An Evidential Answer for the Capacitated Vehicle Routing Problem with Uncertain Demands

An evidential answer for the capacitated vehicle routing problem with uncertain demands Une réponse évidentielle pour le problème de tournée de véhicules avec contrainte de capacité et demandes incertaines THÈSE Présentée et soutenue publiquement le 20 Décembre 2017 en vue de l’obtention du Doctorat de l’Université d’Artois Spécialité : Génie Informatique et Automatique par Nathalie HELAL Composition du jury : M. Didier DUBOIS Directeur de Recherche CNRS, Université Rapporteur Paul Sabatier Toulouse M. Arnaud MARTIN Professeur, Université de Rennes 1 Rapporteur M. Sébastien DESTERCKE Chargé de Recherche CNRS HDR, Université Examinateur de Technologie de Compiègne Mme. Laetitia JOURDAN Professeur, Université de Lille 1 Examinatrice Mme. Caroline THIERRY Professeur, Université Toulouse 2 Le Mirail Examinatrice M. David MERCIER Maître de Conférences HDR, Université d’Artois Invité M. Frédéric PICHON Maître de Conférences, Université d’Artois Co-encadrant M. Daniel PORUMBEL Maître de Conférences, CNAM Paris Co-encadrant M. Éric LEFÈVRE Professeur, Université d’Artois Directeur de thèse Thèse préparée au Laboratoire de Génie Informatique et d’Automatique de l’Artois Université d’Artois Faculté des sciences appliquées Technoparc Futura 62 400 Béthune Abstract The capacitated vehicle routing problem is an important combinatorial optimisation problem that has generated a large body of research over the past sixty years. Its objective is to find a set of routes of minimum cost, such that a fleet of vehicles initially located at a depot service the deterministic demands of a set of customers, while respecting capacity limits of the vehicles. Still, in many real life applications, we are faced with uncertainty on customer demands. Most of the research papers that handled this situation, assumed that customer demands are random variables. In this thesis, we propose to represent uncertainty on customer demands using evidence theory - an alternative uncertainty theory that extends the probabilistic representation of uncertainty and offers the advantage of managing epistemic uncertainty more faithfully. To tackle the resulting optimisation problem, we extend classical stochastic programming modelling approaches. Specifically, we propose two models for this problem. The first model is an extension of the chance-constrained programming approach, which imposes cer- tain minimum bounds on the belief and plausibility that the sum of the demands on each route respects the vehicle capacity. The second model extends the stochastic programming with recourse approach: it represents by a belief function for each route the uncertainty on its recourses, i.e., corrective actions performed when the vehicle capacity is exceeded, and defines the cost of a route as its classical cost (without recourse) plus the worst expected cost of its recourses. Some properties of these two models are studied. A simulated annealing algorithm is adapted to solve both models and is experimentally tested. Keywords : Vehicle routing problem, Uncertain demands, Chance constrained programming, Stochas- tic programming with recourse, Evidence theory. Résumé Le problème de tournées de véhicules avec contrainte de capacité est un problème important en optimisation combinatoire, qui a généré un grand nombre de travaux de recherche au cours des soixante dernières années. L’objectif du problème est de déterminer l’ensemble de routes, nécessaire pour servir les demandes déterministes des clients ayant un cout minimal, tout en respectant la capacité limite des véhicules. Cependant, dans de nombreuses applications sur des cas réels, nous sommes confrontés à des incertitudes sur les demandes des clients. La plupart des travaux qui ont traité ce problème ont supposé que les demandes des clients étaient des variables aléatoires. Nous nous proposons dans cette thèse de représenter l’incertitude sur les demandes des clients dans le cadre de la théorie de l’évidence - un formalisme alternatif pour modéliser les incertitudes qui généralise la représentation probabiliste des incertitudes et offre l’avantage de gérer l’incertitude épistémique fidèlement. Pour résoudre le problème d’optimisation qui résulte, nous généralisons les approches de modélisation classiques en programma- tion stochastique. Précisément, nous proposons deux modèles pour ce problème. Le premier modèle, est une extension de l’approche chance-constrainedprogramming , qui impose des bornes minimales pour la croyance et la plausibilité que la somme des demandes sur chaque route respecte la capacité des véhicules. Le deuxième modèle étend l’approche stochastic programming with recourse: l’incertitude sur les recours possibles sur chaque route est représentée par une fonction de croyance, i.e., des actions correctives sont effectuées lorsque la capacité limite des véhicules est dépassée, et le coût d’une route est alors son coût classique (sans recours) additionné du pire coût espéré des recours. Certaines pro- priétés de ces deux modèles sont étudiées. Un algorithme de recuit simulé est adapté pour résoudre les deux modèles et est testé expérimentalement. Mots-clés : Problème de tournées de véhicules, Demandes incertaines, “Chance constrained programming”, “Stochastic programming with recourse”, Théorie de l’évidence. Remerciements Remerciements Je voudrais exprimer ma profonde reconnaissance auprès de toutes les personnes qui ont participé de près ou de loin à la réalisation de ce travail de thèse. Mes premiers remerciements vont à l’ensemble de mes encadrants sans qui cette thèse n’aurait pas pu voir le jour. Je tiens à les remercier pour avoir accepté ma candidature sur ce sujet de thèse et pour la confiance qu’ils m’ont accordée. Je les remercie également de m’avoir accompagnée de très près durant ces trois années avec patience et justesse. Je re- tiens nos réunions de travail enrichissantes et la transmission d’un précieux savoir. À mon directeur de thèse, Éric Lefèvre, pour son soutien, sa considération et ses encoura- gements. Je le remercie vivement pour son suivi, son écoute, ses nombreux conseils et sa précision. J’ai beaucoup apprécié sa disponibilité et son aide proactive. À Frédéric Pichon, pour avoir encadré ma thèse avec beaucoup de rigueur et de précision. Je lui suis reconnaissante du temps qu’il a consacré à la réalisation de ce travail. Nos échanges scientifiques et ses conseils m’ont beaucoup apporté, ainsi que son aide et sa considération. J’ai également beaucoup apprécié nos conversations, son écoute, son naturel et sa bonne humeur. À mon encadrant Daniel Porumbel, qui a su se rendre disponible malgré la distance et faire le déplacement de Paris lorsque cela était nécessaire. Il a toujours répondu présent lorsque j’avais besoin d’aide. Je le remercie également pour ses idées et son optimisme. À David Mercier avec qui j’ai collaboré sur cette thèse et avec qui ce fût un plaisir de tra- vailler. Mes sincères remerciements à l’ensemble des membres du jury pour l’intérêt qu’ils ont porté à mes travaux. Je remercie tout particulièrement Monsieur Didier Dubois et Monsieur Arnaud Martin pour avoir accepté de rapporter ce mémoire et pour leurs suggestions. Je remercie chaleureusement l’ensemble des collègues du LGI2A, permanents, docto- rants, ingénieurs et stagiaires, pour leur bonne humeur et leur sympathie. Je remercie égale- ment Gilles Goncalves pour m’avoir accueillie au sein du laboratoire pour sa gentillesse et pour l’ambiance qu’il instaure au sein du laboratoire. Je remercie également Nathalie Mor- ganti pour son implication dans la levée des obstacles administratifs. Je tiens aussi à remercier tous les membres de l’IUT de Béthune et particulièrement le corps enseignants avec qui je travaille en qualité d’attaché temporaire d’enseignement et de recherche. Ils ont rendu cette nouvelle expérience agréable. Enfin, mes derniers remerciements vont à mes amis et ma famille pour leur soutien. Je remercie mes proches que j’ai rencontré en France. À Cécilia, pour être une super amie si agréable et gentille, pour son aide et son soutien. À Maxime, pour sa présence, pour m’avoir soutenu surtout pendant les moments durs, pour sa gentillesse et son grand coeur. À mes proches au Liban. À Titi (Roula), qui m’a toujours et quotidiennement soutenue malgré la distance, pour ses conseils, sa générosité et pour être une véritable soeur. À ma mère et mes soeurs, pour leur soutien, leur patience, leur amour inconditionnel qui m’ont aidée à surmonter toutes les difficultés. À mon père, tu as été mon ange gardien, toujours présent pour moi. Tu m’as guidée et aidée pendant tout ce temps malgré ton absence. Table of contents List of acronyms 9 List of tables 11 List of figures 12 Introduction 13 1 The Capacitated Vehicle Routing Problem 17 1.1 Introduction . 17 1.2 An Overview on the Vehicle Routing Problem . 18 1.3 The Capacitated Vehicle Routing Problem . 20 1.3.1 Problem formulation . 20 1.3.2 Problem variants . 22 1.3.3 Problem complexity . 23 1.4 Solving Methods . 23 1.4.1 Exact methods . 23 1.4.2 Heuristic based methods . 24 1.5 Conclusions . 28 2 The Capacitated Vehicle Routing Problem with Stochastic Demands 31 2.1 Introduction . 31 2.2 Modelling the CVRPSD by CCP . 32 2.3 Modelling the CVRPSD by SPR . 36 2.3.1 Recourse actions . 37 2.3.2 The expected penalty cost . 38 2.4 Modelling the CVRPSD using SPR or CCP ? . 43 7 2.5 Conclusions . 44 3 Evidence Theory 45 3.1 Introduction . 45 3.2 Representation of Information . 46 3.2.1 Mass function . 46 3.2.2 Belief and plausibility functions . 47 3.2.3 Informative content comparison . 50 3.2.4 Handling information on product spaces . 50 3.3 Combination of Information . 52 3.4 Uncertainty Propagation . 55 3.5 Expectations . 57 3.6 Conclusions . 58 4 A Belief-Constrained Programming Approach to the CVRPED 61 4.1 Introduction . 61 4.2 The CVRPED . 62 4.3 Modelling the CVRPED by BCP . 63 4.3.1 Formalisation . 64 4.3.2 Particular cases . 67 4.3.3 Influence of the model parameters on the optimal solution cost .

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