Orthogonally Additive Polynomials and Applications Polinomios Ortogonalmente Aditivos Y Aplicaciones

Orthogonally additive polynomials and applications Polinomios ortogonalmente aditivos y aplicaciones Pablo Linares Briones Directores de Tesis: Alberto Ibort Latre JoséLuis González Llavona Memoria para optar al grado de Doctor en Matemáticas. Diciembre de 2009 Departamento de AnálisisMatemático. Universidad Complutense de Madrid. ii Contents 1 Introduction. 1 1.1 Notations and preliminaries. 10 2 Orthogonally Additive Polynomials 13 2.1 Introduction. 13 2.2 The Representation Theorem . 15 2.2.1 Introduction. 15 2.2.2 The Representation Theorem. 16 2.2.3 Orthogonally Additive Polynomials in order continu- ous Köthefunction spaces. 17 2.3 The Representation Theorem in `p. ............... 19 2.4 Orthogonally Additive Polynomials in Hilbert lattices. 25 2.5 Spectral Theorem . 29 3 O. A. Polynomials on Riesz espaces. 33 3.1 Riesz spaces. 34 3.2 Orthosymmetric Applications . 37 3.3 Powers of Riesz spaces. 45 3.4 Representation of polynomials . 47 4 Orthogonal and P-orthogonal 51 4.1 Introduction. 51 4.2 P-orthogonal Polynomials. 53 4.2.1 P-orthogonal Polynomials in C[0, 1]. 54 4.2.2 P-orthogonal Polynomials in Lp.............. 57 4.2.3 The problem of existence . 61 4.3 Orthogonal Polynomials respect to a bilinear form. 66 iii 5 Multilinear Hausdorff Problem 69 5.1 Introduction. 69 5.2 Weak Hausdorff Problem . 73 5.2.1 Polymeasures and a multilinear Riesz representation theorem. 73 5.2.2 The weak Hausdorff multilinear moment problem. 75 5.3 Classical Hausdorff problem . 82 5.4 Positivity and the Hausdorff problem. 84 5.5 The strong Hausdorff multilinear moment problem. 88 6 Multilinear Trigonometric Problem 91 6.1 The result. 93 6.2 Examples. 96 iv Resumen. En toda teor´ıade operadores, tanto lineales como no lineales, es fundamental disponer de teoremas de representaciónque nos permitan el manejo de los mismos. Un buen ejemplo de este hecho lo encontramos en el marco del AnálisisFuncional lineal con el Teorema de Riesz para la representación integral de los funcionales lineales y continuos sobre un espacio C(K). En los últimos añoshan sido muchos los matemáticos interesados en el estudio de operadores no lineales entre espacios de Banach, en particular de polinomios. De nuevo, siempre es deseable disponer de teoremas de rep- resentación que nos permitan estudiar su comportamiento y propiedades. Recientemente, Benyamini, Lassalle y Llavona obtienen en [BLLl] un teorema de representaciónpara la clase de polinomios ortogonalmente aditivos sobre ret´ıculos de Banach. La potencia de este teorema radica en que todo polinomio n-homogéneode esta clase se representa a travésde un funcional lineal y continuo sobre la n-concavificacióndel espacio, es decir, su estudio se reduce a un problema lineal. Este es el punto de partida de esta tesis doctoral. Siguiendo el enfoque mencionado, hemos obtenido numerosas aplicaciones a campos tan diversos como la teor´ıaespectral de operadores en espacios de Hilbert, resultados de estructura de ret´ıculos de Hilbert, desarrollo de una teor´ıasimilar a la de polinomios ortogonales pero aplicada a una clase másamplia de funciones poniendo especial atenciónen espacios C[0, 1] y Lp. Finalmente, hemos desarrollado la teor´ıaclásicade momentos de Hausdorff, tanto en el caso real del intervalo [0, 1] como en el caso trigonométrico del c´ırculounidad T, estudiando el problema multilineal. El cap´ıtulo1 se dedica a notaciones y conceptos preliminares. En el cap´ıtulo2 introducimos los polinomios ortogonalmente aditivos sobre ret´ıculos de Banach. Sundaresan fue el primer matemático que estudió la representación de polinomios ortogonalmente aditivos en [S2]. Sus resul- v p tados se centran en los espacios `p y L de funciones. Recientemente, como ya hemos indicado, Benyamini, Lassalle y Llavona prueban el caso general en [BLLl]. Han aparecido otros trabajos para el caso C(K) (ver [PGV] y [CLZ1]) y para C∗-álgebras [PPV]. En este cap´ıtulopresentamos una nueva prueba del teorema de repre- sentación para el caso `p que aparece en [ILLl3]: Teorema 1. Sea 1 ≤ p < ∞. El espacio de polinomios ortogonalmente n aditivos, n-homogéneos Po( `p) es isométricamente isomorfo a `∞ para 1 ≤ p ≤ n y a `p/p−n para n < p < ∞. Nuestra prueba es totalmente independiente de las anteriores y usa la teor´ıade productos tensoriales. Exploramos ademáslas aplicaciones del teorema de representaciónen ret´ıculosde Hilbert probando el siguiente resultado: Teorema 2. Sea H un espacio de Hilbert real y separable. Si H es un ret´ıculo de Banach con orden ≤. Entonces, H es orden isométrico a L2(µ) para cierta medida µ. Este teorema puede verse como un caso particular del clásico teorema de representación de Kakutani para espacios Lp abstractos. Finalmente encontramos otra aplicacióndel teorema de polinomios ortogonalmente aditivos que nos permite obtener una nueva prueba del teorema espectral de operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert. Este estudio aparece en [ILL14]. El cap´ıtulo3 se centra en el estudio de polinomios ortogonalmente aditivos en espacios de Riesz. Siguiendo las ideas del estudio de la ortogonalidad aditiva mediante los productos tensoriales, R. Ryan nos indicóla direccióndel estudio de la ortogonalidad en espacios de Riesz. Dedicamos un cap´ıtulo a la extensión de la ortogonalidad aditiva en este tipo de espacios. Relacionaremos nuestro con- cepto con el de ortosimetr´ıa, ya existente en la literatura, y probaremos el siguiente teorema de representacióndonde la clave deja de ser la continuidad: Teorema 3. Sean E, F espacios de Riesz Arquimedianos con F uniforme- J + n mente completo y ( n E, n) la n-potencia de E. El espacio Po ( E, F ) de polinomios n-homogéneos, positivos y ortogonalmente aditivos en E es Riesz isomorfo al espacio L+(J E, F ) de aplicaciones lineales y positivas J n de n E a F . vi En el cap´ıtulo 4 extendemos la teor´ıaclásica de polinomios ortogonales a una nueva clase de funciones, que contiene a los polinomios, que denom- inamos polinomios P -ortogonales. En la teor´ıaclásica de polinomios ortogonales, la ortogonalidad se define con respecto al funcional lineal llamado de momentos. La identificaciónentre los polinomios ortogonalmente aditivos n-homogéneos P y las formas lineales TP sobre la n-concavificación,señalada anteriormente, nos permite definir una nueva ortogonalidad con respecto al polinomio P , usando la ortogonalidad clásicarespecto a TP . Esta idea simple se manifiesta especialmente interesante en el caso de los espacios C[0, 1] y Lp. Extendemos a este contexto todos los resultados clásicosde la teor´ıacomo son el Teorema de Favard, los resultados sobre relaciones de recurrencia a tres términos,teoremas de existencia, etc. Recientemente, entre los especialistas de la teor´ıade polinomios ortogonales, se le estáconcediendo especial relevancia a ortogonalidad con respecto a una forma bilineal. En particular, se ha estudiado los polinomios ortogonales de Sobolev, polinomios ortogonales con respecto al producto escalar de Sobolev: k Z X (j) (j) (f, g)S = f g dµj j=0 donde µj son medidas de Borel positivas y las derivadas se consideran en sentido débil (véasepor ejemplo [MAR], [MMB], [MF1], [MF2], [M] y sus referencias). Usando un potente teorema de Boas [B], Duránprueba en [Dur2] un teorema que tiene aplicación a la teor´ıade polinomios ortogonales y muestra cuando la ortogonalidad con respecto a una forma bilineal se puede reducir a la ortogonalidad clásica. Para terminar el cap´ıtulo 4 extendemos este resultado a productos escalares definidos en polinomios algebraicos sobre R obteniendo el siguiente teorema: Teorema 4. Sea B un producto escalar definido en el espacio de polinomios algebraicos reales sobre R. Son equivalentes: • El operador multiplicaciónpor t es simétrico y acotado con respecto de B. • Existe una medida de Borel regular en un compacto de R tal que Z B(p, q) = p(t)q(t)dµ(t). vii Por último, dedicamos dos cap´ıtulosal problema multilineal de momentos. Cada cap´ıtuloextiende el problema de momentos clásico al caso multilineal. Estudiamos dichos problemas para el caso de Hausdorff, es decir cuando los polinomios estándefinidos en I = [0, 1] y tambiénpara el caso de polinomios trigonométricos definidos en el c´ırculo unidad T. El funcional de momentos L asociado a una sucesión µk, k ∈ N de números reales, es el elemento del dual (algebraico) del espacio de polinomios R[t] definido por: X L(p) = pkµk, k≥0 P k donde p(t) = k≥0 pkt ∈ R[t] es un polinomio arbitrario. Dado un intervalo I ⊂ R el problema clásicode momentos se traduce en encontrar la integra- lidad de dicho operador, es decir, bajo que condiciones, existe una medida k R k regular µ en I ⊂ R tal que L(t ) = I t dµ(t), k = 0, 1 ... Si I = [0, 1] el problema de momentos se conoce como problema de momentos (clásico) de Hausdorff. La solución del problema clásicode Hausdorff (ver por ejemplo [ST] y sus referencias) establece que la medida µ existe si para cierta constante C: k X |λ(k,n)| < C, m=0 para todo k = 0, 1,..., y 0 ≤ m ≤ k, donde k λ = (−1)k−m∆k−mµ , 0 ≤ m ≤ k, (k,m) m m y ∆ denota el operador: ∆µn = µn − µn−1, que cumple: k X k ∆kµ = (−1)m µ . n m n+k−m m=0 La solución original de este problema, basada en propiedades de compaci- dad del conjunto de funciones de variación acotada, fue utilizada para obtener varias versiones del teorema de Riesz (ver por ejemplo [Hil2]).

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