Facitliste til materialesamling 3. g
(Nogle af opgaverne løses ikke af 1. og 2. g klasser)
Indhold Facitliste til materialesamling A-B-Niveau: ...... 1
Afsnit 1: ...... 3 Opgave 1.1: ...... 3
Opgave 1.2: ...... 3
Afsnit 2: ...... 4
Opgave 2.1: ...... 4
Opgave 2.2: ...... 5
Opgave 2.3: ...... 5
Opgave 2.4: ...... 6
Opgave 2.5: ...... 6
Opgave 2.6: ...... 10 Afsnit 3: ...... 19
Opgave 3.1: ...... 19
Opgave 3.2: ...... 60
Afsnit 4: ...... 61
Opgave 4.1: ...... 61
Opgave 4.2: ...... 61
Opgave 4.3: ...... 62
Opgave 4.4: ...... 62
Opgave 4.5: ...... 62 Opgave 4.6: ...... 63
Opgave 4.7: ...... 63
Opgave 4.8: ...... 63
Opgave 4.9: ...... 63
Afsnit 5: ...... 64 Opgave 5.1: ...... 64
Opgave 5.2: ...... 64
Opgave 5.3: ...... 65 Opgave 5.4: ...... 65
Opgave 5.5: ...... 66
Opgave 5.6: ...... 66
Opgave 5.7: ...... 67
Opgave 5.8: ...... 67
Opgave 5.9: ...... 68
Afsnit 6: ...... 69
Opgave 6.1: ...... 69
Opgave 6.2: ...... 69 Opgave 6.3: ...... 70
Opgave 6.4: ...... 72
Opgave 6.5: ...... 75
Afsnit 1: Opgave 1.1:
Antallet af ressourcer i forhold til traileren:
Fyldte Pumper Presenning sandsække Længde 4 2 5 Bredde 4 2 4 Højde 6 3 1
Ud fra dette kan der være 16 presenninger, 12 fyldte sandsække og 6 pumper:
Figur 1
Opgave 1.2:
Generelle ligninger:
퐴푛푡푎푙 𝑖 푎푙푡 = 푃푢푚푝푒푟 + 퐹푦푙푑푡푒 푠푎푛푑푠æ푘푘푒 + 푃푟푒푠푒푛푛𝑖푛푔푒푟 퐿æ푛푔푑푒 푎푓 푟푒푠푠표푢푟푐푒 퐹표푟ℎ표푙푑 = 퐿æ푛푔푑푒 푎푓 푡푟푎𝑖푙푒푟
(Gælder også for bredde og højde)
푈푏푟푢푔푡 푝푙푎푑푠 = 퐴푟푒푎푙 푎푓 푡푟푎𝑖푙푒푟 − (푎푟푒푎푙 푎푓 푝푢푚푝푒푟 + 푎푟푒푎푙 푎푓 푓푦푙푑푡푒 푠푎푛푑푠æ푘푘푒 + 푎푟푒푎푙 푎푓 푝푟푒푠푒푛푛𝑖푛푔푒푟)
Afsnit 2:
Opgave 2.1:
Vi har kørt med det princip, at man kun må besøge hver by en gang.
Esbjerg - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Thisted - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Thisted - Viborg - Randers - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Thisted - Viborg - Herning - Vejle - Aarhus - Randers - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Thisted - Viborg - Herning - Aarhus - Randers - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Viborg - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Viborg - Randers - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Viborg - Herning - Vejle - Aarhus - Randers - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Viborg - Herning - Aarhus - Randers - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Herning - Viborg - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Herning - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Herning - Viborg - Randers - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Herning - Aarhus - Randers - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Herning - Aarhus - Randers - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Herning - Aarhus - Randers - Viborg - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Herning - Vejle - Aarhus - Randers - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Herning - Vejle - Aarhus - Randers - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Holstebro - Herning - Vejle - Aarhus - Randers - Viborg - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Herning - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Herning - Holstebro - Thisted - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Herning - Holstebro - Thisted - Viborg - Randers - Aalborg
Esbjerg - Herning - Holstebro - Viborg - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Herning - Holstebro - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Herning - Holstebro - Viborg - Randers - Aalborg Esbjerg - Herning - Viborg - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Herning - Vejle - Aarhus - Randers - Viborg - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Herning - Aarhus - Randers - Viborg - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Herning - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Herning - Holstebro - Thisted - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Herning - Holstebro - Thisted - Viborg - Randers - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Herning - Holstebro - Viborg - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Herning - Holstebro - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Herning - Holstebro - Viborg - Randers - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Herning - Viborg - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Herning - Aarhus - Randers - Viborg - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Aarhus - Herning - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Aarhus - Herning - Holstebro - Thisted - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Aarhus - Herning - Holstebro - Thisted - Viborg - Randers - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Aarhus - Herning - Holstebro - Viborg - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Aarhus - Herning - Holstebro - Viborg - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Aarhus - Herning - Holstebro - Viborg - Randers - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Aarhus - Herning - Viborg - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Aarhus - Randers - Viborg - Holstebro - Thisted - Aalborg
Esbjerg - Kolding - Vejle - Aarhus - Randers - Viborg - Herning - Holstebro - Thisted - Aalborg
I alt 45 muligheder.
Opgave 2.2:
Når alle byer skal besøges, vil det forblive uændret. Opgave 2.3:
Vi bruger formlen: 푛! 푃(푛, 푟) = (푛 − 푟)! Der er i alt 23 byer, og vi skal vælge 8 byer. Rækkefølgen betyder noget, da vi skal finde dem, som har mest brug for hjælp: 23! 23! 푃(23,4) = = = 212.520 (23 − 4)! 19!
Det vil sige der er 212.520 muligheder for at udvælge de 8 byer med mest brug for hjælp ud af 23 byer. Opgave 2.4:
For at løse denne opgave har vi prøvet os frem for at finde den hurtigste vej. Ved hjælp af kendskab til trekanter, kan man udelukke nogle af vejene:
Figur 2
Ved at køre ruten Esbjerg - Holstebro - Viborg - Aalborg, tager turen 176 minutter.
Ja, der findes en hurtigere rute, da man kan starte i eksempelvis Holstebro og så tage turen til Aalborg. I spørgsmålet ændrer vi kun start-byen, men man skal starte igennem Holstebro og Aalborg. Opgave 2.5:
Her gennemgår vi resten af ruten.
Dette var, hvor vi kom fra:
Figur 3
Vi gentager nu punkt 2-5.
Punkt 2: Vi er i punkt B, og skal opdatere knuden D, som får værdi 9.
Figur 4
Punkt 3: Den knude med lavest værdi vi ikke har besøgt endnu, er knuden E med værdi 6. Den hurtigste vej til knuden E var via knuden C:
Figur 5
Punkt 4: Knuderne der kan nås via E er D, F og G. Værdien for knuden D ændres til 8, værdien for knuden F bliver 9 og værdien for knuden G bliver 11:
Figur 6
Punkt 5: Knuden med den laveste værdi nu er D, med værdien 8. Så den går vi hen til:
Figur 7
Vi gentager punkt 2-5.
Punkt 2: Fra punkt D kan man gå til punkt H og G. Værdien for H bliver 16 og værdien for G ændres ikke.
Figur 8
Punkt 3: Nu skal vi gå til den knude med den laveste værdi og det er knuden F med værdien 9, som man går hen til fra knuden E:
Figur 9
Punkt 4: Fra knuden F kan vi gå til knuden G, men værdien for G forbliver den samme.
Punkt 5: Nu går man hen til den knude med laveste værdi nemlig knuden G, med værdien 11. Man kan både gå derhen fra knuden E og fra knuden F, så der vælger man selv:
Figur 10
Punkt 2: Fra knuden G kan man gå til knuden H, da vi allerede har været ved knuden E og knuden D. Værdien for knuden H ændres ikke.
Punkt 3: Nu går vi hen til den knude med laveste værdi, hvilket er knuden H med værdien 16. Den nemmeste vej til H er via D:
Figur 11
Punkt 4: Nu kan vi ikke opdatere værdierne for flere knuder, da alle knuder har den laveste værdi de kan få.
Man kan også se, at vi nu har fundet den korteste/hurtigste rute, som er A-C-E-D-H. Opgave 2.6:
Punkt 1: Vi starter med at have denne graf, hvor alle byerne har værdi ∞ og Esbjerg har værdi 0, da dette er vores startpunkt:
Figur 12
Punkt 2: Vi opdaterer værdierne til de nærliggende byer; Kolding får værdi 54, Herning får værdi 77 og Holstebro får værdi 78:
Figur 13 Punkt 3: Knuden med den laveste værdi er Kolding:
Figur 14
Punkt 4: Fra Kolding kan man kun komme til Vejle, hvilket vil tage 78 minutter:
Figur 15
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Herning med værdien 77.
Figur 16
Punkt 6: Punkt 2-5 gentages, indtil ruten er fundet.
Punkt 2: Fra Herning kan man komme til Holstebro, Vejle, Aarhus og Viborg. De eneste der opdateres, er Viborg med værdi 113 og Aarhus med værdi 141:
Figur 17
Punkt 3: Knuden med den laveste værdi er enten Holstebro eller Vejle, da de har samme værdi. Her vælger man bare den ene af dem:
Figur 18
Punkt 4: Fra Holstebro kan man nå til Viborg og Thisted. Det er kun Thisted som får opdateret sin værdi, 140;
Figur 19
Punkt 5: Knuden med den laveste værdi er Vejle med 78:
Figur 20
Punkt 2: Fra Vejle er det kun Aarhus der skal have opdateret værdi, 132:
Figur 21
Punkt 3: Byen (knuden) med laveste værdi er Viborg. Den hurtigste/korteste rute er via Herning, men vi skal over Holstebro, så derfor må vi vælge den rute, hvilket gør, at værdien for Viborg i stedet er 116:
Figur 22
Punkt 4: Fra Viborg kan man komme til Thisted, Aalborg og Randers. Her får Randers værdien 149, Aalborg 176 og Thisted ændres ikke:
Figur 23
Punkt 5: Knuden Aarhus er den næste by med laveste værdi, som nås fra Vejle:
Figur 24
Punkt 2: Fra Aarhus kan man komme til Randers, men værdien er ikke mindre, så den opdateres ikke.
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Thisted, som nås fra Holstebro:
Figur 25
Punkt 4: Fra Thisted kan man komme til Aalborg, men værdien er ikke mindre via Thisted. Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Randers som nås fra Viborg:
Figur 26
Punkt 2: Fra Randers nås Aalborg, men værdien bliver ikke mindre, så intet ændres.
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Aalborg, som går gennem Viborg:
Figur 27
Punkt 4: Nu er vi kommet til Aalborg, og der er ikke flere knuder at opdatere.
Derved kan vi også se den hurtigste rute, når det skal være over Holstebro nemlig; Esbjerg - Holstebro - Viborg - Aalborg, som tager 176 minutter.
EKSTRA: Hvis man ikke skulle over Holstebro, ville dette være ruten: Esbjerg - Herning - Viborg - Aalborg, på 173 minutter. Altså kun 3 minutters forskel.
Figur 28 Afsnit 3: Opgave 3.1:
Fra Aalborg til Roskilde:
Punkt 1: Startposition er Aalborg og andre værdier har ∞:
Figur 29
Punkt 2: Fra Aalborg kan værdierne opdateres for Thisted, Randers og Viborg:
Figur 30
Punkt 3: Vi går hen til knuden med den laveste værdi, nemlig Viborg med værdien 60:
Figur 31
Punkt 4: Fra Viborg opdaterer vi værdierne til Holstebro og Herning:
Figur 32
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Randers fra Aalborg:
Figur 33
Punkt 2: Fra Randers kan knuderne Ebeltoft og Aarhus opdateres:
Figur 34
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Thisted fra Aalborg:
Figur 35
Punkt 4: Fra Thisted kan man komme til Holstebro, men værdien er ikke mindre.
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Aarhus med 91:
Figur 36
Punkt 2: Fra Aarhus kan byerne Herning, Sjællands Odde og Vejle nås:
Figur 37
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Herning:
Figur 38
Punkt 4: Fra Herning kan man komme til Holstebro, Esbjerg og Vejle:
Figur 39
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Holstebro, som nås fra Viborg:
Figur 40
Punkt 2: Fra Holstebro kan man komme til Esbjerg, men værdien er ikke mindre.
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Ebeltoft:
Figur 41
Punkt 4: Fra Ebeltoft kan man nå Sjællands Odde, og værdien vil blive mindre:
Figur 42
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Vejle:
Figur 43
Punkt 2: Fra Vejle kan man komme til Odense og Kolding:
Figur 44
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Sjællands Odde:
Figur 45
Punkt 4: Fra Sjællands Odde kan man komme til Slagelse og Holbæk:
Figur 46
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Kolding via Vejle:
Figur 47
Punkt 2: Fra Kolding kan man nå Esbjerg og Odense, men ingen af værdierne opdateres.
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Esbjerg, som kan nås fra Herning:
Figur 48
Punkt 4: Fra Esbjerg kan man ikke nå nogle nye punkter.
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Odense, som man kan nå via Vejle:
Figur 49
Punkt 2: Fra Odense kan man komme til Slagelse, men værdien bliver ikke mindre.
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Holbæk via Sjællands Odde:
Figur 50
Punkt 4: Fra Holbæk kan man komme til Slagelse og Roskilde:
Figur 51
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Roskilde:
Figur 52
Punkt 2: Vi fortsætter, da vi skal have udfyldt hele grafen med værdier. Så fra Roskilde kan man nå Køge:
Figur 53
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Slagelse:
Figur 54
Punkt 4: Fra Slagelse kan man komme til Køge, men værdien bliver ikke mindre.
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Køge:
Figur 55
Nu har vi besøgt alle knuder og kan se, at den hurtigste rute fra Aalborg til Roskilde er: Aalborg - Randers - Ebeltoft - Sjællands Odde - Holbæk - Roskilde på 217 minutter.
Fra Holstebro til Roskilde:
Punkt 1: Startposition er Holstebro med værdi 0 og alle andre med værdi ∞:
Figur 56
Punkt 2: Fra Holstebro opdateres værdierne til Thisted, Viborg, Herning og Esbjerg:
Figur 57
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Herning:
Figur 58
Punkt 4: Fra Herning kan man nå Viborg, Aarhus, Vejle og Esbjerg:
Figur 59
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Viborg fra Holstebro:
Figur 60
Punkt 2: Fra Viborg kan man nå til Thisted, Aalborg og Randers:
Figur 61
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Thisted fra Holstebro:
Figur 62
Punkt 4: Fra Thisted kan man komme til Aalborg, men værdien er ikke mindre.
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Randers:
Figur 63
Punkt 2: Fra Randers kan man nå Aalborg, Ebeltoft og Aarhus, men det er kun Ebeltoft der får opdateret værdi:
Figur 64
Punkt 3: Knude med laveste værdi er Esbjerg via Holstebro:
Figur 65
Punkt 4: Fra Esbjerg kan man komme til Kolding:
Figur 66
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Vejle via Herning:
Figur 67
Punkt 2: Fra Vejle kan man nå Aarhus, Kolding og Odense. Det er kun værdien for Odense, der opdateres:
Figur 68
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Aarhus via Herning:
Figur 69
Punkt 4: Fra Aarhus kan man komme til Sjællands Odde:
Figur 70
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Aalborg:
Figur 71
Punkt 2: Fra Aalborg kan man ikke nå nogle nye byer, som vi ikke i forvejen har besøgt.
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Ebeltoft via Randers:
Figur 72
Punkt 4: Fra Ebeltoft kan man nå Sjællands Odde, men værdien opdateres ikke.
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Kolding via Vejle:
Figur 73
Punkt 2: Fra Kolding kan man nå Odense, men værdien ændres ikke.
Punkt 3: Knuden med lavest værdi er Odense:
Figur 74
Punkt 4: Fra Odense kan man nå Slagelse:
Figur 75
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Sjællands Odde via Ebeltoft:
Figur 76
Punkt 2: Fra Sjællands Odde kan man komme til Holbæk og Slagelse:
Figur 77
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Slagelse som man kan nå via Odense:
Figur 78
Punkt 4: Fra Slagelse kan man komme til Holbæk og Køge:
Figur 79
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Holbæk via Sjællands Odde:
Figur 80
Punkt 2: Fra Holbæk kan man komme til Roskilde:
Figur 81
Punkt 3: Knuden med den laveste værdi er Roskilde:
Figur 82
Punkt 4: Fra Roskilde kan man komme til Holbæk, men værdien ændres ikke.
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Holbæk via Slagelse:
Figur 83
Nu har vi besøgt alle knuder og den hurtigste rute fra Holstebro til Roskilde er: Holstebro - Viborg - Randers - Ebeltoft - Sjællands Odde - Holbæk - Roskilde på 217 minutter.
Fra Esbjerg til Roskilde
Punkt 1: Startposition er Esbjerg som får værdi 0, hvor alle andre knuder får værdi ∞.
Figur 84
Punkt 2: Fra Esbjerg kan man komme til Kolding, Herning og Holstebro:
Figur 85
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Kolding:
Figur 86
Punkt 4: Fra Kolding kan man komme til Vejle og Odense:
Figur 87
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Herning via Esbjerg:
Figur 88
Punkt 2: Fra Herning kan man komme til Holstebro, Viborg og Aarhus:
Figur 89
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er enten Holstebro eller Vejle, her har jeg valgt Vejle:
Figur 90
Punkt 4: Fra Vejle kan man komme til Odense og Aarhus:
Figur 91
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Holstebro:
Figur 92
Punkt 2: Fra Holstebro kan man komme til Thisted og Viborg:
Figur 93
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Odense via Kolding:
Figur 94
Punkt 4: Fra Odense kan man komme til Slagelse:
Figur 95
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Viborg:
Figur 96
Punkt 2: Fra Viborg kan man komme til Thisted, Aalborg og Randers.
Figur 97
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Aarhus:
Figur 98
Punkt 4: Fra Aarhus kan man komme til Sjællands Odde og Randers:
Figur 99
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Thisted:
Figur 100
Punkt 2: Fra Thisted kan man komme til Aalborg, men værdien er ikke mindre.
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Randers:
Figur 101
Punkt 4: Fra Randers kan man komme til Aalborg og Ebeltoft:
Figur 102
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Slagelse:
Figur 103
Punkt 2: Fra Slagelse kan man komme til Sjællands Odde, Holbæk og Køge:
Figur 104
Punkt 3: Knuden med laveste værdi er Aalborg via Viborg:
Figur 105
Punkt 4: Fra Aalborg kan man ikke besøge knuder, som er vi endnu ikke har besøgt.
Punkt 5: Knuden med laveste værdi er Holbæk:
Figur 106
Punkt 2: Fra Holbæk kan man komme til Sjællands Odde og Roskilde:
Figur 107
Punkt 3: Knuden med den laveste værdi er Ebeltoft:
Figur 108
Punkt 4: Fra Ebeltoft kan man komme til Sjællands Odde, men værdien er ikke mindre.
Punkt 5: Knuden med den laveste værdi er Køge:
Figur 109
Punkt 2: Fra Køge kan man komme til Roskilde, men værdien er ikke mindre.
Punkt 3: Knuden med den laveste værdi er Sjællands Odde:
Figur 110
Punkt 4: Fra Sjællands Odde kan man ikke komme til nye knuder som vi endnu ikke har besøgt.
Punkt 5: Knuden med den laveste værdi er Roskilde, hvilket også er vores endepunkt:
Figur 111
Dette giver os ruten fra Esbjerg til Roskilde: Esbjerg - Kolding - Odense - Slagelse - Holbæk - Roskilde, som tager 209 minutter.
Opgave 3.2:
Den hurtigste rute mellem lagerne er fra Esbjerg til Roskilde på 209 minutter. Dette vil betyde man skal starte fra Aalborg til Esbjerg. Afsnit 4:
Opgave 4.1:
9 + 22 + 3 · (23) + 4 · (35) + 2 · (59) + 61 + 62 푥̅ = = 37 å푟 13
Opgave 4.2:
a) Vi har valgt at inddele observationerne i de observationsintervaller, som ses nedenfor.
Opgaven kan godt regnes med andre observationsintervaller, men vil give et andet resultat.
Er opgaven beregnet med andre intervaller, kan nedenstående resultat anvendes til at se,
om man har regnet opgaven med brug af den rigtige metode.
Observationsinterval Intervalmidtpunkt Antal observationer i intervallet
]0;20] 10 1
]20;40] 30 4
]40;60] 50 5
]60;80] 70 2
]80;100] 90 1
1 · (10) + 4 · (30) + 5 · (50) + 2 · (70) + 1 · (90) 푥̅ = ≈ 46,92 13
b) Middelværdi for ugrupperede data
10,87 + 25,22 + 34,2 + 26,34 + 38,76 + 41,78 + 59,16 49,51 + 53,03 + 50,80 + 74,23 + 62,33 + 99,97 푥̅ = = 48,17 푐푚 13
Det ugrupperede er mere nøjagtigt end det grupperede, og vi kan se, at vandstanden bliver højere end svaret i a). Forskellen i nøjagtigheden kan have indflydelse på nødhjælpsorganisationens indsats på området, da situationen forværres en anelse ved den nøjagtige middelværdi i det ugrupperede tilfælde. c) Grupperede vs. ugrupperede
I denne situation vil man ikke gruppere data, da datasættet er så småt, og man derved har godt overblik over data og får de mest præcise resultater.
I resten af opgaverne grupperes datasættet dog alligevel for at få en fornemmelse og erfaring med metoden for grupperede3 datasæt.
Opgave 4.3:
Facit i denne opgave er afhængigt af det konstruerede datasæt, som eleven selv har lavet, hvorfor facit vil være forskellig for eleverne. Tjek at fremgangsmetoden er korrekt.
Opgave 4.4:
Vi holder det mere generelt, men eleverne er selvfølgelig velkomne til at gøre det mere konkret.
Her kan der nævnes flere ting som:
Middelværdien fortæller, hvad den gennemsnitlige værdi for datasættet er.
Middelværdien kan bruges til at gøre nødhjælpsorganisationerne opmærksomme på, hvor
der er brug for hjælp ift. middelværdiens størrelse, og hvor langt data befinder sig fra
middelværdien.
Middelværdien kan bruges til at give overblik over situationen og derigennem, hvor
mange ressourcer man må forventes at kunne levere.
Er middelværdien høj (ift. situationen), så skal nødhjælpsorganisationen højst sandsynligt
sætte ind, men hvor hjælpen skal sættes ind afhænger af de konkrete data i byerne
Er middelværdien lav (ift. situationen), så skal nødhjælpsorganisationen ikke nødvendigvis
sætte ind, men skal stadig være opmærksomme på de konkrete data i byerne
Opgave 4.5:
Varians for datasættet i opgave 4.1:
((9 − 37)2) + ((22 − 37)2) + 3 · ((23 − 37)2) + 4 · ((35 − 37)2) + 2 · ((59 − 37)2) + ((61 − 37)2) + ((62 − 37)2) 푉푎푟(푥) = ≈ 290,92 13
Varians for datasættet i opgave 4.2: 1 · (10 − 46,92)2 + 4 · (30 − 46,92)2 + 5 · (50 − 46,92)2 + 2 · (70 − 46,92)2 + 1 · (90 − 46,92)2 푉푎푟(푥) = ≈ 421,30 13
Opgave 4.6:
Facit i denne opgave er afhængig af det konstruerede datasæt, som eleven selv har lavet, hvorfor facit vil være forskellige for eleverne. Tjek at fremgangsmetoden er korrekt.
Opgave 4.7:
Spredning for datasættet i opgave 4.1:
휎(푥) = √290,92 ≈ 17,06
Spredning for datasættet i opgave 4.2:
휎(푥) = √421,30 ≈ 20,53
Opgave 4.8:
Facit i denne opgave er afhængigt af det konstruerede datasæt, som eleven selv har lavet, hvorfor facit vil være forskellige for eleverne. Tjek at fremgangsmetoden er korrekt.
Opgave 4.9:
Her kan der nævnes ting som:
Den repræsenterer den gennemsnitlige ændring af data omkring middelværdien, og kan
tolkes som en typisk afstand mellem data og middelværdi.
Den fortæller os, om datas værdier ligger tæt på hinanden (er tæt grupperede) eller om
datas værdier ligger langt fra hinanden (er spredte).
En høj værdi fortæller, at data i gennemsnit ligger langt fra den beregnede middelværdi
En lav værdi fortæller, at data i gennemsnit ligger tæt grupperede omkring den beregnede
middelværdi
Det er særlig vigtigt at kende til spredningen, når man arbejder med katastrofer (som oversvømmelsen ved Roskilde Fjord), da man ønsker at hjælpe de svageste. Hvis man alene kigger på middelværdien af et datasæt, risikerer man at overse yderpunkterne, hvor der måske er brug for hjælp. Dette skyldes, at middelværdien ikke siger noget om forskellene på observationer og yderpunkterne i et datasæt.
Afsnit 5: Opgave 5.1:
Observation Hyppighed Frekvens
9 år 1 1 · 100 ≈ 7,69 % 13
22 år 1 1 · 100 ≈ 7,69 % 13
23 år 3 3 · 100 ≈ 23,08 % 13
35 år 4 4 · 100 ≈ 30,77 % 13
59 år 2 2 · 100 ≈ 15,38 % 13
61 år 1 1 · 100 ≈ 7,69 % 13
62 år 1 1 · 100 ≈ 7,69 % 13
Opgave 5.2:
Observationsinterval Intervalmidtpunkt Antal observationer i intervallet Frekvens
]0;20] 10 1 1 · 100 ≈ 7,69 13
]20;40] 30 4 4 · 100 ≈ 30,77 13
]40;60] 50 5 5 · 100 ≈ 38,46 13
]60;80] 70 2 2 · 100 ≈ 15,38 13 ]80;100] 90 1 1 · 100 ≈ 7,69 13
Opgave 5.3:
Observation Hyppighed Frekvens Kumuleret frekvens
9 år 1 1 7,69 % · 100 ≈ 7,69 % 13
22 år 1 1 7,69 % + 7,69 % = 15,38 % · 100 ≈ 7,69 % 13
23 år 3 3 15,38 % + 23,08 % = 38,46 % · 100 ≈ 23,08 % 13
35 år 4 4 38,46 % + 30,77 % = 69,23 % · 100 ≈ 30,77 % 13
59 år 2 2 69,23 % + 15,38 % = 84,61 % · 100 ≈ 15,38 % 13
61 år 1 1 84,61 % + 7,69 % = 92,30 % · 100 ≈ 7,69 % 13
62 år 1 1 92,30 % + 7,69 % = 99,99 % · 100 ≈ 7,69 % 13
Opgave 5.4:
Observationsinterval Intervalmidtpunkt Antal observationer i Frekvens Kumuleret frekvens intervallet
]0;20] 10 1 1 7,69 % · 100 ≈ 7,69 13
]20;40] 30 4 4 7,69 % + 30,77 % = 38,46 % · 100 ≈ 30,77 13
]40;60] 50 5 5 38,46 % + 38,46 % = 76,92 % · 100 ≈ 38,46 13
]60;80] 70 2 2 76,92 % + 15,38 % = 92,30 % · 100 ≈ 15,38 13 ]80;100] 90 1 1 92,30 % + 7,69 % = 99,99 % · 100 ≈ 7,69 13
Opgave 5.5:
Trappediagram 100%
75%
50%
25% Kumuleretfrevens
0% 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 Alder
Opgave 5.6:
Sumkurve 100%
75%
50%
25% Kumuleretfrekvens
0% 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Målt vandstand (cm)
Opgave 5.7:
Trappediagram 100%
75%
50%
Kumuleretfrevens 25%
0% 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 Alder
Kvartilsæt:
Nedre kvartil: 23
Median: 35
Øvre kvartil: 59
Opgave 5.8:
Sumkurve 100%
75%
50%
Kumuleret frekvens Kumuleret 25%
0% 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Målt vandstand (cm)
Kvartilsæt:
Nedre kvartil: 31
Median: 46
Øvre kvartil: 59
Opgave 5.9:
Hvis man har lavet en statistisk undersøgelse, kunne man fx være interesseret i at finde ud af, hvor høj vandstanden er for de mindste 25% af observationerne eller hvor mange procent, der har en vandstand mellem 60cm-70cm osv. Sådanne spørgsmål kan man besvare ved at aflæse i sit diagram.
Med en sumkurve eller et trappediagram kan man altså aflæse procentvise forhold mellem observationer i datasættet.
Afsnit 6: Opgave 6.1:
Datasættet er over 23 byer og deres indbyggere, samt hvor mange påvirkede familier, der er i de enkelte byer. Den mest nøjagtige repræsentation vil være den ugrupperede fremfor den grupperede, da den tager hensyn til hver enkelt værdi, hvorimod den grupperede anvender intervalmidtpunktet.
Ingen af værdierne i tabellen er ens, hvorfor en repræsentation af data i et trappediagram ikke vil fortælle meget, her vil en sumkurve være mere fordelagtig.
Der kan ligeledes argumenteres for begge repræsentationsformer, men det er essentielt at være bevidst om, hvilket valg man tager, da det har betydning for, hvordan data repræsenteres og fortolkes.
Opgave 6.2:
Hvis eleverne har valgt grupperet inddeling:
For at kunne beregne variansen og spredningen, så beregnes først middelværdien:
Observationsinterval Intervalmidtpunkt Antal observationer i intervallet
]0;400] 200 1
]400;800] 600 3
]800;1200] 1000 6
]1200;1600] 1400 8
]1600;2000] 1800 2
]2000;2400] 2200 2
]2400;2800] 2600 1
200 + 3 · (600) + 6 · (1000) + 8 · (1400) + 2 · (1800) + 2 · (2200) + 2600 푥̅ = ≈ 1295,65 23 ≈ 1296 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟
Varians: ((200 − 1296)2) + 2 · ((600 − 1296)2) + 6 · ((1000 − 1296)2) + 8 · ((1400 − 1296)2) + 2 · ((1800 − 1296)2) + 2 · ((2200 − 1296)2) + ((2600 − 1296)2) 푉푎푟(푥) = ≈ 288050,1 23
Spredning:
휎(푥) = √288050,1 ≈ 536,70
Hvis eleverne har valgt ugrupperet inddeling:
For at kunne beregne variansen og spredningen, så beregnes først middelværdien:
1704 + 1006 + 1166 + 402 + 1222 + 1406 + 1077 + 411 + 1401 + 997 + 1874 + 2101 푥̅ = 1591 + 1337 + 87 + 623 + 812 + 1399 + 1582 + 2529 + 2389 + 955 + 1223 ≈ 1273,65 23 ≈ 1274 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟
Varians:
(1704 − 1274)2 + (1006 − 1274)2 + (1166 − 1274)2 + (402 − 1274)2 + (1222 − 1274)2 + (1406 − 1274)2 + (1077 − 1274)2 + (411 − 1274)2 + (1401 − 1274)2 + (997 − 1274)2 + (1874 − 1274)2 + (2101 − 1274)2 + (1591 − 1274)2 + (1337 − 1274)2 + (87 − 1274)2 + (623 − 1274)2 + (812 − 1274)2 + (1399 − 1274)2 + (1582 − 1274)2 + (2529 − 1274)2 + (2389 − 1274)2 + (955 − 1274)2 + (1223 − 1274)2 푉푎푟(푥) = 23 ≈ 354479,9
Spredning
휎(푥) = √354479,9 ≈ 595,38
Opgave 6.3:
Hvis eleverne har valgt grupperet inddeling:
Observationsinterval Intervalmidtpunkt Antal observationer i intervallet Frekvens
1 ]0;400] 200 1 · 100 ≈ 4,35% 23
3 ]400;800] 600 3 · 100 ≈ 13,04% 23
6 ]800;1200] 1000 6 · 100 ≈ 26,09% 23
8 ]1200;1600] 1400 8 · 100 ≈ 34,78% 23
2 ]1600;2000] 1800 2 · 100 ≈ 8,70% 23
2 ]2000;2400] 2200 2 · 100 ≈ 8,70% 23 1 ]2400;2800] 2600 1 · 100 ≈ 4,35% 23
Hvis eleverne har valgt ugrupperet inddeling:
Observationer Hyppighed Frekvens (Påvirkede familier)
1 1704 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1006 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1166 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 402 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1222 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1406 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1077 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 411 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1401 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 997 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1874 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 2101 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1591 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1337 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 87 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 623 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 812 1 · 100 ≈ 4,35% 23 1 1399 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1582 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 2529 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 2389 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 955 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 1223 1 · 100 ≈ 4,35% 23 Opgave 6.4:
Hvis eleverne har valgt grupperet inddeling:
For at kunne tegne sumkurven, skal man først beregne den kumulerede frekvens:
Observationsinterval Intervalmidtpunkt Antal observationer i intervallet Frekvens Kumuleret frekvens
]0;400] 200 1 1 4,35% · 100 ≈ 4,35% 23
]400;800] 600 3 3 4,35% + 13,04% = 17,39% · 100 ≈ 13,04% 23
]800;1200] 1000 6 6 17,39% + 26,09% = 43,48% · 100 ≈ 26,09% 23
]1200;1600] 1400 8 8 43,48% + 34,78% = 78,26% · 100 ≈ 34,78% 23
]1600;2000] 1800 2 2 78,26% + 8,70% = 86,96% · 100 ≈ 8,70% 23
]2000;2400] 2200 2 2 86,96% + 8,70% = 95,66% · 100 ≈ 8,70% 23
]2400;2800] 2600 1 1 95,66% + 4,35% = 100,01% · 100 ≈ 4,35% 23
Sumkurve 100%
75%
50%
Kumuleretfrekvens 25%
0% 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 Påvirkede familier
Hvis eleverne har valgt ugrupperet inddeling:
For at kunne tegne trappediagrammet, skal man først beregne den kumulerede frekvens:
Observationer Hyppighed Frekvens Kumuleret frekvens (Påvirkede familier)
1 4,35% 1704 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 4,35% + 4,35% = 8,7% 1006 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 8,7% + 4,35% = 13,05% 1166 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 13,05% + 4,35% = 17,4% 402 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 17,4% + 4,35% = 21,75% 1222 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 21,75% + 4,35% = 26,1% 1406 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 26,1% + 4,35% = 30,45% 1077 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 30,45% + 4,35% = 34,8% 411 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 34,8% + 4,35% = 39,15 1401 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 39,15% + 4,35% = 43,5% 997 1 · 100 ≈ 4,35% 23 1 43,5% + 4,35% = 47,85% 1874 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 47,85% + 4,35% = 52,2% 2101 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 52,2% + 4,35% = 56,55 1591 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 56,55% + 4,35% = 60,9% 1337 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 60,9% + 4,35% = 65,25% 87 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 65,25% + 4,35% = 69,6% 623 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 69,6% + 4,35% = 73,95% 812 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 73,95% + 4,35% = 78,3% 1399 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 78,3% + 4,35% = 82,65% 1582 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 82,65% + 4,35% = 87% 2529 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 87% + 4,35% = 91,35% 2389 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 91,35% + 4,35% = 95,7% 955 1 · 100 ≈ 4,35% 23
1 95,7% + 4,35% = 100,05% 1223 1 · 100 ≈ 4,35% 23
Trappediagram 100%
75%
50%
Kumuleretfrekvens 25%
0% 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650 1800 1950 2100 2250 2400 2550 Påvirkede familier
Opgave 6.5:
Hvis eleverne har valgt grupperet inddeling:
Middelværdien fortæller, at der i gennemsnit er 1296 påvirkede familier i hver by, og kan være med til at give kommandocentralen et hurtigt første overblik over, hvor mange ressourcer, som de skal have med ud til det ramte område.
Spredningen på 536,70 er en høj værdi, når man ser på, hvordan den forholder sig ift. middelværdien. Med spredningen ligger data med en afstand på ± 536,70 påvirkede familier fra middelværdien, hvorfor størstedelen af de påvirkede familier ligger mellem:
1296 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 − 536,70 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 = 759,30 ≈ 759 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 1296 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 + 536,70 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 = 1832,70 ≈ 1833 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟
Det fortæller os, at data i gennemsnit ligger langt fra den beregnede middelværdi, hvorfor der kan være flere yderpunkter i datasættet som rammer udenfor intervallet 759-1833 påvirkede familier og som kan være relevante, at være opmærksomme på for kommandocentralen.
For at hjælpe flest muligt har kommandocentralen valgt at hjælpe 75% af byerne, som højst har et antal påvirkede familier på omkring 1600. Dette betyder, at det er omkring 50% af det samlede antal af påvirkede familier, som ikke får hjælp. Kommandocentralen kan tage det til efterretning og ændre på, hvor mange procent af byerne de vil hjælpe, men de skal hele tiden overveje, hvilket valg de tager.
Hvis eleverne har valgt ugrupperet inddeling:
Middelværdien fortæller, at der i gennemsnit er 1274 påvirkede familier i hver by, og kan være med til at give kommandocentralen et hurtigt første overblik over, hvor mange ressourcer, som de skal have med ud til det ramte område.
Spredningen på 595,38 er en høj værdi, når man ser på hvordan den forholder sig ift. middelværdien. Med spredningen ligger data med en afstand på ± 595,38 påvirkede familier fra middelværdien, hvorfor størstedelen af de påvirkede familier ligger mellem:
1274 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 − 595,38 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 = 678,62 ≈ 679 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 1274 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 + 595,38 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟 = 1869,38 ≈ 1869 푝å푣𝑖푟푘푒푑푒 푓푎푚𝑖푙𝑖푒푟
Det fortæller os, at data i gennemsnit ligger langt fra den beregnede middelværdi, hvorfor der kan være flere yderpunkter i datasættet som rammer udenfor intervallet 679-1869 påvirkede familier og som kan være relevante, at være opmærksomme på for kommandocentralen.
For at hjælpe flest muligt har kommandocentralen valgt at hjælpe 75% af byerne, som højst har et antal påvirkede familier på omkring 1575. Dette betyder, at det er omkring 50% af det samlede antal af påvirkede familier, som ikke får hjælp. Kommandocentralen kan tage det til efterretning og ændre på, hvor mange procent af byerne de vil hjælpe, men skal hele tiden overveje, hvilket valg de tager.