Spacetime Geometry from Graviton Condensation: a New Perspective on Black Holes
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Spacetime Geometry from Graviton Condensation: A new Perspective on Black Holes Sophia Zielinski née Müller München 2015 Spacetime Geometry from Graviton Condensation: A new Perspective on Black Holes Sophia Zielinski née Müller Dissertation an der Fakultät für Physik der Ludwig–Maximilians–Universität München vorgelegt von Sophia Zielinski geb. Müller aus Stuttgart München, den 18. Dezember 2015 Erstgutachter: Prof. Dr. Stefan Hofmann Zweitgutachter: Prof. Dr. Georgi Dvali Tag der mündlichen Prüfung: 13. April 2016 Contents Zusammenfassung ix Abstract xi Introduction 1 Naturalness problems . .1 The hierarchy problem . .1 The strong CP problem . .2 The cosmological constant problem . .3 Problems of gravity ... .3 ... in the UV . .4 ... in the IR and in general . .5 Outline . .7 I The classical description of spacetime geometry 9 1 The problem of singularities 11 1.1 Singularities in GR vs. other gauge theories . 11 1.2 Defining spacetime singularities . 12 1.3 On the singularity theorems . 13 1.3.1 Energy conditions and the Raychaudhuri equation . 13 1.3.2 Causality conditions . 15 1.3.3 Initial and boundary conditions . 16 1.3.4 Outlining the proof of the Hawking-Penrose theorem . 16 1.3.5 Discussion on the Hawking-Penrose theorem . 17 1.4 Limitations of singularity forecasts . 17 2 Towards a quantum theoretical probing of classical black holes 19 2.1 Defining quantum mechanical singularities . 19 2.1.1 Checking for quantum mechanical singularities in an example spacetime . 21 2.2 Extending the singularity analysis to quantum field theory . 22 2.2.1 Schrödinger representation of quantum field theory . 23 2.2.2 Quantum field probes of black hole singularities . 25 2.2.3 Extending the framework to dynamical spacetimes . 27 vi CONTENTS 2.2.4 The role of excitations... 29 2.2.5 ...and interacting fields . 30 2.3 A short bottom line . 30 3 The failure of a semiclassical black hole treatment 31 3.1 Black hole entropy and the information paradox . 31 3.1.1 Hawking radiation . 32 3.1.2 Negative heat capacity . 33 3.1.3 Information paradox . 33 3.2 ...really a paradox? Solution proposals . 34 3.3 A complete quantum treatment as the ultimate cure . 36 II Towards a quantum description of spacetime 39 4 Black holes as Bose-Einstein condensates of gravitons 41 4.1 Introducing black hole’s Quantum-N portrait . 41 4.1.1 The Universality of N ....................... 42 4.1.2 Leakiness and emergent thermality . 43 4.1.3 Black holes as classicalons . 44 4.1.4 Quantum corrections . 44 4.2 Toy models for the N portrait . 45 4.2.1 Bose-Einstein condensates at the verge of quantum phase transition 46 4.2.2 Using derivative couplings instead . 49 4.2.3 Numerical treatment of our model . 55 5 Finding the building blocks of spacetime 59 5.1 The motivation behind . 59 5.2 Quantum bound states in the Hamiltonian spectrum . 60 5.3 Quantum bound states in QCD . 61 5.3.1 Auxiliary current description . 63 5.3.2 Calculating observables in QCD - sum rules . 66 5.3.3 Large-Nc bound states in QCD . 71 5.4 Transferring QCD methods to gravity . 72 5.4.1 ACD for gravitational bound states . 72 5.4.2 Multilocal current construction . 74 5.4.3 Sum rules with regard to gravitational bound states . 74 5.4.4 Large-N physics . 74 6 Applying the constituent description to Schwarzschild black holes 77 6.1 Observables at the partonic level . 77 6.1.1 Black holes’ constituent number density . 77 6.1.2 Black holes’ energy density and mass . 81 6.2 Going beyond the partonic level - Scattering processes . 82 6.2.1 Probing the black hole structure . 83 6.2.2 Chronological ordering . 84 CONTENTS vii 6.2.3 Constituent representation of A .................. 85 6.2.4 Analytic properties of C ...................... 86 6.2.5 Constituent distribution at parton level . 88 6.2.6 Including corrections . 90 6.3 Prospects for the future . 91 6.3.1 Deriving black hole formation, entropy and Hawking radiation . 91 6.3.2 Demonstrating the emergence of geometry . 91 6.3.3 Applications of our formalism to other spacetimes - A generalization of the ACD . 92 6.3.4 Applications to QCD . 93 Conclusions and Outlook 95 A Driving a detector towards its limits 99 B Introducing an alternative: A corpuscular description of Anti-de Sitter spacetime 101 B.1 AdS - an overview . 102 B.2 Scalar 2-point function in the corpuscular description of AdS . 104 B.2.1 Scattering on linearized AdS . 104 B.2.2 Scalar propagator in AdS . 106 B.3 Further applications . 108 Acknowledgements 110 viii CONTENTS Zusammenfassung In dieser Dissertation stellen wir eine neuartige Sichtweise auf Raumzeitgeometrien vor, welche selbige als Produkt der Kondensation einer hohen Anzahl von Quanten auf einer ausgezeichneten, flachen Hintergrundmetrik betrachtet. Wir untermauern diesen Ansatz im Hinblick auf die Rolle von Raumzeitsingularitäten innerhalb der Quanten- feldtheorie sowie mit semiklassischen Betrachtungen schwarzer Löcher. Abgesehen von der allgemeinen Relativitätstheorie ist in allen anderen Theorien die Raumzeit eine feste gegebene Größe, so dass etwaige Singularitäten nur im Zusammen- hang mit Observablen auftauchen und dann durch Renormierungstechniken entfernt oder eben als schlicht unphysikalisch eingestuft werden. Das singuläre Verhalten von Raumzeiten an sich hingegen ist pathologisch. Die Vorhersage solcher Singularitäten im Sinne geodätischer Unvollständigkeit fand ihren Höhepunkt in den berühmten Sin- gularitätentheoremen von Hawking und Penrose. Obwohl diese Theoreme nur sehr grundlegende Annahmen voraussetzen, stellen wir ihre physikalische Relevanz in Frage. Am Beispiel eines schwarzen Lochs zeigen wir, dass jegliche klassische Detektortheo- rie zusammenbricht weit bevor geodätische Unvollständigkeit einsetzen kann. Davon abgesehen verdeutlichen wir, dass das Heranziehen von Punktteilchen zur Diagnose von Raumzeitanomalien in Bereichen starker Krümmung eine zu starke Vereinfachung darstellt. Angesichts dieser Ergebnisse drängt sich die Frage auf, inwieweit Quantenobjekte von Raumzeitsingularitäten betroffen sind. Basierend auf der für quantenmechanis- che Testteilchen zugeschnittenen Definition geodätischer Unvollständigkeit sammeln wir Ideen für eine Vollständigkeitsanalyse dynamischer Systeme. Eine Weiterentwicklung unserer Ansätze zeigt, dass insbesondere die Schwarzschildgeometrie keinerlei patholo- gisches Verhalten bezüglich der Betrachtung von Quantenobjekten hervorruft. Dieses Resultat soll aber nicht darüber hinwegtäuschen, dass die hier verwandte semiklassische Behandlung weiterhin mit vielen ungelösten Paradoxa behaftet ist. Es ist für uns deshalb unabdingbar, auch den geometrischen Hintergrund quantentheo- retisch zu beschreiben. Unsere ersten Schritte in diese Richtung machen wir mit Hilfe eines nicht-relativistischen Modells, das unter Verwendung skalarer Felder nur die wichtigsten Eigenschaften der allgemeinen Relativitätstheorie umfasst. Hierbei fassen wir schwarze Löcher als gebun- dene Quantenzustände auf, die aus einer Vielzahl N von langwelligen Gravitonen beste- hen und einem kollektiven Potential unterworfen sind. Wir modellieren unser System so, dass es sich an einem Phasenübergang befindet. Dies hat zwangsläufig zur Folge, dass keine Störungstheorie mehr anwendbar ist und wir gezwungen sind auch eine numerische Analyse unseres Modells vorzunehmen. Dabei erhalten wir starke Anzeichen dafür, dass x Zusammenfassung unsere Modellbeschreibung Korrekturen aufweist, die mit 1/N skalieren. Dies entspricht genau dem zugrundeliegenden so genannten Quanten-N-Portrait schwarzer Löcher und vermag das entscheidende Merkmal hinsichtlich einer Auflösung des schon lange beste- henden Informationsparadoxons zu sein. Trotz dieser ermutigenden Ergebnisse müssen wir feststellen, dass solch ein nicht-relativistisches Modell schlichtweg keine ausreichend befriedigende Beschreibung schwarzer Löcher liefern kann. Wir wenden uns im Folgenden deshalb einem relativistischen Verfahren zu, um Raum- zeitgeometrien mit gebundenen Quantensystemen großer Konstituentenzahl in Einklang zu bringen. Basierend auf einer nicht-trivialen Vakuumstruktur, welche eine Konden- sation von Gravitonen zulässt, stellen wir eine Verbindung zwischen In-Mediums Mod- ifikationen und einem kollektiven Potential her. Dabei betrachten wir die Minkowski- Raumzeit als fundamental und verstehen andere Raumzeitgeometrien als gebundene Zustände auf Minkowski, welche sich im Grenzwert unendlicher Konstituentenzahlen ergeben. Diese Konstruktion gebundener Zustände ist analog zur Beschreibung von Hadronen in der Quantenchromodynamik - es werden die gleichen nicht-perturbativen Methoden verwendet, wie z.B die Hilfsstrombeschreibung oder die Operatorprodukt- Entwicklung. Da wir vor allem an der Beschreibung schwarzer Löcher interessiert sind, entwickeln wir obige Konstruktion im Hinblick auf die Schwarzschildgeometrie. Da- rauf basierend wiederholen wir, wie deren Konstituenten- sowie Energiedichte auf Par- tonebene hergeleitet werden kann und wie sich zeigen lässt, dass sich die Masse eines schwarzen Loches proportional zur Anzahl seiner Konstituenten verhält. Wir nutzen die genannten Ergebnisse sodann, um über die Partonebene hinaus Vorhersagen zu treffen. Wir betrachten insbesondere die Streuung eines skalaren Teilchens am schwarzen Loch und zeigen explizit, dass die Konstituentenverteilung eine Observable darstellt, welche prinzipiell in einem Experiment gemessen und damit unsere Theorie stützen könnte. Darüber hinaus vermitteln wir eine Methodik, die auch zur Beschreibung der Forma- tion schwarzer Löcher sowie der Hawking-Strahlung eingesetzt werden