Rigid Geometry and Applications

Kazuhiro Fujiwara & Fumiharu Kato Talk Plan

• Aim: • To give a survey on foundation (based on recent developments). • To show how to use it. • Schedule: • I (Mon. 13): What is Rigid Geometry ? • II (Tue. 14): • Birational Geometry from Zariski’s Viewpoint • Birational Approach to Rigid Geometry • III (Wed. 15): Applications - How to use it. Example: An elliptic curve • E/Q When v = , Qv = R C. !• Base change∞ ⊂ ! Complex analytiﬁcationEQ What is Rigidv Geometry ? – v 2When, 3, 5, 7v,=. . .p,, : place When v = p, ∈ {• ∞} • – Qv: v-adic completion ofan Q EC = When v = , Qv =QpR C. Qp CpQp = QpQp Cp = Qp • Uniformization∞ ⊂⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ! Complex analytiﬁcation Question: Analysis over Cp ? • • ! ! Q Q an C = Q C p C/Λ "p EC pp p −→⊂ • | |∞⊂ | | Question: Analysis over Cp ? • Λ an= Z= + Z τ ! Real - ComplexEC · Rigid analytic H analCytic geometrp y geometry Uniformizationτ •=| z|∞ | Im| z > 0 : Teichmullar¨ parameter. • ∈ { ∈ | } C C/Λ " Ean −→ C Λ = Z + Z τ · τ H = z C Im z > 0 : Teichmullar¨ parameter. ∈ { ∈ | }

2 3 3

2 When v = , Qv = R C. • ∞ ⊂ ! Complex analytiﬁcation

an EC = When v = p, When v = , Qv = R C. • Uniformization• ∞ ⊂ • ! Complex analytification an Qp QCp vs.C/CΛp " E=C Qp ⊂ −Ean→⊂= When v = p, C Similarities • When v =Λp, = ZWhen+v =Zp, τ Uniformization• ! •Q Q • C · = Q p QC pC/QΛ Ean C p = Qp H C p Qp Qpp" CQCpp p= QQpp pCp = Qp τ = z ⊂ Im−→⊂ ⊂z > ⊂0⊂⊂: Teichm⊂ ⊂ ullar¨ parameter. Algebraically closed Algebraically closed Question∈ : Analysis{ ∈QuestionQuestion| Λo:v=:erZ +CZ Questionτ}? : ! ! • • p•· ! • – Analysis over Cp ?– Analysis over Cp ?! τ CompletH =– Analysise zwith– Analytification respectC oImv teroz CComplet>Epan?0–?Analytification: e Twitheichm respectullarË anto ? ∈ { ∈ | Cp } Cp parameterp the absolut–.Analytificatione value norm theE anp-adic? norm p C p • | |∞ | | • | |∞ | | • | p|∞ | |

3 3 2

3 When v = , Qv = R C. • ∞ ⊂ ! Complex analytiﬁcation

When v = , Qv = R C. • ∞ ⊂ an ! Complex analytificationAnalyticE =Method: When v = p, C • Uniformization Uniformizationan • EC = QC C/QΛ Ean C = Q UniformizationRecall: Jacobi’s uniformizationp /C. p" C p p • • −→⊂ ⊂ C C/Λ / C/ C A Λ = ZΛ + Z τ Question−A→ : w; AA ww ! A ww AA ww • Λ√= Z A+ Zww τ · e2π 1 – Analysis− · C× · over C ? τ τH H== zz C ImC zIm> 0 z >p 0 : Teichmullar¨ an∈ ∈ Z {{ ∈∈ | 2|π √ 1}τ an} ! parameterE " C×/q–.,Analytificationq = e − . E ? C Cp Jacobi’s uniformizationTake q C suchTatethat’s uniformizationq p < 1, • ∈ ×p | | Z Z C× C×/q = C/Λ C C /q −→ ×p −→ ×p √ = 2π 1τ q C×, q p < 1 q e − ∈ p | | Consider • qnt mkqm ℘ (t) = , s = . 1 n 2 k 1 qm n Z (1 q t) m 1 !∈ − !≥ − Define ℘(t) = ℘1(t) + s1. 2 ! automorphic in the sense that ℘(qt) = ℘(t), 2

4 3

5 6

6 Theorem (Tate). Set B = 5s3 and C = (5s3+ / − − Theor7s5) 12.emThen(Tate).weSethavBe the= equality5s3 and C = (5s3+ 2 3 − − 7s5)/12.(℘"Then) + ℘we℘"ha=v(e℘)the+equalityB℘ + C. 2 3 Moreov(℘er",)by+the℘℘"mapping= (℘) + B℘ + C. Moreover, byt the(℘mapping(t) : ℘ (t) : 1), #→ " C /qZ is mappedt (℘bijecti(t) : ℘v(elyt) :onto1), the algebraic ×p #→ " Z P2 C Csubset×p/q inis mapped(Tpat) deﬁnedebijecti Curvbyelyvetheontocubicthe equationalgebraic 2 subset in P (Cp) deﬁned by the cubic equation Y2Z + XYZ = X3 + BXZ2 + CZ3. Y2Z + XYZ = X3 + BXZ2 + CZ3. Embedding onto a cubic curve • Embedding onto a cubic curve • (℘:℘":1) 2 C / P (C ) ×p F p FF s9 FF s FF (℘:℘ :1) s FF " s 2 C F" s / P (C ) ×p F p FF Z s9 FF s FFC /q s FF ×p s F" s j(E) p > 1 C /qqZq p < 1 such that E ! • | | ⇐⇒ ×p∃ | | C / Z j(×E)qp. > 1 q q p < 1 such that E ! • | |Z ⇐⇒ ∃ | | C×p/q . Why do we need analytic methods ? Example: An elliptic curve • E/Q

19 Base change 7 ! There should exist an analytic geometry over Complex Analysis •RigidE(C) Anal! C/Λysis EQv C19p by which Z C×p C×p/q – v E(C2), 3,C5/,Λ7, . . . , : placeE(Q ) Q /q−Z→ ∈ { ! ∞} can bepreg!arded×p as an analytic map. – Q : v-adic completion of QApplication: v Z • E(Qp) ! Q×p/q Nagell-Lutz Theorem. K: algebraic number ﬁeld, E/K: an elliptic curve. = E(K)tor is a ﬁnite set. ⇒

1 7 There should exist an analytic geometry over • Cp by which C C /qZ ×p −→ ×p can be regardedNasotationan analytic map. Application: • Nagell-Lutz Theorem. (K,K| : |):algebraic completenumber non-archimedeanfield, valued field with non-trivialE/K: an ellipticvaluationcurv | e.|. = E(K)tor is a finite set. ⇒ : K R : multiplicative valuation of ht. 1, • | | → 0 i.e., ≥ (1) x = 0 x = 0. | | ⇐⇒ (2) xy = x y . | | | || | (3) x + y max x , y . | | ≤ {| | | |} : non-trivial K ! 1 . • | | ⇐⇒ | ×| { } Tate’s Rigid Analytic 14 Geometry n k[X1, . . . , Xn] Ak Algebraic Geometry /k Rigid Geometry /K K X , . . . , X Dn 1 n KTopologically finitely Function !! Finitely generated"" generated algebra A/K algebra algebra A/k K X , . . . , Xn (called: Affinoid algebra) !! 1 "" ν1 νn ν ,...,νn 0 aν1,...,νnT Tn aν1,...,νn 0 as = Points1 ≥ Maximal 1ideals· · · of A| Maximal| → ideals of A K[[T1, . . . , Tn]] ν1 + + νn ! "(Naive) (with∈ Zariski topology) (with· · · Admissible→ ∞ topology)# kn Building Affine variety Affinoid Block (Spm A, ) OX /k = k

/K = K 7. その他

ある。extps を指定すると、本文用の明朝は太ミンに、本文用ゴシックは太ゴになる2）。同時にじゅんも利用可能になる。これは、Times Roman フォントが和文に比べると太いために、バランスをとるためである。ただし、普及型の PS プリンタではモリサワ 5 書体が載っておらず、リュウミンと中ゴシック BBB しか持っていないことが多いので使用には注意が必要。また、太ミンと太ゴは最近の流行ではない。最近は見出しミンと見出しゴが多いのかも知れない。また、平成書体を搭載した PS プリンタでも当然利用できない。注意が必要。Ghostscript では簡単に追加できる。ただし、TrueType フォントが別途必要。それは Acrobat でも同様。

7.6 その他の命令

るびその他にもいくつか便利な命令を提供している。まず、本文にルビを付けるための命令である Y=ru by{ruby}命令がある。Y=ruby{ 漢字 }{ よみ }として利用する。 ! " ! " また和文ではダッシュは全角ではなく、倍角を用いる。倍角ダッシュを引く命令は Y=dash{dash} である。

難しい内容を記述した段落には「危険な曲がり角」を付けるというブルバキ（Nicolas Bourbaki） 3 流の記述方法がある）。TEX は標準でそのためのフォントを持っている。ブルバキが用いたフォント There’s no a priori reason why one should • difficult take maximal ideals as points.よりは遙かに洗練されていて格好がいい。それを用いることもできる。そのためには環 (Depends on approaches; there境を are用いる。 three others.) 最後に便利な命令をお教えしよう。本稿では何ヶ所かで欧文の途中で改行しているものがある。特 In Tate’s approach, one has to introduce the • T X Y=allowdisplaybreaks admissible topology as a Grothendieckに E の説明を書いている場合によく直面する。たとえば、なんて命令を topology. 説明していたら悲劇である。常に行をはみ出すかどうかでドキドキできる。和文では別に単語中で改行したってかまわないのである。しかし、Y=verb 命令を用いることはできない。今までの Another Manual シリーズでは改行しそうな場所に適当に Y=linebreak[2] を入れて対応しているのだが、Y=footnY=linebreak[2]ote なんてでてきたら思わず笑ってしまう。だから我々には bs2yen パッケージで対応する方法は許されなかった。これは面倒だ。そこで、Y=cs 命令を用意した。これは引き数に Y=を付けてタイプライタ体で出力する。もちろん Y=の直後の改行は禁じられているのでずいぶん安心である。そしてなんといっても、自動的に改行してくれるのである。四分アキの問題についてはずいぶんトリッキーな対策になってしまった。興味のある人は miscmac.sty ファイルを参照してほしい。もうちょっとだけ命令をみることができるだろう。さらに、plate.sty ファイルや moving.sty ファイルの内容も役に立つだろう。

7.7 おわりに

このクラスファイルと多くのパッケージファイルは多くの著作の影響を受けている。筆者自身のものも多数あるが、基本的にこのクラスファイルの使用に関しては著作権問題を気にする必要はない。クラスファイルを作成したり調整したりしたい人の一助になれば幸いである。

2）ところで、Another Manual シリーズの本文は太ミンで 3）Nicolas Bourbaki 著、EL´ EMENTS´ DE ある。あまり気づいた人はいないようだが……。本文も欧 MATHEMA´ TIQUE 文が 9 ポイント、和文が 12 級強である。

11 n k[X1, . . . , Xn] A Example of Aﬃnoid Algebrak n K X , . . . , Xn D !! 1 "" k

8 K X1, . . . , Xn !Basic! Block:"" Tate algebra. • ν1 νn – (νK,...,, νn):0 completeaν1,...,νnT non-archimedeanTn aν1,...,νn valued0 as = 1 | | ≥ 1 · · · | | → ﬁeld. K[[T1, . . . , Tn]] ν1 + + νn ! " n ∈ n · · · → ∞ # – D = z = (z , . . . , zn) K z 1 . K { 1 ∈ | | i| ≤ } = The algebra of power series converging abso- Dn lutely and uniformly on closed unit disk “ K”. : Banach algebra with Gauss norm •

Noetherian and every ideal is closed with re- • spect to the subspace topology. Structure of general aﬃnoid algebras: • A = K X1, . . . , Xn /I ## 14 $$ Banach algebra by the induced norm ! A = K X , . . . , Xn /I (I: ideal) is a banach ## 1 $$ algebra by the induced norm . % % n k[X1, . . . , Xn] Ak

n n K X1, . . . , Xn DK k[X1, . . . , Xn] Ak !! ""

n K X , . . . , Xn K X1, . . .D, Xn !! 1 "" !! K "" ν a T 1 T νn a 0 as ν1,...,νn 0 ν1,...,νn 1 n ν1,...,νn K X , . . . , X = ≥ · · · | | → 1 n K[[T1, . . . , Tn]] ν1 + + νn !! , . . . , "" A! "n ∈ · · · → ∞ # k[X1 Xn] ν1 νkn ν ,...,νn 0 aν1,...,νnT Tn aν1,...,νn 0 as n = 1 ≥ 1 · · · | | → k K[[T1, . . . , Tn]] ν1 + + νn ! " ∈ · · · → ∞ # K X , . . . , X Dn 1 n n K (Max(A), X) !! "" k O

(Max(DictionarA), ) y /k = k OX K X1, . . . , Xn n !! "" k[X1, . . . , Xn] A Algebraic Geometry/k = k Rigid Geometry/K = K k ν1 νn ν ,...,νn 0 aν1,...,νnT Tn aν1,...,νn 0 as = 1 ≥ 1 · · · Basic| Block: Tate| →algn ebra. n Kk[[[TX1,,...... ,,T•Xn]]/]K ν= K+ K+AXν1, . . . , Xn D 1Basic Block:n– (TKate,1 alg): completeebra!!. knnon-archimedean"" valued field.k ! " ∈ • | | · · · → ∞ # – (K, ): –completeDn = znon-archimedean= (z , . . . , z ) Kvnaluedz field.1 . n | | K 1 nn i k n { nn ∈ 14| | | ≤ } K kX[X–,1D.,....=,.X,zXn=n](z1, . . . , zn)withDKA zi 1 . !! 1 K ={The"" algebra of po∈werk |kseries| | ≤ con} verging absolutely = The algebraandofuniformlypower serieson Dconn . verging absolutely 14 K Dn and uniformlyn : Banachon algebraK. with Gaussn norm k[X1, . . . , Xn] K XA1, . . .•, Xn D !!: Banachk algebra"" with Gauss normK Affi• ne space Closed unit polydisk n K X1, . . . , Xn Dk !! K X1,".". . , Xn Noetherian and every ideal is closed with respect to !! "" • Noetheriantheandsubspaceevery idealtopologyis closed. with respect to • ν1 νn ν ,...,νn 0 atheν1subspace,...,νnTStructuretopologyofTn.generalaν1a,...,ffinoidνn algebras:0 as = 1 ≥ • 1 · · · | | → StructureK[[Tof1,general. . . , Tanffi]]noidA ν=1Kalgebras:+X1, . .+. , Xνnn /I ! " • ∈ ## · · · $$ → ∞ # BanachA =algebraK X ,by. . .the, Xninduced/I norm ## 1 $$ Banach algebra! A = byK theX ,induced. . . , Xn /normI (I: ideal) is a banach alge- ## 1 $$ bra by the induced norm . ! A14= K X , . . . , Xn /I (I: ideal) is a banach alge- ## 1 $$ % % bra by the induced norm . % %

8 14

14 Basic Block: Tate algebra. • – (K, ): complete non-archimedean valued ﬁeld. | | Dn Basic Propertiesn – K = z = (z1, . . . , zn) K zi 1 . { ∈ | | | ≤ } 15 = The algebra of power series converging absolutely K X , . . . , Xn : and!! 1uniformly""on Dn . Banach algebra withK Gauss norm :•Banach algebra with Gauss norm • ν1 νn aν ,...,ν T T = sup aν ,...,ν . # 1 n 1 · · · n # | 1 n| ν ,...,νn 0 1 ! ≥ Noetherian and every ideal is closed • Noetherian(w.r.t. theandsubspaceevery idealtopology).is closed with respect to • theD f subspace topology. Structure of general aﬃnoid algebras: • A = K X , . . . , Xn /I ## 1 $$ Banach algebra by the induced norm

! A = K X , . . . , Xn /I (I: ideal) is a banach alge- ## 1 $$ bra by the induced norm . % %

8 9 9 A = K X1, . . . , Xn /I: A = K X , . . . , Xn /I: • • !!!! 1 """ ––Noether’Noether’ssNormalizationNormalization Theorem:Theorem: a finitea finite ∃∃ mapmapKK TT1,,...... ,,TTd AA.. W!!!!obbl1 yd T"""" →opology→ ––mm AA:: maximalmaximal == AA//mm::finitefiniteextentionextention ⊂⊂ ⇒⇒ ofofKK. . SpmSpmAA== mm AA maximalmaximal idealideal. . • • {{ ⊂⊂ || }} ––xx SpmSpmAA,, ff A !! ff((xx)):: == f fmodmodx .x . ∈∈ ∈∈ || || | | | | ––TTopologyopologyhahavingving an openopenbasisbasis R( f, g) R( f, g) ff,g,g AA {{ }} ∈∈ wherewhere R( f, g) = x Spm A f (x) g(x) . R( f, g) = {x ∈ Spm A| | f (x)| ≤ | g(x|}) . Note: { ∈ | | | ≤ | |} Note: R( f, g) = Spm A f !!g"" = Spm A X /(gX f ). !! "" − 19 19 C C E(EC() !) !C/Λ/Λ Difficulties Z E(Qp) ! Q Z/q E(Qp) ! Q×p/×qp SpmSpmA Ais isnotnotquasi-compactquasi-compact(w(w.r.t..r.t.thethewobblywobbly • • topology).topology). f f R(Rf(, fg,)g) A A gis isnotnota sheaf.a sheaf. • • "→"→$$g$$%% %% ""WWantanttoto“rigidify”“rigidify”thethetopology:topology:

The name “RIGID” comes from this. TateTate(1961):(1961):RealizationRealizationbybyusingusingGrothendieckGrothendieck topologytopology. . Admissible Topology 19 E(C) ! C/Λ

Z • Grothendieck topology E(Qp) ! Q×p/q Spm A is not quasi-compact (w.r.t. the wobbly • Weaker than wobbly topology. • topology). f • Strongest topology which makes R ( f , g ) A is not a sheaf. • "→ $$g%% quasi-compact. " Want to “rigidify” the topology: • Gives rise to “affinoids” - Building Block. • General rigid space: By “patching affiTnoidsate (1961):” w.r.t. Realization by using Grothendieck admissible topology. topology. Definition of Admissible Site

20 A = the category of aﬃnoid K-algebras. • K Ai i I (ﬁnite collection) covers A • { } ∈ (a) Each Ai is etale´ over A. (b) Spm Ai Spm A: injective map. ⇐⇒  →  (c) Spm A = i I Spm Ai.  ∈   % Admissible vs. Wobbly

Admissible land Wobbly land Examples.

Annulus

z K a z b z{ ∈K a| | | ≤z| | ≤b| |} { ∈ | | | ≤ | | ≤ | |} AffiCorrespondingnoid with = K a, z Correspondingaffinoid algebra z b Corresponding = #a#, z $$ affinoid algebra K z b a affinoid algebra = K## X,$Y$ /(XY b). = K #X#, Y $/$(XY −a). ## $$ − b Hence, quasi-compact.

16 16

16 z K a z b { ∈ z| | |K≤ | a| ≤ | z|} b { ∈ | | | ≤ | | ≤ | |} CorrespondingAffine line = K a, z affinoidCorrespondingalgebra ##z b$$ a z = K z, Realizationaffinoid asalgebra the= limitK Xof, Yclosed##/(Xb $Y$disksa). ##= K$$X, Y /−(XbY a). ## $$ − b n K = D(0, a − ) K = |D|(0,| a n ) n 1 | |− | !≥ n 1 a < 1, D(0, r) =!≥ z K z r | | a < 1, D(0,{r)∈= z| | |K≤ z} r | | { ∈ | | | ≤ } A1,an = lim Spm K anz K A1,an = lim Spm## K$$ anz Kn−−→1 ## $$ ≥ n−−→1 ≥ Gm Gm Not quasi-compact 16

z K a z b { ∈ | | | ≤ | | ≤ | |} Corresponding = K a, z aﬃnoid algebra ##z b$$ = K X, Y /(XY a). ## $$ − b K = D(0, a n ) | | | n 1 !≥ a > 1, D(0, r) = z K z r | | { ∈ | | | ≤ } A1,an = lim Spm K z K ##an$$ n−−→1 ≥ Multiplicative group Gm 17 17

n n K× = z K a zn a − n K× ={ ∈ z| | |K ≤a| | ≤ | z| } a − n!1 { ∈ | | | ≤ | | ≤ | | } ≥ n!1 = z ≥ K a n+1 z a n ={ ∈ z| | |K a≤n+| 1| ≤ | z| } a n n Z { ∈ | | | ≤ | | ≤ | | } !∈ n Z !∈ a < 1 | | a < 1 | | n+1 Gan = Spm K a , z m,K an z aann+1 z G = Spm&& K '' , n m,nK!Z && z a '' ∈ n Z !∈ Not quasi-compact 16

z K a z b { ∈ | | | ≤ | | ≤ | |} Corresponding = K a, z aﬃnoid algebra ##z b$$ = K X, Y /(XY a). ## $$ − b K = D(0, a n ) | |− | n 1 !≥ a < 1, D(0, r) = z K z r | | { ∈ | | | ≤ } A1,an = lim Spm K anz K ## $$ n−−→1 ≥ Z Tate curve Gm/q ( q < 1) | |

24 Take a K with a k = q (k 2). ∈ | | | | ≥ an Gm,K = An n Z !∈ an+1 z An = Spm K , n ## z a $$ q maps An isomorphically onto An+k. Gan Z ! m,K/q as the union of k annuli.

Hence, quasi-compact. When v = , Qv = R C. • ∞ ⊂ ! Complex analytiﬁcation

an EC = When v = p, When v = , Qv = R C. • Uniformization• ∞ ⊂ • ! Complex analytification an Qp Qp C vs. C Cp / (Λcontinued=" EQp) an = C ⊂ When⊂−→v = pE, C • UniformizationΛ = DifferencesZ + Z τ • 18 ! Q Q Q CQ = anQ· C = Q p p integerCp ringC/Λpp" EC p p p τ H = ⊂z C ∃Im ⊂z −>→⊂0 : 18Teichm⊂ ullar¨ parameter. ∈ { ∈ |!QuestionintegerΛring:= Z}+ Z τinteger ring ! Question: Analysis ov•er Cp ? ∃· • τ H =– Analysisz C oImverz C>p!?0inte!: Tgereichmringullar¨ ∈ { ∈ | anSimilar} for parameter–.Analytification E Affi?noid algebras p Cp • | |∞ | | Can take (non-canonically) “models” of affinoids

3 20 A = the category of affinoid K-algebras. • K Ai i I (finite collection) covers A • { } ∈ (a) Each Ai is etale´ over A. (b) SpmAffiAi noidSpm Aca: injectise ve map. ⇐⇒  →  (c) Spm A = i I Spm Ai.  ∈   % V: a-adically complete valuation ring of ht. 1 • K = Frac(V) (with a-adic norm ). • | | A: topologically finitely generated flat V-algebra ! A = A K: affinoid algebra/K. K ⊗V 21

Example K X 21 !! "" 21 21 K X !! "" Spf V X K X Two models of K X !! "" !! "" !!Spf""V X Spf!! ""V X = Spf V X, Y /(aY X) !! a "" !! "" − Spf V X X !! "" Spf V a = Spf V X, Y /(aY X) !! 21"" !! "" − Spf V X Admissible Spf V a = Spf V X, Y /(aY Blow-upX) !! "" K X!! "" − Spf V !! "" Spf V Spf V X !! "" Spf V X = Spf V X, Y /(aY X) !! a "" !! "" − Spf V Zariski Top. vs. Adm. Top.

22 22 22 Open U ! X subsetU ! X 7 −→ ! −→ U There AdmissibleshouldX exist an analytic geometry over −• → Cp byBlow-upwhich C C /qZ Spf ASpf A ×p −→ ×p  can beSpfregardedA as an analytic map. " A"pplication: ! U ! Spm A• Open subset w.r.t. K −→ Nagell-LutzK admissible"Theor topologyem. K: algebraic field, Conversely, U !E/K: anSpmellipticAcurve. Gerritzen-Grauert TheoremK = EEnough(K)tor is tao finiteKrecoverset. the −⇒→ admissible topology 7 Raynaud’s viewpoint er v o eometry g analytic an xist e should There • which by p C Z 23 q / p × C p × C → − 23 −→ Geometrmap. y analytic of an as arded g re Rigidbe analcan ytic models −→ geometrpplication: A y • em. Theor Nagell-Lutz # field, number algebraic : K Geometry of Formal Schemes e. curv elliptic an : K / E # Theorems in rigid analyticset. geometryfinite a is /tor DVR) K ( E = EGA III ⇒ i.e., aluation, v multiplicative : 0 R K : ≥ → | | • 0. = x 0 = x (1) ⇒ ⇐ | | . y x = y x (2) | || | | | . y , x max y + x (3) |} | | {| ≤ | | . 1 ! K vial non-tri : } { | × | ⇒ ⇐ | | • 23 Start from X/V : formal scheme of finite type ! = X : rigid analytic space/K X K (Raynaud Generic fiber)

Quasi-compact admissible open subset: UK, • adm. blow up U X − X ⊆ " −→ Point set • (K) = sections Spf V X . X { → } U (K) = sections which factors through U . K { } When U = Spf A ! Γ(UK, ) = AK. • OX 23 Start from X/V : formal scheme of ﬁnite type ! = X : rigid analytic space/K X K (Raynaud Generic ﬁber)

Quasi-compact admissible open subset: UK, • adm. blow 23up / Start from X V : formalU schemeX" of finite type − X ! = X : rigid analytic⊆space/K −→ X PointK set • (Raynaud Generic fiber) Quasi-compact admissible open subset: UK, • (K) = admsections. blow up Spf V X . X U X { − X → } U (K) ⊆= " sections−→ which factors through U . PointKset Raynaud’s Theorem• { } 23 (K)When= sectionsU =SpfSpfV AX . Γ(U , ) = A . Start from X/V : formal scheme of finite type X { → !} K K UK•(K) = sections which factors through U .OX ! = XK: rigid analyticCoherentspace formal/K Coherent{ rigid } X schemes of finite spaces of finite (Raynaud Generic fiber) When U = Spf A ! Γ(U , ) = A . Admissible K K type / V type / K 23 Blow-up • ∼ OX Quasi-compact admissible open subset: UK, Start from X/V : formal scheme of finite type • adm. blow up ∼ U X" − X ! = XK: rigid analytic space/K ⊆ −→ &−→ RaynaudX Point set generic fiber(Raynaud Generic fiber) • Quasi-compact admissible open subset: U , (K) = sections Spf V X . • K X { Footnote→: Coherent} = quasi-compact and quasi-separated adm. blow up UK(K) = sections which factors through U . U X − X { } ⊆ " −→ When U = Spf A ! Γ(UK, ) = AK. Point set • OX • (K) = sections Spf V X . ∼ X { → } U (K) = sections which factors through U . K { } When U = Spf A ! Γ(UK, ) = AK. • OX ∼ &−→ Comments

• RHS: deﬁned a priori by “patching aﬃnoids”, which turns out to be equivalent to “birational patching” in LHS.

• For the proof: • Existence of formal birational patching. • Comparing topologies: Gerritzen-Grauert Theorem.

• Signiﬁcance: Shift from “analysis” to “geometry”. 1 られた加算個の P ∧ を、i 番目のと i + 1 番目の 0 で、その還元が正規交差となる R ∞ ように貼り合わせて出来た半直鎖である.

∞ 6 p p pp¡A p A¡ r r¡A 1,an A A¡ r K r¡A ¡ r 0 r r an an 例 2.5 (Gm,K ). 同様にして考えると、Gm,K の Chapter 1 の例 4.7で与えた aﬃnoid 1 coExample:vering に関する形式モTデatルはe存在curし、こveれは整数で番号付けられた加算個の PR∧ を、i 番目のと i + 1 番目の 0 で、その還元が正規交差となるように貼り合わせて ∞ 出来た直鎖である.

∞ 6 25p p pp¡A p an A¡ r G = An A an m,K r¡ Gm,K n Z還元を模式的に図示すA¡るr と以下の様になる: !∈ A an+1 z r¡ An = Spm K z , an r ? "" ## pp p p 0 = Spm K X, Y /(XY a) p pp¡A p "" ## − A¡ r a k =例 q2.6 (T(kate 2)曲線. ). Chapter 1 の例 4.8でq用いた aﬃnoid covering を使って、Tate 曲 × ? r¡A q - | | 線|の|形式モ≥デルを求めてみよう. U 及び U に対応する形式モデルは 1 2 A¡ ?× r r r A U = Spf R z , q = Spfr¡R T, S /(T S !), 1 z ∼ { } − U = Spf R z, = SpfrR X, Y /(XY !) 2 ! z " ∼ p { } − pp ! " である. U U において、 z = ! に対応する形式モデルは Spf R z , , q , 及び 1 ∩ 2 {| | | |} 3. Raynaud の定理. z z Spf R z, , z であり、これらは z z で同型. また、 z = q = z = 1 に対 z ↔ {| | | |} ∼! {| | }" 応する形式モデこのルは節SpfではR 、zRigid, q , z 解及析び幾Spf何とR 形z,式1 ,幾何でとあのり間、のこ深れいら関は係z/qを記述z する Raynaud の ! " z q z z ↔ 定理を紹介する. まず、Raynaud の定理を述べるために必要な概念の定義から始めで同型である. 従って、 U#1, U2 は$pure covering! である"事がわかり、これに関する { 1 } E の形式モよデうル:は二つの P ∧ を、それぞれを 0 に、その還元が正規交差する様 R ∞ に貼り合わせたものである. この ! の取り方を !n = q なる様にとり直し、同様に 2 定義 3.1 (Admissible 形式スキーム). R1 上の形式スキーム X が admissible である aﬃnoid covering を構成すると、その解析的還元は Pk による n-角形になる. 細分と形式ブローとアはッ、プことれの関が連Zariskiは、ここ局で所も的見に易定い義. E1.5のの一意意化味写で像admissibleK× E ので適あ当るな A によって Spf A an → 1 pure coveringと同型に関ですあるる形事式でモデあルるは. 、上の Gm,K の形式モデル (これは PR∧ の直鎖であった) の既約成分を幾つかおきに「折り畳む」という写像になっている. 解析的定義 3.2 (Admissible 形式ブローアップ). X を R 上の admissible な形式スキームと 23 する. この時、X の admissible 形式ブローアップとは、X の連接かつ開なイデアル I O に沿った形式ブローアップ、即ち、 ⊂ ∞ n X! = lim Proj I O /π X ⊗ −→ −→ n=0 ! " # の事である.

Admissible な形式スキームの圏から Rigid 解析空間の圏に関手を作るために、まず affine X = Spf A の場合から考察しよう: この場合、対応する Rigid 解析空間を作る事は易しい. 実際、A に対して A : = A K rig ⊗R は K 上の affinoid 代数となっている. Aが表示 A = R t , . . . , t /a を持つなら、A { 1 n} rig の表示が K t , . . . , t /aK t , . . . , t で与えられる. { 1 n} { 1 n} さて、この操作を大域化するためには局所化との可換性を見なければならない. f A に対して A の (完備) 局所化 A f 1 を考えよう. 対応する affinoid 代数は ∈ { − } 1 A f − R K = A T /(1 T f) R K { } ⊗ = {A } T −/(1 T⊗f) = A f 1 rig{ } − rig{ − } 2形式スキームの定義については [EGA, I, 10] に従うものとする. § 24 20 A = the category of affinoid K-algebras. • K Ai i I (finite collection) covers A • { } ∈ (a) Each Ai is etale´ over A. (b) Spm Ai Spm A: injective map. ⇐⇒  →  (c) Spm A = i I Spm Ai.  ∈  Our Approach  % V: a-adically complete valuation ring of ht. 1 • General Policy: K = Frac(V) (with a-adic norm ). • | | Rigid Geometry is a hybrid of formal geometry A: topologically finitelyand birationalgenerated geometrflat Vy.-algebra ! A = A K: affinoid algebra/K. K ⊗V Approach: Raynaud’s approach + Zariski’s classical idea