronoi-Diagramm keine weiteren Kräfte wirksam sind. Tanzende Flüssigkeiten ent- beobachtete Eigenschaft von Fraktalen ist die Selbstähnlich- Ausgehend von gegebenen Punkten stehen durch Wechselwirkung der verschiedenen Energieformen keit: Bei Vergrößerungen eines Bildausschnitts werden Formen wird der Raum (oder die Ebene) in Zellen (kinetische, potentielle, Strömungs- und Oberflächen-Energie). sichtbar, die dem Ausgangsobjekt ähneln. um jeden dieser gesetzten Punkte ein- geteilt. Alle Punkte innerhalb einer Zelle Kollidierende Galaxien Mandelbrot-Menge haben zu dem gegebenen Punkt einen Zwei Körper im Raum, die aufeinander Gra- Die komplexen Zahlen c (c = a + i * b) kleineren Abstand als zu allen ande- vitation ausüben, bewegen sich nach Kepler werden repräsentiert durch die Punkte ren. In der Ebene werden die Wände der auf geschlossenen Bahnen. Der französische der Ebene, in der entlang der x-Achse Zellen gebildet aus den Mittelsenkrech- Mathematiker Henry Poincaré (1854 – 1912) die reellen (a) und entlang der y-Achse ten zu den Verbindungslinien zwischen hat berechnet, dass die zeitliche Entwicklung die imaginären Zahlen (b) aufgetra- den gesetzten Punkten. Die Formen der von mehr als zwei Körpern nicht mehr exakt in alle Zukunft vor- gen werden. Es wird z0 = 0 gesetzt und Zellen variieren mit der Lage der gesetz- ausgesagt werden kann: Das Ergebnis kann drastisch anders aus- auf jeden Punkt c dieser Ebene der 2 ten Punkte. Bei einer Vergrößerung der sehen als eine rechnerische Vorhersage, wenn ein Ort oder eine Algorithmus zn = zn-1 + c (n = 1, 2, …) angewendet. Wenn der Anzahl dieser Punkte bilden sich neue Geschwindigkeit zu Beginn unmerkbar anders eingesetzt wird. Betrag von zn einen Wert (z. B. 2) übersteigt, wird die Iterati- Formen. Im südlichen Sternbild Rabe gibt es zwei Galaxien, die offenbar on (=Wiederholung dieser Berechnung) abgebrochen und der miteinander kollidieren. Die Kräfte auf jeden einzelnen Stern ver- Punkt in der komplexen Ebene entsprechend dem dann ent- Platonische Körper ändern die Sternenbahnen; beim Zusammenspiel von Gravitation standenen Wert von n eingefärbt. Die Mandelbrot-Menge (nach Aus den regulären Vielecken der Ebe- und Trägheit entstehen Gezeitenkräfte, die einzelne Sterne aus Benoit Mandelbrot, 1924 – 2010) wird von denjenigen Punkten ne (Dreieck, Viereck, Fünfeck) werden den Galaxien heraus schleudern. der komplexen Ebene gebildet, die auch nach vielen Iteratio- diejenigen räumlichen Gebilde kons- nen diese Abbruchbedingung nicht erreichen. truiert, deren Oberflächen einzig aus Dritter Satz: Algorithmen diesen Vielecken bestehen. Davon gibt Rabinovitch-Fabrikant-Gleichung Newton-Fraktal es nur fünf: Tetraeder, Hexaeder (= Würfel), Oktaeder, Dodeka- Diese beiden Forscher veröffentlichten 1979 drei gekoppelte Für Gleichungen, deren Nullstellen sich eder und Ikosaeder. Wenn zur Bildung der Oberfläche nicht nur gewöhnliche, nichtlineare Differentialgleichungen (unabhängi- nicht exakt berechnen lassen, gibt es ein ein Typ von Vieleck zugelassen wird, entstehen weitere Formen ge Variable: Zeit t). Die Lösungen zeigen die für mathematisches Näherungsverfahren. Dieses Verfahren (Fußball, Fullerene). An diese Objekte erinnern die im Film Chaos typische Verhaltensweise: Die Kurvenverläufe hängen stark liefert unter geeigneten Bedingungen gezeigten „geodätischen Kugeln“. vom Wert der Koeffizienten ab. gegenüber einem Schätzwert ein verbes- sertes Ergebnis. Eine wiederholte An- Reaktions-Diffusions-System (Turing-Modell) wendung kann zu einem befriedigenden Die zeitliche Veränderung der Konzentration einer Substanz hängt numerischen Ergebnis führen. Wenn der davon ab, wie viel durch Diffusion aus dem betrachteten Volumen Schätzwert in der Nähe eines Extremwer- austritt und wie viel durch chemische Reaktion umgebildet wird. tes liegt, erhält man für sehr dicht neben-.