Results for Two Phase Flows with Phase Transition Results for Two Phase Flows with Phase Transition

Results for Two Phase Flows with Phase Transition Results for Two Phase Flows with Phase Transition Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) von Dipl.-Math. Ferdinand Thein geb. am 22:04:1986 in Magdeburg, Deutschland genehmigt durch die Fakultät für Mathematik der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Gutachter: PD Dr.in Maren Hantke Prof. Dr. Christian Rohde eingereicht am: 17.01.2018 Verteidigung am: 08.05.2018 Zusammenfassung Kompressible Zweiphasenströmungen sind von großem Interesse, sowohl in vielen Anwendung wie Wasserturbinen oder der chemischen Industrie, als auch in verschiedenen Forschungsgebieten wie der Meteorologie, den Ingenieurwissenschaften oder der Physik. Wir betrachten hier Strömungen von flüssigen und gasförmigen Phasen derselben Substanz und berücksich- tigen dabei auch Phasenübergänge, d.h. Kondensation und Verdampfung. Bedingt durch die hohe Komplexität des betrachteten Problems ist es nötig Ergebnisse verschiedener Forschungsgebiete miteinander zu kombinieren, um weitere Erkenntnisse zu gewinnen. Deshalb berücksichtigen wir in dieser Arbeit die physikalische Modellierung, die mathematische Analysis und die numerische Behandlung von Zweiphasenstömungen. Der erste Teil der Arbeit stellt die benötigten Grundlagen zur Verfügung, Teil zwei behandelt ein isothermes Modell und abschließend wird in Teil drei ein adiabates Mo- dell diskutiert. Die drei Hauptresultate dieser Arbeit sind ein allgemeines Existenzresul- tat für ein Gleichungssystem, welches isotherme Zweiphasenstömungen modelliert, eine numerische Methode zum Lösen dieser Gleichungen, welche auch das Entstehen von Phasen behandeln kann und ein Resultat zur Nichtexistenz von Lösungen im Fall adiabater Zweiphasenströmungen. Die Ergebnisse für den isothermen Fall werden in Teil zwei gezeigt und das Re- sultat für die Nichtexistenz in Teil drei. Um die verschiedenen Fragestellungen zu verstehen und mögliche Ant- worten zu erarbeiten, benötigen wir Resultate der Thermodynamik und ein Verständnis der beschreibenden Bilanzgleichungen. Wir werden uns deshalb nicht einfach darauf beschränken die entsprechenden Ergebnisse zu zitieren, sondern eine etwas detailiertere Einführung in diese Themen geben. Der erste Teil der vorliegenden Arbeit gibt deshalb einen Überblick der wesentlichen zu Grunde liegenden Konzepte. Das erste Kapitel stellt eine kompakte Behandlung der Gleichgewichtsthermodynamik dar. Wir erklä- ren die verschiedenen thermodynamischen Potentiale und die zugehörigen Maxwell-Relationen. Diese werden in der anschließenden Einführung von Zustandsgleichungen benötigt. Die Zustandsgleichungen haben einen wesentlichen Einfluss auf die Dynamik der betrachteten Systeme. Mit einer kurzen Darstellung der Thermodynamik für zwei Phasen beenden wir das erste Kapitel. i Eine Herleitung allgemeiner Bilanzgleichungen, in der Gegenwart von Flä- chen über welche die betrachteten Größen unstetig sein können, wird im zweiten Kapitel gegeben. Insbesondere die Bilanzgleichungen für diese sin- gulären Flächen sind hier von besonderem Interesse. Im wesentlichen findet man diese Herleitung auch in der Literatur, jedoch werden dabei einige De- tails weggelassen. Wenn man sich aber neu in dieses Gebiet einarbeitet, ist diese Art der Präsentation möglicherweise zu kurz gehalten. Deshalb kann die hier vorliegende Präsentation auch als Einstieg in diese Thematik ge- nutzt werden. Wir beenden das Kapitel mit einer kompakten Darstellung der Theorie hyperbolischer partieller Differentialgleichungen mit Fokus auf den Euler-Gleichungen. Der zweite Teil der Arbeit behandelt Zweiphasenströmungen, welche durch die isothermen Euler-Gleichungen beschrieben werden. Im dritten Kapi- tel beweisen wir ein allgemeines Existenzresultat für das dazu gehörende Riemann-Problem. Hier beschreiben wir die Strömung durch einen Satz Euler-Gleichungen und eine Zustandsgleichung, welche sowohl die flüssi- ge als auch die gasförminge Phase beschreibt. Der Massenfluss zwischen den Phasen ist durch eine kinetische Relation gegeben. Wir zeigen die Exis- tenz für alle thermodynamisch sinnvollen Zustandsgleichungen, sowohl für zweiphasige als auch einphasige Anfangsdaten. Für Anfangsdaten die aus einer Phase bestehen berücksichtigen wir Nukleation und Kavitation. Wir möchten betonen, dass die Phasen sowohl in stabilen als auch in meta- stabilen Zuständen vorliegen können und die Phasen müssen sich nicht im mechanischen Gleichgewicht befinden. Im anschließenden vierten Kapitel behandeln wir das Problem numerisch und geben eine Methode an, die auch die Entstehung von Phasen berück- sichtigt. In Anbetracht der Ergebnisse des zweiten Teils stellt sich die Frage, wie diese auf den Fall des vollen Systems von Euler-Gleichungen übertragen werden können. Diese Frage wird im dritten Teil beantwortet. Im ersten Teil ist ersichtlich geworden, dass der volle Satz Euler-Gleichungen keinen Wärmefluss enthält und deshalb bezeichnen wir das System genauer als System adiabatischer Euler-Gleichungen. Im fünften Kapitel wird nun der Einfluss unterschiedlicher Annahmen an der Phasengrenze auf die Struktur der Lösung des Riemann-Problems untersucht. Hierbei stellt sich heraus, ii dass im Fall der klassischen Sprungbedingungen an der Phasengrenze kein Phasenübergang zwischen den reinen Phasen stattfinden kann. Deshalb müssen zusätzliche Größen, welcher auf der Phasengrenze definiert sind, mit einbezogen werden. Dies führt zum Verlust der selbstähnlichen Struk- tur der Lösung und wir erhalten eine Singularität auf der Phasengrenze. Im abschließenden sechsten Kapitel zeigen wir die Nichtexistenz von Kon- densation durch Kompression und Verdampfung durch Expansion zwischen den reinen Phasen für Modelle, die auf den adiabaten Euler-Glei- chungen basieren. Zusammenfassend zeigen die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit, dass der Wärmefluss für die Beschreibung von Zweiphasenströmungen unbedingt mit einbezogen werden muss. In den isothermen Eulergleichungen ist der Wärmefluss indirekt noch vorhanden, nur dass die Energiegleichung hier zur Bestimmungsgleichung für den Wärmefluss wird. Im isothermen Fall führt dies gewissermaßen zu einer unendlich schnellen Ausbreitung der Wärme. In den adiabaten Gleichungen ist der Wärmefluss jedoch nicht vorhanden. Aus diesem Grund können die isothermen Eulergleichungen, im Vergleich mit den adiabaten Eulergleichungen, als geeignetes Modell zu Be- schreibung von Zweiphasenströmungen mit Phasenübergängen angesehen werden. iii Summary Compressible two phase flows are a topic of high interest in many appli- cations such as water turbines or chemical engineering and different areas of current research such as meteorology, engineering and physics. In par- ticular we consider liquid/vapor flows of a single substance and we take phase transitions between the two phases into account, i.e. condensation and evaporation. Due to the complexity of the problem one needs to com- bine different fields of research to gain further insight. Therefore this work partly covers the physical modeling, the analytical investigation and the numerical treatment of two phase flows. The first part provides the basis for this work, the second part treats an isothermal model and the third part discusses an adiabatic model. The three main results of this work are a general existence result for a system of equations modeling isothermal two phase flows, a numerical method for the isothermal case that is able to treat phase creation and a nonexistence result for the case of adiabatic two phase flows. The results for the isothermal case are presented in the second part and the nonexistence result is given in the third part. In order to establish these results we need the theory of thermodynamics together with an understanding of the governing equations, i.e. the balance laws. Instead of simply giving the needed results, we believe that a detailed introduction is more suited for a better understanding of the problems considered. Therefore the first part of this thesis is dedicated to the introduction of the main concepts. The first chapter gives a compact survey of equilib- rium thermodynamics. We give the different thermodynamic potentials and the corresponding Maxwell relations. These results are needed in the subsequent discussion of equations of state which have a crucial impact on the dynamics of the systems considered. We close the first chapter with a brief introduction of thermodynamics for two phases. In the second chapter we derive local balance laws in the presence of in- terfaces across which quantities may be discontinuous. A special focus is given to the balance laws for quantities on such an interface. To some ex- tent this derivation may be found in the literature, but quite often several details of the calculation are left out. For researchers new to this topic, this kind of presentation might be rather short. Thus the derivation in the iv present work may serve as a good introduction to this topic. We first derive general balance laws which are then specified for certain quantities and corresponding assumptions. We close the second chapter with a brief introduction to hyperbolic conservation laws with a focus on the Euler equations. The second part treats the case of a two phase flow which is governed by the isothermal Euler equations. In chapter three we give a general existence result for the corresponding Riemann problem. Here we use one set of Euler equations for both phases together with one equation of state which covers the liquid as well as the vapor region of the

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